ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî...
16 downloads
205 Views
363KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà
Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Òåîðèÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó
Îãëàâëåíèå 1
2
Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
Îïðåäåëåíèå ÷èñëîâîãî ðÿäà . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû . . . . .
5
1.3
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà . . . . . . . .
8
1.4
Îñòàòîê ðÿäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäà . . . . . . . . . . . 10
Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè 12 2.1
Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Ìàêëîðåíà-Êîøè 18
2.3
Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà (ä'Àëàìáåðà) è Êîøè . . . . . 21
2.4
Ñðàâíåíèå ¾÷óâñòâèòåëüíîñòè¿ ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà è Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4
Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1
Çàâèñèìîñòü ñóììû ðÿäà îò ïîðÿäêà ñóììèðîâàíèÿ
4.2
Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïðîèç-
35
âîëüíûìè ÷ëåíàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5
4.3
Óìíîæåíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4
Ðÿäû ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè . . . . . . . . . . . . 47
Ïðèìåðû è çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû
1
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
2
Îãëàâëåíèå
1 Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà Åùå â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè ïðèõîäèëîñü ðàññìàòðèâàòü ñóììû, ñîäåðæàùèå áåñêîíå÷íîå íàáîð ñëàãàåìûõ, íàïðèìåð, ñóììà âñåõ ÷ëåíîâ (áåñêîíå÷íîé) ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Òàêîãî ðîäà ñóììû íàçûâàþò ÷èñëîâûìè ðÿäàìè. Ðÿäû âåñüìà øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè, ÿâëÿÿñü îäíèì èç íàèáîëåå óíèâåðñàëüíûõ è ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ êàê èññëåäîâàíèÿ, òàê è âû÷èñëåíèÿ. Ïðè èçó÷åíèè òåîðèè ðÿäîâ âîçíèêàþò òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ íåîáû÷íîñòüþ ñàìîãî îáúåêòà èçó÷åíèÿ, êàêîâûì ÿâëÿåòñÿ ðÿä. Äåëî â òîì, ÷òî ðÿä ÿâëÿåòñÿ ¾ñóììîé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñëàãàåìûõ¿. Íî ýòî íå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà, òàê êàê â àëãåáðå îïðåäåëåíû ñóììû ëèøü êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñëàãàåìûõ. Çíà÷èò, íà ñàìîì äåëå ðå÷ü èäåò íå îá îáû÷íîé ñóììå, à î ÷åì-òî òàêîì, ÷òî åùå íóæíî ïîíÿòü è ïðàâèëüíî èñòîëêîâàòü. Ïðèìåðû ðÿäîâ âñòðå÷àëèñü óæå â àíòè÷íîé ìàòåìàòèêå.  ïðîöåññå ðàçâèòèÿ àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ áûë íàêîïëåí îãðîìíûé ôàêòè÷åñêèé ìàòåðèàë î ðÿäàõ, ÷òî ê íà÷àëó 19 âåêà ïîçâîëèëî ñîçäàòü è ñòðîãî îáîñíîâàòü òåîðèþ ðÿäîâ. Ýòà òåîðèÿ, êàê è âñÿêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, èìååò ñâîé àíàëèòè÷åñêèé àïïàðàò. Ïðèìåíÿÿ ýòîò àïïàðàò, ìû ïîêàæåì, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ðÿäû îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì ñóìì êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Îñâîåíèå òåîðèè ðÿäîâ òðåáóåò èçó÷åíèÿ äîâîëüíî áîëüøîãî ÷èñëà óòâåðæäåíèé è ôîðìóë, à òàêæå ïîëó÷åíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ, ïðèîáðåòàåìûõ â õîäå ðåøåíèÿ ïðèìåðîâ è çàäà÷.
1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà
3
1.1 Îïðåäåëåíèå ÷èñëîâîãî ðÿäà Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü
u1 , u 2 , . . . , u n , . . .
(1.1)
íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, êîòîðûå ìîãóò áûòü êàê âåùåñòâåííûìè, òàê è êîìïëåêñíûìè.
Îïðåäåëåíèå 1.1 Âûðàæåíèå u1 + u2 + . . . + un + . . . èëè, êîðî÷å,
∞ X
un ,
(1.2)
n=1
íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì èëè ïðîñòî ðÿäîì. Îòäåëüíûå ýëåìåíòû un , èç êîòîðûõ îáðàçîâàíî âûðàæåíèå (1.2), íàçûâàþò ÷ëåíàìè ðÿäà , ïðè÷åì u1 ïåðâûì, u2 âòîðûì, un n-ûì èëè îáùèì ÷ëåíîì ðÿäà. Î÷åâèäíî, ÷òî ñîâåðøåííî íåñóùåñòâåííî, ñ êàêîãî íîìåðà íà÷èíàåòñÿ íóìåðàöèÿ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.1) è ðÿäà (1.2).  ÷àñòíîñòè, èíîãäà îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì íà÷èíàòü íóìåðàöèþ ÷ëåíîâ ðÿäà ñ íóëÿ. Òîãäà ðÿä ïðèîáðåòàåò âèä
u0 + u1 + . . . + un + . . . èëè
∞ P n=0
un .
Îïðåäåëåíèå 1.2 Ñóììó ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ðÿäà íàçûâàþò n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà (1.2) è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Sn , òî åñòü
Sn =
n X
uk = u1 + u2 + . . . + un .
(1.3)
k=1
 ñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà.
4
Îãëàâëåíèå
Ïðèìåð 1.1
∞ P n=1
1.
Âñå ÷ëåíû ýòîãî ðÿäà ðàâíû åäèíèöå. Ñëåäîâàòåëüíî è îáùèé ÷ëåí ðÿäà ðàâåí åäèíèöå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (n) ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà.
Ïðèìåð 1.2
∞ P
(−1)n−1 .
n=1
Îáùèé ÷ëåí ðÿäà èìååò âèä (−1)n−1 è ðàâåí 1, åñëè n íå÷åòíîå, è
−1åñëè n ÷åòíîå. À ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà âûãëÿäèò òàê:
S1 = 1, S2 = 0, . . . S2k−1 = 1, S2k = 0, . . . .
Ïðèìåð 1.3 1 +
∞ P n=2
q n−1 , ãäå q ∈ C.
Åñëè q = 1, òî (ñì. ïðèìåð (1.1)) ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (n). Ïóñòü q 6= 1. Òîãäà îáùèé ÷ëåí ðÿäà èìååò âèä q n−1 , à îáùèé ÷ëåí Sn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà ðàâåí
1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =
Ïðèìåð 1.4
1 − qn . 1−q
∞ ein P . 3 n=1 n
Òàê êàê ein = cos n + i sin n, îáùèé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà èìååò âèä
cos n sin n ein = +i 3 , 3 3 n n n à îáùèé ÷ëåí Sn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì
Sn =
n X eik k=1
Ïðèìåð 1.5
∞ cos in P . n n=1 2
k3
=
n X cos k k=1
k3
+i
n X sin k k=1
k3
.
1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà Ïîñêîëüêó cos z =
5
eiz + e−iz , îáùèé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà ðàâåí 2 cos in e−n + en ch n = = , 2n 2n+1 2n
à îáùèé ÷ëåí Sn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì
Sn =
n X cos ik k=1
2k
=
n X ch k k=1
2k
.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì (Sn ) ðÿäà, òî ìîæíî âîññòàíîâèòü âñå ÷ëåíû ðÿäà ïî ôîðìóëàì
u1 = S1 , u2 = S2 − S1 , . . . , un = Sn − Sn−1 , . . . .
1.2 Ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ñïîñîáû ïðèäàíèÿ ñìûñëà âûðàæåíèþ (1.2). Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå èç íèõ òàêèå, ïðè êîòîðûõ ¾áåñêîíå÷íàÿ ñóììà¿ ÷åì-òî ¾ïîõîæà¿ íà ñóììó êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñëàãàåìûõ è îïèñûâàåò íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå ðåàëüíûå ôàêòû. Ðàññìîòðèì îäèí òàêîé ñïîñîá.
Îïðåäåëåíèå 1.3 Ðÿä (1.2) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ðÿä (1.2) íàçûâàåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.4 Åñëè ðÿä (1.2) ñõîäèòñÿ, òî ïðåäåë S ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì íàçûâàþò ñóììîé ðÿäà è ïèøóò ∞ X
un = S.
n=1
Êàê âèäèì, ïîíÿòèå ñóììû îïðåäåëåíî ëèøü äëÿ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà è, â îòëè÷èå îò ïîíÿòèÿ ñóììû êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñëàãàåìûõ, ââîäèòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.
Ïðèìåð 1.6 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
1.
6
Îãëàâëåíèå
Ðåøåíèå. Ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ (ñì. ïðèìåð 1.1) è, ñëåäîâàòåëüíî, íå èìååò êîíå÷íîãî ïðåäåëà.
Ïðèìåð 1.7 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P
(−1)n−1 .
n=1
Ðåøåíèå. È ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì (ñì. ïðèìåð 1.2) íå èìååò ïðåäåëà.
Ïðèìåð 1.8 Ïóñòü x ∈ R. Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä ∞ X x x2 xn xn 1+ + + ... + + ... = 1 + 1! 2! n! n! n=1
(1.4)
ñõîäèìîñòü è èìååò ñóììó, ðàâíóþ ex .
Ðåøåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå n ∈ N. Ïóñòü Sn n-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà (1.4), òî åñòü
Sn = 1 +
x x2 xn−1 + + ... + . 1! 2! (n − 1)!
(1.5)
Ðàçëàãàÿ ôóíêöèþ ex ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì
ex = 1 +
x2 xn−1 xn x + + ... + + eθx , 1! 2! (n − 1)! n!
(1.6)
ãäå θ ∈ (0, 1). Èç (1.6) è (1.5) ñëåäóåò, ÷òî
e x = Sn + Ïîýòîìó
xn θx e . n!
¯ n ¯ ¯ x θx ¯ |x|n θx x e . |Sn − e | = ¯¯ e ¯¯ = n! n! |x|n = 0, âûòåêàåò n→∞ n!
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî lim
lim Sn = ex .
n→∞
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé 1.3 è 1.4 âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.
1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà ∞ P
Ñâîéñòâî 1.1 Åñëè ðÿä èçâîëüíîãî λ ∈ C ðÿä
7
∞ P n=1
n=1
un ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó S , òî äëÿ ïðî-
λun òàêæå ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó λS .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè åñëè lim
n→∞
n X
uk = S, òî lim
n X
n→∞
k=1
∞ P
Ñâîéñòâî 1.2 Åñëè ðÿäû
n=1
un è
ñòâåííî ñóììû S è σ , òî ðÿä ñóììó S + σ .
∞ P n=1
λuk = λ lim
n→∞
k=1
∞ P n=1
n X
uk = λS.
k=1
vn ñõîäÿòñÿ è èìåþò ñîîòâåò-
(un + vn ) òàêæå ñõîäèòñÿ è èìååò
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, åñëè lim
n X
n→∞
òî
lim
n→∞
n X
uk = S,
k=1
(uk + vk ) = lim
n→∞
k=1
n X k=1
lim
n→∞
n X
vk = σ,
k=1
uk + lim
n→∞
n X
vk = S + σ.
k=1
Èç ýòèõ ñâîéñòâ âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ îáðàçóåò âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì C.
Îïðåäåëåíèå 1.5 Ïóñòü
∞ P n=1
un ðÿä ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè, (nk )k∈N
âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ êàæäînk ∞ P P ãî k ∈ N ïîëîæèì vk = ul , ãäå n0 = 0. Ðÿä vk íàçûâàåòñÿ l=nk−1 +1
k=1
ðÿäîì, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå ãðóïïèðîâêè ÷ëåíîâ ðÿäà
∞ P n=1
un .
Ñâîéñòâî 1.3 (Àññîöèàòèâíûé çàêîí äëÿ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ). Åñëè ðÿä ∞ P
n=1
un ñõîäèòñÿ, òî ðÿä
÷ëåíîâ ðÿäà ∞ P n=1
un .
∞ P n=1
∞ P
k=1
vk , ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ãðóïïèðîâêè
un áóäåò ñõîäèòüñÿ è èìåòü òó æå ñóììó, ÷òî è ðÿä
8
Îãëàâëåíèå
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (Sn ) è (σk ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñîîòâåòñòâåííî ðÿäîâ
∞ P
n=1
∞ P
un è
k=1
vk . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî
k ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî σk = Snk , òî åñòü ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (σk ) ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn ). Íî êàê ìû çíàåì, âñÿêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäèòñÿ è èìååò òîò æå ïðåäåë (ñì. ñâîéñòâà ïîäïî∞ P vk , ïîëó÷åííûé ïóòåì ñëåäîâàòåëüíîñòåé). Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä ãðóïïèðîâêè ÷ëåíîâ ðÿäà ðÿä
∞ P n=1
k=1
∞ P n=1
un , ñõîäèòñÿ è èìååò òó æå ñóììó ÷òî è
un .
1.3 Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà Òåîðåìà 1.1 Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä
∞ P n=1
un ñõîäèòñÿ, òî åãî îáùèé ÷ëåí un
ñ ðîñòîì n ñòðåìèëñÿ ê íóëþ, òî åñòü lim un = 0. n→∞
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S ñóììà, à Sn n-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà èñõîäíîãî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Òàê êàê lim Sn−1 = lim Sn = S , à un = Sn −Sn−1 , n→∞
n→∞
òî
lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
Ñëåäñòâèå 1.1 Åñëè îáùèé ÷ëåí ðÿäà ðîñòîì n, òî ðÿä
∞ P n=1
n→∞
∞ P n=1
un íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ
un ðàñõîäèòñÿ.
Çàìåòèì, ÷òî ðÿäû
∞ P n=1
1è
∞ P
(−1)n−1 ðàñõîäÿòñÿ, òàê êàê 1 è (−1)n−1
n=1
íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì n.
Ïðèìåð 1.9 Ïóñòü q ∈ C. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà 1 +
∞ P n=2
q n−1 .
Ðåøåíèå. Ïðè |q| 6= 1 îáùèé ÷ëåí Sn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (ñì. ïðèìåð 1.3) ðàâåí
1 qn 1 − qn = − . 1−q 1−q 1−q
1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà
9
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè |q| < 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) ñõîäèòñÿ è èìååò 1 ïðåäåë ðàâíûé . 1−q À ïðè |q| ≥ 1 äëÿ îáùåãî ÷ëåíà q n−1 ýòîãî ðÿäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà
|q n−1 | = |q|n−1 ≥ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè |q| ≥ 1 îáùèé ÷ëåí ðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì n. Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè |q| < 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè
|q| ≥ 1. Ïðè÷åì â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè, òî åñòü ïðè |q| < 1, èìååì S =1+
∞ X
q n−1 =
n=2
1 . 1−q
1.4 Îñòàòîê ðÿäà Ïóñòü äàí ðÿä
u 1 + u2 + . . . + un + . . . .
(1.7)
Îïðåäåëåíèå 1.6 Ðÿä un+1 + un+2 + . . . íàçûâàåòñÿ n-ì îñòàòêîì ðÿäà (1.7).
Òåîðåìà 1.2 Åñëè ðÿä (1.7) ñõîäèòñÿ, òî ñóììà rn åãî n-îãî îñòàòêà ñ ðîñòîì n ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S îáîçíà÷àåò ñóììó èñõîäíîãî ðÿäà, à Sn åãî n-óþ ÷àñòè÷íóþ ñóììó. Òîãäà, î÷åâèäíî, ÷òî S = Sn + rn . Ïîýòîìó r n = S − Sn . Ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïî n, ïîëó÷èì
lim rn = lim (S − Sn ) = S − lim Sn = S − S = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
10
Îãëàâëåíèå
1.5 Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäà Ñîäåðæàíèå òåîðèè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ñîñòîèò â óñòàíîâëåíèè ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè êîíêðåòíûõ ðÿäîâ è â âû÷èñëåíèè ñóìì ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.  ïðèíöèïå, ðåøàòü ýòè çàäà÷è ìîæíî îïèðàÿñü íåïîñðåäñòâåííî íà îïðåäåëåíèÿ ñõîäèìîñòè è ñóììû ðÿäà. Íî ÷àñòî ýòîò ïóòü íåóäîáåí èç-çà òðóäíîñòåé íàõîæäåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîò ïóòü íåóäîáåí. Áîëåå òîãî, èíîãäà íå íóæíû íè ÷àñòè÷íûå ñóììû, íè ñóììà ðÿäà, à èññëåäîâàíèÿ âåäóòñÿ ëèøü ðàäè óñòàíîâëåíèÿ ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè ðÿäà. Ïîýòîìó îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè ïðèåìû, ïîçâîëÿþùèå èññëåäîâàòü âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà áåç íàõîæäåíèÿ åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì. È òàê êàê âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà, ïî îïðåäåëåíèþ, ðàâíîñèëåí âîïðîñó î ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì, òî ìû ïîëó÷èì êðèòåðèé Êîøè äëÿ ðÿäà, åñëè ñôîðìóëèðóåì åãî äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà.
Òåîðåìà 1.3 (Êðèòåðèé Êîøè äëÿ ðÿäà). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä
∞ P
un
n=1
ñõîäèëñÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε íàøåëñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ n ≥ m è äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ uk ¯ < ε. ¯ ¯ ¯
(1.8)
k=n+1
Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî n+p X
uk = Sn+p − Sn .
k=n+1
Ïîýòîìó, çàìåíèâ íåðàâåíñòâî (1.8) íà íåðàâåíñòâî
|Sn+p − Sn | < ε, ìû ïîëó÷àåì êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn ).
Ïðèìåð 1.10 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ 1 P . n=1 n
1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîãî ðÿäà
11
Ýòîò ðÿä íàçûâàþò ãàðìîíè÷åñêèì ðÿäîì .
Ðåøåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì êðèòåðèé Êîøè, òî åñòü ïîêàæåì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ïðè ëþáîì âûáîðå íîìåðà m íàéäóòñÿ íîìåð n, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ n ≥ m, è íàòóðàëüíîå ÷èñëî p òàêèå, ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà
¯ ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ uk ¯ ≥ ε. ¯ ¯ ¯
(1.9)
k=n+1
Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì ε = è p = n. Òîãäà ïîëó÷àåì
1 , ëþáîé íîìåð m, ëþáîé íîìåð n ≥ m 2
n ¯ n+p ¯ }| { z n+p n+n ¯ X 1¯ X 1 X 1 1 1 1 ¯ ¯ = = + + ...... + ≥ ¯ ¯= ¯ ¯ k k k n + 1 n + 2 n + n k=n+1 k=n+1 k=n+1
≥
1 1 1 n 1 + + ...... + = = = ε. n + n} n + n 2 |n + n n + n {z n
Îòìåòèì, ÷òî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Ýòî ñëåäóåò èç ðàñõîäèìîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà, äëÿ êîòîðîãî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè âûïîëíÿåòñÿ.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ÷àñòî îïèðàòüñÿ íà ñâîéñòâî ðÿäîâ, ñâÿçàííîå ñ èõ ñõîäèìîñòüþ, êîòîðîå ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.3.
Ñâîéñòâî 1.4 Îòáðàñûâàíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà èëè äîáàâëåíèå ê ðÿäó êîíå÷íîãî ÷èñëà íîâûõ ÷ëåíîâ íå âëèÿåò íà ñõîäèìîñòü (èëè ðàñõîäèìîñòü) ýòîãî ðÿäà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
∞ P
n=1
un . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ñóììà
íå ñîäåðæèò èçìåíÿåìûõ ÷ëåíîâ ðÿäà.
n+p P
k=n+1
uk
12
Îãëàâëåíèå
2 Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè Ñðåäè ìíîæåñòâà âñåõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ åñòü ðÿäû âñå ÷ëåíû êàæäîãî èç íèõ èìåþò îäèí è òîò æå çíàê.
Îïðåäåëåíèå 2.1 ×èñëîâîé ðÿä íàçûâàåòñÿ ðÿäîì ñ ïîëîæèòåëüíûìè (ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè) ÷ëåíàìè, åñëè âñå åãî ÷ëåíû íåîòðèöàòåëüíû (ïîëîæèòåëüíû). Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Äåé∞ P ñòâèòåëüíî, ïóñòü an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Òîãäà n=1
Sn+1 = Sn + an+1 ≥ Sn
äëÿ âñåõ
n ∈ N.
Ýòî ñâîéñòâî ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè âëå÷åò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 2.1 (Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè ñõîäèëñÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì áûëà îãðàíè÷åíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç îãðàíè÷åííîñòè ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à äîñòàòî÷íîñòü âûòåêàåò èç ñõîäèìîñòè ìîíîòîííîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ïðèìåð 2.1 Ïóñòü çàòü, ÷òî åñëè ðÿä íîâ ðÿäà
∞ P n=1
ñõîäèòñÿ.
∞ P n=1 ∞ P
n=1
an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Äîêà-
bn , ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ãðóïïèðîâêè ÷ëå-
an (ñì. îïðåäåëåíèå 1.5) ñõîäèòñÿ, òî è ðÿä
∞ P n=1
an òàêæå
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
13
Ðåøåíèå. Ïóñòü (An ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà à (Bn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà Î÷åâèäíî, ÷òî ðÿä
∞ P n=1
∞ P n=1
∞ P n=1
an ,
bn .
bn ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ñëåäî-
âàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Bn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì îãðàíè÷åíà, òî åñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî C òàêîå, ÷òî
(0 ≤) Bn ≤ C,
n ∈ N.
Òîãäà, äëÿ êàæäîãî k ∈ N èìååì
(0 ≤) Ak ≤ Ank = Bk ≤ C. Ïî òåîðåìå 2.1 ðÿä
∞ P n=1
an ñõîäèòñÿ.
Ñóùåñòâóåò äîâîëüíî ìíîãî ïðèåìîâ, ïîçâîëÿþùèõ óñòàíàâëèâàòü ñõîäèìîñòü èëè ðàñõîäèìîñòü ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Ýòè ïðèåìû íàçûâàþòñÿ ïðèçíàêàìè ñõîäèìîñòè.
2.1 Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ Óñòàíîâèì ðÿä ïðèçíàêîâ, ïîçâîëÿþùèõ äåëàòü çàêëþ÷åíèå î ñõîäèìîñòè (èëè ðàñõîäèìîñòè) ðÿäà ïóòåì ñðàâíåíèÿ åãî ñ äðóãèì ðÿäîì, ñõîäèìîñòü (èëè ðàñõîäèìîñòü) êîòîðîãî èçâåñòíà.
Òåîðåìà 2.2 (Ïåðâûé èëè îáùèé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü ∞ P n=1
∞ P n=1
an è
bn ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè è ïóñòü äëÿ âñåõ íîìåðîâ
n ∈ N ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (2.1)
an ≤ bn . Òîãäà èç ñõîäèìîñòè ðÿäà ðàñõîäèìîñòè ðÿäà
∞ P n=1
∞ P n=1
bn ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà
an ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
∞ P n=1
an , à èç
bn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (An ) è (Bn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäîâ
∞ P
n=1
an è
∞ P
n=1
bn ñîîòâåòñòâåííî. Èç íåðàâåíñòâà (2.1) ñëåäóåò,
14
Îãëàâëåíèå
÷òî
An ≤ Bn , Ïóñòü ðÿä
∞ P n=1
(2.2)
n ∈ N.
bn ñõîäèòñÿ. Ïî òåîðåìå 2.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Bn )
îãðàíè÷åíà. Îòñþäà è îöåíêè (2.2) ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (An ). Ïî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè ðÿäà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëå∞ P an ñõîäèòñÿ. íàìè (òåîðåìà 2.1) ðÿä n=1
Ïóñòü òåïåðü ðÿä ∞ P n=1
∞ P
n=1
an ðàñõîäèòñÿ. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî è ðÿä
bn ðàñõîäèòñÿ. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ÷òî
Òîãäà ïî äîêàçàííîìó è ðÿä
∞ P n=1
∞ P n=1
bn ñõîäèòñÿ.
an ñõîäèòñÿ. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëî-
âèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íå âåðíî. Ïîýòîìó ðÿä ∞ P bn ðàñõîäèòñÿ. n=1
Ïðèìåð 2.2 Ïðèìåíÿÿ ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ, äîêàçàòü ðàñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ 1 P ïðè ëþáîì p ≤ 1. p n=1 n
Ðåøåíèå. Ñðàâíèì ýëåìåíòû ýòîãî ðÿäà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè êàæäîì p ≤ 1 ñïðàâåäëèâà îöåíêà
1 1 ≥ , p n n
n ∈ N.
Ïîñêîëüêó ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 2.2) èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Ïðèìåð 2.3 Ïðèìåíÿÿ ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ, äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà ∞ 1 P . n=1 n!
Ðåøåíèå. Ñðàâíèì ýëåìåíòû ýòîãî ðÿäàµñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåí¶ òàìè ñõîäÿùåãî (ñì. ïðèìåð 1.9) ðÿäà
∞ P
n=1
Äëÿ êàæäîãî n ∈ N âûâîäèì îöåíêó
1 2
1 1 1 = ≤ n−1 = n! 1 · 2 · ... · n 2 Ïî òåîðåìå 2.2 ðÿä
∞ 1 P ñõîäèòñÿ. n=1 n!
n−1
.
µ ¶n−1 1 . 2
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
15
Çàìå÷àíèå 2.1  ñèëó ñâîéñòâà 1.4, â óñëîâèè òåîðåìû 2.2 äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (2.1) ëèøü äëÿ âñåõ íîìåðîâ n íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî m.
Çàìå÷àíèå 2.2 Àíàëîãè÷íî, â ñèëó ñâîéñòâà 1.1, â óñëîâèè òåîðåìû 2.2 íåðàâåíñòâî (2.1) ìîæíî çàìåíèòü íåðàâåíñòâîì an ≤ cbn , ãäå c íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë (an ) è (bn ) áóäåì íàçûâàòü ñëàáî ýêâèâàëåíòíûìè è ïèñàòü an ³ bn , åñëè ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ c òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè
1 an ≤ bn ≤ can . c
Òåîðåìà 2.3 (Âòîðîé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü
∞ P n=1
an è
ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè è ïóñòü an ³ bn . Òîãäà ðÿäû ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
∞ P n=1 ∞ P n=1
bn ðÿäû
an è
∞ P
bn
n=1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ 2.2 ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ c òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè
1 an ≤ bn ≤ can . c
(2.3)
Ââèäó çàìå÷àíèÿ 2.2 è ëåâîãî íåðàâåíñòâà â (2.3), êîòîðîå ìîæíî ïåðå∞ P ïèñàòü â âèäå an ≤ cbn , ñõîäèìîñòü ðÿäà bn âëå÷åò ñõîäèìîñòü ðÿäà ∞ P n=1
n=1
an . Ââèäó òîãî æå çàìå÷àíèÿ è ïðàâîãî íåðàâåíñòâà â (2.3), èç ñõîäè-
ìîñòè ðÿäà
∞ P n=1
an ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
bn .
Ñëåäñòâèå 2.1 (Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå). Ïóñòü ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè, à
∞ P n=1
∞ P
an
n=1
bn ðÿä ñî ñòðîãî ïîëîæè-
òåëüíûìè ÷ëåíàìè. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïîëîæèòåëüíûé ïðåäåë
16
Îãëàâëåíèå
an = L, n→∞ bn lim
òî ðÿäû
∞ P n=1
an è
∞ P n=1
bn ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê L > 0, ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî
L L L an 3L
äëÿ âñåõ
n ≥ m.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî an ³ bn . Ïî òåîðåìå 2.3 èëè îáà ðÿäà ñõîäÿòñÿ, èëè îáà ðÿäà ðàñõîäÿòñÿ.
Òåîðåìà 2.4 (Òðåòèé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü äû ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. È ïóñòü
∞ P n=1
an è
∞ P n=1
bn ðÿ-
an+1 bn+1 ≤ . an bn Òîãäà èç ñõîäèìîñòè ðÿäà ðàñõîäèìîñòè ðÿäà
∞ P n=1
∞ P n=1
(2.4)
bn ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà
an ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
∞ P n=1
an , à èç
bn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (2.4) ñëåäóåò, ÷òî an+1 an ≤ , bn+1 bn
n ∈ N. µ
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
a1 an ≤c= , bn b1
an bn
¶ íå âîçðàñòàåò, ïîýòîìó
n ∈ N.
Îòñþäà ïîëó÷àåì
an ≤ cbn ,
n ∈ N.
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ çàìå÷àíèåì 2.2 è ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì äâà ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ðÿäîâ, ÷ëåíû êîòîðûõ íå âîçðàñòàþò.
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
17
Òåîðåìà 2.5 (Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ Êîøè). Ïóñòü a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . ≥ 0. Ðÿä
∞ P n=1
an ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ X
2k a2k = a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2k a2k + . . . .
(2.5)
k=0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Bk = a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2k a2k .
An = a1 + a2 + . . . + an ,
Òîãäà ïðè ëþáîì n ∈ N è k , óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ n ≤ 2k , èìååì 2
4
z }| { z }| { An ≤a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + . . . + 2k
z }| { + (a2k + a2k +1 + . . . + a2k+1 −1 ) ≤ ≤a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2k a2k = Bk . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè n ≤ 2k ñïðàâåäëèâà îöåíêà (2.6)
An ≤ Bk .
Òåïåðü âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå k ∈ N è n, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ n ≥
2k . Òîãäà âûâîäèì 2
4
z }| { z }| { An ≥a1 + a2 + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + . . . + 2k−1
z }| { + (a2k−1 +1 + a2k−1 +2 + . . . + a2k ) ≥ 1 1 ≥ a1 + a2 + 2a4 + . . . + 2k−1 a2k = Bk , 2 2 òî åñòü
Bk ≤ 2An .
(2.7)
Åñëè ðÿä (2.5) ñõîäèòñÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì
(Bk ) îãðàíè÷åíà, à òîãäà èç íåðàâåíñòâà (2.6) âûòåêàåò, ÷òî ïîñëåäîâà∞ P òåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì (Ak ) ðÿäà an òàêæå îãðàíè÷åíà è, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1, ðÿä
∞ P n=1
n=1
an ñõîäèòñÿ.
18
Îãëàâëåíèå Òàêèå æå ðàññóæäåíèÿ, îñíîâàííûå íà ñõîäèìîñòè ðÿäà
âåíñòâå (2.7), ïðèâîäÿò ê ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.5).
Ïðèìåð 2.4 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
an è íåðà-
∞ 1 P , ãäå p ∈ R. p n=1 n
Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ, ìû óæå äîêàçàëè (ñì. ïðèìåð 2.2), ÷òî ïðè p ≤ 1 ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Ïóñòü p > 1. Òîãäà
1 1 > p n (n + 1)p
ïðè âñåõ
n ∈ N.
Ïîýòîìó ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèçíàêîì ñðàâíåíèÿ Êîøè. Ñîãëàñíî ýòîãî ïðèçíàêà, èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì ∞ X
∞
∞
∞
X X X 1 1 1 2 k p = = = (2 ) (2k )p−1 (2p−1 )k k=0 k=0 k=0 k=0
µ
1
k
2p−1
¶k .
Íî ïîñëåäíèé ðÿä ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
1 2p−1
< 1.
(2.8)
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè p > 1 îöåíêà (2.8) ñïðàâåäëèâà. Ñëåäîâൠ¶k ∞ P 1 òåëüíî, ïðè p > 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïî òåîðåìå 2.5, ñõîäèòñÿ è 2p−1 k=0 ∞ 1 P ðÿä . p n=1 n ∞ 1 P Òàêèì îáðàçîì, ïðè p > 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè p ≤ 1 ðàñõîp n=1 n äèòñÿ.
2.2 Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ÌàêëîðåíàÊîøè Ïóñòü äàí ðÿä
∞ P n=1
an . Ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê
ôóíêöèè íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà êàæäûé ÷ëåí ðÿäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çíà÷åíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè f îò íîìåðà ÷ëåíà:
a1 = f (1), a2 = f (2), . . . , an = f (n), . . . .
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
19
Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïîêà òîëüêî íà N. Îïðåäåëèâ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äëÿ âñåõ íåöåëûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà, ìû ñìîæåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèþ f : [1, ∞) −→ R. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà 1 òàêîé ôóíêöèåé ìîæåò ñëóæèòü f (x) = . x
Òåîðåìà 2.6 (Òåîðåìà Ìàêëîðåíà-Êîøè). Ïóñòü äàí ðÿä êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû è íå âîçðàñòàþò:
∞ P n=1
an , ÷ëåíû
a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . ≥ 0. Ïóñòü, äàëåå, ôóíêöèÿ f : [1, ∞) −→ R íåïðåðûâíà, íå âîçðàñòàåò è (2.9)
f (1) = a1 , f (2) = a2 , . . . , f (n) = an , . . . . Òîãäà äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà
∞ P n=1
an íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñõîZ∞
äèëñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
f (x) dx. 1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì èñõîäíîãî ðÿäà. Ñîãëàñíî êðèòåðèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè (òåîðåìà 2.1) ñõîäèìîñòü ðÿäà ðàâíîñèëüíà îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn ).
Z∞
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f íåîòðèöàòåëüíà, ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
f (x) dx 1
ýêâèâàëåíòíà îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè F : [1, ∞) −→ R, çàäàííîé ðàâåíZR ñòâîì F (R) = f (x) dx. 1
Ðàññìîòðèì ðÿä, ÷ëåíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëû:
Z2
Z3 f (x) dx +
1
2
n+1 Z f (x) dx + . . . + f (x) dx + . . . .
(2.10)
n
×àñòè÷íûìè ñóììàìè ýòîãî ðÿäà, î÷åâèäíî, òàêæå áóäóò èíòåãðàëû:
Z2 σn =
Z3 f (x) dx +
1
2
n+1 n+1 Z Z f (x) dx + . . . + f (x) dx = f (x) dx. n
1
20
Îãëàâëåíèå Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ F îãðàíè÷åíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
îãðàíè÷åíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (σn ). Äåéñòâèòåëüíî, îãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (σn ) ñðàçó ñëåäóåò èç îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè F . Ïóñòü òåïåðü îãðàíè÷åíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (σn ). Òàê êàê ôóíêöèÿ
f íåîòðèöàòåëüíà, ôóíêöèÿ F íå óáûâàåò. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî R ≥ 1 è ëþáîãî n ≥ R ñïðàâåäëèâà îöåíêà n+1 Z f (x) dx = σn , F (R) ≤ 1
èç êîòîðîé âûòåêàåò îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè F . Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîíîòîííà è íå âîçðàñòàåò, äëÿ êàæäîãî n ∈ n è ëþáîãî x ∈ [n, n + 1] âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè
f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n). Èíòåãðèðóÿ ïî x íà ñåãìåíòå [n, n + 1] âñå ÷àñòè ýòîãî äâîéíîãî íåðàâåíñòâà è ó÷èòûâàÿ (2.9), ïîëó÷àåì
an+1
n+1 n+1 n+1 Z Z Z = f (n + 1) = f (n + 1) dx ≤ f (x) dx ≤ f (n) dx = f (n) = an . n
n
n
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Sn+1 − a1 ≤ σn ≤ Sn
äëÿ âñåõ
n ∈ N.
À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (σn ) è (Sn ) îãðàíè÷åíû èëè ∞ P íåîãðàíè÷åíû îäíîâðåìåííî. Ââèäó ñêàçàííîãî, ðÿä an ñõîäèòñÿ òîn=1
Z∞ ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
f (x) dx . 1
Ïðèìåð 2.5 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P
1 . n=3 n ln n
Ðåøåíèå. Òàê êàê 1 1 1 > > ... > > . . . > 0, 3 ln 3 4 ln 4 n ln n
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
21
ìîæíî ïðèìåíèòü èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Ìàêëîðåíà-Êîøè. 1 Âîçüìåì ôóíêöèþ f (x) = . Î÷åâèäíî, ÷òî f ïîëîæèòåëüíà è íå x ln x 1 óáûâàåò íà [3, ∞). À òàê êàê f (n) = ïðè âñåõ n ≥ 3, ñîãëàñíî n ln n Z∞ 1 òåîðåìå 2.6, èñõîäíûé ðÿä è íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë dx ñõîäÿòñÿ x ln x 3 èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. ∞ Z 1 Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà dx. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëÿåì x ln x 3
Z
R
lim
R→+∞
3
¯R ¯ 1 dx = lim (ln ln x) ¯¯ = lim (ln ln R − ln ln 3) = +∞. R→+∞ R→+∞ x ln x 3
Òàêèì îáðàçîì, èññëåäóåìûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, à ñëåäîâàòåëüíî ðàñõîäèòñÿ è èñõîäíûé ðÿä.
2.3 Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà (ä'Àëàìáåðà) è Êîøè Ê ïðèçíàêàì ñðàâíåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ïðèìûêàþò äâà ÷àñòî ïðèìåíÿåìûõ ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè äëÿ ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè Äàëàìáåðà è Êîøè. Ýòè ïðèçíàêè îñíîâàíû íà ñðàâíåíèè èññëåäóåìîãî ðÿäà ñ ðÿäîì, ñîñòàâëåííûì èç ýëåìåíòîâ áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, à èìåííî ∞ X
qn = q + q2 + . . . + qn + . . . ,
0 < q < 1,
(2.11)
n=1
èëè ñ ðàñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì ∞ X
1 = 1 + 1 + ... + 1 + ... .
(2.12)
n=1
Òåîðåìà 2.7 (Ïðèçíàê Äàëàìáåðà). Ïóñòü ëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè.
∞ P n=1
an ðÿä ñî ñòðîãî ïî-
Åñëè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà m îòíîøåíèå äèò íåêîòîðîãî ÷èñëà q < 1, òî åñòü åñëè
an+1 ≤ q < 1 äëÿ âñåõ an
n ≥ m,
an+1 íå ïðåâîñõîan
(2.13)
22
Îãëàâëåíèå
òî ðÿä
∞ P n=1
an ñõîäèòñÿ.
Åñëè æå, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà m îòíîøåíèå ìåíüøå åäèíèöû, òî åñòü åñëè
an+1 ≥ 1 äëÿ âñåõ an òî ðÿä
∞ P n=1
an+1 áóäåò íå an
(2.14)
n ≥ m,
an ðàñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2.13). Òîãäà èìååì an+1 q n+1 ≤ q = n ïðè âñåõ n ≥ m. an q Ââèäó ñâîéñòâà 1.4, ïî òðåòüåìó ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ, èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó ñõîäèòñÿ ðÿä (2.11). Ïóñòü òåïåðü âûïîëíåíî óñëîâèå (2.14). Ïðèìåíèì òðåòèé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ ê èñõîäíîìó ðÿäó è ðÿäó (2.12). Òîãäà ïîëó÷èì
an+1 bn+1 ≥1= an bn
äëÿ âñåõ
n ≥ m,
ãäå bn = 1 è bn+1 = 1.  ýòîì ñëó÷àå èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê ðÿä (2.12) ðàñõîäèòñÿ. Íà ïðàêòèêå, ÷àùå âñåãî, ýòîò ïðèçíàê ïðèìåíÿåòñÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå.
Ñëåäñòâèå 2.2 (Ïðèçíàê Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå). Ïóñòü ðÿä ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Åñëè îòíîøåíèå ìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó r:
an+1 = r, n→∞ an ∞ P n=1
n=1
an
an+1 ñòðåan
(2.15)
lim
òî ïðè r < 1 ðÿä
∞ P
an ñõîäèòñÿ, à ïðè r > 1 ðÿä
∞ P n=1
an ðàñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ∀ε > 0 ∃m ∀n ≥ m ⇒ r − ε <
an+1 < r + ε. an
(2.16)
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
23
Âîçüìåì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ r + ε < 1 ïðè r < 1 è óñëîâèþ r − ε > 1 ïðè r > 1. Ïðè òàêîì âûáîðå ÷èñëà ε èç (2.16) âûòåêàåò, ÷òî ïðè r < 1 âûïîëíÿåòñÿ (2.13) ñ q = r + ε, à ïðè r > 1 (2.14). Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.7, ïðè
r < 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè r > 1 ðàñõîäèòñÿ.
Ïðèìåð 2.6 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì ïðåäåë îòíîøåíèÿ (n + 1)n+1 · n! lim = lim n→∞ (n + 1)! · nn n→∞
µ
n+1 n
∞ nn P . n=1 n!
an+1 : an
¶n
µ = lim
n→∞
1 1+ n
¶n = e > 1.
Ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Çàìå÷àíèå 2.3 Ïóñòü íàìè. Åñëè
∞ P n=1
an ðÿä ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåan+1 = 1, n→∞ an lim
òî ðÿä
∞ P n=1
(2.17)
an ìîæåò êàê ñõîäèòñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ.
∞ 1 ∞ 1 P P è . Íåòðóäíî óáåäèòü2 n=1 n n=1 n ñÿ, ÷òî äëÿ îáîèõ ðÿäîâ âûïîëíÿåòñÿ (2.17), õîòÿ ïåðâûé èç ýòèõ ðÿäîâ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðÿäû
ñõîäèòñÿ, à âòîðîé (ãàðìîíè÷åñêèé) ðàñõîäèòñÿ (ñì. ïðèìåðû 2.4 è 1.10).
Òåîðåìà 2.8 (Îáîáùåííûé ïðèçíàê Äàëàìáåðà â ïðåäåëüíîé ôîðìå). Ïóñòü
∞ P
n=1
an ðÿä ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Åñëè lim an+1 = r < 1, an
n→∞
òî ðÿä
∞ P n=1
an ñõîäèòñÿ. Åñëè æå lim an+1 = r > 1, an
n→∞
òî ðÿä
∞ P n=1
an ðàñõîäèòñÿ.
24
Îãëàâëåíèå
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, â îñíîâíîì, ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 2.2. Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ïðèâåñòè åãî ñàìîñòîÿòåëüíî. ∞ P
Çàìå÷àíèå 2.4 Ïóñòü íàìè. Åñëè
n=1
an ðÿä ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëå-
lim an+1 lim an+1 , ≤ 1 ≤ n→∞ an an
n→∞
òî ðÿä
∞ P n=1
an ìîæåò êàê ñõîäèòñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðÿäû ∞ X n=1
1 n
1−(−1)n 2
∞ 1 P è 2 n=1 n
=1+1+
1 1 + 1 + + ... . 3 5
Ïåðâûé èç ýòèõ ðÿäîâ ñõîäèòñÿ (ñì. ïðèìåð 2.4), à âòîðîé ðàñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà (ñì. ñëåäñòâèå 1.1). Íî äëÿ ïåðâîãî ðÿäà
lim an+1 lim an+1 = 1, = n→∞ an an
n→∞
à äëÿ âòîðîãî ðÿäà
a2n+1 1 lim an+1 = lim = lim = 0, n→∞ a2n n→∞ 2n + 1 an
n→∞
lim an+1 = lim a2n = lim (2n − 1) = ∞. n→∞ a2n−1 n→∞ an
n→∞
Òåîðåìà 2.9 (Ïðèçíàê Êîøè). Ïóñòü ÷ëåíàìè.
∞ P n=1
an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè
Åñëè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà m êîðåíü
√ n
an íå ïðåâîñõîäèò
íåêîòîðîãî ÷èñëà q < 1, òî åñòü åñëè
√ n òî ðÿä
∞ P n=1
an ≤ q < 1 äëÿ âñåõ
an ñõîäèòñÿ.
n ≥ m,
(2.18)
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
Åñëè æå, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà m êîðåíü
√ n
25
an áóäåò íå ìåíü-
øå åäèíèöû, òî åñòü åñëè
√ n òî ðÿä
∞ P n=1
an ≥ 1 äëÿ âñåõ
n ≥ m,
(2.19)
an ðàñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (2.18). Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî an ≤ q n ïðè âñåõ n ≥ m, òî åñòü âñå ÷ëåíû ðÿäà ñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ðÿäà
∞ P n=m
∞ P
n=m
an íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåò-
q n . Ââèäó ñâîéñòâà 1.4, ðåçóëüòàòà ïðèìåðà
1.9 è ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 2.2) èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (2.19). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâà îöåíêà an ≥ 1 äëÿ âñåõ n ≥ m. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå, ∞ P an íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî åñòü íå âûïîëíÿåòñÿ îáùèé ÷ëåí ðÿäà n=1
íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà. Ïîýòîìó äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ (ñì. ñëåäñòâèå 1.1). Êàê è äëÿ ïðèçíàêà Äàëàìáåðà èìååòñÿ ïðåäåëüíûé âàðèàíò äëÿ ïðèçíàêà Êîøè.
Ñëåäñòâèå 2.3 (Ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå). Åñëè äëÿ ðÿäà ∞ P
n=1
an ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè lim
n→∞
√ n
(2.20)
an = r,
òî ïðè r < 1 ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè r > 1 ðàñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ∀ε > 0 ∃m ∀n ≥ m ⇒ r − ε <
√ n
an < r + ε.
(2.21)
Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäåëüíîãî âàðèàíòà ïðèçíàêà Äàëàìáåðà (ñëåäñòâèå 2.2), ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε áóäåì âûáèðàòü òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå r + ε < 1 ïðè r < 1 è óñëîâèå r − ε > 1 ïðè r > 1. Òîãäà èç (2.21) ñëåäóåò, ÷òî ïðè r < 1 âûïîëíÿåòñÿ (2.18) ñ q = r +
ε, à ïðè r > 1 (2.19). Ïî ïðèçíàêó Êîøè (òåîðåìà 2.9) äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëè r < 1, è ðàñõîäèòñÿ, åñëè r > 1.
26
Îãëàâëåíèå
Ïðèìåð 2.7 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P
1 . n=1 ln (n + 1) n
Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå: s
lim
n→∞
√ n
an = lim
n
n→∞
1 1 = lim = 0 < 1. n→∞ ln (n + 1) ln(n + 1) n
Ñëåäîâàòåëüíî ðÿä ñõîäèòñÿ.
Çàìå÷àíèå 2.5 Ïóñòü
∞ P n=1
an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Åñëè lim
√ n
n→∞
òî ðÿä
∞ P n=1
(2.22)
an = 1,
an ìîæåò êàê ñõîäèòñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ.
×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü, íàïðèìåð, òàêîé ∞ 1 P ðÿä , êîòîðûé ïðè p ≤ 1 ðàñõîäèòñÿ, à ïðè p > 1 ñõîäèòñÿ. Íî ïðè p n=1 n ëþáîì p ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (2.17).
Òåîðåìà 2.10 (Îáîáùåííûé ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå). Ïóñòü äàí ðÿä
∞ P
n=1
an ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè è ïóñòü lim
n→∞
ãäà, åñëè r < 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
∞ P n=1
√ n
an = r. Òî-
an ñõîäèòñÿ, à åñëè r > 1, òî ðÿä
∞ P n=1
an
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü r < 1. Âîçüìåì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε òàêîå, ÷òîáû âûïîëíÿëàñü îöåíêà r+ε < 1. Ïî îïðåäåëåíèþ êîíå÷íîãî âåðõíåãî ïðåäåëà
∃m : ∀n ≥ m ⇒
√ n
an < r + ε < 1.
Ñëåäîâàòåëüíî ïî ïðèçíàêó Êîøè (òåîðåìà 2.9) èñõîäíûé ðÿä òàêæå ñõîäèòñÿ. Ïóñòü r > 1. Ïîñêîëüêó r åñòü âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíî¡ √ ¢ ¡√ ¢ ñòè n an , ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü nk ank òàêàÿ, ÷òî r = √ lim nk ank . Òàêèå æå ðàññóæäåíèÿ, êàê â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäñòâèÿ 2.3
k→∞
ïðè r > 1, ïðèâîäÿò íàñ ê âûâîäó, ÷òî ank 6→ 0 ïðè k → ∞. Ýòî îçíà÷àåò, ∞ P ÷òî îáùèé ÷ëåí ðÿäà an íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî åñòü íå âûïîëíÿåòñÿ n=1
íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà. Ïîýòîìó ïðè r > 1 ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
Çàìå÷àíèå 2.6 Ïóñòü
∞ P n=1
an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Åñëè lim
n→∞
òî ðÿä
∞ P n=1
27
√ n
an = 1,
(2.23)
an ìîæåò êàê ñõîäèòñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ.
 ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ñóùåñòâóåò ðàçíîáîé â ôîðìóëèðîâêàõ ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà è Êîøè. Èíîãäà ýòè èìåíà íîñÿò ñîîòâåòñòâåííî ñëåäñòâèÿ 2.2 è 2.3 èëè òåîðåìû 2.8 è 2.10 (ñì., íàïðèìåð, [6, 5]).
2.4 Ñðàâíåíèå ¾÷óâñòâèòåëüíîñòè¿ ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà è Êîøè Ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà, êàê ïðàâèëî, ëåã÷å ïðèìåíÿòü, ÷åì ïðèçíàê Êîøè, òàê êàê îáû÷íî ëåã÷å âû÷èñëÿòü ïðåäåë ÷àñòíîãî, ÷åì êîðíÿ n-îé ñòåïåíè. Îäíàêî ïðèçíàê Êîøè ñèëüíåå ïðèçíàêà Êîøè â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè ïðèçíàê Äàëàìáåðà óêàçûâàåò íà ñõîäèìîñòü ðÿäà, òî è ïðèçíàê Êîøè òîæå óêàçûâàåò íà åãî ñõîäèìîñòü; åñëè æå ïðèçíàê Êîøè íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé, òî è ïðèçíàê Äàëàìáåðà òîæå íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé. Ýòî ñëåäóåò èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 2.11 Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
lim
n→∞
√ n
an+1 , n→∞ an
an ≤ lim
lim an+1 lim √ ≤n→∞ n an . an
n→∞
an+1 . n→∞ an Åñëè α = +∞, òî äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü α = lim
µ Ïóñòü ¶ α ∈ R. Ïîñêîëüêó α åñòü âåðõíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè an+1 , äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî an an+1 < α + ε äëÿ âñåõ n ≥ m. an
(2.24)
28
Îãëàâëåíèå
Ïîëîæèì q = α + ε. Òåïåðü èç (2.24) âûâîäèì
am+k < qam+k−1 < q 2 am+k−2 < . . . < q k am
ïðè âñåõ
k ∈ N,
èëè
an < q n−m am Ïîýòîìó
√ n
an < q
ïðè âñåõ
p n
n ≥ m.
ïðè âñåõ
q −m am
n ≥ m,
à, ñëåäîâàòåëüíî, è
lim
n→∞
√ n
an ≤ lim q n→∞
p n
q −m am = q = α + ε.
Ïîñêîëüêó ïîñëåäíÿÿ îöåíêà âåðíà ïðè ëþáîì ε > 0, âåðíî è íåðàâåíñòâî
lim
√ n
n→∞
an ≤ α = lim
n→∞
an+1 . an
Ïåðâîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. Àíàëîãè÷íî ïðîâîäèòñÿ äîêàçàòåëüñòâî è âòîðîãî íåðàâåíñòâà.
Ñëåäñòâèå 2.4 Ïóñòü äàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ), an > 0 an+1 ïðè âñåõ n. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë îòíîøåíèÿ lim , òî n→∞ an √ ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë êîðíÿ lim n an è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî n→∞
lim
n→∞
√ n
an+1 . n→∞ an
an = lim
Îòìåòèì, ÷òî ïðèçíàê Êîøè íåñêîëüêî ¾÷óâñòâèòåëüíåå¿, ÷åì ïðèçíàê Äàëàìáåðà, òàê êàê èìåþòñÿ ïðèìåðû ðÿäîâ î ñõîäèìîñòè êîòîðûõ ïðèçíàê Äàëàìáåðà íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü çàêëþ÷åíèÿ, à ïðèçíàê Êîøè ïîçâîëÿåò.
Ïðèìåð 2.8 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
1 n , åñëè n = 2k − 1, 2 an = 1 , åñëè n = 2k, 3n
an , ãäå
k ∈ N.
2. Ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè
29
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî an+1 an Òàê êàê
µ ¶n 1 2 3 3 , åñëè n = 2k − 1, µ ¶ = 1 3 n , åñëè n = 2k, 2 2
µ ¶n µ ¶n 1 2 1 3 <1< 3 3 2 2
ïðè âñåõ
k ∈ N.
n ∈ N,
ïðèçíàê Äàëàìáåðà çäåñü íåïðèìåíèì. Ïîïðîáóåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèçíàêîì Êîøè. Ïîñêîëüêó r 1 1 n = , åñëè n = 2k − 1, n √ 2 2 n an = k ∈ N, r 1 1 n = , åñëè n = 2k, 3n 3 ïî ïðèçíàêó Êîøè ðÿä ñõîäèòñÿ.
Ïðèìåð 2.9 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà 1 1 1 1 1 1 1 + 1 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + ... . 2 2 2 2 2 2 2
Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî èñõîäíûé ðÿä ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå
∞ P
n=1
an , ãäå 1 åñëè n = 2k − 1, n, 2 an = 1 , åñëè n = 2k, 2n−2
k ∈ N.
Ïîêàæåì, ÷òî ê ýòîìó ðÿäó ïðèçíàê Äàëàìáåðà íåïðèìåíèì. Äåéñòâèòåëüíî,
a2n+1 22n−2 1 1 lim an+1 = lim = lim 2n+1 = 3 = < 1, n→∞ a2n n→∞ 2 an 2 8
n→∞
an+1 a2n 22n−1 = lim = lim 2n−2 = 2 > 1. n→∞ an n→∞ a2n−1 n→∞ 2 lim
Ñëåäîâàòåëüíî ïðèçíàê Äàëàìáåðà íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé î ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà.
30
Îãëàâëåíèå Òåïåðü ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ïðèçíàê Êîøè: r r √ 1 1 1 √ 2n−1 2n 2n−1 a2n−1 = = , 2n a2n = , 2n−1 2n−2 2 2 2
Ïîýòîìó
lim
√ n
n→∞
an =
n ∈ N.
1 < 1. 2
Ïî ïðèçíàêó Êîøè èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ.
3 Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû Îïðåäåëåíèå 3.1 Ðÿä
∞ P n=1
an ñ âåùåñòâåííûìè ÷ëåíàìè íàçûâàåòñÿ
çíàêîïåðåìåííûì, åñëè îí ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî êàê ïîëîæèòåëüíûõ, òàê è îòðèöàòåëüíûõ ÷ëåíîâ. Ñðåäè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò, òàê íàçûâàåìûå, çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû.
Îïðåäåëåíèå 3.2 Çíàêîïåðåìåííûé ðÿä
∞ P n=1
an íàçûâàåòñÿ çíàêî÷åðå-
äóþùèìñÿ, åñëè ñîñåäíèå åãî ÷ëåíû èìåþò ðàçëè÷íûå çíàêè, òî åñòü
an an+1 < 0 ïðè ëþáîì n ∈ N. Çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå:
∞ P n=1
(−1)n−1 pn , ãäå
∞ (−1)n−1 P ∞ (−1)n−1 P pn > 0 ïðè ëþáîì n ∈ N. Íàïðèìåð ðÿäû , , 1+ n n2 n=1 n=1 ∞ P (−1)n−1 q n (q > 0) çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû. n=2
Äëÿ çíàêî÷åðåäóþùèõñÿ ðÿäîâ èìååòñÿ äîñòàòî÷íî îáùèé, ÷óâñòâè-
òåëüíûé è ïðàêòè÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè, ïîëó÷åííûé Ëåéáíèöåì.
Òåîðåìà 3.1 (Ïðèçíàê Ëåéáíèöà). Åñëè ìîäóëè ÷ëåíîâ çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà
∞ P
n=1
(−1)n−1 pn îáðàçóþò íåâîçðàñòàþùóþ áåñêîíå÷íî ìàëóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî åñòü åñëè
p1 ≥ p2 ≥ . . . ≥ pn ≥ è lim pn = 0, n→∞
òî ðÿäà
∞ P n=1
(−1)n−1 pn ñõîäèòñÿ.
3. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû
31
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì äàííîãî ðÿäà. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè ëþáîì n ∈ N äëÿ ñóììû S2n âîçìîæíî ïðåäñòàâëåíèå:
S2n = p1 − (p2 − p3 ) − (p4 − p5 ) − . . . − (p2n−2 − p2n−1 ) − p2n . Íà îñíîâàíèè íåâîçðàñòàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (pn ) âî âñåõ ñêîáêàõ ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòîÿò íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Ñëåäîâàòåëüíî, (3.1)
S2n ≤ p1 .
Ïîýòîìó ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè ñîñòàâëÿþò îãðàíè÷åííóþ ñâåðõó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Êðîìå ýòîãî, â ñèëó âñå òîé æå ìîíîòîííîñòè
S2n+2 − S2n = p2n+1 − p2n ≥ 0, è ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë S íåîòðèöàòåëåí, è êàê ñëåäóåò èç îöåíêè (3.1), íå ïðåâîñõîäèò ïåðâîãî ÷ëåíà ðÿäà, òî åñòü def
(3.2)
0 ≤ S2 ≤ S = lim S2n ≤ p1 . n→∞
Òàê êàê
S2n+1 = S2n + p2n+1 äëÿ âñåõ n ∈ N,
lim S2n = S,
n→∞
lim p2n+1 = 0,
n→∞
òî
lim S2n+1 = lim S2n + lim p2n+1 = S.
n→∞
n→∞
n→∞
Âìåñòå ñ (3.2) ýòî äàåò íàì
lim Sn = S,
n→∞
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Îïðåäåëåíèå 3.3 Ðÿä, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì òåîðåìû 3.1, íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà.
32
Îãëàâëåíèå
Ñëåäñòâèå 3.1 Äëÿ îñòàòêà ðÿäà Ëåéáíèöà rn = âåäëèâà îöåíêà
∞ P k=n+1
(−1)k−1 pk ñïðà-
|rn | ≤ pn+1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, îñòàòîê ðÿäà rn åñòü ñóììà ðÿäà Ëåéáíèöà
∞ P
k=n+1
(−1)k−1 pk , êîòîðàÿ, êàê ñëåäóåò èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû
3.1 (ñì. ôîðìóëó (3.2)), ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò ìîäóëÿ ñâîåãî ïåðâîãî ÷ëåíà |(−1)n pn+1 | = pn+1 .
Ïðèìåð 3.1 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ (−1)n−1 P . n n=1
Ðåøåíèå. Ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ ðÿäîì. Ïîñêîëüêó
1 1 > äëÿ âñåõ n ∈ N è n n+1
1 = 0, n→∞ n lim
ýòîò ðÿä ðÿä Ëåéáíèöà. Ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà (òåîðåìà 3.1) îí ñõîäèòñÿ. ∞ (−1)n−1 P √ Ïðèìåð 3.2 Ñêîëüêî ÷ëåíîâ ðÿäà ñëåäóåò ïðîñóììèðîâàòü, n2 + 1 n=1 ÷òîáû ïîëó÷èòü åãî ñóììó ñ òî÷íîñòüþ äî ε = 10−1 .
Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà. Ïîýòîìó, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3.1, íóæíî âçÿòü ñòîëüêî ïåðâûõ (−1)n−1 áûë áû ìåíüøå ε. ÷ëåíîâ ðÿäà, ÷òîáû ñëåäóþùèé ÷ëåí q 2 (n + 1) + 1 Ðåøàÿ íåðàâåíñòâî (−1)n−1 1 q < , 10 (n + 1)2 + 1 ïîëó÷àåì, ÷òî ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü ëþáîå êîëè÷åñòâî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà áîëüøåå âîñüìè. Îòìåòèì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå ïðèçíàêà Ëåéáíèöà ñîäåðæèòñÿ òðè óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ðÿä: çíàêî÷åðåäóåìîñòü ÷ëåíîâ ðÿäà, ìîíîòîííîñòü è ñõîäèìîñòü ê íóëþ èõ àáñîëþòíûõ âåëè÷èí.
3. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû
33
Çàìåòèì, ÷òî ñõîäèìîñòü ê íóëþ àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ëþáîãî ðÿäà ñëåäóåò èç íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà. Ïîêàæåì, ÷òî êàæäîå èç îñòàëüíûõ äâóõ óñëîâèé ñóùåñòâåííî äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà. Ñíà÷àëà óáåäèìñÿ â íåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ çíàêî÷åðåäóåìîñòè ÷ëåíîâ ðÿäà. Äëÿ ýòîãî ïðèâåäåì ïðèìåð ðÿäà, ó êîòîðîãî àáñîëþòíûå âåëè÷èíû ÷ëåíîâ ìîíîòîííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, íî êîòîðûå ðàñõîäÿòñÿ èç-çà òîãî, ÷òî çíàêè ÷ëåíîâ ðÿäà íå ÷åðåäóþòñÿ.
Ïðèìåð 3.3 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà 2
3
4
z }| { z }| { z }| { 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + + + − − − − +... . 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4
(3.3)
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî àáñîëþòíûå âåëè÷èíû ÷ëåíîâ íå âîçðàñòàþò è ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Îäíàêî âñå ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ íîìåðàìè n(2n −
1) ðàâíû åäèíèöå, à ñ íîìåðàìè n(2n + 1) íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì íå èìååò ïðåäåëà, è ïîòîìó ðÿä (3.3) ðàñõîäèòñÿ. Òåïåðü äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçîâàííîé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ ðÿäà.
Ïðèìåð 3.4 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà 1−
1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ... + − + ... . 2 2 4 3 6 n 2n
(3.4)
Ðåøåíèå. Ðÿä (3.4) çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ è àáñîëþòíûå âåëè÷èíû åãî ÷ëåíîâ ìîíîòîííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ðàññìîòðèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì (Sn ) ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè:
S2n
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 = 1− − − − + + + ... + = 2 2 4 3 6 n 2n =
1 1 1 1 1 + + + ... + = 2 4 6 2n 2
µ 1+
1 1 1 + + ... + 2 3 n
(3.5)
¶ .
34
Îãëàâëåíèå
Êàê âèäèì, ÷àñòè÷íàÿ ñóììà S2n ðàâíà ïîëîâèíå n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììû ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà. À òàê êàê ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì êîíå÷íîãî ïðåäåëà íå èìååò. Ââèäó ðàâåíñòâà (3.5) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (3.4) òàêæå íå èìååò êîíå÷íîãî ïðåäåëà, ñëåäîâàòåëüíî ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
4 Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè Ïóñòü äàí ðÿä
∞ X
un
(4.1)
(un ∈ C, n ∈ N) .
n=1
Íåêîòîðóþ èíôîðìàöèþ îá ýòîì ðÿäå ìîæíî ïîëó÷èòü, èññëåäóÿ ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí (ìîäóëåé) åãî ÷ëåíîâ: ∞ X
(4.2)
|un | .
n=1
Ðÿä (4.2) ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ðÿäîì ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè è ïîýòîìó äëÿ èññëåäîâàíèÿ åãî ñõîäèìîñòè ìîæíî ïðèìåíÿòü ïðèåìû, èçëîæåííûå âûøå.
Îïðåäåëåíèå 4.1 ×èñëîâîé ðÿä
∞ P n=1
un íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿ-
ùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç ìîäóëåé åãî ÷ëåíîâ
∞ P n=1
 îïðåäåëåíèè íè÷åãî íå ñêàçàíî î ñõîäèìîñòè ñàìîãî ðÿäà Îêàçûâàåòñÿ âåðíà ñëåäóþùàÿ
|un |.
∞ P n=1
un .
Òåîðåìà 4.1 Âñÿêèé àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñõîäèòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ðÿä ðÿäà
∞ P n=1
∞ P n=1
un àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî åñòü ñõîäèòñÿ
|un |. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî êðèòåðèþ Êîøè (òåîðåìà
1.3) íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m è ëþáîì íàòóðàëüíîì
p áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî n+p X k=n+1
|uk | < ε.
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
35
Ïîñêîëüêó ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, èìååì ¯ n+p ¯ n+p ¯ X ¯ X ¯ ¯ u ≤ |uk | < ε ïðè âñåõ n ≥ m è p ∈ N. ¯ k¯ ¯ ¯ k=n+1
k=n+1
Ïî êðèòåðèþ Êîøè (òåîðåìà 1.3) ðÿä
∞ P n=1
un ñõîäèòñÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.2 ×èñëîâîé ðÿä íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè îí ñõîäèòñÿ, à ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç ìîäóëåé åãî ÷ëåíîâ ðàñõîäèòñÿ. ∞ (−1)n−1 P Ïðèìåð 4.1 Ðÿä èññëåäîâàòü íà àáñîëþòíóþ è óñëîâíóþ nα n=1 ñõîäèìîñòü.
Ðåøåíèå. Ââèäó òåîðåìû 4.1, öåëåñîîáðàçíî íà÷èíàòü ñ èññëåäîâàíèÿ
∞ 1 P , ñîα n=1 n ñòàâëåííûé èç ìîäóëåé ÷ëåíîâ èñõîäíîãî ðÿäà. Íî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè
íà àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü. Ïîýòîìó ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ðÿä
α > 1, à ïðè α ≤ 1 îí ðàñõîäèòñÿ (ñì. ïðèìåðû 2.2 è 2.4). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè α > 1 èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü èñõîäíîãî ðÿäà ïðè α ≤ 1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè α ≤ 0 îáùèé ÷ëåí ðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì n, òî åñòü íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà (òåîðåìà 1.1). Ïî ñëåäñòâèþ 1.1, ïðè α ≤ 0 èñõîäíûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Ïóñòü 0 < α ≤ 1. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ α ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà, ïîýòîìó îí ñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíûé ðÿä ïðè α > 1 ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, ïðè
0 < α ≤ 1 ñõîäèòñÿ óñëîâíî, à ïðè α ≤ 0 ðàñõîäèòñÿ.
4.1 Çàâèñèìîñòü ñóììû ðÿäà îò ïîðÿäêà ñóììèðîâàíèÿ Îäíèì èç âàæíûõ ñâîéñòâ ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ ÿâëÿåòñÿ
ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî, êîòîðîå ãëàñèò, ÷òî îò ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ èõ ñóììà íå ìåíÿåòñÿ. Â òåîðèè ðÿäîâ, åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âîïðîñ, î ñîõðàíåíèè ïåðåìåñòèòåëüíîãî ñâîéñòâà ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè.
36
Îãëàâëåíèå
Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ çàâèñèò îò òîãî êàê ñõîäèòñÿ ðÿä: óñëîâíî èëè àáñîëþòíî. Íà÷íåì ñ àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.
Òåîðåìà 4.2 Åñëè ðÿä òî ðÿä
∞ P n=1
∞ P n=1
un ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è èìååò ñóììó S ,
vn , ïîëó÷åííûé ïóòåì ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ ðÿäà
æå ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è èìååò òó æå ñóììó S .
Äîêàçàòåëüñòâî. Àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà µ
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì âàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó ñóììîé ëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà
∞ P n=1
∞ P n=1
n P
|vk |
k=1
∞ P n=1 ¶
∞ P n=1
un , òàê-
vn ñëåäóåò èç òîãî,
ðÿäà
∞ P n=1
|vn | íå óáû-
|un |, êîòîðàÿ êîíå÷íà â ñèëó àáñî-
un .
Ïîêàæåì, ÷òî ñóììà ðÿäà
∞ P n=1
vn ðàâíà S . Ïîñêîëüêó ðÿä
äèòñÿ àáñîëþòíî, òî, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè,
∞ P n=1
un ñõî-
∀ε > 0 ∃m ∈ N : ∀p ∈ N =⇒ |um+1 | + |um+2 | + . . . + |um+p | < ε.
(4.3)
Ïóñòü N îáîçíà÷àåò íàèáîëüøèé èç íîìåðîâ, êîòîðûé èìåþò ÷èñëà u1 , ∞ P vn . ßñíî, ÷òî N ≥ m. Åñëè n > N , u2 , . . ., um , áóäó÷è ÷ëåíàìè ðÿäà n=1
òî â ðàçíîñòè
γn = (u1 + u2 + . . . + un ) − (v1 + v2 + . . . + vn ) ÷ëåíû u1 , u2 , . . ., um âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ è îñòàþòñÿ ÷ëåíû ðÿäà
∞ P
un
n=1
ñî çíàêîì ¾+¿ èëè ¾−¿ è íîìåðàìè áîëüøèìè, ÷åì m. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî (4.3), èìååì |γn | < ε ïðè âñåõ n > N , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
lim γn = 0. Ïîýòîìó,
n→∞
lim (v1 + v2 + . . . + vn ) = lim ((u1 + u2 + . . . + un ) − γn ) =
n→∞
n→∞
= lim (u1 + u2 + . . . + un ) − lim γn = lim (u1 + u2 + . . . + un ) = S. n→∞
n→∞
n→∞
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
37
Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.2 àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä îáëàäàåò ïåðåìåñòèòåëüíûì ñâîéñòâîì. Ïîêàæåì, ÷òî óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ýòîãî ñâîéñòâà íå èìååò. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ∞ X (−1)n−1 n=1
n
1 1 1 (−1)n−1 = 1 − + − + ... + + ... 2 3 4 n
(4.4)
(ñì. ïðèìåð 4.1) è ðÿä, ïîëó÷åííûé èç íåãî ïóòåì ñïåöèàëüíîé ïåðåñòàíîâêè, è äîêàæåì, ÷òî íîâûé ðÿä ñõîäèòñÿ, íî èìååò ñóììó îòëè÷íóþ îò ñóììû èñõîäíîãî ðÿäà. Ïåðåñòàâèì ÷ëåíû ðÿäà (4.4) òàê, ÷òîáû ïîñëå îäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷ëåíà ñòîÿëè äâà îòðèöàòåëüíûõ:
1−
1 1 1 1 1 − + − − + ... 2 4 3 6 8
(4.5)
Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ñóììà S ðÿäà (4.4) îòëè÷íà îò íóëÿ. Ïóñòü (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì äàííîãî ðÿäà. Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (S2n ) ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñêîëüêó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäèòñÿ è ê òîìó æå ïðåäåëó, ÷òî è âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìååì (4.6)
lim S2n = S.
n→∞
Íî ïðè ëþáîì n ∈ N ñóììó S2n ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
S2n =
2n X (−1)k−1 k=1
k
=
n µ X k=1
1 1 − 2k − 1 2k
¶ .
(4.7)
1 1 − ïîëîæèòåëüíà, òî 2k − 1 2k êàê âèäíî èç (4.7), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (S2n ) âîçðàñòàåò, è ïîýòîìó ïðè À òàê êàê ïðè ëþáîì k ∈ N ðàçíîñòü
êàæäîì n ∈ N ñïðàâåäëèâà îöåíêà
S2n > S2 = 1 − Îòñþäà è (4.7) ïîëó÷àåì S > 0.
1 1 = . 2 2
38
Îãëàâëåíèå
1 S . Ïóñòü 2 (σn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (4.5). Òîãäà, ïðè êàæÒåïåðü äîêàæåì, ÷òî ðÿä (4.5) ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà σ =
äîì n ∈ N, èìååì
σ3n =
n µ X k=1
¶ X ¶ n µ 1 1 1 1 1 1 − − = − − = 2k − 1 4k − 2 4k 2k − 1 2(2k − 1) 4k k=1 ¶ ¶ n µ n µ X 1 1 1X 1 1 1 = = S2n . = − − 2(2k − 1) 4k 2 k=1 2k − 1 2k 2 k=1
Îòñþäà, ââèäó (4.6), ïîëó÷àåì
1 lim σ3n = S. n→∞ 2 Ó÷èòûâàÿ ýòî, èç ðàâåíñòâ
σ3n−2 = σ3n +
1 1 − , 4n − 2 4n
σ3n−1 = σ3n +
1 , 4n
ñïðàâåäëèâûõ ïðè êàæäîì n ∈ N, çàêëþ÷àåì
1 lim σ3n−2 = S, n→∞ 2
1 lim σ3n−1 = S. n→∞ 2
1 S . À ïîñêîëüêó S 6= 0, n→∞ 2 òî σ = 6 S . Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå óêàçàííîé ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî lim σn ñóùåñòâóåò è ðàâåí
óñëîâíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà, ïîëó÷åí ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñ äðóãîé ñóììîé. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óñëîâíî ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè íå ñîõðàíÿåòñÿ.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 4.3 (Òåîðåìà Ðèìàíà). Åñëè ðÿä ñ âåùåñòâåííûìè ÷ëåíàìè ñõîäèòñÿ óñëîâíî, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà L ∈ R ñóùåñòâóåò ïåðåñòàíîâêà ÷ëåíîâ ýòîãî ðÿäà òàêàÿ, ÷òî íîâûé ðÿä áóäåò ñõîäèòüñÿ ê L. Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Ðèìàíà ïðåäïîøëåì ñëåäóþùåå âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. ∞ P Ïóñòü ðÿä un ñ âåùåñòâåííûìè ÷ëåíàìè ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå n=1
ìíîæåñòâî êàê ïîëîæèòåëüíûõ, òàê è îòðèöàòåëüíûõ ÷ëåíîâ. Ïóñòü a1 ,
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
39
a2 , . . ., an , . . . îáîçíà÷àþò ïîëîæèòåëüíûå, à −b1 , −b2 , . . ., −bn , . . . îò∞ P ðèöàòåëüíûå ÷ëåíû ðÿäà un , çàíóìåðîâàííûå â òî ïîðÿäêå â êàêîì n=1
îíè âñòðå÷àþòñÿ â ýòîì ðÿäå. ∞ P
Ëåììà 4.1 Åñëè ðÿä
n=1
ðÿäà
un ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ñõîäÿòñÿ è îáà ∞ X
an è
∞ X
n=1
Åñëè æå ðÿä
∞ P n=1
(4.8)
bn .
n=1
un ñõîäèòñÿ óñëîâíî, òî îáà ðÿäà (4.8) ðàñõîäÿòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (Sn ), (An ) è (Bn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñîîòâåòñòâåííî ðÿäîâ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä
∞ P n=1
∞ P
n=1
un ,
∞ P
n=1
an è
∞ P
n=1
bn .
un ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è
∞ P n=1
|un | = ω . Î÷å-
âèäíî, ÷òî îáå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (An ) è (Bn ) íå óáûâàþò è îãðàíè÷åíû ñâåðõó ÷èñëîì ω . Ïîýòîìó îáà ðÿäà (4.8) ñõîäÿòñÿ. ∞ P un ñõîäèòñÿ óñëîâíî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, Ïóñòü òåïåðü ðÿä n=1
òî åñòü ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí èç ðÿäîâ (4.8) ñõîäèòñÿ. Èç îäíîâðåìåííîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ (4.8) è î÷åâèäíîé îöåíêè n X
n X
|uk | =
k=1
k=1
ak +
n X
âûòåêàåò àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà ïîëîæåíèþ.
bk ,
n ∈ N,
k=1 ∞ P n=1
un , ÷òî íåâîçìîæíî ïî ïðåä-
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäèí èç ðÿäîâ (4.8) ñõîäèòñÿ, à äðóãîé ðàñõîäèò∞ ∞ P P bn an ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó A, à ðÿä ñÿ. Ïóñòü, íàïðèìåð, ðÿä n=1
ðàñõîäèòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå lim Bn = +∞.
n=1
n→∞
Èç îïðåäåëåíèÿ ðÿäîâ (4.8) ñëåäóåò ðàâåíñòâî
Sn = Ap − Bq , ãäå n = p + q,
(4.9)
è ñòðåìëåíèå p è q ê ∞ ïðè ñòðåìëåíèè n ê ∞. Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (4.9) ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷àåì
lim Sn = lim Ap − lim Bq = −∞.
n→∞
p→∞
q→∞
À ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâíîé ñõîäèìîñòè èñõîäíîãî ðÿäà.
40
Îãëàâëåíèå
Ñëåäñòâèå 4.1 Åñëè ðÿä
∞ P n=1
un ñõîäèòñÿ óñëîâíî, òî
∀C ∈ R, ∀m ∈ N ∃p ∈ N : am+1 + am+2 + . . . + am+p > C,
(4.10)
∀D ∈ R, ∀m ∈ N ∃q ∈ N : −bm+1 − bm+2 − . . . − bm+q < D.
(4.11)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ñëó÷àå, åñëè, íàïðèìåð, óñëîâèå (4.10) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷à∞ P an îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ðÿä ñõîäèòñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà n=1
ñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ðèìàíà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå L ∈ R. Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, a1 , a2 , . . ., an , . . . ïîëîæèòåëüíûå, à −b1 , −b2 , ∞ P . . ., −bn , . . . îòðèöàòåëüíûå ÷ëåíû ðÿäà un . n=1
Ïðèñòóïèì ê ïîñòðîåíèþ ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ èñõîäíîãî ðÿäà. Âû∞ P an , ïîêà èõ ñóììà íå ïðåâçîéäåò L (ïðàâäà, ïèøåì ïîäðÿä ÷ëåíû ðÿäà n=1
ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî òàêèõ ÷ëåíîâ íå ïðèäåòñÿ áðàòü âîâñå). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü òàê êàê, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 4.1, íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî p1 òàêîå, ÷òî
a1 + a2 + . . . + ap1 −1 ≤ L < a1 + a2 + . . . + ap1 . Çàòåì áóäåì ïðèïèñûâàòü ê èìåþùåéñÿ ñóììå a1 + a2 + . . . + ap1 ÷ëåíû ∞ P bn ñî çíàêîì ìèíóñ, ïîêà íîâàÿ ñóììà íå ñòàíåò ìåíüøå L. È ýòî ðÿäà n=1
ìîæíî ñäåëàòü, ïîñêîëüêó ïî ñëåäñòâèþ 4.1 íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî
q1 òàêîå, ÷òî a1 + a2 + . . . + ap1 − b1 − b2 − . . . − bq1 < L ≤ ≤ a1 + a2 + . . . + ap1 − b1 − b2 − . . . − bq1 −1 . Äàëåå, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ, íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî p2 òàêîå, ÷òî
a1 + a2 + . . . + ap1 − b1 − b2 − . . . − bq1 + + ap1 +1 + ap1 +2 + . . . + ap1 +p2 −1 ≤ L < < a1 + a2 + . . . + ap1 − b1 − b2 − . . . − bq1 + + ap1 +1 + ap1 +2 + . . . + ap1 +p2 .
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
41
Íåîãðàíè÷åíî ïðîäîëæàÿ îïèñàííûé ïðîöåññ, ïîëó÷èì íîâûé ðÿä ñ ïå∞ P ðåñòàâëåííûìè ÷ëåíàìè ðÿäà un . n=1
Çàìåòèì, ÷òî â ñîñòàâ ÷ëåíîâ íîâîãî ðÿäà âîéäóò âñå ÷ëåíû èñõîäíîãî ðÿäà, òàê êàê íà êàæäîì øàãå ìû îáÿçàòåëüíî äîáàâëÿëè õîòÿ áû îäèí ïîëîæèòåëüíûé èëè îòðèöàòåëüíûé ÷ëåí èñõîäíîãî ðÿäà. Ïî ïîñòðîåíèþ, ÷àñòè÷íûå ñóììû íîâîãî ðÿäà ¾êîëåáëþòñÿ ¿ îêîëî ÷èñëà L. Ïðè÷åì, ïîñëå êàæäîãî äîáàâëåíèÿ íîâûõ ãðóïï ïîëîæèòåëüíûõ èëè îòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ (÷ëåíîâ èñõîäíîãî ðÿäà) ïîëó÷åííàÿ ñóììà áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò L ìåíåå, ÷åì íà àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó ÷ëåíà, ïðèïèñàííîãî íà ïîñëåäíåì èëè ïðåäïîñëåäíåì øàãå, êîòîðàÿ, ñîãëàñíî íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ñõîäèìîñòè ðÿäà (òåîðåìà 1.1), ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì íîâîãî ðÿäà ñõîäèòñÿ ê L. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñòðîåííûé ðÿä ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà L. Îòìåòèì ÷òî, óòâåðæäåíèå òåîðåìû 4.3 ñïðàâåäëèâî è â ñëó÷àå, êîãäà
L åñòü ñèìâîë −∞ èëè +∞.
4.2 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè Ìû äîêàæåì çäåñü äâà ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ðÿäîâ: ïðèçíàê Àáåëÿ è ïðèçíàê Äèðèõëå. Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáèòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå, óêàçàííîå Àáåëåì.
Ïðåäëîæåíèå 4.1 (Ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ). Ïóñòü n ∈ N, u1 , u2 , . . . , un è v1 , v2 , . . . , vn ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à s0 , s1 , . . . , sn ÷èñëà, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè
s0 = 0,
sk =
k X
ul ,
k = 1, 2, . . . , n.
l=1
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî n X k=1
uk vk =
n−1 X k=1
sk (vk − vk+1 ) + sn vn .
(4.12)
42
Îãëàâëåíèå Ðàâåíñòâî (4.12) íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Àáåëÿ (ñì., íàïðèìåð,
[2]).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó uk = sk − sk−1 äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, . . . , n, òî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî s0 = 0, âûâîäèì n X
uk v k =
k=1
= =
n X k=1 n X k=1 n−1 X
(sk − sk−1 ) vk =
n X
sk vk −
k=1
sk vk −
n−1 X
sk vk+1 =
k=0
n X
sk−1 vk =
k=1 n X k=1
sk vk −
n−1 X
sk vk+1 =
k=1
sk (vk − vk+1 ) + sn vn .
k=1
Ñëåäñòâèå 4.2 Ïóñòü (un ) è (vn ) ïðîèçâîëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà ∞ P un . Òîãäà äëÿ ëþáûõ n è p ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî n=1
n+p−1
n+p X
X
uk v k =
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn vn+1 .
(4.13)
k=n+1
k=n+1
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ, äëÿ ëþáûõ n è p ∈ N ïîëó÷àåì n+p X
uk v k =
k=n+1
=
Ãn+p−1 X
n+p X k=1
X
uk v k =
k=1
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p
k=1 n+p−1
=
u k vk −
n X
! −
à n−1 X
! Sk (vk − vk+1 ) + Sn vn
=
k=1
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn vn =
k=n n+p−1
=
X
Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn vn+1 .
k=n+1
Íåêîòîðûå àâòîðû íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèåì Àáåëÿ ðàâåíñòâî (4.13) (ñì., íàïðèìåð, [6]).
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
43
Òåîðåìà 4.4 (Ïðèçíàê Äèðèõëå). Ïóñòü äàí ðÿä
∞ P n=1
un vn , ãäå un ∈ C,
vn ∈ R äëÿ âñåõ n ∈ N. Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ∞ P ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà un îãðàíè÷åíà, à ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè n=1
(vn ) ïîëîæèòåëüíû è, íå âîçðàñòàÿ, ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
∞ P
n=1
un . Ïî óñëîâèþ îíà îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ∃M > 0 :
|Sn | ≤ M äëÿ âñåõ n ∈ N.
(4.14)
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε > 0. Òàê êàê vn > 0 è lim vn = 0, n→∞
∃m : 0 < vn <
ε äëÿ âñåõ n ≥ m. 2M
(4.15)
Òåïåðü äëÿ ëþáîãî n ≥ m è p ∈ N, ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì 4.2, îöåíêàìè 4.14 è 4.15 è òåì, ÷òî vk − vk+1 > 0, ïîëó÷èì
¯ n+p ¯ ¯n+p−1 ¯ ¯ X ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ uk v k ¯ = ¯ Sk (vk − vk+1 ) + Sn+p vn+p − Sn vn+1 ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=n+1
k=n+1
n+p−1
≤
X
|Sk | (vk − vk+1 ) + |Sn+p | vn+p + |Sn | vn+1 ≤
k=n+1
≤M
Ãn+p−1 X
! (vk − vk+1 ) + vn+p + vn+1
=
k=n+1
=M ((vn+1 − vn+2 ) + (vn+2 − vn+3 ) + . . . + (vn+p−1 − vn+p ) + ε = ε. +vn+p + vn+1 ) = 2M vn+1 < 2M 2M Îòñþäà, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà
Ïðèìåð 4.2 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
un vn .
∞ sin n P . n=1 n
1 . Î÷åâèäíî, ÷òî ÷ëåíû ïîñëån äîâàòåëüíîñòè (vn ) ïîëîæèòåëüíû è ìîíîòîííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè
Ðåøåíèå. Ïîëîæèì un = sin n, vn = n → ∞.
44
Îãëàâëåíèå Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
∞ P n=1
un îãðà-
íè÷åíà. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå n ∈ N è îöåíèì ìîäóëü ñóììû n P sin k :
k=1
¯ n ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ sin k ¯ = ¯ ¯ ¯
¯ n ¯ ¯X 1 ¯¯ ¯ 2 sin k sin ¯ = 1 ¯¯ 2¯ k=1 k=1 2 sin 2 ¯ n µ µ ¶ µ ¶¶¯¯ ¯ X 1 1 ¯ 1 ¯ cos k − = − cos k + ¯= 1 ¯¯ ¯ 2 2 k=1 2 sin 2 ¯µ ¶ µ ¶ 1 1 ¯¯ 3 3 5 = cos − cos + cos − cos + ...+ 1¯ 2 2 2 2 2 sin µ 2 µ µ ¶ ¶¶¯ ¯ 1 1 ¯= + cos n − − cos n + ¯ 2 2 ¯ µ ¶¯ 1 ¯¯ 1 ¯¯ 1 1 = − cos n + ≤ . cos ¯ 1¯ 1 2 2 2 sin sin 2 2 Ïîñêîëüêó âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå, èñõîäíûé ðÿä 1
ñõîäèòñÿ.
Òåîðåìà 4.5 (Ïðèçíàê Àáåëÿ). Ïóñòü äàí ðÿä R äëÿ âñåõ n ∈ N. Åñëè ðÿä
∞ P n=1
∞ P n=1
un vn , ãäå un ∈ C, vn ∈
un ñõîäèòñÿ, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn )
ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åííàÿ, òî ðÿä
∞ P n=1
un vn ñõîäèòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) èìååò ïðåäåë, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì áóêâîé a. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) íåóáûâàþùàÿ. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a − vn ) íå âîçðàñòàÿ, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Ïóñòü (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
∞ P n=1
un . Ïî-
ñêîëüêó ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì îãðà∞ P íè÷åíà. Ïî ïðèçíàêó Äèðèõëå (òåîðåìà 4.4) ðÿä un (a − vn ) ñõîäèòñÿ. n=1 ∞ P
Ïî ñâîéñòâàì 1.1 è 1.2, èç ñõîäèìîñòè ðÿäîâ âûòåêàåò ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P n=1
un v n .
n=1
un è
∞ P n=1
un (a − vn )
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
45
Ïðèìåð 4.3 Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà
∞ P
(−1)n−1
π n+1. ln2 n
cos
n=1
(−1)n−1 π Ðåøåíèå. Ïîëîæèì un = , vn = cos . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, 2 n+1 ln n ∞ P ÷òî ðÿä un ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà, è ïîýòîìó îí ñõîäèòñÿ, ïîñëån=1
äîâàòåëüíîñòü (vn ) âîçðàñòàåò è, î÷åâèäíî, îãðàíè÷åííàÿ. Ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ.
4.3 Óìíîæåíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ Çäåñü ìû äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 4.6 (Òåîðåìà Êîøè). Åñëè ðÿäû
∞ P n=1
un è
∞ P n=1
vn àáñîëþòíî ñõî-
äÿòñÿ è èìåþò ñóììû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå A è B , òî ðÿä
∞ P n=1
wn ,
ñîñòàâëåííûé èç âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé âèäà uk vl (k, l ∈ N), çàíóìåðîâàííûõ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå, òàêæå àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà AB .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (An ), (Bn ) è (Sn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì, ñîîòâåòñòâåííî ðÿäîâ
∞ P
n=1
|un |,
∞ P
n=1
|vn | è
∞ P
n=1
|wn |. Î÷åâèä-
íî, ÷òî âñå òðè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåóáûâàþùèå. À ïîñêîëüêó ðÿäû ∞ ∞ P P un è vn àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ, òî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè ðÿäà ñ ïîn=1
n=1
ëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè (òåîðåìà 2.1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (An ) è (Bn ) îãðàíè÷åíû. Ñîãëàñíî ýòîìó æå êðèòåðèþ, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àáñîëþòíîé ñõîäè∞ P ìîñòè ðÿäà wn äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü îãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn ).
n=1
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n. Ñóììà Sn ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî íàáîðà ñëàãàåìûõ âèäà |uk vl |. Ïóñòü m îáîçíà÷àåò íàèáîëüøèé èç èíäåêñîâ
k è l â ïðîèçâåäåíèÿõ |uk vl |, âõîäÿùèõ â ñóììó Sn . Òîãäà Sn ≤ (|u1 | + |u2 | + . . . + |um |) (|v1 | + |v2 | + . . . + |vm |) = Am Bm .
46
Îãëàâëåíèå
Îòñþäà, è èç îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (An ) è (Bn ) ñëåäó∞ P åò îãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn ). Ñëåäîâàòåëüíî ðÿä wn n=1
ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ïóñòü S åãî ñóììà. Äîêàæåì, ÷òî S = AB .
Ïî òåîðåìå 4.2 åãî ñóììà íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì çàíóìåðîâàíû åãî ÷ëåíû. Ïîýòîìó è ñóììà ðÿäà
u1 v 1 + u1 v 2 + u2 v 1 + u1 v 3 + u2 v 2 + u3 v 1 + |{z} | {z } | {z } k+l=2
k+l=3
k+l=4
+ . . . + u1 vn + u2 vn−1 + . . . + un v1 + . . . , {z } |
(4.16)
k+l=n+1
ñîñòàâëåííîãî èç âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé âèäà uk vl (k, l ∈ N) ðàâíà
S . Ñëåäîâàòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì (à òåì áîëåå è ëþáàÿ åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü) ýòîãî ðÿäà ñõîäèòñÿ ê S . Íî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Sn2 = (u1 + u2 + . . . + un ) (v1 + v2 + . . . + vn ) ,
n ∈ N,
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà ñõîäèòñÿ ê AB . Òàêèì îáðàçîì, S = AB . ∞ P ×ëåíû ðÿäà wn îáû÷íî íóìåðóþò â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ïðîèçâån=1
äåíèé uk vl ïî äèàãîíàëÿì:
. u1 v 1
. u1 v 2
. u2 v 1
.
.
u2 v 3
u3 v 2 ...
... .
.
. ...
u1 v 3
u2 v 2
u3 v 1
.
... .
u3 v 3
...
...
... ...
. ...
...
4. Ðÿäû ñ ïðîèçâîëüíûìè ÷ëåíàìè
47
(ñì. ôîðìóëó (4.16)) èëè ïî êâàäðàòàì:
↓
↓
↓
u1 v 1
u1 v 2
u1 v3
↓
↓
u2 v 1 ← u2 v 2
...
u2 v3
...
↓ u3 v1 ← u3 v2 ← u3 v3 ...
...
...
...
...
,
...
... ...
òî åñòü â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå
u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + {z } | {z } |{z} | + . . . + u1 vn + u2 vn + . . . + un vn + un vn−1 + . . . + un v1 + . . . . {z } |
(4.17)
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ðåçóëüòàò, â íåêîòîðîì ñìûñëå îáîáùàþùèé ðåçóëüòàò Êîøè.
Òåîðåìà 4.7 (Òåîðåìà Ìåðòåíñà). Åñëè ðÿäû
∞ P n=1
un è
∞ P n=1
vn ñõîäÿòñÿ,
ïðè÷åì õîòÿ áû îäèí èç íèõ ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, è èìåþò ñóììû, ∞ P wn , ñîñòàâëåííûé èç âñåâîçñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå A è B , òî ðÿä n=1
ìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé âèäà uk vl (k, l ∈ N), çàíóìåðîâàííûõ ïî äèàãîíàëÿì, ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà AB .  ñëó÷àå, êîãäà îáà ðÿäà
∞ P n=1
un è
∞ P n=1
vn ñõîäÿòñÿ óñëîâíî, ïî÷ëåííîå
ïåðåìíîæåíèå èõ äàæå ïî ýòîìó ïðàâèëó ïðèâîäèò, âîîáùå ãîâîðÿ, ê ðàñõîäÿùåìóñÿ ðÿäó.
4.4 Ðÿäû ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè Ñíà÷àëà âñïîìíèì êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë .
48
Îãëàâëåíèå
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zk )k∈N êîìïëåêñíûõ ÷èñåë zk = xk +iyk , ãäå xk , yk ∈
R, k ∈ N, ñõîäèòñÿ ê c = a + ib òîãäà, è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (xk ) è (yk ) ñõîäÿòñÿ ê a è b ñîîòâåòñòâåííî. Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè.
Òåîðåìà 4.8 Ðÿä ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè ñõîäèòñÿ òîãäà, è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäÿòñÿ ðÿäû ñîñòàâëåííûå èç âåùåñòâåííûõ è ìíèìûõ ÷àñòåé ÷ëåíîâ ðÿäà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ÷ëåíû ðÿäà
∞ P n=1
un èìåþò âèä un = an + ibn ,
ãäå an bn ∈ R, n ∈ N, è ïóñòü (Sn ), (An ) è (Bn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ∞ ∞ ∞ P P P bn ñîîòâåòñòâåííî. an è un , ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäîâ n=1
Òîãäà
Sn =
n X
uk =
n X
ak + i
n X
bk = An + iBn äëÿ âñåõ n ∈ N.
k=1
k=1
k=1
n=1
n=1
Ïî êðèòåðèþ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäÿòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (An ) è (Bn ). Îòñþäà è îïðåäåëåíèÿ 1.3 ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû.
Òåîðåìà 4.9 Ðÿä
∞ P n=1
un ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè un = an + ibn , an bn ∈
R, n ∈ N àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà àáñîëþòíî ∞ ∞ P P ñõîäÿòñÿ ðÿäû an è bn , ñîñòàâëåííûå èç âåùåñòâåííûõ è ìíèìûõ n=1
n=1
÷àñòåé ÷ëåíîâ èñõîäíîãî ðÿäà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû âûòåêàåò èç èçâåñòíûõ íåðàâåíñòâ
|an | ≤ |un | ,
|bn | ≤ |un | ,
ñïðàâåäëèâûõ äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n.
|un | ≤ |an | + |bn | ,
(4.18)
5. Ïðèìåðû è çàäà÷è
49
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (Sn ), (An ) è (Bn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷∞ ∞ ∞ P P P íûõ ñóìì ðÿäîâ |un |, |an | è |bn | ñîîòâåòñòâåííî. Ââèäó íåðàn=1
n=1
âåíñòâ (4.18), ñïðàâåäëèâû îöåíêè
n=1
An ≤ Sn , Bn ≤ Sn , Sn ≤ An + Bn ïðè âñåõ n ∈ N.
(4.19)
Îòñþäà è îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà âûòåêàåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå, ïîñêîëüêó ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà ïðè
n → ∞ ïðàâîé ÷àñòè ëþáîãî èç íåðàâåíñòâ (4.19) âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà è ëåâîé ÷àñòè ýòîãî æå íåðàâåíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèÿ êàê àáñîëþòíîé, òàê è óñëîâíîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè ìîãóò áûòü çàìåíåíû èññëåäîâàíèåì òàêîé ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ âåùåñòâåííûìè ÷ëåíàìè, îáðàçîâàííûìè èç äåéñòâèòåëüíûõ è ìíèìûõ ÷àñòåé ÷ëåíîâ ðÿäà.
5
Ïðèìåðû è çàäà÷è 1. Âû÷èñëèòü:
a)
Ã
(1 + i)n , (1 − i)n−2
ãäå
n ∈ N;
√ !2 1 i 3 − + ; 2 2
b)
2. Ïðåäñòàâèòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå: a) √ 3 + i.
q c)
√ 1 + i 3;
√ 1 − i 3.
b) 2 +
3. Èçâëå÷ü êîðåíü:
a)
√ 3
2 − 2i;
b)
√ 8
1;
c)
√ 6
s −27;
d)
6
1−i √ . 1+i 3
3 1 4. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè |z| < , òî |(1 + i)z 3 + iz| < . 2 4 ∞ ∞ P P 5. Ïóñòü an è bn ñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû ñ íåîòðèöàòåëün=1
n=1
íûìè ÷ëåíàìè. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ è
∞ P n=1
max{an , bn }?
∞ P n=1
min{an , bn }
50
Îãëàâëåíèå 6. Ïóñòü
∞ P n=1
an ñõîäÿùèéñÿ, à
∞ P n=1
bn ðàñõîäÿùèéñÿ ÷èñëîâûå ðÿ-
äû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñõîäèìîñòè ∞ ∞ P P ðÿäîâ min{an , bn } è max{an , bn }? n=1
7. Ïóñòü
∞ P n=1
n=1
an è
∞ P n=1
bn ðàñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû ñ íåîòðèöà-
òåëüíûìè ÷ëåíàìè. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ è
∞ P n=1
∞ P n=1
min{an , bn }
max{an , bn }?
8. Ïóñòü ðÿäû
∞ P n=1
an è
î ñõîäèìîñòè ðÿäà 9. Ïóñòü ðÿä
∞ P
∞ P
n=1 ∞ P
n=1
bn àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ. ×òî ìîæíî ñêàçàòü
an bn ?
an àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñõîäè-
n=1 ∞ P
ìîñòè ðÿäà
n+1 an ? n n=1
10. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì m ∈ N ðÿäû èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. 11. Ïóñòü
∞ P n=1
∞ P n=1
an è
∞ P p=1
am+p ñõîäÿòñÿ
an ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè; ïóñòü {nk } âîçðàñ-
òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàçàòü, ÷òî èç ∞ ∞ P P ñõîäèìîñòè ðÿäà an ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà ank . n=1
12. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îáùèé ÷ëåí ðÿäà
n=1
∞ P n=1
an ïðåäñòàâèì â ôîðìå
an = bn+1 − bn , òî ñóììà ðÿäà ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå S = lim bn − b1 .
n→∞
Ëèòåðàòóðà [1] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü
I, Ì.: Íàóêà, 1971. [2] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-
ëåíèÿ. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1962. [3] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì I, Ì.: Íàóêà, 1957. [4] Í.Í. Âîðîáüåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ, Ì.: Íàóêà, 1979. [5] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Ì.: Íàóêà, 1981. [6] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-
ñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1983. [7] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-
ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.: Íàóêà, 1961. [8] Ï.À.Øìåëåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ â çàäà÷àõ è óïðàæíåíèÿõ, Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1983.
51
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü n-àÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà, 3 ÷èñëîâîé ðÿä, 3 ÷ëåíû ðÿäà, 3 ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä, 11 îáùèé ÷ëåí ðÿäà, 3 îñòàòîê ðÿäà, 9 ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ, 42 ðÿä, 3 Ëåéáíèöà, 31 àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ, 34 ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè, 12 ñî ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè, 12 óñëîâíî ñõîäÿùèéñÿ, 35 çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ, 30 çíàêîïåðåìåííûé, 30
52
