О линейных функциональных уравнениях

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ *). Ф. Р и с е . Перевод с немецкого М. М. Гринблюма.

В настоящей работе рассматривается проблема обращения для одного класса линейных функциональных уравнений. Первый параграф имеет вспомогательное значение, второй посвящен исследованию проблемы в общем виде, и, наконец,. в третьем дается приложение общих результатов к линейным интегральным уравнениям. В этой работе не так важны новые результаты, как применение чрезвычайно элементарного метода. Наиболее существенными здесь являются доказательства „конечности", в которых устанавливается, что некоторые про­ цессы не продолжаются неограниченно, а непременно обрываются. Важней­ шим применяемым здесь понятием является понятие компактного множества (именно, компактной последовательности), введенное Фреше в общую теорию множеств и оказавшееся очень полезным в различных областях анализа. Благо­ даря этому понятию оказалось возможным дать очень удачное и простое опре­ деление вполне непрерывного преобразования, в основном построенное так жеу как аналогичное определение, данное Гильбертом для функций от бесконечного числа переменных. То, что мы здесь ограничились рассмотрением непрерывных функций, несу­ щественно. Читатель, знакомый с новейшими работами по функциональным про­ странствам, легко заметит, что построенный здесь метод может быть применен более общим образом; он заметит также, что в некоторых функциональных про­ странствах, как, например, в пространстве функций с суммируемыми квадратами и в гильбертовом счетномерном пространстве, наш метод упрощается. Рассматриваемое здесь пространство, которое кажется на первый взгляд более простым, служит как бы пробным камнем для применимости этого метода в общем виде. § 1. Определения и леммы. Основным объектом настоящего исследования является совокупность функ­ ций f{x), определенных на отрезке а < > < 6 и непрерывных всюду на этом отрезке. Переменное х принимает, таким образом, лишь действительные значе­ ния, однако значения функции могут быть и комплексными. Заметим здесь же,, что все полученные в настоящей работе результаты верны без всяких изменений и для совокупности всех непрерывных на а < х < Ъ функций, принимающих лишь, действительные значения. !

) F. R i e s z , Uber Hneare Fnnktionalgleichungen, Acta Mathematica, т. 41, 1918, стр. 71—98.

Ф. РИСС

176

Положенную в основу совокупность мы в дальнейшем будем для краткости на­ зывать функциональным пространством. Максимальное значение величины \f(x) \ мы будет называть нормой f(x) и обозначать через \\f\\. Очевидно, что вели­ чина \\f\\, вообще говоря, положительна; она обращается в нуль лишь в случае, когда f(x)==0. Далее, для \\f\\ справедливы соотношения

II с f{x) || = И || f(x) ||, || л -К 2 1| < || Л || +1| и II • Будем называть расстоянием между функциями fx и f2 величину ||/\—А11 = = ||/>2 — /*! ||i т. е. норму их разности. В этих условиях утверждение, что последо­ вательность функций {fn} равномерно сходится к функции /*, равносильно утверждению, что расстояние \\f—fn\\ стремится к нулю. На основании так называемого общего принципа сходимости, для того чтобы последовательность { fn } равномерно сходилась, необходимо и достаточно, чтобы \\fm — fn \\ -> О при т->оо и ю->оо. Поэтому, если все расстояния \\fm — fn\\ имеют отличную от нуля нижнюю грань, то последовательность не может равномерно сходиться. В дальнейшем мы будем заниматься проблемой обращения линейных пре­ образований. Преобразование Т, посредством которого каждому элементу нашего функционального пространства соответствует единственным образом опреде­ ленный элемент T[f], называется линейным, если оно обладает свойством дистрибутивности и ограниченно. Преобразование называется дистрибутивным, если для всех f имеют место тождества

T[cf\ = cT[f], Tfa+f^TlfA

+ TlfJ.

Преобразование называется ограниченным, если существует постоянное число М такое, что \\T[f\\\<M\\f\\ для всех f. Непосредственно из определения линейности заключаем, что если Т—линейное преобразование, то оно переводит любую ограниченную последовательность {/*„}, т. е. такую последовательность, для которой |[ fn || имеют конечную верхнюю грань, в ограниченную же последовательность. Далее из соотношений

II T[f]-T[fn)

|| = || T[f-fn)

|| < Ж || f-fn

||

следует, что равномерно сходящаяся последовательность переводится посредством линейного преобразования Т в равномерно же сходящуюся последовательность и что, кроме того, предельные функции обеих последовательностей также соот­ ветствуют друг другу. Короче говоря, преобразование Т непрерывно. Смысл обозначений сТ, Тх-{-Т2, ТгТ2, Тп достаточно ясен и ни в каких специальных пояснениях не нуждается. Далее совершенно очевидно, что пре­ образования, построенные таким путем из линейных преобразований, т. е. суммы, произведения и степени линейных преобразований, также являются линейными преобразованиями. Тождественное преобразование условимся обозначать через Е. Посредством Е каждая функция переводится сама в себя. Мы будем заниматься вопросом об обращении преобразования вида Б = Е— А, где Е является тождественным преоб­ разованием, в то время как А является преобразованием специального вида, а именно вполне непрерывным преобразованием. Прежде чем ввести понятие пол­ ной непрерывности, необходимо определить понятие компактной последовательности.

О ЛИНКЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

177

Согласно Фреше (Frechet) последовательность {fn } называется компактной, если любая ее бесконечная часть содержит равномерно сходящуюся подпоследо­ вательность. В частности любая равномерно сходящаяся последовательность компактна; однако обратное утверждение неверно, так как, например, соединяя в одну две равномерно сходящиеся последовательности с разными предельными функциями, мы получим компактную последовательность. Необходимое и достаточное условие компактности было уже давно сформу­ лировано Арцела (Arzela) r ). Мы не будем пока пользоваться этим условием, удовольствуясь на первых порах указанием признака, невыполнение которого означает, что рассматриваемая последовательность не компактна. Этот признак заключается в том, что если последовательность {fn\ компактна, то нижняя греть расстояний \\fm — fn\\ (m ф №) должна бить равна нулю, так как после­ довательность {fn} содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность. Следующее свойство компактной последовательности, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что всякая компактная последовательность является вместе с тем ограниченной. В самом деле, в противном случае она содержала бы подпоследовательность из членов, нормы которых монотонно стремятся к бесконечности, но тогда все подпоследовательности этой последней, очевидно, тоже обладали бы этим свойством, и, значит, ни одна из них не могла бы равномерно сходиться. Напротив, не всякая ограниченная последовательность компактна: например, последовательность fn(x)=vn в O ^ . r ^ l ограниченна, но не компактна, так как она сама и все ее подпоследовательности сходятся к фуякдни, имеющей разрыв в точке х — 1. Тот факт, что ограниченная последовательность может не быть компактной, служит основанием для выделения специального тина линейных преобразований, называемых вполне непрерывными. Любое линейное преобразование, как было выше указано, переводит огра­ ниченную последовательность в ограниченную, равномерно сходящуюся в равно­ мерно сходящую и, таким образом, компактную — в компактную; мы будем гово­ рить, что линейное преобразование вполне непрерывно, если оно переводит любую ограниченную последовательность в компактную. Приведем простейшие примеры вполне непрерывных линейных преобразо­ ваний: T[f]—f(a); это преобразование переводит каждую функцию f(x) в по­ стоянное; равное f(a); далее, T[f]=f(a)-Jrf(b)x или, более обще,

nn=f(ai)9i<*)+-'.+f(*m)9m<*)> где av . . . , ат—точки интервала (а, Ь) и gv . . . , i)m — непрерывные функции Далее, преобразование X

а

я более обще: ъ

K[f] = f

K(x,

y)f{y)dy.

а 1

) С. A r z e l a , Sulle funzioni di linee, Memorie d. R. Accad. d. Scienze di Bologna, серия 5, т. V, 1895, стр. 225—244. 12

Зак. 3243, Успехи математических- наук. Вып. I.

78

Ф. РИС

о

Этим последним преобразованием мы займемся более подробно в главе, посвя­ щенной применению нашей общей теория к интегральному уравнению Фредгольма. Наиболее простым примером преобразования, не являющегося вполне непре­ рывным, служит тождественное преобразование Е: в самом деле, оно переводит в самое себя любую последовательность тг, в частности, ограниченную, но некомпактную последовательность. Непосредственно из определения вытекает, что произведение 1\Т2 двух преобразований есть вполне непрерывное преобразование, если хотя бы одно из преобразований 1\ и 1\ вполне непрерывно. Так как, далее, умножая элементы равномерно сходящейся последовательности на одно и то же постоянное число, или складывая соответствующие элементы двух равномерно сходящихся после­ довательностей, мы получаем вновь равномерно сходящиеся последовательности, то отсюда следует, что, если преобразования Т, Т\ и Т2 вполне непрерывны, то вполне непрерывны также преобразования еТ и '/\ -j- Г2. Теперь нам необходимо ввести еще одно понятие, которое лежит в основе наших дальнейших исследований, — понятие о лтшейном многообразии. Линейным многообразием мы будем называть всякое многообразие в нашем функциональном пространстве, удовлетворяющее следующим условиям: 1) Если f, f\, f2 принадлежат многообразию, то ему же принадлежат также с/'и t\-\-f2, 2) если в нем содержится равномерно сходящаяся последовательность, то ему же принадлежит и предельная функция. Примером линейного многообразия является само наше функциональное пространство; другим примером (своего рода противоположной крайностью) может слул-ить многообразие, состоящее из одной лишь функции /*==(}. Непосредственно из определения линейного много­ образия следует, что каждое множество непрерывных функций определяет два линейных многообразия, а именно: 1) совокупность всех линейных комбинаций функций данного множества с присоединениемТвсех предельных функций этой совокупности (предельных в смысле равномерной сходимости); 2) совокупность ъ

таких непрерывных функций f, для которых интегралы j fgdx равны нулю, каа

кова бы ни была функция д, принадлежащая^рассматриваемому множеству. Сейчас" мы докажем несколько предложений о линейных многообразиях, которые в дальнейшем будут использованы нами как леммы. Они почти непо­ средственно вытекают из наших определений. ЛЕММА 1. Пусть L — какое-нибудь линейное многообразие и g — функция, не принадлежащая L. Тогда в многообразии L имеется функция fx такая? что для всех функций f, принадлеоюащпх L, выполняется неравенство l9-f\\

>\\\9-fx\\-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция у не принадлежит многообразию Ь, то нижняя грань d расстояний || g — f\\ не равна нулю; в самом деле, если бы это было не так, то в Ь существовала бы последовательность, равномерно сходящаяся к д, и поэтому сама д входиАа бы в L. Выберем в L функцию f\ так, чтобы было \\ д — /\ || < 2d. Справедливость доказываемого неравенства теперь очевидна, так как для всех /"из L выполняется неравенство \\д — f \\ >aL

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛ 1ЛШХ УРАВНЕНИЯХ

yj$

ЛЕММА 2. Пусть Lx и L2 — линейные многообразия. Если £ 2 является частью Lx (в узком смысле, рг. е. L2 является частью L19 no пе совпадает с ним), то в многообразии Lx существует функция ди с нормой, равной единице ( || дх |) = 1), такая, что

\\9i —

f\\>^

для всех функций /*, принадлежащих Х2* Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно условию в Ll найдется по крайней мере один элемент #, не принадлежащий i 2 ; но тогда на основании леммы I в L2 существует элемент f2 такой, что для всех /' из L,2 выполняется неравенство \\9-fi Введем обозначение !h

~\\9-fA:

так что 1| дх |] = 1. Очевидно дх принадлежит Lt как линейная комбинация эле ментов д и f2, входящих в Lv причем 9i —f

9 —U II 9-fs !

II 9-U- \\J_-UM1 = W9-fb\\ \\9-fA \\9-UW '

_f-

где f3==f2-\- ]] д.— / а || f как линейная комбинация принадлежащих к Х2 функ­ ций f2 и f сама принадлежит к Х2- Следовательно, 1191

ni

Wg—ftW

" 2

Очевидно, что в обеих леммах — может быть заменено любым числом, меньшим, чем единица. Однако ставить вместо половины саму единицу в общем случае было бы незаконно. В этом можно убедиться, рассматривая следующий пример: возьмем в качестве Lx совокупность всех функций д} удовлетворяющих условию д (а) = О, а в качестве 7>2 — совокупность всех функций, для которых помимо ь условия д(а) = 0 имеет место еще /g(x)dx = 0. Для выбранных таким а

образом многообразий Lx и L2 выполняются условия леммы 2. Допустим теперь, что в Lx оказалась функция дх с нормой, равной единице, такая, что для всех f ъ

из Х2 || #! — f || >- 1. Тогда, как нетрудно показать, интеграл

/ д dx, расематриа

ваемый для всех д из Lx с \\ д\\ ^ 1, принимал бы по абсолютной величине макси­ мальное значение при д = дх\ в самом деле, если бы в £« имелась 4)В1Кия д2 с

II 09II <С 1> Д л я которой ь

ъ

J J 9*&*• I > I / а

то для принадлежащей к Х2 функции 12*

'

9idl "а

Ф. РИСО

ISO

где £ удовлетворяет уравнению ь ъ J дх (х) dx — \ J д2 (г) dx = О, Ct

г/

мы получили бы: || д{—f \\ = \\ \д^ || ^ j \ < < 1, что противоречит предполо­ жению относительно # г Таким образом абсолютная величина рассматриваемого интеграла достигает при дх максимума.'Из условия \\д\\ <; 1 заключаем, что этот максимум <^ 6 — а; с другой стороны, можно сколько угодно близко подойти к значению Ь — а, пользуясь функциями д9 равными единице всюду на (а, Ъ), т исключением некоторой окрестности точки а, в которой они непрерывно переходят в нуль, когда х приближается к а. Таким образом абсолютная вели­ чина интеграла от д{ равна Ъ — а, т. е. длине интервала интеграции. Но так как д{— непрерывная функция и, кроме того, 11^(1=1, то равенство

jgd.

• Ь — а влечет за собою ; дх (,>) | == 1. Получилось противоречие, так

как, по предположению, д1(а) = 0. Таким образом показано, что, вообще говоря, в лемме 2 число — не может быть заменено единицей. Соответствующий пример для леммы 1 можно полу­ чить, беря в качестве L только что рассмотренное многообразие L2 и в каче­ стве д, например, функцию х — а или любую функцию, входящую в Li9 но не принадлежащую L2, Однако число 1 может быть поставлено в одном специаль­ ном случае, а именно, когда L, соответственно Х2, имеет конечное число измерений. Мы будем говорить, что многообразие L имеет конечное число измерении, если в L существует конечная последовательность элементов gv . .., gkf обладающая тем свойством, что всякий элемент д может быть пред­ ставлен в виде линейной комбинации элементов этой последовательности. Для таких многообразий справедлива следующая лемма, являющаяся усилением леммы 1. ЛЕММА 3. Пусть L — линейное многообразие конечного числа измерений и д — функция, не входящая в L. Тогда в L существует функция f* такая, что для всех f, принадлежащих к L, выполняется неравенство \\9 — f\\>\\9

— f*\\-

Доказательство этой леммы основывается в свою очередь на следующей лемме: ЛЕММА 4. Всякая ограниченная последовательность элементов линейного многообразия с конечным числом измерений компактна. Д о к а з а т е л ь с т в о лемм З и 4 . Согласно условию все элементы рассмат­ риваемого многообразия могут быть представлены в виде 9 = c1gi~r-c2g2-\- . . . +ckgk. Можно считать, что функции gv . . . , gk линейно независимы, так^как в против­ ном случае лишние функции можно было бы отбросить. Для доказательства леммы 4 достаточно показать, что ограниченность величин ^

Ы ! = 11с 1 ?1+..-Ч-с л л.||

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

181

влечет за собою ограниченность всех | с J , так что ограниченной последова­ тельности элементов д соответствует ограниченная последовательность точек (с р . . . , с л ) й-мерного пространства; если это будет установлено, то справед­ ливость леммы 4 будет следовать непосредственно из принципа БольцаноВейерштрасса. Таким образом нужно доказать, что из ограниченности || д || вытекает существование общей грани для всех | с{ \ . Допустим, что это не так; тогда существует ограниченная последовательность функций, для которой соответст­ вующие суммы | с1 ] + • • -4~ I ci: I беспредельно растут. Деля каждую функцию этой последовательности на соответствующую ей сумму I c i I + • • • + I CA I » получим последовательность, равномерно сходящуюся к нулю, причем для функций этой новой последовательности будем иметь | сх \ -]-...-{- | ск | = 1 . На основании принципа Болъцано-Вейерштрасса из этой последовательности функций можно выделить подпоследовательность, для которой все с{ будут стре­ миться к соответствующим пределам с*; при этом очевидно, что | сг* | 4 - . . . . . . + 1 ск* | = 1 . Так как, с другой стороны, из с1->с1*, . . . , ck->ch* следует, что c

i9i+ • • • + ен9*-+ ci*9i+

• • • +с**Л,

то сг* дх-\-... + с А * дк = 0, ибо вместе со всей последовательностью и рассматриваемая подпоследовательность сходится к нулю. Но так как gv . . . , дк линейно независимы, то получаем: с1* = 0, . . . , cft* = 0, что противоречит равенству ] сх* | 4- . . . -}- j сА* | = 1. Таким образом лемма 4 доказана. Лемма 3 получается из леммы 4 следую­ щим образом. Нужно показать, что нижняя грань всех \\ д — f || достигается для некоторой функции, принадлежащей многообразию L. Пусть {fn} — последовательность функций, для которой \\ д — fn\\ стре­ мится к нижней грани d всех \\ д — f || ; последовательность функций [д — fn) ограничена, а поэтому ограничена и последовательность [fn], так как II fn II < II 9 II + II 9 — fn II • ^ а основании леммы 4 последовательность [fn] также компактна, а поэтому из нее можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность. Предельная функция /** этой подпоследовательности удовле­ творяет неравенству \\д — f* ]] ^ || д — fn \\ -|А|| fn — f* |] -» d, и, следовательно, \\9— f II действительно принимает минимальное значение при f — f*. Лемма 5, к которой мы сейчас перейдем, служит дополнением к лемме 4. В ней доказывается, что свойство компактности всех ограниченных последова­ тельностей является характеристическим для многообразий конечного числа измерений. ЛЕММА 5. Если все ограниченные последовательности элементов линейного многообразия L компактны, то L -имеет конечное число измерений. Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что лемма неверна. Тогда в нашем много­ образии существует бесконечная последовательность {дп}у элементы которой линейно независимы, иначе говоря, — последовательность, ни один из элементов которой не может быть представлен в виде линейной комбинации предшествую­ щих ему элементов. Обозначим через Lh совокупность линейных комбинаций из элементов д^ ...,gh; тогда очевидно, что элемент дк,г не принадлежит Lk. С другой стороны, Lk — линейное многообразие, так как, во-первых, L1t содержит все линейные комбинации своих элементов, и, во-вторых.

182

Ф. ГИСС

на основании леммы 4 из условия || с1д1-\- . .. -\-скдк |[ ->0 вытекает, что с1 ->0, . . .,ск->0, и, следовательно, из равномерной сходимости последователь­ ности {д{п = с^п)дх ~\- .. . -|- ск{п)дк} к функции д* вытекает сходимость коэфициентов с;1* к соответствующим предельным значениям с,.*, так \ что функция g* = с*дх -j- . . . Jrck*gk также принадлежит к многообразию ХА.. Далее, многообразие Lk является частью (в узком смысле) многообразия Lk,v поэтому на основании леммы 2 в i u i существует функция fk с нормой, равной еди­ нице, такая, что [| fk — f\\ > - - для всех f, принадлежащих к Lk х). Функции fk (к = 1, 2, . . . ) образуют ограниченную последовательность, так как || fk \\ = 1. , 1 С другой стороны, если i ф к, то [| /\. — fh. | >- — , так как всегда или /*f при­ надлежит к ХЛ, или fk принадлежит к Lv Но тогда нижняя грань расстояний |[ f\ — fk\\ (г ф к) не равна нулю и, следовательно, ограниченная последователь­ ность [fk] не компактна. ЛЕММА 6. Если линейные многообразия Хх и Х2 не содержат никаких общих элементов за исключением f=0, и если хотя бы одно из них имеет конечно число измерений, то существует постоянная С такая, что для каждого элемента f из Lx и каждого элемента g из Х2 выполняется нера­ венство

\\f\\ +

\\9\\
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что лемма неверна. Тогда существуют последовательности \fn) и [gn}f для которых

II/„II + ll^li>«l!f„+^!|. Не нарушая общности, мы можем предположить, что [| fn || -р [[ gn [j = 1, так как это всегда может быть достигнуто делением fn и gn на || fn \\ -{-\\дп\\- Согласно условию одно из L{ и Х2 конечномерно, Пусть таким является, например, Lv Тогда, в силу леммы 4, ограниченная последовательность [fn] компактна, и, следовательно, из нее может быть выделена равномерно сходящаяся подпосле­ довательность f{n)-+f*. Далее, так как |[ f{n) -f- g{n) [j < >09 то последовательность fn) -\-д{п) равномерно сходится к нулю и поэтому равномерно д'п)->—f*. Но тогда, с одной стороны, получаем || /<"> || -> || /'* || 2 ), || др» || -> || —/*|| = || ЛИ, и, значит, вследствие того, что |[ /^п) || + || (}п) || = 1, имеем 2 |[ /* || = 1; с друj //Я>1 гой стороны, f*, как предельная функция последовательностей {/v<«)] } игг {/ _—д \> должна принадлежать обоим многообразиям Lx и Х2 и поэтому должна быть тождественным нулем; получается противоречие с только что доказанным равен­ ством 2 || f* || = 1 , J

) Так как L!; конечномерно, то —• можно было бы заменить через 1, однако такое уточнение нам здесь не нужно: лемма 3 нам потребуется лишь позже. 2 ) Справедливость соотношения ;!/(n) |l -> \\ f* || для всякой равномерно сходящейся последовательности f^ -> f* получается проще всего из неравенств || /** [| < 1| f* — f ^гЦ\ -\+ I! t{n) 1!, II f{n) II < !! /"* — f{n) il + li f* !l и предельного соотношения [| f* — f{n) il -*0.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

183

§ 2. Обращение линейных преобразований. Мы здесь будем рассматривать преобразование вида В = Е— А, где Е— тождественное, а А— вполне непрерывное линейное преобразование нашего функционального пространства. Однородное функциональное уравнение В [
А(пЕ—...)

гиолне непрерывно как произведение двух преобразований, из которых одно, А, вполне непрерывно. Таким образом теорема V есть следствие теоремы 1. Прежде чем перейти к теореме 2, заметим, что каждое решение уравнения Бп[<р] = 0 является в то же время решением уравнения J3 w+1 [
184

Ф. РИСС

является первым, не совпадающим с предшествующим; тогда существует функция ср такая, что Б п + 1 [?] = 0 и Вп [ v каждое решение уравнения Вп [с?] = О в то же время служит решением уравнения в" [?] = о, в то время как vpu n < v уравнение Вэя-И "^[?] = о удовлетворяется и такими функциями, которые не являются решениями уравнения Вп [о] = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что теорема неверна; тогда в силу леммы 2 каждому п соответствует функция ©Л, обладающая следующими свой­ ствами: Вп+1 [ ^ для всех функ­ ций <р, удовлетворяющих уже уравнению JSn [о] = 0. Функции <ря, и = 1, 2, . . . образуют ограниченную последовательность; поэтому, так как А — вполне не­ прерывное преобразование, то функции дп = А [ у 1 ) ' т. е. последовательность \дп) не компактна. Итак, сделанное нами допущение приводит к противоречию. Если жй положим В° = Е, то теорема 2 будет справедлива п длг. случая v = 0 (т. е. случая, когда однородное уравнение кроме тождественного нуля никаких других решений не имеет). *) Также и „тут число — можно заменить черег 1, так как каждое из рассматриваемых Li

многообразий имеет конечное число измерений.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

18Г»

Из теоремы 2 вытекает: 3. Если уравнение

ТЕОРЕМА

имеет решение длч каждой непрерывной функции д, то это решение опреде­ ляется единственным образом. Д о к а з а т е л ь с т в о . Теорема 3 утверждает, что если неоднородное уравпение всегда разрешимо, то соответствующее однородное уравнение за исклю­ чением решения, тождественно равного нулю, никаких других решений не имеет. Мы докажем это следующим образом. Допустим, что уравнение В[ пусть, далее, Ф2 будет решением уравнения В\®\ = ®i} <р3 — решением уравнения В [Ф] = <р2 и т. д., и вообще ®п+1 — решением уравнения В['?] = %ъ. Тогда для любого w > l получим J3w[cpJ = 0, Bn~l[vn] ф 0, что невозможно в силу теоремы 2. Поставим теперь следующий вопрос: каковы свойства многообразия функ­ ций д, для которых уравнение В[
II ? - Щ < ! ! ? - / • IIТаким образом 9* = ? — f* является минимальным решением уравнения В[<р]=д (т. е. решением с наименьшей нормой). Поэтому для всех f, удовле­ творяющих уравнению В [f] = 0, будет выполняться неравенство || Ф* || ^ || Ф*—f\\,. Для доказательства теоремы достаточно теперь установить, что отношения II ®* II

' ' , рассматриваемые для всех д, для которых уравнение В[<в] = д разре­ шимо, будут иметь конечную верхнюю грань G. Допустим, что такой кон­ станты G не существует. Тогда существует последовательность {дп) и соответ­ ствующая последовательность минимальных решений {Ф*} такие, для которых

|| < II I! 9п ll Так как функции сдп соответствует минимальное решение с<р*, то> н е н а " рушая общности, можно считать ||
Ф.

186

РНГГ

довательность {?*} ограничена, то последовательность А [©*] компактна ш поэтому содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность

Далее, так как Е = А + Б, вследствие чего

?: =^[?; 1 i+-B[?r,]=^[?rj+p ( ,,. Л

л

Л

Л

л

и так как д равномерно стремится к нулю, то ср* равномерно стремится получаем В (V ]->23[<р**], и так как, к пределу ?**. Вследствие этого пол с другой стороны, В [v*k]=g -+ О, то В [9**] = О, т. е. ср** — решение однородного уравнения. Но тогда || <р* —?** 11 >- II ?% II = = 1 для всех &; получилось противоречие с установленной равномерной сходи­ мостью ©* -><©**. ТЕОРЕМА 5. Преобразование В переводит функциональное пространство в некоторое линейное многообразие. Д о к а з а т е л ь с т в о . Из свойства дистрибутивности преобразования Б непосредственно вытекает, что, если g> gv g2 принадлежит преобразованному пространству, то ему же принадлежат также сд я gi-\-g2. Таким образом остается показать, что если элементы дп равномерно сходящейся последовательности 9п ~* 9* содержатся в преобразованном пространстве, то ему же принадлежит и предельная функция д*. Иначе говоря, надо доказать, что если уравнения .В [ъ] =дп имеют решение, то имеет решение также и уравнение В[у]=д*1 Для этой цели выберем из последовательности \дп) подпоследовательность {д{п)}, для которой

\\9* — 9{п)\\ < 2п1+ 1' Тогда и

(п 4-1)

\9~

(п) и ^ и v..

(и 4 - 1 ) it [ и &

' —9' :1К!1Г—-<Г

Обозначим через <р0 решение уравнения B[y]=g{i) соответственно, решения уравнений В[*]=д{п

(*ft т ^

•*•

| i + l l # * — 9 Ч! < трг-

+

и через
1)

-д(п),

удовлетворяющие неравенствам

То, что такие ум существуют, доказано в теореме 4. Тогда бесконечный ряд 9о 4~ + ?! + ••• сходится равномерно и абсолютно, а потому

и, следовательно, для функции ?*, равной сумме нашего ряда, получаем Б [?*]=#*, т. е. уравнение В[?]=д* имеет по крайней мере одно решение.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

187

Прежде чем перейти к теореме 6, мы сделаем некоторые замечания. Так как преобразование Вп, как было отмечено выше в теореме Г, принадлежит к тому же тину, что и J5, то теорема 5 приложима также и к Вп, следовательно, каждое преобразование Вп переводит функциональное пространство в некоторое линейное многообразие Ln. Так как наше функциональное пространство, которое мы будем впредь обозначать через L0, содержит многообразие Lx и так как L0 и Lt переводятся посредством преобразования Вп в Ln и i / I + 1 , то многообразие L _i_ i содержится в многообразии Ln, Возникает вопрос: является ли многообразие L , 1 частью многообразия Ln в узком смысле, или эти многообразия совпадают, Нетрудно видеть, что в рассмотренном нами случае, когда L0 = Lv все Ln совпадают друг с другом; вообще из Lm + 1 = Lm следует, для всех п>т, Ln — Lm. Таким образом возможны два варианта: или всякий раз при переходе от одного много­ образия к другому со старшим индексом происходит потеря элементов, или начиная с некоторого значения п все многообразия совпадают. Мы сейчас покажем, что первый вариант исключается. ТЕОРЕМА 6. Существует числом такое, что для всех ^>v будет L = £ v , в то время как при п < v многообразие Ln,t яляется частью, в узком смысле, многообразия Ln. Это число и число v, определенное в теореме 2, совпадают. Д о к а з а т е л ь с т в о . Для того чтобы доказать существование числа v, до­ статочно показать, что Ln , ± не может быть частью, в узком смысле9 многообразия Ln для всех значении п. Если Lt.1 является частью, в узком смысле, многообразия ЬпУ то согласно лемме 2 в Ln найдется функция дп) \\ дп \\ = 1, такая, что для всех функций д из L , будет иметь место неравенство \\дп—д || >•—. Если это имеет место при любом п, то подучим бесконечную последовательность функций \дп} . Так как А = Е — В, то для т < п А [дт] — А [дп] = дт — (дп -f В [дт] — В [дп] ) = дт— д. Так как каждое из трех слагаемых, сумма которых обозначена через д, при­ надлежит к Lm + V то и д также принадлежит многообразию Lm + V Поэтому II А [9 J — А [дп] |! -

|| дт — д || >

~.

Однако, последнее неравенство противоречит тому обстоятельству, что последова­ тельность {J.[#J} является результатом преобразования ограниченной последо­ вательности {дп} посредством вполне непрерывной|операции А и поэтому должна быть компактна. Таким образом существование числа v доказано. Для того чтобы доказать правильность второго утверждения теоремы, заметим сначала, что так как L4 переводится посредством В само в себя, то уравне­ ние jB[
188

Ф. РИСС

не имеет. Доказательство здесь строится так же, как в теореме 3, которая соответствует случаю v = 0. Если многообразию Xv принадлежит не равное нулю решение <р1 уравнения В [<р] = 0, то, обозначая через 1 : Bn[yn] = 0, J3 n - _1 [cpj ф О, что противоречит теореме 2. * Из доказанного только что утверждения вытекает, что любое решение уравнения J5v+1[cp] = 0 удовлетворяет также и уравнению ХГ[?]|=0, так как в противном случае не равная нулю функция ^ = IT [ср], принадлежа много­ образию L, была бы в то же время решением уравнения В [<\>] = 0. С другой стороны, для каждого w< v можно найти решение уравнения Bn+l r^i = Q^ такое, что Вп [ср] ф 0. Для того чтобы это показать, возьмем в многообразии ^ v - n - i Функцию f> н е входящую в следующее многообразие Ly_n и притом такую, для которой выполняется условие Bn[f] ф 0; нетрудно видеть, что такая так как в л функция найдется в Ъч_—-^v—n* РО т и в н о м случае множество X v _ 1 — Xv было бы пустым, т. е. было бы Xv = £ r Функция д= Bn+1 [f] принадлежит к Xv и, следовательно, в -Xv имеется функция f\, для которой ^n*1[fi] =9' Но тогда функция v = f—f\ удовлетворяет уравнению Вп+1[9] = о, так как Bn+1[f) = Bn+1 [f\]. С другой стороны, так как Bn[f\] принадлежит многообразию Xv, в то время как Bn[f] принадлежит L,,__v но не принадлежит Ls, то получаем: Вп [ср] = Вп [f] — Вп [fx] ф 0. Таким образом наше число v обладает такими же свойствами, как v, опре­ деленное в теореме 2. Теорема 7, почти непосредственно вытекающая из теорем 2, 3, 4 и 6, содержит как частный случай фредгольмовскую альтернативу относительно раз­ решимости неоднородного и однородного интегральных уравнений. ТЕОРЕМА 7. Всегда имеет место одно из следующих двух положений: или преобразование В обратимо, т. е. существует преобразование В~\ для кото­ рого ВВ~г = В~1В=Е, или однородное уравнение В[у} = 0 помимо решения, тождественно равного нулю, имеет еще иные решения. Д о к а з а т е л ь с т в о . Первый вариант осуществляется, когда уравнение В [ср] = g разрешимо для любой функции д, т. е. когда v = 0. В этом случае, как доказано в теореме о, решение определяется единственным образом, так что элементам д однозначно соответствуют ; элементы 9- Мы сейчас покажем, что это соответствие представляет собой линейное преобразование Т. В самом деле, из однозначности этого преобразования непосредственно заключаем, что элементам eg, g1 -J- д2 соответствуют элементы су, ср2 -}- ср2, так как выполняется свойство дистрибутивности. Ограниченность этого преобразования следует из теоремы 4. Наконец, очевидно, что равенства В'Г=ТВ = Е вытекают непо­ средственно из уравнения В [ср] = д. Второй вариант имеет место, когда уравнение В[?]=д разрешимо не для всех д. В этом случае многообразие Х2 служит частью, в узком смысле, много­ образия LQ, И, значит, v ^ l . Но тогда, в соответствии с теоремами 2 и 6, существует функция у, для которой В [ср] = 0 и у = Е [?] = В0 [ср] ф 0. Рассу-

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

189

ждая, по существу, таким же образом, как в доказательстве теоремы 6, прихо­ дим к выводу, что функцию 9 можно получить из любой функции f, принадле­ жащей множеству Lvl — _Lv, вычитая из f такую функцию fx из многообра­ зия i v , для которой В [ fx ] = В [ f]. Таким образом теорема 7 доказана. Сейчас мы займемся более подробным изучением нашего уравнения для случая V>>1. Прежде всего введем некоторые новые термины: многообразие Lv мы будем называть * многообразием ядра (Kernmannigfaltigkeit), его элементы — элементами ядра (Kernelemente), ре­ шения уравнения В* [ср] = 0 мы будем называть нульэлементами; линейное многообразие конечного числа измерений, которое, согласно теореме 1/, образует нульэлементы, будем называть многообразием нульэлементов. Можно определить элемент ядра и нульэлемент, не прибегая к числу v, а именно, — элемент ядра как такой элемент д, для которого уравнения Вп[у]=д разрешимы при всяком п\ нульэлемент — как элемент, удовлетворяющий, начиная с некото­ рого значения п, всем уравнения Вп [ср] = 0. Имеет место следующая теорема разложения. ТЕОРЕМА 8. Любая функция может быть, и притом единственным обра­ зом, представлена в виде суммы элемента ядра и нульэлемента. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть f— какая-нибудь функция и Bv [ f] = g. Очевидно, что g — элемент ядра и таким образом уравнение Вп [ср] = g разрешимо при любом п и в частности при п = 2v. Обозначим через cpi решение уравнения Б2"[ср] = д и положим fx = B4 [cpj. Тогда ft — также элемент ядра и так как E,[f1] = B2'i['?1]=g = £i[f], то Б* [f—/\] = 0 и, следовательно, f—fx есть нульэлемент. Таким образом f=fy-\-{f— /\) представлена в виде суммы эле­ мента ядра и нульэлемента. Осталось доказать единственность полученного разложения, Допустим, что f допускает еще одно разложение такого же рода, т. е. что f=f2-\-(f—f2), где / 2 — элемент ядра, a f — f2 нульэлемент. Но тогда элемент fb = fx — f2 = = (f — / 2 ) — (/—f\) является одновременно и элементом ядра и нульэлемен­ том. Так как / 3 — элемент ядра, то всегда разрешимо уравнение JBv[cp] = /,3, с другой стороны, так как fb — нульэлемент, то В'[/ , 3 ] = 0; отсюда следует, что jf* [ср] == 0 и поэтому в соответствии с теоремой 2 получаем fs = В4 [ср] = О, т. е. f2 = / r ТЕОРЕМА 9. Существует одно и притом единственное линейное преобра­ зование переводящее*каждый элемент, ядра в самого себя и каждый •нульэлемент в нуль. Любая функция посредством преобразования В^ перево­ дится в элемент ядра, а посредством преобразования Е—В>к® — в нульэле­ мент*). Кроме того, В?0)* = В{0) и АВ{0) = В{0)А. Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 8 каждой функции f соответствует элемент ядра f\ и притом такой, что f—fx является нульэлементом. Обозна­ чим через В(0) преобразование, переводящее функции f в соответствующие им элементы ядра. То, что посредством В(0) каждый элемент ядра переходит 1

) Обозначение В^0) оправдано тем, что для случая v = О 2^°) совпадает с Е.

190

ф

-

we

в самого себя и каждый нульэлемент — в нуль, является прямым следствием доказанной в теореме 8 единственности разложения. Совершенно ясно, что пре­ образование Е—Б{0) переводит любую функцию в нульэлемент. Таким образом преобразования .В(0) и Е— В{0) переводят любую функцию, соответственно, в элемент ядра и нульэлемент, и притом именно в те элементы, на которые согласно теореме 8 разлагается /'. Принимая во внимание однозначность разло­ жения, а также тот факт, что каждое из двух множеств, — множество всех эле­ ментов ядра и множество всех нульэлементов,— представляют собой линейные многообразия, приходим к выводу, что преобразование _В(0) обладает свойством дистрибутивности. Теперь для доказательства линейности _В(и) остается устано­ вить его ограниченность. Для этой цели применим лемму 6 к многообразию нульэлементов и многообразию элементов ядра (первое из этих многообразий имеет конечное число измерений); на основании этой леммы существует кон­ станта С такая, что Ц/^Ц + И/*—Ail<^i!/j|> и,-следовательно, a fortiori

ШКС11Л1. . Для того чтобы доказать равенство АВ(0) = В^А, достаточно показать (в силу теоремы 8), что это равенство выполняется для элементов ядра и для нуль­ элементов. Так как преобразование А — Е—В переводит каждый нульэлемент в нульэлемент, а преобразование В0) переводит каждый нульэлемент в нуль, то в случае, когда f—нульэлемент, получаем AB(0)[f] = В{0)А [/] = 0. Если же f—элемент ядра, то В{0) [f] — E[f] = f, а следовательно, так как преобра­ зование А переводит элемент ядра в элемент ядра же, получаем В{0)А [f] = = A[f] и AB{0)[f) = A[f], и поэтому В{0)А =АВ{0\ Наконец, для В(0) имеет место соотношение JB(0)2 = В(0\ так как В{0) переводит любой элемент в элемент ядра, а элемент ядра — в самого себя. Теперь осталось доказать, что существует только одно преобразование, удо­ влетворяющее условиям теоремы. Если бы существовало еще одно такое пре­ образование J5^, то разность В(0) — В{(^ переводила бы любой нульэлемент и любой элемент ядра в нуль. Но тогда в силу теоремы 8 эта разность пере­ водила бы в нуль любой элемент, и, следовательно, В{0) и JBy совпадали бы. ТЕОРЕМА 10. Преобразование А допускает одно и притом единственное разложение вида A = A1-j- А2, где Аг — линейное преобразование, переводящее все нульэлементы в нуль, а А% — линейное преобразование, переводящее все элементы ядра в нуль. Преобразование Ах совпадает с А для всех элементов ядра, а преобра­ зование А2 совпадает с А для весе нульэлементов. Посредством преобразования Ах каждая функция переводится в элемент ядра, а посредством А2 — в нульэлемент. Преобразования Ах и А2 ортогональны, т. е. АХА2 = А%А1 = 0. Преобразования А1 и А2 вполне непрерывны. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим преобразования А1 = В{0)А = A J5(0) и А2 = = (Е— В{0) А = А {Е—В{0)). Очевидно, А1АГА2 = .4. Так как Ё® переводит любой нульэлемент в нуль, то тем же свойством обладает и А1=АВ{0\ С дру-

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

191.

той стороны, так как элемент ядра посредством преобразований Е и В пере­ водится сам в себя, то преобразование Е—JB(0), а следовательно, и преобразо­ вание А2 = А(Е— J3(0)), переводит каждый элемент ядра в нуль. То, что А1 совпадает с А для элементов ядра и А>? совпадает с А для нульэлементов, очевидно. Следующее утверждение настоящей теоремы вытекает из соответствующих утверждений теоремы 9 о преобразованиях В(0) и Е — В , а также из того факта, что преобразования, В и А = Е—В переводят любой элемент ядра в элемент ядра и нульэлемент — в нульэлемент. Единственность нашего разложения прямо следует из определения преобра­ зований Аг и А2 и теоремы 8. В самом деле, каждое из преобразований Аг ж А2 определено единственным образом для всех элемешов ядра и для всех нульэлементов, а следовательно, в силу теоремы 8 эти преобразования опреде­ лены единственным образом для всех функций. Далее очевидно, что выполняется тождество А1А2 = О. В самом деле при преобразовании А2 любая функция переводится в нульэлемент, преобразование же Ах переводит нульэлемент в нуль. Точно таким же образом устанавливается тождество А2АХ = О. Наконец, полная непрерывность преобразований Ах и А2 вытекает из того, что в определяющих их произведениях содержится в качестве одного из множителей А. В нижеследующей теореме 11 устанавливаются характеристические свойства преобразований Ау и А2, не зависящие от числа v. ТЕОРЕМА 11. Преобразование В1 = Е—Ах обратимо, ж. е. существует г 1 1 преобразование Вх~ такое, что В^^ — В^ В1 = Е. Однородные уравне­ ния Вп[<р] = 0 и J52w[
ф

192

-

рисс

Можно итти дальше и в соответствии с числом линейно независимых реше­ ний уравнения Б [?] = О получить разбиение преобразования А2 на ортогональ­ ные части, соответствующее каноническому преобразованию линейной подста­ новки от п переменных и легко сводящееся к такому преобразованию с помощью параметрического представления многообразия нульэлементов, имеющего, как мы знаем, конечное число измерений (А2 должно при этом рассматриваться как преобразование, переводящее многообразие нульэлементов в самое себя). Однако мы здесь не будем углубляться в изучение этой проблемы. Теорема 12, к которой мы сейчас переходим, служит отправным пунктом при построения мдогих смежных теорий. Вместо преобразования Е— А мы будем теперь рас­ сматривать целое семейство преобразований Е—\А, где X— параметр, прини­ мающий всевозможные комплексные значения. Так как вместе с А вполне непрерывно также и преобразование к А, то доказанные нами до сих пор теоремы справедливы для всех преобразований Е — \А. Таким образом каждому значению параметра X соответствует целое число v = v(X), которое или больше нуля или равно нулю. В случае v = 0 говорят, что X является правильным значением параметра для преобразования А, в случае же v > 0, когда в, силу теорем 2 и 6 уравнение v — \A[v] имеет но крайней мере одно решение, не тождественно равное нулю, X называют характеристическим числом ют собственным значением, для преобразования А. В теореме 12 доказывается, что случай v > 0 встречается как исключение, и, напротив, случай v —О— как правило. Тем самым оправдываются вводимые нами термины. ТЕОРЕМА 12. Характеристические числа не имеют пи одной конечной предельной точки. Для доказательства теоремы достаточно установить, что не существует ограниченной последовательности, состоящей из отличных друг от друга харак­ теристических чисел. Допустим, что такая последовательность существует, т. е.. что существует ограниченная последовательность отличных друг от друга чисел \п, для которых уравнение <р = Х.„ А [<р] имеет но крайней мере одно отличное от нуля решение. Прежде всего ясно, что, каково бы ни было п, функции •••> ?п линейно независимы, так как, если то, применяя преобразование knA, мы получили бы

(ибо А [ук] = - ^ и Х ~ 0 не является характеристическим числом), а поэтому, приравнивая оба выражения для <рп, мы пришли бы к выводу, что линейно зависимы функции <рр •••> ? п _г Продолжая это рассуждение, мы получили бы тождество сх <рх = 0, сг ф 0, которое противоречит условию c?i Ф 0- Обозначим через L(n) многообразие, состоящее из линейных комбинаций элементов cplt . . . , ^., Очевидно, что если g — элемент L{n\ т. е. если g = ci ^ -f- . . . -f-cn¥n» т о разность

9-К А [д] - в 1 (l - £ )

?1+

. .. +сн _х (l ~rZ[)?n -i.

0 ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

19В

как линейная комбинация функций ©п . . . , ?„„.,. ь является эМментом Un~xK Далее многообразие 1Р~-^ является частью, в узком смысле, многообра­ зия Г/(и\ так как, например, ФП не входит в 1?'~1); следовательно, на основа­ нии леммы 2 для всякого п в многообразии 1>> имеется элемент дп такой, что || ягл || = 1 и \\дп — д\\~>1? для любого д из многообразия Z/""*"1*. Если бы, теперь, последовательность {Хп} была ограничена, то ограничена была бы также последовательность [Ьпдп}9 и поэтому, так как А — вполне непрерывное преобразование, последовательность {ХЛ Л [дп]} была бы компактна. С друг^ стороны, при т < п получаем

I! К л Ш - К А. Ю II = II9» -ton- К л Ш + К л [дт]) || > - 1 . так как элементы \тА[дт] и дп — КА[дп], а, следовательно, и их сумма принадлежат к [}п~1\ Но отсюда следует, что последовательность {ХЛ^[#Л]} 'ие может быть компактной. Полученное противоречие и доказывает теорему. Прежде чем перейти к формулировке теоремы 13, условимся о том, когда мы будем рассматривать Х = оо как правильное значение и, когда — как харак­ теристическое число. Для того чтобы данные выше определения оказалось воз­ можным перенести на случай Х = оо, мы несколько изменим их формулировку, а, именно мы будем говорить, что X называется правильным значением параметра для преобразования А, если соотношение f—\A[[f] = 0 влечет за собой / ^ О . В соответствии с этим введем следующее определение: Х = оо назы­ вается правильным значением параметра для преобразования А, если для всякой последовательности 1п ~> со из условия || fn — ХЛ A [fn] \\ -> О вытекает, что 1!/ п ||->0. ТЕОРЕМА 13. Д&я преобразования А2, определенного в теореме 10, все отличные от единицы значения параметра X, включая X = бо, правильны. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если X конечно, то нужно доказать, что из соотноше­ ния f—ХА2[/] = 0 вытекает, что / ' = 0 . На основании теоремы 10 A2[f\ служит нульэлементом для преобразования Д а потому в силу теоремы 11 также и для .Ва. Таким образом f=\A2[f] является нульэлементом для Б 2 . С другой стороны, так как Ё — ХЛ2 = (1—1)Е-\~\Е — \А2 = (1—X)E-fXB2, то вв jf— X,42[fj = 0 следует, что f=.

—тАЛЯ- Поэтому, каково бы ни было п, к— 1

Xw t'~(\ —Tv* ^2it/"]" Н° а а к к а к f—нульэлемент, то, начиная с некоторого^, именно, для w>-v, B*[f]=0. Следовательно,^/* = 0. Теперь рассмотрим случай Х = оо. Предположим, что X = оо— характери­ стическое число. Тогда в соответствии с определением существуют последователь­ ность Х л -*ос и последовательность [fn], для которых || fn — кпА2 [fn] \\ -> О, в то время как || fn || не стремится к нулю. Не ограничивая общности, можно считать, что || fn || = 1: в самом деле, из нашей последовательности \fn) всегда может быть выделена подпоследовательность, все элементы которой имеют нормы, превосходящие некоторое число, большее, чем нуль; но тогда для последоватедьfп ности оп= • будем иметь ||
2В Зак. 3-24©. Успехи математнче<кш наул. Вып. 1.

"

Ф. ри<ч

ш

считать,, что |!/„ |[ = 1. Так как все фуцщии A2[f] являются нульэлементами^ то, следовательно, X„J a [/'J—также нульэлементы. Далее, они образуют ограни­ ченную последовательность, так как

II кл[/;.i II < II и II+ WL-КА[/;,]

и -1•

Так как :ха последовательность содержится в многообразии конечного числа измерений (именно — в многообразии нульэлементов), то она компактна. Следова­ тельно, существует равномерно сходящаяся подпоследовательность к{п)А2 [fSn)A2 [f(n)] || ~~+ О заключаем, что последовательность f{n) равномерно сходится к f* и, следовательно^ | ! / * | | = 1 . Но тогда, деля \{n)A2[f{n)] наХ(п), получаем, что A2[f{n)] равномерно стремится к нулю и поэтому A2[f*] = Q и B2[f*] = f*— А2 [/"*] = f*. Отсюда В" [f*]= f* ^ 0 Для любого -п. Но это невозможно, так как /** —нульэлемент. Следовательно, X ±= ос — правильное значение. § 3. Приложение к интегральным уравнениям. Для того чтобы можно было применить полученные нами общие результаты к теории линейных интегральных уравнений, именно, к так называемому инте­ гральному уравнению Фредгольма ь f(x) — fK(xf у) f(y) dy = g (.r), а

или, по Гильберту, интегральному уравнению второго рода, нужно прежде всего доказать, что входящий в это интегральное уравнение оператор „инте­ грального типа"' ь

K\f} = fK(x,

y)f(y)dv

а

является вполне непрерывным линейным оператором. Мы рассмотрим здесь важнейший случай, когда функция К(х, у) непрерывна для значений х и у в квадрате а -< х ^ Ъ, а ^у <; Ь. Нам нужно доказать, что оператор К обладает свойством дистрибутивности и ограничен и что он переводит любую ограни­ ченную последовательность в компактную. Дистрибутивность оператора К является прямым следствием дистрибутивности операции интегрирования; его ограниченность следует из неравенства ь

IА'{ЯКИЯ! /

\к<х,

>Л\*у.

а

Остается, таким образом, показать, что посредством К всякая ограниченная последовательность {fn } переводится в компактную {K[fn]}. Согласно Арцела» для того чтобы ограниченная последовательность {дп} была компактна, необхо­ димо и достаточно, чтобы функции дп были равностепенно непрерывны. Говорят, что функции последовательности {дп } равностепенно непрерывны? если всякому положительному числу в соответствует некоторое положительное 8 так, что одновременно для всех дп и для всех пар х и х', удовлетворяющих

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

|9&

условию \х — ^ ' ! < | 8 , выполняется неравенство \дп(х)— #*(#') 1^ е * Мы дадим сейчас вкратце доказательство достаточности условия Арцела, так как только достаточность этого условия и будет нами здесь использована. Посредством диагонального процесса из любой подпоследовательности последовательности { дп } можно выделить подпоследовательность {(*) — 0 < * > ( Г ) | < 8 .

С другой стороны, если ж и п достаточно велики, то \д{тЧг)-


в любой из к точек деления. Следовательно, 19 {т \*)-9 {п) (*') I < I / ' " ( « О - / 0 (') I + 1 9(т) ir) -9™ (г) |-j-)<Р(г)~д(п) (х) | < 3 •. Это неравенство справедливо для всех х. Таким образом расстояние || д^т) —д(п) \\ может быть сделано сколько угодно малым при достаточно больших т и ?is т. г*. последовательность { д^н)} равномерно сходится. Рассмотрим теперь последовательность ( У) ~ & (#', У)] f„ (У) а Ъ

< GJ

\К(х, y) — K(af,

y)\dy.

а

Так как К(х, у) — непрерывная функция, то подынтегральное выражение в последнем интеграле может быть сделано сколь угодно малым, если только \х — х? | достаточно мало; следовательно, всегда можно найти такое 8, чтобы ь при условии | х — л/ \ < 8 было / | К (х, у) — К (а/, у) \ йу < JL (где е - проJ

(у

извольное число большее, чем нуль), и тем самым | дп (%) —д п (#') | ^ е для всех п (и для всех пар х9 а/, удовлетворяющих указанному неравенству), т. е. функции 9п (х)> п = 1» 2> • • •> равностепенно непрерывны. Но тогда на основании признака Арцела последовательность {дп = К [fn]} компактна, и таким образом доказано, что преобразование К вполне непрерывно. Теперь займемся преобразованием В = Е—К; во-первых, рассмотрим случай v = 0, т. е. случай, когда существует обратное преобразование JET"1. Так как ВГ1—В^К=ВГ1 (Е — К) = ВГ1 В = Е9 то В"1 =Е+ВГ1К = Е — Н9 где 1 J/ = — В" К — тоже вполне непрерывное преобразование. Сейчас мы покажем* 13*

196

Ф. РИСС

что и Н является преобразованием интегрального типа, т. е. что уравнение, обратное уравнению ь а

принадлежит к тому же типу уравнений, т. е. имеет вид ь f(x) = g (*) - J'H(x, у) gjy) dy. а

Нетрудно убедиться, что имеет место следующее общее предложение: Если Т—линейное преобразование, а К — преобразование интегрального типа, то ff—TK есть также преобразование интегрального типа. Для доказательства определим соответствующую ^функцию Н(х, у) следующим образом: фиксируем произвольно у и рассматриваем К(х,у) как функцию х; выполняя над этой функцией преобразование Г, получим функцию переменного х, Т\К(х,у)\ (у фиксировано); функцию Н (х, у) определяем как совпадающую для каждого у с Т[К(х,у)]; этим функция Н(х,у) определена для всех значений х и у, причем непрерывность этой функции по ^очевидна. Непрерывность ее по обеим переменным следует из того, что свойство равномерной сходимости инвариантно относительно линейного преобразования; поэтому из равномерной сходимости £(%>Уп)-+К(х>У*) П Р И Уп~> ?/* следует равномерная сходимость Н(х,уп) -> -+Н(х, |/*). Остается доказать, что преобразование интегрального типа, соот­ ветствующее функции Н(х,у), есть как раз Н—77С В том, что это действи­ тельно так, убеждаемся, совершая предельный переход в тождестве 2

Я (.г, yk) f(y}()(y

— у) = 2

Т[К(х,

yn)]f(yk)(yk

+ x—yb)=:

п

т 2 L

& =

j

к(*> y*)f(y*)ttk + i—У*)

справедливость которого следует из определения Н(х, у) и из свойства дистри­ бутивности преобразования Т. Функция К(х, у) и функция Н(г, у), соответствующая преобразованию Ы~ — В"1 К, связаны соотношениями b

Ъ

к

(*> У)Л~Н(*> У)— ( К.(х9 н)Н{и, y)du = а

( Н(х, и)К(и,

y)du,

а

справедливость которых становится очевидной, если принять во внимание то­ ждества (Е — К) (Е — Н) = (Е~~ И) (Е — К) = Е, т. е. К + Н = КН = НЕ. Этими тождествами, и даже уже первым из них К-\-Н = КН, преобразование Н, а следовательно, и функция Я (х, у), определяется полностью; в самом деле, из тождества К-\-Н=КН вытекает, что функция f = g — H[g] удовлетворяет уравнению f—K[f]—g, какова бы ни была функция д. Но тогда на основании теоремы 3 решение f определяется однозначно, а поэтому, так как Н[д]—д — f, то и Н[д] также определяется однозначно. Из тождества К-\-Н = КН выте­ кает тождество К-{-Н=НК для каждого д. В самом деле, если имеет место тождество К-\-Н = КН, то преобразование Е — К обратимо, причем обратным

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

197

к Е—К преобразованием служит ЕЯ, а поэтому, имеет место также и второе тождество К-\-Н = В.К. Полученные результаты позволяют нам подвергнуть рассмотрению также так называемое союзное уравнение. Введем обозначение $(х, у) — К(у, х) и пусть 51— соответствующее преобразование. Уравнение f—5?[f] называется союзным с f—К [/]. Обратно, f—К [f] — уравнение, союзное с f—&[f]. Так как доказанные выше два соотношения, связывающие К(х, у) и И (х, у), оста­ нутся справедливыми, если в них на место х поставить у, а на место у поста» вить х, то такие же соотношения имеют место и для функций $(х, у) и ф (х, у), где ф (у, х) = И (х, у). Поэтому, если обратимо одно из союзных пре­ образований, то обратимо и второе. Решение союзного интегрального урав­ нения, таким образом, имеет вид ъ * f (У) = Й (У) — ) Н(х, у) cj (х) dx. а

Перейдем теперь к случаю v > 0. Можно было бы сформулировать в тер­ минах интегральных уравнений все полученные нами в общей теории результаты; однако здесь мы ограничимся только наиболее существенными из них. Прежде всего ясно, что случай v > 0 имеет место одновременно для обоих преобразований* Вг=Е — К я %5 — Е— St, так как выше было показано, что если обратимо одно из этих преобразований, то обратимо и другое. Применяя теорему 7, при­ ходим к фредгольмовспой альтернативе: Существуют две взаимно исключающие друг друга возможности: либо уравнения ь ь /Ч*) — /К (;г, у) f (у) dy = g (,r), f (у) — fK (Я, у) f {x) dx = 9 (у) <*

a

имеют для любых у и с\ единственным образом определенные решения, либо соответствующие однородные уравнения имеют помимо решений, тожде­ ственно равных нулю, elite и другие решения. Дальнейшие предложения Фредгольма, а именно, о совпадении числа линейно независимых решений союзных однородных уравнений и об условии разреши­ мости неоднородного уравнения при заданном g (соответственно д), выраженном через эти „нулевые" решения, могут быть получены из приведенной выше теоремы, как это недавно было показано Гурвицем посредством очень простого искусственного приема 1 ). Теоремы 10, 11 и 13 дают возможность следовать но иному пути, более далеко ведущему и позволяющему глубже исследовать поведение нульэлементов. Мы здесь вкратце наметим этот путь. Разложим пре­ образование К (в соответствии е теоремой 10) на ортогональные части: К=КХ + К» JT1A'2 = X , a ir i = 0, .K1 = .B(0)Z, К2 = (Е~В{0))К. Так как в каждом из произведений, определяющих К{ и К2, второй множитель есть преобра­ зование интегрального типа, то Кх и К2 также являются преобразованиями инте­ грального типа. Тем самым мы имеем разложение К(х, у) — Кх(х, у)-\-К2{се, •//). Пусть соответствующее разложение союзной функции Я (#, у) — К(у,х) будет *) W. А. Ни r w i t z , On the pseudo-resolvent to the kernel of an integral equation, Trans. Amer. Math. Soc, r. 13, 1912, стр. 405 — 418.

198

Ф. РИСС

&(*, */) = &i(^ У )-f$o<X у). Я утверждаю, что Яг (•>, //) и &> (л?, ?/)— $г/«*1(«ш, союзные соответственно функциям Кх и К2, т. е. определяемые преобра­ зованиями JtL w &2. Во-первых, заметим, что К2 переводит в нуль все элементы ядра преобразования В = Е—К; это может быть записано в виде тождества K"2J3V = 0, так как каждый элемент ядра может быть представлен в виде E*[f] и, обратно, -В'[Л является элементом ядра, какова бы ни была функ­ ция /'. Так как К2В = ВК2, то полупаем ВЧц = 0. Этому тождеству соответствует интегральное соотношение между функциями А"(г, у) и К2(х, у), из которого, меняя местами х и у, полупаем тождество $233v = 0. Так как все элементы ядра преобразования 23 могут быть при любом пу и в частности при п = v, представлены в виде 23м [f], то из последнего тождества вытекает, что 5t2 переводит любой элемент ядра преобразования 33 в нуль. С другой стороны, К1=К1 — ~~К2К1 = (Е— K2)Ki = B2Kl, и вообще Kl = B%KV откуда вследствие обра­ тимости преобразования Вк получаем 7vt = В» Щ (В-1 У\К{ = If

(В;УК1ш

Переходя от этого тождества к соответствующему интегральному соотношению, а затем переставляя в этом соотношении переменные х и //, приходим к тожде­ ству Sti==z ^i(f~l)nfnf из которого заключаем, что 5^ [f] обращается в нуль для любого f, являющегося при каком-нибудь значении п решением уравнения 3^[f] = 0. Иначе говоря, преобразование 5^ переводит в нуль все нульэлементы преобразования 33. Таким образом 5^ и ft2 действительно обладают свойствами, характеризующими их на основании теоремы 10 как однозначно определенные преобразования, на которые разбивается $. Уже из теоремы 11 видно, какое важное значение имеют разложения К—К^-К» и Ш = Е\ -j- £\2 Д ля исследования преобразований В и 33. В самом деле, на осно­ вании этой теоремы преобразования В и В2 (и соответственно 33 и 332) имеют одинаковые элементы ядра и одинаковые нульэлементы и, кроме того, наимень­ шее значение и, при котором Bn[f\, B"[f] (и соответственно 33" [f] и 332n [f]) тождественно равны нулю для одной и той же функции f (и соответственно f), одинаково для обоих преобразований. Последнее утверждение следует уже из теоремы 10. В самом деле, преобразования В и В>2 (и соответственно 33 и 332) совпадают на соответствующих многообразиях нульэлементов. Поэтому при рас­ смотрении вопросов такого рода, как вопрос о разрешимости неоднородного уравне­ ния или, более обще, о каноническом группировании нульэлементов, функция К (я, у) может быть заменена функцгьеп К2(х, у). Сейчас мы покажем, что эта послед­ няя функция /ц(.г\ у) имеет вид

£* (•*, у) = Л (•') fi (//) + • • • f /\» О) Ш> где f\, . . . , / m — нульэлементы преобразования Д a fn . , . , fm — нульэлементы пре­ образования 33. Действительно, функция К2{х, у) получается из функции К(х, у), если к этой последней, рассматриваемой как функция одного х, применить пре­ образование Е—1)(0); но так как это преобразование переводит любую функцию в соответствующий ей согласно теореме о разложении (теорема 8) нульэлемент, то 2Г2(л\ у), рассматриваемое как функция от #, является нульэлементом и поэтому

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

199

может быть представлено в виде линейной комбинации конечного числа линейно независимых нульэлементов. Коэфнциеыты этой линейной комбинации являются функциями от у. Вследствие линейной независимости функций fv . . . , fm эти коэфициенты определяются единственным образом. Обозначим их через f15 .. ., fw. Мы сейчас покажем, что fx, . .., [т являются нульэлементами преобразования S3. Вспомним, во-первых, что преобразование 232 переводит каждую функцию в нуль­ элемент преобразования ©. Поэтому, если мы покажем, что, например, функция ft может быть представлена как результат применения преобразования й 2 к какойнибудь функции f, то тем самым будет установлено, что \{—нульэлемент. Но ил интегрального представления преобразования й 2 непосредственно видно, что мы получим flf взяв в качестве f функцию, удовлетворяющую условиям ь ь f f (х) fx (х) dx = 1, a

f \ (*) f, (*•) dx = 0

(/ = 2, . . ., m).

a

Так как функции fv . . . , fm линейно независимы, то функция f может быть полу­ чена как линейная комбинация сопряженных функций Jx,.'.., /*m. Таким образом доказано, что ft есть нульэлемент преобразования 33, и так как те же рассуждения можно было бы повторить и для функций f2, . . . , fw, то эти функции также являются нульэлементами. Вследствие особой структуры К2(х, у) упомянутые выше проблемы можно ь свести к исследованию матрицы из т'1 элементов а^ = / t\(x) fj(x)dxt При а

этом можно воспользоваться тем обстоятельством, что (как это вытекает из теоремы 13), характеристический детерминант этой матрицы \г^—Ха^-| (где з^.= 1, если i=j, и е^ = 0, еслнгф^) имеет в качестве единственного и, следовательно, т-кратного корня значение Х = 1. Для ознакомления с более подробными исследованиями этого вопроса мы отсылаем читателя к книге Т. L a l e s со, Introduction a la theorie des equations integrates, Paris 1912, €тр. 49—59. В заключение замечу, что полученные здесь результаты могут быть легко распространены на случай, когда К (х-, //) не является всюду непрерывной функцией, например, на тот важный случай, когда эта функция обращается в бесконечность при х = //, удовлетворяя при этом условию \К(*> y)\
> F. R i e s z , Sur ies operations fonctionnelles lineaires, Ooniptes rendus de Г Acad. d. Be., Paris. 28 noyembre 1909. (См. выше статью Л. А. Люотерннка, § 7, стр. 118—120).