機械力学―考え方解き方 わかりやすい機械教室

２色 刷  わかりやすい機械教室

機 械 力 学 考え方解き方 小山十郎 著

TDU  東京電機大学出版局

演習付

本 書 の 全部 また は一 部 を無 断で 複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で の例 外 を 除 き,禁 じ られて い ます。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 に つ き委 託 を受 け てい ます ので,本 書 か らの複 写 を希望 され る場 合 は,必 ず小 局 (03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい。

ま え が き   本 書 は,工 業 高 校 の機 械 科 に お け る新 学 習 内 容 を基 準 と して,必 要 最 少 限 の 内容 を残 らず 取 り入 れ,や さ し く理 解 しや す い形 に ま とめ た もの で あ る。 対 象 と して は,一 応 機 械 科 の生 徒 諸 君 を 考 え て い るが,そ の 他 の 工 学 を学 ぶ 者 お よ び機 械 技 術者 を志 す 者,さ らに な お 広 く一 般 の好 学 者 の諸 君 の た め に も読 み な が ら内容 が把 握 で き る よ う配 慮 した つ も りで あ る。   編 纂 に あ た って は,次 の諸 点 に留 意 した。  ①

な るべ く短 時 間 に労 せ ず して学 び と れ るよ うに,演 習 問 題 形 式 に よ らず, 例 題 集 と し,考 え方 ・解 き方 に 力 点 を お い た。 しか し,例 題 を 少 しで も多 く取 り入 れ るた め,考 え方 ・解 き方 を 重 要 視 しなが ら も,こ れ を 簡 潔 に と ど め た。

 ②

重 要 な 基 本 事 項 が ひ と 目 でわ か りや す い よ うに,わ く組 みの 中 に ま とめ, そ れ らの 中 で 説 明 の 必 要 な もの は わ く外 に理 解 しや す く解説 した。

 ③

三 角関 数 を必 要 とす る と こ ろ で は,計 算 を 容 易 にす る た め,主 と し て 特 別 角 を用 い るよ うに した。

  筆 者 は現 職 の体 験 を とお して,初 学 者 の 多 くの っ まづ き をみ て き た。 本 書 は 教 室 に お け る これ らの体 験 を 通 じて の授 業 の集 約 と もい う こ とが で き る。 執 筆 に あ た って は十 分 努 力 した つ も りで あ るが,不 足 の 点 はお 許 しい た だ き た い。   本 書 の作 成 に あ た って,ご 尽 力 下 さ った東 京電 機 大 学 出 版 局 な らび に,関 係 各 位 の絶 大 な る ご支 援 に対 し,心 か らお礼 を 申 し上 げ た い。

昭 和45年10月

筆者記 す

第   本 書 は昭 和45年(1970)に,初

２

次改訂に あた

っ

て

版 「機 械 の 力 学,考 え 方 ・解 き方 」 を タ イ ト

ル と して,機 械 力学 と材 料 力 学 の 合 本 で ス タ ー トし,そ れ以 来 多 くの版 を 重 ね, 昭 和60年(1985)に

な って,よ り見 や す くか つ 解 りや す くす る よ う に 期 待 を

こめ て 第 １次 改 訂 を行 い,２ 色 刷 り ２分 冊 と した。   今 般,SI単 位 系(国 際 単位 系)へ の 移 行 を 契 機 と して,多 くの 本 書 ご活 用 の 方 々 な らび に時 代 の要 請 に こた え,第 ２次 改 訂 を行 う こと と した。   初 版 以 来 一 貫 して 考 えて きた こ とは 「労 せ ず学 べ る例題 集 と し,考 え 方 ・解 き方 に力 点 を お く」 で あ り,ま た同 時 に 「機 械 設 計 へ の橋 渡 し と して役 立 つ も の」 で あ った。   か く して,第 １次 改訂 で は①2色 刷 り に して 解 説 ・図 ・問 題 点 な ど見 やす く, 理 解 しや す い よ うに浮 きぼ りに す る。 ② 演 習 問題 の追 加 と解答 に もな るべ く計 算 式 を付 加 す る。 ③MKS,  SI単 位 の 換 算 表 を 追 加 し,④ 設 計 関 連 部 分 で は単 位 の関 連 性 を考 慮 し,⑤ 材 料 力 学 関 連 図 はJIS規 格 に従 い,⑥ 電 卓 利 用 も考 慮 し て 円周 率 πは そ の ま ま扱 うな ど 見 な お しあ るい は 改善 を 行 った。   今 回 の第 ２次 改 訂 で は,第 １次 改 訂 の六 つ の ポ イ ン トか ら,さ ら に発 展 的 に 次 の諸 点 を重 点 と して意 を そ そ い だ つ も りで あ る。 ①SI単

位 系 の使 用(重 力 単 位 へ の 見 な お しも考 慮 した)。

②

機 械 力 学,材 料 力 学 の 二 つ を独 立 させ て ２分 冊 と した。

③

改 善 点 の見 な お しに よ る新 設 と廃 棄 。

④

機 械 工 学 便 覧(日 本 機 械 学 会 編)新 版 に 準 拠 す る よ う に した(例,曲

げ

モ ー メ ン トの正 負 の符 号 の扱 い な ど)。  ⑤

答 の数 値 は原 則 と して 四捨 五 入 で 有効 数 字 ３桁 と す る。(特 に,一 部 の 問 題 で は,そ の 題 意 に よ り切 り捨 て,切 り上 げ あ る い は その 有 効 数 字 の 桁 数 の増 減 を行 った)

 ⑥

付 録 ・単 位 の換 算 表 に ギ リシ ャ文 字 の追 加。 初 版 で は主 と して工 業 高校 の機 械 科 の生 徒 諸  君 を 対 象 と して 作 成 した が,

年 が経 つ に つ れ て,現 実 に は多 くの機 械 工 業 な らび に,そ の 関連 企 業 等 の 現 場 で,広 範 に ご活 用 い た だ い て きた こ と は著 者 と して 至 上 の喜 び と す る もの で あ る。 な お,本 書 に よ る学 習 法(ご 活 用)の 工 夫 の た め に,幅 広 く利 用 者 諸 氏 の 選 択 の 自 由度 を 高 め るべ く十 分配 慮 した つ も りで あ る。 一 層 の ご活 用 を い た だ け れ ば幸 い で あ る。   初 版 以 来 この か た,第 １次 改 訂,第

２次 改 訂 を通 して重 ね が さね ご尽力下 さ っ

た東 京 電 機 大 学 出 版 局   岩 下 行徳 氏 な らび に関 係 各 位 に対 し深 く感 謝 申 し上 げ る次 第 で あ る。 平 成 ６年 ３月

著者 記す

も く じ

１.力

―

ちか ら

1・1 

力 

１

1・2 

力 の 合 成 と 分 解 

６

1.3 

力 の モ ー メ ン ト 

25

1.4 

力 の つ り合 い 

44

1.5  1・6 

２.運

動

ト ラ ス に 働 く 力 と働 き 方  物 体 の 重 心 

2・1  運

動 

2・2  運 動 と力 

55 71

78 99

2・3  運 動 量 と 力 積 

113

3・1 

す べ り 摩 擦 

122

3・2 

こ ろ が り摩 擦 

127

４.仕 事 と動 力 と エ ネル ギ

4・1 

仕 事 と 動 力 

131

4・2 

エ ネ ル ギ 

136

５.機 械 の 効 率

5.1 

力 の 利 用 

145

5.2 

機 械 の 効 率 

154

３.摩

６.回

擦

転

体

6・1 

ト ルク 

168

6.2 

慣 性 モ ー メ ン ト 

170

6・3 

角 運 動 方 程 式 

174

6・4 

等 角 加 速 度 運 動 

176

問 題 の 解 答 

178

付 録   SI単 位 に つ い て 

197

１

力 ―

ちか ら 1・1力

〔１〕 一般 に

力の意味 ,力

  力 と は,物

と は,次

の よ う に い う こ とが で き る。

体 の 運 動 状 態 を 変 化 さ せ た り,物

的 な 作 用 の こ と を い う(図1・1(a),(b),(c))。

(ａ)弓 と矢(矢 を飛 ば す 力)

(ｂ)物 体 の 落 下(重 力)

体 を 変 形 させ た り す る 直 接

(ｃ)膨 張す る 力 力の例

図1・1

例 題1・1

私 た ち の 日常 生 活 の な か で,考

え ら れ る 力 の種 類 を,で

き るだけ

多 くあ げ て み よ う。   〔 考 え 方 〕 火 力(熱)は,物 が,膨

体 の 運 動 状 態 を 変 え た り,物 体 を変 形 さ せ た りで き る

張 とか 化 学 変 化 な どの 過 程 を経 て い る もの で,力

と して の 直 接 的 な 作 用 とい え

ない。 〔 解 き 方 〕 具 体 的 な 言 葉 で あ げ る。 答(重

力,浮

力,打

圧 縮 力,推

力,弾

進 力,動

力,圧 力,摩

力,回

擦 力,万

転 力,引

張 り力,

有 引 力 な ど)

〔２〕 力 の 単 位   力 の 大 き さ を 表 す に は,い

くつ か の 基 準 が あ る 。 こ こ で は,SI単

位 系 を用

い る こ と とす る。

  質 量 １㎏ 与 え る 力,1㎏

の 物 体 に,1m/s2(毎 ・m/s2を

秒 １mの

１N(ニ

割 合 で 速 度 を 増 す)の 加 速 度 を

ュ ー ト ン)と 表 し,こ

れ を 力 の 単 位 とす

る。 1〔 ㎏f〕=1〔

㎏

〕×9.80665〔m/s2〕=9.80665〔

㎏

・m/s2〕

≒9.8〔N〕

こ れ よ り,重 力 単 位 ㎏fか 1〔㎏f〕=9.8〔N〕

らSI単 位 へ の換 算 系 数 は9.8と す る。

《Sl単 位 系 》   力 の 大 き さ の 表 示 に,長

い あ い だ 重 力 単 位(㎏f)が

国 際 的 標 準 化 に よ り,わ

が 国 で も1974年

International

し てSI)の

d'Unites略

４ 月 以 後,国

１.力

１Ｎ(ニ

ュ ー

(キ ロ ニ ュ ー

力のモー メン ト

{

1N・m(ニ

Systeme

の 単 位 を(Ｎ)

ュ ー ト ン)は1÷9.8≒0.102か

ら,

圧力

ト ン)=1㎏

・m/s2(定

義),…

…103N=1kN

ト ン)

㎜(ニ

1Pa(パ

{応力

の 主 な単 位 を あ げ て み よ う。

ュ ー

=1N・

トル ク

３.

位 の

ロ グ ラ ム 重)に 等 しい 力 の 大 き さ と い う こ と に な る 。

〈参 考 〉 機 械 力 学 で 用 い るSI系

２.

際 単 位 系(Le

導 入 が 決 定 し た こ と か ら,力

と 改 め る こ と に な っ た 。 こ れ に よ り1N(1ニ 0.102㎏f(キ

使 わ れ て き た が,単

トン メー ュー

ト ル),…

…10-3N・m

ト ン ・ミ リ メ ー

ス カ ル)=N/m2。(定

=1N/㎜2=1MPa(メ

ト ル)

義),…

…106N/m2

ガ パ ス カ ル),…102N/㎝2(ヘ

ク

ト パ ス カ ル)

４.

５.

仕事

1J(ジ

エ ネルギー

ジ ュ ー ル)=1W・h(ワ

仕事率

1W(ワ

{

{動 力

ュ ー ル)=1N・m(定

ッ ト)=1J/s(定

ト)〔735W=1PS(仏

例 題1・2水0.5m3の   〔考 え 方 〕 の1000倍

水1m3に

重 さ は,力

義),…

…103N・m=1kJ(キ

ッ ト ・時)=360W・s(ワ

義),…

ッ ト秒)

…103W=1kW(キ

ロワ ッ

馬 力)〕

の 大 き さ 何(Ｎ)に

相 当 す る だ ろ うか 。

か か る 重 力 の 大 き さ は １ｔ(ト ン)1000 

で あ る 。 こ れ よ り 水0.5m3は1m3の

ロ

㎏fで

あ る か ら,9.8  N

何 倍 か を考 え る。

〔解 き 方 〕9.8N×1000×0.5=4900N

答(4900N)

問 題1・1長 (水 の7.8倍)で

さ50 ㎝,幅40 

㎝,厚

あ る とす れ ば,こ

さ ５㎝

の 鋼 材 が あ る。 こ の 鋼 材 の 比 重 が7.8

の 重 さ は何 Ｎ の 力 に相 当す る か 。 答(764.4N)

問 題1・2重 30 ㎝

さ が150Nに

相 当 す る 内 容 積(う ち の り)長 さ50 ㎝,幅40

の 水 槽 が あ る。 こ れ を満 水 に し て つ り上 げ る に は,何

㎝,深

さ

Ｎの 力が 必要か 。 答(738N)

〔３〕 力 の 表 し方 力 は,図1・2の

よ う に,矢

印 を使 って 表 す 。

XX:力

の 作 用 線(力 の 方 向 を示 す)

Ｏ点:着

力 点(力 の 働 く点)

OA:力

の 大 き さ と方 向 を表 す。

図1・2

力の表 し方

《力 の 効 果 を決 め る もの 》 〔力 の 大 き さ 〕 ……力の三要素

〔方 向 〕 〔着 力 点 〕

｝

《ベ ク トル(ベ ク トル 量)》 〔大 き さ 〕

〔方 向 〕 (例:ベ

}(こ の 二 つ を同 時 に 示 す 量)… … ベ ク トル(ベ ク トル 量) ク トル で 表 せ る 量 。 力,速

度,加

速 度 な ど)

  〈参 考 〉 こ れ に 対 して 長 さが ３ｍ,時 間 が ８時 間 な ど とい う よ うに た だ 一 つ の 数 量 だ け 示 す 量 の こ と を ス カ ラ ー 量 と い う。

例 題1・3定

点 Ｐ に,水

す る場 合 を,矢

１ｌの 量 の 重 力 が 作 用

印 の 長 さ １㎝

が １Ｎ の 力 の 大 き

さで ベ ク トル 表 示 して み よ う。   〔考 え 方 〕 水 １ｌの 水 の 目方 は １㎏fだ

か ら,こ

れ

をＮ に 換 算 す る。 〔解 き 方 〕1〔

㎏f〕=9.8〔N〕

1㎝

×1〔 ㎏f〕=9.8〔N〕

×9.8=9.8㎝

答(作

図) 図1・3

問 題1・3100Nの ２㎝

力 の 大 き さ を,長

さ ５㎝

の 矢 印 で 表 す とす れ ば,そ

の 図の 中で

の 矢 印は何 Ｎ に相 当す るか。 答(40N)

問 題1・4図1・4(a)の

よ う に,点

Ｐ に 対 し て ２方 向 に2㎏f,3㎏fの

大 き さの 力 が

作 用 して い る。 これ を横 長 の 長 方 形 の 紙 面 に 力 の 矢 印 の 長 さ が 紙 面 一 杯 に お さ ま る よ う に 描 き た い 。 力 の 大 き さ ２Ｎ を １㎝ 横 それ ぞれ何 ㎝

の 長 さ で 示 す た め に は紙 の 大 き さ は 最 低 で 縦

にすれ ば よいか。 答(縦10㎝,横15㎝)

(ａ)

(ｂ) 図1・4

1・2力

の 合 成 と分 解

〔１〕 図 法 に よ る力の 合 成 と分解 (a)1点

に働 く ２力 の 合 成(図 法 に よ る)

ば ね を使 っ て,力

の合 成 を考 え て み よ う。

《フ ッ ク の 法 則 》   弾 性(物 体 が 外 力 を受 け て 変 形 して も,そ の 外 力 が 去 れ ば も と の 形 に戻 る性 質)の 限 度 内 で は,変

形 量 は 外 力 に 比 例 す る(ロ バ ー ト ・フ ッ ク,英,1635

∼1703) 。 ば ね ば か りは,こ

の法 則 の 応 用 。

《力 の合 成 》   ２力 の 大 き さ,F1,F2の

働 き と 全 く同 じ効 果 を も つ 一 つ の 力(合 力)Ｆ を

求 め る こ とで あ る。

図1・5重

な る ２力 の和

図1・6重

(ａ)

(ｂ)

図1・7等

  図1・5∼ 方 法 で,そ

図1・8の

な る ２力 の 差

よ う に,そ

(ｃ)

しい ２力 の 合 成(３ 例)

れ ぞ れ の 場 合 の 力 の 合.成 は,各

図 の下段 に示 す

の 大 き さ や 方 向(向 き)が 求 め ら れ る 。

  実 験 に よ る と,図1・7,図1・8の 合 力 の 大 き さ は,２

な か で 示 し た ４例 の よ う に,一

般 に2力

の

力 の 大 き さ を示 す 矢 印 で 作 る平 行 四 辺 形 の 対 角 線 に 相 当 す

る 矢 印 の 長 さ と 等 し くな る こ とが 知 ら れ て い る 。

(ｂ)力 の 平 行 四 辺 形

(ａ)

(ｃ)力 の 三 角 形 一 般 に １点 ０'に働 く大 き さの 違 う ２力 の合 成 も 、 そ の ２力 の平 行 四辺 形 の 対 角 線 の 大 き さ と一 致

(

)

す る こ とが知 られ て い る。 図1・8 

例 題1・4あ

の か わ りに,一

る 点 に,東

へ30N,北

つ の 力 で,こ

等 し くな い ２力 の合 成

へ40Nの

力 が 作 用 し て い る 。 こ の ２力

れ と同 じ効 果 を与 え た い.何 Ｎ の 力 を どの 方 角 に

作 用 させ た ら よい だ ろ うか 。

(ａ)

(ｂ)

図1・9 

(ｃ)完 成 図

(ｄ)完 成 図

(力 の 平 行 四辺 形)

(力 の三 角 形)

力 の 平行 四 辺 形 と力 の三 角 形

〔考 え 方 〕 力 の 平 行 四辺 形 と 力 の 三 角 形 の,二  〔 解 き方 〕 矢 印 の 長 さ １㎝

を10Nと

つ の 解 き方 が あ る。

し て 考 え,図1・9(a)∼(d)の

く と よ い 。 完 成 図 か ら合 力 の 長 さ と角 θ を 測 れ ば,合

力 が ５㎝,θ

よ うな順 序 で 描 が53° で あ る こ

とが わ か る。 答(50Nの

例 題1・5前

の 例 題1・4で,北

へ40Nの

力 を東53° 北 の 方 角 に 加 え る)

力 だけ 西 向 きに変 え た らど うな る

か 。 ま た東 向 きに 変 え た ら ど うな るか 。 〔 考 え方 〕

ど ち ら の 場 合 も作 用 線 は 重 な り,２ 力 の 差 と和 に な る 。

〔解 き 方 〕

図1・10(a),(b)の

よ う に 描 い て 合 力 を測 れ ば よ い 。

答(西

へ10N,東

へ70N)

図1・10

例 題1・6図1・11の 力 で,ボ

よ う に,川

幅10mの

両 岸 に い る 人 が,そ

れ ぞ れ10Nの

ー トに つ け た 綱 を 引 い て い る 。 ボ ー トは 川 の 中 心 を 走 り,綱

図1・11

の 長 さは

両 方 と も そ れ ぞ れ10mで

あ っ た とい う。 ボー トを 前 進 させ る 力 は何 Ｎ に な る

か。   〔考 え方 〕 綱,川

幅 の 三 つ の 長 さ が10mだ

か ら,こ れ ら は 正 角 形 に な る こ とが わ

か る。   〔解 き 方 〕 例 と し て,１ ㎝ 辺 が10㎝

を １Ｎ の 力 の 大 き さ と し て 作 図 す れ ば,鋭

角60°,一

の ひ し形 が 描 け る。 こ れ よ り合 力(対 角 線)を 測 定 す れ ば17.3㎝

こ れ よ り1N×17.3=17.3Nと

を得 る。

す れば よい。 答(17.3N)

問 題1・5図1・12の

よ う に,体

重10㎏fの

子供 を乗 せ た ブ ラ ン コに ひ もを結 ん で

引 張 る。 ひ もが ち ょ う ど地 面 と18° の 傾 き に な っ た と き,引 張 る 力 が60Nで

あ った

とい う。 こ の と き ブ ラ ン コの 綱 の 張 力 Ｆ は ２本 で何 Ｎ に な る だ ろ うか 。 答   (98N)

図1・12

問 題1・6図1・13の

よ う に,ば

ね ば か りで 引 い た 糸 の 中 間 に 重 り をつ る し た と き,

糸 は 水 平 面 との な す 角30° 下 向 き とな り,ば ね ば か りは0.08㎏fを

示 して い た。 重 り

は 何 ㎏fか 。 ま た 何 Ｎ に な るか 。 答(0.08㎏f,0.784N)

図1・13

(ｂ) 力の 分 解   (図 法 に よ る) 図1・8の

場 合 の 全 く逆 に 考 え る。

《力 の 分 解 》 一 つの 力 Ｆ を

,こ

れ と全 く等 し い 効 果 を も つ ２ 力F1,F2に

を 力 の 分 解 と い う。 こ の よ う なF1,F2を

例 題1・7図1・14の と お し て,重

よ う に1Nの

りP,Qで

分 け るこ と

Ｆ の 分 力 と い う。

力 に 相 等 す る 重 り を 糸 で つ り上 げ,滑

釣 り合 い が と れ た も の とす れ ば,重

りP,Qの

車 を 力 はそ

れ ぞ れ何 Ｎ に な る か。   〔 考 え 方 〕  力 の 合 成 と 同 じ よ うに,平

行 四 辺 形 ま た は 三 角 形 の 法 則 を,順 序 を 逆 に

し て 考 え る。   〔解 き方 〕 三 角 定 規 と分 度 器 を使 っ て,図1・15(a)ま →(4)の 順 に 作 図 す る と よ い 。 こ の よ う に してOAの OB,OCの

長 さ を,ま

た は(ｂ)の(４)図 か らO'B',OCの

0.74,0.5と

な る こ とが わ か る 。 こ の こ とか ら, 重 りP…

…1[N]×0.74=0.74[N]

重 りQ…

…1[N]×0.5=0.5[N]

た は(ｂ)の よ うに そ れ ぞ れ(1) 長 さ を １と し て(ａ)の(４）図 か ら 長 さ を 測 れ ば,そ

が得 られ る。

答   (P=0.74N,Q=0.5N)

れ ぞれ が

図1・14

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形 に よ る 方 法

(ｂ)力 の 三 角 形 に よる 方 法 図1・15

問 題1・7図1・16の ㎏f相

よ う に,２ 本 の 立 ち 樹 の 間 に ハ ン モ ッ ク を つ る し て,重

当 の 人 が そ の 上 に 寝 た。 こ の と き頭 側,足

角 は45°,30° に な っ た 。 頭 側,足

さ50

側 の つ りひ もが そ れ ぞ れ 地 面 と な す

側 の つ りひ も の 引 張 られ る 力 は そ れ ぞ れ 何 Ｎ に な

るか。 答   (頭側440〔N〕,足

側360〔N〕)

図1・16

問 題1・8 

空 中 ケ ー ブ ル カー が 故 障 して,図1・17の

と な す 角30°,20° め て1500㎏fで

よ う に 引 張 り索 の 前 後 が 水 平 面

の 状 態 で 宙 づ りに な っ た 。 こ の と きの ゴ ン ドラ の 重 量 は 乗 客 を含

あ っ た 。 前 後 の 引 張 り索 に発 生 し た 引 張 り力 は そ れ ぞ れ 何 Ｎ に な る

か。 答   (前方18〔kN〕

  後 方16.6〔kN〕)

図1・17

(ｃ) １点 に働 く多 数 の 力 の 合 成   (図 法 に よ る)   １点 に 働 く 多 数 の 力F1,F2,…

… を,一

２力F1,F2の

に,こ

合 力F'を

求 め,次

つ の 力 に 合 成 す る に は,ま

のF'とF3と

の 合 力F"を

ず,

求 め,

さ ら に こ の Ｆ"とF4と

の 合 力 Ｆ"',…

… と順 次 合 成 を 続 け て最 終 合 力 Ｆ

を 求 め る(図1・8)。

(１)

(２)

(４)

(３)

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形 利 用

(１)

(２)

(４)

(３)

(ｂ)力 の 三 角 形 利 用(力 の 多角 形 と もい う) 図1・18 

1点 に 働 く多数 の 力 の合 成(図 法)

《力の 多 角 形 》   １点 に働 く多 数 の 力 の 合 成 で,図1・18(b)の

よ うに 力 の 三 角 形 を 順 次 組

み 合 わせ て で き た 多角 形 を 力の 多 角 形 とい う。

例 題1・8 

北 向 きに20N,東

向 きに30N,東

南 向 き に10Nの

力 が １点 に働

く と き の 合 力 と方 角 を 図 法 で 求 め て み よ う 。   〔 考 え方 〕 平 行 四 辺 形 を順 次 作 っ て い く方 法 と,力 の 多角 形 に よ る 方 法 とが あ る。   〔 解 き方 〕 図1・19の

よ うに 作 図 し,合 力 の 方 角 と長 さ を測 る。 そ の 結 果 合 力39N

で 方 角 が 北71° 東 で あ る こ とが わ か る。 答   (作図 に よ り計 測 し て,合

力39N,北71°

東 の 方 角)

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形 利用

(ｂ)力 の 多角 形 利 用 図1・19

問 題1・9  Nの

図1.20の

よ うに,壁

に 対 して 縦 の 垂 直 平 面 内 で,０ 点 か ら 水 平 方 向 に8

引 張 り力 が 作 用 し,こ れ に 対 して さ らに 上 向20°,下

N,8Nの

向40° の 方 向 に そ れ ぞ れ15

引 張 り力 が 作 用 して い る。 こ の と き ０点 に 働 く合 力 の 大 き さ と方 向 と を,

力 の 平 行 四 辺 形 を作 図 して 求 め よ。 答   (壁 の 外 へ 向 っ て 水 平 方 向 に28.2N)

図1・20

(ｄ) 着 力 点 の 違 う力 の 合 成   (図 法 に よ る)   私 た ち は,綱 か ろ うが,必 と,

で 物 体 を引 張 ろ う とす る と き,綱 の 長 さが 多 少 長 か ろ うが 短 か

要 な 力 の 大 き さ に は 変 わ りな い こ と を知 っ て い る。 い い か え る

「力 は 向 き を変 え な い か ぎ り,着 力 点 を そ の 作 用 線 上 の ど こへ 移 動 し て も効果 は変 わ らな い 」 と い う こ とが で き る 。

着 力 点 の 違 う ２力の 合 成 は,２ 力 の 着 力 点 を,そ れ ぞ れ の作 用 線 を延 長 した 交 点 ま で移 動 し,次 に 前 に 習 っ た 方 法 で合 力 を求 め る。 ３ 力 の 場 合 の 例 …(図1・21)

〔 注 〕 ３ 力 以 上 の 合 成 の 場 合 は,始 め に 求 め た ２力 の 合 力 と,残 な か の １力 と の 合 力 を,着

った

力点 の

移 動 に よ っ て求 め る。 こ れ を さ ら に順 次 繰 り返 し,最 終 合 力 を求 め れ ば よ い(図1・21)。

図1・21 

着 力 点 の違 う ３力 の合 成

例 題1・9図1・22の

よ うに,正 方 形 の 板 の 頂 点 に働 く ４力 の合 力 を図 法 で求

め よ う。

図1・22

  〔考 え 方 〕 力 の 平 行 四 辺 形 に よ る 場 合(図1.23)。 を求 め る順 序 を工 夫 す る と よ い 。

な る べ く簡 単 に す る た め,合

力

図1・24  図1・23 

力 の 多角 形 に よ る場 合

力 の平 行 四辺 形 に よ る場 合

  〔解 き方 〕 こ の 場 合,２ 力 ず つ 別 々 に 合 力 を求 め,そ

れ ら二 つ の 合 力 か ら ４力 の 合

力 を 得 る(力 の 多角 形 は 図1・24)。

答   (約27N) 問 題1・10 

図1・25の

よ うに,正

五 角 形 の 板 の 各 頂 点 に 働 く五 つ の 合 力 を 力 の 多 角

形 に よる方法 で求 め よ。

答   (約43N)

図1・25

〔２〕   計 算 に よ る力の 合 成 と分 解 (ａ) １点 に働 く ２力 の 合 成(計 ①

算 に よ る)

角 θの 開 き を なす ２力 の 合 成

図 法 と 同 じ考 え方 を計 算 で 行 え ば よ い。   図1・26で,２

力F1,F2が

０点 に 角 θ の 開 き で 働 く と き,合

力 Ｆ は,

三 平 方(ピ タ ゴ ラ ス)の 定 理 か ら,

(1・1)

合 力 の 向 き  α は,

(1.2) とな る。

図1・26角

②

図1・27直

θの開 き を なす ２力 の合 成

角 の 開 き を なす ２力 の 合 成

直 角 の 開 き を なす ２力 の 合 成

  式(1・1),(1・2)で,θ=90°

と お

け ば,cos90°=0,sin90°=1よ

り(図

1.27),

(1.3) (1.4) こ れ は,図1・27か

例 題1・10図1・28に

ら わ か る よ う に,単

純 な三 平 方 の 定 理 の 形 とな る。

よ る それ ぞ れ の 合 力 の 大 きさ と方 向 を求 め よ。

(ｃ)

(ｂ)

(ａ)

図1・28

  〔考 え方 〕 も ち ろ ん 式(1・1)∼(1・2)に よ っ て 解 くわ け で あ るが,図 て,お

お よ そ の 合 力 の 大 き さ,角

法 を頭 に浮 かべ

度 の 目安 を 立 て て み る と よ い 。

  〔 解 き方 〕  そ れ ぞ れ の 合 力 を Ｆ と し,そ の 方 向 が40Nと

なす 角 を α とす れ ば,

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

答((a)36.9°,(b)25.3°,(c)46.1。)

問

題1・11図1.29(a)の

よ う に,二

つ の 力60Nと150Nと

が,30°

(ｂ)

(ａ) 図1・29

の 開 き で １点 に

働 く と きの 合 力 と,そ の 方 向 を 計 算 に よ っ て 求 め よ。   ま た,図(ｂ)の

よ う に,二

答

つ の 力 の 開 き が135° の 場 合 は ど うか 。

30° の 場 合:204N,150Nの

(

方 向 か ら 左 ま わ り に8°27'

135° の 場 合:115.6N,150Nの

方 向 か ら 左 ま わ り に21°31'

(ｂ) 力 の 分 解   (計 算 に よ る) ①

角 θの 開 き を なす ２力 に分 解

  図1・30で,力

Ｆ を 角 α,β の 開 き で ２力F1,F2に

れ ば,α+β=θ

とお く と,

分 解 す る も の とす

(1.5) (1.6)

図1・30角

②

図1・31直

θの 開 き を なす 分 解

角 の開 き を なす 分 解

直 角 の 開 き を なす ２力 に分 解 式(1・5),(1・6)で,θ=90。

と お け ば,tan(90°-θ)=0,cos(90°-θ)=

1に な る こ と に よ り(図1・31),

実 際 に は,こ

F1=Fcosa

(1・7)

F2=Fsina

(1・8)

の θが 直 角 とな る ２力 へ の分 解 の場 合 が 多 い 。

)

例題

1・11図1・32に

よ る 力 Ｆ の そ れ ぞ れ 分 力F1,F2を

(ａ)

求 め よ。

(ｂ) 図1・32

  〔考 え 方 〕 式(1・5),(1・6)を

用 い れ ば よ い が,公

式 と して 暗 記 す る こ と よ り,式 の

導 き方 を覚 え た ほ うが 得 策 で あ る。 〔解 き 方 〕(ａ)

(ｂ)

答((a)F1=3.66N,F2=7.07N(b)F,=8.66N,Fz=5N)

問 題1・12図1・33の と こ ろ,天

よ うに,天

井 か ら ２本 の ロ ー プ で 重 さ70Nの

井 と ２本 の ロ ー プ と の 間 の 角 が そ れ ぞ れ60°

図1・33

と30°

物体 をつ る した

と に な っ た 。 ２本 の ロ

ー プ の 引 張 り力 を求 め よ

。 答(F1=35N(右

側),60.6N(左

側))

(ｃ)１ 点 に働 く多 くの 力 の 合 成(計 算 に よ る)   １点 に働 く多 くの 力 の合 成 は,作

用 点 を 原 点 とす る 直 角 座 標 を作 り,そ れ ぞ

れ の 力 の Ｘ 軸 成 分 の 和FXとY軸

成 分 の 和FYを

て,合

力 Ｆ を 求 め れ ば よ い(図1・34の

求 め,式(1・3)と

同様 に し

３力 の例 参 照)。

(1・9) (1・10) (1・11)

(1・12)

図1・35

図1・34多

例 題1・12図1・35に   〔 考 え 方 〕30Nの

数 の 力 の合 成

よ り,４ 力 の 合 力 の 大 き さ と方 向 を 求 め よ 。 力 の 方 向 を Ｘ 軸 とす る場 合 と40N,10Nを

軸 と お く場 合 な どが 考 え られ る(図1・36(a),(b)参   〔解 き方 〕(a)30Nの

そ れ ぞ れ Ｘ 軸,Ｙ

照)。

方 向 を Ｘ 軸 とす る場 合(図1・36(a)参

照)

(ｂ) (ａ) 図1・36

(b)40Nを

Ｘ 軸 と す る 場 合(図1・36(b)参

∴a=-49.5°(こ

問 題1・13図1・37の 105°,60°

照)

の 場 合,合

力 の 向 き は 第 ４ 象 限 と な る)

答(作

図 に よ る 合 力46.5Nと,(a),(b)に

よ う に,Ｘ

軸 の 方 向 に20N,そ

の 開 き を も つ50N,60N,30Nの

よ る 方 向)

れ か ら 左 ま わ り に135°,

四 つ の 力 が １点 Ｏ に か か る と き の 合 力

と そ の 向 き を計 算 に よ り求 め よ。 答(合

力52.3N,向

き Ｘ 軸 正 方 向 に 左 ま わ り234°28')

図1・37

  (ｄ)着

力 点 の 違 う 力 の 合 成(計

  前 例 の 式(1・9)∼(1・12)を

算 に よ る)

使 っ て,合

力 の 大 きさ お よ び そ の 向 き が 求 め られ

る。

例 題1・13図1・38に

よ り,正

三 角 形 の ま わ り の ３力 の 合 力 と そ の 向 き を 求

め よ。

  〔考 え 方 〕 Ｘ 軸 の 位 置 を ど の 部 分 に し た ら よ い か を考 え る 。 〔解 き方 〕30Nの

方 向(底 辺)を Ｘ 軸 とお け ば,

図1・38

  こ れ よ り,合 力 の 大 き さ17.32N,向

き30Nの

作 用 線 に 対 して30° 右 下 か か る こ と

がわ か る。   な お,作 て は,こ

用線 の位 置 につ い こに作 図 に よって求

め た 例 を参 考 に 示 して お く (図1・39)。   図1・39の

よ う に,20Nの

作 用 点 を Ｐ,作 用 線 の 通 過 点 をQ(QはPか 線 上),三 さ=A㎜

らの水平 延長 角 形 の 一 辺 の 長 とす れ ば,こ

の

図1・39

問 題 の 場 合 で は, PQ=A㎜ (計測 し て) で あ る こ とが わ か る。   こ れ よ り,合 力17.32Nは30Nの

作 用 線 上 Ｐ か ら 外 側A㎜

の 点 Ｑ を通 る右 下

30° の 向 き に か か る こ とに な る。 答(合 左 力 の 大 き さ17.32N,作 用 線 の 位 置 方 向 は,三 角 形 の 底 辺 の 延 長 線 上A㎜ は な れ た 点 Ｑ を通 る30° 右 下 の 向 き)

1・3

  〔1〕

力の モ ー メ ン ト

図 法 に よ る平 行 し た 力 の 合 成 法

  あ る間 隔 をお い て,平 行 力F1,F2が

働 く と きの 合 力 Ｆ を求 め て み よ う。 こ

の ま ま で は 力 の 平 行 四 辺 形 が で き な い の で 工 夫 を す る。

  図1・40(a)の

よ う に,間

隔 ｌの 両 端 に 平 行 力F1,F2が

は,図1・40(b)の

よ う に,打

の 合 力F1',F2'を

作 り,こ

ち 消 し 合 う ２力F'を

働 くときの合 力

両 端 に 加 え,そ

れ ぞれ

れ ら を 作 用 線 の 交 点 Ｏ ま で 移 し て,合

力 Ｆ を

求 め ろ。

(ａ)

(ｂ) 図1・40

例 題1・141・41(a),(b)の

N,100Nの

よ う に,500㎜

の 間 隔 で50N,100Nま

た は20

平 行 力 が 働 く と き,そ れ ぞ れ の 合 力 の 大 き さ と作 用 線 の位 置 を図

法 で求 め よ。

(ａ)

(ｂ) 図1・41

 〔 考 え 方 〕 両 端 に加 え る打 ち 消 し合 う力 は,外

向 きば か りで な く内 向 き も考 え て み

る とよい。   〔解 き 方 〕 図1・41(a)は,打 く と,図1・42(a),(b)の

ち 消 し合 う 力 を外 向 き と し,図(ｂ)は

内 向 き と して解

よ う に な る。

(ａ)

(ｂ) 図1・42

平 行 で 大 き さ の 等 し い 反 対 向 き の 力 に つ い て は,後

の 偶力 の ところで学 ぶ。

答(図1・42の(a),(b)作 問 題1・14図1・43の

よ う に,300㎜

の ２の 力20Nと40Nと   ま た,こ

の 棒 の 両 端 に,棒

と45° を な す 平 行 で 同 方 向

がかか った場合 の合 力 を図法 に よって求 め よ。

の 場 合 で,40Nの

力 だ け 反 対 向 きに 変 え た 場 合 は ど うな る か 。

図1・43

図 に よ る)

答

同 方 向:60N,作

用 線 は 棒 の 左 端 よ り右20㎝

(

反 対 向:20N,45°

右 上 方 向,作

用 線 は 棒 の 右 端 延 長30㎝

)

〔２〕 力 の モ ー メ ン ト と解 き 方

  (ａ)て  ①

こ と力 の モ ー メ ン ト

て この 作 用

  図1・44の よ う に,て 長 い ほ ど,小

こ で 重 い 物 体 を持 ち 上 げ よ う とす る と き,柄 の 長 さ が

さ い 力 で す む こ とは 私 達 が 日常 経 験 す る こ と で あ る。 こ こ で い

ま,逆 に柄 の 長 さ を短 か く して 行 き,つ い に 長 さ を ０に した と考 え る と,ち

ょ

う ど支 え る点(こ れ を 支 点 とい う)の 真 上 を押 す こ とに な り,も は や どの よ う に 大 き な 力 を加 え て も持 ち上 げ る こ とは で き な い。 この こ と を,次 の よ う に考 え る こ とが で き る。 て この 支 点 か ら ｌの 距 離 に,て こ の 回 転 作 用 の 大 き さ Ｍ は,力

こ に 対 して 直 角 の 力 Ｆ が 働 く と き,て Ｆ と距 離 ｌの値 に 比 例 す る。

  式 で 示せ ば, M=F・l

(1・13)

とな る。

(ａ)

(ｂ) 図1・44

②

力の モーメ ン ト 物 体 を 回 転 さ せ よ う と す る 力 の 働 き を “力 の モ ー メ ン ト(モ ー メ ン ト)"

と い う。 す な わ ち,式(1・13)の N・ ㎜

を 用 い る 。 ま た,ｌ

  力 の モ ー メ ン 1・44(a),(b)を

トM=F・lに

Ｍ を 力 の モ ー メ ン ト と い う。 単 位 に は

を モ ー メ ン トの 腕 と い う。

つ い て,も

う少

し研 究

し て み よ う 。 い ま,図

て こ の 例 に あ て は め て み る と,図1・45(a),(b)の

よ う に な る。

こ れ よ り,

(ａ)

(ｂ) 図1・45

(1・14)

と な る。   式(1・14)は,て

こ の 支 点 Ｏ に お い て,F1に

に よ る 時 計 回 転 方 向 モ ー メ ン ト と が,つ   合 力 に つ い て 考 え れ ば,図1・45か

り合 っ て い る こ と を 示 し て い る 。

ら わ か る よ う に,F=F1+F2と

の 作 用 線 は 支 点 の 位 置 を 通 る 。 し た が っ て,合 の 長 さ をl1+l2=lと

同 様 に し て,

お け ば,式(1・14)か

よ る 反 時 計 回 転 モ ー メ ン ト とF2

力 の 位 置 は,図

な り,そ に お い て,て

ら,

(1・15)

こ

とな る。

例

題1・15図1・46の

直 角 な 力100Nが

よ う に,回

転 軸 Ｏ か ら500㎜

の 点 Ｐ に 対 し,OPに

働 く と き の モ ー メ ン トは い く ら か 。

  〔考 え 方 〕 式(1・13)に あ て は ま る こ とが 気 づ け ば よ い 。   〔解 き方 〕 求 め る モ ー メ ン トMは, M=F・l=100×500=50×103〔N.㎜

〕

図1・46 図1・47

答(50x103N・

問 題1・15図1・47の 1800㎜

よ う な 長 さ4000㎜

の と こ ろ に 体 重32㎏f相

重60㎏gf相

㎜)

の シ ー ソ ー が あ る。 中 央 の 支 点 か ら

当 の 子 供 が 乗 っ て い る。 こ れ とつ り合 う よ う に 体

当 の 大 人 が 乗 るた め に は,支

点か ら子供 と反対側 何 ㎜

の位 置 を とれ ば

上いか。 答(960㎜) 問 題1・16図1・48の 100Nの

よ う に,長

お も り をつ る して,棒

置 は左 端 か ら何 ㎜

さ2000㎜

の 棒 が あ る。 左 端 に60N,右

端 に

が 水 平 に な る よ うに 支 点 の 位 置 を 定 め た い。 支 点 の 位

に な るか。 答(1250㎜)

図1・48

(ｂ)斜 ①

めの力 のモー メン ト

斜 めの力の モー メン ト

  図1・49の

よ う に,モ

卜 は ， これ と 腕 の

長

さ

モ

ー

ー メ

と の 積 で,次

メ

ン ト

の腕

ｌ と な す

ン ト の腕 の直角 方 向に の式

角 Ｆ

のよ う に表

θ の力 Ｆ が

の 分力F

働 sinθ

く と き の モ ー メ ン を と

り,

さ れる 。

(1.16)

図1・49 図1・50

例 題1・16図1・50に

示 す モ ー メ ン トの 腕ABの

を 回 転 軸 と し,Ｂ

長 さ300㎜

に 腕 の 延 長 に 対 し て30° 方 向 で60Nの

に お い て,Ａ

力が働 くときのモー

メ ン トを 求 め よ 。   〔 考 え方 〕 作 図 し て か ら数 式 を た て る とよ い 。   〔 注 〕 モ ー メ ン トの 腕 方 向 の 分 力 は,回 転 軸 に 作 用 す る だ け で,回

転 力に は影響 が

な い。 〔解 き方 〕 モ ー メ ン トをＭ とす れ ば, 答(9000N・

問 題1・17図1・51の 梁 Ｂ を 固 定 し,梁

よ う に,主 柱 Ａ の 高 さ3000㎜ の 先 端 で 点 Ｐ か ら3000㎜

の 点 Ｐ の 位 置 に,傾

の と こ ろ に,ロ

ー プ で1000Nの

を つ り下 げ た 。 こ の 場 合 の 点 Ｐ の モ ー メ ン トを 求 め よ 。 ま た,主 メ ン トは 何kN・mか 答(点

㎜)

き30に 荷物

柱 の根 元 Ｑ の モー

。 Ｐ の モー メ ン ト:2.6kN・m,点

Ｑ の モ ー メ ン ト:2.6kN・m)

図1・51

②

合 力の モーメ ン ト

  多 数 の 力 の,あ

る 点 の ま わ りの モ ー メ ン 卜の 総 和 は,そ

れ らの 合 力 に よ

る モ ー メ ン 卜に 等 し い 。   一 般 に,ｎ

個 の 力 の 大 き さ を そ れ ぞ れF1, 

の 腕 の 長 さ を そ れ ぞ れl1,l2,l3,… を そ れ ぞ れ さ を ｌ,そ

θ1,θ2,θ3,…

…,ln,そ

…,θnと

し,合

F2,…

…, 

Fn,モ

ー メ ン ト

れ ぞ れ の 腕 と力 との なす 角 力 の 大 き さ を Ｆ,そ

の 腕 の 長

の な す 角 を θ と す れ ば,

(1.17) と な る。

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,図1・52(a)の 置 に そ れ ぞ れ 腕 の 延 長 と の な す 角 θ1,θ2で,２

よ う に,点 力F1,F2が

Ｏ か らl1,l2の

位

働 く場 合 の モ ー メ

ン トを求 め て み る。   図1・52(b)の

よ う に し て,２

る 垂 線 上 に,そ

れ ぞ れF1,F2,Fか

  合 力 の 成 分 は,

力F1,F2の

合 力 Ｆ を 求 め,点

ら 垂 線 を お ろ せ ば,

Ｐ のOPに

対 す

(ｂ)

(ａ)

一 般 の 合 力 の モ ー メ ン ト

図1・52

と な る 。 ま た,合

力 の モ ー メ ン ト は,図1・52(b)か

ら, ……(モ

ー メ ン ト

の 式) と な り,点

Ｏ か らF1,F2,Fま

で の 腕 の 長 さ は,そ

れ ぞ れ 図(a),(b)か

ら,

こ れ ら を(モ ー メ ン トの 式)に 代 入 し て,

が 得 られ る。   多 数 の 力 の 場 合 も 同 様 に し て 求 め ら れ,式(1・17)が   〔注 〕Flsinθ=0の

と き は,合

得 られ る。

力 Ｆ の 作 用 線 は 回 転 の 中 心 Ｏ を通 り,モ ー メ ン ト

は つ り合 っ て い る こ とに な る。

例

題1・17図1・53の,点

  〔考 え 方 〕

式(1・17)の

Ｏ の ま わ り の モ ー メ ン トは 何kN・ 考 え 方 で,二

㎜

か。

つ の モ ー メ ン ト の 和 を 求 め る(左

回 転 を 正,右

回 転 を 負 とす る)。 〔解 き方 〕

答   (右 回 転2.69kN・

㎜)

図1・53 図1・54

例 題1・18図1・54は,人 A,Bそ

が 自転 車 で 走 行 し よ う とす る状 態 を示 して い る。

れ ぞ れ の 場 合 の モ ー メ ン トは 何kN・

㎜

か。

  〔考 え 方 〕 前 脚 と後 脚 の モ ー メ ン トの 和 に な る こ と に 注 意 し,図1・55(a),(b)の うに 線 図 を描 い て み る 。   〔解 き 方 〕 Ａ の場 合:

Ｂ の 場 合:

よ

(ａ)

(ｂ) 図1・55

答

問 題1・18図1・56は,水

さ100Nの

の 位 置 に80° を な し て 上 向 き に100N,も を な して 上 向 き に100Nの ㎜

㎜,B.11.11kN・

㎜)

車 小 屋 の 中 の 米 つ き の 様 子 を 示 して い る。 水 車 の 軸 が ち

ょ う ど 図 の よ う な 位 置 の と き,重

ー メ ン トは 何kN・

  (A.27.7kN・

杵 の ２本 の う ち １本 は 軸 心 か ら100㎜ う １本 は 軸 心 か ら300 ㎜

の 位 置 に140°

力 が それ ぞれ か か って い る。 この 場 合 の 軸 心 に か か るモ

か。 答(29.13kN・

図1・56水

車小屋 の米つ き

㎜)

〔３〕  平 行 した ２力 の 合 成 法 (ａ) 同 じ向 きの 平 行 な ２力 の 合 成 法(計 算 に よ る)   図1・57に

よ り,間

２ 力F1,F2の

隔 ｌの 着 力 点A,Bに

合 力 Ｆ が,点

お け る ｌ に 直 角 で 同 じ向 き の

Ｏ を 通 る もの と す れ ば(式(1・15)参

照),

  合 力 Ｆ の 着 力 点 の 位 置(作 用 線 の 通 過 点)は,

(1.18)

合 力 Ｆ の 大 き さ は, F=F1+F2

(1.19) 図1・57

と な る。

  こ れ ら の 成 り立 つ 理 由 を 考 え て み よ う。   《式(1・18)に

ついて》

式(1・15)か

ら も わ か る が,モ

式(1・17)のF1・l1sinθ1+F2・l2sinθ2=F・lsinθ 換 え て み る と,こ い"こ

れ は"個

を 簡 単 にM1+M2=Mと

置 き

々 の モ ー メ ン トの 総 和 は 合 力 の モ ー メ ン トに 等 し

と を 示 し て い る の で あ る か ら,こ

モ ー メ ン トの 符 号 は,反

ー メ ン トの 考 え 方 か ら,

の 考 え 方 を 図1・57に

時計 回転量 方 向 を+,時

用 い て(た だ し,

計 回 転 方 向 を― と す る),Ｏ

点

の ま わ りの モ ー メ ン ト を 求 め れ ば,

(1.20)   こ れ よ り,着

力 点 Ｏ はlをF1,F2の

大 き さの 逆 比 に 内 分 す る位 置 に な る こ

と が わ か る｡   《式(1・19)に

つ いて》

点 Ｂ の ま わ りの モ ー メ ン トは,

こ こ で,式(1・20)か

ら

とな る こ とが わ か る。

例

題1・19

き,90Nか

400㎜

の 間 隔 で,平

行 な 同 じ 向 き の ２力90N,30Nが

働 く と

らの 合 力 の位 置 とそ の 大 き さ を求 め よ。

  〔考 え方 〕 式(1・18),(1・19)を

よ く理 解 した う え で,な

る べ く図 を描 い て か ら式 を

た て る と よ い(図 は 省 略)。   〔 解 さ方〕90Nか

ら の合 力 の 位 置 を ａ,合 力 の 大 き さ を Ｆ とす れ ば,

答   (90Nの

例

題1・20平

行 で 同 じ 向 き の ２ 力40N,60Nが,あ

力 の 位 置 は60Nか

ら120㎜

方 か ら100㎜

内 側 で120N)

る 間 隔 で 働 く と き,合

の と こ ろ で あ っ た と い う 。 ２力 の 間 隔 と 合 力 の

大 き さ を求 め よ。

図1・58

〔 考 え方 〕 ま ず,図

を描 い て み る(図1・58)。

〔 解 き方 〕 ２力 の 間 隔 をx〔 ㎜

〕,合 力 の 大 き さ を Ｆ 〔N〕とす れ ば,

答   (100N)

例 題1・21図1・59の

よ う に,平

㎜

力250Nがx〔N〕

の 間 隔 で 働 き,合

と す れ ば,x,aの

行 な 同 じ 向 き の ２力100N,x〔N〕 よ りa〔 ㎜

が500

〕の と こ ろ に 現 れ る も の

値 は い く らに な るか 。

図1・59

〔考 え 方 〕 計 算 の 順 序 を考 え る 。 〔解 き方 〕

答(x=150N,a=200㎜)

問 題1・19図1・60の

よ うな ク レー ンが あ る。 横 げ た の 長 さ は5000㎜,つ

る荷 物 の 重 量 は5000N,反 .y〔㎜

対 側 の バ ラ ン ス ・ウ ェ イ トはx〔N〕,荷

〕と し,主 塔 に か か る合 力 が12200N(た

だ し,横

り下 げ

物側 の腕 の 長 さ を

げ た の 重 量 は 考 え な い もの

とす る)で あ っ た とす る。   こ の 場 合 の バ ラ ン ス ・ウ ェ イ トx〔N〕 と,荷 物 側 の 腕 の 長 さy〔 ㎜

〕は い く らか 。

答   (x=7200N,y=2950mm)

図1・60

(ｂ)反

対 向 きの 平 行 な ２力 の 合 成 法(計 算 に よ る)

  図1・61に

よ り,間

F1,F2(F1＞F2)が

隔 ｌの 着 力 点A,Bに,lに

働 く も の とす れ ば,合

直 角 で 反 対 向 き の ２力

力 Ｆ はF1の

外 側 の 点 Ｏ を 通 り, 

合

力 の 着 力 点 Ｏ の 位 置(作 用 線 の 通 過 点)は,

(1.21)

合 力 の 大き さ は

(1.22) 図1・61

と な る。

前 例 に な ら っ て,式(1・21),(1・22)を 《式(1・21)に

つ い て》

検 討 し て み よ う。

点 Ｏ の ま わ りの モ ー メ ン トは,

(1.23)   こ れ よ り合 力 の 着 力 点 Ｏ は,ｌ をF1,F2の る こ とが わ か る。

大 き さの 逆 比 に外 分 す る点 で あ

よ り,

同 様 に,

《式(1・22)に

つ い て 》  点 Ｂ の ま わ り の モ ー メ ン ト は,

よ り,

ま た,式(1・23)よ

り,

結 果 と し て,F=F1-F2が

例 題1・22 き,合

600㎜

得 られ る。

の 間 隔 で,反

対 向 き の 平 行 ２ 力120N,70Nが

働 く と

力 の 大 き さ と 着 力 点 を 求 め よ(図1.62)。

  〔考 え 方 〕 合 力 は ２力 の 差 に な る こ と,そ の 位 置 は 大 き い 方 の 力 の 外 側 で,２ 力 の

図1・62

大 き さ に よ る 外 分 点 で あ る こ と を 考 え る。 〔解 き方 〕 合 力 を Ｆ と し,着 力 点 の 位 置 を120Nの

答(合

力50N着

外 側a〔 ㎜

力 点 は120)Nの

〕とす れ ば,

外 側840㎜

の 点)

問 題1・20図1・63の Nが

よ う に,b〔 ㎜

〕の 間 隔 で 反 対 向 きの 平 行 な ２力F1〔N〕,80

働 く と き,合 力 の 大 き さ60NがF1の

外 側 に80Nの

こ ろ に 生 じた とす る 。 こ の 場 合 のF1,bを

位 置 か ら,1500㎜

の と

求 め よ。

図

1・63

答(F1=140N,b=643㎜)

〔４〕 偶 力 と そ の 解 き方

大き さYが

等しく,平 行

で 反

対 向きの ２力 が，

一定 間隔で 働 く

よ

う な

１ 組

の 力 を 偶 力 とい う。 い ま,こ

の ２力 を そ れ ぞ れF1,間

１ と す れ ば(図1・64参

隔 を

照),

偶 力 の 合 力=０ 偶 力 の モ ー メ ン ト=F1・l

}

(1・24)

図 と な る 。 ま た,lを

偶 力の 腕

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,間 F1と2F1が

働 く と き,合

1・64

と い う。

隔 ｌの 両 端 に,平

力F=2F1-F1=F1,そ

行 で 反 対 向 き の ２力

の 位 置 ０ は,2F1の

外側 に

で あ る こ とが わ か る(図1・65(a))。  こ こ で,2F1を

小 さ く し てF1に

近 づ け る と,図1・65(b),(c)の

よ う に な り,

つ い に 偶 力 と な る(図1・65(d))。  こ れ よ り,合 が わか る。

力 の 位 置 ０ は 無 限 に 遠 く な る と 同 時 に,合

力 は ０に な る こ と

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

図

1・65

図

1・66

(ａ)

(ｂ)

偶 力 の モ ー メ ン ト は,図1・66(a),(b)の く,F1・lと

よ う に,回

転 軸 Ｏの 位 置 に関 係 な

な る こ とが わ か る 。

例 題1・23図1・67で,そ

れ ぞ れ ２組 の 偶 力 の モ ー メ ン ト を 求 め よ。 ま た,

偶 力 の モ ー メ ン トの 和 を 求 め よ。 〔考 え 方 〕 式(1・24)の 考 え 方 に よ り,そ れ ぞ れ ２組 の 偶 力 の モ ー メ ン トを 求 め,さ ら に そ れ ら の 代 数 和 を求 め る。 〔解 き 方 〕 F1に

よ る 偶 力 の モ ー メ ン ト=-50×100=-5000〔N・

㎜

〕

F2に

よ る 偶 力 の モ ー メ ン ト=80sin30°

×120=4800〔N・

㎜

偶 力 の モ ー メ ン トの 和=(-5000)+(+4800)=-200〔N・

㎜

答(-5000N・

図

例 題1・

２４

㎜,4800N・

さ1200㎜

〕

㎜,-200N・

図

1・67

図1・68は,幅900㎜,長

〕

㎜)

1・68

の テ ー ブ ル で あ る。 四 隅

に 図 の よ うな 偶 力 が働 く と きの 偶 力 の 和 を求 め よ。 〔

考 え 方〕100Nに

よ る偶 力 の 腕 は,テ

ー ブ ル の 対 角 線 で あ る か ら,こ れ は 三 平 方

の 定 理 を用 い れ ば よ い 。 〔解き方〕 テ ー ブ ル の 対 角 線 の 長 さ は,

偶 力 の 和 は,

答(-162kN・

図

1・69

㎜

〕

問 題1・21図1・69の

よ う な 円 板 に,200㎜,300㎜,500㎜

の 腕 を も つ ３組 の

偶 力 が 働 い て い る 。 こ れ らの 偶 力 の 和 を求 め よ。 答(13.5kN・

1・4力

㎜)

の つ り合 い

〔１〕 １点 に 働 く力 の つ り合 い

(ａ)つ

り合 い と 合 力

  物 体 に,い

くつ か の 力 が 働 く と き,全

態 に あ れ ば,こ   ま た,つ

体 と し て 力 が 働 か な い の と 同 じ状

れ ら の 力 は 互 い に つ り合 い の 状 態 に あ る と い う 。

り合 い の 状 態 に あ る 力 の 合 力 は ０ と な る。

全 体 と し て 力 が 働 か な い の と 同 じ状 態 と い う こ と と,合 は,全

力 が ０に な る こ と と

く同 じ こ と で あ る 。

(b)2力

の つ り合 い

  １点 に 働 く ２力 が,つ き は,２

り合 い の 状 態 に あ る と

力 は 互 い に 大 き さ が 等 し く,向

きが 反

対 と な る(図1・70)。

図

(c)3力

1・70

の つ り合 い

１点 に 働 く ３力 が,つ

り合 い の 状 態 に あ る と き は,２

力 の 合 力 と残 りの

１力 と は 互 い に 大 き さ 等 し く,向

きが 反 対 とな る。

こ の 場 合,“ 力 の 三 角 形 は 閉 じ る ” と も い う。

《ラ ミー の 定 理 》

(ｂ)参

(ａ)

考 図,(ａ)と

同 じ効 果 を もつ

図 1.71

１点

０ に お い て,３

力F1,F2,F3が,F1とF2,F2とF3,F3とF1の

1それ の な す 角 θ3,θ1,θ2で

つ り合 う と き,次

そ れ1

の 関 係 が 成 り立 つ(図1・71)。

(1.25) こ の 関 係 式 を ラ ミー の 定 理 と い う。   こ の 成 り立 ち を 調 べ て み よ う 。 図1・71の F2,F3の

よ う に,F1方

向 を Ｘ 軸 と す れ ば,

Ｙ 軸 成 分 は 互 い に 反 対 向 き で 等 し い か ら,

F3方 向 を Ｘ 軸 とす れ ば,同 様 に して,

が 得 ら れ,式(1・25)

が 成 り立 つ こ とが わ か る。

問 題1・25図1・72の

よ う に,ひ

もAOBで

つ り 下 げ ら れ た100N相

当の荷

重 に よ るOA,OBの  〔

考 え 方

引張 力 を求 め よ。

〕 図法 な らば,100Nに

対 し て 反 対 向 きの100Nを

考 え,こ

れ を対 角 線 と

す る 平 行 四 辺 形 を作 っ て 求 め れ ば よ い 。 計 算 に よ る ２例 を考 え て み る と,一 つ は,垂 直 方 向,水

平 方 向 い ず れ も合 力 の 成 分 が ０に な る とい う考 え 方 。 も う一 つ は,ラ

ミー

の 定 理 を用 い る こ と,と が 考 え られ る。

図

  〔解 F1,F2の

1・72

き方〕 図 法 は 省 略 。 くそ のI>OA,OBの 垂 直 分 力 の 和 は100Nに

そ れ ぞ れ の 張 力 をF1,F2と

等 し い こ と,ま

た,F1,F2の

す れ ば,

水 平分 力 も等 しい こ

と か ら,

(１)

(２)

F1=50〔N〕

F2≒86.6〔N〕

が 得 られ る。 <そ の

Ⅱ>ラ

ミー の 定 理(式(1・25))か

ら,

答(F1=50N,F2=86.6N)

問 題1・22図1・73の F1〔N〕,さ

よ う に,Ｘ

軸 の 正 方 向 に20N,そ

れ か ら左 回 転60° の 方 向 に

らに 加 え て165° の 方 向 にF2〔N〕 の 合 計 ３力 が 原 点 で つ り合 っ て い る。 こ

の場 合 の ２力F1,F2を

ラ ミー の 定 理 を使 っ て 求 め よ。 答(F1=54.6N,F2=66.9N)

図

(d)4力

以 上 の つ り合 い

  １点 に 多 数 の 力 が 働 き,つ 垂 直 分 力 の 総 和 は,と   い ま,ｎ 分

1・73

り合 う と きは,そ

もに ０ とな る(合 力 が ０ と同 じ)。

個 の 力F1,F2,F3,…

を そ れ ぞ れX1,X2,X3,…

れ ぞ れ の 水 平 分 力 の総 和,

…,FnのX,Yの …,Xn,Y1,Y2,Y3,…

直 角 座 標 軸 方 向 の 成 …,Ynと

す れ

ば, X1+X2+X3+… Y1+Y2+Y3+… と な る(図1・74)。

…Xn=0 …Yn=0

}

(1・26)

(ａ)

(ｂ)直 角 分 力 の つ り合 い

図

例 題1・26図1・75の

よ う に,1点

1・74

Ｏ に ４ 力 が 働 く と す れ ば,こ

れ ら とつ り

合 う力 Ｆ の Ｘ 軸 成分 と Ｙ 軸 成 分 とを求 め よ。 〔考 え 方 〕 Ｆ を 含 め て,Ｘ る こ と を 考 え,式(1・26)を

図

軸 成 分 の 総 和 と,Ｙ

軸 成 分 の 総 和 は,そ

用 い る。

1・75

図

〔 解 き 方 〕 Ｆ の Ｘ 軸 成 分 をFxと

す れ ば(図1・76),

1・76

れ ぞれ ０ とな

Ｆ の Ｙ軸 成 分 をFYと

す れ ば,

答(つ

問題

1・23図1.77の

わ た って,原

よ

う に,Ｘ

り合 力 の Ｘ 軸 成 分35.9N,Ｙ

軸 か ら 左

点 に20N,40N,40N,30N,30Nの

ま わ

軸 成 分-18.5N)

り に45°,120°,220°,240°,330°

に

５力 が 働 い て い る。

  こ れ ら ５力 とつ り合 う 力 を Ｆ と す れ ば,Ｆ 答(Ｘ

の Ｘ 軸 成 分 と Ｙ 軸 成 分 と を 求 め よ。 軸 成 分+25.6N,Ｙ

軸 成 分+17.96N)

図1・77

〔２〕 着 力 点 の 違 う力 の つ り合 い (ａ)偶

力 の つ り合 い

 一般に,偶力は合力が０であるが,つり合わない何組かの偶力が全体として,全く打ち消し合うとき

(図1・78)。

図1・78

(ｂ)着

力 点 の 違 う多 数 の 力 の つ り合 い

  着 力 点 の 違 う多数 の 力 が つ り合 うため に は,次

の二つ を同時に満 足 しな

け れ ば な らな い。

 ①合力が０であること。 ②任意の点のまわりのモーメントが０であること。 た と え ば,偶 力 は ① の み が 成 り 立 ち,モ ー メ ン トが 残 っ た 場 合 つ り合 わ な い 。 図1・79は,②

の み が 成 り 立 ち,合

力 が 残 っ て つ り合 わ な い 場 合 の 例 で あ

る 。

図   一 般 に,多

数 の 力F1,F2,F3,…

をX1,X2,X3…

…

…,Y1,Y2,Y3,…

1・79

が 物 体 に働 … と し,任

れ の モ ー メ ン ト をM1,M2,M3,…

…

く と き,直

角

２方 向 の 分 力

意 の 点 ０ の ま わ りの そ れ ぞ

と す れ ば,

(1・27)

こ れ が

例 題1・27高

つ

り

合

いの条 件式である。

さが300㎜

,150㎜

の 正 三 角 形 が 図1・80の

と き,各 頂 点 に 図 に示 す よ うな 力 が働 く もの とす れ ば,こ い の状 態 に あ るか な い か,理

由 を述 べ て 説 明 せ よ。

よ う に位 置 す る

れ らの 力 は,つ

り合

図1・80

  〔 考え 方〕 合 力,モ

ー メ ン トの そ れ ぞれ の 総 和 が,解

答の ポ イン トとな るこ とに気

づ け ば よ い。 合 力,モ

ー メ ン トの 両 方 と も ０な ら ば つ り合 うが,ど

ち らか 片 方 ま た は

両 方 と も ０で な い と き は つ り合 わ な い 。 式(1・27)を 用 い る。   〔解き 方〕 中心 Ｏ を原 点,水 の Ｘ 軸 方 向 成 分 の 総 和,同 れFX,FY,Mと

  Fx〓0,FY=0(合

平 方 向 を Ｘ 軸,垂

直 方 向 を Ｙ 軸 と し,お

じ く Ｙ 軸 方 向 成 分 の 総 和,モ

の お の の力

ー メ ン トの 総 和 を,そ

れぞ

お け ば,

力=0)お

よ びM=0に

よ り,題

意 に よ る 力 は,つ

り合 い の 状

態 に あ る。 答   (FX=0,FY=0,(合

問 題1・24例

題1・27の

高 さ300㎜,150㎜

力=0),M=0で

つ り合 っ て い る)

の 正 三 角 形(図1・80)の

底 辺 を Ｘ軸,

そ の 左 端 を 原 点 と し て,全 総 和FY,お

７力 の Ｘ 軸 方 向 成 分 の 総 和Fx,同

よ び モ ー メ ン トの 総 和 Ｍ を 求 め よ(図1・81参

じ くＹ 軸 方 向成 分 の

考)。

答   (Fx=0,FY=0,(合

図1・81

問 題1・25前

力=0),M=0)

図1・82

問 と同 様 に し て,例 題1・27の

内 側 の 正 三 角 形 の 底 辺 左 頂 点 を 原 点,

そ の 左 斜 辺 を Ｘ 軸 と した と き の 同 じ全 ７力 の Ｘ 軸 方 向 成 分 の 総 和FX,同 方 向 成 分 の 総 和FY,モ

ー メ ン トの 総 和 Ｍ を そ れ ぞ れ 求 め よ(図1・82参 (答  Fx=0,FY=0,(合

じくＹ軸 考)。

力=0),M〓0)

(ｃ)  平 行 力 の つ り合 い

  図1・83は,長 え た と き,支

さ ｌの 棒ABを

両 端 で 支 え,任

え た 点(こ れ を 支 点 と い う)A,Bに

れ を 反 力 と い う)RA,RBを つ り合 い の 条 件 か ら,次

生 ず る 。 距 離ACを

意 の 点 Ｃ に 荷 重 Ｗ を加 荷 重 と 反 対 向 き の 力(こ ａ,CBを

ｂ と す れ ば,

の 関 係 が 成 り立 つ 。

(1・28)

図1・83

理 由 は,つ

り合 い の 条 件 か ら,合

力 は0に

な る の でW-RA-RB=0,こ

れ

よ り,W=RA+RBが な る の で,Ｂ

得 ら れ る 。 ま た,任

意 の 点 の ま わ りの モ ー メ ン ト も ０ と

点 の ま わ り の モ ー メ ン トは,し

っ て,と

たが

な る 。 さ ら に,

と な る 。 こ れ は,Ａ

点 の ま わ りの モ ー メ ン トか ら も

得 ら れ る こ とは も ち ろん で あ る。

例題1・28 か ら800㎜

支 点A,Bで,水

平 に 支 え た 長 さ2000㎜

の 点 に 重 さ200Nの

の棒 が あ る。 支 点 Ｂ

お も り を か け る と,支

点A,Bの

反 力 は,

そ れに ぞ れに い ぐ らに な るか 。 〔考 え 方 〕 任 意 の 点 の ま わ りの モ ー メ ン トの 総 和 が ０に な る こ と を考 え る。 特 に, 単 位 に 注 意 す る こ と。 式(1・28) 〔解 き 方 〕

支 点A,Bの

反 力 をRA,RBと

す れ ば,

答   (支 点 Ａ の 反 力80N,支 問 題1・26

図1・84の

よ うに,支

  棒 の Ａ 側 か ら100㎜,200㎜ て い る とす れ ば,支

点A,Bの

点A,Bに

支 え ら れ た長 さ500㎜

の ２箇 所 に そ れ ぞ れ20N,30Nの 各 反 力RA,RBは,そ

点 Ｂ の 反 力120N) の棒 が あ る。 荷 重 が加 わ っ

れ ぞ れ い く らに な る か 。 答   (RA=34N,RB=16N)

図1・84

問 題1・27

前 問 に さ ら に 加 え て,図1.85の

図1・85

よ う に棒 の Ａ 側 か ら300㎜

の ところ

に,あ

る 大 き さ の 荷 重Wxを

この 場 合 の 各 反 力RA,RBと

か け て,A,B支 荷 重Wxの

点 の 各 反 力RA,RBを

等 し く し た い。

大 き さ を 求 め よ。 答(RA=RB=70N,Wx=90N)

問 題1・28図1・86の   こ の 棒 に,Ａ

よ う に,支

点A,Bで

側 か ら200㎜,300㎜

支 え ら れ た 長 さ400㎜ の と こ ろ に50N,50Nの

か り,こ れ と別 に 長 さ200㎜

の 棒 が Ｃ 点 を 支 点 と して 支 え ら れ,Ｃ

端 に10Nの

荷 重 が,ま

れ と反 対 側50㎜

か ら10㎜

の 点 に 対 し て か か っ て い る。 こ の 場 合 の 力 Ｆ,反

た,こ

の 棒 が あ る。 等 しい荷 重 が か よ り150㎜

の

の 端 に 上 向 き に 力 Ｆ が 棒ABの

Ａ

力RA,RBの

大 き さを

求 め よ。 答   (F=30N,RA=15N,RB=55N)

図1・86

問 題1・29図1・87の Cと

し て 支 え,Ａ

〔N〕,100Nの

よ う に,長

さ600㎜

の 棒ACの

か ら100㎜,200㎜,500㎜

両 端 と 中 心 を支 点A,B,

の と こ ろ に,そ

荷 重 を か け る も の と す る 。 こ の 場 合,反

図1・87

力RA,RB,RCが

れ ぞ れ20N,F 等 し くな る

よ うに す る た め に は,荷 重 Ｆ を何 Ｎ に す れ ば よい か 。

答   (F=160N)1・5 トラスに働く

〔 １〕 

トラ ス の 意 味

  直 線 状 の 部 材 を 結 合 し て,組

み 立 て た 骨 組 構 造 の 各 部 材 を組子

結合点 を 節 点

と い う 。 節 点 が ピ ン 結 合 で,回

ぶ 。 ま た,組

子 が す べ て 同 一 平 面 内 に あ る も の を平面トラス

を立体トラス

と い う(図1・88(a),(b))。

(ａ)平

と い い,

転 で き る 構 造 物 を ト ラス と 呼

面 トラ ス

(ｂ)立

立 体 的 な もの

体 トラ ス

図1・88

  節 点 が ピ ン 結 合(滑 に,ラーメン

接)で な く,完

と 呼 ぶ 。 こ こ で は,平

全 固 定(剛 節)を

含 ん だ 骨 組 構 造 物 を,特

面 トラ ス を 学 ぶ こ と に し よ う 。

  《 トラ ス の 組 子 の 性 質 》  (図1・89(a),(b)) ①

各 組 子 に は,組

②

組 子 が 両 端 の 節 点 か ら 受 け る 力 は,大 る。

子 の 軸 線 方 向 に 力 が 働 く。 き さ が 等 し く,向

きが 反対 で あ

③

引 張 力 を受 け る組 子(引 張 材),圧 縮 力 を受 け る組 子(圧 縮材)は,い

ずれ

も内 部 に,元 の 長 さ に戻 そ う とす る抵 抗 力(応 力)が 発 生 す る。

(ａ)引

(ｂ)圧 縮 材

張 材

図1・89

  〔 ２ 〕 

   

トラ ス に 働

トラスで

に 働

は,各

く 力の合

く力 の 計 算 法

節

点に 働

力は,そ

れ ぞれ

例 題1・29図1・90(a)は,２ Nの

荷 重 が 働 く と き,反

く 力 はつ

り 合って

い

る。 い い か え れ ば,各節点

０となる。

点A,Bで

支 え られ た トラ ス で あ る 。 点 Ｃ に100

力RA,RBと,各

組 子 に 発 生 す る 応 力 の 大 き さ,種

類(引 張 力 か 圧 縮 力 か)を 求 め よ。   〔考 え 方 〕 各 節 点 で は,つ 水 平 分 力 の 和,お い 。 た だ し,注 働 き,つ

り合 っ て い るの で,各

よ び 同 じ く垂 直 分 力 の 和 が,そ

節 点 ご と に働 い て い る全 部 の 力 の れ ぞ れ ０に な る こ と を 考 え れ ば よ

意 し な け れ ば な ら な い の は 正 負 の 符 号 の 用 い 方 で あ る。 物 体 に 外 力 が

り合 う と きは,物

とか ら,符 号 は 一 般 に,圧 対 す る応 力 を+と

体 内 に 外 力 と大 き さ 等 し く,反 対 向 きの 応 力 が 発 生 す る こ 縮 力 を+,引

張 力 を-,圧

縮 に 対 す る応 力 を-,引

張 りに

して 用 い る。

  〔 解 き 方 〕 点A,Bの

反 力 をRA,RBと

す れ ば,荷

重 の 作 用 線 がABの

中 点 を通

るか ら, (１)

(ａ) (ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

図1・90

点 Ａ の つ り合 い(節

点 よ り右 を正,左

を 負,上

を 正,下

を 負 で 表 す)

(水平 方 向)(図1・90(b))(２)

(垂直方向)(３) 式(２)か ら,

(４) 式(３)か ら,

(圧縮)(５) 式(５)を 式(４)へ 代 入 し て,

(引張 り) 点 Ｃ の つ り合 い (水平 方 向)(図1・90(c))(６)

(垂直 方 向)(７) 式(６)か ら,

式(７)か ら,

点 Ｄ の つ り合 い (引張 り) 反 力 は 点A,Bと

答

(

BDと

もに50N,応

も に86.6N(引

力 はAC100N(圧

張 り),BC100N(圧

縮),CD0(こ

縮),AD, の組 子

は力 学上 不要 で あ る)

例 題1・30図1・91に

よ り,組

子AC,BCに

発 生 す る 応 力 の種 類 と大 き さ を

求 め よ。 〔考 え 方〕 点 Ｃ に お け る 力 の つ り合 い を 考 え る。

〔解き 方〕 水 平方 向 のつ り合 い

(１)

垂 直 方向 のつ り合 い

(２)

式(１)-式(２)か

ら, (３)

図1・91

(圧縮) こ れ を 式(１)へ 代 入 す る と,

(引 張 り) 答(各

応 力 はAC;9659N(引

)

張 り),BC;13660N(圧

縮))

例

題1・31

図1・92に

〔 考 え 方 〕 点C,Dに

よ り,各

組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ 。

お け る力 の つ り合 い を考 え る。

〔解 さ 方 〕 点 Ｃ の つ り合 い

図1・92

(水平方向)(１) (垂直方向)(２) 式(２)か

ら,

(引 張 り) これ を 式(１)に 代 入 し て, (圧縮) 点 Ｄ の つ り合 い

(水平 方向)(３) (垂直方 向)(４) 式(４)か

ら,

(圧縮)

こ れ を 式(３)に 代 入 して,

(引 張 り)

答

各 応 力 はAD;2732N(引

(

BC;1000N(圧

例 題1・32図1・93で,各

張 り),BD;2000N(圧 縮),DC;1414N(引

縮)

張 り)

)

組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ 。

図1・93

  〔考 え方 〕 順 序 と して,点

Ｄ,点

Ｃ の 順 に つ り合 い を考 え る。 なぜ な ら,CDの

力 が わ か っ て い な い か ら。 〔解 き方 〕 点 Ｄ の つ り合 い

(水平方向)(１) (垂直方向)(２) 式(２)か

ら,

(圧 縮) こ れ を 式(１)に 代 入 して, (引 張 り) 点 Ｃ の つ り合 い

(水平方 向)(３) (垂直方 向)(４) 式(４)か

ら,

(引 張 り)

応

こ れ を 式(３)に 代 入 して,

答

各 応 力 はAD;866N(引

(

BC;2598N(圧

例 題1・33図1・94に

よ り,反

類 を 求 め よ。 な お,点

Ｂ は,こ

張 り),  AC;2000N(引 縮),CD;1000N(圧

力RA,RBお

縮)

張 り)

)

よ び各 組 子 の 応 力 の 大 き さ と種

ろ で支 持 され て い る もの とす る。

図1・94

  〔考 え方 〕 点 Ａ の つ り合 い で は,未

知 数 が 三 つ(FAD,FAE,FAB)あ

式(連 立 方 程 式)で は 解 け な い 。 そ こ で,点

る の で,二

つの

Ｄ の つ り合 い か ら求 め る の が よ い 。

〔 解 き方 〕 点 Ｄ の つ り合 い

式(１)よ

-FAD

cos

60°+F

-FAD

sin 60°-FDE

DE cos sin

30°=0(水 30°-400=0(垂

平 方 向)(１) 直 方 向)(２)

り,

(３)

式(2)よ

り,

(４) 式(3)+√3×

式(４)か

ら,

(圧縮) こ れ を 式(３)に 代 入 して,

(圧縮) 点 Ａ の つ り合 い FAB+FAE FAE 一 方

,反

Sin

cos

30°+FAD

30°+FAD

cos

60°=0(水

Sin 60°+RA=0(垂

(５)

平 方 向)

(６)

直 方 向)

力 は,

(対称 形) ま た,式(５)か

(７)

ら, (８)

式(６)か

ら, (９)

よ り,式(９)か

ら,

こ れ を式 ８ に代 入 して,

同 様 に し て,点 FADと

Ｃ の つ り 合 い か らFDEと

同 じ く,FBC=-346〔N〕(圧

Ｂ 点 の つ り合 い か ら,FAEと 反 力 はRA,RBと

答

(

DE,CE;200N(圧

同 じ く,FCE=-200〔N〕(圧

縮)

縮) 同 じ く,FBE=-200〔N〕(圧 も に400N,各

縮)

縮),AE,BE;200N(圧

組 子 の 応 力 はAD,BC;346N(圧 縮),AB;346N(引

縮) 張 り)

)

〔注 〕

Ｅ 点 の つ り合 い は 考 え な か っ た が,計

BEは,い

ず れ も200Nの

圧 縮 で,合

算 の 結 果 か ら 組 子DE,CE,AE,

力 が0と

な る こ とが わ か る。 こ の よ う に,

  トラ ス の 計 算 で 用 い な か っ た 節 点 に つ い て も,つ 問 題1・30図1・95に

示 す トラ ス の,各

  た だ し,Ｂ 点 に は 荷 重100Nが

り合 い を確 か め て み る と よ い 。

組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を求 め よ。

か か っ て い る もの と し,組 子 の 重 さ は 考 え な い も

の とす る。 各 組 子 の 応 力 はAB;100N(引

答

張 り),BC;173.2N(圧

AC;173.2N(圧

縮),AD;200N(引

CD;173.2N(圧

縮),CE;173.2N(圧

（

縮),

張 り), 縮)

)

図1・95

問 題1・31図1・96の 組 子AB,BCの

よ う に,荷

重100Nの

台 の 脚 部 を トラ ス に し て 支 え た と き,

応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ。 た だ し,平

面 的 に考 え る もの とす

る。

図1・96

答   (各 組 子 の 応 力 はAB;86.6N(圧

縮),BC;50N(引

張 り))

問 題1・32図1・97は,前

問 の ２支 点 を組 子BEで

  こ の 場 合 の 組 子AB,BC,BEの 答(各

結 ん だ場 合 を示 して い る。

応 力 の 大 き さ と種 類 を求 め よ 。

組 子 の 応 力 はAB;38.5N(圧

縮),BC;33-3N(圧

縮),BE;48.1N(引

張 り))

図1・97

〔３〕

トラ ス の 図 式 に よ る解 き 方

(ａ)バ

ウの 記 号 法

図1.98(a)の

よ う に,力F1,F2,…

… の 作 用 線 で 区 切 ら れ た 場 所 に Ａ,

(ａ)

(ｂ) 図1・98

Ｂ,… A,Bに F2の

… の 記 号 を つ け,図(ｂ)の

よ う に,F1よ

は さ ま れ た Ｆ1の ベ ク トル に はab,同 ベ ク トル に はbc,…

… と,場

り 力 の 多 角 形 を 描 き,場 じ くB,Cに

所

は さ まれ た

所 と力 を 関連 づ け た 記 号 を用 い て 図 の

よ うに 表 す 方 法 をバ ウ の 記 号 法 とい う。

(ｂ)支

点 の 反 力 の 求 め 方(図 式 に よ る)

図1・99(a),(b),(c),(d)に

よ り,反

力R1，R2を

次 の よ うに して 求 め る。

(ａ) (ｃ)

(ｄ)

(注):

(

A,B,…,a,b,…

は

)

バ ウ の 記号 法 に よ る 。

(ｂ) 図1・99

①

荷 重 の ベ ク トルabを

引 く(図(ｃ))。

②

Ｗ の ベ ク ト ル の 横 に 任 意 の 点 Ｏ を と り,線

分Oa,Obを

引 く(図

(ｃ))。

③R1の

作 用 線 上 に 任 意 の 点 １を も うけ,Ｗ

平 行 な1-2を ④2よ

りR2の

の 作 用 線 ま で 線 分Oaに

引 く(図(ｂ))。 作 用 線 ま で,線

分bOに

平 行 な 線 分2-3を

引 く(図

(ｂ))。 ⑤1と ⑥

３ を 線 分 で 結 ぶ(図(ｂ))。 線 分1-3に

平 行 な 線 分Ocを

で き 上 っ た ベ ク ト ルca,bcは,反 (ｄ))。

引 く(図(ｃ))。 力R1,R2の

大 き さ を 示 す(図

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 図1・100に ベ ク トルOa,bOで -2方

向 で

,Ｗ

お い て,①

の 分 力 のOaと

向 で Ｗ の 分 力Obと

R1,同

②R1は

つ り合 う 力 お よ び 線 分1-3方 ③R2も

つ り合 う 力 お よ び 線 分1-3方

力 と に 置 き 換 え ら れ る(図(a),(d))。 は,R1,R2の

ク トルab)は,

置 き 換 え ら れ る(力 の 三 角 形,図(a),(b))。

と つ り 合 う 力 と に 置 き 換 え ら れ る(図(a),(c))。 -3方

荷 重 Ｗ(ベ

じ くベ ク トルcO,Obの

向 でR2の

合 力bcがR2と

分 力

同 様 に し て,線

分2

向 で の 分 力 とつ り合 う

④ 結 果 と し て 線 分1-3に

互 い に 打 ち 消 し合 う 分 力 と な り,ベ

線 分1

平 行 な 線Oc

ク トルaO,Ocの

合 力caが

な る こ と が わ か る(図(a),(c),

(d))。

(ｂ)

(ｃ) (ｄ)

(ａ) 図1・100

(ｃ)ト

ラ ス に働 く力 の 求 め 方(図 式 に よ る)

図1・101(a)で,ト

ラ ス に 働 く力 の,図

式 に よ る 解 き 方 を 示 せ ば,次

の よ

う に な る。

①

各 力 の 作 用 線 で 区 切 ら れ た 場 所 にA,B,C,Dの

記 号 を入 れ る

(図(ｂ))。 ②

バ ウ の 記 号 法 に よ り,大

き さの わ か っ た力 を含 む 節 点 か ら順 次 力 の

  多角 形 を 次 の 要 領 で 作 って い く。 節 点3

ab…

… 鉛 直,ad…

… 右60°

上,bd…

… 右30°

下(図(ｃ))

節 点1ac…

… 鉛 直,ad…

節 点2bd…

… 左30° 上, dc… … 水 平,  bc… … 垂 直   (図(ｅ))

完 成 図 に よ りＷ(ベ

… 右60°

ク トルab)の

上,dc…

… 水 平(図(ｄ))

長 さ を 基 準 に,各

矢 印 の 長 さ を 測 っ て,

各 応 力,各

反 力 の 値 を 求 め る こ とが で き る(図(ｆ))。

  な お,矢

印 の 向 き は,そ

(-),内

の 節 点 で 各 組 の 応 力 を示 す か ら,外

向 き は 引 張 り(+)を

向 きは 圧 縮

表す。

(ｅ)節

点 ２

(ａ)

(ｃ)節

点３

(ｆ)完 成 図 (ｂ) 図1・101

例 題1・34図1・102(a)の

ト ラ ス で,反

さ と種 類 を 図 式 で 求 め よ 。 た だ し,Ｗ   〔 考え 方〕

(ｄ)節 点１

力R1,R2お は100Nと

よび各 組子 の 応力 の 大 き す る。

力 の 大 き さが 与 え ら れ て い る 節 点 の 位 置 を考 え た う え で,解

序 を 決 め る。 こ の 問 題 の 場 合 は,荷

重 Ｗ の か か る 節 点 は,力

く節 点 の 順

の 多角 形 が 四 辺 形 で 作

図 で き な い か ら,反 力 か ら求 め る と よ い 。 〔解 き 方

〕 ①

図(ｂ)の

に 適 当 な 番 号1,2,3,4を ②

図1・99の

よ う に 右 ま わ り に 区 域A,B,C,D,Eを

記 入 し,節

点

つ け る。

方 法 で,図1・102(b),(c)を

作 る と,ベ

ク トルcbはR1を,ベ

ク トル

(ｃ) (ａ)

(ｄ)

(ｅ)

(ｆ)

(ｂ) 図1・102

acはR2を ③

表 す。

節 点1∼4に

従 っ て,力

ベ ク トルabの め,矢

答

の 多 角 形 を 作 る(図(d),(e),(f))。

長 さ を 基 準 に,各

ベ ク トル の 大 き さ を 測 っ て ,そ

れ ら の 値 を求

印 の 向 き で応 力 の種 類 を知 る こ とが で き る。

反 力ac(R2)75N,反

力cd(R1)25N,各

(

(圧 縮),ce86.6N(圧

縮),ea43.3N(引

応 力 はbd43.3N(引 張 り),de100N(引

(c)節

(ｄ)節112

(ｅ)節

図1・103

張 り)

(ｆ)完 成 図

点 １

(a)

(b)

張 り),dc50N

点3,4

)

例 題1・35図1・103(a)の

トラ ス で 反 力,組

子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を,そ

れ

ぞ れ 図 式 に よ って 求 め よ。   〔考 え方 〕 作 図 の順 を考 え て 節 点 に 番 号 を つ け るの も よ い 。 区 域 の 符 号 は 壁 の と こ ろ で ２つ に 分 か れ な い こ と に 注 意 す る。 〔解 き 方 〕

500Nの

図1・103(b),(c),(d),(e),(f)の

よ うに 作 図 を進 め る。

ベ ク トル を基 準 に 各 ベ ク トル を測 って,次

答

ab(反

力R3)2790N(引

(

張 り),da(反

各 応 力 はbe866N(引

例 題1・36図1・94の

の 値 を 知 る こ とが で き る。

張 り),ae

ト ラ ス で,節

力R4)2600N(圧

2000N(引

縮),

張 り),ec

点 Ｄ の 荷 重 だ け600Nに

1000N(圧

縮)

)

変 え た場 合 図 式

に よ り反 力,組 子 の 応 力 を求 め よ 。

(ｃ)節

(ａ)

(ｅ)節

点 １

(ｄ)節

点 ２

(ｂ)

点 ３

(ｆ)節

点 ４

(ｇ)節 点 ５

(ｈ)完 成 図

図1・104

  〔考 え方 〕 こ の 場 合 は,手

始 め に 反 力 を求 め て か ら,解

きや す い 節 点 の 順 を考 え る

の が よい。 〔解 き 方 〕

図1・104(a),(b)の

場 合 は,ベ

ク ト ルab,bcの

和 を 作 り(図(ｂ)),各

力

の 三 角 形 を 作 っ て か ら,R2の aO,bO,cOに

作 用 線 上 よ り600N,400N,R5の

そ れ ぞ れ 平 行 な線 分 を 引 き(図(a)),R2の

い た 線 分 に 平 行 な線dOを

引 く と(図(ｂ)),ベ

各 作 用 線 の順 に

出 発 点 か らR5の

ク トルda,cdは

終 点 に引

そ れ ぞ れR2,R5を

示

す。  以 下,節

点1∼5に

従 っ て 解 く と(図(c)∼(g)),完

っ て値 を 求 め る と,次

の答 えの よ うにな る。

反 力R2;550N,R5;450N,応

答

(

eg;200N(圧 346N(圧

力ae;520N(圧

縮),gd;433N(引

反 力R3,R4の

題1・31の

（

Ｎ(圧

図1・92と

張 り),反

力R3;2730N(引

縮),ad;2000 張 り),

縮)

図1・105

問 題1・34図1・106の

)

同 じ も の で あ る 。 今 度 は,図

張 り),cd;1000N(圧

縮),bd;1414N(引

R4;2910N(圧

縮),fc;

大 き さ と種 類 を求 め よ 。

各 組 子 の 応 力ab;2730N(引

答

縮),

縮)

組 子 は,例

式 に よ り,各 組 子,各

縮),eb;300N(圧

張 り),bf;200M(圧

縮)gf;300N(圧

問 題1・33図1.105の

成 図(ｈ)を 得 る。 各 ベ ク トル を 測

よ う な トラ ス の 各 組 子 に 働 く各 応 力 の 大 き さ と 反 力R5,R6

図1・106

）

の 大 き さ を 図 式 に よ り求 め よ 。 ab(反

答

力R6);250N(圧

(

縮),bc(反

応 力ad;250N(圧

af;200N(圧

縮),de;86.6N(圧 縮),ce;173N(引

力R5);150N(引 縮),ef;173N(圧 張 り),bd;0,cf;173N(引

張 り), 縮), 張 り)

)

1・6  物 体 の 重 心

〔１〕   重 心 の位 置

  物 体 を 多数 の小 部 分 の 集 ま り とみ な す と き,各 小 部 分 に働 く重 力 の 合 力 の 着 力 点 を重 心 とい う。   重 心 の位 置 は,一 般 に,こ

の 合 力 の 着 力 点 の座 標 で 表 す こ とが で き る。

  い ま小 部 分 の 重 さ(重 力 の 大 き さ と し て)を 図1・107の

よ う に,

  これ らの 各 座 標 を,

  物 体 の 重 さ(重 力 の 大 き さ)を,

  重 心 の座 標 を, 図1.107

と す れ ば, ｘ 軸 の ま わ りの モ ー メン ト ｙ軸 の ま わ りの モ ー メン ト

重 心 の位 置 は, *  ｘ バ ー

,ｙ

バ ー と読 む。

(1・29)

〔注 〕 密 度 が 一 定 な 物 体 の と き は Ｗ お よ びw1,w2,w3… 置 き換 え る こ と が で き,ま

た,密

… は,そ

れ ぞれ体 積 に

度 と厚 さ が 一 定 な物 体 の と き は,同

じ くそ れ ぞ

れ 面 積 に 置 き換 え る こ とが で き る。

例 題1・37 

300㎜

の 棒 の 両 端 に,重

力 の 大 き さ10N,20Nの

小物 体 をつ

け た 機 械 の 部 品 が あ る 。 棒 の 目 方 を 無 視 で き る も の と す れ ば,重 10Nの

側 か ら い く らの と こ ろ に な るか 。

  〔考 え 方 〕 Ｘ 軸,Ｙ

軸 を ど の よ うな 位 置 に し た ら よ い か を考 え る。

  〔解 き 方 〕 Ｘ 軸 を棒 の 軸 心 に 置 き,小

物 体10Nの

中 心 を 原 点,小

+側 と し,Ｙ 軸 は 原 点 を通 り Ｘ 軸 に 垂 直 とす れ ば,重

答   (重 心 の 位 置 は棒 の 軸 心 上 で,10N側

問

題1・35図1・108の

10Nで,こ

心 の位 置 は

よ う に,３

よ り20N側

個 の 鉄 球A,B,Cが,そ

に 向 い200㎜

間 が200mm,A-C球

間 が400㎜

の 位 置 は ど こ に 位 置 す る か 。 軸 心A-B,A-Cか 答   (A-Bよ

り,Ｃ

の とこ ろ)

角 をは さむ各 球

で あ る とす れ ば,全

体 の 重心

らの距 離 で示せ 。

側 に33.3㎜,A-Cよ

図1・108

り,

れ ぞ れ50N,60N,

れ らが 直 角 三 角 形 の 形 に 棒 で つ な い で あ る 。 こ こ で,直

間 の 距 離 はA-B球

物 体20Nを

心 の 位 置 は,式(1・29)よ

り,Ｂ

側 に100㎜)

〔２〕  簡 単 な 形 の重 心 の 求 め 方 前 頁 〔１〕の 〔注 〕に よ り,重 さ の一 様 な物 体(重 さの か わ りに体 積 が使 え る)あ る い は,重

さ が 一 様 で厚 み の 一 定 な 平 面 形(重 さの か わ りに 面 積 が 使 え る)に つ

いて 簡 単 な形 の 重 心 を求 め て み よ う。

(ａ)直 線 形 (ｂ)弓

形 (ｃ)円 弧

(ｄ)正 方 形 ・長 方 形 ・平 行 四 辺 形 ・ひ し 形 (ｅ)三 角 形

(ｆ)円 (ｇ)扇

(ｉ)直 方 体

(ｊ)球

形

(ｋ)半 球 図1・109

(ｈ)半 円

(ｌ)す い 形

(ａ)

(ｃ)

(ｂ)

(ｄ) 図1・110

な お こ こ で,図1.109に 〔注 〕 一 般 に,こ

「基 本 形 の 重 心 」 を あ げ て お こ う 。

れ ら の 図 形 の 重 心 を 利 用 して 解 く場 合 が 多 い の で,よ

く覚 え て お

こ う。

例 題1・38図1・110(a)∼(d)は,い

ず れ も均 質 な 板 ま た は 立 体 で あ る 。 そ れ ぞ

れ の 重 心 を求 め よ。   〔考 え 方 〕   い ず れ も,座 標 軸 の 位 置 の 決 め 方 ひ とつ で,計 に も な る か ら,よ え,座

く考 え て 決 め る。 要 点 は,な

る べ く 単 純 な 図 形 の 組 合 せ と して 考

標 軸 も 重 心 の 位 置 を示 しや す い と こ ろ に 決 め る の が よ い(単 位 に 注 意)。

  図 形 が 空 間 を も つ 場 合(た と え ば,図(ａ)で の 三 角 形,図(ｃ)で を+,空

算 が 容 易 に も,め ん ど う

は,二

は,80×90の

つ の 円 の よ うに),空

間 図 形 の 重 心 の モ ー メ ン トを-と

長 方 形,図(ｂ)で

は,み

ぞ

間 が な い もの と した 重 心 の モ ー メ ン ト

し て,代

数 和 を考 え れ ば よ い(図1・111参

照)。   〔 解 き 方 〕(ａ)90×30と10×90の を Ｘ 軸 と し,重 心 の 座 標 を(x,y)と

二 つ の 長 方 形 に 分 け,左 す れ ば,

端 の 縦 線 を Ｙ 軸,底

辺

図1・111

答(左  〔 別   解 〕90×120と80×90の

端 よ り30㎜

で,底

二 つ の 長 方 形 に分 け,前

辺 よ り35mmの

と こ ろ)

と同 様 に 座 標 軸 を 取 る と,

次 の よ う に 同 じ答 が 得 られ る。

  (ｂ)底 辺 を Ｘ 軸,縦

の 中 心 線 を Ｙ 軸 とす れ ば,Ｙ

軸 に 対 し て 対 称 形 で あ る か ら重 心

は Ｙ 軸 上 に あ る。 Ｇ の 底 辺 か ら の 座 標 を ｙ,長 方 形 の 重 心Gl,三 す れ ば,図1・112(a),(b),(c)の

(ａ)

角 形 の 重 心G2と

よ うに な り,

(ｂ) 図1・112

(ｃ)

答   (中 心 線 上 で 底 辺 か ら約17.1㎜)   (ｃ)図1.110(c)か 線 を Ｙ 軸,重

ら 重 心 Ｇ は,横

中 心 線 上 に あ る。 こ の 中 心 線 を Ｘ 軸 と し,左 端 縦

心 の Ｘ 座 標 を ｘ とす れ ば,

答   (中 心 線 上 左 端 よ り,96.3㎜   (ｄ)重 心 Ｇ は 中 心 線 上 に あ る(図1・110(d))。 考 え,中

心 線 上 の 左 端 を 原 点 と し,Ｇ

標 を そ れ ぞ れx1,x2,x3,同

立 体 を 半 球,正

の 座 標 を ｘ,半

じ く体 積 をvi,v2,v3と

四 角 柱,円

球 ・正 四 角 柱

の と こ ろ) 柱 に分 け て

・円 柱 の 重 心 の 座

す れ ば,

答   (中 心 線 上 で,左 側 頭 の 先 端 か ら32.3㎜

問 題1・36図1・113は,直

径200㎜,長

さ400㎜

図1・113

の 均 質 の 丸 棒 で,そ

の と こ ろ)

の右端か

ら同 心 円 で 直 径100㎜,奥 線 上 に あ る は ず で あ る が,そ

行 き300㎜

の 穴 あけ を した もので あ る。重 心 はセ ン タ

れ は左 端 か ら何 ㎜

の とこ ろにな るか。 答   (左端 よ り188.5㎜)

問 題1・37図1.114は,均

質 で 一 定 な 肉 厚 の パ イ プ の 両 端 を,中

に 線 対 称 に 曲 げ た も の で あ る。 両 端 の 円 弧 の 半 径 は100㎜,中 ㎜,両 に何 ㎜

弧 の 先 に は さ ら に100 ㎜

心 角90° の 円 弧 状 心 間 の 距 離 は300

の 直 線 部 が あ る。 重 心 の 位 置 は Ａ 点 か ら ど ち ら

に な るか 。 答   (Ａ よ り中 心 線 上 で 右 へ50.9㎜

図1・114

の と こ ろ)

２

運

動 2・1運

動

物 体 が 時 間 と と もに 位 置 を変 え る こ と を運 動 とい う。 こ こ で は,運 動 に つ い て 考 え て み よ う。

〔１〕   変位 と経 路

  物 体 が 位 置 を変 え る こ とを変 位 とい い,そ の 通 っ た路 を経 路 とい う。 変 位 は,始

点 と終 点 の 位 置 で 決 ま り,大 き さ ・方 向(向 き)を もつ の で ベ ク ト

ル 量 で あ る(図2・1)。

図2・1 

変 位 の ベ ク トルAB

図2・2 

図2・1に お い て,変 位 の 中間 点 を考 え,図2・2に トルABは,変

位 のベ ク トルACとCBと

変 位 ベ ク トル の 三 角 形

置 き換 え る と,変 位 の ベ ク

の 和 とな る こ とが 理 解 で き よ う。

〔２〕   直 線 運 動 と曲 線 運 動 (ａ)速

度 と相 対 速 度

時 間 に対 す る変 位 の 割 合 を速 度 と い う。 速 度 は,大

き さ,方 向(向 き)を

もつ の で ベ ク トル量 で あ る。 速 度 が 一 定 の 運 動 を 等速 度 運 動 とい い,時

間

ｔの 間 に 距 離 Ｓ だ け 動 く と きの 等 速 度 運 動 の 速 度 ｖは,

(2.1)   あ る物 体 Ｂ を 基 準 に 物 体 Ａ の 運 動 をみ る と き,こ の 運 動 を Ｂ に 対 す る 相 対 運 動 とい い,こ

の 速 度 を相 対 速 度 とい う。

  《直 進 す る Ａ 列 車 の Ｂ 列 車 に対 す る相 対 速 度 》   直 進 す る ２本 の 列 車A,Bが,角 (a))相

θの 大 き さ で 交 差 す る場 合(図2・3

対 速 度 を ｖ とす れ ば三 平 方(ピ タ ゴ ラ ス)の 定理 よ り(図2・3(b))

(2.2) 〔注 〕  ｖの 向 き を求 め る に は 式(1.25)を

応用 す る とよい。

(ａ)

(ｂ)

(ｅ) (ｃ)

(ｄ)

図2・3

①

よ り

θ=0°(平 行 で 同 じ 向 き の 場 合)式(2・2)で, (図2・3(c)参

照),

(2.2)' ②

θ=90°(直

よ り(図2・3(d)

交 す る 場 合)式(2・3)で,

参 照),

(2.2)" ③

θ=180°(平 3(e)参

よ り(図2・

行 で 対 向 す る 場 合)式(2・2)で,

照),

(2.2)"'   速 度 の 方 向(向 き)を 考 え な い で,大 う。 速 さ の 単 位 はm/s,m/hの

き さ の み を問 題 に す る場 合 を 速 さ とい

よ う に 表 す 。 速 度 が 一 定 で な い と き,式(2・1)

の ｖは 平 均 の 速 さ(直 線 運 動 で は 平 均 速 度 と い え る)を 表 す 。

《変 化 す る速 度 》 時 刻t0を 含 む 短 か い 時 間 ⊿ｔの 間 に,距 離 ⊿Ｓ だ け動 い た とす れ ば,〓は, 時 間 ⊿ｔの 間 の 平 均 速 さ で あ る(図2・4(a))。

さ くと る と〓

し か し,こ

こ で ⊿ｔを き わ め て 小

は 時 刻t0に お け る速 度 を表 し,方 向 は 経 路 の 接 線 と一 致 す る

(図2・4(b))。

(ｂ)

(ａ) 図2・4

この よ う な

例題 2・1

を 時 刻t0に

お け る速 度 とい う。

地 球 の 周 を40000㎞

とす れ ば,ま

る １ 日で １周 す るに は 何 ㎞/

hの 速 さ が 必 要 か。 〔 考 え 方 〕 １日 を 時 間 に 直 して 考 え る。 〔解 き方 〕 答  (1667㎞/h)

例題 2・2

音 の 速 さ は 常 温 で 約340m/sで

〔考 え 方 〕 km㎞

す るため

あ る 。 こ れ は 何 ㎞/hに

倍 し,時 間 に 直 す ため に3600倍

あ た るか 。

す る。

〔 解 き方〕 答  (1224㎞/h)

例題 2.3 ら 考 え て,飛

音 速 と 同 じ速 さ を マ ッハ １ と 呼 ん で い る が,例 行 機 で24時

間 に 地 球 １周 す る に は,マ

題2・1,例

題2・2か

ッハ い く ら で 飛 べ ば よ い

か。 〔考 え方 〕 音 速 で 地 球 の 周 の 大 き さ を 割 れ ば よ い｡地

球 の 周:４

万 ㎞,音

速(常

温):340m/s。

〔解 き方 〕

(マ ッ ハ) 答 

例題 2.4

速 度20㎞/hの

車 中 で,車

(マ ッ ハ1.362)

幅 の 方 向(進 行 方 向 に 直 角)に4㎞/h

で 歩 く人 が い る。 この 人 の 地 面 に対 す る相 対 速 度 は い く らか 。 〔 考 え方 〕 式(2・2)を

利 用 す る。

〔 解 き方 〕 答  (20.4㎞/h)

例題

2・5

２隻 の モ ー タ ー ボ ー ト が30° の 開 き で,と

も に60㎞/hの

速 度 で

走 っ て い る 。 ボ ー ト間 の 相 対 速 度 を 求 め よ 。 〔考 え 方 〕 式(2・2)と,他

に ラ ミ ー の 定 理 式(1・25)の

〔解 き方 〕 解 Ｉ式(2・2)よ

解

Ⅱ式(1・25)よ

応 用 が あ る。

り

り

(ラ ミー の 定 理)

答  (互 い に31.1㎞/hの

問題 2・1

音 の 速 さ は 空 気 中 で 常 温 で は 約340m/sで,海

約 ５倍 で あ る と い う。 い ま,図2・5の

よ う に,船

速 さ で 遠 ざ か る)

水 中 で は 空気 中の 場 合 の

か ら 海 底 に 向 か っ て 音 を発 射 し,

0.5秒 後 に そ の 音 が 海 底 か ら は ね 返 っ て き た 。 海 の 深 さ は 約 何 ｍ か 。 答  (425m)

図2・6 図2・5

問題

2・2

図2・6に 示 す よ う に,あ

回 転(2500rpm)す

る と き,こ

る 飛 行 機 の 直 径2mの

プ ロ ペ ラ が,毎

分2500

の プ ロ ペ ラ の 周 速 度(外 周 先 端 部 の 周 速 度)は 何

㎞/h

に な るか。 答  (942㎞/h)

問題 2.3 200㎞

図2・7の

1.8(音 速 の1.8倍)で m/sと

よ う に,フ

ラ ン ス の 新 幹 線(TGV)が,い

ま,東

へ 向か って 時速

で 走 っ て い る 。 ち ょ う ど そ の 上 空 を 超 音 速 ジ ェ ッ ト機(コ ン コ ル ド)が マ ッハ

す れ ば,新

北 東 か ら南 西 の 方 向 に 向 か っ て 交 差 し た 。 こ の 時 の 音 速 を340 幹 線 と ジ ェ ッ ト機 との 相 対 速 度 は 何 ㎞/hか｡ 答  (2349㎞/h)

図2・7

問題

2.4

図2・8

地 球 を 完 全 な 球 と考 え た と き,自 転 に よ る 赤 道 上 の 周 速 度 は,例

よ り約1667km/hで

あ っ た 。 図2・8の

よ う に,北

緯60度

題2・1

の あ る地 点 の 同 じ く自転

に よ る周 速 度 は い く らか｡ 答  (834㎞/h)

問題 2.5

100mを10秒

で 走 る 男 が い る。 こ の 男 は 時 速 何

㎞ の 速 さに相 当す るか。

答   (36㎞/h)

図2・9

(ｂ)

加

速

度

  速 度 の時 間 に 対 す る変 化 の 割 合 を加 速 度 とい う。 加 速 度 もベ ク トル 量 で あ る。 単 位 は,毎 秒1m/sず

つ の 割 合 で 速 度 が 変 わ る と き,1m/s2の

よ

うに 表 す 。 加 速 度 が 一 定 の と き の運 動 を等 加 速 度 運 動 とい う。  加 速 度 は 増 加(+)の

場 合 と,減 少(-)の

場 合 とが あ る こ とに 注 意 す る。

  直 線 上 を 等 加 速 度 運 動 す る 物 体 の 速 度 が,時

間 ｔの 間 にv0か

ら ｖに 変 わ っ

た とす る と(図2・10(b)),

(ａ)等 速 度

(ｂ)等 加 速度 図2・10

加 速 度 αは,

(2.3) 終 速 度 ｖは,

(2.4) 時 間 ｔの 間 に動 い た 距 離 Ｓ は,平

均 速度

よ り

(図2・11),

(2.5) 図2・11 

加 速 度 と距 離

式(2・4),式(2・5)よ

り ｔ を 消 去 す れ ば,初

速,終

速,加

速 度,距

離 の 関 係 式

(2・6)が 得 られ る。

(2.6)

例題

2.6

５秒 間 に,10m/sの

速 度 を増 す 物 体 の 加 速 度 は い く ら か 。

〔考 え 方 〕 式(2・3)に よ る 。 式 の 意 味 を よ く理 解 す る 。 〔解 き方 〕 答 

例題

30㎞/hの

2・7

(2m/s2)

速 さの 自動 車 が ブ レー キ を か け て ３秒 間 で停 止 した 。

この 場 合 の加 速 度 は い く らか 。 〔考 え 方 〕 ㎞/hをm/sに

直 し て,式(2・3)に

代 入 す る。

〔解 き方 〕 加 速 度 を α とす れ ば,

答 

例題

2.8

30㎞/hで

急 ブ レー キ を か け て 停 止 まで に10mを

の 自動 車 が あ る。 同 じ能 力 で40㎞/hの 〔考 え方 〕 式(2・6)に よ り,ブ い て,同

(-2.78m/s2)

必 要 とす る 能 力

速 さか ら停 止 す る に は何m必

レ ー キ の 能 力(加 速 度)を 求 め,次

要 か。

に この加 速 度 を用

じ く式(2・6)か ら制 動 距 離 を求 め る 。

〔解 き方 〕

制 動 距 離 をＳ とす れ ば,

答   (17.75m)

〔注 〕 車 の 制 動 距 離 は,初 ㎞/hで10mの

速 の ２乗 に 比 例 す る こ と が わ か る 。 上 例 で は,初

制 動 距 離 が,初

速40km/hに

速30

な る と,10m×(40/30)2=17.78

〔m〕と な る。 研 究 し て み る と お も しろ い 。

問 題2・6初

速8m/sで10秒

度 は い く らか 。 さ ら に,そ

後 の 速 度 が20m/sの

等 加 速 度 運 動 を す る物 体 の 加 速

の間 の走 っ た距離 は い くらか。 答   (1.2m/s2,140m)

問 題2・7前

問 の 場 合 で,さ

らか 。 ま た,こ

ら に10秒 後,す

な わ ち,始

め か ら20秒

後 の速度 は い く

の 場 合 の 走 っ た 距 離 は い く らか 。 答   (32m/s,400m)

問 画2・8初

速2m/sの

度 が8m/sで

あ っ た とい う。 加 速 度 は い く ら か 。

等 加 速 度 運 動 をす る物 体 が,ち

ょ う ど6m進

ん だ瞬 間 に速

答 

(ｃ)

(5m/s2)

落体の 運動

  空 気 の な い と こ ろ(真 空 中)で は,物 は 地 球 の 重 力 に よ る も の で,こ

の 加 速 度 を 重 力 の 加 速 度 と い い,記

で 表 す 。 普 通g=9.8m/s2(980㎝/s2)と

表2・1 標 準 の ｇ の 値980.665㎝/s2(定

体 は 一 定 の 加 速 度 で 落 下 す る。 こ れ

して計 算 す る。

各 地 の 重 力 実 測 値(「 理 科 年 表 」か ら) 義:1901年

国 際 度 量 衡 総 会),東

京979.76319㎝/s2

号 ｇ

〔注 〕 空 気 中 で 落 下 す る物 体 は,空 が,近

気 抵 抗 を 受 け る た め,等

加 速度 運 動 では ない

似 的 に 等 加 速 度 運 動 とみ な す こ と に す る。 ま た,ｇ の 値 は 地 球 上 の 場 所 に

よ っ て,わ

ず か に 違 っ た値 を 示 す(表2・1)。

《静 止 状 態 か ら 自由 落 下 す る場 合 》   物 体 が 落 ち 始 め て か ら ｔ秒 後 の 速 度 を ｖ,落 の 初 速V0を

下 距 離 を ｈ と す れ ば,式(2・4)

０,α を ｇ と 置 き 換 え て,

(2.7)

v=gt 式(2・5)か

ら は,

(2・8)

式(2・6)か

ら,

(2.9) を 得 る。

《鉛 直 下 向 き に投 げ られ た 場 合 》 鉛 直 下 向 き に 投 げ ら れ た 場 合,初 式(2・4)か

速v0と

す れ ば,上

式 と 同 じ よ う に し て,

ら,

(2.10)

v=v0+gt 式(2・5)か

ら,

(2.11) 式(2・6)か

ら,

(2.12)

v2-v02=gh

《鉛 直 上 向 き に投 げ られ た 場 合 》   式(2・10)∼(2・12)で

は ｇ の 向 き が 反 対 向 き な の で,-ｇ

に 置 き換 え れ ば よ

い 。

例 題2・9橋

の 上 か ら,小 石 を静 止 の 状 態 か ら落 下 させ た ら3.5秒 で 地 面 に 達

し た 。 橋 の 高 さ は い く ら か 。 ま た,地

面 に 達 す る と きの 速 度 は い く らか 。 た だ

し,空

気 の 抵 抗 は な い も の と考 え る 。

〔考 え方 〕 橋 の 高 さ は 式(2・8),速

度 は 式(2・7)を 用 い て 解 く。

〔解 き方 〕 高 さ を ｈ,速 度 を ｖ とす れ ば,

答   (高 さ60m,速

例 題2・10あ

度34.3m/s)

る荷 物 をパ ラ シ ュー トで 落 下 させ た と き,着 地 速 度 は3mの

高

さ か ら 自 由 落 下 さ せ た の と 同 じ だ っ た と い う。 着 地 速 度 は い く ら に な る か 。 〔考 え 方 〕 与 え られ た 数 値,求

め よ う とす る数 値 を み て,必

要 な公 式 を 考 え れ ば よ

い 。

〔解 き 方 〕

初 速v0=0,高

さh=3m,g=9.8m/s2か

ら,終

速 ｖ は,

答 

例 題2.11秒

速5mで

(7.67m/s)

落 下 す るパ ラ シュ ー トの荷 物 が,着 地 す る 前 に 綱 が 切

れ て 落 ち た 。 綱 が 切 れ て か ら激 突 ま で ２秒 だ っ た。 綱 が 切 れ た と きの 高 さ と, 激 突 の 速 度 と を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 初 速5m/s,加

速 度9.8m/s2に

よ り ２秒 後 の 距 離 と 速 度 を 求 め る 式 を

考 え る° 〔解 き 方 〕

初 速v0=5m/s,時

間t=2s,g=9.8m/s2よ

り,

よ り,

答   (高 さ29.6m,速

例 題2・12初

速25m/sで,ボ

ー ル を 鉛 直 上 方 に 投 げ た と き,最

た 高 さ と,そ れ に 要 し た時 間 と を求 め よ。

度24.6m/s)

高 点 に達 し

〔考 え 方 〕

必 要 な 公 式 を 考 え る 。 な お,注

意 し な け れ ば な ら な い の は,ｇ

がマ イナ

ス に な る こ とで あ る。 〔解 き 方 〕

初 速v0=25m/s,終

速v=0,g=9.8m/s2よ

り,

こ れ よ り,

ま た,v=v0+(-g)tよ

り,

答   (高 さ31.9m,時

問 題2・9水

面 か ら 計 っ て 高 さ19.6mの

ら 自 然 落 下 さ せ る も の とす れ ば,何

位 置 か ら小 石 を 落 とす｡石

間2.55s)

は静 止 の状 態 か

秒 で 水 面 に達 す るか 。 た だ し,空 気 の 抵 抗 は 無 視

す る もの とす る。 答   (2s)

問 題2・10真

空 中 で,あ

る 物 体 を22.5mの

高 さ ま で 鉛 直 に 投 げ 上 げ る に は,秒

速何

ｍ の速 度 で投 げ上 げれ ば よいか。 答   (21m/s)

(ｄ)

放物運 動

  い ま ま で,物 体 を鉛 直上 方 に 投 げ 上 げ た場 合 の 運 動 に つ い て学 ん だ が,今 は 物 体 を水 平 や 斜 め に投 げ た 場 合 の 運 動 を考 え て み よ う。

度

  空 気 の な い と こ ろ(真 空 中)で は,物 体 が水 平 ま た は 斜 め に投 げ られ た と き,時 間 が た つ と と もに物 体 の 鉛 直 方 向 の分 速 度 は,重 力 の 加 速 度 ｇの 作 用 を受 け て 変 化 し,水 平 方 向 の 分 速 度 は 変 化 し な い。 この と き物 体 が 描 く 経 路 を 放 物 線 とい い,こ

の よ う な運 動 を放 物 運 動 とい う。

〔注 〕 落 体 の 場 合 と 同 じ よ う に,空 は な ら な い が,近

気 中 で は 抵 抗 を受 け る の で,正

しい放物 運動 に

似 的 に放 物 運 動 とみ な せ る。

《水 平 に投 げ ら れ た 物 体 の 放 物 運 動 》(図2・12)   水 平 方 向 の 移 動 距 離 ｘ は,初

速v0,経

過 時 間 ｔ と お け ば,V0=一

定 で,ｔ

に

比 例 し,

(2.13)

図2・12

水平に投げた物体の放物運動

  鉛 直 方 向 の移 動 距 離 ｙ は,初 速 ０,経 過 時 間 ｔ とお け ば,ｇ

に よ り等 加 速 度

運 動(落 体 の 運 動)と な っ て,

(2.14) とな る。

こ の 二 つ の 式 よ り ｔを消 去 す れ ば,水 平 に 投 げ た と きの放 物 線 の 方程 式

(2.15) が 得 られ る。

水平 方 向の分速度

時 間 ｔの 後 も変 化 な く;v0

鉛 直方 向の分速度

時 間 ｔの 後 の 速 度;gt

とな る か ら,時 間 ｔの 後 の 物 体 の 速 度 ｖ と,こ れ が 水 平 面 と の な す 角 θは,

ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 と三 角 比 か ら,次 の よ うに な る。 (2・16)

  《斜 め に投 げ られ た 物 体 の 放 物 運 動 》(図2・13)   水 平 面 との な す 角 ａで,斜 め 上 方 に 初 速v0で 物 体 が 投 げ ら れ た 場 合,経 時 間 を ｔとす れ ば,   水 平 方 向 の 移 動 距 離 ｘ は,式(2・13)と

図2・13斜

同 様 に,

め に 投 げ た 物体 の 放 物 運 動

x=(v0 cos a).t 鉛 直 方 向 の 移 動 距 離yは,式(2・5)で-gに

(2・17)

置 き 換 え, (2・18)

こ の 二 つ の 式 か ら ｔを消 去 す れ ば,こ

の物 体 の 経 路 を示 す 放 物 線 の 方 程 式 (2・19)

が 得 られ る。   次 に,経 過 時 間 ｔの 後 の 速 度 に つ い て 考 え て み よ う。   水 平 分 速 度vxは, vx=v0・cos

α

(2・20)

過

鉛 直 分 速 度vyは, (2・21)

最 高 点 に 達 し た 高 さymaxは,  と す れ ば,式(2・21)よ

vy=0と

り,

な る か ら,そ

れ ま で の 経 過 時 間 をt1

と な り,式(2・18)に

代 入 し て,

(2・22)

出 発 点 と 同 一 平 面 に 落 下 す る ま で の 時 間t2は,式(2・18)でy=0と

か ら 求 め ら れ る わ け で あ る。t2=0は,出

お き,

発 時 点 を 意 味 す る の で,こ

れ をはぶ

き, (2・23)

と な る。 こ れ を式(2・17)に 代 入 す れ ば,同 一 水 平 面 の 到 達 距 離 が 得 られ る。 これ よ り,  出 発 点 と同 一 平 面 に落 下 す る まで の 水平 到 達 距 離x2は, (2・24)

とな る。   水 平 到 達 距 離 の 最 大xmaxは,初 2a=90°,ゆ

え に, a=45°

速v0に

お い てsin

2a=1の

と き で あ る か ら,

の と き で, (2・25)

とな る。

*sin(α+β)=Sin

α ・cosβ+cos

α・sinβ で α=β

と お け ば,sin

2α=2sin

α.cos

α と な る。

例題

2・13高

体 は,投

度200mで,速

度90㎞/hの

ヘ リ コ プ ター か ら投 下 させ た 物

下 鉛 直 下 方 地 点 よ り前 方 何 ｍ の と こ ろ に 着 地 す る か 。

  〔考 え 方 〕200mの

自由 落 下 時 間 を 出 し,こ

れ を水 平 方 向 の 初 速 に 乗 じて 得 ら れ

る。   〔解 き方 〕200mの

自 由 落 下 時 間 ｔは,式(2・14)か

水 平 方 向 移 動 距 離 ｘは,式(2・13)か

ら,

ら,

答(160m前

例題

2・14水

平 面 と な す 上 向 き の 角(仰 角)60°

た 物 体 の ４s後 の 高 さ お よ び 水 平 分 速 度,鉛

に,初

速40m/sで

投 げ上 げ

直 分 速 度 を そ れ ぞ れ 求 め よ。

  〔考 え方 〕 初 速 の 鉛 直 分 速 度 に よ り,鉛 直 上 方 に 投 げ る場 合 の 式 で,時 を 求 め る 式 を 考 え る。 さ らに,経

方)

過 時 間 後 の 終 速 水 平 分 速 度,終

間 か ら高 さ

速 鉛 直分速 度 を求め

る。  〔 解 き方 〕 初 速v0,経

過 時 間 ｔ とお け ば,式(2・18)か

水 平 方 向 の 終 速 度vxは,初

ら,

速 水 平 分 速 度 に 等 しい か ら,

鉛 直 方 向 の 終 速 度vyは,式(2・21)か

ら,

(下 向 き) 答(水

例題

2・15ボ

ー ル を 投 げ て,河

平 分 速 度20m/s,鉛 幅40mの

直 分 速 度 下 向 き4.56m/s)

向 う岸 へ 届 くた め の 最 小 の 初 速 を

求め よ。  〔 考 え 方 〕 仰 角 ａ,初 速 ν0で,水 平 距 離 を 出 す た め に は,初

速 の 鉛 直 分 速 度 で,

鉛 直 上 方 に 投 げ 上 げ,最

高 点 に 達 し て 再 び 同 一 平 面 上 に落 下 す る ま で の 時 間 を 求 め,

これ を初速 水平分 速 度 に掛 けれ ば よい。   し か し,こ で,簡

こ で は 水 平 距 離 の 最 大 を考 え る こ と に 注 意 し た い 。 も ち ろ ん,式(2・25)

単 に 解 け る が,な

る べ く筋 道 を立 て,式

  〔 解 き 方 〕 同 一 平 面 落 下 ま で の 時 間t2は,仰

を作 り出 す 努 力 が ほ しい 。 角 ａ,初 速v0と

お け ば,式(2・23)か

ら,

し たが っ て,水

  こ れ よ り,水

面 距 離 はx2は,

平 距 離 の 最 大 値xmaxは,sin

2 a=1の

と き で あ る か ら,  a=45°

の と

き で,

と な る 。 数 値 を 代 入 し て,V0>0よ

り,

答(19.8m/s)

問題

2・11ピ

ッ チ ャ ー の 投 げ た ボ ー ル を,バ

だ 。 ボー ル の 初 速 は お よ そ何m/sか

ッ トで 打 っ た ら 仰 角30°

。 こ の 場 合,バ

で200m飛

ん

ッ トに 当 た っ た 高 さ は 無 視 す る

も の とす る。 答(47.6m/s)

問題

2・12い

ま,ゴ

ル フ で 飛 距 離 を160m出

し た い と思 う。 最 低 打 速 は い く らに す

れ ば よ い か 。 空 気 の 抵 抗 は な い もの とす る 。 答(39.6m/s)

(ｅ)円

運

動

  物 体 が 円 周 上 を 運 動 す る場 合,こ

れ を 円 運 動 とい い,速

さが 一 定 な 円運

動 を等 速 円 運 動 とい う。   《角速 度 と周 速 度 》(図2・14)   半 径 ｒの 円 運 動 をす る １点 が あ る。 い ま,こ の 点 が 時 間 ⊿tの 間 に Ｐ か ら Ｐ'に 移 り,そ の 中 心角 が ⊿θで あ っ た とす る。 こ の場 合,時

間 ⊿tの 間 の角 の

変 化 量 ⊿θ を 角速 度 とい い,次 の よ うに 表 す 。 (2・26)

  ま た,同 様 に ⊿tの 間 に運 動 す る １点 の変 位 量PP'(円

孤 の 長 さ)を 周 速 度 と

い う。 これ を ｖで 示せ ば, (2・27)

図2・14角

  こ こ で,⊿tを

無 限 に 小 さ く と れ ば,⊿

は 接 線 に 近 づ く。 こ れ よ り,そ

速度

θ も小 さ く な っ て,P, 

の 点 の 瞬 間 速 度 の 大 き さ はr・

P'を ω で,方

結ぶ 直線 向 は接

線 方 向 と な る。

〔注 〕rad(radian 

ラ ジ ア ン)は,角

さ の 円 弧 を と る と き,そ

の 単 位 で,1radは

円 周 上 に 半 径 と等 し い 長

の 弧 の 中 心 角 の 大 き さ に 当 た る 。 式 で 示 せ ば,図2・14

*記 号 ω(オ メ ガ と読 む)は 角 速 度 を表 し,単 位 はrad/s(ラ

ジ ア ン毎 秒)を

用 い る。

で,

〔rad〕 と な り,ゆ

え に,  PP'=r・

⊿θ と な る 。

と

回転 数 と角 速 度 との 関 係 は, な る。 た だ し,rpmは 径 Ｄ,回

毎 分 回 転 数(revolution

転 数N〔rpm〕

の と き,周

速 度 ｖは,次

per

minute)を

示 す 。 ま た,直

の よ うに な る。 (2・28)

  《角 加 速 度 》   時 間 に 対 す る角 速 度 の 変 化 の 割 合 を 角 加 速 度 とい う。 経 過 時 間 ⊿tの 間 に 角 速 度 が ⊿ω だ け 増 した とす れ ば,角 加 速 度 ω(オ メ ガ.ド ッ トと読 む)は, (2・29)

とな る。 単 位 はrad/s2で

ある。

  《等 速 円運 動 》   円周 上 を一 定 の角 速 度 で動 く物 体 の 運 動 を 等速 円 運 動 とい う。 等 速 円 運 動 で は,速

度 の 大 き さは 変 わ らず,そ

の 方 向 は た え ず 変 化 す る。 し た が っ て,加 速

度 が 生 じて い る。

(ｂ)

(ａ)

図2・15等

速 円 運動 の加 速 度

  こ の 加 速 度 の 大 き さ と方 向 を 求 め て み よ う 。 図2・15(a)で,き 時 間 ⊿tの 間 に,１ は,大

点 が Ｐ か ら Ｑ に 移 っ た と す れ ば,P,Q点

き さ が 等 し く,方

わ め て短 か い の 速 度vp,vQ

向 が ⊿θ だ け 違 う こ と が わ か る 。

  こ れ よ りベ ク トル 図 を作 れ ば,図(ｂ)の

よ う に な っ て,ベ

ク ト ルP'Q'の

変 化 が 生 じ た こ と に な る 。 ⊿θ を き わ め て 小 さ く す れ ば,P'Q'=O'P'・ く こ と が で き る(半 径 に 角 度 を 掛 け る と考 え る)。 速 度 変 化P'Q'は,こ の 加 速 度 を ａ と す れ ば,a・

⊿tと

な る か ら,vP=vQ=vと

速度

⊿θ と書 の とき

置 け ば,a・

⊿t=

v・⊿ θ と な る 。 ゆ え に,

v=r・

ω で あ る か ら,加

速 度 の 大 き さ ａ は,

(2・30)

  加 速 度 の 方 向 は,⊿ に 向 か う)で,こ

例題

2・16

θ が ご く小 さ い と きP'Q'の

方 向(vpに

直 角 で 円 の 中心 Ｏ

れ を 向 心 加 速 度 と呼 ん で い る 。

15rad/sは

  〔考 え 方 〕rpmは

何rpmか

。

毎 分 回 転 数 で あ る か ら,秒

を 分 に 直 す こ と 。 ま た,１

回 転 は2π

〔rad〕に な る こ と を 考 え れ ば よ い 。 〔解 き 方 〕

１ 回 転(360ｰ)は2π

〔rad〕で あ る か ら,15〔rad〕

は

回 転 。 こ れ を60倍

し て,

答(143.2rpm)

例題

2・17直

径100㎝

の ホ イ ー ル の 周 速 度 が200㎝/sで

あ る。 角 速 度 と毎

分 回 転 数 を求 め よ。   〔 考 え 方 〕 角 速 度 はrad/sで た,毎

分 回 転 数 は,

あ る か ら,１ 秒 当 た りの 角 の 変 化 量 と し て 考 え,ま よ り求 め ら れ る。

〔解 き方 〕 角 速 度 を ω 〔rad/s〕,回 転 数 をN〔rpm〕

とす れ ば,

答(4rad/s,38.2rpm)

例題 rpmに

2・18静

止 し た 車 が あ る 。 等 角 加 速 度 で 回 転 を は じ め,10秒

後 に1800

な った 。 角 加 速 度 は い くらか 。

〔考 え 方 〕10秒

後 の 角 速 度 を求 め,こ

れ を経 過 時 聞 で 割 れ ば よ い 。

〔解 き 方 〕10秒

後 の 角 速 度 を ω 〔rad/s〕,経 過 時 間 を ｔ とす れ ば,角

加 速 度 ω は次

の よ う に な る。

答(18.85rad/s2)

例題

2・19直

る に は,周

径 ８㎝

で 円 運 動 さ せ て,向

心 加 速 度 を16㎝/s2ち

ょ う どに す

速 度 を い くらに す れ ば よ い か 。

〔考 え 方 〕 周 速 度 ｖ,半 径 ｒ とす れ ば,向

心加速 度

よ り,ｖ

を得 る。

〔解 き 方 〕 答(8㎝/s)

問題

2・13地

上10000mの

高 度 を 高 速 ロ ケ ッ トで 水 平 飛 行 す る と き,ロ

生 じ る 向心 加 速 度 が 重 力 の 加 速 度 と同 じ値 に な る ため に は,ロ 飛 ば し た ら よ い か 。 た だ し,地 球 の 円 周 を40000㎞

ケ ッ トに

ケ ッ トを秒 速 何 ㎞

と す る。 答(7.91㎞/s)

で

2・2運

動 と力

〔１〕 ニ ュ ー トン の 運 動 の 法 則 (ａ)運

動 の 第 １法 則

  物 体 に 外 力 を作 用 しな け れ ば,静

止 して い る物 体 は 永 久 に 静 止 し,動 い

て い る物 体 は 永 久 に そ の 方 向 と速 さ を変 え な い。 これ を運 動 の 第 １法 則 と い い,物 体 の この よ うな 性 質 を慣 性 とい う。 運動 の 第 １法 則 の こ と を慣 性 の 法 則 と も い う。

〔注 〕 ア イ ス ・ス ケ ー トで 滑 っ て い る人 や,走

っ て い る電 車 な どが ブ レー キ を か け

な い か ぎ り永 く走 り続 け る の は 慣 性 の た め で,や か な 抵 抗 力(氷 の 抵 抗,車

輪 や 車 軸 の 抵 抗,空

が て 止 ま っ て し ま うの は,わ

ず

気 抵 抗 な ど)が 外 力 と し て,進 行 を

妨 げ る方 向 に 作 用 す る か ら で あ る 。

(ｂ)運

動 の 第 ２法 則

 一 般 に,物 体 に外 力 が 作 用 す る と加 速 度 を生 ず る。 この 加 速 度 の 大 き さ は外 力 に 比 例 し,方 向 は外 力 の 方 向 と一 致 す る。 こ れ を運 動 の 第 ２法 則 と い う。  あ る物 体 に 外 力 Ｆ が 働 き,加 速 度 ａ を生 じ た とす れ ば,運 動 の 第 ２法 則 か らF〓aと

な る。 こ れ よ り比 例 定 数 を ｍ と置 け ば, F=ma

(2・31)

とな る。 こ の 式 か ら,い ろ い ろ な 物 体 に 同 じ加 速 度 を与 え る た め に は,ｍ

が

大 きい物 ほ ど大 き な 力 を必 要 とす る こ とが わ か る。   い い か え れ ば,ｍ 質 量 とい う。

の 大 小 は慣 性 の 大 小 を表 す こ とに な る。 こ の ｍ を 物 体 の

落 体 の 運 動 で は,重

さＷ,重

力 の 加 速 度 ｇ よ り,

W=mg

(2・32)

を 得 る 。 こ れ を 式(2・31)に 代 入 す れ ば, (2・33)

が 得 ら れ る。 この 式 は,重

さ Ｗ の 物 体 に加 え た力 Ｆ と,生 ず る加 速 度 ａ との

関 係 を示 す もの で,こ れ を運 動 方 程 式 と呼 ぶ 。

例題

2・20

600N(約61.2kgf相

方 向 に 一 定 な 力 を 加 え,10秒

当)の 物 体 が 時 速10㎞ 間 で 時 速60㎞

で 動 い て い る。 運 動

に す る た め に は,力

の大 きさは

い くら にす れ ば よ い か。   〔考 え 方 〕 速 度 の 単 位 をm/sに

。 式(2・31),(2・32),(2・3)よ

り,

と順 に も ど っ て 考 え る と よ い。

〔解 き方 〕

答(85N)

例題

2・21静

止 し て い る600N(約61.2kgf相

当)の 物 体 が あ る。 こ れ に ロ ー

プ を つ け て つ り上 げ る と き,５ 秒 間 一 定 の 力800Nで

引 き上 げ た とす れ ば,高

さ は何 ｍ に達 す る か。 〔考 え方 〕 一 定 な 力(F-W)で, ｖ ま で 等 加 速 度 ａ で 引 き上 げ る と考 え る。   〔解 き 方 〕 式(2・31)よ り,

式(2・11)よ

り,

の 物 体 を,時

間 ｔの 間 に 初 速 ０か ら 終 速

答(40.8m)

例 題2・223000N(約306㎏f相

当)の ハ ン マ を 自 由 落 下 さ せ て,５

材 を打 っ た と こ ろ,鉄 材 の 厚 み10㎝

の もの が ７㎝

ｍ下 の鉄

に な っ た 。 鉄 材 に作 用 し

た 力 を求 め よ。 〔考 え 方 〕   さ ら に,鉄

材 の 厚 み10㎝

か ら ７㎝

に 達 す る 間 の 加 速 度 を-α

と し,鉛

直 方 向の

変 形 量 を ｈ'とす れ ば,2(-α)h'=-v2 〔解 き方 〕

答(503kN) 問 題2・148000N(約816㎏f相

当)の 車 が 時 速40㎞

で 走 っ て い て,そ

ン ク リー トの 電 柱 に 衝 突 し た。 車 も 電 柱 も 大 破 し た が,車 で 止 ま っ た。 電 柱 に 与 え た 力 は 約 何kNで

の ままコ

は 衝 突 後 お よ そ ２ｍ 進 ん

あ ったか。 答(約25.2kN)

問 題2・15秒

速20m,2.5N(約0.255㎏f相

当)の 硬 球 を,30㎝

手 を引 き込 ん で

受 け 止 め た。 手 に は 何 Ｎ の 力 が 作 用 し た か 。 答(170N)

(ｃ)運 動 の 第 ３法 則 物 体 に は,静

止 あ る い は 運 動 の状 態 に 関 係 な く,次 の法 則 が 成 り立 つ 。

物 体 に 外 力 を 加 え る と,同 時 に そ の 物 体 に は 外 力 に 反 対 す る 力 が 生 れ る。 この 外 力 を作 用,反

力 を反 作 用 とい う。 作 用 と反作 用 とは 大 き さが 等

し く,向 きが 反 対 で あ る。 こ れ を運 動 の 第 ３法 則 とい う。 ま た,こ

れ を作

用 反 作 用 の 法 則 と も い う(図2・16(a),(b))。

(ａ)バ ネば か り

(ｂ)車 中 の作 用 反 作 用 図2・16

〔注 〕 作 用 と反 作 用 の例 を考 え て み よ う。 手 で 壁 を押 せ ば,壁 の 力 で 押 し返 す 。 また,綱

は こ れ と 同 じ大 き さ

引 きで は 勝 ち 負 け が 起 こ っ て も,綱 が 両 方 か ら 引 張 ら

れ る力 の 大 き さ は 等 し い。 こ の 場 合,勝

敗 の 原 因 は 地 面 と足 と の 間 の 摩 擦 力(抵

抗 力)の 大 小 に あ る の で あ る。

例 題2・239000N(約918㎏f相

当)の

静 止 し て い る6000N(約612㎏f相 た 。6000Nの

自動 車 は 何km/hと

自 動 車 が36㎞/hで

走 っ て い た が,

当)の 自 動 車 に 衝 突 し て,7.2km/hに

な っ

な るか 。

〔考 え 方 〕 作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 り立 つ こ と を 考 え る。 〔解 き方 〕 時 速 を秒 速 に 直 して,

求 め る速 さ をv〔m/s〕,互

い に 力 をお よぼ し た 時 間 をt〔s〕 とす れ ば,9000Nの

自

動 車 の 受 け た 力 は,

6000Nの

自動 車 の 受 け た 力 は,

作 用 反作 用の 法則 か ら,

答(43.2㎞/h) 問 題2・16時

速30㎞

で 走 っ て い る10000N貸

に 進 ん で い る18000Nの

車 が 時 速10㎞

貸 車 に 衝 突 し た 。10000Nの

な っ た と す れ ば,18000Nの

貨 車 は時 速何 ㎞

の 速 さ で 同 じ方 向

貨 車 は 衝 突 後,時

速10㎞

に

に な るだ ろ う か 。 答(約21.1㎞/h)

〔２〕SI単

位 系 と他 の 単 位 系

機 械 力 学 で はSI単

位 系 を用 い る が,他

の 単 位 系 との 使 い わ け も あ り う る の

で,注 意 が 必要 で あ る。   SI単

位 系:長

さ(ｍ)メ

ー トル ・質 量(㎏)キ

(Ａ)ア ン ペ ア を 基 本 に,温

度(Ｋ)ケ

ロ グ ラ ム ・時 間(ｓ)秒

ル ビ ン ・物 質 星(mol)モ

ン デ ラ を 加 え た ７個 の 基 本 単 位 と,平

面 角(rad)ラ

・電 流

ル ・光 度(cd)カ

ジ ア ン ・立 体 角(sr)ス

テ

ラ ジ ア ン の ２個 の 補 助 単 位 に よ り構 成 。   重 力 単 位 系:質   CGS単

位 系:長

量 の 代 りに 力(㎏f)重 さ(㎝)セ

本 単 位 とす る 単 位 系 。

量 キ ロ グ ラ ム を用 い た単 位 系 。

ン チ メ ー トル ・質 量(ｇ)グ ラ ム ・時 間(ｓ)秒 を 基

《CGSに CGSで

よ る力 の 単 位 》 は 力 は ダ イ ン(dyne,単

1dyn:質

量 １ｇ の 物 体 に,加

  Ｎ で 表 す と 式(2・31)よ

㎏fで

位 記 号dyn)で 速 度1㎝/s2を

示 す。 生 じ させ る 力 の 大 き さ。

り,

表 す と 式(2・33)よ

り

  質 量 は 物 体 の 慣 性 の 大 きさ を示 す 量 で あ る。 だ か ら引 力 に 関 係 さ れ な い の で 地 上 で も 月面 で も値 が 変 わ らな い 。   と こ ろ が そ の 重 さ は,W=㎎

の よ う に ｇ に 比 例 す る。 だ か ら重 力 の加 速

度 が 異 な る場 所 で は 重 さ も異 な る値 に な る。 例 題2・24水

１ｌの 重 さ をN,dynで

表せ 。 で立式 。

〔 考 え方 〕 重 力 〔 ㎏f〕 を考 え, 〔 解 き 方 〕 水 １ｔか ら1000㎏fと

して

答(9.8×103N,9.8×108dyn)

問 題2・171dyn(1g・

をMdynで

㎝/s2)の106倍

を １ メ ガ ダ イ ン(Mdyn)と

い う 。 １㎏fの

示せ 。 答(0.98Mdyn)

〔３〕 慣

性

力

  静 止 ま た は運 動 して い る物 体 の 運 動 状 態 を変 化 させ よ う とす る と き,そ の 物 体 に は,元

の 運 動 状 態 を維 持 し よ う とす る 力 が 生 まれ る(〔1〕(a)の運

動 の 第 １法 則)。 この 力 を慣 性 力 と い う。

力

〔注 〕 慣 性 力 の 大 き さ に つ い て 考 え て み よ う。 い ま,等 車 の 中 に,ひ 力 Ｔ と動

も で 重 さＷ の 物 体 を つ るす と,図2・17の Ｗ との 合 力(式(2.33))で

加 速 度 αで 走 っ て い る電 よ うに,電

物 体 を引張 る

車 は ひ もの 張 が わ か る。 し

か し,ひ

もは 一 定 の か た む き で 静 止 す る か ら,物 体 に は

い て,つ

り合 う もの と考 え られ る。 こ の よ う なつ り合 い を 動 的 つ り合 い と い う。

 この 見掛 けの 力

の力 が生 まれ て

が 慣性 力に相 当す る

図2・17

例 題2・25500N(約51㎏f相

当)の 物 体 を ロ ー プ で0.2ｇ(重

倍)の 加 速 度 で 引 き上 げ る と き,ロ

力 の 加 速 度 の0.2

ー プ の 張 力 は い くら に な るか。

  〔考 え 方 〕 ロ ー プ の 張 力 Ｆ は 上 向 き に,物

体 の 重 力 と加 速 度 αに よ る 慣 性 力

と は 下 向 き の 力 と な る(動 的 つ り合 い を 考 え る)。   〔 解 き 方 〕 動 的 つ り合 い か ら,

答(600N)

例 題2・26 

10m/sで

運 動 し て い る 重 さ400N(約41㎏f相

れ と 同 じ進 行 方 向 に ６秒 間 一 定 な 力 を 連 続 し て 加 え た ら,速

当)の 物 体 に,そ 度 が22m/sに

な

っ た。 加 え た 力 は い くらか 。   〔考 え 方 〕 慣 性 力 と加 え た 力 との 動 的 つ り合 い を 考 え る。 慣 性 力 は 進 行 方 向 と反 対 向 きであ る。 ,加

〔解 き方 〕 慣 性 力 を

と

え た 力 を Ｆ とす る。 加 速 度

な っ て 動 的 つ り合 い に よ り,

答(81.6N)

例 題2・27重

さ200N(約20㎏f相

当)の 物 体 を上 方 に 一 定 の 力300Nで

引

き上 げ る と き,発 生 す る加 速 度 は い くらか 。 〔 考 え 方 〕 重 さＷ と慣 性 力

は 下 向 きに,引

き上 げ る力 Ｆ は 上 向 き に して,動

的 つ り合 い を考 え る。 〔 解 き方 〕 動 的 つ り合 い か ら,

答(4.9m/s2)

例 題2・28 

7000Nの

推 進 力 で10秒

間 働 く能 力 を もつ 重 さ3000N(約306

㎏f相 当)の ロ ケ ッ トが あ る。 こ れ を鉛 直 上 方 に 向 け て 発 射 す る と,高 さ何 ｍ に達 す るか 。 た だ し,空 気 の 抵 抗 や 燃 料 消 費 に よ る重 量 の変 化 は な い もの とす る。   〔考 え方 〕10秒 に分 けて 考 え る。

間 の加 速 に よ る高 さ と,そ の後 の 惰性 に よ る上 昇 した分 との 二 つ

〔解 き方 〕

ロ ケ ッ トの 重 さＷ,推

打 ち 上 げ10秒

進 力 Ｆ,加

後 の 速 度 ｖは,

速 度 α とす れ ば,動

的 つ り合 い は,

よ り,

式(2・11)よ り,推 力 に よ る 加 速 度 αで10秒

後 の 高 度h1は,

10秒 後 の 速 度(初 速)ｖ に よ る惰 性 で上 昇 し た 分h2は,式(2・12)か

ら,

求 め る 高 さ は,

答(1526m)

問 題2・18重

量 が15000N(約1531㎏f相

車 を ２人 で 協 力 して10秒 合,押

当)の 鉄 道 貨 車 が 止 ま っ て い る。 こ の 貨

間 一 定 の 力 で 押 した と こ ろ2m/sの

速 度 に 達 した 。 こ の 場

した 力 は 何 Ｎ に な る か 。 答(306N)

問 題2・19図2・18の こ の 場 合,人

よ うに,人

を乗 せ た ボ ー トA,Bが

を 含 め た ボ ー トの 重 量 は Ａが2500N,Ｂ

図2・18

静 水 の 上 に 浮 か ん で い る。 が1500Nで

あ る。 ２人 は 互

い に 一 定 な 力 で ３秒 間 押 し合 っ た。 そ の 結 果,ボ の 速 さ に達 した 。 こ の 時,ボ

ー ト Ｂ は 静 水 面 に 対 して 秒 速0.5m

ー ト Ａ の 静 水 に 対 す る速 さ を 求 め よ。 答(0.3m/s)

〔４〕 向 心 力 と遠 心 力

  円 運 動 す る物 体 に,向

心 加 速 度 を起 こ させ て い る力(向 心 加 速 度 の 方 向

と 同 じ 中心 向 き)を 向 心 力 と い い,こ れ とつ り合 う力(中 心 と反 対 向 き)を 遠 心 力 とい う(図2・19)。

(ａ)静 止 状 態 (ｂ)水 平 回転 状 態 図2・19向

物 体 の 重 さ を Ｗ,向

心 力 と遠 心 力

心 加 速 度 を α,向 心 力 を Ｆ と す れ ば,式(2・30)よ

り,

(2.35)

例 題2・29長 け,他

さ １ｍ の ひ も の 先 端 に,重

さ ５Ｎ(約0.5㎏f相

当)の 物 体 を つ

端 を 中 心 に 水 平 面 内 に 回 転 さ せ る も の とす る(重 力 は 無 視 し て い る)。 ひ

も は 張 力200Nま

で た え ら れ る も の と す れ ば,角

速 度 は 最 大 何 ラ ジ ア ン毎 秒 に

な るか 。   〔考 え 方 〕 数 値 の 与 え ら れ て い る もの は何 か を考 え,数   〔解 き方 〕 ひ も の 張 力 Ｆ,同 式(2・35)よ り,

式 をたて る。

じ く半 径 ｒ,物 体 の 重 さ Ｗ とお け ば,角

速 度 ω は,

角 速 度 は+と

考 え,

答(19.8rad/s)

例 題2・3O旋

盤 の 主 軸 を1200rpmに

ま わ し棒 １Ｎ は,ど

し た と き,軸

心 か ら100㎜

の位 置 の

れ ほ どの 遠 心 力 を発 生 す るか 。 た だ し,重 力 は 無 視 す る。

〔考 え 方 〕 単 位 に 注 意 。 周 速 度 を だ し,遠 心 力 を 求 め る 。 〔解 き 方 〕N=1200rpm,r=100㎜=0.1m,W=1Nよ

り,

周 速 度 ｖは,

遠 心 力 Ｆ'は,

答(向

例 題2・31長

心 力 と 反 対 向 き(中 心 か ら外 向 き)161N)

さ １ｍ の 糸 の 先 端 に 重 さ １Ｎ(約0.1㎏f相

鉛 直 面 内 に100rpmで

当)の 物 体 を つ け て,

回 転 さ せ る 。 こ の と き 物 体 が 最 上 位 と最 下 位 に き た と

きの 糸 の 張 力 を求 め よ。   〔考 え 方 〕 重 力 の 作 用 を受 け る こ と を考 え て,そ

れ ぞ れ 鉛 直 方 向 の 動 的 つ り合 い を

考 え る。   〔解 き 方 〕 重 力 Ｗ,糸

の 張 力 Ｓ,遠 心 力 Ｆ'と す れ ば,最

最 下 位 の 動 的 つ り合 い は, -W+S-F'=0

上 位 の 動 的 つ り合 い は,

答(最

例 題2・32飛

行 機 が 旋 回 半 径100mで

(傾 斜 角)45° 時速何 ㎞

上 位 の 張 力10.19N,最

で,乗

飛 ん で い る。 機 体 の 水 平 面 との な す 角

客 は い す に 対 し て 垂 直 に 安 定 し て 座 っ て い る 。 こ の 場 合,

で飛 ん で い るか 。

  〔考 え 方 〕 傾 斜 角45° と い う の は,飛 の 方 向 が,鉛

下 位 の 張 力12.19N)

行物 体 の重 さとその遠 心 力の 大 きさ との合 力

直 線 よ り45° 傾 い て い る こ とに な る。

  〔解 き方 〕 飛 行 物 体 の 重 さＷ,そ

の 遠 心 力 Ｆ',旋 回 周 速 度 ｖ,旋 回 半 径 ｒ とす れ

ば,

F'=Wで

あ る か ら,

求 め る 速 度 は,正

を と っ て,

答(時 問 題2・20図2・20の 速60㎞

よ うに,電

車 が 半 径120mの

円 弧 に カ ー ブ し た レー ル 上 を 時

の 速 さ で 走 っ て い る。 電 車 の 総 重 量 が200×103N(約20.4tf相

とす れ ば,遠

速112.7㎞)

当)で あ っ た

心 力 は い く らか 。 答(47.24kN)

図2・20

〔５〕  円 す い 振 り子

  図2・21の よ う に,糸 の 長 さ ｌの 先 端 に,重 固 定 して,お

さＷ の 重 りを つ け,上 端 を

も りに 円運 動 を与 え る と,糸 は 鉛 直 軸 を 中心 と し て 円 す い面

を描 く。 こ れ を 円 す い 振 り子 と い う。 円 す い 振 り子 の 高 さ ｈお よ び 周 期 Ｔ(お も りが １回 転 す る時 間)は,角

速 度 ω だ け で 決 ま り,糸 の 長 さや 重

りの 重 さ に は 無 関係 で あ る。

図2・21円

す い振 り子

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,図2・21で,糸 Ｆ',重

の 張 力 Ｓ,お

も りの 遠 心 力

り の 重 さ Ｗ の 力 は つ り合 っ て い る 。 三 角 形 の 相 似 か ら,

こ れ に,

を 代 入 し て,(ω>0)

(2・36)

  こ れ よ り,ｈ

は ω2に 反 比 例 し,ｌ

や Ｗ に は 無 関 係 で あ るこ とが わか る。

  ま た,１ 秒 間 の 回 転 角 が ω 〔rad/s〕 で あ る か ら,重 間,周

期 Ｔ は,

り １回 転 に 必 要 と す る 時

(2・37)

と な っ て,周

期 も ま た 角 速 度 に 反 比 例 し,ｌ

や Ｗ に 無 関 係 で あ る こ とが わ か

る。

例題

2・33長

す れ ば,周

さ50㎝

の 糸 に 重 り を つ け,鉛

直 線 と な す 角30°

で 回 す もの と

期 は い く らか 。

〔 考 え方 〕 円 す い 振 り子 の 高 さ ｈ を求 め て,式(2・36)に

よ り求 め る。 ｈ と糸 の 長 さ

が 成 り立 つ こ とに 気 づ け ば よ い 。

ｌの 間 に は,

〔 解 き方 〕

答   (周期1.32秒)

例 題2・34重

mで

り の 重 さ2N(約0.2㎏f),円

す い の 高 さ １m,底

面 の 半 径0.5

運 動 して い る 円す い 振 り子 が あ る。 糸 の 張 力 は い くらか 。

  〔考 え方 〕 糸 の 張 力,重

りの 重 さ,遠 心 力 に よ る 力 の 三 角 形(直 角 三 角 形)か ら 張 力

を 求 め る。 〔解 き 方 〕  W=2N,

h=1m,

r=0.5mと

す れ ば,

張 力 Ｓ は,

答(糸

の 張 力2.24N)

例 題2.35円

す い 振 り 子 の 回 転 数 が30rpmの

と き,振

り子 の 高 さは い く ら

に な るか 。   〔考 え 方 〕 回 転 数 と周 期 の 関 係 を よ く理 解 して お き た い 。 回 転 数 をN〔rpm〕 れ ば,１ 秒 間 の 回 転 数 はN/60回

とす

。 そ こ で １回 転 に 要 す る 時 間 Ｔ(周 期)は,

とな るこ とに気づ け ば よい。

両 辺 を ２乗 して ｈに つ い て 解 け ば

〔 解 き方 〕

答(高

問 題2・21糸

の 張 力 が4N,重

りの 重 さ が3N,１

さ0.993m)

秒 間 の 回 転 角 が5rad/sの

運動 を

して い る 円 す い 振 り子 が あ る 。 重 りが 描 く円 の 半 径 は い くら か 。 答(重

2.3

〔１〕 運

動

りの 描 く半 径0.346m)

運 動 量 と力積

量

運 動 の 強 さ を 表 す 量 と して,そ の 物 体 の 質 量 と速 度 との 積 を用 い,こ

れ

を運 動 量 とい う。 物 体 の 質 量 ｍ,重

さ Ｗ,速

度 υ とお け ば,運

動 量 は, (2・38)

運 動 量 も また ベ ク トル 量 で,そ の と き の速 度 と 同 じ向 き を も っ て い る。 単 位 はN・sを

用 い る(参 考:

m・ υが 運 動 の 強 さ を意 味 す る の は,重

い物 体 ほ ど,ま た 速 度 の 大 き い 物 体

ほ ど 止 め に く い こ と か ら も う な ず け よ う。

《運 動 量 と力》   υ0の速 度 で 直 線 運 動 す る重 さ Ｗ の 物 体 が,運 動 の 方 向 に 力 Ｆ を 時 間 ｔの 間 受 け た とす る。   こ の と き加 速 度 αは, α=(υ-υ0)/t

これ を運 動 方 程 式 に代 入 して,

(2・39)

  こ れ よ り,"運

動 量 の 時 間 的 変 化 の 割 合 は 力の 大 き さ に 等 し い” と い う こ と

が わ か る。

こ れ は 運 動 の第 ２法 則 の 変 わ っ た表 現 法 の 一 つ とい え る。

例 題2・36

500N(約51㎏f相

当)の 物 体 が,速

度25m/s,5m/sの

それ ぞれ

の 場 合 の 運 動 量 を求 め よ。 〔考 え方 〕 式(2・38)が 思 い 出 さ れ れ ば よ い 。 〔解 き方 〕

よ り,速 度25m/sの

同 横 に し て ５m/sの

場合は

場 合 は

答(1276Ns,255Ns)

問 題2・22

500N(約51㎏f相

当)の 物 体 が,25m毎

の 物 体 に ３秒 間 一 定 の 外 力 を加 え,５m毎

秒 の 速 度 で 運 動 し て い る。 こ

秒 の 速 度 に お と した 。 加 え た 外 力 の 大 き さ

は い く らか 。 答(物

体 の 運 動 の 逆 方 向 に340N)

〔２〕 力

式(2・39)を

積

変 形 す れ ば, (2・40)

と な る 。 こ の 左 辺 のF・tを

力 積 と い う 。 こ の 式 は,力

積 は運動 量 の変化

に 等 しい こ と を示 して い る。

《衝 撃 力 と緩 衝 》   急 激 に 運 動 量 を変 化 させ る た め に は,非 常 に 大 きな 力 を必 要 とす る。 こ の よ うな 力 を衝 撃 力 とい う。 これ は 式(2・39)で,ｔ 分 母 は小 さ くな る こ とか ら,Ｆ

を小 さ くす れ ば す る ほ ど,式 の

は大 き くな る こ とが理 解 で き よ う。

  衝 撃 力 を和 らげ る こ と を緩 衝 と い う。 緩 衝 を実 現 す るた め に は,ゴ な ど を用 い て,式(2・39)の

例 題2・37静

ｔを大 き く してや れ ば よ い こ と に気 づ くで あ ろ う。

止 して い る6000N(約612㎏f相

加 え て,70㎞/hの

ムや ばね

当)の 物 体 に15秒 間 力 を一 定 に

速 度 に した い 。 こ の た め に は何 Ｎ の 力 が 必 要 か。

  〔考 え方 〕 与 え られ た値 は一 定 時間 前後 の物体 の速 度 と重 さで あ るか ら,運 動 量 の 時問的 変化 よ り力 が求 め られ る。 〔 解 き方〕 あ る か ら,式(2・40)よ

で り

答(793N)

例 題2・381000N(約102㎏f相 っ た 初 速10m/sで,静

当)の 重 りで く い を 打 っ た ら,く 止 す る ま で に0.2秒

いに当 た

か か っ た と い う。 何 Ｎ の 力 で 打

った こ とに な る か 。   〔考 え 方 〕 前 間 と同 じ考 え 方 。 初 速 と終 速 は 逆 に な る。 重 力 も加 わ る。

〔解 き方 〕

  こ こ で,マ

イ ナ ス(-)は,重

りの 運 動 と反 対 向 き に6.1kNの

意 味 す る。 くい は こ の 作 用 に 対 す る反 作 用 と し て,運

力 が作 用 した こ とを

動 方 向 に6.1kNの

力 を受 け た

こ と に な る。 答(打 問 題2・2340m/sで

力 は6.1kN)

飛 ん で き た ボ ー ル をバ ッ トで 打 ち 返 し た と こ ろ50m/sの

で 飛 ん で い っ た 。 バ ッ トは0.07秒

間 一 定 な 力 で ボ ー ル に 作 用 し た とす れ ば,作

た 力 は 何 Ｎ か 。 た だ し,ボ ー ル の 目 方 は3Nと

速度 用 し

す る。 答(-394N)

〔３〕   運 動 量 保 存 の法 則

  図2・22(a)の

よ う に,重

さWA,WBの

物 体A,Bが,速

度 υa,υB(υA

>υB)で 同 方 向 に 運 動 し て い る。 や が て Ａ は Ｂ に 追 い つ き,力 ｔの 間 作 用 し た の ち(図(ｂ)),A,Bの

速 度 は υA',υB'に な っ た と す る(図

(ｃ))。図(ｂ)で,

(ｂ)

(ａ)

図2・22運

Ａ に働 く力 積 は, Ｂ に働 く力積 は,

Ｆ で時 間

動 量 の保 存

(ｃ)

運 動 の 第 ３法 則 よ り,

(2・41)

こ の 式 は,作

用 前 ・作 用 後 の そ れ ぞ れ の 運 動 量 の 総 和 が 等 し い こ と を示

して い る。 こ れ を運 動 量 保 存 の 法 則 とい う。

〔注 〕 特 に,運

動 量 保 存 の 法 則 が 成 り立 つ の は,他

か ら力 が 働 か な い と き と,も

し

働 い て も合 力 が ０の と き の い ず れ か に 限 ら れ て い る こ とに 注 意 さ れ た い 。

例 題2・39静 の 人 が,後

止 し て い る 重 さ1000N相 方 へ ３m/sの

当 の ボ ー トに 乗 っ た 体 重500N相

速 度 で 飛 び 込 ん だ と す れ ば,ボ

当

ー トは ど ん な 運 動 を す

るか 。   〔考 え 方 〕 飛 び 込 む 前 の 運 動 量 の 総 和 は ０,し たが っ て,飛

び込 ん だ後 の 運動 量 の

総 和 も ０に な る こ とに 気 づ け ば よ い 。 〔解 き方 〕 飛 び 込 ん だ 後 の ボー トの 速 度 を υ とす れ ば,式(2・41)か

答(1.5m/sの

ら,

速 度 で 前 進 す る)

問 題2・24同

一 直 線 上 を 同 じ方 向 に 運 動 す る 同 じ 目方 の 二 つ の 物 体ABが

Ａ は25m/sの

速 度 で 先 に 進 み,Ｂ

は 衝 突 して Ａ の 速 度 は35m/sと

は40m/sの

あ っ て,

速 度 で Ａ を 追 っ た 。 そ の 後,A,B

な っ た 。 Ｂ の 速 度 は い く ら と な るか 。 運 動 量 保 存 の

法 則 を使 っ て 求 め よ 。 答(30m/s)

〔４〕 衝 (ａ)反

突

発係 数

一般 に

,物

体 は 他 の 物 体 に ぶ つ か る と は ね 返 る 。 こ の と き,当

の 速 度 を υ,は

ね 返 る 速 度 を υ'と す れ ば,実

の 結 果 で は,υ'は

た る とき

験

υ に お お よ そ 比 例 す る(図

2・23)。 (2・42) 図2・23反

と 置 き,こ

〔 注〕

ｅの 値 は,２ 物 体 の 材 質 で 違 う値 と な る。e=1と

後 の 速 度 が 等 し く,e=0の <1と

発係数

の ｅ を 反 発 係 数 と いう。

と きは,全

い うの は,ぶ

つ か っ た前

くは ね 返 ら な い 場 合 で あ る。 一 般 に は,e

な る。

例 題2・40ガ

ラ ス球 を10㎝

の 高 さか ら床 に 落 とす と,何 ㎝

か 。 た だ し,反

発 係 数 は0.95と

す る。

は ね上 が る

〔 考 え方 〕   自由 落下物 体 の速度 と高 さ との 関係 を考 える。式 を 用 い る。

  〔 解 き方 〕 落 とす と き の 高 さ ｈ,終 速 υ,は

ね 上 が る 高 さ を ｈ',初 速 を υ',重 力

の 加 速 度 を ｇ とす れ ば,

答(9.03㎝)

問 題2・25布

を 敷 い た 板 の 上 に25㎝

の 高 さ か ら鋼 球 を 自 由 落 下 さ せ た ら,1㎝

は ね 上 っ た 。 こ の 場 合 の 反 発 係 数 を求 め よ 。 答   (0.2)

(ｂ)衝

突

  図2・22(a)で,物

体A,Bが

近 づ く速 度 は υA-υB,図(ｃ)で,物

が 離 れ る 速 度 は υB'-υA'で あ る か ら,図(ｂ)を 衝 突 と考 え れ ば,反

体A,B 発係数 ｅ

は, (１)

  ま た,２ 物 体 に は 外 力 が働 か な い か ら運 動 量保 存 の 法 則 が 成 り立 ち,式 (2・40)か ら ｇ を消 去 して, (２) 式(1),(2)よ

り,

(2・43)

式(2・43)を

導 い て み よ う 。 式(1),(2)よ

り υB'を 消 去 す る 。

式(１)よ り,

こ れ を 式(２)に代 入 し て,

同 様 に し て,υB'に

例 題2・41重

つ い て も 求 め ら れ る(省 略)。

さ １N,速

度 ５m/sの

とが 同一 軸 線 上 で 同 じ向 きに0.5Nの 0.7と す れ ば,衝

物 体 と,重

さ0.5N,速

度 ２m/sの

物 体

物 体 を先 に して 飛 ん で い る。 反 発 係 数 を

突 後 の そ れ ぞ れ の 速 度 は い く らか 。

  〔考 え 方 〕 図2・22運 動 量 の 保 存 の 場 合 と全 く同 じ。 式(2・43)が そ の ま ま あ て は ま る。   〔解 き 方 〕 衝 突 後 の 速 度 を １Nの 物 体 の 場 合 υA',0.5Nの

物 体 の 場 合 υB'とす れ

ば,

答(い

〔注 〕 検 算 は,運

ず れ も衝 突 前 と 同 じ 向 き に3.3m/sと5.4m/s)

動 量 保 存 の 法 則 に あ て は め て み る と よ い 。 例 題2・41を 検 算 し て

み よう。

両 辺 を ｇ倍 して,数

値 を代 入 す れ ば,

左 辺=1×5+0.5×2=6右

両 辺 が 等 し く,正

例 題2・42水 m/sの

辺=1×3.3+0.5×5.4=6

しい こ とが わ か っ た わ け で あ る。

平 面 上 で 重 さ ２Nの

速 度 で 水 平 方 向 に た た く と,飛

だ し,反

発 係 数e=0.55と

  〔考 え 方 〕

じ く ４Nの

ハ ン マ に よ り,６

び 出 す鋼 球 の 速 さ は い くらに な るか 。 た

す る。

式(2・43)で,υB'を

WB=2〔N〕,e=0.55と

鋼 球 を,同

求 め る 式 か ら,υB=0,υA=6〔m/s〕,WA=4〔N〕,

考 えて解 けば よい。

〔 解 き方〕 答(6.2m/s)

問 題2・26図2・24の とが,互

よ うに,あ

る 木 球 Ａ 重 さ １N相

い に 同一 直 線 上 を 向 か い合 っ て,Ａ

こ の 二 つ は 衝 突 し た 後,Ａ   ま た,Ｂ

は 反 対 向 きに １m/sに

球 は ど ち らへ 向 っ て,ど

当 と同 じ く木 球B0.5N相

は ５m/s,Ｂ

は ７m/sで

当

運 動 し て い る。

な っ た 。 反 発 係 数 を求 め よ 。

れ だ け の 速 さ に 変 わ るか 。 答(反

発 係 数0.5,反

対 向 き に ５m/s)

〔 注 〕 速 度 の 方 向 を正 負 で 表 す こ と に 気 を つ け よ う。

図2・24

図2・25

問 題2・27前

問 と そ れ ぞ れ 重 さ は 同 じで 材 質 の 違 っ たA,B2球

う に 糸 で つ り下 げ,Ｂ 結 果,Ｂ

を静 止 さ せ て お い て,Ａ

球 は 右 方 向 へ5m/sで

ま た,同 様 に,衝

球 を左 方 か ら5m/sで

を,図2・25の

は ね 返 っ た。 反 発 係 数 は い く らか 。

突 後 の Ａ 球 の 速 度 と そ の 向 き を求 め よ 。 答(反

発 係 数0.5,右

よ

Ｂ球 に 当て た

向 き に2.5m/s)

３

摩

擦 3.1

〔１〕 静

摩

すべ り摩 擦

擦

 水 平 面 上 に 置 か れ た 物 体 を,水 平 方 向 に 引 く。 こ の とき力 が小 さ い う ち は,物 体 は動 か な い が,あ え た 力 に 対 して,反

る大 き さに 達 す る とつ い に 動 き だ す 。 こ れ は 加

対 向 きの 力 が 発 生 して い る ため で,こ

の 反 対 向 きの 力

を静 摩 擦 力 とい う。 また,す べ り始 め る と きの 静 摩 擦 力 を最 大 静 摩 擦 力 と い う(図3・1)。

(ａ)

(ｂ) (ｃ)

図3.1最

大静摩擦力

《 摩擦 係数》   図3・2で,最

大摩 擦 力 は 直圧 力(接 触 面 に垂 直 に 押 しつ け る 力)に 比例 す る。

こ こ で,最 大 摩 擦 力 をfmax,物 数 を μ0と す れ ば,

体 に 作 用 す る重 力 を Ｗ,直 圧 力 を Ｒ,比 例 定

図3・2 

直圧 力 と最 大摩 擦 力

(3・1)

と な る。 比 例 定 数 μ0を 静 摩 擦 係 数 と い う。

  こ の値 は 、 接 触 面 の 材 質 や 状 態 な どに よ っ て 定 ま る値 で,直 圧 力 に つ い て の あ る 限度 内 で は,接 触 面 の広 さに は無 関 係 に一 定 で あ る(表3・1)。 表3・1  静 摩 擦 係 数 の 例

《摩 擦 角》   図3・3の

よ う に,斜

面 に 物 体 を 乗 せ,傾

角 を し だ い に 大 き くす る と,物

体 は

す べ り始 め る 。 こ の と き の 傾 角 を 摩 擦 角 と い う。

図3・3 

  こ こ で,物 体 に 作 用 す る 重 力 を Ｗ,斜

摩擦角

面 に 平 行 な Ｗ の 分 力 を Ｐ,直 圧 力

に あ た る Ｗ の分 力 を Ｒ,摩 擦 角 を φ とす れ ば,

(3・2)

こ れ よ り,静 摩 擦 係 数 が 求 め られ る。

例 題3・1 

重 さ200Nの

物 体 を,水 平 面 上 で 動 き だ させ る に は,い

を 必 要 と す る か 。 た だ し,摩

くらの力

擦 角 を30゜ と す る 。

〔考 え 方 〕 摩 擦 角 か ら静 摩 擦 係 数 を求 め,式(3・1)よ 〔解 き方 〕 物 体 に か か る 重 力 の 大 き さ Ｗ,静

り,答 え を得 る 。

摩 擦 係 数 μ0=tan30゜

よ り,物 体 を動

き だ させ る 力fmaxは,

答(115.5N)

問 題3・1  図3・4の

よ う に,30゜ の 斜 面 に 荷 重20N相

行 な 力 Ｆ で 下 か ら押 し上 げ る と き,動

当 の 物 体 を 乗 せ て,斜

面 に平

き始 め は 何 Ｎ を 必 要 とす る か 。 た だ し,摩 擦

角 は30゜ とす る。 答(20N)

図3・5

図3・4

問 題3・2  前 問 の 場 合 で,押 に な る か 。 た だ し,摩

し上 げ る力 Ｆ を,逆

擦 係 数 μ=tan45゜

向 き に 変 え る と,動

き始 め は 何 Ｎ

とす る。 答(7.33N)

〔２〕 動

摩

擦

平 面 上 の 物 体 は 外 力 を受 け て す べ りだ す と,平 面 との摩 擦 力 は 小 さ くな り,最 大 静 摩 擦 力 の 半 分 ぐらい に な る。 こ の 力 を動 摩 擦 力 とい う。

《 動摩 擦係 数》   動 摩 擦 力 を ｆ,直 圧 力 を Ｒ とす れ ば,ｆ は Ｒ に 比 例 す る。 そ こ で,比 例 定 数 を μ とす れ ば, (3・3)

とな る。 比 例 定 数 μ を動摩 擦 係 数 とい う。   こ の 値 は,接 触 面 の 性 質 に よっ て 定 ま り,接 触 面 の 広 さや す べ り速 度 の 大 き さ に よ る 影 響 は受 け な い。 た だ し,す べ り速 度 が,極

端 に大 きい とき と小 さ い

と き は除 く。

図3・6 

動 摩擦角

〔注 〕 す べ り落 ち る速 度 が 等 速 度 で あ る よ う な 斜 面 の 角 度 を 動 摩 擦 角 と い う こ とが あ る(図3・6)。

例 題3・2傾

角20゜ の 斜 面 上 を,重 力 の 大 き さ Ｗ の 物 体 が 等 速 度 です べ り落

ち て い る。 この と きの 動 摩 擦 係 数 を求 め よ。 〔考 え 方 〕 等 速 度 で す べ り落 ち る と い う の は,す

べ り落 ち よ う と す る 力,す

なわ

ち,Ｗ

の 斜 面 方 向 の 分 力 とそ の 反 対 向 き の 力,い

い か え れ ば,動

摩 擦 力 と が つ り合

って い るこ とに気づ け ば よい。 〔解 き方 〕

Ｗ の 斜 面 方 向 の 分 力 を Ｐ,動 摩 擦 力 ｆ とす れ ば,

答(動

例 題3・3傾 た だ し,動

摩 擦 係 数0.364)

角30゜ の 斜 面 をす べ り落 ち る物 体 は,加 速 度 が い く らに な るか 。 摩 擦 係 数 μ=0.25と

す る。 (式(2・33))よ

〔考 え方 〕 運 動方 程 式

り,加 速 度 を生 ず る た め に は,そ

方 向 に 力 が 発 生 して い る は ず で あ る 。 斜 面 に 沿 っ た 下 向 き の 力 と,同 との 差 が,加

じ く上 向 きの 力

速 度 の 原 因 で あ る こ とに 気 づ け ば よ い 。

  〔解 き方 〕 物 体 に か か る 重 力 の 大 き さ Ｗ,動 向 きの 力 は,Wsin30゜,同

摩 擦 力 ｆ と す れ ば,斜

じ く上 向 き の 力 はf=μ

・Wcos30゜,そ

力 の 大 き さ5Nの

速 度2.78m/s2)

Ｖ ブ ロ ッ ク を定 盤 の 上 に 置 き,水 平 面 に 対 し

て30゜ の 斜 め 上 方 か ら 力 を加 え て,Ｖ 要 か 。 た だ し,動

面 に 沿 った下

こ で,

答(加

例 題3・4重

の

摩 擦 係 数 は0.2と

ブ ロ ッ ク を 動 か す に は,何

Ｎ の 力が 必

す る。

〔考 え方 〕 直 圧 力 が Ｖ ブ ロ ッ クの 重 さ と加 え る 力 の 鉛 直 方 向 成 分 との 和 に な る こ と。 Ｖ ブ ロ ッ ク を動 か す 力 は,加

え る力 の 水 平 方 向 成 分 に な る こ とに 気 づ け ば よ い。

〔解 き方 〕 式(3・3)よ り,加 え る 力 を Ｆ と す れ ば,

よ っ て,

答(1.306N)

例 題3・5例

題3・4で,加

え る力 の 水 平 面 と な す 角 を大 き く変 え て い くと,

つ い に す べ ら な くな る。 こ の と きの 角 度 を求 め よ。   〔 考 え 方 〕 加 え る 力 を 大 き く し て も す べ ら な い わ け だ か ら,Ｖ

ブ ロ ッ クの 重 さ は

無 視 で き る く ら い 小 さ い と考 え る。 〔解 き 方 〕 Ｖ ブ ロ ッ ク の 重 さ を無 視 して,求

め る角 度 を α とす れ ば,

答(78゜42')

問 題3・3あ

る斜 面 を 等 加 速 度2.78m/s2で

め る ため に は,一

す べ り落 ち て い る物 体 が あ る 。 こ れ を止

定 時 間 最 低 何 Ｎ の 力 を 進 路 と反 対 方 向 に 加 え れ ば よ い か 。 た だ し,

物 体 の 重 さ は20Nと

す る。 答(5.68N)

問 題3・4前

問 で,斜

面 の 水 平 面 に 対 す る 角 度 が30゜ で あ っ た とす れ ば,こ

の場 合

の 動 摩 擦 係 数 は お よ そ い くら か 。 答(0.250)

3・2

ころが り摩 擦

  こ ろや 車 輪 が こ ろが る と き,接 触 面 の と こ ろ に 運 動 を妨 げ る よ う な 力 が 発 生 す る 。 こ れ を こ ろ が り摩 擦 と い う。

〔注 〕 こ ろが り摩 擦 の 大 き さ は,接

触 面 の 性 質,こ

ろ が り速 度,面

ろ や 車 輪 の 直 径 な ど に よ っ て 複 雑 な 影 響 を受 け る。 一 般 に,こ

へ の 直 圧 力,こ ろが り摩 擦 は,す

べ り摩 擦 よ りは る か に 小 さ い 。

《ころ が り摩 擦 係 数 》(図3・7)   こ ろ が り摩 擦 は,モ Ｍ

ー メ ン ト で 表 す こ と が で き る 。 い ま,こ

の モー メ ン トを

とす れ ば,

図3・7

Ｍ=e・R

  た だ し,Ｒ

(3・4)

は 反 力(直 圧 力 の 大 き さに 等 しい)で,ｅ

は 反 力 Ｒ の 働 く位 置(転

動 体 の 中 心 よ り進 行 方 向 に ず れ る 距 離)で あ る。 この ｅ を こ ろ が り摩 擦 係 数 と い う。 ｅは 長 さ の 単 位 を も ち,接 触 面 の 性 質,直

圧 力,転 動 体 の 半 径 な ど に よ

っ て 決 ま る値 で あ る。

〔注 〕 こ ろ が り摩 擦 の 表 し方 と し て,直

圧 力1t当

た りの 抵 抗 何 〔 ㎏f〕,〔N〕 と い

うの が あ る。 鉄 道 車 両 の こ ろ が り抵 抗 に 用 い ら れ て い る。 単 位 は 〔 ㎏f/t〕,〔N/ t)。

例 題3・6重

量12tの

鉄 道 車 両 が あ る。 抵 抗 の 大 き さ が10㎏f/tで

あ る と

き,こ の 車 両 を動 か す の に 必 要 な 力 は何 ㎏fか 。 ま た何 Ｎ か 。 〔 考 え 方 〕 車 両 重 量1t当

た り10㎏fの

抵 抗 で あ る か ら,10㎏fの12倍

と考 え れ

ば よい。 〔解 き 方 〕10×12=120〔

㎏f〕,120×9.8=1176〔N〕

答(120㎏f,1176N)

例 題3・7重

量2N相

当,半 径20㎜

で動 か す の に,0.002Nの

の ロー ラが あ る。 あ る材 料 の 水 平 面 上

力 が 必 要 だ っ た 。 こ ろ が り摩 擦 係 数 は 何 ㎜

にな る

か。 〔 考 え方〕

ロ ー ラ を 動 か す の に 必 要 な モ ー メ ン ト を 出 し,こ れ と(直 圧 力 × こ ろ が

り摩 擦 係 数)と が 等 し い と考 え れ ば よ い。 〔解 き 方 〕

ロ ー ラ を 動 か す の に 必 要 な モ ー メ ン ト は0.002×2〔N・

㎜

〕で あ る か ら,

答(0.02㎜)

例 題3・8重

当 の機 械 を,径60㎜

の こ ろ ２個 使 っ て 移 動 させ

た い 。 力 は 水 平 方 向 に 加 え る も の と す れ ば,ど

さ5000N相

れ ほ ど の 大 き さが 必 要 で あ る

か 。 た だ し,こ ㎜,0.2㎜

ろ が り 摩 擦 係 数 は,機 で あ る も の と し,こ

械 と こ ろ,こ

ろ と 床 の そ れ ぞ れ0.1

ろ の 目 方 は 無 視 す る も の とす る 。

〔考 え 方 〕 機 械 を動 か す の に 必 要 な モー メ ン ト,こ ろが り摩 擦 の 総 和 を考 え る 。 〔解 き方 〕 機 械 の 移 動 に 要 す る モー メ ン トは,求 F×60〔N・

㎜

め る力 を Ｆ とす れ ば,

〕

こ ろ が り摩 擦 の 総 和 は,

答(25N)

例 題3・9ア

ス フ ァ ル ト道 路 で,重

量9900Nの

自動 車 の 車 輪 の 直 径 が570

㎜

で あ る と き,こ の 自動 車 を 押 し動 か す た め に は何 Ｎ の 力 を必 要 とす るか 。

た だ し,こ ろ が り摩 擦 係 数 を １㎜

とす る。

  〔考 え 方 〕 押 し動 か す た め の モ ー メ ン ト と,車 輪 の こ ろ が り摩 擦 とが 等 しい と考 え る。 〔解 き方 〕 押 し動 か す 力 を Ｆ とす れ ば,

答(34.7N)

問 題3・5図3・8の 径160㎜

よ う に,重

さ2000Nの

直 方 体 の ブ ロ ッ クが,平

らな床 上 に 直

の こ ろ ２本 で 乗 せ て あ る。 ブ ロ ッ ク を水 平 面 に 対 し30゜ 斜 め 上 方 か ら 押 し

動 か す た め に は 何 Ｎ の 力 が 必 要 か 。 た だ し,こ こ ろ と床 の それ ぞ れ が0.1㎜,0.2㎜

で,こ

ろ が り摩 擦 係 数 は ブ ロ ッ ク と こ ろ, ろ の 目 方 は 無 視 す る も の とす る。 答(4.33N)

図3・8

問 題3・6前

問 の 場 合,加

え る 力 の 水 平 面 と な す 角 を 大 き く変 え て い く と,つ

いに

は 動 か な く な る 。 こ の と き の 角 度 は何 度 何 分 か 。 答(89゜47')

４

仕 事 と動 力 とエ ネ ル ギ 4・1  仕 事 と動 力

〔１〕 仕

事

"仕 事 を す る"と

い うの は

  力 を 物 体 に 働 か せ,あ

,ど

う い う こ と な の か 考 え て み よ う。

る変 位 量 が 生 じた とす る。 こ の とき 力 は 仕 事 を し

た と い う 。 仕 事 の 量 Ｌ は,力

の 大 き さ Ｆ(ま

た はFcosθ),こ

れ と同 じ

方 向 の 変 位 量 Ｓ と す れ ば(図4・1(a),(b)), L=F・

Ｓ

(ま た はL=F・Scosθ)

(4・1)

で表 さ れ る。

(ａ)力 の作 用 線 と変 位 の 方 向 が 一 致 す る場 合

(ｂ)力 の作 用 線 と変 位 の方 向 が θだ け ず れ る場 合 図4・1

仕 事 の 単 位 は,力

〔 Ｎ 〕,変 位

〔 ｍ 〕 よ り,〔N・m〕=〔J〕

を 用 い る。

〔注 〕  L=1N×1m=1N・m(ニ 10-7J=1erg(エ

ュ ー ト ン ・ メ ー ト ル)=1J(ジ

ュ ー ル)

ル グ)

(1erg=1erg×1cm)…

…こ れ は 単 位 が 小 さ い の で,機

械 力学 で

は ほ とん ど使 わ な い。

<参 考>重

力 の 単 位 系 で はL=1kgf×1m=1kgf・m=9.8N・m=9.8J

例 題4・1物

体 に 力300Nを

仕 事 は 何N・mに

加 え な が ら,そ

な る か 。 ま た,何

の 方 向 に10m移

動 さ せ た と き,

Ｊに な る か 。

〔考 え方 〕 式(4・1)の 考 え 方 に よ る。 〔解 き方 〕 求 め る仕 事 を Ｌ とす れ ば, L=300×10=3000〔N・m〕,3000〔J〕

答(3000Nm,3000J)

例 題4・2あ kJか

る物 体 を1000Nの

力 で10m引

き上 げ る の に 必 要 な 仕 事 は 何

。

〔考 え 方 〕 加 え る 力 の 大 き さ を考 え,変

位 量 を掛 け れ ば よい 。

〔解 き方 〕 力 を Ｆ,変 位 量 を Ｓ で示 せ ば, L=F・S=1000×10=10000〔N・m〕=10〔kJ〕

答(10kJ)

例 題4・3２

力 を 加 え て 物 体 を10m動

ぞ れ200N,300Nで,こ す れ ば,仕

か し た 。 た だ し,力

の 大 き さ は,そ

れ ら が 変 位 の 方 向 と な す 角 は,15°,20°

れ

で あ った と

事 の総 量 は い く らか 。

〔考 え 方 〕 式(4・1)の 考 え 方 に よ る。 〔解 き方 〕 求 め る仕 事 の 総 量 を Ｌ とす れ ば,

答(4.75kJ)

問 題4・1図4・2の つ10m前

よ う に,あ

る物 体 を床 面 に 対 して45° 上 方 に50Nの

力 で 引 きつ

進 した 。 仕 事 は 何 Ｊに な るか 。 答(354J)

図4・2

〔２〕 動

力

同 じ仕 事 量 を な し とげ る の に 必 要 な 時 間 につ い て も考 え て み る 必 要 が あ る。 単 位 時 間 に す る仕 事 の割 合 を動 力(仕 事 率)と い う。 い ま,仕 事 Ｌ を時 間 ｔの 間 で す る と きの 動 力 を Ｐ とす れ ば, (4・2) と な り,L=F・Sよ

り,

(4・3) とな る。 動 力 の 単 位 は,F〔N〕,v〔m/s〕

〔注 〕1〔N〕

よ り,〔N・m/s〕,〔J/s〕,〔W〕

×1〔m/s〕=1〔N・m/s〕=1〔J/s〕(毎 =1〔W〕(ワ

１kgf=9.8Nよ

秒 ・１ ジ ュ ー ル の 動 力)

ッ ト)

り

と な る こ と が わ か る 。 な お,式(4・2)か L=P・t

を用 い る。

ら (4・4)

こ れ よ り,動

力 と 時 間 との 積 が 仕 事 に 相 当 す る こ とが わ か る 。

実 用 単 位 で は,735〔N・m/s〕(=〔J/s〕=〔W〕)=75〔kgf・m/s〕 し て 馬 力)と

す る 。1kWh(キ

動 力 １時 間 分 に 相 当 す る 仕事量

例 題4・4あ

ロワ で,大

る 物 体 を,1000Nの

ッ ト時)と

を1PS(仏

馬 力,略

い う 単 位 が あ る 。 こ れ は1kWの

き な 仕 事量 を 表 す と き に 用 い ら れ る 。

力 で ５秒 間 に ３m引

き 上 げ る に は,何J/s

(W)の 動 力 が 必 要 か 。 〔 考 え 方 〕 式(4・2)よ り,動 力 Ｐ を求 め れ ば 答 え を得 る。 〔 解 き方〕 答(600J/s,600W)

例 題4・5地 間 に15m3の

面 か ら水 面 ま で ５mの

深 さ の 井 戸 が あ る 。 こ の 井 戸 か ら,10分

水 を くみ 出 す に は,何J/s(kW)の

  〔 考 え 方 〕15m3の

動 力 が 必要 か 。

水 に か か る 重 力 の 大 き さ が 約9.8×15×1000Nと

な る こ とに気

づ け ば よい。 〔 解 き 方 〕 １秒 当 た りの 仕 事 量(動 力)を Ｐ とす れ ば,

答(1225J/s,1.225kW)

例 題4・6重

さ200N相

当 の 物 体 を ５秒 間 に10m引

き上 げ る と きの 動 力 を 求

め よ。   〔 考 え 方 〕 式(4・3)よ

り,

  〔解 き 方 〕 求 め る動 力 Ｐ は,

答(400J/s)

例 題4・7回

転 数250rpmで,20PSの

エ ン ジ ン が あ る。 こ の 動 力 を 腕 の 長

さ １mの 摩 擦 動 力 計 で 測 定 す る と き,台 ば か りの 指 針 は 何 Ｎ(ま た は 何kgf) を指 す か。 〔考 え 方 〕

ま た,

よ り,

た だ し,ｒ は 腕 の 長 さ,Ｎ

は 回 転 数 とす る。

  〔解 き方 〕 求 め る 力 Ｆ は,上

式 か ら,

答(561N,57.2kgf)

例 題4・8重

量2000kNの

36km/hの

列 車 が,駅

を ス タ ー ト し て 等 加 速 度 で1.5分

速 度 に な っ た 。 抵 抗 を 考 え な い も の と す れ ば,機

kJ/s(kW),(PS)か 〔考 え 方 〕

関車 の動 力 は何

。

式(4・3)P=F・vよ

こ こ の,ｖ は 平 均 速 度 。

り,

〔解 き方 〕 求 め る動 力 Ｐ は,上

735N・m/s=1PSで

後 に,

式 か ら,

あ る か ら,

答(113.4kJ/s,113.4kW,154.3PS)

問 題4・2600N(61kgf相 kmで

走 る に は,何PS必

20mm,空

当)の オ ー トバ イ に 体 重600Nの 要 か 。 た だ し,車 輪 の 直 径 は500mmと

人 が 乗 っ て,時 し,こ

速60

ろ が り摩 擦

気 抵 抗 そ の他 は 考 え な い もの とす る 。 答(2.18PS)

問 題4・3人 が 乗 っ て 重 力 の 大 き さ が1000N(約102kgf相 当)の オ ー トバ イ で ス タ ー ト して ,等 加 速 度 で10秒 後 に40km/hの 速 度 に し た い 。 抵 抗 を考 え な い も の とす れ ば,何PS必

要 か。 答(0.857PS)

4・2  エ ネ ル ギ

〔１〕  い ろ い ろ な エ ネ ル ギ

  仕 事 を な し得 る能 力 の こ とを エ ネ ル ギ とい う。 高 い 所 の 物 体,変

形 した

物 体 な ど が もつ エ ネ ル ギ を位 置 エ ネ ル ギ(図4・3(a)),運 動 して い る物 体 の もつ エ ネ ル ギ を運 動 エ ネ ル ギ(図(ｂ)),こ れ らの 両 エ ネ ル ギ を総 称 して 機 械 エ ネ ル ギ とい う。   エ ネ ル ギ に は,こ

れ らの ほ か に 熱 エ ネル ギ,電 気 エ ネ ル ギ,化 学 エ ネ ル

ギ,原 子 核 エ ネ ル ギ な どが あ る(図(c)∼(f))。

〔２〕 位 置 の エ ネ ル ギ

 高 さ ｈ の と こ ろ に,重 量 Ｗ の物 体 が あ る もの とす る。 この 物 体 は重 量 Ｗ に よ っ て,ｈ だ け 変 化 す る 能 力,い

い か え れ ば,Whの

仕 事 を な し得

る能 力 を も っ て い る。 こ れ を,こ の 物 体 の もつ 位 置 エ ネ ル ギ と い い,Ｕ と表 せ ば, U=W・h と な る 。 単 位 は,W〔N〕,h〔m〕

例 題4・9断

面 が １辺10cmの

よ り

正 方 形,長

〔N・m〕,〔J〕

を用 い る。

さ １mの 角 柱 鋼 材 が あ る。 こ れ を

(ｃ)熱

エ ネル ギ

(ｂ)運 動 エ ネ ル ギ

(ａ)位 置 エ ネル ギ

(ｄ)電 気 エ ネル ギ (ｅ)化 学 エ ネ ル ギ

(ｆ)原 子 核 エ ネ ル ギ 図4・3

水 平 面 に 倒 し て 置 く と き と,立 だ し,鋼

材 の 比 重 を7.86と

て て 置 く と きの位 置 エ ネ ル ギの 差 を求 め よ。 た

す る。

  〔考 え 方 〕 鋼 材 の 重 さ と,重 心 の 高 さ の 差 に よ る位 置 エ ネ ル ギ を考 え よ 。 単 位 に 注 意。

〔解 き方 〕 鋼 材 の 重 さ を Ｗ とす れ ば,

求 め る位 置 エ ネ ル ギ の 差 は,

答(347J)

問 題4・4図4・4の

よ うに,落

当10kN(約1020kgf)当

差30mあ

る小 発 電 所 が あ る。 こ の 貯 水 池 の 水 重 力 相

た りの もつ 位 置 エ ネ ル ギ を 求 め よ。 答(30kJ)

図4・4

〔３〕  ば ね の エ ネ ル ギ

 変 形 さ れ た ば ね は,弾 性 の 限度 内 で は 元 の 形 に戻 る ま で の仕 事 を 成 し得 る能 力 を も っ て い る。 これ が ば ね の エ ネ ル ギ で あ る。 ば ね の 変 形 量 は 外 力 に 比例 す る(1・2節 〔1〕(a)参 照)こ とか ら,外 力 を Ｆ,変 形 量 を δで 表 せ ば, F=kδ

とな る。   比 例 定 数 ｋ を ば ね 定 数 とい い,ば に 必 要 な 力 の 大 き さ を表 す。

ね を単 位 長 さ だ け 伸 び 縮 み させ る の

 ば ね の エ ネ ル ギ を Ｕ とす れ ば,平 均 力1/2Fと 変 位 δ との 積 と な る か ら, (4・6)

と な り,図4・5で,△OABの

面 積 で 表 され る。

図4・5ば 単 位 は,k〔N/m〕,δ

ねのエネルギ

〔m〕 よ り,〔N・m〕,〔J〕

を用 い る 。

例 題4・10あ

る コ イル ば ね に400Nの

度 内 で ７cm伸

び た 。 ば ね が た くわ え た エ ネ ル ギ は 何 Ｊか。

  〔考 え方 〕 式(4・6)U=1/2F・

力 を作 用 させ た。 そ の ば ね は 弾 性 の 限

δ よ り,

〔解 き方 〕 答(14J)

例 題4・11弾 0.06m伸

性 の 限 度 内 で,0.01m伸

ば し た と き,何

ば す の に100Nの

力 を 要 す る ば ね は,

Ｊの位 置 エ ネ ル ギ を もつ か 。

  〔 考 え 方 〕 式(4・6)に よ る 。 〔 解 き方 〕 求 め る位 置 エ ネ ル ギ を Ｕ とす れ ば,

よ り

答   (18J)

問 題4・5２m伸 度 内 で30m伸

ば す た め10Nの ば し た と き,ゴ

力 が必 要 な長 い ゴム索 が あ る。 この 索 を弾性 の 限

ム 索 の もつ 位 置 エ ネ ル ギ は い く らか 。 答(2250J)

〔４〕 運 動 エ ネ ル ギ

  速 度 ｖ で運 動 して い る重 さ Ｗ の 物 体 が あ る。 こ の と き,物 体 が も っ て い る エ ネ ル ギ を運 動 エ ネ ル ギ とい う。 こ の 値 を Ｋ とす れ ば,Ｋ

は物 体 が

静 止 す る ま で に す る仕 事 に 等 し い。 い ま,物 体 に 運 動 の 反 対 向 きの 力Ｆ を加 え,静

止 す る まで に Ｓ だ け移 動 した とす れ ば,加

速 度 を α とす る

と,

と な り,K=F・Sよ

り,

(4・7)

と な る 。 単 位 は,仕

例 題4・12重

事 の 単 位 と 同 じ で,〔N・m〕,〔J〕

量10kN(1020kgf相

で あ る。

当)の 乗 用 車 が40km/hで

走 っ て い る。

この 乗 用 車 の 運 動 の エ ネ ル ギ を求 め よ。 〔考 え 方 〕

式(4・7)に

よる。

〔解 き方 〕 答(62.9kJ)

問 題4・6重

量5kN(510㎏f相

当)の 物 体 が1.5 m/sの

速 度 で 降 下 し て い る。 こ の

物 体 の 運 動 エ ネ ル ギ は い く らか 。 答(574J)

〔５〕 エ ネ ル ギ 保 存 の 法 則

  エ ネ ル ギは,一 般 に,現 象 の変 化 に伴 っ て そ の形 を変 え る が,そ

の変化

の あ る 時 点 の エ ネ ル ギ の 総 和 は,変 化 前 の エ ネ ル ギ の 総 和 と同 じ で あ る。 これ を エ ネ ル ギ保 存 の 法 則 とい う。 図4・6は,例

と して,落 体 とば ね の 場

合 の エ ネ ル ギの 変 化 を示 して い る。

(ｂ)

(ａ)

図4・6 

例 題4・13重

さ5kN(510㎏f相

れ に ブ レ ー キ を か け て,0.5m/sに エ ネ ル ギ は い くらに な る か。

(ｃ)

エ ネル ギ保 存 の 法 則

当)の 荷 物 が1.5m/sの

速 度 で 降 下 す る。 こ

減 速 し た と す れ ば,ブ

レー キ に 吸 収 され た

  〔 考 え 方 〕 減 速 し た た め に,運 が,ブ

動 の エ ネ ル ギ は 減 少 し た は ず で あ る。 こ の 減 少 分

レー キ の 吸 収 エ ネ ル ギ に相 当 す る 〔 エ ネ ル ギ 保 存 の 法 則 〕。

  〔解 き方 〕 求 め る ブ レ ー キ の 吸 収 エ ネ ル ギ を Ｋ とす れ ば,

答(510J)

例 題4・14重

さ600N(61.2㎏f相

る 。 こ れ が200Nの

当)の 物 体 が,速

抵 抗 を受 け な が ら10m変

は い く ら に な る か 。 ま た,運

度36㎞/hで

走 っ て い

位 し た とす れ ば

変位後 の速度

動 の エ ネル ギ は い くら に な るか 。

  〔考 え方 〕 始 め の 運 動 エ ネ ル ギ は,抵 抗 の た め に 消 費 さ れ た エ ネ ル ギ と変 位 後 の 運 動 の エ ネ ル ギ との 和 に 等 しい こ とに 気 づ け ば よ い 。   〔解 き方 〕 求 め る速 度 を ｖ と す れ ば,

ｖは 正 で あ る か ら,

求 め る運 動 の エ ネ ル ギ を Ｋ と す れ ば,

答(変

例 題4・15高

ま,水

さ30mの

位 後 の 速 度5.89m/s,運

ダ ム か ら,毎

秒10m3の

動 の エ ネ ル ギ1062J)

水 を 落 と し て 発 電 す る。 い

の もつ 機 械 エ ネ ル ギ が他 に失 わ れ る こ とな く,全 部 電 気 エ ネ ル ギ に 変 わ

る もの とす れ ば,何kWの

動 力 が 得 ら れ る か。

  〔考 え方 〕 １秒 間 に流 れ る水 量の もつ位 置 エ ネル ギが,そ の まま電 気エ ネ ル ギに変 わ る と考 えれ ば よ い。

  〔解 き方 〕 １秒 間 に 流 れ る水 の 重 さ は,1000㎏f×10×9.8=98000Nで 位 置 エ ネ ル ギ の １秒 当 た りの 大 き さ,い

いか えれ ば

あ る か ら,

動 力 Ｐ は,

答(2940kW)

例 題4・16 

㎝

図4・6で,W=10N,h1=2m,h2=0.8m,h3=0.6m,k=0.5N/

と す れ ば,図(a),(b),(c)の

エ ネ ル ギ,運

お の お の の 状 態 の 状 態 の 位 置 エ ネ ル ギ,ば

動 エ ネ ル ギ を 求 め,表

に ま と め て み よ。

  〔考 え 方 〕 エ ネ ル ギ 保 存 の 法 則 に 従 い,各   〔解 き方 〕 図4・6(a)の 状 態;位

時 点 の エ ネ ル ギ の 総 和 をみ る。

置 エ ネ ル ギW・h1=10×2=20〔J〕

ばね のエ ネル ギ ０

運 動 エ ネル ギ 図4・6(b)の

状 態;位

置 エ ネ ル ギW・h2=10×0.8=8〔J〕

ばねの エ ネル ギ ０ 運 動 エ ネ ル ギW・h-W・h2=20-8=12〔J〕 図4・6(c)の

状 態;位

置 エ ネ ル ギW・h3=10×0.6=6〔J〕

ば ねの エ ネル ギ

運動 エ ネル ギ

答

ね

問 題4・7 

150m/sの

速 度 で飛 ん で い る重 さ0.6N相

当の銃 弾 の運 動 エ ネル ギは い く

らか。

答(689J)

問 題4・8 

重 さ1.5N相

当 の ボ ー ル を鉛 直 上 方 に 初 速40m/sで

投 げ 上 げ た 。 ２秒 後

の 位 置 エ ネ ル ギ Ｕ と運 動 の エ ネ ル ギ Ｋ と を 求 め よ。 答(Ｕ=90.6J,K=31.8J)

問 題4・9  た,こ

落 差(高 さ)100mの

水9.8kN(１t相

れ が 自 然 落 下 した 高 さ50mの

と を求 め よ 。 さ らに,地

当)の 位 置 エ ネ ル ギ は い く ら か 。 ま

位 置 に お け る位 置 の エ ネ ル ギ と運 動 の エ ネ ル ギ

上 に 達 し た 瞬 間 の 位 置 の エ ネ ル ギ と運 動 の エ ネ ル ギ は ど う な

るか 。

答

高 さ100mの

(

K=490m,地

と き;U=980kJ,K=0,高 上 で;U=0,K=980kJ

さ50mの

と き;U=490kJ

)

５

機 械 の 効 率 5・1力

の 利 用

〔１〕 て こ と仕 事

  図5・1の

よ う に,て

こ で 重 さ Ｗ の 物 体 を 力 Ｆ で 持 ち 上 げ る と きの 仕 事

を考 え て み よ う。   点 Ａ,点 △OBB'で

Ｂ の 鉛 直 方 向 の 変 位 を そ れ ぞ れh1,h2と

す れば

△OAA'∽

あ る か ら, (5・1)

こ のh2 /h1を 速 度 比 とい う。   ま た,式(1・14) よ り,

(5・2)

図5・1て

こ と仕 事

W/ Fを

力 比 と い う。

両 式 よ り, Fh1=Wh2

  これ は,点 して い る。

Ａ で な した仕 事 は,点

(5・3)

Ｂ で な され た 仕 事 に 等 し い こ と を示

問 題5・1図5・2の N(約1.02㎏f相

よ う に,点

Ｃ を支 点 と し て 回 転 で き る て こ が あ る。 点 Ａ に10

当)の 力 を 下 向 き に か け れ ば,点

だ し,AC,BCの

長 さ は300㎜,100㎜

Ｂ に は何 Ｎ の 力が 発 生 す るか。 た

で あ る も の とす る 。 答(30N)

図5・2

〔２〕 輪 軸(段 滑 車)

  図5・3の

よ う に,径

の 違 う大 円 筒(輪),小

円 筒(軸)を

共 通 な軸 に 固 定 し

た も の を 輪 軸 と い う。

図5・3輪

軸(段 滑 車)

図 か ら モ ー メ ン トの つ り合 い を 考 え る と, (5・4)

が 成 り立 つ 。

例 題5・1軸

の 径100㎜

の 輪 軸 が あ る 。 こ の 軸 に ロ ー プ を 巻 き つ け,こ

れ

で1000N(102kgf相 は,輪

当)の 荷 物 を200N(20.4kgf相

当)の 力 で 引 き 上 げ る に

の径 を い くら にす れ ば よ いか 。

  〔考 え 方 〕 式(5・4)に よ る。   〔解 き 方 〕 輪 の 径 を Ｄ とす れ ば,

答(500㎜)

問 題5・2図5・4の 滑 車A,Bと で,荷

よ う な 輪 軸(段 滑 車)の 組 合 せ が あ る。 段

も に 輪,軸

重 が500N(約51㎏f相

の 直 径 が そ れ ぞ れ300㎜,100㎜ 等)の と き ロ ー プ の 張 力 Ｆ は い

くら と な る か 。

図5・4

〔３〕 滑

車

  図5・5の

よ う な 輪 を 滑 車 と い い,回

(図(ａ)),回

転 軸 が 移 動 す る も の を 動 滑 車(図(ｂ))と

(ａ)定 滑 車

転 軸 の 位 置 の 動 か な い もの を定 滑 車 い う。

(ｂ)動 滑 車 図5・5

《定 滑 車 》 図5・6で,両

モ ー メ ン トの 腕 が 等 し い か ら, F=W

両 変 位も

等し く ｈ とな る

図5・6定

滑車

図5・7動

滑車

《動 滑 車 》 図5・7で,Ｗ

と2Fと F=W/

の つ り合 い か ら,動

滑 車 の 重 さ を 無 視 す れ ば, (5・5)

2

引 き上 げ る ロ ー プ の 変 位 ｈ'は 仕 事 の つ り合 い か ら,F・h'=W・hよ h'=2h

り, (5・6)

《定 滑 車 ・動 滑 車 の 組 合 せ 》   図5・8(a),(b)の ｎ 組 な ら ば,力

よ う に,定

滑 車,動

滑 車 を 組 ん だ 滑 車 装 置 で は,輪

の数 が

の つ り合 い か ら, 2nF=W

(5・7)

ロ ー プ の 変 位 ｈ'は, F・h'=W・h

(ａ)

(ｂ)

図5・8定

∴

滑 車 ・動 滑 車 組 み 合 わ せ

 h'=2nh

(5・8)

《動 滑 車 の 組 合 せ 》   図5・9の

よ う に,ｎ

個 の 動 滑 車 の 組 合 せ で は,動

は, W×1/2

図5・9動

滑車 の 組 み 合 わせ

滑 車 １個 で ロ ー プ の 張 力

動 滑 車 ２個 で ロー プ の 張 力 は,

動 滑 車 ｎ個 で ロ ー プ の 張 力 Ｆ は, (5・9) ロ ー プ の 変 位h'は,F・h'=W・hよ

り,

h'=2n・h

(5・10)

《差 動 滑 車》

図5・10差

  図5・10の

よ う に,段

動滑車

滑 車 と 動 滑 車 を鎖 で 連 結 し た も の を 差 動 滑 車 と い う。

モ ー メ ン トの つ り合 い か ら,

ロ ー プ の 張 力 Ｆ は,

(5・11) ロ ー プ の 変 位h'は,F・h'=W・hよ

り,

(5・12)

Ｄ と ｄ の差 を大 き くす れ ば,小

さ い 力 で 重 量 物 を持 ち上 げ る こ と が で き る。

チ ェ ー ン ブ ロ ッ ク は,こ

例題

5.2

の 原 理 を 応 用 し た も の で あ る。

図5・10で,D=300mm,d=270mm,w=1000N(約102kgf相

当)と す れ ば,引 〔考 え 方 〕

き上 げ る力 Ｆ は い く らに な るか 。 速 度 比 は ど うか 。

式(5・11),式(5・12)に

よ る。

〔解 き方 〕

答(引

問題

5.3

図5・11は,５

方 を無 視 す れ ば,400Nの に な る か 。 また,荷 mmと

組 の 定 滑 車,動

き上 げ る 力50N,速

度 比1/20)

滑 車 を組 み 込 ん だ 装 置 で あ る。 動 滑 車 の 目

荷 物 を 引 き上 げ る た め に 必 要 な ロ ー プ の 張 力 Ｆ は い く ら

物 を100mm引

き上 げ る ため に 必 要 な ロー プ を 引 っ 張 る 変 位 は 何

な るか。 答   (40N,1000mm)

図5・12

図5・11

問題

5.4

図5・12は,軸

心 を 同 じ く し た ３組 の 定 滑 車 と動 滑 車 と を組 み 合 わ せ た 装

置 を示 して い る 。 動 滑 車 の 目方 を 無 視 した とす れ ば,300Nの 引 っ張 る ロー プ の 張 力 Ｆ は どれ ほ ど に な るか 。

荷 物 を 引 き上 げ る の に

  ま た,引

っ張 る ロー プ の 変 位 を100mmと

した と き,荷 物 の 変 位 は どれ ほ ど に な る

か。 答   (50N,16.7mm)

問題

5.5

図5・13に

示 す よ う に,半

径150mm,100mm,50mmの

差 動 滑 車 が あ る 。 こ の 差 動 滑 車 を使 っ て 荷 重300Nの の 目 方 を30Nと   ま た,引

す れ ば,ロ

半 径 を もっ た

荷 物 を 引 き上 げ た い 。 動 滑 車

ー プ を 引 っ 張 る 力 Ｆ は どれ ほ ど に な る か 。

っ 張 る ロ ー プ の 変 位 が100mmの

と き,引

き上 げ られ る荷 物 の 変 位 は どれ

ほ ど に な るか 。 答   (55N,16.7mm)

図5・13

問題

5.6

図5・9の 動 滑 車 の 組 合 せ に お い て,動

滑 車 が ４個,荷

重 が600Nの

場合

の ロー プ の 引 張 り力 を 求 め よ。 答   (37.5N)

〔４ 〕

摩 擦 の な い斜 面

  図5・14の よ う に,傾 斜 角 θ,長 さ ｌの 斜 面 に 重 さ Ｗ の 物 体 を 乗 せ, 摩 擦 の な い斜 面 に 平 行 な 力 Ｆ で,高

さ(落 差)ｈ だ け 引 き上 げ る と きの 仕

事は

図5・14摩

擦 の な い斜 面

(5・13)

(5・14)

  式(5・13)は,θ し,式(5・14)は

が 小 さ け れ ば,引

き上 げ る 力 が 小 さ くて す む こ と を 示

仕 事 が θ に 関 係 な く,物

体 を 鉛 直 に 引 き上 げ る の と 同 じ

で あ る こ とを示 して い る。

仕事の原理

(５)

  て こ ・輪 軸 ・滑 車 ・斜 面 な ど,い ず れ も小 さ な 力 で 大 き な 力 が 得 られ る こ とが わ か っ た 。 一 方,仕 事 は 増 加 も減 少 もな い 。 機 械 の 運 動 部 分 に 摩 擦 が な け れ ば,加 え た エ ネ ル ギ は,な

され た仕 事 に 等 しい。 これ を仕 事 の 原 理

とい う。

問題 100Nの

5.7

図5・15の

物 体 を乗 せ,斜

よ うに,傾

斜 角45゜ で 十 分 な 長 さ の 摩 擦 の な い 斜 面 に,重

面 に 平 行 な 力 で斜 面 を1 .5m引

さ

き上 げ た 。 こ の 場 合 の 仕 事 は

い く らか 。 答 

(106.1J)

図5・15

問題

5・8

あ る滑 ら か な摩 擦 の な い 平 ら な 斜 面 の 上 に 沿 っ て,500Nの

物体 を落差 ２

ｍ 引 き上 げ た。 仕 事 は い く らか 。 答  (1000J)

5・2

実 際 の 機 械 が,外

機械の効率

に 働 く仕 事 は,そ の た め に 与 え られ た エ ネ ル ギ よ り小 さ く

な る。 こ れ は 摩 擦 の た め,与

え ら れ た エ ネ ル ギ の 一 部 が 消 費 さ れ るか ら で あ

る。 そ こ で,摩 擦 が 機 械 に及 ぼ す 影 響 につ い て 考 え て み よ う。

〔 １〕

(ａ)

摩 擦 の あ る斜 面

斜 面 に平行 な力 を加 え る場合

図5・16で,物

体 を 引 き 上 げ る 力 を Ｆ,摩

擦 力 を ｆ と す れ ば,

(5・15)

動 摩 擦 係 数 μ=tanφ

よ り,

図5・16摩

擦 の あ る斜 面

(5・16)

斜 面 に 沿 っ て ｌだ け 引 き 上 げ る 仕 事 は,式(5・15)よ

り,

(5・17)

μ・W・Sは

摩 擦 に よ る 消 費 エ ネ ル ギ,w・hは

位 置 エ ネル ギの増 加 で あ

る。

例題

5・3

傾 角10゜ の 斜 面 に,重

引 き 上 げ る に は,何

さ100Nの

物 体 を 乗 せ,斜

Ｎ の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩

〔 考 え 方 〕 式(5・16)に

擦 角 は20゜

面 に平 行 な 力 で とす る。

よ る。

〔解 き方 〕 求 め る力 を Ｆ とす れ ば,

答   (引 き上 げ る 力53.3N) 〔注 〕 答 の 数 値 は 切 り上 げ 値 とす る。

例題

5・4

例 題5・3と 同 じ状 態 で,物 体 を引 き下 げ る場 合 の 力 を求 め よ。

  〔 考 え 方 〕 式(5・15)を 作 る と こ ろ に 戻 っ て 考 え て み よ う。 引 き下 げ る 力 Ｆ と,物 体 自身 で す べ り落 ち よ う とす る力W・sinθ θ と等 し い わ け で あ る。

との 和 は,抵

抗 力(摩 擦 力)tanφ ・W・cos

〔解 き方 〕 上 記 の 考 え方 か ら,

答  (引 き下 げ る 力18.5N)

例題

5・5

1 /2こ う配 の 斜 面 上 に,50Nの

で 引 き上 げ る と す れ ば,い

で,h=2mか

1 /2こ う 配 と は,水 ら,S=2×2=4mと

〔解 き 方 〕 F.l=μ

れ を ２ｍ の 高 さ に ま

く ら の 仕 事 を す る こ と に な る か 。 た だ し,物

面 と の 間 の 摩 擦 係 数 を0.2と 〔 考 え方 〕

物 体 を 乗 せ,こ

体 と斜

す る。

平 に ２ｍ 進 む と 高 さ １ｍ 増 加 す る こ と を意 味 す る の な る 。 式(5・17)を

用 い て解 く。

・W・S+W・h=0.2×50×4+50×2=140〔N・m〕

答   (引 き上 げ る仕 事140J)

例題

5・6

1 /5こ う 配 の 斜 面 上 に,50Nの

引 き下 げ る に は,い 摩 擦 係 数 を0.3と

れ を 高 さ に し て １ｍ

く ら の 仕 事 を 必 要 とす る か 。 た だ し,物

体 と斜 面 と の 間 の

す る。

〔考 え方 〕 例 題5・4と

同 様 に考 え て,

F+W・sinθ=μ

F・l=μ

物 体 を 乗 せ,こ

・Wcosθ

・W・S-w・h

とな る こ とが わ か る。 こ れ は式(5・17)のW・hの

符 号 が 変 わ っ た 形 で あ る。

〔解 き 方 〕 上 記 よ り, F・l=0.3×50×5-50×1=25〔N・m〕

答   (引 き下 げ る仕 事25J)

問 題5・9傾

角15゜ の 斜 面 に,重

げ る に は,何

Ｎ の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩 擦 角 は30゜ とす る。

さ100Nの

物 体 を 乗 せ,斜

面 に 平行 な力 で引 き上

答   (81.7N)

問 題5・10図5・17の

よ う に,傾

平 行 な 力 で 引 き 下 げ る に は,何

角15゜ の 斜 面 に 重 さ100Nの

物 体 を 重 せ,斜

面に

Ｎ の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩 擦 角 は30゜ で あ る も の

とす る。 答 

(29.9N)

図5・17

問 題5・111/4こ

う 配 の 斜 面 上 に,50Nの

上 げ るに は,摩

物 体 を乗せ,こ

れ を高 さ に し て1.5m引

擦 に よ る消 費 エ ネ ル ギ は い く らか 。 ま た,位

置 エ ネ ル ギ の 変 化 と仕 事

と を求 め よ。 た だ し,物 体 と斜 面 との 摩 擦 係 数 は0.3と す る。 答   (90J,75J,165J)

(ｂ)斜 面 上 の 物 体 に水 平 な 力 を加 え る場 合   図5・18で,物 力 は,Ｗ

体 を水 平 力 Ｆ に よ り押 し上 げ る場 合,Ｆ

の 斜 面 方 向 の分

の 斜 面 方 向 の 分 力 の 大 き さ と,Ｆ に よ り増 加 し た摩 擦 力 との 和

に 等 しい 。 式 で示 せ ば,

右 辺 の 分 子 ・分 母 をCOSθ

で 割 れ ば,

き

(5・18)

図5・18

∴  F=W・tan(φ+θ)

〔注 〕  式(５ ・19)は,正

接 の加法

(5・19)

を利 用 して変 形

定理

した もの で あ る。

例題

5・7

傾 角20゜ の斜 面 上 に100Nの

押 し上 げ る に は,ど

物 体 が あ る。 これ に 水 平 力 を 加 え て

〔考 え 方 〕 式(5・19)の

れ ほ どの 力 が 必 要 か 。 摩 擦 角 は10゜ とす る。 考 え 方 に よ る。

〔解 き方 〕 求 め る力 を Ｆ とす れ ば, F=100tan(10゜+20゜)=100×0.577=57.8〔N〕

答   (57.8N)

例題

5・8

傾 角10゜ の 斜 面 上 に100Nの

て 引 き 下 げ る に は,ど

物 体 が あ る。 こ れ に,水

れ ほ ど の 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩

平 力 を加 え

擦 係 数 を0.3と

す る。

〔考 え方 〕 式(5・18)の 作 り方 に 戻 っ て 考 え て み よ う。 題 意 か ら、 Ｆ の 斜 面 方 向 の

分 力 と Ｗ の 斜面 方 向の分 力 との和 が,Ｆ に よって減 少 した摩 擦 力 と等 しい こ とに気 づ け ばよい。

〔 解 き 方 〕 上 記 の こ とか ら,図5・19に

も とづ い て 式 を 立 て る と,

図5・19

答   (引 き下 げ る 力11.75N) 〔注 〕 上 式 で,μ=tanφ

と な り,こ

れ は 式(5・19)の

と 置 き換 え れ ば,水

平 に 引 きお ろ す 力 Ｆ は,

θ の 符 号 を 変 え た 形 で,φ<θ

な ら ばF<0と

な り,す

べ

り落 らて し ま う こ とが わ か る 。

例題

40゜ の 斜 面 に 重 さ500Nの

5・9

物 体 を 乗 せ,こ

に 水 平 方 向 に 支 え る 力 を 求 め よ 。 た だ し,μo=0.25と  〔 考 え 方 〕 水 平 に 支 え る力 の 斜 面 方 向 分 力F・cosθ W・sinθ

か ら摩 擦 力 μ(W・cosθ+F・sinθ)を

い。

〔解 き 方 〕

れ が す べ り落 ち な い よ う す る。

は,す

べ り落 ち よ う とす る 力

引 い た大 きさに な る こ とに気づ けば よ

答   (水 平 に 支 え る 力244N)

問題

傾 角30゜ の 斜 面 上 に50Nの

5・11

げ る に は,ど

物 体 が あ る。 こ れ に 水 平 力 を 加 え て 押 し上

れ ほ どの 力 が 必 要 か 。 た だ し,摩 擦 係 数 μ=tan20゜

で あ る もの とす る。 答   (59.6N)

問題

5・13

図5・20の

よ う に,20゜ の 斜 面 上 に300Nの

を水 平 力 Ｆ で 引 き下 げ る とす れ ば,水 物 体 との 間 の 摩 擦 係 数 は0.5と

物 体 を 乗 せ て あ る。 こ の 物 体

平 力 Ｆ は 最 低 何 Ｎ 必 要 か 。 た だ し,斜

面 と

す る。 答   (34.6N)

図5・20

〔２〕

(ａ)

く さび の 打 ち込 み と抜 き取 り

くさび の 打 ち込 み

  図5・21の よ うに,頂

角2θ,接

触 面 へ の 直圧 力 を Ｒ とす れ ば,く

さび

を打 ち 込 む 力 Ｆ は,直 圧 力 と摩 擦 力 の そ れ ぞれ くさ び の 中心 線 方 向 の 分 力 の ２倍 と等 しい か ら,こ れ を式 で示 す と, (5・20) ま た,

(5.21)

図5.21 

問 題5・14 

く さ び の 頂 角20°,直

くさ び の 打 ち 込 み

圧 力20N,摩

擦 係 数 μ=tan10°

の と きの く さ び を

打 ち込 む 力 を 求 め よ 。 答   (13.9N)

(ｂ)く

さび の 抜 き取 り

  図5・21で,く

さび を 抜 き取 る力 を Ｆ'と す れ ば,Ｆ'と

直圧 力 の中心 線

方 向 の 分 力 の ２倍 との 和 は,摩 擦 力 の 中 心 線 方 向 の 分 力 の ２倍 と等 しい 。   式 で示 す と,

(5.22) ま た,μ=tanφ

よ り,

(5.23)

〔注 〕 式(5・23)か ら,φ<θ

の と きはF'<0と

な るか ら,く

さび は 自然 に抜 け て し

ま う こ とが わ か る。

問 題5・15 

くさ び の 打 ち込 み で,摩

に す る た め に は,く

擦 係 数 が0.35の

と き,自 然 に 抜 け て こ な い よ う

さ び の 頂 角 は 最 大 何 度 よ り小 さ く した ら よ い か 。 答(38.58°)

〔３〕 ね じ を ま わ す 力

  図5・22の ね じで は,こ

よ う に,ね

じ は 円 筒 に 斜 面 を 巻 き つ け た も の と考 え ら れ る 。

の 斜 面 の 傾 角 を リー ド角(つ る 巻 角)と い う °

図5・22

い ま,軸

方 向 の 荷 重 Ｗ,摩

る 力(水 平 力)Ｆ

は,式(5・19)よ

擦 角 φ,ね

じれ 角 φ と す れ ば,ね

り,

(5.24)

F=W・tan(φ+θ) ね じ を ゆ る め る 力(水 平 力)Ｆ'は,例 F'=W・tan(φ-θ)

じ を締 め

題5.8の

〔注 〕 の 式 よ り,

(5.25)

《ね じを締 め る モ ー メ ン ト》   図5・23で,ね え,こ

じの 平 均 径(接 触 圧 力 は,ね

じ 山 の 高 さ の 中 点 に か か る と考

の 直径)を ｄ,ピ ッチ(ね じ １回転 の 軸 方 向へ の 進 み)を ｐ とす れ ば,

(5.26)

(ａ)角 ね じ

(ｂ)三 角 ね じ 図5・23 

(ｃ)台 形 ね じ

摩擦係数の 違い

ね じ を 締 め る モ ー メ ン ト Ｍ は,式(5・24)よ

り,

(5.27) ね じ を ゆ る め る モ ー メ ン ト Ｍ'は,式(5・25)よ

り,

(5.28) 〔注 〕 式(5・24)∼(5・28)は 擦 角,摩

い ず れ も角 ね じの 場 合 で,三

角 ね じ,台 形 ね じ な どの 摩

擦 係 数 は 補 正 値 を用 い る(図5・23(a),(b),(c))。

《ね じの 効 率 》 ね じ に 力 Ｆ を 加 え て １回 転 す る と き,仕 Ｗ の 物 体 を ピ ッ チ ｐ だ け 動 か す か ら,ね

事 はF・ π・dと な り,ね

じ の 仕 事 はW・pと

じは 重 さ

な る ° こ れ ら を,

(5.29)

と表 し,η(イ

〔注 〕 %ね

ー タ)を ね じ の 効 率 と い う 。

μ=tanφ=0の

と き は,φ=0°

と な り,η=1と

な る か ら,与

え た 仕 事 は100

じの 仕 事 に 変 わ る こ とが わ か る 。

例 題5・10平

均 径20.4㎜,ピ

じ の 軸 方 向 に,15000Nの る と す れ ば,何

ッ チ2.5㎜

の ね じ を 用 い て,あ

力 で 締 め つ け た い 。 長 さ400㎜

Ｎ の 力 が 必 要 か 。 た だ し,補

〔考 え 方 〕 式(5・27)か ら,μ や (5・26)を 参 照 す る こ と。 な お,ス

老

る物体 をね

の スパ ナ を用 い

正 し た 摩 擦 係 数 を0 .1と す る 。

を 含 む 式 に 変 形 す る。 式(5・19)の 導 き 方 と式

パ ナ で 締 め つ け る モ ー メ ン トは,ス

パ ナ の 長 さ と,

加 え る 力 の 積 に な る こ と は い う ま で も な い。 〔解 き 方 〕

求 め る 力 をF0と

す れ ば,

答   (53.4N)

問 題5・16図5.24の

000N相

よ う に,平

当 で あ る と き,長

さ300㎜

均 径20.4㎜,ピ

ッ チ2.5㎜

で,荷

重

Ｗ が1

の ス パ ナ で ハ ン ガ ー 上 部 の ナ ッ ト を締 め 上 げ る

も の とす る。 補 正 し た 摩 擦 係 数 は0.1と す る。   こ の 場 合,ス

パ ナ を ま わ す の に何 Ｎ の 力 が 必 要 か 。 答   (4.75N)

図5・24

〔４〕   軸 受 の 消耗 動 力

  図5・25は,軸 軸 径 をd〔m〕,摩

と 軸 受 を 示 す ° い ま,荷

重W〔N〕

擦 係 数 を μ と す れ ば,軸

がN〔rpm〕

が 軸 受 面 に か か り, の ときの消耗動 力

Pω は,

(5.30)

図5.25軸

〔注 〕 式(4・3)のp=F・vよ

り,式(5・30)が

２πγN/60あ る い は(πdN/60)と

と軸 受

求 め ら れ る。 摩 擦 力 μＷ と 周 速 度

の 積 が 消 耗 動 力 とな る 。

問 題5・17 

図5・26の よ う な 重 さ800Nの

が,500rpmで

フ ラ イ ホ イー ル を 支 え る 半 径20㎜

回転 して い る 。 軸 受 け の 摩 擦 係 数 μ=0.1と

す れ ば,消

の軸

耗動力はお よ

そ何 Ｗ か 。 答   (83.8Ｗ)

図5・26

図5・27

問 題5・18図5・27の られ,時

速30㎞

よ う に,重

量10000Nの

車 が 半 径30㎜

の 速 度 で走 っ て い る ° 車 輪 の 直 径 が800㎜

平 等 に荷 重 を受 け て い る も の とす れ ば,全 し,摩 擦 係 数 μ=0.05で

の ４個 の 軸 受 に 支 え と し,４ 個 の い ず れ も

軸 受 け の 消 耗 動 力 は お よ そ何 Ｗ か 。 た だ

あ る も の とす る。 答   (313Ｗ)

〔５〕   機械の効率

  機 械 に 与 え られ た 全 仕 事 は,直 接 に 目的 の 仕 事 をす る有 効 仕 事 と摩 擦 に よ る損 失分 に 当 た る無 効仕 事 とに 変 化 す る。 有 効 仕 事 の 全 仕 事 に 対 す る割 合 を 効 率 と い う。 式 で 示 せ ば,次 の よ うに な る。

(5.31) 全仕事=有 効仕 事+無 効 仕事

例 題5・11径30㎜

の 軸 が,軸

受 面 を500Nの

で 回 転 し て い る 。 摩 擦 係 数 が0.05で,軸

力 で 押 し つ け て,180rpm

受 の 効 率 が70%と

す れ ば,必

要 な動

力 は い くらか 。 〔 考 え 方 〕 無 効 仕 事 を 算 出 し て,効 率 か ら全 仕 事 を得 る。 特 に,単 位 に 注 意 。 〔 解 き 方 〕 無 効 仕 事(消 耗 動 力)を Ｐω と す れ ば,式(5・30)よ

り,

必要動 力(全 仕事)は,

答   (23.6J/s,23.6W)

例 題5・12 

３kWの

動 力 が 供 給 さ れ て,0.2m/sの

速 度 で 重 さ10000Nの

荷

物 を上 げ る ク レー ンの 効 率 を求 め よ。   〔 考 え 方 〕 式(4・3)のP=F・ は3000Ｗ

υ よ り,有 効 仕 事(動 力)はW・

υ 〔W〕,全 仕 事(動 力)

。

  〔 解 き 方 〕 求 め る効 率 は,

答(66.6%)

問 題5・19あ

る モ ー タ に,2kWの

動 力 を 供 給 して,1400J/sの

有 効 仕 事(動 力)が

み られ た 。 効 率 は い く ら か 。 答   (70%)

問 題5・20 

10kNの

ち ょ う ど150馬

自動 車 が 時 速70㎞

の 時 点 で,2m/s2の

力 発 生 して い る も の とす れ ば,こ

加 速 を して い る と き,

の 自動 車 の 効 率 は い く らか 。 答   (35.9%)

６

回

転

体

6・1ト

  歯 車 や ベ ル ト車 な ど,回 メ ン ト)と い う。 図6・1の 離 に あ る 点 Ａ が,接

よ う な 回 転 体 で,Ｏ

線 方 向 の 力 Ｆ を 受 け,時

照),ト

T=F.r〔N・m〕

ク

転 軸 の ま わ り の モ ー メ ン ト を トル ク(回 転 モ ー

心 角 θ ま わ っ た とす る。 角 速 度 ｗ,周 す れ ば(2・1〔2〕(e)参

ル

を 軸 と し て,Ｏ

か ら γの 距

間 ｔの 間 に Ａ'に 達 し,中

速 度 ｖと

ル ク Ｔ は,

(6.1)

仕 事 Ｌ は,

(6.2) 図6・1 

動 力 Ｐ は,

トル ク

(6.3) ま た,

(6.4)

例 題6・1 

3800rpmで,130N・mの

トル ク の 自動 車 の エ ン ジ ン が あ る。 こ

の 回 転 時 に お け る動 力 は お よ そ何 馬力 か 。

  〔考 え方 〕 式(6・4)を 用 い て,馬

力 に 換 算 す れ ば よ い。 ま た,式

を作 っ て み る と よ

い 。

仕 事L=F・S,

動力

馬 力 を 出 す に は,735N・m/sで 〔解 き 方 〕

求 め る 馬 力 をPSと

割 る(4・1・

〔2〕 参 照)。

す れ ば,

答(約70馬

例 題6・2直

径10㎝

の 歯 車 の 歯 に100Nの

力)

力 が 加 わ りな が ら １秒 間 に1/4

回 転 の 速 さ で 回 転 し て い る 。 こ の 場 合 の トル ク と動 力 を 求 め よ。   〔 考 え方 〕 式(6.1),式(6.4)の

考 え方 で よ い 。 特 に,注

位 を ｍ に す る こ と。 回転 数 は   〔解 き方 〕

意 を し た い の は,直

径の 単

〔rpm〕 な ど で あ る.

トル ク Ｔ は,

動 力 Ｐ は,

答   (ト ル ク5N・m,動

例 題6・3ボ 10㎝,軸

力7.85J/s)

ル ト数 が ４本 の フ ラ ン ジ継 手 が あ る。 ボ ル トの 中心 円 の 直 径 が の 回 転 数 が2000rpm,伝

達 馬 力 が25馬

力 の と き ,１ 本 の ボ ル トに

か か る力 は い く らか 。   〔考 え 方 〕 式(6・4)の Ｐ を馬 力 の 式 に 直 して,さ を求 め,こ

れ を ボ ル ト数 で 割 れ ば よ い。

〔解 き 方 〕

ら に,T=F・

γ と置 き換 え て,Ｆ

ボ ル ト １本 で は, 1755÷4≒439〔N〕 答(１

例 題6・4 

1600rpmで,3kWを

〔考 え 方 〕 式(6.4)の

本 の ボ トル に か か る 力439Ｎ)

伝 え て い る 電 動 機 の トル ク を 計 算 せ よ 。

Ｐ の 式 よ り,ト ル ク Ｔ を 求 め れ ば よ い 。

〔 解 き方〕

答(17.9N・m)

問 題6・1回

転 数 が3500rpmで50馬

力 発 生 す るエ ン ジ ン が あ る。 こ の と き の トル

ク は い く らか 。 答(100.2N・m)

問 題6・2 

ピ ッ チ 円 の 直 径120㎜

の 歯 車 が3500rpmで

回転 し,100馬

力 の動 力 を

伝 え て い る。 トル ク と歯 に 加 わ る力 と を 求 め よ 。 答(200.5N.m,3340N)

6・2  慣 性 モ ー メ ン ト

  図6・2は,回

転 軸 の ま わ り に,重

れ ぞ れ 半 径 γ1,γ2,γ3,…

… で,角

さw1,w2,w3,…

… の 小 物 体 が,そ

速 度 は等 し く ωで 回転 して い る とこ

ろ を示 す 。   こ の 場 合,小 よ り,

物 体 の 回 転 運 動 エ ネ ル ギ の 総 和 Ｋ は,式(2・26),式(4・7)

こ こ で,

(6・5)

と 置 け ば, (6・6)

  こ の Ｊ を慣 性 モ ー メ ン ト と い う。 単 位 は,N・m・s2で

図6・2

あ る。

〔 注〕   慣 性 モ ー メ ン トは,物 部 た し合 わ せ た も の で,値

体 各 部 の 質 量 と 回 転 軸 か ら の 各 距 離 の ２乗 と の積 を全 は 物 体 の 形 や 質 量 の 分 布 状 態,回

転軸 の位 置の違 いな

ど に よ っ て 定 ま る。 Ｊ が 大 きい ほ ど,回 転 運 動 の 状 態 を 変 え に くい 。

《回 転 半 径 》

物 体 の全質 量

が,回 転 軸 か ら半 径 ｋ の と こ ろ の １点 に あ る も の と考

え れ ば,式(6・5)と

同 様 に し て,

(6・7)

と な る° こ の よ う な ｋ を 回 転 半 径 と い う。 ｋ は,ま

た,k>0で,

(6・8)

と な る こ と は,す

ぐ に 理 解 で き よ う。 単 位 は ｍ で あ る。

〔 注 〕 簡 単 な慣 性 モ ー メ ン トや 回 転 半 径 な ど の 値 は,表

表6・1慣

例 題6・5重   〔考 え 方 〕

さ5000N,回 式(6・7)の

を 用 い る(表6・1)。

性 モー メ ン トと回 転 半 径

転 半 径50㎝

の 車 輪 の 慣 性 モー メ ン トを求 め よ。

考 え 方 に よ る。

  〔解 き 方 〕W=5000N,k=0.5mと

す れ ば,求

め る 慣 性 モ ー メ ン ト Ｊ は,

答(128N・m・s2)

例 題6・6慣

性 モ ー メ ン トが10N・m・s2,角

速 度 が6rad/sの

回転 体 の運 動

の エ ネ ル ギ を 求 め よ。   〔考 え 方 〕

式(6・6)の

考 え 方 に よ る。

  〔解 き 方 〕J=10N・m・s2,ω=6rad/sに

よ り,求

め る 運 動 エ ネ ル ギ Ｋ は,

答(180J)

例 題6・7外

径80㎝,内

径60㎝,厚

み(幅)10㎝

る 。 ボ ス や ス ポ ー ク の 重 さ は 無 視 し,比 よ び 回 転 半 径 は,そ

重 を7.6と

さ をr2,W2,厚

ま た,ホ

転 半 径 につ いて

考 え 方 に よ る。

  〔解 き方 〕 中 身 の 詰 ま っ た 円 柱 の 半 径,重

材 料1㎡

性 モ ー メ ン トお

身の 詰 まっ た円筒の 慣性 モー メ ン ト

空 部 分 の 慣 性 モ ー メ ン トを 引 い た も の に 等 し い。 ま た,回

は,式(6・7)の

径,重

す れ ば,慣

れ ぞ れ い く らに な るか。

  〔考 え 方 〕 中 空 な 円 筒 の 慣 性 モ ー メ ン トは,中 か ら,中

の フ ラ イ ホ イー ル が あ

み を Ｂ とす れ ば,求

さ をr1,W1,中

空部分 相 当の 円柱 の 半

め る慣 性 モ ー メ ン トＪ は,表6・1よ

当 た り の 重 さ は,7.6×1000×9.8=74480〔N〕

イ ー ル の 重 さ を Ｗ とす れ ば,求

り,

で あ る か ら,

め る 回転 半 径 ｋ は,

答(20.9N・m・s2,0.354m)

問 題6・3慣

性 モ ー メ ン ト が40N・

ｍ ・s2,角

速 度 が10rad/sの

回転 体 の 運動 エ ネ ル

ギ は い くら か 。

答(2000J)

問 題6・4充

実 球 体 半 径0.2m,比

重7.6の

直 径 を 軸 と し た フ ラ イ ホ イー ル が あ

る。 こ の 慣 性 モー メ ン トと 回 転 半 径 は い く らか 。 答(4.07N・m・s2,0.1265m)

6・3

角運動方程式

  慣 性 モ ー メ ン ト Ｊ の 物 体 に,ト

ル ク Ｔ を 加 え る と き,角

変 化

号 は ω(オ メ ガ ド ッ ト と読 む),単

〔こ れ を 角 加 速 度 と い い,記

〔rad/s2〕 は,ト

速度 の時 間的 位 は

ル ク に 比 例 す る 。 式 で 示 す と,

T=J・

ω

(6・9)

と な る 。 こ れ を 角 運 動 方 程 式 と い う。

図6・3ト

  式(6・9)の

ル ク と角加 速 度

成 り 立 つ 理 由 を 考 え て み よ う。 図6・3の

Ｊ の 物 体 の 軸 心 か ら 半 径 ｒ の と こ ろ に,回 る 。 そ の 結 果,⊿

よ う に,慣

転 力 Ｆ を 時 間 ⊿tの 間 加 え た と す

θ だ け 回 転 し 角 速 度 が ω0か ら ω0+⊿ ω に 増 加 し た とす れ ば,

回 転 運 動 エ ネ ル ギ の 増 加(力

× 変 位)F×r・

⊿θ=T・

⊿θ は,変

か ら変 化 前 の エ ネ ル ギ を 引 い て,

と な り,

性 モー メン ト

(平均 角 加 速 度)で あ る か ら,

化 後 のエ ネル ギ

と な っ て,式(6・9)が

例 題6・8回

得 ら れ る こ とが わ か る。

転 半 径60㎝,重

30秒 間 に100rpmに

達 し た とす れ ば,作

〔考 え 方 〕T=J・

用 い,

量10kN(1020㎏f相

ω で 求 め る が,回

当)の は ず み 車 が あ る。

用 し た トル ク は い く ら に な る か 。

転 半 径 ｋが 与 え ら れ て い る の で,

を

を併 用 し て解 く。

〔 解 き方〕 ば,求

と置 け

め る トル ク Ｔ は,

答(128.2N・m)

例 題6・9重

量60N,長

位 置 とす れ ば,重

さ1mの

心 か ら半 径20㎝

棒 が あ る。 回転 軸 を棒 に垂 直 で 重 心 を 通 る の位 置 に 回転 力20Nを

加 え る と き,ど れ

くら い の角 加 速 度 を生 ず るか 。 〔考 え 方 〕 棒 に 垂 直 で 重 心 を通 る 場 合 の 慣 性 モ ー メ ン トは,表6・1よ

り,

で あ る。 〔解 き 方 〕

式(6・9)よ

り,求

め る 角 加 速 度 ω は,

答(7.84rad/s2)

問 題6・5長 し て,静

さ1m,重

量50Nの

太 さ が 一 定 な均 質 の 棒 が あ る。 こ の 中 点 を軸 心 と

止 状 態 か ら ２秒 間 で360rpmに

回 転 を 上 げ た と き,作

用 し た トル ク は い く

らか。 答(8.01N・m)

6・4

等角加速度運動

  式(6・9)の よ う に,回 転 す る物 体 に 一 定 時 間連 続 し て一 定 の トル クが 働 く と,一 定 の角 加 速 度 を生 ず る。 この よ うな 回 転 運 動 を等 角 加 速 度 運 動 と い う。   等 角 加 速 度 運 動 で は,始 め の 角 速 度 ω0,時 間 ｔ経 過 後 の 角 速 度 ω,角 加 速 度 ω とす れ ば, (6・10)

また,時

間 ｔの 間 の 角 変 位 を θ とす れ ば, (6・11)

式(6・10),(6・11)に

よ り,ｔ

を 消 去 し て, (6・12)

例 題6・10図6・4は,回

転 して い る 円柱 に ブ レー キ をか け て 停 止 させ よ う と

す る装 置 を示 して い る。 こ こ で,記 号 で 示 さ れ た それ ぞ れ の 値 が,次 場 合 の,ブ

の よ うな

レー キ に よ り停 止 す る ま で の 時 間 を求 め よ。

(摩擦 係 数)   〔考 え 方 〕 式(6・9),(6・10)の

両 式 か ら ｔを 求 め る 。 た だ し,ブ

ス の トル ク と して 働 くか ら,角 加 速 度 は 負 に な る。

レ ー キ は,マ

イナ

図6・4

  〔 解 き方 〕 始 め の 角 速 度 ω0,終 わ りの 角 速 度 ω,そ の 間 の 角 加 速 度 マ イ ナ ス ω, 求 め る時 間 を ｔとす れ ば,

ま た,

こ こ で,

(ブ レ ー キ 摩 擦 の モ ー メ ン ト),

(円 柱 の 慣 性 モ ー メ ン ト)よ り(表6・1),

ま た,

答(6.41秒) 問

題6

・67200rpmで

ま わ っ て い る こ ま が ,１

分30秒

で静 止 した。角 加 速 度 は い

く らか 。 答(-8.38rad/s2)

問題 の解答

力 ― ち か ら―

１.

問 題1・17.8×50×40×5×10-3×9.8-764.4〔N〕 問 題1・2150〔N〕+0.001×9.8〔N〕

×50×40×30=738〔N〕

問 題1・3100÷5×2=40〔N〕 縦 …2㎏f→19.6N

問 題1・4

(横 …3㎏f→29.4N 19.6÷2〔N〕=9.8→10㎝(縦)

(29.4÷2〔N〕=14.7→15㎝(横) 問 題1・5例

と し て 解 図 １の よ う に10Nの

き さ を １㎝

力 の大

の 長 さ で 表 し,定 規 や 分 度 器 な ど

を使 っ て 作 図 し ま す 。 合 力 を測 っ て9.8㎝

に な る こ とが わ か り ま

す。 F=10〔N〕 問 題1・6糸

×9.8〔㎝ 〕=98〔N〕(綱

の 張 力)

の 張 力 は 左 右 対 称 で 等 し い か ら,解

図 ２の よ う な 力 の 平 行 四 辺 形 が で き る。 三 角 形 の 部 分 は 正 三 角 形 に な るか ら,合 力 と な る対 角 線 は 糸 の 張 力 と等 し く0.08㎏fと

解図 １

なる。

ま た,0.08×9.8=0.784〔N〕 0.08㎏f,0.784N 問 題1・7解

図 ３ の 力 の 三 角 形 の 作 図 よ り,頭 50〔 ㎏f〕=50×9.8〔N〕=490〔N〕

側440N,足

と し て,

側360N

解図 ２

解図 ３

問 題1・8解

図 ４ の よ う に ゴ ン ド ラ の 重 量 を1500〔

〔N〕=14.7〔kN〕

と し て 計 算 し,矢

㎏f〕=1500×9・8〔N〕=14700

印 の 大 き さ １ ㎝ 当 た り1〔kN〕

れ ば,力

の 三 角 形 の 他 の ２辺 は 約18㎝

〔kN〕,後

方16.6〔kN〕

と な る。

と16.6㎝

前 方18〔kN〕,後

解図 ４

問 題1・9解

図 ５の 作 図 よ り,壁 か ら外 へ 向 っ て28.2〔N〕 。

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形

(ｂ)力 の 多角 形 解図 ５

と して作 図す

と な る の で,前

方 が18

方16.6〔kN〕

問 題1

・10解

図 ６ の よ う に １㎝

を10Nと

し て 作 図 し て ,合

力4.3㎝

よ り約43N°

(合 力) 問

題1・11

解図 ６

(ａ)

(ｂ)

(F=115.6〔N〕,150〔N〕

の 方 向 か ら 左 ま わ り に21°31')

解図 ７ 解図 ８

問題

1・12

問題

1・13

(合 力52.3〔N〕,向

問題

1・14  作 図(解

き Ｘ 軸 正 方 向 よ り 左 ま わ り234°28')

図 ９)に よ り,

(同 方 向:作

用 線 は,棒

の 左 端 よ り右200㎜

を通 り60Ｎ

で45° 左 下 方 向)

(反対 向:作

用 線 は,棒

の 左 端 よ り右600㎜

を通 り20Ｎ

で45° 右 上 方 向)

(１)

(２)

解図9

問題

1・15  支 点 か ら大 人 の 位 置 ま で の 距 離 をx〔 ㎜

〔注 〕 こ の 場 合,体

重 の ㎏fを,そ

れ ぞ れ9.8倍

〕と置 け ば,

し て Ｎ 単位 に 換 算 し て も し な く

て も 答 が 同 じに な る こ と は 理 解 され よ う。

問題

1・16  左 端 か ら支 点 ま で の 距 離 をx〔 ㎜

〕と置 け ば,

問題

1・17

問題

1・18

問題

1・19

問題

1・20

問題

1・21

問題

1・22

問題

1・23

(合 力 の Ｘ 軸 成 分 は+25.6N,Y軸 問題

1・24

成 分 は+17.96N)

問題

問題

(FX=0,FY=0,(合

力=0),モ

ー メ ン ト=0)

(FX=0,FY=0,(合

力=0),モ

ー メ ン ト=0)

1・25

1・26

(支点 の 反 力RA=34N,RB=16N) 問題

1・27

問題

1・28

(力F=30N,反

問題

1・29

力RA=15N,RB=55N)

問題

1・30

解 図10

Ｂ 節 点 で は,水

平 方 向 で,

(１)

垂 直 方 向 で,

(２)

式(1)× √3-式(２)か

ら,

(３)

式(３)を 式(１)に 代 入 し て,

同 様 に,Ａ

垂 直 方 向:

節 点 で は,水

平 方 向:

Ｃ 節 点 で は,

問題

1・31

支 点B,Eで

Ｂ 節 点 で は,水

は,そ

れ ぞ れ50Nの

垂 直 力 が か か る。

平 方 向 で,

(１)

垂 直 方 向 で,

(２) 式(２)-式(1)×

√3か

解 図11

ら,

(３)

式(３)を 式(１)に 代 入 し て,

問 題 1・32支

点B,Eで

は50N,A,C,D節

点 で は-(100/3)Nの

に か か る 。 Ａ 節 点 で は 水 平 方 向 に,

垂 直 方 向 で は,

(１)

Ｂ節 点で は 水 平 方 向 に,

垂 直力 が そ れ ぞ れ

(２)

垂 直 方 向 で は,

(ａ)

(３) 式(１),式(３)を

式(２)に

代 入 し て,

(ｂ)

解 図12

問題

1・33

ab:2730N(引

張 り)

cd:1000N(圧

縮)

ad:2000N(圧

縮)

bd:1414N(引

張 り)

R3=2730N(引

張 り)

R4=2910N(圧

縮)

問 題

解 図13

1・34

ab(反

力R6):250N(圧

縮)

bc(反

力R5):150N(引

張 り)

ad:250N(圧 de:86.6N(圧

縮) 縮)

ef:173N(圧

縮)

af:200N(圧

縮)

ce:173N(引

張 り)

bd:0 cf:173N(引

張 り) 解 図14

問題

1・35 

A-B側

か ら ｘ 〔㎜

〕 と す れ ば,

A-C側

か ら ｙ〔 ㎜

〕と す れ ば,

(A-Bよ 問題

1・36

 左 端 よ り ｘ〔 ㎜

り Ｃ 側 に33.3㎜,A-Cよ

り Ｂ 側 に100㎜)

〕の 位 置 とす れ ば,

(左端 よ り188.5㎜) 問題

1・37

 Ａ よ り右 へ セ ン タ ー 上 で ｘ 〔 ㎜

〕の 位 置 と 置 き,解

図15の

よ うに 線状

に して 分 離 し立 式 す れ ば,

解 図15

(Ａ よ り 中心 線 上 で 右 へ50.9㎜

の と こ ろ)

２.運

問題

2・1

問題

2・2

問題

2・3

動

(海 の 深 さ) (周速 度) ジ ェ ッ ト機 の 時 速

解 図 １,式(2・2)よ

り

(相対速 度)

解図 １

解図 ２

問題

2・4

(解 図 ２)(周

問題

2・5

(男 の 時 速)

問題

2・6

(物体 の加速 度) (走 っ た 距 離)

問題

(物体 の速 度)

2・7

(走 っ た 距 離)

問題

2・8

を,

に 代 入 す る と,

速 度)

ま た,

(物体 の加速 度) 問題

2・9

問題

2・10

問題

2・11

問題

2・12

(落下時 間) (投げ上 げ速度) (ボ ー ル の 初 速)

(最低打 速) 問題

2・13

地 球 の 半 径 を γ とす れ ば,

(ロ ケ ッ トの 秒 速)

問題

2・14

よ り算 出 す る。

(電車が 車 に与 えた力) 問題

2・15前

であ る か

問 と 同 様 に し て,

ら,

(手に 作 用 した 力)

問題

2・16

10000Nの

貨車 が与 えた力 を

と置 け ば,作

18000Nの

貨 車 が受 け た力 を

用 ・反 作 用 の 法 則 か ら,

数 値 を代 入 して,

問題

2・17

問題

2・18

問題

2・19

問題

2・20

問題

2・21

問題

2・22

か ら,

一 定

,

であ る

問 題  2・23

(ボ ー ル に 作 用 した 力) 問題  2・24

WA=WBで

あ る か ら,

(物体 Ｂの速 度) 問題

2・25

(反発 係 数)

問 題  2・26

(反対 向 き)

(反発 係 数) 問 題  2・27

(右向 き)

(反発 係数)

３.  摩

擦

問 題  3・1

(動 き 始 め の 力)

問題

3・2

(動 き始 め の 力)

問題

3・3

問題

3・4

(止め る 力)

(動摩 擦係 数)

問題

3・5

(斜め 上 方 か ら 加 え る 力)

問題

3・6

こ こ で,600Nは

Ｆ が 極 端 に 大 き く な る の で,無

視 で きる くらい 小 さ い と考 え

ら れ る か ら,

(物体 が 動 か な くな る と きの 角 度)

４.仕

問題

4・1

問題

4・2

事 と動 力 と エ ネ ル ギ

(物体 を動 か した仕 事) (R:直

(必要 な馬 力)

問題

4・3

(必要 な 馬 力)

圧 力 の 反 力)

問題

4・4

問題

4・5

問題

4・6

問題

4・7

問題

4・8

(水の 位 置 エ ネ ル ギ) (ゴ ム 索 の 位 置 エ ネ ル ギ)

(物体 の 運 動 エ ネ ル ギ)

(銃 弾 の 運 動 エ ネ ル ギ)

(位 置 エ ネ ル ギ)

問題

4・9

高 さ100mの

位 置エ ネル ギ (位 置 エ ネ ル ギ)

高 さ50mの (運 動 エ ネ ル ギ) (位 置 エ ネ ル ギ)

地上 で (運 動 エ ネ ル ギ)

５  .機

問題

5・1

問題

5・2

問題

5・3

械 の効 率

(点 Ｂ に 発 生 す る 力)

(ロ ー プ の 張 力)

(ロ ー プ の 張 力),

(引 っ 張 る変 位)

問題

5・4

(ロ ー プ の 張 力),

(荷物 の 変 位)

問題

(ロ ー プ の 張 力)

5・5

(荷物 の変 位)

問題

5・6

問題 問題

5・1

問題

5・9

(ロ ー プ の 引 っ張 り 力)

(物体 を引 き上 げ た仕 事) (物体 を引 き上 げた仕 事)

5・8

(引 き上 げ る 力) 〔別 解 〕

問題

5・10

例 題5・4参 照 (引 き下 げ る 力)

〔別 解 〕

問題

(消費 エ ネ ル ギ),

5・11

(位置エ ネル ギの 変化) (仕事)

問題

5・12

(押 し上 げ るの に 必 要 な 力) 〔別 解 〕

問題

5・13

例 題5・8参

照

(物体 を引 き下 げ るの に必 要 な最

低 の水 平 力)

問題

5・14

(く さび を 打 ち 込 む 力)

問題

5・15

sin(φ-θ)＞0な

ら ば よ い か ら,φ

19.29° ＞ θ と な っ て,く

さ び の 頂 角 は19.29°

＞ θ と な り,tanφ=0.35よ ×2≒38.58°

とが わ か る(中 の 値 は 切 り捨 て 値)。 問題

(く さ び の 頂 角38.58°)

スパナ をまわす 力

(スパ ナ を まわ す 力)

5・17

(消耗動 力)

問題

5・18

車 輪 の 直 径0.8mよ

りR=0.4を

代 入

(全軸受 消耗動 力)

問題

よ り

5・19

求 め る効 率 は, (効率)

問題

≒

よ り小 さ く す れ ば よ い こ

5・16

問題

り,φ

5・20

効率 (自動 車 の効 率)

６.回

問題

転 体

6・1

(ト ル ク)

問題

6・2

(ト ル ク)

(歯 に 加 わ る 力)

問題

6・3

式(6・6)よ

り,

(回転 体 の運 動の エ ネル ギ)

問題

6・4

表6・1よ

り,

(慣性 モ ー メ ン ト)

(回転 半経)

問題

6・5

表6・1よ

問題

6・6

式(6・10)よ

り,

(作用 した トル ク) り,

(角加速 度)

付 録 SI単 １.SIと

位 につ い て

は

  SIと は,国 際 単位 系 の略 称 で,各 国 で使 わ れ て きた単 位 系 を 一本 に標 準 化 す る た め に 制 定 さ れ た もの で あ る。 わ が国 の工 学 や産 業界 で は従 来 メー トル系 の 中 の 重 力 単 位 系 が 多 く用 い られ て きた が,現 在 で はSIへ   国 際単 位 系(SI)は,基

の移 行 が急 速 に行 わ れ て い る。

本 単 位 ７個 と補 助 単 位 ２個 お よ び これ らの 単 位 を 掛 け た り,

割 った りす る こ とに よ って組 み立 て られ た 多数 の 組立 単 位 な ら び に10の

整 数乗倍 か ら

な る。SI単 位 とは,こ れ らの基 本 単 位 ・補 助単 位 ・組 立 単 位 の総 称 で あ る。   ま た,SI単

２.SI単

位 の10の

整数 乗 倍 を表 す の に 接頭 語 を用 い る こ とに して い る。

位 へ の切 り換 え の 要 点

(１) 力 の 単 位

㎏fか

  機 械 工 学 関 係 で は,従

らN(ニ

来,力

の 単 位 と し て,質

が 使 わ れ て き た 。 と こ ろ が,同 た め,重

量 １㎏ に 対 す る 重 量 キ ロ グ ラ ム

量 キ ロ グ ラム を 単 位 と して 取 り扱 うの に は不 都

球 の 重 力 の 加 速 度 を 国 際 的 に 標 準 化 しgn=9.80665m/s2と

の 質 量 に1m/s2の

た 。 こ の こ と に よ り,1〔

〔㎏f〕

一 質 量 で あ って も場 所 に よ って 重 力 の 加速 度 ｇ が 異 な る

量 が 違 っ て く る。 そ の た め,重

合 が あ る。 そ こ で,地 ま た1㎏

ュ ー ト ン)へ

加 速 度 を 与 え る 力 を1N(ニ ㎏f〕*=9.80665〔N〕

ュ ー ト ン)で

定 め,

表 す ことに な っ

と し て 重 力 単 位 系 か らSIに 切 り 換 え る こ

と が で き る.

(２) 圧 力 の 単 位

㎏f/㎝2か

圧 力 の 単 位 は,こ

れ まで

ン毎 平 方 メ ー トル

〔N/m2〕

  た と え ば,１

らPa(パ

〔㎏f/cm2〕 と な り,こ

ス カ ル)へ

が 広 く 用 い ら れ て き た が,SI単 れ を パ ス カ ル(Pa)と

〔㎏f/cm2〕=1×9.80665×1002〔N/m2〕=9.80665×104〔N/m2〕

い う。

位 で はニ ュー ト

(約0.1MPa**)

(３) 応 力 の単 位

㎏f/mm2か

らPa(パ

ス カ ル)へ

た と え ば,

(約10MPa)

鋼の縦弾性係数

* 

１㎏fと は.１

㎏ の 質 量 に9 .80665m/s2の

加速 度 を 生 じさ せ るよ うな 力,す

な わ ち9.80665Nに

相

当 す る。 ** 

ｋや Ｍ は 接 頭 語 で あ る。 なお ,接 頭 語 の前 の 数 は,原 則 と して0.1∼1000の る と よ い。

間 に入 る よ うにす

付表 １

ギ リ シア文 字

付 表 ２SI基

量 長

さ

単位の名称

単位記号

メ ー トル

ｍ

本 単 位(抜

萃)

定   メ ー トル は,ク

義

リプ トン86の 原 子 の 準 位2p10と5d5と

の

間 の 遷 移 に 対 応 す る光 の,真 空 中 に お け る波 長 の1650763.73 倍 に等 し い長 さで あ る。

質

量

キ ロ グ ラ ム

  キ ロ グ ラ ム は(重 量 で も力 で も な い)質 量 の単位 であ って,

㎏

それ は国 際 キ ロ グ ラ ム原 器 の質 量 に等 しい。

時

間

秒

 秒 は,セ

ｓ

シ ウ ム133の

原子の基底状態の二つの超微細準位

の 間 の遷 移 に対 応 す る放 射 の9192631770周

期の継続時間

で あ る。

熱力学温度

ケ ル ビ ン

Ｋ

ケ ル ビ ンは,水

の三 重 点 の 熱 力 学 温 度 の1/273.16で

付 表 ３  SI補 助 単 位(抜

量 平

面

単位 の名称 角

ラ ジ ア ン

単位記号 rad

定

あ る。

萃)

義

  ラ ジ ア ン は,円 の 周 上 で そ の半 径 の長 さ に等 しい長 さ の孤 を切 り取 る ２本 の 半 径 の 間 に含 ま れ る平 面 角 で あ る。

付 表4  SI単 位

*  熱 ・電 気 磁 気 ・光 ・音 な ど省 略

付 表 ５  SI接 頭 語

付 表 ６  SI単 位 へ の 切 り換 え 換 算 表

〔注 〕 

1Pa=1N/㎡

〔注 〕 

1P=ldyn・s/㎝2=1g/㎝

・s  lPa・s=1N・s/㎡,1cP=1mPa・s

〔注 〕  

1J=1W・s,1W・h=3600 

W・s 

〔注 〕 

1W=1J/s, 

PS:仏

1cal=4.18605J(計

馬 力   1PS=0.7355 

kW(計

量 法 カ ロ リ ー の 場 合)

量 法 施 行 法)

〈著者 紹 介 〉

小

山  十 郎 学 歴  東 京 都立 機 械 工業 専 門 学校 機 械 科 卒 業(1949) 職 歴   東 京 都 立杉 並 工 発業 高等学 校 教 諭 東 京 都立 ろ う学校 教 諭 都立 中 央 図 書 館

２色刷   演習付 わか りやすい機械教室 機 械 力 学   考 え方 ・解 き方 1970年10月31日 1985年 ４ 月20日

  第 １版 １ 刷 発行   第 １ 版14刷 発 行

1985年10月20日 1993年

者 小

山

十 郎

第 ２版 １ 刷発行

３ 月20日

 第 ２版 ７ 刷 発 行

1994年 ５ 月20日 2007年

著

学校 法 人  東 京 電 機 大 学

第 ３版 １ 刷発 行

５ 月20日   第 ３版12刷

行行 所   東 京 電 機 大 学 出 版 局

発行

代表 者  加 藤 康 太 郎 〒101-8457 東 京都

千代 田区神田 錦町2-2

振 替 口座00160-5-71715 電話(03)5280-3433(営 (03)5280-3422(編

印刷  三 立 工 芸㈱ 製 本   渡辺 製 本 ㈱ 装 丁  高橋 壮 一

C Koyama

Zyuro

1970,1985, 1994

Printed in Japan *無

断で 転 載す る こ とを禁 じ ます。

*落 丁 ・乱 丁 本 は お 取 替 え い た し ま す 。 ISBN

978-4-501-41260-9

C3353

業) 集)

基礎機械工学図書 わか りやすい機械教室

わか りやすい機 械教室

機 械 力 学 考 え 方 ・解 き方   演 習付

材 料 力 学 考 え 方 ・解 き 方   演 習付

小山十郎 著 A5判  214頁  ２色刷 好評の 「 機械 の力学考 え方解 き方１機械力学編」を 全面的に見直 し,SI単 位系 に切 り換 え ると共 に書 名を 「 機械力学考 え方解 き方 」 とした。講習会 の テキス トとして も自習書 として も活川で きる。

萩原國雄 著 A5判  278頁  ２色刷

わか りやす い機械教室

わか りやすい機械教室

改訂 流 体 の 基 礎 と 応 用

熱 力 学 考 え 方 ・解 き方

森川泰司 著  A5判  214頁

小林恒和 著 A5判  242頁

流体 につ いてや さ しく理 解で きるように,難 解 な 数式の展開 をさけ,多 くの図表に よ り解説。例題 と詳 しい解答 によ り理解 が深 め られ る。

例題 を多 く取 り人れ,各 例題 にそれぞれ 「 考 え方」. 「 解 き方」 を詳 しく解説 し,実 力が身 に付 くよ う

わか りやす い機械教室

わか りやすい機械教室

空 気 圧 の基 礎 と応 用

油 圧 の 基 礎 と応 用

高橋徹 著 A5判  210頁

高橋徹 著 A5判  226頁

流体の基礎事項 か ら卓上空気圧 プレスの設 計例 ま で を例題や練 習問題 を用いて空気圧 の基礎 と応用 を解説。

多 くの図や表 によ り,油 圧 の基礎事項 か ら応川 ま で学生や初級技術者 に容易 に理解で きるよ うや さ しく解説 した。

機械計算法 シ リーズ

機械計算法 シリーズ

機 械 の 力 学 計 算法

流 体 の 力 学 計算 法

橋本広 明 著 A5判   120頁

森 田泰 司 著 A5判   176頁

基礎 的な公 式や数式をで きるだ けわか りやす く解 説 してあ り,各 章 とも例題 と解答 を豊富 に取 り入 れ,こ れを基に練 習問題を解 き実 力をつけ る。

水 力 学を中心 に して,空 気や油 などの流 体に関す る基礎 的な事項 を計算問題 を通 じて修得 で きるよ うにや さ しく解説 。

機械計算 法シ リーズ

機械計 算法 シ リーズ

熱 力 学 の 計 算 法

熱

松村篤 躬/越後 雅夫 共著 A5判  200頁

越後雅 夫 著 A5判  232頁

熱 力学 の基礎的な公式や数式 をわか りやす く説明。 改訂 にあたって内容を見直す とともに,よ り理解 しや す く編 集 した。

熱 ・流 体 ・空調の基礎につ いて,公 式や数式 をわ か りやす く説明。例題や応用問題 について も,詳 しく解 説 した。

＊定 価 ,図  

書 目 録 の お 問 い 合 わ せ.ご URL

前書 「 機械の力学考 え方解 き方II材料 力学編」を 全面的に見直 し,SI単 位系 に切 り換 え ると共 に書 名を 「 材料力学考 え方解 き方」 とした。

配慮 した。

・流 体 ・空 調 の 計 算 法

要 望 は 出版 局 まで お願 い いた し ます。

http://www.dendai.ac.jp/press/ 

MK-001