Трехфазные индукторные электрические машины с электромагнитной редукцией частоты вращения: Учебное пособие

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ

ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

В. В. Хрущев

ТРЕХФАЗНЫЕ ИНДУКТОРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ Учебное пособие

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2005

УДК 621.313.39.001.5 ББК 31.251 Х95 Хрущев В. В.

Х95 Трехфазные индукторные электрические машины с электромагнитной редукцией частоты вращения: Учеб. пособие / СПбГУАП. СПб., 2005. 76 с.: ил. Излагаются основы теории и расчета индукторных электрических машин с двухсторонней зубчатостью и электромагнитным возбуждением в режимах синхронного генератора, синхронного двигателя, вентильного двигателя. Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 180100, 210300.

Рецензенты: кафедра автоматизированного электропривода и электромеханики Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров; доктор технических наук профессор Г. В. Тазов

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

© ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2005

2

ВВЕДЕНИЕ В пособии рассматриваются трехфазные индукторные электрические машины с концентрическими обмотками типа зубец – полюс на статоре и безобмоточным ротором с равномерно распределенными зубцами на его поверхности. С целью получения максимального изменения переменной составляющей магнитного потока в полюсах на них расположены зубцы, имеющие зубцовое деление, равное зубцовому делению ротора tzc = tzp = tz. Описание и основы теории подобного рода машин, работающих в режиме генератора, приведены в монографии М. М. Алексеевой [1]. Обзор публикаций, посвященных индукторным двигателям с возбуждением от постоянных магнитов дан в брошюре А. В. Демагина [3]. На возможность использования такого типа электрических машин в качестве индукционных редуктосинов указано в докладе автора [4]. На рис. В-1 приведена принципиальная схема 3-фазной индукторной машины с электромагнитным возбуждением. Она состоит из w 2

w w0

0 1

1 tz 0

2

Рис. В-1

2к1 (к1 = 1, 2, …) групп трех полюсов-фаз, расположенных на статоре. Каждая группа полюсов охватывается обмоткой возбуждения чередующейся полярности. Группы полюсов смещены друг относитель3

n1 t z , где n1 – целое 2 число, зависящее от способа соединения обмоток соседних полюсов в фазе (встречное или согласное), а также от необходимой площади паза под обмотку возбуждения. Полюса в группе смещены относительно равномерного распределения по воздушному зазору на вели-

но друга по воздушному зазору на величину

чину ± t z . (Знак (+) соответствует раздвижению полюсов, знак (–) – 3 сдвижению полюсов). Это обеспечивает фазовый сдвиг ЭДС в катушках соседних полюсов на 2π электрических радиан. Ротор имеет рав3 номерно-расположенные зубцы, число которых (см. подразд. 1.1) равно z2 = к1 (6 z1 + n1 ± 2 ) , где z1 – число зубцов на полюсе. Магнитопроводы

статора и ротора выполняются из листовой электротехнической стали для уменьшения потерь от вихревых токов. В режиме индукционного редуктосина обмотки возбуждения питаются переменным током. На рис. В-2 приведена принципиальная схема индукторного двигателя без возбуждения от постороннего источника питания – индукторно-реактивный двигатель. Статор двигателя состоит из "р" полюсов, смещенных друг относительно друга на ± t z по воздушному зазору. 3 Обмотки соседних полюсов в фазе включены встречно и питаются пря-

2

0 1

1

2

0

0

Рис. В-2

4

моугольными импульсами тока, сдвинутыми по углу на 120 электрических градусов. Ротор зубчатый. Число зубцов на роторе равно (см. §1.1) 1 z2 = p  z1 ±  , (р = 6к , к – целое число) 1 1 3  Учебное пособие состоит из 4 разделов. В первом разделе даются общие вопросы формирования и расчета магнитной цепи рассматриваемых электрических машин, излагается также общий подход к преобразованию энергии. Во втором разделе излагаются основы теории и расчета индукторных электрических машин с двухсторонней зубчатостью и электромагнитным возбуждением в режимах: синхронного генератора, синхронного двигателя, работающего от источника переменной частоты, вентильного двигателя; рассматриваются также вопросы оптимизации внутренней геометрии на основе определенных критериев эффективности преобразования энергии. В третьем разделе рассмотрены возможности реализации индукторно-реактивных двигателей без возбуждения от внешнего источника при синусоидальной и прямоугольной формах питающего напряжения. В четвертом разделе приведены возможности реализации трехфазного индукционного редуктосина в качестве преобразователя вал-цифра и датчика положения ротора для вентильного двигателя.

5

1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 1.1. Структура зубцовой зоны Как указывалось во введении характерная особенность рассматриваемых в настоящей работе электрических машин – равенство зубцовых делений на полюсах статора и ротора tzc = tzp = tz. Ширина зубцов на статоре и роторе может быть различна вz1 = кz1tz; вz2 = кz2tz. Значения кz1 и кz2 выбираются из условия получения заданной зависимости магнитной проводимости воздушного зазора под полюсом от угла поворота ротора α (см. подразд. 1.2). Обозначим: p = 6к1 (к1 = 1, 2, …) – число полюсов на статоре; z1 – число зубцов на полюсе; z2 – число зубцов на роторе;

tz =

πD z2 – зубцовое деление ротора (статора), где D – диаметр рас-

точки. 1 вш =  1 − к z1 ∓  t z – расстояние между полюсами (шлиц) по воз3  душному зазору. Имеем: а) Для электрических машин с равномерным размещением полюсов (рис. 1.1.) z t ∓ 1t  p = z t  1z z 2 z; 3  

отсюда 1 z2 = p  z1 ∓  = 2к1 (3z1 ∓ 1) , 3 

6

(1.1)

где знак (–) соответствует сближению полюсов; знак (+) – раздвижению полюсов. 0

1

0

2

2

1 вш

tz

tz

1 1 к z1 = к z 2 = 0,5, вш  1 − к z1 −  t z , Fк +3 = − Fк , zк = p  1 −  = 2к1 (3z1 − 1) 3   3 0

1

2

1

0 вш

tz

tz

1 1 к z1 = к z 2 = 0,5, вш  1 − к z1 −  t z , Fк +3 = − Fк , zк = p  1 −  = 2к1 (3z1 − 1) 3   3 Рис. 1.1

Число z2 называется коэффициентом электрической редукции. При повороте ротора на угол 2π (или на tz) магнитная система электричесz2 кой машины приходит в исходное состояние, что соответствует изменению всех величин: магнитных проводимостей, магнитных потоков, токов и т. п. на 2π эл. рад или 360 эл. град. Поскольку полюса смещены t друг относительно друга на z , то указанные величины в соседних 3 полюсах смещены на 2π эл. рад или 120 эл. град. Это означает, что 3 7

совокупность трех соседних полюсов представляет собой трехфазную систему. В некоторых случаях желательно получение коэффициента электрической редукции z2 = 2n (n = 4, 5, 6, …). Из формулы (1.1) следует, что это возможно, если к1 = 2ν z1 = 3 и знак (–) – сближение полюсов, (z2 = 2ν+4); z1 = 5 и знак (+) – раздвижение полюсов, (z2 = 2ν+5); z1 = 11 и знак (–) – сдвижение полюсов, (z2 = 2ν+6). б) Для электрических машин c электромагнитным возбуждением (рис. 1.2.)

w0

w0

1

0 w

2 bzc

bш

4

3

n1 tz 2

bш

5

6 bш

tz

n1 tz 2 bzc

tz

1 1a. n1 − нечетное; bш =  1 − к z1 +  t z ; z2 = к1 (6 z1 + n1 + 2 ); Fк +3 = Fк ; 3  2π λ′к = λ 0 ± λ1 cos  z2 α − ( к − 1)  ( + ) к = 0, 1, 2, 6, 7, 8…; ( − ) к = 3, 4, 5, 9, 10, 11  3 

w0 w

1

0

2

bzc

bzp

bш

w0

n1 tz 2

3

4

5 tz

bш

bш

6

n1 tz 2 tz

1 1б. n1 − нечетное; bш =  1 − к z1 −  t z ; z2 = к1 (6 z1 + n1 − 2 ); Fк +3 = Fк ; 3  2π λ′к = λ 0 ± λ1 cos  z2 α + ( к − 1)  ( + ) к = 0, 1, 2, 6, 7, 8…; ( − ) к = 3, 4, 5, 9, 10, 11  3  Рис. 1.2

8

Полюса размещены в виде 2к1 групп по 3 полюса в каждой

n1  1    z1t z ∓ 3 t z  3 + 2 t z  2к1 = z2t2 ; отсюда z2 = к1 (6 z1 + n1 ∓ 2 ) .

(1.2)

Для получения z2 = 2n необходимо к1 = 2ν и n1 – четное число. В частности,

z1 = 1, n1 = 4, ( −), z2 = 8к1; z1 = 2, n1 = 6, ( −), z2 = 16к1; z1 = 4, n1 = 6, ( +), z2 = 32к1; z1 = 5, n1 = 4, ( −), z2 = 32к1 . 1.2. Магнитная проводимость зазора под полюсом Принимаем, что магнитная проницаемость железа µж = ∞, воздушный зазор δ = пост., магнитная проводимость через пазы не зависит от углового положения ротора. Угол поворота ротора отсчитываем как угол между осями зубцов статора и ротора. На рис. 1.3 приведено положение ротора по отношению к статору при α = 0. На рисунке кz1 = 0,4; кz2 = 0,5. Пусть кz2 ≥ кz1; 1 – kz2 – kz1 > 0.

bn1

tz

δ

bz1 bn2 bz2

tz

Рис. 1.3

9

При смещении ротора на одно зубцовое деление проводимость зазора под полюсом изменяется как функция угла z2α с периодом 2π (рис.1.4). λ λmax Α = λmax– λmin

λmin

а

б

с

б

а 2π

z2

α

Рис. 1.4

Имеем следующие соответствия между геометрическими размерами зубцовой зоны и углами в электрических радианах. tz → 2π, вz2 – вz1 = (kz2 – kz1)tz > (kz2 – kz1) 2π = 2a; вz1 = kz1tz > kz12π = в; вш1 – вz2 = (1 – kz1 – kz2) tz > (1 – kz1 – kz2) 2π = с; 2а + 2в + с = 2π. Кривая λ(z2α) – симметрична, если кz2 = 0,5 (2а = с). Разложение λ(z2α) в ряд Фурье имеет вид [5] α0 ∞ + ∑ an cos nz2α , 2 n =1

(1.3)

an = (λ max − λ min ) 2к z 2

sin nк z1π sin nк z 2π . nк z1πnк z 2 π

λ ( z2α ) = λ min +

где

α0 = (λ max − λ min ) к z 2 ; 2

Выражение (1.3) запишем в виде ∞   c λ ( z2α ) = λ 0 + λ1  cos z2α + ∑ n2 cos nz2α  . n =2 n  

(1.4)

Здесь: λ0 = λmin + (λмакс – λmin)кz2 – постоянная составляющая магнитной проводимости; 10

λ1 = ( λ max − λ min ) 2к z 2

sin к z1π sin к z 2 π к z1к z 2 π 2

– амплитуда 1-й гармоники

магнитной проводимости;

cn =

sin nк z1πsin nк z 2π . sin к z1πsin к z 2π

(1.5)

Из формулы (1.5) следует, что при кz2 = 0,5 четные гармоники в разложении λ(z2α) отсутствуют. Пусть

λ min = ε1 , тогда λ max λ 0 = λ max  ε1 + (1 − ε1 ) к z 2  ;

λ1 1 − ε1 sin к z1π sin к z 2 π = 2 . λ 0 1 + 1 − кz2 ε к z1к z 2 π 2 1 кz2

(1.5')

В частности, при кz1 = 0,4; кz2 = 0,5 ep

λ1 1 − ε1 . = 0,965 λ0 1 + ε1 δ

bz1

Приближенные выражения для λmax и λmin, определенные по методу Поля, (рис. 1.5 и 1.6) получены в [2]

в  в  λ max = z1µ 0l p  z1 + 2  1 + z1   ;  l p    δ 

λ min

bn2

Рис. 1.5

к − к z1 2δ 2δ   + 1+ 1 + z2  2 z1µ 0l p βt z (1 − к z 2 ) 1 − кz 2 βt z (1 − к z 2 )   ln , = + ln к 2δ 2δ β  1 − к z1 +  1 − z1 +  1 − к z 2 βt z (1 − к z 2 ) 1 − к z 2 βt z (1 − к z 2 )  β = 1,0 – 1,2 . 11

Так, например, при кz1 = 0,4; кz2 = 0,5,

δ

bz1

β = 1;

tz λ = 25; ε1 = min = 0,42 и δ λ max

λ1 = 0,4. λ0

При kz1 = kz2 = 0,5 зависимость λ от z2α представляет отрезки прямых (рис. 1.7), так как α = с = 0

bn2

1 + ε1  ; 2  λ1 8 1 − ε1  = ⋅ . λ 0 π 2 1 + ε1 

λ 0 = λ max Рис. 1.6

(1.6)

1.3. Магнитные проводимости зазоров под полюсами и способы соединения обмоток полюсов в фазе а. Равномерное размещение полюсов (рис. 1.1). При синусоидальной форме питающего напряжения (тока) и согласном соединении обмоток соседних полюсов (подразд. 3.1) в фазе момент возникает, если в магнитной проводимости воздушного зазора под полюсом имеется вторая гармоника.

λ nк = λ 0 + λ1 cos ( z2α − α к ) + λ 2 cos 2 ( z2α − α к ) , где к = 0, 1, 2 – номер фазы;

α к = ± ( к − 1)

2π ; 3

знак (+) соответствует раздвижению полюсов на t z 3 t знак (–) – сдвижению полюсов на z . 3 Это является аналогом синхронного реактивного двигателя, у которого момент возникает при наличии второй гармоники магнитной проводимости. 12

При встречном включении обмоток и питании фаз прямоугольными импульсами тока, смещенными на 2π эл. рад. – наибольшее значение 3 момента получим при "треугольной" зависимости магнитной проводимости от (рис. 1.7) (см. §3.2). б. Полюса размещены в виде λ отдельных групп по три полюса λmax (рис. 1.2). Группы смещены друг относительλmix

n но друга по зазору на 1 t z . При n1 – 0 π z2 α 2 Рис. 1.7 четное число электрический угол между ними кратен 2π или равен 0; при n1 – нечетное, он равен π. Соответственно магнитные проводимости под полюсами при учете 1-й гармоники будут равны: для n1 – четное

λ 'N = λ 0 + λ1 cos ( z2α − α N ) = λ 0 + λ1 cos ( z2α − α к ) , так как α N = ± ( N − 1)

(

)

2π 2π 2π = ± к + 3n ' − 1 = ± ( к − 1) ± 2π = α к ± 2π ; 3 3 3

для n1 – нечетное

λ 'N = λ 0 ± λ1 cos ( z2α − α N ) = λ 0 ± λ1 cos ( z2α − α к ) , где +λ1 для N = 0, 1, 2, 6, 7, 8, … –λ1 для N = 3, 4, 5, 9, 10, 11, … Принимаем, что фазы электрической машины 0, 1, 2 состоят из последовательно соединенных катушек полюсов с номерами N = к + 3n, где к = 0, 1, 2, n'=1, 2, 3, … При n1 – четное, катушки соседних групп полюсов включены встречно, поэтому МДС катушек полюсов FN + 3 = – FN . При n1 – нечетное, катушки соседних групп полюсов включены согласно, для них FN+3 = FN . 13

На рис. 1.2 а, б направления МДС катушек показаны стрелками. МДС считается положительной, если она направлена от статора к ротору. 1.4. Расчет магнитной цепи ЭМ с электромагнитным возбуждением Для расчета магнитной цепи ЭМ с электромагнитным возбуждением воспользуемся известными соотношениями, приведенными в [6]. Магнитная цепь машины представлена на рис. 1.8. bп

ОВ(w0)

hjc

hjr hz2

hz1

Рис. 1.8

Полная МДС обмотки возбуждения, приходящаяся на одну группу полюсов, равна Fв = i0 w 0 = Fδ + Fz1 + Fz 2 + Fп + F jc + F jp ,

где Fδ = H δδ; Fz1 = H z1hz1; Fz 2 = H z 2hz 2 ; Fп = H пlп

(1.7)

F jс = H jсl jс ; F jp = H jpl jp – МДС отдельных участков магнитной цепи

соответственно, воздушного зазора, зубцов статора, зубцов ротора, полюса, ярма статора и ярма ротора. Задаваясь значениями Вδ – индукцией магнитного поля в воздушном зазоре в пределах от 0,1 до 1,0 тесла, 14

определяем для каждого участка Вδср магнитной цепи индукцию в железе Вж; по кривой намагничиваB C A ния для электротехнической стали находим соответствующие значения Нж и МДС отдельных участков, а затем по формуле (1.7) Fв = i0w для каждого Вδ. Строим зависимость Вδ = F(i0w0) – магнитную характеристику – кривую I0W0 намагничивания машины (рис. 1.9). Рис. 1.9 Начальная часть магнитной характеристики представляет собой зависимость Вδ = F(Fδ). Степень насыщения магнитной цепи характеризуется коэффициентом насыщения Fz1 + Fz 2 + Fп + F jс + F jp Fв . (1.8) = 1+ Fδ Fδ На кривой (рис.1.9) kµ = 1 + BC . AB Приведем основные формулы для определения Fδ, Fz1, Fz2 и т. д. при расчете кривой намагничивания МД с электромагнитным возбуждением. 1. Расчет Fδ km =

Fδ = H δδkδ , где kδ = kδ1kδ2 – коэффициент Картера. Рассматриваемый двигатель имеет одинаковые зубцовые деления на статоре и роторе и различные ширины зубцов: bz1 = kz1tz; bz2 = kz2tz. Для частичных коэффициентов Картера kδi (i = 1,2) имеем выражения: 2

 bпi    tz k δi = , где γi =  δ  ; b t z − γi δ 5 + пi δ 2

t  (1 − k zi )2  z  1 δ ; , где γi = или kδi = δ t 1 − γi 5 + (1 − k zi ) z tz δ

15

γi

δ (1 − k zi )ai , где a = 1 − k zi t ; = z i δ 5 + ai tz

a 1+ i 5 a + 1 5 = 1 + εi , где i отсюда kδi = = = (1 − k zi )ai 5 + k zi ai a 1− 1 + k zi i 1 + k zi εi 5 + ai 5 t 1 εi = (1 − k zi ) z . 5 δ

Таким образом,

kδ =

1 + ε1 1 + ε2 ⋅ , 1 + kz1ε1 1 + kz2ε2

(1.9)

где εi = 0,628(1 − k zi ) D . δz 2 2. Расчет Fzi (i = 1, 2) Определяем Bzi' = Bδ

tz 1 , (kc = 0,95) . = Bδ kcbzi kck zi

Если Bzi' ≤ 1,8 Тл , то принимаем, что весь поток проходит через зубцы и

Bzi = Bzi' . По кривой намагничивания В = F(H) для стали опре-

деляем Hzi и, соответственно,

Fzi = H zi hzi .

(1.10)

Если Bzi' > 1,8 Тл , то необходимо учесть поток, замыкающийся через паз. Bz' = Bz + µ 0 H zi kпi , где kпi =

Sпi t z − bzi 1 = = −1; S zi bzi k zi

Bzi = F ( H zi ) – кривая намагничивания для стали зубцов. Решая графически или численным методом эти два уравнения, находим Hzi и Fzi по формуле (1.30). 16

3. Расчет Fп Магнитная индукция в полюсе изменяется по высоте полюса; в расlпδ , bп.ср = ( z1 − 1)t z + bz1 = ( z1 − 1 + k z1)t z – ширина полюсной дуги по за-

чет принимаем среднее значение Bп.ср = Bδ где lпδ зору; вп.ср – средняя ширина полюса;

Как правило, Bп.ср < 1,8 Тл , поэтому Hп находим по кривой намагничивания и

Fп = H п lп ,

(1.11)

где lп = 1 ( Dн − 2h j ) − ( D + 2hz1 )  для МД обычной конструкции;  2

1 ( D − 2hz1) − ( Dвн + 2h j )  для МД обращенной конструкции. 2 4. Расчет Fjc Магнитная индукция в ярме статора максимальна в области паза, занимаемого обмоткой возбуждения; ее значение равно lп =

3 lпδ B jc = Bδ 2 . h jp

По кривой намагничивания для стали находим Hjc и, соответственно F jc = H jcl jc ,

(1.12)

Dн − h jc  n1   z1 +  t z для двигателя обычной конструкции; D  2 Dвн − h jc  n1  l jc =  z1 +  t z для двигателя обращенной конструкции. D 2  5. Расчет Fjp Расчет проводится аналогично п. 4.

где l jc =

3 lпδ 3l 2 B jp = Bδ = Вδ пδ . 2h jp h jp

17

По кривой намагничивания находим Hjp и F jp = H jpl jp ,

(1.13)

D − 2hzp − h jp  n1   z1 +  t для МД обычной конструкции; D 2  Dн − h jp  n1  l jp =  z1 +  t z для МД обращенной конструкции. D 2  Полученный при расчете магнитной цепи коэффициент насыщения

где l jp =

kµ учитывается введением эквивалентного воздушного зазора δ' = δkµ . 1.5. Уравнения ЭДС и момент, создаваемый катушкой полюса в трехфазной машине Рассмотрим три соседних полюса, принадлежащие фазам 0, 1, 2. Обозначим их номерами N – 1, N, N + 1 (рис. 1.10). Потокосцепление катушки N-го полюса состоит: N–1

iN – 1 Bш

N

N+1 iN + 1 w

Рис. 1.10

ψ вN = wФвN = ±i0 w 0 wλ 'N – потокосцепление, создаваемое обмоткой возбуждения ((+) при N = 0, 1, 2, 6, 7, 8,… (–) при N = 3, 4, 5, 9, 10, 11, …); ψN – потокосцепление от токов в катушках полюсов;

(

)

Ψ N = w 2 λ 'N + λ σ + 2λ ш iN − M 1iN +1 − M 2iN +1 − M ∑ iν ,

где

18

 λ' λ' M 1 =  ' N N' −1  λ N + λ N −1

ν

    '  2  ' 1  w2 ≈  λ N + λ  w2 ; λ + λm  w = λ N + m m   2 λ 'N     1 + '  λ N −1  

 λ' λ' M 2 =  ' N N'+1  λ N + λ N +1

    '  1  w2 ≈  λ N + λ  w2 ; λ + λ m  w2 =  λ 'N + m m   λ 'N   2   1 + '  λ N +1  

λ M
≈ w2 N . 2 В трехфазной системе при соединении звездой '

iN −1 + iN + iN +1 = 0 ,

∑ iv = 0 , поэтому v

3 ψ N =  λ 'N + λ σ + 3λ ш  w2iN = LN iN , 2 

(1.14)

где LN =  3 λ 'N + λ σ + 3λ ш  w2 . 2  Здесь λδ – магнитная проводимость рассеяния катушки (пазовая, лобовая); λш – магнитная проводимость шлица между полюсами. Уравнение ЭДС для катушки N-го полюса запишем в виде u N = r1iN − eвN +

dψ N , dt

(1.15)

где r1 – активное сопротивление катушки; dψ N – ЭДС, индуктируемая обмоткой возбуждения. dt Подводимая к катушке мгновенная мощность равна eвN = −

PN = uN iN = r1iN2 − eвN iN +

d ( LN iN )iN , dt

(1.16)

но iN

dL di d d 1 1 dL ( LN iN ) = iN2 N + iN LN N =  LN iN2  + iN2 N = dt dt dt dt  2 dt  2 dWM 1 2 dLN Ω, = + iN 2 dt dα

19

1 LN iN2 – энергия магнитного поля катушки. 2 Подставляя в (1.16), получим

где WM =

dWM 1 dLN Ω – потери в меди + изменение − eNвiN + iN2 2 dt dα энергии магнитного поля + механическая мощность. Отсюда PN = r1iN2 +

1 dLN Ω Pмех = −eNвiN + iN2 dα 2

и момент M1 =

Pмех e i 1 dL = − Nв N + iN2 N . Ω Ω 2 dα

(1.17)

Момент, создаваемый всеми полюсами машины,

M=

20

5 5 P 1 1 2 dLN   − ∑ eNвiN + ∑ iN . 6  N =0 Ω 2 N =0 dα 

(1.18)

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ 2.1. Уравнения ЭДС фазы и пусковой момент в двигательном режиме Уравнение ЭДС к-й фазы машины получим путем суммирования выражений (1.5) для всех N, входящих в данную фазу, N = к, к + 3, к + 6, к + 9 и т. д. Поскольку выражения для величин, характеризующих катушку полюса, повторяются через 6 номеров (см. подразд. 1.5), то

uф =

p (uк + uк +3 ) . Подставляя сюда (1.15), находим 6 uф =

dψ  dψ p r1 (iк + iк +3 ) − eкв − eк +3,в + к + к +3  .  dt dt  6

(2.1)

Рассмотрим это выражение для 2 случаев выполнения машины: n1 – нечетное; n1 – четное. а) n1 – нечетное число:

−eкв − eк +3,в =

d (ψкв + ψк+3,в ) ; dt

подставляя сюда выражения для ψNв из (подразд. 1.4), получим

d  λ 0 + λ1 cos ( z2α − α к ) − λ 0 + λ1 cos ( z2α – α к ) = dt  π = −2i0 w0 wλ1z2Ω sin ( z2α − α к ) = 2i0 w0 wλ1z2Ω cos  z2α − α к +  ; 2 

−eкв − eк +3,в = +i0 w0 w

d ( ψ к + ψ к +3 ) = d ( Lк + Lк +3 )iк  = dt dt d 3 λ 0 + λ1 cos ( z2α – α к ) + λ σ + 3λ ш +  λ 0 − λ1 cos ( z2α – α к ) + = dt 2

{

21

}

di 3 + λ σ + 3λ ш w2iк = 2w2  λ 0 + λ σ + 3λ ш  к . 2  dt

Таким образом, из (2.1) получим di p p 3 π i0 w0 wλ1z2Ω cos  z2α − α к +  +  λ 0 + λ σ + 3λ ш  к ,(2.2) 3 2 32   dt

uф = rфiк +

где rф = p r1 – активное сопротивление фазы. 3 Обозначим Lф =

p3  2  λ 0 + λ σ + 3λ ш  w – индуктивность фазы; 32 

3  2  λ 0 + λ σ + 3λ ш  w 2   – электромагнитная постоянная вреτэ = = rф r1 Lф

мени фазы; Eф =

p i0 w0 wλ1 z2 Ω = 2 ⋅3

λ p i0 w0 w 1 z2 Ω – противоЭДС фазы λ0 2 ⋅3

(действующее значение). Но pi0 w0λ 0 = pФпm = Фm – суммарный магнитный поток всех полюсов. Тогда Eф =

λ 1 Ф m 1 wz2 Ω = к E Ω ; λ0 2 ⋅3

(2.3)

xф = Lф z2 Ω = Lф 2πf = ξΩ – индуктивное сопротивление фазы;

xф

= τ э z2 Ω . rф В установившемся режиме ток фазы iк отстает от противоЭДС на угол ψ π iк = 2 I ф cos  z2α – α к + − ψ  = − 2 I ф sin ( z2α − α к − ψ ) . 2  

22

(2.4)

Напряжение на фазе опережает противоЭДС на угол Θ π uф = 2U ф cos  z2α − α к + − Θ  . 2  

2,

Уравнение (2.2) запишем в виде, сократив на

π π U ф cos  z2α − α к + − Θ  = rф I ф cos  z2α − α к + − ψ  + 2 2     π + Eф cos  z2α − α к +  + xф I ф cos ( z2α − α к + π − ψ ). 2 

(2.5)

Этому уравнению соответствует векторная диаграмма (рис. 2.1). B

jxф I
ф U
ф

rф I
ф E
ф

Θ I
ф

ψ


n∼ Ф m

0 Рис. 2.1

Здесь Ф'mп ~ = Ф'mп

λ1 cos ( z2α − α к ) – переменная составляющая магнитного λ0

потока полюса.

23

б) n1 – четное число: − eкв − eк +3,в =

d (ψ кв + ψ к+3,в ) = dt

d  λ 0 + λ1 cos ( z2α − α к ) + λ 0 + λ1 cos ( z2α − α к ) = dt  π = −2i0 w0 wλ1z2Ω sin ( z2α − α к ) = 2i0 w0 wλ1z2Ω cos  z2α − α к +  ; 2  = i0 w0 w

d ( ψ к + ψ к+3 ) = d ( Lк + Lк+3 )iк  = dt dt di d  3 3  = 2  λ 'к + λ σ + 3λ ш  iк  w 2 = 2  λ 0 + λ σ + 3λ ш  w 2 к + dt  2 dt   2  d + 3λ1w 2 iк cos ( z2α − α к ) . dt Подставляя эти выражения в (2.1) и вводя упомянутые обозначения, получим π π U ф cos  z2α − α к + + Θ  = rф I ф cos  z2α − α к + − ψ  + 2 2     eф2 π , + Eф cos  z2α − α к +  + xф I ф cos ( z2α − α к + π − ψ ) + 2  2

p 2 d wк λ1 (iк cos( z2α − α к ) ) – добавочная ЭДС двойной часто2 dt ты, обуславливающая дополнительные потери в обмотке статора. где eф2 =

iк cos( z2α − α к ) =

Iк sin ψ − sin (2( z2α − α к ) − ψ ) ; 2

поэтому p 2 wк λ1 I к z2 Ω cos [2( z2α − α к ) − ψ ] . (2.6) 2 Таким образом, уравнения ЭДС по основной частоте для обоих вариантов двигателя совпадают. При n1 – четное, необходимо учесть дополнительные потери от еф2 . Пусковой момент найдем по формуле (1.18), полагая ток eф2 = −

24

iк = − I m sin ( z2α − α к ) , так как в пусковом режиме ψ = 0,

Mп = +

p  2 eквiк 2 eк +3,вiк +3 1 2 2 dLк 1 2 2 dLк +3  . −∑ + ∑ iк + ∑ iк +3  −∑  6  к =0 Ω к =0 2 к =0 dα 2 к =0 Ω dα 

Пусковой момент состоит из 2 составляющих: момента, обусловленного ЭДС вращения, и момента от изменения индуктивности обмотки от угла поворота ротора, его обычно называют пульсирующим моментом. Первая составляющая равна

M1п =

p 2 ( −eкв − eк +3,в ) iк , ∑ Ω 6 к =0

она имеет одинаковые значения при n1 – нечетное и n1 – четное. M 1п =

2 p p 2i0 w0 wλ1 z2 I m ∑ sin ( z2α − α к ) = i0 w0 wI m λ1z2 . 6 2 к =0

(2.7)

Но pi0 w0λ 0 = pФпm = Фm – суммарный магнитный поток всех полюсов. M 1п =

Тогда

λ 1 Фm 1 wI m . 2 λ0

(2.7')

Вторая составляющая различна при n1 – четное или нечетное: M2 =

Для n1 – нечетное:

Lк + Lк +3 = w2

p 2 2 d ∑ iк ( Lк + Lк+3 ) . 12 к =0 dα

{23 λ − λ cos ( z α − α ) + λ 0

1

2

к

σ

+ 3λ ш +

}

3 +  λ 0 − λ1 cos ( z2α − α к ) + λ σ + 3λ ш = 2 2 3 = w 2  λ 0 + λ σ + 3λ ш  = пост. (не зависит от α); 2  отсюда М2 = 0. 25

Для n1 – четное: Lк + Lк +3 = w2 2

{23 λ + λ cos ( z α − α ) + λ 0

1

2

к

σ

+ 3λ ш

}

и, соответственно, M2 = −

2 p 2 2 w I m λ1z2 ∑ sin 3 ( z2α − α к ) ; 4 к =0

но sin 3 ( z2α − α к ) = =

1 3sin ( z2α − α к ) − sin 3 ( z2α − α к ) = 4

1 3sin ( z2α − α к ) − sin 3z2α  ; 4

2

2

к =0

к =0

∑ sin( z2α − α к ) = 0; ∑ sin 3z2α = 3sin 3z2α .

Поэтому

M2 =

3p 2 2 w I m λ1z2 sin 3z2α . 16

(2.8)

Это указывает на определенные преимущества двигателя с n1 – нечетное число: отсутствие добавочной ЭДС еф2 и пульсации пускового момента. 2.2. Синхронный режим двигателя Векторная диаграмма двигателя при Ω = пост. для основной частоты имеет одинаковый вид при n1 – четное и нечетное числа (рис. 2.1). Электромагнитная мощность двигателя равна Pэм = 3Eф I ф cos ψ.

Из треугольника оав находим xф I ф cos ψ − rф I ф sin ψ = U ф sin Θ.

Отсюда 26

(2.9)

(

)

U ф xф sin Θ + rф cos Θ − rф Eф   rф2 + xф2  . U ф xф cos Θ − rф sin Θ − xф Eф  I ф sin ψ =  rф2 + xф2 

I ф cos ψ =

(

(2.10)

)

Подставляя эти выражения в (2.9) и разделив на Ω, получим момент двигателя

M эм =

Обозначим

rф xф

3к Е  U ф xф sin Θ + rф cos Θ − rф Eф  . + xф2 

(

rф2

)

(2.11)

= tgβ , выражение (2.10) запишем в виде

M эм =

 rк Ω  U ф sin(Θ + β) − ф Е  2 2  2 2 , rф + xф  rф + xф  3к Е

или M эм =

  кЕ Ω U ф sin(Θ + β) − . 1 + τ 2э z22Ω 2  rф 1 + τ 2э z22 Ω 2  3к Е

rф

(2.12)

Момент двигателя состоит из 2 частей: синхронного момента, пропорционального sin(Θ + β), и тормозного момента. Для двигателей с n1 – четное число необходимо учесть тормозной момент от 2-й гармоники ЭДС еф2. Из (2.6) находим Mт =

2 2 2 2 2 4 3 p 2 λ12 I ф2 z22 w4 Ω pcи2 3 p λ1 I ф z2 Ω w . = r = ф Ω 2 rф2 + 4 xф2 Ω 2rф 1 + 4τ 2э z22 Ω 2

(

)

(

)

(2.13)

Значение тока Iф получим из (2.10) 27

I ф2

=

U ф2 + Eф2 − U ф Eф cos Θ

(

rф2

+

)

2 xф2

.

(2.14)

Рассмотрим механическую характеристику двигателя (n1 – нечетное) при работе его от трехфазного источника напряжения переменной частоты при Uф = пост. Максимальный момент двигателя при заданной угловой скорости Ω =

M max =

2πf будет при (Θ + β ) = π ; z2 2   кЕ Ω U ф − . 1 + τ э2 z22Ω 2  1 + τ 2э z22 Ω 2  3кЕ

rф

Обозначим:

M п max =

3кЕU ф rф

– максимальный пусковой момент при Ω = 0;

Ω0 – скорость идеального холостого хода, соответствующая Мmax = 0. Тогда к Е Ω0

Uф =

1 + τ 2э z22 Ω02

;

отсюда Ω0 =

1

.

2

 кЕ  2 2   + τ э z2  Uф 

Уравнение предельной механической характеристики примет вид mпр =

M max к 1 Ω . = − Е 2 2 2 2 2 2 M п max U ф 1 + τ э z2 Ω 1 + τ э z2 Ω

(2.16)

Пусть Ωс – угловая скорость, при которой Uф = кЕΩс. Введем относительную скорость ω = 28

Ω ; тогда Ωс

кЕ Ω = ω; Ω= Uф Ωc

τ э z2Ω = τ э z2Ωсω = вω . Уравнение (2.16) преобразуется к виду mпр =

1 1+ в ω

2 2

−

ω . (2.17) 1 + в 2ω 2

mпр 1,0

0,5

0

0,5

1,0

ω

Рис. 2.2

На рис. 2.2 приведена предельная механическая характеристика в относительных единицах при

в = τ э z2Ωc = 0,5 . 2.3. Вентильный двигатель Наиболее часто регулируемый электропривод на базе синхронной машины осуществляется питанием фаз обмотки двигателя от электронного коммутатора, управляемого датчиком положения ротора (ДПР). Для реверсивного привода ДПР устанавливается таким образом, чтобы угол Θ всегда был равен 0. Применение низкоскоростных синхронных двигателей с электромагнитной редукцией частоты вращения позволяет исключить из электропривода механический редуктор, что увеличивает надежность и точность работы привода. Режим работы синхронного двигателя от аналогового электронного коммутатора с синусоидальным выходxф I
ф ным напряжением называется вентильный двигатель, так как U
f rф I
силовая часть коммутатора состоит из управляемых полупроводниковых приборов (вентилей). E
ф′ Векторная диаграмма ЭДС венI
ф тильного двигателя получится из ψ рис. 2.1, полагая в нем Θ = 0 (рис. 2.3). Имеем: n1 – нечетное 0 число.
n∼ Ф m

Рис. 2.3

29

Электромагнитная мощность Pэ.м = 3Eф I ф cos ψ = 3Eф

U ф − Eф rф2

+

xф2

⋅

rф rф2

+ xф2

; (m1 = 3)

отсюда момент двигателя M=

Pэ.м = Ω

 кЕ  . − 1 Ω   xф2   U ф  rф  1 + 2   rф   3к ЕU ф

Введем базовые величины

Mп = Uф кЕ

m1кЕU ф rф

– пусковой момент;

= Ω0 – угловая скорость идеального холостого хода;  xф    = τ э z2 Ω0 = в ;  rф 0

Iп =

Uф

Pп =

rф

– пусковой ток;

3I п2 rф

=3

U ф2 rф

– пусковая мощность;

M пΩ 0 =

3кЕU ф U ф U ф2 ⋅ =3 = 3I п2rф = Pп rф кЕ rф

и относительные единицы m=

30

Iф Ω M P ; ω= ; i= ; P= . Ω0 Mп Iп Pп

(2.18)

Из уравнения (2.18) получим идеальную механическую характеристику двигателя без учета потерь в стали и дополнительных потерь m=

1− ω , 1 + в 2ω 2

(2.19)

а также рабочие характеристики вентильного двигателя в относительных единицах i=

1− ω

; Pcu =

1 + в 2ω 2

Pcu 2 (1 − ω) 2 =i = ; Pп 1 + в 2ω 2

(1 − ω)ω 1− ω = m; ; P1 = Pмех + Pcu = 2 2 1+ в ω 1 + в2ω2 P 1 η = мех = ω; cos j = . P1 1 + в2ω2

Pмех = mω =

В указанных формулах для энергетических характеристик не учтены потери в меди обмотки возбуждения и потери в стали магнитопровода. Нетрудно показать, что выражение для пускового момента совпадает с (2.7) (см. (2.3))

Mп =

3кфU ф

λ λ 1 1 Фm 1 wz2 = Фm 1 z2 wI m . λ0 2 λ0 2 ⋅3

= 3I п

rф Для n1 – четное число:

pcu2 =

2 2 4 2 2 2 3 p λ1 w z2 I фΩ ; 2 rф 1 + 4τ 2э z22Ω 2

но

(

)

Ω = ω Ω 0 ; I ф = I пi; τ э z 2 Ω 0 = в i=

1− ω 1 − в 2ω 2

,

поэтому Pcu = A

ω2 (1 − ω)2 , 1 + 4в2ω2 1 + в2ω2

(

)(

)

(2.21) 31

где 2 3 ( pλ1w z2 I пΩ0 ) A=

2

2 rф Тормозной момент от токов 2-й гармоники

.

Pсu 2 ω(1 − ω)2 A , = Ω0ω Ω0 1 + 4в2ω2 1 + в2ω2 относительное значение тормозного момента Mт =

mт =

(

)(

)

Mт ω(1 − ω) 2 A = , но M пΩ0 = 3I п2 rф = Pп ; M п M пΩ0 1 + 4в 2ω2 1 + в 2ω2

(

)(

)

тогда mт = B

ω(1 − ω)2 , 1 + 4в 2ω2 1 + в 2ω2

(

)(

(2.22)

)

2

 pλ w 2 I п z 2 Ω 0  где B = 1  1  . 2  rф  Потери от 2-й гармоники в относительных единицах равны

Pcu 2 =

Pcu 2 ω2 (1 − ω) 2 . =B Pп 1 + 4в 2ω2 1 + в 2ω2

(

)(

)

Рабочие характеристики идеализированного вентильного двигателя при n1 – четное число примут вид: – механическая характеристика

m' = m − mт =

1− ω 1 + в 2ω2

ω(1 − ω)   1 − B 1 + 4в 2ω2  ;

– суммарные потери в меди фаз

Pcu' = Pcu + Pcu 2 = 32

(1 − ω)2 1 + B

 1 + в 2ω2 

 ω2 2 2; 1 + 4в ω 

– механическая мощность

Pcu' = m'ω =

(1 − ω)ω  ω(1 − ω)  1− B ; 2 2 1+ в ω  1 + 4в 2ω2 

– потребляемая мощность ' = P1' = Pcu' + Pмех

1− ω = P1 = m ; 1 + в 2ω2

– коэффициент полезного действия

η=

' Pмех ω(1 − ω)   = ω 1 − B ; P1 1 + 4в 2ω2  

– коэффициент мощности cos ϕ = cos ψ =

1 1 + в 2 ω2

.

Оценим мощность, потребляемую обмоткой возбуждения, Pв = 2к1r0i02 = 2к1ρ = 2к1ρ

2 (l + lл ) w0 2 2 j0 q0 = q0

2lкл sп.окз.п 2 j0 q0 = 2к1ρlкл j02 sп.о кз.п . (*) 2q0

Здесь: ρ ≈ 2⋅10–8 Ом – удельное сопротивление меди при t° ≈ 75 °С; l – длина пакета статора; lл – коэффициент вылета лобовых частей обмотки; l sп.о – площадь паза под обмотку; кз.п – коэффициент заполнения паза (кз.п ≈ 0,3 ÷ 0,35) j0 – допустимая плотность тока в ОВ. Но кл =

Bδδкδкµ µ0

= i0 w0 = j0q0

sп.о кз.п j0sп кз.п . = 2q0 2

33

Подставляя в (*), получим P0 = 4к1

Bδ кδ кµ µ0

j0 ρlкл =

2 Bδ кδ кµ p j0 ρlкл ; µ0 3

(2.23)

здесь: Вδ – индукция в воздушном зазоре от ОВ; δ – односторонний воздушный зазор; кδ – коэффициент Картера; кµ – коэффициент насыщения. 2.4. Выбор электромагнитных нагрузок двигателя Наиболее тяжелым по условиям нагрева управляемых двигателей является пусковой режим. Поэтому выбор индукции магнитного поля в зазоре и плотностей тока обмоток двигателя целесообразно сделать для пускового режима. В качестве критерия выбора принимают получение максимального значения пускового момента и коэффициента эффективности двигателя [3] Mп = кq , Pп Gдв

где Gдв – масса двигателя. Положим, что магнитопровод ненасыщен и магнитным сопротивлением участков, содержащих сталь, можно пренебречь. Магнитный поток полюса к-й фазы (к = 0, 1, 2) при постоянном токе в обмотке возбуждения i0 и тока управления фазы iк = − I m sin ( z2 α − αк ) равен Фк = (i0 w0 + iк w ) λ 'к = i0 w0λ 0 + i0 w0λ1 cos( z2α − αк ) − − I m wλ 0 sin( z2 α − αк ) − I m wλ1 sin( z2 α − αк )cos( z2 α − αк ) = = i0 w0λ 0 + i0 w0λ1 cos( z2 α − αк ) − I m wλ 0 sin( z2 α − αк ) − 1 − I m wλ1 sin 2( z2 α − αк ). 2

Он состоит из 4 составляющих: 34

(2.24)

i0 w0λ 0

– постоянная составляющая магнитного потока;

i0w0λ1 cos( z2α − αк ) – переменная составляющая от обмотки возбуждения (ОВ); I m wλ 0 sin( z2α − αк ) – переменная составляющая от тока фазы;

1 I m wλ1 sin 2( z2 α − αк ) – переменная составляющая от взаимодействия 2 тока фазы и зубцов на полюсах и роторе. Последняя составляющая имеет 2-кратную периодичность от угла поворота ротора. Она не участвует в образовании момента, и ее в дальнейшем не учитываем. Обозначим Вδср =

i0 w0λ 0 – среднее значение индукции в зазоре; в п δl

здесь впδ = ( z1 − 1) t z + в z1 = ( z1 − l + к z1 ) t z ; l – длина пакета статора. Выражение (2.24) запишем в виде

Bδ = Bδср + Bδсрµ1 [cos( z2 α − αк ) − ξ sin( z2 α − αк )] , где µ1 =

(2.25)

I wλ λ1 ; ξ = m 0 – отношение переменных составляющих магλ0 i0 w0λ1

нитного потока от тока фазы и ОВ. Обозначим ξ = tgγ , формула (2.25) примет вид Bδ = Bδср + Bδсрµ1 1 + ξ2 cos( z2 α − α к + γ ) .

Максимальное значение Вδm будет при cos( z2α − αк + γ ) = 1

Bδm = Bδср 1 + µ1 1 + ξ2  . (2.26)   Среднее значение индукции Вδср связано с i0w0 по формуле Вδср = µ 0

i0 w0 δкδ .

(2.27)

Пусть Bδ' m – максимальное значение индукции в зазоре, допустимое из-за насыщения зубцовой зоны 35

( Bz1m ≈ Bz 2m = 1,8 ÷ 1,9 Тл ) .

Bδ' m = к z1Bz1m или Bδ' m = к z 2 Bz 2m ;

Принимая это значение индукции за базовое, запишем формулу (2.26) в относительных единицах:

Вср

βср =

Вδ' m

; βδm =

Вδm ; Вδ' m

(

)

βδm = βср 1 + µ1 1 + ξ2 . При βδm = 1 βср =

1

.

1 + µ1 1 + ξ

(2.28)

2

Найдем зависимость пускового момента от параметра ξ, считая

βδm = 1 и µ1 = пост. Mп =

p i0 w0 wI mλ1z2 (см. формулу 2.7). 2

Подставляя сюда значение ξ =

Mп =

I m wλ 0 (2.29), получим i0 w0λ1

2 p 2µ z2ξ (i0 w0λ 0 ) 1 ; 2 λ0

но i0 w0λ 0 = Bδсрвпδl ; Bδср = βср Bδm =

тогда

M п = A1µ12

Bδm

(1 + µ

1

где A1 = 36

pz2 (впδ IВδm )2 . 2λ 0

,

1 + µ1 1 + ξ2

ξ 1+ ξ

2

)

2

,

(2.30)

Приравнивая

dM п = 0 , находим значение ξm , при котором Мп = max. dξ

(

)

1/ 2

µ 2 + 1 1 + 1 + вµ 2  1   1 2  ξm =  µ1

;

в частности, при µ1 = 0,4, ξm ≈ 3,0. Оценим зависимость Рп от ξ:

Pп = где r0 =

2 3 2 1 I m rф = ( I m w ) pr0 , 2 2

r1 4lк1 . =ρ 2 sп кз.п w

Подставляя сюда Imw из (2.29), получим

Pп =

1 (i0w0ξµ1 )2 pr0 , 2

но

i0 w0 =

Bδсрвпδl λ0

тогда

=

Bδm впδl

λ 0 1 + µ1 1 + ξ2   

,

2

µ12ξ2 1 B в l  Pп =  δm пδ  pr0 2 или (см. (2.30)) 2  λ0  1 + µ 1 + ξ2  1   Pп = A1

r0 µ12ξ2 µ12ξ2 . = B 1 2 2 λ 0 z2  2 2  1 + µ1 1 + ξ 1 + µ1 1 + ξ    

Для коэффициента эффективности кq =

Mп получим Pп G

37

Mп µ1 ⋅ . (2.31) Pп G 1 + µ1 1 + ξ2 Это означает, что с уменьшением Mп ξ кq – растет. На рис. 2.4 приведена M пm 0,1 зависимость Mп = F(ξ). Эта функция 1,0 имеет достаточно "тупой" максимум. Поэтому для увеличения кq при незначительном уменьшении Мп мож- 0,5 но принять ξопт ≈ 0,6ξm . Для обычных значений µ1 = 0,35…0,45; 0 1 ξ 2 3 4 ξопт = 2,0…1,6; µ1ξопт = 0,7. опр Определим отношение площадей Рис. 2.4 под обмотки возбуждения и управления (фазы). кq =

i0 w0λ1 =

отсюда

sп.в кз.п jо.в λ1 ; 2

µ1ξопт =

sп.у jо.у sп.в jо.в

I m wλ 0 =

2 или

sп.у кз.п jо.у 2

λ0 ;

jо.у sп.в . ≈2 sп.у jо.в

(2.32)

Из (2.28) определяем Вδср: Bδср =

Bδm 1 + µ1 1 + ξ2опт

=

Bδm 1 + µ12 + 0,5

.

(2.33)

В частности, при jо.у = jо.в sп.в = 2 sп.у . При Вδm = 0,9 Тл; µ1 = 0,4; Вδср = 0,5 Тл. 2.5. Оптимизация внутренней геометрии магнитопровода При проектировании внутренней геометрии листа статора необходимо учитывать ряд факторов, оказывающих существенное влияние на пусковые характеристики двигателя. Во-первых, необходимо выдержать определенные соотношения между величиной зазора δ и зубцовым делением tz. Как следует из подразд. 1.2, для получения µ1 = 38

λ1 = 0,4 величина t z ≈ 25 , т. е. D ≈ 8z2 . λ0 δ δ

Во-вторых, согласно подразд. 2.4 для получения максимального значения Мп и приемлемой величины коэффициента эффективности кq средняя индукция в воздушном зазоре, создаваемая обмоткой возбуждения, должна быть на уровне Вср ≈ 0,5 Т, а отношение площадей под обмотки возбуждения и управления при равных плотностях тока равно 2. В-третьих, необходимо учитывать технологические ограничения: допустимая высота ярма hj, высота и ширина шлица между полюсами, обеспечивающая удобство при укладке обмотки, и т. п. Поэтому получение удачного решения по проектированию магнитопровода представляет собой довольно сложную задачу с необходимостью просчета различных вариантов, как правило, с использованием персональных ЭВМ. Рассмотрим порядок выбора основных размеров, числа зубцов и полюсов и т. п. для электрических машин с электромагнитным возбуждением при заданных: Dн – наружный диаметр по магнитопроводу и δ – воздушный зазор. а. Электрическая машина обычной конструкции (внешний статор) (рис. 2.5). 1. Определение чисел зубцов на роторе и полюсе. Задаемся D = (0,5...0,7) Dн и определяем предельное значение z2пр =

1D . 8δ

Из формулы z2 = к1 (6 z1 + n1 ± 2 ) определяем к1, z1 и n1 так, чтобы z2 ≤ z2пр . При этом желательно к1 ≥ 2 для уменьшения влияния эксцентриситета, n1 = 5...7 для получения sп.в = 2sп.у, кроме того, желательно n1 – нечетное, так как характеристики электрической машины более благоприятны. Если есть требование z2 = 2n, то необходимо выполнить соотношение (подразд. 1.1). 2. Определение размеров элементов листа стали статора.

в z1 = к z1

πD (к = 0,33...0,4) – ширина зубца на полюсе статора; z1 z2

в z 2 = 0,5t z = 1,57

D – ширина зубца ротора; z2

вп = кnz1вz, (кп = 1...1,2) – ширина полюса в наименьшем сечении; hz1 = вz1; hz2 = вz2 – высота зубцов статора и ротора; 39

hj =

Вj 3 в п – высота ярма, где к j = – отношение максимальных 2к j Вп

индукций в ярме и полюсе к j ≈ (1,2...1,5) ;

hп ≈ ( 2...2,5) в z1 – высота шлица между полюсами; hпδ = ( z1 − 1) t z + в z1 – ширина полосной дуги по зазору; 1 вш =  1 − к z1 ±  t z – ширина шлица между полюсами. 3  3. Оценка диаметра паза под обмотку возбуждения. Она может быть выполнена из геометрических соображений (рис. 2.5) и (2.27). i0w0

iкwк

n Bш + 1 t z 2

Bш

Рис. 2.5

Dн = D + 2 Dп + 2hп + 2h j .

Подставляя сюда приведенные значения диаметра,ярма и высоты паза

2hп = 5вz1 = 5к z1t z ; h j =

Dп = 40

3кп к1z z1t z ; кj

D=

z 2 t z , получим π

z   3к 1  Dн −  2 + 5к z1 + п к1z z1  t z  , 2  кj π  

где t z = πD ≈ (20 − 25) δ – зубцовое деление ротора (статора). z2 Площадь паза под обмотку возбуждения равна

n1 tz . (2.34) 2 Для получения значения Вδср ≈ 0,5Т необходимая площадь паза под обмотку возбуждения находится из условия sп.в ≈ Dп

Вδср = µ 0

s к j i0 w0 , но i0 w0 = п.в з.п о.в ; 2 δ кδ

sп.в =

отсюда

2 Bδсрδкδ µ0кз.п jо.в

.

(2.35)

Если выражения (2.34) и (2.35) практически совпадают, то выбор D и n1 выполнен удачно; при существенном расхождении следует изменять величины D и n1. 4. Определение остальных величин, характеризующих геометрию листа статора. Dц = D + 2hп + 2 Dп – диаметр расположения центров полуокружнос-

тей пазов;

D  1 a =  впδ ц − вп − Dп  – смещение центра полуокружности паза ста2 D  тора для ОВ по отношению шлица полюса; aц =

nt D  1  3π  Dц − 3(вп − Dп ) − 2a −  вш + 1 z  ц  – расстояние между  2 p 2  D 

центрами полуокружностей паза обмотки управления (фазы);  π Dвн =  1 −  D − 2h j – внутренний диаметр ротора; z2   π sп.у = Dп  Dп + ац  – площадь паза обмотки управления. 4  Желательно, чтобы

sп.в ≈ sп.у

jо.у jо.в

2.

41

б. Электрическая машина обращенной конструкции (внутренний статор). 1. Определение чисел зубцов z1 и z2. Значения z2, z1, 2к1 выбирается из тех же соображений, что и для обычной конструкции. Значение D принимается более высоким: D = = (0,7...0,9)Dн. 2. Определение основных элементов магнитопровода, прилегающих к зазору, производится по таким же формулам, что и для машины обычной конструкции. 3. Диаметр паза под обмотку возбуждения. Из геометрических соображений (рис. 2.6),

Bш +

n1 tz 2

i0w0 iкwк

Рис. 2.6

D = 2hп + 2 Dп + 2h j + Dвн ;

2hп = 5к z1t z ; 2hп = 3кп к1z z1t z ; кj  3к πD  D = 2 Dп + Dвн +  5к z1 + п к1z z1  ; z2  кj 

отсюда

42

     3к   πк z1  5 + п z1     к j    1   Dп =  D  1 − − Dвн  .  2 z2            

(2.36)

Площадь паза под обмотку возбуждения

sп.в ≈ Dп

2 Вδсрδкδ n1 t z ; согласно (2.35) sп.в = . 2 µ 0кз.п jо.в

Если эти значения существенно расходятся, то изменяем величины D и Dвн, или переходим на другую форму паза (овальный паз). 4. Остальные величины, определяющие геометрию листа статора: Dц = D − 2hп − Dп – диаметр центров полуокружностей пазов;

D  1 a =  вп + Dп − впδ ц  – смещение центра окружностей паза ОВ по D  2 отношению к шлицу полюса;

aц =

nt D  1  3π  Dц − 3(вп + Dп ) − 2a −  вш + 1 z  ц  – расстояние меж 2 p 2  D 

ду центрами окружностей паза обмотки управления; π sп.у = Dп  Dп + ац  – площадь паза обмотки управления. 4  Проверяем, чтобы sп.в ≈ 2 sп.у

jо.у jо.в

.

В заключение на основе полученных значений Вδ, jо.в, jо.у, sп.в, sп.у оценим тепловую нагрузку и Мп электрической машины в пусковом режиме. – Потери в обмотке возбуждения 2 Pв = 2к1ρt (l + lл.в ) sп.в кз.п jо.в ;

– потери в обмотке управления

Pп.у =

р 2 ρt (l + lл.у ) sп.у кз.п jо.у ; 2

– удельная тепловая нагрузка на корпусе Qк =

Рв + Рп.у sк

, 43

где sк – суммарная поверхность корпуса; – для длительного пускового режима Qк < 0,2

Вт ; см 2

– постоянный магнитный поток полюса от ОВ Фпm = Вδвпδ ;

– число ампер-витков обмотки управления

wI m =

sп.у кз.п jо.у 2

;

– пусковой момент

Мп =

p п λ1 z2 wI m . Фm λ0 2

2.6. Синхронный генератор В подразд. 2.2 была подробно рассмотрена работа индукторной машины в режиме двигателя. Аналогично можно рассмотреть режим синхронного генератора. Построим векторную диаграмму напряжения для активно-индуктивной нагрузки. ЭДС отстает по фазе от переменной составляющей магнитного потока на угол π/2, ток отстает по фазе от ЭДС Еф на угол ψ, напряжение на нагрузке, состоящей из rн и xн, опережает ток на угол ϕ. B

jxф I
ф

zф I
ф

U
f

E
ф

C

I
ф
n∼ Ф m

0

ψ

Рис. 2.7

44

ϕ

Векторная диаграмма показана на рис. 2.7. Найдем выражение для внешней характеристики генератора Uф = F(Iф) при i0 = пост., Ω = пост. Из треугольника ОBC имеем

(U ф cos ϕ + rф I ф ) + (U ф sin ϕ + xф I ф ) 2

2

= Eф2 , отсюда

) (

(

)

U ф2 + 2U ф I ф rф cos ϕ + xф sin ϕ + rф2 + xф2 I ф2 − Eф2 = 0.

Решая это уравнение относительно Uф, получим

(

)

(

)

2

U ф = − I ф rф cos ϕ + xф sin ϕ + Eф2 − rф sin ϕ − xф cos ϕ I ф2 . (2.37) Обозначим: rф = zфcosβ ; xф = zф sin β ,

где tgβ =

xф

. rф Выражение (2.37) запишем в виде U ф = Eф2 − Z ф2 sin 2 (β − ϕ ) − I ф Z ф cos (β − ϕ ) ,

(2.38)

которое представляет собой внешнюю характеристику генератора. В частности, при ϕ = 0 (активная нагрузка) U ф = Eф2 − xф2 I ф2 − rф I ф .

Отметим две области применения подобных генераторов: – ветроэнергетические установки малой мощности; – гидроэнергетические устройства малой мощности. Для этих целей целесообразно применение электрических машин обращенной конструкции, в которой наружный ротор непосредственно крепится к ветро- или гидроколесу (рис. 2.8). Для ветрогенераторов обычно применяют-

(2.39)

Рис. 2.8

45

ся машины с постоянными магнитами на частоты вращения n = 300...500 об/мин в зависимости от скорости ветра. Выходная ЭДС генераторов в этом случае переменная величина. Для получения постоянной величины ЭДС требуется устройство стабилизации ветротурбины. Применение генератора с электромагнитным возбуждением позволяет поддерживать ЭДС постоянной путем регулирования тока обмотки возбуждения. Гидротурбины малой мощности имеют сравнительно небольшие частоты вращения не более 60...80 об/мин. В этом случае для получения частоты f = 50Гц. Требуются электрические машины с большим числом пар полюсов p =

60 f = 50…36 , что практически не выполнимо в маn

лых габаритах. В машинах с электромагнитной редукцией частоты вращения p = z2 такое число зубцов легко выполняется, а ротор имеет простейшую конструкцию. Поэтому применение индукторных генераторов с электромагнитным возбуждением и редукцией частоты вращения на промышленную частоту в маломощных гидроэнергетических установках (1...8 кВт) имеет определенную перспективу. В качестве примера рассмотрим генератор обращенной конструкции с Dн = 200 мм на частоту вращения n = 71,4 об/мин и f = 50 Гц. Принимаем:

к1 =

p = 2 ; n1 = 5; z1 = 3; D = 160 мм; l = 200 мм; 6

δ = 0,25 мм; z2 = к1(6z1 – 2 + n1) = 42; f = z2n = 42 ⋅ 71, 4 = 50 Гц. 60

60

Эскиз внутренней геометрии генератора показан на рис. 2.9 .

tz =

πD = 12 мм; к z1 = 0,4; к z 2 = 0,5; в z1 = к z1t z = 6 мм ; z2

n 1 вш =  1 − к z1 −  t z = 3,2 мм; вш1 = вш + 1 t z = 33,2 мм; 3 2  впδ = ( z1 − 1) t2 + в z1 = 2,4t z = 29 мм; кδ = 3,7 по формуле (1.9);

46

Sпу

Sпв Bп (2)

(0')

(1)

(1') (0) (2')

Dн (2')

(0)

(1') (0')

(1) (2)

Рис. 2.9

hz = 5 мм; вп = 3в z1 ⋅ кп = 3 ⋅ 7,2 ⋅ 0,7 = 10 мм; h j =

Вδ 3 1 впδ ≈ впδ = 15 мм; Вj 2 2

sп1 = 250 мм 2 ; sп2 = 550 мм 2 ; wф = 4 wк .

Принимаем

jо.в = 5

λ А А ; jо.ф = 10 2 ; кз.п = 0,3; 1 = 0,4; кµ = 1,3. 2 λ0 мм мм

Тогда

Вδ = µ0

i0 w0 i s к 6 ⋅ 106 ⋅ 0,55 ⋅ 10−3 ⋅ 0,3 = µ0 о.в п2 з.п = 4π10−7 = 0,52 Т; 2δкδкµ δкδкµ 2 ⋅ 0,25 ⋅ 10−3 ⋅ 3,7 ⋅ 1,3 47

λ Ф′m = Вδвп.в I 1 = 0,52 ⋅ 43 ⋅ 10−3 ⋅ 0,25 ⋅ 0,4 = 2,0 ⋅ 10−3 Вб; λ0 Еф = 4,44 f Ф′m 4 wк = 4,44 ⋅ 50 ⋅ 2,25 ⋅ 10−34 wк = 2,0wк ;

Iф =

jо.ф sп1кз.п 2 wк

=

10 ⋅ 106 ⋅ 250 ⋅ 10−6 ⋅ 0,3 0,375 ⋅ 103 . = 2 wк w

Электромагнитная мощность генератора Pэм = 3Еф I ф cos ψ = 3 ⋅ 2,0 ⋅ 0,375 ⋅ 103 ⋅ 0,8 = 1800 Вт .

Оценим механическую мощность гидротурбины при Dт = 500 мм, высота напора воды h = 1,0 м (рис. 2.10). Масса протекающей воды за 1 с

mт =

(

)

(

)

π 2 π Dт − Dн2 V = 52 − 32 4 ⋅ 4,5 = 556 кг, 4 4 где V = 2 g1,0 = 4,45 м . с Кинетическая энергия за 1 с

h

m1v 2 556 = ⋅ 19,6 = 5450 Вт. 2 2 Принимаем КПД турбины ηт = 0,35; Ек1 =

Dт

v

Pмех = Ек ⋅ 0,35 = 1900 Вт.

Таким образом, этот пример показывает, что при наличии сравнительно Рис. 2.10 небольшого напора воды (hв = 1,0 м) можно получить 3-фазный источник электрической энергии промышленной частоты мощностью 1,5 кВт при габаритах генератора ~200 мм и расходе воды ~0,5 м3/с. 2.7. Моментные двигатели Моментными двигателями (МД) называются двигатели, развивающие максимальные моменты при относительно малых угловых скоростях вращения ротора Ω ≤ 4,0 1 . Для построения таких двигателей моc 48

гут применяться электрические машины, рассматриваемые в настоящем разделе при кz1 = кz2 = 0,5 и прямоугольной форме питающего напряжения (тока) в зависимости от угла поворота ротора α. Рассмотрим электромагнитные процессы в обмотке одного полюса фазы 1, входящего в группу из 3 полюсов (рис. 2.11), магнитная проводимость (см. рис. 1.7) магнитный поток, ЭДС обмотки и ток показаны на рис. 2.12.

0

1

W

2

I0W0

Ф1

Рис. 2.11

λ1' – имеет треугольную зависимость от z2α, где A = λ max − λ min ; Ф1= I0w0λ′1 – магнитный поток полюса от обмотки возбуждения имеет такую же зависимость от z2α; Ф п = I 0 w0

λ max + λ min – постоянная составляющая магнитного по2

тока; e1 = −

dФ1 dФ w = − w 1 Ω – ЭДС катушки полюса; dt dα

e1 = − w ΩI 0 w0

d λ1' A = ± I 0 w0 w Ω z2 , π dα

(2.40)

где (+) при 0 ≤ z2α < π ; (–) при π ≤ z2α < 2π . Зададим прямоугольную зависимость тока в фазе 1

i1 = ∓ I m , 49

где (–) при 0 ≤ z2α < π ; (+) при π ≤ z2α < 2π . λ1′ Ф1

0

π

2π

3π

4π

z2α

e1

0

π

2π

3π

4π

z2α

π

2π

3π

4π

z2α

i1

0 –Im

Рис. 2.12

Электромагнитная мощность в катушке одного полюса равна Pэ.м1 = −e1i1 = i0 w0

λ max − λ min z2 I m w . π

И, соответственно, момент M 1 = M1 =

50

Pэ.м1 ; Ω

2 λ max − λ min Ф п z2 wI m . π λ max + λ min

При питании всех фаз прямоугольными импульсами тока, сдвинутыми по углу на 2π (рис. 2.13), суммарный момент двигателя равен 3 M = pM 1 =

2 λ max − λ min Ф п z2 wI m . p π λ max + λ min

i0

0

π

2π

3π

4π

z2 α

i1

0

π

2π

3π

4π

z2α

i2

0

π

2π

3π

4π

z2α

Рис. 2.13

Из формулы (1.6) λ max − λ min 1 − ε1 π2 λ1 , = ⋅ λ max + λ min 1 + ε1 8 λ 0

тогда

M=

λ π pz2 1 Фп wI m . 4 λ0

(2.41) 51

При синусоидальной форме питающего напряжения (см. формулу (2.7’))

M' =

λ 1 pz2 1 Фп wI m ; λ0 2

отсюда M π = = 1,57 , момент при прямоугольной форме тока выше на 57%. M 1' 2

Из рис. 2.13 следует, что i = i0 + i1 + i2 = ± I m . Питание фаз должно быть раздельным с выведенной 0-й точкой. Суммарный ток всех фаз не равен 0 и вызовет ЭДС тройной частоты в ОВ и, следовательно, дополнительные потери. Обычно фазы питаются прямоугольной формой напряжения при некоторой скорости вращения, зависящей от частоты следования импульсов f: Ω =

2πf . z2

В этом случае токи в фазах находятся из уравнения ЭДС с учетом ЭДС е1 и собственной индуктивности обмоток.

u1 = −e1 + r1i1 +

d ( L1i1 ). dt

Для МД, работающих при малых Ω, можно принять e1 ≈ 0 уравнение (2.42) примет вид ∓U1 = r1i1 + Lср

di1 , dt

где Lср =

λ max + λ min 2 w ; 2

T (–U1) на участке 0… π  0…  ; 2 

(+U1) на участке π…2π  T …T  ; 2  52

dL1 ≈0; dt

(2.42)

Обозначив

Lср U1 = Im; = τ э – электромагнитная постоянная времеr1 r1

ни, уравнения (2.42) запишем в виде di1 T + i1 = ∓ I m с начальными условиями (рис. 2.14) i1(0) = I m ; i1   = –I m . dt 2 Решение этого уравнения при заданных начальных условиях имеет вид τэ

t  − τэ  на участке 0...π: i1 = − I m 1 − 2e  

 ;  

t −T / 2   − на участке π...2π: i1 = − I m  1 − 2e τ э  .     Определим предельную величину скорости Ω, при которой это решение справедливо:

z2ΩT = 2π; 3τ э ≤

Ωпр =

отсюда

T π = ; 2 z2 Ω

π 1 . ≈ 3z 2 τ э τ э z 2

(2.43)

Найдем эффективное значение тока, которое участвует в образовании момента. На участке 0...π 2 I эф = − T

T /2

∫ 0

2 i1dt = I m T

T /2

∫ 0

(1 − 2e

−t / τ э

) dt = I

 

m 1 −

4τ э τ , + 4 э e −T / 2τ э  T T 

или, заменяя T = 1 , f

I эф

1  − f 2 = I m  1 − 4τ э f + 4τ э fe τэ  

 .  

(2.44) 53

При предельной частоте f пр =

z2Ωпр 2π

=

(

1 , 6τ э

)

2 1 I эф = I m 1 − 1 + e −3  ≈ I m  3  3

и момент падает в 3 раза. Частоту, при которой момент уменьшается на величину ∆M = =

Im − I эф Im

M

= 1−

I эф Im

, находим из уравнения 1  − ∆M = 4τ э f  1 − e 2τ э f M  

54

 .  

(2.45)

3. ИНДУКТОРНО-РЕАКТИВНЫЕ ДВИГАТЕЛИ Индукторно-реактивный двигатель не имеет внешнего возбуждения постоянным магнитным полем. Полюса (фазы) двигателя равномерно располагаются по поверхности, прилегающей к воздушному зазору. Магнитное поле в двигателе создается токами в фазах двигателя, и момент возникает за счет изменения магнитной проводимости полюсов при вращении ротора. Возможны два типа индукторно-реактивного двигателя. При питании фаз синусоидальными токами момент возникает при наличии второй гармоники в проводимости воздушного зазора, аналогично синхронному реактивному явно полюсному двигателю. При питании фаз поочередно прямоугольными импульсами напряжения моменты возникают за счет взаимодействия магнитного поля между зубцами на полюсах ротора. В этом случае их размеры должны быть одинаковы, а обмотки соседних полюсов включены встречно. 3.1.Трехфазный индукторный двигатель при синусоидальных токах в фазах Для рассмотрения электромагнитных процессов в этом типе двигателя рассмотрим развертку такого двигателя (рис. 3.1). Полюса распо0

1

2

Рис. 3.1

ложены равномерно по расточке со сдвигом на ±tz /3. Обмотки полюсов включены согласно и создают направление МДС от статора к ротору. Между числами пазов на полюсах z1 и числом зубцов на роторе z2 существует соотношение z2 = к1 (6 z1 ± 2 ) , где к1 =

p (р – число полюсов). 6 55

Магнитная проводимость воздушного зазора под полюсами равна λ 'к = λ 0 + λ1 cos( z2α − α к ) + λ 2 cos( z2α − α к ) , где

(3.1)

(к = 0, 1, 2);

α к = ±( к − 1)

2π ; 3

(+) – соответствует раздвижению полюсов, (–) – сближению полюсов. Значения кz1 и кz2 выбираются таким образом, чтобы λ2 было максимально. В частности, при кz1 = 0,25, кz2 = 0,75, имеем (формулы (1.5') и (1.4)) 1 λ 0 = λ max (0,75 − 0,25ε1 ) = 0,75λ max  1 − ε1  ;  3  λ1 1 − ε1 2sin 45
⋅ sin135
1 − ε1 ; = = 0,54 2 1 1 λ 0 1 + ε 0,25 ⋅ 0,75π 1 + ε1 1 3 3 λ 2 c2 sin 0,5π ⋅ sin1,5π 1 = = =− ; λ1 4 2 sin 45
⋅ sin135


λ2 1 − ε1 . = −0,27 1 λ0 1 + ε1 3

Для получения выражения момента воспользуемся результатами, полученными в подразд. 1.5. Момент, создаваемый одним полюсом, при отсутствии внешнего магнитного поля екв = 0 определяется по формуле (1.17) 1 dL M 1к = iк2 к , 2 dα

где к = 0, 1, 2; 3 Lк = w2  λ 'к + λ σ + λ ш  . 2 

56

Подставляя сюда λ 'к из (3.1), получим

3 M1к = − w2iк2 z2 [λ1 sin( z2α − α к ) + 2λ 2 sin 2( z2α − α к )] . 4 Пусть в установившемся режиме токи в фазах изменяются по синусоидальному закону

iк = I m cos( z2α − α к + Θ) ; тогда для суммарного момента от всех полюсов Mп =

p 2 p 2 2  2 M w I m z2 λ1 ∑ cos2 ( z2α − α к + Θ)sin( z2α − α к ) + = − ∑ 1к 3 к =0 4  к =0

2  p +2λ 2 ∑ cos2 ( z2α − α к + Θ)sin 2( z2α − α к )  = − w2 I m2 z2 (λ1 A1 + λ 2 A2 ); 4 к =0 

A1 =

2

2

1 [1 − cos 2( z2α − α к + Θ)]sin( z2α − α к ) = 1 ∑ sin( z2α − α к ) + ∑ 2 к =0 2 к =0 +

2

1 [sin( z2α − α к + 2Θ)] = − 3 sin(3z2α + 2Θ); ∑ 4 к =0 4

2

2

A2 = ∑ [1 − cos 2( z2α − α к + Θ)]sin( z2α − α к ) = ∑ sin 2( z2α − α к ) + к =0

к =0

+

2

1 3 ∑ [sin 4( z2α − α к + 2Θ)] = − 2 sin 2Θ; 2 к =0

отсюда

3p 2 2 3p 2 2 w I m z2λ 2 sin 2Θ + w I m z2λ1 sin(3z2α + 2Θ). (3.3) 8 16 Момент состоит из двух составляющих: постоянного момента, пропорционального sin2Θ, и пульсирующего момента с тройной периодичностью от угла поворота ротора z2α в электрических радианах. При этом, как следует из (3.2), амплитуда этих моментов при M=

1 3 к z1 = , к z 2 = одинакова. 4 4 57

Обозначим pI m wλ 0 = Фm – суммарный поток всех полюсов. λ Тогда M = 3 Фm 2 z2 wI m sin 2Θ . 8 λ0

И пусковой момент при 2Θ = π . 2

λ 3 M п = Фm 2 z2 wI m . 8 λ0 Он меньше, чем у МД с электромагнитным возбуждением, поскольку λ 2 ≈ 1 λ1 . 2 Уравнение ЭДС катушки полюса к-й фазы запишем на основании уравнения (1.15) uк = rк iк +

так как екв = 0. ψк на основании (1.14) равно

d ψк , dt

(3.4)

3 Ψ к = w2  λ 'к + λ σ + 3λ ш  iк = 2  3 = w2  λ 0 + λ σ + 3λ ш  I m cos ( z2α − α к + Θ ) + 2  3 + w2λ1I m cos ( z2α − α к ) cos ( z2α − α к + Θ ) + 2 3 2 w λ 2 I m cos ( z2α − α к ) cos ( z2α − α к + Θ ) = 2 3 = L0 I m cos ( z2α − α к + Θ ) + w2λ1I m cos ( 2 z2α − 2α к + Θ ) + cos Θ + 4 3 2 + w λ 2 I m cos (3z2α − 3α к + Θ ) + cos ( z2α − α к + Θ ) . 4

Подставляя эти выражения в (3.4), получим 58

uк = r1I m cos ( z2α − α к + Θ ) − z2ΩL0 I m sin ( z2α − α к + Θ ) − 3 9 − w2λ1z2ΩI m sin (2 z2α − 2α к + Θ ) − w2λ 2 z2ΩI m sin (3z2α + Θ ) − 2 4 3 2 − w λ1z2ΩI m sin ( z2α − α к + Θ ). 4

Третий и четвертый члены в правой части этого уравнения представляют ЭДС двойной и тройной частоты. 3 eф2 = − w2λ1z2ΩI m sin (2 z2α − 2α к + Θ ); 2 9 eф3 = − w2λ 2 z2ΩI m sin (3z2α + Θ ). 4 Они в образовании момента не участвуют и создают дополнительные потери. Уравнение ЭДС для основной частоты запишем в виде π uк = r1I m cos ( z2α − α к + Θ ) + x0 I m cos  z2α − α к + Θ +  − 2  π − x2 I m cos  z2α − α к − Θ +  , 2  3 где x0 = z2ΩL0 ; x2 = w2λ 2 z2Ω . 4 Этому уравнению соответствует векторная диаграмма, показанная на рис. 3.2. Из диаграммы для действующих значений получим 2 Uk uк2 = ( r1 + x2 cos 2Θ ) + x0Im  2 + ( x0 − x2 sin 2Θ )  I m2 . (3.4) 

Подробный анализ характеристик этого двигателя с учетом потерь от еф2 и еф3 можно выполнить аналогично характеристикам двигателей с электромагнитным возбуждением. Что предоставляется сделать читателю в порядке выполнения УИРС.

ϕ

Ik

0

θ x2Im

Рис. 3.2

59

3.2. Трехфазный индукторно-реактивный двигатель при питании фаз прямоугольными импульсами тока Как отмечалось во введении, такой двигатель выполняется с кz1 = = кz2 = 0,5 и встречном включении обмоток соседних полюсов фазы. Питание обмоток двигателя осуществляется прямоугольными импульсами тока длительностью 2π эл. рад., смещенными на 4π эл. рад. (рис. 3.3). 3 3 i0

Im 0

z2 α i1 Im 0

z2 α i2 Im 0

2π 3

4π 3

2π

z2 α

Рис. 3.3

На рис. 3.4 в качестве примера показана принципиальная схема двигателя при к1 = 2, p = 12, z1 = 3, соответствующая раздвижению полюсов на 60

tz . В этом случае направление вращения ротора двигателя совпада3

0 2

2

0

0

2

2 0

Рис. 3.4

ет с порядком следования импульсов тока в фазах. С целью исключения тормозного момента окончание импульса тока должно совпадать с моментом совпадения зубцов полюсов фазы с зубцами ротора. При этом зубцы полюсов соседней фазы смещены относительно зубцов ротора на 2π эл. рад. (рис. 3.5). 3

δ

w

5 tz 6

Рис. 3.5

tz t → z 3 6

tz 6

tz

tz

В этот момент подается прямоугольный импульс тока на эту фазу. Индуктивность катушки полюса при прямоугольной зависимости магнитной проводимости воздушного зазора равна 61

A π A Lк = w2  λ min + ⋅ + z2α  . π 3 π  

(3.5)

Момент, создаваемый этим полюсом, равен λ − λ min 1 dL M 1 = iк2 к = max z2 w2 I m2 , 2 dα 2π

где Im – величина импульса тока. Суммарный момент от полюсов фазы равен M =

M= но

p (λ max − λ min ) z2 w2 I m2 ; 6π

p M1 или 3 (3.6)

λ max + λ min = wI mλ 0 – среднее значение магнитного пото2 ка полюса; его величина ограничена допустимой индукцией в зубцах полюсов. Ф пm = wI m

λ max − λ min π 2 λ1 = ; 8 λ0 λ max + λ min

Тогда выражение (3.6) примет вид

M=

λ π pФпm 1 z2 wI m . λ0 24

(3.7)

Сравним значение момента по (3.7) с аналогичным значением момента для двигателя с электромагнитным возбуждением, обозначив со-

(Фпm )

'

ответствующие значения

и ( I m ) штрихами. '

'

p п '  λ1  M = Ф m   z2 wI m' . 2  λ0 

( )

'

Принимаем

(Фmп ) = aBδср; Фmп = aBδm ; '

62

( I m w )'

( )

λ1 λ п ' ξ Фm = 12 ξ опт аBδср ; 2 опт λ0 λ0 '

Фп аB I m w = m = δm ; λ0 λ0   отсюда при λ1 =  λ1  λ0  λ0 

2

π  Bδm  1 M =   ; ' M 12  Bδср  µ1ξ опт

'

2 , но Bδm = 1 + µ1 1 + ξ опт Bδср

тогда M = π M ' 12

(

1 + µ1 1 + ξ 2опт µ1ξ опт

)

2

.

(3.8)

Пример.

µ1= 0,4; ξопт = 2; M ' = 0,9 . M

В действительности, это отношение будет меньше, так как при сильном насыщении '

λ1  λ1  . <  λ0  λ0  Кроме того, надо учесть тепловой режим двигателей.

3.3. Механическая характеристика двигателя при питании прямоугольными импульсами напряжения Мгновенное значение момента двигателя определяется, как и ранее, выражением M=

p 2 dLк λ max − λ min iк z2 w2iк2 . = 6 dα 6π

Значение тока на интервале изменения угла 0 < z2α < 2π находим из 3 уравнения 63

uк = r1iк +

d ( Lкiк ) , dt

(3.9)

+ 2λ min λ max − λ min λ  где согласно (3.5) Lк = w2  max z2 α  ; + 3 π   iк0 = 0 – начальное условие.

w2λ 0 Uк τ = = – значение тока при Ω = 0; э Обозначим: I m = r1 r1 w2 (λ max + λ min ) w2 λ max = (1 + ε1 ) – электромагнитная постоянная вре2r1 2r1 мени катушки полюса. Уравнение (3.9) запишем в виде =

   2 1 + 2ε1 2 1 − ε1  di 2 1 − ε1 I m = 1 + τ э z2Ω  iк + τ эΩ  z2 α  к . + π 1 + ε1    3 1 + ε1 π 1 + ε1  dα

Решая это уравнение при нулевых начальных условиях iк(0) = 0, получим   3 1 − ε1 1 − 1 + z2 α   π 1 + 2ε1  iк = I m 2 1 − ε1 1 + τ эΩ z2 π 1 + ε1

− к0

,

(3.10)

2 1 − ε1 z2 π 1 + ε1 . где к0 = 2 1 − ε1 z2 τ эΩ π 1 + ε1 1 + τ эΩ

Значение тока в конце импульса напряжения найдем, полагая z2α =

2π , 3

−к

 3  0 1−   2π  1 + 2ε1  . iк   = I m 2 1 − ε1  3  1 + τ эΩ z2 π 1 + ε1

64

(3.11)

Среднее значение момента за время импульса приложенного напряжения равно M=

где ξ(Ω) = 3 2π

w2 I m2 ξ(Ω) p , (λ max − λ min ) z2 2 6π  2 1 − ε1  z2   1 + τ эΩ π 1 + ε1  

2π 3 

∫ 0

  1 − ε1 1 −  1 + 3 z2 α    π 1 + 2ε1 

− к0  2

 dα . 

(3.12)

(3.13)

Вычисление ξ(Ω) возможно только численным методом с использованием ПЭВМ. Рассмотрим закон изменения тока в катушке при замыкании и на сопротивление, равное нулю после отключения подачи напряжения. В 2π качестве начального условия принимаем iк (0) = iк   = I 0 по (3.11).  3  Уравнение ЭДС в этом случае

rкiк +

d ( Lкiк ) = 0 , dt

где Lк = w2  λ max − A z2α  , π   dα  или  r1 − w2 A z2α  iк + w2  λ max − A z2α  Ω di ,  Ω = . dt   π π     dα Вводя принятые обозначения, получим

diк dα + = 0. 1 − ε1 2 2Ω   1 − ε 2 1 τэ z2  1 − τ э Ω − τ эΩ z2 iк 1 + ε1 1 + ε1 π 1 + ε1 π   Решая это уравнение при указанных начальных условиях, находим к'

 1 − ε1 0 iк = I m  1 − z2 α  , π  

(3.14) 65

2 1 − ε1 z2 π 1 + ε1 . где к0' = 2 1 − ε1 z2 τ эΩ π 1 + ε1 1 − τ эΩ

Среднее значение тока (по 3.14) следует использовать при расчете тормозного момента двигателя.

66

4. ТРЕХФАЗНЫЙ ИНДУКЦИОННЫЙ РЕДУКТОСИН 4.1. Общие сведения На базе электрической машины с электромагнитным возбуждением, рассмотренной в разд. 2, можно осуществить индукционный редуктосин с выходной трехфазной обмоткой. Для этого обмотка возбуждения постоянного тока заменяется обмоткой переменного тока, питающейся от напряжения заданной угловой частоты ω0 ( ω0 = 2πf 0 ) . Для исключения постоянной составляющей напряжения на выходных обмотках редуктосина, электрическая машина должна выполняться с n1 – нечетным числом. Пусть i0 = I 0 2 cos ω0t – ток в обмотке возбуждения. Потокосцепления катушек соседних полюсов к-й фазы (к = 0, 1, 2) равны:

ψ к = i0 w0λ 'к ( z2α + α к ) w; ψ к +3 = −i0 w0λ ''к ( z2α − α к ) w , где согласно (1.4) ∞   c λ 'к ( z2α − α к ) = λ 0 + λ1 cos ( z2α − α к ) + ∑ n2 cos n ( z2α − α к ) ; n =2 n   ∞   c λ ''к ( z2α − α к ) = λ 0 − λ1 cos ( z2α − α к ) + ∑ n2 cos n ( z2α − α к ) ;(4.1) n =2 n  

α к = ± ( к − 1) сов на

2π , (к = 0, 1, 2), знак (+) соответствует сближению полю3

tz , знак (+) – раздвижению. 3

67

cn =

sin nк z1π ⋅ sin nк z 2 π . sin к z1π ⋅ sin к z 2 π

(4.2)

Редуктосин работает в режиме поворота Ω = dα = 0 , поэтому ЭДС dt фазы "к" запишем в виде

eфк =

p  d ψ к d ψ к +3  p − −  = I 0 2 w0 wω0 sin ω0t ⋅ dt  3 3  dt ⋅ λ 'к ( z2α − α к ) − λ ''к ( z2α − α к ) .  

Подставляя сюда (4.1), получим eфк = Eфк 2 sin ω0t ,

где Eфк =

∞   c 2p w0 wI 0ω0λ1 cos ( z2α − α к ) + ∑ n2 cos n ( z2α − α к ) . (4.3) 3 n =2 n  

Здесь z2 – коэффициент электрической редукции, который согласно (1.2) равен

z2 = к1 (6 z1 + n1 ∓ 2 ); к1 =

p . 6

Для получения синусоидальной (косинусоидальной) зависимости выходной ЭДС – от угла поворота ротора необходимо подобрать такие значения кz1 и кz2, чтобы минимизировать амплитуды высших гармоник (см. подразд. 4.2). Фазы редуктосина соединяются звездой, что позволяет исключить 3-ю гармонику в выходном сигнале (рис. 4.1). 0 Пусть для раздвижения полюсов 68

1

z2α

Eф1

Eф2

2

Eф0 Рис. 4.1

2π  2π     Eф0 = Eф cos  z2α +  + a3 cos  z2α +  ; 3  3      2π  2π     Eф2 = Eф cos  z2α −  + a3 cos  z2α −  . 3 3       Здесь Eф =

c 2 pw0 I 0 wλ1ω0 ; a3 = 3 . 3 9

Тогда Ea 2 = Eф0 − Eф2 = Eф cos  z2α + 2π  − cos  z2α − 2π   =   3  3   

= 3Eф sin z2α. Третьи гармоники ЭДС при соединении звезда взаимно компенсируются. Для уменьшения влияния эксцентриситета и асимметрии магнитной цепи число групп полюсов к1 должно быть больше двух к1 > 2 и р = 6к1≥ 12. При этом происходит усреднение значений индукции воздушного зазора под полюсами. Отличительная особенность такой схемы включения выходных обмоток состоит в том, что реакция трехфазной обмотки на обмотку возбуждения не зависит от углового положения ротора (см. подразд. 4.3). Для получения 2-фазного редукто0 T1 2 1 сина можно использовать схему Скотта (рис. 4.2). В ней используются два y однофазных трансформатора Т1 и Т2 с различными коэффициентами трансформации. Первичная обмотка трансформатора Т1 подключается к средней в точке первичной обмотки трансформатора Т2. Для получения вторичных T2 напряжений, соответствующих 2-фазному редуктосину, коэффициент трансформации трансформатора Т1 должен быть в

3 больше, чем транс2

а

х

Рис. 4.2

69

форматора Т2. Можно показать, что при питании по схеме (рис. 4.2) и указанных коэффициентах трансформации Eax = кEф cos z2α cos ω0t ; Eву = кEф sin z2α cos ω0t .

4.2. Оценка погрешности редуктосина Для уменьшения погрешностей редуктосина необходимо выбором кz1 и кz2 и скосом зубцов подавить гармоники низких номеров. Принимая кz2 = 0,5, исключаем все четные гармоники сn = с2ν = 0. Третья гармоника, как указывалось, исключается при соединении обмоток звездой. Для устранения 5-й гармоники принимаем кz1 = 0,4.

sin nк z1π = sin5 ⋅ 0,4π = 0 . Седьмую гармонику ЭДС подавляем скосом зубцов на 1/7 зубцового деления. При этом существенно подавляется 13-я гармоника

кск13 =

π sin  13 ⋅ 1 ⋅ 90
  
7   = sin13 = 0,078 . 2 = 1 π π 2,9 13 ⋅ ⋅ 2 7 2

sin νγ ск νγ ск

Коэффициент скоса для 11-й гармоники

1 sin  11 ⋅ ⋅ 90

7   = sin 39 = 0,255 . кск11 == 1 π 2,47 11 ⋅ ⋅ 7 2 Коэффициент скоса для 1-й гармоники  90
 sin  
 7  = sin12,9 ≈ 1,0 . кск1 == 1 π 0,224 ⋅ 7 2

Относительная амплитуда 11-й гармоники, которая определяет ошибку редуктосина, равна 70

ε11 =

c11 1 sin11 ⋅ 0,4π ⋅ sin11 ⋅ 0,5π кск11 = 0,255 = 0,0021 . 121 121 sin 0,4π ⋅ sin 0,5π

Угловую погрешность ∆α'э в электрических минутах найдем по формуле ∆α'э = 3,44 ⋅ 103 ⋅ ε11 = 7,2 угловых минут. Угловая погрешность, отнесенная к геометрическому углу

∆α ' =

7,2 . z2

(4.4)

Пример. Малогабаритный 3-фазный редуктосин Dн = 100 мм; δ = 0,2 мм

z2теор ≈

1 D 0,64 ⋅ Dн 0,64 ⋅ 100 = = = 40, 8δ 8⋅δ 8 ⋅ 0,2

принимаем z1 = 3, к1 = 2, n1 = 5; (–). z2 = к1 (6 z1 + n1 − 2 ) = 2(18 + 5 − 2) = 42 ;

∆α ' =

7,2 ⋅ 60 7,2 ⋅ 60 = ≈ 10 угловых секунд. z2 42

В действительности, на ошибки редуктосина оказывают влияние технологические погрешности при изготовлении (эксцентриситет, неточности в нарезании зубцов, асимметрия магнитопровода, ошибки в числах витков и т. п.). Подробное рассмотрение этих факторов выходит за рамки данного учебного пособия. 4.3. Электротехнические характеристики редуктосина 1. Коэффициент трансформации по ЭДС. ЭДС обмотки возбуждения равна eв = − 2

(

)

где ψ в = iв w0 ∑ λ 'к + λ ''к к1w0 = iв w02 к =0

d ψв , dt

p ⋅ 6λ 0 = pλ 0 w02iв ; 6

71

но iв = I в 2 cos ω0t , тогда eв = I в 2 pλ 0 w02 ω0 sin ω0t. Отсюда Eв = I в pλ 0 w02 ω0 . ЭДС фазы при учете 1-й гармоники найдем по формуле (4.3)

eф2 =

2 pw0 wI 0ω0λ1 cos ( z2α − α к ). 3

Коэффициент трансформации определяем как отношение максимального значения ЭДС фазы к ЭДС обмотки возбуждения.

ктр =

( Eфк )m = 2 ⋅ w ⋅ λ1 = 2 ⋅ wф ⋅ λ1 . 3 w0 λ 0

Eв

3 wв λ 0

2. Уравнения ЭДС. Схема замещения. Уравнения ЭДС запишем в комплексной форме: для обмотки возбуждения U в = ( rв + jxвσ ) I в − E в ;

(4.5)

для фаз

(

)

E фк = rф + jxфσ + zн I к

(к = 0, 1, 2).

Этим уравнениям соответствует схема замещения (рис. 4.3). Коэффициенты трансформации по ЭДС для фаз (к = 0, 1, 2) равны ктр.к =

2 wф λ1 ⋅ ⋅ cos ( z2α − α к ). 3 wв λ 0

(4.6)

При симметричной нагрузке фаз редуктосина ток, потребляемый обмоткой возбуждения, найдем из уравнения 2

I
в + ∑ ктр.к I
к = I
в0 ,

(4.7)

к =0

где I
в0 – ток ОВ без нагрузки в фазах; I
к =

72

E
фк

(rф + jxфσ + zн )

=

E
ф cos ( z2 α − α к ) rф + jxфσ + zн

= I
ф cos ( z2α − α к ) .

0 Kтр0

jxσ

rв

1

− E
ф

U
ф

Kтр1

2 Kтр2

Рис. 4.3

Подставляя в (4.7) I
к и ктр.к, получим I в = I в0 −

wф λ1 I ф . wв λ 0

(4.8)

Это выражение показывает, что при симметричной нагрузке фаз, ток обмотки возбуждения не зависит от угла поворота ротора. 3. Входное сопротивление. Оно определяется для режима холостого хода Iк = 0. E в = − jIв pλ 0 w02ω0 = − jIв xm .

Подставляя в (4.5), находим zвх =

U в = rв + j ( xm + xвσ ). Iв

4. Выходное сопротивление. Выходное сопротивление к-й фазы найдем из соотношения 73

2 zвых.к = rф + jxфσ + ( rв + jxвσ ) ктр.к = rф + jxфσ +

+ ( rв + jxвσ )

2

2

4 wф  λ1  2  cos ( z2α − α к ). 2  9 wв  λ 0 

Выходное сопротивление 2 фаз при соединении их звездой приближенно равно их сумме. Например, для фаз 0 и 2

(

zвых.0,2 = 2 rф + jxфσ

)

2

4  wф λ1   1 + ( rв + jxвσ )    1 − cos 2 z2α  . 9  wв λ 0   2 

Таким образом, выходное сопротивление редуктосина зависит от угла поворота ротора, что должно привести к дополнительным погрешностям при нагрузке. Поэтому прецизионные редуктосины работают в режиме холостого хода. Библиографический список 1. Алексеева М. М. Машинные генераторы повышенной частоты. Л.: Энергия, 1967. 344 с . 2. Хрущев В. В., Салова И. А. Теоретические основы бесконтактных моментных двигателей постоянного тока с электромагнитной редукцией частоты вращения (научно-технический отчет ГРО1200103736). Ч. 1. СПб., 2001. Ч. 2. СПб., 2002. 3. Демагин А. В. Электрические машины для непосредственного привода приборных систем. СПб.: НПО Азимут, 1991. 4. Хрущев В. В., Тазов Г. В., Ван Сяо Гуан. Двухфазный редуксин // Сб. тр. первой международной конференции по мехатронике и робототехнике / СПб., 2000. С. 359–364. 5. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. М.: Наука. 1970. 720 с.

74

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................. 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ .............................................................. 1.1. Структура зубцовой зоны ................................................... 1.2. Магнитная проводимость зазора под полюсом................. 1.3. Магнитные проводимости зазоров под полюсами и способы соединения обмоток полюсов в фазе ................ 1.4. Расчет магнитной цепи ЭМ с электромагнитным возбуждением ....................................................................... 1.5. Уравнения ЭДС и момент, создаваемый катушкой полюса в трехфазной машине ...................................................... 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ ............................... 2.1. Уравнения ЭДС фазы и пусковой момент в двигательном режиме ........................................................................... 2.2. Синхронный режим двигателя ........................................... 2.3. Вентильный двигатель......................................................... 2.4. Выбор электромагнитных нагрузок двигателя ................. 2.5. Оптимизация внутренней геометрии магнитопровода ... 2.6. Синхронный генератор ........................................................ 2.7. Моментные двигатели ......................................................... 3. ИНДУКТОРНО-РЕАКТИВНЫЕ ДВИГАТЕЛИ ............................. 3.1. Трехфазный индукторный двигатель при синусоидальных токах в фазах ................................................................ 3.2. Трехфазный индукторно-реактивный двигатель при питании фаз прямоугольными импульсами тока ................. 3.3. Механическая характеристика двигателя при питании прямоугольными импульсами напряжения ...................... 4. ТРЕХФАЗНЫЙ ИНДУКЦИОННЫЙ РЕДУКТОСИН ................... 4.1. Общие сведения ................................................................... 4.2. Оценка погрешности редуктосина ..................................... 4.3. Электротехнические характеристики редуктосина .......... Библиографический список ..................................................................

3 6 6 9 12 14 18 21 21 26 29 34 38 44 48 55 55 60 63 67 67 70 71 74 75

Учебное издание

Хрущев Виталий Васильевич

ТРЕХФАЗНЫЕ ИНДУКТОРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ Учебное пособие

Редактор В. П. Зуева Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

Сдано в набор 27.12.04. Подписано в печать 28.02.05. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,35. Усл. кр.-отт. 4,48. Уч.-изд. л. 4,25. Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

76