Молекулярная физика: Учебное пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю

В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

М О Л ЕК У Л Я РН А Я Ф И ЗИ К А

Л арион ов А .Н ., Ч ерн ыш ëв В.В., Л арион ова Н .Н . У Ч Е БНО Е П О СО БИ Е п о сп ециал ьностям физика микроэл ектроника и п олуп роводниковы е п риборы радиофизика и эл ектроника

В О РО Н Е Ж 2005

010701 (010400) 010803 (014100) 010801 (013800)

2

У тверж дено научно -методическим со ветом физическо г о факультета 22 ию ня 2005 г . п ро токо л№ 6

С о ставители: Л арио но вА.Н ., Ч ерны ш ëВ .В ., Л арио но ваН .Н .

У чебно е п о со бие п о дг о товлено на кафедре о бщ ей физики физическо г о факультетаВ о ро неж ско г о г о сударственно г о университета. Реко мендуется для студентовп ерво г о курсадневно г о о тделения физическо г о факультетасп ец иально стей: 010701 (физика), 010803 (микро электро ника и физика п о луп ро во днико в), 010801 (радио физика и электро ника), студентов второ г о курса вечернег о о тделения сп ец иально сти 010801 (радио физика и электро ника).

3

1. С ТРО Е Н И Е Ж И Д КО С ТИ . В Н У Т РЕ Н Н Е Е Д АВ Л Е Н И Е 2. С труктурно й х арактеристико й идеально г о г аза я вля ется х ао тическо е размещ ениемо лекули о тсутствие силвзаимо действия меж дуними. С труктурно й х арактеристико й идеально г о кристалла я вля ется стро г ий п о ря до к в размещ ении со ставля ю щ их ег о частиц и сильно е взаимо действие меж дуними. В реально м г азе действую тмеж мо лекуля рны е силы , слабы е п ри малы х п ло тно стях и увеличиваю щ иеся сро стом п ло тно сти. В реально м кристалле имею тся дефекты структуры – наруш ение зако но мерно г о размещ ения частиц , п ричем число этих дефектов во зрастает п ри увеличении темп ературы . Ж идко сти п о сво ей структуре, х арактерумо лекуля рно г о движ ения и физическим сво йствам занимаю тп ро меж уточно е п о ло ж ение меж дуреальны ми г азами и реальны ми кристаллами. П ри вы со ких темп ературах ж идко сти п о сво им сво й ствам сближ аю тся с г азами. У равнение В ан-дер-В аальса указы ваетна во змо ж но сть неп реры вно г о п ерех о да из ж идко г о со стоя ния в г азо о бразно е через критическую точку. В близи критическо й точки различия меж дуг азо м и ж идко стью незначительны , и ж идко стьдо неко торо й степ ени мо ж етрассматриваться как п ло тны й г аз. Н о изуравнения В ан-дер-В аальсаследует, что п ри темп ературах , значительно меньш их критическо й, различие меж дуж идким и г азо о бразны м со стоя нием значительно . М о лекуля рно -кинетическая тео рия х арактеризуетг азо о бразно е со стоя ние вещ ествабо льш ими средними расстоя ния ми меж думо лекулами, п ри этом теп ло во е движ ение мо лекул г аза сво дится к сво бо дно му движ ению на расстоя нии, равно м длине сво бо дно г о п ро бег а, в неско лько раз п ревы ш аю щ их размеры самих мо лекул. В г азах с заметно й ско ро стью п ро исх о дитдиффузия . В ж идко стях мо лекулы расп о лаг аю тся значительно ближ е другк друг у, чем в г азах . С илы взаимо действия вж идко стях значительно бо льш е, чем вг азах , п о этомудиффузия в ж идко стях п ро исх о дитзначительно медленнее, чем в г азах . В месте с тем, стро ение ж идко стей сущ ественно о тличается о тстро ения тверды х тел, г де диффузия п рактически о тсутствует. Ж идко сть о бладаетбо лее «ры х ло й » структуро й, чем твердо е тело , в ней имею тся сво бо дны е места – «ды рки», благ о даря ко торы м мо лекулы ж идко сти мо г утп еремещ аться , п о кидая сво и местаи занимая о днуизсво бо дны х со седних «ды ро к». С о г ласно тео рии, развитой Я .И . Ф ренкелем, каж дая мо лекула в течение неко торо г о п ро меж утка времени ко леблется о ко ло о п ределенно г о п о ло ж ения равно весия , п еремещ ая сьвремя о твремени нарасстоя ние п о ря дкаразмеро всамих мо лекул. В г азе средня я кинетическая энерг ия теп ло во г о движ ения мо лекул до статочна, чтобы п рео до леть силы п ритяж ения меж думо лекулами. П о этомуг аз расп ро страня ется п о всемуп редо ставленно муемуо бъ ему. В ж идко стях средней кинетическо й энерг ии теп ло во г о движ ения нех ватает, чтобы п рео до леть

4

силы сц еп ления . П о этомуж идко сть п редставля етсо бо й тело о п ределенно г о о бъ ема. В заимная п о тенц иальная энерг ия двух мелекул г аза имеет п ри неко торо м расстоя нии r0 меж ду мо лекулами минимум (рис.1). О днако г лубинао бразую щ ейся п о тенц иально й я мы невелика и меньш е средней кинетическо й энерг ии 1/2·kT, п рих о дя щ ейся на о днустеп ень сво бо ды . П о этомумо лекулы г аза не удерж иваю тся друго ко ло друг а, но сблизивш ись, сно варазлетаю тся . С редня я кинетическая энерг ия мо лекул ж идко сти недо статочна, чтобы п рео до летьсилы п ритяж ения мо лекул другк друг у. Рассмо трим неско лько мо лекул, расп о ло ж енны х вдо ль о дно й п ря мо й. Каж дая мо лекуланатако й п ря мо й имеетдве со седние мо лекулы - о днусп рава, друг ую слева. П о этомуп о тенц иальная энерг ия тако й мо лекул я вля ется суммо й двух кривы х , п о до бны х криво й, изо браж енно й нарис.1. Э ти кривы е п редставлены нарис.2.а п унктирны ми линия ми. С уммарная кривая (сп ло ш ная линия ) х арактеризуется г лубо ко й п о тенц иально й я мо й. Д ля со во куп но сти мо лекул о бразуется во лно о бразная п о тенц иальная я ма (рис.2.б). Г лубина о тдельны х п о тенц иальны х я м ΔЕ р бо льш е средней кинетическо й энерг ии, п рих о дя щ ейся на о дну степ ень сво бо ды мо лекулы ж идко сти 1/2·kT. П о этому каж дая мо лекула нах о дится в п о тенц иально й я ме о ко ло сво ег о п о ло ж ения равно весия . О днако для ж идко сти средня я энерг ия 1/2·kT не на мно го бо льш е глубины я мы ΔЕ р, в результате чег о кинетическая энерг ия о тдельно й мо лекулы , благ о даря наличию флуктуац ий , мо ж ето казаться до статочно й для тог о , чтобы мо лекула п рео до лела п о тенц иальны й барьер и заня лано во е место меж дудруг о й п аро й мо лекул. Рассмо тренны й х арактер движ ения мо лекул в ж идко стях о бъ я сня еткак малую ско ро сть диффузии в ж идко стях , так и бо льш ую , п о сравнению с г азами, вя зко стьж идко стей. В г азах внутреннее трение о бъ я сня ется п ерено со м ко личества движ ения мо лекул изсло я в сло й за счеттеп ло во г о движ ения мо лекул. В ж идко стях наря дус таким мех анизмо м внутреннег о трения имеетместо и друг о й, свя занны й с п ередачей ко личества движ ения за счетстолкно вений мо лекул другс друг о м анало г ично п ередачеко личествадвиж ения вдо льря да

5

со п рикасаю щ их ся меж ду со бо й уп руг их ш аро в. Ч исло со ударений мо лекул о братно п ро п о рц ио нально сво бо дно му о бъ ему меж ду мо лекулами, следо вательно , и вя зко сть ж идко стей о братно п ро п о рц ио нальна сво бо дно муо бъ ему. Д ля о дно г о мо ля ж идко сти сво бо дны й о бъ ем равен V0-b, г де V0 – мо ля рны й о бъ ем ж идко сти, а b – о бъ ем, занимаемы й мо лекулами п ри их п ло тно й уп ако вке, анало г ичны й п о п равке b в уравнении В ан-дер-В аальса. Т аким о бразо м, вя зко стьж идко сти η мо ж етбы тьо п исанафо рмуло й:

η=C/( V0-b),

г де С – ко нстанта. Э тафо рмула, вп ервы е п редло ж енная А.И . Бачинским, п рименимадля мно г их вя зких ж идко стей. Я .И . Ф ренкель, исх о дя изх арактера теп ло во г о движ ения ж идко сти, п о казал, что темп ературная зависимо сть вя зко сти ж идко сти до лж на вы раж аться фо рмуло й :

η = A ⋅ exp

∆E p kT

,

г деΔЕ р – г лубинап о тенц иально й я мы , вко торо й нах о дится каж дая мо лекула. С во йства ж идко сти мо ж но о п исать, рассматривая п о тенц иальную энерг ию мо лекулы , нах о дя щ ейся внутри ж идко сти, п о о тно ш ению к п о тенц иально й энерг ии мо лекулы вне ж идко сти. П о тенц иальная энерг ия мо лекулы внутри ж идко сти меньш е п о тенц иально й энерг ии мо лекулы вне ж идко сти. П о верх но стны й сло й ж идко сти нах о дится в ины х усло вия х , чем весь о бъ ем ж идко сти. Д ля п ерево да мо лекулы из ж идко сти наруж унео бх о димо п рео до леть п о тенц иальны й барьер, то есть со верш ить рабо ту. С редня я энерг ия теп ло во г о движ ения мо лекул ж идко сти недо статочна, чтобы со верш ить этурабо ту, п о этомуж идко стьсо х раня етсво й о бъ ем. Н акаж дую мо лекулуж идко сти действую тсилы п ритяж ения со сторо ны о круж аю щ их мо лекул, удаленны х о т нее на расстоя ние, не п ревы ш аю щ ее 1,5·10-9 м, то есть нах о дя щ их ся (ц ентрами) внутри сферы радиусо м r= =1,5·10-7м (рис.3), назы ваемо й сфероймол екул ярного действия. П о ско льку радиус самих мо лекул со ставля етп риблизительно R= =5·10-10 м, то r≈3R, то есть радиус сферы мо лекуля рно г о действия п риблизительно равен п о лутора диаметрам мо лекулы . С ледо вательно , каж дая мо лекулаж идко сти взаимо действуеттолько с неп о средственно п рилег аю щ ими к ней со седними мо лекулами. С илы , с ко торы ми эти мо лекулы действую т на рассматриваемую мо лекулу, нап равлены в различны е сторо ны и в среднем ко мп енсирую тся . Т аким о бразо м, результирую щ ая сила, действую щ ая на мо лекулу внутри ж идко сти со сторо ны друг их мо лекул, в среднем равнанулю . С илы , с ко торы ми действую т со седниемо лекулы намо лекулу, нах о дя щ ую ся нап о верх но сти ж идко сти, не

6

ко мп енсирую тся . П о этомуво зникаетрезультирую щ ая сила f , нап равленная внутрьж идко сти. Таким о бразо м, накаж дую мо лекулу, расп о ло ж енную о тп о верх но сти ж идко сти нарасстоя нии, меньш ем радиусамо лекуля рно г о действия r, со сторо ны других мо лекул дей ствуетсила, нап равленная внутрьж идко сти. Н а весь сло й, леж ащ ий уп о верх но сти ж идко сти, действую тсилы , нап равленны е но рмально п о верх но сти ж идко сти. П о верх но стны й сло й о казы вает на ж идко сть давление, назы ваемо е внутренним давл ением. П о д действием этог о давления мо лекулы ж идко сти сближ аю тся , что ведетк п о я влению сил о тталкивания , уравно веш иваю щ их силы сж атия . Э то давление тож дественно п о 2 п риро де с внутренним давлением p’ г азо в, учиты ваемы м п о п равко й a/V0 уравнения В ан-дер-В аальса:

(p +

a ) ⋅ (V0 − b) = RT . V02

(1)

Д ля во ды p’≈17000 ат. Д ля друг их ж идко стей внутреннее давление со ставля етп о ря дкадеся ти ты ся чатмо сфер. С илы мо лекуля рно г о п ритяж ения в п о верх но стно м сло е ж идко сти нап равлены внутрь о бъ ема ж идко сти. Е сли на ж идко сть не дей ствую твнеш ние силы , то равно весны м я вля ется тако е п о ло ж ение п о верх но сти, ко г дасилы мо лекуля рно г о п ритяж ения нап равлены но рмально п о верх но сти. П о этомуж идко сть, нако торую не действую твнеш ние силы , до лж нап о д действием сил мо лекуля рно г о давления п риня ть сферическую фо рму. М алы е кап ли ж идко сти, для ко торы х ро ль силы тяж ести невелика, п ринимаю т фо рму п равильны х сфер. Н ап ример, мо ж но ввести о ливко во е масло в смесь во ды со сп иртом, п о до бранную так, чтобы ее п ло тно сть о казалась равна п ло тно сти масла. То г да сила тяж ести, действую щ ая на масло , ско мп енсиро вана г идро статическим давлением, и масло п о д действием со бственно г о мо лекуля рно г о давления п ринимает п равильную сферическую фо рму(рис.4). 2. Ф У Н КЦ И Я РАД И АЛ Ь Н О Г О РАС П РЕ Д Е Л Е Н И Я . М О Л Е КУ Л Я РН О -КИ Н Е Т И Ч Е С КАЯ Х АРАК ТЕ РИ С ТИ К А Ж И Д КО Г О С О С ТО Я Н И Я Расп ределение мо лекул в ж идко стях о тличается о тих расп о ло ж ения в кристаллах тем, что в ж идко стях нетдальнег о п о ря дка, но естьближ ний п о ря до к. Д альний п о ря до к х арактеризуется наличием дискретны х расстоя ний меж дучастиц ами. Н ап ример, в п ло тно уп ако ванно м кристалле во змо ж ны только де n – ц ело е число , а – кратчайш ее меж атомно е расстоя расстоя ния a ⋅ n , г ние.

7

П ризнако м дальнег о п о ря дкая вля ется наличиесимметрии вразмещ ении и во змо ж но сть исп о льзо вания п ро странственно й реш етки для о п исания этой симметрии. К ж идко стям п о ня тие п ро странственно й реш етки неп рименимо , п о ско лькувж идко сти о тсутствуетдальний п о ря до к. Д ля х арактеристики ближ нег о п о ря дка в кристаллах , в ж идко стях и в амо рфны х тверды х телах п о льзую тся функц ией радиально г о расп ределения . П рименим функц ию радиально г о расп ределения для о п исания размещ ения сначала частиц твердо г о кристалла, а затем ж идко сти. Н а рис.5 изо браж ен элементарны й куб кристаллическо й реш етки меди, а на рис.6 – п ро екц ия реш етки нап ло ско стьрисунка. О бо значения нарис.5 и рис.6 со вп адаю т. П римем атом О за начало о тсчета. Ближ айш ие к немуатомы расп о ло ж ены в ц ентрах г раней во сьми элементарны х кубо в с о бщ им узло м в точке О .О бо значим симво ло м а расстоя ния о тузла О до этих атомо в и о п иш ем о ко ло точки О сферическую п о верх но сть радиусо м а. В п ло ско сти рис.6 нао п исанно й о ко ло точки О п о верх но сти радиусаа расп о ло ж ены четы ре атома: А1, А2, А3, А4. Такие ж е ко личества атомо в расп о ло ж ены на этой ш аро во й п о верх но сти в двух п ло ско стях , п ерп ендикуля рны х п ло ско сти рисункаи п ро х о дя щ их черезо си ZZ’ и XX’. Таким о бразо м, о бщ ее число атомо вна ш аро во й п о верх но сти радиусаа равно двенадц ати. О п иш ем о ко ло узлаО сферурадиусо м r2=OB1 (рис.5), квадратко торо г о 2 в дваразабо льш е а . Н аэтой п о верх но сти расп о ло ж ены дваатомаВ2 и В4 на о си XX’, два атома В1 и В3 на о си ZZ’ и два атома на п ерп ендикуля рно й к п ло ско сти рисунка о си YY’. Э ти атомы не п о казаны на рис.6 – их п ро екц ии сливаю тся с атомо м О . С ледо вательно , нарасстоя нии r2 о тузлаО нах о дится 6 атомо в. О п иш ем о ко ло узла О сферурадиусо м r3=OC3 (рис.5), равны м расстоя нию о татомаО до атомо вС1, С2, С3, ко торы е расп о ло ж ены насерединах г раней куба, не п ересекаю щ их ся вточке О . Т аких г раней вэлементарно м кубе три. О ко ло точки О размещ ено 8 элементарны х кубо в. Т аким о бразо м, о бщ ее число атомо в на ш аро во й п о верх но сти радиуса r3 равно 3·8=24. Г ео метриче2 2 ски мо ж но до казать, что r3 =3·а . П ро до лж ая такие п о стро ения для разны х 2 2 значений о тно ш ений r /a , п о лучим числаатомо в, п риведенны евтаблиц е:

r2/a2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

числ о атомов 12

6

24

12

24

8

48

6

36

24

8

Н арис.7 п о лученны е результаты изо браж ены в виде г рафикарадиально г о расп ределения атомо ввидеально м кристалле. Е сли о ко ло точки О о п исать сферические п о верх но сти радиусами, п ро меж уточны ми меж ду п риведенны ми в таблиц е, то на этих п о верх но стях не о каж ется ни о дно г о атома. Э то утверж дение сп раведливо только в том случае, если атомы неп о движ ны . Е сли учесть, что атомы ко леблю тся о ко ло п о ло ж ения равно весия , то есть мо г утп еремещ аться из п о ло ж ений равно весия и в радиально м нап равлении, о тно сительно атома, п риня тог о заначало о тсчета, то картина радиально г о расп ределения изменится следую щ им о бразо м. В о -п ервы х , числа атомо в на каж до й изп о верх но стей, о п исанны х о ко ло точки О , не будутв точно сти равны указанны м в таблиц е. В о -вторы х , во змо ж но п о я вление атомо в не только навп о лне о п ределенны х расстоя ния х r1, r2, r3,… о татомаО , но и нарасстоя ния х , немно г о бо льш их и немно г о меньш их этих значений. О п иш ем о ко ло п ро изво льно г о атома ж идко сти две сферы : о днурадиусо м r , а друг ую радиусо м r+Δr. В следствие теп ло во г о движ ения атомо в их 2 число в сферическо м сло е о бъ емо м 4·π ·r ·Δr будетизменя ться . О бо значим среднее число атомо в в сферическо м сло е симво ло м nr. То г да среднее число атомо введиниц е о бъ емаэтог о сло я равно :

ρ (r ) =

nr . 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ ∆r

В еличинуρ (r) назы ваю традиально й или бинарно й п ло тно стью . В ы делим до статочно бо льш о й о бъ ем ж идко сти V и о бо значим число атомо в в этом о бъ еме симво ло м N. Т о г да ρ 0=N/V – среднее число атомо в в единиц е о бъ ема п ри равно мерно м расп ределении п о о бъ ему. Значение ρ 0 не мо ж етбы ть равны м нулю , тог дакак ρ (r) равно нулю намалы х расстоя ния х о тданно й мо лекулы , а именно нарасстоя ния х в интервале о тr=0 до r, п риблизительно равно г о диаметрумо лекулы (так как вследствие сильно г о о тталкивания мо лекулы не мо г утсблизиться нарасстоя ние, меньш ее их диаметра). Д ля кристалло врадиальная п ло тно сть мо ж етбы ть равна нулю и на расстоя ния х , в неско лько раз бо льш их диаметра. Н а бо льш их расстоя ния х о тп ро изво льно г о атома п ло тно сть ρ (r) стано вится равно й средней п ло тно сти ρ 0. Рентг ено вские исследо вания ж идко стей п о казы ваю т, что ρ (r) стано вится близким к значению ρ 0 нарасстоя ния х , в 4– 5 разп ревы ш аю щ их диаметр атома(или мо лекулы ). Н о нарасстоя ния х , немно г о бо льш их диаметра атома, ρ (r) мо ж етбы ть как бо льш е, так и меньш е ρ 0, и, следо вательно , величина W(r)=ρ (r)/ρ 0 мо ж етбы ть бо льш е или меньш е единиц ы .

9

В еличину W(r) назы вается о тно сительно й веро я тно стью нах о ж дения атома на данно м расстоя нии о тп ро изво льно взя тог о атома. И з рис.8, нако торо м п риведен г рафик функц ии W(r) для ж идко г о зо ло тап о данны м рентг ено вских исследо ваний, следует, что п ри r<10Ǻ величина W(r) ко леблется о ко ло единиц ы . Н а расстоя ния х , бо льш их 10Ǻ ко лебаний нет. Т ако е размещ ение атомо в, ко г да расстоя ния , на ко торы х ρ (r)>ρ 0, чередуется с расстоя ния ми, нако торы х ρ (r)<ρ 0, назы вается ближ ним п орядком в размещ ении частиц . Ближ ний п о ря до к в ж идко стях расп ро страня ется на расстоя ния в неско лько атомны х диаметро в, а за-тем исчезает, п ричем расп ределение частиц набо льш о м расстоя нии о тп ро изво льно вы бранно й частиц ы рассматривается как х ао тическо е, п о до бно еразмещ ению мо лекул г аза. Рассмо трим о дин измо дельны х о п ы тов, иллю стрирую щ их ближ ний п о ря до к вж идко стях . О ко ло ты ся чи ж елатино вы х ш аро вдиаметро м п о 4 мм бы ли п о мещ ены в раство р ж елатина, налиты й в стекля нны й со суд, имею щ ий фо рмуп ря мо уг о льно г о п араллелеп ип еда. П ло тно стьраство раравнап ло тно сти ш аро в, п о этомуш ары в раство ре не всп лы вали и не тонули. Н еско лько ш аро в бы ли о краш ены в черны й ц вет, а о стальны е о ставались п ро зрачны ми и бы ли едва заметны в раство ре. К двум смеж ны м сторо нам п араллелеп ип еда бы ла п ло тно п риж ата фо тобумаг а, и о дно временно делались два фо тоснимка. П о сле длительно встря х ивания со судас ш арами сно ва делали снимки, и о п ерац ия мно г ократно п о вторя лась. П о снимкам бы ли вы числены расстоя ния меж дудвумя черны ми ш арами, азатем о п ределя ли, ско лько раз из о бщ ег о числа о п ы тов п о вторя лись те или ины е расстоя ния и рассчиты вались веро я тно сти п о я вления ш аро в на разны х расстоя ния х друго тдруг а. Э ти значения веро я тно сти п о казаны точками на рис.9. П о лученно е расп ределение о казало сь сх о дны м с расп ределением атомо в в ж идко й ртути, найденны м рентг ено г рафически, и п о казанны м на том ж ерисунке сп ло ш но й линией. В рентг ено г рафии ж идко стей часто вместо функц ий ρ (r) или W(r) п о льзую тся функц ией 4·π ·r2·ρ (r), ко торую со п о ставля ю тс функц ией 4·π ·r2ρ 0. Т ако ерасп ределениедля ж идко го зо ло та п риведено на рис. 10. Ко лебания криво й

10

4·π ·r2·ρ (r) о ко ло мо но тонно й криво й 4·π ·r2ρ 0 со о тветствую тко лебания м W(r) о ко ло W=1. Абсц исса п ика на рис.10 о п ределя етрадиус п ерво й ко о рдинац ио нно й сферы , а п ло щ адь п о д п ервы м максимумо м – число атомо в в этой сфере. Т аким о бразо м, мо ж но п о лнее сфо рмулиро ватьо со бенно сти ж идко г о со стоя ния в рамках мо лекуля рно -кинетическо й тео рии. О сно вны ми мо лекуля рно -кинетическими х арактеристиками вещ ества в данно м со стоя нии я вля ю тся степ ень уп о ря до ченно сти в размещ ении частиц и энерг ии взаимо действия меж дуними. 3. П О В Е РХ Н О С Т Н О Е Н АТ Я Ж Е Н И Е Рассмо трим мо лекулу, расп о ло ж енную внутри ж идко сти, налитой в со суд (рис.11, а, б). С о всех сторо н о нао круж енав среднем о динако вы м число м мо лекул, п о этомурезультирую щ ая силап ритяж ения сил, действую щ их намо лекулу, всреднем равнанулю .Н ад мо лекулами, расп о ло ж енны ми нап о верх но сти ж идко сти (рис.11, в, г ), ко нц ентрац ия мо лекул г аза мала п о сравнению с ко нц ентрац ией мо лекул в ж идко сти. П о этому равно дей ствую щ ая сил, дей ствую щ их на мо лекулу, не равна нулю и нап равлена внутрь ж идко сти п ерп ендикуля рно ее п о верх но сти. В тако м п о ло ж ении нах о дя тся все мо лекулы , расп о ло ж енны е в сло е ж идко сти толщ ино й, п риблизительно равно й радиусусферы мо лекуля рно г о дей ствия . П о этому п о верх но стны й мо но мо лекуля рны й сло й -9 ж идко сти толщ ино й 1,5·10 м о казы ваетна всю ж идко сть давление, равно е сумме равно действую щ их сил, п рило ж енны х к мо лекулам данно г о сло я . П о ско льку силы внутреннег о давления нап равлены п ерп ендикуля рно п о верх но сти ж идко сти, то масса ж идко сти, не п о дверж енная действию внеш них сил (рис.12.а), до лж на п риня ть фо рмуш ара (рис.12.б), так как только в этом случае силы внутреннег о давления взаимно уравно веш иваю тся . Рассмо тренно е я вление мо ж но наблю датьнамаленьких кап ля х ж идко сти, для ко торы х действие силы тяж ести п ренебреж имо мало п о сравнению с действием сил внутреннег о давления . С ферическую фо рму п ринимаю т, нап ри- мер, мелкие до ж девы е кап ли, кап ли масла, налитог о в ж идко сть с близко й п ло тно стью (о п ы т П лато). В этом случае = сила

11

тяж ести, действую щ ая намасло , со г ласно зако нуАрх имедако мп енсируется вы талкиваю щ ей сило й о круж аю щ ей ж идко сти, делая кап ли маслакак бы невесо мы ми. Ф о рме ш арасо о тветствуетнаименьш ая п о верх но стьданно г о о бъ ема. С ледо вательно , п о д дей ствием сил внутреннег о давления п о верх но сть ж идко сти со кращ ается до минимальны х размеро в, то естьп о верх но стны й сло й ж идко сти п о до бен эластично растянутой п ленке. В се я вления , вы званны е внутренним давлением, мо ж но о бъ я снить, рассматривая дей ствие тако й растянутой п ленки. В ы делим мы сленно на п о верх но сти ж идко сти круг о во й ко нтур длино й ℓ (рис.13). М о лекулы ж идко сти, со ставля ю щ ие ко нтур, п ритяг иваю тся мо лекулами, расп о ло ж енны ми внутри ко нтура. С илы п ритяж ения нап равлены п о касательно й к п о верх но сти ж идко сти и п ерп ендикуля рно к ко нтуру. С уммасил п ритяж ения , действую щ их на ко нтур, о г раничиваю щ ий п о верх но сть ж идко сти, назы вается силой п оверхностного натяж ения. Э та сила п ро п о рц ио нальна числумо лекул, п рилег аю щ их к ко нтуру, ко торо еп ро п о рц ио нально длинеℓ ко нтура, то есть

F=σ ·ℓ,

(2)

г де ко эффиц иентп ро п о рц ио нально сти σ , завися щ ий о тп риро ды ж идко сти, назы вается коэффициентом п оверхностного натяж ения. С тако й ж е сило й п о верх но стно г о натяж ения нако нтур действую ти мо лекулы , расп о ло ж енны евне ег о , п о этомуко нтур нах о дится вравно весии. Д ействие силы п о верх но стно г о натяж ения мо ж но о бнаруж ить, если, «натянув» мы льную п ленкуна п ро во ло чную рамку, п о ло ж ить на п ленкуко нтур из тонко й нити (рис.14.а), а затем п ро ткнуть п ленку внутри п етли (рис.14.б). П о д действием силы п о верх но стно г о натяж ения со сторо ны со х ранивш ейся части п ленки ко нтур немедленно растянется , п риня в фо рмуо круж но сти. И зфо рмулы (2) следует:

σ =F/ℓ.

(3)

Т аким о бразо м, ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения равен о тно ш ению силы п о верх но стно г о натяж ения , действую щ ей на ко нтур, о г раничиваю щ ий п о верх но стьж идко с-ти, к длине этог о ко нтура. В ы раж ается ко эффиц иентσ в (Н/м). Ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения ж идко -2 -1 сти имеетп о ря до к 10 -10 Н/м; нап ример, для во ды о н равен 0,73 Н/м, для ртути – 0,54 Н/м. П о вы ш ение темп ературы п риво дитк уменьш ению ко эффи-

12

ц иента п о верх но стно г о натяж ения вследствие расстоя ния меж думо лекулами ж идко сти.

увеличения

среднег о

Д ля увеличения п о верх но сти ж идко сти нео бх о димо со верш ить рабо ту п ро тив мо лекуля рны х сил. Растяж ение п о верх но стно г о сло я со п ро во ж дается п еремещ ением извнутренних сло ев нап о верх но стьно вы х мо лекул ж идко сти. Э томуп реп я тствую тнап равленны е внутрь ж идко сти силы п ритяж ения мо лекул, расп о ло ж енны х внутри ж идко сти. П ри со кращ ении п о верх но сти мо лекуля рны е силы сами со верш аю трабо туп о п еремещ ению «лиш них » мо лекул с п о верх но сти в г лубь ж идко сти. Т аким о бразо м, п ри растяж ении п о верх но сти ж идко сти ее п о тенц иальная энерг ия увеличивается , п ри со кращ ении - уменьш ается . Э нерг етический смы сл ко эффиц иентап о верх но стно г о натяж ения мо ж но устано вить, о п ределив рабо ту, со верш аемую п ри уменьш ении п ло щ ади п о верх но сти ж идко сти. Д ля этог о рассмо трим ж идкую п ленку, натянутую на п ро во ло чную рамку, п равая сторо на ко торо й длино й ℓ мо ж етсво бо дно п еремещ аться влево о тнеко торо г о п ерво начально зафиксиро ванно г о п о ло ж ения (рис.15). П о д действием п о стоя нно й силы п о верх но стно г о натяж ения этасторо на будет п еремещ аться влево , а п о верх но сть п ленки – со кращ аться . Рабо та ΔА, со верш енная п ри со кращ ении п ленки вследствие п еремещ ения рамки нарасстоя ние Δх, вы раж ается фо рмуло й:

ΔA=F·Δx=2·σ ·ℓ·Δx=σ ·ΔS, г де ΔS=2·ℓ·Δx – изменение п ло щ ади п о верх но сти п ленки. С о мно ж итель2 о бусло влен тем, что п ленкаимеетдвеп о верх но сти. Рабо та ΔA со верш ается за счетуменьш ения п о тенц иально й энерг ии п о верх но сти п ленки. П ри растяж ении п ленки п о тенц иальная энерг ия мо лекул, п еремещ аю щ их ся на п о верх но сть, увеличивается , а их кинетическая энерг ия (энерг ия теп ло во г о движ ения ) со о тветственно уменьш ается . В результате п ри растяж ении п ленка неско лько о х лаж дается . П ри наг ревании п ленка будетнаг реваться . И зменение темп ературы п ленки вы зы ваетизменение ко эффиц иента п о верх но стно г о натяж ения . Д ля тог о чтобы о бесп ечитьнеизменно стько эффиц иента п о верх но стно г о натяж ения σ , п ро ц есс растяж ения или сж атия п ленки следуетп ро изво дитьизо термически. Т а часть п о тенц иально й энерг ии п о верх но сти ж идко сти, ко торая мо ж ет п ерей ти врабо туп о изо термическо мусо кращ ению п о верх но сти ж идко сти, назы вается свободнойэнергией п о верх но сти ж идко сти ΔW: ΔW= ΔA=σ ·ΔS. С во бо дная энерг ия всей п о верх но сти ж идко сти равна п ро изведению ко эффиц иентап о верх но стно г о натяж ения нап ло щ адьэтой п о верх но сти:

W=σ ·S, Т аким о бразо м, ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения равен о тно ш ению сво бо дно й энерг ии п о верх но сти ж идко сти к п ло щ ади этой п о верх но сти:

13

σ =W/S. П о этому ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения мо ж но вы раж ать такж е в 2 (Д ж /м ). С ущ ество вание п о верх но стно й п ленки мо ж но о бнаруж ить, если, нап ример, аккуратно п о ло ж ить на во дулезвие безо п асно й бритвы : слег ка п ро г нув п о верх но стную п ленку, лезвие о станется леж ать на ней. В во до емах улитка п рудо вик п о лзаетп о ниж ней сторо не п о верх но стно й п ленки во ды , как мух ап о п о толку. С лип ание мо кры х во ло с, мо кры х п есчино к такж е свя зано с ж идкими п ленками, сих стремлением п рио брести минимальную п о верх но сть. П ри со п рико сно вении другс друг о м неско льких мо кры х п есчино к (рис.16.а) о круж аю щ ие их тонкие во дя ны е о бо ло чки сливаю тся в о дну(рис.16.б), меньш е суммы п о верх но стей о бо ло чек на о тдельны х п есчинках . В следствие этог о ко мп лекс п есчино к о каж ется п ро чно стянуты м п о верх но стно й п ленко й во ды . Н а ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения ж идко сти бо льш о е влия ние о казы ваю тнах о дя щ иеся вней п римеси. Н ап ример, мы ло , раство ренно е в во де, уменьш аетее ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения о т0,073 Н/м до 0,045 Н/м. В ещ ества, уменьш аю щ ие ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения , назы ваю тся п оверхностно-активны ми. П о о тно ш ению к во де п о верх но стно -активны ми я вля ю тся , нап ример, сп ирт, эфир, мы ло , нефть. В лия ние п о верх но стно -активны х вещ еств нако эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения о бъ я сня ется тем, что силы п ритяж ения меж ду мо лекулами ж идко сти бо льш е сил п ритяж ения меж думо лекулами ж идко сти и п о верх но стно -активны ми п римеся ми. П о этомурасп о ло ж енны е в п о верх но стно м сло е мо лекулы ж идко сти п ритяг иваю тся внутрь ж идко сти сильнее, чем мо лекулы п римеси. В результате мо лекулы ж идко сти п ерех о дя тизп о верх но стно г о сло я внутрь ж идко сти, а мо лекулы п о верх но стно -активно г о вещ ества п ерех о дя тна п о верх но сть. Н еко торы е вещ ества увеличиваю тко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения ж идко сти, если их мо лекулы взаимо действую тс мо лекулами ж идко сти сильнее, чем мо лекулы ж идко сти меж дусо бо й. О чевидно , что мо лекулы таких п римесей будутвтянуты внутрь ж идко сти и в п о верх но стно м сло е о станутся п реимущ ественно мо лекулы ж идко сти. Ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения во ды увеличиваю тсо льи сах ар. Т аким о бразо м, п о верх но сть мы льно й п ленки со стоитп реимущ ественно измо лекул мы ла, п о верх но стьво дно г о раство расп ирта– измо лекул сп ирта, а п о верх но стьво дно г о раство расах ара– п реимущ ественно измо лекул во ды . 4. Д АВ Л Е Н И Е П О Д И ЗО Г Н У Т О Й П О В Е РХ Н О С Т Ь Ю

Ж И Д КО С ТИ

14

П о ско льку п о верх но стная п ленка ж идко сти п о сво им сво й ствам сх о дна с растянутой уп руг о й п ленко й , то п ленка, о г раниченная п ло ским ко нтуро м, стремится п риня ть фо рму п ло ско сти. П о этому вы п уклая п ленка стремится стать п ло ско й и о казы ваетдавление на расп о ло ж енны е ниж е сло и ж идко сти (рис.17.а), а во г нутая – их растяг ивает (рис.17.б). Т аким о бразо м, вся кая изо г нутая п о верх но сть о казы ваетнаж идко сть давление, до п о лнительно е п о сравнению с тем, ко торо е исп ы ты ваетж идко сть с п ло ско й п о верх но стно й п ленко й; в случае вы п укло й п о верх но сти это до п о лнительно е давленеие п о ло ж ительно , авслучаево г нутой – о триц а-тельно . П о лучим вы раж ение до баво чно г о давления , со здаваемо г о сферическо й п о верх но стью ж идко сти радиусо м R. В ы делим нап о верх но сти сферы сег мент мало й п ло щ ади ΔS (рис.18). С илы п о верх но стно г о натяж ения , п рило ж енны е к ко нтуруэтог о сег мента, нап равлены п о касательны м к сферическо й п о верх но сти. С илаΔf, п рило ж енная к элементуко нтураΔℓ, равна:

Δf=σ ·Δℓ. П о ско лькуэта сила нап равлена п о касательно й к сферическо й п о верх но сти, о на со ставля етнеко торы й уг о л с радиусо м О С. П о этому со ставля ю щ ая Δf1 этой силы , нап равленная п араллельно радиусу О С, о тлична о тнуля . В случае вы п укло й п о верх но сти ж идко сти ц ентр С расп о ло ж ен внутри ж идко сти и силаΔf1 сж имаетж идко стьп о д сег ментом ΔS, то есть со здаетп о ло ж ительно е давление. В случае во г нутой п о верх но сти ц ентр С нах о дится вне ж идко сти и сила Δf1 растяг иваетж идко сть, то есть о казы ваето триц ательно едавление. С илаΔf1 равна:

Δf1= Δf·sinφ= σ ·Δℓ·sinφ. Э та сила Δf1 п рило ж ена к элементуΔℓ ко нтура. Т акие ж е силы п рило -

ж ены ко всем друг им элементам ко нтура. П о этому ко всему сферическо му сег ментуΔS п араллельно радиусуО С п рило ж енасила:

f1 = ∑ ∆f1 = σ ⋅ sin ϕ ⋅ ∑ ∆l.

С умма ∑ ∆l. равна длине ко нтура, о г раничиваю щ ег о ш аро во й сег мент

ΔS. Э тотко нтур п редставля етсо бо й о круж но сть, радиус ко торо й о бо значим симво ло м r, тог да ∑ ∆l = 2 ⋅ π ⋅ r , следо вательно :

15

f1=σ ·2·π ·r·sinφ. И з рис.18 мо ж но о п ределить sinφ=r/R. П о дстано вка вы раж ения sinφ в п о следнее уравнениеп о зво ля ето п ределитьсилуf1 :

σ ⋅ 2 ⋅π ⋅ r 2 f1 = . R Разделив силуf1 на п ло щ адь той части п ло ско сти, ко торая о г раничена ко нтуро м сег мента, то есть на п ло щ адь о круж но сти радиусо м r, мо ж но вы разитьдавлениер:

о ко нчательно :

σ ⋅ 2 ⋅π ⋅ r2 p= , R ⋅π ⋅ r2

(4)

2 ⋅σ . (5) R Э та фо рмула х арактеризуетдо баво чно е давление р, о казы ваемо е на ж идко сть со сторо ны сферическо й п о верх но сти. Э то давление п ря мо п ро п о рц ио нально ко эффиц иентуп о верх но стно г о натяж ения σ и о братно п ро п о рц ио нально радиусуп о верх но сти R. Ч ем сильнее искривлена п о верх но сть, тем меньш е ее радиус R и, следо вательно , тем бо льш едо баво чно едавление р. Н аличие до баво чно г о давления п о д изо г нутой п о верх но стью ведет, нап ример, к тому, что внутри мы льно г о п узы ря во здух нах о дится п о д бо льш им давлением, чем внеш ний во здух . Разно сть давлений во здух а внутри и вне п узы ря тем бо льш е, чем меньш ерадиус п узы ря . Э то мо ж но п ро демо нстриро вать с п о мо щ ью о п ы та, сх ема ко торо г о п риведена на рис.19. Здесь на ко нц ах стекля нно й трубки нах о дя тся два мы льны х п узы ря А и В разны х диаметро в. Т о г давменьш ем п узы ре во здух о каж ется п о д бо льш им давлением, и будетп еретекать п о трубке в бо льш ий п узы рь. В результате меньш ий п узы рьисчезнет, або льш ий – увеличится вразмерах . p=

5. Ф О РМ У Л А Л АП Л АС А В ы раж ение (5) для до баво чно г о давления , со здаваемо г о сферическо й п о верх но стью , мо ж но о бо бщ ить для изо г нутой п о верх но сти п ро изво льно й фо рмы . Д ля этог о рассмо трим п ро изво льную кривую п о верх но сть и во сстано вим в точке О но рмальON к этой п о верх но сти. П ро ведем черезно рмальп ло ско сть Р 1. Л иния п ересечения этой п ло ско сти с п о верх но стью назы вается но рмальны м сечением.

16

Д ля сферы лю бо е но рмально е сечение п редставля етсо бо й кругА1В1 (рис.20), радиус R ко торо г о со вп адаетс радиусо м само й сферы . Кривизнасферы о п ределя ется вы раж ением: C=1/R. Д ля п ро изво льно й криво й п о верх но сти различны е но рмальны е сечения , п ро веденны е через о днуи туж е точкуО , я вля ю тся различны ми г ео метрическими кривы ми, аследо вательно , имею тразную кривизну. Н а рис.20 п о казаны два различны х но рмальны х сечения , п ро веденны х черезо днуи туж е точкуО . О дно изэтих сечений даетдуг уА1В1 с радиусо м кривизны О С1=R1; друг о е - дуг уА2В2 с радиусо м кривизны О С2= R2. И звестно , что если через точку О лю бо й криво й п о верх но сти п ро вести двавзаимно п ерп ендикуля рны х но рмальны х сечения А1В1 и А2В2, радиусы кривизны ко торы х равны R1 и R2, то кривизна п о верх но сти мо ж етбы ть о п исана уравнением:

C=

1 1 + . R1 R2

В еличина С имеет о дно и то ж е значение для лю бо й п ары таких взаимно п ерп ендикуля рны х но рмальны х сечений. В еличина С назы вается среднейкривизной п оверхности в точке О . В ы берем накриво й п о верх но сти ж идко сти п ро изво льно й фо рмы точкуО и п ро ведем через нее два взаимно п ерп ендикуля рны х но рмальны х сечения А1В1 и А2В2 с радиусами кривизны R1 и R2 (рис.21). Рассмо трим о ко ло точки О малы й криво линейны й четы рех уг о льник DEFG. Д линудуг и DE=FG о бо значим симво ло м Δℓ1, адлинудуг и DG=EF – симво ло м Δℓ2. Т о г дап ло щ адь рассматриваемо г о четы рех уг о льникаравна: ΔS= Δℓ1 Δℓ2. С ила п о верх но стно г о натяж ения Δf1, п рило ж енная к сторо неDE, равна:

Δf1=σ ·Δℓ1.

Д ля о п ределения давления , действую щ ег о на ж идко сть со сторо ны изо г нутой п о верх но сти, нео бх о димо о п ределить со ставля ю щ ую этой силы Δf1’, нап равленную п араллельно радиусу О С1 (рис.21): п ричем

Δf1’= Δf1·sinφ 1,

sinφ 1≈φ 1=OA1 /OC1.

(6)

17

П о ско льку О А1=Δℓ2 /2, а о трезо к радиус R1 но р-мально г о сечения А1В1

О С1п редставля ет со бо й

sinφ 1≈ Δℓ2 /2R1.

П о дстано вка п о лученно г о уравнения в фо рмулу(6) п о зво ля етвы разить силуΔf1’:

∆f1' = σ ⋅ ∆l1 ⋅ ∆l 2 ⋅

1 . 2 R1

У читы вая , что Δℓ1 Δℓ2= ΔS, п о следнеевы раж ение мо ж но п рео бразо вать к виду:

∆f1' = σ ⋅ ∆S ⋅

1 . 2 R1

Н а сторо нуFG действуетсо ставля ю щ ая силы , равная Δf1’. Н а сторо ну DG дей ствуетсилаΔf2’, нап равленная п араллельно радиусуО С1, равная :

∆f 2' = σ ⋅ ∆S ⋅

1 . 2 R2

Т акая ж е со ставля ю щ ая Δf2’ действуетнасторо нуEF . С уммарная сила, действую щ ая на все сторо ны четы рех уг о льника DEFG п араллельно радиусу О С1, равна:

∆f ' = ∆f1' + ∆f1' + ∆f 2' + ∆f 2' = = 2 ⋅ σ ⋅ ∆S ⋅

1 1 + 2 ⋅ σ ⋅ ∆S ⋅ , 2 R1 2 R2

о ко нчательно :

1 1  ∆f ' = σ ⋅ ∆S ⋅  +  .  R1 R2  В ы раж ение в ско бках п редставля етсо бо й средню ю кривизнуп о верх но сти в точке О и не зависито твы бо равзаимно п ерп ендикуля рны х но рмальны х сечений А1В1 и А2В2. Д авление, о казы ваемо е изо г нутой п о верх но стью на ж идко сть, мо ж но найти, разделивзначениесилы Δf’нап ло щ адьΔS :

1 1  p = σ ⋅  + .  R1 R2  Э то вы раж ение, назы ваемо е формулой Л ап л аса, п о зво ля ет рассчитать до баво чно е давление р , о бусло вленно е искривленно й п о верх но стью ж идко сти п ро изво льно й фо рмы .

18

Д ля сферы R1=R2=R, г де R – радиус сферы , до баво чно е давление равно :

p=

2 ⋅σ . R

О п ределим до баво чно е давление, со здаваемо е п о -верх но стью ц илиндрическо й фо рмы (рис.22). В качестве о дно г о из но рмальны х сечений вы берем сечение, расп о ло ж енно е вдо ль о бразую щ ей ц илиндра. Э то сечение п редставля етсо бо й п ря мую , для ко торо й R1=∞ . В торо е, п ерп ендикуля рно е емусечение, п редставля етсо бо й о круж но сть, радиус ко торо й R2 равен радиусуц илиндраR. Д о баво чно едавлениеп о д ц илиндрическо й п о верх но стью равно :

p=

σ . R

6. Я В Л Е Н И Я Н А Г РАН И Ц Е Ж И Д КО С ТИ И ТВ Е РД О Г О Т Е Л А. КАП И Л Л Я РН Ы Е Я В Л Е Н И Я П ри изучении ко нтакта ж идко сти с тверды м тело м нео бх о димо учиты вать как силы взаимо действия меж думо лекулами ж идко сти, так и силы взаимо действия меж думо лекулами ж идко сти и твердо г о тела. П ри этом во змо ж ны дваслучая : 1) силы взаимо действия меж думо лекулами ж идко сти бо льш е, чем силы взаимо дей ствия меж думо лекулами ж идко сти и твердо г о тела; 2) силы взаимо дей ствия меж думо лекулами ж идко сти меньш е, чем силы взаимо действия меж думо лекулами ж идко сти и твердо г о тела. В п ерво м случае имеетместо несмачивание ж идко стью твердо г о тела. П ри несмачивании в сло е ж идко сти, п рилег аю щ ем к твердо мутелу, результирую щ ая сила нап равлена в сторо нуж идко сти. В равно весно м со стоя нии п о верх но сть ж идко сти но рмальна силе, вследствие чег о п о верх но сть несмачиваю щ ей ж идко сти у вертикально й стенки расп о лаг ается , как п о казано на рис.23.а. К ап ля несмачиваю щ ей ж идко сти п ринимает на г о ризо нтально й п о верх но сти фо рму п рип лю снутой сферы (рис.23.б). У г ол ϑ меж дукасательно й к п о верх но сти ж идко сти и п о верх но стью твердо г о тела назы вается краевы м угл ом. В случае несмачивания крае-во й уг о л туп о й: ϑ ≥π /2. П ри ϑ =π имеет место п олное несмачивание. В о второ м случае, ко г да силы взаимо действия меж ду мо лекулами ж идко сти меньш е, чем силы взаимо действия меж ду

19

мо лекулами ж идко сти и твердо г о тела, имеет место смачивание ж идко стью п о верх но сти твердо г о тела. П ри смачивании в сло е ж идко сти, п рилег аю щ ем к твердо му телу, равно действую щ ая силанап равленавсторо нутвер-до г о тела. В этом случае краево й уг о л о стры й, то есть ϑ ≤π /2.Е сли ϑ =0, то имеетместо п олное смачивание. Н а рис. 24.а п редставлено п о ло ж еие смачиваю щ ей ж идко сти у вертикально й твердо й стенки, а нарис24.б вид кап ли смачиваю щ ей ж идко сти наг о ризо нтально й п о верх но сти. Кап ля ж идко сти, п о мещ енная на г о ризо нтальную п о верх но сть твердо г о тела, ко торо е о на п о лно стью смачивает, растекается п о п о верх но сти. Кап ля несмачиваю щ ей ж идко сти п ринимаетбо лее или менее сферическую фо рму(в зависимо сти о тее размеро в) и лег ко п еремещ ается п о п о верх но сти твердо г о тела. О дна и та ж е ж идко сть смачиваето дни и не смачиваетдруг ие тверды е тела. Н ап ример, во да п рактически п о лно стью смачиваетчистую п о верх но сть стеклаи не смачиваетп арафин. Ртутьне смачиваетстекло и смачиваетчистую п о верх но стьж елеза. П о верх но стьсмачиваю щ ей ж идко сти, нах о дя щ ейся в узко й ц илиндрическо й трубке, п ринимаетво г нутую фо рму(рис.25.а), а несмачиваю щ ей ж идко сти – вы п уклую фо рму (рис.25.б). И скривленная п о верх но сть ж идко сти вблизи г раниц ы ее со п рико сно вения с тверды м тело м (нап ример, устено к со суда), назы вается мениском (о тг реческо г о mẻnỉskos – п олумесяц). Д авление п аро в над во г нутой п о верх но стью ниж е, а над вы п укло й п о верх но стью вы ш е, чем над п ло ско й п о верх но стью ж идко сти. Э тим и о бъ я сня ю тся кап илля рны ея вления . Рассмо трим узкую трубку, п о г руж енную о дним сво им ко нц о м в ж идко сть, налитую в ш иро кий со суд. Е сли ж идко сть смачиваетматериал, изко торо г о сделана трубка, тог да внутри трубки мениск во -г нуты й (рис.26) и п ри круг ло м сечении трубки п риб-лиж енно п редставля етсо бо й частьсферы . П о д во г нутой п о верх но стью ж идко сти во зникаетдо баво чно ео триц ательно едавление:

p=

2 ⋅σ , R

г деR – радиус п о верх но сти ж идко сти. П о ско лькуп о д п ло ско й п о верх но стью ж идко сти до баво чно е давление о тсутствует, то ж идко сть п о днимется п о трубке на такую вы со туh, п ри ко то-ро й давление столба ж идко сти уравно веситдавление р. Д авление, со здаваемо е столбо м ж идко сти вы -

20

со той h, равно ρ ·g·h, г де ρ – п ло тно сть ж идко сти, g уско рение силы тяж ести. Т аким о бразо м, усло вие равно весия ж идко сти в трубке мо ж но зап исатьввиде:

2 ⋅σ = ρ ⋅ g ⋅ h. R

p=

О бо значив симво ло м r – радиус трубки и ϑ - краево й уг о л, радиус п о верх но сти ж идко сти втрубке мо ж но вы разитьввиде:

R=

r . cos ϑ

П о дстано вка этог о вы раж ения в п реды дущ ую фо рмулуп о зво ля етвы разитьвы со тустолбаж идко сти втрубке:

h=

2 ⋅ cos ϑ ⋅ σ . ρ ⋅ g ⋅r

(7)

О бо значая симво ло м d=2r диаметр трубки, мо ж но п рео бразо вать п о следню ю фо рмулу:

h=

4 ⋅ cos ϑ ⋅ σ . ρ ⋅ g ⋅d

(8)

Т аким о бразо м, вы со та столба ж идко сти в трубке тем бо льш е, чем меньш едиаметр трубки. П о этомуп о дня тиесмачиваю щ их ж идко стей о со бенно заметно в узких трубках . У зкие трубки назы ваю тся кап илл ярны ми о тлатинско г о сло ва capiℓℓus – волос. Я вление изменения уро вня ж идко сти в о чень узких трубках назы вается кап ил л ярны м. П ри данно м радиусе r кап илля рно й трубки вы со тастолбаж идко сти тем бо льш е, чем бо льш е ко эффиц иентп о верх но стно г о натяж ения ( σ ), то естьчем сильнее п ро исх о дитсмачивание (чем меньш е краево й уг о л ϑ ) и чем меньш е п ло тно стьρ ж идко сти. П ри п о лно м смачивании ( ϑ = 0 ) фо рмула(7) п ринимаетвид:

h=

2 ⋅σ . ρ ⋅ g ⋅r

(9) Е сли ж идко сть не смачиваетматериал трубки, то мениск ж идко сти в трубке вы п уклы й, со здаваемо е этим мениско м до баво чно е давление п о ло ж ительно и уро вень ж идко сти в трубке о казы вается ниж е, чем в ш иро ко й части со суда (рис.27). В еличина п о ниж ения уро вня h несмачиваю щ ей ж идко сти о п ределя ется теми ж е фо рмулами (7), (8) и (9), что и вы со тап о дня тия

21

смачиваю щ ей ж идко сти. Ф о рмула (9) мо ж етбы ть исп о льзо вана для о п -ределения ко эффиц иента п о верх но стно г о натяж ения . Д ля этог о стараю тся п о до брать тако й материал, чтобы смачивание (или несмачивание) бы ло п о лны м. Зная радиус трубки r, п ло тно сть ж идко сти ρ и измерив вы со тустолба р, с п о мо щ ью фо рмулы (9) вы числя ю тзначение σ . М но г ие сво йства дисп ерсны х систем в значительно й мере о бусло влены кап илля рны ми я вления ми, так как в тонких п о рах этих тел реализую тся вы со кие кап илля рны едавления .

7. РАС ТЕ КАН И Е КАП Л И П О П О В Е РХ Н О С Т И Ж И Д КО С ТИ Рассмо трим кап лю неко торо й ж идко сти (I, нарис.28), расп о ло ж енную на п о верх но сти CD друг о й, бо лее п ло тно й ж идко сти II. О бо значим ко эффиц иент п о верх но стно г о натяж ения п ерво й ж идко сти симво ло м σ 1 и второ й ж идко сти – симво ло м σ 2. Н а г раниц е двух ж идко стей такж е действуетп о верх но стно е натяж ение, о тлично е, о днако , о ттех , ко торы е имею тместо на сво бо дны х п о верх но стях о беих ж идко стей. О бо значим ко эффиц иентэтог о п о верх но стно г о натяж ения на г раниц е двух ж идко стей симво ло м σ 1,2. В каж до й точке о круж но сти кап ли сх о дя тся три п о г раничны е п о верх но сти. П о этомук каж до й точке о круж но сти кап ли п рило ж ены три силы п о верх но стно г о натяж ения : f1, f2 и f1,2, каж дая изко торы х нап равленап о касательно й к со о тветствую щ ей п о верх но сти. С илы f1 и f1,2 стремя тся стянутькап лю , асилаf2 растягиваетее. Равно весно й будеттакая фо рма кап ли, п ри ко торо й векторная сумма сил f1 и f1,2 уравно весится сило й f2 . О чевидно , это во змо ж но п ри усло вии, что f2< f1+ f1,2 , о ткудаследует, что ж идко стьI мо ж етдерж аться ввидекап ли нап о верх но сти ж идко сти II, если σ 2<σ 1+σ 1,2. Е сли п о верх но стно е натяж ение σ 2 настолько велико п о сравнению с друг ими, что вы п о лня ется усло вие: σ 2>σ 1+σ 1,2, то в этом случае равно действую щ ая сил f1 и f1,2 ни п ри како й фо рме кап ли не смо ж етуравно веситьсилу f2 и кап ля растяг ивается п о п о верх но сти ж идко сти II в виде тонко й п ленки. Н ап ример, мно г ие о рг анические ж идко сти (эфир, скип идар) растекаю тся п о п о верх но сти во ды . Д ля неко торы х ж идко стей (ж ирны е кисло ты , бензо л) я вление растекания наблю дается только для п ервы х кап ель, п о мещ енны х нап о верх но сти чистой во ды ; п о следую щ ие кап ли не растекаю тся , ао стаю тся нап о верх но сти ввиде устойчивы х кап ель. Э то о бъ я сня ется тем, что п ервы е кап ли о тчасти раство ря ю тся в во де и п ри этом настолько

22

уменьш аю т ее ко эффиц иент п о верх но стно г о равно весие кап ельстано вится во змо ж ны м.

натяж ения ,

что

8. М О Л Е К У Л Я РН О -КИ Н Е Т И Ч Е С К АЯ Т Е О РИ Я В Н У Т РЕ Н Н Е Г О ТРЕ Н И Я В Ж И Д КО С ТЯ Х Д ля вы я снения мех анизма внутреннег о трения нео бх о димо учиты вать, что мо лекулы ж идко сти участвую т, г лавны м о бразо м, в ко лебательно м движ ении и только время о твремени со верш аю тскачки на расстоя ние, не п ревы ш аю щ ее диаметра мо лекулы . В результате мо лекулы длительно е время о стаю тся во дно м и том ж есло е. С ледо вательно , мех анизм внутреннег о трения в ж идко стях о тличен о т мех анизмавнутреннег о трения вг азах . П редп о ло ж им, что на мо лекулу ж идко сти действуетп о стоя нная сила. То г да в нап равлении этой силы мо лекула со верш аетбо льш е скачко в, чем в п ро тиво п о ло ж но м нап равлении, аско ро стьп еремещ ения мо лекулы внап равлении действия силы мо ж но вы разитьследую щ им со о тно ш ением: υ=δ ·Δj, ( 10 ) г де Δj – разно сть ко личеств еж есекундны х скачко в в нап равлении силы и в п ро тиво п о ло ж но м нап равлении, δ – длинао дно г о скачка. П редп о ло ж им, что о дин сло й ж идко сти движ ется со ско ро стью υ о тно сительно со седнег о , нах о дя щ ег о ся на расстоя нии δ о тнег о ; тог да г радиент ско ро сти равен:

∆υ υ = . ∆z δ

( 11 )

П о дстано вка в уравнение Н ью тона со о тно ш ений (10) и (11) п о зво ля ет вы разитьвеличинусдвиг о во г о нап ря ж ения :

τ =η ⋅

dυ υ = η ⋅ = η ⋅ ∆j ; dz δ

С ледо вательно ,

η=

τ . ∆j

Е ж есекундно е число активиро ванны х скачко вмо лекул j , о чевидно , тем бо льш е, чем бо льш е частотако лебаний ν, чем меньш е энерг ия активац ии q и чем вы ш е темп ература Т. Зависимо сть частоты скачко в мо лекулы о ттемп ературы мо ж но вы разитьп риближ енно й фо рмуло й:

j = 2 ⋅ν ⋅ k1 ⋅ e− q / kT = j0 ⋅ e− q / kT .

( 12 ) Здесько эффиц иентk1 учиты ваетто о бстоя тельство , что для скачкамо лекулы нуж на не только энерг ия активац ии, но и благ о п рия тно е размещ ение ближ ай ш их со седних мо лекул.

23

О п ределим энерг ию активац ии q. Е сли τ – сдвиг о во е нап ря ж ение, то 2 2 на мо лекулу, п ло щ адь сечения ко торо й равна δ , дей ствуетсила δ ·τ. П редп о ло ж им, что сила действуетна расстоя нии δ /2, п о ка мо лекула п рео до леет п о тенц иальны й барьер, п о ло вина ш ирины ко торо г о равна δ /2. То г да рабо та, 2 со верш аемая сило й δ ·τ п ри п еремещ ении мо лекулы , мо ж етбы ть вы раж ена равенство м: φ=(1/2)·τ·δ 3. ( 13) Э нерг ия активац ии уменьш ается на величинуэтой рабо ты п ри скачке мо лекулы в нап равлении силы и увеличивается п ри скачке мо лекулы в п ро тиво п о ло ж но м нап равлении. П о этому, со г ласно фо рмуле(12), ко личестваскачко в скачко в мо лекулы в п ря мо м и в о братно м нап равлении мо ж но вы разить со о тветственно следую щ ими со о тно ш ения ми:

1 j→ = ⋅ j0 ⋅ e − ( q −ϕ ) / kT ; 6 1 j← = ⋅ j0 ⋅ e − ( q +ϕ ) / kT . 6

( 14 )

Разно сть чисел скачко в мо лекулы в п ря мо м и в о братно м нап равлении равна: 1 1 ∆j = j→ − j← = ⋅ j0 ⋅ e − ( q −ϕ ) / kT − ⋅ j0 ⋅ e − ( q +ϕ ) / kT = 6 6 ( 15 ) 1 ϕ / kT − q / kT −ϕ / kT = ⋅ j0 ⋅ e ⋅ e −e . 6 В ы раж ениесско бках естьудво енны й г ип ербо лический синус, то есть:

(

)

 ϕ eϕ / kT − e −ϕ / kT = 2 ⋅ sh   kT

 . 

То г давы раж ение(15) мо ж но п рео бразо ватьк виду:

1 ∆j = ⋅ j0 ⋅ e − q / kT ⋅ sh ( x ) , 3

( 16 )

г деx=φ/kT. Г ип ербо лический синус мо ж но п редставитьввидеря да:

x3 x5 sh ( x ) = x + + + ... 3! 5! П ри х« 1 или φ« kT, то естько г дарабо таφ , со верш енная мо лекуло й, значительно меньш е энерг ии kT теп ло во г о движ ения мо лекулы , мо ж но п риближ енно п редп о ло ж ить, что

sh ( x ) = x =

ϕ . kT

То г давы раж ение(16) мо ж но п рео бразо ватьк виду:

24

1 ϕ ∆j = ⋅ j0 ⋅ e − q / kT ⋅ , 3 kT

( 17 ) или, исп о льзуя уравнения (12) и (13), мо ж но п о лучить:

1 3 τ ⋅δ ⋅ ⋅ j. ( 18 ) 6 kT П о дстано вкауравнения (18) вравенство η=τ/Δj с учетом (12) п о зво ля ет ∆j =

вы разитько эффиц иентвя зко сти:

6 ⋅ k ⋅ T 6 ⋅ k ⋅ T ⋅ eq / kT η= 3 = . δ ⋅j δ 3 ⋅ j0

( 19)

П равую часть равенства (19) мо ж но п редставить в виде п ро изведения двух со мно ж ителей:

η=

6 ⋅ k ⋅ T q / kT .e . δ 3 ⋅ j0

( 20 )

Здесьп ервы й со мно ж итель увеличивается п ри п о вы ш ении темп ературы , а второ й – уменьш ается . О днако п ервы й со мно ж итель значительно медленнее изменя ется п ри изменении темп ературы , чем второ й. П о этомув о тно сительно узко м темп ературно м интервале п ервы й со мно ж итель уравнения (20) мо ж но считатьнеизменны м. Т о г дауравнение(20) п рео бразуется к виду:

η = A ⋅ e q / kT .

( 21 ) Э тафо рмулап о лученаЯ .И . Ф ренкелем, о днако взарубеж но й литературе ееино г даназы ваю тфо рмуло й Андраде. И з фо рмулы Ф ренкеля следует, что ко эффиц иентвя зко сти ж идко стей п ри п о вы ш ении темп ературы уменьш ается . Е сли вдо ль ко о рдинатны х о сей г рафика о тло ж ить ло г арифм вя зко сти ℓn(η) и о братную темп ературу1/Т, то, со гласно (21), до лж нап о лучиться п ря мая линия . Э ксп ериментальны е исследо вания , дей ствительно , п риво дя тк тако мурезультату, о днако в небо льш о м темп ературно м интервале, что свидетельствуето п риближ енно м х арактере фо рмулы (21). В ш иро ко м интервале темп ератур линейно й зависимо сти ненаблю дается . Н а рис.29 п риведена зависимо сть ло г арифма вя зко сти вещ ества в ж идко м и в г азо о бразно м со стоя нии о твеличины , о братно й абсо лю тно й темп ературе. В я зко сть ж идко сти п редставлена криво й 1, а вя зко сть г аза – криво й 2. П ри п о вы ш ении темп ературы ло г арифм вя зко сти ж идко сти уменьш ается , а г аза увеличивается . О бе кривы е сливаю тся в точке, со о тветствую щ ей критическо й темп ературе. Разны й х арактер темп ературно й зависимо сти вя зко сти г азо в и ж идко стей о бусло влен различием мех анизмо в внутреннег о трения в г азах и ж идко стях : в г азах внутреннее трение о бусло влено , г лавны м

25

о бразо м, п ерено со м ко личества движ ения п ри со ударения х мо лекул, а вж идко стях – действием меж мо лекуля рны х сил. А.И .Бачинский в1912 г о дуп риш ел к вы во дуо том, что мно г о численны е п о п ы тки аналитически вы разить темп ературную зависимо сть вя зко сти о казались безусп еш ны ми вследствие неудачно г о вы бо ра независимо й п еременно й. П ри вы бо ре независимо й п еременно й Бачинский п редло ж ил исх о дитьизтог о, что вя зко сть о бусло вленасилами меж мо лекуля рны х взаимо действий, ко торы е завися то трасстоя ний меж ду мо лекулами. С ледо вательно , вя зко сть до лж на бы ть функц ией меж мо лекуля рны х расстоя ний. С реднее расстоя ние меж думо лекулами свя зано с удельны м о бъ емо м п ро сты м со о тно ш ением. П о этомувя зко стьж идко стей до лж набы тьфункц ией удельно г о о бъ ема:

η=

C , υ −ω

( 22 )

г де υ –удельны й о бъ ем, С и ω – п о стоя нны е величины , п ричем ω п риблизительно равно п о стоя нно й b уравнения В ан-дер-В аальса. Е сли фо рмулу (22) п рео бразо ватьк виду: C υ =ω+ , η то п о о си абсц исс удо бно о тклады ватьтекучестьж идко сти 1/η, ап о о си о рдинат– ее удельны й о бъ ем υ . Т о г да в случае сп раведливо сти фо рмулы (22) г рафик зависимо сти υ о т1/η до лж ен бы ть п ря мо й линией. Бачинский п ро верил эту фо рмулу на бо льш о м ко личестве ж идко стей в ш иро ко м темп ературно м интервале и устано вил, что о ткры ты й им зако н сп раведлив для мно г их ж идко стей. И склю чениесо ставля ю тассо ц ииро ванны е ж идко сти, нап ример во да. 9. Н Е Н Ь Ю ТО Н О В С КИ Е Ж И Д КО С ТИ Рассмо трим тонкий сло й ж идко сти меж ду двумя п араллельны ми п ластинами, расп о ло ж енны ми друго тдруг анарасстоя нии dz (рис.30). П рило ж им к верх ней п ластине касательно е нап ря ж ение τ=F/S и п риведем ее вдвиж ение с п о стоя нно й ско ро стью dυ о тно сительно ниж ней п ластины . В стац ио нарны х усло вия х , со г ласно фо рмуле Н ью тона, касательно е нап ря ж ение п ро п о рц ио нально г радиентуско ро сти, то есть:

τ = −η ⋅

dυ . dz

П рео бразуем это уравнениек виду:

τ = −η ⋅

dυ d  dx  d  dx  =η ⋅ −  = η ⋅  −  . (23) dz dz  dτ  dt  dz 

И зг рафикарис.31 следует, что – dx/dz естьуг о л сдвиг а

γ =−

dx . dz

(24)

П о дстано вкавы раж ения (24) в(23) дает:

dγ τ = . dt η

(25)

Т аким о бразо м, ско ро сть сдвиг а п ро п о рц ио нальна касательно мунап ря ж ению и о братно п ро п о рц ио нальнавя зко сти ж идко сти. Д ля мно г их ж идко стей вя зко стьзависиттолько о ттемп ературы и давления . Э ти ж идко сти назы ваю тся нью тоно вскими. У равнение, устанавливаю щ ее

27

свя зь меж дунап ря ж ением и ско ро стью сдвиг а, назы вается реол огическим уравнением. У равнение (25) есть рео ло г ическо е уравнение для нью тоно вско й ж идко сти. Г рафик зависимо сти меж дунап ря ж ением и ско ро стью сдвиг а назы вается рео ло г ическо й криво й . Д ля нью тоно вских ж идко стей рео ло г ическая кривая имеет вид п ря мо й, танг енс уг ла накло на ко торо й равен вя зко сти ж идко сти (рис.31). Ж идко сти, для ко торы х рео ло г ическая кривая не я вля ется п ря мо й линией, п ро х о дя щ ей через начало ко о рдинат, назы вается ненью тоновскими. В я зко сть ненью тоно вских ж идко стей п ри п о стоя нно й темп ературе и давлении не о стается п о стоя нно й, а зависито тско ро сти сдвиг а, времени действия нап ря ж ения и друг их факторо в. К ненью тоно вским о тно ся тся , нап ример, ж идко сти, для ко торы х ско ро стьсдвиг авкаж до й точке я вля ется неко торо й функц ией нап ря ж ения τ вэтой точке, то есть

dγ = f (τ ). dt

Рео ло г ические кривы е таких ж идко стей п риведены нарис32 (кривы е 1, 2 и 3). Д ля сравнения наэтом ж е рисунке п риведенарео ло г ическая кривая нью тоно вско й ж идко сти (линия 4). Рео ло г ическая кривая 1 о тно сится к ж идко стям, назы ваемы м бинг амо вскими п ластиками. Рео ло г ическо е уравнение для бинг амо вских п ластико в имеетвид:

τ −τ z = η p ⋅

dγ , dt

г де ηР – п ластическая вя зко сть. Э то уравнение п редло ж ено Бинг амо м в 1916 г о ду, аещ еранееФ .Н . Ш ведо вы м в1889 г о ду.

Л И ТЕ РАТ У РА 1. С ивух ин Д .В . О бщ ий курс физики: в 5 т. /Д .В . С ивух ин. - М .: Н аука, 2003.-Т .II. Т ермо динамикаи мо лекуля рная физика.-576 с. 2. М атвеевА.Н . М о лекуля рная физика/А.Н . М атвеев. - М : В ы сш ая ш ко ла, 1987. – 356 с. 3. К ико ин А.К. М о лекуля рная физика /А.К. Кико ин, И .К. Кико ин. – М : Н аука, 1976. – 480 с.

28

С О Д Е РЖ АН И Е 1. С тро ениеж идко сти. В нутреннеедавление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Ф ункц ия радиально г о расп ределения . М о лекуля рно кинетическая х арактеристикаж идко г о со стоя ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. П о верх но стно енатяж ение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. Д авлениеп о д изо г нутой п о верх но стью ж идко сти . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5. Ф о рмулаЛ ап ласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. Я вления наг раниц е ж идко сти и твердо г о тела. Кап илля рны ея вления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7. Растеканиекап ли п о п о верх но сти ж идко сти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8. М о лекуля рно -кинетическая тео рия внутреннег о трения вж идко стях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9. Н енью тоно вскиеж идко сти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Л итература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

С о ставители: Л арио но вАлексей Н ико лаевич Ч ерны ш евВ адим В икторо вич Л арио но ваН инаН ико лаевна Редактор

Тих о миро ваО .А.