Дифференциальные уравнения в примерах и задачах

А.К.Боярчук, Г.П.Головач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Справочное пособие по высшей математике. Т. 5 М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 384 с.

«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 5 охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики. Наряду с минимальными теоретическими сведениями в нем содержится более семисот детально разобранных примеров. Среди вопросов, нестандартных для такого рода пособий, следует отметить примеры по теории продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных уравнений. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Предисловие 3 Введение 4 Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений 4 Основные определения (4) Задача Коши (4) Построение дифференциального уравнения по заданному семейству кривых (5) Примеры (5) Упражнения для самостоятельной работы 10 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 11 § 1. Уравнения с разделяющимися переменными 11 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (11) Разделение переменных линейной заменой аргумента (11) Примеры (11) §2. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с 15 разделяющимися переменными Использование геометрического смысла производной (15) Использование физического смысла производной (15) Примеры (15) § 3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 29 Однородное уравнение (29) Уравнение, сводимое к однородному (30) Обобщенно-однородное уравнение (30) Примеры (30) § 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 39 Линейное уравнение первого порядка (39) Обмен ролями между

функцией и аргументом (39) Уравнения, приводимые к линейным (39) Уравнение Миндинга — Дарбу (40) Примеры (40) § 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Уравнение в полных дифференциалах (53) Интегрирующий множитель (53) Дифференциальное уравнение для интегрирующего множителя (54) Примеры (54) § 6. Уравнение Эйлера — Риккати Уравнение Эйлера — Риккати. Специальное уравнение Риккати (67) Каноническое уравнение Эйлера — Риккати (67) Примеры (67) § 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной Уравнение, не разрешенное относительно производной (73) Общий интеграл уравнения F(y')=0 (73) Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений ( 73) Примеры (74) § 8. Существование и единственность решения Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда (82) Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно производной (82) Продолжение решения задачи Коши (82) Существование и единственность решения векторной задачи Коши (83) Примеры (83) § 9. Особые решения Особое решение. Дискриминантная кривая (99) Огибающая как особое решение (100) Примеры (100) § 10. Задачи на траектории Изогональные и ортогональные траектории (106) Эволюта и эвольвента (106) Примеры (107) Упражнения для самостоятельной работы Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков § 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений Дифференциальное уравнение вида F ( x, y ( n ) ) = 0 (114) Дифференциальное уравнение вида F ( y ( n −1) , y ( n ) ) = 0 (114) Дифференциальное уравнение вида F ( y ( n − 2 ) , y ( n ) ) = 0 (114) Примеры (115) § 2. Уравнения, допускающие понижение порядка Дифференциальное уравнение вида F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Дифференциальное уравнение вида F ( y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Однородное дифференциальное уравнение вида F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Обобщенноe однородное дифференциальное уравнение вида F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Уравнение, приводимое к виду (ϕ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ))' = 0 (123) Примеры (123) § 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

53

67

73

82

99

106

112 114 114

122

135

коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение (135) Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов (136) Метод вариации произвольных постоянных (136) Метод Коши нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (137) Примеры (137) § 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейно зависимые функции. Определитель Вронского (150) Критерий линейной независимости функций (151) Фундаментальная система решений (151) Формула Остроградского — Лиувилля (151) Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (151) Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева (152) Дифференциальные уравнения второго порядка (152) Связь между линейным дифференциальным уравнением второго порядка и уравнением Эйлера — Риккати (152) Сведение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами (153) Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений второго порядка (153) Примеры (153) § 5. Краевые задачи Определение краевой задачи (169) Функция Грина краевой задачи (170) Задача Штурма — Лиувилля (170) Условие эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению (170) Примеры (170) Упражнения для самостоятельной работы Глава 3. Системы дифференциальных уравнений § 1. Линейные системы Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Фундаментальная матрица уравнения. Определитель Вронского (182) Метод вариации произвольного вектора (183) Матрицант (183) Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера (184) Примеры (184) § 2. Нелинейные системы Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения (200) Подбор интегрируемых комбинаций (201) Примеры (201) Упражнения для самостоятельной работы Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядка

150

169

180 182 182

200

211 212

§ 1. Линейные и квазилинейные уравнения Основные понятия (212) Решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка (212) Задача Коши (272) Уравнение Пфаффа (213) Примеры (213) § 2. Нелинейные уравнения первого порядка Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка (228) Решение задачи о нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую (228) Метод Коши (229) Обобщение метода Коши (229) Примеры (229) Упражнения для самостоятельной работы Глава 5. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений § 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров Об оценке погрешности приближенного решения (240) Об отыскании производных от решений по параметру (240) Примеры (241) §2. Аналитические приближенные методы Метод степенных рядов (246) Метод малого параметра (247) Примеры (247) § 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений Метод Эйлера k-го порядка (266) Метод Рунге — Кутта 4-го порядка (267) Метод Штермера (267) Примеры (267) Упражнения для самостоятельной работы Глава 6. Устойчивость и фазовые траектории § 1. Устойчивость Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость (274) Исследование на устойчивость по первому приближению: первая теорема Ляпунова (274) Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова (275) Условия отрицательности всех действительных частей корней уравнения a0λn + a1λn −1 + ... + an −1λ + an = 0, a0 > 0 , с действительными коэффициентами (275) Примеры (276) § 2. Особые точки Определение особых точек и их классификация (292) Практические приемы исследования особых точек (293) Примеры (294) § 3. Фазовая плоскость Основные понятия (305) Построение фазового портрета (305) Предельные циклы (306) Признаки отсутствия предельных циклов (306) Признаки наличия предельных циклов (306) Примеры (307) Упражнения для самостоятельной работы Глава 7. Метод интегральных преобразований Лапласа решения линейных дифференциальных уравнений § 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства Оригинал и изображение (323) Свойства преобразования Лапласа

212

228

239 240 240

246

266

273 274 274

292

305

322 323 323

(324) Примеры (325) § 2. Свертка функций. Теоремы разложения Определение свертки (336) Теорема умножения (Э. Бореля) (336) Обобщенная теорема умножения (А. М. Эфроса) (336) Формулы Дюамеля (337) Примеры (337) §3. Обратное преобразование Лапласа Формула обращения Римана — Меллина (339) Сведения из теории функций комплексного переменного (340) Теоремы разложения (341) Примеры (342) § 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами (346) Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (347) Решение уравнений с нулевыми начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля (347) Примеры (347) § 5. Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения Интегральные уравнения типа свертки (357) Интегральные уравнения второго рода (358) Интегральные уравнения первого рода (359) Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля (359) Примеры (360) § 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными Примеры (367) Упражнения для самостоятельной работы Ответы Предметный указатель Предметный указатель

336

339

346

357

366

370 372 377

Настоящий предметный указатель призван облегчить поиск терминов по алфавитному признаку. Для поиска терминов по тематическому признаку пользуйтесь подробно составленным оглавлением. В указателе, как правило, приводятся ссылки только на страницу, содержащую определение термина; составитель указателя не ставил своей целью отследить все упоминания приведенных терминов в тексте. Исключение составляют термины, описывающие методы, приемы, практические результаты: для них в некоторых случаях после номеров страниц курсивом указаны также задачи, в которых они используются существенным образом. С целью уменьшения громоздкости указателя вместо термина "дифференциальное(ые) уравнение(я)" применяется сокращение "д. у.".

А Абеля — уравнение интегральное, 359 — — формула, 159, 363, 364 астроида, 111 Б Бендиксона признак отсутствия предельных циклов, 306, 672, 675

Бернулли уравнение, 39, 115, 97, 99, 101, 103, 106, 168, 265, 447 Бихари лемма, 83, 201, 202 Бореля теорема умножения, 336, 711715, 719, 720, 740, 752, 753, 762 В вид канонический линейного д. у. 2-го порядка, 152

Вольтерра уравнение интегральное — 1-го рода, 358 — 2-го рода, 358 — особое, 359 Вронского — матрица, 182 — определитель, 151, 183 вычет функции, 340 Г Гессе — прием, 208, 460-462 — система, 208 гипербола вырожденная, 18 Грина функция краевой задачи, 170, 393-406 Гурвица матрица, 275, 616-619, 621, 622, 624-627 Д Дюамеля — интегралы, 337 — формулы, 337, 347, 721, 742-744, 766 З задача — Коши, 4 — — векторная, 83 — краевая, 169 — — нестационарная, 367 — Штурма—Лиувилля, 170 — —, собственные значения, 170 — —, собственные функции, 170 значения собственные задачи Штурма—Лиувилля, 170 И инвариант линейного д. у. 2-го порядка, 152 интеграл — вероятности, 338, 715-718, 724, 733 — полный, 228 — системы д. у. первый, 201 интегралы — Дюамеля, 337 — независимые, 201 интегрируемая комбинация, 201

интегрирующий множитель, 53 К канонический вид линейного д. у. 2-го порядка, 152 Клеро уравнение, 78, 191, 194 косинус-интеграл Френеля, 334, 707, 712, 713, 763 Коши — задача,4 — — векторная, 83 — метод — — отыскания интегральной поверхности, 229, 519—521 — —, обобщение, 229, 522-524 — отыскания частного решения неоднородного д. у., 137 — формула о вычетах, 341 краевая задача, 169 — нестационарная, 367 кривая дискриминантная, 99 критерий — линейной независимости функций, 151 — Льенара—Шипара, 276, 618, 619, 626-628 — Михайлова, 276, 620, 621, 623 — Рауса—Гурвица, 276, 616, 617, 621, 625 Л Лагранжа — уравнение, 78, 192, 193 — — второго рода, 438-440, 629, 630, 750 — функция, 582, 629, 630 Лагранжа—Шарли метод, 228, 504, 517 Лапласа преобразование, 324 —, линейность, 324, 686, 688, 710, 734 —, однородность, 324 Левинсона—Смита теорема о наличии предельных циклов, 306, 676 лемма Бихари, 83, 201, 202 Липшица условие, 82, 240 Лиувилля преобразование, 165, 381— 387

Лорана ряд, 340 —, главная часть, 340 —, правильная часть, 340 Льенара—Шипара критерий, 276, 618, 619, 626-628 Ляпунова — теорема — — вторая, 275, 606-609, 611, 615 — — первая (об устойчивости по первому приближению), 274-275, 589-593, 595, 598-600, 602, 615, 630 — функция, 275, 606-615, 630 М матрица — векторного д. у. — — интегральная, 182 — — фундаментальная, 182 — Вронского, 182 — Гурвица, 275, 616-619, 621, 622, 624627 матрицант, 183 метод — вариации — — произвольного вектора, 183, 429—431 — — произвольных постоянных, 39, 136, 151, 87-89, 91-93, 97, 108, 325, 326, 331, 342, 360, 431 — исключения, 200, 408-420, 431, 435, 442, 449-451, 453, 454 — Коши — — отыскания интегральной поверхности, 229, 519—521 — — —, обобщение, 229, 522-524 — — отыскания частного решения неоднородного д. у., 137 — Лагранжа—Шарпи, 228, 504, 517 — малого параметра, 247, 559—566, 568 — неопределенных коэффициентов, 136, 141, 315—324, 328, 329, 410, 432 — подбора интегрируемых

комбинаций, 201, 443-448 — последовательных приближений, Ш — разбиения данного уравнения на две части, 53, 149, 154-156, 15S-160 — Рунге—Кутта численного решения д.у., 267, 572—575 — степенных рядов, 246-247, 537-555, 576, 577 — Штермера численного решения д.у., 267, 575—577 — Эйлера — — отыскания общего решения неоднородной системы д.у., 184, 420-429, 433, 437, 439 — — численного решения д. у., 266, 569—571 Миндинга—Дарбу уравнение, 40, 106109 Михайлова критерий, 276, 620, 621, 623 множитель интегрирующий, 53 О определитель Вронского, 151, 183 Осгуда теорема, 82 Остроградского—Лиувилля формула, 151, 362, 363 П Пеано теорема, 82 Пикара теорема, 82, 199-204, 207 плоскость фазовая, 305 показатель роста функции, 323 полюс, 340 порядок полюса, 340 преобразование — Лапласа, 324 ——, линейность, 324, 686, 688, 710, 734 ——, однородность, 324 — Лиувилля, 165, 381-387 прием Гессе, 208, 460-462 признак отсутствия предельных циклов — Бендиксона, 306, 672, 675 — Пуанкаре, 306, 673, 678 пространство фазовое, 305

Пуанкаре признак отсутствия предельных циклов, 306, 673, 678 Пфаффа уравнение, 213, 233, 491-500, 503, 505-508, 511, 517 Р Рауса—Гурвица критерий, 276, 676, 6/7, 621, 625 Рейссига теорема о наличии предельных циклов, 306—307, 677 решение —-дифференциального уравнения — — изолированное, 105 — — особое, 99 — задачи Коши — — общее, 4 — — частное, 4 — неустойчивое в смысле Ляпунова, 274 — — обыкновенного д. у. n -го порядка, 4 — устойчивое — — асимптотически, 274 — — по Ляпунову, 274 Риккати уравнение специальное, 67, 70—71, 164—167, 169-171 Романа—Мемина формула обращения, 339-340 Рунге—Кутта метод численного решения д. у., 267, 572—575 ряд — Лорана, 340 ——, главная часть, 340 ——, правильная часть, 340 — Фурье, 556-55S, 728 С самосопряженная форма линейного д. у. 2-го порядка, 152 седло,293 синус интегральный, 335 — гиперболический, 335 синус-интеграл Френеля, 334, 707, 712, 713, 763 система — Гессе, 208

— линейных д. у. — — автономная, 305 — — неоднородная, 182, 184 — — нормальная, 200 — — однородная, 182 — решений однородного д. у. фундаментальная, 151 скорость фазовая, 305 Т теорема — запаздывания, 324, 689, 739, 741, 768 — Левинсона—Смита о наличии предельных циклов, 306, 676 — Ляпунова — — вторая, 275, 606-609, 611, 615 — — первая (об устойчивости по первому приближению), 274-275, 5*9-595, 595, 598-600, 602, 615, 630 — о дифференцировании — — изображения преобразования Лапласа, 325, 704—706, 723, 749 — — оригинала преобразования Лапласа, 324, 700—702, 740 — о линейности преобразования Лапласа, 324, 686, 688, 710, 734 — о предельных соотношениях, 325 — о существовании и единственности решения задачи Коши, 82 — об интегрировании — — изображения преобразования Лапласа, 325, 708—710, 732 — — оригинала преобразования Лапласа, 325, 707, 708, 718, 724, 733, 742 — об однородности преобразования Лапласа, 324 — опережения, 324 — Осгуда, 82 — Пеано, 82 — Пикара, 82, 199-204, 207 — подобия, 324, 6*7, 6*9, 765 — разложения

— — вторая, 342, 725, 727, 728, 736, 738, 739, 741, 743-745, 747, 750, 751, 767 — — первая, 341, 729 — Рейссига о наличии предельных циклов, 306—307, 677 — смещения, 324, 699, 7У5, 734 — умножения — — обобщенная А. М. Эфроса, 336, 764 — — Э.Бореля, 336, 711-715, 719, 720, 740, 752, 753, 762 — Четаева о неустойчивости, 275, 612—614 точка — разветвления многозначной функции, 342 — системы двух д. у. первого порядка особая, 293 — функции особая — — однозначного характера, 340 — — устранимая, 340 — функции существенно особая, 340 траектории — изогональные, 106 — на фазовой плоскости. 305 — ортогональные, 106 У узел, 293 — вырожденный, 293 — дикритический, 293 уравнение — Бернулли, 39, 115, 97, 99, 101, 103, 106, 168, 265, 447 — в частных производных — — гиперболического типа, 366 — — квазилинейное 1-го порядка, 212 — — нелинейное 1-го порядка, 228 — — параболического типа, 366 — дифференциальное — — n-го порядка, 4 — — — каноническое, 4 — — в полных дифференциалах, 53 — — для интегрирующего множителя,

54 — — линейное — — — 1-го порядка, 39 — — — 2-го порядка, 152 — — — —, инвариант, 152 — — — —, канонический вид, 152 — — — —, самосопряженная форма, 152 — — — n-го порядка, 135, 150 — — — — неоднородное, 135 — — — — однородное, 135 — — не разрешенное относительно производной, 73 — — обобщенно-однородное, 30, 122 — — однородное, 29 — — однородное относительно функции и ее производных, 122 — — с разделяющимися переменными, 11 — интегральное — — Абеля, 359 — — Вольтерра линейное — — — 1-го рода, 358 — — — 2-го рода, 358 — — — особое, 359 — — Фредгольма — — — 1-го рода, 357 — — — 2-го рода, 357 — — — однородное, 357 — — — особое, 359 — Клеро, 78, 191, 194 — Лагранжа, 78, 192, 193 — — второго рода, 438-440, 629, 630, 750 — Миндинга—Дарбу, 40, 106-109 — Пфаффа, 213, 233, 491-500, 503, 505508, 511, 517 — Риккати специальное, 67, 70-71, 164-167, 169-171 — характеристическое, 136, 184 — Чебышева, 152 — Эйлера, 152, 371, 372, 39J — Эйлера—Риккати, 67, 152, 163, 282 — — каноническое, 67, 172

условие Липшица, 82, 240 Ф фокус, 293 форма — векторная системы линейных д. у., 182 — самосопряженная линейного д. у. 2го порядка, 152 — симметрическая нормальной системы д. у., 201 формула — Абеля, 159, 363, 364 — Коши о вычетах, 341 — обращения Римана—Меллина, 339—340 — Остроградского—Лиувилля, 151, 362, 363 — Циолковского, 29 формулы Дюамеля, 337, 347, 721, 742744, 766 Фредгольма уравнение интегральное линейное — 1-го рода, 357 — 2-го рода, 357 — однородное, 357 — особое, 359 Френеля — косинус-интеграл, 334, 707, 712, 713, 763 — синус-интеграл, 334, 707, 712, 713, 763 фундаментальная матрица векторного д. у., 182 фундаментальная система решений однородного д. у., 151 функции — линейно зависимые, 151 — линейно независимые, 151 — собственные задачи Штурма— Лиувилля, 170 функция — аналитическая в области, 340 — влияния для задачи Коши, 137 — голоморфная, 340

— Грина краевой задачи, 170, 393-406 — дробная, 340 — Лагранжа, 582, 629, 630 — Ляпунова, 275, 606-615, 630 — мероморфная, 340 — моногенная в области, 340 — однородная степени m, 29 — регулярная в области, 340 — Хевисайда, 323, 679, 733 — — обобщенная, 329, 690-694, 728 — целая, 340 функция-изображение преобразования Лапласа, 324 — обобщенная, 326 функция-оригинал преобразования Лапласа, 323 — обобщенная, 326 Фурье ряд, S56-SSS, 728 X характеристическое уравнение, 136, 184 Хевисайда функция, 323, 679, 733 — обобщенная, 329, 690-694, 728 Ц центр, 293 цепная линия, 110 цикл предельный, 306 — неустойчивый, 306 — полуустойчивый, 306 — устойчивый, 306 циклоида, 111 Циолковского формула, 29 Ч часть ряда Лорана — главная, 340 — правильная, 340 Чебышева уравнение, 152 Четаева теорема о неустойчивости, 275, 612—614 Ш Штермера метод численного решения д. у., 267, 575—577 Штурма—Лиувилля задача, 170 —, собственные значения, 170

—, собственные фуншии, 170 Э эвольвента, 106 эволюта, 106 Эйлера — метод — — отыскания общего решения неоднородной системы д. у., 184, 420-429, 433, 437, 439 — — численного решения д. у., 266,

569—571 — уравнение, 152, 371, 372, 391 Эйлера—Риккати уравнение, 67, 152, 163, 282 — каноническое, 67, 172 Эфроса теорема умножения обобщенная, 336, 764 Я ядро интегрального уравнения, 357