Теория функций комплексной переменной: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Т Е О РИ Я Ф У Н К Ц И Й К О М П Л Е К С Н О Й П Е РЕМ Е Н Н О Й У чебно-метод и ческоепособи ед ля студ ентов, обучающи хся по специ аль ностям: 010701 (010400) – « Ф и зи ка» 010801 (013800) – « Рад и оф и зи ка и электрони ка» 010803 (014100) – « М и кроэлектрони ка и полупровод ни ковы епри боры »

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тверж д ено научно-метод и чески м советом ф и зи ческог о ф акуль тета (протокол№ 2 от24.02.2005)

С остави тель Д еревяг и на Е лена И вановна

У чебно-метод и ческоепособи епод г отовлено на каф ед рематемати ческой ф и зи ки ф и зи ческог о ф акуль тета В оронеж ског о г осуд арственног о уни верси тета. Рекоменд уется д ля студ ентов, обучающи хся по специ аль ностям « Ф и зи ка», « Рад и оф и зи ка и электрони ка», « М и кроэлектрони ка и полупровод ни ковы епри боры ».

3

О гла вление Гла ва 1. К омплексна я переменна я ифункциикомплексной переменной 1.1 Комплексны ечи сла и д ействи я сни ми … … … … … … … … … … … … .… 4 1.2 П ред елпослед ователь ности комплексны х чи сел… … … … … … … … … 7 1.3 П оняти еф ункци и комплексной переменной. Н епреры вность … … … ...8 1.4 Д и ф ф еренци ровани еф ункци и комплексной переменной… … … … … ..9 1.5 И нтег ралпо комплексной переменной… … … … … … … … … … ...… … 11 1.6 И нтег рал Коши … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..15 Гла ва 2. Ряды а на литических функций 2.1 Равномерно сход ящи еся ряд ы ф ункци й комплексной переменной… .17 2.2 С тепенны еряд ы . Ряд Т ейлора… … … … … … … … … … … … … … … … .19 2.3 Е д и нственность опред елени я анали ти ческой ф ункци и … … … … … … 22 2.4 Ряд Л орана… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .25 2.5 Класси ф и каци я и золи рованны хособы хточекод нозначной ф ункци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 28 2.6 Т еори я вы четов. В ы чи слени еопред еленны хи нтег ралов спомощь ю вы четов… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .30 2.7 П реобразовани еЛ апласа… … … … … … … … … … … … … … … … … … ..34 С пи сокли тературы … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...38

4

Гла ва 1. К омплексна я переменна я ифункциикомплексной переменной 1.1 К омплексны е числа идействия c ними П од комплексны м чи слом z пони маютупоряд оченную пару д ействи тель ны хчи сел a и b : z = (a, b ) . Комплексноечи сло z = (a,−b ) = a − ib назы вается комплексно сопряж енны м чи слу z = a + ib . Д ва комплексны хчи сла z1 = (a1 , b1 ), z 2 = (a 2 , b2 ) равны ли шь при a1 = a2 , b1 = b2 . a – д ействи тель ная часть чи сла z , a = Re z , b – мни мая часть чи сла z , b = Im z . z = (1,0 ) =1 , z = (0,1) = i – мни мая ед и ни ца Д ейств и я с к о м плек сны м и чи слам и 1. С лож ен и е. Е сли z1 = a1 + ib1 = a1 b1 , z 2 = a 2 + i b2 = a 2 b2 , то z = z1 + z2 = a1 + a2 + i (b1 + b2 ) , z = (a , b ) , a = a1 + a2 , b = b1 + b2 . Н улем назы вается комплексноечи сло 0 = (0,0), z + 0 = z . 2. Вы ч и т ан и е. Е сли z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + i b2 , то z = z1 − z2 = (a, b ) ,

(

)

(

)

z = (a , b ) , a = a1 − a2 , b = b1 − b2 . 3. П рои зведен и ек ом плек сн ы хч и сел z = z1z 2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 − b1b2 + ia2b1 =

= a1a2 − b1b2 + i (a1b2 + a2b1 ), z = (a , b ) a = a1a 2 − b1b2 , b = a1b2 + a 2 b1 . z z z 4. Делен и е. z= 1 = 1 2 . z2 z 2 2

z a a +b b b a − b2 a1 z= 1 = 1 2 1 2 + i 1 2 . z2 a22 + b22 a22 + b22 Г ео м етр и ческ ая и нтер пр етаци я к о м плек сно го чи сла Е стественной г еометри ческой и нтерпретаци ей является и зображ ени е комплексног о чи сла z = a + ib точкой M ( x, y ) с д екартовы ми коорд и натами x = a, y = b . Ч и сло z = 0 стави тся в соответстви е началу коорд и нат д анной плоскости . Т акая плоскость назы вается комплексной, ось абсци сс – д ействи тель ной, ось орд и нат– мни мой ось ю комплексной плоскости . У станавли вается взаи мно од нозначное соответстви е меж д у множ еством всех комплексны х чи сели множ еством точеккомплексной плоскости .

5 Imz М b ρ

ϕ

a Rez Ри с1. В осполь зуемся связь ю д екартовы х ( x , y ) и полярны х( ρ,ϕ ) коорд и нат: x = ρ cos ϕ , y = ρ cos ϕ ( ρ - расстояни е точки от начала коорд и нат, ϕ - уг ол, которы й составляет рад и ус – вектор д анной точки с полож и тель ны м направлени ем оси абци сс). П олучи м три г онометри ческую ф ормузапи си комплексног о чи сла: z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , O

ρ = z - мод уль комплексног о чи сла z : ρ = a 2 + b 2 , b ϕ = Arg z - арг ументкомплексног о чи сла : tgϕ = . a (П ри вы боре и з послед нег о уравнени я значени я ϕ след ует учесть знаки a и b). П олож и тель ны м направлени ем и зменени я уг ла ϕ счи тается направлени е проти в часовой стрелки ( − ∞ < ϕ < ∞). Arg z опред елен не од нозначно, а с точность ю д о ад д и ти вног о слаг аемог о, кратног о 2π . О бозначи м через arg z значени е арг умента, заключенное в пред елах ϕ 0 ≤ arg z < 2π + ϕ 0 , г д е ϕ 0 - прои зволь ное ф и кси рованноечи сло ( в д аль нейшем счи таем ϕ 0 = − π , тог д а Argz = arg z + 2κπ (κ = 0,±1, ± 2,...) . Арг умент комплексног о чи сла z =0 не опред елен, а ег о мод уль равен нулю. И споль зуя ф ормулу Э йлера e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , получаем показатель ную ф ормузапи си комплексног о чи сла: z = ρ eiϕ . Д ва комплексног о чи сла z1 = ρ1 e iϕ1 и z 2 = ρ 2 e iϕ 2 равны , если ρ1 = ρ 2 , ϕ1 = ϕ 2 . С оответстви емеж д умнож еством всехкомплексны х чи сел и векторами на плоскости позволяет отож д естви ть операци и слож ени я и вы чи тани я комплексног о чи сла ссоответствующи ми операци ями над векторами . П ри этом лег ко устанавли ваются неравенства треуг оль ни ка: z1 + z2 ≤ z1 + z2 , z1 − z2 ≥ z1 − z2 .

6

y z1 + z2

z2

z1 − z 2

z1 o

x Ри с. 2. Д ля вы полнени я операци и умнож ени я и д елени я уд обно поль зовать ся три г онометри ческой и показатель ной ф ормой комплексног о чи сла z = z1 z 2 = ρ1e iϕ1 ρ 2 eiϕ 2 = ρ1 ρ 2 e i (ϕ1 +ϕ 2 ) = = ρ1 ρ 2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )), г д еϕ - арг ументкомплексног о чи сла z1 ρ1e iϕ1 ρ1 i (ϕ1 − ϕ 2 ) z= = = e = z 2 ρ 2 e iϕ 2 ρ 2 =

ρ1 (cos(ϕ1 −ϕ 2 )+ i sin (ϕ1 −ϕ 2 )). ρ2

Во зведени е в степень и и звлечени е к о р ня и зк о м плек сно го чи сла П ри возвед ени и комплексног о чи сла z1 = ρ1eiϕ1 в целую полож и тель ную

степень n, получаем комплексноечи сло z = ρ eiϕ :

z = z1n = ρ1n einϕ1 = ρ1n (сosnϕ1 + i sin nϕ1 ) , при этом ρ eiϕ = ρ1n einϕ1 , след ователь но, ρ = ρ1n , ϕ = nϕ1. . Комплексное чи сло

z1 = n z

назы вается корнем n-й

степени

из

комплексног о чи сла z, если z = z1n :

ρ1n = ρ ; ρ1 = n ρ ; ρ1n einϕ1 = ρ ei (ϕ + 2 π κ ) , (ϕ + 2πk ) ; k = 0,1, ..., n − 1 . nϕ1 = ϕ + 2πk ; ϕ1 = n 31

i 2π iπ − 3 , ( z1 )3 = e 3 . получаем (z1 )1 =1, ( z1 )2 = e

П ри мер: при нахож д ени и корня Ч и сло разли чны х значени й корня n - ой степени и з комплексног о чи сла z равно n , если арг ументопред елен сточность ю д о 2kπ . Т очки на комплексной плоскости , соответствующи е разли чны м значени ям корня n -ой степени и з

7

комплексног о чи сла z , располож ены в верши нах прави ль ног о n -уг оль ни ка, впи санног о в окруж ность рад и уса n ρ сцентром в точке z = 0 .

1.2 П редел последова тельностикомплексны х чисел Опр еделени е. П оследоват ельн ост ью к ом плек сн ы хч и сел н азы вает ся перен ум ерован н оебеск он еч н оем н ожест во к ом плек сн ы хч и сел. О бозн: {zn}, комплексны ечи сла zn назы ваются ееэлементами . Опр еделени е. Ч и сло z н азы вает ся пределом последоват ельн ост и {zn}, если для любого положи т ельн ого ч и сла ε м ожн о ук азат ь т ак ой н ом ер N(ε), н ач и н ая ск от орого всеэлем ен т ы zn эт ой последоват ельн ост и удовлет воряют н еравен ст ву |z-zn|<ε при n≥ N(ε). П ослед ователь ность {zn}, и меющая пред ел z, назы вается сход ящейся кчи слуz, что запи сы вается в ви д е lim z n = z . n →∞

Опр еделени е. Мн ожест во т оч ек z к ом плек сн ой плоск ост и , лежащи х вн ут ри ок ружн ост и ради уса ε сцен т ром в т оч к еz0 (|z-z0|<ε), н азы вает ся εок рест н ост ью т оч к и z0. Т очка z является пред елом сход ящейся послед ователь ности {zn}, если в любой ε-окрестности точки z леж ат все элементы этой послед ователь ности , начи ная снекоторог о номера, зави сящег о отε. Тео р ем а (н еобходи м оеи дост ат оч н оеуслови есходи м ост и ) Необходи м ы м и дост ат оч н ы м услови ем сходи м ост и последоват ельн ост и {zn} являет ся сходи м ост ь последоват ельн ост ей дейст ви т ельн ы хч и сел {an} и {bn} (zn=an+ibn) Док азат ельст во: Е сли послед ователь ность {zn} сход и тся кчи слуz=a+ib, то д ля ∀ ε>0 an-a≤|z-z0|<ε, bn-b<ε, при n≥N(ε) ⇒ {an}, {bn} сход ятся к a и b соответственно. О братное утверж д ени е след ует и з соотношени я z n − z = (an − a )2 + (bn − b )2 , г д е a и b – являются пред елами послед ователь ностей {an} и {bn} и z = a + ib. Опр еделени е. П оследоват ельн ост ь {zn} н азы вает ся огран и ч ен н ой, если ∃ т ак ое положи т ельн ое ч и сло М , ч т о для всех элем ен т ов zn эт ой последоват ельн ост и и м еет м ест о н еравен ст во |zn|<М . О сновноесвойство ог рани ченной послед ователь ности характери зует Тео р ем а. И з всяк ой огран и ч ен н ой последоват ельн ост и м ожн о вы дели т ь сходящуюся подпоследоват ельн ост ь.

8

П ри и сслед овани и сход и мости послед ователь ности во мног и х случаях уд обны м оказы вается необход и мы й и д остаточны й при знак сход и мости послед ователь ности (кри тери й Коши ). Кр и тер и й Ко ши : П оследоват ельн ост ь {zn} сходи т ся т огда и т ольк о т огда, если для ∀ ε>0 м ожн о ук азат ь т ак оеN(ε), ч т о |zn-zn+m|<ε при n≥ N(ε) и для ∀ н ом ера m≥0. Док азат ельст во: 1.Н еобход и мость . Т ак как {zn} сход и тся, то сход ятся {an} и {bn} (послед ователь ности д ействи тель ны хчи сел). О тсюд а, д ля ∀ ε>0 и ∀ m>0 |an-an+m|<ε/2 при n≥N1(ε) и |bn-bn+m|<ε/2 при n≥N2(ε). В ы берем N(ε) наи боль ши м и з N1 и N2 . В си лу указанны х неравенств получаем: |zn-zn+m|<ε при n≥ N(ε). 2. Д остаточность . Т аккак|zn-zn+m|<ε при n≥ N, то |an-an+m|≤|zn-zn+m|<ε и |bn-bn+m|≤|zn-zn+m|< ε, что является д остаточны м услови ем сход и мости послед ователь ности {an} и {bn}, т.е. сход и мости послед ователь ности {zn}. 1.3 П онятие функциикомплексной переменной. Н епреры вность Опр еделени я О д нозначная ф ункци я комплексной переменной z , зад анная в области D , опред еляется законом, ставящи м каж д ому значени ю z и з области D в соответстви еопред еленноекомплексноечи сло w : w= f (z ) . М нож ество комплексны х чи сел w , соответствующи х всем z ∈ D , назы вается множ еством значени й ф ункци и f (z ) . Ф ункци ю комплексной переменной мож но пред стави ть в ви д е: w ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ). Ф ункци я u ( x, y ) назы вается д ействи тель ной, а ф ункци я v( x, y ) назы вается мни мой частями ф ункци и w = f (z ) . Ф ункци и u ( x, y ) и v( x, y ) д ействи тель ны еф ункци и д вух д ействи тель ны х переменны х. М нож ество значени й w ф ункци и f ( z ) на комплексной плоскости w мож ет и меть самую разнообразную структуру. В частности , это мож ет бы ть область G и ли замкнутая область G . Г еометри ческая и нтерпретаци я поняти я ф ункци и f ( z ) комплексной переменной заключается в том, что равенством w = f (z ) устанавли вается закон соответстви я меж д у точками области D комплексной плоскости z и точками области G комплексной плоскости w . О чеви д но, устанавли вается и обратное соответстви е – каж д ой точке w∈ G стави тся в соответстви е од на и ли несколь ко точек z области D . Э то означает, что в области G зад ана (од нозначная и ли мног означная) ф ункци я комплексной переменной w : z = ϕ (w) .

9

Э та ф ункци я назы вается обратной ф ункци и f ( z ) . О бласть G зад ани я ф ункци и ϕ (w) , очеви д но, является область ю значени й ф ункци и f ( z ) . Е сли ф ункци я ϕ (w) , обратная од нозначной ф ункци и f ( z ) , зад анной в области D , является од нозначной ф ункци ей в области G , то меж д уобластями G и D установлено взаи мно од нозначноесоответстви е. Н епр ер ы в но сть функ ци и к о м плек сно й пер ем енно й Опр еделени е 1. Ч и сло w0 н азы вает ся предельн ы м зн ач ен и ем ф ун к ци и f ( z ) в т оч к е z0 , если для любого ε > 0 м ожн о ук азат ь т ак оеδ > 0 , ч т о для всехт оч ек z ∈ D , удовлет воряющи хуслови ю 0 < z − z0 < δ , и м еет м ест о н еравен ст во: f ( z ) − w0 < ε .

Опр еделени е 2. Фун к ци я f (z ) , задан н ая н а м н ожест веD , н азы вает ся н епреры вн ой в т оч к е z 0 ∈ D , если предельн оезн ач ен и еэт ой ф ун к ци и в т оч к е z0 сущест вует , к он еч н о и совпадает со зн ач ен и ем f ( z0 ) ф ун к ци и f (z ) в т оч к е z0 ,т .е. lim f ( z ) = f ( z0 ) . z → z0

Г еометри чески это означает, что ф ункци я комплексной переменной, непреры вная в некоторой точке z0 , стави тв соответстви екаж д ой точкеи з δ окрестности точки z0 некоторую точку, при над леж ащую ε - окрестности точки w0 = f ( z 0 ) . И з непреры вности ф ункци и комплексной переменной w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) след уетнепреры вность еед ействи тель ной u ( x, y ) и мни мой v( x, y ) частей по совокупности переменны х x, y . И меетместо и обратноеутверж д ени е, т.е. если u ( x, y ) и v( x, y ) суть непреры вны еф ункци и по совокупности переменны х x, y в некоторой точке ( x0 , y0 ) , то f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) является ф ункци ей комплексной переменной z = x + iy , непреры вной в точке z0 = x0 + iy0 . 1.4 Дифференцирова ние функциикомплексной переменной Опр еделени е. П уст ь в област и D к ом плек сн ой плоск ост и z задан а ф ун к ци я f (z ) . Если для т оч к и z0 ∈ D сущест вует при ∆z → 0 предел (предельн оезн ач ен и е) разн ост н ого от н ош ен и я f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) , ∆z

10

т о эт от

предел н азы вает ся прои зводн ой ф ун к ци и

f (z ) по к ом плек сн ой

перем ен н ой z в т оч к е z0 и обозн ач ает ся f ' ( z0 ) , т .е. f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) f ' (z0 ) = lim . (1.1) ∆z ∆z → 0 Ф ункци я f (z ) в этом случаеназы вается д и ф ф еренци руемой в точке z0 . Е сли существуетпред ел(1.1), то он незави си тотспособа стремлени я ∆z к нулю, т.е. отспособа при бли ж ени я точки z0 + ∆z кточке z0 . Тео р ем а. Если ф ун к ци я f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) ди ф ф ерен ци руем а в т оч к е z0 = x0 + iy0 , т о в т оч к е(x0 , y0 ) сущест вуют ч аст н ы епрои зводн ы еф ун к ци й u ( x, y ) и v( x, y ) по перем ен н ы м x, y , при ч ем и м еют м ест о соот н ош ен и я ∂u (x0 , y0 ) ∂v(x0 , y0 ) ∂u ( x0 , y0 ) ∂v( x0 , y0 ) = , =− . (1.2) ∂x ∂y ∂y ∂x Э ти соотношени я назы ваются соотношени ями Коши -Ри мана. Док азат ельст во: П усть ∆z = ∆x , тог д а u ( x + ∆x, y ) + iv( x + ∆x, y ) u ( x, y ) + iv( x, y ) )= − f ′( z0 ) = lim ( ∆x → 0 ∆x ∆x u ( x + ∆x, y ) − u ( x, y ) v( x + ∆x, y ) − v( x, y ) = lim + i lim = ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 = u x' ( x, y ) + iv 'x ( x, y ) П олаг ая ∆z = i∆y, наход и м u ( x , y + ∆y ) − u ( x , y ) v ( x , y + ∆y ) − v ( x , y ) f ' ( z 0 ) = lim + i lim = i ∆y i∆y ∆y → 0 ∆y → 0 = iu 'y ( x, y ) + v 'y ( x, y ) = v 'y ( x, y ) − iu 'y ( x, y ) . У беж д аемся в справед ли вости услови й (1.2), сравни вая ф ормулы д ля f ' ( z0 ) . Тео р ем а. Если в т оч к е ( x0 , y0 ) ф ун к ци и u ( x, y ) и v( x, y ) ди ф ф ерен ци руем ы , a и хч аст н ы епрои зводн ы есвязан ы соот н ош ен и ям и (1.2), т о ф ун к ци я f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) являет ся ди ф ф ерен ци руем ой ф ун к ци ей к ом плек сн ой перем ен н ой z в т оч к е z0 = x0 + iy0 . Док азат ельст во: u ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − u ( x0 , y0 ) = u x ( x0 , y0 )∆x + u y ( x0 , y0 )∆y + ξ ( x, y ), v( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − v( x0 , y0 ) = v x ( x0 , y0 )∆x + v y ( x0 , y0 )∆y + η ( x, y ),

lim

ξ ( x, y ) η ( x, y ) = 0, lim = 0 , ∆z = ∆z ∆z ∆z →0

∆z →0

Рассмотри м разностноеотношени е

(∆x )2 + (∆y )2 .

11

f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) ∆x + i∆y = u x ( x0 , y 0 ) + ∆z ∆x + i∆y i∆x − ∆y ξ ( x, y ) + iη ( x, y ) + v x ( x0 , y 0 ) + = ∆x + i∆y ∆x + i∆y ζ (z ) = u x ( x0 , y0 ) + iv x ( x0 , y0 ) + ∆z (ζ (z ) = ξ (x, y ) + iη (x, y )) . П ри ∆z → 0 существует f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) lim = f ' (z0 ) . ∆z ∆z → 0 Опр еделени е Если ф ун к ци я f ( z ) ди ф ф ерен ци руем а во всехт оч к ахн ек от орой област и D , т о ф ун к ци я f ( z ) н азы вает ся анали ти ческ о й функ ци ей в област и D . Св о йств а анали ти ческ и х функ ци й. 1. Е сли f ( z1 ) и f ( z2 ) анали ти чески еф ункци и в области D , то и х сумма и прои звед ени еявляются анали ти чески ми ф ункци ями в области D , а ф ункци я f (z ) ϕ ( z) = 1 является анали ти ческой всюд у, г д е f 2 ( z ) ≠ 0 f 2 (z ) 2.Е сли w= f ( z ) является анали ти ческой ф ункци ей в области D плоскости комплексной переменной z , при чем в области еезначени й на плоскости w опред елена анали ти ческая ф ункци я ζ = ϕ (w), то ф ункци я F ( z ) = ϕ [ f ( z )] является анали ти ческой ф ункци ей комплексной переменной z в области D . 3. Е сли в области D опред елена анали ти ческая ф ункци я f ( z ) , при чем f ' ( z ) ≠ 0 , то в области G значени й ф ункци и f ( z ) опред елена обратная

ф ункци я z =ϕ (w), являющаяся анали ти ческой ф ункци ей w . П ри этом если 1 w0 = f ( z0 ), то f ' ( z0 ) = ' . ϕ (w0 )

1.5 И нтегра л по комплексной переменной П ерейд ем копред елени ю поняти я и нтег рала в комплексной области . П усть w = f ( z ) есть прои зволь ная непреры вная ф ункци я комплексной переменной z , опред еленная в некоторой области D плоскости переменной z ,

12

и C прои зволь ная г лад кая ли ни я, леж ащая в этой области , сначалом в точке z0 и концом в точке Z (ри с.3).

Z z n −1 z0

z2

z1

Ри с. 3. Разобь ем д уг у z0 Z ли ни и C на прои зволь ное чи сло n части чны х д уг с помощь ю точек z0 , z1, z2 ,..., zn −1, zn = Z , располож енны х послед ователь но в полож и тель ном направлени и ли ни и C . Каж д ой части чной д уг е при вед ем в соответстви е чи сло f ( zk )∆zk , полученное от умнож ени я значени я д анной ф ункци и в левом конце этой д уг и на соответствующее этой д уг е при ращени е ∆zk переменног о z : ∆zk = zk +1 − zk . С остави м д алее сумму всех таки х прои звед ени й, распространи в еена всечасти чны ед уг и : k = n −1

∑ f ( z k )∆z k .

(1.3)

k =0

Заставляя макси мум д ли н всех части чны х д уг стреми ть ся к нулю, д окаж ем, что вы раж ени е (1.3) стреми тся копред еленному конечному пред елу, не зави сящему от тог о закона, по которому все части чны е д уг и стремятся к нулю. С этой цель ю, введ я обозначени я z k = x k + iy k , f (z k ) = u (xk , y k ) + iv( xk , y k ) = u k + ivk ∆zk = ∆xk + i∆yk , пред стави м вы раж ени е(1.3) в ви д е k = n −1

∑

k =0 k = n −1

= ∑

k =0

f ( z k )z k =

k = n −1

∑ (u k + ivk )(∆xk + i∆yk ) =

k =0

k = n −1

(uk ∆xk − vk ∆yk ) + i ∑ (vk ∆xk + uk ∆yk ) . k =0

Заставляя макси мум д ли н всех части чны хд уг стреми ть ся кнулю, мы ви д и м, что обесуммы правой части послед нег о равенства (1.4) стремятся соответственно кпред елам ∫ udx − vdy и i ∫ vdx + udy ; C

C

(1.4)

13

след ователь но, левая часть равенства (1.4) стреми тся копред еленному конечномупред елу, ког д а д ли ны всех части чны хд уг по прои зволь номузакону стремятся кнулю. Э тотпред елмы назовем и нтег ралом от f ( z )dz вд оль ли ни и C и обозначи м через ∫ f (z )dz . C

И так, и меем: ∫ f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy . C

C

(1.5)

C

Э та ф ормула д ает вы раж ени е и нтег рала по комплексной переменной через д ва д ействи тель ны х кри воли нейны х и нтег рала. Ф ормулу (1.5) лег ко запомни ть , если напи сать в таком ви д е: ∫ f (z )dz = ∫ (u + iv )(dx + idy ) . C

C

Св о йств а и нтегр ало в : 1. ∫ f (ς )dς = − ∫ f (ς )dς AB

BA

2. ∫ af (ς )dς = a ∫ f (ς )dς , a - комплексная постоянная c

c

3. ∫ { f1 (ς ) + f 2 (ς )}dς = ∫ f1 (ς ) dς + ∫ f 2 (ς )dς с

4. ∫

c

c1 + c 2

c

f (ς )dς = ∫ f (ς ) dς + ∫ f (ς )dς c1

c2

5. ∫ f (ς )dς ≤ ∫ f (ς ) ds , ds - д и ф ф еренци алд ли ны д уг и кри вой С . c

c

Д ействи тель но: ∫ f (ς )dς = c

n

n

lim

∑ f (ς i )∆ς i ≤

max ∆ς i → 0 i =1 n→∞

lim

∑ f (ς i ) ∆ς i = ∫ f (ς ) ds .

max ∆ς i → 0 i =1 n →∞

c

Е сли max f (ς ) = M и L – д ли на д уг и С , то ∫ f (ς )dς ≤ M ⋅ L . ς ∈C

C

6. ∫ f ( z )dz = ∫ f [ϕ (ς )]ϕ (ς )dς , г д е z = ϕ (ς ) - анали ти ческая ф ункци я ς , '

c

Γ

устанавли вающая взаи мно од нозначноесоответстви емеж д укри вы ми С и Г . В β

частности , ∫ f ( z )dz = ∫ f [z (t )] z ' (t ) dt , c

α

г д е z = z (t ) - параметри ческоезад ани екри вой С , а z (α ) и z (β ) - началь ная и конечная точки кри вой С .

14

Тео р ем а Ко ши И н т еграл от одн озн ач н ой ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) по любом у зам к н ут ом у к он т уру С , цели к ом лежащем у в одн освязн ой област и D , равен н улю: ∫ f (ς )dς = 0 . с

Док азат ельст во:

∂v ∂u ∂u ∂v − )dξdη + i ∫∫ ( − )dξdη . с c c D ∂ξ ∂η D ∂ξ ∂η Е сли f (ς )= u (ξ ,η )+ iv(ξ ,η ) – анали ти ческая, то вы полняется услови е Коши -Ри мана: ∂u ∂v = ∂ξ ∂η ⇒ ∫ f (ς )dς = 0 . ∂u ∂v c =− ∂η ∂ξ П ри д оказатель стветеоремы восполь зовали сь след ующи м утверж д ени ем: Е сли ф ункци и P ( x, y ) и Q( x, y ) непреры вны в замкнутой области D , ог рани ченной кусочно-г лад ки м контуром C , а и х частны е прои звод ны е первог о поряд ка непреры вны в D , то  ∂Q ∂P  ∫ Pdx + Qdy = ∫∫  − dxdy . ∂y  C D  ∂x ∫ f ( ς )dς = ∫ udξ − vdη + i ∫ vdξ + udη = ∫∫ ( −

Тео р ем а Ко ши -Ри м ана для м но го св язно й о бласти . П уст ь f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в м н огосвязн ой област и D , огран и ч ен н ой и звн е к он т уром C0 , а и зн ут ри к он т урам и C1 , C2 ... , C n , и пуст ь f ( z ) н епреры вн а в зам к н ут ой област и D .Тогда ∫ f (ς )dς = 0 , гдеС – полн ая гран и ца c

област и ζ , сост оящая и з к он т уров C0 , C1 , C2 ... , C n , при ч ем обход гран и цы C прои сходи т в положи т ельн ом н аправлен и и . В качестве полож и тель ног о направлени я обход а контура при ни маем направлени е, при котором внутренняя область , ог рани ченная д анны м замкнуты м контуром, остается слева отнаправлени я д ви ж ени я. По няти е нео пр еделенно го и нтегр ала в к о м плек сно й о бласти В аж ны м след стви ем теоремы Коши является след ующая теорема. Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) определен а и н епреры вн а в н ек от орой одн освязн ой област и D , а и н т еграл от эт ой ф ун к ци и по любом у зам к н ут ом у к он т уру C , цели к ом лежащем у в дан н ой област и , равен н улю. Тогда ф ун к ци я z

Φ( z ) = ∫ f (ς )dς

(z, z 0 ∈D )

z0

являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в област и D и Φ ' (z ) = f ( z ) .

15

Анали ти ческая ф ункци я Φ( z ) назы вается неопред еленны м и нтег ралом и ли первообразной анали ти ческой ф ункци и f ( z ) в области D . И меетместо ф ормула z2

∫ f (ς )dς = Φ (z 2 ) − Φ ( z1 ) .

z1

1.6 И нтегра л К ош и Ф о р м ула Ко ши . П усть D есть од носвязная область , ог рани ченная прои зволь ной кусочно-г лад кой ли ни ей C , и f ( z ) - ф ункци я, анали ти ческая в замкнутой области D . Ф ормула К оши , квы вод у которой мы сейчас перейд ем, вы раж ает значени е ф ункци и f ( z ) во всякой точке, внутренней к ли ни и C , через значени я этой ф ункци и на контуре C . Форм ула К ош и и м еет ви д: 1 f (ς )dς f (z ) = , ∫ 2πi C ς − z где z - любая т оч к а вн ут ри C , и и н т егри рован и есоверш ает ся по к он т уру C в полож и т ельн ом н аправлен и и . Док азат ельст во: Рассмотри м вспомог атель ную ф ункци ю f (ς ) ϕ (ς ) = . ς −z Ф ункци я ϕ (ς ) , очеви д но, является ф ункци ей всюд у в области D , за и сключени ем точки z . П оэтому, если мы в области D возь мем такой замкнуты й контур γ , леж ащи й внутри C , чтобы точка z попала внутрь области , ог рани ченной контуром γ , то ф ункци я ϕ (ς ) буд ет анали ти ческой в д вухсвязной области D∗ , заключенной меж д у контурами C и γ . С ог ласно теоремеКоши , и нтег рал отф ункци и ϕ (ς ) по кри вой C + γ равен нулю: f (ς )dς f (ς ) dς f (ς ) dς f (ς ) dς + ∫ = 0, ∫ = ∫ . ∫ C+ ς − z γ− ς −z C+ ς − z γ+ ς −z П усть γ - окруж ность рад и уса ρ сцентром в точке z , тог д а ς = z+ρ e iϕ и f ( ς )dς 2π f ( ς )ρie iϕ dϕ 2π = ∫ = i ∫ f (ς )dϕ , ∫ iϕ ς − z ρ e С 0 0 2π

2π

2π

0

0

0

∫ f ( ς )dϕ = ∫ [ f (ς ) − f ( z )]dϕ + ∫ f ( z )dϕ = 2π

= ∫ [ f (ς ) − f (z )]dϕ + 2π f ( z ), 0

16

при ρ → 0

2π

f ( ς )dς = 2πif ( z ) , − ς z C

lim ∫ [ f (ς ) − f ( z )]dϕ = 0 , и ∫

ρ →0 0

1 f (ς )dς - и нтег ралКоши . ∫ 2πi C ς − z П олученная ф ормула вы раж аетзначени еанали ти ческой ф ункци и f ( z ) в некоторой точке z через еезначени я на любом контуре C , леж ащем в области анали ти чности ф ункци и f ( z ) и сод ерж ащем точку z внутри . И з ф ормулы Коши след ует, что f (ς )dς 2πif ( z ), z − вн ут ри C , = ∫ z − вн е C. C ς −z 0 , f (z )=

γ

z С Ри с.4. М ож но показать , что если ф ункци я f ( z ) - анали ти ческая в области D , то д ля еепрои звод ной первог о поряд ка и меетместо ф ормула 1 f (ς )dς f ' (z ) = , ∫ 2πi C (ς − z )2 а д ля еепрои звод ной n - г о поряд ка n! f (ς )dς f (n ) ( z ) = , ( n = 1, 2 , 3,... ) . ∫ 2πi C (ς − z )n +1 Т аки м образом, если од нозначная ф ункци я f ( z ) комплексной переменной z и меетвсюд ув области D первую прои звод ную, то она и меетв этой области и прои звод ны евсех вы сши хпоряд ков. Пр и нци п м ак си м ум а м о дуля анали ти ческ о й функ ци и Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) - ан али т и ч еск ая в област и D , н епреры вн а в зам к н ут ой област и D , т огда и ли f ( z ) ≡ const , и ли max f (z ) дост и гают ся н а гран и цеобласт и .

17

Гла ва 2. Ряды а на литических функций. Ч исловы е ряды 2.1 Ра вномерносходящ иеся ряды функций комплексной переменной Чи сло в ы е р яды Вы ражен и еви да ∞

∑ an ,

(2.1)

n =1

где {an } - задан н ая ч и словая последоват ельн ост ь с к ом плек сн ы м и ч лен ам и н азы вает ся ч и словы м рядом . Р яд (2.1) н азы вает ся сходящи м ся, если сходи т ся последоват ельн ост ь

{Sn } его ч аст

n

и ч н ы хсум м Sn = ∑ ak . k =1

П редел S последоват ельн ост и {S n } н азы вает ся сум м ой ряда (2.1). Ряд

∞

∑ ak назы вается n - м остатком ряд а (2.1). Д ля сход ящег ося ряд а

k = n +1

∞

S = Sn + rn , rn = ∑ ak и д ля k = n +1

∀ε > 0 мож но указать такой номер N , что

rn < ε при n ≥ N . Н еобход и мы м и д остаточны м при знаком сход и мости ряд а (2.1) является

к р и тер и й Ко ши : ∀ε , ∃ N , что

n+ p

∑ ak < ε при n ≥ N , ∀ p.

k =n

Н еобход и мы м услови ем сход и мости ряд а (2.1) является требовани е: lim an = 0 . n →∞

Е сли сход и тся ряд ∞

∑ ak

k =1

(2.2)

сд ействи тель ны ми полож и тель ны ми членами , то сход и тся и ряд (2.1), которы й в этом случаеназы вается абсолютно сход ящи мся. Ф унк ци о нальны е р яды Вы ражен и еви да ∞

∑ un ( z ) ,

n =1

(2.3)

где {un ( z )}- беск он еч н ая последоват ельн ост ь одн озн ач н ы х ф ун к ци й D , н азы вает ся к ом плек сн ой перем ен н ой, определен н ы х в област и

18

ф ун к ци он альн ы м рядом . П ри ф и к си рован н ом зн ач ен и и z 0 ∈ D ряд превращает ся в ч и словой ряд ви да (2.1). Фун к ци он альн ы й ряд (2.3) н азы вает ся сходящи м ся в област и D , если при любом z∈ D соот вет ст вующи й ем у ч и словой ряд сходи т ся. В области D мож но опред ели ть од нозначную ф ункци ю ϕ ( z ) , значени е которой в каж д ой точке области D равно сумме соответствующег о чи словог о ряд а. Э та ф ункци я назы вается суммой ряд а (2.3) в области D . В этом случае д ля ∀ z ∈ D, ∀ε > 0 ∃ N (ε , z ) , что

n

f ( z ) − ∑ uk (z ) < ε . k =1

Рав но м ер ная схо ди м о сть Если для ∀ ε > 0 ∃ N (ε ) т ак ой, ч т о при n ≥ N (ε ) н еравен ст во n

f ( z ) − ∑ uk (z ) < ε k =1

вы полн яет ся сразу для всех z ∈ D , т о ряд (2.3) сходящи м ся в област и D .

н азы вает ся равн ом ерн о

∞

О бозначи м rn ( z ) =

∑ u k ( z ) , тог д а услови еравномерной сход и мости

k = n +1

запи шем в ви д е rn ( z ) < ε при

n ≥ N (ε ) .

Д о стато чны й пр и знак р ав но м ер но й схо ди м о сти . Пр и знак В ейер штр асса Если всюду в област и D ч лен ы ф ун к ци он альн ого ряда (2.3) м огут бы т ь м ажори рован ы ч лен ам и абсолют н о сходящегося ч и слового ряда, т о ряд (2.3) сходи т ся равн ом ерн о в област и D . ∞

Док азат ельст во: по услови ю un ( z ) ≤ an , z ∈ D . Т аккакряд ∑ an сход и тся, n =1

∞

то ∀ ε > 0 ∃ N , что ∑ ak < ε при n ≥ N . Т ог д а k = n +1

∞

∑ uk (z ) ≤

k = n +1

∞

∞

k = n +1

k = n +1

∑ u k ( z ) ≤ ∑ ak < ε , при n ≥ N , что и требовалось д оказать .

Кр и тер и й Ко ши . Необходи м ы м и дост ат оч н ы м услови ем равн ом ерн ой сходи м ост и ряда (2.3) в област и D являет ся сущест вован и е для ∀ ε > 0 т ак ого N (ε ) , ч т о одн оврем ен н о во всех т оч к ах област и D вы полн яет ся соот н ош ен и е Sn + m ( z ) − S n ( z ) < ε при n ≥ N и для любого н ат уральн ого m .

19

∞

Св о йств а р ав но м ер но схо дящ и хся р ядо в . Тео р ем ы В ейер штр асса Тео р ем а 1. Если ф ун к ци и un (z ) н епреры вн ы в област и D , а ряд

∑ un ( z ) сходи т ся в эт ой област и равн ом ерн о к ф ун к ци и f (z ) , т о

n =1

f (z )

т ак жен епреры вн а в област и D . Тео р ем а 2. Если ряд (2.3) н епреры вн ы х ф ун к ци й un (z ) сходи т ся равн ом ерн о в област и D к ф ун к ци и f ( z ) , т о и н т еграл от эт ой ф ун к ци и по любой к усоч н о-гладк ой к ри вой C ∈ D м ожн о вы ч и сли т ь пут ем поч лен н ого и н т егри рован и я ряда (2.3), т .е. ∞

∫ f (ζ )dζ = ∑ ∫ un (ζ )dζ n =1C

С

Тео р ем а 3 (тео р ем а Вейер штр асса). П уст ь ф ун к ци и un ( z ) являют ся ∞

ан али т и ч еск и м и в област и D , а ряд ∑ un ( z ) сходи т ся равн ом ерн о в любой n =1

зам к н ут ой подобласт и D′ област и D к ф ун к ци и f ( z ) . Тогда: 1. f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей в област и D . ∞ ( k) 2. f ( z ) = ∑ un(k )( z ) . ∞

n =1

3. Р яд ∑ un(k ) ( z ) сходи т ся равн ом ерн о в любой зам к н ут ой подобласт и D′ n =1

област и D . 2.2 С тепенны е ряды . Ряд Т ейлора Если u n ( z ) = cn ( z − z0 )n , гдеcn - к ом плек сн ы еч и сла, z0 - ф и к си рован н ая т оч к а к ом плек сн ой перем ен н ой, т о ряд (2.3) н азы вает ся ст епен н ы м и и м еет ви д ∞

n ∑ cn ( z − z 0 ) .

(2.4)

n =0

Ч лены ряд а (2.4) являются анали ти чески ми ф ункци ями на всей комплексной плоскости . О бласть сход и мости степенног о ряд а (2.4) опред еляется след ующей теоремой. ∞

Тео р ем а Абеля. Если ст епен н ой ряд ∑ cn ( z − z 0 )n сходи т ся в н ек от орой n =0

т оч к е z1 ≠ z0 , т о он абсолют н о сходи т ся и в любой т оч к е z , удовлет воряющей услови ю z − z 0 < z1 − z 0 , при ч ем в к руге z − z 0 ≤ ρ ради уса ρ , м ен ьш его z1 − z 0 , ряд сходи т ся равн ом ерн о.

20

Док азат ельст во: В ы берем прои зволь ную точку z , уд овлетворяющую услови ю ∞

z − z 0 < z1 − z 0 , и рассмотри м ряд ∑ cn ( z − z 0 )n . n =0

О бозначи м z − z0 = q z1 − z0 , q < 1 . В сечлены ряд а (2.4) стремятся к нулю при n → ∞ . С лед ователь но, ∃ const M такая, что cn ⋅ z1 − z 0 M С лед ователь но, cn ≤ . Т ог д а n z1 − z0 ∞

(

∑ сn z − z0

n=0

)

n

n

≤M .

n

∞

≤ ∑ cn ⋅ z − z 0

n

n=0

z − z0 . ≤M∑ z1 − z0

∞ z − z0 <1. Ряд ∑ q n , если q < 1 , сход и тся. Т ог д а и з послед нег о z1 − z0 n =0 неравенства след уетсход и мость рассматри ваемог о ряд а.

Н о q=

∞

Д окаж ем равномерную сход и мость ряд а ∑ cn (z − z0 )n в круг е n =0

z − z0 ≤ ρ < z1 − z0 . Ф ункци ональ ны й ряд (2.4) маж ори руется сход ящи мся чи словы м ряд ом ∞ ρn M∑ , след ователь но , в си лу при знака В ейерштрасса в круг е n n =0 z − z 1 0

z − z0 ≤ ρ рад и уса ρ , мень шег о (z1 − z0 ) , ряд сход и тся равномерно. Следств и я и зтео р ем ы Абеля: ∞

С ледст ви е1. Е сли степенной ряд ∑ cn ( z − z 0 )n расход и тся в некоторой точке n =0

z = z1 , то он расход и тся и во всехточках z , уд овлетворяющи хнеравенству. С ледст ви е 2. Д ля всяког о степенног о ряд а существует такое чи сло R , что внутри круг а z − z 0 ≤ R д анны й степенной ряд сход и тся, а вне этог о круг а расход и тся. О бласть z − z0 ≤ R назы вается круг ом сход и мости степенног о ряд а, а чи сло R - ег о рад и усом сход и мости . ∞

В круг е z − z 0 ≤ ρ < R степенной ряд ∑ cn ( z − z 0 )n сход и тся равномерно. n =0

С ледст ви е 3. В нутри круг а сход и мости степенной ряд сход и тся к анали ти ческой ф ункци и . С ледст ви е 4. С тепенной ряд внутри круг а сход и мости мож но почленно и нтег ри ровать и д и ф ф еренци ровать любое чи сло раз, при чем рад и ус сход и мости полученны хряд ов равен рад и усусход и мости и сход ног о ряд а.

21 ∞

С ледст ви е5. Коэф ф и ци енты степенног о ряд а ∑ cn ( z − z 0 )n вы раж аются через n =0

значени я суммы ряд а и ее прои звод ны х в центре круг а сход и мости по 1 ф ормулам cn = f (n ) ( z0 ) . n! С ледст ви е 6.

Рад и ус сход и мости

степенног о ряд а

1 R = , г д е l = lim n cn l n →∞

опред еляется ф ормулой

{

R

есть

∞

∑ cn ( z − z 0 )

n

n =0

верхни й пред ел

}

послед ователь ности n cn . Ряд Тейло р а Тео р ем а Тейло р а. Фун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая вн ут ри к руга z − z0 ≤ R , м ожет бы т ь предст авлен а в эт ом к ругесходящи м ся ст епен н ы м ∞

рядом f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n , при ч ем эт от ряд определен одн озн ач н о. n =0

Д оказатель ство:

ρ

z

ζ R

z0

cρ Ри с. 5. z - прои зволь ная точка внутри круг а z − z0 < R . П острои м окруж ность C ρ сцентром в точке z0 рад и уса ρ < R , сод ерж ащую точку z внутри (ри с.5). f ( z ) - анали ти ческая ф ункци я в области z − z0 < ρ , z - внутренняя точка области , по ф ормулеКоши и меем 1 f (ζ ) (2.5) f (z ) = dζ . ∫ 2πi C ζ − z ρ

П од и нтег раль ноевы раж ени епреобразуем n 1 1 1 1 ∞ (z − z0 ) = . = . ∑ z − z 0 ζ − z 0 n =0 (ζ − z )n ζ − z ζ − z0 0 1− ζ − z0

(2.6)

22

П ри ζ ∈C ρ ряд (2.6) сход и тся равномерно по ζ , таккакон маж ори руется ∞

сход ящи мся чи словы м ряд ом ∑

n=0

z − z0

n

ρ n +1

и и нтег ри руя почленно, получаем ∞ 1 f (ζ )dζ f (z )= ∑ (z − z0 )n . ∫ n 1 + n = 0 2πi C ρ (ζ − z 0 )

( z − z 0 < ρ ). П од ставляя (2.5) в (2.6)

(2.7)

1 f (ζ ) dζ , перепи шем (2.7) в ви д е сход ящег ося в ∫ 2πi C ρ (ζ − z0 )n +1 вы бранной точке z степенног о ряд а:

О бозначи м cn =

∞

f ( z ) = ∑ cn (z − z0 )n . n =0

(2.8)

О тмети м, что на основани и ф ормулы д ля прои звод ны ханали ти ческой ф ункци и f (n ) ( z 0 ) (2.9) сn = n! Д окаж ем ед и нственность разлож ени я (2.8). П ред полож и м, что и меет место д руг оеразлож ени е: ∞

f ( z ) = ∑ cn' ( z − z0 )n , n =0

(2.10)

г д е хотя бы од и н коэф ф и ци ент cn' ≠ cn . С тепенной ряд (2.10) сход и тся в круг е

f (n ) ( z 0 ) z − z0 < R , след ователь но, ег о коэф ф и ци енты с′n = , что совпад ает с n! вы раж ени ем (2.9) д ля коэф ф и ци ента сn . Е д и нственность опред елени я коэф ф и ци ентов д оказана. Ряд (2.8) – назы вается ряд ом Т ейлора. Ф ункци я f (z ) назы вается г оломорф ной в точке z 0 , если в некоторой окрестности этой точки ф ункци я разлаг ается в степенной ряд относи тель но z − z0 . Т еорема Т ейлора устанавли вает взаи мно од нозначное соответстви е меж д у ф ункци ей, анали ти ческой в окрестности некоторой точки z0 и степенны м ряд ом с центром в этой точке. Э то означает экви валентность поняти й анали ти ческой ф ункци и , как ф ункци и , бесконечное чи сло раз д и ф ф еренци руемой, и ф ункци и , пред стави мой в ви д е суммы степенног о ряд а (г оломорф ной).

2.3 Е динственность определения а на литической функции Класс ф ункци й, названны х анали ти чески ми , облад ает таки м свойством, которое позволяет, зная повед ени е такой ф ункци и в сколь уг од но малой части чной области , сд елать опред еленное заключени е о ее повед ени и во всей основной области . И ли , более точно, ф ункци я, анали ти ческая в области , буд ет

23

од нозначно опред елена в этой области , если и звестны значени я этой ф ункци и на сколь уг од но малой д уг е ли ни и . И з ф ормулы Коши ви д но, что мож но опред ели ть все значени я анали ти ческой ф ункци и внутри замкнутог о контура C , если и звестны ее значени я на этом контуре. Н а основани и теоремы о разлож ени и анали ти ческой ф ункци и в степенной ряд мож но д оказать указанное свойство ед и нственности анали ти чески х ф ункци й в общем ви д е. Э то свойство вслед стви е ег о ог ромног о значени я д ля построени я теори и анали ти чески х ф ункци й наряд у с и нтег ралом Коши д олж но рассматри вать ся какосновное в этой теори и . Э то свойство ф ормули руется в общем ви д етаки м образом: Если две ф ун к ци и f ( z ) и ϕ ( z ) , ан али т и ч еск и е в н ек от орой област и D и м еют равн ы езн ач ен и я н а беск он еч н ом м н ожест ве т оч ек E в эт ой област и , при ч ем м н ожест во E допуск ает по к райн ей м ере одн у предельн ую т оч к у, лежащую вн ут ри D , т о эт и ф ун к ци и равн ы м ежду собой всюду в област и D . Д окаж ем сначала это пред лож ени е д ля случая, ког д а область D есть круг , центр которог о a является пред ель ной точкой множ ества Е . И так, пусть f ( z ) = c0 + c1 ( z − a ) + c2 (z − a )2 + ...,

ϕ ( z ) = c0' + c1' ( z − a ) + c2' ( z − a )2 + ... суть разлож ени я д анны х ф ункци й, которы е и меют место во всякой точке z круг а D . Ч тобы д оказать совпад ени еф ункци й f ( z ) и ϕ ( z ) всюд у внутри круг а D , д остаточно показать , что коэф ф и ци енты cn и cn' равны меж д у собой при любом n (n ≥ 0) . С ог ласно услови ю, если точка z при над леж и т множ еству Е , то и меем: f (z ) = ϕ (z ). Т ак как точка a есть пред ель ная точка множ ества Е , то мож но вы брать послед ователь ность точек zk этог о множ ества, сход ящуюся к точке a . И з услови я f ( zk ) = ϕ ( zk ) (2.11) путем переход а кпред елу, вслед стви енепреры вности ф ункци й f ( z ) и ϕ ( z ) в

точке a получаем: f (a ) = ϕ (a ) , и ли c0 = c0' . Замети в это, равенство (2.11) перепи шем в ви д е

c1 (z − a ) + c2 ( z − a )2 + ... = c1' ( z − a ) + c2' ( z − a )2 + ... , (2.12) г д е z обозначаетлюбую точкумнож ества Е . С окращая равенство (2.12) на z − a , получи м:

c1 + c2 (z − a ) + ... = c1' + c2' ( z − a ) + ... (2.13) П ослед нее равенство и меет место д ля всех точек z множ ества Е , в частности , при z = zk . П ереход я кпред елу в пред полож ени и , что lim zk = a , аналог и чно пред ы д ущему, получи м: c1 = c1' . П оступая так д алее, найд ем: c2 = c2' , ... и вообще cn = cn' при любом n . П усть теперь д веф ункци и f ( z ) и ϕ ( z ) , в области

24

D , и меют равны е значени я на бесконечном множ естве точекЕ этой области , при чем множ ество Е д опускаетпред ель ную точку a , леж ащую внутри D . М ы д окаж ем тож д ественность наши х ф ункци й всюд у в области D , если покаж ем, что они и меют равны е значени я в прои зволь ной точке b области D . С этой цель ю соед и ни м точки a и b прои зволь ной непреры вной ли ни ей L, леж ащей в области D . О бозначи м через d (d > 0) расстояни е ли ни и L д о г рани цы области D , т. е. ми ни мум всевозмож ны х расстояни й меж д у д вумя точками , и з которы х од на при над леж и тли ни и L, а д руг ая — г рани цеобласти D . О чеви д но, d круг сцентром в любой точкели ни и L рад и уса цели ком леж и тв области D . 2 В след стви е разобранног о вы ше частног о случая д анны е ф ункци и совпад ают d меж д усобой всюд увнутри круг а сцентром в точке a рад и уса , таккакточка 2 d a есть пред ель ная точка множ ества Е (ри с.6). Заставляя центр круг а рад и уса 2 непреры вно д ви г ать ся по ли ни и L отточки a д о точки b , мы ви д и м, что наши ф ункци и д олж ны совпад ать всевремя меж д у собой внутри круг а, каково бы ни бы ло полож ени еэтог о д ви ж ущег ося круг а.

b а

L

Ри с. 6. С лед ователь но, в частности , и меем: f (b ) = ϕ (b ) , что и нуж но. И так, мы д оказали , что ф ункци я, г оломорф ная в области D , опред елена ед и нственны м образом, если и звестны ее значени я на бесконечной послед ователь ности точек zk , и меющей хотя бы од нупред ель ную точкувнутри D . Как след стви е д оказанной теоремы отмети м, что д ве ф ункци и f ( z ) и ϕ ( z ) , г оломорф ны е в области D , тож д ественно равны меж д у собой в этой области , если : 1) f ( z ) = ϕ (z ) всюд у в прои зволь но малой окрестности некоторой точки области D ; 2) f ( z ) = ϕ (z ) на прои зволь но малой ли ни и , цели ком леж ащей в D . Э то есть од но и з замечатель ны х свойств анали ти чески х ф ункци й, не при сущеепрои зволь ны м непреры вны м ф ункци ям комплексног о переменног о: в случаепрои зволь ной ф ункци и комплексног о переменног о, непреры вной в области D , значени я еев окрестности од ной точки области D ни кои м образом неопред еляютеезначени й во всехточкахэтой области .

25

2.4 Ряд Л ора на Рассмотри м ряд ви д а ∞

n ∑ cn ( z − z 0 ) ,

(2.14)

n = −∞

г д е z0 - ф и кси рованная точка комплексной плоскости , cn - некоторы е комплексны е чи сла, а сумми ровани е вед ется какпо полож и тель ны м, таки по отри цатель ны м значени ям и нд екса n . Ряд (2.14) носи тназвани еряд а Л орана. П ред стави м ряд (2.14) в ви д е n ∞ ∞ ∞ c− n n . (2.15) ∑ cn ( z − z0 ) = ∑ cn ( z − z0 ) + ∑ n n = −∞ n=0 n =1 ( z − z0 ) П ервое слаг аемое

∞

∑ cn ( z − z0 )n ряд а (2.15) назы вается прави ль ной

n =0

∞

часть ю ряд а Л орана, а второе слаг аемое ∑

c− n

n n =1 ( z − z0 )

– г лавной часть ю.

∞

О бласть ю сход и мости ряд а ∑ cn ( z − z0 )n является круг с центром в n =0

точке z0 некоторог о рад и уса R1 ( 0 ≤ R1 < ∞ ). В нутри круг а сход и мости этот ряд сход и тся кнекоторой анали ти ческой ф ункци и комплексной переменной: ∞

f1 ( z ) = ∑ cn ( z − z0 )n , z − z0 < R . n =0

∞

Д ля опред елени я области сход и мости ряд а ∑

(2.16) c− n

n n =1 ( z − z0 ) ∞ 1 переменной ζ = . Т ог д а ряд этотпри метви д ∑ c− n ζ n . z − z0 n =1

сд елаем замену

Т о есть получи ли обы чны й степенной ряд . О бозначи м рад и уссход и мости 1 полученног о степенног о ряд а через . R2 ∞ 1 Т ог д а ϕ (ζ ) = ∑ c− n ζ n , ζ < . R2 n =1 В озвращаясь кстарой переменной и полаг ая ϕ (ζ ( z )) = f 2 (z ) , получи м ∞

f 2 (z ) = ∑

c−n

n n =1 ( z − z 0 )

,

z − z0 > R2 (0 ≤ R2 < ∞) .

(2.17)

26

Е сли R2 < R1 , то существуетобщая область сход и мости ряд ов (2.16) и (2.17) - круг овоеколь цо R2 < z − z0 < R1 , в котором ряд (2.14) сход и тся к анали ти ческой ф ункци и ∞

f (z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) = ∑ cn ( z − z 0 )n , R2 < z − z 0 < R1 , n = −∞

Е сли R2 > R1 , то ряд ы (2.16) и (2.17) общей области сход и мости не и меют. Ряд (2.14) ни г д енесход и тся ккакой-ли бо ф ункци и . Разло ж ени е анали ти ческ о й функ ци и в р яд Л о р ана Тео р ем а. Фун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая в к руговом к ольце R2 < z − z0 < R1 , одн озн ач н о предст авляет ся в эт ом к ольцесходящи м ся рядом Л оран а.

R1

C

R2'

z0

z

R2 C

R1'

Ри с. 7. Док азат ельст во: В нутри коль ца R2 < z − z0 < R1 ф и кси руем прои зволь ную точку z , строи м окруж ность C R ' , и C R ' , с центрами в z0 , рад и усы которы х 1

2

уд овлетворяютуслови ям R2 < R2' < R1' < R1 , R2' < z − z 0 < R1' . С ог ласно ф ормуле К оши , д ля мног освязной области и меет место 1 1 f (ζ ) f (ζ )dζ dζ + соотношени е f (z ) = . ∫ ∫ 2πi C ' ζ − z 2πi C − ζ − z R1

1. Н а C R ' вы полняется услови е 1

R2'

z − z0 ≤ q < 1 . П реобразуем д робь ζ − z0 n

∞ z−z  1 1 0 . = ∑  ζ − z ζ − z0 n = 0  ζ − z0  П ровед ем почленноеи нтег ри ровани е (таккакряд сход и тся равномерно), получи м

27

f1( z ) =

∞ 1 f (ζ ) = d ζ cn ( z − z0 )n , ∑ ∫ 2πi C ζ − z n =0 '

(2.18)

R1

  f (ζ )  1  dζ  , n ≥ 0 . г д е cn =  ∫ 2πi C (ζ − z0 )n +1   R1' 2. Н а C R ' ,

вы полняется неравенство

2

ζ − z0 < 1, z − z0

то аналог и чно

n

∞ ζ − z  1 1 0 . пред ы д ущемуи меем =− ∑  ζ −z (z − z0 ) n=0  z − z0  В резуль татепочленног о и нтег ри ровани я этог о ряд а получаем ∞ c− n 1 f (ζ ) , d = f 2 (z )= ζ ∑ ∫ 2πi C − ζ − z n =1 ( z − z 0 )

(2.19)

R2'

г д е c− n = −

1 2πi

n −1 ∫ f (ζ )(ζ − z0 ) dζ =

C −'

R2

=

1 f (ζ )(ζ − z 0 )n−1 dζ , n > 0 . ∫ 2πi C ' R2

Ф ормулы (2.18) и (2.19) мож но объ ед и ни ть ( таккакв си лу теоремы Коши значени я соответствующи х и нтег ралов неи зменяются при прои зволь ной д еф ормаци и контуров и нтег ри ровани я в области анали ти чности под и нтег раль ной ф ункци и ): f (ζ ) 1 cn = dζ , n = 0, ± 1, ± 2,... , ∫ 2πi C (ζ − z0 )n +1 г д е C - прои зволь ны й замкнуты й контур, леж ащи й в коль це R2 < z − z0 < R1 и сод ерж ащи й точку z0 внутри . П олучаем ∞

∞

f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n + ∑ n=0

c− n

∞

= ∑ cn ( z − z0 )n . n

n =1 ( z − z0 )

(2.20)

n = −∞

Ряд (2.20) сход и тся кф ункци и f ( z ) всюд увнутри д анног о коль ца, при чем в замкнутом коль це R2 < R2' ≤ z − z0 ≤ R1' < R1 ряд сход и тся кф ункци и f ( z ) равномерно. Д окаж ем ед и нственность разлож ени я (2.20). П ред полож и м, что и меет место д руг оеразлож ени е: ∞

f ( z ) = ∑ cn' ( z − z 0 )n ,

n = −∞ ' г д ехотя бы од и н коэф ф и ци ент cn ≠ cn .

28

Т ог д а внутри коль ца R2 < z − z0 < R1 и меетместо равенство ∞

∞

n = −∞

n = −∞

n n ∑ cn ( z − z0 ) = ∑ cn' ( z − z0 )

(2.21)

П ровед ем окруж ность CR рад и уса R , R2 < R < R1 , сцентром в точке z0 . Ряд ы (2.21) сход ятся на CR равномерно. У множ и м и х на ( z − z0 )− m −1 , г д е m ф и кси рованноецелоечи сло, и прои нтег ри руем почленно : 2π 0, n ≠ m, n − m −1 dz = R n − m i ∫ e i (n − m )ϕ dϕ =  ∫ (z − z0 ) CR 0 2π i, n = m . П ослеуказанног о и нтег ри ровани я вы раж ени я (2.21), получаем: ' cm = cm .

2.5 Класси ф и каци я и золи рованны хособы хточекод нозначной анали ти ческой ф ункци и Опр еделени е. Точ к а z0 н азы вает ся и золи рован н ой особой т оч к ой ф ун к ци и f ( z ) , если f ( z ) -одн озн ач н ая и ан али т и ч еск ая в к руговом к ольце 0 < z − z0 < R1 . В самой точке z0 ф ункци я мож етбы ть неопред елена. И зучи м повед ени е ф ункци и f ( z ) в окрестности точки z0 . Ф ункци ю f ( z ) в окрестности точки z0 мож но разлож и ть в ряд Л орана (2.14), сход ящи йся в коль це 0 < z − z0 < R1 . Класси ф и каци я и золи рованны х особы х точекпрои звод и тся в зави си мости отви д а разлож ени я ф ункци и f ( z ) в ряд Л орана. 1. И золи рованная особая точка z0 ф ункци и f ( z ) назы вается устрани мой особой точкой ф ункци и f ( z ) , если разлож ени е f ( z ) в ряд Л орана в окрестности z0 несод ерж и тчленов сотри цатель ны ми степенями разности , т.е. ∞

f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n . П онятно, что lim f ( z ) = c0 .

n =0

z → z0

Е сли ф ункци я f ( z ) не бы ла опред елена в точке z0 , то д оопред ели м ее, полож и в f (z 0 ) = c0 . В окрестности устрани мой особой точки ф ункци я f ( z ) ог рани чена и

мож етбы ть пред ставлена в ви д е f ( z ) = ( z − z0 )m ϕ ( z ) , г д е m ≥ 0 - целоечи сло, а ϕ (z0 ) ≠ 0 . 2. И золи рованная особая точка назы вается полюсом поряд ка m ф ункци и f ( z ) , если ряд Л орана ф ункци и f ( z ) в окрестности ее и золи рованной особой

29

точки z0 сод ерж и т конечное чи сло

членов с отри цатель ны ми степенями

∞

разности ( z − z0 ) , т.е. f (z ) = ∑ cn ( z − z0 )n . n = −m

П овед ени е анали ти ческой ф ункци и в окрестности ее полюса опред еляется теоремой. Тео р ем а. Если т оч к а z0 являет ся полюсом ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) , т о при z → z 0 м одуль ф ун к ци и f ( z ) н еогран и ч ен н о возраст ает н езави си м о от способа ст рем лен и я т оч к и z к z0 . Д оказатель ство: П ред стави м ф ункци ю f ( z ) в окрестности точки z0 в ви д е f (z ) =

c− m

+ ... +

∞ c1 + ∑ cn ( z − z0 )n = z − z0 n =0

(z − z0 )m = ( z − z0 )− m {c− m + c− m +1 ( z − z0 )+ ... + c−1 ( z − z0 )m −1 }+ ∞

∞

n=0

n =0

+ ∑ cn ( z − z0 )n = ( z − z0 )− m ϕ (z ) + ∑ cn ( z − z0 )n . П ри z → z 0 мод уль ф ункци и f ( z ) неог рани ченно возрастаетнезави си мо отспособа стремлени я точки z кточке z0 , что и д оказы ваеттеорему. ψ (z ) Ф ормула д ля f ( z ) мож етбы ть перепи сана в ви д е f (z ) = , (z − z0 )m г д е ψ ( z ) - анали ти ческая ф ункци я и ψ ( z0 ) ≠ 0 , чи сло m назы вается поряд ком полюса. И меетместо и обратная теорема. Тео р ем а. Если ф ун к ци я f ( z ) , ан али т и ч еск ая в ок рест н ост и своей и золи рован н ой особой т оч к и z0 , н еогран и ч ен н о возраст ает по м одулю при любом способе ст рем лен и я т оч к и z к т оч к е z0 , т о т оч к а z0 являет ся полюсом ф ун к ци и f ( z ) . 3. И золи рованная особая точка z0 назы вается существенно особой точкой ф ункци и f ( z ) , если ряд Л орана ф ункци и f ( z ) в окрестности ееи золи рованной особой точки z0 сод ерж и т бесконечное чи сло членов с отри цатель ны ми ∞

степенями разности ( z − z0 ) , т.е. f (z ) = ∑ cn ( z − z 0 )n . n= −∞

П овед ени еанали ти ческой ф ункци и в окрестности еесущественно особой точки опи сы вается след ующей теоремой. Тео р ем а (Пи к ар а). В ск оль угодн о м алой ок рест н ост и сущест вен н о особой т оч к и ф ун к ци я f ( z ) при н и м ает (и при т ом беск он еч н ое ч и сло раз) любоек он еч н оезн ач ен и е, за и ск люч ен и ем , бы т ь м ожет , одн ого.

30

Рассмотренны е три случая и счерпы вают возмож ны й ви д разлож ени я анали ти ческой ф ункци и в ряд Л орана в окрестности ее и золи рованной особой точки . 2.6 Т еори я вы четов. В ы чи слени еопред еленны хи нтег ралов спомощь ю вы четов Опр еделени е. Вы ч ет ом ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) в и золи рован н ой особой т оч к е z0 н азы вает ся к ом плек сн ое ч и сло, равн ое зн ач ен и ю и н т еграла 1 ∫ f (ζ )dζ , взят ом у в положи т ельн ом н аправлен и и по любом у лежащем у в 2πi γ област и ан али т и ч еск ой ф ун к ци и f ( z ) зам к н ут ом у к он т уру γ , содержащем у еди н ст вен н ую особую т оч к у z0 ф ун к ци и f ( z ) . О бозначени евы чета (residu) Вы ч [ f ( z ), z 0 ] и ли res [ f (z ), z0 ] . Д ля вы чи слени я вы чета ф ункци и f ( z ) в ееи золи рованной особой точкемож ет бы ть при менена ф ормула 1 Вы ч [ f ( z ), z0 ]= ∫ f (ζ )dζ = c−1 . 2πi C О д нако в ряд е случае мож ет бы ть указан более простой способ вы чи слени я вы чета. 1. П усть точка z0 является полюсом первог о поряд ка ф ункци и f ( z ) . Т ог д а в окрестности этой точки и меетместо разлож ени е f (z ) = c−1 (z − z 0 )−1 + c0 + c1 (z − z0 )+ ... (2.23) У множ и м обечасти (2.23) на (z − z0 ) и , перейд я кпред елупри z → z0 , получи м (2.24) c−1 = lim ( z − z0 ) f ( z ) . z → z0

В д анном случаеф ункци я f ( z ) в окрестности точки z0 мож етбы ть пред ставлена в ви д еотношени я д вух анали ти чески хф ункци й: ϕ (z ) f (z ) = , (2.25) ψ (z ) при чем ϕ (z0 ) ≠ 0 , а точка z0 является нулем первог о поряд ка ф ункци и ψ ( z ) , т.е. ψ '' ( z0 ) ψ ( z ) = (z − z 0 )ψ ( z0 ) + (z − z0 )2 + ..., 2 ' ψ (z0 ) ≠ 0 . Т ог д а и з (2.24) - (2.26) получаем ф ормулу ϕ (z0 )  ϕ (z )  Вы ч [ f ( z ), z0 ] =  f ( z ) = . ' ψ ( z )  ψ (z0 )  '

(2.26)

31

2. П усть z0 является полюсом поряд ка m ф ункци и f ( z ) . В окрестности этой точки и меетместо разлож ени е f (z ) = c− m (z − z 0 )− m + ... + c−1 (z − z0 )−1 + c0 + c1 (z − z 0 ) + ... (2.27)

У множ и в обечасти (2.27) на ( z − z0 )m , получи м

(z − z0 )m f (z ) = c− m + c− m +1 (z − z0 ) + ... + c−1 (z − z0 )m −1 + ... В озь мем прои звод ную поряд ка (m − 1) от обеи х частей этог о равенства,

перейд ем кпред елу при z → z0 , получи м ф ормулу д ля вы чи слени я вы чета в полюсепоряд ка m : Вы ч [ f ( z ), z0 ] =

[

]

1 d m −1 (z − z0 )m f (z ) . lim m − 1 (m − 1)! z → z 0 dz

О сн овн ая т еорем а т еори и вы ч ет ов Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( z ) являет ся ан али т и ч еск ой всюду в зам к н ут ой област и D , за и ск люч ен и ем к он еч н ого ч и сла и золи рован н ы хособы х т оч ек z k (k = 1,..., N ) , лежащи хвн ут ри област и D . Тогда ∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч [ f ( z ), z k ], N

k =1

Г+

где Г + предст авляет собой полн ую гран и цу област и D , проходи м ую в полож и т ельн ом н аправлен и и . Док азат ельст во:

γN

⋅ zN

⋅ z1

γ1

γk

Г

⋅ zk

Ри с.8. В ы д ели м каж д ую и з особы х точекzk ф ункци и f ( z ) замкнуты м контуром γ k , не сод ерж ащи м внутри д руг и х особы х точек, кроме точки zk . Рассмотри м мног освязанную область , ог рани ченную контуром Г и всеми контурами γ k (ри с.8). В нутри этой области ф ункци я f ( z ) является всюд уанали ти ческой. П оэтомупо теоремеКоши получи м N

∫ f (ζ )dζ + ∑ ∫ f (ζ )dζ = 0 .

Г+

k =1γ − k

П еренеся второе слаг аемое направо, мы в си лу ф ормулы (2.22) и получи м утверж д ени етеоремы :

32

∫ f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч [ f ( z ), z k ]. N

k =1

Г+

Вы ч и слен и еопределен н ы хи н т егралов спом ощью вы ч ет ов Ра ссмотрим два вида интегра лов: −∞

1. И нтег ралы ви д а ∫ f ( x )dx . −∞

Л ем м а 1.

П усть

ф ункци я

f (z )

является анали ти ческой в верхней

Im z > 0 всюд у, за и сключени ем полуплоскости конечног о чи сла и золи рованны х особы х точек, и существуют таки е полож и тель ны е чи сла R0 , M , δ , что д ля всех точек верхней полуплоскости , уд овлетворяющи х услови ю z > R0 , и меетместо оценка M f (z ) < 1+δ , z Т ог д а lim ∫ f (ζ )dζ = 0 ,

z > R0 .

R →∞ C' R

г д еконтур и нтег ри ровани я C R' пред ставляетсобой полуокруж ность z = R , Im z > 0 в верхней полуплоскости z (ри с8 ). C'R R z=0

x

Ри с.8. Док азат ельст во: ∫ f (ζ )dζ ≤ ∫ f (ζ ) dζ <

C R'

C R'

MπR πM = →0 R1 + δ R δ R → 0

Л ем м а 1 при меняется при вы чи слени и ряд а несобственны х и нтег ралов −∞

ви д а ∫ f ( x )dx . −∞

Тео р ем а. П уст ь ф ун к ци я f ( x ) , задан н ая н а всей дейст ви т ельн ой оси − ∞ < x < ∞ , м ож ет бы т ь ан али т и ч еск и продолж ен а н а верхнюю полуплоск ост ь Im z > 0 , при ч ем ееан али т и ч еск оепродолжен и е, ф ун к ци я f ( z ) , удовлет воряет услови ям лем м ы 1 и н еи м еет особы хт оч ек н а дейст ви т ельн ой −∞

оси . Тогда н есобст вен н ы й и н т еграл первого рода ∫ f ( x )dx сущест вует и равен −∞

33 ∞

N

−∞

n =1

∫ f (x )dx = 2πi ∑ Вы ч [ f (z ), z k ] ,

г д е zk особы еточки ф ункци и f ( z ) в верхней полуплоскости . Док азат ельст во: Рассмотри м замкнуты й контур, состоящи й и з отрезка д ействи тель ной оси − R ≤ x ≤ R (R > R0 ) и полуокруж ности C R' , z = R в верхней полуплоскости . В си луосновной теоремы теори и вы четов R

∫ f ( x )dx + ∫ f ( z )dz = 2πi ∑ Вы ч [ f (z ), z k ]. N

−R

(2.25)

k =1

C R'

П ред ел второг о слаг аемог о в левой части (2.25) при R → ∞ равен нулю; правая часть (2.25) при R > R0 от R незави си т. С лед ователь но, пред ел первог о слаг аемог о существует и ег о значени е опред еляется ф ормулой (2.25). Т еорема д оказана. ∞

2. И нтег ралы ви д а ∫ ei a x f ( x )dx . −∞

Л ем м а 2. (лем м а Ж ордан а ). П усть ф ункци я f ( z ) является анали ти ческой в верхней полуплоскости Im z > 0 , за и сключени ем конечног о чи сла и золи рованны х особы х точек, и равномерно относи тель но arg z (0 ≤ arg z ≤ π ) стреми тся кнулю при z → ∞ . Т ог д а при a > 0 ∞

lim ∫ ei a ζ f (ζ )dζ = 0 ,

(2.26)

R →∞ C'

R

г д е C R' - д уг а полуокруж ности z = R в верхней полуплоскости z . Д оказатель ство: f ( z ) < µ R , z = R , г д е µ R → 0 при R → ∞ . О цени м и сслед уемы й и нтег рал. С д елаем заменупеременной: ζ = Reiϕ , 2 π восполь зуемся очеви д ны м соотношени ем sin ϕ ≥ ϕ при 0 ≤ ϕ ≤ . Т ог д а π 2 получи м π

i aζ f (ζ )dζ ≤ µ R ⋅ R ∫ e i ∫e

C R'

aζ

π

dϕ = µ R ⋅ R ∫ e − a R sin ϕ dϕ =

0 π /2

= 2µ R ⋅ R ∫ e 0

− a R sin ϕ

0 π /2

dϕ < 2 µ R ⋅ R ∫

0

2a R π − π ϕ e dϕ =

a

(

)

µ R 1 − e− a R → 0 . R→∞

Е сли a < 0 , а ф ункци я f ( z ) уд овлетворяет услови ям леммы Ж орд ана в ни ж ней полуплоскости Im z ≤ 0 , то ф ормула (2.26) и меет место при и нтег ри ровани и по д уг еполуокруж ности CR' в ни ж ней полуплоскости z .

34

Аналог и чны е утверж д ени я и меют место и при a = ±iα (α > 0 ) при и нтег ри ровани и соответственно в правой части (Re z ≥ 0) и ли в левой части (Re z ≤ 0) полуплоскости z . Л емма и споль зуется при вы чи слени и ши роког о класса несобственны х и нтег ралов. Т еорема . П уст ь ф ун к ци я f (x ) , задан н ая н а дейст ви т ельн ой оси − ∞ < x < ∞ , м ожет бы т ь продолж ен а н а верхнюю полуплоск ост ь Im z ≥ 0 , при ч ем ее ан али т и ч еск ой продолжен и е, ф ун к ци я f ( z ) , в верхней полуплоск ост и удовлет воряет услови ям лем м ы Ж ордан а и н е и м еет особы х т оч ек

на

дейст ви т ельн ой оси .

Тогда

и н т еграл

−∞

iax ∫ e f ( x )dx, a > 0 ,

−∞

сущест вует и равен ∞

n

−∞

k =1

[

]

iax iaz ∫ e f ( x )dx = 2πi ∑ Вы ч e f (z ), z k ,

где zk - особы ет оч к и ф ун к ци и f ( z ) в верхней полуплоск ост и z . Док азат ельст во. П о услови ю теоремы особы е точки zk ф ункци и f ( z ) в верхней полуплоскости уд овлетворяют услови ю zk < R0 . Рассмотри м в верхней полуплоскости z замкнуты й контур, состоящи й и з отрезка д ействи тель ной оси − R ≤ x ≤ R (R > R0 ) и д уг и C R' , полуокруж ности z = R в верхней полуплоскости z . В си луосновной теоремы теори и вы четов R

n

[

]

iax iaζ iaz ∫ e f (x )dx + ∫ e f (ζ )dζ = 2πi ∑ Вы ч e f ( z ), z k .

−R

C R'

k =1

(2.27)

П о леммеЖ орд ана пред елвторог о слаг аемог о в левой части (2.27) при R → ∞ равен нулю.

2.7 П реоб ра зова ние Л а пла са Опр еделени е. П реобразован и еЛ апласа ст ави т в соот вет ст ви еф ун к ци и f (t ) дейст ви т ельн ой перем ен н ой t ф ун к ци ю F ( p ) к ом плек сн ой перем ен н ой p спом ощью соот н ош ен и я ∞

F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt . 0

(2.28)

О пред ели м класс ф ункци й f (t ) . Буд ем рассматри вать ф ункци и f (t ) , опред еленны е д ля всех значени й д ействи тель ной переменной − ∞ < t < ∞ и уд овлетворяющи еслед ующи м услови ям: 1. при t < 0 f (t ) ≡ 0 ;

35

2. при t ≥ 0 ф ункци я f (t ) на любом конечном участкеоси t и меетнеболее чем конечноечи сло точекразры ва первог о род а; 3. при t → ∞ ф ункци я f (t ) и меет ог рани ченную степень роста, т.е. д ля каж д ой ф ункци и рассматри ваемог о класса существуют таки е полож и тель ны е постоянны е M и a , что д ля всех t > 0 f (t ) ≤ M eat . (2.29) Т очная ни ж няя г рань тех значени й a , д ля которы х и меет место неравенство (2.29), назы вается пок азат елем ст епен и рост а ф ункци и f (t ) . ∞

Тео р ем а 1. И н т еграл F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt сходи т ся в област и Re p > a , где 0

a - пок азат ель ст епен и рост а ф ун к ци и f (t ) , при ч ем в област и Re p ≥ x0 > a эт от и н т еграл сходи т ся равн ом ерн о. ∞

Тео р ем а 2. И зображен и е Л апласа F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt ф ун к ци и

f (t )

0

являет ся ан али т и ч еск ой ф ун к ци ей к ом плек сн ой перем ен н ой p в област и Re p > a , где a - пок азат ель ст епен и рост а ф ун к ци и f (t ) . И зо бр аж ени е элем ентар ны х функ ци й

0 , t < 0 , 1. Еди н и ч н ая ф ун к ци я Х еви сайда. П усть f (t ) = σ 0 =  1, t ≥ 0. ∞ 1 Т ог д а f (t ) ⋅ =⋅ F ( p )= ∫ e − pt dt = , при чем ф ункци я F ( p ) , очеви д но, опред елена p 0 в области Re p > 0 . И так, 0, t < 0 ⋅ 1 σ 0 (t ) =  , Re p > 0 . ⋅= , t ≥ 1 0 p  2. П ок азат ельн ая ф ун к ци я f (t ) = eα t В ы чи сляя и нтег рал(2.28), получаем: ∞ 1 F ( p ) = ∫ e − pt eα t dt = , Re p > Re α ; p −α 0 1 eα t ⋅ =⋅ , Re p > Re α . p −α

3. С т епен н ая ф ун к ци я f (t ) = t n . n! tn = , Re p > 0 . n +1 p 4. Три гон ом ет ри ч еск и еф ун к ци и f (t ) = sin ωt , f (t ) = cos ωt .

36

sin ωt ⋅ =⋅

ω2 2

p +ω

2

, Re p > Imω ; cos ωt ⋅ =⋅

p 2

p +ω

2

, Re p > Imω .

Св о йств а и зо бр аж ени я 1. Л и н ейн ост ь и зображ ен и я. Е сли Fi ( p ) ⋅ =⋅ f i (t ), Re p > ai (i =1,...,n ), то n

n

i =1

i =1

F ( p )= ∑α i Fi ( p ) ⋅ =⋅ ∑α i f i (t ) , Re p > max ai , г д еα i - зад анны епостоянны ечи сла (д ействи тель ны еи ли комплексны е), ai показатели степени роста f i (t ). 2.П усть F ( p ) ⋅ =⋅ f (t ), Re p > a , тог д а 1  p ⋅ F   ⋅ = f (αt ), α > 0, Re p > a. α α 

3. (Теорем а запазды ван и я). П усть F ( p ) ⋅ =⋅ f (t ), Re p > a и зад ана ф ункци я 0, t < τ , τ > 0, fτ (t ) =   f (t − τ ), t ≥ τ . 4. И зображен и епрои зводн ой. Е сли ф ункци я f ' (t ) уд овлетворяетуслови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то f ' (t ) ⋅ =⋅ p F ( p )− f (0 ), Re p > a . Е сли ф ункци я f (n )(t ) уд овлетворяетуслови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то

 f (0 ) f ' (0 ) f (n ) (0 ) − − ... − f (n ) (t ) ⋅ =⋅ p  F ( p )− , Re p > a. 2 n p   p p Ф ормула (2.30) особенно упрощается в том случае, ког д а f (0 ) = f ' (0 ) = ... = f (n −1)(0) : 5. И зображен и еи н т еграла.

(2.30)

f (n ) (t ) ⋅ =⋅ p n F ( p ) .

П усть f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a . Т ог д а t

ϕ (t )= ∫ f (τ )dτ ⋅ =⋅

1 F ( p ) , Re p > a . p 0 6. И зображен и есверт к и . С верткой ф ункци й f1(t ) и f 2 (t ) назы вается ф ункци я ϕ (t ) , опред еленная соотношени ем t

t

ϕ (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ = ∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ . 0

⋅

0

⋅

Е сли f1 (t ) ⋅ = F1 ( p ), Re p > a1 , f 2 (t ) ⋅ = F2 ( p ), Re p > a1 , то

37 t

ϕ (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ⋅ =⋅ F1 ( p ) F2 ( p ), Re p > max {a1 ,a2 }. 0

7. Ди ф ф ерен ци рован и еи зображ ен и я. П усть F ( p )⋅ =⋅ f (t ) , Re p > a . Т ог д а F ' ( p )⋅ =⋅ − t f (t ) , Re p > a f (t ) 8. И н т егри рован и еи зображен и я. Е сли ф ункци я уд овлетворяет t услови ям существовани я и зображ ени я и f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то ∞ f (t ) ⋅ ∞ − pt f (t ) = e dt = ∫ F (q )dq . ⋅ ∫ t t 0 p

9. Теорем а см ещен и я. Е сли f (t ) ⋅ =⋅ F ( p ), Re p > a , то д ля любог о комплексног о чи сла λ

F ( p + λ ) ⋅ =⋅ e − λ t f (t ), Re p > a − Re λ .

Опр еделени е и нтегр ала по и зо бр аж ени ю П ри решени и конкретны х зад ачуд ается найти вы раж ени е ори г и нала д ля полученног о и зображ ени я в соответствующем справочни ке. С войства и зображ ени й во мног и х случаях позволяют реши ть и обратную зад ачупостроени я ори г и нала по зад анномуи зображ ени ю. Э ти метод ы являются метод ами под бора. О бщи й метод построени я ори г и нала по и зображ ени ю опи сы вается ф ормулой М елли на. Форм ула Мелли н а. П усть по услови ю зад ачи и звестно, что зад анная ф ункци я F ( p ) комплексной переменной p является и зображ ени ем кусочно-

г лад кой ф ункци и f (t ) с ог рани ченной степень ю роста f (t ) < M e a t , при чем значени е постоянной a зад ано. Т ребуется по зад анной ф ункци и F ( p ) построи ть и скомую ф ункци ю f (t ) . Э та зад ача решается спомощь ю след ующей теоремы . Тео р ем а. П уст ь и звест н о, ч т о задан н ая ф ун к ци я F ( p ) в област и Re p > a являет ся и зображен и ем к усоч н о-гладк ой ф ун к ци и f (t ) дейст ви т ельн ой перем ен н ой t и обладает ст епен ью рост а a . Тогда 1 x + i∞ pt f (t ) = (2.31) ∫ e F ( p )dp, x > a . 2πi x − i∞ Ф ормула (2.31) назы вается ф ормулой М елли на. О на является обратной преобразовани ю Л апласа.

Вы чи слени е и нтегр ала М елли на П усть ф ункци я F ( p ) , первоначаль но зад анная в области Re p > a , мож ет бы ть анали ти чески прод олж ена на всю плоскость p . П усть ееанали ти ческое

38

прод олж ени еуд овлетворяетпри Re p < a услови ям леммы Ж орд ана. Т ог д а при t > 0 ∫ e pt F ( p )dp → 0,

R →∞,

C R''

г д е C R'' - д уг а полуокруж ности p − x = R в левой полуплоскости . В этом случае и нтег рал(2.31) мож етбы ть вы чи слен спомощь ю теори и вы четов.

С писок использова нной литера туры 1. П ри валов И .И . В вед ени е в теори ю ф ункци й комплексног о переменног о. – И зд . 13-еМ .: Н аука, 1984. – 432 с. 2. Л авренть ев М .А., Ш абатБ.В . М етод ы теори и ф ункци й комплексног о переменног о: У чеб. пособи ед ля ун-тов.- 5-еи зд ., и спр – М .: Н аука, 1987 – 688 с. 3. С вешни ков А.Г ., Т и хонов А.Н . Т еори я ф ункци й комплексной переменной. – И зд . 2-е. – М .: Н аука, 1970.- 340с.

39

С остави тель : Д еревяг и на Е лена И вановна Ред актор: Т и хоми рова О .А.