Исследование оптимальной по быстродействию системы автоматического управления: Методические указания к выполнению лабораторной работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский политехнический университет _____________________________________________________________

УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ ___________ Мельников Ю.С. "_____"_____________2000г.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Методические указания к выполнению лабораторной работы №215 по курсу "Теория автоматического управления" для студентов специальности 21.03.00 - роботы и робототехнические системы

Томск - 2000

УДК 62.50 Исследование оптимальной по быстродействию системы автоматического управления. Методические указания к выполнению лабораторной работы №215 по курсу "Теория управления" для студентов специальности 21.03.00. - Томск: изд.ТПУ, 2000.- 10 с.

Составители: О.С.Вадутов, А.В.Воронин Рецензент

доц., канд. техн. наук В.Н.Шкляр

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры интегрированных систем управления "____"____________2000г. Зав. кафедрой ИКСУ проф., д-р техн. наук ______________________А.М.Малышенко

2

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью лабораторной работы является изучение принципа действия оптимальной по быстродействию системы управления объектом типа двойного интегрирующего звена на аналоговом вычислительном комплексе АВК-6. 2 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Общие понятия об оптимальных системах. Обычно в САУ объект управления (ОУ) задан и его свойства изменить нельзя, а алгоритм управляющего устройства (УУ) можно выбирать в широких пределах. В оптимальных САУ алгоритм управляющего устройства при известных характеристиках объекта выбирается на основе определенных критериев оптимальности (минимум времени переходного процесса, минимум расхода энергии и т. п.) с учетом ограничений, наложенных на координаты системы. Эти ограничения определяются либо физическими свойствами объекта, либо накладываются при проектировании из условий нормальной работы системы. Важным частным случаем задачи об оптимальном управлении является задача об оптимальном быстродействии систем. Задача оптимального быстродействия состоит в нахождении такого управления u(t) (алгоритма управляющего устройства), при котором переход объекта управления из одного состояния в другое, вызванный, например, подачей на вход системы ступенчатого воздействия, будет осуществляться за минимально возможное время. САУ, в которых реализуется такое управление, называются оптимальными по быстродействию. Теоретически доказано, что для линейного одномерного объекта n-го порядка, передаточная функция которого имеет только отрицательные действительные полюса и ограничение наложено только на величину u , т. е. u мин < u < u мах , оптимальное по быстодействию управление всегда состоит из n интервалов (теорема об n интервалах [1]), на которых управляющее воздействие u(t) может принимать одно из возможных значений u мах или u мин , т. е. управление является релейным. При этом моменты времени, в которые происходит переключение u, определяются уравнением объекта, начальными условиями и внешними воздействиями. Оптимальная по быстродействию система. Определим структуру и параметры управляющего устройства, обеспечивающего оптимальное по быстродействию управление в системе, приведенной на рисунке 1б.

3

Здесь часть системы, обозначенная ранее как объект управления, описывается уравнением второго порядка d 2g dt 2

= u,

(1)

а управляющее воздействие u принимает два возможных значения +1 и -1. В соответствии с теоремой об n интервалах для оптимальной по быстродействию отработки ступенчатого входного сигнала управление должно состоять из двух интервалов постоянства управляющего воздействия. При этом на первом интервале необходимо осуществить разгон системы, поддерживая управляющее воздействие на максимальном уровне, а на втором интервале, изменив знак управляющего воздействия, затормозить систему. Очевидно, задача синтеза оптимального по быстродействию управления в данном случае сводится к определению момента изменения знака управляющего воздействия (переключения релейного элемента). Рассмотрим процессы, происходящие в данной системе, на фазовой плоскости. Перейдя в уравнении (1) к ошибке x = g0 − g , получим d 2x dt 2

= −u .

(2) Это уравнение можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка dg = y, dt dy = − u. dt

(3) Исключив отсюда время t, будем иметь dy 1 = − u. dx y

(4) Интегрируя уравнение (4) получим уравнение фазовых траекторий y2 = − x u + C, 2

(5) где С - постоянная интегрирования, величину которой можно найти, задав координаты точки , находящейся на требуемой траектории. Уравнение (5) определяет на фазовой плоскости два семейства фазовых траекторий, соответствующих двум значениям управляющего воздействия u = +1 и u = −1 (рис.2в). Отдельные фазовые траектории каждого из семейств получаются для разных начальных условий, то есть разных значений постоянной интегрирования С в уравнении (5). Отработке системой положительного (отрицательного) ступенчатого сигнала на фазовой плоскости будет соответствовать переход изображающей точки из точки М ( точки N) в начало координат (рис.2а). Очевидно, изображающая точка на втором интервале управления 4

должна двигаться по фазовым траекториям, проходящим через начало координат, то есть по линии АОВ. На первом интервале управления изображающая точка из точки М или точки N, а в общем случае из произвольной точки фазовой плоскости, должна попасть на линию АОВ. Это условие будет обеспечено, если слева от линии АОВ изобразить фазовые траектории, соответствующие u = −1, и справа - траектории, соответствующие u = +1 (рис.2б).

Рис.2 Таким образом, управление будет оптимальным по быстродействию, если знак управляющего воздействия изменить в тот момент, когда изображающая точка достигнет линии АОВ. Поэтому линию АОВ можно назвать линией переключения. Ее уравнение легко получить из (5). Так как для траектории, проходящей через начало координат С=0, участок АО линии переключения описывается уравнением x+

y2 =0 2

(6) и участок ОВ - уравнением x−

y2 = 0. 2

(7) Поскольку на участке АО у>0 и на участке ОВ у<0, уравнение всей линии переключения можно записать в следующем виде x+

y2 sign y = 0. 2

(8) Введем в рассмотрение функцию переключения v = x + f ( y) = x +

y2 sign y = 0 . 2

(9) Нетрудно видеть, что над линией переключения (рис.2б) v>0, под линией переключения v<0, а на самой линии переключения v=0. Следовательно, для достижения максимально-

5

го по быстродействию управления в рассматриваемой системе необходимо обеспечить выполнение условия u=

R u sign v пр и S T0 при

v > 0, v = 0.

(10) Реализация оптимальной по быстродействию системы. Управляющее устройство в оптимальной по быстродействию системе должно содержать релейный элемент РЭ, реализующий зависимость (10), и вычислительное устройство ВУ, вычисляющее функцию переключения. Вычислительное устройство в рассматриваемом случае, как легко видеть из выражения (9), должно состоять из дифференциатора Д, нелинейного преобразователя НП и сумматора. Структурная схема синтезированной оптимальной системы показана на рис.3а. .

.

Если g0 = const , то y = g = − x и реализация оптимальной системы сводится к введению нелинейной обратной связи по первой производной от выходной координаты системы (рис.3б).

Рис.3 Оптимальная система, реализованная согласно структурных схем на рис.3, работает устойчиво при больших отклонениях x, а точка равновесия системы (начало координат) чаще всего неустойчива, то есть установившимся режимом работы является режим автоколебаний. Причиной возникновения автоколебаний может явиться отклонение характеристики реального релейного элемента от идеальной, например, наличие у релейного элемента гистерезиса. В этом случае линия переключения смещается и образуется предельный цикл, охватывающий начало координат (рис.4а).

6

Рис.4 Системы квазиоптимальные по быстродействию. В большинстве случаев автоколебания рассматриваются как нежелательное явление и, чтобы избавиться от них, могут приниматься специальные меры. Например, релейный элемент может быть заменен на элемент с линейной зоной и насыщением. В этом случае система называется квазиоптимальной, так как процессы в ней будут очень близки к оптимальным (рис.4б). В случае систем порядка выше второго задача синтеза, а также реализация управляющего устройства, осуществляющего оптимальное по быстродействию управление, существенно усложняются, особенно в связи с необходимостью получать производные выходной координаты до ( n-1) порядка. Кроме того, уже для системы третьего порядка использование нелинейных обратных связей связано с отдельными ограничениями и приходиться применять специализированные вычислительные устройства, ведущие расчет моментов переключения в процессе управления. Однако на практике строго оптимальное управление требуется сравнительно редко, важнее получить быстродействие, близкое к предельному, но при более простой реализации управляющего устройства. Получающиеся при этом системы также называются квазиоптимальными. Имеется два основных способа получения квазиоптимальных систем : либо упрощение структуры и оператора управляющего воздействия, либо синтез оптимального управляющего устройства для предварительно упрощенного объекта управления. Рассмотрим первый способ, который для исследуемой системы может быть сведен к замене нелинейной функции f(y) на линейную, то есть к замене нелинейного преобразователя НП линейным звеном с коэффициентом передачи К. Уравнение линии переключения, полученное в результате такого упрощения, имеет вид v=x+Ky. Момент начала торможения будет определяться этой прямой переключения, и, как видно на рис.5, оптимальный переходный процесс будет осуществляться только для одной величины x*0 .

7

Рис.5 Для других значений скачкообразного входного сигнала переходный процесс имеет либо перерегулирование (при x 0 > x *0 ), либо участок скользящего режима (при x 0 < x *0 ). В обоих случаях длительность переходного процесса увеличивается (рис.5б) и зависит от величины отклонения x 0 от значения x *0 . Коэффициент воздействия по производной К выбирают, например, из условия, чтобы переходный процесс был оптимальным для некоторого среднего значения x 0 из возможного диапазона значений. Моделирование оптимальной по быстродействию системы. Моделирование системы будем проводить по структурной схеме, приведенной на рисунке 3б, с тем только отличием, что сигнал первой производной будем брать непосредственно из схемы набора модели объекта. Полная схема исследуемой оптимальной по быстродействию системы показана на рисунке 6. Для реализации на АВК-6 цепочки обратной связи удобно использовать блок умножения-деления. Данный блок содержит преобразователь "умножение-модуль", позволяющий выполнить либо перемножение, либо формирование модуля входного сигнала, преодразователь "деление", обеспечивающий деление одного аналогового сигнала на другой во всех четырех квадрантах, преобразователь "умножение", обеспечивающий перемножение двух аналоговых сигналов, два сумматора и четыре пассивных делителя. Для формирования зависимости 0,5z 2 sign z достаточно использовать преобразователь "умножение -модуль" с замкнутой перемычкой и пассивный блок с коэффициентом 0.5. Схема включения блока показана на рисунке 7.

Рис.6

8

Рис.7 На рисунке 8 показана схема модели системы с линейной обратной связью.

Рис.8 3 ПРОГРАММА РАБОТЫ 1. Набрать модель релейной следящей системы с линейной обратной связью по производной. Уровень выходного сигнала релейного элемента принять равным u p = 5 + m , где m - номер подгруппы. 2. При некоторой средней величине задающего воздействия u g 0 = u p / 2 определить зависимость времени регулирования от коэффициента обратной связи по производной. Зарисовать кривые переходных процессов и фазовых траекторий для трех случаев: процесса с перерегулированием; процесса, имеющего участок скольжения; оптимального процесса. 3. При той же величине задающего воздействия установить коэффициент обратной связи, соответствующий оптимальному переходному процессу, и убедиться, что при других значениях задающего воздействия переходный процесс не является оптимальным. 4. Заменить линейную обратную связь на нелинейную согласно рисунку 7б. Зарисовать фазовые переходные процессы и фазовые траектории для нескольких значений задающего воздействия разного знака. 4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дать понятие оптимальной и квазиоптимальной систем.

9

2. Какой вид будут иметь переходный процесс и фазовый портрет системы, если релейный элемент заменить на линейный и использовать линейную обратную связь по производной? 3. Как будет влиять замена точной зависимости аппроксимированной ломанными линиями на вид фазовой траектории и переходного процесса? 5 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА 1. Цель работы. 2. Схема модели оптимальной следящей системы. 3. Зависимость времени регулирования от коэффициента линейной обратной связи по производной (по пункту 2). 4. Рисунки переходных процессов и фазовых траекторий по пунктам 2, 3, 4 программы работы. 5. Выводы по работе.

6 ЛИТЕРАТУРА 1.Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред.А.А.Воронова.- М.: Высшая школа, 1985. 2.Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред.А.В.Нетушила.- М.: Высшая школа, 1983. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Методические указания по выполнению лабораторной работы Составители Олег Самигулович Вадутов Александр ВасильевичВоронин

Подписано к печати Формат 60х84.16, Бумага писчая №2. Плоская печать. Усл. печ. л. 0,41. Уч.- изд.л. 0,37. Тираж 50 экз. Заказ Бесплатно. ИПФ ТПУ, Лицензия Л.Т №1 от 18.077.94. Ротапринт ТПУ. 634034, Томск, пр.Ленина,30 10

11