Асимптотические методы нелинейной механики

Н.Н.Моисеев АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ Предисловие Глава I. Некоторые вопросы вспомогательного характера § 1. Метод фазовой плоскости и некоторые свойства нелинейных колебаний § 2. Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга § 3. Примеры колебаний систем с переменными параметрами § 4. О некоторых достаточных условиях ограниченности колебаний § 5. Теорема Пуанкаре Глава II. Метод Ляпунова—Пуанкаре § 1. Система Ляпунова—случай одной степени свободы § 2. Условия существования периодических решений § 3 Метод Ляпунова § 4 Система Ляпунова. Случай произвольного числа степеней свободы § 5. Автоколебания § 6. Метод Г. В. Каменкова § 7. Неавтономные квазилинейные системы. Метод Пуанкаре § 8. Неавтономные системы второго порядка, близкие к системам Ляпунова. Метод Малкина § 9. Заключительные замечания Глава III. Асимптотические методы разделения движений Введение § 1. Метод Ван-дер-Поля § 2. Метод Ван-дер-Поля в системах, близких к консервативным § 3. Системы с медленным временем § 4. Описание алгоритма асимптотического интегрирования для случая одной быстрой переменной § 5. Алгоритм асимптотического интегрирования. Случаи не скольких быстрых переменных § 6. Исследование стационарных точек и устойчивости § 7. Вращательные движения маятника § 8. Приложения к задачам динамики орбитальных аппаратов § 9. Асимптотические методы усреднения в задачах теории оптимального управления Глава IV. Асимптотические методы в теории линейных уравнений, содержащих большой параметр § 1. Одно уравнение второго порядка § 2. Однородные системы второго порядка. Случай простых корней § 3. Однородные системы второго порядка. Случай кратных корней § 4. Неоднородные уравнения § 5. Общий случай линейной системы произвольного порядка

7 11 11 19 25 30 35 41 41 49 58 67 79 96 103 121 138 140 140 141 157 166 175 191 211 217 241 273 279 281 290 303 317 324

§ 6. Задача о движении гироскопа под действием момента, изменяющегося 329 во времени § 7. Особые случаи (асимптотика и окрестности точек возврата) 343 § 8. О некоторых способах построения асимптотических представлений в 351 случае кратных элементарных делителей характеристической матрицы § 9. Асимптотические методы большого параметра и теория оптимальной 365 коррекции Предметный указатель 378 Предметный указатель - в среде, сопротивление которой Автоколебания 79, 82, 93 пропорционально квадрату Алгоритм Ляпунова 58 скорости 152 Аппарат космический 366 Маятник, возвращающая сила - - малой тяги 249 которого разрывна 225 - - орбитальный 241 - гармонический 149 - - под действием трансверсальной - математический 18 тяги 277 - - в поле переменной гравитации 228 Гироскоп в поле перменной - - его вращательные движения 228, напряженности 335 294 - в спящем положении 333 - - точка подвеса которого колеблется - его элементарная теория 334 по периодическому закону 30 - осесимметричный 329 - на который действует - под действием момента, диссипативная сила 27 изменяющегося во времени 329 - под действием возвращающей силы, Делители инвариантного множителя обратно пропорциональной элементарные 306 квадрату времени 26 Демпфирование нелинейных - - - ограниченной возвращающей колебаний 161 силы 26 Задача Лагранжа—Пуассона 329 - при наличии малого вязкого трения Замораживание коэффициентов 26 151 Изохронность 15 - пружинный 146 Инварианты адиабатические 168, 170 - - жесткость которого изменяется во Интеграл действия 169 времени 26 Квазилинеаризация 119, 120 - с переменной возвращающей силой Колебания вдали от резонанса 105 227 - главные 79 - сферический 303 - квазилинейные 142 Метод Ван-дер-Поля 141 - резонансные 108 - - в системах, близких к Координаты главные 77 консервативным 157 Коррекция оптимальная 365 - Волосова 143 Линеаризация эквивалентная 153, 155 - - в теории вращательных движений Матрица Грина 39 238 - характеристическая 304 - Каменкова 96, 98 Маятник 31, 81, 147, 192, 217

- Ляпунова 58, 71, 77 - Малкина 121 - малого параметра 135 - осреднения 140 - последовательных приближений 188 - Пуанкаре 103 - разделения переменных 140 - Фурье 193 - WBKJ 280 Множители матрицы инвариантные 306 Орбиты кеплеровы, их возмущения 242 Осциллятор гармонический 12, 149 - квазилинейный 205 - линейный 15, 103 - нелинейный 149, 192 Переменные Ван-дер-Поля 142, 145 Плоскость фазовая 12 Приближение Ван-дер-Поля 102 Принцип замораживания коэффициентов 26 - максимума Понтрягина 176 Ракета оперенная 28, 32 Расстройка 197 Резонанс 25, 117, 126, 131 - главный 117, 197, 201 - комбинационный 197, 202 - кратный 207 - n-го рода 119 Резонансная ситуация 197 Резонансный случай 105 Решение асимптотическое по параметру \lambda 284 Сепаратриса 15 Сила аэродинамическая 258, 259 - диссипативная 80 Система автоколебательная 152 - Гамильтона 180 - диссипативная 150, 315 - жесткая 146, 147 - линейная 12 - Ляпунова 67, 80

- - ее каноническая форма 70 - мягкая 146, 170 - с вращающейся фазой 175, 190 - с вращающимся звеном 226, 232 - с двумя вращающимися фазами 192, 194, 267 - с медленным временем 166 - с переменными параметрами 25 - стандартного вида 190 Снаряд артиллерийский 329, 337 - оперенный 309 Сопротивление аэродинамическое 254 Спутник искусственный 253, 259, 267 Теорема Каменкова 100 - Ляпунова 70 - Малкина 131 - Пуанкаре 37, 40 - Сильвестра 214 Точка возврата 343 - изображающая 12 - особая 14 - - неустойчивая 15 - - типа седло 14 - - - фокус 80 - - - центр 14 - - устойчивая 14 - стационарная 212 Траектория фазовая 12 Управление оптимальное 274, 365 Уравнение Ван-дер-Поля 92, 112, 144 - - в случае двух быстрых переменных 196 - вековое 76 - Дюффинга 16, 17, 19, 21, 25, 64, 131, 145, 206 - квазилинейное 141 - Матье 30 - порождающее 36, 42 Уравнения в вариациях 38 - укороченные 134, 160 - Эйри 349 Форма жорданова нормальная 305 Функции Эйри 349

Цикл предельный 82 Частота мгновенная 26 Частоты собственные 77

Элементы оскулирующие 248, 249 Ящик жорданов 305