Из истории математики: Учебное пособие по немецкому языку

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

И зистории м атем атики У чебное пособие по специальности 010100 – м атем атическийфакультет Г С Э .Ф .01.1

В О РО Н Е Ж 2005

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У тв ерж дено научно-м етодическим сов етом факультета РГ Ф П ротокол № от 2005

С остав ители: Бенедиктов а Л .В . Т рухина С .А.

У чебное из дание подготов лено на кафедре нем ецкого яз ы ка факультета РГ Ф В оронеж ского государств енного унив ерситета. Реком ендуется для студентов 2 курса днев ного отделения.

Д анное учебное из дание предназ начено для студентов 2 курса днев ного отделения м атем атического факультета. Т ексты и з адания ориентиров аны на сам остоятельную работустудентов , в рам ках «Д ом аш него чтения» , предусм отренного програм м ой. Т ексты передаю тв хронологическом порядке историю раз в ития м атем атики какнауки, отД рев него Е гипта, В ав илона до среднев еков ойЕ в ропы .

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1.Text Zur Besonderheit der Mathematik als Wissenschaft. Bevor ich ü ber einige Aspekte der Geschichte der Mathematik spreche, möchte ich auf die berechtigte Frage eingehen, was denn Mathematik eigentlich ist. In Auseinandersetzung mit dieser Frage werden nicht nur die Leistungen unserer mathematischen Vorfahren aus Jahrtausenden besser gewü rdigt, auch wird der Gegenstand klarer, den Sie zum Studium ausgewählt haben. Was ist nun die Mathematik? Meyers Taschenlexikon von 1963 beschreibt sie als „Wissenschaft von den Zahlen und Raumgrößen, die die Eigenschaften und den wechselseitigen Zusammenhang dieser Größen mittels abstrakter Begriffe, Zeichen und Formeln untersucht.“ Die mathematische Enzyklopädie von 1982 drü ckt das Wesen der Mathematik etwas konzentrierter aus: „ Die Mathematik ist eine Wissenschaft von quantitativen Verhältnissen und räumlichen Formen der realen Welt“. Diese Definitionsversuche gefallen mir nicht besonders. Sie schauen auf die Mathematik zu sehr von außen. Den beiden Mathematikern Mark Kas und Stanislaw Ulam hat es besser gelungen, die Mathematik zu definieren. In ihrem lebenswerten Buch „Mathematik und Logik“ beschreiben Sie die Besonderheiten der Mathematik, die ihr im Denken und im Vergleich zur realen Welt zukommen. Sie sehen die Mathematik als „in sich abgeschlossener Mikrokosmos, der jedoch die starke Fähigkeit zur Widerspiegelung und Modellierung beliebiger Prozesse des Denkens und der ganzen Wissenschaft ü berhaupt besitzt. Die Mathematik stellt das mächtige Instrument des menschlichen Geistes dar, um die Naturgesetze präzise zu formulieren und eröffnet die Möglichkeiten, in die Welt der Elementarteilchen sowie in die Weiten des Universums vorzudringen. Ohne Mathematik ist unser heutiges Leben angesichts gesellschaftlichen und ökologischen Probleme nicht denkbar.Die Menschen berechnen die Statik von Häusern und Brü cken, bauen diese nach den Plänen und die Bauwerke halten - bis sie einstü rzen. Die Realität kennt auch Fehler. Somit wird die Mathematik, genauer werden die Ergebnisse ihrer Anwendungen, zu unserer Realität. Flugzeuge fliegen, Computertomographen arbeiten so, wie es berechnet und gewollt wurde. Die Praxis ist das Kriterium der Wahrheit. Diese pragmatische Sicht sollen wir nicht vergessen. Sie ist auch ständige Quelle von Motivation und Inspiration in der mathematischen Forschung. In diesem Sinne ist die Mathematik ihr Hauptwerkzeug. So wie Bäcker, Bauer oder Lockfü hrer werden Sie mit ihren mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten ein vollständiges Mitglied der Gesellschaft. Die Mathematik aber umfasst wesentlich mehr. Wenden wir uns nun der inneren Seite der Mathematik zu. Die Mathematik arbeitet mit abstrakten Objekten und ihre Methode des logischen Schließens ist auch abstrakt. Gerade durch dieses Schließen, durch den mathematischen Beweis wurde die Mathematik vor etwa 2 500 Jahren im antiken Griechenland zu einer Wissenschaft. Zuerst werden einige als wahr angenommene Sätze – die Axiome – postuliert, dann werden nach strengen logischen Regeln neue Aussagungen abgeleitet. Ist also die Mathematik als die Wissenschaft des logischen Schließens zu betrachten? Aber einfache Kette von logischen Schließen

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ist sicher noch keine Mathematik! Die mathematische Methode umfasst also mehr als nur die Logik. In diesem Sinne ist die Mathematik auch eine Kunst. Die Spezifik des Mathematikstudiums besteht in der Erarbeitung der gemeinsamen Sätze, in der Vermittlung eigener Gedanken und Ansichten. Die allerersten mathematischen Objekte waren die natü rlichen Zahlen und einfache geometrische Objekte wie Punkte, Geraden, Dreiecke usw. Sie schienen so vertraut, dass sie lange Zeit als gegeben angesehen wurden. Erst zu Ende des 19. Jahrhunderts wurde von Peano, Russel, Hilbert in stärkerem Maße nach ihren Grundlagen gefragt. Von den ersten Objekten wird zu immer komplizierteren Objekten geschritten, zu Mengen von Zahlen, zu Abbildungen zwischen derartigen Mengen, zu Klassen solcher Abbildungen usw. Die mathematischen Objekte sind Abstraktionen! Den idealen Kreis gibt es nur im Denken. Ein Wesenszug der Mathematik ist es auch, mit Objekten zu arbeiten, ohne sie zu definieren. So schreibt Hilbert in seinem berü hmten „ Grundlagen der Geometrie“ im Jahre 1899: „ Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte..., die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden..., die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen... „ Das ist schon alles, dann kommen die Axiome, die sagen, in welchen Beziehungen die Punkte, Geraden und Ebenen zueinander stehen sollen. Die Anschauung, Vorstellung, Intuition spielen in der Mathematik auch eine wesentliche Rolle. Sie weisen oft den Weg zur Lösung. Aber gesicherte mathematische Erkenntnis ist nur, was exakt bewiesen wurde. VOKABELN ZUM TEXT Die Besonderheit (-en) – особенность auf Akk eingehen – (i,a) – з атронуть, коснуться die Auseinandersetzung (-en) mit Dat – объ яснение чего-либо wü rdigen Akk ( te, t) – ценитького-либо, отдав атьдолж ное der Vorfahr (-en) – предок, предш еств енник die Leistung (-en) – достиж ение auswählen ( te, t) в ы бирать die Eigenschaft (-en) – св ойств о der Zusammenhang (-e) – св яз ь das Zeichen – з нак, сим в ол ausdrü cken (te, t) – в ы раж ать das Verhältnis (-e) – отнош ение gefallen (ie, a) – нрав иться schauen (te, t) – рассм атрив ать gelingen (a,u) – удав аться lebenswert – ж из ненно в аж ны й der Vergleich ( -e) – срав нение Dat zukommen ( a, o) – подходить, подобать die Fähigkeit (-en) – способность die Widerspiegelung (-en) – отраж ение der Geist (-e) – дух die Möglichkeit (-en) – в оз м ож ность

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vordringen (a, u) – проникать nicht denkbar sein – бы тьнем ы слим ы м die Brü cke (-en) – м ост der Fehler – ош ибка das Ergebnis (-e) – рез ультат die Anwendung (-en) – использ ов ание das Flugzeug (-e) – сам олёт die Wahrheit (-en) – прав да, истина die Sicht (-e) – в ид, перспектив а die Inspiration (-en) – в дохнов ение die Quelle (-en) – источник die Forschung (-en) – исследов ание der Sinn – см ы сл der Bäcker – пекарь der Lockfü hrer – м аш инист die Fertigkeit (-en) – ум ение, нав ы к umfassen (te, t) – охв аты в ать sich Dat. zuwenden (wandte sich zu, sich zugewandt) – обращ аться кчем у-либо das Schließen – в ы в од, з аклю чение streng – строгий, чёткий betrachten (te, t) – рассм атрив ать die Kette (-e) – цепь der Schluss (-e) – з ав ерш ение, конец, в ы в од die Kunst (-e) – искусств о die Vermittlung (-en) – передача (з наний) die Ansicht – в з гляд vertraut sein – бы тьз наком ы м die Grundlage (-en) – основ а schreiten (i, i) – ш агать, идти die Menge ( -n) – м нож еств о die Abbildung (-en) – произ в одная в еличина das Ding (-e) – предм ет, тело die Ebene (-n) – плоскость die Beziehung ( -en) – отнош ение die Vorstellung (-en) – представ ление der Weg (-e) – путь die Lösung (-en) – реш ение beweisen (ie, ie) – доказ ы в ать 1.1 Schreiben Sie aus dem Text die Wörter, die Ihrer Meinung nach die Bedeutung und Besonderheit der Mathematik als Wissenschaft unterstreichen. 1.2 Vergleichen Sie die Vorstellungen des Autors ü ber das Wesen der mathematischen Wissenschaft mit den Auffassungen der im Text erwähnten Wissenschaftler. Sind diese Namen Ihnen vertraut? Erzählen Sie ü ber diese Wissenschaftler. Mit wessen Meinung sind Sie einverstanden?

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1.3 Lesen Sie den Text noch einmal. Entscheiden Sie, welche Grundidee dem Leser nahe gebracht wird: • Die Mathematik ist eine Wissenschaft von den Zahlen und Raumgrößen. • Die Mathematik ist in sich abgeschlossener Mikrokosmos. • Die Mathematik hat starke Fähigkeit zur Widerspiegelung und Modellierung beliebiger Prozesse. • Die Mathematik stellt das mächtige Instrument des menschlichen Geistes dar. • Die Praxis ist das Kriterium der Wahrheit in der mathematischen Wissenschaft. • Die mathematischen Objekte sind Abstraktionen. • Die Welt ist ohne Mathematik nicht denkbar. 1.4 Finden Sie Argumente, die Ihre Meinung bestätigen. 1.5 Was bedeutet der Spruch der amerikanischen Schriftstellerin Anita Joachim Daniel? „Dummheit ist nicht: Wenig wissen. Auch nicht: Wenig wissen wollen. Dummheit ist: Glauben, genug zu wissen.“ Ist die Mathematik das Instrument der fortschrittlichen Entwicklung der menschlichen Intelligenz? Diskutieren Sie zu diesem Thema! Vergleichen Sie die Lage der Dinge vor vielen Jahren und heute.Was können Sie hinzufü gen? 1.6. Entscheiden Sie sich fü r eine der folgenden Aufgaben: a) Schreiben Sie aus dem Text die starken Verben in Ihren Grundformen. b) Finden Sie im Text und schreiben Sie die als Attribute gebrauchte Adjektive in der Kurzform aus. c) Schreiben Sie die durch Partizipien I und II ausgedrü ckte Attribute und erklären Sie ihren Gebrauch. 1.7 Beweisen Sie Ihrem Gesprächspartner die Bedeutung der praktischen Anwendungen der Mathematik und die Vorteile ihrer weiteren wissenschaftlichen Entwicklung. 1.8. Schlagen Sie nach, wie die nachstehenden Vokabeln in einem Wörterbuch definiert sind. Fü hren Sie Beispiele an. - der Begriff -die Raumgröße - die Lösung - die Lehre - die Gerade - der Kreis - die Zahl - das Dreieck - der Vergleich - das Verhältnis - die Menge - der Gegenstand - die Beziehung - die Ebene - die Wahrheit 1.9 Inszenieren Sie ein Gespräch zwischen dem Mathematiklehrer und dem Studenten. Sie besprechen die Bedeutung und praktische Anwendung der Mathematik. Stü tzen Sie sich dabei auf die durchgearbeiteten Vokabeln und Redewendungen. 1.10. Hier sind Themen fü r einen Vortrag. Wählen Sie. a) Was ist denn Mathematik eigentlich?

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b) Die Definitionsversuche des mathematischen Wesens aus den Jahren 1963 und 1982. c) Die Mathematik als Triebkraft der Wissenschafts- und Gesellschaftsentwicklung. d) Die praktische Bedeutung der Mathematik und ihre Anwendungsmöglichkeiten. e) Die Anziehungskraft des Mathematikstudiums.

2.Text ERSTE ANFÄ NGE DER MATHEMATIK Das Zählen von Dingen des umgehenden Lebens brachte schon in frü herer Zeit die natü rlichen Zahlen hervor. In diesem Zusammenhang muss das Abzählen durch Zuordnen erwähnt werden. Tatsächlich ist die Mathematik beinahe so alt wie die Menschheit selbst. Der Mensch wurde durch zwei Bedü rfnisse praktisch gezwungen, sich mit Zahlen zu befassen. Das eine war die Anzahl von Dingen – z.B. Speere, Feuersteine u.s.w. Das primitive System des Zählens hatte die Finger einer oder beider Hände zur Grundlage. Die Vorherrschaft der Zahlen 5 und 10 fü r die meisten heutigen Zahlensysteme ist die Folge. Das zweite Bedü rfnis ist das Schaffen von Ordnungen, z.B. die Einteilung der Jagdgefährten nach der Jagd. So entstanden die ersten Vorstellungen von den Zahlen – z.B. Kerbhölzer. Die ältesten Kerbhölzer datieren von vor 50 000 Jahren, man fand 25 000 alte geometrische Ornamente. Die erste heute bekannte Hochkultur der Sumerer verfü gte vor 5 000 Jahren ü ber Schriftzeichen und Zahlensymbole. Die alten Babilonier benutzen ein Sexagesimalsystem als Positionssystem vor 4 000 Jahren. Ab etwa dieser Zeit gibt es in Ä gypten Bruchrechnung, in Mesopotamien werden lineare und quadratische Gleichungen gelöst, der Satz des Pythagoras ist den Babiloniern bekannt. Um 575 v.u.Z. tritt die Null im Positionssystem der Babilonier auf. Die Bedü rfnisse von Feldmessung, Astronomie und Schiffahrt förderten die Herausbildung der Mathematik auch in anderen alten Kulturen wie Indien und China. Wie die ägyptische Geometrie dient auch die babilonische Geometrie in erster Linie den Bedü rfnissen der Praxis. In der Praxis wurde in dieser Zeit Erstaunliches geleistet. So wurden die Flächeninhalte vor regelmäßigen Figuren berechnet, die einem Kreis eingeschrieben sind, so wurden die Rauminhalte komplizierter Körper bestimmt. Das größte Staunen unter den Mathematikern unserer Zeit aber rief die Entdeckung hervor, dass die Babilonier den populärsten Satz der Geometrie, der später den Namen „pythagoreischer Lehrsatz“ erhielt, bereits gekannt und angewendet haben. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die typischen Fragestellungen der vorgriechischen Mathematik aus den Problemen des täglichen Lebens kamen. Man strebte nicht nach Allgemeingü ltigkeit. Definitionen, Sätze und Beweise kannte man nicht.

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Im antiken Griechenland wurde die Mathematik zur Wissenschaft. Die Griechen unternahmen die Elemente der Mathematik sowohl von den Babiloniern als auch von den Ä gyptern. Neu bei den Griechen war jedoch die Einfü hrung einer abstrakten Mathematik, die sich auf logische Strukturen von Definitionen, Axiomen und Beweisen grü ndete. Die Griechen des 6. und 7. Jahrhunderts waren die ersten, die die Gesetzmäßigkeiten zu beweisen versuchten. Die Arbeiten der Griechen schufen grundlegende Beiträge zur Physik und Astronomie. Das Wirken der griechischen Mathematik kann man als Geburtsstunde der wissenschaftlichen Mathematik bezeichnen. Thales von Milet, der Vater der griechischen Mathematik bewies einige geometrische Sätze um etwa 600 v.u.Z. Pythagoras und seine Schü ler entwickelten die Arithmetik und Geometrie um 500 v.u.Z. Ein Pythagoräer entdeckte, dass Diagonale und Seite eines Quadrates nicht im rationalen Verhältnis zueinander stehen, wobei er einen Widerspruchsbeweis fü hrte. Diese Existenz von nicht rationalen Zahlen löste die erste Krise der Mathematik aus und fü hrte zu einer getrennten Entwicklung von Geometrie und Arithmetik. Die Pythagoräer wollten die Welt nur in rationalen Verhältnissen sehen. Eudoxos (408-355 v.u. Z.) entwickelte die Proportionenlehre und ü berwand somit diese erste Krise. Ein Höhepunkt in der griechischen Mathematik ist das Werk von Euklid (365-300 v.u.Z.). Seine „ Elemente“ sind fü r 2 000 Jahre das Standardwerk der Geometrie. Die axiomatische Methode ist Vorbild fü r die ganze Mathematik. Von Euklid stammt der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Er hat auch einen vorsichtigen Schritt in die Unendlichkeit getan. Den wesentlichen Abschluss der antiken Mathematik bildet das Werk von Archimedes (287-212 v.u.Z.). Es gilt als größter Mathematiker des Altertums, er kam dem Grenzwertbegriff und der Integralrechnung sehr nahe und wandte sein mathematisches und physikalisches Wissen unmittelbar an, indem er viele Vorrichtungen und Maschinen konstruierte, die auch der Verteidigung seiner Stadt Syrakus gegen die Römer dienten. Parallel zu den rein mathematischen Sachverhalten befassten sich die Gelehrten auch mit Optik, Mechanik und Astronomie. Mit der Ermordung Archimedes von den Römern folgten in der Entwicklung der Mathematik Jahrhunderte der Stagnation, in denen die Haupttätigkeit im Kopieren, Kommentieren und Bewahren lag. Aber die Griechen waren es, die die Geometrie von einer reinen Technik zur Wissenschaft erhoben und diese ständig erweiterten, vertieften und festigten. Ihre große Neuerung lag darin, dass sie mit einer anderen Einstellung an dieses Wissensgebiet herangingen, als die Völker davor. WÖ RTERLISTE das Ding (-e) – предм ет- hervorbringen (brachte hervor, hervorgebracht) – порож дать der Zusammenhang (-e) - в з аим осв яз ь erwähnen (te, t) – упом инать das Bedü rfnis (-se) - потребность

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zwingen – (a,u) – в ы нуж дать sich mit D befassen (te,t) – з аним аться чем либо der Feuerstein (-e) – крем ень der Speer (-e) – копьё die Vorherrschaft (-en) – господств о die Folge (-en) - следств ие der Gefährte (-en) – спутник, тов арищ die Jagd (-e) – охота das Schaffen - соз дание das Kerbholz (-er) – дерев янная палочка ü ber Akk verfü gen (te, t) – располагатьчем - либо benutzen (te,t) - использ ов ать sexagesimal – ш естидесятеричны й der Bruch (e) - дробь auftreten (a,e) - в озникать die Feldmessung (-en) – з ем лем ерны е работы Akk fördern – ускорять, дв игать das Erstaunliche - удив ительное leisten (te,t) – достигать, добив аться der Flächeninhalt (-e) – раз м ер площ ади Dat. eingeschrieben sein – бы тьв писанны м der Rauminhalt (-e) – раз м ер пространств а das Staunen - удив ление hervorrufen (ie, u) - в ы з ы в ать erhalten (ie,a) - получать anwenden (wandte an, angewandt) - прим енять nach Dat. streben (te,t) – стрем иться к чем у- либо die Allgemeingü ltigkeit - общ епринятость ü bernehmen (a,o) - переним ать die Einfü hrung (-en) - в в едение die Gesetzmäßigkeit (-en) - з аконом ерность versuchen (te,t) - пы таться der Beitrag (e) - в клад schaffen (u,a) - соз дав ать die Geburtstunde (-en) – час рож дения entdecken (te,t) - откры в ать das Verhältnis (-se) - отнош ение der Widerspruch (-e) - против оречие die Existenz – сущ еств ов ание die Entwicklung (-en) – раз в итие ü berwinden (a,u) – преодолев ать der Höhepunkt (e) – в ы сш ая точка кульм инации das Standardwerk (e) – образ ец das Vorbild (-er) – образ ец von D stammen (te,t) – происходитьоткого-либо

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vorsichtig – осторож ны й der Schritt (e) – ш аг der Grenzwert (e) – предел die Vorrichtung (en) – устройств о die Verteidigung (en) - з ащ ита der Sachverhalt (e) – содерж ание die Ermordung (en) – убийств о die Stagnation (en) – з астой vertiefen (te,t) – углублять erheben (o,o) – подним ать festigen (te,t) – укреплять 2.1. Lesen Sie den Text und suchen Sie im Text die Absätze, in denen die Anfänge der Mathematik beschrieben sind. Schreiben Sie aus dem Text die Wörter, die die Notwendigkeit der Entstehung der Mathematik begrü nden (z.B. – das Bedü rfnis, das Ding, die Vorherrschaft u.s.w.) 2.2.Beantworten sie die Fragen, vergewissern Sie sich, dass Sie den Text richtig verstanden haben. Fertigen Sie dazu selbst ein Wortgeländer an. 1. Was brachte die natü rlichen Zahlen hervor? 2. Wodurch wurde der Mensch gezwungen, sich mit Zahlen zu befassen? 3. Welche Hochkultur verfü gte vor 5 000 Jahren ü ber Schriftzeichen und Zahlensymbole? 4. Was förderte die Herausbildung der Mathematik in anderen alten Kulturen? 5. Woraus kamen die typischen Fragestellungen der vorgriechischen Mathematik? 6. Wer ist der Begrü nder der griechischen Mathematik? 7. Was ist ein Höhepunkt der griechischen Mathematik? 2.3. Vergleichen Sie die Leistungen der Mathematik in der Antike und im Griechenland. Fü llen sie die Tabelle aus, indem Sie sich auf den Text stü tzen. In der Antike • das Zählen der Dinge • die Bestimmung von Ordnungen • das Sixagesimalsystem benutzen • die Bruchrechnung verwenden • die Flächeninhalte berechnen • ... • ... In Griechenland • Die Einfü hrung der abstrakten Mathematik • Die logische Struktur der Definitionen • Das Verhältnis der Diagonalen und Seiten • Die rationalen Zahlen • Die axiomatische Methode • ...

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• ... 2.4. Entscheiden Sie sich fü r eine der folgenden Aufgaben. a) Referieren Sie mit Hilfe der ausgefü llten Tabelle in 2,3 ü ber die Leistungen der Mathematik in der Antike oder im Griechenland. b) Schreiben Sie einen Bericht von der Entwicklung der Mathematik, in dem Sie sich auf die Tabelle stü tzen. 2.5. Was meinen Sie, welche Etape der Entwicklung der mathematischen Wissenschaft die wichtigste und die produktivste ist? Bestätigen Sie ihre Meinung mit den folgenden Vokabeln: dienen, beweisen, stammen, zählen, zwingen, lösen, fördern, leisten, bestimmen, grü nden, bezeichnen, fü hren, bilden, erweitern. Nennen Sie die Grundformen dieser Verben. 2.6. Schreiben Sie Antonyme zu den Vokabeln: -richtig - ... –viel - ... -endlich - ... – bekannt -... -frü h - ... – linear - ... -alt -... – regelmäßig -... -kompliziert -... – groß -... -abstrakt -... –richtig -... Nennen Sie drei Komparationsstufen dieser Wörter. 2.7. Welchen Geschlechts sind die Substantive: Zusammenhang, Begriff, Grenzwert, Verhältnis, Entwicklung, Primzahl, Höhepunkt, Unendlichkeit, Vorbild, Diagonale, Lehrsatz, Entdeckung, Beweis, Rauminhalt, Wert, Methode, Wissenschaft, Schrift, Vorstellung, Gesetzmäßigkeit, Definition, Körper, Ding, Struktur, Altertum. 2.8. Diskutieren Sie zum Thema: Die Entwicklungsetappen der Mathematik. Gebrauchen Sie dabei: • Ich meine, finde, glaube, denke, dass... • Ich bin der Meinung, der Ansicht, der Überzeugung, dass... • Daraus folgt, dass... • Wir können mit Recht sagen, dass... • Sie haben Recht, wenn Sie sagen... • Einerseits ... , andererseits ... 2.9. Betiteln Sie die Absätze des Textes. Verallgemeinern Sie die Ergebnisse ihrer Besprechung schriftlich.

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2.10. Referieren Sie zu folgenden Themen: a) Die Entstehung der Mathematik in den alten Kulturen ( Ä gypten, Babilonien, Mesopotamien, Indien, China). b) Der Beitrag der griechischen Wissenschaft in die Entwicklung der Mathematik. c) Die größten mathematischen Leistungen und Entdeckungen des Altertums. d) Schlagen Sie eigene Themen zum Besprechen der Entwicklungsetappen der mathematischen Lehre.

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3.TEXT DIE INDISCHE UND ARABISCHE MATHEMATIK UND WEITERENTWICKLUNG DER MATHEMATIK Nach dem Zusammenbruch des Weströmischen Reiches folgte eine Jahrhunderte lange Periode in Europa, in der antikes Wissen weitgehend verschü ttet war, vieles wurde später mü hevoll wiederentdeckt oder von anderen Kulturen, namentlich den Arabien ü bernommen. In dieser Zeit wirkten im arabischen Raum viele Gelehrte, die an antike Kenntnisse anknü pfen, so kamen die sogenannten Ziffern, eigentlich indische Ziffern, nach Europa. Im Gegensatz zur griechischen Mathematik entwickelte sich die indische Mathematik mehr auf dem numerischen und algebraischen Bereich. Von herausragender Bedeutung war die Entwicklung eines Zahlensystems, das auch die Null enthielt. Grundlage war das Dezimalsystem. Die indischen Gelehrten beschäftigten sich sowohl mit mathematischen Problemen als auch mit Sachverhalten aus der Astronomie. Sie berechneten die Kreiszahl Pi auf vier Stellen hinter dem Komma, fü hrten die Sinusfunktion in die Astronomie ein, arbeiteten mit negativen Zahlen und fü hrten die kanonische Form fü r quadratische Gleichungen ein.Von den Indern wurden bedeutende Leistungen in die Zahlentheorie, die Algebra und die Analysis gebracht. Viele Schriften der indischen Mathematik und Astronomie waren in der arabischen Welt bekannt. Einige von ihnen wurden ins Arabische oder auch ins Persische ü bersetzt. Die arabischen und persischen Gelehrten bauten auf den Erkenntnissen der Inder auf und entwickelten diese Sachverhalte weiter. Ungefähr um das Jahr 900 begannen die arabischen Gelehrten mit der Weiterentwicklung. Diese Mathematiker erweiterten das dezimale Positionensystem von der Arithmetik ganzer Zahlen um die Dezimalbrü che. Auf dem Gebiet der Algebra brachten sie bedeutende Erweiterungen. Arabische Geometer setzten die Untersuchungen des Archimedes ü ber Flächen und Volumina fort. Sie verwendeten die Theorie der Kegelschnitte zum Lösen von Problemen aus der Optik. Die Methode des Quadrat- und Kubikwurzelziehens der Hindus wurde auf vierte, fü nfte und höhere Wurzeln verallgemeinert. Die Ansätze der ebenen und sphärischen Trigonometrie wurden weiter entwickelt. Die Mathematik war eine der Wissenschaftszweige, der mit großem Erfolg gefördert wurde. Beispielsweise ü bernahm der Westen vom 13. Jahrhundert an das Dezimalsystem. Auch die Algebra verdankt ihren Namen den islaminischen Mathematikern: ursprü nglich bezeichnete das Wort Algebra eine von ihnen entwickelte Methode zur Umformung und Lösung von Gleichungen. Fü r die Bedü rfnisse der Praxis erfanden und verfeinerten sie diverse arithmetische und geometrische Verfahren, um Oberflächen, Rauminhalte und Entfernungen zu berechnen. Mit dem Italiener Fibonacci (1180 – 1250) beginnt die Wiederbelebung der abendländichen Mathematik. Er rechnete mit arabischen Ziffern, leistete Beiträge zu Algebra und Zahlentheorie und verbreitete die islamische und indische Mathematik in Europa. Nun treten wieder mehr Mathematiker und Gelehrte des späten Mittelalters und Renaissanse auf, wie Regiomontanus, Leonardo da Vinci, Copernicus, Adam Ries, Vieta. Adam Ries, der sächsische Rechenmeister, ist zur

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Verbreitung des Rechnens mit dem Abakus sowie des schriftlichen Rechnens mit arabischen Zahlen in Deutschland zu nennen. Der erste wesentliche Schritt ü ber das mathematische Wissen der Antike hinaus wurde 1545 von Jeronimo Cardano mit seiner Methode zur Lösung von algebraischen Gleichungen 3. und 4. Grades getan. Diese Methode lenkte die Aufmerksamkeit von Mathematikern auf komplexe Zahlen und regte eine Suche nach Lösungen von Gleichungen höheren Grades an. Diese Suche fü hrte wiederum Ende des 18. Jahrhunderts zum ersten Werk ü ber Gruppentheorie und Anfang des 19. Jahrhunderts zu der Theorie des französischen Mathematikers Evariste Galois. Um 1550 verwendet Rafael Bombielli systematisch schon komplexe Zahlen. In der Folge drängt die Entwicklung der Mathematik, insbesondere der Analysis, zur Meisterung von Grenzwerten und unendlich kleinen Größen. Mit der an Archimedes angeknü pfte Methode waren die krummlinig begrenzten Flächen berechnet. Die Entwicklung der Seeschiffahrt, Astronomie, Mechanik usw. trugen der Entwicklung der Mathematik bei. Das 16. Jahrhundert erlebte die Anfänge moderner algebraischer und mathematischer Symbole, sowie die weitere Entwicklung der Lösungen der Gleichungen. Namen dieser Zeit sind: Galilei, Kepler, Descartes, Fermat, Pascal. Das Werk von Rene Descartes, z.B. schuf eine Verbindung zwischen der Geometrie und Algebra, indem es zeigte, wie man Methoden der einen Disziplin auf die andere anwenden kann. WÖ RTERLISTE -der Zusammenbruch (e) - круш ение -das Reich (e) – государств о, им перия -verschü tten (te,t) – потрясти -ü bernehmen (a,o) – переним ать - der Gelehrte (en) – учёны й - anknü pfen (te,t) - св язы в ать - der Gegensatz (e) – против ополож ность - der Bereich (e) – область -enthalten (ie,a) – содерж ать -die Grundlage (en) – основ а -sich beschäftigen mit Dat (te,t) – з аним аться чем -либо -der Sachverhalt (e) – содерж ание -das Komma (en) – з апятая -dezimal – десятичны й - einfü hren (te,t) – в в одить -die Leistung (en) – достиж ение, успех - die Schrift (en) – труд, работа - ungefähr – приблиз ительно -erweitern (te,t) – расш ирять -bringen (brachte, gebracht) – приносить - der Dezimalbruch (e) – десятичная дробь -die Untersuchung (en) – исследов ание - fortsetzen (te,t) – продолж ать -die Fläche (en) – площ адь

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-der Regelschnitt (e) – сечение - das Wurzelziehen – из в лечение корня - die Wurzel – корень - verallgemeinern (te,t) – обобщ ать - eben – плоский - der Zweig (e) – в етв ь, область -der Erfolg (e) – успех - unternehmen (a,o) – предприним атель -Dat. verdanken (te,t) – бы тьобяз анны м чем -либо -ursprü nglich – из начально -die Umformung (en) – преобраз ов ание -die Gleichung (en) – урав нение -die Lösung (en) – реш ение -verfeinern (te,t) – оттачив ать -divers – раз ны й, раз личны й - das Verfahren – м етод -die Entfernung (en) – расстояние, удаление -die Wiederbelebung (en) – в оскреш ение -abendländisch – з ападны й -den Beitrag leisten (te,t) – в носитьв клад -verbreitern (te,t) – распространять -auftreten (a,e) – в ы ступать -sächsisch – саксонский -der Grad (e) – степень -die Aufmerksamkeit (en) – в ним ание -lenken(te,t) – направ лять -die Suche – поиск -anregen (te,t) – побуж дать -verwenden (te,t) – прим енять -zu Dat. drängen (te,t) – торопить -die Meisterung (en) – осв оение, ов ладение -der Grenzwert (e) – предел -krummlinig – крив олинейны й -begrenzen (te,t) – ограничив ать -die Seeschiffahrt (e) – судоходств о -Dat. beitragen (u,a) – способств ов атьчем у-то -der Name (en) – им я -die Verbindung (en) – св яз ь -anwenden (wandte an, angewandt) – использ ов ать 3.1. Lesen Sie den Text aufmerksam. Schreiben Sie die Wörter daraus, die auf die Entwicklungsmöglichkeiten der arabischen Mathematik hinweisen. 3.2. Belegen Sie ihre Antwort mit passenden Textstellen. a) Von wem wurde die arabische Mathematik ü bernommen?

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b) Womit beschäftigten sich die indischen Gelehrten? c) Wessen Untersuchungen wurden von den arabischen Geometern fortgesetzt? d) Welche Entdeckungen der Araber haben fü r die Weiterentwicklung besonders große Bedeutung? e) Wessen Namen sind in diesem Zusammenhang zu nennen? 3.3. Welches Wort passt in alle Kontexte? Setzen Sie es in der richtigen Form ein: 1. Antikes Wissen wurde von den anderen Kulturen mü hevoll ... . 2. Die indischen Gelehrten ... mit negativen Zahlen. 3. Viele Schriften der indischen Mathematik wurden in der arabischen Welt ... . 4. Auf dem Gebiet der Algebra brachten die Araber bedeutende ... . 5. Der Italiener Fibonassi ... die islamische und indische Mathematik in Europa. 6. Um 1550 ... Rafael Bombielli systematisch komplexe Zahlen. 7. Das 16. Jahrhundert ... weitere Entwicklung der Lösungen der Gleichungen. 3.4. Bilden Sie von den Substantiven Adjektive mit Hilfe von Suffixen. Es können mehrere Varianten sein. die Methode die Algebra der Durchschnitt das Ende die Geometrie das Symbol das Lösen das Wesen die Theorie das Messen der Name die Verantwortung der Erfolg das Quadrat das Abendland der Ursprung 3.5. Welchen Geschlechts sind die Substantive? Zusammenbruch, Gegensatz, Komma, Gleichung, Leistung, Sachverhalt, Fläche, Dezimalsystem, Beitrag, Grad, Zahl, Anfang, Entwicklung, Folge, Grenzwert, Lösung, Verbindung. 3.6. Kombinieren Sie die Verben und Substantive richtig. Nennen Sie Grundformen dieser Verben: die Untersuchung leisten den Beitrag entwickeln die Kreiszahl fortsetzen das Positionssystem berechnen die Methode des Kubikziehens verallgemeinern den wesentlichen Schritt ü bernehmen die Suche tun die Aufmerksamkeit verwenden die komplexen Zahlen

lenken

3.7.Sehen Sie den Text noch einmal durch und schreiben Sie daraus alle Substantive heraus. Überlegen Sie sich: a) Wie sind Sie gebildet? b) Wie bestimmt man ihr grammatisches Geschlecht?

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3.8. Besprechen Sie die Entwicklungsstufen der Mathematik in den im Text erwähnten Kulturen des Altertums und im Mittelalter mit ihren Gesprächspartnern. Gebrauchen Sie dabei die Schlü sselwörter und Redewendungen, die ihre Meinung bestätigen können. Zum Beispiel: die arabische Mathematik – (das dezimale Positionssystem, die Untersuchungen ü ber Flächen und Volumina, die Theorie der Kegelschnitte, die Verallgemeinerung des Wurzelziehens auf vierte, fü nfte und höhere Wurzeln, der Dezimalbruch, die Lösung von Gleichungen und so weiter). 3.9. Entscheiden Sie sich fü r die produktivste Entwicklungsstufe der mathematischen Lehre. Schreiben Sie einen kurzen Bericht darü ber. Sagen Sie anschließend, welche Mathematiker besonders großen Beitrag fü r die Entwicklung geleistet haben. 3.10. Wie benennen Sie verschiedene Perioden der mathematischen Entwicklung? Referieren Sie darü ber auf Deutsch. 4. TEXT DIE NEUZEITLICHE MATHEMATIK Als Schöpfer der neuzeitlichen Mathematik gilt Isaac Newton (1643 – 1723). Während des 17. Jahrhunderts wurden in der Mathematik die großen Erfolge erzielt. Das Jahrhundert begann mit der Entdeckung von Logarithmen durch den schottischen Mathematiker John Napier. Zu den herausragenden mathematischen Ergebnissen des 17. Jahrhunderts zählt ohne Zweifel Newtons Erfindung des Infinitesimalrechnung. Seine Arbeiten wurden aber erst 1736 veröffentlicht. In den Publikationen 1684 und 1686 veröffentlichte der deutsche Philosoph und Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz analoge Abhandlungen der Infinitesimalrechnung. Die beiden Gelehrten fü hrten einen erbitterten Streit, wer von ihnen als erster die Differenzial- und Integralrechnung entwickelte. Von Newton stammt der Ableitungspunkt, der heute vielfach in den physikalischen Anwendungen benutzt wird, von Leibniz stammt die Schreibweise der Differenziale. Beide verfü gten jedoch nicht ü ber einen exakten Grenzwertbegriff und operierten mit unendlich kleinen Größen. Heute steht fest, dass beide unabhängig voneinander zu dieser Entdeckung gelangten. Die Analysis dieser Zeit ist eng mit mechanischen Fragestellungen, z.B. nach der Augenblicksgeschwindigkeit verbunden. In heutigen Darlegungen der Analysis ist dieser Bewegungsstandpunkt aus den exakten Formulierungen verschwunden und dient nur nach der Motivation. So definieren wir heute den Grenzwert als etwas Statisches . Neue Möglichkeiten wurden ausprobiert und weiterentwickelt, es entstehen die klassischen Variationsrechnungen, die Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen und Differenzialgeometrie während des 17. Jahrhunderts gab es zwei wichtige Entwicklungen in der reinen Geometrie. Die erste steht im Werk von Descartes aus dem Jahr 1637. Hier berichtet Descartes ü ber die Entdeckung der analytischen Geometrie. Er zeigte, wie man die Algebra fü r Untersuchung der Geometrie von Kurven verwenden konnte. Fermat machte zwar dieselbe Entdeckung, aber er veröffentlichte sie nicht. Die zweite Entdeckung ist die

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Publikation des französischen Technikers Gerard desargues seiner Entdeckung der projektiven Geometrie im Jahr 1639. Ein weiterer wichtiger Schritt in der Mathematik des 17. Jahrhunderts war der Beginn der Ausarbeitung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Ausgangspunkt dieser Theorie fand sich in der Korrespondents zwischen dem französischen Mathematiker Paskol und Fermat ü ber ein Problem beim Spiel wieder. Das inspirierte die weiteren Abhandlungen ü ber die Wahrscheinlichkeiten in Wü rfelspielen. Im 18. Jahrhundert wurde die Analysis zur beherrschenden Wissenschaft der Zeit, sie verband sich eng mit Mechanik und Astronomie und hatte viele unmittelbare Anwendungen. Die Welt schien berechenbar. Es gab sogar Versuche, Ergebnisse der Mathematik in die Philosophie zu ü bernehmen. Leonard Euler (1707- 1783) gilt als produktivste Mathematiker aller Zeiten, seine Werke umfassen 72 Bände. Euler lieferte sowohl grundlegende Beiträge zur Analysis und allen anderen Zweigen der Mathematik als auch zu den Anwendungen der Mathematik. Er schrieb Lehrbü cher ü ber die Differential-und Integralrechnung, ü ber Mechanik und ü ber Algebra. Euler prägte die Mathematik des 18. Jahrhunderts in entscheidendem Maße. Seine Hauptarbeit richtet sich auf die Analysis. Euler stellte den Begriff der Funktion mehr in den Mittelpunkt und untersuchte die trigonometrische Funktion und die Exponentialfunktion. Dabei erkannte er die grundlegenden Zusammenhänge zwischen diesen. Damit schuf Euler die Basis fü r eine allgemeine Funktionstheorie. Im 18. Jahrhundert wurden auch neue Gebiete der Mathematik entdeckt. Johann und Jakob Beinalli fü hrten die Variationsrechnung ein und der französische Mathematiker Jaspard Monye die Differentialgeometrie. Ebenso in Frankreich verfasste Joseph Louis Logrange in seiner großen Analytischen Mathematik eine rein analytische Untersuchung der Mechanik. 1788 stellte er die berü hmten Gleichungen fü r ein dynamisches System auf. Er lieferte Beiträge zur Zahlungstheorie und zur Variationsrechnung. Sein Zeitgenosse Laplace schrieb die Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten (1812) und die klassische Himmelsmechanik. Anfang des 19. Jahrhunderts fand der französische Mathematiker Augustin Louis Chauchy einen logisch befriedigenden Zugang zur Analysis. Julius W.R.Dedehind lieferte die Definition der reellen Zahlen mit Hilfe von rationalen Zahlen. Zur gleichen Zeit brachten die deutschen Mathematiker Georg Cantor und Karl Weierstraß weitere Definitionen. Mathematiker des 19. Jahrhunderts festigten die Grundlagen der Analysis und machten auch große Fortschritte auf diesem Gebiet. Carl Friedrich Gauß lieferte eine befriedigende Erklärung der komplexen Zahlen. Diese Zahlen ergaben ein ganz neues Gebiet der Analysis: die Funktionentheorie. Sie wurde in den Arbeiten von Cauchy, Weierstraß und dem deutschen Mathematiker Riemann entwickelt. G.Cantor untersuchte unendliche Mengen und Arithmetik der unendlichen Zahlen. Cantors Lehre bildet nun einen Teil der Grundlagen der Mathematik. Eine weitere Entdeckung des 19. Jahrhunderts war die nichteuklidische Geometrie. In der nichteuklidischen Geometrie können mehr Parallelen als nur eine zu einer gegebenen Gerade durch einen festen Punkt außerhalb der Geraden gezogen werden. Unabhängig voneinander erhielten der russische Mathematiker Nikolaj

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Lobatschewskij und der Ungar Janos Bolyai dieselben Ergebnisse. Nichteuklidische Geometrien wurden von Riemann bei seiner Einfü hrung der Mannigfaltigkeiten in einem sehr allgemeinen Zusammenhang untersucht. Sie haben auch seit Einsteins Arbeiten im 20. Jahrhundert in der Physik Anwendung gefunden. WÖ RTERLISTE der Schöpfer – соз датель große Erfolge erzielen (te,t) – добив аться успехов herausragen (te,t) – в ы деляться das Ergebnis (se) – рез ультат, итог ohne Zweifel – безсом нения die Infinitesimalrechnung (en) – исчисление бесконечно м алы х veröffentlichen (te,t) – публиков ать die Abhandlung (en) – труд, работа der Streit (e) – спор von Dat. stammen (te,t) – происходитьоткого-либо die Ableitung (en) – произ в одная в еличина benutzen (te,t) – прим енять die Schreibweise (en) – способ написания ü ber Akk. verfü gen (te,t) – располагать, в ладеть der Grenzwert (e) – предел zu Dat. gelangen (te,t) – добраться, дойти der Augenblick (e) – в з гляд die Geschwindigkeit (en) – скорость die Darlegung (en) – из лож ение der Standpunkt (e) – точка з рения, поз иция die Bewegung (en) – дв иж ение verschwinden (a,u) – исчез ать Dat. dienen (te,t) – служ итьчем у-либо die Möglichkeit (en) – в оз м ож ность berichten (te,t) – сообщ ать der Beginn – начало die Wahrscheinlichkeitstheorie (en) – теория в ероятности der Ausgangspunkt (e) – исходная точка inspirieren (te,t)- в дохнов лять der Wü rfel – кубик das Wü rfelspiel – игра в кости beherrschen (te,t) – господств ов ать, в ладеть sich verbinden (a,u) – св яз ы в аться unmittelbar – непосредств енно berechenbar – исчислим ы й der Versuch (e) – попы тка umfassen (te,t) – охв аты в ать, в клю чатьв себя der Band (e) – том , книга den Beitrag liefern (te, t) – в носитьв клад der Zweig – отрасль, область

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prägen (te,t) – соз дав ать sich auf Akk. richten (te,t) – обращ аться кчем у-либо der Mittelpunkt (e) – центр erkennen (erkannte, erkannt) – откры в ать, уз нав ать der Zusammenhang (e) – св яз ь einfü hren (te,t) – в в одить verfassen (te,t) – соз дав ать die Himmelmechanik – м еханика, дв иж ение небесны х тел der Zugang (e) – подход festigen (te,t) – укреплять mit Hilfe – с пом ощ ью die Erklärung (en) – объ яснение bilden (te,t) – состав лять, образ ов ы в ать außerhalb – в не eine Gerade ziehen (o,o) – пров одитьпрям ую erhalten (ie,a) – получать das Ergebnis (e) – рез ультат die Mannigfaltigkeit (en) – раз нообраз ие die Anwendung finden (a,u) – находитьприм енение allgemein – общ ий 4.1. Lesen Sie den Text durch. Arbeiten Sie am Text in Schritten: a) Bestimmen Sie die Zeit der Handlung. b) Nennen Sie die Hauptleistungen der Mathematik, die im Text erwähnt sind. c) Finden Sie die ungewöhnlichen Vokabeln im Text, schlagen Sie ihre Bedeutung im Wörterbuch nach, und erklären Sie diese Bedeutung. d) Finden Sie im Text die Stellen, wo darü ber berichtet wird, wer die Entwicklung der Mathematik im 18. Jahrhundert geprägt hat. Gebrauchen Sie dabei die Wortgruppen aus c). 4.2. Lesen Sie den Text nochmals und betiteln Sie die Hauptentwicklungsperioden in der neuzeitlichen Mathematik. 4.3. Schreiben Sie aus dem Text alle zusammengesetzten Substantive und ü berlegen Sie sich: Wie entziffert man ihre Bedeutung (vom Grundwort zum Bestimmungswort oder umgekehrt)? 4.4. Leiten Sie von den Verben Substantive ab. Notieren Sie diese mit dem bestimmten Artikel: zählen veröffentlichen fü hren einfü hren darlegen

entwickeln rechnen berichten grü nden erklären

bilden liefern ziehen erfinden verfassen

4.5. Nennen Sie die Grundformen der oben gegebenen Verben und fü hren Sie Beispiele mit diesen Verben an. Stü tzen Sie sich auf den Text dabei:

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4.6. Vergleichen Sie die Lage der Dinge in der Entwicklung der Mathematik im 18. und im 19. Jahrhundert. Lassen Sie sich vom Inhalt des Textes leiten. Gebrauchen Sie dabei die Schlü sselwörter! 18.Jahrhundert 19.Jahrhundert die herrschende Wissenschaft die Definition der reelen Zahlen den Beitrag zur Analysis liefern die komplexen Zahlen die Differential- und Integralrechnung die Mengenlehre der Begriff der Funktion die Funktionentheorie die Basis der allgemeinen Funktionstheorie die nichteuklidische Geometrie die Variationsrechnung praktische Anwendung die analytische Mechanik unabhängig voneinander die Wahrscheinlichkeitstheorie die unendlichen Zahlen 4.7.Welche Namen der Gelehrten sind im Zusammenhang mit den Fortschritten der Mathematik zu nennen? Wählen Sie den Wissenschaftler, von dessen Leistungen Sie besonders begeistert sind und kommentieren Sie ihre Stellungsnahme. Schreiben Sie einen kurzen Vortrag ü ber diese Gelehrten. Notieren Sie ihre Meinung in den Sätzen: 1. Ich finde (meine, glaube, denke), dass ... . 2. Ich bin der Meinung (Ansicht), dass ... . 3. Meiner Meinung (Ansicht) nach ... . 4. Ich habe den Eindruck (das Gefü hl), dass .. . 5. Man könnte (beinahe) meinen (glauben, annehmen),dass ... . 4.8. Verteidigen Sie ihre Auffassung in dem Gespräch mit ihren Kommilitonen. 4.9. Wählen Sie eine der unten angefü hrten Themen und referieren Sie darü ber, sich auf den Text stü tzend: 1. 2. 3. 4.

Die Entwicklung der Mathematik im 17. Jahrhundert. Die Entwicklungsetappen der Analysis. Die Bedeutung des 18. Jahrhunderts in der Mathematikgeschichte. Die Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie als eine Wende in der Mathematik. 5. Die neuzeitlichen Leistungen in der Entwicklung der mathematischen Lehre. 6. Die produktivsten Mathematiker aller Zeiten. 4.10. Schlagen Sie die weiteren Themen zum Referieren vor! TEXT ZUM ÜBERSETZEN Übersetzen Sie den Text mit Hilfe des Wörterbuches. Schreiben Sie die Schlü sselwörter zum Thema „Die begrenzte Unendlichkeit der natü rlichen Zahlen“ Das System der Darstellung der natürlichen Zahlen Gegenstand der Einfü hrung (des ungekü rzten, unter Complete Thesis abgespeicherten Textes) ist zunächst das Verfahren der sukzessiven Erweiterung der Menge der natü rlichen Zahlen ü ber die Menge der ganzen sowie rationalen Zahlen zur Menge

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der reellen Zahlen. Das ist dasjenige Verfahren wie es der mathematischen Biographie bzw. – wenn man so will – Evolution eines jeden Menschen auch zugrunde liegt. Herausgestellt wird dabei von Anfang an, dass solche Zahlbereichserweiterungen natü rlich immer auch eine Materialfrage sind. Was unendliche Mengen anbelangt – und es handelt sich bei allen diesen Zahlbereichserweiterungen allesamt auch um unendliche Mengen – so sind solche Erweiterungen darü ber hinaus immer auch eine Verfahrens- und mithin auch Darstellungsfrage. Unendliche Mengen lassen sich nicht vollständig Element fü r Element aufzählen. Wie mit Zahlen gerechnet wird, ist immer auch eine Frage der Darstellung dieser Zahlen. Gerechnet wird immer im Medium bzw. im System der Darstellung von Zahlen. Es bedarf dann einfach eines Regelwerks fü r die Darstellung so einer Menge ausgehend von einer endlichen Menge an Zahlenmaterial. Es kann dann nicht das ganz eigene Zeichen fü r jede eigene natü rliche Zahl geben. Und feststeht natü rlich auch, dass Zahlen einer Darstellung bedü rfen, soll mit Zahlen auch umgegangen werden (können). Darstellung ist Zahlen insofern wesentlich. Zahlen teilen sich uns ü ber ihre Darstellung mit. Fü r den operativen Umgang mit Zahlen ist deren Darstellung konstitutiv. Um so merkwü rdiger ist es, wenn in Philosophie aber auch Mathematik von Fragen der Zahldarstellung abstrahiert wird. Auch die ganze Grundlagenproblematik der Mathematik zeigt sich von Darstellungsfragen von Zahlen völlig unberü hrt. Es wird dabei so getan als ob die Verfassung von Mathematik auch eine Frage der Festlegung des Regelwerks – Axiomensystems – sein könnte, das man dieser Mathematik zugrunde liegt. Insbesondere in der philosophischen Logik wird das so gesehen und praktiziert. Dieser Auffassung gegenü ber versteht sich die vorgelegte Arbeit auch als Existenzund Eindeutigkeitsbeweis der Mathematik, ganz so wie solche Beweise in der mathematischen Praxis immer wieder auch zu fü hren sind, sobald irgendwelchen neuen Objekte definiert werden. Den experimentellen Wissenschaften gegenü ber maßt man sich schließlich so etwas auch nicht an. Dort ist es die Natur an sich und als solche, die fü r Existenz und Eindeutigkeit in gleicher Weise bü rgt. Die experimentellen Wissenschaften finden in der Natur einen unverrü ckbaren Bezugspunkt vor, auf den man sich in allem bezogen weiß und der alles an Gestaltungsmöglichkeiten in der Entwicklung dieser Wissenschaften ü berlagert. Diese Natur ist einfach ein Fixpunkt fü r alle diese Wissenschaften von der Natur. Über alle Veränderungen in der Natur hinweg bleibt sich Natur immer gleich. Das schließt nicht aus, dass es in der Natur nichts geben könne, was nicht auch einer möglichen Veränderung unterworfen ist. Inzwischen wird ja auch darü ber diskutiert, dass bzw. wie sich die Naturkonstanten im Laufe der Zeit verändert haben könnten. Also auch diese Naturkonstanten mü ssen nicht immer auch von ein und demselben Wert gewesen sein.

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Das in einem Gutachten so ü beraus inkriminierte Zitat gewinnt von daher eine hohe Aktualität. Es sollte damit gesagt sein, dass auch solche Veränderungen Natur gleichwohl immer auch nur Natur sein lassen. Auch diese Veränderungen vollziehen sich in Raum und Zeit sowie entsprechend den Gesetzmäßigkeiten von Natur. Auch die Natur als Ganze unterliegt insofern einem Zeitindex, wenn dieser Zeitindex bzw. diese Zeitbezogenheit auch anderer Natur ist als wir sie bei natuwissenschaftlichen Theorien und Hypothesen haben. Jede solche Theorie bzw. Hypothese ist zwangsläufig Konstruktion und Abstraktion und als solche unsicher, was die daraus abzuleitende Prognosefähigkeit hinsichtlich des konkreten Verhaltens von Natur anbelangt. Es ist der schlichte und einfache Zeitablauf, der sichere Prognosen ausschließt. Das wird sich auch nie sicher prognostizieren lassen, einfach weil so etwas die Aufhebung des Zeitablaufes zur Voraussetzung hätte. Was noch nicht ist, steht grundsätzlich unter dem Vorbehalt ihrer möglichen Verwirklichung. Dieser Verwirklichung kann man sich dann solange nicht sicher sein, solange es auch nicht verwirklicht ist. In diesem Kontext wird auch die Mathematik eingeordnet. Es wird gezeigt, dass in der philosophischen Logik und zum Teil auch in der Mathematik selbst zu Unrecht ein größerer Gestaltungsspielraum, was insbesondere die stoffliche Basis dieser Disziplin anbelangt, reklamiert wird. „Die reellen Zahlen sind der Stoff, aus dem die Mathematik ist.“Mit diesem Satz setzt meine Arbeit ein. Diese reellen Zahlen sind fü r die Mathematik das, was die Natur fü r die experimentellen Wissenschaften ist. „ In diesem Sinne auch ist die Mathematik eine nicht weniger positive Wissenschaft als die experimentellen Wissenschaften auch“. In der Mathematik weiß man schließlich auch um die Eindeutigkeit dieser reellen Zahlen. Es gibt diese Zahlen so nur ein einziges Mal. Die Begrü ndung der Mathematik ist Begrü ndung der reellen Zahlen. Jedes Analysislehrbuch setzt auch mit einer axiomatischen Begrü ndung dieser Zahlen ein. Das entspricht so natü rlich nicht der mathematischen Biographie eines Menschen. Die Entwicklung des mathematischen Denkens eines Menschen beginnt mit einer ersten Reihe von natü rlichen Zahlen. Mit der einleitenden axiomatischen Begrü ndung der reellen Zahlen wird allerdings nur etwas zusammengefasst, was dann – implizite zumindest – Etappe fü r Etappe nachzuholen ist, genauso wie sich das in der mathematischen Biographie eines Menschen abspielt.

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Сп и с ок л и т ерат уры О снов ная литература 1.

Dirk J.Struik. Abriss der Geschichte der Mathematik./Dirk J.Struik. – Berlin.:Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1965.- 238 с.

Д ополнительная литература 1. http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_babylonier.htm 2. http:www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_anfaenge.htm 3. http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_aegypter.htm 4.http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_griechen.htm 5. http:/www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_araber.htm 6. http:/www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte_neuzeit.htm

С остав ители: Бенедиктов а Л ю дм ила В асильев на Т рухина С в етлана Александров на Редактор: Бунина Т ам ара Д м итриев на

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