Методическое пособие по изучению раздела математики ''Элементы векторного исчисления''

Т.К. Фомина, М.Я. Сафин

Методическое пособие по изучению раздела математики "Элементы векторного исчисления"

Для студентов факультета общеобразовательных дисциплин инженерных специальностей

Москва Издательство Российского университета дружбы народов 1999

Утверждено РИС Ученого совета Российского университета дружбы народов

Фомина Т.К., Сафин М.Я. Методическое пособие по изучению раздела математики "Элементы векторного исчисления". Для студентов факультета общеобразовательных дисциплин инженерных специальностей. — М., Изд-во РУДН, 1999. — 40 с.

В первой части пособия дается определение и рассматриваются основные свойства линейного векторного пространства, линейная зависимость и линейная независимость векторов, базис векторного пространства, разложение векторов по базису. Во второй части пособия дается определение метрического векторного пространства, скалярного произведения векторов и рассматриваются его свойства, вводится определение нормы вектора, угла между векторами, проекции одного вектора на другой. Описывается процедура ортогонализации произвольного базиса, дается определение ортонормированного базиса. Далее рассматриваются векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Все основные понятия, а также свойства векторов и операций над ними иллюстрируются примерами и геометрически. Каждый логический раздел завершается подробным рассмотрением нескольких задач и списком задач для самостоятельного решения. Подготовлено на кафедре математики и информатики.

© Издательство Российского университета дружбы народов, 1999 г.

Содержание Введение.........................................................................................................................3 Векторное пространство...............................................................................................5 Основные понятия ....................................................................................................5 Линейная зависимость и линейная независимость векторов ...............................8 Базис векторного пространства ...............................................................................9 Упражнения .............................................................................................................12 Метрическое векторное пространство ......................................................................16 Определение и основные свойства........................................................................16 Вычисление скалярного произведения .................................................................21 Упражнения .............................................................................................................24 Векторное произведение ........................................................................................27 Упражнения .............................................................................................................31 Смешанное произведение векторов ......................................................................35 Упражнения .............................................................................................................37

Введение Многие физические, инженерные, экономические и другие задачи связаны с исследованием поведения определенных величин в зависимости от некоторых параметров. Если для описания исследуемой величины достаточно одной компоненты, т.е. она представляется одной функцией некоторых параметров, то говорят, что эта величина является скалярной. Примером может служить плотность газовой атмосферы в зависимости от газового состава µ , температуры T и высоты h над поверхностью планеты: ρ(µ,T ,h) . Если исследуемая величина состоит из нескольких компонент, т.е. представляется в виде упорядоченной совокупности нескольких функций некоторых параметров, то говорят, что эта величина является векторной. Примеры векторных величин хорошо ! ! ! известны из курса физики: это скорость v , ускорение a , сила F , напряженность элек! трического поля E и др. Указанные величины представляют собой векторы в трехмерном пространстве, они имеют три компоненты, называемые также координатами, и обычно представляются в виде направленных отрезков прямых линий, начинающихся в начале системы координат OXYZ и заканчивающихся в точке, координаты которой и являются координатами вектора. На рис. 1 дан пример вектора скорости тела в пространственной точке M (x,y,z). Z

vz

O

! v

 vx (x,y,z)   ! v(x,y,z) =  vy (x,y,z)    vz (x,y,z) vy Y

vx X

Рис. 1

3

Следует подчеркнуть, что не всякая совокупность нескольких величин может рассматриваться как вектор. Например, температура T , давление p и влажность f в точке M (x,y,z) не являются тремя координатами какого-либо пространственного вектора, хотя формально их и можно записать в виде компонент "векторной" величины: T  !   u =  p .    f

(1)

Причина кроется в том, что когда говорят о векторах, то, по крайней мере неявно, предполагается, что этих векторов множество, что они "находятся" в некотором пространстве и обладают рядом свойств. Этими свойствами, собственно, и определяется как само множество векторов, так и соответствующее пространство. Очевидно, что сложение двух "векторов", введенных формально по правилу (1), физически бессмысленно, так как суммарной температуре T1 + T2 ни в коей мере не соответствуют суммарное давление p1 + p2 и суммарная влажность f1 + f2 . С другой стороны, "векторные" обозначения (1) для величин, векторами в истинном смысле не являющихся, удобны для компактной записи различных соотношений и дают возможность применить некоторые методы векторного исчисления для решения той или иной задачи.

4

Векторное пространство Основные понятия Определение 1.

! Действительным n -мерным вектором v называется столбец из n действительных чисел:  v1    !  v2  v= . "    vn 

! Числа vi, i = 1,2,...n , являются компонентами вектора v . Определение 2.

Действительным векторным (линейным) пространством V ! называется множество n -мерных векторов {v} , на котором определены однозначные операции сложения векторов и умножения их на действительные числа со следующими свойствами. ! ! ! ! а) Сравнение векторов: ∀v , w ∈ V : v = w ↔ vi = w i , т.е. два вектора равны то-

гда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты. ! ! ! б) Сложение векторов: ∀v,w ∈ V существует вектор u ∈ V с компонентами ! ! ! ! ! ui = vi + w i, называемый суммой векторов v и w : u = v + w . Другими словами, для любых двух векторов  v1   w1   v1      !  v2  !  w2  ! !  v2 v =   и w =   их сумма v + w =  " "       vn  wn   vn

+ w1   + w2   определена единственным образом "  + wn 

так, что компоненты вектора-суммы равны сумме соответствующих компонент векторов-слагаемых. Очевидно, что введенная операция сложения векторов обладает теми же свойствами, что и операция сложения действительных чисел: ! ! ! ! — коммутативность (перестановочность) v + w = w + v ; ! ! ! ! ! ! — ассоциативность v + (w + u) = (w + v)+ u .

5

! в) Нулевой вектор: в пространстве V существует единственный вектор 0 такой, ! ! ! ! что ∀v ∈ V : 0 + v = v . Из а) и б) следует, что все компоненты нулевого вектора равны  0   !  0 нулю, т.е. 0 =   . "    0 ! ! г) Противоположный вектор: ∀v ∈ V существует единственный вектор w та! ! ! кой, что v + w = 0 . Из а) и б) следует, что компоненты w i противоположного вектора отличаются знаком от соответствующих компонент vi исходного вектора, т.е.  − v1    !  − v2  w = . "     − vn  ! ! д) Умножение вектора на действительное число: ∀v ∈ V и ∀α ∈ ℜ ∃u ∈ V ,  αv1    !  αv2  ! ! ! . Другими словами, умножение вектора v на число u = αv , с компонентами u =   "    αvn  α сводится к умножению на α всех его компонент. Операция умножения векторов на действительные числа обладает следующими свойствами: ! ! е) α(βv) = (αβ)v . ! ! ! ж) (α + β)v = αv + βv . ! ! ! ! з) α(v + w ) = αv + αw . ! ! ! ! ! Следствие 1. Если v + w = 0 , то v = −w . ! ! ! Следствие 2. Если u = v − w , то ui = vi − w i . ! ! ! Следствие 3. ∀v : 0 ⋅ v = 0 . Пример 1. Плоскость, как векторное пространство. Пусть на плоскости V2 задана прямоугольная система координат OXY. Назовем вектором направленный отрезок, выходя-

6

щий из начала координат и заканчивающийся в заданной точке плоскости M (x,y). Таким образом, каждой точке плоскости соответствует определенный вектор и наоборот, а саму плоскость можно рассматривать, как множество всех этих векторов. Нетрудно проверить, что это множество векторов удовлетворяет всем аксиомам векторного пространства (Определение 2). Операции сложения (рис. 2) и вычитания (рис. 3) векторов выполняются по из-

Y

Y

! ! v+w

! w

! w

! ! w −v

! v O

w 1 v1 v1 + w 1

! v X

w 1 − v1 O

Рис. 2

w1

v1

X

Рис. 3

вестному правилу параллелограмма. ! ! Вектор v и противоположный ему вектор − v лежат на одной прямой, имеют одинаковые длины, но направлены в противоположные стороны (рис. 4). Умножение на число α увеличивает длину вектора, если α > 1, и уменьшает его длину, если α < 1; если α отрицательно ( α < 0 ), то направление вектора изменяется на противоположное (рис. 5). Y

Y

! v O

! v X O

! −v

! αv,α > 1

! w

X

! aw ,− 1 < α < 0 Рис. 4

Рис. 5

Пример 2. Коэффициенты ak линейного уравнения и входящие в него n переменных xk 7

a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = 0 составляют n -мерные векторы:  a1   x1      !  a2  !  x2  a=  , x =   . " "      an   xn  Пример 3. Матрица A = aik  a11   a21 A = "   am 1

n m

размерности m × n содержит m строк и n столбцов:

a12 # a1n   a22 # a2n  . " " "   a2 # am n 

Каждая строка представляет собой n -мерный вектор, а каждый столбец — m -мерный вектор.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов В предыдущем разделе было дано определение n -мерного вектора и векторного пространства V , как некоторого множества таких векторов. Размерность пространства не обязательно совпадает с размерностью образующих его векторов. Определение размерности пространства существенно опирается на понятие линейной зависимости (независимости) векторов. ! ! ! ! Говорят, что вектор v пропорционален вектору w ( v,w ∈ V ), если существует ! ! ! такое действительное число α , что v = αw . В частности, нулевой вектор 0 пропор! ! ! ционален любому вектору v ∈ V : 0 = 0 ⋅ v ; если векторы рассматривать как направленные отрезки прямых, то последнее соотношение означает, что направление нулевого вектора не определено (произвольно). Определение 3.

8

! Векторы ak ∈ V ,k = 1,2,...m , называются линейно зависимыми, если существуют такие m чисел α k , не равные одновременно нулю, что

! ! ! ! α 1a1 + α 2 a2 + ... + α m am = 0 . Определение 4.

! ! ! Векторы a1, a2 ,...am называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю ! ! ! ! α 1a1 + α 2 a2 + ... + α m am = 0 тогда и только k = 1,2,...m .

Определение 5.

тогда,

когда

все

числа

αk = 0 ,

Векторное пространство V называется n -мерным (имеющим n измерений) и обозначается Vn , если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов линейно зависимы.

Примечание. В данном выше определении элементы векторного пространства совсем не обязательно должны иметь вид числовых столбцов из n компонент. Векторное пространство может быть образовано элементами произвольной природы, подчиняющимися сформулированным правилам сложения и умножения на числа (вообще говоря, не обязательно действительные). Такое пространство может оказаться бесконечномерным, если в нем можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов. Пример 4. Совокупность полиномов Pm (x) = α m x m + α m − 1 x m − 1 + ...+ α 1 x + α 0 степени m < n с действительными коэффициентами представляет собой n -мерное векторное пространство ( Pm (x) — вектор, а основными операциями являются обычное сложение полиномов и умножение полинома на число). Если рассматривать множество полиномов произвольной степени, то оно образует бесконечномерное векторное пространство.

Базис векторного пространства Системы линейно независимых векторов играют важную роль в векторном пространстве. Определение 6.

Любая система из n линейно независимых упорядоченных (за! ! ! данных в определенном порядке) векторов a1,a2 ,...an в n мерном векторном пространстве Vn называется базисом этого пространства. 9

! Каждый вектор v ∈ Vn может быть разложен по базису пространства Vn . ! ! Доказательство. Пусть {ak } — базис Vn , а v — произвольный вектор из Vn . По ! ! ! ! определению Vn совокупность из (n + 1) векторов v,a1,a2 ,... an линейно зависима: Теорема 1.

! ! ! ! ! β 0v + β1a1 + β 2 a2 + ... + β n an = 0 , где по крайней мере одно из чисел β k отлично от нуля. Очевидно, β 0 ≠ 0 , иначе век! торы базиса {ak } оказались бы линейно зависимыми. Поэтому ! ! ! ! v = v1a1 + v2 a2 + ...+ vn an , где vk = −

(2)

βk (k = 1,2,...n). β0

! Теорема доказана. Формула (2) представляет собой разложение вектора v по ба! ! зису {ak } . Коэффициенты vk этого разложения называются координатами вектора v ! в базисе {ak } . Заметим, что разложение данного вектора по данному базису единственно. В самом деле, если имеется другое разложение ! ! ! ! v = v1′a1 + v2′ a2 + ... + vn′ an ,

(3)

то, вычитая (3) из (2), получим ! ! ! ! (v1 − v1′ )a1 + (v2 − v2′ )a2 + ... + (vn − vn′ )an = 0 . В силу линейной независимости векторов базиса все коэффициенты в левой части должны равняться нулю: v1 − v1′ = 0,v2 − v2′ = 0,...vn − vn′ = 0 , или v1′ = v1,v2′ = v2 ,...vn′ = vn , т.е. разложение (3) совпадает с разложением (2). ! Если {ak } — базис, и

10

! v=

n

! ! ∑ vkak , w = k=1

n

∑w

k

! ak ,

k=1

то ! ! v+w =

! ! ∑ (vk + w k )ak , αv = n

k=1

!

n

∑ αv a k

k

.

k=1

Таким образом, мы пришли к известным "правилам": координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых, а при умножении вектора на число, на это число умножаются все координаты вектора. В пространстве Vn существует бесконечное число базисов. В самом деле, пусть ! {a! k} — базис. Построим совокупность n векторов bk :

{ }

! ! ! ! b1 = α 11a1 + α 12 a2 + ...+ α 1n an ! ! ! ! b2 = α 21a1 + α 22 a2 + ...+ α 2n an .  .................................... b! = α a! + α a! + ...+ α a! n1 1 n2 2 nn n  n

(4)

! Совокупность векторов bk будет линейно независимой, если

{ }

n

!

∑β b

k k

! =0

(5)

k= 1

только тогда, когда все коэффициенты β k равны нулю. Подставив в (5) выражения для ! векторов bk из (4), получим систему n однородных линейных уравнений α 11β1 + α 21β 2 + ...+ α n1β n = 0  α 12β1 + α 22β 2 + ...+ α n2β n = 0  .................................... α 1n β1 + α 2n β 2 + ... + α nn β n = 0

(6)

относительно n переменных β k . Эта система имеет только нулевое решение тогда, когда матрица системы (6), является неособенной, т.е. ее определитель или, что то же, определитель транспонированной матрицы системы (4), не равен нулю:

11

α 11 α 21 detA = "

α n1

α 12 # α 1n α 22 # α 2n ≠ 0. " " " α n2 # α nn

(7)

! Итак, преобразование (4) базиса {ak } с неособенной матрицей A , дает новую ! совокупность линейно независимых векторов — новый базис bk пространства Vn .

{ }

Упражнения Рассмотрим решение нескольких задач. Задача 1. Даны три вектора: 2  0   − 5 !   !   !   u =  3 , v =  − 3 и w =  0  . 0  − 2  2        ! ! ! ! ! ! ! ! ! Вычислить u + v + w , u − v + w и u + v − w .

Решение.  2   0   − 5  2 + 0 − 5   − 3    ! ! !        u + v + w =  3  +  − 3  +  0  =  3 − 3 + 0  =  0  — вектор, лежащий на оси OX, 0  − 2  2  0 − 2 + 2  0             2   0   − 5   2 − 0 − 5   − 3    ! ! !        u − v + w =  3 −  − 3 +  0  =  3 + 3 + 0  =  6  , 0 − 2  2  0 + 2 + 2  4             2   0   − 5  2 + 0 + 5   7     ! ! !        u + v − w =  3  +  − 3  −  0  =  3 − 3 − 0  =  0  — вектор в плоскости OXZ.  0  − 2  2  0 − 2 − 2  − 4          

12

Ответ.  − 3  − 3  7  ! ! !   ! ! !   ! ! !   u +v +w = 0 , u −v +w= 6 , u +v −w = 0 .  0   4   − 4       Задача 2. Показать, что векторы  3  1   − 1 !   !   !   a =  − 1 , b =  − 2  и c =  7  2  0  1       образуют базис пространства V3 . Решение. ! ! ! Вычислим определитель, столбцы которого представляют векторы a , b , c : 3 1 −1 ∆ = −1 − 2 7 . 2 0 1 Для этого умножим третий столбец на 2 и вычтем из первого столбца: 5 1 −1 5 1 ∆ = − 15 − 2 7 = 1 ⋅ = −10 + 15 = 5 . − 15 − 2 0 0 1 Ответ. ! ! ! Так как ∆ ≠ 0 , столбцы определителя линейно независимы, а векторы a , b , c образуют базис линейного пространства V3 . Задача 3. ! ! ! ! Разложить вектор c по базису {p, q , r }, где  11   3   −1  2  !   !   !   !   c =  − 6 , а p =  − 2 , q =  1  , r =  1  .  5   1  − 2  − 3         13

Решение. ! ! ! ! Разложим вектор c по векторам {p, q , r } с неопределенными коэффициентами

α, β иγ: ! ! ! ! c = αp + βq + γr . В координатах это разложение представляет собой систему трех линейных уравнений относительно α , β и γ :  3α − β + 2γ = 11  − 2α + β + γ = −6  α − 2 β − 3γ = 5  Решение невырожденной системы можно записать в виде

α=

∆β ∆γ ∆α , β= ,γ = , ∆ ∆ ∆

где 3 −1 2 3 −1 2 1 3 ∆ = −2 1 = −1 + 9 = 8 , 1 = 1 0 3 = ( −1) ⋅ ( −1) 3 ⋅ − 3 −1 1 − 2 − 3 − 3 0 −1 11 − 1 2 5 0 3 5 3 ∆α = − 6 1 1 = − 6 1 1 = 1 ⋅ ( −1) 4 ⋅ = −5 + 21 = 16 , − 7 −1 5 − 2 − 3 − 7 0 −1 3 11 2 0 − 4 11 − 4 11 ∆ β = − 2 − 6 1 = 0 4 − 5 = 1 ⋅ ( −1) 4 ⋅ = 20 − 44 = −24 , 4 −5 1 5 −3 1 5 −3 3 − 1 11 1 0 5 1 5 ∆ γ = − 2 1 − 6 = − 2 1 − 6 = 1 ⋅ ( −1) 4 ⋅ = −7 + 15 = 8 . −3 −7 1 −2 5 −3 0 −7 Таким образом, получаем:

α=

14

16 − 24 8 = 2, β = = −3 , γ = = 1 . 8 8 8

Ответ. ! ! ! ! c = 2 p − 3q + r . Выполните следующие упражнения. ! ! ! ! ! ! 1. Найти векторы p + q , p − q , 3 p + 4 q , если  3 − 2 !   !   p = 2 , q =  6  . − 4 0     ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2. Найти векторы a + b + c , a + b − c , 3a − b + c , если  −1  1 2 !   !   !   a =  1 , b =  1  , c =  − 2  . − 2 1  1       3. Какие из векторов  6  0  0 1 2 6 !   !   !   !   !   !   a =  6 , b = 0 , c =  0 , d = 1 , e =  − 6 , f =  0  0  4  0 0  5 2             лежат на оси абсцисс OX? на оси ординат OY? на оси аппликат OZ? Какие из них лежат в плоскости XOY? в плоскости YOZ? в плоскости XOZ? 4. Даны векторы !  3  !  1  !  − 1 ! ! ! ! a =   , b =   , c =   и p = a + b + c .  − 1 − 2 7

{ }

! ! ! Найти разложение вектора p по базису a , b . 5. Даны четыре вектора 2 1 2  3  !   !   !   !   a =  1  , b =  − 1 , c =  2  , d =  7  . 0 2 1  − 7         Найти разложение каждого из этих векторов по базису, образованному тремя остальными векторами. 15

Метрическое векторное пространство В предыдущих разделах мы обсудили общие свойства векторного пространства Vn . При n = 3 это пространство похоже на обычное трехмерное пространство, но не совсем, т.к. в нем не определены так называемые метрические свойства — расстояние (длина) и углы. Чтобы определить эти свойства, нужно ввести еще одну операцию над векторами — скалярное произведение.

Определение и основные свойства Определение 7.

Векторное пространство Vn называется метрическим или ! ! нормированным, если для любой пары векторов v ,w ∈ Vn опре! ! делено их скалярное произведение (v ,w ) , со следующими свойствами:

! ! а) (v ,w )∈ ℜ — скалярное произведение является действительным числом; ! ! !! б) (v ,w ) = (w,v ) — скалярное произведение симметрично относительно перестановки сомножителей; ! ! ! ! в) (αv ,w ) = α (v ,w ),α ∈ ℜ — числовой множитель выносится за знак скалярного произведения; !! ! !! ! ! г) (u ,v + w ) = (u ,v ) + (u ,w ) — дистрибутивность; !! !2 д) (v ,v ) = v ≥ 0 , ! v

2

! ! = 0 только, если v = 0 , — положительная определенность квадрата нормы ! v

2

! вектора v (иногда говорят просто "квад-

рат вектора"). Норма вектора определяется как положительное значение квадратного корня ! !$ из квадрата нормы v = (v ,v ) . Из свойств б), в) и г) следуют "симметричные" свойства: ! ! ! ! в′) (v ,αw ) = α (v ,w ),α ∈ ℜ ; ! ! ! ! ! ! ! г′) (u + v ,w ) = (u ,w ) + (v ,w ) . Очевидно также, что

16

! ! д′) (v,0) = 0 — скалярное произведение любого вектора с нулевым вектором равно нулю. Пространство Vn с определенным таким образом скалярным произведением называется также n -мерным Евклидовым пространством. Определение 8.

Определение 9.

Определение 10.

(v!,w! ) ! ! Если v и w — ненулевые векторы, то величина vw = ! w ! ! называется проекцией вектора v на вектор w , а величина ! ! (v,w ) ! ! w v = ! — проекцией вектора w на вектор v. v ! ! Угол ϕ между ненулевыми векторами v и w определяется ! ! ( v ,w ) соотношением cos ϕ = ! ! . v ⋅ w ! ! Два ненулевых вектора v и w называются коллинеарными, если их скалярное произведение с точностью до знака равно произведению норм векторов: ! ! ! ! ! ! v || w , если (v ,w ) = ± v ⋅ w . Знак плюс соответствует параллельным векторам: cos ϕ = 1, ϕ = 0 , а знак минус — антипараллельным векторам: cosϕ = −1, ϕ = π .

Определение 11.

! ! Два ненулевых вектора v и w называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

π ! ! ! ! v ⊥w , если (v , w) = 0 , при этом cos ϕ = 0, ϕ = . 2 В силу свойства д′) нулевой вектор можно считать ортогональным к любому вектору. Система векторов называется ортогональной системой, если все входящие в нее векторы попарно ортогональны. Теорема 2.

Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ! Доказательство. Пусть имеется система {ak } из m ортогональных векторов

( k = 1.2,...m ), т.е.

17

(a! , a! ) = 0 i

(8)

j

при i ≠ j, i, j = 1,2,...m . ! Допустим, что векторы системы {ak } линейно зависимы, т.е. что существуют неравные одновременно нулю числа α k такие, что ! ! ! ! α1a1 + α 2 a2 + ...+ α m am = 0 .

(9)

! Умножим скалярно обе части равенства (9) на первый вектор a1 , тогда, в силу (8) в левой части останется только первое слагаемое ! ! ! ! α 1 ( a1 ,a1 ) = a1 ,0 = 0 .

(

)

! Так как вектор a1 ненулевой, то отсюда следует, что коэффициент α 1 = 0 . ! ! Аналогично, путем последовательного умножения (9) на векторы a2 ,...am получим, что и все остальные коэффициенты равны нулю: α 2 = 0,...α m = 0 . Таким образом, допущение о линейной зависимости ортогональной системы ! векторов {ak } неверно, и теорема доказана. Использование ортогональных систем векторов упрощает решение многих задач, связанных с волновыми процессами, и, в частности, задач квантовой механики. Поэтому возникает необходимость ортогонализации — перехода от некоторой произвольной системы линейно независимых векторов к эквивалентной ортогональной системе. Эквивалентность понимается в том смысле, что ортогональная система строится из векторов исходной системы. Рассмотрим процесс ортогонализации на примере системы двух векторов. Теорема 3.

Систему двух линейно независимых не ортогональных векто! ! ров a и b заменить эквивалентной ортогональной системой двух векторов. ! ! Доказательство. Пусть a и b — линейно независимы и не ортогональны, т.е. ! ! ! ! ! αa + βb = 0 только при α = β = 0 , и a,b ≠ 0. ! Рассмотрим вектор c, представленный в виде линейной комбинации векторов ! ! a и b:

(

$ ! ! c = αa + βb .

18

)

(10)

Задача состоит в том, чтобы заменить разложение (10) эквивалентным разложением $ ! ! c = α ′a ′ + β ′ b ′ ,

(11)

! ! ! в котором векторы a′ и b ′ ортогональны и выражаются через исходные векторы a и ! b. ! ! ! В качестве вектора a′ выберем вектор a , а вектор b ′ представим в виде линей! ! ной комбинации векторов a и b : ! ! a′ = a $ ! ! b′ = a + γb

(12)

! ! ! ! и потребуем, чтобы a′ и b ′ были ортогональны a′,b′ = 0 . Из равенств (12) получим

(

!

!

)

!

(a! ′,b′) = (a!,b′) = (a!,a! ) + γ (a!,b) = 0 . Отсюда найдем коэффициент γ :

(a!,a!! )

!2 a γ = ! = ! ! a,b a,b

(

) (

)

(13)

Обратим систему (12) ! ! a = a′ !  !  $ b′ − a ′ b = γ 

(14)

! ! и подставим эти выражения для векторов a и b в (10): $ ! $ $ b ′ − a′  β ! β$ ! ! ! ! c = αa + βb = αa′ + β =  α −  a′ + b ′ = α ′a ′ + β ′ b ′ . γ γ γ 

(15)

! ! ! Таким образом, исходное разложение вектора c по векторам a и b преобразо! ! вано в разложение (11) по ортогональным векторам a′ и b ′ с коэффициентами разложения

19

  β α ′ = α − γ    β ′ = β  γ

   α ′ = α −   ⇒   !! a ,b  β ′ = ! 2 a 

(a!,b )β  !

! a

2

( )β

 .

(16)

! Следствие. Любой базис {ak } можно ортогонализовать, т.е. преобразовать в эк-

(

)

! ! ! вивалентный ортогональный базис {ak′ } : ai,aj = 0 при i ≠ j. Определение 12.

! Ортогональный базис {ek } называется ортонормированным, ! ! если ei,ej = δ ij (символ Кронекера δ ij = 0 при i ≠ j и ! ! δ ij = 1 при i = j). Векторы этого базиса ek , ek = 1 , назы-

(

)

ваются ортами. Любой ненулевой вектор может быть нормирован, для чего достаточно разделить его на собственную норму: ! ! ! v v v ! !0 !0 v → v = ! , v = ! = ! = 1. v v v ! Коэффициенты разложения вектора v по ортонормирован! ному базису {ek } пространства Vn являются проекциями этого вектора на соответствующие орты базиса. ! ! Доказательство. Разложение v по базису {ek } имеет вид:

Теорема 3.

! v=

n

!

∑v e . k= 1

(17)

k k

Умножим скалярно обе части равенства (17) на один из ортов базиса, например, ! на ei :

(v!,e!i) =

! ! ! ! ∑ vk (ek,ei) ⇒ (v,ei) = n

k=1

n

∑v δ k

k=1

ki

! ! ⇒ vi =(v,ei) .

! ! v,ei) ( ! ! Теорема доказана, т.к. по Определению 8 (v,ei) = ! есть проекция вектора ei ! ! v на орт ei .

20

Вычисление скалярного произведения Обратив Определение 9, данное в предыдущем разделе, получим известное "геометрическое" правило вычисления скалярного произведения:

(v!,w! ) =

! ! v ⋅ w ⋅ cos ϕ .

(18)

Однако для применения правила "скалярное произведение равно произведению "длин" векторов на косинус угла между ними" нужно знать или уметь вычислять "длины" векторов и угол между ними. Получим другое, не геометрическое правило вычисления скалярного произведе! ! ! ния. Пусть {ek } — ортонормированный базис. Разложим по нему векторы v и w : ! v=

! ! ∑ vkek , w = n

k=1

n

∑w

! e .

(19)

k k

k=1

! ! ! ! ! ! ! Здесь vk = (v,ek ) и w k = (w ,ek ) — проекции векторов v и w на орты базиса {ek } . Подставим эти выражения в формулу скалярного произведения (индекс k, по которому выполняется суммирование в (19), можно обозначить любой другой буквой): 

n



j= 1



n

(v!,w! ) =  ∑ vie!i ,∑ w je!j  .  i= 1

(20)

Так как скалярное произведение суммы векторов равно сумме скалярных произведений, то ! ! (v,w ) =

n

n

i= 1

j= 1

∑∑

( ) ∑∑

!! viw j ee i j =

n

n

i= 1

j= 1

viw jδ ij .

Воспользовавшись свойствами символа Кронекера, получим окончательную формулу ! ! (v,w ) =

n

∑

viw i ,

(21)

i= 1

определяющую правило: Скалярное произведение векторов равно сумме произведений проекций этих векторов на соответствующие орты базиса (или сумме произведений соответствующих координат векторов). Из (21) сразу же следует формула для вычисления длины (нормы) вектора: 21

! v =

!2 v =

(v!,v! ) =

v12 + v22 .

(22)

Среди множества ортонормированных базисов пространства Vn выделяется

{ }

! один, называемый стандартным декартовым базисом ek0 . Орты этого базиса задаются следующим образом:  1  0  0       ! 0  0 ! 0  1 ! 0  0 e1 =   , e2 =   , ... en =   . " " "        0  0  1

(23)

[ ]

! Компоненты ортов этого базиса имеют вид: ek0

i

= δ ik , а компоненты vk любо-

го вектора  v1    !  v2  v=  "    vn 

{ }

(

)

! ! ! являются проекциями этого вектора на орты базиса ek0 : vk = v,ek0 , т.е. являются ! координатами вектора v в стандартном декартовом базисе1. Обратимся к геометрическому смыслу координат векторов на примере плоско! ! сти — евклидового пространства V2 . Орты базиса e10 ,e20 образуют "направляющие"

{

}

векторы декартовой системы OXY координат на плоскости (см. рис. 6). ! Проекции вектора v на оси OX и OY равны соответственно ! ! ! ! v1 = (v,e10 ) , v2 = (v,e20 ) .

(24)

! ! Так как e10 = e20 = 1 , то на основании (18) получим: ! ! π  ! v1 = v cos ϕ , v2 = v cos − ϕ  = v sin ϕ . 2 

1

{i!, !j , k!}. 22

Орты стандартного декартового базиса трехмерного пространства

(25)

V3 часто обозначаются как

!2 В соответствии с (22) отсюда имеем v = v12 + v22 .

Y v2 !0 e2

π 2

! v

−ϕ ϕ ! e10

O

v1

X

Рис. 6 С помощью (25) из (21) получим геометрическую формулу для скалярного про! ! изведения двух векторов a и b (см. рис. 7):

(a!,b! ) = a b + a b 1 1

2 2

! ! = a ⋅ b ⋅ (cos α cos β + sin α sin β ) ,

или

(a!,b! ) = a! ⋅ b! ⋅ cos(α − β ) ,

(26)

т.е. скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.

! b

Y ! a

β α O

X

Рис. 7

23

Упражнения Рассмотрим решение нескольких задач. Задача 1.  6  !   Найти орт вектора a =  − 2  .  − 3   Решение. ! ! ! ! a Орт вектора a : ea! = ! , ea! = 1 . a ! Вычислим a = (6) 2 + ( −2) 2 + ( −3) 2 = 49 = 7 .  6/7   !  Ответ. ea! =  − 2 / 7  .  − 3/ 7    Задача 2. Найти угол между векторами  − 1  1  !   !   a =  1  и b = − 2 . 0  2      Решение.

(a!, b!) . !

Воспользуемся формулой cosα = ! a ⋅b

(a!, b! ) = (−1) ⋅1 + 1⋅ (−2) + 0 ⋅ 2 = −3 , ! ! a = ( −1) 2 + 12 + 0 2 = 2 , b = 12 + ( −2) 2 + 2 2 = 9 = 3 , cosα = −

  2 π 2 2  = π − arccos  =π − . , α = arccos −    2 4  2   2 

Ответ. α =

24

3π (135°) . 4

Выполните следующие упражнения. 1. Вершины треугольника ∆ABC имеют координаты A(3, 2, − 3) , B(5, 1, − 1) и C (1, − 2, 1) . Найти внешний угол ∆ABC при вершине A . ! ! 2. Вектор v , коллинеарный вектору a , образует острый угол с осью OZ. Найти  6   !  ! ! координаты v , если a =  − 8  и v = 50 .  − 7,5     5 2 !   !   3. Вычислить проекцию вектора a =  2  на вектор b =  − 1 .  5 2      1   − 5  7  !   !   !   4. Даны два вектора m =  7  и n =  − 9  . Найти проекцию вектора a =  − 3 на  1   − 6  9        ! ! вектор n − m .  − 2  3 1  3  !   !   !   !   5. Даны четыре вектора a =  3  , b =  2  , c =  − 1 и d =  2  . Найти проек − 4 5 2  − 4         ! ! ! ! цию вектора b − a на вектор d − c . ! ! $ ! $ ! ! ! 6. Вычислить угол между векторами c = b + a , b a и d = a − a , b b , если

( )

( )

 0 − 2 !   !   a = 1 и b =  2  . 1  0      ! ! ! ! 7. Найти проекции вектора c на вектор d и вектора d на вектор c , если  − 1 1 ! ! ! ! ! ! ! ! !   !   c = b + a, b a , d = b − a и a =  2  , b =  2  . 1  − 1    

( )

 − 1 !   8. Даны три вектора a =  − 1 , 0   ! ! ! ! ! ! $ c + d на вектор c − d , если c = a + m и

1  − 1 !   !   b =  0  и m =  1  . Найти проекцию вектора 1 1     ! ! ! d =b +m.

25

! ! ! ! ! ! 9. Нормировать векторы c = a + 2b и d = − a − 3b и вычислить угол между ними,  − 2 1 !   !   если a =  1  и b =  0  .  0   − 1     ! ! $ ! $ ! ! ! 10. Нормировать векторы c = b − a , b a и d = a + a , b b и вычислить угол меж-

( )

 − 2 1 !   !   ду ними, если a =  3  и b =  0  .  2  1    

26

( )

Векторное произведение По определению скалярное произведение симметрично: !

!

(a!,b) = (b,a! ) . Его можно рассматривать как функцию координат векторов сомножителей: F ( ai,bi) =

n

∑a b k=1

k k

.

Такие функции называются билинейными и симметричными, т.к. они линейны и симметричны по каждому аргументу: F (ai,bi) =

n

∑ akbk = k=1

n

∑b a k

k=1

k

= F (bi,ai) .

Рассмотрим трехмерное евклидово пространство V3 . В этом пространстве (и вообще при n > 2 ) можно определить антисимметричную билинейную функцию координат двух векторов. Эта функция не является скалярной функцией, в пространстве V3 она имеет три компоненты, т.е. похожа на вектор. Мы будем пользоваться словом "вектор", хотя его свойства отличаются от свойств обычных векторов. Определение 12.

! Вектор c с координатами ci =

3

∑ε

j ,k =1

ijk

a j bk

! ! называется векторным произведением векторов a и b . ! ! ! Векторное произведение записывается в квадратных скобках c = a,b . Объект

[

]

ε ijk в формуле определения векторного произведения называется антисимметричным единичным тензором и обладает следующими свойствами: а) ε 123 = 1 ; б) ε ijk = 0 , если совпадает хотя бы пара индексов, т.е. если i = j, или i = k , или j= k; 27

в) если все три индекса различны, то значение ε ijk получается из а) путем последовательной перестановки пары индексов и изменения знака. Сформулированные свойства позволяют выписать шесть ненулевых компонент тензора ε ijk : ε 231 = ε 312 = ε123 = 1 , ε 213 = ε 132 = ε 321 = −1 .

(27)

! Подставив эти значения в определение координат вектора c , получим: c1 = ε 123 a2 b3 + ε 132 a2 b3 = a2 b3 − a3b2 , c2 = ε 213a1b3 + ε 231a3b1 = a3b1 − a1b3 ,

(28)

c3 = ε 312 a1b2 + ε 321a3b2 = a1b2 − a2b1 . Антисимметричность векторного произведения проявляется в том, что при пере! ! ! становке координат векторов a и b изменяется знак координат вектора c . Отметим, что при изменении направления всех осей координат на противопо! ! ложное (инверсии всех осей координат) координаты обычных векторов a и b изме! ! ! ! няют знак: a → − a , b → −b . Такие векторы называются полярными. Так как в вектор! ! ном произведении координаты векторов a и b перемножаются, то при инверсии осей ! ! координат векторное произведение не изменяется: c → c . Такие векторы называются аксиальными. Пример 5. Ускорение a и напряженность электрического поля E — это полярные векторы, момент силы M и напряженность магнитного поля H — это аксиальные векторы. Непосредственно из определения вытекают следующие свойства векторного произведения: ! ! ! ! 1) a,b = − b,a — антисимметричность;

[

]

[

]

! ! 2) [a,a] = 0 — следствие п. 1); ! ! ! ! ! ! ! 3) a,b + c = a,b + [a,c] — дистрибутивность;

[

28

] [

]

! ! ! ! 4) αa,b = α a,b — умножение на число α ;

[

]

[

( [ ])

]

( [ ])

! ! ! ! ! ! 5) a, a,b = 0 , b, a,b = 0 — векторное произведение ортогонально плоскости, образуемой векторами сомножителями. ! ! ! ! Представим вектор c = a,b в виде разложения по базису {ek } :

[

! c=

3

]

!

∑ ce . i= 1

i i

Подставим сюда формулу для координаты ci из Определения 12: ! c=

 3 !  ∑ ε ijkajbk  ei = ∑  i= 1  j,k= 1 3

3

∑ε

i,j,k = 1

! ea b .

ijk i j k

Нетрудно заметить, что эта сумма представляет собой определитель 3-го порядка: ! ! e1 e2 ! c = a1 a2 b1 b2

! e3 a3 . b3

(29)

Обратимся к геометрическому смыслу векторного произведения. Выберем сис! ! тему координат (базис, см. рис. 7) так, чтобы векторы a и b лежали в плоскости век! ! торов e10 и e20 (плоскость OXY): Z ! e30

! b

O ! e10

β

! e20

Y

α ! a

X Рис. 7

29

В этом базисе по формулам (28) получим следующие значения для координат ! вектора c : c1 = 0 , c2 = 0 , ! ! ! ! c3 = a1b2 − a2 b1 = a ⋅ b ⋅ (cos α sin β − sin α cos β ) = a ⋅ b ⋅ sin (β − α ).

(30)

! ! ! ! ! Таким образом, вектор c = a,b перпендикулярен векторам a и b , а его на-

[

]

! правление относительно третьего орта e30 (оси OZ) зависит от знака разности углов ! ! β − α : если β − α > 0 , то вектор c направлен вдоль орта e30 , если β − α < 0 , то в противоположную сторону. ! ! На рис. 8 показан параллелограмм, образуемый векторами a и b :

! b

h

β−α ! a Рис. 8 ! Высота параллелограмма h = b ⋅ sin (β − α ) , а его площадь ! ! ! S = h ⋅ a = a ⋅ b ⋅ sin (β − α ) , ! т.е. по величине совпадает с длиной вектора c , которая согласно (30) в рассматривае! мом базисе совпадает с величиной его проекции на орт e30 . ! ! Итак, мы пришли к известному правилу: векторное произведение a,b есть ! вектор c , длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах ! ! a и b , а направление определяется "правилом буравчика".

[

30

]

! Правило "направление вектора c совпадает с направлением движения бурав! ! чика при вращении вектора a к вектору b " иллюстрируется на рис. 9. ! a

! c

! b

! b

! c

! a Рис. 9

Упражнения Рассмотрим решение нескольких задач. Задача 1. Найти площадь треугольника ∆ABC , если даны координаты его вершин A(1, 2, 0) , B(3, 0, − 3) и C (5, 2, 6) . Решение.  3 −1   2   5 −1   4 ! !  ! !        Построим векторы AB = B − A =  0 − 2  =  − 2  и AC = C − A =  2 − 2  =  0  и  − 3 − 0  − 3 6 − 0 6         вычислим их векторное произведение: ! i 2 4 ! ! AB, AC = j − 2 0 = i ⋅ ( −12) − j ⋅ ( 24) + k ⋅ (8) . ! k −3 6

[

]

Площадь треугольника ∆ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC :

[AB, AC ] =

(−12) 2 + (24) 2 + (8) 2 = 784 = 28 .

31

Ответ. S ∆ABC = 14 . Задача 2.

[ [ ]] и

! ! ! ! Нормировать векторы d = a , b , c

! ! ! ! f = a + b − c , если

 − 1  1   0 !   !   !   a =  1  , b =  0  и c =  0 . 0 − 2 1       Решение. ! Вектор d представляет собой двойное векторное произведение. Вычислим сначала входящее в него векторное произведение: ! i 1 0 0 ! $ ! !   b , c = j 0 0 = i ⋅ (0) − j ⋅ (1) + k ⋅ (0) =  − 1 . ! 0 k −2 1  

[ ]

! Теперь вычислим вектор сам d и его норму: ! i −1 0 0 ! ! ! $ ! !   ! d = a , b , c = j 1 − 1 = i ⋅ (0) − j ⋅ (0) + k ⋅ (1) =  0  , d = 1 , ! 1 k 0 0  

[ [ ]]

! а также вектор f и его норму:  − 1  1   0   0  !         ! f =  1  +  0  −  0  =  1  , f = 1 + 9 = 10 .  0   − 2   1   − 3         ! ! ! ! ! Так как d = 1 , то этот вектор уже нормирован, т.е. d 0 = d , а f 0 = f / 10 . Ответ. 0  0   !0   ! 0   d =  0  , f =  1 / 10  . 1  − 3 / 10     

32

Выполните следующие упражнения.

[[ ] ] [ [ ] ]

! ! ! ! ! ! 1. Нормировать векторы a , b , c и a , b , c ` , если  2   − 3 1 !   !   !   a =  − 3 , b =  1  и c =  2  .  1   2   3       2. Найти площадь треугольника ∆ABC , если даны координаты его вершин A(1, 2, 0) , B(3, 0, − 3) и C (5, 2, 6) . 3. Дан треугольник с координатами вершин A(1, − 1, 2) , B(5, − 6, 2) и C (1, 3, − 1) . найти длину его высоты, опущенной из вершины B. ! ! 4. Вычислить углы между векторами c и d , если 2 0 ! ! ! ! ! ! ! ! !   !   c = b + a, b , d = b − a, b , a =  0  и b =  2  . 2 0    

[ ]

[ ]

[ ] [ [ ]]

! ! ! ! ! 5. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a , b и a , a , b , где 1 1 !   !   a = 0 и b = 2 . 2 0    

[ ] [ ]

! ! ! ! 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a , b и c , d , если 1 1  0 1 !   !   !   !   a =  0 , b =  0  , c =  0 и d = 1 .  0  − 1 1  0         ! ! ! 7. Найти проекции вектора b на вектор c и на вектор d , если 1  − 1 ! ! ! ! ! ! ! ! !   !   c = a + a, b , d = a − a, b , a =  0  и b =  0  . 2  − 1    

[ ]

[ ]

33

[ [ ]]

! ! ! ! ! ! 8. Найти проекцию вектора v = a , b , c на плоскость векторов b и c , если 1 1 0 !   !   !   a =  − 1 , b =  0  и c =  − 1 . 0 2 1      

( )

[ ]

! ! ! ! ! ! ! ! ! 9. Нормировать векторы c = a − a , b b и d = a + a , b и вычислить угол между ними, если  − 1 1 !   !   a =  1  и b = 2 . 1 0    

[ ]

[ ]

! ! ! ! ! ! ! ! 10. Вычислить угол между векторами c = b − a , b и d = a + a , b , где  − 3 1 !   !   a =  1  и b = 0 .  − 1  3    

34

Смешанное произведение векторов Скалярное произведение одного вектора и векторного произведения двух других векторов называется смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение уже использовалось нами в предыдущем разделе при обсуждении пятого свойства векторного произведения. В силу (21) и Определения 12 векторного произведения смешанное произведе! ! ! ние векторов a , b и c можно записать в виде определителя a1 a2 ! ! ! a, b,c = b1 b2 c1 c2

( [ ])

a3 b3 . c3

(31)

Свойства смешанного произведения: ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1) a, b,c = b,[c,a] = c, a,b .

( [ ]) (

) ( [

])

Каждое произведение в этой цепочке равенств получается из предыдущего путем так называемой циклической перестановки сомножителей: abc → bca → cab , циклическая перестановка сомножителей в последнем произведении возвращает нас к первому произведению. Докажем первое равенство. По определению скалярного и векторного произведений

(a!,[b,c!]) = ∑ ε !

3

abc .

ijk i j k

(31)

i,j,k= 1

В каждом произведении суммы (31) множитель ai поместим на последнее место: aibc j k = bc j kai , от чего произведение, естественно, не изменится. У абсолютно антисимметричного единичного тензора ε ijk первый индекс i переставим на последнее место: ε ijk = ε jki , значение тензора не изменится, т.к. эта перестановка эквивалентна двум перестановкам соседних индексов ijk → jik → jki, после чего знак ε ijk не изменится. В результате всех этих перестановок получим

35

3

∑ε

! ! ! b c a = b,[c,a] ,

jki j k i

i,j,k = 1

(

)

что и требовалось доказать. Доказательство вытекает также из того, что при перестановке двух строк определителя (31) его величина не изменяется.

( [ ])

! ! ! 2) Смешанное произведение a, b,c = 0, тогда и только тогда, когда векторы ! ! ! ! ! ! a , b и c компланарны, т.е. лежат в одной плоскости ( a = αb + βc ). Доказательство. ! ! ! ! ! Если векторы b и c параллельны (очевидно, что a , b и c при этом лежат в од! ! ! ной плоскости), то по свойствам 2 и 4 векторного произведения a, b,c = 0. Далее

( [ ])

! ! считаем, что b и c не параллельны. ! ! ! Если a = αb + βc , где α и β — действительные числа, то

(a!,[b,c!]) = (αb + βc!,[b,c!]) = (αb,[b,c!]) + (βc!,[b,c!]) = 0 , !

!

!

! !

!

т.к. по свойствам 2 и 5 векторного равны нулю оба слагаемых в последней сумме.

( [ ])

! ! ! ! ! ! Если a, b,c = 0, то вектор a⊥ b,c и поэтому лежит в одной плоскости с

[ ]

! ! векторами b и c . Но тогда он может быть разложен по двум не параллельным, т.е. ли! ! ! нейно независимым, векторам a = αb + βc . Обратимся к геометрической интерпретации смешанного произведения. ! ! ! На рис. 10 показаны векторы a , b , c и построенный на них параллелепипед. ! ! Векторное произведение b,c в данном случае направлено вверх, а по величине равно

[ ]

площади параллелограмма в основании параллелепипеда:

[ ]

!! ! ! S параллелограмма = b ,c = b ⋅ c ⋅ sin ϕ .

36

(32)

!

[b,c!]    h  

! a α

! c ϕ ! b Рис. 10

! Раскроем смешанное произведение как скалярное произведение векторов a и !

[b,c!] :

(a!,[b!,c!]) = a! ⋅ [b!,c!] ⋅ cosα . На основании (32) запишем

(a!,[b!,c! ]) = h ⋅ S

параллелограмма

= Vпараллелепипеда ,

! где h = a ⋅ cos α — высота параллелепипеда.

( [ ])

! ! ! Таким образом, смешанное произведение a, b,c

по величине равно объему

! ! ! параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c .

Упражнения Рассмотрим решение нескольких задач. Задача 1. 1 − 2  3  !   !   !   Найти смешанное произведение векторов a =  − 1 , b =  2  и c =  − 2  .  3  1   5       

37

Решение. 1 −2 3 1 −2 3 ! ! ! a , b , c = − 1 2 − 2 = 0 0 1 = 1 ⋅ ( −1) 5 ⋅ (1 + 6) = −7 . 3 1 5 3 1 5

( [ ]) Ответ.

(a!, [b , c! ]) = −7 . Задача 2. Доказать, следующие векторы компланарны (лежат в одной плоскости): 1 − 2  − 3 !   !   !   a =  − 1 , b =  2  и c =  3  .  3  6  − 9       Решение. Вычислим смешанное произведение данных векторов: 1 −1 3 1 −1 3 ! ! ! a , b , c = − 2 2 − 6 = −2 1 − 1 3 = 0 . −3 3 −9 −3 3 −9

( [ ]) Ответ.

Векторы компланарны, т.к. их смешанное произведение равно нулю (эти векторы линейно зависимы). Выполните следующие упражнения. 1. Выяснить, компланарны ли следующие тройки векторов: 1 1 2 !   !   !   а) a =  3  , b =  − 1 , c =  9  ;  3  − 1  − 1       2  3   3 !   !   !   б) a =  2  , b =  1  , c =  − 1  ; 2 − 2 1      

38

 3  2  1  !   !   !   в) a =  − 1 , b =  2  , c =  − 4  . 2  − 3  7        ! ! ! 2. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a , c и d , если 1  − 1 ! ! ! ! ! ! ! ! !   !   c = b + a, b , d = b − a, b , a =  0  , b =  2  .  − 1 0    

[ ]

[ ]

! ! ! 3. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a , c и d , если 2  − 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !   !   c = a + a, b b , d = b + a, b a , a =  0  , b =  3  . 1 0    

( )

( )

[ ]

! ! ! ! ! ! ! 4. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах c = a , b , a + c и b + c , 2  − 3 !   !   где a =  − 1 , b =  0  . 2  3     

[ ]

! ! ! ! ! 5. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах a , c = a + a , b и

 − 1 0 ! ! ! ! !   !   d = b + a , b , где a =  0  , b =  2  .  − 1 0    

[ ]

6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(2, − 1, 1) , B(5, 5, 4) , C (3, 2, − 1) , D( 4, 1, 3) . 7. Дан тетраэдр с вершинами в точках A(2, 3, 1) , B( 4, 1, − 2) , C (6, 3, 7) , D( −5, − 4, 8) . Найти его высоту, опущенную из вершины D. 8. Объем тетраэдра V = 5 , а три его вершины находятся в точках A(2, 1, − 1) , B(3, 0, 1) и C (2, − 1, 3) . Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY.

39

Татьяна Кирилловна Фомина, Михаил Якубович Сафин

Методическое пособие по изучению раздела математики "Элементы векторного исчисления"

Для студентов факультета общеобразовательных дисциплин инженерных специальностей