Геометрия чисел Фибоначчи и других возвратных последовательностей второго порядка

МАТЕМАТИКА “ГЕОМЕТРИЯ” ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ И ДРУГИХ ВОЗВРАТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА А. А. АРТЕМОВ Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина

1. ЗАДАЧА О КРОЛИКАХ

“GEOMETRY” OF THE FIBONACCI NUMBERS AND OTHER RECURSIVE SEQUENCES OF THE SECOND ORDER

Рассмотрим известную задачу Фибоначчи1 о кроликах. Сколько пар кроликов образуется от одной пары в течение года, если новорожденные кролики достигают зрелости в течение месяца, а зрелая пара каждый месяц производит новую пару?

A. A. ARTEMOV

Итак, в начальный момент есть одна пара кроликов. Через месяц она достигает зрелости, но по-прежнему имеется только одна пара кроликов. К концу второго месяца она производит еще одну пару, всего число пар кроликов равно двум, причем среди них лишь одна зрелая. К концу третьего месяца зрелая пара производит еще пару кроликов, общее число пар будет равно трем, зрелых среди них уже две пары. К концу четвертого месяца всего пар будет пять, из них три зрелые. К концу пятого месяца будет восемь пар, из них пять зрелых и т.д.

Fibonacci numbers and some of their properties are discussed. The following problem is in the focus of explanation: what is the set of points on the plane whose coordinates are successive Fibonacci numbers. This problem is also considered for general recursive sequences of the second order.

© Артемов А.А., 2000

Рассказано о числах Фибоначчи, некоторых их свойствах. Основное внимание уделено рассказу о том, какое множество на плоскости образует точки, координатами которых являются пары последовательных чисел Фибоначчи. Эта задача решается также для более общего случая возвратных последовательностей второго порядка.

110

Запишем получившуюся последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Эту последовательность называют последовательностью Фибоначчи, ее члены – числами Фибоначчи. Легко заметить, что каждый член последовательности Фибоначчи (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих членов. В самом деле, обозначим число имеющихся пар кроликов к концу n-го месяца через un . Тогда к концу (n + 1)-го месяца зрелыми будут именно эти un пар, а всего пар кроликов будет un + 1 . Тогда еще через месяц число пар кроликов получится равным un + 2 = un + 1 + un .

www.issep.rssi.ru

(1)

(2)

1 Фибоначчи (Fibonacci) – прозвище знаменитого итальянского математика Леонардо Пизанского (Leonardo Pisano) (1180–1240). Его “Книга об абаке” (“Liber abaci”) содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, которые автор почерпнул путешествуя по Востоку.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 9 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА Теперь с помощью равенства (2) каждый может продолжить последовательность (1) и найти ответ на задачу о кроликах. К концу двенадцатого месяца число пар кроликов окажется равным u12 = 233.

в. Из (5) и (7) как следствие получаем u2 + u4 + u6 +… + u2n = u2n + 1 − u1 ,

2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ Рассмотрим числовую последовательность u0 , u1 , u2 , …, un , …,

то есть сумма первых n членов последовательности (3) с нечетными номерами равна 2n-му ее члену, уменьшенному на u0 .

(3)

удовлетворяющую уравнению (2). Отметим сразу же, что условием (2) последовательность (3) не определяется однозначно. Другими словами, последовательность (3) необязательно совпадает с последовательностью (1) чисел Фибоначчи. Можно составить бесконечно много различных числовых последовательностей, удовлетворяющих уравнению (2). Для однозначного определения последовательности (3) следует задать еще два первых ее члена. В случае u0 = u1 = 1 имеем последовательность (1). При другом задании u0 , u1 получим другие последовательности, например

то есть сумма первых n членов последовательности (3) с четными номерами равна (2n + 1)-му ее члену, уменьшенному на u1 . г. Каждый, кто знает свойства чисел Фибоначчи и их аналогов – решений уравнения (2), может продемонстрировать способности быстрого счета (см. свойства а–в). Приведем еще один пример. Следует попросить зрителей назвать два любых числа. Далее по закону (2) образовать еще восемь чисел и быстро вычислить сумму получившихся десяти последовательных чисел Фибоначчи. Она равна седьмому из чисел, умноженному на 11. Непосредственное вычисление суммы будет длиться много дольше. Докажем указанное свойство u1 + u2 + … + u10 = 11u7 .

2, 5, 7, 12, 19, 31, …, 1, − 4, − 3, − 7, −10, −17, … Все эти и другие последовательности, удовлетворяющие уравнению (2), обладают замечательными свойствами. Отметим некоторые из них. а. Для любого члена uk последовательности (3) из формулы (2) имеем uk = uk + 2 − uk + 1 .

(4)

∑

∑

( u k + 2 – u k + 1 ).

= u 3 + u 4 + 3u 5 + 3u 7 + u 6 + 2u 8 + u 9 =

Более подробно о числах Фибоначчи и их свойствах см. [2].

k=1

k=1

u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 + u 8 + u 9 + u 10 =

Тем самым (8) доказано.

n

uk =

Для этого на каждом шаге будем по формуле (2) члены, подчеркнутые одной чертой, сворачивать в один, а члены, подчеркнутые двумя чертами, разбивать в сумму двух. Итак, имеем

= 4u 5 + 3u 6 + 6u 7 + u 8 = 4u 5 + 4u 6 + 7u 7 = 11u 7 .

Просуммируем равенство (4) по k от 1 до n: n

(8)

Получим 3. “ГЕОМЕТРИЯ” ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

n

∑u

k

Рассмотрим следующую задачу. Изобразим точками плоскости xOy пары последовательных чисел из последовательности (3), удовлетворяющей уравнению (2):

= un + 2 – u2

k=1

или u1 + u2 + u3 + … + un = un + 2 − u2 .

Таким образом, сумма первых n членов последовательности (3) есть (n + 2)-й ее член, уменьшенный на u2 . б. На основании формулы (2) запишем uk + 1 = uk + 2 − uk .

(6)

Просуммировав равенство (6) по всем четным k от 0 до 2n − 2, получим u1 + u3 + u5 + … + u2n − 1 = u2n − u0 ,

(x, y) = (un , un + 1).

(5)

(7)

Получим последовательность пар (u1 , u2), (u2 , u3), (u3 , u4), …, (un , un + 1), …

(9)

Выясним, на каких линиях лежат эти точки. Рассмотрим для этого определитель Wn =

un un + 1

А Р Т Е М О В А . А . “ Г Е ОМ Е Т Р И Я ” Ч И С Е Л Ф И Б О Н АЧ Ч И

un + 1 2 = un un + 2 – un + 1 . un + 2

(10)

111

МАТЕМАТИКА Применяя выражение (2) для un + 2 , имеем Wn = = − Wn − 1 . Поступая так же с Wn − 1 и т.д., получим Wn = (−1)n ⋅ C,

…, −55, 34, −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0,

(11)

где постоянная C определяется по первым двум членам последовательности (3). Из (10) и (11), переходя к x, y, окончательно получим, что все члены последовательности (3) лежат на кривых

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 4. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Рассмотрим последовательность

x + xy − y = ±C.

u1 , u2 , u3 , …, un , …

При C ­ 0 это две сопряженные равносторонние гиперболы (см. приложение). В частности, для чисел Фибоначчи (1) точки (9) суть (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 8), (8, 13), (13, 21), (21, 34), (34, 55), … Они лежат на гиперболах (здесь C = −1)

Если для этой последовательности существует натуральное число k и числа a1 , a2 , …, ak (ak ­ 0), такие, что начиная с (k + 1)-номера имеет место

2

2

x2 + xy − y2 = ±1.

(12)

Уравнения (12) задают пару сопряженных равносторонних гипербол с квадратом фокального параметра1 2 ------- (рис. 1). 5 Асимптотами гипербол служат прямые y = k1x и y = = k2x, где k1 , k2 – корни уравнения k2 − k − 1 = 0, а имен1+ 5 1– 5 но k 1 = ----------------, k 2 = ---------------- . 2 2 Точки (9) принадлежат двум ветвям этих гипербол, лежащим выше прямой y = k2x (см. рис. 1). Причем точки (un , un + 1) с нечетным n лежат на правой ветви, а с четным n – на левой ветви. Заметим здесь, что последо1 Фокальный параметр гиперболы – половина длины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно ее действительной оси – равен b2 /a, где a, b – коэффициенты каноническо2 2 x y го уравнения гиперболы -----2 – -----2 = 1. a b

y

0

x

Рис. 1. Гиперболы, на которых лежат пары последовательных чисел Фибоначчи

112

вательность (1) можно, используя выражение (4), продолжить влево:

un + k = a1un + k − 1 + a2un + k − 2 + … + akun ,

(13)

то такая последовательность называется возвратной (или рекуррентной) последовательностью порядка k, а соотношение (13) – возвратным (или рекуррентным) уравнением порядка k. Приведем примеры возвратных последовательностей. Геометрическая прогрессия задается уравнением un + 1 = qun . Здесь k = 1, a1 = q. Следовательно, геометрическая прогрессия есть возвратная последовательность первого порядка. Арифметическая прогрессия. Из школьного курса известен признак арифметической прогрессии: каждый ее член, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов: un + un + 2 -. u n + 1 = --------------------2 Отсюда un + 2 = 2un + 1 − un . Здесь k = 2, a1 = 2, a2 = −1. Таким образом, арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка. Последовательность Фибоначчи также является примером возвратной последовательности второго порядка (см. (2)). Для нее k = 2, a1 = a2 = 1. Элементы общей теории возвратных последовательностей в популярном изложении и их примеры рассмотрены в [4] (см. также [1]). Более глубокое изложение см., например, в [3]. Отметим лишь некоторые факты из этой теории. Для каждого возвратного уравнения порядка k существует бесконечно много различных удовлетворяющих ему последовательностей, называемых решениями этого уравнения. Каждое такое решение есть линейная комбинация базисных решений, число которых совпа-

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 9 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА дает с порядком k возвратного уравнения. Базисные решения линейно независимы. Для их нахождения решают уравнение λk = a1λk − 1 + a2λk − 2 + … + ak ,

n

n

+ 5  1 – 5  1--------------- – --------------- 2   2  k –k u n – 1 = --------------- = ------------------------------------------------------ . 5 5 n 2

Хотя эта формула содержит иррациональные выражения, мы видим, что удивительным образом все иррациональности исчезают и в результате формула дает целые числа, именно члены последовательности (1). 5. ИЗОБРАЖЕНИЕ ВОЗВРАТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ

un un + 1 = υn + 1 υn

=

un υn

qu n – 1 u =q n qυ n – 1 υn un – 1 υn – 1

= –q

pu n + qu n – 1 = pυ n + qυ n – 1 un – 1 = υn – 1

un = – qW n – 1 , υn

откуда следует, что Wn = (−q)n ⋅ C.

(16)

Пусть un – решение уравнения (15). Убрав из последовательности un первый член, получим ее подпоследовательность un + 1 , которая тоже является решением уравнения (15). Определитель Вронского этих двух решений Wn =

un un + 1

un + 1 2 2 = qu n + pu n u n + 1 – u n + 1 . un + 2

(17)

Приравняв правые части (16) и (17), получим уравнение, дающее зависимость между un и un + 1 : qu n + pu n u n + 1 – u n + 1 = ( – q ) ⋅ C. 2

Рассмотрим возвратное уравнение un + 2 = рun + 1 + qun .

un υn

(14)

называемое характеристическим уравнением, соответствующим уравнению (13). Если все корни уравнения (14) различны, то в качестве базиса можно брать k геометрических прогрессий с различными знаменателями, являющимися корнями характеристического уравнения (14). Так, для чисел Фибоначчи (1) характеристическое уравнение и его корни k1 , k2 см. в разделе 3. Поэтому для чисел Фибоначчи имеет место формула Бине n 1

Wn =

(15)

При q = 0 получим уравнение первого порядка, решением которого является геометрическая прогрессия со знаменателем р. При q ­ 0 получим уравнение второго порядка. Заметим, что всякая арифметическая прогрессия удовлетворяет уравнению (15) с p = 2, q = −1. При p = q = 1 решением уравнения (15) является последовательность чисел Фибоначчи. Поэтому последовательности, являющиеся решениями уравнения (15), можно считать в некотором смысле обобщениями чисел Фибоначчи. Рассмотрим для этих последовательностей задачу, решенную нами в разделе 3 для чисел Фибоначчи. Изобразим на плоскости хОу точки последовательности (9), получающейся из решений уравнения (15). Найдем для этого определитель (он называется определителем Вронского)

2

n

Правая часть этого равенства не зависит (или почти не зависит) от n только при q = 0, ±1. Рассмотрим эти случаи. Полагаем, что C ­ 0. Случай C = 0 в различных ситуациях предлагаем проанализировать читателям. Пусть q = 0. В этом случае, как уже отмечалось, мы получаем геометрическую прогрессию. Точки (un , un + 1) тогда лежат на прямой у = рx, проходящей через начало координат. Угловой коэффициент прямой есть знаменатель геометрической прогрессии (рис. 2). Пусть q = 1. Тогда из (17) получаем, что точки (un , un + 1) лежат на кривых x2 + pxy − y2 = ±C. При p = 1 этот случай был нами рассмотрен в разделе 3. При других p результат аналогичен: эти кривые суть (при C ­ 0) две сопряженные равносторонние гиперболы, для которых квадрат фокального параметра 2C равен ------------------- . По поводу исследования уравнения кри2 4+ p 2

un Wn = υn

un + 1 υn + 1

двух решений un и υn уравнения (15). Используя условие (15), получаем

p вой см. приложение. Здесь инвариант ∆ = –  1 + ----- < 0.  4 Пусть теперь q = −1. Тогда точки (un , un + 1) лежат на кривой второго порядка x2 − рxy + y2 = C.

А Р Т Е М О В А . А . “ Г Е ОМ Е Т Р И Я ” Ч И С Е Л Ф И Б О Н АЧ Ч И

(18)

113

МАТЕМАТИКА y

y

y = px

0

0

x

x

Рис. 4. Гипербола, на которой лежит последовательность (9) при p = −3, q = −1

является решением уравнения Рис. 2. Прямая, на которой лежат пары последовательных членов геометрической прогрессии со знаменателем р

un + 2 = un + 1 − un , получающегося при р = 1. При этом последовательность пар (9) лежит на эллипсе, изображенном на рис. 5.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от 2

p знака инварианта ∆ = 1 – ----- (см. приложение), то есть 4 в зависимости от того, больше, меньше или равно двум число |р|. При | р | = 2 уравнение (18) определяет пару параллельных прямых. Именно, при p = 2 – пару прямых (y − x)2 = C (C > 0); в частности для арифметической прогрессии с разностью d точки (9) лежат на прямой y = x + d – одной из указанных прямых с C = d 2. При p = = −2 – пару прямых (y + x)2 = C (C > 0) (рис. 3). Если |р| > 2, то уравнение (18) задает гиперболу, осями которой служат биссектрисы координатных углов (рис. 4). В случае |р| < 2 уравнение (18) задает эллипс с центром в начале координат, осями которого также являются биссектрисы координатных углов. Например, последовательность (C = 4) 0, 2, 2, 0, −2, −2, 0, 2, … y

y 2

1

−2

−1

0

1

2 x

−1 −2

Рис. 5. Эллипс, на котором лежит последовательность (9) при p = 1, q = −1, C = 4

ПРИЛОЖЕНИЕ Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых в прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени: a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0. У нас встречаются уравнения вида ax2 + 2bxy + cy2 = h.

0

x

Рис. 3. Прямые, на которых лежат последовательности (9) при p = −2, q = −1

114

(19)

Как следует из общей теории кривых второго порядка (см., например, [5] или любой учебник по аналитической геометрии), для определения вида линии (19) используют инвариант ∆= a b

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , ТО М 6 , № 9 , 2 0 0 0

b . c

МАТЕМАТИКА Возможны следующие случаи. I. Если ∆ > 0, то уравнение (19) определяет линию эллиптического типа, именно: a) эллипс (при (a + c)h > 0),

ЛИТЕРАТУРА 1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. 328 с. 2. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984. 144 с. 3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 479 с.

б) точку (при h = 0). II. Если ∆ < 0, то уравнение (19) определяет линию гиперболического типа, именно: a) гиперболу (при h ­ 0); б) пару пересекающихся прямых (при h = 0). III. Если ∆ = 0, то уравнение (19) определяет линию параболического типа, именно: a) пару параллельных прямых (при (a + c)h > 0); б) пару совпадающих параллельных прямых (при (a + c)h = 0). Заметим, что уравнение линии второго порядка можно привести (в некоторой системе координат) к одному из девяти канонических видов (см. [5]).

4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1983. 48 с. 5. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с.

Рецензент статьи Ю.П. Соловьев *** Анатолий Анатольевич Артемов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина. Область научных интересов – асимптотические разложения, теория представлений групп, гармонический анализ на однородных пространствах. Автор 23 публикаций.

А Р Т Е М О В А . А . “ Г Е ОМ Е Т Р И Я ” Ч И С Е Л Ф И Б О Н АЧ Ч И

115