Нелинейные эффекты в оптоволоконных системах: Учебное пособие для вузов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.Г. Клюев

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТОВОЛОКОННЫХ СИСТЕМАХ

Учебное пособие для вузов

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2008

Утверждено научно-методическим советом физического факультета 19 ноября 2008 г., протокол № 4

Рецензент профессор кафедры электроники Г.С. Нахмансон

Учебное пособие подготовлено на кафедре оптики и спектроскопии физического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 4––6 курсов физического факультета.

Для направления 010700 –– Физика Для специальности 0107001 –– Физика

Содержание Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Краткая историческая справка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. ОСНОВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДАХ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Вынужденное комбинационное рассеяние света (ВКР). . . . . . 8 1.2. Вынужденное комбинационное рассеяние Мандельштамма-Бриллюэна (ВКРМБ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Четырехфотонное смешение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Самовоздействие световых импульсов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.5. Уравнения Максвелла в нелинейной среде. . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.6. Модель ангармонического осциллятора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ. . . . . . . 16 2.1. Основы общей теории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2. Экспериментальные результаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.3. Распространение короткого импульса в оптическом волокне. . . .21 3. СВЕРХКОРОТКИЕ ЛАЗЕРНЫЕ ИМПУЛЬСЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. Световые пакеты в волоконных световодах. . . . . . . . . . . . . . . . .29 3.2. Самовоздействие световых импульсов: самомодуляция, самосжатие, солитоны и неустойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1. Физика самовоздействий; нелинейность показателя преломления; преобразование амплитудной модуляции в фазовую. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.2. Стационарные импульсы – солитонный режим распространения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 3.3. Вынужденное комбинационное рассеяние сверхкоротких импульсов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 3.4. Оптические солитоны в информационных системах. . . . . . . . . 46 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

Физика была бы скучна, а жизнь совершенно невозможна, если бы все физические явления вокруг нас были линейными. К счастью, мы живем в нелинейном мире, и если линеаризация украшает физику, то нелинейность делает ее захватывающей.

И.Р. Шен Введение Развитие квантовой электроники привело к созданию лазеров — генераторов монохроматического излучения в оптическом диапазоне, а это произвело революцию в оптике и спектроскопии, так как до этого в оптическом диапазоне в отличие от радиодиапазона не было источников монохроматического излучения. Благодаря лазерам появились новые направления в науке и технике. Одно из направлений — использование световых волн для передачи информации. В этом случае можно по одному каналу передавать большой объем информации. Для реализации этой возможности пришлось провести большой объем исследовательских работ, чтобы выбрать перспективную передающую среду. Оказалось, что решить эту задачу можно с помощью диэлектрических волоконных световодов. В настоящее время это направление успешно развивается, работает большое количество волоконно-оптических линий связи во многих странах мира и практически доказано несомненное их преимущество перед обычными кабельными линиями связи. Однако исследования волоконных световодов и их возможных применений не только для связи, но и для различных областей науки и техники продолжают интенсивно развиваться. Для того чтобы определить возможности таких световодов, необходимо, в частности, знать, какими явлениями сопровождается распространение волн в световодах. Мы остановимся на нелинейных процессах, которые имеют место в волоконных световодах. Как известно, световод состоит из сердцевины и оболочки, причем для того, чтобы волна могла распространяться в таком световоде, показатель преломления оболочки должен быть меньше показателя преломления сердцевины. Если размеры сердцевины велики, то в таком световоде будет распространяться много типов волн. Однако при уменьшении диаметра сердцевины останется только одни тип волны и тогда говорят, что такой световод является одномодовым. Такой тип световода является наиболее перспективным для решения многих практических задач. Поэтому мы уделим основное внимание одномодовым световодам. Ясно, что размер сердцевины одномодового световода зависит от длины волны, которая распространяется в нем и этот размер растет с длиной волны. В настоящее время одномодовые световоды имеют размер сердцевины ~ 10 мкм, и так как энергия волны сосредоточена в основном в сердцевине, то при пропускании через такой световод излучения мощностью 1 Вт плотность излучения в нем будет ~ 1 МВт·см –2. 4

Ввиду того что световоды обладают малым затуханием ~ 1 дБ·км –1 и меньше, в ближней ИК-области спектра можно брать сравнительно большие длины световодов, в которых затуханием можно пренебречь. Эти два обстоятельства позволяют не только легко изучать нелинейные явления в световодах, но и использовать их для решения ряда задач. Краткая историческая справка Старт нелинейной оптики был бурным. Рождение нелинейной оптики было ознаменовано экспериментом по генерации второй гармоники, выполненным Франкеном в 1961 г. В этом эксперименте луч рубинового лазера с длиной волны 694,2 нм пропускался через кристалл кварца; при этом на выходе из кристалла наблюдалось УФ излучение на длине волны 347,1 нм. Идея Франкена была простой. Генерация гармоник электромагнитных волн на низких частотах была известна давно. Генерация гармоник волн оптического диапазона подчиняется тем же законам и, значит, также должна наблюдаться. Однако обычный источник света слишком слаб для осуществления подобного эксперимента. В общем случае для наблюдения нелинейного отклика среды требуются поля напряженностью порядка 1 кВ/см. Эта величина соответствует интенсивности света около 2,5 кВт/см2. Отсюда следует, что для наблюдения генерации оптических гармоник необходимо лазерное излучение. Генерация второй гармоники была первым наблюденным нелинейным оптическим эффектом, при котором падающее на среду когерентное излучение вызывает генерацию когерентного излучения на выходе. А уже в 1963 г. удалось создать эффективные генераторы оптических гармоник; этим было положено начало прикладной нелинейной оптики. Быстро развивались физические исследования. B 1961 г. зарегистрировано двухфотонное поглощение. В 1962—1963 гг. обнаружено и объяснено явление вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) — открытие, кардинально изменившее облик физики рассеяния света. Можно указать по крайней мере четыре крупных раздела нелинейной оптики, четыре направления, в которых получены важные фундаментальные и прикладные результаты, — направления, где и по сей день сохраняется высокий тонус исследований и разработок. 1. Физика оптической нелинейности и нелинейная спектроскопия. Динамика атомов, молекул, конденсированной среды, возбуждаемых световым полем, принципиально нелинейна. Современная нелинейная оптика сталкивается с захватывающе разнообразными проявлениями нелинейного отклика различных сред; в повестке дня и прямые эксперименты по регистрации поляризации вакуума в сверхсильных световых полях. Спектроскопические методы, основанные на изучении нели5

нейных свойств вещества, оказались поистине универсальными, позволили решать задачи, ранее вообще недоступные оптической технике. 2. Волновая нелинейная оптика. Нелинейность отклика приводит к взаимовлиянию, в том числе к сильному энергообмену волн с существенно различными частотами и волновыми векторами (волновым взаимодействиям), нелинейным изменениям частотного и углового спектров квазимонохроматических, квазиплоских волн (самовоздействиям). В процессе взаимодействий и самовоздействий нелинейным образом изменяется, вообще говоря, и поляризация волн — возникают поляризационные нелинейные эффекты. Многообразные волновые взаимодействия и самовоздействия фактически определяют главные черты поведения мощных лазерных пучков в материальной среде, приводят к генерации световых полей, не имеющих даже отдаленных аналогов в линейной оптике (движущиеся структуры, оптическая турбулентность и т. п.). 3. Физика воздействия сильного светового поля на вещество. Нелинейный отклик среды, нелинейные оптические явления играют важную, а зачастую и решающую роль в механизмах лазерного возбуждения и релаксации сильно неравновесных состояний в атомах, молекулах и конденсированных средах. На использовании оптической нелинейности базируются и уникальные по быстродействию (временное разрешение достигает 10-15 с) и спектральному разрешению методы лазерной диагностики неравновесных состояний, быстрых превращений в веществе. 4. Прикладная нелинейная оптика. Преобразование частотного и углового спектров, быстрое управление амплитудой и фазой световых волн, являющиеся следствием нелинейных взаимодействий и самовоздействий, лежат в основе действия широкого класса нелинейно-оптических устройств. В арсенале современной прикладной нелинейной оптики, помимо уже традиционных преобразователей частоты и параметрических генераторов (теперь они перекрывают диапазон от субмиллиметров до далекого вакуумного ультрафиолета), системы нелинейной адаптивной оптики, эффективные компрессоры сверхкоротких световых импульсов, бистабильные и мультистабильные элементы быстродействующих оптических процессоров. Речь идет, таким образом, о весьма широком спектре проблем, многие из которых далеко выходят за рамки физической и прикладной оптики в их традиционном понимании, тесно переплетаются с задачами атомной и молекулярной физики, физики твердого тела, электроники, микро- и нанотехнологии. 6

1. ОСНОВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДАХ Прежде чем рассмотреть нелинейные процессы, которые происходят в световодах, кратко остановимся на некоторых особенностях распространения световых волн малой интенсивности, когда нелинейными процессами можно пренебречь. В начальный период разработки волоконных световодов основное внимание было уделено изучению механизмов затухания в них и реализации минимальных потерь. Здесь достигнуты значительные успехи и уже изготавливаются световоды с затуханием несколько долей децибел на километр на основе кварцевого стекла в области длин волн 1,3—1,5 мкм, что позволяет создавать линии связи без ретрансляции на расстоянии по крайней мере в десятки километров. Не менее важным вопросом является возможность передачи по такой линии связи большого объема информации. Эта задача не является простой. Дело в том, что световой импульс, распространяясь по световоду, уширяется, что, конечно, ограничивает объем передаваемой информации. Уширение импульса связано с зависимостью групповой скорости от частоты и вызывается следующими причинами: 1) различной скоростью распространения отдельных типов волн в световоде; это имеет место, когда используется многомодовый световод, где распространяются различные типы волн и каждый тип волны обладает своей групповой скоростью, т. е. имеет место межмодовая дисперсия; 2) внутримодовой дисперсией, связанной с зависимостью групповой скорости от частоты для данной моды; так как световой импульс занимает определенную полосу частот, то каждая спектральная компонента имеет свою групповую скорость; 3) материальной дисперсией; в этом случае она обусловлена тем, что показатель преломления среды зависит от частоты. Таким образом, для одномодовых световодов дисперсия определяется как внутримодовой, так и материальной дисперсией. Заметим, что материальная дисперсия световодов на основе кварцевого стекла обращается в нуль в области длин волн вблизи 1,3 мкм. Величина внутримодовой дисперсии для данной длины волны зависит как от диаметра сердцевины, так и от распределения показателя преломления по сечению сердцевины. Для некоторого класса распределения показателя преломления, в частности, для ступенчатого световода, внутримодовая дисперсия обращается в нуль для некоторой длины волны. Можно подобрать такие условия, когда материальная и внутримодовая дисперсия компенсируют друг друга. В этих условиях короткий по вре7

мени импульс будет распространяться по световоду без заметного уширения, что позволяет передавать большие объемы информации на большие расстояния без использования ретрансляторов. Дисперсия определяется формулой 2πc ∂ 2 k , (1) D=− 2 λ ∂ω2 где k — волновой вектор световой волны в световоде. Величина дисперсии равна нулю, если ∂ 2 k / ∂ω 2 = 0 К основным нелинейным явлениям в световодах можно отнести следующие. 1.1. Вынужденное комбинационное рассеяние света (ВКР) ВКР — рассеяние света на индуцированных самой световой рассеиваемой волной элементарных возбуждениях среды (оптических и акустических, фононах, магнонах, электронах, температурных волнах и т.п.). Причиной ВКР является обратное воздействие световых волн на рассеивающую среду, обусловленное ее оптической нелинейностью. ВКР так же, как и спонтанное, связано с модуляцией параметров среды (например, электронной поляризуемости, показателя преломления и т.п.) при ее возбуждении светом, что приводит к амплитудной модуляции рассеянного света и появлению стоксовой νс и антистоксовой νac спектральных компонент. Однако в отличие от спонтанного рассеяния света при ВКР происходит взаимодействие излучения накачки и рассеянного света через среду. Поэтому элементарные возбуждения становятся когерентными. Наиболее характерные признаки ВКР — это резкое возрастание интенсивности и сужение диаграмм направленности обеих компонент. В случае ВКР интенсивности рассеянных компонент сравнимы с интенсивностью излучения накачки (при спонтанном рассеянии они составляют ~ 10-5÷10-6 интенсивности рассеиваемой волны). 1.2. Вынужденное комбинационное рассеяние МандельштамаБриллюэна (ВКРМБ) ВКРМБ – рассеяние света на адиабатических флуктуациях плотности конденсированных сред, сопровождающееся изменением частоты. В спектре ВКРМБ монохроматического света наблюдаются дискретные, расположенные симметрично относительно частоты возбуждающего света спектральные компоненты. Адиабатические флуктуации плотности можно рассматривать как результат интерференции распространяющихся в среде по всевозможным направлениям упругих волн различной частоты со случайными фазами и амплитудами. Плоская световая волна, распространяющаяся в такой среде, дифрагирует (рассеивается) во всех направлениях на этих упругих 8

волнах, модулирующих диэлектрическую проницаемость среды. Каждая из упругих волн создает периодическую решетку, на которой и происходит дифракция света аналогично дифракции света на ультразвуке. Поскольку каждой упругой волне, распространяющейся в некотором направлении со скоростью v, соответствует волна той же частоты, бегущая навстречу, можно считать, что в среде имеются стоячие упругие волны, временнόе изменение плотности в которых с частотой f=v/Λ вызывает модуляцию рассеянного света (Λ-длина упругой волны, на которой происходит рассеяние света). Следовательно, в рассеянном свете появятся дискретные компоненты с частотами ν±Δν (стоксова и антистоксова), где Δν=f. Поскольку f=Δν << ν, смещение частоты при ВКРМБ относительно невелико Δν/ν ~ 2v/c ~ 10-5÷10-6. В твердом аморфном теле наблюдается 4 компоненты, 2 из которых вызваны продольными и 2 – поперечными гиперзвуковыми волнами. В кристалле вследствие анизотропии скоростей распространения гиперзвука должно наблюдаться 24 компоненты ВКРМБ. При обычных (нелазерных) источниках света световая волна не влияет на состояние среды, и вызывающие рассеяние упругие волны обусловлены только тепловым движением молекул. Такое рассеяние называется тепловым. Когда интенсивность световой волны достигает величины ~ 106 ÷ 108 В/см (сравнима с полем атома), развивается процесс ВКРМБ. В этом случае бегущая интерференционная картина электрических полей возбуждающей и рассеянной световых волн усиливает те упругие волны, которые вызвали первоначальное тепловое рассеяние. Механизм усиления обусловлен силами электрострикции, которые втягивают вещество в места с бόльшим локальным значением напряженности электрического поля и таким образом усиливают упругие волны. Рост амплитуды упругих волн приводит к соответствующему увеличению эффективности рассеяния, а это, в свою очередь усиливает упругие волны. В результате интенсивность рассеянной волны нелинейно растет по мере распространения в среде. В процессе ВКРМБ возникает интенсивный гиперзвук, верхняя граница частоты которого для твердого тела ~ 105 МГц. 1.3. Четырехфотонное смешение Несомненный интерес представляют четырехфотонные параметрические процессы. В этом взаимодействии два кванта мощной накачки частоты v Н распадаются на «стоксову» v С и «антистоксову» v ас компоненты. Для такого процесса необходимо выполнение фазового синхронизма 2K н = K c + K ac . Четырехфотонное взаимодействие можно наблюдать как в одномодовом, так и в многомодовом световодах. В многомодовых световодах 9

межмодовая дисперсия позволяет скомпенсировать материальную дисперсию в довольно широком спектральном интервале. Вынужденные четырехфотонные процессы в маломодовых волоконных световодах при соблюдении условия фазового синхронизма впервые наблюдались при возбуждении световода излучением неодимового лазера в 1975 году Р. Столеном. При этом частотные сдвиги Δν были менее 400 см–1. Позднее наблюдались вынужденные четырехфотонные процессы с частотными сдвигами в несколько тысяч см–1 как в многомодовых градиентных, так и маломодовых световодах. Использование четырехволновых процессов в световоде позволяет создавать эффективные перестраиваемые параметрические генераторы, в том числе пикосекундных и фемтосекундных импульсов. Четырехфотонные процессы можно использовать для измерения параметров световодов (постоянные распространения мод, эллиптичность сердцевины и др.). 1.4. Самовоздействие световых импульсов Рассмотрим случай, когда показатель преломления среды зависит от интенсивности световых импульсов. Такая зависимость приводит к фазовой самомодуляции. Зависимость показателя преломления от интенсивности дастся следующей формулой: n=no + n1I. Если волна в световоде распространяется по оси z, тогда фаза записывается в виде Ф = ωt - kz. Если показатель преломления зависит от времени, то и величина волнового вектора также зависит от времени и, следовательно, появится фазовая модуляция. Мгновенная частота ∂Φ ∂k 2π ∂I ω( t ) = = ω0 − z или ω( t ) − ω0 = − zn1 . ∂t ∂t ∂t λ Таким образом, в результате такого самовоздействия светового импульса происходит уширение его спектра. Если n1>0, а дисперсия D>0, то световой импульс при своем распространении будет сжиматься, так как нарастающая во времени передняя часть импульса будет иметь меньшую частоту и, следовательно, меньшую групповую скорость. Возможное сужение импульса определяется шириной спектра, которая получается в результате такого самовоздействия. Максимально возможное сужение дается известным соотношением Δω·τ~1. Надо иметь в виду, что минимальная ширина импульса получается на определенных расстояниях, когда соотношения фаз между отдельными спектральными компонентами оптимальны. Поэтому при дальнейшем распространении импульс снова будет уширяться. Этот метод используется для получения коротких из более длинных по времени импульсов.

10

Иногда используют световоды только для уширения спектра, а сужение импульса достигается не при дальнейшем распространении его в световоде, а производится с помощью внешних дисперсионных элементов. Если мы работаем в области нормальной дисперсии, т.е. D>0 или 2 ∂ k > 0 , то световой импульс при n1 >0 будет расплываться, а это будет ∂ω2 ограничивать объем передаваемой информации по световоду. Опыты по уширению спектра импульсов были проделаны в 1978 г. Световой импульс длительностью t=100 пс и мощностью 3 Вт на волне 1,06 мкм пропускался по световоду длиной 100 м и диаметром сердцевины 3,35 мкм. Спектр импульса уширялся в 10 раз. Заметим, что с помощью таких опытов можно определить n1 с хорошей точностью. Вернемся к световодам в качестве каналов для передачи больших объемов информации. Это очень важный вопрос, так как существующие системы далеко не используют те возможности, которые в принципе дает оптическая связь. В начальный период развития волоконных световодов основное внимание было обращено на получение малых потерь и здесь был достигнут большой прогресс. Волоконные световоды из кварцевого стекла имеют величину потерь, равную долям децибела на километр в области длин воли 1,3—1,5 мкм. Это позволяет передавать информацию на расстояние в десятки километров. Однако выяснилось, что дисперсия ограничивает объем передаваемой информации из-за сильного уширения коротких импульсов. Поэтому в настоящее время обращено значительное внимание на устранение этого вредного эффекта. Имеются конкретные пути решения этой проблемы. Однако это заставит нас вернуться к вопросу дальнейшего уменьшения затухания в световодах, так как это будет являться узким местом для создания систем связи для передачи информации большой емкости на расстояние сотен километров без ретрансляторов. Вернемся к проблеме уменьшения влияния дисперсии на передаваемый объем информации. Имеются две возможности. Вопервых, можно работать в области, где суммарная дисперсия мала, т.е. материальная и волноводная дисперсия компенсируют друг друга. Это является хорошим способом значительного увеличения передаваемого объема информации. Во-вторых, можно использовать фазовую самомодуляцию, о которой уже говорилось выше. Наибольший интерес представляет возможность использования солитонного режима, когда световой импульс может распространяться без изменения формы и периодически менять свою форму в процессе распространения по световоду. 11

Солитон (от лат. solus — один) — локализованное стационарное или стационарное в среднем возмущение однородной или пространственнопериодической нелинейной среды. Солитон характеризуется следующими свойствами: локализован в конечной области; распространяется без деформации, перенося энергию, импульс, момент импульса; сохраняет свою структуру при взаимодействии с другими такими же солитонами. Перейдем к рассмотрению нелинейных явлений в световодах более подробно. Заметим, что наибольшее распространение получили световоды, в которых сердцевина изготавливается из кварцевого стекла. Генерация второй гармоники была первым наблюденным нелинейным оптическим эффектом, при котором падающее на среду когерентное излучение вызывает генерацию когерентного излучения на выходе. Между тем нелинейная оптика охватывает гораздо более широкий круг явлений. В общем случае ее предметом является нелинейное взаимодействие света с веществом, включая такие процессы, как индуцированные светом изменения оптических свойств среды. Но тогда генерацию второй гармоники уже нельзя считать первым из наблюденных нелинейных оптических эффектов. Процесс оптической накачки, несомненно, также относится к нелинейным оптическим явлениям; следует подчеркнуть, что он был хорошо известен задолго до появления лазеров. Резонансное возбуждение при оптической накачке вызывает перераспределение населенностей энергетических уровней среды и изменяет при этом ее свойства. Благодаря резонансному характеру возбуждения достаточно даже слабого света, чтобы вызвать сильное возмущение материальной системы. Это обстоятельство делает эффект легко обнаружимым. В первых экспериментах по оптической накачке в атомарных системах использовались маломощные непрерывные лампы на парах атомов. Оптическая накачка является также одним из наиболее эффективных способов создания инверсной населенности в лазерах. Однако для всестороннего исследования нелинейных оптических эффектов необходимы лазеры. После 1961 г. было открыто множество нелинейных оптических явлений. Они не только сильно обогатили наши знания о взаимодействии света с веществом, но и вызвали революционные изменения в оптической технологии. Каждый нелинейный оптический процесс можно представить себе состоящим из двух этапов; сначала свет большой интенсивности вызывает нелинейный отклик среды, а затем эта реакция среды, в свою очередь, нелинейным образом изменяет оптические поля. Первый этап описывается материальными уравнениями, второй — уравнениями Максвелла. Может возникнуть вопрос, все ли среды нелинейны? Ответ на этот вопрос положителен. Даже в вакууме фотоны могут взаимодействовать через посредство поляризации вакуума. Эта нелинейность, однако, на12

столько мала, что с имеющимися на сегодняшний день источниками света рассеяние фотонов на фотонах и другие нелинейные эффекты в вакууме все еще трудно наблюдать. Поэтому практически вакуум можно считать линейной средой. В газообразных и конденсированных средах нелинейность сильно возрастает благодаря взаимодействию света с веществом. Фотоны могут теперь взаимодействовать гораздо эффективнее благодаря поляризации среды. 1.5. Уравнения Максвелла в нелинейной среде Электромагнитные явления описываются уравнениями Максвелла для электрического и магнитного полей Е (r, t) и В (r, t): r r r r r r 1 ∂E 4π r r r r r 1 ∂B ∇×E = − , ∇×B= + J, ∇ ⋅ B = 0 , (1.1) ∇ ⋅ E = 4πρ , c ∂t c ∂t c где J(r, t) и ρ(r, t)—плотности тока и заряда соответственно. Они связаны между собой законом сохранения заряда r r ∂ρ ∇⋅J + =0 (1.2) ∂t Часто J и ρ можно разложить в ряд по мультиполям: r r r r r ∂ r r ∂P J = J0 + + c ⋅ ∇ × M + (∇ ⋅ Q) + ..., ∂t ∂t r r r r r ρ = ρ 0 − ∇ ⋅ P − ∇ (∇ ⋅ Q ) = ... (1.3) Здесь Р, М, Q, ... — электрическая поляризация, намагничение, электрический квадрупольный момент и т. д. Однако, как отмечают Ландау и Лифшиц, в оптическом диапазоне разложение J и ρ  в ряд по мультиполям некорректно, так как в этом случае обычные определения мультиполей теряют смысл. Во многих случаях, например в металлах и полупроводниках, более удобно непосредственно использовать J и ρ в качестве источников в уравнениях Максвелла либо использовать обоб~r щенную электрическую поляризацию P , определяемую уравнением ~r r r ∂P J = J0 + , (1.4) ∂t где J0 — плотность постоянного тока. В других случаях можно пренебречь магнитодипольным членом и мультиполями более высокого поряд~r ка. В этом случае обобщенная поляризация P сводится к обычной элек~r трической дипольной поляризации Р. Различие P и Р состоит в том, ~r что P является нелокальной функцией поля, а Р — локальной. Ниже мы будем считать справедливым электрическое дипольное приближение: ~r P = Р. 13

С учетом (1.2) и (1.4) уравнения Максвелла принимают вид r r r r r 1∂ r ~r 1 ∂B 4π r ∇×E =− , ∇×B= (E + 4πP ) + J0 , c ∂t c ∂t c r r ~r r r ∇ ⋅ (E + 4πP ) = 0, ∇ ⋅ B = 0, (1.5) ~r где поляризация P является теперь единственным зависящим от време~r ни источником. В общем случае P является функцией поля Е, которая полностью описывает отклик среды на действие поля. Выражение для этой функции часто называют материальным уравнением. Таким образом, если бы мы могли записать материальное уравнение и найти решение получающихся при этом уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями, то все оптические явления можно было бы легко понять и предсказать. К сожалению, на практике это редко удается сделать. Чтобы получить решение уравнений, приходится прибегать к различным разумным с точки зрения физики приближениям. Именно здесь и вступает в игру физика явлений. ~r Поляризация P обычно является сложной нелинейной функцией Е. ~r В линейном случае P принимает простой вид ∞ ~r r r r r r P ( r , t ) = ∫ χ (1) ( r − r ′, t − t ′) ⋅ E(r ′, t ′)d r ′dt ′, (1.6) где χ

−∞

(1)

— линейная восприимчивость. Мы рассмотрим ниже модель ангармонического осциллятора.

1.6. Модель ангармонического осциллятора В этой модели среда считается состоящей из классических осцилляторов, плотность которых в единице объема равна N. Модель осциллятора с точки зрения физики может описывать электрон, связанный с остовом, или активное в ИК поглощении молекулярное колебание. Уравнение движения при наличии возбуждающей силы имеет вид d2x dx + Γ + ω20 x + ax = F. (1.7) 2 dt dx Рассмотрим отклик осциллятора на приложенное поле, имеющее фурье-компоненты на частотах ±ω1 и ±ω2: F = (q / m)[E1 (e −iω t + e iω t ) + E 2 (e −iω t + e iω t )]. (1.8) Ангармоническое слагаемое в (1.7) считается малым, поэтому его можно рассматривать как возмущение при нахождении решения методом последовательных приближений: x = x (1) + x ( 2) + x (3) + ... (1.9) Наведенная электрическая поляризация есть просто 1

1

14

2

2

P = Nqx. (1.10) В приближении первого порядка из линеаризованного уравнения (1.7) получаем x (1) = x (1) (ω1 ) + x (1) (ω 2 ) + к.с. , (q / m ) E i (1.11) x (1) = 2 e − iω t , 2 ( ω 0 − ωi − i ωi где «к. с.» обозначает комплексно сопряженное выражение. Приближение второго порядка получается при подстановке в (1.7) вместо ах2 выражения а[x(1)]2: x ( 2) = x ( 2) (ω1 + ω2 ) + x ( 2) (ω1 − ω2 ) + x ( 2) (ω1 ) + x ( 2) (2ω2 ) + (1.12) (2) + x (0) + к.с. С помощью последовательных итераций можно найти поправки высших порядков. Как видно из приближения второго порядка, благодаря квадратичному закону взаимодействия осциллятора с полем, связанному с наличием ангармонического слагаемого, возникают новые компоненты поляризации на частотах ω± ω2, 2ω1 и 2ω2. Эти осциллирующие компоненты поляризации будут генерировать новые электромагнитные волны на частотах ω±ω2, 2ω1 и 2ω2. Таким образом, получают простое объяснение процессы генерации суммарной и разностной частот и второй гармоники. В общем случае в приближениях более высокого порядка можно ожидать появления частотных компонент ω = n1ω1 ± n2ω2, где n1 и n2 — целые числа. В рассмотренной модели величина ангармонизма определяет силу нелинейного взаимодействия. Предположение о малости члена ах2 в проведенных расчетах равносильно предположению о том, что поле Е мало, так что поляризацию Р можно разложить в ряд по степеням поля Е. Можно дать грубую оценку того, как должна уменьшаться по величине нелинейная поляризация с увеличением порядка нелинейности. В нерезонансном случае, когда ω0>>ω1 и ω0>>ω2, согласно (1.11) и (1.12) получаем P ( 2 ) / P (1) ~ qaE / mω40 . (1.13) i

В случае электрона, связанного с ионным остовом, когда смещение х настолько велико, что члены, соответствующие гармоническому взаимодействию mω02x и ангармоническому взаимодействию max2, оказываются одного порядка величины, оба эти члена будут порядка полной силы |qEат|, удерживающей электрон: qE ат ~ mω02 x ~ max 2 , или qE ат ~ (m / a )ω04 . Соотношение (1.13) в этом случае переходит в соотношение P ( 2) / P (1) ~ E / E ат . 15

(1.14)

В общем случае можно показать, что P ( n +1) / P ( n ) ~ E / E ат .

(1.15)

Таким образом, отношение |Е/Еат | выступает в роли параметра разложения в методе последовательных приближений. Типичное значение Eат ~ 3∙108 В/см. Амплитуда Е лазерного поля с интенсивностью 2,5 Вт/см2 составляет всего 30 В/см, при этом параметр |Е/Еат| ~ 10-7. Нелинейная поляризация в этом случае по величине значительно меньше линейной поляризации. Отсюда напрашивается вывод о том, что для наблюдения нелинейных оптических эффектов необходимы лазерные пучки большой интенсивности. Соотношение (1.15) справедливо, однако лишь на оптических, частотах, лежащих вдали от резонанса. Вблизи резонанса наличие резонансных знаменателей может привести к резкому увеличению отношения |P(n+1)/P(n)| . Следовательно, нелинейные эффекты можно наблюдать и при гораздо более слабых световых интенсивностях. Примером этого является оптическая накачка. При резонансе может оказаться, что |Р(n+1)/Р(n) |>1. Когда это неравенство имеет место, разложение по теории возмущений уже не справедливо и в расчетах необходимо использовать полное нелинейное выражение для Р как функции Е. В этом случае задача относится к области сильных взаимодействий света с веществом. 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ Нелинейные оптические эффекты в оптических волноводах играют важную роль в разработке систем волоконной и интегральной оптики, предназначенных для оптической связи и обработки информации. С одной стороны, нелинейные эффекты накладывают ограничения на мощность излучения, которую можно передавать по оптическому волокну или световоду. С другой стороны, нелинейные оптические взаимодействия в волноводах могут быть положены в основу оптических устройств, находящих применение для оптической обработки информации и для других целей. Для нелинейной оптики волноводных систем характерны высокая интенсивность поля, обусловленная пространственным ограничением пучка, и большая длина нелинейного взаимодействия, которую можно получить в обладающих малыми потерями волокнах или световодах. Оба эти фактора делают возможным получение эффективных нелинейных взаимодействий и самовоздействий даже в полях лазеров непрерывного действия. В этой главе излагается общая теория взаимодействия волн в оптических волноводах и кратко описаны соответствующие эксперименты. Особый акцент сделан на задаче нелинейного распространения короткого 16

лазерного импульса по волокну, поскольку эта проблема вызывает сейчас большой интерес. 2.1. Основы общей теории Рассмотрим сначала линейное распространение волны в волноводе. Волноводной модой обычно называют бегущую волну, ограниченную в плоскости, поперечной к направлению распространения. Волна в какойлибо волноводной моде имеет вид r r (i )  A (i ) F(i ) (ρ)  r r E = exp(iK (i ) z − iωt ),  D (i )   r r D (i) = ∫ d 2ρF (i) (ρ) ⋅ F(i ) (ρ). (2.1) Здесь предполагается, что волна распространяется вдоль оси z, индекс i обозначает волноводную моду, F(i)(ρ) — нормированное распределение поля в i-й моде в поперечной плоскости, A(i) — амплитуда волны, K(i) — волновой вектор. K(i) и F(i) (ρ) можно определить из решения волнового уравнения с соответствующими граничными условиями по поперечным координатам. Функция F(i)(ρ) описывает локализацию распределения поля в поперечной плоскости. Уравнение имеет вид r r r ω2ε 4πω 2 r ∇ × (∇ × E) − 2 E = 2 P нл , (2.2) c c Заметим, что волна E(i) в (2.1) с постоянной амплитудой A(i) является решением однородного уравнения (2.2). В присутствии Рнл амплитуда А(i) должна меняться в зависимости от пройденного пути z. В приближении медленно меняющихся амплитуд уравнение (2.2) можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка для A(i) (z): r r F (i) (ρ) ∂ (i) i 2πω2 r нл A = (i) 2 P exp( −iK (i ) z + iωt ). (2.3) K c D (i) ∂z 2.2. Экспериментальные результаты В качестве примера приведем некоторые экспериментальные результаты. Нелинейные оптические взаимодействия изучались в тонкопленочных волноводах и оптических волокнах. Тонкопленочные волноводы — ключевые элементы в интегральной оптике. Методом эпитаксиального роста можно создать монокристаллический тонкопленочный волновод на основе кристаллической среды, не имеющей центра инверсии. В таком волноводе разрешены нелинейные процессы второго порядка и их легко можно наблюдать. Экспериментально была получена генерация второй гармоники в различных структурах из кристаллических пленок. Заметим, однако, что, 17

хотя волноводная мода обычно сосредоточена в области сердцевины волновода, крылья ее поперечного распределения проникают внутрь граничащих сред на глубину порядка длины волны. Следовательно, если эти среды обладают заметной нелинейностью, они также могут давать вклад в нелинейное взаимодействие. Чтобы учесть это в теоретическом описании, следует ввести зависимость нелинейной восприимчивости от поперечных координат. Таким образом, нелинейный оптический процесс второго порядка может оказаться достаточно эффективным даже в том случае, когда пленочный волновод сделан на основе центросимметричной среды, а подложка центра симметрии не имеет. На опыте в такой волноводной структуре действительно наблюдалась генерация второй гармоники. Для оптимизации эффективности нелинейного оптического процесса определяющую роль играет фазовое согласование. Волновой вектор моды волновода в общем случае зависит от размеров волновода и окружающих его сред. В тонкопленочном волноводе можно менять относительные величины K(ω) и К(2ω) путем подбора толщины пленки или погружая пленочный волновод в жидкость и подбирая показатель преломления жидкости. Как было показано экспериментально, этим способом можно добиться выполнения условия синхронизма К(2ω) = 2К(ω) для процесса генерации второй гармоники. При выполнении условия синхронизма наблюдалась даже генерация второй гармоники в УФ диапазоне в непрерывном режиме при мощности накачки всего 0,5 Вт. Однако существуют определенные трудности, которые не позволяют использовать на практике тонкопленочные волноводы в качестве удвоителей частоты лазерного излучения. Во-первых, обычно толщина пленки не является однородной. В результате этого условие синхронизма не может выполняться по всей длине волновода. Чтобы получить когерентную длину больше 1 мм, изменение толщины пленки не должно превышать нескольких процентов. Кроме того, несовершенство поверхности волновода может привести к сильному поглощению волноводных мод. Даже если бы удалось спроектировать и сделать более совершенные волноводы, все равно остались бы трудности, связанные с обеспечением эффективного ввода и вывода волн из волновода, с оптическим повреждением. Заметим, что нелинейный сигнал, генерируемый Рнл, не обязательно должен быть модой волновода, хотя до сих пор наш анализ ограничивался именно этим случаем. В общем случае сигнал на выходе может быть объемной волной, распространяющейся в глубь среды, окружающей волновод. Граничные условия требуют, чтобы проекции волновых векторов Рнл и объемной волны на границу раздела были равны. Это условие определяет направление распространения объемной волны. Этот случай очень близок к случаю генерации объемной волны при смешении поверхностных волн. 18

В то время как тонкопленочные волноводы часто используются для генерации второй гармоники, суммарной и разностной частот, оптические волокна больше подходят для наблюдения других типов нелинейных оптических процессов. Оптические волокна обычно изготовляют из стекловидных материалов, обладающих центральной симметрией. Следовательно, низшим разрешенным порядком нелинейных процессов в них будет третий. Однако в отличие от тонкопленочных волноводов оптические волокна структурно более совершенны. Они могут иметь постоянную затухания всего 0,2 дБ/км и когерентную длину синхронного волнового взаимодействия, превышающую несколько метров. Из-за большой длины взаимодействия нелинейные оптические эффекты третьего порядка могут легко наблюдаться в волокне даже с лазерами непрерывного действия. Среди этих эффектов — ВКР, ВРМБ, четырехволновое смешение, четырехволновое параметрическое усиление, оптический эффект Керра и фазовая самомодуляция. ВКР в оптических волокнах было предметом интенсивных исследований. При этом использовались как обычные стеклянные волокна, так и волокна с жидкой сердцевиной. Последние обладают тем преимуществом, что позволяют использовать в качестве КРактивной среды жидкость с большим сечением комбинационного рассеяния, причем величина комбинационной отстройки может меняться путем замены жидкости. В то же время стеклянные волокна имеют гораздо меньшее сечение комбинационного рассеяния на единицу частоты, зато они обладают очень широким спектром комбинационного рассеяния, как это видно из рис. 2.1.

Рис. 2.1. Спектр комбинационного усиления в волокне из плавленого кварца с сердцевиной диаметром 3.3 мкм, имеющим коэффициент потерь 17 дБ/км. Длина волны накачки 514.5 нм 19

Это позволяет перестраивать сигнал ВКР по частоте в широком диапазоне. С помощью оптического резонатора (рис. 2.2) при ВКР была получена генерация перестраиваемого по частоте излучения. В случае, показанном на рис. 2.2, когда излучение аргонового лазера непрерывного действия накачивало стометровое волокно из плавленого кварца с коэффициентом потерь 17 дБ/км, комбинационный лазер перестраивался в диапазоне более 8 нм, причем диапазон перестройки можно было бы еще расширить при использовании импульсных лазеров. В волоконном комбинационном лазере могут генерироваться и высшие стоксовы компоненты. В случае, показанном на рис. 2.2, наблюдались четыре порядка стоксова излучения. С их помощью область перестройки выходного излучения можно расширить до величины, превышающей 35 нм в видимом диапазоне.

Рис. 2.2. Схема многочастотного ВКР-генератора на оптическом волокне. L1 и L2 — 20-кратные объективы от микроскопа с просветляющим покрытием, М — выходное зеркало аргонового лазера и одновременно общее зеркало ВКР-генератора, M0, М1, M2 и M3 — зеркала для волн накачки, первой, второй и третьей стоксовых компонент, Р, S1, S2 и S3 — дифракционные максимумы накачки, первой, второй и третьей стоксовых компонент соответственно

Коэффициент преобразования излучения в стоксову компоненту в волоконном комбинационном лазере может превышать 20 %. Таким образом, как источник перестраиваемого излучения волоконный ком20

бинационный лазер может рассматриваться в качестве весьма привлекательной альтернативы непрерывным лазерам на красителе. И все же он имеет тот недостаток, что ему присуща довольно большая ширина линии выходного излучения (больше 10 ГГц), которую не удается уменьшить, помещая эталон в резонатор. 2.3. Распространение короткого импульса в оптическом волокне Задача о распространении импульса в волокне имеет большое значение во многих отношениях. С принципиальной точки зрения ее исследование может дать информацию о распространении импульса на большое расстояние в нелинейной среде. Фактически возможности, представляемые здесь волоконной оптикой, уникальны. Математически задача описывается нелинейным волновым уравнением, принадлежащим к тому же классу дифференциальных уравнений в частных производных, что и нелинейное уравнение Шрλдингера и уравнение Ландау — Гинзбурга. С практической точки зрения важным эффектом становится дисперсионное расплывание импульса, поскольку это может ограничить скорость передачи информации по оптическому волокну. Мы рассмотрим только простой случай распространения импульса в одномодовом волокне. Модовая дисперсия (играющая важную роль в многомодовом волокне) в этом случае отсутствует, и нам достаточно учесть только влияние на распространение импульса частотной дисперсии и индуцированного полем изменения показателя преломления. Частотная дисперсия приводит к дисперсии групповой скорости ∂v g / ∂ω = − v g2 K / ∂ω 2 . Поэтому в линейной среде, как хорошо известно из линейной оптики, импульс, пройдя некоторый путь, расплывается. При наличии индуцированного полем изменения показателя преломления ∆n ситуация осложняется. В зависимости от конкретных условий импульс, бегущий по волокну, может расплываться, сжиматься, деформироваться или даже разбиваться на множество импульсов. Формально распространение импульса в одномодовом волокне описывается нелинейным волновым уравнением, в котором нелинейность связана с индуцированным полем изменением ∆n. Если поле Е(i) записано в виде (2.1), то, используя приближение медленно меняющихся амплитуд, нелинейное волновое уравнение можно свести к уравнению для комплексной амплитуды ∂  (i ) ∂v g−1 ∂ 2 (i) 1 ∂ (i ) 2 (i )  + A (z, t ) = −i A + iK A A , (2.4) 2 2  ∂z v g ∂t  2 ∂ ω ∂ t   2 (i) 2 где K 2 = (2πω p /K c ) и ∆n=(K 2 с/ω) |A (i) |2 . Первый член в правой части (2.4) связан с дисперсией групповой скорости, а второй — с индуцированным полем изменением ∆n. Вводя новые переменные 21

 z  s = T t − ,  vg    −1 

и обозначая

ξ=

∂v g−1 ∂ω

T −2z

(2.5)

1/ 2

   2K 2  a = T  ∂v g−1 / ∂ω    безразмерному виду

A (i ) , уравнение (2.4) можно преобразовать к

∂a 1 ∂v g / ∂ω ∂ 2 a 2 (2.6) −i = +a a 2 ∂ξ 2 ∂v g / ∂ω ∂s В соотношениях (2.5) T является мерой длительности входного импульса. Если дvg/дω>0, то (2.6) имеет тот же вид, что и нелинейное уравнение Шрλдингера. Аналогичные дифференциальные уравнения в частных производных описывают формирование и распространение волновых пакетов и для широкого круга других ситуаций. Хотя общее решение уравнения (2.6) отсутствует, было получено частное решение, которое кратко обсуждается ниже. Сначала рассмотрим физику комбинированного влияния дисперсии групповой скорости дvg/дω>0 и индуцированного полем изменения ∆n на деформацию импульса. Индуцированное полем изменение ∆n приводит к частотной модуляции распространяющегося импульса. При ∆n>0 текущая частота увеличивается от фронта импульса к его «хвосту». Это схематически изображено на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Пропорциональная мгновенной мощности фазовая самомодуляция, испытываемая импульсом длительностью 6 пс: а — форма импульса, б — частотная модуляция, пропорциональная производной огибающей импульса

22

За счет дисперсии групповой скорости дvg/дω>0 передняя часть импульса будет распространяться с меньшей скоростью, нежели задняя. В результате импульс сжимается (эффект, обратный дисперсионному расплыванию в линейной среде). Сжатие, обусловленное нелинейной добавкой ∆n, возрастает с ростом интенсивности импульса. Поэтому при увеличении интенсивности сначала уменьшается расплывание импульса по сравнению с линейным случаем. Затем, если импульс имеет достаточную интенсивность и подходящую форму, эффект нелинейного сжатия и расплывания в точности компенсируют друг друга и импульс распространяется без изменения формы. Такой стационарный импульс называют солитоном. При еще больших интенсивностях сжатие доминирует и импульс может схлопнуться. При распространении по оптическому волокну форма импульса может меняться непрерывно, поочередно то сжимаясь, то расплываясь, пока импульс не примет устойчивую форму. Такая физическая картина подтверждается точным решением уравнения (2.4) для случая дvg/дω>0. Расчет показывает также, что фундаментальный солитон имеет форму гиперболического секанса a=sech(s) с фиксированной площадью A 0 ; площадь импульса определяется соотношением A =

∞

∫ A(i)dt .

Если импульс на входе имеет

−∞

форму а = N·sech(t/T), где N — целое число, большее 1 (A = NA0), то решение (2.6) оказывается периодическим с периодом ξ0 = π/2 по ξ. При N = 2 импульс схлопывается до минимальной ширины при ξ = ξ0 /2, а затем уширяется до первоначальной ширины при ξ= ξ0. При N = 3 импульс схлопывается до минимальной ширины при ξ = ξ0 /4, затем по мере уширения он разбивается на два импульса равной амплитуды при ξ =ξ0 /2. В конце концов оба импульса сливаются при ξ= ξ0, и импульс восстанавливает первоначальную форму. Солитонные решения при N = 1, 2, 3 показаны на рис. 2.4.

23

Рис. 2.4. Фундаментальный солитон (верхний рис.) распространяется без изменения формы и амплитуды. Солитоны высших порядков: N=2 (средний рис.) и N=3 (нижний рис.) имеют боле сложное поведение, испытывая последовательно сжатия и разбиения на несколько импульсов. z0 на рисунках соответствует одному периоду солитона

Более подробно эволюция солитонного импульса при N = 3 показана на рис. 2.5. При N = 4 импульс испытывает трехкратное разбиение при ξ =ξ0 /2. Расчет показывает также, что входной импульс произвольной амплитуды и формы на большом расстоянии может совершить ту же эволюцию, которую испытывает входной импульс, имеющий форму а = N sech(t/T). Например, если A 0 /2<=A<=3A0/2, то исходный импульс должен в точности эволюционировать к фундаментальному солитону. Эта картина формирования стационарного импульса напоминает описанное в разделе (21.6) явление самоиндуцированной прозрачности. Стационарный импульс, формирующийся при самоиндуцированной прозрачности, также можно считать солитоном.

24

Рис. 2.5. Огибающая солитона при N = 3 на разных расстояниях вдоль волокна

Развитую теорию можно использовать для оценки длины волокна и мощности лазерного импульса, необходимых для наблюдения образования солитона. Из (2.6) при a = sech(s) для величины периода солитона получаем формулу −1 πT 2 ∂v g z0 = 2 ∂ω

−1

(2.7)

При этом выражение для интенсивности фундаментального солитона имеет вид I0 = n0c/16К2z2 (2.8) Дисперсия групповой скорости для волокон из кварца dvg/dω обычно меняется с отрицательной на положительную при λ ~ 1,3 мкм. Если взять λ = 1,55 мкм, при которой dvg -1/dλ = (2πс/λ2) dvg -1/dω ≈ -16 (пс/нм)/км, и Т = 4 пс, что соответствует входному импульсу с полной шириной на полувысоте, равной 7 пс, мы получаем z0 = 1260 м. Линейный и нелиней25

ный показатели преломления волокна равны n0 = 1,45 и n2 = 1,1 • 10-13 СГС (К2 = ωn2/2c). Тогда из (2.8) получаем I0 = 1 • 106 Вт/см2, и при эффективном сечении пучка в волокне 10-6 см2 критическая пиковая мощность для образования фундаментального солитона составляет 1 Вт. Такой пикосекундный импульс легко получить с помощью пикосекундного лазера ИК диапазона. Эксперимент был выполнен Молленауэром с сотрудниками с использованием пикосекундного лазера на центрах окраски, работающего в режиме синхронизации мод и имеющего длину волны 1,55 мкм. Кварцевый волоконный световод имел в первом эксперименте длину только 700 м, но при этом параметр ξ был больше π/4, поэтому следовало ожидать сжатия и разбиения импульса. Были измерены автокорреляционные функции

∞

∫ I( t )I(t + τ)dt

про-

−∞

шедших через волокно импульсов при разных значениях пиковой мощности импульсов на входе. Результаты представлены на рис. 2.5. При низкой мощности импульса на входе Р = 0,3 Вт импульс на выходе явно шире входного. При Р=1,2 Вт выходной импульс имеет приблизительно такую же длительность, что и импульс на входе. Это показывает, что достигнута критическая мощность, необходимая для образования фундаментального солитона. Экспериментальный результат согласуется с теоретически предсказанной величиной Р0 = 1 Вт. При Р = 5 Вт (~N2P0 при N = 2) импульс на выходе сжимается почти до минимального значения и имеет длительность ~2 пс. Наконец, при Р= 11,4 Вт (~32 Р0) и Р = 22,5 Вт (~42Р0) автокорреляционные функции имеют три и пять пиков соответственно, что указывает на то, что импульс разбивается в этих случаях на два и три импульса. В волокне большой длины (ξ~ξ0 = π/2) наблюдалось возвращение формы импульса прошедшего солитона к форме входного импульса.

26

Рис. 2.6. Автокорреляционные функции импульсов на выходе из волокна в зависимости от мощности. На врезке показаны спектр и автокорреляционная функция лазерного импульса иа входе. Все кривые приведены примерно к одной амплитуде

Физика солитонов — область, где в избытке имеются теоретические расчеты, однако явно не хватает количественных экспериментов. Оптические волокна представляют собой идеальную среду для изучения солитонов. Здесь появляется возможность проведения детальных теоретических и экспериментальных исследований взаимодействия между солитонами, отражения солитонов на границе раздела. Эти проблемы привлекли внимание многих исследователей. Эффект сжатия импульса при солитонном распространении может быть использован на практике для сжатия пикосекундных импульсов. Как видно из рис. 2.7, в случае солитона, отвечающего N = 3, импульс на выходе при ξ = π/8 и ξ = 3π/8 может вследствие сжатия иметь длительность, на порядок меньшую длительности входного импульса. Экспериментально с использованием этого метода наблюдалось 30-кратное сжатие пикосекундного импульса, отвечающего солитону высокого порядка, N >10. 2. СВЕРХКОРОТКИЕ ЛАЗЕРНЫЕ ИМПУЛЬСЫ Фемтосекундные лазерные импульсы — новый этап в изучении сверхбыстрых процессов и получении сверхсильных полей. Генерация все более коротких импульсов, концентрация световой энергии во времени, применение таких импульсов для воздействия на вещество, исследования быстропротекающих процессов и в системах обработки информации — одно из магистральных направлений развития лазерной физики и техники. 27

В 1962—1963 гг. после создания лазеров с модуляцией добротности резонатора оптика получила в свое распоряжение источники мощных импульсов с длительностями 10-7—10-8 с. Генераторы «гигантских» наносекундных световых импульсов (их мощности составляли в то время 107— 108 Вт) совершили подлинный переворот во многих разделах лазерной физики; в значительной мере своими успехами обязана им и нелинейная оптика. Следующий крупный успех — прорыв в область пикосекундных масштабов времени (τи~10-12 с) — датируется 1966—1968 гг. В эти годы были предложены и реализованы методы синхронизации продольных мод лазеров и созданы первые пикосекундные лазеры на стекле с неодимом, генерировавшие импульсы с длительностями до нескольких пикосекунд (их стали называть «сверхкороткими») и мощностями 109—1010 Вт. В те же годы были предложены и впервые продемонстрированы методы нелинейно-оптического формирования и сжатия пикосекундных импульсов, запущены параметрические генераторы перестраиваемых по частоте пикосекундных импульсов, позволившие перекрыть видимый и инфракрасный диапазоны спектра. Таким образом, была продемонстрирована эффективность использования быстрой электронной нелинейности в пико- и субпикосекундной оптической технике. Наконец, в начале 80-х годов несколькими группами был преодолен рубеж 10-13 с, началось быстрое освоение фемтосекундного диапазона длительностей (1 фс=10-15 с). Первые успехи здесь были связаны с предложением в 1981 г. новой концепции лазера на красителе с самосинхронизацией мод — системы со сталкивающимися в поглотителе импульсами. В результате к 1987 г. долгий путь сокращения временных масштабов был пройден практически до конца: получены импульсы длительностью τи=6 фс в видимом диапазоне (всего три периода световых колебаний) и τи=40 фс на длине волны излучения СОа лазера — световой импульс в один период колебаний! Освоение фемтосекундного масштаба времени означает фактически полную реализацию возможностей оптики в изучении быстропротекающих процессов релаксации энергии и дефазировки оптических возбуждений в веществе. Один период оптического колебания — это предельная длительность светового импульса, но одновременно и предельная «скорость» оптического отклика материальной среды. С прикладной точки зрения главный итог разработки эффективных источников коротких световых импульсов связан с открывающимися теперь возможностями реализации предельных скоростей оптической обработки и передачи информации. В последние годы выполнены эксперименты, ярко их демонстрирующие: созданы оптические бистабильные устройства, переключаемые за времена 10-12 с, элементы волоконно-оптических линий связи, информация в которых переносится с помощью оптических солитонов с длительностью, достигающей 10-13 с. С другой стороны, переход к фемтосекундным импульсам — это и очередной скачок по шкале ин28

тенсивности. При длительности импульса ти=100 фс сравнительно небольшой энергии W=0,1 Дж соответствует мощность Р0=1012 Вт. Таким образом, в сравнительно скромных по масштабам системах удается перейти к уровням мощности, которые еще совсем недавно удавалось получать только в мультикилоджоульных установках, предназначенных для управляемого термоядерного синтеза. Благодаря этому совершенно новые экспериментальные средства получила в свое распоряжение нелинейная оптика. В поле сфокусированных фемтосекундных импульсов могут быть получены интенсивности 1017—1018 Вт/см2 и, следовательно, напряженности светового поля достигают здесь 1010 В/см. Речь идет, таким образом, о полях, превышающих внутриатомные (Eа~109 В/см для атома водорода). В столь сильных полях на первый план выходят новые проблемы нелинейной электронной физики, становятся реальностью прямые эксперименты, имеющие целью наблюдение эффектов, предсказываемых нелинейной квантовой электродинамикой (нелинейное рассеяние света на релятивистских электронах, рассеяние света на свете в вакууме и т. п.). Перечисленные новые направления физических и прикладных исследований формируют две области — две новые «страны» на лазерной карте энергия — время (W, τи) (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Диаграмма энергия-время. τи — длительность лазерных импульсов, W — энергия импульса. Наклонные — уровни равной мощности

3.1. Световые пакеты в волоконных световодах В одномодовых волоконных световодах реализуются условия, когда поперечная структура волнового пакета остается практически неизменной 29

на расстояниях ~ 104 м как в линейном, так и нелинейном режимах распространения. Типичный волоконный световод представляет собой цилиндр из плавленного кварца диаметром около 100 мкм, помещенный в защитную оболочку. В приосевой зоне этого цилиндра расположена область с повышенным за счет легирующих добавок показателем преломления — сердцевина. Типичный диаметр сердцевины одномодового световода 5— 10 мкм. В процессе распространения волнового пучка по световоду сердцевина выполняет роль распределенной линзы, компенсирующей дифракционное расплывание пучка. Приведем данные, необходимые для дальнейшего изложения. Совместное проявление дифракции, линейной рефракции и дисперсии описывается уравнением ∂ n − n об r  1 1 ∂2 r ∆ ⊥ − i k 2 2 + ik об c f ( r ) A( t, r , z ) = 0, (3.1)  +i 2 ∂t n об  ∂z 2k об  где в последнее слагаемое, ответственное за рефракцию, входит показатель преломления оболочки nоб, максимальное значение показателя преломления сердцевины nс и безразмерная функция f(r), характеризующая распределение показателя преломления в поперечном сечении световода; kоб — волновое число в материале оболочки. Некоторые из возможных профилей показателя преломления изображены на рис. 3.2а.

Рис. 3.2. а – нормированные профили показателя преломления среды; б – соответствующие им распределения поля низшей моды волновода

30

Подчеркнем, что уравнение (3.1) адекватно описывает ситуацию в случае слабонаправляющих световодов ((nс—nоб)<<1) с плавными на масштабе ~λ изменениями показателя преломления. На практике величина (nс—nо6) имеет порядок 10-2—10-3. Дифракционное расплывание светового пучка уравновешивается линейной рефракцией на продольном пространственном масштабе порядка дифракционной длины Lдиф=k0aо2~10-1—10-2 см, в то время как дисперсионные явления в случае пикосекундных импульсов проявляются на расстояниях Lд=τ02/|k2|=102—103 м. Это обстоятельство позволяет разделить пространственные и временные эффекты и искать решение (3.1) в виде ~ r r A ( t , r , z ) = U ( r )ψ ( t , z )e − ik z , (3.2) где функция U(r) описывает распределение поля в поперечном сечении световода, ψ(t, z) — комплексная временная амплитуда, k — добавка к волновому числу ko6 (0
ки светового импульса в световоде t3 от частоты. Действительно, после прохождения импульсами с несущими частотами ω1 и ω2 (∆ω = |ω1−ω2|<<ω1, ω2) расстояния L по световоду между ними возникает групповое запаздывание ∆t3. Откуда следует, что k2=∆t3/L∆ω. В экспериментальных исследованиях, как правило, используется дисперсионный па1 ∂t з 2πc раметр D(λ) = = − 2 k 2. L ∂λ λ 3.2. Самовоздействие световых импульсов: самомодуляция, самосжатие, солитоны и неустойчивости Обусловленные нелинейностью показателя преломления эффекты самовоздействия универсальны — они проявляются при распространении мощного лазерного излучения в газах, жидкостях и твердых телах. Интенсивное изучение различных аспектов самовоздействий световых пучков и импульсов, стимулированное открытием самофокусировки света, было начато в середине 60-х годов. Несомненно, физика самовоздействий и по сей день один из наиболее бурно прогрессирующих разделов нелинейной оптики. Именно при исследовании самовоздействий нелинейная оптика столкнулась с проявлением сильных нелинейных эффектов — 1) временной и пространственной бистабильностью; 2) генерацией структур; 3) оптической турбулентностью — генерацией световых полей, не имеющих даже отдаленных аналогов в линейной оптике. Переход к фемтосекундному масштабу времени вызвал новый всплеск интереса к физике самовоздействий, разнообразным их приложениям. Новое появилось в традиционных разделах таких, как самофокусировка пучков и самомодуляция пакетов. Использование самовоздействий открыло новые возможности в разработке сверхбыстродействующих оптических систем обработки информации и элементов оптических компьютеров, сыграло решающую роль в получении импульсов предельно короткой длительности. 3.2.1. Физика самовоздействий; нелинейность показателя преломления; преобразование амплитудной модуляции в фазовую В сильном световом поле комплексный показатель преломления газов, жидкостей и твердых тел n обнаруживает зависимость от интенсивности I=(сnа/8π)|А|2 волны — проявляется нелинейность: n=n(I). В среде с нелинейным показателем преломления мощная световая волна сама определяет величину и закон дисперсии фазовой скорости v(ω,Ι)=c/Re n(ω,Ι) и коэффициента поглощения δ(ω,Ι) = (ω/c)·Im n(ω,Ι) среды, в которой она распространяется, — происходит самовоздействие света.

32

Физические причины нелинейности показателя преломления разнообразны. Существенными оказываются ангармонизм электронного и колебательного откликов атомов и молекул, изменения поляризуемости за счет ориентации анизотропных молекул в световом поле, изменения плотности среды, обусловленные электрострикцией и нагревом. Перечисленные механизмы различаются величинами и характерными временами установления нелинейного отклика τнл. В условиях, когда нелинейный отклик мал в сравнении с линейным и оптические нелинейности хорошо описываются разложением поляризации P в ряд по степеням поля, P=Pл + Pнл , Рнл << Рл , факторы, приводящие к нелинейности показателя преломления, феноменологически можно рассматривать как проявление нелинейного отклика, нечетного по электрическому полю. Если нелинейный отклик можно считать квазистатическим (длительность светового импульса τ0>>τнл), нелинейный показатель преломления обусловлен частью нелинейной поляризации Pнл = P(3) + P(5) + … = χ(3) EEE + χ(5) EEEEE + …, где χ(3), χ(5) − тензоры нелинейной восприимчивости. В случаях τ0~τнл и тем более τ0<τнл, нелинейный отклик следует описывать интегральными соотношениями, в которых вместо зависящих от частот нелинейных восприимчивостей фигурируют многовременные функции отклика. 3.2.2. Стационарные импульсы — солитонный режим распространения Одним из интереснейших явлений в физике нелинейных волн является формирование устойчивых волновых пакетов, распространяющихся на значительные расстояния без изменения формы. Нелинейная оптика играет в последние годы все большую роль в солитонной физике. В нелинейно-оптических процессах можно указать, по крайней мере, три типа солитонов. Прежде всего, это так называемые шредингеровские солитоны, где возникновение устойчивых импульсов связано с балансом действия дисперсии и нелинейности в прозрачной среде. Генерация солитонов возможна и в условиях, когда под влиянием световых импульсов возникает изменение разности населенностей среды — «резонансные» солитоны. В этом случае солитон формируется, если площадь импульса (интеграл по времени от огибающей) превышает пороговое значение, а длительность импульса меньше характерных времен релаксации. Наконец, оптические солитоны могут возникнуть в среде с квадратичной нелинейностью при взаимодействии волн с сильно различающимися частотами. Образование солитонов здесь связано с балансом эффектов группового запаздывания волн и нелинейного взаимодействия. 33

Совместное действие нелинейности и дисперсии среды; шредингеровские солитоны Самовоздействие световых импульсов в нелинейной среде, сопровождаемое уширением, может привести к необходимости учета дисперсии среды во втором и более высоком приближениях линейной теории дисперсии. Эта наиболее реальная и часто теперь встречающаяся на практике ситуация при работе с длительностями 10-13—10-14 с. Самовоздействие импульсов будем описывать уравнением (в бегущих координатах) ∂A 1 ∂ 2A 2 − i k 2 2 + iβ1 A A = 0, (3.5) ∂z 2 ∂η которое часто называют нелинейным уравнением Шредингера. Здесь β1 = 3πχ (3) k 0 / 2n 02 = k 0 n 2 / 2n 0 - нелинейный коэффициент, η = t − z / u (бегущая система координат). Параметр k2 характеризует дисперсию групповой скорости в первом приближении  ∂ 2k  λ30  ∂ 2 n  ∂ 1 u     k 2 =  2  = − 2   = 2 2  ∂ ω ∂ ω   π ∂ λ u 2 c ω     ω0

0

λ0

и учитывает линейную дисперсию среды во втором приближении. Особый интерес представляет режим самосжатия. Стационарную форму импульса можно найти, полагая в (3.14) А =ρc(η)е-iГz. Для амплитуды получим 1 / 2k 2&ρ& c + Γρ c − β1ρ 3c = 0. Это уравнение преобразуется к виду 1 / 2k 2&ρ& c + Γρ c − β1ρ 3c = 0. (3.6) В случае β1>0 и k2<;0 уравнение (3.5) имеет решение ρc (η) = ρc0 sec h (η / τ c ), (3.7) где длительность солитона τc и его амплитуда рсо удовлетворяют соотношению 2Γ = k 2 / τ 2c = β1ρc20 . (3.8) Плотность энергии солитона Wкр = 2 k 2 / β1τ c = 2 k 2 / k 0 ~ n 2τc (3.9) обратно пропорциональна длительности. Таким образом, в фокусирующей среде (β1>0) с аномальной дисперсией могут формироваться солитоны секанс-гиперболической формы (3.7). На начальном этапе импульс с плотностью энергии W>WKP сжимаегся, а с W<Wкр расплывается (рис. 3.3). Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что солитон (3.7) является устойчивым образованием по отношению к малым возмущениям. 34

Сильные резонансные самовоздействия; 2π-импульсы — резонансные солитоны До сих пор, рассматривая нелинейное распространение коротких световых импульсов, мы считали, что несущая частота ω0 находится вдали от резонансных частот среды и поглощение несущественно. Если несущая частота импульса совпадает с одной из резонансных частот ωр, то для определения поляризации среды нужно пользоваться уравнениями, учитывающими изменение населенностей уровней. При этом поляризацию в поле мощного импульса невозможно разделить на линейную и нелинейную части.

Рис. 3.3. Изменение формы импульса с расстоянием при плотности энергии W<Wкр (a), W=Wкр — солитонный режим (б), W>Wкр — (в)

Волновое уравнение для распространения импульса имеет вид ∂ 2 E 1 ∂ 2 E 4π ∂ 2 − = P. (3.10) ∂z 2 c 2 ∂t 2 c 2 ∂t 2 В случае точного резонанса (ω0=ωр), анализом которого мы ограничимся, поляризация среды равна P(t,z) = Nd0 [a(t,z)cos(ω0t – k0z) – b(t,z)sin(ω0t – k0z)], (3.11) где N — плотность атомов (молекул), d0 — дипольный момент. Функции a(t, z) и b(t, z) — огибающие квадратурных составляющих d(t,z) = d0 [a(t,z)cos(ω0t – k0z) – b(t,z)sin(ω0t – k0z)] (3.1 2) Эволюция этих функций описывается нелинейными уравнениями Блоха: w − w равн a b & = − qρ b − a& = − , b& = − + qρω, w . (3.13) T1 T2 T2 Здесь, как и выше, ρ (t, z) — огибающая электрического поля 35

E(t,z) = ρ(t,z)cos(ω0 – k0z), (3.14) q=d0/ h , h — постоянная Планка, w — разность населенностей для одного атома, wравн — ее равновесное значение, T1 и Т2 — времена продольной и поперечной релаксаций. Согласно (3.13), под действием светового поля изменяется не только поляризация, но и разность населенностей. Вследствие этого отклик среды на поле оказывается нелинейным. Пусть длительность импульса τ0<
Nhω0  Ω P  2   k 0 , ≈ (3.21) 2 2 ω hc ρ / 8π  0  где ΩP=d0ρ/ћ — частота Раби. Первый сомножитель представляет собой отношение энергии, запасенной частицами, к энергии поля, он меньше единицы; отношение ΩP/ω0<
36

∂ 2 θ / ∂η2 = τ c−2 sin θ,

(η = t - z/up)

(3.23)

τ c2 = (c − u p )h /( 2πNω0 d 20 u p ). (3.24) Выражение (3.23) — аналог уравнения физического маятника, где θ имеет смысл угла отклонения от положения равновесия. Решением (3.23) является функция θ(η) = 4arctge η / τ . (3.25) Из (3.17), (3.25) находим стационарное поле ρc (η) = (2h / d 0 τ c ) sec h(η / τc ). (3.26) Видно, что τс имеет смысл длительности стационарного импульса. Импульсу (3.26) соответствует значение «площади» θ(+∞)=2π. В связи с этим в теории резонансного взаимодействия излучения с веществом солитоны (3.26) получили название 2π-импульсов. Заметим, что площадь шредингеровских солитонов (3.7) такому соотношению не удовлетворяет. 2π-импульсы по мере распространения через резонансную среду принимают вид (3.26). Распространение резонансных световых импульсов без затухания называют явлением самоиндуцированной прозрачности. Физика просветления среды в поле коротких импульсов обусловлена следующими обстоятельствами. Достаточно мощный импульс уже своим фронтом вызывает инверсию населенностей — среда накапливает энергию. Остальная часть излучения распространяется в возбужденной среде. На хвосте импульса частицы среды отдают энергию. Процесс переизлучения происходит без потери энергии, поскольку длительность τс меньше времен релаксаций T1, T2 . Согласно (3.24) скорость распространения резонансных солитонов u p = c /(1 + 2πNω0 d 02 τ 2c ). (3.27) Она падает с ростом плотности числа частиц N, увеличением несущей частоты ω0 и длительности τс. Последняя зависимость представляется вполне очевидной, поскольку переизлучение энергии светового поля приводит к задержке перемещения импульса тем большей, чем больше его длительность. Решение уравнения (3.22) для произвольной площади θ (+∞) довольно сложно, оно представляется в виде совокупности взаимодействующих импульсов. На рис. 3.4 показано поведение в резонансной среде импульсов с различной начальной длительностью. Откуда видно, что исходные импульсы с θ(+∞)<2π затухают, при 2π=< θ(+∞)<3π принимают стационарный вид (3.26), а при θ(+∞)>3π распадаются на несколько импульсов. c

37

Рис. 3.4. Входные (пунктирные линии) и выходные (сплошные) импульсы в резонансной среде при самоиндуцированной прозрачности: а — эксперимент, б — теория. Кривые соответствуют импульсам с площадью меньше π (1), 2π (2), между 2π и 3π (3), меньше 5π (4) и приблизительно 6π (5)

3.3. Вынужденное комбинационное рассеяние сверхкоротких импульсов Физика рассеяния; основные уравнения. Вынужденное рассеяние света связано с обусловленной оптической нелинейностью среды фазировкой элементарных возбуждений в поле мощной световой волны. Особенно просто пояснить суть возникающих явлений на примере вынужденного комбинационного рассеяния света (ВКР) на внутримолекулярных колебаниях. Классическая теория ВКР основывается на учете зависимости электронной поляризуемости молекулы χ от конфигурации ядер, определяемой их смещениями Q от равновесных значений. В простейшем одномерном случае χ(Q) = χ 0 + (∂χ / ∂Q) 0 Q + ... (3.28) Второй член этого разложения описывает модуляцию света молекулярными колебаниями — в наведенной поляризации молекул появляются новые спектральные компоненты, сдвинутые на частоту колебаний ядер; поляризация молекулы p = χ(Q)E = χ 0 E + (∂χ / ∂Q) 0 QE. (3.29) 38

В условиях, когда Q определяется тепловыми движениями в среде, (3.29) описывает спонтанное комбинационное рассеяние. Зависимость χ(Q) является одновременно причиной обратного воздействия световых волн на молекулярные колебания. Действительно, энергия взаимодействия молекулы со световой волной равна H = −pE = −χ(Q ) E 2 , и, следовательно, в световом поле возникает сила, действующая на молекулярные колебания. Если поле содержит компоненты с частотами ωн и ωс, разность которых близка к собственной частоте молекулярных колебаний Ωм≈ωH — ωc, то действующая сила приводит к резонансной раскачке колебаний. На хаотические внутримолекулярные движения накладываются регулярные вынужденные колебания, фазы которых в различных молекулах определяются фазами компонент светового поля: происходит фазировка молекулярных колебаний. Экспериментально ВКР проявляется как неустойчивость интенсивной световой волны накачки в комбинационно-активной среде. Вторая компонента светового поля возникает за счет спонтанного комбинационного рассеяния. ВКР является пороговым эффектом — неустойчивость возникает, если интенсивность Iн мощной световой волны накачки с частотой ωн превышает пороговое значение Iпор, зависящее от уровня оптических потерь. При этом условии интенсивность низкочастотной (стоксовой) волны с частотой ωс усиливается по закону I c = I co exp(g c I н z ), (3.30) где коэффициент gc определяется параметрами среды, z — расстояние. При gcIнz>>1 волна накачки истощается, происходит эффективный энергообмен между волнами. Такова картина стационарного ВКР. Особенности нестационарного ВКР были поняты фактически в конце 60-х — начале 70-х годов. Именно в это время выполнены экспериментальные и теоретические работы, выявившие главные черты ВКР сверхкоротких световых импульсов. Узкие рамановские линии в газах имеют ширину 108 — 109 Гц. Поэтому уже в поле импульсов длительностью 10—100 нс нелинейный отклик молекул становится существенно нестационарным. Инерция отклика молекулы уменьшает амплитуду ее вынужденных колебаний и снижает, очевидно, эффективность вынужденного рассеяния. С другой стороны, как и в случае генерации гармоник и параметрических взаимодействий, при вынужденном рассеянии коротких импульсов возникают эффекты группового запаздывания, обусловленные разностью групповых скоростей импульса накачки и стоксова импульса. Эффекты, обусловленные конечным временем локального отклика (локальная нестационарность) и дисперсией среды (волновая нестационарность), наблюдались экспериментально в начале 70-х годов. 39

Для анализа нестационарных эффектов ВКР обратимся к математическому описанию процесса, основанному на системе укороченных уравнений: ∂A н 1 ∂A н 1 ( н) ∂ 2 А н + − i k2 = −iγ н А с Q, (3.31a) ∂z u н ∂t 2 ∂t 2

∂A c 1 ∂A c 1 ( c) ∂ 2 А c + − i k2 = −iγ c А н Q∗ , 2 ∂z u н ∂t 2 ∂t

(3.31б)

 ∂Q  1 +  + iΩ Ω = −iγ Q A н А ∗с , (3.31в) ∂t  T2  Здесь Aн и Aс — амплитуды накачки и стоксовой волны, Q — комплексная медленно меняющаяся амплитуда волны молекулярных колебаний, Т2 — время релаксации, определяющее ширину линии спонтанного КР, Ω = ωн − ωс − Ω м (3.32) частотная расстройка. Коэффициенты нелинейной связи ∂χ πNωн ∂χ πNωс ∂χ 1 γн = , γс = , γQ = , (3.33) ∂Q сn н ∂Q сn с ∂Q 4πMQ M описывают попутное взаимодействие волн во втором приближении теории дисперсии и без где M — эффективная масса ядер, N — число молекул в единице объема. Уравнения (3.31) учета изменения разности населенностей колебательных уровней. В правую часть (3.31б), вообще говоря, должна входить случайная сила, обусловленная тепловыми флуктуациями в среде. Далее мы ограничимся случаем, когда в среду поступает «затравочный» импульс на стоксовой частоте с амплитудой Aс0=AС(t,z=0), т. е. будем рассматривать режим усиления. Эффекты группового запаздывания в среде с широкими рамановскими линиями. Начнем с анализа эффектов группового запаздывания, которые доминируют в условиях, когда τ0>>Т2, а дисперсионная длина Lд превышает групповую −1

 1 1 L гр = τ 0  −  = τ 0 ∆u −1.  uн uс  Уравнения для комплексных амплитуд ∂A н 1 ∂A н g (0) 2 + =− Ac Aн , (3.34a) ∂z u н ∂t 2(1 + iΩT2 ) ∂A с 1 ∂Aс g (0) 2 + A н Aс , (3.34б) = ∂z u с ∂t 2(1 + iΩT2 ) где g(0)=2γнγQΤ2, в приближении заданного поля имеют простое решение 40

2  g(0) z   z   −1    A c ( t, z) = A c0 exp A е u d − + ∆ ξ ξ (3.35a) . н0  ∫  2 ( 1 i T u + Ω   2 0 н   Для интенсивности стоксовой волны получаем 2   z   z   I c ( t, z) = I c0 expg(Ω) ∫ A н0  е − + ∆u −1ξ  dξ, (3.35б) u   н 0   где g(Ω)=g(0)[1+(ΩT2)2]-1 В сильно нестационарном режиме усиления (z>>Lrp) формула (3.35б) приводится к виду 2

I c ( t, z) = I c0 exp[g(Ω) A н0 (0) L эфф ]. (3.36) Эффективная групповая длина Lэфф зависит от формы импульса накачки. В случае гауссовского импульса Lэфф = π Lгр. Из (3.36) следует, что групповая расстройка приводит к насыщению усиления на длине z~2Lэфф. Влияние конечной длительности импульсов ярко проявляется в асимметрии стоксова рассеяния вперед и назад. В последнем случае эффективная длина встречного нелинейного взаимодействия L+эфф = πτ 0 /( u c−1 + u н−1 ), и, следовательно, отношение энергий стоксова излучения Wc / Wc+ = exp[g(Ω) A н0 (0) (L эфф − L+эфф )]. 2

Так, например, в кварцевых стеклах L+эфф =0,3 мм, а Lэфф≈1 м при λн=1,06 мкм, τ0 = 10-12 с и стоксовом сдвиге частоты 440 см-1. В последнее время наиболее интересные результаты по ВКР сверхкоротких импульсов получены в волоконных световодах. Кварцевые световоды обладают широкими рамановскими линиями (∆ν=250 см-1, T2~100) и, следовательно, позволяют эффективно усиливать и преобразовывать импульсы с длительностью порядка 102 фс. В длинных световодах в полной мере проявляются эффекты группового запаздывания. ВКР в условиях группового синхронизма; римановские солитоны Специфическая особенность волоконных световодов заключается в том, что в них можно реализовать комбинационное преобразование частоты в условиях группового синхронизма, выбирая длины волн λн и λc симметрично, относительно длины волны, соответствующей нулевой дисперсии групповой скорости. Другая возможность связана с использованием маломодовых световодов, в которых групповую расстройку можно скомпенсировать за счет межмодовой дисперсии. Здесь на первый план выходят эффекты, связанные с совместным проявлением фазовой само- и кросс-модуляции, дисперсии и комби41

национного преобразования частоты. Математические модели этих процессов, учитывающие изменение показателя преломления в поле высокоинтенсивных импульсов, сформулированы в первом приближении теории дисперсии. Для импульсов с начальной длительностью в единицы пикосекунд усиление можно считать стационарным, а систему уравнений (3.35), записанную с учетом самовоздействия, представить в виде ∂A ∂ 2 A н n 2 k (н ) 2 2 + + 2i н = −k (2н) [ f А 2 f А ]А н − нн н нс с ∂z n0 ∂ηн2

ig c

ωн 2 f нс А с А н − iδ н А н , ωс

2  ∂A с  1 1  ∂А с  n 2 k (с ) 2 ( с) ∂ A с [f сс А с + 2i  + +  −   = −k 2 2 n0 ∂ηс  ∂z  u c u н  ∂ηн  2

(3.37)

2

2g н f сн А н ]А с − ig c f сн А н А с − iδ с А с , где ηн=t-z/ин — бегущее время, связанное с импульсом накачки, δн, δс — коэффициенты поглощения, a fi} — интегралы перекрытия волноводных мод. Основные закономерности комбинационного преобразования частоты в волоконных световодах были выявлены в численных экспериментах, основанных на решении системы (3.37). В зависимости от спектральной области, в которую попадают накачка и стоксова компонента ВКР, можно выделить различные режимы генерации. Если λн и λс относятся к области нормальной дисперсии групповой скорости, то совместное проявление фазовой самомодуляции и дисперсии приводит к расплыванию импульса накачки и снижает эффективность энергообмена. К аналогичному результату приводит и взаимное влияние импульсов на основной и стоксовой частотах через нелинейную добавку к показателю преломления — кросс-модуляция. Результирующая длительность стоксова импульса заметно превышает исходную длительность накачки (рис. 3.5), кроме того, стоксов импульс имеет значительную частотную модуляцию. В принципе, его можно сжать с помощью диспергирующей линии задержки.

42

Рис. 3.5. Динамика формирования сверхкоротких импульсов ВКР в кварцевом волоконном световоде, возбуждаемом пикосекундными импульсами накачки с гауссовской огибающей; спектральная область соответствует нормальной дисперсии групповой скорости. Изображены временные профили интенсивности накачки и стоксова импульса (λн=1,06 мкм, λc=1,12 мкм, τн=5 пс, Iн= = 1,8·107 Вт/см2, k=2,3·10-28 с2/см)

В случае, когда стоксова компонента попадает в область аномальной дисперсии групповой скорости, картина радикально изменяется, так как совместное проявление дисперсии и нелинейности создает условия для самосжатия стоксова импульса. Переложение частотной модуляции накачки на стоксову частоту также ускоряет сжатие импульса. В этом режиме пиковая мощность стоксова импульса может существенно превышать мощность импульса накачки (рис. 3.6). И, наконец, при λн, λс>λкр самовоздействие приводит к самосжатию не только стоксова импульса, но и импульса накачки, а кросс-модуляция способствует этому процессу. В этом режиме открываются перспективы получения высоких КПД преобразования и существенного (на порядок) уменьшения длительности стоксова импульса (рис. 3.7).

43

Рис. 3.6. Динамика формирования импульсов ВКР. Комбинационная частота попадает в область аномальной дисперсии групповой скорости, накачка — в область нормальной дисперсии λн=1,25 мкм, λс=1,32 мкм, τн=5 пс, Iн= =2,7·106 Вт/см2, k=0,34·10-28 с2/см)

Подбирая параметры импульса накачки и световода, можно реализовать режим преобразования многосолитонного импульса накачки в мощный односолитонный импульс на стоксовой частоте. Приведенные иллюстрации относились к случаю группового синхронизма. Расстройка групповых скоростей вызывает некоторое уменьшение длительности стоксова импульса и снижение энергетической эффективности преобразования. При небольших значениях расстройки групповых скоростей в численных экспериментах обнаружен нелинейный захват стоксова импульса импульсом накачки, связанный с их «реактивным» взаимодействием через нелинейную добавку к показателю преломления. В последнее время эффекты, обусловленные кросс-модуляцией, подтвержде44

ны прямыми экспериментами как в неограниченных средах, так и в волоконных световодах.

Рис. 3.7. Формирование высокоинтенсивных рамановских солитонов в спектральной области, соответствующей аномальной дисперсии групповых скоростей на частотах ωн и ωс (λн=1,55 мкм, λс=1,67 мкм, τн=5 пс, Iн=2*107 Вт/см2, k)=2,6-10-28 с2/см)

Комбинационное преобразование частоты сверхкоротких импульсов в сочетании с солитонными эффектами привело к созданию целого класса 45

перестраиваемых по частоте источников фемтосекундных рамановских солитонных лазеров. 3.4. Оптические солитоны в информационных системах Дисперсия и нелинейность изменяют огибающую светового пакета, причем модификация импульса тем существеннее, чем меньше его длительность. Эти изменения носят дестабилизирующий характер: модуляционная неустойчивость, расплывание импульсов, разбиение на субимпульсы. Особый интерес представляет ситуация, когда баланс дисперсии и нелинейности приводит к формированию устойчивых импульсов, сохраняющих практически неизменную форму при распространении на дистанции, превышающие собственную длину импульса l=сτ0 в 106—107 раз. Такие импульсы называют оптическими солитонами. Первые корректные эксперименты, в которых наблюдались оптические солитоны, были выполнены в 1980 г. Это стало возможным благодаря совершенствованию лазерных источников спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов, перестраиваемых в ближнем ИК диапазоне, и созданию одномодовых волоконных световодов с потерями в десятые доли децибелла на километр. Последующие эксперименты, выполненные в тщательно контролируемых условиях, позволили выявить ряд особенностей формирования, распространения и взаимодействия солитонов при наличии многочисленных возмущающих факторов и указать перспективы разнообразных технических приложений. Сейчас отчетливо продемонстрированы возможности применения солитонных эффектов для передачи информации по волоконным световодам, формирования и генерации фемтосекундных импульсов, исследования быстропротекающих процессов. Формирование оптических солитонов — конкуренция и баланс эффектов нелинейного сжатия и дисперсионного расплывания Мы начинаем с простого качественного анализа, поясняющего физику формирования стационарных уединенных импульсов, основываясь на результатах п. 3.2. В спектральном диапазоне, соответствующем аномальной дисперсии групповой скорости (k2<0, λ>1,3 мкм), совместное проявление дисперсии и нелинейности имеет характер конкуренции и при определенном уровне входной мощности приводит к стабилизации длительности импульса. Поясним это утверждение простыми оценками. Спектрально-ограниченный импульс, прошедший расстояние z по волоконному световоду, приобретает частотную модуляцию, скорость которой αд(z) зависит от расстояния следующим образом: α д (z ) = k 2−1 (z 2 + L2д ) −1 z. (3.38)

46

Поскольку k2<0, то текущая частота уменьшается от фронта импульса к хвосту. При z<= 2 < ψ& ψ& ∗ > − R < (ψ& ψ& ∗ ) 2 >, (3.41) 2 dξ где R = Lд/Lф, угловые скобки обозначают усреднение по τ. В этом уравнении первый член в правой части можно интерпретировать как дисперсионную «силу», приводящую к увеличению длительности импульса, а второй — как нелинейную «силу», уравновешивающую дисперсионное расплывание. Задавшись конкретной формой импульса, например, ψ=sech(τ), вычислив правую часть (3.41) при ξ=0 и приравняв ее нулю, мы приходим к условию баланса −1 R = L / L = τ2 k k ~ n P S−1 = 1. (3.42) д

ф

0

2

0 2 кр эфф

Из (3.42) видно, что для критической мощности вновь следует формула (3.40). Подставляя в (3.40) типичные значения параметров (λ= 1,5 мкм, D=15 пс/(нм·км), SЭФФ=100 мкм2, τ0=3— 4 пс, n2=3,2-10-16 см2/Вт), получаем Pкр=1 Вт. Механизм стабилизации солитона можно проиллюстрировать и на спектральном языке. Дисперсия приводит к появлению у спектральных компонент на частоте Ω=ω−ω0 линейного по пройденному расстоянию фазового набега, пропорционального Ω2. Нелинейность показателя преломления компенсирует разбаланс фаз различных спектральных компонент импульса. 47

Проведенное рассмотрение относится к интегральным характеристикам импульса, оно приводит к реалистическим оценкам критической мощности, но не дает ответа на важные вопросы об устойчивости баланса дисперсии и нелинейности, о форме стационарного импульса и о том, как взаимодействуют стационарные импульсы. Ниже подробно обсуждаются односолитонные и многосолитонные решения нелинейного уравнения Шредингера, описывающего процесс распространения пикосекундного импульса по одномодовому световоду. Односолитонные и многосолитонные решения нелинейного уравнения Шредингера Основой для математического анализа процесса дисперсионной фазовой модуляции является нелинейное уравнение Шредингера, описывающее изменение комплексной амплитуды поля. Для случая нормальной дисперсии групповой скорости оно имеет вид ∂ψ 1 ∂2 2 i =− + R ψ ψ − iδψ , (3.43) ∂ξ 2 ∂τ 2 где τ = ( t − z / u ) / τ 0 - нормированное на начальную длительность импульса бегущее время, расстояние ξ выражено в дисперсионных длинах L д = τ02 / k 2 , параметр δ = δ 0 L д характеризует поглощение на дисперсионной длине, амплитуда ψ нормирована на максимальное значение. Пренебрегая слагаемым, учитывающим потери, и произведя перенормировку q (τ, ξ ) = R ψ ( τ, ξ) , запишем (3.43) при k2<0 в удобном для математического анализа виде: ∂q 1 ∂ 2 q 2 i = + q q. (3.44) 2 ∂ξ 2 ∂τ (3.44) инвариантно относительно масштабных преобразований: q′ = χq, ξ′ = ξ / χ 2 , τ′ = τ / χ. Откуда следует, что q ( τ, ξ) = χ sec h (χτ ) exp( −iχ 2 ξ / 2) (3.45) также является решением (3.43); параметр χ, определяющий амплитуду солитона и его длительность, часто называют форм-фактором. Уравнение (3.43) инвариантно относительно преобразования Галилея τ′ = τ − Vξ, ξ′ = ξ, что позволяет провести дальнейшее обобщение и представить (3.45) в виде q( τ, ξ) = χ sec h[χ( τ − Vξ)] exp[ −iV τ + i( V 2 − χ 2 )ξ / 2] (3.46) Можно показать, что решение (3.46), взятое с произвольной постоянной фазой φ0 и начальной координатой центра импульса τц, q′ = qe iϕ , τ′ = τ − τ ц , также удовлетворяет (3.43). 0

48

Другим весьма важным классом аналитически вычисляемых решений НЛШ является связанное состояние N солитонов, соответствующее начальным условиям q(τ,0)=q0sech(τ), (3.46а) где q0=N, N — целое. Здесь мы ограничимся лишь краткой сводкой результатов анализа Nсолитонных решений методами обратной задачи рассеяния. N-солитонный импульс представляет собой нелинейную суперпозицию солитонов с форм- факторами χn= (2п—1), где n=1, 2, ..., N. Для N=2 решение (3.43) имеет вид ch (3τ) + 3 exp(−4iξ)ch (τ) (3.47) q 2 (τ, ξ) = 4 exp(−iξ / 2) ch (4τ) + 4ch (τ) + 3 cos(4ξ). Существенно, что |q2| изменяется по ξ периодически с периодом ξ0=π/2 (в размерных переменных z0=πLд/2). При N>>2 соответствующее решение может быть найдено для произвольных τ, ξ из системы N линейных уравнений.

Рис. 3.8. Самосжатие N-солитонного импульса при N=4. На вставке приведена зависимость минимальной длительности импульса от qо (сплошная линия — теория, точки — эксперимент)

Важная особенность рассматриваемого класса граничных условий (3.46а) состоит в том, что при q0>1 начальный этап распространения спектрально-ограниченного импульса соответствует самосжатию. Это обстоятельство указывает на возможность его эффективной компрессии. Иллюстрацией здесь может служить преобразование огибающей N-солитонного импульса, изображенное на рис. 3.8 при N=4. В заключение упомянем об еще одном принципиально важном свойстве шредингеровских солитонов — их устойчивости при столкновениях. 49

Если при ξ→ — ∞ два солитона с форм-факторами χ1, χ2 имеют скорости V1, V2, то после столкновения при ξ→+∞ их параметры χ1 χ2 и V1, V2 останутся неизменными, варьируются лишь фазы ϕ01, ϕ02 и координаты максимумов τ01, τ02. При взаимодействии нескольких солитонов коллективные эффекты отсутствуют: полный сдвиг параметров солитона ϕ0i, τ0i. представляется алгебраической суммой парных сдвигов. В качестве иллюстрации на рис. 3.9 приведены результаты численного моделирования столкновений шредингеровских солитонов. Рис. 3.96 соответствует синфазным солитонам с начальным условием q(0,τ) = sech(τ-τ1)exp[-iV1(τ-τ1) + iφ1] + + sech(τ-τ2)exp[-iV2(τ-τ2) + iφ2], (3.48) где τ1=— 3, τ2=3, V1=l, V2=—1, ϕ1=ϕ2=0. Солитоны проходят друг сквозь друга, взаимодействие имеет характер «притяжения».

Рис. 3.9. Столкновение шредингеровских солитонов: а — противофазные; б — синфазные солитоны

Рис. 3.9а изображает картину столкновения противофазных солитонов, когда в (3.48) ϕ1=0, ϕ2=π. Взаимодействие имеет характер «отталкивания», поэтому, сблизившись на минимальное расстояние, определяемое начальными скоростями V1, V2, импульсы расходятся.

50

Экспериментальная демонстрация оптических солитонов Экспериментальное исследование закономерностей формирования и распространения односолитонных и многосолитонных пикосекундных импульсов впервые было осуществлено в работе Молленауэра, Столена и Гордона. В этих опытах с помощью тщательно сформированных спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов в одномодовом волоконном световоде удалось четко реализовать одно-, двух-, трех- и четырехсолитонные импульсы. Источником импульсов являлся синхронно-накачиваемый лазер на F+2 центрах окраски в кристалле NaCl (область перестройки 1,35— 1,75 мкм). Источник работал при температуре 70 К, причем для окрашивания кристалла использовался электронный пучок. Синхронная накачка осуществлялась лазером на гранате с неодимом. По результатам измерений спектра генерации и корреляционной функции интенсивности было установлено, что лазер генерировал импульсы длительностью τ1/2=6 пс. Значение произведения τ1/2∆f=0,18 дает основания считать, что импульсы были спектрально-ограниченными, а по форме занимали промежуточное положение между импульсами с огибающей вида sech(τ) (τ1/2∆f=0,315) и затухающей экспонентой (τ1/2∆f=0,11). Излучение лазера вводилось через микрообъектив в одномодовый волоконный световод со ступенчатым профилем показателя преломления, изготовленный из плавленного кварца с легирующими добавками (диаметр сердцевины 9,3 мкм, длина L=700 м, уровень потерь около 1 дБ/км для λ=1,55 мкм). Пиковая мощность импульса в световоде P0 варьировалась в диапазоне от 0,3 до 22,5 Вт. Экспериментальные профили корреляционных функций интенсивности для различных значений P0 приведены на рис. 3.10. При Р0=0,3 Вт уширение импульса соответствовало линейному режиму и по величине находилось в согласии с расчетным значением. По мере роста P0 длительность выходного импульса уменьшалась и для Р0=1,2 Вт совпадала с начальной, т. е. происходила полная компенсация дисперсионного расплывания нелинейным самосжатием. Этот случай соответствует односолитонному импульсу. Затем наблюдалось сжатие выходного импульса (до 2 пс при Р0=5 Вт), что соответствует двух-солитонному решению НЛШ. При Р0=11,4 Вт на профиле корреляционной функции интенсивности появлялись два побочных максимума.

51

Рис. 3.10. Самовоздействие N-солитонных импульсов при N=1, 2, 3 и 4 (слева направо): а — экспериментальные профили корреляционных функций интенсивности на выходе световода (указаны пиковые значения входной мощности); б — расчетные профили интенсивности

Расстояние L — 700 м соответствует безразмерной длине ξ=π/4, когда связанное состояние двух солитонов формирует «двугорбую» структуру и корреляционная функция имеет три максимума (рис. 3.10). И наконец, при мощности Р0=22,5 Вт формируется связанное состояние четырех солитонов: импульс имеет три характерных максимума, корреляционная функция — пять. Экспериментальные значения мощности отличаются от теоретически предсказанных в среднем на 20 %. Успешные эксперименты с оптическими солитонами, результаты которых не только качественно, но и количественно согласуются с теорией, стимулировали развитие новых направлений в экспериментальных и теоретических исследованиях. Перечислим основные из них: 1) управление огибающей и спектром пикосекундных импульсов, включая их сжатие с переходом в фемтосекундный диапазон; 2) изучение распространения солитонов на сверхдальние расстояния с компенсацией потерь; 3) создание солитонных лазеров; 4) гене52

рация в световодах импульсных последовательностей с предельно высокой частотой повторения; 5) нелинейно-оптическая фильтрация. Самосжатие мощных пикосекундных импульсов В этом параграфе мы обратимся к задачам использования солитонных эффектов для получения импульсов предельно малой длительности. Наиболее естественный путь — это использование самосжатия Nсолитонного импульса в волоконном световоде. По существу, речь идет о временном аналоге самофокусировки светового пучка. Экспериментальная реализация самосжатия требует решения практически важных вопросов об оптимальной длине волоконного световода и о предельно достижимой степени сжатия. Простые оценки этих величин получаются из соображений, аналогичных приведенным ранее. Исходя из величины нелинейного спектрального уширения ∆ω≈t0-1z/Lф и условия ∆t3≈zk2∆ω=2τ0, можно показать, что хвост импульса, где первоначально «локализованы» высокочастотные спектральные компоненты, догоняет низкочастотный фронт на расстоянии Lопт~Lнл. Таким образом, длину световода следует выбирать порядка нелинейной длины. Для оценки степени сжатия S воспользуемся тем, что S≈∆ω/∆ω0- Если импульс на входе в среду был спектрально-ограниченным, то S ~ L нл / L ф = τ 0 (k 0 ~ n 2 I эфф / k 2 )1 / 2 = N , (3.49) т.е. степень сжатия пропорциональна числу солитонов, содержащихся в исходном импульсе. Разумеется, полная информация о зависимости S и Lопт от характеристик излучения и параметров световода может быть получена только в численном эксперименте. Зависимость оптимальной длины световода, степени сжатия и доли энергии, заключенной в узком центральном пике от амплитуды импульса q0 для случая q(τ,0)=g0sech(τ) приведена на рис. 3.8 и 3.11.

Рис. 3.11. Расчетная зависимость оптимальной длины световода (в единицах Lнл) от начальной амплитуды импульса

При возрастании q0 от 2 до 15 оптимальная длина световода монотонно уменьшалась от 1,5 Lнл до 0,6 Lнл с тенденцией к насыщению. В ука53

занном интервале изменения q0 степень сжатия удовлетворяет приближенному соотношению S=C(q0—1), (3.50) где коэффициент С≈4,6. Погрешность этой формулы не превышает 10 % при 20). На выходе решеточного компрессора формируются импульсы с длительностью в единицы пикосекунд. Их последующее самосжатие можно реализовать в сравнительно коротком отрезке световода с k2<0. Уникальные возможности для сжатия открываются в спектральном диапазоне вблизи точки нулевой дисперсии, λ≈ 1,3 мкм, поскольку здесь вследствие малости дисперсии (|k2|→0) критическая мощность образования солитона Ркр мала. Для этого спектрального диапазона созданы световоды как с нормальной, так и с аномальной дисперсией групповой скорости. Большой практический интерес представляет вопрос о предельно достижимой степени солитонного самосжатия. При начальной длительности N-солитонного (N>>1) импульса в единицы и десятки пикосекунд основным ограничивающим фактором становится модуляционная неустойчивость, приводящая к распаду импульса до точки максимального самосжатия. Так, например, при N=16 и уровне шума 1 % распад происходит примерно на половине длины самосжатия. При самофокусировке пучков это соответствует режиму, когда мелкомасштабная самофокусировка начинает доминировать над крупномасштабной. Солитоны в линиях связи; роль возмущающих факторов В линейных системах волоконно-оптической связи предельная скорость передачи информации ограничивается в основном, дисперсионным расплыванием импульсов. Так, например, импульс с начальной длительностью в 1 пс (λ=1,5 мкм) уширяется вдвое при распространении на расстояние 40—50 м. Использование пикосекундных оптических солитонов позволяет преодолеть дисперсионные ограничения и повысить скорость пе54

редачи информации до 1012 бит/с. Выявление предельных возможностей солитонных систем связи и оптимальных режимов передачи информации требует учета ряда возмущающих факторов, таких как оптические потери, дисперсия высших порядков, конкурирующие нелинейные процессы, взаимодействие солитонов в импульсной последовательности и т. д. Подчеркнем, что роль нелинейных возмущающих факторов связана, в первую очередь, не с высокими напряженностями оптических полей, как это имеет место при самосжатии многосолитонных импульсов, а с большими длинами распространения, на которых накапливаются искажения формы импульса. Математическая модель основывается на уравнении для комплексной амплитуды q (ξ, τ) µ1 ∂ 3q ∂q 1 ∂ 2 q ∂ 2 ∂ 2 2 i = + q q − µ q q + i − i µ ( q q ) − iδq, (3.51) 2 2 3 ∂ξ 2 ∂τ ∂τ 6 ∂τ ∂τ где параметр µ=Т0/(πτ0) пропорционален отношению оптического периода колебаний Т0 к начальной длительности импульса, параметр µ1=k3/(k2τ0) характеризует вклад дисперсии третьего порядка, параметр µ2=τнл/τ0 характеризует инерционность нелинейного отклика. Проанализируем вклады возмущающих членов в правой части (3.51). Оптические потери; компенсация за счет комбинационного усиления Минимальный уровень оптических потерь (при λ=1,55 мкм) составляет 0,2 дБ/км, поэтому для оценки их влияния на динамику солитонного импульса можно воспользоваться методом возмущений. При наличии потерь энергия импульса W (ξ) − поненциальному закону:

∞

∫q

2

dτ уменьшается с расстоянием по экс-

−∞

W (ξ) = W0 e −2δξ . (3.52) Если оптические потери на расстоянии порядка дисперсионной длины малы, то амплитуда солитона и χ(ξ) будет уменьшаться, а его длительность τ(ξ)=χ−1 расти: χ = χ 0 e −2δξ , τ = τ 0 e −2δξ . (3.53) Так, при уровне потерь 0,2 дБ/км длительность импульса увеличится в 2,7 раза на расстоянии 20 км при начальной длительности τ0=10 пс.

55

Рис. 3.12. Солитоны в поглощающей среде. Зависимость среднеквадратичной длительности импульса от расстояния ξ=z/Lд при различном уровне потерь: сплошные линии — N=2, штриховые — N=1

Область применимости (3.53) определяется неравенством δ<<1, выражающим, по существу, условие адиабатичности «перестройки» солитона к новому значению амплитуды χ(ξ), соответствующему меньшей энергии. Вопрос о влиянии больших оптических потерь на динамику одно- и N-солитонных импульсов является более сложным. В этом случае трансформацию профилей интенсивности можно определить методами математического моделирования. На рис. 3.12 изображены зависимости среднего квадрата длительности N-солитонного импульса (N=2) от ξ при различном уровне потерь δ. Видно, что с ростом δ наблюдается увеличение пространственного периода пульсаций <τ2(ξ)> и увеличение глубины модуляции. В численных экспериментах обнаружен также распад связанного состояния солитонов на два разбегающихся импульса.

56

Рис. 3.13. Схема компенсации потерь при распространении солитонов в длинных световодах за счет вынужденного комбинационного усиления; на вставке — профили корреляционных функций интенсивности: 1 — входной импульс, 2 — выходной импульс при наличии потерь, 3 — выходной импульс при компенсации потерь

Уширение импульсов, обусловленное оптическими потерями, может быть сведено к минимуму и даже полностью устранено за счет использования процесса вынужденного комбинационного усиления. Возможность компенсации оптических потерь за счет комбинационного усиления убедительно показана в недавних экспериментах. Спектрально-ограниченные импульсы лазера на центрах окраски (ЦО) (λс=1,56 мкм, τ1/2=10 пс) вводились в одномодовый волоконный световод длиной L=10 км. Непрерывное излучение накачки (λн=1,46 мкм, Рн=125 мВт) вводилось с выходного конца световода. В отсутствие накачки длительность выходного импульса возрастала приблизительно в 1,5 раза (рис. 3.13), однако использование комбинационного усиления позволило полностью скомпенсировать уширение импульса (штриховая линия на рис. 3.13). В заключение следует отметить, что проведенный за последние годы детальный анализ физической картины распространения солитонов по реальным световодам не только подтвердил целесообразность их использования в информационных системах, но и позволил выявить оптимальные режимы передачи информации.

57

Литература Основная 1. Физическая энциклопедия / гл. ред. А.М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — 704 с. 2. Физическая энциклопедия / гл. ред. А.М. Прохоров. — М. : Большая Росс. энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. 3. Физическая энциклопедия / гл. ред. А.М. Прохоров. — М. : Большая Росс. энциклопедия, 1994. — Т.4. — 704 с. 4. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики / И.Р. Шен. — М. : Наука, 1989. — 558 с. 5. Ахманов С.А. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов / С.А. Ахманов, В.А. Выслоух, А.С. Чиркин. — М. : Наука, 1988. — 310 с. Дополнительная 1. Ахманов С.А. Проблемы нелинейной оптики / С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов. — М. : Изд-во АН СССР, 1964. — 295 с. 2. Бломберген Н. Нелинейная оптика / Н. Бломберген. — М. : Мир, 1966. — 424 с. 3. Шуберт М. Введение в нелинейную оптику / М. Шуберт, Б. Вильгельми. — М. : Мир, 1973–1979. — Ч. 1. — 1973. — Классическое рассмотрение. — 244 с. ; Ч. 2. — 1979. — Квантовофизическое рассмотрение. — 512 с. 4. А.М. Прохоров. Нелинейные эффекты в оптических волноводах / А.М. Прохоров // Изв. АН СССР. Сер. Физика. — 1983. — Т. 47, № 10. — С. 1847—1879. 5. Нелинейные эффекты в оптических волноводах / Е.М. Дианов [и др.] // Изв. АН СССР. Сер. Физика. — 1984. — Т. 48, № 8. — С. 1458— 1465. 6. Нелинейные эффекты в одномодовых световодах при нано- и пикосекундных лазерных накачках / Е.М. Дианов [и др.] // Тр. ИОФАН. — 1987. — Т. 5. — С. 93—114. 7. Дианов Е.М. Теория генерации второй гармоники в волоконных световодах, обусловленной фазовым переходом в системе дефектов / Е.М. Дианов, В.О. Соколов, В.Б. Сулимов // Тр. ИОФАН. — 1993. — Т. 39. — С. 39—70. 8. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М. : Наука, 1982. — 624 с.

58

Учебное издание Клюев Виктор Григорьевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТОВОЛОКОННЫХ СИСТЕМАХ

Учебное пособие для вузов

Подписано в печать 25.12.2008. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 3,4. Тираж 25 экз. Заказ 2500. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс) +7 (4732) 598-026 http:// www.ppc.vsu.ru; e-mail: [email protected] Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3