Расчет динамических характеристик металлорежущих станков: Учебное пособие

В.А. ВАНИН, А.Н. КОЛОДИН, Ю.В. КУЛЕШОВ, Л.Х. НИКИТИНА

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ

♦ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ♦

УДК 681.7.053.42(075) ББК К63-52-02я73 Р248

Р е це н зе н ты: Доктор технических наук, профессор ТВАИУ РЭ В.И. Кочетов Кандидат физико-математических наук, доцент ТГТУ А.В. Медведев

Р248

Расчет динамических характеристик металлорежущих станков : учебное пособие / В.А. Ванин, А.Н. Колодин, Ю.В. Кулешов, Л.Х. Никитина. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. – 104 с. – 150 экз. – ISBN 978-5-8265-0657-8.

Учебное пособие включает в себя элементы общей динамики и теории колебаний, методику разработки модели динамических систем приводов главного движения станков и других динамических систем станков, методы определения динамических характеристик станков и их общий анализ. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 151001 «Технология машиностроения», по направлению подготовки бакалавров и магистров «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» при изучении курса «Основы математического моделирования», а также может быть использовано при курсовом и дипломном проектировании.

УДК 681.7.053.42(075) ББК К63-52-02я73

ISBN 978-5-8265-0657-810 © ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» (ТГТУ), 2007 Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»

В.А. ВАНИН, А.Н. КОЛОДИН, Ю.В. КУЛЕШОВ, Л.Х. НИКИТИНА

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ Утверждено Ученым советом университета в качестве учебного пособия

Тамбов Издательство ТГТУ 2007

Учебное издание ВАНИН Василий Агафонович, КОЛОДИН Андрей Николаевич, КУЛЕШОВ Юрий Васильевич НИКИТИНА Людмила Христофоровна

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ Учебное пособие Редактор В.Н. М и т р о ф а н о в а Инженер по компьютерному макетированию М.А. Ф и л а т о в а Подписано к печати 27.12.2007. Формат 60 × 84 / 16. 6,05 усл. печ. л.; Тираж 150 экз. Заказ № 837 Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

ВВЕДЕНИЕ Система главного привода станка является основным источником энергии, необходимой для осуществления рабочего процесса резания металлов. Система главного привода передает и воспринимает наибольшие нагрузки при высоких скоростях ее элементов и звеньев. Для обеспечения надежности станка эта система должна обладать высокой прочностью как при постоянных, так и при переменных нагрузках. Для обеспечения устойчивого резания при интенсивных режимах, высокой точности обработки данная система должна обладать значительной жесткостью в статических и динамических режимах. Система главного привода не должна быть чрезмерно металлоемкой и обеспечивать широкий диапазон изменения скорости, причем это изменение должно производиться бесступенчато. Комплекс разнообразных и противоречивых технических требований, предъявляемых к системам главного привода, ставит задачу расчетного определения динамических характеристик. Знание динамических характеристик позволяет правильно оценить нагрузки, действующие в системе главного привода, и выбрать конструктивные параметры системы так, чтобы ограничить эти нагрузки заданными пределами. Также эти знания необходимы для правильной оценки влияния процесса резания на устойчивость, так как эта система является элементом замкнутой динамической системы станка. При расчете системы главного привода основное внимание уделяется крутильным колебаниям в стационарных периодических режимах, обусловленных периодическим характером изменения момента силы резания, погрешностями изготовления зубчатых колес, монтажными погрешностями передач.

1. РАЗРАБОТКА РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИВОДА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ Разработка математической модели привода главного движения состоит из следующих этапов: 1. Анализ разработанной конструкции привода главного движения и определение его параметров по сборочным чертежам, и построение расчетной схемы динамической системы привода. 2. Описание расчетной схемы привода системой дифференциальных уравнений. 3. Определение передаточных функций динамической системы привода главного движения. 4. Построение частотных и переходных частотных характеристик привода. 5. Анализ динамического качества привода главного движения по его динамическим характеристикам. Привод станка представляет собой сложную многозвенную динамическую систему с распределенными массами. Параметры системы (масса элементов, жесткость, неупругое сопротивление) могут быть определены после анализа конструкции и условий ее эксплуатации. Для определения динамических характеристик привода, прежде всего, готовят расчетную схему, т.е. необходимо вычислить моменты инерции вращающихся элементов привода (валов, зубчатых колес), жесткости (податливости) упругих звеньев между этими деталями, характеристики демпфирования, а также выполнить динамическое приведение этих элементов к системе, все элементы которой имеют одинаковую среднюю скорость. 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИВОДА Вращающиеся детали привода станка (валы, зубчатые колеса) рассматривают как элементы с сосредоточенными массами. Обычно детали привода имеют цилиндрическую форму с большим количеством уступов (ступенчатые валы, шестерни), поэтому для определения моментов инерции этих элементы разбивают на части с постоянными диаметрами и определяют момент инерции каждого участка по формуле

I=

γπld 4 , Н⋅м2, 32g

(1)

где γ – удельный вес материала детали, Н/м2; l – длина участка, м; d – диаметр участка, м; g = 9,81 – ускорение свободного падения, м/с2, а затем суммируют: γπ (2) I= ∑ li d 4 , Н⋅м2, 32 g Если деталь имеет полости цилиндрической формы, то сначала рассчитывают момент инерции детали как сплошного тела вращения, a затем вычитают момент инерции полости. Детали фасонного профиля удобно заменять телами ступенчатой формы, количество ступеней выбирается в зависимости от требуемой точности расчета. Зубчатое колесо рассматривается как сплошное тело (без учета профиля зубьев), диаметр которого равен делительному диаметру (d = mz, m – модуль колеса, z – число зубьев). При определении момента инерции ротора электродвигателя, фрикционных и упругих муфт пользуются каталогами, где приводятся значения «махового момента» GD2

I = 2,5GD2 , кг⋅м2,

(3)

где G – вес ротора (муфты), кг; D – диаметр ротора, м. Если каталожные данные электродвигателя неизвестны, то пользуются приближенной формулой

GD2 ≈ 0,36Gdр , Н⋅м2,

(4)

где dр – наружный диаметр ротора, м. Для учета момента инерции валов треть полного момента инерции разбивают по сосредоточенным массам, находящимся на валу (рис. 1). Если I1 и I2 – моменты инерции шестерен, а Iв – момент инерции вала, то его расчетная схема будет представлена в виде двух сосредоточенных масс соответственно с моментами инерции I1* и I2*, соединенных невесомым валом с податливостью е (рис. 2).

Рис. 1. Вал с шестернями

При этом:

I1* = I1 + Iв/6; I2* = I2 + Iв/6

Рис. 2. Расчетная схема вала с шестернями П р и м е ч а н и е : такое преобразование справедливо для валов, чья длина не превышает 300 мм. Если же вал имеет длину более 300 мм, то его разбивают на участки меньшей длины, для каждого рассчитывают момент инерции, с учетом того, что на концах он равен I/6, а затем суммируют полученные результаты. Алгоритм разбиения вала на участки показан на рис. 3.

а)

б)

в) Рис. 3. Алгоритм разбиения вала на участки П р и м е ч а н и е : в итоге по завершении расчета по п. 1.1 должны получиться приведенные моменты инерции каждого из валов рассчитываемого механизма, как сумма моментов инерции валов и находящихся на них зубчатых колес.

Расчетные формулы моментов инерции валов различного сечения приведены в табл. 1.

1. Моменты инерции Эскиз

Моменты инерции

Сплошной круглый вал

I=

π ρld 4 32

I=

π ρld 4 160

Конический вал

Усеченный конический вал

I=

πρ D 5 − d 5 l 160 D − d

Вал с прямоугольным сечением I=

π abl (a 2 + b 2 ) 12

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУТИЛЬНОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИВОДА 1.2.1. Крутильная податливость валов Податливостью участка вала называется выраженный в радианах угол относительного поворота концевых сечений этого участка при приложении к ним единичного крутящего момента dϕ . (5) e= dM Крутильная податливость участка вала определяется по формуле

e=

32 lkф , рад/Н⋅м, πG d 4

(6)

где l – длина участка вала, м; d – наружный диаметр вала, м; G – модуль упругости материала вала при сдвиге; G = 8,5⋅109 Н/м2 – для стали; G = 4,5⋅109 Н/м2 – для чугуна; G = 2,7⋅109 Н/м2 – для алюминия; kф – коэффициент формы поперечного сечения, kф = 1 – для цилиндрического сплошного круглого вала, kф = (1 – α4)–1 – для цилиндрического круглого вала с концентричным сверлением, где α = d1/d – отношение внутреннего и наружного диаметров; kф = λ–1(1 – α4)–1 – для цилиндрического круглого вала с эксцентричным сверлением. Податливость валов на кручение определяется по формулам, приведенным в табл. 2 2. Податливости валов при кручении Эскиз

Вал с эксцентричным сверлением

eк [рад/(Н·м)]

320 kl ⋅ πG D 4 − d 4 d k = 1,25 при = 0, 4 D 2e = 0, 6 D−d k = 1,75 при d = 0,5 D

2e = 0, 7 D−d

Конический вал с отверстием 320 Dl ⋅ × 3πG D1 ( D 4 − d 4 )  D D2   × 1 + + D1 D12  

Ступенчатый вал с галтелью 320  l1 + ∆l l2  ⋅ + 4  πG  D14 D2 

r≤

D1 4

Вал со шпоночной канавкой

320 l ⋅ πG ( D − 0,5h) 4

Вал с двумя шпоночными канавками

320 l ⋅ πG ( D − 1,2h) 4

Сплошной круглый вал 320 l ⋅ πG D 4

Вал с осевым сверлением 320 l ⋅ πG D 4 − d 4

Шлицевый вал 320 l ⋅ πG D 4

Шлицевый вал произвольного сечения

Вал с поперечной прорезью

320 4I pl ⋅ πG F 4 Jp – полярный момент инерции сечения; F – площадь сечения 320 kl ⋅ πG D 4

a l = 0,2; = 5 D D a l k = 6 при = 0,3; = 4 D D

k = 4 при

Вал с лыской 320 kl ⋅ πG D 4 k = 1,8 при α = 60° k = 1 при α = 30° k = 2,5 при α = 70°

1.2.2. Крутильная податливость шпоночных и шлицевых соединений Податливость шлицевых и шпоночных соединений обуславливается деформациями контактных поверхностей, предполагается пропорциональной нормальным давлениям

e=

kш d 2lhz

, рад/Н⋅м,

(7)

где d – диаметр соединения (для шлицевых соединений – средний диаметр по шлицам), м; l – длина соединения, м; h – рабочая высота шлица (шпонки), м; z – число шпонок (шлицев); kш – коэффициент удельной контактной податливости, м3/Н; kш = 6,5*10–11 – для соединения с призматической шпонкой, kш = 13,9⋅10–11 – для соединения с сегментной шпонкой, kш = 4,1⋅10–11 – для шлицевого соединения. П р и м е ч а н и е : так как нормальное давление распределяется неравномерно по длине шпонок и шлицев, то расчетную длину вала при определении крутильной податливости следует принимать как расстояние между точками, которые являются центрами эпюр крутящих моментов по длине соединений.

1.2.3. Крутильная податливость соединительных муфт Податливость кулачковых муфт определяется контактной податливостью кулачков

eкм =

4k1 Dср2k2 zhb

, рад/Н⋅м,

(8)

где Dср – средний диаметр муфты по кулачкам, м; z – число кулачков; b и h – рабочая ширина и высота кулачка, м; k1 = (0,3…0,4)⋅10–12 м2/Н – коэффициент контактной податливости; k2 = (0,3…0,5) – коэффициент, учитывающий фактическое количество кулачков, передающих крутящий момент. П р и м е ч а н и е : при определении податливости вала шпоночные канавки учитываются лишь в том случае, если они выходят из под ступицы. Так как крутящий момент распределяется по длине контакта в шлицевом соединении неравномерно, то расчетную длину lр вала принимают равной расстоянию между точками приложения равнодействующих эпюр крутящих моментов на длине контакта шлицев.

Расчетная длина для шлицевых валов l в случае посадок с зазором будет определяться по формуле

l = l0 + 0,3(l1 + l2 ), м,

а для посадок с натягом

(9)

l = l0 + 0,25(l1 + l2 ), м.

(10) Благодаря большой контактной податливости шпоночного соединения расчетную длину берут по серединам ступиц колес и шкивов. При расчете податливости муфт с резиновыми упругими элементами следует учитывать разную жесткость резины при статическом нагружении kст и при колебаниях kдк. Динамический коэффициент kдин = kдк/kст зависит от состава резины и амплитуды колебаний. От таких же свойств зависит демпфирование резины: относительное рассеяние ψ или логарифмический декремент затухания колебаний Ө. Среднее значение kдин = 2…2,5; ψ = 0,6; Ө = 0,5 в диапазоне частот от 0,1 до 200 Гц. Податливость упругих втулочно-пальцевых муфт определяется по эмпирической зависимости

eвпм =

0,16 ⋅ 10 −5

K дин H 3 d 3 max где dmax – наибольший диаметр соединенных валов, м; Н = 7,4HRD – твердость резины по Шору.

, рад/Н⋅м,

(11)

Рис. 4. Расчетная длина вала

Податливость муфт с резиновой звездочкой рассчитывается по зависимости

eмз =

k ⋅10−5 K дин H 3 D3

, рад/Н⋅м,

(12)

где D – номинальный наружный диаметр муфты, м; K = 10 для D = (0,025…0,040) м, K = 4,5 для D = (0,05…0,1) м.

1.2.4. Крутильная податливость ременных передач Крутильная податливость ременной передачи является результатом деформации ремня под действием окружной силы. Вследствие того, что ремень подвергается предварительному натяжению, окружная сила воспринимается обеими его ветвями и только в случае высоких передаваемых нагрузок, превышающих двойную величину предварительного натяжения Р0, вся нагрузка воспринимается одной ветвью передачи. Приведенная крутильная податливость ременной передачи получается из выражения

eр =

lэф αR2 EF

, рад/Н⋅м,

(13)

где R – радиус шкива, к которому приводится крутильная податливость всей передачи; lэф – расчетная длина ветви между шкивами, м; F – площадь сечения ремня, м2; Е – модуль упругости ремня, МПа; α – коэффициент, учитывающий условия работы передачи; α = 2 при Р < 2Р0; α = 1 при Р > 2Р0. lэф ≈ l +

v v  2( R1 − R2 )2  π R + R + ( R1α1 + R2α 2 ) ≈ l + ( )  1 , 2 L 100 100  

(14)

где v – скорость ремня, м/с; R1 и R2 – радиусы шкивов, м; L – межосевое расстояние, м; α1 и α2 – углы охвата, рад; l – расстояние между точками касания ремня со шкивами, м. Значения модуля упругости для всех типов применяемых ремней приведены в табл. 3.

3. Модули упругости ремней Профиль ремня

Плоский ремень Зубчатый ремень Клиновые ремни

Материал

Прорезиненная ткань Хлопчатобумажная ткань Высокополимерные материалы Со стальным кордом

Модуль упругости Е, МПа

80…120 30…60 2250…3800 6000…39000

Хлопчатобумажный корд Кордотканевые Шнуровой корд из волокна анид

80…120 250…400 600…800

1.2.5. Крутильная податливость цепных передач Приведенная крутильная податливость цепных передач определяется по формуле eцп =

kцl

(15) , рад/Н⋅м, FtR 2 где R – радиус начальной окружности звездочки на валу приведения, м; F = ld – проекция площади опорной поверхности шарнира, м2; l – длина втулки, для цепей – ширина звена, м; d – диаметр валика, м; t – шаг цепи; kц – коэффициент податливости, kц = (0,8…1,0)⋅10–14 м2/Н – для втулочно-роликовых цепей, kц = (2,0…2,5)⋅10–14 м2/Н – для зубчатых цепей. 1.3. УЧЕТ ИЗГИБНОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ВАЛОВ И ПОДАТЛИВОСТИ ОПОР В зубчатых передачах нагрузка на зубчатые колеса сопровождается изгибом валов и упругой деформацией опор, что приводит к дополнительным взаимным поворотам зацепляющихся зубчатых колес. Эту взаимную податливость можно рассчитать, если поместить эквивалентные упругие звенья между сосредоточенными, соответствующими зубчатым колесам звеньями. 1.3.1. Эквивалентная крутильная податливость Эквивалентная крутильная податливость определяется по приведенной ниже последовательности: 1. Определяются силы, действующие на зубчатые колеса

Рк =

М кр Rк

1 + tg 2 (α + ρ) , Н,

(16)

где Rк – радиус начальной окружности k-го зубчатого колеса, м; Мкр – передаваемый колесом крутящий момент, Н⋅м; α – угол зацепления (принимается равным 20°); ρ – угол трения (tgρ = 0,1; ρ ~ 5,71°). 2. Определяется yк – суммарный прогиб вала под зубчатым колесом от всех сил Рк, действующих на данный вал (черта сверху указывает на векторный характер величины). 3. Вычисляется перемещение δk k-го зубчатого колеса, вызванное податливостью опор а а   b  δi = ( δb − δ а ) + δа = δb  (17) ,  + δа  а+b  а+b  а+b где δ а = еоа РА , δb = еоb РВ , РА, РВ – суммарная реакция от сил Рi в опорах А и В, Н; еоа , еов – податливость опоры А и В, рад/Н⋅м 4. Полное линейное перемещение зубчатого колеса рассчитывается по формуле (18) ∆ i = уi + δi , м,

Рис. 5. Схема смещения вала

5. Относительное смещение колес i и i + 1, соответственно передаваемых крутящий момент с одного вала на другой, рассчитывается по формуле

∆ i ,i +1 = ∆ i − ∆ i +1 , м,

(19)

П р и м е ч а н и е : относительное смещение является векторной величиной, следовательно, может иметь положительное или отрицательное направление в зависимости от направления выбранной оси.

6. Расчет взаимного угла поворота зубчатых колес, приведенного к i-му колесу и вызванному относительным смещением на величину ∆i,i +1

αi = −T

∆−T i,i +1 + ∆− R i,i +1tg(α + ρ) , рад, Ri

(20)

−R

где ∆ i,i +1 и ∆ i,i +1 – соответственно тангенциальная и радиальная проекция вектора ∆i,i+1 , м; Ri – радиус начальной окружности шестерни, к валу которой приводится податливость, м. 7. Определение эквивалентной крутильной податливости α ∆−T i ,i +1 + ∆− R i ,i +1 tg (α + ρ ) (21) е′экв = i = , рад/ Н⋅м, Mi R 2i PiT где PiT – окружная сила на зубчатых колесах i и i + 1, Н. 8. Определение податливости опор с подшипниками качения. Податливость опор зависит от типа, серии и размера, от конструктивного решения, посадок и технологии обработки монтажных поверхностей. Податливость таких опор определяется упругим сближением δ′i тел качения и колец, и контактными деформациями δ′i′ в местах посадки колец на вал и в корпус. Для однорядовых шарикоподшипников δ′ определяется по формулам: δ′ = (0,7 − 2d ) ⋅10−6 [ P 10] 2 3, м, (22) для роликовых подшипников

δ′ = kш P ⋅10−2 , м.

(23)

При расчете роликовых подшипников:

kш =

0,52 ⋅ 10−9 – для нормальной серии d

kш =

0,33⋅10−9 – для широких серий; d

kш =

0,65 ⋅ 10−9 – для подшипников с короткими роликами; d

0,4 ⋅ 10 −9 – для двухрядных роликоподшипников. d Деформацию δ ′′ рассчитывают по формуле kш =

δ′′ =

где kкп = (1…2,5)10–12 м3/Н – коэффициент контактной податливости.

4Pkкп  d 1 + , м, πdb  D 

(24)

П р и м е ч а н и е : во всех приведенных выше формулах Р – нагрузка на подшипник, кг; d, D, b – соответственно внутренний, наружный диаметры и ширина подшипника, м.

Расчетные параметры подшипников приведены в прил. П2.1, П2.2. 1.3.2. Податливость зубчатой передачи, приведенная к крутильной податливости Данная деформация определяется изгибными и контактными деформациями зубьев. Приведенная к одному из валов крутильная податливость зубчатой передачи выражается формулой k (25) eпз = 2 з 2 , рад/Н⋅м, bR cos α где b – рабочая ширина колеса, м; α – угол зацепления, рад; R – радиус начальной окружности зубчатого колеса, расположенного на валу, к которому приводится податливость передачи, м; kз – упругая деформация пары зубьев при действии единичного нормального давления, приложенного на единицу ширины зуба; kз = 6⋅10–11 м2/Н – для стальных прямозубых колес; kз = 3,6⋅10–11 м2/Н – для стальных косозубых колес; kз = 4,4⋅10–11 м2/Н – для стальных шевронных колес. П р и м е ч а н и е : для конических колес R – среднее значение радиуса начальной окружности.

1.3.3. Полная эквивалентная крутильная податливость Для определения полной эквивалентной крутильной податливости зубчатых передач e п экв необходимо знать ′ передачи и податливость зубчатой передачи, приведенной к крутильной эквивалентную крутильную податливость еэкв податливости eпз :

епэкв = е′экв + епз , рад/Н⋅м.

(26)

П р и м е ч а н и е : в итоге данного этапа расчетов должны получиться полные эквивалентные крутильные податливости зубчатых передач всего рассчитываемого механизма (по каждому валу отдельное значение) и полные моменты инерции каждого вала, состоящие из суммы приведенных моментов инерции колес участвующих в передачи крутящего момента, т.е. колеса, получающие и передающие вращение.

1.4. УЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРИВОДНОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ Электромагнитное поле двигателя обладает свойствами упругости и демпфирования. Можно приближенно считать, что электромагнитный момент двигателя пропорционален угловому смещению ротора при крутильных колебаниях; коэффициент пропорциональности – податливость электромагнитной связи. Тогда двигатель можно приближенно представить в виде колебательной системы с одной степенью свободы, записав уравнение ротора двигателя в виде

&&1 + сэдϕ& 1 + I рϕ

1 ϕ1 = Mн , Н⋅м, eэд

(27)

где Iр – момент инерции ротора, Н⋅м2; сэд – коэффициент демпфирования электромагнитной связи, Н⋅м⋅с/рад; Мн – момент, действующий на ротор со стороны механической системы привода, Н⋅м. Двигатель приближенно можно представить в виде колебательной системы с одной степенью свободы, ротор двигателя с моментом инерции Ip, электромагнитная упругая связь с податливостью еэд и коэффициентом демпфирования сэд. Для асинхронного электродвигателя 1 еэд = , рад/Н⋅ м; cэд = Sкωэ I p , Н ⋅ с/рад, (28) 2 рМк где р – число пар полюсов; Мк – критический (максимальный) момент, Н⋅м; Sк – скольжение электродвигателя М к = λМ н , Н ⋅ м;

{

S к = S н [λ + S (λ − 1)S н ] +

[(λ + S (λ − 1)S

н

}

)2 − 1] − 1 ,

(29)

где Sн – скольжение при нормальном моменте; λ – кратность максимального момента; ωэ = 2πf э , Гц ,

где fэ – частота энергосети, Гц.

Рис. 6. Эквивалентная схема двигателя

Значение Мк определяется по каталогам, исходя из номинальной мощности двигателя Nн (кВт) и номинальной частоты вращения ротора nн (мин–1) по формуле

М к = 9549λ

Nн Мк , Н ⋅ м; λ = ; nн М ном

(30)

для двигателя постоянного тока:

eэд = υω0TЭ , рад/кг ⋅ м; cэд =

Iр Тэ

, кг ⋅ м ⋅ с/рад ,

(31)

S – крутизна статической характеристики двигателя в координатах; M – момент – S – скольжение; ω – скорость M холостого хода, рад/с; Tэ = Lя Rя – электромагнитная постоянная времени двигателя, с; Lя , Rя – индуктивность и активное сопротивление якорной цепи. Уравнение движения ротора

где υ =

&& р + сэд ϕ& р + I рϕ

1 ϕр = М м , eед

(32)

где Iр – момент инерции ротора; сэд – коэффициент демпфирования электромагнитной связи; eед – коэффициент демпфирования; М м – момент, действующий на ротор со стороны механической части привода. 1.5. ПОСТРОЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ПРИВОДА ГЛАВНОГО ДВИЖЕНИЯ СТАНКА

Полученная в результате подсчета моментов инерции сосредоточенных масс приводных механизмов и податливостей упругих участков между ними расчетная схема представляет собой цепную систему весьма громоздкую, так как валы вращаются с разными скоростями и соединяются между собой посредством передач. На рис. 7 приведена кинематическая схема коробки скоростей с графиком частот вращения, обеспечивающая шесть значений частот вращения шпинделя (n1...n6 ) . Моменты инерции динамической расчетной схемы соответствуют массам шкивов, зубчатых колес и ротора электродвигателя. Податливости валов на кручение, соединений вал – ступица, соединительных муфт и других элементов, расположенных между массами, вращающимися с одинаковой скоростью, располагаются в расчетной схеме между соответствующими моментами инерции; податливости ременных и зубчатых передач и изгиба валов, а также деформации опор и других элементов, действующие между массами, вращающимися с различной скоростью, определяются как относящиеся к одной из этих масс.

Рис. 7. Пример привода главного движения станка: а – кинематическая схема; б – график частот

Для цепи передачи крутящего момента

z2 z6 z10 = i1i2i3 (показаний на рис. 7, а), получаем следующую расчетную z5 z8 z11

схему (рис. 8): На расчетной схеме обозначено: e1 – податливость электромагнитного поля электродвигателя; e2, e3, e4 – эквивалентные крутильные податливости механических связей привода, учитывающие крутильную податливость валов, муфт, контактные деформации шлицевых и шпоночных соединений, изгибные деформации опор, зубчатых зацеплений и др.; I1 – момент инерции ротора электродвигателя; I2, I3, I4 – приведенные моменты инерции вращающихся элементов механической части привода. Горизонтальные линии на расчетной схеме обозначают

Рис. 8. Расчетная схема динамической системы привода

упругие связи, вертикальные сплошные – приведенные моменты инерции (диски), а вертикальные пунктирные линии соответствуют безынерционным зубчатым колесам, характеризующим кинематические связи (передаточные отношения i1, i2, i3,). Многоступенчатую расчетную схему заменяют линейной. При этом моменты инерции вращающихся масс J к′ и податливости eк′ приводят к одному валу, обычно валу электродвигателя 1. Подобное преобразование расчетной схемы можно проводить, исходя из равенства кинетической Т и потенциальной П энергии исходной и приведенной динамических систем привода. Потенциальная и кинетическая энергия исходной системы равны: П=

1 n 1 1 4 (ϕi +1 − ϕi )2 ; T = ∑ I р ϕi2 ; ∑ 2 i =1 ei 2 i =1

(33)

Исключая в исходной расчетной схеме передаточные отношения всех передач, необходимо их учитывать при & i im, k , то для перерасчете податливостей и моментов инерции приведенной расчетной схемы. Так как ϕik = ϕi im, k ; ϕ& ik = ϕ сохранения постоянства Т и П необходимо изменить соответствующие значения податливостей и моментов инерции следующим образом:

eik = ei im2 , k ; I ik =

Ii 2 im, k

,

(34)

где im, k – передаточное отношение между валом m, на котором находится данный элемент, и валом k, к которому осуществляется приведение, верхний индекс k указывает вал, к которому осуществляется приведение. Приведенная динамическая система представлена на рис. 9.

Рис. 9. Приведенная динамическая система

2. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРИВОДА ГЛАВНОГО ДВИЖЕНИЯ СТАНКА Особенностью динамического расчета привода станков является большое количество степеней скоростей, каждая из которых имеет отличные от других динамические параметры, большая номенклатура приводных механизмов. Проведение динамического расчета привода станка осуществляется в следующей последовательности (рис. 10).

Рис. 10. Расчетная схема приведенной динамической системы привода

1. Уменьшение числа степеней свободы в расчетных схемах. 2. Составление дифференциальных уравнений системы привода. 3. Определение передаточной функции системы. 4. Расчет частотных характеристик системы. 5. Расчет собственных частот и определение форм колебаний системы. 6. Анализ частотных характеристик системы. 7. Построение переходных и импульсных переходных характеристик системы. 8. Определение реакции системы на произвольное входное воздействие. 9. Оценка показателей динамического качества системы. 2.1. УПРОЩЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ПРИВОДА Колебательная система имеет столько различных частот собственных колебаний, сколько у неё степеней свободы. В большинстве случаев диапазон возмущающих сил такой, что не требуется знание высших собственных частот системы и форм колебаний на этих частотах. После приведения параметров динамической системы привода к валу электродвигателя расчетная схема принимает следующий вид (для упрощения промежуточных преобразований демпфирование пока не учитывается). Такая схема имеет S степеней свободы (по числу инерционных элементов) и соответственно столько же частот собственных колебаний. Количество элементов расчетной модели упругой системы можно уменьшить, преобразовав ее в эквивалентную упругую систему, имеющую такие же энергетические показатели. Поскольку динамические нагрузки в многомассовой системе определяются низкочастотными колебаниями масс, амплитуда которых имеет наибольшие значения, то для упрощения динамических расчетов исходную динамическую систему заменяют системой с меньшим числом степеней свободы, которая в заданном в частотном диапазоне 0 < w < wmax с требуемой точностью имеет частоты и формы собственных колебаний, соответствующие исходной системе. Для проведения упрощения динамическая система расчленяется на чередующиеся одномассовые (типа а) и двухмассовые (типа б) парциальные системы (системы с одной степенью свободы), которые не искажают характеристик при 2 (рис. 11), w 2 >> w max

Рис. 11. Парциальные системы одномассовая (типа а) и двухмассовая (типа б) (или I << ω2 lim ) e

где ω lim = 2πf lim и могут заменяться одна другой, т.е. двухмассовая система ( I к′′ − eк′ − I к′′+1 ) – одномассовой eк′′ − I к′′ − eк′′+1 , где I к′ = I к′′ =

eк′ I к eк I к +1 , eк +1 = , I к′ = I к + I к +1 , а одномассовая система eк − I к − eк +1 – двухмассовой I к′′ − eк′ − I к′′+1 , где I к + I к +1 I к + I к +1

I к′′eк +1 I к eк , I к′′+1 = , eк′′ = eк − eк +1 . eк + eк +1 eк + eк +1

Для каждой парциальной системы определяется квадрат ее собственной круговой частоты w2

= I1

;

e

– для одномассовой системы (типа а) eк + eк +1 ; I i eк eк +1

(35)

I к + I к +1 . eк I к I к +1

(36)

wк2 =

– для двухмассовой системы (типа б) wк2 =

{ }кs =1

Из полученного массива wк2

выбирают максимальное значение частоты, соответствующее номеру парциальной

системы:

{ }кs =1

wN = max wк2

проверяют условие

wN , w ≥α где w – заданная частота внешнего возмущающего воздействия; α – коэффициент определяющий точность сохранения динамических характеристик системы α = (2…3,5). Если это условие выполняется, то данную систему можно упрощать, в случае выполнения этого условия ее оставляют без изменений. При выполнении условия в расчетной схеме выделяются эквивалентные парциальные системы: а) одномассовые (тип а) e N ; I N ; e N +1 ; I N +`1 ; e N + 2 ;

б) двухмассовые (тип б) I N −1; eN ; I N ; eN +1; I N +1 .

Выделенным элементам присваивают значения: а) при замене одномассовой системы двухмассовой системой момент инерции I i распределяется на части, пропорциональные податливостям противоположных участков связи, и эти части присоединяются соответственно к моментам инерции I i −1 и I i +1 , а общая податливость равна сумме податливостей обоих участков.

r I i −1 = I i −1 +

r I i ei +1 ; ii = 0; (ei + ei +1 )

r I i +1 = I i +1 +

I i ei ; ei = 0; ei + ei +1

( N + 1) ; 2 б) При замене двухмассовой системы одномассовой системой ее момент инерции равен сумме моментов инерции, а податливость ei +1 распределяется на части, пропорциональные противоположным моментам инерции ei +1 = ei + ei +1; i =

~ I i = I i + I i +1 ; e~ i +1 = 0;

e I e~i = ei + i +1 i ; I i + I i +1

~ I i +1 = 0;

e I N ~ e i + 2 = ei + 2 + i +1 i ; i = . I i + I i +1 2 ~ ~ ~ ~ Отбрасываются элементы e i = 0 и I i = 0; или I i +1 = 0 и e i +1 = 0 в зависимости от четности и приводят сквозную нумерацию (n – 1) оставшихся масс и податливостей. Повторяют процедуру упрощения расчетной схемы, приняв в качестве нового n значение (n – 1) до двух- или трехмассовой системы. Упрощение динамической системы по данному методу путем расчленения на парциальные одномассовые и двумассовые системы представлено на рис. 12.

Рис. 12. Последовательность упрощения динамической системы

4. Крутильная податливость валов № п/п

Эскиз

1

Сплошной круглый вал

2

Вал с осевым сверлением

3

4

Рад/Н⋅м

eк =

eк =

Примечание

32 l πG D 4

32 e Kc 4 πG D

Kc =

Kc =

Вал с эксцентричным сверлением

eк =

32 l Kc Kэ 4 πG D

Конический вал с отверстием

eк =

32 l Kc Kк 4 πG D

1 d 4 1 −   D

1

d 4 1 −   D Kэ = 1,25 при d = 0,4 и D 2e = 0,6 D−d 1 D Kк = × 3 D1

 D D2   × 1 + + D1 D12  

5

Ступенчатый вал с галтелью

eк = +

6

Сплошной круглый вал

7

Вал с осевым сверлением

8

Вал с эксцентричным сверлением

32  l1 + λD1  + πG  D14

l2   D24  eк =

∆l при D1

r≤

D1 4

32 l πG D 4

32 e Kc 4 πG D

Kc =

32 l Kc Kэ 4 πG D

Kc =

eк =

eк =

λ=

1 d 4 1 −   D

1

d 4 1 −   D Kэ = 1,25 при d = 0,4 и D 2e = 0,6 D−d

9

Конический вал с отверстием

eк =

32 l Kc Kк 4 πG D

Kк =

1 D × 3 D1

 D D2   × 1 + + D1 D12  

10

Ступенчатый вал с галтелью

eк = +

32  l1 + λD1  + πG  D14

λ=

l2   D24 

∆l при D1

r≤

D1 4

2.1.1. Упрощение динамических расчетных схем станков на ЭВМ.

Преобразование n – массовой динамической расчетной схемы станка в (n – m) – массовую схему, эквивалентную по своим динамическим характеристикам в заданном частотном диапазоне внешних сил, необходимо для обеспечения возможности моделирования на компьютере и для повышения эффективности методов моделирования. Алгоритм и программа упрощения на ЭВМ многомассовой схемы включают в себя операции формирования и последующего преобразования (n m) – массовых матриц инерций и жесткостей системы. Алгоритм построения расчетной схемы Цепную расчетную схему динамической системы (рис. 12) расчленяют на s = 2(n – 1) чередующихся одно- и двухмассовых парциальных систем с одной степенью свободы.

Рис. 13. Цепная расчетная схема динамической системы

Присваивают нечетные номера (k = 1, 3, 5,…, s – 1) одномассовым парциальным системам еi − I i − еi +1 , i = (k + 1) / 2 и четные номера (k = 2, 4, 6, …, s) двухмассовым системам I i − ei − I i +1 , i = k/2. Здесь e – податливость соединения; I – момент инерции звена. Вычисляют собственные частоты колебаний парциальных систем по соответствующим формулам: ωk 2 = (ek + ek +1 ) / (ek ek +1I ) при k = 1, 3, 5, …, s – 1;

ωk 2 = ( I k + I k +1 ) / (ek I k +1I k ) при k = 2, 4, 6,…, s. s Из полученного массива значений собственных частот {ωk } k =1 выбирают максимальное значение частоты с s соответствующим ей номером парциальной системы ω N = max{ωk } k =1 . Проверяют выполнение условия ω N / ω ≥ α , где ω – частота внешней силы; α – коэффициент, определяющий точность сохранения динамических характеристик системы. При выполнении этого условия динамическая схема подвергается упрощению, в противном случае оно не производится. Для упрощения динамической схемы по номеру N (принадлежащему парциальной системе с максимальной собственной частотой) выделяют из нее элементы I N −1 − eN − I N − eN +1 − I N +1 , если N – четное, и элементы eN −1 − I N − eN +1 − I N +1 − eN + 2 , если N – нечетное. Выделенным элементам системы при нечетном N присваивают значения: ~ ~ I i −1 = I i −1 + I i [ei +1 / (ei + ei +1 )]; ~ ei = 0 ; I i = 0; e~i +1 = ei +1 + ei ; ~ I i +1 = I i +1 + I i [ei / (ei + ei +1 )]; i = (N + 1)/2, а при четном – значения: ~ e~i = ei + ei +1[I i +1 / ( I i + I i +1 )]; I i = Ii + Ii +1 ; ~ e~i +1 = 0; I i +1 = 0; ~ e = e + e [I /( I + I )]; i = N/2. i +2

i +2

i +1 i

i

i +1

~ ~ Отбрасывают элементы I i = 0 и ~ ei = 0 либо e~i+1 = 0 и I i +1 = 0 (в зависимости от четности N) и делают сквозную нумерацию n – 1 оставшихся масс и их податливых соединений. Таким образом, получают систему с (n – 1) степенями свободы. Возвращаются к п. 1, приняв в качестве n значение n – 1.

Рис. 14. Блок – схема алгоритма упрощения динамической расчетной схемы

2.2. УЧЕТ ДЕМПФИРУЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ ПРИВОДА В РАСЧЕТНОЙ СХЕМЕ При проведении динамического расчета привода необходимо знать характеристики демпфирования или рассеяние энергии колебаний, так как величина демпфирования определяет интенсивность крутильных колебаний и динамических нагрузок в приводе при резонансных режимах. Демпфирование в приводе определяется электромагнитным демпфированием двигателя, рассеянием энергии в стыках (шпоночные и шлицевые соединения, опоры валов, неподвижные посадки) и в специальных упруго-демпфирующих элементах. Рассеяние энергии в материале деталей можно не учитывать, так как относительное рассеяние энергии ψ мало ψ ≈ ( 0,01...0,02) для стыков ψ = (0,6 ... 1, 2 ) . Если в приводе нет специальных демпфирующих элементов (муфты, динамические гасители и т.п.), то демпфирование механической системы привода определяется рассеянием энергии в стыках. После упрощения расчетная схема двухмассовой линейной динамической системы привода принимает следующий вид (на схеме рис. 15 наряду с массами и податливостями показаны элементы демпфирования, рассеивающие энергию колебаний). В механических элементах привода демпфирование соответствует логарифмическому декременту затухания λ = (0,15...0,3) , а коэффициент демпфирования h2 можно определить по формуле h2 =

λ I2 . π e2

Рис. 15. Расчетная схема двухмассовой динамической системы привода: h1 – электромагнитное демпфирование электродвигателя; h2. – коэффициент демпфирования в механических элементах привода

(37)

Составим дифференциальные уравнения системы, показанной на рис. 12. В качестве переменных состояния выберем ϕ1 (t ) и ϕ2 (t ) – угловые отклонения приведенных масс I 1 и I 2 в системе координат, равномерно вращающейся со средней скоростью вала электродвигателя. Введем также обозначения 1 1 С1 = и С2 = , e1 e2

где C1 и C 2 – коэффициенты жесткости соответствующих участков цепи привода. Для разомкнутой системы, какой является рассматриваемая система привода, одним из основных показателей, характеризующих качество работы, является реакция на внешнее возмущающее воздействие. Рассмотрим случай возбуждения системы привода крутящим моментом М(t), приложенным к шпинделю станка (рис. 15). Момент М(t) является переменной составляющей общего крутящего момента Мвн(t), действующего на шпиндель M вн (t ) = M 0 + M (t ) ,

(38)

где M 0 – постоянная составляющая момента. Составляющая М(t) может быть вызвана переменностью сил резания при работе станка (при врезании инструмента, колебании припуска, фрезеровании и т.п.) или кинематическими погрешностями элементов привода (зубчатых колес, ременных передач и др). В последнем случае переменный момент M(t) считаем приведенным к массе I 2 . Считая задачу исследования динамики привода линейной, т.е. не учитывая зазоры в передачах дифференциальные уравнения системы привода имеют вид: && + ( h1 + h2 ) ϕ& 1 + (C1 + C2 )ϕ1 − h2ϕ& 2 − C2ϕ2 = 0; I1ϕ && 2 + h2ϕ && + C2ϕ2 − h2ϕ1 − C2ϕ1 = M (t ). I 2ϕ

(39)

П р и м е ч а н и е : при нулевых начальных условиях к уравнениям применимо преобразование Лапласа, для этого символ дифференцирования заменяют на некоторое комплексное число:

d = S; dt

то получим:

dy = S; dt

d2y dt 2

= S 2 ............

dny dt n

= Sn

[I1S 2 + (h1 + h2 )S + (C1 + C2 )]ϕ1 (S ) − (h2C + C2 ) ϕ 2 (S ) = 0; − (h2 S + C 2 ) ϕ1 ( S ) + [I 2 S 2 + h2 S + C 2 ]ϕ 2 ( S ) = M ( S ). 2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ

Достаточно полную характеристику поведения привода при внешнем воздействии М(t) дает соответствующая передаточная функция. В зависимости от цели расчета определяются следующие передаточные функции: а) при исследовании динамических нагрузок в механической части привода M (S ) , (40) WM (S ) = 12 M (S ) где M 12 (S ) – изображение по Лапласу момента упругих сил в механической части привода при возбуждении привода моментом М(S). б) при исследовании крутильных колебаний шпинделя Wϕ ( S ) =

ϕ2 ( S ) , M (S )

(41)

где ϕ2 ( S ) – изображение крутильных колебаний шпинделя при возбуждении привода моментом М(S). Используя правило Крамера, можно найти решение системы уравнений: − (h2 S + C 2 )

0 ϕ1 ( S ) =

[I1S 2 + (h1 + h2 )S + (C1 + C2 )] − (h2 S + C2 ) ∆( S )

ϕ2 ( S ) = =

где ∆S =

[I 2 S 2 + h2 S + C 2 ] = (h2 S + C 2 ) M (S );

M (S )

∆( S )

∆( S )

(42)

0 M (S )

=

I1S 2 + (h1 + h2 )S + (C1 + C2 ) M ( S ); ∆( S )

[I1S 2 + (h1 + h2 )S + (C1 + C 2 )] − ( h2 S + C 2 )

− ( h2 S + C 2 )

[I 2 S 2 + h2 S + C 2 ]

,

∆S – определитель системы уравнений Учитывая, что: h  C I 1C 2  1 + 1 S + S 2   M ( S );  I1 J1 M 12 ( S ) = C 2⋅ [ϕ 2 ( S ) − ϕ1 ( S )] = ∆S

получим передаточную функцию системы привода:

(43)

WM ( S ) = K M

a1M + a 2 M S + S 2 b1 + b2 S + b3 S 2 + b4 S 3 + S 4

;

где KM =

C2 1 = ; I 2 e2 I 2

a2 M =

a1M =

h1 ; I1

C1 1 = I1 e1I1

b1 = K M a1M ;

b2 = K M

h h1 + a1M 2 ; I2 I1

b3 = K M + a1M +

1 hh + 1 2; e2 I1 I1I 2

h2 h1 h2 + + I 2 I1 I1 Используя выше перечисленный ход решения, можно найти вторую передаточную функцию: a1ϕ + a2ϕ S + S 2 ; Wϕ ( S ) = K ϕ b1 + b2 S + b3 S 2 + b4 S 3 + S 4 b4 =

где Kϕ =

1 ; I2

a1ϕ = a 2ϕ =

(С1 + С 2 ) I1

(h1 + h2 ) I1

=

=

(44)

1 1 ; + e1 I1 e2 I 2

h1 h2 + . I1 I 2

2.4. РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Выражения, полученные для передаточных функций, позволяют определить частотные характеристики системы привода при возбуждении крутящим моментом М(t). Исходными данными для этого является дробно-рациональная передаточная функция изображения выходного и входного сигнала по Лапласу при нулевых начальных условиях. X ( S ) A( P ) , (45) W ( S ) = вых = X вх ( S ) B( P ) где A( P ) = b0 P 3 + b1P 2 + b2 P + b3 ; B( P ) = C0 P 6 + C1P 5 + C2 P 4 + C3 P 3 + C4 P 2 + C5 P; Переход от передаточной функции к амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) сводится к замене комплексного параметра S на jw . После подстановки S= jw, получим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы: W ( jw) = =

b0 j 3 w3 + b1 j 2 w2 + b2 jw + b3 = С0 j w + C1 j 5 w5 + C2 j 4 w4 + C3 j 3 w3 + C4 j 2 w2 + C5 jw 6

6

− jw3b0 − w2b1 + jwb2 + b3 = Re+ iJm. − w6C0 + jw5C1 + w4C2 − jw3C3 − w2C4 + jwC5

П р и м е ч а н и е : чтобы выделить вещественную Rе и мнимую iJm частотные характеристики, необходимо умножить числитель и знаменатель амплитудно-фазовой характеристики на сопряженное со знаменателем комплексное число, т.е. на

(− w 6 C 0 + jw 5 C1 + w 4 C 2 − jw 3 C 3 − w 2 C 4 + jwC 5 ) . Разделив вещественную и мнимую части амплитудно-фазовой характеристики W(jw), подставим в них численные значения параметров системы. Для построения АФЧХ задаются рядом значений частоты w, вычисляются модуль (амплитуда А) и аргумент (разность фаз φi по формулам: A( w ) = Re 2 + Jm 2 ; Jm tgϕ = . Re

(46)

Результаты расчета сводятся в таблицу Таблица w

Re(w)

Jm(w)

A

tgφ

φ, град

По точкам, нанесенным на комплексную плоскость Re – Jm необходимо построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 16). П р и м е ч а н и е : по построенной амплитудно-фазовой характеристике оценивается устойчивость разомкнутой системы. Система является устойчивой, если АФЧХ не охватывает точку с координатами (–1; j0).

Рис. 16. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы

Для определения запаса устойчивости по фазе проводится окружность радиусом, равным единице, с центром в начале координат. Затем отрезком прямой начало координат соединяется с точкой пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса. Угол, образованный отрезком прямой с отрицательной вещественной осью, определяет запас устойчивости по фазе. Запас устойчивости по модулю определяется как выраженное в процентах отношение отрезка вещественной оси, заключенного между точкой (–1; j0) и точкой пересечения АФЧХ с вещественной осью к отрезку, равному единице, т.е. (1 – Re) ⋅ 100 %. Частотные характеристики системы привода позволяют не только определить ее реакцию на внешнее воздействие, но и установить значение собственных частот колебаний (wc1 и wc2). Значениям wc1 и wc2 соответствуют максимумы модуля соответствующей АФЧХ. 2.6. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ Представление о собственных частотах линейной двухмассовой системы привода можно получить другим путем. Известно, что в реальных приводах главного движения станков демпфирование мало. Пренебрегая им (h1 = h2 = 0) в уравнениях системы и заменяя S на jw, получим при равенстве нулю определителя ∆(S) характеристическое уравнение системы: aw 4 + bw 2 + C = 0 a = I1 I 2 ;

в = −( I 1C 2 + I 2 C1 + I 2 C 2 );

(47)

С = С1С 2 .

Из него может быть найдено два различных действительных положительных корня:

(

)

wci 2 = − b ± b 2 − 4ас / 2а; i = 1, 2, ...

(48)

а по ним значения wc1 и wc2 собственных частот системы привода, которые незначительно отличаются от истинных (определяемых с учетом демпфирования). П р и м е ч а н и е : для каждой из собственных частот можно построить форму колебаний системы привода. Используя выражения для расчета φ1(S) и φ2(S), можно найти относительные амплитуды крутильных колебаний приведенных масс привода на собственных частотах (при h1 = h2 = 0).

ϕ 2 ( wci ) C1 + C 2 − I 1 wci 2 = , ϕ1 ( wci ) C2

i = 1, 2, ...

(49)

Для каждой собственной частоты (wc1 и wc2) значения относительных амплитуд колебаний можно графически изобразить на расчетной схеме системы в виде ординат, расположенных в тех сечениях валопровода, где находятся сосредоточенные массы. Линия, соединяющая концы ординат, называется формой колебаний на соответствующей собственной частоте (рис. 17). Форма колебаний не только показывает относительные амплитуды собственных колебаний каждой массы системы, но позволяет найти узловые точки (точки пересечения формы колебаний с осью эквивалентного вала), т.е. те сечения валопровода, которые при колебаниях остаются неподвижными (на рис. 17 точка τ является узловой).

Рис. 17. Формы колебаний двухмассовой системы привода станка

Если в расчетной схеме расстояния между массами изобразить отрезками, в определенном масштабе изображающими податливости соответствующих участков валопровода, то тангенсы углов наклона отдельных участков формы колебаний будут пропорциональны упругим крутящим моментам на этих участках. Следовательно, изображенная в масштабе форма колебаний дает наглядное представление о напряженности отдельных участков привода [4]. 2.7. АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ Частотная характеристика привода станка позволяет определить амплитудное значение момента при известной частоте возмущающего воздействия М12(t) при известной частоте wb возмущающего воздействия М(t) M12a = ( wb ) = WM ( jw) M a ( wb );

(50)

где М12а(wb) и Ма(wb) – амплитудные значения моментов М12(t) и М(t) на частоте wb = 2πf b ; WM ( jw) – модуль АФЧХ привода. Тогда общая величина момента упругих сил в механической части привода при установившемся режиме колебаний с частотой wв возмущающего воздействия на шпиндель станка M 12общ ( wb ) = M 0 + M 12 a ( wb ),

(51)

где M0 – постоянная составляющая момента на шпинделе. Естественно, что при M0 = const максимальные значения. М12а(wb) и М12общ(wb) наблюдаются при совпадении частоты возмущающего воздействия wb или ее гармоник с одной из собственных частот wсi (в данном случае wc2) системы. В этом случае имеет место явление резонанса. Величина M12a(t) при резонансе (wb = wc2) в значительной степени зависит от демпфирования в системе (в частности, от коэффициента демпфирования h2). Для уменьшения M12a(wb) необходимо увеличивать h2, что достигается встраиванием в привод различных демпферов или упруго-демпфирующих элементов (последнее обычно на высоких nшп). Другим путем уменьшения M12a(wb), а следовательно, и М12общ(wb), является отстройка системы от резонанса, т.е. изменение wc2 за счет изменения таких параметров системы, как С2, J1, J2. 2.8. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ Если АФЧХ позволяет определить реакцию системы в стационарном режиме, то кривая переходного процесса определяет ее в переходном режиме. Определение свойств системы производится непосредственно путем оценки вида полученной кривой. Построение кривой переходного процесса в системе привода производится по вещественной частотной характеристике ReW(jw). Если входное воздействие М(t) представляет собой единичный скачок, то на выходе получается переходная функция системы h(t ) =

∞

2 ReW ( jw) sin wtdw . π ∫0 w

(52)

Интегрирование этого выражения затруднительно, поэтому используют обычно приближенное решение, для чего вводится понятие единичной трапецеидальной вещественной характеристики (рис. 18). П р и м е ч а н и е : единичная трапецеидальная вещественная частотная характеристика представляет собой трапецию, высота которой равна единице, а основание, называемое частотой среза, равно wcp' = 1c −1 . Изменяющимся параметром является отношение меньшей параллельной стороны к большей (основанию), которое называется коэффициентом наклона.

χ=

wc1 , wcp

(0 < χ < 1)

(53)

Для единичных трапеций с различными χ составлены таблицы h функций, т.е. значение функции времени τ = twср условно соответствующие единичной трапеции с коэффициентом наклона χ (прил. П1.1). Построение переходной характеристики h(t) вещественной частотной характеристике методом трапеций состоит из следующих этапов. 1. Вещественную частотную характеристику Re W ( jw) системы (рис. 19) приближенно разбивают на ряд трапеций таким образом, чтобы при их сложении получилась исходная характеристика.

Рис. 18. Единичная трапецеидальная вещественная характеристика

2. Определяют параметры трапеций. Для каждой i-й трапеции по графику определяют частоты wai , wni и высоту wai и wni его значение округляют до 0,05. Величине Re приписывают знак плюс, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и знак минус, если наоборот. Сумма высот всех трапеций равна Re( 0 ) . Параметры трапеций, аппроксимирующих характеристику Re( w) заносятся в расчетную таблицу. Re Woi . Частоты отсчитывают от начала осей координат. По значениям wai , wni вычисляют коэффициент наклона χ =

Таблица Номер трапеции

Re

wd, рад/с

w0, рад/с

χ=

wd

w0

Рис. 19. Разложение вещественной частотной характеристики на трапецеидальные составляющие

3. Определяют составляющие переходной характеристики. В таблице h-функции для каждой i-ой трапеции отыскивают столбец, соответствующий значению χ. Построение h-функции проводят на общем графике с учетом следующих правил масштабов. Поскольку таблица h-функций вычислена для трапеции с высотой Re W0i = 1 и w0 = 1 , то для получения истинного значения ординат и абсцисс кривой переходного процесса следует ординаты кривых умножить на действительную высоту трапеции, Re W0 i , а каждый из табличных интервалов времени, необходимо делить на частоту среза соответствующей трапецеидальной характеристики

τ . wcpi

t=

(54)

Рассчитанные по таблицам h-функций отдельные составляющие переходного процесса сводятся в таблицу. Таблица Номер трапеции

τ

Параметры

h(τ) t, с Sвых(t) Иногда можно брать лишь часть h-функции. Чем больше значение wni , тем меньше точек h-функции нужно брать. При этом следует выбирать точки, равномерно отстоящие одна от другой и определяющие максимумы, и минимумы h-функции. 5. Строится график переходной характеристики. Ординаты переходной характеристики определяют суммированием ординат всех составляющих в выбранные моменты времени. Сначала определяют ординаты через равные промежутки времени. Затем определяют дополнительные точки там, где вероятны максимумы или минимумы характеристики и имеются максимумы или минимумы составляющих. После построения достаточного числа точек характеристики их соединяют плавной кривой. Располагая вещественными частотными характеристиками Re W M ( jw ) и ReWϕ ( jw) , можно построить переходные функции: h M (t ) – для упругого момента в механической части привода; hϕ (t ) – для крутильных колебаний шпинделя. Если на входе системы происходит скачок момента на величину М0, то для получения кривой переходного процесса в системе нужно ординаты соответствующей переходной функции в каждый момент времени увеличить в М0 раз. Для нахождения реакции системы привода на единичный импульс δ(t ) момента, т.е. определения весовой функции W (t ) продифференцируем выражение ∞

W (t ) =

dh(t ) 2 = ReW ( jw) cos ωtdw . dt π0

∫

(55)

Если разбить исходную вещественную характеристику ReWM ( jw ) на h трапецеидальных характеристик, то можно данное выражение представить в виде W (t ) ≈

2 π

n

∞

∑ ∫ ReWi ( jw) cos wtdw . i =1

(56)

0

В работе [1] показано, что это выражение приводится к виду: 1 + xi 1 − xi wcpi ; Ω i = wcpi ; Ai = Ω i Re Wi (0) . 2 2 Следовательно, весовая функция может быть приближенно определена простым подсчетом еe ординат для разных t и последующим построением по точкам. При этом можно воспользоваться готовыми таблицами значений sin α / α , которые содержатся в справочниках. Как и в случае переходных функций, по вещественным частотным характеристикам Re WM ( jw) и ReWϕ ( jw) можно построить весовые функции (импульсные переходные функции): WM (t ) – для упругого момента в механической части привода; W ϕ (t ) – для крутильных колебаний шпинделя. wi =

2.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ НА ПРОИЗВОЛЬНОЕ ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ Для определения реакции системы привода на любую внешнюю возмущающую функцию М(t), аналитическое выражение которой задано, можно воспользоваться интегралом свертки t

M 12 (t ) = L−1[WM ( S )M ( S )]t = WM (t )M (t ) = ∫ WM (τ )M (t − τ )dτ = 0

t

= ∫ WM (t − τ )M (τ )dτ. 0

П р и м е ч а н и е : данное уравнение показывает, что реакция линейной системы привода на возмущающую функцию М(t) есть свертка реакции системы на единичный импульс и возмущающей функции.

Аналогично: t

∫

ϕ 2 (t ) = L−1[W4 ( S )M ( S )] = Wϕ (t )M (t ) = Wϕ (τ )M (t − τ )dτ = 0

t

∫

= Wϕ (t − τ )M (τ )dτ. 0

Если аналитические выражения весовых функций WM(t), Wφ(t) и возмущающей функции М(t) известны, то интеграл свертки можно вычислить численными методами.

2.10. ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ Известно, что запас устойчивости и быстродействие системы можно оценить по виду кривой переходного процесса, например, при входном воздействии в виде единичного скачка момента на шпинделе станка. Склонность системы к колебаниям, а, следовательно, и запас устойчивости можно характеризовать максимальным значением выходной величины М12max (или φ2max) или перерегулированием G=

где

M 12 (∞ ) ≠ 0

M 12 max − M12 (∞ ) , M12 (∞ )

(57)

– установившееся значение выходной величины после завершения переходного процесса.

Быстродействие системы определяется по длительности переходного процесса tn, которая определяется как время от момента приложения на вход единичного скачка нагрузки до момента, после которого имеет место неравенство (58) M 12 (t ) − M 12 (∞ ) ≤ ∆ , где ∆ – заданная малая постоянная величина. П р и м е ч а н и е : обе эти характеристики также могут служить хорошими показателями динамического качества системы привода.

3. ДИНАМИКА МНОГОМАССНОЙ СИСТЕМЫ ПРИВОДА

3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИВОДА Для уточнения динамических процессов происходящих в приводах, необходимо рассматривать более сложные модели, чем рассмотренная в предыдущих главах трехмассная модель. При составлении таких моделей инерционные элементы будем нумеровать, начиная от двигателя, при этом выходному звену роторного двигателя присваивается нулевой номер. Величины обратные податливостям упругих элементов, т.е. жесткости k и коэффициенты сопротивления с упругих элементов снабжаются двойными индексами, образуемыми номерами соединяемых инерционных элементов. В качестве обобщенных координат выбираются углы поворота твердых тел. Кинетическая энергия привода равна сумме кинетических энергий его инерционных элементов 1 n ~ 2 I S q& S , 2 S =1

∑

T=

(59)

где n – число инерционных элементов привода, не считая ротора двигателя. Пусть i1S – передаточное отношение, связывающее ротор с выходным звеном S-го инерционного элемента. Обобщенной координатой S-го инерционного элемента, приведенной к ротору, будет называться величина ϕ S = i1S q S

где qS – абсолютная координата. Для привода, показанного на рис. 3.18, приведенными координатами будут ϕ1 = q1; ϕ2 = q2i12 ; ϕ3 = q3i13 ; ϕ4 = q4i14 ; ϕ6 = q6i16 ; ϕ7 = q7i17 .

(60)

В приводе с упругими элементами начало отсчета qS выбирают таким образом, чтобы все φS равнялись q1 при недеформированных упругих элементах. Перейдем в (61) к координатам (60). 1 n I S ϕ& 2S , 2 S =1

∑

T=

~

(61)

−2 где I S = iiS I S – момент инерции S-го элемента, приведенный к оси ротора. Выражение (61) можно записать в виде

1 T ϕ& Iϕ& , 2

T=

(62)

где ϕ1 ϕ=

ϕ2

,

M

(63)

ϕП I=

I1

0

K

0

0

I2 K

0

K K K K 0

0

= diag( I1, I 2 ,K I П ) ,

(64)

K IП

где n – мерный вектор столбец и диагональная матрица n×n – матрица.

Рис. 20. Кинематическая схема привода главного движения станка

Активными силами в приводе являются упругие и диссипативные силы, возникающие при деформации упругих элементов; движущие силы, приводящиеся к движущему моменту M1, приложенному к ротору двигателя; силы

сопротивления (сила резания, силы внешнего трения). Для составления уравнений Лагранжа второго рода необходимо определить обобщенные силы, соответствующие всем этим активным силам. Рассмотрим силы, действующие на S-й инерционный элемент (рис. 21). qS – угол поворота его входного звена. Силы сопротивления, приложенные к звеньям этого механизма, могут быть сведены к обобщенной силе сопротивления – приведенному моменту МS.

Рис. 21. Модель инерционного элемента

Деформация упругого элемента, соединяющего S-й и S – 1-й инерционные элементы равна θ S −1,S = q S −1i1 , S − 1 / i1S − q S .

Момент упругих и диссипативных сил, возникающих в этом элементе, определяем по формуле M S −1, S = k S −1, S (qS −1i1, S −1 / i1S − qS ) + cS −1, S (q& S −1i1, S −1 / i1S − q& S ) =

= [k S −1, S (ϕ S −1 − ϕ S ) + cS −1, S (ϕ& S −1 − ϕ& S )] / i1S .

(65)

Аналогично находим момент в упругом элементе, соединяющем S-й и S+1-й элементы M S , S +1 = k S , S +1 (qS +1 − qS ⋅ i1S / i1, S +1 ) + cS , S +1 (q& S +1 − q& S ⋅ i1S / i1, S +1 ) =

= [k S , S +1 (ϕ S +1 − ϕ S ) + cS , S +1 (ϕ& S +1 − ϕ& S )] / i1, S +1.

(66)

Работа всех сил на возможном перемещении определяется следующим образом

δA = i1−S1[M S δϕS + M S −1, S δϕS ] + M S , S +1δϕS i1−, 1S +1 . Таким образом, обобщенная сила равна QS = i1S [M S + M S −1,S ] + i1−,S1 +1M S ,S +1 = i1−S1M S (ϕ S i0−S1 , ϕ& S i1−S1 ) + + k S −1,S i1−S2 (ϕ S −1 − ϕ S ) + bS −1,S i1−S2 (ϕ& S −1 − ϕ S ) + k S ,S +1i1−,S2+1 (ϕ S +1 − ϕ S ) + + bS ,S +1i1−,S2+1 (ϕ& S +1 − ϕ& S ) = M& S − k S* −1,S (ϕ S −1 − ϕ S ) + cS* −1,S (ϕ& S +1 − ϕ& S ) + * & S +1 − ϕ& S ). + k S* ,S +1 (ϕ S(67) +1 − ϕ S ) + c S ,S +1 (ϕ

Здесь M S* (ϕ S , ϕ& S ) момент сил сопротивления, приведенный к ротору двигателя M S* (ϕ S , ϕ& S ) = i1−S1M S (ϕ S i1−S1 , ϕ& S i1−S1 ).

(68)

*

При S = 1 вместо M S следует подставить М1. Приведенные к ротору жесткости и коэффициенты сопротивления определяются формулами: k S* −1, S = k S −1, S i1−S2 ; k S* , S +1 = k S , S +1i1−, 2S +1; (69) cS* −1, S = cS −1, S i1−S2 ; cS* , S +1 = cS , S +1i1−, S2 +1; П р и м е ч а н и е : когда одним из упругих элементов является зубчатое зацепление, в выражения подставляется жесткость передачи

k = cd 2 B , где d – начальный диаметр колеса, к оси которого приводится жесткость; В – ширина зубчатого венца; с – коэффициент определяемый экспериментально.

Уравнения Лагранжа второго рода d  ∂T  dt  ∂ϕ& S

  ∂T  −    ∂ϕS

  = QS 

(70)

после подстановки выражение принимают вид: && S = k S* −1,S (ϕ S −1 − ϕ S ) + c*S −1,S (ϕ& S −1 − ϕ& S ) + JSϕ + k S* ,S +1 (ϕ S +1 − ϕ S ) + cS* ,S +1 (ϕ& S +1 − ϕ& S ) + M S* ,

s = 2,3,K, n;

&&1 + k12 (ϕ 2 − ϕ1 ) + c12 (ϕ& 1 − ϕ& 2 ) = M 1 . J1ϕ

Добавив к (73), динамическую характеристику двигателя, получим

(71)

τM& 1 + M 1 = M ст ,

(72)

где τ – собственная постоянная времени двигателя. Представляя момент в форме ~ * M S* = M SO + M S* ,

~ M ст = M до + М ст ; * M SO − (2πi1S ) −1

2 πi1S

∫

2π

* M до = (2π) −1 ∫ М ст dq1 .

M S* dϕ S ;

(73)

0

0

перепишем систему в виде:

&& S + cS −1,S (ϕ& S − ϕ& S −1 ) + cS ,S +1 (ϕ& S − ϕ& S +1 ) + I S1ϕ

~ + k S −1,S (ϕ S − ϕ S −1 ) + k S ,S +1 (ϕ S − ϕ S +1 ) − M SO = M S ,

s = 2, 3, ..., п;

&&1 + c12 (ϕ& 1 − ϕ& 2 ) + k12 (ϕ1 − ϕ2 ) − M 1 = 0 . I1ϕ

(74) (75)

~ ιM& 1 + M1 − M до = М ст .

(76)

где звездочки опущены. Уравнения (74), (75), (76) можно записать в форме одного векторного уравнения && + cϕ& + kϕ = M (u, ϕ& ) + U (u, ϕ, ϕ& , ϕ &&), Iϕ

(77)

где I = diaq( I1, I 21,..., I п1 )

−с12

с12 − с12 с= 0 ...

k=

...

0

с12 + с23 − с23 ... − с23 с23 + с24 ... ... ... ...

0 0 ...

0

0

k12

−k12

− k12

k12 + k 23

0 ...

− k 23 ...

0

0

M=

M до (u, ϕ& 1 ) M10 (ϕ& 2 ) ...

0

(78)

... сп −1, п

0

0

...

0

− k 23

...

0

k 23 + k 24 ... ... ...

0 ...

0

U=

M по (ϕ& п ) U 0 = M ст (U , ϕ& 1 , ϕ1 )

.

.

(79)

... kп −1, п U 0 (Uϕ& 1ϕ1 ) && 2 ) U1 (ϕ1ϕ& 1ϕ

... && п ) U n (ϕп ϕ& п ϕ

~ ~ && S + M S (ϕS , ϕ& S ) . US = −I S (ϕS )ϕ

(80)

(81)

П р и м е ч а н и е : уравнения описывают движение механической системы, изображенной на рис. 22.

Введем новую систему обобщенных координат

ϕ1, ψ3 = ϕS − ϕ1;

s = 2,3,..., п

(82)

Координаты φ3 определяют приведенные углы поворота входных звеньев инерционных элементов относительно ротора. В новых координатах уравнения принимают вид: && S + c S −1, S (ψ& S − ψ S −1 ) + c S , S +1 (ψ& S − ψ& S +1 ) + I S1 ⋅ ψ + k S −1, S (ψ S − ψ S −1 ) + k S , S +1 (ψ S − ψ S +1 ) =

(83)

&& 1 + ψ && S ) = M S 0 (ϕ& 1 − ψ& S ) + U S (ϕ1 + ψ S ), (ϕ& 1 + ψ& S , ϕ

&&1 − c12 ψ& 1 − k12 ψ1 = M 1 . I1ϕ

(84)

Этой системе соответствует приведенная модель цепной системы с закрепленной первой массой изображенная на рис. 23.

Рис. 22. Приведенная модель свободной цепной системы

Рис. 23. Приведенная модель системы с закрепленной массой

3.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПНОЙ СИСТЕМЫ ПРИВОДА Представим уравнение (84) в операторной форме (Ip2 + cp + K )ϕ = M + U ,

(85)

Решая его относительно φ, получаем ϕ = ( Ip 2 + cp + K ) −1 ( M + U ) = E ( p )( M + U ) .

(86)

E ( p) = ( Ip 2 + cp + K ) −1 = ers ( p)

(87)

Матрица П r , s =1

называется матрицей операторов динамической податливости, а ее элементы еrs(р) – операторами динамической податливости привода. Операторы динамической податливости – передаточные функции, связывающие входные воздействия MSO + US с выходными параметрами системы – приведенными углами поворота. ϕr =

n

∑ ers ( p)(M SO + U S ),

r = 1,2,3,..., n .

(88)

S =1

Определение операторов ers(p) связано с обращением матриц, элементы которых являются полиномами от р, а коэффициенты этих полиномов представляют собой инерционные, упругие и диссипативные параметры механической системы. В результате получаются сложные выражения, по которым трудно проследить влияние отдельных параметров. Поэтому, исследуя общие свойства колебательных систем, получим передаточные функции в более удобной для анализа форме. 3.3. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ В общем случае уравнения свободных колебаний цепной системы, изображенной на рис. 20, может быть записано в векторной форме && + Kϕ = 0 . Iϕ

(89)

Оно получается при с = 0, M + U = 0. Аналогично для системы с закрепленным концом && + K 0 ψ = 0 , I 0ψ

(90) где I , K – получаются из матриц I, K вычеркиванием первой строки первого столбца. Таким образом, анализ обоих уравнений будем вести одновременно. Частное решение уравнения (89) ищем в виде 0

0

ϕ = A cos(kt + α ) .

(91)

( K − Ik 2 ) A = 0 .

(92)

Подставляя (91) в (89), получаем векторное уравнение для А

Эта система однородных уравнений имеет ненулевое решение, если

det( K − Ik 2 ) = 0 .

(93)

Это частотное уравнение имеет следующую структуру: k12 − Ik 2 − k12 0 ... 0

− k12 k12 + k 23 − I 21k 2 − k 23 ... 0

0 − k 23 k 23 + k 34 − I 31k ... 0

... 0 ... 0 = 0 (94) ... 0 ... ... ... k n−1,n − I n1k 2

Аналогичное частотное уравнение для системы с закрепленным концом имеет вид: k12 + k 23 + I 21k 2

− k 23 2

...

0

...

0 ...

− k 23

k 23 + k34 − I 31k

...

...

...

0

0

... k n −1, n − I n1k 2

=0.

(95)

Уравнение (94) всегда имеет корень k12 = 0 , соответствующий вращению системы как жесткого механизма. Остальные корни k S2 являются положительными числами и, следовательно, цепная система имеет n-1 ненулевых собственных частот. Для цепных неразветвленных систем все корни являются различными. Пронумеруем их в порядке возрастания k12 < k 22 < k32 ... < k n2 .

Для каждого K S2 уравнение (91) имеет бесчисленное множество решений, так как оно представляет собой систему линейных однородных алгебраических уравнений, с определителем равным нулю. Эти решения представим в форме 1 AS = l

AS 2 ...

,

(96)

Asn

где l – произвольный скалярный множитель. Положив AS1 = 1 из (87) можно однозначно определить все остальные компоненты векторов AS, которые и называются собственными формами колебаний системы. Вектор А1 соответствующий частоте k1 = 0 состоит из единиц и соответствует вращению системы как жесткого механизма. П р и м е ч а н и е : аналогично для каждого значения k S0 системы с закрепленным концом можно однозначно определить все компоненты векторов AS0 собственных форм. Собственные частоты всегда удовлетворяют условиям

k0 < k10 < k1 < k12 < ... < k n0 < k n .

(97)

Любые две собственные формы AS и Ат ортогональны в метриках I и K. Действительно, так как АS и Ат являются решениями уравнения (94), должны выполняться равенства: KAS = k S2 IAS ,

KAm = k m2 IAm .

Умножим скалярно первое равенство на Аm,а второе на AS и вычтем из первого второе. Получим (KAS )T Am − (kAm )T AS = kS2 (IAS )T Am − km2 (IAm )T AS ,

(98)

но K и I – симметричные матрицы, поэтому ( KAS )T Am = ( kAm )T AS и (IAS )T Am = (IAm )T AS .

Учитывая это, получим из (94) ( k S2 − k m2 )( IAS )T Am = 0 .

Но kS ≠ km, следовательно, (IAS)TAm = 0. Тогда из соотношения ( kAS )T Am = k S2 ( IAS )T Am .

cледует, что ( kAS )T Am = 0 . Аналогично можно доказать, что собственные формы AS0 и Am0 ортогональны в метриках K° и I°. Векторы собственных форм являются линейно независимыми, т.е. равенство α1 A1 + α 2 A2 + ... + α n An = 0 возможно лишь при α1 = α2 =...= αn = 0. Линейно независимыми являются и формы AS0 . Это следует из того, что

A11

A21 ...

A12 ...

A22 ...

... ...

An 2 ≠0. ...

A1n

A2 n

...

Ann

0 A11 0 A12

0 A21 0 A22

...

An01

...

...

... ...

An02 ≠0. ...

A10n

A20n

...

0 Ann

An1

В последовательности чисел AS1 AS 2 ... ASn образующих S-ю форму простой цепной системы с незакрепленными концами, имеются всегда S – 1 перемена знака. Соответственно S-я форма имеет S – 1 узел. В системе с закрепленными концами S-я форма имеет S – 2 перемены знака, число ее узловых точек, включая закрепленный конец также равно S – 1. Таким образом, определив какую-нибудь собственную форму и собственную частоту колебаний, можно определить их порядковый номер по числу узловых точек (числу перемен знака) формы. Умножив обе части равенства KAS = k S2 IAS скалярно на AS получим ( KAS )T AS = k S2 ( IAS )T AS .

Отсюда находим k S2 =

( KAS )T AS ( KAS )T AS

, s = 1, 2, ..., n.

(99)

Таким образом, квадраты собственных частот могут быть выражены через собственные формы системы. Аналогично, для системы с закрепленным концом ( k S0 ) 2 =

( KAS0 )T AS ( IAS0 )T AS

, s = 1, 2, ..., n .

(100)

В скалярной форме (99), (100) имеют вид: n −1

k S2 =

∑ k m, m +1 ( Asm − As, m +1 ) 2

m =1

n

∑

.

(101)

, s = 1, 2, ..., n

(102)

2 I m1 Asm

m =1 n

(k S0 ) 2 =

∑ km −1, m ( Asm0 − As0, m −1 ) 2

m =1

n

∑

0 2 I m0 ( Asm )

m =1

3.4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДОВ При свободных колебаниях консервативной цепной системы со свободными концами все массы колеблются по гармоническому закону: или в одной и той же фазе, или в противофазе. По гармоническому закону, следовательно, изменяются и моменты, возникающие в упругих элементах. Рассмотрим некоторый упругий элемент, выделенный из ценной системы и имеющий жесткость k0 (рис. 24, а).

a)

б)

Рис. 24. Выделенные упругий и инерционный элементы цепной системы

Пусть

ϕ− (t ) = a− cos(kt ) , ϕ+ = a+ cos(kt ) . Законы движения масс, расположенных слева и справа от этого элемента, а M − (t ) = µ − cos(kt ) ,

M + = µ + cos(kt ) .

Законы изменения упругих моментов, возникающих в крайних сечениях элемента при свободных колебаниях с частотой k. Так как сам элемент имеет нулевую массу, то µ + cos kt = µ − cos(kt ) . Но крутящий момент M(t) вызывает закручивание элемента на угол M(t) / k0, поэтому a+ cos kt = a− cos(kt ) + e ⋅ µ − cos(kt ) ,

ϕ+ = ϕ− + M − (t )e ; k 0−1

где e = – податливость элемента. Сокращая полученные равенства на coskt, приходим к следующим соотношениям между амплитудами углов поворота и моментов на левом и правом концах элемента a + = a − + eµ − , µ + = µ − .

Введем в рассмотрение двумерные векторы-столбцы a r− = − , µ−

r+ =

(103)

a+ . µ+

Тогда выражения (105) запишутся в виде ~ r+ = Ae r−

Матрица 1 e ~ Ae = 0 1

называется матрицей переноса через упругий элемент. Аналогично, для выделенного инерционного элемента ϕ+ = ϕ− ,

a+ = a− .

Составим уравнение движения массы I: && − = M + − M − . Iϕ && − = − a− k cos(kt ) , то Но так как ϕ 2

− Ik 2 a− cos(kt ) = (µ + − µ − ) cos(kt ) ,

или µ + = µ − − Ik 2 a− .

Полученные соотношения между a− , µ − , a+ , µ + , могут быть записаны в матричной форме ~ r+ = A1r− , где ~ AI =

1 − Ik 2

0 = AI (k 2 ) 1

является матрицей переноса через инерционный элемент I. Рассмотрим четырехмассовую систему (рис. 25). Обозначив через rS − и rS + векторы амплитуд слева и справа от S-й массы, будем проходить систему слева направо, ~ ~ последовательно применяя матрицы переноса через первую массу AI 1 ( k 2 ) через элемент с жесткостью k12 − Ae12 через ~ вторую массу AI 2 (k 2 ) и т.д. Получим при этом ~ ~ ~ ~ r1+ = AJ 1 ( k 2 ) r1− ; r2 − = Ae12 r1+ = Ae12 AJ 1 ( k 2 ) r1− и т.д. Дойдя до сечения справа от n-й массы, найдем

Рис. 25. Определение собственных частот колебаний цепной системы со свободными концами

~ ~ ~ ~ ~ ~ rn + = AIn (k 2 ) Aen −1, n AIn −1 (k 2 )...Ae12 AI 1r0 − = A(k 2 )r− . Матрица А, равная произведению всех матриц переноса, зависит от k2. Пусть ~ α (k 2 ) α12 (k 2 ) A(k 2 ) = 11 2 . α 21 (k ) α 22 (k 2 )

(104)

Тогда скалярные аналоги соотношения (106) имеют вид a n + = α11 (k 2 ) ⋅ a1− + α12 (k 2 ) ⋅ µ1− , µ n + = α 211 (k 2 ) ⋅ a1− + α 22 (k 2 ) ⋅ µ1− .

(105)

Так как оба конца системы привода свободны, то µ1− = µ n + = 0 , но a1− ≠ 0 , поэтому из второго уравнения следует, что

α 21 (k 2 ) = 0 .

(106)

П р и м е ч а н и е : уравнение (106) является частотным уравнением системы со свободными концами. Для системы с закрепленным концом уравнение, связывающее амплитуды углов и моментов на концах, принимает форму

~ ~ ~ rn + = I In (k 2 ) Aen −1, n ... Ae12 r1+ = A 0 (k 2 )r1+

.

(107)

Рис. 26. Определение собственных частот колебаний системы с закрепленным концом

Сравнивая (103) с (100), получаем

~ ~ ~ A 0 (k 2 ) AI 1 (k 2 ) = A(k 2 ) из условия a1+ = 0, H 1+ ≠ 0 получим частотное уравнение

α 022 (k 2 ) = 0 .

(108) ~ При практическом применении метода матриц переноса в матрицы A3 подставляют пробные значения k2 или (k0)2, матрицы перемножают и вычисляют значения α 21 или α 022 . Перемена знака α 21 при переходе от k*2 к k*2* , или знака α 022 при переходе от (k *0 ) 2 к (k*0* ) 2 означает, что в соответствующем интервале имеется по крайней мере одна собственная частота. Добавочными пробами уточняются значения k или k°, при которых α 21 или α 022 обращаются в нуль. После определения собственной частоты k S2 можно определить собственную форму AS. Дня этого в системе со свободными концами задаемся вектором r1- = (1,0)т (учитывая, что M 1− = 0, a1− = AS1 = 1 ), а затем, последовательно умножая его слева на матрицы

AI 1 , Ae11 и т. д, находим векторы rm − и rm+ . Первые компоненты этих векторов определяют

~ коэффициенты ASm. В системе с закрепленным концом принимаем r1+ = (0, k12 ) T . Умножая этот вектор на A e12 , получаем

r1− = (e12 , k12 , k12 ) = (1, k12 ) T ; при этом значение коэффициента формы на первой массе AS01 оказывается равным 1, что соответствует принятой выше договоренности. Остальные элементы AS0 находим, последовательно умножая r 1 − на последующие матрицы переноса. После определения собственных частот, собственные формы могут быть найдены и без использования матриц переноса. Раскрывая векторное уравнение (84) при k = kS, получаем систему скалярных уравнений: (k12 − J1k S2 ) AS1 − k12 AS 2 = 0, − k m −1, m AS , m −1 + ( k m −1, m + k m , m +1 − J m1k 32 ) ASm − k m , m +1 AS , m +1 = 0 .

Приняв AS1 = 1 , можно из этих уравнений определить остальные элементы S-й собственной формы

AS1 = 1;

−1 AS 2 = (k12 − I1k S2 )k12 ;

AS , m +1 = k m−1, m −1[(k m −1, m + k m, m +1 − I m1k S2 ) ASm − k m −1, m AS , m −1 ], (m = 1, 2, ..., n − 1) .

(109)

Аналогично можно найти элементы собственной формы AS0 :

AS01 = 1;

−1 AS02 = [k12 + k 23 + − I 21 ⋅ (k S0 ) 2 ] ⋅ k 23 ;

0 AS , m +1 = k m−1, m +1{[k m −1, m + k m, m +1 − I m1 (k S0 ) 2 ] ASm − k m −1, m AS0, m −1},

(m = 2, 3, ..., n − 1) .

(110)

П р и м е ч а н и е : для приближенного определения собственных частот можно использовать метод Релея. Метод Релея основан на использовании формул (95), (96). При их применении задаются приближенными собственными формами. При этом оказывается, что даже грубое приближение при выборе собственной формы дает достаточно точные значения собственных частот. Приближенные формы колебаний выбирают, используя свойства, рассмотренные ранее, прежде всего – правило числа перемен знака. Применим метод Релея к системе, изображенной на рис. 27.

Рис. 27. Модель колебательной системы

У первой собственной формы нет перемен знака, поэтому выберем A10 = (1,2) T . Подставляя это, получаем ( k10 ) 2 =

0 2 0 0 2 − A12 k12 ( A11 ) + k 23 ( A11 ) 0 2 I 2 ( A11 )

+

0 2 I 3 ( A12 )

=

k12 + k 23 . I2 + 4⋅ I3

При k12 = k 23 = k , I 2 = I 3 = I имеем (k10 ) 2 ≈ 0,4k / I . Этот результат лишь на 4,5 % отличается от точного значения (k10 ) 2 = 0,5 ⋅ (3 − 5 )k / I = 0,382k / I . Для определения второй собственной частоты выберем вторую собственную форму с

одной переменой знака A20 = (1,−1) T . Тогда ( k 20 ) 2 =

0 2 0 0 2 − A22 k12 ( A21 ) + k 23 ( A21 ) 0 2 0 2 I 2 ( A21 ) + I 3 ( A22 ) 0 2 (k2 ) = 2,5k / I , что на 4,7

=

k12 + 44 k 23 . I 2 + I3

При k12 = k 23 = с, I 2 = I 3 = I получаем % отличается от точного значения (k10 ) 2 = 2,618k / I . При анализе динамики приводов металлорежущих станков важно определить первую собственную частоту и первую форму колебаний. Для системы с закрепленным концом это возможно сделать следующим образом. Приложим к массам системы постоянные моменты Мт, пропорциональные Im M m = k12 I m / J C ; I C = I 1 + I 2 + ... + I n .

Возникающие при этом статические углы поворота масс могут быть приняты за коэффициенты первой формы. Определяя их, находим n k (111) A10r = 12 ∑ k e−−11, e ∑ I m . IC m =1

Рис. 28. Модель трехмассовой системы с закрепленным концом

Затем, пользуясь формулой Релея, можно определить приближенное значение первой собственной частоты. В качестве примера определим низшую частоту для системы, показанной на рис. 28. По формуле (107) находим k  3I 2 I  5  + = , k  3 3I  k k 3I 2 I I  0 A13 =  + +  = 2. k k 3I  k

0 A11 = 1;

0 A12 =

Затем получаем ( k10 ) 2 ≈

Точное значение A10

= (1; 1,802; 2,247 )

T

(k10 )2 = 0,19806k / I

k 1 + (5 / 3 − 1) 2 + ( 2 − 5 / 3) 2 k = 0, 2 . I I 1 + (5 / 3) 2 + 2 2

отличается от приближенного на 1 %. Точная собственная форма

отличается от приближенной A10 = (1; 1,667; 2) T более значительно. 3.5. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Перейдем от обобщенных координат механической системы привода со свободными концами ϕ1, ϕ2 , ..., ϕn к новым обобщенным координатам z1, z2 , ..., zn с помощью линейного преобразования ϕr =

n

∑ Amr Z m ,

m =1

( r = 1, 2, ..., n)

(112)

или в векторной форме ϕ=

n

∑ Am Z m .

(113)

m =1

Здесь Ат – собственные формы колебаний привода. Координаты Zm называются главными координатами [15] I

n

n

n

m =1

m =1

m =1

∑ Am Z&&m + C ∑ Am Z& m + K ∑ Am Z& m = M + U .

Умножим это уравнение последовательно на векторы А1, А2, ..., Аn n

∑

( IAm )T AS Z&&m+

m =1

n

n

m =1

m =1

∑ (SAm )T Z&m + k ∑ AmT AS Z m = (M + U )T AS , (s = 1, 2, …, n).

(114)

Используя свойство ортогональности собственных форм получаем:

( IAm )T AS = 0;

( KAm )T AS = 0; при s ≠ m.

Учитывая это, приводим уравнение к следующему виду: α S Z&&S +

n

∑ β Sm Z& m + γ S Z S = Z S .

(115)

m =1

Здесь α S = ( IAS )T AS , βS = (CAS )T Am ;

α S = ( KAS )T AS ; Z S = ( M + U )T AS . В уравнении (115) главные координаты остались связанными между собой только из-за наличия диссипативных сил. При С = 0 происходит полное разделение переменных zS в уравнениях движения, которые при этом принимают наиболее простую форму α S Z&&S + γ S Z S = Z S , s = 1, 2, ..., n. (116) Полное разделение переменных происходит и в том случае, если все коэффициенты сопротивление пропорциональны соответствующим жестокостям. Тогда C = λK , где λ – некоторый скалярный множитель. Следовательно β sm = (CA) T AS = λ( KAm ) T AS = 0 при s ≠ m . В этом случае уравнения принимают вид:

α S Z&&S + β S Z& S + γ S Z S = Z S , s = l, 2, ..., n,

(117)

где β S = (CAS ) T AS . В общем случае доказывается [6], что при слабой диссипации, т.е. при малых значениях CS–1, S, в уравнениях (111) можно пренебречь всеми коэффициентами βsm, соответствующими S ≠ т. При этом в передаточных функциях механической системы пренебрегаем слагаемыми, содержащими малые коэффициенты сопротивления во второй степени. Учитывая это, в дальнейшем во всех случаях будем приводить систему уравнений движения к виду (113). Поскольку А1 = (1,1, ...,1)T то (kA1)TА1 равно сумме всех элементов матрицы K, которая всегда равна нулю. То же можно сказать и о (СА1 ) T A1 . Таким образом, γ 1 = ( KA1 ) T A1 = 0;

β1 = (CA1 ) T A1 = 0,

α1 =

n

∑ Im = Ic.

m =1

Отсюда уравнение (117), соответствующее S = 1, принимает вид I S Z&&1 = Z1 = ( M + U ) A1 =

n

∑ (µ S 0 + U S ). S =1

Это уравнение движения привода как твердого тела с моментом инерции JS. Перепишем уравнения (112) в операторной форме

(α S P 2 + β S P + γ S ) Z S = Z S ,

( s = 1, 2, ..., n) .

Отсюда

Z S = (α S P 2 + β S P + γ S ) −1 Z S = = (α S P 2 + β S P + γ S ) −1

∑ ASe (M e0 + U e ).

(118)

Подставим ZS, получим выражения для обобщенных координат ϕr: n

∑ Amr (α m P2 + βm P + γ m )−1∑ ml (M eo + U e ) =

ϕr = =

m =1 n

n

∑∑ α l =1 m =1

(119)

Amr Aml mP

2

( M eo + U e ), r = 1, 2, ..., n.

+ βm P + γ m

Сравнивая (121) с (90), находим, что передаточная функция e25(P) может быть представлена в виде суммы и слагаемых

∑α

ers ( P ) =

Amr Ams , m P + βm P + γ m 2

r , s = 1, 2, ..., n .

(120)

Это разложение передаточной функции по собственным формам. Так как A1r = A1s = 1 , γ1 = β1 = 0 , слагаемое в (116), соответствующее m = 1 равно (ICР2)-1. В соответствии с формулой Релея γ m = α m k m2 . Введем также обозначения:

k m−1 = τ m ;

−1 −1 βm γ m τ m = 2ς m . (121)

Amr Ams / γ m = χ (rsm) ,

Тогда выражение (122) может быть записано в виде ers ( P ) = ( I C P 2 ) −1 +

χ( m)

∑ τ2 P 2 + 2rsς m

m τm P

+1

.

(122)

Аналогичным путем можно получить разложение по собственным формам передаточных функций системы с закрепленным концом. Для этого в уравнении типа (79) от обобщенных координат следует перейти к главным координатам IS в соответствии с преобразованием ψ=

n

∑ Am0 I m .

(123)

m =1

При этом получается система уравнений α 0S I&&S +

n

∑ β0smY&m + γ 0SYS = YS − qS ϕ&& 0 ,

s = 1, 2, ..., n .

(124)

m =1

в которой

α 0S = ( I 0 AS0 )T AS0 ; β0Sm = (C 0 AS0 )T Am0 ; γ 0S = ( K 0 AS0 )T AS0 ; n

o YS = ( M 0 + U 0 )T AS0 ; qS = ∑ I m 0 Asm . m =1

Пренебрегая коэффициентами сопротивления

β 0sm

при S ≠ т, получаем систему с разделенными переменными

&& 0 , s = 1, 2, ..., n . α 0S Y&&S + β 0S I&S + γ 0S YS = YS q S ϕ

(

(125)

)T

где β0S = C 0 AS0 AS0 . Отсюда находим

(

YS = α0S P 2 + β0S P + γ 0S

)−1(YS − qS ϕ&&0 ) .

Следовательно из (123) получим ψr = =

n



m =1 n



m =1

0 0 Amr Aml 0 2 0 l =1 m =1 α m P + β m P n

n

∑ Amr (α0m P 2 + β0m P + γ 2m )−1  ∑ Aml0 (M eo + U e ) − qmϕ&&0  =

∑∑

( M lo + U e ) −

A0 q

n

∑ α 0 P 2 +mrβ0 mP + γ 0 ϕ&&0 .

+ γ 0m m m m =1 m В результате находим разложение по собственным формам передаточных функций: 0 ( P) = e rs

m =1

σr ( P) =

A0 A0

n

∑ α 0 P 2 +mrβ 0msP + γ 0 m

n

m

A0 q

∑ α 0 P 2 +mrβ0 mP + γ 0

m =1

m

m

Учитывая, что γ 0m = α 0m (k m0 ) 2 , и вводя обозначения

(k m0 ) = τ 0m ;

β 0m k m0 / γ 0m = 2ς 0m ,

0 0 Amr Ams / γ 0m = χ (rsm)0 ; 0 q m Amr / γ 0m = ρ (rm)0 .

, r , s = 1, 2, ..., n .

(126)

r = 1, 2, ..., n .

(127)

m

m

,

преобразуем выражения (128), (129) к виду: ers0 ( P ) =

χ( m )0

n

∑ (τ0 )2 P 2 +rs2ς0 τ0 P + 1 , r , s = 1, 2, ..., n.

m =1

σ s ( P) = −

m

(128)

m m

ρ ( m)0

∑ (τ 0 ) 2 P 2 +r 2ς 0 τ 0 P + 1 , m

r1 = 1, 2, ..., n.

(129)

m m

Слагаемые в выражениях (124), (130), (131) представляют собой передаточные функции колебательных звеньев. ) (m ) 0 )0 Параметры χ (m , ρ (m являются коэффициентами усиления отдельных колебательных звеньев, а τ m и τ 0m – их rs , χ rs s постоянными времени. Составим частотные характеристики, соответствующие полученным передаточным функциям. Подставляя в них P = iw , находим: ers (iw) = −( J S w 2 ) −1 + 0 ers (iw) =

χ (rsm ) , s , r = 1, 2, ..., n . (130) 2 2 m =11 − τ m w + 2ςτiw n

∑

χ (rsm ) 0 , r , s = 1, 2, ..., n . 0 2 2 0 0 m =11 − ( τ m ) w + 2ς m τ miw n

∑

σ r (iw) = −

n

ρ(rm ) 0 , r1 = 1, 2, ..., n . 0 2 2 0 0 m =11 − ( τ m ) w + 2ς m τ m iw

∑

(131) (132)

Выражения (131), (132) называются комплексными динамическими податливостями привода, а (134) – его частотными характеристиками по кинематическому возмущению. Все частотные характеристики содержат слагаемые вида

Wm (iw) = d m /(q − Tm2 w2 + 2ηmTmiw) .

(133)

Выражение (135) представляет собой частотную характеристику колебательного звена. Ее свойства: 1. При значениях ω близких к Tm−1 , колебательное звено обнаруживает резонансные свойства: отношение Wm (iw) / dm становится много больше единицы. Резонансной полосой колебательного звена принято считать диапазон частот, лежащих в пределах (рис. 29) 1 − hm < wTm < 1 + hm .

(134)

2. Вне резонансной полосы значения Wm (iw) , соответствующие различным hm, оказываются близкими и мало отличаются от значений АЧХ при ηm = 0 . Таким образом, влияние диссипации может считаться существенным только вблизи от резонанса, т.е. при близости частоты колебаний к собственной частоте колебательного звена. При значениях ω, лежащих вне резонансной полосы, можно с достаточной для технических расчетов точностью считать, что

Wm (iw) = d m /(1 − Tm2 w2 ) .

(135)

Из этой формулы следует, что при ωТт< 0,3 можно с точностью до 10 % принять, Wm(iω) < dm, а при Тт > 3 положить

Wm (iw) ≈ −d m /(w2Tm2 ) .

a)

б)

Рис. 29. Частотные характеристики колебательных звеньев: а – АЧХ; б – АФХ

3. На рис. 29, б построены амплитудно-фазовые характеристики колебательного звена, соответствующие dm > 0. Они полностью располагаются в нижней полуплоскости. Значению w = Tm−1 (т.е. резонансной частоте) соответствует точка АФХ, лежащая на мнимой оси, а резонансной полосе – нижняя половина АФХ. Основываясь на свойствах частотных характеристик колебательных звеньев, можно сделать следующие выводы. 4. При гармоническом воздействии переменной частоты амплитуда колебаний свободной системы привода может принимать большие значения, если модуль хотя бы одного из слагаемых оказывается большим по величине. Таким образом, резонансными частотами привода являются его собственные частоты. 5. Пусть резонанс в свободной системе привода вызван совпадением частоты w с собственной частотой ke.. Тогда

ers (ikl ) = (− I S kl2 ) −1 + χ(rsl ) /(2ςl i ) +

n (l )

∑

χ(rsm) /(1 − τ2m kl2 2ς mikl ) . (136)

m =1

В этом выражении второе слагаемое, в силу малости ς l , будет существенно превосходить все остальные. Поэтому в первом приближении можно положить

ers (ikl ) ≈ χ(rsl ) /(2ςl i) = Alr Als /(2γl ςl i) . Следовательно, если к s-й массе приложено гармоническое воздействие M S = U S 0 cos kl t , то колебания r-й массы в первом приближении будут определяться выражением: ϕr (t ) ≈ U S 0 ers (ikl ) cos[kl t + arg ers (ikl )] . Учитывая, что произведение Alr , Als может быть как положительным, так и отрицательным вещественным числом, имеем:

ers (ikl ) = Alr Als /(2ςl γl ) ; π arg ers (ikl ) = arg( Alr Als ) + arg(1 / i ) = − sin( Alr Als ). 2 Отсюда находим

π ϕr (t ) ≈ Alr Als (2γ l ςl )−1U S 0 cos(kl t − ) , 2

r = 1, 2, ..., n .

(137)

Таким образом, в первом приближении амплитуда колебаний r-й массы пропорциональна Alr ; следовательно, амплитуды колебаний системы на l-й резонансной частоте относятся как элементы l-й собственной формы. В первом приближении форма резонансных колебаний совпадает с соответствующей собственной формой. Это свойство не зависит от того, к какой массе приложено гармоническое воздействие резонансной частоты. Оно сохраняется и при приложении таких воздействий одновременно к нескольким массам. Резонансные колебания в системе не возникают, если Als = 0 , т.е. если воздействие приложено в узле l-й собственной формы. 6. Рассмотрим систему с закрепленным концом. Подставив ω = k l0 в (128) и (129), получаем: ers0 (ikl0 ) = χ (rsl ) 0 /( 2ς l i ) +

n (l )

∑ χ(rsm)0 /[1 − (τ0m ) 2 (kl0 )2 + 2ς0m τ0mikl0 ] .

(138)

m =1

− σ r (ikl0 ) = ρ(rl ) 0 /( 2ςl i ) +

n (l )

∑ ρ(rm)0 /[1 − (τ0m )2 (kl0 )2 + 2ς0m τ0mikl0 ].

(139)

m =1

При слабой диссипации первые слагаемые в этих выражениях будут, вообще говоря, преобладать над остальными. В первом приближении можно принять: ers0 (ikl0 ) ≈ χ(rsl ) 0 /( 2ςl0i ) = Alr0 Als0 /( 2 γ l0ςl0i ); − σ r (ikl0 ) ≈ ρ(rl )0 /(2ςl0i ) = ql Alr0 /( 2γ l0ςl0i ).

(140)

При приложении гармонического воздействия M S = U ρ0 cos kl0t к s-й массе, получаем:

ψ r (t ) = Alr0 Als0 (2γ l0ςl0 )−1U S 0 cos(kl0t − π / 2) , r = 1, 2, ..., n .

(141)

При малых ςl0 амплитуды колебаний ψ r (t ) инерционных элементов системы относительно ротора могут стать большими по модулю, т.е. в системе могут возникать резонансные колебания. В действительности резонансы могут появиться лишь в том случае, если нулевая масса действительно закреплена. Такая ситуация имеет место, например, если двигатель обладает очень жесткой статической характеристикой, препятствующей развитию колебаний ротора. Приложение возмущающей частоты kl0 к свободной механической системе привода не вызовет резонансных колебаний по координате ψ r по той причине, что при этом будут возбуждаться колебания нулевой массы. Таким образом, колебания ψ r (t ) будут складываться из двух компонентов: колебаний, описываемых уравнениями (138), вызванных возмущающей силой, и && 0 . Суммарные колебания описываются уравнениями: колебаний ψ *r (t ) , вызванных кинематическим воздействием ϕ ψr (t ) = ϕr − ϕ0 = ers (ikl0 ) − e0 S (ikl0 ) U S 0 cos{kl0t − arg[ers (ikl0 ) − e0 S (ikl0 ) = n

∑(χ(rsm) − χ(0mS) ) /[1 − τm2 (kl0 )2 + 2ςmτmikl0 ]U S 0 cos{kl0t − arg[ers (ikl0 ) − eos (ikl0 )]},

m =1

r = 1, 2, ..., n.

Поскольку k l0 τ m ≠ 1 , эти колебания не будут носить резонансного характера. Резонансные колебания могут возникнуть, если частота kl0 имеет кинематическое возмущение, т.е. если в приводе возникают гармонические колебания ротора, при

&&0 = a cos kl0t . В этом случае которых ϕ

ψ r (t ) = ql Acr (2γ l0ςl0 )−1 a cos(kl0t − π / 2), r = 1, 2, ..., n .

(142)

При этом форма резонансных колебаний на l-й собственной частоте совпадает с l-й собственной формой Al0 . Представление резонансных колебаний в виде (137), (142) возможно при слабой диссипации в приводе. С увеличением диссипации может возрастать роль слагаемых, отброшенных в выражениях для частотных характеристик. При этом более существенными оказываются слагаемые, соответствующие низшим собственным формам. Поэтому, например, при анализе резонансных колебаний на второй собственной частоте приходится сохранять слагаемое, соответствующее первой форме. 3.6. ОБ УЧЕТЕ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ Влияние диссипативных сил на колебательные процессы определяется величиной энергии, рассеиваемой этими силами за цикл. Поэтому нелинейные силы можно заменить силами линейно зависящими от скорости деформации и вызывающими такое же рассеяние энергии, как и нелинейные силы используя метод эквивалентной линеаризации. Так как диссипативные силы оказывают существенное влияние только на резонансные процессы, то эквивалентную линеаризацию естественно производить именно для этих колебательных процессов. Поскольку в каждом из резонансных процессов колебания, возникающие в приводе, оказываются близкими к гармоническим колебаниям соответствующей частоты, эквивалентная линеаризация сводится к гармонической. При резонансе на частоте k l (k l0 ) существенное влияние на развитие колебаний оказывает только один безразмерный коэффициент ς l (ς l0 ) . Отсюда следует, что каждый из безразмерных коэффициентом диссипации должен получаться эквивалентным гармонической линеаризации нелинейных диссипативных сил на колебаниях по l-й собственной форме. Определим энергию, рассеиваемую за один период колебаний в линейной цепной механической системе привода со свободными концами, совершающей резонансные колебания с частотой k l . В соответствии с (137) имеем ϕr ≈ Alr al cod(kl t − π / 2) = Alr al sin kl t ,

(143)

где al = Als (2γ l ςl )−1U S 0 – амплитуда колебаний на нулевой массе, поскольку Al1 = 1 . Из (143) находим законы изменения моментов диссипативных сил. Момент в упругом элементе, соединяющем r – 1-ю и r-ю массы

M r(∂−1) , r = cr −1, r (ϕ& r −1 − ϕ& r ) = cr −1, r kl a( Al , r −1 − Alr ) cos kl t . Работа этого момента за цикл колебаний 2 π / kl

Wr −1, r = ΦM r −1, r dθr −1, r =

∫ M r −1,r θ& r −1,r dt , 0

где θ& r −1,r = ϕ& r −1 − ϕ& r – скорость деформации упругого элемента. Производя интегрирование, найдем: 2 π / kl

Wr −1, r =

∫ Cr −1,r kl al ( Al ,r −1 − Alr ) 2 2

2

cos 2 kl tdt = πkl al2cr −1, r ( Al , r −1 − Alr ) 2 .

0

Складывая потери энергии во всех элементах, получаем

Wl = πk l Ql2 (cAl ) T Al = πβl k l al2 .

(144)

Из (121) получаем, что βl = 2ς l k l−1γ l . Подставляя это выражение в (144), окончательно найдем

Wl = 2πςl γl al2 .

(145)

Это выражение удобно связать с потенциальной энергией упругой деформации. Потенциальная энергия отдельного упругого элемента определяется, как известно, выражением П = kQ2 / 2 , где k – жесткость элемента; θ – его деформация. При заданных углах поворота ϕr масс, образующих цепную систему привода П = 0,5

n

∑ kr −1,r (ϕr −1 − ϕr )2 = 0,5( Kϕ)T ϕ . r =1

Пусть система привода совершает резонансные колебания с частотой kl. Тогда в силу (144) ϕ = al Al sin kl t и следовательно

Пl ≈ 0,5Ql2 sin 2 kl t ( KAl )m Al = 0,5γ l Ql2 sin 2 kl t . Отсюда видно, что максимальное значение потенциальной, энергии в процессе деформации равно 0,5γ l al2 . Сравнивая с (145), находим:

Wl = 4πςl (П l ) max .

(146)

Отношение рассеянной за цикл энергии Пmax, называемое коэффициентом рассеяния в 4π раз превосходит безразмерный коэффициент диссипации. Пусть Sl – энергия, рассеиваемая за цикл колебаний в системе с нелинейными диссипативными силами при w = k l . Полагая, что упругие силы, действующие в приводе, линейно зависят от деформации, определим ς l из выражения, аналогичного (146)

ςl = Sl /[4π(Пl )max ] = Sl /(2πγl Ql2 ) .

(147)

Очевидно, что при таком выборе параметров ς l реализуется эквивалентная линеаризация нелинейных диссипативных сил из условия равенства величин рассеиваемой за цикл энергии. Рассеиваемая энергия Sl зависит от амплитуд деформаций, которые при заданной форме колебаний (вектор Al) пропорциональны Q1. Таким образом, Sl является функцией al. При линейном трении значения Sl пропорциональны al2 и в результате ς l оказывается постоянной величиной. В случае нелинейных сил ς l зависит от al . Определив эту зависимость из эксперимента, можно затем найти величину al при заданном возмущении по формуле

al = ϕ1 (t ) max = AlsU so /[2ςl (al ) γ i ] , Практика показывает, что значение ς l , получающееся по описанной процедуре, обычно лежит в диапазоне 0,015 < ς l < 0,045. При отсутствии экспериментальных данных можно, проводя расчеты резонансных режимов, принимать для всех ς l одинаковые значения, близкие к 0,03. Аналогичным образом производится выбор параметров ς l0 . Если ς l0 – потери энергии в резонансном режиме с частотой k l0 , то ςlo = Sl0 /(2πγ lo al2 ) .

(148)

Практически значения ς l0 тоже укладываются в указанные пределы.

3.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ В ФОРМЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Передаточные функции привода могут быть представлены в виде отношений номиналов от ρ. Из соотношения (87) непосредственно следует, что функции ers (P ) , как элементы обратной матрицы, могут быть представлены в форме er , s = ∆ rs ( P ) / ∆P ,

где ∆( p) = det Ip 2 + cp + k – характеристический определитель системы; ∆ rs ( p) – алгебраическое дополнение r-й строки и s-го столбца этого определителя (∆ rs ( p) = ∆ sr ( p)) в силу симметрии ∆ ( p ) . Определитель ∆ ( p ) записывается в виде:

∆( p) =

I1P 2 + U11 − U11

− U11 I11P + U11 + U12

... 0

... 0

2

0 ... − U12 ... ... 0

0 0

,

... ... ... I n1P 2 + U n −1, n

где U l −1, l ( p ) = cl −1, l P + kl −1, l . Вычеркнув r-ю строку и s-й столбец этого определителя, убеждаемся, что алгебраическое дополнение ∆ rs приводится к виду (r<s) ∆ rs ( p ) = ∆(r− ) ( p )

s

∏ U m −1,m ( p )∆(S+ ) ( p ) ,

(149)

m = r +1

где ∆(r− ) ( p ) – характеристический определитель системы, расположенной слева от r-й массы при условии, что она закреплена (рис. 30), а ∆(S+ ) ( p ) – характеристический определитель системы, расположенный справа от закрепленной s-й массы. Эти системы, получающиеся из основной при закреплении некоторых ее инерционных элементов, называются парциальными. Собственные частоты парциальных систем, т. е. частоты их свободных колебаний при отсутствии сил ) ) сопротивления, называются парциальными частотами исходной системы. Определители ∆(− и ∆(+ являются r r ) (+ ) диагональными минорами определителя ∆: определитель ∆(− r составлен из элементов первых r строк и столбцов, а ∆ r – из элементов последних n-s строк и столбцов. Парциальные частоты систем, выделенных на рис. 30, определяются как корни, соответствующих частотных уравнений:

k12 − I1k 2 − k12 ... 0

− k12 k11 + k 23 − I 20 ... 0

kS ,S +1 + kS +1,S +2 − I S −1,0k 2

0 − k 23 ... 0

... 0 ... 0 = 0 . (150) ... ... ... k r −2,r −1 + k r −1,r − I r −1,0 k 2 ...

kS +1,S +1

− kS +1,S +2 ... 0

kS +1,S +2 + kS +2,S +3 − I S +2,0k ... 0

2

0

... 0 =0 ... ... ... kn−1,n − In0k 2

(151)

Рис. 30. Парциальные системы

Обозначим эти собственные частоты соответственно k r1 ,..., k rr и k s1 ,..., k s , n − s каждой из них соответствует собственная форма колебаний системы с закрепленным концом. Используя собственные формы, можно для каждой из парциальных систем определить безразмерные параметры ς r1 ...ς rr и ς s1 ,..., ς s , n − s формулам, аналогичным (128). В результате выражение (149) приводится к виду: ers =

n−s

r

∏ (τ2rm P 2 + 2ς rm τrm P + 1)∏ (τ2sm P 2 2ς sm τsm P + 1) × m =1

m =1 −1

n

(152)

  2 (τ rm P 2 + 2ς m τ m P + 1) , × IC P 2   m =1

∏

−1 −1 здесь τ rm = k rm ; τ sm = k sm ; τ m −1, m / k m −1, m .

Параметры τ m и ς m определяются по формулам (121). При r = s выражение (152) упрощается. В дальнейшем наибольший интерес будет представлять оператор е11(р). Из (152) при r = s = l получаем n

∏ (τ0m ) P 2 + 2ς 0m τ 0m P + 1 m =1

e11 =

IC P

2

n

∏

2 2 (τ m P

,

(153)

+ 2ς m τ m P + 1)

m =1

где k m0 = ( τ 0m ) −1 – собственные частоты привода с закрепленной нулевой массой. Приведем также выражение для оператора e1n(p), получающееся из (153) при r = 1, s = п: n

∏ (τ m−1,m P + 1)

e1n ( p ) = IC P

2

m =1 n

∏

( τ 2m P 2

,

(154)

+ 2ς m τ m P + 1)

m =1

Предположим, что частота ω гармонической вынужденной силы, приложенной к s-й массе, совпадает с одной из собственных частот парциальных систем, показанных на рис. 30, т.е. пусть ω = krm или ω = ksm , где krm и ksm – соответственно корни уравнений (151) (152). Амплитуда колебаний r-й массы, возникающих при действии такой силы определяется выражением ar = esr (ω) U S 0 , где Usm – амплитуда возмущающей силы. Очевидно, что при подстановке в числитель выражения (153) Р = iω в нем появится множитель 2ς rm i или 2ς sm i , в силу чего модуль ers (iω) окажется малой величиной. Это означает, что амплитуда колебаний r-й массы окажется малой даже при существенном значении Uso. При отсутствии диссипации амплитуда колебаний r-й массы на этой частоте обратилась бы в нуль, т.е. r-я масса оказалась бы узлом гармонических колебаний привода. Частоты ω, равные krm или ksm называются антирезонансными. В отличие от резонансных частот, общих для всех ers (iω) , антирезонансные частоты у каждой из динамических податливостей свои. Из формулы (154) видно, что число антирезонансных частот динамической податливости ers (iω) равно n – s+r (при r < s ). Динамическая податливость ers (iω)

имеет и антирезонансных частот, совпадающих с собственными частотами k m0 ( m = 1, 2, ..., n) привода с закрепленной массой. Эти частоты располагаются между резонансными частотами системы. Такими же свойствами обладают и антирезонансные частоты всех диагональных элементов матрицы E(iω). При r≠ s расположение и число антирезонансных частот зависят от перемен знака в последовательности чисел AmrAms и Am +1, r Am +1, s ... Anr , Ans . Если знаки АтrАms и Am +1, r Am +1, s совпадают, то между km и km+1 имеется антирезонансная частота податливости ers (iω) ; если же знаки этих чисел различны, то антирезонансные частоты между km и km+1 нет. Рассмотренные свойства динамических податливостей определяют форму годографов амплитудно-фазовых характеристик (АФХ), т. е. графиков функций ers (iω) , построенных на комплексной плоскости. На рис. 31а изображена типичная форма годографа функции err (ω); err (iω) → ∞ при ω → ∞ . Годограф АФХ выходит из бесконечно удаленной точки на отрицательной вещественной полуоси и располагается целиком в нижней полуплоскости. 2 Последнее следует из того, что все χ (rm ) = Amr γ −m1 положительные числа и поэтому коэффициенты при мнимых частях во всех слагаемых отрицательно. Точки As пересечения годографа с мнимой осью приблизительно соответствуют резонансным частотам системы, а точки Bs – антирезонансным частотам данной динамической податливости. На рис. 31, б представлена типичная форма годографа es(iω) при r ≠ s.

а)

б)

в) Рис. 31. Годографы АФХ динамической податливости

Каждой перемене знака последовательности чисел Аmr Ams соответствует переход годографа из нижней полуплоскости в верхнюю или обратную, причем, если Аmr Ams и Am +1, s Am +1, s имеют разные знаки, то точке пересечения годографа с вещественной осью соответствует значение ω, лежащее между km и km+1. При этом "теряется" антирезонансная частота. На рис. 31, в построен годограф АФХ функции e1n(iω). Поскольку все Ат1 положительны (Ат1=1), число перемен знака в ряду чисел Ат1Атп равно числу перемен знака в ряду A1n , A2 n ... Ann . Но s-я форма свободной цепной системы привода содержит s перемен знака. Поскольку As1>0 то Аsn будет положительным числом при четном и отрицательным при нечетном. Отсюда следует, что знаки A1n , A2 n ... Ann чередуются. Поэтому годограф АФХ e1n(iω) последовательно п раз переходит из нижней полуплоскости в верхнюю и обратно и антирезонансные частоты у этой податливости отсутствуют, что видно из формулы (154). Отметим, что такие формы годографа АФХ имеют лишь в системах приводов с малой диссипацией. В частности форма годографа ers (iω) изменяется, если хотя бы один из параметров τ m −1, m = cm −1, m / k m −1, m ,

(m = r + 1, ..., s)

попадает в диапазон между τ n и τ1 , т.е. если хотя бы одно из значений

k m −1, m / lm −1, m оказывается меньшим, чем

kn .

Вернемся теперь к вопросу о выборе динамической модели системы привода. Предположим, что частоты существенных по амплитуде гармонических возмущений, возникающих при работе станка, лежат в диапазоне 0 < ω < ωmах. В таком случае можно решить, какое количество слагаемых следует оставить в выражениях для передаточных функций системы для того, чтобы при анализе были обнаружены все резонансные режимы, возможные в приводе. Для этого необходимо выполнение

условия hn > ωmax т.е. следует учитывать в приводе столько членов разложения передаточных функций по собственным формам, сколько необходимо для того, чтобы максимально учитываемая собственная частота превосходила ωmaх. Увеличение ωmaх связанное, например, с повышением рабочей скорости машины, неизбежно приводит к необходимости учета более высоких собственных частот, т.е. к усложнению динамической модели привода. Если же, наоборот, выясняется, что ωmaх < kS, где s < n, то это означает, что в выражении для операторов динамической податливости можно отбросить все слагаемые, начиная s + 1-го. Тем самым динамическая модель упрощается. Таким образом, выбор динамической модели может оказаться многоступенчатым процессом. Сначала, исходя из некоторых конструктивных соображений, выбираются элементы, податливость которых следует учитывать, и тем самым определяется исходная динамическая модель. Далее для этой модели определяются собственные частоты и сравниваются с предполагаемой величиной ωmaх. На основе этого сравнения делается вывод либо о возможности упрощения модели, либо о необходимости ее усложнения за счет учета упругости некоторых элементов, принимавшихся в исходной модели абсолютно жесткими. При исследовании установившегося режима движения привода величина ωmaх связывается обычно с угловой скоростью υ главного вала, совпадающий как было показано выше, с частотой периодического возмущения L(t). В зависимости от того, какое число гармоник этого возмущения учитывается, величина ωmaх выбирается в пределах ωmaх = (3...5)υ. Приводы современных станков в ряде случаев моделируются как разветвленные одномерные цепные системы. Пример такой системы показан на рис. 32, a наряду с разветвлениями она содержит и замкнутые контуры. Пусть рассматриваемый привод содержит п вращающихся масс (1 – 13); Is(s = 1, 2, ..., n) – их моменты инерции относительно осей вращения; ksm, csm – жесткость и коэффициент сопротивления элемента, соединяющего s-ю и m-ю массы. Вводя обобщенные координаты, можно привести все параметры к ротору, разделив их на квадраты соответствующих передаточных отношений. При этом исходная система приводится к условной модели, показанной на рис. 32, б. Здесь Is1ksm – приведенные параметры. На рис. 33 приведена схема разветвленной цепной системы привода в более общей форме.

a)

б) Рис. 32. Разветвленная цепная система привода (а) и ее условная модель (б)

Рис. 33. Приведенная схема разветвленной системы

Инерционные элементы 1, 2, ..., k отмечены точками, а упруго-диссипативные – линиями. Найдем для этой системы привода оператор динамической податливости eAB ( p) , связывающий угол поворота элемента В с моментом, приложенным к элементу А. Будем считать, что существует только один путь, соединяющий в полученной разветвленной системе привода

точки А и В (точки А и С на рис. 33 могут соединяться двумя разными путями АДС и AЕС, поэтому приводимый метод непригоден для определения оператора e AC ( p) . Исследуемую систему привода можно рассматривать как "ствол" АВ, составленный из k последовательно соединенных упруго-диссипативных элементов, в узлах которого А, 1...k – 1 присоединяются механические системы 1, 2, …, k, обведенные на рис. 33 линиями системы, к которым относятся и массы, непосредственно расположенные в узлах, будем называть ответвлениями. Выделим s-е ответвление как подсистему и дадим точке прикрепления его к стволу перемещение ϕ S (t ) ; для этого потребуется приложить к этой точке момент MS(t). Передаточная функция dS(P), связывающая MS(t) с ϕ S (t ) называется оператором динамической жесткости s-го ответвления. В общем случае dS(Р) – дробно-рациональная функция, обратная оператору динамической податливости d s ( P) = ess−1 ( P) =

Qs ( P) , Rs ( P)

(155)

где Qs(Р) и RS(Р) – полиномы. Если ответвление представляет собой простую цепную систему, то оператор еSS(Р) можно определить методами, рассмотренными ранее, принимая массу, расположенную в узле, за первую. В общем случае для определения dS(P) используются другие методы (например, метод динамических жесткостей [7]). Составим в операторной форме уравнения динамического равновесия узлов 1, 2, ..., k ствола АВ. Если ϕ S (t ) – перемещение (угол поворота) массы, расположенной в S-м узле, то момент MS = dS(P)ϕS должен уравновешиваться моментами упругих и диссипативных сил, возникающих в элементах, примыкающих к узлу, а также внешним моментам MSB, приложенным в этом узле. Отсюда получаем: d S ( P )ϕ S + U S +1, s ( P )(ϕ S − ϕ S −1 ) + U S , S +1 ( P )(ϕ S − ϕ S +1 ) = M SB , s = 1, 2, ..., n ,

(156)

где U ρ −1, s + k S −1, s + c S −1, S P ,

U k1k +1 = 0 .

Выражение можно записать в форме одного векторно-матричного уравнения: D ( P )ϕ = M B где

ϕT = ϕ1, ϕ2 ,..., ϕk ;

M BT = M 1B , M 2 B ...M kB .

Оператор еАВ(р) связывает угол поворота k-го узла системы с моментом, приложенным в первом узле. Для его определения нужно найти отношения алгебраического дополнения D1k(P) элемента первой строки и k-го столбца определителя det D(P) к этому определителю. Рассмотрим выражение для D1k(P) − U 11

d 2 + U 12 + U 13

− U 23

0 0

− U 23 0

d 3 + U 23U 34 0

D1k ( p) = (−1) k

...

0

... 0 ... − U k −1,k

Можно заметить, что в этом определителе все элементы, лежащие ниже главной диагонали, – нули, поэтому он равен произведению диагональных элементов, умноженному на (–1)k: D1k ( p ) = ( −1) k ( −1) k

k

k

m =1

m =1

∏ U m −1m ( p ) = ∏ U m −1,m ( p ) .

В определителе detD(F) операторы (Р) представим в виде (156): Q1R1−1 + U12 detD( p) =

− U12

− U12 −1 Q2R2 + U12 + U23

0 ...

− U23 ...

0

0

0

...

0

− U23 −1 Q2R2 + U23 + U34

...

0

...

... ...

0 ...

0

... Qk Rk−1 + Uk −1,k

Умножив этот определитель на произведение R1(P) R2(P)…Rk(P) получим полином, совпадающий с характеристическим определителем ∆(Р) всей системы. Таким образом, det Д ( p) = ∆( p) /

k

∏ Rm ( p) m =1

следовательно: k

k

∏ Rm ( p)∏U m −1, m ( p)

D1k ( p ) m =1 . = m =1 det Д ( p ) ∆( p) Можно показать, что полиномы Rm(P) являются, в свою очередь, характеристическими полиномами ответвлений, рассматриваемых как парциальные системы, получающиеся при закреплении всех узлов ствола АВ. e AB ( p ) =

3.8. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИВОДА

Рассмотрим привод, который может быть представлен моделью, показанной на рис.23. Уравнения движения привода могут быть записаны в виде (74) – (86). Будем искать установившееся движение этого привода, соответствующее И = И0 = const, предполагая, как и в предыдущих главах, что при этом ротор двигателя вращается почти равномерно, т.е., что отклонение угловой скорости ротора от некоторого среднего значения ω0 является малой величиной. В таком случае движение привода, соответствующее равномерному вращению ротора, может рассматриваться как программное. Для его определения приравняем нулю возмущения, стоящие в правых частях уравнений (74) – (86) и найдем частное решение, соответствующее режиму равномерного вращения ротора. Решение ищем в виде

ϕ1 = w0t ; ϕS = w0t − ∆S , ( s = 2,3,..., n); M 1 = M 0 = const .

(157)

Подставляя его в уравнения движения, находим: k S −1, S ( ∆ S −1 − ∆ S ) + k S , S +1 (∆ S +1 − ∆ S ) − M S 0 ( w0 ) = 0 ,

s = 2, 3, …, n

k12 ∆1 − M 10 = 0

(158)

M 10 − M до (U 0 , w0 ) = 0 .

Складывая все эти уравнения, имеем −

n

∑ M S 0 ( w0 ) −M до (U 0 , w0 ) = 0 .

(159)

S =1

Это уравнение имеет простой смысл: средняя угловая скорость ω0, должны иметь такое значение, при котором сумма среднего момента движущих сил и средних моментов всех сил сопротивления, приведенных к ротору двигателя, равна нулю. Его можно решать графическим способом (рис. 34).

Рис. 34. Графический способ решения уравнения установившегося движения привода

Определив ω0, можно найти M 00 и ∆S из уравнений (157) s

M 00 = M до (U 0 , ω0 ) ; ∆s = ∆ s −1 + M S 0 (ω 0 ) ∑ k i−−11,i , ∆ 1 = M 00 / k 12 . i =1

(160) Далее перейдем к определению законов движения φS(t) от программных. Динамические ошибки должны определяться из уравнений (74) – (86). Правые части этих уравнений содержат возмущения, вызывающие отклонения законов движения от программных. В соответствии с методом возмущения, который будет применяться в этом случае, возмущения должны определяться на программных движениях. Иными словами, в правые части уравнений вместо φS должны подставляться выражения (157). При этом получаются функции времени: ~ ~ s = 2,3,..., n , L S (t ) = −0,5 I S' ( w 0 t − ∆s ) + M S ( w 0 t − ∆s, w) , ~ (161) L1 (t ) = M ст (U 0 , w0 , w0t ) . Введем замену переменных:

ϕ1 = w0 t + ψ 1 ;

ϕ S = w0 t − ∆ S + ψ S ;

M 0 = M 00 + µ 0 .

(162)

Подставляя (160) в левые части уравнений (74) – (86) и учитывая соотношения (156), получим следующие уравнения для динамических ошибок ψ S и µ1 момента: && 1 + c12 (ψ& 1 − ψ & 2 ) + k12 (ψ1 − ψ 2 ) − µ1 = L1 (t ) ; I1ψ && 1 + cs −1, s (ψ & s −ψ & s −1 ) + cs , s +1 (ψ & s − ψ& s +1 ) + k s −1, s (ψ s − ψ s −1 ) + I S1ψ

& s = LS (t ), + k s , s +1 (ψ s − ψ s +1 ) + υ3ψ

s = 2, 3, ..., n.

здесь s=−

& 0, τµ 0 + µ 0 + sψ

(163)

∂M до dM S 0 (U 0 , w0 ), ν S = − ( w0 ) . ∂ϕ& 0 dϕ& S

(164)

Записав последние из уравнений (162) в операторной форме и решив его относительно µ0, получим

µ 0 = −( τp + 1) −1 spψ 0 .

(165)

Подставим это выражение в первое уравнение (161) и запишем эти уравнения, кроме первого, в операторной форме: I 0 P 2 ψ 0 + (c01 P + k 01 )(ψ 0 − ψ1 ) = − ( τpψ 0 + 1) −1 spψ 0 + L0 ; I S 0 P 2 ψ S + (c s −1, s P + k s −1, s )( ψ s − ψ s −1 ) + ( c s , s +1 P + k s , s +1 ) = − ν S pψ s + L3 , s = 1, 2, ..., n.

(166) Введем в рассмотрение вектор динамических ошибок ψ = ψ 0 , ψ1,..., ψ n , вектор возмущений L(t ) = α 0 , α1,..., α n диагональную матрицу ν ( p ) = diag ( τp + 1) −1 sp , ν1 , p, ν 2 p...ν n p .

T

и

(167)

Тогда уравнения (164) можно записать в виде одного векторного Ip 2 + cp + K ψ = −ν( p) + L ,

(168)

где I, с, K – матрицы моментов инерции, коэффициентов сопротивления и жесткостей механической системы привода. Из (166) получаем ψ = Ip 2 + cp + K

−1

[−ν( p)ψ + L] = E ( p)[−ν( p)ψ + L] .

Откуда находим ψ = [ε + E ( p )ν ( p )]−1 E ( p ) L = R ( p ) L ,

(169)

R ( p ) = [ε + E ( p )ν ( p )]−1 E ( p ) = (rlm ( p ) )ln, m = 0 .

(170)

где е – единичная матрица. Элементы матрицы R(P) являются передаточными функциями, связывающими динамические ошибки ψ l (t ) с возмущениями Lm(t). Влияние двигателя и внешних сил сопротивления на динамические ошибки характеризуется матрицей V(Р). При V(P) = 0 получаем из (168) R(P) = E(P), т.е. в этом случае матрица R(P) совпадает с матрицей операторов динамической податливости привода. Предположим, что силы сопротивления слабо зависят от обобщенных скоростей, так что можно принять ν l = 0, l = 1, 2, ..., n = 0. Тогда существенное влияние на динамические ошибки будет оказывать только характеристика двигателя. В данном случае производя матричные операции в соответствии с (168), находим после несложных преобразований rlm ( P) = {elm ( p)(τp + 1) + sp[l00 ( p)llm ( p) − e10 ( p) − e10 ( p)em0 ( p)]} × × [τp + 1 + spe00 ( p)]−1

. (171)

Отметим, что при l = 0 (или при m = 0) выражение, стоящее в квадратных скобках, обращается в нуль. Поэтому r0 m ( p ) =

e0 m ( p )(τ p + 1) τ p + 1 + spe00 ( p )

,

m = 0, 1, …, n.

(172)

Наиболее важным является определение динамических ошибок в резонансных режимах. Пусть возмущение Lm(t) является периодическим процессом с частотой vm (в практических задачах vm совпадает с частотой вращения входного звена инерционного элемента) α m (t ) =

∞

∑ Lmn cos(uU=1 ν mt + α mn ) .

(173)

Тогда из (167) получаем ψl =

∑ ∑ rlm (iν m ν ) Lmu cod[Uν mt + α mu + argrlm (iν mU )], l = 0, 1, 2, ..., n. (174)

Резонансные колебания возникнут в том случае, если для некоторых т и п модуль rml(lvmU) окажется большим числом. Выясним условия при которых это может произойти. Для этого выражения (169), (170) представим в более удобном виде. Рассмотрим сначала передаточные функции (170). Используя выражения (151), (153), получаем: r0 m ( p ) =

m 1

2

I C p ( τp + 1)

∏ +sp∏

Здесь введены обозначения: m

m

∏ ∏ 1

=

i =1

(τi −1,l P + 1);

+

∏m

=

n

∏ (τim2 p 2 + 2ςlm τlm P + 1);

l = m +1

+

∏∏ m

( τp + 1)

0

.

(175)

n

∏ (τl2 p 2 + 2ςi τl P + 1) = ∏ ;

m

∏ =∏ [(τl0 ) 2 P 2 + 2ςi0τi0 P + 1] . 0

l =1

l =1

Преобразуем знаменатель выражения (172), где τm = I C / s – механическая постоянная времени машины. В (173) в фигурных скобках стоит сумма двух полиномов – полинома Р1 имеющего степень 2n + 2, n

∏ (τ12 p 2 + 2ςl τl P + 1)

P1 = (ττm + τm p + 1)

i =1

и полинома имеющего степень 2n. P2 =

n

n





∏ − ∏ =∏ (τl0 ) 2 p 2 + 2ςl0 τl0 p + 1 − ∏ (τl2 p 2 + 2ςl τl P + 1) . 0

l =1

i =1

В современных машинах постоянные времени τ и τт обычно существенно превосходят постоянные τ10 , τ1 , τ 02 ... . Чаще всего значения τ лежат в пределах 0,01 – 0,05 с, τm – в пределах 0,03…0,1 с, τ10 , τ1 , не превышают 0,005…0,007 с, a τ 02 , τ 2 … имеют, естественно, еще меньшие значения. Можно показать, что при этих условиях в выражении (173) можно пренебречь полиномом P2, поскольку его коэффициенты оказываются во много раз меньшими, чем коэффициенты при тех же степенях Р в полиноме Р1. Сохраняя в (173) полином Р, получаем m

∏∏ τp + 1 1 rom ( p ) ≈ 2 sp (ττm p + τ m p + 1) ∏

(+)

= Wж ( p ) I C P 2 e0 m ( p) .

(176)

Здесь Wж ( P) – передаточная функция, связывающая динамическую ошибку угла поворота ротора двигателя привода, имеющего жесткие звенья с возмущением Wж ( p ) =

τp + 1 sp ( ττm P 2 + τ m P + 1)

.

(177)

Это выражение для Wж ( P) легко получить из уравнения динамики жесткой машины в возмущениях: ~ 1 dI д ( w0t ) w02 + LM (t ) , ( I 0 P 2 + VP )ψ − µ д = − 2 dq ~ spψ + (τp + 1)µ д = M С (U 0 , w0t , w0 ) . П р и м е ч а н и е : при ν = 0 передаточная функция (177) отражает влияние возмущения, приложенного к m-й массе, на неравномерность вращения ротора двигателя. Подставив в нее p = ivm и, получаем:

r0 m (iν mU ) = 2 2 1 + τ2ν m U

m

∏

n

2 2 U +1 τ k2 −1, k ν m

k =1

2 2 2 U + 2ς km τ kmiν mU {sν mU } × (178) νm ∏ 1 − τkm

k = m +1

 2 2 U + τ miν mU × sν mU − 1 − ττm ν m 

n

−1

 2 2 1 − τ k2 ν m U + 2ς k τ k ν mU i  .  k =1

∏

Преобразуем теперь передаточные функции (172) при S ≠ 0 , m ≠ 0 . Рассмотрим для этого парциальную систему, получающуюся из системы, изображенной на рис. 23 при закреплении нулевой массы. Пусть к m-й массе этой системы приложен внешний момент Lm(t). Тогда 0 (179) ψ l = elm ( P ) Lm , 0 где elm – оператор динамической податливости системы с закрепленным концом. С другой стороны, систему с

закрепленным концом можно рассматривать как свободную систему, к которой приложены момент Lm и момент М0, возникающий на закрепленном конце. Последний можно определить из условия неподвижности закрепленного конца: ϕ 0 = e00 ( p) M 0 + e0 m ( p ) Lm = 0, откуда M 0 = −e0 m ( p )e∞−1 ( p ) Lm

Таким образом, поскольку φ0= 0:

ψ l = ϕl − ϕ0 = e10 ( p) M 0 + elm ( p) Lm = −1 = e00 ( p)[e00 ( p)elm ( p) − el 0 ( p)e0m ( p)]Lm .

Сравнивая (177) и (178), получаем

(180)

0 e00 ( p )elm ( p ) − el 0 ( p )e0 m ( p ) = e00 ( p )elm ( p) .

(181)

Подставляя это выражение в (168), находим rlm ( p) =

0 elm ( P )(τp + 1) + spe00 ( p )elm ( p) . τp + 1 + spe00 ( p)

(182)

0 Для оператора elm ( p ) нетрудно получить выражение, аналогичное (150). Составив характеристический определитель

∆0 ( P ) системы привода с закрепленным левым концом и определив алгебраические дополнения ∆0lm ( P ) этого

определителя, найдем (при l < m): ( −0 ) m

0 elm ( p) =

∆0lm 0

∆ ( p)

=

(+)

∏∏∏m l

l +1

∏

0

.

(183)

Здесь

∏ (−) = ∏ [(τ 0sl ) 2 P 2 + 2ς 0sl τ 0sl p + 1], l −1

S =1

l

где τ 0sl – величины, обратные собственным частотам парциальной системы, получающейся при закреплении нулевой и l-й масс; ς 0sl – соответствующие безразмерные коэффициенты диссипации. Подставляя (150) и (181) в (180), получаем: m

m

∏ (−) ∏∏ (+) (τp + 1) + sp∏ (−)0 ∏ (+) ∏ l +1 m l m l +1 rlm ( p) = t 2 0 −1 I C P ∏ [τp + 1 + sp∏ (∏ ) ]

.

(184)

Знаменатель в этом выражении получится таким же, как в (172). Если τ и τm существенно превосходят τ10 , τ1 ... , то после преобразований, аналогичных проделанным выше, получим

[∏e (−) + sp(τp + 1)−1∏ (−1) ]∏∏ (+) m

rlm ( p) ≈

τp + 1 2

spsp(ττm p + τm p + 1)

⋅

∏

l +1

. (185)

Учитывая выражения (178) и (150), получаем: 0 rlm ( p ) = Wж ( p )[elm ( p ) + sp (τp + 1) −1 e00 ( p )elm ( p )]I C p 2 .

(186)

П р и м е ч а н и е : анализируя выражение (174) и (184), находим, что резонансные колебания могут возникнуть при действии гармонического возмущения частоты ω, если один из сомножителей знаменателя этих выражений при подстановке Р = iω окажется малым по модулю. Поскольку возмущение, приложенное к m-й массе, является, (при установившемся движении) периодическим процессом, содержащим гармоники с частотами νml = 1, 2, ..., возможны следующие случаи. −1 = k r , т.е. если частота одной из гармоник возмущения совпадает с одной из 1. Если для некоторых т и ν m l = τ m собственных частот привода, то могут возникнуть резонансные колебания, которые принято называть упругими резонансами привода. 2. Если для некоторых m и l (ν m l ) 2 = (ττ m ) −1 , то может наступить двигательный резонанс. В зубчатых передачах приводов возникает возмущение зубцовой частоты (т. е. частоты, равной произведению угловой скорости вращающегося вала на число зубьев колеса, установленного на этом валу). Эти возмущения могут вызвать резонансные колебания при работе привода в дорезонансном режиме. Выполнение условия v << k1 достигается увеличением жесткости упругих элементов механической системы привода или уменьшений масс инерционных элементов. Если τ, τ M , τ10 , τ1 , – величины одного порядка, то двигатель наиболее активно влияет на развитие основных резонансных колебаний, существенно ограничивая их амплитуду. После определения динамических ошибок могут быть найдены динамические нагрузки, возникающие в упругих элементах привода. Рассмотрим упругий элемент, расположенный между l – 1-м и l-й инерционными элементами цепной системы. Его деформация, приведенная к ротору двигателя, определяется как разность приведенных координат этих элементов

θl −1,l = ϕl − ϕl −1 = (ω0t − ∆ l + ψ l ) − (ω0t − ∆ l −1 + ψ l −1 ) = = (∆ l −1 − ∆ l ) + (ψ l − ψ l −1 ). Приведенный к ротору двигателя момент, возникающий в этом элементе, складывается из момента упругих сил M lY−1,l = k l −1,l θ l −1,l = k l −1,l (∆ l −1 − ∆ l + ψ l + ψ l −1 )

и момента диссипативных сил

.

(187)

& τ − ψ l −1 ) . M l −1,l = c(ψ Таким образом, определяется суммарный момент M l −1,l = k l −1,l ( ∆ l −1 − ∆ l ) + ( k l −1,l + c l −1,l P )(ψ l − ψ l −1 ) .

(188)

Первое слагаемое постоянно по величине; оно определяет статическую нагрузку в элементе, вызванную постоянными составляющими моментов сил сопротивления. Остальные два слагаемых составляют динамическую нагрузку. 3.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Исследование переходных процессов сводится к интегрированию уравнения && + cϕ& + Kϕ = M (U , ϕ& ) + U (U , ϕ, ϕ& , ϕ && ) , Iϕ

дополненного характеристикой двигателя

τM& 0 + M 0 = M CT (U , ϕ& 0 , ϕ 0 ) . В зависимости от характера переходного процесса входной параметр может быть постоянным (при неуправляемом разбеге U = U0 = = const; при торможении с выключенным двигателем U = 0) или являться заданной функцией времени (при управляемом разбеге, при программном управлении). Интегрирование уравнений движения при заданных начальных условиях может выполняться на ЭВМ, в итоге получаются законы изменения обобщенных координат ϕ 0 (t )...ϕ n (t ) , а также движущего момента M д (t ) . В этом разделе рассмотрим некоторые качественные особенности переходных процессов. Исследуем разбег привода при следующих упрощающих предположениях: а) как и при исследовании разбега привода с жесткими звеньями, будем пренебрегать возмущениями, вызванными переменностью приведенных моментов инерции инерционных элементов; б) примем, что динамическая характеристика двигателя является линейной и может быть представлена в виде

(τp + 1)M д = rU − spϕ0 ,

(189)

в) моменты сил сопротивления, приложенных ко всем инерционным элементам, будем считать постоянными. При этих предположениях уравнения движения привода при разбеге получаются в форме && + cϕ& + Kϕ = M д , M 10 ...M no Iϕ

T

,

(190)

где MSO – постоянные моменты. Разрешая (190) относительно φ, получаем ϕ = E ( p) M .

(191)

Из (187) имеем M д = (τp + 1) −1 (ru − spϕ0 ).

(192)

Подставив это выражение в (188), получим

ϕ = E ( p)[(τp + 1) −1 ru − (τp + 1) −1 spϕ0 , M10 ...M n0 ]T После преобразований находим

ϕ = R0 ( p)(S + M ) .

(193)

Здесь R0 – матрица передаточных функций, получающаяся из (167) при us = 0; S = S ,00...0 ; S = (τp + 1) −1 ru ;

M C = 0, M 10 ...M n 0 . В случае разбега u(t) = 0 при t < 0. Отсюда можно определить S(t), как решение дифференциального уравнения τs& + s = ru (t ) .

(194)

Запишем уравнение (191) в скалярной форме ϕl = rl 0 ( p) S +

n

∑ rml ( p)M m0 ,

l = 0, 1, …, n.

(195)

m =1

П р и м е ч а н и е : передаточные функции rml ( p ) определяются выражениями (191). Решение уравнений (193), соответствующее начальными условиями ϕ l (0) = 0 l = 0,1…n может быть представлено в виде интегралов Дюа-Меля t

n

0

m =1

t

ϕl (t ) = ∫ H l 0 (t − t ′) s(t ′)dt ′ + ∑ M m0 ∫ H lm (t − t ′)dt ,

(196)

0

где Hlm(t) – импульсные переходные функции системы, являющиеся обратными преобразованиями Лапласа от передаточных функций rlm(P).

Функции φl(t) удобно определять следующим образом.

1. Определяем преобразования Лапласа функций S(t) и Мто. Для постоянных моментов сил сопротивления M m( L0) ( P ) = M M 0 P −1 .

(197)

Здесь и в дальнейшем знаком (L) обозначаются преобразования Лапласа от соответствующих функций. При неуправляемом разбеге U(t) = 0 при t < 0 и U(t) = U0 при t > 0, т.е. U = U0η(t), где η(t) – единичная функция Хевисайда. Таким образом, s ( L ) ( p) = r (τp + 1) −1 ru (α ) ( p) = rU 0 P −1 (τp + 1) −1 , (198) поскольку η( L) = p

−1

= p . В случае изменения и в процессе разбега по линейному закону имеем U = U 0t0−1[tη(t ) − (t − t0 )η(t − t0 )] ,

где t0 – время нарастания U от нулевого значения до U0. При этом

s ( L) ( p) = r (τp + 1) −1U ( L) ( p) = rU 0 [1 − exp(− pt0 )] /[t0 (τp + 1) p 2 ] . (199) Аналогичным путем можно определить s (α) ( p) при других законах изменения U. (L ) 2. Подставив M MO и S (L ) в (195), получим преобразование Лапласа для φl:

ϕl( α ) ( P ) = rl 0 ( p ) +

n

∑ rlm ( p)M M(α0) ( p)

m =1

ϕl( α ) ( P ) = rl 0 ( p ) S ( α ) ( P ) +

n

∑ rlm ( p ) M M(α0) ( p) .

(200)

m =1

3. Далее для полученного выражения (198) определяем обратное преобразование Лапласа. При этом обычно используется разложение получающихся дробно-рациональных функций на простые дроби. Рассмотрим более подробно случай неуправляемого разбега привода при отсутствии сил сопротивления (Ммо = 0). Ограничимся определением закона изменения угловой скорости ротора φ0(t). Будем также предполагать, что значения и существенно превышают τ1 и τ10 примем для определенности, что τ > 0,25τ M , т.е. что разбег жесткой машины был бы колебательным процессом. При сделанных предположениях из (193) имеем ϕ& (0L ) = pr00 ( p )ρ ( L ) ( p ) = rU 0 ( τp + 1) −1 r00 ( p ) .

(201)

Для передаточной функции r00(р) используем выражение (174). Подставляя в него еом в форме (160), получаем: ϕ& (0α ) ( P) =

ru0 sp(ττM p 2 + τ M p + 1)

+

n 1 ru0 τ M P = ∑ 2 2 ττM P + τ M p + 1 i =1 γ l (τl P + 2τl ςl P + 1)

(202)

(α) = ϕ& l(α) ( p) + ϕ& 11 ( p).

Здесь учтено, что χ (00l ) = γ l−1 , где γ l определяется по (113), a I C / S = τ M . Разложим на простейшие дроби первое слагаемое

ϕ& 1( L ) =

A Bp + c ru0 = + . 2 p ττM p + τ M p + 1 sp(ττM p 2 + τm p + 1)

Неизвестные коэффициенты А, В, С находим, приравнивая выражения при одинаковых степенях Р в числителях левой и правой мастей. Получаем: ru ru0 τ M (τp + 1) ϕ& 1( L) = 0 − . (203) sp sp(ττM p 2 + τm p + 1) Взяв от этого выражения обратное преобразование Лапласа, находим:

ϕ& 1 (t ) = ω0[1 − exp(−νt )(νk −1 sin kt + cos kt )] ,

(204)

где ω0 = rU 0 / S – угловая скорость холостого хода двигателя, равная в данном случае (при отсутствии сил сопротивления) угловой скорости установившегося движения; ν = 1 / 2τ; k = (ττM ) −1 / 2 (1 − τ M / 4τ)1 / 2 . Легко убедиться, что это решение совпадает с соответствующим законом изменения угловой скорости при разбеге жесткой машины. Остальные слагаемые в (α ) (200), образующие ϕ& 11 ( P) , отражают влияние упругости системы привода. Раскрывая их на простейшие дроби, имеем ru0 τ M γ e−1P (ττM p

2

+ τm p + 1)(τl2 p 2

+ 2ςl τl p + 1)

решая систему линейных уравнений для Al, Bl, Cl, Дl находим:

=

Al + Bl P 2

ττM p + τm p + 1

+

Cl + Д l P τl2 p 2

+ 2ςl τl p + 1

,

Al = ηl (2ςl τl − τl2 / τ) / ∆l ; Bl = ηl (ττM − τl2 ) / ∆l ; Cl = − Al ;

Д l = − Bl τl2 /(ττm ).

где η д = ru 0 τ M / γ l ; ∆ l = ττ M − τ l2 ( 2 − τ l2 τ −1τ −H1 − 4ς l2 + 2ς l τ M τ1−1 + 2ς l τ l τ −1 ) . (α ) В результате получаем следующее разложение ϕ& 11 ( p) на простейшие дроби: (α ) ϕ& 11 ( p) =

ru0 τ M 2

{(ττM − τl2 ) p + (ςl τl − τl2 ) / τ} × ∑ p +1

−1

(1 − τl2 τ−1τ−M1 )τl2 p + 2ςl τl

ττM p + τm

× (∆ l γ l ) − ru0 τm

∑ ∆ γ (τ2 p 2 + 2ς τ p + 1) . l l

l

(205)

l

Пользуясь таблицами обратного преобразования Лапласа [4], находим: n  ϕ& 11 (t ) = ru0 τ −1 ∑ (∆ l γ l ) −1[2ςl τl − τl2 / τ)k −1 sin kt + (ττM − τl2 ) cos kt  ×  l =1  n

∑ (∆lγ l )−1[(1 − τl2τ−1τ−M1 ) cos' kl t +

× exp(−νt ) − ru0 τ M {

(206)

l =1

+ (τ−1 − ν l − τ1l τ−1τ−m1ν l )kl′ sin kl′t} exp(−ν l t ),

где kl′ = τl−2 − vl2 , νl = ςl τl−1 . Первое слагаемое в (204) представляет собой затухающий колебательный процесс с частотой k. Эти затухающие колебания вносят поправку в низкочастотную составляющую переходного процесса, определяемую выражением (202). Легко убедиться, что эта поправка оказывается малой при малых ς l и τ l / τ . Второе слагаемое в (204) отражает затухающие колебания с высокими частотами. Частоты kl′ при слабом демпфировании близки к собственным частотам k l , привода. Возникновение колебаний с собственными частотами является характерной особенностью переходных процессов в упругом приводе. Оценим амплитудные значения отдельных компонент этих колебаний, учитывая малость ςl , τl / τ&

τl / τM . При

этом в первом приближении получаем

∆ l ≈ ττM ;

1 − τl2 τ−1τ −M1 ≈ 1;

kl′ = kl .

Отсюда: −

ru0τM ∆l γ l

 τ2 1 − l  ττM

2    cos kl t +  τ−1 − ν − τl νl   ττM  

  ' kl sin kl't  ≈ − ru0 cos kl t .  γl τ  

Таким образом, начальное значение амплитуды затухающей гармоники, имеющей частоту k l , приблизительно равно ru 0 /( γ l τ) . С ростом номера 1 значения обычно быстро возрастают, поэтому амплитуды колебаний быстро убывают с ростом l. При практических расчетах чаще всего можно ограничиться учетом только колебаний с первой собственной частотой. Отметим также, что с ростом l растет величина ν1 = ς l k l , а это означает, что колебания более высоких частот быстрее затухают. Учитывая, что поправка к (204), определяемая первым слагаемым в (206), является обычно весьма малой, можно принять для закона изменения угловой скорости ротора следующее выражение ru ν ϕ& 0 ≈ ω 0 [1 − exp(−νt )( sin kt )] − 0 exp(−ς1 k1t ) cos k1t . (207) k τγ 1 Таким образом, в первом приближении можно считать, что в законе изменения угловой скорости ротора двигателя наряду с затухающими колебаниями частоты k присутствуют затухающие колебания частоты k1. Учитывая, что ru0 = sωO = IС ω0 / τм, можно выражения (207) представить в следующем виде   ν I ϕ& 0 ≈ ω0 1 − exp(−νt )( sin kt + cos kt ) − C exp(−ς1, k1, t ) cos k1t  . (208) k ττM γ1   Необходимо отметить, что из-за приближенного характера выражение (208) не удовлетворяет начальному условию ϕ& 0 (0) = 0 . Точное выражение (206) этому условию удовлетворяет. Определив закон изменения угловой скорости ротора, можно найти и законы изменения обобщенных координат привода. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Назовите этапы разработки математической модели динамической системы привода главного движения и содержание работ, решаемых в каждом этапе. 2. С какой целью производится упрощение расчетной схемы привода, и назовите методику упрощения расчетной схемы. 3. Зачем определяются частотные характеристики привода, как строится амплитудно-фазовая частотная характеристика, как по АФЧХ можно оценить устойчивость системы. 4. Назовите порядок построения кривой переходного процесса в системе привода.

ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ

Отчет по работе представляет собой полный расчет для составления математической модели привода главного движения станка и включает в себя следующие вопросы. 1. Кинематическая схема привода главного движения станка 2. Расчетная схема динамической системы привода. 3. Упрощенная расчетная схема привода. 4. Передаточная функция динамической системы привода главного движения. 5. Частотные характеристики системы. 6. Переходные характеристики системы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бессекерский, Е.П. Попов. – М. : Наука, 1975. – 768 с. 2. Вейц, В.Л. Вынужденные колебания в металлорежущих станках / В.Л. Вейц, В.Е. Дондошанский, В.И. Чиреев. – М. : Машгиз, 1959. – 288с. 3. Детали и механизмы металлорежущих станков / под ред. Д.Н. Решетова. – М. : Машиностроение, 1972. Т. 2. – 520 с. 4. Копыленко, Ю.В. Расчет динамических характеристик приводов главного движения металлорежущих станков : учебное пособие / Ю.В. Копыленко, B.C. Хомяков. – М. : Мосстанкин, 1986. – 40 с. 5. Кочергин, А.И. Конструирование и расчет металлорежущих станков и станочных комплексов. Курсовое проектирование : учебное пособие для вузов / А.И. Кочергин. – Мн. : Выщ. шк., 1991. – 382 с. 6. Маслов, Г.С. Расчеты колебаний валов : справочное пособие / Г.С. Маслов. – М. : Машиностроение, 1968. – 272 с. 7. Металлорежущие станки и автоматы / под ред. А.С. Проникова. – М. : Машиностроение, 1981. – 479 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 П1.1. Таблица h-функций для нормированной трапецеидальной частотной характеристики 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,0 0,000 0,158 0,310 0,449 0,572

0,05 0,000 0,165 0,326 0,469 0,597

0,10 0,000 0,176 0,340 0,494 0,628

0,15 0,000 0,184 0,356 0,516 0,655

0,20 0,000 0,192 0,371 0,538 0,683

0,25 0,000 0,199 0,386 0,560 0,709

0,30 0,000 0,207 0,401 0,594 0,732

2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0,675 0,755 0,815 0,857 0,883

0,707 0,790 0,853 0,896 0,923

0,739 0,828 0,892 0,938 0,960

0,771 0,863 0,928 0,974 0,997

0,802 0,896 0,963 1,008 1,029

0,833 0,928 0,994 1,039 1,057

0,862 0,958 1,024 1,060 1,084

5,0 5,5 6,0 6,5 7,0

0,895 0,900 0,903 0,904 0,904

0,939 0,940 0,942 0,943 0,944

0,997 0,986 0,982 0,980 0,979

1,012 1,015 1,013 1,009 1,006

1,042 1,042 1,037 1,030 1,024

1,067 1,063 1,054 1,043 1,035

1,087 1,079 1,065 1,050 1,037

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5

0,907 0,910 0,918 0,924 0,932

0,945 0,951 0,956 0,965 0,972

0,980 0,985 0,989 0,997 1,004

1,006 1,008 1,010 1,016 1,022

1,019 1,020 1,021 1,025 1,029

1,027 1,024 1,022 1,025 1,027

1,025 1,021 1,018 1,018 1,019

10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

0,939 0,949 0,947 0,949 0,950

0,978 0,985 0,988 0,988 0,990

1,009 1,013 1,015 1,016 1,015

1,025 1,028 1,029 1,027 1,025

1,031 1,033 1,031 1,028 1,024

1,027 1,028 1,025 1,021 1,015

1,019 1,017 1,014 1,010 1,004

12,5 13,0 13,5 14,0 14,5

0,950 0,950 0,950 0,952 0,954

0,989 0,989 0,990 0,989 0,990

1,013 1,012 1,011 1,011 1,012

1,022 1,019 1,017 1,016 1,015

1,019 1,015 1,011 1,009 1,008

1,010 1,005 1,000 0,997 0,996

0,999 0,994 0,990 0,988 0,987

15,0 15,5 16,0 16,5 17,0

0,0 0,956 0,959 0,961 0,964 0,965

0,05 0,993 0,995 0,997 0,999 1,001

0,10 1,012 1,014 1,015 1,016 1,016

0,15 1,014 1,014 1,014 1,014 1,013

0,20 1,007 1,006 1,006 1,005 1,005

0,25 0,995 0,985 0,995 0,995 0,995

0,30 0,988 0,989 0,991 0,993 0,994

17,5 18,0 18,5 19,0 19,5

0,966 0,966 0,966 0,967 0,967

1,002 1,002 1,001 1,000 1,000

1,015 1,015 1,015 1,015 1,014

1,012 1,011 1,009 1,008 1,006

1,003 1,002 1,001 0,998 0,996

0,995 0,955 0,994 0,992 0,991

0,994 0,995 0,995 0,995 0,995

20,0 20,5 21,0 21,5 22,0

0,967 0,968 0,968 0,969 0,971

1,000 1,002 1,002 1,002 1,002

1,013 1,012 1,011 1,011 1,011

1,005 1,004 1,003 1,003 1,002

0,995 0,994 0,994 0,995 0,995

0,991 0,991 0,992 0,992 0,993

0,995 0,996 0,997 0,999 1,000

0,35 0,000 0,215

0,40 0,000 0,223

0,45 0,000 0,231

0,0 0,5

0,50 0,000 0,240

0,55 0,000 0,248

0,60 0,000 0,255

0,65 0,000 0,259

0,417 0,603 0,761

0,432 0,617 0,786

0,447 0,646 0,810

1,0 1,5 2,0

0,461 0,665 0,833

0,476 0,685 0,856

0,490 0,706 0,878

0,505 0,722 0,899

0,891 0,987 1,150 1,090 1,104

0,917 1,013 1,074 1,110 1,120

0,943 1,038 1,095 1,127 1,129

2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0,967 1,061 1,115 1,142 1,138

0,985 1,082 1,132 1,152 1,141

1,010 1,100 1,145 1,158 1,141

1,030 1,117 1,158 1,162 1,138

1,102 1,088 1,070 1,049 1,033

1,112 1,092 1,068 1,043 1,023

1,117 1,096 1,062 1,033 1,009

5,0 5,5 6,0 6,5 7,0

1,117 1,092 1,051 1,018 0,993

1,114 1,076 1,037 1,001 0,975

1,107 1,070 1,021 0,982 0,957

1,097 1,050 1,003 0,966 0,941

0,35 1,020 1,012 1,007 1,006 1,006

0,40 1,005 0,998 0,992 0,992 0,993

0,45 0,989 0,981 0,977 0,978 0,982

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5

0,50 0,974 0,966 0,966 0,970 0,975

0,55 0,958 0,951 0,954 0,960 0,972

0,60 0,944 0,941 0,948 0,961 0,980

0,65 0,931 0,935 0,948 0,966 0,987

1,006 1,005 1,002 0,999 0,994

0,993 0,993 0,993 0,991 0,988

0,987 0,989 0,991 0,989 0,990

10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

0,982 0,987 0,997 0,997 0,997

0,985 0,996 1,002 1,006 1,006

0,993 1,007 1,014 1,017 1,019

1,006 1,017 1,027 1,029 1,026

0,990 0,986 0,983 0,983 0,985

0,986 0,985 0,984 0,985 0,988

0,989 0,989 0,989 0,991 0,996

12,5 13,0 13,5 14,0 14,5

0,997 0,997 0,998 1,000 1,002

1,006 1,006 1,006 1,006 1,006

1,015 1,012 1,010 1,008 1,005

1,019 1,012 1,005 0,999 0,994

0,987 0,988 0,992 0,995 0,997

0,991 0,996 0,998 1,002 1,005

1,000 1,004 1,007 1,009 1,010

15,0 15,5 16,0 16,5 17,0

1,005 1,008 1,011 1,011 1,012

1,007 1,07 1,008 1,008 1,007

1,002 1,001 1,000 1,001 1,000

0,993 0,993 0,994 0,996 0,997

0,998 1,001 1,001 1,001 1,001

1,005 1,008 1,007 1,006 1,005

1,010 1,010 1,009 1,006 1,004

17,5 18,0 18,5 19,0 19,5

1,009 1,008 1,006 1,001 0,998

1,005 1,002 0,999 0,995 0,992

0,997 0,997 0,995 0,993 0,992

0,998 0,998 0,998 0,997 0,996

1,001 1,002 1,003 1,004 1,005

1,005 1,004 1,004 1,004 1,004

1,002 1,001 1,001 1,000 0,999

20,0 20,5 21,0 21,5 22,0

0,996 0,995 0,995 0,996 0,996

0,991 0,991 0,993 0,995 0,996

0,992 0,994 0,997 1,000 1,000

0,998 0,999 1,001 0,995 1,004

0,70 0,000 0,267 0,519 0,740 0,919

0,75 0,000 0,275 0,534 0,758 0,938

0,80 0,000 0,282 0,547 0,776 0,956

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,85 0,000 0,290 0,562 0,794 0,974

0,90 0,000 0,297 0,575 0,813 0,991

0,95 0,000 0,304 0,590 0,832 1,008

1,00 0,000 0,314 0,603 0,844 1,020

1,050 1,130 1,165 1,163 1,132

1,067 1,142 1,170 1,161 1,127

1,084 1,154 1,174 1,156 1,111

2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

1,090 1,164 1,174 1,149 1,099

1,105 1,169 1,175 1,141 1,085

1,120 1,175 1,176 1,141 1,071

1,133 1,178 1,175 1,118 1,053

1,084 1,032 0,984 0,948 0,927

1,069 1,016 0,956 0,936 0,917

1,053 0,994 0,949 0,920 0,911

5,0 5,5 6,0 6,5 7,0

1,036 0,979 0,934 0,910 0,908

1,019 0,962 0,922 0,906 0,909

1,001 0,951 0,914 0,903 0,915

0,986 0,932 0,906 0,905 0,925

0,922 0,932 0,951 0,976 1,000

0,919 0,936 0,958 0,000 1,015

0,920 0,944 0,974 1,006 1,033

7,5 8,0 8,5 9,0 9,5

0,927 0,955 0,990 1,023 1,048

0,934 0,970 1,006 1,039 1,059

0,946 0,986 1,023 1,053 1,066

0,962 1,004 1,041 1,061 1,066

1,020 1,033 1,039 1,037 1,027

1,036 1,046 1,047 1,039 1,025

1,049 1,054 1,048 1,034 1,015

10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

1,059 1,058 1,044 1,024 1,000

1,063 1,055 1,034 1,010 0,984

1,062 1,048 1,021 0,994 0,969

1,056 1,033 1,005 0,977 0,958

1,017 1,005 0,995 0,987 0,983

1,010 0,993 0,982 0,974 0,970

0,995 0,980 0,968 0,965 0,969

12,5 13,0 13,5 14,0 14,5

0,979 0,964 0,958 0,961 0,971

0,965 0,955 0,954 0,965 0,981

0,954 0,950 0,958 0,976 0,997

0,949 0,955 0,970 0,990 1,010

0,70 0,983 0,985 0,990 0,995 0,999

0,75 0,976 0,984 0,993 1,001 1,008

0,80 0,978 0,991 1,003 1,014 1,020

15,0 15,5 16,0 16,5 17,0

0,85 0,987 1,003 1,018 1,027 1,030

0,90 1,001 1,019 1,031 1,036 1,032

0,95 1,017 1,032 1,039 1,038 1,027

1,00 1,030 1,040 1,039 1,028 1,012

1,002 1,004 1,003 1,003

1,012 1,014 1,012 1,005

1,023 1,020 1,014 0,998

17,5 18,0 18,5 19,0

1,027 1,018 1,007 0,985

1,023 1,008 0,993 0,973

1,013 0,993 0,978 0,967

0,988 0,979 0,969 0,973

1,003 1,001 0,999 0,998 0,997

1,001 0,996 0,993 0,992 0,991

0,991 0,986 0,983 0,987 0,991

19,5 20,0 20,5 21,0 21,5

0,979 0,976 0,975 0,988 0,997

0,972 0,974 0,981 0,997 1,012

0,974 0,990 1,002 1,013 1,024

0,985 1,001 1,016 1,024 1,020

Приложение 2 П2.1. Подшипники роликовые комбинированные типа 5040000 d, мм

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Основные размеры, мм

Условное обозначение

D

d1

D1

A

B

b

R

S, мкм

4-504704 4-504904 4-504705 4-504905 4-504706 4-504906 4-504707 4-504907 4-504708 4-504908 4-504709 4-504909 4-504710 4-504910 4-504911 4-504912 4-504913 4-504914

52 62 57 72 62 80 70 85 75 90 80 105 90 110 115 120 125 130

25 30 30 35 35 40 40 45 45 50 50 55 55 60 65 70 75 80

42 52 47 62 52 68 60 73 65 78 70 90 78 95 100 105 110 115

46 60 50 60 50 66 54 66 54 75 60 82 60 82 82 82 82 82

16 20 20 20 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 25 25 25

5 7,5 5 7,5 5 9 6 9 6 9 6 11 6 11 11 11 11 11

1 1,5 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 2 2 2 2 2

3 4 3 4 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5 5 5 5

П2.2. Подшипники упорные роликовые с цилиндрическими роликами Диаме тр отверс тия d, мм

17 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Условное обозначение

Основные размеры, мм

отечеств.

импортн .

d

D

H

dl

h

e

rmax

9103 9104 9105 9106 9206 9889306 9107 9207 9889307 9108 9208 9889308 9109 9209 9889309 9110 9210 9889310 9111 9211 9889311 9112 9212 9889312 9113 9213 9889313 9114 9214 9889314 9115 9215 9889315

81103 81104 81105 81106 81206 89306 81107 81207 89307 81108 81208 89308 81109 81209 89309 81210 81210 89310 81111 81211 89311 81122 81212 89312 81113 81213 89313 81114 81214 89314 81115 81215 89315

17 20 25 30 30 30 35 35 35 40 40 40 45 45 45 50 50 50 55 55 55 60 60 60 65 65 65 70 70 70 75 75 75

30 35 42 47 52 60 52 62 68 60 68 78 65 73 85 70 78 95 78 90 105 85 95 110 90 100 115 95 105 125 100 110 135

9 10 11 11 16 18 12 18 20 13 19 22 14 20 24 14 22 27 16 25 30 17 26 30 18 27 30 18 27 34 19 27 36

18 21 26 32 32 32 37 37 37 42 42 42 47 47 47 52 52 52 57 57 57 62 62 62 67 67 67 72 72 72 77 77 77

2,75 2,75 3 3 4,25 6,25 3,5 5,25 7 3,5 5 7,5 4 5,5 8,5 4 6,5 9,5 5 7 10,5 4,7 7,5 10,5 5,25 8 10,5 5,25 8 12 5,75 8 12,5

0,5 0,5 4 1 1 1,5 1 1,5 1,5 1 1,5 1,5 1 1,5 1,5 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 1,5 2 1,5 1,5 2 1,5 1,5 2 1,5 1,5 2,5

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4

Продолжение табл. П2.2 Диаме тр отверс тия d, мм

80

85

90

100

110

Условное обозначение

Основные размеры, мм

отечеств.

импортн .

d

D

H

dl

h

e

rmax

9116

81116

80

100

19

82

5,75

1,5

3

9216

81216

80

110

28

82

8,5

1,5

3

9889316

89316

80

135

36

82

12,5

2,5

4

9117

81117

85

110

19

87

5,75

1,5

3

9217

81217

85

125

31

88

9,5

1,5

3

9889317

89317

85

150

39

88

13,5

2,5

4

9118

81118

90

120

22

92

6,5

1,5

3

9218

81218

90

135

35

93

10,5

2

4

9889318

89318

90

155

39

93

13,5

2,5

4

9120

81120

100

135

25

102

7

1,5

3

9220

81220

100

150

38

103

11,5

2

4

9889320

89320

100

170

42

103

14,5

2,5

4

9122

81122

110

145

25

112

7

1,5

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …...………………………………………………….

3

1. Разработка расчетной схемы динамической системы привода и определение ее параметров …………………………………

4

2. Динамический расчет привода главного движения станка…..

22

3. Динамика многомассной системы привода ………...................

44

Контрольные вопросы …………………………………………….

92

Отчет по работе ……………………………………………………

92

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………..

93

ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………………………

94

ДЛЯ ЗАМЕТОК