kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet mehaniko-matemati~eskij fakulxtet kafedra differencialxnyh urawnenij
metodi~eskaq...
31 downloads
148 Views
387KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet mehaniko-matemati~eskij fakulxtet kafedra differencialxnyh urawnenij
metodi~eskaq razrabotka dlq prakti~eskih zanqtij po kursu
urawneniq matemati~eskoj fiziki (MAGISTRY)
kazanx { 1998
uTWERVDENO NA ZASEDANII KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pROTOKOL 8 OT 23.03.98. sOSTAWITELI:
DOCENTY sALEHOW l.g., sALEHOWA l.l., bIK^ANTAEW i.a.
R
w METODI^ESKOJ RAZRABOTKE RASSMATRIWA@TSQ DEJSTWIQ NAD OBOB]ENNYMI FUNKCIQMI W n, SWERTKI OBOB]ENNYH FUNKCIJ, SWERTO^NYE ALGEBRY I MODULI, URAWNENIQ (SISTEMY) SWERTOK W SWERTO^NYH ALGEBRAH I MODULQH, A TAKVE IH PRILOVENIQ PRI REENII OBOB]ENNYH ZADA^ kOI DLQ OSNOWNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, NEKOTORYH INTEGRALXNYH I INTEGRO-DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pREOBRAZOWANIE fURXE W PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ MEDLENNOGO (UMERENNOGO) ROSTA PRIWLEKAETSQ KAK METOD OTYSKANIQ \LEMENTARNYH (FUNDAMENTALXNYH) REENIJ URAWNENIJ SWERTOK. oSNOWOJ DLQ \TIH RAZRABOTOK POSLUVILI LEKCII, PRO^ITANNYE DLQ INVENERNOGO POTOKA NA MEHMATE. sOHRANQETSQ SIMWOLIKA PREDYDU]IH IZDANIJ. rASSMOTRENNYJ MATERIAL PREDNAZNA^EN DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ NA WTOROJ STUPENI OBRAZOWANIQ PO KURSU ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" (MAGISTRY), A TAKVE PRI WYPOLNENII SAMOSTOQTELXNYH I KURSOWYH RABOT STUDENTAMI I SLUATELQMI fpk, SPECIALIZIRU@]IMISQ NA KAFEDRE DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ.
c kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET 1999
oBOB]ENNYE FUNKCII I DEJSTWIQ NAD NIMI.
1) pOKAZATX, ^TO:
R R
RR
x v:p: x1 = 1 GDE x 2 : 2) pUSTX fj (x) 2 L1loc( n) I fj ! f W L1loc( n). pOKAZATX, ^TO fj ! f W D ( n), GDE D ( n) | PROSTRANSTWO D ( n), SNABVENNOE SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. 3) pUSTX " > 0 I " ! 0 POKAZATX, ^TO: (x ; ") ; (x + ") ! ; d (x) W D ( ): 2" dx N.B. nAPOMNIM, ^TO SIMWOL d=dx OZNA^AET PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 4) pSEWDO-FUNKCIQ aDAMARA NA + := 0 +1: dLQ L@BOJ FUNKCII ' 2 D( ) POLAGA@T: 0
R
0
0
R
0
R R
R
0Z 1 '(s)ds + '(0) ln "A @ Pf Y x(x) ' := lim " 0 s " 1
&
R
R
GDE Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA. pOKAZATX, ^TO Pf Yx ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PORQDKA NE WYE EDINICY NA , TO ESTX Pf Yx 2 D 1( ). oPREDELITX EE SUVENIE NA ] ; 1 0 I NA ]0 +1: nAJTI SOOTNOENIE MEVDU v:p: x1 Pf Yx I Pf Yx , GDE Pf Yx | \LEMENT, SIMMETRI^NYJ \LEMENTU Pf Yx . rEENIE. tAK KAK 0
Z1
R
'(x) ; '(0) = x ' (tx)dt 8' 2 DK ( ) 0
0
GDE K := ;a a] a > 0 TO
0Za 1 a Z '(0)ds + '(0) ln "A @ Pf Yx ' = lim ( s )d s + " 0 s " " R GDE (x) = 01 ' (tx)dx, ILI Y Pf ' 6 a sup ess j' j + j'(0)jj ln aj 6 maxfa j ln ajgPK1(') x 0a] &
0
0
3
(1)
R
GDE PK1(') = sup j'(n)(x)j: x K n61 nERAWENSTWO (1) POKAZYWAET, ^TO Pf Yx 2 D 1( ): dALEE, O^EWIDNO, ^TO SUVENIE PF Yx NA ] ;1 0 RAWNO NUL@, A SUVENIE NA ]0 +1 RAWNO OBOB]ENNOJ FUNKCII, POROVDAEMOJ OBY^NOJ FUNKCIEJ NA ]0 +1: f (x) = 1=x. nAPOMNIM, ^TO L@BAQ FUNKCIQ f 2 L1loc(), GDE | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, ESTX OBY^NAQ FUNKCIQ PO OPREDELENI@ l.{WARCA. dALEE, IMEET MESTO SOOTNOENIE: v:p: x1 = Pf Yx ; Pf Yx (PROWERXTE!). 5) nAJTI SOOTNOENIE MEVDU OBOB]ENNOJ FUNKCIJ Pf Yx I PROIZWODNOJ OT OBOB]ENNOJ FUNKCII, PREDSTAWIMOJ ^EREZ FUNKCI@ x 7! Y (x) ln x. rEENIE. dLQ L@BOGO ' 2 D1( ) IMEEM: 2
0
R
Z
Z
R
1
Y (x) ln x ' (x)dx = 0
R
0
Z
1
ln x ' (x)dx := "lim0 ln x ' (x)dx = 0
&
0
"
0 Z '(x)dx 1 A= = lim @;'(") ln " ; 1
" 0 &
x
0 Z 1 = "lim0 @; '(x)dx ; '(0) ln " + '(0) ln " ; '(") ln "A : "
1
&
tOGDA
Z R
iTAK,
x
"
f'(0) ; '(")] ln "g = 0: Y (x) ln x ' (x)dx + Pf Yx ' = lim " 0 0
&
R
d fY (x) ln xg ' = ; hY (x) ln x ' i = Pf Y ' 8' 2 D1( ) dx x 0
TO ESTX
d fY (x) ln xg = Pf Y : dx x N.B. eSLI WWESTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ ln jxj PO FORMULE
R
Z
hln jxj 'i := v:p: '(x) ln jxj dx 8' 2 D( ) R
4
TO IMEET MESTO FORMULA
d ln jxj = v:p: 1 : dx x
R
(pOKAVITE!) 6) oBOB]ENNAQ FUNKCIQ v:p: x12 NA OPREDELQETSQ FORMULOJ Z '(x) ; '(0) 1 dx 8' 2 D( ): v:p: 2 ' := v:p: x x2 R
;
R
R
pOKAZATX, ^TO x2v:p: x1 = 1 I IMEET MESTO FORMULA: dxd v:p: x1 = ;v:p: x1 . 7) A) pRINADLEVIT LI FUNKCIQ x 7! 1=jxjn PROSTRANSTWU L1loc( n)? B) pOKAZATX, ^TO FUNKCIONAL Pf x1n , OPREDELQEMYJ FORMULOJ 2
R
2
0 1 Z x + ! '(0) ln "C 8' 2 D( n) Pf jx1jn ' := "lim0 B @ '(jxx)d A n jn x >" j
j
R R
&
j
j
GDE !n | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY IZ n (PRI n = 1 !1 = 2), QWLQETSQ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ PORQDKA NE WYE 1 NA n. w SLU^AE n = 1 USTANOWITX SOOTNOENIE MEVDU Pf Yx Pf Yx I Pf x1 . rEENIE. A) fUNKCIQ x 7! 1=jxjn NE PRINADLEVIT L1loc( n), TAK KAK ONA NE INTEGRIRUEMA W OKRESTNOSTI NA^ALA. B) mOVNO ZAPISATX: '(x) ; '(0) = (x), GDE j
(x) =
n X j=1
xj j (x) j (x) =
R
j
R
Z1 @' 0
@xj (tx)dt:
pUSTX TEPERX '(x) 2 DK ( n), GDE K | KOMPAKT IZ B (0 a), GDE B (0 a) | AR S CENTROM W NA^ALE, RADIUSA a. u^ITYWAQ, ^TO
Z
IMEEM:
"6 x 6a j
j
dx = ! jxjn n
Za rn 1dr rn = !n (ln a ; ln ") ;
"
Pf jx1jn ' = !n '(0) ln a +
x 6a
j
5
R
Z (x)dx n 8 ' 2 D K ( ): n jxj j
dALEE, POLAGAQ
Ia :=
Z ndx jxjn 1 ;
x 6a
j
POLU^AEM OCENKU:
R
j
1 Pf n ' 6 maxf!nj ln aj IagPK1(') 8' 2 DK1 ( n) jxj
R
TO ESTX Pf x1 n 2 D 1( n). Y (x) nETRUDNO USTANOWITX I FORMULU: Pf x1 = Pf Y (x) x + Pf x . 8) iNDIKATORNAQ (HARAKTERISTI^ESKAQ) FUNKCIQ SEGMENTA ;a a] , GDE a > 0, POROVDAET OBOB]ENNU@ FUNKCI@ T1a , GDE 1 jxj 6 a 1 = 0
R
j
j
j
j
0 jxj > a
a
OPREDELQEMU@ SOOTNOENIEM:
Z
R
Za
hT1a 'i := 1a'(x)dx = '(x)dx 8' 2 D( ): R
;
a
pOKAZATX, ^TO T1a ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. wYRAZITX EE ^EREZ FUNKCI@ hEWISAJDA. 9) pUSTX Y (x) { REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ hEWISAJDA. nAJDITE dY=dx. 10) pUSTX L1compact() | PROSTRANSTWO KLASSOW INTEGRIRUEMYH NA FUNKCIJ S KOMPAKTNYMI NOSITELQMI, GDE | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n. pOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE f 7! T NEPRERYWNO IZ L1 f compact() W Cb(), GDE Cb() | PROSTRANSTWO C (), SNABVENNOE ILI SLABOJ, ILI SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. rEENIE. pUSTX K | KOMPAKT IZ . dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO KANONI^ESKOE WLOVENIE L1K () W Cb() QWLQETSQ NEPRERYWNYM, TO ESTX RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA C () SNABVENO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. pUSTX B | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO IZ C (), TOGDA IMEEM:
R
0
0
0
0
0
Z
pB (Tf ) := sup j hTf 'i j 6 sup pK0(') jf (x)jdx ' B
' B
2
2
6
K
NO, TAK KAK B | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO IZ C (), TO sup pK0(') < +1. ' B R s DRUGOJ STORONY, TAK KAK f 7! jf (x)jdx ESTX NORMA, OPREDELQ@]AQ TOK 1 POLOGI@ W LK (), A (pB ) ESTX SEMEJSTWO POLUNORM, OPREDELQ@]EE SILXNU@ DUALXNU@ TOPOLOGI@ W C (), TO OTOBRAVENIE f 7! Tf QWLQETSQ NEPRERYWNYM. sLU^AJ C (), TO ESTX, KOGDA C () SNABVENO SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ, O^EWIDEN. 11) pUSTX ( j )j N | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX. pOKAZATX, ^TO ONA SHODITSQ K MERE dIRAKA PO SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA C ( n). rEENIE. pO OPREDELENI@ REGULQRIZU@]EJ POSLEDOWATELXNOSTI IMEEM: 2
0
0
R
0
j (x) 2 D(
R
n)
0
2
R
j (x) > 0 NA
R
n
Z
Rn
j (x)dx = 1 supp j B (0 "j )
GDE "j ! 0 PRI j ! 1, A B (0 "j ) | AR S CENTROM W NA^ALE RADIUSA "j . sLEDOWATELXNO, 8' 2 C ( n) IMEEM:
Z
oTKUDA:
Rn
j (x)'(x)dx ; '(0) =
Z
Rn
j (x)f'(x) ; '(0)gdx:
Z (x)'(x)dx ; '(0) 6 sup j'(x) ; '(0)j: j x 6"j Rn
j
j
kOGDA j ! +1 "j ! 0 I NEPRERYWNOSTX FUNKCII '(x) POKAZYWAET, ^TO PRAWAQ ^ASTX POSLEDNEGO NERAWENSTWA STREMITSQ K NUL@. N.B. rEGULQRIZU@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX ( j (x))j N ^ASTO NAZYWA@T -OBRAZNOJ POSLEDOWATELXNOSTX@. 2
R
12) dIFFERENCIROWANIE KUSO^NO-DIFFERENCIRUEMOJ FUNK-
CII.
pUSTX f (x) | FUNKCIQ ODNOJ PEREMENNOJ, OPREDELENNAQ NA , S PROIZWODNOJ NEPRERYWNOJ WS@DU ZA ISKL@^ENIEM ODNOJ TO^KI x0, W KOTOROJ f (x) I EE KLASSI^ESKAQ PROIZWODNAQ IME@T RAZRYW PERWOGO RODA. pOKAZATX, ^TO df = f (x) + (x ; x ) 0 0 dx 0
7
GDE df=dx | PROIZWODNAQ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, A f | PROIZWODNAQ W KLASSI^ESKOM SMYSLE 0 | SKA^OK FUNKCII f (x) W TO^KE x0, TO ESTX 0 = f (x0 + 0) ; f (x0 ; 0), A (x ; x0) | MERA dIRAKA (FUNKCIQ dIRAKA) S NOSITELEM W TO^KE x0. N.B. w ^ASTNOSTI, ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, TO 0 = 0 I df=dx = f (x), TO ESTX PROIZWODNAQ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ SOWPADAET S PROIZWODNOJ W KLASSI^ESKOM SMYSLE. 13) pUSTX f (x) | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ NA MNOVESTWE n Nj=1faj g, GDE N | KONE^NOE ^ISLO. pUSTX f I EE PROIZWODNAQ f IME@T W TO^KAH a1 a2 : : : aN RAZRYWY PERWOGO RODA. pOKAZATX, ^TO 0
0
R
R
0
N d (T ) = T + X j aj f dx f j=1 0
GDE j = f (aj + 0) ; f (aj ; 0) | SKA^OK FUNKCII f W TO^KE aj aj | MERA dIRAKA S NOSITELEM W TO^KE aj . N.B. nAPOMNIM, ^TO REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM f ILI Tf , GDE f | OBY^NAQ FUNKCIQ, POROVDA@]AQ REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@. 14) pUSTX f (x) OPREDELENA NA I IMEET k (k 2 ) NEPRERYWNYH PROIZWODNYH WS@DU NA , ISKL@^AQ TO^KU x0, W KOTOROJ FUNKCIQ I WSE EE PROIZWODNYE DO k-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO IME@T RAZRYWY PERWOGO RODA. pUSTX Sj (j = 0 1 2 : : : k ; 1) | SKA^KI FUNKCII f (j) (x) W TO^KE x0. nAJTI k-U@ PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 15) pOKAZATX, ^TO xn(nx)k = 0 8n 2 := n 0 x 2 . 16) pOKAZATX, ^TO xn dxd n k (x) = 0 k = 1 2 : : : n 8n 2 x 2 : 17) pOKAZATX, ^TO OB]EE REENIE URAWNENIQ xnU = 0 W PROSTRANSTWE D ( ) IMEET WID:
R R
0
R
N N N RN R
;
;
n 1 X
k d U = Ck dxk (x) k=0 GDE Ck | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE . n d n 18) pOKAZATX, ^TO x dxn (x) = (;1)nn!(x) x 2 8n 2 : 19) wY^ISLITX PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ OT FUNKCII f (x) = jxj x 2 . 20) wY^ISLITX dxd fsgn xg. ;
R N
R
8
N
21) pOKAZATX, ^TO n+k k d ( n + k )! d n n x dxn+k (x) = (;1) k! dxk (x) 8k n 2 : N.B. rEZULXTATY, POLU^ENNYE W UPRAVNENIQH 15), 16), 18), 21), POZWOLQ@T WY^ISLITX PROIZWEDENIE MNOGO^LENA NA PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA OT MERY dIRAKA. 22) pOLU^ITE FORMULY sOHOCKOGO: 1 = ;i(x) + v:p: 1 1 = i(x) + v:p: 1 : x + i0 x x ; i0 x 23) wY^ISLITX PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ:
R
A) x+ := xY (x) B) x := (;x)Y (;x): 24) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): ;
R
0
U (x) = (x): 25) pUSTX g(x) 2 L1loc( ), A i (i = 1 2 : : : n) | POSTOQNNYE. pOKAZATX, ^TO RAWENSTWO g(x) +
00
n X i=1
i(x ; xi ) = 0
(1)
IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA g(x) = 0 (2) i = 0 (i = 1 2 : : : n): (3) rEENIE. pUSTX '(x) 2 D( ) TAKAQ, ^TO supp ' NE SODERVIT TO^EK xi (i = 1 2 : : : n) TOGDA (1) WLE^ET: hg 'i = 0, OTKUDA SLEDUET, ^TO g(x) = 0 PO^TI WS@DU. pUSTX TEPERX ' 2 D( ) TAKAQ, ^TO supp ' SODERVIT TOLXKO ODNU IZ TO^EK fxig I '(xi ) 6= 0 TOGDA RAWENSTWO i '(xi ) = 0 WLE^ET i = 0, I RAWENSTWO (3) TOVE DOKAZANO. dOSTATO^NOSTX O^EWIDNA. 26) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): xU ; U = x2:
R
R
0
00
0
9
R
pUSTX U = T TOGDA xT + T = x2. rEAQ SOOTWETSTWU@]EE ODNORODNOE URAWNENIE xT ; T = 0, IMEEM: T0 = Cx. pRIMENQQ METOD WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ, I]EM REENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ W WIDE: T = C (x)x: pODSTAWLQQ T = C (x)x W URAWNENIE xT ; T = x2 , POLU^IM: x2(C (x) ; 1) = 0. iSPOLXZUQ REZULXTAT UPRAVNENIQ 17), IMEEM: rEENIE.
0
0
0
0
0
C (x) ; 1 = A0(x) + A1 ddx (x) ILI C (x) = 1 + A0(x) + A1 ddx (x): 0
0
oTKUDA C (x) = x + A0Y (x)+ A1(x)+ A2, GDE A0 A1 A2 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. a TOGDA T (x) = x2 + A0xY (x)+ A1x(x)+ A2x NO x(x) = 0, PO\TOMU T (x) = x2 + A0xY (x)+ A2x. sLEDOWATELXNO, U = x2 + A0xY (x)+ A2x. oKON^ATELXNO NAHODIM: U = x3=3+(1=2)A0 x2Y (x)+(1=2)A2x2 + A3, GDE A0 A2 A3 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. zAMETIM, ^TO PRI POMO]I FUNKCII hEWISAJDA Y (x) \TO REENIE OPREDELENO NA WSEM INTERWALE , TOGDA KAK KLASSI^ESKOE REENIE OPREDELENO TOLXKO NA KAVDOM IZ INTERWALOW ] ; 1 0 I ]0 +1, NA KOTORYH ONO SOWPADAET S OBOB]ENNYM REENIEM, TO ESTX S REENIEM W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 27) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): 0
R
0
xU ; U = 1: 00
0
R R
28) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): 0
xU ; U = (x): rEENIE. pUSTX U = V TOGDA xV ; V = (x). sOOTWETSTWU@]EE ODNORODNOE URAWNENIE xV ; V = 0 IMEET REENIE V0 = Cx. rEAEM NEODNORODNOE URAWNENIE METODOM WARIACII POSTOQNNOJ, TO ESTX V I]EM W WIDE: V = C (x)x. pODSTAWLQQ W NEODNORODNOE URAWNENIE, IMEEM: x2C (x) = (x). nO, W SILU UPRAVNENIQ 18), IMEEM: x2d2=dx2 = 2!(x). tOGDA x2C (x) = (x2=2!) x2(C (x) ; =2) = 0 C (x) ; =2 = A1(x) + A2 (x) ILI C (x) = (x)=2 + A1Y (x) + A2(x) + A3. tOGDA U = C (x)x = x (x)=2 + A1xY (x) + xA3, NO, W SILU UPRAVNENIQ 18), x (x) = ;(x), PO\TOMU U = ;(x)=2 + A1xY (x) + A3x. oTS@DA POLU^AEM: U = ;Y (x)=2 + A1x2Y (x)=2 + A3x2=2 + A4, GDE A1 A3 A4 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE. 00
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
10
00
0
00
R R
29) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): xU = 1: 30) rEITX DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W D ( ): x2U = 1: 0
00
0
00
iSPOLXZUQ OPERACII SDWIGA OBOB]ENNOJ FUNKCII I SHODIMOSTX W PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, MOVNO OPREDELITX PROIZWODNU@ OT OBOB]ENNOJ FUNKCII KAK I W KLASSI^ESKOM SLU^AE. u^ITYWAQ \TO ZAME^ANIE, MOVNO LEGKO RASPROSTRANITX NA SLOVNYE OBOB]ENNYE FUNKCII PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ OBY^NYH SLOVNYH FUNKCIJ. pUSTX u(x) 2 C ( ) I Tf | REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ TOGDA MOVNO NAPISATX SLEDU@]EE PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ: 1
R
R
d T u(x)] = dTf u (x) dx f du KOTOROE IMEET SMYSL, IBO u (x) 2 C ( ): |TO OBOB]ENIE QWLQETSQ ESTESTWENNYM, IBO ONO OHWATYWAET SLU^AJ OBY^NYH FUNKCIJ. 31) pUSTX f (x) 2 C ( ) I f (x) 6= 0 f (x) 6= 0. pOKAZATX, ^TO f (x)] = 0. rEENIE. tAK KAK f (x) 6= 0 , TO f (x) LIBO POLOVITELXNA, LIBO OTRICATELXNA. pO\TOMU 0 f (x) < 0 Y f (x)] = 1 f (x) > 0 dIFFERENCIRUQ FUNKCI@ Y f (x)] W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I ZAME^AQ, ^TO S ODNOJ STORONY dY f (x)]=dx = 0 , A S DRUGOJ STORONY f (x)f (x)] = 0, POLU^AEM, ^TO f (x)] = 0, TAK KAK f (x) 6= 0 . 32) wY^ISLITX (ex). 33) pUSTX W n ZADANY FUNKCII fi(x1 x2 : : : xn) 2 C ( n) i = 1 : : : n. pOKAZATX, ^TO ESLI \TI FUNKCII IME@T EDINSTWENNYJ KORENX x0 = (x01 x02 : : : x0n) I FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX W \TOJ TO^KE OTLI^EN OT NULQ: @ ( f f : : : f ) 1 2 n J (x0) = @ (x x : : : x ) 6= 0 1 2 n x=x0 1
0
R
0
1
0
0
R
0
1
11
R
TO IMEET MESTO FORMULA:
(f1 f2 : : : fn) = jJ (1x0)j (x ; x0):
(I)
rEENIE. pOLXZUQSX INTEGRALXNOJ SIMWOLIKOJ, MOVNO ZAPISATX:
Z
Rn
(f1 f2 : : : fn)'(f1 f2 : : : fn)df1df2 dfn =
R
= '(0 0 : : : 0) 8' 2 D( n) GDE df1df2 dfn = jJ (x)jdx1dx2 dxn, ILI
Z
Rn
(f1 f2 : : : fn)'(f1 f2 : : : fn)jJ (x)jdx1dx2 dxn = '(0 0 : : : 0):
zAME^AQ, ^TO FUNKCIQ
R
(x1 x2 : : : xn ) = '(f1 f2 : : : fn )jJ (x)j QWLQETSQ OSNOWNOJ, TO ESTX 2 D( n), IMEEM
Z
Rn
(II)
(f1 f2 : : : fn) (x1 x2 : : : xn)dx1dx2 dxn = '(0 0 : : : 0):
nO IZ RAWENSTWA (II) IMEEM: tOGDA
Z Rn
'(0 0 : : : 0) = jJ (1x0)j (x01 x02 : : : x0n):
(f1 f2 : : : fn) (x1 x2 : : : xn)dx1dx2 dxn =
1 (x0 x0 : : : x0 ) = 1 2 n 0)j j J ( x Z 1 = (x ; x0) (x1 x2 : : : xn)dx1dx2 dxn: j J ( x ) j Rn N.B. |TA FORMULA MOVET BYTX OBOB]ENA NA SLU^AJ, KOGDA FUNKCII fi(x1 x2 : : : xn ) i = 1 2 : : : n, IME@T KONE^NOE ILI BESKONE^NOE ^ISLO PROSTYH NULEJ xj . a IMENNO, IMEET MESTO FORMULA: X 1 (f1 f2 : : : fn) = jJ (xj )j (x ; xj ) x xj 2 n: (III) j =
R
12
w ^ASTNOSTI,
X
f (x)] =
R
1 (x ; xj ) x xj 2 : j jf (x )j 0
j
(IV)
zAMETIM, ^TO \TOT REZULXTAT MOVNO POLU^ITX I PUTEM PRIMENENIQ PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII. 34) wWESTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ Y (x2 ;a2), GDE a > 0 I Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA NA . wY^ISLITX EE PROIZWODNU@ I POLU^ITX WYRAVENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (x2 ; a2). rEENIE. pROIZWODNAQ FUNKCII
R
0 jxj < a Y (x2 ; a2) =
1 jxj > a RAWNA 2x(x2 ; a2 ). tAK KAK Y (x2 ; a2) = Y (x ; a)+ Y (;x ; a) I (;x) = (x), TO 2x(x2 ; a2) = d (Y (x ; a) + Y (;x ; a)) = dx = (x ; a) ; (;x ; a) = (x ; a) ; (x + a): tAK KAK FUNKCIQ v(x) = x NE RAWNA NUL@ W TO^KAH x = a, TO (x2 ; a2) = 21x f(x ; a) ; (x + a)g = 21a f(x ; a) + (x + a)g: N.B. pRIMENQQ FORMULU (IV), MOVNO POLU^ITX TOT VE REZULXTAT, NO FORMULU (IV) NELXZQ PRIMENITX K (x2), TAK KAK URAWNENIE x2 = 0 IMEET DWUKRATNYJ KORENX. pO\TOMU OBOB]ENNAQ FUNKCIQ (x2) POKA ^TO LIENA SMYSLA. 35) pOKAZATX, ^TO x(x2 + a2) = 0, GDE x a 2 . rEENIE. rASSMOTRIM OBOB]ENNU@ FUNKCI@ Y (x2 + a2). zAMETIM, ^TO w(x) = x2 +a2 2 C ( ), PO\TOMU, PRIMENQQ FORMULU DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII I U^ITYWAQ, ^TO x2+a2 > 0 8x 2 , IMEEM: x(x2 + a2) = 0. 36) pOLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (sin x). 37) pOLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (cos x). 38) w PROSTRANSTWE 3 POLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ (sin x sin y sin z ). rEENIE. pRIMENQQ FORMULU (III), IMEEM: 1
R
R
R
(sin z sin y sin z ) =
X X X 1
m=
;1
1
n=
1
;1
k=
13
;1
(x ; m y ; n z ; k):
R
39) nAJTI PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (x2 ; a2 y), a > 0. rEENIE. fUNKCII f1(x y) = x2 ; a2 I f2(x y) = y IME@T PROSTYE KORNI (a 0) I (;a 0) I FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX J (x y) = 2x.
pO\TOMU
(x2 ; a2 y) = 21a f(x ; a y) + (x + a y)g: 40) nAJTI PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII (x2 ; a2 y2 ; b2 ), a > 0, b > 0. 41) pOLU^ITX PREDSTAWLENIE DLQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ: A) (sin x y) B) (x ; a)(x ; b)] a 6= b W) (x)(x ; a)] GDE (x) 2 C ( ) I NE OBRA]AETSQ W NULX. 42) pUSTX Q | OBLASTX IZ I f | KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ KLASSA C 1(Q). iSPOLXZUQ TEOREMU sTOKSA: 1
R
Z
C
!=
@Q
Z
d!
Q
GDE d! | WNENIJ DIFFERENCIAL OT DIFFERENCIALXNOJ FORMY !, @Q | GRANICA Q, DOKAZATX FORMULU:
Z @f Z @z dz ^ dz = f dz
GDE
Q
@Q
@ = 1 @ +i @ @ = 1 @ ;i @ @z 2 @x @y @z 2 @x @y | SIMWOLY wIRTINGERA. N.B. |TA FORMULA QWLQETSQ KOMPLEKSNOJ FORMOJ ZAPISI FORMULY gRINA-oSTROGRADSKOGO. 43) pOKAZATX, ^TO
@ 1 = (z ): @z z rEENIE.
IMEEM:
C
R
fUNKCIQ 1=z 2 L1loc( ). pO\TOMU DLQ L@BOGO ' 2 D( 2)
@ 1 ' = ; 1 @' = ; Z 1 @' dxdy @z z z @z z @z UR
14
GDE UR | KRUG S CENTROM W NA^ALE I DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA R. tOGDA
Z @ 1 ' = ; lim " 0 @z z
1 @' dxdy = z @z
&
"< z
Z Z @ 1 dxdy7 = @ 1 ' dxdy ; ' = ; "lim0 64 5 @z z @z z "< z
&
j j
j j
= ; "lim0
@z z '(z ) dxdy
&
"< z
dzdz , UPRAVNENIQ 42) I FINITNOSTI FUNKCII ', IMEEM:
Z ' Z2 1 dz = "lim0 ' ("ei )d = '(0) = h 'i : z 2
@ 1 ' = lim 1 " 0 2i @z z &
&
z ="
j j
tO ESTX:
0
@ 1 = (z ): @z z @ (ln jz j). 44) wY^ISLITX @z@z rEENIE. u^ITYWAQ, ^TO ln jz j 2 L1loc( 2) 8' 2 D( 2), DLQ DOSTATO^NO BOLXOGO ^ISLA R IMEEM: @ 2 (ln jz j) ' = ln jz j @ 2' = lim 1 Z ln jz j @ 2' dzdz = " 0 2i @z@z @z@z @z@z
R
2
&
R
"< z
Z @ @' @' @ @z @z ln jz j ; @z @z (ln jz j) dzdz = "< z
j j
&
j j
; "lim0 2i &
j j
"< z
@z @z (ln jz j)dzdz =
j j
15
1 = ; lim " 0 2i &
Z @' @ (ln jz j)dzdz = "< z
@z @z
@2 Z @ @ @z ' @z (ln jz j) ; ' @z@z (ln jz j) dz dz = "< z
1 = ; "lim0 2i &
j j
&
j j
j j
&
oTKUDA IMEEM:
0
z ="
j j
@ 2 (ln jz j) = (z ): @z@z 2
pRINIMAQ WO WNIMANIE RAWENSTWO
IMEEM:
@ 2 = 1 @ 2 + @ 2 = 1 @z@z 4 @x2 @y2 4
R
1
ln jz j = : 2 45) w PROSTRANSTWE n (n > 2) DANA OBLASTX Q, OGRANI^ENNAQ KUSO^NOGLADKOJ GIPERPOWERHNOSTX@ @Q I FUNKCIQ f 2 C 1(Q) C 1(Q1), GDE Q1 = n n Q. dOKAZATX FORMULU: @ (T ) = T @f=@xi + @Q cos(~n xi )@Q @xi f GDE ~n | WNENQQ NORMALX K @Q OTNOSITELXNO OBLASTI Q W TO^KE x 2 @Q I @Q | SKA^OK FUNKCII f PRI PEREHODE ^EREZ POWERHNOSTX @Q W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII NORMALI ~n cos(~n xi ) | KOSINUS UGLA, OBRAZOWANNOGO OSX@ Oxi S NORMALX@ K @Q @Q | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, NAZYWAEMAQ PROSTYM SLOEM NA POWERHNOSTI @Q S PLOTNOSTX@ = @Q cos(~n xi ), DEJSTWU@]AQ PO FORMULE:
R
R
Z
h@Q 'i := (x)'(x)ds 8' 2 D( n): @Q
16
R
rEENIE. dLQ L@BOJ FUNKCII ' 2 D( n) IMEEM:
@ (T ) ' = ; T @' = ; Z f @' dx = ; Z f @' dx ; Z f @' = f @xi f @xi @xi @xi @xi n R
Q
Q1
Z @ Z @ @f @f =; @xi (f') ; @xi ' dx ; @xi (f') ; @xi ' dx = 0 Q 1 Q Z @f Z @f C Z @ Z @ B =@ @xi 'dx + @xi 'dxA ; @xi (f')dx ; @xi (f')dx: 1
Q
Q1
Q
Q1
dALEE, PRIMENQQ FORMULU oSTROGRADSKOGO K TRETXEMU I ^ETWERTOMU INTEGRALU I U^ITYWAQ, ^TO WNENEJ NORMALX@ DLQ @Q1 BUDET ;~n, A TAKVE OBOZNA^AQ f Q := x lim f f Q := x lim f , POLU^IM: x x Q x x Q 1
Z Z @ (T ) ' = T Q Q f @f=@xi ' ; (f ') cos(~n xi )ds+ (f ') cos(~n xi )ds = @xi 0
!
0
0
2
!
2
1
1
@Q
@Q
R
R
= T@f=@xi ' + h@Qi cos(~n xi )@Q 'i 8' 2 D( n): pUSTX FUNKCIQ f (x), GDE x 2 n, BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMA W OBLASTI, DOPOLNITELXNOJ K REGULQRNOJ GIPERPOWERHNOSTI S . pUSTX KAVDAQ ^ASTNAQ PROIZWODNAQ FUNKCII f (x) IMEET PREDEL W KAVDOJ TO^KE GIPERPOWERHNOSTI S PRI PODHODE K S S L@BOJ STORONY. rAZNOSTX MEVDU \TIMI PREDELAMI BUDET SKA^KOM SOOTWETSTWU@]EJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ, KOTORYJ OPREDELEN TOLXKO PRI ZADANII OPREDELENNOGO NAPRAWLENIQ ,,PROHODA" ^EREZ S I KOTORYJ MENQET ZNAK PRI IZMENENII NAPRAWLENIQ \TOGO ,,PROHODA". |TOT SKA^OK QWLQETSQ FUNKCIEJ, OPREDELENNOJ NA S . oBOZNA^AQ ^EREZ D(Tf ) 2 n , ^ASTNU@ PROIZWODNU@ MULXTIINDEKSA OT f W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, A ^EREZ TD f | REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@, POROVDAEMU@ OBY^NOJ PROIZWODNOJ, KOTORAQ OPREDELENA PRI x 2= S I NE OPREDELENA PRI x 2 S (S | POWERHNOSTX, TO ESTX MNOVESTWO MERY NULX), WY^ISLIM (Tf ) W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. iMEEM: @ (T ) ' = ; T @' = ; Z f @' dx : : : dx = f 1 n @x1 f @x1 @x 1 n
N
R
17
=; =
Z
1
dx2 dx3 : : : dxn
@' dx = f (x) @x 1 1
0 Z @f 1 A dx2 dx3 : : : dxn @0 ' + @x1 'dx1
Rn
1
;
Z Rn
Z
;1
1
1
;
;1
GDE 0 | SKA^OK FUNKCII f PRI PERESE^ENII POWERHNOSTI S W NAPRAWLENII OSI x1, WZQTYJ W TO^KE PERESE^ENIQ POWERHNOSTI S S PARALLELX@ OSI x1, IME@]EJ KOORDINATY x2 : : : xn. w PROIZWEDENII 0' FUNKCI@ ' NADO BRATX W TOJ VE TO^KE. pO\TOMU
@ (T ) ' = Z 'dx dx : : : dx + Z @f 'dx dx : : : dx : 0 2 3 n 1 2 n @x1 f @x 1 n R
S
pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL MOVNO ZAMENITX INTEGRALOM
Z
0' cos 1 ds
S
GDE 1 | UGOL, OBRAZOWANNYJ OSX@ x1 S NORMALX@ K S , NAPRAWLENNOJ W STORONU SOOTWETSTWU@]EGO ,,PROHODA" ^EREZ S , TO ESTX W STORONU WOZRASTANIQ x1. zAMETIM, ^TO W \TOJ FORME INTEGRAL NE ZAWISIT OT NAPRAWLENIQ ,,PROHODA" IBO, ESLI NAPRAWLENIE ,,PROHODA" MENQETSQ, TO cos 1 I 0 MENQ@T ZNAK. oBOB]ENNAQ FUNKCIQ
Z
h(0 cos 1)S 'i = 0' cos 1 ds S
ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ 0 cos 1. tOGDA IMEET MESTO FORMULA:
R
TO ESTX
+ h cos 'i 8' 2 D( n) @ (T ) ' = T ' f 0 i S @f=@xi @xi
@ (T ) = T @f=@xi + (0 cos i )S : @xi f dIFFERENCIRUQ E]E RAZ, IMEEM: @ ( cos ) ] @ 2 (T ) = T + ( cos
) + f i i S i S @ f=@x i @x2i @xi 0 2
2
18
GDE i | SKA^OK @f=@xi PRI PROHOVDENII ^EREZ S . oTS@DA UVE POLU^AETSQ FORMULA DLQ n 2 X @ (Tf ) = @x2 (Tf ) i
i=1
KOTORU@ MY PREDWARITELXNO PREOBRAZUEM. P n wO-PERWYHP , SUMMA i=1 i cos i = | SKA^OK NORMALXNOJ PROIZWODNOJ @f=@ = ni=1 cos i @x@fi . sKA^OK NORMALXNOJ PROIZWODNOJ NE ZAWISIT OT ORIENTACII NORMALI, IBO IZMENITX \TU ORIENTACI@ OZNA^AET IZMENITX ZNAK KAK PRI WY^ISLENII SKA^KA, TAK I U SAMOJ NORMALXNOJ PROIZWODNOJ. mOVNO NEPOSREDSTWENNO OPREDELITX \TOT SKA^OK, NE RASSMATRIWAQ NAPRAWLENIE ,,PROHODA", TAK KAK SKA^OK RAWEN @f=@1 + @f=@2 | SUMME NORMALXNYH PROIZWODNYH S OBEIH STORON POWERHNOSTI S W ODNOJ I TOJ VE TO^KE. wO-WTORYH, IMEET MESTO FORMULA:
*X n
+
@ ( cos ) ] ' = ; Z 0 i S i=1 @xi
Z @' @' cos i 0ds = ; 0ds: @x @ i i=1
n X
S
S
|TO WYRAVENIE NE ZAWISIT OT WYBORA NAPRAWLENIQ NORMALI, IBO IZMENITX \TO NAPRAWLENIE | ZNA^IT IZMENITX ODNOWREMENNO ZNAK 0 I ZNAK @'=@ . |TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ DWOJNOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ MOMENTA, RAWNOJ ;0 , TO ESTX @ @ (0S ), ILI @ @ (f1S ) + @ @ (f2S ). pOSLEDNEE WYRAVENIE NE TREBUET NIKAKOGO WYBORA NAPRAWLENIQ ,,PROHODA". pO\TOMU OKON^ATELXNO IMEEM: 1
@f
2
@f + @ (f ) + @ (f ) = (Tf ) = T f + + @1 @2 S @1 1 S @2 2 S @ = T f + S + (0S ) @
~ASTNYJ SLU^AJ. fORMULA gRINA.
(I)
pUSTX POWERHNOSTX S OGRANI^IWAET OB_EM V I f RAWNA NUL@ WNE V . tOGDA FORMULA (I) ZAPIETSQ W WIDE:
Z
h(Tf ) 'i = hTf 'i = f 'dx =
V
@f ' + @ (f ) ' = = hT f 'i + @i S @i S 19
=
Z V
Z @f Z @' f'dx + @i 'ds ; f @i ds: S
S
oTS@DA WYTEKAET FORMULA gRINA:
Z V
Z @' @f (f ' ; 'f )dx + f @ ; ' @ ds i i S
(II)
GDE i | WNUTRENNQQ NORMALX. 46) dANA FUNKCIQ
1 jxj 6 y y > 0 f (x y) =
0 W OSTALXNYH TO^KAH
nAJDITE @x@ (Tf ) I @y@ (Tf ). 47) dANA FUNKCIQ
1 x > 0 y > 0 Y (x y) =
0 W OSTALXNYH TO^KAH
wY^ISLITE ^ASTNYE PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ PO x I y, A ZATEM POKAVITE, ^TO @ 2Y=@x@y = (x y). 48) nAJDITE RADIALXNU@ (CENTRALXNO SIMMETRI^NU@) GARMONI^ESKU@ W n n f0g n > 3, FUNKCI@ U . 49) wY^ISLITX W n E (x), GDE E (x) = ;1=((n ; 2)!n jxjn 2) n > 3, A !n = 2n=2=;(n=2) | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY W n. rEENIE. dLQ L@BOJ FUNKCII ' 2 D( n) IMEEM:
R
R
R
Z
hE 'i = hE 'i = "lim0 &
R
;
E (x)'dx:
x >"
j
j
tOGDA FORMULA gRINA DAET:
Z @' @E E 'dx ; E'dx = ; E @ ; @ ' ds x >" x >" x =" Z
j
j
Z
j
j
j
j
GDE | WNENQQ NORMALX K SFERE jxj = ". iLI:
Z
Z @E Z @' E 'dx = E'dx + @ 'ds ; E @ ds: x >" x >" x =" x ="
j
j
Z
j
j
j
20
j
j
j
R
pERWYJ INTEGRAL SPRAWA RAWEN NUL@, TAK KAK E | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W n nf0g, SM. UPR. 48). tRETIJ INTEGRAL SPRAWA STREMITSQ K NUL@, KOGDA " ! 0, TAK KAK ON MAVORIRUETSQ NEKOTOROJ KONSTANTOJ, UMNOVENNOJ NA "n 1 "2 n . pOKAVEM, ^TO WTOROJ INTEGRAL STREMITSQ K '(0). w SAMOM DELE, ;
;
Z @E 'ds ; '(0) = @ x =" Z 1 = n 1 '(x) ; '(0)]ds 6 max j'(x) ; '(0)j ! 0 !n" x =" x =" j
j
;
j
j
KOGDA " ! 0. iTAK, TO ESTX E = :
R
j
j
hE 'i = '(0) = h 'i 8' 2 D( n)
R
R
nEKOTORYE SWEDENIQ, KASA@]IESQ SWERTKI W LEBEGOWYH PROSTRANSTWAH.
A) sLU^AJ KOGDA f 2 Lp( n) I g 2 Lq ( n) GDE p I q QWLQ@TSQ GAR MONI^ESKI SOPRQVENNYMI TO ESTX 1=p + 1=q = 1. tOGDA: 1) sWERTKA Z ,
,
R R R
(f g)(a) :=
Rn
,
-
f (x)g(a ; x)dx
R
R
SU]ESTWUET WS@DU NA n I QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ I RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA n FUNKCIEJ, PRI^EM kf gk 6 kf kpkgkq : 2) eSLI p 2]1 1, TO (f g) 2 C0( n), GDE C0( n) | PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH NA n FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. N.B. nAPOMNIM, ^TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO A NAZYWAETSQ ALGEBROJ, ESLI NA NEM OPREDELENA OPERACIQ UMNOVENIQ, LINEJNAQ OTNOSITELXNO KAVDOGO MNOVITELQ W OTDELXNOSTI. aLGEBRA A NAZYWAETSQ ASSOCIATIW NOJ, ESLI WSEGDA x(yz ) = (xy)z ALGEBRA A NAZYWAETSQ KOMMUTATIWNOJ, ESLI WSEGDA xy = yx: wEKTORNOE PROSTRANSTWO K( n), NEPRERYWNYH I FINITNYH NA n FUNKCIJ, SNABVENNOE OPERACIEJ SWERKA, QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ SWERTO^NOJ ALGEBROJ BEZ EDINICY.
R
1
R
21
-
eSLI MERA dIRAKA PRINADLEVIT A, TO A ESTX SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ, ESLI 2= A, TO A ESTX SWERTO^NAQ ALGEBRA BEZ EDINICY. B) sLU^AJ KOGDA f 2 L1( n) g 2 L1( n). tOGDA: 1) sWERTKA (f g) SU]ESTWUET PO^TI WS@DU NA n I (f g) 2 L1( n), PRI^EM Z Z Z
R
,
Rn
R
(f g)(x)dx =
R
Rn
R
R
f (y)dy g(z )dz Rn
I kf gk1 6 kf k1kgk1. 2) wEKTORNOE PROSTRANSTWO L1( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ SWERTO^NOJ ALGEBROJ BEZ EDINICY. N.B. tAK KAK L1( n) | BANAHOWO PROSTRANSTWO, TO L1( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ BANAHOWOJ SWERTO^NOJ ALGEBROJ BEZ EDINICY. W) sLU^AJ KOGDA f 2 Lp( n) g 2 Lq ( n) GDE p q > 1 TAKIE ^TO 1=p + 1=q ; 1 > 0: tOGDA: 1) sWERTKA (f g) SU]ESTWUET PO^TI WS@DU NA n. 2) eSLI 1=r = 1=p + 1=q ; 1, TO (f g) 2 Lr ( n) I kf gkr 6 kf kpkgkq : G) sLU^AJ KOGDA f 2 Lpcompact( n) g 2 Lqloc( n). pUSTX 1 6 p q r 6 1 PRI^EM 1=p + 1=q ; 1=r = 1: tOGDA SWERTKA (f g) SU]ESTWUET PO^TI WS@DU NA n I (f g) 2 Lrloc( n). eSLI r = +1, TO (f g) OPREDELENA WS@DU I QWLQETSQ NEPRERYWNOJ. D) iMEET MESTO TEOREMA OB APPROKSIMACII aNRI kARTANA. pUSTX (x) | FIKSIROWANNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA n S KOMPAKTNYM NOSITELEM. tOGDA DLQ WSQKOJ FUNKCII f (x), OPREDELENNOJ I NEPRERYWNOJ NA n, SWERTKA
R
R
,
R
,
R
R
g(a) = ( f )(a) =
R
R
Z
Rn
R
,
R RR
,
R
,
R
(x)f (a ; x)dx
R
ESTX PREDEL W TOPOLOGII KOMPAKTNOJ SHODIMOSTI NA n (TO ESTX W TOPOLOGII PROSTRANSTWA C ( n)) LINEJNYH KOMBINACIJ SDWIGOW FUNKCII f . iNA^E GOWORQ, ESLI DLQ " > 0 POLOVITX g"(a) = "n
X
k Zn
("k)f (a ; "k)
2
22
TO:
R
N
R
1) kOGDA " ! 0, TOGDA g"(a) ! g(a) W TOPOLOGII PROSTRANSTWA C ( n). 2) supp g" supp + supp f 8" > 0: 3) eSLI f 2 C k ( n), TO 8 2 n jj 6 k Dg"(a) ! Dg(a), PRI " ! 0 W TOPOLOGII KOMPAKTNOJ SHODIMOSTI NA n.
E) eSLI supp f (x) supp g(x) SU]ESTWUET I IMEET WID :
R R +
:= 0 +1, TO SWERTKA (f g)
8 Rx < f (t)g(x ; t)dt x > 0 (f g) = : 0 0 x < 0
R
PRI^EM supp (f g) +: V) sWERTKA (f g) SU]ESTWUET, ESLI f ILI g OBLADAET KOMPAKTNYM NOSITELEM. 50) wY^ISLITX SWERTKU Y (x ; a) Y (x ; b), GDE 0 6 a 6 b x 2 Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA. 51) dANA FUNKCIQ fa(x) = a e a x a > 0 x 2 : wY^ISLITX SWERTKU fa(x) fb(x). 52) pUSTX 1 ex x () Y() (x) = Y (x) ;() > 0 2 : p
R
2 2
;
;
pOKAZATX, ^TO Y Y = Y+ . rEENIE.
x Z 1 t ( x ; t ) Y() Y() = ;();( ) ;
1
;
R
C
e(x t) etdt = ;
0
+ 1 ex Z x = (1 ; u) 1u 1 du ;();( ) 0 ZDESX PROIZWEDENA ZAMENA t = xu. nO 1
;
;
Z1 0
;
(1 ; u) 1u 1 du = B ( ) = ;();( ) : ;( + ) ;
;
23
w ^ASTNOSTI, REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ
N
n 1 x (n) Y() = Y (x) x e n 2 (n ; 1)! ;
BUDET n-OJ SWERTO^NOJ STEPENX@ REGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII Y (x)ex. |TI SWERTKI ISPOLXZU@TSQ W TEORII DIFFERENCIROWANIQ NECELOGO PORQDKA I W TEORII WEROQTNOSTEJ. 53) pUSTX G (x) = 12 e x =2 > 0: pOKAZATX, ^TO G (x) G (x) = G + . |TA FORMULA IGRAET WAVNU@ ROLX W TEORII WEROQTNOSTEJ. 54) pUSTX ;
p
p
2
2
2
2
Pa(x) = 1 x2 +a a2 a > 0: pOKAZATX, ^TO Pa(x) Pb(x) = Pa+b(x). 55) wY^ISLITX x 1 a x 1 b , GDE a I b NEWE]ESTWENNY. rEENIE. tAK KAK x 1 a I x 1 b PRINADLEVAT L2( ), TO IH SWERTKA SU]ESTWUET: Z 1 dt 1 = : x;a x;b (t ; a)(x ; t ; b) ;
R
;
;
;
R
R
|TO INTEGRAL PO OT RACIONALXNOJ FUNKCII, KOTORAQ IMEET POL@SY t = a t = x ; b I SOOTWETSTWU@]IE WY^ETY RAWNY:
1 1 1 1 = resx b =; (z ; a)(x ; b ; z ) x ; a ; b (z ; a)(x ; b ; z ) x ; a ; b: sUMMA \TIH WY^ETOW RAWNA NUL@. pO\TOMU IMEEM: 8 2i ESLI Im a > 0 Im b > 0 x a b 1 1 =< ; 2i ESLI Im a < 0 Im b < 0 x a b x ; a x ; b : 0 ESLI Im a I Im b RAZNYH ZNAKOW:
resa
;
;
;
;
;
56) pOKAZATX, ^TO
m! n! = (x ; a)m+1 (x ; b)n+1 8 1 ESLI Ima > 0 Imb > 0 (m + n)! < = 2i ;1 ESLI Ima < 0 Imb < 0 (x ; a ; b)m+n+1 : 0 ESLI Ima I Imb RAZNYH ZNAKOW
N
GDE m n 2 .
24
R
nEKOTORYE SWEDENIQ, KASA@]IESQ SWERTKI OBOB]ENNYH FUNKCIJ.
nAPOMNIM (SM. 5], 6]), ^TO ESLI S I T PRINADLEVAT D ( n) I IH NOSITELI OBRAZU@T PARU, DOPUSKA@]U@ SWERTKU, TO
R
0
hS T 'i := S T ' ' 2 D( n)
GDE | SIMWOL TENZORNOGO (PRQMOGO) PROIZWEDENIQ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S I T , ' (x y) := '(x + y). pERE^ISLIM NEKOTORYE SLU^AI SU]ESTWOWANIQ SWERTKI. 1) eSLI ODNA IZ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. 2) eSLI NOSITELX ODNOJ ESTX GIPERBOLI^ESKOE MNOVESTWO, A DRUGOJ | PARABOLI^ESKOE MNOVESTWO (SM. 6]). 3) eSLI NOSITELI S 2 D ( ) I T 2 D ( ) SUTX MNOVESTWA IZ OGRANI^ENNYE SLEWA. iZWESTNO, ^TO: 1) pROSTRANSTWO E ( n), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ (MERA dIRAKA QWLQETSQ EDINICEJ). 2) pROSTRANSTWO D ( n) QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA SWERTO^NOJ ALGEBRE E ( n). nAPOMNIM, ^TO WEKTORNOE PODPROSTRANSTWO M IZ D ( n), SODERVA]EE SWERTO^NU@ ALGEBRU A S EDINICEJ, NAZYWAETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA ALGEBRE A, ESLI DLQ L@BOGO A 2 A I DLQ L@BOGO M 2 M SU]ESTWUET SWERTKA A M = M A 2 M, OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: B (A M ) = (B A) M GDE A B 2 A M 2 M
R R R
0
R
0
R
R
,
0
0
0
0
R
(A + B ) M = A M + B M A (M + N ) = A M + A N GDE M N 2 M a 2 A:
~ASTO ALGEBRU A NAZYWA@T E]E ALGEBROJ OPERATOROW NA M. 3) wSQKAQ SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA SEBE. 4) pROSTRANSTWO OBOB]ENNYH FUNKCIJ S GIPERBOLI^ESKIMI NOSITELQMI (W SLU^AE n = 1 S NOSITELQMI, OGRANI^ENNYMI SLEWA), SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ. |TA ALGEBRA IGRAET WAVNU@ ROLX W TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. 25
R R
R
5) pROSTRANSTWO OBOB]ENNYH FUNKCIJ S PARABOLI^ESKIMI NOSITELQMI QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA ALGEBRE 4). 6) pROSTRANSTWO D ( +) OBOB]ENNYH FUNKCIJ S NOSITELQMI W +, SNABVENNOE SWERTKOJ, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ S EDINICEJ, KOTORAQ ISPOLXZUETSQ W TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. 57) pOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ T 2 D ( n) IME@T MESTO RAWENSTWA: A) a T = aT a 2 n, GDE a | OPERATOR SDWIGA NA WEKTOR a, TO ESTX a f (x) = f (x ; a) B) D T = DT 2 n . 58) wY^ISLITX (x ; a) (x ; b). 59) pOKAZATX, ^TO 8a 2 n 8 2 n 8T 2 D ( n) SPRAWEDLIWO RAWENSTWO: D(aT ) = a DT: 60) pUSTX SU]ESTWUET SWERTKA T1 T2. pOKAZATX, ^TO D(T1 T2) = DT1 T2 = T1 DT2 2 n : 61) pUSTX SU]ESTWUET SWERTKA T1 T2. pOKAZATX, ^TO a(T1 T2) = a T1 T2 = T1 (aT2): ; 62) wY^ISLITX SWERTKU v:p: x 1 a x1 b , GDE a 2 b 2= . rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 22), POSLE PRIMENENIQ PREOBRAZOWANIQ SDWIGA a IMEEM: 1 v:p: 1 = lim x ; a " 0 x ; a + i" + ia: 1 1 I 1 SU]ESTWU@T, PO\TOMU zAMETIM, ^TO SWERTKI x a+i" a x b x b MOVNO PO OPREDELENI@ POLOVITX:
1
1 1 1 1 : := lim + i v:p: a x ; a x ; b " 0 x ; a + i" x ; b x;b eSLI Im b > 0, TO, SOGLASNO UPRAVNENI@ 55), IMEEM
1 1 v:p: = 0 + ia 1 = i : x;a x;b x;b x;a;b eSLI Im b < 0, TO
1 1 ;2i + i 1 = v:p: := lim a x ; a x ; b " 0 x ; a ; b + i" x;b 0
R N R N 0
;
0
R R
;
&
;
;
&
&
26
R N
;
=;
iTAK,
v:p:
2i i = ; i : + x;a;b x;a;b x;a;b
i ESLI Im b > 0 x a b = i b x a b ESLI Im b < 0: v:p: x 1 a v:p: x1 b , GDE a b
1
1
x;a x;
;
; 63) wY^ISLITX SWERTKU
rEENIE.
; ;
;
;
;
;
R
2 :
;
1 v:p: 1 v:p: 1 := v:p: 1 lim x;a x;b x ; a " 0 x ; b + i" + ib = 1 + iv:p: 1 ; = = v:p: 1 "lim0 x;a x ; b + i" x;a;b ; i 1 = lim + iv : p : = i(ia+b) = ;2 a+b: " 0 x ; a ; b + i" x;a;b iTAK,
1 1 v:p: v:p: = ;2a+b a b 2 : x;a x;b w ^ASTNOSTI,
1 1 v:p: v:p: = ;2 : x x 64) pUSTX f I g | DWE FUNKCII, OPREDELENNYE NA , TAKIE, ^TO: x f (x) 2 Lp( n) x g(x) 2 Lq ( n) 8 2 n j j 6 m 2 GDE p I q | GARMONI^ESKI SOPRQVENNYE. pOKAZATX, ^TO 8 2 n j j 6 m IMEET MESTO RAWENSTWO: X ! x (f g) = !( ; )! (x f ) (xg): 6 &
&
R
&
R
R R N N
N
R
;
R R
65) w SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) POKAZATX, ^TO OBRATNYM \LEMENTOM DLQ Y (x), GDE Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA, QWLQETSQ (x). 66) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) OBRATNYM \LEMENTOM DLQ Y (x)ex QWLQETSQ ( ; ). 67) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) OBRATNYM \LEMENTOM DLQ E (x) = Y (x) sin!!x , GDE ! > 0 | POSTOQNNAQ, QWLQETSQ \LEMENT + !2. 0
0
0
0
27
0
00
R
R
68) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( 2+) OBRATNYM \LEMENTOM (xy) . DLQ \LEMENTA Y (x y) QWLQETSQ \LEMENT @2@x@y w SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( 2+) BUDET LI FUNKCIQ 21 ln r, GDE r = px69) 2 + y 2, OBRATNYM \LEMENTOM DLQ (x y )? 70) pUSTX W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +) \LEMENTY T I S IME@T OBRATNYE \LEMENTY T 1 I S 1. pOKAVITE, ^TO \LEMENT (T S ) IMEET OBRATNYJ \LEMENT WIDA T S ] 1 = T 1 S 1 . 71) pOKAZATX, ^TO FUNKCII: 1) e x , 2) e ax2 , GDE a > 0, 3) xe ax2 , GDE 1 ( ). wY^ISLITX SWERTKI: A) a > 0, PRINADLEVAT SWERTO^NOJ ALGEBRE L e x e x , B) e ax2 xe ax2 , W) xe ax2 xe ax2 . 72) wY^ISLITX SWERTO^NYE STEPENI f n n 2 FUNKCII 1 ;1 < x < 1 f (x) = 0 W OSTALXNYH TO^KAH: kAKOW NOSITELX FUNKCII f n? 0
0
R
0
;
;
;
;
;
;j
;j
j
;j
j
;
;
j
;
;
;
R
N
R
pREOBRAZOWANIE fURXE.
;
nAPOMNIM (SM. 6]), ^TO, ESLI f 2 L1( n), TO PREOBRAZOWANIE fURXE OPREDELQETSQ PO FORMULE: (Ff )( ) :=
P
Z
Rn
f (x)e
;
2ix dx
2
R R R R n
GDE x = nk=1 xk k . ~TO KASAETSQ SWOJSTW PREOBRAZOWANIQ fURXE W L1( n) I OPREDELENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE W PROSTRANSTWE S ( n) S SMOTRI WYEUKAZANNYE RAZRABOTKI. 73) dANA FUNKCIQ g(x) = e x , GDE > 0 x 2 . wY^ISLITX PREOBRAZOWANIE fURXE (Fg)( ) = g^( ). rEENIE. pREVDE WSEGO, g(x) 2 L1( ), PO\TOMU g^( ) SU]ESTWUET. iZWESTNOp, ^TO f^( ) = f ( ) = e , GDE f (x) = e x TOGDA g(x) = f (kx), GDE k = = . pO\TOMU 0
\
;
2
;
2
R
;
2
r
g^( ) = f (kx)( ) = k1 f^ k = e
;
74) wY^ISLITX OBRAZ fURXE FUNKCII
x2 1 (x) = p exp ; 22 2 28
2 2
:
0
GDE > 0. oTKUDA WYWESTI FORMULU:
R
=
R
2 + 2
p
GDE > 0. 75) pUSTX S 2 S ( l) T 2 S ( n). dOKAZATX FORMULU: F (S T ) = 0
0
(FS ) (FT ). 76) pUSTX S | AWTOMORFIZM PROSTRANSTWA
^TO
S FT F (S T ) = j det Sj t
1
;
R R n, T
2 S ( n). pOKAZATX, 0
GDE tS | TRANSPONIROWANNYJ AWTOMORFIZM. oTKUDA WYWESTI, ^TO ESLI T | RADIALXNAQ, TO I FT | RADIALXNAQ. 77) wY^ISLITX F (v:p: x1 ). rEENIE. tAK KAK v:p: x1 2 S ( ), TO F (v:p: x1 ) SU]ESTWUET. iZWESTNO, ^TO xv:p: x1 = 1. tOGDA (Fx) F (v:p: x1 ) = . nO Fx = ; 2i TOGDA fF (v:p: x1 )g = ;2i, OTKUDA F (v:p: x1 )( ) = ;2iY ( )+ C , GDE C | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ, A Y | FUNKCIQ hEWISAJDA. dALEE, v:p: x1 | NE^ETNAQ FUNKCIQ, A TOGDA, W SILU PREDYDU]EGO UPRAVNENIQ, F (v:p: x1 )( ) DOLVNA BYTX NE^ETNOJ, TO ESTX DOLVNO BYTX: ;2iY (; ) + C = 2iY ( ) ; C I PRI > 0 IMEEM: C = i OTKUDA 0
R
0
0
i > 0 = ;2iY ( ) + i: F v:p: x1 = ; i < 0 78) wY^ISLITX F (Y (x)), GDE Y (x) | FUNKCIQ hEWISAJDA.
pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE K RAWENSTWU F (v:p: x1 ) = ;2iY + i, POLU^ENNOMU W PREDYDU]EM UPRAVNENII, I U^ITYWAQ FOR 8T 2 S , IMEEM: v:p: x1 = ;2iF (Y ) + i, MULU OBRA]ENIQ: FFT = T ; 1 + 1 . OTKUDA, U^ITYWAQ NE^ETNOSTX v:p: x1 , IMEEM: F (Y ) = v:p: 2ix 2 79) wY^ISLITX OBRAZ fURXE FUNKCII rEENIE.
0
R
cos 2x x 2 : f (x) = 2 sin 2x(2;x4x )3
80) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, POKAZATX, ^TO eixt lim t x ; i0 = 2i(x): !1
29
R
81) wY^ISLITX KOPREOBRAZOWANIE fURXE FUNKCII u(y) = 2iy +1 42 a2 a > 0 y 2 : rEENIE. pOLOVIM V = Fu. tAK KAK 2iyu(y) + 42 a2u(y) = 1, TO 2iyFV +42a2FV = 1, OTKUDA V +42a2V = , ILI ( +42a2) V = , 2 a2 ) W SWERTO^NOJ ALGEBRE A OBRATNYM \LEMENTOM K \LEMENTU ( + 4 D ( +) QWLQETSQ V = Y (x)e 42a2x (PROWERXTE!) 82) nAJTI PREOBRAZOWANIE fURXE PO x DLQ FUNKCII 0
R
0
0
0
R
;
(x t) = exp(;42 tjxj2) t > 0 x 2 n: rEENIE. dOSTATO^NO NAJTI FUNKCI@ u(x t) TAKU@, ^TO 42 t x 2
Fu = e
;
j
j
4tx 2 : p
=e
;
j
j
wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ
F f (kx)]( ) = k1n (Ff ) k
GDE f (x) = e
x 2.
;
j
j
tOGDA IMEEM: F e
kx 2 ]( ) =
;
p
j
j
pOLAGAQ ZDESX k = 1= 4t, POLU^IM:
F e j
oTKUDA
;
p
1 4t
1 kn e
=k 2 :
;
j
j = (p4t)ne
x
2
j
4t 2 : p
;
j
R R N
u(x t) = p 1 n e ( 4t)
j
x 2=4t :
;j
j
83) pUSTX f ESTX RADIALXNAQ FUNKCIQ NA n, ODNORODNAQ STEPENI m, PREOBRAZOWANIE fURXE KOTOROJ SU]ESTWUET. pOKAZATX, ^TO OBRAZ fURXE Ff QWLQETSQ RADIALXNOJ FUNKCIEJ ODNORODNOJ STEPENI (;n ; m), TO
ESTX
(Ff )(j j) = n m (Ff )(j j): 84) pUSTX fk (x) = 1=jxjk x 2 n GDE k 2 k < n. nAJTI F (fk). ;
30
;
R
tAK KAK 0 < k < n, TO fk 2 L1loc( n) I PREDSTAWLQET SOBOJ REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ MEDLENNOGO ROSTA. dALEE, TAK KAK fk | RADIALXNAQ, TO Ffk | RADIALXNAQ I, KROME TOGO, fk | ODNORODNAQ FUNKCIQ STEPENI ;k. sLEDOWATELXNO, Ffk QWLQETSQ ODNORODNOJ FUNKCIEJ STEPENI k ; n, W SILU PREDYDU]EGO UPRAVNENIQ. pO\TOMU (Ffk)( ) = ckn=j jn k, GDE KONSTANTA ckn ZAWISIT OT k I n. dLQ PODS^ETA \TOJ KONSTANTY PRIMENIM FORMULU, OPREDELQ@]U@ PREOBRAZOWANIE fURXE W S : rEENIE.
;
0
hFfk 'i = hfk F'i 8' 2 S : wZQW W KA^ESTWE '(x) exp(;jxj2) I U^ITYWAQ, ^TO F' = ', A FUNKCII 1=jxjk I 1=jxjn k PRINADLEVAT L1loc( n), IMEEM: ;
Z
ckn j j
iZWESTNO, ^TO
R
R
x k n e x 2 dx =
Rn
Z Rn
;
;
j
Z
j
Rn
jxj k e ;
Z
x 2 dx:
;
j
j
()
1
f (x)dx = !n g(r)rn 1dr ;
0
R
ESLI f = g(r) ZAWISIT TOLXKO OT r, GDE | POLQRNOE PREOBRAZOWANIE n W SEBQ, ! | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY W n, TO ESTX ! = n n n=2 2 =;(n=2) ;(x) | ESTX gAMMA-FUNKCIQ:
Z
1
;(x) = 2 u2x 1e u2 du x > 0 ;
;
0
OBLADA@]AQ SWOJSTWOM: ;(x + 1) = x;(x) x > 0, PRI^EM, ESLI x = 1=2, TO
Z p 1 p ; = 2 e u2 du = 2 = 2 2 1
;
0
ESLI x = 1, TO ;(1) = 1: tOGDA RAWENSTWO (*) PRIMET WID
Z
1
Z
1
ckn rk 1e ;
r
;
2
dr =
0
0
31
rn
;
k 1 e r2 dr: ;
;
sOWERAQ ZAMENU pr = u, POLU^IM:
Z
1
ckn
ILI oTKUDA
0
Z p k 1 u 2k n u e du = ( ) un 1
;
;
2
;
k p ckn; 2 = ( )2k
;
k 1 e u2 du ;
;
0 n;
;
n ; k 2
:
;n k p ; ckn = ( )2k n ; k2 : ; ;
;
a TOGDA IMEEM:
2
;n k p ; F (fk ) = ( )2k n ; k2 fn k ; ;
R R R R CR ;
2
;
GDE 0 < k < n. 85) wY^ISLITX F (1=jxj2) x 2 3. 86) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, REITE URAWNENIE pUASSONA W n, GDE n > 3, W PROSTRANSTWE S ( n):
R
0
n 2 X @ En = (x) = @x2 : k=1
k
87) wY^ISLITX F (1=jxj) x 2 3. 88) pUSTX S(0 R)(x) | PROSTOJ SLOJ W 3, GDE S (0 R) | SFERA S CENTROM W NA^ALE RADIUSA R. wY^ISLITX F (S(0 R)). 89) wY^ISLITX F (1=z )( ) z 2 . 90) wY^ISLITX F (Y (R;jxj)) x 2 n = 1 Y | FUNKCIQ hEWISAJDA. 91) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, DOKAZATX FORMULU: X ! x (f g) = ( ; )! ! (x f ) (x g) 2 n f g 2 S ( n): 6 ;
R
N
92) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, REITX ZADA^U kOI: @ 2u = @ 2u x 2 t > 0 @t2 @x2 u(x 0) = '(x) 2 S ( ) @u @t (x 0) = (x) 2 S ( ):
R
32
R
R
(1) (2)
N
uRAWNENIQ SWERTOK.
pUSTX A | SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ I M | SWERTO^NYJ MODULX NA A. wSQKOE URAWNENIE W Mm m 2 , GDE Mm | SWERTO^NYJ MODULX NA SWERTO^NOJ ALGEBRE Am m WIDA:
~ A] X~ = W (I) GDE A] 2 Am m W~ 2 Mm ZADANY, X~ | ISKOMYJ WEKTOR IZ Mm, NAZYWAETSQ SISTEMOJ IZ m URAWNENIJ SWERTOK S m NEIZWESTNYMI OBOB]ENNYMI FUNKCIQMI. mATRICA A] NAZYWAETSQ MATRICEJ KO\FFICIENTOW SISTEMY (I). eSLI W~ = ~0, TO SISTEMA NAZYWAETSQ SOOTWETSTWU@]EJ ODNORODNOJ SISTEMOJ. eSLI m = 1, TO SISTEMA (I) SWODITSQ K ODNOMU URAWNENI@ SWERTOK. mATRICA E ] 2 Mm m , UDOWLETWORQ@]AQ SISTEME:
A] E ] = E ] A] = ]
GDE ] | DIAGONALXNAQ MATRICA S GLAWNOJ DIAGONALX@, SOSTOQ]EJ IZ MER dIRAKA , NAZYWAETSQ \LEMENTARNYM REENIEM SISTEMY (I). iMEET MESTO tEOREMA. pUSTX SISTEMA (I) IMEET \LEMENTARNOE REENIE E ] PRINADLEVA]EE Am m TOGDA ~ 2 Mm SISTEMA OBLADAET EDINSTWENNYM REENIEM 1) dLQ L@BOGO W KOTOROE IMEET WID X~ = E ] W~ 2) nE SU]ESTWUET DRUGIH \LEMENTARNYH REENIJ (DAVE W Mm m ) sLEDSTWIE. pRI M = A DLQ SISTEMY (I) W Am IME@T MESTO SLE DU@]IE UTWERVDENIQ 1) sU]ESTWUET SAMOE BOLXEE ODNO \LEMENTARNOE REENIE E ] KO TOROE QWLQETSQ MATRICEJ OBRATNOJ (PO OTNOENI@ K SWERTKE) DLQ MATRICY KO\FFICIENTOW A] SISTEMY (I) ~ 2 2) sISTEMA (I) OBLADAET EDINSTWENNYM REENIEM DLQ L@BOGO W Am ESLI I TOLXKO ESLI SU]ESTWUET \LEMENTARNOE REENIE E ] I TOG DA REENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ X~ = E ] W~ iZWESTNO, ^TO USLOWIEM OBRATIMOSTI MATRICY S \LEMENTAMI IZ KOMMUTATIWNOJ ALGEBRY A SLUVIT USLOWIE: mATRICA A] 2 Am m | OBRATIMA (W KA^ESTWE \LEMENTA IZ Am m ), ESLI I TOLXKO ESLI EE SWERTO^NYJ OPREDELITELX OBRATIM (W KA^ESTWE \LEMENTA IZ A). ,
,
:
,
:
.
.
-
:
,
-
,
.
,
,
:
-
.
33
eSLI A] | OBRATIMAQ MATRICA W Am m I 1 | OBRATNYJ \LEMENT K , TO KOMPONENTAMI MATRICY E ] = A] 1 QWLQ@TSQ:
;
;
Eij = 1 A0ji i j = 1 2 : : : m GDE A0ij | ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE (PO SWERTKE) DLQ Aij . ;
kONKRETNYMI REALIZACIQMI URAWNENIJ SWERTOK MOGUT BYTX INTEGRALXNYE URAWNENIQ, URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, W KONE^NYH RAZNOSTQH, INTEGRO-DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ.
R R R R
uRAWNENIQ SWERTOK W
R
D ( +). 0
nAPOMNIM, ^TO A = D ( +) ESTX SWERTO^NAQ ALGEBRA S EDINICEJ OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA , NOSITELI KOTORYH SODERVATSQ W + := 0 +1. eSLI A = P, GDE 0
R
m m 1 d d P = dxm + C1 dxm 1 + : : : + Cm 1 ddx + Cm Ci = const i = 1 2 : : : m TO URAWNENIE SWERTOK A X = W , GDE W 2 D ( +) | ZADANO, X | ISKOMAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ IZ D ( +), QWLQETSQ OBYKNOWENNYM LINEJNYM DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM m-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI. ;
;
;
0
0
R
iMEET MESTO tEOREMA: oPERATOR P OBLADAET EDINSTWENNYM \LEMENTARNYM RE ENIEM E W D ( +) oNO RAWNO PROIZWEDENI@ FUNKCII hEWISAJDA Y NA KLASSI^ESKOE REENIE e ODNORODNOGO URAWNENIQ Pe = 0 UDOWLETWORQ@ ]EGO NA^ALXNYM USLOWIQM 0
-
.
,
:
-
N RR R
e(0) = e (0) = : : : = e(m 2) (0) = 0 e(m 1) (0) = 1: 93) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxdnn n 2 , W D ( +). 94) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd + !2 W D ( +), GDE ! | POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ. d 2 95) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dx ; ! W D ( +), GDE ! | POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ. 1 e ! x TAKVE QWLQETSQ \LEMENTARNYM 96) pOKAZATX, ^TO f (x) = ; 2! d 2 REENIEM OPERATORA dx ; ! . 97) pUSTX T 2 D ( +) I ! | POLOVITELXNOE ^ISLO. nAJTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ V 2 D ( +) TAKU@, ^TO: d4V + !2 d2V = T dx4 dx2 0
;
;
0
2 2
2 2
0
RR
;
2 2
0
34
j
j
0
0
I RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA T = =2. N.B. dIFFERENCIALXNYJ OPERATOR d4 + ! 2 d 2 dx4 dx2 WYRAVAET DEJSTWIE OSEWOJ SILY, A PRAWAQ ^ASTX T ESTX BOKOWAQ SILA. 98) nAJTI W D ( +) OBOB]ENNYE FUNKCII, OBRATNYE K 1) ; 5 +6 2) Y + 3) Y (x)ex + . 99) pOKAZATX, ^TO W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +)]2 2 MATRICA OBRATIMA. nAJTI OBRATNU@ MATRICU. rEITX SISTEMU URAWNENIJ SWERTOK W D ( +)]2: X + X = 1 2 X + X =0 : 0
00
R
0
0
0
R
R
00
0
00
0
0
00
R
00
0
0
1
2
00
100) rEITX W D ( +)]3 SISTEMU URAWNENIJ SWERTOK: 8 Y (x)e1x X + Y (x)e2x X + Y (x)e3x X = V < 1 2 3 1 x x x 3 1 2 : YY ((xx)e)e2x XX11 ++ YY ((xx)e)e3x XX22 ++ YY ((xx)e)e1x XX33 == VV23 GDE 1 2 3 | POSTOQNNYE. ; 101) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd + m m 2 , W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). 102) rEITX ZADA^U kOI DLQ CEPI RLC: d2q(t) L dt2 + R ddt q(t) + C1 q(t) = E (t) t > 0 (1) d q ( t ) q(t)jt=0 = q0 dt = i0 (2) t=0 GDE R L C q0 i0 | POSTOQNNYE. 102') nAJTI P (d=dx) S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI, DLQ KOTOROGO SWERTKA Y (x) sin x Y (x) sin2x SLUVIT \LEMENTARNYM REENIEM W D ( +). wY^ISLITX \TU SWERTKU. nAJTI REENIE ZADA^I kOI: 0
0
0
R
N
R
y(4) ; 3y ; 4y = 0 y(0) = 1 y (0) = y (0) = y (0) = 0: 00
0
35
00
000
R R
103) rEITX URAWNENIE SWERTOK W D ( +): Y (x) cos s X (x) = W W 2 D ( +) OPREDELIW PREDWARITELXNO \LEMENT, OBRATNYJ K \LEMENTU + Y . 104) rEITX W D ( +) URAWNENIE SWERTOK: Y (x) sin x X (x) = 21 Y (x)x sin x: rEENIE. o^EWIDNO, Y (x) sin x] 1 = + . pO\TOMU X (x) = ( + ) 21 Y (x)x sin x = Y (x) cos x. 105) nAJTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ V W D ( +) TAKU@, ^TOBY OBOB]ENNAQ FUNKCIQ E , OPREDELQEMAQ SOOTNOENIEM E (x) = V Y (x) sin x, QWLQLASX \LEMENTARNYM REENIEM W D ( +) OPERATORA dxd ; 1. 0
0
R
0
;
00
0
R
0
R
0
00
mNOGIE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI PRIWODQT K INTEGRALXNYM URAWNENIQM. nAPRIMER, HOROO IZWESTNY INTEGRALXNYE URAWNENIQ wOLXTERRA I I II RODA:
Zx 0
K (x ; t)y(t) = f (x) x > 0
Zx
y(x) + K (x ; t)y(t) = f (x) x > 0:
(I) (II)
0
pRODOLVAQ FUNKCII K (x) f (x) y(x) NULEWYMI ZNA^ENIQMI DLQ x < 0 I WWODQ SOOTWETSTWU@]IE IM REGULQRNYE OBOB]ENNYE FUNKCII, \TI INTEGRALXNYE URAWNENIQ MOVNO RASSMATRIWATX KAK URAWNENIQ SWERTOK W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +): 0
R
Y (x)K (x) V (x) = F (x) (I ) K1(x) V (x) = F (x) (II ) GDE V (x) = Y (x)y(x) F (x) = Y (x)f (x) K1 = + Y (x)K (x). N.B. uRAWNENIE (I ) NE WSEGDA IMEET REENIE. nAPRIMER, ESLI Y (x)K (x) 2 C ( ). pO^EMU? 106) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA I RODA: 1
R
0
0
0
Zx 0
cos(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0: 36
R
rASSMOTRETX SLU^AJ f (x) = sin x. rEENIE. oNO \KWIWALENTNO URAWNENI@ SWERTOK W D ( +): 0
Y (x) cos x Y (x)y(x) = Y (x)f (x): u^ITYWAQ UPRAVNENIE 103), IMEEM: Y (x) cos x] 1 = + Y (x). pO\TOMU ;
0
Zx
Y (x)y(x) = + Y (x)] Y (x)f (x) = d(Y (xd)xf (x)) + Y (x) f (t)dt: 0
0
w ^ASTNOSTI, PRI f (x) = sin x IMEEM: Y (x)y(x) = Y (x), TO ESTX y(x) = 1 PRI x > 0. 107) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA I RODA:
Zx
1 sin(x ; t) ; (x ; t) cos(x ; t)]y(t)dt = x x > 0 2 0
R
PREDWARITELXNO OPREDELIW \LEMENT, OBRATNYJ K \LEMENTU ( + ) W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). 108) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE: 0
Zx 0
00
sin(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0:
rASSMOTRETX SLU^AJ f (x) = cos x. 109) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE
Zx 0
(e t ; sin t)y(x ; t)dt = 1 x > 0 ;
R
PREDWARITELXNO POKAZAW, ^TO OBRATNYM \LEMENTOM K \LEMENTU Y (x)(e x ; sin x) W ALGEBRE D ( +) BUDET + 2 + (4ex ; 1)Y . 110) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA: ;
0
Zx
0
y(x) + ex ty(t)dt = f (x) x > 0: ;
0
37
00
111) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA:
Zx
y(x) + cos(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0: 0
uKAZANIE: U^ESTX UPRAVNENIE 103).
112) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA:
Zx
y(x) + sin(x ; t)y(t)dt = f (x) x > 0: 0
113) rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA II RODA:
Zx
y(x) ; 2 sin(x ; t)y(t)dt = x cos x x > 0: 0
N.B. dLQ INTEGRALXNOGO URAWNENIQ wOLXTERRA II RODA IMEET MESTO tEOREMA. eSLI QDRO K (x) QWLQETSQ LOKALXNO INTEGRIRUEMOJ FUNKCIEJ, OGRANI^ENNOJ NA KAVDOM INTERWALE, TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ + Y (x)K (x) 2 D ( +) EDINSTWENNYM OBRAZOM OBRATIMA W ALGEBRE D ( +), PRI^EM OBRATNYJ \LEMENT IMEET WID + Y (x)K (x)] 1 = (x) + H (x), GDE H 2 D ( +). uRAWNENIQ WIDA: 0
R
0
R
0
;
d
R
d
Zx
P dx y(x) + f (x ; t)Q dt y(t)dt = g(x) x > 0 0
GDE P (d=dx) I Q(d=dx) | DIFFERENCIALXNYE POLINOMY S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI PORQDKA n I m SOOTWETSTWENNO (n > m), NAZYWA@TSQ INTEGRO-DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO f 2 C m ( +) I g 2 C ( +), TO REENIE INTEGRO-DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ SOSTOIT W OTYSKANII FUNKCII y(x) 2 C n ( +), UDOWLETWORQ@]EJ \TOMU URAWNENI@, A TAKVE USLOWIQM TIPA kOI:
R
R
R
y(0) = y0 y (0) = y1 : : : y(n 1) (0) = yn 1: 0
;
;
iSPOLXZUQ DALEE ZAWISIMOSTX MEVDU PROIZWODNYMI W KLASSI^ESKOM SMYSLE I PROIZWODNYMI W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, ISHODNOE URAWNENIE WMESTE S NA^ALXNYMI USLOWIQMI SWODITSQ K URAWNENI@ SWERTOK W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). 0
R
38
114) rEITX INTEGRO-DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE:
Zx
2y + 3y ; (x ; t)y (t)dt = 2 x > 0 00
0
0
0
ESLI y(0) = y (0) = 0. 115) rEITX ZADA^U kOI: 0
y (x) + y(x) = sin x x > 0 y(0) = 0 y (0) = ; 21 : 00
0
rEENIE. pRODOLVAQ NULEM DLQ x < 0 FUNKCII y(x) I sin x, POLU^IM
REGULQRNYE OBOB]ENNYE FUNKCII V = Y (x)y(x) F = Y (x) sin x, GDE Y | FUNKCIQ hEWISAJDA. wY^ISLQQ PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, IMEEM: 2 dV 1 = ; +Yy : dx2 2
R
00
tOGDA POLU^IM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA : 2 d V + V = ; 1 + F: dx2 2
R
iLI, RASSMATRIWAQ EGO KAK URAWNENIE SWERTOK W ALGEBRE D ( +), IMEEM:
d2
0
1 + V = ; + F: dx2 2
o^EWIDNO,
d2
;
1
+ = Y sin x: dx2 tOGDA V = Y sin x (;(1=2) + F ). oTKUDA y(x) = ; 21 x cos x x > 0. 116) rEITX ZADA^U kOI: y (x) ; y(x) = 12 ex x > 0 y(0) = y (0) = 0: 117) rEITX ZADA^U kOI: y ; y = 0 x > 0 y(0) = y (0) = y (0) = 1: 118) rEITX ZADA^U kOI: a) y (x) + k2y(x) = f (x) x > 0 y(0) = y (0) = 0 00
0
000
0
00
00
0
39
B) y + 3y = e 2x x > 0 y(0) = 0 0
;
W) y + 5y + 6y = 12 x > 0 y(0) = 2 y (0) = 0 00
0
0
G) y (x) + 5y(x) + 2z (x) = e x z (x) + 2z (x) + 2y(x) = 0 x > 0 0
;
0
y(0) = 1 z (0) = 0 D) u (x) ; av(x) = f (x) au(x) + v (x) = g(x) x > 0 u(0) = v(0) = 0 f g 2 L1loc( +) a = const: 119) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, NAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). rEENIE. rASSMATRIWAQ URAWNENIE dE dx = , GDE E | ISKOMOE \LEMENTARNOE REENIE ;W D ( +), KAK URAWNENIE SWERTOK W D ( +) : dxd E = , d 1 W D ( ). pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, IMEWIDIM, ^TO E = dx + 1 . iLI, W SILU UPRAVNENIQ 78), EM: 2i (FE ) = 1. oTKUDA FE = v:p: 2i IMEEM: FE = v:p: 21i = FY ; 12 = F (Y ; 1=2): oTKUDA E = Y ;1=2. nO E DOLVNO BYTX IZ D ( +), PO\TOMU E (x) = Y (x). 120) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE, NAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA dxd +1 W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +), A ZATEM REITX URAWNENIE dT + T = F + a , GDE a = const F 2 L1 \ S ( ). + loc dx 0
R
0
0
R R
;
0
R
0
0
R
R RR 0
0
0
|LEMENTARNYE REENIQ NEKOTORYH OPERATOROW W ^ASTNYH PROIZWODNYH S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI.
121) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA kOI-rIMANA:
@ = 1 @ +i @ : @z 2 @x @y rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 43), IMEEM: E (z ) = 1=z S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ ANALITI^ESKOJ W FUNKCII. pRIWEDEM REENIE, ISPOLXZU@]EE PREOBRAZOWANIE fURXE. pRIMENQQ EGO K OBEIM ^ASTQM RAWENSTWA @E=@z = , POLU^IM: i E^ = 1, GDE = + i. oTKUDA E^ = 1=i 2 L1( ). pO\TOMU: Z 1 1 2i(x+y) E (z ) = i e d d = 2
C
C
R
40
8Z2 Z 1 < = i : e 0 0 1
rASSMOTRIM INTEGRAL
A(z ) =
Z2
j j
;
e i e2i z cos( ;
0 2 arg z
Z
i e2i z cos( arg z) d
;
j j
9 =
arg z) d
;
d:
=
;
=
i('+arg z) e2i z cos ' d' =
e
;
arg z
j j
;
Z
2 arg z ;
=e
iarg z
;
e2i z cos ' i'd': j j
;
arg z
;
w SILU PERIODI^NOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, IMEEM: A(z ) = e
;
iarg z
Z2
e2i z cos ' i'd' = e j j
;
iarg z 2 iJ
1 (2
;
0
jz j)
GDE J1 | FUNKCIQ bESSELQ (SM. 7]). pO\TOMU
Z
1
E (z ) = 2e
iarg z
;
0
J1(2jz j)d = 2e
;
iarg z
1 1 = : 2jz j z
R
122) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA W 2. rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 44), IMEEM: p E2(x y) = 21 ln r r = x2 + y2 S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ GARMONI^ESKOJ W 2 FUNKCII. 123) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA W n, GDE n > 3. rEENIE. w SILU UPRAVNENIQ 49), IMEEM: En (x) = ;1=(n;2)!n jxjn 2 n > 3 x 2 n, GDE !n = 2n=2=;(n=2) | PLO]ADX EDINI^NOJ GIPERSFERY W n. w ^ASTNOSTI, PRI n = 3 IMEEM: E (x) = ;1=4jxj x 2 3: uKAVEM WTOROJ SPOSOB REENIQ ZADA^I, ISPOLXZU@]IJ PREOBRAZOWANIE fURXE. pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE K RAWENSTWU En =
R
R R
41
R R
;
R
R
n > 3, IMEEM: ;4j j2(FEn)( ) = 1 2 n. tAK KAK 1=j j2 2 L1loc( n) n > 3, POLU^IM: F (En) = ;1=4j j2. pOLAGAQ W UPRAVNENII 84) n ; k = 2, POLU^IM:
1 p 1 : ; F jxjn 2 ( ) = ( )n 2 ;(1) n 2 ; 2 j j2 oTKUDA En(x) = ;1=!n (n ; 2)jxjn 2 S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ GARMONI^ESKOJ W n FUNKCII. 124) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE WOLNOWOGO OPERATORA 2 2 @ @ 2 a = @t2 ; a @x2 x 2 : 125) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE WOLNOWOGO OPERATORA n 2 2 X @ @ 2 a = @t2 ; a = @x2 : k=1 k
R
;
;
;
;
R
126) nAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI (DIFFUZII): n @2 : @ ; = X @t @x2 k=1 k rEENIE. iSPOLXZUQ PREOBRAZOWANIE fURXE W n+1, IMEEM:
R
RR
(FE )( )(2i + 42 j j2) = 1 ( ) 2
tAK KAK 1=(2i + 42j j2) 2 L1loc(
(FE )( ) =
n+1),
IMEEM:
1 : 2i + 42j j2
n+1 :
fUNKCIQ (FE )( ) OGRANI^ENA NA BESKONE^NOSTI, SLEDOWATELXNO, ONA POROVDAET REGULQRNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ MEDLENNOGO (UMERENNOGO) ROSTA. a PO\TOMU E = F (FE ) ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA. wY^ISLIM E = F (FE ). pREVDE WSEGO, RAWENSTWO (FE )( )(2i + 42j j2) = 1 MOVNO RASSMATRIWATX KAK OBRAZ fURXE OT URAWNENIQ dV + 42j j2V = (t) dt 42
PRI PREOBRAZOWANII fURXE PO t. oTKUDA: V (t) = Y (t)e 4 t. nAJDEM TEPERX PROOBRAZ DLQ V (t) = Vt( ), GDE t RASSMATRIWAETSQ KAK PARAMETR. zAPIEM Vt ( ) W WIDE: 2 j j2
;
Vt( ) = Y (t)e 2 t : dALEE, WpSILU FORMULY F (f (kx)) = k n(Ff )(=k), GDE k POLAGAEM RAWNYM 1=2 t, A f (x) = e x x 2 n, IMEEM: x =4t Y ( t )e Y ( t ) t x=2 = p n n2 : E (t x) = p n e (2 t) ( 4t) 127) pRIMENQQ PREOBRAZOWANIE fURXE PO x, NAJTI \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA @t@ ; a2, GDE | OPERATOR lAPLASA W n. 128) pUSTX n = 2 z = x + iy f 2 C 1(Q) I f = 0 W Q1 = 2 n Q, GDE Q | OBLASTX, OGRANI^ENNAQ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ L S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OBHODA. pOLU^ITX FORMULU: @ (T ) = T f f @f=@z ; cos(~n x) + i cos(~n y )] @z 2 GDE | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ NA L ~n | WNENQQ NORMALX K L. uKAZANIE. fORMULA WYTEKAET IZ UPRAVNENIQ 45). 129) pOLU^ITX INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE W KONE^NOJ OBLASTI Q , OGRANI^ENNOJ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ L, DLQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ W Q FUNKCII f (z ), GDE z = x + iy (FORMULA bORELQ-pOMPE@): f (z) z 2 Q 1 Z f ( )d 1 Z @f d d ; = 0 z 2= Q 2i ; z @z ; z ;
j
p
R
2
j
;
2
j
;
p
;
j
2
;j
N RR
2
j
j
j
L
L
C
L
Q
GDE = + i.
rEENIE. wWEDEM FUNKCI@
f (z) z 2 Q F (z ) = 0 z 2= Q :
tOGDA, W SILU UPRAVNENIQ 128), IMEEM:
@ (T ) = T f F @F=@z ; cos(~n x) + i cos(~n y )] : @z 2 L
43
rASSMATRIWAQ POSLEDNEE RAWENSTWO KAK URAWNENIE SWERTOK:
@ T = T f F @F=@z ; cos(~n x) + i cos(~n y )] @z 2 ; I U^ITYWAQ, ^TO @z@ z1 = , IMEEM: f 1 TF = z T @F@z ; 2 cos(~n x) + i cos(~n y)] : L
L
pOLU^IM TEPERX INTEGRALXNOE PREDSTAWLENIE DLQ PRAWOJ ^ASTI, U^ITYWAQ, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ DEJSTWUET PO FORMULE:
; f2 cos(~n x) + i cos(~n y)] ' = Z Z 1 i = ; f ( )cos(~n x) + i cos(~n y)]'( )ds = f ( )'( )d 2 2 L
C
L
GDE d = d + id ' 2 D( ). iMEEM: Z F (z ) = 21i
L
L
f ( )d ; 1 Z @F d d : ; z @z ; z Q
oTS@DA WYTEKAET FORMULA bORELQ-pOMPE@. N.B. pRI DOPOLNITELXNOJ GIPOTEZE REGULQRNOSTI (GOLOMORFNOSTI) f W Q IZ NEE POLU^AETSQ INTEGRALXNAQ FORMULA kOI: 1 2i
Z f ( )d f (z) z 2 Q ; z = 0 z 2= Q : L
iNTEGRALXNAQ FORMULA kOI WYPOLNQETSQ PRI BOLEE SLABYH OGRANI^ENIQH NA GLADKOSTX FUNKCII f (z ) NA GRANICE OBLASTI Q, ^EM TE, PRI KOTORYH USTANOWLENA FORMULA bORELQ-pOMPE@, A IMENNO: ESLI f (z ) GOLOMORFNA W Q I NEPRERYWNA W Q. 130) pOKAZATX, ^TO W 3 FUNKCII
R
ik x ik x e e E3 (x) = ; 4jxj I E 3(x) = ; 4jxj j
j
;
j
j
QWLQ@TSQ \LEMENTARNYMI REENIQMI OPERATORA gELXMGOLXCA ( + k2), GDE k | POSTOQNNAQ. 44
R
FUNKCIQ E (x) = ; 41x cos kjxj TOVE QWLQETSQ \LEMENTARNYM REENIEM TOGO VE OPERATORA gELXMGOLXCA. 132) iSPOLXZUQ FUNKCII E3(x) I E 3(x), NAJDITE NETRIWIALXNOE REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ gELXMGOLXCA. 133) nAJDITE \LEMENTARNOE REENIE BIGARMONI^ESKOGO OPERATORA , GDE = @x@ + @y@ + @z@ . rEENIE. eSLI h 2 C ( 3), A T 2 D ( 3), TO IMEET MESTO SOOTNOENIE: (hT ) = ht + T h + 2(grad h grad T ), GDE (grad h grad T ) | SKALQRNOE PROIZWEDENIE W 3. tOGDA, POLAGAQ h = 12 r2, GDE r2 = x2 +y2+z 2, A T = ;1=4r | \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA , IMEEM: 131) pOKAZATX, ^TO W
2 2
2 2
3
j
2 2
R
1
R
0
1
j
R
1 1 r2 ; =; : 2 4r 4r oTKUDA E (x y z ) = ;r=8: 134) nAJDITE \LEMENTARNOE REENIE W 2 BIGARMONI^ESKOGO OPERATORA .
R R R
R
RR
oBOB]ENNAQ ZADA^A kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.
w DALXNEJEM TO^KU PROSTRANSTWA n+1 BUDEM OBOZNA^ATX (x t), GDE x = (x1 2 : : : xn ) 2 n t 2 . nAPOMNIM, ^TO MNOVESTWO IZ n+1, SODERVA]EESQ W OBRAZE PRI SDWIGE POLUPROSTRANSTWA f(x t) 2 n+1j t > 0g, NAZYWAETSQ PARABOLI^ESKIM MNOVESTWOM, A WSQKOE MNOVESTWO IZ n+1, SODERVA]EESQ W OBRAZE PRI SDWIGE KONUSA f(x t) 2 n+1j at > jxjg, GDE a2 | KO\FFICIENT, WHODQ]IJ W DALAMBERIAN a = @t@ ;a2 , NAZYWAETSQ GI PERBOLI^ESKIM MNOVESTWOM. iZWESTNO, ^TO MNOVESTWO A OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA n+1 S GIPERBOLI^ESKIMI NOSITELQMI, SNABVENNOE OPERACIEJ SWERTKA, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ, A MNOVESTWO M OBOB]ENNYH FUNKCIJ S PARABOLI^ESKIMI NOSITELQMI QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM NA ALGEBRE A, ILI A ESTX ALGEBRA SWERTO^NYH OPERATOROW NA M. kONUS f(x t) 2 n+1j at > jxjg NAZYWA@T KONUSOM WOLN BUDU]EGO W n+1 u DALAMBERIANA = @ ; a2 n = 1 2 3, SU]ESTWUET I PRITOM a @t n EDINSTWENNOE \LEMENTARNOE REENIE En(x t) S NOSITELEM, SODERVA]IMSQ W KONUSE WOLN BUDU]EGO W n+1. oNO IMEET WID:
R
R
.
2 2
R
R
R
2 2
E1(x t) = 21a Y (at ; x) n = 1 1 pY (at ; jxj) n = 2 E2(x t) = 2a (at)2 ; jxj2 45
R
-
E3(x t) = 4Ya(t2)t S(0 at)(x) n = 3 GDE Y | FUNKCIQ hEWISAJDA, A S(0 at)(x) | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ NA SFERE jxj = at.
R
pOSTANOWKA OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.
R
R R R R R RR RR
pUSTX U0 U1 | ZADANNYE OBOB]ENNYE FUNKCII NA n, A T | ZADANNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NA n+1 S NOSITELEM W POLUPROSTRANSTWE f(x t) 2 n+1j t > 0 x 2 ng. i]ETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ U 2 D ( n+1) S NOSITELEM W UKAZANNOJ POLUPLOSKOSTI, UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@: aU = T + U0 (t) + U1 (t) n = 1 2 3 (1) W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA n+1, GDE SIMWOL OZNA^AET TENZORNOE (PRQMOE) PROIZWEDENIE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. N.B. tAK KAK supp fU0 (t)+U1(t)g nf0g, TO U UDOWLETWORQET URAWNENI@ aU = T W n , GDE = n f0g. rASSMATRIWAQ URAWNENIE (1) KAK URAWNENIE SWERTOK NA M: a U = T + U0 (t) + U1 (t) n = 1 2 3 I ZAME^AQ, ^TO \LEMENTARNOE REENIE En (x t) 2 A, ZAKL@^AEM, ^TO SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNOE REENIE OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI, OPREDELQEMOE FORMULOJ: 0
0
0
0
U = En T + U0 (t) + U1 (t)]: u^ITYWAQ POLEZNYE NA PRAKTIKE FORMULY: 0
(2)
@ E (x t)U (x)] En(x t)U1(t) = En(x t)U1(x) En(x t)U0 (t) = @t n 0 (3) REENIE (2) MOVNO ZAPISATX W WIDE: @ E (x t) U (x)]: U = En T + U1(x)] + @t (4) n 0 N.B. oTMETIM, ^TO En T | SWERTKA PO x I t, A En U1(x) I En U0(x) | SWERTKI PO x. 135) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W 1, ESLI T (x t) = 0, A U = 0 U (x) = (x). 0 1 0
R
46
R
rEENIE. uRAWNENIE (1) NA 2 PRIMET WID:
@ 2U ; a2 @ 2U = (x) (t) @t2 @x2 TO ESTX IMEEM URAWNENIE, OPREDELQ@]EE \LEMENTARNOE REENIE WOLNOWOGO OPERATORA W SLU^AE 1. nAPOMNIM, ^TO RAZMERNOSTX WOLNOWOGO OPERATORA (DALAMBERIANA) OPREDELQETSQ RAZMERNOSTX@ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ. iZWESTNO, ^TO U DALAMBERIANA SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNOE \LEMENTARNOE REENIE W A, TO ESTX NE SU]ESTWUET DRUGIH \LEMENTARNYH REENIJ DAVE W M. pO\TOMU U = E1(x t) = 2a1 Y (at ; jxj). 136) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0 = 0 U1(x) = (x ; x0) PRI t = t0. rEENIE. w USLOWIQH ZADA^I URAWNENIE (1) PRIMET WID: @ 2U ; a2 @ 2U = (x ; x ) (t ; t ): 0 0 @t2 @x2
R
oTKUDA
U = E1(x t) (x ; x0) (t ; t0) = 21a Y (a(t ; t0) ; jx ; x0j):
137) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0 = (x) U1(x) = 0 PRI t = 0. 138) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0 = 0 U1(x) = (x) PRI t = 0. 139) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = (x)!(t), GDE !(t) 2 C (t > 0) !(t) = 0 t < 0, A U0 = (x) U1(x) = (x) PRI t = 0 rEENIE. w USLOWIQH ZADA^I URAWNENIE (1) PRIMET WID: @ 2U ; a2 @ 2U = (x) !(t) + (x) (t) + (x) (t): @t2 @x2 pO\TOMU FORMULA (4) DAET: @ E (x t) (x)] = U = E1(x t) ((x) !(t)) + E1(x t) (x) + @t 1 = E1 (x t) !(t) + E1 (x t) + @ E1(x t): @t 0
0
47
nO
Z 1 Y (at ; jxj) E1(x t) !(t) = 2a Y (at ; jxj) !(t) = !( )d 2a 0 @ 1 1 t x =a ;j
tOGDA
j
@t 2a Y (at ; jxj) = 2 (at ; jxj):
Z 1 1 Y (at ; jxj) ! ( )d + Y (at ; jxj) + (at ; jxj): U (x t) = 2a 2a 2 t x =a ;j
j
0
140) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = (x) Y (t), A U0(x) = (x ; x0) U1(x) = x(x) PRI t = 0. 141) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = 0, A U0(x) = Y (x) U1(x) = Y (x) PRI t = 0. 142) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1, ESLI T (x t) = (x ; 1) Y (t), A U0(x) = x U1(x) = sgn x PRI t = 0. 143) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERp NOSTI 1, ESLI T (x t) = Y (t)tx, A U0 = 0 U1(x) = Y (x)= x PRI t = 0. 144) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1 I POKAZATX, ^TO POLU^ENNOE REENIE QWLQETSQ REENIEM I KLASSI^ESKOJ ZADA^I kOI, ESLI T (x t) = Y (t)(x + t), A U0(x) = ex = const U1(x) = 0 PRI t = 0. 145) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 1 I POKAZATX, ^TO POLU^ENNOE REENIE QWLQETSQ REENIEM I KLASSI^ESKOJ ZADA^I kOI, ESLI T (x t) = Y (t)x2, A U0(x) = cos x U1(x) = cos x PRI t = 0. 146) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 2, ESLI T (x t) = (x) Y (t), A U0(x) = (x) U1(x) = (x) PRI t = 0. 147) rEITX OBOB]ENNU@ ZADA^U kOI DLQ DALAMBERIANA RAZMERNOSTI 3, ESLI T (x t) = (x) Y (t), A U0(x) = (x) U1(x) = (x) PRI t = 0. 48
R RR R R N RR R R R N
oBOB]ENNAQ ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (ILI DIFFUZII).
pUSTX T (x t) | ZADANNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NA n+1 S NOSITELEM W POLUPROSTRANSTWE f(x t) 2 n+1j t > 0 x 2 ng, A U0(x) | ZADANNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NA n. i]ETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ U (x t) S NOSITELEM W UKAZANNOM POLUPROSTRANSTWE, UDOWLETWORQ@]AQ NA n+1 URAWNENI@
@U = a2 U + T (x t) + U (x) (t) n 2 : n @t N.B. pOSKOLXKU supp fU0(x) (t)g n f0g, TO U (x t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ @U=@t = a2U + T W n , GDE = n f0g. iZWESTNO (SM. UPRAVNENIE 126)), ^TO \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI @t@ ; a2n n 2 , IMEET WID: En(x t) = pY (2t) n e x =4a t: ( 4a t)
;j
tOGDA FORMULA
2
j
2
N
U (x t) = En(x t) fT (x t) + U0(x) (t)g = = En(x t) T (x t) + En(x t) U0(x) n 2
(1) DAET EDINSTWENNOE REENIE OBOB]ENNOJ ZADA^I kOI W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, DLQ KOTORYH SU]ESTWU@T SWERTKI, FIGURIRU@]IE W FORMULE (1). N.B. zAMETIM, ^TO W FORMULE (1) PERWAQ SWERTKA OSU]ESTWLQETSQ PO x I t, A WTORAQ | PO x. 148) nAJTI REENIQ OBOB]ENNYH ZADA^ kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI RAZMERNOSTI n n 2 , ESLI:
N
1) T (x t) = 0 A U0(x) = (x) PRI t = 0: 2) T (x t) = 0 A U0(x) = (x ; x0) PRI t = t0 t0 > 0: 3) T (x t) = 0 A U0(x) = @(x)=@xk PRI t = 0: 4) T (x t) = (x) (t) A U0(x) = 0 PRI t = 0: 5) T (x t) = (x)Y (t) A U0(x) = 0 PRI t = 0: 0
49
@(x) (t) A U (x) = 0 PRI t = 0: 0 @xk 7) T (x t) = (x ; x0) Y (t ; t0) A U0(x) = 0 PRI t = 0: 8) T (x t) = (x ; x0) (t) A U0(x) = (x) PRI t = 0: @xk 9) T (x t) = (x) !(t) GDE !(t) 2 C (t > 0) !(t) = 0 PRI t < 0 A U0(x) = 0 PRI t = 0: 6) T (x t) =
0
0
R
gIPO\LLIPTI^NOSTX.
pUSTX X | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, A
@ X C(x)D P x @x = 6m
j
j
N
| LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR PORQDKA m m 2 W ^ASTNYH PROIZWODNYH S KO\FFICIENTAMI IZ KLASSA C (X ), ZADANNYJ NA X . oPERATOR P (x @=@x) NAZYWA@T GIPO\LLIPTI^ESKIM NA X , ESLI DLQ L@BOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA IZ X I WSQKOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII T 2 D (X ) UTWERVDENIE: P (x @=@x)T 2 C () WLE^ET UTWERVDENIE: T 2 C (). w SLU^AE OPERATOROW P (@=@x) = P 6m CD S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI, ESLI SU]ESTWUET \LEMENTARNOE REENIE E (x) IZ KLASSA C NA DOPOLNENII K NA^ALU W n, TO OPERATOR P (@=@x) QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM W n. pRIWEDITE PRIMERY GIPO\LLIPTI^ESKIH OPERATOROW! a TAKVE KONTRPRIMER! 149) pUSTX P1(x @=@x) I P2(x @=@x) | DWA OPERATORA W ^ASTNYH PROIZWODNYH S KO\FFICIENTAMI IZ KLASSA C ( n). pOKAZATX, ^TO ESLI P1 I P2 | GIPO\LLIPTI^ESKIE NA n, TO OPERATOR P1P2 QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM NA n. 150) pUSTX P1(x @=@x) I P2(x @=@x) | DWA OPERATORA W ^ASTNYH PROIZWODNYH S KO\FFICIENTAMI IZ KLASSA C ( n). pOKAZATX, ^TO ESLI P1P2 | GIPO\LLIPTI^ESKIJ NA n, TO OPERATOR P2 QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM NA n. 151) iSPOLXZUQ GIPO\LLIPTI^NOSTX OPERATORA lAPLASA (LEMMA wEJLQ) I UPRAVNENIE 150), POKAZATX, ^TO OPERATOR kOI-rIMANA @=@z = (@=@x + i@=@y)=2 QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM W . 1
0
1
1
R
R R
R
R
j
j
1
R
1
1
R R
C
50
152) pOKAZATX GIPO\LLIPTI^NOSTX OPERATORA kOI-rIMANA, PRIWLEKAQ EGO \LEMENTARNOE REENIE.
R
nX@TONOWY POTENCIALY.
pUSTX E | KAKOE-NIBUDX \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA, A T 2 E ( n), TO ESTX T | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. tOGDA IZWESTNO, ^TO FUNKCIQ U = E T QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ U = T , A SWERTKU U = E T NAZYWA@T POTENCIALOM OBOB]ENNOJ FUNKCII T . nAPOMNIM, ^TO E ESTX FUNKCIQ IZ KLASSA C ( n n f0g). oNA QWLQETSQ SUMMOJ NEKOTOROJ GARMONI^ESKOJ W n FUNKCII (I SLEDOWATELXNO, IZ KLASSA C ( n)) I FUNKCII E0, GDE 0
R R
R
1
1
E0 (x) = ; (n ; 2)1! jxjn 2 n > 3 E0(x) = 21 ln jxj n = 2: n w SLU^AE, KOGDA POTENCIAL U BERETSQ OTNOSITELXNO E0, TO ON NAZYWAETSQ NX@TONOWYM POTENCIALOM, A grad U NAZYWA@T NX@TONOWYM PRITQVENIEM. iME@T MESTO SLEDU@]IE SWOJSTWA. I.eSLI f | FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM, IZMERIMAQ I SU]ESTWENNO OGRANI^ENNAQ, TO EE OB_EMNYJ POTENCIAL U QWLQETSQ FUNKCIEJ KLASSA C ( n), PREDSTAWIMOJ W WIDE: ;
1
R
U (a) =
I
Z
Rn
E0(a ; x)f (x)dx a 2
@ U (a) = Z @ E (a ; x)f (x)dx a 2 0 @ai @a i n
R
R
R
n
R
n
i = 1 2 : : : n:
N.B. 1) wOOB]E GOWORQ, OB_EMNYJ POTENCIAL U NE QWLQETSQ FUNKCIEJ KLASSA C 2( n). 2) eSLI | OTKRYTOE MNOVESTWO, OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W n, A FUNKCIQ g SU]ESTWENNO OGRANI^ENA W I f | PRODOLVENIE FUNKCII g NULEM NA n n , TO f QWLQETSQ FUNKCIEJ, WOOB]E GOWORQ, RAZRYWNOJ NA n. oDNAKO, EE OB_EMNYJ POTENCIAL QWLQETSQ FUNKCIEJ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ NA n, PRI^EM U = g W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA , A TAKVE U = 0 W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA DOPOLNENII DO n. |TI REZULXTATY HOROO IZWESTNY W TEORETI^ESKOJ FIZIKE.
R R R R
R
51
R
pUSTX TEPERX S | GIPERPOWERHNOSTX, KOMPAKTNO PRINADLEVA]AQ n, KLASSA C 1, A | NEPRERYWNAQ (GIPOTEZA NE SU]ESTWENNAQ) FUNKCIQ NA S . pUSTX T = S | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ PROSTOGO SLOQ NA S S PLOTNOSTX@ , KAK IZWESTNO, OPREDELQETSQ FORMULOJ hS 'i := R '(x)(x,)dKOTORAQ S ' 2 D( n). tOGDA: S II.eSLI T = S TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ QWLQETSQ NEPRERYW NOJ FUNKCIEJ NA n OPREDELQEMOJ FORMULOJ
R
R
,
R
-
,
U (a) =
Z
:
E0(a ; x)(x)dSx:
S
N.B. wOOB]E GOWORQ, POTENCIAL PROSTOGO SLOQ NE PRINADLEVIT KLASSU
R
C 1( n).
dALEE, ESLI GIPERPOWERHNOSTX S | ORIENTIRUEMAQ, KOMPAKTNO PRINADLEVA]AQ n, A (x) | NEPRERYWNAQ (GIPOTEZA NE SU]ESTWENNAQ), TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ DWOJNOGO SLOQ: ; @ @ (S ) OPREDELQETSQ PO FORMULE:
R R
R
Z @' @ ; @ (S ) ' := (x) @ (x)dSx ' 2 D( n): S
tOGDA: III.eSLI T = ; @ @ (S ) TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ ESTX FUNKCIQ KLASSA C ( n n S ) OPREDELQEMAQ FORMULOJ 1
,
,
Z @E0 U (a) = @ (a ; x)(x)dSa: :
S
N.B. wOOB]E GOWORQ, POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ U NE PRINADLEVIT KLASSU C ( n). iMEET MESTO PREDSTAWLENIE REENIQ URAWNENIQ pUASSONA U = f ^EREZ POTENCIALY. tEOREMA. pUSTX OTKRYTOE MNOVESTWO KOMPAKTNO PRINADLEVIT n I S | EGO ORIENTIROWANNAQ GRANICA KLASSA C 1. pUSTX U 2 C 2() I UDOWLETWORQET URAWNENI@ U = f W , GDE f 2 C 1(). pUSTX E | KAKOE-NIBUDX \LEMENTARNOE REENIE URAWNENIQ lAPLASA W n. tOGDA DLQ L@BOGO a 2 IMEEM: Z Z Z @E @U U (a) = E (a ; x)f (x)dx ; E (a ; x) @ (x)dSx + @ (a ; x)U (x)dSx:
R
R
S
S
52
R
R
w ^ASTNOSTI, WSQKAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W KLASSA C 2() MOVET BYTX RASSMATRIWAEMA KAK SUMMA POTENCIALOW PROSTOGO I DWOJNOGO SLOQ. 153) w PLOSKOSTI 2 ZADAN SEGMENT I = f(x y) 2 2j y = 0 ;1 6 x 6 1g. wY^ISLITX NX@TONOW POTENCIAL U (x y), SOZDAWAEMYJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ PROSTOGO SLOQ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ = 1, RASPOLOVENNOJ NA I . iZU^ITX NEPRERYWNOSTX U @U=@x @U=@y. rEENIE. iMEEM: 1 Z U (x y) = 4 ln(x ; s)2 + y2]ds = ; 1 + 1 4; x ln(1 ; x)2 + y2]+ 1
1
;
+ 1 + x ln(1 + x)2 + y2] + y arctg 1 ; x + arctg 1 + x 4 2 y y ESLI y 6= 0. a TAKVE
U (x 0) = 21
Z1
;
1
ln js ; xjds = ; 1 + 1 ; x ln j1 ; xj + 1 + x ln j1 + xj: 2 2
R
tEPERX O^EWIDNO, ^TO U (x y) NEPRERYWNA NA 2 n I . oTMETIM NEPRERYWNOSTX U (x 0) DAVE NA SEGMENTE I . iZU^IM TEPERX NX@TONOWSKOE PRITQVENIE. dIFFERENCIRUQ, IMEEM: ESLI y 6= 0, I
@U (x y) = 1 ln (1 + x)2 + y2 @x 4 (1 ; x)2 + y2
@U (x 0) = 1 ln 1 + x : @x 2 1 ; x 2 n f(;1 0) (1 0)g. oTKUDA WIDNO, ^TO @U @x (x y ) NEPRERYWNA NA tEPERX RASSMOTRIM POWEDENIE @U @y (x y ). iMEEM:
R
@U (x y) = 1 arctg 1 + x + arctg 1 ; x @y 2 y y = ;1 1]. a ESLI x 2 ;1 1], ESLI y 6= 0. tOGDA @U @y (x 0) = 0, ESLI y = 0 I x 2 TO @U (x +0) = 1 @U (x ;0) = ; 1 : @y 2 @y 2 53
sLEDOWATELXNO, KOGDA PERESEKAEM NOSITELX OBOB]ENNOJ FUNKCII PROSTOGO SLOQ, TOGDA NORMALXNAQ SOSTAWLQ@]AQ @U=@y NX@TONOWSKOGO PRITQVENIQ grad U TERPIT RAZRYW, RAWNYJ 1. 154) pUSTX W 2 ZADAN SEGMENT I = f(x y) 2 2j y = 0 ;1 6 x 6 1g. rASSMOTRETX ZADA^U IZ UPRAVNENIQ 153), ZAMENQQ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ PROSTOGO SLOQ NA OBOB]ENNU@ FUNKCI@ DWOJNOGO SLOQ S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ = 1.
R
R
54
lITERATURA 1] wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1988. 2] wLADIMIROW w.s., mIHAJLOW w.p. I DR.sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1974. 3] kE^ w., tEODORESKU p. wWEDENIE W TEORI@ OBOB]ENNYH FUNKCIJ S PRILOVENIQMI W TEHNIKE. m.: mIR, 1978. 4] kOME^ a.i. pRAKTI^ESKOE REENIE URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: mgu, 1993. 5] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX I. kAZANX: kgu, 1986. 6] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX II. kAZANX: kgu, 1987. 7] tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1977.
55