Начертательная геометрия

Тверской государственный технический университет Кафедра «Инженерная графика»

краткий курс лекций

В данной рукописи представлен курс лекций по начертательной геометрии, составленный на базе учебников Посвянского Александра Давидовича «Краткий курс начертательной геометрии» и читаемый с некоторыми изменениями для специальностей МАХП и МАПП. Автор курса лекций – ст. преподаватель кафедры «Инженерная графика» Забелин А.В.

Тверь 2003 г.

1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЗАДАЧИ КУРСА. 2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. 3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ. 4. ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ И ПРЯМЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К НИМ. 1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Начертательная геометрия, являясь одной из ветвей геометрии, относящейся к математике, имеет ту же цель, что и геометрия вообще: изучение форм предметов окружающего нас материального мира и отношений между ними, установление закономерностей и применение их к решению практических задач. В начертательной геометрии для решения задач используется графический путь, все геометрические свойства фигур изучаются по чертежу, т.е. чертеж является основным средством изучения свойств пространственных фигур. Для того чтобы чертеж был геометрически равноценен изображаемой фигуре (оригиналу), он должен быть построен по определенным геометрическим законам - правилам. В начертательной геометрии чертежи строятся при помощи метода проецирования, поэтому получаемые таким образом чертежи называют проекционными. Таким образом, содержанием курса начертательной геометрии является: • исследование способов построения проекционных чертежей; • решение геометрических задач, относящихся к пространственным фигурам; • применение способов начертательной геометрии к исследованию и решению практических и теоретических вопросов науки и техники. В наше время нет такого вида человеческой деятельности где не применялись бы чертежи - будь то технические, строительные, географические и топографические (карты) и др. Все они строятся по правилам проецирования.

1.2 Основные задачи курса 1. Изучить теоретические основы образования чертежа. 2. Изучить алгоритмы решения позиционных и метрических задач. Позиционные задачи - задачи на взаимную принадлежность и пересечение геометрических фигур. В начертательной геометрии все фигуры и предметы отображаются на плоскость двумя основными способами: центральным проецированием или параллельным проецированием. Метрические задачи-задачи на определение натуральных величин расстояний, углов геометрических фигур. 2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ Геометрической фигурой называют любое множество точек. Геометрических фигур существует много, но основных только три точка, прямая (линия) и плоскость. 2.1 Центральное проецирование Пусть в пространстве дана некоторая плоскость П′, которую называют плоскостью проекций, и вне этой плоскости точка S , называемая центром проецирования. Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость П' нужно через центр проецирования S и точку А провести прямую (проецирующий луч) до пересечения Рисунок 1-1 ее с плоскостью П' в точке A’ Точку А’ называют центральной проекцией точки А (рисунок 1-1). Если возьмем произвольную криволинейную фигуру, то все проецирующие лучи образуют проецирующую коническую поверхность, поэтому этот способ проецирования называют еще коническим способом. S

2.2 Параллельное проецирование Широкое распространение в практике получил частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования S удален в бесконечность от плоскости проекций П′. Проецирующие лучи при этом практически параллельны между собой, поэтому данный способ получил название параллельного проецирования, а полученные с его помощью изображения (проекции) фигуры на плоскости называют параллельными проекциями. Возьмем в пространстве какуюлибо фигуру, например линию АВ (рисунок1-2). Спроецируем ее на плоскость проекций П′. Направление проецирования укажем стрелкой S. Чтобы спроецировать точку А на плоскость П′ надо провести через эту точку параллельно направлению S прямую линию до пересечения с плоскостью проекций П′. Полученная точка А′ называется паралРисунок 1-2 лельной проекцией точки А. Аналогично находим проекции других точек линии АВ. Совокупность всех проецирующих лучей определяет (представляет) в пространстве цилиндрическую поверхность, поэтому такой способ проецирования называют цилиндрическим. 2.3 Основные свойства параллельного проецирования 1) Проекцией точки является точка. А⇒А′ (рисунок 1-3а). 2) Проекцией прямой является прямая (свойство прямолинейности). Действительно, при параллельном проецировании все проеци-

Рисунок 1-3

рующие лучи будут лежать в одной плоскости Е. Эта плоскость пересекает плоскость проекций по прямой линии l′ (рисунок 1-3б). 3) Если в пространстве точка принадлежит линии (лежит на ней), то проекция этой точки принадлежит проекции линии (свойство принадлежности), (рисунок 1-Зб, точка М). 4) Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, т.к. Σ' // Σ 2 (рисунок 1-3б, в), (l)ll(m)⇒ (l′) II (m'). 5) Если отрезок прямой делится точкой в некотором отношении, то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении. Докажем это: введем СЕ//A’С' и DВ//С'B', тогда ΔACE ≈ ΔCBD . Из подобия треугольников следует, что ⏐АС⏐/⏐СВ⏐=⏐СЕ⏐/⏐DB⏐=⏐A′C′⏐/⏐C′B′⏐. 6) Параллельный перенос плоскости проекций или фигуры (без поворота) не меняет вида и размеров проекции фигуры (рисунок14).

А

Рисунок 1-4 2.4 Прямоугольное проецирование В

Рисунок 1-5

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций П′, еще больше упрощает построение чертежа и наиболее часто применяется в конструкторской практике. Этот способ называют прямоугольным проецированием или

(что тоже) ортогональным проецированием. Метод ортогональных проекций был впервые изложен французским геометром Гаспаром Монжем, поэтому иногда его называют методом Монжа. Этот метод является основным при составлении технических чертежей, поскольку позволяет наиболее полно судить о размерах изображенных предметов. В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной некоторого отрезка АВ в пространстве и длиной его проекции А′В′(рисунок 1-5). Рассмотренные способы проецирования позволяют однозначно решать прямую задачу - по данному оригиналу строить его проекционный чертеж. Однако только одна параллельная проекция без каких-либо дополнений недостаточна для полного представления о том, каким является этот предмет в натуре. По такому Рисунок 1-6 изображению (рисунок 1-6) нельзя определить не только форму и размеры предмета, но и его положение в пространстве, т.е. параллельная проекция не обладает свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей проекционный чертеж дополняют необходимыми данными. Способы дополнения бывают различными. Мы в курсе начертательной геометрии будем рассматривать два вида обратимых чертежей: 1. комплексные чертежи в ортогональных проекциях; 2. аксонометрические чертежи. 3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ Чертеж составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала называется комплексным чертежом. Принцип образования комплексного чертежа состоит в том, что предмет ортогонально проецируется на две или три взаимноперпендикулярные плоскости проекций (рисунок 1-7а). Одну из плоскостей проекций П′ располагают вертикально перед наблюдателем, вторую П″ горизонтально и ниже глаз наблюдателя, П″′ -перпендикулярно первым двум плоскостям

проекций и справа от наблюдателя. Эти плоскости называются соответственно - фронтальная, горизонтальная и профильная плоскости проекций. Спроецировав ортогонально фигуру на плоскости проекций получим, соответственно, фронтальную, горизонтальную и профильную проекции или вид спереди, вид сверху, вид слева. Пространственная фигура имеет три измерения, называемые в начертательной геометрии - высота, глубина и широта. Необходимо отметить, что на каждом из указанных 3-х видах фигуры присутствуют по два измерения: ↑↓ (выше, ниже) и широта • на виде спереди : высота ←→(левее-правее); • на виде сверху : глубина ↑↓ (дальше, ближе) и широта ←→(левее-правее); • на виде слева : высота ↑↓ (выше, ниже) и глубина ←→ (дальше, ближе). Высоту предмета h можно измерять от горизонтальной плос-

Рисунок 1-7 кости проекций, но проще и экономичнее производить замер высоты от базовой горизонтальной плоскости Г, взятой на уровне с нижним основанием (или точкой) фигуры. Глубину фигуры f измеряют от базовой фронтальной плоскости Ф , широту - от базовой профильной плоскости П. При этом плоскости Ф и П располагают относительно фигуры определенным образом: П -на уровне с самой правой точкой, фигуры, Ф - на уровне с самой дальней точкой.

Для получения комплексного чертежа фигуры горизонтальную и профильную плоскости проекций поворачивают до совмещения с фронтальной плоскостью проекций так, чтобы широты р на видах спереди и сверху, а высоты h на видах спереди и слева находились в проекционной связи (рисунок 1-7б). Проекции базовых плоскостей на плоскости проекций называются базами отсчета. На комплексном чертеже показаны базы отсчета: высот - Г, глубин - Ф, широт - П. Направление измерений показано стрелками. Допускается на чертеже отмечать базы отсчета знаком Δ. Если фигура имеет ось или плоскость симметрии удобно выбирать базы отсчета проходящими через них. Мы рассмотрели построение комплексного чертежа для довольно непростой пространственной фигуры. Часто возникает задача построить комплексный чертеж одной точки. Он строится аналогичным образом, при этом базовые плоскости (базы отсчета) выбираются на произвольном удалении от плоскостей проекции (см. 6-е свойство) с учетом удобства расположения изображений.

4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. 5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ВИДА. 4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ Относительно плоскостей проекций прямые могут располагаться по разному. Если они параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций, то говорят , что это прямые частного положения. 4.1 Горизонталь Прямая, параллельная горизонтальной плоскости, называется горизонталью,h // Г (рисунок 2-1). На фронтальной проекции (виде спереди) она всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а на виде сверху составляет с ними некоторый угол α (реконструкцией чертежа определяем положение прямой в пространстве). На виде сверху отрезок АВ, взятый на прямой, изображается в натуральную величину; здесь же можно определить угол α наклона прямой к фронтальной плосРисунок 2-1 кости и угол γ - наклона ее к профильной плоскости. На горизонтальной проекции (виде сверху) горизонталь проецируется без искажения. 4.2 Фронталь

Прямая, параллельная фронтальной плоскости, называется фронталью. f // Ф (рисунок 2-2). На горизонтальной проекции (виде сверху) фронталь всегда перпендикулярна вертикальным линиям связи, а на фронтальной проекции (виде спереРисунок 2-2

ди) составляет с ними некоторый угол. Отрезок СD, взятый на прямой, на виде спереди изображается без искажений. Здесь же определяются углы наклона прямой к горизонтальной плоскости β и к профильной плоскости П γ. Фронталь проецируется без искажения на фронтальной проекции (виде спереди). 4.3 Профильная прямая Прямая, параллельная профильной плоскости, называется профильной прямой р. р//П (рисунок 2-3). На видах спереди и сверху такая прямая всегда совпадает по направлению с вертикальными линиями связи. Эти виды не определяют наглядно положение прямой в пространстве, поэтому необходимо построить ее изображение на виде слева, где определяются углы наклона прямой к фронтальной α и горизонтальной β плоскостям уровня. Отрезок EF, взятый на прямой р, на виде слева изображается в натуральную величину. Положение прямой в пространстве определяется положением 2-х любых ее точек (наприРисунок 2-3 мер Е и F). Для построения точек Е и F на виде сверху необходимо наметить положение баз отсчета глубин, а затем, замерив глубины точек, отложить их на виде сверху. Удобно при выборе баз отсчета проводить их через одну из имеющихся точек. Так при выборе базы отсчета глубин ее проводят через дальнюю от наблюдателя точку Е. Тогда задача построения 3-го вида упрощается - нужно строить на нем на одну точку меньше – F. Профильная прямая проецируется без искажения на профильной проекции (виде слева).

4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая) Это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости Г. Отрезок, отложенный на данной прямой, на видах спереди и слева изображается в натуральную величину (рисунок 2-4), а на виде сверху - как точка, совпадающая с проекцией прямой i. Точки А и В называются горизонтальноконкурирующими (совпадающими).

I=А=В Рисунок 2-4

4.5 Прямая перпендикулярная фронтальной плоскости (фронтально-проецирующая) На видах сверху и слева отрезок такой прямой изображается в натуральную величину, а на виде спереди - в виде точки (рисунок 25). Точки С и D называются фронтально-конкурирующими. D=C=i

D

А

IABI

В

А=В=i

CD

С

ICDI

D Рисунок 2-5

Рисунок 2-6

4.6 Прямая перпендикулярная профильной плоскости (профильно-проецирующая) Такая прямая показана на рисунке 2-6. Точки А и В здесь – профильно-конкурирующие.

4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня В любой плоскости общего положения можно провести множество различных прямых. Из этого множества прямых выделяют ряд прямых, которые называют главными линиями данной плоскости. К таким прямым относят: •

горизонтали;

•

фронтали;

•

профильные прямые;

•

линии наибольшего уклона.

С первыми тремя видами линий мы уже знакомы. Линиями наибольшего уклона (ЛНУ) плоскости называются прямые перпендикулярные линиям уровня этой плоскости. Прямые в плоскости, перпендикулярные горизонталям этой плоскости называют часто линиями наибольшего ската (по этим линиям стекают с крыши дома капли дождя), они образуют наибольший угол с горизонтальной плоскостью. Действительно, если провести в плоскости Б(рисунок 2-7) прямую АВ, перпендикулярную к горизонтали h этой плоскости и произвольную прямую АС, то нетрудно показать, что прямая АВ образует больший угол наклона с горизонтальной плоскостью Г, нежели прямая АС. Покажем, что α>β. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: ΔАА*В и ΔАА*С с общим катетом АА*. Здесь АВ меньше АС, т.к. АВ- перпендикуляр из точки А на прямую h, в то время как АС наклонная к h линия. Поэтому если совместить поворотом ΔАА*В с ΔАА*С,то прямая АВ займет положение АВ* внутри ΔАА*С и станет очевидно, что ∠ABA*=α>∠ACA*=β Аналогично можно показать, что прямая плоскости, перпендикулярная к фронтали или профильной прямой данной плоскости, является соответственно прямой наибольшеРисунок 2-7

го уклона к фронтальной или профильной плоскости уровня. Нетрудно видеть, что линейный угол между ЛНУ и ее проекцией А*В* является равным углу наклона плоскости Б к плоскости Г. Поэтому: измерение двугранного угла между плоскостью общего положения Б и плоскостью уровня сводится к измерению угла между соответствующей прямой наибольшего уклона плоскости Б и проекцией ЛНУ на выбранную плоскость уровня. Пример 1. Провести в плоскости Б (Δ АВС) через точку В прямые наибольшего уклона U1 и U2 к горизонтальной и фронтальной плоскостям (рисунок 2-8). Сначала строим ЛНУ к горизонтальной плоскости. Для этого в заданной плоскости Б проведем горизонталь h- например А-1; На предыдущем рисунке 32 видно, что перпендикулярность к h сохраняется и на виде сверху (аналогично перпендикулярность к f сохраняется на виде спереди; пока без доказательства). Учитывая сказанное, проводим ЛНУ U1 сначала на виде сверху, а затем (используя т.2) и на виде спереди. Выделив на линии наибольшего уклона к горизонтальной плоскости отрезок (например B-2), найдем угол его наклона к Г плоскости способом прямоугольного треугольника. Аналогичным образом строим ЛНУ к Ф плоскости и находим угол наклона Рисунок 2-8 ее (а значит и плоскости) к Ф плоскости. 5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Прямая не параллельная ни одной из плоскостей уровня называется прямой общего положения. Различают восходящие и нисходящие прямые общего положения. Восходящая прямая по мере удаления от наблюдателя идет вверх (рисунок 2-9а). Нисходящая прямая - по мере удаления от наблюдателя такая прямая понижается (рисунок 2-9б).

Рисунок 2-9

Реконструируем прямые. Замечаем, что на комплексном чертеже проекции восходящей прямой ориентированы одинаково, а проекции нисходящей имеют различную ориентацию. Любой отрезок, принадлежащий таким прямым, на всех проекциях отображается с искажением.

4. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. 5. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ. 6. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ В зависимости от расположения относительно плоскостей проекций различают плоскости частного положения и плоскости общего вида. Под «частным» понимают такое расположение плоскостей, когда они параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций. Плоскости, параллельные плоскостям проекций называются плоскостями уровня. Плоскости перпендикулярные плоскостям проекций, и поэтому проецирующиеся на них в виде прямой линии, называют проецирующими плоскостями. 6.1 Фронтальная плоскость Ф Это плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций (рисунок 3-1). Всякая плоская фигура, лежащая в этой плоскости, на виде спереди проецируется в натуральную величину, а на виде сверху и слева - как отрезки прямой совпадающие с проекциями плоскости.

Рисунок 3-1

Рисунок 3-2

6.2 Горизонтальная плоскость Г Это плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций. Всякая плоская фигура, лежащая в этой плоскости, на виде сверху изображается в натуральную величину (рисунок 3-2), а на видах спереди и слева – как отрезки прямой совпадающие с проекциями самой горизонтальной плоскости. 6.3 Профильная плоскость П Это плоскость параллельная профильной плоскости проекций. Всякая плоская фигура, лежащая в этой плоскости, на виде слева изображается в натуральную величину, а на видах спереди и сверху - как отрезки прямой, совпадающие с проекциями самой плоскости (рисунок 3-3).

Рисунок 3-3 6.4 Вертикальная плоскость Эта плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости В уровня (рисунок 3-4). На виде сверху такая плоскость изображается в виде прямой линии, т.е. имеет вырожденный вид. На виде спереди она занимает всю плоскость проекций, α - угол наклона плоскости Б к фронтальной, а β- к профильной плоскости проекций. Если в плоскости Б взять произвольную фигуру(Δ АВС), то на виде сверху ее изображение совпадет с изображением плоскости; Рисунок 3-4

на виде спереди изображение треугольника будет искажено. Чтобы определить натуральную величину фигуры, необходимо построить дополнительный вид на плоскость параллельную заданной плоскости Б (или, что то же, по направлению горизонтали h , как прямой перпендикулярной плоскости Б). При таком преобразовании чертежа сохраняются высоты точек. 6.5 Наклонная плоскость Это плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости. Д⊥Ф (рисунок 3-5). Название плоскости определяется ее положением относительно горизонтальной плоскости. На виде спереди плоскость изображается как прямая, а на виде сверху занимает всю плоскость проекций. Положение плоскости Д относительно других плоскостей уровня определяется углами β и γ. Изображение любой плоской фигуры лежащей в плоскости Д (например ΔАВС) на виде спереди совпадает с изображением плоскости, а на виде сверху размеры и форма фигуры изображаются с исРисунок 3-5 кажением. Для определения натуральной величины ΔАВС следует построить дополнительный вид на плоскость, параллельную заданной плоскости Д (или по направлению прямой перпендикулярной заданной плоскости Д - фронтали f). В этом случае сохраняются (при построении дополнительного вида) глубины точек фигуры. Базы отсчета глубин проводят; на виде сверху -через дальнюю точку фигуры, на дополнительном виде - в любом удобном месте перпендикулярно новым линиям связи. Новые линии связи проводятся параллельно новому направлению проецирования.

6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций Эта плоскость на виде слева изображается в виде прямой, а на виде спереди занимает всю плоскость проекций. Б⊥П (рисунок 3-6). Фигура, лежащая в плоскости Б на виде слева совпадает с изображением плоскости, а на виде спереди изображается с искажением размеров и формы. Рисунок 3-6 Для определения натуральной величины фигуры строим дополнительный вид на плоскость параллельную заданной плоскости Б (или по направлению профильной прямой р перпендикулярной заданной плоскости Б ). При построении дополнительного вида здесь сохраняются широты точек. Положение плоскости Б относительно других плоскостей уровня определяется углами α и β. 7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Плоскостью общего положения называют плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. В общем случае ее изображение занимает все поле чертежа. Чтобы сделать чертеж более удобным и наглядным, плоскость общего положения ограничивают, задавая ее одним из следующих способов: 1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой – Б(А, В, С); 2. Двумя параллельными прямыми – Д(а // b); 3. Двумя пересекающимися прямыми –Ж(c∩f/; 4. Точкой и прямой – 3 (М, м); 5. Отсеком плоскости - И (Δ АВС). При этом всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому. Если плоскость по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, то такую плоскость называют восходящей. И наоборот, если плоскость по мере удаления от наблю-

дателя понижается, то такую плоскость называют нисходящей. На комплексном чертеже оба вида треугольника, которым задана восходящая плоскость, имеют одинаковые обходы (рис. 3-7а). Изображения треугольника, задающего нисходящую плоскость, имеют противоположные обходы (рисунок 3-7б).

а) С А

С

А

Рисунок 3-7 Поскольку способов задания плоскости несколько и разных, будем считать, что на комплексном чертеже проекции восходящей плоскости ориентированы одинаково, а нисходящей противоположно. 8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 8.1 Взаимное положение точки и прямой Относительно прямой общего положения l (рисунок 3-8) построим следующие точки:

Рисунок 3-8

1. точка А принадлежит l (А∈l). Задача решается на основании свойства принадлежности; 2. точка В над прямой. Как построить точку на прямой мы теперь знаем, а поскольку она должна быть над прямой, т, е. выше нее, необходимо внести соответствующее изменение в положение точки на виде спереди; 3. точка С за прямой.

Аналогично предыдущей задаче приходим к выводу, что за прямой означает дальше нее, чему соответствует изменение положения точки на виде сверху. 8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость

Рисунок 3-9

Дана плоскость общего положения Б ( ΔАВС), (рисунок 3-9). Построим точку М на плоскости Б и точку N под плоскостью Б. Чтобы построить точку на плоскости, необходимо: 1) на этой плоскости Б провести (или выделить) любую прямую l, для чего провести прямую l через две точки принадлежащие плоскости (в нашем случае т.т. А и 1); 2) на этой прямой взять произвольную точку, например М (свой-

ство принадлежности). Чтобы построить точку N под заданной плоскостью, необходимо вначале, как сказано выше, найти точку, принадлежащую плоскости, а затем, на, виде спереди изображение ее опустить ниже прямой l (значит и ниже плоскости).

9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ. 11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ. 9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ Дан отрезок общего положения АВ (рисунок 4-1). Необходимо разделить этот отрезок точкой С в отношении, например, 3:2, т.е. ⏐АС ⏐/⏐CB⏐=3/2. Для этого через один из концов отрезка (точку А или В) на любом из видов (спереди или сверху) проводим в произвольном направлении луч и на нем откладываем пять одинаковых (т.к. 3+2=5) отрезков произвольной длины. Рисунок 4-1 Конец последнего (на луче) отрезка соединяем с другим концом отрезка АВ, а затем через точку 2 проводим СЗ//А5. Точка С делит отрезок АВ в требуемом отношении (на основании свойства прямых, пересеченных параллельными прямыми - теорема ФАЛЕСА). 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ. При решении различных общегеометрических задач часто возникает необходимость определения натуральной величины отрезка по его комплексному чертежу. Если отрезок принадлежит прямой уровня - горизонтали, фронтали или профильной прямой, то в этом случае натуральная величина отрезка имеется на одном из видов: • для горизонтали - на виде сверху; • для фронтали - на виде спереди; • для профильной прямой - на виде слева.

Если же отрезок принадлежит прямой общего положения, то на всех проекциях (видах спереди, сверху, слева) его изображение

Рисунок 4-2 будет меньше самого отрезка. Для определения натуральной величины отрезка и углов наклона его к плоскостям уровня применяют способ прямоугольного треугольника (рисунок 4-2). Рассмотрим ΔАВВ∗(рисунок 4-2). Здесь АВ=⎜АВ⎟; ВВ∗=ΔН (разность высот точек А и В - концов отрезка.); АВ*= АВ (проекция отрезка). Таким образом если, имея комплексный чертеж отрезка, мы сумеем построить прямоугольный треугольник катетами которого будут –1)одна из проекций отрезка и 2)разность измерений концов отрезка, отмеряемых от соответствующей первому катету плоскости проекций (от Г- высот, от Ф - глубин, от П – широт), то гипотенуза полученного треугольника будет равна натуральной величине отрезка. При этом угол между гипотенузой треугольника и проекцией отрезка равен углу наклона отрезка к плоскости проекций (Г, Ф, или П соответственно), (рисунок 4-2б). Строить такой прямоугольный треугольник по двум катетам можно в любом удобном месте чертежа.

Пример 1. Определить угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости (рисунок 4-3). Для определения указанного угла удобно построить прямоугольный треугольник, приняв фронтальную проекцию отрезка в качестве его первого катета. Вторым катетом треугольника в этом случае будет разность глубин концов отрезка измеренная на горизонтальной проекции (виде сверху). Угол α между первым катетом и гипотенузой и будет искомым. Попутно определится и длина отрезка равная длине гипотенузы треугольника.

Рисунок 4-3

Рисунок 4-4

Пример 2. Отложить на проекциях прямой m от точки А отрезок АВ, натуральная величина которого равна 50 мм (рисунок 4-4).Можно предложить такой способ решения задачи. Возьмем на указанной прямой произвольную точку С и определим натуральную величину полученного отрезка АС способом прямоугольного треугольника. Поскольку на гипотенузе треугольника имеем натуральные длины отрезков, отложим здесь от точки А заданную величину 50 мм. Затем проведем прямую параллельно второму катету треугольника до пересечения с проекцией отрезка АС. Полученная точка будет являться искомой точкой В. Вторую проекцию точки В находим проецируя точку В на вторую проекцию отрезка.

11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ Чтобы сделать чертеж наглядным, удобным для восприятия, прибегают к определению видимости линий на чертеже, Видимость на комплексном чертеже определяется с помощью конкурирующих точек (рисунок 4-5). Из двух конкурирующих на виде сверху точек видна та точка, которая выше - т.А (рисунок 4-5а). Из двух точек, конкурирующих на виде спереди (рисунок 4-5б), видна та точка, которая ближе (т.е. имеет большую глубину). В нашем случае это точка D. Рисунок 4-5 Пример. Определить видимость ребер пирамиды SABC (рисунок 4-6). 1. Линии, ограничивающие контур чертежа, всегда видимые.

Рисунок 4-6

2. Для определения видимости ребер АВ и СS на виде спереди, берем на этом виде две фронтально-конкурирующие точки принадлежащие ребрам - точки1=2. 3. Устанавливаем, что точка 1 ближе к наблюдателю, чем точка 2, значит на виде спереди она видима, видимо и ребро СS. Ребро АВ невидимо. 4. Видимость ребер AS И СВ на виде сверху определяем с помощью горизонтально-конкурирующих точек 3=4. Так как точка 3 выше точки 4, то на виде сверху она будет видима, видимо и ребро AS.

12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ. 13. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. 14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. 12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ Точку, прямую и плоскость называют элементарными геометрическими фигурами. Из них могут быть созданы все остальные геометрические фигуры. Приняв в качестве элементарной фигуры точку, можно рассматривать любую линию как множество последовательных положений движущейся точки - траекторию точки. Ломаная линия - линия, состоящая из отрезков прямой, расположенных в пространстве под некоторым углом друг к другу. Кривые линии - могут быть плоскими, когда все точки кривой лежат в одной плоскости, и пространственными - когда точки кривой не лежат в одной плоскости. К плоским кривым относятся кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола, синусоида, циклоида и т.д. Прямая, лежащая в плоскости этих линий, может пересечь любую из них лишь дважды. С построением этих линий вы уже ознакомились при выполнении задания №1 "Геометрическое черчение" в курсе машиностроительного черчения. Из пространственных кривых наиболее часто встречается на практике цилиндрическая винтовая линия. Если точка совершает равномерное движение по прямой, которая в свою очередь совершает равномерное вращение вокруг параллельной ей оси, то она (точка) опишет пространственную кривую – цилиндрическую винтовую линию (рисунок 5-1).

Рисунок 5-1 13. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Поверхность - множество точек, имеющее два измерения вдоль каких-либо линий этой поверхности. В начертательной геометрии пользуются, в основном, кинематическим способом образования поверхностей, т.е. движением линии (рисунок 5-2). Поверхность Ф представляет собой множество последовательных положений l1, l2, l3 и т.д. линии l , форма и движение которой подчинены некоторому закону. Линия l назыРисунок 5-2 вается образующей. Линии, по которым она движется, называют направляющими –m1, m2, m3 и т.д. Но в таком виде на чертеже поверхность обычно не задают. Краткости и достаточной емкости геометрической информации о поверхности служат понятия определителя и ее каркаса. Определитель поверхности - это минимальная, но достаточная информация о поверхности, необходимая для построения на ней любой ее точки. Каркасом поверхности называют множество ее линий (например l и m, рисунок 5-2). На комплексном чертеже поверхность обычно задают проекциями ее направляющих, и указывается способ построения ее образующих. Для придания чертежу большей наглядности строят на нем очерк поверхности.

Очерк поверхности - проекция ее контурной линии. Или иначе - это граница, отделяющая проекцию поверхности от остальной части плоскости. Примеры задания поверхностей вращения определителем представлены на рисунке 5-3.

Рисунок 5-3 Примеры чертежей поверхностей заданных очерком (рисунок 5- 4).

Цилиндр

Сфера Рисунок 5-4

Для удобства изучения поверхностей их обычно делят на ряд классов. На примере поверхностей, которые встречаются в практике наиболее часто, рассмотрим эту классификацию.

13.1 Поверхности вращения Это поверхности, которые описываются какой-либо линией при ее вращении вокруг неподвижной оси. а) При вращении прямой образуются: • цилиндр вращения (прямая параллельна оси вращения); • конус вращения (прямая пересекается с осью вращения). б) При вращении окружности образуется: • сфера (вращением окружности вокруг диаметра); • тор (вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр); в) При вращении кривой второго порядка образуются: • эллипсоид вращения (вращением эллипса); • параболоид вращения (вращением параболы); • однополостный гиперболоид; • 2-х полостной гиперболоид. 13.2 Линейчатые поверхности Это поверхности, описываемые какой -либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какомунибудь закону: • цилиндрическая поверхность (образуется движением прямой линии по некоторой кривой линии, при этом прямая имеет постоянное направление); • коническая поверхность (образуется движением прямой линии, проходящей через неподвижную точку, по некоторой кривой линии, называемой направляющей); • торс и т.д. Если направляющая линия является ломаной линией, то образуются: • призматическая поверхность (образующая имеет постоянное направление); • пирамидальная поверхность (образующая проходит через неподвижную точку). Имеются и более сложные линейчатые поверхности: • цилиндроид; • коноид; • косая плоскость и т. д. Всякая прямая пересекается с такой поверхностью в двух точках, а плоскость пересекает ее по кривой второго порядка.

13.3 Поверхности второго порядка • коническая поверхность (конус вращения и эллиптический конус, получаемый деформацией параллелей конуса вращения в эллипсы); • цилиндрическая поверхность (цилиндр вращения, эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры. • эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы); • эллипсоид (эллипсоид вращения, в частности сфера; трехосный эллипсоид, получаемый из эллипсоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы); • параболоид, гиперболоиды и др. 13.4 Винтовые поверхности Они описываются какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Если образующая винтовой поверхности прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом (пример – шнек). Различают прямой и наклонный геликоиды. В первом случае образующая во всех положениях перпендикулярна оси t, во втором - пересекает ось геликоида под постоянным углом отличным от прямого. 13.5 Циклические поверхности Они описываются какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении. К циклическим можно отнести все поверхности вращения и те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения. Кроме этих к циклическим относят Рисунок 5-5 каналовые и трубчатые поверхности. Каналовые поверхности (рисунок 5-5) образуются движением окружности переменного радиуса, центр которой 0 перемещается по заданной кривой (направляющей l ), а плоскость окружности остается перпендикулярной этой кривой. Трубчатая поверхность образуется движением окружности постоянного радиуса – в этом ее отличие от каналовой поверхности.

13.6 Топографические поверхности Образование их не подчинено какому-либо закону. К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса судов, обшивки самолетов, автомобилей. На чертеже эти поверхности изображаются при помощи семейства некоторых линий (рисунок 5-6).

Рисунок 5-6

Из сказанного выше видно, что некоторые поверхности могут быть отнесены к нескольким классам одновременно

14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Для построения точки на любой поверхности необходимо провести на этой поверхности произвольную линию и на ней взять точку. В качестве такой вспомогательной линии следует брать графически простые линии, т.к. это упрощает решение. На многогранных и линейчатых поверхностях в качестве вспомогательных линий лучше выбирать прямые линии, а на поверхностях вращения - окружности (параллели). Для построения произвольной линии или фигуры, лежащей на поверхности, необходимо построить несколько точек этой фигуры (линии), а затем их последовательно соединить, учитывая при этом их принадлежность одной грани и видимость. 14.1 Построение линий на гранных поверхностях Примеры построений представлены на рисунке 5-7. Пусть положение линий MN задано на видах спереди Так как поверхности гранные, то линии MN в обоих случаях будут ломаными и точки излома принадлежат ребрам поверхностей, с которыми линии MN пересекаются на видах спереди. Такими точками являются точки 3 (в примере «а») и 2(в примере «б»). Эти точки на видах сверху находятся просто – способом принадлежности.

Пример а) Для построения точек M и N проведем на поверхности призмы вспомогательные прямые параллельные боковым ребрам и проходящие через точки М и N. Эти прямые с помощью точек 1 и 2 несложно построить на виде сверху, а затем определить на них проекции точек М и N. a)

б)

Рисунок 5-7 Полученные на виде сверху точки соединяем отрезками прямых. Участок М-3 принадлежит грани АВЕD, которая на виде сверху видима, следовательно и этот участок будет видимым. Участок 3-N принадлежит грани ВСFЕ которая на виде сверху невидима, следовательно отрезок 3-N так же будет невидимым. Пример б) Построение линии МN на поверхности пирамиды так же начинаем с нахождения на виде сверху точки излома (т.2). Для построения точки М на поверхности пирамиды проведена вспомогательная прямая 1-2, принадлежащая грани АВS, а для нахождения т. N - линия S-3, принадлежащая грани ВСS. Точки 1 и 3 легко находятся на виде сверху, после чего построение точек М и N не вызывает затруднений. 14.2 Построение линий на поверхностях вращения Примеры построений показаны на рисунке 5-8. Вид спереди этих линий задан. Необходимо достроить данные линии на видах сверху. Пример а) Для построения линии АВ принадлежащей поверхности прямого кругового цилиндра в общем случае необходимо использовать горизонтали h или образующие l.

В данном же случае целесообразно использовать вырожденный вид цилиндрической поверхности, где вся боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность. Линия АВ при этом совпадает с окружностью и находится на передней ее части. а)

Рисунок 5-8 Пример б) Построение линии на поверхности конуса вращения начинаем с нахождения точек А и С, лежащих на контурных (очерковых) образующих конуса, которые на виде сверху находим без дополнительных построений. Т.к. участок линии АВ параллелен основанию конуса, проводим через него горизонталь h (параллель). Для построения участка ВС необходимо найти ряд дополнительных точек. Показано построение точки 2 при помощи образующей S-1 , но эту же точку можно построить и с помощью параллели (горизонтали) поверхности. Пример в) Построение линии на поверхности сферы начато с нахождения точек А и С, лежащих на главном меридиане. Для построения участка линии ВС и промежуточной точки 1 использованы параллели поверхности (горизонтали h1 и h2).

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ. 17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ. 18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. 15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Аксонометрические изображения довольно широко применяются в конструкторской работе. Это объясняется тем, что они обладают большой наглядностью и сравнительно простым построением. Особое значение приобретают аксонометрические изображения еще и потому, что в наши дни все большее внимание уделяется вопросам эстетики промышленных форм, внешнего вида изделий (дизайну). Слово "аксонометрия" в переводе с греческого означает "измерения по осям". Аксонометрическая проекция - это чертеж, состоящий из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненной пространственной системой координат, к которой предварительно был отнесен изображаемый оригинал. Рассмотрим пример получения аксонометрической проекции. Возьмем точку А, отнесенную к пространственной системе прямоугольных координат XYZ. Выберем плоскость проекций П' и спроецируем на нее по некоторому данному направлению S, точку А с системой прямоугольных координат (рисунок 6-1). 0 - начало координат; Рисунок 6-1 0XYZнатуральная система координат; ОАxА1А - координатная ломаная; O'X'Y'Z' аксонометрическая система координат; 0'А'хА'1А' аксонометрическая координатная ломаная; А'- аксонометрическая

проекция точки А; Х,Y,Z- натуральные координаты точки А; Х',Y',Z'аксонометрические координаты точки А. Из построения следует, что каждой точке А пространства на плоскости проекций П' соответствует определенная точка А'. Однако обратное утверждение будет неверно т.к. точке А' на П' соответствует любая точка проецирующего луча АА'. Чтобы устранить эту неопределенность и обеспечить взаимную однозначность между точками пространства и аксонометрическими проекциями, на плоскость П' проецируют и одну ортогональную проекцию т. А - А1. Ее аксонометрическую проекцию А'1 называют вторичной проекцией т.А. В этом случае А' и А'1 определяют положение т. А в пространстве (зная А1 находим Ах; по Ах → А'х; по А'х и А1→А'). 16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П' характеризуется коэффициентами искажения. Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси к его натуральной длине. Приняты коэффициенты искажения по осям: • По оси X:U =О'Х'/ОХ=О'А'х/ОАх=Х'АХА; • По оси Y: V=O'Y'/OY=A'xA'/AxA=Y'A/YA • По оси Х: W=O'Z'/OZ=A'1A/A1A=Z'AZA. В зависимости от соотношения коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрических проекций: 1) изометрические - коэффициенты искажения по всем осям равны между собой - U=V=W; 2) диметрические - - коэффициенты искажения по двум осям равны между собой, а по третьей отличаются от первых двух – U=V≠W; U=W≠V; V=W≠U. 3) триметрические – коэффициенты искажения по всем осям различныU≠V≠W, где U≠W.

17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В зависимости от направления проецирования S по отношению к плоскости проекций П' аксонометрические проекции подразделяются на: • ортогональные (когда проецирующие лучи направлены перпендикулярно к П'); • косоугольные (когда проецирующие лучи направлены к П' под углом отличным от 90˚). Для построения аксонометрической проекции точки А необходимо построить координатную ломаную линию. Аксонометрические координаты точки будут равны: X'A=U×XA; Y'A=V×YA; Z'=W×ZA. 17.1 Основное предложение аксонометрии При построении параллельной аксонометрической проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П' и направление проецирования. Любому изменению взаимного положения осей координат и плоскости проекций (или изменению направления проецирования) будет соответствовать как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по этим осям. Между коэффициентами искажения и углом проецирования существует следующая зависимость: U²+V²+W²=2+ctg ϕ (теорема Польке) где: ϕ - угол между направлением проецирования и плоскостью проекций. При ϕ = 90° (ортогональная аксонометрическая проекция): U²+V²+W²=2 17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции Наибольшее применение в практике получили прямоугольные аксонометрические проекции, которые обладают большей наглядностью и упрощениями, которые в них достигаются. Свойств этих три. Нам сейчас важно запомнить одно: коэффициенты искажения в ортогональной аксонометрии равны косинусам углов наклона натуральных осей к плоскости проекций Все три коэффициента искажения ограничены поэтому крайними значениями 0 и 1.

18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ГОСТ 2.317-69 предусматривает аксонометрических проекций.

три

частных

вида

18.1 Прямоугольная изометрия Аксонометрические оси в прямоугольной изометрии образуют между собой углы 120°. Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям (рисунок 6-2) U=V=W. Отсюда Cosα=Cosβ=Cosγ и α=β=γ. Это означает, что натуральные координатные оси одинаково наклонены к плоскости проекций, тогда: U²=V²=W² откуда 3U²=2 и U≈0,82. Рисунок 6-2 На практике пользуются приведенной прямоугольной изометрией, в которой показатели искажения приводятся к единице, т.е.U=V=W=1. Коэффициент приведения m=U/u=1,0/0,82=1,22,. Аксонометрическое изображение будет увеличено в 1.22 раза относительно оригинала. МА=1,22:1. При U=V=W=0.82 м.о.э.=0,58d, Б.О.Э.=d. При U=V=W=1,0 м.о.э.=0,71d, Б.О.Э.=1,22d. 18.2 Прямоугольная диметрия Эта проекция представлена на рисунке 6-3. Здесь U=W; V≠W, V=U/2. Тогда U²+U²/4+U²=2 откуда U=W=0.94, V=0.47. При приведении коэффициентов к единице (округлении): U=W=1.0, V=0.5 получим аксонометрическое Рисунок 6-3 изображение увеличенным в m=1/0.94=1.06 раза. МА=1.06:1.

При U=W=1 и V=0.5 м.о.э. = 0.35d; Б.О.Э. = 1.06d для координатных плоскостей ХОУ и YOZ, а для координатной плоскости ХOZ: м.о.э. = 0.95d, Б.О.Э. = 1.06d. 18.3 Косоугольная фронтальная диметрия В практике встречаются случаи, когда целесообразно сохранить неискаженными фигуры расположенные в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций (например, при изображении технической детали, имеющей много окружностей в параллельных плоскостях). Эти детали проще изобразить, если окружности будут проецироваться в аксонометрии без искажения. Для получения такой аксонометрической проекции плоскость проекций П' располагают параллельно координатной плоскости ХОZ. Тогда оси координат Х и Z, параллельные П', проецируются на неё в натуральную величину, и коэффициенты искажения U=W=1. Коэффициент искажения по оси Y будет равен: U²+V²+W²=2+ctg ϕ откуда V²=ctg ϕ где ϕ-угол между направлением проецирования и плоскостью проекций П'. На практике направление оси Y выбирают таким образом, чтобы углы образованные аксонометрической осью Y с осями Х и Zравнялись 135°, а показатель искажения V=0.5 (рисунок 6-4).

Рисун ок 5-5

Рисунок 6-4

Легко определить, что угол ϕ=arc ctg 0.5=63°, м.о.э.=0.33d, Б.О.Э.=1.07d. Однако еще раз нужно подчеркнуть, что косоугольная фронтальная диметрия применяется тогда, когда деталь имеет много окружностей, расположенных в параллельных плоскостях (рисунок 5-5). Такую деталь целесообразно изображать в косоугольной фронтальной диметрии.

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. 1. 2. 3. 4.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Позиционные задачи – это задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. Различают прямые и обратные позиционные задачи: • прямые – задачи на взаимопринадлежность (построение точки на линии или поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через заданные линии, задачи на пересечение); • обратные – в которых определяется взаимное расположение точек, линий, плоскостей. 19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения двух точек (рисунок 7-1).

а)

б) А=В

в) А

г) А=В

А ∆Н

В

В ∆р

А=В

А=В

В А

А ∆f

В

Рисунок 7-1 а) две точки в пространстве могут либо совпадать, либо не совпадать. Если две точки совпадают, то на видах спереди и сверху их проекции совпадают (рисунок 7-1а). Если же точки не совпадают, то их проекции не совпадают либо на виде спереди (7-1б), либо на виде сверху (7-1в), либо на двух видах одновременно (7-1г).

б) Точки, которые совпадают на виде сверху (на горизонтальной проекции) называют горизонтально-конкурирующими. На рисунке7-1б точка А находится выше точки В и точно над ней, поэтому на виде спереди обе точки видимы, а на виде сверху видна точка А, имеющая большую высоту. в) Точки, которые совпадают на виде спереди (на фронтальной проекции) называют фронтально-конкурирующими. На виде сверху обе точки видимы, а на виде спереди видна та из них, что ближе к наблюдателю, т.е. точка А. г) По рисунку 7-1г определяем, что точка А выше точки В на величину ΔН; по виду сверху отмечаем, что от наблюдателя точка А дальше точки В на величину Δf ; на обоих видах определяется, что точка А левее точки В на величину Δр. 20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ Точка может находиться либо на прямой, либо вне её. а) Если точка находится на прямой, тогда на основании свойства принадлежности её проекции будут принадлежать проекциям прямой – точка А (рисунок 7-2); б) Если же точка расположена вне прямой, то тогда хотя бы на одном из видов точка не будет находиться на прямой: Рисунок 7-2 • точка В на виде сверху не лежит на прямой l, а находится ближе, чем фронтально-конкурирующая с ней точка, отмеченная крестиком; следовательно точка В находится перед прямой l; • точка С, как это следует из вида спереди, находится ниже прямой l, т.к. она расположена ниже горизонтально-конкурирующей с ней точки, отмеченной крестиком и лежащей на прямой; • анализируя положение точки D относительно прямой l, приходим к выводу, что точка D находится над прямой l, что определяется по положению точки D на виде спереди. По виду сверху отмечаем, что точка D находится за прямой l. Определить взаимное положение точки и прямой профильного положения р по двум видам не представляется возможным, т.к. такая прямая на видах спереди и сверху совпадает с линиями связи по направлению (рисунок 7-3).

Рисунок 7-3

Получить ответ можно с помощью построения профильной проекции (вида слева). Так по виду слева определяем, что т. М находится перед прямой (Δf) и над ней (ΔН), т.к. она лежит ближе фронтально-конкурирующей и выше горизонтально конкурирующих точек, отмеченных крестиками. Точка N находится ниже (под) прямой l и за (дальше) неё.

21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ Может быть два варианта: • точка находится в плоскости; • точка находится вне плоскости. Точка находится в плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой этой плоскости. Следовательно, чтобы построить точку на плоскости, необходимо сначала на этой плоскости построить произвольную прямую линию (или взять уже имеющуюся) и на ней взять точку. 21.1 Плоскость частного положения Если точка находится в плоскости частного положения (наклонной, вертикальной, профильнопроецирующей), то построение ее облегчается. В этом случае точка на одном из видов будет находиться на изображении плоскости, а на другом виде положение ее может быть произвольным (рисунок 7-4). Здесь показана т. А принадлежащая наклонной плоскости Б, т.к. на виде спереди она находится на прямой, являющейся изображением плоскости; а на виде сверху поРисунок 7-4 ложение точки взято на линии связи произвольно. Точка В находится под плоскостью, т.к. она лежит ниже отмеченной крестиком точки, с которой она горизонтально конкурирует,

21.2 Плоскость общего положения Несколько сложнее построить на комплексном чертеже точку, принадлежащую плоскости общего положения. Пусть задана плоскость Б(ΔАВС), (рисунок 7-5). Чтобы построить на чертеже какую-нибудь точку лежащую в плоскости Б, проведена произвольная прямая l явно принадлежащая плоскости (т.к. проходит через две точки плоскости А и 1). Затем на этой прямой взята т. М (свойство принадлежности). Рассмотрим обратную задачу. Пусть заданы два вида точки N. Нужно определить положение т. N относительно плоскости. Для решения этой задачи нужно на плоскости Рисунок 7-5 вспомогательпровести ную прямую, конкурирующую с данной точкой на любом из видов (например на виде спереди, как на рисунке 7-5) и определить взаимное положение данной точки N и прямой. Итак, проведем фронтально-конкурирующую с точкой N прямую m, положение которой определено точками плоскости А и 2. По глубине точки N определяем, что она находится перед прямой l и, следовательно, перед плоскостью. Поскольку плоскость Б - нисходящая (определяем по разным направлениям обхода на видах), и, учитывая, что т. N находится перед плоскостью, то она в то же время будет находиться и под плоскостью. 22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Прямые в пространстве могут: • совпадать; • пересекаться; • быть параллельными; • скрещиваться.

Две прямые являются совпадающими, если на видах спереди и сверху они сливаются (рисунок 7-6а). а)

б)

в)

Рисунок 7-6 Пересекающиеся прямые имеют общую точку – К, изображение которой на видах спереди и сверху расположены на одной линии связи (рисунок 7-6б). Проекции пересекающихся прямых на одном из видов могут совпадать (рисунок 7-6в), такие прямые называются конкурирующими. Так как здесь они совпадают на виде сверху (на горизонтальной проекции), то в данном случае это горизонтально - конкурирующие прямые. Если прямые а и Ь параллельны, то на основании свойства параллельного проецирования их одноименные проекции будут параллельны (рисунок 7-7а). Проекции параллельных прямых на одном из видов могут совпадать, в этом случае прямые называются конкурирующими параллельными прямыми. На рисунке 7-7б изображены фронтально-конкурирующие прямые а и Ь, т.к. их изображения совпадают на виде спереди. а) б) в)

Рисунок 7-7 Взаимное положение конкурирующих прямых определяют по тому виду, на котором их изображения не совпадают.

Скрещивающиеся прямые - это такие прямые, которые не пересекаются и не параллельны друг другу (рисунок 7-7в). Если параллельные и пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости (задают плоскость), то скрещивающиеся прямые в одной плоскости не лежат. Кажущиеся точки пересечения прямых 1 и 2, 3 и 4 будут попарно конкурирующими; у них совпадает только одна из одноименных проекций: т.т.1 и 2 - конкурируют на виде спереди, т.т.3 и 4 - конкурируют на виде сверху. Итак, - взаимное положение прямых общего положения определяется по двум видам заданных прямых. 22.1 Прямые профильного положения Иначе обстоит дело с прямыми профильного положения. Для определения взаимного положения этих прямых следует построить вид слева. Рассмотрим взаимное положение двух профильных прямых р1(АВ) и р2(СD), (рисунок 7-8). Так как это фронтальноконкурирующие прямые, они лежат в одной плоскости профильного положения, и могут или совпадать, или быть параллельными, или пересекаться. Построим вид слева, для Рисунок 7-8 чего выберем положение базы отсчета глубин (их не хватает для построения, т.к. высоты точек на виде слева сохраняются). Замерив глубины точек А, В, С, D от базы на виде сверху, откладываем полученные величины на соответствующих горизонтальных линиях связи от базы отсчета на виде слева. Построив точки, и соединив их должным образом, приходим к выводу, что прямые p1 и р2 пересекаются в точке К. Найдя её на виде слева, строим точку К и на двух других видах.

23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая линия по отношению к плоскости может занимать следующие положения: • принадлежать плоскости; • быть параллельной данной плоскости; • пересекать эту плоскость. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки лежат в данной плоскости (рисунок 7-9). Прямая линия параллельна плоскости, если эта прямая параллельна какой-нибудь прямой лежащей в данной плоскости (рисунок 7-10а). Пример 1. Через данную точку А провести прямую параллельную наклонной плоскости Б (рисунок 7-10б). Искомая прямая m будет принадлежать наклонной плоскости, проходящей через т.А и параллельной Рисунок 7-9

плоскости Б. Поэтому на виде спереди прямая m параллельна. вырожденному виду плоскости Б, а на виде сверху заРисунок 7-10 нимает произвольное положение. Пример 2. Через точку М провести прямую п, параллельно плоскости Б (а//Ь), (рисунок 7-10в). Построим на плоскости Б произвольную прямую с, а затем проведем через точку М прямую п параллельную прямой с. 2. Пересечение прямой с плоскостью Задача на пересечение прямой с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Чтобы решить эту задачу в общем виде необходимо знать при-

ем, способ решения (алгоритм). Но если в задаче имеются вырожденные виды оригиналов, то такая задача требует просто развитого пространственного воображения. Все задачи на пересечение прямой с плоскостью можно разделить на несколько типов: • Первый тип задач - плоскости имеют вырожденный вид, т.е. являются проецирующими, а прямая является прямой общего положения. Основным методом решения задач этого типа является метод принадлежности. Рассмотрим ряд примеров. Пример 3. Построить точку К пересечения прямой l с вертикальной плоскостью Б (рисунок 7- 11). Решение задачи следует начинать с вида сверху, где ответ уже имеется общая точка для прямой и плоскости находится в месте их пересечения. По виду сверху точки К находим ее на виде спереди. Заканчивается решение задачи определением видимости прямой l. На виде сверху все ее участки будут видимы, а на виде спереди будет видим участок, находящийся перед плоскостью, т.е. участок прямой правее точки Рисунок 7-11 К. Это легко установить представив положение оригиналов в пространстве. • Второй тип задач – прямая частного положения и имеет вырожденный вид. Пример 4. Построить точку пересечения К вертикальной прямой i с плоскостью Б (ΔАВС), (рисунок 7-12). Т.к. вырожденный вид прямой имеется на виде сверху, то решение начинаем с него. Точка пересечения прямой i с плоскостью Б здесь совпадает с вырожденным видом самой прямой; i = К. Рисунок 7-12

Чтобы построить т. К на виде спереди проведем на плоскости через т. К (вид сверху) произвольную прямую, например С-1. Построим эту прямую на виде спереди, и на пересечении прямой С-1 и l находим точку К. Видимость определяем представив (с помощью реконструкции чертежа) взаимное расположение оригиналов. • Третий тип задач - задачи не содержат элементов частного положения, т.е. прямая и плоскость общего положения (вырожденного вида нет). В этом случае (рисунок 7-13) решение задачи сводится к рассмотрению взаимного положения двух прямых - данной прямой l и некоторой прямой t, лежащей в плоскости Б. Прямую t выбирают так, чтобы она была конкурирующей с прямой l. Конкурирующие прямые (на одном из видов их изображения совпадают) могут быть либо параллельны, либо пересекаться. Тогда, соответственно, прямая и плоскость, параллельны или пересекаются (см. рисунок 7-10). Рисунок 7-13 Алгоритм решения: чтобы определить взаимное положение прямой и плоскости, надо на плоскости провести вспомогательную прямую, конкурирующую с данной и рассмотреть их взаимное положение. При этом возможны три варианта: 1. если данная прямая сливается с конкурирующей прямой, то прямая принадлежит плоскости; 2. если данная прямая параллельна конкурирующей прямой, то прямая параллельна плоскости; 3. если данная прямая пересекается с конкурирующей прямой, то прямая пересекает плоскость.

Пример 5. Определим взаимное положение прямой и плоскости Б(ΔАВС), (рисунок 7-14). Проводим в плоскости Б прямую t (1,2) фронтальноконкурирующую с данной прямой l. По виду сверху определяем, что конкурирующие прямые пеА ресекаются в т. К, которая и является точкой пересечения прямой l с плоскостью Б. Видимость определяем с помощью двух пар конкурирующих точек: 1=3 на виде спереди; точка 3 (принадлежащая l) ближе; на виде сверА ху из двух точек 4=5, точка 4 выше точки 5. На одном из видов види3 В мость можно определить и по положению плоскости Б. Рисунок 7-14

24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ). 24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)

Снова рассмотрим несколько типов задач. 24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность Пример 1. Построить точки пересечения М и N прямой l с поверхностью трехгранной вертикальной призмы (рисунок 8-1). Решение задачи начинаем с вида сверху, где имеется вырожденный вид призмы боковые грани ее изображаются отрезками прямых. Точки М и N на этом виде определяются без дополнительных построений они находятся на пересечении прямой l с проекциями граней призмы. По данному виду находим эти точки на виде спереди. ВиРисунок 8-1 димость прямой определяем исходя из взаиморасположения прямой и призмы. На виде спереди точка М - видимая, т.к. принадлежит видимой грани призмы; следовательно участок вправо от т. М тоже видимый. Точка N принадлежит невидимой грани, и, следовательно, T.N и участок прямой влево от нее до контура призмы - невидимый. Участок между точками М и N, находящийся внутри призмы, тоже невидимый. На виде сверху будет невидимым только участок прямой между точками М и N. Пример 2. Построить точки пересечения М и N прямой l с поверхностью цилиндра (рисунок 8-2). Рисунок 8-2

Решение задачи начинаем с вида спереди, где имеется вырожденный вид цилиндра. Проверяем, являются ли точки пересечения прямой l с вырожденным видом боковой поверхности цилиндра действительными точками пересечения. Для этого найдем точки на виде сверху. Из чертежа следует, что точка отмеченная крестиком * находится вне контура цилиндра, и, следовательно, она не является точкой пересечения. Это означает, что прямая l в этом месте будет пересекать не боковую поверхность цилиндра, а его основание, которое вырождается на виде сверху в отрезок прямой. Точка М - одна из искомых точек. Точка М, найденная на виде сверху лежит в пределах контура цилиндра и является второй точкой пересечения. Видимость прямой определяем пространственным представлением. 24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения Пример 3. Построить точки пересечения М и N прямой l, перпендикулярной к фронтальной плоскости, с поверхностью пирамиды (рисунок 8-3). Решение задачи начинаем с вида спереди, где прямая вырождается в точку. Точки пересечения, поэтому здесь будут совпадать с вырожденным видом прямой. Прямая "пронзает" пирамиду в двух ее гранях: ASC и АSВ. Для нахождения точек М и N на виде сверху проведем через эти точки на виде спереди вспомогательные прямые S-1 и S-2 в гранях ASС и ASB соответственно. Пересечение этих вспомогательных прямых на виде сверху с прямой l определит положение точек М и N. Рисунок 8-3 Видимость прямой определяем исходя из пространственного представления.

Пример 4. Построить точки пересечения М и N прямой i, перпендикулярной к фронтальной плоскости, со сферой (рисунок 8-4). Точки пересечения М и N на виде спереди будут совпадать с вырожденным видом прямой i. Для нахождения их на виде сверху, проведем на поверхности сферы вспомогательную графически простую линию, проходящую через точки М и N, Такой линией является параллель h сферы (окружность). Пересечение параллели с прямой i на виде сверху определит поРисунок 8-4 ложение искомых точек. Определяем видимость прямой. Как видно из рассмотренных задач, в основе построения точек пересечения прямой с поверхностью лежит свойство принадлежности линии и поверхности. Пример 5. Построить точки пересечения горизонтали h с поверхностью сферы (рисунок 8-5). Линией на поверхности сферы, конкурирующей с данной прямой, является окружность. При решении задач следует строить такую конкурирующую линию, которая проецируется на видах как графически простая линия (прямая или окружность) - при этом значительно упрощается решение. Если в предлагаемой задаче построить вспомогательную линию горизонтальноконкурирующую с прямой h , то эта линия на Рисунок 8-5 виде спереди изобразится эллипсом, построение которого довольно сложно. Решение упрощается, если на сфере построить линию фронтально-конкурирующую с горизонталью h, т.к. в этом случае окружность на виде сверху проецируется без искажения. Точки пересечения окружности с горизонталью будут искомыми. Видимость прямой определяется исходя из видимости поверх-

ности сферы. На виде сверху видна часть поверхности, лежащая выше экватора, поэтому здесь будет невидима только часть прямой, лежащая между точками М и N .находящаяся внутри поверхности. На виде спереди видимой будет часть поверхности, которая лежит перед главным меридианом т. Точка М находится перед главным меридианом m, поэтому она на виде спереди видна; участок прямой влево от т.М тоже будет видимым. Точка N, наоборот, невидна; участок вправо от нее до контура сферы тоже невидим. 24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов Пример 6. Построить точки пересечения М и N прямой с поверхностью пирамиды (рисунок 86). Чтобы найти точки пересечения необходимо на поверхности l=t многогранника построить конкурирующую с l ломаную линию и определить их взаимное положение. Построим, например, фронтально-конкурирующую ломаную t линию t . Пересечение l и t на виде сверху определяет точки пересечения М и N прямой l с поверхностью пирамиды. Находим эти точС ки на виде спереди. Рисунок 8-6 Видимость точек М и N определяем по видимости граней которым они принадлежат. Точка М принадлежит видимой грани ASС, значит она и участок прямой влево от т. М - видимы. Точка N принадлежит невидимой грани SСВ, значит участок вправо от т. М до контура пирамиды будет невидим. На виде спереди эти грани видны, поэтому и прямая l, кроме участка МN, будет видна.

Пример 7. Построить точки пересечения М и N прямой l с l=t поверхностью вращения (рисунок 87). Построим на поверхности вращения линию t, фронтальноконкурирующую с прямой l. Ее изображение на виде сверху построено l по точкам (метод принадлежности точки и поверхности). Видимость точек М и N определена по видимости участков поверхности вращения. На виде сверху видна вся поверхность, значит т.т. М и N видны, видна и прямая l (кроме Рисунок 8-7 участка MN). На виде спереди т. М видна, т. N не видна, т.к. лежит на поверхности за главным меридианом. При построении конкурирующей линии необходимо стремиться к тому, чтобы эта линия была графически простой, что упрощает решение задачи. Иногда с целью упрощения решения задачи прибегают к построению дополнительного вида (рисунок 8-8). Конкурирующая линия на поверхности сферы – окружность, которая на любом из видов изображается эллипсом. Чтобы не строить по точкам эллипс, построим дополнительный вид по направлению горизонтали h, на нем конкурирующая линия изобразится окружностью. Здесь точки пересечения находятся легко.

Рисунок 8-8

25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости в пространстве могут: • совпадать друг с другом; • быть параллельными; • пересекаться. При совпадении плоскостей любая прямая одной плоскости будет совпадать с какой-либо прямой другой плоскости. 25.1 Параллельность плоскостей Если две плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, (рисунок 8-9). Это служит основным признаком для определения параллельности плоскостей, а также для построения двух параллельных плоскостей. b

Рисунок 8-9

Рисунок 8-10

Рассмотрим применение этого признака на конкретном примере. Пример 1. Построить плоскость, проходящую через т. М и параллельную заданной плоскости Б (а//b), (рисунок 8-10). Для построения плоскости, параллельной заданной, сначала на плоскости Б построим пересекающиеся прямые, для чего проведем в плоскости Б произвольную прямую m. Затем проведем через т. М прямые с//а и d//m. Пересекающиеся прямые c и d задают искомую плоскость.

25.2 Пересечение плоскостей Пересекающиеся плоскости имеют одну общую линию линию пересечения. Для построения ее достаточно определить две точки или одну точку и направление линии пересечения. Для построения линии пересечения двух плоскостей в общем случае необходимо знать способ построения. Однако некоторые задачи решаются исходя лишь из пространственного представления (путем моделирования). Все задачи на пересечение плоскостей и поверхности плоскостью можно разделить на три типа. Первый тип задач - плоскость имеет вырожденный вид. Пример 1. Построим линию пересечения двух наклонных плоскостей Б и Д (рисунок 8-11). Поскольку обе плоскости имеют вырожденный вид спереди (они перпендикулярны фронтальной плоскости), то и линия их пересечения тоже будет иметь вырожденный вид, т.к. и она будет перпендикулярна к фронтальной плоскости На виде спереди линия пересечения изображается точкой К, находящейся на пересечении изображений плоскостей Б и Д, а на Рисунок 8-11 виде сверху - прямой, параллельной линиям связи. Пример 2. Построить линию пересечения наклонной Б и вертикальной Д плоскостей (рисунок 8-12). Каждая из плоскостей имеет вырожденный вид - наклонная пл. Б -на виде спереди; вертикальная пл. Д- на виде сверху. А так как линия пересечения принадлежит каждой из них, то на виде спереди она будет совпадать с изобраРисунок 8-12 жением наклонной, а на виде сверху - с изображением вертикальной плоскости (см. свойства плоскостей перпендикулярных плоскостям уровня).

Пример 3. Построить линию пересечения наклонной плоскости Б и плоскости общего положения Д (ΔАВС), (рисунок 8-13). Поскольку наклонная плоскость на виде спереди имеет вырожденный вид, то линия пересечения плоскостей на этом виде будет совпадать с изображением наклонной плоскости (Б=К). Учитывая принадлежность линии пересечения К и второй плоскости Д, с помощью точек 1 и 2 находим ее на виде сверху. Видимость элементов определяем моделируя положение плоскостей в пространстве. На виде сверху невидима часть 1-С-2 треугольника, т.к. находится Рисунок 8-13 под (ниже) наклонной плоскости Б. Второй тип задач - задачи, где плоскости не имеют вырожденных видов. Такие задачи можно решить только освоив способ построения линий пересечения, о чем речь пойдет ниже. Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих поверхностей (или одну точку и направление линии пересечения). Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей общего положения, надо на этих плоскостях провести две пары конкурирующих линий и найти их точки пересечения, которые и определяют положение точки пересечения (рисунок 8-14).

Рисунок 8-14

Здесь показано построение линии пересечения двух плоскостей Б и Д с помощью двух пар конкурирующих линий l=m и с=d. Если конкурирующие прямые первой пары оказались параллельными (рисунок 8-14б, l=m), то следует взять вторую пару конкурирующих прямых непараллельных первой. В этом случае линия пересечения будет проходить через полученную т. М параллельно конкурирующим прямым l=m первой пары. Пример 4. Построить линию пересечения плоскостей общего

Рисунок 8-15 положения Б (а//b) и Д (c//d), (рисунок 8-15). Проведем пару фронтально-конкурирующих прямых t1 =t2. Пусть t1 принадлежит плоскости Б, a t2- плоскости Д. Прямые t1 и t2 пересекаются в т. М (это следует из вида сверху), первой точке линии пересечения плоскостей. Для построения второй точки линии пересечения -N, проведем вторую пару фронтально-конкурирующих прямых t3=t4 параллельно первой. Полученные точки M и N соединим, это и есть линия пересечения плоскостей k. О перпендикулярности плоскостей речь пойдет ниже.

26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ Плоские сечения многогранных и кривых поверхностей представляют собой замкнутые фигуры. 26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника и секущей плоскости. Построение сечения сводится к многократному решению задачи на пересечение прямой (ребра) с плоскостью или двух плоскостей. Первое решение проще, поэтому для нахождения сечений многогранника чаще используют его. Пример 5. Построить сечение поверхности пирамиды SАВС наклонной плоскостью Б и определить натуру сечения (рисунок 9-1). При решении этой задачи нужно использовать вырожденный вид секущей плоскости Б. В этом случае задача сводится к построению точки пересечения прямой общего положения и плоскости частного положения. Сечение на виде спереди S a) 1 имеет вырожденный вид и 2 Б совпадает с изображением f плоскости Б. Точки 1,2,3, являются точками пересечения ребер пирамиды с плоскостью Б. Для построения сечения на виде сверху достаточно найти указанные точки на этом виде и соединить их (с учетом видимости) отрезками прямых. Рисунок 9-1 Эту же задачу (построения сечения) можно свести к задаче построения линии пересечения двух плоскостей, т.к. каждый отрезок ломаной линии сечения есть линия пересечения плоскости Б с той или иной гранью пирамиды.

Натуру сечения построим с помощью дополнительного вида по направлению фронтали f- перпендикулярной наклонной плоскости Б. Отметим базы отсчета глубин (т.к. сохраняются глубины точек).. На виде сверху удобно базу отсчета провести через дальнюю точку сечения, т.3. На дополнительном виде база отсчета проводится на свободном поле чертежа перпендикулярно линиям связи (направлению проецирования). Замеряя глубины точек 1,2,3 на виде сверху, откладываем полученные величины на соответствующих линиях связи от базы отсчета на дополнительном виде. Полученные точки соединяем между собой ломаной линией. Натуру сечения можно определить иначе - способом засечек. Для этого нужно найти натуральную величину сторон 1-2,2-3,3-1 способом прямоугольного треугольника. 26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую (которая может распадаться и на прямые линии в случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью по ее образующим). Построение линии пересечения производят по ее отдельным точкам. Основной способ построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью - способ конкурирующих линий. При выборе конкурирующих линий следует руководствоваться простотой построения линий на поверхности. Они должны быть графически простыми линиями (т.е. прямыми или окружностями) и кроме того не искажаться на одном из видов. Если секущая плоскость имеет вырожденный вид, то точки линии пересечения определяются сразу на пересечении секущей плоскости с графически-простыми линиями поверхности.

26.2.1 Проецирующая плоскость Пример 6. Построить сечение поверхности вращения наклонной плоскостью Б. Определить натуру сечения (рисунок 9-2). На виде спереди сечение имеет вырожденный вид, который совпадает с изображением наклонной плоскости. Для построения виде сечения на сверху сначала находим опорные точки самую высокую (она же крайняя правая) Рисунок 9-2 т.А и самые низкие (и крайние левые) В и С. Точка А лежит на главном меридиане и отделяет видимую часть сечения (и поверхности) от невидимой. Точки В и С принадлежат основанию. Для построения промежуточных точек линии сечения на поверхности проводим ряд графически-простых линий - параллелей (горизонталей h). C их помощью построены точки 1,2,3,4,5,6. Полученные точки соединяем плавной кривой. Натуральную величину сечения строим с помощью линии наибольшего уклона (ЛНУ), которая в данном случае совпадают с осью симметрии сечения, параллельна фронтальной плоскости и является высотой сечения. Для этого на свободном месте чертежа проводим вертикальную прямую, на которой откладываем "высоту" сечения, равную натуральной величине ЛНУ (замеренной на виде спереди). На "высоте" откладываем расстояние между отдельными горизонталями наклонной плоскости, на которых лежат точки линии сечения. Эти расстояния замеряем так же на виде спереди. Через полученные точки на "высоте" сечения проводим перпендикулярно ей горизонтали и на них откладываем расстояния до точек 1,2,3,4,5,6,С и В измеренные на виде сверху от ЛНУ. Полученные точки соединим плавной линией.

26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач) В практике бывает так, что заранее известен вид кривой, получающейся при пересечении поверхности плоскостью, и которая может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую. Так, например, сфера пересекается плоскостью всегда по окружности, и поэтому нет необходимости строить натуральный вид сечения по точкам (рисунок 9-3).

Рисунок 9-3

Рисунок 9-4

Цилиндр вращения может пересекаться плоскостью по окружности, эллипсу или двум прямым. Положение секущей плоскости при этом показано на рисунке 9-4. В сечении конуса вращения плоскостью получаются все виды кривых второго порядка (конические сечения): окружность, эллипс, парабола, гипербола и пара прямых (рисунок 9-5). Окружность имеет место, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. Эллипс - секущая плоскость не параллельна ни одной обра(гипербола) И зующей (пересекает все). Парабола–секущая плоскость параллельна одной образующей конуса. Гипербола–секущая И Д (пара прямых) плоскость параллельна Рисунок 9-5

двум образующим конуса. Пара прямых – получается, если секущая плоскость проходит через вершину конуса. При этом прямые пересекаются в вершине. 26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения Пример 7. Построить линию пересечения вертикальной призмы плоскостью общего положения Б (а//b), (рисунок 9-6). Вся боковая поверхность призмы на виде сверху вырождается в треугольник; поэтому и сечение здесь совпадает с гранями призмы и находится в пределах отсека плоскости ограниченной линией PNМ. Для построения этой линии на виде спереди необходимо определить положение точек M,N,P. Точки Р и М принадлежат прямой а. Для построения т.N в плоскости Б проведем вспомогательную прямую 1-М. Рисунок 9-6 Пример 8. Построить линию пересечения вертикального цилиндра плоскостью общего положения Б(АВС), (рисунок 9-7). В данном случае имеем ответ на виде сверху, т.к. поверхность цилиндра вырождается здесь в окружность и линия пересечения совпадает с боковой поверхностью цилиндра NНQРМ. Для построения ее на виде спереди используем ряд вспомогательных прямых в секущей Рисунок 9-7 плоскости, т.е. решаем задачу на построение точки на плоскости по ее заданному виду.

Видимость определяем с помощью пространственного представления. Пример 9. Построить линию пересечения плоскости общего положения Б (а//b) с поверхностью пирамиды (рисунок 9-8). Для построения сечения найдем точки пересечения ребер пирамиды с данной плоскостью, для чего трижды решим задачу на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Возьмем на плоскости S вспомогательные прямые 1-2, 3-4 и 5-6 фронтально конкурирующие соответственно с ребрами SA, SB и SC и выясним их взаимное положение. Так как ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, то и все конкурирующие прямые будут пересекаться в точке S' фронтально-конкурирующей с вершиной S . В пересечении вспомогательных прямых с соответствующими ребрами пиРисунок 9-8 рамиды находим вершины сечения, которые соединяем с учетом видимости отрезками прямых. Пример 10. Рассмотрим построение линии среза технической детали, ограниченной несколькими поверхностями, одной фронтальной плоскостью Ф (рисунок 9-9).

Рисунок 9-9

Деталь представляет собой некоторое тело вращения, ограниченное поверхностью конуса, цилиндра и шара. Точки линии среза на поверхности конуса строятся при помощи параллелей р. Построение начинаем с нахождения крайней левой точки, для чего проводим на виде слева параллель р1, касательную к плоскости среза (радиуса R1) и находим ее положение на виде спереди. Для построения остальных точек проводим ряд параллелей, начиная их построение с вида спереди. Затем строим их на виде слева и находим точки пересечения с фронтальной плоскостью - это и будут точки линии среза. Линия среза на цилиндре представляет собой пару прямых, ана сфере - окружность, для построения которых точки находить не нужно.

27. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТЯМ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. 28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ. Если через произвольную точку М кривой поверхности Б (рисунок 10-1) провести произвольные линии α,b и c, принадлежащие этой поверхности, а затем к этим кривым в точке М построить касательные прямые tα, tb и tc, то все касательные прямые будут лежать в одной плоскости Е, называемой касательной плоскостью к поверхности. Следовательно, касательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проведенных к данной кривой поверхности и проходящих через одну ее точку. Рисунок 10-1 Для построения касательной плоскости к поверхности в ее точке М достаточно через эту точку провести на поверхности только две кривые линии α и b, и к ним построить касательные прямые tα и tb (рисунок 10-2).

Рисунок 10-2 Две эти касательные прямые и определяют касательную плоскость Е. Вполне естественно, что в качестве таких кривых линий поверхности выбирают ее графически простые линии. Например, для линейчатых поверхностей одной из этих кривых может служить ее прямолинейная образующая, (она будет совпадать со своей касательной), а для поверхности вращения – ее параллель (окружность).

В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может касаться ее в одной точке (рисунок 10-1 – сфера), по прямой линии (рисунок 10-2а – конус), по кривой линии (рисунок 10-2б – тор). В приведенных примерах поверхность располагается по одну сторону от касательной плоскости и не пересекается последней. Однако касательная плоскость может и пересекать поверхность. Так, плоскость Е, касательная к однополостному гиперболоиду, пересекает его по двум образующим α и b, которые при этом являются и касательными tα и tb, определяющими касательную плоскость Рисунок 10-3 Е (рисунок 10-3). Рассмотрим примеры построения касательной плоскости к различным поверхностям. Пример 1. Построить плоскость Е, касательную к поверхности вращения в ее точке М (рисунок 10-4). В качестве двух кривых линий поверхности, 1 касательные к которым определят искомую плоскость Е, выберем параллель h и меридиан M1 α, проходящие через точку М. M Параллель h является окружностью, расположенной горизонтально, и построение касательной th к ней не составляет труда. Для построения касательной tα к меридиану α предварительно преобразуем чертеж, повернув мериM1 1 диан вокруг оси поверхности вращения до M фронтального положения α1. При этом точка М займет положение М1. Теперь построим касательную tα к фронтальному меридиану α1 в его точке М1 и, произведя обратное вращение, поРисунок 10-4 лучим искомую касательную к меридиану α. Касательная к поверхности вращения плоскость Е определяется двумя пересекающимися прямыми th и tα. Пример 2. Построить плоскость Е, касательную к поверхности конуса в его точке М (рисунок 10-5).

Так как конус – поверхность линейчатая, то, проведя через точку М образующую t (являющуюся в то же время и касательной), получим одну из прямых, определяющих искомую плоскость Е. Второй прямой будет касательная th к окружности на поверхности конуса h в

S A 1

M

2

N

1

B B

Г

A N

2 M

Рисунок 10-5

S Рисунок 10-6

ее точке М. Отметим, что касательная th параллельна касательной t1, проведенной в точке N к окружности основания конуса. Поэтому искомую касательную плоскость Е можно задать образующей t и касательной t1, не строя вспомогательной окружности h, проходящей через точку М. Пример 3. Построить касательную к цилиндрической поверхности плоскость Е, проходящую через точку А, расположенную вне поверхности цилиндра (рисунок 10-6). Поскольку искомая касательная плоскость должна содержать в себе образующую цилиндрической поверхности, то в качестве первой прямой, определяющей касательную плоскость, можно провести через данную точку А прямую α параллельную образующей цилиндра. Если теперь провести через точку В (точку пересечения прямой α с плоскостью Г) касательные к окружности основания цилиндра прямые t1 и t2, то прямая α и касательные t1 и t2 определят две касательные плоскости Е(αхt1) и К(αхt2). Эти плоскости касаются поверхности цилиндра с разных сторон по его образующим т1 и т2.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей, называемая линией перехода, это такая линия, все точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям. В общем случае она представляет собой пространственную кривую или ломаную линию (при пересечении многогранных поверхностей), которая может распадаться на две или более частей. В отдельных случаях эти части могут быть плоскими кривыми или многоугольниками. 28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для построения линии пересечения таких поверхностей (ломаной линии) необходимо найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем наоборот - ребер второго с гранями первого, т.е. нужно многократно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью. Полученные точки будут являться вершинами ломаной линии. Следует помнить, что точки линии пересечения всегда будут находиться в пределах площади наложения проекций поверхностей. Полученные точки соединяем между собой, учитывая при этом, что соединять можно только те точки, которые лежат в одной грани первого многогранника и, одновременно, в одной грани второго многогранника. При соединении вершин ломаной линией необходимо сразу же решать вопрос видимости отрезков этой ломаной линии. Видимыми будут те отрезки, которые одновременно принадлежат видимым граням обоих многогранников. Линию пересечения можно построить также путем многократного решения задачи на пересечение двух плоскостей, т.е. строить линию пересечения граней одного многогранника с гранями другого и наоборот. Этот способ требует большего количества построений, поэтому на практике используется реже. Все задачи на пересечение двух поверхностей можно условно разделить на три типа: 1. Обе поверхности имеют вырожденный вид; 2. Одна из двух поверхностей имеет вырожденный вид; 3. Ни одна из поверхностей не имеет вырожденного вида.

28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид Пример 1. Построить линию пересечения призмы с параллелепипедом (рисунок 10-7). В данном случае линия пересечения распадается на две пространственные кривые. Так как каждая из поверхностей имеет вырожденный вид, то линия пересечения на видах уже есть. На виде спереди она совпадает с вырожденным видом параллелепипеда 1-2-3-4-5-6, а на виде сверху с вырожденным видом призмы 1-2-3-4-5-6 и 1-2-4-6.

Рисунок 10-7 28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид. Пример 2. Построить линию пересечения прямой треугольной призмы с треугольной пирамидой. (рисунок 10-8). Поскольку боковая поверхность призмы на виде сверху вырождается в линию (треугольник), то точки 1,2,3 и 4 здесь будут точками пересечения ребер АS и BS пирамиды с гранями призмы LL'K'K и КК'М'М, а точки 5 и 6- точки пересечения ближнего ребра призмы КК' с гранями пирамиды ACS и BCS. Остальные ребра призмы и пирамиды точек Рисунок 10-8

пересечения с гранями не имеют. Зная положение точек линии пересечения на виде сверху, способом принадлежности находим их на виде спереди. Для нахождения на виде спереди точек 5 и 6, проводим на гранях АСS и ВСS пирамиды вспомогательные прямые S7 и S8 проходящие через точки 5 и 6, а затем, на основании свойства принадлежности. Находим их. Полученные вершины линии пересечения соединяем отрезками прямых. При этом соединяем точки, принадлежащие как одной грани призмы, так и одной грани пирамиды. Видимым будет участок линии пересечения только в том случае, если он находится одновременно в видимой грани призмы и видимой грани пирамиды. Во всех остальных случаях участки линии пересечения будут невидимы.

29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 29.1 Задача второго типа - одна из поверхностей имеет вырожденный вид Пример 1. Построить линию пересечения полуцилиндра конусом вращения (рисунок 11-1). На виде спереди линия пересечения уже имеется - она совпадает с вырожденным видом полуцилиндра и находится в пределах площади наложения обеих поверхностей. Способом принадлежности построим точки линии пересечения на виде сверху. Сначала определим опорные точки, к которым относятся ближняя и дальняя, верхняя и нижняя, левая и правая, а также точки видимости. Опорными в данном случае являются точки: А- верхняя и праРисунок 11-1 вая, В- нижняя и ближняя, С- нижняя и дальняя. Для построения случайных точек линии пересечения воспользуемся параллелями (горизонталями) поверхности конуса, которые на виде сверху проецируются без искажения в окружности. На чертеже проведена параллель h, с помощью которой найдены точки 1 и 2. 29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения Этот тип задач является наиболее сложным. Общим способом построения линии пересечения в этом случае является способ поверхностей-посредников. В качестве поверхностей-посредников используют плоскости общего или частного положения и сферы. Мы не будем рассматривать применение плоскостей общего положения, поскольку на практике чаще используют плоскости-посредники частного положения. Способ плоскостей-посредников применяют в тех случа-

ях, когда обе поверхности можно пересечь по графически простым линиям. Эти линии на одном из видов будут обязательно совпадать и поэтому такой способ можно трактовать как способ конкурирующих линий. Под графически простыми линиями следует понимать две линии - прямую и окружность, построение которых не вызывает затруднений. При построении линии пересечения всегда следует соблюдать определенную последовательность: в первую очередь строят опорные точки, которые позволяют видеть в каких пределах расположены проекции линии пересечения, и где имеет смысл определять случайные точки. Построение точек линии пересечения поверхностей указанным способом состоит в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий, принадлежащих разным поверхностям и лежащим в одной секущей плоскости, определяет точки общие для обеих поверхностей – точки принадлежащие линии их пересечения. Следовательно, если у пересекающихся поверхностей имеются семейства графически простых линий, лежащих в проецирующих секущих плоскостях (или конкурирующих друг с другом), то точки пересечения этих линий и будут точками искомой линии пересечения. Рассмотрим несколько примеров построения линии пересечения поверхностей указанным способом.

Рисунок 11-2

Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения со сферой (рисунок 11-2). В качестве посредника здесь следует взять горизонтальную плоскость (или фронтальноконкурирующие параллели hк и hс, которые представляют собой окружности). Сначала определим опорные

точки. Точки А и В, находящиеся в месте пересечения контурных линий конуса и сферы, будут соответственно высшей и низшей, и одновременно точками видимости для вида спереди (т.к. обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций). Для определения точек видимости на виде сверху, возьмем на виде спереди пару конкурирующих линий h'к=h'с, расположенных на уровне экватора сферы. Построив эти линии на виде сверху, находим точки С и D, которые и будут точками видимости этого вида. Для определения случайных точек берем пару фронтальноконкурирующих линий h²к=h²с. Построив их на виде сверху, находим на пересечении этих линий точки 1 и 2, которые затем отмечаем на виде спереди. Подобным образом находим и остальные случайные точки линии пересечения, которые затем соединяем плавной кривой; с учетом её видимости. Пример 3. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, оси которых скрещиваются (рисунок 11-3).

Рисунок 11-3 Если пересекать обе поверхности горизонтальными плоскостями, то на поверхности цилиндра появятся образующие (прямые линии), а на конусе – его параллели (окружности). На виде спереди (фронтальной проекции) эти линии будут конкурировать; на виде

сверху (горизонтальной проекции) окружности (параллели конуса) будут изображаться без искажений. Для начала определим опорные точки. На виде сверху (горизонтальной проекции) для цилиндра точками видимости являются точки А и В, которые одновременно будут и самыми дальними точками линии пересечения. Эти точки находятся на пересечении контурной образующей цилиндра h1 и конкурирующей с ней параллелью конуса h2. У конуса точек видимости на виде сверху нет, поскольку вся его поверхность здесь видима. На виде спереди (фронтальной проекции) точки видимости для цилиндра C,D и E,F находятся на пересечении контурных образующих цилиндра h3 и h5 и конкурирующих с ними параллелей конуса h4 и h6. При этом точки C и D будут высшими точками линии пересечения, а точки E и F– низшими. Для конической поверхности здесь точками видимости будут точки G,H и K,L, находящиеся на пересечении контурных образующих конуса f1 и f3 и конкурирующих с ними образующих цилиндра f2 и f4. При этом фронтальные проекции образующих f2 и f4 построены с помощью вида слева (профильной проекции). Точки M и N найдены на пересечении контурной образующей конуса p с окружностью, в которую «вырождается» поверхность цилиндра на виде слева. После нахождения опорных точек можно построить несколько случайных, например P,Q,R и T, уточняющих линию пересечения поверхностей. Эти точки находятся на пересечении образующих цилиндра h7 и h8 и конкурирующей с ними параллели конуса h9. Построив аналогично достаточное количество случайных точек, соединим их в определенной последовательности, учитывая условия видимости. В нашем примере видимость проекций линии пересечения определяется цилиндрической поверхностью. Поэтому видимыми будут только те ее участки, которые расположены на видимой части цилиндрической поверхности. 29.3 Частные случаи пересечения Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы одна из них является проецирующей, следует использовать «вырождение» проекции этой поверхности в линию.

Построение линии пересечения в этом случае значительно упрощается, поскольку линия пересечения поверхностей уже имеется на чертеже - она совпадает с «вырожденной» в линию поверхностью. Другая проекция линии пересечения легко определяется с помощью графически простых линий второй поверхности. Пример 4. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, поверхность одного из которых является проецирующей (рисунок 11-4). В данном случае одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) уже имеется, она совпадает с дугой АВ окружности, в которую «вырождается» поверхность вертикально расположенного цилиндра.

Рисунок 11-4

Для построения фронтальной проекции (вида спереди) линии пересечения построим фронтальные проекции определяющих ее точек при помощи образующих второго цилиндра (прямых линий).

Опорные точки А и В (дальняя и ближняя) находятся на дальней и ближней образующих наклонного цилиндра, совпадающих на виде спереди (фронтальной проекции) с его осью. Точки C и D (высшая и низшая) являются одновременно и точками видимости наклонного цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции). Точки E и F (самые левые) являются точками видимости для вертикального цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции). Для нахождения их фронтальных проекций удобно построить дополнительный вид наклонного цилиндра на плоскость, перпендикулярную образующим цилиндра. Здесь цилиндр проецируется в окружность, и проекции точек легко определяются с помощью глубины (отмеченной одним штрихом), замеренной на виде сверху.

Построим несколько случайных точек линии пересечения, например точки M и N. Их так же удобно находить при помощи имеющегося дополнительного вида. Для определения положения их проекций используем замеренную на виде сверху глубину, отмеченную двумя штрихами. Видимость линии пересечения определяется точками видимости C и D наклонного цилиндра, расположенного ближе, чем вертикальный. На выносном элементе показана форма линии пересечения в зоне точек Е и С. В нижней части, в зоне точек D и F, линия пересечения выглядит аналогично. Пример 5. Рассмотрим технический пример построения линий перехода (пересечения) цилиндров вращения разных диаметров при пересекающихся осях (рисунок 11-5). Опорные точки в этом случае определяются просто. Для построения же нескольких случайных точек линии перехода используем построение дополнительных видов для наклонного и горизонтально расположенного цилиндров. Положение доРисунок 11-5 полнительных плоскостей выбираем перпендикулярное осям цилиндров, в этом случае поверхности цилиндров будут проецирующими по отношению к ним.

30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. 31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. 32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. Рассмотрим построение линии пересечения двух поверхностей, когда в качестве поверхности-посредника используется сфера. При этом возможны два случая применения сфер: 1) вспомогательные сферы могут быть проведены из одного общего для всех сфер центра. В этом случае говорят о способе концентрических сфер, 2) вспомогательные сферы проводятся из разных центров. Этот способ называют способом эксцентрических сфер. 30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения. Пусть заданы две образующие линии (два главных меридиана) прямая l и дуга окружности m (рисунок 12-1). При вращении их вокруг оси i будут описаны соответственно цилиндрическая и торовая поверхности. Каждая точка заданных линий при вращении вокруг оси i описывает в пространстве окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Полученные поверхности пересекаются, причем линий пересечения будет столько, сколько точек пересечения имеют сами образующие линии (меридианы). Поскольку в нашем случае они пересекаются в двух точках, будет и две линии пересечения поверхностей, которые представляют собой окружности (параллели). В частном случае одной из соосных Рисунок 12-1 поверхностей может быть сфера, если центр дуги окружности m находится на оси вращения i. Таким образом, если центр сферы находится на оси неко-

торой поверхности вращения, то эта поверхность пересекается со сферой по окружностям. Это свойство и положено в основу способа вспомогательных сфер. Способ концентрических сфер следует применять в случаях, когда соблюдаются следующие три условия: • пересекаются поверхности вращения или поверхности, содержащие семейства окружностей, по которым их могут пересекать концентрические сферы; • оси поверхностей вращения пересекаются; • поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Если же она не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то необходимо произвести преобразование чертежа для достижения необходимых условий решения. Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения (рисунок 12-2). Сначала определим некоторые опорные точки. Так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, то пересечение их контурных образующих в точках А и В определяет высшую и низшую точки линии пересечения. Центр сфер 0 выбирают в месте пересечения осей цилиндра и конуса, т.к. только в этом случае сферы будут соосны с обеими поверхностями. Определим радиус минимальной Rmin и максимальной Rmax сфер, которые будем использовать при решении задачи. Rmax определяется расстоянием от точки 0 до самой удаленной опорной точки. Для определения Rmin необходимо из центра 0 опустить перпенРисунок 12-2 дикуляры на очерковые образую-

щие поверхностей из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из них принимается в качестве Rmin, т.к. сфера такого радиуса будет касаться одной и пересекать вторую поверхность, что дает возможность найти общие для обеих поверхностей точки - точки линии пересечения. При радиусе сферы меньшем Rmin она не будет иметь общих точек с одной из поверхностей; построения теряют смысл. Для построения случайных точек проводим сферы радиуса Rmin
Задачу можно решить как способом концентрических сфер, так и эксцентрических. Решим её вторым способом. Центр сфер можно брать в любой точке оси конуса вращения. На рисунке 12-3 проведены три сферы радиусов RI, R2, R3. Каждая из этих сфер пересекается с каждой из данных поверхностей по окружности, точки пересечения которых будут точками линии пересечения. На виде сверху точки находим с помощью параллелей конуса h¹,h²,h³. Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения с тором (рисунок 12-4). Эту задачу можно решить только способом эксцентрических сфер. Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, в которой расположены ось конуса и линия центров тора. Как и во всех задачах на пересечение поверхностей, вначале определяем опорные точки. Самая верхняя и правая - т. А, расположенная на пересечении контурных линий. Чтобы найти нижнюю и левую т. В (точку касания контурных линий конуса и тора), необходимо из т. О опустить перпендикуляр на контурную образующую конуса; их пересечение определяет т.В. Для построения дополнительных точек выделим одну окружность –m принадлежащую поверхности тора. Центры всех сфер, которые будут пересекаться с тором по этой окружности, будут лежать на прямой n1 данной Рисунок 12-4

окружности C1 перпендикулярно к её плоскости. Эта прямая пересечёт ось конуса (т.к. они лежат в одной плоскости) в т. 01. Эта точка будет центром сферы, которая пересечёт поверхность конуса по окружности h1. Окружности m1 и h1 пересекаются в точках 1 и 2, которые будут принадлежать линии пересечения. Для нахождения дополнительных точек нужно взять новую окружность на поверхности тора и все действия повторить. На виде сверху точки линии пересечения находят при помощи параллелей конуса h . 32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвёртого порядка (т.е. переА секается с плоскостью в четырёх точГ ках). В некоторых частных случаях эта линия пересечения распадается на несколько частей. Особый интерес представляет случай, когда она распадается на пару кривых второго порядка (плоских). Это происходит, если поверхности имеют двойное прикосновение, т.е. касаются друг друга в двух точках (рисунок 12-5). Рисунок 12-5

Признак касания поверхностей: если две поверхности в какой-либо общей для них точке имеют одну и ту же касательную плоскость (Г1 или Г2), то они касаются друг друга в этой точке. В нашем примере поверхности имеют двойное касание в точках А и В. Плоские кривые, на которые в этом случае распадается их линия пересечения, проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (доказательство Н.Ф. Четверухина). Следствием из положения о двойном прикосновении является следующее: Рисунок 12-6

если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неё), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (рисунок 12-6). Это положение известно как теорема Гаспара Монжа. 32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка Теорема о двойном прикосновении позволяет весьма просто строить круговые сечения тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Для построения круговых сечений надо провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью. В этом случае линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые, а так как эти линии принадлежат сфере, то они будут являться окружностями. Пример 3. Построить круговые сечения эллиптического цилиндра (рисунок 12-7). Из произвольной точки оси цилиндра описываем сферу такого радиуса, чтобы она касалась двух образующих цилиндра (см. вид спереди) и пересекала его (см. вид сверху). Точки А и В будут точками двойного прикосновения, т.к. в них можно провести общие касательные плоскости Г¹ и Г² к цилиндру и сфере. Рисунок 12-7 Линия пересечения сферы с эллиптическим цилиндром будет состоять из двух плоских кривых - окружностей.

Пример 4. Построить круговые сечения эллиптического конуса (рисунок 12-8). Для этого опишем сферу из некоторого Д Б центра 0, лежащего на оси конуса так, чтобы она имела двойное прикосновение с конусом и пересекала его. Точки А и В - точки двойного прикосновения, т.к. можно провесα ти две общие касательные плоскости Б и Д. Линия пересечения распадается на пару окружностей. Следовательно, если пересекать поверхность эллиптичеРисунок 12-8 ского конуса плоскостью под углом α к его оси, то получим в сечении окружность.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОГО УГЛА. 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ. 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОГО УГЛА Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., называются метрическими. При решении этих задач необходимо знать условия перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. Для выяснения этих условий требуется изучить свойства ортогональной проекции прямого угла. Здесь могут быть два случая. 1. Если две стороны любого линейного угла (в том числе прямого) параллельны некоторой плоскости проекций, то на эту плоскость он проецируется В без искажения (рисунок 13-1). Если АВ//П' и ВС//П', то ∠АВС=∠А'В'С', как углы с соответственно параллельными сторонами: АВ//А'В' и BC//B'C'. 2. Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна Рисунок 13-1 ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого угла (рисунок 13-2). Докажем это. Дано:∠АВС=90°, .АВ//П', ВС#П'. Требуется доказать: ∠А'В'С'=90°. Из условия ортогонального (прямоугольного) проецирования ВВ⊥П', а так как АВ//П', то ∠AВВ'=90°. Отсюда следует, что прямая AB⊥BВ' и ВС, которые лежат в проецирующей плоскоРисунок 13-2

сти ВСС'В' и, следовательно, прямая A B⊥BСС'В'. Но так как АВ//А'В', то и A'B'⊥ВСС'В'. Следовательно, А'В'⊥В'С', т.е.∠A'B'С'=90º Рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на угол между пересекающимися прямыми, так и на угол между взаимно-перпендикулярными скрещивающимися прямыми. Для суждения о перпендикулярности скрещивающихся прямых нужно через произвольно взятую точку пространства провести прямые, параллельные скрещивающимся прямым и по углу между этими прямыми делать вывод о взаимном положении данных скрещивающихся прямых. Итак: две взаимно-перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) сохраняют свою перпендикулярность на комплексном чертеже только в том случае, если одна из них является линией уровня (горизонталью, фронталью), а другая не перпендикулярна плоскостям проекций (рисунок 13-3).

Рисунок 13-3 Рассмотрим ряд примеров на применение свойств ортогональной проекции прямого угла.

Пример 1.Определить расстояние от точки А до горизонтали h (рисунок 13-4). Расстояние от точки до прямой определяется перпендикуляром, опущенным из этой точки на прямую. Горизонталь является одной из сторон прямого угла и, следовательно, прямой угол с ней будет сохраняться на виде сверху. Решение начинаем с вида сверху. Построим здесь перпендикуляр к горизонтали, а Рисунок 13-4 затем на виде спереди, определяем его истинную величину (способом прямоугольного треугольника). Пример 2. Через точку А провести прямую перпендикулярно фронтальной прямой f (рисунок 13-5). Прямой угол с фронталью сохраняется на виде спереди, поэтому проводим на этом виде прямую n. На виде сверху прямая n проводится произвольно, т.к. через точку в пространстве можно провести множество прямых перпенРисунок 13-5 дикулярных данной прямой.

Рисунок 13-6

Пример 3. Определить расстояние между параллельными горизонталями h1 и h2 (рисунок 13-6). На виде сверху проводим общий перпендикуляр АВ к данным прямым. Строим его на виде спереди, а затем определяем истинную величину отрезка АВ.

34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ 34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости (рисунок 13-7а). На комплексном чертеже перпендикулярность будет сохраняться: • на виде спереди только с фронталью (рисунок 13-7б);

Рисунок 13-7 • на виде сверху только с горизонталью этой плоскости. Следовательно, если прямая n перпендикулярна плоскости, то на виде сверху она перпендикулярна к горизонтали (n⊥h), а на виде спереди к фронтали (n⊥f) этой плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если проекции прямой перпендикулярны одноимённым проекциям соответствующих линий уровня, то такая .прямая перпендикулярна этой плоскости. Если прямая перпендикулярна к плоскости частного положения, то прямой угол с вырожденной проекцией сохраняется. Перпендикулярная прямая в этом случае является прямой уровня и, следовательно, проецируется без искажения на том виде, где прямой угол сохраняется. Рассмотрим примеры построения прямой, перпендикулярной к плоскости и плоскости, перпендикулярной к прямой. А Пример 4. Определить расстояние от т. А А до наклонной плоскости Б (рисунок 13-8). Расстояние от точки до плоскости измеРисунок 13-8

ряется перпендикуляром, опущенным из точки на данную плоскость. На виде спереди опускаем перпендикуляр из т. А на плоскость Б. Это будет натуральная величина расстояния. На виде сверху прямая АК перпендикулярна линиям связи. Пример 5. Определить расстояние от т. А до плоскости общего положения Б(a//b), (рисунок 13-9). Проводим в плоскости Б произвольные горизонталь h и фронталь f. Строим нормаль к плоскости Б, для чего на виде спереди проводим прямую n перпендикулярно к фронтали f, а на виде сверху перпендикулярно горизонтали h. Определяем точку пересечения К прямой n с плоскостью Б, для чего строим на плоскости прямую t горизонтальноРисунок 13-9 конкурирующую с прямой n. Способом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину перпендикуляра АК. Пример 6. Через т.А провести плоскость Д, перпендикулярную прямой общего положения l (рисунок 13-10). Плоскость Д задаем главными линиями этой плоскости -горизонталью и фронталью. Проводим их через т.А таким образом, чтобы они были перпендикулярны заданной прямой: горизонталь на виде сверху, фронталь - на виде спереди. Полученная плоскость Д(h∩f) будет перпендикулярна прямой l.

Рисунок 13-10

34.2 Перпендикулярность плоскостей Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Но через прямую линию (перпендикуляр) в пространстве можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной. Пример 7. Провести через т.А плоскость Б, перпендикулярную заданной плоскости Д(а//b), (рисунок 13-11). Сначала проведем через т.А прямую n перпендикулярно плоскости Д, для чего на ней предварительно проводим горизонталь и фронталь. Затем через т.А проводим произвольную прямую l. Эти две прямые n и l заРисунок 13-11 дают одну из плоскостей перпендикулярных плоскости Д. Пример 8. Определить, перпендикулярны ли данные плоскости Б(а//b)и Д(f∩h), (рисунок 13-12). Из точки пересечения горизонтали h и фронтали f проводим прямую n перпендикулярно плоскости Б. Проверим принадлежность прямой n плоскости Б. Если плоскости перпендикулярны, то нормаль n будет либо принадлежать, либо будет параллельна плоскости Б. В нашем случае прямая n не принадлежит и не параллельна этой плоскости (о чем можно судить по расположению проекций n и t на видах), следовательно плоскость Б не Рисунок 13-12 перпендикулярна плоскости Д.

Пример 9. Через прямую l провести плоскость Д перпендикулярно плоскости Б (А, b) (рисунок 13-13). На прямой l берем произвольную точку М и через неё проводим прямую n перпендикулярно плоскости Б. Пересекающиеся прямые l и n задают искомую плоскость.

Рисунок 13-13

35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. 36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА. 35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Прямой угол между перпендикулярными прямыми общего положения на комплексном чертеже искажается (свойство ортогональной проекции прямого угла). Через любую точку пространства можно провести множество прямых, перпендикулярных данной прямой общего положения. Все они будут лежать в плоскости, перпендикулярной этой прямой и только одна из них пересечёт её (рисунок 14-1). Решение вопроса о перпендикулярности прямых общего положения Рисунок 14-1 сводится к перпендикулярности прямой и плоскости. Здесь используется положение о том, что две прямые перпендикулярны только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой. Пример 10. Определить расстояние от точки А до прямой общего положения l (рисунок 14-2). Для построения прямой, перпендикулярной данной, надо построить сначала плоскость, проходящую через заданную точку и перпендикулярную данной прямой i. Эту плоскость задаем горизонталью h и фронталью f, проведенными перпендикулярно прямой l. Рисунок 14-2

Затем находим точку пересечения прямой с перпендикулярной ей плоскостью. Соединив точку пересечения К с точкой А, получим перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую l, Определяем его истинную величину. Пример 11. Определить, перпендикулярны ли прямые m и n (рисунок 14-3). Сначала построим плоскость Б перпендикулярную прямой n (плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью). Затем определяем относительное положение прямой т и полученной плоскости Б . Если прямая m принадлежит или параллельна ей, то данные прямые перпендикулярны. В приведенном примере m не перпендикулярна n. Рисунок 14-3 36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА Используя свойства ортогональной проекции прямого угла, можно решать задачи на определение натуральной величины угла между: • двумя скрещивающимися прямыми; • двумя пересекающимися прямыми; • угла наклона прямой к плоскости; • угла между двумя пересекающимися плоскостями. Пример 12. Определить натуру угла между скрещивающимися прямыми a и b (рисунок 14-4). Рисунок 14-4 Через произвольную

точку А проведем прямые с и d, параллельные прямым а и b. В полученной плоскости проведем горизонталь и построим натуральную величину Δ А-1-2 (способом засечек, предварительно определив натуру каждой его стороны). Угол при вершине А будет искомым. Пример 13. Определить угол наклона прямой n к плоскости Б (ΔАВС), (рисунок 14-5). Угол наклона прямой к плоскости можно рассматривать как дополнительный угол до .90°между данной прямой и нормалью к плоскости (рисунок 18а, угол β). Для решения задачи из произвольной точки 3 прямой d строим нормаль n к плоскости Б. Затем определяем угол между двумя пересекающимися Рисунок 14-5 прямыми d и n, для чего через произвольную точку М проводим прямые, параллельные d и n. Определяем натуру угла между ними; угол дополняющий его до 90° будет искомым. Пример 14. Определить угол между двумя пересекающимися плоскостями Б (α//b) и Д (с×d) (рисунок 14-6). Натуральная величина угла между двумя плоскостями измеряется линейным углом, дополняющим до а) 180° угол между перпендикулярами, опущенными из произвольной точки А на данные плоскости (рисунок 14-6а). α+φ+90˚=360˚; α+φ=180˚; φ=180˚-α.

Плоские углы φ и α равны линейным углам двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями Б и Д. Алгоритм решения задачи: 1) Вначале находим точку А лежащую на линии пересечения плоскостей (14-6б). 2) Затем восстанавливаем из этой точки перпендикуляры к обеим плоскостям – Б и Д (рисунок 14-6б). 3) Определяем угол между нормалями к плоскостям из Δ1-2-М, построенного по натуральным величинам его сторон засечками (рисунок 14-6в). Искомый угол φ=180˚-α(рисунок 14-6г).

г)

Рисунок 14-6

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА. 38. СПОСОБ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ (ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ). 39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ. 37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас объекты занимают в пространстве частное положение, т.е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Получающиеся в этом случае «вырожденные» проекции помогают получить ответ на поставленную задачу или упростить ход ее решения. Чтобы добиться такого расположения геометрических объектов, комплексный чертеж преобразуют или перестраивают, исходя из конкретных условий. Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. В основном используются два способа преобразования чертежа: способ замены плоскостей проекций и способ вращения. Так как частных положений у прямой два (прямая уровня и проецирующая прямая) и у плоскости два (плоскость уровня и проецирующая плоскость), то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа: • Прямую общего положения сделать прямой уровня; • Прямую уровня сделать проецирующей прямой; • Плоскость общего положения сделать проецирующей; • Проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня. 38. СПОСОБ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ВИДОВ (ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ) Сущность этого способа заключается в том, что пространственное положение заданных объектов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые

изображения геометрических образов. При этом дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы интересующие нас объекты изображались на них в удобном для конкретной задачи положении. Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций. 38.1 Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня. Новую проекцию прямой, отвечающую поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т.е. перейти от системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций Ф, Г и П к некоторой новой системе плоскостей проекций, полученной вышеописанным способом. На чертеже изображение новой плоскости проекций должно быть параллельно одной из основных проекций прямой. На рисунке 15-1 построено изображение прямой l(А,В) общего положения в новой системе плоскостей проекций , причем новая плоскость проекций перпендикулярна горизонтальной плоскости и параллельна (на горизонтальной проекции) прямой l. Новые линии связи проведены перпендикулярно новой плоскости проекций. Новая проекция прямой дает истинную величину отрезка АВ и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (угол α).

Рисунок 15-1

Рисунок 15-2

Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости, которая будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и параллельна прямой l (см. рисунок 15-2). 38.2 Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение (т.е. проецировалась в точку). Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой, новую дополнительную плоскость нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на вертикальной плоскости П'⊥Г (рисунок 153), а фронталь, соответственно, на наклонной плоскости П"⊥Ф.

Рисунок 15-3

Рисунок 15-4

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой l общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рисунке 15-4 исходный чертеж прямой l(А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости расположенной параллельно самой прямой l . В новой системе плоскостей проекций она заняла положение линии уровня. Затем введена вторая новая плоскость проекций перпендикулярная самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от первой дополнительной плоскости, то на второй плоскости получаем изображение прямой в виде точки (А=В= l). 38.3 Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение. Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно рас

положить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, учитывая что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда Рисунок 15-5 все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости. На рисунке 15-5 показано построение нового изображения плоскости Д(ΔАВС) в системе плоскостей П′⊥ Г. Для этого в плоскости Д построена горизонталь h(A,1) и новая плоскость проекций П′ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводит к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой базе отсчета определяет угол наклона α плоскости Д к горизонтальной плоскости проекций (α=Д^Г). Построив изображение плоскости общего положения Д в системе П"┴Ф (П" расположить перпендикулярно фронтали f плоскости Д), можно определить угол наклона β этой плоскости к фронтальной плоскости проекций. 2.4 Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня. Решение этой задачи позволяет определить истинную величину и форму плоской фигуры. Новую плоскость проекций в этом случае нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтальноРисунок 15-6

проецирующим, то новое изображение строят в системе П"⊥Ф, а если горизонтально-проецирующим, то в системе П'⊥Г. Новая база отсчета будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости. На рисунке 15-6 построена новая проекция ∆АВС горизонтально-проецирующей плоскости Е(∆АСВ) на плоскость П'⊥Г. Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно третью задачу), а затем четвертую (см. выше). При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй – плоскостью уровня (рисунок 15-7). Здесь в плоскости К(∆DEF) проведена горизонталь h(D,1). Первая база отРисунок 15-7 счета проведена перпендикулярно ей. Вторая база отсчета проведена параллельно вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи – перпендикулярно вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на второй дополнительной плоскости проекций нужно замерять на плоскости Г и откладывать по новым линиям связи от второй базы отсчета. При решении задач способом замены плоскостей проекций всегда нужно соблюдать следующие правила: • базы отсчета следует выбирать «через вид»; • новые линии связи должны быть перпендикулярны базам отсчета. 39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ Сущность этого способа заключается в том, что при неизменном положении плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций путем их вращения относительно вокруг некоторой оси до тех пор,

пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей. В качестве осей вращения удобнее всего выбирать проецирующие прямые или прямые уровня, т.к. при этом точки будут вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций. 39.1 При вращении вокруг горизонтально-проецирующей прямой i (рисунок 15-8) горизонтальная проекция точки А перемещается по окружности, а фронтальная – по прямой, перпендикулярной фронтальной проекции оси і (являющейся фронтальной проекцией плоскости вращения Г). При этом расстояние между горизонтальными проекРисунок 15-9 Рисунок 15-8 циями двух точек А и В (рисунок 15-9) при их повороте на один и тот же угол ω остается неизменным (АВ=А1В1). Аналогичные выводы можно сделать и при вращении вокруг фронтально-проецирующей прямой. 39.2 Если в качестве оси вращения взять линию уровня, то истинную величину плоской фигуры общего положения можно построить одним поворотом. На рисунке 15-10 построено изображение ∆АВС(А1В1С1) после поворота его вокруг горизонтали h(С,1) до положения, совмещенного с горизонтальной плоскостью уровня Г∈h. Так как горизонталь проходит через точку С, Рисунок 15-10

то последняя неподвижна при вращении треугольника. Нужно повернуть только точки А и В вокруг горизонтали до совмещения их с плоскостью Г. Точка А вращается в горизонтально-проецирующей плоскости Б, перпендикулярной оси вращения. Центр вращения О точки А лежит на оси вращения. В момент, когда при вращении точка А окажется в плоскости Г (т.е. совместится с горизонтальной плоскостью уровня) ее горизонтальная проекция будет удалена от горизонтальной проекции оси вращения h на расстояние, равное истинной величине радиуса вращения RA точки А. Натуральную величину RA можно построить (как гипотенузу) способом прямоугольного треугольника, катетами которого являются горизонтальная проекция радиуса АО и разность высот точек А и О. Построив совмещенную с горизонтальной плоскостью проекцию точки А, легко достроить изображение всего треугольника А1В1С1 в совмещенном с плоскостью Г положении. Для этого используем неподвижную точку 1 и плоскость вращения точки В (Д⊥h). Фронтальная проекция треугольника АВС выродится впрямую и совместится с проекцией плоскости совмещения Г. Аналогичные действия выполняют при вращении плоской фигуры вокруг ее фронтали. Совмещение в этом случае ведется с фронтальной плоскостью уровня, проходящей через ось вращения – фронталь.

40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. 41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ. 40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ Будем рассматривать поверхность как гибкую нерастяжимую оболочку. В этом случае некоторые поверхности путём преобразования можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Поверхности, допускающие такое преобразование, называются развёртывающимися. Фигура, получающаяся при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называется разверткой. Построение развёрток имеет большое значение при конструировании изделий из листового материала (сосуды, трубопроводы, выкройки и т.д.). Поверхности, развертывающиеся геометрически точно: многогранные, конические, торсы, цилиндрические. Из кривых поверхностей, к числу развёртывающихся относятся те линейчатые поверхности (конические, цилиндрические, торсы), у которых касательная плоскость касается поверхности по её прямолинейной образующей. Все остальные кривые поверхности относятся к числу не развертывающихся, но при необходимости можно построить их приближённые развёртки. Для построения развёртки какой-либо криволинейной поверхности её разбивают на такие криволинейные участки, каждый из которых можно аппроксимировать некоторой плоской фигурой, которая требует для определения своей натуры только замеров. Например: • • • • •

цилиндр разбивают на прямоугольники (рисунок 16-1а); прямой конус на равнобедренные треугольники (рисунок 16-1б); эллиптический цилиндр - на параллелограммы (рисунок 16-1в); эллиптический конус - на треугольники (рисунок 16-1г); сферу - на трапеции.

Рисунок 16-1 41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ В качестве примеров рассмотрим построение разверток только четырех поверхностей: пирамиды, конуса, призмы и цилиндра. 41.1 Развертка поверхности пирамиды Развёртка такой поверхности представляет собой плоскую фигуру, которая получается совмещением всех её граней с одной плоскостью. Пример 1. Построить развёртку поверхности пирамиды АВСS (рисунок 16-2) и нанести на неё линию МN. Так как боковыми гранями пирамиды являются треугольники, то для построения развёртки необходимо найти натуральный вид этих треугольников, для чего следует определить истинные длины

Рисунок 16-2

сторон - ребер пирамиды. Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости, следовательно, натуральная величина ребер АВ, ВС и АС уже имеется на чертеже. Ребро SA является фронталью, поэтому на виде спереди оно изображается в натуральную величину. Натуру ребер SВ и SС определяем способом прямоугольного треугольника. Одним катетом его является превышение точки S над точками В и С, а вторым - вид сверху ребер SВ и SС. Затем по трём сторонам строим последовательно все боковые грани пирамиды. Для нанесения на развёртку линии МN вначале определим истинную величину отрезков AM и В1 и отложим их на развёртке на соответствующих ребрах. Чтобы нанести точку М, проведём на грани SВС прямую S2 и найдём её положение на развёртке, отложив отрезок В2 (замеренный на виде сверху) на стороне ВC. Затем на виде спереди проведём через точку 4 отрезок 3-4, параллельный ребру ВС и найдём его положение на развёртке, для чего отложим отрезок C4 на стороне SС и через полученную точку проведём прямую 3-4 параллельную ребру ВС. На пересечении прямых S-2 и 3-4 найдём точку N. Соединив полученные точки М, 1, N получим искомую линию. 41.2 Развертка конической поверхности Для построения развёртки конической поверхности необходимо вписать в неё (или описать около неё) многогранную поверхность, т.е. заменить поверхность вращения многогранной поверхностью. В этом случае поверхность разбивается на треугольники, и такой способ построения развёрток называется способом треугольников (способ триангуляции). Пример 2. Построить развёртку боковой поверхности эллиптического конуса (рисунок 16-3) и нанести на неё точку М. Заменим данную коническую поверхность поверхностью вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Развёртка пирамиды будет состоять из ряда примыкающих друг к другу треугольников. То есть. построение развертки конуса сводится к построению развертки пирамиды (см. выше).

Для построения натурального вида этих треугольников необходимо определить натуральные величины образующих конуса (проведённых в точки деления основания) способом прямоугольного треугольника. Натура сторон треугольника, лежащих в основании конуса равна хорде стягивающей дугу окружности: 1-2 = 2-3 = 3-4 = и т.д., и на виде сверху изображается в натуральную величину. Так как развёртка представляет собой симметричную фигуРисунок 16-3 ру, то построим развёртку только половины поверхности конуса. После построения развёртки находим на ней положение точки М. Для этого проведём через точку М образующую конуса АS, определим её натуру и положение точки М на ней (отрезок А*М*). Затем находим положение образующей АS на развёртке, для чего замеряем на виде сверху хорду А2 и откладываем её на развёртке от точки 2 в сторону точки 3. Соединяем точку А с точкой S и на этой прямой откладываем отрезок A*М*. Пример З. Построить развёртку поверхности прямого кругового конуса и нанести на нее точку М (рисунок 16-4). Развёртка боковой поверхности кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Практически длину дуги определяют длинами хорд,

стягивающих дуги основания (1-2 = 2-3 = 3-4 = и т.д.), замеренными на виде сверху. Построение точки М на развёртке аналогично примеру 2.

Рисунок 16-4

42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Цилиндрическая поверхность, как и призматическая вписанная (или описанная) в цилиндрическую поверхность и заменяющая её, состоит из параллелограммов. Натуральный вид параллелограммов можно построить двумя способами: • либо по высоте и длине противоположных сторон; • либо способом триангуляции, разбив параллелограмм на два треугольника. Построение параллелограммов по их основаниям и высоте проще. В этом случае необходимо определить высоты и отрезки оснований, на которые их делит высота. Для определения высот параллелограммов при построении развёрток призматических и цилиндрических поверхностей строят натуральный вид «нормального» сечения этих поверхностей. Если поверхность призматическая, то высотами являются стороны нормального сечения, а если цилиндрическая - хорды, стягивающие дуги «нормального» сечения на которые разделена кривая, ограничивающая это сечение. Такой способ построения развёрток называется способом «нормального» сечения. Пример 1. Построить полную развёртку поверхности треугольной призмы (рисунок 17-1) и нанести на ней точку М, принадлежащую поверхности.

Рисунок 17-1

Призма расположена таким образом, что её боковые ребра являются горизонталями, следовательно на виде сверху они имеют натуральную величину. Чтобы построить «нормальное» сечение проведём вертикальную плоскость Б перпендикулярно к боковым ребрам призмы. Построим натуру сечения с помощью дополнительного вида, выполненного по направлению горизонтали, перпендикулярной к плоскости Б. Стороны треугольника натурального вида сечения будут являться искомыми высотами параллелограммов. Т.к. при построении развёртки углы и параллельности сохраняются, то на развёртке боковые ребра будут параллельны между собой и перпендикулярны прямой линии, в которую развернётся «нормальное» сечение. Построение развёртки начинается с проведения прямой линии, на которой откладываем длины сторон нормального сечения (высоты параллелограммов) 1-2, 2-3, 3-1. Через концы этих сторон проведём прямые перпендикулярные им. На полученных перпендикулярах отложим отрезки боковых рёбер, измеренные на виде сверху относительно нормального сечения. Соединив между собой полученные точки отрезками прямых, получим развёртку боковой поверхности призмы. Присоединив к этой развёртке оба основания, получим полную развёртку поверхности призмы. Чтобы построить на развёртке точку М, принадлежащую поверхности призмы, необходимо найти на развёртке положение прямой, на которой эта точка лежит. Для этого найдём точку пересечения этой прямой с плоскостью Б на натуральном виде сечения. Замерим расстояние 1-4 и отложим его на развёртке. Через полученную точку проведём прямую, параллельную ребрам призмы. Затем измерим на виде сверху длину отрезка - от нормального сечения до точки М и отложим его на развёртке. Пример 5. Построить развёртку боковой поверхности эллиптического цилиндра и нанести на неё точку М, принадлежащую поверхности цилиндра (рисунок 17-2). Для построения развертки заменяем цилиндрическую поверхность вписанной призматической поверхностью. Перпендикулярно образующим цилиндра проводим наклонную плоскость Б. С помощью дополнительного вида, построенного по направле-

нию фронтали, определяем натуральный вид «нормального» сечения. Так как цилиндрическая поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии, то построим развёртку только половины поверхности. Часть полуэллипса («нормальное» сечение будет эллипсом) разделим на шесть частей таким образом, чтобы стягивающие эти части хорды, возможно меньше отличались от дуг. Через точки деления проводим на поверхности цилиндра образующие. Таким образом половина поверхности цилиндра будет разбита на шесть параллелограммов. Строим прямую линию, в которую развернётся «нормальное» сечение, и на ней откладываем длины хорд, стягивающих «нормальное» сечение. Через концы отложенных хорд (являющихся вы-

Рисунок 17-2 сотами параллелограммов) проводим перпендикулярные к ним прямые. Затем замеряем на виде спереди части образующих цилиндра, относительно нормального сечения и откладываем их на развёртке. Концы образующих соединяем плавной кривой. Чтобы построить на развёртке точку М, наносим сначала на ней положение образующей, на которой эта точка лежит. Для этого измерим на натуральном виде нормального сечения хорду от точки 1 до точки 7, в которой эта образующая пересекается с плоскостью Б, и отложим её на развёртке. На проведённой через полученную точку 7 образующей откладываем отрезок, измеренный на виде спереди от нормального сечения до точки М.