Способы хранения и представления разреженных матриц, операции над ними: Методические указания к спецкурсу

В О Р О НЕ Ж С К И Й Г О С У Д А РС Т В Е ННЫ Й У НИ В Е Р С И Т Е Т Ф А К У Л Ь ТЕ Т П М М К а ф едр а в ы чи с ли т ельной м а т ем а т и ки

М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е НИ Я С И С Т Е М С Р А ЗР Е Ж Е ННЫ М И М А Т Р И ЦА М И С П О С О БЫ ХР А НЕ НИ Я И П РЕ Д С Т А В Л Е НИ Я Р А ЗР Е Ж Е ННЫ Х М А Т Р И Ц, О П Е Р А ЦИ И НА Д НИ М И М ет одическиеуказания к спецкур су для с т у дент ов 3 ку р с а дневного и в ечер него от делени й ф а ку льт ет а ПММ

Сос т а ви т ели : И.А.Бла т ов Т.Н .Глу ша кова М.Е.Экс а р евс ка я

В ороне ж – 2002

-2-

С О Д Е РЖ А Н И Е § 1. § 2. § 3. § 4.

В в е де ние … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 3 Способы хране нияи пре дстав л е нияразре ж е нныхматриц … … … .… … ... 3 О п е рации над разре ж е нными матрицами … … … … … … … … … … ...… … . 9 М е тод Гаусса дл яразре ж е нныхматриц … … … … … … … … … … … … … . 24 Л ит е рат ура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 33

-3§ 1. В ведение Стро го го опре де л е ния разре ж е нной мат рицы не т, но е сть “ не стро гие ” опре де л е ния, не ко т орые изко т орыхмы зде сьприв е де м. О п р е д е л е ни е 1.1. Р азре ж е нная м ат ри ца ( РМ ) – эт о мат рица, у ко т орой “ много ” эл е ме нтов рав но нул ю . О п р е д е л е н и е 1.2. Р азре ж е нная м ат ри ца – эт о матрица, дл я ко т орой испол ьзо в ание ал горитмов , учитыв аю щ их нал ичие нул е й, позв ол яе т добит ься экономии маш инного в ре ме ни и памяти по срав не нию с т радицио нными ме тодами. РМ в озникаю т при ре ш е нии многих прикл адных задач. Н азо в е м не ко т орые изних: 1) дискре т изация урав не ний мат е мат иче ской ф изики – разностные схе мы и ме т од ко не чных эл е ме нтов ; 2) задачи л ине йно го про граммиро в ания (т е орияоптимизации); 3) задачи т е о рии эл е кт риче ских це пе й. О сновная задач а к урса – на у чи т ьс я с т р ои т ь эф ф ект и вны е а лгор и т м ы AU = f р ешени я с и с т ем ли нейны х а лгебр а и чес ки х у р а внени й (СЛАУ) ( A – РМ), т .е. п ы т а т ьс я оп т и м и зи р ова т ь п р оцес с р ешени я с т очки зр ени я за т р а т м а ши нной п а м я т и и вр ем ени . В о змо ж но сти ре ш е ния эт ой задачи связаны с игно риров ание м нул е й мат рицы A за сче т того, что: 1) ариф ме тит иче ские опе рации снул ями не произв одят ся; 2) нул и не о бязат е л ьно хранит ьв маш инной памят и. § 2. С пособы хр анения ипр едст авл ения р азр еж енны х м ат р иц В се способы хране ния РМ закл ю чаю т ся в том, чтобы хранит ь тол ько не нул е в ые эл е ме нты матрицы ил и, мож е т быт ь, не бол ьш о е кол иче ств о нул е й в ме сте сними. 2.1. Разр еж енны й ст р очны й ф ор м ат (РС Ф ) Э то наибол е е ш ироко испол ьзуе мая ф орма хране ния РМ . П усть е сть прямо угол ьная n × m мат рица A = aij . Д л я е е пре дстав л е ния в РСФ

{ }

нуж но т ри одноме рныхмассив а: 1) AN – массив не нул е в ых эл е ме нтов мат рицы A ; 2) JA – массив соот в е тств ую щ их стол бцов ых инде ксо в не нул е в ых эл е ме н- тов мат рицы A ; 3) IA – т ак назыв ае мый “ массив указат е л е й ” – це л очисле нный массив , i -я ко мп оне нт а ко т орого указыв ае т , c како й позиции массив о в AN и JA начинае т ся описание i -й строки мат рицы A . Зде сь пре дусмот ре на допол ните л ьная ко мпоне нт а , ко т орая яв л яе т ся после дне й и указыв ае т но ме р пе рв ой свободной позиции в массив ах AN и JA .

-4Т аким образом, описание i -й стро ки матрицы A хранит ся в позициях с I A(i ) до [ I A(i + 1) − 1] массив ов AN и JA за искл ю че ние м рав е нств а I I A(i + 1) = I A(i ) , о значаю щ е го, чт о i -я стро ка пуста. С л е до в ате л ьно, эл е ме нт ы записыв аю т ся в массив п о по рядку сл е дов ания стро к. Е сли A име е т m строк , то массив I A соде рж ит (m + 1) по зицию . Д анный спо соб пре дстав л е ния назыв аю т пол ным, т .к. пре дстав л е на в ся мат рица A . В зав исимости от того, как зап исыв аю т ся в каж дой строке стол бцо в ые инде ксы в массив е JA (по порядку в о зрастания ил и не т ), разл ичаю т уп орядоче нное ил и не упорядо че нно е пре дстав л е ние соо т в е тств е нно. Н е упо рядо че нные пре дстав л е ния нуж ны дл я ал горит миче ских удо бств : ре зул ьт ат ы бол ьш инств а матричных опе раций пол учаю т ся не упорядоче нными, и упорядо че ние их т ре буе т допол ните л ьных затрат маш инного в ре ме ни, в т о в ре мя как бо л ьш инств о ал горит мо в дл я РМ не т ре буе т , чт о бы п ре дстав л е ния был и упо рядо че нными. З а м е ч а н и е . В сю ду в дал ьне йш е м мы буде м име т ь де л о с в е щ е ств е нными матрицами. Задача 1. Н аписат ьдл яматрицы A упо рядо че нное пре дстав л е ние в РСФ . N стол бцов : 1 2 3 4 5 6 7

1  4 A= 0  0 N п озиций: AN : JA : IA:

1 1 1 1

2 1 2 4

3 2 4 6

4 4 1 8

1 0 2 0 0 0  0 5 0 0 0 0 . 0 0 0 3 6 0  0 0 0 0 0 0 

5 6 7 8 5 3 6 3 5 6 8

З а м е ч а ни е . В пе рв ой позиции массив а I A в сегда стоит 1 . Задача 2. П о массив ам AN , JA, IA т о чно стью до нул е в ых стол бцо в справ а).

AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 IA: 1 3 5 6 8

в о сстанов ит ь матрицу A (с

-5Разобье м массив ы AN, JA по стро кам: N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7

AN : 1 2 3 4 5 8 9 JA : 6 7 1 2 3 4 5 Т аким образом, в мат рице A 4 строки и 7 стол бцов , приче м в 1-ой стро ке в 6 стол бце стоит 1, в 7-м стол бце – 2 и т.д.

N стол бцо в : 1 0  3 A= 0  0

2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 2  4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0  0 0 8 9 0 0 

Задача 3. Н аписат ьдл яматрицы иззадачи 1 по л но е , но не упорядоче нное пре дстав л е ние . 2.2. Р азр еж енны й ст ол бцовы й ф ор м ат (Р С т Ф ) Зде сь эл е ме нты хранят ся не по строчкам, как в РС Ф , а по стол бцам. Стол бцов ые пре дстав л е ния могут т акж е рассматрив ат ься и как стро чные пре дстав л е ния транспониров анных матриц. Т аким образом, в массив е JAT указыв ае т ся стро чный инде кссоо т в е т ств ую щ е го эл е ме нт а, а эл е ме нты I AT указыв аю т , скакой по зиции начинае т ся описание оче ре дного стол бца мат рицы A. Задача 4. Н аписат ь дл я мат рицы A стол бцо в о е пре дстав л е ние . a) N п озиций: 1 2 3 4 5 6 7 ANT : 1 4 1 5 2 3 6

из задачи 1 упорядо че нно е

8

JAT : 1 2 1 2 1 3 3 I AT : 1 3 4 5 6 7 8 Задача 5. Т ранспониров ат ь мат рицу A иззадачи 1 и написат ь дл я не е уп орядоче нный РСФ , срав нит ьре зул ьт ат сре зул ьт ат о м задачи 5. Задача 6. Записат ьмат рицу A в не упо рядо че нном РСтФ .

 0 0 1 3 0 0 0 5 0 0   A =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .  0 0 0 0 0 7 0 1 0 0  

-62.3. С т р очны й р азр еж енны й ф ор м ат хр анения сим м ет р ичны х м ат р иц Д л я симме тричной матрицы

A = { aij }i , j =1 n

(aij = a ji )

достаточно

хранит ь л иш ь е е диагонал ь и в е рхний (ниж ний) тре угол ьник. П ри этом мо ж но указат ьдв а спо соба хране ния: 1) стро чно е пре дстав л е ние диагонал и и в е рхне го (ниж не го) т ре угол ьника (РСФ Б Д ); 2) в ыде л е ние диагонал ьных эл е ме нтов матрицы A в о т де л ьный массив AD , а разре ж е нным ф орматом пре дстав л яе т ся т ол ько в е рхний (ниж ний) т ре угол ьник матрицы A (приче м в этом пре дстав л е нии диагонал ьсчит ае т ся нул е в ой) (РСФ Д ).

З а да ча 7.

З а пис а т ь

с им м е т р ичную

2  0 A= 0  1

м а т р ицу

0 0 1  1 0 1 0 3 0  1 0 3

a) в РСФ Б Д ; б) в РСФ Д . a)

AN : 2 1 1 1 3 3 JA : 1 4 2 4 3 4 IA: 1 3 5 6 7

б) AN : 1 1

JA : 4 4 IA : 1 2 3 3 3 AD : 2 1 3 3

2.4. Д иагонал ь ная схем а хр анения (Д С Х) л ент очны х м ат р иц О п р е д е л е ни е

{ }in, j =1 назыв ае т ся

2.1. К в адратная матрица A = aij

(2m + 1) –диагонал ьной ил и ле нт оч ной, е сли aij = 0 дл яв сех i, j т аких, что | i − j |> m . Ч исло (2m + 1) – это ши ри на ле нт ы, m – полуши ри на. Е сли m << n , то т акую матрицусле дуе т рассматрив ат ькак разре ж е нную . Д л я хране ния (2 m + 1) –диагонал ьной не симме тричной мат рицы в ыде л яе т ся дв уме рный массив AD ( n × ( m + 1)) , а дл я симме т ричной – (n × (m + 1)) . Стол бцами эт ого массив а яв л яю тся не нул е в ые диаго нал и мат рицы A , ко т орые хранятся, начинаяссамой л е в ой диагонал и (самый л е в ый стол бе ц) и кончая самой п рав ой (самый прав ый стол бе ц) сле дую щ им образом:

-7сначал а в стол бе ц зап исыв ае тся гл ав ная диагонал ь, ниж ние кодиагонал и – в остал ьных концах сле в а со сдв иго м на одну позицию в низ при каж дом сме щ е ние в л е в о, а в е рхние кодиагонал и – в прав ой части массив а со сдв иго м на одну по зицию в в е рх при каж дом сме щ е нии в прав о. Схе мат ично это мо ж но изобразит ьт ак:

У симме т ричных мат риц, как прав ил о, записыв аю т ниж ний т ре уго л ьник. Задача 8. Д л якв адрат но й мат рицы A 1) найти пол уш иринул е нты m ; 2) указат ьразме ры матрицы AD ; 3) построит ьД СХ .

1 0 0 0 0 0 0    0 2 8 6 0 0 0   0 8 3 0 0 0 0    a) A =  0 9 0 4 10 0 0  ;  0 0 0 10 5 11 12    0 0 0 0 9 6 0    0 0 0 0 0 0 7  а) 1) m = 2 ; 2) AD (7 × 5) ; 1 0 0    0 2 8 6  0 8 3 0 0    3) AD =  9 0 4 10 0  ;  0 10 5 11 12    0 9 6 0    0 0 7 

1  0 б) A =  1  0 0  б)

0 1 0 0  2 0 0 0 0 0 0 2 .  0 0 3 0 0 2 0 5 

1) m = 2 ; 2) AD (5 × 3) ;

   3) AD =  1  0 2 

0 0 0 0

1  2 0.  3 5 

Задача 9. Указат ь в заимно - о дно значное соо т в е т ств ие ме ж ду по л ож е ние м эл е ме нт а в матрице A и е го пол ож е ние м в массив е AD .

-82.5. П р оф ил ь ная схем а хр анения (П С Х) л ент очны х м ат р иц Э т а схе ма пре дназначе на дл я хране ния симме тричных л е нт очных мат риц, ко гда в нут ри л е нты находится слиш ко м много нул е й, и пре дыдущ ая схе ма станов ит сяне це л е сообразной. Зде сьхранитсят ол ько ниж няяпо л ул е нт а. β i = i − jmin (i ) , где i – но ме р строки, jmin (i ) – В в е де м числа минимал ьный стол бцов ый инде кспе рв о го не нул е в о го эл е ме нт а в i -й строке мат рицы A , т .е . пе рв ый не нул е в ой эл е ме нт i -й стро ки находит ся на β i позиций л е в е е прав о й диагонал и. О п р е д е л е н и е 2.2. Профи ле м м ат ри цы сумма β i :

A = {aij }i , j =1 назыв ае т ся n

n

pr ( A) = profile ( A) = ∑ β i . i =1

О п р е д е л е н и е 2.3. О болоч к ой м ат ри цы A назыв ае т ся со в о купность эл е ме нтов aij : 0 < i − j ≤ β i .

{

}

В се эл е ме нты обол очки и диагонал ьные эл е ме нты, уп орядоче нные по стро кам, хранят ся в о дноме рно м массив е AN , п риче м диаго нал ьный эл е ме нт данной строки поме щ ае т сяв е е коне ц. dim AN = pr ( A) + n . В це л о числе нно м массив е DA указыв аю т ся номе ра диагонал ьных эл е ме нтов в массив е AN . Т аким о бразом, при i > 1 эл е ме нты i -й стро ки находят ся в позициях о т [ DA(i − 1) + 1] до DA(i ) . Единств е нный эл е ме нт a11 пе рв ой строки хранит ся в AN (1) .

10    0 13    Задача 10. Д л ямат рицы A =  0 0 17    0 1 0 18   0 0 0 2 20    1) подсчит ат ьпро ф ил ь, найти разме рностьмассив а AN ; 2) построит ьП С Х .

N позиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 AN : 10 13 17 1 0 18 2 20 DA : 1 2 3 6 8

-9-

1) β1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0, β 4 = 2, β 5 = 1, pr ( A) = 3, dim AN = 3 + 5 = 8. Задача 11. П о массив ам AN и DA в осстано в ит ьматрицу A :

AN : 9 8 7 6 5 4 3 2 1 DA : 1 3 5 6 7 9 § 3. О пер ациинад Р М . А л гебр а РМ О пе риро в ат ь сРМ т рудне е , т.к. о ни заданы в упаков анно й ф орме . М ы буде м рабо т ат ь смат рицами, ко т орые заданы в РСФ (РСт Ф ). П о э т ому л ю бой ал го рит м разбив ае тсяна два эт апа. 1. С им вол ический – о пре де л яе т ся структ ура разре ж е нно сти ре зул ьт ат а, ко т орый хот им пол учит ь, а такж е позиции эл е ме нтов исходных РМ , с ко т орыми нуж но п ро в одит ь ариф ме тиче ские де йств ия, т .е . иде т рабо т а с в е кт орами IA , JA ; зде сь ж е о пре де л яе тся объе м о пе рат ив ной памят и, не обходимый дл я хране ния про ме ж ут очных ре зул ьт ат ов и в ыходной инф ормации. 2. Ч исл енны й – не посре дств е нно в ыпол няю т ся числе нные о пе рации. В ре зул ьт ат е по л учае м число , мат рицуил и в е кт ор. 3.1. С писки 3.1.1. Хр анениесписков, цел ы х списков, кол ь цевы х цел ы х списков О п р е д е л е н и е 3.1. Спи ск ом назыв ае тся со в о купность яче е к (п озиций), связанных в том ил и ином порядке . К аж дая яче йка соде рж ит эл е ме нт сп иска и номе р яче йки, в ко т орой хранится сле дую щ ий эл е ме нт списка. В нут ри каж до го списка, по пре дпол о ж е нию , пов торе ний не т . В общ е м сл учае схе ма хране ниясписка состоит изт ре х массив о в : 1) массив по зиций N ; 2) массив эл е ме нтов A ; 3) массив NEXT – указат е л ьпозиций сле дую щ их эл е ме нт о в , и добав л яе т ся указат е л ьначал а списка IP . Задача 12. Н аписат ь схе му хране ния чисел a, b, c, d порядке , е сли они хранят сяв массив е A сле дую щ им о бразом:

О тв е т:

N: 1 2 3 4 5 6 7 A: b d a c NEXT : 7 2 4;

в

указанном

IP = 5 .

Задача 13. В каком порядке до л ж ны хранит ьсячисла a, b, c, d , e, f , е сли схе ма хране нияв ыгл ядит сле дую щ им образом:

N:

1 2 3 4 5 6

- 10 -

A: a b c d e f NEXT : 6 5 3 2 1 IP = 4 О т в е т: d , c, e, b, f , a . О п р е д е л е н и е 3.2. Е сли эл е ме нт ы списка яв л яю тся це л ыми числами, т о т акой спи сок назыв ае т сяце лым . П устье стьне кот о рый це л ый список A , эл е ме нты ко т орого могут принимат ь значе ния { 1, 2, ... , n }. О п р е д е л е н и е 3.3. Ч исло n – максимал ьное значе ние эл е ме нт ов в списке – назыв ае т ся разм ах ом спи ск а. П усть m – число эл е ме нтов списка. Е сли m << n , то список назыв ае т ся разре ж е нным це л ым списком (РЦ С ). П риме рами т аких списков могут сл уж ит ь массив ы JA, I A . Ц е л ый списо к мож но хранит ь с помо щ ью одноме рного массив а дл ины n (скаж е м, JA ) и указат е л яначал а в хода IP . Задача 14. Записат ьце л ый списо к 3, 8, 4, 2 в компакт ной ф орме . N позиций : 1 2 3 4 5 6 7 8

JA : 3 8 2 IP = 3 .

4

Ч исло, хранимое в каж дой позиции JA , дае т однов ре ме нно значе ние эл е ме нт а списка и адре ссле дую щ е го эл е ме нт а; т аким образо м, массив NEXT уж е не нуж е н. С писок назыв ае т ся кол ьце в ым, е сли в е го после дню ю по зицию поме стить указат е л ьна начал ьную по зицию . У кол ьце в ого списка не т ни начал а, ни конца, но он тре буе т хранимого отде л ьно указат е л я в хода, ко т орый указыв ае т на л ю бую занят ую по зицию . Б л агодаря этому мо ж но хранит ь не скол ько не пе ре секаю щ ихся списков (ко л ьце в ых ил и не т ) в одноме рно м массив е дл ины n , рав ной максимал ьному размаху списков , сиспол ьзов ание м указат е л я в хода IP . Задача 15. Д л я не п е ре секаю щ ихся списко в A1 , A2 , A3 написат ь схе му хране нияв одно м массив е . A1 : 2, 8, 6, 3 ; A2 : 5, 4, 0 ; A3 : 7, 1, 10 N п озиций: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

JA : 10 8 2 9 4 3 1 6 5 7 IP : 2 5 7 3.1.2. Cл ияние РЦС П устьзаданы РЦ С A1 , A2 , ... , An . Ре зул ьт ат о м их слиянияяв л яе т ся

- 11 список B , ко т орый соде рж ит в се эл е ме нт ы списков пов торе ний (в нут ри каж до го списка пов т о ре ний не т ). Задача 16. Сл ит ь т ри сп иска А, B, С

в

Ai ( i = 1,..., n )

бе з

один списо к М , где

А : 2, 7, 3, 5; B : 3, 11, 5; С : 7, 2. Списо к А зап исыв ае м в М п ол ностью , зате м добав л яе м т е эл е ме нты B , ко т орых в А не т, п отом эл е ме нты С , кот орых не т в А и B . Таким образо м, пол учим сле дую щ ий список М : 2, 7, 3, 5, 11. П росмат рив ат ь каж дый раз список М , чт обы в не сти но в ый эл е ме нт, не рационал ьно. П оэт о му в в одит ся массив пе ре кл ю чат е л е й Y и пе ре кл ю чате л ь p . О бычно p = 1 . Ч исло позиций массив а пе ре кл ю чат е л е й дол ж но быт ь рав но максимал ьному размаху сл ив ае мых списков (в данной задаче 11). В начал ьный мо ме нт в о в се позиции Y засыл ае м нул и. Д ал е е про сматрив ае м п е рв ый из слив ае мых списков , и е сли оче ре дной просматрив ае мый эл е ме нт рав е н i , т о в i -ю п озицию массив а пе ре кл ю чате л е й засыл ае т сязначе ние п е ре кл ю чат е л я (то е сть 1). П ри просмот ре каж дого т е кущ е го эл е ме нт а сле дую щ е го списка (п усть онрав е н j ) мы обращ ае мсяк массив уп е ре кл ю чате л е й и добав л яе м эл е ме нт j в список M т о л ько в т о м сл учае , когда соот в е т ств ую щ ая позиция ”не в кл ю че на”, т.е . в позиции п е ре кл ю чат е л я стоит нол ь. Т аким образом мы про сматрив ае м в се списки. Д л яданной задачи массив пе ре кл ю чат е л е й буде т сле дую щ им: N позиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 в начал ьный мо ме нт 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 после про смо т ра A 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 по сле про смо т ра B 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 по сле про смо т ра C 3.1.3. М ет од пер ем енного пер екл ючат ел я (П П ) П ри обработ ке РМ приходится слив ат ь не скол ько групп списков . В це л ях эко номии памят и исп ол ьзуе т ся т ол ько один массив пе ре кл ю чат е л е й (Ц М П ), число позиций кот орого рав но порядку мат рицы (ил и числ у строк, ил и числу стол бцо в ). В соо т в е т ств ие сал горит мом пре дыдущ е го п ункт а пе ре д каж дым нов ым слияние м нуж но был о бы засыл ат ь в о в се по зиции Ц М П нул и, на чт о уходит значит е л ьно е число маш инных опе раций. Д л я экономии в в о дят пе ре ме нный пе ре кл ю чат е л ь(П П ) p . Сначал а p = 1 . Зат е м по сле каж дого слияния групп ы списко в p ув е л ичив ае тся на е диницу (т.е . p = p + 1), что избав л яе т от не обходимости засыл ки нул е й в о в се по зиции П П .

- 12 Задача 17. Сл ит ь три списка А, B, С в

М1 и дв а списка D, E в

М2 , испол ьзуя П П p .  A : 11, 12 , 13   B : 4 , 5 , 11 ; C : 7 , 8 , 4  N позиции: Y:

 D : 6, 7 , 8, 9 M 1 : 11, 12 , 13 , 4 , 5 , 7 , 8 ( p = 1);  ( p = 2). М2 : 6, 7, 8, 9, 1, 2  E : 7, 8, 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 02 02 0 01 01 02 012 012 02 0 01 01 01

3.2. С л ож ение р азр еж енны х вект ор ов (Р В ) 3.2.1. М ет од р асш ир енного вещ ест венного накопит ел я (Р В Н) Н а в ходе даны в е кторы А, B в РС Ф , на в ыходе дол ж ны пол учит ь в е кт ор C = А + B в том ж е ф ормат е . А л гор ит м 1. С им вол ический эт ап: опре де л яю т ся п озиции не нул е в ых эл е ме нтов С п уте м слияниясписков JА, JB в JС . 2. Ч исл енны й эт ап 10 . В в одится РВ Н X , число по зиций ко т о ро го рав но размаху списка JС . В о в се позиции в е кт ора X сноме рами из JC засыл ае м нул и. 0 2 . П росматрив ае м JА и AN и прибав л яе м к соде рж имому позиций в е кт ора X соде рж имое соот в е т ств ую щ ихпо зиций AN . Зат е м прибав л яе м BN к X . 0 3 . В ыбирае м из X нуж ные числа, чтобы сф ормиро в ат ь CN , спо мощ ью JС : CN (i ) = X ( JC (i ) ) и записыв ае м их в соот в е тств ую щ ие стол бцы. Задача 18. Сл ож ит ьв е кт оры А, B ме тодо м РВ Н .

 AN : 0.2 0.3 0.4 − 0.7  BN : 0.6 0.7 0.5 ; .   JA : 10 3 7 4 JB : 5 4 10   1. Слив ае м списки JА, JB в JС : 10 3 7 4 5 . 2. В в одим РВ Н X : N п озиции: 1 X:

2

3 0

4 0

5 0

6

0.3 − 0.7 0.7 0.6 0. 3 0 0 .6 CN :

0.7 0.3 0.4

0 0.6

7 0 0.4 0.4

8

9

10 0 0.2 0.5 0.7

в начал ьный моме нт п рибав ил и AN прибав ил и BN

- 13 З а м е ч а н и е . Е сли мы не хотим, чт обы в CN был и записаны нул и, нуж но “выбросит ь” нул е в о й эл е ме нт и соот в е т ств ую щ ий е му стол бе ц. Т огда дл яданной задачи в е кт о р C буде т сл е дую щ им:

CN :

0.7 0.3

JC :

10

3

0.4 0.6 7

5

.

3.2.2. М ет од р асш ир енного цел ого указат ел я (Р ЦУ ) Н а в ходе даны в е кт о ры А, B в РС Ф , на в ыхо де до л ж ны пол учит ь в е кт ор C = А + B в том ж е ф ормате . Зде сьв каче ств е накопит е л яиспол ьзуе т сяв е кт ор CN . А л гор ит м 1. С им вол ический этап: слияние списков JА, JB в JС . 2. Ч исл енны й эт ап 10 . В в одит сярасш ире нный це л ый массив указат е л е й (РЦ М У) IX , разме р кот о ро го рав е н размаху сп иска JС . О н запол няе тся с помощ ью просмотра массив а JС , и IX ( j ) указыв ае т , в како й позиции массив а CN буде т храниться j -я ко мпо не нт а массив а С , т.е . С ( j ) . Н ачал ьно е состояние IX - нул е в ое .

2 0 . В позиции CN засыл ае м нул и. Зат е м сканируе м JА, AN в CN , опре де л яя с помощ ью IX п озиции CN , где дол ж ны накапл ив ат ься значе нияне нул е в ыхэл е ме нт о в . Зат е м сканируе м JB, BN в CN : CN ( IX ( JA (i ))) = CN ( IX ( JA(i ))) + AN (i ) ; CN ( IX ( JB (i ))) = CN ( IX ( JB(i ))) + BN (i ) . Задача 19. Сл ож итьв е кт ора А, B ме тодом РЦ У.

 AN : 0.4 0.6 0.8 − 0.14  BN : 0.1 0.2 0.3 0.4 ;  .  JA : 10 7 3 4 : 9 5 3 1 JB   1. N позиции: 1 2 3 4 5 6 7 N по зиции соот в е т ств ую щ е го стол бца в JС JC : 10 7 3 4 9 5 1 N стол бцов в СN 2. 1) N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N эл е ме нт а в JC ( CN ) IX : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 3 4 6 2 5 1 2) N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 сканируе м AN CN : 0.4 0.6 0.8 − 0.14 0.3 0.1 0.2 0.4 сканируе м BN __

__

__

__

__

__

__

0.4 0.6 1.1 − 0.14 0.1 0.2 0.4 Т аким образом,

CN :

эл е ме нт ы СN

0.4 0.6 1.1 − 0.14 0.1 0.2 0.4

- 14 -

JC :

10

7

3

4

9

5

1

3.3. С л ож ениеРМ П усть на в ходе заданы дв е РМ А, B ( n × m) в не упо рядоче нном РС Ф . Н а в ыходе тре буе т сяпол учит ь C = А + B в т ом ж е ф ормат е . Д л я ре ш е ния этой задачи нам потре буе тся в спо могат е л ьный Ц М П Y и РВ Н X . Разме рность эт их массив ов рав на числ у сто л бцов A и B : dim Y = dim X = m . В осно в е ал горитма л е ж ит иде я пооче ре дно го слож е ния стро к матриц A и B как РВ спомощ ью РВ Н . А л гор ит м 1. С им вол ический эт ап (ф ормиров ание JC, IC )

10 . i = 1 (номе р строки). 2 0 . С по мо щ ью IA, JA и IB, JB о пре де л яе м списки, соо т в е т ств ую щ ие i -м строчкам мат риц A и B и слив ае м эт и списки ме т одом П П с по мо щ ью Ц М П Y . Список, пол уче нный в ре зул ьт ат е слияния, по ме щ ае м в 1-ю свободную п озицию массив а JC . 30 . П ол агае м i = i + 1 и иде м на 2 0 . П о в торяе м де йств иядо т е х по р, пока i ≤ n . В ре зул ьт ат е пол учае м JC . 4 0 . Д л я по л уче ния IC достаточно на каж дом эт апе запо минат ь пе рв ую свободную п озицию JC . 2. Ч исл енны й эт ап (после дов ат е л ьно е сло ж е ние стро к А, B с помощ ью РВ Н ) 10 . i = 1 .

2 0 . С помощ ью

JC, IC опре де л яе м список, пол уче нный в ре зул ьт ат е слияниясписков стол бцов ыхинде ксов i -й строки массив ов JA и JB . 30 . С помощ ью эт ого списка и РВ Н X скл адыв ае м i -е стро ки мат риц A и B , как РВ . Ре зул ьт ат слож е ния п оме щ ае м в т е кущ ие свободные по зиции в е кт ора CN в соо т в е т ств ии спорядком стол бцов из JC . 4 0 . i = i + 1 и иде м на 2 0 . П о в т о ряе м де йств ия до т е х по р, пока i ≤ n . В ре зул ьтат е пол учим CN . Заме чание . П о сле каж дого слож е ниястрок РВ Н X дол ж е нбыт ьприв е де н в нул е в о е состояние . Задача 20. Д аны дв е матрицы А, B . Н айти C = А + B .

 AN : 2 − 1 4 3 3 7 − 2 − 1 1 1  6 2 4 ;  JA : 3 5 1 3 4 5 1  IA : 1 3 7 9 

- 15 -

 BN : 1 − 1 5 − 2 4 6 − 1 1 2  5 1 2 2 3 4.  JB : 1 3 6  IA : 1 5 9 12 15  JC : 3 5 1 6 1 3 4 5 1 6 2 2 4 3 1. IC : 1 5 9 12 15 1 2 3 4 5 6 N по зиции: Y: 012 03 4 012 02 4 012 013 3

2.

N по зиции: X:

1 0

4

2 3 4 5 0 0 2 −1 1 −1 1 1 −1

6 0

5 5

запол не ние 1 строки прибав ил и AN прибав ил и BN ре зул ьт ат

0 0 0 0 0 0 4 3 3 7 −2 4 3 3 5

запол не ние 2 строки прибав ил и AN прибав ил и BN ре зул ьт ат

0 0 0 0 0 0 −2 −1 4 6 2 6 −1

запол не ние 3 стро ки прибав ил и AN прибав ил и BN

0 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 2 0 1 3

ре зул ьт ат запол не ние 4 стро ки прибав ил и AN прибав ил и BN ре зул ьт ат

AN : 1 − 1 1 5 4 3 3 5 2 − 1 6 0 3 1 3.4. С кал яр ноеум нож ениедвух Р В Н а в ходе даны дв а в е кт о ра А, B разме рно сти n в РС Ф . Н а в ыходе нуж но пол учит ьчисло P – скал ярно е произв е де ние А и B . Д л я этого в в одит ся РЦ М У IX , зап ол не ние кот оро го п ро изв одит ся т о чно т ак ж е , как в п.3.2.2, но с помо щ ью одно го из сомно ж ит е л е й,

- 16 наприме р, спомощ ью JА . Симв ол иче ский эт ап зде сь от сут ств уе т , сразу начинае т сячисле нный эт ап. Сначал а запол няе м IX по JА . Е сли k – число эл е ме нтов в JB , то дл я i = 1,..., k пров е ряе м IX ( JB(i )) . Е сли это нол ь, т о п е ре хо дим к JB ; е сли не т, т о сл е дую щ е й позиции массив а P = P + BN ( I ) ⋅ AN ( IX ( JB (i ))) и п е ре ходим к сле дую щ е й п озиции JB . Д ругими слов ами, де л ае м сле дую щ е е : 1) P = 0 ; 2) дл я i = 1,..., k

IX JA ( JB( I )) = 0 да

i = i +1

не т

P = P + BN ( I ) ⋅ AN ( IX JA ( JB(i ))) i = i +1

Задача 21. Н айти скал ярно е произв е де ние в е кт о ро в

AN : 1 2 3 4 5 ;   JA: 3 7 8 1 2

BN : 6 7 8 9 10 11 .   JB : 4 3 2 1 6 8

N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 IX JA : 4 5 1 0 0 0 2 3 P = 0 , i = 1,...,8 i = 1 : IX JA ( JB(1)) = 0 i = 2 : IX JA ( JB(2)) = 1 ≠ 0 P = 0 + BN (2) ⋅ AN (1) = 7 ⋅ 1 = 7 i = 3 : IX JA ( JB (3)) = 5 ≠ 0 P = 7 + BN (3) ⋅ AN (5) = 7 + 8 ⋅ 5 = 47 i = 4 : IX JA ( JB(4)) = 4 P = 47 + 9 ⋅ 4 = 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. У м нож ение РМ на Р В (р езул ь т ат – запол ненны й вект ор ) Н а в ходе – мат рица А и в е кт ор B в РС Ф , на в ыходе – в е кт о р C = AB как о бычный одно ме рный массив . Зде сьстроки мат рицы А рассмат рив аю т ся, как РВ , и скал ярно умнож аю т ся на РВ B спомощ ью рассмотре нно го в п.3.4 ал горит ма. А л гор ит м

- 17 1. РЦ М У IX (начал ьное состояние – нул е в ое ) запол няе тся с помо щ ью в е кт ора B . 2. i = 1 . 3. С помощ ью IA опре де л яе м, в каких п озициях JA соде рж ит ся описание i -й стро ки. 4. П ро смат рив ае т ся участо к JA , соо т в е т ств ую щ ий о писанию i -й стро ки. Е сл и компо не нт а РМ Ц У с номе ро м JA(k ) (где k - те кущ ая про сматрив ае мая п озиция) рав на нул ю , т о пе ре ходим к про смо т ру сле дую щ е й п озиции; е сли не рав на нул ю , т о произв одим умнож е ние соо т в е т ств ую щ их ко мпоне нт массив о в AN и B и ре зул ьт ат умнож е ния прибав л яе м к соде рж имомуяче йки C (i ) . 5. Е сл и просмо т р строки о ко нче н, т о пол агае м i = i + 1 и в озв ращ ае мся к 3. П ов т оряе м до те хпо р, по ка не пройде м в се стро ки. Схе мат ично эт о т ал гор ит м мож но изо бразит ьсле дую щ им образо м.

k =1 С (k ) = 0 IA(k + 1) = IA(k )

не т

да

i = I A(k ), I A(k + 1) − 1 IX ( JA( I )) = 0 да

k = k +1

не т

C ( k ) = C ( k ) + AN ( I ) ⋅ BN ( IX JA ( JA(i ))) i = i +1 k = k +1

i = i +1

Задача 22. Умнож ит ь РМ на РВ (ре зул ьт ат – запол не нный в е кт ор). N позиции: 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

AN : 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 2   JA : 1 4 6 3 2 5 7 8 9 10 1  IA : 1 4 9 11 12 13  BN : 1 2 4 5 7 8 10   JB : 1 2 4 5 7 8 10 N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 IX JB : 1 2 0 3 4 0 5 6 0 7

6 3

- 18 -

k = 1; С (1) = 0 ; i = 1,...,3 : i = 1 :

I A(2) = I A(1) IX ( JA(1)) = IX (1) = 1 ≠ 0 C (1) = 0 + 1 ⋅ BN (1) = 1 IX ( JA(2)) = IX (4) = 3 ≠ 0 i =2: C (1) = 1 + 3 ⋅ BN (3) = 1 + 3 ⋅ 4 = 13 IX ( JA(3)) = IX (6) = 0 i = 3: k = 2 ; С (2) = 0 ; I A(3) ≠ I A(2) i = 4,...,8 : IX ( JA(4)) = IX (3) = 0 i = 4: IX ( JA(5)) = IX (2) = 2 i = 5: C (2) = 0 + 9 ⋅ BN (2) = 9 ⋅ 2 = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . У м нож ение РМ на запол ненны й вект ор (р езул ь т ат – запол ненны й вект ор ) Э т о т ал го рит м не значит е л ьно о т л ичае т сяо т пре дыдущ е го. Разница в том, чт о РМ Ц У запо л няе т ся по k -й строке матрицы A , а не по в е кт ору B . Зде сь, по-в идимо му, мож но обойтисьбе з РМ Ц У сле дую щ им образо м. 3.6.

А л гор ит м

1. k = 1. 2. П ро смат рив ае м соде рж имое k –й стро ки в JA и умнож ае м соо т в е т ств ую щ ие компоне нты AN на ко мп оне нт ы, накапл ив ая ре зул ьт ат в соо т в е т ств ую щ е й яче йке C (k ) в е кт ора C . С х ем а р еш ения

k =1 С (k ) = 0 IA(k + 1) = IA(k ) не т

i = I A(k ), IA(k + 1) − 1 C (k ) = C (k ) + AN (i ) ⋅ B ( JA(i )) k = k +1

да

k = k +1

Задача 23. Умнож ит ь РМ A иззадачи 22 на запол не нный в е кт ор

B = (2 4 6 8 10 9 )T . k = 1; С (1) = 0 ; IA(2) ≠ IA(1) i = 1,...,3 : i = 1 : C (1) = 0 + 1× 2 = 2

- 19 -

i =2: i = 3: k = 2 ; С (2 ) = 0 ; i = 4,...,8 : i = 4:

C (1) = 2 + 3 ⋅ 7 = 23 C (1) = 23 + 5 ⋅ 3 = 38 IA(3) ≠ IA(2) C (2) = 0 + 7 ⋅ 6 = 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. У м нож ениеР М Н а в ходе заданы РМ A(n × m), B(m × l ) в не уп орядоче нно м РСФ . Н а в ыхо де дол ж ны пол учит ьмат рицу C = AB в РСФ . Ч астным сл учае м яв л яе тсяумнож е ние РМ на РВ , когда ре зул ьт ат –- РВ . А л гор ит м 1. С им вол ический эт ап – о пре де л е ние в е кт оров JC, IC . Д л я не го потре буе т сяЦ М П Y , разме рно стькот оро го рав на l . Н ачал ьно е состояние Y – нул е в ое .

10 . i = 1. IC (1) = 1 . 2 0 . П росматрив ае м по порядку стол бцо в ые инде ксы эл е ме нт ов i -й стро ки в массив е JA . Д л я каж дого просмат рив ае мого инде кса j в массив е стол бцо в ых инде ксо в JB просматрив ае м соде рж имое j -й строки. П ри этом дл я каж до го не нул е в о го эл е ме нт j -й стро ки в ып ол ним сле дую щ ие опе рации. П усть п ро сматрив ае мый инде кс рав е н k . Е сли k -я позиция массив а пе ре кл ю чат е л е й не “ в кл ю че на”, то “ в кл ю чае м” е ё и поме щ ае м инде кс k в пе рв ую свободную по зицию массив а JC . Е сли позиция уж е “ в кл ю че на”, т о пе ре ходим к п ро смот русле дую щ е го эл е ме нт а в е кт ора JB , ниче го не до бав л яя к JC . 30 . П о сле окончанияпросмот ра i -й строки мат рицы А компоне нте в е кт ора IC (i + 1) присваив ае м порядко в ый номе р п е рв ой сво бодно й п озиции JC . 4 0 . i = i + 1 и иде м на 2 0 . Значе ние П П p ув е л ичив ае м на е диницу. А л гор ит м

Y (1) = Y (2 ) = K = Y (l ) = 0 i = 1: IC (1) = 1 ( N эл е ме нт а в JC ) nj =1 IA(i ) = IA(i + 1) не т

n = I A(i ), IA(i + 1) − 1 :

да

i = i +1

- 20 -

j = JA(n) IB(i ) = IB (i + 1) не т дл я

да

m = I B( j ), IB( j + 1) − 1 k = JB(m) Y (k ) = i

не т

да

Y (k ) = i ; JC (n j ) = k ; n j = n j + 1 IC (i + 1) = n j ; i = i + 1 2. Ч исл енны й эт ап – оп ре де л яе тся в е кт о р CN . О сно в ная иде я – умно ж е ние с помощ ью РВ Н , разме рно сть ко т орого рав на числ у стол бцов мат рицы C (т.е . l ), поэт омумат рица C буде т записыв ат ьсяпо стро кам.

 a11 a12  b11 b12   .  a a b b  21 22  21 22 

При м е р. Н айт и про изв е де ние дв ух мат риц  Р е ш е ни е Н ако пит е л ь

x1 x2

(0, 0)

– начал ьный мо ме нт. Б е ре м пе рв ый эл е ме нт т е кущ е й

стро ки матрицы A и умно ж ае м е го на в се эл е ме нты соот в е т ств ую щ е й стро ки мат рицы B и т .д.:

x1 = 0, x2 = 0 ; x1 = x1 + a11b11 , x2 = x2 + a11b12 ; x1 = x1 + a12 b21 , x2 = x2 + a12b22 ; c11 = x1 , c12 = x2 . Рассмот рим числ енны й эт ап в о бщ е м сл учае . 1 . i = 1. 0

2 0 . С помощ ью IC о пре де л яе м, в каких п озициях JC находит сяописание i -й стро ки мат рицы C . 30 . П росматрив ае м участо к JC , соо т в е т ств ую щ ий описанию i -й стро ки, и в позиции РВ Н X сно ме рами стол бцов ых инде ксо в i -й строки эт о го участка засыл ае м нул и. 4 0 . С п омощ ью IA опре де л яе м, в каком участке JA соде рж ится описание i -й стро ки матрицы A . 50 . П росмат рив ае м в ыде л е нный участо к ( i -ю стро ку) массив а JA . Д л я каж дого просматрив ае мо го эл е ме нта k , сто ящ е го в m -й по зиции массив а JA , в ыпол няе м сле дую щ ие опе рации:

- 21 a) опре де л яе м спо мощ ью IB участо к массив а JB , описыв аю щ ий kю стро кумассив а B ; b) про сматрив ае м в ыде л е нный участок JB и дл я каж дого про сматрив ае мого эл е ме нт а j , стоящ е го в n -й по зиции массив а JB , пол агае м

X ( j ) = X ( j ) + AN (m ) ⋅ BN (n ). 6 0 . В ыбирае м из РВ Н значе ния i -й стро ки матрицы С и присваив ае м их соот в е т ств ую щ им компоне нт ам CN . 70 . Е сли просмо т р i -й стро ки зав е рш е н, то пол агае м i = i + 1 и 0 в озв ращ ае мсяна 2 .

А л гор ит м

i =1 IC (i ) = IC (i + 1) не т

да

i = i +1 дл я j = I C (i ), IC (i + 1) − 1: X ( JC ( j )) = 0 IA(i ) = IA(i + 1) не т

да

i = i +1 дл я m = I A(i ), IA(i + 1) − 1 : k = JA(m) A = AN (m) дл я n = I B( k ), IB(k + 1) − 1: j = JB(n) X ( j ) = X ( j ) + A ⋅ BN (n) дл я j = I C (i ), IC (i + 1) − 1: CN ( j ) = X ( JC ( j )) i = i +1 Задача 24. Н айти произв е де ние дв ух РМ A и B .

AN : 1 1 2 3 4 5   JA : 3 5 2 4 1 5 ,  IA : 1 3 5 7 

- 22 -

 0 0 1 0 1   A =  0 2 0 3 0 ,  4 0 0 0 5   1) Y (1) = Y (2) = Y (3) = 0 ; i = 1 : IC (1) = 1, n j = 1 ; n = 1, 2 :

n = 1: j = 3 , m = 4 : k = 2 , Y (2 ) = 1 , JC (2) = 3 , n j = 3 , IC (2) = 3 ; i = 2 : n = 3, 4 : n = 3 : j = 2 , m = 2, 3 : m = 2 : k = 2 , Y (2 ) = 2 , JC (3) = 2 , n j = 4 ; m = 3 : k = 3 , Y (3) = 2 , JC (4) = 3 , n j = 5 , IC (3) = 5 ; j = 4, n = 4:

… … … … … … … … … … . m = 2 : k = 2 , Y (2 ) = 2 ,

JC (3) = 2 , n j = 4 ; m = 3 : k = 3 , Y (3) = 2 , JC (4) = 3 , n j = 5 , IC (3) = 5 ; n = 4 : j = 4 , m = 5, k = 1, Y (1) = 2 … … … … … … … … … … … …

JC : 2 3 2 3 1 1 3  IC : 1 3 6 8 3.8. Т р анспонир ованиеРМ

1  0 B = 0  2 0 

0 0  3 6 4 0 .  0 0 0 5 

j = 1, 2 : j = 1 : X ( 2) = 0 ; j = 2 : X (3) = 0 . m = 1, 2 ; m = 1: k = 3 , A = 1, n = 4 : j = 2 , X (2 ) = 4 ; m = 2 : k = 5 , A = 1; n = 6 : j = 3 , X (3) = 5 ;

2) i = 1 :

… … … … … … … … … … .

CN : 4 5 6 12 6 4 25

n = 3:

j = 2,

CN : 4 5 6 12 6 4 25

m = 2, 3 :

- 23 Н а в ходе дана матрица

A(n × m) в не упо рядоче нном РСФ . Н а в ыходе

T

дол ж ны пол учит ь A - т ранспо ниров анную матрицу, заданную в РСФ . З а м е ч а н и е . Е сли задано стро чное пре дстав л е ние мат рицы А , то е го T мож но рассматрив ать как сто л бцов ое пре дстав л е ние A и нао борот, по э т ому задача т ранспониро в ания А сво дит ся к нахож де нию РСТФ мат рицы А . Е сли просматрив ать массив ы « в л о б», то эт о оче нь не эф ф е кт ив но. П оэт о му в в одятся m це л ых и m в е щ е ств е нных списко в дл ины n и m – указат е л е й пе рв ой свободной позиции каж дого сп иска. В начал ьный моме нт в ре ме ни в се списки п устые , т .е . пе рв аясвободнаяпо зициякаж дого списка – п е рв ая. Н а практ ике списки организую т ся не посре дств е нно в массив ах JAT и ANT , а указат е л и п е рв ой свободной позиции каж до го списка – в IAT . Т аким о бразом, до пол нит е л ьной памят и не тре буе т ся, и пе ре ме щ е ние данных в памяти маш ины све де но к минимуму. С по мо щ ью массив о в мат рицы А . 1. i = 1 .

А л гор ит м JA и IA

просмат рив ае м по порядку стро ки

2. С по мощ ью IA опре де л яе м, в каких п озициях JA соде рж ит ся описание i -й строки матрицы А . 3. П ро смат рив ае м соде рж имое i -й стро ки в JA и дл я каж дого j (где j стол бцо в ый инде кс просмат рив ае мо го эл е ме нт а) добав л яе м число i в пе рв ую свободную по зицию j -го це л о го списка, ув е л ичив ая при эт ом указат е л ь пе рв ой свободной по зиции списка на е диницу. В соо т в е т ств ую щ ую позицию j -го в е щ е ств е нного списка добав л яе м соо т в е т ств ую щ ий эл е ме нт списка АN . 4. i = i + 1. 5. О бъе диняе м по порядку их нуме рации в е щ е ств е нные и це л ые списки, пол учае м списки JAT и ANT . С писок IAT по л учае т ся спомощ ью подсче т а числа эл е ме нт ов запол няе мыхсписко в . З а м еч а ния 1. С помощ ью эт ого ал го рит ма пол учае т ся упорядо че нное п ре дстав л е ние т ранспониро в анной матрицы даж е в т о м сл учае , е сли п ре дстав л е ние исходной мат рицы был о не уп орядоче нным. 2. П риме не ние данно го ал горит ма к матрице А дв аж ды по зв ол яе т п ол учит ь изне уп орядоче нно го РСФ матрицы А е ё уп орядоче нно е пре дстав л е ние . Задача 25. Т ранспониро в ать матрицу А иззадачи 22 (номе р списка – это но ме р стол бца). в е щ е ств е нные списки це л ые списки

- 24 -

1) 1 2

6) 5

1) 1 4

6) 1

2) 9 3) 7 6

7) 4 8) 6

2) 2 3) 2 5

7) 2 8) 2

4) 3

9) 8

4) 1

9) 3

5) 2

10) 10

5) 2

10) 3

 ANT : 1 2 9 7 6 3 2 5 4 6 8 10   JA T : 1 4 2 2 5 1 2 1 2 2 3 3   IAT : 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 Задача 26. П ол учить изне упорядоче нно го пре дстав л е ния в РСФ мат рицы А из задачи 22 е ё упо рядо че нное пре дстав л е ние (приме няя ал горит м А → АT дв аж ды). 3.9. П ер ест ановка ст р ок ист ол бцов р азр еж енной м ат р ицы 3.9.1. П ер ест ановка ст ол бцов Д ана матрица A( n × m) . П усть J – це л очисле нный в е кт ор разме рно сти m , ко т орый задае т пе ре станов ку сто л бцов J = { J (1), J (2),K J (m)}. Зде сь J (i ) указыв ае т номе р, ко т орый по сле пе ре станов ки до л ж е н име ть i -ый стол бе ц. П е ре стано в ка сводит ся к пре образов анию JA п о сле дую щ е й схе ме : JAP(i ) = J ( JA(i )) , где JAP(i ) – номе р стол бца по сле п е ре станов ки. Т аким образом, на в ходе дана матрица A в РС Ф и в е кт ор пе ре станов о к J . Н а в ыходе тре буе т ся пол учит ь РСФ мат рицы с пе ре став л е нными стол бцами. А л горит м сводит ся т ол ько к п ре образов анию массив а JA : по по рядку просматрив аю т ся в се е го компо не нт ы, и каж дая компоне нт а JA(i ) заме няе т ся на J ( JA(i )) . Ч исле нные значе ния не нул е в ых ко мпоне нтов , хранимые в AN , остаю тсяпре ж ними, I A т акж е не ме няе т ся. Задача 27. В матрице А иззадачи 22 пе ре став ит ь2 и 5, 4 и 7 стол бцы.

N по зиции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J = {1, 5, 3, 7, 2, 6, 4, 8, 9, 10}

- 25 -

JAP(1) = J ( JA(1)) = J (1) = 1

JAP(7) = J (7) = 4

JAP(2) = J ( JA(2)) = J (4) = 7 JAP(3) = J (6) = 6

JAP(8) = J (8) = 8 JAP(9) = J (9) = 9

JAP(4) = J (3) = 3

JAP(10) = J (10) = 10

JAP(5) = J (2) = 5

JAP(11) = J (1) = 1

JAP(6) = J (5) = 2

JAP(12) = J (3) = 3

3.9.2. П ер ест ановка ст р ок П е ре стано в ка стро к мат рицы соот в е т ств уе т пе ре стано в ке стол бцо в т ранспониро в анной мат рицы, по э т ому ал горит м пе ре станов ки строк пол учае т сякомбиниро в ание м дв ух пре дыдущ их ал горит мо в . Задача 28. П е ре став ит ь1 и 5 сроки матрицы А иззадачи 22. А л гор ит м р еш ения T 1. Т ранспо ниров ат ьмат рицу А (по л учит ьмат рицу А ) . 2. П е ре став ит ь1-ый и 5-ый стол бцы матрицы АT (пол учит ь ATP ). 3. Т ранспо ниров ат ьмат рицу ATP . § 4. М ет од Г аусса дл я РМ Рассмот рим СЛ А У в ида Аx = f , где x ∈ R n , f ∈ R n , А – симме т ричная мат рица n × n . Ре ш е ние эт о й систе мы буде м искат ь с п омощ ью ме т ода Гаусса. Б уде м считат ь, что в е дущ ий эл е ме нт гауссов а искл ю че ния в сегда находится на гл ав ной диагонал и матрицы А , то е сть п е ре станов ка строк и стол бцов не нуж на. О собенност и Г ауссова искл ючения 1. С ущ е ств уе т дв е мо диф икации – по строкам и по стол бцам, ко т орые о т л ичаю тся порядком в ыпол не ния о пе раций искл ю че ния. О бычно испол ьзую т гауссо в о искл ю че ние по стол бцам, но дл я РМ испо л ьзую т гауссов о искл ю че ние по строкам. 2. В начал е строим LU – разл ож е ние мат рицы А , а зате м ре ш ае м дв е т ре уго л ьные систе мы LU = f , Ux = y , где U – в е рхняя тре угол ьная мат рица с е диничными диагонал ьными эл е ме нт ами, L – ниж няя т ре уго л ьная. Е сли гл ав ные мино ры А о т л ичны о т нул я, т о матрицу А мо ж но ~ ~ пре дстав ит ь в в иде А = U T DU , где D – диагонал ьная мат рица. Е сли мат рица А е щ е и пол ож ите л ьно оп ре де л е на, то разл о ж е ние мо ж но пре дстав ит ьв в иде А = U U –- разлож е ни е Холе цк ог о. T

T

~

4.1. П ост р оениер азл ож ения U DU

- 26 Н а в ходе задана мат рица A в в е рхне т ре угол ьном не упо рядоче нном РСФ : массив ы AN , JA, IA, AD . Н а в ыходе дол ж ны п ол учит ь мат рицу в РСФ Д и

~

диагонал ьную мат рицу D . О со бе нно сти симв ол иче ского эт апа –- мы дол ж ны искл ю чит ь эл е ме нт ы ниж е гл ав ной диагонал и, а у наст о л ько в е рхний т ре уго л ьник, поэто му сразу мы не мож е м опре де л ит ьпозицию т е х эл е ме нтов , ко т орые нуж но искл ю чат ь при обрабо т ки т е кущ е й i -й стро ки. О казыв ае т ся, что стол бцо в ые инде ксы i й строки, кот орые нуж но о бнул ит ь, со в падаю т со строчными инде ксами эл е ме нтов i -ого стол бца в ыш е гл ав ной диагонал и той мат рицы, кот орая пол учил ась к данному мо ме нт у при ре ал изации ал горитма. Т аким образом, на i -м ш аге мы дол ж ны пройти по i -ому стол бцу, опре де л итьв се строчные инде ксы не нул е в ых эл е ме нт ов i -ого стол бца –- это и будут т е стол бцо в ые инде ксы эл е ме нт о в i -й стро ки, которые нуж но обрабо т ать. 4.1.1. С им вол ический эт ап 4.1.1.1. С ост авл ениеассоциир ованного списка i -ого ст ол бца А ссоцииров анный список (А С) i -ого стол бца – это списо к номе ро в т е х строк, кот орые участв ую т при обработ ке i -й строки в ме т оде Гаусса. Ф акт иче ски каж дому сто л бцу став ит ся в соо т в е т ств ии сов окуп ность стро к, приче м каж дая стро ка от но сит ся т ол ько к одному стол бцу (т о е сть ни к како му другому она уж е не приписыв ае т ся), поэто му к i -о му стол бцу приписыв аю т ся тол ько т е строки матрицы A , у ко т орых не нул е в о й э л е ме нт в i -м стол бце яв л яе тсяп е рв ым не нул е в ым эл е ме нтом данно й стро ки справ а о т диагонал и. А л гор ит м 1. i = 2 (т ак как пе рв ую строкуобрабатыв ат ьне надо). 2. П роходим по (i − 1) -й строке справ а от диагонал и. П ре дпол ож им, что пе рв ый не нул е в о й стол бцов ый инде ксрав е н j , тогда (i − 1) -ую стро ку приписыв ае м j -му стол бцу и по ме щ ае м номе р этой строки в пе рв ую позицию j -го А С. Если де йств ов ат ь т аким образо м, т о к мо ме нт у обрабо т ки стро ки А С буде т уж е сф ормиров ан. 3. i = i + 1 и пов торяе м в се де йств иядо т е х по р, пока не п ройде м в се стро ки. А С каж дого стол бца удо бно хранит ь как ко л ьце в ой РЦ С, и в се эти списки мож но хранит ь в це л очисле нном массив е JP разме рности n , а массив указат е л е й буде т по казыв ат ьв ход в каж дый сп исок. 4.1.1.2. А л гор ит м сим вол ического эт апа 1. Д л я i = 1 пе ре носим портре т пе рв ой стро ки матрицы A в портре т пе рв о й строки матрицы U бе зизме не ний. 2. i = 2 . 3. Заканчив ае м ф ормиров ание i -о го А С.

- 27 4. П ро смат рив ае м i -й А С и дл я каж до го эл е ме нт а j эт о го списка опре де л яе м список т ол ько т е х стол бцов ых инде ксов не нул е в ых эл е ме нтов j -й строки, номе р кот орых бол ьш е i . 5. Сл ив ае м в се пол уче нные списки, опре де л е нные на 4, и списо к i -й стро ки мат рицы спо мо щ ью П П . Ре зул ьт ат ом слияния буде т порт ре т i -й стро ки мат рицы U . 6. П риписыв ае м список, пол уче нный на 5, к пе рв ой свободной позиции массив а JU . 7. О пре де л яячисло эл е ме нтов списка, пол уче нной на 5, в ычисляе м о че ре дную ко мпоне нт умассив а IU , ко т ораябуде т указыв ат ьначал о (i + 1) -й стро ки (значе ние м эт ой компоне нты буде т но ме р пе рв о й свободной позиции массив а JU после присое дине нияк не мусписка, пол уче нно го на 5). 8. i = i + 1 и обрабатыв ае м сле дую щ ую строку, пе ре йдяна 3, и т ак до т е хп ор, по ка i ≤ n . Ре зул ьт ат о м буде т по ртре т матрицы U . 4.1.2. Ч исл енны й эт ап 4.1.2.1. С ост авл ение А С i -го ст ол бца. О т л ичия от сим вол ического эт апа 1. Н а симв ол иче ско м э т апе каж дая строка приписыв ал ась т ол ько к одно му стол бцу. Зде сь ж е каж дая стро ка дол ж на быт ь приписана ко в сем т е м стол бцам, ското рыми о на име е т не нул е в ое пе ре сече ние , то е стье сли в j -ом стол бце i -й строки ( i < j ) соде рж ит ся не нул е в ой эл е ме нт, то она дол ж на быт ь приписана к j -ому сто л бцу, т ак как в аж ны числе нные значе ния эл е ме нтов . 2. Н ам по т ре буе т ся уп орядо че нно е пре дстав л е ние матриц A и U , поэто му пе ре д ре ал изацие й числе нного эт ап а нуж но пе ре йт и от не упорядоче нного пре дстав л е нияк уп орядоче нно мудв украт ным транспониро в ание м. 4.1.2.2. А л гор ит м числ енного эт апа 1. i = 1 . О пре де л яе м в AN и JA соде рж имое п е рв ой строки мат рицы A , де л им эт у строку на диагонал ьный эл е ме нт a11 (ко т орый хранит ся в пе рв ой по зиции массив а AD ) и поме щ ае м пе рв ую строку в ~ соо т в е т ств ую щ ие по зиции массив а UN . D (1) = AD (1) . 2. i = i + 1. 3. П ро смат рив ае м (i − 1) -ю стро ку мат рицы U (массив JU ). Е сли (i − 1) я строка п уста, т о пе ре ходим к 5. Если не т, то опре де л яе м стол бцов ый инде кс j пе рв о го не нул е в о го эл е ме нт а эт ой стро ки прав е е гл ав ной диагонал и. П риписыв ае м (i − 1) -ю строкук А С j -го стол бца.

- 28 4. П ол агае м IUP(i − 1) = < но ме р п озиции в JU , соде рж ащ е й стол бцов ый инде кс пе рв о го не нул е в о го эл е ме нт а (i − 1) -й стро ки прав е е гл ав ной диагонал и > . 0 5. 1 . С помощ ью массив а IU оп ре де л яе м в JU описание i -й стро ки мат рицы U . В позиции РВ Н X с номе рами стол бцо в ых инде ксов в ыде л е нно го участка (е сли о н не п устой) и номе ро м стро ки i засыл ае м нул и.

2 0 . В i -ю п озицию РВ Н X п оме щ ае м эл е ме нт AD(i ) . Е сли i -я строка не п уста, т о в п озиции РВ Н , соот в е т ств ую щ ие портре ту i -й стро ки мат рицы A измассив а AN . 6. П ро смат рив ае м А С i -о го стол бца. Е сли о нп устой, т о пе ре ходим к 7. Е сли не п устой, т о дл я каж до го эл е ме нта j эт ого списка де л ае м сле дую щ ие оп е рации: а) с помощ ью эл е ме нтов IUP( j ) опре де л яе м участки массив ов JU , UN , в кот орых соде рж ит ся описание эл е ме нтов j -й стро ки мат рицы U , име ю щ их стол бцов ые инде ксы ≥ i ; б) умнож ае м эл е ме нты в ыде л е нного участка (массив а UN ) на число ~ (−U ij ⋅ D( j )) (эл е ме нт U ij находим в UN ); в ) прибав л яе м но в ые значе нияэл е ме нт ов в ыде л е нно го участка к со де рж имо мусоо т в е т ств ую щ ихяче е к РВ Н ; г) пол агае м IUP( j ) = IUP ( j ) + 1; д) п риписыв ае м j -ю строку к А С k -го стол бца, где k – сто л бцов ый инде ксне нул е в о го эл е ме нт а сноме ро м IUP( j ) , сле дую щ ий за i -м в j -й строке мат рицы U . 7. Е сли про смо т р А С зако нче н, т о в ыбирае м эл е ме нт РВ Н X (i ) , соо т в е т ств ую щ ий диагонал ьному эл е ме нт у эт о й i -й строки, и поме щ ае м е го в i -ю ~ по зицию массив а D , а соде рж имое РВ Н де л им на эл е ме нт , соде рж ащ ийся ~ в i -й позиции РВ Н (т о е стьна D ( j ) ), по сле че го в РВ Н соде рж ит ся i ястро ка матрицы U . 8. В ыбирае м из РВ Н не нул е в ые эл е ме нт ы i -й стро ки мат рицы U (за искл ю че ние м i -го стол бца, в котором находит ся1) и поме щ ае м их в UN т аким о бразом, чтобы j -омустол бцу соот в е т ств о в ал эл е ме нт X ( j ) . 9. i = i + 1 и пе ре ходим к 3. 4.1.3. П р им ер ы Задача 29. Н айт и т ре угол ьное разл ож е ние дл яматрицы A .

- 29 -

1  0 0  A = 0 0  1  0

0 0 0 0 1 0  2 0 1 1 0 0 0 3 0 1 0 1  1 0 4 0 1 1 ; 1 1 0 5 1 0  0 0 1 1 6 0  0 1 1 0 0 7

1 2 3 4 5 6 7 8 AN :

1 1 1 1 1 1 1 1

JA :

6

4 5 5 7 6 7 6 .

__ ______

1 2 4 6 8 9

AD :

1 2 3 4 5 6 7

N АС ( N стол бца )

1

− 6

1) −

2

− 4, 5

2) −

3

− 5, 7

3) −

4

− 6, 7

4) 2

5

− 6

5) 2, 3

6

−

6) 1, 4, 5

7

−

7) 3, 4

IU :

6

4 5

5 7

5 6 7

5 7

7

___ _______

______

___________

______

___

1

6

2 4

9 11 12

2. Ч исл енны й эт ап

N АС ( N стол бца) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

− − − 2 2, 3 1, 4, 5 3, 4

______

IA :

1. С им вол ический эт ап N строки N стол бца

JU :

______

~ D(1) = 1 i = 2 : IUP(1) = 1 X ( 4) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (5) = 0 + 1 / 2 = 1 / 2 X (2) = 0 + 2 / 2 = 1 ~ D (2) = 2 i = 3 : IUP(2) = 2 X (5) = 1 / 3 X (7) = 1 / 3 X (3) = 1

___

- 30 -

~ D (3) = 3 i = 4 : IUP(3) = 4 1 15 X (5) = 0 − / = −1 / 15 4 4 15 X (6) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 15 X (7) = 0 + 1 / = 4 / 15 4 X (4) = 4 − 1 / 4 = 15 / 4 ~ D(4) = 15 / 4

j = 2 : стол бцо в ые инде ксы 4, 5. 1 1 1 ~ ~ 4 : UN (2) ⋅ (− a24 / D(2)) = UN (2) ⋅ (− AN (2) / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 1 1 1 ~ 5 : UN (3) ⋅ (− a24 / D(2)) = − ⋅ = − 2 2 4 IUP(2) = 3 , IUP(2) = 4 j = 3: IUP(3) = 4, 5 i = 5 : IUP(4) = 6, 7 X (6) = 0 + 1 − 16 / 225 = 209 / 225 X (7) = 0 − 1 / 9 − 16 / 225 = −41 / 225 197 X (5) = 0 + 5 − 1 / 4 − 1 / 9 + 4 / 225 = 4 300 ~ D(5) = 19 / 4 − 1 / 9 − 4 / 225 = K UN : 1

1 2

1 2

1 3

1 3

−

1 4 4 K 15 15 15

Задача 30. П о порт ре т у (cт рукт уре ) не симме тричной РМ A опре де л ит ь максимал ьно е число не нул е в ых эл е ме нт ов после прив е де ния матрицы к т ре уго л ьно мув иду.

- 31 -

1

2 3 4

×  × × ×  × × × 1 × ×       ×   ⊗ ⊕ × ⊕   × × × 2 × → → A=  × ×  ⊗ ⊕ ×  × × 3       ×  ⊗ + ⊗ ⊕  × 4 × Зде сь ⊕ – не нул е в ой эл е ме нт из других строк, ⊗ – обнул е ние эл е ме нт а исходной мат рицы, + – обнул е ние эл е ме нт а издругих стро к. 4.2. О бр ат ны й ход м ет ода Г аусса О нсостоит в ре ш е нии систе мы

~ (1) U T DUx = f , ~ D –- диагонал ьная мат рица, U – в е рхне тре угол ьная се диницами на

где гл ав ной диаго нал и. О братный хо д ме т ода Гаусса дл я систе мы (1) закл ю чае т ся в ре ш е нии т ре х систе м.

U T z = f ~  Dw = z . Ux = w 

(2 ) (3) ( 4)

Т аким о бразом, нуж но ре ш ит ь дв е систе мы стре уго л ьными матрицами и о днусдиагонал ьной. Ре ш ае м систе му(2) при помощ и прямой подстанов ки: по по рядку, начинаяс T пе рв ой, просмат рив ае м строки матрицы U и в ычисляе м компоне нт ы по ф ормул ам

z1 =

T f1 / U11

= f1 ,

i −1

zi = f i − ∑ U ij z j . j =1

~ Д л я систе мы (3) име е м wi = z j Dii . Систе ма (4) ре ш ае т ся о брат ной подстано в ко й:

n

xn = wn , xi = wi − ∑ U ij x j . j = i +1

М ож но т акж е дл я ре ш е ния систе мы (4) пе ре йт и от РСФ к сто л бцов ому, по сле че го систе ма (4) ре ш ае т сяанал о гично (2). 4.3. В ы вод РМ на печат ь ил иэ кр ан Д л япре дстав л е ниямат рицы мож но в ыбрат ьоднуизсл е дую щ ихф орм. 1. П р едст авл ениев видепол ной м ат р ицы

- 32 Д л я каж дой строки значе ния не нул е в ых эл е ме нтов загруж аю тся в пол ный в е щ е ств е нный массив , которо му пре дв арите л ьно придано начал ьно е нул е в о е со стояние . Строка массив а в ыв одит ся на пе чат ь ил и диспл е й, и ал горит м пе ре ходит к обработ ки сле дую щ е й стро ки мат рицы. О че нь удобно был о бы разл ичат ь в изуал ьно в нут рипорт ре т ные нул и (т .е . нул и, пе ре ме щ е нные в AN ил и AD в сле дств ие в заимного сокращ е ния при в ычисле нии) и в не порт ре тные нул и (т.е . нул и, о ко т орых заране е изв е стно, что они будут т о чными нул ями, и ко т орые поэт о му не в кл ю чаю т ся в JA ). В позициях, соот в е т ств ую щ их в не порт ре тным нул ям, мож но пе чат ат ь не числов ой симв ол , наприме р *. Разуме е т ся, практ иче ски эт от ме тод прил ож им к т е м сит уациям, когда достат очно иссле дов ат ь мал ую часть мат рицы ил и сама мат рица до стат очна мал а. 2. Д л я каж дой ст р оки печат ает ся её ном ер , а зат е м не нул е в ые эл е ме нт ы этой строки и за каж дым из них – в скобках – соот в е т ств ую щ ий стол бцов ый инде кс. Ещ е л учш е был о бы упо рядочит ь не нул е в ые эл е ме нты пе ре д пе чат ание м. Д остоинств о эт ого ме тода в т ом, чт о он сокращ ае т пространств о, занимае мое в ыв о димо й строкой; однако он не дае т т акого ясно го пре дстав л е нияо в заимном распо л о ж е нии соседних стро к, как пе рв ый ме т од. 3. П ор т р ет м ат р ицы м ож но вы вест и на уст р ой ст во с вы сокой р азр еш ающ ей способност ь ю, наприме р, диспл е й ил и матрично е пе чатаю щ е е устро йств о. Н уж но т ол ько, чт обы мат рица был а не слиш ком в е л ика ил и чтобы был о достат очно е ё рассматрив ат ьпо частям. В ы бор пор ядка искл ючения в м ет оде Г аусса (упор ядочение ст р ок и ст ол бцов) В проце ссе гауссов а искл ю че ния происходит запол не ние мат рицы, приче м о бъе м и структ ура эт о го запо л не ния в е сьма сущ е ств е нно зав исят о т в ыбора порядка искл ю че ния. П о э т ому сле дуе т в ыбират ь т акую строку, в кот орой бол ьш е нул е й, – чтобы минимизиро в ать число не нул е в ых эл е ме нтов , когда строка « обруш ив ае т ся» на в се другие стро ки, а такж е стол бе ц с максимал ьным числом нул е й, чтобы испол ьзо в ат ьп оме ньш е строк. О п р е д е л е н и е . Д л я эл е ме нт а aij произв е де ние числ а не нул е в ых 4.4.

эл е ме нтов в i -о й стро ке и j -ом стол бце назыв ае т ся це ной М арк ови ца эл е ме нт а aij . Н е нул е в ой эл е ме нт aij сле дуе т в ыбират ьт ак, чт обы це на М арко в ица эт ого эл е ме нт а был а минимал ьно й ил и не слиш ко м бол ьш о й. Э та иде я назыв ае т ся ст рат е г и е й М арк ови ца. О на по зв ол яе т оптимизиро в ать в ыбор в е дущ е го эл е ме нт а.

- 33 Н о т акой в ыбо р в л ияе т на устойчив ость п роце сса гауссо в а искл ю че ния, т ак как е сли в е дущ ий эл е ме нт мал , т о в о змож на по т е ря устойчив о сти в ычисле ний. 4.5. В ы числ ит ел ь ны еош ибкив гауссовом искл ючении П ри ре ал изации ме т ода Гаусса приходится в ыпол нят ь ариф ме тиче ские де йств ия типа b = a − lU . Д л я оп е раций спл ав аю щ е й т очкой границы о ш ибки обычно устанав л ив аю т ся сле дую щ им образом: f l ( x o y ) = ( x o y )(1 + ε ) , где симв ол o о бо значае т одну из эл е ме нт арных о пе раций +, −, ×, / ; ( x o y ) – т очный ре зул ьт ат опе рации; f l ( x o y) – о кругл е нный ре зул ьт ат ;

ε ≤ ε M , где ε M – маш иннаят о чность.

П усть a , b < α , тогда дл яоце нки погре ш ности име е м

ε ≤ α ⋅εM ⋅

1 1− εM

  1 ⋅  + 2  .  1 − ε M

Т аким образо м, дл я того чтобы в ычислите л ьная погре ш ность был а не слиш ко м в е л ика, не сле дуе т до п ускат ь чре зме рного роста чисел a, l , U . А в ме т оде Гаусса a, l , U – эл е ме нт ы k -х проме ж ут о чных мат риц. П о э т ому в в о дит ся показат е л ь проме ж ут о чного роста в ме т о де Гаусса

α k = max aijk

(A = { a }) , k ij

k

ко т орый дол ж е нбыт ьне слиш ком в е л ик.

С т р ат егия, осущ ест вл яющ ая ком пр ом иссм еж ду опт им изацией уст ой чивост ииопт им изацией ал гор ит м а П усть сде л аны пе рв ые k ш агов ме т о да Гаусса с в ыбо ро м гл ав ного эл е ме нт а по стол бцу. В о зьме м число U : 0 < U << 1. О п ре де л им в k -ом 4.6.

{

стол бце множ е ств а Rst = aik : aik ≥ U ⋅ max aijk

},

Rsp –- множ е ств о

не нул е в ых эл е ме нтов k -го стол бца, пре дпочт ит е л ьных с т о чки зре ния разре ж е нности, наприме р т аких, дл я которых це на М арко в ица не пре в осхо дит не которого ф иксиро в анного числа. В ыбор в е дущ е го эл е ме нт а о сущ е ств л яе т ся в множ е ств е R piv = Rsp I Rst , о рие нт ируясьна Rsp ил и Rsp .

Л ит ер ат ур а 1. П иссане цки С. Т е хнол о гия разре ж е нных матриц / C. П иссане цки. – М .: М ир, 1988. 2. Д ж ордж А ., Л ю Д . Ч исле нные ме т оды ре ш е ния бол ьш их разре ж е нных систе м урав не ний / А . Д ж ордж , Д . Л ю . – М .: М ир, 1984.

- 34 3. Э сте рбю О ., Зл ате в З. П рямые ме т оды дл я разре ж е нных матриц/ О . Э сте рбю , З. Зл ат е в . – М .: М ир, 1987. 4. Т ью арсонР. Разре ж е нные мат рицы / Р. Тью арсон. – М .: М ир, 1977. С остав ит е л и: Б л ат ов И горьА натол ье в ич Гл уш аков а Т ат ьяна Н икол ае в на Э ксаре в скаяМ .Е .

Ре це нзе нт

П о ко рнаяИ .Ю .

Ре дакт ор

Т ихо миро в а О .А .

З а ка з № от 2002 г. Т ир . 50 экз. Л а бор а т ор ия опе р а т ивной полигр а ф ии В ГУ