О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 320—328

УДК 512.542

О КВАДРАТИЧНЫХ АВТОМОРФИЗМАХ А Б Е Л Е В Ы Х ГРУПП*) А- X. ЖУРТОВ Введение

Пусть G — аддитивная абелева группа, Е = {a : G -> G \ (х + у)а = = ха + уа, a : , j / 6 G } - множество всех ее эндоморфизмов. Множество Е является ассоциативным кольцом с единицей относительно обычных опе­ раций сложения и умножения, задаваемых правилами: х(а + 6) = ха + жЬ, x(ab) = (ха)Ь для любых a,b e E. Очевидно, что группа Aut(G) всех автоморфизмов группы G является подгруппой мультипликативной по­ лугруппы кольца Е и тождественный автоморфизм 1 служит единицей кольца Е. Кроме того, если подгруппа А < Aut(G) порождается подмно­ жеством 23, элементы которого имеют конечные порядки, в частности, если А периодична, то А = (В) содержится в подкольце кольца £7, по­ рожденном множеством В. Основная цель работы — изучение подгрупп группы Aut(G), порожденных квадратичными автоморфизмами, т.е. ав­ томорфизмами, каждый из которых, как элемент кольца JE7, является кор­ нем квадратного уравнения х2 + ах + /3 • 1 с целыми коэффициентами. Важнейшими примерами квадратичных автоморфизмов служат элементы порядков 3 и 4 в группах регулярных автоморфизмов: они являются кор­ нями уравнений х2 + х + 1пх2

+ 1 соответственно. Основной результат

работы: ** Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

321

Т Е О Р Е М А 1. Пусть А — группа, порожденная двумя квадратич­ ными автоморфизмами а, Ь абелевой группы G. 1. Если период т группы G и порядок п произведения ab конечны, то А — конечная группа, порядок которой не превосходит т2п — 1. 2. Если А — периодическая группа, то она конечна. Отметим, что в п. 1 теоремы 1 оба условия конечности существенны (см. примеры 1 и 2). Используя теорему 1, мы получаем описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, по­ рядки которых не превосходят 4. Напомним, что автоморфизм называется регулярным, если он не имеет нетривиальных неподвижных точек. Т Е О Р Е М А 2. Пусть А — нециклическая периодическая группа ре­ гулярных автоморфизмов абелевой группы G, порожденная двумя элементами а и Ь. 1. Если порядок элементов а, b равен 3, то А изоморфна SL2 (3) или SL2(b). 2. Если порядок а равен 3, порядок Ь равен 4, то А изоморфна

{х,у\

х* = у 4 = 1,ХУ = х-1), SL 2 (3), GL2(Z) или 51(2,5). 3. Если порядки элементов а, Ь равны 4, то для некоторого нату­ рального числа т группа А изоморфна (ж, у | х2т = у4 = 1, ху = ж" 1 , хт = = у2>. Из теоремы 2 вытекает частичное решение задачи 10.60 из [1], по­ ставленной А. И. Созутовым. С Л Е Д С Т В И Е 1. Периодическая группа автоморфизмов абелевой группы, содержащая элемент порядка 2 или 3, обладает

нетривиальным

центром. При некоторых ограничениях на строение групп из п. 2 теоремы 2 удается описать группы регулярных автоморфизмов, порожденные эле­ ментами порядка 3. Т Е О Р Е М А 3. Пусть А — нециклическая периодическая группа ре­ гулярных автоморфизмов абелевой группы, порожденная элементами по-

322

А. X. Журтов

рядка 3. Если в А не содержится подгруппа, изоморфная 51^2(5), то А изоморфна 51/2 (3).

§ 1* Квадратичные автоморфизмы Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая Л Е М М А 1. Периодическая группа автоморфизмов конечно-порож­ денной абелевой группы конечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А < Aut(G), где группа G является конечно-порожденной абелевой, т.е. прямой суммой свободной абелевой группы F некоторого конечного ранга г и конечной группы Г, а группа А — периодической. Поскольку Т совпадает с множеством элементов из G конечного порядка, подгруппа Т будет Л-инвариантной. Группа A/J5, где В = {а £ А | ta = £, t G Т } , изоморфна некоторой группе автоморфизмов конечной группы Т и поэтому конечна. Пусть С = {Ь £ В \ g~lga € T}g 6 6 G}. Тогда С — нормальная подгруппа в В и В/С — периодическая группа автоморфизмов свободной абелевой группы G/T, т. е. периодиче­ ская группа матриц размерности г над кольцом целых чисел. Характери­ стические корни каждой такой матрицы являются корнями из единицы некоторой степени s такой, что значение функции Эйлера от s не превос­ ходит г. Таким образом, число s ограничено некоторой функцией от г, и поэтому период группы В/С конечен. По теореме Бернсайда (см. [2, теор. 36.1]) В/С конечна. Осталось доказать конечность группы С. Любой элемент из С однозначно определяется образами свободных образующих группы F. Если / — один из них и с Е С, то / с = ft, t € Т. Поэтому \С\ ^ |Г| Г . Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. Будем использовать идеи работы [3], в которой рассматривается частный случай группы регулярных авто­ морфизмов элементарной абелевой 2-группы, порожденной двумя элемен­ тами порядка 3. Пусть G — абелева группа, А — ее группа автоморфизмов, порожден­ ная двумя элементами а, Ь, для которых (ab)n = 1. Предположим, что в

О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

323

кольце Е = End(Cr) выполняются равенства а 2 = а а + /3 • 1, б2 = ^b + S • 1, где а, /3, 7? $ ~ некоторые целые числа. Пусть R — подкольцо в Е, по­ рожденное элементами а, Ь. Обозначим через С подмножество кольца i2, состоящее из мономов 1,а,Ь, а&,6а,аЬа,ЬаЬ, abab,..., в которых буквы а, Ь чередуются и длина которых не больше, чем 2п — 1. Ясно, что число эле­ ментов в С равно 4п - 1. Пусть М — аддитивная группа, порожденная множеством С. Пока­ жем, что R = М. Для этого достаточно показать включение CaUCb С М. Более того, в силу симметрии достаточно рассмотреть произведение Са. Пусть с £ С. Если с = 1, то са = а G С. Если с ^ 1, то, по определению С, с = ха или с = жЬ, где ж G C . Если с = жа, то са = ха2 = #(аа -f /3 • 1) = = ажа + /fa = «с + /За; G М. Если с = а?Ь, где ж G С, то в случае, когда длина х в записи через а, Ь меньше 2га - 2, элемент са содержится в С. Если же длина х равна 2п - 2, то для с имеется единственная возмож­ ность: с = (ba)nb и са = (Ьа)п. Так как (ab)n = 1, то (6а) п = 1, и поэтому са = 1 6 С. Итак, М = R. Пусть А — периодическая группа. По доказанному, она является группой автоморфизмов конечно-порожденной абелевой группы М. Со­ гласно лемме 1, А конечна. Тем самым п. 2 теоремы доказан. Пусть теперь период группы G конечен и равен га. Тогда период группы М также равен т , и поэтому кольцо R конечно, а, значит, конечна полугруппа, порожденная элементами а и Ъ. В этом случае она совпадает с группой А, следовательно, А конечна. Более того, ее порядок меньше порядка группы М. Покажем, что аддитивная группа М порождается множеством D эле­ ментов из С, длина которых в записи через а, 6 не превосходит п. Дей­ ствительно, если 1 £ С и длина х больше п, то найдется такой элемент у из С длины меньше п, что ху = (ab)n = 1 или ху = (Ьа)п = 1. Тогда х = у"1 = cdcd- • •, где {с, d} = { а " " 1 , ^ 1 } , и длина ж в записи через а""1, Ь~х меньше п. Поскольку а" 1 = ак для некоторого натурального числа fc, то

324

А. X. Журтов

а""1 = а'а+р'Л для некоторых целых чисел и, точно так же b"""1 =

y'a+S'-l.

Следовательно, х — линейная комбинация элементов из D. Далее, baba - •; = а""1Ь""1а""1Ь""1 - • • — линейная комбинация элемента п букв п букв aba- • * и элементов из С, длина которых меньше п. Поэтому М порожда­ ть букв ется 2п элементами и \G\ < \М\ ^ т2п. Теорема доказана. Следующие примеры показывают, что ни одно из условий конечности части 1 теоремы 1 нельзя опустить. ПРИМЕР 1. Пусть G — векторное пространство счетной размерности над полем из двух элементов с базой
да* = fli,e-i Р

И s

=

> 0 (г = 1,2, ...,б). Для эндоморфизмов а, Ь группы G,

которые действуют на образующие следующим образом: д\^ = ffSj = -92j-9ij,

^

93j = #4j, 54j = -94j-9'3j,

=

9lj = 56j, ffei = -fltej - 0 5 * ; g\j = Sfy,

#2j = #5j, #3j = ~ff3j - 01 ji 04; = ~ff6i - 9bj - 04j - 03j - 92j, g\j = -ff5i - #2j,

^ . = <jjf5y + #3j + j2i + <7ij> выполняются равенства a 2 = —a — 1, Ь2 = --Ь — 1, (ab) 3 = 1. Поэтому a, Ь, ab — автоморфизмы порядка 3 группы G и с = = aba2b2 = ab(l + а)(1 + Ь) = аЬ(1 + а + Ь + ab) =: ab + aba + аб 2 + abab = = ab + aba - а(1 + b) + (1 + b)(l + а) = 1 + Ь + Ьа + aba. Точно так же, с""1 = bab2a2 = 1 + а + ab + bab. Кроме того, bab = a 2 b 2 a 2 = ~-(1 + a)(l + + Ь) (1 + а) = - a b a — Ьа - аЬ — а - Ь, поэтому с + с"*1 = 2 и квадрат элемента с - 1 равен нулю. Значит, с8 = (1 + (с - 1))* = 1 + s(c - 1). Поскольку ijfj. = gXj +fl>3j+ g4j + fl'ei и период группы G бесконечен, порядок элемента с бесконечен.

О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

325

§ 2. Регулярные автоморфизмы порядка 3 и 4 Пусть a — регулярный автоморфизм аддитивной абелевой группы С?, т.е. автоморфизм, оставляющий неподвижным только нулевой элемент. Если порядок а равен 2, то {да + д)а - д°2 + да ~ да + д для любого эле­ мента д Е G и поэтому да = -д и а = -I как элемент кольца End(G). Если 2

а

а

порядок а равен 3, то для любого элемента д из G элемент д + д + д

яв­

2

ляется неподвижной точкой для а, откуда а = - а - 1 и а — квадратичный автоморфизм. Если порядок а равен 4 и а 2 также является регулярным автоморфизмом, то порядок а2 равен 2 и, следовательно, а2 = - 1 , т.е. является квадратичным автоморфизмом. Для доказательства теоремы 2 нам потребуются некоторые факты о конечных группах регулярных автоморфизмов. Л Е М М А 2. Пусть А — конечная группа регулярных

автоморфиз­

мов абелевой группы. 1. А изоморфна группе регулярных автоморфизмов некоторой ко­ нечной абелевой группы. 2. Любая подгруппа порядка pq из А, где p,q — простые числа {не обязательно различные), является циклической. Силовские р-подгруппы из А либо циклические, либо (при р — 2) — группы кватернионов. в А все силовские подгруппы циклические, то в А содержится

Если

цикличе­

ская холлова нормальная подгруппа, дополнение в А к которой также является циклической подгруппой. Если А неразрешима, то в А содер­ жится подгруппа индекса 1 или 2, изоморфная прямому

произведению

группы SLt2(b) на группу, порядок которой взаимно прост с числом 30. 3. Если А порождается элементами порядка 3 и порядок А отличен от 3, то А изоморфна SL<2(3) или 51^2(5). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А — конечная группа регулярных ав­ томорфизмов аддитивной абелевой группы G. Если 1 ф g e G, то Go = {ga | а 6 А) — конечно-порожденная А-допустимая подгруппа, на которой А индуцирует группу регулярных автоморфизмов, изоморфную А. Если при этом g является элементом конечного порядка, то группа Go

326

А. X. Журтов

конечна. Таким образом, при доказательстве п. 1 можно считать, что G является конечно-порожденной группой без кручения. Пусть р — простое число, которое не делит порядок группы, и пусть pG = {рд | д Е G). Тогда К = G/pG — конечная группа. Для доказательства п. 1 теперь достаточ­ но показать, что каждый неединичный элемент из А не имеет нетриви­ альных неподвижных точек в К при действии, определенном по правилу (g + pG)a = ga+pG. Предположим, что (g + pG)a = g + pG для некоторого элемента д 6 G\ pG и неединичного элемента a G А. Если г — порядок элемента а, то да = д + иид°2 = <7 +

w

= (^ + ^ i ) a = 5 + u i + u ? = 5 + ^2, ...,^ г "" 1 =

r - i Для некоторых элементов txi, «2, ...,u r -.i из pG. Поскольку а г—1

2

а

оставляет неподвижным д + д + д

а

+

а

Ьд

, последний равен 0, от­

куда гд 6 pG. Так как г не делится на р, такое включение невозможно, и п. 1 доказан. П. 2 следует из п. 1 и [4] (см. также [5, 6]). Докажем п. 3. Если в А силовские 2-подгруппы являются цикличе­ скими, то согласно п. 2 все силовские подгруппы группы А циклические и в А имеется циклическая нормальная холлова подгруппа Я с цикличе­ ским дополнением С. Если при этом порядок группы Я делится на 3, то все элементы порядка 3 из А содержатся в Я и порядок А равен 3. Если же порядок Я не делится на 3, то порядок С равен 3 и С централизует любой элемент простого порядка из Я . Тогда С централизует Я , и А = С Пусть силовская 2-подгруппа группы А не является циклической. По доказанному порядок группы N = О(А) не делится на 3, и она лежит в центре А. Если А — разрешимая группа, то в A/N имеется нормальная подгруппа, изоморфная 5^2(3) и содержащая все элементы порядка 3 из A/N, поэтому А обладает дополнением С к N, изоморфным 5^2(3). Зна­ чит, А = С. Таким образом, можно считать, что А неразрешима. Тогда, согласно п. 2, А содержит в качестве подгруппы индекса 1 или 2 прямое произведение Н х S, где порядок группы Я взаимно прост с б, а группа 5 изоморфна 51/2(5). В этом случае A — S. Лемма доказана. Как отмечено в начале данного параграфа, если выполняются усло­ вия теоремы 2, то А является периодической группой и порождается ква-

О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

327

дратичными автоморфизмами, следовательно, по теореме 1.2, А — конеч­ ная группа. Теперь п. 1 теоремы 2 сразу следует из леммы 2. Пусть порядок а равен 3 и порядок b равен 4. Тогда б2 лежит в центре А, подгруппа Я = (а, а6) является 6-инвариантной и А = Я (6). По п. 1 теоремы либо порядок группы Я равен 3, откуда А — группа порядка 12 с циклическими силовскими подгруппами, либо Я изоморфна 51/2(3) или ££2(5). Если Я изоморфна SL2(3), то А изоморфна 51^2(3) или GL2(3). Случай Я ~ SL2(5), Н ф А невозможен, поскольку S5 ^ А/(Ь2) не может быть порождена элементом порядка 2 и элементом порядка 3. Тем самым доказан п. 2 теоремы 2. Для элемента х порядка 4 из А элемент х 2 , как элемент кольца эн­ доморфизмов группы G, равен - 1 , поэтому два элемента порядка 4 из А по модулю центральной подгруппы порядка 2 порождают группу диэдра, откуда и следует п. 3 теоремы 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3. Пусть группа А противоречит за­ ключению теоремы. По теореме 2.1 в А имеются два элемента я, у порядка 3, которые порождают подгруппу В, изоморфную 51/2(3). При этом под­ группа Z порядка 2 из Я лежит в центре группы А. Не нарушая общно­ сти, можно считать, что ху является 2-элементом. Ясно, что В = (жу,#). Пусть z — элемент порядка 3, не лежащий в В. По теореме 2.1, груп­ па С = (ж, z) изоморфна SI/2(3). He нарушая общности, можно счи­ тать, что xz является 2-элементом и (xz)2 £ Z. Очевидно, С =

(xz,x).

Положим a = Zxy, Ь = Zxz, с = Zx. Тогда имеют место соотноше­ ния а 2 = Ъ2 = с 3 = (ас)3 = (be)3 = 1 и, кроме того, соотношения (ас(Ъс)~1)2 = (ah)2 = 1 = (aebe)3 или (ab)3 = (aebe)2 = 1. Перечисле­ ние смежных классов (см. [7]) показывает, что первый набор соотношений определяет группу порядка 96, а второй — группу порядка 60, поэтому группа (я, у, z) конечна. По лемме 2, (я, у, z) изоморфна 5L 2 (3) или 5L2(5). По условию, каждый из этих случаев невозможен. Теорема доказана.

328

Л. X.

Журтов

ЛИТЕРАТУРА 1. Нерешенные вопросы теории групп, Коуровская тетрадь, Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 1995. 2. Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциа­ тивных алгебр, М., Наука, 1968. 3. А. X. Журтов, В.Д.Мазурову

О распознавании конечных простых групп

т

Х2(2 ) в классе всех групп, Сиб. матем. ж., 40, N 1 (1999), 62—64. 4. Н. Zassenhaus,

Kennzeichnung

endlicher

linearen

Gruppen

als

Permutationsgruppen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 11 (1936), 17— 40. 5. В. М. Вусаркин, Ю. М. Горчаков, Конечные расщепляемые группы, М., На­ ука, 1968. 6. B.Huppert,

N.Blackburn, Finite groups III (Grundlehren Math. Wiss., 243),

Berlin a.o,, Springer-Verlag, 1982. 7. M.Schonert,

et al, Groups, algorithms and programming, Lehrstuhl D fur

Mathematik, RWTH, Aachen, 1993.

Адрес автора: Ж У Р Т О В Арчил Хазешевич, РОССИЯ, 360016, г. Нальчик, ул. Гагарина, д . 205, кв. 1. e-mail: [email protected]

Поступило 25 октября 1998 г.