Подалгебры Бореля супералгебр Шура

Алгебра и логика, 44, № 3 (2005), 305—334

УДК 512.552.22

ПОДАЛГЕБРЫ БОРЕЛЯ СУПЕРАЛГЕБР ШУРА А. Н. ЗУБКОВ Введение Классические алгебры Шура появились в работах [1, 2]. К сожалению, и концепция алгебры Шура, и связанные с ней другие оригинальные идеи работы [1] оставались в забвении почти полвека. Лишь в начале 80-х, благодаря книге [3], алгебры Шура получили второе рождение, в том числе и в контексте других теорий. Обобщённые алгебры Шура произвольной редуктивной группы, соответствующие насыщенным множествам весов [4], квантовые алгебры Шура (см. [5, 6]) и, наконец, супералгебры Шура (см. [7]) — вот далеко не полный перечень объектов, имеющих самые тесные отношения с классическими алгебрами Шура. В теории представлений редуктивных групп важную роль играют подгруппы Бореля. Пусть G — редуктивная группа, определённая над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики, B — её подгруппа Бореля, V — произвольный простой G-модуль. Тогда V содержит единственный одномерный B-подмодуль, чей вес по действию максимального тора T из B является самым большим относительно частичного порядка Брюа–Титса. Этот вес, называемый старшим, однозначно определяет модуль V . Параллельно теоретико групповому подходу можно определить подалгебры Бореля как в классических алгебрах Шура, так и во всех их обобщениях, перечисленных выше. При этом, как и в случае алгебраических групп, теории представлений алгебры Шура S и её подалгебры Бореля B оказываются связаны посредством функторов индуцирования и коиндуцирования. Более точно, из любого одномерного c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

306

А. Н. Зубков

B-модуля Kλ веса λ можно построить два новых S-модуля — индуцированный IndSB Kλ = HomB (S, Kλ ) и коиндуцированный CoindSB Kλ = S ⊗B Kλ . Простой S-модуль, соответствующий весу λ, оказывается цоколем индуцированного модуля IndSB Kλ и фактором по радикалу коиндуцированного модуля CoindSB Kλ . В теории представлений конечномерных алгебр давно известны понятия стандартного и костандартного модуля. Если L(λ), λ ∈ Λ, — это все простые (попарно неизоморфные) модули над конечномерной алгеброй A, индексированные элементами (весами) некоторого частично упорядоченного множества Λ, то стандартным модулем △(λ), соответствующим весу λ, называется наибольший фактор проективного накрывающего P (λ) модуля L(λ) такой, что все секции композиционного ряда △(λ) индексированы весами µ ≤ λ. Аналогично, костандартный модуль ▽(λ) определяется как наибольший подмодуль инъективной оболочки I(λ) модуля L(λ) такой, что все его композиционные факторы индексированы весами µ ≤ λ. В [8, 9] введено фундаментальное понятие квазинаследственной алгебры. При тех же исходных данных, что и выше, алгебра A называется квазинаследственной, если ядра естественных эпиморфизов P (λ) → △(λ) имеют фильтрации с факторами △(µ), µ > λ. Это эквивалентно тому, что коядра I(λ)/ ▽ (λ) имеют фильтрации с факторами ▽(µ), µ > λ. Важность этого понятия заключается в том, что произвольная категория со старшим весом (определения см. в [8]) эквивалентна категории конечномерных модулей над квазинаследственной алгеброй. Было показано, что как классические алгебры Шура, так и все их обобщения, за исключением супералгебр Шура, являются квазинаследственными [4–6, 8, 10]∗) . Что касается последних, то они квазинаследственны тогда и только тогда, когда полупросты [11]. Это справедливо, если характеристика основного поля нулевая, однако над полем ненулевой характеристики полупростота встречается редко. Более точно, супералгебра Шура S(r) = S(m|n, r) по∗)

Квантовые алгебры из [5] квазинаследственны при условии, что параметр q не

является корнем из единицы, либо одно из чисел ±q является корнем нечётной степени из единицы.

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

307

лупроста, если charK = 0, либо charK = p > 0 и p > r, иначе m = n = 1 и p не делит r. Во всех остальных случаях S(r) имеет бесконечную глобальную размерность. Несмотря на столь выраженную специфику супералгебр Шура, многие свойства классических алгебр Шура остаются в силе и для супералгебр. В предлагаемой работе показывается, что произвольная супералгебра Шура представима в виде произведения двух своих подалгебр Бореля, симметричных относительно её естественного антиизоморфизма (разложение Брюа–Титса). Отсюда вытекает, что произвольный простой модуль однозначно определяется своим старшим весом, а веса всех остальных строго меньше указанного веса относительно доминантного порядка. Более того, даётся точное описание множества старших весов в случае m > r, p > 0. Последний результат был недавно получен в [12], но при более сильных ограничениях m, n > r. Кроме того, приводимое здесь доказательство относительно элементарно и не опирается на теорию представлений симметрических групп. Отметим также, что для случая нулевой характеристики полное описание старших весов получено в [7, 13]. Далее показывается, что фундаментальная теорема Кемпфа, выполняющаяся для всех классических алгебр Шура, для супералгебр может быть верна лишь при условии их полупростоты. Однако, в силу квазинаследственности подалгебр Бореля, верна более слабая теорема Гротендика. Интересно, что для квантовых алгебр Шура теорема Кемпфа верна [14]. С другой стороны, индуцированные и коиндуцированные модули совпадают, соответственно, с костандартными и стандартными модулями, определёнными относительно того же доминантного порядка. С помощью результатов из [15] отсюда вытекает, что полная подкатегория всех △-фильтрованных (соответственно, ▽-фильтрованных) модулей замкнута относительно взятия прямых слагаемых и ядер (соответственно, коядер) эпиморфизмов. Имеет место двойственность стандартных и костандартных модулей относительно группы Ext1 , т. е. Ext1S(r) (△, ▽) = 0, однако уже относительно Ext2 это неверно.

308

А. Н. Зубков В последнем параграфе формулируется аналог теоремы Донкина–

Матье для супералгебр Шура и показывается, что он верен в простейшем неклассическом случае, т. е. для алгебр S(1|1, r). Это даёт основание надеяться, что аналогичный результат верен и в общем случае. Итак, супералгебры Шура над полями ненулевой характеристики оказались куда более сложными объектами, чем квантовые или обобщённые алгебры Шура. Как показано в [11], они в большинстве случаев не только не квазинаследственны, но и не клеточны и не стратифицируемы (точные определения см. в [16, 17]). Точнее, как и квазинаследственность, оба этих свойства эквивалентны полупростоте. Остаётся открытым вопрос о том, когда супералгебры Шура стратифицируемы в смысле [18]. Единственный полностью исследованный (неклассический) случай — это алгебра S(1|1, r). Как и выше, S(1|1, r) стратифицируема в смысле [18] тогда и только тогда, когда она полупроста [19]. Видимо, и в общем случае следует ожидать аналогичного ответа.

§ 1. Определения и вспомогательные результаты Везде далее K — алгебраически замкнутое поле характеристики p (возможно, p = 0). Если p > 0, то предполагается, что p 6= 2. Все пространства, алгебры и модули конечномерны, если не оговорено противное. Все необходимые сведения из теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр содержатся в [20], из теории коалгебр, биалгебр и алгебр Хопфа — в [21]. Супераналог произвольной алгебраической системы определяется введением Z2 -градуировки, относительно которой все структурные функции однородны. Например, супералгебра — это Z2 градуированное пространство такое, что чётность произведения двух Z2 однородных элементов равна сумме их чётностей по модулю 2. Более детальное изложение см. в [7, 12]. В настоящей статье сохраняются терминология и обозначения этих работ. Пусть V, W — суперпространства. Их тензорное произведение наделяется структурой суперпространства по правилу |v⊗w| = |v|+|w| (mod 2),

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

309

где прямыми скобками обозначена чётность соответствующего элемента. Итерируя эту процедуру, можно определить тензорное произведение любого числа суперпространств. В частности, тензорная алгебра T (V ) является бесконечномерной супералгеброй относительно обычного умножения тензоров. Обозначим через I и J суперидеалы в T (V ), порождённые элементами v ⊗ w − (−1)|v||w| w ⊗ v и v ⊗ w + (−1)|v||w| w ⊗ v, соответственно. Супералгебры S(V ) = T (V )/I и Λ(V ) = T (V )/J называются симметрической супералгеброй и внешней супералгеброй суперпространL t L t ства V . Имеют место разложения S(V ) = S (V ), Λ(V ) = Λ (V ), где t>0

t>0

t-компонента любой из этих супералгебр порождается t-компонентой T (V )

по модулю соответствующего идеала. Отметим, что супералгебры T (V ), S(V ), Λ(V ) будут одновременно и супербиалгебрами относительно коумножения, индуцированного морфизмом суперпространств V → T (V ) ⊗ T (V ) по правилу v → v ⊗ 1 + 1 ⊗ v, v ∈ V . Напомним: если V — суперпространство, то V ∗ наделяется суперL структурой V0∗ V1∗ . Пусть C — некоторая (супер)коалгебра и V — ле-

вый C-(супер)комодуль, тогда дуальное пространство B = C ∗ естествен-

ным образом наделяется структурой (супер)алгебры, а V — структурой P левого B-(супер)модуля по правилу xv = v1 x(a2 ), где x ∈ B, v ∈ V , P τV (v) = v1 ⊗ a2 и τV : V → V ⊗ C — структурный морфизм (су-

пер)комодуля V . Это соответствие отождествляет категории левых C(супер)комодулей и левых B-(супер)модулей [22]. То же самое верно для

правых и двусторонних (супер)комодулей. Пусть V, W — левые суперкомодули над суперкоалгебрами C и B, соответственно (возможно, все бесконечномерные). Тензорное произведение C ⊗ B наделяется структурой P суперкоалгебры по правилу δC⊗B (c ⊗ b) = (−1)|b1 ||c2 | (c1 ⊗ b1 ) ⊗ (c2 ⊗ b2 ), P P где δC (c) = c1 ⊗ c2 , δB (b) = b1 ⊗ b2 . Более того, суперпростран-

ство V ⊗ W является C ⊗ B-суперкомодулем относительно кодействия P P τV ⊗W (v ⊗ w) = (−1)|w1 ||c2 | (v1 ⊗ w1 ) ⊗ (c2 ⊗ b2 ), где τV (v) = v1 ⊗ c 2 , P τW (w) = w1 ⊗ b2 . Если φ : A → A′ — гомоморфизм суперкоалгебр, то

произвольный A-суперкомодуль V является и A′ -суперкомодулем относительно кодействия (idV ⊗ φ)τV . Если C — супербиалгебра, то отображение

310

А. Н. Зубков

m : C ⊗ C → C, индуцированное умножением, является гомоморфизмом суперкоалгебр. В частности, если V, W — левые C-суперкомодули, то определено диагональное кодействие (idV ⊗W ⊗ m)τV ⊗W супербиалгебры C на V ⊗ W. Обозначим через E = E(m|n) суперпространство с базисом e1 , . . . . . . , em , em+1 , . . . , em+n таким, что |ei | = 0, как только i 6 m, в противном случае |ei | = 1. Можно считать, что натуральным числам из промежутка m + n приписана чётность по тому же правилу, т. е. |i| = 0 тогда и только тогда, когда i ∈ m, в противном случае |i| = 1. Определим супералгебру A = A(m|n) при помощи порождающих cij и определяющих соотношений cij ckl − (−1)|cij ||ckl | ckl cij = 0, где |cij | = |i| + |j| (mod 2), 1 6 i, j, k, l 6 m + n. Легко понять, что A ∼ = S(E ⊗ E). Изоморфизм задаётся отождествлением ei ⊗ ej с cij , 1 6 i, j 6 m + n. Как и выше, A наделяется структурой супербиалгебры, но относительно другого коумножения, определённого на P cik ⊗ ckj . В частности, произпорождающих по правилу δ(cij ) = 16k6m+n

вольная компонента A(r) = A(m|n, r) ∼ = S r (E⊗E) является конечномерной суперкоалгеброй, а дуальное пространство A(r)∗ — супералгеброй, которая называется супералгеброй Шура и обозначается S(m|n, r). Пару (m, n) называют сигнатурой алгебры S(m|n, r). Если значение сигнатуры ясно из контекста, то она не указывается. Например, S(r) вместо S(m|n, r) и т. д. Обозначим через I(m|n, r) множество отображений I : r → m + n. Элементы из I(m|n, r) называют мультииндексами степени r и отождествляют с (упорядоченными) наборами (i1 , . . . , ir ), где ik = I(k), 1 6 6 k 6 r. Нетрудно понять, что пространство A(r) натянуто на мономы cIJ = ci1 j1 . . . cir jr , I, J ∈ I(m|n, r) такие, что нет двух различных номеров k, l ∈ r, для которых ik = il , jk = jl и |ik | + |jk | = 1 (mod 2). Такие пары мультииндексов называются допустимыми. Группа Sm+n действует на I(m|n, r) и I(m|n, r) × I(m|n, r) по правилу I 7→ Iπ, (I, J) 7→ (Iπ, Jπ), π ∈ Sm+n . Ясно [3, 7], что множество допустимых пар инвариантно относительно этого действия, а его орбиты находятся во взаимно однозначном соответствии с базисными векторами A(r). Векторы дуального базиса обо-

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

311

значают через ξIJ . Поскольку cIJ = ±cIπ,Jπ , где π ∈ Sm+m , имеет смысл работать с элементами ξIJ для любых допустимых пар мультииндексов, просто меняя знак при перестановке. Пусть λj (I) = |{k | ik = j}|, 1 6 j 6 m + n. Вектор λ(I) = (λ1 (I), . . . , λm+n (I)) называют весом мультииндекса I. Множество всех весов обозначим Λ(r) = Λ(m|n, r). Ясно, что λ(I) = λ(J) тогда и только тогда, когда I = Jπ для подходящей перестановки π ∈ Sm+n . Поскольку ξII = ξIπIπ , где π ∈ Sm+n , этот элемент однозначно определяется весом λ = λ(I) и записывается как ξλ . Легко видеть, что ξλ , λ ∈ Λ(r), образуют систему попарно ортогональных идемпотентов, причём их сумма равна единице алгебры S(r). Выполняется следующее правило умножения: ξIJ ξKL =

X

cI,J,K,L,M,N ξM,N ,

(M,N )∈I(m|n,r)×I(m|n,r)/Sm+n

при этом если cI,J,K,L,M,N 6= 0, то существует T ∈ I(m|n, r) такой, что (M, T ) и (T, N ) лежат в одной орбите с (I, J) и (K, L), соответственно (точное определение коэффициентов cI,J,K,L,M,N см. в [7]). Из этого правила следует: если ξIJ ξKL 6= 0, то λ(J) = λ(K). Аналогично, ξIJ ξλ = δλ(J),λ ξIJ , ξλ ξIJ = δλ(I),λ ξIJ . Суперпространство E = E(m|n) является (A, A)-суперкомодулем отP ek ⊗ cki и ei 7→ носительно левого и правого кодействий ei 7→ 16k6m+n P cik ⊗ ek , соответственно. В силу вышесказанного получа7→ 16k6m+n

ем (A, A)-суперкомодуль E ⊗r . Ясно, что он является и (A(r), A(r))суперкомодулем, поскольку его коэффициентное пространство лежит в

A(r). Более того, суперпространства S r (E) и Λr (E) являются факторсуперкомодулями (A(r), A(r))-суперкомодуля E ⊗r , а изоморфизм A ∼ = ∼ = S(E ⊗ E) — и изоморфизмом (A, A)-суперкомодулей [11]. Отметим, что, как и в случае классических алгебр Шура, произвольный A-суперкомодуль V является прямой суммой своих однородных комL понент, т. е. V = Vr . Здесь Vr — это наибольший A-подсуперкомодуль, r>0

коэффициентное пространство которого лежит в A(r), т. е. наибольший A(r)-подсуперкомодуль [7].

312

А. Н. Зубков Суперпространство E ⊗r является правым Sr -модулем относительно

действия |vk ||vl |

(v1 ⊗ . . . ⊗ vr )σ = (−1)16kσ(l)

vσ(1) ⊗ . . . ⊗ vσ(r) , σ ∈ Sr .

Очевидно, это действие коммутирует с левым A(r)-кодействием, или, что эквивалентно, с левым S(r)-действием. Получается естественный гомоморфизм S(r) → EndSr (E ⊗r ). ТЕОРЕМА 1.1 [3, теор. (2.6с); 7, теор. 2.2.1(с)]. Гомоморфизм S(r) → EndSr (E ⊗r ) является изоморфизмом. Пусть V — некоторый суперкомодуль над суперкоалгеброй C. Определим сопряжённый C-суперкомодуль V c по правилу V0c = V1 , V1c = V0 . При этом комодульная структура V c тождественна структуре V . Для произвольного λ ∈ Λ(r) через I λ (E) обозначается (A(r), A(r))-суперкомодуль S λ1 (E) ⊗ . . . ⊗ S λm (E) ⊗ S λm+1 (E c ) ⊗ . . . ⊗ S λm+n (E c ). ЛЕММА 1.1 [11, лемма 5]. Суперкомодули ξλ A(r) и I λ (E) изоморфны как правые A(r)-суперкомодули. Аналогично, суперкомодули A(r)ξλ и I λ (E) изоморфны как левые A(r)-суперкомодули. Из ξλ A(r) ∼ = (S(r)ξλ )∗ и A(r)ξλ ∼ = (ξλ S(r))∗ с учётом [11, лемма 1] следует, что I λ (E) является левым и правым инъективным S(r)-модулем. § 2. Подалгебры Бореля Обозначим через B(r)+ = B(m|n, r)+ (B(r)− = B(m|n, r)− ) верхнетреугольную (соответственно, нижнетреугольную) подалгебру Бореля в S(r), порождённую (как векторное подпространство) элементами ξIJ , где ik 6 jk (jk 6 ik ), 1 6 k 6 r (кратко, I ≤ J или J ≤ I). Очевидно, суперкоалгебра, дуальная супералгебре B(r)+ , изоморфна фактор-суперкоалгебре A(r) по модулю двустороннего суперкоидеала T (r)+ , порождённого (как векторное подпространство) элементами cIJ такими, что ik > jk для некоторого k ∈ r. Определение коидеала T (r)− симметрично. Другими словами, T (r)+ = (B(r)+ )⊥ = {a ∈ A(r) | a(B(r)+ ) = B(r)+ (a) = 0} и T (r)− = (B(r)− )⊥ = {a ∈ A(r) | a(B(r)− ) = B(r)− (a) = 0}.

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

313

ЛЕММА 2.1. Супералгебра S(r) равна B(r)− B(r)+ , если коумножение δ индуцирует вложение A(r) в A(r)/T (r)− ⊗ A(r)/T (r)+ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим элемент a ∈ A(r) \ 0 такой, что P a(B(r)− B(r)+ ) = 0, т. е. x(a1 )y(a2 ) = 0 для всех x ∈ B(r)− , y ∈ B(r)+ , P где δ(a) = a1 ⊗ a2 . С точностью до слагаемого из T (r)− ⊗ A(r) мож-

но считать, что все левые множители a1 линейно независимы по модулю

T (r)− . Для фиксированного множителя a1 существует x ∈ B(r)− такой, что x(a1 ) = 1 и x равен 0 на всех других множителях. Следовательно, y(a2 ) = 0 для всех y ∈ B(r)+ , т. е. a2 ∈ T (r)+ . Меняя последовательно a1 , получаем δ(a) ∈ A(r) ⊗ T (r)+ . Другими словами, (B(r)− B(r)+ )⊥ = = δ −1 (T (r)− ⊗ A(r) + A(r) ⊗ T (r)+ ). ТЕОРЕМА 2.1 (разложение Брюа–Титса, см. также [5, теор. 8.1.1]). Супералгебра S(r) совпадает с произведением своих подалгебр Бореля B(r)− B(r)+ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем базис коалгебры A(r), состоящий из элементов cIJ = c1k1 ...(m+n)km+n ,1k11 ...(m+n)k1,m+n ...1km+n,1 ...(m+n)km+n,m+n , P

где r =

16s6m+n

ks , ks =

P

ksl , 1 6 s 6 m + n, и ksl = 0, 1,

16l6m+n

как только |s| + |l| = 1 (mod 2). Будем называть такие элементы правоупорядоченными. Легко понять, что базис A(r)/T (r)− состоит из классов смежности правоупорядоченных элементов cIJ таких, что I ≥ J. Аналогично, базис A(r)/T (r)+ состоит из классов смежности правоупорядоченных элементов cIJ таких, что I ≤ J. Рассмотрим произвольный базисный элемент cIJ . По определению P δ(cIJ ) = ±cIM ⊗ cM J . Из этой суммы, по модулю T (r)− ⊗ A(r) + A(r) ⊗ M

⊗T (r)+ , можно выбросить все слагаемые, кроме тех, чей мультииндекс

M удовлетворяет условию I ≥ M ≤ J. Такую запись элемента δ(cIJ ) назовем приведённой. Среди слагаемых приведённой записи только одно имеет первый тензорный множитель, равный (c точностью до знака) c

...sks ...,...1ks1 ...(s−1)ks,s−1 sl,s6l

, 1 6 s 6 m + n.

ksl

...

314

А. Н. Зубков

Оно соответствует мультииндексу M такому, что mt = min{it , jt }, 1 6 t 6 6 r. Заметим, что пары (I, M ) и (M, J) допустимы, т. е. это слагаемое не равно нулю. Назовём его (после приведения обоих тензорных множителей к правоупорядоченной форме) маркером базисного вектора cIJ . Мультииндекс M , определяющий маркер элемента cIJ , является лексикографически (слева направо) самым большим среди мультииндексов M ′ , удовлетворяющих условию I ≥ M ′ ≤ J. Предположим, что δ отображает некоторую линейную комбинацию право-упорядоченных элементов в T (r)− ⊗ A(r) + A(r) ⊗ T (r)+ . Без потери общности можно предполагать, что все эти базисные элементы имеют один и тот же первый мультииндекс I. Пусть маркеры двух из них, скаP ′ , 1 6 l < s 6 m + n, ksl = жем, cIJ и cIJ ′ , одинаковы. Значит, ksl = ksl l,s6l P ′ ksl , 1 6 s 6 m + n. Сравнивая вторые тензорные множители, полу= l,s6l

′ , 1 6 s < l 6 m + n, а значит, и k = k ′ для всех s. Значит, чаем ksl = ksl ss ss

J = J ′ . Остаётся заметить, что маркер произвольного cIJ не сокращается ни с одним слагаемым приведённой записи элемента δ(cIJ ). Полученное противоречие завершает доказательство. Обозначим подпространство алгебры B(r)+ (B(r)− ), порождённое элементами ξIJ , I ≤ J, такими, что ik < jk по крайней мере для одного номера k (соответственно, элементами ξIJ , I ≥ J, такими, что is > js для некоторого номера s) через N (m|n, r)+ = N (r)+ (N (m|n, r)− = N (r)− ). ЛЕММА 2.2. Подпространства N (r)+ и N (r)− являются двусторонними нильпотентными суперидеалами супералгебр B(r)+ и B(r)− , соответственно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого ξIJ ∈ B(r)+ положим s = P (jk − ik ). Ясно, что 0 6 s < r(m + n), и s > 0 тогда = s(ξIJ ) = 16k6r

и только тогда, когда ξIJ ∈ N (r)+ . Пусть ξP L ∈ N (r)+ и ξIJ ξP L 6= 0. Тогда ξIJ ξP L является линейной комбинацией векторов ξM N таких, что s(ξM N ) = s(ξIJ ) + s(ξP L ). Действительно, с точностью до перестановки индексов можно предполагать, что P = J, M = I. Если коэффициент при ξIN ненулевой, то найдётся мультииндекс T такой, что (I, J), (I, T )

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

315

и (J, L), (T, N ) лежат в одной Sr -орбите. Еще раз переставив все индекP (nk − ik ) = сы, можно добиться, чтобы T = J. Получаем s(ξIN ) = 16k6r P P (jk − ik ) = s(ξIJ ) + s(ξJN ) = s(ξIJ ) + s(ξP L ). В (nk − jk ) + = 16k6r

16k6r

частности, (N (r)+ )r(m+n) = 0 и B(r)+ N (r)+ ⊆ N (r)+ , N (r)+ B(r)+ ⊆ N + . Для N (r)− рассуждения аналогичны. Обозначим коммутативную подсупералгебру

P

Kξλ через D(r).

λ∈Λ(r)

Имея в виду очевидные аналогии, назовём её картановской подалгеброй. Напомним, что произвольный S(r)-модуль V однозначно разлагаL Vλ , где ется в прямую сумму своих весовых компонент, т. е. V = λ∈Λ(r)

Vλ = {v ∈ V | ξλ v = v} = ξλ V .

L СЛЕДСТВИЕ 2.1. Справедливы равенства B(r)+ = D(r) L L N (r)+ , B(r)− = D(r) N (r)− . В частности, radB(r)+ = N (r)+ ,

radB(r)− = N (r)− и все простые B(r)+ - или B(r)− -модули одномерны. Более точно, если V — простой B(r)+ -модуль (B(r)− -модуль), то существует вес λ ∈ Λ(r) такой, что V = Vλ , N (r)+ V = 0 (N (r)− V = 0) и dim V = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно. На множестве весов Λ(r) определим доминантный порядок по праP P λk , 1 6 l 6 m + n. µk ≤ вилу µ ≤ λ, если 16k6l

16k6l

ТЕОРЕМА 2.2. Если V — это простой S(r)-модуль, то найдётся

вес λ ∈ Λ(r) такой, что Vλ — простой цоколь B(r)+ -модуля V . Для произвольного другого веса µ 6= λ из Vµ 6= 0 следует, что µ < λ относительно доминантного порядка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По следствию 2.1, V содержит простой B(r)+ подмодуль W такой, что W ⊆ Vλ для подходящего веса λ ∈ Λ(r). По L разложению Брюа–Титса V = N (r)− w Kw, где w ∈ W \ 0. Из ξλ w = w следует: если вектор ξIJ w ненулевой, то λ(J) = λ. Пусть ξIJ ∈ N (r)− ,

v = ξIJ w 6= 0. Ясно, что v ∈ Vµ , где µ = λ(I). Остаётся показать, что µ < λ. Без потери общности можно полагать, что J = 1λ1 . . . (m + n)λm+n и, соответственно, I = 1λ11 . . . (m + n)λ1,m+n . . . 1λm+n,1 . . . (m + n)λm+n,m+n ,

316

А. Н. Зубков

где λk =

P

λkt , 1 6 k 6 m + n. Условие I ≥ J означает, что λkt = 0,

16t6m+n

как только t < k. Итак, X λk = 16k6l

X

16k6l, l6t6m+n

λkt >

X X

λkt =

16t6l k6t

X

µt

16t6l

для всех l. Однако, если все эти неравенства являются равенствами, то λkt = 0 при k 6= t, т. е. ξIJ = ξλ , что противоречит предположению ξIJ ∈ ∈ N (r)− . Вес λ, фигурирующий в теореме, и любой ненулевой вектор из Vλ будут называться старшими весом и вектором простого модуля V . Вес λ называется допустимым, если существует простой S(r)-модуль со старшим весом λ. Ниже покажем, что простые S(r)-модули определяются своими старшими весами однозначно. Поэтому простой модуль со старшим весом λ обозначим символом L(λ). Подмножество в Λ(r), состоящее из всех допустимых весов, обозначим Λ(r)+ = Λ(m|n, r)+ . СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть S(r)-модуль V содержит вектор v веса λ такой, что N (r)+ v = 0. Тогда V имеет композиционный фактор L(λ). Обозначим через Kλ простой B(r)+ -модуль, соответствующий весу λ. Для простых B(r)− -модулей используется то же самое обозначение. ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Алгебры B(r)+ и B(r)− квазинаследственны относительно доминантного и обратного ему порядков, соответственно. Более того, обе алгебры являются направленными. Последнее означает: если Ext1B (Kλ , Kµ ) 6= 0, B = B(r)+ , B(r)− , то λ < µ, где < — доминантный или обратный к нему порядок в соответствии с тем, будет ли B = B(r)+ или B = B(r)− . Пусть, например, B = B(r)+ . Проективный модуль B(r)+ ξλ неразложим. Его радикал равен N (r)+ ξλ , а весовое разложение радикала содержит только те веса, которые строго больше λ. По определению стандартный B(r)+ -модуль △B(r)+ (λ), соответствующий весу λ, совпадает с простым фактором Kλ проективного модуля B(r)+ ξλ по его радикалу. Последний, в частности, имеет △-фильтрацию с факторами, индексированными строго большими весами. Теперь направленность следует из свойств стандартных модулей [6, 8, 20]. Для алгебры B(r)− рассуждения аналогичны.

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

317

Отметим, что допустимый вес λ обладает ещё одним полезным свойством. Kλ был введён как цоколь B(r)+ -модуля L(λ), однако как B(r)− модуль он изоморфен фактору B(r)− -модуля L(λ) по его радикалу. ДейL ствительно, если v — старший вектор, то L(λ) = N (r)− v Kv и N (r)− v ⊆ ⊆ N (r)− L(λ) = radB(r)− L(λ).

S(r)

Определим коиндуцированный модуль CoindB(r)+ Kλ = S(r) ⊗B(r)+ Kλ и обозначим его символом △∗ (λ). Симметрично, определим индуциS(r)

рованный модуль ▽∗ (λ) = IndB(r)− Kλ = HomB(r)− (S(r), Kλ ). Наконец, обозначим через P (λ) (соответственно, I(λ)) проективный накрывающий модуля L(λ) (соответственно, инъективную оболочку L(λ)), λ ∈ Λ(r)+ . ТЕОРЕМА 2.3. Вес λ допустим тогда и только тогда, когда △∗ (λ) 6= 0. В этом случае модуль △∗ (λ) совпадает со стандартным модулем △(λ) = △S(r) (λ), определённым относительно доминантного порядка. Более того, L(λ) является фактором △(λ) по радикалу. В частности, L(λ) однозначно определяется своим старшим весом, а сам модуль △(λ) неразложим. Симметрично, вес λ допустим тогда и только тогда, когда ▽∗ (λ) 6= 0. При этом ▽∗ (λ) является костандартным модулем ▽(λ) = ▽S(r) (λ), так же определённым относительно доминантного порядка. Модуль L(λ) является цоколем △(λ). В частности, ▽(λ) неразложим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть λ допустим. Используя стандартный изоморфизм HomS(r) (△∗ (λ), L(µ)) ∼ = HomB(r)+ (Kλ , L(µ)|B(r)+ ) и теорему 2.2, получаем, что с точностью до скаляра из поля K существует только один ненулевой эпиморфизм △∗ (λ) → L(λ). Это автоматически влечёт L(λ) ∼ = △∗ (λ)/rad △∗ (λ). Обратно, если △∗ (λ) 6= 0, то существует эпиморфизм △∗ (λ) → V , где V — простой S(r)-модуль. Снова HomB(r)+ (Kλ , V |B(r)+ ) 6= 0, т. е. V содержит простой B(r)+ -подмодуль веса λ. По теореме 2.2, V = L(λ). Заметим, что △∗ (λ) порождён элементами ξIJ ⊗ 1, I ≥ J. Повторив дословно рассуждения из доказательства теоремы 2.2, получим, что △∗ (λ)λ = Kξλ ⊗1 6= 0, и △∗ (λ)µ 6= 0 влечёт µ < λ, как только µ 6= λ. Поэтому и по теореме 2.2, старшие веса всех композиционных факторов △∗ (λ) не

318

А. Н. Зубков

превосходят λ. По определению проективного накрывающего существует эпиморфизм P (λ) → △∗ (λ), который является композицией P (λ) → △(λ) и ψ. В частности, существует эпиморфизм ψ : △(λ) → △∗ (λ), индуцирующий изоморфизм по модулю их радикалов. Рассмотрим единственный подмодуль W B(r)+ -модуля △(λ), содержащий его радикал R = rad △ (λ) (как S(r)-модуля) и такой, что W/R = Kλ . По теореме 2.2 все веса R не превосходят λ. С другой стороны, по замечанию 2.1, B(r)+ являетL ся направленной, следовательно, W равен Kλ R как B(r)+ -модуль. В частности, существует гомоморфизм φ : △∗ (λ) → △(λ) (продолжающий вложение B(r)+ -модулей Kλ → W ⊆ △(λ)) такой, что Imφ не содержится в R. По лемме Накаямы он является эпиморфизмом, а значит, и изоморфизмом, поскольку оба модуля конечномерны. Для индуцированного модуля доказательство аналогично и здесь полностью не приводится. Остановимся лишь на некоторых моментах. Как и выше, используются теоремы 2.1, 2.2 и стандартный изоморфизм HomS(r) (V, ▽∗ (λ)) ∼ = HomB(r)− (V |B(r)− , Kλ ), где V — произвольный S(r)модуль. Докажем, например, что ▽∗ (λ) = ▽(λ). Несложно проверить, что L(λ) является цоколем ▽∗ (λ), и поэтому ▽∗ (λ) вкладывается в I(λ). А поскольку ▽∗ (λ)µ 6= 0 только для весов, не превосходящих λ (для доказательства используется разложение Брюа–Титса), то он вкладывается и в ▽(λ). Алгебра B(r)− является направленной относительно порядка, противоположного доминантному. Как отмечалось, L(λ)/N (r)− v ∼ = Kλ и N (r)− v = radB(r)− L(λ), где v — старший вектор L(λ). Все веса фактормодуля ▽(λ)/L(λ) не превосходят λ, поэтому справедливо разложение L ▽(λ)/N (r)− v = Kλ X (в категории B(r)− -модулей). Как и в предыду-

щем случае, существует ненулевой гомоморфизм B(r)− -модулей ▽(λ) → → Kλ , индуцирующий гомоморфизм S(r)-модулей ▽(λ) → ▽∗ (λ) и такой, что его сужение на цоколе L(λ) нетривиально. В частности, он является мономорфизмом, а значит, и изоморфизмом. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если λ допустим, то его чётная λ+ = (λ1 , . . . , λm ) и нечётная λ− = (λm+1 , . . . , λm+n ) части являются упорядоченными разбиениями. Действительно, согласно [7, 2.3(a)], если модуль V имеет нетри-

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

319

виальную весовую компоненту Vλ , то для любого веса µ, получающегося некоторой перестановкой координат чётной и нечётной частей, компонента Vµ имеет ту же размерность, что и Vλ . Остаётся сказать, что если некоторое разбиение ν = (ν1 , . . . , νk ) неупорядоченно, т. е. найдутся 1 6 i < j 6 k такие, что νi < νj , то ν ′ = (. . . ,

νj , . . . , νi , . . .) > |{z} |{z}

i-е место

> ν. ЗАМЕЧАНИЕ

2.3.

Модули

△(λ)

и

▽(λ)

j-е место

шуровские,

т. е.

EndS(r) (△(λ)) = EndS(r) (▽(λ)) = K. Действительно, из доказательства теоремы 2.3 следует, что образ любого нетривиального эндоморфизма модуля △(λ) не лежит в его радикале. По лемме Накаямы он является изоморфизмом. Случай индуцированного модуля симметричен. Пусть A — произвольная конечномерная алгебра и все её (попарно неизоморфные) простые модули L(λ) индексированы элементами некоторого частично упорядоченного множества (Λ, ≤). Частичный порядок ≤ называется адаптированным [15], если для произвольного A-модуля M такого, что M/radM = L(λ1 ) и цоколь M равен L(λ2 ), где λ1 и λ2 несравнимы, существует композиционный фактор L(µ) модуля M с µ > λ1 или µ > λ2 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Доминантный порядок на Λ(r)+ адаптирован. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим S(r)-модуль M , удовлетворяющий сформулированным выше условиям. Рассмотрим фильтрацию L(λ2 ) ⊆ X = radM ⊆ M. Существует вектор v ∈ Mλ1 такой, что v¯ = v + X является старшим вектором модуля M/X. В частности, N (r)+ v ⊆ X. Легко понять, что пересечение N (r)+ v с L(λ2 ) тривиально, иначе λ2 > λ1 . Если N (r)+ v 6= 0, то существует вес µ, для которого µ > λ1 и (X/L(λ2 ))µ 6= 0. Остаётся заметить, что компонента веса µ появится в некотором композиционном факторе модуля X/L(λ2 ). Предположим теперь, что N (r)+ v = 0. В этом L T случае S(r)v = Kv N (r)− v. Аналогично, S(r)v L(λ2 ) = 0. С другой

320

А. Н. Зубков

стороны, S(r)v = M по лемме Накаямы, следовательно, S(r)v содержит L(λ2 ). Это противоречие завершает доказательство. Следующее предложение хорошо известно в теории представлений редуктивных групп, квазинаследственных алгебр и пр. Его доказательство использует ту же комбинаторику старших весов, что и в предложении 2.1, и здесь не приводится. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Для любого веса λ ∈ Λ(r)+ выполняется Ext1S(r) (L(λ), L(λ)) = 0. Поэтому и по предложению 2.1 нетривиальные расширения модуля L(λ) при помощи модуля L(µ) существуют лишь в случае, когда либо λ > > µ, либо µ < λ. ЛЕММА 2.3. Для произвольного веса λ ∈ Λ(r) справедливо разL P (µ)dµ,λ , где dµ,λ = dim L(µ)λ . Справедливо и ложение S(r)ξλ = + µ∈Λ(r) L I(µ)dµ,λ . дуальное утверждение: (ξλ S(r))∗ = A(r)ξλ = µ∈Λ(r)+

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для проективных модулей это утвержде-

ние доказано в [12, (5), p. 662]. Случай инъективных модулей аналогичен. А именно, имеем цепочку канонических изоморфизмов HomS(r) (L(µ), A(r)ξλ ) ∼ = (ξλ L(µ))∗ . С = L(µ)∗ ξλ ∼ = HomS(r) (ξλ S(r), L(µ)∗ ) ∼ другой стороны, dim HomS(r) (L(µ), A(r)ξλ ) совпадает с кратностью вхождения I(µ) в разложение A(r)ξλ . СЛЕДСТВИЕ 2.3. Вес λ допустим тогда и только тогда, когда найдётся v ∈ I λ (E)λ \ 0 такой, что N (r)+ v = 0. В этом случае подпространство {v ∈ I λ (E)λ | N (r)+ v = 0} одномерно. =

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По леммам 1.1 и 2.3, I λ (E) ∼ = A(r)ξλ = L I(µ)dµ,λ и dµ,λ 6= 0 влечёт µ ≥ λ. Без потери общности можно

µ∈Λ(r)+

считать, что вектор v лежит в прямом слагаемом I(µ). Цоколь L(µ) модуL ля I(µ) содержится в S(r)v = N (r)− v Kv. Отсюда вытекает равенство µ = λ, поскольку все веса N (r)− v строго меньше λ. Более того, вектор v

является старшим вектором модуля L(µ) = L(λ). Остаётся заметить, что dλ,λ = 1. Обратное утверждение очевидно.

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

321

Если m = 0 или n = 0, то S(r) изоморфна классической алгебре Шура, а для неё верна фундаментальная теорема Кемпфа, которая в подходящей формулировке [23] утверждает, что B(r)− -модуль Kλ , где λ — доминатный вес, является ациклическим для функтора индуцирования S(r)

V → IndB(r)− V . Для удобства будем называть S(r) неклассической, если m, n > 1. ТЕОРЕМА 2.4. Если неклассическая супералгебра S(r) удовлетворяет теореме Кемпфа, то она полупроста, т. е. либо p = 0, либо p > r, либо m = n = 1 и p не делит r. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть S(r) удовлетворяет теореме Кемпфа. Поскольку B(r)− квазинаследственна, её глобальная размерность конечна. В частности, произвольный простой B(r)− -модуль Kλ имеет конечную инъективную резольвенту, и функтор индуцирования превращает её в конечную инъективную резольвенту костандартного модуля ▽(λ). Другими словами, существует такое число M , что ExtN S(r) (V, ▽(λ)) = 0 для всех S(r)-модулей V и всех допустимых весов λ, как только N > M . Определим ширину подмножества Λ′ ⊆ Λ(r)+ как максимальное целое неотрицательное число h = h(Λ′ ), для которого найдётся упорядоченная цепочка весов λ0 < λ1 < . . . < λh в Λ′ . Индукцией по доминантному порядку покажем, что ExtN S(r) (V, L(λ)) = 0 для произвольных V , λ при условии N > M +h(λ). Здесь h(λ) = h({µ ∈ Λ(r)+ | µ ≤ λ}). Пусть λ ∈ Λ(r)+ минимальный, тогда L(λ) = ▽(λ) и утверждение очевидно. Предположим, что оно проверено для всех весов µ с h(µ) < k и h(λ) = k. Имеем точную последовательность 0 → L(λ) → ▽(λ) → Q(λ) → 0, причём старшие веса всех композиционных факторов L(µ) модуля Q(λ) строго меньше λ. Ясно, что h(µ) < k. По индукции ExtN S(r) (V, Q(λ)) = 0 для всех N > M +k−1. Рассмотрим следующий фрагмент длинной точной последовательности: N −1 N ExtS(r) (V, Q(λ)) → ExtN S(r) (V, L(λ)) → ExtS(r) (V, ▽(λ)).

Поскольку крайние её члены равны нулю при N ≥ M + k, то и

322

А. Н. Зубков

ExtN S(r) (V, L(λ)) = 0. Из доказанного выше следует, что для любых мо+ дулей V и W выполняется ExtN S(r) (V, W ) = 0 при N ≥ M + h(Λ(r) ), т. е.

S(r) имеет конечную глобальную размерность. По [11, теор. 2] алгебра S(r) полупроста; более того, она полупроста в тех и только тех случаях, которые описаны выше. Кажется правдоподобным и обратное утверждение, что полупростая (неклассическая) супералгебра Шура удовлетворяет теореме Кемпфа. Несмотря на то, что теорема Кемпфа в общем случае не верна, имеет место более слабое свойство, известное в литературе как „Grothendieck vanishing“. ТЕОРЕМА 2.5. Для достаточно большого i и произвольного S(r)

B(r)− -модуля V выполняется Ri IndB(r)− V = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заключение очевидно для простых модулей Kλ , поскольку все они имеют конечную инъективную резольвенту. Максимум длин этих резольвент даёт нижнюю границу для i. Грубая оценка для параметра i может быть получена по [20, теор. A.3.4]. Интересно было бы найти точное значение, не зависящее от r (см. [14, предлож. 3.10]). ТЕОРЕМА 2.6. Верны следующие утверждения: 1) если Ext1S(r) (△(λ), M ) 6= 0, то модуль M имеет композиционный фактор L(µ), где µ > λ; 2) если Ext1S(r) (M, ▽(λ)) 6= 0, то модуль M имеет композиционный фактор L(µ), где µ > λ; 3) Ext1S(r) (△, ▽) = 0; 4) подкатегория △-фильтрованных (соответственно, ▽-фильтрованных) модулей замкнута относительно ядер (коядер) эпиморфизмов и взятия прямых слагаемых. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Всё, что касается △-фильтрованных модулей, легко выводится из предложения 2.1 и [15, леммы 1.3, 1.4]. Третье утверждение является очевидным следствием первых двух. Отметим, что приводимые ниже рассуждения верны для произвольной конечномерной ал-

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

323

гебры, если её простые модули индексированы множеством весов, наделённым адаптированным (частичным) порядком. Пусть Ext1S(r) (M, ▽(λ)) 6= 0. Тогда Ext1S(r) (L(µ), ▽(λ)) 6= 0 для некоторого композиционного фактора L(µ) модуля M . Другими словами, существует короткая точная нерасщепляющаяся последовательность 0 → ▽(λ) → X → L(µ) → 0. Вложение ▽(λ) → X продолжается до гомоморфизма X → I(λ). Если T его ядро R нетривиально, то R ▽(λ) = 0 и, следовательно, R изоморфно отображается на L(µ), что противоречит нерасщепляемости X. Таким

образом, X — подмодуль I(λ). По определению ▽(λ) либо µ > λ, либо они несравнимы. Рассмотрим последний случай. Можно формализовать эту ситуацию следующим образом: дан модуль X и его подмодуль Y такие, что X/Y = L(µ), цоколи Y , X совпадают и равны L(λ). Кроме того, все композиционные факторы Y , отличные от L(λ), имеют старшие веса, строго меньшие λ. Ясно, что равенство radX = Y противоречит предложению 2.1. Значит, radX является собственным подмодулем модуля Y и X/radX содержит кроме L(µ) ещё одно простое слагаемое. В частности, в X содержится собственный подмодуль X ′ такой, что radX ⊆ X ′ , X ′ /radX = L(µ). Если radY = 0, то Y = L(λ) и radX = 0. Тогда L X = L(µ) L(λ), что противоречит исходному предположению о X. Ес-

ли же radY 6= 0, то L(λ) ⊆ radY ⊆ radX ⊆ X ′ и получается исходная

ситуация, но с модулем X ′ размерности меньшей, чем размерность X. Пусть теперь X — ▽-фильтрованный модуль. Как отмечено в [15], адаптированный частичный порядок можно доопределить до линейного, при этом стандартные и костандартные модули не изменятся. Будем предполагать, что Λ(r)+ линейно упорядочено. Занумеруем её элементы по возрастанию, скажем, λ1 < . . . < λs . Из доказанного выше следует: если Ext1S(r) (▽(λ), ▽(µ)) 6= 0, то λ > µ. В частности, X имеет фильтрацию 0 ⊆ X1 ⊆ . . . ⊆ Xs = X такую, что Xi /Xi−1 = ▽(λi )ki , 1 6 i 6 s. Напомним [6], что для произвольного подмножества Λ′ ⊆ Λ(r)+ можно определить справа точный

324

А. Н. Зубков

функтор V → OΛ′ (V ), где OΛ′ (V ) — наибольший подмодуль модуля V , все композиционные факторы которого имеют старшие веса из Λ′ . Подмодуль O{λ1 ,...,λi } обозначим через Oi , 1 6 i 6 s. Очевидно, Xi = Oi (X), 1 6 i 6 s. Поскольку функтор OΛ′ коммутирует с прямыми суммами [6], достаточно показать, что прямое слагаемое модуля V = ▽(λ)k изоморфно ▽(λ)l , 0 6 l 6 k. Прямое слагаемое можно представить как образ идемпотентного эндоморфизма π ∈ EndS(r) (V ). Однако ▽(λ) шуровский, поэтому EndS(r) (V ) ∼ = Mk (K) и с точностью до замены базы, т. е. с точностью до автоморфизма модуля V , оператор π имеет матрицу diag (1, . . . , 1, 0, . . . , 0). | {z } l

Пусть Y — ▽-фильтрованный подмодуль модуля X. Справедливо T T Yi = Oi (Y ) = Y Oi (X) = Y Xi , 1 6 i 6 s. В частности, для каждого i существует короткая точная последовательность

0 → Yi /Yi−1 → Xi /Xi−1 → (Xi + Y )/(Xi−1 + Y ) → 0. Остаётся заметить, что подмодуль W = ▽(λ)l модуля V = ▽(λ)k выделяется в нём прямым слагаемым. Действительно, HomS(r) (W, V ) ∼ = Mk×l (K) и с точностью до замены базы в V произвольное вложение W в V имеет блочную матрицу. Первый блок — единичная матрица порядка l, второй — нулевая. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. Утверждение теоремы в общем случае не верно для групп расширений больших степеней. А именно, по [15, теор. 1] равенство Ext2S(r) (△, ▽) = 0 эквивалентно тому, что S(r) является квазинаследственной алгеброй. Если S(r) неклассическая, то это эквивалентно её полупростоте [11]. Для заданного k, m + 1 6 k 6 m + n, рассмотрим подпространство S(r)k , натянутое на вектора ξIJ такие, что если il или jl лежит в отрезке S m + n \ (m {k}), то il = jl , 1 6 l 6 r.

ЛЕММА 2.4. Подпространство S(r)k является подсупералгеброй L S(m|1, r′ ). S(r). Более того, S(r)k изоморфна 06r ′ 6r

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо показать, что подпространство

Ik = S(r)⊥ k является двусторонним суперкоидеалом. Ясно, что Ik порождено векторами cIJ такими, что для некоторого l выполняется il 6= jl ,

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

325

S причём il или jl принадлежит множеству m + n \ (m {k}). Рассмотрим P S элемент δ(cIJ ) = ±cIK ⊗ cKJ . Предположим, что il ∈ m + n \ (m {k}). K

Если kl 6= il , то cIK ∈ Ik , в противном случае kl = il и cKJ ∈ Ik . S Случай jl ∈ m + n \ (m {k}) аналогичен. Получаем изоморфизм суL A(m|1, r′ ), который „вырезает“ множитеперкоалгебр A(r)/Ik → ′ S06r 6r ли ctt , t ∈ m + n \ (m {k}) из каждого порождающего cIJ пространства A(r)/Ik . Дуальный к нему — это искомый изоморфизм супералгебр L S(m|1, r′ ) → S(r)k . 06r ′ 6r

ЛЕММА 2.5. Пусть λ ∈ Λ(r)+ и его k-я координата, где m + 1 6

6 k 6 m + n, не равна нулю. Тогда λ′ = (λ1 , . . . , λm , λk ) ∈ Λ(m|1, r′ )+ , где P λl . r′ = r − m+16l6m+n, l6=k

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По следствию 2.3 допустимость веса λ экви-

валентна тому, что существует ненулевой вектор v ∈ I λ (E)λ , для которого N (r)+ v = 0. Отождествляя S ′ = S(m|1, r′ ) с соответствующим прямым слагаемым алгебры S(r)k , получаем, что v ∈ I λ (E)λ′ (если рассматривать I λ (E) как S ′ -модуль). Более того, этот вектор аннулируется радикалом верхнетреугольной борелевской подалгебры алгебры S ′ , который очевидно содержится в N (r)+ . Остаётся сослаться на следствие 2.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Пусть λ ∈ Λ(m|1, r)+ , m > r и p > 0. Тогда p|λm+1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По следствию 2.3 существует вектор v ∈ ∈ I λ (E(m|1))λ такой, что N (r)+ v = 0 (здесь N (r)+ = N (m|1, r)+ ). Пусть s — это максимальный номер такой, что s 6 m и λs 6= 0. В противном случае s = 0 и λm+1 = r. Без потери общности можно считать, что λm+1 6= 0. Если w = =

et11

t

m+1 — базисный моном из S l (E(m|1)), обозначим через λ(w) . . . em+1

его вес (t1 , . . . , tm+1 ) (заметим, что tm+1 = 0, 1). Аналогично, если w = t

m+1 t1 e1 . . . etmm — базисный моном из S l (E(m|1)c ), обозначим через λ(w) = em+1

его вес (t1 , . . . , tm+1 ) (в этом случае t1 , . . . , tm = 0, 1). Вектор v представим

326

А. Н. Зубков

в виде X

06k6min{s,λm+1 }, 16i1 <...
здесь

 

X

f1 ,...,fs ,u



αk,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u mk,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u  , λ

m+1 mk,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u = f1 ⊗ . . . ⊗ fi1 em+1 ⊗ . . . ⊗ fik em+1 ⊗ . . . ⊗ fs ⊗ em+1

−k

u,

а произвольный моном fi , как и u, является базисным мономом из S λi −1 (E(m|1)) или из S k (E(m|1)c ), соответственно. По определению v имеем λ(fi )m+1 = λ(u)m+1 = 0. Более того, λ(f1 )+. . .+λ(fs )+λ(u) = (λ+ , 0) = = (λ1 , . . . , λs , 0, . . . , 0). P

Поскольку s 6

λi = r − λm+1 < m, существует номер

16i6s

d, для которого выполняется s < d 6 m. Рассмотрим элемент z = = ξ1λ1 ...sλs (m+1)λm+1 −1 d,1λ1 ...(m+1)λm+1 ∈ N (r)+ . Нетрудно проверить, что X

zv =

06k6min{s,λm+1 }, 16i1 <...
×

X

!!

X

f1 ,...,fs ,u

X

αk,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u ×

16l6k

X

+

(λm+1 − k)×

06k6min{s,λm+1 }, 16i1 <...
d αk,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u mm+1,e k,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u

!

=0 ,

f1 ,...,fs ,u

в этой сумме

d ml,e k,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u = f1 ⊗ . . . ⊗ fi1 em+1 ⊗ . . . ⊗ fil ed ⊗ . . .

λ

m+1 ⊗ fik em+1 ⊗ . . . ⊗ fs ⊗ em+1

−k

u,

d mm+1,e k,i1 ,...,ik ,f1 ,...,fs ,u = f1 ⊗ . . . ⊗ fi1 em+1 ⊗ . . . ⊗ fik em+1 ⊗ . . .

λ

m+1 ⊗ fs ⊗ em+1

−k−1

ed u.

Все мономы в записи zv линейно независимы, следовательно, элемент v содержит только те слагаемые, у которых k = 0 и, в частности, p|λm+1 . ТЕОРЕМА 2.7. Если m > r и p > 0, то λ ∈ Λ(r)+ в том и только том случае, когда чётная и нечётная части λ являются упорядоченными разбиениями и p|λ− .

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

327

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X = {λ ∈ Λ(r) | λ+ , λ− — упорядоченные разбиения и p|λ− }. Согласно замечанию 2.2, лемме 2.5 и предложению 2.3, справедливо Λ(r)+ ⊆ X. Остаётся сослаться на [12, сс. 659—661], где фактически показано, что X ⊆ Λ(m|n, r)+ для всех m, n∗) . Нетрудно заметить, что построенный выше фрагмент теории представлений супералгебр Шура игнорирует подлежащую суперструктуру простых и (ко)индуцированных модулей. Дело в том, что каждый из этих модулей может быть превращён в супермодуль ровно двумя способами. Рассмотрим, например, модуль △(λ), λ ∈ Λ(r)+ . Если порождающий одномерного B(r)+ -модуля Kλ чётен, то △(λ) = S(r) ⊗B(r)+ Kλ наделяется единственной структурой супермодуля по правилу |x ⊗ 1| = |x|, x ∈ S(r). Если же он нечётен, то получается сопряжённый супермодуль. Обратно, как бы ни была определена структура супермодуля на △(λ), его весовая компонента △(λ)λ = ξλ △ (λ) является одномерным суперподпространством. В частности, она либо чётна, либо нечётна. В дальнейшем, говоря о супермодуле △(λ), по умолчанию предполагается, что он наделён именно первой суперструктурой. То же самое верно и для модулей L(λ) и ▽(λ), т. е. их суперструктуры однозначно определяются тем, чётна или нечётна их одномерная компонента L(λ)λ = ▽(λ)λ . Действительно, для L(λ) рассуждения дословно те же, что и выше. Для индуцированного модуля аргументация несколько сложнее. А именно, поскольку p 6= 2, то радикал R супералгебры S(r) является суперидеалом. В частности, L(λ) и △(λ)/R △ (λ) изоморфны как супермодули, поскольку старший вектор L(λ) чётен. Если повторить необходимые построения для правых модулей, то получатся правые простые и (ко)стандартные модули L(λ)◦ , ▽(λ)◦ и △(λ)◦ . При этом L(λ)∗ ∼ = ▽(λ)◦ и их весовые разложения = △(λ)◦ , △(λ)∗ ∼ = L(λ)◦ , ▽(λ)∗ ∼ дуальны друг другу. Остаётся заметить, что произвольная (левая) супермодульная структура на ▽(λ) превращается в (правую) супермодульную структуру на △(λ)◦ . Идемпотенты ξλ чётны. Пусть ξλ разлагается в сумму попарно орто∗)

При этом используются только некоторые свойства морфизма Фробениуса.

328

А. Н. Зубков

гональных примитивных идемпотентов f1 , . . . , fs . Поскольку ξλ fi = fi ξλ = = fi , элемент fi является линейной комбинацией таких ξIJ , что λ(I) = = λ(J) = λ, 1 6 i 6 s. В частности, все fi чётны. По лемме 2.3 для произвольного веса λ ∈ Λ(r)+ выполняется P (λ) = S(r)eλ , где eλ — чётный примитивный идемпотент, а канонические эпиморфизмы P (λ) → △(λ) и P (λ) → L(λ) являются морфизмами супермодулей. Взяв дуальные алгебры правых версий всех этих эпиморфизмов, получаем, что канонические вложения ▽(λ) → I(λ) и L(λ) → I(λ) являются морфизмами супермодулей. ЛЕММА 2.6. Пусть V — S(r)-супермодуль, который полупрост как S(r)-модуль. Тогда V разлагается в прямую сумму суперподмодулей L(λ) и L(µ)c , λ, µ ∈ Λ(r)+ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим старший вектор v простого подмодуля L(λ) ⊆ V . Разложим v на чётную и нечётную составляющие, скажем, v = v0 + v1 . Для произвольного базисного элемента x = ξIJ ∈ N (r)+ имеем xv = xv0 + xv1 = 0. Однако xv0 и xv1 имеют различные чётности, значит, xv0 = xv1 = 0. Осталось заметить, что v0 , v1 ∈ Vλ , т. е. хотя бы один из суперподмодулей S(r)v0 , S(r)v1 является ненулевым и изоморфен L(λ) или L(λ)c . Предположим, что V ′ — максимальный суперподмодуль супермодуля V , который разлагается в прямую сумму суперподмодулей L(λ) и L(µ)c , λ, µ ∈ Λ(r)+ . Если V 6= V ′ , то V ′ опять можно расширить до суперподмодуля V ′′ такого, что V ′′ /V ′ — простой суперподмодуль в V /V ′ . L В силу их полупростоты V ′′ = V ′ U , где U ∼ = V ′′ /V ′ (как S(r)-модуль).

Повторяя процедуру расщепления старшего вектора модуля U на чётную и нечётную части, получим искомый (простой) суперподмодуль в V ′′ , дополнительный к V ′ . Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

ЛЕММА 2.7. Если S(r)-супермодуль V изоморфен △(λ)t как S(r)L модуль, то V ∼ = △(λ)k (△(λ)c )l как супермодуль, где k+l = t. АналогичL но, если V ∼ = ▽(λ)t как модуль, то V ∼ = ▽(λ)k (▽(λ)c )l как супермодуль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать первое утверждение,

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

329

второе дуально правосторонней версии первого. Имеем W = V /radV ∼ = t ∼ = L(λ) и W — супермодуль. По лемме 2.6, W имеет разложение L L(λ)k (L(λ)c )l , k + l = t, в категории супермодулей. Обозначим через vi прообраз старшего вектора i-го простого слагаемого в разложении W ,

1 6 i 6 t. Без потери общности можно считать, что |vi | = 0, 1 6 k, и |vi | = = 1, k + 1 6 i 6 t. Более того, все vi лежат в Vλ . По лемме Накаямы полуL чаем эпиморфизм супермодулей ψ : P (λ)k (P (λ)c )l → V , определённый P по правилу ψ(s1 eλ , . . . , sk eλ , sk+1 ecλ , . . . , st ecλ ) = si vi , s1 , . . . , st ∈ S(r). 16i6t

Поскольку веса V не превосходят λ, то Seλ → Svi факторизуется через △(λ) → Svi , т. е. dim Svi 6 dim △(λ), 1 6 i 6 t. Сравнение размерностей завершает доказательство.

ТЕОРЕМА 2.8. Произвольный S(r)-супермодуль имеет хотя бы один композиционный ряд в категории супермодулей с факторами вида L(λ) или L(µ)c . Если он ▽ (△)-фильтрован, то существует хотя бы одна фильтрация в категории супермодулей все факторы которой изоморфны либо ▽(λ), либо ▽(µ)c (соответственно, либо △(λ), либо △(µ)c ), λ, µ ∈ ∈ Λ(r)+ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — S(r)-супермодуль. Очевидно, что фильтрация V ⊇ RV ⊇ R2 V ⊇ . . . определена в категории супермодулей. Следовательно, достаточно рассмотреть случай, когда V полупрост, который уже рассмотрен в лемме 2.6. Во втором утверждении докажем только ▽-часть, для △-фильтрованных супермодулей доказательство аналогично (см. [15, лемма 1.4]). Как и в теореме 2.6 имеем фильтрацию 0 ⊆ V1 ⊆ . . . ⊆ Vs = V, где Vi = Oi (V ), 1 6 i 6 s, и Λ(r)+ = {λ1 < . . . < λs } относительно линейного порядка <, продолжающего доминантный. Индукцией по i покажем, что Vi является суперподмодулем для любого супермодуля V и, если V ▽-фильтрован, то фактор Vi /Vi−1 имеет разложение в категории супермоL дулей вида ▽(λi )ki (▽(λi )c )ti . Если i = 1, то по предложению 2.2 модуль

V1 может быть определён как наибольший подмодуль модуля V , равный

330

А. Н. Зубков

прямой степени модуля L(λ1 ) = ▽(λ1 ). Раскладывая старшие вектора на чётную и нечётную части, получаем, что V1 — суперподмодуль. Лемма 2.6 завершает доказательство при i = 1. Пусть теперь i > 1, а Vi−1 — суперподмодуль супермодуля V . Заменяя V на V /Vi−1 и Vi на Vi /Vi−1 можно добиться того, чтобы Vi−1 = 0. Модуль Vi имеет цоколь W = L(λi )mi , который опять будет суперподмодулем в V . Действительно, W является наибольшей прямой степенью модуля L(λi ), лежащей в V . С другой стороны, Vi /W = Oi−1 (V /W ) — суперподмодуль супермодуля V /W по индуктивному предположению. В частности, Vi — суперподмодуль в V . Лемма 2.7 завершает доказательство теоремы.

§ 3. Теорема Донкина–Матье Теорема Донкина–Матье [24, 25] утверждает, что если однородные полиномиальные GL(m)-модули V и W степеней r и r′ , соответственно, имеют ▽-фильтрации, то и их тензорное произведение (относительно диагонального действия) тоже имеет такую фильтрацию. Эту теорему легко переформулировать на языке алгебр Шура. Возникает естественный вопрос — нельзя ли обобщить её на супералгебры Шура? Прежде всего, сформулируем проблему сразу на языке суперкоалгебр. Зафиксируем сигнатуру (m, n). В силу того, что A = A(m|n) — супербиалгебра, тензорное произведение двух S(r)- и S(r′ )-супермодулей V и W , или, эквивалентно, тензорное произведение двух A(r)- и A(r′ )суперкомодулей, имеет естественную структуру A(r + r′ )-суперкомодуля (относительно диагонального кодействия), а значит, и структуру S(r + r′ )супермодуля. Переформулируем вопрос следующим образом. Пусть V и W — ▽фильтрованные S(r)- и S(r′ )-супермодули, соответственно. Не будет ли их тензорное произведение (как супермодулей) ▽-фильтрованным S(r + +r′ )-модулем относительно определённого выше диагонального действия? В случае положительного ответа будем говорить, что для алгебры S(r) верна теорема Донкина–Матье. По теореме 2.8 достаточно доказать её для

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

331

супермодулей вида ▽(λ) и ▽(µ)c , λ, µ ∈ Λ(r)+ . ТЕОРЕМА 3.1. Теорема Донкина–Матье верна для всех супералгебр сигнатуры (1, 1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть p|r. Согласно [11, 19], Λ(1|1, r)+ = = Λ(1|1, r) = {(i, r − i) | 0 6 i 6 r}. Более того, все простые S(r)-модули одномерны. Для простоты будем обозначать вес (i, r − i) через i, 0 6 i 6 r. Взяв дуальную алгебру [19, предлож. 2.1], можно показать, что супермодуль I i (E) имеет следующую композиционную структуру: L(i) L(i − 1)c

L(i + 1)c , L(i)

где 0 < i < r. Супермодули I r (E), I 0 (E) имеют единственный композиционный ряд с факторами L(r), L(r − 1)c и L(0), L(1)c , соответственно. В частности, все I i (E) неразложимы и по лемме 2.3 совпадают с I(i), 0 6 i 6 r. Теперь понятно, что костандартный супермодуль ▽(i) при i > 0 совпадает с (единственным) суперподмодулем супермодуля I(i), имеющим композиционный ряд с факторами L(i), L(i−1)c . Обратно, если X — неразложимый модуль с композиционными факторами L(i), L(i − 1), то он очевидно вложим в I(i), т. е. изоморфен ▽(i). Наконец, ▽(0) = L(0). Если p не делит r, то S(r) полупроста, Λ(1|1, r)+ = {(i, r − i) | 1 6 6 i 6 r} и произвольный простой супермодуль L(i) двумерен. При этом dim L(i)i = dim L(i)i−1 = 1, а L(i)i является чётной частью L(i). Более L того, I i (E) = L(i) L(i + 1)c , 1 6 i 6 r − 1, и I r (E) = L(r), I 0 (E) = L(1)c . Зафиксируем пару целых положительных чисел r′ , r′′ таких, что

r′ + r′′ = r. Полагаем, что p > 0 и p делит r, иначе S(1|1, r) полупроста и утверждение тривиально. Рассмотрим случай, когда p не делит оба этих числа. Тогда алгебры S(r′ ), S(r′′ ) тоже полупросты, а их простые супермодули одновременно и стандартны, и костандартны. Из сказанного выше следует, что они, равно как и их дуальные, явдяются прямыми слагаемы′

еми супермодулей I (i,r −i) (E) и I (j,r

′′ −j)

(E), соответственно, где r′ > i > 0,

r′′ > j > 0. Таким образом, тензорное произведение двух костандартных

332

А. Н. Зубков

(или их дуальных) S(r′ )- и S(r′′ )- супермодулей будет прямым слагаемым ′

супермодуля I (i,r −i) (E) ⊗ I (j,r

′′ −j)

(E). Последний, по [26, следствие 2.1],

будет прямой суммой модулей I(k), 0 < k < r. Все такие I(k) будут ▽фильтрованы, и использование теоремы 2.8 завершает доказательство в этом случае. Рассмотрим случай p|r′ , p|r′′ . Возьмём, например два S(r′ )- и S(r′′ )супермодуля ▽′ (i) и ▽′′ (j)c , 0 6 i 6 r′ , 0 6 j 6 r′′ . Тензорное произведение ▽′ (i) ⊗ ▽′′ (j)c имеет фильтрацию с факторами ▽′ (i) ⊗ L′′ (j)c и ▽′ (i) ⊗ ⊗L′′ (j−1). Здесь L′′ (k) — это простой S(r′′ )-супермодуль веса k, 0 6 k 6 r′′ . Аналогичный смысл имеет обозначение L′ (s), 0 6 s 6 r′ . По лемме 2.3 и [26, замеч. 2.2] для любых i, j супермодуль ▽′ (i) ⊗ L′′ (j)c имеет цоколь L′ (i) ⊗ L′′ (j)c ∼ = L(i + j)c . Все его веса — это либо i + j, i + j − 1, либо j (при i = 0), поэтому ▽′ (i) ⊗ L′′ (j)c = ▽(i + j)c . Точно так же ▽′ (i) ⊗ ⊗L′′ (j − 1) ∼ = ▽(i + j − 1). Остальные комбинации тензорных множителей рассматриваются аналогично. Теорема доказана. Заметим, что алгебра S(1|1, r) появляется во многих теоремах, доказанных или цитированных в данной работе. В некотором смысле она является моделью поведения всех остальных неклассических супералгебр Шура так же, как, скажем, алгебра sl2 (K) является типичной моделью в классе полупростых алгебр Ли. Представляется правдоподобной следующая ГИПОТЕЗА 1. Теорема Донкина–Матье верна для супералгебр Шура произвольной сигнатуры. В заключение сформулируем ещё несколько проблем, решение которых, на наш взгляд, является важным для теории представлений супералгебр Шура. ПРОБЛЕМА 1. Дать описание множества Λ(m|n, r)+ для всех сигнатур (m, n). ПРОБЛЕМА 2. Дать описание ▽(λ) как суперподмодулей в I λ (E) для всех λ ∈ Λ(m|n, r)+ . Для доказательства гипотезы 1 было бы полезным явно указать все случаи, когда модули I λ (E) и I(λ) будут ▽-фильтрованы.

Подалгебры Бореля супералгебр Шура

333

ПРОБЛЕМА 3. Верно ли, что I λ (E) и I(λ) ▽-фильтрованы, если λ+ и λ− ненулевые? ЛИТЕРАТУРА 1. I. Schur, Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen, in: I. Schur, Gesammelte Abhandlungen I, Springer-Verlag, 1973, 1—70. 2. I. Schur, Uber die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe, in I. Schur, Gesammelte Abhandlungen I, Springer-Verlag, 1973, 65—85. 3. J. A. Green, Polynomial representations of GLn (Lect. Notes Math., 830), Berlin etc., Springer-Verlag, 1980. 4. S. Donkin, On Schur algebras and related algebras I, J. Algebra, 104, No. 2 (1986), 310—328. 5. B. Parshall, J. Wang, Quantum linear groups (Mem. Am. Math. Soc., 439), Providence, RI, Am. Math. Soc, 1991. 6. S. Donkin, The q-Schur algebras (London Math. Soc. Lect. Note Ser., 253), Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1998. 7. N. J. Muir, Polynomial representations of the general linear Lie superalgebra, Ph. D. Thesis, Univ. London, 1991. 8. E. Cline, B. Parshall, L. Scott, Finite dimensional algebras and highest weight categories, J. Reine Angew. Math., 391 (1988), 85—99. 9. V. Dlab, C. M. Ringel, Quasi-hereditary algebras, Illinois J. Math., 33, No. 2 (1989), 280—291. 10. J. A. Green, Combinatorics and the Schur algebra, J. Pure Appl. Algebra, 88, Nos. 1-3 (1993), 89—106. 11. F. Marko, A. N. Zubkov, Schur superalgebras in characteristic p, II, submitted to Proc. Lond. Math. Soc. 12. S. Donkin, Symmetric and exterior powers, linear source modules and representations of Schur superalgebras, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser., 83, No. 3 (2001), 647—680. 13. A. Berele, A. Regev, Hook Young diagrams with applications to combinatorics and to representations of Lie superalgebras, Adv. Math., 64, No. 2 (1987) 118— 175.

334

А. Н. Зубков

14. S. Donkin, Standard homological properties for quantum GLn , J. Algebra, 181, No. 1 (1996), 235—266. 15. V. Dlab, C. M. Ringel, The module theoretical approach to quasi-hereditary algebras, in: Representations of algebras and related topics, Proc., Tsukuba Int. Conf. (Kyoto/Jap., 1990) (Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., 168), Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1992, 200—224. 16. J. J. Graham, G. I. Lehrer, Cellular algebras, Invent. Math., 123, No. 1 (1996), 1—34. 17. I. Agoston, V. Dlab, E. Lukacs, Stratified algebras, C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can., 20, No. 1 (1998), 22—28. 18. E. Cline, B. Parshall, L. Scott, Stratifying endomorphism algebra (Mem. Am. Math. Soc., 591), 1996. 19. F. Marko, A. N. Zubkov, Schur superalgebras in characteristic p, to appear in: Algebr. Repr. Theory. 20. Y. A. Drozd, V. V. Kirichenko, Finite dimensional algebras, Berlin etc., Springer-Verlag, 1994. 21. M. E. Sweedler, Hopf algebras, New York, W. A. Benjamin, Inc., 1969. 22. J. A. Green, Locally finite representations, J. Algebra, 41, No. 1 (1976), 137— 171. 23. D. J. Woodcock, A vanishing theorem for Schur modules, J. Algebra, 165, No. 3 (1994), 483—506. 24. S. Donkin, Rational representations of algebraic groups: tensor products and filtrations (Lect. Notes Math., 1140), Berlin etc., Springer-Verlag, 1985. ´ Norm. Sup´er., IV. S´er., 23 25. O. Mathieu, Filtrations of G-modules, Ann. Sci. Ec. No. 4 (1990), 625—644. 26. A. N. Grishkov, F. Marko, A. N. Zubkov, Exactness of complexes of modules over Schur superalgebras, submitted to Algebra Colloq.

Поступило 5 мая 2004 г. Адрес автора: ЗУБКОВ Александр Николаевич, каф. геометрии, ОмГПУ, наб. Тухачевского, 14, Омск, 644099, РОССИЯ. e-mail: [email protected]