Программный комплекс исследования устойчивости оболочек: Монография

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

В. В. Карпов, Д. А. Баранова, Р. Т. Беркалиев

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

Санкт-Петербург 2009 1

УДК 539.3

Рецензенты: доктор технических наук, профессор В. В. Лалин (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет); кандидат физико-математических наук, доцент Т. В. Рябикова (Петербургский государственный университет путей и сообщений).

Карпов, В. В. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек / В. В. Карпов, Д. А. Баранова, Р. Т. Беркалиев. – СПб.: СПбГАСУ, 2009. – 104 с. ISBN 978-5-9227-0155-6 Для различного вида оболочек – пологих прямоугольного плана, цилиндрических, конических, сферических, тороидальных – приведены результаты исследования прочности и устойчивости при учете различных свойств материала на основе наиболее точных моделей их деформирования. Приводится описание программного комплекса «Оболочка». Для научных работников, инженеров-проектировщиков, студентов и аспирантов вузов специальности механика твердого тела, строительная механика. Ил. 86. Табл. 17 Библиогр.: 182 назв.

ISBN 978-5-9227-0155-6

© В. В. Карпов, Д. А. Баранова, Р. Т. Беркалиев, 2009 © Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2009

2

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение........................................................................................................................5 Принятые обозначения..................................................................................................6 Глава 1. Программный комплекс «Оболочка».........................................................8 1.1. Назначение программного комплекса....................................................8 1.2. Входные данные.......................................................................................8 1.2.1. Выбор вида оболочки.......................................................................8 1.2.2. Задание входных данных о размерах, форме конструкции, подкрепляющих ребрах и материале.........................................................10 1.2.3. Задание вида нагрузки.......................................................................11 1.2.4. Задание условий закреплений краев оболочки.............................13 1.2.5. Задание задач решения.....................................................................13 1.2.6. Задание дополнительных данных о материале конструкции.......13 1.3. Выходные данные...................................................................................14 1.3.1. Распечатка всех входных данных................................................14 1.3.2. Таблица значений по полю оболочки..........................................14 1.3.3. Графики по полю оболочки............................................................15 1.3.4. Графики «нагрузка q – прогиб W » в центре оболочки...........15 1.3.5. Критическое время наступления деформаций ползучести и график напряжений при этом времени..............................................15 1.4. Математическое обеспечение расчетов прочности и устойчивости оболочечных конструкций с учетом нелинейных факторов.....................16 1.4.1. Переход к единой системе координат...........................................16 1.4.2. Решение упругих задач..................................................................18 1.4.3. Исследование устойчивости оболочек..........................................19 1.4.4. Исследование прочности оболочек..............................................20 1.4.5. Решение физически нелинейных задач........................................22 1.4.6. Решение задач ползучести..............................................................25 1.5. Описание программного комплекса «Оболочка»..................................26 1.5.1. Программа PologObolochka..........................................................26 1.5.2. Описание программы Shell...........................................................31 Глава 2. Исследование прочности и устойчивости подкрепленных оболочек с помощью программногокомплекса «Оболочка»...........................35 2.1. Пологие оболочки прямоугольного плана.............................................35 2.1.1.Варианты пологих оболочек..........................................................35 2.1.2.Влияние контурных ребер на НДС и устойчивость оболочек...38 2.1.3.Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек при линейно-упругом деформировании.........................................................40 2.1.4. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек при длительном нагружении.....................................................................47 2.1.5. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек при учете геометрической и физической нелинейностей..................55 3

2.2. Цилиндрические панели, подкрепленные ребрами жесткости.........61 2.2.1. Прочность и устойчивость цилиндрических панелей при линейно-упругом деформировании................................................61 2.2.2. Прочность и устойчивость цилиндрических панелей при длительном нагружении...................................................................68 2.2.3. Устойчивость цилиндрических панелей при геометрической и физической нелинейности...................................................................71 2.3. Панели конических оболочек, подкрепленные ребрами жесткости...74 2.3.1. Прочность и устойчивость конических оболочек при линейно-упругом деформировании................................................74 2.4. Панели тороидальных оболочек, подкрепленные ребрами жесткости.........................................................................................................80 2.4.1. Математическая модель и алгоритм исследования устойчивости тороидальных оболочек..................................................80 2.4.2. Устойчивость панелей и замкнутых тороидальных оболочек при линейно-упругом деформировании...............................................84 2.5. Устойчивость панелей сферических оболочек при линейно-упругом деформировании......................................................87 Список литературы.....................................................................................................90

4

ВВЕДЕНИЕ Проведение комплексных исследований подкрепленных оболочек вращения по наиболее точным математическим моделям позволит аргументированно назначать коэффициент запаса прочности, что будет способствовать уменьшению материалоемкости конструкции и снижению ее себестоимости. Необходимость разработки программного комплекса расчетов прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения обусловлена тем, что современные программные комплексы расчета строительных конструкций, рассчитанные на решение широкого круга задач, не могут с достаточной степенью точности проводить исследование устойчивости подкрепленных оболочек с учетом различных свойств материала. Разные оболочки вращения задаются в разных системах координат. Это создает некоторые неудобства при их расчете, и особенно при рассмотрении составных оболочек, поэтому была разработана теория оболочек вращения в единой системе координат, когда координаты, линейные для всех оболочек вращения, направлены по линиям главных кривизн оболочки. При этом существенно упростились геометрические соотношения и функционал полной энергии деформации оболочки. Единообразие координат для разных оболочек вращения устраняет сложности, которые возникают при рассмотрении составных оболочек. В первой главе приводятся сведения о программном комплексе (ПК) «Оболочка», разработанном под руководством профессора В. В. Карпова. Изложена инструкция по его использованию. Во второй главе на основе ПК «Оболочка» приводятся результаты исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек при учете различных свойств материала. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам доктору технических наук, профессору В. В. Лалину и кандидату физико-маттематических наук, доценту Т. В. Рябиковой. В монографии использованы некоторые результаты исследований, проведенных А. Н. Паниным, Д. Е. Мухиным, Р. Ф. Гайнетдиновой. Авторы благодарны Л. П. Москаленко и В. А. Монахову за помощь в подготовке рукописи к изданию. 5

Принятые обозначения x, y, z – ортогональная система координат в срединной поверхности оболочки; x, y – криволинейные координаты, направленные по линиям главных кривизн, z – координата, направленная в сторону вогнутости оболочки, перпендикулярно срединной поверхности. a, b, h – размеры оболочки вдоль осей x, y, z. R1 , R2 – главные радиусы кривизны оболочки вдоль осей x, y.. k x , k y – главные кривизны оболочки вдоль осей x, y 1 ). R2 U , V , W – перемещения точек срединной поверхности вдоль осей x, y, z. u, v, w – приращения перемещений на этапе нагружения. H x , H y – деформации удлинения вдоль осей x, y, срединной

(kx

1 , ky R1

поверхности. J xy , J xz , J yz – деформации сдвига в плоскостях XOY, XOZ и YOZ. \ х , \ y – углы поворота нормали в плоскостях XOZ и YOZ. V x , V y – нормальные напряжения в направлении осей x, y. W xy , W xz , W yz – касательные напряжения в плоскостях XOY, XOZ и YOZ. Ф( x , y ) – функция напряжений в срединной поверхности оболочки. N x , N y , N xy – нормальные усилия вдоль осей x, y и сдвиговые усилия в плоскости XOY. M x , M y , M xy – изгибающие моменты в направлении осей x, y и крутящий момент. Q x , Q y – поперечные (перерезывающие) силы в плоскостях XOZ и YOZ. A, B – параметры Ляме поверхности оболочки вдоль осей x, y.

Hi , Vi – интенсивности деформаций и напряжений. VТ – предел текучести материала. 6

E , G, P – модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона для изотропного материала. m

n i

j

n m

ij

¦ h G( x  x j )  ¦ h G( y  yi )  ¦ ¦ h G( x  x j )G( y  yi )

H ( x , y)

j 1

i 1

i 1j 1

–

функция, характеризующая расположение и высоту (глубину) ребер или вырезов у оболочки.

h j , r j , m – высота и ширина j-х ребер, параллельных оси y,, и число ребер этого направления. h ij min h i , h j – высота общей части пересекающихся ребер. U ( x  x j ) – единичная функция переменной x. U ( y  yi ) – единичная функция переменной y. G( x  x j ) – дельта-функция переменной x. G( y  yi ) – дельта-функция переменной y. G( x  x j ) U ( x a j )  U ( x  b j ) – единичная столбчатая функция rj rj переменной x (a j x j  , b j x j  ) . 2 2 G( y  yi ) U ( y  c i )  U ( y  d i ) – единичная столбчатая функция

^

`

ri r , d i yi  i ) . 2 2 F , S , J – площадь поперечного или продольного сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент

переменной y (ci

yi 

инерции этого сечения ( F

h H 2

h H 2

h H 2

h

h

h

³ d z, S

Безразмерные параметры x y aA [ , K , O , U a b bB

³ z d z, J

2

aUA

, V

2

bVB

, h2 a2k x a \xA W , k[ , kK , \x , W h h h h b\ y B a 4q a Ф \y , P , Ф , AH , 4 3 h h Eh Eh VK

a 2V y Eh

2

, P1

2

h 2 b ky

1 P , P2 2

1 P . 2 7

2 ³ z d z ). 2

Глава 1. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС «ОБОЛОЧКА» 1.1. Назначение программного комплекса Программный комплекс «Оболочка» предназначен для исследования прочности и устойчивости оболочечных конструкций (пологие оболочки прямоугольного плана, цилиндрические, конические, сферические, тороидальные оболочки), подкрепленных ребрами жесткости, проходящими по координатным линиям, с учетом нелинейных факторов (геометрической и физической нелинейности, ползучести материала). Используется теория оболочек, учитывающая поперечные сдвиги, сдвиговую и крутильную жесткость ребер.

Рис. 1.2. Панель цилиндрической оболочки

1.2. Входные данные Входными данными являются: 1.2.1. Выбор вида оболочки

Рис. 1.3. Панель конической оболочки

Пологие оболочки прямоугольного плана (рис. 1.1). Цилиндрические оболочки (рис. 1.2). Конические оболочки (рис. 1.3). Сферические оболочки. Тороидальные оболочки (рис. 1.4).

Рис.1.1. Пологая оболочка прямоугольного плана

Рис. 1.4. Панель тороидальной оболочки

8

9

1.2.2. Задание входных данных о размерах, форме конструкции, подкрепляющих ребрах и материале Перечень входных данных приведен в табл. 1.1. Таблица 1.1 Перечень входных данных Вид обо- Пологие лочки оболочки Цилиндрические прямоугольного оболочки Задаваемые плана параметры Начальное значение 0 0 координаты x Конечное a (м ) a (м ) значение координаты x Конечное b (м ) b(рад) значение координаты y Радиус кривизны в направлеR1 (м) – нии x Радиус кривизны в направлеR2 (м) R2 (м) нии y Толщина h (м ) h (м ) обшивки Высота ребер, параллельных h j (м ) h j (м ) оси y Ширина ребер, r j (м ) r j (м) параллельных оси y Число ребер, параллельных m m оси y Высота ребер, параллельных h i (м) h i (м ) оси x

Тороидальные оболочки

Конические оболочки

Сферические оболочки

a1 (м)

0

a (м)

a( рад)

a (рад)

b(рад)

b( рад)

b( рад)

–

R1 (м)

R1 (м)

–

–

–

0

Вид обо- Пологие лочки оболочки Цилиндрические прямоугольного оболочки Задаваемые плана параметры Ширина ребер, ri ( м) ri (м ) параллельных оси x Число ребер, параллельных n n оси x Отступ вращающейся сек– – тора от оси вращения Угол поворота вращающегося – – сектора от оси вращения Модуль E ( МПа ) E ( МПа ) упругости Коэффициент P P Пуассона

h(м )

h( м )

h j (м )

h j (м )

h j (м)

ri ( м)

ri ( м )

ri ( м)

n

n

n

–

–

d (м )

–

–

D( рад )

E (МПа )

E ( МПа)

E( МПа )

P

P

P

Нагрузка принимается в виде







q0 a11  a21x  a31x 2 a12  a22 y  a32 y 2  qсв , где q0 (МПа) – величина поперечной нагрузки; qсв (МПа) – собственный вес оболочки (табл. 1.2 вдоль оси x , табл. 1.3 вдоль оси y ). Таблица 1.2

r j (м )

r j (м )

Виды нагрузок вдоль оси x

r j (м ) Вид нагрузки

m

m

m

h i (м )

h i (м )

h i (м )

Значение коэффициентов

Равномерно-распределенная

a11

Окончание табл 1.1 10

Сферические оболочки

1.2.3. Задание вида нагрузки

q

h (м )

Тороидальные оболочки

Конические оболочки

11

1, a21

a31

0

Окончание табл. 1.3

Окончание табл. 1.2 Вид нагрузки

Вид нагрузки

Значение коэффициентов

Изменяющаяся по линейному закону



a11

a1 , a21 a  a1

1 , a31 0 a  a1 a1 0

(при

a11 Изменяющаяся по параболическому закону с возрастанием к центру

0, a21 a11

(при a1

§ a  a1 · 4(a  a1 ) ¸¸ , a21 1  ¨¨ , a  a1 2 © a  a1 ¹ 4  a  a1 2 4 4 0 a11 0, a21 , a31  2 ) a a 2

§ a  a1 · ¨¨ ¸¸ , a21 © a  a1 ¹ 4

a11 a31 (при a1

(a  a1 ) 0 a11



4(a  a1 ) (a  a1 ) 2

1, a21

4  , a31 a

4 a2

)

Таблица 1.3

Значение коэффициентов

Равномернораспределенная

a12

12

1, a22

a12

0, a22

1 , a32 b

0

a32

0

Изменяющаяся по параболическому закону с возрастанием к центру

a12

0, a22

4 , a32 b



Изменяющаяся по параболическому закону с убыванием к центру

a12

1, a22

4  , a32 b

4 b2

4 b2

,

2

Виды нагрузок вдоль оси y

Вид нагрузки

Изменяющаяся по линейному закону

0) 2

a31

Изменяющаяся по параболическому закону с убыванием к центру

1 , a31 a

Значение коэффициентов

1.2.4. Задание условий закреплений краев оболочки Возможны следующие варианты: неподвижный шарнир (1), жесткое защемление (2), свободный край (3). 1.2.5. Задание задач решения – Упругие (1); – Нелинейно-упругие (2); – Задачи ползучести (3). 1.2.6. Задание дополнительных данных о материале конструкции – Признака хрупкий материал (0) или пластичный (1); – k – коэффициент запаса прочности. – Для анализа прочности: · для хрупкого материала – R p (МПа), Rc (МПа) (призменная прочность бетона при растяжении и сжатии); · для пластичного материала – VT (МПа) ( предел текучести); 13

– для исследования нелинейно-упругих деформаций: · для хрупкого материала – η (эмпирический коэффициент), Rпр Rc 2 § § E · 2 ·¸ ¨ ¸ ε ); ( Ec E ¨1  η¨ ¨ Rпр ¸ i ¸¸ ¨ © ¹ © ¹ · для пластичного материала – ET (МПа) (модуль упроч-

VT ET ), HT (деформацию текууE E чести, соответствующую пределу текучести VT )

нения материала или

§ § ET ·§ HT · · ¸¨¨1  ¸¸ ¸¸ ); ( Ec E ¨¨1  ¨1  E Hi ¹ ¹ © ¹© © – для исследования ползучести материала: · для хрупкого материала (старый бетон) J E

1 , ECf 0,01 сут

3 , Cf

1 ˜ 10

4

2 R1

G ); E

· для пластичных материалов (оргстекло) A1 , A2 , D1 , D 2 , E1 , E 2 , Ai e E i (t  W) (t  W) D i 1 ). 1.3. Выходные данные Выходными данными при заданном значении нагрузки являются: 1.3.1. Распечатка всех входных данных 1.3.2. Таблица значений по полю оболочки Оболочка занимает область 0 d [ d [ кон ,0 d K d Kкон ([) : – прогибов W (м) (с местами нарушения прочности); 14

V1 

Rp Rc

–

изгибающих моментов M x , M y ;

–

напряжений V x , V y , W xy (при z



h (для 2

V3 );

h  ); 2

1.3.3. Графики по полю оболочки –

Прогибов W (красным отмечаются места нарушения прочности); интенсивности напряжений Vi (МПа) при z



h (для 2

хрупких материалов V g );

3 ˜ 10 4 МПа ,

( Ri (t  W)

интенсивности напряжений Vi (МПа) при z хрупких материалов V g

–

1 , МПа

( R1t  τ γECf e  γ 1 ECf t  τ , R2 (t  W)

–

–

изгибающего момента M x ;

–

напряжения V x (при z

h  ); 2

1.3.4. Графики «нагрузка q – прогиб W » в центре оболочки - При упругой постановке; - При упруго-пластической постановке. 1.3.5. Критическое время наступления деформаций ползучести и график напряжений при этом времени После перехода к новой системе координат [ Ax, K By , когда [, K направлены по линиям главных кривизн, на поверхности оболочки выбирается 121 точка, в которых и выдаются значения величины (рис. 1.5).

15

а)

б)

и моментов оставлены прежние, для удобства представления пользователю выходной информации). 2

Hx

1 § wW · wU wU wW  B2  k xW  ¨  B2  k xU ¸ ; 2 © w[ w[ wK wK ¹ 2

Hy Рис. 1.5. Поверхность оболочки после перехода к новой системе координат: а – для пологих оболочек прямоугольного плана и цилиндрических; б – для торообразных оболочек

Вдоль [ – значения величины в 11 точках (включая [ 0 и [ [ кон ). Вдоль оси K для любого [ вычисляется Kкон ([) , и этот отрезок зок разбиваем на 10 частей и выводятся значения величин в 11 точках. 1.4. Математическое обеспечение расчетов прочности и устойчивости оболочечных конструкций с учетом нелинейных факторов 1.4.1. Переход к единой системе координат Представленные оболочки (5 видов) задаются в разных системах координат, одни из которых линейные, другие угловые. Это создает определенные неудобства. Поэтому для всех оболочек производится переход к единой системе координат, когда координаты совпадают с координатными линиями (как для пологих оболочек прямоугольного плана) и являются линейными. Переход к новой системе координат производится по формулам: [ Ax, K By , где A, B – параметры Ляме, причем для оболочки вращения A const, B B ( x). При этом [ является независимой переменной, а K такой не является. В новой системе координат [, K геометрические соотношения в срединной поверхности принимают вид (индексы у деформаций, а в дальнейшем и у поперечных сдвигов, напряжений, кривизн, усилий 16

J xy

1 § wW wV ·  B1U  k yW  ¨  k yV ¸ ; 2 © wK wK ¹ wV wV wU  B2   B1V  w[ wK wK

(1.1)

· ·§ wW § wW wW  k yV ¸. ¨  B2  k xU ¸¨ wK ¹ ¹© wK © w[ Функции изменения кривизн F1 ,F 2 и кручения F12 с учетом поперечных сдвигов примут вид:

w\ y w\ x w\ x  B2  B1\ x ; ; F2 w[ wK wK w\ y w\ y w\ x  B2 2F12   B1\ y . w[ wK wK

F1

(1.2)

При этом в слое, отстоящем на z от срединной поверхности, деформации будут иметь вид:

H zx

H x  z F1; H zy

H y  z F 2 ; J zxy

J xy  2 z F12 .

(1.3)

Деформации сдвига в плоскостях XOZ и YOZ будут пояснены при рассмотрении функционала полной энергии деформации оболочки. В соотношениях (1.1), (1.2) B1 , B2 имеют вид: 1 wB , B2 KB1 ( x). AB wx В табл. 1.4 для различных видов оболочек представлены значения входящих в соотношения (1.1), (1.2) параметров ( B2 KB1 ( x) , поэтому в табл. 1.4 этот параметр не представлен) в новых координатах [, K . B1

17

Таблица 1.4 Основные параметры оболочек в единой системе координат Параметры Виды оболочек Пологая оболочка прямоугольного плана Цилиндрическая оболочка

kx

ky

[ кон

Kкон ([)

B1 ([)

1 R1

1 R2

a

b

0

0

b

a

bR2

b

b[sin T

1 [

Коническая оболочка

0

Сферическая оболочка

1 R1

Тороидальная оболочка

1 R1

ctgT [ 1 R1 [ sin(  D) R1 B ( [)

a

aR1 aR1

bR1 sin

[ R1

bB([)

@



>

 c10 ψ y  θ 2 2  2S c5ε x χ1  c6ε x χ 2  c7 ε y χ 2  c6ε y χ1 

>

§ h3 ·  c8 γ xy χ12   c9 ψ x  θ1 2  ¨  J ¸ c11χ12  c12 χ 22  ¸ ¨ 12 © ¹

@

@

`

2  c13χ 1χ 2  c14 χ 12  c15 qW dξdη; (1.5) Здесь ci – константы, имеющие вид:

c1

[ 1 ctg R1 R1 [ cos(  D) R1 B ( [)

1, c2

c10

1, c3

2P, c4

P1 , c5

kP1, c11 1, c12 1, c13

1, c6

2P, c14

P , c7

1, c8

2P1 , c9



E1 ;

2 1  P2

4P1 , c15

Жесткостные характеристики ребер, входящие в (1.5), имеют вид (в исходной системе координат):

F ( x, y )

m

n

j 1

i 1

¦ h j G ( x  x j )  ¦ h i G ( y  yi ) 

n m

В табл. 1.4: B ([)

d  R1 sin(

 ¦ ¦ hij G ( x  x j ) G ( y  yi ) ;

[  D)  R1 sin D . R1

i 1j 1

После перехода к новым координатам в функционале полной энергии деформации получим:

S ( x, y )

³ ³ )1 U ( x, y ),V ( x, y),W ( x, y ), \ x ( x, y ), \ y ( x, y ) ABdxdy ³ )U ([, K),V ([, K),W ([, K), \ x ([, K), \ y ([, K) d[dK.

³

[0

n

j 1

i 1

¦ S j G ( x  x j )  ¦ S i G ( y  yi )  (1.6)

 ¦ ¦ S ij G ( x  x j ) G ( y  yi ) ; i 1j 1

a10

[ кон K кон ( [ )

m

n m

ab

Э

(1.4)

J ( x, y )

0

m

n

j 1

i 1

¦ J j G ( x  x j )  ¦ J i G ( y  yi ) 

n m

 ¦ ¦ J ij G ( x  x j ) G ( y  yi ) ; i 1j 1

1.4.2 Решение упругих задач При дискретном введении ребер функционал полной энергии деформации оболочки в упругой постановке будет иметь вид:

Э



ξ кон ηкон (ξ )

Eh

2 1 μ

2

ξ

³

0

³

^h  F >с1ε2x с2ε 2y  c3ε xε y  c4γ2xy 

0

18

kP1 ,

Здесь при h i Sj

J

j

h j , h ij

ij h i , при h j z h i h

h j (h  h j ) i ;S 2

^

h i (h  h i ) ij h ij (h  h ij ) ; ;S 2 2 1 0,25h 2 h j  0,5h(h j ) 2  (h j )3 ; 3 19

`

min h j , h i ,

1 0,25h 2 h i  0,5h(h i ) 2  (h i ) 3 ; 3 1 J ij 0,25h 2 h ij  0,5h(h ij ) 2  (h ij ) 3 . 3 ri , r j – ширина i–х и j–х ребер. После применения метода Ритца к функционалу (1.5) получим систему нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров разложения искомых функций U ([, K),V ([, K),W ([, K), \ x ([, K), \ y ([, K) в ряды по известным аппроксимирующим функциям переменных [ и K Ji

U W ψy

N

¦ U ( I ) X 1( I )Y1( I ); V

I 1 N

¦ W ( I ) X 3( I )Y 3( I ); ψ x

I 1 N

N

¦ V ( I ) X 2( I )Y 2( I );

I 1 N

¦ PS ( I ) X 4( I )Y 4( I );

I 1

1.4.4. Исследование прочности оболочек Для исследования прочности проверяются некоторые условия, после того, как при заданном параметре нагрузки найдено напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки. Для пластичных материалов анализируется предельное упругое состояние с помощью энергетического критерия прочности, который приводит к критерию Мизеса-Генки-Хубера.

Vi d где V i

¦ PN ( I ) X 5( I )Y 5( I ),

I 1

VT , k

(1.10)





V 2x  V x V y  V 2y  3 W 2xy  W 2xz  W 2yz – интенсивность напряже-

h  ); VT – предел текучести материала; ла; 2 k – коэффициент запаса прочности (можно принять k 2 y 4 ). В табл. 1.5 представлены VT и E для некоторых материалов.

ний ( Vi вычисляется при z

которую можно записать в виде: FЛ ( X )  cp ˜ q FН ( X ) , где X

(1.7)

и строится кривая «нагрузка – прогиб» в какой-то характерной точке (например, в центре оболочки или в точке с максимальным значением прогиба). Нагрузка, соответствующая максимуму этой кривой, принимается за критическую нагрузку.

(1.8)

U ( I ),V ( I ),W ( I ), PS ( I ), PN ( I ) 7 – искомые параметры;

FЛ ( X ), FН ( X ) – линейная и нелинейная части уравнений. Для решения системы (1.8) применяется итерационный процесс. (1.9) FЛ ( X i )  cp ˜ q FН ( X i 1 ), где X 0 – решение линейной задачи. Таким образом, при заданном параметре нагрузки q находятся функции перемещений U, V, W и углов поворота нормали \ x , \ y в любой точке оболочки и, зная их, можно найти деформации, напряжения, усилия и моменты. 1.4.3. Исследование устойчивости оболочек При исследовании устойчивости оболочек нагрузка изменяется от 3 0 до критического значения с некоторым малым шагом 'q 1 ˜ 10 МПа 20

Таблица 1.5 Значение предела текучести для некоторых материалов Материал

V тр (МПа )

Vпр (МПа )

E (МПа )

Сталь малоуглеродистая

250

390

2 ˜ 10

5

Сталь 30 незакаленная

330

530

2 ˜ 10

5

Сталь 30 закаленная

1030

1100

2 ˜ 105

Сталь 40ХНВ закаленная

1720

2050

2 ˜ 10

Титан технический

520

500

1,1 ˜ 10 5

Алюминий

50

84

0,7 ˜ 10

Дюраль

340

540

0,75 ˜ 10

5

Текстолит

75

127

0,03 ˜ 10

5

21

5

5

Для хрупких материалов (бетон) применим критерий Кулона-Мора, по которому для соблюдения прочности должно выполняться условие

V1 

Rp

V3 d

Rp

, (1.11) Rc k где V1 и V 3 – главные напряжения, которые находятся из решения кубического уравнения







Значения входящих в (1.14) параметров ET – модуль упрочнения материала; E – начальный модуль упругости; HT – деформация текучессти, соответствующая пределу текучести VT приведены для некоторых материалов в табл. 1.6. Таблица 1.6 Значение параметров секущего модуля для пластичных материалов



V3  V x  V y V 2  V x V y  W 2xy  W 2xz  W 2yz V 



 2W yz W xz W xy  V x W 2yz  V y W 2xz



причем V1 ! V 2 ! V 3 (если эти напряжения вычислять при z то W xz W yx 0 ). R p , Rc – призменная прочность на растяжение ( R p и сжатие ( Rc

Материал

E (МПа )

Сталь 40ХНВ закаленная

2,1 ˜ 10

Сталь 30ХГС закаленная Сплав ВТ-1

(1.12)

0,

h  , 2

ET E

5

HT

VT E

0,028

0,004086

1,95 ˜ 10 5

0,224

0,004948

1,17 ˜ 10 5

0,078

0,00367

2 МПа) Для хрупких материалов в (1.13) Z(H i ) берется в виде

30 МПа); k – коэффициент запаса прочности.

2

1.4.5. Решение физически нелинейных задач

ω(ε i )

При этом не находятся зоны пластических деформаций, так как для этого нужно решать задачи разгрузки и запоминать всю информацию о НДС в каждой точке. Решаются физически нелинейные задачи, когда кривая « V  H » аппроксимируется для сложного НДС некоторой кривой

V i (H) ) и секущий модуль упругости находится, как Ec

Vi . Hi

Z(H i )

§ ET ·§ H T ¨1  ¸¨1  HI R ¹¨© ©

(1.13)

где Rпр Rc – призменная прочность( Rпр 30 МПа ), η 0,111. Рассматривается сжатие, так как при деформировании под действием поперечной нагрузки оболочка испытывает сжатие (напряжения V x h h  , z 0, z отрицательны). 2 2 Функционал полной энергии деформации оболочки теперь будет иметь вид: (1.17) Э ЭУ  Э П , где ЭУ имеет вид (1.5), а ЭП – следующий вид:

· ¸¸. ¹

(1.14)

Здесь Hi

(1.16)

при z

Аппроксимация V i (H) принимается в виде:

V i H i E 1  Z(H i ) , где для пластичных материалов

§ E · 2 ¸ ε , η¨ ¨ Rпр ¸ i ¹ ©





2 1 (H zx ) 2  H zx H zy  (H zy ) 2  ( J zxy ) 2  J 2xz  J 2yz . 4 3 22

(1.15)

ЭП

E 2(1  P 2 )

[ кон K кон [

³

[0

³

0

^I >c H

1 1 x

2

@

 c2H y 2  c3H x H y  c4 J xy 

>

  c9 \ x  T1 2  c10 \ y  T2 2  2 I 2 c5F1H x  c7 F 2H y 

23

>

@ >

 c6F 2H x  c6F1H y  c8 J xy F12  I 3 c11F12  c12F 2 2  c13F1F 2  где

 c14F12 @`d[dK,

Ik

Критическая нагрузка при упругой постановке qУкр может быть по(1.18)

П нижена до qкр , если учитывать физическую нелинейность.

1.4.6. Решение задач ползучести

h 2

k 1 ³ Z(Hi ) z dz

(k

1,2,3 ).

h  2

После применения метода Ритца к функционалу (1.17) получим нелинейную систему алгебраических уравнений вида: (1.19) FЛ ( X )  cp ˜ q FН ( X )  FП ( X ), где в дополнении к (1.8) присутствует член FП ( X ) , учитывающий нелинейную упругость. Начальным решением X 0 для решения нелинейно упругих задач ч при заданном значении нагрузки является решение упругой задачи FЛ ( X )  cp ˜ q FН ( X ). После чего найденное решение X 0 подставляется в FП ( X ) , т. е. находятся H x , H y , J xy , \ x  T1 , \ y  T 2 , F1, F 2 , F12 , Hi , Z(Hi ) и решается итерационная задача (1.20) FЛ ( X i )  cp ˜ q FН ( X i 1 )  FП ( X i 1 ). При этом кривая «нагрузка-прогиб», найденная при решении упругой задачи, «подправляется» (рис. 1.6).





При длительном нагружении при исследовании ползучести материала применяется линейная теория наследственной ползучести. При этом t

V(t )

EH(t )  E ³ H(t ) R (t  W)dW. t0

Для хрупких материалов (бетон) G . (1.21) E Здесь J – характеризует длительность процесса ползучести (затухание процесса произойдет примерно за год); Для пластичных материалов (оргстекло, например) JEcf e  J 1 EC f t  W , R2 (t  W)

R1 (t  W)

2 R1

R (t ) Ae  Et t D 1. Функционал полной энергии деформации оболочки при учете ползучести материала принимает вид: (1.23) Э ЭУ  ЭП  ЭC , где ЭУ имеет вид (1.5), ЭП – вид (1.18), а ЭC можно представить в виде:

ЭC

2

>

2 2 ³ ^h  F >c1H x  c2H y  c3H x H y @

[ кон K кон ( [ ) t

E 2(1  P )

³

[0

³

0

t0

@

 2S c5F1H x  c7 F 2H y  c6F 2H x  c6F1H y 

>

@·¸¸R (t  W)  ¹ \  T @

§ h3 ·  ¨¨  J ¸¸ c11F12  c12F 2 2  c13F1F 2 © 12 ¹



>

 h  F c4 J 2xy  c9 \ x  T1 2  c10

Рис. 1.6. Кривая «нагрузка-прогиб»: 1 – упругое решение; 2 – упругопластическое решение 24

1

y

2

2

½° · § h3 2 ) R2 (t  W)¾d[dKdW.  2 Sc8 J xy F12  ¨¨  J ¸¸c14F12 °¿ ¹ © 12 25

(1.24)

Применяя к функционалу (1.23) метод Ритца, получим нелинейную систему интегро-алгебраических уравнений. После разбиения отрезка >t 0 , t @ на частичные отрезки >ti 1 , ti @, где де

't ti  ti 1 1сут и заменены суммы интегралов интегральными суммами, получим систему: (1.25) FЛ ( X )  cp ˜ q FН ( X )  FП ( X )  FC ( X ), где в дополнение к (1.19) – FC ( X ) члены, учитывающие развитие процесса ползучести материала. Начальным условием X 0 для решения задачи ползучести является решение упругой или упругопластической задачи. Далее решается итерационная задача (1.26) FЛ ( X i )  cp ˜ q FН ( X i 1)  FП ( X i 1)  FC ( X i 1) . Время, при котором начинается бурный рост прогибов, принимается за критическое время при заданном параметре нагрузки. Таким образом, можно построить кривую снижения критической нагрузки (при t t0 М это qкр – мгновенная критическая нагрузка). 1.5. Описание программного комплекса «Оболочка» 1.5.1. Программа PologObolochka

или нелинейности вызываются соответствующие блоки. Блок 1 и блок 2 являются базовыми для расчета любой задачи. Блок 1: Получение коэффициентов С систем алгебраических уравнений линейно-упругой задачи. Блок вычисляет коэффициенты C для составления базовой системы уравнений модели расчета, и записывает их в файл, чтобы в дальнейшем, для этой же задачи загрузить их из файла. Коэффициенты вычисляются по ряду параметров, которые запрещено менять в дальнейших вычислениях, при расчете текущей задачи. Блок 2: Метод итераций для геометрически и физически-нелинейной задачи. Метод итераций проводит расчет устойчивости как физически линейных, так и физически нелинейных моделей оболочек, в зависимости от выбранной модели. В процессе метода итераций, по заданному фильтру PausePW, сохраняются значения P, U, V, W, PS, PN в файл, и сохраняется последнее состояние метода. В дальнейшем оттуда берутся данные для продолжения метода итераций, в случае его аварийного завершения. Таким образом, метод итераций может быть прерван в любой момент времени и потом продолжен с момента его прерывания.

Программа предназначена для расчетов прочности и устойчивости оболочек при учете геометрической и физической нелинейностей и ползучести материала и разработана Беркалиевым Р.Т. Программа может быть запущенна под любой версией ОС Windows, начиная с версии NT. Программа состоит из нескольких базовых блоков: 1. Получение коэффициентов С систем алгебраических уравнений линейно-упругой задачи; 2. Метод итераций для геометрически и физически-нелинейной задачи; 3. Построения графиков устойчивости; 4. Построение 3-D графиков устойчивости; 5. Метод итераций ползучести (с построением графиков); 6. Построение 3-D графиков ползучести. От физической модели не зависит блок 1, все остальные блоки зависят от нее. Таким образом, в зависимости от физической линейности

Блок 3: Построения графиков устойчивости. По заданному фильтру составляется зависимость P-W. Из файла метода Итераций берутся эти значения, и вычисляются прогибы, для P-W, и заносятся в файл. Блок составляет файл зависимости P-W, по которому может быть построен график зависимости.

26

27

Блок 4: Построение 3-D графиков устойчивости. По заданному фильтру составляются поля прогибов и напряжений для оболочки для физически линейной или нелинейной модели. Вычисления ведутся только для тех значений, нагрузка-P, которые попадают в список заданных нагрузок, для которых запрашивались прогибы и напряжения. Из файла блока метода итераций считывается U, V, W, PS, PN для заданных P, и вычисляют поля прогибов W(x,y) и напряжений σ i (x,y), и они записываются в файлы. По сохраненным расчетам могут быть по-

строены графики. Интенсивность напряжений σ i (x,y) вычисляется в зависимости от материала (хрупкие или пластичные). Блок 5: Метод итераций ползучести. По заданному фильтру блок производит расчет ползучести оболочки для физически линейной или нелинейной модели. Из файла метода итераций считываются U, V, W, PS, PN, для заданных P. Для каждого P инициализируется система уравнений ползучести, и ведется расчет ползучести материала, и составляется зависимость W-t, которая записывается в файл. Эта зависимость может быть в дальнейшем представлена в графическом виде. Блок 6: Построение 3-D графиков ползучести. По заданному фильтру производится расчет полей прогибов и напряжений для физически линейной или нелинейной задачи. Из файла метода итераций считываются U, V, W, PS, PN, для выбраннго P. Инициализируется система уравнений, и ведется расчет. Для заданных точек по времени составляются поля прогибов и напряжений, в зависимости от материала и физической модели оболочки, которые записываются в файлы. По результатам расчета могут быть построены графические зависимости. Для графического представления зависимостей используется математический пакет Maple, начиная с версии Maple 1. Для расчета любой задачи входными данными являются выбор физической модели: физически линейная или физически нелинейная (рис.1.7). Входными данными являются: Dim_a – Линейный размер оболочки; Kksi – Кривизна оболочки вдоль направления X; Keta – Кривизна оболочки вдоль направления Y; lambda – Соотношение длин сторон вдоль направления X и Y оболочки; Mu – Коэффициент Пуассона; J_m – Количество ребер жесткости вдоль направления X; I_n – Количество ребер жесткости вдоль направления Y; AutomaticModeRebra – Режим ввода центральных координат ребер жесткости; F_j – Высота ребер жесткости вдоль направления X;

F_i – Высота ребер жесткости вдоль направления Y; rj – Ширина ребер жесткости вдоль направления X; ri – Ширина ребер жесткости вдоль направления Y; temporaryRebraX – Центральные координаты ребер жесткости вдоль направления X; temporaryRebraY – Центральные координаты ребер жесткости вдоль направления Y; N – Количество аппроксимирующих функций; N_Simps – Разбиение при вычислении интегралов для коэффициентов СЛАУ; P_KON – Конечная нагрузка; d_P – Шаг по нагрузке метода Итераций; PausePW – Шаг по нагрузке вывода результатов расчета;

28

29

Рис.1.7. Выбор модели

epsilon – Точность метода Итераций; Iter_X1 – Координата X вычисления прогиба оболочки для метода Итераций; Iter_Y1 – Координата Y вычисления прогиба оболочки для метода Итераций; Ust_X1 – Координата X вычисления прогиба оболочки для построения 1-й зависимости P-W; Ust_Y1 – Координата Y вычисления прогиба оболочки для построения 1-й зависимости P-W; Ust_X2 – Координата X вычисления прогиба оболочки для построения 2-й зависимости P-W; Ust_Y2 – Координата Y вычисления прогиба оболочки для построения 2-й зависимости P-W; Ust_P – Значения нагрузок для вывода полей прогиба и интенсивности оболочки; CreepEnd – Порог превышения прогиба для вычисления ползучести оболочки; Creep_X1 – Координата X вычисления прогиба оболочки для построения 1-й зависимости W-t; Creep_Y1 – Координата Y вычисления прогиба оболочки для построения 1-й зависимости W-t; Creep_X2 – Координата X вычисления прогиба оболочки для построения 2-й зависимости W-t; Creep_Y2 – Координата Y вычисления прогиба оболочки для построения 2-й зависимости W-t; Creep_P – Значения нагрузок для вычисления ползучести оболочки; DimP_Time – Значение нагрузки для вывода динамических полей прогиба и интенсивности оболочки; CreepTime – Значения времени для вывода динамических полей прогиба и интенсивности оболочки при заданной нагрузке; Material – Тип материала (для упругих материалов задача ползучести не рассчитывается); constM – Константа физической нелинейности. При вводе данных программа показывает подсказку по каждому параметру (рис.1.8).

30

Рис.1.8. Ввод входных данных

После ввода всех параметров можно приступать к расчету.

1.5.2. Описание программы Shell Данная программа разработана Барановой Д.А. 1. Начало работы. Для того, чтобы исследовать прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения, нужно создать проект, следующим образом. Открываем программу и выбираем Файл->Новый проект. Появится окно “Новый проект”, в котором нужно выбрать параметры проекта: – выберите тип проекта: выберите «Расчет НДС, устойчивости, ползучести» и нажмите «Далее»; 31

– выберите источник модели: если вы хотите воспользоваться сохраненной вами ранее моделью, то выберите «Открыть готовую модель из файла» и нажмите «Далее», после чего выберите нужный файл; если вы хотите создать новую модель, то выберите «Создать новую модель» и нажмите «Далее»; – выберите тип модели: это окно появляется, если вы решили создать новую модель. В этом окне нужно выбрать один из типов оболочки: тороидальная, коническая, цилиндрическая, прямоугольная, сферическая; – выберите источник материала: если вы уже создавали материал, сохраняли его и хотите воспользоваться им вновь, то выберите «Открыть готовый материал из файла» и нажмите «Далее»; если хотите создать новый материал, то выберите «Создать новый материал» и нажмите «Далее»; – выберите тип материала: выберите «Упругопластичный материал» и нажмите «Далее»; – выберите метод расчета: выберите «NURBS аппроксимация» и нажмите «Далее»; – нажмите на «Готово». Теперь проект создан, он имеет три раздела: Оболочка, Метод, Результаты. Чтобы просмотреть эти разделы, в левом верхнем окне нужно развернуть закладку «Проект».

на, строится кривая деформации), реологические свойства (выбирается тип материала: хрупкий или пластичный, и для каждого типа задаются параметры). – Общие. Информация о названии модели и типе оболочки. Ребра. Задаются параметры ребер, если ребер нет, то количества ребер (параметры m и n) устанавливаются равными нулю.

2. Параметры модели. Чтобы изменить параметры модели в закладке «Проект», нажмите на раздел «Оболочка». В левом нижнем окне появятся поля с параметрами, они разделены на 4 группы: геометрия, материал, общие, ребра (рис. 1.9). Каждая группа представляет собой таблицу, в первом столбце которой названия параметров, во втором – значения параметров. – Геометрия. Каждая оболочка имеет свои параметры (ширина, толщина и т. д.). Чтобы понять, что собой представляет каждый из параметров нужно нажать на его название, после сего более подробное описание параметра появится внизу окна. – Материал. В этой группе можно изменять материал, создать новый материал, сохранить или открыть готовый. Для этого нужно нажать сначала на название материала (второй столбец) и затем нажать на появившуюся рядом маленькую кнопку. Появится окно материала. В окне материала есть два раздела: упругопластические свойства (задается модуль упругости, коэффициент Пуассо-

Рис.1.9. Задание параметров оболочки

32

33

3. Метод расчета. В закладке «Проект» выбираем раздел «Метод». В левом нижнем окне появится 5 групп: информация, нагрузка, параметры, результаты и реология. – Информация. Здесь можно посмотреть состояние расчета, время выполнения, информацию об ошибках. – Нагрузка. Выбирается значение нагрузки или диапазон значений, а так же форма нагрузки: равномерно-распределенная, линейная и т. д. – Параметры. Здесь задаются параметры точности: o Epsilon – точности расчета значения функционала, достаточное значение 0.001. o N – количество базисных функций по каждой координате. При расчете перемещений и напряжений достаточно взять N = 9, при расчете устойчивости или ползучести для достоверности результата рекомендуется брать N = 20. o NU – коэффициент равномерности сетки. Значение 1 дает равномерную сетку, значения от 0.1 до 1 дает уплотнение сетки на краях, значения от 1 до 10 дает уплотнение сетки в центре. При использовании этой функции подходящее значение подбирается исходя из значения функционала, чем значение меньше, тем вернее значение параметра. o SD – порядок В-сплайнов. Достаточно 2-3 порядка. При этом 3 лучше брать, если при втором порядке поверхность плохо аппроксимируется. Максимальный порядок – пятый. o Пластичность – учитывать ли нелинейные свойства материала. – Результаты. Текущие значения нагрузки и функционала. – Реология. Параметры времени для расчета ползучести (начальное время, конечное и шаг). 4. Результаты расчета. После того как все параметры введены, можно начинать расчет, для этого нужно в верхнем меню выбрать Расчет->Старт. Во время расчета можно смотреть промежуточные результаты, для этого нужно развернуть раздел «Результаты», далее развернуть закладку «Обобщенные». В данной закладке можно посмотреть все графики: гра34

фики перемещений, напряжений, зависимостей прогиба от нагрузки и от времени. На графиках перемещений верхнее значение на вертикальной оси является максимальным значением перемещений. После того, как задача посчитана, окончательные результаты можно посмотреть в закладке «Обобщенные» Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА «ОБОЛОЧКА» 2.1. Пологие оболочки прямоугольного плана 2.1.1.Варианты пологих оболочек Так как решение для пологих оболочек будем находить в безразмерной форме, то одному решению будет соответствовать решение для целой серии пологих оболочек при различных размерных параметрах и при различном материале оболочек. Размерные и безразмерные параметры для рассматриваемых вариd антов оболочек представлены в табл. 2.1 (величина характеризует отa ношение стрелы подъема оболочки к линейному размеру). Таблица 2.1 Варианты рассматриваемых оболочек Вариант оболочки 1

2

3

a (м)

R1 (м)

h (м)

54 36 27 18 54 36 27 18 54 36 27 18

34 22,65 17 11,325 67,95 45,3 34 22,65 135,9 90,6 67,95 45,3

0,09 0,06 0,045 0,03 0,09 0,06 0,045 0,03 0,09 0,06 0,045 0,03

35

d a

a

R1

k[

0,2

600

377,5

953,64

0,1

600

755

476,82

0,05

600

1510

238,41

Оболочки взяты одной и той же толщины, но разных радиусов a2 кривизны, поэтому безразмерный параметр кривизны k ξ у них hR разный. Все представленные ниже результаты получены при удержании 9 членов в разложении искомых функций в методе Ритца последующем применении итерационных методов. 2.1.2.Влияние контурных ребер на НДС и устойчивость оболочек Рассматриваются пологие оболочки, шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки, с безразмерными параметрами a b 600 , R1 R2 1510 , k[ kK 238,41 . Оболочки подкреплены 18 ребрами высотой 3h и шириной 2h ( по 9 ребер в каждом направлении). Ребра расположены по оболочке регулярно. На рис. 2.1. представлены графики «нагрузка P – прогиб W » в центре оболочки (кривые без индекса, кривые с индексом 1 – это W 0,25;0,25 ). Кривая 1 соответствует варианту подкреплений, когда контурных ребер нет, первое и последнее ребро отстоят от края оболочки 1 на a . Кривая 2 соответствует варианту подкрепления, когда оболочкаа 10 имеет контурные ребра, а остальные семь ребер в каждом направлении 1 расположены на расстоянии a друг от друга. 8 Из рис. 2.1 видно, что контурные ребра необходимы, так как при наличии контурных ребер критическая нагрузка возрастает (в данном случае на 11%), уровень напряжений при одной и той же нагрузке уменьшается. На рис. 2.2 – рис. 2.3 приведены графики распределения прогибов h W и интенсивности напряжений Vi при z  по полю оболочки при 2 соответствующих нагрузках: на рис. 2.2 – для оболочки без контурных ребер, а на рис. 2.3 – с контурными ребрами. Так же увеличивается время наступления ползучести в материале оболочки. В дальнейшем все результаты исследования будут проводиться для оболочек, имеющих контурные ребра. 36

Рис. 2.1. Зависимость «нагрузка P – прогиб W » для оболочки без контурных ребер (кривая 1) и с контурными ребрами (кривая 2) P = 20000

P = 127000

Рис. 2.2. Распределение прогибов и интенсивности напряжений по полю оболочки при различной нагрузке при отсутствии контурных ребер

37

P = 20000

P = 127000

Рис. 2.3. Распределение прогибов и интенсивности напряжений по полю оболочки при различной нагрузке при наличии контурных ребер

Рис. 2.4. Кривые зависимости « P  W » для варианта оболочки 1, подкрепленной различным числом ребер

2.1.3.Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек при линейно-упругом деформировании Рассматриваются квадратные в плане пологие оболочки, шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно-распределенной поперечной нагрузки. Оболочки могут быть подкреплены регулярным набором их 18 (по 9 в каждом направлении осей координат) и 36 (по 18 в каждом направлении осей координат) ребер высотой 3h и шириной 2h . В каждом направлении первое и последнее ребро являются контурными. На рис. 2.4–2.6 представлены графики «нагрузка P – прогиб W » в центре оболочки (кривая с индексом 1, кривая с индексом 2 – это прогиб W 0,25;0,25 ). На рис. 2.4 – результаты для оболочки варианта 1, на рис. 2.5 – для оболочки варианта 2, на рис. 2.6 – для оболочки варианта 3. Кривые с номером 1 соответствуют оболочке без ребер, 2 – оболочке, подкрепленной 18 ребрами, 3 – оболочке, подкрепленной 36 ребрами.

Рис. 2.5. Кривые зависимости « P  W » для варианта оболочки 2, подкрепленной различным числом ребер

38

39

Как видно из табл. 2.2, с увеличением кривизны оболочки критические нагрузки существенно возрастают. Так же они существенно возрастают с увеличением числа подкрепляющих оболочку ребер. Все решения получены в безразмерной форме, поэтому, используя

Eh 4

P , можно для разa4 личных материалов перейти к размерным критическим нагрузкам. В табл. 2.3 представлены для некоторых материалов размерные критические нагрузки. Значения в скобках будут оговорены ниже. формулу перехода к размерным параметрам q

Таблица 2.3 Размерные критические нагрузки для некоторых материалов

k[ Рис. 2.6. Кривые зависимости « P  W » для варианта оболочки 3, подкрепленной различным числом ребер

В табл. 2.2 представлены значения критической нагрузки для обом лочек различной кривизны k[ kK и подкрепленных различным числом ребер. Таблица 2.2 Зависимость критической нагрузки от кривизны оболочки и числа ребер

k[ 953,64

476,82

238,41

Число ребер 0

3,609 ˜ 10

6

18

4,595 ˜ 10

6

36

5,32 ˜ 106

0

4,75 ˜ 10

5

18

7,75 ˜ 10

5

36

9,8 ˜ 10

5

0

7,1 ˜ 10

4

18

14,1 ˜ 10

4

36

16,2 ˜ 10

4

40

Pкр

953,64 476,82 238,41

Число ребер 0 18 36 0 18 36 0 18 36

qкр , МПа для соответствующего материала Сталь

Технический титан

Оргстекло

E = 2,1 ˜ 105 МПа 5,846 (4,26) 7,444 (4,3) 8,618 (4,1) 0,77 1,255 1,588 0,115 0,228 0,262

E = 1,1 ˜ 105 МПа 3,064 (1,31) 3,901 (1,32) 4,517 (1,26) 0,403 0,66 (0,57) 0,832 (0,54) 0,06 0,12 0,137

E = 0,033 ˜ 105 МПа 0,0919 0,117 0,137 0,012 0,02 0,025 0,0018 0,0036 0,004

На рис. 2.7–2.9 для большей наглядности представлены кривые зависимости критической нагрузки от кривизны оболочки при различном числе подкрепляющих оболочку ребер. На рис. 2.7 – для безразмерной нагрузки при любом материале, на рис. 2.8 – для стальной оболочки, на рис. 2.9 – для оболочки из оргстекла. Рассматриваемые оболочки являются оболочками большой кривизны, к тому же достаточно тонкими, поэтому характер распределения прогибов и особенно напряжений по оболочке сложный. Для оболочек малой кривизны (например, k[ d 16 ) наибольший прогиб наблюдается в центре и в любом сечении имеет синусоидальный характер, характер распределения напряжений по оболочке гладкий с максимумом в центре оболочки [68]. 41

Рис. 2.7. Зависимость критической безразмерной нагрузки от кривизны оболочки

Рис. 2.9. Зависимость критической нагрузки от кривизны для оболочки из оргстекла

Рис. 2.8. Зависимость критической нагрузки от кривизны стальной оболочки

42

На рис. 2.10–2.12 для варианта оболочки 1 ( k[ 953,64 ) представлены при различном значении параметра нагрузки функции прогиба h W и интенсивности напряжений Vi при z  по полю оболочки: 2 на рис. 2.10 – для оболочки без ребер, на рис. 2.11 – для оболочки, подкрепленной 18 ребрами, на рис. 2.12 – для оболочки, подкрепленной 36 ребрами. Качественно аналогичный вид имеют функции W и Vi для вариантов оболочек 2 ( k[ 476,82 ) и 3 ( k[ 238,41). Как видно из этих рисунков, прогиб W и функция интенсивности напряжений Vi имеют сложный вид. Максимум и прогиба, и напряжений находится в точках, примыкающих к контуру оболочки. Для исследования прочности оболочки будем использовать критерий Мизеса Vi d VT , где VT – предел текучести материала. 43

P = 3609000

Рис. 2.10. Распределение прогибов и интенсивности напряжений при начальной и критической нагрузке для варианта оболочки 1, не подкрепленной ребрами P = 1000000

P = 4595000

P = 1000000

P = 5320000

Рис. 2.12. Распределение прогибов и интенсивности напряжений при начальной и критической нагрузке для варианта оболочки 1, подкрепленной 36 ребрами

Используя данные рис. 2.10 – 2.12 для варианта оболочки 1 и аналогичные данные для вариантов оболочки 2 и 3, найдем наибольшие значения Vi при z

h  . Эти значения представлены в табл. 2.4. 2

Таблица 2.4 Зависимость максимума интенсивности напряжений от кривизны оболочки и числа ребер

k[ 953,64 476,82 Рис. 2.11. Распределение прогибов и интенсивности напряжений при начальной и критической нагрузке для варианта оболочки 1, подкрепленной 18 ребрами

44

238,41

Число ребер 0 18 36 0 18 36 0 18 36

Vi

max

4050 5100 6200 1150 2000 2650 360 550 610

45

Используя формулу перехода к безразмерным параметрам для напряжений, выразим для различных материалов размерные значения Vi max :

Eh

Vi max

2

Vi

max

. a Результаты представлены в табл. 2.5. 2

Таблица 2.5 Зависимость максимума интенсивности напряжений от кривизны оболочки и числа подкрепляющих ребер для различных материалов оболочки

Vi max , МПа для материала

k[

Число ребер

Сталь

VT

1720 МПа

Технический титан

VT

520

Оргстекло

VT

75

3,609 ˜ 10

4050

2361

18

4,595 ˜10

6

5100

2973,3

1530

46,92

36

6

6200

3614,6

1860

57

4,75 ˜ 10

5

1150

670,45

345

10,58

18

7,75 ˜ 10

5

2000

1166

600

18,4

36

9,8 ˜ 10

5

2650

1544,95

795

24,38

7,1 ˜ 10

4

360

210

110

3,3

14,1 ˜ 10

4

550

320,6

165

5,04

16,2 ˜ 10

4

610

355,6

183

5,6

0 238,41

max

МПа 1215

0 476,82

Vi 6

0 953,64

Pкр

18 36

5,32 ˜ 10

2.1.4. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек при длительном нагружении При длительном нагружении в результате развития ползучести в материале оболочки критические нагрузки понижаются. Этот факт так же нужно учитывать при исследовании прочности и устойчивости оболочек. В металлах ползучесть может развиться только при большой температуре, поэтому исследования ползучести проведем на примере оболочек, выполненных из оргстекла ( E 0.33 ˜104 МПа, P 0.354 ) с шагом по временной координате 't = 1 сут.. На рис. 2.13–2.15 представлены зависимости «W 0,25;0,25 – t », полученные для варианта оболочки 1. На рис. 2.13 – для оболочки без ребер. Кривая 1 соответствует нагрузке q 6,35 ˜10  2 МПа; 2 2 – q 7,62 ˜10 МПа; 3 – q 8,25 ˜10  2 МПа; 4 – q 8,9 ˜ 10  2 МПа; 5– q

9,4 ˜ 10  2 МПа.

МПа 37,26

Из табл. 2.5 видно, что для некоторых материалов Vi max превышает VT . Следовательно, до наступления потери устойчивости оболочки может произойти потеря прочности. Нагрузки, при которых до потери устойчивости происходит потеря прочности, в табл. 2.3 записаны в скобках. При расчете прочности и устойчивости оболочек этот факт (потеря прочности до потери устойчивости) нужно учитывать.

Рис. 2.13. Зависимость «W  t » для оболочки варианта 1 при различной нагрузке в результате развития деформации ползучести (оболочка не подкреплена ребрами)

Время бурного роста прогибов (в 5–10 раз по сравнению с начальдным при t 0 ) принимается за критическое время t кр . На рис. 2.14 представлены кривые роста прогибов W со временем для оболочки, подкрепленной 18 ребрами при соответствующих нагрузках. Кривая 1 соответствует нагрузка q 8,9 ˜ 10  2 МПа; 2 2 2 2 – q 9,5 ˜10 МПа; 3 – q 10 ˜ 10 МПа; 4 – q 11,43 ˜10 МПа; 2 5 – q 11,9 ˜ 10 МПа.

46

47

лочка совершает колебательные движения. На рис.2.16 этот процесс показан для оболочки варианта 1, подкрепленной 36 ребрами.

Рис. 2.14. Зависимость «W  t » для оболочки варианта 1 при различной нагрузке в результате развития деформации ползучести (оболочка подкреплена 18 ребрами)

На рис. 2.15 представлены кривые роста прогибов W со временем для оболочки, подкрепленной 36 ребрами при соответствующих нагрузках. Кривая 1 соответствует нагрузка q 0,1 МПа; 2 – q 0,109 МПа; 3 – q 0,119 МПа; 4 – q 0,127 МПа; 5 – q 0,136 МПа.

Рис. 2.16. Зависимость «W  t » для оболочки варианта 1 при различной нагрузке в результате развития деформации ползучести (оболочка подкреплена 36 ребрами) с учетом потери устойчивости

Все результаты сведены в табл. 2.6. Таблица 2.6 Зависимость критического времени наступления ползучести от нагрузки для варианта оболочки 1 ( k[ Число ребер

0

Рис. 2.15. Зависимость «W  t » для оболочки варианта 1 при различной нагрузке в результате развития деформации ползучести (оболочка подкреплена 36 ребрами)

При исследовании ползучести оболочек решается квазистатическая задача, когда инерционными членами пренебрегается. Процесс деформирования с увеличением времени и после потери устойчивости от ползучести продолжается. Оказывается, в послекритической стадии обо48

18

36

q (МПа)

tкр (сут)

q qкр

6,35˜10–2 7,62˜10–2 8,25˜10–2 8,9˜10–2 9,4˜10–2 8,9˜10–2 9,5˜10–2 10˜10–2 11,43˜10–2 11,9˜10–2 0,1 0,109 0,119 0,127 0,135

850 540 150 50 30 800 600 230 55 35 950 600 140 70 36

0,67 0,81 0,88 0,95 0,999 0,74 0,79 0,84 0,95 0,99 0,73 0,8 0,87 0,93 0,99

49

953,64 )

qкр (МПа)

9,4˜10–2

0,1196

0,136

Аналогичные результаты для варианта оболочки 2 сведены в табл. 2.7, а результаты для варианта оболочки 3 сведены в табл. 2.8. Таблица 2.7 Зависимость критического времени наступления ползучести от нагрузки для варианта оболочки 2 ( k[ Число ребер

0

q (МПа)

tкр (сут)

q qкр

0,89˜10–1

900

0,72

0,102˜10

–1

430

0,82

0,108˜10

–1

160

0,87

0,114˜10–1

70

0,92

–1

35

0,99

0,124˜10

476,82 )

qкр (МПа)

0,125˜10–1

Таблица 2.8 Зависимость критического времени наступления ползучести от нагрузки для варианта оболочки 3 ( kξ

Число ребер

0

q (МПа)

tкр (сут)

q qкр

0,127˜10–2

900

0,67

0,152˜10–2

430

0,8

0,165˜10

–2

130

0,88

0,178˜10

–2

55

0,95

0,187˜10–2

25

0,99

238,41 )

qкр (МПа)

0,188˜10

–2

На рис. 2.17 показаны кривые снижения критической нагрузки в результате развития ползучести в материале оболочки. Номер кривой означает вариант оболочки, индекс 0 означает, что оболочка не подкреплена ребрами.

Рис. 2.17. Кривые снижения критической нагрузки от ползучести материала для оболочек различных кривизн

Как видно из рис. 2.17, чем больше кривизна оболочки, тем круче кривая снижения критической нагрузки, т.е. быстрее развивается ползучесть. На рис. 2.18–2.20 представлены характер изменения прогибов W и интенсивности напряжений Vi со временем в результате развития деформаций ползучести для варианта оболочки 1. На рис. 2.18 – для гладкой оболочки при P

8,25 ˜10 2 МПа , на рис. 2.19 – подкрепленной

18 ребрами при P 1 ˜10 1 МПа , на рис. 2.20 – подкрепленной 36 ребрами при P 0,119 МПа . Безразмерное значение предела текучести для оболочки из оргстекла будет равно

VT

a 2 VT

8181,82 . h2 E Из рис. 2.18–2.20 видно, что при потери устойчивости от ползучести материала потери прочности не наступает, так как Vi при t кр не превосходит VT .

50

51

T=0

T=0

T = 50

T = 50

T = 100

T = 100

T = 120

T = 200

T = 150

T = 230

Рис 2.18. Распределение прогибов и интенсивности напряжений со временем в результате развития деформации ползучести для варианта оболочки 1 (оболочка не подкреплена ребрами)

Рис 2.19. Распределение прогибов и интенсивности напряжений со временем в результате развития деформации ползучести для варианта оболочки 1 (оболочка подкреплена 18 ребрами)

52

53

Из рис. 2.18–2.20 видно, что в результате развития ползучести в материале оболочки максимальные напряжения наблюдаются вблизи контура оболочки, и особенно вблизи угловых точек.

T=0

2.1.5. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек при учете геометрической и физической нелинейностей T = 50

Секущий модуль упругости возьмем в виде Ec E 1  ω(ε i ) , где для некоторых металлов (лигированные стали) и старого бетона, когда отсутствует площадка текучести, ω( ε i )

mε i2 ,

причем для металлов можно принять m 105 [126].

T = 100

На рис. 2.21–2.23 представлены зависимости «нагрузка P – прогиб о W » в центре оболочки (кривая с индексом 1, кривая с индексом 2 – это прогиб W (0,25;0,25) ). На рис.2.21 – для оболочки варианта 1, на рис. 2.22 – для оболочки варианта 2, на рис.2.23 – для оболочки варианта 3. Кривая с номером 1 соответствует оболочке без ребер, 2 – оболочке, подкрепленной 18 ребрами, 3 – оболочке, подкрепленной 36 ребрами.

T = 140

T = 160

Рис 2.20. Распределение прогибов и интенсивности напряжений со временем в результате развития деформации ползучести для варианта оболочки 1 (оболочка подкреплена 36 ребрами) 54

Рис. 2.21. Кривые «нагрузка-прогиб» для оболочки варианта 1

55

П

В табл. 2.9 представлены зависимости критической нагрузки P кр , полученной при учете геометрической и физической нелинейностей от кривизны оболочки ( kξ

a2 ) и числа подкрепляющих оболочку ребер. hR1

Здесь же представлен коэффициент k П снижения критической нагрузки П

У , найденной при учете только о P кр относительно критической нагрузки P кр

У

геометрической нелинейности k П

П

P кр  P кр У

P кр

˜ 100% .

Таблица 2.9 П

Зависимость критической нагрузки P кр от кривизны оболочки и числа ребер

Рис. 2.22. Кривые «нагрузка-прогиб» для оболочки варианта 2

a b 600

600

600 450

Рис. 2.23. Кривые «нагрузка-прогиб» для оболочки варианта 3

56

k[

kK

953,64

476,82

238,41 178,8

У

P кр

П

kП

3609 ˜ 10 3

595310

83,5

4595 ˜ 10

3

670800

85,4

36

5320 ˜ 10

3

758800

85,7

0

3

264680

44,3

18 36

3

775 ˜ 10 980 ˜ 103

306000 338910

60,5 65,4

0

71,3 ˜ 103

65760

8

18

141 ˜ 103

101000

28,4

36 0

162 ˜ 103

113960 31140

29,6 13

Число ребер

P кр

0 18

475 ˜ 10

35840

На рис. 2.24–2.26 представлены по полю оболочки графики прогиh уюбов W и интенсивности напряжений σ i при z  при соответствую2 щих нагрузках для оболочки варианта 1. На рис. 2.24 – для оболочки без ребер, на рис. 2.25 – для оболочки, подкрепленной 18 ребрами, на рис. 2.26 – для оболочки, подкрепленной 36 ребрами. 57

P = 100000

P = 100000

P = 100000

P = 100000

P = 595310

P = 595310

P = 670800

P = 670800

Рис. 2.24. Прогибы и напряжения для оболочки без ребер P = 100000

Рис. 2.26. Прогибы и напряжения для оболочки, подкрепленной 36 ребрами

P = 100000

Для конкретных материалов, не содержащих площадки текучести, исходя из соотношения

σ



Eε 1  mε 2



Eε  Emε 3 , 5% , V 630МПа . При

можно найти m . Например, для стали ХГ при ε P = 670800

P = 670800

E 1,95 ˜ 105 МПа получим m 375. На рис. 2.27 представлены кривые « σ  ε » для стали ХГ (сплошная линия), кривая аппроксимации при m = 375 – кривая 1, кривая аппроксимации при m 105 – кривая 2, кривая аппроксимации при m 104 – П

У кривая 3. При m 375 критические нагрузки P кр ! P кр , так как берется ся завышенное значение модуля упругости.

Рис. 2.25. Прогибы и напряжения для оболочки, подкрепленной 18 ребрами

58

59

Вышесказанное необходимо учитывать при назначении коэффициента запаса прочности, когда расчет проводится в линейно-упругой постановке и прочность контролируется с помощью критерия Мизеса ( σi d

σT ). k 2.2. Цилиндрические панели, подкрепленные ребрами жесткости 2.2.1. Прочность и устойчивость цилиндрических панелей при линейно-упругом деформировании

Рис. 2.27. Кривая « σ  ε » и ее аппроксимация П

В табл. 2.10 представлены зависимости P кр от кривизны оболочки Таблица 2.10 П

Зависимости критической нагрузки P кр для оболочки из стали ХГ от кривизны оболочки k[

kK

60 100 200 600 600

16 39,76 79,5 238 953,64

h (рис. 2.29; 2.31; 2 2.33; 2.35) для панелей цилиндрических оболочек шарнирно-неподвижно 2.32; 2.34) и интенсивности напряжений V i при z

без ребер при m 104 .

a b

Характер напряженно-деформированного состояния (НДС) панелей цилиндрических оболочек обладает своей спецификой в отличие, например, от пологих оболочек прямоугольного плана. На рис. 2.28–2.35 представлены графики прогиба (рис. 2.28; 2.30;

У P кр

П P кр

kП

190 1140 5130 71300 3710000

170 1050 5300 71620

10,5 7,9 –3,3 –0,45

Результаты исследования показали следующее. Чем больше жесткость оболочки (жесткость зависит от материала оболочки, ее толщины, числа подкрепляющих оболочку ребер, радиуса кривизны и от вида закрепления краев оболочки), тем выше критическая нагрузка при решении линейно-упругой задачи, но и тем больше процент снижения критической нагрузки при учете физической нелинейности относительно критической нагрузки, найденной при линейно-упругом деформировании. 60

закрепленных по контуру при нагрузке q



3,7 ˜ 10 2 МПа , изготовленных

ах из стали ( E 2,1 ˜105 МПа; P 0,3 ) толщиной h 0,01 м. На рисунках указаны линейный размер оболочки вдоль оси x a , радиус кривизны цилиндрической оболочки R и угол разворота оболочки y k .

Рис. 2.28. Прогиб оболочки ( a 61

10 м; R

5,4 м; yк

π ) 2

Расчет приведен при неучете поперечных сдвигов и при удержании в разложении в ряды искомых функций перемещений 121 неизвестного параметра (высокая точность расчета).

Рис. 2.29. Интенсивность напряжений ( a

Рис. 2.30. Прогиб оболочки ( a

62

10 м; R

10 м; R

5,4 м; yк

5,4 м; yк

π)

π ) 2

Характерным для таких панелей является то, что наибольшие значения напряжений наблюдались вблизи угловых точек оболочки. С увеличением угла разворота оболочки прогибы возрастают. Для снижения напряжений необходимо подкреплять такие оболочки ребрами жесткости.

Рис. 2.31. Интенсивность напряжений ( a

Рис. 2.32. Прогиб оболочки ( a

63

10 м; R

20 м; R

5,4 м; yк

5,4 м; yк

π ) 2

π)

Рис. 2.33. Интенсивность напряжений ( a

20 м; R

π ) 2

5,4 м; yк

Рис. 2.35. Интенсивность напряжений ( a

20 м; R

5,4 м; yк

π)

Рассмотрим теперь устойчивость панелей цилиндрических оболочек. Рассматривались панели цилиндрических оболочек, шарнирнонеподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки с параметрами a 10 м, r 5,4 м, h 0,01 м при различном угле разворота оболочки y k и различном подкреплении ребрами высотой 3 h и шириной 2 h . На рис. 2.36 – 2.39 представлены графики «нагрузка q – прогиб W ». На рис. 2.36 – 2.38 результаты для оболочки с углом разворота S ; отсутствии подкреплений (рис. 2.36), при подкреплении 2 4 ребрами по 2 в каждом направлении (рис. 2.37) и подкреплении 12 ребрами по 6 в каждом направлении (рис. 2.38). На рис. 2.39 результаты для неподкрепленной оболочки с углом разворота y k S. Как видно из приведенных рисунков, при увеличении угла разворота y k критическая нагрузка увеличивается. При подкреплении оболочки ребрами критическая нагрузка существенно увеличивается, даже при незначительной жесткости ребер. при y k

Рис. 2.34. Прогиб оболочки ( a

64

20 м; R

5,4 м; yк

π)

65

Рис. 2.36. Зависимость прогиба от нагрузки

Рис. 2.38. Зависимость прогиба от нагрузки для оболочки,

для неподкрепленной оболочки

подкрепленной 12 ребрами

Рис. 2.39. Зависимость прогиба от нагрузки для оболочки с yк

Рис. 2.37. Зависимость прогиба от нагрузки для оболочки, подкрепленной 4 ребрами

66

67

π

a

Для стальной оболочки ( E 2,1 ˜ 10 5 МПа) при протяженности 20 м и толщине h 1 см критические нагрузки очень большие

( qкр

0,1 МПа =10

Если перейти к размерным параметрам, то для варианта 5

qкр

1,18 ˜10  2 МПа, а для варианта 6 qкр

0,7 ˜10  2 МПа.

T

), т.е. оболочки практически не будут терять м2 устойчивость, так как реальные нагрузки будут существенно ниже. Если оболочка изготовлена из оргстекла, то для рассматриваемой оболочки, подкрепленной 12 ребрами qкр разворота y k

0,21 ˜10  2 МПа. При h=0,5 см и угле

S критическая нагрузка для гладкой оболочки будет 2

0,3 ˜10  2 МПа, а для подкрепленной 12 ребрами 0,8 ˜10  2 МПа. 2.2.2. Прочность и устойчивость цилиндрических панелей при длительном нагружении Рассматриваемый материал оргстекло ( E 0,33 ˜ 10 4 МПа, P 0,354 ). Все расчеты проводились в безразмерных параметрах. При учете ползучести материала при определенной нагрузке в начале решается упругая задача и находятся прогибы оболочки, затем при развитии ползучести прогибы начинают расти и при некотором времени t кр прогибы резко возрастают в течение короткого времени в 10–20 раз. Это время принимается за критическое время. На рис. 2.40 представлены зависимости «нагрузка P – прогиб W » в центре панели. Кривые 16 на этом рисунке соответствуют следующим вариантам панелей ( k[ 0 ) 1. a 60, K K 16, O 1, R 225 h, y k 0,266 рад; 2. a

90,

K K 16, O 1,5,

3. a

60,

KK

24, O 1,

4. a

90,

KK

24, O 1,5,

R

225 h,

R 150 h,

5. a 100,

KK

40, O 1,

6. a 150,

KK

40, O 1,5,

yk yk

0,266 рад;

R

yk

0,4 рад;

68

250 h,

сти в материале. При некоторой нагрузке P из решения упругой задачи находится начальное значение прогиба в центре панели (при t 0 ), затем со временем прогиб начинает расти в результате развития ползучести и время бурного роста прогибов соответствует моменту “прощелкивания оболочки” t кр . Время t исчисляется в сутках. Кривые 13 на рис. 2.41 соответствуют нагрузкам P 60; 80; 90 .

0,266 рад;

yk

R

На рис. 2.41 – 2.43 представлены зависимости прогиба W от времени t для вариантов панели 1, 2, 6, характеризующие развитие ползуче-

0,266 рад;

R 150 h, 250 h,

Рис. 2.40. Зависимость прогиба от нагрузки для вариантов оболочек 1–6

yk

0,4 рад.

Рис. 2.41. Зависимость « W  t » для варианта панели 1

69

На рис. 2.42 аналогичные результаты для варианта панели 2. Кривые 1–4 соответствуют нагрузкам P 250; 300; 350; 370 .

8. a

60,

9. a 100,

KK KK

24, O 1, 40, O 1,

R 150 h, R

250 h,

yk yk

0,266 рад; 0,4 рад.

Рис. 2.42. Зависимость « W  t » для варианта панели 2

На рис. 2.43 – результаты для варианта панели 6. Кривые 1–4 соответствуют нагрузкам P 1200; 1400; 1600; 1700 .

Рис. 2.44. Зависимость прогиба от нагрузки для вариантов панелей 7–9

Как видно из рис. 2.44, рассматриваемые панели, подкрепленные 6 ребрами не теряют устойчивость, т.е. резкой смены равновесных состояний не происходит. При развитии ползучести в материале оболочки наступает время резкого возрастания прогибов, т.е. происходит потеря устойчивости. 2.2.3. Устойчивость цилиндрических панелей при геометрической и физической нелинейности Рис. 2.43. Зависимость «W  t » для варианта панели 6

Таким образом, при длительном нагружении вследствие развития ползучести в материале критическае нагрузки существенно снижаются. Теперь рассмотрим устойчивость ребристых панелей цилиндрических оболочек. Рассматривались цилиндрические панели, подкрепленные со стороны вогнутости 6 ребрами (3 ребра в каждом направлении) высотой 3 h и шириной 2 h . На рис. 2.44 представлены графики «нагрузкаа P – прогиб W » в центре панели. Кривые 13 на рис. 2.44 соответствуют следующим вариантам ( k[ 0 ): 7. a 60, K K 16, O 1, R 225 h, y k 0,266 рад; 70

Рассматриваются металлические оболочки, поэтому принимаем секущий модуль в виде Ec E 1  ω(ε i ) , где ω(ε i ) mε i2 , m 105 . На рис. 2.45 приведены зависимости «нагрузка – прогиб» в центре оболочки для вариантов панелей 1, 6, 7. Кривая 1 соответствует варианту панели 1, 2 – варианту панели 6, 3 – варианту панели 7. Как видно из рис. 2.45, при учете физической нелинейности критические нагрузки существенно уменьшаются. 71

P=10

P=45

Рис. 2.46. Распределение прогибов и интенсивности напряжений по полю оболочки для варианта оболочки 1 P=100

P=1400

Рис. 2.45. Зависимость прогиба от нагрузки для вариантов панелей 1, 6, 7

На рис. 2.46 приведены для варианта панели 1 графики прогибов и интенсивности напряжений при соответствующих нагрузках. На рис. 2.46–2.47 – аналогичные результаты для вариантов панелей 6 и 7 h соответственно (интенсивность напряжений σ i вычисляется при z  ). 2

Рис. 2.47. Распределение прогибов и интенсивности напряжений по полю оболочки для варианта оболочки 6 72

73

P=10

P=45

На рис. 2.50–2.57 представлены графики прогибов W (рис. 2.50; h 2.52; 2.54, 7,56) и интенсивности напряжений σi при z  (рис. 2.51; 2 2.53; 2.55; 2.57) при различных параметрах панели (угле разворота yk , размеров a1 , a ) при θ 0,0038 .

Рис. 2.49. Панель конической оболочки

Рис. 2.48. Распределение прогибов и интенсивности напряжений по полю оболочки для варианта оболочки 7

Значения входных параметров: размеров a1, a, угла разворота yk , представлены на рисунках.

2.3. Панели конических оболочек, подкрепленные ребрами жесткости 2.3.1. Прочность и устойчивость конических оболочек при линейно-упругом деформировании Для анализа особенностей напряжённо-деформированного состояния (НДС) панелей конических оболочек был проведён расчёт различного вида панелей (рис. 2.49) в статической постановке при нагрузке q=3,7 ˜103 МПа и удержании в разложениях в ряды искомых функций 121 неизвестного параметра. Панели закреплены по контуру шарнирно-неподвижно и выполне-

Рис. 2.50. Прогиб оболочки ( a1

1500 м, a 1510 м, yк

Рис. 2.51. Интенсивность напряжений ( a1 1500 м,

π ) 2

a 1510 м, y к

ны из стали ( E 2,1 ˜105 МПа, P 0,3 ). Толщина панелей h = 0,01м.

74

75

π ) 2

( a1

Рис. 2.52. Прогиб оболочки 1500 м, a 1510 м, y к π )

Рис. 2.54. Прогиб оболочки ( a1

50 м, a

70 м, yк

Рис. 2.53. Интенсивность напряжений ( a1 1500 м, a 1510 м, yк π )

Рис. 2.55. Интенсивность напряже-

π ) 2

ний ( a1

50 м, a

70 м, yк

π ) 2

На рис. 2.50–2.53 представлены результаты для слабоконических оболочек, которые практически совпадают с результатами для аналогичных цилиндрических оболочек. Характерным для панелей конических оболочек является то, что наибольшие перемещения и напряжения смещены от центра к более широкому краю оболочки. По сравнению с панелями цилиндрических оболочек характер распределения прогибов и напряжений плавный, хотя вдоль окружной координаты при малом угле разворота наблюдается синусоидальная переменность напряжений. Теперь рассмотрим устойчивость панелей конических оболочек. Рассматриваются панели конических оболочек шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки, подкрепленные ребрами высотой 3h и шириной 2h. Параметры оболочки, изготовленной из стали, имеют следующие значения: угол конусности Θ 0,003588 ; размеры вдоль оси х a1 1500 м, a 1510 м (протяженность оболочки 10 метров); π . угол разворота оболочки yk 2 На рис. 2.58–2.60 представлены графики «нагрузка q – прогиб W » для гладкой оболочки (рис. 2.58), для подкрепленной 4 ребрами по 2 в каждом направлении (рис. 2.59) и подкрепленной 12 ребрами по 6 в каждом направлении (рис. 2.60). На рис. 2.61 – результаты для гладкой оболочки с углом разворота yk π . Как видно из рис. 2.58–2.61, с увеличением угла разворота жесткость оболочки увеличивается и критические нагрузки возрастают. Подкрепление оболочки существенно увеличивает критическую нагрузку. Для стальной оболочки протяженностью 10 м при толщине 1 см критические нагрузки получились нереально высокими, что говорит о том, что они практически не будут терять устойчивость. Для оболочки из оргстекла критическая нагрузка для гладкой оболочки с углом разворота yk π составит qk qkр

Рис. 2.56. Прогиб оболочки ( a1 50 м, a 70 м, y к π )

0,6 ˜10  2 МПа, а с углом разворота

0,13 ˜ 10  2 МПа.

Рис. 2.57. Интенсивность напряжений ( a1 50 м, a 70 м, yк π )

76

77

yk

π 2

–

Рис. 2.58. Зависимость прогиба от нагрузки для гладкой оболочки

Рис. 2.59. Зависимость прогиба от нагрузки для оболочки, подкрепленной 4 ребрами

78

Рис. 2.60. Зависимость прогиба от нагрузки для оболочки, подкрепленной 12 ребрами

Рис. 2.61. Зависимость прогиба от нагрузки для гладкой оболочки с y к

79

π

2.4. Панели тороидальных оболочек, подкрепленные ребрами жесткости 2.4.1. Математическая модель и алгоритм исследования устойчивости тороидальных оболочек Рассматривается панель тороидальной оболочки, выполненной из стали E 2,1 ˜ 105 , μ 0,3, находящейся под действием постоянной поперечной нагрузки q, при шарнирно-подвижном закреплении контура (рис.62).

В слое, отстоящем на z от срединной поверхности, они имеют вид: z

ε zx

ε x  zχ1 , ε y

ε y  zχ 2 , γ zx

γ xy  2 zχ12 ,

где

χ1



1 w § 1 wW · 1 wA § 1 wW · ¸; ¨ ¨ ¸ A wx © A wx ¹ AB wy ¨© B wy ¸¹

χ2



1 w § 1 wW · 1 wB § 1 wW · ¨ ¸ ¸; ¨ B wy ¨© B wy ¸¹ AB wx © A wx ¹

2χ12 



1 w § 1 wW · 1 w § 1 wW · ¨ ¸ ¸ ¨ A wx ¨© B wy ¸¹ B wy © A wx ¹

1 § wA 1 wW wB 1 wW ·  ¨ ¸. AB ¨© wy A wx wx B wy ¸¹

Усилия выразим через функцию напряжений Φ x, y в виде: Рис. 2.62. Торообразная оболочка

Nx

Для торообразной оболочки параметры Ляме принимают вид: A r ( радиус образующей дуги окружности MO1 r ),

Ny

B

d  r sin x,

sin x 1 ; ky 0 d x d a; 0 d y d b . d  r sin x r Геометрические соотношения оболочки в срединной поверхности принимают вид:

1 w § 1 wΦ · 1 wB wΦ ; ¨¨ ¸¸  B wy © B wy ¹ A2 B wx wx 1 w § 1 wΦ · 1 wA wΦ ; ¨ ¸ A wx © A wx ¹ AB 2 wy wy 1 §¨ 1 wA wΦ 1 wB wΦ w 2Φ ·¸   . AB ¨© A wy wx B wx wy wxwy ¸¹

N xy

а главные кривизны: k x

εx

1 wU 1 wA 1 w 2W ;  V  k xW  A wx AB wy 2 A2 wx 2

1 wV 1 wB 1 w 2W U  k yW  εy ;  B wy AB wx 2 B 2 wy 2 1 wV 1 wU 1 wA 1 wB 1 wW wW γ xy .   U V A wx B wy AB wy AB wx AB wx wy 80

Используя третье уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций, получим уравнения в смешанной форме, которые примут вид:

μEh3 Ak x w 2Φ k x wB wΦ Bk y w 2Φ w 2W §¨ w2B     B wy 2 A wx wx A wx 2 wy 2 ¨© 12 1  μ 2 AB 2 wx 2





2

2

4μ1Eh 3 § wB · § wB ·  ¨ ¸  ¨ ¸ 12 1  μ 2 AB 3 © wx ¹ 12 1  μ 2 AB 3 © wx ¹



2μEh 3









81





4μ1Eh 3

w2B



12 1  μ 2 AB 2 wx 2



Eh 3



w2B



12 1  μ 2 AB 2 wx 2



2 Eh 3

§ wB · ¨ ¸ 12 1  μ 2 AB 3 © wx ¹





w 3W §¨ wB wB ·¸ 2μEh 3 4μ1Eh 3   wy 2wx ¨© 12 1  μ 2 AB 2 wx 12 1  μ 2 AB 2 wx ¸¹ 3 μEh 3 Eh 3 w3B wW §¨ § wB ·     ¸ ¨ wx ¨© 12 1  μ 2 A3 wx 3 12 1  μ 2 A3 B 2 © wx ¹ w2B 2 Eh 3 μEh 3 w 2 B wB ·¸ w 2W §¨     12 1  μ 2 A3 B wx 2 wx ¸¹ wx 2 ¨© 12 1  μ 2 A3 wx 2











 

 

















2 w 2 B ·¸ Eh 3 § wB ·   ¨ ¸ 12 1  μ 2 A3 B © wx ¹ 12 1  μ 2 A3 wx 2 ¸¹



Eh 3







4μ1Eh 3 2μEh 3 ·¸ w 4W §¨    wy 2wx 2 ¨© 12 1  μ 2 AB 12 1  μ 2 AB ¸¹











Eh3 A

w 4W



12 1  μ 2 B 3 wy 4



 ABq



2 w 2W w 2Φ 1 w 2W w 2Φ ;  AB wywx wywx AB wy 2 wx 2

(2.1)

2 3 w2B 4 § wB · ·¸ w 2Φ ¨§   ¨ ¸  wy 2 ¨© EhAB 2 wx 2 EhAB 3 © wx ¹ ¹¸



2 w 2Φ ¨§ 1 § wB · 1 w 2 B ·¸    ¨ ¸ wx 2 ¨© EhA3 B © wx ¹ EhA3 wx 2 ¹¸



1 2 wB w 2 B ¸· wΦ ¨§ § wB ·   ¨ ¸ wx ¨© EhA3 B 2 © wx ¹ EhA3 B wx wx 2 ¸¹



Ak x w 2W k x wB wW Bk y w 2W A w 4Φ    B wy 2 A wx wx A wx 2 EhB 3 wy 4

3





wB w 3Φ w 4Φ 2   EhAB 2 wx wy 2wx EhAB wy 2wx 2 2

wB w 3Φ B w 4 Φ 1 w 2W w 2W    EhA3 wx wx 3 EhA3 wx 4 AB wx 2 wy 2 2

2

2

2 § wB · wW wΦ 2 wB wW w 2Φ   ¨ ¸ B 3 A © wx ¹ wy wy B 2 A wx wy wywx 1 w 2 B wW wΦ 1 wB wW w 2Φ    3 2 A wx wx wx A3 wx wx wx 2 

¸ ¸ ¹



Eh3 B wB w 3W w 4W   12 1  μ 2 A3 wx wx 3 12 1  μ 2 A3 wx 4



2 Eh3



2·

1 w 2W w 2Φ 1 wB w 2W wΦ   AB wx 2 wy 2 A3 wx wx 2 wx

1 w 2 B wW wΦ 2 wB w 2W wΦ    2 B A wx 2 wy wy AB 2 wx wywx wy 82

1 wB wW w 2W 1 §¨ w 2W ·¸ 2 wB wW w 2W  3    A wx wx wx 2 AB ¨© wywx ¸¹ AB 2 wx wy wywx 2

2

1 § wB · § wW ·  ¸¸ . ¨ ¸ ¨¨ AB 3 © wx ¹ © wy ¹ Используя для решения системы (2.1) метод Бубнова-Галеркина при аппроксимации функции W x, y и Φ x, y в виде: iπx jπy W ¦ ¦ Wij sin sin , a b i 1j 1

Φ

¦ ¦ Φ ij sin

i 1j 1

iπx jπy sin , a b 83

получим систему нелинейных алгебраических уравнений, которую кратко можно записать в виде: FΛ  X  Cq q  FΗ  X (2.2) где X

Окончание табл. 2.11 № 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

W I , ΦI Τ , FΛ  X и FΗ  X – линейная и нелинейная части системы алгебраи-

ческих уравнений; C q q – нагрузочный член.

Для решения нелинейной системы (2.2) применяем метод итераций FΛ  X i  Cq q  FΗ  X i 1 . Последовательно изменяя нагрузку q от 0 до того значения, когда итерации расходятся, находим критическую нагрузку qкр . 2.4.2. Устойчивость панелей и замкнутых тороидальных оболочек при линейно-упругом деформировании В табл. 2.11 показаны для различных параметров панели торообразных оболочек критические нагрузки ( d 2 м). Таблица 2.11 Таблица критических нагрузок при различных параметрах торообразныхоболочек

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

a

b Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2

h, м Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/4 Pi/4 Pi/4 Pi/4 Pi/4 Pi/4 Pi/4

0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.025 0.025 0.025 0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.025 84

r, м 13 25 5 13 25 5 13 25 5 13 25 5 13 25 5 13

a

b Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2 Pi/2

h, м Pi/4 Pi/4 2Pi 2Pi 2Pi 2Pi 2Pi 2Pi 2Pi 2Pi 2Pi

0.025 0.025 0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.025 0.025 0.025

r, м

qкр , МПа 25 5 13 25 5 13 25 5 13 25 5

0.1188 0.758 2.3744 1.4508 3.8624 1.1816 0.7256 1.79 0.5892 0.3632 0.8688

На рис.2.63–2.68 показаны поля прогибов и интенсивности напряжений при z

q2

1 qкр , q3 2



h для варианта 1 (см. табл. 2.11) при q 1 2

1 qкр , 6

5 qкр . 6

qкр , МПа 1.596 0.1448 3.7572 0.0308 0.3872 1.7608 0.3972 0.1936 0.8544 1.2028 0.52 3.6508 0.59 0.242 1.6812 0.284

Рис. 2.63. Прогибы оболочки

Рис. 2.64. Интенсивность напряжения при q = 0.3 МПа

при q = 0.3 МПа

85

Рис. 2.65. Прогибы оболочки при q = 0.8 МПа

Рис. 2.66. Интенсивность напряжения при q = 0.8 МПа

Рис. 2.67. Прогибы оболочки

Рис. 2.68. Интенсивность напряжения при q= 1.3 МПа

при q = 1.3 МПа

Рис. 2.69. Прогиб оболочки при q = 0,396 МПа

Рис. 2.70. Интенсивность напряжений при q =0,396 МПа

Рис. 2.71. Прогиб оболочки при q = 1,98 МПа

Рис. 2.72. Интенсивность напряжений при q = 1,98 МПа

2.5. Устойчивость панелей сферических оболочек при линейноупругом деформировании

На рис. 2.69–2.72 представлены поля прогибов и интенсивности напряжений для замкнутой тороидальной оболочки (вариант 19) при соотh ветствующих нагрузках (в дальнейшем σi вычисляется при z  ). 2 Таким образом, с увеличением толщины оболочки h, уменьшением радиуса кривизны r, увеличением угла разворота критическая нагрузка возрастает.

Если в торообразной оболочке принять d 0 , то получим сферическую оболочку. Ниже рассматриваются панели сферических оболочек, шарнирно-подвижно закрепленных по контуру и находящихся под действием равномерно-распределенной поперечной нагрузки, выполненных

86

87

из стали ( E

2,1 ˜ 105 МПа, μ

0,3 ), толщиной h

0,025 м.

На рис. 2.73 представлены кривые «нагрузка-прогиб» для панелей π π π , 0 d y d (кривая 1) и 0 d x d π , 0 d y d 2 2 2 (кривая 2) для центральной точки панели.

с параметрами 0 d x d

Рис. 2.74. Прогиб оболочки с парамет-

π π рами 0 d x d , 0 d y d 2 2

Рис. 2.75. Интенсивность напряжений для оболочки с параметрами

π π 0d x d , 0d y d 2 2

Рис. 2.73. Нагрузка-прогиб сферических панелей

На рис. 2.74–2.75 представлены графики прогибов и интенсивности h S S для панели с параметрами 0 d x d , 0 d y d . 2 2 2 На рис. 2.76–2.77 – аналогичные результаты для панели с парамет-

напряжений при z



S рами 0 d x d S , 0 d y d . 2

Рис. 2.76. Прогиб оболочки с парамет-

π рами 0 d x d π , 0 d y d 2

ми 0 d x d π , 0 d y d

Из рис. 2.73 видно, что чем больше угол разворота по оси x , тем выше критическая нагрузка.

88

Рис. 2.75. Интенсивность напряжений для оболочки с параметра-

89

π 2

Список литературы 1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга ; под ред. Н. П. Абовского. – М.: Наука, 1978. – 228 с. 2. Абовский, Н. П. Гибкие ребристые пологие оболочки : учеб. пособие для вузов / Н. П. Абовский, В. Н. Чернышов, А. С. Павлов. – Красноярск, 1975.– 128 с. 3. Абовский, Н. П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки / Н. П. Абовский // Строительная механика и расчет сооружений. – 1969. – № 4. – С. 20–22. 4. Алфутов, Н. А. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением / Н. А Алфутов // Инженерный сборник. – 1956. – Т. 23. – С. 36–46. 5. Алумяэ, Н. А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в после критической стадии / Н. А. Алумяэ // ПММ. – 1950. – Т. 14. Вып. 2. – С. 197–203. 6. Алумяэ, Н .А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в после критической стадии / Н. А. Алумяэ // ПММ. – 1949. – Т. 13. Вып. 1. – С. 95–107. 7. Амиро, И. Я. Ребристые цилиндрические оболочки / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий, П. С. Поляков. – Киев : Наукова думка, 1973. – 248 с. 8. Амиро, И. Я. Методы расчета оболочек. Теория ребристых оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий. – Киев : Наукова думка, 1980. – Т. 2. – 368 с. 9. Амиро, И. Я. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий // Прикладная механика. – 1983. – Т. 19, № 11. – С. 3–20. 10. Амиро, И. Я. Исследования в области динамики ребристых оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий // Прикладная механика. – 1981. – Т. 17, № 11. – С. 3–20. 11. Андреев, Л. В. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации / Л. В. Андреев, Н. И. Ободан, А. Г. Лебедев. – М.: Наука, 1988. – 208 с. 12. Андронов, В. А. Применение метода дискретных конечных элементов к решению задач статики и динамики сложных стержневых систем регулярной и кварегулярной структуры : дис. … канд. техн. наук / В. А. Андронов. – Волгоград, 1986. – 187 с. 13. Бакунин, В. Н. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек / В. Н. Бакунин, И. Ф. Образцов, В, А. Потапахин. – М. : Наука, 1998. 14. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. – М. : Высшая школа, 1968. – 512 с. 15. Бердичевский, В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В. Л. Бердичевский. – М. : Наука, 1983. – 448 с. 16. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. – М. : Энергия, 1975. – 208 с. 17. Бондаренко, В. М. Инженерные методы нелинейной теории железобетона / В. М. Бондаренко, С. В. Бондаренко. – М. : Стройиздат, 1982. – 288 с. 90

18. Борзых, Е. П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием / Е. П. Борзых // Тр. ЦНИИСК, 1970. Вып. 9. – С. 104–109. 19. Броутен, Ф. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями / Ф. Броутен, Б. Олмрос // Ракетная техника и космонавтика. – 1970. – Т. 8, № 2. – С. 56–62. 20. Бубнов, И. Г. Строительная механика корабля / И. Г. Бубнов. – СПб., 1912, 1914. – Ч. 1–2. 21. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н. В. Валишвили. – М. : Машиностроение, 1976. – 278 с. 22. Валишвили, Н. В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек / Н. В. Валишвили, В. Б. Силкин // МТТ. – 1970. – № 3. – C. 140–143. 23. Векуа, И. Н. Некоторые общие методы построения теории оболочек / И. Н. Векуа. – М. : Наука, 1982. – 286 с. 24. Власов, В. З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. З. Власов. – М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. – 784 с. 25. Власов, В. З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек / В. З. Власов // Строительная промышленность. – 1932. – № 11. – С. 33–37. – № 12. – С. 21–26. 26. Власов, В. З. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней / В. З. Власов // Изв. АН СССР. ОТН. – 1949. –№ 6. – С. 819–939. 27. Водяной, Л. Ф. Некоторые задачи изгиба гладких и подкрепленных трехслойных пластин и оболочек : автореф. дис. … канд. техн. наук / Л. Ф. Водяной. – Днепропетровск, 1974. – 16 с. 28. Волошенко-Климовицкий, Ю. Я. Динамический предел текучести / Ю. Я. Волошенко-Климовицкий. – М. : Наука, 1965. 29. Вольмир, А. С. Гибкие пластины и оболочки / А. С. Вольмир. – М. : Гостехиздат, 1956. 30. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. – М. : Наука, 1972. – 432 с. 31. Ворович, И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И. И. Ворович. – М. : Наука, 1989. – 376 с. 32. Ворович, И. И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек / И. И. Ворович // Изв. АН СССР. Сер. математика. –1955. – Т. 19, № 4. – С. 203–206. 33. Гавриленко, Г. Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии / Г. Д. Гавриленко // Устойчивость пластин и оболочек. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1981. – С. 20–22. 34. Голда, Ю. Л. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями / Ю. Л. Голда, И. Н. Преображенский, В. С. Штукарев // Прикладная механика. – 1973. – № 1. – С. 27–32. 91

35. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек / А. Л. Гольденвейзер. – М. : Гостехиздат, 1953. 36. Грачев, О. А., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения / О. А. Грачев, В. И. Игнатюк // Строительная механика и расчет сооружений. – М. : Стройиздат. –1986. – № 3. – С. 61–64. 37. Грачев, О. А. О влиянии эксцентририситета ребер на устойчивость оболочек при внешнем давлении / О. А. Грачев // Прикладная механика. – 1985. – Т. 21, № 1. – С. 53–56. 38. Гребень, Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек / Е. С. Гребень // Изв. АН СССР. Механика. – 1965. – № 3. – С. 81–92. 39. Григолюк, Э. И. Проблемы нелинейного деформирования : Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э. И. Григолюк, В. И., Шалашилин. – М. : Наука, 1988. – 232 с. 40. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. – М. : Наука, 1978. – 359 с. 41. Григолюк, Э. И. Многослойные армированные оболочки : Расчет пневматических шин / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов. – М. : Машиностроение, 1988. – 287 с. 42. Григолюк, Э. И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков. – М. : Машиностроение, 1973. – 215 с. 43. Григолюк, Э. И. Перфорированные пластины и оболочки / Э. И. Григолюк, Л. А. Фильштинский. – М. : Наука, 1970. – 556 с. 44. Давиденко, Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений / Д. Ф. Давиденко // ДАН СССР. – 1953. – Т. 88. Вып. 4. 45. Дыховичный, Ю. А.,Жуковский Э.З. Пространственные составные конструкции / Ю. А. Дыховичный, Э. З. Жуковский. – М .: Высшая школа, 1989. – 288 с. 46. Енджиевский, Л. В. Нелинейные деформации ребристых оболочек / Л. В. Енджиевский. – Красноярск : Изд.-во Красноярск. ун-та, 1982. – 295 с. 47. Жгутов, В. М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала / В. М. Жгутов // Известия Орловского гос. техн. ун-та. Серия «Строительство, транспорт». – 2007. – №4. – С. 20–23. 48. Железобетонные оболочки покрытий общественных зданий. – М. : Госстройиздат СССР, 1974. – 73 с. 49. Жилин, П. А. Общая теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Прочность гидротурбин : Труды ЦКТИ. – Л., 1971. – Вып. 88. – С. 46–70. 50. Жуковский, Э. З. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы / Э. З. Жуковский, В. Ф. Шабля. – М. : Стройиздат, 1980. – 113 с. 51. Игнатьев, В. А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем / В. А. Игнатьев. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1979. – С. 296. 52. Игнатьев, О. В. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек / В. А. Игнатьев, В. В. Карпов, Д. С. Филиппов // Труды молодых ученых. СПбГАСУ. – СПб., 2000. – С. 87–89.

53. Игнатьев, О. В. Вариационно-параметрический подход к расчету пологих оболочек ступенчато-переменной толщины / В. А. Игнатьев, И. А. Игнатьева, В. В. Карпов // Исследования по механике материалов и конструкций. ПГУПС. – СПб., 1996. Вып. 9. – С. 44–54. 54. Игнатьев, О. В. Модель трехслойной пологой оболочки ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах / В. А. Игнатьев, О. В. Рыбакова // Труды молодых ученых. СПбГАСУ. – СПб., 1998. – Ч. 1. – С. 16–22. 55. Игнатьев, О. В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины / В. А. Игнатьев, В. В. Карпов, В. Н. Филатов. – Волгоград : ВолгГАСА. – 2001. – 210 с. 56. Ильин, В. П. Нелинейные деформации пологих оболочек эксцентрично подкрепленных ортогональной сеткой ребер / В. П. Ильин, В. В. Карпов, Б. К. Михайлов // Всесоюз. конф. «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов» : Тез. докл. – М., 1983. – С. 24. 57. Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. – Минск : Вышейшая школа, 1990. – 349 с. 58. Ильин, В. П. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях / В. П. Ильин, В. В. Карпов. – Л. : Стройиздат. Ленигр. отд-ние, 1986. – 168 с. 59. Ильин, В. П. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек / В. П. Ильин, В. В. Карпов // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. – Кутаиси. – 1987. 60. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. М. : Гостехиздат. 1948. – 376 с. 61. Кабулов, В. К. Расчет трехслойных оболочек на ЭВМ / В. К. Кабулов, К. Ш. Бабамурадов // ФАН, 1970. – 164 с. 62. Калинин, В. С. Основы теории оболочек / В. С. Калинин, В. А. Постнов. – Л. : ЛКИ, 1974. – 200 с. 63. Кантор, Б. Я. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972– 80 г. / Б. Я. Кантор, С. И. Катарянов, Р. Р. Офий // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. – № 167. – 78 с. 64. Кантор, Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек / Б. Я. Кантор. – Киев. : Наукова думка, 1971. – 136 с. 65. Канторович, Л. В. Один прямой метод приближенного решения задач о минимуме двойного интеграла / Л. В. Канторович // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1933. – № 5. – С. 647–652. 66. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. – М. ; Л. : Физматгиз, 1962. – 708 с. 67. Карпов, В. В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек / В. В. Карпов, В. В. Петров // Изв. АН СССР, сер. МТТ. – 1975. – № 5. – С. 189–191. 68. Карпов, В. В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, А. Ю. Сальников. – М. : Изд-во АСВ ; СПб., СПбГАСУ, 2002. – 420 с.

92

93

69. Карпов, В. В. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций / В. В. Карпов, Б. К. Михайлов // Численные методы в задачах математической физики : Межвуз. темат. сб. тр. : ЛИСИ. – Л., 1983. – С. 135–142. 70. Карпов, В. В. Уравнения равновесия в перемещениях для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах и методика их решения / В. В. Карпов, Д. С. Филиппов // Труды молодых ученых : СПбГАСУ. – СПб., 1999. – Ч. 1. – С. 3–6. 71. Карпов, В. В. Устойчивость пологих ребристых оболочек при длительном нагружении / В. В. Карпов, В. К. Кудрявцев // Вестник ВолгГАСУ, сер. Строительство и архитектура. – 2006. Вып. 6(21). – С. 51–57. 72. Карпов, В. В. Выбор шага наращивания ребер при расчете ребристых оболочек методом последовательного наращивания ребер / В. В. Карпов, Д. С. Филиппов // Исследования по строительной механике. ПГУПС. – СПб., 1993. Вып. 6. – С. 37–43. 73. Карпов, В. В. Применение метода последовательного наращивания ребер для выбора оптимального подкрепления тонких оболочек ребрами жесткости / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, Д. С. Филиппов // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : сб. трудов. СПбГАСУ. – СПб., 1994. – С. 104–110. 74. Карпов, В. В. Уравнения метода последовательного наращивания ребер для оболочек ступенчато-переменной толщины в смешанной форме / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, Д. С. Филиппов // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : сб. трудов. СПбГАСУ. – СПб., 1994. – С. 113–118. 75. Карпов, В. В. Анализ напряженно-деформированного состояния гибких ребристых оболочек и их устойчивость при различных подходах к введению ребер / В. В. Карпов // Исследование по механике строительных конструкций и материалов : Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ. – Л., 1986. – С. 30–37. 76. Карпов, В. В. Некоторые варианты уравнений гибких пологих оболочек дискретно-переменной толщины, полученные вариационным методом / В. В. Карпов // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики : Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ. – Л., 1986. – С. 26–34. 77. Карпов, В. В. Закритические деформации гибких пластин в температурном поле с учетом изменения свойств материала от нагревания / В. В. Карпов, В. Н. Филатов // Труды VII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. – М.: Наука, 1970. – С. 276–279. 78. Карпов, В. В. Вариационно-параметрический метод расчета термоупругости ребристых пластин и пологих оболочек при конечных прогибах / В. В. Карпов, Т. В. Винник // Материалы 55-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов. СПбГАСУ. – СПб., 1998. – С. 33–35. 79. Карпов, В. В. Уравнение теплопроводности для ребристых оболочек с учетом теплообмена через боковую поверхность ребер / В. В. Карпов, Т. В. Вин-

ник // Материалы 54-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов. СПбГАСУ. – СПб., 1997. – С. 47–48. 80. Карпов, В. В. Исследование несимметричной потери устойчивости пологих оболочек на прямоугольном плане / В. В. Карпов, И. С. Кривошеин, В. В. Петров // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. – Тбилиси : Мецниереба, 1975. – Т. 1. –С. 628–634. 81. Карпов, В. В. Численная реализация метода продолжения по параметру в нелинейных задачах пластин и оболочек / В. В. Карпов / Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. – Волгоград : ВолгИСИ, 1990. – С. 121–122. 82. Карпов, В. В. Метод вариационных предельных преобразований в теории оболочек, имеющих нерегулярности / В. В. Карпов // Вестник гражданских инженеров. СПб. : СПбГАСУ, 2005. – № 4(5) – С. 37–42. 83. Карпов, В. В., Компьютерные технологии расчета покрытий строительных сооружений оболочечного типа / В. В. Карпов // Вестник гражданских инженеров. СПб. : СПбГАСУ, 2005. Вып. 2. – С. 17–25. 84. Карпов, В. В. Применение процедуры Рунге – Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек / В. В. Карпов // Расчет пространственных систем в строительной механике. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1972. – С. 3–7. 85. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек / В. В. Карпов. – СПб. : СПбГАСУ, 2006. – 330 с. 86. Карпов, В. В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины / В. В. Карпов // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. – М. : Транспорт, 1990. – С. 162–167. 87. Карпов, В. В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины / В. В. Карпов // Исследования по механике строительных конструкций и материалов : Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ. – Л., – 1988. 88. Карпов, В. В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения / В. В. Карпов. Изд-во АСВ ; СПбГАСУ. – М. ; СПб., 1999. – 154 с. 89. Карпов, В. В. Многослойные оболочки, имеющие нерегулярности по толщине / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. Тезисы докладов, представленных на III Международную конференцию. – СПб., 1995. – С. 74–76. 90. Карпов, В. В. Метод последовательного изменения кривизны / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : Межвуз. темат. сб.тр. СПбГАСУ. – СПб., 1996. Вып. 2. – С. 131–135. 91. Карпов, В. В. Математические модели термоупругости пологих оболочек переменной толщины при учете различных свойств материала / В. В. Карпов,

94

95

В. Н. Филатов // Вестник гражданских инженеров. – СПб. : СПбГАСУ. Вып. 3(8), 2006. – С. 42–45. 92. Карпов, В. В. Устойчивость и колебания пологих оболочек ступенчатопеременной толщины при конечных прогибах / В. В. Карпов, А. Ю. Сальников. – СПбГАСУ. – СПб., 2002. – 124 с. 93. Карпов, В. В. Трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, М. Ю. Вахрушева, О. В. Рыбакова // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.– Саратов, 1997. – Т. 3. – С. 83–87. 94. Карпов, В. В. Многослойные оболочки, имеющие нерегулярности по толщине / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. ПГУПС. – СПб., 1997. – С. 109–115. 95. Карпов, В. В. Устойчивость перфорированных пологих оболочек, допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте : Тезисы докладов. ПГУПС. – СПб., 1999. – С. 118–120. 96. Карпов, В. В. Математические модели динамических задач для пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах / В. В. Карпов, А. Ю. Сальников, А. В. Юлин // Доклады 58-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета. – СПбГАСУ. – СПб., 2001. – С. 33–35. 97. Каюк, Я. Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах / Я. Ф. Каюк // Концентрация напряжений. – Киев : Наукова думка, 1968. – Т. 2. 98. Климанов, В. И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / В. И. Климанов, С. А. Тимашев. – Свердловск : УНЦ АН СССР, 1985. – 291 с. 99. Коваленко, А. Д. Основы термоупругости / А. Д. Коваленко. – Киев : Наукова думка, 1970. – 306 с. 100. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1974. – 831 с. 101. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения / М. С. Корнишин. – М. : Наука, 1964. – 192 с. 102. Краснов, А. А. Прямые методы интегрирования уравнений движения нелинейных многослойных пологих оболочек и пластин : автореф. дис. … канд. техн. наук / А. А. Краснов. – Ростов-на-Дону, 1995. – 24 с. 103. Кривошеев, Н. П. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной толщины / Н. П. Кривошеев, М. С. Корнишин // Изв. ВУЗов, Строительство и архитектура. – Новосибирск. – 1970. – № 8. – C. 50–54. 104. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В. А. Крысько. – Саратов : Изд.-во Сарат. ун-та, 1976. – 216 с. 105. Кузнецов, В. В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин /

В. В. Кузнецов // Изд. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. – 1993. – № 2. – С. 189–191. 106. Лерман, Л. Б. Напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек с промежуточными упругими элементами : автореф. дис. … канд. техн. наук / Л. Б. Лерман. – Киев, 1989. – 18 с. 107. Лурье, А. И. Общая теория упругих тонких оболочек / А. И. Лурье // ПММ. – 1940. Вып. 2. – Т. 4. 108. Лурье, А. И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости / А. И. Лурье. – Л., 1948. – 28 с. 109. Маневич, А. И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек / А. И. Маневич. – Киев ; Донецк : Вища школа, 1979. – 152 с. 110. Маневич, А. И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // А. И. Маневич // Прикл. математика и механика, 1982. 42. № 2. – С. 337–345. 111. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. – М. : Машиностороение, 1968. – 400 с. 112. Милейковский, И. Е. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек / И. Е. Милейковский, И. П. Гречанинов // Расчет пространственных конструкций : Сб. статей. – М. : Стройиздат, 1969. Вып. 12. – С. 168–176. 113. Милейковский, И. Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций / И. Е. Милейковский, С. И. Трушин. – М. : Стройиздат, 1989. – 200 с. 114. Михайлов, Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б. К. Михайлов. – Л. : Изд. ЛГУ, 1980. – 196 с. 115. Михайлов, Б. К. Конструкции и расчет трехслойных панелей из древесины и синтетических материалов : учеб. пособие / Б. К. Михайлов, Л. П. Каратаев, М. А. Овчинников. – СПбГАСУ. – СПб., 1996. – 72 с. 116. Михлин, С. Г. Численная реализация вариационных методов / С. Г. Михлин. – М. : Наука, 1966. 117. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. – М. : Наука, 1970. – 512 с. 118. Муштари, Х. М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х. М. Муштари, К. З. Галимов. – Казань : Таткнигоиздат, 1957. – 431 с. 119. Муштари, Х. М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к решению задач устойчивости упругого равновесия / Х. М. Муштари // ПММ. – 1939. – Т. 2, № 4. – С. 439–456. 120. Неверов, В. В. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек / В. В. Неверов. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1984. – 128 с. 121. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. – Л.: Судпромиздат, 1962. – 431 с. 122. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. – М. : Гостехиздат, 1948. – 212 с. 123. Образцов, И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций / И. Ф. Образцов. – М. : Машиностроение. – 1966.

96

97

124. Перцев, А. К. Динамика оболочек и пластин / А. К. Перцев, Э. Г. Платонов. – Л. : Судостроение, 1987. – 316 с. 125. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек / В. В. Петров. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975. –119 с. 126. Петров, В. В. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала / В. В. Петров, И. Г. Овчинников, В. И. Ярославский. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1976. – 136 с. 127. Петров, В. В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / В. В. Петров // Научн. доклады высшей школы. Строительство. – 1959. № 1. – С. 27–35. 128. Петров, В. В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В. В. Петров, В. К. Иноземцев, Н. Ф. Синева. – Саратов : СГТУ, 1996. – 312 с. 129. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Прикладная механика. – 1976. № 1. – С. 27 –35. 130. Постнов, В. А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. – Тбилиси : Мецниереба, 1975. – С. 637–644. 131. Постнов, В. В. Численные методы расчета судовых конструкций / В. В. Постнов. – Л. : Судостроение, 1977. – 277 с. 132. Пирогов, И. М. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление / И. М. Пирогов // Изд. вузов. Сер. Машиностроение. – 1963. № 7. – С. 56–61. 133. Приближенное решение операторных уравнений // М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. – М. : Наука, 1969. – 456 с. 134. Преображенский, И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями / И. Н. Преображенский. – М. : Машиностроение, 1981. – 191 с. 135. Преображенский, И. И. Устойчивость и колебания конических оболочек / И. И. Преображенский, В. З. Грищак. – М. : Машиностроение, 1986. – 240 с. 136. Прокопов, В. К. Скелетный метод расчета оребренной цилиндрической оболочки / В. К. Прокопов // Научно-техн. информ. бюллетень. – Л. : Изд-во ЛПИ, 1957. № 12. – С. 13–15. 137. Пшеничнов, Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин / Г. И. Пшеничнов. – М. : Наука, 1982. – 352 с. 138. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. – М. : Наука, 1988. – 712 с. 139. Рассудов, В. М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости / В. М. Рассудов // Учен. зап. Сарат. ун-та. – Саратов, 1956. – Т. 52. – С. 51–91. 140. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Н. Н. Безухов, В. Л. Бажанов, И. И. Гольденблатт, Н. А. Николаенко, А. М. Синюков. – М. : Машиностроение, 1965. – 567 с.

141. Рикардс, Р. Б. Оптимизация ребристых оболочек из композитов, работающих на устойчивость при внешнем давлении / Р. Б. Рикардс, М.В. Голдманис // Механика композитных материалов. – М., 1980. № 3. – С. 468–475. 142. Сальников, А. Ю. Устойчивость перфорированных пологих оболочек при динамическом нагружении / А. Ю. Сальников // Труды молодых ученых. – СПбГАСУ. – СПб., 2001. – Ч.1. – С. 65–66. 143. Сальников, А. Ю. Вариационно-параметрический метод в нелинейных задачах динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины / А. Ю. Сальников // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. – СПбГАСУ. – СПб., 2002. – С. 93–99. 144. Самарский, А. А. Введение в численные методы: Учебн. пособие для вузов / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1987. – 288 с. 145. Скворцов, В. Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочек со структурой : дис. ... д-р техн. наук / В. Р. Скворцов. –СПбМТУ. – СПб., 1992. – 335 с. 146. Соломенко, И. С. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса /И. С. Соломенко, К. Г. Абрамян К.Г., В. В. Сорокин. – Л. : Судостроение, 1967. – 488 с. 147. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А. В. Кармишин, В. А Лясковец, В. И. Мяченков, А. Н. Фролов. – М. : Машиностроение, 1975. – 376 с. 148. Старовойтов, Э. Н. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании / Э. Н. Старовойтов, А. В. Яровая, Д. В. Леоненко. – М. : Физматлит, 2006. – 379 с. 149. Старовойтов, Э. И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки / Э. Н. Старовойтов. – Гомель : БелГУТ, 2002. – 344 с. 150. Тананайко, О. Д. Сходимость метода перекрестных полос в задачах расчета тонких оболочек / О. Д. Тананайко // Механика твердого тела. – М., 1977. № 4. – С. 189–192. 151. Теребушко, О. И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами / О. И. Теребушко // Расчет пространственных конструкций : Сб. статей. – М. : Стройиздат, 1964. Вып. 9. – С. 131–160. 152. Теребушко, О. И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами / О. И. Теребушко // Прикладная механика. – 1982. – № 6. – С. 69–74. 153. Терегулов, И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести // И. Г. Терегулов. – М. : Наука, 1969. – 206 с. 154. Тимашев, С. А. Устойчивость подкрепленных оболочек / С. А. Тимашев. – М. : Стройиздат, 1974. – 256 с. 155. Tuмонин, A. M. Напряженное состояние многослойных ортотропных оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и деформации сдвига : автореф. дис. ... канд. техн. наук / А. М. Tuмонин. – Киев, 1982. – 19 с.

98

99

156. Тимошенко, С. П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрических оболочек / С. П. Тимошенко // Изв. Петроградского электротехнического института. – 1914. № 11. – С. 267 – 287. 157. Товстик, П. Е.. Устойчивость тонких оболочек / П. Е. Товстик. – М : Наука. Физматлит, 1995. – 320 с. 158. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. – Л. : Стройиздат, 1987. – 384 с. 159. Филиппов, Д. С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек / Д. С. Филиппов // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников инженеров и аспирантов университета. – СПбГАСУ. – СПб., 2000. – Ч. 1. – С. 44–46. 160. Чернышенко, И. С. К расчету осесимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности / И. С. Чернышенко // Теория пластин и оболочек. – М. : Наука, 1971. – С. 279–284. 161. Чернышев, В. Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек : автореф. дис. ... канд. техн. наук / В. П. Чернышев. – Новосибирск, 1980. – 19 с. 162. Чернышев, В. Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями / В. П. Чернышев // Пространственные конструкции в Красноярском крае. – Красноярск, 1981. – С. 169–175. 163. Шалашилин, В. И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки / В. И. Шалашилин // Изв. АН СССР. МТТ. – 1979. № 4. – С. 178–184. 164. Шалашилин, В. И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения / В. И. Шалашилин // Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. – М. : МАИ, 1983. – С. 68–71. 165. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, В. Н. Чехов, К. Н. Шнеренко. – Киев. : Наукова думка, 1974. – 272 с. 166. Шереметьев, М. П. К построению уточненной теории пластин / М. П. Шереметьев, Б. Л. Пелех // Инж. журнал. – М., 1964. – Т. 4. Вып. 3. – С. 504–509. 167. Юлин, В. А. Выбор рациональной кривизны для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной / В. А. Юлин, О. В. Игнатьев // Надежность и долговечность строительных конструкций // Матер, междунар. науч.-техн. конф : ВолгГАСА. – Волгоград, 1998. – Ч. 2. – С. 38–44. 168. Якушев, В. Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек / В. Л. Якушев. – М. : Наука, 2004. – 276 с. 169. Bakouline N. Variation parametric research technique of variable by step width shallow shells with finite deflections. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / N. Bakouline N., O. Ignatiev, V.Karpov. Volume I/Issue 3. – 2000. – P. 1–6.

170. Byskov, E. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction / E. Byskov, J. C. Hanses // J. Struct. Mech., 1980, 8. № 2. Р. 205–224. 171. Chrobot, B. Mathematical methods of ribbed Shells / B. Chrobot // Studia Geotechnica et Mechanica. – 1982. Vol. IV, № 3–4. P. 55–68. 172. Donell, L. N. A new theory for buckling of thin cylinders under axial compression and bending / L. N. Donell // Trans. ASME. – 1934. 56. 173. Fisher, C. A. Dynamic buck ling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers / C. A. Fisher, C.W. Berit // Trans ACME. Ser., E. – 1973, 40. № 3. P. 736–740. 174. Karman, Th. The buckling of spherical shells by external pressure / Th. Karman and H J. Shen Tsien Acron // Sci. 7. – 1939. 175. Karman, Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau / Th. Karman // Enzyklopaedie der Vathematischen Wissenshaften. Bd. LV. Teilband IV. – 1910. – P. 349. 176. Kicher, T. R. Minimum weight design of stiffened fiber composite cylinders / T. R. Kicher, Chao Tung – Lai // J. Aircraft, 1971. 8. – № 7. P. 562–569. 177. Koiter, W. T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures / W. T. Koiter // WTHD Report № 590. August 1976. 178. Marguerre, K. Zur Teorie der gekremmten Platte grosser Formanderung / K. Marguerre // Jahzbuch 1939 deutseher Luftfahrtsforchung. Bd. 1. Berlin : Ablershof Buecherei. 1939. 179. Reissner, H. Spannungen in Kuegelschale (Kuppeln) / H. Reissner// Festschrift Muller Breslau, 1912. – P. 181. 180. Singer, J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells – a review of experiment and theory / J. Singer // Contr. Theory Aircraft struct. Delft, 1972. – P. 325–357. 181. Tennyson, R. C. The effects of unreinforced circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression. J. of Engineering for industry / R. C. Tennyson // Trans ASME, 1968, 90, ser. B, 4. 182. Campbell, J. D. The dynamic yielding of mild stell / J. D Campbell // Acta Metallurgica. – 1953. Vol. 6, № 6.

100

101

Научное издание Карпов Владимир Васильевич Баранова Дарья Александровна Беркалиев Рустем Тимурович ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК Публикуется в авторской редакции Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 25.08.09. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 6,0. Уч.-изд. л. 6,5. Тираж 500 экз. Заказ 84. «С» 34. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.

103