Особенности и регуляризация некорректных задач Коши с дифференциальными операторами

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 14 (2005). С. 3–156 УДК 517.9+517.956+517.982-984+517.988.8

ОСОБЕННОСТИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ КОШИ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ c 2005 г. °

У. А. АНУФРИЕВА, И. В. МЕЛЬНИКОВА

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список использованных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Регуляризация абстрактной некорректной задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Постановка задачи. Идеи регуляризации абстрактной задачи Коши . . . . . . . . . . . . 1.2. Построение точных и регуляризованных решений абстрактной задачи Коши полугрупповыми методами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Построение обобщенных решений абстрактной задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Построение регуляризованных решений методами теории некорректных задач. Регуляризующие операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Проблемы существования и единственности решения абстрактной задачи Коши в топологических пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Регуляризация некорректных дифференциальных задач Коши . . . . . . . . . . . . 2.1. Постановка задачи. Идеи регуляризации дифференциальных задач Коши . . . . . . . . 2.2. Единственность решения дифференциальных задач Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Построение обобщенных решений для систем дифференциальных уравнений . . . . . . 2.4. Регуляризованные полугруппы, связанные с системами дифференциальных уравнений . 2.5. Построение регуляризующих операторов для дифференциальных задач . . . . . . . . . Глава 3. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Определение и свойства пространств основных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Обобщенное преобразование Фурье и Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Структурные теоремы для обобщенных и аналитических функций . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 6 7 7 11 44 68 73 77 77 79 87 94 108 110 110 127 144 149 153 156

ВВЕДЕНИЕ Настоящая работа посвящена исследованию задачи Коши для систем дифференциальных уравнений µ ¶ ∂ ∂u(x; t) =A i u(x; t), t ∈ [0; T ], u(x; 0) = f (x), x ∈ Rn , (0.1) ∂t ∂x µ ¶ ∂ где A i — матричный линейный дифференциальный оператор конечного порядка. ∂x Эта задача может быть записана в форме абстрактной задачи Коши u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; T ],

u(0) = f,

(0.2)

где A — замкнутый линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X, с областью определения Dom A. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 03-01-00310. c °2005 РУДН

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Усилия многих авторов были направлены на построение различных решений, изучение их свойств и исследование вопросов корректности задач (0.1), (0.2). Достаточно отметить здесь такие основополагающие работы, как [9, 16, 20, 41, 49]. В основу исследования дифференциальных задач были положены методы классического и обобщенного преобразования Фурье (см. [7–9] и библиографию в этой серии). При изучении дифференциальной задачи Коши (0.1) было обнаружено, что операторы решения образуют семейства с полугрупповым свойством, и, как следствие, многие важные результаты были получены в рамках теории полугрупп операторов [13, 16, 38, 48–51, 65, 69, 78, 79]. Фундаментальные результаты в этой области, связывающие равномерную корректность задачи (0.2) с поведением резольвенты оператора A и с существованием полугруппы операторов класса C0 , порожденной оператором A, сформулированы нами в форме теоремы, называемой теоремой Миядеры—Феллера—Филлипса— Хилле—Иосиды (МФФХИ) (см., например, [65]). В последнее время в связи с многочисленными приложениями большой интерес вызывают задачи, не являющиеся равномерно корректными, т. е. задачи, для которых не выполнены условия теоремы МФФХИ. В [65] выделены три подхода к изучению и решению таких задач. Первый подход основан на полугрупповых методах. Современные полугрупповые методы направлены на построение семейств ограниченных операторов, более общих, чем полугруппы класса C0 , таких как интегрированные, конволюционные, R-полугруппы. Они позволяют получить решения задачи (0.2) для начальных условий f из подклассов Dom A, при этом устойчивость решений имеет место относительно изменения f по более сильной норме, чем норма исходного пространства. Второй подход основан на применении теории абстрактных распределений и обобщенных функций Иванова. Методы теории абстрактных распределений и ультрараспределений дают обобщенное (по t) решение задачи (0.2) для любого f ∈ X (классическое решение, как сказано выше, существует только на подклассах Dom A). Термин «абстрактные» здесь означает, что вместо обычных функционалов (со значениями в C) мы имеем дело с операторами со значениями в X (см. [72,73]). Пространства обобщенных функций Иванова P−k , J−k , P−∞ , J−∞ , содержащие X, позволяют построить решение, обобщенное по «переменной оператора A» (по переменной x ∈ Rn в случае дифференциального оператора A = A (i ∂/∂x)) такое, что u(t) ∈ P−∞ для любого f ∈ P−∞ и t > 0. Третий подход к изучению и решению задач, не являющихся равномерно корректными, основан на методах, созданных в теории регуляризации некорректных задач. Методы регуляризации некорректных задач для любого заданного с погрешностью начального условия fδ ∈ X (kfδ − f k 6 δ) позволяют построить решение uα некоторой корректной задачи, зависящей от параметра регуляризации α, такое, что при определенном согласовании параметров α = α(δ) имеет место сходимость α(δ) → 0

и

uα(δ) (t) → u(t)

при

δ → 0.

Это решение, называемое регуляризованным, определяется регуляризующим оператором Rα (t): Rα (t)fδ = uα (t),

t ∈ [0; T ].

Кроме трех перечисленных, к исследованию дифференциальной задачи Коши (0.1) успешно применяется метод преобразования Фурье, учитывающий дифференциальную специфику этой задачи. Такой подход позволяет получить решение, обобщенное по x. В настоящей работе мы показываем, что все указанные подходы, включая преобразование Фурье, содержат в своей основе построение регуляризованных решений. Регуляризация, понимаемая здесь в широком смысле, означает, что строится исправленное (сглаженное) решение, от которого в общем случае не требуется аппроксимации точного решения. Приближенными решениями служат только решения, построенные при помощи регуляризующих операторов: uα(δ) (t) = Rα(δ) (t)fδ → u(t)

при

fδ → f.

При построении решения абстрактной задачи (0.2) важную роль играет преобразование Лапласа, приводящее ее к виду (λI − A)e u(λ) = f,

λ ∈ Λ,

ВВЕДЕНИЕ

5

в некоторой области Λ ⊂ C и показывающее, что точное решение по своей природе связано с обратным преобразованием Лапласа, в частности с обратным преобразованием Лапласа резольвенты оператора A: ³ ´ u(t) = U (t)f = L−1 R(λ) f,

t ∈ [0; T ],

(0.3)

где {U (t), t ∈ [0; T ]} — это семейство разрешающих операторов задачи (0.2), λ ∈ ρ(A) и R(λ) = (λI − A)−1 — резольвента оператора A. Мы показываем, что регуляризация полугрупповыми методами (при построении конволюционных, в частности интегрированных полугрупп) происходит за счет умножения резольвенты операe обеспечивающую возможность построения ретора A в формуле (0.3) на некоторую функцию K, e гуляризованного решения через обратное преобразование Лапласа от исправленной с помощью K резольвенты. При этом регуляризованная (конволюционная) полугруппа {Q(t), t ∈ [0; T ]} совпаe дает с построенным обратным преобразованием Лапласа функции R(λ)K(λ), λ ∈ ρ(A): ³ ´ e Q(t)f = L−1 R(λ)K(λ) f, t ∈ [0; T ], f ∈ X, а регуляризованное решение имеет вид ³ ´ e v(t) = L−1 R(λ)K(λ) f = (U ∗ K)(t)f,

t ∈ [0; T ].

Регуляризация в R-полугруппах происходит за счет сглаживания начальных условий оператором R, отображающим множество Dom A ⊂ X в класс корректности задачи. При этом регуляризованная полугруппа {S(t), t ∈ [0; T ]} опять-таки совпадает с исправленным обратным преобразованием Лапласа: ¡ ¢ S(t)f = L−1 (λI − A)−1 R f, t ∈ [0; T ], f ∈ X (оператор (λI − A)−1 в данном случае уже может не быть резольвентным оператором), а регуляризованное решение имеет вид ¡ ¢ v(t) = L−1 (λI − A)−1 R f, t ∈ [0; T ]. В методах абстрактных распределений и ультрараспределений регуляризация происходит за счет применения резольвенты к основным функциям ϕ, e обеспечивающим возможность построения решения в виде обобщенного обратного преобразования Лапласа: D ³ ´ E ­ ® hϕ, ui = ϕ, L−1 R(λ) f := ϕ(−λ), e R(λ)f , f ∈ X. При построении решения дифференциальной задачи (0.1) методом преобразования Фурье задача приводится к виду ∂e u(σ; t) = A(σ)e u(σ; t), t ∈ [0; T ], u e(σ; 0) = fe(σ), σ ∈ Rn , ∂t откуда следует, что u e(σ; t) = etA(σ) fe(σ), t ∈ [0; T ], σ ∈ Rn , и разрешающий оператор задачи (0.1) есть оператор свертки с обратным преобразованием Фурье экспоненты etA(σ) , σ ∈ Rn : u(x; t) = G(x; t) ∗ f (x), где ³ ´ −1 tA(σ) G(x; t) = F e , x ∈ Rn . Изучая регуляризацию задачи (0.1) методом преобразования Фурье, мы показываем, что она происходит в полной аналогии с применением преобразования Лапласа к абстрактной задаче (0.2). Здесь либо экспонента etA(σ) , σ ∈ Rn , равная преобразованию Фурье от операторов решения e задачи (0.1), умножается на некоторую функцию K(σ), σ ∈ Rn , что приводит к построению Rполугрупп с оператором R, являющимся оператором свертки (по переменной x) с функцией K: Rf = K ∗ f , либо экспонента etA(σ) , σ ∈ Rn , применяется к основной функции ϕ(σ), e σ ∈ Rn , при построении обобщенного решения. В этом случае выбор пространства основных функций осуществляется в зависимости от роста экспоненты etA(σ) при σ → ∞ и поведения ее аналитического продолжения etA(s) , s = σ + iτ , таким образом, чтобы экспонента определяла в этом пространстве

6

ВВЕДЕНИЕ

ограниченный оператор умножения (мультипликатор), а значит, и мультипликатор в соответствующем пространстве обобщенных функций. Удивительный на первый взгляд µ факт, ¶ что рост на бесконечности резольвенты R(λ), λ ∈ ρ(A), ∂ дифференциального оператора A i тесно связан с ростом экспоненты etA(s) в некоторой обла∂x сти, содержащей Rn , находит объяснение в контексте применения методов преобразования Фурье и Лапласа: разрешающие операторы задачи Коши U (t), t ∈ [0; T ], связаны в силу уравнения (0.2) дифференциальным соотношением µ ¶ dU (t) ∂ =A i U (t). dt ∂x Следовательно, в случае дифференциального оператора A разрешающие операторы имеют «пропорциональную гладкость» по t и x, а их преобразования Лапласа и Фурье имеют соответственно пропорциональную по λ и s скорость роста (убывания) на бесконечности. Все вышеизложенные идеи регуляризации нашли отражение в трех главах настоящей работы. Первая глава посвящена регуляризации задачи Коши с абстрактным оператором A, которая осуществляется полугрупповыми методами, методами теории абстрактных обобщенных функций и методами теории некорректных задач. Здесь же обсуждаются вопросы корректности, в частности единственности решения абстрактной задачи Коши в банаховых и топологических пространствах. Вторая глава посвящена регуляризации задачи Коши с дифференциальным оператором A. Результаты здесь получены во взаимосвязи полугрупповой техники и хорошо развитой для дифференциальных операторов теории обобщенного преобразования Фурье. Что касается третьей главы, в процессе работы над рукописью мы поняли, что для реализации поставленных задач и цельного восприятия обсуждаемых нами идей часть материала следует вынести в отдельный раздел. В связи с этим, в третьей главе изложены необходимые результаты из теории обобщенных функций, включая распределения Л. Шварца и ультрараспределения Румье, из теории преобразований Фурье и Лапласа, а также из теории аналитических функций, написанные нами в едином ключе. Кроме того, в третьей главе даны примеры операторов A, порождающих полугруппы µ с ¶разными свойствами. Специальное внимание уделено дифференциальным ∂ операторам A = A i . ∂x СПИСОК

ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

N, R, R+ , C — множества натуральных, действительных, положительных, комплексных чисел соответственно; N0 = N ∪ {0}; Re λ — действительная часть числа λ ∈ C; Im λ — мнимая часть числа λ ∈ C; t — временн´ая переменная, t > 0; x — пространственная переменная, x ∈ Rn ; u, u(x), x ∈ Rn , u(·), u(·; t), . . . — функции (обозначение аргумента точкой обычно используется, если у функции несколько аргументов и нужно указать, какой из них изменяется); L — преобразование Лапласа; Lu, u e — преобразование Лапласа функции u; L−1 — обратное преобразование Лапласа; L−1 u — обратное преобразование Лапласа функции u; F — преобразование Фурье; Fu, u e — преобразование Фурье функции u; F −1 — обратное преобразование Фурье; F −1 u — обратное преобразование Фурье функции u; M Λω , Λln n, ν, ω , Λα, γ, ω — области комплексной плоскости, границы которых определяются числовыми параметрами n, ν, α, γ, ω и функциями ln(·), M (·); X, Y , Z, . . . — банаховы пространства;

1.1. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

ИДЕИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

7

k · k — норма в пространстве X (норма в любом другом пространстве имеет опознавательный символ, например, k · kZ — норма в пространстве Z); L(X) — пространство линейных ограниченных операторов в пространстве X; Φ, Ψ, . . . — линейные топологические пространства; e Ψ, e . . . — пространства преобразований Фурье функций из Φ, Ψ, . . . соответственно; Φ, 0 Φ , Ψ0 , . . . — пространства, сопряженные к Φ, Ψ, . . . соответственно; D — пространство основных функций Л. Шварца; {M },B D{Mq } , D{Mq },B , DA q , . . . — пространства ультрадифференцируемых основных функций (подпространства пространства D); S — пространство быстро убывающих основных функций; β, B β Sα , S β , Sαβ , Sα, A , Sα , . . . — подпространства пространства S; D0 — пространство обобщенных функций (распределений) над пространством D; S 0µ — пространство обобщенных функций (распределений) медленного роста; ¶ ∂ A i — матричный дифференциальный оператор; ∂x A — оператор абстрактной задачи Коши; Dom A — область определения оператора A; Ran A — область значений оператора A; [Dom A] — пространство, полученное замыканием области определения оператора A, действующего в пространстве X, по норме графика оператора A, kuk1 = kuk + kAuk; ρ(A) — резольвентное множество оператора A; R(λ), λ ∈ ρ(A), — резольвента оператора A (резольвента любого другого оператора имеет опознавательный символ, например, R∆ (λ), λ ∈ ρ(∆), — резольвента оператора ∆); R(λ) — резольвентный оператор; Rα (t) — регуляризующий оператор (оператор, регуляризующий решение задачи Коши в момент времени t); R — оператор, сглаживающий начальные условия в абстрактной задаче Коши; {U (t), t ∈ [0; τ )}, {V (t), t ∈ [0; τ )}, . . . — семейства операторов.

ГЛАВА 1 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ 1.1. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

ИДЕИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

В этой главе мы исследуем дифференциальную задачу (0.1) в форме абстрактной задачи Коши u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; τ ), τ 6 ∞,

u(0) = f,

(1.1.1)

где A — замкнутый линейный оператор с областью определения Dom A, действующий в комплексном банаховом пространстве X. В отличие от постановки задачи (0.2) переменная времени t здесь изменяется на полуинтервале [0; τ ), что позволяет применять полугрупповые методы (как глобальные, так и локальные) при построении решений. Полученные в этой главе результаты справедливы для дифференциальных задач вида (0.1) на любом отрезке [0; T ], T < τ . Классические результаты о корректности абстрактной задачи Коши (1.1.1) и о поведении генератора полугруппы класса C0 , полученные разными авторами в рамках теории полугрупп операторов, были соединены в работе [21] и при некоторых априорных условиях на оператор A составили критерий равномерной корректности этой задачи — теорему Миядеры—Феллера—Филлипса—Хилле— Иосиды (МФФХИ) (см. также [13, 25, 65]). Теорема 1.1.1 (МФФХИ). Пусть A — линейный замкнутый плотно определенный в X оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) задача (1.1.1) равномерно корректна на Dom A при t > 0; (ii) оператор A является генератором полугруппы операторов {U (t), t > 0} класса C0 ;

8

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

(iii) резольвента оператора A определена в полуплоскости Λω = {λ ∈ C : Re λ > ω} ⊆ ρ(A) и удовлетворяет условию МФФХИ: ° ° Ck! ° (k) ° 6 , °R (λ)° (Re λ − ω)k+1 L(X)

λ ∈ Λω ,

k ∈ N0 .

(1.1.2)

При этих эквивалентных условиях решение задачи (1.1.1) имеет вид u(t) = U (t)f,

f ∈ Dom A,

t > 0.

(1.1.3)

Ключевую роль в доказательстве эквивалентности условий (i)–(iii) играет преобразование Лапласа. В силу экспоненциальной ограниченности полугрупп класса C0 : kU (t)kL(X) 6 Ceωt ,

t>0

(при некоторых C > 0, ω ∈ R), и в силу представления (1.1.3) решение задачи (1.1.1) также является экспоненциально ограниченным, что позволяет применить к задаче (1.1.1) преобразование Лапласа, которое приводит ее к уравнению e (λ)f = f, (λI − A)U

f ∈ Dom A,

Re λ > ω.

Из этого уравнения, замкнутости оператора A и его коммутируемости на Dom A с операторами полугруппы следует существование резольвенты оператора A, равной преобразованию Лапласа разрешающих операторов задачи: Z∞ R(λ)f = e−λt U (t)f dt, f ∈ X, Re λ > ω. (1.1.4) 0

Равенство (1.1.4) иллюстрирует глубокую внутреннюю связь между полугруппой и резольвентой ее генератора [36, 65] (см. далее теорему 1.2.1): экспоненциально ограниченное семейство операторов {U (t), t > 0} удовлетворяет полугрупповому соотношению U (t + s) = U (t)U (s),

t, s > 0,

если и только если его преобразование Лапласа, R(λ), Re λ > ω, удовлетворяет резольвентному тождеству (µ − λ)R(λ)R(µ) = R(λ) − R(µ), Re λ, Re µ > ω. Следствием равенства (1.1.4) является критерий корректности задачи Коши в форме оценок (1.1.2) для резольвенты. Обобщением на случай банаховых пространств глубокого результата об обращении классического преобразования Лапласа служит теорема Арендта—Уиддера [36], имеющая широкое применение в теории интегрированных полугрупп операторов. Теорема 1.1.2 (Арендта—Уиддера). Пусть a > 0 и r : (a, ∞) → X — бесконечно дифференцируемая функция. Для любых C > 0, ω ∈ (−∞, a] следующие утверждения эквивалентны: ° ° Ck! ° ° (i) °r(k) (λ)° 6 , λ > a, k ∈ N0 ; (λ − ω)k+1 (ii) существует функция v : [0; ∞) → X, удовлетворяющая условиям v(0) = 0 и lim sup h−1 kv(t + h) − v(t)k 6 Ceωt ,

t > 0,

h→+0

такая, что

Z∞ λe−λt v(t) dt,

r(λ) =

λ > a.

(1.1.5)

0

При этих условиях функция r может быть аналитически продолжена в полуплоскость Re λ > ω и это продолжение для Re λ > a задается формулой (1.1.5).

1.1. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

ИДЕИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

9

В случае равномерно корректной задачи Коши связь между утверждениями теорем МФФХИ и Арендта—Уиддера абсолютно прозрачная: функция v является первообразной решения u, равенство (1.1.5) есть проинтегрированное по частям соотношение (1.1.4) и функция r — это значение резольвенты на элементе f : r(λ) = R(λ)f , Re λ > a. В случае, когда семейство разрешающих операторов {U (t), t > 0} задачи (1.1.1) является экспоненциально ограниченным, но не образует полугруппу класса C0 , а семейство его первообразных {V (t), t > 0} может быть продолжено на все пространство и это продолжение является семейством ограниченных операторов, теорема Арендта—Уиддера устанавливает связь между свойствами функции v = V f и функции r, определяемой равенством (1.1.5). При этом если для некоторого элемента f существует решение u = U f задачи (1.1.1), то функция r является преобразованием Лапласа этого решения: r(λ) = u e(λ) = ve0 (λ), λ > a. В более общем случае, когда решение задачи Коши не является экспоненциально ограниченным или существует лишь на некотором временн´ом промежутке [0; τ ), преобразование Лапласа (обобщенное или локальное) продолжает играть важную роль в исследовании корректности задачи (1.1.1). Формально применяя к задаче (1.1.1) преобразование Лапласа, получаем уравнение e (λ)f = f, (λI − A)U f ∈ X, (1.1.6) из которого следует, что для построения решения задачи (1.1.1) необходимо сначала обратить оператор λI − A, а затем обратить преобразование Лапласа. Если резольвентное множество оператора A непусто, то, подействовав резольвентой на обе части уравнения (1.1.6), получим e (λ)f = R(λ)f, U f ∈ X, λ ∈ ρ(A). (1.1.7) Как следует из теоремы МФФХИ, резольвента некорректной задачи не удовлетворяет условиям (1.1.2), в частности она не убывает на бесконечности, поэтому для обращения преобразования Лапласа в уравнении (1.1.7) следует скорректировать поведение функции R. Мы обсуждаем два способа достижения этой цели. Первый способ состоит в том, чтобы умножить обе части уравнения (1.1.7) на подходящую функe с тем, чтобы произведение RK e допускало обратное преобразование Лапласа. Получаемое цию K при этом семейство ограниченных операторов ³ ´ e Q(t) := (U ∗ K)(t) = L−1 R(λ)K(λ) , t ∈ [0; τ ), уже не является семейством разрешающих операторов исходной задачи (1.1.1), но дает решение другой, регуляризованной, задачи v 0 (t) = Av(t) + K(t)f,

t ∈ [0; τ ),

v(0) = 0,

(1.1.8)

где v(t) = (u ∗ K)(t) = Q(t)f,

f ∈ Dom A,

t ∈ [0; τ ).

(1.1.9)

Как видно из последнего равенства, решение задачи (1.1.8) есть свертка точного решения задачи (1.1.1) с корректирующей функцией K, вследствие чего задачу (1.1.8) называют конволюционной задачей Коши (задачей Коши в свертках), а построенное семейство операторов {Q(t), t ∈ [0; τ )} — K-конволюционной полугруппой. Регуляризация исходной задачи (1.1.1), которую мы получаем описанным способом, происходит e на этапе использоза счет умножения резольвенты в уравнении (1.1.7) на убывающую функцию K вания преобразования Лапласа или, что эквивалентно, за счет свертки решения с корректирующей функцией K на этапе исследования исходной задачи. В результате для регуляризованного решения получается уравнение (1.1.8). Другой способ обращения преобразования Лапласа в уравнении (1.1.7) состоит в выборе пространства основных функций Φ таким образом, чтобы в абстрактном сопряженном пространстве Φ0 (X) существовало обобщенное обратное преобразование Лапласа функции R(·)f . Получаемое при этом решение, в отличие от регуляризованного решения (1.1.9), является решением

10

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

исходной задачи, но уже не классическим, а обобщенным. Регуляризацию задачи (1.1.1) в этом случае обеспечивает выбор подходящего пространства основных функций; регуляризация решения происходит за счет его применения к основным функциям (т. е. последовательного применения разрешающих операторов к начальным данным и основным функциям). Рассмотренные два способа построения регуляризованного решения основаны на коррекции поe либо за счет основных функций) и применимы ведения резольвенты (либо за счет функции K, соответственно, когда регулярные точки оператора A заполняют некоторую область правой полуплоскости, содержащую полубесконечный интервал действительной оси вида λ > ω. Еще один подход к регуляризации задачи (1.1.1) применяется в случае, когда оператор λI − A не имеет ограниченного обратного или когда множество регулярных значений оператора A не заполняет никакого интервала вида λ > ω. В этом случае подбирается (если это возможно) оператор R, переводящий пространство X в область определения оператора (λI − A)−1 , и уравнение (1.1.6) рассматривается на начальных данных вида Rf : e (λ)Rf = (λI − A)−1 Rf, U

f ∈ X.

Ограниченный оператор (λI − A)−1 R называется R-резольвентой оператора A. Получаемое при помощи обратного преобразования Лапласа семейство ограниченных операторов ¡ ¢ S(t) = L−1 (λI − A)−1 R , t ∈ [0; τ ), называется R-полугруппой и является семейством разрешающих операторов регуляризованной задачи v 0 (t) = Av(t), t ∈ [0; τ ), v(0) = Rf ; v(t) = S(t)f. При таком подходе регуляризация исходной задачи (1.1.1) происходит за счет сглаживания начальных данных оператором R. Далее (пункты 1.2.2–1.2.5 и 1.3.2–1.3.5) мы показываем, что для некоторых подклассов начальных данных, содержащихся в Dom A, на основе регуляризованных решений, построенных каждым из описанных способов, может быть получено классическое решение исходной задачи (1.1.1). В соответствии с указанными подходами к регуляризации абстрактной задачи Коши мы выделяем следующие классы некорректных задач, определяемые геометрией множества регулярных значений оператора A и поведением его резольвенты: (I) Λω = {λ ∈ C : Re λ > ω > 0} ⊆ ρ(A), ° k µ ¶° ° d R(λ) ° Ck! ° ° 6 , λ ∈ Λω , k ∈ N0 ; ° dλk λn °L(X) (Re λ − ω)k+1 (II) Λln n, ν, ω = {λ ∈ C : Re λ > nν ln |λ| + ω} ⊆ ρ(A), kR(λ)kL(X) 6 C|λ|n ,

λ ∈ Λln n, ν, ω ;

(III) ΛM α, γ, ω = {λ ∈ C : Re λ > αM (γ|λ|) + ω} ⊆ ρ(A), kR(λ)kL(X) 6 CeβM (γ|λ|) ,

λ ∈ ΛM α, γ, ω ,

где M — некоторая положительная неубывающая функция; (IV) регулярные значения оператора A не заполняют в правой полуплоскости никакого интервала вида λ > ω. Сужение от класса к классу множества регулярных значений оператора A и изменение поведения его резольвенты отражает усиление некорректности задачи Коши (1.1.1) и напрямую связано с характером особенностей разрешающих операторов этой задачи. В разделе 1.2 мы сначала изучаем полугруппы, сильно непрерывные по t при t > 0 (полугруппы класса C0 ) и сильно непрерывные по t при t > 0 (полугруппы классов C1 и A), в банаховых пространствах, а затем — полугрупповые семейства, соответствующие четырем выделенным классам операторов, и исследуем их связь с решением и регуляризацией задачи (1.1.1). В разделе 1.3 мы строим обобщенные (по t) решения в пространствах абстрактных распределений и ультрараспределений для задач классов (I)–(III) и обобщенные (по x) решения в пространствах новых обобщенных функций для задач класса (IV). В разделе 1.4 построены регуляризующие операторы,

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

11

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

связанные с полугрупповыми методами для задач всех указанных классов. Раздел 1.5 посвящен исследованию корректности абстрактной задачи Коши в топологических пространствах. 1.2.

ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

1.2.1. Равномерная корректность абстрактной задачи Коши и полугруппы класса C0 . Полугруппы классов C1 , A и роста α. Как уже было отмечено во введении, равномерно корректная задача занимает важное место в исследовании задачи Коши. Базовые результаты здесь получены с использованием теории полугрупп операторов и техники преобразования Лапласа (см., например, [13,16,17,20,25,38,48,49,51]). Отражением этих результатов является теорема 1.1.1, названная нами теоремой Миядеры—Феллера—Филлипса—Хилле—Иосиды (МФФХИ) [13] и связывающая равномерную корректность абстрактной задачи Коши с полугруппами класса C0 , а также с поведением резольвенты оператора A. Дадим определение равномерно корректной задачи Коши (1.1.1) в банаховом пространстве X. Определение 1.2.1. Задача Коши (1.1.1) называется равномерно корректной на множестве D ⊆ Dom A, если для любого f ∈ D и для любого T > 0 а) существует единственное решение задачи (1.1.1) u ∈ C ([0; T ], Dom A) ∩ C 1 ([0; T ], X) ; б) решение устойчиво относительно изменения начальных данных, равномерно по t ∈ [0; T ]: sup ku(t)k 6 CT kf k.

t∈[0;T ]

Из определения равномерной корректности следует, что решение такой задачи определено на промежутке [0; ∞). Поэтому разрешающие операторы U (t) равномерно корректной задачи Коши, определяемые равенством U (t)f :=u(t), f ∈ D, также зависят от параметра t ∈ [0; ∞). Если задача Коши (1.1.1) равномерно корректна на Dom A и оператор A плотно определен, то разрешающие операторы обладают полугрупповым свойством: для любого f ∈ Dom A и любых t, h > 0 элементы U (t + h)f и U (t)U (h)f являются решениями задачи (1.1.1) с начальным условием U (h)f в момент времени t = 0. В силу единственности решения они совпадают: U (t + h)f = U (t)U (h)f,

t, h > 0,

f ∈ Dom A.

(1.2.1)

Аналогичным образом, используя единственность решения, можно показать, что операторы U (t) линейны при каждом t > 0. Следовательно, если Dom A = X, то равенство (1.2.1) может быть по непрерывности продолжено на все пространство. В силу устойчивости решения задачи Коши полученные операторы ограничены. Более того, из равномерной корректности задачи следует, что в действительности разрешающие операторы равномерно корректной задачи Коши образуют полугруппу со специальным свойством сильной непрерывности в нуле — полугруппу класса C0 . Определение 1.2.2. Семейство линейных ограниченных операторов {U (t), t > 0}, действующих в банаховом пространстве X и удовлетворяющих условиям (U1) U (t + h) = U (t)U (h), t, h > 0, (U2) U (0) = I, (U3) операторная функция U (·) сильно непрерывна по t при t > 0, называется полугруппой класса C0 . Определение 1.2.3. Оператор, определяемый равенством U 0 (0)f := lim h−1 (U (h) − I)f, h→0

с областью определения

½ ¾ −1 Dom U (0) = f ∈ X : lim h (U (h) − I)f существует , 0

h→0

называется (инфинитезимальным) генератором семейства {U (t), t > 0}.

(1.2.2)

12

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

1.2.1.1. Свойства полугрупп класса C0 и их генераторов. Свойства полугрупп класса C0 и их генераторов хорошо изучены и представлены в литературе (см., например, [4, 16, 25, 49, 65, 69, 78] и приведенную там библиографию). Выделим здесь основные свойства этих полугрупп. 1) Полугруппа класса C0 невырождена, т. е. из того, что U (t)f = 0 при всех t > 0, следует, что f = 0. Действительно, если U (t)f = 0 при всех t > 0 для некоторого f ∈ X, то из свойства сильной непрерывности (U3) получаем U (0)f = lim U (t)f = 0, t→0

и в силу свойства (U2) имеем U (0)f = f = 0. 2) Операторы полугруппы класса C0 коммутируют со своим генератором на области определения последнего. Операторы полугруппы класса C0 с генератором A являются разрешающими1 операторами задачи (1.1.1). Оба эти свойства следуют из определения генератора, непрерывности и коммутируемости операторов полугруппы: U (t)U 0 (0)f = U (t) lim h−1 (U (h) − I)f = lim h−1 (U (h) − I)U (t)f = h→0

h→0

= U 0 (0)U (t)f,

f ∈ Dom U 0 (0),

dU (t) f = lim h−1 (U (t + h) − U (t))f = lim h−1 (U (h)U (t) − U (t))f = h→0 h→0 dt −1 = lim h (U (h) − I))U (t)f = AU (t)f, f ∈ Dom A. h→0

3) Генератор полугруппы класса C0 является замкнутым оператором. Пусть fn ∈ Dom U 0 (0), fn → f и U 0 (0)fn → g. Тогда из непрерывности операторов полугруппы по t и свойства 2) имеем Zh −1

h

−1

(U (h) − I) fn = h

0

dU (s)fn ds = h−1 ds

Zh U (s)U 0 (0)fn ds. 0

Устремляя в этом равенстве n → ∞, получаем Zh −1

h

(U (h) − I) f = h

−1

U (s)g ds. 0

При h → 0 правая часть этого равенства имеет предел, равный g; следовательно, f ∈ Dom U 0 (0) и g = U 0 (0)f . 4) Генератор полугруппы класса C0 плотно определен. Для доказательства рассмотрим множество   Y :=



Zb U (s)f ds,

ua, b = a

  f ∈ X, 0 < a < b 

и покажем, что Y вложено в Dom U 0 (0) и всюду плотно в X.

1 Иногда операторы полугруппы называют эволюционными операторами, однако эволюционными могут быть названы и семейства, более общие, чем разрешающие операторы. Например, рассматриваемые далее интегрированные, конволюционные и другие полугруппы — это эволюционные семейства, но они не являются разрешающими операторами для задачи Коши.

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

13

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

Для любого элемента ua, b ∈ Y имеем Zb h−1 (U (h) − I)ua,b = h−1



 b−h Z Zb (U (h + s) − U (s))f ds = h−1  U (t)f dt − U (s)f ds =

a

a−h

a

 b+h  a+h Z Z = h−1  U (s)f ds − U (s)f ds −−−→ (U (b) − U (a)) f ; h→0

a

b

следовательно, f ∈ Dom U 0 (0). Покажем теперь, что Y всюду плотно в X. Предположим противное: Y 6= X. Тогда согласно следствию из теоремы Хана—Банаха найдется ненулевой функционал F ∈ X ∗ , равный нулю на подпространстве Y , т. е. для любых 0 < a < b Zb F (ua,b ) =

F (U (s)f ) ds = 0. a

В силу непрерывности по s подынтегральной функции, отсюда следует, что для любого f ∈ X F (U (s)f ) = 0,

s > 0,

а в силу непрерывности функционала F и сильной непрерывности операторов полугруппы F (U (s)f ) −−−→ F (f ) = 0 s→0

для любого f ∈ X,

т. е. F = 0. Полученное противоречие доказывает равенство Y = X. Поэтому Dom U 0 (0) = X. 5) Полугруппа класса C0 является экспоненциально ограниченным семейством операторов: ∃ C > 0, ω ∈ R :

∀ t > 0 kU (t)kL(X) 6 Ceωt .

Чтобы показать экспоненциальную ограниченность, любое t > 0 представим в виде t = n+s, где n ∈ N0 , 0 6 s < 1. В силу полугруппового свойства (U1) получаем равенство U (t) = U n (1)U (s). Из сильной непрерывности операторов полугруппы, согласно принципу равномерной ограниченности, следует равномерная по 0 6 s < 1 ограниченность kU (s)k. Отсюда kU (t)kL(X) 6 CkU (1)knL(X) = Cen ln kU (1)kL(X) , где C = sup kU (s)kL(X) < ∞. 06s<1

Если ln kU (1)kL(X) 6 0, то kU (t)kL(X) 6 C, т. е. экспоненциальная оценка выполняется для ω = 0 и полугруппа {U (t), t > 0} является ограниченной. Если ln kU (1)kL(X) > 0, то kU (t)kL(X) 6 Ce(n+s) ln kU (1)kL(X) = Cet ln kU (1)kL(X) = Ceωt , где ω = ln kU (1)kL(X) . 6) Для любого λ из полуплоскости Re λ > ω существует преобразование Лапласа операторов полугруппы и оно совпадает с резольвентой генератора полугруппы: e (λ) = (λI − U 0 (0))−1 = RU 0 (0) (λ), U

Re λ > ω.

(1.2.3)

Существование и ограниченность преобразования Лапласа следуют из сильной непрерывности и экспоненциальной ограниченности полугруппы: Z∞ e (λ)f = U

e−λt U (t)f dt, 0

f ∈ X,

e (λ)k 6 kU

C , Re λ − ω

Re λ > ω.

14

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Для f ∈ Dom U 0 (0) применим к этому интегралу оператор U 0 (0). В силу замкнутости оператора U 0 (0) его можно внести под знак интеграла. Далее, используя свойство 2) разрешающих операторов и интегрируя по частям, получаем равенство Z∞ Z∞ Z∞ 0 −λt −λt 0 U (0) e U (t)f dt = e U (0)U (t)f dt = e−λt U 0 (t)f dt = 0

0

0

Z∞ e−λt U (t)f dt,

= −f + λ

f ∈ Dom U 0 (0),

0

которое по непрерывности может быть продолжено на все пространство: Z∞ 0 (λI − U (0)) e−λt U (t)f dt = f, f ∈ X. 0

С другой стороны,

Z∞ e−λt U (t)(λI − U 0 (0))f dt = f,

f ∈ Dom U 0 (0).

0

Из полученных равенств следует обратимость оператора λI − U 0 (0), Re λ > ω, и равенство Z∞ 0 −1 (λI − U (0)) = e−λt U (t) dt. 0

Из ограниченности преобразования Лапласа следует существование резольвенты оператора U 0 (0) в полуплоскости Re λ > ω и ее представление в виде (1.2.3). 7) Оказывается, для операторов полугрупп имеет место и свойство, обратное предыдущему. Полностью взаимосвязь между соотношением (U1) для семейства операторов {U (t), t > 0} и резольвентным тождеством для его преобразования Лапласа представляет следующая теорема (см. [36, 65]). Теорема 1.2.1. Пусть {U (t), t > 0} — экспоненциально ограниченное семейство линейных операторов, сильно непрерывное по t. Тогда операторная функция Z∞ e (λ) = e−λt U (t) dt, U Re λ > ω, 0

удовлетворяет резольвентному тождеству, если и только если операторы семейства удовлетворяют полугрупповому соотношению (U1). e (·) удовлетворяет резольвентному тождеству Доказательство. Пусть операторная функция U e e e (λ)U e (µ) = U (λ) − U (µ) , Re λ > Re µ > ω. U µ−λ Тогда левая часть этого равенства представима в виде Z∞ Z∞ Z∞ Z∞ −λt −µh −λt e (λ)U e (µ) = e U (t) dt e U U (h) dh = e e−µh U (h)U (t) dh dt, (1.2.4) 0

0

0

0

а правая часть — в виде Z Z e (λ) e (µ) U U 1 −λt e (µ) = − = e U (t) dt + e−(λ−µ)t dt · U µ−λ µ−λ µ−λ ∞

∞

0

1 = µ−λ

0

Z∞

Z∞ e

0

−(λ−µ)t −µt

e

U (t) dt +

Z∞ e

0

−(λ−µ)t

e−µs U (s) ds.

dt 0

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

КОШИ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

15

Интегрируя первое слагаемое правой части по частям, получаем Z Z Z Z e (λ) e (µ) U U −(λ−µ)t −µs −(λ−µ)t − =− e e U (s) ds dt + e e−µs U (s) ds dt = µ−λ µ−λ ∞

t

0

0

Z∞

Z∞ e−µs U (s) ds dt =

t

0

∞

0

Z∞ e−(λ−µ)t

=

∞

0

Z∞ e−λt

e−µ(s−t) U (s) ds dt. t

0

Используя замену s − t = h, приведем интеграл к виду Z∞

Z∞ e

−λt

0

e−µh U (t + h) dh dt = 0

e (λ) e (µ) U U − . µ−λ µ−λ

(1.2.5)

Из теоремы единственности для абстрактного преобразования Лапласа следует равенство подынтегральных операторных функций в (1.2.4) и (1.2.5): U (t + h) = U (t)U (h), t, h > 0. Для доказательства обратной импликации U (t + h) = U (t)U (h),

t, h > 0

=⇒

e (λ)U e (µ)(µ − λ) = U e (λ) − U e (µ) U

достаточно провести рассуждения в обратном направлении. 8) Теперь, используя теорему 1.2.1, покажем, что для генератора полугруппы класса C0 могут быть даны еще два определения, эквивалентных определению 1.2.2: первое определяет генератор полугруппы через преобразование Лапласа операторов семейства, второе определяет одновременно и семейство (полугруппу класса C0 ), и его генератор. Утверждение 1.2.1. Пусть {U (t), t > 0} — полугруппа класса C0 . Тогда оператор e (λ))−1 , A := λI − (U

e (λ), Dom A = Im U

Re λ > ω.

(1.2.6)

совпадает с инфинитезимальным генератором полугруппы. Доказательство. Для начала покажем, что данное определение оператора A корректно. В самом e (λ), Re λ > ω, деле, как было показано выше, для полугруппы класса C0 преобразование Лапласа U существует. Эта полугруппа является невырожденной (свойство 1)). Из невырожденности полуe (λ) обратим. Из резольвентного тождества группы следует, что при каждом λ, Re λ > ω, оператор U e (λ), равного согласно свойству 6) резольвенте оператора U 0 (0), следует равенство для U e (λ))−1 = µI − (U e (µ))−1 , λI − (U

Re λ, Re µ > ω,

e (λ))−1 с областью определения Im U e (λ) не зависит от λ. показывающее, что оператор λI − (U e (λ))−1 = λI −A, Следовательно, существует оператор A, определяемый при Re λ > ω равенством (U e (λ). Dom A = Im U e (λ) = RU 0 (0) (λ) следует, что оператор A В заключение заметим, что из равенства R(λ) = U 0 совпадает с U (0). Таким образом, равенство (1.2.6) служит эквивалентным определением генератора полугруппы класса C0 . Определение 1.2.4. Пусть {U (t), t > 0} — полугруппа класса C0 . Оператор, определенный равенством (1.2.6), называется генератором полугруппы {U (t), t > 0}. На основе доказанных свойств можно ввести еще одно (эквивалентное) определение полугруппы класса C0 и ее генератора. Определение 1.2.5. Пусть A — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Сильно непрерывное и экспоненциально ограниченное при t > 0 семейство линейных ограниченных

16

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

операторов {U (t), t > 0}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих уравнениям Zt U (s)f ds = U (t)f − f,

A

f ∈ X,

t > 0,

(1.2.7)

0 t Z

U (s)Af ds = U (t)f − f,

f ∈ Dom A,

t > 0,

(1.2.8)

0

называется полугруппой класса C0 , порожденной оператором A. Утверждение 1.2.2. Семейство {U (t), t > 0} из определения (1.2.5) образует полугруппу класса C0 , и оператор A является инфинитезимальным генератором этой полугруппы. Доказательство. Применим к операторам U (t), t > 0, преобразование Лапласа и из уравнения (1.2.7) для любого f ∈ X получим   Z∞ Z∞ Zt e−λt U (t)f dt = e−λt f + A U (s)f ds dt = 0

0

0

1 = f +A λ отсюда

Zt e

−λt

0

0

1 1 U (s)f ds dt = f + A λ λ

Z∞ λ

или

Z∞

Z∞ e−λt U (t)f dt,

Re λ > ω,

0

Z∞ e

−λt

e−λt U (t)f dt,

U (t)f dt = f + A

0

Re λ > ω,

0

Z∞ e−λt U (t)f dt = f,

(λI − A)

Re λ > ω,

f ∈ X.

0

Используя уравнение (1.2.8), для f ∈ Dom A получаем Z∞ e−λt U (t)(λI − A)f dt = f. 0

Из двух последних равенств следует существование резольвенты оператора A и ее представление в виде преобразования Лапласа семейства операторов U . Согласно теореме 1.2.1 это семейство операторов удовлетворяет полугрупповому соотношению (U1). Свойство (U2) следует из уравнения (1.2.7) при t = 0. Сильная непрерывность (U3) заложена в определение 1.2.5. Таким образом, семейство операторов {U (t), t > 0} образует полугруппу класса C0 . Как было показано в свойстве 6), ее преобразование Лапласа равно резольвенте генератора полугруппы. Отсюда следует равенство резольвент: RU 0 (0) (λ) = R(λ),

Re λ > ω.

Раз совпадают резольвенты, то совпадают и сами операторы: U 0 (0) = A. Таким образом, оператор A является генератором этой полугруппы. Заметим, что оператор A0 , определяемый через семейство {U (t), t > 0} из определения 1.2.5 следующим образом:   Zt   0 0 (1.2.9) A f := y, Dom A := f ∈ X | существует y : U (s)y ds = U (t)f − f, t > 0 ,   0

как нетрудно проверить, является замкнутым, на Dom A совпадает с оператором A и в общем случае является его расширением.

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

17

9) Пусть A — генератор полугруппы класса C0 . Из равенства (1.2.3), т. е. из равенства Z∞ e−λt U (t) dt,

R(λ) =

Re λ > ω,

0

для него следуют оценки в терминах производных резольвенты (1.1.2) или, что эквивалентно, в терминах степеней резольвенты: ° ° C ° k ° 6 , λ ∈ Λω = {λ : Re λ > ω}, k ∈ N, (1.2.10) °R (λ)° (Re λ − ω)k L(X) при некоторых C > 0, ω ∈ R. Проведенные доказательства оценок (1.2.10) и свойств 1)–6) полугрупп класса C0 составляют в совокупности доказательство импликаций (i)⇐⇒(ii)=⇒(iii) в теореме МФФХИ. Что касается недостающего доказательства (iii)=⇒(ii), мы отсылаем читателя к монографии [65], где собраны основные способы построения разрешающих операторов задачи Коши (1.1.1) с оператором A, резольвента которого удовлетворяет условиям (1.2.10). Построение этого семейства операторов, образующих полугруппу класса C0 с генератором A, проведено на основе приближений Иосиды, на основе формулы обращения Уиддера—Поста и на основе сглаженного преобразования Лапласа. Замечание 1.2.1. Отметим, что импликации (ii)=⇒(i) и (ii)=⇒(iii) в теореме МФФХИ имеют место и без дополнительного требования плотности области определения оператора A. Однако построить полугруппу (и по ней резольвенту генератора) из условия равномерной корректности задачи (1.1.1) удается лишь для плотно определенного оператора A (или оператора с непустым множеством регулярных точек: ρ(A) 6= ∅). Этот факт свидетельствует о том, что свойство плотности области определения генератора, как и свойство ρ(A) 6= ∅, является внутренним свойством полугрупп класса C0 , необязательным для равномерной корректности задачи Коши. Прежде чем переходить к более общим полугруппам классов C1 и A, отметим еще одно важное свойство полугрупп класса C0 , которое остается верным для полугрупп класса C1 и лежит в основе определения полугрупп класса A. 10) Для резольвенты генератора полугруппы класса C0 имеет место равенство lim λR(λ)f = f,

λ→∞

f ∈ X,

λ ∈ ρ(A) ∩ R.

(1.2.11)

Пусть A — генератор полугруппы класса C0 и f ∈ Dom A, тогда этот элемент представим в виде f = R(λ0 )y, y ∈ X, λ0 ∈ ρ(A). Из резольвентного тождества имеем λR(λ)R(λ0 )y = λ

R(λ)y R(λ0 )y −λ . λ0 − λ λ0 − λ

Отсюда, с учетом (1.2.10), при λ → ∞ получаем равенство (1.2.11) на Dom A, которое в силу ограниченности kλR(λ)kL(X) при λ → ∞ и плотности Dom A можно продолжить на все пространство X. 1.2.1.2. Полугруппы классов C1 , A, роста α и их свойства. Для полугрупп класса C0 , рассмотренных в предыдущем пункте, принципиально важным свойством является сильная непрерывность в точке t = 0. Из доказанных свойств этих полугрупп следует, что сильная непрерывность в точке ноль обеспечивает непрерывность в любой точке t ∈ (0; ∞) и операторы полугруппы являются разрешающими для равномерно корректной задачи Коши (1.1.1). Однако в приложениях нередко встречаются задачи Коши, в том числе и важные дифференциальные задачи, у которых нарушена непрерывность решения в нуле. В настоящем пункте мы рассмотрим полугруппы, связанные с такими задачами. Оставаясь сильно непрерывными при t > 0, они теряют свойство сильной непрерывности при t = 0. Полугруппы классов C1 , A и роста α определяются в зависимости от того, каким более слабым условием заменяется условие непрерывности в нуле. Для полугрупп класса C1 это более слабое условие C-суммируемости: lim C(η)f = f, f ∈ X, (1.2.12) η→0

18

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

где 1 C(η)f := η

Zη U (s)f ds, 0

для полугрупп класса A — условие A-суммируемости: e (λ)f = f, f ∈ X, lim λU λ→∞

где

КОШИ

λ ∈ R,

(1.2.13)

Z∞ e (λ)f = U

e−λt U (t)f dt, 0

а для полугрупп роста α — это условие степенного роста по t при t → 0. Определение 1.2.6. Семейство линейных ограниченных операторов {U (t), t > 0}, действующих в банаховом пространстве X и удовлетворяющих условиям (U10 ) U (t + h) = U (t)U (h), t, h > 0, (U30 ) операторная функция U (·) сильно непрерывна по t при t > 0, называется сильно непрерывной полугруппой. Оператор, определяемый равенством ½ ¾ 0 −1 0 −1 U (0)f = lim h (U (h) − I)f, Dom U (0) = f ∈ X : lim h (U (h) − I)f существует , h→0

h→0

называется инфинитезимальным оператором, а оператор A := U 0 (0), если он существует, называется инфинитезимальным генератором семейства {U (t), t > 0}. Как будет показано ниже, в общем случае инфинитезимальный оператор незамкнут и преобразование Лапласа полугруппового семейства не обязательно является резольвентой инфинитезимального оператора. Определение 1.2.7. Сильно непрерывная полугруппа {U (t), t > 0} называется полугруппой класса (0, C1 ) (класса (1, C1 )), если для операторов U (t) выполнены условия (1.2.12) и   1 Z Z1  kU (t)kL(X) dt < ∞ . (1.2.14) kU (t)f k dt < ∞, f ∈ X 0

0

Полугруппа операторов называется полугруппой класса (0, A) (класса (1, A)), если для операторов U (t) выполнены условия (1.2.13) и (1.2.14). Полугруппы классов (0, C1 ) и (1, C1 ) образуют класс C1 , а полугруппы классов (0, A) и (1, A) — класс A. Рассмотрим свойства введенных полугрупп в сравнении со свойствами полугрупп класса C0 . 1) Изучая свойства полугрупп класса C0 , мы доказали для них важное соотношение (1.2.11), лежащее в основе определения полугруппы класса A. Более того, для полугруппы класса C0 , очевидно, выполнено соотношение (1.2.12), лежащее в основе определения полугруппы класса C1 . Покажем, что условие (1.2.11) выполняется и при более слабом, нежели (U3), условии непрерывности (1.2.12). Тем самым мы покажем, что имеют место вложения {полугруппы класса C0 } ⊂ {полугруппы класса C1 } ⊂ {полугруппы класса A}.

(1.2.15)

Утверждение 1.2.3. Пусть {U (t), t > 0} — полугруппа класса C1 . Тогда для нее выполнено условие (1.2.13). Доказательство. Обозначим

ω0 := lim t−1 ln kU (t)kL(X) . t→+∞

Эта величина называется типом полугруппы {U (t), t > 0}. В [51] показано, что −∞ 6 ω0 < ∞ и для любого η > 0 kU (t)kL(X) 6 M (ω, η)eωt , t > η, ω > ω0 . (1.2.16)

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

19

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

e (λ) при Следовательно, для полугруппы {U (t), t > 0} определено преобразование Лапласа U Re λ > ω. Интегрируя по частям равенство Z∞ e (λ)f = λ λU

e−λt U (t)f dt,

f ∈ X,

0

получаем Z∞ e (λ)f = λ2 λU 0

Отсюда



Z∞ e (λ)f − f = λ2 λU

e

−λt

0

1 t  t

 1 e−λt t  t



Zt

U (s)f ds dt, 0



Zt

f ∈ X.

Z∞

U (s)f ds dt − λ2 0

Z∞ e

−λt

2

e−λt t (C(t)f − f ) dt.

t f dt = λ

0

0

Из условия (1.2.12) получаем оценку ° ° ° Zη ° ° 2 ° −λt °λ e t (C(t)f − f ) dt° sup kC(t)f − f k, ° ° 6 M 0
f ∈ X,

0

из свойства экспоненциальной ограниченности (1.2.16) следует  t  Z Z∞ λ2 e−λt  U (t)f − tf  dt −−−→ 0, λ→∞

η

f ∈ X,

0

что доказывает равенство (1.2.13). Таким образом, преобразование Лапласа полугрупп классов C1 и A существует и для него, как и для полугрупп класса C0 , имеет место предельное соотношение (1.2.13). 2) Продолжая сравнивать свойства этих полугрупп со свойствами полугрупп класса C0 , вопервых, уточним, имеет ли для них место важное равенство преобразования Лапласа операторов полугруппы резольвенте соответствующего генератора, и, во-вторых, сравним свойства генераторов полугрупп. В [51] (теорема 11.5.1) показано, что для сильно непрерывной (экспоненциально ограниченной) полугруппы {U (t), t > 0} и для тех f ∈ X, при которых имеет место сходимость в (1.2.13) и (1.2.14), справедливо равенство e (λ)f = f, (λI − U 0 (0))U Re λ > ω, (1.2.17) а для f ∈ Dom U 0 (0) — равенство e (λ)(λI − U 0 (0))f = f, U

Re λ > ω.

(1.2.18)

Отсюда следует, что преобразование Лапласа полугруппы класса C1 является резольвентой инфинитезимального оператора, а инфинитезимальный оператор такой полугруппы замкнут и, следовательно, совпадает с ее генератором. Что касается инфинитезимального оператора полугруппы класса A, то он не обязательно замкнут (см. пример в [71]). 3) Инфинитезимальный оператор U 0 (0) для полугрупп классов C1 и A плотно определен. Покажем, что для области определения оператора U 0 (0) имеет место вложение X1 ⊂ Dom U 0 (0), где   Zb   [ U (t)(X), X1 := ua, b = U (s)f ds, f ∈ X0 , 0 < a < b ⊂ X0 := X1 = X0 , X0 = X.   a

t>0

Указанные вложения и плотность X1 в X0 доказываются по схеме доказательства свойства 4) для полугрупп класса C0 с заменой множества Y на X1 и X на X0 . Равенство X 0 = X следует из

20

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

теоремы Хана—Банаха, подобно тому же доказательству: если X 0 6= X, то существуют f0 6∈ X 0 и F ∈ X ∗ , такие, что F (X0 ) = 0, но F (f0 ) 6= 0. Однако Z∞ 0 = λ e−λt F (U (t)f0 ) dt −−−→ F (f0 ); λ→∞

0

это противоречит тому, что F (f0 ) 6= 0. 4) Из плотности Dom U 0 (0) в пространстве X и равенств (1.2.17) и (1.2.18) следует, что преобразование Лапласа полугруппы класса A является резольвентой ее (плотно определенного) генератора U 0 (0): Z∞ RU 0 (0) (λ) = e−λt U (t) dt, Re λ > ω. (1.2.19) 0

5) Из равенства (1.2.19) и доказанных свойств полугрупп классов C1 и A следует, что, подобно случаю полугрупп класса C0 , инфинитезимальный генератор может быть (эквивалентно) определен равенством (1.2.6), однако мы не можем утверждать эквивалентность определения инфинитезимального генератора определению, соответствующему определению 1.2.5. 6) Сформулируем результат о связи задачи Коши (1.1.1) с полугруппами класса A, самого широкого среди изученных до сих пор классов полугрупп. Теорема 1.2.2 (см. [51]). Пусть {U (t), t > 0} — полугруппа класса A. Тогда ´n ³ ´n ³ ¡ 0 ¢n dn 0 (0) 0 (0) U f, f ∈ Dom U , n > 1. U (t)f = U (0) U (t)f = U (t) dtn ³ ´2 Если f ∈ Dom U 0 (0) , то lim U (t)f = f . t→0

В завершение этого пункта дадим определение еще одного класса полугрупп, которые не просто теряют сильную непрерывность в нуле, но имеют там особенности степенного роста. Определение 1.2.8. Пусть α > 0. Сильно непрерывная по t при t > 0 полугруппа операторов {U (t), t > 0} в банаховом пространстве X, удовлетворяющая условиям S (U1α ) множество X0 = U (t)(X) плотно в X, t>0

(U2α ) полугруппа невырождена, (U3α ) функция ktα U (t)kL(X) ограничена при t → +0, называется полугруппой роста α. Сравнивая свойства полугрупп роста α с рассмотренными выше, отметим следующее. 1) Свойства невырожденности полугрупп роста α и плотности множества X0 , которые имели место для всех ранее рассмотренных классов полугрупп вследствие условий «непрерывности» в нуле, здесь внесены в определение 1.2.8. 2) В силу степенной особенности в нуле преобразование Лапласа для полугрупп роста α в общем случае не определено. 3) Полугруппы классов C1 , A и роста α, в целом, не упорядочены. Однако, поскольку для полугрупп классов (1, C1 ) и (1, A) функция kU (t)k, t > 0, не может иметь неинтегрируемые особенности в точке t = 0, цепочка вложений (1.2.15) может быть продолжена следующим образом: {полугруппы класса (1, C1 )} ⊂ {полугруппы класса (1, A)} ⊂ { полугруппы роста α}. Изучая свойства полугрупп класса C0 , мы привели эквивалентные определения этих полугрупп и их генераторов. Как следует из свойств полугрупп классов C1 , A и роста α, для них подобные определения уже не являются эквивалентными. При построении регуляризованных полугрупповых семейств, которым посвящены следующие разделы этой главы, в качестве определения генераторов новых «полугрупп» берутся аналоги рассмотренных здесь различных определений генераторов. В общем случае они уже не будут эквивалентными. Далее, при изучении разных типов корректности задач Коши и их связи с поведением резольвенты оператора задачи, в каждом конкретном случае мы будем выбирать определение, наиболее подходящее для этой цели.

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

21

1.2.2. Задача Коши с генератором интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы. Цель этого пункта — исследовать задачу Коши (1.1.1) с оператором A, удовлетворяющим условию (I): Λω = {λ ∈ C : Re λ > ω > 0} ⊆ ρ(A), ° k µ ¶° ° d R(λ) ° Ck! ° ° , λ ∈ Λω , k ∈ N0 , (1.2.20) 6 ° dλk λn °L(X) (Re λ − ω)k+1 указать тип получаемой корректности, «полугрупповое» семейство, соответствующее такой корректности и способ регуляризации этой задачи. Оценки (1.2.20) являются обобщением условий МФФХИ: при n = 0 они совпадают с оценками (1.1.2). Вследствие этого, «полугруппа», которую порождает оператор A, должна стать некоторым обобщением полугруппы класса C0 . Таким обобщением служат семейства, введенные Арендтом и названные им интегрированными полугруппами [36]. Определение 1.2.9. Пусть n ∈ N. Семейство линейных ограниченных операторов {V (t), t > 0}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих условиям Zs ¡ ¢ 1 (V1) (s − r)n−1 V (t + r) − (t + s − r)n−1 V (r) dr = V (t)V (s), s, t > 0; V (0) = 0, (n − 1)! 0

(V2) операторная функция V (·) сильно непрерывна по t при t > 0, (V3) существуют C > 0, ω ∈ R такие, что kV (t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0,

называется экспоненциально ограниченной n раз интегрированной полугруппой. Полугруппа называется невырожденной, если из того, что V (t)f = 0 при всех t > 0 следует, что f = 0. Заметим, что для невырожденной полугруппы требование V (0) = 0 в условии (V1) можно опустить. Нетрудно видеть, что характеристическое свойство (V1) введенного семейства является n раз проинтегрированным полугрупповым свойством (U1), что прекрасно иллюстрирует название «интегрированная полугруппа»: если существует полугруппа {U (t), t > 0} класса C0 , то V — это n-кратный интеграл от U : Zt Zs V (t) = . . . U (ξ) dξ . . . dr, t > 0. 0

0

Поэтому, хотя формально в определение n раз интегрированной полугруппы нельзя подставить n = 0, полугруппы класса C0 часто, из соображений общности, называют нуль раз интегрированными полугруппами. В качестве основы для определения генератора введенного семейства, в силу его экспоненциальной ограниченности, удобно использовать определение, связанное с преобразованием Лапласа. Для того чтобы ввести такое определение, сформулируем следующую теорему, обобщающую теорему 1.2.1. Теорема 1.2.3 (см. [36]). Пусть V (t), t > 0, сильно непрерывная операторнозначная функция, удовлетворяющая условию kV (t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0,

при некоторых C > 0, ω ∈ R. Пусть при некотором n ∈ N Z∞ r(λ) := λn e−λt V (t) dt, Re λ > ω. 0

Тогда r(λ), Re λ > ω, удовлетворяет резольвентному тождеству (µ − λ)r(λ)r(µ) = r(λ) − r(µ),

Re λ, Re µ > ω,

если и только если V (t), t > 0, удовлетворяет соотношению (V1).

(1.2.21)

22

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

На основе этого свойства интегрированной полугруппы дадим следующее определение ее генератора. Определение 1.2.10. Пусть {V (t), t > 0} — невырожденная n раз интегрированная экспоненциально ограниченная полугруппа, и пусть r(λ), Re λ > ω, — оператор, определенный равенством (1.2.21). Оператор A:=λI − r(λ)−1 называется генератором полугруппы {V (t), t > 0}. Замечание 1.2.2. Данное определение корректно. Действительно, из экспоненциальной ограниченности операторов V (t), t > 0, следует существование преобразования Лапласа (1.2.21). Поскольку полугруппа {V (t), t > 0} невырождена, оператор r(λ), определяемый равенством (1.2.21), обратим. Согласно теореме 1.2.3 для функции r(λ), Re λ > ω, справедливо резольвентное тождество. Из резольвентного тождества вытекает равенство λI − r(λ)−1 = µI − r(µ)−1 ,

Re λ, Re µ > ω.

r(λ)−1

Отсюда получаем, что оператор λI − не зависит от λ; следовательно, существует един−1 ственный оператор A = λI − r(λ) и r(λ), Re λ > ω, является резольвентой этого оператора: r(λ) = R(λ). Замечание 1.2.3. Определенный таким образом генератор, очевидно, замкнут. В отличие от полугрупп класса C0 , введенный генератор в общем случае не совпадает с инфинитезимальным генератором (см. определение 1.2.3). На основе утверждений теоремы Арендта—Уиддера и теоремы 1.2.3 получаем следующий критерий. Теорема 1.2.4. Пусть n ∈ N0 , ω > 0. Линейный оператор A является генератором невырожденной n + 1 раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы {V (t), t > 0}, удовлетворяющей условию lim sup h−1 kV (t + h) − V (t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0,

(1.2.22)

h→0

если и только если резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.2.20). Доказательство. Если A — генератор невырожденной n+1 раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы {V (t), t > 0}, то согласно теореме 1.2.3 оператор Z∞ R(λ) := λn+1 e−λt V (t) dt, Re λ > ω, 0

является резольвентой оператора A. В силу теоремы 1.1.2, для оператора Z∞ R(λ) = λe−λt V (t) dt, λ > ω, λn

(1.2.23)

0

выполнены оценки (1.2.20): ° k µ ¶° ° d R(λ) ° ° ° ° dλk λn °

L(X)

6

Ck! , (λ − ω)k+1

λ > ω,

k ∈ N0 ,

R(λ) имеет аналитическое продолжение в полуплоскость Re λ > ω, λn задаваемое формулой (1.2.23); следовательно, для нее справедливы оценки (1.2.20). Обратно, пусть резольвента линейного оператора A удовлетворяет условию (1.2.20). Тогда по теореме Арендта—Уиддера найдется семейство линейных ограниченных операторов {V (t), t > 0}, удовлетворяющих условию (1.2.22), для которых справедливо равенство (1.2.23). Отсюда следует экспоненциальная ограниченность полученного семейства. Из условия (1.2.22) получаем сильную непрерывность этого семейства: при достаточно малых h справедлива оценка причем операторная функция

kV (t + h)f − V (t)f k 6 kV (t + h) − V (t)kL(X) kf k 6 Ceωt hkf k,

t > 0.

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

23

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

Тогда в силу теоремы 1.2.3 это семейство удовлетворяет условию (V1) определения n + 1 раз интегрированной полугруппы. Невырожденность полугруппы следует из того, что ker R(λ) = {0} при λ ∈ ρ(A), и из теоремы единственности для преобразования Лапласа. Заметим, что при n = 0 из доказанной теоремы мы получаем эквивалентность существования один раз интегрированной полугруппы и условий МФФХИ. На первый взгляд этот результат слабее, чем в теореме МФФХИ, но дело в том, что генератор интегрированной полугруппы, в отличие от полугруппы класса C0 , может быть неплотно определенным оператором. Далее мы исследуем свойства n раз интегрированных полугрупп и докажем, что при Dom A = X справедлив более сильный результат, который при n = 0 гарантирует эквивалентность утверждений (ii) и (iii) теоремы МФФХИ. Теорема 1.2.5. Пусть A — генератор невырожденной n раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы {V (t), t > 0}, n ∈ N0 . Тогда 1) если f ∈ Dom A, t > 0, то V (t)f ∈ Dom A,

AV (t)f = V (t)Af,

Zt V (s)Af ds = V (t)f − 0

tn f; n!

(1.2.24)

2) если f ∈ Dom A, t > 0, то Zt V (s)f ds ∈ Dom A, 0

Zt A 0

3) если f ∈

Dom Ap ,

tn f; n!

(1.2.25)

tn−p+k Ak f ; (n − p + k)!

(1.2.26)

V (s)f ds = V (t)f −

p = 1, 2, . . . , n, t > 0, то V

(p)

p

(t)f = V (t)A f +

p−1 X k=0

4) если f ∈ Dom An+1 , t > 0, то d (n) V (t)f = AV (n) (t)f = V (n) Af. dt

(1.2.27)

Доказательство. Возьмем µ ∈ ρ(A). Для любых Re λ > ω, f ∈ X в силу равенства (1.2.21) получаем Z∞ Z∞ −λt −n e V (t)R(µ)f dt = λ λn e−λt V (t)R(µ)f dt = λ−n R(λ)R(µ)f, 0

0

где R(λ) при Re λ > ω согласно определению 1.2.10 является резольвентой оператора A. Тогда R(λ)R(µ)f = R(µ)R(λ)f для любого f ∈ X. Отсюда получаем Z∞

Z∞ e

0

−λt

e−λt R(µ)V (t)f dt.

V (t)R(µ)f dt = 0

В силу теоремы единственности для преобразования Лапласа R(µ)V (t)f = V (t)R(µ)f , f ∈ X, откуда следует AV (t)f = V (t)Af , f ∈ Dom A.

24

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

КОШИ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

Пусть теперь f ∈ Dom A. Тогда для Re λ > ω получаем Z∞ n+1

e−λt

λ

0

tn f dt = f = (λI − A)R(λ)f = λR(λ)f − R(λ)Af = n! Z∞ =λ

n+1

Z∞ e

−λt

n

e−λt V (t)Af dt =

V (t)f dt − λ

0

0

Z∞ =λ

n+1

Z∞ e

−λt

n+1

V (t)f dt − λ

0

Zt e

−λt

0

V (s)Af ds dt, 0

откуда по теореме единственности преобразования Лапласа получаем (1.2.24). В силу замкнутости оператора A из (1.2.24) следует (1.2.25). Из уравнения (1.2.24) для любого f ∈ Dom A вытекает существование производной абстрактной функции V (·)f : tn−1 V 0 (t)f = V (t)Af + f, f ∈ Dom A, t > 0, (1.2.28) (n − 1)! которая в силу коммутируемости операторов полугруппы с генератором на его области определения также может быть записана в виде V 0 (t)f = AV (t)f +

tn−1 f, (n − 1)!

f ∈ Dom A,

t > 0.

Из уравнения (1.2.28) получаем существование второй производной функции V (·)f на множестве Dom A2 : tn−2 f= (n − 2)! tn−2 tn−1 Af + f, = V (t)A2 f + (n − 1)! (n − 2)!

V 00 (t)f = V 0 (t)Af +

f ∈ Dom A2 ,

t > 0,

которую в силу замкнутости оператора A снова можно записать в виде V 00 (t)f = AV 0 (t)f +

tn−2 f, (n − 2)!

f ∈ Dom A2 ,

t > 0.

Действуя описанным образом, определим производную p-го порядка (p = 1, 2, . . . , n) функции V (·)f на множестве Dom Ap и получим ее представление в виде V (p) (t)f = V (p−1) (t)Af + = V (t)Ap f + = V (t)Ap f +

tn−p f= (n − p)!

tn−1 tn−2 tn−p+1 tn−p Ap−1 f + Ap−2 f + . . . + Af + f= (n − 1)! (n − 2)! (n − p + 1)! (n − p)! p−1 X k=0

= AV (p−1) (t)f +

tn−p+k Ak f = (n − p + k)! tn−p f, (n − p)!

f ∈ Dom Ap ,

t > 0,

откуда при p = n получаем V (n) (t)f = V (n−1) (t)Af + f = AV (n−1) (t)f + f,

f ∈ Dom An ,

t > 0.

Дифференцируя это равенство еще раз на множестве Dom An+1 , в силу замкнутости оператора A получаем уравнение (1.2.27).

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

25

Теорема 1.2.6. Пусть A — линейный плотно определенный в пространстве X оператор. Тогда оператор A удовлетворяет условию (1.2.20), если и только если A порождает невырожденную n раз интегрированную полугруппу {V (t), t > 0} такую, что kV (t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0.

Доказательство. Условие (1.2.20), как уже было доказано в теореме 1.2.4, равносильно тому, что оператор A порождает невырожденную n + 1 раз интегрированную полугруппу со свойством (1.2.22). Таким образом, для доказательства настоящей теоремы достаточно показать, что в случае плотности Dom A в пространстве X из существования n + 1 раз интегрированной полугруппы следует существование n раз интегрированной. Если A порождает n + 1 раз интегрированную полугруппу {Vn+1 (t), t > 0} со свойством (1.2.22), то множество \© ª X1 := f ∈ X : Vn+1 f ∈ C 1 ([0; T ], X) T >0

замкнуто в X. В самом деле, для всякого f ∈ X1 существует предел Vn+1 (t + h)f − Vn+1 (t)f lim , h→0 h который является непрерывной ограниченной функцией переменного t при t > 0. Кроме того, из условия (1.2.22) следует равномерная по h > 0 ограниченность операторов kVn+1 (t + h) − Vn+1 (t)kL(X) 6 Ceωt , t > 0. h Следовательно, по теореме Банаха—Штейнгауза, для всякого f ∈ X1 также существует предел Vn+1 (t + h)f − Vn+1 (t)f lim , h→0 h а значит, множество X1 замкнуто. Согласно свойству (1.2.26) при p = 1 выполнено равенство 0 Vn+1 (t)f = Vn+1 (t)Af +

tn−1 f, (n − 1)!

t > 0,

f ∈ Dom A;

следовательно, Dom A ⊆ X1 . Отсюда получаем Dom A = X ⊆ X1 ; значит, X1 = X. Тогда соот0 (t)f , f ∈ X, определяет n раз интегрированную полугруппу {V (t), t > 0} ношение V (t)f := Vn+1 с генератором A. На основе доказанных свойств n раз интегрированных полугрупп исследуем связь этих семейств с задачей Коши. Заметим, что равенство (1.2.26) при p = 1 с учетом коммутируемости полугруппы и ее генератора на Dom A принимает вид V 0 (t)f = AV (t)f +

tn−1 f, (n − 1)!

t > 0,

f ∈ Dom A.

Рассмотрим функцию v(t) := V (t)f , t > 0, f ∈ Dom A. Приведенное равенство говорит о том, что таким образом введенная функция является решением задачи Коши для неоднородного уравнения: tn−1 f, t > 0, f ∈ Dom A, v(0) = 0. (1.2.29) (n − 1)! Таким образом, мы показали, что операторы n раз интегрированной полугруппы являются разрешающими операторами задачи Коши (1.2.29), где сама задача (1.2.29) — это регуляризованная задача (1.1.1). Способ регуляризации исходной некорректной задачи в данном случае, очевидно, состоит в n-кратном интегрировании. Свойство (1.2.27) теоремы 1.2.5 показывает связь между введенным семейством операторов и исходной задачей Коши (1.1.1). Дадим соответствующее рассматриваемому случаю определение корректности задачи Коши (1.1.1), более слабой по сравнению с равномерной корректностью, введенной в предыдущем пункте. v 0 (t) = Av(t) +

26

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Определение 1.2.11. Задача Коши (1.1.1) называется равномерно (n, ω)-корректной, если для любого f ∈ Dom An+1 и для любого T > 0 а) существует единственное решение задачи u ∈ C ([0; T ], Dom A) ∩ C 1 ([0; T ], X), б) найдутся C > 0, ω ∈ R, такие, что ku(t)k 6 Ceωt kf kn , t > 0, где kf kn = kf k + kAf k + . . . + kAn f k. Связь равномерной (n, ω)-корректности задачи Коши с интегрированными полугруппами иллюстрирует следующая теорема. Теорема 1.2.7. Пусть A — линейный оператор, плотно определенный в пространстве X и имеющий непустое резольвентное множество. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) задача Коши (1.1.1) равномерно (n, ω)-корректна; (ii) оператор A является генератором невырожденной n раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы операторов {V (t), t > 0}. Доказательство. (i)=⇒(ii). Пусть f ∈ Dom An+1 , тогда существует единственное решение u задачи (1.1.1), такое, что ku(t)k 6 Ceωt kf kn , t > 0. При этом для любого µ ∈ ρ(A) функция w(t) = R(µ)u(t), t > 0, является решением задачи Коши с начальным значением R(µ)f . Для него выполнена оценка kw(t)k 6 C1 eωt kf kn−1 , t > 0. Положим Zt v1 (t) =

u(s) ds; 0

тогда Zt v1 (t) = R(µ)(µI − A)

Zt u(s) ds = µR(µ)

0

Zt u(s) ds − R(µ)

0

Zt =µ

Au(s) ds = 0

Zt w(s) ds − R(µ) (u(t) − u(0)) = µ

0 ωt C2 e kf kn−1 .

w(s) ds + R(µ)f − w(t), 0

и kv1 (t)k 6 По индукции получим, что n раз проинтегрированное решение задачи Коши (1.1.1) Zt vn (t) = 0

1 (t − s)n−1 u(s) ds, (n − 1)!

t > 0,

является экспоненциально ограниченной функцией: kvn (t)k 6 Cn eωt kf k. Для t > 0 определим семейство линейных ограниченных операторов V (t) : Dom An+1 → X, положив V (t)f := vn (t), f ∈ Dom An+1 . Покажем, что если Dom A = X и ρ(A) 6= ∅, то Dom An+1 = X. Благодаря непустоте резольвентного множества оператора A любой элемент f ∈ Dom A можем представить в виде f = R(µ)g, g ∈ X, µ ∈ ρ(A). В силу плотности Dom A в X найдется последовательность fn ∈ Dom A такая, что fn → g. Тогда hn = R(µ)fn ∈ Dom A2 , hn → R(µ)g = f, откуда следует, что Dom A2 = Dom A = X. Повторяя описанную процедуру n − 1 раз, получим требуемое равенство Dom An+1 = Dom A = X. Теперь операторы V (t), t > 0, можно по непрерывности продолжить на все X. Операторная функция V (·) экспоненциально ограничена при t > 0, непрерывна по t при каждом f ∈ Dom An+1 и, следовательно, сильно непрерывна. Нетрудно показать, что операторы Z∞ r(µ) = µn e−µt V (t) dt, Re µ > ω, 0

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

27

совпадают с резольвентой R(µ) оператора A. Таким образом, {V (t), t > 0} является n раз интегрированной полугруппой с генератором A. (ii)=⇒(i). Для любого f ∈ Dom An+1 согласно (1.2.26) мы имеем V (n) (t)f = V (t)An f +

n−1 X tk k=0

k!

Ak f,

t > 0.

Положим

u(t) := V (n) (t)f, f ∈ Dom An+1 , t > 0. Тогда u(0) = f и ku(t)k 6 Ceωt kf kn . Согласно (1.2.27) u(t) ∈ Dom A и u0 (t) = Au(t),

t > 0.

Докажем, что построенное решение единственно. Пусть v — еще одно решение задачи (1.1.1) с начальным условием v(0) = f ∈ Dom An+1 . Тогда Rn (µ)v, µ ∈ ρ(A), является решением задачи (1.1.1) с начальным условием Rn (µ)f ∈ Dom An+1 . При этом Rn (µ)v(t) ∈ Dom An+1 для любого t > 0. Отсюда d (n) V (t − s)Rn (µ)v(s) = −AV (n) (t − s)Rn (µ)v(s) + V (n) (t − s)ARn (µ)v(s) = 0, 0 6 s 6 t. ds Следовательно, функция V (n) (t − s)Rn (µ)v(s) переменного s является постоянной на промежутке [0; t]; в частности, при s = t и s = 0 она принимает равные значения: V (n) (0)Rn (µ)v(t) = V (n) (t)Rn (µ)v(0). Из коммутируемости операторов полугруппы с резольвентой генератора получаем Rn (µ)V (n) (0)v(t) = Rn (µ)V (n) (t)f,

f ∈ Dom An+1 ,

t > 0,

откуда v = V (n) f , т. е. любое решение задачи (1.1.1) имеет вид V (n) f . Замечание 1.2.4. Как следует из доказательства теоремы 1.2.7 (см. также доказательство теоремы 1.2.13), если Dom A 6= X, то операторы V (t) (V (t)f :=vn (t), t > 0) определены лишь на Dom A, но операторы Zt Vn+1 (t):= V (s) ds, t > 0, 0

могут быть продолжены на все пространство X и образуют n + 1 раз интегрированную полугруппу. Поэтому в общем случае неплотно определенного оператора A из (n, ω)-корректности задачи следует существование лишь n + 1 раз интегрированной полугруппы, порожденной оператором A. Подводя итог результатам, полученным в теоремах 1.2.6 и 1.2.7, сформулируем их в форме следующей теоремы — аналога теоремы МФФХИ. Теорема 1.2.8. Пусть A — линейный плотно определенный в X оператор, имеющий непустое резольвентное множество. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) задача Коши (1.1.1) равномерно (n, ω)-корректна; (ii) оператор A является генератором n раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы операторов {V (t), t > 0}; (iii) резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.2.20). При этих эквивалентных условиях решение задачи (1.1.1) имеет вид u(t) = V (n) (t)f,

f ∈ Dom An+1 ,

t > 0.

В [42, 65] показано, что справедливость свойств 1) и 2) теоремы 1.2.5, где 2) выполнено на X, равносильна выполнению соотношения (V1). Таким образом, уравнения (1.2.24) и (1.2.25), справедливые на X, могут служить (эквивалентным) определением n раз интегрированной полугруппы, порожденной оператором A как в рассматриваемом здесь случае экспоненциально ограниченных полугрупп, так и в случае локальных интегрированных полугрупп, которые исследуются далее в пункте 1.2.3. Это определение согласуется с определением 1.2.5 полугруппы класса C0 и обобщает его на случай n > 0.

28

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Определение 1.2.12. Пусть A — линейный замкнутый оператор в пространстве X, n ∈ N. Сильно непрерывное экспоненциально ограниченное по t при t > 0 семейство линейных ограниченных операторов {V (t), t > 0}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих уравнениям Zt V (s)Af ds = V (t)f − 0

tn f, n!

Zt A

V (s)f ds = V (t)f − 0

tn f, n!

f ∈ Dom A,

f ∈ X,

t > 0,

t > 0,

называется n раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппой операторов, порожденной оператором A; при этом оператор A называется генератором семейства {V (t), t > 0}. Полугруппа называется невырожденной, если из того, что V (t)f = 0 при всех t > 0 следует, что f = 0. 1.2.3. Задача Коши с генератором локальной интегрированной полугруппы. Цель настоящего пункта — установить корректность задачи (1.1.1) с оператором A, удовлетворяющим условию (II): Λln n, ν, ω = {λ ∈ C : Re λ > nν ln |λ| + ω} ⊆ ρ(A),

n ∈ N, ν > 0, ω ∈ R,

kR(λ)kL(X) 6 C|λ|n , λ ∈ Λln (1.2.30) n, ν, ω , указать «полугрупповое» семейство, позволяющее получить разрешающие операторы такой задачи, и указать способ регуляризации задачи Коши (1.1.1). Мы покажем, что сужение множества регулярных значений оператора A (по сравнению с полугруппами класса C0 и экспоненциально ограниченными интегрированными полугруппами) влечет за собой локальность (по t) получаемого семейства операторов. При этом степенной рост резольвенты, как и в случае экспоненциально ограниченных интегрированных полугрупп, снова приведет к интегрированному семейству, теперь уже локальному. По аналогии с определением 1.2.12 экспоненциально ограниченной n раз интегрированной полугруппы, определим локальную интегрированную полугруппу одновременно с ее генератором через уравнения. Определение 1.2.13 (см. [42, 65]). Пусть A — линейный замкнутый оператор в пространстве X, n ∈ N. Сильно непрерывное по t при t ∈ [0; τ ) семейство линейных ограниченных операторов {V (t), t ∈ [0; τ )}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих уравнениям Zt A

V (s)f ds = V (t)f − 0

Zt V (s)Af ds = V (t)f − 0

tn f, n!

tn f, n!

f ∈ X,

f ∈ Dom A,

t ∈ [0; τ ),

t ∈ [0; τ ),

(1.2.31)

(1.2.32)

называется локальной n раз интегрированной полугруппой операторов, порожденной оператором A; при этом оператор A называется генератором семейства {V (t), t ∈ [0; τ )}. Полугруппа называется невырожденной, если из того, что V (t)f = 0 при всех t ∈ (0; τ ), следует, что f = 0. Для построения полугруппового семейства, порожденного оператором A, резольвента которого удовлетворяет условию (1.2.30), нейтрализуем рост резольвенты оператора A, умножая ее на λ−(n+2) , и построим обратное преобразование Лапласа произведения R(λ)λ−(n+2) , λ ∈ Λln n, ν, ω . Покажем, что при этом получается локальная n + 2 раза интегрированная полугруппа. Теорема 1.2.9. Пусть резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.2.30). Тогда опе2 ратор A порождает локальную n + 2 раза интегрированную полугруппу на [0; τ ) при τ = . nν

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

Доказательство. Рассмотрим обратное преобразование Лапласа операторной функции λ ∈ Λln n, ν, ω : Z 1 V (t) := eλt n+2 R(λ) dλ, Γ = ∂Λln ω1 > ω. n, ν, ω1 , λ Γ Тогда в силу оценки (1.2.30) Z eRe λt kV (t)kL(X) 6 C |dλ|. |λ|2 Γ На кривой Γ = {λ ∈ C : Re λ = nν ln |λ| + ω1 } имеем

29

1 R(λ), λn+2

2ω1 2 eRe λt = eRe λ(t− nν )+ nν , λ ∈ Γ; 2 |λ| 2 следовательно, при каждом t < =: τ определен ограниченный оператор V (t). Покажем, что nν он удовлетворяет равенству (1.2.31) определения 1.2.13 локальной n + 2 раза интегрированной полугруппы. Для любого f ∈ X получаем Z t Z tZ eλs A V (s)f ds = (A ± λI)R(λ)f dλ ds = n+2 0 0 Γ λ Z tZ Z tZ eλs eλs = λR(λ)f dλ ds − f dλ ds = n+2 n+2 0 Γ λ 0 Γ λ Z Z t Z t n+1 s 1 λs f ds = = R(λ)f λe ds dλ − n+2 λ (n + 1)! 0 0 Γ Z tn+2 1 f. = V (t)f − R(λ)f dλ − n+2 (n + 2)! Γ λ На контуре Γ имеем ° ° ° 1 ° C ° ° ; 6 ° λn+2 R(λ)° |λ|2 L(X)

следовательно, интеграл по Γ в правой части равен нулю для любого f ∈ X, и мы получаем уравнение (1.2.31). Уравнение (1.2.32) получается аналогичным образом из равенства R(λ)(λI − A)f = f,

f ∈ Dom A.

Покажем, что здесь, в отличие от экспоненциально ограниченных полугрупп, обратный результат имеет место с точностью до параметра n. Теорема 1.2.10. Пусть линейный замкнутый оператор A порождает локальную n раз интегрированную полугруппу {V (t), t ∈ [0; τ )}, n ∈ N. Тогда для любого T ∈ (0; τ ) найдется ω ∈ R такое, что o n n ln |λ| + ω ⊆ ρ(A), Λln = λ ∈ C : Re λ > n, 1/T, ω T и резольвента оператора A удовлетворяет в этой области условию (1.2.30). Доказательство. Возьмем λ ∈ C и рассмотрим локальное преобразование Лапласа полугруппы: ZT e−λs V (s) ds,

T ∈ (0; τ ).

0

Введем оператор ZT n

e−λs V (s) ds,

RT (λ) := λ

T ∈ (0; τ ),

0

и покажем, что он является «почти» резольвентой оператора A, т. е. резольвента оператора A представима в виде R(λ) = RT (λ)(I − BT (λ)),

30

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

где kBT (λ)kL(X) 6 δ < 1. По определению полугруппы для любого f ∈ X ZT V (s)f ds ∈ Dom A,

T ∈ (0; τ );

0

следовательно, RT (λ)f ∈ Dom A и можно применить оператор λI − A к RT (λ)f :  T  Z ZT (λI − A)RT (λ)f = λn λ e−λs V (s)f ds − A e−λs V (s)f ds , T ∈ (0; τ ). 0

0

Используя уравнение (1.2.31) интегрированной полугруппы для первого слагаемого в правой части и интегрируя по частям второе, получаем  T  s  Z Z n s (λI − A)RT (λ)f = λn λ e−λs A V (ξ)f dξ + f  ds − n! 0 0  ZT ZT Zs − e−λt A V (s)f ds − λA e−λs V (ξ)f dξ ds = 0



0

ZT

= λn λ

e−λs 0

sn n!

0



ZT

V (s)f ds ,

f ds − e−λT A

f ∈ X,

T ∈ (0; τ ).

0

Интегрируя по частям первое слагаемое и применяя уравнение (1.2.31) ко второму, получаем   · ¸ ZT n n−1 n t s T (λI − A)RT (λ)f = λn −e−λT f + e−λs f ds − e−λT V (T )f − f = n! (n − 1)! n! 0   T Z Z∞ n−1 n−1 s s f ds − e−λt V (T )f ± f ds = = λn  e−λs e−λs (n − 1)! (n − 1)! 0 T   Z∞ n−1 s = f − λn e−λT V (T )f + e−λs f ds =: (n − 1)! T

=: f − BT (λ)f, Оценим оператор BT (λ):

f ∈ X,

T ∈ (0; τ ).





Z∞

kBT (λ)kL(X) 6 |λ|n e− Re λT kV (T )kL(X) +

e− Re λs

|s|n−1 (n − 1)!

ds ,

T ∈ (0; τ ).

T

Очевидно, найдется такое β ∈ R, что Re λ > β1 получаем 

sn−1

kBT (λ)kL(X) 6 CT |λ|n e− Re λT +

6

eβs

1 (n − 1)!

при s > 0. Тогда для любого β1 > β и для всех 

Z∞

eβs−Re λs ds 6 T



Z∞



1 eβs−β1 s ds = (n − 1)! T µ ¶ 1 1+ = CT0 en ln |λ|−(Re λ−β)T , β1 − β

6 CT |λ|n e(β−Re λ)T + = CT |λ|n e(β−Re λ)T Потребуем, чтобы

CT0 en ln |λ|−(Re λ−β)T 6 δ < 1,

T ∈ (0; τ ).

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

31

что равносильно выполнению неравенства n ln |λ| − (Re λ − β)T − ln(δ/CT0 ) 6 0. Отсюда получаем, что для любого λ, удовлетворяющего условию n ln |λ| − ln(δ/CT0 ) n ln |λ| + β =: + ω, T T 6 δ < 1; следовательно, оператор (I − BT (λ))−1 существует и

Re λ >

выполнена оценка kBT (λ)kL(X) ограничен. Поскольку (λI − A)RT (λ)f = (I − BT (λ))f,

f ∈ X,

и из уравнения (1.2.32) следует RT (λ)(λI − A)f = (λI − A)RT (λ)f = (I − BT (λ))f,

f ∈ Dom A,

то резольвента (λI − A)−1 = RT (λ)(I − BT (λ))−1 существует при n o n λ ∈ Λln ln |λ| + ω n, 1/T, ω = λ ∈ C : Re λ > T и удовлетворяет оценке ° T ° °Z ° ° ° 1 n° −λs kR(λ)kL(X) 6 |λ| ° e V (s) ds° 6 C 0 |λ|n . ° 1−δ ° ° 0

L(X)

Дифференцируя уравнение (1.2.31) на Dom A, получаем, что n раз интегрированная полугруппа дает решение задачи Коши для неоднородного уравнения v 0 (t) = Av(t) +

tn−1 f, (n − 1)!

f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ),

v(0) = 0,

откуда следует, что регуляризация исходной задачи снова происходит за счет ее n-кратного интегрирования. Покажем связь между локальной интегрированной полугруппой и корректностью исходной задачи Коши (1.1.1). Для этого дадим следующее определение корректности. Определение 1.2.14. Задача Коши (1.1.1) называется n-корректной, если для любого элемента f ∈ Dom An+1 а) существует единственное решение задачи u ∈ C ([0; τ ), Dom A) ∩ C 1 ([0; τ ), X), б) для любого h ∈ [0; τ ) найдется такое Ch > 0, что sup t∈[0;h]⊂[0;τ )

ku(t)k 6 Ch kf kn ,

(1.2.33)

где kf kn = kf k + kAf k + . . . + kAn f k. Важную характеристику введенной корректности (а при n = 0 равномерной корректности) дает следующая теорема. Теорема 1.2.11. Если для любого f ∈ Dom An+1 существует единственное решение задачи Коши (1.1.1) и ρ(A) 6= ∅, то это решение удовлетворяет условию устойчивости (1.2.33). Доказательство. Доказательство основано на теореме Банаха о замкнутом графике, рассматриваемой в пространствах [Dom An+1 ] = {f ∈ Dom An+1 , kf kn+1 } и [Dom A] = {f ∈ Dom A, kf k1 }. Нетрудно проверить, что оба введенные пространства полны. Рассмотрим оператор U : [Dom An+1 ] → C ([0; h], [Dom A]) , который всюду определен в [Dom An+1 ]: U (t)f = u(t),

f ∈ [Dom An+1 ],

t ∈ [0; h].

32

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Покажем, что он замкнут. Пусть fj → f в [Dom An+1 ] и uj → v в C ([0; h], [Dom A]). Тогда для любого t ∈ [0; h] получаем сходимость в пространстве X: Zt u0j (t)

= Auj (t) → Av(t),

uj (t) − fj → v(t) − f =

Av(t)dt; 0

следовательно,

v 0 (t)

= Av(t), v(0) = f . По теореме Банаха оператор U непрерывен, т. е. sup ku(t)k1 6 Ch kf kn+1 ;

t∈[0;h]

отсюда в силу существования регулярной точки оператора A получается оценка sup ku(t)k 6 Ch kf kn ,

t∈[0;h]

т. е. решение устойчиво относительно изменения начальных условий по соответствующей n-й норме. Теорема 1.2.12. Если оператор A является генератором локальной n раз интегрированной полугруппы {V (t), t ∈ [0; τ )}, то задача Коши (1.1.1) является n-корректной. Доказательство. Подобно тому, как в предыдущем пункте из свойств (1.2.24), (1.2.25) экспоненциально ограниченной n раз интегрированной полугруппы были доказаны свойства (1.2.26), (1.2.27), в настоящем случае из определения локальной n раз интегрированной полугруппы также вытекает справедливость равенств V (p) (t)f = V (t)Ap f +

p−1 X k=0

Введем функцию

tn−p+k Ak f, (n − p + k)!

f ∈ Dom Ap , p = 1, 2, . . . , n, t ∈ [0; τ ),

d (n) V (t)f = AV (n) (t)f = V (n) Af, dt

f ∈ Dom An+1 , t ∈ [0; τ ).

(1.2.34) (1.2.35)

u(t) := V n (t)f, f ∈ Dom An+1 , t ∈ [0; τ ). Из уравнений (1.2.35), (1.2.34) и (1.2.32) следует, что u является решением задачи Коши (1.1.1) с начальным условием u(0) = V n (0)f = V (0)An f + f = f. Доказательство единственности построенного решения в точности повторяет доказательство единственности, проведенное в теореме 1.2.7, с учетом того, что в данном случае в силу теоремы 1.2.10 резольвентное множество оператора A непусто. В заключение осталось заметить, что построенное единственное решение задачи Коши (1.1.1), в силу предыдущей теоремы, удовлетворяет условию устойчивости (1.2.33). При условии ρ(A) 6= ∅ справедлив обратный результат. Теорема 1.2.13. Пусть ρ(A) 6= ∅. Если задача Коши (1.1.1) является n-корректной, то в случае Dom A = X оператор A порождает локальную n раз интегрированную полугруппу в пространстве X, а в общем случае — локальную n + 1 раз интегрированную полугруппу. Доказательство. По условию для любого f ∈ Dom An+1 существует единственное решение задачи Коши (1.1.1), т. е. определены разрешающие операторы задачи U (t) : Dom An+1 → X,

t ∈ [0; τ ),

удовлетворяющие уравнению U 0 (t)f = AU (t)f,

f ∈ Dom An+1 ,

t ∈ [0; τ ),

(1.2.36)

и условию устойчивости (1.2.33) sup t∈[0;h]⊂[0;τ )

kU (t)f k 6 Ch kf kn ,

f ∈ Dom An+1 .

Заметим сначала, что разрешающие операторы коммутируют с резольвентой оператора A на множестве Dom An+1 . В самом деле, для любых f ∈ Dom An+1 , λ ∈ ρ(A) функция u = U R(λ)f

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

33

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

является решением задачи Коши (1.1.1) с начальным условием R(λ)f . С другой стороны, функция v = R(λ)U f также является решением задачи Коши (1.1.1) с начальным условием R(λ)f : d d v 0 (t) = R(λ)U (t)f = R(λ) U (t)f = R(λ)AU (t)f = AR(λ)U (t)f = Av(t), t ∈ [0; τ ). dt dt Из единственности решения задачи следует равенство решений и коммутируемость U (t)R(λ)f = R(λ)U (t)f,

f ∈ Dom An+1 ,

t ∈ [0; τ ).

Применим к обеим частям уравнения (1.2.36) резольвенту: R(λ)U 0 (t)f = (λI − A)−1 (A − λI)U (t)f + λR(λ)U (t)f,

f ∈ Dom An+1 ,

t ∈ [0; τ );

тогда

R(λ)U 0 (t)f = λR(λ)U (t)f − U (t)f, f ∈ Dom An+1 , t ∈ [0; τ ). Из коммутируемости резольвенты с разрешающими операторами получаем представление U (t)f = λU (t)R(λ)f − U 0 (t)R(λ)f,

t ∈ [0; τ ).

Dom An+1 ,

Здесь правая часть имеет смысл при всех R(λ)f ∈ а следовательно, и при всех n f ∈ Dom A . Таким образом, мы можем продолжить операторы U (t) на Dom An . Обозначим это продолжение тем же символом. Из (1.2.36) можно получить представление операторов решения в другом виде: Zt U (t)f = A U (s)f ds − f, t ∈ [0; τ ), 0

которое в силу замкнутости оператора A также может быть продолжено на Dom An : Zt U (t)f = A

U (s)f ds − f,

f ∈ Dom An ,

t ∈ [0; τ ).

0

Введем операторы Zt V1 (t)f :=

Zt U (s)f ds = λ

0

U (s)R(λ)f ds − U (t)R(λ)f + R(λ)f,

(1.2.37)

0

Zt =A

f ∈ Dom An ,

V1 (s)f ds − tf,

t ∈ [0; τ ).

(1.2.38)

0

Очевидно, введенные операторы удовлетворяют уравнению V10 (t)f = AV1 (t)f − f,

f ∈ Dom An ,

t ∈ [0; τ ),

применяя к которому резольвенту оператора A и действуя подобно предыдущему случаю, получим равенство V1 (t)f = λV1 (t)R(λ)f − V10 (t)R(λ)f − R(λ)f, t ∈ [0; τ ), n−1 которое позволяет продолжить операторы V1 (t) на Dom A . Тогда и равенство (1.2.38) становится справедливым на Dom An−1 : Zt V1 (t)f = A

V1 (s)f ds − tf,

f ∈ Dom An−1 ,

t ∈ [0; τ ).

0

Из представления (1.2.37) получаем оценку kV1 (t)f k 6 C1 kR(λ)f kn 6 C10 kf kn−1 ,

f ∈ Dom An ,

t ∈ [0; τ ).

Последовательно интегрируя, получим операторы Zt Vn (t)f :=

Zt Vn−1 (s)f ds = A

0

Vn (s)f ds − 0

tn f, n!

f ∈ Dom A,

t ∈ [0; τ ),

34

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

и их представление в виде tn−1 R(λ)f, t ∈ [0; τ ), (n − 1)! позволяющее продолжить эти операторы на все пространство X. Таким образом, мы построили семейство операторов, удовлетворяющих уравнению Zt tn Vn (t)f = A Vn (s)f ds − f, f ∈ X, t ∈ [0; τ ), n! Vn (t)f = λVn (t)R(λ)f − Vn0 (t)R(λ)f −

0

и оценке

kVn (t)f k 6 Cn kR(λ)f k1 6 Cn0 kf k, f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ). (1.2.39) Если теперь Dom A = X, то оценку (1.2.39) можно продолжить по непрерывности на все пространство X. Следовательно, построенное семейство есть семейство ограниченных операторов. Если Dom A 6= X, то, интегрируя еще один раз, получим семейство операторов, удовлетворяющих уравнению Zt tn+1 Vn+1 (t)f = A Vn+1 (s)f ds − f, f ∈ X, t ∈ [0; τ ), (n + 1)! 0

и оценке

0 kVn+1 (t)f k 6 Cn+1 kR(λ)f k1 6 Cn+1 kf k, f ∈ X, t ∈ [0; τ ), показывающей ограниченность построенного семейства. Аналогичным образом получаются равенства Zt tn Vn (t)f = Vn (s)Af ds − f, f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ), n! 0

Zt Vn+1 (t)f =

Vn+1 (s)Af ds − 0

tn+1 f, (n + 1)!

f ∈ X,

t ∈ [0; τ ).

Свойство сильной непрерывности по t построенного семейства следует из непрерывности семейства разрешающих операторов задачи на Dom An+1 , ограниченности резольвентных операторов и интегрального оператора. Из уравнений (1.2.31) и (1.2.32), как и в случае экспоненциально ограниченной полугруппы, следует «полугрупповое» соотношение (V1). В свою очередь, из соотношения (V1) и свойства сильной непрерывности семейства {V (t), t ∈ [0; τ )} получаются уравнения (1.2.31) и (1.2.32) с оператором A — инфинитезимальным генератором полугруппы. В связи с этим дадим следующее определение локальной n раз интегрированной полугруппы — аналог определения 1.2.9. Определение 1.2.15 (см. [76]). Пусть n ∈ N. Семейство ограниченных линейных операторов {V (t), t ∈ [0; τ )}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих условиям Zs ¡ ¢ 1 (V1) (s − r)n−1 V (t + r) − (t + s − r)n−1 V (r) dr = V (t)V (s) s, t, t + s ∈ [0; τ ), (n − 1)! 0

V (0) = 0, (V2) операторная функция V (·) сильно непрерывна по t на промежутке [0; τ ), называется локальной n раз интегрированной полугруппой. Полугруппа называется невырожденной, если из того, что V (t)f = 0 при всех t ∈ (0; τ ), следует, что f = 0. Для невырожденной полугруппы, как и в случае экспоненциальной ограниченности, из условия (V1) следует, что V (0) = 0. Определим генератор введенного семейства. Поскольку семейство локальное, в общем случае не удается описать его поведение при всех t > 0. В частности, оно может быть определено при t > 0,

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

35

но не быть экспоненциально ограниченным. В таком случае не годится определение генератора, построенное через преобразование Лапласа. Поэтому в качестве основы для определения генератора мы возьмем определение инфинитезимального генератора полугруппы класса C0 . Определение 1.2.16. Пусть {V (t), t ∈ [0; τ )} — локальная n раз интегрированная полугруппа. Пусть G — оператор, определяемый равенством V (n) (t) − I f, t→0 t

Gf := lim с областью определения

    (n) [ V (t) − I Dom G = f ∈ Yn (δ) : lim f существует , t→0   t 0<δ6τ

где

Yn (δ) = {f ∈ X : V f ∈ C n ([0; δ), X)} . Оператор A, равный замыканию оператора G, называется инфинитезимальным генератором семейства {V (t), t ∈ [0; τ )}. Замечание 1.2.5. Введенное определение генератора корректно, поскольку в работе [76] показано, что оператор G допускает замыкание. Однако определение 1.2.15 локальной интегрированной полугруппы и определение 1.2.16 ее генератора в общем случае не эквивалентны определению 1.2.13. 1.2.4. Задача Коши с генератором конволюционной полугруппы. Здесь мы исследуем задачу Коши (1.1.1) с оператором A, удовлетворяющим условию (III): ΛM α, γ, ω = {λ ∈ C : Re λ > αM (γ|λ|) + ω} ⊆ ρ(A), kR(λ)kL(X) 6 CeβM (γ|λ|) , λ ∈ ΛM (1.2.40) α, γ, ω , где M (t), t > 0, — положительная возрастающая при t → ∞ функция, причем рост ее не выше tp , p < 1. Цель этого пункта — указать «полугрупповое» семейство, порождаемое оператором A, и указать способ регуляризации задачи (1.1.1) с таким оператором. Для построения полугруппового семейства нейтрализуем рост резольвенты оператора A, умноe и построим обратное преобразование жая резольвенту на некоторую подходящую функцию K, M e Лапласа произведения R(λ)K(λ), λ ∈ Λα, γ, ω . Покажем, что при этом получается локальная K-конволюционная полугруппа. K-конволюционную полугруппу, по аналогии с определениями 1.2.12 и 1.2.13 экспоненциально ограниченной и локальной интегрированной полугрупп, определим одновременно с генератором при помощи следующих уравнений. Определение 1.2.17 (см. [42, 43]). Пусть A — линейный замкнутый оператор в пространстве X. Пусть K — непрерывная на [0; τ ), τ 6 ∞, функция. Сильно непрерывное по t при t ∈ [0; τ ) семейство линейных ограниченных операторов {Q(t), t ∈ [0; τ )}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих уравнениям Zt A

Zt Q(s)f ds = Q(t)f −

0

f ∈ X,

t ∈ [0; τ ),

(1.2.41)

0

Zt

Zt Q(s)Af ds = Q(t)f −

0

K(s)f ds,

K(s)f ds,

f ∈ Dom A,

t ∈ [0; τ ),

(1.2.42)

0

называется K-конволюционной полугруппой операторов, порожденной оператором A; при этом оператор A называется генератором семейства {Q(t), t ∈ [0; τ )}. K-конволюционная полугруппа называется экспоненциально ограниченной, если τ = ∞ и kQ(t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0,

36

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

при некоторых C > 0, ω ∈ R. K-конволюционная полугруппа называется локальной, если τ < ∞. K-конволюционная полугруппа называется невырожденной, если из того, что Q(t)f = 0 при всех t ∈ (0; τ ), следует, что f = 0. Из уравнения (1.2.42) следует существование производной семейства {Q(t), t ∈ [0; τ )} на области определения генератора и ее представление в виде Q0 (t)f = AQ(t)f + K(t)f,

f ∈ Dom A,

t ∈ [0; τ ).

Это означает, что операторы введенного семейства являются разрешающими операторами неоднородной задачи Коши v 0 (t) = Av(t) + K(t)f, t ∈ [0; τ ), v(0) = 0, (1.2.43) v(t) = Q(t)f, f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ). Если u — решение задачи Коши (1.1.1) с начальным условием f ∈ Dom A, то свертка его с функцией K, v = K ∗ u, является решением задачи Коши (1.2.43): Zt Zt d d (K ∗ u)(t) = K(s)u(t − s) ds = K(t)u(0) + K(s)u0 (t − s) ds = dt dt 0

0

Zt = K(t)f +

K(s)Au(t − s) ds = K(t)f + A(K ∗ u)(t),

t ∈ [0; τ ).

0

(K ∗ u)(0) = 0, В связи с этим задачу Коши (1.2.43) иногда записывают в виде конволюционной задачи (K ∗ u)0 (t) = A(K ∗ u)(t) + K(t)f,

t ∈ [0; τ ),

(K ∗ u)(0) = 0.

Этот факт объясняет название введенного семейства: если {U (t), t > 0} — полугруппа класса C0 с генератором A, которая представляет собой семейство разрешающих операторов задачи (1.1.1), то свертка ее с функцией K(t), t > 0, как только что показано, образует K-конволюционную полугруппу. При tn−1 K(t) = , t > 0, (1.2.44) (n − 1)! K-конволюционная полугруппа совпадает с n раз интегрированной. Полугрупповое свойство K-конволюционной полугруппы имеет вид (см. [42]) Zt+s Zt Zs Q(t)Q(s) = K(t + s − r)Q(r) dr − K(t + s − r)Q(r) dr − K(t + s − r)Q(r) dr, t, s, t + s ∈ [0; τ ), s

0

0

и несложно показать, что для функции K вида (1.2.44) оно совпадает с характеристическим свойством n раз интегрированной полугруппы (V1). В следующих двух теоремах, доказательство которых проводится по той же схеме, что и доказательство теорем 1.2.9, 1.2.12, и обобщает их, установим связь между поведением резольвенты оператора A и существованием K-конволюционной полугруппы с генератором A. Теорема 1.2.14. Пусть M (t), t > 0, — положительная возрастающая при t → ∞ функция, причем рост ее не выше tp , p < 1. Пусть выполнено условие (1.2.40): ΛM α, γ, ω = {λ ∈ C : Re λ > αM (γ|λ|) + ω} ⊆ ρ(A), kR(λ)kL(X) 6 CeβM (γ|λ|) , λ ∈ ΛM α, γ, ω . Тогда A порождает локальную K-конволюционную полугруппу {Q(t), t ∈ [0; τ )} с функцией K, преобразование Лапласа которой удовлетворяет условию ³ ´ e |K(λ)| = O|λ|→∞ e−δM (γ|λ|) , δ > β, при этом длина промежутка τ определяется выражением τ =

1 (δ − β). α

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

37

Доказательство. Рассмотрим «почти обратное» преобразование Лапласа операторной функe — интеграл ции KR Z e eλt K(λ)R(λ) dλ, t > 0, (1.2.45) Q(t) := Γ

взятый по контуру Γ = {λ ∈ C : Re λ = αM (γ|λ|) + ω1 } ⊂ Λα, γ, ω , В силу предположений теоремы

ω1 > ω.

Z eRe λt+βM (γ|λ|)−δM (γ|λ|) |dλ|.

kQ(t)kL(X) 6 C1 Γ

На контуре Γ выполнено равенство δM (γ|λ|) =

δ(Re λ − ω1 ) , α

откуда для подынтегральной функции получаем β

eRe λt+βM (γ|λ|)−δM (γ|λ|) = C2 e(t+ α − α ) Re λ , δ

λ ∈ Γ.

1 =: τ . Покажем, что построенα ные операторы Q(t), t ∈ [0; τ ), удовлетворяет равенству (1.2.41) определения K-конволюционной полугруппы. Для любого f ∈ X получаем Следовательно, оператор Q(t) определен при каждом t < (δ − β)

Zt A

Zt Z e eλs R(λ)K(λ)f dλds =

Q(s)f ds = (A ± λI) 0

0 Γ

Zt

Z

Zt Z e e R(λ)K(λ)f dλds −

=λ 0 Γ

Z

0 Γ Zt

Zt e R(λ)K(λ)λ

=

e eλs K(λ)f dλds =

λs

eλs f dsdλ − 0

Γ

0

Z

Zt e R(λ)K(λ)f dλ −

= Q(t)f −

K(s)f ds =

K(s)f ds. 0

Γ

Для любого λ ∈ Γ имеем 1

βM (γ|λ|)−δM (γ|λ|) e kK(λ)R(λ)k = C4 e α (β−δ) Re λ , L(X) 6 C3 e

причем δ > β; следовательно, интеграл по Γ в правой части равен нулю для любого f ∈ X, и мы получаем Zt Zt A Q(s)f ds = Q(t)f − K(s)f ds, f ∈ X. 0

0

Уравнение (1.2.42) получается аналогично с использованием равенства R(λ)(λI − A)f = f , f ∈ Dom A, λ ∈ ρ(A). Теорема 1.2.15. Пусть линейный замкнутый оператор A порождает локальную K-конволюционную полугруппу {Q(t), t ∈ [0; τ )} в пространстве X, где функция K экспоненциально ограничена: |K(t)| 6 Ceθt ,

t > 0,

θ ∈ R,

38

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

¯ ¯ ¡ ¢ ¯e ¯ и ее преобразование Лапласа удовлетворяет при |λ| → ∞ условию ¯K(λ)¯ = O e−M (κ|λ|) , где функция M (t), t > 0 — положительная возрастающая при t → ∞ не быстрее tp , p < 1. Тогда для любого T ∈ (0; τ ) найдется ω ∈ R такое, что ½ ¾ 1 M Λ1/T, κ, ω := λ ∈ C : Re λ > M (κ|λ|) + ω ⊆ ρ(A) T 0 и kR(λ)kL(X) 6 C 0 eM (κ|λ|) при λ ∈ ΛM 1/T, κ, ω и некотором C > 0.

Доказательство. Возьмем λ ∈ C и рассмотрим локальное преобразование Лапласа семейства {Q(t), t ∈ [0; τ )}: ZT e−λs Q(s) ds, T ∈ (0; τ ). 0

Введем оператор ZT e −1 (λ) R(λ, T ) := K

e−λs Q(s) ds,

T ∈ (0; τ ).

0

Покажем, что введенный оператор является «почти» резольвентой оператора A, т. е. R(λ) = R(λ, T )(I − B(λ, T )), в некоторой области λ ∈ ΛM 1/T, κ, ω , определяемой условием kB(λ, T )kL(X) 6 δ < 1. Из уравнения (1.2.41) следует, что для любого f ∈ X ZT Q(s)f ds ∈ Dom A; 0

поэтому можно применить оператор (λI − A) к R(λ, T ):  T  Z ZT e −1 (λ) λ e−λs Q(s) ds − A e−λs Q(s) ds . (λI − A)R(λ, T ) = K 0

0

Используя уравнение (1.2.41) для первого слагаемого в правой части и интегрируя по частям второе, получаем  T  s  Z Z Zs e −1 (λ) λ e−λs A Q(ξ) dξ + K(ξ) dξ  ds − (λI − A)R(λ, T ) = K 0

0 ZT

ZT − e−λT A

0



ZT

e −1 (λ) λ =K 0

0

Zs e−λs



Q(ξ)dξ ds =

e−λs

Q(s) ds − λA 0

0

Zs

ZT

Q(s) ds .

K(ξ) dξ ds − e−λT A 0



0

Применяя уравнение (1.2.41) ко второму слагаемому в правой части равенства и интегрируя по частям первое, получаем  ZT ZT −1 −λT e (λI − A)R(λ, T ) = K (λ) −e K(ξ) dξ + e−λs K(s) ds − ZT −e−λT Q(T ) + e−λT 0



0

0

 T  Z e −1 (λ)  e−λs K(s) ds − e−λT Q(T ) . K(s) ds = K 0

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

Отсюда при Re λ > θ1 > θ



КОШИ

39



Z∞

e −1 (λ) e−λT Q(T ) + (λI − A)R(λ, T ) = I − K

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

e−λs K(s) ds =: I − B(λ, T ). T

Оценим оператор B(λ, T ), Re λ > θ1 > θ: 



Z∞

e −1 (λ)| e− Re λT kQ(T )kL(X) + kB(λ, T )kL(X) 6 |K

e− Re λs |K(s)| ds 6 T

 e −1 (λ)| e− Re λT + 6 C1 |K

eθs−θ1 s ds 6 T

e −1 (λ)|e(θ−Re λ)T 6 C1 |K



Z∞ µ 1+

1 θ1 − θ

¶ 6 C2 eM (κ|λ|)−(Re λ−θ)T .

Найдем λ, при которых выполнено неравенство C2 eM (κ|λ|)−(Re λ−θ)T 6 δ < 1. Это справедливо, если M (κ|λ|) − (Re λ − θ)T 6 ln(δ/C2 ) или, что эквивалентно, M (κ|λ|) − ln(δ/C2 ) M (κ|λ|) + θ =: + ω. (1.2.46) T T Из условий на функцию M следует, что это множество непусто. Таким образом, для любого λ, удовлетворяющего условию (1.2.46), выполнена оценка Re λ >

kB(λ, T )kL(X) 6 δ < 1; следовательно, существует оператор (I − B(λ, T ))−1 . Поскольку (λI − A)R(λ, T )f = (I − B(λ, T ))f, R(λ, T )(λI − A)f = (λI − A)R(λ, T )f = (I − B(λ, T ))f, резольвента R(λ) существует при λ ∈ Λ1/T, κ, ω и удовлетворяет оценке kR(λ)kL(X)

f ∈ X, f ∈ Dom A,

½ ¾ M (κ|λ|) = λ ∈ C : Re λ > +ω T

° ° T °Z ° ° ° −λs −1 e ° 6 |K (λ)| ° e Q(s) ds° ° ° ° 0

1 6 C 0 eM (κ|λ|) . 1−δ

L(X)

1.2.5. Задача Коши с генератором R-полугруппы. Регуляризованные полугруппы. В предыдущих пунктах мы рассматривали задачу Коши с оператором A, который является генератором полугруппы классов C0 , C1 , A или конволюционной полугруппы. Свойства этих полугрупп определялись геометрией множества регулярных точек и поведением резольвенты генератора полугруппы. В настоящем пункте мы рассматриваем семейства, генератор которых уже может не иметь резольвенты. Это R-полугруппы, введенные в [44, 45]. R–полугруппы, так же как конволюционные и в отличие от сильно непрерывных полугрупп, могут быть определены не только на всей полуоси [0; ∞), но и локально [76]. Далее, в основном следуя [76], мы приводим результаты о свойствах локальных R-полугрупп и их связи с задачей Коши. Мы не приводим здесь подробные доказательства, так как идейно многие из них близки и обобщают уже известные «полугрупповые» доказательства. Пусть R ∈ L(X) — инъективный оператор с плотной в X областью значений Ran R.

40

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Определение 1.2.18. Семейство линейных ограниченных операторов {S(t), t ∈ [0; τ )}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих условиям (R1) S(t + s)R = S(t)S(s), s, t, s + t ∈ [0; τ ), S(0) = R, (R2) операторная функция S(·) сильно непрерывна по t на промежутке [0; τ ), называется R-полугруппой. R-полугруппа называется экспоненциально ограниченной, если τ = ∞ и kS(t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0,

при некоторых C > 0, ω ∈ R. R-полугруппа называется локальной, если τ < ∞. В случае R = I характеристическое свойство R-полугруппы (R1) совпадает с полугрупповым свойством U (t + s) = U (t)U (s), которое может быть продолжено для всех t, s > 0. Таким образом, I-полугруппа является полугруппой класса C0 . За основу для определения генератора введенного семейства возьмем определение инфинитезимального оператора. Однако в случае R-полугрупп таких определений будет несколько. Определение 1.2.19. Пусть {S(t), t ∈ [0; τ )} — R-полугруппа. Операторы G и Z, определяемые равенствами S(t) − R R−1 S(t) − I f, Zf := R−1 lim f, Gf := lim t→0 t→0 t t с областями определения соответственно ¾ ½ R−1 S(t) − I f , Dom G := f ∈ Ran R : существует lim t→0 t ½ ¾ S(t) − R Dom Z := f ∈ X : существует lim f ∈ Ran R , t→0 t называются инфинитезимальными генераторами семейства {S(t), t ∈ [0; τ )}. Оператор, равный замыканию оператора G, A := G, называется полным инфинитезимальным генератором семейства {S(t), t ∈ [0; τ )}. Замечание 1.2.6. Нетрудно проверить, что оператор G замыкаем, и, следовательно, введенное определение полного инфинитезимального генератора корректно. В [65] показано, что введенные инфинитезимальные генераторы в общем случае не совпадают: для них имеет место вложение Z ⊂ G, т. е. Zf = Gf для любого f ∈ Dom Z ⊂ Dom G. Если {S(t), t > 0} — полугруппа класса C0 с генератором A, то, как мы видели в пункте 1.2.1, ее преобразование Лапласа совпадает с резольвентой оператора A. В рассматриваемом случае, вопервых, если полугруппа локальная, то может быть определено лишь локальное преобразование Лапласа, а во-вторых, даже для экспоненциально ограниченной полугруппы оно в общем случае не является резольвентой генератора, однако в некотором смысле, который мы поясним ниже, играет роль резольвенты. Введем локальное преобразование Лапласа семейства {S(t), t ∈ [0; τ )}: Zt e−λξ S(ξ)f dξ,

Rt (λ)f :=

t ∈ [0; τ ),

λ ∈ R,

f ∈ X.

(1.2.47)

0

Основные свойства локальных R-полугрупп и оператор-функции Rt (·) можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 1.2.16. Пусть A — полный инфинитезимальный генератор локальной R-полугруппы {S(t), t ∈ [0; τ )} и оператор Rt (λ) определен равенством (1.2.47). Тогда 1) оператор G плотно определен в X; 2) для любых f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ) S(t)x ∈ Dom A и AS(t)f = S(t)Af ;

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

41

3) для любых f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ) ARt (λ)f = Rt (λ)Af ; 4) для любых f ∈ X, t ∈ [0; τ ) (λI − A)Rt (λ)f = Rf − e−tλ S(t)f ;

Rt (λ)f ∈ Dom A, 5) для любых f ∈ X, t ∈ [0; τ )

Rt (λ)Rt (µ)f = Rt (µ)Rt (λ)f ; 6) для любого t ∈ [0; τ ) операторная функция Rt (·) дифференцируема по λ на R и найдется такая константа Ct > 0, что ° ° n−1 ° ° λn d ° ° 6 Ct , λ > 0, n ∈ N. (1.2.48) ° (n − 1)! dλn−1 Rt (λ)° L(X)

Доказательство теоремы обобщает доказательства соответствующих свойств полугрупп класса C0 и интегрированных полугрупп. Опираясь на свойства 3)–6), введем следующее определение. Определение 1.2.20. Пусть A — замкнутый линейный оператор, действующий в X, ω ∈ R. Семейство линейных ограниченных операторов {Rt (λ), λ > ω}, t ∈ [0; τ ), действующих в пространстве X и удовлетворяющих условиям: 1) для любых f ∈ X, t ∈ [0; τ ) функция Rt (λ)f , λ > ω, бесконечно дифференцируема по λ и Rt (λ)Rt (µ)f = Rt (µ)Rt (λ)f, 2) для любых f ∈ X, t ∈ [0; τ ) Rt (λ)f ∈ Dom A,

(λI − A)Rt (λ)f = Rf + Bt (λ)f,

где функция Bt (λ)f , λ > ω, бесконечно дифференцируема по λ и найдется такая константа Ct > 0, что ° n−1 ° ° d ° n−1 −tλ ° ° e kf k, f ∈ X, λ > ω, n ∈ N, ° dλn−1 Bt (λ)f ° 6 Ct t 3) для любых f ∈ Dom A, t ∈ [0; τ ) ARt (λ)f = Rt (λ)Af, называется асимптотической R-резольвентой оператора A. Подобно случаю интегрированных и конволюционных полугрупп, необходимые и достаточные условия существования локальной R-полугруппы с генератором A могут быть сформулированы в терминах поведения асимптотической R-резольвенты оператора A. Теорема 1.2.17. Линейный замкнутый оператор A, действующий в пространстве X, является полным инфинитезимальным генератором локальной R-полугруппы {S(t), t ∈ [0; τ )}, если и только если он удовлетворяет следующим условиям: а) Dom A всюду плотна в X, б) для любого t ∈ [0; τ ) существует асимптотическая R-резольвента Rt (λ) оператора A и при n/λ ∈ [0; t], λ > ω, n ∈ N, выполнено (1.2.48), в) для множества R (Dom A) выполнено условие A|R(Dom A) = A. Покажем теперь связь R-полугрупп с задачей Коши (1.1.1). Определение 1.2.21. Задача (1.1.1) называется R-корректной на [0; τ ), если для любого f ∈ R (Dom A) существует единственное решение u задачи такое, что ku(t)k 6 C(t)kR−1 f k, где функция C(·) переменного t ограничена на каждом компактном интервале, лежащем в [0; τ ). Основной результат о корректности задачи (1.1.1) можно сформулировать в виде следующей теоремы.

42

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Теорема 1.2.18. Пусть A — линейный замкнутый плотно определенный оператор, действующий в пространстве X и удовлетворяющий условиям а) ARf = RAf , f ∈ Dom A, б) A|R(Dom A) = A. Оператор A является генератором локальной R-полугруппы, если и только если задача (1.1.1) R-корректна на [0; τ ). При этом решение задачи Коши (1.1.1) имеет вид u(t) = R−1 S(t)f,

f ∈ R (Dom A) ,

t ∈ [0; τ ).

Локальные интегрированные и R-полугруппы связывает между собой следующая теорема. Теорема 1.2.19. Пусть A — линейный замкнутый плотно определенный оператор, действующий в пространстве X. Пусть ρ(A) 6= ∅. Тогда следующие условия эквивалентны: (i) A порождает локальную n раз интегрированную полугруппу {V (t), t ∈ [0; τ )}, (ii) A порождает локальную R-полугруппу {S(t), t ∈ [0; τ )} с оператором R = Rn (λ0 ),

λ0 ∈ ρ(A).

Доказательство. Доказательство является конструктивным: R-полугруппа строится через n раз интегрированную и наоборот. R-полугруппа строится через интегрированную следующим образом: dn V (t)Rn (λ0 )f, f ∈ X, t ∈ [0; τ ). dtn Такое определение R-полугруппы корректно: поскольку элемент

(1.2.49)

S(t)f :=

f1 = Rn (λ0 )f принадлежит Dom An , функция V (t)f1 , t ∈ [0; τ ), является n раз непрерывно дифференцируемой по t (теорема 1.2.12). Обратная конструкция: tZn−1

Zt Zt1 V (t)f = (λ0 I − A)n

... 0

0

S(tn )f dtn . . . dt2 dt1 ,

f ∈ X.

0

Теперь о регуляризации, связанной с R-полугруппами. Построенная по формуле (1.2.49) R-полугруппа представляет собой регуляризацию разрешающих операторов dn V (t), t ∈ [0; τ ), dtn задачи Коши (1.1.1) оператором R = Rn (λ0 ). Кроме того, в случае оператора A, являющегося генератором n раз интегрированной полугруппы, регуляризация может быть осуществлена n-кратным интегрированием разрешающих операторов, поскольку первообразные n-го порядка семейства разрешающих операторов могут быть продолжены с множества Dom An на все пространство X (теорема 1.2.13). В общем случае это не так: для оператора A, являющегося генератором R-полугруппы, вообще говоря, не существует резольвенты, а существует лишь R-резольвента. Поэтому регуляризация разрешающих операторов осуществляется оператором R, не обязательно равным Rn (λ0 ). Например, рассмотрим полугруппы роста α. Эти полугруппы при α > 1 могут иметь неинтегрируемые особенности (пункт 1.2.1.2) и разрешающие операторы задачи Коши с оператором A, являющимся генератором такой полугруппы, в общем случае, не могут быть регуляризованы ни интегрированием, ни оператором, равным некоторой степени резольвентного оператора R(λ0 ). Тем не менее, как доказано в [67], генератор полугруппы роста α является генератором некоторой R-полугруппы, а именно R-полугруппы с оператором R = (cI − A)−(n+1) . U (t) =

1.2. ПОСТРОЕНИЕ

ТОЧНЫХ И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ПОЛУГРУППОВЫМИ МЕТОДАМИ

43

Теорема 1.2.20. Пусть A — генератор полугруппы {U (t), t > 0} роста α и c > ω0 . Тогда оператор A является генератором R-полугруппы с оператором R, определяемым следующим образом: Z∞ 1 Rf = tn e−ct U (t)f dt = (cI − A)−(n+1) f, f ∈ X, n! 0

где n — это целая часть от α и ω0 — показатель экспоненциального роста полугруппы. В общем случае оператор (cI − A)−1 не является резольвентой A. Суммируя результаты теорем 1.2.19 и 1.2.20 о связях интегрированных полугрупп и полугрупп роста α с R-полугруппами, мы видим, что в отличие от связей по включению между различными сильно непрерывными полугруппами, изученными в пункте 1.2.1.2, здесь мы имеем связи по включению между их генераторами. Теперь введем более общие семейства операторов, называемые нами регуляризованными полугруппами. Они служат обобщением интегрированных, конволюционных и R-полугрупп. Определение 1.2.22. Пусть A — линейный замкнутый оператор, а R(t), t ∈ [0; τ ), — непрерывная операторнозначная функция со значениями в L(X), удовлетворяющая условиям R(t)R(s)f = R(s)R(t)f,

f ∈ X,

AR(t)f = R(t)Af,

f ∈ Dom A,

t, s ∈ [0; τ ), t, s ∈ [0; τ ).

Сильно непрерывное по t при t ∈ [0; τ ) семейство линейных ограниченных операторов {S(t), t ∈ [0; τ )}, действующих в пространстве X и удовлетворяющих уравнениям Zt A

Zt S(s)f ds = S(t)f −

0

f ∈ X,

t ∈ [0; τ ),

R(s)f ds,

f ∈ Dom A,

0

Zt

Zt S(s)Af ds = S(t)f −

0

R(s)f ds,

t ∈ [0; τ ),

0

называется регуляризованной (R-регуляризованной) полугруппой операторов, порожденной оператором A, при этом оператор A называется генератором семейства {S(t), t ∈ [0; τ )}. Регуляризованная полугруппа называется экспоненциально ограниченной, если τ = ∞ и kS(t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0,

при некоторых C > 0, ω ∈ R. Регуляризованная полугруппа называется локальной, если τ < ∞. Если операторнозначная функция R(t), t ∈ [0; τ ), равна единичному оператору, умноженному на некоторую функцию K (действительно- или комплекснозначную): R(·) = K(·)I, то полугруппа tn−1 I эта полугруппа {S(t), t ∈ [0; τ )} является K-конволюционной. В частности, при R(t) = (n − 1)! является n раз интегрированной (экспоненциально ограниченной или локальной) полугруппой. Если операторнозначная функция R(t), t ∈ [0; τ ), не зависит от параметра времени t: R(t) ≡ R, то семейство {S(t), t ∈ [0; τ )} является R-полугруппой. Указанные связи между множествами этих полугрупп могут быть записаны в форме вложений: {интегрированные полугруппы} ⊂ {конволюционные полугруппы} ⊂ ⊂ {регуляризованные полугруппы}, {R-полугруппы} ⊂ {регуляризованные полугруппы}.

44

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

В этом разделе мы изучаем абстрактную задачу Коши (1.1.1): u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; τ ), τ 6 ∞,

u(0) = f,

(1.3.1)

где A — замкнутый линейный оператор с областью определения Dom A, действующий в банаховом пространстве X и, в зависимости от геометрии множества регулярных точек и поведения резольвенты, принадлежащий одному из классов (I)–(IV), выделенных в разделе 1.1 этой главы. Мы дадим постановку этой задачи в пространствах абстрактных обобщенных функций и исследуем ее обобщенную корректность для каждого из рассматриваемых классов. В основе выбора пространств основных функций для каждого из условий (I), (II), (III) лежит поведение резольвенты оператора A: основные функции выбираются таким образом, чтобы их преобразование Лапласа нейтрализовало рост резольвенты. Через обратное преобразование Лапласа этой «нейтрализованной» резольвенты и строится обобщенное решение. Мы показываем, что в случае (I) задача Коши (1.3.1) является корректной в пространствах абстрактных экспоненциально ограниченных распределений, в случае (II) — в пространстве абстрактных распределений Л. Шварца, а в случае (III) — в пространствах абстрактных ультрараспределений Румье. В основе выбора пространств X-значных основных функций в случае оператора A, удовлетворяющего условию (IV), лежит поведение операторов решения U (t) = eAt при фиксированных значениях t ∈ [0; τ ). Мы показываем, что условие (IV) обеспечивает корректность в пространствах новых обобщенных функций Иванова. 1.3.1. Постановка задачи. Под пространством абстрактных обобщенных функций Φ0 (X) понимается пространство обобщенных над основным пространством Φ функций, принимающих значения в банаховом пространстве X, т. е. Φ0 (X) — это пространство операторов L(Φ, X). Сходимость в пространстве Φ0 (X) есть равномерная сходимость на ограниченных в Φ множествах. В частности, любая скалярная обобщенная функция v ∈ Φ0 (комплекснозначный функционал) и любой элемент f ∈ X определяют абстрактную обобщенную функцию v⊗f ∈ Φ0 (X), действующую по правилу hϕ, v ⊗ f i := hϕ, vif, ϕ ∈ Φ. Носителем абстрактной обобщенной функции u ∈ Φ0 (X), как и в скалярном случае, называется минимальное компактное множество F ⊂ R такое, что u|R\F = 0. Последнее равенство понимается в обобщенном смысле: hϕ, ui = 0

для всех ϕ ∈ Φ с носителем supp ϕ ⊂ R\F.

Пространство обобщенных функций с носителями, принадлежащими неотрицательной полуоси [0; ∞), следуя устоявшейся символике, будем обозначать Φ00 (X), с носителями, принадлежащими некоторой правой полуоси [a; ∞), — символом Φ0+ (X), с носителями, принадлежащими некоторой левой полуоси (−∞; b], — символом Φ0− (X). Для постановки задачи нам потребуется понятие свертки абстрактных обобщенных функций. Как и в скалярном случае (см. пункт 3.2.11.3), определим сначала свертку обобщенной функции v0 ∈ Φ0 (X) с основной ϕ ∈ Φ по правилу (v0 ∗ ϕ)(t) := hϕ(t + τ ), v0 (τ )i = ϕ0 (t).

(1.3.2)

Если полученная функция ϕ0 по своим свойствам является основной со значениями в банаховом пространстве X, то, следуя терминологии скалярного случая, обобщенную функцию v0 будем называть свертывателем, отображающим пространство Φ в пространство Φ(X). Свертку двух абстрактных обобщенных функций определим в следующем частном случае. Пусть X, Y, Z — банаховы пространства, и пусть определена операция умножения элементов этих пространств: (g, f ) −→ g · f : Y × X → Z, f ∈ X, g ∈ Y. Например, если X = L(E1 , E2 ), а Y = L(E2 , E3 ), то операция умножения элементов этих пространств есть операция последовательного применения операторов и ее результатом является оператор из пространства Z = L(E1 , E3 ).

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

45

Другой пример: если X = E1 , а Y = L(E1 , E2 ), то операция умножения элементов этих пространств есть операция применения оператора к элементу и ее результатом является элемент пространства Z = E2 . Если v0 ∈ Φ0 (Y ) — свертыватель в пространстве Φ, то операцию свертки u ∈ Φ0 (X) с v0 определим следующим образом: hϕ, v0 ∗ ui := hv0 ∗ ϕ, ui, ϕ ∈ Φ, (1.3.3) 0 0 0 (v0 , u) → v0 ∗ u : Φ (Y ) × Φ (X) → Φ (Z), где свертка v0 ∗ϕ определена правилом (1.3.2). Отображение, задаваемое оператором свертки (1.3.3), является билинейным и ограниченным. В частности, свертка обобщенных функций v0 ⊗ g и u ⊗ f , где v0 , u ∈ Φ0 и f ∈ X, g ∈ Y , определяется равенством (v0 ⊗ g) ∗ (u ⊗ f ) = (v0 ∗ u) ⊗ (g · f ). (1.3.4) Замечание 1.3.1. Другое определение свертки абстрактных обобщенных функций, основанное на применении структурных теорем в пространствах распределений Л. Шварца D и распределений 0 0 медленного роста S, можно найти в [49]: если v0 ∈ D0 (Y ), u ∈ D0 (X) и c > 0, то по структурной теореме 3.4.1 найдутся натуральные числа m, p и непрерывные функции g0 : R → Y и g : R → X, равные нулю при t < 0 и такие, что D E D E (p) hϕ, v0 i = ϕ, g0 , hϕ, ui = ϕ, g (m) , supp ϕ ⊂ (−∞; c). Тогда свертка распределений u и v0 определяется равенством D E hϕ, v0 ∗ ui := ϕ, (g0 ∗ g)(m+p) 0

для любого ϕ с носителем supp ϕ ⊂ (−∞; c) и является элементом пространства D0 (Z). Это определение не зависит от m, p, c, g0 , g. 0 0 Аналогично определяется свертка v0 ∈ S0 (Y ) и u ∈ S0 (X), результат которой принадлежит 0 0 пространству S0 (Z): v0 ∗ u ∈ S0 (Z). Теперь мы готовы перейти к постановке задачи Коши в пространстве абстрактных обобщенных функций (абстрактных распределений). Как обычно, постановка или определение в пространстве обобщенных функций есть корректное (если возможно) обобщение классической постановки или определения. Пусть задача Коши (1.3.1) равномерно корректна, а оператор A плотно определен в X. Умножим уравнение на основную функцию ϕ ∈ Φ и проинтегрируем его в пределах от 0 до ∞: Z∞ Z∞ Z∞ 0 Au(t)ϕ(t) dt = u (t)ϕ(t) dt = −f ϕ(0) − u(t)ϕ0 (t) dt. 0

0

0

Поскольку решение u равномерно корректной задачи Коши (1.3.1) определяется полугруппой ограниченных операторов класса C0 с генератором A: u(t) = U (t)f,

t > 0,

f ∈ Dom A,

то в силу замкнутости оператора A получаем Z∞ Z∞ A U (t)f ϕ(t) dt = −f ϕ(0) − U (t)f ϕ0 (t) dt, 0

f ∈ Dom A.

(1.3.5)

0

Правая часть уравнения (1.3.5) определена уже для всех f ∈ Dom A = X, и, более того, она непрерывно зависит от f ∈ X. Из замкнутости оператора A следует, что при любом f ∈ X интеграл в левой части принадлежит Dom A. Таким образом, равенство (1.3.5) имеет смысл на всем пространстве X и, если для значений полугруппы {U (t), t > 0} на всем пространстве X сохранить обозначение u(t) = U (t)f , f ∈ X, t > 0, то (1.3.5) принимает вид Z∞ Z∞ A u(t)ϕ(t) dt = −f ϕ(0) − u(t)ϕ0 (t) dt, f ∈ X. (1.3.6) 0

0

46

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Теперь будем рассматривать u как обобщенную функцию из пространства Φ0 (X). Поскольку решение задачи (1.3.1) при t < 0 естественно считать равным нулю, будем предполагать, что эта обобщенная функция u имеет носитель на неотрицательной полуоси [0; ∞), т. е. является элементом пространства Φ00 (X). Тогда уравнение (1.3.6) может быть записано в следующей форме: −hϕ0 , ui − Ahϕ, ui = hϕ, δif,

f ∈ X,

(1.3.7)

где δ — дельта-функция Дирака, рассматриваемая в данном случае как элемент пространства Φ00 . Введем операторнозначную обобщенную функцию P := δ 0 ⊗ I − δ ⊗ A. Если обозначить через Y := [Dom A] замыкание множества Dom A по норме графика оператора A, kf k1 = kf k + kAf k, то пространство Y с такой нормой является банаховым пространством, оператор A : Y → X, становится линейным ограниченным: A ∈ L(Y, X), а вместе с ним линейным ограниченным является и обобщенный оператор P ∈ Φ00 (L(Y, X)). С введенным таким образом оператором P задача Коши (1.1.1) и эквивалентное ей в обобщенном смысле уравнение (1.3.7) принимают в пространстве абстрактных обобщенных функций Φ00 (X) следующий вид: P ∗ u = δ ⊗ f, f ∈ X. (1.3.8) Определение 1.3.1. Под решением обобщенной задачи Коши (1.3.8) с начальным условием f ∈ X, будем понимать такой элемент u пространства Φ00 (X), удовлетворяющий уравнению (1.3.8), что элемент hϕ, ui принадлежит пространству Y при любом ϕ ∈ Φ. Определение 1.3.2. Обобщенная задача Коши (1.3.8) называется корректной (задача Коши (1.3.1) называется корректной в пространстве абстрактных обобщенных функций Φ00 (X)), если для любого f ∈ X существует единственное решение задачи (1.3.8) такое, что для любой последовательности начальных условий fn , сходящейся к нулю в пространстве X, следует, что соответствующая последовательность решений un сходится к нулю в пространстве Φ00 (X). Цель настоящего раздела — установить условия, при которых задача (1.3.1) является корректной в обобщенном смысле в некотором пространстве Φ00 (X) и построить ее обобщенное решение. Основной метод, который мы будем здесь использовать, — это метод обобщенного преобразования Лапласа. Применяя к задаче (1.3.8) обобщенное преобразование Лапласа (определение см. в пункте 3.3.3) в произвольном пока пространстве Φ00 (X) и используя свойство преобразования Лапласа производной (3.3.12): µ ¶ du(t) L (λ) = λLu(λ), dt получаем уравнение (λI − A)Lu(λ) = f, f ∈ X. Если оператор A имеет резольвенту, применим ее к обеим частям этого уравнения: Lu(λ) = R(λ)f,

f ∈ X,

λ ∈ ρ(A).

Отсюда следует, что обобщенное решение u задачи (1.3.1) определяется (обобщенным) обратным преобразованием Лапласа резольвенты: u(t) = L−1 (R(λ)) (t)f,

f ∈ X.

Для того чтобы построить обобщенное решение этим способом, следует так подобрать пространство основных функций Φ, чтобы в абстрактном сопряженном пространстве Φ00 (X) было определено обобщенное обратное преобразование Лапласа резольвенты. Таким образом, выбор пространства основных функций определяется поведением резольвенты: в случае (I) мы рассматриваем задачу Коши (1.3.1) в пространствах абстрактных экспоненциально ограниченных расD0 (X) пределений Sω0 (X), в случае (II) — в пространстве абстрактных распределений ³ Л. Шварца ´ {Mq }, B 0

и в случае (III) — в пространствах абстрактных ультрараспределений Румье Da

(X).

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

47

В каждом из трех случаев мы показываем, что, во-первых, существование и соответствующее поведение резольвенты оператора A равносильно существованию обобщенных семейств операторов U , разрешающих уравнения U ∗ P = δ ⊗ IY ,

P ∗ U = δ ⊗ IX ,

(1.3.9)

в указанных пространствах, и, во-вторых, разрешимость уравнений (1.3.9) равносильна обобщенной корректности задачи (1.3.1) в соответствующих пространствах. Постановка задачи для случая (IV) будет дана в пункте 1.3.5. Обобщенная корректность такой задачи изучается в пространствах новых обобщенных функций Иванова. 1.3.2. Задача Коши в пространствах абстрактных экспоненциально ограниченных распределений. Пусть резольвента оператора A удовлетворяет условию (I), т. е. она определена в некоторой полуплоскости комплексной плоскости Λω = {λ ∈ C : Re λ > ω > 0} ⊆ ρ(A) и удовлетворяет условиям ° k µ ¶° ° d ° R(λ) Ck! ° ° 6 , ° dλk ° n λ (Re λ − ω)k+1 L(X)

λ ∈ Λω ,

k ∈ N0 .

(1.3.10)

Здесь мы показываем, что условия (1.3.10) являются необходимыми и достаточными для обобщенной корректности задачи (1.3.1) в пространстве экспоненциально ограниченных распределений Sω0 (X) [49]. Пространство Sω0 (X) — это пространство X-значных распределений u, удовлетворяющих условию «e−ωt »u(t) ∈ S 0 (X), где «e−ωt » есть сглаженная экспонента, а именно бесконечно дифференцируемая функция ½ −ωt e , t > 0, «e−ωt » = (1.3.11) 0, t 6 c < 0. Заметим, что если распределение (обобщенная функция) u ∈ Φ0 записано в виде u(t), то имеется в виду, что u применяется к основным функциям ϕ ∈ Φ с аргументом t. 0 Пространство Sω0 совпадает с пространством S1, 1/ae при a > ω, подробно описанным в главе 3 (пункт 3.2.2). Во введенном пространстве выполнено следующее очевидное равенство, которым в дальнейшем будет удобно пользоваться: hϕ, «e−ωt »ui = h«e−ωt »ϕ, ui := hϕω , ui,

u ∈ Sω0 (X),

ϕ ∈ S.

(1.3.12)

Согласно теореме 1.2.8 задача (1.3.1) является (n, ω)-корректной тогда и только тогда, когда резольвента оператора A удовлетворяет условиям (1.3.10), что, в свою очередь, равносильно существованию экспоненциально ограниченной n раз интегрированной полугруппы операторов с генератором A. В следующей теореме дано доказательство связи между обобщенной корректностью такой задачи и оценками на резольвенту через указанную в разделе 1.2 связь с интегрированными полугруппами. Теорема 1.3.1. Пусть A — замкнутый линейный плотно определенный в банаховом пространстве X оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) задача Коши (1.3.1) корректна в пространстве экспоненциально ограниченных распределений Sω0 (X); (ii) существует операторнозначное распределение U ∈ Sω0 (L(X)) с носителем на [0; ∞), разрешающее уравнения (1.3.9): P ∗ U = δ ⊗ IX ,

U ∗ P = δ ⊗ IY ;

(1.3.13)

(iii) для резольвенты оператора A выполнены оценки (1.3.10). Доказательство. (i)=⇒(ii). Для каждого элемента ϕ ∈ S определим линейный оператор hϕ, «e−ωt »U i, действующий в пространстве X по правилу hϕ, «e−ωt »U if := hϕ, «e−ωt »ui,

f ∈ X,

48

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

где u ∈ Sω0 (X) — решение корректной задачи (1.3.8), «e−ωt » — сглаженная экспонента, определенная формулой (1.3.11). Покажем, что U ∈ Sω0 (L(X)); иными словами, 1) «e−ωt »U — линейный оператор, действующий из S в L(X), 2) для любой последовательности ϕn ∈ S, сходящейся к нулю в S, выполняется khϕn , «e−ωt »U ikL(X) → 0, т. е. hϕn , «e−ωt »U if → 0 в пространстве X равномерно по f из ограниченного в X множества. Линейность U следует из линейности решения. Из устойчивости решения получаем khϕ, «e−ωt »U ifn k = khϕ, «e−ωt »un ik → 0

при kfn k → 0

равномерно по ϕ из каждого ограниченного в S множества. Следовательно, для любого ϕ ∈ S справедливо hϕ, «e−ωt »U i ∈ L(X). Рассмотрим ограниченное в X множество kf k 6 C. Оно порождает множество B = {U f : kf k 6 C} ⊂ Sω0 (X), которое ограничено в пространстве Sω0 (X) в силу устойчивости решения: для любого ϕ ∈ S выполняется sup khϕ, «e−ωt »U if k = sup khϕ, «e−ωt »uik < ∞. U f ∈B

kf k6C

Тогда по теореме 3.4.2 найдутся m ∈ N, r > 0, не зависящие от элементов множества B, и для каждого U f ∈ B найдется непрерывная первообразная g : R → X такая, что hϕ, «e−ωt »U f i = hϕ, g (m) i,

ϕ ∈ S,

причем все первообразные имеют одинаковый порядок роста |g(t)| 6 C|t|r

при

|t| → ∞.

Отсюда r (m) khϕn , «e−ωt »U if k = khϕn , g (m) ik = kh(−1)m ϕ(m) n , gik 6 C|t| sup |ϕn (t)|,

ϕ ∈ S.

t∈R

Из этой оценки по определению сходимости в S следует, что khϕn , «e−ωt »U if k → 0

при

ϕn → 0 в S.

В силу того, что supp u ⊂ [0; ∞), носитель введенного операторнозначного распределения также лежит в [0; ∞). Осталось доказать, что U удовлетворяет уравнениям (1.3.13) в пространстве Sω0 (L(X)). Для этого при любом ϕ ∈ S следует показать равенства hϕ, «e−ωt »(P ∗ U )i = hϕ, «e−ωt »(δ ⊗ IX )i,

hϕ, «e−ωt »(U ∗ P )i = hϕ, «e−ωt »(δ ⊗ IY )i

или в силу свойства (1.3.12) и с учетом обозначения ϕω := «e−ωt »ϕ достаточно доказать равенства hϕω , P ∗ U i = hϕω , δ ⊗ IX i,

hϕω , U ∗ P i = hϕω , δ ⊗ IY i.

В силу определения свертки (1.3.4) для любого f ∈ X получаем hϕω , P ∗ U if = hP ∗ ϕω , U if = h(δ 0 ⊗ IY − δ ⊗ A) ∗ ϕω , U if. По построению оператор hϕ, «e−ωt »U i = hϕω , U i действует из X в Y , так как решение задачи Коши (1.3.8) на каждом ϕω ∈ S является элементом пространства Y . Отсюда h(δ 0 ⊗ IY ) ∗ ϕω , U if = hϕω , U 0 if, и далее получаем hϕω , P ∗ U if = hϕω , U 0 if − hϕω , AU if = hϕω , (U 0 − AU )f i. Для любого U ∈ Sω0 (L(X)) и для f ∈ X имеем U 0 f = (U f )0 ; следовательно, hϕω , P ∗ U if

= hϕω , (U f )0 − AU f i = hϕω , u0 − Aui = = hϕω , P ∗ ui = hϕω , δ ⊗ f i = hϕω , δ ⊗ IX if,

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

49

и первое уравнение в (1.3.13) доказано. Чтобы доказать второе уравнение, рассмотрим цепочку преобразований hϕω , P ∗ (U 0 f )i = hϕω , P ∗ (U f )0 i = hϕω , P ∗ u0 i = IX hϕω , u00 i − Ahϕω , u0 i = = −IX hϕ0ω , u0 i + Ahϕ0ω , ui = −hϕ0ω , (δ 0 ⊗ IX − A) ∗ ui, откуда hϕω , P ∗ (U 0 f )i = −hϕ0ω , P ∗ ui = −hϕ0ω , δ ⊗ f i = hϕω , δ 0 ⊗ f i, т. е. мы получили равенство P ∗ (U 0 f ) = δ 0 ⊗ f, f ∈ X. Аналогично получаем (P ∗ U )Af = δ ⊗ Af, f ∈ Y, P ∗ (δ ⊗ f ) = δ 0 ⊗ f − δ ⊗ Af, откуда для f ∈ Y имеем равенство

f ∈ X,

f ∈ Y,

P ∗ (U 0 f − U Af − δ ⊗ f ) = 0. В силу единственности решения отсюда следует, что U 0 − U A = δ ⊗ IY . Далее, hϕω , U ∗ P i = hU ∗ ϕω , δ 0 ⊗ IY i − hU ∗ ϕω , δ ⊗ Ai = hϕω , U 0 i − hϕω , U Ai = hϕω , U 0 − U Ai; таким образом, из двух последних уравнений получаем U ∗ P = δ ⊗ IY , и утверждение доказано. (ii)=⇒(i). Для f ∈ X мы рассмотрим обобщенную функцию u:=U f . В силу первого из уравнений в (1.3.13) hϕ, «e−ωt »ui = hϕω , ui ∈ Y, ϕ ∈ S; в силу второго — обобщенная функция u является решением уравнения (1.3.8): P ∗ u = P ∗ U f = δ ⊗ f. Из ассоциативности свертки и первого равенства в (1.3.13) следует единственность решения: u = (δ ⊗ IY ) ∗ u = (U ∗ P ) ∗ u = U ∗ (P ∗ u), откуда u = U ∗ (δ ⊗ f ) = U f. Чтобы доказать устойчивость введенного решения, мы покажем, что un → 0 в пространстве Sω0 (X) (т. е. равномерно по ϕ из ограниченного в S множества) при fn → 0 в пространстве X. Пусть B — ограниченное в S множество; тогда согласно пункту 3.2.6 для любых q, k ∈ N0 найдется константа Ck,q , не зависящая от элементов множества B, при которой выполнено неравенство |tk ϕ(q) n (t)| 6 Ck,q ,

t ∈ R.

Для любого ϕ ∈ B оператор hϕ, Uω i принадлежит L(X); следовательно, для любой последовательности fn ∈ X khϕ, «e−ωt »un ik = khϕ, Uω ifn k 6 khϕ, Uω ikL(X) kfn k. В силу того, что Uω — элемент пространства S 0 (L(X)), по структурной теореме 3.4.2 найдутся m ∈ N, r > 0 и непрерывная функция g : R → L(X) такие, что hϕ, Uω i = hϕ, g (m) i,

ϕ ∈ S,

и kg(t)kL(X) 6 C|t|r Следовательно, для каждого ϕ ∈ B

при

|t| → ∞.

khϕ, Uω ikL(X) = kh(−1)(m) ϕ(m) , gikL(X) 6 Cr, m ,

50

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

откуда получаем khϕ, «e−ωt »un ik 6 Cr, m kfn k. Если fn → 0 в X, то отсюда следует равномерная по ϕ ∈ B сходимость последовательности hϕ, «e−ωt »un i к нулю в пространстве X. (ii)=⇒(iii). Пусть U ∈ Sω0 (L(X)) — решение уравнений (1.3.13). Применяя к ним обобщенное преобразование Лапласа (см. (3.3.11), пункт 3.3.3), получаем e (λ) = IY , (λI − A)U

e (λ)(λI − A) = IX , U

Re λ > ω.

(1.3.14)

Из этих равенств следует, что полуплоскость Re λ > ω принадлежит резольвентному множеству e (λ). оператора A и (λI − A)−1 = U Чтобы показать оценки (1.3.10), построим непрерывную первообразную семейства U и покажем ее связь с резольвентой оператора A. В действительности построенная первообразная окажется экспоненциально ограниченной n раз интегрированной полугруппой с генератором A. Поскольку «e−ωt »U ∈ S 0 (L(X)), а пространство S есть пересечение пространств S p , p раз непрерывно дифференцируемых функций с нормами kϕkp = sup sup |tk ϕ(q) (t)|,

p ∈ N,

k,q6p t∈R

распределение «e−ωt »U принадлежит пространству, сопряженному к одному из S p : найдутся натуральное p и константа C > 0 такие, что khϕ, «e−ωt »U ikL(X) 6 Ckϕkp ,

ϕ ∈ S.

(1.3.15)

Используя свойство плотности S в пространстве S p , можно продолжить «e−ωt »U на S p . Рассмотрим функции χ ∈ C ∞ (R) и ηp : ½ ½ p 0, s 6 −1, t /p!, t > 0, χ(s) = ηp (t) = 1, s > 0, 0, t < 0.

(1.3.16)

Их произведение χ(s)ηp (t − s) как функция переменного s принадлежит пространству S p . Введем функцию V (t) = hχ(s)ηp (t − s), U i := heωs χ(s)ηp (t − s), «e−ωs »U i. Несложно проверить, что отображение t 7→ eωs χ(s)ηp (t − s) : R −→ S p является непрерывным; следовательно, V — непрерывная функция со значениями в L(X). Поскольку supp U ⊆ [0; +∞) и supp eωs χ(s)ηp (t − s) ⊆ [−1, t], получаем V (t) = 0 при t 6 0. Кроме того, из (1.3.15) следует оценка kV (t)kL(X) = kheωs χ(s)ηp (t − s), «e−ωs »U ikL(X) 6 6 Ckeωs χ(s)ηp (t − s)kp 6 C 0 eωt (1+ | t |)p+1 , 6 C 0 eω 1 t ,

ω1 > ω,

t > 0.

Покажем, что U есть обобщенная производная (p + 2)-го порядка от V в пространстве Sω0 . Для любого ϕ ∈ S имеем Z∞ (t)V (t) dt = hϕ, «e−ωs »V (p+2) i = hϕω , V (p+2) i = h(−1)p+2 ϕ(p+2) , V i = (−1)p+2 ϕ(p+2) ω ω 0

Z∞ = (−1)p+2 * =

ϕ(p+2) (t) h χ(s)ηp (t − s), U (s)i dt = ω 0

+

Z∞ p+2

ϕ(p+2) (t)ηp (t ω

χ(s)(−1)

0

= h χ(s) ϕω (s), U i = hϕω , U i.

− s) dt, U (s)

=

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

51

Из полученного равенства V (p+2) = U , равенства (1.3.14) и свойств преобразования Лапласа получаем Z∞ −1 p+2 (λI − A) = λ e−λt V (t)dt, Re λ > ω1 ; 0

следовательно, для n = p + 2, k = 0, 1, . . . ° k µ ° k ° ¶° Z∞ ° d ° ° d (λI − A)−1 ° k ° ° ° ° = ° k LV (λ)° = kL(t V )(λ)kL(X) 6 e− Re λ t tk kV (t)kL(X) dt 6 ° dλk ° λn dλ L(X) L(X) 0

Z∞ 0

6 C0

tk e−(Re λ−ω )t dt = 0

C 0 k! , (Re λ − ω 0 )k+1

Re λ > ω1 .

(iii)=⇒(ii). Из оценки (1.3.10) при k = 0 получаем C|λ|n 6 C 0 (1 + |λ|)n , Re λ > ω1 > ω. Re λ − ω Тогда для аналитической в полуплоскости Re λ > ω1 функции λ−n−2 R(λ) существует классическое обратное преобразование Лапласа kR(λ)kL(X) 6

1 g(t) = 2πi

ω1Z+i∞

eλt λ−n−2 R(λ) dλ. ω1 −i∞

Согласно абстрактной теореме Коши g(t) = 0 при t 6 0, а при t > 0 функция g экспоненциально ограничена: kg(t)kL(X)

1 6 2π

ω1Z+i∞

e

Re λt

−n−2

|λ|

1 ω1 t kR(λ)kL(X) |dλ| 6 e 2π

Z∞ |λ|−2 dy = Ceω1 t .

−∞

ω1 −i∞

Следовательно, ее преобразование Лапласа существует и Lg(λ) = λ−n−2 R(λ),

Re λ > ω1 .

Кроме того, из экспоненциальной ограниченности g и произвольности ω1 > ω следует, что g ∈ Sω (L(X)). По свойству преобразования Лапласа производной (3.3.12) ¡ 0¢ Lv (λ) = λLv(λ), с учетом того, что g (k) (0) = 0 при k = 0, 1, . . . , n − 1, получаем Lg (n+2) (λ) = λn+2 Lg(λ) = λn+2 λ−n−2 R(λ) = R(λ). Таким образом, нашлась обобщенная функция U = g (n+2) ∈ Sω0 (L(X)), удовлетворяющая равенству LU (λ) = R(λ).

(1.3.17)

Покажем от противного, что найденная функция единственна: допустим LU1 (λ) = R(λ) = LU2 (λ). По структурной теореме 3.4.2 и из свойства преобразования Лапласа (3.3.12) получаем LU1 (λ) = λm Lg1 (λ) = λm Lg2 (λ) = LU2 (λ), (m)

где Uj = gj , j = 1, 2. Отсюда в силу невырожденности классического преобразования Лапласа получаем равенство первообразных g1 = g2 , а следовательно, и равенство обобщенных функций U1 = U2 . Из определения обобщенного оператора P и равенства (1.3.17) получаем уравнения L(P ∗ U )(λ) = (λI − A)R(λ) = IX ,

L(U ∗ P )(λ) = R(λ)(λI − A) = IY ,

откуда в силу единственности преобразования Лапласа следуют уравнения (1.3.13).

52

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

1.3.3. Задача Коши в пространстве абстрактных распределений Л. Шварца. Пусть резольвента оператора A удовлетворяет условию (II), т. е. она определена в некоторой области комплексной плоскости Λln n, ν, ω = {λ ∈ C : Re λ > nν ln |λ| + ω}, где удовлетворяет условию kR(λ)kL(X) 6 C|λ|n ,

λ ∈ Λln n, ν, ω ,

(1.3.18)

при некоторых n ∈ N, ν > 0, C > 0, ω ∈ R. Как уже говорилось выше, в пункте 1.3.1, обобщенное решение задачи (1.3.1) строится в виде обобщенного обратного преобразования Лапласа резольвенты (3.3.10): −1

hϕ, L

1 Ri = 2πi

b+i∞ Z

R(λ)Lϕ(−λ) dλ. b−i∞

В случае условия (1.3.18) построить обобщенное обратное преобразование резольвенты мы можем, интегрируя произведение R(λ)Lϕ(−λ) только по контуру, лежащему внутри множества ρ(A) и пробегаемому в положительном направлении, например, по контуру вида Γ = ∂Λln n, ν, ω1 = {λ ∈ C : Re λ = nν ln |λ| + ω1 },

ω1 > ω.

Чтобы определить такое преобразование, достаточно выбрать основные функции ϕ таким образом, чтобы их преобразование Лапласа Lϕ нейтрализовало степенной рост резольвенты на контуре Γ, 1 т. е. достаточно, чтобы функции Lϕ убывали на Γ быстрее любой степени . |λ| Известно (см. пункт 3.3.2), что преобразование Фурье основной функции ϕ ∈ D принадлежит пространству Z, т. е. является аналитической функцией, удовлетворяющей условию (3.2.10): |ϕ(s)| e 6 Ck

eb|τ | , |s|k

s = σ + iτ ∈ C,

k ∈ N0 ,

или, если s = iλ, условию |ϕ(iλ)| e 6 Ck

eb| Re λ| , |λ|k

λ ∈ C,

k ∈ N0 ,

λ ∈ Γ,

k ∈ N0 .

которое на контуре Γ превращается в оценки вида |ϕ(iλ)| e 6 Ck0 |λ|bnν−k ,

В силу связи между преобразованиями Лапласа и Фурье (3.3.8) можно ожидать, что и преобразование Лапласа функций из D ведет себя подобным образом. В следующей теореме мы оцениваем преобразование Лапласа функций ϕ ∈ D и доказываем, что обобщенное решение задачи (1.3.1) может быть записано в виде обобщенного обратного преобразования Лапласа резольвенты, взятого по контуру Γ с положительным направлением обхода: Z 1 −1 R(λ)Lϕ(−λ) dλ, ϕ ∈ D. (1.3.19) hϕ, L Ri = 2πi Γ

Теорема 1.3.2. Если резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.3.18), то существует операторнозначное распределение U ∈ D00 (L(X)), разрешающее уравнения (1.3.9): U ∗ P = δ ⊗ IY ,

P ∗ U = δ ⊗ IX .

(1.3.20)

Доказательство. Покажем, что при условии (1.3.18) для любой функции ϕ ∈ D обратное обобщенное преобразование Лапласа (1.3.19) резольвенты оператора A определяет ограниченный оператор в пространстве X: hϕ, U i := hϕ, L−1 Ri ∈ L(X).

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

53

Для этого сначала оценим поведение преобразования Лапласа основной функции ϕ ∈ D: +∞ Z Lϕ(−λ) = eλt ϕ(t) dt.

(1.3.21)

0

Пусть supp ϕ ⊆ [−a, a]. Интегрируя по частям q раз, при любом λ ∈ C получаем оценку ¯ ¯ ¯ ¯ Za Za ¯ kϕ(q) kC[−a;a] ¯ (−1)q λt (q) e ϕ (t) dt ¯¯ 6 eRe λt dt 6 Ckϕ(q) kC[−a;a] ea Re λ |λ|−q , (1.3.22) |Lϕ(−λ)| = ¯¯ q q λ |λ| ¯ ¯ −a

−a

которая на контуре Γ принимает вид |Lϕ(−λ)| 6 C 0 kϕ(q) kC[−a;a] |λ|anν−q , Оценим теперь интеграл (1.3.19): ° ° ° ° Z ° 1 ° ° ° ° 2πi R(λ)Lϕ(−λ) dλ° ° ° Γ

1 6 2π

L(X)

λ ∈ Γ.

(1.3.23)

Z kR(λ)kL(X) |Lϕ(−λ)| |dλ|. Γ

Из условия (1.3.18) и полученной оценки (1.3.23) имеем ° ° ° ° Z Z ° 1 ° 0 (q) ° ° 6 CC kϕ kC[−a;a] |λ|(aν+1)n−q |dλ|. ° 2πi R(λ)Lϕ(−λ) dλ° ° ° Γ

Γ

L(X)

Для любых n, ν и a мы можем найти q, при котором (aν + 1)n − q < −1, что обеспечивает сходимость интеграла в правой части. В результате получаем оценку ° ° ° ° Z ° ° 1 ° khϕ, U ikL(X) = khϕ, L−1 RikL(X) = ° R(λ)Lϕ(−λ) dλ 6 C 00 kϕ(q) kC[−a;a] , (1.3.24) ° 2πi ° ° ° Γ

L(X)

доказывающую, что обобщенное обратное преобразование Лапласа резольвенты определяет при каждом ϕ ∈ D ограниченный оператор hϕ, U i ∈ L(X). Более того, оценка (1.3.24) показывает, что U ∈ D0 (L(X)), т. е. hϕn , U i → 0 в L(X) при ϕn → 0 в D. Действительно, по определению сходимости в пространстве D (см. пункт 3.2.1), последовательность ϕn → 0 в D тогда и только тогда, когда все носители всех функций, supp ϕn , принадлежат одному компакту K ⊂ R и функции ϕn вместе со всеми своими производными равномерно на K сходятся к нулю: kϕ(m) n kC(K) → 0,

m ∈ N0 .

Отсюда следует, что если ϕn → 0 в D, то последовательность kϕ(q) kC[−a;a] в оценке (1.3.24) также сходится к нулю, и мы получаем сходимость hϕn , U i → 0 в L(X). Кроме того, в силу определения (1.3.21), Lϕ(−λ) = 0 для основных функций ϕ с носителем supp ϕ ⊂ (−∞; 0]; следовательно, носитель U лежит на неотрицательной полуоси [0; ∞) и в действительности U является элементом, пространства D00 (L(X)). Покажем, что построенное распределение U разрешает уравнения (1.3.20). По определению свертки и оператора P для любого ϕ ∈ D имеем hϕ, P ∗ U i = hP ∗ ϕ, U i = h(δ 0 ⊗ I − δ ⊗ A) ∗ ϕ, U i = −Ihϕ0 , U i − Ahϕ, U i. Рассмотрим отдельно 1 hϕ , U i = 2πi

Z

0

1 R(λ)Lϕ (−λ) dλ = 2πi

Z

0

Γ

Γ

+∞ Z R(λ) eλt ϕ0 (t) dt dλ. 0

(1.3.25)

54

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Интегрируя по частям во внутреннем интеграле, который на самом деле берется по конечному промежутку, равному supp ϕ, и принимая во внимание тот факт, что основная функция ϕ в граничных точках носителя равна нулю, получаем 1 hϕ , U i = − 2πi

Z

0

+∞ Z R(λ) λeλt ϕ(t) dt dλ.

Γ

(1.3.26)

0

Сходимость этого интеграла доказывается аналогично сходимости интеграла (1.3.19); при этом, очевидно, следует положить q на единицу больше, чем в оценке (1.3.24). Подставим полученный интеграл (1.3.26) в равенство (1.3.25): Z Z 1 1 hϕ, P ∗ U i = λR(λ)Lϕ(−λ) dλ − A R(λ)Lϕ(−λ) dt dλ = 2πi 2πi Γ Γ Z Z 1 1 = (λI − A)R(λ)Lϕ(−λ) dt dλ = Lϕ(−λ) dλ IX . 2πi 2πi Γ

Γ

Из оценки (1.3.22) следует, что можно применить непрерывную деформацию контура Γ до мнимой оси; следовательно, +i∞ Z 1 hϕ, P ∗ U i = Lϕ(−λ) dλ IX = ϕ(0)IX = hϕ, δiIX . 2πi −i∞

Второе уравнение U ∗ P = δ ⊗ IY доказывается аналогичным образом с учетом равенства R(λ)(λI − A) = IY . Укажем связь между равенствами (1.3.20) в пространстве D00 (L(X)) и обобщенной корректностью задачи (1.3.1) в этом пространстве. Теорема 1.3.3. Пусть A — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) задача Коши (1.3.1) является корректной в пространстве распределений D00 (X), (ii) существует обобщенное семейство операторов U ∈ D00 (L(X)), разрешающее уравнения (1.3.20). Доказательство. (i)=⇒(ii). Для каждого элемента ϕ ∈ D определим линейный оператор hϕ, U if , действующий в пространстве X по правилу hϕ, U if := hϕ, ui,

f ∈ X,

(1.3.27)

где u ∈ D00 (X) — решение корректной задачи (1.3.8). Покажем, что U ∈ D00 (L(X)); иными словами,

1) U — линейный оператор, действующий из D в L(X), 2) supp U ⊂ [0; ∞), 3) для любой последовательности ϕn ∈ D, сходящейся к нулю в D, выполняется khϕn , U ikL(X) → 0,

т. е. hϕn , U if → 0 в пространстве X равномерно по f из ограниченного в X множества. Из устойчивости решения получаем khϕ, U ifn k = khϕ, un ik → 0

при kfn k → 0

равномерно по ϕ из каждого ограниченного в D множества. Следовательно, для любого ϕ ∈ D справедливо hϕ, U i ∈ L(X). В силу определения (1.3.27), supp U = supp u ⊂ [0; ∞). Рассмотрим ограниченное в X множество kf k 6 C. Оно порождает множество B = {U f : kf k 6 C} ⊂ D00 (X),

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

55

которое ограничено в пространстве D00 (X) в силу устойчивости решения: для любого ϕ ∈ D выполняется sup khϕ, U if k = sup khϕ, uik < ∞. U f ∈B

kf k6C

Тогда по структурной теореме 3.4.1 для любого открытого ограниченного множества Ω ⊂ R найдется m ∈ N, не зависящее от элементов множества B, и для любого U f ∈ B найдется непрерывная первообразная g : R → X такая, что hϕ, U f i = hϕ, g (m) i,

supp ϕ ⊂ Ω,

причем все функции g : R → X равномерно ограничены на компактных множествах в R, т. е. для любого компакта K ⊂ R существует постоянная CK > 0, не зависящая от функций g, для которой kg(t)k 6 CK ,

t ∈ K.

Отсюда (m) khϕn , U if k = khϕn , g (m) ik = kh(−1)m ϕ(m) n , gik 6 CK kϕn kC(K) ,

supp ϕ = K ⊂ Ω.

Из этой оценки следует, что khϕn , U if k → 0

при ϕn → 0 в D,

равномерно по f , удовлетворяющим условию kf k 6 C. Осталось показать, что U удовлетворяет уравнениям (1.3.20). Рассмотрим первое из них. По построению оператор U (ϕ) действует из X в Y , так как решение задачи Коши (1.3.8) на каждом ϕ ∈ D является элементом пространства Y . В силу определения свертки (1.3.4) справедливы следующие равенства: hϕ, P ∗ U if = hP ∗ ϕ, U if = h(δ 0 ⊗ IY − δ ⊗ A) ∗ ϕ, U if = = hϕ, U 0 if − hϕ, AU if = hϕ, (U 0 − AU )f i. Для U ∈ D00 (L(X)) и для f ∈ X имеем U 0 f = (U f )0 ; следовательно, hϕ, P ∗ U if = hϕ, (U f )0 − AU f i = hϕ, u0 − Aui = hϕ, P ∗ ui = hϕ, δ ⊗ f i = hϕ, δ ⊗ IX if, и первое равенство в (1.3.20) доказано. Чтобы показать второе, запишем hϕ, P ∗ (U 0 f )i = hϕ, P ∗ (U f )0 i = hϕ, P ∗ u0 i = IX hϕ, u00 i − Ahϕ, u0 i = −IX hϕ0 , u0 i + Ahϕ0 , ui = = −hϕ0 , (δ 0 ⊗ IX − A) ∗ ui = −hϕ0 , P ∗ ui = −hϕ0 , δ ⊗ f i = hϕ, δ 0 ⊗ f i, получили равенство

P ∗ (U 0 f ) = δ 0 ⊗ f,

f ∈ X;

f ∈ X.

Аналогично получаем (P ∗ U )Af = δ ⊗ Af, f ∈ Y. 0 P ∗ (δ ⊗ f ) = δ ⊗ f − δ ⊗ Af, f ∈ Y, откуда для f ∈ Y имеем равенство P ∗ (U 0 f − U Af − δ ⊗ f ) = 0. В силу единственности решения отсюда следует, что U 0 − U A = δ ⊗ IY . Далее, hϕ, U ∗ P i = hU ∗ ϕ, δ 0 ⊗ IY i − hU ∗ ϕ, δ ⊗ Ai = hϕ, U 0 i − hϕ, U Ai = hϕ, U 0 − U Ai; таким образом, из двух последних уравнений получаем U ∗ P = δ ⊗ IY , и утверждение доказано. (ii)=⇒(i). Для f ∈ X мы рассмотрим распределение u := U f . В силу первого из уравнений в (1.3.20) для любого ϕ ∈ D имеем hϕ, ui ∈ Y , в силу второго — обобщенная функция u является решением уравнения (1.3.8): P ∗ u = P ∗ U f = δ ⊗ f.

56

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Из ассоциативности свертки и первого равенства в (1.3.9) следует единственность решения: u = δ ⊗ IY ∗ u = (U ∗ P ) ∗ u = U ∗ (P ∗ u) = U ∗ (δ ⊗ f ) = U f. Чтобы доказать устойчивость введенного решения, мы покажем, что un → 0 в пространстве D00 (X) (т. е. равномерно по ϕ из ограниченного в D множества) при fn → 0 в пространстве X. Пусть B — ограниченное в D множество; тогда а) существует компактное множество K ⊂ R, которому принадлежат носители всех функций множества B: supp ϕ ⊂ K, ϕ ∈ B, б) для любого p > 0 найдется постоянная Cp > 0, не зависящая от элементов множества B, такая, что sup |ϕ(p) (t)| 6 Cp , ϕ ∈ B. t∈K

Для любого ϕ ∈ B оператор hϕ, U i принадлежит L(X); следовательно, для любой последовательности fn ∈ X khϕ, un ik = khϕ, U ifn k 6 khϕ, U ikL(X) kfn k. В силу того, что U — элемент пространства D00 (L(X)), по структурной теореме 3.4.1 для любого открытого множества Ω ⊂ K найдутся m ∈ N и непрерывная функция g, действующая из R в L(X), такие, что hϕ, U i = hϕ, g (m) i для ϕ ∈ D, supp ϕ ⊂ Ω; следовательно, для любого ϕ ∈ B ° ° °Z ° Z ° ° (m) ° khϕ, U ikL(X) = ° g(t)ϕ (t) dt kg(t)kL(X) dt = C, 6 C m ° ° ° ° K

L(X)

K

откуда получаем khϕ, un ik 6 Ckfn k. Если fn → 0 в X, то отсюда следует равномерная по ϕ ∈ B сходимость последовательности hϕ, un i к нулю в пространстве X. Справедлив результат, обратный по отношению к теореме 1.3.2. Теорема 1.3.4. Если существует обобщенное семейство операторов U ∈ D00 (L(X)), разрешающее уравнения (1.3.20), то резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.3.18). Доказательство. Пусть U ∈ D00 (L(X)) является решением уравнений (1.3.9). Поскольку U является элементом пространства, сопряженного к D, которое представляет собой пересечение пространств Dm , m раз непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем с нормами kϕkm := sup sup |ϕ(q) (t)|, 06q6m t∈[−1;τ ]

то U принадлежит одному из сопряженных: для любых τ > 0, ε > 0 найдутся такие m ∈ N и C > 0, что для всех ϕ ∈ D с носителями supp ϕ ⊂ (−1 − ε; τ + ε) справедлива оценка khϕ, U ikL(X) 6 Ckϕkm , и обобщенная функция U может быть продолжена на Dm [−1; τ ], пространство m раз непрерывно дифференцируемых на [−1; τ ] функций. Будем обозначать это продолжение тем же символом. Используя это продолжение, мы сможем построить непрерывную первообразную (m + 2)-го порядка от U . Пусть t ∈ [0; τ ]; рассмотрим функцию ψt, m (s) = χ(s)ηm (t − s) ∈ Dm [−1; τ ], где функции χ, ηm определены равенством (1.3.16): ( ( 0, s 6 −1, tm+1 /(m + 1)!, ∞ χ(s) ∈ C (R), χ(s) = ηm (t) = 1, s > 0, 0,

t > 0, t < 0.

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

57

Определим оператор V (t) := hψt, m , U i,

t ∈ [−1; τ ].

(1.3.28)

Покажем, что семейство {V (t), t ∈ [0; τ )} является локальной m + 2 раза интегрированной полугруппой. В силу плотности бесконечно дифференцируемых функций пространства D в любом пространстве Dm [−1; τ ] найдется последовательность функций {ϕn } ⊂ D с носителями supp ϕn ⊂ (−1 − ε; τ + ε) такая, что для любого t ∈ [0; τ ] kϕn − ψt, m+1 km+1 → 0; следовательно, kϕn − ψt, m+1 km → 0,

kϕ0n − ψt,0 m+1 km → 0.

Рассмотрим уравнения (1.3.20) с ϕ = ϕn и устремим n → ∞, тогда −hψt,0 m+1 , U if − Ahψt, m+1 , U if = ψt, m+1 (0)f, −hψt,0 m+1 , U if − hU, ψt, m+1 iAf = ψt, m+1 (0)f,

f ∈ X,

0 6 t 6 τ,

f ∈ Dom A,

0 6 t 6 τ.

В силу равенства ψt,0 m+1 (s) = χ0 (s)

(t − s)m+2 (t − s)m+2 + χ(s)ηm (t − s) + χ0 (s) + ψt,0 m (s) (m + 2)! (m + 2)!

и условия (t − s)m+2 ⊆ [−1; 0], (m + 2)! для оператора V (t), определенного равенством (1.3.28), получаем supp χ0 (s)

V (t) = −hψt,0 m+1 , U i = hψt, m , U i,

V (t) ∈ L(X),

t ∈ [0; τ ].

Поскольку отображение t → ψt, m : [0; τ ] → Dp [−1; τ ] непрерывно, операторная функция V (·) непрерывна по t на отрезке t ∈ [0; τ ]. Из того, что supp ψ0, m ⊂ [−1; 0] и supp U ⊂ [0; ∞), следует, что V (0) = 0. Кроме того, для любого t ∈ (0; τ ) и любого k = 1, 2, . . . , m + 1 ψt+h,k (s) − ψt,k (s) → ψt,k−1 (s) при h → 0 (1.3.29) h равномерно по s ∈ [−1; τ ]; следовательно, мы получили сходимость в Dm [−1; τ ]. Тогда ¿ À hψt+h, m+1 , U i − hψt, m+1 , U i ψt+h, m+1 − ψt, m+1 d hψt, m+1 , U i = lim = lim , U = hψt, m , U i. h→0 h→0 dt h h Поскольку hψ0, m+1 , U i = 0, имеем Zt hψt, m+1 , U i =

V (s) ds. 0

Из (1.3.28), (1.3.29) получаем tm+2 V (t)f = f+ (m + 2)!

Zt V (s)Af ds,

t ∈ [0; τ ),

f ∈ Dom A,

(1.3.30)

f ∈ X.

(1.3.31)

0

tm+2 V (t)f = f +A (m + 2)!

Zt V (s)f ds,

t ∈ [0; τ ),

0

Как доказано в теореме 1.2.10, для оператора A, удовлетворяющего уравнениям (1.3.30), (1.3.31), существует резольвента оператора A и для R(λ) выполняется условие (1.3.18) с n = m + 2.

58

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

1.3.4. Задача Коши в пространствах абстрактных ультрараспределений Румье. Пусть резольвента оператора A удовлетворяет условию (III), т. е. она определена в некоторой области комплексной плоскости ΛM α, γ, ω := {λ ∈ C : Re λ > αM (γ|λ|) + ω}, и удовлетворяет условию kR(λ)kL(X) 6 CeβM (γ|λ|) ,

λ ∈ ΛM α, γ, ω ,

(1.3.32)

при некоторых γ > 0, β > 0, C > 0, ω ∈ R, где функция M является ассоциированной функцией некоторой последовательности Mq (см. определение 3.2.1). В предыдущих пунктах была изучена обобщенная корректность задачи (1.3.1) в пространствах экспоненциально ограниченных распределений и в пространствах распределений Л. Шварца. Здесь мы рассмотрим в качестве основного пространства Φ пространство ультрадифференцируе{M }, B мых функций Румье Da q (см. пункт 3.2.7), построенное по выбранной последовательности Mq , ³ ´ {M }, B 0 и покажем, что задача (1.3.1) корректна в абстрактном сопряженном пространстве Da q (X), где B определяется параметрами a, α, β. {M }, B Известно (см. (3.3.4)), что преобразование Фурье основной функции ϕ ∈ Da q убывает как {Mq }, B −M (|λ|/B)+a|τ | e , λ ∈ C. Покажем, что преобразование Лапласа основной функции ϕ ∈³ Da ´ведет {M }, B 0

себя подобным образом. Как следствие, в абстрактном сопряженном пространстве Da q (X) мы построим операторы решения обобщенной задачи (1.3.8) в виде обобщенного обратного преобразования Лапласа от резольвенты оператора A. {M }, B рассмотрим обобщенное обратное преобразование Лапласа В выбранном пространстве Da q резольвенты. Формулу (3.3.10), полученную в пункте 3.3.3, мы можем в данном случае применить только в следующем виде: Z 1 {M }, B −1 hϕ, L Ri = (1.3.33) R(λ)Lϕ(−λ) dλ, ϕ ∈ Da q , 2πi Γ

где Γ = ∂ΛM α, γ, ω1 = {λ ∈ C : Re λ = αM (γ|λ|) + ω1 } ⊂ ρ(A),

ω1 > ω,

(1.3.34)

с выбранным положительным направлением обхода. Покажем, что при условии (1.3.32) для любой {M }, B это преобразование определяет ограниченный оператор в пространстве X функции ϕ ∈ Da q hϕ, U i := hϕ, L−1 Ri ∈ L(X) и построенная операторнозначная обобщенная функция U является обобщенным семейством операторов решения задачи (1.3.8) с условием (1.3.32) на резольвенту оператора A. Сравнивая это обобщенное решением с решением из пункта 1.2.4, регуляризованного при помоe в (1.2.45) здесь играет основная щи свертки с функцией K, можно увидеть, что роль функции K {Mq }, B функция Lϕ, где ϕ ∈ Da . Теорема 1.3.5. Если резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.3.32), то для любого ³ a > 0´0 и некоторого B = B(a, α, β) существует операторнозначное распределение {M }, B U ∈ Da q (L(X)), разрешающее уравнения (1.3.9): U ∗ P = δ ⊗ IY ,

P ∗ U = δ ⊗ IX .

(1.3.35)

Доказательство. Докажем, что равенство (1.3.33) определяет ограниченный оператор hϕ, U i в пространстве X по правилу hϕ, U i := hϕ, L−1 Ri,

{Mq }, B

ϕ ∈ Da

.

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

59

Возьмем a > 0 и для начала оценим поведение преобразования Лапласа основной функции {M }, B ϕ ∈ Da q : +∞ Z Lϕ(−λ) = eλt ϕ(t) dt. (1.3.36) 0 {M }, B Da q

Носители функций пространства лежат в отрезке [−a; a]. Интегрируя по частям q раз, получаем оценку ¯ ¯ ¯ ¯ Za Za ¯ kϕ(q) kC[−a;a] ¯ (−1)q λt (q) e ϕ (t) dt ¯¯ 6 eRe λt dt. |Lϕ(−λ)| = ¯¯ q q λ |λ| ¯ ¯ −a

{Mq }, B

По определению пространства Da

−a

при любом m ∈ N выполнено неравенство (3.2.15):

kϕ(q) kC[−a;a] 6 kϕkm Mq (B + 1/m)q . Фиксируя m, домножая числитель и знаменатель на γ q и обозначая B1 = γ(B + 1/m), получаем |Lϕ(−λ)| 6 Ckϕkm

Mq γ q (B + 1/m)q a Re λ Mq B1q a Re λ e = Ckϕk e , m M0 |γλ|q M0 |γλ|q

q ∈ N0 .

В силу произвольности q можем перейти к инфимуму по всем q ∈ N0 , который согласно определению ассоциированной функции (3.2.14) равен Mq B1q inf = e−M (|γλ|/B1 ) . q∈N0 M0 |γλ|q В итоге получаем оценку |Lϕ(−λ)| 6 Ckϕkm ea Re λ−M (|γλ|/B1 ) ,

λ ∈ C,

(1.3.37)

которая на контуре Γ принимает вид |Lϕ(−λ)| 6 Ckϕkm e

1 a− αB

Переходим к оценке интеграла (1.3.33): ° ° ° ° Z ° 1 ° ° ° ° 2πi R(λ)Lϕ(−λ) dλ° ° ° Γ

6

L(X)

Re λ+ω1 /α

1

1 2π

,

λ ∈ Γ.

Z kR(λ)kL(X) |Lϕ(−λ)| |dλ|. Γ

Из условия (1.3.32) и определения (1.3.34) кривой Γ получаем следующую оценку резольвенты на этой кривой: kR(λ)kL(X) 6 Ceβ(Re λ−ω1 )/α , Отсюда

° ° ° ° Z ° 1 ° ° ° ° 2πi R(λ)Lϕ(−λ) dλ° ° ° Γ

6e

ω1 (1−β) α

λ ∈ Γ. Z

C 0 kϕkm

e

β 1 +a− αB α 1

Re λ

|dλ|.

Γ

L(X)

Для заданных β, α и для любого a > 0 можно найти B1 , при котором β 1 +a− < 0, α αB1 что обеспечивает сходимость интеграла в правой части. В результате получаем оценку ° ° ° ° Z ° 1 ° ° ° 6 C 00 kϕkm , R(λ)Lϕ(−λ) dλ ° 2πi ° ° ° Γ

L(X)

(1.3.38)

60

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

доказывающую, что обобщенное обратное преобразование Лапласа от резольвенты определяет {M }, B ограниченный оператор hϕ, U i ∈ L(X) при каждом ϕ ∈ Da q , где B выбирается следующим образом: из неравенства β 1 +a− <0 α αB1 находим B1 и при выбранном нами фиксированном m ∈ N находим B1 1 B= − . γ m Кроме того, оценка (1.3.38) показывает, что ³ ´ {M }, B 0 U ∈ Da q (L(X)). Поскольку Lϕ(−λ) определяется формулой (1.3.36), для основных функций ϕ с носителями в (−∞; 0] следует, что hϕ, U i = 0; значит, supp U принадлежит неотрицательной полуоси. Этот факт, в отличие от обозначений в пространстве D00 , мы не отражаем в обозначениях пространств ³ ´ {M }, B 0 ультрараспределений Da q (L(X)) из-за того, что здесь уже присутствует большое число индексов. Покажем, что построенное ультрараспределение U удовлетворяет уравнениям (1.3.35): U ∗ P = δ ⊗ IY ,

P ∗ U = δ ⊗ IX .

Доказательство этих уравнений проводится аналогично их доказательству в пространстве распре{M }, B выражение hϕ, P ∗U i по определению делений Л. Шварца в теореме 1.3.2. Для любого ϕ ∈ Da q свертки и оператора P преобразуется к виду +∞ Z Z 1 hϕ, P ∗ U i = eλt ϕ(t) dt dλ IX . 2πi Γ

0

Из (1.3.37) следует, что можно применить непрерывную деформацию контура Γ до мнимой оси, откуда получаем +i∞ Z 1 Lϕ(−λ) dλ IX = ϕ(0)IX = hϕ, δiIX . hϕ, P ∗ U i = 2πi −i∞

Второе уравнение U ∗ P = δ ⊗ IY доказывается аналогично. ³ ´ {M }, B 0 Теперь свяжем равенства (1.3.35) в пространстве Da q (X) с обобщенной корректностью задачи (1.3.1) в этом пространстве. Теорема 1.3.6. Пусть A — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) задача Коши (1.3.1) является корректной в пространстве ультрараспределений ³ ´ {Mq }, B 0

Da

(X);

³

(ii) существует обобщенное семейство операторов U ∈ уравнения (1.3.35).

´ {Mq }, B 0

Da

{Mq }, B

Доказательство. (i)=⇒(ii). Для каждого элемента ϕ ∈ Da hϕ, U i, действующий из X в Y ⊆ X по правилу

(L(X)), разрешающих

определим линейный оператор

hϕ, U if := hϕ, ui, f ∈ X, ³ ´0 {M }, B где u ∈ Da q (X) — решение корректной задачи (1.3.8). Из устойчивости решения имеем khϕ, U ifn k = khϕ, un ik → 0 {Mq }, B

равномерно по ϕ из каждого ограниченного в Da {M }, B ϕ ∈ Da q справедливо U (ϕ) ∈ L(X).

при kfn k → 0 множества. Следовательно, для любого

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

61

³ ´ {M }, B 0 Из определения оператора U следует, что U f ∈ Da q (X) для любого f ∈ X. Покажем, ³ ´0 {M }, B что U ∈ Da q (L(X)), т. е. {M }, B

1) U — линейный оператор, действующий из Da q в L(X), 2) supp U ⊂ [0; ∞), {M }, B {M }, B 3) для любой последовательности ϕn ∈ Da q , сходящейся к нулю в Da q , выполняется khϕn , U ikL(X) → 0. Рассмотрим множество

³ ´ {M }, B 0 B = {U f : kf k 6 C} ⊂ Da q (X). ³ ´ {M }, B 0 Оно ограничено в пространстве Da q (X), поскольку из устойчивости решения мы имеем sup khϕ, U if k = sup khϕ, uik < ∞ U f ∈B {Mq }, B

для любого ϕ ∈ Da

kf k6C

.

³ ´ {M }, B 0 По структурной теореме 3.4.4 множество B ограничено в Da q (X) тогда и только тогда, когда для любого компактного множества K ⊂ R+ и для любого элемента U f множества B найдутся меры uk = uk ∈ C ∗ (K, X), удовлетворяющие оценке

Bk , Mk с константой C > 0, не зависящей от элементов множества B, и такие, что

(1.3.39)

kuk kC ∗ (K,X) 6 C

∞ X dk Uf = uk . dtk k=0

Следовательно, для любой последовательности ϕn → 0 и любого U f ∈ B °∞ ° °∞ ° °X ° °X ° ° ° ° ° khϕn , U if k = ° hϕn , Dk uk i° = ° h(−1)k ϕ(k) , u i k °6 n ° ° ° ° k=0

6

∞ X

k=0

kuk kC ∗ (K,X) kϕ(k) n kC([−a;a]) .

k=0

Умножая числитель и знаменатель на произвольное пока число hk и учитывая (1.3.39), для любого m ∈ N получаем khϕn , U if k 6 C1

∞ X B k (h + k=0

(k) 1 k m ) kϕn kC([−a;a]) Mk hk

1 , получаем Полагая теперь h = 2B khϕn , U if k 6 2C1 kϕn km −−−−→ 0, ϕn →0

6 C1

∞ X

hk B k kϕn km .

k=0

U f ∈ B. {M }, B

Таким образом, для любой последовательности ϕn , сходящейся к нулю в Da q , последовательность U (ϕn )f сходится к нулю в X равномерно по f из ограниченного в X множества, т. е. U (ϕn ) сходится по норме пространства L(X). Проверка того, что U удовлетворяет уравнениям (1.3.35), проводится по определению свертки и оператора P аналогично доказательству, приведенному в теореме 1.3.3. (ii)=⇒(i). Для f ∈ X мы рассмотрим элемент ³ ´ {M }, B 0 u := U f ∈ Da q (X).

62

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Поскольку имеет место первое уравнение в (1.3.35), u является решением уравнения (1.3.8): P ∗ u = P ∗ U f = δ ⊗ f. доказать устойчивость введенного решения, мы покажем, что un → 0 в пространстве ³ Чтобы ´ {Mq }, B 0 {M }, B Da (X) (т. е. равномерно по ϕ из ограниченного в Da q множества) при fn → 0, fn ∈ X. {M }, B Пусть B — ограниченное в Da q множество; тогда оно имеет вид n o {M }, B B = ϕ ∈ Da q : kϕkm 6 Cm , m ∈ N . Оператор hϕ, U i является линейным ограниченным; следовательно, khϕ, un ik = khϕ, U ifn k 6 khϕ, U ikL(X) kfn k. ³ ´ {M }, B 0 В силу того, что U — элемент пространства Da q (L(X)), сопряженного к счетно– нормированному, найдется U является элементом пространства, сопряжен³ m0 ∈ N, при котором ´ {Mq }, B ного к нормированному Da , k · km0 ; следовательно, существует такая константа C > 0, что {M }, B khϕ, U ikL(X) 6 Ckϕkm0 , ϕ ∈ Da q . Тогда на функциях ϕ ∈ B имеем khϕ, un ik 6 Ckϕkm0 kfn k = C 0 kfn k,

ϕ ∈ B,

что доказывает равномерную по ϕ ∈ B сходимость последовательности khϕ, un ik к нулю. Покажем единственность решения. Пусть v — еще одно решение задачи (1.3.8), т. е. P ∗ v = δ ⊗ f. Тогда

³ ´ {M }, B 0 U ∗ P ∗ v = U ∗ (δ ⊗ f ) = U f = u ∈ Da q (X).

Из второго уравнения в (1.3.35) мы получаем

³ ´ {M }, B 0 u = U ∗ P ∗ v = (δ ⊗ IY ) ∗ v = v ∈ Da q (X).

Справедлив результат, обратный по отношению к теореме 1.3.5. ³ ´ {M }, B 0 Теорема 1.3.7. Если существует обобщенное семейство операторов U ∈ Da q (L(X)), разрешающих уравнения (1.3.35), то резольвента оператора A удовлетворяет условию (1.3.32) с параметрами α, β, γ, ω, определяемыми последовательностью {Mq }, параметрами a, B и структурной теоремой. {Mq }, B

Доказательство. Для 0 < c < c0 рассмотрим «локальную единицу» ψ в пространстве Da   0, t < −1, 1, 0 6 t 6 c, ψ(t) =  0, t > c0 .

:

Для произвольного λ ∈ C обозначим ψλ (t) := e−λt ψ(t) и рассмотрим первое уравнение в (1.3.35) на этой основной функции: hψλ , P ∗ U i = hP ∗ ψλ , U i = hψλ , U 0 i − Ahψλ , U i = IX ψλ (0) = IX . В силу линейности оператора U (ϕ) выполняется равенство hψλ , U 0 i = −h(ψλ (t))0 , U i = −h−λe−λt ψ(t) + e−λt ψ 0 (t), U i = λhψλ , U i − he−λt ψ 0 (t), U i. Отсюда и из предыдущего уравнения получаем (λI − A)hψλ , U i = IX + he−λt ψ 0 (t), U i.

(1.3.40)

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

63 {Mq }, B

Чтобы доказать существование резольвенты, сначала оценим функцию e−λt ϕ(t) для ϕ ∈ Da а затем получим оценки для he−λt ψ(t), U i, he−λt ψ 0 (t), U i. Для любого q ∈ N0 справедливо равенство

,

q

X dq −λt −λt (e ϕ(t)) = e Cqj (−λ)q−j ϕ(j) (t). dtq j=0

Пусть supp ϕ ∩ R0 ⊆ [a0 ; a]; тогда a0 > 0. Если Re λ > 0, то ¯ ¯ q ¶ µ q X ¯d ¯ |ϕ(j) (t)| |λ|q−j 1 q j sup sup ¯¯ q (e−λt ϕ(t))¯¯ 6 e−a0 Re λ C M B + ¢q−j j 1 j q¡ m t∈[a0 ;a] Mj (B + m ) t∈[a0 ;a] dt B+ 1 j=0

m

µ ¶ q 1 qX M0 |λ|q−j 1 −a0 Re λ sup 6 e kϕkm B + Cqj Mj Mq−j , 1 q−j M0 m Mq−j q−j (B + m ) j=0

где согласно (3.2.15) |ϕ(j) (t)| m ∈ N. ¡ ¢j , j∈N0 t∈[a0 ;a] Mj B + 1 m Из свойства логарифмической выпуклости (M.1) (см. пункт 3.2.7) следует, что Mj Mq−j 6 Mq . Используя это свойство и равенство kϕkm = sup sup

M0 |λ|n Mn n для функции M , являющейся ассоциированной функцией последовательности Mq , получаем ¯ q ¯ µ ¶ q ¯d ¯ 1 qX j 1 M (|λ|/B)−a0 Re λ −λt sup ¯¯ q (e ϕ(t))¯¯ 6 e kϕkm B + Cq Mq 6 M0 m t∈[a0 ;a] dt j=0 µ ¶q 1 1 M (|λ|/B)−a0 Re λ e B+ 6 kϕkm Mq 2q ; M0 m отсюда ¯ ¯ dq −λt ¯ q (e ϕ(t))¯ 1 M (|λ|/B)−a0 Re λ −λt dt ¡ ¢ 6 e kϕkm . (1.3.41) ke ϕ(t)km/2 = sup sup 1 q q M0 2 q∈N0 t∈[a0 ;a] Mq B + m eM (|λ|) = sup

По структурной теореме U является элементом пространства, сопряженного к некоторому норми³ ´ {Mq }, B , k · km0 ; следовательно, найдутся m0 ∈ N и C > 0 такие, что рованному Da khϕ, U ikL(X) 6 Ckϕkm0 . Так как a0 = 0 для ψ и a0 = c для

ψ0

из (1.3.41) при m = 2m0 получаем 1 M (|λ|/B)−c Re λ 0 khe−λt ψ 0 (t), U ikL(X) 6 Cke−λt ψ 0 (t)km0 6 C e kψ km , M0 1 M (|λ|/B) khe−λt ψ(t), U ikL(X) 6 Cke−λt ψ(t)km0 6 C e kψkm . M0 Из представления (1.3.40) и неравенства C M (|λ|/B)−c Re λ 0 e kψ km = δ < 1 (1.3.42) M0 мы получаем область существования оператора, обратного к λI − A: ½ µ µ ¶¶¾ C λ ∈ C : Re λ > 1/c M (|λ|/B) + ln = {λ ∈ C : Re λ > αM (γ|λ|) + ω} =: ΛM α, γ, ω , M0 δ и оценки на резольвенту в этой области kR(λ)kL(X) 6

C eM (|λ|/B) kψkm . M0 (1 − δ)

64

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

Таким образом, для любого c > 0 найдутся µ ¶ 1 C α= , ω = ln , c M0 δ

γ=

1 , B

C1 =

КОШИ

Ckψkm , M0 (1 − δ)

где C — из структурной теоремы, а δ определено формулой (1.3.42), такие, что kR(λ)kL(X) 6 C1 eM (γ|λ|) ,

λ ∈ ΛM α, γ, ω .

1.3.5. Задача Коши в пространствах обобщенных функций Иванова. В предыдущих пунктах настоящего раздела мы рассматривали обобщенную корректность задачи Коши (1.3.1): u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; τ ), τ 6 ∞,

u(0) = f,

(1.3.43)

с оператором A, порождающим конволюционную и, в частности, интегрированную полугруппу в пространстве X. Принимая во внимание установленную связь обобщенной корректности с существованием n раз интегрированной полугруппы и K-конволюционной полугруппы, а также с поведением резольвенты оператора A, удовлетворяющей условиям (I)–(III): (I) Λω = {λ ∈ C : Re λ > ω > 0} ⊆ ρ(A), ° k µ ¶° ° d R(λ) ° Ck! ° ° , 6 ° dλk ° n λ (Re λ − ω)k+1 L(X)

λ ∈ Λω ,

k ∈ N0 ,

(II) Λln n, ν, ω = {λ ∈ C : Re λ > nν ln |λ| + ω} ⊆ ρ(A), kR(λ)kL(X) 6 C|λ|n ,

λ ∈ Λln n, ν, ω ,

(III) ΛM α, γ, ω = {λ ∈ C : Re λ > αM (γ|λ|) + ω} ⊆ ρ(A), kR(λ)kL(X) 6 CeM (β|λ|) ,

λ ∈ ΛM α, γ, ω ,

где M — некоторая положительная неубывающая функция, мы приходим к следующему заключению о возможности регуляризации задачи Коши (1.3.43) полугрупповыми методами и методами теории распределений. (Мы понимаем здесь регуляризацию в широком смысле.) Для регуляризации (по переменной t) операторов решения задачи (1.3.43) при помощи свертки с функцией K или при помощи основных функций ϕ из соответствующего пространства D{Mn } необходимо, чтобы оператор A имел регулярные точки в некоторой области комплексной плоскости, содержащей полуось Re λ > ω. В этом пункте для оператора A, не удовлетворяющего условиям (I)–(III), мы строим регуляризацию при помощи функций, обобщенных по «переменной» оператора A. (В случае дифференциального оператора A это будут пространственные переменные x ∈ Rn . Детальное построение соответствующих пространств основных и обобщенных функций для регуляризации дифференциальной задачи Коши (0.1) будет дано в следующем разделе.) Для этого проведем исследование обобщенной корректности задачи Коши с оператором A, удовлетворяющим условию: (IV) регулярные значения оператора A не заполняют в правой полуплоскости никакого интервала вида λ > ω, в частности, для оператора A, порождающего R-полугруппу. У таких операторов не существует резольвенты в областях типа Λα, γ, ω из условий (I)–(III), есть только R-резольвента. Для задач с оператором A, удовлетворяющим условию (IV), мы установим корректность в пространствах новых обобщенных функций, введенных Ивановым [11, 13]. Конструкция таких пространств основана на концепциях Соболева и Л. Шварца, развитых Земаняном и Пилиповичем [10, 70]: вместо дифференциального оператора к основным функциям применяется неограниченный оператор P : X → X, дающий решение некорректной задачи. В случае гильбертова пространства X = H основные ∞ T Dom P k . Конструкция, функции ϕ ∈ H строятся как функции, действующие из Dom P k или k=1

использующая Dom P k , может применяться и в случае банахова пространства X.

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

65

Рассмотрим самосопряженный (неограниченный) оператор P , действующий в гильбертовом пространстве H и порождающий в H ортонормальный базис из собственных векторов {αk }, соответствующих собственным значениям |µ1 | 6 |µ2 | 6 . . .. Обозначим через H класс таких операторов. Область определения оператора P плотна в H, но в общем случае не совпадает с H. То же самое можно сказать о Dom P k . Введем нормированные пространства ( ) k X k i Pk := ϕ ∈ Dom P ⊂ H, kϕkk = kP ukH , k = 0, 1, 2, . . . i=0

и счетно-нормированное пространство ( P∞ :=

ϕ∈

∞ \

) Dom P k ⊂ H,

kϕkk , k > 0 .

k=0

Сходимость последовательности ϕn → ϕ в пространстве P∞ означает, что P k ϕn → P k ϕ в H для всех k > 0. Заметим, что пространство P∞ непусто, поскольку оно содержит все собственные векторы αn оператора P : P k αn = µkn αn ,

k > 0.

0 ). Пространства новых обобщенных функций определяются как сопряженные пространства Pk0 (P∞ Основное пространство P∞ является обобщением пространств Л. Шварца бесконечно дифферен0 — обобщение пространства E 0 , распределений цируемых основных функций E, а пространство P∞ с компактным носителем. Пространства Pk обобщают пространства Соболева. Если оператор P равен дифференциальному оператору, определенному в пространстве H = L2 (G), то пространство Pk совпадает с W2k (G) ≡ Hk (G), а Pk0 — с H−k (G). Из этих соображений мы обозначаем Pk0 символом 0 — символом P P−k и P∞ −∞ . Рассматривая введенные пространства Pk , P−k и те, что будут введены ниже (Jk , J−k ), мы будем использовать последовательности коэффициентов Фурье для элементов ϕ ∈ Pk (Jk ): ϕ en = hαn , ϕi и, по аналогии с коэффициентами Фурье, значения функционалов, порожденных элементами f ∈ P−k (J−k ) на собственных векторах αn : fen = hαn , f i. Обратные преобразования имеют форму рядов Фурье ∞ ∞ X X ϕ= ϕ en αn , f= fen αn . (1.3.44) n=1

n=1

Из определения пространства Pk следует, что если ϕ ∈ Pk , то P i ϕ ∈ H, i 6 k; поэтому ряд для P i ϕ сходится в H, а ряд для ϕ ∈ Pk сходится в Pk . Поскольку для любого ϕ ∈ Pk + * m + *∞ m X X X fen αn = ϕ en αn , fen αn = lim lim ϕ, m→∞

m→∞

n=1

= lim

m→∞

n=1 m D X n=1

n=1

*

E

ϕ en , fen = lim

m→∞

m X

+ ϕ en αn , f

= hϕ, f i ,

n=1

ряд для f ∈ P−k сходится в P−k . Отсюда следует, что пространства Pk плотны в H: для любого m P ϕ ∈ H частичные суммы ϕ en αn ∈ Pk сходятся к ϕ в H. Кроме того, отсюда следует, что n=1

пространство H плотно в P−k в смысле слабой топологии: для любого f ∈ P−k частичные суммы m P fen αn ∈ H сходятся к f в P−k .

n=1

Наряду с пространствами Pk , P∞ и P−k , P−∞ , мы строим пространства основных функций Jk и новых обобщенных функций J−k , определяемые в форме рядов Фурье, коэффициенты которых имеют соответствующий порядок убывания или возрастания. Такие пространства могут совпадать с уже введенными пространствами, однако при исследовании обобщенной корректности оба эти подхода оказываются полезными.

66

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Пусть {γk }, |γ1 | 6 |γ2 | 6 . . ., — заданная числовая последовательность, и пусть {αn } — ортонормальный базис в H. Рассмотрим пространство основных функций ( ) ∞ X 2 2k J∞ := ϕ ∈ H : |ϕ en | |γn | < ∞, k > 1 n=1

со счетной системой норм

à kϕkk =

∞ X

!1/2 |ϕ en |2 |γn |2k

(1.3.45)

n=1 0 новых обобщенных функций f , опредеи рассмотрим соответствующее пространство J−∞ = J∞ ∞ P fen αn с коэффициентами, удовлетворяющими условию ленных в форме рядов f = n=1

∞ X

|fen |2 |γn |−2k0 < ∞,

n=1

при некотором k0 > 1. Наряду с пространствами J∞ , J−∞ определим пространства Jk , J−k такие, ∞ ∞ P P fen αn ∈ J−k коэффициенты ϕ en и fen подчинены соответственно ϕ en αn ∈ Jk и f = что для ϕ = условиям

n=1

n=1

∞ X

|ϕ en |2 |γn |2k < ∞,

n=1

∞ X

|fen |2 |γn |−2k < ∞,

n=1

а нормы в пространстве Jk определены равенствами (1.3.45). Тогда J∞ =

∞ \

Jk ,

J−∞ =

∞ [

J−k .

k=1

k=1

Если в качестве ортонормальной системы αn взять систему собственных векторов оператора P ∈ H, а в качестве последовательности {γn } — систему собственных значений {µn }, то пространство J∞ (Jk ) совпадет с P∞ (Pk ). Пространства Jk с выбранной таким образом последовательностью {γn } используют для изучения обобщенной корректности задачи нахождения неограниченного оператора P : u = P f, в частности, операторов решения некорректных задач Коши: u(t) = U (t)f , t ∈ [0; T ]. Если {γn } взята равной последовательности типа {γn = F (λn )}, где λn — собственные значения оператора A ∈ H, то Jk совпадает с пространством Pk , порожденным оператором P = F (A). Такие пространства используются при изучении обобщенной корректности некорректных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений и среди них — задач Коши: если начальные данные взяты из P−k (J−k ), k = 0, 1, . . . (в частности, H = P0 = J0 ), то существование, единственность и устойчивость решения могут быть установлены в пространствах P−m (J−m ) при m > k; если начальные данные взяты из P−∞ (J−∞ ), корректность имеет место в тех же пространствах. Пусть теперь H+ — подкласс операторов из класса H с собственными значениями λk такими, что λ1 6 λ2 6 . . .. Исследуем обобщенную корректность задачи Коши (1.3.43) с оператором A ∈ H+ , рассматривая сначала обобщенную задачу Коши в форме вычисления неограниченного оператора P = eAt в любой момент времени t ∈ [0; T ], T < τ , а затем в ее обычной форме задачи Коши. Теорема 1.3.8. Пусть A ∈ H+ и P = P (t) := eAt , t ∈ [0; T ]. Тогда для любого f ∈ P−k (P−∞ ) решение уравнения hϕ, ui = hϕ, P f i , ϕ ∈ Pk , k = 0, 1, . . . , (1.3.46) существует, единственно и устойчиво в пространстве P−k−1 (P−∞ ). Для этого решения существует разложение, определяемое следующим образом: u=

∞ X n=1

µn fen αn =

∞ X n=1

eλn t fen αn .

(1.3.47)

1.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

67

Доказательство. Покажем, что для любого f ∈ P−k формальное решение P f задачи (1.3.46) принадлежит пространству P−k−1 . Согласно определению пространства Pk , если ϕ ∈ Pk , то P ϕ ∈ Pk−1 . Поскольку оператор P отображает Pk+1 в Pk и hP f, ϕi := hf, P ϕi для f ∈ P−k , оператор P отображает P−k в P−k−1 . Следовательно, для f ∈ P−k , k = 0, 1, . . ., мы получаем P f ∈ P−k−1 . Поскольку P f = eAt f ∈ P−k−1 , справедливо разложение (1.3.47). Отсюда следует, что решение P f ∈ P−k−1 существует и единственно. Осталось проверить устойчивость решения в пространстве P−k−1 , что эквивалентно непрерывности оператора P : P−k → P−k−1 . Пусть fn → f в P−k , т. е. lim hϕ, fn i = hϕ, f i , ϕ ∈ Pk ; n→∞

тогда hϕ, un i = hϕ, P fn i = hP ϕ, fn i −→ hP ϕ, f i = hϕ, P f i = hϕ, ui ,

ϕ ∈ Pk ,

а это означает, что un → u в P−k−1 . Теперь для оператора A ∈ H+ с собственными векторами αn , соответствующими собственным значениям λn , обозначим пространство Jk с {γn = eλn τ } символом Jkexp и установим корректность задачи Коши (1.3.43) в этих пространствах новых обобщенных функций. exp exp ) решение задачи (1.3.43) Теорема 1.3.9. Пусть A ∈ H+ . Тогда для любого f ∈ J−k (J−∞ существует и для любого t ∈ [0; τ )

u(t) =

∞ X

exp eλn t fen αn ∈ J−k−1

¡ exp ¢ J−∞ ,

n=1

кроме того, решение единственно и устойчиво в этом пространстве. Доказательство. В рассматриваемых пространствах задача Коши (1.3.43) имеет вид hϕ, u0 (t)i = hϕ, Au(t)i ,

t ∈ [0; τ ),

hϕ, u(0)i = hϕ, f i ,

exp ϕ ∈ Jk+1 .

(1.3.48)

Запишем формальный ряд для u, подставим в (1.3.48) и получим (единственное) решение задачи Коши в виде ряда * ∞ + ∞ X X λn t e hϕ, u(t)i = ϕ, e fn αn = eλn t fen ϕ en , ϕ ∈ Jkexp . n=1

n=1

Устойчивость решения может быть доказана аналогично доказательству в теореме 1.3.8. Оператор A ∈ H+ , рассматриваемый в теоремах 1.3.8, 1.3.9, порождает локальную R-полугруппу S(t)f :=

∞ X

eλn (t−τ ) fen αn ,

n=1

где Rf =

∞ X

e−λn τ fen αn ,

n=1

а пространство Jkexp совпадает с Pk , где P = R−1 . Результаты, полученные в теоремах 1.3.8, 1.3.9, можно обобщить на случай произвольной R-полугруппы в гильбертовом пространстве следующим образом. Теорема 1.3.10. Пусть линейный оператор A в гильбертовом пространстве H является генератором локальной R-полугруппы на [0; τ ). Тогда для любой функции f ∈ P−k , где оператор P = R−1 порождает пространство Pk , решение задачи Коши (1.3.43), принимающей вид hϕ, u0 (t)i = hϕ, Au(t)i ,

t ∈ [0; τ ),

hϕ, u(0)i = hϕ, f i ,

ϕ ∈ Pk+1 ,

существует, единственно и устойчиво в пространстве P−k−1 . В пространстве P−∞ задача Коши (1.3.43) корректна в смысле Адамара: для любого f ∈ P−∞ решение существует, единственно и устойчиво в пространстве P−∞ .

68

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Доказательство. Классическое решение задачи Коши (1.3.43) с оператором A, порождающим R-полугруппу построено для f ∈ R (Dom A) при помощи неограниченных операторов решения U (t) = R−1 S(t): u(t) = U (t)f = R−1 S(t)f, t ∈ [0; τ ) −1 (см. пункт 1.2.5). Поскольку для f ∈ Dom R = Ran R мы имеем R−1 Sf = SR−1 f , области −1 определения операторов U (t), t ∈ [0; τ ), и R совпадают. Следовательно, U (t) : P−k → P−k−1 , и утверждение теоремы следует из теоремы 1.3.8. 1.4. ПОСТРОЕНИЕ

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ.

РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ

ОПЕРАТОРЫ

В этом разделе мы применяем к решению задачи Коши u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; T ],

u(0) = f

(1.4.1)

методы регуляризации, разработанные в теории некорректных задач. На основе этих методов, в отличие от предыдущих разделов, мы строим регуляризацию, обеспечивающую приближенное решение. Пусть A — линейный замкнутый оператор в банаховом пространстве X. Предположим, как это принято в теории некорректных задач, что из априорной информации известно, что для некоторого начального условия f существует решение задачи (1.4.1). Однако само это начальное условие известно с некоторой погрешностью δ > 0, т. е. вместо f задано fδ , kf − fδ k 6 δ. Эта погрешность δ называется погрешностью начальных данных. (Действительно, в большинстве прикладных задач известны не точные исходные данные, а приближенные, для которых погрешность задания определяется точностью измерительных приборов.) В такой постановке требуется построить регуляризующий оператор задачи — оператор, дающий для данного fδ приближенное решение, стремящееся к точному при стремлении погрешности начальных данных к нулю. Определение 1.4.1. Оператор Rε (t) : X → X, зависящий от параметров t ∈ [0; T ], ε > 0, называется регуляризующим оператором задачи Коши (1.4.1), если выполняются следующие условия: 1) для любых ε > 0, t ∈ [0; T ] оператор Rε (t) ограничен в пространстве X и для любого f ∈ X, Rε f ∈ C([0; T ], X); 2) существует зависимость ε = ε(δ) (ε(δ) −−−→ 0) такая, что δ→0

kRε(δ) (t)fδ − u(t)k −−−→ 0, δ→0

t ∈ [0; T ].

Параметр ε называется параметром регуляризации задачи (1.4.1). Как и большинство некорректных задач, некорректная задача Коши (1.4.1) является задачей вычисления некоторого неограниченного оператора: u(t) = U (t)f,

t ∈ [0; T ],

которая при условии единственности решения задачи Коши может быть записана в форме операторного уравнения первого рода F u = v, F : W → V, (1.4.2) −1 с неограниченным оператором F [11, 35]. Например, можем положить W = C([0; T ], X), V = X, F = U −1 (t). Основными методами регуляризации уравнений первого рода являются вариационные методы: метод квазирешений, метод невязки и метод Тихонова. В качестве приближенного решения задачи (1.4.2) с заданным vδ (kvδ − vkV 6 δ) берут решение одной из следующих вариационных задач: uε = arg inf{ kF u − vδ kV : kLukZ 6 ε}

(метод квазирешений Иванова),

uδ = arg inf { kLukZ : kF u − vδ kV 6 δ}

(метод невязки),

ur = arg inf{ kF u − vδ kV + rkLukZ , r > 0}

(метод Тихонова).

1.4. ПОСТРОЕНИЕ

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ.

РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ

ОПЕРАТОРЫ

69

В [11] доказано, что если F : W → V , L : W → Z — замкнутые линейные операторы, оператор F плотно определен, W , V — рефлексивные пространства, а Z — банахово, то эти методы эквивалентны. Это означает, что существует соотношение между положительными параметрами ε, δ и r такое, что соответствующие решения этих вариационных задач совпадают. Все указанные методы позволяют строить регуляризующие операторы задачи (1.4.2) Rε vδ := uε такие, что ε = ε(δ) −−−→ 0 δ→0

kRε(δ) vδ − ukV

(Rδ vδ := uδ , Rr vδ := ur )

(r = r(δ) −−−→ 0)

и

δ→0

(kRδ vδ − ukV , kRr(δ) vδ − ukV ) −→ 0

при

δ → 0.

В этом разделе для построения регуляризованных решений задачи Коши (1.4.1) мы применяем как классические методы регуляризации некорректных задач в форме (1.4.2), так и методы регуляризации, учитывающие дифференциальную специфику задачи (1.4.1). Сначала для некорректных задач Коши с оператором A, порождающим конволюционные (определение 1.2.17) и R-полугруппы (определение 1.2.18), мы строим регуляризующие операторы, комбинируя полугрупповые методы с методами регуляризации уравнений первого рода. Затем для некорректных задач с генераторами R-полугрупп регуляризующие операторы будут построены на основе установленной нами связи между регуляризующими операторами и R-полугруппами. Рассмотрим абстрактную задачу Коши (1.4.1) в случае, когда A — генератор экспоненциально ограниченной K-конволюционной полугруппы {Q(t), t ∈ [0; ∞)}. Из определения 1.2.17 конволюционной полугруппы следует, что для любого f ∈ X справедливо равенство Zt Q(t)f = A

Zt Q(s)f ds +

0

K(s)f ds,

t ∈ [0; ∞).

(1.4.3)

0

Напомним, что если для некоторого f существует решение u задачи (1.4.1), то оно связано с решением соответствующей уравнению (1.4.3) неоднородной задачи Коши v 0 (t) = Av(t) + K(t)f,

t ∈ [0; ∞),

v(0) = 0

(1.4.4)

соотношением v = K ∗u. Таким образом, построив решение vδ (t) = Q(t)fδ , t > 0, задачи (1.4.4) для начального условия fδ ∈ X, удовлетворяющего условию kf −fδ k 6 δ, мы приходим к необходимости регуляризации уравнения первого рода F u = v (уравнения в свертках): (F u)(t) := (K ∗ u)(t) = v(t),

t > 0.

(1.4.5)

Если начальное условие f задачи (1.4.1) задано с погрешностью δ, то в силу ограниченности операторов K-конволюционной полугруппы решение vδ задачи (1.4.4) отличается от точного v на величину kv − vδ k 6 Cδ. Следовательно, для задачи (1.4.5) мы получаем данные в правой части, также заданные с погрешностью. Применяя преобразование Лапласа к уравнению первого рода в свертках (1.4.5), получаем e u(λ) = ve(λ), K(λ)e отсюда u = L−1

λ > ω,

ve(λ) =: F −1 v. e K(λ)

e В силу свойств функции K, описанных в пункте 1.2.4, K(λ) → 0 при λ → ∞, т. е. следует регуляризовать неограниченный оператор F −1 . В соответствии с регуляризацией Арсенина—Тихонова [35] для задач первого рода в свертках регуляризующие операторы Rε (t), ε ∈ (0; ε0 ], t ∈ [0; T ), для задачи (1.4.5) могут быть построены следующим образом: ! Ã v e (λ)a(λ, ε) , f ∈ X, Rε (t)f = L−1 e K(λ) где a — комплексно- или действительнозначная функция такая, что ³ ´ e a(λ, ε) ⇒ 1 при ε → 0, a(λ, ε) = O K(λ) при λ → ∞, λ∈Λ

ε ∈ (0; ε0 ];

70

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

например, a(λ, ε) = ³

e K(λ)

´1/2 . 2 e (K(λ)) + ε

Методы регуляризации уравнений первого рода могут быть успешно использованы и в случае задачи (1.4.1) с оператором A, порождающим R-полугруппу. Здесь на первом шаге мы строим решение задачи Коши vδ0 (t) = Avδ (t), t ∈ [0; T ], vδ (0) = Rfδ . (1.4.6) Это процедура есть некоторый способ сглаживания начальных данных, заданных с погрешностью. Учитывая связь задачи Коши (1.4.1) с задачей (1.4.6) и связь R-полугрупп с операторами решения задачи (1.4.1) (см. пункт 1.2.5) мы приходим к необходимости решения уравнения первого рода Ru = v с vδ , полученным как решение задачи (1.4.6). На втором шаге осуществляется регуляризация этого уравнения одним из вариационных методов. Рассмотренные в этой главе различные подходы к решению некорректных задач Коши позволяют, наряду с вышеописанными, строить регуляризующие операторы, учитывающие дифференциальную специфику задач, не сводя их к форме (1.4.2). Важную роль в таком построении играют полугрупповые методы и установленная нами связь между существованием семейства регуляризующих операторов и локальными R-полугруппами, зависящими от параметра регуляризации [13,65]. Теорема 1.4.1. Предположим, что оператор −A порождает полугруппу класса C0 в банаховом пространстве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) A является генератором локальной Rε -полугруппы {Sε (t), t ∈ [0; τ )} с оператором Rε , сходящимся к единичному при ε → 0 на Dom A; (ii) для задачи (1.4.1) существует семейство линейных регуляризующих операторов {Rε (t), 0 < t 6 T < τ } для любого T < τ ; они обратимы и коммутируют с A. Доказательство. (ii)=⇒(i). Обозначим через U (t), t ∈ [0; T ], операторы решения задачи (1.4.1): U (t)f := u(t), t ∈ [0; T ]. Они неограничены как операторы решения некорректной задачи. Предположение, что оператор −A порождает полугруппу класса C0 , {U−A (t), t > 0}, гарантирует равномерную корректность задачи Коши u0 (t) = −Au(t),

t > 0,

u(0) = f,

(1.4.7)

а также обратной задачи Коши u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; T ],

u(T ) = f,

T < ∞.

Поскольку задача (1.4.7) корректна, ker U−A (t) = {0}. Следовательно, существует обратный к U−A (t) оператор и выполняется равенство [U−A (t)]−1 = U (t). Из коммутируемости регуляризующих операторов Rε (t) с оператором A следует коммутируемость Rε (t) с U−A (t) при t ∈ [0; T ]. Определим Sε (t) := Rε (T )U−A (T − t) = Rε (T )U (t)U−A (t)U−A (T − t) = Rε (T )U (t)U−A (T ),

t 6 T < τ,

и Rε = Sε (0) = Rε (T )U−A (T ). Мы утверждаем, что Sε (·) удовлетворяет соотношениям (R1), (R2) определения 1.2.18. Равенство Sε (t + s)Rε = Sε (t)Sε (s),

t, s, t + s ∈ [0; T ],

следует из коммутируемости Rε (T ) с U−A (t) и полугруппового свойства семейства U−A (t): Sε (t + s)Rε = Rε (T )U−A (T − t − s)Rε (T )U−A (T ) = = Rε (T )U−A (T − t)Rε (T )U−A (T − s) = Sε (t)Sε (s). Для любого T < τ оператор Rε (T ) определен на всем пространстве X и ограничен; операторы U−A (T − t) сильно непрерывны по t (T − t > 0). Следовательно, функции Sε (t)f = Rε (T )U−A (T − t)f

1.4. ПОСТРОЕНИЕ

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ.

РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ

ОПЕРАТОРЫ

71

непрерывны по t, t ∈ [0; τ ), для всех f ∈ X. Таким образом, {Sε (t), t ∈ [0; τ )} является локальной Rε -полугруппой. Покажем, что оператор Rε сходится к единичному при ε → 0. Для f ∈ Dom A имеем kRε f − f k = kRε (T )U−A (T )f − U (T )U−A (T )f k = kRε (T )y − U (T )yk,

(1.4.8)

где y = U−A (T )f — решение задачи (1.4.7) при t = T , соответствующее начальному условию f . Из равенства (1.4.8) и условия 2) определения 1.4.1 следует, что kRε f − f k −−−→ 0 ε→0

для f ∈ Dom A. Теперь покажем, что для полного инфинитезимального генератора G и для инфинитезимального генератора Z построенной Rε -полугруппы (см. определение 1.2.19) имеют место включения G ⊂ A ⊂ Z, из которых в силу включения Z ⊂ G, которое всегда имеет место для введенных генераторов (см. замечание 1.2.6), следует равенство A = G. По определению инфинитезимального генератора G для f ∈ Dom G имеем £ ¤ Gf = lim t−1 Rε−1 Sε (t)f − f = lim t−1 [U (t)f − f ] = t→0

t→0

= U 0 (0)f = AU (0) = Af, следовательно, Dom G ⊆ Dom A и A|Dom G = G. Отсюда и из замкнутости оператора A следует, что G ⊂ A. Покажем, что Dom A ⊆ Dom Z и Z|Dom A = A. Для f ∈ Dom A имеем Rε Af = ARε f = ARε (T )U−A (T )f = Rε (T )AU−A (T )f = = Rε (T ) lim t−1 [U−A (T − t) − U−A (T )] f = =

t→0 −1 lim t [Sε (t)f t→0

− Rε f ] = Rε Zf,

т. е. f ∈ Dom Z и Af = Zf для f ∈ Dom A. Следовательно, A ⊂ Z. (i)=⇒(ii). Пусть A является генератором локальной Rε -полугруппы {Sε (t), t ∈ [0; τ )} с оператором Rε , сходящимся к единичному при ε → 0 на Dom A. Покажем, что Rε (t) := Sε (t), 0 < t < τ , является регуляризующим оператором задачи (1.4.1), т. е. выполнены условия 1), 2) определения 1.4.1. Согласно предположению, линейный оператор Rε (t) определен на всем пространстве X, ограничен и, следовательно, непрерывен. Предположим, что для некоторого f ∈ Dom A существует решение u задачи (1.4.1). Для фиксированного t ∈ [0; T ], T < τ , рассмотрим погрешность kRε (t)f − u(t)k = kSε (t)Rε−1 Rε f − u(t)k. Поскольку Rε−1 и Sε (t) коммутируют на множестве значений оператора Rε , имеем Sε (t)Rε−1 Rε f = Rε−1 Sε (t)Rε f. По теореме 1.2.18 v(t) = Rε (t)f = Rε−1 Sε (t)Rε f = Rε−1 Sε (t)y,

t ∈ [0; τ ),

где y = Rε f ∈ Rε (Dom A), является единственным решением задачи Коши (1.4.1) с генератором Rε -полугруппы и начальным условием y: v 0 (t) = Av(t), 0 6 t 6 T, v(0) = y. С другой стороны, Rε u является решением задачи (1.4.1) с начальным условием Rε u(0) = Rε f = y, поэтому Rε (t)f = Sε (t)f = Rε u(t). Таким образом, если для начального условия f существует решение u, то kRε (t)f − u(t)k = kRε u(t) − u(t)k →ε→0 0, 0 6 t 6 T, т. е. Rε (t) — регуляризующий оператор задачи (1.4.1).

72

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Условие порождения оператором −A полугруппы класса C0 выполнено для сильно некорректных задач, типа задачи Коши для уравнения теплопроводности в обратном направлении времени. Наиболее известными примерами регуляризующих операторов для таких задач являются операторы, построенные методом квазиобращения и методом вспомогательных граничных условий или ABC (auxiliary boundary conditions) [13,19,60]. Результаты по регуляризации некорректных задач с оператором A из достаточно широкого класса, полученные этими методами, представляют следующие теоремы. Теорема 1.4.2 (см. [13, 60]). Пусть A — плотно определенный линейный оператор, спектр которого лежит в области n πo , Λ1 = λ ∈ C : | arg λ| < β < 4 и для любого λ ∈ / Λ1 имеет место оценка резольвенты оператора A kR(λ)kL(X) 6 C(1 + |λ|)−1 , при некотором C > 0. Тогда оператор Rε (t)fδ = uε,δ (t) = UAε (t)fδ = −

1 2πi

Z e(λ−ελ

2 )t

R(λ)fδ dλ,

∂Λ1

построенный в соответствии с методом квазиобращения как решение задачи Коши u0ε,δ (t) = (A − εA2 )uε,δ (t) =: Aε uε,δ (t),

0 < t 6 T,

uε,δ (0) = fδ ,

является регуляризующим оператором некорректной задачи Коши (1.4.1). Здесь {UAε (t), t > 0} есть полугруппа класса C0 с генератором Aε . Теорема 1.4.3 (см. [13, 60]). Пусть A — плотно определенный линейный оператор, спектр которого лежит в полуполосе n o π Λ2 = λ ∈ C : | Im λ| < α < , Re λ > ω, ω ∈ R , T и для λ ∈ / Λ2 резольвента оператора A ограничена. Тогда оператор Z 1 eλt b Rε (t)fδ = u bε,δ (t) = − R(λ)fδ dλ, fδ ∈ X, t < T, 2πi 1 + εeλ(T ) ∂Λ2

построенный в соответствии с методом ABC как решение краевой задачи u b0ε,δ (t) = Ab uε,δ (t),

0 < t < T,

u bε,δ (0) + εb uε,δ (T ) = fδ , ε > 0, является регуляризующим оператором некорректной задачи (1.4.1). Если в качестве оператора, удовлетворяющего условиям теорем 1.4.2, 1.4.3, взять оператор A в гильбертовом пространстве H с ортонормальным базисом из собственных векторов αk (k ∈ N), соответствующих собственным значениям λk > ω (Aαk = λk αk ), то регуляризующие операторы, полученные методом ABC: Rε,p (t)f =

∞ X

e λk t

k=1

1 + εeλk T

fk αk ,

p > 1,

eλk t−ελk T fk αk ,

p > 1,

p

и модифицированным методом квазиобращения: b ε,p (t)f = R

∞ X

p

k=1

образуют Rε -полугруппы в H с операторами Rε f =

∞ X

1

f α , λpk T k k 1 + εe k=1

bε f = R

∞ X k=1

p

e−ελk T fk αk .

1.5. ПРОБЛЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

73

Как было отмечено выше, условие порождения оператором −A полугруппы класса C0 справедливо для сильно некорректных задач. Анализ доказательства теоремы 1.4.1 показывает, что для некорректных задач Коши (1.4.1), не удовлетворяющих этому условию, мы также можем доказать импликацию (i)=⇒(ii), т. е. использовать Rε -полугруппы для построения регуляризующих операторов. Теорема 1.4.4 (см. [24, 66]). Пусть A — генератор локальной Rε -полугруппы {Sε (t), t ∈ [0; τ )} с оператором Rε , на Dom A сходящимся к единичному при ε → 0. Тогда существуют линейные регуляризующие операторы задачи (1.4.1), коммутирующие с A, и эти операторы имеют вид Rε (t) := Sε (t),

t ∈ [0; T ],

T < τ.

Покажем, что регуляризацию такого типа можно применять к задаче Коши с плотно определенным оператором A, порождающим один раз интегрированную экспоненциально ограниченную полугруппу {V (t), t > 0}. В [2] доказано, что оператор µ ¶ 1 1 1 Rε (t) := V 0 (t)R , > γ > ω, t > 0, ε ε ε является регуляризующим оператором задачи (1.4.1). Из теоремы 1.2.19 (об эквивалентности порождения оператором A n раз интегрированной полугруппы и R-полугруппы с оператором R = Rn (λ0 )) следует, что Rε (t) совпадает с регуляризующим оператором, построенным в теореме 1.4.4: µ ¶ 1 0 1 1 Sε (t) = V (t)R , > γ > ω, t > 0. ε ε ε В основе построения этого регуляризующего оператора лежит следующее важное свойство резольвенты: λR(λ)x → x, при λ → ∞, x ∈ X, которое для один раз интегрированных полугрупп имеет место на Dom A, а для полугрупп классов C1 и A, как показано в пункте 1.2.1.2, выполняется на всем пространстве. Во второй главе настоящей работы, посвященной задаче Коши с дифференциальными операторами, используя связь между регуляризующими операторами и R-полугруппами, для широкого класса некорректных задач мы построим целый класс регуляризующих операторов, являющихся R-полугруппами. Упомянутые в этом пункте регуляризующие операторы µ ¶ 1 1 Rε = R ε ε являются частным случаем таких конструкций. 1.5. ПРОБЛЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

В разделе 1.2 разные типы корректности (равномерная корректность, (n, ω)-, n- и R-корректность) абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве X были исследованы методами теории полугрупп операторов. В разделе 1.3 корректность обобщенной (по временн´ой переменной t) абстрактной задачи Коши в ¡ ¢0 пространствах Sω0 (X), D0 (X) и DMq (X) была исследована также методами теории полугрупп — полугрупп распределений. Доказательство единственности в указанных разделах основано на полугрупповых свойствах оператора решения задачи и применяется в случаях, когда резольвентное множество оператора A непусто. Существует более общее доказательство единственности решения абстрактной задачи Коши, не использующие полугрупповую технику, — доказательство, связанное с преобразованием Лапласа и поведением резольвенты оператора A, а именно справедлив следующий результат [20].

74

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Теорема 1.5.1 (Любича). Если существует такое ω ∈ R, что {λ ∈ C : Re λ > ω} ⊆ ρ(A) и ln kR(λ)kL(X) < ∞, λ→+∞ λ lim

то задача Коши u0 (t) = Au(t),

t ∈ (0; ∞),

u(0) = f ∈ X,

не может иметь более одного решения в банаховом пространстве X Если при этом ln kR(λ)kL(X) lim = 0, λ→+∞ λ то локальная задача Коши u0 (t) = Au(t),

t ∈ (0; τ ),

u(0) = f ∈ X

не может иметь более одного решения в банаховом пространстве X. Если оператор A не имеет резольвенты, то единственность решения в банаховом пространстве доказывается в технике R-полугрупп (пункт 1.2.5). В следующей главе работы решения задачи Коши рассматриваются как функции, обобщенные по пространственной переменной. Предполагается, что начальные условия, как и сами решения, являются элементами некоторого пространства Φ0 . В связи с этим оставшуюся часть раздела мы посвятим исследованию единственности решения задачи Коши в линейных топологических пространствах, которое проводим, следуя [9]. Будем рассматривать абстрактную задачу Коши du(t) = Au(t), t ∈ [0; T ], u(t0 ) = f ∈ Φ0 , t0 ∈ [0; T ], (1.5.1) dt с линейным ограниченным оператором A, действующим в линейном топологическом пространстве Φ0 — сопряженном к некоторому линейному топологическому пространству Φ. (Здесь T можно считать любым, меньшим числа τ , фигурировавшего в постановке задачи (1.1.1), и совпадающим с T в постановке задачи (0.2), а также с T в постановке задачи (2.1.1), (2.1.2), к которой в главе 2 мы применим полученные ниже результаты.) Определение 1.5.1. Будем говорить, что задача Коши (1.5.1) разрешима в прямом направлении в пространстве Φ0 , если t0 = 0 и решение существует для любого f ∈ Φ0 . Задача Коши (1.5.1) разрешима в обратном направлении в пространстве Φ0 , если t0 = T и решение существует для любого f ∈ Φ0 . Наконец, задача Коши (1.5.1) всюду разрешима в пространстве Φ0 , если решение существует при любом начальном условии f ∈ Φ0 , заданном в любой момент времени t0 ∈ [0; T ]. Во всех трех случаях предполагается, что существующее решение при каждом t ∈ [0; T ] является элементом пространства Φ0 и линейным и непрерывным образом зависит от начального условия. Далее мы указываем условия всюду разрешимости задачи (1.5.1) и условия единственности ее решения в пространстве Φ0 . Они связаны с разрешимостью следующей задачи Коши в основном пространстве Φ: dϕ(t) = Bϕ(t), t ∈ [0; T ], ϕ(t0 ) = ψ ∈ Φ, t0 ∈ [0; T ], (1.5.2) dt где оператор B — линейный ограниченный в линейном топологическом пространстве Φ и такой, что оператор −A является сопряженным к нему в пространстве Φ0 : B ∗ = −A. Теорема 1.5.2. Если задача Коши (1.5.2) всюду разрешима в пространстве Φ и ее решение единственно, то задача Коши (1.5.1) всюду разрешима в пространстве Φ0 и ее решение также единственно.

1.5. ПРОБЛЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

75

Доказательство. Существование. По условию для любых t0 ∈ [0; T ], ψ ∈ Φ существует решение задачи Коши (1.5.2), т. е. для любых t0 , t ∈ [0; T ] в пространстве Φ задан линейный непрерывный дифференцируемый по t оператор Utt0 , определяющий решение задачи (1.5.2) в момент времени t: ϕ(t) = Utt0 ψ,

Utt0 : Φ → Φ.

Из начального условия для любого ψ ∈ Φ получаем Utt00 ψ = ψ, откуда Utt00 = I. Из уравнения для произвольного ψ ∈ Φ имеем d t U ψ = BUtt0 ψ, dt t0 откуда d t U = BUtt0 . (1.5.3) dt t0 Возьмем произвольные t0 , t, t1 ∈ [0; T ] и построим решение в момент времени t1 с начальным условием ψ, заданным в момент времени t0 ; получим ϕ(t1 ) = Utt01 ψ. С другой стороны, решение в момент времени t1 с начальным условием ϕ¯ = Utt0 ψ, заданным в момент времени t, определяется по формуле ϕ(t1 ) = Utt1 ϕ¯ = Utt1 Utt0 ψ. В силу единственности решения задачи (1.5.2) и произвольности ψ ∈ Φ имеем Utt1 Utt0 = Utt01 . Заметим, что до сих пор мы нигде не использовали разрешимость задачи (1.5.2) в обе стороны: достаточно было разрешимости в прямом или обратном направлении. Если теперь в этой формуле задействовать разрешимость в обе стороны и положить t1 = t0 , то получится равенство Utt0 Utt0 = Utt00 = I,

(1.5.4)

где операторы Utt0 , Utt0 дают решения задачи (1.5.2) в разных направлениях. Дифференцируя равенство (1.5.4) по t, получаем dU t dUtt0 t Ut0 + Utt0 t0 = 0, dt dt откуда в силу (1.5.3) dUtt0 t U + Utt0 BUtt0 = 0. dt t0 Применяя к этому равенству оператор Utt0 справа и учитывая (1.5.4), получаем dUtt0 = −Utt0 B; dt следовательно, оператор, сопряженный к Utt0 , удовлетворяет в пространстве Φ0 уравнению d(Utt0 )∗ = −B ∗ (Utt0 )∗ . (1.5.5) dt Рассмотрим функционал u(t) = (Utt0 )∗ f . Покажем, что при любых t0 ∈ [0; T ], f ∈ Φ0 он является решением задачи Коши (1.5.1) в момент времени t. Действительно, в силу равенства (1.5.5) функционалы u(t), t ∈ [0; T ], удовлетворяют уравнению du(t) = Au(t), t ∈ [0; T ]. dt Так как (Utt00 )∗ = I ∗ = I, построенное решение удовлетворяет и начальному условию u(t0 ) = (Utt00 )∗ f = f. Непрерывная и линейная зависимость решения от начального условия сразу следует из непрерывности и линейности оператора (Utt0 )∗ . Таким образом, пользуясь разрешимостью задачи (1.5.2) в обе стороны и единственностью ее решения, мы построили оператор решения задачи (1.5.1), действующий также в обе стороны. Единственность. Покажем, что задача (1.5.1) может иметь лишь единственное решение. Для этого достаточно показать, что начальному условию f = 0 соответствует нулевое решение u(t) ≡ 0.

76

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

АБСТРАКТНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ

КОШИ

Для произвольных t, t1 ∈ [0; T ], ϕ1 ∈ Φ рассмотрим решение задачи (1.5.1) в момент времени t на элементе ϕ(t) = Utt1 ϕ1 ∈ Φ: hUtt1 ϕ1 , u(t)i, и продифференцируем это выражение по t: ¿ À ¿ À ¿ t À dUt1 d du(t) t ϕ(t), u(t) = Ut1 ϕ1 , + ϕ1 , u(t) , dt dt dt

u(t) ∈ Φ0 .

Так как ϕ — решение задачи (1.5.2), получаем ¿ À d ϕ(t), u(t) = hUtt1 ϕ1 , Au(t)i + hBUtt1 ϕ1 , u(t)i = hUtt1 ϕ1 , Au(t)i + hUtt1 ϕ1 , B ∗ u(t)i = 0; dt следовательно, выражение hUtt1 ϕ1 , u(t)i не зависит от t. В частности, полагая t = t0 , из того, что u(t0 ) = 0, получаем, что значение этого выражения равно нулю: hUtt10 ϕ1 , u(t0 )i = 0. Тогда при t = t1 имеем hUtt11 ϕ1 , u(t1 )i = hϕ1 , u(t1 )i = 0. Отсюда в силу произвольности ϕ1 ∈ Φ следует, что u(t1 ) = 0 ∈ Φ0 , а в силу произвольности t1 ∈ [0; T ] получаем равенство u(t) = 0 на всем отрезке [0; T ]. В доказательстве единственности мы рассматривали выражение hϕ(t), u(t)i при t = t0 и t = t1 , не подчеркивая, какое из этих чисел больше. В этом не было необходимости, поскольку по условию теоремы задача (1.5.2) была разрешима в обе стороны. При этом получена единственность решения задачи (1.5.1) как в прямом, так и в обратном направлении времени. Однако, если поставить себе цель доказать единственность решения задачи (1.5.1) только в одном направлении времени, можно существенно ослабить требования к задаче (1.5.2). А именно, чтобы показать единственность решения задачи (1.5.1) в прямом направлении, т. е. при t0 = 0, достаточно, чтобы задача (1.5.2) была разрешима в обратном направлении на произвольном отрезке [0; t00 ] ⊆ [0; T ] для любого ψ ∈ Φ, т. е. потребовать, чтобы при любом t00 ∈ [0; T ] и любом ψ ∈ Φ существовало решение задачи dϕ(t) = Bϕ(t), dt

t ∈ [0; t00 ],

ϕ(t00 ) = ψ ∈ Φ.

И наоборот, чтобы показать единственность решения задачи (1.5.1) в обратном направлении, т. е. при t0 = T , достаточно потребовать разрешимость задачи (1.5.2) в прямом направлении на любом отрезке [0; t00 ] ⊆ [0; T ] и для любого ψ ∈ Φ, т. е. при любом t00 ∈ [0; T ] и любом ψ ∈ Φ существовало решение задачи dϕ(t) = Bϕ(t), dt

t ∈ [t00 ; T ],

ϕ(t00 ) = ψ ∈ Φ.

Следующая теорема содержит это утверждение в форме, удобной для дальнейшего применения. Теорема 1.5.3. Пусть Φ ⊂ Φ1 ⊂ E, причем эти вложения плотные и сохраняющие сходимость. Если для любых t, t0 (0 6 t 6 t0 6 T ) определен оператор Utt0 решения задачи (1.5.2), действующий из Φ в Φ1 , то задача Коши (1.5.1) не может иметь более одного решения в пространстве E 0 . Доказательство. Покажем, что если u — решение в пространстве E 0 , соответствующее нулевому начальному условию f = 0 ∈ Φ01 , то u(t) = 0 ∈ E 0 , t ∈ [0; T ]. Возьмем ψ ∈ Φ и рассмотрим решение задачи (1.5.1) в момент времени t на элементе Utt0 ψ ∈ Φ1 ⊂ E. Как и в доказательстве единственности теоремы 1.5.2 мы получим, что hψ, u(t0 )i = 0 для любых t0 ∈ [0; T ] и ψ ∈ Φ, т. е. u(t) = 0 ∈ Φ0 . В силу всюду плотности Φ в E получаем hϕ, u(t)i = 0 для любого ϕ ∈ E; таким образом, u(t) = 0 ∈ E 0 , t ∈ [0; T ].

2.1. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

ИДЕИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

77

ГЛАВА 2 РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ КОШИ 2.1.

ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

ИДЕИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Эта глава посвящена исследованию задачи Коши для системы дифференциальных уравнений ¶ µ ∂u(x; t) ∂ =A i u(x; t), t ∈ [0; T ], (2.1.1) ∂t ∂x u(x; 0) = f (x), (2.1.2) µ ¶ ∂ где x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , A i — матричный оператор: ∂x µ ¶ ½ µ ¶¾m ∂ ∂ A i = Aj, k i , ∂x ∂x j, k=1 µ ¶ ∂ Aj, k i — дифференциальные операторы порядка не выше p и ∂x µ ¶ X µ ¶ ∂ ∂ α j,k Aj, k i = Cα i , Cαj,k ∈ R, |α| 6 p. ∂x ∂x Решение задачи (2.1.1), (2.1.2) при любых x ∈ Rn , t ∈ [0; T ] есть m-мерный вектор u(x; t) = (u1 (x; t), . . . , um (x; t)) ∈ Rm . Мы рассматриваем задачу Коши (2.1.1), (2.1.2) в некотором пространстве обобщенных функций Φ0 , сопряженном к пространству основных функций Φ, и в первой части этой главы исследуем вопросы существования, единственности и устойчивости обобщенных решений. В связи с этим в основном пространстве Φ рассмотрим задачу µ ¶ ∂ϕ(x; t) ∂ =B i ϕ(x; t), t ∈ [0; T ], (2.1.3) ∂t ∂x ϕ(x; t0 ) = ψ(x), t0 ∈ [0; T ], (2.1.4) µ ¶ ∂ где B i — матричный оператор, элементами которого являются дифференциальные опера∂x µ ¶ µ ¶ ∂ ∂ торы Bj,k i = −Ak,j i , действующий в пространстве Φ. При таком определении B ∂x ∂x оператор −A является сопряженным к нему в пространстве Φ0 : µ ¶ µ ¶ ∂ ∂ ∗ B i = −A i , ∂x ∂x а задача Коши (2.1.1), (2.1.2) является сопряженной к задаче (2.1.3), (2.1.4) с t0 = T в следующем смысле. Если записать задачу Коши (2.1.3), (2.1.4) в операторной форме в пространстве Φ для η(t) = ϕ(T − t) ≡ ϕ(t0 − t): η 0 (t) = −Bη(t),

t ∈ [0; T ],

а задачу (2.1.1), (2.1.2) — в пространстве

η(0) = ψ,

t ∈ [0; T ]

(η(0) = ϕ(T )),

(2.1.5)

Φ0 :

u0 (t) = Au(t),

t ∈ [0; T ],

u(0) = f,

(2.1.6)

то оператор задачи (2.1.6) является сопряженным к оператору задачи (2.1.5): µ ¶∗ d d d ∗ −A= +B = +B . dt dt dt В основе исследования задач (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.3), (2.1.4) лежит обобщенное преобразование Фурье в пространствах обобщенных функций [9].

78

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Далее в этой главе мы строим классические и регуляризованные решения задачи (2.1.1), (2.1.2) в банаховых пространствах, содержащихся в Φ0 . e пространство, составленное из классических преобразований Фурье функОбозначим через Φ g0 ) — пространство, составленное из обобщенных преобразований Фурье обобций из Φ, и через (Φ щенных функций из Φ0 . (Мы ограничим наше рассмотрение такими пространствами основных e и, как следствие, функций Φ, что имеет место взаимно однозначное соответствие между Φ и Φ 0 g 0 e имеет место равенство (Φ) = (Φ )). Применим к задаче (2.1.1), (2.1.2) обобщенное преобразование Фурье и рассмотрим двойственg0 ) ную задачу в пространстве (Φ ∂e u(s; t) = A(s)e u(s; t), ∂t u e(s; 0) = fe(s).

t ∈ [0; T ],

(2.1.7) (2.1.8)

Здесь s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Cn , а матричная функция A(·) системы (2.1.7) при каждом s ∈ Cn определяет оператор умножения на матрицу, элементами которой служат многочлены степени не выше p. e От задачи (2.1.3), (2.1.4) также перейдем к двойственной задаче Коши в пространстве Φ: ∂ ϕ(s; e t) = B(s)ϕ(s; e t), t ∈ [0; T ], ∂t e ϕ(s; e t0 ) = ψ(s), t0 ∈ [0; T ].

(2.1.9) (2.1.10)

Здесь оператор B(s) является умножения на матрицу, зависящую от s ∈ Cn . В связи с ¶ µ оператором ∂ , при каждом s ∈ Cn матрица A(s) является минус сопряженноопределением оператора B i ∂x транспонированной к B(s): Bj,k (s) = −Ak,j (s), а задача (2.1.7), (2.1.8) является сопряженной к задаче (2.1.9), (2.1.10) с t0 = T . e0 , осуществляемый операторами Фурье (прямым и Учитывая изоморфизм пространств Φ0 и Φ обратным), от исследования задачи (2.1.1), (2.1.2) в пространстве Φ0 мы переходим к исследованию e0 . задачи (2.1.7), (2.1.8) в пространстве Φ Оператором решения задачи (2.1.7), (2.1.8) служит матричная экспонента etA(s) , s ∈ Cn , и решение этой задачи имеет вид u e(s; t) = etA(s) fe(s),

t ∈ [0; T ],

s ∈ Cn .

e0 , где экспонента определяет ограниченЭто решение существует и устойчиво в тех пространствах Φ ный оператор умножения. Выбор таких пространств, очевидно, определяется поведением функции etA(s) , s ∈ Cn . При этом сильное влияние на поведение этой аналитической функции оказывает ее поведение при действительных значениях переменного s = σ ∈ Rn . Исходя из этого и следуя [9], мы выделяем следующие классы систем (2.1.1) (см. определение 2.3.1): 1) корректные по Петровскому (среди них параболические и гиперболические системы), 2) условно корректные, 3) некорректные. Следующий раздел посвящен исследованию единственности обобщенного решения задачи Коши (2.1.1), (2.1.2), которое проводится на основе результатов главы 1 о единственности решения абстрактной задачи Коши. Мы применяем метод преобразования Фурье и операторный метод — метод построения оператора решения задачи (2.1.3), (2.1.4) в виде оператора дифференцирования ∂ бесконечного порядка etB (i ∂x ) . При этом от величины приведенного порядка p0 системы (2.1.1) зависит, какой из методов дает более сильный результат. В разделе 2.3 на основе теорем о поведении аналитических функций, сформулированных в e0 , в которых экспонента etA(s) , s ∈ Cn , определяет мульглаве 3, мы указываем пространства Φ типликатор. Это позволяет построить обобщенное решение исходной задачи (2.1.1), (2.1.2) в виде обобщенного обратного преобразования Фурье от u e(·; t) = etA(·) fe(·), которое является сверткой

2.2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

79

обобщенного обратного преобразования Фурье экспоненты etA(·) с начальной функцией f (·): ³ ´ u(x; t) = F −1 etA(s) fe(s) = (Gt ∗ f )(x), t ∈ [0; T ], x ∈ Rn ; при этом оператор решения задачи (2.1.1), (2.1.2) есть оператор свертки с ядром Gt (·) из пространства Φ0 : ³ ´ Gt (x) := F −1 etA(s) (x), t ∈ [0; T ], x ∈ Rn . Поскольку построенные в разделе 2.2 пространства, гарантирующие единственность решения задачи Коши (2.1.1), (2.1.2), оказываются шире построенных в разделе 2.3 пространств Φ0 , в которых решение существует и устойчиво, из результатов этих разделов следует обобщенная корректность задачи (2.1.1), (2.1.2) в пространстве Φ0 . Далее, на основе построенных пространств обобщенных функций Φ0 , в которых задача Коши (2.1.1), (2.1.2) является корректной, в разделе 2.4 мы выбираем банаховы функциональные пространства X, вложенные в Φ0 и возможно более широкие, сохраняющие это вложение. В выбранных функциональных пространствах X мы строим регуляризованные полугруппы операторов, подробно исследованные в пункте 1.2.5 главы 1. Основная идея построения этих полугрупп состоит в коррекции роста экспоненты etA(·) за счет умножения ее на подходящим образом убывающую e e fe(·) функцию K(·) с тем, чтобы для любого начального условия f ∈ X произведение etA(·) K(·) допускало классическое обратное преобразование Фурье. Кроме того, мы требуем, чтобы получающаяся при этом свертка ³ ´ e fe(s) , (Gt ∗ K ∗ f )(x) = F −1 etA(s) K(s) f ∈ X, x ∈ Rn , снова являлась элементом банахова пространства X. Мы показываем, что построенные таким образом операторы свертки с ядром Gt ∗ K образуют R-полугруппу в пространстве X, равном Lq (Rn ) с весом, где оператор R — это оператор свертки с ядром K. В заключительном разделе 2.5 для всех типов рассматриваемых здесь дифференциальных задач, не являющихся равномерно корректными, в пространстве X = L2 (Rn ) строятся регуляризующие операторы, учитывающие дифференциальную специфику задачи и характер поведения экспоненты etA(·) . Построенные регуляризующие операторы представляют собой Rε -полугруппы, зависящие от параметра регуляризации ε, для которых операторы Rε сильно сходятся к единичному оператору при ε → 0. Выбор в качестве X пространства L2 (Rn ), в отличие от пространств Lq (Rn ) с весом в разделе 2.4, определяется тем, что доказательство сходимости регуляризованного решения к точному проводится на основе теоремы Планшереля в L2 (Rn ). 2.2.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Исследование единственности обобщенного решения задачи Коши (2.1.1), (2.1.2) мы проводим на основе теоремы 1.5.3. Согласно этой теореме мы должны указать пространства, в которых задача Коши (2.1.3), (2.1.4) разрешима в обратном направлении времени. К исследованию разрешимости задачи (2.1.3), (2.1.4) мы применяем два метода: метод преобразования Фурье и операторный метод. Эффективность каждого из них зависит от величины приведенного порядка p0 системы (2.1.1) (см. определение 2.2.1). В случае p0 > 1 в пункте 2.2.2 мы применяем метод преобразования Фурье: исследуем разрешимость двойственной по отношению к (2.1.3), (2.1.4) задачи Коши (2.1.9), (2.1.10) в пространe Ψ, e а затем в силу непрерывности обратного оператора Фурье заключаем, что в пространствах Φ, ствах Φ, Ψ существует решение исходной задачи (2.1.3), (2.1.4). В случае p0 < 1 в пункте 2.2.3 мы применяем операторный метод построения оператора решения ∂ задачи (2.1.3), (2.1.4) в виде оператора дифференцирования бесконечного порядка etB (i ∂x ) . Необходимые определения, в частности определение приведенного порядка системы, и свойства операторов решения систем (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.3), (2.1.4) приведены в пункте 2.2.1.

80

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

2.2.1. Предварительные сведения об операторах, связанных с системами дифференциальных уравнений в линейных топологических пространствах. 2.2.1.1. Произведение линейных топологических пространств. Пусть Φ — произведение m линейных топологических пространств, т. е. Φ = Φ1 × . . . × Φm , с обычными операциями сложения и умножения на скаляр. Это означает, что элементами пространства Φ являются m-мерные вектор-функции переменного x ∈ Cn : ϕ(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕm (x)), компоненты ϕk которых — это элементы скалярных линейных топологических пространств Φk . Сложение вектор-функций и умножение их на скаляр осуществляется покоординатно. Пусть ϕ ∈ Φ. При каждом фиксированном x ∈ Cn мы получаем m-мерный вектор ϕ(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕm (x)) ∈ Cm . Длина вектора ϕ(x) в m-мерном евклидовом пространстве Cm есть величина Ã m !1/2 X |ϕ(x)|m = |ϕk (x)|2 , x ∈ Cn . k=1

Cm

Норму оператора в обозначим k · km . Если B — оператор умножения на матрицу {bjk }m j,k=1 , то для его нормы имеет место оценка kBk2m

6

m X m X

|bjk |2 .

(2.2.1)

j=1 k=1

Эрмитово-сопряженным к оператору B в Cm является оператор умножения на сопряженно© ªm транспонированную матрицу bkj k,j=1 . Линейные непрерывные функционалы над Φ — это обобщенные вектор-функции f = (f1 , . . . , fm ) ∈ Φ0 , где fk ∈ Φ0k , k = 1, m. Действие функционала f на основную функцию ϕ ∈ Φ описывается формулой hϕ, f i = hϕ1 , f1 i + . . . + hϕm , fm i , где hϕk , fk i — действие скалярной обобщенной функции fk ∈ Φ0k на скалярную основную функцию ϕk ∈ Φk . Мы предполагаем, что в пространстве Φk умножение скалярной обобщенной функции на скаляр обладает свойством комплексно-сопряженной однородности: hϕk , λfk i = λ hϕk , fk i ,

λ ∈ C,

fk ∈ Φ0k ,

ϕk ∈ Φk ;

тогда умножение векторной обобщенной функции на скаляр обладает тем же свойством hϕ, λf i = λ hϕ, f i ,

λ ∈ C,

f ∈ Φ0 ,

ϕ ∈ Φ.

(2.2.2)

Пусть Φ, Ψ — m-мерные линейные топологические пространства и B — линейный ограниченный оператор, действующий из Φ в Ψ, определяемый матрицей {Bjk }m j,k=1 операторов Bjk , действующих из Φk в Ψj . Оператор B ∗ , сопряженный к B и действующий из Ψ0 в Φ0 , определяется матрицей ∗ m B ∗ = {Bkj }k,j=1 ,

∗ Bkj : Ψ0j → Φ0k ,

(2.2.3)

получающейся из {Bjk }m j,k=1 заменой операторов Bjk на сопряженные и транспонированием. ∂ Например, дифференциальному оператору в пространстве Φ соответствует диагональная ∂x ∂ ∂ матрица с операторами на диагонали. Сопряженный к есть оператор минус дифференци∂x µ ¶∗ ∂x ∂ ∂ ∂ рования в пространстве Φ0 : = − , а оператор i с введенным выше правилом (2.2.2) ∂x ∂x µ∂x ¶∗ ∂ ∂ является самосопряженным: i =i . ∂x ∂x

2.2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

81

Отсюда следует, что для оператора µ ¶ ½ ¶¾m µ ∂ ∂ B i = Bjk i ∂x ∂x j,k=1 задачи (2.1.3) сопряженный оператор имеет вид µ ¶ ½ µ ¶¾m ∂ ∂ ∗ B i = Bkj i . ∂x ∂x k,j=1 2.2.1.2. Характеристические корни и приведенный порядок системы (2.1.1). ∂ Здесь мы исследуем поведение разрешающих операторов etA(i ∂x ) задачи (2.1.1), (2.1.2) и разрешающих операторов двойственной ей задачи (2.1.7), (2.1.8) — операторную функцию etA(·) , учитывая характеристические корни и приведенный порядок системы. Для этого сначала исследуем поведение операторов решения задачи (2.1.3), (2.1.4) и двойственной ей задачи (2.1.9), (2.1.10). Пусть Φ, Ψ — m-мерные линейные топологические пространства с описанной выше структурой. Рассмотрим операторную функцию B(·) системы (2.1.9), которая порождает оператор, действуe в Ψ, e где пространства Φ, e Ψ e — m-мерные линейные топологические пространства, двойющий из Φ ственные к Φ, Ψ соответственно. При каждом фиксированном s ∈ Cn оператор B(s) есть оператор умножения на матрицу {Bjk (s)}m j,k=1 : ! à m m X X Bmk (s)ϕk (s) . B1k (s)ϕk (s), . . . , B(s)ϕ(s) = k=1

k=1

B ∗ (s)

Сопряженный к B(s) есть оператор умножения на матрицу {Bkj (s)}m k,j=1 , т. е. эрмитовосопряженный к B(s). Исследуем поведение операторной функции B(·) системы (2.1.9): B(s) = {Bjk (s)}m j,k=1 ,

s ∈ Cn .

n Каждая компонента матрицы {Bjk (·)}m j,k=1 есть многочлен переменного s ∈ C степени не выше p, следовательно, найдется такая константа C > 0, что при любых 1 6 j, k 6 m выполнено

|Bjk (s)| 6 C|s|p . Тогда из (2.2.1) следует неравенство kB(s)km 6 mC|s|p ,

s ∈ Cn ,

откуда для каждого s ∈ Cn получаем оценку ° °∞ ∞ k ∞ k ° ° ° °X tk X X t t p ° tB(s) ° ° ° B k (s)° 6 kB(s)kkm 6 (mC)k |s|kp = etmC|s| . °e ° =° ° ° k! k! k! m k=0

m

k=0

(2.2.4)

(2.2.5)

k=0

Эта оценка показывает, что компоненты матрицы etB(·) — аналитические функции переменного s ∈ Cn порядка роста не выше p. Поскольку операторы систем (2.1.7), (2.1.9) связаны равенством A(s) = −B ∗ (s), s ∈ Cn , согласно определению (2.2.3) сопряженного оператора, из оценок (2.2.4), (2.2.5) роста операторов B(·) и etB(·) получаем, что компоненты операторов A(·) и etA(·) удовлетворяют, соответственно, таким же оценкам. Следовательно, компоненты матрицы etA(·) — также аналитические функции порядка роста не выше p. На самом деле эти функции, в частности интересующая нас экспонента etA(·) , могут иметь и меньший порядок роста. Для того чтобы уточнить полученную оценку, рассмотрим корни λ1 (s), . . . , λm (s) характеристического уравнения det (λI − A(s)) = 0, Функции λ1 (·), . . . , λm (·)

s ∈ Cn .

82

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

называют характеристическими корнями системы (2.1.1). По построению они являются многочленами степени не выше p. Положим Λ(s) = max Re λk (s), 16k6m

s ∈ Cn .

Справедлива следующая важная теорема. Теорема 2.2.1 (см. [9]). Для любой матрицы A(s), s ∈ Cn , размера m × m, компонентами которой являются многочлены степени не выше p, справедлива оценка ° ° ° ° etΛ(s) 6 °etA(s) ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) etΛ(s) , t > 0, s ∈ Cn . m

Эта теорема очевидным образом сводит оценку роста функции etA(·) к оценке роста функции Λ(·). Положим p0 = inf { ρ : |Λ(s)| 6 Cρ (1 + |s|)ρ , s ∈ Cn }. (2.2.6) Из теоремы 2.2.1 получаем следующую оценку для матрицы etA(·) : ° ° p0 ° tA(s) ° b0 ∈ R, t > 0, °e ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eb0 t·|s| , m

s ∈ Cn .

(2.2.7)

Определение 2.2.1. Число p0 , определяемое равенством (2.2.6), называется точным степенным порядком роста функции Λ(·) и приведенным порядком системы (2.1.1). Замечание 2.2.1. Из определения приведенного порядка с очевидностью следует, что p0 6 p. Замечание 2.2.2. Из определений приведенного порядка и сопряженного оператора следует, что сопряженные системы имеют одинаковые приведенные порядки. Таким образом, в силу равенства A(·) = −B ∗ (·) приведенный порядок системы (2.1.3) также равен p0 , а экспонента etB(·) удовлетворяет оценке (2.2.7). 2.2.2. Построение классов единственности дифференциальных задач методом преобразования Фурье. Приступаем к построению классов единственности задачи (2.1.1), (2.1.2), которое в этом пункте будем проводить методом преобразований Фурье. Покажем как классы единственности зависят от величины приведенного порядка p0 системы (2.1.1). Если p0 — приведенный порядок системы (2.1.1), то (см. замечание 2.2.2) оператор B(s) задачи (2.1.9) удовлетворяет неравенству ° ° p0 ° (t−t0 )B(s) ° e t > t0 , q > 0, s ∈ Cn . (2.2.8) ° ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eq(t−t0 )·|s| , m

Рассмотрим сначала случай p0 > 1. Теорема 2.2.2. Пусть приведенный порядок системы (2.1.1) p0 > 1 и матричная экспонента e(t−t0 )B(·) удовлетворяет условию (2.2.8). Возьмем a > 0, b > 0 и 0 < θ < a. Тогда при любых t, t0 ∈ [0; T ] матричная экспонента e(t−t0 )B(·) определяет ограниченный оператор умно|x|p0 Ω,b Ω,b+θ жения, действующий из WM,a в WM,a−θ , x ∈ R, причем T = T (p0 ; q; θ). , где M (x) = Ω(x) = p0 Доказательство. Для начала заметим, что для заданных условием (2.2.8) величин q > 0, p0 > 1 и для произвольного θ > 0 можно указать такое T > 0, что qT <

1 p0 −p0 θ 2 . p0

(2.2.9)

ax Действительно, для любых a > 0 и x > 1 всегда найдется 0 < C < , откуда следует x µ ¶p0 θ неравенство Cx < ax . Или, в наших обозначениях, (qT )p0 < при p0 > 1. 2

2.2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

83

Далее, для любых t, t0 ∈ [0; T ] выполняется неравенство |t − t0 | 6 T . Отсюда в силу строгости неравенства (2.2.9) найдется такая константа C1 > 0, что из (2.2.8) следует ° ° 1 p0 −p0 p0 θ 2 |s|p0 ° (t−t0 )B(s) ° , °e ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eqT ·|s| 6 C1 e p0 m

откуда, используя оценку биномиальных коэффициентов |s|p0 = |σ + iτ |p0 = (σ 2 + τ 2 )p0 /2 6 (|σ|p0 + |τ |p0 )2p0 , получаем

° ° ° (t−t0 )B(s) ° °e °

m

|x|p0

6 C1 e

(θ|σ|)p0 p0

+

(θ|τ |)p0 p0

.

(2.2.10)

, x ∈ R. (В рассматриваемом случае p0 > 1 и M , Ω — выпуклые вниз p0 Ω,b функции.) Рассмотрим пространство WM,a , состоящее из целых функций ψ, удовлетворяющих при любых a ¯ < a, ¯b > b условию ¯ |ψ(σ + iτ )|m 6 Ce−M (¯aσ)+Ω(bτ ) .

Положим M (x) = Ω(x) =

Ω,b В пространстве WM,a всякая целая функция f , удовлетворяющая неравенству

|f (σ + iτ )|m 6 CeM (a1 σ)+Ω(b1 τ ) , определяет согласно условию (3.2.21), при a1 < a и b1 > 0 ограниченный оператор умножения, Ω,b Ω,b+b1 действующий из WM,a в WM,a−a . Таким образом, матрица e(t−t0 )B(s) , s ∈ Cn , удовлетворяющая 1 неравенству ° ° ° (t−t0 )B(s) ° °e ° 6 C1 eM (θσ)+Ω(θτ ) , m

определяет при любых 0 < θ < a и b > 0 ограниченный оператор умножения, действующий из Ω,b Ω,b+θ пространства WM,a в пространство WM,a−θ . Теперь мы можем завершить доказательство. Возьмем произвольное a > 0. Для него выберем 0 < θ < a. Для выбранного θ и данных p0 > 1, q > 0 находим T = T (p0 ; q; θ) так, чтобы выполнялись неравенства (2.2.9) и (2.2.10) и, как следствие, матрица e(t−t0 )B(s) определяла при Ω,b любых t, t0 ∈ [0; T ] и любом b > 0 ограниченный оператор умножения, действующий из WM,a в Ω,b+θ WM,a−θ .

Следующая теорема устанавливает существование операторов решения задачи (2.1.9), (2.1.10) в только что построенных пространствах. Теорема 2.2.3. В условиях теоремы 2.2.2 оператор e(t−t0 )B(·) является оператором решения задачи Коши (2.1.9), (2.1.10) на отрезке [0; T ] (T = T (p0 ; q; θ)), действующим из пространΩ,b Ω,b+θ ства WM,a в пространство WM,a−θ . При этом решение непрерывным образом зависит от начального условия. Доказательство. Докажем, что вектор ψ(s; t) = e(t−t0 )B(s) ψ0 (s), t ∈ [0; T ], s ∈ Cn , является решением задачи Коши (2.1.9), (2.1.10) в момент времени t ∈ [0; T ]. Покажем сначала справедливость равенства ∂ψ(s; t) = B(s)ψ(s; t), ∂t

t ∈ [0; T ],

s ∈ Cn .

Ω,b+θ Для этого проверим, что в пространстве WM,a−θ

Mψ(s; t) = B(s)ψ(s; t), Mt т. е. по определению сходимости (пункт 3.2.10) выполнены следующие условия: Mψ(·; t) Ω,b+θ равномерно по t ∈ [0; T ] ограничены в WM,a−θ 1) вектор-функции ; Mt n 2) для любого компакта K ⊂ C при Mt → 0 имеет место равномерная сходимость lim

Mt→0

Mψ(s; t) K ⇒ B(s)ψ(s; t). Mt

84

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Действительно, в силу неравенства (2.2.10) для любых s ∈ Cn и t ∈ [0; T ] получаем оценку ¯ ¯ ° ° ¯ ¯ ¯ Me(t−t0 )B(s) ¯ ° Me(t−t0 )B(s) ° ¯ Mψ(s; t) ¯ ¯ ¯ ° ° ¯ ¯ ψ0 (s)¯ 6 ° ° |ψ0 (s)|m 6 ¯ Mt ¯ = ¯¯ ¯ ° ° Mt Mt m m m ° ° ° (t−t0 )B(s) ° 6 CkB(s)km °e ° |ψ0 (s)|m 6 C2 eM (θσ)+Ω(θτ ) |ψ0 (s)|m , m

не зависящую от t ∈ [0; T ], что доказывает равномерную по t ограниченность функций Далее, для любого компакта K ⊂ Cn

Mψ(s; t) . Mt

Mψ(s; t) e(t+Mt−t0 )B(s) − e(t−t0 )B(s) = ψ0 (s), Mt Mt как непрерывная функция двух переменных на K × [0; T ] при Mt → 0 равномерно по s ∈ K стремится к функции B(s)e(t−t0 )B(s) ψ0 (s) = B(s)ψ(s; t), s ∈ K. Теперь проверим выполнение начального условия. Покажем, что lim ψ(s; t) = ψ0 (s)

t→t0

Ω,b+θ . Равномерная по t ∈ [0; T ] ограниченность функций ψ(·; t) снова следует в пространстве WM,a−θ из (2.2.10): ¯ ¯ ¯ ¯ |ψ(s; t)|m = ¯e(t−t0 )B(s) ψ0 (s)¯ 6 C2 eM (θσ)+Ω(θτ ) |ψ0 (s)|m . m

Равномерная на компакте K ⊂ Cn сходимость функций следует из непрерывности функций и компактности множества K × [0; T ]: K

ψ(s; t) = e(t−t0 )B(s) ψ0 (s) ⇒ e0B(s) ψ0 (s) = ψ0 (s), Ω,b WM,a

t → t0 ,

s ∈ K.

Ω,b+θ WM,a−θ ,

Итак, оператор e(t−t0 )B(·) , действующий из в является оператором решения задачи (2.1.9), (2.1.10) на отрезке [0; T ], где T = T (p0 ; q; θ). Непрерывная зависимость решения от начального условия сразу следует из ограниченности оператора решения. Вернемся к задаче (2.1.1), (2.1.2). Теперь мы можем указать для нее классы единственности. Теорема 2.2.4. Пусть приведенный порядок системы (2.1.2) p0 > 1. Множество векторфункций, компоненты которых удовлетворяют неравенству 1 1 p1 |fj (x)| 6 Ceb0 |x| , x ∈ R, j = 1, m, + = 1, (2.2.11) p0 p1 с любыми фиксированными C > 0 и b0 > 0, образуют класс единственности задачи (2.1.1), (2.1.2) на отрезке [0; T ]. Утверждение теоремы означает, что для любой вектор-функции f (·), все компоненты которой удовлетворяют условию (2.2.11), может существовать лишь единственное решение задачи (2.1.1), (2.1.2) — вектор-функция u(·, t), все компоненты которой при каждом t ∈ [0; T ] также являются функциями, удовлетворяющими условию (2.2.11). При этом T = T (b0 ; p0 ; q; θ). Доказательство теоремы 2.2.4. Согласно теореме 1.5.3 мы должны построить пространство X таким образом, чтобы X 0 содержало множество, определяемое условием (2.2.11). Возьмем сначала произвольные a > 0, b > 0 и 0 < θ < a. По теореме 2.2.3 существует оператор решения задаΩ,b Ω,b+θ чи (2.1.9), (2.1.10), действующий из WM,a в WM,a−θ . Тогда в силу изоморфизма пространств Φ e и Φ, осуществляемого операторами Фурье (прямым и обратным), существует оператор решения задачи (2.1.3), (2.1.4), отображающий Ω ,1/a

Ω ,1/(a−θ)

WM11 ,1/b −→ WM11 ,1/(b+θ) , где функции M1 (x) = Ω1 (x) =

|x|p1 , p1

x ∈ R,

1 1 + = 1, p0 p1

2.2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

85 Ω ,1/a

двойственные по Юнгу функциям Ω, M соответственно. Пространство WM11 ,1/b состоит из функций ϕ, убывающих в Rm согласно закону |ϕ(x)|m 6 Ce

− p1

1

|x| b

p1

;

Ω ,1/(a−θ)

аналогично, пространство WM11 ,1/(b+θ) состоит из функций ϕ, убывающих в Rm согласно неравенству − p1

|ϕ(x)|m 6 Ce

1

p1

|x| b+θ

. |x|p1

Введем пространство X функций ϕ, интегрируемых с весом e 2bp1 ; пространство X снабдим нормой Z |x|p1 kϕk = e 2bp1 kϕ(x)km dx. R Ω ,1/a WM11 ,1/b

Ω ,1/(a−θ) WM11 ,1/(b+θ)

Ω ,1/a

Очевидно, ⊂ ⊂ X; кроме того, пространство WM11 ,1/b достаточно богато функциями, чтобы быть плотным в X. Рассмотрим теперь функции, удовлетворяющие условию (2.2.11). Для заданного b0 положим 1 = b0 , 2bp1 откуда найдем b > 0 и рассмотрим соответствующее пространство X. Тогда любая функция, удовлетворяющая условию (2.2.11), определяет обобщенную функцию над X. Из условия нетриΩ,b виальности пространства WM,a для найденного b определим a > 0. Для этого a и заданного оценкой (2.2.8) параметра q определим T из условия (2.2.9) при 0 < θ < a. Эти величины позволяΩ ,1/(a−θ) Ω ,1/a ют построить указанным выше способом пространства WM11 ,1/b и WM11 ,1/(b+θ) , в которых определен ограниченный оператор решения задачи (2.1.3), (2.1.4) на отрезке [0; T ]. Таким образом, мы оказываемся в условиях теоремы 1.5.3, согласно которой задача (2.1.1), (2.1.2) не может иметь более одного решения в E 0 , а значит, и в классе функций, удовлетворяющих условию (2.2.11). Рассмотрим теперь случай p0 6 1. Теорема 2.2.5. Пусть приведенный порядок системы (2.1.2) p0 6 1. Множество векторфункций, компоненты которых удовлетворяют неравенству r

|f (x)| 6 Ceb0 |x| ,

x ∈ R,

j = 1, m,

(2.2.12)

с любыми фиксированными r > 0, C > 0 и b0 > 0, образуют класс единственности задачи (2.1.1), (2.1.2) на произвольном отрезке [0; T ]. Утверждение теоремы означает, что для любой вектор-функции f , все компоненты которой удовлетворяют условию (2.2.12), может существовать лишь единственное решение задачи (2.1.1), (2.1.2) — вектор-функция u(·, t), t ∈ [0; T ], все компоненты которой при каждом t ∈ [0; T ] являются функциями, удовлетворяющими условию (2.2.12). Доказательство проводится по той же схеме, что и в теореме 2.2.2. Возьмем произвольное r > 1 1 1 и рассмотрим для него такое r0 > 1, что + 0 = 1. Если p0 6 1, то для выбранного r0 > 1 и для r r любых T > 0, t, t0 ∈ [0; T ] можно продолжить оценку (2.2.8): ° ° 1 r 0 −r 0 r0 p0 p0 ° (t−t0 )B(s) ° °e ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eq|t−t0 |·|s| 6 C(1 + |s|)p(m−1) eqT ·|s| 6 C1 e r0 θ 2 |s| , s ∈ C, m

где θ — произвольное положительное число. Повторяя рассуждения, проведенные в доказательстве теоремы 2.2.2, получим, что оператор e(t−t0 )B(·) определяет ограниченный оператор умножения, Ω,b Ω,b+θ действующий из WM,a в WM,a−θ при любых a > 0, 0 < θ < a и b > 0, где 0

|x|r M (x) = Ω(x) = 0 . r

86

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Классом единственности такой задачи согласно теореме 2.2.2 является множество функций, удовлетворяющих оценке 1 1 r1 |f (x)| 6 Ceb0 |x| , + 0 = 1, r r с любыми фиксированными C > 0, b0 > 0. В силу произвольности взятого r > 1 это множество содержит функции, удовлетворяющие условию (2.2.12) с любым r > 1 и, тем более, с r 6 1. Таким образом, при любом r > 0 множество (2.2.12) служит классом единственности задачи (2.1.1), (2.1.2).

2.2.3. Построение классов единственности дифференциальных задач операторным методом. Переходим к построению классов единственности задачи (2.1.1), (2.1.2) операторным методом. В случае p0 > 1 результат, полученный этим методом, совпадает с соответствующим результатом предыдущего пункта. При p0 < 1 этот метод позволяет построить более широкий класс единственности [9]. Теорема 2.2.6. Если p0 < 1, то решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.2) на любом конечном отрезке [0; T ] единственно в классе функций без ограничений роста на бесконечности. Утверждение теоремы означает, что для любой вектор–функции f , компонентами которой являются функции без ограничений роста на бесконечности, может существовать лишь единственное решение задачи (2.1.1), (2.1.2) — вектор-функция u(·, t) (равная f (·) при t = 0), все компоненты которой при каждом t ∈ [0; T ] также являются функциям без ограничений роста на бесконечности. Доказательство теоремы 2.2.6. Напомним, что для матричной функции etA(·) имеет место оценка (2.2.7): ° ° p0 ° tA(s) ° b0 ∈ R, t > 0, s ∈ Cn . °e ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eb0 t|s| , m

Возьмем произвольное T > 0 и обозначим b = b0 T . Для любого δ > 0 получаем ° ° p0 ° tA(s) ° b = b0 T, t ∈ [0; T ], s ∈ Cn , °e ° 6 C 0 e(b−δ)·|s| , m

C0

C 0 (δ, b).

где = Согласно условию (3.2.22) эта оценка показывает, что дифференциальный опе∂ ратор бесконечного порядка etA(i ∂x ) при любых допустимых значениях параметров α, A осуществляет непрерывное отображение µ ¶ 1 β β β, B β, Beβ Sα, A −→ Sα, A , β= , B= . p0 be2 При p0 < 1 получаем β > 1; следовательно, можно брать α = 0 и рассматривать объединение пространств [ β, B S0β, B = S0, A . A β

∂ tA(i ∂x )

Оператор e будет непрерывно отображать S0β, B в S0β, Be . Рассмотрим нормированное пространство X функций ϕ, интегрируемых с весом ω и с нормой Z kϕk = ω(x)|ϕ(x)|m dx. Rn β

β

Тогда S0β, B ⊂ S0β, Be ⊂ X, так как функции пространств S0β, B , S0β, Be финитны. Это вложение справедливо для любой весовой функции ω. Следовательно, по теореме 1.5.3 множество функций f , удовлетворяющих условию |f (x)|m 6 Cω(x), x ∈ Rn , составляет класс единственности задачи (2.1.1), (2.1.2). В силу произвольности функции ω решение будет единственным для функций f без ограничения роста на бесконечности.

2.3. ПОСТРОЕНИЕ

2.3.

ПОСТРОЕНИЕ

87

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе мы укажем такие пространства Φ0 , Ψ0 , что для f ∈ Φ0 существует обобщенное решение u(·, t) ∈ Ψ0 , t ∈ [0; T ], задачи Коши (2.1.1), (2.1.2): µ ¶ ∂u(x; t) ∂ =A i u(x; t), t ∈ [0; T ], (2.3.1) ∂t ∂x u(x; 0) = f (x). (2.3.2) Для этого применим к этой задаче обобщенное преобразование Фурье; тогда задача (2.3.1), (2.3.2) перейдет в задачу (2.1.7), (2.1.8): ∂e u(s; t) = A(s)e u(s; t), ∂t

t ∈ [0; T ],

u e(s; 0) = fe(s),

(2.3.3) (2.3.4)

оператором решения которой является оператор умножения на матричную экспоненту etA(·) . Это означает, что решение задачи (2.3.3), (2.3.4) имеет вид u e(·; t) = etA(·) fe(·),

t ∈ [0; T ],

e 0, Ψ e 0 , где экспонента etA(·) определяет ограниченный оператор и существует в тех пространствах Φ e 0 в пространство Ψ e 0. умножения, т. е. мультипликатор, действующий из пространства Φ Если построено решение задачи (2.3.3), (2.3.4), то, в силу непрерывности обратного оператора Фурье, в двойственных пространствах Φ0 , Ψ0 обобщенное обратное преобразование Фурье F −1 (e u(s; t)) = F −1 (etA(s) fe(s)) является обобщенным решением задачи Коши (2.3.1), (2.3.2). По свойствам обобщенного преобразования Фурье обратное преобразование произведения есть свертка. Следовательно, обобщенное решение задачи (2.3.1), (2.3.2) имеет вид u(x; t) = (Gt ∗ f )(x),

x ∈ Rn ,

t ∈ [0; T ],

(2.3.5)

а оператором решения задачи Коши (2.3.1), (2.3.2) является оператор обобщенной свертки с ядром ³ ´ Gt (x) = F −1 etA(s) . Таким образом, задача построения решения задачи (2.3.1), (2.3.2) сводится к выбору пары проe 0, Ψ e 0 , в которых экспонента etA(·) определяет ограниченный оператор умножения, а странств Φ именно, имеет место следующий результат. Теорема 2.3.1. Если функция etA(·) определяет ограниченный оператор умножения, дейe0 в пространство Ψ f0 , то для любого f ∈ Φ0 обобщенная функствующий из пространства Φ ция (2.3.5) является обобщенным решением задачи (2.3.1), (2.3.2), принадлежащим пространству Ψ0 , причем, если fn → 0 в пространстве Φ0 , то соответствующая последовательность решений un (·, t) → 0 в Ψ0 при любом t ∈ [0; T ]. e0 рассмотрим функцию Доказательство. Для любого fe ∈ Φ u e(s; t) = etA(s) fe(s),

t ∈ [0; T ],

s ∈ Cn ,

f0 . Для этого и докажем, что она является решением задачи Коши (2.3.3), (2.3.4) в пространстве Ψ f0 нужно показать, что в пространстве Ψ ∂ u e(s; t) = A(s)e u(s; t), ∂t и выполнено начальное условие lim u e(s; t) = fe(s),

t→0

t ∈ [0; T ],

s ∈ Cn .

s ∈ Cn ,

88

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

e и произвольный Проверим сначала справедливость уравнения. Возьмем основную функцию ψe ∈ Ψ e 0 . Запишем элемент fe ∈ Φ + * * + e(t+∆t)A(s) fe(s) − etA(s) fe(s) e∆tA(s) − I tA(s) e = ψ(s); lim ψ(s); lim e f (s) . ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t В силу непрерывности рассматриваемых функционалов и по определению мультипликатора имеем * + * + ∗ e∆tA(s) − I tA(s) e e∆t(−B (s)) − I t(−B ∗ (s)) lim ψ(s); e f (s) = lim e ψ(s); fe(s) . ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t Последний предел уже существует и равен E D ∗ (−B ∗ (s))et(−B (s)) ψ(s); fe(s) , откуда окончательно получаем * + D E e(t+∆t)A(s) fe(s) − etA(s) fe(s) ψ(s); lim = ψ(s); A(s)etA(s) fe(s) = hψ(s); A(s)e u(s, t)i . ∆t→0 ∆t e0 в силу непрерывности e и fe ∈ Φ Покажем выполнение начального условия. Для любых ψe ∈ Ψ оператора etA(·) имеем D E D E D E D E ∗ ψ(s); lim u e(s, t) = lim ψ(s); etA(s) fe(s) = lim et(−B (s)) ψ(s); fe(s) = ψ(s); fe(s) . t→0

t→0

t→0

e0 функция u Таким образом, для любого fe ∈ Φ e(·, t) является решением задачи Коши (2.3.3), 0 f. В силу непрерывности обратного оператора Фурье, для любого f ∈ Φ0 (2.3.4) в пространстве Ψ функция ³ ´ u(x; t) = F −1 etA(s) fe(s) , t ∈ [0; T ], x ∈ Rn , является решением задачи Коши (2.3.1), (2.3.2) в пространстве Ψ0 . e0 . Из Покажем устойчивость построенного решения. Пусть fn → 0 в Φ0 . Тогда fen → 0 в Φ tA(·) 0 0 e f непрерывности оператора e в пространствах Φ , Ψ получаем u fn (s; t) = etA(s) ff n (s) −−−→ 0 n→∞

f0 . в пространстве Ψ

В силу непрерывности обратного оператора Фурье заключаем, что ³ ´ un (x; t) = F −1 etA(s) ff (s) −−−→ 0 в пространстве Ψ0 . n n→∞

В пункте 2.2.1 мы показали, что матричная функция etA(·) удовлетворяет оценке (2.2.7): ° ° p0 ° tA(s) ° b0 ∈ R, t > 0, s ∈ Cn . °e ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eb0 t|s| , m

с приведенным порядком p0 6 p. Если пренебречь ролью степенной составляющей этой оценки, то при любом b1 > b0 можно перейти к неравенству ° ° p0 ° tA(s) ° t > 0, s ∈ Cn . (2.3.6) °e ° 6 C1 eb1 t|s| , m

Эта оценка является общей для всех систем в том смысле, что для каждой матричной функции A(·) найдутся такие p0 6 p, b0 ∈ R и соответственно b1 > b0 и C1 = C1 (p0 , b1 ), при которых выполнено неравенство (2.3.6). С другой стороны, рост экспоненты etA(·) согласно теореме 2.2.1 определяется неравенством ° ° ° ° t > 0, s ∈ Cn , (2.3.7) etΛ(s) 6 °etA(s) ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) etΛ(s) , m

т. е. ростом функции Λ(·). На основе поведения функции Λ(·) при действительных значениях аргумента выделяют следующие классы систем (2.3.1).

2.3. ПОСТРОЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

89

Определение 2.3.1. Система (2.3.1) называется 1) корректной по Петровскому, если найдется такая постоянная C > 0, что Λ(σ) 6 C,

σ ∈ Rn .

(2.3.8)

Важные подклассы систем, корректных по Петровскому, составляют 1а) параболические системы — системы, для которых найдутся такие постоянные C > 0, h > 0, C1 > 0, что Λ(σ) 6 −C|σ|h + C1 , σ ∈ Rn ; (2.3.9) 1б) гиперболические системы — системы, у которых степенной порядок роста функции Λ(·), p0 , не превосходит единицы: Λ(s) 6 C1 |s| + C2 , s ∈ Cn , (2.3.10) и выполняется условие корректности по Петровскому (2.3.8). Система (2.3.1) называется 2) условно корректной, если найдутся такие постоянные C > 0, 0 < h < 1, C1 > 0, что Λ(σ) 6 C|σ|h + C1 ,

σ ∈ Rn ;

(2.3.11)

3) некорректной, если функция Λ(·) растет при действительных s = σ так же, как и при комплексных: Λ(σ) 6 C|σ|p0 + C1 , σ ∈ Rn . Далее в этом разделе для каждого из выделенных случаев на основе поведения etA(·) при действительных значениях аргумента σ ∈ Rn мы уточняем для этой матричной функции оценку (2.3.6) e0 , Ψ f0 , в которых эта экспоненпри всех комплексных значениях аргумента s ∈ Cn . Пространства Φ та определяет мультипликатор, строятся с учетом уточненного поведения экспоненты в Cn . Тем самым согласно теореме 2.3.1 мы строим пространства Φ0 , Ψ0 , в которых определено и устойчиво обобщенное решение задачи (2.3.1), (2.3.2). Заметим, что если подбирать пространства, в которых экспонента etA(·) действует как мультипликатор, только по ее поведению при действительных значениях аргумента σ ∈ Rn , то пространства, в которых существует решение задачи (2.3.1), (2.3.2), получаются уже, нежели описанные ´ 0 0 выше пространства Φ , Ψ . 2.3.1. Системы, корректные по Петровскому. В силу (2.3.7) и (2.3.8) для систем, корректных по Петровскому, при действительных значениях s = σ выполнена оценка ° ° ° tA(σ) ° t > 0, σ ∈ Rn , (2.3.12) °e ° 6 C(1 + |σ|)h , m

где h — наименьшее из натуральных чисел l, для которых справедливо неравенство ° ° ° tA(σ) ° t > 0, σ ∈ Rn , °e ° 6 C(1 + |σ|)l , m

т. е. h 6 p(m − 1). Если целая функция удовлетворяет при любом s ∈ Cn условию (2.3.6), то согласно теореме 3.4.7 оценка (2.3.12) может быть продолжена в некоторую окрестность действительных значений s = σ, а именно найдется область Hµ = {s = σ + iτ : |τ | 6 K(1 + |σ|)µ } , в которой

° ° ° tA(s) ° °e °

m

6 C(1 + |σ|)h ,

1 − p0 6 µ 6 1, t > 0,

s ∈ Hµ .

K = K(b1 , h), (2.3.13)

Если приведенный порядок системы p0 6 1, то согласно определению 2.3.1 она является гиперболической, и этот особый случай мы рассмотрим ниже в пункте 2.3.1.2. Здесь будем полагать, что p0 > 1. При таких p0 число µ, определяющее область Hµ , может оказаться как положительным, так и отрицательным.

90

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

1) Если 0 < µ 6 1, то согласно теореме 3.4.9 из неравенств (2.3.6) и (2.3.13) следует, что матричная экспонента удовлетворяет условию ° ° p0 /µ ° tA(s) ° , t > 0, s = σ + iτ, b = b(b1 , h, K), °e ° 6 C(1 + |σ|)h ebt|τ | m

откуда при любом t ∈ [0; T ] имеем ° ° p0 /µ ° tA(s) ° , °e ° 6 C(1 + |σ|)h ebT |τ |

s = σ + iτ.

m

Заменой

µ

ρp0 /µ bT = p0 /µ

⇐⇒

ρ=

bT p0 µ

¶µ/p0

получаем следующую оценку: ° ° ° tA(s) ° °e °

m

6 C(1 + |σ|)h e

Если ввести функцию Ω(τ ) = ° ° ° tA(s) ° °e °

m

(ρ|τ |)p0 /µ p0 /µ

,

t ∈ [0; T ],

T =

µρp0 /µ , bp0

s = σ + iτ.

|τ |p0 /µ , τ ∈ Rn , то последнее неравенство принимает вид p0 /µ 6 C(1 + |σ|)h eΩ(ρτ ) ,

t ∈ [0; T ],

s = σ + iτ.

(2.3.14)

Возьмем произвольное β = (β1 , . . . , βn ), βj > 0, и рассмотрим пространства W Ω, β и W Ω, β+ρ . Согласно условию (3.2.20), неравенство (2.3.14) показывает, что матричная функция etA(·) определяет ограниченный¡ оператор умножения (мультипликатор), действующий из W Ω, β в W Ω, β+ρ , а ¢ ¡ ¢ 0 0 следовательно, и из W Ω, β+ρ в W Ω, β . Двойственным к пространству W Ω, β относительно преобразования Фурье является простран|x|p1 ство WM, 1/β , определяемое двойственной по Юнгу к Ω(·) функцией M (x) = , x ∈ Rn , при p1 1 1 + = 1. Отсюда следует, что Gt (·) определят непрерывный оператор свертки (свертыватель), p1 p0 /µ ³ ³ ´ ´ действующий из пространства WM,

0

0

в пространство WM, 1 . ³ ´0 β По теореме 2.3.1 это означает, что для любого f ∈ WM, 1 существует обобщенное решение β+ρ ³ ´0 u(·, t) ∈ WM, 1 задачи (2.3.1), (2.3.2), определяемое равенством (2.3.5). 1 β+ρ

β

По аналогии с обобщенными функциями пространства S 0 , называемыми распределениями медленного роста, и обобщенными функциями пространства D0 , называемыми распределениями произвольного роста, будем называть элементы пространства (WM )0 (и его подпространств (WM, a )0 ) |x|p1 обобщенными функциями экспоненциального роста. Для функции M (x) = , x ∈ Rn , это p1 p0 будут обобщенные функции экспоненциального роста порядка роста p1 = . p0 − µ 2) Рассмотрим теперь случай 1 − p0 6 µ 6 0. В силу теоремы 3.4.12 из условия (2.3.13) в области Hµ при µ 6 0 следует, что при действительных значениях s = σ выполняются оценки вида °µ ¶q ° ° ∂ ° h−µ|q| tA(σ) ° ° , t > 0, q = (q1 , . . . , qn ), qj ∈ N, σ ∈ Rn . ° ∂σ e ° 6 Cq (1 + |σ|) m Согласно условию (3.2.19) это неравенство показывает, что операторная экспонента etA(·) порождает ограниченный оператор умножения в пространстве S, а следовательно, и в пространстве S 0 , т. е. Gt (·) — свертыватель в пространстве S 0 . По теореме 2.3.1 это означает, что для любого f ∈ S 0 существует обобщенное решение u(·, t) ∈ S 0 задачи (2.1.1), (2.1.2), определяемое равенством (2.3.5). Следовательно, в данном случае обобщенное решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.2) — это обобщенная функция медленного роста.

2.3. ПОСТРОЕНИЕ

91

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.3.1.1. Параболические системы. Для начала докажем следующий результат. Утверждение 2.3.1. Приведенный порядок параболической системы p0 > 1. Доказательство. Возьмем произвольное s ∈ Cn и рассмотрим характеристический многочлен матрицы A(s) det (λI − A(s)) = (λ − λ1 (s))(λ − λ2 (s)) . . . (λ − λm (s)) = λm + b1 (s)λm−1 + . . . bm−1 (s)λ + bm . Коэффициент b1 (s) при λm−1 есть многочлен переменного s. Обозначим a(s) := −b1 (s) = λ1 (s) + λ2 (s) + . . . + λm (s). Тогда справедлива оценка Λ(s) 6 Re a(s) 6 mΛ(s). По определению приведенного порядка |Λ(s)| 6 C(1 + |s|)p0 при |s| → ∞. Следовательно, для Re a(σ) имеем C1 σp0 6 Re a(σ) 6 C2 σp0 при |σ| → ∞. Если предположить, что p0 6 1, то Re a(·) как степенная функция с целым показателем является линейной функцией: Re a(σ) = C1 σ1 + C2 σ2 + . . . + Cn σn . Но при |σ| → ∞ такая функция не может стремиться к −∞ по всем направлениям, что и доказывает неравенство p0 > 1. Замечание 2.3.1. Отметим, что показатель параболичности h в условии (2.3.9) не может быть больше p0 . Доказательство этого факта следует из теории целых функций: известно, что любая целая функция f (·), имеющая экспоненциальный порядок роста p0 и убывающая по некоторому направлению с оценкой h |f (s)| 6 Ce−a|s| , h > p0 , тождественно равна нулю. Если в нашем случае предположить, что h

ketA(s) km 6 Ce−a|s|

при h > p0 ,

то экспонента etA(·) должна быть тождественно равной нулю, что невозможно. Перейдем к изучению поведения экспоненты etA(·) . В силу условия (2.3.7) для параболических систем при действительных значениях s = σ выполнена оценка ° ° h ° tA(σ) ° a > 0, t > 0, σ ∈ Rn , (2.3.15) °e ° 6 C(1 + |σ|)p(m−1) e−at|σ| , m

где (как мы выяснили в замечании 2.3.1) h 6 p0 . Если t > 0, то при любом a0 < a справедливо неравенство ° ° h ° tA(σ) ° a0 > 0, t > 0, σ ∈ Rn . (2.3.16) °e ° 6 Ce−a0 t|σ| , m

etA(·)

Поскольку удовлетворяет при комплексных s условию (2.3.6), то согласно теореме 3.4.6 оценка (2.3.16) может быть продолжена в некоторую окрестность действительных значений s = σ, а именно для любого 0 < a1 < a0 найдется область Hµ = {s = σ + iτ : |τ | 6 K(1 + |σ|)µ }, в которой

° ° ° tA(s) ° °e °

m

1 − (p0 − h) 6 µ 6 1, h

6 Ce−a1 t|σ| ,

t > 0,

K = K(b1 , a0 , a1 ),

s ∈ Hµ .

(2.3.17)

При этом в силу условия h 6 p0 число µ, определяющее область, может оказаться как положительным, так и отрицательным. 1) Если 0 < µ 6 1, то в силу теоремы 3.4.8 из условий (2.3.6) и (2.3.17) следует оценка ° ° h p0 /µ ° tA(s) ° , t > 0, s = σ + iτ, b = b(b1 ; a1 ; K). °e ° 6 Ce−a1 t|σ| +bt|τ | m

Отсюда

° ° ° k tA(s) ° °s e °

m

h +bt|τ |p0 /µ

6 C|s|k e−a1 t|σ|

p0 /µ

6 Ck0 |τ |k ebt|τ |

0

при любом b0 > b. Из последнего неравенства при любом t ∈ (0; T ] получаем ° ° 0 p0 /µ ° k tA(s) ° , s = σ + iτ. °s e ° 6 Ck00 eb T |τ | m

p0 /µ

6 Ck00 eb t|τ |

92

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Заменой b0 T = получаем оценку ° ° ° k tA(s) ° °s e °

m

6 Ck00 e

ρp0 /µ p0 /µ

(ρ|τ |)p0 /µ p0 /µ

,

µ ⇐⇒

ρ=

t ∈ (0; T ],

b0 T p0 µ

T =

КОШИ

¶µ/p0

µρp0 /µ 0 , b > b, b0 p0

s = σ + iτ.

|τ |p0 /µ , τ ∈ Rn , то последнее неравенство принимает вид p0 /µ ° ° ° k tA(s) ° t ∈ (0; T ], s = σ + iτ, °s e ° 6 Ck00 eΩ(ρτ ) ,

Если обозначить Ω(τ ) =

m

и показывает, что согласно определению 3.2.17 функция etA(·) при любом t ∈ (0; T ] — элемент пространства W Ω,ρ . Тогда ее обратное преобразование Фурье Gt (·) — элемент двойственного про|x|p1 странства WM, 1 , определяемого двойственной по Юнгу к Ω(·) функцией M (x) = , x ∈ Rn , при ρ p1 1 1 + = 1. Таким образом, функция Gt (·) при любом t ∈ (0; T ] — обычная экспоненциально p1 p0 /µ p0 убывающая с порядком p1 = функция. p0 − µ 2) Рассмотрим теперь случай 1 − (p0 − h) 6 µ 6 0. В силу теоремы 3.4.11 из условия (2.3.17) при некотором B = B(a1 , µ) > 0 и любом 0 < a2 < a1 следует, что °µ ¶q ° ° ∂ ° µ tA(σ) ° ° 6 CB |q| |q||q|(1− h ) e−a2 t|σ|h , t > 0, σ ∈ Rn , q = (q1 , . . . , qn ), qj ∈ N. ° ∂σ e ° m Тогда при β = 1 − µ/h получаем оценку ° µ ¶q ° ¶|q| µ ° k ∂ ° tA(σ) °σ ° 6 C|σ|k B |q| |q||q|β e−a2 t|σ|h 6 Ck, m B + 1 e |q||q|β , ° ° ∂σ m m

t > 0,

σ ∈ Rn ,

показывающую, что при каждом фиксированном t > 0 функция etA(·) — элемент пространства S β,B . Следовательно, ее обратное преобразование Фурье Gt (·) при каждом фиксированном t > 0 — элемент двойственного пространства Sβ,B — обычная экспоненциально убывающая с порядком 1/β функция. 2.3.1.2. Гиперболические системы. Для гиперболической системы, как и для любой системы, корректной по Петровскому, выполнена оценка (2.3.12). Кроме того, из условий (2.3.7) и (2.3.10) получаем оценку ° ° ° tA(s) ° t > 0, s ∈ Cn , °e ° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eb0 t·|s| , m

откуда при любом b1 > b0 и любом t ∈ [0; T ], обозначая b1 T = ρ, имеем ° ° ° tA(s) ° s = σ + iτ. e ° ° 6 Ceb1 T |s| = Ceρ|s| , m

Из этого неравенства и условия (2.3.12) по теореме 3.4.3 получаем, что Gt (·) ∈ D0 — функционал, сосредоточенный на области { |xj | 6 ρ, j = 1, n}. Кроме того, для любого ε > 0 найдутся gt (·) — интегрируемая в области { |xj | 6 ρ + ε, j = 1, n} функция, и Pk (·) — многочлен степени k 6 h + n, дающие представление функции Gt (·) в виде µ ¶ ∂ gt (x), t > 0, x ∈ Rn . (2.3.18) Gt (x) = Pk ∂x Таким образом, оператор решения задачи (2.1.1), (2.1.2) — это обобщенная функция произвольного роста, локально представимая в виде производной конечного порядка от непрерывной функции (2.3.18).

2.3. ПОСТРОЕНИЕ

93

ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.3.2. Условно корректные системы. В силу (2.3.7) и (2.3.11) для условно корректных систем при действительных значениях s = σ выполнена оценка ° ° h ° tA(σ) ° a0 > 0, t > 0, σ ∈ Rn , 0 < h < 1. (2.3.19) °e ° 6 Cea0 t|σ| , m

Согласно теореме 3.4.6, при условии (2.3.6) оценка (2.3.19) может быть продолжена в некоторую окрестность действительных значений s = σ, а именно, для любого a1 > a0 найдется область Hµ = {s = σ + iτ : |τ | 6 K(1 + |σ|)µ } , в которой

° ° ° tA(s) ° °e °

m

h

6 Cea1 t|σ| ,

1 − (p0 − h) 6 µ 6 1, t > 0,

a1 > a0 ,

K = K(b1 ; a0 ; a1 ),

s ∈ Hµ .

(2.3.20)

Число µ, определяющее область Hµ , в силу соотношения h < 1 6 p0 может оказаться как положительным, так и отрицательным. 1) Если 0 < µ 6 1, то согласно теореме 3.4.8 из неравенств (2.3.6) и (2.3.20) следует, что матричная экспонента удовлетворяет условию ° ° h p0 /µ ° tA(s) ° , t > 0, s = σ + iτ, b = b(b1 ; a1 ; K), °e ° 6 Cea1 t|σ| +bt|τ | m

откуда при любом t ∈ [0; T ], обозначая a1 T = η, bT = ρ, имеем ° ° h p0 /µ h p0 /µ ° tA(s) ° = eη|σ| +ρ|τ | , °e ° 6 Cea1 T |σ| +bT |τ | m

s = σ + iτ.

Поскольку в нашем случае h 6 p0 /µ, в силу теоремы 3.4.10 отсюда следуют оценки для производных на действительной оси: °µ ¶q ° µ ° ∂ ° |q| |q|(1− p ) a2 |σ|h tA(σ) ° ° 0 e , a2 > a1 , q = (q1 , . . . , qn ), qj ∈ N. ° ∂σ e ° 6 CB0 |q| m

Обозначим α = 1/h, β = 1 − µ/p0 . Возьмем B > 0 и a > a2 . Тогда из этих оценок согласно соотношению (3.2.18) следует, что etA(·) определяет мультипликатор, действующий из пространства 1 1 β, B β, B+B0 Sα, , где A = , A1 = , а следовательно, и из A в пространство Sα, A1 1/h 1/h (hea) (he(a − a )) 2 ³ ´ ³ ´ β, B+B0 Sα, A1

0

0

β, B Sα, A . В этом случае Gt (·) определят непрерывный ³ ´0 ³ ´0 α, A1 α, A оператор свертки, действующий из пространства Sβ, в пространство S B+B0 β, B . ³ ´0 α, A1 По теореме 2.3.1 это означает, что для любого f ∈ Sβ, существует обобщенное реB+B0 ³ ´0 α, A шение u(·, t) ∈ Sβ, задачи (2.1.1), (2.1.2), определяемое равенством (2.3.5). Следовательно, в B данном случае обобщенное решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.2) — это экспоненциально растущая p0 обобщенная функция порядка роста p1 = при p0 > µ и произвольного роста при p0 = µ. p0 − µ 2) Рассмотрим теперь случай 1 − p0 6 µ 6 0. В силу теоремы 3.4.11 из условия (2.3.20) в области Hµ при µ 6 0 следует, что найдется такое B0 = B0 (a1 ; µ), что при действительных значениях s = σ выполняются оценки вида °µ ¶q ° ° ∂ ° |q| |q|(1− µ ) a2 t|σ|h tA(σ) ° ° h e , t > 0, a2 > a1 , q = (q1 , . . . , qn ), qj ∈ N, ° ∂σ e ° 6 CB0 |q|

пространства

в пространство

m

откуда при любом t ∈ [0; T ], обозначая a2 T = ρ, имеем °µ ¶q ° ° ∂ ° µ tA(σ) ° ° 6 CB |q| |q||q|(1− h ) eρ|σ|h , 0 ° ∂σ e °

t ∈ [0; T ],

σ ∈ Rn .

m

1 и обозначим α = 1/h, β = 1 − µ/h. То(hea)1/h гда согласно условию (3.2.18) это неравенство показывает, что операторная экспонента etA(·) поβ,B β,B+B0 рождает ограниченный оператор умножения из пространства Sα, , где A в пространство Sα, A1 ¶1/h µ ³ ´ ³ ´0 0 1 β,B+B0 β,B , а следовательно, и из пространства Sα, в пространство S A1 = A1 α, A . he(a − ρ)

Возьмем a > ρ и B > 0. Положим A =

94

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

³ ´0 α, A1 Отсюда получаем, что Gt (·) — свертыватель, действующий из пространства Sβ,B+B в простран0 ³ ´0 α, A ство Sβ,B . ´0 ³ α, A1 По теореме 2.3.1 это означает, что для любого f ∈ Sβ, существует обобщенное реB+B0 ³ ´0 α, A шение u(·, t) ∈ Sβ, задачи (2.1.1), (2.1.2), определяемое равенством (2.3.5). Следовательно, в B данном случае обобщенное решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.2) — это экспоненциально растущая h обобщенная функция порядка роста 1/β = . h−µ 2.3.3. Некорректные системы. Некорректная система удовлетворяет условию (2.3.6) во всей комплексной плоскости; следовательно, при t ∈ [0; T ], обозначая a = (b1 T )1/p0 , получаем ° ° p0 p0 ° tA(s) ° e s ∈ Cn . ° ° 6 Ceb1 T |s| = Ce(a|s|) , m

Такая функция порождает функционал из D0 ; следовательно, ее обобщенное обратное преобразование Фурье Gt (·) ∈ Z 0 . Однако последнее включение можно уточнить, а именно в силу теоремы 3.3.3 1 1 −1/p −1/p Gt (·) ∈ (Zp1 , a1 )0 , при + = 1, a1 < a−1 p0 0 p1 1 . p0 p1 2.4.

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.4.1. R-полугруппы, связанные с системами, корректными по Петровскому. На основе исследований поведения матричной функции etA(·) — преобразования Фурье операторов решения систем, корректных по Петровскому, — проведенных в пункте 2.3.1, и построенных там пространств обобщенных функций Φ0 , в которых задача Коши (2.3.1), (2.3.2): µ ¶ ∂u(x; t) ∂ =A i u(x; t), t ∈ [0; T ], x ∈ Rn , (2.4.1) ∂t ∂x u(x; 0) = f (x), x ∈ Rn , (2.4.2) является корректной в обобщенном смысле, µ ¶ выберем максимально широкие банаховы пространства ∂ X ⊂ Φ0 и покажем, что оператор A i порождает R-полугруппы в выбранных пространствах. ∂x Эти полугруппы представляют собой свертку операторов обобщенного решения задачи (2.4.1), (2.4.2) с функцией K и элементом f ∈ X: S(t)f = Gt ∗ K ∗ f,

t ∈ [0; T1 ),

e где матричная функция K выбирается так, что ее преобразование Фурье K(·) нейтрализует рост tA(·) экспоненты e . Построенные полугруппы дают решение задачи Коши (2.4.1), (2.4.2) с начальным µ ¶ ∂ условием Rf , f ∈ Dom A i , на любом отрезке [0; T ] при T < T1 . ∂x Напомним, что в Cn имеет место общая для систем (2.4.1) оценка роста экспоненты ° ° p0 ° tA(s) ° t > 0. (2.4.3) °e ° 6 C1 eb1 t|s| , m

В пункте 2.3.1 были построены классы обобщенной корректности задач, корректных по Петровскому. При этом было показано, что они зависят от величины параметра µ, определяющего геометрию области комплексной плоскости Hµ = {s = σ + iτ : |τ | 6 ν(1 + |σ|)µ },

1 − (p0 − h) 6 µ 6 1,

в которой экспонента etA(·) сохраняет то поведение (2.3.16), которое присуще ей при действительных значениях аргумента, т. е. удовлетворяет условию ° ° ° tA(s) ° t > 0, s ∈ Hµ . (2.4.4) °e ° 6 C(1 + |σ|)h , m

Как и в пункте 2.3.1, будем рассматривать два случая: µ > 0 и µ 6 0. Для простоты изложения проведем все построения при n = 1, т. е. для s ∈ C, x ∈ R.

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

95

Рассмотрим сначала случай µ > 0. В этом случае ³ (см. пункт ´0 2.3.1) обобщенное решение задачи и является элементом пространства Коши (2.4.1), (2.4.2) существует при любом f ∈ WM, 1 β+ρ ³ ´0 p |x| 1 1 1 WM, 1 , где M (x) = , + = 1. β p1 p1 p0 /µ ω Рассмотрим пространство Xq, γ = Lq γ (R) функций, абсолютно интегрируемых со степенью q с p весом ωγ (x) = e−γ|x| 1 , x ∈ R, γ > 0, т. е. пространство функций u, для которых Z∞ p1

|u(x)|qm e−γ|x| dx < ∞. −∞

В силу определения пространств имеют место вложения ¡ ¢0 X1, γ ⊂ WM, 1/β при γ 6 ¡ ¢0 Xq, γ ⊂ WM, 1/β В выбранном пространстве Xq, γ

1 , p1 β p1

q , β1 > β, q > 1. p1 (β1 )p1 построим R-полугруппу с генератором A. при γ =

Теорема Пусть для системы (2.4.1) выполнены условия (2.4.3), (2.4.4). Тогда опера¶ µ 2.4.1. ∂ порождает в пространстве Xq, γ локальную R-полугруппу {S(t), t ∈ [0; T1 )} с тор A i ∂x оператором R, определяемым равенством Z∞ Rf (x) = K(x − ξ)f (ξ) dξ, x ∈ R, (2.4.5) −∞

с интегрируемой функцией K, удовлетворяющей при |s| → ∞ условию µ ¶ 1 e K(s) =O , h0 > h + 2, s ∈ C. (1 + |s|)h0 Длина полуинтервала T1 определяется параметрами задачи p0 , µ, b1 и параметрами пространства q, γ. Доказательство. Для построения R-полугруппы в выбранном пространстве Xq, γ воспользуемся результатом об обратимости классического преобразования Фурье в пространстве L2 (R) (см., наe так, чтобы etA(·) K(·) e пример, [28]). Умножим etA(·) на некоторую функцию K ∈ L2 (R). Из оценe должна удовлетворять при |σ| → ∞ условию ки (2.4.4) следует, что такая функция K µ ¶ 1 e K(σ) = O , h0 > h + 1/2. (1 + |σ|)h0 Тогда по теореме Планшереля найдется функция Qt ∈ L2 (R), равная обратному преобразованию e Фурье функции etA(·) K(·): ³ ´ e Qt (x) = F −1 etA(σ) K(σ) (x), x, σ ∈ R, t > 0. (2.4.6) С другой стороны, если разделить etA(σ) на (1 − iσ)h+1 , то также в силу теоремы Планшереля найдется функция gt ∈ L2 (R), для которой выполняется Ã ! etA(σ) −1 gt (x) = F (x), x, σ ∈ R, t > 0; (1 − iσ)h+1 следовательно, по свойствам преобразования Фурье она определяет обобщенное обратное преобразование Фурье матричной экспоненты в виде µ ¶ ³ ´ ∂ −1 tA(σ) Gt (x) = F e (x) = Ph+1 gt (x), x ∈ R, t > 0, ∂x

96

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

где Ph+1 — некоторый многочлен степени h+1. В итоге получаем следующее обобщенное равенство ³ ´ в пространстве WM, 1

β

Qt (x) = F

−1

0

:

µ ¶ · µ ¶ ¸ ³ ´ ∂ d tA(σ) e e K(σ) (x) = (Gt ∗ K)(x) = Ph+1 gt (x) ∗ K(x) = gt (x) ∗ Ph+1 K(x) . ∂x dx

Покажем, что, несколько усилив требования к функции K, можно для любого f ∈ Xq, γ получить равенство µ ¶ · ¸ d (Qt ∗ f )(x) = (Gt ∗ K ∗ f )(x) = gt (x) ∗ Ph+1 K(x) ∗ f (x) (2.4.7) dx уже не в обобщенном смысле, а в пространстве Xq, γ . Тем самым мы определим операторы свертки с ядром Qt , действующие в пространстве Xq, γ . Это и будет регуляризованная полугруппа. Равенство (2.4.7) описывает структуру этой полугруппы. План обоснования предложенной конструкции состоит в следующем: 1) определить свертку любой функции f ∈ Xq, γ с построенной по формуле (2.4.6) функцией Qt ; 2) показать, что Qt ∗ f ∈ Xq, γ при любом f ∈ Xq, γ ; 3) доказать ограниченность операторов свертки с ядром Qt в пространстве Xq, γ ; 4) показать справедливость равенства (2.4.7) в Xq, γ ; 5) показать, что для любого f ∈ Xq, γ функция Qt ∗ f является обобщенным решением задачи Коши для системы (2.4.1) с начальным условием x ∈ Rn ;

u(x; 0) = (K ∗ f )(x),

(2.4.8)

это поможет осуществить следующий шаг.

µ ¶ ∂ функция Qt ∗ f 6) доказать, что для любого f из области определения оператора A i ∂x является классическим решением задачи Коши (2.4.1), (2.4.8). Тем самым будет доказано, что операторы свертки с ядром Qt S(x; t)f (x) = (Qt ∗ f )(x),

t ∈ [0; T1 ),

x ∈ R,

образуют R-полугруппу в пространстве Xq, γ c оператором R свертки с ядром K, определяемым формулой (2.4.5): Z∞ Rf (x) = K(x − ξ)f (ξ) dξ, x ∈ R. −∞

Приступаем к реализации данного плана. 1) Возьмем функцию f ∈ Xq, γ и разложим ее в ряд по финитным функциям: f (x) =

∞ X

fn (x − n) =

n=−∞

∞ X

f (x)e(x − n),

n=−∞

где e — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям ( ∞ X 1, |x| < 1/4, e(x) = e(x − n) ≡ 1, 0, |x| > 3/4, n=−∞

x ∈ R,

(2.4.9)

т. е. e — разложение единицы. Обозначим wn (x − n; t) := (Qt ∗ fn )(x − n) и покажем, что ряд

∞ X

wn (x − n; t)

(2.4.10)

n=−∞

сходится равномерно на любом ограниченном подмножестве из R. Оценим рост функции wn (·; t), пользуясь ее представлением в виде обратного преобразования Фурье: ³ ´ e ff wn (x; t) = (Qt ∗ fn )(x) = F −1 etA(s) K(s) n (s) ,

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

97

где Z3/4

Z∞ ff n (s) =

e−ixs fn (x) dx = −∞

e−ixs fn (x) dx. −3/4

Для fn в силу ее определения почти всюду справедлива оценка |fn (x)|m = |f (x + n)e(x)|m 6 Ce

(γ−ε)|x+n|p1 q

6 Ce

Для ее преобразования Фурье получаем ¯ ¯ ¯ ¯ Z3/4 ¯ ¯ ¯ ¯ −ix(σ+iτ ) e f (x) dx |ff (s)| = ¯ ¯ n n m ¯ ¯ ¯ ¯ −3/4

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 q

6 Ce

,

ε > 0,

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 q

x ∈ [−3/4; 3/4].

Z3/4 exτ dx 6 (2.4.11)

−3/4

m max{xτ }

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 (γ−ε)(|n|+3/4)p1 3 q q Ce e x 6 C 0e e3/4|τ | . 2 Вернемся к оценке wn (·; t). Используя условие (2.3.14): ° ° ° tA(s) ° t ∈ [0; T ], s = σ + iτ, °e ° 6 C(1 + |σ|)h eΩ(ρτ ) ,

6

m

где Ω(τ ) =

|τ |p0 /µ

и

p0 /µ

µ ρ=

b1 T p0 µ

¶µ/p0 ,

(2.4.12)

получим

³ ´ e ff |wn (x; t)|m = |F −1 etA(s) K(s) n (s) |m 6 C0 6 2π ³

e Если K(s) = O получаем оценку

Z∞ ¯ ¯ ¯ ix(σ+iτ ) ¯ ¯e ¯ −∞

1 (1+|s|)h0

|wn (x; t)|m 6 C 00 e

m

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 (1 + |σ|)h Ω(ρτ ) q e3/4τ dσ, e e (1 + |σ + iτ |)h0

t ∈ [0; T ].

´ при |s| → ∞, где h0 > h + 1, то последний интеграл сходится и мы

−xτ +Ω(ρτ )+

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 q

+3/4τ

6 C1 e

−xτ +Ω(ρ1 τ )+

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 q

,

t ∈ [0; T ],

при любом ρ1 > ρ. Выберем τ так, чтобы в неравенстве Юнга (3.3.6): µ ¶ x xτ 6 M + Ω(ρ1 τ ), x, τ ∈ R, ρ1 выполнялось равенство; тогда µ ¶ x −xτ + Ω(ρ1 τ ) = −M . ρ1 |x|p1 . Отсюда Здесь M (x) = p1 |wn (x; t)|m 6 C1 e

−M

x ρ1

+

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 q

= C1 e

− p1

1

|x| ρ1

p1

+

(γ−ε)(|n|+3/4)p1 q

6 Cε e

− p1

1

|x| ρ1

p1

+

(γ−4ε/5)|n|p1 q

.

Поскольку ρ определяется равенством (2.4.12), а ρ1 — произвольное, большее ρ, для любых δ > 0, t ∈ [0; T ] имеем − p1 |x|p1

µ bp0

µp1 p0

T

µp − p1 0

(1−δ)+

(γ−4ε/5)|n|p1

−d|x|p1 T −p2 (1−δ)+

q |wn (x; t)|m 6 Cε, δ e 1 = Cε, δ e ³ ´ p2 1 µp1 µ где d = . Заменяя x на x − n, получаем , p2 = b p 1 0 p1 p0

|wn (x − n; t)|m 6 Cε, δ e

−d|x−n|p1 T −p2 (1−δ)+

(γ−4ε/5)|n|p1 q

,

t ∈ [0; T ].

(γ−4ε/5)|n|p1 q

,

(2.4.13)

98

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Завершая эту оценку, приходим к неравенству −d|x−n|p1 T −p2 (1−δ)+

|wn (x − n; t)|m 6 Cε, δ e

γ|n|p1 q

,

t ∈ [0; T ].

Выбирая T из условия d(1 − δ)T −p2 > γ/q, при фиксированном 0 < δ < 1 получаем µ ¶ µ ¶ q(1 − δ) 1/p2 µ qd(1 − δ) 1/p2 < =: T0 ; T < γ γp1 b1 p0 следовательно, ряд (2.4.10) сходится равномерно по x на каждом ограниченном подмножестве R при любом t ∈ [0; T0 ). Тем самым мы определили свертку Qt ∗ f как сумму ряда (2.4.10): (Qt ∗f )(x) :=

∞ X

(Qt ∗fn )(x−n) =

n=−∞

∞ X

wn (x−n; t),

f ∈ Xq,γ ,

t ∈ [0; T0 ),

x ∈ R. (2.4.14)

n=−∞

Особо отметим, что обратное преобразование Фурье здесь проводится не по действительной оси, а по параллельной ей прямой s = σ + iτ при некотором фиксированном τ , определяемом равенством в неравенстве Юнга. Этот переход обоснован в силу сходимости к нулю соответствующих интегралов при |σ| → ∞. Сдвиг с действительной оси в комплексную плоскость позволяет при помощи аналитических свойств функции etA(·) задействовать убывание функции Gt при |x| → ∞, что и влечет сходимость ряда (2.4.10). 2) Покажем, что свертка Qt ∗ f , определяемая равенством (2.4.14), принадлежит пространству Xq, γ . Для этого докажем, что частичные суммы ряда (2.4.10) обладают не зависящей от N мажорантой: ¯ ¯ N p1 ¯ X ¯ (γ− 1 5 ε)|x| ¯ ¯ q wn (x − n; t)¯ 6 Cε,δ e , x ∈ R; ¯ ¯ ¯ n=−N

m

тогда и весь ряд удовлетворяет этой оценке: |(Qt ∗ f )(x)|m 6 Cε,δ e

p1 (γ− 1 5 ε)|x| q

,

x ∈ R.

(2.4.15)

Действительно, показатель в правой части неравенства (2.4.13) может быть представлен в виде Ã ! (γ − 15 ε) p1 (γ − 51 ε) p1 (γ − 45 ε) p1 −p2 p1 |x| − |x| + d(1 − δ)T |x − n| − |n| . q q q Покажем, что при определенном выборе T выражение в скобках удовлетворяет неравенству (γ − 15 ε) p1 (γ − 54 ε) p1 ε |x| + d(1 − δ)T −p2 |x − n|p1 − |n| > |n|p1 , q q 5q с очевидностью влекущему сходимость ряда (2.4.10), или эквивалентному ему неравенству µ ¶ µ ¶ 1 3 p1 −p2 p1 γ − ε |x| + qd(1 − δ)T |x − n| > γ − ε |n|p1 . 5 5 n на y, получим x µ ¶ 3 > γ − ε |y|p1 . 5

Разделим обе части этого неравенства на |x|p1 и, заменяя 1 γ − ε + qd(1 − δ)T −p2 |1 − y|p1 5

С уменьшением T левая часть неравенства неограниченно возрастает; следовательно, можно утверждать, что это неравенство справедливо для всех y ∈ R (т. е. для всех x 6= 0, n ∈ N) при T , меньших некоторого T1 , где T1 6 T0 , T1 = T1 (p0 , µ, b1 , q, γ), т. е. при T ∈ (0; T1 ), что и требовалось. Если x = 0, то ряд (2.4.10) сходится и оценка (2.4.15), очевидно, выполнена. Оценка (2.4.15) показывает, что w(·; t) ∈ Xq, γ .

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

99

3) Итак, мы показали, что семейство (по t ∈ [0; T1 )) операторов свертки с ядрами Qt , определенных соотношением (2.4.14), действует в пространстве Xq, γ . Очевидно, эти операторы линейны. Покажем, что они ограничены. Возьмем произвольный элемент f ∈ Xq, γ с нормой  ∞ 1/q Z p1 kf kq, γ =  |f (x)|qm e−γ|x| dx . −∞

Тогда оценки (2.4.11) и (2.4.13) приобретают вид 3/4|τ | |ff , n (s)|m < kf kq, γ C1 e p1

−p2

|wn (x − n; t)|m < kf kq, γ Cδ e−d|x−n| T (1−δ) . Следовательно, ряд (2.4.10) имеет в этом случае оценку ∞ ∞ X X p1 −p2 |wn (x − n; t)|m < kf kq, γ Cδ e−d|x−n| T (1−δ) , n=−∞

n=−∞

т. е. сходится абсолютно и равномерно на каждом ограниченном подмножестве из R. Аналогично (2.4.15) можно показать, что 0 |(Qt ∗ f )(x)|m < kf kq, γ Cε,δ e

откуда



ε|x|p1 q

1/q

Z∞

p1 |(Qt ∗ f )(x)|qm e−γ|x| dx

kQt ∗ f kq,γ = 

,

< kf kq, γ C 00 ;

−∞

это доказывает непрерывность оператора свертки с ядром Qt (·) в пространстве Xq, γ . 4) Покажем справедливость равенства (2.4.7). Прежде всего заметим, что свертка функции Qt ∈ L2 (R) с финитной функцией fn (·) может быть записана в виде интеграла x+3/4 Z

(Qt ∗ fn )(x) = µ

Qt (ξ)fn (x − ξ) dξ.

(2.4.16)

x−3/4

¶

1 (h0 > h + 2), то K(·) — h + 2 раза непрерывно дифферен(1 + |σ|)h0 цируемая функция и K (h+1) ∈ L1 (R). Как известно (см., например, [28]), свертка двух функций, одна из которых принадлежит L1 (R), а другая — Lq (R), 1 6 q < ∞, определена и снова является функцией (из пространства Lq (R)). Запишем µ µ ¶ ¶ ∂ gt (x) ∗ [K(x) ∗ fn (x)] (Qt ∗ fn )(x) = (Gt ∗ K ∗ fn )(x) = Ph+1 ∂x · µ ¶ ¸ ·µ µ ¶ ¶ ¸ d d = gt (x) ∗ Ph+1 (K(x) ∗ fn (x)) = gt (x) ∗ Ph+1 K(x) ∗ fn (x) . dx dx µ µ ¶ ¶ d Здесь Ph+1 K(x) ∗ fn (x) принадлежит пространству L1 (R) как свертка двух функций dx из L1 (R). Следовательно, свертку функций ·µ µ ¶ ¶ ¸ d gt (x) ∗ Ph+1 K(x) ∗ fn (x) dx e Далее, если K(σ) = O

из пространств L2 (R) и L1 (R) можно записать в виде двойного интеграла µ ¶ Z∞ Z∞ d (Qt ∗ fn )(x) = gt (ξ) Ph+1 K(η)fn (x − ξ − η) dη dξ. dη −∞

−∞

В силу сходимости ряда (2.4.10) и определения свертки Qt ∗ f в виде сходящегося ряда (2.4.14) получаем, что равенство (2.4.7) имеет место как равенство функций в Xq, γ .

100

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Заметим здесь, что если функция f непрерывна, то функция wn (x; t), x ∈ R, как интеграл (2.4.16) с переменными пределами от интегрируемой, непрерывно зависящей от параметра x функции также непрерывна по x. Следовательно, и свертка Qt ∗ f как функция переменного x непрерывна на R как сумма равномерно (по x на каждом ограниченном множестве из R) сходящегося ряда. 5) Введем функцию w(x; t) := (Qt ∗ f )(x), t ∈ [0; T1 ), x ∈ R. ³ ´0 Покажем, что построенная функция является обобщенным — в смысле WM, 1 — решением заβ

дачи Коши (2.4.1), (2.4.2). Напомним, ´ что³оператор ´ свертки с Gt есть оператор решения задачи (2.4.1), (2.4.2), действующий ³ из WM,

0

1 β+ρ

в WM, 1

β

0

. Повторяя выкладки пунктов 1) и 2) для функций (K ∗ f )n , получим p1

|(K ∗ f )(x)| 6 Cea1 |x|

³ ´0 1 , т. е. K ∗ f ∈ W 1 M, β+ρ , и, следовательно, функp1 (β + ρ)p1 ция Gt ∗ (K ∗ f ) является обобщенным решением задачи Коши (2.4.1), (2.4.2) с начальным условием K ∗ f . В силу (2.4.7) это решение совпадает с построенной нами сверткой:

при некотором a1 < γ1 =

Gt (x) ∗ (K(x) ∗ f (x)) = (Qt ∗ f )(x). 6) Покажем, что для любого

¶ ½ µ ¶ ¾ µ ∂ ∂ = u ∈ Xq, γ : A i u(x) ∈ Xq, γ f ∈ Dom A i ∂x ∂x

соответствующая функция w(·; t) = (Qt ∗ f )(·) является классическим решением задачи Коши (2.4.1), (2.4.2) с начальным условием K ∗ f . Для любого ϕ ∈ WM, 1 имеем β + ¿ À ¿ µ ¶ À * µ ¶ X ∞ ∂w(x; t) ∂ ∂ ϕ, = ϕ, A i w(x; t), ϕ = ϕ, A i (Qt ∗ fn )(x − n) = ∂t ∂x ∂x n=−∞ = [ в силу замкнутости оператора дифференцирования] = * + µ ¶ ∞ X ∂ = ϕ, A i (Qt ∗ fn ) (x − n) = ∂x n=−∞   + * ¶ x−n+3/4 µ Z ∞ X ∂   = ϕ, A i Qt (ξ)fn (x − n − ξ) dξ  =  ∂x n=−∞ x−n−3/4

* =

ϕ,

∞ X

+ µ ¶ ∂ Qt (ξ)A i fn (x − n − ξ) dξ . ∂x

x−n+3/4 Z

n=−∞ x−n−3/4

µ ¶ µ ¶ ∂ ∂ В силу принадлежности f области определения оператора A i функция A i f (x), а ∂x ∂x µ ¶ ∂ вместе с ней и A i fn (x − n − ξ), x ∈ R, определены и принадлежат пространству Xq, γ ; по∂x этому правая часть в приведенной выше цепочке равенств, по доказанному выше в пунктах 1), 2), представляет собой функционал, порожденный функцией пространства Xq, γ , на элементе ϕ. Следовательно, и производная, стоящая слева, существует и является функцией из Xq, γ , и мы получаем равенство µ ¶ ∂ ∂w(x; t) =A i w(x; t), t ∈ [0; T1 ), x ∈ R. ∂t ∂x

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

101

Аналогично доказывается выполнение начального условия lim w(x; t) = (K ∗ f )(x),

x ∈ R.

t→0+0

Замечание 2.4.1. В теореме 2.4.1 с учетом поведения экспоненты в комплексной плоскости построена локальная R-полугруппа. Если принимать во внимание поведение экспоненты etA(·) только на действительной оси s = σ, можно построить не локальную (на полуинтервале [0; T1 )), а глобальную (при t > 0) R-полугруппу, но в более узком пространстве Xq, γ , в точности как это сделано ниже для случая µ 6 0. Рассмотрим теперь случай µ 6 0. Как показано в пункте 2.3.1, экспонента etA(·) на действительной оси удовлетворяет оценкам вида ° °µ ¶q ° ° ∂ h−µ|q| tA(σ) ° ° , t > 0, q = (q1 , . . . , qn ), qj ∈ N, σ ∈ Rn . e ° 6 Cq (1 + |σ|) ° ∂σ m

Там же было показано, что обобщенное решение задачи Коши (2.4.1), (2.4.2) существует в этом случае при любом f ∈ S 0 и принадлежит S 0 . Поскольку S — пространство бесконечно дифференци1 руемых функций, убывающих при |x| → ∞ быстрее любой степени , пространство S 0 содержит |x| все регулярные функционалы, порожденные функциями любого степенного роста. ω Рассмотрим пространство Xq, γ = Lq γ (R) функций, интегрируемых со степенью q с весом ωγ (x) = (1 + |x|)−γ , γ > 1, т. е. пространство функций f (·), для которых Z∞ |f (x)|q (1 + |x|)−γ dx < ∞. −∞

Очевидно, имеет место вложение Xq, γ ⊂ S 0 .

µ ¶ ∂ Теорема 2.4.2. В пространстве Xq, γ оператор A i порождает R-полугруппу с опера∂x тором R, определяемым равенством Z∞ f (ξ) Rf (x) = K(x − ξ) dξ, x ∈ R, 1 + ξ2 −∞

и функцией K(·), преобразование Фурье которой удовлетворяет при |σ| → ∞ условию ³ ´ e K(σ) = O (1 + |σ|)−(r+3+ε) , · ¸ γ−1 где ε > 0, r = max {h − µ|q|}, k = . q |q|=0,k · ¸ γ−1 Доказательство. Зафиксируем k = , где [x] — целая часть числа x. Положим q r = max {h − µ|q|}. |q|=0,k

Возьмем произвольный элемент f ∈ Xq, γ и рассмотрим функцию g(x) = точно больших x почти всюду выполнено |g(x)|m 6 C(1 + |x|)a−2 ,

a<

f (x) . Тогда при доста1 + x2

γ−1 . q

Как и в предыдущем пункте, разложим g(·) в ряд по финитным функциям: g(x) =

∞ X n=−∞

gn (x − n) =

∞ X n=−∞

g(x)e(x − n),

102

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

где e — разложение единицы, определенное соотношениями (2.4.9). Оценим gen : ¯ ¯ ∞ ¯ ¯Z ¯ ¯ −ixσ ¯ |gen (σ)|m = ¯ e gn (x) dx¯¯ 6 C(1 + |n| + 3/4)a−2 = C(7/4 + |n|)a−2 . ¯ ¯ −∞

m

Исследуем поведение производных свертки: Z∞ ¯ Z∞ ¯ ¯ ¯ |σ|l 1 ¯ ¯ ¯ ixσ ¯ (l) le a−2 dσ, ¯(K ∗ gn ) (x)¯ 6 ¯e (iσ) K(σ)gen (σ)¯ dσ 6 C(7/4 + |n|) 2π (1 + |σ|)h0 m m −∞

µ

1 (1 + |σ|)h0 и мы получаем оценку

−∞

¶

e где K(σ) =O

при |σ| → ∞. Тогда при h0 > l + 1 интеграл в правой части сходится, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(K ∗ gn )(l) (x)¯

m

Оценим теперь

6 C(7/4 + |n|)a−2 .

Z∞ ³ ´(j) e K(σ) gen (σ) = e−ixσ (−ix)j (K ∗ gn )(x) dx. −∞

Интегрируя по частям любое число раз, получаем для произвольных j и l ¯ ¯ ¯³ ¯ ¯ Z∞ ´(j) ¯¯ ¯ ¯ 1 ¯ £ ¤ Cj (l) −ixσ j e ¯ K(σ) ¯ ¯ ¯ 6 g e (σ) = e (−ix) (K ∗ g )(x) (7/4 + |n|)a−2 . dx n n ¯ ¯ ¯ (−iσ)l ¯ l (1 + |σ|) ¯ ¯ m −∞

Далее, имеем ¯³ ´(k) ¯¯ ¯ tA(σ) e ¯ e ¯ K(σ) gen (σ) ¯ ¯

6

m

k X

Ckj

m

°³ ° ° tA(σ) ´(k−j) ° ° e ° ° °

m

j=0

Оценим свертку |xk (Gt ∗ K ∗ gn )(x)|m

¯³ ´(j) ¯¯ ¯ e ¯ K(σ) ¯ gen (σ) ¯ ¯

6 C(1 + |σ|)r

m

¯ ∞ ¯ ¯Z ¯ h i (k) ¯ ¯ 1 ¯ ixσ tA(σ) e = e e K(σ)gen (σ) dσ ¯¯ ¯ 2π ¯ ¯ −∞

Z∞ 6 C(7/4 + |n|)a−2 −∞

6 m

1 dσ 6 C(7/4 + |n|)a−2 (1 + |σ|)l−r

при l > r + 2. Отсюда |(Gt ∗ K ∗ gn )(x)|m 6 C Из определения k получаем

(7/4 + |n|)a−2 . (1 + |σ|)l

(7/4 + |n|)a−2 . (1 + |x|)k

·

¸ ½ ¾ γ−1 γ−1 γ−1 − +2=2− > 1, k−a+2> q q q

где {x} — дробная часть числа x. Следовательно, ряд ¯ ¯ ∞ ∞ ¯ ¯ X X (7/4 + |n|)a−2 ¯ ¯ (Gt ∗ K ∗ gn )(x − n)¯ 6 C ¯ ¯ ¯ (1 + |x − n|)k n=−∞ n=−∞ m

сходится абсолютно и равномерно по x на ограниченных в R множествах. Из неравенства 1 1 + |x| 6 1 + |x − n| 1 + |n| получаем оценку (7/4 + |n|)a−2 |(Gt ∗ K ∗ gn )(x − n)|m 6 C (1 + |x|)k , (1 + |n|)k

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

103

которая показывает, что ряд сходится к функции w(x; t) =

∞ X

(Gt ∗ K ∗ gn )(x − n),

x ∈ R,

n=−∞

принадлежащей Xq, γ . Доказательство того факта, что построенные операторы f (·) −→ w(·; t), действующие в пространстве Xq, γ , ограничены и образуют R-полугруппу, проводится так же, как в теореме 2.4.1. 2.4.2. R-полугруппы, связанные с параболическими системами. Здесь мы рассматриваем частный случай систем, корректных по Петровскому, — параболические системы — и строим для них R-полугруппы. Напомним, что во всей комплексной плоскости экспонента etA(·) удовлетворяет условию (2.3.6): ° ° p0 ° tA(s) ° s ∈ C, (2.4.17) °e ° 6 Ceb1 t|s| , m

а для параболической системы на действительной оси — условию (2.3.15): ° ° h ° tA(σ) ° e a0 > 0, t > 0, σ ∈ R. ° ° 6 C(1 + |σ|)p(m−1) e−a0 t|σ| , m

(2.4.18)

В силу убывания на действительной оси (2.4.18) мы получаем для параболических систем более простую конструкцию R-полугруппы. e Рассмотрим функцию K(·), удовлетворяющую условию ° ° h p0 °e ° K(s) s = σ + iτ ∈ C, (2.4.19) ° ° 6 Ce−a0 κ|σ| +b2 |τ | , m

где κ > 0, b2 ∈ R — произвольные фиксированные постоянные. Строящиеся R-полугруппы представляют собой свертку операторов решения обобщенной задачи с функцией K(·), причем эта свертка применяется к функции (f g)(·) со специальным образом выбранной функцией g(·), которая обеспечивает действие полугрупповых операторов в одном пространстве. e Покажем, что произведение etA(·) K(·) определяет мультипликатор при t ∈ [0; T1 ). На основе этого далее будет построена регуляризующая полугруппа. e Для произведения etA(·) K(·) при действительных s = σ получаем оценку ° ° h h ° tA(σ) e ° K(σ)° 6 C(1 + |σ|)p(m−1) e−a0 (t+κ)|σ| 6 C 0 e−aκ|σ| , t > 0, (2.4.20) °e m

при любом a > a0 , и для всех комплексных s ° ° p0 h p0 p0 ° tA(s) e ° K(s)° 6 C(1 + |s|)p(m−1) eb1 t|s| e−aκ|σ| +b2 |τ | 6 C 0 e(bt+b2 )|s| , °e m

t > 0,

(2.4.21)

при любом b > b1 . Из этих двух условий согласно теореме 3.4.6 следует, что оценка (2.4.20) может быть продолжена в некоторую окрестность действительной оси, а именно для любого 0 < a1 < a найдется область Hµ = {s = σ + iτ : |τ | 6 ν(1 + |σ|)µ }, в которой

° ° ° tA(s) e ° K(s)° °e

m

1 − (p0 − h) 6 µ 6 1, h

6 Ce−a1 κ|σ| ,

t > 0,

s ∈ Hµ .

ν = ν(b, b2 , a, a1 ), (2.4.22)

При этом в силу того, что для параболической системы h 6 p0 (см. замечание 2.3.1), число µ, определяющее область, может оказаться как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим сначала случай µ > 0. Как было показано в пункте 2.3.1.1, в этом случае при любом |τ |p0 /µ t ∈ (0; T ] матричная экспонента etA(·) является элементом пространства W Ω, ρ , где Ω(τ ) = , p0 /µ p0 > 1. В силу двойственности пространств WM, a и W Ω, b (теорема 3.3.2), классическое обратное µ

104

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

преобразование Фурье экспоненты, Gt (·), при любом t ∈ (0; T ] определено и является элементом двойственного пространства WM, 1/ρ , определяемого двойственной по Юнгу к Ω(·) функцией M (x) =

|x|p1 , p1

x ∈ R,

1 1 + = 1. p1 p0 /µ

Согласно определению пространства WM, 1/ρ (пункт 3.2.8), это означает, что Gt (·) — функция, при любом ε > 0 удовлетворяющая неравенству kGt (x)km 6 Cε e

− p1

1

|x| ρ+ε

p1

,

x ∈ R,

t ∈ (0; T ].

Таким ¡ образом, ¢0 классом обобщенной корректности задачи (2.3.1), (2.3.2) служит пространство WM, 1/ρ . ω Рассмотрим пространство Xq, γ = Lq γ (R) функций, абсолютно интегрируемых со степенью q с p 1 весом ωγ (x) = e−γ|x| , x ∈ R, γ > 0, т. е. пространство функций u(·), для которых Z∞ p1

|u(x)|qm e−γ|x| dx < ∞. −∞

В силу определения пространств, имеют место вложения ¡ ¢0 X1, γ ⊂ WM, 1/ρ при γ 6 ¡ ¢0 Xq, γ ⊂ WM, 1/ρ В указанном пространстве Xq, γ

1 , p1 ρp1

q , ρ1 > ρ, q > 1. p1 (ρ1 )p1 построим R-полугруппу с генератором A. при γ =

Теорема ¶ Пусть для системы (2.4.1) выполнены условия (2.4.17), (2.4.18). Тогда опеµ 2.4.3. ∂ порождает локальную R-полугруппу {S(t), t ∈ [0; T1 )} в пространстве Xq, γ с ратор A i ∂x оператором R, определяемым равенством Z∞ δ(x2 +1)p1 /2 − q Rf (x) = K(x − ξ)f (ξ)g(ξ) dξ, g(x) = e , 0 < δ < γ, x ∈ R, (2.4.23) −∞

где K — интегрируемая функция, преобразование Фурье которой при |s| → ∞ удовлетворяет условию (2.4.19). Длина полуинтервала T1 определяется параметрами системы µ, p0 , b1 , параметрами регуляризации b2 , δ и параметрами пространства γ, q. Доказательство. Так как 0 < µ 6 1, в силу теоремы 3.4.8 из условий (2.4.21) и (2.4.22) следует оценка ° ° h 0 0 p0 /µ ° tA(s) e ° , t > 0, s = σ + iτ, (2.4.24) K(s)° 6 Ce−a1 κ|σ| +(b t+b2 )|τ | °e m

где b0 = b0 (b; b2 ; a1 ; ν), b02 = b02 (b; b2 ; a1 ; ν). Отсюда ° ° h 0 0 p0 /µ 0 0 p0 /µ 0 p0 /µ ° k tA(s) e ° 6 Ck0 |τ |k e(b t+b2 )|τ | 6 Ck00 e(b t+b3 )|τ | K(s)° 6 C|s|k e−a1 κ|σ| +(b t+b2 )|τ | °s e m

при любом b3 > b02 . Из этого неравенства получаем ° ° 0 p0 /µ ° k tA(s) e ° , K(s)° 6 Ck00 e(b T +b3 )|τ | °s e

t ∈ [0; T ],

m

Обозначая ρp0 /µ b T + b3 = p0 /µ 0

µ ⇐⇒

ρ=

(b0 T + b3 )p0 µ

s = σ + iτ. ¶µ/p0

|τ |p0 /µ , τ ∈ Rn , последнее неравенство приводим к виду p0 /µ ° ° ° k tA(s) e ° t ∈ [0; T ], s = σ + iτ. K(s)° 6 Ck00 eΩ(ρτ ) , °s e

и вводя функцию Ω(τ ) =

m

(2.4.25)

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

105

Согласно условию (3.2.17), это неравенство показывает, что при любом t ∈ [0; T ] функция e — элемент пространства W Ω,ρ . Следовательно, etA(·) K(·) h i e Gt ∗ K(·) = F −1 etA(s) K(s) (·) ∈ WM, 1/ρ , т. е. для любого ε > 0 выполняется неравенство k(Gt ∗ K)(x)km 6 Cε e

− p1

1

|x| ρ+ε

p1

,

x ∈ R,

t ∈ [0; T ].

(2.4.26)

Возьмем теперь произвольное 0 < δ < γ и рассмотрим функцию g(x) = e

−

δ(x2 +1)p1 /2 q

,

x ∈ R.

(2.4.27)

Покажем, что для любого f ∈ Xq, γ свертка (Gt ∗ Kε )(·) с f g(·) определена и снова принадлежит пространству Xq, γ . Из условия (2.4.26), определения пространства Xq, γ и определения функции g(·) для достаточно больших x почти всюду получаем |(Gt ∗ K)(ξ)(f g)(x − ξ)|m 6 CCε e

(γ−δ)|x−ξ|p1 q

− p1

1

|ξ| ρ+ε

p1

.

Отдельно оценим показатель. Для этого представим его в виде µ ¶ µ ¶ ¶ µ ¶ µ (γ − δ)|x − ξ|p1 1 |ξ| p1 1 |ξ| p1 |ξ| p1 (γ − δ)|x − ξ|p1 1 − − = − . q p1 ρ + ε q 2p1 ρ + ε 2p1 ρ + ε p0 − µ , определяеp0 мым задачей, и для любого сколь угодно малого δ > 0 всегда найдется такое ρ > 0 (ρ < ρ1 ), что выражение в скобках можно оценить следующим образом: µ ¶ (γ − δ)|x − ξ|p1 1 |ξ| p1 (γ − δ/2)|x|p1 − , x, ξ ∈ R. 6 q 2p1 ρ + ε q

Нетрудно показать, что при данных γ и q, определяемых пространством, p1 =

(Это следствие того факта, что для любых 0 < a < b всегда найдется такое c > 0, что при любых x, ξ ∈ R справедливо неравенство a|x − ξ|p1 − c|ξ|p1 6 b|x|p1 .) Тогда свертка (Gt ∗ K) ∗ f g удовлетворяет условию ¯Z ¯ Z (γ−δ/2)|x|p1 1 |ξ| p1 ¯ ¯ − 2p ρ+ε q ¯ ¯ 1 dξ, |((Gt ∗ K) ∗ f g)(x)|m = ¯ (Gt ∗ K)(ξ)(f g)(x − ξ) dξ ¯ 6 CCε e m

|((Gt ∗ K) ∗ f g)(x)|m 6 C 0 e

(γ−δ/2)|x|p1 q

,

что доказывает ее принадлежность пространству Xq, γ . Итак, для данных фиксированных значений параметров γ, q, p0 , µ и для любого сколь угодно малого δ > 0 можно указать такое ρ, что свертка (Gt ∗K)∗f g определена на всем пространстве Xq, γ и снова принадлежит пространству Xq, γ . Выбор числа ρ в силу его связи равенством (2.4.25) с исходными параметрами задачи определяет длину полуинтервала [0; T1 ), на котором нам удалось построить свертку: для любого ε > 0 µ ¶ µ ¶ 1 1 p0 /µ µ 0 p0 /µ µ 0 − (b2 + ε) < 0 ρ − b2 = T1 . T = 0 ρ b p0 b p0 Мы получили, что длина полуинтервала определяется исходной задачей, пространством Xq, γ , на котором мы хотим построить полугруппу, и функциями K(·) и g(·), используемыми для регуляризации: T1 = T1 (γ, q, µ, p0 , b1 , b2 ). µ ¶ ∂ Введем в пространстве Xq, γ область определения оператора A i следующим образом: ∂x ½ µ ¶ ¾ ∂ Dom A = f ∈ Xq, γ : A i f ∈ Xq, γ . ∂x

106

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

Покажем, что если f ∈ Dom A, то функция Gt ∗ K ∗ f g является классическим решением задачи (2.3.1), (2.3.2) с начальным условием K ∗ (f g). Тем самым, согласно результатам пункта 1.2.5, будет показано, что операторы S(x; t)f (x) = (Gt ∗ K ∗ (f g))(x),

x ∈ R,

образуют R-полугруппу в пространстве Xq, γ с оператором R, определенным формулой (2.4.23). Напомним, что оператор свертки с функцией Gt (·) ∈ WM, 1/ρ является оператором решения ¡ ¢0 обобщенной задачи Коши (2.3.1), (2.3.2), действующим в пространстве WM, 1/ρ . Согласно своеe му определению (2.4.19) функция K(·) является мультипликатором в пространстве W Ω, ρ ; следовательно, функция K(·) определяет ограниченный оператор свертки в пространстве WM, 1/ρ . Тогда для любого ϕ ∈ WM, 1/ρ в силу ассоциативности свертки получаем ¿ À ¿ À ¿ µ ¶ À ∂ ∂ ∂ ϕ, ((Gt ∗ K) ∗ f g) = ϕ, (Gt ∗ (K ∗ f g)) = ϕ, A i (Gt ∗ (K ∗ f g)) , (2.4.28) ∂t ∂t ∂x и из теоремы 3.2.1 о дифференцировании свертки следует равенство ¿ À ¿ µ ¶ À ∂(Gt ∗ K) ∗ f g ∂ ϕ, = ϕ, (Gt ∗ K) ∗ A i fg . ∂t ∂x ¶ µ ∂ f g ∈ Xq, γ . По докаЕсли в этом равенстве f ∈ Dom A, то, очевидно, f g ∈ Dom A, т. е. A i ∂x ¶ µ ∂ f g, принадлежащей пространству Xq, γ , снова занному выше, свертка Gt ∗ K с функцией A i ∂x принадлежит Xq, γ . Значит, выражение в правой части последнего равенства есть значение регулярного функционала на основной функции ϕ. Независимо покажем, что и функционал, стоящий слева, также определяется функцией. Для этого рассмотрим ³ ´ ∂ ∂ e(t+∆t)A(s) − etA(s) e e (Gt ∗ K) = F −1 etA(s) K(s) = F −1 lim K(s). ∆t→0 ∂t ∂t ∆t Из условия (2.4.24) получаем оценку ° ° ° e∆tA(s) − I ° h 0 0 p0 /µ ° e ° etA(s) K(s) , ° ° 6 C 0 Ce−a1 κ|σ| +(b t+b2 )|τ | ° ° ∆t m

∂ tA(·) e e K(·) и из которой, как и из (2.4.24), сле∂t при любом t ∈ [0; T ]. По доказанному выше, свертка

которая доказывает существование производной

дует принадлежность ее пространству W Ω, ρ h i ∂ ∂ tA(s) e функции (Gt ∗ K) = F −1 ∂t e K(s) с функцией f g ∈ Xq, γ снова является элементом про∂t странства Xq, γ . Итак, в силу произвольности ϕ в равенстве (2.4.28), получаем равенство функций µ ¶ ∂ ∂(Gt ∗ K ∗ f g)(x) =A i (Gt ∗ K ∗ f g)(x), t ∈ [0; T1 ), x ∈ R. ∂t ∂x Проверим выполнение начального условия: для любого ϕ ∈ WM, 1/ρ имеем lim hϕ, (Gt ∗ K) ∗ f gi = hϕ, K ∗ f gi .

t→0

Отсюда и из принадлежности функций (Gt ∗ K) ∗ f g и K ∗ f g пространству Xq, γ получаем Z p1 |(Gt ∗ K) ∗ f g(x) − (K ∗ f g)(x)|qm e−γ|x| dx → 0 при t → 0.

Замечание 2.4.2. Если принимать во внимание поведение экспоненты etA(·) только на действительной оси s = σ, можно построить не локальную (на полуинтервале [0; T1 )), а глобальную (при t > 0) R-полугруппу, но в более узком пространстве Xq, γ . Доказательство этого проводится в точности так, как это сделано ниже для случая µ 6 0.

2.4. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ

ПОЛУГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

107

Рассмотрим теперь случай µ 6 0. В пункте 2.3.1.1 было показано, что в этом случае при каждом µ t > 0 матричная экспонента etA(·) является элементом S β,B при β = 1− и некотором B = B(a1 , µ). h Это означает, что ее обратное преобразование Фурье Gt (·) при любом t > 0 является элементом Sβ,B , т. е. для любого ε > 0 удовлетворяет условию kGt (x)km 6 Cε e−(b−ε)|x|

1/β

,

b=

β , eB 1/β

1/β =

h , h−µ

t > 0.

Таким образом, классом обобщенной корректности задачи (2.3.1), (2.3.2) служит пространство (Sβ,B )0 . h 1/β ω Рассмотрим пространство Xq, γ = Lq γ (R) при ωγ (x) = e−γ|x| , x ∈ R, 1/β = , которое в h−µ h силу соотношения параметров < 1 < p1 уже, чем аналогичное пространство, рассмотренное ´ h−µ в предыдущем случае µ > 0. В силу определения пространств имеют место вложения X1, γ ⊂ (Sβ,B )0 Xq, γ ⊂ (Sβ,B )0

при γ 6 b, при γ < bq,

q > 1.

В указанном пространстве Xq, γ построим R-полугруппу с генератором A, но не локальную, а глобальную (при t > 0). Теорема 2.4.4. Пусть для системы (2.3.1) выполнены условия (2.4.17), ¶ µ параболической ∂ порождает R-полугруппу в пространстве Xq, γ с опера(2.4.18). Тогда оператор A i ∂x тором R, определяемым равенством Z∞ Rf (x) =

K(x − ξ)f (ξ)g(ξ) dξ,

g(x) = e

−

δ(x2 +1)p1 /2 q

,

0 < δ < γ,

x ∈ R,

−∞

где K — интегрируемая функция, преобразование Фурье которой при |s| → ∞ удовлетворяет условию (2.4.19). Доказательство. Из условия (2.4.22) при µ 6 0 по теореме 3.4.11 получаем °µ ¶q ° ° ∂ ° tA(σ) e q q(1−µ/h) −a2 |σ|h ° K(σ)° e , t > 0, 0 < a2 < a1 κ, ° ∂σ e ° 6 CB q m при некотором B = B(a1 κ, µ), откуда следует, что для любых r ∈ N0 , ε > 0 ° µ ¶q ° ° ° r ∂ q q(1−µ/h) tA(σ) e °σ , t > 0, e K(σ)° ° 6 Cr, ε (B + ε) q ° ∂σ m e что по определению означает принадлежность etA(·) K(·) пространству S β, B при β = 1 − µ/h. Следовательно, Gt ∗ K ∈ Sβ, B , т. е. для любого ε > 0 1/β

k(Gt ∗ K)(x)km 6 Cε e−(b−ε)|x|

,

b=

β , eB 1/β

1/β =

h , h−µ

t > 0.

Таким образом, мы получаем оценку свертки Gt ∗ K такого же вида, как и (2.4.26) в предыдущем случае. Повторяя рассуждения, проведенные в предыдущем случае µ > 0, приходим к тому, что для данных параметров пространства γ, q, параметров системы h, µ и для параметра регуляризующей функции δ > 0 можно указать такое b (а следовательно, и B), что (Gt ∗K)∗f g ∈ Xq, γ при f ∈ Xq, γ . Следовательно, операторы f −→ Gt ∗ K ∗ f g при t > 0 образуют R-полугруппу в пространстве Xq, γ .

108

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

2.5.

ПОСТРОЕНИЕ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

В настоящем разделе мы продолжаем изучение различных методов регуляризации некорректных задач (1.1.1) с дифференциальными операторами. Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений (2.1.1), (2.1.2): µ ¶ ∂u(x; t) ∂ =A i u(x; t), t ∈ [0; T ], u(x; 0) = f (x), x ∈ Rn , (2.5.1) ∂t ∂x не являющуюся равномерно корректной, и двойственную ей задачу (2.1.7), (2.1.8): ∂e u(σ; t) = A(s)e u(σ; t), t ∈ [0; T ], u e(σ; 0) = fe(σ), σ ∈ Rn . (2.5.2) ∂t Для задачи (2.5.1) кроме регуляризации (в широком смысле), осуществляемой при помощи основных функций в разделе 2.3, и регуляризации за счет умножения экспоненты etA(·) на подходящую функцию K(·) или за счет замены начального условия f˜ на Rf˜, предложенной в разделе 2.4, построим регуляризующие операторы, используя уже не только специфику дифференциальной задачи (как это сделано в разделе 1.4), но и специфику дифференциального оператора A. Как было указано во введении, регуляризующие операторы позволяют строить устойчивое приближенное решение для некорректных задач. Действуя на основе теоремы 1.4.4 о связи регуляризующих операторов с регуляризованными полугруппами, в этом разделе для различных некорректных задач мы строим регуляризующие операторы при помощи конволюционных полугрупп и R-полугрупп. Построенные регуляризующие операторы (а также характер некорректности задачи (2.5.1), отраженный в поведении экспоненты etA(·) ) приводят к решению некоторых корректных дифференциальных задач, зависящих от параметра регуляризации. Заметим, что локальные R-полугруппы {S(t), t ∈ [0; τ )}, с которыми оказываются связанными построенные здесь регуляризующие операторы, определены на полуинтервале [0; τ ). Следовательно, и регуляризующие операторы мы получаем лишь на полуинтервале. Поэтому, учитывая определение 1.4.1, построенные здесь регуляризующие операторы для задачи (2.5.1) будем рассматривать на любом отрезке [0; T ] при T < τ . Предположим, как это принято в теории некорректных задач, что для некоторого начального условия f существует решение u задачи (2.5.1), но вместо f известно заданное с погрешностью начальное условие fδ (kfδ − f k 6 δ). Будем рассматривать вектор-функции u(·; t) и f (·) как функции в пространстве n n n Lm 2 (R ) := L2 (R ) × · · · × L2 (R ).

В этом случае справедлива теорема Планшереля, и преобразования Фурье u e(·; t) и fe(·) также являn ются вектор-функциями с координатами в L2 (R ). Следовательно, мы получаем преобразованную n по Фурье задачу (2.5.2) также в пространстве Lm 2 (R ). Кроме того, по теореме Планшереля оценки для разрешающих операторов задачи (2.5.2), равных операторам умножения на etA(·) , совпадают с оценками для разрешающих операторов U (t) задачи (2.5.1). Используя этот факт, для систем, корректных по Петровскому и условно корректных мы получаем следующий общий результат о регуляризации задачи (2.5.1). n Теорема 2.5.1. Пусть ∆ — оператор Лапласа, действующий в пространстве X =µLm 2 (R ¶ ). ∂ и В случае систем, корректных по Петровскому, Rε -полугруппы с генератором A = A i ∂x µ ¶ 1 β 1 r(m − 1) Rε = β R∆ , β> , ε > 0, ε 2 ε

образуют регуляризующие операторы для (слабо) некорректной задачи (2.5.1). В случае условно корректных регуляризующие операторы Rε (t) равны Rε (t)-полуµ систем ¶ ∂ группам с генератором A = A i и Rε = U∆ (ε), где {U∆ (t), t > 0} — полугруппа, порожден∂x ная оператором Лапласа ∆.

2.5. ПОСТРОЕНИЕ

РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

109

Доказательство. Соответствующие Rε -полугруппы строятся через обратное преобразование Фурье следующим образом: Z i(σ,x) tA(σ) ˜ e e f (σ) r(m − 1) 1 (Sε (t)f )(x) = t ∈ [0; τ ), ε > 0, β > , (2.5.3) ¡ ¢β dσ, 2 1 + ε|σ|2 n R Z 2 2 (Sε (t)f )(x) = ei(σ,x) etA(σ) e−εσ f˜(σ)dσ, t ∈ [0; τ ), ε > 0. (2.5.4) Rn

Сходимость интегралов при указанных значениях параметров и «полугрупповое» соотношение для соответствующих Rε -полугрупп Sε (t + τ )Rε = Sε (t)Sε (τ ) легко проверяемы. Сходимость µ ¶ 1 1 f −−−→ f, U∆ (ε)f −−−→ f R∆ ε→0 ε→0 ε ε на Dom ∆ и даже на X является следствием того, что полугруппа {U∆ (t), t > 0}, порожденная n оператором Лапласа ∆, является полугруппой класса C0 в пространстве X = Lm 2 (R ) [4, 16]. Регуляризующий алгоритм R1ε (t)fδ := Sε1 (t)fδ , соответствующий (2.5.3), строится как решение следующей корректной краевой задачи, зависящей от регуляризующего параметра ε: µ ¶ ∂ ∂u(x; t) =A i u(x; t), t ∈ [0; τ ), (I − ε∆)β u(x; 0) = fδ (x), x ∈ Rn . (2.5.5) ∂t ∂x Регуляризующий алгоритм R2ε (t)fδ := Sε2 (t)fδ , соответствующий (2.5.4), строится как последовательное решение следующих задач: ∂v(x; t) = ∆v(x; t), t ∈ [0; ε], v(x; 0) = fδ (x), x ∈ Rn , (2.5.6) ∂t µ ¶ ∂u(x; t) ∂ =A i u(x; t), t ∈ [0; τ ), u(x; 0) = v(x; ε), x ∈ Rn . (2.5.7) ∂t ∂x Оба эти алгоритма состоят из двух шагов. Для (2.5.5) первый шаг — это сглаживание начальных данных при помощи оператора µ ¶ 1 β 1 −β , Rε = (I − ε∆) = β R∆ ε ε второй — решение задачи (2.5.1) с этими сглаженными начальными данными. Важным здесь является тот факт, что для различных (слабо) некорректных задач с системами, корректными по Петровскому, в процессе регуляризации имеет место общий характер сглаживания. Для (2.5.6), (2.5.7) первый шаг состоит в сглаживании начальных данных при помощи нахождения решения v(x; t) корректной задачи (2.5.6) при t = ε, второй — в решении задачи (2.5.1) с этими сглаженными начальными данными v(x; ε). Здесь для всех (сильно) некорректных задач с условно корректными системами сглаживание в процессе регуляризации происходит за счет решения задачи (2.5.6). Заметим, что для параболических систем (см. определение 2.3.1), образующих важный подкласс среди систем, корректных по Петровскому, выполняются оценки Λ(σ) 6 −C|σ|h + C1 , C, C1 , h > 0, σ ∈ Rn , ° ° C (r − h)(m − 1) ° tA(σ) ° γ= , C > 0, °e ° 6 γ, t h m поэтому регуляризация необходима только в окрестности t = 0. Заметим также, что при построении регуляризующих операторов в теореме 2.5.1 мы выбирали их таким образом, чтобы соответствующая регуляризованная задача являлась некоторой дифференциальной задачей; для построенных регуляризующих операторов это задачи (2.5.5) и (2.5.6)–(2.5.7). Если строить регуляризующие операторы с использованием преобразования Фурье, не сводя их к ¢β 2 дифференциальным уравнениям, то вместо регуляризующих функций (1 + ε|σ|2 в (2.5.3) и e−εσ в (2.5.4) можно брать любую подходящую функцию g˜ε (·), стремящуюся к единице при ε → 0. Тогда

110

ГЛАВА 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

НЕКОРРЕКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

КОШИ

для любой последовательности εn → 0 мы получим регуляризующий оператор в форме свертки с δ-образной последовательностью gn = F −1 geεn : Rε (t)fδ = Gt ∗ gn ∗ fδ

(2.5.8)

где Gt (·) — обратное преобразование Фурье экспоненты etA(·) . По существу, равенство (2.5.8) отражает общее свойство регуляризующих операторов некорректных дифференциальных задач Коши (2.5.1): регуляризация задачи происходит за счет свертки Gt с некоторой δ-образной последовательностью gn (где Gt — ядро оператора решения исходной задачи). В случае, когда дифференциальный оператор A порождает конволюционную полугруппу, наряду с построенными здесь регуляризующими операторами можно использовать регуляризующие операторы, построенные в разделе 1.4 для абстрактных задач Коши.

ГЛАВА 3 ПРИЛОЖЕНИЯ 3.1. ПРИМЕРЫ Пример 3.1.1. Пример оператора, зависящего от параметра γ и порождающего, в зависимости от величины параметра γ, полугруппу класса C0 , интегрированную полугруппу, полугруппу роста α или R-полугруппу. Пусть X = Lp (R) × Lp (R), 1 6 p < ∞, — пространство вектор-функций f (·) = (f1 (·), f2 (·)) с нормой kf k = kf1 kp + kf2 kp . Рассмотрим оператор A умножения на матрицу µ ¶ −h 0 =: A, (3.1.1) −g −h где h(x) = 1 + x2 , g(x) = x2γ , x ∈ R, γ > 0, с областью определения Dom A = {f ∈ X : hf1 , gf1 + hf2 ∈ Lp (R)} . Формально построим оператор-функцию t2 A2 tn An + ... + + ..., t > 0. 2! n! Вычисленная покомпонентно соответствующая матричная функция имеет вид: µ ¶ 1 0 −t(1+x2 ) e , t > 0, x ∈ R. −tx2γ 1 U (t) = eAt = I + tA +

Исследуем ограниченность полученных операторов, вычисляя норму оператора U (t): ½ ¾ 2 2 kU (t)kL(X) = max max e−t(1+x ) ; max t|x|2γ e−t(1+x ) . x∈R

x∈R

Максимум r первой функции, очевидно, достигается при x = 0. Точки экстремума второй функции γ равны ± , t > 0. Отсюда получаем t © ª kU (t)kL(X) = max e−t ; γ γ t1−γ e−t−γ . (3.1.2) При γ = 0 нормы операторов равны kU (t)kL(X) При γ = 1 получаем

© ª = max e−t ; te−t =

½

e−t , 0 6 t 6 1, te−t , t > 1.

© ª kU (t)kL(X) = max e−t ; e−t−1 = e−t ,

t > 0.

3.1. ПРИМЕРЫ

111

Чтобы найти максимум из двух функций в (3.1.2) при γ > 0, γ = 6 1, решим неравенство µ ¶γ e . γ γ t1−γ e−γ < 1 ⇐⇒ t1−γ < γ Если обозначить tγ :=

(3.1.3)

µ ¶γ/1−γ e , γ

то решения неравенства (3.1.3) примут вид t < tγ

при 0 < γ < 1,

t > tγ

при γ > 1.

Следовательно, для 0 < γ < 1 при t 6 tγ максимальным будет первый аргумент, а при t > tγ — второй. Для γ > 1 наоборот. Таким образом, в случае 0 < γ < 1 получаем ½ −t © −t γ 1−γ −t−γ ª e , 0 6 t 6 tγ , kU (t)kL(X) = max e ; γ t e = γ 1−γ −t−γ γ t e , t > tγ , а в случае γ > 1 kU (t)kL(X)

 −t © ª  e γ ,1−γ −t−γ t = 0, γ t e , 0 < t 6 tγ , = max e−t ; γ γ t1−γ e−t−γ =  −t e , t > tγ .

(3.1.4)

Значит, если 0 6 γ 6 1, то операторы U (t) являются ограниченными на всем промежутке t > 0: при достаточно малых t норма операторов U (t) для всех 0 6 γ 6 1 равна e−t , а при t → +∞ она ведет себя как e−t для γ = 1, как te−t для γ = 0 и как t1−γ e−t−γ для 0 < γ < 1; следовательно, норма ограничена. Итак, при 0 6 γ 6 1 мы получили семейство ограниченных линейных операторов. В случае γ > 1 норма операторов U (t) при стремлении t → 0 будет возрастать пропорцио1 нально γ−1 . Следовательно, для таких γ семейство операторов {U (t), t > 0} неограничено в t окрестности t = 0. Покажем, что построенное семейство {U (t), t > 0} (ограниченных при 0 6 γ 6 1 операторов) образует полугруппу класса C0 . Полугрупповое свойство получается из соответствующего равенства матриц: µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 1 0 1 0 −t(1+x2 ) −τ (1+x2 ) −(t+τ )(1+x2 ) e e =e . −tx2γ 1 −τ x2γ 1 −(t + τ )x2γ 1 Сильная непрерывность построенного семейства легко проверяется непосредственно. Мы исследуем вопрос о существовании и поведении резольвенты оператора A и ее производных. Оператору (λI − A)−1 отвечает матрица µ ¶ 1 λ+h 0 −1 (λI − A) = , −g λ + h (λ + h)2 а производным оператор-функции (λI − A)−1 соответствуют матрицы µ ¶ dk (−1)k k! λ+h 0 −1 (λI − A) = . −(k + 1)g λ + h dλk (λ + h)k+2 dk Чтобы проверить условия теоремы МФФХИ, оценим норму элемента (λI − A)−1 f для произdλk вольных f ∈ X, k ∈ N0 : ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 dk ° ° ° ° ° −k−1 ° −k−2 −k−1 ° −1 ° ° + (λ + h) f + (k + 1)(λ + h) gf 6 (λ + h) f (λI − A) f ° ° . ° ° ° ° 2 1 1 ° k! dλk ° p p p При λ > 0 для i = 1, 2 получаем оценку первого и последнего слагаемых  ∞ 1/p Z ° ° p |fi (x)| 1 ° ° dx 6 k+1 kfi kp . °(λ + h)−k−1 fi ° =  λ p |λ + 1 + x2 |(k+1)p −∞

(3.1.5)

112

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Оценим второе слагаемое:  ∞ Z ° ° ° ° −k−2  (k + 1)(λ + h) gf = ° 1° p

−∞



Z∞

= −∞

1/p

1)p |x|2pγ

(k + |f1 (x)|p dx |λ + 1 + x2 |(k+2)p

=

1/p |x|2pγ (k + 1)p · |f1 (x)|p dx = |λ + 1 + x2 |(k+1)p |λ + 1 + x2 |p

 ∞ 1/p Z (k + 1)p |x|2pγ 1  · |f1 (x)|p dx . = 2 (k+1)p |λ + 1 + x2 |p |λ|k+1 | |1 + 1+x λ −∞

Заметим, что k+1

³

1+

1+x2 λ

´k+1 6

λ , 1 + x2

x ∈ R,

λ > 0.

(3.1.6)

Действительно, неравенство ny 6 1 + ny 6 (1 + y)n ,

y > −1, n ∈ N,

легко доказать разложением правой части по формуле Тейлора. Заменой n на k + 1 и y на

1 + x2 |λ|

получаем (3.1.6). Тогда при λ > 0 ° ° ° ° °(k + 1)(λ + h)−k−2 gf1 ° 6 p

 1 λk+1

 −∞

 =

1 λk+1

Z∞

1/p λp |x|2pγ · |f1 (x)|p dx = (1 + x2 )p (λ + 1 + x2 )p

Z∞

 −∞

λp

³ · (1 + x2 )p λp 1 +

(3.1.7)

1/p

|x|2pγ 1+x2 λ

´p |f1 (x)|p dx

.

Далее, для любого x ∈ R справедливы оценки |x|2γ 61 1 + x2

1

при γ ∈ [0; 1],

1+

1+x2 λ

61

при λ > 0.

Следовательно,  ° ° °(k + 1)(λ + h)−k−2 gf1 ° 6 p

1  λk+1

Z∞

−∞

1/p |f1 (x)|p dx

=

1 kf1 kp . λk+1

Окончательно получаем ° ° ° 1 dk ° 1 1 1 2 −1 ° ° · ° k! dλk (λI − A) f ° 6 λk+1 kf1 kp + λk+1 kf1 kp + λk+1 kf2 kp 6 λk+1 kf k,

k ∈ N ∪ {0},

при λ > 0, 0 6 γ 6 1. Эта оценка означает, что при 0 6 γ 6 1 оператор (λI − A)−1 является резольвентой оператора A, которая удовлетворяет условию МФФХИ; следовательно, построенное семейство операторов {U (t), t > 0} образует полугруппу класса C0 . Рассмотрим теперь значения параметра γ > 1. В этом случае, как видно из проведенных оценок, для оператора (λI − A)−1 уже не выполнены условия МФФХИ, однако этот оператор все же является ограниченным при 1 < γ 6 2. Действительно, оценка (3.1.5) не зависит от величины γ. Оценка (3.1.7) также не зависит от γ. Получив неравенство (3.1.7), для k = 0 следует провести

3.1. ПРИМЕРЫ

113

следующие рассуждения:  ∞ 1/p Z 2pγ p ° ° |x| λ °(λ + h)−2 gf1 ° 6 1  · · |f1 (x)|p dx = p 2 p λ (1 + x ) (λ + 1 + x2 )p −∞

 =

1 λ

Z∞

−∞

(3.1.8)

1/p

|x|pγ

|x|pγ

· · |f1 (x)|p dx (1 + x2 )p (λ + 1 + x2 )p

.

Для подинтегральных функций при γ 6 2 выполнены оценки |x|γ 6 1, 1 + x2

|x|γ 61 (λ + 1 + x2 )p

при λ > 0

для любого x ∈ R, откуда  ∞ 1/p Z ° ° °(λ + h)−2 gf1 ° 6  |f1 (x)|p dx = kf1 kp . p −∞

Следовательно, мы получаем оценку ° ° °(λI − A)−1 f ° 6 1 kf1 kp + kf1 kp + 1 kf2 kp 6 2kf k, λ λ

λ > 0,

1 < γ 6 2.

Отдельно заметим, что из условия (3.1.8) следует, что при γ > 2 оператор (λI−A)−1 неограничен; следовательно, резольвента оператора A существует лишь при γ 6 2. Как уже говорилось, в случае γ > 1 из соотношения (3.1.4) следует, что семейство {U (t), t > 0} имеет особенность вида ¡ ¢ kU (t)kL(X) = O t1−γ при t → 0. (3.1.9) Если при этом γ < 2, то эта особенность интегрируемая. Покажем, что при 1 < γ < 2 оператор A порождает один раз интегрируемую полугруппу. Рассмотрим семейство первообразных операторов {U (t), t > 0}, т. е. Ã ! Zt 1 − e−ht 0 1 g V (t) = U (s) ds = , t > 0. 1 − e−ht h tge−ht − (1 − e−ht ) h 0 Построенные операторы ограничены: Ztγ

Zt kV (t)kL(X) 6

kU (s)kL(X) ds 6 γ 0

γ

Zt s

1−γ −s−γ

e

tγ

0

Ztγ γ −ξ−γ

s1−γ ds + e−tγ − e−t 6 γ γ e−γ

=γ e

e−s ds =

ds +

0

t2−γ γ + e−tγ − e−t 6 C. 2−γ

Отсюда же следует, что построенное семейство операторов экспоненциально ограничено (здесь ω = 0). Далее, операторы V (t), t > 0, очевидно, удовлетворяют условию (V1) определения 1.2.9 при n = 1 как первообразные семейства {U (t), t > 0}, удовлетворяющего полугрупповому свойству. Наконец, нетрудно заметить, что операторная функция V (·) сильно непрерывна по t при t > 0. Следовательно, семейство {V (t), t > 0} при 1 < γ < 2 удовлетворяет всем условиям определения 1.2.9 интегрированной полугруппы. Покажем, что генератором этой полугруппы является оператор A. Действительно, оператору ∞ −1 Z λI − R(λ)−1 = λI −  λe−λt V (t) dt 0

114

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

соответствует матрица −1 f µ ¶ −h 0 (λ + h)2   = −g −h = A, 1 0 λ+h а значит, согласно определению 1.2.10, оператор A является генератором построенного семейства. Рассмотрим теперь все γ > 1. Из соотношения (3.1.9) получаем, что величины ktα U (t)kL(X) будут ограничены при t → 0, если α − γ + 1 > 0, т. е. для любого α > γ − 1. Множество [ X0 := U (t)(X) 

1  λI −  λ + h

−

t>0

является плотным в пространстве X (оператор U (t) при t > 0 переводит всюду плотное в X множество финитных вектор-функций в множество финитных вектор-функций). Из построения операторов U (t), t > 0, следует невырожденность этого семейства: если U (t)f = 0 для любого t > 0, то f = 0. Следовательно, выполнены все условия определения 1.2.8 полугруппы роста α и при любом γ > 1 семейство операторов {U (t), t > 0} образует полугруппу роста α > γ − 1. Тогда согласно результатам [67] оператор A порождает R-полугруппу с оператором R = (λI − A)−n ,

n = [α] + 1.

− A)−n

Заметим, что при этом оператор (λI является n-ой степенью резольвенты лишь для γ 6 2. При остальных γ, как мы показали выше, сама резольвента не существует, ограниченным является лишь оператор (λI − A)−n . Пример 3.1.2 (см. [54, 68]). Пример интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы, связанной с задачей Коши для уравнения второго порядка. Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка w00 (t) = Bw(t),

t > 0,

w(0) = x, w0 (0) = y

(3.1.10)

в банаховом пространстве Y . Предположим, что оператор B порождает в этом пространстве операторное семейство косинус-функций {C(t), t ∈ R}. Определение 3.1.1. Семейство линейных ограниченных операторов {C(t), t ∈ R}, действующих в пространстве Y и удовлетворяющих условиям C(t + h) − C(t − h) (C1) C(t)C(h) = , s, t ∈ R, 2 (C2) C(0) = I, (C3) операторная функция C(·) сильно непрерывна по t на множестве R, называется семейством косинус-функций. Оператор C 00 (0) называется генератором семейства косинус-функций. Семейство косинус-функций порождает другое сильно непрерывное семейство операторов: Zt S(t) := C(s) ds, t ∈ R, 0

называемое семейством синус-функций. Семейства косинус- и синус-функций и их связь с задачей Коши (3.1.10) подробно изучены (см. [13,74]). Приведем здесь основные свойства этих семейств, необходимые для данного примера: 1) операторная функция S(·) сильно непрерывна по t на множестве R; 2) существуют такие постоянные M > 0, ω > 0, что kC(t)k, kS(t)k 6 M eω|t| , S 0 (t)x

t ∈ R;

= C(t)x для любых x ∈ Y , t ∈ R; 3) 4) C 00 (t)x = C 00 (0)C(t)x для любых x ∈ Dom C 00 (0), t ∈ R; 5) S 00 (t)x = C 00 (0)S(t)x для любых x ∈ Dom C 0 (t), t ∈ R; 6) Dom C 0 (t) 6= Y .

3.1. ПРИМЕРЫ

115

Если оператор B — генератор семейства косинус-функций, то из свойств 4) и 5) получаем, что решение задачи Коши (3.1.10) имеет вид w(t) = C(t)x + S(t)y, Задача (3.1.10) заменой

¶ w(t) , w0 (t)

µ

µ

u(t) =

x, y ∈ Dom B, ¶ 0 I , B 0

A=

t > 0.

(3.1.11)

µ ¶ x f= . y

сводится к задаче Коши для системы уравнений первого порядка u0 (t) = Au(t),

t > 0,

u(0) = f,

(3.1.12)

в пространстве X = Y × Y . Решение этой задачи в силу представления (3.1.11) и свойства 3) имеет вид µ ¶ C(t)x + S(t)y u(t) = =: U (t)f, t > 0. C 0 (t)x + C(t)y Введенные этим равенством операторы U (t), t > 0, определены не на всем пространстве X, так как функция C(·) согласно свойству 6) не дифференцируема в пространстве Y . Однако операторы   Rt S(t) S(τ )dτ  V (t) =  , t > 0, 0 C(t) − I S(t) уже, очевидно, являются ограниченными в X. Для семейства {V (t), t > 0} выполняются условия (V1)–(V3) определения интегрированной полугруппы при n = 1 в силу свойств косинус- и синусфункций, порожденных оператором B. Оператор A является инфинитезимальным генератором семейства {U (t), t > 0}: в силу уравнения (3.1.12) и определения операторов U (t) получаем U 0 (0)f = AU (0)f = Af,

f ∈ Dom A,

следовательно, A порождает и построенную один раз интегрированную полугруппу {V (t), t > 0}. Пример 3.1.3. Пример глобальной один раз интегрированной полугруппы, не являющейся экспоненциально ограниченной. Пусть X = l2 . Рассмотрим оператор A умножения на вектор a = (a1 , a2 , . . . , am , . . .), определенный следующим образом: Af := (a1 f1 , a2 f2 , . . . , am fm , . . .), где p am = m + i e2m2 − m2 , m ∈ N, с областью определения Dom A = {f ∈ X : Af ∈ X} . Рассмотрим операторы U (t), t > 0, формально построенные как операторы умножения на вектор eAt = (ea1 t , ea2 t , . . . , eam t , . . .). Очевидно, что они не являются ограниченными при t > 0, поскольку последовательность |eam t | = emt неограничена. Однако на своей области определения они обладают полугрупповым свойством, которое сразу следует из соответствующего свойства действительнозначных экспонент: eam (t+s) fm = eam t eam s fm , Тем не менее операторы V (t) := µ

Rt 0

m ∈ N,

t, s > 0.

U (s) ds умножения на вектор

¶ ea 1 t − 1 ea 2 t − 1 ea m t − 1 , ,..., ,... a1 a2 am

116

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

уже ограничены при всех t > 0. Действительно, ¯ a t ¯ mt ¯e m − 1¯ ¯ 6 sup e 2 + sup 1 2 . kV (t)kL(X) = sup ¯¯ am ¯ m m em m em Здесь sup

1

2 m em mt e

= e−1 . Что касается второго слагаемого, то для четного натурального числа t

t достигается при m = : 2 mt t2 t2 t2 e sup m2 = e 2 − 4 = e 4 , m e а в общем случае t > 0 имеет место оценка

супремум

em2

sup m

t2 emt 4 , 2 6 e m e

t = 2k,

t > 0.

Таким образом, оператор V (t) ограничен при каждом фиксированном t > 0, а при t → ∞ поведение операторной функции V (·) определяется соотношением ³ t2 ´ kV (t)kL(X) = O e 4 при t → ∞. Отсюда следует, что семейство операторов {V (t), t > 0} не обладает свойством экспоненциальной ограниченности: не существует таких C > 0 и ω ∈ R, чтобы kV (t)kL(X) 6 Ceωt ,

t > 0.

Тем не менее это семейство удовлетворяет характеристическому свойству интегрированной полугрупп (V1) при n = 1 как первообразная семейства {U (t), t > 0}, обладающего полугрупповым свойством. Кроме того, построенное семейство {V (t), t > 0} является сильно непрерывным по t при t > 0: ¯ ¯2 ∞ ¯ am (t+τ ) am t ¯ X e − e ¯ ¯ kV (t + τ )f − V (t)f k2 = ¯ ¯ |fm |2 = ¯ ¯ am m=1 ¯2 ¯ ¯ ¯ k ¯ am (t+τ ) ∞ ¯ eam (t+τ ) − eam t ¯2 X X − eam t ¯¯ ¯ ¯ ¯e = ¯ |fm |2 + ¯ |fm |2 . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ am am m=1

m=k+1

Второе слагаемое в полученной сумме можно сделать достаточно малым при фиксированном t > 0 и при τ из ограниченного подмножества R в силу сходимости рядов ¯ ¯ ∞ ¯ am (t+τ ) ¯2 ∞ ¯ am t ¯ 2 X X ¯e ¯ e ¯ ¯ 2 2 ¯ ¯ ¯ |fm | , ¯ ¯ am ¯ |fm | ¯ am ¯ m=1

m=1

за счет выбора k ∈ N. Тогда при фиксированном k ∈ N первое слагаемое будет малым при стремлении τ → 0 за счет конечности суммы. Таким образом, в этом примере мы подробно показали, что построенное семейство операторов {V (t), t > 0} образует один раз интегрированную полугруппу, которая не является экспоненциально ограниченной. Пример 3.1.4 (см. [76]). Пример локальной n раз интегрированной полугруппы, которая не может быть продолжена на полуось t > 0. Пусть X = l2 , T > 0. Рассмотрим оператор A умножения на вектор a = (a1 , a2 , . . . , am , . . .), определенный следующим образом: Af := (a1 f1 , a2 f2 , . . . , am fm , . . .), где am

r m e2m m2 = +i − 2, T m2 T

m ∈ N,

3.1. ПРИМЕРЫ

117

с областью определения Dom A = {f ∈ X : Af ∈ X} . Как и в примере 3.1.3, операторы U (t), t > 0, формально построенные как операторы умножения на вектор eAt = (ea1 t , ea2 t , . . . , eam t , . . .), не являются ограниченными при t > 0 в силу неограниченности последовательности mt

|eam t | = e T . Однако на своей области определения, как и в предыдущем примере, семейство операторов {U (t), t > 0} обладает полугрупповым свойством. Построим {Vn (t), t > 0}, первообразную n-го порядка семейства {U (t), t > 0}, покоординатно. Тогда полученное семейство будет удовлетворять характеристическому свойству интегрированной полугруппы (V1), как первообразная семейства, обладающего полугрупповым свойством. Кроме того, если мы докажем ограниченность операторов Vn (t) при t из некоторого множества Ω, то, повторяя рассуждения, проведенные в предыдущем примере, можно будет показать, что это семейство является сильно непрерывным по t на этом множестве. Пусть bm (t) — m-я координата вектора, соответствующего оператору Vn (t). Тогда она равна nкратному интегралу функции eam s по отрезку [0; t], т. е. n

eam t X tn−k bm (t) = n − . am (n − k)!akm

(3.1.13)

k=1

Вычисляя модуль первого слагаемого ¯ a t¯ mt ¯e m ¯ e T n n m( t −n) ¯= ¯ , ¯ an ¯ emn m = m e T m

(3.1.14)

получаем, что при t < nT эта величина стремится к нулю, если m → ∞, а при t > nT она является неограниченной (по m ∈ N). Для остальных слагаемых в (3.1.13) при t ∈ [0; nT ) справедливы оценки ¯ ¯ ¯ ¯ mk (nT )n−k tn−k mk n−k ¯ ¯= |t| 6 , k = 1, 2, . . . , n, ¯ (n − k)!ak ¯ ekm (n − k)! ekm (n − k)! m которые показывают, что при m → ∞ эти величины также стремятся к нулю. Следовательно, для любого t ∈ [0; nT ) |bm (t)| → 0 при m → ∞, что означает ограниченность операторов Vn (t) на полуинтервале [0; nT ). Таким образом, мы получили локальную n раз интегрированную полугруппу, причем из равенства (3.1.14) видно, что ее нельзя продолжить на всю полуось t > 0. Более того, из этого же равенства следует, что эта полугруппа определена именно на полуинтервале и не может быть продолжена на его замыкание. Следует также заметить, что с увеличением количества первообразных расширяется промежуток [0; nT ), на котором полугруппа определена; это позволяет строить решения задачи Коши при все б´ольших t, однако при этом построение решений требует все большей и большей регуляризации. Пример 3.1.5. Пример оператора, порождающего глобальную R-полугруппу, которая не является экспоненциально ограниченной, и не порождающего никакой полугруппы классов C0 , C1 , A или конволюционной. Пусть X = L2 (R). Рассмотрим оператор A умножения на аргумент:   Z   |xf (x)|2 dx < ∞ . Af (x) = xf (x), x ∈ R, Dom A = f ∈ X :   R

Тогда семейство

2

S(t)f (x) := ext−|x| f (x),

f ∈ X,

x ∈ R,

118

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ 2

как легко видеть, образует R-полугруппу с генератором A и оператором Rf (x) = e−|x| f (x), x ∈ R, f ∈ X. При этом n o t2 2 kS(t)kL(X) = sup ext−|x| = e 4 x∈R

и семейство {S(t), t > 0} не является экспоненциально ограниченным. Отсюда следует, что оператор A не может порождать никакой экспоненциально ограниченной полугруппы другого класса (C0 , C1 , A, экспоненциально ограниченной интегрированной или конволюционной). Покажем, что этот оператор не порождает даже локальной интегрированной или конволюционной полугруппы. Найдем резольвенту оператора A: (λI − A)f (x) = λf (x) − xf (x) = g(x),

x ∈ R.

Решение этого уравнения имеет вид f (x) = (λI − A)−1 g(x) =

g(x) , λ−x

x ∈ R,

откуда получаем, что оператор (λI −A)−1 неограничен для любого λ ∈ R и σ(A) = R. Следовательно, резольвентное множество оператора A не содержит никакого полуинтервала действительной оси вида Re λ > ω, а значит оператор A не порождает ни интегрированную, ни конволюционную экспоненциально ограниченную полугруппы. Пример 3.1.6 (см. [54]). Пример оператора, порождающего экспоненциально ограниченную R-полугруппу и не порождающего никакой полугруппы классов C0 , C1 , A или конволюционную полугруппу. Пусть X = Lp (R) × Lp (R), 1 6 p < ∞. Рассмотрим оператор A умножения на матрицу (3.1.1): Af = Af, где

µ A=

−h 0 −g −h

¶ ,

h(x) = 1 + x2 ,

g(x) = e(1+x

2 )γ

,

с областью определения Dom A = {f ∈ X : hf1 , gf1 + hf2 ∈ Lp (R)} . Определим оператор Rf := (1 + |g|)−1 f . Этот оператор инъективен и Ran R = X. Нетрудно проверить, что семейство операторов µ ¶ 1 0 −th −1 S(t) := e (1 + |g|) , t > 0, −tg 1 образует R-полугруппу и это семейство экспоненциально ограничено. Найдем резольвентное множество оператора A. Оператору (λI − A)−1 отвечает матрица µ ¶ 1 λ + 1 + x2 0 −1 (λI − A) = , 2 γ −e(1+x ) λ + 1 + x2 (λ + 1 + x2 )2 однако, в отличие от примера 3.1.1, оператор умножения на эту матрицу не является ограниченным ни при каких γ > 0. Следовательно, ρ(A) = ∅ и оператор A не порождает никакой полугруппы другого класса (C0 , C1 , A, интегрированной или конволюционной). Теперь мы рассмотрим серию примеров с дифференциальными операторами A, в которых в соответствии с результатами раздела 2.3 поведение полугруппы, резольвенты и корректность соответствующей задачи Коши определяются поведением операторов A(s) и etA(s) , полученных методом преобразования Фурье. Абстрактную задачу Коши, соответствующую дифференциальной системе, мы будем исследовать в произведении пространств L2 (R), где оценки, полученные для решения преобразованной по ¡ Фурье системы ¢обыкновенных дифференциальных уравнений, в силу теоремы Планшереля kukL2 (R) = ke ukL2 (R) могут быть использованы для исходной системы.

3.1. ПРИМЕРЫ

119

Пример 3.1.7. Пример корректной по Петровскому (параболической) системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим параболическое уравнение ∂u(x; t) ∂ 2 u(x; t) = , ∂t ∂x2

x ∈ R,

t > 0,

(3.1.15)

с начальными условиями u(x; 0) = f (x), Φ0

x ∈ R, (3.1.16) ¡ это может быть пространство типа (Sαβ )0

в некотором ¢ пространстве обобщенных функций Ω 0 или (WM ) . Применим к задаче (3.1.15), (3.1.16) преобразование Фурье. Получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения de u(s; t) = −s2 u e(s; t), dt

t > 0,

u e(s; 0) = fe(s),

s ∈ C,

(3.1.17)

e 0 . Оператор A(s) этой задачи имеет вид A(s) = −s2 I (s ∈ C); следовательно, в пространстве Φ характеристический корень λ(s) уравнения (3.1.15) равен −s2 , Λ(s) = Re λ(s) = τ 2 − σ 2 ,

s = σ + iτ ∈ C,

Λ(σ) = −σ 2 ;

поэтому уравнение (3.1.15) согласно определению 2.3.1 является корректным по Петровскому и, в частности, параболическим. 2 Операторы решения задачи (3.1.17), т. е. операторы умножения на экспоненту e−ts , t > 0, являются ограниченными в пространстве L2 (R) при s = σ ∈ R: Z 2 2 ke u(t)kL2 (R) = e−2tσ |fe(σ)|2 dσ 6 kfek2L2 (R) . (3.1.18) R

Решение исходной задачи Коши (3.1.15), (3.1.16) согласно свойствам преобразования Фурье представляет собой свертку f с функцией Грина: u(x; t) = G(x; t) ∗ f (x),

x ∈ R, t > 0,

e t) = e где G(s; . Найдем функцию Грина. Для этого здесь и в дальнейших примерах нам понадобятся следующие формулы обобщенных преобразований Фурье (см., например, [14]): −ts2

F[s] = −2πiδ 0 (x) h i F sk = 2π(−i)k δ (k) (x) ¸ · 1 = πisgn (x) F V.p. s F[cos(ts)] = π (δ(x − t) + δ(x + t)) F[sin(ts)] = πi (δ(x − t) − δ(x + t)) h i rπ x2 −ts2 F e e− 4t , = t > 0, t и соотношение между прямым и обратным преобразованиями Фурье 1 (Ff )(−s). F −1 [f (s)] = 2π Используя формулу (3.1.24) и соотношение (3.1.25), получаем √ h h i i x2 x2 π 1 1 −ts2 −1 −ts2 F e G(x; t) = F e = √ e− 4t = √ e− 4t . = 2π 2π t 2 πt Отсюда Z (x−ξ)2 1 e− 4t f (ξ) dξ. u(x; t) = √ 2 πt R

(3.1.19) (3.1.20) (3.1.21) (3.1.22) (3.1.23) (3.1.24)

(3.1.25)

(3.1.26)

120

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Из оценки (3.1.18) и теоремы Планшереля, согласно которой ke u(t)kL2 (R) = ku(t)kL2 (R) , имеем ku(t)kL2 (R) = ke u(t)kL2 (R) 6 kfekL2 (R) = kf kL2 (R) . Найдем резольвенту оператора A(s): (λI − A(s))fe(s) = ge(s) Тогда

Z kRA(σ) (λ)e g k2L2 (R)

=

ge(s) fe(s) = . λ + s2

=⇒

|e g (σ)|2 1 dσ = 2 2 |λ + σ | |λ|2

R

Z |e g (σ)|2 dσ =

1 ke g k2L2 (R) ; |λ|2

R

таким образом, kRA(σ) (λ)kL2 (R) = kR d2 (λ)kL2 (R) 6 dx2

1 1 6 , |λ| Re λ

Re λ > 0.

d2 задачи (3.1.15), (3.1.16) порождает полугруппу класса C0 в dx2 пространстве L2 (R) и задача (3.1.15), (3.1.16) является равномерно корректной. d2 порождает лишь полугруппу Заметим, что в пространствах Lp (R), p 6= 2, оператор A = dx2 роста α = α(p) и задача (3.1.15), (3.1.16) не является равномерно корректной.

Отсюда следует, что оператор A =

Пример 3.1.8. Пример корректной по Петровскому (гиперболической) системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим гиперболическое уравнение ∂ 2 u(x; t) ∂ 2 u(x; t) = , ∂t2 ∂x2

x ∈ R,

t > 0,

(3.1.27)

с начальными условиями ∂u(x; 0) = f2 (x) ∂t в некотором пространстве обобщенных функций Φ0 , подобно примеру 3.1.7. Заменой u(x; 0) = f1 (x),

∂u(x; t) ∂t уравнение (3.1.27) сводится к системе уравнений первого порядка по t  ∂u1 (x; t)   = u2 (x; t), x ∈ R, t > 0,  ∂t u1 (x; t) = u(x; t),

u2 (x; t) =

2    ∂u2 (x; t) = ∂ u1 (x; t) , ∂t ∂x2

с начальными условиями

(

(3.1.28)

u1 (x; 0) = f1 (x), u2 (x; 0) = f2 (x),

x ∈ R, x ∈ R, x ∈ R.

(3.1.29)

t > 0,

(3.1.30)

Применим к задаче (3.1.29), (3.1.30) метод преобразования Фурье. Тогда система (3.1.29) перейдет в систему обыкновенных дифференциальных уравнений  de u1 (s; t)   =u e2 (s; t), s ∈ C, t > 0,  dt (3.1.31)   de u (s; t) 2  = −s2 u e1 (s; t), s ∈ C, t > 0, dt а начальные условия (3.1.30) превратятся в условия ( u e1 (s; 0) = fe1 (s), s ∈ C, (3.1.32) u e2 (s; 0) = fe2 (s), s ∈ C.

3.1. ПРИМЕРЫ

Матрица системы (3.1.31) имеет вид

121

µ

¶ 0 1 . −s2 0

A(s) =

(3.1.33)

Найдем характеристические корни этой системы, т. е. корни характеристического уравнения ¯ ¯ ¯ −λ 1 ¯¯ ¯ det(A(s) − λI) = ¯ 2 = λ2 + s2 = 0, λ1,2 (s) = ±is = ±i(σ + iτ ). −s −λ¯ Здесь Λ(s) = max{Re λ1 (s), Re λ2 (s)} = max{±τ } = |τ | =⇒ Λ(σ) = 0, поэтому система (3.1.29) корректна по Петровскому (определение 2.3.1). Кроме того, порядок роста функции Λ(·) в комплексной плоскости равен единице: Λ(s) = |τ | 6 |s|,

s = σ + iτ ∈ C,

следовательно, согласно этому же определению система (3.1.29) является гиперболической. Будем искать решение задачи Коши (3.1.31), (3.1.32) в виде u e(s; t) = etA(s) fe(s),

s ∈ C, t > 0.

Вычислим матричную экспоненту, используя разложение экспоненты в ряд Тейлора e

tA(s)

∞ X tk Ak (s) . = k! k=1

В данном примере из определения матрицы A(s) формулой (3.1.33) получаем равенства µ 2 ¶ µ ¶ −s 0 0 −s2 2 3 A (s) = , A (s) = 4 , 0 −s2 s 0 µ 4 ¶ µ ¶ s 0 0 s4 4 5 A (s) = , A (s) = , ..., 0 s4 −s6 0 и разрешающая матричная функция системы (3.1.31) имеет вид µ µ ¶ µ ¶ ¶ t2 −s2 0 1 0 1 0 tA(s) e = +t + + 0 1 −s2 0 0 −s2 2 t3 + 3!

µ

0 −s2 s4 0

¶

t4 + 4!

µ 4 ¶ µ ¶ t5 s 0 0 s4 + + ... = 0 s4 5! −s6 0



 t3 2 t5 4 t − s + s − . . . 3! 5!  =  2 4 t 2 t 4 1 − s + s − ... 2 4! µ ¶ 1 (ts)3 (ts)5 V.p. ts − + − ...  s 3! 5!  =  2 4  (ts) (ts) 1− + − ... 2 4!

t2 2 t4 4 1 − s + s − ...  2 4!  =  t3 t5 −ts2 + s4 − s6 + . . . 3! 5!    =  

1−

(ts)2 (ts)4 + − ... 2 4!

µ ¶ (ts)3 (ts)5 −s ts − + − ... 3! 5! 

 1 sin(ts)   s = . −s sin(ts) cos(ts) Тогда решение задачи Коши (3.1.31), (3.1.32) записывается в виде cos(ts)

V.p.

u e(s; t) = etA(s) fe(s),

t > 0, s ∈ C,

122

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

и согласно свойствам преобразования Фурье решение исходной задачи Коши (3.1.29), (3.1.30) представляет собой свертку u(x; t) = G(x; t) ∗ f (x),

t > 0, x ∈ R,

e t) = eA(s)t . где G(s; Для нахождения элементов матрицы G(x; t) воспользуемся формулами преобразований Фурье (3.1.19)–(3.1.25). Получаем 1 1 1 F −1 [cos(ts)] = F[cos(−ts)] = F[cos(ts)] = (δ(x − t) + δ(x + t)) , (3.1.34) 2π 2π 2 1 1 i F −1 [sin(ts)] = F[sin(−ts)] = − F[sin(ts)] = (δ(x + t) − δ(x − t)) , (3.1.35) 2π 2π 2 1 F −1 [−s] = F[s] = −iδ 0 (x), 2π · ¸ · µ ¶¸ 1 1 1 i −1 F V.p. = F V.p. − = − sgn x. s 2π s 2 Запишем sgn x в виде 2H(x) − 1, где H(x) — функция Хевисайда. Тогда · ¸ i 1 i −1 = − (2H(x) − 1) = − iH(x), F V.p. s 2 2 ¶ µ ¢ 1 ¡ 0 i −1 0 (δ(x + t) − δ(x − t)) = δ (x + t) − δ 0 (x − t) , F [−s sin(ts)] = (−iδ (x)) ∗ 2 2 · ¸ µ ¶ µ ¶ 1 i i 1 F −1 V.p. sin(ts) = − iH(x) ∗ (δ(x + t) − δ(x − t)) = (H(x + t) − H(x − t)) . s 2 2 2 Таким образом, матричная функция Грина имеет вид   H(x + t) − H(x − t) δ(x − t) + δ(x + t)   2 2   G(x; t) =  .  δ 0 (x + t) − δ 0 (x − t) δ(x − t) + δ(x + t)  2 2 Отсюда получаем решение исходной задачи Коши (3.1.29), (3.1.30)  Zx+t   f (x − t) + f (x + t) 1  1 1  + f2 (τ )dτ  u1 (x; t) = 2 2 (3.1.36) x−t   0 0    u2 (x; t) = f1 (x + t) − f1 (x − t) + f2 (x − t) + f2 (x + t) . 2 2 Таким образом, если начальные данные f10 , f2 ∈ L2 (R), то обобщенное решение µ ¶ u1 u= u2 задачи (3.1.29)–(3.1.30) является вектор–функцией из L2 (R) × L2 (R). Если к тому же f100 , f20 ∈ L2 (R), то u является классическим решением. При этом решение задачи Коши для исходного уравнения (3.1.27) является единственным и устойчивым относительно начальных данных, т. е. задача (3.1.27)–(3.1.28) является корректной в пространстве L2 (R), чего нельзя сказать о задаче Коши, порожденной системой (3.1.29): для ее решения нет устойчивости второй координаты. В абстрактной форме рассматриваемая задача (3.1.29), (3.1.30) принимает вид u0 (t) = Au(t), где

µ ¶ u1 u= , u2

t > 0, 

0 A =  d2 dx2

u(0) = f,  1 , 0

µ ¶ f1 f= , f2

(3.1.37)

3.1. ПРИМЕРЫ

ее решение имеет вид

123

µ

¶ f1 u(t) = U (t) , t > 0, f2 где элементы матриц U (t), t > 0, определяются в соответствии с полученными формулами (3.1.36). В силу того, что наряду с операторами сдвига и взятия первообразной в элементах этих матриц присутствуют операторы дифференцирования, семейство операторов {U (t), t > 0} является неограниченным в L2 (R) × L2 (R). Однако семейство их первообразных уже ограничено, т. е. оператор A порождает один раз интегрированную полугруппу. Пример 3.1.9. Пример системы уравнений первого порядка, порождающей равномерно корректную задачу Коши. Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений  ∂u1 (x; t) ∂u2 (x; t)   = ,   ∂t ∂x

с начальными условиями

x ∈ R, t > 0, (3.1.38)

    ∂u2 (x; t) = ∂u1 (x; t) , ∂t ∂x ( u1 (x; 0) = f1 (x), u2 (x; 0) = f2 (x),

x ∈ R, t > 0, x ∈ R, x ∈ R,

(3.1.39)

подобно предыдущим примерам, в некотором пространстве обобщенных функций Φ0 . Запишем эту задачу в абстрактном виде u0 (t) = Au(t), t > 0, u(0) = f, (3.1.40) где   d µ ¶ µ ¶ f1 u1  0 dx  , A= d u= , f = f . u2 2 0 dx Применим к задаче (3.1.38), (3.1.39) преобразование Фурье. Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений  de u1 (s; t)   = −is u e2 (s; t), s ∈ C, t > 0,   dt (3.1.41)   de u (s; t)   2 = −is u e1 (s; t), s ∈ C, t > 0, dt с начальными условиями ( u e1 (s; 0) = fe1 (s), s ∈ C, (3.1.42) e u e2 (s; 0) = f2 (s), s ∈ C. Матрица A(s) этой системы имеет вид

µ

¶ 0 −is . −is 0

A(s) =

Формальное решение задачи Коши (3.1.41), (3.1.42) можно записать в виде u e(s; t) = etA(s) u e(s), где экспонента представляет собой ряд etA(s) =

∞ X tk Ak (s) . k! k=1

В данном примере

µ 2 ¶ −s 0 A (s) = , 0 −s2 2

µ 3

A (s) =

¶ 0 is3 , is3 0

124

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

A4 (s) =

µ 4 ¶ s 0 , 0 s4

µ A5 (s) =

¶ 0 −is5 , ..., −is5 0

и разрешающая матричная функция системы (3.1.41) имеет вид µ ¶ µ ¶ µ ¶ t2 −s2 1 0 0 −is 0 tA(s) e = +t + + 0 1 −is 0 0 −s2 2 t3 + 3! 

µ

0 is3 is3 0

¶

t4 + 4!

µ 4 µ ¶ ¶ t5 s 0 0 −is5 + + ... = 0 s4 0 5! −is5

t2 t4 1 − s2 + s4 + . . . 2 4!

  =  t3 t5 −its + i s3 − i s5 + . . . 3! 5!  2 4 (ts) (ts) 1− + + ...  2 4!  =  µ ¶  (ts)3 (ts)5 − + ... −i ts + 3! 5!  cos(ts) = −i sin(ts)

 t3 3 t5 5 −its + i s − i s + . . . 3! 5!  =  2 4 t 2 t 4 1 − s + s + ... 2 4! µ ¶ 3 (ts) (ts)5 −i ts + − + ...  3! 5!  =  2 4  (ts) (ts) 1− + + ... 2 4!  −i sin(ts) . cos(ts)

Отсюда получаем решение задачи Коши (3.1.41), (3.1.42) ! µ ¶Ã e cos(ts) −i sin(ts) f (s) 1 u e(s; t) = etA(s) u e(s) = . −i sin(ts) cos(ts) fe2 (s) Таким образом,

  e1 (s; t) = cos(ts) fe1 (s) − i sin(ts) fe2 (s), u

s ∈ C, t > 0,

 u e2 (s; t) = −i sin(ts) fe1 (s) + cos(ts) fe2 (s),

s ∈ C, t > 0,

и решение исходной задачи (3.1.38), (3.1.39) представляет собой свертку f с функцией Грина: u(x; t) = G(x; t) ∗ f (x),

x ∈ R, t > 0,

e t) = eA(s)t . Для нахождения элементов матрицы G(x; t) воспользуемся формулами (3.1.34), где G(s; (3.1.35), полученными при решении примера 3.1.8. Тогда − i2 1 (δ(x + t) − δ(x − t)) = (δ(x + t) − δ(x − t)) 2 2 и матричная функция Грина имеет вид   δ(x + t) − δ(x − t) δ(x − t) + δ(x + t)   2 2   G(x; t) =  .  δ(x + t) − δ(x − t) δ(x − t) + δ(x + t)  2 2 Отсюда получаем решение исходной задачи Коши (3.1.38), (3.1.39) в виде  µ ¶ 1   u (x; t) = f (x − t) + f (x + t) + f (x + t) − f (x − t) ,  1 1 2 2   1 2 µ ¶   1   f1 (x + t) − f1 (x − t) + f2 (x − t) + f2 (x + t) .  u2 (x; t) = 2 F −1 [−i sin(ts)] =

3.1. ПРИМЕРЫ

125

Следовательно, соответствующая абстрактная задач Коши (3.1.40) равномерно корректна в пространстве L2 (R) × L2 (R). Пример 3.1.10. Пример дифференциальной системы, которая в зависимости от параметра k порождает полугруппы разных классов. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений  ∂ 2 u1 (x; t) ∂u1 (x; t)   = ,   ∂t ∂x2   ∂u2 (x; t) ∂ k u1 (x; t) ∂ 2 u2 (x; t)   + , = ik ∂t ∂xk ∂x2 с начальными условиями ( u1 (x; 0) = f1 (x), u2 (x; 0) = f2 (x),

x ∈ R, t > 0, (3.1.43) x ∈ R, t > 0,

x ∈ R, x ∈ R.

(3.1.44)

u(0) = f,

(3.1.45)

Запишем эту задачу в абстрактном виде u0 (t) = Au(t), где

t > 0,



 d2 0  µ ¶ µ ¶  dx2 u1 f1   , A= u= . f= , u2 f2   k 2 d d ik k dx dx2 Применим к решению задачи Коши (3.1.43), (3.1.44) преобразование Фурье. Получим систему  de u1 (s; t)   = −s2 u e1 (s; t), s ∈ C, t > 0, dt (3.1.46)  u2 (s; t)  de = sk u e1 (s; t) − s2 u e2 (s; t), s ∈ C, t > 0, dt с начальными условиями ( u e1 (s; 0) = fe1 (s), s ∈ C, (3.1.47) u e2 (s; 0) = fe2 (s), s ∈ C. Найдем решение задачи Коши (3.1.41), (3.1.42) в виде tA(s)

u e(s; t) = e

u e(s),

tA(s)

e

∞ X tk Ak (s) = , k! k=1

где матрица A(s) — матрица системы (3.1.41):

µ 2 ¶ −s 0 A(s) = . sk −s2

Тогда

µ

¶ s4 0 A (s) = , −2sk+2 s4 ¶ µ s8 0 4 , A (s) = −4sk+6 s8 2

Разрешающая матричная µ 1 tA(s) e = 0 t3 + 3!

µ

µ

¶ −s6 0 A (s) = , 3sk+4 −s6 ¶ µ 10 −s 0 5 , ... A (s) = 5sk+8 −s10 3

функция системы (3.1.46) имеет вид µ ¶ ¶ µ 2 ¶ t2 s4 0 −s 0 0 + +t + 1 sk −s2 2 −2sk+2 s4

−s6 0 3sk+4 −s6

¶

t4 + 4!

µ

s8 0 −4sk+6 s8

¶

t5 + 5!

µ

−s10 0 5sk+8 −s10

¶ + ... =

126

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ



 t2 4 t3 6 t4 8 0  1 − ts + 2 s − 3! s + 4! s + . . .    = =   3 4 2 t t t tsk − t2 sk+2 + sk+4 − sk+6 + . . . 1 − ts2 + s4 − . . . 2 3! 2   (−ts2 )2 1 + (−ts2 ) + + ... 0   2   = µ = ¶ 2 )2 2 )2   (−ts (−ts 2 2 tsk 1 + (−ts ) + + ... 1 + (−ts ) + + ... 2 2   −ts2 e 0 . = 2 2 k −ts −ts ts e e 2

Отсюда вектор-функция µ u e(s; t) = etA(s) fe(s) =

2

e−ts 2 tsk e−ts

! ! ¶Ã µ ¶Ã e 2 1 0 f (s) fe1 (s) 1 = e−ts 2 tsk 1 e−ts fe2 (s) fe2 (s) 0

является решением задачи Коши (3.1.46), (3.1.47). Таким образом, ( 2 u e1 (s; t) = e−ts fe1 (s), 2 2 u e2 (s; t) = tsk e−ts fe1 (s) + e−ts fe2 (s),

s ∈ C, s ∈ C.

Решение исходной задачи (3.1.43), (3.1.44) представляет собой свертку u(x; t) = G(x; t) ∗ f (x), где G(s; t) равна преобразованию Фурье от eA(s)t = e−ts

x ∈ R, t > 0,

µ 2

¶ 1 0 . tsk 1

Для нахождения элементов матрицы G(x; t) воспользуемся формулами (3.1.20), (3.1.24) и соотношением (3.1.25). Получим √ h i h i x2 x2 1 π 1 −1 −ts2 −ts2 F e = √ e− 4t = √ e− 4t , F e = 2π 2π t 2 πt h i h i t(−1)k h i 1 F t(−s)k = F sk = t i k δ (k) (x), F −1 tsk = 2π 2π r µ µ ¶ ¶ h i ³ ´ k x2 x2 1 i t ∂k 2 − 4t − −1 k −ts k (k) 4t √ e F ts e e = t i δ (x) ∗ = . 2 π ∂xk 2 πt Таким образом, матричная функция Грина имеет вид   x2 1 − 4t 0  2√πt e    . G(x; t) =   kr  2 2 k i x x t ∂ 1 − 4t − 4t √ e e 2 π ∂xk 2 πt Сравнивая этот пример с подробно разобранным примером 3.1.1, где оператор A при 2γ = k ведет себя так же, как матрица A(s), можем сделать вывод о порождении оператором A системы (3.1.43) следующих полугрупп в пространстве L2 (R): оператор A порождает полугруппу класса C0 при k = 0, 1, 2 и один раз интегрированную полугруппу при k = 3; кроме того, A порождает полугруппу роста α > k/2 и R-полугруппу с оператором R = (λI − A)−n , n = [α] + 1, при k = 3, 4, . . .

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

127

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

В этом разделе мы вводим пространства Φ основных функций и исследуем их свойства, в частности определяем топологию, сходимость последовательностей, ограниченные множества. При этом Ω , . . . ) мы обозначаем как линейное пространство, так и соответствующее символом Φ (D, Sαβ , WM ему топологическое. 3.2.1. Пространство D. Пространство Л. Шварца D(R) (в работе оно обозначается просто D) состоит из всех финитных бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R. Сходимость к нулю последовательности ϕn ∈ D означает, что носители всех функций принадлежат одному множеству K и на этом множестве сама последовательность ϕn и последовательности ее производных всех порядков равномерно сходятся к нулю. Известно, что в этом пространстве не удается ввести норму, согласующуюся с введенной сходимостью. Однако можно представить D в виде объединения счетно-нормированных пространств (индуктивного предела) так, чтобы получающаяся при этом сходимость в топологии индуктивного предела совпала с введенной. Согласно [8,15], две нормы, заданные на линейном пространстве X, называются согласованными, если любая последовательность xn ∈ X фундаментальная по каждой из норм и сходящаяся по одной из них, сходится к тому же пределу и по второй норме. Счетно-нормированным называется линейное пространство, в котором задана счетная система согласованных норм. Топология в счетно-нормированном пространстве вводится по следующему правилу. Пусть p ∈ N и ε > 0. Окрестностью нуля Up,ε (0) называется множество всех ϕ, для которых kϕk1 < ε, kϕk2 < ε, . . . , kϕkp < ε. Введенная в счетно-нормированном пространстве топология является топологией проективного предела [33]. Множество B называется ограниченным в счетно-нормированном пространстве X, если это множество ограничено по каждой из норм: kϕkp 6 Cp ,

ϕ ∈ B,

p ∈ N.

Рассмотрим пространство DA , состоящее из всех бесконечно дифференцируемых функций с носителем в [−A; A]. Введем в этом пространстве нормы kϕkp = sup sup |ϕ(q) (x)|, q6p |x|6A

p ∈ N0 .

Пространство DA с такой системой норм является полным счетно-нормированным [8]. Сходимость к нулю последовательности ϕn ∈ DA означает, что последовательность функций (q) ϕn (·) и последовательности производных всех порядков ϕn (·), q ∈ N, сходятся к нулю равномерно на [−A; A]. Множество B ограничено в DA , если для любого q ∈ N0 найдется такая постоянная Cq , что kϕ(q) k 6 Cq ,

ϕ ∈ B,

или, подробнее, |ϕ(q) (x)| 6 Cq , x ∈ [−A; A], ϕ ∈ B. Важную роль в построении пространств обобщенных функций играет свойство совершенства основных пространств. Полное счетно-нормированное пространство называется совершенным, если любое ограниченное множество в нем является предкомпактным (имеет предельную точку) [8]. Эти пространства являются частным случаем монтелевских пространств — отделимых бочечных, в которых каждое ограниченное множество является предкомпактным [33]. Совершенные пространства обладают рядом замечательных свойств [8]. Например, в совершенном пространстве и его сопряженном сильная сходимость совпадает со слабой. Кроме того, в пространстве, сопряженном к совершенному, ограниченные множества предкомпактны (относительно сильной и слабой сходимости).

128

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Пространство DA с введенной системой норм является совершенным счетно-нормированным пространством. Как следует из определения пространств, при A1 < A2 имеет место вложение DA1 ⊂ DA2 ; при этом любая последовательность, сходящаяся в DA1 , сходится в DA2 и, более того, DA1 — подпространство DA2 . Если значения A пробегают множество натуральных чисел, мы получаем последовательность вложенных расширяющихся пространств D1 ⊂ D2 ⊂ . . . ⊂ Dj ⊂ Dj+1 ⊂ . . . Рассмотрим объединение пространств Dj по всем индексам j ∈ N:

S j

Dj , и определим сходимость

в этом пространстве как сходимость в топологии строгого индуктивного предела. Согласно [33] рассмотрим последовательность расширяющихся линейных топологических пространств X1 ⊆ X2 ⊆ . . . ⊆ Xj ⊆ Xj+1 . . . Пусть топология в Xj сильнее, чем топология, индуцированная в Xj из Xj+1 , т. е. отображение вложения Xj ,→ Xj+1 непрерывно. (В пространствах с первой аксиомой счетности это эквивалентно тому, что любая последовательность, сходящаяся в Xj , сходится и в Xj+1 .) Топология индуктивного предела вводится в объединении [ X= Xj j

как сильнейшая топология, в которой непрерывны все отображения вложения Xj ,→ X. Система открытых множеств в таком пространстве определяется следующим образом: множество U является окрестностью нуля в X, если при любом j пересечение U ∩ Xj является окрестностью нуля в Xj . Линейное пространство X с введенной на нем топологией индуктивного предела называется индуктивным пределом пространств Xj . Если для любого j топология пространства Xj совпадает с топологией, индуцированной в Xj из Xj+1 , то X называется строгим индуктивным пределом пространств Xj . Предположим еще, что для любого j пространство Xj является подпространством Xj+1 . В этом случае множество B ограничено в X тогда и только тогда, когда оно ограничено в некотором Xj . Последовательность ϕn сходится к ϕ в X, если S и только если найдется такое j, что все ϕn ∈ Xj и ϕn → ϕ в Xj . Заметим, что пространство Dj как множество в точности совпадает с D. Сходимость к нулю j S последовательности ϕn в пространстве D = Dj с введенной указанным образом топологией j

индуктивного предела означает, что все функции ϕn (·) принадлежат одному пространству Dj и сходятся к нулю в этом пространстве или, более подробно: ϕn → 0 в D, если существует такое j ∈ N, что носители всех функций ϕn (·) лежат в отрезке [−j; j] и на этом отрезке сама (q) последовательность ϕn (·) и последовательности производных всех порядков ϕn (·) равномерно сходятся к нулю. Таким образом, сходимость в D, определенная в начале этого пункта, есть сходимость в топологии индуктивного предела. Согласно определению D как индуктивного предела пространств DA , множество B является ограниченным в D тогда и только тогда, когда оно ограничено в некотором Dj , т. е. найдется такое j ∈ N, что для любого q ∈ N0 выполняется условие |ϕ(q) (x)| 6 Cq ,

x ∈ [−j; j],

ϕ ∈ B,

где Cq > 0 — не зависящая от элементов множества B константа. Замечание 3.2.1. Ту же топологию в пространстве D можно задать, вводя систему окрестностей нуля Up , каждая из которых определяется при помощи набора непрерывных положительных функций γ0 (·), . . . , γp (·) и состоит из тех функций ϕ(·) пространства D, которые при всех x ∈ R удовлетворяют условию |ϕ(x)| < γ0 (x), . . . , |ϕ(p) (x)| < γp (x) (см. [15]).

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

129

3.2.2. Пространство Sα . Пространство Sα (α > 0) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R, удовлетворяющих неравенствам |xk ϕ(q) (x)| 6 Cq Ak k kα ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

(3.2.1)

с некоторыми константами A = A(ϕ), Cq = Cq (ϕ). (При k = 0 предполагается k kα = 1.) Это определение накладывает ограничения на рост (а точнее, на убывание) функций при |x| → ∞: если записать условие (3.2.1) в виде µ ¶k A (q) |ϕ (x)| 6 Cq k kα , k, q ∈ N0 , x ∈ R, (3.2.2) |x| то можно заметить, что функции ϕ(·) стремятся к нулю при |x| → ∞ тем быстрее, чем меньше α. При α = 0 оказывается, что любая функция ϕ(·), удовлетворяющая (3.2.1), равна нулю при |x| > A. Действительно, при α = 0 и q = 0 из (3.2.2) получаем µ ¶k A |ϕ(x)| 6 C0 , k ∈ N0 , x ∈ R. |x| Переходя в этом неравенстве к инфимуму по всем k ∈ N0 , заключаем, что ϕ(x) = 0 при |x| > A. Очевидно и обратное: для любой бесконечно дифференцируемой функции, обращающейся в нуль при |x| > A, выполнена оценка |xk ϕ(q) (x)| 6 Cq Ak ,

|x| 6 A,

представляющая собой условие (3.2.1) с α = 0. Таким образом, пространство S0 совпадает с пространством всех финитных бесконечно дифференцируемых функций, т. е. в обозначениях Л. Шварца S0 = D. Структура этого пространства, сходимость и ограниченные множества в нем были описаны в предыдущем пункте, поэтому далее пространства Sα будем рассматривать в случае α > 0. При α > 0 для функций пространства Sα и только для них справедлива оценка 1/α

|ϕ(q) (x)| 6 Cq0 e−a|x|

,

q ∈ N0 ,

x ∈ R,

(3.2.3)

α . eA1/α Чтобы пояснить идею доказательства этого факта, введем функцию

с некоторой константой Cq0 = Cq0 (ϕ) при a = a(ϕ) =

µα (y) = inf

k∈N0

k kα . |y|k

Тогда из условия (3.2.2) следует оценка

µ ¶ |x| |ϕ(q) (x)| 6 Cq · µα , A

Исследуя инфимум функции f (k) = inf

k∈R,k>0

q ∈ N0 ,

x ∈ R.

(3.2.4)

k kα по непрерывному параметру k, получаем |y|k α

1/α

f (k) = f (k ∗ ) = e− e |y|

при

1 k ∗ = |y|1/α . e

Тогда µα (y) как инфимум по натуральным значениям k удовлетворяет неравенству α

e− e |y|

1/α

6 µα (y).

(3.2.5)

Применяя разложение функции f (·) по формуле Тейлора в окрестности точки k ∗ , нетрудно показать обратную оценку α

1/α

µα (y) 6 Ce− e |y|

.

(3.2.6)

Теперь если функция ϕ(·) ∈ Sα , то для нее выполнено (3.2.4), откуда в силу оценки (3.2.6) следует неравенство (3.2.3).

130

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Обратно, если выполнено (3.2.3), то из (3.2.5) и определения функции µα получаем µ ¶ k kα Ak k kα |x| (q) 0 −a|x|1/α 0A k 0 |ϕ (x)| 6 Cq e = Cq0 inf 6 C , 6 Cq µα q k∈N0 |x|k A |x|k откуда следует (3.2.1): |xk ϕ(q) (x)| 6 Cq0 Ak k kα , и принадлежность ϕ пространству Sα . Таким образом, пространство Sα при α > 0 можно эквивалентным образом определить как совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (3.2.3). Пространство Sα при α > 0, как и при α = 0, может быть представлено в виде объединения счетно-нормированных пространств. Обозначим через Sα,A множество всех бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих при любом ε > 0 условию |xk ϕ(q) (x)| 6 Cq,ε (A + ε)k k kα ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

(3.2.7)

с некоторой константой Cq,ε = Cq,ε (ϕ). Введем в пространстве Sα, A систему норм |xk ϕ(q) (x)| kϕkq,p = sup sup ³ , ´k 1 k∈N0 x∈R kα A+ p k

p ∈ N,

q ∈ N0 .

(3.2.8)

В силу условия (3.2.7) этот супремум определен корректно. Пространство Sα,A с такой системой норм является совершенным счетно-нормированным пространством. Множество B является ограниченным в Sα,A с системой норм (3.2.8), если для любых p ∈ N, q ∈ N0 найдется постоянная Cq,p , не зависящая от элементов множества B, при которой выполнено условие µ ¶ 1 k kα k (q) |x ϕ (x)| 6 Cq,p A + k , k ∈ N0 , x ∈ R, ϕ ∈ B. p Сходимость к нулю последовательности ϕn ∈ Sα,A означает, что она ограничена в этом (q) пространстве и при любом q ∈ N0 функции ϕn (·) сходятся к нулю равномерно на любом отрезке |x| 6 x0 < ∞. Это определение сходимости, на первый взгляд, слабее сходимости в топологии, определяемой системой норм (3.2.8), однако в [8] показано, что для пространства Sα,A , как и для пространств, рассматриваемых ниже, сходимость последовательности в топологии пространства равносильна равномерной сходимости на ограниченных в R множествах (называемой правильной сходимостью) и ограниченности в этом пространстве. По аналогии с пространством Sα пространство Sα,A может быть эквивалентным образом определено как совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих при любом ρ > 0 условию 1/α 0 |ϕ(q) (x)| 6 Cq,ρ e−(a−ρ)|x| , q ∈ N0 , x ∈ R, α 0 = C 0 (ϕ), a = где Cq,ρ . Если ввести в этом пространстве систему норм q,ρ eA1/α a(1− p1 )|x|1/α

kϕkp = sup sup e

|ϕ(q) (x)|,

p ∈ N,

(3.2.9)

q6p x∈R

то она окажется эквивалентной системе (3.2.8) в том смысле, что последовательность ϕn ∈ Sα,A сходится или расходится по обеим системам норм одновременно. Можно дать эквивалентное определение ограниченности множества B в Sα,A с системой норм (3.2.9): множество B является ограниченным в Sα,A , если для любых p ∈ N, q ∈ N0 найдется не зависящая от элементов множества B постоянная Cq,p , при которой выполнено условие − a− 1 |x|1/α

p |ϕ(q) (x)| 6 Cq,p e , x ∈ R, ϕ ∈ B. Как следует из определения (3.2.7) пространства Sα,A , при A1 < A2 имеет место вложение Sα,A1 ⊂ Sα,A2 ; при этом любая последовательность, сходящаяся в Sα,A1 сходится и в Sα,A2 . Более того, Sα,A1 — подпространство Sα,A2 . Следовательно, можно построить объединение пространств Sα,A по индексам A ∈ N. Легко видеть, что это объединение в точности совпадает с

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

131

пространством Sα . Таким образом, Sα представимо в виде объединения счетно-нормированных пространств: [ Sα = Sα,A , A

топология в котором есть топология строгого индуктивного предела. Это позволяет ввести в нем сходимость следующим образом: последовательность ϕn ∈ Sα сходится к нулю, если все функции ϕn (·) принадлежат некоторому пространству Sα,A и сходятся к нулю в этом пространстве. Более подробно: ϕn → 0 в Sα , если найдется такое A > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство k kα |xk ϕ(q) n (x)| 6 Cq A k ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с некоторой константой Cq , не зависящей от номеров элементов n, и на любом отрезке |x| 6 x0 < ∞ (q) сама последовательность ϕn (·) и последовательности производных всех порядков ϕn (·), q ∈ N, равномерно сходятся к нулю. Множество B является ограниченным в Sα , если найдется такое A > 0, что множество B ограничено в Sα, A . 3.2.3. Пространство Z. Пространство Z состоит из всех целых функций ϕ(·) переменного z ∈ C, удовлетворяющих неравенству |z k ϕ(z)| 6 Ck eb|y| ,

k ∈ N0 ,

z = x + iy ∈ C,

(3.2.10)

с некоторыми константами b = b(ϕ), Ck = Ck (ϕ). Обозначим Z b множество всех целых функций, удовлетворяющих условию |z k ϕ(z)| 6 Ck eb|y| ,

k ∈ N0 ,

z = x + iy ∈ C,

с некоторой константой Ck = Ck (ϕ). Введем в пространстве Z b нормы kϕkr = sup sup |z k ϕ(z)|e−b|y| ,

r ∈ N.

k6r z∈C

Пространство Z b с такой системой норм является совершенным счетно-нормированным пространством. Сходимость к нулю последовательности ϕn в Z b означает, что функции ϕn (·) равномерно сходятся к нулю на каждом отрезке действительной оси |x| 6 x0 < ∞ и при каждом r ∈ N последовательность норм kϕn kr ограничена. Множество B является ограниченным в Z b , если для каждого k ∈ N0 выполнено неравенство |z k ϕ(z)| 6 Ck eb|y| ,

ϕ ∈ B,

z = x + iy ∈ C,

с некоторой константой Ck , не зависящей от элементов множества B. Если b1 < b2 , имеет место вложение Z b1 ⊂ Z b2 ; при этом любая последовательность, сходящаяся в Z b1 , сходится и в Z b2 , и пространство Z b1 является подпространством Z b2 . Объединение пространств Z b по индексам b ∈ N совпадает с пространством Z. Таким образом, [ Z= Z b, b

что позволяет ввести в нем сходимость следующим образом: последовательность ϕn ∈ Z сходится к нулю, если все функции ϕn принадлежат некоторому пространству Z b и сходятся к нулю в этом пространстве или, более подробно, найдется такое b > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство |z k ϕn (z)| 6 Ck eb|y| ,

k ∈ N0 ,

z = x + iy ∈ C,

с некоторой константой Ck , не зависящей от номеров элементов n, и на каждом отрезке действительной оси |x| 6 x0 < ∞ последовательность ϕn (·) равномерно сходится к нулю. Множество B является ограниченным в Z, если оно ограничено в некотором Z b , т. е. найдется такое b > 0, что для любого k ∈ N0 выполнено неравенство |z k ϕn (z)| 6 Ck eb|y| ,

ϕ ∈ B,

z = x + iy ∈ C,

с некоторой константой Ck , не зависящей от элементов множества B.

132

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

3.2.4. Пространство S β . Пространство S β (β > 0) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R, удовлетворяющих неравенствам |xk ϕ(q) (x)| 6 Ck B q q qβ ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с некоторыми константами B = B(ϕ), Ck = Ck (ϕ). (При q = 0 полагаем q qβ = 1.) Это определение накладывает ограничения на рост производных тем более сильные, чем меньше β. При β < 1 каждая функция пространства S β может быть аналитически продолжена в комплексную плоскость как целая функция, удовлетворяющая при любом ρ > 0 условию |xk ϕ(x + iy)| 6 Ck,ρ e(b+ρ)|y| где Ck0 = Ck0 (ϕ), b = b(ϕ) = удовлетворяет неравенству

1 1−β

,

k ∈ N0 ,

x + iy ∈ C,

(3.2.11)

1 1−β (Be) 1−β , см. [8]. Верно и обратное: если целая функция ϕ(·) e γ

|xk ϕ(x + iy)| 6 Ck eb|y| ,

γ > 1,

k ∈ N0 ,

x + iy ∈ C,

то для любого ρ > 0 выполняется |xk ϕ(q) (x)| 6 Ck,ρ B q q qβ ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

1 1 1 , B = ((b + ρ)eγ) γ . γ e Пространство S β при β = 0, как легко видеть из представления (3.2.11), совпадает с описанным выше пространством Z. Поэтому далее в этом пункте пространство S β будем рассматривать только в случае β > 0. Представим пространство S β в виде объединения счетно-нормированных пространств. Обозначим через S β,B множество всех бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих при любом δ > 0 условию

где β = 1 −

|xk ϕ(q) (x)| 6 Ck,δ (B + δ)q q qβ ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

(3.2.12)

с некоторой константой Ck,δ = Ck,δ (ϕ). Введем в пространстве S β,B нормы |xk ϕ(q) (x)| ¢ kϕkk,m = sup sup ¡ , 1 q qβ q q∈N0 x∈R B + m

k ∈ N0 ,

m ∈ N.

В силу условия (3.2.12) этот функционал определен корректно и, как легко видеть, удовлетворяет аксиомам нормы. Пространство S β,B с такой системой норм является совершенным счетнонормированным пространством. Сходимость к нулю последовательности ϕn ∈ S β,B означает, (q) что при любом q ∈ N0 последовательность функций ϕn (·) сходится к нулю равномерно по x на любом отрезке |x| 6 x0 < ∞ и при любых k ∈ N0 , m ∈ N совокупность норм kϕn kk,m ограничена (константой Ck,m ). Множество B является ограниченным в S β,B , если для любых k ∈ N0 , m ∈ N выполнено неравенство µ ¶ 1 q qβ k (q) |x ϕ (x)| 6 Ck,m B + q , ϕ ∈ B, x ∈ R, m с некоторой не зависящей от элементов множества B постоянной Ck,m . Как следует из определения пространства S β,B , при B1 < B2 имеет место вложение S β,B1 ⊂ S β,B2 ; при этом любая последовательность, сходящаяся в S β,B1 , сходится в S β,B2 и пространство S β,B1 является подпространством S β,B2 . Объединение пространств S β,B по индексам B ∈ N совпадает с пространством S β . Таким образом, S β представимо в виде объединения счетно-нормированных пространств: [ Sβ = S β,B , B

где топология есть топология индуктивного предела, что позволяет ввести в нем сходимость следующим образом: последовательность ϕn ∈ S β сходится к нулю, если все функции ϕn (·) принадлежат одному пространству S β,B и сходятся к нулю в этом пространстве или, более подробно,

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

133

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

ϕn → 0 в S β , если найдется такое B > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство q qβ |xk ϕ(q) k, q ∈ N0 , x ∈ R, n (x)| 6 Ck B q , с некоторой константой Ck , не зависящей от номеров элементов n, и на любом отрезке |x| 6 x0 < ∞ (q) сама последовательность ϕn (·) и последовательности производных всех порядков ϕn (·) равномерно сходятся к нулю. Множество B является ограниченным в S β , если оно ограничено в некотором S β,B , т. е. найдется такое B > 0, что при любом k ∈ N0 для всех элементов множества B выполнено неравенство |xk ϕ(q) (x)| 6 Ck B q q qβ ,

q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с константой Ck , не зависящей от элементов множества B. 3.2.5. Пространство Sαβ . Пространство Sαβ (α > 0, β > 0) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R, удовлетворяющих неравенствам |xk ϕ(q) (x)| 6 CAk B q k kα q qβ ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с некоторыми константами A = A(ϕ), B = B(ϕ), C = C(ϕ). Это определение накладывает ограничения и на убывание функций при |x| → ∞, и на рост их производных, поэтому сразу возникает вопрос о запасе функций в этих пространствах. Ответ звучит следующим образом [8]: пространства Sαβ нетривиальны только в следующих трех случаях: 1) α + β > 1, α > 0, β > 0, 2) β > 1, α = 0, 3) α > 1, β = 0. В частности, пространство S0β — это пространство функций с компактным носителем, удовлетворяющих условию |ϕ(q) (x)| 6 CB q q qβ , q ∈ N0 , |x| 6 A, где A = A(ϕ), B = B(ϕ), C = C(ϕ). Далее (пункт 3.2.7) мы опишем более общие пространства такого вида — пространства Румье ультрадифференцируемых функций. Аналогично, пространство Sα0 — это пространство целых функций, удовлетворяющих условию |z k ϕ(z)| 6 CAk k kα eb|y| ,

k ∈ N0 ,

z = x + iy ∈ C,

где A = A(ϕ), b = b(ϕ), C = C(ϕ). Пространство Sαβ может быть представлено в виде объединения счетно-нормированных пространств. β,B Обозначим через Sα,A множество бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих при любых ε > 0, δ > 0 условию |xk ϕ(q) (x)| 6 Cε, δ (A + ε)k (B + δ)q k kα q qβ ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

(3.2.13)

β,B с некоторой константой Cε, δ = Cε, δ (ϕ). Введем в пространстве Sα,A нормы

|xk ϕ(q) (x)| , kϕkp, m = sup sup sup ³ ´k ¡ ¢ 1 1 q kα qβ k∈N0 q∈N0 x∈R A+ p B+m k q

p, m ∈ N.

β,B В силу условия (3.2.13) этот супремум определен корректно. Пространство Sα,A с такой системой норм является совершенным счетно-нормированным пространством. β,B Множество B ограничено в Sα,A , если для любых p, m ∈ N справедливо условие µ ¶ µ ¶ 1 k 1 q kα qβ k (q) |x ϕ (x)| 6 Cp,m A + B+ k q , k, q ∈ N0 , ϕ ∈ B, x ∈ R, p m с некоторой константой Cp,m , не зависящей от элементов множества B. β,B β,B Сходимость к нулю последовательности ϕn ∈ Sα,A означает, что она ограничена в Sα,A и (q)

для любого q ∈ N0 последовательности ϕn (·) сходятся к нулю равномерно на любом отрезке действительной оси |x| 6 x0 < ∞.

134

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

При A1 < A2 , B1 < B2 имеет место вложение β,B1 β,B2 Sα,A ⊂ Sα,A ; 1 2 β,B1 β,B2 . Следовательно, при этом любая последовательность, сходящаяся в Sα,A , сходится и в Sα,A 1 2

β,B снова можно построить объединение пространств Sα,A по индексам A, B ∈ N, которое совпадает

с пространством Sαβ . Таким образом, пространство Sαβ — это объединение совершенных счетноβ,B нормированных пространств Sα,A . Последовательность ϕn ∈ Sαβ сходится к нулю, если все β,B функции ϕn (·) принадлежат одному пространству Sα,A и сходятся к нулю в этом пространстве. β,B Множество B ограничено в Sαβ , если оно ограничено в некотором Sα,A .

3.2.6. Пространство S. Пространство S состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R, удовлетворяющих неравенствам |xk ϕ(q) (x)| 6 Ck,q ,

k, q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с некоторой константой Ck,q = Ck,q (ϕ). Таким образом, пространство S — это пространство бесконечно дифференцируемых функций, 1 . убывающих при |x| → ∞ быстрее любой степени |x| Пространство S является совершенным счетно-нормированным с системой норм kϕkp = sup sup |xk ϕ(q) (x)|,

p ∈ N.

k,q6p x∈R

Сходимость к нулю последовательности ϕn ∈ S означает, что для любых q, k ∈ N0 выполнено неравенство |xk ϕ(q) x ∈ R, n (x)| 6 Ck,q , с некоторыми константами Ck,q , не зависящими от номеров элементов n, и на любом отрезке |x| 6 x0 < ∞ сама последовательность ϕn (·) и последовательности производных всех порядков (q) ϕn (·), q ∈ N, равномерно сходятся к нулю. Множество B ограничено в S, если для любых q, k ∈ N0 найдется константа Ck,q , не зависящая от элементов множества B, при которой выполнено неравенство |xk ϕ(q) n (x)| 6 Ck,q ,

x ∈ R.

Пространство S является наиболее широким среди всех введенных выше пространств: достаточно, чтобы константы Ck,q (ϕ), определяющие поведение функций, существовали и при этом неважно, какого они вида. По своим свойствам пространство S можно считать предельным случа∞. ем пространств Sαβ , а именно случаем S = S∞ Замечание 3.2.2. В [8] введены обобщения пространств Sαβ путем замены последовательностей k kα и q qβ последовательностями ak и bq более общего вида. Подобным обобщением пространств S0β являются пространства Румье (где последовательности bq обозначены через Mq ), которые мы обсуждаем в следующем пункте. Условия, накладываемые на эти последовательности Mq , обеспечивают нетривиальность пространства, ограниченность дифференциальных операторов (конечного и бесконечного порядков) и другие важные свойства. 3.2.7. Пространства ультрадифференцируемых функций Румье. Согласно [55], рассмотрим последовательность положительных чисел Mq , q ∈ N0 , удовлетворяющую следующим условиям: q ∈ N; (M.1) Mq2 6 Mq−1 Mq+1 , q (M.2) Mq 6 a b min Mp Mq−p , q ∈ N0 , 06p6q

при некоторых постоянных a > 0 и b > 0; ∞ X Mp−1 Mq (M.3) 6 qc , q ∈ N, Mp Mq+1 p=q+1

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

135

при некоторой постоянной c > 0. В ряде случаев достаточно выполнения следующих условий, более слабых по сравнению с (M.2), (M.3): (M.20 ) Mq+1 6 a bq Mq , q ∈ N0 , при некоторых постоянных a > 0 и b > 0; ∞ X Mq−1 (M.30 ) < ∞. Mq q=1

Примерами последовательностей Mq , удовлетворяющих всем приведенным выше условиям, могут служить последовательности Жеврея (q!)β ,

q qβ ,

Γ(1 + qβ)

при β > 1.

Определение 3.2.1. Функция M (x) := sup ln q∈N0

xq M0 , Mq

x > 0,

(3.2.14)

называется ассоциированной функцией последовательности Mq . Эквивалентное определение ассоциированной функции дает равенство Mq e−M (x) = inf , x>0 q∈N0 M0 xq (сравнивая с (3.2.5), (3.2.6) при Mq = q qα , M0 = 1 имеем равенство e−M (x) = µα (x), показывающее связь между функциями M (·) и µα (·)). Ассоциированная функция играет важную роль в теории ультрадифференцируемых функций, в частности, она характеризует поведение преобразования Фурье в этих пространствах (см. соотношения (3.3.4), (3.3.5)). µ ¶ Mq 1/q Если отношение ограничено снизу, то M (·) — возрастающая логарифмически выпукM0 лая функция, равная нулю в некоторой окрестности нуля и растущая при x → ∞ быстрее ln xp с любым p > 0. β Ассоциированной функцией последовательности Mq = q qβ является M (x) ∼ |x|1/β (см. [41]). e Если Mq = (q!)β , то M (x) ∼ |x|1/β . Пространство D{Mq } состоит из всех финитных бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R, удовлетворяющих неравенству |ϕ(q) (x)| 6 CB q Mq ,

q ∈ N0 ,

|x| 6 A,

с некоторыми константами A = A(ϕ), B = B(ϕ), C = C(ϕ). Нетривиальность этого пространства устанавливает теорема Денджоя—Карлемана—Мандельбройта (доказательство см., например, в [55,58]) при условии, что последовательность Mq удовлетворяет условиям (M.1) и (M.30 ). Как видно из определения, пространство D{Mq } обобщает рассмотренные в предыдущем пункте пространства S0β на случай различных последовательностей Mq , однако, будучи пространством фиb нитных функций, является частным случаем пространств Saqk ; поэтому мы не будем здесь подробно рассматривать структуру этого пространства. Отметим лишь, что оно является строгим индуктив{M },B ным пределом совершенных счетно-нормированных пространств DA q с системой норм |ϕ(q) (x)| ¢ , kϕkm = sup sup ¡ 1 q Mq q∈N0 |x|6A B + m т. е. D{Mq } =

[ A,B

{Mq },B

DA

m ∈ N, .

(3.2.15)

136

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Сходимость в D{Mq } определяется следующим образом: последовательность ϕn сходится к нулю в пространстве D{Mq } , если найдется такое A > 0, что носители всех функций ϕn лежат в [−A; A], и такое B > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство |ϕn(q) (x)| 6 CB q Mq ,

q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с некоторой константой C, не зависящей от номеров элементов n, и на отрезке [−A; A] сама (q) последовательность ϕn (·) и последовательности производных всех порядков ϕn (·) равномерно сходятся к нулю. Множество B является ограниченным в пространстве D{Mq } , если найдется такое A > 0, что носители всех функций ϕ ∈ B лежат в [−A; A], и для всех элементов множества B выполнено неравенство |ϕ(q) (x)| 6 CB q Mq , q ∈ N0 , x ∈ R, с некоторыми константами C > 0, B > 0, не зависящими от элементов множества B. 3.2.8. Пространство WM . Пусть µ(·) возрастающая непрерывная на [0; +∞) функция, и пусть µ(0) = 0, lim µ(ξ) = ∞. Положим ξ→+∞

Zx M (x) =

µ(ξ) dξ,

x > 0.

(3.2.16)

0

Тогда M (·) возрастает на бесконечности быстрее любой линейной функции и является выпуклой: M (x1 ) + M (x2 ) 6 M (x1 + x2 ),

x1 , x2 > 0.

Положим M (x) := M (−x),

x < 0.

Пространство WM состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ϕ(·) переменного x ∈ R, удовлетворяющих условию |ϕ(q) (x)| 6 Cq e−M (ax) ,

x ∈ R,

с некоторыми постоянными Cq = Cq (ϕ), a = a(ϕ). Поскольку M (x) возрастает при |x| → ∞ быстрее любой линейной функции, функции пространства WM убывают на бесконечности быстрее любой экспоненты вида e−a|x| . Пространство WM может быть представлено в виде объединения счетно-нормированных пространств. Обозначим через WM, a , a > 0, множество бесконечно дифференцируемых на R функций ϕ(·), которые при любом δ > 0 удовлетворяют неравенствам ¯ ¯ ¯ (q) ¯ x ∈ R, q ∈ N0 . ¯ ϕ (x)¯ 6 Cq, δ e−M ((a−δ)x) , Пространство WM, a с заданной на нем системой норм ¯ ¯ ¯ ¯ M a− p1 kϕkp = sup sup ¯ ϕ(q) (x)¯ e

x

,

p ∈ N,

q6p x∈R

является полным счетно-нормированным. Множество B является ограниченным в WM, a , если для любых p ∈ N, q ∈ N0 существует не зависящая от элементов множества B постоянная Cp,q , при которой ¯ ¯ −M a− p1 x ¯ (q) ¯ , ϕ ∈ B, x ∈ R. ¯ ϕ (x)¯ 6 Cp,q e Сходимость к нулю последовательности ϕn в пространстве WM, a означает, что она ограни(q) чена в этом пространстве и для любого q ∈ N0 функции ϕn (·) сходятся к нулю равномерно на любом отрезке |x| 6 x0 < ∞. Как следует из определения пространства WM, a , при a1 > a2 имеет место вложение WM, a1 ⊂ WM, a2 ,

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

137

при этом любая последовательность, сходящаяся в WM, a1 сходится и в WM, a2 . Более того, WM, a1 — подпространство WM, a2 . Следовательно, можно построить объединение пространств WM, a по индексам a = 1, 1/2, 1/3, . . .. Легко видеть, что это объединение в точности совпадает с пространством WM . Таким образом, WM представимо в виде объединения счетнонормированных пространств: [ WM = WM, a , a

топология в котором есть топология строгого индуктивного предела. Это позволяет ввести в нем сходимость следующим образом: последовательность ϕn ∈ WM сходится к нулю, если все функции ϕn (·) принадлежат некоторому пространству WM, a и сходятся к нулю в этом пространстве. Более подробно: ϕn → 0 в WM , если найдется такое a > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство |ϕn(q) (x)| 6 Cq e−M (ax) ,

q ∈ N0 ,

x ∈ R,

с некоторой константой Cq , не зависящей от номеров элементов n, и на любом отрезке действительной оси |x| 6 x0 < ∞ сама последовательность ϕn (·) и последовательности производных всех (q) порядков ϕn (·), q ∈ N, равномерно сходятся к нулю. Множество B является ограниченным в WM , если найдется такое a > 0, что множество B ограничено в WM, a . Замечание 3.2.3. Пространства WM служат обобщением пространств Sα : пространство Sα является пространством WM с функцией M (x) = |x|1/α . 3.2.9. Пространство W Ω . Пусть ω(·) — возрастающая непрерывная на [0; +∞) функция, и пусть ω(0) = 0, lim ω(η) = ∞. Положим η→+∞

Zy ω(η) dη,

Ω(y) =

y > 0.

0

Функция Ω(·) по своим свойствам аналогична функции M (·), введенной в предыдущем пункте; она возрастает на бесконечности быстрее любой линейной функции и является выпуклой: Ω(y1 ) + Ω(y2 ) 6 Ω(y1 + y2 ),

y1 , y2 > 0.

Положим Ω(y) := Ω(−y), Пространство условию

WΩ

y < 0.

состоит из всех целых функций ϕ(·) переменного z ∈ C, удовлетворяющих |z k ϕ(z)| 6 Ck eΩ(by) ,

z = x + iy ∈ C,

(3.2.17)

с некоторыми постоянными Ck = Ck (ϕ), b = b(ϕ). Пространство W Ω может быть представлено в виде объединения счетно-нормированных пространств. Обозначим через W Ω, b , b > 0, множество всех целых функций ϕ(·), которые при любом ρ > 0 удовлетворяют неравенствам |z k ϕ(z)| 6 Ck, ρ eΩ((b+ρ)y) ,

z = x + iy ∈ C,

Пространство W Ω, b с заданной на нем системой норм ¯ ¯ 1 ¯ ¯ kϕkk, m = sup ¯z k ϕ(z)¯ e−Ω((b+ m )y) , z∈C

k ∈ N0 ,

k ∈ N0 .

m ∈ N,

является совершенным счетно-нормированным. Множество B является ограниченным в W Ω, b , если для любых k ∈ N0 , m ∈ N найдется постоянная Ck, m , не зависящая от элементов множества B, при которой для всех элементов множества B выполнено условие |z k ϕ(z)| 6 Ck, m eΩ((b+ m )y) , 1

ϕ ∈ B,

z = x + iy ∈ C.

138

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Сходимость к нулю последовательности ϕn в пространстве W Ω, b означает, что эта последовательность ограничена в W Ω, b и в любой ограниченной области комплексной плоскости |z| 6 z0 < ∞ равномерно сходится к нулю. Как следует из определения пространства W Ω, b , при b1 < b2 имеет место вложение W Ω, b1 ⊂ W Ω, b2 , при этом любая последовательность, сходящаяся в W Ω, b1 , сходится и в W Ω, b2 и пространство W Ω, b1 является подпространством W Ω, b2 . Объединение пространств W Ω, b по индексам b ∈ N совпадает с пространством W Ω . Таким образом, W Ω представимо в виде объединения счетнонормированных пространств: [ WΩ = W Ω, b , b

где топология есть топология индуктивного предела, что позволяет ввести в нем сходимость следующим образом: последовательность ϕn ∈ W Ω сходится к нулю, если все функции ϕn (·) принадлежат одному пространству W Ω, b и сходятся к нулю в этом пространстве или, более подробно, ϕn → 0 в W Ω , если найдется такое b > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство |z k ϕn (z)| 6 Ck eΩ(by) ,

k ∈ N0 ,

z = x + iy ∈ C,

с некоторой константой Ck , не зависящей от номеров элементов n, и в любой ограниченной области комплексной плоскости |z| 6 z0 < ∞ последовательность ϕn (·) равномерно сходится к нулю. Множество B является ограниченным в W Ω , если оно ограничено в некотором W Ω, b , т. е. найдется такое b > 0, что при любом k ∈ N0 для всех элементов множества B выполнено неравенство |z k ϕ(z)| 6 Ck eΩ(by) , ϕ ∈ B, z = x + iy ∈ C, с константой Ck , не зависящей от элементов множества B. Ω . Пусть µ(·), ω(·) — возрастающие непрерывные на [0; +∞) функции, 3.2.10. Пространство WM и пусть µ(0) = ω(0) = 0, lim µ(ξ) = lim ω(η) = ∞. Положим для x > 0, y > 0 η→+∞

ξ→+∞

Zy

Zx M (x) =

µ(ξ) dξ,

Ω(y) =

0

ω(η) dη, 0

и для x < 0, y < 0 M (x) := M (−x),

Ω(y) := Ω(−y).

Функции M (·), Ω(·) — это функции, введенные в двух предыдущих пунктах и обладающие теми же свойствами: они возрастают на бесконечности быстрее любой линейной функции и являются выпуклыми. Ω состоит из всех целых функций ϕ(·) переменного z ∈ C, удовлетворяющих Пространство WM условию |ϕ(z)| 6 Ce−M (ax)+Ω(by) , z = x + iy ∈ C, с некоторыми постоянными C = C(ϕ), a = a(ϕ), b = b(ϕ). Ω может быть представлено в виде объединения счетно-нормированных проПространство WM Ω, b странств. Обозначим через WM, a , a > 0, b > 0, множество всех целых функций ϕ(·), которые при любых δ, ρ > 0 удовлетворяют неравенствам |ϕ(z)| 6 Cδ, ρ e−M ((a−δ)x)+Ω((b+ρ)y) ,

z = x + iy ∈ C.

Ω, b Пространство WM, a с заданной на нем системой норм

kϕkp, m = sup |ϕ(z)| e

M

1 a− p1 x −Ω((b+ m )y)

z∈C

является совершенным счетно-нормированным.

,

p, m ∈ N,

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

139

Ω, b Множество B является ограниченным в WM, a , если для любых p, m ∈ N найдется постоянная Cp, m , не зависящая от элементов множества B, при которой для всех элементов множества B выполнено условие

|ϕ(z)| 6 Cp, m e

−M

1 a− p1 x +Ω((b+ m )y)

,

ϕ ∈ B,

z = x + iy ∈ C.

Ω, b Сходимость к нулю последовательности ϕn в пространстве WM, a означает, что эта по-

Ω, b следовательность ограничена в WM, a и в любой ограниченной области комплексной плоскости |z| 6 z0 < ∞ равномерно сходится к нулю. Ω, b Как следует из определения пространства WM, a , при a1 > a2 и b1 < b2 имеет место вложение

Ω, b2 Ω, b1 Ω, b2 Ω, b1 WM, a1 ⊂ WM, a2 ; при этом любая последовательность, сходящаяся в WM, a2 , сходится и в WM, a1 и

Ω, b1 Ω, b2 Ω, b пространство WM, a2 является подпространством WM, a1 . Объединение пространств WM, a по индекΩ . Таким образом, W Ω представимо в сам a = 1, 1/2, 1/3, . . ., b ∈ N совпадает с пространством WM, a виде объединения счетно-нормированных пространств: [ Ω, b Ω WM = WM, a , a, b

где топология есть топология индуктивного предела, что позволяет ввести в нем сходимость слеΩ сходится к нулю, если все функции ϕ (·) дующим образом: последовательность ϕn ∈ WM n Ω, b принадлежат одному пространству WM, и сходятся к нулю в этом пространстве или, более поa Ω дробно, ϕn → 0 в WM , если найдутся такие a, b > 0, что для всех элементов последовательности выполнено неравенство |ϕn (z)| 6 Ce−M (ax)+Ω(by) ,

z = x + iy ∈ C,

с некоторой константой C, не зависящей от номеров элементов n, и в любой ограниченной области комплексной плоскости |z| 6 z0 < ∞ последовательность ϕn (·) равномерно сходится к нулю. Ω , если оно ограничено в некотором W Ω, b , т. е. Множество B является ограниченным в WM M, a найдутся такие a, b > 0, что для всех элементов множества B выполнено неравенство |ϕ(z)| 6 Ce−M (ax)+Ω(by) ,

ϕ ∈ B,

z = x + iy ∈ C,

с константой C, не зависящей от элементов множества B. Ω во всем их многообразии Замечание 3.2.4. В главе 2 мы используем пространства Sαβ и WM для построения обобщенных (по x) решений дифференциальной задачи Коши (0.1). В главе 1 мы используем пространства D, S, Sα и D{Mq } для построения обобщенных (по t) решений абстрактной задачи Коши (0.2). Напомним, что пространство D является частным случаем ∞, пространств Sα : D = S0 , пространство S является предельным случаем пространств Sαβ : S = S∞ β а пространство D{Mq } является обобщением пространств S0 на случай различных последовательностей Mq .

3.2.11. Ограниченные операторы в пространствах основных функций. 3.2.11.1. Операторы умножения на функцию. Определение 3.2.2. Ограниченный оператор умножения на функцию f0 ϕ

−→

f0 · ϕ :

Φ→Φ

называется мультипликатором в пространстве Φ. При этом говорят, что функция f0 (·) определяет мультипликатор в пространстве Φ. Опишем вид некоторых мультипликаторов, действующих в введенных выше пространствах типа Ω. WM • В пространстве S0 = D любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·) определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·).

Sαβ ,

140

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

• Sα,A1 → Sα,A . Пусть функция f0 (·) удовлетворяет неравенствам (q)

1/α

|f0 (x)| 6 Cq ea0 |x| , α > 0, q ∈ N0 . µ ¶α α Для любого a1 > a0 положим A1 = и рассмотрим пространство Sα, A1 . Обозначим ea1 ³ α ´α a = a1 − a0 , положим A = и рассмотрим пространство Sα, A . Функция f0 (·) опреea деляет ограниченный оператор умножения на f0 (·), действующий из пространства Sα,A1 в пространство Sα,A ⊃ Sα,A1 . • В пространстве Sα , α > 0, любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при любом ε > 0 неравенствам (q)

1/α

|f0 (x)| 6 Cq, ε eε|x|

,

q ∈ N0 ,

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·); при этом любое пространство Sα,A он переводит в себя. • В пространстве Z b любой многочлен от z = x + iy определяет мультипликатор. • В пространстве Z любая целая функция f0 (·), удовлетворяющая при некоторых C > 0, b > 0, h > 0 неравенству |f0 (z)| 6 C(1 + |z|)h eb|y| ,

q ∈ N0 ,

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·). • В пространстве S β любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при некоторых C, B0 , h > 0 неравенствам (q)

|f0 (x)| 6 CB0q q qβ (1 + |x|)h ,

q ∈ N0 ,

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·); при этом любое пространство S β,B он переводит в S β,B+B0 . • В пространстве S β любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при любом ε > 0 и при некотором h > 0 неравенствам (q)

|f0 (x)| 6 Cε εq q qβ (1 + |x|)h ,

q ∈ N0 ,

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·), при этом любое пространство S β,B он переводит в себя. • S β,B → S β,B1 . Пусть целая функция f0 (·) удовлетворяет неравенству γ

|f0 (z)| 6 C(1 + |x|)h eb0 |y| ,

z = x + iy.

Для любого b > 0 положим B=

(e bγ)1/γ , e

B1 =

(e(b + b0 )γ)1/γ e

1 . Тогда функция f0 (·) определяет мультипликатор, действующий из γ пространства S β,B в пространство S β,B1 . • В пространстве Sαβ , α > 0, любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при любом ε > 0 неравенствам и обозначим β = 1 −

(q)

1/α

|f0 (x)| 6 Cε εq q qβ eε|x|

,

q ∈ N0 ,

β,B определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·); при этом любое пространство Sα,A он переводит в себя. β,B β,B+B0 • Sα,A → Sα,A . Пусть функция f0 (·) удовлетворяет неравенствам 1 (q)

1/α

|f0 (x)| 6 CB0q q qβ ea0 |x|

,

α > 0,

q ∈ N0 .

(3.2.18)

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

141

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

¶ α α . ea ea1 Возьмем B > 0. Тогда функция f0 (·) определяет мультипликатор, действующий из пространβ,B β,B+B0 β,B ства Sα,A в пространство Sα,A ⊃ Sα,A . 1 Для любого a > a0 положим A =

³ α ´α

µ

. Обозначим a1 = a − a0 и найдем A1 =

• В пространстве Sαβ любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при любом ε > 0 неравенствам (q)

1/α

|f0 (x)| 6 Cε B0q q qβ eε|x|

,

q ∈ N0 ,

β,B определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·), при этом любое пространство Sα,A β,B+B0 он переводит в Sα,A .

β,B β,B+B0 • S0,A → S0,A . При α = 0 любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при |x| 6 A неравенствам (q)

|f0 (x)| 6 CB0q q qβ ,

q ∈ N0 ,

β,B определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·), действующий из пространства S0,A

β,B+B0 β в себя. ; в частности, этот оператор переводит пространство S0,A в пространство S0,A

β • В пространстве S0, A любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая при |x| 6 A и любом ε > 0 неравенствам (q)

|f0 (x)| 6 Cεq q qβ ,

q ∈ N0 ,

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·). • В пространстве S любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворяющая неравенствам (q)

|f0 (x)| 6 Cq (1 + |x|)hq ,

q ∈ N0 ,

(3.2.19)

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·). {M },B любая бесконечно дифференцируемая функция f0 (·), удовлетворя• В пространстве DA q ющая при |x| 6 A неравенствам (q)

|f0 (x)| 6 CB0q Mq ,

q ∈ N0 ,

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·), действующий из пространства {M },B+B0 {M },B DA q в пространство DA q ; в частности, этот оператор переводит пространство {Mq } DA в себя. • В пространстве W M функция f0 (x) = x определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·). • В пространстве W Ω любая целая функция f0 (·), удовлетворяющая неравенству |f0 (z)| 6 C(1 + |x|)h eΩ(ρy) ,

z = x + iy ∈ C,

(3.2.20)

определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·); при этом любое пространство W Ω, b он переводит в W Ω, b+ρ . • В пространстве W Ω, b любая целая функция f0 (·), удовлетворяющая при любом ε > 0 неравенству |f0 (z)| 6 Cε eΩ(εy) , z = x + iy ∈ C, определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·). Ω, b Ω, b+b0 • WM, a → WM, a−a0 . Любая целая функция f0 (·), удовлетворяющая неравенству |f0 (z)| 6 CeM (a0 x)+Ω(b0 y) ,

z = x + iy ∈ C,

(3.2.21)

Ω, b определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·), действующий из пространства WM, a Ω, b+b0 в пространство WM, a−a0 для любых a > a0 , b > 0.

142

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Ω, b • В пространстве WM, a любая целая функция f0 (·), удовлетворяющая при любом ε > 0 неравенству |f0 (z)| 6 Cε eM (εx)+Ω(εy) , z = x + iy ∈ C, определяет ограниченный оператор умножения на f0 (·).

3.2.11.2. Операторы дифференцирования. d • Оператор дифференцирования определен и ограничен во всех введенных в этом разделе dx β,B пространствах (Sα , Sα,A , S β , S β,B , Sαβ , Sα,A , WM , WM, a , W Ω , W Ω, b ). p d осуществляет непрерывное отображение • Оператор дифференцирования dxp {Mq }, B

DA • Если f (z) = неравенству

∞ P n=1

{Mq+p }, B

−→

DA

.

cn z n — целая функция, удовлетворяющая при некотором b > 0 и любом δ > 0 1/β

|f (z)| 6 Cδ e(b−δ)|z| , z ∈ C, µ ¶ d то дифференциальный оператор f осуществляет непрерывные отображения dx

(3.2.22)

β

β

β, B β, Be S β, Be , Sα, −→ Sα, A A , µ ¶β β где A > 0, α > 0 — любые, B = . be2 ∞ P • Если f (z) = cn z n — целая функция, удовлетворяющая при любом ε > 0 неравенству

S β, B

−→

n=1

1/β

|f (z)| 6 Cε eε|z| , z ∈ C, µ ¶ d то дифференциальный оператор f является ограниченным оператором в пространстве dx β S β и в пространствах Sα,A при любых A > 0, α > 0. ∞ P • Если f (z) = cn z n — целая функция, коэффициенты которой при любом B > 0 и при n=0

C = C(B) > 0 удовлетворяют оценке Bn |cn | 6 C , n ∈ N0 , Mn µ ¶ d то дифференциальный оператор f осуществляет непрерывное отображение пространdx ства D{Mq } в пространство всех непрерывных функций с компактным носителем в R. • Если в условиях пункта последовательность Mq удовлетворяет условию (M.2), µ предыдущего ¶ d {M } то оператор f является ограниченным в пространстве D{Mq } и в пространствах DA q dx при любом A > 0. 3.2.11.3. Оператор свертки. В этом пункте мы дадим определение свертки в произвольном пространстве обобщенных функций Φ0 , удовлетворяющем некоторым общим условиям, и укажем в каких из описанных выше пространств данное определение корректно. Пусть пространство основных функций Φ обладает следующим свойством: (T) вместе с функцией ϕ(·) ему принадлежат ее сдвиги на любую величину h и операторы сдвига, осуществляющие отображение Th : ϕ(x)

−→

ϕ(x + h),

x ∈ R,

являются равномерно по |h| 6 C ограниченными в пространстве Φ.

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

143

И СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

Из условия (T), во-первых, следует, что при каждом фиксированном h оператор сдвига Th непрерывен в пространстве Φ. Во-вторых, если пространство Φ совершенно, то оператор Th сильно непрерывен по h, т. е. для любого ϕ ∈ Φ элементы Th ϕ сходятся к Th0 ϕ в Φ при h → h0 . Действительно, семейство Th ϕ, h → h0 , в силу свойства (T ) ограничено в пространстве Φ; следовательно, в силу совершенства пространства, предкомпактно. Тогда найдется последовательность Thn ϕ, сходящаяся в Φ (а значит и поточечно), т. е. ϕ(x + hn ) → ϕ(x + h0 ) для любого x. Следовательно, Th0 ϕ является предельной точкой семейства Th ϕ, причем единственной в силу единственности поточечного предела. Таким образом, Th ϕ → Th0 ϕ в пространстве Φ. Итак, если пространство Φ обладает свойством (T), то любого ϕ ∈ Φ и для любого h функция ϕ(x + h) непрерывна по h в смысле топологии пространства Φ и для любого h оператор Th непрерывен в пространстве Φ. Такие пространства называют пространствами с непрерывным сдвигом. В этом случае для любого f ∈ Φ0 функция hϕ(x + ξ), f (ξ)i,

x ∈ R,

является непрерывной по x. Из пространств, введенных в этом разделе, операция сдвига не определена в пространствах β, B β функций с носителем в некотором фиксированном отрезке: это пространства S0, A , S0, A , S0, A . Все остальные пространства β D, Sα,A при α > 0, Z, Z B , S β , S β,B , S0β , S0β,B , Sα,A при α > 0,

(3.2.23)

β,B Sα,A при α > 0, S, D{Mq } , WM , WM,a , W Ω , W Ω, b

являются пространствами с непрерывным сдвигом. Определение 3.2.3. Обобщенная функция f0 ∈ Φ0 называется свертывателем в пространстве Φ с непрерывным сдвигом, если для любого ϕ ∈ Φ функция, определяемая равенством (f0 ∗ ϕ)(x) := hϕ(x + ξ), f0 (ξ)i = ϕ0 (x), принадлежит Φ и для любой последовательности ϕn , сходящейся к нулю в Φ, имеем f0 ∗ ϕn → 0 в Φ. Например, дельта-функция и ее производные являются свертывателями в любом из перечисленных в (3.2.23) пространстве (δ ∗ ϕ)(x) := hϕ(x + ξ), δ(ξ)i = ϕ(x) (δ

(q)

∗ ϕ)(x) := hϕ(x + ξ), δ

(q)

q (q)

(ξ)i = (−1) ϕ

(x)

или или

δ ∗ ϕ = ϕ, δ

(q)

(3.2.24) q (q)

∗ ϕ = (−1) ϕ

.

(3.2.25)

Определение 3.2.4. Пусть f0 — свертыватель в пространстве Φ. Под сверткой f0 ∗ f обобщенной функции f ∈ Φ0 со свертывателем f0 понимают функционал пространства Φ0 , определяемый равенством hϕ, f0 ∗ f i := hf0 ∗ ϕ, f i, ϕ ∈ Φ. Например, свертка с дельта-функцией и ее производными в силу (3.2.24), (3.2.25) определяется следующими равенствами: δ ∗ f = f, δ (q) ∗ f = f (q) . Исследуем одно из важнейших свойств свертки обобщенных функций — свойство дифференцируемости. Для этого рассмотрим еще более частный случай пространств Φ — совершенные пространства с непрерывными операторами сдвига и дифференцирования. Из определения свертки и операции дифференцирования для обобщенных функций вытекает следующий результат. Теорема 3.2.1. Пусть Φ — совершенное пространство с непрерывными операторами сдвига и дифференцирования и пусть f0 — свертыватель в Φ. Тогда для любого f ∈ Φ0 свертка f0 ∗ f является дифференцируемой в пространстве Φ0 обобщенной функцией, причем для любого дифференциального оператора конечного порядка P (D) функционал P (D)f0 снова является свертывателем в Φ и P (D)(f0 ∗ f ) = P (D)f0 ∗ f = f0 ∗ P (D)f.

144

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

В приложении к задачам, обсуждаемым в настоящей работе, важным является класс свертывателей, описываемых следующей теоремой. Теорема 3.2.2 (см. [8]). Если Φ — совершенное пространство с непрерывными операторами сдвига и дифференцирования, то любой финитный функционал из Φ0 является свертывателем в Φ. Дело здесь в том, что в случае регулярного функционала свертка основной и обобщенной функций превращается в интеграл по ограниченной области, который можно рассматривать как интеграл от функции со значениями в Φ, откуда следует непрерывность свертки. В общем случае функционал по структурной теореме представим в виде суммы производных некоторых финитных функций. Финитная функция, как только что было показано, является свертывателем, а по предыдущей теореме ее производные также являются свертывателями; следовательно, и сам функционал — свертыватель в Φ. Поскольку все пространства, перечисленные в (3.2.23), являются совершенными и в них ограничен оператор дифференцирования, утверждения теорем 3.2.1 и 3.2.2 для них справедливы. 3.3.

ОБОБЩЕННОЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

3.3.1. Определение обобщенного преобразования Фурье. В основе определения обобщенного преобразования Фурье лежит равенство Парсеваля для преобразования Фурье в пространстве L2 (R) (см., например, [15, 28]), где оно имеет вид равенства скалярных произведений hF(ϕ), F(f )i = 2πhϕ, f i, f, ϕ ∈ L2 (R). Пусть f — абсолютно интегрируемая функция и fe — ее классическое преобразование Фурье: +∞ Z fe(σ) = eixσ f (x) dx. −∞

Пусть также ϕ — основная функция из некоторого пространства Φ и ϕ e — ее классическое преобразование Фурье. Тогда имеет место следующая цепочка равенств:  +∞  +∞ +∞ Z Z Z 1 hϕ, f i = f (x)ϕ(x) dx = f (x)  e−ixσ ϕ(σ) e dσ  dx = 2π −∞ −∞ −∞   +∞ +∞ +∞ +∞ Z Z Z Z 1 1  = f (x)e−ixσ e ϕ(σ) dσ dx = ϕ(σ) e eixσ f (x) dx dσ = 2π 2π −∞ −∞

−∞

−∞

+∞ Z 1 1 = fe(σ) e ϕ(σ) dσ = hϕ, e fei, 2π 2π −∞

из которой следует равенство hF(ϕ), F(f )i = 2πhϕ, f i,

ϕ ∈ Φ,

(3.3.1)

также называемое равенством Парсеваля. e тоже составляет Если пространство Φ таково, что множество его преобразований Фурье Φ e существует обратосновное пространство (отличное от Φ в общем случае), то для любого ψ ∈ Φ ное преобразование Фурье и оператор Фурье F осуществляет взаимно однозначное соответствие e Тогда для функций из Φ e определено обратное преобразование Фурье и для любых между Φ и Φ. e ϕ ∈ Φ и ψ ∈ Φ можно записать следующие равенства: F −1 Fϕ = ϕ,

FF −1 ψ = ψ.

Равенство (3.3.1) в этом случае принимает вид hψ, Ff i = 2πhF −1 ψ, f i,

ϕ ∈ Φ,

e ψ = Fϕ ∈ Φ.

(3.3.2)

Это равенство и служит определением преобразования Фурье обобщенной функции f ∈ Φ0 .

3.3. ОБОБЩЕННОЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

145

Таким образом, в случае, когда оператор Фурье осуществляет взаимно однозначное соответствие e обобщенное преобразование Фурье любого f ∈ Φ0 есть линейный непрерывный между Φ и Φ, e т. е. имеет место вложение функционал над пространством Φ, ¡ ¢0 e0 ⊆ Φ e . Φ Равенство (3.3.1) служит ¡ ¢0 и для определения обратного преобразования Фурье: для любой обобe и для любого ψ ∈ Φ e имеет место равенство щенной функции g ∈ Φ hψ, gi = 2πhF −1 ψ, F −1 gi, e получаем равенство откуда в силу изоморфизма пространств Φ и Φ hϕ, F −1 gi :=

1 hF(ϕ), gi, 2π

ϕ ∈ Φ,

(3.3.3)

e 0 . Равенслужащее определением обратного преобразования Фурье обобщенной функции g ∈ Φ −1 ство (3.3.3) показывает, что F g является линейным непрерывным функционалом над Φ, т. е. имеет место обратное вложение ¡ ¢0 e0 . e ⊆Φ Φ Следовательно, если классическое преобразование Фурье осуществляет взаимно однозначное отоб¡ ¢0 e0 . e то Φ e =Φ ражение между Φ и Φ, Из определения (3.3.2) и свойств классического преобразования Фурье нетрудно получить для обобщенного преобразования Фурье следующие правила дифференцирования, справедливые в классической теории: d e f (σ) = F(ixf (x)), dσ µ ¶ d F f (x) = −iσF (f ), dx а также правило преобразования Фурье свертки обобщенных функций F(f ∗ g) = F(f )F(g). 3.3.2. Преобразование Фурье в некоторых основных пространствах. Если придерживаться e понимать пространство, составленное из введенных ранее обозначений и под пространством Φ классических преобразований Фурье функций пространства Φ, то при всех допустимых α, β имеют место следующие соотношения [8]: fα = S α , S

f Sαβ = Sβα ,

fβ = S , S β

α,A Sg , α,A = S

] β,B = S S β,B .

При α, β > 0, α + β > 1 ] β,B α,A Sα,A = Sβ,B , а при α = 0, β = 0 f0 = D e = Z, S {Mq },B

Преобразование Фурье функции ϕ(·) ∈ DA

−M (|s|/B)+

|ϕ(s)| e 6 2AM0 kϕkB, A e где kϕkB, A = sup sup

n∈N |x|6A

f0 = Z e = D. S удовлетворяет следующему условию (см. [55]): sup x∈[−A;A]

xτ

,

s = σ + iτ ∈ C,

(3.3.4)

|ϕ(n) (x)| B n Mq .

Обратно, любая целая функция ψ(·), интегрируемая по σ ∈ R с весом eM (|s|/B) , т. е. функция, удовлетворяющая условию kψkL1 (R)

+∞ Z ¯ ¯ ¯ M (|σ|/B) ¯ = ψ(σ)¯ dσ < ∞, ¯e −∞

146

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

является преобразованием Фурье некоторой функции ϕ(·), удовлетворяющей оценке sup |ϕ(n) (x)| 6 x∈R {Mq }

В пространстве DA

kψkL1 (R) n B Mn . 2π

(3.3.5)

преобразование Фурье описывается следующей теоремой.

Теорема 3.3.1 (см. [55]). Пусть последовательность Mq удовлетворяет условиям (M.1), (M.20 ), (M.30 ). Целая функция ψ(·) является преобразованием Фурье некоторой ультрадиф{M } ференцируемой функции ϕ(·) ∈ DA q тогда и только тогда, когда найдутся B > 0, C > 0 такие, что −M (|s|/B)+

|ψ(s)| 6 Ce

sup

Im sx

x∈[−A;A]

.

Ω , дадим следующее определение. Чтобы описать преобразование Фурье в пространствах WM

Определение 3.3.1. Функции M (·) и Ω(·), заданные формулами (3.2.16), называются двойственными по Юнгу, если функции µ(·) и ω(·) взаимно обратны, т. е. µ(ω(η)) = η,

ω(µ(ξ)) = ξ,

ξ, η ∈ R.

В этом случае имеет место неравенство Юнга νϑ 6 M (ν) + Ω(ϑ), из которого следует ствах WM, a и W Ω, b .

теорема

ν, ϑ ∈ R,

двойственности

для

преобразования

(3.3.6) Фурье

в

простран-

Теорема 3.3.2. Если M (·) и Ω(·) — функции, двойственные по Юнгу, то Ω, 1/a ^ W , M, a = W

^ Ω, b = W W M, 1/b ,

а если Ω2 (·) и M2 (·) — функции, двойственные по Юнгу к функциям M1 (·) и Ω1 (·) соответственно, то ] Ω1 W = W Ω2 . M1

M2

Доказательство. Для доказательства первых двух утверждений достаточно показать вложения Ω, 1/a ^ W , M, a ⊂ W

^ Ω, b ⊂ W W M, 1/b

(3.3.7)

и воспользоваться свойством e ϕ e (x) = ϕ(−x),

x ∈ R.

Ω. Третье равенство является следствием первых двух и определения пространства WM Покажем вложения (3.3.7). Поскольку функция M (·) возрастает при x → ∞ быстрее |x|, основные функции ϕ(·) ∈ WM, a убывают при x → ∞ быстрее, чем e−λ|x| . Следовательно, преобразование Фурье функции ϕ(·) ∈ WM, a может быть продолжено в комплексную плоскость с сохранением абсолютной сходимости интеграла: +∞ Z ϕ(s) e = ϕ(x)eisx dx,

s = σ + iτ.

−∞

Поскольку функция ixϕ(x), x ∈ R, снова принадлежит WM, a (см. пункт 3.2.11.1), функция ϕ(·) e в силу абсолютной сходимости интеграла +∞ Z ixϕ(x)eisx dx −∞

дифференцируема по s ∈ C.

3.3. ОБОБЩЕННОЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

147

Из принадлежности ϕ(·) ∈ WM, a получаем оценку Z∞ k |s ϕ(s)| e 6 Ck,δ e−M ((a−δ)x)+|τ x| dx. −∞

1 Из неравенства Юнга (3.3.6), заменяя ν на γ|x|, а ϑ на |y|, при γ = a − 2δ, получаем оценку γ показателя −M ((a − δ)x) + |xτ | 6 −M ((a − δ)x) + M (γx) + Ω (τ /γ) , откуда Z∞ k Ω(τ /γ) 0 |s ϕ(s)| e 6 Ck,δ e e−M ((a−δ)x)+M ((a−2δ)x) dx 6 Ck,δ eΩ(τ /γ) . −∞

1 1 1 Величину = можно представить в виде + ρ, где число ρ сколь угодно мало вместе с δ. γ a − 2δ a Следовательно, функция ϕ(·) e принадлежит пространству W Ω, 1/a . При этом (линейный) оператор Фурье отображает ограниченное в WM, a множество во множество, ограниченное в W Ω, 1/a ; поэтому он непрерывен. Покажем обратное вложение. Пусть ϕ(·) ∈ W Ω, b , т. е. стремится к нулю при |x| → ∞ быстрее 1 любой степени , равномерно в любой полосе |y| 6 y0 . Функция eiσz остается ограниченной в |x| этой полосе. Поэтому в интеграле Z∞ ϕ(σ) e = ϕ(x)eiσx dx −∞

по теореме Коши можно изменить путь интегрирования на любую горизонтальную прямую: Z∞ ϕ(σ) e = ϕ(x + iy)eiσ(x+iy) dx. −∞

Дифференцируя это равенство по σ, получаем Z∞ (q) ϕ e (σ) = (iz)q ϕ(z)eiσz dx, −∞

откуда в силу неравенства |z|q 6 получаем

|z|q+2 + |z|q , 1 + x2

z = x + iy,

Z∞ (q)

Z∞ q

|ϕ e (σ)| 6

|z ϕ(z)|e

−σy

dx 6 e

−∞

Из определения функции ϕ(·) ∈

−σy −∞

W Ω, b

|z|q+2 + |z|q |ϕ(z)| dx. 1 + x2

следует

0 −σy Ω((b+ρ)y) |ϕ e(q) (σ)| 6 e−σy (Cρ, q+2 + Cρ, q )eΩ((b+ρ)y) 6 Cρ, e . qe

Выберем теперь знак y так, чтобы σy = |σy|, а величину y так, чтобы неравенство Юнга (3.3.6) с |σ| ϑ = (b + ρ)|y| и ν = превратилось в равенство b+ρ µ ¶ |σ| |σy| = M + Ω((b + ρ)|y|). b+ρ Тогда показатель преобразуется к виду −σy + Ω((b + ρ)|y|) = −|σy| + Ω((b + ρ)|y|) = −M

µ

|σ| b+ρ

¶ .

148

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

1 1 на − δ, где число δ сколь угодно мало вместе с ρ, Заменяя, как и в предыдущем случае, b+ρ b получаем неравенство |ϕ e(q) (σ)| 6 Cδ, q e−M ((1/b−δ)x) , что означает принадлежность ϕ(·) e пространству WM, 1/b . Преобразование Фурье целых экспоненциально растущих функций описывается в следующем теореме. Теорема 3.3.3. Если целая функция f (·) удовлетворяет условию p0

|f (z)| 6 C1 e(b|z|) ,

z ∈ Cn ,

то ее преобразование Фурье fe является элементом пространства (Zp1 , b1 )0 , сопряженного к пространству Zp1 , b1 аналитических функций, удовлетворяющих оценкам p1

|ϕ(z)| 6 Ce(b1 |z|) , где

z ∈ Cn ,

b1 <

1 1/p 1/p bp0 0 p1 1

,

1 1 + = 1. p0 p1

3.3.3. Определение обобщенного преобразования Лапласа. В этом пункте мы определяем преобразование Лапласа обобщенных функций с носителями на полуоси. Как обычно, за основу будет взято равенство, полученное для классических функций и корректное в обобщенном смысле. Пусть f — экспоненциально ограниченная функция (|f (t)| 6 Ceωt ), равная нулю при t < 0, и пусть Lf — ее классическое преобразование Лапласа: +∞ Z Lf (λ) = e−λt f (t) dt,

Re λ > ω.

0

Используя замену −λ = is = i(σ + ib), получаем связь преобразований Лапласа и Фурье +∞ +∞ Z Z Lf (λ) = g(λ) = eist f (t) dt = eiσt e−bt f (t) dt = F(e−bt f )(σ).

(3.3.8)

−∞

0

Тогда в силу определения обратного преобразования Фурье F

−1

1 g(x) = 2π

Z∞ e−iσx g(σ) dσ −∞

обратное классическое преобразование Лапласа интегрируемой функции g(·) определяется равенством +∞ Z ebt −1 −1 bt −1 −bt e−iσt F(e−bt f )(σ) dσ. L g(t) = L Lf (t) = f (t) = e F F(e f ) = 2π −∞

Сделаем обратную замену λ = b − iσ,

dσ = idλ,

λ ∈ (b − i∞; b + i∞),

и получим −1

L

i g(t) = 2π

b−i∞ Z

e b+i∞

(b−iσ)t

1 g(λ) dλ = 2πi

b+i∞ Z

eλt g(λ) dλ,

b > ω.

b−i∞

Возьмем ϕ ∈ Φ, где Φ — некоторое основное пространство, все функции которого экспоненциально ограничены, и обозначим через ψ = Lϕ классическое преобразование Лапласа функции ϕ. Используя свойства скалярного произведения и определение преобразования Фурье, для действительных

3.4. СТРУКТУРНЫЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

149

функций ϕ и f получаем   +∞ +∞ b+i∞ Z Z Z 1  hϕ, f i = hf, ϕi = hf, ϕi = f (t)ϕ(t) dt = eλt Lf (λ) dλ ϕ(t) dt = 2πi 0

0

b−i∞

 +∞  +∞ b+i∞ b+i∞ Z Z Z Z 1 1 = Lf (λ)  eλt ϕ(t) dt dλ = eλt Lf (λ)ϕ(t) dλ dt = 2πi 2πi 0 b−i∞

=

1 2πi

Lf (λ)Lϕ(−λ) dλ = b−i∞

0

b−i∞

b+i∞ Z

1 2π

+∞ Z

Lf (b − iσ)Lϕ(−b − iσ) dσ. −∞

Таким образом,

® 1 1 ­ hψ(−b − iσ), Lf (b − iσ)i = ψ(−λ), Lf (λ) . 2π 2π 0 Пусть теперь f ∈ Φ . Если пространство Φ таково, что множество LΦ преобразований Лапласа его элементов составляет некоторое основное пространство Ψ, то для любого ψ ∈ Ψ существует обратное преобразование Лапласа, т. е. оператор Лапласа определяет взаимно однозначное соответствие между Φ и Ψ. В этом случае полученное равенство позволяет определить обобщенное преобразование Лапласа как функционал над пространством Ψ: для любого ψ ∈ Ψ hϕ, f i =

hψ(−λ), Lf (λ)i = 2πhL−1 ψ, f i,

λ = b − iσ,

b > ω.

Равенство (3.3.9) на практике удобно применять в следующем виде:   +∞ b+i∞ b+i∞ Z Z Z 1 1 eλt ϕ(t) dt dλ. hL−1 ψ, f i = Lf (λ)Lϕ(−λ) dλ = Lf (λ)  2πi 2πi b−i∞

b−i∞

(3.3.9)

(3.3.10)

0

Полученное определение преобразования Лапласа согласуется с определением, введенным Фатторини в [49] для случая пространств Sω0 (X) всех распределений со значениями в пространстве X с носителем в [0; ∞) и таких, что «e−ωt »f (t) ∈ S 0 (X). В этом пространстве обобщенное преобразование Лапласа определяется как действие обобщенной функции f на основную функцию «e−λt »: (Lf )(λ) := hf (t), «e−λt »i,

Re λ > ω.

(3.3.11)

Здесь символом «e−λt » обозначена основная функция из пространства S, которую можно получить из обычной экспоненты, если положить ее равной нулю при t 6 c < 0 и сгладить на [c; 0] так, чтобы она стала бесконечно дифференцируемой на R. Для обобщенного преобразования Лапласа, как и для классического, при Re λ > ω справедливы следующие свойства: µ ¶ d d Lu(λ) = −L(tu(t)), L u(t) (λ) = λLu(λ), L[u ∗ v](λ) = LuLv. (3.3.12) dλ dt 3.4.

СТРУКТУРНЫЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Традиционно под структурными теоремами понимают теоремы о представлении обобщенных функций в виде результата действия оператора дифференцирования (конечного или бесконечного порядка) на некоторые непрерывные функций. Например, в D0 структурная теорема — это теорема о существовании локальной непрерывной первообразной конечного порядка, а в Sω0 — о существовании непрерывной первообразной конечного порядка на всей оси (см., например, [39]). В этом разделе мы приводим структурные теоремы для распределений и ультрараспределений. Кроме того, в этом разделе помещены теоремы, описывающие поведение во всей комплексной плоскости аналитических функций исходя из их поведения на действительной оси. Эти теоремы мы условно тоже называем «структурными теоремами» для аналитических функций. Структурная теорема в пространстве распределений Л. Шварца имеет следующий вид.

150

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

Теорема 3.4.1 (структурная теорема в D0 ). Пусть u ∈ D0 (X) и Ω — открытое ограниченное множество в R. Тогда найдутся непрерывная функция g : R → X и целое число m > 0 такие, что D E hϕ, ui = ϕ, g (m) (3.4.1) при всех ϕ ∈ D с носителем supp ϕ ⊂ Ω. Если u = 0 на (−∞; a), то g(t) = 0 при t < a. Для любого ограниченного множества B ⊂ D0 и любого открытого ограниченного множества Ω ⊂ R найдется m ∈ N, не зависящее от элементов множества B, при котором равенство (3.4.1) справедливо для всех элементов u ∈ B, и функции g равномерно ограничены на компактных множествах в R. Структурная теорема в пространстве экспоненциально ограниченных распределений S 0 (X) носит глобальный характер. Теорема 3.4.2 (структурная теорема в S 0 ). Для любого u ∈ S 0 (X) найдутся m ∈ N, r > 0 и непрерывная функция g : R → X такие, что hϕ, ui = hϕ, g (m) i,

ϕ ∈ S,

(3.4.2)

|t| → ∞.

(3.4.3)

и kg(t)k 6 C|t|r

при

Если u = 0 на (−∞, a), то g(t) = 0 при t < a. Для любого ограниченного множества B ⊂ S 0 найдется m ∈ N, не зависящее от элементов множества B, при котором равенство (3.4.2) справедливо для всех элементов u ∈ B, причем все функции g имеют одинаковый порядок роста r > 0 в условии (3.4.3). Структуру обобщенных функций с компактным носителем описывает следующая теорема. Теорема 3.4.3 (Пэли—Винер—Шварц, см. [8]). Если целая функция f (·) удовлетворяет условиям |f (z)| 6 C1 eb|z| , z ∈ C, |f (x)| 6 C2 (1 + |x|h ), x ∈ R, то ее преобразование Фурье fe является элементом D0 с носителем в [−b; b]. Более того, для любого ε > 0 можно указать интегрируемую функцию µ g(·) ¶ с носителем в [−b − ε; b + ε] и d g(σ). многочлен Pk (·) степени k 6 h + 1, для которых fe(σ) = Pk dσ В пространствах ультрараспределений, как и в пространствах распределений, имеют место структурные теоремы. ¡ ¢0 Теорема 3.4.4 (первая структурная теорема в D{Mq+1 } , см. [55]). (I) Пусть последовательность Mq удовлетворяет условиям (М.1) и (М.30 ). Для любо¡ ¢0 го u ∈ D{Mq+1 } можно указать такую последовательность интегрируемых функций un ∈ C 0 (R), что для любого относительно компактного множества G ⊂ R и любого B > 0 найдется C > 0 такое, что Bn kun kC 0 (G) 6 C , n ∈ N0 ; (3.4.4) Mn ¡ ¢0 при этом в D{Mq } имеет место равенство u|G =

∞ X

Dn un .

(3.4.5)

n=0

Обратно, если последовательность мер un ∈ C 0 (G) удовлетворяет (3.4.4), то ряд (3.4.5) ¡ ¢0 сходится абсолютно в D{Mq } . (II) Пусть последовательность Mq удовлетворяет условиям (M.1), (M.20 ) и (M.30 ). Тогда для ¡ ¢0 любого u ∈ D{Mq } можно указать такую последовательность интегрируемых функций un ∈ C 0 (R), что для любого относительно компактного множества G ⊂ R и любого B > 0

3.4. СТРУКТУРНЫЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

151

¡ ¢0 найдется C > 0 такое, что выполнены неравенства (3.4.4) и в D{Mq } имеет место равенство (3.4.5). ¡ ¢0 Множество N ограничено в D{Mq } тогда и только тогда, когда для любого компактного множества K ⊂ R и для любого B > 0 найдется C > 0, не зависящая от элементов множества u ∈ N , при которой все элементы множества B представимы в виде ряда (3.4.5), а меры un удовлетворяют оценке (3.4.4). ¡ ¢0 Теорема 3.4.5 (вторая структурная теорема в D{Mq+1 } , см. [55]). Предположим, что последовательность Mq удовлетворяет условиям (М.1), (M.2) и (М.3). В этом случае ³ ´0 u ∈ D{Mq+1 } тогда и только тогда, когда для любого относительно компактного открытого множества G ⊂ R существует ультрадифференциальный оператор P (D) и непрерывная на G функция f такие, что u|G = P (D)f. ¡ {M } ¢0 Множество N ограничено в D q тогда и только тогда, когда для любого относительно компактного открытого множества G ⊂ R можно указать ультрадифференциальный оператор P (D), не зависящий от элементов множества u ∈ N и функций g ∈ C(G), равномерно ограниченный по u ∈ N и такой, что справедливо (3.4.5). В главе 1 структурные теоремы используются при построении обобщенных по t решений задачи Коши с оператором A — генератором конволюционной полугруппы. Для частного случая конволюционных полугрупп — интегрированных полугрупп — полугруппа строится через обобщенное решение на основе структурных теорем. При этом в теореме 1.3.4 дано, по сути, конструктивное доказательство существования непрерывной первообразной. В главе 2 структурные теоремы используются при построении обобщенных по x решений в виде свертки непрерывной функции с производной (конечного порядка) от начального условия. Теорема 3.4.6. Если для целой функции f (·) выполнены условия p

|f (z)| 6 C1 eb|z| ,

h

z ∈ Cn ,

|f (x)| 6 C2 ea|x| ,

x ∈ Rn ,

и при этом 0 < h 6 p, a 6= 0, то для любого a0 > a существует область Hµ = {z = x + iy : |y| 6 K(1 + |x|)µ } ,

µ > 1 − (p − h),

K = K(b; a; a0 ),

в которой 0

h

|f (z)| 6 C3 ea |x| ,

z ∈ Hµ ,

где C3 = max{C1 ; C2 }. При этом если h < p и p — точный порядок роста функции f (·) или если h = p и a < 0, то µ 6 1. Теорема 3.4.7. Если для целой функции f (·) выполнены условия p

|f (z)| 6 C1 eb|z| ,

z ∈ Cn ,

|f (x)| 6 C2 (1 + |x|)h ,

x ∈ Rn ,

то существует область Hµ = {z = x + iy : |y| 6 K(1 + |x|)µ } ,

1 − p 6 µ 6 1,

K = K(b; h),

в которой |f (z)| 6 C3 (1 + |x|)h ,

z ∈ Hµ ,

где C3 = max{C1 ; C2 }. Теорема 3.4.8. Если целая функция f (·) удовлетворяет условию p

|f (z)| 6 C1 eb|z| ,

z ∈ Cn ,

и в некоторой области Hµ = {z = x + iy : |y| 6 K(1 + |x|)µ } (0 < µ 6 1) для нее справедлива оценка h |f (z)| 6 C2 ea|x| , z = x + iy

152

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ

(где h < p или h 6 p при a < 0), то при всех z = x + iy имеет место оценка h +b0 |y|p/µ

|f (z)| 6 C3 ea|x|

,

где C3 = max{C1 ; C2 }, b0 = b0 (b; a; K). Теорема 3.4.9. Если целая функция f (·) удовлетворяет условию p

|f (z)| 6 C1 eb|z| ,

z ∈ Cn ,

и в некоторой области Hµ = {z = x + iy : |y| 6 K(1 + |x|)µ } (0 < µ 6 1) для нее справедлива оценка |f (z)| 6 C2 (1 + |x|)h , то при всех z = x + iy имеет место оценка 0

|f (z)| 6 C3 (1 + |x|)h eb |y|

p/µ

,

где C3 = max{C1 ; C2 }, b0 = b0 (b; h; K). Теорема 3.4.10. Если целая функция f (·) удовлетворяет условию h +b0 |y|γ

|f (z)| 6 Cea|x|

,

h 6 γ,

z = x + iy ∈ Cn ,

то для ее производных на действительной оси выполняются оценки |q|(1− γ1 ) a1 |x|h

|f (q) (x)| 6 C1 B |q| |q|

e

,

q = (q1 , . . . , qn ),

qj ∈ N0 ,

где a1 = a + ε, ε > 0. Теорема 3.4.11. Если целая функция f (·) удовлетворяет в области Hµ = {z = x + iy : |y| 6 K(1 + |x|)µ },

µ 6 0,

условию h

|f (z)| 6 Cea|x| ,

z = x + iy ∈ Cn ,

то найдется такое число B > 0, B = B(a, µ), что для ее производных на действительной оси выполняются оценки µ

h

|f (q) (x)| 6 C1 B |q| |q||q|(1− h ) ea1 |x| ,

q = (q1 , . . . , qn ),

qj ∈ N0 ,

где a1 = a + ε, ε > 0, и того же знака, что и a. Теорема 3.4.12. Если целая функция f (·) удовлетворяет в области Hµ = {z = x + iy : |y| 6 K(1 + |x|)µ },

µ 6 0,

условию |f (z)| 6 C(1 + |x|)h ,

z = x + iy ∈ Cn ,

то найдется такое число B > 0, B = B(µ), что для ее производных на действительной оси выполняются оценки |f (q) (x)| 6 C1 B |q| |q||q| (1 + |x|)h−µq ,

q = (q1 , . . . , qn ),

qj ∈ N0 .

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

153

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. — Минск: изд-во «Университетское», 1984. — 351 c. 2. Ануфриева У. А. Исследование некорректных дифференциально-операторных задач полугрупповыми методами// Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Екатеринбург, 1999. — 88 с. 3. Ануфриева У. А. Полугруппы, связанные с системами, корректными по Петровскому// Spectral and evolution problems. Proc. of the Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School–Symposium, 18–29 Sept. 2004, Simferopol. — Simferopol, 2005. — 15. — С. 103–108. 4. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 384 с. 5. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов// Мат. сборник. — 2002. — 193, № 11. — С. 3–24. 6. Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарев C. И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения// Итоги науки и техники. Мат. анализ. — М.: ВИНИТИ, 1990. — 28. — C. 87–202. 7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Физматгиз, 1958. — 440 с. 8. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958. — 308 с. 9. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1958. — 276 с. 10. Земанян А. Г. Обобщенные интегральные преобразования. — М.: Мир, 1971. 11. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. 12. Иванов В. К., Мельникова И. В. Новые обобщенные функции и слабая корректность операторных задач// Докл. АН СССР. — 1991. — 317, № 1. — С. 22–26. 13. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. — 176 с. 14. Кеч В., Теодореску П. П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. — М.: Мир, 1978. 15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 496 с. 16. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с. 17. Крейн С. Г., Хазан М. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// Итоги науки и техники. Мат. анализ. — М.: ВИНИТИ, 1983. — 21. — С. 130–232. 18. Лаврентьев М. М. Условно корректные задачи для дифференциальных уравнений. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. — 71 с. 19. Латтес Р., Лионс Ж.–Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М.: Мир, 1970. — 336 с. 20. Любич Ю. И. Классическое и локальное преобразование Лапласа в абстрактной задаче Коши// Усп. мат. наук. — 1966. — 21, вып. 3 (129). — С. 3–51. 21. Мельникова И. В. Корректные и некорректные задачи для дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах// Дисс. докт. физ.-мат. наук. — Новосибирск, 1988. — 237 с. 22. Мельникова И. В. Свойства d-полугрупп Лионса и обобщенная корректность задачи Коши// Функциональный анализ и его приложения. — 1997. — 31, № 3. — С. 23–37. 23. Мельникова И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений// Сиб. мат. журнал — 2001. — 42, № 4. — С. 892–910. 24. Мельникова И. В. Полугрупповая регуляризация дифференциальных задач// Докл. АН. — 2003. — 393, № 6. — C. 1–5. 25. Мельникова И. В., Альшанский М. А. Корректность задачи Коши в банаховом пространстве: регулярный и вырожденный случаи// Итоги науки и техники. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обзоры. Анализ-9. — М.: ВИНИТИ, 1995. — 27. — С. 5–64. 26. Мельникова И. В., Бочкарева С. В. C-полугруппы и регуляризация некорректной задачи Коши// Докл. АН. — 1993. — 329, № 3. — С. 270–273. 27. Мельникова И. В., Филинков А. И. Интегрированные полугруппы и C-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач// Усп. мат. наук. — 1994. — 49, № 6. — С. 111– 150. 28. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1977. — 504 с.

154

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977. — 357 с. 30. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. — М.: Мир, 1978. — 395 с. 31. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. — М.: Мир, 1982. — 488 с. 32. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. 2. — М.: Мир, 1984. — 381 с. 33. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1967. — 260 с. 34. Соболевский П. Е. О полугруппах роста α// Докл. АН СССР. — 1971. — 196, № 3. — С. 535–537. 35. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 288 с. 36. Arendt W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems// Israel J. Math. — 1987. — 59, № 3. — C. 327–352. 37. Arendt W., El–Mennaoui O., Keyantuo V. Local integrated semigroups: evolution with jumps of regularity// J. Math. Anal. Appl. — 1994. — 186, № 2. — C. 572–595. 38. Arendt W., Batty Ch., et al. Vector-valued Laplace transform and Cauchy problems. — Basel—Boston— Berlin: Birkhauser Verlag, 2001. 39. Bremermann H. Distributions, complex variables and Fourier transforms. — Addison—Wesley, 1965. 40. Chazarain J. Problemes de Cauchy au sens des distributions vectorielles et applications// C. R. Acad. Sci. Paris. — 1968. — 266. — C. 10–13. 41. Chazarain J. Problemes de Cauchy abstraits et applications а quelques problemes mixtes// J. Funct. Anal. — 1971. — 7, № 3. — C. 386–446. 42. Cioranescu I., Lumer G. Regularization of evolution equations via kernels K(t), K-evolution operators and convoluted semigroups, generation theorems// Seminar Notes in Func. Anal. and PDEs, 1993–1994. — Louisiana State Univ., Baton Rouge, 1994. — C. 45–52. 43. Cioranescu I. Local convoluted semigroups// Evolution Equations (Baton Rouge, LA, 1992). — C. 107–122. Lecture Notes in Pure and Appl. Math.; 168. — Marcel Dekker, New York, 1995. 44. Davis E. B., Pang M. M. The Cauchy problem and a generalization of the Hille—Yosida theorem// Proc. London Math. Soc. — 1987. — 55. — C. 181–208. 45. Da Prato G. Semigruppi regolarizzabili// Ricerche Mat. — 1966. — 15. — C. 223–248. 46. Desin A. A. Partial differential equations: an introduction to a general theory of linear boundary value problems. — Berlin—New York: Springer–Verlag, 1987. 47. De Laubenfels R. Existence families, functional calculi and evolution equations. — Berlin—New York: Springer Verlag, 1994. 48. Engel K.–J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. — Graduate Texts in Math.; 194. — Berlin—New York: Springer Verlag, 1999. 49. Fattorini H. O. The Cauchy problem. — Addison—Wesley, 1983. — 636 c. (Encycl. Math. and Appl., 18.) 50. Goldstein J. A. Semigroups of linear operators and applications. — Oxford—New York, 1985. 51. Hille E., Phillips R. S. Functional analysis and semi-groups. — Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 1957. — 31. — 810 c. 52. Kaminski A., Kovacevic D., Pilipovic S. The equivalence of various definitions of the convolution of ultradistributions// Proc. Steklov Inst. Math. — 1994. — 203. — C. 307–322. 53. Kato T. Pertubation theory for linear operators. — Berlin: Springer, 1980. — 619 c. 54. Kellermann H., Hieber M. Integrated semigroups// Func. Anal. — 1989. — 84. — C. 160–180. 55. Komatsu H. Ultradistributions, I. Structure theorems and characterization// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. — 1973. — 20, № 1. — C. 25–106. 56. Lions J.–L. Les semi–groupes distributions// Portug. math. — 1960. — 19, № 3-4. — C. 141–161. 57. Lyzik G. On extendible ultradistributions// Bull. Pol. Acad. Sci. Math. — 1995. — 43, № 1. — C. 29–40. 58. Mandelbrojt S. Fonctions enti`eres et transform´ees de Fourier. Applications// Publ. Math. Soc. Japan. Tokyo. — 1967. — № 10. 59. Markin M. V. On the ultradifferentiability of weak solutions of a first-order operator-differential equation in a Hlibert space// Dokl. National AN Ukr. — 1996. — № 6. — C. 22–26. 60. Melnikova I. V. General theory of ill-posed Cauchy problem// J. Inverse Ill-Posed Probl. — 1995. — 2, № 2. 61. Melnikova I. V. Well-posedness of differential-operator problems I: the Cauchy problem in spaces of distributions// J. Math. Sci. — Plenum Press, 1998. 62. Melnikova I. V. Semigroup regularization for ill-posed Cauchy problems// Proc. of the Second International Conference “Semigroup of operators: theory and applications”, 10–14 Sept. 2001, Rio de Janeiro. — 2002. — C. 189–199.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

155

63. Melnikova I. V. About regularization in a broad sense// Spectral and evolution problems. Proc. of the Forthteen Crimean Autumn Mathematical School–Symposium, 18–29 Sept. 2003, Simferopol. — Simferopol, 2005. — 15. — C. 192-203. 64. Melnikova I. V., Anufrieva U. A., Filinkov A. I. Laplace transform of K-semigroups and well-posedness of the Cauchy problems// J. Int. Trans. Spec. Funct. — 1999. — 8, № 1-2. — C. 1–20. 65. Melnikova I. V., Filinkov A. I. The Cauchy problem: three approaches. — Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 120. — London—New York: Chapman & Hall/CRC, 2001. 66. Melnikova I. V., Zheng Q., Zhang J. Regularization of weakly ill-posed Cauchy problems// J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2002. — 10, № 5. 67. Miyadera I., Tanaka N. Exponential R-semigroups and generation of semigroups// J. Math. Analysis Appl. — 1989. — № 2. — C. 358–365. 68. Neubrander F. Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem// Pacific J. Math. — 1988. — 135, № 1. — C. 111–155. 69. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. — Berlin—New York: Springer Verlag, 1983. 70. Philipovicˇ S. Generalization of Zemanian spaces of generalized functions which have orthonormal series expansions// SIAM, J. Math. Anal. — 1986. — 17. — C. 477–484. 71. Phillips R.S. Inversion formula for Laplace transforms and semi-groups of linear operators// Annals Math. — 1954. — 59. — C. 325–356. 72. Schwartz L. Th´eorie des distriutions a` valeurs vectorielles, 1-ere partie// Annales Inst. Fourier. — 1957. — 7. — C. 1–144. 73. Schwartz L. Th´eorie des distriutions a` valeurs vectorielles, 2-ere partie// Annales Inst. Fourier. — 1958. — 8. — C. 1–207. 74. Sova M. Cosine operator functions// Rozpr. math. — 1966. — 49. — C. 1–47. 75. Tanaka N., Miyadera I. Some remarks on C-semigroups and integrated semigroups// Proc. Japan Academy. — 1987. — 63, № 5. — C. 139–142. 76. Tanaka N., Okazawa N. Local C-semigroups and local integrated semigroups// Proc. London Math. Soc. — 1990. — 61, № 3. — C. 63–90. 77. Widder D. V. An introduction to Laplace transform theory. — New York: Academic Press, 1971. 78. Yosida K. Functional analysis. — Berlin—New York: Springer Verlag, 1980. 79. Zaidman S. Functional analysis and differential equations in abstract spaces. — Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 100. — Boca Raton—London—New York: Chapman & Hall/CRC, 1999.

156

ПРЕДМЕТНЫЙ

ПРЕДМЕТНЫЙ R-полугруппа, 40 R-резольвента асимптотическая, 41 Генератор полугруппы, 15, 22 семейства, 28, 35 инфинитезимальный, 11, 18, 35, 40 инфинитезимальный полный, 40 косинус-функций, 114 Задача Коши R-корректная, 41 n-корректная, 31 корректная в пространстве абстрактных обобщенных функций, 46 равномерно (n, ω)-корректная, 26 равномерно корректная на множестве, 11 Класс A, 18 C1 , 18 Корни системы характеристические, 82 Метод вспомогательных граничных условий, 72 квазиобращения, 72 Мультипликатор, 139 Нормы согласованные, 127 Носитель абстрактной обобщенной функции, 44 Оператор инфинитезимальный, 18 регуляризующий, 68 Параметр регуляризации, 68 Погрешность начальных данных, 68 Полугруппа K-конволюционная, 35 R-регуляризованная, 43 n раз интегрированная экспоненциально ограниченная, 21, 28 класса (0, A), 18 класса (0, C1 ), 18 класса (1, A), 18 класса (1, C1 ), 18 класса C0 , 11, 16 локальная, 36, 40, 43 локальная n раз интегрированная, 28, 34 невырожденная, 21, 28, 34, 36 регуляризованная, 43 роста α, 20

УКАЗАТЕЛЬ

УКАЗАТЕЛЬ

сильно непрерывная, 18 экспоненциально ограниченная, 35, 40, 43 Порядок роста функции точный степенной, 82 системы приведенный, 82 Предел пространств строгий индуктивный, 128 Преобразование Фурье обобщенной функции, 144 обратное, 145 Пространство W Ω , 137 WM , 136 Ω , 138 WM Z, 131 S, 134 S β , 132 Sα , 129 Sαβ , 133 D{Mq } , 135 Л. Шварца D, 127 абстрактных обобщенных функций Φ0 (X), 44 с непрерывным сдвигом, 143 совершенное, 127 счетно-нормированное, 127 Решение обобщенной задачи Коши, 46 Семейство косинус-функций, 114 синус-функций, 114 Свертыватель, 44, 143 Свертка, 44, 143 Системы гиперболические, 89 корректные по Петровскому, 89 некорректные, 89 параболические, 89 условно корректные, 89 Сходимость в пространстве Φ0 (X), 44 Теорема МФФХИ, 7 Топология индуктивного предела, 128 в счетно-нормированном пространстве, 127 Функции двойственные по Юнгу, 146 обобщенные экспоненциального роста, 90 Функция последовательности ассоциированная, 135

Ульяна Алексеевна Ануфриева Уральский государственный университет, математико-механический факультет, кафедра математического анализа и теории функций E-mail: [email protected] Ирина Валерьяновна Мельникова Уральский государственный университет, математико-механический факультет, кафедра математического анализа и теории функций E-mail: [email protected]