Введение в лабораторный практикум по курсу общей физики

Петрозаводский государственный университет

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводск 1999

Рассмотрены и рекомендованы к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники «общая и ядерная физика» 22 декабря 1998 года Печатается по решению редакционно-издательского совета Петрозаводского государственного университета

Составители: И. С. Жукова, к.ф.-м.н., доцент, Л. И. Бутина, старший преподаватель, С. И. Крылова, к.ф.-м.н., доцент

Издание осуществлено при поддержке ОАО «Кондопога»

2

ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Физический практикум играет большую роль в изучении курса общей физики. Можно выделить три основных его цели: 1. Ознакомление с приборами и методами измерения различных физических величин. 2. Экспериментальное изучение физических законов и явлений. 3. Ознакомление с методами статистической обработки результатов измерений. Часть I настоящих методических указаний посвящена третьей из указанных выше задач. В части II дается краткая методика по оформлению лабораторных работ и порядку работы в лаборатории.

ЧАСТЬ I СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Глава I. Введение в теорию погрешностей § 1. Измерения и их погрешности Измерением называется определение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Значение величины, найденное путем измерения, называется результатом измерения. Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямым называется измерение, при котором искомое значение величины находится непосредственно из опыта путем отсчета по шкале измерительного прибора, например: измерение длины линейкой, определение массы тела на равноплечных весах, определение температуры тела термометром и т. д.

3

Косвенным называется измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, например: определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе, определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т. д. Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно, поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины. Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения. Она определяется формулой: Δxi = xi – X, где Х – истинное значение измеряемой величины, хi – результат i-того измерения, Δxi – абсолютная погрешность i-того измерения. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Наряду с абсолютной погрешностью (Δx) используется относительная погрешность (η), равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины: ηi = Δxi / X. Относительная погрешность может быть выражена в процентах. Качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины, называется точностью измерений. Очевидно, что чем меньше погрешности всех видов, тем выше точность измерений. По характеру влияния на результаты измерений погрешности делятся на 3 типа: систематические, случайные, промахи.

4

§ 2. Типы погрешностей 1. Систематические погрешности Систематическими называются погрешности, величина которых не меняется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом, теми же приборами и т. д.). Если результаты отдельных измерений (xi) и истинное значение измеряемой величины (Х) отложить на оси х, то при наличии только систематических погрешностей результаты отдельных измерений xi расположатся относительно истинного значения измеряемой величины Х так, как показано на рисунке 1. X

x1 = x2 =…= xn

Δ х = хi - Х = const

х

Рис. 1. Представление результатов измерений при наличии систематической погрешности Систематические погрешности возникают в тех случаях, когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов: температуры, давления, влажности воздуха, выталкивающей силы Архимеда, сопротивления подводящих проводов, контактных ЭДС и т. п. Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности. Исключение систематических погрешностей требует принятия специальных мер предосторожности. К ним относятся: 1. Своевременный ремонт и систематическая проверка приборов. 2. Использование специальных способов измерения (например, двойное взвешивание для исключения неравноплечности весов, использование охранных колец при измерении объемного сопротивления плохих проводников, позволяющее исключить влияние их поверхности). 5

3. Внесение соответствующих поправок на влияние внешних факторов. 2. Случайные погрешности Случайными называются погрешности, величина и знак которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях. Случайные погрешности могут быть вызваны действием различных неконтролируемых факторов: толчков, воздушных течений, пылинок и т. д. Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств. Так, например, результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того, что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно: при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться, при его остановке, наоборот, поспешить. Случайные погрешности отклоняют результат то в одну, то в другую сторону от истиного значения измеряемой величины, поэтому результаты (хi) большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х (рис. 2).

Рис. 2. Представление результатов измерений при наличии случайных погрешностей Влияние случайных погрешностей можно существенно уменьшить усреднением результатов большого числа измерений. 6

В самом деле, пусть x1, x2, x3…xn – результаты отдельных измерений, а Δx1 = x1 – X Δx2 = x2 – X Δx3 = x3 – X … … … Δxn = xn – X – их абсолютные погрешности Δxn, где n – полное измерений. Сложив почленно равенства (1.1), получим: n

n

i =1

i =1

(1.1)

число

∑ Δxi = ∑ xi − nX , откуда

X = Величина

1 n 1 n xi − ∑ Δxi (1.2) ∑ n i =1 n i =1 1 n ∑ xi = x называется средним арифметическим n i =1

результатом серии измерений. Так как при большом числе измерений величина x очень мала, то можно считать, что x ≅ X . Чем больше n, тем точнее выполняется это равенство, т.е. x – х << Δxi. 3. Промахи Промах – это очень грубая погрешность, вызванная невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора, описка при записи показаний и т. д.). Промахи могут сильно исказить результаты измерений, особенно в тех случаях, когда их число невелико. Вывод: при выполнении работы нужно быть очень внимательным, не спешить, не отвлекаться. 7

Глава II. Статистическая обработка результатов

прямых измерений Ранее было показано, что усреднением результатов достаточно большого числа измерений можно существенно уменьшить влияние случайных погрешностей. Однако практически n бывает не так уж велико, и x может заметно отличаться от Х. Как оценить возможное отличие x от Х? Соответствующие методы разработаны в теории погрешностей, которая оперирует понятиями теории вероятностей. § 1. Вероятность случайного события В теории вероятностей всякий исход испытания называется событием. Случайными называются события, о наступлении которых нельзя сделать точного предсказания. Так, если в урне смешать неотличимые на ощупь шары разного цвета, а затем, не глядя, вынимать их, то появление шара какого-либо определенного цвета будет событием случайным, так как точно предсказать цвет вынимаемого шара в каждом отдельном случае невозможно. Однако, если провести большое число испытаний в одних и тех же условиях (вынутый шар кладется обратно в урну, и шары тщательно перемешиваются), то о результатах такой серии измерений можно будет сделать вполне определенные утверждения статистического характера. Пусть nA – число испытаний, при которых наступило событие А (например, вынут красный шар), а n – общее число испытаний. Отношение РА = lim nA/n называется вероятностью n→∞ события А. При достаточно большом n: РА ≅ nA/n. Зная вероятность РА события, можно достаточно точно предсказать, сколько раз оно наступит при большом числе испытаний: nA = n РА. Вероятность любого события может быть заключена в пределах от нуля до единицы. Если РА = 1, событие называется 8

достоверным, если РА = 0, событие называется невозможным (оно либо не наступает никогда, либо чрезвычайно редко). Если рассматриваемая совокупность событий такова, что одно из них обязательно наступает при каждом испытании, то такие события образуют полную группу. Нетрудно показать, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Так, например, в случае одинакового числа шаров белого, красного и синего цвета события, выражающиеся в том, что вынутый шар будет белым, красным или синим, образуют полную группу. Вероятность каждого отдельного события равна 1/3, а их сумма равна единице. § 2. Нормальный закон распределения случайных погрешностей Если погрешности носят чисто случайный характер, то по результатам измерений можно оценить вероятности их появления. Пусть х1, х2…хn – результаты отдельных измерений. Примем, что n достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что

1 n ∑ xi , n i =1 Δxi = xi − x . X =x=

(2.1)

Определив погрешности Δxi, рассортируем их по величине. Для этого весь диапазон полученных значений Δxi разобъем на одинаковые малые интервалы Δε и подсчитаем, сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер «k» оказалось заключено Δnk значений погрешности, то вероятность попадания погрешности в этот интервал Pk ≅ Δnk/n.

(2.2)

9

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат, то получится ступенчатая диаграмма, изображенная на рисунке 3. Она называется гистограммой.

Рис. 3. Гистограмма Так как Рк зависит от Δε, то по оси ординат удобнее откладывать не Рк, а величину y =

Pk Δnk = , называемую Δε n ⋅ Δε

плотностью распределения вероятностей. Очевидно, y = Pk при Δε =1. Это значит, что у есть вероятность, отнесенная к единичному интервалу Δε. Вид гистограммы y (Δхi ) будет таким же, как и вид гистограммы Рк (Δхi ) (рис. 3).

10

Рис.4. Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей Если увеличить число измерений n (n →∞) и строить гистограммы для все более малых интервалов Δε, то при Δε→0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую, называемую кривой распределения вероятностей. Опыт показал, что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону, найденному Гауссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y и величина погрешности Δxi связаны соотношением:

y (Δxi ) =

1

σ 2π

l

−

( Δxi )2 2σ 2

,

(2.3)

где l − основание натурального логарифма; σ2 – некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией распределения (смысл его выясняется далее). 11

Вид кривой распределения, соответствующий некоторому значению σ, показан на рисунке 4. Пользуясь законом распределения, можно производить многие важные расчеты. Из формулы y =

Δnk следует, что вероятность P(Δxk) n ⋅ Δε

того, что величина погрешности заключена Δxk ÷ Δxk + Δε, определяется формулой:

в

интервале

P(Δxk) = y(Δxk)·Δε. Численно эта вероятность равна площади зачерненного прямоугольника С с основанием Δε (рис. 4). Вероятность того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения, изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Δxk (рис. 4). На рисунке 5 представлены кривые распределения, соответствующие разным σ. Видно, что с ростом σ максимум кривой распределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает, что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается, а вероятность больших – растет. Следовательно, чем больше дисперсия распределения σ2, тем меньше точность измерений. Важно подчеркнуть, что кривая y(Δxi) характеризует не какую-то серию измерений, а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях. Такая совокупность называется генеральной. Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности.

12

Рис. 5. Влияние дисперсии на вид кривой распределения вероятностей случайных погрешностей § 3. Среднеквадратичная погрешность Пусть х1, х2…хn – результаты некоторой серии n измерений, проведенных в одинаковых условиях. Как уже подчеркивалось, величина случайной погрешности не постоянна и меняется от опыта к опыту. Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной. Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность:

Δx =

1 n ∑ Δxi . n i =1

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn, определяемую формулой: 13

n

Sn =

∑ (x i =1

i

− x)

2

.

n −1

(2.4)

Sn называют также выборочным стандартным отклонением. Можно показать, что при достаточно большом числе измерений Sn ≅ σ и, следовательно, дисперсия распределения n

σ 2 ≅ S n2 =

∑ (x i =1

i

− xn )

n −1

n

2

≅

∑ (x i =1

i

− x)

n

2

.

(2.5)

Таким образом, дисперсия распределения приблизительно равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений, найденному при достаточно большом n. Для генеральной совокупности (n → ∞) равенство (2.5) выполняется точно. Из него следует, что величина дисперсии зависит от условий, в которых проводятся измерения: чем благоприятнее условия измерений, тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия. § 4. Среднеквадратичная погрешность среднего Допустим, что мы провели серию n измерений некоторой величины х, результаты которых равны х1, х2,…хn. Наилучшим приближением к истинному значению является величина

x=

1 n ∑ xi , n i =1

называемая

cредним

выборочным

значением

измеряемой величины. Если серию по n измерений в каждой повторить m раз, то мы получим m значений x , несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины. Погрешности Δx k = x k − X являются случайными и так же, как погрешности отдельных измерений Δxi = xi – Х, подчиняются гауссову распределению, но с другой 14

дисперсией σ x2 < σ 2 . Величина σ x2 , называемая дисперсией среднего, является мерой погрешности среднего значения x , найденного в серии из n измерений. В теории погрешности доказывается, что

σ x2 = σ n . (2.6a) Это значит, что σ x , в отличие от σ, зависит от числа проведенных 2

измерений:

σx = σ

n

.

(2.6б)

Таким образом, среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n1/2 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений. Из формул (2.5) и (2.6) следует, что при большом n

∑ (x n

σx ≅

Sn n

=

i =1

i

−x

n ( n − 1)

)

2

.

Величина

∑ (x n

Sx =

i =1

i

−x

)

2

n(n − 1)

(2.7)

называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего. § 5. Доверительный интервал и доверительная вероятность Как уже указывалось, для любой конечной выборки x ≠Х. Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х, то есть, x – Х. 15

Интервал x ± ΔХ, в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины, называется доверительным интервалом, соответствующим вероятности α. Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью. Величина ΔХ характеризует точность оценки. Чем меньше разность x – Х, тем выше точность. Надежность, соответствующую заданной точности ΔХ, можно вычислить теоретически, воспользовавшись гауссовым распределением, если известна дисперсия σ x2 . В соответствии со сказанным ранее (гл. II, §2), величина α равна площади заштрихованной фигуры АВС, опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис. 6).

Рис. 6. Кривая распределения вероятностей случайных погрешностей среднего

16

Так как σ x2 = σ2/n, то надежность, соответствующая заданной точности ΔХ, растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала. Можно показать, что α является функцией величины к=

ΔX

σx

. График функции α = F(k) показан на рисунке 7.

⎛ ΔX ⎞

⎟⎟ Рис. 7. График функции α = F ⎜⎜ ⎝σx ⎠ Видно, что с ростом k растет и доверительная вероятность α. Так, α = 0,68 для k = 1, α = 0,95 для k = 2, α = 0,997 для k = 3. Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см. Список литературы – 1, 2). Если n мало (n < 30), то σ x ≠ S x , и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя. В этом случае используют распределение, выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним «Стьюдент»). В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины 17

t=

ΔX x − X = , Sx Sx

называемой

коэффициентом

Стьюдента

(среднеквадратичная погрешность среднего арифметического S x определяется формулой (2.7)). Распределение Стьюдента зависит от n и при n→∞ переходит в распределение Гаусса.

Рис. 8. Кривые распределения Стьюдента для выборок различного объема На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n. Вычислив по результатам измерений S x и задав величину ΔX, можно найти t и α, соответствующие данному n. Наоборот, задав надежность α, можно вычислить tα,n и соответствующую точность ΔX = tα,n· S x при данном значении n. Соответствующие друг другу значения 18

α и tα,n при разных n приводятся в специальных таблицах (см. Приложение). На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями. Допустим, что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала. Естественно, что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений. Измерив R для большой партии резисторов (n>>30), можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию σ R2 . Величина

σ R2 определяется тем, насколько хорошо контролируется и поддерживается постоянной технология изготовления резисторов. Если разброс значений R, а значит и σ R2 , велик, то, задавая малое

значение доверительного интервала x ± ΔX , получим и малую надежность α . При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал, и процент брака будет соответственно велик. Напротив, при выборе большой надежности уменьшится процент брака, но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала x ± ΔX). Если по условиям работы приборов, в которых используются эти резисторы, доверительный интервал должен быть малым, то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства. Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0,997 (ΔX = 3σ x ). В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 0,90; 0,95. Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок: 1. Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить среднее выборочное x :

x=

1 n ∑ xi . n i =1

2. Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δхi : Δxi = xi – x . 19

3. Определить среднюю арифметического:

∑ (x

квадратичную

n

Sx =

i =1

i

−x

ошибку

среднего

)

2

.

n(n − 1)

4. Определить точность измерения ΔX при заданных n и α: ΔX = S x ⋅ tα ,n . 5. Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины: Х = x ± ΔX или x – ΔX ≤ Χ ≤ xi +ΔX. Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы: №

xi

Δxi = xi - x

1 2 . Ср.

Δxi2

Sx

α,n

ΔX

Σ Δxi2=

Абсолютная ошибка Δхi рассчитывается по модулю. § 6. Совместный учет систематической и случайной погрешностей Строгий учет систематической погрешности труден. Если систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать), то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок, зная класс его точности. Если точность, обусловленная случайной погрешностью –ΔХ, а величина систематической погрешности –δ, то величина суммарной точности ΔХ* определяется формулой:

ΔX * =

(ΔX )2 + ⎛⎜ kα ⋅ δ ⎞⎟ ⎝

3 ⎠

2

,

где kα = tα(∞) – коэффициент Стьюдента при n = ∞. 20

(2.8)

Глава III. Статистическая обработка результатов косвенных измерений § 1. Два способа оценки погрешности косвенного измерения В большинстве случаев имеют дело с косвенными измерениями. Пусть x, y, z – непосредственно измеряемые величины, а W = f (x, y, z) – их функция, то есть величина, измеряемая косвенно. Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W. I способ. Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения, а затем обрабатываются как прямые измерения. II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений. Далее остановимся подробнее на этом способе. § 2. Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные средние значения x , y , z …, являющиеся, как было показано выше, случайными величинами. Очевидно, что и величина W = W ( x , y , z …), представляющая собой выборочное среднее искомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и в случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W ± ΔW. В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся лишь ее приближенным решением. Рассмотрим сначала случай, когда W является функцией только одной переменной, то есть W = W(x). Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х – истинное 21

значение х). В случае, когда погрешность прямого измерения достаточно мала, можно ограничиться лишь линейным членом и считать, что

Отсюда

⎛ dW W ( x) = W ( X ) + ⎜ ⎝ dx ⎛ dW W ( x) − W ( X ) = ⎜ ⎝ dx

⎞ ⋅ ( x − X ). ⎟ ⎠ x= X ⎞ ⋅ ( x − X ). ⎟ ⎠ x= X

(3.1)

Из (3.1) следует, что

⎛ dW ⎞ SW = ⎜ ⎟ ⋅ S x, ⎝ dx ⎠ x = x

(3.2)

где S x и SW – средние квадратичные погрешности величин

x иW. Доверительный интервал величины надежности α, определяется как

W,

⎛ dW ⎞ W ± ΔW = W ± ⎜ ⎟ ⋅ ΔX , ⎝ dx ⎠ x = x

соответствующий (3.3)

где ΔW – точность величины х, соответствующая той же надежности α. Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных, то есть W = W(x, y, z), то по формуле (3.3) можно вычислить погрешности ΔWx, ΔWy, ΔWz…, обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями. Они равны:

⎛ ∂W ⎞ ΔW x = ⎜ ⎟ ⋅ ΔX , ⎝ ∂x ⎠ x = x ⎛ ∂W ΔW y = ⎜⎜ ⎝ ∂y

⎞ ⎟⎟ ⋅ ΔY , ⎠ y= y

(3.4)

⎛ ∂W ⎞ ΔW z = ⎜ ⎟ ⋅ ΔZ ⎝ ∂z ⎠ z = z и так далее. 22

В

формулах

(3.4)

∂W ∂W ∂W , , ∂x ∂y ∂z

являются

частными

производными и вычисляются так, как будто другие аргументы – постоянные величины. Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см. Список литературы – 4):

ΔW = ΔW x2 + ΔW y2 + ΔW z2 и 2

2

2

⎛ ∂W ⎞ ⎛ ∂W ⎞ ⎛ ∂W ⎞ 2 2 ⎟⎟ ΔY 2 + ⎜ ΔW = ⎜ ⎟ ΔZ . ⎟ ΔX + ⎜⎜ ∂ ∂ x y z ∂ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝

(3.5)

§ 3. Относительная погрешность косвенного измерения Очень часто бывает удобно вычислить относительную погрешность результата косвенного измерения ηW =

dW . W

На основании известной формулы d·lnu = du/u можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности. Допустим сначала, что W = W(x) – функция одной переменой. Тогда относительная погрешность

ηW =

dW = d ln W , W

(3.6)

необходимо сначала то есть для нахождения ηW прологарифмировать выражение W(x), а затем продифференцировать его по х. В случае многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей, ввести частные относительные погрешности, равные: 23

ηx =

∂ ln W ⋅ Δx, ∂x ∂ η y = ln W ⋅ Δy, ∂y ∂ η z = ln W ⋅ Δz. ∂z

(3.7)

Тогда общая относительная погрешность определится как

ηW = η x2 + η y2 + η z2 K .

(3.8)

Расчет погрешности по формулам (3.7) и (3.8) особенно удобно производить в случае, когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу. Пусть, например,

W =A

x4 y

,

где А – константа. Используя правило (3.7), имеем:

ln W = ln A + 4 ln x − 12 ln y ,

ηx =

η =

4Δx , x

ηy = −

1 Δy , 2 y

16 1 ⋅ Δx 2 + ⋅ Δy 2. 2 2 x 4y

Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (3.8), произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам, вычисленных по формулам (3.7). Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула (3.8) значительно упростится. Определив относительную погрешность ηW, можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле: ΔW = ηW· W .

24

(3.9)

Глава IV. Определение параметров линейной

зависимости На опыте часто измеряют пары величин х и y , причем одна из них, y , является функцией другой – х. Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений величины y: y1, y2…yn, соответствующих значениям аргумента х1, х2 …хn. Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и х. Задача состоит в том, чтобы по экспериментальным точкам провести линию, которая как можно лучше соответствовала бы истинной функциональной зависимости y = f(x). При этом ограничимся лишь случаем линейной функции y = ax + b.

(4.1)

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. Даже в случаях, когда зависимость нелинейная, обычно стараются преобразовать ее так, чтобы свести к линейной. Например, зависимость y = Aeα/x преобразуется к виду ln y = ln A + α/x, и на графике строится зависимость: ln y = f(1/x). Ниже приведены два метода нахождения наиболее вероятных параметров линии (коэффициентов а и в уравнения (4.1)), проходящих через набор экспериментальных точек. § 1. Метод парных точек Метод парных точек является наиболее простым и применяется в основном для определения лишь наклона прямой, то есть коэффициента а. Допустим, что у нас имеется 8 точек, лежащих на одной прямой. Требуется найти наилучшее значение тангенса угла наклона а и его погрешность. Пронумеруем точки по порядку от 25

1 до 8 (рис. 9). Возьмем точки 1 и 5; ими определится некоторая прямая и угол ее наклона. В качестве наилучшего значения а выбирается его среднее значение a и обычным способом находится его среднеквадратичная погрешность и доверительный интервал.

y *8 *7 *6 *5 *3 *4 *2 *1 0

х Рис. 9. Нумерация экспериментальных точек для расчета а методом парных точек Таким образом, полученная прямая линия будет иметь и проходить через точку, угловой коэффициент a соответствующую средним значениям переменных х и y (следующий параграф). Такой метод дает удовлетворительные результаты лишь тогда, когда величины (x5 – x1), (x6 – x2), (x7 – x3), (x8 – x4) примерно одинаковы. § 2. Метод наименьших квадратов (МНК) МНК является одним из стандартных методов статистики. Сущность этого метода заключается в следующем. Допустим, что имеется n пар измеренных значений (x1, y1), (x2, y2)…(xn, yn). Предположим, что ошибки содержат лишь величины y. 26

(На практике это предположение часто оправдывается). По результатам измерений необходимо построить прямую линию. В основе описываемого метода лежит положение, согласно которому, наилучшим приближением будет такая прямая линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y (рис. 10)) является минимальной, то есть наиболее вероятные

Рис. 10. Распределение экспериментальных точек относительно искомой прямой значения параметров а и в (4.1) выбираются так, чтобы сумма n

n

i =1

i =1

S = ∑ d i2 = ∑ ( y i − axi − b )

2

(4.2)

была минимальной. Это значит, что n ∂S = 2∑ (axi + b − y i )xi = 0 , ∂a i =1

n ∂S = 2∑ (axi + b − y i ) = 0 . ∂b i =1

(4.3)

27

Таким образом, искомые величины а и в получаются решением системы уравнений: n

n

n

i =1 n

i =1

i =1

a ∑ xi2 + b∑ xi = ∑ xi y i ,

(4.4)

n

a ∑ xi + bn = ∑ y i . i =1

(4.5)

i =1

Из уравнения (4.5) следует, что наилучшая прямая проходит через точку с координатами: _

x=

1 n ∑ xi ; n i =1

_

y=

1 n ∑ yi . n i =1

(4.6)

(В этом можно легко убедиться, поделив равенство (4.5) почленно на n). Из уравнений (4.4) и (4.5) находим: n

a=

∑x y i =1 n

∑x i =1

b=

i

2 i

n

i

− y ∑ yi i =1 n

− x ∑ xi

,

(4.7)

i =1

1 n 1 n y − xi ∑ i n∑ n i =1 i =1

n

n

i =1 n

i =1 n

∑ xi y i − y ∑ y i ∑x i =1

28

2 i

− x ∑ xi i =1

.

(4.8)

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента a . Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см. Список литературы – 3):

Sa = где

Sy

1− r2 , n−2

Sx

(4.9)

Sy =

1 n ( y i − y )2 , ∑ n − 1 i =1

(4.10)

Sx =

1 n ( x i − x )2 , ∑ n − 1 i =1

(4.11)

n

r=

∑ (x i =1

i

− x ) ( yi − y )

.

(n − 1)S x ⋅ S y

(4.12)

Интервал, в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а, записывается в виде: a − tα , n − 2 ⋅ S a ≤ a ≤ a + tα , n − 2 ⋅ S a , (4.13) где a определяется формулой (4.7); S a – формулой (4.9); tα,n-2 – коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений; n – число пар точек. При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий: 1. Составить таблицу № изм. 1 2 . i, n

xi

yi

xiyi

xi2

∑xi

∑yi

∑xiyi

∑xi2

29

2. Рассчитать: n

а).

∑ xi y i ;

б). x =

∑ xi ;

д).

i =1 n

г).

n

i =1

xi ; ∑ i =1 n

∑x i =1

n

2 i

;

n

в). е). y =

∑y ; i =1 n

i

yi

∑n. i =1

3. Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по формуле (4.7). 4. Зная коэффициенты а и б, провести наилучшую прямую: она должна проходить через точку с координатами x и y . 5. Для расчета погрешности величины а по формулам (4.9 – 4.12) составить таблицу № п/п

30

yi - y

xi - x

(yi - y )2

(xi - x )2

Sx

Sy

r

ЧАСТЬ II ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ, ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ § 1. Правила работы в лаборатории Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие. В начале семестра составляется и вывешивается в лаборатории график выполнения работ на весь семестр. Студент должен заранее знать тему своей лабораторной работы и подготовиться к ней по методическому руководству и другой указанной в нем литературе. Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо пройти краткое собеседование с преподавателем и получить разрешение на ее выполнение. Оно дается в том случае, если студент четко знает цель работы, методику проведения эксперимента, умеет пользоваться приборами. ПРИСТУПАТЬ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ! В конце занятия студент обязан предъявить преподавателю результаты своей работы. Работа считается выполненной, если результаты утверждены и подписаны преподавателем. После этого необходимо выключить установку, привести в порядок рабочее место и получить методические указания к следующей работе.

31

§ 2. Журнал лабораторных работ Результаты измерений и наблюдений должны тотчас же фиксироваться в специальном журнале в форме протоколов. Временные записи результатов на черновых листочках не допускаются. Единую форму протоколов, пригодную для всех работ, дать невозможно и нецелесообразно. Тем не менее можно сформулировать некоторые общие требования, которым должны удовлетворять записи в журнале лабораторных работ. 1. Должны быть указаны название работы и дата ее выполнения, конкретная цель работы и ее упражнений. 2. Целесообразно привести расчетную формулу и пояснить физический смысл входящих в нее символов. 3. Результаты всех измерений заносятся в заранее подготовленные удобные таблицы, из которых было бы ясно, какие физические величины и в каких единицах измерялись, сколько раз повторялись измерения каждой физической величины. 4. Необходимо указать приборы, использовавшиеся для измерения различных величин, и их точности. 5. Зафиксировать (если это важно) условия опыта (температуру, давление, влажность воздуха и т. д.). 6. Записи в журнале должны быть аккуратными и четкими: журнал лабораторных работ – не черновик. В нем не должно содержаться никаких записей, не относящихся к выполняемой работе. Прикидочные расчеты должны проводиться на черновых листках. 7. Для пометок и замечаний целесообразно оставлять поля шириной 3 см. Ниже приведена схема оформления протокола одной из лабораторных работ.

32

08.10.98 Определение модуля Юнга по изгибу стержня Цель работы – проверка закона Гука и определение модуля Юнга для стального и медного стержней. Расчетная формула:

E=

PL3 , 4ab 3 h

где Е – модуль Юнга; Р – величина нагрузки, приложенной к середине стержня; L – длина деформируемой части стержня, равная расстоянию между ребрами опорных призм; а – ширина стержня; в – его толщина; h – стрела прогиба. Таблица 1. Определение размеров стержня № опыта 1 . 5 Измерительный прибор и его точность

L, мм

Штангенциркуль ± 0,1 мм

а, мм

Микрометр ±0,005 мм

в, мм

Микрометр ±0,005 мм

Таблица 2. Измерение стрелы прогиба нагружаемого стержня Р,кГс

0

0,1

0,2

0,3

0,4

…

2,55 2,48 2,51 2,49 2,52

…

…

…

…

h, мм

2,05 2,07 2,03 2,08 2,05

Измерительный прибор – микрометр, точность ~ ± 0,005 мм. Подпись преподавателя 33

§ 3. Оформление отчетов По результатам каждой лабораторной работы составляется отчет. Он должен включать: 1. Краткую формулировку идеи метода, расчетную формулу, пояснение физического смысла входящих в нее символов. 2. Таблицы с результатами измерений и расчетов. 3. Статистическую обработку результатов измерений. 4. Выводы. 5. На титульном листе должны быть указаны название лабораторной работы, факультет, курс, группа, фамилия и инициалы исполнителя. Отчет должен быть написан в хорошем стиле, аккуратным разборчивым почерком. При его оформлении не следует также пренебрегать и эстетической стороной вопроса. Заголовки, выводы и формулы целесообразно выделять пастой другого цвета, подчеркнуть и т. п. Это облегчает чтение отчета. Выводы должны быть аргументированы ссылками на соответствующие таблицы и графики, поэтому они должны быть пронумерованы. § 4. Графики Графики используются для наглядного представления результатов. При их построении необходимо соблюдать ряд правил: 1. Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге. 2. На осях необходимо нанести масштабную сетку, указать единицы измерения и символы изображаемых величин. 3. Масштаб должен быть простым, удобным для отсчета его долей. Например, 1 см = 0,1; 1; 2 или 10 единиц. Кроме того, масштаб выбирают так, чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга.

34

Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета. Масштаб по осям Х и У может быть различен.

Рис. 11. Пример построения графика функции по экспериментальным точкам 4. Экспериментальные точки следует наносить с максимальной точностью, так, чтобы они четко выделялись на фоне графика, не сливаясь с ним. 5. График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов. Нужно стремиться провести кривую так, чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее (рис. 11). Графики, выполненные на миллиметровой бумаге, аккуратно вклеиваются в отчет, где для них необходимо предусмотреть соответствующее место.

35

§ 5. Точность вычислений Точность вычислений определяется погрешностью измерений. Не имеет смысла вычислять какую–либо величину до пятого знака после запятой, если погрешность измерений такова, что неуверенно определяется ее третий знак. Чтобы погрешностью вычислений можно было пренебречь, она должна быть на порядок (то есть в 10 раз) меньше погрешности наименее точно измеряемой величины. Пример. Модуль Юнга по изгибу стержня вычисляется по формуле E = PL3 / 4ab3·h. Анализ исходных данных показывает, как правило, что с наибольшей относительной погрешностью измеряется стрела прогиба h. Так как ΔE/E > Δh/ h, то допускаемая относительная погрешность вычислений ΔE выч /E ≅ 0,1 Δh/h. Для стали E ≅ 2·104 кГс/мм2 , поэтому при Δh/h =·10-2 ΔEвыч. ≅ 10 кГс/мм2. Это значит, что вычисления Е целесообразно проводить лишь с точностью до четвертой значащей цифры. Обычно нас интересует лишь порядок величины погрешностей, поэтому последние рекомендуется вычислять лишь до второй значащей цифры, а затем округлять результат до одной значащей цифры. Приводя значение измеренной Вами величины, проверьте, согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с порядком погрешности. Порядок последней значащей цифры измеренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы! Запись Е = (18451,27 ± 20) 107 Па неграмотна. Величина ошибки свидетельствует о том, что неуверенно определяется уже четвертый знак, поэтому результат должен быть соответственно округлен: Е = (18450 ± 20) 107 Па.

36

Приложение Таблица 3 Значения коэффициентов Стьюдента Число изме рений N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞

Коэффициент надежности 0,8

0,9

0,95

0,98

3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,65

12,71 4,31 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 1,96

31,82 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,33

0,99

0,999

63,66 636,62 9,92 31,60 5,84 12,94 4,60 8,61 4,03 6,86 3,71 5,96 3,50 5,40 3,36 5,04 3,25 4,78 2,59 3,31

37

Список литературы 1. Деденко Л. Г., Керженцев В. В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М.: Изд–во МГУ, 1977. 2. Зайдель А. Н. Ошибки измерения физических величин. Л.: Наука, 1974. 3. Кассандрова О. Н., Лебедев В. В. Обработка результатов измерений. М.: Наука, 1970. 4. Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971. 5. Соловьев В. А., Яхонтова В. Е. Элементарные методы обработки результатов измерений. Л.: Изд–во ЛГУ, 1977.

38

СОДЕРЖАНИЕ Задачи физического практикума

3

Часть I Статистическая обработка результатов измерений Глава I. Введение в теорию погрешностей §1. Измерения и их погрешности §2. Типы погрешностей 1. Систематические погрешности 2. Случайные погрешности 3. Промахи

3 3 5 5 6 7

Глава II. Статистическая обработка результатов прямых измерений §1. Вероятность случайного события §2. Нормальный закон распределения случайных погрешностей §3. Среднеквадратичная погрешность §4. Среднеквадратичная погрешность среднего §5. Доверительный интервал и доверительная вероятность §6. Совместный учет систематической и случайной погрешностей Глава III. Статистическая обработка результатов косвенных измерений §1. Два способа оценки погрешностей косвенного измерения §2. Частные погрешности и общая погрешность косвенного измерения §3. Относительная погрешность косвенного измерения Глава IV. Определение параметров линейной зависимости §1. Метод парных точек §2. Метод наименьших квадратов (МНК)

8 8 9 13 14 15 20 21 21 21 23 25 25 26

39

Часть II Правила работы в лаборатории, оформление результатов работы §1. Правила работы в лаборатории §2. Журнал лабораторных работ §3. Оформление отчетов §4 Графики §5. Точность вычислений Приложение Список литературы

40

31 32 34 34 36 37 38

Составители Жукова Ида Степановна Бутина Лариса Иосифовна Крылова Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Методические указания к лабораторной работе

Редактор Козина О. В.

ЛР № 040 110 Подписано к печати 09.09.99. Формат 60х84 1/16. Бумага газетная. Офсетная печать. 2.5 уч.-изд.л. 11 усл.кр.-отт. Тираж 500 экз. Изд. № 19. «С» Издательство Петрозаводского государственного университета 185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 41