Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т
В В Е Д Е Н И Е В К О МБ И Н АТ О РН Ы Й АН АЛ И З У чебно-м етодичес коепос обие С пеци а ль н о ст и : 031201(022600) – Тео ри я и м ет о д и ка препо д а ва н и я и н о ст ра н н ых языко ви куль т ур, 031202(022900) – Перево д и перево д о вед ен и е, 031301(021800) – Тео рет и ческа я и при кла д н а я ли н гви ст и ка
В О РО Н Е Ж 2005
2
У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льтет а 2 сен тя б ря 2005 год а П ротокол № 1
С ост а вители: С а вчен ко Г.Б., Ярцева Н .А.
У чеб н о-м етод ическое п особ ие п од готовлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ического м од елирова н ия м а тем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов 1 ку рса д н евн ого отд елен ия ф а ку льтет а ром а н о-герм а н ской ф илологии
3
В ведение Н а ст оя щ ее п особ ие п ред н а зн а чен о д ля ст у д ен т ов 1 ку рса ф а ку льт ет а ром а н о-герм а н ской ф илологии и сод ерж ит об щ ие у ка за н ия п о изу чен ию ра зд ела м а т ем а тики «Ком б ин а торика » в об ъем е п рогра м м ы д ля у ка за н н ой сп ециа льн ости, а т а кж е кон трольн ые за д а н ия . П особ ие сод ерж ит н еоб ход им ые т еорет ические свед ен ия , а т а кж е п од роб н ые реш ен ия тип ичн ых п рим еров.
1. П рос тейш иеком бинаторныезадачи П ред ста вит еля м са м ых ра зличн ых сп ециа льн остей п риход ит ся реш а т ь за д а чи, в кот орых ра ссм а трива ют ся т е или ин ые ком б ин а ции, сост а влен н ые из б у кв, циф ри ин ых об ъект ов. Н а п рим ер, за вед у ющ ем у у чеб н ой ча стью ш колы– сост а вит ь ра сп иса н ие у роков, а грон ом у – ра зм естит ь п осевы сельскохозя йствен н ых ку льт у р н а н ескольких п оля х, лин гвист у – у чест ь ра зличн ые ва риа н т ы зн а чен ия б у кв н езн а ком ого я зыка и т.д . О б ла ст ь м а т ем а т ики, в которой изу ча ют ся воп росы о том , сколько ра зличн ых ком б ин а ций, п од чин ен н ых т ем или ин ым у словия м , м ож н о сост а вит ь изза д а н н ых об ъект ов, н а зыва ется ком б ин а торикой. За д а чи о п од счет е числа возм ож н ых ком б ин а ций н а зыва ют ся ком б ин а торн ым и. О бщ иеправил а ком бинаторики. Ком б ин а торн ые за д а чи б ыва ют са м ых ра зн ых вид ов, н о б ольш ин ство за д а ч реш а ют ся с п ом ощ ью д ву х осн овн ых п ра вил – п ра вила су м м ы и п ра вила п роизвед ен ия . Ч а сто у д а ет ся ра зб ит ь все изу чен н ые ком б ин а ции н а н есколько кла ссов, п ричем ка ж д а я ком б ин а ция вход ит в од ин и только в од ин кла сс. Ясн о, чт о в эт ом слу ча е об щ ее число ком б ин а ций ра вн о су м м е чисел ком б ин а ций во всех кла сса х. И т а к, если н екот орый об ъект А м ож н о выб ра т ь m сп особ а м и, а д ру гой об ъект В м ож н о выб ра т ь n сп особ а м и, т о выб ор «либ о А», «либ о В» м ож н о осу щ ест вит ь m+n сп особ а м и. Э то у т верж д ен ие н а зыва ют п ра вилом су м м ы. П ри исп ользова н ии п ра вила су м м ы н а д о след ит ь, чт об ы н и од ин из сп особ ов выб ора об ъект а А н е совп а д а л с ка ким -н иб у д ь сп особ ом выб ора об ъект а В. Е сли т а кие совп а д ен ия ест ь, п ра вило су м м ы у т ра чива ет силу , и м ы п олу ча ем лиш ь m+n-k сп особ ов выб ора , гд е k – число совп а д ен ий. Вт орое п ра вило, н а зыва ем ое п ра вилом п роизвед ен ия , н есколько слож н ее. Ч а ст о п ри сост а влен ии ком б ин а ций из д ву х элем ен т ов известн о, скольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь п ервый элем ен т, скольким и сп особ а м и – вт орой, п ричем число сп особ ов выб ора вт орого элем ен т а н е за висит от т ого, ка к им ен н о выб ра н п ервый элем ен т. П у ст ь п ервый элем ен т м ож н о выб ра т ь m сп особ а м и, а вт орой n сп особ а м и. Т огд а п а ру эт их элем ен тов м ож н о выб ра т ь mn сп особ а м и. П ра вило у м н ож ен ия :
4
Е сли об ъект А м ож н о выб ра т ь m сп особ а м и и если п осле ка ж д ого т а кого выб ора об ъект В м ож н о выб ра ть n сп особ а м и, т о выб орп а ры(А,В) в у ка за н н ом п оря д ке м ож н о осу щ ест вит ь mn сп особ а м и. С лож н ее реш а ют ся ком б ин а торн ые за д а чи, в кот орых число выб оров п осле ка ж д ого ш а га за висит от того, ка кие элем ен т ы б ыли выб ра н ы н а п ред ыд у щ их ш а га х. П рим ерт а кой за д а чи. За д а ча о д ом ин о: С кольким и сп особ а м и из28 кост ей д ом ин о м ож н о выб ра т ь д ве кости т а к, чт об ы их м ож н о б ыло п рилож ит ь д ру г к д ру гу (т о ест ь чтоб ы ка кое-т о число очков вст реча лось н а об еих кост я х)? Реш ен ие. С н а ча ла выб ерем од н у кост ь. Э т о м ож н о сд ела т ь 28 сп особ а м и. П ри этом в сем и слу ча я х выб ра н н а я кост ь ока ж ется «д у б лем », т о ест ь кост ью вид а 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, а в 21 слу ча е – кост ью с ра зличн ым и числа м и очков (н а п рим ер, 05, 13 и т .д .). В п ервом слу ча е вт ору ю кост ь м ож н о выб ра т ь 6 сп особ а м и (н а п рим ер, если н а п ервом ш а гу выб ра н а кост ь 11, то н а втором ш а гу м ож н о взя т ь од н у из кост ей 01, 12, 13, 14, 15, 16). Во втором ж е слу ча е вт ору ю кост ь м ож н о выб ра т ь 12 сп особ а м и (д ля кости 35 п од ойд у т кост и 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). П о п ра вилу п роизвед ен ия в п ервом слу ча е п олу ча ем 7 ⋅ 6 = 42 , а во втором 21 ⋅12 = 252 выб ора . Зн а чит, п о п ра вилу су м м ып олу ча ем 42+252=294 сп особ а выб ора п а ры. В п ровед ен н ом ра ссу ж д ен ии у чит ыва лся и п оря д ок, в кот ором выб ира лись кости. П оэт ом у ка ж д а я п а ра кост ей п оя вля ла сь д ва ж д ы (н а п рим ер, п ервый ра з01 и 16, а вт орой ра з16 и 01). Е сли н е у чит ыва т ь п оря д ок выб ора кост ей, т о п олу чим вд вое м ен ьш е сп особ ов выб ора , то ест ь 147 сп особ ов. М ы ра ссм отрели н екот орые об щ ие п ра вила реш ен ия ком б ин а т орн ых за д а ч. С их п ом ощ ью м ож н о реш а ть за д а чи са м ых ра зн ых тип ов. О д н а ко вм ест о реш ен ия за д а чи п о об щ им п ра вила м ча ст о у д об н ее п ользова т ься гот овым и ф орм у ла м и, т а к ка к н екот орые тип ы за д а ч встреча ют ся зн а чит ельн о ча щ е д ру гих. Ком б ин а ция м , которые вст реча ют ся в эт их за д а ча х, п рисвоен ы н а зва н ия – ра зм ещ ен ия , п ерест а н овки и сочет а н ия . За д а ча 1. П ереста н овки. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра сп олож ит ь в ря д элем ен тов? Без н а ру ш ен ия об щ н ости м ож н о счит а т ь, что п ерест а вля ем ым и элем ен т а м и я вля ются числа н а т у ра льн ого ря д а 1,2,… ,n. Ра ссм от рим сн а ча ла ча ст н ые слу ча и. П ри n=2 им еют ся д ве п ерест а н овки (1,2) и (2,1). П ри n=3, очевид н о, им еет ся ш ест ь п ереста н овок (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). П ри n=4, н е п ереб ира я все п ереста н овки, п ровед ем след у ющ ее ра ссу ж д ен ие. Н а п ервом м ест е м ож ет н а ход ит ься од ин изчет ырех элем ен т ов. П ри ка ж д ом выб оре п ервого элем ен т а ост а льн ые три во всевозм ож н ых п оря д ка х за н им а ют ост а льн ые три м еста , т а к что су щ ест ву ет ш ест ь ра зличн ых п ерест а н овок п ри ф иксирова н н ом п ервом элем ен т е. С лед ова т ельн о, об щ ее число п ерест а н овок ра вн о 6 ⋅ 4 = 24 . Э то ра ссу ж д ен ие им еет об щ ий ха ра кт ер.
5
число п ерест а н овок (n-1) элем ен тов и через О б озн а чим через Pn−1 Рn – число п ерест а н овок n элем ен тов. В ка ж д ой п ерест а н овке n элем ен т ов н а п ервом м есте м ож ет ока за т ься од ин из элем ен тов 1,2,… ,n, т а к чт о им еет ся n возм ож н ост ей выб ора п ервого элем ен т а . П ри ка ж д ом изн их д ля ост а вш ихся n1 элем ен тов им еется Pn−1 возм ож н ост ей ра сп олож ен ий н а ост а льн ых n-1 м ест а х, иб о эти ра сп олож ен ия отлича ют ся только п оря д ком элем ен тов. П риш ли к соот н ош ен ию Pn = n ⋅ Pn−1 , отку д а п ослед ова тельн о п олу ча ем , исход я изР2=2, чт о P3 = 3 ⋅ 2 = 3!, P4 = 4 ⋅ P3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 4!, P5 = 5! и т .д . Д оп у ст ив, чт о Pn−1 =(n-1)!, п олу чим , чт о
P
n
= n ⋅ P n−1 =n!
(1)
Э то ра ссу ж д ен ие я вля ет ся ф а кт ически д ока за т ельст вом п осред ст вом м ет од а м а т ем а т ической ин д у кции ф орм у лыРn=n!, котора я и реш а ет за д а чу . За д а ча 2. Ра зм ещ ен ие. С кольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь и ра сп олож ит ь в ря д m элем ен тов изд а н н ого м н ож ества , сод ерж а щ его n элем ен тов? Т а кие ра сст а н овки, состоя щ ие из m элем ен тов, выб ра н н ых из д а н н ых n элем ен тов, и отлича ющ иеся либ о са м им и элем ен т а м и, либ о их п оря д ком , либ о и т ем и д ру гим , н а зыва ют ся ра зм ещ ен ия м и, а их число п рин я то об озн а ча ть сим волом (чит а ет ся «А изn п о m»).
m
A
n
Н а п рим ер, их четырех элем ен тов 1,2,3,4 (n=4) м ож н о сост а вит ь 12 ра зм ещ ен ий п о 2 элем ен т а м (m=2); (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3). Т а ким об ра зом , А24 =12. Ка к ж е вычислит ь Amn ? Возьм ем все п ерест а н овки из n элем ен тов и «выреж ем » в ка ж д ой из н их п ервые m элем ен тов, отб росив ост а льн ые n-m э лем ен тов. О ст а н у т ся ра зм ещ ен ия из n элем ен тов п о m, н о ка ж д ое ра зм ещ ен ие вст ретит ся только ра з, сколько п ерест а н овок м ож н о соста вит ь из от б рош ен н ых n-m элем ен тов, т.е. Рn-m ра з. Т а ким об ра зом , число ра зм ещ ен ий из n п о m в Рn-m ра з м ен ьш е числа п ерест а н овок n элем ен т ов, т.е. m
A
n
=
P P
n
n −m
=
n! = n ⋅ ( n − 1)...(n − m + 1) . (n − m)!
(2)
М ож н о ра ссу ж д а т ь ин а че. Все п ерест а н овки n элем ен тов м ож н о п остроит ь, исп ользу я ра зм ещ ен ия из эт их n элем ен тов п о m. П рисоед ин им к ка ж д ом у из ра зм ещ ен ий элем ен т ы, н е вош ед ш ие в ра зм ещ ен ие. П ри эт ом
6
ка ж д ое ра зм ещ ен ие д а ет Рn-m п ерест а н овок n элем ен тов п о числу сп особ ов, которым и м ож н о ра сп олож ит ь в ря д ост а вш иеся n-m элем ен т ов. Т а ким об ра зом , число п ерест а н овок n элем ен тов в Рn-m ра зб ольш е, чем число ра зм ещ ен ий изn элем ен тов п о m, т .е.
P =A P m
n
n
n −m
,
от ку д а след у ет у ж е вывед ен н а я ф орм у ла числа ра зм ещ ен ий изn п о m. За д а ча 3. С очет а н ия . С кольким и сп особ а м и из м н ож ест ва , сод ерж а щ его n элем ен т ов, м ож н о выб ра т ь п од м н ож ест во, сост а влен н ое из m элем ен т ов? Та кие п од м н ож ест ва , кот орые ра злича ются только н а б ором элем ен тов б ез у чет а их вза им н ого ра сп олож ен ия , н а зыва ют ся сочета н ия м и. Н а п рим ер, из чет ырех элем ен т ов 1,2,3,4 м ож н о соста вит ь ш ест ь сочета н ий п о д ва : {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Фигу рн ые скоб ки зд есь п од черкива ют отличие сочет а н ий от ра зм ещ ен ий. Ра зм ещ ен ия (1,3) и (3,1) счит а ют ся ра зличн ым и, хот я и сост а влен ыизод н их и т ех ж е элем ен т ов, а {1,3} и {3,1} счит а ют ся од н им и тем ж е сочет а н ием . Ч исло сочет а н ий изn элем ен тов п о m об озн а ча ет ся сим волом
C
m n
n
или , н а при м ер С m
2 4
=6.
С очета н ия т есн о свя за н ыс ра зм ещ ен ия м и. Д ейст вительн о, если в ка ж д ом ра зм ещ ен ии от влечься от п оря д ка сост а вля ющ их его элем ен тов, т .е. н е ра злича т ь ра зм ещ ен ия , отлича ющ иеся т олько п оря д ком элем ен тов, то м ы п олу чим все сочет а н ия . О б ра т н о, если в ка ж д ом сочет а н ии вып олн ить всевозм ож н ые п ерест а н овки, то п олу ча т ся все ра зм ещ ен ия . П оэтом у
A =C ⋅P m
m
n
n
m
.
Е сли п од ст а вит ь в эт у ф орм у лу вм ест о
C
m n
=
n! . (n − m)!m!
m
A
n
и
P
m
ихзн а чен ия , т о п олу чим
(3)
За м еча н ие 1. П роизвед ен ие н а т у ра льн ых чисел от 1 д о n об озн а чим n! (чит а ется n-ф а кт ориа л). И т а к,
P
n
= n!= 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n .
П ри этом п ола га ют 1!=1. Ка за лось б ы, что 0! Д олж ен ра вн я т ься 0. О д н а ко п рин я т о счит а т ь, чт о 0!=1. Д ело в т ом , что ф а кт ориа л об ла д а ет, очевид н о, след у ющ им свойст вом :
7
n!=n(n-1)! Э то ра вен ст во сп ра вед ливо п ри n>1. Е ст ест вен н о оп ред елить 0! Т а к, чт об ыон о ост а ва лось верн ым и п ри n=1, т о ест ь т а к, чт об ы 1!= 1⋅ 0! . Н о т огд а н у ж н о п олож ит ь 0!=1. Ч исла C mn об ла д а ют м н огим и ин тересн ым и и ва ж н ым и свойст ва м и. О ста н овим ся н а н екот орыхизн их, кот орые ча сто исп ользу ют ся . П ервое свойст во: m
n−m
n
n
C =C
.
(4)
О н о сра зу выт ека ет изф орм у лы (3). Вед ь если за м ен ит ь в эт ой ф орм у ле m н а n-m, т о n-m за м ен ит ся н а n-(n-m)=m и в резу льт а т е м н ож ит ели, стоя щ ие в зн а м ен а т еле, п ом ен я ют ся м еста м и. Н о ра вен ст во (4) легко д ока за т ь и н е п риб ега я к я вн ом у вид у числа сочета н ий. Е сли выб ра ть из n ра зличн ых элем ен тов н екоторое m-сочет а н ие, то ост а н ет ся д оп олн ительн ое сочет а н ие из (n-m) элем ен т ов, а д оп олн ительн ым к п олу чен н ом у (n-m)-сочета н ию я вля ет ся исход н ое m-сочет а н ие. Т а ким об ра зом , m-сочет а н ие и (n-m)-сочет а н ие об ра зу ют вза им н о д оп олн ительн ые п а ры, п оэт ом у число эт их сочет а н ий од н о и то ж е. Зн а чит, m n−m Cn = Cn . Второе свойст во:
C
m +1 n +1
m +1
= Cn + Cn
m
(m
(5)
Д ейст вит ельн о, исп ользу я ф орм у лу (3), п олу ча ем : n! n! n! n − m m +1 m +1 m C n + C n = (n − m − 1)!(m + 1)! + (n − m)!m! = (m + 1)!(n − m)! ( 1 + 1 ) = ( n + 1)! m +1 = C n+1 (n + 1 − (m + 1))!(m + 1)! Т рет ье свойст во:
C +C +C 0
1
2
n
n
n
+ ... + C n = 2 n
n
.
(6)
Д ля д ока за т ельст ва за м ет им , чт о 2n - эт о число всех n-ра зм ещ ен ий c п овторен ия из элем ен тов д ву х т ип ов. Ра зоб ьём эти ра зм ещ ен ия н а кла ссы, от н еся в m-ый кла сс т е, в кот орые вход я т m-элем ен т ов п ервого тип а и n – m элем ен тов вт орого т ип а . Ра зм ещ ен ия m-го кла сса – эт о н е что ин ое, ка к всевозм ож н ые п ерест а н овки из m элем ен тов п ервого т ип а и n-m элем ен тов вт орого тип а . М ы зн а ем , чт о число т а ких п ерест а н овок ра вн о Р(m, n-m), а P(m, m n-m)= C n . Зн а чит , об щ ее число ра зм ещ ен ий всех эт их кла ссов
8 n . С д ру гой сторон ы эт о ж е число ра вн о 2 . Т ем ра вн о C n + C n + ... + C n са м ым свойст во (6) д ока за н о. Д ока за т ельст во соот н ош ен ия (6) легко п олу чит ь, исп ользу я ф орм у лу Н ьют он а . 0
1
n
Форм у ла Н ьют он а . Х орош о известн ые ф орм у лы (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 м ож н о за п иса т ь т а к: (a+b)2= C 02 a2+ C12 ab+ C 22 b2. (a+b)3= C 30 a3+ C13 a2b+ C 32 b2+ C 33 b3 . Возн ика ет гип от еза : н е б у д ет ли сп ра вед лива а н а логичн а я ф орм у ла д ля люб ой н а т у ра льн ой ст еп ен и (б ин ом а ) д ву член а ? С н а ча ла выя сн им сп ра вед ливост ь а н а логичн ой ф орм у лы д ля чет вёрт ой ст еп ен и. П олу чим : (a+b)4=( C 3 a3+ C 3 a2b+ C 3 ab2+ C 3 b3 )(a+b)= C 3 a4+ C 3 a3b+ C 3 a2b2+ 0
1
2
3
0
1
2
+ C 3 ab3+ C 3 a3b+ C 3 a2b2+ C 3 ab3+ C 3 b4= C 3 a4+( C 3 + C 3 )a3b+( C 3 + C 3 )a2b2+ 3
0
1
2
3
0
1
0
2
1
+( C 3 + C 3 )ab3+ C 3 b4. 3
2
3
Т а к ка к
C = C , C +C = C 0
0
1
0
1
3
4
3
3
4
,
C +C =C 2
1
2
3
3
4
,
C +C = C 3
2
3
3
3
4
,
C =C 3
4
3
4
,
т о им еем : 0 1 2 3 4 (a+b)4= C 4 a4+ C 4 a3b+ C 4 a2b2+ C 4 ab3+ C 4 b4. И т а к, исп ользу я ф орм у лу д ля т ретьей ст еп ен и б ин ом а , у д а лось п олу чит ь ф орм у лу д ля чет вёрт ой ст еп ен и. Э то, во-п ервых, п од т верж д а ет гип отезу и, вовт орых, п од ска зыва ет д ля её д ока за т ельст ва исп ользова т ь м ет од м а т ем а тической ин д у кции. Т еорем а : Д ля п роизвольн ых чисел a и b и п роизвольн ого н а т у ра льн ого числа n сп ра вед лива ф орм у ла n
(a+b)n= ∑ C n an-mbm . m
(7)
m=0
Д ока за т ельст во: Д ля n=1 ф орм у ла Н ьют он а им еет вид (a+b)1= C1 a+ C1 b, 0
!
9
он а , очевид н о, верн а , та к ка к
C =C 0
1
1
1
=1.
П ред п олож им , что ф орм у ла сп ра вед лива д ля n=k, т.е. k
(a+b)k= ∑ C k ak-mbm m
m=0
Т огд а k
k
(a+b)k+1=(a+b) ∑ C k ak-mbm m
=
m=0
k
∑C m =1
m k
k
+
m=0
m k
ak+1-mbm +
k
∑C m=0
m k
ak-mbm+1 =
C
0 k
a
k+1
+
ak+1-mbm+
∑C m =1
∑C
m −1 k
k
(
)
m m −1 ak+1-mbm+ C k bk+1= C k ak+1+ ∑ C k + C k ak+1-mbm+ C k bk+1 . k
0
m =1
k
У читыва я , что
C =C 0
0
k
k +1
,
п олу ча ем
m
m −1
k
k
C =C
k +1
= C k +1 , m
k
k +1
k
k +1
C =C
,
(a+b)k+1= ∑ C k +1 ak+1-mbm. m
m=0
Т а ким об ра зом , из сп ра вед ливост и ф орм у лы (7) д ля n=k след у ет её сп ра вед ливост ь д ля n=k+1, и, т а к ка к ф орм у ла верн а и п ри n=1, т о н а осн ова н ии м ет од а м а т ем а т ической ин д у кции её сп ра вед ливост ь у ст а н овлен а д ля всех н а т у ра льн ыхзн а чен ий n. Т еорем а д ока за н а . П ра ва я ча ст ь ф орм у лы (7) н а зыва ет ся ра злож ен ием н а т у ра льн ой ст еп ен и m б ин ом а , а коэф ф ициен т ы C n н а зыва ются б ин ом иа льн ым и коэф ф ициен т а м и. Н екот орые особ ен н ост и ф орм у лы(7): 1) П ра ва я ча ст ь сод ерж ит n+1 сла га ем ых. m 2) Ка ж д ое сла га ем ое им еет вид C n an-mbm . 3) П ока за т ели ст еп ен и п ри a в ка ж д ом след у ющ ем член е ра злож ен ия н а ед ин ицу м ен ьш е, чем в п ред ыд у щ ем , п ока за т ели ст еп ен и п ри b – н а ед ин ицу б ольш е. С у м м а п ока за т елей степ ен и п ри a и b в ка ж д ом член е ра злож ен ия ра вн а n. 4) Коэф ф ициен тыра злож ен ия , од ин а ково от д а лён н ые от н у левого и от nm n −m го член а ра злож ен ия , ра вн ы, т а к ка к C n = C n . Д ля д ока за т ельст ва т рет ьего свойст ва чисел ф орм у ле (7) a=1, b=1, б у д ем им ет ь: n
(1+1)n= ∑ C n . m=0
m
C
m n
н у ж н о п олож ит ь в
10
Т а ким об ра зом n
∑C = C + C + C m=0
m
0
1
2
n
n
n
n
n
+ ... + C n = 2 . n
С оот н ош ен ие (6) д ока за н о. Т ретье свойст во м ож н о ф орм у лирова т ь ин а че, а им ен н о: су м м а всех б ин ом иа льн ых коэф ф ициен т ов ра вн а 2n. С м ысл m п ослед н его ра вен ства за ключа ется в след у ющ ем . Та к ка к C n число всех п од м н ож ест в, n-элем ен тн ого м н ож ест ва , сод ерж а щ их m элем ен тов, то су м м а
C +C 0
1
n
n
+ ... + C n . n
д а ёт, очевид н о, число всех п од м н ож ест в n-элем ен т н ого м н ож ест ва . С лед ова т ельн о, число всех п од м н ож еств м н ож ест ва , сод ерж а щ его n элем ен тов, ра вн о 2n.
Л ин гвист ические п роб лем ы. Л ин гвист а м - социа лист а м п о ж ивым и м ёрт вым я зыка м , ча сто п риход ится ра зга д ыва т ь н а д п иси, сд ела н н ые н а н езн а ком ых я зыка х. П ред п олож им , что им п оп а лся т екст , н а п иса н н ый п ри п ом ощ и 26 н езн а ком ых зн а ков. Э ти зн а ки я вля ют ся б у ква м и, изоб ра ж а ющ им и ка ж д ые од ин из 26 зву ков. За д а ча . С кольким и сп особ а м и в этом слу ча е м ож н о соп ост а вит ь зву ки зн а ка м п исьм а ? Реш ен ие. Ра сп олож им зн а ки п исьм а в н екотором п оря д ке. Тогд а ка ж д ый сп особ соп оста влен ия д а ст н екот ору ю п ереста н овку зву ков. Н о из 26 зву ков м ож н о сост а вит ь Р26=26! П ереста н овок. А эт о п риб лизит ельн о ра вн о 4 ⋅10 26. П роверит ь все эт и возм ож н ост и н еп осильн а я ра б ота н е только д ля человека , н о и д ля элект рон н ой вычислительн ой м а ш ин ы. П оэт ом у ст а ра ют ся у м ен ьш ит ь число возм ож н ост ей. Ч а ст о у д а ёт ся от д елит ь зн а ки, об озн а ча ющ ие гла сн ые, от зн а ков, об озн а ча ющ их согла сн ые (гла сн ые ча щ е стоя т ря д ом с согла сн ым и, чем гла сн ые ря д ом с гла сн ым и или согла сн ые ря д ом с согла сн ым и; н а б люд а я , ка кие сочета н ия зн а ков ча щ е всего встреча ют ся , м ож н о от д елить зн а ки д ля гла сн ых от зн а ков д ля согла сн ых). П ред п олож им , что у д а лось н а йти 7 зн а ков д ля гла сн ых и 19 зн а ков д ля согла сн ых. П од счита ем , во сколько ра з у м ен ьш илось число возм ож н ост ей? 7 зн а ков д ля гла сн ых м ож н о п ереста вля т ь д ру г с д ру гом 7! сп особ а м и, а 19 зн а ков д ля согла сн ых 19! сп особ а м и. О б щ ее число ком б ин а ций ра вн о 7!⋅19! . Зн а чит, ра б от а у м ен ьш ила сь в 26!/ 7!⋅19! ≈ 650000 ра з. С т а ло легче, хот я и 7!⋅19! – очен ь б ольш ое число. Д а лее ра зу м н о п од счит ыва т ь ча ст от у п оя влен ия от д ельн ых зн а ков. С ра вн ива я эт у ча ст от у с ча стотой
11
п оя влен ия б у кв в б лизких к д а н н ом у я зыка х, м ож н о п рим ерн о у га д а т ь зн а чен ия н екот орых зн а ков. Д ру гие зн а ки у д а ёт ся н а йти, сра вн ив д а н н ый т екст с т ем ж е т екст ом н а ин ом я зыке (д ревн ие ца ри люб или вещ а т ь о своих «п од вига х»н а н ескольких я зыка х). П ред п олож им , что в резу льта т е эт ой ра б от ы оп озн а н о 4 гла сн ых и 13 согла сн ых б у кв. П оэтом у ещ ё ост а ётся 3!⋅6! =4320 возм ож н ост ей. А та кое число ком б ин а ций у ж е м ож н о п о п оря д ку п роверит ь, исп ользу я элект рон н ые вычислит ельн ые м а ш ин ы. С а н а логичн ым и тру д н ост я м и встреча ют ся и крип т ологи – сп ециа лист ы п о ра сш иф ровке код ов. П ривед ём н есколько п рим еров, свя за н н ых с ра ссм а т рива ем ым и воп роса м и. П рим ер. С колько экза м ен а цион н ых ком иссий, состоя щ их из 7 член ов, м ож н о об ра зова т ь из17 п реп од а ва телей? Реш ен ие. О чевид н о, ст олько, сколько су щ ест ву ет сем иэлем ен тн ых п од м н ож ест в у чет ырн а д ца ти элем ен т н ого м н ож ест ва , то ест ь
C
7 14
=
14 ⋅13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 3432. 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7
О т вет : 3432.
П рим ер. С колько ш ест изн а чн ых чисел, кра тн ых п я т и, м ож н о сост а вит ь изциф р1, 2, 3, 4, 5, 6 п ри у словии, что в числе циф рын е п овторя ются . Реш ен ие. Д ля т ого, чтоб ы число, сост а влен н ое из за д а н н ых циф р, д елилось н а 5, н еоб ход им о и д ост а т очн о, чтоб ы циф ра 5 стоя ла н а п ослед н ем м ест е. О ста льн ые п я т ь циф р м огу т стоя т ь н а ост а вш ихся п я ти м еста х в люб ом п оря д ке. С лед ова тельн о, иском ое число ш ест изн а чн ых чисел, кра т н ых п я ти, ра вн о числу п ерест а н овок изп я ти элем ен т ов, т.е. 5!=5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120 О т вет : 120. П рим ер. С колько ра зличн ых п ереста н овок м ож н о об ра зова т ь из б у кв слова «за д а ча »? Реш ен ие. О б ра зова т ь ка ку ю-либ о п ереста н овку изб у кв слова «за д а ча » - эт о зн а чит н а ш ест ь за н у м ерова н н ых м ест ка ким -н иб у д ь об ра зом п ост а вит ь од н у б у кву «з», од н у б у кву «д », од н у б у кву «ч» и т ри б у квы «а ». Е сли б у квы «з», «д », и «ч» ка к-т о п ост а влен ы, то ост а льн ые м ест а за п олн я ют ся б у ква м и «а ». О чевид н о, чт о число сп особ ов, скольким и м ож н о п оста вит ь т ри ра зличн ые б у квы н а ш есть м ест ра вн о числу всех т рёхэлем ен тн ых у п оря д очен н ых п од м н ож ест в ш естиэлем ен т н ого м н ож ест ва , т.е. ра вн о A36 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 .
12
О т вет : 120. За м еча н ие. В ком б ин а торн ых за д а ча х всегд а н еоб ход им о п од счит а ть число всех п од м н ож ест в д а н н ого м н ож ест ва , у д овлет воря ющ их оп ред елён н ым у словия м , од н а ко н а д о н е за б ыва т ь, что в од н их за д а ча х п од м н ож ест ва , отлича ющ иеся т олько у ст а н овлен н ым в н ём п оря д ком след ова н ия элем ен тов, п риход ит ся счит а т ь ра зличн ым и, в д ру гих п оря д ок след ова н ия элем ен тов н е ва ж ен , и п од м н ож ест ва , отлича ющ иеся только ра сп олож ен ием элем ен т ов, н е счит а ют ся ра зличн ым и. П рим ер. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра сп олож ит ь в ря д 5 чёрн ых и б елых ш а ш ек. Реш ен ие. Всего в ра ссм а трива ем ом ря д у 10 м ест . Зн а я н ом ера м ест , в которые у ст а н а влива ют ся 5 чёрн ых ш а ш ек, м ызн а ем все ра сп олож ен ия . С лед ова тельн о, иском ое число ра вн о
C
5 10
=
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 252 . 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
О т вет : 252. П рим ер. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра сп олож ит ь в ря д 5 чёрн ых, 4 б елых и 3 кра сн ых ф иш ки? Реш ен ие. В отличии от п ред ыд у щ его п рим ера , н еп осред ст вен н о п рим ен ит ь ф орм у лу н ельзя , н о од н а ко н етру д н о п рим ен ит ь ра ссу ж д ен ия , н а д об н ые вывод у ф орм у лы д ля числа сочет а н ий. И м ен н о, за н у м еру ем чёрн ые ф иш ки числа м и 1, 2, 3, 4, 5; б елые – числа м и 6, 7, 8, 9; кра сн ые – числа м и 10, 11, 12. За м етим , чт о 12 п ред м етов м ож н о ра сп олож ит ь в ря д 12! С п особ а м и, н о все ра сп олож ен ия ф иш ек н е м ен я ют ся п ри всех п ерест а н овка х ф иш ек с н ом ера м и 1 – 5, с н ом ера м и 6 – 9 и с н ом ера м и 10 – 12. П оэтом у число ра зличн ых ра сп олож ен ий ра вн о 12! = 27720 . 5!⋅4!⋅3!
О т вет : 27720. П рим ер. Ч ем у ра вен коэф ф ициен т п ри x5y4z3 в (x+y+z)12, ра звёрн у т ом в вид е м н огочлен а ? Реш ен ие.
13
Д ля вычислен ия коэф ф ициен т а н у ж н о п осчит а т ь, скольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь п я т ь ра з п ервое сла га ем ое, чет ыре ра за вт орое сла га ем ое и т ри ра за т рет ье в п роизвед ен ии д вен а д ца ти сом н ож ителей, ра вн ых x+y+z. С чит а я x чёрн ым , y б елым и z кра сн ым , вид им , что за д а ча ра вн осильн а п ред ыд у щ ей, т а к что иском ый коэф ф ициен т ра вен 27720. О т вет : 27720. П рим ер. Н а йт и четвёртый член ра злож ен ия ст еп ен и б ин ом а ( 3 x + 3
1 9 ). x
Реш ен ие. П олож ив в ф орм у ле (7) n=9, m=4, a= 3 x , b= 3 1 x
4 Т 4= C 9 (3 x ) 5( 3 ) 4=
9 ⋅8⋅ 7 ⋅ 6 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
3
1 , п олу чим x
x =126 3 x .
П рим ер. 1 x
Н а йт и член ра злож ен ия ст еп ен и б ин ом а ( + x )12, н е за вися щ ий от x. Реш ен ие. 1 x
П олож ив в ф орм у ле (7) n=12, a= , b= x , п олу чим Т 8= C128 = C124 =
12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9 = 495 . 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
П рим ер. Н а йти н а иб ольш ий коэф ф ициен т м н огочлен а 1 3
2 3
( + x )10. Реш ен ие. О б озн а чим коэф ф ициен т м н огочлен а п ри xm через am. И сп ользу я ф орм у лу (7), ра сп олож им м н огочлен п о возра ст а ющ им ст еп ен я м п ерем ен н ой x. 1 3
2 3
10
1 3
2 3
10
m ( + x )10= ∑ C10( ) 10-m( ) mxm= ∑ amxm. m=0
m=0
Д ля отыска н ия н а иб ольш его коэф ф ициен т а am реш им н ера вен ст во am-1 ≤ am, т .е.
C
m−1 10
1 10-m+1 2 m-1 ( ) ( ) ≤ 3 3
C
m 10
1 10-m 2 m ( ) ( ) . 3 3 m −1
Ра зд елив об е ча сти н ера вен ст ва н а
2 3
10
, п олу чим
14
C от ку д а
m −1 10
≤ 2 C10 , m
10! 2 ⋅10! ≤ , (m − 1)!(10 − m + 1)! m!(10 − m)!
д а лее б у д ем им ет ь 1 2 22 ≤ , m ≤ 20-2m+2, m ≤ . 10 − m + 1 m 3
И т а к, д ока за н о, что a0
22 3
им еет
м ест о н ера вен ст во am-1>am, т о ест ь
коэф ф ициен ты м н огочлен а , н а чин а я с сед ьм ого, у б ыва ют . С лед ова т ельн о, коэф ф ициен т a7 я вля ет ся н а иб ольш им сред и всех од ин н а д ца т и коэф ф ициен тов д а н н ого м н огочлен а . Н а иб ольш ий коэф ф ициен т ра вен 10
1 3 2 7 5⋅ C10 ( 3 ) ( 3 ) = 26 . 3 7
5 ⋅2 3
10
О т вет :
6
.
К онтрол ь ныезадачи 1. С кольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь гла сн у ю и согла сн у ю слова «ка м зол»? 2. С кольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь гла сн у ю и согла сн у ю слова «зд а н ие»? 3. В б у кин ист ическом м а га зин е леж а т 6 экзем п ля ров ром а н а И .С . Т у рген ева «Ру д ин », 3 экзем п ля ра его ж е ром а н а «Д воря н ское гн езд о» и 4 экзем п ля ра ром а н а «О т цы и д ет и». Кром е т ого, ест ь 5 том ов, сод ерж а щ их ром а н ы «Ру д ин » и «Д воря н ское гн езд о» и 7 т ом ов, сод ерж а щ их ром а н ы «Д воря н ское гн езд о»и «О т цыи д ети». С кольким и сп особ а м и м ож н о сд ела т ь п оку п ку , сод ерж а щ у ю п о од н ом у экзем п ля ру ка ж д ого изэтихром а н ов? 4. С колько слова рей н а д о изд а т ь, чтоб ы м ож н о б ыло н еп осред ст вен н о вып олн я т ь п еревод ы с люб ого из п я т и я зыков: ру сского, а н глийского, ф ра н цу зского, н ем ецкого, ит а лья н ского, н а люб ой д ру гой изэт их я зыков? 5. У а н глича н п рин я то д а ва т ь д ет я м н есколько им ен . С кольким и сп особ а м и м ож н о н а зва т ь реб ен ка , если об щ ее число им ен ра вн о 300, а ем у д а ют н е б олее 3-х им ен ? 6. Авт ом об ильн ые н ом ера сост оя т из од н ой, д ву х или трех б у кв и чет ырех циф р. Н а йт и число т а ких н ом еров, если исп ользу ет ся 32 б у квы ру сского а лф а вит а . 7. С колько ра зличн ых слов м ож н о п олу чит ь, п ереста вля я б у квы в слове «м а т ем а т ика »?
15
8. С колько ра зличн ых слов м ож н о п олу чит ь, п ерест а вля я б у квы в слове «п а ра б ола »? 9. С колько м ож н о д ела т ь п ереста н овок изn элем ен т ов, в которых д а н н ые д ва элем ен т а a и b н е стоя т ря д ом ? Д а н н ые т ри элем ен та a,b,c н е ст оя т ря д ом (в люб ом п оря д ке)? Н ика кие д ва изэлем ен т ов a,b,c н е стоя т ря д ом ? 10. Ч ет веро ст у д ен т ов сд а ют экза м ен . С кольким и сп особ а м и м огу т б ыть им п оста влен ы от м ет ки, если известн о, чт о н икт о из н их н е п олу чил н еу д овлет ворительн ой от м етки? 11. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра зб ит ь m+n+p п ред м етов н а три гру п п ы т а к, чт об ыв од н ой б ыло m, в д ру гой n, а в т рет ьей p п ред м ет ов? 12. Н а п олке н а ход я тся m+n ра зличн ых кн иг, из кот орых m в черн ых п ереп лет а х, а n - в кра сн ых. С колько су щ ест ву ет п ереста н овок эт их кн иг, п ри которых кн иги в черн ых п ереп лет а х за н им а ют п ервые m м ест ? С колько п олож ен ий, в которых все кн иги в черн ыхп ереп лета х стоя т ря д ом ? 13. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра сст а вит ь 20 кн иг в кн иж н ом ш ка ф у с 5 п олка м и, если ка ж д а я п олка м ож ет вм ест ит ь все 20 кн иг? 14. 30 человек голосу ют п о 5 п ред лож ен ия м . С кольким и сп особ а м и м огу т ра сп ред елит ься голоса , если ка ж д ый голосу ет за од н о п ред лож ен ие и у чит ыва ет ся лиш ь число голосов, п од а н н ых за ка ж д ое п ред лож ен ие? 15. П ереп летчик д олж ен п ереп лест и 12 ра зличн ых кн иг в кра сн ый, зелен ый и коричн евый п ереп лет ы. С кольким и сп особ а м и он м ож ет эт о сд ела т ь, если в ка ж д ый цвет д олж н а б ыт ь п ереп лет ен а хотя б ыод н а кн ига ? 16. В ком н а т е ст у д ен ческого об щ еж ит ия ж иву т т рое ст у д ен т ов. У н их ест ь 4 ча ш ки, 5 б люд ец и 6 ча йн ых лож ек (все ча ш ки, б люд ца и лож ки отлича ют ся д ру г от д ру га ). С кольким и сп особ а м и он и м огу т н а крыт ь ст ол д ля ча еп ития (ка ж д ый п олу ча ет 1 ча ш ку , 1 б люд це, 1 лож ку )? 17. У м у ж а 12 зн а ком ых – 5 ж ен щ ин и 7 м у ж чин , а у ж ен ы – 7 ж ен щ ин и 5 м у ж чин . С кольким и сп особ а м и м ож н о сост а вит ь ком п а н ию из6 м у ж чин и 6 ж ен щ ин т а к, чт об ы6 человек п ригла сил м у ж и 6 – ж ен а ? 18. Н а ка ж д ом б орт у лод ки сид я т п о 4 человека . С кольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь ком а н д у д ля эт ой лод ки, если ест ь 31 ка н д ид а т , п ричем 10 человек хотя т сид ет ь н а левом б орт у лод ки, 12 – н а п ра вом , а д ля 9 б езра зличн о, гд е сид ет ь? 19. В у рн е леж а т ж ет он ы с числа м и 1,2,3,… ,10. И зн ее вын им а ют 3 ж ет он а . Во скольких слу ча я х су м м а н а п иса н н ых н а н их чисел ра вн а 9? Н е м ен ьш е 9? 20. С кольким и сп особ а м и м ож н о выб ра т ь из п олн ой колод ы, сод ерж а щ ей 52 ка рт ы, 6 ка рт т а к, чтоб ысред и н их б ыли все четыре м а сти? 21. Х орсост оит из10 у ча ст н иков. С кольким и сп особ а м и м ож н о в т ечен ие т рех д н ей выб ира т ь п о 6 у ча ст н иков т а к, чт об ы ка ж д ый д ен ь б ыли ра зличн ые сост а выхора ? 22. Ч еловек им еет 6 д ру зей и в т ечен ие 20 д н ей п ригла ш а ет к себ е п о 3 изн их т а к, чт о ком п а н ия н и ра зу н е п овт оря ет ся . С кольким и сп особ а м и м ож ет он эт о сд ела т ь? 23. Т рое юн ош ей и д ве д еву ш ки выб ира ют м есто ра б оты. В город е ест ь т ри за вод а , гд е треб у ют ся ра б очие в лит ейн ые цехи (т у д а б еру т лиш ь м у ж чин ), д ве т ка цкие ф а б рики (т у д а п ригла ш а ют ж ен щ ин ) и д ве ф а б рики, гд е
16
т реб у ют ся м у ж чин ы и ж ен щ ин ы. С кольким и сп особ а м и он и м огу т ра сп ред елит ься м еж д у эт им и п ред п рия тия м и? 24. С колько слов, сод ерж а щ их п о 5 б у кв ка ж д ое, м ож н о соста вит ь из33 б у кв, если д оп у ска ют ся п овторен ия , н о н ика кие д ве сосед н ие б у квы н е д олж н ы совп а д а т ь, то ест ь та кие слова , ка к «п ресс»и «ссора »н е д оп у ска ются ? 25. Д ля п рем ий н а м а тем а т ической олим п иа д е выд елен о 3 экзем п ля ра од н ой кн иги, 2 экзем п ля ра д ру гой и 1 экзем п ля р т рет ьей кн иги. С кольким и сп особ а м и м огу т б ыт ь вру чен ы п рем ии, если в олим п иа д е у ча ст вова ло 20 человек, и н иком у н е д а ют 2-х кн иг сра зу ? Т а ж е за д а ча , если н иком у н е д а ют д ву х э кзем п ля ров од н ой и той ж е кн иги, н о м огу т б ыт ь вру чен ы д ве или т ри ра зличн ые кн иги? 26. С кольким и сп особ а м и м ож н о п оса д ить за кру глый ст ол 7 м у ж чин и 7 ж ен щ ин т а к, чт об ын ика кие 2 ж ен щ ин ын е сид ели ря д ом ? 27. С кольким и сп особ а м и м ож н о соста вить из9 согла сн ых и 47 гла сн ых слова , в кот орые вход я т 4 ра зличн ых согла сн ых и 3 ра зличн ых гла сн ых? Во сколькихизэтихслов н ика кие 2 гла сн ые н е стоя т ря д ом ? 28. Ком п а н ия , состоя щ а я из 10 су п ру ж еских п а р, ра зб ива ет ся н а 5 гру п п п о 4 человека д ля лод очн ой п рогу лки. С кольким и сп особ а м и м ож н о их ра зб ит ь т а к, чт об ыв ка ж д ой лод ке ока за лись д вое м у ж чин и д вое ж ен щ ин ? 29. С колько ра зличн ых четырехзн а чн ых чисел м ож н о сост а вит ь из циф р 0,1,2,3,4,5,6, если ка ж д а я изн их м ож ет п овторя т ься н есколько ра з? 30. Н а йт и количест во ш ест изн а чн ых чисел т а ких, чт о су м м а т рехзн а чн ого числа , об ра зова н н а я п ервым и т рем я циф ра м и, и трехзн а чн ого числа , об ра зова н н ого п ослед н им и т рем я циф ра м и, м ен ьш е 1000. 31. С кольким и сп особ а м и м ож н о ра сст а вит ь 12 б елых и 12 черн ых ш а ш ек н а черн ых п оля х ш а хм а т н ой д оски? 32. С кольким и сп особ а м и м ож н о п ереста вит ь б у квы слова «Ю п ит ер» т а к, чт об ыгла сн ые ш ли в а лф а вит н ом п оря д ке? 33. С кольким и сп особ а м и м ож н о п ерест а вит ь б у квы слова «п ереш еек» т а к, чт об ычет ыре б у квы«е»н е ш ли п од ря д ? 34. С кольким и сп особ а м и м ож н о п ереста вит ь б у квы слова «оп оссу м » т а к, чт об ыб у ква «п »ш ла н еп осред ст вен н о п осле б у квы«о»? 35. С кольким и сп особ а м и м ож н о п ереста вит ь б у квы слова «об орон осп особ н ость»т а к, чт об ыд ве б у квы«о»н е ш ли п од ря д ? 36. С кольким и сп особ а м и м ож н о п ерест а вит ь б у квы слова «ка ра ку ли» т а к, чт об ын ика кие д ве гла сн ые н е стоя ли ря д ом ? 37. С кольким и сп особ а м и м ож н о п ерест а вить б у квы в слове «ф а цет ия » т а к, чт об ын е м ен я лся п оря д ок гла сн ыхб у кв?
17
И с поль з у ем а я литера ту ра
1. Ба врин И .И . Высш а я м а т ем а тика / И .И . Ба врин . - М . : «Ака д ем ия »; Высш . ш к., 2000. – 616 с.
И зд . Ц ен т р
2. Ворон ов М .В. М а тем а тика д ля ст у д ен т ов гу м а н ит а рн ых ф а ку льт ет ов / М .В. Ворон ов, Г.П . М ещ еря кова . - Ростов н /Д . : Фен икс, 2002. – 384 с. Э лект рон н ый ка т а лог Н а у чн ой б иб лиотеки ВГУ – (http://www.lib.vsu.ru)
18
Д ля
за м ет ок
19
С ост а вит ели: С а вчен ко Га лин а Борисовн а , Ярцева Н а т а лия Алексеевн а Ред а кт орТ ихом ирова О .А.
