Механика. Кинематика, динамика, колебания, теория относительности: Методические указания для студентов физического факультета

Петрозаводский государственный университет

МЕХАНИКА Кинематика, динамика, колебания, законы сохранения, специальная теория относительности Методические указания по курсу общей физики для студентов физического факультета

Петрозаводск, 1998

Рассмотрены и рекомендованы к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники "Физика" “ ” ______ 1998 года. Печатается по решению редакционно-издательского отдела Петрозаводского государственного университета. Данное издание осуществлено при поддержке АО “Кондопога”.

Составители: С.А.Чудинова, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей физики А.И.Назаров, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей физики Рецензент А.Л.Кашкаров, к.ф.-м.н., доцент кафедры электронных и ионных приборов

2

От составителей Методические указания содержат материалы для организации подготовки студентов к практическим занятиям по физике по разделам: “Кинематика”, “Динамика”, “Законы сохранения”, “Элементы специальной теории относительности”, “Колебания”, а также для проведения аудиторных занятий. Материал разбит на отдельные темы, по которым проводится 1-2 аудиторных занятия. К каждой теме даны подробные вопросы по теории и задания, которые будут выполняться в аудитории. В методические указания включены также домашние задания, рабочая программа курса и планы семинарских занятий. Издание предназначено для студентов 1ого курса физического факультета и составлено с целью организации самостоятельной работы студентов. Данное пособие положено в основу электронной версии, предназначенной для дистанционного обучения студентов физических факультетов университетов. Ссылку на эту версию можно найти на сервере ПетрГУ на Web странице кафедры общей физики http://www.karelia.ru/psu/Deps/KOF/homekof_a.html

3

ПРОГРАММА КУРСА “МЕХАНИКА”

1. 2. 3. 4. 5.

6.

Кинематика материальной точки и твердого тела Понятия пространства и времени. Система отсчета. Периодические процессы. Синхронизация часов. Способы описания движения материальной точки. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки Эквивалентность координатной и векторной форм. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения, их роль в изменении скорости. Преобразования Галилея. Инварианты преобразований: длина, интервал времени. Сложение скоростей. Преобразование ускорений. Инвариантность ускорения. Кинематика твердого тела. Степени свободы твердого тела. Разложение движения твердого тела на поступательную и вращательную составляющие Вектор элементарного углового перемещения. Угловое ускорение. Связь линейных и угловых кинематических характеристик. Динамика материальной точки.

7. I закон Ньютона, инерциальные системы отсчета. 8. II закон Ньютона. Понятие силы, массы, импульса материальной точки.

9. III закон Ньютона. Примеры его проявления. Интерпретация III закона Ньютона при электромагнитном взаимодействии движущихся зарядов. 10. Сухое трение покоя и скольжения. Коэффициент трения, его экспериментальное определение. 11. Жидкое трение. Движение тела в вязкой жидкости. Предельная (установившаяся) скорость. 12. Принцип относительности в классической механике. 13. Уравнение движения системы материальных точек. Импульс системы. Закон сохранения импульса и отдельных его компонент. 14. Центр масс системы. Закон движения центра масс. 4

15. Движение тела переменной массы, уравнение Мещерского, реактивная сила. Предельная скорость ракеты, уравнение Циолковского. Неинерциальные системы отсчета.

16. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейнопоступательно. Выражение для сил инерции. Принцип эквивалентности. 17. Неинерциальные вращающиеся системы отсчета. Силы во вращающейся системе координат. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса. Работа. Энергия. Закон сохранения энергии.

18. Работа сил. Мощность. Потенциальные и непотенциальные силы. Работа в потенциальном поле. Работа центральных сил. 19. Кинетическая энергия тела. Ее изменение при силовом воздействии на тело. 20. Потенциальная энергия системы тел. Связь изменения потенциальной энергии с работой сил. Нормировка потенциальной энергии. 21. Полная механическая энергия системы, ее изменение под действием сил. Закон сохранения механической энергии для системы материальных точек. 22. Применение законов сохранения энергии и импульса для расчета упругих и неупругих столкновений тел. Физические примеры упругих и неупругих столкновений. Движение в гравитационном поле.

23. Закон тяготения Ньютона. Гравитационная энергия шарообразного тела. Гравитационный радиус. 24. Основные законы движения планет и комет. Движение искусственных спутников Земли. Первая и вторая космические скорости. Динамика твердого тела. 5

25. Момент силы. Момент инерции. Вычисление момента инерции относительно оси вращения. Теорема Гюйгенса-Штейнера. 26. Основной закон динамики для вращательного движения материальной точки и твердого тела около неподвижной оси. 27. Кинетическая энергия вращающегося тела и тела, совершающего плоское движение. Теорема Кенига. 28. Момент импульса материальной точки, твердого тела. Уравнение моментов для материальной точки и твердого тела. 29. Движение тела, закрепленного в точке. Свободный гироскоп. Элементарная теория гироскопа. Несвободный гироскоп. Применение гироскопов. 30. Трение качения. Коэффициент трения. Основы специальной теории относительности.

31. Опыт Майкельсона-Морли. Постулаты специальной теории относительности. 32. Формулы преобразования Лоренца. 33. Кинематические следствия из формул преобразований Лоренца: а) сокращение движущихся масштабов, б) замедление хода движущихся часов, в) относительность одновременности, г) релятивистский закон сложения скоростей, д) преобразование ускорений. 34. Релятивистское уравнение движения. 35. Релятивистский закон сохранения энергии. Полная релятивистская энергия частицы. Соотношение между массой и энергией. Энергия связи. Колебания.

36. Гармонические колебания. Уравнение гармонического колебания. Представление гармонического колебания в комплексной форме. 37. Метод векторных диаграмм. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. Амплитуда и фаза результирующего колебания. 6

38. Сложение гармонических колебаний с близкими частотами (биения). 39. Векторные колебания. Сложение ортогональных векторных колебаний. Фигуры Лиссажу. 40. Собственные колебания. Энергия колебаний. Начальные условия. Общее условие гармоничности колебаний. 41. Примеры механических гармонических осцилляторов: пружинный маятник, математический маятник, физический маятник. Собственная частота гармонического осциллятора. 42. Затухание колебаний при наличии жидкого трения. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Случаи малого и большого трения. 43. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Переходный режим. Резонанс. Резонансные кривые при разных коэффициентах затухания колебаний. Фазовые соотношения при вынужденных колебаниях. Энергетика вынужденных колебаний. 44. Вынужденные колебания под действием негармонической, но периодической силы. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Кинематика материальной точки (координатная форма описания движения).

2. Кинематика материальной точки (векторная форма описания движения).

3. Кинематика твердого тела (вращательное движение). 4. Контрольная работа по кинематике. 5. Динамика материальной точки в инерциальных системах отсчета. 6. Динамика материальной точки в неинерциальных системах отсчета. 7. Работа, энергия, законы сохранения. 8. Динамика твердого тела (основной закон динамики вращательного движения). 7

9. Динамика твердого тела (уравнение моментов, закон сохранения момента импульса). 10. Контрольная работа по динамике и законам сохранения. 11. Элементы специальной теории относительности. 12. Кинематика гармонических колебаний. Сложение колебаний. 13. Собственные колебания. Затухание колебаний. 14. Вынужденные колебания. 15. Самостоятельная работа по колебаниям. ЛИТЕРАТУРА Основная

1. Стрелков С.П. Механика. - М.: Наука, 1975 - 569 с. 2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. - М.: Высшая школа, 1986. - 415 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Наука, 1974. - Т.1. - 519 с. 4. Стрелков С.П., Сивухин Д.В., Угаров В.А., Яковлев И.А. Механика: Сборник задач по общему курсу физики / Под ред. Яковлева И.А. - М.: Наука, 1977. - 288 с.

5. 6. 7. 8. 9.

8

Дополнительная Хайкин С.П. Физические основы механики. - М.: Наука, 1971. 751 с. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982. - Т.1. 431 c. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: Наука, 1982. - 271 с. Жукова И.С., Бугнина Г.А., Маминова С.П. Сборник задач по курсу общей физики для стандартизованного контроля. Механика. - Петрозаводск, 1977. - 124 с. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. - М.: Наука, 1988. - 416 с.

ПЛАНЫ

СЕМИНАРОВ

Динамика Ньютона N п/п 1

Вопросы Закон Ньютона. Его независимость.

2

Понятия силы, инертной и гравитационной масс. Импульс материальной точки.

3

II закон Ньютона - основной закон динамики.

4

III закон Ньютона в форме равенства действия и противодействия. Примеры его проявления. III закон Ньютона и электромагнитные взаимодействия. Принцип относительности Галилея.

5 6

Литература [1], с. 54-61; [2], с. 106-115; [3], с. 64-68. [1], с. 49-54, с. 63-66; [2], с. 105-115; [3], с. 68-78, с. 97-100. [1], с. 61-63, с 66-82; [2], c. 106-115; [3], с. 71-78. [1], с. 67-76; [2], с. 106-111; [3], c 78-88. [2], с. 111-115; [3], с. 78-88 [2], с. 61-63; [3], с. 91-97.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая система отсчета называется инерциальной? 2. I-ый закон Ньютона следует из II-го. Почему его считают само3. 4. 5. 6. 7.

стоятельным законом? Что такое сила? Каковы следствия действия силы? Как измерить силу? Как суммируются силы? Что такое инертность тела? Что такое масса? 9

8. Как измерить массу? 9. В чем заключается свойство аддитивности массы? 10. Что называется импульсом а) материальной точки, б) системы материальных точек? 11. Сформулируйте основной закон динамики а) для материальной точки, б) для системы материальных точек. 12. Как составить уравнение движения тела а) в векторной форме, б) в скалярной форме? 13. Как направлена сила, действующая на тело А, если оно движется вместе с подставкой так, как указано на рисунке? Какая сила

движет это тело? 14. Сформулируйте III закон Ньютона в форме равенства действия и противодействия. 15. Перечислите отличительные признаки “действующей” и “противодействующей” сил. 16. Найти действующие и противодействующие силы в случае тела, подвешенного на нити. 17. Рассмотрите взаимодействие двух движущихся точечных зарядов q1 и q2 (см. рисунок):

10

а) найдите величину и направление электрических сил, б) найдите величину и направление магнитных сил (Лоренца), в) проанализируйте электрические и магнитные силы на основе III закона Ньютона. 18. В чем заключается принцип относительности Галилея? Покажите, что II закон Ньютона подчиняется принципу относительности. 19. Почему принцип относительности является постулатом? Колебательное движение N п/п Вопросы 1 Гармонические колебания (понятие). Уравнение колебаний и его параметры. Сдвиг фаз. Скорость и ускорение. 2 3 4

Представление гармонических колебаний в комплексной форме и в виде векторов. Сложение синхронных скалярных колебаний. Биения. Сложение ортогональных векторных колебаний. Фигуры Лиссажу. Поляризация векторных колебаний.

Литература [1], с. 420-424 [2], с. 277-280, с. 285-286 [6], с. 187-195 [2], с. 280-283; [6], с. 186-187 с. 190-192 [1], с. 262-464; [2], с. 281-283 [3], с. 198-201 [6], с. 201-204

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите уравнение гармонического колебательного движения.

2. Объясните физический смысл параметров колебания: амплитуды, периода, частоты.

3. Что такое фаза колебания? Как фаза колебания зависит от времени? 4. В каких единицах измеряется разность фаз двух колебаний? 11

5. Как изменяется со временем сдвиг фаз 2-х колебаний: а) синхронных, б) асинхронных? 6. Запишите уравнение гармонического колебания в комплексной форме. 7. В чем заключается графическое представление колебаний? 8. Чем определяется начальная фаза колебаний? 9. От чего зависит амплитуда и начальная фаза результирующего колебания, являющегося суммой двух синхронных скалярных гармонических колебаний? 10. Что такое биения? Как они образуются? Являются ли биения гармоническими колебаниями? 11. С какой частотой и в каких пределах меняется амплитуда при биениях? 12. Что такое фигура Лиссажу? 13. От чего зависит вид фигуры Лиссажу? 14. В чем заключается правило частот Лиссажу? 15. Назовите некоторые применения метода фигур Лиссажу. 16. Как получить циркулярно-поляризованное и эллиптическиполяризованное колебание? ДОМАШНИЕ I.

ЗАДАНИЯ

Кинематика материальной точки и твердого тела

I вариант [4]: №7, 57, 58, 67, 21, 30; [8]: №1.2, 1.12, 1.27, 1.36, 1.55, 1.59, 1.79, 1.98. Задача: радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: r(t)=3t2⋅i+2t⋅j+k (м), где i, j, k - единичные вектора координатных осей. Найти: а) скорость v и ускорение a частицы; б) модуль скорости ⏐v⏐ в момент времени t=1 с; в) приближенное значение пути s, пройденного частицей за 11-ю секунду движения. II вариант 12

[4]: №10, 17, 21, 25, 66, 68; [8]: №1.3, 1.11, 1.28, 1.37, 1.56, 1.60, 1.71, 1.110. Задача: радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: r(t)=at⋅i-bt2⋅j (м), где a, b - положительные постоянные, i, j единичные вектора координатных осей. Найти: а) уравнение траектории частицы; б) зависимость от времени векторов скорости v, ускорения a и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла α между векторами скорости v и ускорения a; г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора. III вариант [4]: №3, 14, 15, 23, 31, 50, 62; [8]: №1.1, 1.5, 1.29, 1.57, 1.61, 1.81, 1.100. Задача: радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: r(t)=3t2⋅i+4t2⋅j+7⋅k (м), где i, j, k - единичные вектора координатных осей. Найти: а) скорость v, ускорение a частицы и модули этих величин; б) путь s, пройденный частицей за первые 10 секунд движения; в) модуль вектора перемещения ⏐Δr⏐ за это же время. IV вариант [4]: №5, 13, 18, 21, 23, 58, 67; [8]: №1.4, 1.10, 1.30, 1.39, 1.54, 1.62, 1.78, 1.101. Задача: частица движется со скоростью v(t)=i+2t⋅j+(3t+2) ⋅k (м/с), где i, j, k - единичные вектора координатных осей. Найти: а) зависимости x(t), y(t), z(t); б) перемещения ⏐Δr⏐ за первые 2 секунды движения; в) модуль скорости ⏐v⏐ в момент времени t=2 с. II. Динамика материальной точки и твердого тела, законы сохранения и изменения импульса, энергии, момента импульса 13

№ варианта 1

2

14

Динамика материальной точки

Работа. Энергия. Законы сохранения импульса и энергии

Динамика твердого тела

[4]: 75, 88, 96, 111, 263. [8]: 2.23, 2.35, 2.36.

[4]: 164, 166, 191 [8]: 2.74, 2.83, 2.100 Задача: первоначально покоящаяся частица, находясь под действием силы F=i+2j+3k (Н), переместилась из точки (2, 4, 6) (м) в точку (3, 6, 9) (м). Найти: кинетическую энергию частицы в конечной точке.

[4]: 319, 330, 342 [8]: 3.9, 3.28,3.34, 3.53,3.62 Задача: Две частицы движутся равномерно в противоположных направлениях вдоль прямолинейных траекторий. Найти: суммарный импульс частиц, суммарные моменты импульса частиц относительно точек О1 и О2.

[4]: 76, 90, 120, 273, 260. [8]: 2.24, 2.28, 2.38.

[4]: 163, 168, 193 [8]: 2.66, 2.95, 2.101 Задача: Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1 с координатами (1,2,3) (м) в точку 2 с координатами (3,2,1)

[4]: 316, 328, 343 [8]: 3.10,3.29,3.35,3.54,3.6 4 Задача: Тело массы m брошено с начальной скоростью v0 под углом α0 к горизонту. Найти вектор момента импульса тела относительно точки

3

[4]: 74, 80, 89, 257, 284. [8]: 2.33, 2.29, 2.44.

4

[4]: 73, 75, 110, 265. [8]: 2.22, 2.32, 2.35, 2.45.

(м). Найти: работу, совершаемую при этом, и изменение кинетической энергии частицы. [4]: 160, 176, 188 [8]: 2.76, 2.97, 2.103 Задача: Брошенный камень массы m поднимается над уровнем, на котором находится точка бросания на высоту h. В верхней точке траектории скорость камня равна v. Сила сопротивления совершает над камнем на пути от точки бросания до вершины траектории работу Ас. Найти работу сил бросания камня. [4]: 162, 170, 193 [8]: 2.71, 2.98, 2.102 Задача: Тело массы m брошено с начальной скоростью v0 под углом α0 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) мгновенную мощность, развиваемую силой,

бросания в верхней точке траектории.

[4]: 313, 325, 340 [8]: 3.15,3.31,3.36,3.50,3.6 0 Задача: Небольшое тело массы m начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости. Найти: 1) момент результирующей силы, действующей на тело, относительно точки О.

[4]: 323, 326, 345 [8]: 3.14,3.32,3.42,3.51,3.6 1 Задача: Материальная точка массы m брошена с начальной скоростью v0 под углом α0 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 15

действующей на 1) момент силы, тело, действующий на 2) значение мощночастицу, сти в вершине 2) момент импульса траектории, частицы. 3) среднее значение Оба момента вычисмощности за вре- лить относительно мя подъема и за точки бросания. время полета. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Тема: кинематика материальной точки (2 занятия) I.

Вопросы для подготовки (1-14 - к первому занятию, 15-22 ко второму)

1.

В чем заключаются координатный и векторный способы описания движения? Что называется средней и мгновенной скоростями изменения координаты x точки (vxср, vx)? Что называется средним и мгновенным ускорениями точки по оси X (axср, ax)?

2. 3.

t

∫

4.

Что определяет интеграл V x dt ?

5.

Что определяет уравнение x=x0+vx⋅t? Какое движение оно описывает? Как изменяются со временем величины vx, ax? Что определяют соотношения: vx= vx0+ ax⋅t, x=x0+vx0⋅t+ ax⋅t2/2 ? Что называется вектором перемещения точки Δr? Что называется средним и мгновенным вектором скорости точки (vср, v)? Как направлены эти вектора? Что называется средним и мгновенным вектором ускорения точки (aср, a)? Как они направлены?

0

6. 7. 8. 9.

16

t

10.

∫

Что определяет интеграл V dt ? 0

11. Как связан вектор скорости v со скоростями vx, vy, vz? 12. Как найти модули векторов скорости, ускорения⏐a⏐? 13. Как связаны координатный и векторный способы описания движения? t

14. Что определяет интеграл

∫

⏐v⏐dt

0

15. В чем заключается закон преобразования вектора скорости v 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

при переходе от одной системы отсчета к другой? То же для вектора ускорения a. Как разложить вектор ускорения а на нормальную и тангенциальную составляющие (аn и aτ?) Как влияют на вектор скорости v точки тангенциальное ускорение аτ? Как рассчитать величину аτ? Как влияет на вектор скорости v точки нормальное ускорение аn? Как рассчитать величину аn? Точка движется равномерно по кривой. Чему равно аn? аτ? Точка движется по прямой с увеличивающейся скоростью. Чему равно аn? аτ? Что называется годографом скорости? Чем определяется его вид? Как направлен вектор ускорения а по отношению к годографу?

17

I.

Задание для первого аудиторного занятия

1. Определить вид графика зависимости х(t), если υх(t) соответствует графику, изображенному на рисунке. Считать, что хо > 0.

2. На графике представлена зависимость υх(t). Определить координату х точки в момент t = 2с, если xo = -6 см.

3. Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью υо Описать его движение в системе отсчета, связанной с домом.

4. Точка движется в плоскости (xy) по траектории ОАВ и проходит отрезки ОА за 2 с, АВ - за 3 с, двигаясь вдоль них равномерно. Найти: а) υср., υх ср., υу ср. б) а ср., ах ср., а у ср.

5. Материальная точка движется вдоль оси х по закону х = at - bt2, где а = 3 см/с, b = 0,5 м/с2. Найти средние значения: 18

а) проекции вектора скорости точки на ось X за первые 2, 6 и 10 секунд; б) модуля скорости за первые 5 секунд.

6. Радиус-вектор точки относительно начала координат меняется со временем по закону r(t) = ati + (bt - ct)j где a, b, c - положительные постоянные, i и j - орты осей X и Y. Найти: а) зависимости х (t), y(t) и уравнение траектории y(x); б) зависимости от времени векторов скорости υ, ускорения а и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла α между векторами υ и а. г) средний вектор скорости за первые 3 секунды движения, модуль этого вектора, если а = 50 см/с, в = 200 см/с. II. Задание для второго аудиторного занятия

1. Тело брошено со скоростью υо = 10 м/c под углом αо =30о к горизонту. Рассмотрите тело в момент времени τ =0,2 с после начала движения (сопротивление воздуха не учитывать). a) По знаку υy исследуйте, в какой части траектории в данный момент находится тело. b) Изобразите на чертеже υx, υy, υ, аn, aτ, a в данный момент времени. c) Какой угол α составляет вектор скорости υ с горизонтом в данный момент времени? d) Вычислите аn и аτ в данный момент времени. e) Найдите радиус кривизны R траектории в данной точке. f) В какой еще момент времени τ` тело, будет иметь такие же значения an и aτ? g) В какой момент времени аτ = 0? h) Изобразите годограф скорости. i) Вычислите координаты х и у точки в указанный момент времени.

19

2. На рисунке показан вектор скорости материальной точки υ в разные моменты времени. Определить вид траектории точки, считая, что в начальный момент времени точка проходила через начало координат.

3. Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью υо. Определите скорости и ускорения точек А, В, С относительно системы отсчета, связанной с горизонтальной плоскостью.

4. Камень брошен со скоростью υо = 20 м/с относительно Земли под углом αо к горизонту (αо = 60о ):

а) определить вид траектории камня относительно платформы, движущейся с постоянной скоростью υn = 20 м/с; б) какой вид будет иметь траектория в случае, если платформа движется замедленно с ускорением w = g*tg30о, если в момент броска скорость платформы υn=υo= 20 м/с?

20

Тема: кинематика твердого тела I. Вопросы для подготовки.

1. Что называется средней угловой скоростью? Мгновенной угловой скоростью? 2. Как направлен вектор угловой скорости? 3. Полусфера А вращается вокруг некоторой неподвижной оси. Вектор угловой скорости изображен на рисунке. Укажите ось и направление вращения.

4. Что называется средним угловым ускорением? Мгновенным ускорением?

5. Как направлен вектор углового ускорения? 6. Диск Б вращается вокруг оси ОО в указанном направлении. Укажите направление векторов угловой скорости ω и углового ускорения, если: а) ω увеличивается со временем, ось неподвижна; б) ω уменьшается со временем, ось неподвижна. 7. Чем определяется число степеней свободы механической системы? 8. Как направлен вектор элементарного углового перемещения? 9. Является ли вектором конечное угловое перемещение? 10. Как связаны линейные и угловые кинематические характеристики? 11. Каковы законы изменения угловой координаты и угловой скорости со временем при равноускоренном вращательном движении относительно неподвижной оси? 12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Обладает ли любая точка на ободе нормальным, тангенциальным ускорением, меняются ли со временем модули этих ускорений, если колесо вращается: 21

а) с постоянной угловой скоростью ω = const; б) с постоянным угловым ускорением ε = const. 0

Задание для аудиторного занятия

1. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость ω(t) приведена на рисунке. Считая ϕо = 0, а) выразить зависимость ω(t) аналитически; б) выразить зависимость ϕ(t) аналитически; в) изобразить графически зависимость ϕ(t); г) в момент времени t = - 0,2 с найти линейную скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки, находящейся от оси вращения на расстоянии r = 0,5 м; д) найти угол, который составляет вектор полного ускорения с радиусом окружности, описываемой данной точкой в момент времени t= - 0,2 с.

2. Колесо, вращающееся с частотой 35 с-1, при торможении стало вращаться равнозамедленно и остановилось через 30 с. Найти: а) угловое ускорение колеса; б) число оборотов с момента начала торможения до остановки.

3. Некоторое тело начинает вращаться с постоянным угловым ус-

корением 0,04 с-2. Через сколько времени после начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет направлено под углом 76о к вектору скорости этой точки?

4. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями ω1 = 3 рад/с и ω2 = 4 рад/с. Найти угловую скорость одного тела относительно другого.

5. Твердое тело вращается с угловой скоростью ω = ati + bt2j, где

а = 0,5 рад/с2, b = 0,06 рад/с3, i и j - орты осей X и Y. Найти модули угловой скорости и углового ускорения в момент t = 10 с.

22

Тема: динамика материальной точки в инерциальных системах отсчета I. Вопросы для подготовки (см. план семинара “Динамика Ньютона”) 0

Задание для аудиторного занятия

1. Шар, укрепленный на жестком стержне, вращается равномерно в горизонтальной плоскости. Найти направление силы упругости, действующей на шар со стороны стержня.

2. Шарик, подвешенный на длинной нити, колеблется в вертикальной плоскости. Угол наибольшего отклонения равен αmax. Указать приблизительно направление вектора результирующей силы F, действующей на шарик в точках 1, 2, 3.

3. Тело А вместе с лежащим на нем бруском Б движется ускоренно по горизонтальной плоскости. Указать силы, действующие на брусок Б, и их противодействующие (см. рис.).

4. По горизонтальной поверхности движутся санки массой m под действием силы F, направленной под углом α к горизонту. Найти ускорение, с которым движутся санки, если коэффициент трения μ.

23

5. Тело лежит на наклонной плоскости, угол наклона которой к горизонту α может изменяться от 0 до π/2. При угле наклона αо начинается скольжение. Построить график зависимости силы трения от α. Определить коэффициент трения.

6. На наклонную плоскость, со-

ставляющую угол α с горизонтом, поместили 2 бруска массами m1 и m2. Коэффициенты трения между плоскостью и этими брусками соответственно μ1 и μ2, причем μ1 > μ2. Найти: а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения; б) значения угла α, при которых не будет скольжения.

7. Шар, укрепленный на жестком стержне длиной l, равномерно вращается в вертикальной плоскости со скоростью υ. Найти величину и направление силы упругости, действующей на стержень со стороны шара в положении, указанном на рисунке. Считать, что υ2/l < g cos α. 8. Как будет изменяться скорость тела, движущегося вертикально вверх с начальной скоростью υо, если сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела? Тема: динамика материальной точки в неинерциальных системах отсчета I.

Вопросы для подготовки

1. Какие системы отсчета называются неинерциальными? 2. Сформулируйте основной закон динамики для неинерциальных поступательно движущихся систем отсчета. 3. Чему равна и как направлена сила инерции в поступательно движущейся системе отсчета? Какими свойствами она обладает? 4. Чему равна и как направлена центробежная сила инерции? 24

5. Сформулируйте условия равновесия тела относительно равномерно вращающейся неинерциальной системы отсчета. 6. Что такое сила Кориолиса? Когда она возникает? Как определить ее направление и величину? 7. Маятник массой m подвешен к подставке, укрепленной на тележке. Тележка движется горизонтально с ускорением а. Составьте уравнение движения маятника в инерциальной (Х, Y) и неинерциальной (Х’, Y’) систем отсчета. 8. По диску, вращающемуся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω, катится шарик массой m. Скорость шарика относительно диска ω`. Определите направление силы Кориолиса.

1 1.

Задание для аудиторного занятия Наклонная плоскость с углом наклона α движется с ускорением ω в указанном направлении. При некотором значении ускорения ωо тело массой m, лежащее на наклонной плоскости, начинает равномерно скользить вверх. Коэффициент трения тела с плоскостью - μ. Определить

ωо.

25

2. В лифте, движущемся вверх с постоянным ускорением ω, равномерно вращается в вертикальной плоскости шар, насаженный на жесткий стержень. Найти силу Fш→с, с которой шар действует на стержень в нижнем положении. Длина стержня - l, масса шара m, скорость - υ. Задачу решайте в неинерциальной системе отсчета.

3. Какова высота h’ столбика ртути в ртутном барометре, помещенном в лифте, который опускается с ускорением ω, если атмосферное давление равно h мм рт. ст.

4. Тело, масса которого 1 г, вблизи экватора весит 978 дин. Принимая экваториальный радиус Земли равным 6378 км, определить силу притяжения этого тела землей. Каков был вес I г на экваторе, если бы Земля вращалась в 10 раз быстрее по сравнению с обычной скоростью?

5. Поезд массой 2000 т движется на северной широте ϕ = 60о. Определить: а) модуль и направление силы бокового давления поезда на рельсы, если он движется вдоль меридиана со скоростью 54 км/ч; б) в каком направлении и с какой скоростью должен был бы двигаться поезд, чтобы результирующая сил инерции, действующих на поезд в системе отсчета, связанной с Землей, была равна нулю? Тема: Импульс. Работа. Энергия. Законы сохранения импульса и энергии (2 занятия). I.

Вопросы для подготовки

1. Что называется импульсом материальной точки? 26

2. Тело массой m = 0,2 кг движется с постоянной скоростью υ = 0,5 м/с по окружности. Определить изменение импульса тела (ΔP =Р2-Р1) за время прохождения телом а) четверти окружности; б) половины окружности; в) всей окружности 3. Сформулируйте II закон Ньютона в импульсной форме для системы тел. 4. Что называется импульсом силы? Какова связь между импульсом силы и изменением импульса тела, на которое она действует? Рассмотрите 2 случая: а) сила неизменна б) сила меняется со временем 5. Сформулируйте закон сохранения импульса системы тел и отдельных его проекций. 6. Что называется работой силы? 7. Груз подвешен к нерастяжимой нити длиной l и оттянут в сторону так, что нить составляет с вертикалью угол α. Какие силы действуют на груз? Какую работу совершают эти силы на пути движения его к положению равновесия? 8. Какие силы называются консервативными? Неконсервативными? Примеры. 9. Шар, насаженный на жесткий стержень, совершает полный оборот. Какую работу при этом совершает сила тяжести? 10. Что называется кинетической энергией тела, системы тел? Как связаны между собой изменение кинетической энергии и работа сил? 11. Что называется потенциальной энергией системы тел? Какова связь изменения потенциальной энергии системы с работой сил? 12. Что называется полной механической энергией системы? 13. Какова связь изменения полной механической энергии системы с работой сил? 14. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. II. Задание для первого аудиторного занятия 27

1. Тело массой 5 кг перемещается вдоль оси Х под действием силы, зависимость которой от времени показана на рисунке. Чему равна скорость к концу действия силы, если его начальная скорость равна 10 м/с? 2. Снаряд, летевший на высоте 40 м горизонтально со скоростью 100 м/с, разрывается на две равные части. Одна часть снаряда через 1 с падает на землю точно под местом взрыва. Определить скорость другой части снаряда сразу после взрыва. 3. На горизонтально проложенных рельсах стоит платформа с песком общей массой М = 5000 кг. В платформу попадает снаряд массой m = 5 кг., летящий со скоростью υ = 400 м/с. Снаряд летит вдоль рельс под углом α = 30о к горизонту. Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке. 4. Сила, действующая на частицу, имеет вид F = аi (Н), где а - константа, i - единичный вектор оси Х. Вычислить работу, совершаемую над частицей этой силой на пути от точки с координатами (1, 2, 3) (м) до точки с координатами (7, 8, 9) (м). 5. Тело массой m = 1 кг падает с высоты h = 20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h; б) мгновенную мощность, на высоте h/2.

28

III. Задание для второго аудиторного занятия. 1. Шарик для игры в настольный теннис радиуса r и массы m погружен в воду на глубину h1. Когда шарик отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту h2. Найти работу сил трения, действующих на шарик на пути (h1 + h2). 2. Санки скатываются с ледяной горы высотой h и останавливаются на ледяном поле на расстоянии S по горизонтальному направлению от вершины наклонной плоскости. Определить коэффициент трения. 3. Деревянный шар массой М лежит на подставке. Снизу в него попадает вертикально летящая пуля массой m и пробивает его. При этом шар подскакивает на высоту Н. На какую высоту h поднимется над подставкой пуля, если ее скорость перед ударом была υ? 4. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы вниз. На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно? Радиус сферы R. 5. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центральном силовом поле, имеет вид

En =

a b − , где 3 r r

а и b - положительные константы Полная энергия частицы Е = -10-10 Дж. а) имеются ли у этой частицы положения устойчивого равновесия по отношению к смещениям в радиальном направлении? б) сможет ли частица выйти из силового поля под действием потенциальной силы, действующей на частицу со стороны поля? 6. Тонкая стальная цепочка с мелкими звеньями длиной 1 м и массой 10 г лежит на горизонтальном столе. Конец цепочки свешивается с края стола. Цепочка перпендикулярна к краю 29

стола. Когда длина свешивающейся части составит долю К = 0,275 от всей длины, цепочка начинает соскальзывать вниз. Считая цепочку однородной, найти: а) коэффициент трения между цепочкой и столом, б) работу сил трения за время соскальзывания, в) скорость цепочки в конце соскальзывания. Тема: динамика вращательного движения твердого тела (2 занятия)

I. Вопросы для подготовки (1-10 - к первому занятию, 11-17 - ко второму). 1. Что называется моментом силы (величина, направление)? 2. На диск действуют равные по модулю силы F1, F2, F3, F4 : а) какая сила создает наибольший момент относительно оси вращения? б) определите моменты всех сил, в) равны ли нулю моменты каких-либо сил? г) укажите направление результирующего момента сил, д) укажите направление углового ускорения диска. 3. Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела? 4. Укажите: а) какое из тел имеет наибольший момент инерции? б) какое из тел имеет наименьший момент инерции? в) момент инерции какого тела равен M*R2 (М - масса тела)? Массы тел одинаковы. 5. В чем заключается теорема Штейнера? 6. Сравните моменты инерции цилиндров 1 и 2 относительно оси ОО, отстоящей от центра тяжести цилиндров на расстоянии R. Цилиндры одинаковы. 7. Сформулируйте основной закон динамики для вращательного движения. 8. В чем заключаются условия равновесия тела? 9. Чему равна кинетическая энергия вращающегося тела? 10. Сформулируйте теорему Кенига. 30

11. Что называется моментом импульса материальной точки? Каковы его величина и направление? 12. Что называется моментом импульса твердого тела? 13. Определите момент импульса материальной точки массой m, движущейся со скоростью со скоростью υ в указанном направлении, относительно оси О. Как изменится момент импульса, если точка переместится из положения 1 в положение 2? Как направлен вектор момента импульса в указанных точках? 14. Скорость точки А стержня в момент прохождения им положения равновесия равна υА. Длина стержня l. Чему равен и как направлен момент импульса стержня? Масса стержня М. 15. Сформулируйте закон об изменении момента импульса тела под действием сил (уравнение моментов). 16. Сформулируйте закон об изменении момента импульса системы тел. 17. Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы тел. 18. Платформа вращается в указанном направлении с угловой скоростью ω. Как изменится движение платформы, если человек будет перемещаться от ее центра к краю? 19. Составьте сравнительную таблицу величин и законов для поступательного и вращательного движений. II. Задание для первого аудиторного занятия 1. Барабан в виде диска массой m = 2 кг и радиусом r = 1,2 м вращался с частотой 100 об/с. Через 10 секунд после того, как перестал действовать вращающий момент, барабан остановился под действием сил трения. Найти момент сил трения. 2. Однородный цилиндр массой М и радиусом r вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза массой m, привязанного к легкой нити, намотанной на цилиндр. Найти зависимость угла ϕ поворота цилиндра от времени. За начальный момент принять начало движения. 31

3. Катушку тянут по полу за нитку, как показано на рисунке, сообщая ей некоторое ускорение. Считая известным коэффициент трения между катушкой и полом μ, определить ускорение, при котором катушка будет скользить по полу, не вращаясь. Радиус вала катушки r, обода - R. 4. Барабан в виде диска радиусом 0,2 м и массой m = 2 кг раскручен до скорости вращения 100 об/с и предоставлен самому себе. Под действием трения вала о подшипники барабан остановился, сделав до полной остановки 200 оборотов. Определить момент силы трения. 5. Сплошной цилиндр массой М и радиусом R скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой h, составляющей угол α с горизонтом. Пренебрегая трением качения, определите: а) механическую энергию цилиндра на вершине и у основания наклонной плоскости; б) скорость цилиндра у основания наклонной плоскости; в) ускорение а центра цилиндра; г) какова будет скорость полого цилиндра у основания наклонной плоскости (M и R такие же)? д) полый или сплошной цилиндр быстрее достигнут основания наклонной плоскости? 6. Сплошной цилиндр массой m и радиусом R скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой h. У основания наклонной плоскости его скорость равна υ. Какую работу производят силы трения качения при движении цилиндра по плоскости? III. Задание для второго аудиторного занятия

32

1. Вертикальный столб высотой h = 5 м подпиливается у основания и падает на землю. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю. 2. Тяжелая узкая доска длиной l = 50 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из ее концов. В другой конец попадает пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью υ = 400 м/с, перпендикулярной оси вращения. Пуля застревает в доске, масса которой М = 60 кг. а) проанализируйте систему тел (пуля + доска); б) найдите момент импульса системы до соударения (L1) и после соударения (L2); в) на основании закона сохранения момента импульса найдите угловую скорость доски сразу после попадания пули; г) найдите линейную скорость центра тяжести доски сразу после попадания пули; д) найдите высоту, на которую поднимется центр тяжести доски. 3. Человек массой m находится на неподвижном относительно оси диске массой М и радиусом R, который может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. С какой угловой скоростью будет вращаться диск, когда человек пойдет по окружности радиусом r, концентричной диску, со скоростью υ' относительно диска? 4. Однородная тонкая квадратная пластинка массой М может свободно вращаться вокруг вертикальной оси. В точку А, находящуюся на расстоянии 2/3 а от оси, нормально к пластинке ударяется шар массой m, летящий со скоростью υ. Как будут двигаться пластинка и шар после соударения, которое происходит по закону упругого удара? Тема: элементы специальной теории относительности I.

Вопросы для подготовки

1. В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности? 33

2. Выпишите формулы преобразований Лоренца. Какие величины связывают эти формулы? 3. Какая система отсчета называется собственной? 4. В чем заключается закон об изменении движущихся масштабов? 5. В какой системе отсчета масштаб будет иметь максимальный размер? 6. Система отсчета S′ движется с некоторой скоростью в положительном направлении оси y относительно системы S. Какой размер стержня, расположенного вдоль оси х в системе S, зафиксирует наблюдатель, движущийся вместе с системой отсчета S? 7. В чем заключается закон об изменении хода движущихся часов? В какой системе отсчета часы измерят наименьшую длительность процесса? 8. Релятивистский закон сложения скоростей. 9. Как связаны ускорения тела, измеренные в собственной и произвольной системах отсчета? 10. Как объяснить, что ускорение в релятивистском случае не совпадает с внешней силой? 11. В чем заключается релятивистское уравнение движения? 12. Что называется полной релятивистской энергией частицы; энергией покоя? Как вычислить кинетическую энергию частицы? II. Задание для аудиторного занятия Преобразования Лоренца 1.

34

Имеются две группы синхронизированных часов, движущихся одна относительно другой со скоростью υ. За начало отсчета времени примем момент, когда часы I′ окажутся напротив часов I. Изобразить примерное расположение стрелок всех часов в этот момент: а) с точки зрения "неподвижной" системы отсчета S; б) с точки зрения "подвижной" системы отсчета S′.

2. В двух точках некоторой системы отсчета произошли события, разделенные промежутком времени Δt. Показать, что если эти события причинно связаны в данной системе (например, выстрел и попадание пули в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной системе отсчета. 3. На диаграмме пространство-время показаны три события А, В, С, которые произошли на оси Х некоторой инерциальной системы отсчета. Найти: а) промежуток времени между событиями А и В той системе отсчета, где они произошли в одной точке; б) расстояние между точками, где произошли события А и С, в той системе отсчета, где они произошли одновременно. Кинематические следствия из преобразований Лоренца 4. В верхних слоях атмосферы рождается μ - мезон, движущийся со скоростью υ = 0,99 С. До распада он успевает пролететь расстояние l = 5 км. а) каково время жизни μ - мезона, наблюдаемое нами? Чему оно равняется в системе координат, связанной с самим μ -мезоном? б) чему равна толщина слоя атмосферы, пройденного μ -мезоном, измеренная в его собственной системе координат? 5. Найти собственную длину стержня, если в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью υ = С/2, его длина l = 1 м и угол между ним и направлением движения υ = 45о. Релятивистское уравнение движения и релятивистская энергия 6. Частица с массой покоя mо движется вдоль оси Х по закону х =

a 2 + c 2 t 2 − b . Чему равна сила, под действием которой частица совершает такое движение? 7. Найти скорость, при которой кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. 35

III.

Домашнее задание

1. [7], 1.278, 1.281, 1.290, 1.298 2. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки в неподвижной системе отсчета за время Δt = 20 мс. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение времени Δt = 25 мс. Найти собственную длину стержня. Тема: колебания (3 занятия) I.

Вопросы для подготовки (1-15 – к первому занятию, 16-24 – ко второму занятию, 25-34 – к третьему занятию).

1. Уравнение гармонического колебания. 2. В чем заключается физический смысл параметров колебания (амплитуда, частота, период)? 3. Что такое фаза колебания? Как изменяется со временем? В каких единицах измеряется? 4. Как определить, которое из двух колебаний по фазе опережает другое? 5. Чему равна разность фаз следующих колебаний: х1 = A1 sinωt х2 = A2 sin(ωt -τ) ? 6. Изобразите колебание х = А cos (ωt + ϕ) на векторной диаграмме 7. Чем определяется начальная фаза колебания? 8. Материальная точка участвует в двух синхронных гармонических колебаниях, описываемых уравнениями: х1 = A1 cos(ωt + ϕ) и x2 = cos(ωt + ϕ). Каким будет результирующее движение? Запишите уравнение результирующего колебания. Чему равны амплитуда и начальная фаза результирующего колебания? 9. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебания одной частоты? 36

10. Что такое биения? Как они образуются? Чему равен период биений? 11. Что такое фигура Лиссажу? Чем определяется ее вид? 12. Какова траектория движения точки, участвующей в следующих колебаниях: x = A1 sin (ωt + ϕ) y = A2 sin (ωt + ϕ)? 13. В чем заключается правило частот Лиссажу? 14. Чем определяются размеры фигуры Лиссажу? 15. Запишите уравнение траектории материальной точки, участвующей в двух ортогональных синхронных гармонических колебаний. 16. Какие колебания называются собственными? Какими уравнениями они описываются? 17. Чем определяются параметры собственных колебаний (частота, амплитуда, начальная фаза)? 18. Как рассчитать энергию гармонического осциллятора? 19. Каким уравнением описываются свободные затухающие колебания? Изобразите график затухающего колебания. 20. Как затухание влияет на частоту колебаний? 21. В чем заключается физический смысл коэффициента затухания? От чего зависит его величина? 22. Что такое логарифмический декремент затухания? Как он связан с декрементом затухания? 23. Как изменяется амплитуда затухающих колебаний с числом колебаний? 24. Что такое добротность колебательной системы? 25. Какие колебания называются вынужденными? 26. Каким законом описываются вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы? 27. Чему равна частота вынужденных колебаний? 28. От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите формулу. 29. Каков сдвиг фаз между смещением осциллятора и вынуждающей силой? Запишите формулу. 30. Что такое резонанс? Когда он наступает? 31. Что происходит с фазой колебания при резонансе? 37

32. Чему равна резонансная амплитуда? Резонансная частота? 33. Что такое статическая амплитуда? Как ее вычислить? 34. Получите отношение резонансной амплитуды к статической.

38

I.

Задание для первого аудиторного занятия

1. На рисунке представлен график колебаний пружинного маятника. Изобразить соответствующий ему график зависимости ускорения от времени. Определить величину максимального ускорения. 15 10

x, cм

5 0 -5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-10 -15

t, с

2. Точка совершает колебания вдоль оси X по закону x= A⋅cos(wtπ/4). Построить (качественно) графики зависимости: • смещения x, скорости vx, ускорения ax от времени t; • скорости vx, ускорения ax от смещения x. 3. Найти зависимость x(t), если axmax/vxmax=10 c-1, а зависимость vx(t) соответствует графику, представленному на рисунке 30

Vx, см/с

20 10 0 -10

0

10

-20

t, c

39

4. Построить векторные диаграммы следующих равенств, описывающих сложение гармонических колебаний одного направления: • A⋅sin(wt+ϕ)+B⋅cos(wt)=C⋅sin(wt), • A⋅cos(wt+ϕ)+B⋅sin(wt)=C⋅cos(wt). Считать, что A, B, C>0. 1. По виду фигуры Лиссажу, изображенной на рисунке, определить сдвиг фаз Δϕ=ϕy-ϕx складываемых колебаний. 1,5

Y

1 0,5

X

0 -1

-0,5

-0,5 0

0,5

1

-1 -1,5

2. Найти фигуру Лиссажу, соответствующую сумме двух ортогональных колебаний: x= A⋅cos(2wt), y=-A⋅cos(wt). 2

Задание для второго аудиторного занятия

1. Тело А массой 100 г подвешено на двух вертикальных пружинах с коэффициентами жесткости к1=0.1 Н/м и К2=0.3 Н/м. Тело смещают вниз на 2 см и в некоторый момент времени отпускают. Приняв этот момент времени за начальный, найти зависимость положения тела от времени x(t).

2. Определить период малых собственных колебаний тонкого стержня длиной l относительно горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. 40

3. Осциллятор совершает колебания, описываемые законом x = A⋅sin(wt). • Вывести формулу для энергии гармонического осциллятора. • Изобразить графики зависимости от времени смещения x, скорости v, потенциальной Eп, кинетической Eк и полной механической E энергии.

2. За 100 секунд система успевает совершить 100 колебаний. За это же время амплитуда колебаний уменьшается в 2.718 раз. Найти: • коэффициент затухания, • логарифмический декремент затухания, • добротность системы, • относительное уменьшение энергии ΔE/E за период колебаний. 3. Добротность колебательной системы Q=2, частота свободных колебаний w=100 с-1. Определить собственную частоту колебаний системы w0.

6. Однородный диск массы 3 кг и радиуса 20 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен. Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращательного момента к углу закручивания) ккр=6 н*м/рад. Определить: • частоту малых крутильных колебаний диска w, • амплитуду ϕм и начальную фазу колебания α, если в начальный момент времени ϕ0=0.06 рад, ω0=0.8 рад/с. 7. Гармонический осциллятор в вакууме совершает колебания с циклической частотой w0 и амплитудой А0. В вязкой среде значение циклической частоты равно w. Определить закон изменения скорости движения осциллятора со временем, ее амплитудное значение и сдвиг по фазе относительно смещения в вязкой среде. 41

IV.

Задание для третьего аудиторного занятия

1. Материальная точка массой 200 г совершает вынужденные гармонические колебания: x=0.5⋅sin(πt+π/4) (см). Найти силу, действующую на точку в тот момент, когда она смещена от положения равновесия на 0.25 см. Принять π2=9.8. 2. На рисунке показана резонансная кривая пружинного маятника. Через какое время после прекращения действия вынуждающей силы амплитуда колебаний маятника уменьшится в e2 раз? 12

A/Aст

10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

14

w, 1/с

3. Колебательная система состоит из пружины с коэффициентом жесткости k=10.05 Н/м и подвешенной к ней пластинки массой m=0.1 кг, погруженной в жидкость. Определить коэффициент сопротивления жидкости, если известно, что амплитуда вынужденных колебаний пластинки максимальна при частоте вынуждающей силы w=10 с-1. 4. Под действием вынуждающей силы Fx=Fm⋅cos(wt-ϕ) система совершает установившиеся колебания, описываемые уравнением x=a⋅cos(wt-ϕ). • Найти работу вынуждающей силы Aвын. за период. • Показать, что работа силы трения Aтр. за период равна Aтр.=Aвын.

42

1. Осциллятор массы m движется по закону x=a⋅cos(wt-ϕ) под действием вынуждающей силы Fx=Fm⋅cos(wt). Найти коэффициент затухания осциллятора. 2. При неизменной частоте вынуждающей силы амплитуды вынужденных колебаний для значений частот w1=100 с-1 и w2=300 с-1 оказываются одинаковыми. Найти резонансную частоту wрез.

43

Составители: Светлана Алексеевна Чудинова Алексей Иванович Назаров МЕХАНИКА Кинематика, динамика, колебания, теория относительности Методические указания по курсу "Механика" для студентов физического факультета

Редактор

Подписано к печати 98. Формат 60х84 1/16. Бумага газетная. Офсетная печать. 2,7 уч.-изд. л. 8 усл. кр.-отт. Тираж 300 экз. Изд. № 92. "С". Издательство Петрозаводского государственного университета Петрозаводск, пр. Ленина, 33

44