Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения: Методические указания по лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ кафедра физики И.Г. Кирин

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для студентов первого курса технических и естественнонаучных специальностей по лабораторной работе №1000

Оренбург 1997

2

ББК 22.2 97 К - 43 УДК 531/534 (07)

ЛАБОРАТОРНАЯ

РАБОТА N 1000

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА НА ПРИМЕРЕ ИЗМЕРЕНИЯ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получение и закрепление навыков обработки результатов прямых, косвенных и совместных измерений.

Основные теоретические сведения Одной из важнейших задач физического эксперимента является измерение величин. Измерением какой-либо физической величины называется операция, в результате которой мы узнаем,во сколько раз измерения величины больше (или меньше) соответствующей величины, принимаемой за эталон. Измерения подразделяются на прямые и косвенные. При пямых измерениях определения величины сравниваются с единицей измерения непосредственно или с помощью измерительного прибора проградуированного в соответствующих единицах. К этим измерениям относятся измерения длины линейкой, штангенциркулем и т.п., измерение масс на рычажных весах с помощью набора разновесов: измерение промежутков времени с помощью часов или секундомера: измерение температуры с помощью термометра, силы электрического тока с помощью амперметра и т.п. При косвенных измерениях величины определяются или вычисляются из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной физической зависимосьтю. К таким измерениям относятся, например, измерение скорости движения по измерениям длины пройденного пути и промежутка времени, измерения плотности тела по измерениям массы и обема: измерения ускорения свободного падения тела по результатам измерения высоты, с которой это тело падает и промежутка времени в течении которого происходит это подение. Никакие измерения не могут быть выполнены абсолютно точно. Его результат

3

всегда содержит некоторую ошибку. Это объясняется как принципиально ограниченной возможностью точности измерения так и природой самих измеряемых объектов. Ошибки измерений принято подразделять на систематические, случайные и промахи. Систематические ошибки - ошибки, величины которых одинаковы во всех измерениях, проведенных одним и тем же методом. Систематические ошибки вызываются факторами, действующими соответствующим образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Примером такой ошибки может служить измерение веса на чашечных весах гирей, которая имеет ошибку равную 0,1. Вес тела, определенный с помощью этой гири, будет завышенным (или заниженным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычесть из него 0,1 г). Систематические ошибки можно разделить на 4 группы: 1.Ошибки, природа которых известна и величина может быть достаточно точно определена. Такие ошибки принято называть поправками. К таким ошибкам можно отнести, например, удлинение линейки и измерительного прибора, вызванные изменением температуры. 2.Ошибки известного происхождения, но не известной величины.К их числу может быть отнесена погрешность измерительных приборов. Так, например, на измерительных приборах указывается класс точности, например, 0,5. Это означает, что показания прибора правильны с точностью 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Эти факторы все вместе дают ту погрешность, которая указывается на приборе. 3.Систематические ошибки, о существовании которых не подозревают, хотя величина их может быть очень значительной. Они чаще всего проявляются при сложных измерениях и иногда бывает что какая-нибудь величинна, которая считается определенной с точностью 2-3% в действительности оказывается в 2 раза больше измеряемой . 4. Систематические ошибки обусловленные свойствами измерительного объекта. Так, например, было проведено измерение площади поперечного сечения цилиндра. В процессе измерения считалось что цилиндр имел круглое поперечное сечение, в действительности - форму эллипса , если измерить только один диаметр,

4

то вычисленная по этим измерениям площадь будет содержать систематическую ошибку определяемую степенью эллиптичности цилиндра и выбранным для измерения диаметром. Совершенно аналогичная ситуация будет иметь место, например в случае измерения электропроводности материала. Если для такого измерения взят отрезок проволоки из этого материала и имеющий какой-либо дефект например трещину или неоднороднсть, то сопротивление этого куска будет неверно характеризовать электропроводность материала. Происходящая из-за этого ошибка будет систематической. Случайные ошибки - ошибки, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено, например такими как изменчивыми условиями эксперимента, несовершенством органов чувств и трудноучитываемыми условиями эксперимента, и т.п. Случайные ошибки уменьшаются с ростом числа измерений пропорционально 1/ n (n - число измерений) и подчиняются законам теории вероятности и математической статистики. Так, например, при измерении времени падения тела с некоторой высоты в каждом отдельном измерении будет получен разный результат. Это связано с тем, что источником ошибки может быть например, колебание воздуха, несинхронность момента запуска секундомера и механизма, освобождающего тело и т.д. Промахи - это грубые ошибки. Источником промахов является недостаток внимательности экспериментатора. Для устранения промахов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и заприсях результатов. Итак, в результате измерений получают величину с некоторой погрешностью. Таким образом, с учетом того, что абсолютно точно измерить физическую величину невозможно, в задачу измерений входит не только измерение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности. Если провести ряд измерений и взять среднее арифметическое из этого ряда, то случайная ошибка из этого среднего будет меньше, чем ошибка единичного измерения. Поэтому для уменьшения случайной ошибки следует произвести не одно, а ряд измерений, причем, как мы увидим дальше, тем больше чем меньшую величину случайной ошибки необходимо получить.

5

Отсюда вытекают правила проведения измерений: 1.Если систематическая ошибка является определяющей, т.е. ее величина существенно больше величины случайной ошибки, присущей данному методу или прибору то достаточно выполнить измерение один раз. 2.Если случайная ошибка является определяющей, то измерения следует проводить несколько раз.Число измерений целесообразно выбирать таким образом, чтобы случайная ошибка среднего арифметического была меньше систематической ошибки, с тем, чтобы последняя опять определяла окончательную ошибку результата.

Погрешность прямых измерений Пусть в результате n измерений величины x, проведенных с одинаковой точностью, получен ряд значений: x1, x2, ....xn. В соответствии с теорией ошибок, наиболее близкому к истиному значению x0 измеряемой величины x является среднеарифметические значение 1 n x = ∑ xi k i =1

(1)

При этом среднее арифметическое значение рассматривают только как наиболее вероятное значение измеряемой величины. Результаты отдельных измерений в общем случае отличаются от истинного значения. Абсолютные погрешности i-того измерения ′ ∆xi = x 0 − xi

(2)

могут принимать как положительные так и отрицательные значения с равной вероятностью.

Если просуммировать погрешности, то n

n

i =1

i =1

′ ∑ ∆xi = nx0 − ∑ xi

(3)

откуда x0 = x +

1 n ′ ∆xi ∑ n i =1

(4)

В выражении (4) при большом n второе слагаемое в правой части стремится к нулю в связи с тем, что всякой положительной погрешности можно поставить в со-

6

ответствие равную ей отрицательную погрешность, а x = x . При ограниченном числе измерений будет лишь приближенное равенство: x 0 ≈ x .Таким образом, x можно назвать действительным значением х0. Во всех практических случаях значение x0 неизвестно и нельзя определить абсолютную погрешность ∆xi . Есть только лишь определенная возможность (вероятность) того, что x0 находится в каком-то интервале вблизи x и требуется определить этот интервал, соответствующий некоторой вероятности. Для решения этой задачи в качестве оценки абсолютной погрешности отдельного измерения используют величину ∆xi = x − xi

(5)

Из-за того, что оценку погрешности ряда измерений нельзя характеризовать n

простой суммой отклонений

∑ (x − x ) i

в связи с тем, что она стремиться к нулю, то

i =1

для этого берут либо абсолютные значения разностей ( x − xi ) , либо их квадраты. Последние оценки называют либо средней арифметической погрешностью, либо средней квадратической погрешностью. Средняя арифметическая погрешность:

η=

1 n 1 n x x − xi ∆ = ∑ i n∑ n i =1 i =1

Она определяет пределы в которых лежит более половины измерений. Следовательно, значение x0 c достаточно большой точностью попадает в интервал от x − η до x + η Результаты измерений величины x записываются тогда в виде: x0 = x ± η

(6)

Абсолютная погрешность результатов измерений ∆x сама по себе еще не определяет точности измерений. Действительно, пусть точность некоторого амперметра составляет 0,1 А, и пусть с помощью этого амперметра проведены два измерения, в первом из которых получено значение силы тока 32 А, а во втором - 0,2 А. Несмотря на то,что абсолютная погрешность измерения силы в общих измерениях одинакова, точность измерений различна. В первом случае измерения достаточно точны, а во втором - позволяют судить лишь о порядке величины. Из этого примера

7

видно, что при оценке качества измерения необходимо сравнивать погрешность с измеренным значением, что дает более наглядное представление о точности измерений. Для этого вводится понятие относительной погрешности.

δx =

∆x x

(7)

Если измерения искомой величины x, проведены много раз, то частоты проявления того или иного значения xi можно представить в виде графика, имеющего вид ступенчатой кривой, которую принято называть гистораммой (рис. 1). На этом графике y - число отсчетов, ∆xi = xi − xi +1 , а i изменяется от -n до +n. С уменьшением интервала

∆xi

гистограмма

в

пределе

переходит

в

неприрывную

кривую,

ха-

рактеризующую плотность распределения вероятности, при которой величина xi оказывается в интервале ∆xi . При этом совокупность всех возможнвх значений случайной величины и соответствующих им вероятностей принято называть распределением случайной величины. Наиболее общей формой закона распределения является функция распреде′ ления P(t ) . При этом функцию p( x ) = P ( x ) принято называть плотностью распре-

деления вероятности или дифференциальной функцией распределения. Эта функция характерна тем, что произведение p(x)dx есть вероятность равна вероятности того, что случайно выбранное значение измеряемой величины оказывается в интервале от x-dx до x+dx.

8

В общем случае функция р(x) может определяться различными законами распределения. В значительном количестве случаев вероятность проявления величины xi в интервале x, x+dx для генеральной совокупности, под которой понимают все множество значений измеряемой величины xi подчинается закону Гаусса p( x i ) =

где σ

2

 ( x − xi ) 2   exp − 2σ 2   2πσ 2  1

(8)

- дисперсия генеральной совокупности.

Использование закона Гаусса в теории ошибок объясняется такими причинами: 1.Погрешности измерений принимают непрерывный ряд значений. 2.Разные по абсолютному значению поргешности встречаются одинаково часто при большом числе измерений. 3.Малые по абсолютному значению погрешности встречаются чаще, чем большие т.е. вероятность проявления погрешности тем меньше, тем больше ее абсолютное значение. Иногда эти условия не выполняются достаточно строго. Несмотря на это, осно-

9

вываясь на результатах многочисленных экспериментах, в тех случаях, когда погрешность не очень велика, закон распределения Гаусса правильно описывает опытные данные. Кроме того, с помощью закона распределения Гаусса, который еще называют нормальным законом, можно найти вероятность появления погрешности того или иного значения. Распределение Гаусса характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины x и дисперсией σ2 (рис2).

Среднее значение определяется абсциссой x= x оси симметрии кривой распределения, а дисперсия показывает, как быстро уменьшается погрешности с увеличением ее абсолютного значения. Кривая p(x) имеет максимум при x = xp( x ) = 1

2πσ 2

.

(9)

Таким образом, среднее значение является наиболе вероятным значением x при нормальном распределении. Дисперсия определяется полушириной кривой распреденления p(xi). Из теории вероятности следует, что σ 2 = ( x − x ) = x 2 , т.е. σ 2 является средним квадратом отк-

10

лонения результатов отдельных измерений от их среднего арифметического значения по всему распределению, и если для измеряемой величины получают только постоянные значения x= x то σ 2 =0. Но если значения случайной величины x

при-

нимают значение, не равные x , то дисперсия ее отличается от нуля и положительна. Таким образом, дисперсия служит мерой флуктуации значений случайной величины. Мера рассеяния результатов отдельных измерений xi от среднего значения

x должна выражаться в тех же единицах, что и значение измеряемой величины. Всвязи с этим в качестве показателя флуктуации результатов измерений гораздо чаще используют величину σ = σ 2 называемую средней квадратической погрешностью. Она является важнейшей харатеристикой результатов измерений и остается постоянной при неизменности результатов измерений. Значение этой величины определяет форму кривой распределения р(xi). В силу того, что при изменении σ +∞

площадь под кривой остается постоянной, а

∫ p( x)dx = 1 , кривая меняет свою фор-

−∞

му, вытягиваясь вверх вблизи максимума с уменьшением σ и расширяясь с ее увеличением. В последнем случае максимум кривой снижается. В связи с тем, что наиболее вероятное значение измеряемой величины x соответствует максимуму плотности вероятности p( ∆x ) , то максимум наблюдается, если сумма квадратов минимальна. Наряду с размерной погрешностью δ используют и безмерную относительную погрешность δ σ = δ / x , которая как и δ x , выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Для нормального закона распределения средняя квадратическая погрешность отдельного измерения 2

n

σi =

∑ (x

0

− xi )

i =1

n −1

а средняя квадратическая погрешность среднего значения

(10),

11 n

σx =

σi ni

=

∑ (x

0

− x1 ) 2

i =1

(11)

n(n − 1)

Погрешность измерений более точно в сравнении со среднеарифметической погрешностью характеризует средняя квадратическая погрешность. Это связано с тем, что среднеквадратическая погрешность достаточно строго получена из закона распределения. Кроме того, ее непосредственная связь с дисперсией делает среднюю квадратическую погрешность очень удобным параметром. Окончательный результат измерений записывается в виде:

x0 = x ± σ x На практике невозможно провести слишком много замеров, поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истиное значение x0. В этом случае хорошим приближением к истиному значению можно считать x , а достаточно точной оценки ошибки измерени - выборочную дисперсию S2n , вытекающую из нормального закона распределения, но относящиеся уже к конечному числу измерений. Название же величины S2n обьясняется тем,что из всего множества возможных значений xi - генеральной совокупности, выбирают (измеряют) лишь конечное число значений величины xi (равное n), называемых выборкой, которая характеризуется уже выборочным средним значением и выборочной дисперсией. Максимум будет наблюдаться, если сумма квадратов погрешностей минимальна. Поэтому при достаточном числе измерений n → ∞ и x= x и

∑ ( ∆x )

2

i

→ 0.

Корень квадратный из выборочной дисперсии определяет среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения. Sn =

∑ (x − x )

2

i

n −1

(12)

а средняя квадратическая погрешность ряда измерений

Sn = Sn / n

(13)

Из выражения (13) видно, что, увеличивая число измерений, можно сделать сколь угодно малой среднюю квадратическую погрешность. Но число n входит в знаменатель в степени 1/2 и при n>10 заметное изменение величины достигается

12

лишь при весьма значительном числе измерений, поэтому дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно. К тому же, т.к. невозможно добиться полного исключения систематических погрешностей, при S x меньшей систематической погрешности дальнейшее увеличение числа измерений не имеет смысла. Итак, задача нахождения приближенного значения измеряемой величины и ее погрешности решена. Теперь необходимо отыскать надежность найденного значения измеренной величины, под которой понимают вероятность попадания истинного значения в данный доверительный интервал. В свою очередь под доверительным интервалом понимают интервал x − ε , x + ε , в котором находится с заданной вероятностью истинное значение x0. Допустим, что вероятность отличия результата измерений x от истинного значения x0 на величину, большую чем ε равна α т.е.

pcx − ε < x 0 < x + ε ) = α

(14)

В теориии ошибок под ε понимают величину tS x , соответственно p( x − tSx < x 0 < x + tSx ) = Φ( x )

(15)

где Φ(t) - интеграл вероятности. Таким образом, чтобы охарактеризовать истинное значение, требуется знать как погрешность, так и надежность. Если доверительный интервал увеличивается, то возрастает надежность того, что истинное значение x0 попадет в данный интервал. Это означает, что в данном случае нужно выбирать большой доверительный интервал или вести измерения с больщей точностью, что можно сделать, например многократным повторением измерений. Однако, в многих измерениях доверительная вероятность составляет 0,90 - 0,95 и еще большая надежность не требуется. До сих пор подразумевалось, что число измерений конечно, но все же достаточно велико. Однако в ряде случаев приходится иметь дело с дувмя - тремя измерениями. В этом случае величины S2x и S x2 в лучшем случае могут определить лишь порядок величины дисперсии. Но несмотря на это, существует корректный способ определения вероятности того, что истинное значение находится в заданном доверительном интервале. Этот метод основан на использовании так называемого распределения Стьюдента.

13

Распределение Стьюдента характерно тем, что не зависит от параметров x0 и

σ нормальной генеральной совокупности и позволяет

при

небольшом

числе

измерений (n<20) оценить погрешность ∆x = x − xi по заданной доверительной вероятности α или по заданному значению ∆x найти надежность измерений. Это распределение зависит только от переменной t α и числа степеней свободы l=n-1. Кроме того, распределение Стьюдента справедливо при n ≥ 2 и симметрично относительно t α =0. С ростом числа измерений t α распределение Стьюдента стремиться к нормальному распределению. На рис 3 приведены нормальное распределение для x = 0 и σ = 1 и распределение Стьюдента для n=3. Как видно из рисунка, данному доверительному интервалу соответствует меньшая надежность, т.е. вероятность больших отклонений выше, чем при нормальном распределении. Более широкий доверительный интервал для оценки среднего значения, при использовании распределения Стьюдента, свидетельствует о его преимуществе, так как никакой доверительной информации о σ 2 , кроме той, которую дает выборка, нет. В этом случае доверительную вероятность α при заданной погрешности результата измерений получают из выражения p( x − t α S n / n < x 0 < x + t α S n / n = α

(16)

в котором величина t α аналогична коэффициенту t в формуле (15). Эту величину t α называют коэффициентом Стьюдента. Значение этих коэффициентов приведены в таблице 1.1.

14

Используя соотношение (16) и таблицу 1.1., можно решить и обратную задачу - по заданной надежности α определить допустимую погрешность результата измерений. Распределение Стьюдента позволяет также установить, что с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, при достаточно большом n среднее арифметическое значение x будет как угодно близко к x0.

15

ТАБЛИЦА 1.1. ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА СТЬЮДЕНТА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ p К

Вероятность Р 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

0.98

0.99

0.999

1

1.00

1.38

2.0

3.1

6.3

12.7

31.8

63.7

636.6

2

0.82

1.06

1.3

1.9

2.9

4.3

7.0

9.9

31.6

3

0.77

0.98

1.3

1.6

2.4

3.2

4.5

5.8

12.9

4

0.74

0.94

1.2

1.5

2.1

2.8

3.7

4.6

8.8

5

0.73

0.92

1.2

1.5

2.0

2.6

3.4

4.0

6.9

6

0.72

0.90

1.1

1.4

1.9

2.4

3.1

3.7

6.0

7

0.71

0.90

1.1

1.4

1.9

2.4

3.0

3.5

5.4

8

0.71

0.90

1.1

1.4

1.9

2.3

2.9

3.4

5.0

9

0.70

0.88

1.1

1.4

1.8

2.3

2.8

3.3

4.8

Окончательно результат измерений записывается в виде: x = x + tS x

для p=

(17)

Данная запись означает то, что измеренная величинах с вероятностью, равной p, попадает в указанный интервал. Рассмотрим пример обработки результатов прямых измерений. Допустим, в результате пяти измерений получены значения: 6,7,6,5,6. Порядок обработки полученных измерений заключается в следующем. 1. Находим среднее значение этих измерений по формуле (1.1) x=

6+ 7 + 6+5+ 6 =6 5

2. Дисперсия среднего значения находится по формуле (1.3)

S x2 =

(1 − 6) 2 + (7 − 6) 2 + (6 − 6) 2 + (5 − 6) 2 + (6 − 6) 2 . = 01 5x 4

3. Тогда среднеквадратичное отклонение среднего значения 2

S x = S x ± 0,1 = 0,3

16

4. Для вероятности p = 0,95 и числа измерений n = 5, находим t = 2,8 5. Окончательный результат записывается в виде: х = 6 + 2,8 х 0,3 = 6,00 + 0,83 при p = 0,95

КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В процессе проведения физических исследований часто приходится вычислять искомую величину у по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью у = f(х). Такие измерения называются косвенными. Причем для такого типа измерений можно предположить порядок их обработки такой же, как и для прямых измерений. Однако для большого числа измерений данный метод является трудоемким. Поэтому на практике поступают следующим образом. Среднее значение косвенного измерения y находят путем подстановки соответствующих средних значений прямых измерений, т.е. y = f( x ). Поскольку при малых ∆x приращение ∆y пропорционально производной ∆y ≈

df ∆x dx

(18)

существует связь среднеквадратичных отклонений Sx и Sy: 2

Sy

2

 ∂f  =   Sx 2  ∂x 

(19)

Нередко оказывается, что искомая величина является функцией нескольких переменных x, z, t... y = f (x, z, t...)

(20)

в этом случае дисперсия величины у определяется по формуле 2

Sy = (

∂ f 2 2 ∂f 2 ∂f 2 2 ) S + ( ) S z + ( ) St +. .. ∂x x ∂z ∂t

(21)

17

В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. При этом стандартная погрешность измерений величины х расчитывается по формуле

Sx =

где

(S ) + (S ) c 2

x

ct

2

(22)

x

Sx

c

- средняя квадратическая погрешность, вызванная случайными ошибка-

Sx

ct

- средняя квадратическая погрешность, вызванная систематическими

ми,

ошибками. При вычислениях Sx не требуется высокая точность - вполне достаточно найти c

Sx с точностью 15-20%. Поэтому если S x и S x

ct

отличаются в 2 раза или больше, то

практически можно считать, что Sx равна большей из них:

(

c

S x = m ax S x , S x

c

ct

)

(23)

ct

Так, если S x =0.5 S x , то

c

S x = 125 . Sx ≈ Sx

c

В этом случае для повышения точности измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности.

18

СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Рассмотрим совместные измерения и порядок их обработки на следующем примере. Допустим, величина у связана линейной зависимостью с величиной х, т.е. у = Aх

(24)

Если величины х, у, связанные функционально, измеряются одновременно, то, такие измерения совместными. Задачей совместных измерений является определение коэффициэнта A. Для этого проведем n измерений величин х, у, последовательно измеряя их в процессе эксперимента, в результате получим n пар значений - (х1 ,у1 ); (х2 ,у2 ); .... (хn ,уn ). Отметим на плоскости хОу экспериментальные точки, соответствующие полученным данным (рис.4).

Рис. 4 Вследствие случайных ошибок измерений

любая прямая у = Aх не может точно

пройти через все экспериментальные точки. Но можно сформулировать критерий для выбора углового коэффициэнта прямой у = A х, в соответствии с которым ошибка измерения этого коэффициэнта будет минимальная. Такого рода крите-

19

рий в математической статистике получил название критерия наименьших квадратов. Пусть для некоторого определенного значения А прямая у = Aх пройдет так, как это показано на рис. 4. Для х = хj ордината у при этом равна Aхi, экспериментальное значение у для х = хi равно уi, т.е. существует отклонение экспериментального значения уi от вычисленного значения Axi. Эти отклонения для каждого измеренного значения у могут отличаться как по величине, так и по знаку,

∆ i = yi − Axi

(25)

Cогласно условию наименьших квадратов, угловой коэффициент прямой у = Aх должен быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений ординат прямой у = Aх при тех же значениях аргумента была минимальной. Это условие метода наименьших квадратов математическим записывается так,

n

Q = ∑ ( yi − Axi ) ⇒ min 2

(26)

i =1

В выражении (26) остаточная сумма квадратов Q является функцией неизвестного параметра A. Минимальное значение этой функции достигается тогда, когда ее производная при некотором значении A равна нулю, т.е. dQ =0 dA

(27)

Следовательно, взяв от суммы (26) производную по параметру и приравняв ее к нулю, получим уравнение n d  n 2 y Ax ( − ) = 2 ( yi − Axi )( − xi ) = 0 ∑ i ∑ i  dA  i =1 i =1 

(28)

Это уравнение линейное относительно A, и из него легко можно получить формулу для нахождения неизвестного параметра A: n

∑x y i

A=

i =1 n

∑x i =1

2 i

i

(29)

20

Дисперсия параметра A определяется по формуле n

1

2

SA =

∗

n

∑x

∑(y

i

− Ax i ) 2

i =1

(30)

n −1

2 i

i =1

Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет определить по результатам n совместных измерений как величину неизвестного параметра A, так и его дисперсию Sa2. В ряде случаев функциональная зависимость между величинами y и x может отличаться от простейшей линейной зависимости (24). Часто приходится использовать несколько более сложную зависимость, неизвестными уже могут быть не один, а два параметра, которые в результате совместных измерений необходимо определить. Такой зависимостью, например, является линейная функция вида у = Ax + B

(31)

Используя метод наименьших квадратов, можно получить расчетные формулы для определения A и B. Эти формулы записываются в виде:

A=

n

n

n

i =11 n

i =1 n

i =1

n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x i − (∑ x i ) 2

i =1

B=

n

n

i =1

i =1 n

(32)

2

i =1

n

n

i =1 n

i =1

∑ yi ∑ x i − ∑ x i ∑ x i yi 2

(33)

n∑ xi − ( ∑ xi ) 2

i =1

2 2

i =1

Величины дисперсии этих параметров находятся по формулам

S A2 =

n n

n

n ∑ xi − ( ∑ x i ) i =1

2

i =1

⋅ 2

Q n−2

(34)

21 n

∑x

2

SB =

i

i =1

 n  n ∑ xi −  ∑ x i   i =1  i =1 n

2

2

⋅

Q n−2

(35)

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ КРИТЕРИЙ ФИШЕРА Первый вопрос, который возникает после определения коэффициента A, это проверка соответствия (24) экспериментальным данным xi , yi . Ниже линий показана зависимость у = Ax, полученная по методу наименьших квадратов (рис. 1.3). Точками показаны экспериментальные данные с разбросом, равным 2Sy. Очевидно, что зависимость у = Ax+B соответствует экспериментальным данным только в первом случае.

Рис. 5 Получим количественные характеристики. Для характеристики среднего разброса точек относительно линии у = Aх вполне подходит остаточная сумма квадратов. Неудобство состоит в том, что она зависит от числа коэффициэнтов в уравнении, т.е. если ввести столько коэффициэнтов, сколько имеется независимых измерений, мы получим остаточную сумму, равную нулю. Поэтому целесообразно иметь дело с остаточной суммой квадратов Q деленной на число степеней свободы. Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом измерений n и числом

22

коэффициентов m, входящих в уравнение y = f (x, A1 ,A2 , ... Am) т.е. k = n - m (для прямых измерений m=1). Остаточная сумма квадратов Q, деленная на число степеней свободы, называется дисперсией адекватности, т.е.

2

S ag =

Q n−m

(36)

Для зависимости у = Aх, дисперсия адекватности равна n1

2

S ag =

∑(y

i

− Axi )

2

i =1

(37)

n−m

Для проверки соответствия зависимости у = Aх. Экспериментальным данным используют F - критерий (критерий Фишера), при этом вычисляют соотношение

F=

S ag 2

(38)

Sboc 2

где Sboc - есть дисперсия воспроизводимости с числом степеней свободы, равным d -1, где число d - число измерений, т.е.

n

∑ ( y − < y >)

2

i

2

Sboc =

i =1

(39)

d −1

Из предыдущего равенства видно, что параметр F является величиной случайной и для него существует функция распределения, которая впервые была получена Фишером. Из таблицы 1.2 находят при известном числе степеней свободы дисперсии ( n − m )( d −1)

(n - m)(d - 1) и заданной вероятности p, значения Fтаб л

( d −1)( n − m )

и Fтаб л

проверяется двухстороннее неравенство

1 ( d −1)( n − m ) таб л

F

≤

S ag 2 Sboc

2

< Fтаб л( n − m)( d −1)

(40)

. Далее

23 2

2

В том случае, когда S ag > Sboc , достаточно производить одностороннюю оценку, т.е.

S ag 2 Sboc

2

≤ Fтаб л( n − m)( d −1)

(41)

Если данное условие выполняется то с вероятностью равной p, можно утверждать, что зависимость y = Aх соответствует полученным экспериментальным данным.

ТАБЛИЦА 1.2. Значение критерия Фишера S n − m,d −1 n / m надежности p = 0,95 в зависимости от числа степеней свободы сравниваемых дисперсией.

n-m d-n 3

4

5

2

19.00

19.16

19.25

3

9.55

9.29

9.12

4

6.94

6.59

6.39

5

5.79

5.41

5.19

КРИТЕРИЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ РАВЕНСТВА СРЕДНИХ ДВУХ СОВОКУПНОСТЕЙ Пусть из двух нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными параметрами a1, σ1 и a2, σ2 получены выборки объемом n1 и n2. По результатам испытаний подсчитаны оценки параметров x 1, S1 ; x 2, S2 . Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве значений этих совокупностей, т.е. a1 = а2 = а. Рассмотрим вначале случай, когда дисперсии генеральных совокупностей равны,

σ1 = σ2 = σ2 2

2

Для проверки постановленной гипотезы а1 = а2 = а вычисляют оценку диспер-

24

сии σ2 по формуле 2

S2 =

(n1 − 1) S1 + (n 2 − 1) S 2 (n1 + n 2 − 2)

2

(42)

и параметр Стьюдента по формуле

t=

x1 − x 2

(43)

S 1 / n1 + 1 / n2

которую сопоставляют с критическим значением tρ,x, найденным для выбранного значения вероятности р и числа степеней свободы k = n1 + n2 - 2. Если справедливо неравенство t < tρ,x, то поставленную гипотезу о том, что средние значения совпадают не отвергают. Если дисперсии генеральных совокупностей неравны, т.е. σ1 ≠ σ2, то равенство двух средних значений проверяют с помощью приближенного t- критерия. Для этого вначале вычисляют значение параметра t t=

x1 − x 2 2

(44)

2

S1 / n1 + S 2 / n2

Число степеней свободы при этом вычисляется из выражения 1 c2 (1 − c) 2 = + k n1 − 1 n2 − 1

где,

S1

c= S1

2

2

(45)

n1

n1 + S 2

2

(46) n2

Если выполняется неравенство t < t ρ , k , то гипотезу а1 = а2 не отвергают. В противном случае a1 ≠ a 2 .

25

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ УПРАЖНЕНИЕ 1. Порядок обработки прямых измерений. Определение времени падения тела. 1. Получить у преподавателя значение для высоты падения h и числа измерений n времени падения тела. 2. Произвести n измерений времени падения тела, результаты измерений занести в таблицу 1.3.

N изм.

1

2

3

4

5

6

7

8

t (t −t ) 3. Просуммировать все значения ti а данную сумму занести в соответствующую графу i. Используя значения этой суммы, по формуле (1), найдите среднее значение времени подения. 4. Зная , заполните окончательно табл.1.3; используя данные этой таблицы, найдите дисперсию значения времени по формуле (12).

5. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения по формуле St = St

2

6. Задаваясь вероятностью р = 0.96 и зная число степеней свободы k = n - 1, определите по таблице 1.1. значение параметра Стьюдента t p, k. 7. Результат измерения времени падения запишите в виде:

t = t ± t p ,n ⋅ S t Упражнение 2. Обработка результатов косвенных измерений. Определение ускорение свободного падения. 1. Запишите в таблицу 1.4. значения высоты падения и времени падения. Эти данные возьмите из упражнения 1.

2. Затем по формуле g=

2h t2

26

вычислите среднее значение ускорения свободного падения.

3. Вычислите дисперсию ускорения свободного падения по формуле Sg2 =

4 2 16h 2 2 Sh + 6 S t t2 t

В качестве дисперсии высоты берется квадрат приборной погрешности.

4. Найдите среднеквадратичное отклонение ускорения по формуле Sg = Sg

2

5. Результат измерения ускорения запишите в виде

g = g ± Sg Таблица 1.4.

N изм

t

S

h

S

g

S

1 2 3 Ср. Упражнение 3. Порядок обработки совместных измерений. Определение ускорения свободного падения. В этом упражнении необходимо определить ускорения свободного падения из совместных измерений высоты и времени падения шарика. Уравнение движения шарика имеет вид h =

gt 2 для того, чтобы воспользо2

ваться методом обработки совместных измерений для зависимости у =Aх, введем следующие обозначения у = h, x=t2, A =

g 2

Таким образом, зная экспериментальную зависимость h = f(t2) или y = f (x), можем вычислить коэффициент A, затем из соотношения g = 2A вычислим ускорение

27

свободного падения. 1. Получите у преподавателя значения высот, и для данных значений высот падения определите время падения шарика. 2. Полученные данные запишите в табл. 1.5 (графы 2,3). В соответствии с вышеприведенными обозначениями заполните графы 4 и 5.

Таблица 1.5 1

2

3

4

5

6

7

8

N изм

hi

ti

xi

yi2

xi yi

xi2

(yi-Axi)2

1 2 3 4 5 3. Проведите соответствующее вычисление и заполните графы 7, 8 табл. 1.5 . В графе Σ вносится сумма соответствующих колонок 4. По формуле (29) вычислите значение параметра А. 5. Проведите соответствующие расчеты и заполните графу 8. Далее по формуле вычислите дисперсию параметра А. 6. По формуле g = 2A вычислите ускорение свободного падения. 7. По формуле Sg =2SA среднеквадратичное отклонение ускорения свободного падения.

8. Окончательный результат запишите в виде g = g ± Sg 9. В координатах х О у постройте график зависимости у=Aх, там же нанесите звездочками экспериментальные точки х , у

Контрольные вопросы. 1. Объясните, что понимается под генеральной совокупностью измеряемой величины х, и ее выборки. 2. Дайте определение среднего значения выборки , дисперсии, дисперсии среднего значения и среднеквадратичного отклонения.

28

3. Что такие примые, косвенные и совместные измерения ? Приведите примеры. 4. Объясните на числовом примере порядок обработки прямых измерений. Для чего используется коэффициент Стьюдента? 5. Объясните на примере порядок обработки косвенных измерений. 6. Для совместных измерений на примере линейной зависсимости объясните сущность метода наименьших квадратов. 7. Используя условия наименьших квадратов, выведите формулу для вычисления параметра А в линейной зависимости у=Ах. 8. Как записывают окончательный результат прямых измерений? 9. Как проверяют соответствие экспериментальных данных предпологаемой зависимости? Что такое критерий Фишера. 10. Как находится дисперсия адекватности и дисперсия воспроизводимости? 11. Как проверяют равенство среднх значений двух выборок?