ГЛАВА I. Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства. 1. Рациональные выражения №1. 1 2 a 2 − 2ab a b; (x − y )...
7 downloads
580 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ГЛАВА I. Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства. 1. Рациональные выражения №1. 1 2 a 2 − 2ab a b; (x − y )2 − 4 xy ; . 3 12 m+3 8 2 Дробными выражениями являются: ; ; (c + 3)2 + . m − 3 x2 + y2 c
Целыми выражениями являются:
№2. a 1 2 1 2 ; m − n . 9 4 3 a b 12 Дробными выражениями являются: , ,a (a − b ) − − 8. b 3a a + 3
Целыми выражениями являются: 7 x 2 − 2 xy ;
№3.
При y = 3 :
y −1 3 −1 2 = = ; y 3 3
При y = 1 :
y −1 1−1 = = 0; y 1
При y = −5 :
y − 1 −5 − 1 1 = =1 ; y −5 5
1 −1 1 y −1 2 При y = : = = −1; 1 2 y 2 y − 1 −1,6 − 1 При y = −1,6 : = = 1,625; y − 1,6
При y = 100 :
y − 1 100 − 1 = = 0 ,99; y 100
№4. При a = −2 : При b = 3 :
−2 − 8 −10 a −8 = = = −10; 20 + 5 2(− 2 ) + 5 − 4 + 5
b 2 + 6 32 + 6 9 + 6 1 = =2 ; = 2b 2⋅3 6 2
www.5balls.ru
1 1 8⋅2 1 1 8 1 8 : x+ = + = − = − 16 = −15 ; x −1 2 1 2 2 1⋅1 2 2 −1 2 y+3 y 1,5 + 3 1,5 4 ,5 1,5 При y = 1,5 : + = + = + = 3 + 1 = 4; y y−3 1,5 1,5 − 3 3 − 1,5
При x =
№5. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (разность квадратов):
(a + b)2 − 1 = (a + b − 1)(a + b + 1) ;
a2 +1 a2 +1 (− 3 − 1 − 1)(− 3 − 1 + 1) = (− 5)(− 3) = 15 = 1,5; 9 +1 10 (− 3)2 + 1
Воспользуемся формулой сокращенного умножения с разностью квадратов:
(1,5 + 0,5 − 1)(1,5 + 0,5 + 1) = 2
1,5 + 1
1⋅ 3 3 300 = = ≈ 0 ,92. 2 ,25 + 1 3,25 325
№6. x + 5 −13 + 5 −8 1 = = = ; x − 3 − 13 − 3 − 16 2 x + 5 −5 + 5 0 при x = −5 : = = = 0; x −3 −5−3 −8 x + 5 −0 ,2 + 5 4 ,8 при x = −0,2 : = = = −1,5; x − 3 − 0,2 − 3 − 3,2 x+5 0+5 2 при x = 0 : = = −1 ; x−3 0−3 3
1) при x = −13 : 2) 3) 4)
5) при
1 +5 18 86 50 86 ⋅ 17 86 36 1 x + 5 17 x= : = =− ÷ =− =− = −1 = −1 ; 1 17 17 50 ⋅ 17 50 50 25 17 x − 3 −3 17 x + 5 1+ 5 = = −3; x − 3 1− 3 2 5 +5 32 8 32 ⋅ 3 2 x+5 при x = 5 : = 4; = 3 = ÷ = 2 3 3 3⋅8 3 x−3 5 −3 3
6) при x = 1 :
7)
www.5balls.ru
8) при x = 7 : №7.
x+5 7+5 = = 3; x−3 7−3
1 1 1 = = ≈ 1 − α = 1 − 0,01 = 0,99; 1,01 1 + 0,01 1 + α 1 1 1 б) = = ≈ 1 − α = 1 − 0,002 = 0,998; 1,002 1 + 0,002 1 + α 1 1 1 в) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,01) = 1,01; 0 ,99 1 − 0,01 1 + α 1 1 1 г) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,003) = 1,003. 0 ,997 1 − 0,003 1 + α
а)
№8. s t
Запишем формулу для средней скорости: v = ; получаем: 180 = 60 (км/ч); 3 225 = 90 (км/ч); б) t = 2 ,5; s = 225; тогда v = 2 ,5
а) t = 3; s = 180; тогда v =
№9. Исходя из условия задачи можно составить уравнения: v1t + v 2 t = s; t (v1 + v 2 ) = s; t =
s ; (v1 + v 2 )
а) s = 250 , v1 = 60, v 2 = 40; 250 250 = = 2 ,5 (ч); 60 + 40 100 б) s = 310 , v1 = 75, v 2 = 80; t=
t=
310 310 = = 2 (ч). 75 + 80 155
Ответ: а) t=2,5 часа; б) t=2 часа. №10. Соответствующими дробными выражениями будут: а)
xy ; x+ y
б)
a−b . ab
№11.
www.5balls.ru
Рациональное выражение имеет смысл, если его знаменатель отличен от нуля. а) При x − 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2; б) при b - любое число, т.к. b 2 + 7 > 0 всегда; в) при y ≠ 0; y ≠ 3; г) при a ≠ 0; a ≠ 1; №12. а) x - любое число; б) 6x − 3 ≠ 0; 6x ≠ 3; x ≠
3 1 ; x≠ ; 6 2
в) x - любое число; г) x ≠ 0; x ≠ −1; д) x - любое число; x 2 + 25 всегда больше; е) x ≠ −8; x ≠ 0. №13. 5y − 8 ; y - любое число 11 25 б) ; y − 9 ≠ 0, т.е. y ≠ 9; y−9
а)
в)
y2 + 1
=
y2 + 1 ; y( y − 2) ≠ 0 , т.е. y ≠ 0; y ≠ 2 ; y( y − 2)
y2 − 2y y − 10 г) 2 , y - любое число, посколько y 2 + 3 всегда больше нуля; y +3 y 15 д) + ; y − 6 ≠ 0, y + 6 ≠ 0, т.е. y ≠ −6; y ≠ 6; y−6 y+6
е)
32 y + 1 − ; y ≠ 0, y + 7 ≠ 0; т.е. y ≠ 0, y ≠ −7 y y+7
№14. 1 ; область определения: x ≠ 2; x−2 2x + 3 б) y = ; область определения: x ≠ 0; x ≠ −1; x(x + 1)
а) y =
в) y = x + №15.
1 ; область определения: x ≠ −5. x+5
www.5balls.ru
а)
x−3 x−3 = 1; 5 − 1 = 0 ⋅ 5; 5 5
5(x − 3) 5
− 5 = 0; x − 3 − 5 = 0; x = 8;
Ответ: x = 8; x−3 x − 3 = 0; 5 = 0 ⋅ 5; 5 5 x − 3 = 0; x = 3;
б)
Ответ: x = 3; x−3 x − 3 = −1; 5 = (−1) ⋅ 5; 5 5 x − 3 = −5; x = −2 ;
в)
Ответ: x = −2; x−3 x − 3 = 3; 5 = 3 ⋅ 5; 5 5 x − 3 = 15; x = 18;
г)
Ответ: x = 18; №16. y−5 = 0; y − 5 = 0; y = 5; Ответ: y = 5; 8 2y + 3 1 1 б) = 0; 2 y + 3 = 0; y = −1 ; Ответ: y = −1 ; 10 2 2 x(x − 1) в) = 0; x(x − 1) = 0; 1) x = 0; 2 ) x − 1 = 0; x = 1; x+4 при x = 0 и x = 1, x + 4 ≠ 0, получаем:
а)
Ответ: x = 0 ; x = 1. x(x + 3)
= 0; x(x + 3) = 0; 1) x = 0; 2 ) x + 3 = 0; x = −3; x−5 при x = 0 и x = −3, x − 5 ≠ 0, получаем:
г)
Ответ: x = 0 ; x = −2 №17. a > 0; b a б) < 0; b
а)
www.5balls.ru
a < 0; b a г) > 0; b
в)
№18. 3
а)
2
x +1 −5
б)
> 0, поскольку 3 > 0 и x 2 + 1 > 0 при всех x ; < 0, поскольку − < 0 и y 2 + 4 > 0 при всех y ;
y2 + 4
в)
(a − 1)2
г)
(b − 3)2
a 2 + 10 2
−b − 1
≥ 0, поскольку (a − 1) ≥ 0 и a 2 + 10 > 0 при всех a ; 2
(
)
≤ 0, поскольку (b − 3) ≥ 0 и − b 2 + 1 < 0 при всех b 2
№19. а) При
x = 2 ,47:
2 x − 3 2 ⋅ 2 ,47 − 3 4 ,94 − 3 1,94 = = = ≈ 0,20616365... ≈ 0,21; 3x + 2 3 ⋅ 2 ,47 + 2 7 ,41 + 2 9 ,41
б) При x = 318 , :
7 x + 9 7 ⋅ 318 , + 9 22 ,26 + 9 31,26 = = = ≈ 0,2790507... ≈ 0,28 8x − 1 8 ⋅ 318 , − 1 25,44 − 1 24 ,44
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №20. а) (x − 10)(x + 10) = = x 2 − 10x + 10x − 100 =
(
)
= x 2 − 100;
б) (2a + 3)(2a − 3) = = 4a 2 − 6a + 6a − 9 = 4a 2 − 9 ; в) ( y − 5b)( y + 5b) =
= y 2 + 5by − 5by − 25b 2 =
(y
2
)
− 25b 2 ;
г) ( y + 8x)( y − 8x) =
www.5balls.ru
= y 2 + 8xy − 8xy − 64 x 2 = = y 2 − 64 x 2 ;
д) (x + 7) = x 2 + 14 x + 49 ; 2
е) (b + 5) = b 2 + 10b + 25; 2
ж) (a − 2 x) = a 2 − 4ax + 4 x 2 ; 2
з) (ab − 1) = a 2 b 2 − 2ab + 1. 2
№21. а) 15ax + 20ay = 5a(3x + 4 y); б) 36by − 9cy = 9 y(4b − c); в) x 2 − xy = x(x − y); г) xy − y 2 = y(x − y); д) a 2 + 5ab = a(a + 5b); е) 15c − 10c 2 = 5c(3 − 2c) №22. а) x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5); б) 16 − c 2 = (4 − c)(4 + c); в) a 2 − 6a + 9 = (a − 3) ; 2
г) ÷ 2 + 8 ÷ +16 = (÷ + 4) ; 2
(
) + 27 = (b + 3)(b − 3b + 9).
д) a 3 − 8 = (a − 2) a 2 + 2a + 4 ; е) b
3
№23.
2
2x 2 = ; 3x 3 15x 3x б) Общий множитель: 5; = ; 25y 5y
а) Общий множитель: x;
6a 1 = ; 24a 4 7ab a г) Общий множитель: 7b; = ; 21bc 3c
в) Общий множитель: 6a ;
www.5balls.ru
д) Общий множитель: xy;
−2 xy 2
5x y
е) Общий множитель: 8 xy;
=−
2 ; 5x
8 x 2 y 2 xy = 24 xy 3
№24. а) б)
10xz 2 x = ; 15yz 3y 6ab 2
=
2ab
; 3c 3 y3 y3 в) = =− ; 3 2ab −4a b −2ab −6 p 2 q 3 p 2 = 2 ; г) q −2 q 3
д) е)
9bc 2 2ay 3
ax − ax 2 =− ; xy y 3axy 6ay
ж) з)
3
x
=
2y2
;
24a 2 c 2 2ac = ; 36ac 3 63x 3 y 3
=
42 x 6 y 4
3 2x4 y
.
№25. а)
4a 2 b 3 4 2
2a b
б) в) г) д)
3xy 2 6x 3 y 3
= =
24 p 4 q 4 48 p 2 q 2
2b a2
;
1 2x2 y =
;
p2q 2 ; 2
36m 2 n = 2m; 18mn −32b 5 c 4 2
12b c
=
8b −8b =− ; 3c 3c
www.5balls.ru
е)
−6ax 1 = . −18ax 3
№26.
8b b = ; 24c 3c 5ay a б) = ; 15by 3b
а)
в) г)
4a 2 2a = ; 6ac 3c 7x 2 y 21xy
д) е) ж) з)
2
a 5b 3
=
3 5
a b x6 y4
=
x4 y6
35mn 5 25 p 4 q 5
100 p q
б)
a2
816 1612 8125 27 33
№28.
;
b2 x2
;
y2
56m 2 n 5
№27. а)
x ; 3y
=
8m 3 = 1 m; 5 5
=
1 . 4p
=
(2 ) = 2 = (2 ) 2 (3 )25 = 3 = (3 ) 3 3 16
4 12 4
a(b − 2)
б)
3( x + 4)
в)
ab( y + 3)
5(b − 2)
=
a ; 5
c( x + 4)
=
3 ; c
a b( y + 3) 2
48
100
3 33
а)
48
=
99
= 1;
= 31 = 3.
1 ; a
www.5balls.ru
г)
15a(a − b)
20b(a − b)
3a . 4b
=
№29.
3a + 12b 3(a + 4b) a + 4b = + ; 6ab 6ab 2ab 15b − 20c 5(3b − 4c) 3b − 4c = = ; б) 10b 10b 2b 2(a − 2) 2 2a − 4 в) = = ; 3(a − 2) (a − 2) 3
а)
г) д) е)
5x( y + 2) 6 y + 12 a − 3b
a 2 − 3ab
= =
5x( y + 2) 6( y + 2)
=
5x ; 6
a − 3b 1 = ; a(a − 3b) a
3x + 15xy 3x( x + 5y) = = 3x . x + 5y x + 5y
№30. а) б) в) г) д) е)
y 2 − 16 ( y − 4)( y + 4) y − 4 = = ; 3y + 12 3( y + 4) 3 5x − 15y
5( x − 3y)
=
=
5
;
(x − 3y)(x + 3y) x + 3y 2 (c + 2) (c + 2)2 c + 2 = = ; 7c 7c 2 + 14c 7c(c + 2) 6cd − 18c 6c(d − 3) 6c = = ; 2 2 −3 d (d − 3) (d − 3) (a + 5)2 a 2 + 10a + 25 a+5 = = ; 2 (a − 5)(a + 5) a − 5 a − 25 ( y − 3)( y + 3) y + 3 y2 − 9 = = . 2 y−3 y − 6y + 9 ( y − 3)2 2
x − 9y
2
№31. а)
a 2 − ab + b 2 3
a +b
3
=
a 2 − ab + b 2
(a + b)( a
2
− ab + b
2
)
=
1 ; a+b
www.5balls.ru
(
)
2 2 a 3 − b 3 (a − b) a + ab + b б) = = a 2 + ab + b 2 a−b a−b
№32. а) =
15a 2 − 10ab 3ab − 2b
2
=
5a(3a − 2b) b(3a − 2b)
5a 5(−2) −10 = = = 100; −0,1 −0,1 b
Ответ: 100; б)
=
9c 2 − 4d 2 2
2
=
18c d − 12cd 3c + 2d 1 1 = + = 6cd 2d 3c 1 2
(3c − 2d )(3c + 2d ) = 6cd (3c − 2d ) 1 1 2⋅ 2
+
1 1 1 1 = + =1 ; 2 1 2 2 3⋅ 3
Ответ: 1 ; в)
6x 2 + 12 xy
6x( x + 2 y)
=
5y( x + 2 y) 5xy + 10 y 2 6⋅ 6x 3 = 4 = −2 = = 5y 5(−0,4) −2 2
=
Ответ: -2; г) =
x 2 + 6xy + 9 y 2 4 x 2 + 12 xy
−0,2 + 3(−0,6) 4(−0,2)
=
=
( x + 3y) 2 = x + 3y = 4 x( x + 3y) 4x
−0,2 − 18 , −2 2 = = = 2 ,5 −0,8 −0,8 0,8
Ответ: 2,5. №33. а) б) в)
x( y − 7)
y( y − 7)
=
x ; y
10a − 15b 5(2a − 3b) 5 = = ; 16a − 24b 8(2a − 3b) 8 2m + 14 2
m − 49
=
2(m + 7) 2 = ; (m − 7)(m + 7) m − 7
www.5balls.ru
p 2 − 25q 2 ( p − 5q )( p + 5q ) p + 5q = = ; 2 p − 10q 2( p − 5q ) 2
г)
( x − 2) 2 x − 2 = ; x( x − 2) x x 2 − 2x 3y 2 + 24 y 3y( y + 8) 3y = = ; 2 2 +8 y y 16 y + 64 ( y + 8) x 2 − 4x + 4
д) е)
a2 + a + 1
ж) з)
3
a −1 b+2 b3 + 8
=
=
a2 + a + 1
(a − 1)( a
2
(b + 2)(b
2
)
+a +1
b+2
№34.
( (9 x =
=
− 2b + 4
)
=
=
1 ; a −1 1
b 2 − 2b + 4
) ) = (3x − y)(3x + y) = 3x − y;
а) 9 x 2 − y 2 : (3x + y) = 2
− y2
(3x + y) (3x + y) б) (2ab − a ): ( 4b 2 − 4b + 1) = a(2b − 1) 2ab − a a = = 2 = ; 2 2 b−1 4b − 4b + 1 (2b − 1)
(
)(
)
в) x 2 + 2 x + 4 : x 3 − 8 = =
x 2 + 2x + 4
(x − 2)( x
(
)
2
+ 2x + 4
)
=
1 ; x−2
г) 1 + a 3 : (1 + a ) =
(
)
2 1 + a 3 (1 + a ) 1 − a + a = = = 1− a + a2 . 1+ a (1 + a )
№35. а) =
2 x + bx − 2 y − by 2( x − y) + b( x − y) = = 7x − 7 y 7( x − y)
(x − y)(2 + b) = 2 + b ; 7( x − y) 7
www.5balls.ru
.
б)
8a + 4b
=
2
2ab + b − 2ad − bd
(2ab + b ) − (2ad + bd ) 2
=
4(2a + b) 4 ; = (2a + b)(b − d ) b − d 2 xy − x + y − y 2 ( xy − y ) − ( x − y) = = в) (x − y)(x + y) x2 − y2 y( x − y) − ( x − y) ( x − y)( y − 1) y − 1 = = = ; (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x + y (a + c)2 a 2 + 2ac + c 2 = = г) 2 a + ac − ax − cx ( a 2 + ac) − (ax + cx) =
=
4(2a + b)
4(2a + b)
b(2a + b) − d (2a + b)
=
(a + c)2 (a + c)2 a+c = = . a(a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x
№36. а) Ответ:
−x −x ; − ; −y y
б) Ответ:
−x x ; y − y.
№37. а) б) в) г)
a−b
=−
b−a = −1; b−a
(a − b)2 = (a − b)2 (b − a )2 (a − b)2 (a − b)2 (b − a )2 =
b−a a−b
(b − a )
b−a a−b
=
= 1; = b − a; =
1 ; a−b
(a − b) 2 (−a − b) ((−1)(a + b)) (−1)2 (a + b)2 2
2
2
д) е)
a+b
=
a+b
=
a+b
(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 = = (−a − b)2 ((−1)(a + b))2 (a + b)2
= 1.
www.5balls.ru
= a + b;
№38. а)
a ( x − 2 y)
б)
5x( x − y)
в) г) =
д) =
е)
b(2 y − x)
x ( y − x) 3
з)
=−
a ; b
=
5
5x( x − y)
=
7b − 14b 2 2
42b − 21b 7b(1 − 2b)
−21b(1 − 2b)
− x 3 ( x − y)
−x2
=−
5 x2
;
7b(1 − 2b)
=
21b(2b − 1)
=
1 1 =− ; −3 3
=
25 − a 2 (5 − a )(5 + a ) = = 3a − 15 3(a − 5)
−(a − 5)(a + 5) 3(a − 5)
3 − 3x x − 2x + 1 2
(x − 1)
=
a( x − 2 y)
−b( x − 2 y)
3(a − 12) 3a − 36 3(a − 12) 3 = = =− ; 12b − ab b(12 − a ) −b(a − 12) b
−3( x − 1)
ж)
=
2
=−
=
=−
3(1 − x)
(x − 1)2 3
(x − 1)
8b 2 − 8a 2 2
a − 2ab + b
5+ a ; 3
2
−8(a − b)(b + a )
=
;
=
(
8 b2 − a2
(a − b) 8(b + a ) 2
=−
(a − b)2 (b − 2)3 (b − 2)3 = (2 − b)2 (b − 2)2
a−b
) = 8(b − a)(b + a) = =
(a − b)2 8(b + a ) b−a
;
= b − 2.
№39. а) =
ax + bx − ay − by (ax − ay) + (bx − by) = = bx − by b( x − y)
a( x − y) + b( x − y) b( x − y)
=
(x − y)(a + b) a + b = ; b( x − y) b
www.5balls.ru
б) =
в)
ab − 3b − 2a + 6 (ab − 3b) − (2a − 6) = = 15 − 5a 5(3 − a )
b(a − 3) − 2(a − 3) 5(3 − a )
7 p − 35 7( p − 5) = = 15 − 3 p 3(5 − p)
=−
г) =
д) е)
=
7(5 − p)
=−
3(5 − p)
18a − 3a 2 8a − 48a
−3a(a − 6) 8a(a − 6)
3a(6 − a )
=
2
7 1 = −2 ; 3 3
б)
в)
г)
=
8a(a − 6)
3 =− ; 8
4 − x 2 (2 − x)(2 + x) 2 + x = = ; 10 − 5x 5(2 − x) 5
a 2 − 6a + 9 27 − a 3
(a − 3)2 = (3 − a )( 9 + 3a + a 2 )
=
(3 − a )2 3− a = . 2 (3 − a )(9 + 3a + a ) 9 + 3a + a 2
№40. а)
(a − 3)(b − 2) b − 2 2 − b = ; = 5 −5(a − 3) −5
=
x6 + x4 4
x +x
=
2
y6 − y8 4
y −y
=
2
b −b
2
c6 − c4 c3 + c2
x
2
(
)
x +1 2
)=x
(
y4 y2 1 − y2 y
2
(y
2
)
−1
2
;
) = −y
2
;
( ) = −b ; b (b − 1) c ( c − 1) =. =
b 7 − b 10 5
(
x2 x2 x2 + 1
=
b7 1 − b3 2
4
5
3
2
c 2 (c + 1)
www.5balls.ru
=
c 4 (c + 1)(c − 1) c 2 (c + 1)
№41. а)
a8 + a5 5
a +a
при a = −
( ) =a (a + 1)
a5 a3 + 1
=
2
= c 2 (c − 1) = c 3 − c 2
a
2
3;
3
1 получаем: 2 3
1 1 a3 = − = − ; 2 8 1 8
Ответ: − ; б)
b 10 − b 8 8
b −b
=
6
( b (b
) =b − 1)
b8 b 2 − 1 6
2
2
, получаем: при b = −01
b 2 = (−01 , ) = 0,01; 2
Ответ: 0,01; №42. а) =
б) =
(2a − 2b)2 (2(a − b)) =
a−b
4(a − b)
2
2
= 4(a − b);
a−b
(3c + 9d )2 (3(c + 3d )) =
c + 3d
9(c + 3d ) c + 3d
=
a−b
2
2
=
c + 3d
= 9(c + 3d );
(3x + 6 y)2 (3(x + 2 y)) в) = 5x + 10 y 5( x + 2 y) 2 9( x + 2 y ) 9( x + 2 y) = = ; 5( x + 2 y) 5
2
=
www.5balls.ru
г)
4x 2 − y 2
=
(2 x − y)(2 x + y) = (5(2 x + y))2
(10x + 5y) (2 x − y)(2 x + y) 2 x − y = . 2 25(2 x + y) 25(2 x + y) 2
№43. а)
5b 8a 3 7a
=
5b ⋅ 3b 2 8a 3 ⋅ 3b 2 7a ⋅ 8a 3
=
15b 3 24a 3b 2 56a 4
;
= = ; 3b 2 3b 2 ⋅ 8a 3 24a 3b 2 1 12a 2 b 12a 2 b в) = = ; 2ab 2ab ⋅ 12a 2 b 24a 3b 2 2 2 ⋅ 24a 48a = . г) 2 2 = 2 2 a b a b ⋅ 24a 24a 3b 2
б)
№44.
2a + b (2a + b)b = ; 1 1 2a + b (2a + b)5 б) 2a + b = = ; 1 5 2a + b (2a + b)3a в) 2a + b = = ; 1 3a 2a + b (2a + b)(2a − b) г) 2a + b = = . 1 2a − b
а) 2a + b =
№45. а)
x(a − b) x(a − b) x ; = = a − b (a − b)(a − b) (a − b) 2
б)
y( x + a ) y( x + a ) y ; = = x − a ( x − a )( x + a ) x2 − a2
в)
2y x2 + x + 1 2y x2 + x + 1 2y = = ; x − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 x3 − 1
г)
(
3a a + ab + b 2
2
)
(
=
(a
(
(
)
3a(a − b)
2
)
)
+ ab + b 2 (a − b)
)
=
3a(a − b) a3 − b3
www.5balls.ru
;
д)
7 7 =− ; y−b b− y
a a =− ; a − 10 10 − a p(2 + p) p(2 + p) p ж) ; =− =− p−2 (2 − p)(2 + p) 4 − p2
е)
з)
a+3 a+3 =− = 6 − 2a 2(a − 3)
=−
(a + 3)(a + 3) (a + 3)2 =− . 2(a − 3)(a + 3) 2( a 2 − 9)
№46. а)
8 3xy
б)
b
2
= =
8 ⋅ 5x 2
3xy ⋅ 5x b ⋅ 5ac 2
=
40x 15x 2 y 2 =
;
5abc 2
7a 2 c 7a 2 c ⋅ 5ac 2 35a 3 c 3 a a⋅a a2 в) ; = = 2 a − 2 a(a − 2) a − 2a
;
г)
x2 − x + 1 x2 − x + 1 1 = = ; x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x3 + 1
д)
12 12 =− ; y−x x−y
е)
a(4 + a ) a 4a + a 2 . =− =− a−4 (4 − a )(4 + a ) 16 − a 2
(
)
УПРАЖНЕНИЯДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №47. −16 1 = −3 ; 5 5 1 1 б) x = :2 = ; 5 10 1 в) x = 4: = 12; 3
а) x =
www.5balls.ru
−2 1 =− ; 4 2 6 10 10 д) x = 3:0,6 = 3: = 3 ⋅ = = 5; 6 2 10 7 10 50 1 е) x = 5: (−0,7) = −5 = −5 ⋅ = − = −7 . 7 7 7 10
г) x =
№48. а) 6b 2 − (2b + 5)(3b − 7) =
(
)
= 6b 2 − 6b 2 + b − 35 = 2
2
= 6b − 6b − b + 35 = −b + 35;
б) 16x 2 − (4 x + 0,5)(4 x − 0,5) =
= 16x 2 − 16x 2 + 0,25 = 0,25; , x) − 5( x + 4 y)( y − x) = в) 2 y( y − 15
(
)
= 2 y 2 − 3xy − 5 4 y 2 − x 2 − 3xy =
= 2 y 2 − 3xy + 5x 2 + 15xy − 20 y 2 = = 5x 2 − 18 y 2 + 12 xy;
г) 3(a − 2b)(2b + a ) − 0,5b(a − 24b) =
(
)
= 3 a 2 − 4b 2 − 0,5ab + 12b 2 = 2
2
= 3a − 12b − 0,5ab + 12b 2 = 3a 2 − 0,5ab.
№49. а) 5bc − 5c = 5c(b − 1); б) 10n + 15n 2 = 5n(2 + 3n);
в) 8ab + 12bc = 4b(2a + 3c); г) 5y − 5x + y 2 − xy =
( )
= (5y − 5x) + y 2 − xy = 5( y − x) + y( y − x) = = ( y − x)(5 + y);
д) pq − 4 p + 12 − 3q =
= ( pq − 4 p) + (12 − 3q ) =
www.5balls.ru
= p(q − 4) + 3(4 − q ) = = p(q − 4) − 3(q − 4) = = (q − 4)( p − 3);
е) a 2 − 9 = (a − 3)(a + 3); ж) x 2 + 10x + 25 = = ( x + 5) = ( x + 5)( x + 5); 2
з) y 2 − 2 y + 1 = = ( y − 1) = ( y − 1)( y − 1); 2
(
)
и) a 3 + 64 = (a + 4) a 2 − 4a + 16 ;
(
)
к) b 3 − 1 = (b − 1) b 2 + b + 1 . №50.
5⋅ 7 < 0; 16 5 5 6 5⋅1 5 1 2) :6 = : = = ⋅ > 0; 16 16 1 6 ⋅ 16 16 6 5 5⋅1 5 1 3) ⋅ 0,1 = = ⋅ > 0; 16 16 ⋅ 10 16 10 5⋅ 7 5⋅1 5⋅1 Ответ: − , , . 16 10 ⋅ 16 6 ⋅ 16
1) −
2. Сумма и разность дробей 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями №51. x y x+ y ; + = 3 3 3 a b a−b ; б) − = 5 5 5 a 2a 3a в) + = ; y y y
а)
г)
5b 2 13b 2 5b 2 − 13b 2 8b 2 − = =− ; a a a a
www.5balls.ru
x+ y x x+ y−x y − = = ; 9 9 9 9 2c − x x 2c − x − x е) − = = b b b 2c − 2 x 2(c − x) = . b b
д)
№52. а)
m m − p m (− m) + p − = + = p p p p
=
m−m+ p p = = 1; p p
a + b a − 2b a + b − a + 2b 3b b − = = = ; 6 6 6 6 2 x + 5 x + 2 x + 5− x − 2 3 1 − = = = ; в) 9 9 9 9 3 11x − 5 3x − 2 11x − 5 + 3x − 2 + = = г) 14 x 14 x 14 x 14 x − 7 2 x − 1 = = ; 14 x 2x 7 y − 13 2 y + 3 7 y − 13 − 2 y − 3 5y − 16 д) − = = ; 10 y 10 y 10 y 10 y
б)
8c + 25 5 − 2c 8c + 25 + 5 − 2c + = = 6c 6c 6c 6c + 30 c + 5 = = . 6c c
е)
№53. а)
2 x − 3y 11y − 2 x + = 4 xy 4 xy
=
2 x − 3y + 11y − 2 x 8 y 2 = = ; 4 xy 4 xy x
б) =
5a + b 5 5a − 7b 5 − = 8b 8b 5a + b 5 − 5a + 7b 5 8b 5 = = b4 ; 8b 8b
www.5balls.ru
в) =
3x − y 4 4y5
−
y 4 + 3x 4y5
3x − y 4 − y 4 − 3x 4y
5
=
=−
2y4 4y5
=−
1 ; 2y
a − 2 2a + 5 3 − a + − = 8a 8a 8a a − 2 + 2a + 5 − 3 + a 4a 1 = = = ; 8a 8a 2 7 y − 5 10 y − 19 10 − 15y д) − + = 12 y 12 y 12 y
г)
=
7 y − 5 − 10 y + 19 + 10 − 15y = 12 y
=
−18 y + 24 4 − 3y = ; 12 y 2y
11a − 2b 2a − 3b a − b + − = 4a 4a 4a 11a − 2b + 2a − 3b − a + b = = 4a 12a − 4b 4(3a − b) 3a − b = = . 4a 4a a
е)
№54. 17 − 12 x 10 − x + = x x 17 − 12 x + 10 − x 27 − 13x ; = = x x 12 p − 1 1 − 3 p б) − = 3p 2 3p 2 12 p − 1 − 1 + 3 p 15 p − 2 ; = = 3p 2 3p 2 6y − 3 y + 2 6y − 3 − y − 2 в) − = = 5y 5y 5y
а)
=
5y − 5 5( y − 1) y − 1 = = ; 5y 5y y
г)
b 3a − 2b b − 3a + 2b − = = 6 6 6
www.5balls.ru
3b − 3a 3(b − a ) b − a = = ; 6 6 2 3 p − q 2 p + 6q p − 4q д) − + = 5p 5p 5p 3 p − q − 2 p − 6q + p − 4q 2 p − 11q = ; 5p 5p 5c − 2d 3d d − 5c − + = 4c 4c 4c 5c − 2d − 3d + d − 5c 4d d = =− =− ; 4c 4c c 2a 1 − 6a 13 − 8a ж) − + = b b b 2a − 1 + 6a + 13 − 8a 12 = = ; b b 4b − 2 2b − 1 1 з) − + = 3b 3b 3b 4b − 2 − 2b + 1 + 1 2b 2 = = = . 3b 3b 3
е)
№55. 16 16 − x 2 x2 − = = x−4 x−4 x−4 −(4 − x)(4 + x) = = −(4 + x); 4−x
а)
25 25 − a 2 a2 − = = a+5 a+5 a+5 (5 − a )(5 + a ) = 5 − a; a+5 3a − 1 3b − 1 3a − 1 − 3b + 1 = = − 2 в) 2 2 2 a −b a −b a2 − b2 3(a − b) 3a − 3b 3 = 2 = = ; 2 (a − b)(a + b) a + b a −b
б)
г)
x−3 2
+
11 2
=
x − 3 + 11
x − 64 x − 64 x 2 − 64 x+8 1 = = ; (x − 8)(x + 8) x − 8
=
www.5balls.ru
д)
2a + b
+
2b − 5a
2a + b + 2b − 5a
=
=
(a − b) (a − b)2 3(b − a ) 3b − 3a 3 3 ; = =− =− = 2 b a b a a b b a − + − − ( )( ) (a − b)
е) =
(a − b)
2
13x + 6 y
( x + y)
2
−
2
11x + 4 y
=
( x + y) 2
13x + 6 y − 11x − 4 y
( x + y) 2( x + y) 2 = . = 2 ( x + y) x + y 2
2x + 2 y
=
( x + y) 2
=
№56. а)
(a + b)2 − (a − b)2
=
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 4ab = = 4; ab ab
ab
ab
=
(a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 + (a − b)2
+ = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 = = a2 + b2
б)
=
2a 2 + 2b 2 2
a +b
2
=
(
2 a2 + b2 2
a +b
№57.
2
=
) = 2.
x2 + 1 10 x 2 + 1 − 10 − = = x−3 x−3 x−3 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = = x + 3, x−3 x−3 при x = 97 получаем: x + 3 = 97 + 3 = 100;
а)
Ответ: 100; б) =
y+7 2
y − 25
−
2y + 2 2
y − 25
=
y + 7 − 2y − 2 y 2 − 25
=
5− y y−5 1 =− =− ; ( y − 5)( y + 5) ( y − 5)( y + 5) y + 5
при y = −51 , получаем:
www.5balls.ru
−
1 1 1 1 =− =− = = 10; y+5 (−51, ) + 5 −0,1 0,1`
Ответ: 10. №58. a 2 − 43 7 a 2 − 43 + 7 + = = a−6 a−6 a−6 a 2 − 36 (a − 6)(a + 6) = = = a + 6; a−6 a−6 при a = 10,25 получаем: a + 6 = 10,25 + 6 = 16,25; Ответ: 16,25; 9b − 1 6b − 10 9b − 1 − 6b + 10 = = − б) 2 b − 9 b2 − 9 b2 − 9 3(b + 3) 3b + 9 3 = = = ; b − 3 b + 3 b − 3 b + 3 b − 3 ( )( ) ( )( )
а)
при b = 3,5 получаем:
3 3 3 1 = = = 3: = 3 ⋅ 2 = 6; b − 3 3,5 − 3 0,5 2
Ответ: 6. №59. а)
x 5 x 5 x−5 + = − = ; y − 1 1− y y − 1 y − 1 y − 1
a a a+6 6 6 − = + = ; c − 3 3− c c − 3 c − 3 c − 3 2m 2n 2m 2n в) + = − = m−n n−m m−n m−n 2m − 2n 2(m − n) = = = 2; m−n m−n 5p 10 5p 10 г) + = − = 2q − p p − 2q 2q − p 2q − p
б)
=
д)
5( p − 2q ) 2q − p
=−
5(2q − p) 2q − p
= −5;
a 2 + 16 8a a 2 + 16 8a + = − = a−4 4−a a−4 a−4 a 2 − 8a + 16 (a − 4) = = a − 4; a−4 a−4 2
=
www.5balls.ru
е)
x 2 + 9 y 2 + (−6xy) x2 + 9y2 6xy + = = x − 3y 3y − x x − 3y
=
x 2 + 9 y 2 − 6xy x 2 − 6xy + 9 y 2 = = x − 3y x − 3y
=
( x − 3y ) 2 x − 3y
= x − 3y.
№60. а) =
10 p 3p 10 p 3p + = − = p−q q− p p−q p−q 10 p − 3 p 7p = ; p−q p−q
5a 5b 5a 5b + = − = a−b b−a a−b a−b 5a − 5b 5(a − b) = = = 5; a−b a−b x−3 x−3 2 2 в) − = + = x − 1 1− x x − 1 x − 1 x − 3+ 2 x −1 = = = 1; x−1 x−1 a 3a − b a 3a − b г) + = − = 2a − b b − 2a 2a − b 2a − b a − 3a + b b − 2a 2a − b = = =− = −1; 2a − b 2a − b 2a − b a a 3 3 + = 2 − 2 = д) 2 2 a −9 9−a a −9 a −9 a−3 1 ; = = (a − 3)(a + 3) a + 3
б)
е)
y2 y2 1 1 + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1
=
y 2 − 1 ( y − 1)( y + 1) = = y + 1. y−1 y−1
№61. а)
3x + 5 7 x + 3 3x + 5 7 x + 3 + = − = 2x − 1 1 − 2x 2x − 1 2x − 1
www.5balls.ru
3x + 5 − 7 x − 3 −4 x + 2 −2(2 x − 1) = = = −2 ; 2x − 1 2x − 1 2x − 1 не зависит от x; =
5x + 1 x + 17 5x + 1 x + 17 + = − = 5x − 20 20 − 5x 5x − 20 5x − 20 5x + 1 − x − 17 4 x − 16 4( x − 4) 4 = = = = ; 5x − 20 5( x − 4) 5( x − 4) 5
б)
не зависит от x. №62. а)
x2
25
+
10x
x2
=
−
25
−
10x
(5 − x) (x − 5) (x − 5)2 x 2 − 25 ( x − 5)( x + 5) x + 5 ; = = = (x − 5)2 (x − 5)(x − 5) x − 5
б)
(x − 5)
−
2
x 2 + 25
(x − 5)
2
=
2
x 2 + 25
(5 − x) (x − 5) (x − 5)3 2 x 2 − 10x + 25 ( x − 5) 1 = = = . 3 3 (x − 5) (x − 5) x − 5 3
№63. а) =
б) =
x2 x 2 − 16
−
3
8( x − 2) x 2 − 16
3
x 2 − 8x + 16
=
x 2 − 16
( x − 4) 2 x−4 = ; (x − 4)(x + 4) x + 4 64 − 2ab
(a − 8)2
+
2ab − a 2
(8 − a )2
64 − 2ab + 2ab − a 2
=
=
64 − 2ab
(a − 8)2
64 − a 2
(a − 8)2 (a − 8)2 (a − 8)(8 + a ) 8 + a = . (8 − a )(8 − a ) 8 − a
=
=
=
+
2ab − a 2
(a − 8)2
=
№64. а) подставим c = x: a+b a b = + ; x x x
www.5balls.ru
=
б) подставим c = x: 2a 2 + a 2a 2 a = + ; y y y
в) подставим c = x: x 2 + 6y 2 x2 6y 2 x 3y = + = + ; 2 xy 2 xy 2 xy 2 y x
г) подставим c = x: 12a + y 2 12a y 2 2 y = + = + . 6ay 6ay 6ay y 6a
№65. а)
x2 + y2 x4
=
x2
+
x4
y2 x4
=
1 x4
+
y2 x4
б)
2x − y 2x y = − ; b b b
в)
a2 + 1 a2 1 a 1 = + = + ; 2a 2a 2a 2 2a
г)
a 2 − 3ab a
3
=
a2 a
3
−
3ab a
3
=
;
1 3b − ; a a2
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№66. а) подставим a = 2:
www.5balls.ru
3a 2 3⋅ 22 12 = = = 4; 2a − 1 2 ⋅ 2 − 1 3
Ответ: 4; 1 3
б) подставим a = − : 2
1 1 3⋅ − 3⋅ 3 3a 9 = = = 2 2a − 1 1 2 ⋅ − − 1 − − 1 3 3 2
=
1 5 1⋅ 3 1 =− ; : − = − 3 3 3⋅ 5 5 1 5
Ответ: − . №67. а) 3(5x − 4) − 8x = 4 x + 9; 15x − 12 − 8x = 4 x + 9; 3x = 21; x = 7;
Ответ: x = 7; б) 19 x − 8( x − 3) = 66 − 3x; 19 x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 3x = 66 − 24;
www.5balls.ru
14 x = 42; x = 3;
Ответ: x = 3; в) 0,2(0,7 x − 5) + 0,02 = 1,4( x − 1,6); 014 , x − 1 + 0,02 = 1,4 x − 2 ,24; 014 , x − 0,98 = 1,4 x − 2 ,24; 1,26 = 126 , x; x = 1;
Ответ: x = 1; г) 2 ,7(01 , x + 3,2) + 0,6(1,3 − x) = 16,02; 0,27 x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x = 16,02 − 8,64 − 0,78; −0,33x = 6,6; x = 6,6: (−0,33); x=−
66 100 660 ⋅ = = −20; 10 33 33
Ответ: x = −20. №68. а) 8 x 2 − 16 x 3 y = 8 x 3 (x − 2 y );
(
)
б) 15xy 5 + 10 y 2 = 5 y 2 3xy 3 + 2 ;
(
в) 8a − 50 y = 2 4a − 25 y 2
2
2
= 2(2a − 5 y )(2a + 5 y );
2
)=
www.5balls.ru
(
)
г) 18b 2 − 98a 2 = 2 9b 2 − 49a 2 = = 2(3b − 7a )(3b + 7a );
(
)
д) x 3 − 125 = (x − 5) x 2 + 5 x + 25 ;
(
)
е) y + 8 = ( y + 2 ) y − 2 y + 4 ; ж) ab + 8a + 9b + 72 = a (b + 8) + 9(b + 8) = 3
2
= (b + 8)(a + 9 ); з) 6m − 12 − 2n + mn = 6(m − 2 ) + n (m − 2 ) = = (m − 2 )(6 + n ).
№69. Достаточно выяснить, когда знаменатель дроби отличен от нуля. а) 2a + 25 ≠ 0; 2a ≠ −25; a ≠ −
25 ; a ≠ −12 ,5; 2
б) y − любое число, так как 9 + y 2 > 0 при всех y ; в) 3x (x + 12 ) ≠ 0; 1 ) 3x ≠ 0; x ≠ 0; 2 ) x + 12 ≠ 0; x ≠ −12; Итак: x ≠ 0; x ≠ −12; г) (a + 1)(a − 4 ) ≠ 0; 1 ) a + 1 ≠ 0; a ≠ −1; 2 ) a − 4 ≠ 0; a ≠ 4; Итак: a ≠ −1; a ≠ 4. 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями №70. а)
x y 3x + 2 y ; + = 2 3 6
б)
c d 3c − d ; − = 4 12 12
в)
p q p2 + q2 ; + = q p qp
г)
a b2 a 2 − b3 ; − = b a ab
www.5balls.ru
д)
3 2 9−4 5 − = = ; 2 x 3x 6x 6x
е)
a 3a 4a + 15a 19a + = = ; 5c 4c 20c 20c
ж)
5x x 5x + 2 x 7 x + = = ; 8y 4 y 8y 8y
з)
17 y 25y 51y − 50 y y − = = ; 24c 36c 72c 72c
и)
5a 7a 25a − 14a 11a − = = . 18b 45b 90b 90b
№71. а)
=
б)
=
в)
=
г)
5y − 3 y + 2 + = 6y 4y 2(5y − 3) + 3( y + 2)
=
13y 13 = ; 12 y 12
=
14 x 2 = ; 105x 15
12 y 3x + 5 x − 3 + = 35x 21x 3(3x + 5) + 5( x − 3) 105x b + 2 3c − 5 − = 15b 45c 3c(b + 2) − b(3c − 5) 45bc
=
6c + 5b ; 45bc
8b + y 6 y + b − = 40b 30 y
www.5balls.ru
=
24by + 3y 2 − 24by − 4b 2 3y 2 − 4b 2 = ; 120 y 120 y
№72. а)
3x 5x 27 x − 20x 7 x − = = ; 4 9 36 36
б)
6a 3a 24a − 15a 9a − = = ; 5 4 20 20
в)
7a 2a 35a − 8a 27a 9a ; − = = = 12b 15b 60b 60b 20b
г)
9 p 7 p 54 p − 35 p 19 p ; − = = 10 12 60 60
д)
15a − b a − 4b − = 12a 9a
=
45a − 3b − 4a + 16b 41a + 13b = ; 36a 36a
е)
7 x + 4 3x − 1 − = 8y 6y
=
21x + 12 − 12 x + 4 9 x + 16 = . 24 y 24 y
№73. а)
б)
b a2
−
1− x x3
1 b−a = 2 ; a a +
1 x2
=
1− x + x x3
=
1 x3
;
www.5balls.ru
в)
=
г)
1 2a 7
2a 10 a+b
д)
2
е)
8 − 3a 3
;
2a 10
ab + b 2 + a 2 − ab a 2b 2a − 3b 2
+
a2 + b2
=
4a − 5b ab 2
a 2b
a 2b 2 x − 2y 2
−
2y − x x2 y
;
=
2ab − 3b 2 + 4a 2 − 5ab
xy =
=
a−b = ab
+
a b =
=
a 10
a 3 + 8 − 4a 3
a =
4 − 2a 3
+
=
4a 2 − 3ab − 3b 2 a 2b 2
;
=
x 2 − 2 xy − 2 y 2 + xy 2 2
x y
x 2 − 2 y 2 − xy
=
x2 y2
.
№74. а)
2 xy − 1 4x
=
б)
3
−
3y − x 6x 2
=
6xy − 3 − 6xy + 2 x 2 12 x 3
=
2x 2 − 3 12 x 3
(
;
)
2 3 1 − b 2 2b 3 − 1 2b 1 − b + 2b − 1 + = = 3ab 6ab 2 6ab 2
www.5balls.ru
=
в)
г)
2b − 2b 3 + 2b 3 − 1 6ab 1 3a 3 b2 6x 5
−
−
2
2 5a 5 b 3x 6
=
=
=
2b − 1
5a 2 − 6 15a 5
6ab 2
;
;
xb 2 − 2b 6x 6
.
№75. а)
1 1 1 c b a a+b+c + + = + + = ; ab ac bc abc abc abc abc
б)
ab − b ab − a a 2 − b 2 − − = a b ab
=
b(ab − b) − a(ab − a ) − a 2 + b 2 ab
=
=
ab 2 − b 2 − a 2 b + a 2 − a 2 + b 2 = ab
=
ab 2 − a 2 b = b − a; ab
в)
b−a c−b c−a + − = ab bc ac
=
cb − ac + ac − ab − bc + ab = 0; abc
г)
3ab + 2b 2 a + 2b a − 2b − + = ab a b
www.5balls.ru
=
3ab + b 2 b(a + 2b) a(a − 2b) − + = ab ab ab
=
3ab + 2b 2 − ab − 2b 2 + a 2 − 2ab a 2 a = = . ab ab b
№76. а)
=
б)
в)
x − y x − z zx − zy − yx + yz − = = xy xz xyz zx − yx z − y = ; xyz yz a − 2b b − 2a a 2 − 2ab − b 2 + 2ab a 2 − b 2 − = = ; 3b 3a 3ab 3ab p−q p q
=
г)
д)
=−
p 3q 3 3m − n 2
−
2n − m 2mn
2
=
q2 + p2
2
−
2c − 5b 6bc 2
=
3m 2 − 2n 2 6m 2 n 2
;
=
6bc + 4c 2 − bc + 15b 2 18b 2 c 2
;
6m 2 n 2
6m 2 n 2 3b + 2c
p 3q 3
2m(3m − n) − 3m(2n − m)
6mn − 2n 2 − 6mn + 3m 2
9b c =
=
p2q3
qp − q 2 − p 2 − pq
3m n =
p+q
−
3 2
=
4c 2 + 15b 2 18b 2 c 2
;
www.5balls.ru
=
2x − 7 y
е)
2
2x y =
−
5y − 8x 5xy 2
=
10xy − 35y 2 − 10xy + 16x 2 10x 2 y 2
=
16x 2 − 35y 2 10x 2 y 2
;
№77. 1 x 1 xy + 1 = + = ; y 1 y y
а) x +
б)
1 1 a 1− a2 −a= − = ; a a 1 a
в) 3a −
a 3a a 12a − a 11a = − = = ; 4 1 4 4 4
г) 5b −
2 5b 2 5b 2 − 2 = − = ; b 1 b b
д)
=
a2 + b a2 + b a −a= − = a a 1 a2 + b − a2 b = ; a a
е) 2 p −
=
ж)
4 p2 + 1 2 p 4 p2 + 1 = − = 2p 1 2p
(
) = 4p
4 p2 − 4 p2 + 1 2p
(a − b)2 2a
+b=
2
(a − b)2 2a
1 − 4p2 − 1 =− ; 2p 2p b = 1
www.5balls.ru
=
a 2 − 2ab + b 2 + 2ab a 2 + b 2 = ; 2a 2a
з) c −
=
(b + c)2 2b
c (b + c) − = 1 2b 2
=
(
2bc − b 2 + 2bc + c 2 2b
)=
=
2bc − b 2 − bc − c 2 = 2b
=
−b 2 − c 2 b 2 + c2 =− . 2b 2b
№78. а) 5 −
c 5 c 10 − c = − = ; 2 1 2 2
б) 5y 2 −
15y 2 − 1 15y 2 − 15y 2 + 1 1 = = ; 3 3 3
в) a + b −
=
a−3 a b a−3 = + − = 3 1 1 3
3a + 3b − (a − 3) 3
=
3a + 3b − a + 3 = 3
=
2a + 3b + 3 ; 3
г)
2b 2 − 1 2b 2 − 1 − b 2 + 5b − b + 5= = b b
www.5balls.ru
=
b 2 + 5b − 1 . b
№79. а) 1 −
a b 1 a b 20 − 4a − 5b ; − = − − = 5 4 1 5 4 20
б) 12 −
в)
=
a−2 a−3 a−2 1 a−3 − 1− = − − = 2 3 2 1 3 3a − 6 − 6 − 2a + 6 a − 6 = ; 6 6
г) 4a −
=
д)
1 1 12 1 1 12ab − b − a ; − = − − = a b 1 a b ab
a − 1 a + 2 4a a − 1 a + 2 − = − − = 4 3 1 4 3
48a − 3a + 3 − 4a − 8 41a − 5 = ; 12 12 a+b a + b a b 5b − 3a −a+b= − + = ; 4 4 1 1 4
е) a + b −
=
a2 + b2 a b a2 + b2 = + − = a a 1 1
(
a 2 + ab − a 2 + b 2 a
) = ab − b a
2
.
№80. а) x −
x− y x+ y x x− y x+ y + = − + = 2 4 1 2 4
www.5balls.ru
=
б)
=
4 x − 2 x + 2 y + x + y 3x + 3y = ; 4 4 3 5 3 2 5 −2− = − − = x x x 1 x 3 − 2x − 5 2x + 2 ; =− x x
в) 3 −
2x − y x + 4 y 3 2x − y x + 4 y + = − + = 4 12 1 4 12
=
36 − 6x + 3y + x + 4 y 36 − 5x + 7 y = ; 12 12
г)
6a − 4b b + 7a 6a − 4b b + 7a 2 − −2= − − = 5 3 5 3 1
=
18a − 12b − 5b − 35a − 30 17a + 17b + 30 . =− 15 15
№81. а)
(b + c)(b − c) + b 2 b−c b + = = b b+c b(b + c)
=
b 2 − c 2 + b 2 2b 2 − c 2 ; = b(b + c) b(b + c)
б)
=
x + 1 x + 3 x( x + 1) − ( x − 2)( x + 3) = − = x−2 x ( x − 2 )x 6 x2 + x − x2 − x + 6 ; = x( x − 2) x( x − 2)
www.5balls.ru
в)
(m + n)m − n(m − n) m n − = = m−n m+n (m − n)(m + n)
=
m 2 + mn − mn + n 2 m 2 + n 2 ; = 2 (m − n)(m + n) m − n2
г)
2a(2a + 1) − (2a − 1) 2a 1 − = = 2a − 1 2a + 1 (2a − 1)(2a + 1)
=
4 a 2 + 2 a − 2 a + 1 4a 2 + 1 ; = (2a − 1)(2a + 1) 4a 2 − 1
д)
=
е)
=
a(a − 2) − a(a + 2) a a − = = a+2 a−2 (a + 2)(a − 2) a 2 − 2a − a 2 − 2a a2 − 4
=
4a 4 − a2
;
p(3 p + 1) − p(3 p − 1) p p − = = 3p − 1 3p + 1 (3 p − 1)(3 p + 1) 3p 2 + p − 3p 2 + p 9 p2 − 1
=
2p 9 p2 − 1
.
№82. а)
3x 2y 9 x − 10 y − = ; 5( x + y) 3( x + y) 15( x + y)
б)
4a 2 − 5b 2 a2 b2 − = ; 5(a − b) 4(a − b) 20(a − b)
в)
3 2 + = ax − ay by − bx
www.5balls.ru
=
3 2 3b − 2a ; − = a( x − y) b( x − y) ab( x − y)
г)
13c 12b − = bm − bn cn − cm
=
13c 12b 13c 2 + 12b 2 + = ; b(m − n) c(m − n) bc(m − n)
д)
a a a a − = − = 2 x + 4 3x + 6 2( x + 2) 3( x + 2)
=
3a − 2a a = ; 6( x + 2) 6( x + 2)
е)
p 1 + = 7a − 14 2 − a
=
p 1 p−7 . − = 7(a − 2) a − 2 7(a − 2)
№83. а)
p(3x − 2) − p(2 x + 1) p p − = = 2 x + 1 3x − 2 (3x − 2)(2 x + 1)
=
p( x − 3) 3xp − 2 p − 2 xp − p = ; (3x − 2)(2 x + 1) (3x − 2)(2 x + 1)
б)
=
6a( x + y) + 2a( x − 2 y) 6a 2a + = = x − 2y x + y (x + y)(x − 2 y) 2a(4 x + y) 8ax + 2ay = ; (x + y)(x − 2 y) (x + y)(x − 2 y)
www.5balls.ru
в)
a a a a + = + = 5x − 10 6x − 12 5( x − 2) 6( x − 2)
=
6a + 5a 11a = ; 30( x − 2) 30( x − 2)
г)
5b b 5b b − = + = 12a − 36 48 − 16a 12(a − 3) 16(a − 3)
=
20b + 3b 23b . = 48(a − 3) 48(a − 3)
№84. а)
=
5y + 3 7 y + 4 5y + 3 7y + 4 − = − = 2 y + 2 3y + 3 2( y + 1) 3( y + 1) 15y + 9 − 14 y − 8 y+1 1 = = , 6( y + 1) 6( y + 1) 6
не зависит от y; б)
=
11y + 13 15y + 17 11y + 13 15y + 17 + = − = 3y − 3 4 − 4y 3( y − 1) 4( y − 1) −y + 1 44 y + 52 − 45y − 51 = = 12( y − 1) 12( y − 1)
=−
y −1 1 , =− 12( y − 1) 12
не зависит от y; №85.
www.5balls.ru
а)
=
б)
a2 ax − x 2
+
x a2 x = − = x − a x(a − x) a − x
a 2 − x 2 (a − x)(a + x) a + x ; = = x(a − x) x(a − x) x b 2 − 4by 2 y 2 − by
−
4y b 2 − 4by 4y = + = b − 2 y y(2 y − b) 2 y − b
2y − b b 2 − 4by + 4 y 2 (b − 2 y) ; = = y(2 y − b) y(2 y − b) y 2
=
в)
=
г)
=
b 2
2a − ab
−
4a 2ab − b
2
b 4a − = a(2a − b) b(2a − b)
=
(b − 2a )(b + 2a ) b + 2a b 2 − 4a 2 ; = =− ab(2a − b) ab(2a − b) ab 4y 2
3x + 2 xy
−
9x 3xy + 2 x
2
=
4 y(3y + 2 x) − x(3x + 2 y) x(3x + 2 y)(3y + 2 x)
=
4y 9x − = x(3x + 2 y) x(3y + 2 x) 12 y 2 − 10xy − 27 x 2 ; x(3x + 2 y)(3y + 2 x)
№86. а)
=
=
x − 25 x − 25 3x + 5 3x + 5 + = + = 5x − 25 x 2 − 5x 5( x − 5) x( x − 5) x( x − 25) + 5(3x + 5) 5x( x − 5)
=
x 2 − 10x + 25 = 5x( x − 5)
(x − 5)2 = x − 5 ; 5x( x − 5) 5x
www.5balls.ru
б)
12 − y 6 12 − y 6 − 2 = − = 6 y − 36 y − 6 y 6( y − 6) y( y − 6)
( y − 6) 12 y − y 2 − 36 =− = 6 y( y − 6) 6 y( y − 6) 2
=
=−
в)
=
г)
=
y − 6 6− y = ; 6y 6y 1 2
a + ab
+
1 ab + b
2
=
1 1 + = a(a + b) b(a + b)
2
=
1 1 − = b(b − a ) a(b − a )
b+a 1 ; = ab(a + b) ab 1 2
b − ab
−
1 ab − a
a b a−b 1 − = = . ab(b − a ) ab(b − a ) ab(b − a ) ab
№87. а) 1 −
=
б)
=
a + b 1 a + b a − b − (a + b) = − = = a−b 1 a−b a−b
a−b−a−b 2b ; = a−b b−a 2 2 a2 + b2 a 2 + b 2 a a + b − a(a − b) −a= − = = 1 a−b a−b a−b
b 2 + ab b(b + a ) ; = a−b a−b
www.5balls.ru
в) m − n +
=
n2 m n n2 = − + = m+n 1 1 m+n
m(m + n) − n(m + n) + n 2 m+n
=
m2 ; m+n
(
)
2 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) − a + b ; г) a + b − = = a+b a+b a+b 2
д) x −
=
x 9 9 3 − 3= − − = x−3 1 x−3 1
x 2 − 3x − 9 − 3x + 9 x 2 − 6x = ; x−3 x−3
е) a 2 −
=
=
a4 + 1 a2 − 1
(
)−a
a2 a2 − 1 a2 − 1
+ 1=
4
a2 a4 + 1 1 − 2 + = 1 a −1 1
+1
a2 − 1
+
a2 − 1 a2 − 1
a4 − a2 − a4 − 1+ a2 − 1 a2 − 1
=−
=
2 a2 − 1
=
2 1− a2
.
№88. а)
=
б)
a 2 + 3a a a 2 + 3a a − = − = ab − 5b + 8a − 40 b + 8 (a − 5)(b + 8) b + 8 a 2 + 3a − a(a − 5)
(a − 5)(b + 8)
=
8a a 2 + 3a − a 2 + 5a ; = (a − 5)(b + 8) (a − 5)(b + 8)
y 3y y 3y − = − = 3x − 2 6xy + 9 x − 4 y − 6 3x − 2 (2 y + 3)(3x − 2)
www.5balls.ru
=
y(2 y + 3) − 3y
(2 y + 3)(3x − 2)
=
2 y 2 + 3y − 3y 2y2 . = (2 y + 3)(3x − 2) (2 y + 3)(3x − 2)
№89. а)
x2 x x2 x − = − = 3ax − 2 − x + 6a 3a − 1 (3a − 1)( x + 2) 3a − 1 x 2 − x( x + 2)
=
(3a − 1)(x + 2)
=
(1 − 3a )(x + 2)
б)
2x
=
2x x2 − x2 − 2 =− = (3a − 1)(x + 2) (3a − 1)(x + 2)
;
3x x 2 + 3x 3x x 2 + 3x + = + = 2 y + 3 4 xy − 3 − 2 y + 6x 2 y + 3 2 x(2 y + 3) − (2 y + 3)
=
3x(2 x − 1) + x 2 + 3x x 2 + 3x 3x + = = 2 y + 3 (2 y + 3)(2 x − 1) (2 y + 3)(2 x − 1)
=
7x 2 . (2 y + 3)(2 x − 1)
№90. а)
x 2 − 3xy + y( x + y) x 2 − 3xy y + = = (x + y)(x − y) (x − y) (x + y)(x − y)
=
( x − y) = ( x − y) ; x 2 − 2 xy + y 2 = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x + y)
б)
2 c b 2 − 3bc c(b + c) + b − 3bc = = + 2 b − c b − c2 b 2 − c2
2
www.5balls.ru
=
c(b + c) + b 2 − 3bc
(b − c)(b + c)
=
bc + c 2 + b 2 − 3bc = (b − c)(b + c)
(b − c) b 2 − 2bc + c 2 b−c ; = = (b − c)(b + c) (b − c)(b + c) b + c 2
=
(
)
2 a − 2 y y 2 − 5ay (a − y)(a − 2 y) − y − 5ay = = в) − 2 a+y (a − y)(a + y) a − y2
=
a 2 − 2ay − ay + 2 y 2 − y 2 + 5ay y 2 + 2ay + a 2 = = (a − y)(a + y) (a − y)(a + y)
=
(a + y)2 = a + y ; (a − y)(a + y) a − y
a+3 a2 − 1 =
=
−
1 a2 + a
=
a(a + 3) − (a − 1) a(a − 1)(a + 1)
a+3
(a − 1)(a + 1) =
−
1 = a(a + 1)
a 2 + 2a + 1 = a(a − 1)(a + 1)
(a + 1)2 = a + 1 . (a − 1)(a + 1) a(a − 1)
www.5balls.ru
№ 91.
а) = =
б) = =
в) = =
г)
= =
b−6 4−b
2
+
2 2b − b
2
=
b−6 2 + = (2 − b )(2 + b ) b(2 − b )
b (b − 6 ) + 2 (2 + b ) b 2 − 6b + 4 + 2b = = b (2 − b )(2 + b ) b (2 − b )(2 + b )
(2 − b )2 = 2 − b ; b (2 − b )(2 + b ) b (2 + b ) b ab − 5a
2
−
15b − 25a 2
b − 25a
2
b 15b − 25a − = a (b − 5a ) (b − 5a )(b + 5a )
=
b(b + 5a ) a (15b − 25a ) b 2 + 5ab − 15ab + 25a 2 − = = a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a )
(b − 5a )2 = b − 5a ; b 2 − 10ab + 25a 2 = a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a ) a (b + 5a ) x − 12a 2
x − 16a
2
−
4a 4ax − x
2
=
x − 12a 4a − = (x − 4a )(x + 4a ) x(4a − x )
x(x − 12a ) + 4a (x + 4a ) x 2 − 12ax + 4ax + 16a 2 x 2 − 8ax + 16a 2 = = = x(x − 4a )(x + 4a ) x(x − 4a )(x + 4a ) x(x − 4a )(x + 4a )
(x − 4a )2 = x − 4a ; x(x − 4a )(x + 4a ) x(x + 4a ) a − 30 y 2
a − 100 y
2
−
10 y 10ay − a
2
=
a − 30 y
(a − 10 y )(a + 10 y )
−
10 y = a(10 y − a )
a(a − 30 y ) + 10 y (a + 10 y ) a 2 − 30ay + 10ay + 100 y 2 = = a(a − 10 y )(a + 10 y ) a (a − 10 y )(a + 10 y )
(a − 10 y )2 a − 10 y . = a (a − 10 y )(a + 10 y ) a (a + 10 y )
№ 92.
www.5balls.ru
а)
a+4
−
2
a
=
2
a+4 a a 2 + 4a + 2a + 8 − a 2 − = = a (a − 2) (a − 2 )(a + 2 ) a (a − 2 )(a + 2 )
a − 2a a − 4 6a + 8 2(3a + 4 ) = = ; a (a − 2 )(a + 2 ) a (a − 2 )(a + 2 )
б)
4 − x2 16 − x 2
4 − x2 x +1 x + 1 4 − x 2 − (4 − x )( x + 1) = − = = (4 − x )(4 + x ) x + 4 (4 − x)(4 + x) x + 4
−
4 − x2 − 4 x − 4 + x2 + x 3x − 3x = = ; ( 4 − x)(4 + x) (4 − x )(4 + x ) x 2 − 16 3 3 3 b+7 b+7 b+7 + = + = + = в) 2b + 1 1 − 4b 2 2b + 1 (1 − 2b)(1 + 2b) 1 + 2b (1 − 2b)(1 + 2b) =
3(1 − 2b) + b + 7 10 − 5b 5( 2 − b) = = ; (1 − 2b)(1 + 2b) (1 − 2b)(1 + 2b) 1 − 4b 2 5b 16ab + 30b 5b 16ab + 30b + = + = г) 4a − 5 25 − 16a 2 4a − 5 (5 − 4a)(5 + 4a) =
=
5b 16ab + 30b 20ab + 25b − 16ab − 30b − = = 4a − 5 ( 4a − 5 )( 4a + 5 ) ( 4a − 5 )( 4a + 5 )
=
b( 4a − 5 ) b = ; ( 4a − 5 )( 4a + 5 ) 4a + 5
д)
( a + b) 2
+
( a − b) 2
a 2ab a 2 − ab b b = 1 + + 1 − = 2; a a
=
( a + b ) 2 ( a − b) 2 a + b a − b + = + = a ( a + b) a ( a − b) a a
е)
x2 − 4 x2 + 4x + 4 x2 − 4 x2 + 4x + 4 − = − = 5 x − 10 5 x + 10 5( x − 2) 5( x + 2)
=
( x − 2)( x + 2) ( x + 2) 2 x + 2 x + 2 − = − =0. 5( x − 2) 5( x + 2) 5 5
№ 93. а) =
x +1 x2 − x
−
x+2 x2 − 1
=
( x + 1)( x + 1) − x ) x + 2) x +1 x−2 − = = x( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x( x − 1)( x + 1)
x2 + 2 x + 1 − x2 − 2 x 1 = ; 2 x( x − 1)( x + 1) x( x − 1)
www.5balls.ru
подставим x = -1,5:
1 x( x − 1) 2
=
[
1
]
(−1,5) (− 1,5) − 1 2
=
1 = (−1,5)1.25
8 1 1 =− =− . 3⋅5 1 1 15 − 1 ⋅1 2⋅4 2 4 8 Ответ: − . 15 1− x 1+ x x+2 x+2 − = − = б) 2 x + 3x x 2 − 9 x( x + 3) ( x − 3)( x + 3) =
=
( x − 3)( x + 2) − x (1 + x ) x 2 + 2 x − 3 x − 6 − x − x 2 = = x ( x − 3)( x + 3) x( x − 3)( x + 3)
подставим x = -1,5:
=−
2 2 2 2 = = =− = 3 9 x(3 − x) − 1,5[3 − (− 1,5)] − 1,5 ⋅ 4,5 ⋅ 2 2
8 . 27
Ответ: −
8 . 27
№ 94. а) б) =
в) =
г)
a 2 + b2 3
a +b
3
−
a 2 + b2 ab 1 1 = − = ; a + b (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) a + b a 3 + b3
1 3 pq 1 3 pq − = − = p − q p 3 − q 3 p − q ( p − q )( p 2 + pq + q 2 ) p 2 − 2 pq + q 2 2
2
( p − q )( p + pq + q ) 1− a a2 − a + 1 1 a3 + 1
+
a2 a3 + 1
=
=
( p − q )2 ( p − q )( p 2 + pq + q 2 )
1− a a2 − a + 1
+
=
p−q p 2 + pq + q 2
a2
(a + 1)(a 2 − a + 1)
=
;
(1 + a )(1 − a ) + a 2 = (a + 1)(a 2 − a + 1)
;
6a 3 + 48a a 3 + 64
−
3a 2 a 2 − 4a + 16
=
6a 3 + 48a ( a + 4)(a 2 − 4a + 16)
www.5balls.ru
−
3a 2 a 2 − 4a + 16
=
= =
6a 3 + 48a − 3a 2 (a + 4) 2
(a + 4)(a − 4a + 16)
=
6a 3 + 48a − 3a 3 − 12a 2 2
( a + 4)(a − 4a + 16)
=
3a (a 2 − 4a + 16) (a + 4)(a 2 − 4a + 16)
=
3a . a+4
№ 95. а)
y−2 4 3 12 4( y − 2) − 3( y + 2) + 12 − + 2 = = = y+2 y−2 y +4 ( y + 2)( y − 2) ( y − 2)( y + 2)
=
1 ; y+2
б)
3 3 a a2 a a2 − − = − − = a − 6 a + 6 36 − a 2 a − 6 a + 6 (a − 6)(a + 6)
=
в) =
г)
18 + 3a 3 a ( a + 6) − 3(a − 6) − a 2 a 2 + 6a − 3a + 18 − a 2 ; = = = (a − 6)(a + 6) (a − 6)(a + 6) (a − 6)(a + 6) a − 6 x2
x+ y x2 x+ y 2 x 2 − ( x + y )( x − y ) = − = = 2 x − 2 y ( x − y ) 2 2( x − y ) 2( x − y ) 2
−
( x − y )2
2 x2 − x2 + y 2 2( x − y ) b ( a − b) 2
2
−
=
x2 + y2 2( x − y ) 2
a+b b 2 − ab
=
;
b 2 − (b − a)(b + a ) b(b − a) 2
=
b2 − b2 + a 2 b(b − a )2
=
a2 b(b − a ) 2
.
№ 96. а)
2a + b 2
2a − ab
−
16a 2
4a − b
2
−
2a − b 2
2a + ab
=
2a + b 16a − − a (2a − b) (2a − b)(2a + b)
−
2a − b (2a + b) − 16a 2 − (2a − b)2 2b ⋅ 4a − 16a 2 = = = a ( 2a + b ) a (2a + b)(2a − b) a (2a + b)(2a − b)
=
8ab − 16a 2 8a ( 2 a − b ) 8 ; =− =− 2a + b a ( 2a − b)(2a + b) a (2a − b)(2a + b)
б) =
2
1 ( a − 3)
2
−
2 a −9 2
+
1 (a + 3)
2
2
=
1 ( a − 3)
2
−
a + 6a + 9 − 2(a − 3)(a + 3) + a 2 − 6a + 9 (a − 3) 2 (a + 3)2
2 1 + = ( a − 3)(a + 3) (a + 3) 2 =
2a 2 + 18 − 2a 2 + 18
www.5balls.ru
( a − 3) 2 (a + 3) 2
=
=
в) + =
г) =
36 ( a − 3) 2 ( a + 3) 2 x−2 x2 + 2 x + 4
−
; 6x
x3 − 8
1 1 x−2 = − + x − 2 x 2 + 2 x + 4 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
+
1 ( x − 2)( x − 2) − 6 x + x 2 + 2 x + 4 2 x2 − 8x + 8 = = = x−2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) 2( x − 2) 2 ( x − 2)( x + 2 x + 4) 2
2a 2 + 7 a + 3 3
a −1
−
2( x − 2)
=
x + 2x + 4 2
1 − 2a 2
a + a +1
−
;
3 = a −1
2a 2 + 7 a + 3 − (a − 1)(1 − 2a ) − 3(a 2 + a + 1) (a − 1)(a 2 + a + 1)
=
=
2a 2 + 7 a + 3 − a + 2a 2 + 1 − 2a − 3a 2 − 3a − 3 a2 + a +1 = = 2 ( a − 1 )( a + a + 1 ) ( a − 1 )( a 2 + a + 1 )
=
1 . a −1
№ 97. а)
1 1 2a 1 1 2a − − = − + = a − 4b a + 4b 16b2 − a 2 a − 4b a + 4b ( a − 4b)(a + 4b)
=
a + 4b − a + 4b + 2a 8b + 2a 2 = = ; ( a − 4b)(a + 4b) (a − 4b)(a + 4b) a − 4b
б)
a2 a2 1 1 1 1 + + 2 = + + = 2b − 2a 2b + 2a a b − b3 2(b − a ) 2(b + a ) b(a 2 − b 2 )
=
2(b 2 − a 2 ) b(b + a ) + b(b − a ) − 2a 2 b 2 + ab + b 2 − ab − 2a 2 = = = 2b(b − a )(b + a ) 2b(b − a )(b + a ) 2b(b − a )(b + a )
=
2(b − a )(b + a ) 1 = ; 2b(b − a )(b + a ) b
в)
1 6bx 6bx 1 + = + = 2 x − b b3 − 8 x3 (b − 2 x)(b 2 + 2bx + 4 x 2 ) 2 x − b
=
b 2 + 2bx + 4 x 2 − 6bx 2
2
( 2 x − b)(b + 2bx + 4 x )
=
b 2 − 4bx + 4 x 2 (2 x − b)(b 2 + 2bx + 4 x 2 )
www.5balls.ru
=
=
г) =
( 2 x − b) 2 2
2
( 2 x − b)(b + 2bx + 4 x ) 2 y 2 + 16 3
y +8
−
=
2x − b 2
b + 2bx + 4 x 2
;
2 2 y 2 + 16 2 = − = y + 2 ( y + 2)( y 2 − 2 y + 4) y + 2
2 y 2 + 16 − 2( y 2 − 2 y + 4) 2
( y + 2)( y − 2 y + 4)
=
4y + 8 2
( y + 2)( y − 2 y + 4)
=
4 2
y − 2y + 4
.
№ 98. а)
3 2
+
3 3 + a3 a2 a2 ; = + = a − 3 a (a − 3) a − 3 a ( a − 3)
a − 3a 9a + 3 a + 3 9a + 3 a (a − 3)(a + 3) + 9a + 3 = + = = a +3+ 2 1 a (a − 3) a (a − 3) a − 3a =
б) =
a 3 − 9a + 9a + 3 a3 + 3 ; т.е. выражения тождественно равны. = a ( a − 3) a( a − 3) a3 2
a −4
−
2 a a 3 − a ( a + 2) − 2( a − 2) a3 − a 2 − 4a + 4 − = = = a−2 a+2 a2 − 4 a2 − 4
( a − 1)(a 2 − 4) a2 − 4
= a − 1. т.е. выражения тождественно равны.
№ 99. а)
x3 + 3x 3 x 2 − 14 x + 16 x3 + 3 x 3x 2 − 14 x + 16 − + 2x = − + 2x = 2 x+2 ( x − 2)( x + 2) x+2 x −4
=
( x3 + 3 x )( x − 2) − (3 x 2 − 14 x + 16) + 2 x( x 2 − 4) = ( x + 2)( x − 2)
=
x 4 − 2 x3 + 3 x 2 − 6 x − 3 x 2 + 14 x − 16 + 2 x3 − 8 x x 4 − 16 = 2 = ( x + 2)( x − 2) x −4
= x 2 + 4 f 0 при всех значениях х;
б) y + =
2 y2 + 3y + 1 y2 −1
−
y3 + 2 y y 2 y 2 + 3 y + 1 y3 + 2 y = + − = 1 ( y − 1)( y + 1) y −1 y −1
y ( y − 1)( y + 1) + 2 y 2 + 3 y + 1 − ( y + 1)( y 3 + 2 y ) = ( y − 1)( y + 1)
www.5balls.ru
=
1 − y4 y3 − y + 2 y 2 + 3 y + 1 − y 4 − 2 y 2 − y3 − 2 y = = ( y − 1)( y + 1) ( y − 1)( y + 1)
=−
(1 − y 2 )(1 + y 2 ) 1 − y2
= −(1 + y 2 ) p 0 при всех значениях у.
№ 100. Исходя из условия задачи получаем, что скорость катера по течению реки (v + 5) км/ч, против течения – (v - 5) км/ч; получаем что s s ч – время в пути от А до В; ч – время в пути от В до v+5 v −5 s s А; тогда + ч – общее время в пути от А до В и обратv + 5 v − 5
но. Получаем выражение:
s s s (v − 5) + s (v + 5) sv − 5s + sv + 5s 2 sv + = = = 2 . v+5 v−5 (v + 5)(v − 5) (v − 5)(v + 5) v − 25
Подставим s=50, v=25: а) t =
2sv 2
v − 25
=
2 ⋅ 50 ⋅ 25 2
25 − 25
=
1 2500 2500 25 = = = 4 (ч)=4 ч 10 мин; 625 − 25 600 6 6
Ответ: 4 ч 10 мин; Подставим s=105, v=40: б) t =
2 sv 2 ⋅105 ⋅ 40 8400 8400 1 = = = = 5 (ч)=5 ч 20 мин; v 2 − 25 3 402 − 25 1600 − 25 1575
Ответ: 5 ч 20 мин. № 101. s = vt ;
s t = . Для удобства представим данные задачи в виде табv
лицы:
По шоссе По проселочной дороге
Путь, км
Скорость, км/ч
s
v
2s
v-2
www.5balls.ru
Время, ч s v 2s v−2
t общ =
2s s s( v − 2 ) + 2sv sv − 2 s + 2 sv 3sv − 2 s s( 3v − 2 ) + = = = = ; v v−2 v( v − 2 ) v( v − 2 ) v( v − 2 ) v − ( v − 2 )
если s = 10, v = 6, то
s (3v − 2 ) 10(3 ⋅ 6 − 2) 10 ⋅16 10 ⋅ 2 20 2 = = = = = 6 (ч)=6 ч 40 мин. v (v − 2) 6(6 − 2) 6⋅4 3 3 3
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 102. 2x2 + x − 1
=
( 2 x 2 + 2 x ) − ( x + 1)
=
2 x( x + 1) − ( x + 1)
=
( x + 1)(2 x − 1)
; 4 x − 3x + 2 4 x − 3x + 2 4 x − 3x + 2 4 x 2 − 3x + 2 1 а) при x = числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль; 2 б) при x = −1 числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль. 2
2
2
Ответ: а) 0; б) 0. № 103. I. y =
2x − 5 ; 3
2 ⋅ (− 2 ) − 5 − 4 − 5 9 = = − = −3; 3 3 3 2⋅0 −5 5 2 2) при х = 0; y = = − = −1 ; 3 3 3 2 ⋅ 16 − 5 32 − 5 27 3) при х = 16; y = = = = 9; 3 3 3 2x − 5 II. 1) подставим у = 3; 3 = ; 3 ⋅ 3 = 2 x − 5; 2 x = 14; x = 7; 3 2x − 5 5 2) подставим у = 0; 0 = ;2 x − 5 = 0; x = ; x = 2,5; 3 2 2x − 5 3) подставим у = -9; − 9 = ;2 x − 5 = −27;2 x = −22; x = −11. 3
1) при х = -2; y =
№ 104.
www.5balls.ru
На рисунке – график функции y = y
1 x−4. 2
0
8
x
-4
а) При x = 6, y = -1; при x = -6, y = -7; б) при y = -2, x = 4; при y = 0, x = 8. № 105. На рисунке – график данных функций. 4
y = 2x - 3
2
0
2
4
-2 y = -4x +1 -4 Пусть А – их точка пересечения. 1) Из рисунка видно, что А ≈ (0,7; − 1,7 ) . 2) Найдем координаты точки А из уравнения: -4х+1=2х-3; 2х-3+4х-1=0; 6х-4=0; 6х=4; x = y = 2⋅
2 4 2 − 3 = − 3 = −1 . 3 3 3
www.5balls.ru
4 2 = ; 6 3
x
2 3
2 3
Окончательно: A( ;−1 ). № 106. Для удобства запишем данные задачи в виде таблицы: Ямы
Заложили, т
Взяли, т
Осталось, т
I
90
3х
90-3х
II
75
х
75-х
Исходя из того, что в первой яме осталось силоса в 2 раза меньше, чем во второй, запишем уравнение: 2(90-3х)=75-х; 75-х+6х-180=0; 5х=105; х=21, 3х=63. Ответ. Из первой ямы взяли 63 т силоса. № 107. Пусть дана формула: s t
s v
а) v = , тогда s = vt ;t = . Пусть дана формула: б) p =
m m , тогда v = . v p
§ 3. Произведение и частное дробей 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень № 108. 5 2b 10b ; ⋅ = 3a 3 9a 5a 7 5a ⋅ 7 7a = ⋅ = б) ; 8 y 10 8 y ⋅10 16 y
а)
в)
3x 1 3x ⋅1 3 ⋅ = = ; 4 x 4x 4
www.5balls.ru
9 5a 9 ⋅ 5a 15 ⋅ = = = 7 ,5; 2a 3 2a ⋅ 3 2 b 2 5 5b 2 b ⋅ = = ; д) 10 b 10b 2 18 c 3 18c 3 3 = = е) 4 ⋅ ; c 24 24c 4 4c 12 x 5 15 12 x 5 ⋅ 15 9 x 3 ж) ⋅ = = = 0 ,9 x 3 ; 25 8 x 2 25 ⋅ 8 x 2 10 3 16a 2 3 ⋅ 16a 2 4 ⋅ = = з) . 3 3 4a 9 4a ⋅ 9 3a
г)
№ 109. 3x 10 10 ⋅ 3 x 5 2,5 ⋅ = = = ; 4 y 3 x 2 4 y ⋅ 3 x 2 2 xy xy 1 5⋅4 3 a 2 ⋅ 4a 3 a 2 ,5 4a 3 10a 3 2 2 ⋅1 б) ⋅ = = = = 2; 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2a 5b 2a ⋅ 5b 2a ⋅ 5b 10a b m 2 24 24m 2 3m 3m 1,5m ⋅ = = = = ; в) 16 mn 16mn 16mn 2n n 1 3x 3x 1 1 г) ; ⋅ = = = 9 x 3 2a 2 9 x 3 ⋅ 2a 2 3 x 2 ⋅ 2a 2 6a 2 x 2 7 a 3 ⋅ 8b 2 7 3 7a 3 д) ⋅ 8b 2 = = a b; 24b 24b ⋅ 1 3 1 14ab 2a 2 a е) 14ab ⋅ . = = = 21b 3 21b 3 3b 2 3 b 2
а)
№ 110. 12 x 3 12 x 3 x2 ⋅ = = ; 5 x 12a 5 x ⋅ 12a 5a 8c 2 1 8c 2 2 ⋅ 2 = = б) ; 15m 4c 15m ⋅ 4c 2 15m 11a 4 12b 11a 4 ⋅ 12b 22b ⋅ 5 = = в) ; 6 a 6 ⋅ a5 a 4 n 2 9m 4 n 2 ⋅ 9 m 6 n 2 г) . = ⋅ = m 3m 2 2 3m 2 ⋅ 2
а)
www.5balls.ru
№ 111. 7 15 x 2 ⋅ 7 35 17 ,5 = = = ; 6x 3 6x 3 2x x 25 ⋅ 2 y 3 25 25 ⋅ 2y3 = = б) y; 2 16 y 16 y 2 8
а) 15 x 2 ⋅
4a 6am 2 ⋅ 4a 8a 2 ; = = m 3m 3 3m 3 2b 2b ⋅ 10a 2 4b ⋅ 10a 2 = = г) . 3 5a 5a 3 a
в) 6am 2 ⋅
№ 112. а)
48 x 5 ⋅ 7 y 2 48 x 5 7 y 2 3x 2 ⋅ = = ; 49 y 4 16 x 3 49 y 4 ⋅ 16 x 3 7 y 2
18m 3 22n 4 18m 3 ⋅ 22n 4 ⋅ = = 4mn; 11n 3 9m 2 11n 3 ⋅ 9m 2 15 p 4 16q 5 15 p 4 ⋅ 16q 5 6p ⋅ = =− ; в) − 6 3 6 3 8q 25 p 8q ⋅ 25 p 5q
б)
г)
72 x 4 25 y 5
2 ,5 y 4 72 x 4 ⋅ 2,5 y 4 8 ⋅ 25 y 4 8 4 =− =− =− =− ; ⋅ − 5 5 5 5 ⋅ ⋅ 27 x 25 y 27 x 3 x 250 y 30 xy 15 xy
д) −
35ax 2 8ab 35ax 2 ⋅ 8ab 10a 2 x ⋅ = = − ; 12b 2 y 21xy 12b 2 y ⋅ 21xy 9by 2
е) −
25 x 3 y 3 14a 2 b
21ab ⋅ − 2 2 10 x y
25 x 3 y 3 ⋅ 21ab 15 xy = = . 2 2 2 4a 14a b ⋅ 10 x y
№ 113. 14a 2 b 8 x 2 14a 2 b ⋅ 8 x 2 16 ⋅ = 3 = ; 3 2 3x 21a b 3 x ⋅ 21a 2 b 9 x 9a 2 5ax 9a 2 ⋅ 5ax 3a 3 ⋅ = = б) ; 2 2 25 x y 6 y 25 x y ⋅ 6 y 10 xy 2
а)
в) −
10 x 2 y 2 27 a 3 6a 3 x 2 y 2 ⋅ =− = −6axy ; 2 9a 5 xy a 2 xy
www.5balls.ru
г)
2m 3 35a 3 b 2
д)
13 x 12mn
7a 2 b 2m 3 ⋅ 7 a 2 b 1 =− ⋅ − =− ; 3 3 2 3 ⋅ 6 m 35 a b 6 m 15 ab ⋅ 4m 2 n =
2
11x 2 3a 2 b 2
13 x ⋅ 4m 2 n 12mn 2
=
13mx ; 3n
11abx 2 11x 2 = = . 3a 2 b 2 3ab
е) − ab ⋅ − № 114. а) б)
2a 2 b 3x 2 y 6ax 2a 2b ⋅ 3 x 2 y ⋅ 6ax a 2 x 2 ⋅ ⋅ = = ; 3 xy 4ab 2 15b 2 3 xy ⋅ 4ab 2 ⋅ 15b 2 5b 3 6m 3 n 2 35 p
⋅
3
49n 4 5
m p
⋅
3
5m 4 p 2 42n
6
=
6 ⋅ 49 ⋅ 5m 3 m 4 n 2 n 4 p 2 5 6
35 ⋅ 42m n p p
№ 115. 3
x x3 = ; 8y3 2y
а)
4
81a 4 3a = 4 ; c c
б)
3
n2 = в) 10m
3 2b
n6 1000m 3
2
;
6
9a 81a г) 2 = . 4 4b
№ 116. 4
2a 24 a 4 16a 4 а) 2 3 = 8 12 = 8 12 ; p q
p q
p q
2
3a 2 b 3 9a 4 b 6 б) 4 = ; 8
s
3
s
www.5balls.ru
3
=
m2 p4
.
2
4 2 2a 2 b = 4a b ; в) − 2 6 3
3mn
9m n
3
3x 2 27 x 6 г) − 3 = − ; 9
2 y
8y
№ 117. 2
x3 x6 а) 2 = 4 ; y b
2
y
3
6
2a 8a б) 3 = 9 ; b
4
5a 3 625a 12 в) 2 = ; 8 3b
81b
5
2x 2 32 x10 г) 3 = ; 15 3y
243 y
5
10 20 x2 y4 = x y д) ; 3 15
4m
2 b c
1024m
4
8
3a 81a е) 2 = 8 4 ;
b c
n p 2
3
6
10m 1000m ж) − 2 = − 6 3 ; n p
2
6 4 b 3c 2 =b c . з) − 3 6
8a
64a
№ 118. а)
x 2 − xy y 2 x( x − y ) y 2 ⋅ = = ( x − y ) y; y x yx
www.5balls.ru
3a ab + b 2 3ab(a + b) (a + b) a ⋅ = = ; 9 3b b2 9b 2 (m − n)2mn 2 m−n 2mn в) ⋅ = =− ; m mn mn − m 2 m(n − m)mn
б)
г) д)
4ab ax + bx 4abx (a + b) 2(a + b) ⋅ = = ; cx + dx 2ab 2abx(c + d ) c+d ma − mb 3n 2
⋅
(ma − mb)2m 2m ⋅ m(a − b) 2m 2m 2 = = = − ; nb − na (nb − na )3n 2 3n 2 n(b − a ) 3n 3
ax − ay a( x − y ) 5 xy 5 xy ( ax − ay ) =− =− = ⋅− 2 2 by − bx 2 2 xyb ( y − x) 5x y 5 x y (by − bx) a( x − y) a = = . bxy ( x − y ) bxy
е)
№ 119. 8
а) (3a − 15b) ⋅
2
=
2
8 ⋅ 3(a − 5b) 24 ; = ( a − 5b)(a + 5b) a + 5b
a − 25b 2 x( x − 2)( x + 2) 2 x( x − 2) 2x ; б) ( x − 4) ⋅ = = 2 x+2 ( x + 2) ( x + 2) 2 2
в)
y
⋅ ( y 2 − 4 y + 4) =
2
3 y − 12 2ab
y ( y − 2) 2 2
=
y ( y − 2) 2 y ( y − 2) ; = 3( y − 2)( y + 2) 3( y + 2)
3( y − 4) 2ab( a − 3b)(a + 3b) 2ab(a + 3b) ( a 2 − 9b 2 ) = . г) 2 = 2 a − 3b (a − 3b) 2 a − 6ab + 9b
№ 120. а)
kx + k 2 x
б)
2
ax + ay xy 2
⋅
xk ( x + k ) k x = 2 = ; x + k x (x + k) x
⋅
x2 y ax ( x + y ) ax ; = = 3x + 3 y 3 y ( x + y ) 3 y xy (a + a 2 )
a (1 + a ) 1 ; = = a +a x y x y 2 ( a 2 + a 3 ) a 2 xy (1 + a ) axy 6a 2 x − 2 6a ⋅ (2 x − 2) 2 ⋅ 6( x − 1) 4 г) 2 ⋅ = = 2 = 2. 2 3 ax x −x 3ax ( x − x) 3 x ( x − 1) x
в)
xy
2
3
⋅
a + a2 2
2
=
2
www.5balls.ru
№ 121. а)
2 x ( x 2 − y 2 ) 2 x ( x − y )( x + y ) x − y x 2 − y 2 2x ; ⋅ = = = 2 xy 2 xy ( x + y ) 2 xy ( x + y ) x+ y y
б)
ax(3 − x ) 3a − ax 4 x 2 (3a − ax ) ax ; = = =− 2 2 4 ( 3 )( 3 ) x x − x + x +3 x −9 4 x ( x − 9)
в)
y 2 − 16 5y 5 y ( y 2 − 16) 5 y ( y − 4)( y + 4) ( y − 4)( y + 4) ⋅ = = = = 10 xy 3 y + 12 10 xy (3 y + 12) 10 xy (3 y + 12) 2 ⋅ 3 x( y + 4)
4x 2
⋅
y−4 ; 6x 3ab(b − a ) 3b b−a 3ab ⋅ 2 = =− г) . 2 a (a − b)(a + b) a+b a a −b =
№ 122.
(
)
a 2 − 1 7 a − 7b a 2 − 1 (7 a − 7b ) 7(a − b)(a 2 − 1) ⋅ = = = a − b a2 + a (a − b)(a 2 + a ) (a − b)(a 2 + a) 7(a − 1)(a + 1)(a − b) 7(a − 1) = = ; a (a + 1)(a − b) a
а)
(b 2 + 2bc)(5b + 15) 5b(b + 2c)(b + 3) b 2 + 2bc 5b + 15 ⋅ 2 = = = b+3 b − 4c 2 (b + 3)(b 2 − 4c 2 ) (b + 3)(b 2 − 4c 2 ) 5b(b + 2c)(b + 3) 5b = = ; (b − 2c )(b + 2c)(b + 3) b − 2c
б)
в)
( x + 3) 2 x 2 − 4 ( x + 3) 2 ( x − 2)( x + 2) ( x + 3)( x + 2) = = ⋅ ; 2 x − 4 3x + 9 2( x − 2) ⋅ 3( x + 3) 6
г)
( y − 5) 2 y 2 − 36 ( y − 5) 2 ( y 2 − 36) ( y − 5) 2 ( y 2 − 36) ⋅ = = = 2 y + 12 2 y − 10 ( 2 y + 12)(2 y − 10) 2( y + 6) ⋅ 2( y − 5)
(y − 5) (y − 6)(y + 6) = (y − 5)(y − 6) . 2(y + 6 )⋅ 2(y − 5) 4 2
№ 123. а)
(5mn − m)(16m 2 − n 2 ) m(5n − 1)(4m − n)(4m + n) = = m(4m − n); (4m + n)(5n − 1) (5n − 1)(4m + n)
www.5balls.ru
1 4
Найдем значение этого выражения при m = ; n = −3 : m( 4 m − n ) =
б)
1 1 1 1 ( 4 ⋅ + 3) = (1 + 3) = ⋅ 4 = 1; 4 4 4 4
( x + 2) 2 (2 x + 6)
=
(3x + 9)( x 2 − 4)
2( x + 2) 2 ( x + 3) 2( x + 2) ; = 3( x + 3)( x − 2)( x + 2) 3( x − 2)
Найдем значение этого выражения при х = 0,5: 2( x + 2) 2(0,5 + 2) 2 ⋅ 2,5 2 ⋅ 25 10 1 = = =− = − = −1 ; 3( x − 2) 3(0,5 − 2) 3 ⋅ (−1,5) 3 ⋅ 15 9 9
Найдем значение этого выражения при х = -1,5: 2( x + 2) 2( −1,5 + 2) 2 ⋅ 0,5 1 2 = = = =− . 3( x − 2) 3( −1,5 − 2) 3 ⋅ ( −3,5) − 10,5 21 1 9
Ответ: а) 1; б) − 1 ;−
2 . 21
№ 124. а)
x 2 − 1 x 2 y x 2 y ( x − 1)( x + 1) x ( x − 1) ⋅ = = . 5 xy 1 + x 5 xy (1 + x ) 5
4nm(m − 4) m 2 − 4m 8n 2 (m 2 − 4m) 8mn(m − 4) = = = = 2 2 2 − 4)(m + 4) n m 6 3 ( m − 16 6n(m − 16) 6(m − 16) 4nm = ; 3( m + 4)
б)
в)
8n 2
a2 − b2 2
⋅
⋅
2a − 6
a − 3a (a + b) 2( a − b ) = ; a ( a + b)
г)
2
=
(2a − 6)(a 2 − b 2 ) 2
( a − 3a )(a + b)
2
=
2(a − 3)(a − b)(a + b) = a (a − 3)(a + b)(a + b)
bx + 3b ( x − 5) 2 (bx + 3b)( x − 5)( x − 5) b( x + 3)( x − 5) b( x − 5) . ⋅ = = = x 2 − 25 ax + 3a ( x − 5)( x + 5)(ax + 3a ) a ( x + 5)( x + 3) a ( x + 5)
№ 125. а) mx 2 − my 2 3m + 12 (mx 2 − my 2 )(3m + 12) 3( mx 2 − my 2 )(m + 4) ⋅ = = = my + mx 2m + 8 (2m + 8)(my + mx) (2m + 8)(my + mx)
www.5balls.ru
=
3m( x 2 − y 2 )(m + 4) 3( x − y )( x + y )(m + 4) 3( x − y ) = = ; 2m(m + 4)( y + x) 2(m + 4)( x + y ) 2
( ax + ay )( x 2 − xy ) x 2 − xy = = x 2 − 2 xy + y 2 7 x + 7 y ( x 2 − 2 xy + y 2 )(7 x + 7 y ) ax( x + y )( x − y ) ax ( x − y ) ax ; = = = 7( x − y ) 2 ( x + y ) 7( x − y ) 2 7( x − y ) ax + ay
б)
в) =
г)
⋅
x3 − y3 x2 − y2 ( x 3 − y 3 )( x 2 − y 2 ) ⋅ 2 = = x + y x + xy + y 2 ( x + y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 )( x − y )( x + y ) ( x + y )( x 2 + xy + y 2 ) a2 −1
⋅
a2 − a +1
=
= ( x − y) 2 ;
(a 2 − 1)(a 2 − a + 1)
a 3 + 1 a 2 + 2a + 1 (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 2a + 1) ( a − 1)(a + 1) a −1 ; = = 3 (a + 1) (a = 1) 2
д) е)
b3 − 8 2
⋅
b+3 2
b − 9 b + 2b + 4
=
(b − 2)(b 2 + 2b + 4)(b + 3) 2
(b − 3)(b + 3)(b + 2b + 4)
=
=
b−2 ; b+3
(c + 3) 2 (c 2 − 3c + 9) c + 6c + 9 c − 3c + 9 1 ⋅ = = . 3 3c + 9 c + 27 3(c + 3)(c 2 − 3c + 9)(c + 3) 3 2
2
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 126. а)
x 2 − 10 x + 25 x 2 − 16 ( x − 5 ) 2 ⋅ ( x 2 − 16 ) ( x − 5 )( x − 4 )( x + 4 ) ⋅ = = = 3 x + 12 2 x − 10 ( 3 x + 12 ) ⋅ 2( x − 5 ) 6( x + 4 )
( x − 4 )( x − 5 ) ; 6 1 − a 2 a 2 + 4ab + 4b 2 ( 1 − a )( 1 + a ) ⋅ ( a + 2b ) 2 ( 1 + a )( a + 2b ) б) ; ⋅ = = 4a + 8b 3 − 3a 4 ⋅ ( a + 2b ) ⋅ ( 1 − a ) ⋅ 3 12 =
в)
y 2 − 25 3 y + 18 ( y − 5 )( y + 5 ) ⋅ 3 ⋅ ( y + 6 ) 3( y − 5 ) ⋅ = = ; y + 12 y + 36 2 y + 10 ( y + 6 )2 ⋅ 2 ⋅ ( y + 5 ) 2( y + 6 )
г)
b3 + 8 2b + 3 ( b + 2 )( b 2 − 2b + 4 ) ⋅ ( 2b + 3 ) b + 2 . ⋅ 2 = = 2 18b + 27b b − 2b + 4 9b( 2b + 3 )( b 2 − 2b + 4 ) 9b
2
www.5balls.ru
№ 127. 2c (3a + b) 2a + 3c 2b − 3a − − 2 = 2a + c 3a + b 6a + 2ab + 3ac + bc 2c(3a + b) 2a + 3c 2b − 3a = − − = 2a + c 3a + b 2a (3a + b) + c(3a + b)
а)
=
2a + 3c 2b − 3a 2c(3a + b) − − = 2a + c 3a + b (3a + b)(2a + c)
=
(3a + b)(2a + 3c) − (2a + c)(2b − 3a ) − 2c(3a + b) = (3a + b)(2a + c )
=
6a 2 + 9ac + 2ab + 3bc − 4ab + 6a 2 − 2bc + 3ac − 6ac − 2bc = (3a + b)(2a + c )
=
12a 2 + 6ac − 2ab − bc 6a( 2a + c ) − b( 2a + c ) ( 2a + c )( 6a − b ) = = = ( 3a + b )( 2a + c ) ( 3a + b )( 2a + c ) ( 3a + b )( 2a + c )
6a − b ; 3a + b a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c = б) 2 + + a − ab + bc − ac b − a a−c a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c = − + = a( a − b ) − c( a − b ) a − b a−c =
=
a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c − + = ( a − b )( a − c ) a − b a−c
=
a 2 − 4ac + 3bc − ( a − c )( a + 3b ) + ( a − b )( a + 2c ) = ( a − b )( a − c )
=
a 2 − 4ac + 3bc − a 2 − 3ab + ac + 3bc + a 2 + 2ac − ab − 2bc = ( a − b)(a − c)
=
a 2 − ac + 4bc − 4ab a (a − c) − 4b(a − c) (a − c )(a − 4b) a − 4b . = = = ( a − b)(a − c) (a − b)(a − c) (a − b)(a − c ) a−b
№ 128.
www.5balls.ru
30 ч; на втором этапе пути v 17 ч. его скорость была - (v + 2) км/ч, значит он проехал его за v+2
Первые 30 км велосипедист проехал за
Тогда всего ему потребовалось:
30(v + 2) + 17v 47v + 60 30 17 + = = . v v+2 v(v + 2) v(v + 2) а) Подставим v = 15 и вычислим t: 47v + 60 47 ⋅ 15 + 60 705 + 60 765 t= = = = = 3 (ч); v (v + 2) 15(15 + 2) 15 ⋅ 17 255
б) Подставим v=18 и вычислим t: t=
47v + 60 47 ⋅ 18 + 60 846 + 60 906 = = = ( ч ) = 2ч31мин. v( v + 2 ) 18( 18 + 2 ) 18 ⋅ 20 360
№ 129. На рисунке изображены графики данных функций. Найдем координаты точки пересечения: I. А (1,5;2,6) – из рисунка. II. Найдем координаты точки пересечения графиков данных функций из уравнения: 1,2x+0,9=-1,3х+4,4; y = -1,3x + 4,4
y 10 5
-4
0
-2
y = 1,2x +0,9
A
-5
1,2х+1,3х=4,4-0,9; 2,5х=3,5; х=3,5:2,5; х=1,4. Тогда y=1,2·1,4+0,9; y=1,68+0,9; y=2,58; т.е. А(1,4; 2,58).
www.5balls.ru
2
4
x
Абсолютная погрешность приближенного значения абсциссы равна 1,4 − 1,5 = − 0,1 = 0,1 ; абсолютная погрешность приближенного значения ординаты равна 2,58 − 2,6 = − 0 ,02 = 0 ,02 . № 130. а) 3х+ b= a; 3х=a – b; x =
a−b ; 3
б) b – 7x = a – b; 7x = 2b – a; x =
2b − a ; 7
x x + 1 = b ; = b − 1 ; х = а(b – a) = ab – a; a a x г) b − = a ; 10b – x = 10a; x = 10b – 10a = 10(b – a). 10
в)
6. Деление дробей № 131. 5m 15m 2 5m ⋅ 8 40m 4m 4 ÷ = = = = ; 2 2 2 6n 8 6n ⋅ 15m 90m n 9m n 9mn 14 7 x 14 ⋅ 2 y 2 14 ⋅ 2 y 2 4 y 2 = 4 ; б) = ÷ 2 = 3 3 9x 2y 9x ⋅ 7x 7 ⋅ 9x 4 9x
а)
a 2 ab 36a 2 3a ÷ = = 2 ; 12b 36 12b ⋅ ab b 3x 1 3x ⋅ 5a 2 15 xa 2 3 x ÷ 2 = = = ; г) 3 10a 5a 10a 3 10a 3 2a 11x 22 x 2 11x ⋅ 1 1 11x ; д) ÷ (22 x 2 ) = ÷ = = 2 4y2 1 4 y 2 ⋅ 22 x 2 8 xy 2 4y
в)
18a 4 27 a 3 18a 4 27 a 3 ⋅ 7b 2 21b 2 = ÷ = = ; 7b 2 1 7b 2 18a 4 2a 18c 4 18c 4 9c 2 d 18c 4 2c 2 ; ÷ (9c 2 d ) = ÷ = = ж) 2 7d 7d 1 7 d ⋅ 9c d 7 d 2 7 x 3 35 x 5 y 7 x 3 35 x 5 y ⋅ 34 = ÷ = = 170 x 2 y . з) 35 x 5 y ÷ 34 1 34 7x3
е) 27 a 3 ÷
№ 132.
www.5balls.ru
а)
6x 2 3x 6 x 2 ⋅ 10 y 3 4 x 2 y 3 = = 4 xy 2 ; ÷ = 3 5 y 10 y 3x ⋅ 5 y xy
8c 6c 2 8c ⋅ 7 d 4 ÷ = = ; 2 21d 7d 21d 2 ⋅ 6c 2 9cd 12 p 2 6 p 3 12 p 2 ⋅ 35d 2 10 ; в) ÷ = = 2 2 7d 35d 7d 4 ⋅ 6 p 3 pd 2
б)
г) − д)
9y2 y5 9 y 2 ⋅ 16 x 36 ⋅ 4 xy 2 36 ÷ =− =− =− 2 3 ; 3 3 5 20 x 16 x 20 x y 4 ⋅ 5x 3 y 5 5x y
3ab 21a 2 b 3ab ⋅ 10 x 2 y 5x =− ; ÷ − = − 2 2 4 xy 10 x y 21a b ⋅ 4 xy 14a
е) −
18a 2 b 2 9ab 3 ÷ − 2 4 5cd 5c d
18a 2 b 2 ⋅ 5c 2 d 4 2acd 3 = . = b 5cd ⋅ 9ab 3
№ 133. а) б)
6x 2 3
x
:
m n 3mn
2
6 x 2 ⋅ 3mn 2
=
3
xm n
=
18 x 2 mn 2 xm 3 n
=
18 xn m2
;
35 x 2 y 7 xy 35 x 2 y ⋅ 8ab 2 10ab 2 x 2 y 10bx : ; = = = 2 12ab 8ab 12ab ⋅ 7 xy 3abxy 3
4ab 3 a 2 b 3 ⋅ 33mn 3a 2 b 3 mn 3a = =− =− ; :− 2 3 4n 4ab 3 mn 2 11mn 33mn 11mn ⋅ 4ab 6 xy 2 ⋅ 10ab 6 xy 2 9 x 2 y 2 4 =− =− ; г) − : 2 2 x 5ab 10ab 3 5ab ⋅ 9 x y
в)
д)
a 2b 3
2
8mx 2 3y
3
(
)
: 4m 2 x =
е) 15a 2 bx :
a 3b 2 30 x
2
=
8mx 2 4m 2 x 8mx 2 ⋅ 1 2x : ; = 3 = 3 2 1 3y 3 y ⋅4m x 3my 3 15a 2bx a 3b 2 15a 2bx ⋅ 30 x 2 450 x 3 = = : . ab 1 a 3b 2 30 x 2
№ 134. а)
3x 2 9 x 3 5 y 3x 2 ⋅ 2 y 2 ⋅ 5 y 2 : 2 ⋅ = = 3; 3 3 3 5 y 2 y 3x 5 y ⋅ 9 x ⋅ 3x 9 x
www.5balls.ru
б)
7 p4
⋅
5q
:
3p
10q 3 14 p 2 4q 4
=
7 p 4 ⋅ 5q ⋅ 4 q 4 10q 3 ⋅ 14 p 2 ⋅ 3 p
=
pq 2 ; 3
2cd 2 a 2 b 2ab ⋅ 9ab ⋅ c 3 d 3a 2 b 2 c 3 d 3b : 3 = 2 = 2 3 3 = 2; 2 2 3c d 9ab c d 3c d ⋅ 2cd ⋅ a b a bc d d 2 2 2 2 2 3 2 2 8 x y 4 xy 2 x y 8 x y ⋅ 7 a b ⋅ ab a b x y a2 : : = = = г) . 7 ab 2 7 a 2 b ab 7 ab 2 ⋅ 4 xy 2 ⋅ 2 x 2 y ab 2 x 3 y 3 xy 2 2ab
в)
2
:
№ 135. а)
11m 4 6n 2 8x 3
⋅
5m
:
11n 3
=
11m 4 ⋅ 5m ⋅ 12m 3
=
10m 8
6n 3 12m 3 6n 2 ⋅ 6n 3 ⋅ 11n 3 6n 8 4 x 4 7 x 8 x 3 ⋅ 49 y 2 ⋅ y 2 2 y б) : : = = 2; 3 7 y 49 y 2 y 2 x 7 y 3 ⋅ 4x 4 ⋅ 7 x
=
5m 8 3n 8
;
4c 3 d 2 2cd 2 2cd 4c 3 d 2 ⋅ 3a 2 x ⋅ 3a 2 x 2 ac = = : : ; d 9a 3 x 3 3a 2 x 3a 2 x 2 9a 3 x 3 ⋅ 2cd 2 ⋅ 2cd 2ax ⋅ ay ⋅ 9b 2 z 3a 2 xyb 2 z 2ax 3bx 9b 2 z 3b : . г) ⋅ 2 = = 2 2 2 = 2 yz ay 8a xy yz ⋅ 3bx ⋅ 8a xy 4a x y bz 4 xy
в)
№ 136. m 2 − 3m 3m m(m − 3) ⋅ 8 x m − 3 = = : ; 8x 3x 8x 2 3m ⋅ 8 x 2 5 ⋅ b( a − b) 5(a − b) 5a 2 a3 : ; б) = = 3 2 6b ab − b 6ab 3 6ab 2 ax 2 (1 + x ) ax 2 x 2 + x 3 4 + 4x a 3 (x 2 + x 3 ) в) : ; = = = 44 11a 2 11a 2 ( 4 + 4 x) 11 ⋅ 4(1 + x) a3
а)
г)
6ax(3m − 6) 3 ⋅ 3( m − 2) 6ax 8ax 9 = = = : ; m 2 − 2m 3m − 6 8ax( m 2 − 2m) 4m(m − 2) 4m
д)
a (a − 3b) a 2 − 3ab a = : (7 a − 21b) = ; 3b 3 ⋅ 7b(a − 3b) 21b
(
) 5x −x10 y = ( x
− 4 y 2 ) 5 x − 10 y : = 1 x ( x − 2 y )( x + 2 y ) x x ( x + 2 y ) = = ; 5( x − 2 y ) 5
е) x 2 − 4 y 2 :
2
www.5balls.ru
ж) (2a − b) 2 : =
3(2a − b) 2 4a 3 − ab 2 (2a − b) 2 4a 3 − ab 2 = : = = 3 1 3 a ( 4a 2 − b 2 )
3(2a − b) 2 3(2a − b) = ; a ( 2a − b)(2a + b) a ( 2a + b)
( 2m − 3n) 2 (10m − 15n) (2m − 3n) 2 = : = 2m 1 2m 5(2m − 3n) 2m 10m = = . ( 2m − 3n)(2m − 3n) (2m − 3n)
з) (10m − 15n) :
№ 137. x 2 − 4 y 2 x 2 − 2 xy ( x 2 − 4 y 2 )3 y 3 y ( x − 2 y )( x + 2 y ) : = 2 = = xy 3y yx 2 ( x − 2 y ) ( x − 2 xy ) xy 3( x + 2 y ) = ; x2 a ⋅ ab 2 (1 − a ) a 2 b 2 (a − 1) 5b a 2b ab 2 б) 2 : ; = = − = − 5b( a − 1)(a + 1) 5(a + 1) a − 1 a − a 2 5b( a − 1)(a + 1)
а)
в) =
a 2 − 3a 2
:
a2 − 9 2
a − 25 a + 5a
=
( a 2 − 3a )(a 2 + 5a ) (a 2 − 2)(a 2 − 9)
=
a ⋅ a ( a − 3)(a + 5) a2 = ; ( a − 5)(a + 5)(a − 3)(a + 3) ( a − 5)(a + 3)
3m 2 − 3n 2 6m − 6n (3m 2 − 3n 2 )( p + m) : = 2 = p+m m 2 + mp (m + mp)(6m − 6n) 3( m − n)(m + n)(m + p) m + n = = ; 3 ⋅ 2m(m + p )(m − n) 2m
г)
д) ( x + 3 y ) : ( x 2 − 9 y 2 ) = =
( x + 3 y) ( x 2 − 9 y 2 ) : = 1 1
x + 3y 1 = ; ( x − 3 y )( x + 3 y ) x − 3 y
е) (a 2 − 6ab + 9b 2 ) : (a 2 − 9b 2 ) = =
(a − 3b) 2 2
a − 9b
2
=
( a − 3b) 2 (a 2 − 9b 2 ) : = 1 1
a − 3b (a − 3b) 2 = . (a − 3b)(a + 3b) a + 3b
www.5balls.ru
№ 138. а)
x 2 − xy 2 x x ( x − y )3 y x − y : = = ; 3y 6y 9y2 2x ⋅ 9 y 2
б)
2a 3 − a 2 b 2a − b ( 2a 3 − a 2 b)9b 3 a 2 (2a − b)b a 2 b ; : = = = 4( 2 a − b ) 4 36b 2 9b 3 36b 2 (2a − b)
3m + 12n (m 2 − 16n 2 ) 3m + 12n = : = mn 1 mn mn(m − 4n)(m + 4n) mn(m − 4n) = = ; 3(m + 4n) 3
в) (m 2 − 16n 2 ) :
г) ( x 2 − 25 y 2 ) : ( x 2 + 10 xy + 25 y 2 ) = =
( x − 5 y )( x + 5 y ) ( x + 5 y)
2
=
x 2 − 25 y 2 x 2 + 10 xy + 25 y 2
=
x − 5y ; x + 5y
c + 4c 3c + 12 (c 2 + 4c)(c − 2) : = 2 = c2 − 4 c − 2 (c − 4)(3c + 12) c(c + 4)(c − 2) c = = ; 3(c + 4)(c − 2)(c + 2) 3(c + 2)
д)
е) =
2
9 p 2 − 1 1 − 3 p (9 p 2 − 1)(3 p − 6) 3(9 p 2 − 1)( p − 2) : = = = pq − 2q 3 p − 6 ( pq − 2q )(1 − 3 p ) q ( p − 2)(1 − 3 p ) 3(3 p − 1)(3 p + 1)( p − 2) 3(3 p + 1) =− . − q ( p − 2)(3 p − 1) q
№ 139. а)
4 x ( x − 1) 4 x 2 − 4 x ( 2 x − 2) 4x 2 − 4x 2x : ; = = = 1 (2 x − 2)( x + 3) 2( x − 1)( x + 3) x + 3 x+3
подставим х = 2,5, получим:
2x 2 ⋅ 2,5 5 50 10 = = = = ; x + 3 2,5 + 3 5,5 55 11
подставим х = -1, получим:
2 ⋅ ( −1) −2 2x = = = −1. x + 3 −1+ 3 2
б)
(3a + 6b) 2a 2 − 8b 2 (3a + 6b)(a + b) 3(a + 2b)(a + b) : = = = a+b 1 2a 2 − 8b 2 2(a 2 − 4b 2 )
www.5balls.ru
=
3(a + 2b)(a + b) 3( a + b) = ; 2(a − 2b)(a + 2b) 2( a − 2b)
подставим а = 26, получим: 3( a + b) 3(26 − 12) 3 ⋅ 14 42 42 = = = = = 0,42. 2(a − 2b) 2(26 − 2( −12)) 2(26 + 24) 2 ⋅ 50 100
Ответ: а)
10 ;−1; б) 0,42. 11
№ 140. а) =
3x + 6 y
5 x + 10 y
:
x 2 − y 2 x 2 − 2 xy + y 2
=
(3x + 6 y )( x 2 − 2 xy + y 2 ) ( x 2 − y 2 )(5 x + 10 y )
=
3( x + 2 y )( x − y ) 2 3( x − y ) ; = 5( x − y )( x + y )( x + 2 y ) 5( x + y )
(a + 2) 2 (4 + b) 2 a 2 + 4a + 4 4 − a 2 : = = 16 − b 4 4 + b 2 (4 − b 2 )(4 + b 2 )(2 − a )(2 + a ) a+2 = ; ( 4 − b 2 )(2 − a )
б)
b(a 2 + ax + x 2 )( x + 2 y ) a 2 + ax + x 2 a 3 − x 3 : = = ax + 2ay bx + 2by a ( x + 2 y )(a − x )(a 2 + ax + x 2 ) b = ; a(a − x)
в)
г) =
4m 2 − 25n 2 m3 + 8
:
2 m + 5n m 2 − 2m + 4
=
( 4m 2 − 25n 2 )(m 2 − 2m + 4)
(2m + 5n)(2m − 5n)(m 2 − 2m + 4) ( m + 2)(m 2 − 2m + 4)(2m + 5n)
(m 3 + 8)(2m + 5n) =
2 m − 5n . m+2
№ 141. а) =
m 2 + 6m + 9 am + 3a ( m 2 + 6m + 9)4 xy : = = 4 xy 2x 2 y (am + 3a ) 2 x 2 y (m + 3) 2 4 xy a (m + 3)2 x y 2
=
2(m + 3) ; ax
www.5balls.ru
=
б)
в) =
ab 3 (1 − 2 p + p 2 ) b 2 (1 − p ) 2 ab 3 a 2b 2 : = = = 7 − 7 p 1− 2p + p2 7(1 − p ) ab (7 − 7 p ) a 2 b 2 b(1 − p ) = ; 7a a 2 + ax + x 2 a 3 − x 3 (a 2 + ax + x 2 )( x 2 − 1) : 2 = = x −1 ( x − 1)(a 3 − x 3 ) x −1 ( x − 1)( x + 1)(a 2 + ax + x 2 ) 2
2
( x − 1)(a − x)(a + ax + x )
x +1 ; a−x
p + 3 ( ap 2 − 9a )(2 p − 4) a ( p 2 − 9)(2 p − 4) = = = p −8 2p − 4 ( p 3 − 8)( p + 3) ( p 3 − 8)( p + 3) 2a ( p − 3)( p + 3)( p − 2) 2a ( p − 3) = = 2 . 2 ( p − 2)( p + 2 p + 4)( p + 3) p + 2 p + 4
г)
ap 2 − 9a
=
3
:
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 142. а) =
2b 5 4b 2 + 9 2b 5 4b 2 + 9 + − 2 = − − = 2b + 3 3 − 2b 4b − 9 2b + 3 2b − 3 (2b − 3)(2b + 3) 2b(2b − 3) − 5(2b + 3) − ( 4b 2 + 9) 4b 2 − 6b − 10b − 15 − 4b 2 − 9 = = (2b − 3)(2b + 3) (2b − 3)(2b + 3)
=−
8(2b + 3) 8 8 =− =− ; ( 2b − 3)(2b + 3) 2b − 3 3 − 2b
c + 6b 2b b + − = ac + 2bc − 6ab − 3a 2 a 2 + 2ab ac − 3a 2 c + 6b 2b b = + − = c(a + 2b) − 3a (2b + a ) a (a + 2b) a (c − 3a )
б)
=
c + 6b 2b b + − = ( a + 2b )( c − 3a ) a( a + 2b ) a( c − 3a )
=
a( c + 6b ) + 2b( c − 3a ) − b( a + 2b ) = a( a + 2b )( c − 3a )
=
ac + 6ba + 2bc − 6ab − ab − 2b 2 ac + 2bc − ab − 2b 2 = = a ( a + 2b)(c − 3a ) a (a + 2b)(c − 3a)
www.5balls.ru
=
c (a + 2b) − b(a + 2b) (a + 2b)(c − b) c−b = = . a (a + 2b)(c − 3a ) a (a + 2b)(c − 3a ) a (c − 3a )
№ 143. Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда (10 – х) км/ч – скорость лодки против течения; 45 мин=
3 ч; за 4
3 ч лодка прошла 4
3 (10 − x ) км; (3 х) км – лодка прошла обратно до пристани после 4
того, как испортился мотор. Получаем уравнение: 3 30 3 30 15 30 15 (1 − x) = 3 x; − x = 3x; = x; x = : = 2. 4 4 4 4 4 4 4
Ответ: 2 км/ч. № 144. Из условия задачи: а) 2cy = ab; c =
ab ; 2y
Из условия задачи: б) 2cy = ab; a =
2cy . b
№ 145. Из условия задачи: bc + ac ab ; bc + ac = ab; = abc abc ab c(a + b) = ab; c = ; a+b
а)
Из условия задачи:
bc + ac ab ; bc + ac = ab; = abc abc bc − ab = − ac; b(c − a ) = − ac;
б)
b=−
ac ac ;b = . c−a a−c
№ 146.
www.5balls.ru
На рисунке изображены графики данных функций. y 4 1 y= x 4
2
II
-4
I
0
-2
2
-2
III
4
x
1 3
y= − x
IV
-4 При к > 0 график в I и III четвертях; При к < 0 график во II и IV четвертях. 7. Преобразование рациональных выражений № 147. x 1 1 1 x2 − y2 x + y а) 2 − : + = : = y x y x xy xy 2 =
( x + y )( x − y ) xy ( x + y ) xy
2
=
x−y ; y
a a 2 m 2 m am + a 2 m 2 + am = б) 2 + 3 : 2 + = : 3 2 m
=
в)
m a
2
2
a (am + a ) 3
2
m (m + am)
=
a
m
2
a ⋅ a (m + a) 3
m ⋅ m( m + a )
=
a
a
3
m4
;
ab + b 2 b 3 a + b 3a ( ab + b 2 ) a + b : + = + = 3 3a b b 3b 3
a + b a 2 + ab + ab + b 2 (a + b) 2 = = ; b b3 b2 b2 x − y 5 y x 2 − xy x − y 5 y ( x 2 − xy ) − 2: = − = г) 5y x x 5x 2 y x =
ab(a + b)
+
www.5balls.ru
=
x − y 5 yx( x − y ) x − y x − y − = − = 0. x x x 5x 2 y
№ 148. 1 + x (2 x + 1)( x + 1) 2 x + 1 x + 1 ⋅ = = ; x + 1 2 x − 1 ( x + 1)(2 x − 1) 2 x − 1
а) б)
1 5y 2 = 1 − : 1− y2 1− y 1− y2 5y2
=−
5 y 2 (1 − y ) 2
y (1 − y )
=−
1− y −1 = : 1− y
5 y (1 − y ) 5y ; =− ( − y )(1 + y ) 1+ y
4a a + 2 4a − a ( 2 − a ) a + 2 − a) : = в) : a −2 = 2−a 2−a a−2 =
г) =
4a − 2a + a 2 a + 2 ( a 2 + 2a )(a − 2) : = = −a; 2−a a−2 ( 2 − a )(a + 2) x−2 x x − 2 x(2 − x) + x ( x − 2)(2 x − x 2 + x ) ⋅x + ⋅ = = = 2 − x x − 3 2 − x ( x − 3)(2 − x) x−3 − ( x − 2)( x 2 − 3x) x( x − 2)( x − 3) = = x. − ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2)
№ 149. 4m 2 m + 1 2m − 1 − = : 2m − 1 2m + 1 10m − 5
а) =
(2m + 1) 2 − ( 2m − 1) 2 4m : = (2m − 1)(2m + 1) 10m − 5
=
( 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 + 4m − 1)(10m − 5) = (2m − 1)(2m + 1) ⋅ 4m
=
8m(10m − 5) 10 = ; 4m( 2m − 1)(2m + 1) 2m + 1
б)
x + 3 x + 3 x − 3 x + 3 x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 6 x + 9 + = = ( x − 3)( x + 3) x 2 + 3 x − 3 x + 3 x 2 + 3
www.5balls.ru
=
( x + 3)(2 x 2 + 18) ( x 2 + 3)( x − 3)( x + 3)
=
2( x 2 + 9) ( x − 3)( x 2 + 3)
.
№ 150. а)
a 2 − 9 6a + 1 6a − 1 : + = a+3 2a 2 + 1 a − 3
a 2 − 9 6a 2 + 18a + a + 3 + 6a 2 − 18a − a + 3 = ⋅ (a − 3)(a + 3) 2a 2 + 1 a 2 − 9 12a 2 + 6 6(a − 3)(a + 3)(2a 2 + 1) = 2 ⋅ = = 6; 2a + 1 (a − 3)(a + 3) ( 2a 2 +1)(a − 3)(a + 3)
=
5x + y 5x − y x 2 + y 2 : = + 2 2 x − 5 y x + 5 y x − 25 y
б) = = =
(5 x + y )( x + 5 y ) + ( x − 5 y )(5 x − y ) x 2 + y 2 = : 2 ( x − 5 y )( x + 5 y ) x − 25 y 2 (5 x 2 + 25 xy + xy + 5 y 2 + 5 x 2 − xy − 25 xy + 5 y 2 )( x 2 −25 y 2 ) ( x − 5 y )( x + 5 y )( x 2 + y 2 ) 10( x 2 + y 2 )( x − 5 y )( x + 5 y ) ( x − 5 y )( x + 5 y )( x 2 + y 2 )
=
= 10.
№ 151.
a
а)
2
b − ab
=
+
ab a b ab ⋅ = = + ⋅ b a b ( b a ) a ( a b ) − − − a − ab b−a b
2
(a − b)(a + b)ab ab( a − b)(a + b) a + b a2 − b2 ab ; ⋅ = = = ab(b − a ) b − a ab(b − a )(b − a ) ab( a − b)(a − b) a − b y x 2 − y 2 x − : = xy − y 2 x 2 − xy 8 xy
б)
x2 − y2 x y : = − = 8 xy y ( x − y ) x( x − y ) =
( x 2 − y 2 )8 xy 2
2
( x − y ) xy ( x − y )
=
8 ; x− y
www.5balls.ru
4p − 8 − в) 3 2
q + 2 p ⋅ = 3 2 2q − p p − 2p q + 2q 4( p − 2) 4 q + 2 p p 1 = 2 − ⋅ = − ⋅ = p ( p − 2) q 2 (q + 2) 2q − p p 2 q 2 2q − p
=
4q 2 − p 2 2 2
p q
a − 7b
г)
ab − b 2
⋅ +
p (2q − p )(2q + p ) 2q + p = = ; 2q − p pq 2 (2q − p ) pq 2 7a + b a 2 + b 2 = : a 2 − ab a − b
a − 7b 7a + b a 2 + b 2 a (a − 7b) + b(7 a + b) a 2 + b 2 : = = : = + ab( a − b) a −b b(a − b) a (a − b) a − b =
( a 2 − 7 ab + 7 ab + b 2 )(a − b) 2
2
ab(a − b)(a + b )
=
1 . ab
№ 152. (a − 5)(a + 5) 1 a 2 − 25 a+5 a+5 ⋅ − = − = a + 3 a 2 + 5a a 2 − 3a a ( a + 5)(a + 3) a ( a − 3) ( a − 3)(a − 5) − (a + 3)(a + 5) a−5 a+5 = − = = a (a + 3) a (a − 3) a ( a + 3)(a − 3)
а)
=
a 2 − 5a − 3a + 15 − a 2 − 5a − 3a − 15 16a 16 =− = ; a (a + 3)(a − 3) a (a + 3)(a − 3) 9 − a 2
1 − 2 x x 2 + 3 x 3 + x 1 − 2 x ( x 2 + 3 x)(4 x + 2) + : = + = 2 x + 1 4 x 2 − 1 4 x + 2 2 x + 1 (4 x 2 − 1)(3 + x) 2 x( x + 3)(2 x + 1) 1 − 2x 1 − 2x 2x = + = + = 2 x + 1 (2 x − 1)(2 x + 1)( x + 3) 2 x + 1 2 x − 1
б)
=
−(2 x − 1)(2 x − 1) + 2 x(2 x + 1) = (2 x + 1)(2 x − 1) − 4x 2 + 4x − 1 + 4x 2 + 2x
6x − 1 ; = 2 4x 2 − 1 4x − 1 b − c ab − b 2 a 2 − c 2 b − c b(a − b)(a − c)(a + c) − ⋅ = − = в) a + b a 2 − ac a 2 − b 2 a + b a ( a − c )(a − b)(a + b) b − c b(a + c) a (b − c) − b(a + c) = − = = a + b a ( a + b) a ( a + b) =
www.5balls.ru
=
ab − ac − ab − bc −c (a + b) c = =− ; a ( a + b) a ( a + b) a
г)
a 2 − 4 a 2 − 2a 2 − y a 2 − 4 a ( a − 2) 2 − y : + = : + = x 2 − 9 xy + 3 y x − 3 x 2 − 9 y ( x + 3) x − 3
=
y ( a 2 − 4)( x + 3) 2 − y y ( a − 2)(a + 2) 2 − y + = + = a(a − 2)( x − 3)( x + 3) x − 3 a ( a − 2)( x − 3) x − 3
=
y (a + 2) 2 − y y (a + 2) + a (2 − y ) ay + 2 y + 2a − ay + = = = a ( x − 3) x − 3 a ( x − 3) a ( x − 3)
=
2 y + 2 a 2( a + y ) = . a ( x − 3) a ( x − 3)
№ 153. 1 4 x 2 = : 2x − 1 − 2x 2 x − 1 1 2 x 4 x 2 2x + 1 = + − = : 2 x − 1 1 2 x − 1 1
а) 2 x + 1 −
=
( 2 x − 1)(2 x + 1) + 1 2 x(2 x − 1) − 4 x 2 : = 2x − 1 2x − 1
=
4x 2 − 1 + 1 4x 2 − 2x − 4x 2 : = 2x − 1 2x − 1
=
− 4 x 2 ( 2 x − 1) = −2 x; 2 x (2 x − 1)
pq q 4q 2 − p 2 + = : p−q+ 2 2 p −q p + q q − p pq q p − q 4q 2 − p 2 : + = − p+q ( p − q )( p + q ) p − q 1
б)
= =
pq − q ( p + q ) ( p + q )( p − q ) + 4q 2 − p 2 : = ( p − q )( p + q ) p+q ( pq − pq − q 2 ) ( p − q )( p 2 − q 2 + 4q 2 − p 2 )
=
www.5balls.ru
=
=
− q2 ( p − q )3q
(
2
=
1 ; 3(q − p )
) a 1+ 1 + a 1− 1 − a 1− 1 =
в) a 2 + 2a + 1 ⋅
2
1 1 1 = − − a a a a + 1 ( + 1 )( − 1 ) − 1
(a + 1)2
= (a + 1)2
(a + 1) 2 a −1+1− a −1 a +1 ; =− = (a + 1)(a − 1) ( a + 1)(a − 1) a − 1
9x 2 + 4 1 1 : − +1= г) 1 − 12 x 3 x 2 12 x − 9 x 2 − 4 2 − 3 x +1= = : 12 x 6 x =
(
)
(3x − 2)2 + 1 = − 6 9 x 2 − 12 x + 4 +1= 12 x(2 − 3 x ) 2(3x − 2 )
3x − 2 3x 3x +1= −1+1= ; 2 2 2 2 3a + 2 2 − д) 1 − ⋅a − = 4 a −2 a + 2
2(a + 2) − 2(a − 2 ) 4a − 3a − 2 ⋅ = 1 − = 4 (a − 2 )(a + 2 )
2a + 4 − 2 a + 4 a − 2 8(a − 2) ⋅ =1− = = 1 − − 2)(a + 2) ( a − 2 )( a + 2 ) 4 4 ( a 2 a+2−2 a ; =1− = = a+2 a+2 a+2 3 2 +5= е) y 2 − 4 ⋅ − y y + 2 − 2
(
)
3y − 6 − 2 y − 4 + 5 = = ( y − 2)( y + 2) ⋅ ( y + 2)( y − 2) = y − 10 + 5 = y − 5.
№ 154.
www.5balls.ru
x 2 + y 2 x − y + 2 y x( x + y ) − x 2 − y 2 ⋅ x − ⋅ = = x + y y ( x − y ) x+ y y x + y x 2 + xy − x 2 − y 2 ( xy − y 2 ) y ( x − y ) = ⋅ = = = 1; y( x − y) x+ y y( x − y) y ( x − y ) 2ab a − b b + = б) a + b − : a+b a+b a 1 2 + y x−
а)
=
( a + b) 2 − 2ab a (a − b) + b( a + b) : = a+b a ( a + b)
=
a 2 + 2ab + b 2 − 2ab a 2 − ab + ab + b 2 : = a+b a (a + b)
=
a (a 2 + b 2 )(a + b) ( a 2 + b 2 )(a + b)
(
= a;
) x 1− 1 − x 1+ 1 + 1 = (x
в) x 2 − 1 ⋅ =
)
x +1 − x +1 + x2 −1 = −1 ⋅ ( x − 1)( x + 1)
( x 2 − 1)( x 2 + 1) = x 2 + 1; ( x − 1)( x + 1)
г) m + 1 −
=
2
1 m 2 (m + 1)(1 − m ) − 1 m(m − 1) − m 2 = ÷ = ÷ m − 1− m 1− m m − 1 m −1
(− m 2 + 1 − 1)(m − 1) = − (m + 1)(m − 1) − 1 m 2 − m − m 2 ÷ =− m −1 m(m − 1) − (m − 1)
=−
m 2 (m − 1) = −m . m(m − 1)
№ 155. 4 xy 1 1 = ÷ + y 2 − x 2 y 2 − x 2 x 2 + 2 xy + y 2 4 xy 1 1 = = 2 ÷ + y − x 2 (y − x )(y + x ) (x + y )2 4 xy x+ y+ y−x 4 xy 2y = ÷ = ÷ = 2 (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x )2
а)
www.5balls.ru
4 xy (y − x )(y + x ) = 2 x(y + x ) ; (y − x )(y + x )2 y 2
=
x − 2y − б) 2 x + 2 xy
x + 2y 1 ÷ 2 2 x − 4y (2 y − x )2
(x + 2 y )2 ⋅ = 4y2
x − 2y (x + 2 y )2 (2 y − x )2 ⋅ = − = 4y2 x(x + 2 y ) (x − 2 y )(x + 2 y )(x + 2 y ) x − 2y (x − 2 y ) ⋅ (x + 2 y )2 = − = 2 4y2 x (x + 2 y ) (x + 2 y ) (x + 2 y )(x − 2 y ) − x(x − 2 y ) (x + 2 y )2 ⋅ = = 2 4y2 x(x + 2 y )
x 2 − 4 y 2 − x 2 + 2 xy (x + 2 y ) − 2 y (2 y − x )(x + 2 y ) ⋅ = = 2 2 4y 2 x(x + 2 y ) 4 y 2 x(x + 2 y ) 2
=
(x − 2 y )(x + 2 y ) 2 yx(x + 2 y )
2
=
2
a2
=
2
x − 2y ; 2 xy
a3
a
a2
= − 2 − 2 в) 2 2 ÷ a + n a + n + 2an a + n a − n a2 a3 a a2 ÷ = − = − 2 ( )( ) + − + + a n a n a n a n ( ) a + n a 2 (a + n ) − a 3 a 2 − an − a 2 ÷ = = 2 (a + n ) (a + n )(a − n ) =−
a 2 n(a + n )(a − n ) a (n − a ) ; = 2 a+n an(a + n )
2a
4a 2
2a
1
: 2 − 2 + г) = 2 2 b − 2a 2a + b 4a + 4ab + b 4a − b 2a 4a 2 2a 1 = : − = − 2 − + − b 2 a + b ( 2 a + b ) ( 2 a b )( 2 a b ) 2 a 2a( 2a + b ) − 4a 2 2a − 2a − b = : = 2 ( 2a + b ) ( 2a − b )( 2a + b ) =
2ab( 2a − b )( 2a + b ) ( −b ) 4a 2 + 2ab − 4a 2 : =− = ( 2a + b ) 2 ( 2a − b )( 2a + b ) ( 2a + b ) 2 b
=−
2a( 2a − b ) 2a( b − 2a ) = . 2a + b 2a + b
www.5balls.ru
№ 156. x+2 3x − 3 3 ⋅ − = x 2 − 2x + 1 x 2 − 4 x − 2 3( x + 2 )( x − 1 ) 3 3 3 = − = − = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 )( x + 2 ) x − 2 ( x − 1 )( x − 2 ) x − 2
а)
=
б)
3 − 3( x − 1 ) 3( 2 − x ) 3 − 3x + 3 3 3 = = =− = ; ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 1 )( x − 2 ) x −1 1− x a a−2 a2 + 4 2 = : − 2 − 4a + 16a + 16 2a − 4 2a − 8 a 2 + 2a 2
a a2 + 4 2 = : − − 2 ( a − 2 ) 2 ( a − 2 )( a + 2 ) a ( a + 2 ) a 2 ( a + 2 ) − a( a 2 + 4 ) − 4( a − 2 ) a−2 = : = ( 2a + 4 ) 2 2a( a − 2 )( a + 2 )
=
a−2 ( 2a + 4 ) 2
=
a−2 a 3 + 2a 2 − a 3 − 4a − 4a + 8 : = 2 ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 )
=
2( a − 2 ) 2 a−2 a−2 2 a 2 − 8a + 8 = : = : 2 2 ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 ) ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 )
=
a( a − 2 )( a − 2 )( a + 2 ) a( a + 2 ) a = = ; ( 2a + 4 ) 2 ( a − 2 ) 2 ( 2a + 4 )( 2a + 4 ) 4( a + 2 ) y 2 − 3y 3y + 9 3 ⋅ 1 − = − 2 2 y y − 6y + 9 y − 9
в)
y 2 − 3y 3y + 9 3 ⋅ 1 − = = − 2 ( y − 3 ) ( y − 3 )( y + 3 ) y y( y − 3 )( y + 3 ) − 3( y + 3 )( y − 3 ) y − 3 = ⋅ ( y − 3 )2 ( y + 3 ) y ( y + 3 )( y − 3 )( y − 3 ) y − 3 y − 3 = ⋅ = . ( y − 3 )2 ( y + 3 ) y y
=
№ 157. a −1 1 − 3a + a 2 1 a2 +1 : = − − 2 a3 −1 a − 1 1 − a 3a + ( a − 1 )
а)
www.5balls.ru
a −1 1 − 3a + a 2 1 a2 +1 : = = − − 2 2 3a + a − 2a + 1 ( a − 1 )( a + a + 1 ) a − 1 1 − a a 2 − 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 − a 2 − a − 1 a 2 + 1 = : = ( a − 1 )( a 2 + a + 1 ) 1− a =
( − a 2 − 1 )( 1 − a ) 1 = ; ( a − 1 )( a 2 + a + 1 )( a 2 + 1 ) a 2 + a + 1 3 3 2x − 1 1 − 3 + 2 ⋅x − = x x x x x +1 + 1 + 1 − + 1
б)
x( x + 1 ) − 2 x + 1 1 3 3 ⋅ = − + 2 = 2 x +1 x + 1 ( x + 1 )( x − x + 1 ) x − x + 1 2 2 x − x + 1 − 3 + 3x + 3 x + x − 2 x + 1 = ⋅ = ( x + 1 )( x 2 − x + 1 ) x +1 =
( x + 1 )2 ( x 2 − x + 1 ) x 2 + 2x + 1 x2 − x +1 ⋅ = = 1. ( x + 1 )( x 2 − x + 1 ) x +1 ( x + 1 )( x + 1 )( x 2 − x + 1 )
№ 158. p q 2p − q p2 − q2 1 − ⋅ = ⋅ − = pq p+q qp q p 2p − q ( p − q )( p + q ) 2 p − q ( p − q )( p + q ) 1 = − ⋅ = − = pq p+q qp pq pq( p + q )
а)
=
2p − q 1 − pq p+q
2p − q p − q 2p − q − p + q p 1 − = = = ; что и требовалось докаpq pq pq pq q
зать.
б) a −
a( a + b ) − 4ab + b( a + b ) 4ab + b : (a − b ) = :( a − b ) = a+b a+b
=
a 2 + ab − 4ab + ab + b 2 a − b a 2 − 2ab + b 2 = = : a+b ( a − b )( a + b ) 1
=
( a − b )2 a−b = ; ( a − b )( a + b ) a + b
a b 2ab a b 2ab − − 2 = + − = 2 a+b b−a a −b a + b a − b ( a − b )( a + b )
www.5balls.ru
=
a 2 − ab + ab +b 2 −2ab a 2 − 2ab + b 2 a−b = = ; что и требовалось ( a − b )( a + b ) ( a − b )( a + b ) a + b
доказать. в)
1,2 x 2 − xy 100( 1,2 x 2 − xy ) 20 x 20 x ; ; = = 2 2 0 ,36 x − 0 ,25 y 6 x + 5 y 100( 0 ,36 x 2 − 0 ,25 y 2 ) 6 x + 5 y
120 x 2 − 100 xy 120 x 2 − 100 xy 20 x 20 x − = 0; − = 0; 2 2 36 x − 25 y 6x + 5 y ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y ) 6 x + 5 y 120 x 2 − 100 xy − 120 x 2 + 100 xy 0 = 0; = 0; ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y ) ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y )
0=0, что и требовалось доказать. № 159. а)
( a + b )2 − ( a − b )2 a+b a −b − = = 2( a − b ) 2( a + b ) 2( a − b )( a + b )
=
( a + b + a − b )( a + b − a + b ) 2a ⋅ 2b = = 2( a − b )( a + b ) 2( a − b )( a + b )
=
2ab ; ( a − b )( a + b )
=
b( b − a ) b b 2 − ab b − 2 = − = 2 a−b a −b a − b ( a − b )( a + b )
=
b( a − b ) b b b + = + = a − b ( a − b )( a + b ) a − b a + b
=
ab + b 2 + ab − b 2 2ab = ; тождество доказано. ( a − b )( a + b ) ( a − b )( a + b )
б)
100( 4 ,5a + 4 x ) 4,5a + 4 x 50 50 = = , ; 0 ,81a 2 − 0 ,64 x 2 9a − 8 x 100( 0,81a 2 − 0,64 x 2 9a − 8 x
100( 4 ,5a + 4 x ) 100( 4 ,5a + 4 x ) 50 50 = − = 0; ; 81a 2 − 64 x 2 9a − 8 x ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x ) 9a − 8 x 450a + 400 x − 450a − 400 x 0 = 0; 0 ,0 = 0; ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x ) ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x )
доказано. № 160.
www.5balls.ru
тождество
a − b 2a b 2ab + + = ⋅ 2 2 2a + 2b a + b b − a a −b
а)
2ab a − b 2a b ⋅ − = = + ( a − b )( a + b ) 2( a + b ) a + b a − b 4ab + a 2 − 2ab + b 2 2a b = ⋅ − = 2( a − b )( a + b ) a+b a −b =
( a + b ) 2 ⋅ 2a b a b − = − = 1; что и требовалось 2( a − b )( a + b )( a + b ) a − b a − b a − b
доказать. б)
y x 3 − xy 2 − 2 x − y x + y2
y x ⋅ − 2 2 x − y2 ( x − y)
=
y x( x 2 − y 2 ) y x = − ⋅ − 2 x− y x2 + y2 ( x − y ) ( x − y )( x + y ) 2 2 2 2 y x( x − y ) x + xy − xy + y = − ⋅ = x− y x2 + y2 ( x − y )2 ( x + y )
=
=
y x( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) − 2 = x − y ( x + y 2 )( x − y ) 2 ( x + y )
y x( x − y )( x + y ) y x y−x x− y − = − = =− = −1, что и x − y ( x − y )2 ( x + y ) x − y x − y x − y x− y
требовалось доказать. № 161. 1 c 3c 2 − 3 − 2 3 a − c a − c a + ac + c2
а)
a2 ⋅ c + = a + c
1 3c 2 c = − − 2 2 2 a − c ( a − c )( a + ac + c ) a + ac + c2 a 2 + ac + c 2 − 3c 2 − ac + c 2 ac + c 2 + a 2 = ⋅ = ( a − c )( a 2 + ac + c 2 ) a+c =
a2 ⋅ c + = a + c
( a 2 − c 2 )( a 2 + ac + c 2 ) = 1, не зависит от а и с. ( a 2 + ac + c 2 )( a − c )( a + c ) 1
c
− 3 ⋅ б) 3a 3 a−c a −c
a 2 + ac + c 2 a+c
3c 2 − 2 = 2 a −c
www.5balls.ru
1 c( a 2 + ac + c 2 ) 3c 2 − 2 = = 3a − 2 2 2 a − c ( a − c )( a + ac + c )( a + c ) a − c a+c−c 3c 2 3a ⋅ a 3c 2 − 2 = − 2 = = 3a 2 ( a − c )( a + c ) a − c 2 ( a − c )( a + c ) a − c 3a 2 − 3c 2 = 2 = 3 -не зависит от а и с. a − c2
№ 162. 2
2
n 2 + 2n 2 + 1 1 n 21 = а) n + = ; n n n2 2
2
a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 a b a2 − b2 = б) − = ; a 2b 2 b a ab 2
2
x x в) + 1 + − 1 = y y 2 2 2(x + y 2 ) x =2 2 +2= ; y y2 2
2
2
x x x x + 2 + 1 + − 2 + 1 = y y y y
2
2
2
2
p q p q p p q q p + − − = + 2 ⋅ + − + q p p q q p q p q
г)
2
+2
p q q ⋅ − =2+2=4; q p p
x+ y x− + y x
д)
2
y x+ y x− − − y x
2
y =
x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y = ⋅ + − + = + + − y x y x y x y x 2(x + y ) 2(x − y ) 4(x 2 − y 2 ) = ⋅ = ; x y xy 2
2
2
2
a+b a−b − 1 + b 2 + 1 = е) a a b 2
a 2b 2 b 2 a 2 a+b−a 2 a − b + b 2 2 = a2 +b = 2 + 2 =b +a . a b a b
№ 163.
www.5balls.ru
1 x = x − 1 ÷ x + 1 = x(x − 1) = x − 1 ; а) 1 x x x(x + 1) x + 1 1+ x 2a − b +1 2a − b + b 2 a + b − b 2a 2 a b б) = ÷ = ÷ =1; 2a + b b b b b −1 b y x + 2 2 x 3 + y 3 x 3 − y 3 (x 3 + y 3 )x 2 y 2 x 3 + y 3 y x ; в) = 2 2 ÷ 2 2 = 3 = y x (x − y 3 )x 2 y 2 x 3 − y 3 y x x y − y2 x2 1−
1 1 1 + + bc + ac + ab c + a + b ÷ = г) a b c = 1 1 1 abc abc + + ab bc ac bc + ac + ab )abc bc + ac + ab ( = = . abc(c + a + b ) a+b+c
№ 164. a x = 2 x − a ÷ 2 x + a = x(2 x − a ) = 2 x − a ; а) a x x x(2 x + a ) 2 x + a 2+ x a−b +3 a − b + 3c a + b − c (a − b + 3c )c a − b + 3c = ÷ = = б) c ; a+b c c (a + b − c )c a + b − c −1 c 1 1 + x y y + x y − x xy (y + x ) y + x ; = ÷ = = в) 1 1 xy xy xy (y − x ) y − x − x y 2−
г)
x − y x2 − y2 xy (x − y ) xy x− y . = ÷ = = x y ( 1 xy x − y )(x + y ) x + y − y x
www.5balls.ru
№ 165. а) Подставим x =
ab и получим: a+b
ab −a x−a a+b ab − a 2 − ab ab − ab − b 2 a 2 b 2 ÷ − = = ÷ = − = ab x−b a+b a+b a+b a+b −b a+b a 2 (a + b ) a 2 = 2 = . b (a + b ) b 2
б) Подставим x =
a−b и получим: a+b
a a a −b −x − 2 2 2 2 b b a + b = a + ab − ab + b ÷ ab + b + a − ab = = b b a −b b(a + b ) a (a + b ) +x + a a a+b a 2 + b 2 a 2 + b 2 a (a 2 + b 2 )(a + b ) a = ÷ = = . b(a + b ) a(a + b ) b(a 2 + b 2 )(a + b ) b
№ 166. a4 b2 − 2 2 2 2 9 = 9a − 4b ÷ 3a + 2b = 36(9a − 4b ) = а) 4 a b 36 36 36(3a + 2b ) + 12 18 (3a − 2b )(3a + 2b ) = 3a − 2b ; = 3a + 2b 2 1 Подставим a = , b = − и получим: 3 2 2 1 3a − 2b = 3 ⋅ − 2 ⋅ − = 2 + 1 = 3 ; 3 2
Ответ: 3. 0 ,2a − b 0 ,2a − b 0 ,2a − b a 2 − 25b 2 = = ÷ = a2 a 2 − 25b 2 1 25 − b2 25 25 5 ⋅ 5(0 ,2a − b ) 5(a − 5b ) 5 = = = ; 2 2 a − 25b (a − 5b )(a + 5b ) a + 5b
б)
www.5balls.ru
Подставим а = -8, b = 0,6 и получим: 5 5 5 = = = −1 ; a + 5b − 8 + 5 ⋅ 0,6 − 8 + 3
Ответ: -1. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 167. а)
y 1 -4
-2
0
2
4
x
-1 -2 -3 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е. 1 x − 2 = 0 ; х = 4. 2
Таким образом, точка пересечения с осью х – это (4; 0); 2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е. y=
1 ⋅ 0 − 2 ; y = -2. 2
Таким образом, точка пересечения с осью y – это (0; -2). б) 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е. 0 = -0,4х + 2; 0,4х = 2; х = 5. Точка пересечения с осью х – это (5; 0); 2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е. y = -0,4·0 + 2; y = 2. Точка пересечения с осью y – это (0; 2).
www.5balls.ru
y 4 3 2 1
-4
0
-2
2
4
6
x
-1 № 168. а) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки (0; 4) в это уравнение: 4 = k·0 + b; b = 4; коэффициент k у параллельных прямых одинаковый, следовательно k = 3; получим уравнение: y = 3x + 4. б) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки (0; 0) в это уравнение: 0 = k·0 + b; b = 0; коэффициент k у параллельных прямых одинаковый, следовательно, k = − ние: y = −
1 x. 2
www.5balls.ru
1 ; получим уравне2
№ 169. а)
y
b x
б)
y
b
x
в) y
b x
www.5balls.ru
г)
y b
x
№ 170. Пусть х см – длина меньшей стороны, тогда (х+20) см – длина большей стороны, 2х – удвоенная длина меньшей стороны, 3(х+20) см – утроенная длина большей стороны. По условию задачи периметр нового прямоугольника равен 240 см. Составим уравнение: 2( 2 x + 3( x + 20 )) = 240;2 x + 3( x + 20 ) = 120; 2 x + 3 x + 60 = 120;5 x = 60; x = 12; x + 20 = 32.
Ответ. 12 см, 32 см. № 171. Пусть х ч – время в пути пассажирского поезда, тогда (х+1) ч – время в пути скорого поезда, 110(х+1) км – расстояние до места встречи, которое прошел скорый поезд, 90х км – расстояние до места встречи, которое прошел пассажирский поезд. Расстояние между двумя станциями равно 710 км. Составим уравнение: 110( x + 1 ) + 90 x = 710; 110 x + 110 + 90 x = 710;200 x = 600; x = 3; x + 1 = 4.
Ответ. Через 4 ч. 8.Функция y =
k и ее график x
№ 172. y=
8 x
www.5balls.ru
х у
-4 -2
-2 -4
-0,25 -32
2 4
5 1,6
16 0,5
20 0,4
8 = −2; −4 8 y = −4;−4 = ;−4 x = 8; x = −2; x 8 x = −0 ,25; y = = −32; − 0 ,25 8 x = 2; y = 4; 2 8 3 x = 5; y = 1 = 1,6; 5 5 8 1 x = 16; y = = = 0,5; 16 2 8 y = 0,4;0 ,4 = ;0 ,4 x = 8; x = 20. x
1) x = −4, y = 2) 3) 4) 5) 6) 7)
№ 173. y=
х у
120 x
-1200 -0,1
-600 -0,2
240 -0,5
-120 -1
75 1,6
120 1 = − = −0 ,1; − 1200 10 120 x = −600; y = = −0 ,2; − 600 120 y = −0,5;−0 ,5 = ;−0,5 x = 120; x = −240; x 120 y = −1;−1 = ; x = −120; x 120 x = 75; y = = 1,6; 75 120 x = 120; y = = 1; 120
1) x = −1200; y = 2) 3) 4) 5) 6)
www.5balls.ru
120 1
300 0,4
1000 0,12
120 ;0 ,4 x = 120; x = 300; x 120 8) x = 1000; y = = 0,12. 1000
7) y = 0,4;0,4 =
№ 174. s = vt = 600, отсюда получаем: 600 а) v = (км/ч); t 600 (ч). б) t = v
№ 175. 10 10 ;y= 0 ,1; x 100 10 x = 1000; y = = 0 ,01; 1000 10 x = 0 ,1; y = = 100; 0,1 10 x = 0,02; y = = 500; 0,02 x = 100; y =
10 ;−200 = −200; данная точка − 0 ,05 10 принадлежит графику функции y = ; x 10 ;100 ≠ −100; данная точка не приB( −0 ,1;100 ); проверим 100 = − 0 ,1 A( −0 ,05;−200 ); проверим − 200 = −
надлежит графику данной функции; C( 400;0 ,025 ); проверим 0 ,025 =
10 ;0 ,025 = 0 ,025; данная точка при400
надлежит графику данной функции; D( 500;−0 ,02 ); проверим − 0,02 =
10 ;−0 ,02 ≠ 0 ,02; данная точка не 500
принадлежит графику данной функции. № 176.
www.5balls.ru
Как известно, обратная пропорциональность задается формулой: k k , отсюда получаем: 12 = ; k = 24; следовательно, искомая x 2 24 функция y = . x y=
№ 177. При рассмотрении графика получаются следующие результаты: а) x = 2; y = 4; x = 4; y = 2; x = −1; y = −8; x = − 4; y = − 2 ;
x = −5; y = −1,5; б) y = −4; x = −2; y = −2; x = −4; y = 8; x = 1
№ 178. Построим график функции по точкам: х у
-8 1
-4 2
-2 4
2 -4
4 -2
8 -1
По графику найдем искомые значения х и у: x = 2 ,5; y = −3,2; x = 1,5; y = −5,3; а) x = 4; y = −2; x = −1; y = 8;
y 8 6 4 2 -8
-6
-4
-2
0
2
-4 -6 -8
x = −2 ,5; y = 3,2;
б) y = 8; x = −1;
www.5balls.ru
4
6
8
x
y = −2; x = 4.
№ 179. Построим график функции по точкам: х у
-6 -1
-3 -2
-1 -6
1 6
3 2
6 1
По графику найдем искомые значения: y 8 6 4 2 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
8
-4 -6 -8
а) x = 1,5; y = 4; x = −2 ,5; y = −2,3; x = 3,5; y = 1,6; б) y = −3; x = −2; y = −1,5; x = −4; y = 4; x = 1,5; y = 7; x = 0 ,8.
№ 180. Построим график функции по точкам: а) х
-2
у
1 − 2
www.5balls.ru
-1 -1
1 1
2 1 2
y 4
2
-4
-2
0
2
x
4
-2
-4
б) х
-2
у
1 2
-1 1
1 -1
2 −
1 2
y 4
2
-4
-2
0
2
x
4
-2
-4
в) х у
-6 -4
-2 -8
-1 -24
www.5balls.ru
1 24
3 8
6 4
y 12 10 8 6 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
2
4
6
x
-4 -6 -8 -10 -12 -14
г)
y 12 10 8 6 4
-6
-4
-2
0 -4 -6 -8 -10 -12 -14
www.5balls.ru
х у
-6 4
-3 8
№ 181.
-1 24
1 -24
3 -8
6 -4
y
8
6
4
2
0
2
4
6
8
x
Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = abc = 120см 3 ; (где с – его высота). получаем: - обратная пропорциональность, так как она имеет вид y =
k , при k = 6. x
Область определения функции b =
6 - все положительные числа, a
т.е. a f 0 (поскольку длина стороны основания – положительное число). Построим график функции по точкам: a b
1 6
2 3
3 2
№ 182. k 1 ; k = 0 ,125 ⋅ 8 = 1; y = ; 8 x 2 4 4 k 4 2 9⋅2 6 1,2 б) B( ;1 ); получаем 1 = ; k = 1 ⋅ = = = 1,2; y = ; 3 5 5 2 5 3 5⋅3 5 x k 5 в) C( −25;−0,2 ) ; получаем − 0,2 = ; k = ( −0 ,2 ) ⋅ ( −25 ); k = 5; y = . − 25 x
а) A( 8;0 ,125 ); получаем 0 ,125 =
www.5balls.ru
№ 184. а) к > 0; т.к. х > 0 и у >0, либо х < 0 и у < 0 б) к < 0, т.к. х > 0 и у < 0, либо х < 0 и у >0. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 185. а)
5( x − y ) 2 5( x − y ) 2 5( x − y ) 2 5 = = = не зависит от х и у 2 3( y − x ) ⋅ 3( y − x ) 9( x − y ) 2 9 ( 3 y − 3x )
б)
( 3 x − 6 y ) 2 3( x − 2 y ) ⋅ 3( x − 2 y ) 9( x − 2 y ) 2 9 = = = не зависит от х 4( 2 y − x ) 2 4( 2 y − x ) 2 4( x − 2 y ) 2 4
и у. № 186. 1 12 x + 7 3 − − = : 2 x+2 x−2 4−x x−2 x+7 3 1 12 = − + ÷ x − 2 = ( )( ) x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 3(x − 2 ) − (x + 2 ) + 12 x + 7 2(x + 2 ) x−2 = ÷ = ⋅ = (x − 2)(x + 2) x − 2 (x − 2 )(x + 2 ) x + 7 =
2(x + 2 )(x − 2 ) 2 . = (x − 2)(x + 2)(x + 7 ) x + 7
№ 187. yz − xz + xy 1 1 1 1 1 1 = 0 ; yz − xz + xy = 0 ; = − ; − + =0; xyz x y z x y z
а) yz − xz + xy = 0 ; yz = xz − xy ; yz = x(z − y ) ; x = б) yz − xz + xy = 0 ; yz − xz = − xy ; z (y − x ) = − xy ; z=
yz ; z−y
− xy xy . = y−x x− y
Дополнительные упражнения к главе I
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 1 № 188. а) 5 x 2 (x 2 − 2 x + 3) = 5 x 4 − 10 x 3 + 15 x 2 ; б) − 8 y 2 (y 2 − 5 y − 1) = −8 y 4 + 40 y 3 + 8 y 2 ;
в) (a 2 − 5a + 4 )(2a + 3) = 2a 3 − 10a 2 + 8a + 3a 2 − 15a + 12 = = 2a 3 − 7 a 2 − 7 a + 12 ; г) (3b − 2)(b 2 − 7b − 5) = 3b 3 − 21b 2 − 15b − 2b 2 + 14b + 10 = = 3b 3 − 23b 2 − b + 10 ; д) 3x 2 (− 5 x 2 + 4 x − 1) + 16 x 4 = −15 x 4 + 12 x 3 − 3x 2 + 16 x 4 = = x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 ; е) 8 y 6 − 2 y 3 (1 − 5 y − y 2 + 4 y 3 ) = 8 y 6 − 2 y 3 + 10 y 4 + 2 y 5 − 8 y 6 =
= 2 y 5 + 10 y 4 − 2 y 3 ;
ж) (a 2 + 7a + 3)(a 2 − 4a + 2) = a 4 + 7 a 3 + 3a 2 − 4a 3 − 28a 2 − 12a + 2a 2 + + 14a + 6 = a 4 + 3a 3 − 23a 2 + 2a + 6 ;
з) (b 2 − 3b − 5)(b 2 + 3b − 5) = (b 2 − 5) − (3b ) = b 4 − 10b 2 + 25 − 9b 2 = 2
2
= b 4 − 19b 2 + 25 .
№ 189. а) (− 4 x + 7 a )(7a + 4 x ) = (7 a − 4 x )(7 a + 4 x ) = 49a 2 − 16 x 2 ; б) (3c 2 − 8)(3c 2 + 8) = 9c 4 − 64 ; 2 в) (2 x − 5 y ) = 4 x 2 − 20 xy + 25 y 2 ; г) ( p 2 + 2) = p 4 + 4 p 2 + 4 ; 2
д) (3a − 2b )(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) = 27 a 3 − 8b 3 ; е) (x 2 + 5 y )(x 4 − 5 x 2 y + 25 y 2 ) = x 6 + 125 y 3 ;
ж) (m − n ) − (m − n )(m 2 + mn + n 2 ) = m 3 − 3m 2 n + 3m 2 n − n 3 − (m 3 − n 3 ) = = 3mn 2 − 3m 2 n ; 3 з) (x + y ) − (x + y )(x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − (x 3 + y 3 ) = 3
= 3x 2 y + 3xy 2 .
№ 190.
www.5balls.ru
а) a 2 b + ab 2 = ab(a + b ) ; б) x 3 y − xy 3 = xy (x 2 − y 2 ) ;
в) 7 x 2 − 14 xy + 21ax = 7 x(x − 2 y + 3a ) ; г) 9 xy − 3by + 15ay = 3 y (3x − b + 5a ) ;
д) x 4 − x 3 + x 2 − x = x 3 (x − 1) + x(x − 1) = (x − 1)(x 3 + x ) = = x(x − 1)(x 2 + 1) ; е) c 4 − 2c 3 − c 2 + 2c = c 3 (c − 2 ) − c(c − 2 ) = (c − 2 )(c 3 − c ) = = c(c − 2)(c 2 − 1) = c(c − 2 )(c − 1)(c + 1) ; 2 ж) (a − 2 ) − 25a 2 = (a − 2 − 5a )(a − 2 + 5a ) = (− 4a − 2 )(6a − 2 ) = = −4(2a + 1)(3a − 1) = 4(2a + 1)(1 − 3a ) ; 2 з) (b + 3) − 36b 2 = (b + 3 + 6b )(b + 3 − 6b ) = = (7b + 3)(− 5b + 3) = (7b + 3)(3 − 5b ) ; и) 125 x 3 + 8 = (5 x + 2)(25 x 2 − 10 x + 4) ; к) 216 x 3 − 27 = (6 x − 3)(36 x 2 + 18 x + 9) ; 3 2 л) (a + 1) + a 3 = (a + 1 + a )(a + 1) − a(a + 1) + a 2 = = (2a + 1)(a 2 + 2a + 1 − a 2 − a + a 2 ) = (2a + 1)(a 2 + a + 1) ; 3 2 м) (b + 2 ) − 8b 3 = (b + 2 − 2b )(b + 2 ) + (b + 2 )2b + 4b 2 = = (2 − b )(b 2 + 4b + 4 + 2b 2 + 4b + 4b 2 ) = (2 − b )(7b 2 + 8b + 4 ) .
(
)
[
]
№ 191. а) (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1) = a 4 − a 3 + a 2 + a 3 − a 2 + a + a 2 − a + 1 = = a 4 + a 2 + 1 , что и требовалось доказать; б) (b 4 + b 2 + 1)(b 4 − b 2 + 1) = b 8 − b 6 + b 4 + b 6 − b 4 + b 2 + b 4 − b 2 + 1 = = b 8 + b 4 + 1 , что и требовалось доказать; в) (c 2 − 2c + 2)(c 2 + 2c + 2) = = c 4 + 2c 3 + 2c 2 − 2c 3 − 4c 2 − 4c + 2c 2 + 4c + 4 = c 4 + 4 , что и требова-
лось доказать. № 192. а)
51 + 17 2 17 ⋅ 3 + 17 2 17(3 + 17 ) 17 ⋅ 20 = = = = 34 ; 10 10 10 10
www.5balls.ru
б)
37 2 + 111 37 2 + 37 ⋅ 3 37(37 + 3) 37 ⋅ 40 = = = = 37 . 40 40 40 40
№ 193. Составим таблицу: Поезда 1-й 2-й
t, ч t t-3
v, км/ч 60 v
s, км 60t v(t – 3)
Запишем уравнение: 60t + v(t − 3) = 600 ; 600 − 60t = v(t − 3) ;
600 − 60t 60(10 − t ) ; v= . t −3 t −3 60(10 − 7 ) 60 ⋅ 3 = = 45 (км/ч). Подставим t = 7: v = 7−3 4 60(10 − 6 ) 60 ⋅ 4 = = 80 (км/ч). Подставим t = 6: v = 6−3 3 v=
№ 194. а) х – любое действительное число; 7 2
б) 2 y + 7 ≠ 0 ; 2 y ≠ −7 ; y ≠ − ; y ≠ −3,5 . Ответ: y ≠ −3,5 ; 9 9 = ; x(x − 7 ) ≠ 0 ; 1) x1 ≠ 0 ; 2) x − 7 ≠ 0 ; x ≠ 7 . x − 7 x x(x − 7 ) Ответ: x ≠ 0 , x ≠ 7 ;
в)
2
г) y – любое действительное число; д) x − 3 ≠ 0 ; x ≠ −3 , x ≠ 3 .
Ответ: x ≠ −3 , x ≠ 3 ; е) y – любое действительное число. № 195. а)
5 ; x−2
б)
7 − 2x ; 3x 2 − x 3
в)
4x + 1 ; 9 − x2
№ 196.
www.5balls.ru
г)
6 . 4x 2 − 1
8 − 3x , потому что 4 x 2 + 7 f 0 при всех х. 4x 2 + 7
№ 197. а) x − 2 ≠ 0 ; x ≠ 2 ; Ответ: x ≠ 2 ; б) x + 5 ≠ 0 ; x ≠ −5 ; Ответ: x ≠ −5 ; в) 2 x − 6 ≠ 0 ; 2 x ≠ 6 ; x ≠ 3 ; Ответ: x ≠ 3 . № 198. а) −
99 x 9 ⋅ 11x 9x =− =− ; 22 y 2 ⋅ 11 y 2y
216bc 36 ⋅ 6b 6b ; = = 180ac 36 ⋅ 5a 5a 405ac 45 ⋅ 9c 9c = = ; в) 45ay 45 y y
б)
18abc 18b b ; = = 180ac 18 ⋅ 10 10 35a 5 y 4 7 ⋅ 5a 5 y 4 5a = = ; д) 28a 4 y 8 7 ⋅ 4a 4 y 8 4 y 4
г)
е)
7x 4 y 4 7y4 1 = = 10 . 4 14 14 14 x y 7 ⋅ 2y 2y
№ 199. а)
17 xy + 34 17(xy + 2 ) xy + 2 = = ; 17(xy + 34 ) 17(xy + 34 ) xy + 34
(3a − 3c )
2
б) в) =
9 a − 9c 2
2
3a − 3c 3(a − c ) a − c (3a − 3c ) = = = ; (3a − 3c )(3a + 3c ) 3a + 3c 3(a + c ) a + c 2
=
2b 2 − 2a 2 2(b 2 − a 2 ) 2(b 2 − a 2 ) = = = (2a − 2b )2 (2a − 2b )(2a − 2b ) 2 ⋅ 2(a − b )(a − b )
(b − a )(b + a ) = − (a − b )(a + b ) = − a + b = a + b ; 2(a − b )(a − b ) 2(a − b )(a − b ) 2(a − b ) 2(b − a )
www.5balls.ru
(a
(a − 3) (a + 3) = (a + 3) ; − 9) = (3 − a )3 (a − 3)2 (3 − a ) 3 − a
г)
2
2
2
x 2 − 100 x − 10 (x − 10)(x + 10) = = ; 3 2 2 x + 1000 (x + 10 )(x − 10 x + 100 ) x − 10 x + 100
д)
8 y 3 − 1 (2 y − 1)(4 y 2 + 2 y + 1) 4y2 + 2y + 1 = =− ; 3 y − 4y y (1 − 2 y )(1 + 2 y ) y (1 + 2 y )
е) ж) з) =
2
2
2x − y 2x − y 2(2 x − y ) 2 = = = ; x 2 − 0 ,5 xy x(x − 0 ,5 y ) x(2 x − y ) x
5a 2 − 3ab 25a(5a − 3b ) = = a 2 − 0,36b 2 25(a − 0,6b )(a + 0 ,6b )
25a (5a − 3b ) 25a = . (5a − 3b )(5a + 3b ) 5a + 3b
№ 200. а) б) в) г)
10ab − 15b 2 5b(2a − 3b ) 5b = = ; 4a 2 − 6ab 2a (2a − 3b ) 2a 21xy − 7 y 2 7 y (3 x − y ) 7 y = = ; 6 x 2 − 2 xy 2 x(3 x − y ) 2 x
2 x 2 + 10 xy 2 x(x + 5 y ) 2x = = ; 2 2 x − 25 y (x − 5 y )(x + 5 y ) x − 5 y
6 p 2 − 8 pq 2 p (3 p − 4q ) 2p ; = = 9 p − 24 pq + 16q 2 (3 p − 4q )2 3 p − 4q 2
a 2 − 4a + 4 (a − 2) (a − 2) = a − 2 ; = = a + ab − 2a − 2b a (a + b ) − 2(a + b ) (a + b )(a − 2) a + b 2
д) е)
2
2
6 x 2 − 3xy + 4 x − 2 y 3 x(2 x − y ) + 2(2 x − y ) (2 x − y )(3 x + 2 ) 2 x − y = = = 9 x 2 + 12 x + 4 3x + 2 (3x + 2)2 (3x + 2)2 a 2 + 4ab + 4b 2 a + 2b (a + 2b ) = = ; (a + 2b )(a 2 − 2ab + 4b 2 ) a 2 − 2ab + 4b 2 a 3 + 8b 3 2
ж) з)
(3x − y )(9 x 2 + 3xy + y 2 ) = 3x − y . 27 x 3 − y 3 = 2 2 18 x + 6 xy + 2 y 2(9 x 2 + 3 xy + y 2 ) 2
№ 201.
www.5balls.ru
а) б) в) =
1 b 14 − b 7 + 1 b 14 − b 7 + 1 . = 7 = 21 (b + 1)(b14 − b 7 + 1) b 7 + 1 b +1
(x 11 − 1)(x 22 + x 11 + 1) = x 11 − 1 ; x 33 − 1 = 22 11 x +x +x x 11 (x 22 + x 11 + 1) x 11 33
x(y − z ) − y (x − z ) xy − xz − xy + yz = = 2 2 2 ( x y 2 yz − + z 2 ) − y (x 2 − 2 xz + z 2 ) x(y − z ) − y (x − z ) yz − xz = xy − 2 xyz + xz 2 − x 2 y + 2 xyz − yz 2 2
= =
z (y − x ) z (y − x ) = 2 2 (xy − x y ) + (xz − yz ) xy(y − z ) + z 2 (x − y ) = 2
2
z (y − x ) z = ; 2 (y − x )(xy − z ) xy − z 2
a (b + 1) − b(a + 1) a (b 2 + 2b + 1) − b(a 2 + 2a + 1) = = a (b + 1) − b(a + 1) ab + a − ab − b 2
г)
2
ab 2 + 2ab + a − a 2 b − 2ab − b (ab 2 − a 2 b ) + (a − b ) = = a−b a−b ab(b − a ) + (a − b ) (a − b )(1 − ab ) = = = 1 − ab . a−b a−b =
№ 202. Произведем замену:
(kx ) − 2(ky ) = k 2 x 2 − 2k 2 y 2 = k 2 (x 2 − 2 y 2 ) ; x2 − 2y2 = 3 y 2 + 5 xy 3(ky )2 + 5kx ⋅ ky 3k 2 y 2 + 5k 2 xy k 2 (3 y 2 + 5 xy ) 2
2
x2 − 2y2 x2 − 2y 2 ≡ 2 - дробь, тождественно равная первоначальной. 2 3 y + 5 xy 3 y + 5 xy
№ 203. При x =
2 3 и y = , дробь равна: 7 7 2
2
2 3 4 9 12 + 9 3⋅ + 3⋅ + 3x 2 + y 2 7 7 = 49 49 = 49 = = 2 2 4 9 12 − 9 3x 2 − y 2 2 3 3⋅ − 3⋅ − 49 49 49 7 7
www.5balls.ru
=
21 3 21 ⋅ 49 ÷ = =7 49 49 3 ⋅ 49
При х = 2 и y = 3, дробь равна: 3 x 2 + y 2 3 ⋅ 2 2 + 3 2 3 ⋅ 4 + 9 12 + 9 21 = = = = = 7 , что и требовалось 3 x 2 − y 2 3 ⋅ 2 2 − 3 2 3 ⋅ 4 − 9 12 − 9 7
доказать. № 204. а) б)
36
(a − b )
2
108
=
=
36 36 4 = = ; 9 2 81 9 108
=
108
(b − a ) (a − b ) 9 (5a − 5b ) = 5 ⋅ 5(a − b ) 2
2
2
=
108 12 4 1 = = =1 ; 81 9 3 3
25 ⋅ 9 2 = 5 ⋅ 9 = 45 ; 45 45 45 a 2 + ab + b 2 a 2 + ab + b 2 1 1 = = = г) 3 3 (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) a − b 9 a −b 2
в)
Ответ: а)
2
=
4 1 1 ; б) 1 ; в) 45; г) . 9 3 9
К ПАРАГРАФУ 2 № 205. x 2 − 2x 4x − 9 x 2 − 2x − 4x + 9 − = = x−3 x−3 x−3 2 x 2 − 6 x + 9 (x − 3) = = = x−3; x−3 x−3 y 2 − 10 y 2 − 10 − 54 y 2 − 64 54 − = = = б) y −8 y −8 y −8 y −8
а)
=
(y − 8)(y + 8) = y + 8 ; y −8
a2 b2 a2 b2 a2 − b2 + 2 = 2 − 2 = 2 = 1; 2 2 2 2 a −b b −a a −b a −b a − b2 x 2 − 2 x 2 y − y 2 x 2 − 2 x + 2 y − y 2 (x 2 − y 2 ) − (2 x − 2 y ) − = = = г) 2 x − y2 y2 − x2 x2 − y2 x2 − y2
в)
2
www.5balls.ru
=
(x − y )(x + y ) − 2(x − y ) = (x − y )(x + y − 2) = x + y − 2 . (x − y )(x + y ) x −y x+ y 2
2
№ 206.
(y − b )
2
а)
(y − b ) + y − b = y−b = y − b +1 y − b +1 2
y − b +1
+
(y − b )(y − b + 1) = y − b ; = y − b +1
(a + x )
2a + 2 x (a + x ) − 2(a + x ) = = a+x−2 a+x−2 a+x−2 (a + x )(a + x − 2) = a + x ; = a+x−2 2 x − y2 x+ y y2 − x2 x+ y + = + = в) x − y −1 y − x +1 y − x +1 y − x +1 2
б)
=
2
−
(y − x )(y + x ) + (y + x ) = (y + x )(y − x + 1) = y + x ; y − x +1
y − x +1
2(b − 3c ) (b − 3c )(b + 3c ) 2(b − 3c ) b − 9c + = − = b + 3c − 2 2 − b − 3c b + 3c − 2 b + 3c − 2 (b − 3c )(b + 3c ) − 2(b − 3c ) = (b − 3c )(b + 3c − 2) = b − 3c . = b + 3c − 2 b + 3c − 2 2
2
г)
№ 207. a 2 − 12b 3ab − 4a a 2 − 12b − 3ab + 4a − = = a 2 − 3ab a 2 − 3ab a 2 − 3ab a (a + 4) − 3b(4 + a ) (a + 4)(a − 3b ) a + 4 = = = . Подставим а = -0,8: a(a − 3b ) a (a − 3b ) a
а)
a + 4 −0 ,8 + 4 3,2 = = = −4 . − 0 ,8 − 0 ,8 a
b = -1,75 – лишнее данное в задаче. б) =
x2 − 2y 4 − xy x 2 − 2 y − 4 + xy − = = x 2 + xy + 2 x x 2 + xy + 2 x x 2 + xy + 2 x
(x − 2)(x + 2) + y (x − 2) = (x − 2)(x + 2 + y ) = x − 2 . Подставим х = 20: x(x + y + 2 ) x(x + y + 2 ) x
www.5balls.ru
x − 2 20 − 2 18 9 . = = = x 20 20 10
y = 22,5 – лишнее данное в задаче. № 208. x+2 x 2 2 = + =1+ ; x x x x y + z2 y z2 y = + = +z; б) z z z z a 2 − 2a + 4 a 2 2a 4 4 = − + =a−2+ ; в) a a a a a b 2 + 3b − 6 b 2 3b 3 6 = + − =b+3− . г) b b b b b
а)
№ 209. а)
n+6 n 6 6 = + = 1 + ; при п = 1; 2; 3; 6. Значение выражения – цеn n n n
лое. б)
5n − 12 5n 12 12 ; при п = 3; 4; 6; 12. Значение выражения = − =5− n n n n
– целое. в)
36 − n 2 36 n 2 36 = 2 − 2 = 2 − 1 ; при п = 1; 2; 3. Значение выражения – n2 n n n
целое. № 210. а)
x+ y x y x = + = +1= 5 +1= 6 ; y y y y
б)
x− y x y x = − = −1= 5 −1= 4 ; y y y y
в)
y x 1 = = 5 −1 = ; x y 5
г)
x x + 2y y 2 2 = 1 + 2 = 1 + ⋅ 2 = 1 + (5 −1 )⋅ 2 = 1 + = 1 . x x y 5 5
−1
−1
www.5balls.ru
№ 211. а)
x+ y y x x = 3; = 3 − ; = 3 −1= 2 ; y y y y −1
x+ y y 1 = 3 −1 = ; = x + y y 3 x− y x в) = −1= 2 −1=1 ; y y
б)
−1
г)
y x 1 −1 = = (2 ) = . x y 2
№ 212. а) =
3b 2 − 5b − 1 5b − 3 3b 2 − 5b − 1 b(5b − 3) + = + = b2 y by b2 y b2 y 3b 2 − 5b − 1 + 5b 2 − 3b 8b 2 − 8b − 1 ; = b2 y b2 y
a 2 − a + 1 x 2 − 1 (a 2 − a + 1)x 2 − a 2 (x 2 − 1) − = = a3 x ax 3 a3x3 a 2 x 2 − ax 2 + x 2 − a 2 x 2 + a 2 x 2 + a 2 − ax 2 ; = = a3 x3 a3 x3 1 + с c 3 + y 4 y 4 + cy 4 − c 4 − cy 4 y 4 − c 4 = 3 8 ; в) 3 4 − 2 8 = c y c y c3 y8 c y
б)
г)
c 2 + x 2 c + x c 3 + cx 2 − cx 2 − x 3 c 3 − x 3 − 3 3 = = 3 5 . c2 x5 c x c3 x5 c x
№ 213. x − y x y x − y 4x + 4 y + x − y 5x + 3 y ; = + + = = 4 1 1 4 4 4 1 + mn m n 1 + mn mn + n 2 − 1 − mn n 2 − 1 б) m + n − ; = + − = = n 1 1 n n n ab + ac + bc a ab + ac + bc a( a + b + c ) − ab − ac − bc = − = = в) a − a+b+c 1 a+b+c a+b+c
а) x + y +
www.5balls.ru
a 2 + ab + ac − ab − ac − bc a 2 − bc = ; a+b+c a+b+c a 3 − b 3 a 2 b 2 a 3 − b 3 ( a 2 − b 2 )( a + b ) − a 3 + b 3 = − − = = г) a 2 − b 2 − a+b a+b a+b 1 1 a 3 + a 2 b − ab 2 − b 3 − a 3 + b 3 a 2 b − ab 2 ab( a − b ) = = = . a+b a+b a+b =
№ 214. а)
mn + 1 mn − 1 ( m − n )( mn + 1 ) + ( m + n )( mn − 1 ) + = = m+n m−n ( m + n )( m − n )
=
m 2 n + m − mn 2 − n + m 2 n − m + mn 2 − n 2m 2 n − 2n = = ( m + n )( m − n ) ( m + n )( m − n )
=
2n( m 2 − 1 ) 2n( m − 1 )( m + 1 ) = ; ( m + n )( m − n ) ( m + n )( m − n )
б)
a+b b a 2 + 2ab + b 2 − 2ab a2 + b2 − = = ; 2a a+b 2a( a + b ) 2a( a + b )
в)
x + 4a a − 4 x ( x + 4a )( a − x ) − ( a − 4 x )( a + x ) − = = 3a + 3 x 3a − 3x 3( a + x )( a − x )
=
ax + 4a 2 − x 2 − 4ax − a 2 + 4ax − ax + 4 x 2 3a 2 + 3 x 2 = = 3( a + x )( a − x ) 3( a + x )( a − x )
a2 + x2 a2 − x2 ; 9a − 24b 21b − 6a 9a − 24b + 21b − 6a 3a − 3b 3 + = = = ; г) a( a − b ) a( a − b ) a( a − b ) a( a − b ) a =
д)
3 x + 21 y 2 xy 3 x + 21 y 2 xy + 2 = + = 2 2 x − 49 y x − 7 xy ( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )
=
x( 3 x + 21y ) + 2 x 2 y + 14 xy 2 3x 2 + 21xy + 2 x 2 y + 14 xy 2 = = x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )( x + 7 y )
=
3x( x + 7 y ) + 2 xy( x + 7 y ) ( x + 7 y )( 3x + 2 xy ) x( 3 + 2 y ) = = = x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )
=
3 + 2y ; x − 7y
е)
m 2 − 2mn 2n 2 m 2 − 2mn 2n 2 + = + = 2 2 2 m − 4n mn + 2n ( m − 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )
www.5balls.ru
=
n( m 2 − 2mn ) + 2n 2 ( m − 2n ) nm 2 − 2mn 2 + 2n 2 m − 4n 3 = = n( m + 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )( m + 2n )
=
n( m 2 − 4n 2 ) nm 2 − 4n 3 = = 1. n( m + 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )( m + 2n )
№ 215. а)
2b 2 − bc 2c 4( 2b 2 − bc ) 2c − = − = 2 b − 0,25c 2b + c 4( b 2 − 0 ,25c 2 ) 2b + c
=
4b( 2b − c ) 4b( 2b − c ) 2c 2c 4b 2c − = − = − = 4b 2 − c 2 2b + c ( 2b − c )( 2b + c ) 2b + c 2b + c 2b + c
2
4b − 2c 2( 2b − c ) = ; 2b + c 2b + c 2( 2 x + 1 ) 2x − 1 4x + 2 2x − 1 + 2 = + = б) 2 x − 0,5 x x + 0 ,5 x x( x − 0 ,5 ) x( x + 0 ,5 ) =
=
2( 2 x − 1 ) 4( 2 x + 1 ) 2 4 6 + = + = ; x( 2 x − 1 ) x( 2 x + 1 ) x x x 2y2 − y
2y2 + y
1 − = 1 1 1 2 2 y −y+ y + y+ y − 4 4 4 4( 2 y 2 − y ) 4( 2 y 2 + y ) 4 = − − = 1 1 1 4( y 2 − y + ) 4( y 2 + y + ) 4( y 2 − 4 4) 4
в)
−
2
=
4 y( 2 y − 1 ) 4 y( 2 y + 1 ) 4 − − = 4y2 − 4y +1 4y2 + 4y +1 4y2 −1
=
4 y( 2 y − 1 ) 4 y( 2 y + 1 ) 4 − − = ( 2 y − 1 )2 ( 2 y + 1 )2 ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 )
=
4y 4y 4 y( 2 y + 1 ) − 4 y( 2 y − 1 ) − 4 4 − − = = 2 y − 1 2 y + 1 ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 )
=
8y 2 + 4y − 8y 2 + 4y − 4 8y − 4 4 = = ; ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) 2 y + 1
г)
a 2 + 0 ,3ab ab − 0,7b 2 a( a + 0 ,3b ) b( a − 0 ,7b ) − = − = ab + 0 ,3b 2 a 2 − 0 ,7 ab b( a + 0,3b ) a( a − 0,7b )
=
a b a2 − b2 − = ; b a ab
www.5balls.ru
д)
1,8 xy + 0,81y 2 0 ,9 y( 2 x + 0 ,9 y ) 2x 2x + = + = 0,81y 2 − 4 x 2 2 x − 0 ,9 y ( 0 ,9 y − 2 x )( 0 ,9 y + 2 x ) 2 x − 0 ,9 y
=
0 ,9 y 0 ,9 y − 2 x 2x − = = 1; 0 ,9 y − 2 x 0 ,9 y − 2 x 0 ,9 − 2 x
е)
6a 8 6a 8 − = − = 2 ,25a 2 − 0,64 6a − 3,2 ( 1,5a − 0,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 4( 1,5a − 0 ,8 )
=
24a − 8( 1,5a + 0 ,8 ) 12a − 6,4 = = 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 )
=
8( 1,5a − 0 ,8 ) 2 20 = = . 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 1,5a + 0 ,8 15a + 8
№ 216. 1 1 1 + + = (a − b )(b − c ) (c − a )(a − b ) (b − c )(c − a ) =
c−a +b−c+a−b 0 = =0, (a − b )(c − a )(b − c ) (a − b )(c − a )(b − c )
при всех допустимых а, b, и с. № 217. а) =
б) =
5 1 4 y − 18 5 1 4 y − 18 + − = + − = y − 3 y + 3 y2 − 9 y − 3 y + 3 (y − 3)(y + 3)
5 y + 15 + y − 3 − 4 y + 18 2 y + 30 2(y + 15) = = ; (y − 3)(y + 3) (y − 3)(y + 3) (y − 3)(y + 3) 2a 5 4a 2 + 9 2a 5 4a 2 + 9 + − 2 = − − = 2a + 3 3 − 2a 4a − 9 2a + 3 2a − 3 (2a − 3)(2a + 3) 4a 2 − 6a − 10a − 15 − 4a 2 − 9 − 16a − 24 = = (2a − 3)(2a + 3) (2a − 3)(2a + 3)
=−
в) =
8(2a + 3) 8 ; = (2a − 3)(2a + 3) 3 − 2a
2b 2 + 10b b 2 − 3b 2b 2b(b + 5) b(b − 3) 2b + − = + − = 3by + 15 y by − 3 y 3 y 3 y (b + 5) y (b − 3) 3 y 2b b 2b b + − = ; 3y y 3y y
www.5balls.ru
14ax − 21x 6ax + 9 x x 7 x(2a − 3) 3 x(2a + 3) x − + = − + = 10a − 15 8a + 12 10 5(2a − 3) 4(2a + 3) 10
г)
7 x 3 x x 28 x − 15 x + 2 x 15 x 3x ; − + = = = 5 4 10 20 20 4 4m 2 m + 1 2m − 1 − + = д) 4 m 2 − 1 6 m − 3 4m + 2 4m 2m + 1 2m − 1 = − + = (2m − 1)(2m + 1) 3(2m − 1) 2(2m − 1) =
=
6 ⋅ 4m − (4m + 2 )(2m + 1) + (6m − 3)(2m − 1) = 6(2m − 1)(2m + 1)
=
24m − 8m 2 − 4m − 4m − 2 + 12m 2 − 6m − 6m + 3 = 6(2m − 1)(2m + 1)
4m + 4m 2 + 1 2m + 1 (2m + 1) ; = = 6(2m − 1)(2m + 1) 6(2m + 1)(2m − 1) 6(2m − 1) 2
=
1
е)
(x + y )
2
−
2 1 + = x 2 − y 2 (x − y )2
=
1 2 1 − + = 2 (x + y ) (x − y )(x + y ) (x − y )2
=
x 2 − 2 xy + y 2 − 2 x 2 + 2 y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 4y 2 = ; 2 2 (x − y ) (x + y ) (x − y )2 (x + y )2
ж)
4a 2 + 3a + 2 1 − 2a 4a 2 + 3a + 2 1 − 2a − = − 2 = 3 2 2 a −1 a + a + 1 (a − 1)(a + a + 1) a + a + 1
= =
4a 2 + 3a + 2 − (a − 1)(1 − 2a ) 4a 2 + 3a + 2 − a + 2a 2 + 1 − 2a = = (a − 1)(a 2 + a + 1) (a − 1)(a 2 + a + 1)
6a 2 + 3 3(2a 2 + 1) = ; (a − 1)3 (a − 1)3
з)
x− y 3 xy 1 − + = x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 x − y
=
x− y 3 xy 1 − + = x 2 + xy + y 2 (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) x − y
(x − y ) − 3xy + (x + xy + y ) = x (x − y )(x + xy + y ) 2
=
2
2
2
2
− 2 xy + y 2 − 3xy + x 2 + xy + y 2 = (x − y )(x 2 + xy + y 2 )
2 x + 2 y − 4 xy 2(x 2 + y 2 − 2 xy ) = = (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) 2
=
2
2
www.5balls.ru
2(x − y ) 2(x − y ) = . (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) (x 2 + xy + y 2 ) 2
=
№ 218. ax + by bx − ay (a + b )(ax + by ) − (a − b )(bx − ay ) = − = (a + b )(a − b )(x + y ) (a − b )(x + y ) (a + b )(x + y ) =
= =
a 2 x + aby + abx + b 2 y − abx + a 2 y + b 2 x − aby = (a + b )(a − b )(x + y )
a 2 x + b 2 x + b 2 y + a 2 y x (a 2 + b 2 ) + y (b 2 + a 2 ) = = (a + b )(a − b )(x + y ) (a + b )(a − b )(x + y )
(a (a
2 2
+ b 2 )(x + y ) a 2 + b 2 = , т.е. эти выражения тождественно равны. − b 2 )(x + y ) a 2 − b 2
№ 219. а) = = =
б) = =
= =
1 1 1 + + = a(a − b )(a − c ) b(b − c )(b − a ) c(c − a )(c − b )
bc(b − c ) − ac(a − c ) + ab(a − b ) b 2 c − bc 2 − a 2 c + ac 2 + a 2 b − ab 2 = = abc (a − b )(a − c )(b − c ) abc(a − b )(a − c )(b − c )
[
]
− b 2 (a − c ) + b(a 2 − c 2 ) − ac(a − c ) (a − c ) (− b 2 + ab + bc − ac ) = = abc (a − b )(a − c )(b − c ) abc(a − b )(a − c )(b − c )
(b − c )(a − b ) = 1 ; abc(a − b )(b − c ) abc
y2 x2 z2 + + = (x − y )(x − z ) (y − x )(y − z ) (z − x )(z − y ) y2 x2 z2 − + = (x − y )(x − z ) (x − y )(y − z ) (z − x )(z − y ) x 2 (y − z ) − y 2 (x − z ) + z 2 (x − y ) = (x − y )(x − z )(z − y )
x 2 y − x 2 z − xy 2 + y 2 z + xz 2 − yz 2 = (x − y )(x − z )(z − y )
xy (x − y ) − z (x − y )(x + y ) + z 2 (x − y ) (x − y )(xy − zx − zy + z 2 ) = = (x − y )(x − z )(z − y ) (x − y )(x − z )(z − y )
www.5balls.ru
=
x(y − z ) − z (y − z ) (x − z )(y − z ) = =1. (x − z )(z − y ) (x − z )(z − y )
№ 220. x 2 − 3 x + 6 x(x − 3) 6 6 ; = + =x+ x−3 x−3 x−3 x−3 y 2 + 5 y − 8 y ( y + 5) 8 8 ; = − =y− б) y+5 y+5 y+5 y+5
а)
a 2 + 7 a + 2 a 2 + 6a + a + 2 a( a + 6 ) a + 2 a+2 = = + =a+ ; a+6 a+6 a+6 a+6 a+6 3b 2 − 10b − 1 3b 2 − 9b − b − 1 3b( b − 3 ) b + 1 b +1 г) = = − = 3b − . b−3 b−3 b−3 b−3 b−3
в)
№ 221. 1)
x 2 + 7 x − 25 x 2 − 25 7x 7x = + = x+5+ ; следовательно, ответ x−5 x−5 x−5 x−5
верный;
x 2 + 7 x − 25 x 2 + 12 x − 5 x − 25 x 2 − 5 x 12 x − 25 = = + = x−5 x−5 x−5 x−5 x( x − 5 ) 12 x − 60 + 35 12 x − 60 35 = + = x+ + = x −5 x −5 x −5 x−5 12( x − 5 ) 35 35 =x+ + = x + 12 + ; следовательно, ответ верный; x−5 x−5 x−5
2)
3) ответ неверный, т.к. подстановке х = 1, 2 x − 25 19 x 2 + 7 x − 25 17 = . ,а − x + x−5 4 x−5 4
№ 222. 6x 6 x + 18 − 18 18 , то есть тождество верно. = =6− x+3 x+3 x+3 ax ax + ab − ab a( x + b ) − ab ab , то есть тождество б) = = =a− x+b x+b x+b x+b
а)
верно.
№ 223.
www.5balls.ru
2x a 2x a 2x − 2x − 6 a =2+ ; −2= ; = ; x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 6 a , a = −6 ; − = x+3 x+3 Ответ: a = −6 . x a x a x− x+5 a б) ; ; ; =1+ −1= = x−5 x−5 x−5 x−5 x−5 x−5 5 a , a=5; = x−5 x−5 Ответ: a = 5 . 2x a 2x a 2x + 6 − 2x a в) ; ; = −2; +2= = 3− x 3− x 3− x 3− x 3− x 3− x 6 a , a=6; = 3− x 3− x Ответ: a = 6 . x+2 a x+2 a x+2+5− x a г) = − 1; ; ; +1= = 5− x 5− x 5− x 5− x 5− x 5− x 7 a , a=7; = 5− x 5− x Ответ: a = 7 .
а)
№ 224. 5x 5(x + 2 ) 10 10 ; = − =5− x+2 x+2 x+2 x+2 − 2 x − 2(x − 1) 2 2 ; б) = − = −2 − x −1 x −1 x −1 x −1 2x 2(x − 5) 10 10 ; в) = + = −2 + 5− x 5− x 5− x 5− x x − 3 x − 2 −1 x − 2 1 1 . г) = = − = −1 − 2−x 2−x 2−x 2−x 2−x
а)
№ 225. а)
5n 2 + 2 n + 3 5 n 2 2 n 3 3 = + + = 5n + 2 + - целое при n = ±1;±3 . n n n n n
www.5balls.ru
(n − 3)
2
б)
=
n 2 − 6n + 9 n 2 6n 9 9 = − + = n − 6 + - целое при n n n n n
n n = ±1;±3;±9 . 3n 3(n + 2) 6 6 в) - целое при n = −8;0;±1;−3;±4;−5 . = − =3− n+2 n+2 n+2 n+2 7n 7(n − 4 ) 28 28 - целое при = + =7+ г) n−4 n−4 n−4 n−4 n = 0;2;±3;5;6;8;−10;11;18;−24;32 .
№ 226. а)
5x a b 5x a(x + 3) + b(x − 2 ) = + = ; ; (x − 2)(x + 3) x − 2 x + 3 (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 3)
5 x = a (x + 3) + b(x − 2 ) ; 5 x = ax + 3a + bx − 2b ; 5 x = (ax + bx ) + 3a − 2b ; 5 x = x(a + b ) + 3a − 2b ; запишем систему: a + b = 5, 3a − 2b = 0;
a = 5 − b, ( 3 5 b ) − 2b = 0; 15 − 3b − 2b = 0; b = 3; a = 2; −
Ответ: b = 3; а = 2. б)
5 x + 31
(x − 5)(x + 2)
=
a b ; 5 x + 31 = ax + 2a − bx + 5b ; − x−5 x+2
5 x + 31 = ax − bx + 2a + 5b ; 5 x + 31 = x(a − b ) + 2a + 5b ;
запишем систему:
a = b + 5, a − b = 5, ( 2 a 5 b 31 ; 2 b 5) + 5b = 31; + = + 2b + 10 + 5b = 31 ; 7b = 21 ; b = 3 ; a = 8 .
Ответ: b = 3; а = 8.
К ПАРАГРАФУ 3 № 227. а) =
x 5 + x 3 x 6 − x 3 x 3 (x 2 + 1) x 3 (x 3 − 1) ⋅ = ⋅ = x 4 − x 2 x 2 + x 4 x 2 (x 2 − 1) x 2 (x 2 + 1)
x 3 (x 2 + 1)x 3 (x 3 − 1) x 2 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 (x 2 + x + 1) ; = = (x − 1)(x + 1) x 2 (x 2 − 1)x 2 (x 2 + 1) x +1
www.5balls.ru
б)
2m 5 − 3m 4 m 4 + 2m 2 m 4 (2m − 3) m 2 (m 2 + 2 ) ⋅ = ⋅ = 4 2 3 m − 4m 3m − 2m m(m 3 − 4 ) m 2 (3 − 2m )
=−
m 3 (m 2 + 2 ) m 3 (m 2 + 2) . = m3 − 4 4 − m3
№ 228. m5 + m4 + m3 m5 + m3 ⋅ = m3 + m2 m4 + m3 + m2 m 3 (m 2 + m + 1) m 3 (m 2 + 1) m 2 (m 2 + 1) ; = ⋅ 2 2 = 2 m (m + 1) m (m + m + 1) m +1
а)
б)
n2 − n4 + n6 n2 −1 n 2 (n 4 − n 2 + 1)(n − 1)(n + 1) ⋅ 5 = − = −n(n + 1) . n(n − 1)(n 4 − n 2 + 1) n − n3 + n 1− n
№ 229. a 2 + ax + ab + bx a 2 − ax − bx + ab ⋅ = a 2 − ax − ab + bx a 2 + ax − bx − ab a (a + x ) + b(a + x ) − x(a + b ) + a (a + b ) = ⋅ = x(b − a ) + a (a − b ) a (a − b ) + x(a − b )
а)
(a + x )(a + b )(a + b )(a − x ) = (a + b ) (a − b )(a − x )(a − b )(a + x ) (a − b )
2
=
2
;
x 2 + ax − 3 x − 3a x 2 + 4 x − ax − 4a ⋅ = x 2 − ax − 3 x + 3a x 2 + 4 x + ax + 4a x(x + a ) − 3(x + a ) x(x − a ) + 4(x − a ) = ⋅ = x(x − a ) − 3(x − a ) x(x + a ) + 4(x + a )
б)
=
(x + a )(x − 3)(x − a )(x + 4) = (x + a )(x − a ) = 1 . (x − a )(x − 3)(x + a )(x + 4) (x − a )(x + a )
№ 230. а) =
(a − a 8 )(a 5 + a ) = a − a8 a9 − a2 ⋅ 5 = 6 6 2 a +a a + a (a + a 2 )(a 9 − a 2 )
a (1 − a 7 )⋅ a (a 4 + 1) 1 =− 2 ; a 2 (a 4 + 1) ⋅ a 2 (a 7 − 1) a
www.5balls.ru
б) =
9 x 2 − x 6 x 4 − 3 x 2 (9 x 2 − x 6 )(x 9 + x 7 ) ÷ 9 = 5 = x5 + x7 x + x7 (x + x 7 )(x 4 − 3x 2 )
x 2 (9 − x 4 )⋅ x 7 (x 2 + 1) (3 − x 2 )(3 + x 2 )(x 2 + 1) ⋅ x 2 = = − x 2 (x 2 + 3) . x 5 (x 2 + 1)⋅ x 2 (x 2 − 3) (x 2 + 1)(x 2 − 3)
№ 231. x2 x2 (x 2 = 2 (x
а)
− bx + ax − ab x 2 + bx + ax + ab ÷ = + bx − ax − ab x 2 − bx − ax + ab − bx + ax − ab ) (x 2 − bx − ax + ab ) ⋅ = + bx − ax − ab ) (x 2 + bx + ax + ab )
[x(x − b ) + a(x − b )][x(x − b ) − a(x − b )] = [x(x + b ) − a(x + b )][x(x + b ) + a(x + b )] (x − b )(x + a )(x − b )(x − a ) = (x − b ) ; = (x + b )(x − a )(x + b )(x + a ) (x + b ) =
2
2
m 2 + m − mn − n m 2 ÷ m 2 + m + mn + n m 2 (m 2 + m − mn − n ) ⋅ (m 2 = 2 (m + m + mn + n ) (m 2
б)
− m − mn + n = − m + mn − n − m + mn − n ) = − m − mn + n )
[m(m + 1) − n(m + 1)][m(m − 1) + n(m − 1)] = [m(m + 1) + n(m + 1)][m(m − 1) − n(m − 1)] (m + 1)(m − n )(m − 1)(m + n ) = 1 . = (m + 1)(m + n )(m − 1)(m − n )
=
www.5balls.ru
№232 Учтем, что m≠n, -m≠0, n≠0: 2
2
m2 + n2 2 1 1 2 n−m m2 − n2 : − − : = − = mn m n (m − n )2 mn mn (m − n )2 = =
2m 2 n 2 mn(n − m )
2
−
m2 + n2
(n − m )
2
2mn − m 2 − n 2
(n − m )
2
=−
=
2mn
(n − m )
2
−
n 2 − 2mn + m 2
(n − m )2
m2 − n2
=
(n − m )2 (n − m )2 =− (n − m )2
= −1 ,
что не зависит от указанных переменных. №233 3 2 9 n 3 1 1 27 + n 9 − 3n + n : = 2 + : 2 − + = n 3 3 n 3n 2 3n 2 n
=
(27 + n )⋅ 3n (9 − 3n + n )⋅ 3n 3
2
2
2
=
(3 + n )(9 − 3n + n2 ) = 3 + n , натуральное при всех 9 − 3n + n 2
натуральных n. №234*
(
)
2 2 2 2 a − a + x ⋅ 2a + 4a = a (a + x ) − a − x × a + x x a − x a+x
× =
2a (a − x ) + 4ax a 2 + ax − a 2 − x 2 2a 2 − 2ax + 4ax = ⋅ = x(a − x ) a+x x(a − x )
ax − x 2 2a 2 + 2ax x(a − x )⋅ 2a (a + x ) ⋅ = = 2a , четное при всех целых (a + x )⋅ x(a − x ) a+x x(a − x )
значениях а. №235 2 4 x +1 x + 1 x − 5x + 3 − = + − 2 : x+3 2x 2x x+3
=
(x + 1)(x + 3) + 8 x − 4 x(x + 3) : x + 1 − x 2 − 5 x + 3 = 2 x(x + 3) x+3 2x
=
x 2 + 3 x + x + 3 + 8 x − 4 x 2 − 12 x x + 1 x 2 − 5 x + 3 : − = 2 x(x + 3) x+3 2x
=
− 3x 2 + 3 x + 1 x 2 − 5 x + 3 : − = 2 x(x + 3) x + 3 2x
www.5balls.ru
=
(
)
− 3 x 2 − 1 (x + 3) x 2 − 5 x + 3 − = 2 x(x + 3)(x + 1) 2x
=
− 3(x − 1)(x + 1) x 2 − 5 x + 3 − 3(x − 1) x 2 − 5 x + 3 − = − = 2 x(x + 1) 2x 2x 2x
=
− 3x + 3 − x 2 + 5 x − 3 − x 2 + 2 x x2 2x x = =− + = − +1 , 2x 2x 2x 2x 2
отрицательное число при любом х>2. №236
а) a + 2b + = = =
4b 2 2ab : a − +1 = a − 2b a + 2b
(a + 2b )(a − 2b ) + 4b2 : a(a + 2b ) − 2ab + 1 = a − 2b
2
2
a + 2b
2
2
a − 4b + 4b a + 2ab − 2ab : +1 = a − 2b a + 2b a2 a2 a 2 (a + 2b ) +1 = 2 +1 = : a − 2b a + 2b a (a − 2b )
a + 2b + a − 2b 2a ; = a − 2b a − 2b 3 3x − 3 y 2 x − 3 y − ⋅ 2 − 2 x + 3 y = б) 2 x + y 2x − 3 y x − y =
(
) (
)
=
3 3x − 3 y 2 x − 3 y − 2 x x 2 − y 2 + 3 y x 2 − y 2 − ⋅ = x + y 2x − 3y x2 − y 2
=
3 3 x − 3 y 2 x − 3 y − 2 x3 + 2 xy 2 + 3 x 2 y − 3 y 3 − ⋅ = x + y 2x − 3 y x2 − y 2
=
3 3 x − 3 y (2 x − 3 y )1 − x 2 + y 2 − ⋅ = x + y 2x − 3 y x2 − y2
=
3 3 1 − x2 + y2 3 − 3 + 3x2 − 3 y 2 3 x2 − y 2 − = = = 3(x − y ) x+ y x+ y x+ y x+ y
(
(
5 x 2 − 15 xy − в) 2 2 x − 9y
)
)
5 3 : − = x + 6 xy + 9 y y x 3 xy + 9 y 2
2
2
www.5balls.ru
(
)
5 x(x − 3 y ) 3 y (x + 3 y ) 5 x − 3 y = − : = (x − 3 y )(x + 3 y ) (x + 3 y )2 xy 5x 3 y 5x − 3 y 5x − 3 y 5x − 3 y : = = = − : xy x + 3y xy x + 3y x + 3y xy = ; x + 3y 6 a + 9c 4a 2 − 6ac 6ac + 9c 2 ⋅ − = 4a 2 − 12ac + 9c 2 4a 2 + 12ac + 9c 2 4a 2 + 9c 2
г)
2a(2a − 3c ) 3c(2a + 3c ) 6a + 9c ⋅ = − = (2a − 3c )2 (2a + 3c )2 4a 2 + 9c 2 3c 6a + 9c 2a(2a + 3c ) − 3c(2a − 3c ) 2a = − = × ⋅ 2 2 (2a − 3c )(2a + 3c ) 2a − 3c 2a + 3c 4a + 9c × =
6 a + 9c 2
4 a + 9c
(4a
2
2
=
4a 2 + 6ac − 6ac + 9c 2 6a + 9c ⋅ = (2a − 3c )(2a + 3c ) 4a 2 + 9c 2
)
+ 9c 2 3(2a + 3c )
(2a − 3c )(2a + 3c )(4a
№237 а) ab + ab +
2
+ 9c
2
)
=
3 ⋅ 2a − 3c
ab a + b ab a + b − (a + b )(a − b ) − a − b = ab + ⋅ = a +b a −b a+b a −b
ab(a + b )(1 − (a − b )) ab ⋅ (1 − a + b ) = ab + = a −b (a + b )(a − b )
ab(a − b ) + ab(1 − a + b ) a 2b − ab 2 + ab − a 2b + ab 2 ab = = ; a −b a −b a −b y 2 − xy x y − xy + y 2 ⋅ + = б) 2 x + xy x− y x+ y =
= =
(
)(
y 2 − xy − xy − y 2 x 2 + xy 2
x + xy
(
)⋅
− y (x − y ) − y (x − y ) x 2 + xy 2
x + xy
x y + = x− y x+ y
)⋅
x y + = x− y x+ y
www.5balls.ru
= =
(
)
− y (x − y )1 + x 2 + xy y − y − yx 2 − xy 2 + y + = = x(x + y )(x − y ) x+ y x+ y
(
)
− x 2 y + xy 2 xy (x + y ) =− = − xy ; x+ y x+ y
1
в)
(2a − b )
2
+
2 4a 2 − b 2
+
4a 2 + 4ab + b 2 ⋅ = 16a (2a + b )2 1
(2a + b )2 + 2(2a − b )(2a + b ) + (2a − b )2 ⋅ (2a + b )2 16a (2a − b )2 (2a + b )2 2 2 a 16a (2a + b ) = = ; 2 2 (2a + b ) (2a − b ) ⋅16a (2a − b )2
=
г)
4c 2
(c − 2)
4
1 1 2 + + 2 : 2 2 = (c + 2 ) (c − 2 ) c − 4
=
(c − 2)2 + (c + 2)2 + 2(c − 2)(c + 2) = (c − 2)2 (c + 2)2 (c − 2)
=
4c 2 c 2 − 4c + 4 + c 2 + 4c + 4 + 2c 2 − 8 : = (c − 2) (c − 2)2 (c + 2)2
=
4c 2
4
4c 2
=
:
:
4c 2
(c − 2)4 (c − 2)2 (c + 2)2
=
4c 2 (c + 2)2 (c − 2)2 4c 2 (c − 2 )4
=
(c + 2)2 . (c − 2)2
№238 4 xy 4 xy − y = + y ⋅ x + − + x y x y x(x + y ) − 4 xy + y (x + y ) x(x − y ) + 4 xy − y (x − y ) = ⋅ = x+ y x− y
а) x −
=
x 2 − 2 xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 (x − y )2 (x + y )2 ⋅ = = x+ y x− y (x + y )(x − y )
= (x − y )(x + y ) = x 2 − y 2 ;
1 − 2a 2 1 + 1 : 1 − б) a − =
1− a
1− a
www.5balls.ru
(
)
=
a (1 − a ) − 1 − 2a 2 + 1 − a 1 − a − 1 a − a 2 − 1 + 2a 2 + 1 − a − a : = : = 1− a 1− a 1− a 1− a
=
a2 1− a
a a 2 (1 − a ) : − = −a . =− a (1 − a ) 1− a
№239 1 6q 2 1 6q 2 + − = + − = p − 2q 4q 2 − p 2 p + 2q p − 2q (2q − p )(2q + p ) p + 2q =
p + 2q − 6q − 2( p − 2q ) p + 2q − 6q − 2 p + 4q p ; = =− 2 ( p − 2q )( p + 2q ) ( p − 2q )( p + 2q ) p − 4q 2
−
1 p 2 + 4q 2 1 p 2 + 4q 2 + p 2 − 4q 2 ⋅ 2 + 1 = − ⋅ = 2 2 p p − 4q 2p p 2 − 4q 2
=−
1 2 p2 p ⋅ 2 =− 2 ; тождество доказано. 2 p p − 4q 2 p − 4q 2
№240*
(
) = a(a
(
)
b 2a 3 + b3 a +b + a 3 − b3 3
3
a a 3 + 2b3 a +b = a 3 − b3 3
3
)
3
+ 2b3 ; a 3 − b3 3
(
3
b 2a 3 + b3 − a 3 − b3
) ; 3
( ) − b (2a + b ) ; a +b = (a − b ) (a − b ) a (a + 2b ) − b (2a + b ) a +b = ; (a − b ) (a + b )(a − b ) = a (a + 2b ) − b (2a + b ). 3
3
3
3
3
3
3
3
3
33
3
3
3
a3 a3 + 2b3
3
3
33
3
33
3
3
33
3
3
33
3
33
33
3
3
3
Будем преобразовывать левую и правую части неравенства отдельно: 1) a3 + b3 a3 − b3 = a3 + b3 a9 − 3a 6b3 + 3a3b6 − b6 =
(
12
)(
9 3
) (
9 3
)(
6 6
)
6 6
3 9
3 9
12
= a + a b − 3a b − 3a b + 3a b + 3a b − a b − b
= a − 2a b + 2a b − b ; 12
9 3
3 9
12
www.5balls.ru
=
(
)
(
3
)
(
3
)
a3 a3 + 2b3 − b3 2a3 + b3 = a3 a9 + 6a 6b3 + 6a3b6 + 8b9 −
2)
(
)
− b 8a + 6 a b + 6 a b + b = a + 6 a b + 6 a b + 8 a b − 3
9
6 3
9 3
3 6
6 6
3 9
9
12
− 8a b − 6 a b − 6 a b − b
12
9 3
6 6
3 9
= a12 − 2a 9b3 + 2a3b9 − b12 .
№241* 3 2 2 a − 2ab + b 2 9a 2 − 12ab + 4b 2 9a 2 − 4b 2 6b 2 3 + = + : 3 1 1 2 1 2 6 36 a − b a+ b 4 2 4 9 + =
6b 3a + 2b (3a − 2b )2 ⋅ 36 4 ⋅ 6b 6(3a − 2b )2 24b : = + = + = 2 2 1 4 3a + 2b (3a − 2b )(3a + 2b ) 3a + 2b 6 9a − 4b
(
)
6(3a − 2b ) 24b 18a − 12b + 24b 6(3a + 2b ) = = 6 , что не зависит + = 3a + 2b 3a + 2b 3a + 2b 3a + 2b
от а и в. №242*
, b , b b−3 − − 0 5 1 5 2 6 : = − а) 2 0,8b3 + 21,6 0,5b − 1,5b + 4,5 1 3 + b 9 3 0,5(b − 3) ( ) b b−3 − 2 3 : = − = 0,8 b3 + 27 0,5 b 2 − 3b + 9 1 3 + b 27 3 b−3 5(b − 3) 6(b − 3) : = 2 − 2 4 b3 + 27 = − 3 + 9 3 3 9 b b b b b + − + ( ) ( b + 3)(b − 3) − 6(b − 3) 5(b − 3) = = : 4 b3 + 27 b3 + 27
(
) (
(
)
(
)
) (
( ) 4[(b − 3)(b + 3 − 6 )](b + 27 ) 4(b − 3) = = ; 5 5(b + 27 )(b − 3) 3
3
2 a a 2a 0,5a − 1 3 ⋅ = б) + + 0 ,5a + 1 2 − a 1 a 2 − 1 0 ,5a − 2 4
www.5balls.ru
)
2a a−2 2a 8a ⋅ = − + = + − − + ( ) ( )( ) a 2 3 a 2 a 2 a 2 a−4 6a (a − 2 ) − 2a (a + 2 ) + 24a a − 2 = ⋅ = 3(a − 2 )(a + 2 ) a−4 =
(4a
)
+ 8a (a − 2 ) 4a = ; 3(a − 2 )(a + 2 )(a − 4 ) 3(a − 4 ) 2
в) 3,6 xy + 2 ,1 y 2 12 x 2 − 7 xy 2x ⋅ + = 1,44 x 2 − 0 ,49 y 2 2 ,4 x − 1,4 y x + 3y
x(12 x − 7 y ) 3 y (1,2 x + 0 ,7 y ) 2x ⋅ = = + x + 3y (1,2 x − 0 ,7 y )(1,2 x + 0 ,7 y ) 2(1,2 x − 0 ,7 y ) 3 y (1,2 x + 0,7 y ) + x(1,2 x + 0 ,7 y ) x(12 x − 7 y ) = ⋅ = x + 3y (1,2 x − 0,7 y )(1,2 x + 0,7 y )
(1,2 x + 0,7 y )(3 y + x ) ⋅ x(12 x − 7 y ) = (1,2 x + 0,7 y )(1,2 x − 0,7 y ) x + 3 y (x + 3 y )⋅ x(12 x − 7 y ) = 10 x(12 x − 7 y ) = 10 x = 12 x − 7 y (x + 3 y )(1,2 x − 0,7 y ) =
г) 1 2y 0 ,5 x 1 0 ,5 x + y − 0,25 x 2 + xy + y 2 : 0 ,25 x 2 − y 2 + 2 y − x + 2 = 1 2y 0 ,5 x 1 : +2 = = − − 0 ,5(x + 2 y ) 0 ,25(x + 2 y )2 0 ,25(x − 2 y )(x + 2 y ) x − 2 y 2 8y 2x 1 : +2 = = − − x + 2 y (x + 2 y )2 (x − 2 y )(x + 2 y ) x − 2 y 2(x + 2 y ) − 8 y 2x − x − 2 y = +2= : (x + 2 y )2 (x − 2 y )(x + 2 y ) =
2(x − 2 y )
:
2(x − 2 y ) 1 x − 2y +2= +2= : 2 (x − 2 y )(x + 2 y ) (x + 2 y ) x + 2 y
(x + 2 y ) 2(x − 2 y )(x + 2 y ) 2(x − 2 y ) + 2(x + 2 y ) = +2= = x + 2y (x + 2 y )2 2
www.5balls.ru
4x x + 2y
№243* yz xy − xz − yz (xy − xz − yz )(x − z ) = x − z ; y−z y−z а) = = xy − yz − xz (xy − xz − yz )(y − z ) y − z xz y− x−z x−z (a − x )(a − x ) + ax a−x x + a (a − x ) a−x = = б) a a+x x (a + x )2 − ax − a a+x a (a + x ) x−
=
(
)
(a − ax ) (a
a a 2 − 2ax + x 2 + ax (a + x )
(
a(a − x ) a + 2ax + x 1
2
2
=
) =a + ax + x )(a − x ) a
2
− ax + x 2 (a + x )
3
+ x3
2
2
3
− x3
;
1 = = 1 x 1+ 1+ 1+ 1 x +1 x +1 1+ x x x +1 1 ; = = x + 1 + x 2x + 1 x +1 1 1 1 1 г) = = = = 1 1 x x +1− x 1− 1− 1− 1 x +1 x +1 x +1 1+ x x x +1 = = x + 1. 1
в)
1
=
1
№244 1. 2. 3. 4. 5. 6.
4 ; 1=1. −4 4 Точка B(8;0,5) не принадлежит т.к. − = −0 ,5 ≠ 0 ,5 . 8
Точка А(-4;1) принадлежит т.к. 1= −
Точка C(0;0) не принадлежит т.к. х=0 не входит в область определения функции. 4 . 0 ,01 4 1 1 Точка E(16;1/4) не принадлежит т.к. − = − ≠ . 16 4 4 4 = −0 ,1 ≠ 0 ,1 Точка F(40;0,1) не принадлежит т.к. − 40
Точка D(0,01;-400) принадлежит т.к. − 400 = −
www.5balls.ru
7.
Точка G(1000;-0,004) принадлежит т.к. − 0 ,004 = −
8.
Точка K(-0,004;-1000) не принадлежит т.к.
4 . 1000
−4 = 1000 ≠ −1000. − 0 ,004
№245 y=
k k 162 ; 18= ; k = 18 ⋅ (− 9) ; k = −162 ; y = − . x x −9
№246
1 . 40 1 ; Б) Точка B(0,03125;32) принадлежит т.к. 32 = 0 ,03125 1 1 1 = 62 ,5 ≠ 6 ,25 = 6 . в) Точка C(0,016; 6 ) не принадлежит т.к. 4 0 ,016 4 1 = 8 ≠ 0 ,8 г) Точка D(0,125;0,8) не принадлежит т.к. 0 ,125
а) Точка A(40;0,025) принадлежит т.к. 0,025 =
№247 Подставим координаты точки А(10;2,4) в уравнение функции и найдем k: k k 24 ; k=2,4 ⋅10 − 24 , т.е. y = . : 2 ,4 = x 10 x 24 ; а) Точка B(1;24) принадлежит т.к. 24 = 1 24 1 ; б) Точка C − ;−120 принадлежит т.к. − 120 = 1 5 − 5 24 в) Точка D(-2;12) не принадлежит т.к. = −12 ≠ 12 ; −2 y=
№248* а) y = =
36
(x + 1) − (x − 1) 2
2
=
36 = (x + 1 + x − 1)(x + 1 − x + 1)
36 36 9 = = . 2x ⋅ 2 4x x
Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам:
www.5balls.ru
x y
-9 -1
-3 -3
-1 -9
1 9
3 3
9 1
y 8 4 -8 0
4
8
x
-8
б) y =
18 − 12 x 2
−
6 18 − 2 x 6 = − = 3 − x x(x − 3) 3 − x
x − 3x 18 − 12 x + 6 x 18 − 6 x 6(3 − x ) 6 = = = =− . x(x − 3) x(x − 3) x(x − 3) x Область определения: x ≠ 0 .
Построим график функции по точкам: x y
-3 2
-2 3
-1 6
1 -6
www.5balls.ru
2 -3
3 -2
y 8 4 8 0
-8
4
x
-8 в) y = =
16
(2 − x ) − (2 + x )2 2
16
=
(2 − x + 2 + x )(2 − x − 2 − x )
=
16 16 2 = =− . 4(− 2 x ) − 8 x x
Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам: x
-2
-1
−
y
1
2
4
1 2
1 2
1
2
-4
-2
-1
www.5balls.ru
y 4
4 -4
0
-2
x
-2 -4
г) y = =
3 x(x + 1) − 3 x 2 + 15 = x(x + 5)
3 x 2 + 3 x − 3 x 2 + 15 3 x + 15 3(x + 5) 3 = = = . x(x + 5) x(x + 5) x(x + 5) x
Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам: x y
-3 -1
-2 -1,5
-1 -3
1 3
www.5balls.ru
2 1,5
3 1
y 4 2 -4
-2 0
2
4
x
-2 -4
№249* а) y =
4 x
y 4
2
-4
-2 0
2
4
-2
www.5balls.ru
x
б) y =
2 ,4 x
y
3
2 1 -2
-1 0
1
2
x
-1 в) y =
1 x
y 4
2
-4
-2 0
2
4
-2
www.5balls.ru
x
г) y = −
1 x
y 1 -1 0
-3
1
3
x
-1 -2 -3 -4
д) y =
−6 x
y 1
-4
-2
0
2
-2 -4
-6
www.5balls.ru
4
x
е) y =
−3,6 x
y 1
-4
-2
0
2
4
x
-2 -4
-6
№250* а) Подставим координаты точки P в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 1 = ; k=2; затем подставим их в уравнение прямой и x 2 найдем b: y = kx + b; 1 = 2 ⋅ 2 + b; b = 1 − 4 = −3. y=
б) Подставим координаты точки Q в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 3= ; k= -6; затем подставим их в уравнение прямой и x −2 найдем b: y = kx + b; 3=(-6)⋅(-2)+b; 3=12+b; b=3-12=-9. y=
в) Подставим координаты точки R в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 1= ; k= -1; затем подставим их в уравнение прямой и x −1 найдем b: y = kx + b; 1=(-1)⋅(-1)+b; 1=1+b; b=0. y=
№251* а) Только в 1 точке –да; б) только в 2 точках – да; в) в 3 точках – нет.
www.5balls.ru
а)
y
x
б)
y
x
№252* а) В одной четверти – да; б) в I и II четвертях – нет; в) в I и III четвертях – да.
www.5balls.ru
а)
y
x
в)
y
x
ГЛАВА II. Квадратные корни §4. Действительные числа. 9. Рациональные числа. №253 а) Натуральные числа: 10; 15; б) целые числа: -100; -2; 0; 10; 15;
www.5balls.ru
в) рациональные числа: -100; -14,5;-2; −
2 1 ; 0;10;15; 20 . 3 6
№255 а) 27∈N – да; б) 2,7∉N – да; в) 0∈Z – да; г) -8∉ Z – нет. №256 а) -4∈N-нет; -4∈Z – да; -4∈Q – да; б)5,6∉N – да; 5,6∈Z – нет; 5,6∈Q – да; в) 28∈N-да; 28∈Z – да; 28∈Q – да; №257 2 7 2 14 2 21 ;1 = ; 1 = ;1 = 5 5 5 10 5 15 3 6 18 ; 0,3 = ; 0,3 = ; 0,3 = 10 10 60 1 13 1 26 1 39 ; −3 = − ; −3 = − ; −3 = − 4 4 4 8 4 12 27 54 81 ; -27 = − ; -27= − ; − 27 = − 1 2 3 0 0 0 . 0 = ; 0= ; 0 = 1 5 13
№258 36 45 1 21 ; − 45 = − ; 4 ,2 = 4 = 1 1 5 5 4 1 91 2 2 ; − =− . − 0 ,8 = − ; 15 = 5 6 6 9 9
36=
№259 1 = 0 ,(3) ; 3 5 б) = 0,8(3) ; 6 1 в) = 0 ,(142857 ) ; 7 20 = −2,(2 ) ; г) − 9
а)
www.5balls.ru
8 = −0,5(3) ; 15 е) 10,28 = 10 ,28(0) ;
д) −
ж) − 17 = −17 ,(0) ; з)
3 = 0 ,1875(0 ) ; 16
3 43 =− = −1,075(0) ; 40 40 7 29 = 2 ,6(36 ) ; к) 2 = 11 11
и) − 1
№260 5 = 1,(6 ) ; 3 7 = 0,2(3) ; б) 30 3 в) = 0,4285... ; 7 5 г) − = −0 ,625(0) ; 8 д) 1,347 = 1,347(0) ; е) − 125 = −125,(0) ;
а)
№261 а) 0,013<0,1004; б) –24<0,003; в) –3,24>-3,42; г)
3 = 0 ,375 ; 8
7 ; 40 е) 0,9(09 ) < 0,91(6) .
д) − 1,174 > −1
№262 а) 1,009<1,011; б) –2,005>-2,04; 3 4
в) − 1 = −1,75 ;
www.5balls.ru
г)
7 = 0 ,4375 > 0 ,437 . 16
Упражнения для повторения a 3a 2ab a 3a 2ab а) + − = + − = a − b a + b a 2 − b 2 a − b a + b (a − b )(a + b ) =
a(a + b ) + 3a (a − b ) − 2ab a 2 + ab + 3a 2 − 3ab − 2ab = = (a − b )(a + b ) (a − b )(a + b )
=
4a 2 − 4ab 4a(a − b ) 4a ; = = (a − b )(a + b ) (a − b )(a + b ) a + b
1 ⋅ (1 − x )⋅ x 1 x 1 1− x ⋅ 2 =− = ( )( )( ) + + − + 1 1 1 1 x x x x x x 1 − x ( 1)2 + x
б) − ⋅
№266 а)Четные числа можно представить в виде 2n и 2m; их сумма равна 2m+2n=2(n+m), - четное число. б) Четное число можно представить в виде 2n, а нечетное - в виде 2m+1; их сумма равна: 2n+(2m+1)=2n+2m+1=2(n+m)+1, - нечетное число. №267 а) (2n)2=4n2 , - четное число. б) (2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1, - нечетное число. №268 а) 10 = 10 ; |0,3|=0,3; |0|=0; |-2,7|=2,7; |-9|=9; б) |x|=6 ⇒ x=±6; |x|=3,2 ⇒ x=±3,2; |x|=0 ⇒ x=0. №269 а) при a>0: |a|=a; б) при c<0: |c|=-c; в) при b<0: |2b|=-2b; г) при c≥0: |3c|=3c; 10. Иррациональные числа №272 Рациональные числа:
1 ; 0; 0,25; -2,(3); 4,2(51); 217; 7
www.5balls.ru
иррациональные числа: 0,818118111…; π. №273 а) 7,16∈N - нет; 7,16∈Z – нет; 7,16∈Q – да; 7,16∈R - да; б)409∈ N – да; 409∈Z –да; 409∈Q – да; 409∈R - да; в) π∈N-нет; π∈Z – нет; π∈Q – нет; π∈R - да. №274 а) 7,653…>7,563…; б) 0,123…>0,114…; в) -48,075>-48,275…; г) -1,444…>-1,456… №275 а) 1,(56); б) -4,45; в) 1,6668; г) −
5 ; 22
д) π=3,14159…; е) π; №276 а) 9,835…<9,847; б) -1,(27)<1,272; 1 = 2 ,1428... > 2 ,142 ; 7 3 г) 1,(375)> 1 = 1,375 . 8
в) 2
№279 а) a = 1,0539... ≈ 1,1 ; b = 2,0610... ≈ 2,1 ; a + b ≈ 1,1 + 2,1 = 3,2; б) a = 1,0539... ≈ 1,05 ; b = 2,0610... ≈ 2,06 ; a + b ≈ 1,05 + 2,06 = 3,11 в) a = 1,0539... ≈ 1,054 ; b = 2,0610... ≈ 2,061 a + b ≈ 1,054 + 2,061 = 3,115 №280 а) a = 59,678... ≈ 59,7 ; b = 43,123... ≈ 43,1; a − b ≈ 59,7 − 43,1 = 16,6 ; б) a = 59,678... ≈ 59,68 ; b = 43,123... ≈ 43,12 ; a − b ≈ 59,68 − 43,12 = 16,56 . №281
www.5balls.ru
Пусть r - радиус окружности. Тогда ее длина C=2πr; π ≈ 3,14 ; C ≈ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ,5 = 6 ,28 ⋅ 4 ,5 = 28,26 (см). №282 Пусть r - радиус круга. Тогда его площадь S = πr 2 ≈ 3,14 ⋅ 102 = 3,14 ⋅ 100 = 314 (м2).
Упражнения для повторения №283
a a+b b (a + b )2 − ab (a + b )2 − ab a+b = − − : = : a+b a a+b b(a + b ) a (a + b ) b =
( )= a ( a + b) − ab) b b(a + b )( a(a + b )(a + b )2 − ab 2
№284 1) x = −2,5 ; |2x-8|=|2⋅(-2,5)-8|=|-5-8|=|-13|=13; 2) x=0; |2x-8|=|2⋅0-8|=|-8|=8; 3) x=4; |2x-8|=|2⋅4-8|=|8-8|=|0|=0; 4) x=5; |2x-8|=|2⋅5-8|=|10-8|=|2|=2; 5) x=9,5; |2x-8|=|2⋅9,5-8|=|11|=11; №285 а) |ab|=ab; б) |ab|=-ab. №286 Найдем k: − 0 ,5 =
k 2 ; k = −0,5 ⋅ 4 = −2 ; y = − . 4 x
Область определения: x≠0 x y
1 -2
2 -1
4 -1/2
1/2 -4
-1 2
www.5balls.ru
-2 1
-4 1/2
y 6
1 6
-1
6
1 0
x
-6 §5 Арифметический квадратный корень 11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. №287 а) 5>0 и 52=25, следовательно, число 5- арифметический квадратный корень из 25; x -4 -2 -1 1 2 4 y 1/2 1 2 -2 -1 -1/2 б) 0,3>0 и 0,32=0,09 следовательно, число 0,1 - арифметический квадратный корень из 0,09; в) –7<0 следовательно число –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49; г) 0,62=0,36≠36 следовательно число арифметическим квадратным корнем из 36; №288 а) 11>0 и 112=121; б) 13>0 и 132=169; в) 1,2>0 и 1,22=1,44; г) 0,7>0 и 0,72=0,49.
www.5balls.ru
0,6
не
является
№289 а) 81 = 9 ; б) 64 = 8 ; в) 36 = 6 ; г) 1600 = 40 ; д) 2500 = 50 ; е) 10000 = 100 ; ж)
0 ,04 = 0 ,2 ;
з) 0 ,25 = 0 ,5 ; и)
0 ,81 = 0 ,9 ;
к)
81 9 = ; 4 2
л) 2
1 = 4
м) 1
24 = 25
9 3 ; = 4 21 49 7 = ; 25 5
№290 а) 400 = 20 ; б)
900 = 30 ;
в)
4900 = 70 ;
г)
0 ,01 = 0 ,1 ;
д)
0 ,16 = 0 ,4 ;
е)
0 ,64 = 0 ,8 ;
ж)
36 6 = ; 49 7
з)
121 11 ; = 64 8
и) 1
7 16 4 1 = = =1 ; 9 9 3 3
www.5balls.ru
к)
6
1 = 4
25 5 1 = =2 . 4 2 2
№291 а) при а=32, b=4 получаем:
a + b = 32 + 4 = 36 = 6 ; a + b = 33 − 8 = 25 = 5 ;
при а=33, b=-8 получаем:
при а=0,65, b=0,16 получаем:
a + b = 0 ,65 + 0 ,16 = 0,81 = 0 ,9 ;
a + b = − 25 + 26 = 1 = 1
при а=-25, b=26 получаем:
3x − 5 = 3 ⋅ 7 − 5 = 21 − 5 = 16 = 4 ;
б) при х=7 получаем:
3x − 5 = 3 ⋅ 23 − 25 = 69 − 5 = 64 = 8 ;
при х=23 получаем:
3 x − 5 = 3 ⋅ 1,83 − 5 = 5.49 − 5 = 0 ,49 = 0,7 .
при х=1,83 получаем:
в) при х=0 получаем: x + x = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 ;] при х=0,01 получаем: x + x = 0 ,01 + 0 ,01 = 0,01 + 0,1 = 0,11 ; при х=0,36 получаем: x + x = 0 ,36 + 0 ,36 = 0,36 + 0,6 = 0,96 . при х=0,64 получаем: x + x = 0 ,64 + 0,64 = 0,64 + 0,8 = 1,44 ; при х=1 получаем: x + x = 1 + 1 = 1 + 1 = 2 ; при х=25 получаем: x + x = 25 + 25 = 25 + 5 = 30 ; при х=100 получаем: x + x = 100 + 100 = 100 + 10 = 110 ; при х=3600 получаем: x + x = 3600 + 3600 = 3600 + 60 = 3660 №292 а) при x=25, y=0 получаем: при x=0, y=1 получаем: при x=
x + y = 25 + 0 = 5 ;
x + y = 0 + 1 = 1;
9 , y=0,36 получаем: 25
x+ y=
9 3 + 0,36 = + 0 ,6 = 25 5
= 0,6 + 0,6 = 1,2
б) при а=0 получаем: при а=2 получаем:
4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 0 = 4 − 0 = 2 ;
4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 2 = 4 − 4 = 0 ;
при а=1,5 получаем: при а=-22,5 получаем:
4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 1,5 = 4 − 3 = 1 ; 4 − 2a = 4 − 2 ⋅ (− 22 ,5) = 4 + 45 = 7 ;
www.5balls.ru
№293 а) 36 ⋅ 16 = 6 ⋅ 4 = 24 ; б) 81 : 100 = 9 : 10 = 0,9 ; в) 0 ,09 + 0 ,25 = 0 ,3 + 0 ,5 = 0 ,8 ; г) 0,04 − 0,01 = 0,2 − 0,1 = 0,1 ; д) 3 9 − 16 = 3 ⋅ 3 − 16 = 9 − 16 = −7 ; е) − 7 0,36 + 5,4 = −7 ⋅ 0,6 + 5,4 = −4 ,2 + 5,4 = 1,2 ; ж) 0,1 400 + 0,2 1600 = 0,1 ⋅ 20 + 0,2 ⋅ 40 = 2 + 8 = 10 ; з)
1 1 1 1 0 ,36 + 900 = ⋅ 0,6 + ⋅ 30 − 0 ,2 + 6 = 6,2 ; 3 5 3 5
№294 а) 0,6 36 = 0,6 ⋅ 6 = 3,6 ; б) − 2,5 25 = −2,5 ⋅ 5 = −12,5 ; в) 0 ,49 + 0 ,16 = 0 ,7 + 0 ,4 = 1,1 ; г) 0,64 − 0,04 = 0,8 − 0,2 = 0 ,6 ; д) − 0,0036 + 0,0025 = −0,06 + 0,05 = −0,01 ; е) 0,01 − 0,0001 = 0,1 − 0,01 = 0,09 ; ж)
1 1 0,81 − 1 = ⋅ 0 ,9 − 1 = 0 ,3 − 1 = −0 ,7 ; 3 3
з) 4 − 10 0,01 = 4 − 10 ⋅ 0,1 = 4 − 1 = 3 . №296 а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет. №297 1) 2)
( a) = 0 ; a = 0 ; a =1 ; ( a) =1 ; a =1;
a = 0;
2
2
2
2
www.5balls.ru
( a) = 3 ; a = 9 ; a = 10 ; ( a ) = 10 ; a = 100 ; a = 0,6 ; ( a ) = 0,6 ; a = 0,36 . 2
a =3;
3)
2
2
4)
2
2
5)
2
№298
( x ) = 4 ; x = 16 ; x = 0,5 ; ( x ) = 0,5 ; x = 0,25 ; 2
а) x = 4 ; б) )
2
2
в) ) 2 x = 0 ;
2
x =0; x =0;
( x ) = 14 ; x = 161 ; д) x − 8 = 0 ; x = 8 ; ( x ) = 8 ; x = 64 2 2 е) 3 x − 2 = 0 ; 3 x = 2 ; x = ; ( x ) = 3 3
г) 4 x = 1 ;
x=
1 ; 4
2
2
2
2
№299
2
; x=
4 . 9
( )
а) x = 0,1 ; x = (0,1)2 ; x = 0,01 ; б) нет; в) нет; г) x − 3 = 0 ; x = 3 ; x = 9 . 2
№300 а)
( x ) = 11 ; x = 121 ; 3 3 ; ( x) = x = 3; x = 10 10
x = 11 ;
б) 10
2
2
2
2
; x=
9 ; 100
x = 20 - такого значения х не существует; 1 1 г) 2 x − 1 = 0 ; 2 x = 1 ; x = ; x = ; 2 4
в)
д) 5 − x = 0 ; − x = −5 ; е) 2 + x = 0 ; №301 а) 3 + 5 x = 7 ;
x = 5 ; x = 25 ;
x = −2 - такого значения х не существует.
( 3 + 5x ) = 7 2
2
;
www.5balls.ru
3 + 5 x = 49 ; 5 x = 46 ; x = 9,2 ;
(
)
2
б) 10 x − 14 = 11 ; 10 x − 14 = 112 ; 10 x − 14 = 121 ; x = 13,5 ; в)
1 1 1 1 x − = 0 ; x = ; x = 1,5 . 3 2 3 2
Упражнения для повторения. №302 а) x = −2 ,5; y ≈ 6 ,25; x = −1,3; y ≈ 1,7; x = −0 ,8; y ≈ 0 ,65; x = 0 ,6; y ≈ 0 ,35; x = 1,7; y ≈ 2 ,8; x = 2 ,3; y ≈ 5,2;
y 9
1 -3
-1
0
1
3
б) y = 1; x1,2 = ±1;
www.5balls.ru
x
y = 2; x1,2 ≈ ±1,4; y = 5; x1,2 ≈ ±2,2; y = 7 ,5; x1,2 ≈ ±2,8;
в) (− 1,4)2 ≈ 2;
(− 0,8)2 ≈ 0,65; (1,2)2 ≈ 1,45; (− 2,8)2 ≈ 7 ,65;
г) 0 ,5 ≈ 0 ,7 ; 2,5 ≈ 1,6 ;
3 ≈ 1,75 ; 4 ≈2;
5 ≈ 2,2 ; 9 = 3.
№303
x(1 − x ) − 1(1 − x ) + 1 x(x − 1) 1 x2 − x = ⋅ = ⋅ x −1+ 2 1 − x (2 − x ) 1− x (2 − x )2 = =
(
)
− x 2 + 2 x x(x − 1) x − x 2 − 1 + x + 1 x(x − 1) ⋅ = − ⋅ = 1− x x −1 (2 − x )2 (2 − x )2 x(x − 2 )⋅ x(x − 1)
(x − 1)(x − 2)
2
=
x2 . x−2
Подставим x = −2 получим:
x2 (− 2)2 = 4 = −1. = x−2 −2−2 −4
№304 а) |a2|=a2; б) при a > 0 : a3 = a3 ; в) при a < 0 : a 3 = − a3 ;
www.5balls.ru
12. Уравнение x 2 = a
№305 а) x 2 = 81 ; x1,2 = ± 81 = ±9 ;
б) x 2 = 18 ; x1,2 = ± 18 = ± 9 ⋅ 2 = ±3 2 ; в) x 2 = 0 ; x = 0 ; г) x 2 = −25 ; уравнение не имеет корней. №306 а) x 2 = 36 ; x1,2 = ± 36 = ±6 ; б) x 2 = 0,49 ; x1,2 = ± 0,49 = ±0 ,7 ; в) x 2 = 121 ; x1,2 = ± 121 = ±11 ; г) x 2 = 11 ; x1,2 = ± 11 ; д) x 2 = 8 ; x1,2 = ± 4 ⋅ 2 = ±2 2 ; е) x 2 = 2,5 ; x1,2 = ± 2,5 =
5 = 2
2⋅5 10 = ; 2⋅2 2
№307 Нарисуем график и найдем приближенные значения: а) x 2 = 3 ; x1,2 = ± 3 ; x1,2 ≈ ±1,7 ; б) x 2 = 5 ; x1,2 = ± 5 ; x1,2 ≈ ±2,2 ; в) x 2 = 4,5 ; x1,2 = ± 4 ,5 ; x1,2 ≈ ±2,1 ; г) x 2 = 8,5 ; x1,2 = ± 8,5 ; x1,2 ≈ 2,9 .
www.5balls.ru
y 9
1 -3
-1
0
1
3
x
№308 Нарисуем график и найдем приближенные значения: а) x 2 = 3,6 ; x1,2 = ± 3,6 ; x1,2 ≈ ±1,85 ; б) x 2 = 2,8 ; x1,2 = ± 2,8 ; x1,2 ≈ ±1,65 ; в) x 2 = 1,4 ; x1,2 = ± 1,4 ; x1,2 ≈ ±1,2 ; г) x 2 = 6 ; x1,2 = ± 6 ; x1,2 ≈ 2,45 . №309 а) x 2 − 0,01 = 0,03 ; x 2 = 0,03 + 0,01 = 0,04 ; x1,2 = ± 0,04 = ±0,2 ;
б) 80 + y 2 = 81 ; y 2 = 81 − 80 = 1 ; y1,2 = ± 1 = ±1 ;
в) 19 + c 2 = 10 ; c 2 = 10 − 19 = −9 ; уравнение корней не имеет; г) 20 − b 2 = −5 ; b 2 = 5 + 20 = 25 ; b1,2 = ± 25 = ±5 ; д) 3x 2 = 1,47 ; x 2 = 1,47 : 3 = 0,49 ;
www.5balls.ru
x1,2 = ± 0,49 = ±0 ,7 ;
е)
1 2 1 a = 10 ; a 2 = 10 : = 40 ; 4 4
a1,2 = ± 4 ⋅ 10 = ±2 10 ; 1 2
ж) x 2 = 32 ; x 2 = 32 :
1 = 64 ; 2
x1,2 = ± 64 = ±8 ;
з) − 5 y 2 = 1,8 ; y 2 = −(1,8 : 5) = −0,36 ; уравнение корней не имеет; №310 а) 16 + x 2 = 0 ; x 2 = −16 ; уравнение корней не имеет; б) 0,3x 2 = 0,027 ; x 2 = 0,027 : 0,3 = 0,09 ; x1,2 = ± 0,09 = ±0,3 ;
в) 0,5 x 2 = 30 ; x 2 = 30 : 0,5 = 60 ; x1,2 = ± 4 ⋅ 15 = ±2 15 ;
г) − 5 x 2 =
1 1 1 ; x2 = − : 5 ; x2 = − ; уравнение корней не имеет. 20 20 100
№311 а) (x − 3)2 = 25 ; x − 3 = ± 25 = ±5 ; 1) x − 3 = 5 ; x = 5 + 3 ; x1 = 8 ; 2) x − 3 = −5 ; x = −5 + 3 ; x2 = −2 ; б) (x + 4)2 = 9 ; x + 4 = ± 9 = ±3 ; 1) x + 4 = 3; x = 3 − 4; x1 = −1; 2) x + 4 = −3; x = −3 − 4; x2 = −7; в) (x − 6) = 7 ; x − 6 = ± 7 1)
x − 6 = 7 ; x1 = 7 + 6;
2)
x − 6 = − 7 ; x2 = − 7 + 6;
г) (x + 2)2 = 6 ; x + 2 = ± 6 ; 1) x + 2 = 6 ; x1 = 6 − 2; 2) x + 2 = − 6 ; x2 = − 6 − 2;
www.5balls.ru
№312 1) При x=-3,4: 2) При x=0:
8 − 5 x = 8 − 5(− 3,4 ) = 8 + 17 = 25 = 5 ;
8 − 5x = 8 − 5 ⋅ 0 = 8 = 2 2 ;
3) При x=1,2:
8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 1,2 = 8 − 6 = 2 ;
4) При x=1,6:
8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 1,6 = 8 − 8 = 0 ;
5) При x=2,4: 8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 2,4 = 8 − 12 = − 4 - выражение не имеет смысла. №313 а) При a ≥ 0 ; б) при x ≥ 0 ; в) при c ≥ 0 ; г) при b ≤ 0 . №314 а) При x ≥ 0 ; б) при x ≤ 0 . №315
( 25 ) = 25 ; 2) ( 81 ) = 81 ; 3) ( 2 ) = 2 ; 4) ( 3 ) = 3 ; 5) (− 4 ) = 4 ; 6) ( 5 ) = 5 ; 7) (− 6 ) = 6 ; 2
1)
2
2
2
2
2
2
2
1 =1; 8) 2 2
9)
( 1,3 ) = 1,3 . 2
www.5balls.ru
№316
( 7) = 7 ; б) (− 26 ) = 26 ; а)
2
2
( )
2
в) − 2 14 ⋅ 14 = −2 14 = −2 ⋅ 14 = −28 ;
( ) д) 0,5(− 8 ) = 0,5 ⋅ 8 = 4 ; е) (− 2 15 ) = 4 ⋅ 15 = 60 ; 2
г) 3 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ; 2
2
2
3 =3; ж) 2 4 2
3 =3=1. з) 6 6 2
№317
( ) = 0,49 + 2 ⋅ 0,4 = 0,49 + 0,8 = 1,29
а) 0,49 + 2 0 ,4
2
( ) в) (2 6 ) + (− 3 2 ) = 4 ⋅ 6 + 9 ⋅ 2 = 42 1 1 20 = −0 ,1 ⋅ 120 − ⋅ 20 = −12 − 5 = −17 . г) − 0,1( 120 ) − 2 4 2
б) 3 11 − 6400 = 9 ⋅ 11 − 80 = 99 − 80 = 19 2
2
2
2
№318 а) 2 6 ⋅ − 6 = −2 ⋅ 6 = −12 ;
( ) б) − (3 5 ) = −9 ⋅ 5 = −45 ; в) 1,44 − 2( 0,6 ) = 1,2 − 2 ⋅ 0 ,6 = 0 ; г) (0 ,1 70 ) + 1,69 = 0,01 ⋅ 70 + 1,3 = 0 ,7 + 1,3 = 2 . 2
2
2
Упражнения для повторения
www.5balls.ru
№319 x x
x
= 1 , при х>0;
При х=-8;-5
x x
x
= −1 , при х<0; x
= −1 ; при x=1;7;128
x
=1.
№320 1 x = x − 1 : x + 1 = x(x − 1) = x − 1 ; а) 1 x x x(x + 1) x + 1 1+ x x − 1 −0 ,5 − 1 1,5 = =− = −3 ; Если х=-0,5, то x + 1 − 0 ,5 + 1 0 ,5 1 1 1 = = = б) 1 1 x 1+ 1+ 1+ 1 x +1 x +1 1+ x x 1 1 x +1 ; = = = 2x + 1 2x + 1 x +1+ x x +1 x +1 x +1 0 ,6 0,6 −0 ,4 + 1 = = = =3. Если x=-0,4, то 2 x + 1 2 ⋅ (− 0 ,4 ) + 1 − 0 ,8 + 1 0 ,2 1−
№321 а) =
б)
8 − x3 25 x 2 + 100 − 100 x
=
(2 − x )(x + 2 x + 4) = 25(2 − x )2 2
16a 4 + 16a 2
a +1− a
=
(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) =
(
25 x 2 − 4 x + 4
x + 2x + 4 ; 25(2 − x )
(
) = 16a(a + 1)(a
16a a 3 + 1 2
)
2
a − a +1
2
) = 16a(a + 1) .
− a +1
2
a − a +1
№322 Графики функций y =
10 и y = 10 x имеют две общие точки. x
www.5balls.ru
y 10 5 -10
-5 0
5
10
x
-5 -10
13. Нахождение приближенных значений квадратного корня. №323 а) 5 и 6; б) 6 и 7; в) 10 и 11; г) 3 и 4; д) 0 и 1. №324 а) 3 и 4; б) 8 и 9; в) 14 и 15; г) 2 и 3. №325 Ответ: 2;4;4. №326 Ответ: 3;1. №334 а) –5,48 и 5,48;
www.5balls.ru
б) –1,20 и 1,20; в) –0,46 и 6,46; г) –3,83 и 1,83.
www.5balls.ru
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №335 а) 3 016 , − 01 , 225 = 3 ⋅ 0,4 − 01 , ⋅ 15 = 1,2 − 1,2 = −0,3; б) 0,2 900 + 1,8
1 1 = 0,2 ⋅ 30 + 1,8 ⋅ = 6 + 0,6 = 6,6 ; 9 3
в) 0,3 1,21 ⋅ 400 = 0,3 ⋅ 11 , ⋅ 20 = 6,6 ; г) 5: 0,25 ⋅ 0,81 = 5:0,5 ⋅ 0,9 = 9 ; №336 а) не пересекает; б) пересекает в точке (0; 0); в)пересекает в точках(5; 25), (-5; 25) пересекает в точках (5,9;35), (5,9; 35) №337 2
, + 2 = 1 + 2 = 3; а) 10 0,01 + − 2 = 10 ⋅ 01
б) 0,3 25 −
1 3
( 12 )
2
= 0,3 ⋅ 5 −
1 ⋅ 12 = 1,5 − 4 = −2,5. 3
№338 1) х=7; 7+ 7 = 7 + 7 = 14; х=10; 10 + 10 = 10 + 10 = 20; х=0; 0 + 0 = 0 + 0 = 0; х=-3; -3 − 3 = − 3 + 3 = 0; x = −8; − 8 + − 8 = −8 + 8 = 0;
2) а) x > 0, x + x = x + x = −2x ; б) x < 0, x + x = x − x = 0. №339. а)
4a2 − 20a + 25 25 − 4a2
=
(5 − 2a)2 = 5 − 2a ; (5 − 2a)(5 + 2a) 5 + 2a
www.5balls.ru
б)
9x 2 + 4 y 2 − 12x y 4 y 2 − 9x 2
=
(2 y − 3x )2 = 2 y − 3x . (2 y − 3x )(2 y + 3x ) 2 y + 3x . 14. Функция и ее график
№340. а) S = π r2; r2 = б) S =
S ;r = π
S ; π
4S π d2 ; 4S = π d 2; d 2 = ;d = 4 π
S 4S =2 . π π
№341 а) площадь поверхности куба S = 6a2; б) длина ребра куба a =
S . 6
№342. Радиус шара R =
1 S . 2 π
№345 1) 8 = 64 ; 8=8 – точка А принадлежит графику данной функции; 2) 100 = 10000; 100=100 - точка В принадлежит графику данной функции; 3) − 81 не имеет смысла, следовательно С не принадлежит графику данной функции; 4) − 5 ≠ 25 - точка D не принадлежит графику данной функции. №346. а) пересекает вточке (1;1); б) пересекает в точке (100; 10); в) пересекает в точке (10000; 100); г) непересекает №347 1) 11 = 121 ; 11=11 значит точка принадлежит графику данной функции; 2) 30 900; 30=30, значит точка М принадлежит графику данной функции;
www.5balls.ru
3) − 400 не имеет смысла, следовательно точка А не принадлежит графику данной функции; 4) -9 ≠ 81 - точка D не принадлежит графику данной функции. №348. Пользуясь рис.14 учебника получаем: а) 0,5 < 0,8 ; б) 4,2 <
5,7 ;
в) 7 < 8. №349. а) 11; б) 015 , ; в) 60 ; г) д)
( 60 ) ∨ 8 ; 60 < 64; 60 < 8; , ; ( 2 ) ∨1,4 ; 2 >196 , ; 2 >14 , . 2 ∨14 2
60 ∨ 8 ;
2
2
2
№350. а) 27 < 28 ; б) 13 , < 15 , ;
( 7 ) ∨ 3 ; 7 < 9; 2
2
в)
7 ∨ 3;
7 <3;
г)
6,25 ∨ 2,5;
д)
1 1 1 1 1 1 1 1 ; > ; ∨ > . ∨ ; 5 6 5 6 5 6 5 6
(2,5)2 ∨ 2,5; 2,5 = 2,5; 2
6,25 = 2,5;
2
№351. а) 2,3 < 10,4 < 19,5, значит
2,3 < 10,4 < 19,5;
б) 4 = 16 ; 12 <16 <18 , значит 12 < 4 < 18; в) 0,5 =
1 1 1 3 1 6 1 4 3 4 6 = ; = ; = ; = ; < < , значит 2 4 4 12 2 12 3 12 12 12 12
www.5balls.ru
1 1 1 1 1 < < u 0,5 < < ; 3 2 4 3 2 0,7 <1< 1,7.
г) 0,7 < 1 < 1,7, значит
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №352. а) 0,5 121 + 3 0,81 = 0,5 ⋅11 + 3 ⋅ 0,9 = 5,5 + 2,7 = 8,2; , = 36; б) 144 ⋅ 900 ⋅ 0,01 =12 ⋅ 30 ⋅ 01
в)
(
)
2
400 − 4 0,5 = 20 − 16 ⋅ 0,5 = 20 − 8 = 12; 2
1 1 г) − 3 − 10 0,64 = 9 ⋅ − 10 ⋅ 0,8 = 3 − 8 = −5. 3 3
№353. а) имеет; б) не имеет; в) имеет; г) имеет. №354. а) 1) x 2 = 11; x1,2 = ± 11; 2) x = 11;
( x)
2
= 112 ; x = 121;
1 2
б) 1) 2x 2 = ; x 2 = 0,25; x1,2 = ± 0,25 = ±0,5; 1 2
( )
2) 2 x = ; 2 x
2
2
1 1 1 = ;4 x = ; x = . 2 4 16
№355. а) a > 0 u b > 0: ab3 = ab3; ; б) a < 0 u b > 0: ab3 = (− a) ⋅ b3 = − ab3; в) a < 0 u b < 0: ab3 = ( − a)( − b)3 = ab3; г) a > 0 u b < 0: ab3 = a ⋅ ( − b)3.
www.5balls.ru
№356. −5 x
> 0; x2 + 7 x +4 x +4 =− 2 < 0. б) x>0 : x+4 >0; x2+4>0, следовательно 2 − x −4 x +4
а) x<0: -5x > 0; x2+7>0, следовательно
§6. Свойства арифметического квадратного корня 15. Квадратный корень из произведения и дроби №357 а) 100 ⋅ 49 = 100 ⋅ 49 = 10 ⋅ 7 = 70; б)
81 ⋅ 400 = 81 ⋅ 400 = 9 ⋅ 20 = 180;
в)
64 ⋅ 121 = 64 ⋅ 121 = 8 ⋅ 11 = 88;
г)
144 ⋅ 0,25 = 144 ⋅ 0,25 = 12 ⋅ 0,5 = 6;
д)
0,01 ⋅ 169 = 0,01 ⋅ 169 = 0,1 ⋅ 13 = 1,3;
е) 2,25 ⋅ 0,04 = 2,25 ⋅ 0,04 = 1,5 ⋅ 0,2 = 0,3. №358. а)
9 = 64
3 = ; 64 8
б)
36 = 25
36
в)
121 121 11 1 = = =2 ; 25 5 5 25
г)
144 144 12 = = ; 169 169 13
д) 1 е)
9 = 16
2
9
25
=
6 1 =1 ; 5 5
25 = 16
25 16
7 169 = = 81 81
5 1 =1 ; 4 4
=
169 81
=
13 4 =1 ; 9 9
ж) 5
1 81 81 9 1 = = = =2 ; 16 16 4 16 4
з)
7 = 9
2
25 = 9
25 9
=
5 2 =1 ; 3 3
www.5balls.ru
№359. а) 81 ⋅ 900 = 81 ⋅ 900 = 9 ⋅ 30 = 270; б) 0,36 ⋅ 49 = 0,36 ⋅ 49 = 0,6 ⋅ 7 = 4,2 ; в) 12
1 = 4
49 = 4
49
г) 10
9 169 169 13 1 = = = =3 ; 4 16 16 4 16
4
=
7 1 =3 ; 2 2
№360. а) 9 ⋅ 64 ⋅ 0,25 = 9 ⋅ 64 ⋅ 0,25 = 3 ⋅ 8 ⋅ 0,5 = 12; б) 0,36 ⋅ 2,25 ⋅ 144 = 0,36 ⋅ 2,25 ⋅ 144 = 0,6 ⋅ 1,5 ⋅ 12 = 10,8; в)
1,21 ⋅ 0,09 ⋅ 0,0001 = 1,12 ⋅ 0,09 ⋅ 0,0001 = 1,1 ⋅ 0,3 ⋅ 0,01 = 0,0033
г)
25 16 196 ⋅ ⋅ = 81 49 9
д) ⋅ 3 е)
5
1 14 ⋅2 = 16 15
1 34 ⋅2 = 16 81
25 16 196 5 4 14 40 13 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =1 ; 81 49 9 9 7 3 27 27 49 ⋅ 16
64 7 ⋅ 8 14 = = = 2,8; 25 4 ⋅ 5 5
81 196 ⋅ = 16 81
196 196 14 1 = = =3 . 16 4 2 16
№361. а) 0,04 ⋅ 81 ⋅ 25 = 0,04 ⋅ 81 ⋅ 25 = 0,2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 9; б)
0,09 ⋅ 16 ⋅ 0,04 = 0,09 ⋅ 16 ⋅ 0,04 = 0,3 ⋅ 4 ⋅ 0,2 = 0,24; 7 4 = 9 25
в) 1 ⋅ г)
16 4 4 2 8 ⋅ = ⋅ = ; 9 25 3 5 15
121 1 121 9 11 3 33 3 ⋅2 = ⋅ = ⋅ = =1 ; 144 4 144 4 12 2 24 8
№362. а) 810 ⋅ 40 = 81 ⋅ 400 = 81 ⋅ 400 = 9 ⋅ 20 = 180 ; б) 10 ⋅ 250 = 2500 = 50 ; в) 72 ⋅ 32 = 36 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 4 = 36 ⋅ 16 ⋅ 4 36 ⋅ 16 ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 48 ; г) 8 ⋅ 98 = 4 ⋅ 2 ⋅ 49 ⋅ 4 = 16 ⋅ 49 = 4 ⋅ 7 = 28 ;
www.5balls.ru
50 ⋅ 18 = 25 ⋅ 2 ⋅ 9 ⋅ 2 = 25 ⋅ 9 ⋅ 4 = 25 ⋅ 9 ⋅ 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30 ;
д) е)
2,5 ⋅ 14,4 = 0,25 ⋅ 10 ⋅ 144 ⋅ 0,1 = 0,25 ⋅ 144 = 0,5 ⋅ 12 = 6 ;
ж)
90 ⋅ 6,4 9 ⋅ 10 ⋅ 6,4 = 9 ⋅ 64 = 9 ⋅ 64 = 3 ⋅ 8 = 24 ;
з)
16,9 ⋅ 0,4 = 169 ⋅ 0,1 ⋅ 4 ⋅ 9,1 = 169 ⋅ 4 ⋅ 0,01 =
= 169 ⋅ 4 ⋅ 0,01 = 13 ⋅ 2 ⋅ 0,1 = 2,6 . №363 а) 75 ⋅ 48 = 3 ⋅ 25 ⋅ 16 ⋅ 3 = 25 ⋅ 16 ⋅ 9 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 ; б) 45 ⋅ 80 = 9 ⋅ 5 ⋅ 16 ⋅ 5 = 9 ⋅ 16 ⋅ 25 = 9 ⋅ 16 ⋅ 25 = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 ; в) 4,9 ⋅ 360 = 4,9 ⋅ 3,6 ⋅ 10 = 49 ⋅ 36 = 49 ⋅ 36 = 7 ⋅ 6 = 42 ; г)
160 ⋅ 6,4 = 16 ⋅ 10 ⋅ 6,4 = 16 ⋅ 64 = 16 ⋅ 64 = 4 ⋅ 8 = 32 ;
№364 а)
132 − 122 = (13 − 12)(13 + 12) = 1 ⋅ 25 = 25 = 1 ⋅ 5 = 5 ;
б)
82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 10 ;
в) 3132 − 3122 = ( 313 − 312)(313 + 312) = 1 ⋅ 625 = 625 = = 1 ⋅ 25 = 25 ; г)
1222 − 222 = (122 − 22)(122 + 22) = 100 ⋅ 144 =
= 100 ⋅ 144 = 10 ⋅ 12 = 120 ; д)
45,82 − 44,22 = (45,8 − 44,2)( 45,8 + 44,2) = 1,6 ⋅ 90 =
= 1,6 ⋅ 10 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9 = 4 ⋅ 3 = 12 ; е)
21,82 − 18,22 = (21,8 − 18,2)(21,8 + 18,2) = 3,6 ⋅ 40 =
= 3,6 ⋅ 10 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4 = 6 ⋅ 2 = 12 . №365 а)
172 − 82 = (17 − 8)(17 + 8) = 9 ⋅ 25 = 9 ⋅ 25 = 3 ⋅ 5 = 15 ;
б)
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 ;
в)
822 − 182 = (82 − 18)(82 + 18) = 64 ⋅ 100 = 64 ⋅ 100 =
8⋅10=80;
www.5balls.ru
1172 − 1082 = (117 − 108)(117 + 108) = 9 ⋅ 225 =
г)
9 ⋅ 225 = 3 ⋅ 15 = 45 ;
д)
6,82 − 3,22 = (6,8 − 3,2)(6,8 + 3,2) = 3,6 ⋅ 10 36 = 6 ;
е)
1 1 17 1 17 1 17 1 1 − = − = − ⋅ + = 16 2 16 2 16 2 16 2
2
2
2
2
17 − 8 17 + 8 9 25 9 25 3 5 15 . ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 16 16 16 16 16 16 4 4 16
№336. а) 15 = б) 21 = в) 7a = г) 3c =
3⋅ 5 ; 7⋅ 3; 7⋅ a ; 3⋅ c ;
№367. а)
2 = 7
2
б)
3 3 ; = 10 10
в)
5 = a
г)
b = 3
7
5 a b 3
;
; .
№368 n n n = 10 ⋅ = 10 ⋅ = n тождество доазано. 100 10 100 1 1 1 100 n = 100n = б) ⋅ 10 ⋅ n = n тождество доазано. 10 10 10
а) 10
№369. а) 7500 = 75 ⋅ 100 = 8,7 ⋅ 10 = 87 ;
www.5balls.ru
б)
750000 = 75 ⋅ 100 ⋅ 100 = 8,7 ⋅ 100 = 870 ;
в)
0,75 = 75 ⋅ 0,01 ≈ 8,7 ⋅ 0,1 = 0,87 ;
г)
0,0075 = 75 ⋅ 0,0001 ≈ 8,7 ⋅ 0,01 = 0,087 .
№370 а) 57600 = 576 ⋅ 100 = 576 ⋅ 10 = 24 ⋅ 10 = 240 ; б)
230400 = 2304 ⋅ 100 = 2304 ⋅ 100 = 48 ⋅ 10 = 480 ;
в)
152100 = 1521 ⋅ 100 = 1521 ⋅ 100 = 39 ⋅ 100 = 390 ;
г)
129600 = 1296 ⋅ 100 = 1296 ⋅ 100 = 36 ⋅ 10 = 360 ;
д)
20,25 =
е)
9,61 =
ж)
0,0484 =
з)
2025 = 100
2025 100
=
45 = 4,5 ; 10
961 961 31 = = = 3,1 ; 100 100 10
0,3364 =
484 = 10000 3364 = 10000
484 10000 3364 10000
= =
22 = 0,22 ; 100 58 = 0,58 . 100
№371. а) 44100 = 441 ⋅ 100 = 441 ⋅ 100 = 21 ⋅ 10 = 210 ; б) 435600 = 4356 ⋅ 100 = 4356 ⋅ 100 = 66 ⋅ 10 = 660 ; в) 0,0729 = 729 ⋅ 0,0001 = 729 ⋅ 0,0001 = 27 ⋅ 0,01 = 0,27 ; г)
15,21 = 1521 ⋅ 0,01 = 1521 ⋅ 0,01 = 39 ⋅ 0,1 = 3,9 .
№372 а) 2 ⋅ 8 = 16 = 4 ; б) 27 ⋅ 3 = 81 = 9 ; в) 28 ⋅ 7 = 196 = 14 ; г) 2 ⋅ 32 = 64 = 8 ; д) 13 ⋅ 52 = 676 = 22 ; е) 63 ⋅ 7 = 441 = 21 ;
www.5balls.ru
ж) з)
50 ⋅ 4,5 = 225 = 15 ; 1,2 ⋅ 3
1 1 1 = 1 ⋅3 = 5 3 3
6 ⋅ 10 = 4 =2. 5⋅ 3
№373 а) б) в)
2 18
2 = 18
=
23 2300 52
г)
12500
д)
7,5
500 0,3
23 1 1 = = ; 2300 100 10
=
52 = 117
=
117
=
1 1 = ; 9 3
=
4 2 = ; 9 3
12500 = 25 = 3 ; 500
7,5 = 25 = 5 ; 0,3
№374 а) 10 ⋅ 40 = 400 = 20 ; б) 12 ⋅ 3 = 36 = 6 ; в) 162 ⋅ 2 = 324 = 18 ; 2⋅3 = 3⋅8
г)
2 3 ⋅ = 3 8
д)
110 ⋅ 4,4 = 484 = 22 ;
е)
4 1 ⋅ 0,2 = 5
ж)
999 = 111
з)
15 735
=
1 1 = ; 4 2
9 9 3 ⋅ = ; 5 25 5
999 = 9 = 3; 111 15 = 735
1 1 = ; 49 7
№375 Второй способ удобнее; произведем вычисления
www.5balls.ru
6 ≈ 2,45 .
№376 а) 7 ⋅ 5 = 35 ≈ 5,92 ; б)
3,1 ⋅ 4,5 = 3,1 ⋅ 4,5 ≈ 3,73
в)
10 ⋅ 11 ⋅ 12 = 10 ⋅ 11 ⋅ 12 ≈ 36,33 ;
г)
117
д)
10,2
117 ≈ 4,42 ; 6
=
6 38,6
=
2,3 ⋅ 8,1
е)
4,5
10,2 ≈ 0,51 ; 38,6 2,3 ⋅ 8,1 ≈ 2,03 . 4,5
=
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №377 х=-4;
x 2 = ( −4) 2 = 16 = 4 ;
х=-3;
x 2 = ( −3) 2 = 9 = 3 ;
х=-0;
x 2 = 02 = 0 = 0 ;
х=9;
x 2 = 92 = 81 = 9 ; x 2 = 202 = 400 = 20 ;
х=20;
Выражение
x 2 имеет смысл при любых значениях х.
№378 а) при x > 0, x ⋅ x = x ⋅ x = x 2 ; б) при x = 0, x ⋅ x = 0 ⋅ 0 = 0 ⋅ 0 = 0 ; в) x < 0, x ⋅ x = − x ⋅ x = − x 2 . №379 1 8
а) 2a 2 ⋅ a 3 =
( )
б) 4 3a 4
2
1 5 a ; 4
= 4 ⋅ 9a 8 = 36a 8 ;
1 2
2
в) 20a 4 ⋅ a 3 =
20a 4 ⋅ 1 ⋅ a 6 = 5a10 ; 4
www.5balls.ru
№380
( )
а) a 4 = a 2
2
;
( ) = (a ) ; 2
б) a 6 = a 3 ; в) a18 г)
1 a10
9 2
2
1 = 5 ; a
( )
2
д) a 2b8 = ab4 ; е)
a6 b12
2
a3 = 6 ; b
№381 Из условия V=a2b; a 2 =
V V ; откуда a = ; b b
№382 а)
1 − 10a + 25a 2 (5a − 1) = = 5a − 1 ; 5a − 1 5a − 1
б)
1 − 6 x + 9 x 2 (3x − 1) = = 3x − 1 ; 3x − 1 3x − 1
2
2
№383 а)
x 2 x x + 18 − = 23 + ; 12 x − 5( x + 18) = 690 + x ; 5 6 30
12x-5x-90-x=690; б)
x − 1 2 x + 1 3x − 1 + = ; 20( x − 1) + 12(2 x + 1) = 15(3x − 1) ; 3 5 4
20x-20+24x+12=45x-15; 76. Квадратный корень из степени №384
www.5balls.ru
а)
(0,1)2
б)
(−0,4)2
= −0,4 = 0,4 ;
в)
(−0,8)2
= −0,8 = 0,8;
г)
(1,7)2
д)
(−19)2
е)
242 = 24 = 24;
= 0,1 = 0,1 ;
= 1,7 = 1,7; = −19 = 19;
ж) 2 (−23) = 2 ⋅ −23 = 2 ⋅ 23 = 46; 2
з) 5 522 = 5 ⋅ 52 = 5 ⋅ 52 = 260; и) 0,2 (−61) = 0,2 ⋅ −61 = 0,2 ⋅ 61 = 12,2. 2
№385 а) подставим x = 22: x 2 = 222 = 22 = 22; подставим x = −35: x 2 = ( −35) 2 = −35 = 35; 2 3
2 3
2
подставим x = −1 : x 2 = −1 = −1
2 2 =1 ; 3 3
подставим x = 0: x 2 = 02 = 0 = 0; б) подставим a = −7:2 a 2 = 2 (−7) = 2 ⋅ −7 = 2 ⋅ 7 = 14; 2
подставим a = 12:2 a 2 = 2 122 = 2 ⋅ 12 = 2 ⋅ 12 = 24; в) подставим y = −15: 0,1 y 2 = 0,1 (−15) = 0,1 ⋅ −15 = 0,1 ⋅ 15 = 1,5 ; 2
подставим y = 27: 0,1 y 2 = 0,1 272 = 0,1 ⋅ 27 = 0,1 ⋅ 27 = 2,7 . №386 а)
p2 = p ;
www.5balls.ru
б)
y2 = y ;
в) 3 b2 = 3 b ; г) −0,2 x 2 = −0,2 x ; д)
25a 2 = 5 ⋅ a 2 = 5 ⋅ a .
№387 а)
a 2 = a = a , если a>0;
б)
n2 = n = − n, если n<0;
в) 3 c2 = 3 ⋅ c = 3c, если с>0; 3 c2 = 3 ⋅ c = 3 ⋅ 0 = 0, если с=0;
г) −5 y 2 = −5 ⋅ y = −5 y, если y>0; д)
36 x 2 = 6 x = 6 ⋅ x = −6 x , если х<0;
36 x 2 = 6 x = 6 ⋅ 0 = 6 ⋅ 0 = 0;
е) − 9 y 2 = −3 ⋅ y = −3( − y ) = 3 y , если y<0; ж) −5 4 x 2 = −5 ⋅ 2 x = −5 ⋅ 2 x = −10 x, если х>0; −5 4 x 2 = − − 10 x = −10 ⋅ 0 = 0, если х=0;
з) 0,5 16a 2 = 0,5 ⋅ 4a = 0,5 ⋅ (− a ) = −2a , если а<0. №338 а) 2 m2 = 2 m = 2m, при m≥0; б) −3 a 2 = −3 a = −3a, при a>0; в)
0,64 x 2 = 0,8 ⋅ x = 0,8(− x ) = 0,8 x , при x≤0;
г) − 0,25 y 2 = − 0,5 y = −0,5 ⋅ − y = 0,5 y , при у<0. №389 а)
y 6 = y 3 = y 3 , если у≥0;
www.5balls.ru
б)
m4 = m2 = m2 ;
в)
x 6 = x 3 = − x 3 , если x<0;
г) 5 a8 = 5 a 4 = 5a 4 ; д)
1 12 1 6 1 6 c = c = c ; 3 3 3
( )
е) 1,5 t 14 = 1,5 t 7 = 1,5 ⋅ − t 7 = −1,5t 7 , если t<0. №390 а)
0,49 x18 = 0,7 x 9 = 0,7 x 9 , при x<0;
б)
0,01a 26 = 0,1a13 = 0,1a13; при а>0;
0,01a 26 == 0,1a13 = 0, при а=0;
в) 15 0,16c12 = 15 ⋅ 0,4c6 = 15 ⋅ 0,4c6 = 6c6 ; г) 0,8 100 y16 = 0,8 ⋅ 10 y8 = 8 y8 . №391 а)
p10 = p5 , при р>0;
б)
x18 = x 9 = − x 9 , при х<0;
в)
y12 = y 6 = y 6 ;
г) 15 b16 = 15 ⋅ b8 = 15b8 ; д) 1,6 x8 = 1,6 ⋅ x 4 = 1,6 x 4 ;
( )
е) 0,1 a 6 = 0,1 ⋅ a 3 = 0,1 ⋅ − a 3 = −0,1a 3 , при а<0; №392 а)
24 = 22 = 4;
б)
34 = 32 = 9;
в)
2 6 = 23 = 8 ;
www.5balls.ru
г)
108 − 104 ;
д)
(−5)4
= (−5) = 25;
е)
(−2)8
= (−2) = 16;
ж)
34 ⋅ 52 = 32 ⋅ 5 = 45;
з)
2
4
26 ⋅ 27 = 27 ⋅ 72 = 8 ⋅ 49 = 392.
№393 а)
114 = 112 = 121;
б)
46 = 43 = 64 = 64;
в)
(−3)8
= (−3) = 81 = 81;
г)
(−6)4
= (−6) = 36;
д)
28 ⋅ 32 = 24 ⋅ 3 = 48;
е)
34 ⋅ 56 = 32 ⋅ 53 = 9 ⋅ 125 = 1125;
ж)
72 ⋅ 24 7 ⋅ 24 = 7 ⋅ 24 = 112;
з)
36 ⋅ 54 = 33 ⋅ 52 = 27 ⋅ 25 = 675.
4
2
№394 а)
20736 = 28 ⋅ 34 = 24 ⋅ 32 = 24 ⋅ 32 = 16 ⋅ 9 = 144;
б)
50625 = 34 ⋅ 54 = 32 ⋅ 52 = 9 ⋅ 25 = 225;
в)
28224 = 26 ⋅ 32 ⋅ 72 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 8 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168;
г)
680625 32 ⋅ 54 ⋅ 112 = 3 ⋅ 52 ⋅ 11 = 3 ⋅ 2511 = 825.
№395 а)
2304 = 28 ⋅ 32 = 24 ⋅ 3 = 24 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 48;
www.5balls.ru
б)
18225 = 36 ⋅ 52 = 33 ⋅ 5 = 27 ⋅ 5 = 135;
в)
254016 26 ⋅ 34 ⋅ 72 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7 = 8 ⋅ 9 ⋅ 7 = 504.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №397 3 6 a +1 5 = − + 2 ⋅ a + 1 a − 1 a − 1 2 5 a +1 3 6 ⋅ = − + a + 1 a − 1 (a + 1)(a − 1) 2
= =
5(a − 1) − 3( a + 1) + 6 a + 1 5a − 5 − 3a − 3 + 6 a + 1 ⋅ ⋅ = = (a + 1)( a − 1) 2 (a + 1)(a − 1) 2
=
2a − 2 a + 1 2(a − 1)(a + 1) = 1, что не зависит от а. ⋅ = ( a + 1)( a − 1) 2 2(a + 1)( a − 1)
www.5balls.ru
№ 398. x x 2 − 25 x+5 − 2 = 2 ⋅ 5 x − 5 x x − 25 ( x − 5 )( x + 5 ) x+5 x ⋅ = = − x ( x − 5 ) ( x − 5 )( x + 5 ) 5 x 2 + 10 x + 25 − x 2 ( x − 5 )( x + 5 ) 5( 2 x + 5 ) 2 x + 5 = ⋅ = = . x( x − 5 )( x + 5 ) 5 5x x
№ 399. На рисунке буквами а, b и c обозначены графики функций: y 8
а
b 6 4 2
0
2
4
6
8
-4 -6 -8
а – график функции y = 2 x + 2; b – график функции y = −2 x + 2; x 4
с – график в функции y = − − 3 . № 400. Из условия задачи имеем:
www.5balls.ru
c
V = πR2H; R2 =
V ;R= πH
V . πH
§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня № 401. а) 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3 ; б) 18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2 ; в)
80 = 16 ⋅ 5 = 16 ⋅ 5 = 4 5 ;
г)
48 = 16 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 4 3 ;
д) 125 = 25 ⋅ 5 = 25 ⋅ 5 = 5 5 ; е) 108 = 27 ⋅ 4 = 27 ⋅ 4 = 3 3 ⋅ 2 = 6 3 ; ж)
363 = 3 ⋅ 121 = 121 ⋅ 3 = 11 3 ;
з)
845 = 5 ⋅ 169 = 169 ⋅ 5 = 13 5 .
№ 402. 1 1 1 1 4 ⋅ 6 = ⋅2 6 = 6 ; 4⋅6 = 24 = 2 2 2 2 2 2 2 б) 9⋅5 = ⋅3 5 = 2 5 ; 45 = 3 3 3 1 1 1 в) − 49 ⋅ 3 = − ⋅ 7 3 = − 3 ; 147 = − 7 7 7 1 1 1 1 г) − 25 ⋅ 11 = − ⋅ 5 11 = − 11 ; 25 ⋅ 11 = − 275 = − 5 5 5 5
а)
д) 0,1 20000 = 0,1 10000 ⋅ 2 = 0,1 ⋅ 100 2 = 10 2 ; е) − 0 ,05 28800 = −0,05 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ 10 2 = −0,05 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 10 2 = = −0,05 ⋅ 120 2 = −6 2 .
№ 403.
www.5balls.ru
а)
20 = 4 ⋅ 5 = 2 5 ;
б)
98 = 49 ⋅ 2 = 49 ⋅ 2 = 7 2 ;
в)
200 = 100 ⋅ 2 = 10 2 ;
г) 160 = 16 ⋅ 10 = 16 ⋅ 10 = 4 10 ; д) 0,2 75 = 0,2 3 ⋅ 25 = 0,2 3 ⋅ 25 = 0,2 ⋅ 5 3 = 3 ; е) 0,7 300 = 0,7 3 ⋅ 100 = 0,7 ⋅ 10 3 = 7 3 ; ж) − 0 ,125 192 = −0,125 16 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = −0,125 16 ⋅ 2 2 ⋅ 3 = = −0,125 ⋅ 4 ⋅ 2 3 = − 3 ; 1 1 1 з) − 9 ⋅ 5 ⋅ 10 = − ⋅ 3 ⋅ 5 2 = −5 2 ; 450 = − 3 3 3
и) − 10 0 ,02 = −1 ⋅ 10 0,02 = − 100 ⋅ 0,02 = − 2 ; к) 5 л) −
a a = 125 ⋅ = 5 5
25a = 5a ; 5
1 1 1 12 x = −1 ⋅ 12 x = − ⋅ 12 x = − 3 x . 2 2 4
№ 404. а) 7 10 = 49 ⋅ 10 = 490 ; б) 5 3 = 25 ⋅ 3 = 75 ; в) 6 x = 36 ⋅ x = 36 x ; г) 10 y = 100 ⋅ y = 100 y ; д) 3 2a = 9 ⋅ 2a = 18a ; е) 5 3b = 25 ⋅ 3b = 75b . № 405. а) − 2 3 = − 4 ⋅ 3 = − 12 ; б) − 3 5 = − 9 ⋅ 5 = − 45 ; в) − 7 a = − 49 ⋅ a = − 49a ; г) − 0 ,2 b = − 0 ,04 ⋅ b = − 0 ,04b . № 406.
www.5balls.ru
а) 3
1 1 = 9⋅ = 3 3
9 = 3; 3
б) 2
3 3 = 4⋅ = 4 4
3⋅ 4 = 3; 4
в)
1 18 = 3
1 ⋅ 18 = 2 ; 9
г) − 10 0 ,02 = − 100 ⋅ 0 ,02 = − 2 ; д) 5 е) −
9 9 = 25 ⋅ = 45 ; 5 5 1 1 12 x = − ⋅ 12 x = − 3x . 2 4
№ 407. а) 2 2 = 4 ⋅ 2 = 8 ; б) 5 y = 25 ⋅ y = 25 y ; в) − 7 3 = − 49 ⋅ 3 = − 147 ; г) − 6 2a = − 36 ⋅ 2a = − 72a ; д)
1 18b = 3
1 1 ⋅ 18 b = 2b ; ⋅ 18b = 9 9 ⋅1
е) − 0,1 200с = − 0 ,1 ⋅ 200с = − 2с . № 410. а) 3 3 = 27 ; 2 6 = 24 ; 4 2 = 32 ;
24 p 27 p 32 , значит,
2 6 p3 3 p4 2 ;
б) 6 2 = 36 ⋅ 2 = 72 ; 3 7 = 63 ; 2 14 = 56 ;
56 p 58 p 63 p 72 ⇒
2 14 p 58 p 3 7 p 6 2 .
№ 411.
www.5balls.ru
а)
4 ⋅ 7 ∨ 49 ⋅ 2 ;
б)
9 ⋅ 120 ∨ 4 ⋅ 270 ;
28 p 98 ; 2 7 p 7 2 ; 1080 = 1080 ;
3 120 p 2 270 ;
в)
1 1 ; ⋅ 6 ∨ 36 ⋅ 2 4
1,5 p 18 ;
6 36 ∨ 4 2
1 1 . 6 p6 2 2
№ 412. а)
7 x 2 = 7 x = 7 x , при x ≥ 0 ;
б) 10 y 2 = 10 y = 10 y , при y p 0 ; в)
x3 = x ⋅ x = x x ;
г)
a5 = a4 ⋅ a = a a 2 = a2 a ;
д) 16 y 7 = 16 y ⋅ y 6 = 4 y y 3 = 4 y 3 y ; е)
3x 3 1 3x x 3x . = x⋅ 3⋅ x = x= 16 4 4 4
№ 413. а)
8a 3 = 2 2 ⋅ 2 a 2 ⋅ a = 2 a 2 a ;
б)
300b 5 = 3 ⋅ 100b 4 ⋅ b = 10b 2 3b ;
в)
48 x 2 = 16 ⋅ 3x 2 = 4 x 3 = −4 x 3 , при x ≤ 0 ;
г)
72a 4 = 2 ⋅ 36a 4 = 6a 2 2 ;
д)
50a 7 = 2 ⋅ 25a 6 ⋅ a = 5a 2 2a ;
е)
27c 6 = 3 2 ⋅ 3c 6 = 3 c 3 3 = −3c 3 3 , при c p 0 .
№ 414. а)
6 x 2 = 6 ⋅ x = x 6 , при x ≥ 0 ;
б)
3 y 2 = 3 ⋅ y = − 6 y , при y p 0 ;
www.5balls.ru
в)
9a 3 = 3 a ⋅ a = 3a a ;
г)
50b 4 = 2 ⋅ 25b 4 = 2 ⋅ 5b 2 = 5b 2 2 .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 415. 2x + 1 2x − 1 x 2 − 9 2x − 1 x 2 − 9 2x + 1 ⋅ +1 = − + 1 = − 2 2 ⋅ x − 3x x + 3x 7 x x(x − 3) x(x + 3) 7 x =
(2 x + 1)(x + 3) − (x − 3)(2 x − 1) ⋅ x − 9 + 1 = x(x − 3)(x + 3) 7x
=
2x 2 + 6x + x + 3 − 2x 2 + x + 6x − 3 x 2 − 9 ⋅ +1 = x(x − 3)(x + 3) 7x
2
=
(x + 3)(x − 3) + 1 = 14 x + 1 = 2 + 1 = 2 + x . 14 x ⋅ x(x − 3)(x + 3) x ⋅ 7x x x 7x
№ 416. Обозначим за х – количество книг, переплетенных в первый день; тогда (х + 12) – количество книг, переплетенных во второй день; также (х + х +12) – количество книг, переплетенных за первые два дня;
5 (x + x + 12) - количество книг, переплетенных в третий день. 7
Всего за три дня было переплетено 144 книги. Получаем уравнение: x + (x + 12 ) +
5 (x + x + 12) = 144 ; 7
5 (2 x + 12) = 144 ; 7 (2 x + 12)1 + 5 = 144 ; 7 12 (2 x + 12) = 144 ; 7 x+6 = 6 ; x + 6 = 42 ; x = 36 ; 7 5 x + 12 = 48 ; (x + x + 12 ) = 60 . 7 2 x + 12 +
www.5balls.ru
Ответ: в первый день переплели 36 книг, во второй – 48 книг, в третий – 60 книг. № 417. 4x − 1 7 5 − x 4x − 1 7 5 − x ; 36 ⋅ + = + = ⋅ 36 ; 12 4 9 4 9 12 3(4 x − 1) + 9 ⋅ 7 = 4(5 − x ) ; 12 x − 3 + 63 = 20 − 4 x ; 16 x = −40 ; x = −2,5 ; 2 x − 9 2(5 x + 3) 1 30(2 x − 9 ) 30 ⋅ 2(5 x + 3) 1 б) − = ; − = ⋅ 30 ; 6 15 2 6 15 2
а)
5(2х – 9) – 4(5х + 3) = 15; -10х – 57 = 15; 10х = - 72; х = - 7,2. 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни № 418. а) 2 x + 3 x − y = 5 x − y ; б) − 4 a + 2 b + 3 a = 2 b − a ; в)
9a + 25a − 36a = 3 a + 5 a − 6 a = 2 a ;
г) 16n + 25n − 9n = 4 n + 5 n − 3 n = 6 n ; д)
5a − 2 20a − 3 80a = 5a − 2 4 ⋅ 5a − 3 16 ⋅ 5a =
= 5a − 4 5a − 12 5 = −15 5a ;
е)
75 + 48 − 300 = 3 ⋅ 25 + 16 ⋅ 3 − 3 ⋅ 100 =
= 5 3 + 4 3 − 10 3 = − 3 ;
ж) 3 8 − 50 + 2 18 = 3 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 25 + 2 2 ⋅ 9 = = 6 2 −5 2 +6 2 = 7 2 ;
з)
242 − 200 + 8 = 2 ⋅ 121 − 2 ⋅ 100 + 2 ⋅ 4 =
= 11 2 − 10 2 + 2 2 = 3 2 ;
и)
75 − 0,1 300 − 27 = 3 ⋅ 25 − 0,1 3 ⋅ 100 − 3 ⋅ 9 =
= 5 3 − 3 −3 3 = 3 ;
www.5balls.ru
98 − 72 + 0,5 8 = 2 ⋅ 49 − 2 ⋅ 36 + 0,5 4 ⋅ 2 =
к)
= 7 2 −6 2 + 2 = 2 2 . №419 а) 8 p − 25 + 18 p = 2 2 p − 5 + 3 2 p = 5 2 p − 5;
б) 16c + 2 40c − 3 90c = 4 c + 2 ⋅ 2 10c − 3 ⋅ 3 10c = 4 c + 4 10c − 9 10c
= = 4 c − 5 10c; в) 5 27 − 4 48m − 2 12m = 5 3 ⋅ 9 − 4 3 ⋅16m − 2 4 ⋅ 3m = = 15 3 − 16 3m − 4 3m = 15 3 − 20 3m; г) 54 − 24 + 150 = 6 ⋅ 9 − 6 ⋅ 4 + 25 ⋅ 6 = = 3 5 − 2 6 + 5 6 = 6 6; д) 3 2 + 32 − 200 = 3 2 + 4 2 − 10 2 = −3 2; е) 2 72 − 50 − 2 8 = 2 2 ⋅ 36 − 2 ⋅ 4 = = 2 ⋅ 6 2 − 5 2 − 2 ⋅ 2 2 = 12 2 − 5 2 − 4 2. №420
( 12 + 15 ) ⋅ 3 = б) 5 (3 5 + 5 8 ) = а)
= 15 + 10 10
(
12 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 ⋅ 3 = 6 + 3 5 ; 5 ⋅ 3 5 + 5 5 ⋅ 8 = 3 ⋅ 5 + 5 4 ⋅10 = 15 + 5 ⋅ 2 10 =
)
в) 4 3 − 2 6 ⋅ 2 3 = 4 3 ⋅ 2 3 − 2 6 ⋅ 2 3 = 24 − 4 ⋅ 3 2 = 24 − 12 2; г)
(3
)
5 − 2 3 ⋅ 5 + 60 = 3 5 ⋅ 5 − 2 3 ⋅ 5 + 4 ⋅15 = 3 ⋅ 5 − 2 15 + 2 15
=15; д)
(
)
28 − 2 3 + 7 ⋅ 7 + 84 =
= 28 ⋅ 7 − 2 3 ⋅ 7 + 7 ⋅ 7 + 21 ⋅ 4 = = 4 ⋅ 7 ⋅ 7 − 2 21 + 7 + 2 21 = 7 ⋅ 2 + 7 = 21; е)
( 12 + 2 18 ) ⋅
2 − 96 = 12 ⋅ 2 + 2 18 ⋅ 2 − 96 =
= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 2 9 ⋅ 2 ⋅ 2 − 2 24 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2 6 + 12 − 4 6 = 12 − 2 6 .
www.5balls.ru
№421
(
)
3 12 − 2 27 = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 − 2 3 ⋅ 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 6 − 18 = −12;
а)
(
)
б) 5 2 − 7 3 ⋅ 6 = 5 2 ⋅ 6 − 7 3 ⋅ 6 = = 5 ⋅ 2 3 − 7 ⋅ 3 2 = 10 3 − 21 2; 8−
в)
( 10 − 5 ) ⋅
5 = 8 − 5⋅5⋅2 + 5 ⋅ 5 =
= 2 ⋅ 4 − 5 2 + 5 = 2 2 − 5 2 + 5 = 5 − 3 2;
(
)
48 − 2 3 ⋅ 2 − 5 12 = 16 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 3 + 2 3 ⋅ 5 4 ⋅ 3 =
г)
= 4 3 − 4 3 + 10 ⋅ 3 ⋅ 2 = 60. №422 а)
(1 + 3 2 )(1 − 2 2 ) = 1 − 2 2 + 3 2 − 3 2 ⋅ 2 2 = 1 + б) (3 + 3 )(2 + 3 ) = 3 ⋅ 2 + 3 3 + 2 3 + 3 ⋅ 3 = = 6 + 5 3 + 3 = 9 + 5 3;
(
)(
2 − 6 ⋅ 2 = 2 − 11;
)
в) 2 2 − 3 3 2 − 2 3 = = 2 2 ⋅3 2 − 2 2 ⋅2 3 − 3 3 ⋅ 2 + 2 3 ⋅ 3 = = 6 ⋅ 2 − 4 6 − 3 6 + 2 ⋅ 3 = 18 − 7 6 ; г)
(
5− 8
)(
)
5 − 3 2 = 5 ⋅ 5 − 5 ⋅3 2 − 8 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 8 =
= 5 − 3 10 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = = 5 − 3 10 − 2 10 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 17 − 5 10 ;
(
д) 2 5 + 12
)( 12 − 5 ) −
135 =
= 2 5 ⋅ 12 − 2 5 ⋅ 5 + 12 ⋅ 12 − 5 ⋅ 12 − 135 = = 2 ⋅ 2 15 − 10 + 12 − 2 15 − 9 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 4 15 + 2 − 2 15 − 3 15 = 2 − 15;
www.5balls.ru
(
е) 3 2 − 27
)( 27 − 2 )−
54 =
= 3 2 ⋅ 27 − 3 2 ⋅ 2 − 27 ⋅ 27 + 2 ⋅ 27 − 54 = = 3 ⋅ 3 6 − 6 − 27 + 2 ⋅ 9 ⋅ 3 − 9 ⋅ 3 ⋅ 2 = = 9 6 − 33 + 3 6 − 3 6 = 9 6 − 33
№423 а) x + y x − y = x 2 − y ;
( )( ) б) ( a − b )( a + b ) = a ⋅ a − b ⋅ b = a − b ; в) ( 11 − 3)( 11 + 3) = 11 ⋅ 11 − 3 ⋅ 3 = 2 ; ( 10 + 7 )( 7 − 10 ) = 7 ⋅ 7 − 10 ⋅ 10 = 7 − 10 = −3 ; д) ( a + b ) = ( a ) + 2 a ⋅ b + ( b ) = 2
2
2
= a+2 a ⋅ b +b;
е)
( m − n) = ( m) −2 2
2
m⋅ n+
( n) = 2
= m−2 m ⋅ n +n ;
( 2 + 3) = ( 2 ) + 2 2 ⋅ 3 + 3 = 11 + 6 з) ( 5 − 2 ) = ( 5 ) − 2 5 ⋅ 2 + ( 2 ) = 2
ж)
2
2
2
2
2;
2
= 7 − 2 10 .
№424 а) 2 5 + 1 2 5 − 1 = 4 5 ⋅ 5 − 1 = 4 ⋅ 5 − 1 = 19 ;
( б) (5
)(
)(
)
) ( )
2
7 − 13 13 + 5 7 = 5 7 − 13 ⋅ 13 = = 25 ⋅ 7 − 13 = 175 − 13 = 162 ;
( )( ) ( ) ( ) г) (0,5 14 + 3 )( 3 − 0,5 14 ) = ( 3 ) − (0,5 14 ) = 2
2
в) 3 2 − 2к3 2 3 + 3 2 = 3 2 − 2 3 = 9 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 = 18 − 12 = 6 ; 2
2
= 3 − 0,25 ⋅ 14 = 3 − 3,5 = −0,5 ;
(
)
( )
2
2
д) 1 + 3 5 = 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 5 + 3 5 = 1 + 6 5 + 9 ⋅ 5 = = 46 + 6 5 ;
(
) ( ) 2
2
е) 2 3 − 7 = 2 3 − 2 ⋅ 7 ⋅ 2 3 + 7 2 = = 12 + 49 − 28 3 = 61 − 28 3 ;
www.5balls.ru
(
) (
)
2
2
ж) 2 10 − 2 = 2 10 − 2 ⋅ 2 10 ⋅ 2 + = 40 − 4 ⋅ 2 5 + 2 = 42 − 8 5 ;
(
) ( ) 2
( 2) = 2
( )
2
2
з) 3 6 − 2 3 = 3 6 − 2 ⋅ 3 6 ⋅ 2 3 + 2 3 = = 9 ⋅ 6 − 12 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 = 66 − 36 2 .
№425 а)
( 6 + 5) − 2
120 =
( 6) + 2 2
6⋅ 5+
( 5) − 2
= 6 + 2 30 + 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 11 ; 60 +
б)
( 3 − 5) = 2
15 ⋅ 4 +
( 3) − 2 2
3⋅ 5 +
12 ⋅ 10 =
( 5) = 2
= 2 15 + 3 − 2 15 + 5 = 8 ;
( 14 − 3 2 ) + 6 28 = = ( 14 ) − 2 ⋅ 14 ⋅ 3 2 + (3 2 ) + 6 2
в)
2
2
4⋅7 =
= 14 − 3 ⋅ 2 4 ⋅ 7 + 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 7 = 14 + 18 = 32 ;
( ) = (3 5 ) + 2 ⋅ 3 5 ⋅ 2
г) 3 5 + 15 − 10 27 = 2
( )
2
15 + 15 − 10 9 ⋅ 3 =
= 9 ⋅ 5 + 6 5 ⋅ 3 ⋅ 5 + 15 − 10 ⋅ 3 3 = 60 + 30 3 − 30 3 = 60 ; 2
д) 4 + 7 + 4 − 7 =
2
2
= 4 + 7 + 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 + 4 − 7 = = 4 + 7 + 2 4 + 7 4 − 7 + 4 − 7 =
(
)
= 8 + 2 42 − 7 2 = 8 + 2 16 − 7 = 8 + 2 9 = = 8 + 6 = 14; 2
е) 5 + 2 6 − 5 − 2 6 =
2
2
= 5 + 2 6 − 2 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 + 5 − 2 6 =
www.5balls.ru
= 5 + 2 6 − 2 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 + 5 − 2 6 =
(
)
= 10 − 2 25 − 4 ⋅ 6 = 10 − 2 1 = 8 . №426
( x + 1)( x − 1) = ( x ) − 1 = x − 1; б) ( x − a )( x + a ) = ( x ) − ( a ) = x − a; в) ( m + 2 ) = ( m ) + 2 m ⋅ 2 + ( 2 ) = m + 2 2m + 2; г) ( 3 − x ) = ( 3 ) − 2 3 ⋅ x + ( x ) = 3 − 2 3x + x; д) (5 7 − 13)(5 7 + 13) = (5 7 ) − 13 = 175 − 169 = 6; е) (2 2 + 3 3 )(2 2 − 3 3 ) = (2 2 ) − (3 3 ) = 4 ⋅ 2 − 9 ⋅ 3 = −19; ж) (6 − 2 ) + 3 32 = 6 − 2 ⋅ 6 2 + ( 2 ) + 3 16 ⋅ 2 = 2
а)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 36 − 12 2 + 2 + 3 ⋅ 4 2 = 38;
з)
( 2 + 18 ) − 30 = ( 2 ) + 2 2
2
( )
2
2 ⋅ 18 + 18 − 30 =
= 2 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ 9 + 18 − 30 = 20 + 12 − 30 = 2 .
№427 а) x 2 − 7 = x − 7 x + 7 ;
(
)(
)
( 5 − c )( 5 + c); в) 4a − 3 = (2a − 3 )(2a + 3 ) ; г) 11 − 16b = ( 11 − 4b )( 11 + 4b ) ; д) y − 3 = ( y − 3 )( y + 3 ); е) x − y = ( x − y )( x + y ) . б) 5 − c 2 = 2
2
№428 а) 3 + 3 = 3 ⋅ 3 + 3 = 3 3 + 1 ;
(
) б) 10 − 2 10 = 10 ⋅ 10 − 2 10 = 10 ( 10 − 2) ; в) x + x = x + x ⋅ x = x (1 + x ) ; г) a − 5 a = a ⋅ a − 5 a = a ( a − 5) ;
www.5balls.ru
(
) m ( 3 + 5 );
д)
a − 2a = a − 2 ⋅ a = a 1 − 2 ;
е)
3m + 5m = 3 ⋅ m + 5 ⋅ m =
(
)
ж) 14 − 7 = 7 2 − 1 ; з)
№429 а) б) в) г) д) е) ж)
з) и)
b2 − 5 m+ 6 6−m
(b − 5 )(b + 5 ) = b +
=
b− 5
б)
)
m+ 6
( 6 − m)( 6 + m)
=
2
2− x = x−4
2− x
b +3
=
b+ a
6 −m 1
=−
x +2
; ;
b −3;
b +3
a −b
1
=
( x − 2)( x + 2) ( b − 3)( b + 3) = =
b−9
5;
b− 5
( a − b )( a + b ) = a+ b
a− b;
2 x −3 y 2 x −3 y 1 = = ; 4x − 9 y 2 x −3 y 2 x +3 y 2 x +3 y 7 −7
a− a 3+ x
3 x+x
x+ 2 5 −a 5 − a2
7 −1
a
=
a −1
x2 − 2
( )( ) 7 (1 − 7 ) 7 ( 7 − 1) =− =−
=
7 −1
7 −1
( a − 1) = a −1
=
№430 а)
(
33 + 22 = 3 ⋅ 11 + 2 ⋅ 11 = 11 3 + 2 .
= =
3+ x
(
x 3+ x
)=
a; 1 x
.
(x − 2 )(x + 2 ) = x −
2;
x+ 2
5 −a
7;
( 5 − a )( 5 + a ) =
1 5 +a
;
www.5balls.ru
в) г) д) е) ж) з) и)
x −5 x −5 1 = =− ; 25 − x 5− x 5+ x 5+ x
(
2 +2
)(
2+ 2⋅ 2
=
2 5 + 10
2
2 3 −3
2 3− 3⋅ 3
3 a −3 b x+ x a+ a a a +a
x =
( x + 1)
=
1
a⋅ a+ a
(
)
=
x 5 ; 5
=
3 b ; b
a a +1
2
(
( a − b)= 3( a − b )
x +1
=
5+ 2
=
5 3
2
=
) = 1+
3 2− 3
=
5 3
2a − 2b x +1
2
5⋅ 2
=
5 3
(
2 1+ 2
=
5⋅ 5+ 5⋅ 2
=
10
)
2;
;
)= 2−
5
2 ; 3
;
x =
a
(
( a + 1) = )
a a +1
a . a
№431 а)
x
б)
3
в)
2
г) д) е)
x 5
=
5 b
b b
3 b
=
7 y a
5⋅ 5 b⋅ b
= =
4 a+b 1 a −b
2 y 7 y⋅ y a b b b⋅ b = =
(
= =
2 y ; 7y a b a b = 2 ; b ⋅b b
4 a+b
)
( a + b )( a + b ) 1⋅ a − b
( a − b )( a − b )
(
)
=
4 a+b ; a+b
=
a −b ; a −b
www.5balls.ru
3
;
ж) з) и)
5
=
2 3 8
=
3 2 3 5
5 3 2 3⋅ 3 8 2 3 2⋅ 2 3 5⋅ 2
=
5 2
5 2⋅ 2
=
5 3 5 3 ; = 2⋅3 6
=
8 2 4 2 ; = 3⋅ 2 3
=
3 10 3 10 = = 0,3 10 . 5⋅2 10
№432 а)
m
б)
1
в)
3
г) д) е)
m x
=
x
x⋅ x 1⋅ 2
=
2
=
5 c a 2 3
2⋅ 2
=
3 2 3 5 4 15
=
m x ; x
=
2 ; 2
3⋅ c 5 c⋅ c a 3 2 3⋅ 3
=
3 3 2 3⋅ 3
=
=
3 c ; 5c
=
a 3 ; 6
=
3 3 3 ; = 2⋅3 2
5 15 4 15 ⋅ 15
=
5 15 15 . = 4 ⋅ 15 12
433. а) б) в) г) д)
4( 3 − 1) 4( 3 − 1) 4( 3 − 1) 4 = = = = 2( 3 − 1); 2 2 3 −1 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 − 1) ( 3 ) − 1 1 = 1 ⋅ (1 + 2 ) = 1 + 2 = 1 + 2 = − 1 + 2 = −(1 + 2 ); 1− 2 1 1 − 2 (1 − 2 )(1 + 2 ) 1 − ( 2 ) 2 1 x− y a a+ b 33 7−3 3
= = =
1⋅ ( x +
y)
( x − y )( x +
y)
a( a − b ) ( a + b )( a − b ) 33(7 + 3 3 ) (7 − 3 3 )(7 + 3 3 )
=
= =
x+ y ( x )2 − ( y )2 a( a − b ) ( a )2 − ( b )2
33(7 + 3 3 ) 7 2 − 32 ⋅ ( 3 ) 2
www.5balls.ru
=
= =
x+ y ; x− y a( a − b ) ; a−b
33(7 + 3 3 ) = 22
=
е)
3(7 + 3 3 ) ; 2 15 2 5 +5
=−
15(2 5 − 5)
=
15(2 5 − 5)
=
(2 5 + 5)(2 5 − 5)
2
(2 5 ) − 5
=
2
15(2 5 − 5) = 4 ⋅ 5 − 25
15(2 5 − 5) = −3(2 5 − 5) = 15 − 6 5 . 5
435. а) б)
x b
( x + y )( x − y ) b( a + b )
=
a− b
( a − b )(a + b )
4
в) =
x( x − y )
=
x+ y
=
10 − 2
x( x − y )
= =
x2 − ( y )2 ab + b b a 2 − ( b )2
4( 10 + 2 ) ( 10 − 2 )( 10 + 2 )
=
x( x − y )
= =
x2 − y ab + b b a2 − b
4( 10 + 2 ) 2
( 10 ) − ( 2 )
2
;
; =
4( 10 + 2 ) = 8
( 10 + 2 ) ; 2 12
г)
12( 3 − 6 )
=
3+ 6
( 3 + 6 )( 3 − 6 )
=
12( 3 − 6 ) ( 3) − ( 6 ) 2
2
=−
12( 3 − 6 ) = 3
= 4( 6 − 3 );
д)
9 3−2 2
9(3 + 2 2 )
=
(3 − 2 2 )(3 + 2 2 )
=
9(3 + 2 2 ) 32 − ( 2 2 ) 2
=
9(3 + 2 2 ) = 9 − 4⋅2
= 9(3 + 2 2 );
е) =
14
=
1+ 5 2
14 (1 − 5 2 ) (1 + 5 2 )(1 − 5 2 )
=
14 (1 − 5 2 ) 12 − ( 5 2 ) 2
=
14(1 − 5 2 ) 2 ⋅ 7(1 − 5 2 ) 2(5 2 − 1) =− = . 1 − 50 7⋅7 7
436. а)
3 = 5
3 5
б)
2 = a
a
2
= =
3⋅ 5 5⋅ 5 2⋅ a a⋅ a
=
15 = 0,2 15 , что и требовалось доказать; 5
=
2a 1 = 2a , что и требовалось доказать. a a
www.5balls.ru
437. а)
x = 3
x⋅ 3
б)
5 = a
5⋅ a
в)
2 = 3
2⋅ 3
г)
1 1⋅ 2 2 = = ; 2 2 2⋅ 2
д)
a2 = 2
3⋅ 3 a⋅ a 3⋅ 3
3x ; 3
=
5a ; a 6 ; 3
=
a2 ⋅ 2 2⋅ 2
=
a 2 ; а≥0 4
4x 2 − x 2 = 4
2
x2 −
x = 4
а)
m = 9
m
б)
a = 7
a⋅ 7
в)
c c = = 12 12
г)
8 = a
е)
=
3x 2 4
=
x 3 ; x≥0 2
438. 9
=
7⋅ 7
4⋅ 2 a
m ; 3 =
7a ; 7 c
3⋅ 4 =
=
c⋅ 3 3⋅ 4 ⋅ 3
4⋅ 2⋅ a a⋅ a
=
=
3c ; 6
2 2a . a
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 439. 9 − x2 8x (3 − x )(3 + x) ⋅ 8 x (3 − x )( x + 3) ⋅ 8 x ⋅ 2 −2= −2= −2= 2 4x 4 x( x + 3) 4 x ( x + 3) 2 x + 6x + 9 =
2(3 − x ) 2(3 − x) − 2( x + 3) 6 − 2 x − 2 x − 6 4x −2= = =− ; x+3 x+3 x+3 x=3
подставляем x=-2,5 и находим:
www.5balls.ru
−
4x −4 ⋅ (−2,5) 10 = = = 20. x+3 0,5 − 2,5 + 3
440. Обозначим за S км – расстояние от А до В, тогда время велосипедиста в пути равно
S S ч; ч – время мотоциклиста в 12 48
пути. По условию задачи мотоциклист отправился в путь на 0,5 ч позже и прибыл на 1 ч 15 мин = 1,25 ч раньше, чем велосипедист. Запишем уравнение:
S S = 0,5 + + 1,25; 12 48
S S = + 1,75; 4S = S + 84; 3S = 84; S = 28. 12 48
Ответ: АВ=28 км. 441. 3x − 1 2 − x 3x − 1 2 − x + + 1 = 0; 6( + + 1) = 0; 2 3 2 3 3(3x − 1) + 2(2 − x) + 6 = 0; 9 x − 3 + 4 − 2 x + 6 = 0; 7 x = −7; x = −1;
а)
y − 10 5 − 2 y − = 2,5; 2( y − 10) − 3(5 − 2 y ) = 2,5 ⋅ 12; 6 4 1 2 y − 20 − 15 + 6 y = 30; 8 y = 65; y = 8 ; y = 8,125. 8
б)
442. Условие задачи, S = π ( R 2 − r 2 ); S = πR 2 − πr 2 ; S + πr 2 = πR 2 , откуда R2 =
S + πr 2 ; R= π
Ответ: R =
S + πr 2 . π
S + πr 2 . π
443. 1) Для прямой b уравнение: y = −2 x + 1; 2) Для прямой a уравнение: y =
1 x − 2. 5
444.
www.5balls.ru
а) x 2 − 7 = 0; x 2 = 7; x1,2 = ± 7 ; б) x 2 + 49 = 0; x 2 = −49; уравнение не имеет корней; в) ( x + 1) 2 = 1; x + 1 = ± 1; x + 1 = ±1; 1) x + 1 = 1; x1 = 0; 2) x + 1 = −1; x2 = −2; г) ( x − 5) 2 = 2; x − 5 = ± 2 ; 1) x − 5 = 2; x1 = 5 + 2 ; 2) x − 5 = − 2 ; x2 = 5 − 2 . Дополнительные упражнения к главе II К ПАРАГРАФУ 4 445. а) Да; б) не всегда; в) да; г) не всегда. 446. а) Да; б) да; в) да; г) не всегда. 447. а) Да; б) да; в) да; г) да. 448. Считаем, что x = 2n, y = 2k , где n и k – натуральные числа. Тогда: а) x − y = 2n − 2k = 2(n − k ) = 2m - четное число; б) xy = 2n ⋅ 2k = 2(2nk ) = 2m - четное число; в) 3x + y = 6n + 2k = 2(3n + k ) = 2m - четное число. 449. Считаем, что x = 2n + 1, y = 2k + 1. Тогда: а) x + y = 2n + 1 + 2k + 1 = 2(n + k + 1) = 2m - четное число;
www.5balls.ru
б) x − y = 2n + 1 − 2k − 1 = 2n − 2k = 2( n − k ) - четное число; в) xy = (2n + 1)(2k + 1) = 4nk + 2n + 2k + 1 = 2(2nk + n + k ) + 1 - нечетное число. 451. 23 = 0,359375(0); 64 7 = −0,28(0); б) − 25 11 = 0, (846153); в) 13 1 = 0, (037); г) 27 2 = 0,0(571428); д) 35 7 = −0,3(18); е) − 22 23 = 0,7(6); ж) 30 12 = 0,2(18). з) 55
а)
452*. Пусть
a a - рациональное число; предположим, что ( ) 2 = 3, т.е. b b
a 2 = 3b 2 .
Пусть а содержит в своем разложении n простых множителей равных 3, где n – число натуральное или нуль. Тогда, число a 2 содержит в разложении 2n простых множителей, равных 3. Поскольку a 2 = 3b 2 , то b 2 содержит в разложении 2n − 1 простых множителей, но квадрат натурального числа должен быть четным, и мы приходим к противоречию. Итак, не существует рационального числа, квадрат которого равен 3. 454*. а) Иррациональное число; б) иррациональное число.
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 5 455. а) 0,3 289 = 0,3 ⋅ 17 = 5,1; б) − 4 0,81 = −4 ⋅ 0,9 = −3,6; 9 3 3−7 4 −1 = −1 = =− ; 49 7 7 7 4 1 4 1 2 −1 1 − = − = = ; 8 8 256 64 16 8
в) г)
д) 2 0,0121 + 100 = 2 ⋅ 0,11 + 10 = 10,22; е)
0,16 2 0,04
=
0,4 0,4 = = 1; 2 ⋅ 0,2 0,4
ж)
2500 − 625 = 50 − 25 = 25;
з)
64 1 8 1 8−3 5 − = − = = ; 81 9 9 3 9 9
и) − 0,03 10000 + 16 = −0,03 ⋅ 100 + 4 = −3 + 4 = 1; к)
1 361
+
1 1 1 21 = + = . 4 19 2 38
456. 4 2 + 0,25 ) = 5 − (3 ⋅ + 0,5) = 5 − (2 + 0,5) = 5 − 2 − 0,5 = 9 3 = 5 − 2,5 = 2,5;
а) 5 − (3
б) 11 : (0,15 1600 − 0,29 400 ) = 11 : (0,15 ⋅ 40 − 0,29 ⋅ 20) = 11 : 0,2 = = 110 : 2 = 55; 2 0,09 + 0,78 100 ) = 3 2 1 = (15 + 3 ⋅ 11) : ( ⋅ 0,3 + 0,78 ⋅ 10) = 48 : ( + 7,8) = 48 : (0,2 + 7,8) = 48 : 8 = 6; 3 5
в) ( 225 + 3 121 ) : (
0,16 1 342 1 18 + 0,4 + ⋅ ) : 25 = ((−6) ⋅ + ) : 5 = (−3 + 18) : 5 = 4 2 0,2 2 2 ⋅ 0,2 = 15 : 5 = 3.
г) (−6
457.
www.5balls.ru
а) Подставим x = 2 : 5 x − 10 = 5 ⋅ 2 − 10 = 0 = 0; Подставим x = 2,2 :
5 x − 10 = 5 ⋅ 2,2 − 10 = 11 − 10 = 1;
Подставим x = 5,2 :
5 x − 10 = 5 ⋅ 5,2 − 10 = 26 − 10 = 16 = 4;
Подставим x = 22 :
5 x − 10 = 5 ⋅ 22 − 10 = 110 − 10 = 100 = 10;
б) Подставим y = 1 :
6 − 2 y = 6 − 2 ⋅ 1 = 2;
Подставим y = −1,5 :
6 − 2 y = 6 − 2(−1,5) = 6 + 3 = 9 = 3;
Подставим y = −15 :
6 − 2 y = 6 − 2(−15) = 36 = 6;
Подставим y = −37,5 : в) Подставим x = 0 :
6 − 2 y = 6 − 2(−37,5) = 81 = 9;
3+ x 3− x
3+ x
Подставим x = 1 :
3− x
Подставим x = 16 :
3− x
3 − 16 =
3− x
г) Подставим a = 0, b = 0 :
4 = 1; 2 =
3+ 4 = −7; 3−4
3 + 0,25 3 − 0,25
=
3 + 0,5 3,5 35 2 = == =1 ; 3 − 0,5 2,5 25 5
2a − b = 2 ⋅ 0 − 0 = 0; 2a − b = 2 ⋅ 4 − 7 = 8 − 7 = 1;
д) Подставим m = 0, n = −1 : Подставим m = 33, n = 1 :
=
3 + 16
=
= 1;
3− 0
3− 1
3+ x
Подставим a = 4, b = 7 :
3+ 0
3+ 1
=
3+ x
Подставим x = 0,25 :
=
m − 4n = 0 − 4 ⋅ (−1) = 4 = 2;
m − 4n = 33 − 4 ⋅ 2 = 25 = 5.
458. а) 5 x = 3; (5 x ) 2 = 32 ; 25 x = 9; x =
9 ; 25
б)
1
г)
x − 5 = 4; ( x − 5 ) 2 = 4 2 ; x − 5 = 16; x = 21;
1 = 1; 1 = 3x ; 12 = ( 3 x ) 2 ; 1 = 3x; x = ; 3 3x 1 1 = 2; 1 = 8 x ; 12 = (8 x ) 2 ; 1 = 64 x; x = в) ; 64 4 x
д) 1 + 2 x = 10;
2 x = 9; ( 2 x ) 2 = 9 2 ; 2 x = 81; x = 40,5.
www.5balls.ru
459*. 1 + 2 + x = 2; ( 1 + 2 + x ) 2 = 2 2 ; 1 + 2 + x = 4; ( 2 + x ) 2 = 32 ; 2 + x = 9;
x = 7; x = 49.
460. а) Да; 3 + (− 3 ) = 0 ∈ Q б) нет. 462*. а) x ≥ 0; б) x – любое действительное число; в) x – любое действительное число; г) x – любое действительное число; д) x = 0; е) x ≤ 0. 463*. а) ab ; ab ≥ 0; 1) a ≥ 0, b ≥ 0; 2) a ≤ 0, b ≤ 0; б) 1) 2)
− ab ; ab ≤ 0; a ≤ 0, b ≥ 0; a ≥ 0, b ≤ 0;
в)
a 2b ; b ≥ 0; a – любое действительное число;
г)
a 2b 2 ; a, b – любые действительные числа;
д)
− ab 2 ; a ≤ 0, b – любое действительное число.
464*. а) При x > 0; б) при x ≥ 0; в) при x ≥ 0, x ≠ 1. 465. а) 0,16 + (2 0,1) 2 = 0,4 + 4 ⋅ 0,1 = 0,8;
www.5balls.ru
2 + x = 3;
б) (0,2 10 ) 2 + 0,5 16 = 0,04 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 4 = 0,4 + 2 = 2,4; в) 144 − 0,5( 12 ) 2 = 12 − 0,5 ⋅ 12 = 6; г) (3 3 ) 2 + (−3 3 ) 2 = 9 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3 = 54; д) (5 2 ) 2 − (2 5 ) 2 = 25 ⋅ 2 − 4 ⋅ 5 = 30; е) (−3 6 ) 2 − 3( 6 ) 2 = 9 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6 = 36. К ПАРАГРАФУ 6 468. а) 196 ⋅ 0,81 ⋅ 0,36 = 14 ⋅ 0,9 ⋅ 0,6 = 14 ⋅ 0.54 = 14 ⋅ б) 1
54 = 7,56; 100
9 4 25 49 5 7 5 ⋅ 7 ⋅1 7 ⋅ 5 ⋅ 0,01 = ⋅ ⋅ 0,01 = ⋅ ⋅ 0.1 = = ; 16 9 16 9 4 3 4 ⋅ 3 ⋅ 10 24
0,87 ⋅ 49 + 0,82 ⋅ 49 = 49(0,87 + 0,82) = 49 ⋅ 1,69 = 7 ⋅ 1,3 = 9,1;
в)
г) 1,44 ⋅ 1,21 − 1,44 ⋅ 0,4 = 1,44 ⋅ 0,81 = 1,2 ⋅ 0,9 =
12 9 108 ⋅ = = 1,08. 10 10 100
469. 165 2 − 124 2 = 164 17 = = 8,5; 2
(165 − 124)(165 + 124) = 164
41 ⋅ 289 = 164
289 = 4
=
98 = (176 − 112)(176 + 112)
98 = 64 ⋅ 288
49 = 64 ⋅ 144
=
(149 − 76)(149 + 76) = (457 − 384)(457 + 384)
а)
б) =
в) г) =
98 2
176 − 112
2
7 7 = ; 8 ⋅ 12 96 149 2 − 76 2 2
457 − 384
2
145,5 2 − 96,52 193,5 − 31,5 2
2
=
73 ⋅ 225 15 ; = 73 ⋅ 841 29
(145,5 − 96,5)(145,5 + 96,5) = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)
49 ⋅ 242 = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)
49 ⋅ 121 7 ⋅ 11 77 = = . 81 ⋅ 225 9 ⋅ 15 135
www.5balls.ru
470. а) 15 20 ⋅ 0,1 45 = 1,5 20 ⋅ 45 = 1,5 900 = 1,5 ⋅ 30 = 45; б) 0,3 10 ⋅ 0,2 15 ⋅ 0,5 6 = 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,5 10 ⋅ 15 ⋅ 6 = 0,03 900 = = 0,3 ⋅ 9 = 0,9;
в) г)
8 5
=
0,4 0,2 0,48 5 12
=
8 5 = 20 25 = 100; 0,4 0,2
1 0,48 1 1 1 = 0,04 = ⋅ 0,2 = . 5 12 5 5 25
471*. а) ab = − a ⋅ − b ; б)
a = b
−a −b
.
472. а)
(−12) 2 = 12 = 12;
б) − 10 2 = − 10 = −10; в)
− 10 2 выражение не имеет смысла;
г) − (−11) 2 = − 11 = −11; д)
− (−15) 2 выражение не имеет смысла;
е) − (−25) 2 = − 25 = −25. 473. а) 3 (−2) 6 = 3 (−2) 3 = 3 ⋅ 8 = 24; б) − 2 10 4 = −2 ⋅ 10 2 = −200; в) − 3 54 = −3 ⋅ 52 = −3 ⋅ 25 = −75; г) 0,1 210 = 0,1 ⋅ 25 = 0,1 ⋅ 32 = 3,2; д) 0,1 (−3)8 = 0,1 ⋅ (−34 ) = 0,1 ⋅ 81 = 8,1; е) 100 0,110 = 100 ⋅ (0,1) 5 = 100 ⋅ 0,00001 = 0,001;
www.5balls.ru
ж) − (−2)12 = −(−2) 6 = −64; з) 2,5 (−0,1) 4 = 2,5 ⋅ (0,1) 2 = 2,5 ⋅ 0,01 = 0,025. 474. а)
43 = 64 = 8;
б)
95 = 9 2 ⋅ 3 = 35 = 243;
в) 165 = 16 2 ⋅ 4 = 210 = 1024; г)
253 = 252 ⋅ 25 = 53 = 125;
д)
8 ⋅ 162 = 2 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 2 = 81 ⋅ 4 2 = 9 ⋅ 4 = 36;
е)
96 ⋅ 486 = 96 ⋅ 6 ⋅ 81 = 576 ⋅ 81 = 24 ⋅ 9 = 216;
ж)
750 ⋅ 270 = 75 ⋅ 27 ⋅ 100 = 9 2 ⋅ 25 ⋅ 100 = 9 ⋅ 5 ⋅ 10 = 450;
з)
853 ⋅ 776 = 2 4 ⋅ 32 ⋅ 7 2 ⋅ 112 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 84 ⋅ 11 = 924.
475*. Ответ: при x ≥ 0. 476*. а) y – любое число; б) x – любое число; в) x ≥ 0; г) c ≤ 0; д) a ≤ 0; е) b – любое число. 477*. а)
www.5balls.ru
б)
в)
www.5balls.ru
д)
478. а)
a 4b 4 = a 2b 2 ;
б)
b 6 c 8 = b 3c 4 , b ≥ 0;
в) 16 x 4 y12 = 4 x 2 y 6 ; г) д) е) ж) з)
0,25 p 2 y 6 = 0,5 p (− y 3 ) = −0,5 py 3 , p ≥ 0, y ≤ 0; p4 a8
p2
=
a4
16a12
=
b10 4x2 y
6
c6 9a
2
= =
;
4a 6 b5
, b > 0;
2(− x) −y
3
=
2x y3
, x < 0, y < 0;
( −c 3 ) c3 = − , c < 0, a > 0. 3a 3a
479. а)
(−a) 2 = a 2 = a ;
б)
(− a ) 2 ( −b) 4 = a 2b 4 = ab 2 = a b 2 = a b 2 .
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 7 480. а) 0,5 60a 2 = 0,5 15 ⋅ 4a 2 = 0,5 ⋅ 2 a 15 = a 15 ; б) 2,1 300 x 4 = 2,1 3 ⋅ 100 x 4 = 2,1 ⋅ 10 x 2 3 = 21x 2 3 ; в) 0,1 150 x 3 = 0,1 25 ⋅ 6 x 2 ⋅ x = 0,1 ⋅ 5 x 6 x = 0,5 x 6 x ; г) 0,2 225a 5 = 0,2 ⋅ 15a 2 a = 3a 2 a ; д) a 18a 2b = a 9 ⋅ 2a 2b = a ⋅ 3a 2b ; е) − m 48am 4 = −m 16 ⋅ 3am 4 = −m ⋅ 4m 2 3a = −4m 3 3a . 481*. а)
9a 2b = −3a b , a < 0;
б)
25a 2b 3 = 5ab b , a > 0;
в) 144a 3b 3 = 12(− a)(−b) ab = 12ab ab , a < 0, b < 0; г)
32a 4 x 3 = 4a 2 x 2 x ; 4a 2 x 2 x , x > 0;
д)
− 3c 3 = −c − 3c , c < 0;
е)
− 5m 7 = − m 3 − 5m , m < 0;
ж) a a 5 = a 3 a ; a > 0; з)
x 1 − x3 = x x
− x = − − x , x < 0.
482*. а) a 3 = 3a 2 , a ≥ 0; б) a 3 = − 3a 2 , a < 0; в) x
2 = x
г) x −
2x 2 = 2x ; x
2 2x 2 = − = − 2x . x x
483*.
www.5balls.ru
а) Равенство верно при б) Равенство верно при в) Равенство верно при г) Равенство верно при
x ≥ 0; y ≤ 0; c ≤ 0; a ≤ 0;
484*. а) x 2
1 = x
x4 = x3 ; x
б) − x 2 5 = − 5 x 4 ; в) − 3a
1 a = − 3a 3 ; 3
г) 3a −
a = − − 3a 3 ; 3
д) ab е) 2ab ж)
a b
з) − ab
b = ab 3 , a > 0, b > 0; a a = 2a 3b , a < 0, b < 0; 2b b = a
a , a > 0, b > 0; b
1 1 + = ab 2 + a 2b , a > 0, b < 0. a b
487. а) x ( a − b ) = a ⋅ x − b ⋅ x = ax − bx ; б) ( x + y ) x = x + xy ; в)
ab ( a + b ) = ab ⋅ a + ab ⋅ b = a b + b a ;
г) ( m − n ) mn = m ⋅ mn − n ⋅ mn = m n − n m ; д) ( x + y )(2 x − y ) = 2 x ⋅ x − x ⋅ y + 2 x ⋅ y − y ⋅ y = = 2 x + xy − y;
е) ( a − b )(3 a + 2 b ) = 3 a ⋅ a + 2 a ⋅ b − 3 a ⋅ b − 2 b ⋅ b = = 3a − ab − 2b;
ж) (2 a + b )(3 a − 2 b ) =
www.5balls.ru
= 2 a ⋅ 3 a − 2 a ⋅ 2 b + 3 a ⋅ b − 2 b ⋅ b = 6a − ab − 2b;
з) (4 x − 2 x )( x − 2 x ) = = 4 x ⋅ x − 4 x ⋅ 2x − x ⋅ 2x + 2x ⋅ 2x = 6x − 5x 2.
488. а) (1 − x )(1 + x + x) = 13 − ( x ) 3 = 1 − x x ; б) ( a + 2)(a − 2 a + 4) = ( a ) 3 + 23 = a a + 8; в) ( m − n )(m + n + mn ) = ( m ) 3 − ( n ) 3 = m m − n n ; г) ( x + y )( x 2 + y − x y ) = x 3 + ( y ) 3 = x 3 + y y . 489. a) ( 6 + 4 2 ) 2 = (2 + 2 ) 2 ;
6 + 4 2 = 4 + 2 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 ;
6 + 4 2 = 6 + 4 2 , тождество доказано;
б) ( 8 3 + 19 ) 2 = ( 3 + 4) 2 ;
8 3 + 19 = ( 3 ) 2 + 2 ⋅ 4 3 + 16;
8 3 + 19 = 8 3 + 19, тождество доказано.
490. а) Подставим x = 1 + 5 : x 2 − 6 = (1 + 5 ) 2 − 6 = 1 + 2 5 + ( 5 ) 2 − 6 = = 2 5;
б) Подставим x = 3 − 3 : x 2 − 6 x = (3 − 3 ) 2 − 6(3 − 3 ) = = 9 − 2 ⋅ 3 3 + ( 3 ) 2 − 6 ⋅ 3 + 6 3 = −6;
в) Подставим x = 2 + 3 : x 2 − 4 x + 3 = (2 + 3 ) 2 − 4(2 + 3 ) + 3 = = 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( 3 ) 2 − 8 − 4 3 + 3 = 4 + 4 3 + 3 − 8 − 4 3 + 3 = 2;
г) Подставим x =
3+ 2 3+ 2 2 3+ 2 : x 2 − 3x + 5 = ( ) − 3( )+5= 2 2 2
=
9 + 3 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 9 + 3 2 11 + 6 2 9 + 3 2 − +5= − +5= 4 2 4 2
=
11 + 6 2 − 18 − 6 2 + 20 13 = = 3,25. 4 4
491*. 1) ( 7 + 4 3 + 7 − 4 3 ) 2 =
www.5balls.ru
= ( 7 + 4 3 )2 + 2 7 + 4 3 ⋅ 7 − 4 3 + ( 7 − 4 3 )2 = = 7 + 4 3 + 2 (7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) + 7 − 4 3 = 14 + 2 49 − 16 ⋅ 3 =
= 14 + 2 1 = 16; 7 + 4 3 ⋅ 7 − 4 3 = (7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) = 49 − 16 ⋅ 3 =
2)
= 49 − 48 = 1 - натуральное число.
492. а) =
б) =
1 3 2 −4
−
1 3 2 +4
=
3 2 +4−3 2 +4 (3 2 − 4)(3 2 + 4)
=
8 (3 2 ) 2 − 4 2
=
8 8 = = 4; - рациональное число; 9 ⋅ 2 − 16 2 1 5+2 6
+
1
=
5−2 6
5−2 6 +5+2 6 (5 + 2 6 )(5 − 2 6 )
=
10 = 25 − 4 ⋅ 6
10 = 10 - рациональное число. 1
493. а) =
б) =
в) = =
1 11 − 2 30
−
1 11 + 2 30
=
11 + 2 30 − 11 + 2 30 (11 − 2 30 )(11 + 2 30 )
=
4 30 = 121 − 4 ⋅ 30
4 30 = 4 30 ; 1 5 3+ 2 2
+
5
=
3−2 2
5(3 − 2 2 ) − 5(3 + 2 2 )
15 − 10 2 + 15 + 10 2 2
3 − (2 2 ) 5− 3 5+ 3
+
2
5+ 3 5− 3
=
(3 + 2 2 )(3 − 2 2 ) =
=
30 = 30; 9 − 4⋅2
( 5 − 3)2 + ( 5 + 3)2 ( 5 − 3 )( 5 + 3 )
=
( 5 )2 − 2 5 ⋅ 3 + ( 3 )2 + ( 5 )2 + 2 5 ⋅ 3 + ( 3 )2 ( 5 )2 − ( 3 )2 16 − 2 15 + 2 15 16 = = 8; 5−3 2
www.5balls.ru
=
г) = =
11 + 21 11 − 21
11 − 21
+
=
11 + 21
(11 + 21 ) 2 + (11 − 21 ) 2 (11 − 21 )(11 + 21 )
=
112 + 2 ⋅ 11 ⋅ 21 + ( 21 ) 2 + 112 − 2 ⋅ 11 ⋅ 21 + ( 21 ) 2 112 − ( 21 ) 2
=
121 + 22 21 + 21 + 121 − 22 21 + 21 284 = = 2,84. 121 − 21 100
494. Подставим x = 3 + 5 , y = 3 − 5 : 1 x 2 − 3xy + y 2 [(3 + 5 ) 2 − 3(3 + 5 )(3 − 5 ) + = x+ y+2 3+ 5 +3− 5 + 2 1 + (3 − 5 ) 2 ] = [9 + 2 ⋅ 3 5 + ( 5 ) 2 − 3(9 − ( 5 ) 2 ) + 9 − 2 ⋅ 3 5 + ( 5 ) 2 ] = 8 =
9 + 6 5 + 5 − 3(9 − 5) + 9 − 6 5 + 5 28 − 3 ⋅ 4 16 = = = 2. 8 8 8
Ответ: 2. 495*. а) б) в) г)
x x−y y x− y
=
a+ b
=
a a +b b 2 2−x x
=
2 + 2x + x a − 3a + 3
=
a a +3 3
( x − y )( x + xy + y )
= x + xy + y;
x− y a+ b 3
( a) + ( b)
3
=
a+ b ( a + b )(a − ab + b)
( 2 − x )(2 + 2 x + x ) 2 + 2x + x a − 3a + 3 ( a )3 + ( 3 )3
=
=
1 a − ab + b
= 2 − x;
a − 3a + 3 ( a + 3 )(a − 3a + 3)
=
496. а) б)
70 − 30 35 − 15 15 − 5 6 − 10
=
=
2 ⋅ 35 − 2 ⋅ 15 35 − 15 3⋅ 5− 5⋅ 5 2⋅ 3− 2⋅ 5
=
=
2 ( 35 − 15 ) 35 − 15
5( 3 − 5) 2( 3 − 5)
www.5balls.ru
=
5 2
= 2; ;
1 a+ 3
.
;
в) г) д) =
е)
2 10 − 5
=
4 − 10 9−2 3
2 2⋅5 − 5 ⋅ 5 2 ⋅ 2 − 10 3⋅3 − 2 3
=
3 6 −2 2
2+ 6 − 2
2⋅ 2+ 2⋅ 3− 2
2 ( 2 + 3 − 1) 10 + 3 − 1
=
=
;
2 3
;
2
2⋅ 2⋅ 3+ 3⋅ 3⋅ 2 − 2⋅ 3
=
2 ⋅ 3 ( 2 + 3 − 1) ( 10 − 1) 2 − 3
3 (3 3 − 2) 2 (3 3 − 2)
5
=
2 (2 2 − 5 )
=
3 2⋅ 3−2 2
2 3 +3 2 − 6
5 (2 2 − 5 )
=
=
= 3;
( 10 − 1 − 3 )( 10 − 1 + 3 ) 10 + 3 − 1
= 10 − 1 − 3.
497. а) б) в) г) =
д) е) =
1+ a a
=
y+b y b y x − ax a x
(1 + a ) a a⋅ a
y ( y + b)
=
a +a ; a
=
b y
=
x( x − a)
=
a⋅ x
a b +b a
=
ab
y ( y + b) = by
=
y +b ; b
x ⋅ x( x − a) a⋅ x ⋅ x
( a b + b a ) ab ab ⋅ ab
=
x− a ; a
a b ⋅ ab + b a ⋅ ab = ab
ab a + ab b ab( a + b ) = = a + b; ab ab 2 3 −3 5 3 2−3 2 4 2
3 ⋅ 3 (2 3 − 3)
= =
5⋅ 3 ⋅ 3 (2 − 3 2 ) 2
2 2 −6 = 8
4 2⋅ 2
=
=
2− 3 ; 5
2 2 − 3 2 ⋅ 2 2 2 − 3⋅ 2 = = 4⋅2 8
2 −3 . 4
498. а)
=
x − xy + y x− y
=
( x − xy + y )( x + ( x − y )( x +
y) y)
=
www.5balls.ru
=
б) в) =
г) =
x x−x y +y x+x y −y x+y x 2
( x) − ( y) 9+3 a +a
(9 + 3 a + a )(3 − a )
=
3+ a 1 − 2 x + 4x
(3 + a )(3 − a ) (1 − 2 x )(1 + 2 x )
1 − 2 x + 4 x + 2 x − 4 x + 8x x 12 − (2 x ) 2 a 2 b + 2a b + 4 a b +2 a 3b b − 8 a 2b − 4
=
(1 − 2 x + 4 x)(1 + 2 x )
=
1− 2 x
2
=
=
=
x x+y y 2
( x) − ( y)
27 − a a 2
3 − ( a)
2
=
2
=
x x+y y ; x− y
27 − a a ; 9−a
=
1 + 8x x
=
12 − (2 x ) 2
( a 2b + 2a b + 4)(a b − 2) ( a b + 2)(a b − 2)
=
1 + 8x x ; 1 − 4x a 3b b − 8
(a b ) 2 − 4
=
.
499. а) б)
x− y x a+ b a b
в) =
г) =
=
( x − y )( x +
=
x( x +
y)
(a + b )(a − b ) a b (a − b )
7− a
=
49 − 7 a + a 72 − ( a )2 3
7 +a a
=
mn + mn + 1 ( mn ) 2 − 12
=
mn mn − 1
x− y x + xy
a 2 − ( b )2 a 2 b − ab
( 49 − 7 a + a )(7 + a )
343 + a a =
=
=
(7 − a )(7 + a ) 49 − a
mn + 1
y)
=
=
; a2 − b a 2 b − ab
;
(7 − a )(7 + a ) 73 + a a
=
;
( mn + 1)( mn − 1) ( mn + mn + 1)( mn − 1) mn − 1
mn mn − 1
=
( mn + 1)( mn − 1) mn mn − 1
=
.
500*. а) =
1 2 + 3 +1 2 − 3 −1 2−4−2 3
=
=
2 − ( 3 + 1) [ 2 + ( 3 + 1)][ 2 − ( 3 + 1)] 2 − 3 −1 −2−2 3
=
=
2 − 3 −1 ( 2 ) 2 − ( 3 + 1) 2
( 2 − 3 − 1)(1 − 3 ) − 2(1 + 3 )(1 − 3 )
www.5balls.ru
=
=
2 − 3 −1− 6 + 3 + 3 2 + 2 − 6 = ; − 2(1 − 3) 4
=
1
б) = =
5− 3+2
=
5 − (2 − 3 ) [ 5 + (2 − 3 )][ 5 − (2 − 3 )]
5 −2+ 3 5 − (4 − 4 3 + 3)
5 −2+ 3
=
−2+4 3
=
=
5 −2+ 3 ( 5 ) 2 − (2 − 3 ) 2
( 5 − 2 + 3 )(2 3 + 1) 2(2 3 − 1)(2 3 + 1)
=
=
2 15 − 4 3 + 6 + 5 − 2 + 3 4 + 2 15 + 5 − 3 3 = . 2(12 − 1) 22
501*. x− 2 x− 2 = = x−2 ( x − 2 )( x + 2 )
1 x + 2.
Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель наименьшее, значит x = 0. 502. а) 15
2 2 2⋅5 − 160 = 15 − 16 ⋅ 10 = 15 − 4 10 = 5 5 5⋅5
= 3⋅
10 ⋅ 25 − 4 10 = 3 10 − 4 10 = − 10 ; 25
б) 135 + 10 0,6 = 5 ⋅ 27 + 10 1 3
в) 6 1 − 27 = 6 =
3⋅5 = 3 15 + 2 15 = 5 15 ; 5⋅5
4 1 1⋅ 3 − 9⋅3 = 6⋅2 −3 3 = 6⋅2 −3 3 = 3 3 3⋅3
12 3 − 3 3 = 3; 2
г) 0,5 24 + 10
3 10 3 ⋅ 2 3 = 0,5 4 ⋅ 6 + 10 = 0,5 ⋅ 2 6 + = 8 2⋅4 2 2⋅2
= 6 + 2,5 6 = 3,5 6 .
503*. а) (
1 x+x y
+
1 x−x y
)⋅
y −1 x − x y + x + x y y −1 = ⋅ = 2 ( x + x y )( x − x y ) 2
www.5balls.ru
=
2x 2
x − (x y )
б) ( = =
a a− b
2
−
⋅
1 y − 1 2 x ( y − 1) y −1 = 2 =− =− ; 2 x( y − 1) x 2 x (1 − y ) a a+ b
)⋅
(b − a ) 2 = 2
2 ab (b − a ) 2 a ( a + b ) − a ( a − b ) (b − a ) 2 ⋅ = ⋅ = 2 ( a − b) 2 ( a − b )( a + b ) 2 ab ⋅ (a − b) 2 = ab (a − b). ( a − b) ⋅ 2
www.5balls.ru
ГЛАВА III. Квадратные уравнения § 8. Квадратное уравнение и его корни 19. Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения №504. Ответ: а) является; б) нет; в) является; г) нет; д) неполное квадратное уравнение; е) неполное квадратное уравнение. №505. Коэффициенты: а) а=5; b=-9; c=4; б) a=1; b=3; c=-10; в) a=-1; b=-8; c=1; г) a=-4; b=5; c=0; д) a=6; b=0; c=-30; е) a=9; b=0; c=0. №506. a) (2x-1)(2x+1)=x(2x+3); 4x2-1=2x2+3x; 2x2-3x-1=0; б) (3x+2)2=(x+2)(x-3); (3x+2) 2=x2-3x+2x-6; 9x2+12x+4=x2-3x+2x-6; 8x2+13x+10=0; в) (x+1)(x+2)=(2x-1)(x-2); x2+2x+x+2=2x2-4x+2-x; x2+3x+2-2x2+5x-2=0 -x2+8x=0; x2-8x=0; г) (x+3)(3x-2)=(4x+5)(2x-3); (x+3)(3x-2)=8x2-12x+10x-15; 3x2-2x+9x-6=8x2-12x+10x-15; 5x2-9x-9=0.
www.5balls.ru
№507. а) 4x2-2x(3x+1)=5; 4x2-6x2-2x=5; -2x2-2x=5; 2x2+2x+5=0; б) x2+(1-x)(1-3x)=x; x2+1-3x-x+3x2=x; 4x2-5x+1=0; в) –5x(x+6)=4(x-3)-10; -5x2-30x=4x-12-10; 5x2+30x+4x-12-10=0; 5x2+34x-22=0; г) (x-8)(2x+3)=(3x-5)(x+4); 2x2+3x-16x-24=3x2+12x-5x-20; -2x2-3x+16x+24+3x2+12-5x-20=0; x2+20x+4=0; №508. 1) 7x2-12x=0; 2) 2x2-4=0; 3) x2=0; №509. а) 4x2-9=0; (2x-3)(2x+3)=0; 1) 2x+3=0; 2x=-3; x=-1 2) 2x-3=0; 2x=3; x=1
1 ; 2
1 1 ; x1,2= ± 1 ; 2 2
б) –x2+3=0; x2=3; x1,2= ± 3 ; в) –0,1x2+10=0; 0,1x2=10; x2=10:0,1; x2=100; x1,2= ± 100 ; x1,2= ± 10; г) y2-
1 1 1 1 =0; y2= ; y1,2= ± ; y1,2= ; 9 9 9 3
д) 6y2+24=0; 6y2=-24; y2=-4; но квадрат числа не может быть меньше нуля, следовательно, корней нет;
www.5balls.ru
1 1 ; m1,2= ± ; 3 3
е) 3m2-1=0; 3m2=1; m2= m1,2= ±
1⋅ 3 3 ; m1,2= ± . 3⋅3 3
№510. а) 3x2-4x=0; x(3x-4)=0; x=0; 3x-4=0; 1 3 1 x1=0; x2=1 ; 3
3x=4; x=1 ;
б) –5x2+6x=0; 5x2-6x=0; x(5x-6)=0; 1 5
x=0; 5x-6=0; 5x=6; x=1 ; 1 5
x1=0; x2=1 ; в) 10x2+7x=0; x(10x+7)=0; 1) x=0; 2) 10x+7=0; 10x=-7; x=-
7 ; x=-0,7; 10
x1=0; x2=-0,7; г) 4a2-3a=0; a(4a-3)=0; 1) a=0; 2) 4a-3=0; 4a=3; a=
3 3 ; a1=0; a2= ; 4 4
д) 6z2-z=0; z(6z-1)=0; 1) z=0; 2) 6z-1=0; 1 6 1 z1=0; z2= ; 6
6z=1; z= ;
е) 2y+y2=0; y(2+y)=0; 1) y=0; 2) 2+y=0; y=-2; y1=0; y2=-2. №511. a) 2x2+3x=0; x(2x+3)=0;
www.5balls.ru
1) x=0; 2) 2x+3=0; 2x=-3; x=-1
1 1 ; x1=0; x2=-1 ; 2 2
б) 3x2-2=0; 3x2=2; x2=
2 2 2 3 6 ; x1,2= ± =± ; ⋅ =± 3 3 3 3 3
в) 5u2-4u=0; u(5u-4)=0; 1) u-0; 2) 5u-4=0; u=
4 4 ; u1=0; u2= ; 5 5
г) 7a-14a2=0; 7a(1-2a)=0; 1) a=0; 2) 1-2a=0; 2a=1; a=
1 1 ; a1=0; a2= ; 2 2
д) 1-4y2=0; (1-2y)(1+2y)=0; 1) 1+2y=0; 2y=-1; y=2) 1-2y=0; 2y=1; y= y1=
1 ; 2
1 ; 2
1 1 ; y2=- ; 2 2
е) 2x2-6=0; 2(x2-3)=0; x2=3; x1,2= ± 3 . №512. a) 4x2-3x+7=2x2+x+7; 2x2-4x=0; 2x(x-2)=0; 1)x=0; 2) x-2=0; x=2; x1=0; x2=2; б) –5y2+8y+8=8y+3; -5y2+5=0; 5(y2-1)=0; y2=1; y1,2= ± 1; в) 10-3x2=x2+10-x; 10-3x2-x2-10+x=0; -4x2+x=0; 4x2-x=0; x(4x-1)=0; 1)x=0; 2) 4x-1=0; 4x=1; x=
1 1 ; x1=0; x2= ; 4 4
г) 1-2y+3y2=y2-2y+1; 3y2-2y+1-y2+2y-1=0; 2y2=0; y=0.
www.5balls.ru
№513. a) (x+3)(x-4)=-12; x2-4x+3x-12=-12; x2-x=0; x(x-1)=0; x=0; x-1=0; x=1; x1=0; x2=1; 2 1 x+(2x+1) x −1 =0; 3 3 2 1 2 1 1 x+2 ⋅ x -2x+ x-1=0; 3 3 3 2 2 3 3 3 x -1=0; x2- =0 ⋅ ; x2= ; 3 2 2 2
б) 1
x1,2= ±
3 ; 2
в) (3x-1)2-1=0; (3x-1-1)(3x-1+1)=0; (3x-2)(3x+0)=0; 3x-2=0; 3x=2; x= x1=
2 ; 3x=0; x=0; 3
2 ; x2=0; 3
г) 3x(2x+3)=2x(x+4,5)+2; 6x2+9x=2x2+9x+2; 4x2-2=0; 2(2x2-1)=0; 2x2=1; x2=
1 1 2 ; x1,2= ± ; =± 2 2 2
д) 18-(x-5)(x-4)=-x2; 18-(x2-4x-5x+20)=-x2; 18-x2+4x+5x-20+x2=0; 9x-2=0; 9x=2; x=
2 ; 9
е) (x-1)(x+1)=2(x2-3); x2-1=2x2-6; x2-1-2x2+6=0; -x2+5=0; x2-5=0; x2=5; x1,2= ± 5 . №514. а) x2-5=(x+5)(2x-1); x2-5=2x2-x+10x-5; x2+9x=0; x(x+9)=0; x=0; x+9=0; x=-9; x1=0; x2=-9; б) (2x+3)(3x+1)=11x+30; 6x2+2x+9x+3-11x-30=0; 6x2-27=0; 3(2x2-9)=0;
www.5balls.ru
2x2-9=0; 2x2=9; x2= x1,2= ±
9 ; 2
9 3 3 2 ; =± =± 2 2 2
в) 2x-(x+1)2=3x2-6; 2x-(x2+2x+1)=3x2-6; 3x2-6-2x+x2+2x+1=0; 4x2-5=0; 4x2=5; x2=
5 5 5 ; x1,2= ± ; x1,2= ± ; 4 2 4
г) 6a2-(a+2) 2=-4(a-4); 6a2-(a2+4a+4)=-4a+16; 6a2-a2-4a-4+4a-16=0; 5a2-20=0; 5(a2-4)=0; a2-4=0; a2=4; a1,2= ± 2; д) x(7-6x)=(1-3x)(1+2x); 7x-6x2=1+2x-3x-6x2; 7x-1-2x+3x=0; 8x-1=0; 8x=1; x=
1 ; 8
е) (5y+2)(y-3)=-13(2+y); 5y2-15y+2y-6=-26-13y; 5y2-13y-6+26+13y=0; 5y2+20=0; 5(y2+4)=0; y2+4=0; y2=-4; корней нет, поскольку квадрат действительного числа не может быть меньше нуля. №515. Обозначим за n и (n+1) – два последовательных целых числа. Их произведение по условию задачи 1 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Составим уравнение: n(n+1)=1,5n2; n2+n-1,5n2=0; -0,5n2+n=0; 0,5n2-n=0; n(0,5n-1)=0; n1=0; (не подходит по условию задачи); 0,5n-1=0; 0,5n=1; n=1:0,5; n=2; n+1=3. Ответ: 2 и 3. №516. Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь S=a2 (см2). Тогда имеем: S=Sтр+Sост части; Sкв=59+85; S=144 см2; т.е. а2=144 см2; а= ± 144 = ±12 ; а1=12; а2=-12 – не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом. Ответ: 12 см. №517.
www.5balls.ru
Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь Sкв=a2 (см2). По условию задачи, Sкв-Sкр=12 (см2). Составим уравнение: a2-12=36; a2=48. Откуда находим: a1,2= ± 48 ; a1,2= ± 16 ⋅ 3 ; a1=4 3 ; a2=-4 3 - не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть меньше нуля. Ответ: 4 3 см. №518. Площадь круга равна πr 2 , где r – радиус круга. Из условия Sкр=1 дм2. Составляем уравнение: πr 2 =1; r2= r1,2= ±
1 ; π
1⋅ π π π π ; r1= ; r2=- не подходит, так как радиус =± π⋅π π π π
круга не может быть меньше нуля. Ответ:
π дм. π
№519. Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь Sкв=a2, Sкр= πr 2 . По условию задачи площади круга и квадрата равны, значит, можно составить уравнение: a2= πr 2 ; откуда a1,2= ± πr 2 ; a1=r π ; a2=- r π ; - не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть меньше нуля. Ответ: r π см. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №520.
(
)
а) y= 1− 2 x; y=kx; k= 1− 2 <0, следовательно, график функции
(
)
y= 1− 2 x расположен во II и IV четвертях;
www.5balls.ru
( 35 − 5,7) x; y=kx, k= 35 − 5,7 ; 37 ≈ 5,92, следовательно, график функции y= ( 35 − 5,7 ) x расположен в I и III координатных
б) y=
четвертях.
№521. 9 + 6x + x 2 ( x + 3) 2 + x = + x = x +3+ x ; x+3 x +3
Подставим x=0,36: x+3+ x =0,36+3+ 0,36 =0,36+3+0,6=3,96; Подставим x=49: x+3+ x =49+3+ 49 =52+7=59. №522. а) a2+b2>0 и a2+b2+1>0, следовательно,
a 2 + b2 a 2 + b2 + 1
б) (a+b)2>0 и (a-b)2+1>0, следовательно,
>0;
(a + b) 2 (a − b) 2 + 1
>0;
20. Решение квадратных уравнений выделением квадратного двучлена №523. a) x2+12x+36=0; (x+6)2=0; x+6=0; x=-6; 2
б) x2-x+
1 1 1 1 =0; x − =0; x- =0; x= . 4 2 2 2
№524. а) x2-8x+15=0; x2-8x+16=16-15; (x-4)2=1; x-4= ± 1; 1) x1=4+1=5; 2) x2=4-1=3; x1=5; x2=3; б) x2+12x+20=0; x2+12x+36=36-20; (x+6)2=16; x+6= ±4 ; 1) x+6=4; x=-2; 2) x+6=-4; x=-10; x1=-2; x2=-10;
www.5balls.ru
в) x2-5x-6=0; x2-2 ⋅
5 25 25 x+ = +6; 2 4 4
2
2
5 25 + 24 5 49 5 7 ; x − = ; x- = ± ; x − = 2 4 2 4 2 2 5 7 12 5 7 2 1) x= + = =6; 2) x= − = − =-1; x1=6; x2=-1; 2 2 2 2 2 2 г) x2-8x-9=0; x2-2 ⋅ 4x+16-16-9=0;
x2-8x+16=16+9; (x-4)2=25; x-4= ± 5; 1) x=4+5=9; 2) x=4-5=-1; x1=9; x2=-1. №525.
a) x2-4x+3=0; x2-4x=-3; x-2 ⋅ 2x+4=4-3; x2-4x+4=1; (x-2) 2=1; x-2= ± 1 ; 1) x-2=1; x=3; 2) x-2=-1; x=1; x1=3; x2=1; б) x2+3x-10=0; x2+2 ⋅ x + 3 x+ 2
3 9 9 x+ = +10; 2 4 4
2
3 49 3 49 ; x+ = ± ; = 2 4 2 4
=±
7 7 3 10 ; x=- − = − =-5; 2 2 2 2
x1=2; x2=-5; в) x2+9x+14=0; x2+2 ⋅
9 81 81 x+ = -14; 2 4 4
2
9 25 9 5 ; x+ =± ; x + = 2 4 2 2 9 5 5 9 1) x + = ; x= − =-2; 2 2 2 2 9 5 5 9 2) x + = − ; x= − − =-7; 2 2 2 2
x1=-2; x2=-7; г) x2-2x-1=0; x2-2x+1=1+1; (x-1) 2=2; x-1= ± 2 ; 1) x-1=- 2 ; x=- 2 +1; 2) x-1= 2 ; x= 2 +1; x1=- 2 +1; x2= 2 +1.
www.5balls.ru
№526. а) x2-6x+8=0; (x2-2 ⋅ 3x+9)-9+8=0; (x-3)2=1; x-3= ±1 ; 1) x-3=1; x=4; 2) x-3=-1; x=2; x1=4; x2=2;
б) x2+x-6=0; x 2 + 2 ⋅
x 1 1 + − -6=0; 2 4 4 2
1 1 1 25 1 5 =6+ ; x + = ; x+ = ± ; 4 4 2 4 2 2 1 5 5 1 1) x+ = ; x= − =2; 2 2 2 2 1 5 5 1 2) x+ = − ; x=- − =-3; 2 2 2 2
x2+x+
x1=2; x2=-3; в) x2+4x+3=0; x2+4x+4-4+3=0; (x+2)2=1; x+2= ±1 ; 1) x+2=1; x=-1; 2) x+2=-1; x=-3; x1=-1; x2=-3; г) x2+4x-2=0; x2+4x+4-4-2=0; (x+2)2=6; x+2= ± 6 ; 1) x=-2+ 6 ; 2) x=-2- 6 ; x1=-1+ 6 ; x2=-2- 6 . №527. a) 2x2-9x+10=0; x2-
9 10 9 10 x+ =0; x2- x=- ; 2 2 2 2 2
x2-2x ⋅
9 81 81 10 2 9 9 81 − 80 + = - ; x -2x ⋅ + = ; 4 16 16 2 4 4 16 2
9 1 9 1 ; x − = ; x- = ± 4 16 4 16 9 1 9 1 10 1) x- = ; x= + ; x= =2,5; 4 4 4 4 4
www.5balls.ru
2) x=
9 1 - =2; 4 4
x1=2,5; x2=2; 3 5
8 5
3 5
8 5
б) 5x2+3x-8=0; x2+ x- =0; x2+ x= ; 2
x2+2x ⋅
2
3 3 8 3 + = + ; 10 10 5 10 2
2
3 8 9 3 169 ; x + = ; x + = + 10 5 100 10 100 3 169 3 13 =± ; x+ = ± ; 10 100 10 10 13 3 1) x= − =1; 10 10 13 3 16 2) x=- − =- ; x=-1,6; 10 10 10
x+
x1=1; x2=-1,6. №528. 5x2+14-3=0; x2+
14 3 14 3 x- =0; x2+ = ; 5 5 5 5 2
x2+2 ⋅
2
2
14 14 3 196 14 3 14 x+ = + ; x + = + ; 10 10 5 10 10 5 100 2
2
2
14 256 14 16 14 16 ; x + = ; x+ = ± ; x + = 10 100 10 10 10 10 16 14 2 1 1) x= - = = ; 10 10 10 5 30 16 14 = −3 ; 2) x=- - = − 10 10 10 1 x1= ; x2=-3. 5
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №529. Ответ: a2+4; 5a2+2; (a-4) 2+4.
www.5balls.ru
№530. с с+2 8 с + − 1 ⋅ − = 2 с−2 с+2 2 8−с с с+2 8 с (2 − с)(4 + 2с + с 2 ) − с − 2 − 1 с + 2 − 2 = 8 − с(4 + 2с + с2 ) − (8 − с3 ) 2с − (с + 2) 2 ⋅ = 2(с + 2) ( 2 − с) ⋅ (4 + 2с + с 2 ) 8 − 4с − 2с 2 − с3 − 8 + с3 2с − с 2 − 4с − 4 ⋅ = 2(с + 2) 8 − с3 − 4(4с + 2с 2 ) − с 2 − 2с − 4 2с(2 + с) ⋅ = × 3 2(с + 2) 8−с ( 2 − с)(4 + 2с + с 2 ) ×
(с 2 + 2с + 4) 2с(с + 2)(с 2 + 2с + 4) с . = = 2 − 2(с + 2) 2 с 2( 2 − с)(с + 2с + 4)(с + 2)
№531. a) б)
(3x − 6) 2 (2 − x )
2
=
a 2 + 8a + 16 (2a + 8)
2
32 ⋅ ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 =
= 9;
( a + 4) 2 2 ⋅ 2(a + 4)
2
=
1 . 4
№532. 2
10 + 5 3 + 10 − 5 3 = 10+5 3 +2 (10 + 5 3 )(10 − 5 3 ) +
+10-5 3 =20+2 100 − 25 3 ⋅ 3 =20+2 100 − 25 ⋅ 3 =20+2 25 = =2=+2 ⋅ 5=30, 30 ∈ N, следовательно, 30 ∈ Q, что и требовалось доказать.
§ 9. Формула квадратных уравнений по формуле 21. Решение квадратных уравнений по формуле №533.
www.5balls.ru
a) 2x2+3x+1=0; D=9-4 ⋅ 2 ⋅ 1=1; D>0, уравнение имеет два корня; б) 2x2+x+2=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 2=1-16=-15; D<0, у уравнения нет корней; в) 9x2+6x+1=0; D=62-4 ⋅ 9 ⋅ 1=36-36=0; D=0, уравнение имеет один корень; г) x2+5x-6=0; D=52-1 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25+24=49; D>0, уравнение имеет два корня. №534 a) 3x2-7x+4=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3 ⋅ 4=49-48=1, D>0 – два корня: 7 ± 1 7 ±1 = ; 2⋅3 6 7 +1 8 1 x1= = =1 ; 6 6 3 7 −1 6 x2= = = 1; 6 6
x1,2=
б) 5x2-8x+3=0; D=(-8)2-4 ⋅ 5 ⋅ 3=64-60=4; D>0 – два корня: 8± 4 ; 10 8 + 2 10 = = 1; x1= 10 10 8−2 6 3 = = ; x2= 6 10 5
x1,2=
в) 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14=169-168=1; D>0, уравнение имеет два корня: 13 ± 1 13 ± 1 ; = 2⋅3 6 13 + 1 14 7 1 = = =2 ; x1= 6 6 3 3 13 − 1 12 = = 2; x2= 6 6 2 г) 2y -9y+10=0; D=92-4 ⋅ 2 ⋅ 10=81-80=1; D>0, уравнение имеет два
x1,2=
корня:
9 ± 1 9 ±1 ; = 2⋅2 4 9 + 1 10 1 = =2 ; y1= 4 4 2
y=
www.5balls.ru
y2=
9 −1 =2; 4
д) 5y2-6y+1=0; D=62-4 ⋅ 5 ⋅ 1=36-20=16; D>0, уравнение имеет два корня: 6 ± 16 6 ± 16 ; = 2⋅5 10 6+4 =1; y1= 10 6−4 2 =0,2; = y2= 10 10
y=
е) 4x2+x-33=0; D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-33)=1+528=529; D>0, уравнение имеет два корня: − 1 ± 529 2⋅4 −1 − 23 = x1= 8 −1 + 23 = x2= 8
x=
− 1 ± 23 ; 8 −24 =-3; 8 22 =2,75; 8 =
ж) y2-10y-24=0; D=(-10)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=100+96=196; D>0, уравнение имеет два корня: 10 ± 196 10 ± 196 = ; 2 ⋅1 2 10 + 14 =12; y1= 2 10 − 14 =-2; y2= 2 з) p2+p-90=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-90)=1+360=361; D>0, уравнение имеет два
y=
корня:
− 1 ± 361 − 1 ± 19 = ; 2 2 −1 − 19 =-10; p1= 2 −1 + 19 =9. p2= 2
p=
№535.
www.5balls.ru
a) 14x2-5x-1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 14 ⋅ (-1)=25+56=81; D>0, уравнение имеет два корня: 5 ± 81 2 ⋅14 5+9 = x1= 28 5−9 = x2= 28
x=
5 ± 81 ; 28 14 1 = ; 28 2 −4 1 =− ; 28 7
=
б) –y2+3y+5=0; y2-3y-5=0; D=(-3)-4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=9+20=29; D>0, уравнение имеет два корня: y=
3 ± 29 ; 2
y1=
3 − 29 ; 2
y2=
3 + 29 ; 2
в) 2x2+x+67=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 67=1-536=-535; D<0, у уравнения нет корней; г) 1-18p+81p2=0; D1=92-1 ⋅ 81=0; D1=0 – один корень: p=
9± 0 1 = ; 81 9
д) –11y+y2-152=0; D=(-11)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-152)=121+608=729; D>0, уравнение имеет два корня: 11 ± 729 11 ± 27 = ; 2 2 11 − 27 =-8; y1= 2 11 + 27 =19; y2= 2
y=
е) 18+3x2-x=0; 3x2-x+18=0; D=(-1)2-4 ⋅ 3 ⋅ 18=1-216=-215; D<0 – нет корней. №536. a) 5x2-11x+2=0; D=(-11)2-4 ⋅ 5 ⋅ 2=121-40=81; D>0, уравнение имеет два корня: x=
11 ± 81 11 ± 9 ; = 2⋅5 10
www.5balls.ru
11 + 9 =2; 10 11 − 9 2 =0,2; x2= = 10 10
x1=
б) 2p2+7p-30=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ (-30)=49+240=289; D>0, уравнение имеет два корня: − 7 ± 289 − 7 ± 17 = ; 2⋅2 4 −7 + 17 10 =2,5; = p1= 4 4 −7 − 17 −24 =-6; = p2= 4 4
p=
в) 9y2-30y+25=0; D1=152-9 ⋅ 25=225-225=0; D1=0 – один корень: y=
15 ± 0 15 2 = =1 ; 9 9 3
г) 35x2+2x-1=0; D1=12-35 ⋅ (-1)=1+35=36; D1>0, уравнение имеет два корня: − 1 ± 36 ; 35 7 1 −1 − 6 x1= =− =− ; 35 35 5 5 1 −1 + 6 x2= = = ; 35 35 7
x=
д) 2y2-y-5=0; D=(-1)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-5)=1+40=41; D>0, уравнение имеет два корня: y1,2=
1 ± 41 1 ± 41 = ; 2⋅2 4
е) 16x2-8x+1=0; D1=42-16 ⋅ 1=0; D=0 – один корень: x=
4± 0 1 = . 16 4
№537. a) x2-11x+31=1; x2-11x+30=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1; x=
11 ± 1 11 ± 1 ; = 2 ⋅1 2
www.5balls.ru
11 − 1 =5; 2 11 + 1 =6; x2= 2
x1=
б) x2-5x-3=2x-5; x2-7x+2=0; D=7-4 ⋅ 1 ⋅ 2=49-8=41; x=
7 ± 41 ; 2
x1=
7 − 41 ; 2
x2=
7 + 41 ; 2
в) 7x+1=3x2-2x+1; 3x2-9x=0; 3x(x-3)=0; 1) 3x=0; x=0; 2) x-3=0; x=3; г) –2x2+5x+6=4x2+5x; 6x2-6=0; 6(x2-1)=0; x2-1=0; x2=1; x1,2= ± 1. №538. a) x2-6x=5x-18; x2-11x+18=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 18=121-72=49; 11 ± 49 11 ± 7 = ; 2 2 11 − 7 =2; x1= 2 11 + 7 =9; x2= 2
x=
б) 3x2-4x+3=x2+x+1; 2x2-5x+2=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 2=25-16=9; 5± 9 5±3 ; = 2⋅2 4 5+3 =2; x1= 4 5−3 1 x2= = . 4 2
x=
www.5balls.ru
№539. a) 3x2-14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1; 7 ± 1 7 ±1 ; = 3 3 7 +1 2 =2 ; x1= 3 3 7 −1 =2; x2= 3
x=
б) 5x2-16x+3=0; D1=82-5 ⋅ 3=49; 8 ± 49 8 ± 7 ; = 5 5 8+7 =3; x1= 5 8−7 1 = =0,2; x2= 5 5
x=
в) x2+2x-80=0; D1=12-1 ⋅ (-80)=81; x=
− 1 ± 81 --1 ± 9; 1
x1=-1-9=-10; x2=-1+9=8; г) x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144; x=
11 ± 144 =11 ± 12; 1
x1=11+12=23; x2=11-12=-1; д) 4x2-36x+77=0; D1=182-4 ⋅ 77=16; 18 ± 16 18 ± 4 ; = 4 4 18 + 4 22 =5,5; = x1= 4 4 18 − 4 14 7 = = =3,5; x2= 4 4 2
x=
е) 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676; y=
11 ± 676 11 ± 26 ; = 15 15
www.5balls.ru
11 + 26 7 =2 ; 15 15 11 − 26 =-1; y2= 15
y1=
ж) 7z2-20z+14=0; D1=102-7 ⋅ 14=2; z1,2=
10 ± 2 ; 7
з) y2-10y-25=0; D1=52-1 ⋅ (-25)=50; y1,2=
5 ± 50 =5 ± 2 ⋅ 25 =5 ± 5 2 . 1
№540. a) 8x2-14x+5=0; D1=72-8 ⋅ 5=9; 7± 9 7±3 ; = 8 8 7+3 1 x1= =1 ; 8 4 7−3 1 x2= = ; 8 2
x=
б) 12x2+16x-3=0; D1=82-12 ⋅ (-3)=100; − 8 ± 100 − 8 ± 10 ; = 12 12 −8 + 10 1 = ; x1= 12 6 −8 − 10 1 x2= = −1 ; 12 2 в) 4x2+4x+1=0; D1=22-4 ⋅ 1=0;
x=
−2± 0 2 1 =− =− ; 4 4 2 г) x2-8x-84=0; D1=42-1 ⋅ (-84)=100; 4 ± 100 =4 ±10 ; x= 1
x=
x1=4+10=14; x2=4-10=-6; д) x2-6x-19=0; D1=32-1 ⋅ (-19)=28;
www.5balls.ru
− 3 ± 28 =-3 ± 4 ⋅ 7 =-3 ± 2 7 ; 1 е) 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=289; − 13 ± 289 − 13 ± 17 = ; x= 5 5 −13 + 17 4 x1= = ; 5 5 −13 − 17 =-6; x2= 5 ж) x2-34x+289=0; D1=172-1 ⋅ 289=0; 17 ± 0 =17; x= 1 з) 3x2+32x+80=0; D1=162-3 ⋅ 80=16;
x1,2=
− 16 ± 16 − 16 ± 4 ; = 3 3 −16 + 4 =-4; x1= 3 −16 − 4 2 = −6 . x2= 3 3
x=
№541. a) 2x2-5x-3=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=49; 5 ± 49 5 ± 7 ; = 2⋅2 4 5−7 =-0,5; x1= 4 5 + 7 12 =3; = x2= 4 4
x=
б) 3x2-8x+5=0; D1=42-3 ⋅ 5=1;
4 ±1 ; 3 4 +1 2 =1 ; x1= 3 3 4 −1 =1; x2= 3
x=
в) 5x2+9x+4=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ 4=1;
www.5balls.ru
−9 ± 1 ; 10 −9 + 1 =-0,8; x1= 10 −9 − 1 =-1; x2= 10
x=
г) 36y2-12y+1=0; D1=62-36 ⋅ 1=0; y=
6 1 = ; 36 6
д) 3t2-3t+1=0; D=32-4 ⋅ 3 ⋅ 1=-3 – корней нет; е) x2+9x-22=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=169; − 9 ± 169 − 9 ± 13 ; = 2 2 −9 + 13 =2; x1= 2 −9 − 13 22 =-11; =− x2= 2 2
x=
ж) y2-12y+32=0; D1=62-1 ⋅ 32=4; y=
6± 4 =6 ± 2; 1
y1=6+2=8; y2=6-2=4; з) 100x2-160x+63=0; D1=802-63 ⋅ 100=100; 80 ± 100 80 ± 10 ; = 100 100 80 − 10 70 =0,7; x1= = 100 100 80 + 10 90 =0,9. x2= = 100 100
x=
№542. a) 5x2=9x+2; 5x2=9x-2=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ (-2)=121; 9 ± 121 9 ± 11 = ; 5⋅ 2 10 9 − 11 =-0,2; x1= 10
x=
www.5balls.ru
x2=
9 + 11 =2; 10
б) –x2=5x-14; x2+5x-14=0; D=52-4 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ (-14)=81; x=
− 5 ± 81 − 5 ± 9 = ; 2 2
−5 + 9 =2; 2 −5 − 9 =-7; x2= 2
x1=
в) 6x+9=x2; x2-6x-9=0; D1=32-1 ⋅ (-9)=18; x1,2=
3 ± 18 = 3± 9⋅2 = 3± 3 2 ; 1
г) z-5=z2-25; z2-z-20=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-20)=81; z=
1 ± 81 1 ± 9 ; = 2 2
1+ 9 =5; 2 1− 9 =-4; z2= 2
z1=
д) y2=52y-576; y2-52y+576=0; D1=262-1 ⋅ 576=100; y=
26 ± 100 = 26 ± 10 ; 1
y1=26+10=36; y2=26-10=16; е) 15y2-30=22y+7; 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676; 11 ± 676 11 ± 26 = ; 15 15 11 − 26 =-1; y1= 15 11 + 26 7 =2 ; y2= 15 15
y=
ж) 25p2=10p-1; 25p2-10p+1=0; D1=52-1 ⋅ 25=0; p=
5 1 = ; 25 5
з) 299x2+10x=500-101x2; 400x2+100x-500=0; 4x2+x-5=0;
www.5balls.ru
D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-5)=81; x=
− 1 ± 81 − 1 ± 9 ; = 2⋅4 8
−1 + 9 =1; 8 −1 − 9 =-1,25. x2= 8
x1=
№543. a) 25=26x-x2; x2-26x+25=0; D1=132-1 ⋅ 25=144; x=
13 ± 144 = 13 ± 12 ; 1
x1=13+12=25; x2=13-12=1; б) 3x2=10-29x; 3x2+29x-10=0; D=292-4 ⋅ 3 ⋅ (-10)=841+120=961; − 29 ± 961 − 29 ± 31 ; = 3⋅ 2 6 −29 + 31 1 x1= = ; 6 3 −29 − 31 =-10; x2= 6
x=
в) y2=4y+96; y2-4y-96=0; D1=22-1 ⋅ (-96)=100; y=
2 ± 100 = 2 ± 10 ; 1
y1=2+10=12; y2=2-10=-8; г) 3p2+3=10p; 3p2-10p+3=0; D1=52-3 ⋅ 3=16; p=
5 ± 16 5 ± 4 = ; 3 3
5−4 1 = ; 3 3 5+ 4 =3; p2= 3
p1=
д) x2-20x=20x+100; x2-40x-100=0; D1=202-1 ⋅ (-100)=500;
www.5balls.ru
x1,2=
20 ± 500 = 20 ± 5 ⋅ 100 = 20 ± 10 5 ; 1
е) 25x2-13x=10x2-7; 15x2-13x+7=0; D=132-4 ⋅ 15 ⋅ 7=169-420=-251<0 – у уравнения нет корней. №544. a) (2x-3)(5x+1)=2x+
2 2 ; 10x2+2x-15x-3-2x- =0; 5 5
2 =0; 50x2-75x-17=0; 5 D=752-4 ⋅ 50 ⋅ (-17)=5625+3400=9025;
10x2-15x-3
75 ± 9025 75 ± 95 = ; 2 ⋅ 50 100 75 − 95 −20 =-0,2; x1= 100 10 75 + 95 170 =1,7; = x2= 100 100
x=
б) (3x-1)(x+3)=x(1+6x); 3x2+9x-x-3=x+6x2; 3x2-7x+3=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ 3=13; x1,2=
7 ± 13 ; 6
1 21 ); x2-1=10x-2 ⋅ ; 2 2 2 2 2 x -1=10x-21; x -10x+20=0; D1=5 -1 ⋅ 20=5;
в) (x-1)(x+1)=2(5x-10
x1,2=5 ± 5 ; г) –x(x+7)=(x-2)(x+2); -x2-7x=x2-4; 2x2+7x-4=0; D=49-2 ⋅ (-4) ⋅ 4=81; x=
− 7 ± 81 − 7 ± 9 = ; 2⋅2 4
−7 + 9 1 = ; 4 2 −7 − 9 =-4. x2= 4
x1=
№545.
www.5balls.ru
a) (x+4) 2=x+40; x2+8x+16-3x-40=0; x2+5x-24=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=121; − 5 ± 121 − 5 ± 11 = ; 2 ⋅1 2 −5 + 11 =3; x1= 2 −5 − 11 =-8; x2= 2
x=
б) (2x-3)2=11x-19; 4x2-12x+9-11x+19=0; 4x2-23x+28=0; D=232-4 ⋅ 4 ⋅ 28=81; 23 ± 81 23 ± 9 ; = 8 8 23 − 9 =1,75; x1= 8 23 + 9 =4; x2= 8
x=
в) (x+1)2=7918-2x; x2+2x+1+2x-7918=0; x2+4x=7917=0; D1=22-1 ⋅ (-7917)=4+7917=7921; x=
− 2 ± 7921 =-2 ± 89; 1
x1=-2+89=87; x2=-2-89=-91; г) (x+2)2=3131-2x; x2+4x+4-3131+2x=0; x2+6x-3127=0; D1=9-1 ⋅ (-3127)=9+3127=3136; x=
− 3 ± 3136 = −3 ± 56 ; 1
x1=-3+56=53; x2=-3-56=-59. №546. a) 3(x+4)2=10x+32; 3(x2+8x+16)=10x+32; 3x2+14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1; x= x1=
−7 ± 1 ; 3
−7 + 1 =-2; 3
www.5balls.ru
x2=
−7 − 2 2 = −2 ; 3 3
б) 15x2+17=15(x+1)2; 15x2+17=15(x2+2x+1); 15x2+17=15x2+30x+15; 30x-2=0; 2(15x+1)=0; 15x-1=0; x=
1 ; 15
в) (x+1)2=(2x-1)2; x2+2x+1=4x2-4x+1=0; 3x2-6x=0; 3x(x-2)=0; x1=0; x2=2; г) (x-2)2+48=(2-3x)2; x2-4x+4+48=4-12x+9x2; 8x2-8x-58=0; x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25; 1 ± 25 1 ± 5 ; = 1⋅ 2 2 1− 5 =-2; x1= 2 1+ 5 =3. x2= 2
x=
№547. a)
x 2 −1 -11x=11; x2-1-22x=22; 2
x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144; x=11 ± 144 = 11 ± 12 ; x1=11+12=23; x2=11-12=-1; б)
x 2 + x 8x − 7 x 2 + x 8 x − 7 = − = 0; ; 2 3 2 3
3x2+3x-16x+14=0; 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14-169-168=1; 13 ± 1 ; 6 13 − 1 =2; x1= 6 13 + 1 1 =2 ; x2= 6 3
x=
www.5balls.ru
в)
4x 2 − 1 4x 2 − 1 =x(10x-9); =10x2-9x; 3 3
4x 2 − 1 =0; 30x2-27x-4x2+1=0; 3 26x2-27x+1=0; D=272-4 ⋅ 26 ⋅ 1=729-104=625=252; 27 ± 25 x= ; 52 27 + 25 =1; x1= 52 27 − 25 1 ; x2= = 52 26 3 2 4 3 3 2 4 3 г) x2- x= x2+ ; x2- x- x2- =0; 4 5 5 4 4 5 5 4
10x2-9x-
15x2-8x-16x2-15=0; x2+8x+15=0; D1=42-1 ⋅ 15=1; x=
−4 ± 1 ; 1
x1=-4+1=-3; x2=-4=1=-5. №548. a) 5x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 5 ⋅ (-1)=21; 1 ± 21 1 ± 21 1 ± 4б58 = ≈ ; 2⋅5 10 10 1 + 4,58 5,58 x1 ≈ = = 0,558 ≈ 0,56 ; 10 10 1 − 4,58 3,58 =− = −0,358 ≈ −0,36 ; x2 ≈ 10 10 2 б) 2x +7x+4=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 4=17;
x=
− 7 ± 17 − 7 ± 17 − 7 ± 4,12 = ≈ ; 2⋅2 4 4 11,12 −7 − 4,12 x1 ≈ =− = −2,78 ; 4 4 −7 + 4,12 −2,88 x2 ≈ = = −0,72 ; 4 4
x=
в) 3(y2-2)-y=0; 3y2-y-6=0; D=12-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=1+72=73;
www.5balls.ru
1 ± 73 1 ± 73 1 ± 8,54 ; = ≈ 3⋅ 2 6 6 1 + 8,54 9,54 = = 1,59 ; y1 ≈ 6 6 1 − 8,54 7,54 =− ≈ −1,26 ; y2 ≈ 6 6
y=
г) y2+8(y-1)=3; y2+8y-8-3=0; y2+8y-11=0; D1=16-1 ⋅ (-11)=27; − 4 ± 27 ≈ −4 ± 5,20 ; 1 y1 ≈ −4 − 5,20 = −9,20 ; y2 ≈ −4 + 5,20 = 1,20 .
y=
№549. a) x2-8x+9=0; D1=42-1 ⋅ 9=7; x= 4 ± 7 ≈ 4 ± 2,65 ; x1 ≈ 4 + 2,65 = 6,65 ; x2 ≈ 4 − 2,65 = 1,35 ; б) 2y2-8y+5=0; D1=42-2 ⋅ 5=6; y=
4 ± 6 4 ± 2,45 ; ≈ 2 2
4 + 2,45 6,45 = ≈ 3,22 ; 2 4 4 − 2,45 1,55 y2 ≈ = ≈ 0,78 . 2 2
y1 ≈
№550. a) 0,7x2=1,3x+2; 0,7x2-1,3x-2=0; D=1,32-4 ⋅ 0,7 ⋅ (-2)=1,69+5,6=7,29; x=
1,3 ± 7,29 1,3 ± 2,7 = ; 2 ⋅ 0,7 1,4
x1=
1,3 + 2,7 4 20 6 = = =2 ; 1,4 1,4 7 7
x2=
1,3 − 2,7 −1,4 = = −1 ; 1,4 1,4
б) 7=0,4y+0,2y2; 0,2y2+0,4y-7=0; D1=0,22-0,2 ⋅ (-7)=1,44;
www.5balls.ru
y=
− 0,2 ± 1,44 − 0,2 ± 1,2 = ; 0,2 0,2
y1=
−0,2 + 1,2 1 =5; = 0,2 0,2
y2=
−0,2 − 1,2 −1,4 =-7; = 0,2 0,2
в) x2-1,6x-0,36=0; D1=0,82-1 ⋅ (-0,36)=1; x=
0,8 ± 1 = 0,8 ± 1 1
x1=0,8+1=1,8; x2=0,8-1=-0,2; г) z2-2z+2,91=0; D1=12-1 ⋅ 2,91=-1,91; D>0 – у уравнения нет корней; д) 0,2y2-10y+125=0; D1=52-0,2 ⋅ 125=0; y=
5±0 10 =5 ⋅ =25; 0,2 2
е)
1 2 1 x +2x-9=0; D1=12- ⋅ (-9)=4; 3 3
x=
−1± 4 −1± 2 =-3 ± 6; = 1 1 3 3
x1=-3+6=3; x2=-3-6=-9. №551. a)
1 2 x =2x-7; x2-14x+49=0; D1=72-1 ⋅ 49=0; x=7; 7
б) x2+1,2=2,6x; x2-2,6x+1,2=0; D1=1,32-1 ⋅ 1,2=1,69-1,2=0,49; x=
1,3 ± 0,49 = 1,3 ± 0,7 ; 1
x1=1,3+0,7=2; x2=1,3-0,7=0,6; в) 4x2=7x+7,5; 4x2-7x-7,5=0; D=72-4 ⋅ 4 ⋅ (-7,5)=49+120=169; x=
7 ± 169 7 ± 13 = ; 4⋅2 8
www.5balls.ru
7 − 13 =-0,75; 8 7 + 13 =2,5. x2= 8
x1=
№552. a) 3a+0,6=9a2+0,36; 9a2-3a-0,24=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-0,24)=9+8,64=17,64; 3 ± 17,64 3 ± 4,2 = ; 2⋅9 18 3 + 4,2 2 = ; a1= 18 5 3 − 4,2 −1,2 1 = =− ; a2= 18 18 15 2 1 Ответ: ; - ; 5 15
a=
б) 0,4a+1,2=0,16a2+1,44; 0,16a2-0,4a-1,2+1,44=0; 0,04a2-0,1a+0,06=0; D=0,12-4 ⋅ 0,04 ⋅ 0,06=0,01-0,0096=0,0004; a=
0,1 ± 0,0004 0,1 ± 0,02 = ; 2 ⋅ 0,04 0,08
a1=
0,1 + 0,02 0,12 =1,5; = 0,08 0,08
a2=
0,1 − 0,02 0,08 =1. = 0,08 0,08
Ответ: 1,5; 1. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №553. x +1 x −1 2 − − = 2x − 2 2x + 2 1 − x 2 x +1 x −1 2 = − + = 2( x − 1) 2( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
a)
www.5balls.ru
=
( x + 1) 2 − ( x − 1) 2 + 4 x 2 + 2 x + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 4 = = 2( x − 1)( x + 1) 2( x − 1)( x + 1)
=
4x + 4 4( x + 1) 2 ; = = 2( x − 1)( x + 1) 2( x − 1)( x + 1) x − 1
Подставим х=-0,5: 1 2 2 2 20 4 = = =− = − = −1 ; x − 1 − 0,5 − 1 − 1,5 15 3 3
б)
2a − 1 2 2 2 a = a − 2a + 1 : 1 − a = (a − 2a + 1)3a = 3(1 − a ) = 3(1 − a ) ; 1− a a 3a a (1 − a ) 1− a 3a
a−
Подставим a=-1,5: 3 ⋅ (1-a)=3 ⋅ (1-(-1,5))=3 ⋅ (1+1,5)=3 ⋅ 2,5=7,5. №554.
( 21 +
a)
)
14 − 2 35 ⋅
7 + 20 = 7
21 ⋅ 7 + 7
14 ⋅ 7 2 35 ⋅ 7 7 3 7 2 2⋅7 5 − + 20 = + − +2 5 = 7 7 7 7 7
+
= 3+ 2 −2 5 = 3 + 2 ;
б)
( 5+
3 − 15
)( 5 − 3 )+
75 = 5 ⋅ 5 +
3 ⋅ 5 − 15 ⋅ 5 − 3 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 + 75 =
=5-5 3 -3+3 5 +5 3 =2+3 5 . №555. a) Приравняем правые части обоих уравнений: 7x-1=2x; 1 5
1 5
7x-2x-1=0; 5x-1=0; 5x=1; x= ; y=2x=2 ⋅ = y=
2 ; 5
2 1 2 ; ; - искомая точка; 5 5 5
б) Приравняем правые части обоих уравнений: 3x-11=4; 3x=4+11; 3x=15; x=5; y=4; (5;4) – искомая точка.
www.5balls.ru
22. Решение задач с помощью квадратных уравнений №556. Пусть n и (n+6) – данные натуральные числа. По условию, произведение этих чисел равно187. Составим уравнение: n(n+6)=187; n2+6n-187=0; D1=32-1 ⋅ (-187)=9+187=196; n=
− 3 ± 196 =-3 ± 14; 1
n1=-3-14=-17 (не подходит, поскольку не натуральное); n2=-3+14=11; тогда n+6=11+6=17. Ответ: 11, 17. №557. Пусть x и (x-2) – данные числа. По условию, их произведение равно120. Составим уравнение: x(x-2)=120; x2-2x=120; x2-2x-120=0; D1=12-1 ⋅ (-120)=1+120=121; x=
1 ± 121 =1 ±11 ; 1
1) x1=1+11=12, x-2=10; 2) x2=1-11=-10, x-2=-12. Обе пары чисел удовлетворяют условию задачи. Ответ: 1) 12 и 10; 2) –10 и –12. №558. Пусть x см и (x+4) см соответственно – ширина и длина прямоугольника. По условию задачи площадь S=60 см2. Составляем уравнение: x(x+4)=60; x2+4x-60=0; D1=22-1 ⋅ (-60)=64; x=
− 2 ± 64 = −2 ± 8 ; 1
x1=-2+8=6; x2=-2-8=-10 – не подходит. Значит x+4=10; периметр P=2 ⋅ (6+10)=32 (см). Ответ: 32 см. №559.
www.5balls.ru
Пусть x м и (x+10) м– ширина и длина участка. Площадь участка по условию задачи равна 1200 м2. Составляем уравнение: x(x+10)=1200; x2+10x-1200=0; D1=52-1 ⋅ (-1200)=1225; x=-5 ± 1225 =-5 ± 35; x1=-5-35=-40 – не подходит; x2==-5+35=30; Значит x+10=40, а длина изгороди, т.е. периметр участка P=2 ⋅ (30+40)=140 м. Ответ: 140 м. №560. Пусть a м и b м– длина и ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника по условию равна 62 м, а его площадь – 120 м2. Так как P=2(a+b), S=ab, то получаем систему уравнений: 62 = 2(a + b), 210 = ab;
a = 31 − b, 210 = (31 − b)b; a = 31 − b, 2 b − 31b + 210 = 0;
31 = a + b, 210 = ab;
a = 31 − b, 31b − b 2 − 210 = 0;
Решим второе уравнение:
D=312-4 ⋅ 1 ⋅ 210=961-840=121; b=
31 ± 121 31 ± 11 ; = 2 2
31 + 11 =21; значит, a1=31-b1=10; 2 31 − 11 =10; значит a2=31-b2=21. b2= 2
b1=
Ответ: 21 м, 10 м. №561. Пусть катеты данного треугольника равны a см и b см. Сумма катетов по условию равна 23 см, т.е. a+b=23, а площадь треугольника равна 60 см2, т.е.
1 ab=60. Получаем систему 2
уравнений: a + b = 23, ab = 120;
a = 23 − b, (23 − b)b = 120;
a = 23 − b, 2 b − 23b + 120 = 0;
www.5balls.ru
Решаем второе уравнение: D=232-4 ⋅ 1 ⋅ 120=529-480=49; b=
23 ± 49 23 ± 7 = ; 2 2
b1=15; значит a1=23-b1=8; b2=8; значит a2=23-b2=15. Ответ: 8 см и 15 см. №562. Пусть n и (n+1) – данные натуральные числа. Произведение этих чисел по условию больше их суммы на 109. Составляем уравнение: n(n+1)-109=n+(n+1); n2+n-109=n+n+1; n2-n-110=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-110)=441; n=
1 ± 441 1 ± 21 = ; 2 2
1 + 21 =11; 2 1 − 21 =-10; - не подходит, т.к. не натуральное. Значит n=11, n2= 2
n1=
n+1=12. Ответ: 11, 12. №563. Пусть x см и (х+3) см – ширина и длина оставшейся части листа, тогда длина стороны квадрата будет равна (х+3) см. Площадь прямоугольной части листа по условию задачи равна 70 см2. Составляем уравнение: х(х+3)=70; х2+3х-70=0; D=32-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=289; x=
− 3 ± 289 − 3 ± 17 = ; 2 2
−3 + 17 =7; значит х+3=10. 2 −3 − 17 =-10 – не подходит, т.к. длина не может быть x2= 2
x1=
отрицательной. Ответ: 10 см. №564.
www.5balls.ru
Пусть х см и (х+120) см – сторона квадрата и длина доски прямоугольной формы.
х см
120 см
Площадь доски прямоугольной формы по условию задачи равна 4500 см2. Составляем уравнение: х(х+120)=4500; х2+120х-4500=0; D1=602-1 ⋅ (-4500)=3600+4500=8100; x=
− 60 ± 8100 =-60 ± 90; 1
x1=-60+90=30; x2=-60-90=-150 – не подходит, т.к. –150<0. Ответ: 30 см. №565. Пусть х см и (х+14) см – ширина и длина прямоугольника.
х см
34 см
(х+14) см Воспользуемся теоремой Пифагора: x2+(x+14) 2=342; x2+x2+28x+196=1156; 2x2+28x-960=0; x2+14x-480=0; D1=72-1 ⋅ (-480)=49+480=529; x=
− 7 ± 529 =-7 ± 23; 1
x1=-7-23=-30 – не подходит;
www.5balls.ru
x2=-7+23=16; значит х+14=30. Ответ: 16 см и 30 см. №566. Обозначим за х см - длину гипотенузы, тогда (х-3) см и (х-6) см – длины катетов. Составляем уравнение, исходя из теоремы Пифагора: x2=(x-3) 2+(x-6) 2; x2=x2-6x+9+x2-12x+36; x2-18x+45=0; D1=92-1 ⋅ 45=81-45=36; x=9 ± 36 = 9 ± 6 ; x1=15; x2=3 – не подходит. Ответ: 15 см. №567. Обозначим за х и (х+8) количество рядов и количество мест в ряду. По условию в кинотеатре 884 места. Составим уравнение: х(х+8)=884; x2+8x-884=0; D1=42-1 ⋅ (-884)=16+884=900=302; x=-4 ± 30; x1=-4+30=26; x2=-4-30=-34 – не подходит. Ответ: 26. №568. Пусть n, (n+1) и (n+2) – данные целые числа. Сумма их квадратов по условию задачи равна 869. Составим уравнение: n2+(n+1) 2+(n+2) 2=869; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=869; 3n2+6n-864=0; n2+2n-288=0; D1=12-1 ⋅ (-288)=289; n=-1 ± 289 = −1 ± 17 ; n1=-1-17=-18; значит n+1=-17; n+2=-16; n2=-1+17=16; значит n+1=17, n+2=18. Ответ:-18, -1, -16; или 16, 17, 18. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №569.
www.5balls.ru
a) б)
8a 3 − 27 9 − 12a + 4a
2
=
(2a − 3)(4a 2 + 6a + 9) ( 2a − 3)
2
=
4a 2 + 6a + 9 ; 2a − 3
ax − 2 x − 4a + 8 x (a − 2) − 4(a − 2) (a − 2)( x − 4) x − 4 . = = = 3a − 6 − ax + 2 x 3(a − 2) − x (a − 2) (a − 2)(3 − x ) 3 − x
№570.
( a + b) −b = ( a + 2
a)
2 ab + 2b + 1
b+ b
)( a +
b− b
2 ab + 2b + 1
)=
( a + 2 b ) a ; подставляем a=5 и b=2 и находим: 2 ab + 2b + 1
( a + 2 b) a = ( 5 + 2 2) 5 2 ab + 2b + 1
2 5⋅ 2 + 2 ⋅ 2 +1
( )=1; 5 (2 2 + 5 ) ( x − y ) + 4 xy = x − 2 б)
=
(
5 5 +2 2
)
2 5⋅ 2 + 5⋅ 5
=
5 5+2 2
2
x + xy + 1
x + 2 xy + y x + xy + 1 x + 2 xy + y x + xy + 1
xy + y + 4 xy x + xy + 1
=
; подставляем х=4 и y=6 и находим: =
4 + 2 4⋅6 + 6 4 + 4 ⋅ 6 +1
=
10 + 2 ⋅ 2 6 5+2 6
=
(
25+2 6 5+2 6
№571. a)
х ( х − 3) х − =0; 6 2
x(x-3)-3x=0; x2-6x=0; x(x-6)=0; 1) x1=0; 2) x-6=0; x2=6; б)
х ( х + 1) 8 + х х ( х + 1) 8 + х 2 + = 2 ; 12 + = ⋅ 12 ; 3 4 3 4 1
www.5balls.ru
)= 2.
12 х ( х + 1) 12(8 + х ) + = 24 ; 3 4
4x(x+1)+3(8+x)=24; 4x2+4x+24+3x=24; 4x2+7x=0; x(4x+7)=0; x1=0; 4x2+7=0; 4x2=-7; x2=-
7 3 = −1 . 4 4
№572. Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям: 1) y=0; 13x-2,6=y; 13x=2,6; x=
2,6 =0,2; (0,2;0); 13
Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям: 2) x=0; y=13 ⋅ 0-2,6; y=-2,6; (0;-2,6). Ответ: (0,2;0); (0;-2,6).
www.5balls.ru
21. Теорема Виета №573. a) x2-37x+27=0; D=372-4 ⋅ 1 ⋅ 27=1369-108=1261; D>0, значит, уравнение имеет два корня; x1+x2=37; x1 ⋅ x2=27; б) y2+41y-371=0; D=412-4 ⋅ 1 ⋅ (-371)=1681+1484=3165; D>0, значит, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: y1+y2=-41; y1-y2=-371; в) x2-210x=0; x1+x2=210; x1 ⋅ x2=0; г) y2-19=0; y1+y2=0; y1 ⋅ y2=-19; 2x 2 9 10 − x − =0; 2 2 2
д) 2x2-9x-10=0; 9 2
2
D= -4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=
81 161 +20= >0, значит, уравнение имеет 2 корня. 4 4
По теореме Виета: x1+x2=
9 ; x1 ⋅ x2=-5; 2
е) 5x2+12x+7=0; x2+ 6 5
2
D1= −
12 7 x+ =0; 5 5
7 36 35 1 = − = ; 5 25 25 25
По теореме Виета: x1+x2=-
12 =-2,4; x1 ⋅ x2=1,4; 5
ж) –z2+z=0; z2-z=0; z1+z2=1; z1 ⋅ z2=0; з) 3x2-10=0; x2-
10 =0; 3
Уравнение имеет 2 корня и по теореме Виета: x1+x2=0; x1 ⋅ x2=-
10 . 3
№574. a) x2-2x-9=0; D1=12-1 ⋅ (-9)=10; x=1 ± 10 ; x1=1- 10 ; x2=1+ 10 . Произведем проверку:
www.5balls.ru
x1+x2=1- 10 +1+ 10 =2; x1 ⋅ x2=(1- 10 )(1+ 10 )=1-10=-9; 4 3
4 =0; 3
б) 3x2-4x-4=0; x2- x − 4 3
2
4 3
D= -4 ⋅ 1 ⋅ − =
16 16 16 + 48 64 ; + = = 9 3 9 9
4 64 4 8 ± ± 9 = 3 3; x= 3 2 2 4 8 + 1 12 4 x1= 3 3 = ⋅ = =2; 2 2 3 2 4 8 − 1 4 4 2 x2= 3 3 = − = − = − . 2 2 3 6 3
Произведем проверку: 2 3
x1+x2=2+ − =
4 ; 3
2 3
x1 ⋅ x2=2 ⋅ − = −
4 ; 3
в) 2x2+7x-6=0; x2+
7 x-3=0; 2
7 2
2
D= -4 ⋅ 1 ⋅ (-3)= −
x=
7 97 7 97 ± − ± 2 4 = 2 2 ; 2 2
−
7 97 + 2 2 = − 7 + 97 ; 2 4
−
7 97 − 2 2 = − 7 − 97 . 2 4
x1=
x2=
49 12 49 + 48 97 ; + = = 4 1 4 4
Произведем проверку:
www.5balls.ru
− 7 + 97 − 7 − 97 7 97 7 97 14 7 + =− + − − =− =− ; 4 4 4 4 4 4 4 2 − 7 + 97 − 7 − 97 ⋅ = − 97 + 7 ⋅ 97 − 7 = x 1 ⋅ x 2= 4 4 4 4
x1+x2=
( 97 ) − 7 − 2
97 − 49 48 =− = −3 ; 16 16 16 9 г) 2x2+9x+8=0; x2+ x+4=0; 2 9 2
2
=−
2
D= -4 ⋅ 1 ⋅ 4= −
x=
81 81 − 64 17 -16= ; = 4 4 4
9 17 ± 2 4 = − 9 ± 17 . 2 4
x1=
− 9 + 17 ; 4
x2=
− 9 − 17 . 4
Произведем проверку: − 9 + 17 − 9 − 17 + = 4 4 − 9 + 17 − 9 − 17 ⋅ x 1 ⋅ x 2= 4 4
x1+x2=
17 − 9 =− × 4
( 17 ) − 9 2
16
2
=−
− 9 + 17 − 9 − 17 18 9 =− =− ; 4 4 2 17 + 9 = − × 4 17 − 81 =4. 16
№575. a) x2-15x-16=0; D=152-4 ⋅ 1 ⋅ (-16)=225+64=289; 15 ± 289 15 ± 17 = ; 2 2 15 + 17 =16; x1= 2 15 − 17 =-1. x2= 2
x=
www.5balls.ru
Произведем проверку: x1+x2=16+(-1)=15; x1 ⋅ x2=16 ⋅ (-1)=-16; б) x2-6x-11=0; D1=32-1 ⋅ (-11)=20; x= 3 ± 20 = 3 ± 2 5 ; x1=3+2 5 ; x2=3-2 5 . Произведем проверку: x1+x2=3+2 5 +3-2 5 =6; x1 ⋅ x2=(3+2 5 )(3-2 5 )=32-(2 5 )2=9-20=-11; в) 12x2-4x-1=0; x2-
4 1 1 1 x- =0; x2- x- =0; 12 12 3 12 1 3
2
1 1 1 4 = + = ; 12 9 3 9
D= -4 ⋅ 1 ⋅ −
1 4 1 2 ± ± 3 9 x= = 3 3 ; 2 2 1 2 + 1 x1= 3 3 = ; 2 2 1 2 1 − − 1 x2= 3 3 = 3 = − . 2 2 6
Произведем проверку: x1+x2=
1 1 1 1 1 + − = − = ; 2 6 2 6 3 1 1 2 6
x 1 ⋅ x 2= ⋅ − = −
(
)(
1 ; 12
)
г) x2-6=0; x − 6 x + 6 =0; 1) x- 6 =0; x= 6 ; 2) x+ 6 =0; x=- 6 Произведем проверку: x1+x2= 6 - 6 =0; x1 ⋅ x2= 6 ⋅ (- 6 )=-6;
www.5balls.ru
д) 5x2-18x=0; x(5x-18)=0; 1) x1=0; 2) 5x-18=0; 5x=18; x2=
18 3 =3 . 5 5
Произведем проверку: 3 3 5 5 3 x1 ⋅ x2=0 ⋅ 3 =0; 5 41 е) 2x2-41=0; x2- =0; 2 x − 41 x + 41 =0; 2 2
x1+x2=0+ 3 = 3 ;
1) x-
41 41 =0; x1= ; 2 2
2) x+
41 41 =0; x2=. 2 2
Произведем проверку: x1+x2=
41 41 =0; 2 2
x 1 ⋅ x 2=
41 41 41 =- . ⋅ − 2 2 2
№576. a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-9х+20=0, тогда х1+х2=9; х1 ⋅ х2=20, откуда х1=2; х2=5. б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+11х-12=0, тогда х1+х2=-11; х1 ⋅ х2=-12, откуда подберем х1=1; х2=-12. в) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+х-56=0, тогда х1+х2=-1; х1 ⋅ х2=-56, откуда подберем х1=7; х2=-8. г) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-19х+88=0, тогда х1+х2=19; х1 ⋅ х2=88, откуда подберем х1=11; х2=8. №577.
www.5balls.ru
a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+16х+63=0, тогда х1+х2=-16; х1 ⋅ х2=63, откуда х1=-7; х2=-9. б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+2х-48=0, тогда х1+х2=-2; х1 ⋅ х2=-48, откуда подберем х1=6; х2=-8. №578. Поскольку x1=7, то (по теореме Виета): х1 ⋅ х2=-35, 7 ⋅ х2=-35; х2=-5. х1+х2=7+(-5)=2; р=-2. Ответ: х2=-5, р=-2. №579. Поскольку x1=12,5, то (по теореме Виета): х1+х2=13; х1 ⋅ х2=q; 12,5+х2=13; х2=13-12,5=0,5; q=12,5 ⋅ 0,5=6,25. Ответ: х2=0,5, q=6,25. №580. 1 5
24 =0. 5 24 24 24 8 24 3 = ; Поскольку x1=8; то х1 ⋅ х2= ; 8 ⋅ х2= ; х2= : = 5 5 5 1 40 5 3 3 3 1 43 1 =- b; откуда х1+х2=8+ =8 ; 8 =- b; 5 5 5 5 5 5 43 1 43 ⋅ 5 =-43. b=- : =5 5 5 ⋅1 3 Ответ: х2= ; b=-43. 5
5x2+bx+24=0; x2+ bx+
№581. 33 с x+ =0; x2-3,3x+0,1c=0; 10 10 поскольку x1=5,3, то x1+x2=3,3; x1 ⋅ x2=0,1c;
10x2-33x+c=0; x2-
5,3+x2=3,3; x2=3,3-5,3; x2=-2; 5,3 ⋅ (-2)=-10,6=0,1c; c=-106. Ответ: x2=-2; c=-106. №582.
www.5balls.ru
Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. По условию задачи х1-х2=2, а по теореме Виета получим: х1+х2=12. Затем получим систему уравнений: х1 − х2 = 2, х1 + х2 = 12.
Сложим эти уравнения, получим: 2х1=14, откуда х1=7. Вычтем первое уравнение из второго, получим: 2х2=10, откуда х2=5. Значит, q=x1 ⋅ x2=7 ⋅ 5=35. Ответ: 35. №583. Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. Тогда имеем систему: х1 − х2 = 6, х1 + х2 = −1.
Находим: 2х1=5, 2х2=-7, т.е. х1=2,5; х2=-3,5. Значит, с=x1 ⋅ x2=2,5 ⋅ -(3,5)=-8,75. Ответ: -8,75. №584. a) 3x2+113x-7=0; x2+
113 7 x- =0; 3 3
D>0, по теореме Виета: x1 ⋅ x2=-
7 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем 3
противоположных знаков. б) 5x2-291x-16=0; x2-
291 16 x- =0; 5 5
D>0, по теореме Виета: x1 ⋅ x2=-
16 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем 5
противоположных знаков. №585. а) имеет два корня противоположных знаков;
www.5balls.ru
б) имеет два положительных корня; в) не имеет корней; г) имеет два положительных корня; д) не имеет корней; е) имеет два корня противоположных знаков. №586. а) имеет два положительных корня; б) имеет два корня противоположных знаков; в) имеет два положительных корня; г) имеет два корня противоположных знаков; д) имеет два положительных корня; е) имеет два корня противоположных знаков. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №587. а) (3x+1)2=3x+1; 9x2+6x+1=3x+1; 9x2+3x=0; 3x(3x+1)=0; x(3x+1)=0; 1 3
x1=0; 3x2+1=0; 3x2=-1; x2=- ; б) (3x+1)2=3(x+1); 9x2+6x+1=3x+3; 9x2+3x-2=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-2)=81; − 3 ± 81 − 3 ± 9 = ; 2⋅9 18 −3 + 9 1 = ; x1= 18 3 −3 − 9 2 =− ; x2= 18 3
x=
в) (3x+1)2=(2x-5)2; 9x2+6x+1=4x2-20x+25; 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=169+120=289; − 13 ± 289 − 13 ± 17 = 5 5 −13 + 17 4 x1= = ; 5 5
x=
www.5balls.ru
x2=
−13 − 17 = −6 ; 5
г) (3x+4)2=4(x+3); 9x2+24x+16=4x+12; 9x2+20x+4=0; D1=102-4 ⋅ 9=64; − 10 ± 64 − 10 ± 8 = 9 9 −10 + 8 2 x1= =− ; 9 9 −10 − 8 = −2 ; x2= 9
x=
д) 4(x+3)2=2x+6); 4(x+3)2=(2x+6)(2x+6); 4(x+3)2=2 ⋅ 2(x+3)2; 4(x+3)2=4(x+3)2 при любом х; е) (6x+3)2=(x-4)2; 36x2+36x+9=x2-8x+16; 35x2+44x-7=0; D1=222-35 ⋅ (-7)=484+245=729; − 22 ± 729 − 22 ± 27 = 35 35 −22 + 27 5 1 x1= = = ; 35 35 7 −22 − 27 49 2 =− = −1 ; x2= 35 35 5
x=
№588. Обозначим за (8х) м – первый катет треугольника, (15х) м – второй катет. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение: (8х)2+(15х)2=6,82; 64х2+225х2=46,24; 289х2=46,24; х2=
46,24 =0,16; х= ± 0,16 ; 289
х1= 0,16 =0,4; тогда 8х=8 ⋅ 0,4=3,2 м – длина первого катета, 15х=15 ⋅ 0,4=6 м – длина второго катета. х2=- 0,16 =-0,4 не подходит, так как длина катета не может быть меньше нуля. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов: S= Ответ: 9,6 м2.
www.5balls.ru
3,2 ⋅ 6 19,2 =9,6 (м2). = 2 2
№589. Обозначим за (12х) см – длину неизвестного катета, (13х) см – длину гипотенузы. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение: (13х)2=(12х)2+152; 169х2=144х2+225; 25х2=225; х2=9; х= ± 9 ; х1=3; х2=-3 – не подходит, так как длина катета не может быть меньше нуля. 13х=3 ⋅ 13=39 см – длина гипотенузы, 12х=3 ⋅ 12=36 см – длина искомого катета. Найдем периметр: Р=15+39+36=90 см. Ответ: 90 см.
§ 10. Дробные рациональные уравнения 24. Решение дробных рациональных уравнений №590. a)
y2 y ; = y+3 y+3
y2 y − =0; y+3 y+3
y2 − y = 0 ; y2-y=0; y(y-1)=0; y+3
y1=0; y2-1=0; y2=1; Оба корня не обнуляют знаменатель. б)
x2 x −4 2
=
5x − 6 x −4 2
;
x2 x −4 2
−
5x − 6 x2 − 4
=0;
x2 − 5x + 6
= 0 ; x2-5x+6=0; x2 − 4 D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 6=25-24=1; 5 ± 1 5 ±1 ; = 2 2 5 +1 = 3; x1= 2 5 −1 =2. x2= 2
x=
www.5balls.ru
х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень х=3. в)
2x2 − 7x + 6 ; = x−2 2− x
2x2 − 7 x + 6 − =0; x−2 2−x
2x2 7 x − 6 − = 0 ; 2x2-7x+6=0; x−2 x−2 D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 6=49-48=1; 7 ± 1 7 ±1 = ; x= 4 4 7 +1 x1= = 2; 4 7 −1 6 3 1 x2= = = =1 . 4 4 2 2
х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень х=1 г)
y2 − 6 y 5 ; = y −5 5− y
y2 − 6 y 5 + =0; y −5 y −5
1 . 2
y2 − 6 y 5 − =0; y −5 5− y y2 − 6 y + 5 =0; y −5
y2-6y+5=0;
D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; y=3 ± 4 =3 ± 2; y1=3+2=5; y2=3-2=1. y=5 не подходит, т.к. при y=5 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень y=1. 2 x − 2 3x + 4 2 x − 2 3x + 4 ; − =0; = x+7 x −1 x+7 x −1 ( 2x − 1)( x − 1) − (3x + 4)( x + 7) =0; ( x + 7)( x − 1)
д)
2 x 2 − 2 x − x + 1 − (3x 2 + 21x + 4 x + 28) =0; ( x + 7)( x − 1)
2x2-3x+1-3x2-25x-28=0; -x2-28x-27=0; x2+28x+27=0; D1=142-1 ⋅ 27=196-27=169; x=-14 ± 169 =-14 ± 13; x1=-14-13=-27; x2=-14+13=-1;
www.5balls.ru
е)
2y + 3 y − 5 =0; − 2 y −1 y + 3
2y + 3 y − 5 ; = 2 y −1 y + 3
(2y+3)(y+3)-(2y-1)(y-5)=0; 2y2+6y+3y+9-(2y2-10y-y+5)=0; 2y2+9y+9-2y2+11y-5=0; 1 5
20y+4=0; 4(5y+1)=0; 5y+1=0; 5y=-1; y=- ; y=-
1 1 является корнем уравнения, т.к. при y=- общий знаменатель 5 5
дробей не обращается в ноль. ж)
5y + 1 y + 2 − = 0; y +1 y
5y + 1 y + 2 ; = y +1 y
y(5y+1)-(y+1)(y+2)=0; 5y2+y-(y2+2y+2+2)=0; 5y2+y-y2-3y-2=0; 4y2-2y-2=0; 2y2-y-1=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-1)=1+8=9; 1± 9 1± 3 = ; 2⋅2 4 1+ 3 =1; y1= 4 1− 3 2 1 y2= =− =− . 4 4 2 1 При y1=1 и y2=- общий знаменатель не обращается в ноль, 2
y=
поэтому оба числа являются корнями уравнения. 1 + 3x 5 − 3x 1 + 3x 5 − 3x ; − =0; = 1 − 2x 1 + 2x 1 − 2x 1 + 2x (1 + 2 x )(1 + 3x ) − (1 − 2 x )(5 − 3x ) = 0; 1 − 4x 2
з)
1+3x+2x+6x2-(5-3x-10x+6x2)=0; 18x-4=0; 2(9x-2)=0; 9x=2; x= x=
2 . 9
2 2 является корнем уравнения, т.к. при x= общий знаменатель 9 9
дробей не обращается в ноль. и)
x − 1 2x − 1 − =0; 2x + 3 3 − 2x
x − 1 2x − 1 + =0; 2x + 3 2x − 3
www.5balls.ru
( 2x − 3)( x − 1) + (2 x − 1)(2 x + 3) 4x 2 − 9
=0;
(2x-3)(x-1)+(2x-1)(2x+3)=0; 6x2-x=0; x(6x-1)=0; x1=0; 1 6
6x2-1=0; 6x2=1; x2= . 1 общий знаменатель дробей не обращается в ноль, 6 1 поэтому х1=0 и x2= являются корнями уравнения. 6
При х=0 и x=
№591. a)
2x − 5 −4 = 0; x+5
2 x − 5 − 4( x + 5) = 0; x +5
2x-5-4x-20=0; -2x-25=0; 2x+25=0; 2x=-25; x=x=-12
25 1 1 =-12 ; x=-12 2 2 2
1 1 является корнем уравнения, т.к. при x=-12 знаменатель 2 2
не обращается в ноль. 12 12 x =x; − = 0; 7−x 7−x 1 12 − x (7 − x ) = 0 ; 12-7x+x2=0; x2-7x+12=0; 7−x D=72-4 ⋅ 1 ⋅ 12=1;
б)
7 ± 1 7 ±1 ; = 2 2 7 −1 =3; x1= 2 7 +1 = 4; x2= 2
x=
x1=3 и х2=4 являются корнями уравнения, поскольку при этих значениях х знаменатель не обращается в ноль. в)
x 2 − 4 3 + 2x = ; 4 2
x 2 − 4 3 + 2x − =0 4 2
x2-4-6-4x=0; x2-4x-10=0;
www.5balls.ru
D1=(-2) 2-1 ⋅ (-10)=4+10=14; x1,2=2 ± 14 ; 10 10 x −1 = x −1 ; − = 0; 2x − 3 2x − 3 1 10 − ( 2x − 3)( x − 1) = 0 ; 10-(2x-3)(x-1)=0; 2x − 3
г)
10-(2x2-2x-3x+3)=0; 2x2-5x-7=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-7)=25+56=81;
5 ± 81 5 ± 9 ; = 2⋅2 4 5+9 1 =3 ; x1= 4 2 5−9 = −1 . x2= 4 1 При x1= 3 и х2=-1 общий знаменатель не обращается в ноль, 2
x=
поэтому оба числа являются корнями уравнения. д)
8 =3x+2; x
8 − x (3x + 2) =0; x
8-x(3x+2)=0; 3x2+2x-8=0; D1=12-3 ⋅ (-8)=1+24=25; − 1 ± 25 − 1 ± 5 ; = 3 3 1 −1 + 5 x1= =1 ; 3 3 −1 − 5 x2= = −2 ; 3 1 При x1=1 и х2=-2 общий знаменатель не обращается в ноль, 3
x=
поэтому оба числа являются корнями уравнения. е)
x 2 + 4x 2x = ; x+2 3
x 2 + 4x 2x − =0; x+2 3
3( x 2 + 4 x ) − 2 x ( x + 2) = 0 ; 3(x2+4x)-2x(x+2)=0; 3( x + 2)
x2+8x=0; x(x+8)=0; x1=0;
www.5balls.ru
x2=-8; x1=0 и х2=-8 являются корнями уравнения, поскольку при этих значениях х знаменатель не обращается в ноль. 2 x 2 − 5x + 3 =0; 2x2-5x+3=0; 10 x − 5 D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 3=25-24=1
ж)
5 ± 1 5 ±1 ; = 2⋅2 4 5 +1 1 =1 ; x1= 4 2 5 −1 =1. x2= 4 1 1 x1=1 и х2=1 являются корнями уравнения, поскольку при x=1 и 2 2
x=
х=1 общий знаменатель не обращается в ноль. з)
4x 3 − 9x = 0 ; 4x3-9x=0; x + 1,5
x(4x2-9)=0; x(2x-3)(2x+3)=0; x1=0; 3 ; 2 3 x3=- ; 2 3 x=- не подходит, так как при этом значении знаменатель дроби 2
x2=
обращается в ноль; значит, уравнение имеет два корня: х1=0, х2= т.к. при х=0 и х=
3 знаменатель дроби не обращается в ноль. 2
№592. a)
x2 2
x +1
x2 − 7 x2 + 1
=
7x 2
x +1
;
x2 2
x +1
−
7x 2
x +1
=0;
= 0 ; x2-7x=0; x(x-7)=0;
x1=0;
www.5balls.ru
3 , 2
x2=7. Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x+1>0 при всех х. б)
y2 2
y − 6y y2
2
y − 6y
+
=
4(3 − 2 y) ; y (6 − y )
y2 2
y − 6y
−
4(3 − 2 y) =0; y(6 − y)
4(3 − 2 y) = 0 ; y2+4(3-2y)=0; y ( y − 6)
y2+12-8y=0; y2-8y+12=0; D1=(-4)2-1 ⋅ 12=16-12; y=
4± 4 = 4±2; 1
y1=4+2=6; y2=4-2=2. y1=6 не подходит, т.к. при y=6 знаменатель обращается в ноль, а при y=4 знаменатель в ноль не обращается, один корень y=4. в)
x−2 x +3 ; = x+2 x−4
x−2 x +3 − =0; x+2 x−4
(x-4)(x-2)-(x+2)(x+3)=0; x2-2x-4x+8-x2-3x-3x-6=0; 11x=2; x= x=
2 . 11
2 2 является корнем уравнения, поскольку при x= общий 11 11
знаменатель дробей не обращается в ноль. 8y − 5 9y 8y − 5 9y − = 0; ; = y y+2 y y+2 (8y-5)(y+2)-y ⋅ 9y=0; 8y2+16y-5y-10-9y2=0;
г)
y2-11y+10=0; D=(-11) 2-4 ⋅ 1 ⋅ 10=81;
11 ± 81 11 ± 9 ; = 2 2 11 − 9 =1; y1= 2 11 + 9 = 10 . y2= 2
y=
При y=1 и y=10 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения.
www.5balls.ru
д)
x2 + 3 x +1 2
=2;
x2 + 3 x2 + 1
−2 = 0;
x2+3-2(x2+1)=0; -x2+1=0; x2-1=0; (x-1)(x+1)=0; 1) x-1=0; x1=1; 2) x+1=0; x2=-1. Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x>0 при всех х. е)
3 x2 + 2
=
1 ; x
3 x2 + 2
−
1 = 0 ; 3x-(x2+2)=0; x
x2-3x+2=0; D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=9-8=1;
3 ±1 ; 2 3 −1 =1; x1= 2 3 +1 =2. x2= 2
x=
При х=1 и х=2 общий знаменатель дробей не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения. ж) х+2=
15 ; 4x + 1
x+2 15 − = 0; 1 4x + 1
(x+2)(4x+1)-15=0; 4x2+9x-13=0; D=92-4 ⋅ 4 ⋅ (-13)=81+208=289; − 9 ± 289 − 9 ± 17 ; = 2⋅4 8 −9 − 17 26 =− = −3,25 ; x1= 8 8 −9 + 17 = 1. x2= 8
x=
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=1 и х=3,25 общий знаменатель не обращается в ноль. з)
x 2 − 5 7 x + 10 = ; x −1 9
9(x2-5)-(x-1)(7x+10)=0; 9x2-45-(7x2+10x-7x-10)=0; 2x2-3x-35=0;
x 2 − 5 7 x + 10 − =0; x −1 9
www.5balls.ru
D=(-3)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-35)=9+280=289; 3 ± 289 3 ± 17 = ; 2⋅2 4 3 + 17 =5; x1= 4 3 + 17 14 = − = −3,5 . x2= 4 4
x=
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=5 и х=-3,5 общий знаменатель не обращается в ноль. №593. a)
3x + 1 x − 1 − =1; x+2 x−2
3x + 1 x − 1 − −1 = 0 ; x+2 x−2
(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)-(x+2)(x-2)=0; 3x2-6x+x-2-x2-2x+x+2-x2+4=0; x2-6+4=0; D1=(-3)2-1 ⋅ 4=5; x1,2=3 ± 5 . Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=3 ± 5 общий знаменатель не обращается в ноль. б)
2y − 2 y + 3 + =5; y+3 y−3
2y − 2 y + 3 + −5 = 0 ; y+3 y−3
2(y-1)(y-3)+(y+3)2-5(y2-9)=0; 2(y2-y-3y+3)+y2+6y+9-5y2+45=0; -2y2-2y+60=0; y2+y-30=0; D=12-4 ⋅ (-30)=1+120=121; − 1 ± 121 − 1 ± 11 ; = 2 2 −1 − 11 = −6 ; y1= 2 −1 + 11 =5. y2= 2
y=
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при y=-6 и y=5общий знаменатель не обращается в ноль. в)
4 9 y2 − 1
−
4 5 ; = 3 y + 1 1 − 3y
www.5balls.ru
4 4 5 − + =0; (3y − 1)(3y + 1) 3y + 1 3y − 1 4 − 4(3y − 1) + 5(3y + 1) 9y2 − 1
3y+13=0; 3y=-13; y=y=-4
= 0 ; 4-12y+4+15y+5=0; 13 1 = −4 . 3 3
1 является корнем уравнения, т.к. при этом значении у общий 3
знаменатель дробей не обращается в ноль. 4 5 1 − = −1 ; x +3 3− x x −3 4 5 1 + − +1 = 0 ; x +3 x −3 x −3
г)
4(x-3)+5(x+3)-(x+3)+x2-9=0; x2+8x-9=0; D1=42-1 ⋅ (-9)=25; x=-4 ± 25 = −4 ± 5 ; x1=-4+5=1; x2=-4-5=-9. При х1=1 и х2=-9 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения. 4 5− x 4 5−x = − = 0; ; 3+ x − 1 x ( x − 1) x −1 x2 − x 3( x − 1) + 4 x − (5 − x ) = 0 ; 3x-3+4x-5+x=0; 8x=8; x=1. x ( x − 1)
д) 3+
При х=1 х-1=0, значит, данное уравнение не имеет корней. е)
3y − 2 1 3y + 4 ; − = y y − 2 y2 − 2y
3y − 2 1 3y + 4 − − =0; y y − 2 y( y − 2)
(y-2)(3y-2)-y-3y-4=0; 3y2-2y-6y+4-y-3y-4=0; 3y2-12y=0; y2-4y=0; y(y-4)=0; y1=0; y2=4. При y=0 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень y=4, т.к. при y=4 знаменатель в ноль не обращается.
www.5balls.ru
№594. 2x − 1 2x − 1 = 5; −5 = 0; x+6 x+6 2 x − 1 − 5( x + 6) = 0 ; 2x-1-5x-30=0; x+6 31 1 -3x-31=0; 3x=-31; x=- = −10 . 3 3 2x − 1 2x − 1 2) = −3 ; + 3 = 0 ; 2x-1+3x+18=0; x+6 x+6 17 2 5x=-17; x=- = −3 . 5 5 2x − 1 1 3) = 0 ; 2x-1=0; x= . x+6 2 2x − 1 2x − 1 4) =2; −2 = 0; x+6 x+6 2x-1-2(x+6)=0; 2x-1-2x-12=0; -13 ≠ 0.
a) 1)
Эта функция не равна 2 ни при каких х. б) 1)
x2 + x − 2 x2 + x − 2 = −10 ; + 10 = 0 ; x+3 x+3
x2+x-2+10x+30=0; x2+11x+28=0; D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 28=9; − 11 ± 9 − 11 ± 3 ; = 2 2 −11 + 3 = −4 ; x1= 2 −11 − 3 = −7 . x2= 2
x=
x2 + x − 2 = 0 ; x2+x-2=0; x +3 D=1-4 ⋅ 1 ⋅ (-2)=9;
2)
−1 ± 9 −1 ± 3 ; = 2 2 −1 + 3 x1= = 1; 2
x=
www.5balls.ru
x2=
−1 − 3 = −2 . 2
x2 + x − 2 x2 + x − 2 = −5 ; +5 = 0; x+3 x+3
3)
x2+x-2+5x+15=0; x2+6x+13=0; D=32-1 ⋅ 13=9-13=-4<0. Эта функция не равна –5 ни при каких х. №595. x−4 x−6 + = 2; x−5 x+5
a)
x−4 x−6 − −2 = 0; x−5 x+5
(x+5)(x-4)+(x-5)(x-6)-2(x2-25)=0; x2-4x+5x-20+x2-6x-5x+30-2x2+50=0; -10x+60=0; x-6=0; x=6; 1 1 6−x −1 = − 2 ; x − 2 3 x − 12 2−x 1 1 6−x − −1− + =0; x−2 x − 2 3( x 2 − 4)
б)
−
2 6− x + −1 = 0 ; x − 2 3( x − 2)( x + 2)
6 − x − 2(3x + 6) − 3( x 2 − 4) 3( x 2 − 4)
=0;
6-x-6x-12-3x2+12=0; 3x2+7x-6=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=121; − 7 ± 121 − 7 ± 11 = ; 2⋅3 6 −7 + 11 2 x1= = ; 6 3 −7 − 11 x2= = −3 . 6 7y −3 1 5 ; = − в) y − y 2 y − 1 y ( y − 1)
x=
7y −3 1 5 − + =0; y (1 − y ) y − 1 y ( y − 1)
-
(7 y − 3) 1 5 − + = 0; y ( y − 1) y − 1 y ( y − 1)
www.5balls.ru
-7y+3-y+5=0; -8y+8=0; -8(y-1)=0; y-1=0; y=1. При y=1 общий знаменатель обращается в ноль, значит, данное уравнение не имеет корней. г)
3 7 10 + = ; y−2 y+2 y
3 7 10 + − = 0; y−2 y+2 y
3y(y+2)+7y(y-2)-10(y2-4)=0; 3y2+6y+7y2-14y-10y2+40=0; -8y+40=0; y-5=0; y=5. д)
x +3 x −3 1 + =3 ; x−3 x+3 3
x + 3 x − 3 10 + − = 0; x−3 x+3 3
3( x + 3) 2 + 3( x − 3) 2 − 10 x 2 + 90 3( x 2 − 9)
=0;
3x2+18x+27+3x2-18x+27-10x2+90=0; -4x2+144=0; x2-36=0; (x-6)(x+6)=0; x1=6; x2=-6. е)
5 x + 7 2 x + 21 2 − =8 ; x−2 x+2 3
5 x + 7 2 x + 21 26 − − =0; x−2 x+2 3
3(x+2)(5x+7)-3(x-2)(2x+21)-26(x2-4)=0; 15x2+21+30x+42-6x2-63x+12x+126-26x2+104=0; -17x2+272=0; x2-16=0; (x-4)(x+4)=0; x1=4; x2=-4. №596. a)
3 y + 9 2 y − 13 + =2; 3y −1 2 y + 5
(3 y + 9)(2 y + 5) + (2 y − 13)(3 y − 1) −2 = 0; (3 y − 1)(2 y + 5)
(3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)-2(3y-1)(2y+5)=0; 6y2+18y+15y+45+6y2-39y-2y+13-12y2-30y+4y+10=0; -34y+68=0; y-2=0; y=2. б)
5 y + 13 4 − 6 y − −3; 5y + 4 3y −1
www.5balls.ru
(3 y − 1)(5 y + 13) − (5 y + 4)(4 − 6 y ) −3 = 0 ; (5 y + 4)(3 y − 1) (3 y − 1) (5y+13)-(5y+4)(4-6y)-3(3y-1)(5y+4)=0;
15y2+39y-5y-13-(20y-30y2+16-24y)-(9y-3)(5y+4)=0; 15y2+39y-5y-13-20y+30y2-16+24y-45y2-36y+15y+12=0; 17y-17=0; y-1=0; y=1. в)
10 y +1 y + 1 10 ; + = ⋅ y −5 y +5 y −5 y +5
(y+5)(y+1)+10y-50=10y+10; y2+y+5y+5+10y-50-10y-10=0; y2+6y-55=0; D1=32-1 ⋅ (-55)=9+55=64; y=-3 ± 64 = −3 ± 8 ; y1=-3+8=5; y2=-3-8=-11. Поскольку при y=5 общий знаменатель дробей обращается в ноль, то только y=-11 удовлетворяет условию задачи. г)
6 y 6 y ; − = ⋅ y−4 y+2 y−4 y+2
6( y + 2) − y ( y − 4) 6y ; = ( y − 4)( y + 2) ( y − 4)( y + 2)
6(y+2)-y(y-4)=6y; 6y+12-y2+4y=6y; y2-4y-12=0; D1=22-1 ⋅ (-12)=16; y=2 ± 16 = 2 ± 4 ; y1=2+4=6; y2=2-4=-2. Поскольку при y=-2 общий знаменатель дробей обращается в ноль, то только y=6 удовлетворяет условию задачи. №597. a)
5 4 1 − = ; y −2 y −3 y
5 4 1 − − =0; y −2 y −3 y
5 y ( y − 3) − 4 y ( y − 2) − ( y − 2)( y − 3) =0; y ( y − 2)( y − 3)
5y(y-3)-4y(y-2)-(y-2)(y-3)=0; 5y2-15y-4y2+8y-y2+3y+2y-6=0;
www.5balls.ru
-2y-6=0; y+3=0; y=-3. б)
1 1 3 + − =0; 2( x + 1) x + 2 x + 3
1 1 3 ; + = 2( x + 1) x + 2 x + 3
( x + 2)( x + 3) + 2( x + 1)( x + 3) − 3 ⋅ 2( x + 1)( x + 2) =0; 2( x + 1( x + 2)( x + 3)
(x+2)(x+3)+(2x+2)(x+3)-(6x+6)(x+2)=0; x2+3x+2x+6+2x2+6x+2x+6-6x2-12x-6x-12=0; -3x2-5x=0; x(3x+5)=0; x1=0; 5 2 = −1 . 3 3 1 1 8 ; в) + 2 = 3 x + 2 x − 2x x − 4x 1 1 8 + − = 0; x + 2 x( x − 2) x( x − 2)( x + 2)
x2=-
x( x − 2) + x + 2 − 8 = 0 ; x2-2x+x+2-8=0; x( x − 2)( x + 2)
x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25; 1 ± 25 1 ± 5 = ; 2 2 1+ 5 = 3; x1= 2 1− 5 = −2 . x2= 2
x=
x=-2 не подходит, т.к. при х=-2 знаменатель обращается в ноль, поэтому уравнение имеет один корень х=3. г)
10 y3 − y
+
1 y − y2
=
1 ; 1+ y
10 1 1 − − =0; y ( y − 1)( y + 1) y ( y − 1) y + 1 10 − ( y + 1) − y ( y − 1) = 0; y ( y − 1)( y + 1)
10-y-1-y2+y=0; y2-9=0; (y-3)(y+3)=0; y1=3; y2=-3.
www.5balls.ru
д) 1+
45 x − 8 x + 16 2
=
14 ; x−4
1+
45 ( x − 4)
2
−
14 =0; x−4
(x-4) 2+45-14(x-4)=0; x2-8x+16+45-14x+56=0; x2-22x+117=0; D1=112-1 ⋅ 117=121-117=4; x=11 ± 4 = 11 ± 2 ; x1=11-2=9; x2=11+2=13. е)
5 4 − = 3; x − 1 3 − 6 x + 3x 2
3 ⋅ 5( x − 1) − 4 − 9 ⋅ ( x − 1) 2 3 ⋅ ( x − 1) 2
5 4 − −3 = 0; x − 1 3(1 − 2 x + x 2 )
= 0;
15(x-1)-4-9(x2-2x+1)=0; 15x-15-4-9x2+18x-9=0; 9x2-33x+28=0; D=332-4 ⋅ 9 ⋅ 28=1089-1008=81; 33 ± 81 33 ± 9 ; = 2⋅9 18 33 + 9 42 1 x1= = =2 ; 18 18 3 33 − 9 24 1 x2= = =1 . 18 18 3
x=
№598. a)
10 x 3 ; + = ( x − 5)( x + 1) x + 1 x − 5
10 x 3 + − = 0; ( x − 5)( x + 1) x + 1 x − 5
10+x(x-5)=3(x+1); 10+x2-5x=3x+3; x2-8x+7=0; D1=(-4)2-7 ⋅ 1=16-7=9; x=4 ± 9 = 4 ± 3 ; x1=4-3=1; x2=4+3=7. б)
17 1 x ; − = ( x − 3)( x + 4) x − 3 x + 4
17-x-4-x(x-3)=0; 17-x-4-x2+3x=0;
www.5balls.ru
x2-2x-13=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-13)=1+13=14; x1,2=1 ± 14 . в)
4 ( x + 1) 4
( x + 1)
2
2
−
−
1 ( x − 1) 1
( x − 1)
2
2
+
+
1 2
x −1
=0;
1 =0; ( x − 1)( x + 1)
2
4( x − 1) − ( x + 1) 2 + ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 ( x − 1) 2
=0;
4(x2-2x+1)-(x2+2x+1)+x2-1=0; 4x2-10x+2=0; 2x2-5x+1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 1=25-8=17; 5 ± 17 . 4 4 1 4 + = ; г) 9 x 2 − 1 3x 2 − x 9 x 2 − 6 x + 1 4 1 4 + − = 0; (3 x − 1)(3 x + 1) x(3 x − 1) (3 x − 1) 2
x1,2=
4 x (3x − 1) + (3x + 1)(3x − 1) − 4 x (3x + 1) x(3x − 1) 2 (3x + 1)
=0;
4x(3x-1)+9x2-1-12x2-4x=0; 9x2-8x-1=0; D1=(-4)2-9 ⋅ (-1)=16+9; 4 ± 25 4 ± 5 ; = 9 9 4+5 =1; x1= 9 4−5 1 x2= =− . 9 9
x=
№599. 21 16 6 21 16 6 − + =0; = − ; x +1 x − 2 x x +1 x − 2 x 21x( x − 2) − 16 x( x + 1) + 6( x + 1)( x − 2) =0; x( x + 1)( x − 2)
a)
www.5balls.ru
21x2-42x-16x2-16x+6(x2-2x+x-2)=0; 11x2-64x-12=0; D1=(-32)2-11 ⋅ (-12)=1024+132=1156; 32 ± 1156 32 ± 34 = ; 11 11 32 − 34 2 =− ; x1= 11 11 32 + 34 66 = = 6; x2= 11 11 2 1 5 ; б) 2 − = 3 y 3 − y − 3y y − 9y
x=
2 1 5 − − = 0; y ( y − 3) y − 3 y ( y − 3)( y + 3) 2( y + 3) − y ( y + 3) − 5 =0; y ( y − 3)( y + 3)
2y+6-y2-3y-5=0; y2+y-1=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5; −1± 5 . 2 18 1 6 ; в) − = 4x + 4x + 1 2x2 − x 4 x2 − 1 18 1 6 − − =0; ( 2 x + 1) 2 x ( x − 1) (2 x − 1)(2 x + 1)
y1,2=
18 x( 2 x − 1) − (2 x + 1) 2 − 6 x (2 x + 1) =0; x (2 x − 1)(2 x + 1)
36x2-18x-(4x2+4x+1)-12x2-6x=0; 20x2-28x-1=0; D=(-14)2-20 ⋅ (-1)=196+20=216; x=
14 ± 216 14 ± 6 6 = ; 20 20
x=
2(7 ± 3 6) 7 ± 3 6 . = 20 10
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №600.
www.5balls.ru
x2-2xy+y2=(x-y)2; Подставим x=3+ 5 , y=3- 5 ; получаем:
(3 +
(
5 − 3− 5
Ответ:20.
)) = (3 + 2
5 −3+ 5
) = (2 5 ) = 4 ⋅ 5 = 20 . 2
2
№601. 1) А(1,5;7,25); 7,25=(1,5)2+2 ⋅ 1,5+5; 7,25=2,25+3+5=10,25; 7,25 ≠ 10,25; следовательно, точка А не принадлежит графику данной функции. 2) В(-3,2;9); 9=(-3,2)2+2 ⋅ (-3,2)+5; 9=10,24-6,4+5=8,84; 9 ≠ 8,84; следовательно, точка В не принадлежит графику данной функции. 3) С( 3 -1;7); 7=( 3 -1)2+2( 3 -1)2+5; 7=( 3 )2-2 3 ⋅ 1+12+2 3 -2+5; 7=3+1+5-2; 7=7, следовательно, точка С принадлежит графику данной функции. №602. x− y
a)
x− y
− x=
( x − y )(
x+ y
x− y
)−
=
( x − y )( x + y )− x ( x − y ) =
=
(
x− y
x− y
)( x +
y− x
x− y
= x+ y− x=
б)
x−
=
x
=
(
x− y x+ y
y;
= x−
(
)= x− y
x+ y
)(
x− x+ y
x+ y
x− x+ y =
)(
x+ y
x+ y
( x + y )− ( x − y )( x+ y
x=
x+ y
)=
)=
)=
y.
www.5balls.ru
№603. a) a2+b2>0 при a>0, 3ab<0, т.к. a>0, b>0, следовательно, б) При a<0 и b<0, a+b<0 и 5a3b2<0, следовательно,
3ab 2
a + b2
<0;
5a 3b 2 >0. a+b
25. Решение задач с помощью рациональных уравнений №604. Обозначим за х и (х+3) – числитель и знаменатель дроби, тогда (х+7) и (х+8) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей составляет
1 . 2
Составляем уравнение: x+7 x 1 − = ; x +8 x +3 2
2(x+3)(x+7)-2x(x+8)=(x+8)(x+3); 2x2+14x+6x+42-2x2-16x-x2-3x-8x-24=0; x2+7x-18=0; D=72-4 ⋅ 1 ⋅ (-18)=49+72=121; − 7 ± 121 − 7 ± 11 ; = 2 2 −7 + 11 = 2; x1= 2 −7 − 11 = −9 . x2= 2 x −9 9 3 = = = - не подходит; 1) При х=-9: x+3 −9+3 6 2 x 2 = . 2) При х=2: x+3 5 2 Ответ: . 5
x=
№605.
www.5balls.ru
Обозначим за х и (х-5) - знаменатель и числитель дроби, тогда (х-7) и (х+16) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей составляет
1 . 3
Составляем уравнение: x −5 x −7 1 − − =0; x x + 16 3
x −5 x −7 1 − = ; x x + 16 3
3(x+16)(x-5)-3x(x-7)-x(x+16); 3x2-15x+48x-240-3x2+21x-x2-16x=0; x2-38x+240=0; D1=(-19)2-1 ⋅ 240=361-240=121; x=
19 ± 121 = 19 ± 11 ; 1
x1=19+11=30; x2=19-11=8. x − 5 30 − 5 25 5 = = = - не подходит; x 30 30 6 x −5 8−5 3 2) При х=8: = = . x 8 8 3 Ответ: . 8
1) При х=30:
№606. Обозначим за х км/ч и (х+20) км/ч – скорость первого и второго 120 ч – время, затраченное первым x
автомобилей, тогда
120 ч – время, x + 20
автомобилем на путь из города в село,
затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение: 120 120 − =1; x x + 20
120(x+20)-120x=x(x+20); 120x+2400-120x-x2-20x=0; x2+20x+2400=0; D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500;
www.5balls.ru
x= − 10 ± 2500 = −10 ± 50 ; x1=-10-50=-60 (не подходит); x2=-10+50=40; тогда х+20=60. Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скорость второго автомобиля. №607. Обозначим за х км/ч и (х-32) км/ч – скорости мотоциклиста и 45 45 чи ч – время, затраченное x x − 32
велосипедиста, тогда
мотоциклистом и велосипедистом на путь из А в В. Мотоциклист 3 5
8 5
был в пути на 1 ч 36 мин меньше: 2ч 36 мин=1 ч= ч. Составляем уравнение: 45 45 8 − = ; x − 32 x 5 5 ⋅ 45х-5 ⋅ 45(х-32)=8х(х-32);
225x-225х+7200-8x2+256x=0; x2-32x-900=0; D1=162-1 ⋅ (-900)=256+900=1156; x= 16 ± 1156 = 16 ± 34 ; x1=16-34=-18 (не подходит); x2=16+34=50; отсюда х-32=18. Ответ: 18 км/ч. №608. Обозначим за х км/ч и (х+2) км/ч – скорость первого и второго 20 20 чи ч– время, затраченное первым x x+2
лыжника, тогда
автомобилем на путь из города в село, ч – время, затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение: 120 120 − =1; x x + 20
120(x+20)-120x=x(x+20); 120x+2400-120x-x2-20x=0; x2+20x+2400=0;
www.5balls.ru
D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500; x= − 10 ± 2500 = −10 ± 50 ; x1=-10-50=-60 (не подходит); x2=-10+50=40; тогда х+20=60. Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скорость второго автомобиля. №609. Обозначим за х км/ч и (х+10) км/ч – скорости второго и первого 560 560 чи ч– время, затраченное x x +10
автомобилей, тогда
вторым и первым автомобилями на весь путь. По условию первый автомобиль приезжает на 1 ч раньше. Составляем уравнение: 560 560 − =1; x x + 10
560(x+10)-560x=x(x+10); 560x+5600-560x=x2+10x; x2+10x-5600=0; D1=52-1 ⋅ (-5600)=25+5600=5625; x= − 5 ± 5625 = −5 ± 75 ; x1=-5-75=-80 (не подходит); x2=-5+75=70; откуда х+10=80. Ответ: 80 км/ч – скорость первого автомобиля, 70 км/ч – скорость второго автомобиля. №610. Обозначим за х км/ч скорость поезда по расписанию, тогда (х+10) 720 ч - время на перегоне по x
км/ч – фактическая скорость поезда,
720 ч – фактическое время на перегоне. x +10
расписанию,
Составляем уравнение: 720 720 − = 1; x x + 10
720(x+10)-720x=x(x+10); 720x+7200-720x=x2+10x; x2+10x-7200=0;
www.5balls.ru
D1=52-1 ⋅ (-7200)=25+7200=7225; x= − 5 ± 7225 = −5 ± 85 ; x1=-5-85=-90 (не подходит по смыслу задачи); x2=-5+85=80. Ответ: 80 км/ч. №611. Обозначим за х км/ч собственную скорость лодки (скорость движения по озеру), тогда (х-2) км/ч –скорость лодки против 6 15 ч - время передвижения по реке, ч– x−2 x
течения реки,
время передвижения по озеру. На путь по озеру турист затратил на 1 ч больше, чем на путь по реке. Составляем уравнение: 15 6 − =1; x x−2
15(x-2)-6x=x(x-2); 15x-30-6x=x2-2x; x2-11x+30=0; D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1; 11 ± 1 11 ± 1 ; = 2 2 11 + 1 x1= =6; 2 11 − 1 x2= = 5 . Оба значения подходят. 2
x=
Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч. №612. Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (15+х) км/ч – скорость лодки по течению реки, (15-х) км/ч - скорость лодки 35 ч - время движения лодки по течению, 15 + x
против течения,
25 ч– время движения против течения. На путь по течению 15 − x
реки лодка затратила столько же, сколько на путь против течения. Составляем уравнение:
www.5balls.ru
35 25 ; = 15 + x 15 − x
35(15-x)-25(15+х)=0; 525-35х-375-25x=0; -60x=-150; х=2,5; Ответ: 2,5 км/ч. №613. Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (20+х) км/ч – скорость катера по течению реки, (20-х) км/ч - скорость катера 22 ч - время движения по течению, 20 + x
против течения реки,
36 ч– время движения против течения. На путь было 20 − x
затрачено 3 ч. Составляем уравнение: 22 36 + = 3; 20 + x 20 − x
22(20-x)+36(20+х)=3(20-х)(20+х); 440-22х+720+36x=3(400-х2); 440+720-22x+36x-1200+3x2=0; 3x2+14x-40=0; D1=72-4 ⋅ (-40)=49+120=169; − 7 ± 169 − 7 ± 13 ; = 3 3 20 2 −7 + 13 x1= =− = −6 (не подходит); 3 3 3 −7 − 13 x2= =2. 3
x=
Ответ: 2 км/ч. №614. Примем за 1 (единицу) объем выполняемой работы. Обозначим за n1 и n2 – производительности труда штукатуров; t1 и t2 – время выполнения задания каждым штукатуром в отдельности; n1= n2=
1 . Составим систему уравнений: t2
www.5balls.ru
1 ; t1
t1 = t 2 + 5, 1 n + n = 6; 2 1
t1 = t 2 + 5, 1 = 6; 1 + 1 t1 t 2
t1 = t 2 + 5, 2 t 2 + 5t 2 = 12 t 2 + 30
t1 = t 2 + 5, t1t 2 t + t = 6; 1 2
t1 = t 2 + 5, ( t 2 + 5) t 2 2 t + 5 = 6; 2
t 22 -7t2-30=0.
Корни уравнения: 1) t2=-3 (не подходит); 2) t2=10; тогда t1=15. Ответ: 15 ч и 10 ч. №615. Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность труда первого и второго рабочих обозначим за n1=
1 1 и n2= , где t1 t1 t2
и t2 время выполнения работы первым и вторым рабочим соответственно. Составим систему уравнений: t1 = t 2 + 10, 1 n + n = 12; 2 1
t1 = t 2 + 10, 1 = 12; 1 + 1 t1 t 2
t1 = t 2 + 10, t1t 2 t + t = 12; 1 2
t1 = t 2 + 10, ( t 2 + 10) t 2 2 t + 10 = 12; 2
t 22 +10t2=24t2+120; t 22 -14t2-120=0.
1) t2=-6 (не подходит по смыслу задачи); 2) t2=20; тогда t1=30. Ответ: 30 дней и 20 дней. №616. Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность труда первой и второй бригады соответственно обозначим за n1= и n2=
1 , где t1 и t2 - время выполнения всей работы каждой t2
бригадой. Составим систему:
www.5balls.ru
1 t1
t1 = t 2 + 5, 1 = 6; 1 + 1 t1 t 2
t1 = t 2 + 5, 1 n + n = 6; 2 1
t1 = t 2 + 5, 2 t 2 + 5t 2 = 12 t 2 + 30
t1 = t 2 + 5, t1t 2 t + t = 6; 1 2
t1 = t 2 + 5, ( t 2 + 5) t 2 2 t + 5 = 6; 2
t 22 -7t2-30=0.
1) t2=-3 (не подходит по смыслу задачи); 2) t2=10; тогда t1=10+5=15. Ответ: 15 дней и 10 дней. №617. Обозначим за х км/ч – скорость первого поезда, тогда (х+4) км/ч – 360 x
скорость второго поезда. Оба поезда прошли 360 км, значит,
360 ч –время, затраченное соответственно первым и вторым x+4
чи
поездом. Так как второй поезд вышел на 1 ч позднее первого, составляем уравнение: 360 360 ; +1 = x+4 x
360x+x2+4x=360(x+4); 360x+x2+4x-360x-1440=0; x2+4x-1440=0; D1=22-1 ⋅ (-1440)=4+1440=1444; x= − 2 ± 1444 = −2 ± 38 ; x1=-2-38=-40 (не подходит по смыслу задачи); x2=-2+38=36; х+4=40. Ответ: 36 км/ч и 40 км/ч. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №618. a)
1 11 + 2 30
+
1 11 − 2 30
=
11 − 2 30 + 11 + 2 30
(11 + 2 30 )(11 − 2 30 ) =
www.5balls.ru
=
22
(
112 − 2 30
)
2
=
22 = 22 . Тождество доказано. 121 − 120
( 5 + 2) + ( 5 − 2) = ( 5 − 2)( 5 + 2) 5 −2 5+2 ( 5 ) + 2 ⋅ 2 5 + 4 + ( 5 ) − 2 ⋅ 2 5 + 4 = 18 = 18 . Тождество доказано. = 1 ( 5) − 4 5+2
б)
+
5 −2
2
2
=
2
2
2
№619. а) Подставим х=5+2 6 , y=5-2 6 :
(5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 5 − (2 6 )
2
2
5+ 2 6 +5−2 6
10
=
25 − 24 1 = = 0,1 ; 10 10
а) Подставим х= 11 + 3 , y= 11 - 3 :
( 11 + 3 ) ( 11 − 3 ) ( 11 + 3 )( 11 − 3 ) 2
=
2
=;
11 + 2 11 ⋅ 3 + 3 + 11 − 2 11 ⋅ 3 + 3
( 11 ) − ( 3 ) 2
2
=
28 = 3,5 . 8
№620. Обозначим за х1 и х2 –0 корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета х1+х2=10, а по условию х1-х2=6. Получаем систему уравнений: х1 − х 2 = 6, откуда х1=8, х2=2. По теореме Виета: q=x1x2=8 ⋅ 2=16. х1 + х 2 = 10,
Ответ: 16. №621.
а) По условию задачи: х1=
3 −1 ; 2
х2=
3 +1 ; 2
по теореме Виета: х1+х2=-b; x1 ⋅ x2=c;
www.5balls.ru
3 −1 3 −1 + 3 +1 3 + 1 =− 3; + = − 2 2 2
b=-
3 −1 3 +1 ⋅ = c= 2 2
( 3 ) −1 2
2
2 1 = ; 4 4 2 1 Искомое уравнение: х2- 3 х+ =0; 2 =
б) По условию задачи: х1=2- 3 ; х2=
1 2− 3
;
по теореме Виета:
= 2 − 3 2+ 3 = − 2 − 3 + 2 + 3 = − 2 − 3 + 2 + 3 = = − 2 − 3 + 4−3 1 2− 3 2+ 3
b=-(х1+х2)=- 2 − 3 +
(
(
)(
1
)
) 1 c= x ⋅ x = (2 − 3 )⋅ =1. 2− 3 =- 2 − 3 + 2 + 3 = −4 ; 1
2
Искомое уравнение: х2-4х+1=0.
www.5balls.ru
26. Графический способ решения уравнений №622. а) х2=х+2; строим графики: y=x2; y=x+2; x1=-1; x2=2;
y 4
В
3 2 А1 х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
б) х2+1,5х-2,5=0; строим графики: y=x2; y=-1,5x+2,5; x1=-2,5; x2=1; y 8 7 А
6 5 4 3 2 1
В х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
www.5balls.ru
№623. а) х2=0,5х+3; 1) строим графики: y=x2 и y=0,5x+3; находим x1=-1,5; x2=2. 2) х2-0,5х-3=0; D=(-0,5)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-3)=0,25+12=12,25=3,52 x=
0,5 ± 3,5 ; 2
x1=2; x2=-1,5; y 8 7 6 5 А
4 3 В
2 1 х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
б) х2-3х+2=0; 1) строим графики: y=x2 и y=3x-2; находим x1=1; x2=2. 2) D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=1 x=
3± 1 ; 2
www.5balls.ru
x1=2; x2=1; y 8 7 6 5 4 3 2 1 х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
№624. 8 =-х+6; строим графики х 8 y= и y=-х+6; находим: х
а)
х1=2; х2=4; y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
www.5balls.ru
8 = х2; строим графики х 8 y= х2 и y= ; находим: х х ≈ 2;
б)
y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
№625. 6 =х; строим графики х 6 y= и y=х; х х1 ≈ 2,5; х2 ≈ -2,5;
а)
y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
www.5balls.ru
6 =-х+6; строим графики х 6 y= и y=-х+6; находим: х х1 ≈ 1,2; х2 ≈ 4,6.
б)
y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
№626. 1 =ax+b; строим графики: х 1 y= и y=ax+b. х
а)
y
II IV III I
V 1 х 1
б)
www.5balls.ru
Из рисунка определяем, что для I прямой: у уравнения два корня; для II прямой: у уравнения один корень; для III прямой: у уравнения нет корней; для IV прямой: у уравнения один корень; для V прямой: у уравнения два корня. №627. а) х3-х+1=0; строим графики y=x3 и y=x-1; находим х ≈ -1,3;
y 3 2 1 х
0 -2 -1
1
-2 -3 б) х3+2х-4=0; х3=-2х+4; строим графики y=x3 и y=-2x+4; находим х ≈ 1,2;
www.5balls.ru
2
5 4 3 2 1 0 -4
-2 -1
-3
1
2
3
4
-2 -3 -4 -5 -6
№628. а) х =x+b; строим графики: y= х и y=x+b;
y π
2
m
l
1 -2
0
-1
1
2
1
www.5balls.ru
k y= х
3
х
б) х =-x+b; строим графики: y= х и y=-x+b;
y
q 2
p
y= х
1 -2
0
-1
1
2
3
х
1
Из рисунков находим ответ: а) При b<0: у уравнения один корень – прямая k; при b ≥ 0: у уравнения два корня – прямая l; один корень – прямая m; нет корней – прямая π . б) При b<0: нет корней – прямая p; при b ≥ 0: у уравнения один корень – прямая q. №629. a) х =6-x; строим графики: y= х и y=6-x; находим х ≈ 4;
www.5balls.ru
y
1 х
0 1
4
6
4 ; строим графики: х 4 y= х и y= ; находим х ≈ 2,5; х
б)
х =
y
1 0
1
www.5balls.ru
х
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №630. Обозначим за х км/ч предполагаемую скорость туристов, тогда 18 ч– x
(х+0,5) км/ч – фактическая скорость туристов,
18 x + 0,5
предполагаемое время прохождения туристами маршрута,
ч – фактическое время прохождения туристами маршрута. Так как туристы прошли намеченный маршрут на полчаса быстрее, получаем уравнение: 18 18 1 − = ; x x + 0,5 2
36(x+0,5)-36x= x2+0,5x; 36x+18-36x=x2+0,5x; x2+0,5x-18=0; 2x2+x-36=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-36)=289; − 1 ± 289 − 1 ± 17 = ; 4 4 −1 − 17 <0 (не подходит); x1= 4 −1 + 17 =4. x2= 4
x=
Ответ: 4 км/ч. №631. Обозначим за х га/день количество гектаров, которое засевала бригада ежедневно, , тогда (х-10) га/день – количество гектаров, 120 дней – x
которые планировалось засевать ежедневно,
120 дней – x −10
фактическое время выполнения работы,
планируемой время выполнения работы. Составляем уравнение: 120 120 ; −2 = x − 10 x
www.5balls.ru
120x-2x(x-10)=120(x-10); 120x-2x2+20x=120x-1200; -2x2+20x+1200=0; x2-10x-600=0; D1=25+600=625; x=5 ± 625 = 5 ± 25 ; x1=5+25=30; x2=5-25=-20<0 (не подходит). Ответ: 30 га. №632. а)
x x+ y
y
+
x− y
=
( x − y) x + ( x + y) y = x+ y
x x− x y+ x y+ x y+ y y
x− y
x+y ; x−y
( x − y )( x + y ) x− y x + y ( x − y) +( x + y) + = б) ( x + y )( x − y ) x+ y x− y ( x) −2 x y +( y) +( x) + 2 x y +( y) = ( x − y )( x + y ) ( x ) + ( y ) + ( x ) + ( y ) = 2x + 2 y . = =
=
2
2
2
2
2
x−y
2
2
=
2
=
2
x−y
Дополнительные упражнения к главе III К ПАРАГРАФУ 8 №633. а) (x-3)(x2+3x+9)=x(x-8)(x+9); x3-27=x(x2+9x-8x-72); x3-27=x3+9x2-8x2-72x; x2-72x+27=0 – квадратное уравнение; б) (y+7)(y2-7y+49)-y(y+8)(y-7)=0; (y3-343)-y(y2-7y+8y-56)=0; y2-56y+343=0 - квадратное уравнение; в) (2x-1)(2x+1)+(x-3)2=17;
www.5balls.ru
4x2-1+x2-6x+9-17=0; 5x2-6x-9=0 - квадратное уравнение; г) (4x+1)2=2x(x-6)-1=0; 16x2+8x+1-2x2+12x-1=0; 14x2+20x=0; 7x2+10x=0 - квадратное уравнение. №634. а) y2-36=0; (y-6)(y+6)=0; y1=6; y2=-6; б)
1 2 8 8 1 8 y=0; 3 y 2 =3 ; y2= ; 3 27 9 3 27
y1,2= ±
2 2 8 =± ; 9 3
в) –0,2y2+45=0; 0,2y2=45; y2=
45 ⋅ 10 =225; 2
y1,2= ± 225 = ± 15; г) -
3 2 1 3 7 49 y +2 =0; y2= ; y2= ; 7 3 7 3 9
y1,2= ±
49 7 1 =± =2 . 9 3 3
№635. а) 8x2-3x=0; x(8x-3)=0; x1=0; 3 8
8x2=3; x2= . б) –2x2+5x=0; x(2x-5)=0; x1=0; 2x2=5; x2=
5 . 2
в) x3+x=0; x(x2+1)=0; 1) x1=0; 2) x2=x2+1=0 – решений не имеет, т.к. D=-4<0. г) 2x3-50x=0; 2x(x2-25)=0 1) x1=0; 2) x=25; x2,3= ± 5.
www.5balls.ru
№636. а) (x+2)2+(x-3)2=13; x2+4x+4+x2-6x+9-13=0; 2x2-2x=0; x(x-1)=0; x1=0; x2=1. б) (3x-5)2-(2x+1)2=24; 9x2-30x+25-4x2-4x-1-24=0; 5x2-34x=0; x(5x-34)=0; 1) x1=0; 2) 5x=34; x2=6,8. в) (x-4)(x2+4x+16)+28=x2(x-25); x3-64+28=x3-25x2; 25x2-36=0; x2x2=
36 =0; 25
36 36 6 1 ; x1,2= ± ; x1,2= ± = ±1 . 25 25 5 5
г) (2x+1)(4x2-2x+1)-1=1,6x2(5x-2); 8x3+1-1=8x3-3,2x2; 3,2x2=0; x=0. №637. a) x2=a; 1) если a ≥ 0, то x1,2= ± а ; 2) если a<0, то уравнение не имеет корней; б) x2=a2; x1,2= ± а 2 = ± а = ± а ; в) x2+4b=0; x2=-4b; 1) если b ≤ 0, то x1,2= ± − 2b ; 2) если b>0, то уравнение не имеет корней; г) x2+9b2=0; x2=-9b2. Если b ≠ 0, то уравнение не имеет корней, так как х2 ≥ 0 при всех х, a-b2<0. Если b=0, то у уравнений один корень х=0. №638. а) x2-16x+48=0; x2-2 ⋅ 8x+64-64+48=0; (x-8)2=16; x-8= ± 16 = ±4 ; 1) x-8=4; x1=12; 2) x-8=-4; x2=4; б) x2+12x+27=0; x2+2 ⋅ 6x+36=36-27;
www.5balls.ru
(x+6) 2=0; x+6= ± 9 = ±3 ; 1) x+6=3; x1=-3; 2) x+6=-3; x2=-9; в) x2+10x-39=0; x2+2 ⋅ 5x+25=25+39; (x+5)2=64; x+5= ± 64 = ±8 ; 1) x+5=8; x1=3; 2) x+5=-8; x2=-13; г) x2-6x-55=0; x2-2 ⋅ 3x+9=9+55; (x-3)2=64; x-3= ± 64 = ±8 ; 1) x-3=8; x1=11; 2) x-3=-8; x2=-5; 2
д) x2+7x-18=0; x2+2 ⋅ х +
2
7 7 7 x+ =18+ ; 2 2 2
2
7 121 7 121 11 ; x+ = ± =± ; = 2 4 2 4 2
7 −11 −11 7 = ; x 1= - ; x1=-9; 2 2 2 2 7 11 11 7 2) x+ = ; x2= - =2; 2 2 2 2
1) x+
2
е) x2-11x+28=0; x2-2 ⋅
2
11 11 11 x+ = -28; 2 2 2
2
11 9 9 3 11 =± ; х − = ; x- = ± 2 4 2 4 2 −3 11 11 −3 1) x- = ; x1= + ; x1=4; 2 2 2 2 11 3 11 3 2) x- = ; x2= + ; x2=7; 2 2 2 2 5 ж) 2x2-5x+2=0; x2- x+1=0; 2 2
x2-2 ⋅
2
5 5 5 x+ = -1; 4 4 4 2
5 9 5 9 3 =± ; х − = ; x- = ± 4 16 4 16 4 5 3 3 5 1) x- = ; x= + ; x1=2; 4 4 4 4
www.5balls.ru
5 3 3 5 1 =- ; x=- + ; x2= ; 4 4 4 4 2 70 2 2 х з) 3x -x-70=0; x - − =0; 3 3
2) x-
2
x2-2 ⋅
2
х 1 1 70 + = + ; 6 6 6 3 2
1 841 1 841 ; x- = ± ; х − = 6 36 6 36 1 −29 2 −28 1) x- = ; x1= = −4 ; 6 6 6 3 1 29 2) x- == ; x2=5. 6 6
№639*. a) a2+4a+11=(a2+4a+4)-4+11=(a+2)2+7>0 при всех значениях a; б)
(
)
х 2 − 2х + 7 х 2 − 2 х + 1 + 6 ( х − 1) 2 = = > 0 при всех значениях x; 19 19 19
в) m2-4m+51=(m2-4m+4)-4+51=(m-2)2+47>0 при всех значениях m; г)
р 2 − 6р + 18 р +1 2
=
р 2 − 6р + 9 + 9 р +1 2
=
(р − 3) 2 + 9 р2 + 1
> 0 , т.к. (p-3)2+9>0 при
всех значениях p. №640*. а) x2-8x+27=(x2-8x+16)-16+27=(x-4)2+11; (x-4)2 ≥ 0, следовательно, (x-4)2+11 ≥ 11 и (х-4)2+11=11 при х=4. б) a2-4a+20=(a2-4a+4)+16=(a-2)2+16; (a-2)2 ≥ 0, следовательно, (a-2)2+16 ≥ 16 и (a-2)2+16=16 при a=2. К ПАРАГРАФУ 9 №641. a) 4x2+7x+3=0; D=72-4 ⋅ 4 ⋅ 3=1; x=
−7 ± 1 ; 8
www.5balls.ru
−7 + 1 3 =− ; 8 4 −7 − 1 x2= = −1 ; 8
x1=
б) x2+x-56=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; − 1 ± 225 − 1 ± 15 = ; 2 2 −1 + 15 =7; x1= 2 −1 − 15 = −8 ; x2= 2
x=
в) x2-x-56=0; D=(-1)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; 1 ± 225 1 ± 15 ; = 2 2 1 + 15 =8; x1= 2 1 − 15 = −7 ; x2= 2
x=
г) 5x2-18x+16=0; D1=(-9)2-5 ⋅ 16=81-80=1;
9 ±1 ; 5 9 −1 3 =1 ; x1= 5 5 9 +1 =2; x2= 5
x=
д) 8x2+x-75=0; D=12-4 ⋅ 8 ⋅ (-75)=1+2400=2401; − 1 ± 2401 − 1 ± 49 ; = 2⋅8 16 −1 + 49 =3; x1= 16 −1 − 49 50 1 =− = −3 ; x2= 16 16 8
x=
е) 3x2-11x-14=0; D=(-11)2-4 ⋅ 3 ⋅ (-14)=121+168=289;
www.5balls.ru
11 ± 289 11 ± 17 ; = 2⋅3 6 11 + 17 28 2 = =4 ; x1= 6 6 3 11 − 17 = −1 ; x2= 6
x=
ж) 3x2+11x-34=0; D=112-4 ⋅ 3 ⋅ (-34)=121+408=529;
−11 ± 23 ; 6 −11 + 23 =2; x1= 6 −11 − 23 34 2 =− = −5 ; x2= 6 6 3
x=
з) x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5; x1,2=
1± 5 . 2
№642. a) (5x+3)2=5(x+3); 25x2+30x+9=15+5x; 25x2+25x-6=0; D=252-4 ⋅ 25 ⋅ (-6)=625+600=1225; − 25 ± 1225 − 25 ± 3 − 5 ± 7 ; = = 2 ⋅ 25 50 10 −5 + 7 1 = ; x1= 10 5 −5 − 7 1 = −1 ; x2= 10 5
x=
б) (3x+10)2=3(x+10); 9x2+60x+100=3x+30; 9x2+57x+70=0; D=572-4 ⋅ 9 ⋅ 70=3249-2520=729; − 57 ± 729 − 57 ± 27 − 19 ± 9 ; = = 2⋅9 18 6 2 −19 + 9 x1= = −1 ; 6 3
x=
www.5balls.ru
x2=
−19 − 9 2 = −4 ; 6 3
в) (3x-8)2=3x2-8x; (3x-8)2-3x+8x=0; (3x-8)2-x(3x-8)=0; (3x-8)(3x-8-x)=0; (3x-8)(2x-8)=0; 2(3x-8)(x-4)=0; 1) 3x-8=0; 3x=8; x1=2
2 ; 3
2) x-4=0; x2=4; г) (4x+5)2=5x2+4x; 16x2+40x+25-5x2-4x=0; 11x2+36x+25=0; D1=182-11 ⋅ 25=324-275=49; − 18 ± 49 − 18 ± 7 = ; 11 11 −18 − 7 −25 3 x1= = = −2 ; 11 11 11 −18 + 7 x2= = −1 ; 11
x=
д) (5x+3)2=5x+3; (5x+3)2-(5x+3)=0; (5x+3)(5x+3-1)=0; (5x+3)(5x+2)=0; 3 5 2 2) 5x+2=0; 5x=-2; x2=- ; 5
1) 5x+3=0; 5x=-3; x1=- ;
е) (5x+3)2=(3x+5)2; 25x2+30x+9=9x2+30x+25; 16x2-16=0; x2=1; x1,2= ± 1 ж) (4x+5)2=4(x+5)2; 16x2+40x+25=4(x2+10x+25); 16x2+40x+25-4x2-40x-100=0; 12x2-75=0; 4x2-25=0; (2x-5)(2x+5)=0; 5 =2,5; 2 5 2) 2x+5=0; 2x=-5; x2=- =-2,5; 2
1) 2x-5=0; 2x-5; x1=
з) (2x+10)2=4(x+5)2; 4x2+40x+100-4(x2+10x+25)=0; 4x2+40x+100-4x2-40x-100=0; 0=0; х – любое действительное число. №643. a) x2-2x-5=0;
www.5balls.ru
D=(-1)2-1 ⋅ (-5)=6; x1,2=1 ± 6 ; Произведем проверку:
(1 + 6 ) − 2(1 + 6 )− 5 = 1 + 2 (1 + 6 ) − 2(1 + 6 )− 5 = 1 − 2 2
6 +6−2−2 6 −5 = 7−7 = 0;
2
6 +6−2+2 6 −5 = 7−7 = 0;
б) x2+4x+1=0; D1=22-1 ⋅ 1=3; x1,2=-2 ± 3 ; Произведем проверку:
(− 2 + 3 ) + 4(− 2 + 3 )+ 1 = 4 − 4 (− 2 − 3 ) + 4(− 2 − 3 )+ 1 = 4 + 4 2
3 + 3 − 8 + 4 3 +1 = 8 − 8 = 0 ;
2
3 + 3 − 8 − 4 3 +1 = 0 ;
в) 3y -4y-2=0; D1=(-2)2-3 ⋅ (-2)=10; 2
y1,2=
2 ± 10 . 3
Произведем проверку: 2
2 + 10 − 4 2 + 10 − 2 = 3 4 + 4 10 + 10 − 8 + 4 10 − 2 = 3 3 9 3
3 =
14 4 10 8 4 10 + − − −2 = 0; 3 3 3 3 2
2 − 10 − 4 2 − 10 − 2 = 3 4 − 4 10 + 10 − 8 − 4 10 − 2 = 3 3 3 9 3
=
14 − 4 10 8 − 4 10 14 4 10 8 4 10 14 8 6 − −2 = − − + −2 = − − =0. 3 3 3 3 3 3 3 3 3
г) 5y2-7y+1=0; D=(-7)2-4 ⋅ 5 ⋅ 1=29; y1,2=
7 ± 29 . 10
Произведем проверку: 2
7 + 29 − 7 7 + 29 + 1 = 5 10 10 5
49 + 14 29 + 29 49 + 7 29 − +1 = 100 10
www.5balls.ru
=
78 + 14 29 49 + 7 29 39 + 7 29 49 + 7 29 10 − +1 = − +1 = − +1 = 0 ; 20 10 10 10 10 2
7 − 29 − 7 7 − 29 + 1 = 5 49 − 14 29 + 29 − 49 − 7 29 + 1 = 5 10 10 100 10
=
39 − 7 29 49 − 7 29 10 − +1 = − +1 = 0 . 10 10 10
д) 2y2+11y+10=0; D=112-4 ⋅ 2 ⋅ 10=121-80=41; y1,2=
− 11 ± 41 . 4
Произведем проверку: 2
− 11 + 41 + 11 − 11 + 41 + 10 = 2 4 4 162 − 22 41 11 41 − 121 81 − 11 41 11 41 − 121 + + 10 = + + 10 = 8 4 4 4 81 121 = − + 10 = −10 + 10 = 0 ; 4 4
=
2
− 11 − 41 + 11 − 11 − 41 + 10 = 162 + 22 41 − 121 + 11 41 + 10 = 2 4 4 8 4
=
81 + 11 41 121 + 11 41 81 11 41 11 41 121 − + 10 = + − − + 10 = 4 4 4 4 4 4
=-10+10=0; е) 4x2-9x-2=0; D=(-9)2-4 ⋅ 4 ⋅ (-2)=81+32=113; x1,2=
9 ± 113 . 8
Произведем проверку: 2
9 + 113 − 9 9 + 113 − 2 = 4 8 8
=4 =
81 + 18 113 + 113 81 + 9 113 − −2 = 64 8
97 + 9 113 81 + 9 113 97 9 113 81 9 113 − −2 = + − − −2 = 2−2 = 0; 8 8 8 8 8 8
www.5balls.ru
2
9 − 113 − 9 9 − 113 − 2 = 4 8 8
=4 =
81 − 18 113 + 113 81 − 9 113 − −2 = 64 8
97 − 9 113 81 − 9 113 97 9 113 81 9 113 − −2 = − − + −2 = 2−2 = 0. 8 8 8 8 8 8
№644. a) x2-2x-2=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-2)=1+2=3; x=1 ± 3 ≈ 1 ± 1,73 ; x1 ≈ 1+1,73=2,73; x2 ≈ 1-1,73=-0,73; б) x2+5x+3=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 3=25-12=13; − 5 ± 13 − 5 ± 3,61 ; ≈ 2 2 −5 + 3,61 1,39 =− = −0,695 ≈ −0,70 ; x1 ≈ 2 2 −5 = 3,61 −8,61 = = −4,305 ≈ −4,30 ; x2 ≈ 2 2
x=
в) 3x2-7x+3=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3v3=13; 7 ± 13 7 ± 3,61 ≈ ; 3⋅ 2 6 7 − 3,61 3,39 = ≈ 0,57 ; x1 ≈ 6 6 7 + 3,61 10,61 = ≈ 1,77 ; x2 ≈ 6 6
x1,2=
г) 5x2+31x+20=0; D=312-4 ⋅ 5 ⋅ 20=961-400=561; − 31 ± 561 − 31 ± 23,69 ≈ ; 5⋅ 2 10 7,31 −31 + 23,69 x1 ≈ =− ≈ −0,73 ; 10 10
x=
www.5balls.ru
x2 ≈
−31 − 23,69 54,69 =− ≈ −5,47 . 10 10
№645. Один из корней уравнения равен 1 по условию задачи. ax2-3x-5=0;
ax 2 3 5 3 5 − x − =0; x2- x − =0. a a a a a
Обозначим за х2 – корень уравнения, который может быть не равным 1. Тогда по теореме Виета: 5 5 1 ⋅ x = − , x 2 = − , 2 a a 1 − 5 = 3 ; 1 + x = 3 ; 2 a a a a −5 3 a −5−3 = ; = 0; a a a
a-8=0; a=8.
Ответ: 8. №646*. ax2-(a+c)x+x=0; D=(a+c)2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2; a + c ± a 2 + c 2 − 2ac a + c ± a − c a + c ± (a − c) = = ; 2a 2a 2a a +c+a −c x1= =1. 2a
x=
Таким образом, один из корней уравнения равен 1, что и требовалось доказать. №647*. cx2+bx+a=0; D=b2-4ac; x=
− b ± b 2 − 4ac ; 2c
ax2+bx+c=0; D=(-b)2-4ac=b2-4ac;
www.5balls.ru
− b ± b 2 − 4ac ; 2a − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac = = 2c 2 − 2c b − b − 4ac
x=
b2 − (b 2 − 4ac) 4ac =− = − 2c b − b 2 − 4ac 2c b − b 2 − 4ac 2a =− , т.е. соответствующие корни первого и второго b − b 2 − 4ac
=
уравнений взаимно обратны, ч.т.д. Для Другой пары корней доказательство проводится аналогичным образом. №648. a) a2+7a+6=a+1 a2+6a+5=0; D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; a=-3 ± 4 = −3 ± 2 ; a1=-3+2=-1; a2=-3-2=-5; б) 3x2-x+1=2x2+5x-4; x2-6x+5=0; D1=32-1 ⋅ 5=4; x=3 ± 4 = 3 ± 2 ; x1=3+2=5; x2=3-2=1. №649. Обозначим за n – первое число, (n+1) – второе число, (n+2) – третье число, (n+3) – четвертое число, (n+4) - пятое число. По условию задачи составим уравнение: n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=n2+6n+9+n2+8n+16; 3n2+6n+5=2n2+14n+25; 3n2+6n+5-2n2-14n-25=0; n2-8n-20=0;
www.5balls.ru
D1=42-1 ⋅ (-20)=16+20=36; n=4 ± 36 =4 ± 6; n1=10; n2=-2; 1) если n=10: n+1=11; n+2=12; n+3=13; n+4=14; 2) если n=-2; n+1=-1; n+2=0; n+3=1; n+4=2. Ответ: 10,11,12,13,14 или –2,-1,0,1,2. №650. Обозначим за 2n – первое четное число, (2n+2) – второе четное число, (2n+4) – третье четное число. По условию задачи составим уравнение: (2n)2+(2n+2)2=(2n+4)2; 4n2+4n2+8n+4-4n2-16n-16=0; 3n2-8n-12=0; n2-2n-3=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-3)=4; n=1 ± 4 =1 ± 2; n1=3; n2=-1; 1) если n=3: 2n=2 ⋅ 3=6; 2n+2=8; 2n+4=10; 2) если n=-1; 2n=2 ⋅ (-1)=-2; 2n+2=0; 2n+4=2. Ответ: 6,8,10 или –2,0,2. №651. Обозначим ширину прямоугольника за х м, тогда длина прямоугольника равна (х+5) м. Площадь прямоугольника S=1800м2. Составляем уравнение: x(x+5)=1800; x2+5x-1800=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-1800)=25+7200=7225; − 5 ± 7225 − 5 ± 85 ; = 2 2 −5 + 85 = 40 ; x1= 2 −5 − 85 = −45 не подходит по смыслу; х+5=45. x2= 2
x=
Ответ: ширина площадки 40 м, длина 45 м.
www.5balls.ru
№652. Обозначим за n – первое натуральное число, а (n+1) – второе натуральное число. Тогда составляем уравнение: (2n+1)2-112=n2+(n+1)2; 4n2+4n+1-112=n2+n2+2n+1; 4n2+4n-111-2n2-2n-1=0; 2n2+2n-112=0; 2(n2+n-56)=0; n2+n-56=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; − 1 ± 225 − 1 ± 15 ; = 2 2 −1 + 15 1) n1= = 7 и n+1=8. 2 −1 − 15 2) n2= = −8 (не подходит по условию задачи); 2
n=
Ответ: 7 и 8. №653. Обозначим за b - ширину прямоугольника, т.е. сторону первого квадрата, тогда a - длина прямоугольника, т.е. сторона второго квадрата. По условию задачи сумма площадей квадратов равна: S1+S2=116 см2, периметр прямоугольника Р=28 см. Имеем: Р=2(a+b); S1=a2; S2=b2; 28=2(a+b); 14=a+b; a=14-b; a2+b2=116; (14-b)2+b2=116; 196-28b+b2+b2=116; 2b2-28b+80=0; b2-14b+40=0; b1=10; b2=4; a1=14-b1=4; a2=14-b2=10. Ответ: стороны прямоугольника 10 см и 4 см. №654. Обозначим за l см – искомую ширину рамки, тогда длина и ширина листа соответственно равны (12+2 l ) см и (18+2 l ) см.
www.5balls.ru
Фотокарточка вместе с рамкой по условию задачи занимает площадь 280 см2. Составляем уравнение: (12+2 l )(18+2 l )=280; 2 ⋅ 2(6+ l )(9+ l )=280; (6+ l )(9+ l )=70; 54+6 l +9 l + l 2 =70; l 2 +15 l +54-70=0; l 2 +15 l -16=0; l1 =1; l 2 =-16<0 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 1 см. №655*. Обозначим за n – число команд. Тогда (n-1) – количество матчей, сыгранных каждой командой, а всего сыграно откуда
n (n − 1) матчей, 2
n (n − 1) =36; n2-n-72=0. 2
По теореме Виета находим корни уравнения: n1=-8 (не подходит по смыслу задачи), n2=9. Ответ: 9 команд. №656*. Обозначим за N – число участников, каждый участник сыграл (N-1) партию, а всего сыграно
N ( N − 1) =45 партий. Значит, N(N-1)=90, 2
откуда: N1=10; N2=-9 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 10 шахматистов. №657*. Обозначим за a м и b м длину и ширину ящика соответственно. Площадь боковых стенок 0,5(2a+ab)=(a+b) м2; площадь дна (ab) м2. Получаем систему уравнений: ab + 1,08 = a + b, a = 2b;
2b2+1,08=3b; 2b2-3b+1,08=0; D=32-4 ⋅ 2 ⋅ 1,08=0,36; b=
3 ± 0,36 3 ± 0,6 = ; 4 4
www.5balls.ru
3 + 0,6 = 0.9 ; 4 3 − 0,6 b2= = 0,6 ; 4
b1=
b1=0,9, a1=1,8, V1=a1 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,81(м2); b2=0,6, a2=1,2, V2=a2 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,36 (м2). Ответ: 0,81 м2 или 0,36 м2. №658*. Обозначим за a и b - длина и ширину листа соответственно, где a=1,5b. Так как сторона вырезанного квадрата равна 8 см, то объем получаемой коробки равен: 8(a-16)(b-16)=8(1,5b-16)(b-16) см3. Составляем уравнение: 8(1,5b-16)(b-16)=6080; 3b2-80b-1008=0; D1=(-40)2-3 ⋅ (-1008)=1600+3024=4624; 40 ± 4624 40 ± 68 ; = 3 3 40 − 68 28 (не подходит); b1= =− 3 3 40 + 68 b2= = 36 ; 3 a=1,5 ⋅ 36=54.
b=
Ответ: 36 см – ширина листа, 54 см – длина листа.
№659. a) x2-5 2 x+12=0;
(
)
2
D= − 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅12 =2; x=
5 2± 2 ; 2
x1=
5 2− 2 4 2 = =2 2; 2 2
x2=
5 2+ 2 6 2 = =3 2; 2 2
Произведем проверку: 1) x1+x2=5 2 ; 3 2 +2 2 =5 2 ;
www.5balls.ru
2) x1 ⋅ x2=12; 3 2 ⋅ 2 2 =6
( 2 ) =12. 2
б) x2+2 3 x-72=0; D 1=
( 3 ) -1 ⋅ (-72)-75; 2
x=- 3 ± 75 =- 3 ± 3⋅ 25 =- 3 ± 5 3 ; x1=- 3 +5 3 =4 3 ; x2=- 3 - 3 =-6 3 . Произведем проверку: 1) x1+x2=-2 3 ; -6 3 +4 3 =-2 3 ;
(
)
2) x1 ⋅ x2=-72; − 6 3 ⋅ 4 3 =-24 в) y2-6y+7=0; D1=(-3)2-1 ⋅ 7=2; y1,2=3 ± 2 . Произведем проверку: 1) y1+y2=6; 3+ 2 +3- 2 =6;
( 3 ) =-72. 2
( )
2
2) y1 ⋅ y2=7; (3+ 2 ) ⋅ (3- 2 )=9- 2 =7. г) p2-10p+7=0; D1=(-5)2-1 ⋅ 7=18; p1,2=5 ± 18 = 5 ± 9 ⋅ 2 = 5 ± 3 2 . Произведем проверку: 1) p1+p2=10; 5+3 2 +5-3 2 =10. 2) p1 ⋅ p2=7; (5+3 2 ) ⋅ (5-3 2 )=25-9
( 2 ) =25-18=7. 2
№660*. a) 2x2+ba-10=0; x1=5; x2+
b x-5=0; по теореме Виета: 2
x1 ⋅ x2=-5; x2=-1; по теореме Виета: x1+x2=4=-
b ; b=-8; 2
б) 3x2+bx+24=0; x1=3;
www.5balls.ru
x2+
b x+8=0; по теореме Виета: 3
x1 ⋅ x2=8; 8 3
x2=- ; по теореме Виета: x1+x2=-
b 8 b 17 =3+ ; - = ; b=-17; 3 3 3 3
в) (b-1)x2-(b+1)x=72; x1=3; b +1 72 =0; по теореме Виета: x− b −1 b −1 72 ; x1 ⋅ x2=b −1 24 ; по теореме Виета: x2=b −1 b +1 24 =3; x1+x2= b −1 b −1
x2-
3b-3-24=b+1; b=14; x2=-
24 ; 13
г) (b-5)x2-(b-2)x+b=0; 1 ; 2 b−2 b =0; по теореме Виета: x2+ b−5 b−5 b ; x1 ⋅ x2=b−5 2b ; по теореме Виета: x2= b−5 b−2 1 2b = +; x1+x2= b−5 2 b−5 1 b-5+4b=2b-4; b= ; 3 1 2⋅ 1 x2= 3 = − . 1 7 −5 3
x1=
www.5balls.ru
№661*. D=b2-4 ⋅ 7 ⋅ (-23)=b2+644>0 при всех b, поэтому данное уравнение имеет 2 корня при любых значениях b;и так как произведение корней равно -
23 <0 (по теореме Виета), то знаки этих корней 7
противоположны. №662*. Если x1 – корень уравнения, тогда должно выполняться равенство 12 х12 +70x1+a2+1=0, а это невозможно, поскольку при x1>0 его левая часть положительна. Следовательно, данное уравнение не имеет положительных корней. № 663. 3x2+bx+10=0; по теореме Виета: 10 b 1 13 , x1+x2=- ; по условию, x1-x2=4 = . 3 3 3 3 13 13 b x1=x2+ ; 2x2+ =- ; 3 3 3 b + 13 ; x2=6 13 b + 13 26 − b − 13 13 − b ; x1= − = = 3 6 6 6 (13 − b)(13 + b) 10 ; = 36 3
x 1 ⋅ x 2=
b2-169=120; b2=289; b2= ±17 . №664. 5x2-12x+c=0; по условию задачи: x1=3x2; по теореме Виета: x1+x2=
с 12 , x1 ⋅ x2= ; 5 5
www.5balls.ru
3 9 с с 27 27 12 ; x2= ; x1= ; =x1x2; = ; c= . 5 5 5 5 5 25 5 27 . Ответ: 5
3x2+x2=
№665*. 4x2+bx-27=0; по теореме Виета: b 27 , x1 ⋅ x2=; 4 4 х 27 ; по условию задачи: 1 =-3; x1=-3x2; -3 х 22 =х2 4
x1+x2=-
9 ; 4 3 9 1) x2= ; x1=- ; 2 2 3 9 2) x2=- ; x1= ; 2 2 х 22 =
3 2
9 2
3 9 + =-12. 2 2
b=-4(x1+x2); b1=-4 − =12; b2=-4 − Ответ: b=12 или b=-12. №666*. 5x2+13x-6=0; по теореме Виета: x1+x2=-
13 6 , x1 ⋅ x2=- ; 5 5
х12 + х 22 =(x1+x2)-2x1x2=
169 12 169 + 60 229 916 + = = = = 9,16 25 5 25 25 100
Ответ: 9,16. №667*. 2x2-5x+с=0; по теореме Виета: x1+x2=
5 с , x1 ⋅ x2= ; 2 2
х12 - х 22 =(x1+x2)(x1-x2)=
5 (x1-x2)=0,25; x1-x2=0,1; 2
2x1=2,6; x1=1,3; x2=1,2;
www.5balls.ru
c=2x1x2=2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,2=3,12. Ответ: 3,12. №668*. 4x2+bx+с=0; по условию: х1=0,5, х2=с; по теореме Виета: x1+x2=-
b с , x1 ⋅ x2= ; 4 4
4x1x2=c; 2c=c; c=0; 4x2+bx=0; x(4x+b)=0; x1=0; x2=0,5; 4x2+b=0; 2+b=0; b=-2. Ответ: b=-2, c=0. №669*. По теореме Виета x1+x2=-b, x1 ⋅ x2=c; по условию: x1=b, x2=c, откуда: bc=c; bc-c=0; c(b-1)=0; c ≠ 0, b=1; b+c=-b; 1+c=-1; c=-2. Ответ: b=1, c=-2 №670*. Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения. По теореме Виета получаем: х12 + х 22 =(x1+x2)2-2x1x2=p2-2q. №671*. По теореме Виета x1+x2=-
2 k , x1 ⋅ x2= ; 3 3
по условию задачи: х2=-
2 х1. 3
www.5balls.ru
2 x1 + x 2 = − 3 , 2 2 x 2 x1- =- ; 1 =- ; 2 3 3 3 3 x = − x ; 1 2 3 4 4 x1=-2; x2= ; k=3x1x2=3 ⋅ (-2) ⋅ =(-2) ⋅ 4=8. 3 3
Ответ: -8. №672*. По теореме Виета x1+x2=8, x1 ⋅ x2=k; по условию задачи: 3х1+4х2=29; 24-3x2+4x2=29; x2=5, следовательно, x1=3; k= x1 ⋅ x2=15. Ответ: 15. К ПАРАГРАФУ 10 №673. x + 1 20 x + 1 20 + = 4; + − 4 = 0; 6 x −1 6 x −1 ( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1) = 0; 6( x − 1)
a)
(x-1)(x+1)+120-24x+24=0; x2-24x+143=0; D1=(-12)2-1 ⋅ 143=1; x=12 ± 1 =12 ± 1; x1=12-1=11; x2=12+1=13; x + 15 21 x + 15 21 − = 2; − −2 = 0; 4 x+2 4 x+2 ( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1) = 0; 6( x − 1) (x+2)(x+15)-4 ⋅ 21-8(x+2)=0;
б)
x2+9x-70=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=81+280=361;
x=
− 9 ± 361 − 9 ± 19 ; = 2 2
www.5balls.ru
−9 + 19 =5; 2 −9 − 19 x2= = −14 ; 2 12 8 в) − =1; x −1 x +1
x1=
12 8 − −1 = 0 ; x −1 x +1
12(x+1)-8(x-1)-(x-1)(x+1)=0; 12x+12-8x+8-x2+1=0; x2-4x-21=0; D1=(-2)2-1 ⋅ (-21)=4+21=25; x=2 ± 25 = 2 ± 5 ; x1=2-5=-3; x2=2+5=7; г)
16 30 + = 3; x − 3 1− x
16 30 + −3 = 0; x − 3 1− x
16(1-x)+30(x-3)-3(x-3)(1-x)=0; 16+14x-90-3x+3x2+9-9x=0; 3x2+2x-65=0; D1=12-3 ⋅ (-65)=1+195=196; − 1 ± 196 − 1 ± 14 ; = 3 3 1 −1 + 14 13 x1= = =4 ; 3 3 3 −1 − 14 x2= = −5 ; 3 3 1 28 + = ; д) 1 − x 1 + x 1 − x2 3 1 28 + − = 0; 1 − x 1 + x (1 − x )(1 + x )
x=
3(1+x)+1-x-28=0; 2(x-12)=0; x=12; е)
5 3 20 5 3 20 − − =0; ; − = x − 2 x + 2 x2 − 4 x − 2 x + 2 x2 − 4
5(x+2)-3(x-2)-20=0; 2x-4=0; x-2=0; x=2 не подходит, так как при х=2 обращается в ноль знаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имеет корней;
www.5balls.ru
ж)
x +2 x+3 29 ; + = x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)
x +2 x +3 29 + − =0; x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)
(x-2)(x+2)+(x+1)(x+3)-29=0; x2-4+x2+3x+x+3-29=0; 2(x2+2x-15)=0; x2+2x-15=0; D1=12-1 ⋅ (-15)=16; x=-1 ± 16 = −1 ± 4 ; x1=-1+4=3; x2=-1-4=-5; з)
x + 2 x +1 4 ; − = x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)
x + 2 x +1 4 − − = 0; x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)
(x-1)(x+2)-(x+1)(x+3)-4=0; -3(x+3)=0; x=-3 не подходит, так как при х=-3 обращается в ноль знаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имеет корней. №674*. a) y= x=
2x − 5 = 0 ; 2x-5=0; 2x=5; x +3
5 =2,5. 2
Искомая точка – (2,5;0). б) y=
( x − 4)(3x − 15) =0; x −9
(3x-15)(x-4)=0; 1) 3(x-5)=0; x-5=0; x1=5; 2) x-4=0; x2=4. Искомые точки – (5;0) и (4;0). в) y=
x 2 − 5x + 6 = 0; x−2
x-5x+6=0; (x-2)(x-3)=0; x1=3; x2=2 не подходит, так как при х=2 обращается в ноль знаменатель дроби; искомая точка – (3;0);
www.5balls.ru
x 3 − 7 x 2 + 12 x = 0; x −3
г) y=
x-7x+12x=0; x(x-7x+12)=0; 1) x1=0; 2) x-7x+12=0; (x-4)(x-3)=0; x1=4; x2=3 не подходит, так как при х=3 обращается в ноль знаменатель дроби; искомые точки – (0;0) и (4;0). №675. a) y= 1)
5x − 7
x2 + 1 5x − 7 2
x +1
;
=-6;
5x − 7 x2 + 1
+6-0;
5x-7+6x2+6=0; 6x2+5x-1=0; D=52-4 ⋅ 6 ⋅ (-1)=25+24=49; − 5 ± 49 − 5 ± 7 = ; 2⋅6 12 −5 + 7 1 x1= = ; 12 6 −5 − 7 x2= = −1 ; 12 5x − 7
x=
2)
3)
x2 + 1 5x − 7 x2 + 1
=0; 5x-7=0; x= =0,8;
7 2 =1 ; 5 5
5x − 7 4 - =0; 5(5x-7)-4(x2+1)=0; x2 + 1 5
4x2-25x+39=0; D=(-25)2-4 ⋅ 4 ⋅ 39=625-624=1;
25 ± 1 25 ± 1 ; = 2⋅4 8 25 − 1 24 = =3; x1= 8 8 25 + 1 26 1 = =3 ; x2= 8 8 4 5x − 7 5x − 7 14 =0,56; 2 - =0; 4) 2 x +1 x + 1 25
x=
25(5x-7)-14(x2+1)=0; -14x2+125x-189=0; 14x2-125x+189=0;
www.5balls.ru
D=1252-4 ⋅ 14 ⋅ 189=12625-10584=5041; 125 ± 5041 125 ± 71 = ; 2 ⋅ 14 28 125 + 71 196 = =7; x1= 28 28 125 − 71 27 13 = =1 ; x2= 28 14 14
x=
б) y= 1)
x 2 − 2x + 6 ; x+4
x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 3 = 1,5 ; − =0; x+4 x+4 2
2x2-4x+12-3(x+4)=0; 2x2-7x=0; x(2x-7)=0; x1=0; x2= 2)
7 1 =3 ; 2 2
x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 = 3; −3 = 0 ; x+4 x+4
x2-2x+6-3(x+4)=0; x2-5x-6=0; (x+1)(x-6)=0; x1=-1; x2=6; 3)
x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 =7; −7 = 0; x+4 x+4
x2-2x+6-7x-28=0; x2-9x-22=0; D=(-9)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=81+88=169; 9 ± 169 9 ± 13 = ; 2 2 9 + 13 x1= = 11 ; 2 9 − 13 x2= = −2 . 2
x=
№676. a) 2x+3=
34 ; x −5
(2x+3)(x-5)-34=0;
www.5balls.ru
2x(x-5)+3(x-5)-34=0; 2x2-7x-49=0; D=(-7)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-49)=49+392=441; 7 ± 441 7 ± 21 = ; 4 4 7 + 21 = 7 ; y1=2 ⋅ 7+3=17; x1= 4 7 − 21 14 1 = − = −3 ; y2=2 ⋅ (-3,5)+3=-4. x2= 4 4 2
x=
Искомые точки пересечения: (7;17) и (-3,5;-4). б)
x 2 − 5x x 2 − 5x =2x; -2x=0; x2-5x-2x2-6x=0; x +3 x +3
x2+11x=0; x(x+11)=0; x1=0; y1=0; x2=-11; y2=2 ⋅ (-11)=-22. Искомые точки пересечения: (0;0) и (-11;-22). №677*. a)
2 x + 1 3( 2x − 1) 8 − + = 0; 2 x − 1 7(2 x + 1) 1 − 4 x 2
2 x + 1 3(2 x − 1) 8 − + =0; 2 x − 1 7(2 x + 1) (1 − 2 x )(1 + 2 x )
7(2x+1)2-3(2x-1)2-56=0; 7(4x2+4x+1)-3(2x-1)2-56=0; 7(4x2+4x+1)-3(4x2-4x+1)-56=0; 16x2+40x-52=0; 4x2+10x-13=0; D1=52-4 ⋅ (-13)=77; − 5 ± 77 ; 4 y 1 3 б) 2 − 2 + = 0; y − 9 y + 3y 6 y + 2 y 2
x1,2=
y 1 3 − + = 0; ( y − 3)( y + 3) y( y + 3) 2 y(3 + y)
2y2-2(y-3)+3(y-3)=0; 2y2+y-3=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=25;
www.5balls.ru
− 1 ± 25 − 1 ± 5 ; = 4 4 −1 + 5 = 1; y1= 4 −1 − 5 6 1 = − = −1 ; y2= 4 4 2 2y − 1 8 2y + 1 ; в) + = 2 2 2 14 y + 7 y 12 y − 3 6 y − 3y
y1,2=
2y − 1 8 2y + 1 + − =0; 7 y(2 y + 1) 3(4 y 2 − 1) 3y( y − 1) 3(2 y − 1) 2 + 56 y − 7( 2 y + 1) 2 3 ⋅ 7 y( 4 y 2 − 1)
=0;
3(4y2-4y+1)+56y-7(4y2+4y+1)=0; 12y2-12y+3+56y-28y2-28y-7=0; 16y2-16y+4=0; 4y2-4y+1=0; (2y-1)2=0; 2y=1; y=
1 1 не подходит, так как при y= общий знаменатель 2 2
дробей обращается в ноль, значит, корней нет. 3 1 3 − = ; x 2 − 9 9 − 6x + x 2 2x 2 + 6x 3 1 3 − − =0; 2 ( x − 3)( x + 3) (3 − x ) 2 x ( x + 3x )
г)
3 ⋅ 2 x ( x − 3) − 2 x ( x + 3) − 3( x − 3) 2 2 x ( x − 3) 2 ( x + 3)
=0;
6x(x-3)-2x(x+3)-3(x2-6x+9)=0; 6x2-18x-2x2-6x-3x2+18x-27=0; 6x2-2x2-3x2-6x-27=0; x2-6x-27=0; D1=(-3)2-1 ⋅ (-27)=36; x= 3 ± 36 = 3 ± 6 ; x1=3+6=9; x2=3-6=-3 не подходит, так как при x=-3 общий знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень х=9; д)
9 x + 12 3
x − 64
−
1 2
x + 4 x + 16
=
1 ; x−4
www.5balls.ru
9x + 12 ( x − 4)( x + 4 x + 16) 2
−
1 x + 4 x + 16 2
−
1 =0; x−4
9x+12-x+4-x2-4x-16=0; -x2+4x+12+4-16=0; x2-4x=0; x(x-4)=0; x1=0; x2=4 не подходит, так как при x=4 общий знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень х=0; е)
3 3
8y + 1
−
1 y+3 = ; 2y + 1 4y2 − 2y + 1
3 2
( 2 y + 1)(4 y − 2 y + 1)
−
1 y+3 − 2 =0; 2y + 1 4y − 2y + 1
3-(4y2-2y+1)-(2y+1)(y+3)=0; 3-4y2+2y-1-2y2-6y-y-3=0; 6y2+5y+1=0; D=52-4 ⋅ 6 ⋅ 1=1;
−5 ± 1 −5 ± 1 ; = 2⋅6 12 4 1 −5 + 1 y1= =− =− ; 12 12 3 6 1 1 −5 − 1 y2= = − = − не подходит, так как при y=- общий 12 12 2 2
y=
знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень 1 3
y=- ; 32 1 1 ; + = x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 1)( x − 2) x + 1 32 1 1 + − = 0; ( x − 2)( x 2 − 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1
ж)
32 1 1 + − =0; ( x − 2)( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1
32+x+1-(x-2)(x-1)=0; x2-4x-31=0; D1=(-2)2-1 ⋅ (-31)=35; x1,2=2 ± 35 ; з)
1 1 1 + + =0; 3( x − 4) 2( x 2 + 3) x 3 − 4 x 2 + 3x − 12
www.5balls.ru
1 1 1 + + 2 =0 2 3( x − 4) 2( x + 3) x ( x − 4) + 3( x − 4) 1 1 1 + + =0 3( x − 4) 2( x 2 + 3) ( x − 4)( x 2 + 3)
2(x2+3)+3(x-4)+6=0; 2x2+3x=0; x(2x+3)=0; x1=0; 2x2+3=0; x2=-
3 1 = −1 . 2 2
www.5balls.ru
