ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике
© К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010
Пример 1. Решить уравнение 2x + 1 = 3
Решение. 2x + 1 = 3 2x = 2 x =1 2x + 1 = 3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + 1 = − 3 2 x = − 4 x = −2
Ответ.1; − 2 Пример 2. Решить уравнение 5 3 x3 − x − 2 = x3 + x 2 + x + 2 2 2
Решение.
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
3 3 5 x − x − 2 = x3 + x 2 + x + 2 2 2 5 3 x3 − x − 2 = x3 + x 2 + x + 2 ⇔ ⇔ 2 2 x3 − 5 x − 2 = − x3 + x 2 + 3 x + 2 2 2 ( x + 2 )2 = 0 2 ( x + 2) = 0 x + 4x + 4 = 0 ⇔ 3 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ 2 2 x + x − x = 2 0 x 2 x + x − 1 = 0 ( ) 2 x2 + x − 1 = 0 2
x1 = − 2 ⇔ x2 = 0 x = −1 ± 1 + 8 = −1 ± 3 = −1; 1 3,4 4 4 2
Ответ. − 2; − 1; 0;
1 2
Пример 3. Решить уравнение x + 3 −1 =4 x −1
Решение. x + 3 = 4x − 3 x + 3 −1 x + 3 − 1 = 4x − 4 x + 3 = 4x − 3 =4⇔ ⇔ ⇔ 4 x − 3 ≥ 0 ⇔ x −1 x ≠ 1 x ≠ 1 x ≠1 6 = 3 x x + 3 = −4 x + 3 x + 3 = 4 x − 3 x + 3 = − ( 4 x − 3) 3 3 ⇔ 4 x − 3 ≥ 0 ∪ 4 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ ∪ x ≥ ⇔ 4 4 x ≠1 x ≠1 x ≠ 1 x ≠1 x = 2 x = 0 3 3 ⇔ x ≥ ∪ x ≥ ⇔ x = 2 4 4 x ≠ 1 x ≠ 1
Ответ. 2 ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Пример 4. Решить уравнение 2 x 2 − 4 x = 3x − 3
Решение. 2 x 2 − 4 x = 3 x − 3 2 x 2 − 4 x = 3 x − 3 2 x − 4 x = 3x − 3 ⇔ ⇔ ∪ x 3 − 3 ≥ 0 3x − 3 ≥ 0 2
− ( 2 x 2 − 4 x ) = 3 x − 3 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 2 x 2 − x − 3 = 0 ∪ ∪ ⇔ ⇔ x ≥1 x ≥1 3x − 3 ≥ 0 7±5 1± 5 7 ± 49 − 24 1 ± 1 + 24 x1,2 = x3,4 = x1,2 = x3,4 = ∪ ⇔ ⇔ 4 ∪ 4 ⇔ 4 4 x ≥ 1 x ≥ 1 x ≥1 x ≥1 1 3 3 x1,2 = 3; x3,4 = −1; ⇔ 2∪ 2 ⇔ x =3∪ x = 2 x ≥ 1 x ≥ 1
Ответ.
3 ;3 2
Пример 5. Решить неравенство x −3 < 7
Решение. x − 3 < 7 − ( x − 3) < 7 x < 10 x − 3 > −7 x −3 < 7 ⇔ ∪ ⇔ ∪ ⇔ x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 x − 3 < 0 x − 3 < 0 ⇔ x ∈ [3, 10 ) ∪ x ∈ ( − 4, 3) ⇔ x ∈ ( − 4, 10 )
Ответ. x ∈ ( − 4, 10 ) Пример 6. Решить неравенство 6 x2 − x − 2 ≤ 0
Решение. Заметим, что исходное неравенство эквивалентно объединению двух систем неравенств: 6 x 2 − x − 2 ≤ 0 6 x 2 + x − 2 ≤ 0 6x − x − 2 ≤ 0 ⇔ ∪ x ≥ 0 x<0 2
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Решим первую систему неравенств. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 6 x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =
1 ± 1 + 48 1 ± 7 1 2 = ⇒ x1 = − , x2 = 12 12 2 3
Следовательно, 1 2 6 x 2 − x − 2 ≤ 0 x ∈ − , 2 ⇔ 2 3 ⇔ x ∈ 0, x≥0 3 x≥0
Теперь решим вторую систему неравенств. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 6 x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =
−1 ± 1 + 48 −1 ± 7 2 1 = ⇒ x1 = − , x2 = 12 12 3 2
Далее получаем: 2 1 6 x 2 + x − 2 ≤ 0 x ∈ − , 2 ⇔ 3 2 ⇔ x ∈ − , 0 x<0 3 x<0
Объединение решений первой и второй систем неравенств дает ответ задачи. 2 2 Ответ. x ∈ − , 3 3
Пример 7. Решить неравенство 2x x + 1 − x − 1 > 0
Решение. Заметим, что исходное неравенство эквивалентно объединению двух систем неравенств: 2 x ( x + 1) − x − 1 > 0 −2 x ( x + 1) − x − 1 > 0 2x x + 1 − x −1 > 0 ⇔ ∪ ⇔ x +1≥ 0 x +1< 0 2 x 2 + x − 1 > 0 −2 x 2 − 3 x − 1 > 0 2 x 2 + x − 1 > 0 2 x 2 + 3 x + 1 < 0 ⇔ ⇔ ∪ ∪ x + 1 ≥ 0 x + 1 < 0 x ≥ − 1 x < −1
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Теперь решим первую систему неравенств. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 2 x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x1,2 =
1 −1 ± 1 + 8 −1 ± 3 = ⇒ x1 = −1, x2 = 4 4 2
Следовательно, 1 2 x 2 + x − 1 > 0 x ∈ ( −∞, − 1) ∪ x ∈ , + ∞ 1 ⇔ 2 ⇔ x ∈ , + ∞ x ≥ −1 2 x ≥ −1
Теперь решим вторую систему неравенств. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 2 x 2 + 3x + 1 = 0 ⇔ x1,2 =
−3 ± 9 − 8 −3 ± 1 1 = ⇒ x1 = −1, x2 = − 4 4 2
Далее получаем 1 2 x 2 + 3 x + 1 < 0 x ∈ −1, − ⇔ 2 ⇔ x ∈∅ x < −1 x < −1
Таким образом, вторая система неравенств решений не имеет, и решение первой системы неравенств дает ответ задачи. 1 Ответ. x ∈ , + ∞ 2
Пример 8. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение 2 px − 2 x − 4 x − 1 − 1 = 0
имеет ровно два корня. Решение. В случае x ≥ 1 получаем 2 px − 2 x − 4 x − 1 − 1 = 0 ⇔ 2 px − 2 x − 4 ( x − 1) − 1 = 0 ⇔ 2 px − 6 x + 3 = 0 ⇔ ⇔ 2 x ( p − 3) = −3
Таким образом, при p ≠ 3 решение уравнения имеет вид
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
x=
[email protected],
(495) 509-28-10
−3 , 2 ( p − 3)
(1)
а при p = 3 уравнение решений не имеет. Кроме того, поскольку x ≥ 1 , то должно выполняться неравенство − 3 − 2 ( p − 3) −3 −3 −3 ≥1⇔ ≥2⇔ −2≥0⇔ ≥0⇔ 2 ( p − 3) p −3 p −3 p−3 3 3− 2p 2p −3 2 ≤ 0 ⇔ p ∈ 3 , 3 ⇔ ≥0⇔ ≤0⇔ 2 p−3 p −3 p −3 p−
В случае x < 1 получаем 2 px − 2 x − 4 x − 1 − 1 = 0 ⇔ 2 px − 2 x + 4 ( x − 1) − 1 = 0 ⇔ 2 px + 2 x − 5 = 0 ⇔ ⇔ 2 x ( p + 1) = 5
Таким образом, при p ≠ −1 решение уравнения имеет вид x=
5 , 2 ( p + 1)
(2)
а при p = −1 уравнение решений не имеет. Кроме того, поскольку x < 1 , то должно выполняться неравенство 5 − 2 ( p + 1) 5 5 5 <1 ⇔ <2⇔ −2<0⇔ <0⇔ 2 ( p + 1) p +1 p +1 p +1 3 3− 2p 2p −3 2 > 0 ⇔ p ∈ ( − ∞, − 1) ∪ 3 , + ∞ ⇔ <0⇔ >0⇔ p +1 p +1 p +1 2 p−
Следовательно, в случае 3 p ∈ , 3 2
исходное уравнение имеет 2 решения: решение, определяемое по формуле (1) и удовлетворяющее неравенству x ≥ 1 , и решение, определяемое по формуле (2) и удовлетворяющее неравенству x < 1 . 3 Ответ. p ∈ , 3 2 ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
Пример 9. Найти все значения параметра p , при которых уравнение x2 + p x +
7 − 6p =0 4
имеет хотя бы один корень. Решение. Поскольку x2 + p x + ⇔ x 1,2 =
−p ±
7 −6p 7 − 6p 2 =0⇔ x + p x + =0⇔ 4 4
p2 − (7 − 6 p ) 2
=
−p ±
p2 + 6 p − 7 − p ± = 2
( p + 7 )( p − 1) 2
,
то исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда выполняется неравенство −p +
( p + 7 )( p − 1) 2
≥ 0 ⇔ −p +
( p + 7 )( p − 1) ≥ 0 ⇔ ( p + 7 )( p − 1) ≥ p .
Таким образом, задача свелась к решению неравенства
( p + 7 )( p − 1) ≥ p .
(3)
Для того, чтобы решить неравенство (3), рассмотрим два случая. В случае p < 0 должны выполняться неравенства ( p + 7 )( p − 1) ≥ 0 p ∈ ( −∞, − 7 ) ∪ (1, + ∞ ) ⇔ ⇔ p ∈ ( −∞, − 7 ) . p ∈ −∞ , 0 ( ) p < 0
Поскольку при этом левая часть неравенства (3) неотрицательна, а правая – отрицательна, то неравенство (3) верно. В случае p ≥ 0 обе части неравенства (3) можно возвести в квадрат:
( p + 7 )( p − 1) ≥ p ⇔ ( p + 7 )( p − 1) ≥ p 2 ⇔ 6 p − 7 ≥ 0 ⇔ p ∈
7 , +∞ 6
Объединение полученных областей дает ответ задачи. 7 Ответ. p ∈ ( −∞, − 7 ) ∪ , + ∞ 6
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Решить уравнения 1.
3x + 2 = 1
2.
4x − 1 = 1
3.
5x − 2 = 2
4.
3x − 5 =1 x −1 − 4
5.
x − 2 +1 = −1 2x + 1
6.
7 + 3x = −1 x +1 − 6
7.
x 2 − 8 x + 12 = 3 x − 12
8.
x 2 − 4 x = 3x − 6
9.
x2 − 2 x − 8 = 8x − 8
10. x 2 + 8 x = 6 x + 24 11. x 2 − 2 x − 3 = 3 x − 3 12. x 2 − 3 x = 4 x − 6 13. x 2 − x − 2 = 4 x − 2 14. 3 x3 + 12 x + 1 = 3 x3 − 18 x 2 − 1 15. 8 x3 − 5 x − 2 = 8 x3 + 4 x 2 + 3 x + 2 16. 8 x +
14 7 18 5 − 3 = 8x − − 3 x x x x
17. −4 x +
1 3 3 5 − 3 = −4 x − + 3 x 2x x 2x
18. x3 + 36 x + 9 = x3 − 18 x 2 − 9 ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
ООО «Резольвента»,
19. x3 + 7 x −
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
14 10 = x3 − 9 x − x x
Решить неравенства 20. x − 1 > 3 21. 2 x + 1 < 5 22. 3 x − 2 < 4 23.
( x − 1) x − 2 x + 2 ≤ 0
24. x 2 − 3 x − 1 − 1 ≤ 0 25.
( x + 4 ) x − 3x − 6 > 0
26. x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 27. 3 x 2 x − 3 + 7 x − 8 < 0 28. x 2 − 5 x + 1 + 5 > 0 29. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение 2 px − 4 x + 6 x − 1 − 3 = 0
имеет ровно два корня. 30. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение x − 2 + px + 2 x − 1 = 0
не имеет корней. 31. Найти все значения параметра p , при которых уравнение p2 − p − 6 x −px+ =0 4 2
имеет ровно 4 различных корня. 32. Найти множество значений параметра p , при которых уравнение x − 2 − px − x + 1 = 0
не имеет корней. ООО «Резольвента»,
www.resolventa.ru ,
[email protected],
(495) 509-28-10
