Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока: методические указания к выпоолнению РГЗ для студентов вечернего факультета

Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической и общей электротехники

Н.И.Усенков В.Н.Трубникова

Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока Методические указания для студентов вечернего факультета

к

выполнению

РГЗ

Оренбург 2000

3

ББК 31.211(Я7) У 74 УДК621.3.01.(07)

Введение Целью расчета цепей синусоидального тока является определение напряжений, токов и мощностей (активных и реактивных) в ветвях электрической цепи. Во многих случаях требуется найти не только значения токов и напряжений, но и сдвиги фаз между ними. Для анализа и расчета цепей синусоидального тока наиболее удобен символический метод, основанный на использовании алгебры комплексных чисел.

1 Основные сведения о символическом методе При использовании символического метода действия с синусоидальными функциями токов и напряжений в ветвях электрической цепи заменяются действиями с комплексными числами, изображающими эти функции. Используются следующие основные положения. Любой вектор A , изображённый на комплексной плоскости, независимо +j от его физического значения, можно А разложить на составляющие A' и A' ' , А’’ направленные по двум осям прямоугольной системы координат (рисунок 1). Ось абсцисс при символическом _ 1 А’ +1 изображении векторов называют осью вещественных (действительных) вели_j чин, а ось ординат – осью мнимых величин, причем, составляющую вектора Рисунок 1 по мнимой оси выделяют посредством особого множителя (символа мнимой единицы j ). Тогда вектор A можно аналитически выразить комплексным числом: A = A' + j ⋅ A' ' . (1) Различают три формы записи комплексного числа. Рассмотрим рисунок 2, на котором изображены три одинаковых по абсолютной величине отрезка, но расположенных различным образом на комплексной плоскости. Отрезок 1 может быть описан с помощью комплексных выражений одним из следующих способов: А = А′ + jА′′ = А(cos α + j sin α ) , (2) первая форма записи называется алгебраической, вторая – тригонометрической. На основании формулы Эйлера: cos α + j sin α = e jα получают по4

казательную форму записи комплексного числа А = A ⋅ e jα . Здесь: +j А А = А = ( А′)2 + ( А′′)2 – модуль ком2 плексного числа А ; ,, А α = arg A = arctg A′′ A′ – аргумент ком1 плексного числа А ; А′ = Re ( А ) – действительная (реальная) >0 _

1 0

<0

_ ,, А

3 _j Рисунок 2

часть комплексного числа А ; А’ +1 А′′ = Im ( А ) – коэффициент при мнимой части комплексного числа А . Модуль комплексного числа определяет длину вектора, изображающего это число, а аргумент – положение вектора относительно оси действительных величин.

Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком, называются сопряженными (отрезки 1 и 3 на рисунке 2): А = А′ + jА′′ = А(cos α + j sin α ) = A ⋅ e jα , (3) * А = А′ − jА′′ = А(cos α − j sin α ) = A ⋅ e − jα . Отрезок 2 (рисунок 2) может быть описан в комплексной форме следующим образом: (4) А ⋅ е jγ = A ⋅ e j (α + β ) = A ⋅ e jα ⋅ e jβ . Отсюда следует, что умножение комплексного числа на множитель типа e ± jβ равнозначно повороту отрезка (вектора) на комплексной плоскости на угол ± β . Поэтому множитель e ± jβ называется поворотным. В частном случае, когда β = π , т.е. когда поворот вектора осуществляется 2 на угол ± π , из формулы Эйлера следует: 2 ± jπ

(5) ± j sin π = ± j . 2 2 Таким образом, умножение комплексного числа на множитель ± j е

2

= cos π

означает поворот соответствующего вектора на угол ± π . Если аргумент 2 поворотного множителя сделать функцией времени, например, β = ω ⋅ t , то вектор, будучи умноженным, на множитель вращения e jωt , превратится во вращающийся с угловой скоростью ω радиус-вектор, а выражение 5

А ⋅ е j (ωt +α ) = A ⋅ e jα ⋅ e jωt называется комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением и свидетельствует о том, что вектор А вращается вокруг начала координат, начиная от исходного положения 1 (см. рисунок 2). Производная от комплексной функции времени d d A ⋅ e jα ⋅ e jωt = jωA ⋅ e jα ⋅ e jωt = jωA ⋅ e j (ωt +α ) . A ⋅ e j (ωt +α ) = (6) dt dt Интеграл от комплексной функции времени 1 1 A ⋅ e j (ωt +α ) dt = A ⋅ e jα ⋅ e jωt dt = A ⋅ e jα ⋅ e jωt = A ⋅ e j (ωt +α ) . (7) jω jω Следовательно, дифференцирование и интегрирование функцией времени в символической форме заменяют умножением или делением на jω исходных комплексных функций. Это обстоятельство позволяет алгебраизировать интегро-дифференциальные уравнения и существенно упростить расчеты. Если теперь изложенные математические основы символического метода перевести на “электротехнический язык”, то применительно к напряжению получим (рисунок 3): – комплексное напряжение (8) U = U m ⋅ e jψ ⋅ e jωt = U& m ⋅ e jωt , j ψ где U& m = U m ⋅ e – комплексная амплитуда напряжения (исходное поло-

[

]

∫

[

]

∫

жение вектора на комплексной плоскости). – мгновенное значение напряжения u = Im U& m ⋅ e jωt = Im U m ⋅ e jψ ⋅ e jωt = Im U m ⋅ e j (ωt +ψ ) = (9) = Im[U m cos(ωt + ψ ) + jU m sin(ωt + ψ )] = U m sin(ωt + ψ ) Таким образом, мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) являются мнимой частью Im комj t j плексной функции времени (9). Сле,, + Um e U довательно, если имеем комплексное действующее напряжение (ток, ЭДС) и хотим получить выражение для t+ ,, мгновенного значения, то нужно Um U1 предварительно заданный комплекс t 2 (получим комумножить на плексную амплитуду), а затем умно_ +1 1 0 U’ U’1 жить его на e jωt (получим комплекс_j ную функцию времени) и взять от полученного комплекса мнимую Рисунок 3 часть. Замечание – В электротехнике принято над комплексными ампли-

[

6

]

[

]

[

]

тудами и комплексами действующих значений синусоидальных величин ставить точку. Иногда точки не ставят, но символы этих величин набирают “жирным шрифтом”. Пример 1.1

π

j Дано: U& = 100 ⋅ e

[

u = Im 2 ⋅ U& ⋅ e jωt

]

2,

тогда мгновенное значение напряжения: jπ j (ωt +π )     2 = = Im 2 ⋅ 100 ⋅ e 2 ⋅ e jωt  = Im141 ⋅ e     = 141 sin ωt + π 2

(

)

Пример 1.2 Дано: u = 100 sin ωt − 30 0 , тогда комплексная амплитуда напряже-

(

)

ния 0

U& m = 100 ⋅ e − j 30 и комплекс действующего значения напряжения 0 100 − j 300 U& = ⋅e = 70,7 ⋅ e − j 30 . 2

2 Закон Ома в комплексной форме Рассмотрим участок цепи, содержащий: активное сопротивление R , индуктивное Х L и емкостное Х C , по которому протекает синусоидальный ток I& (рисунок 4,а): R

U

XL

UR

UL

XL< XC UL UC

XC

I U a)

+2

UR

I _

UL_UC б)

2

UC

Рисунок 4 Вектор напряжения U& на зажимах этого участка /1/ получается в результате сложения вектора U& R = R ⋅ I& , совпадающего по направлению с вектором I& , вектора U& L = jX L ⋅ I& , опережающего вектор I& на π и векто2 ра U& С = − jX С ⋅ I& , отстающего от вектора I& на π (рисунок 4,б): 2 & & & & U = R ⋅ I + jX L ⋅ I − jX C ⋅ I = [R + j ( X L − X C )] ⋅ I& , (10) Откуда

7

U& U& = . (11) R + j( X L − X C ) Z Полученное выражение представляет собой закон Ома для участка цепи, записанный в символической форме. Величина Z = R + j ( X L − X C ) – есть полное сопротивление участка цепи, выраженное в символической форме (здесь Х L < X C ). Как всякое комплексное число, полное сопротивление Z может быть представлено в показательной форме: ϕ (12) Z = Z ⋅ e− j , I& =

Модуль этого числа Z = R 2 + X 2 определяет величину полного сопротивления участка. Запишем полную проводимость участка цепи в комплексной форме: (R + jX ) (R + jX ) = I& 1 1 Y= = = = = 2 U& Z R − jX (R − jX )(R + jX ) R + X 2 (13) R X = 2 + j 2 = G + jB , Z Z где R 2 = G – активная проводимость, См; Z X = B – реактивная проводимость, См. Z2

3 Законы Кирхгофа в комплексной форме В любой узловой точке электрической цепи для мгновенных значений тока выполняется условие /1, 2/: ik = 0 (14) В символическое форме этому соотношению, выражающему первый закон Кирхгофа, соответствует уравнение: I&k = 0 (14*) В любом контуре электрической цепи для мгновенных значений ЭДС и напряжений соблюдается соотношение

∑

∑

n

m

∑ ek = ∑ u l , k =1

(15)

l =1

выражающее второй закон Кирхгофа. При синусоидальных ЭДС и символической форме записи, этому соотношению соответствует уравнение: m

∑ k =1

E& k =

n

∑ l =1

U& l =

n

∑ Z l ⋅ I&l .

(15*)

l =1

Комплексные ЭДС E& , напряжения U& и токи I& должны входить в уравнение (15*) со знаком “+”, если принятые положительные направления этих величин совпадают с произвольно выбранными направлениями обхо8

да контура и со знаком “–”, когда эти направления противоположны.

4 Выражение комплексной форме

мощности

синусоидального

тока

в

При умножении напряжения на комплексное выражение тока получаем комплексное выражение полной мощности: * ~ S = U& ⋅ I = U ⋅ e jψ u ⋅ I ⋅ e − jψ i = U ⋅ I ⋅ e j (ψ u −ψ i ) = U ⋅ I ⋅ e jϕ = (16) = U ⋅ I ⋅ cos ϕ + jU ⋅ I ⋅ sin ϕ = P + jQ . *

Действительная часть произведения U& ⋅ I определяет активную мощность Р , а мнимая часть (без множителя j ) – реактивную мощность Q . Знак мнимой части определяется характером нагрузки, при индуктивной нагрузке ( Х L > X C ) мнимая часть получается со знаком “+”, при емкостной ( Х L < X C ) – со знаком “-“ /2/. Модуль S = P 2 + Q 2 , равный произведению U ⋅ I определяет полную мощность цепи. Пример 4.1. Рассчитать символическим методом цепь синусоидального тока, изображенную на рисунке 5,а. R

XL +j R1 Uэкв

U

XL1 I1

I a)

I2

R2

XC3

U

0 ψ

1

I

I3 _j

I1

I2

Uэкв

+ U _ Uэкв

I3 б)

Рисунок 5 Параметры цепи: U = 268 В, R = 0,8 Ом, R1 = 3 Ом, R2 = 12,5 Ом; Х L = 1,6 Ом, Х L1 = 4 Ом, Х С 3 = 16,7 Ом. Решение: Определяем эквивалентное сопротивление разветвленного участка цепи:

1 Z экв

=

1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = + 0,08 + Z 1 Z 2 Z 3 3 + j 4 12,5 − j16,7 5 ⋅ е j 53,130

9

+

1 16,7 ⋅ e − j 90

0

0

0

= 0,2 ⋅ e − j 53,13 + 0,08 + 0,06 ⋅ e j 90 = 0,12 − j 0,16 + 0,08 + j 0,06 = 0

= 0,2 − j 0,1 = 0,22 ⋅ е − j 26,59 ; 1 j 26,590 Z экв = = 4 , 471 ⋅ e = 3,998 + j 2 . − j 270 0,22 ⋅ е Находим общее сопротивление всей цепи: 0

Z = R + jX L + Z экв = 0,8 + j1,6 + 3,998 + j 2 = 4,798 + j 3,6 = 6 ⋅ e j 36,89 .

Ток в неразветвленной части цепи по закону Ома: U& 268 − j 36,890 I& = = = 44 , 672 ⋅ e = 35,727 − j 26,817 А, Z& 6 ⋅ e j 36,890 I& = 44,672 А.. Напряжение на зажимах разветвленной части схемы: 0 0 0 0 U& экв = Z экв ⋅ I& = 4,471 ⋅ e j 26,59 ⋅ 44,672 ⋅ e − j 36,89 = 199,73 ⋅ e j (26,59 −36,89 ) = 0

= 199,73 ⋅ e − j10,3 = 196,517 − j 35,71 В, U& экв = 199,73 В.

Выражаем токи в параллельных ветвях схемы: & экв 199,73 ⋅ e − j10,30 U j ( −10,30 −53,130 ) − j 63, 430 I&1 = = = 39 , 946 ⋅ e = 39 , 946 ⋅ e = j 53,130 Z1 5⋅e = 17,868 − j 35,727 А, I&1 = 39,946 А.

& экв 199,73 ⋅ e − j10,30 0 U I&2 = = = 15,978 ⋅ е − j10,3 = 15,721 − j 2,857 А, Z2 12,5 I&2 = 15,978 А. & экв 199,73 ⋅ e − j10,30 U j ( −10,30 +900 ) j 79,70 I&3 = = = 11 , 96 ⋅ e = 12 , 2 ⋅ e = − j 900 Z3 16,7 ⋅ e = 2,138 + j11,767 А, I&3 = 11,96 А. Проверяем правильность расчета: на основании 1-го закона Кирхгофа (14*): I& = I&1 + I&2 + I&3 = 17,868 − j 35,727 + 15,721 − j 2,857 + 2,138 + j11,767 = 0

= 35,727 − j 26,817 = 44,672 ⋅ e − j 36,89 А

10

Полная мощность цепи: * ~ S = U& ⋅ I = 268 ⋅ 44,672 ⋅ е j 36,89 = 11972,096 ⋅ е j 36,89 = 9575 + j 7186,6 ВА, откуда: P = 9,575 кВт – активная мощность; Q = 7,1866 квар – реактивная мощность. Векторную диаграмму токов (рисунок 5,б) строят на основании первого закона Кирхгофа I& = I&1 + I&2 + I&3 . В комплексной плоскости, в выбранном масштабе, строят вектор тока I&1 , начальная фаза которого ψ 1 = −63,43 0 , длина вектора I& = 39 ,946 , из конца вектора тока I&1 строят 1

вектора тока I&2 с начальной фазой ψ 2 = −10 ,30 и длиной I&2 = 15,978 , аналогично строят вектор тока I&3 . Соединив полученную точку с началом координат получают вектор тока I& . Векторная диаграмма напряжений представляет собой разность векторов общего напряжения U& схемы и вектора напряжения на зажимах разветвленной части схемы U& экв . Из начала координат откладывают вектор напряжения U& , совпадающего с действительной осью комплексной плоскости, т.к. начальная фаза его равна нулю. Также из начала координат откладывают вектор напряжения U& экв начальная фаза которого ψ 2 = −10,30 . Вектор, полученный в результате разности векторов, представляет собой вектор напряжения на неразветвленном участке схемы.

5 Пример выполнения задания

Исходные данные: U = 120 В; f = 50 Гц; L1 = 12,75 мГн; R2 = 6 Ом; L2 = 25,5 мГн; R3 = 5 Ом; C3 = 636 мкФ. 1

L1

2* * W

U

C3 R2

a

V

L2

b R3

3

Рисунок 6 1 Определить неизвестные токи в ветвях заданной схемы (рисунок 6) и напряжения на ее элементах символическим методом. 2 Составить уравнение баланса мощностей для данной схемы и про-

11

верить его соблюдение. 3 Записать мгновенное значение токов в ветвях и напряжений на элементах цепи. 4 Построить векторную диаграмму токов и топографическую векторную диаграмму напряжений на одной комплексной плоскости. 5 Определить показание вольтметра и сравнить его с соответствующим вектором напряжения на топографической векторной диаграмме. 6 Определить показания ваттметра и указать мощность какого участка цепи он измеряет. Выполнение задания 1 Исключив из исходной схемы измерительные приборы: вольтметр V и ваттметр W , заменим элементы схемы их комплексными сопротивлениями (рисунок 7). Индуктивное и емкостное сопротивления схемы: X L1 = ω ⋅ L1 = 2πfL1 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 12,75 ⋅ 10 −3 = 4,006 Ом,

X L 2 = ω ⋅ L2 = 2πfL2 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 25,5 ⋅ 10 −3 = 8,011 Ом, 1 1 1 X C3 = = = = 5,005 Ом. ω ⋅ C3 2πfC3 2π ⋅ 50 ⋅ 636 ⋅ 10 −6 1

U

Z1

2

I1 Z2 I3

I2

Z3

3

Рисунок 7 Комплекс полного электрического сопротивления ветвей схемы: 0 Z 1 = R1 + jX L1 = 0 + j 4,006 = j 4,006 Ом, Z 1 = 4,006 ⋅ e j 90 Ом;

Z 2 = R2 + jX L 2 = 6 + j8,011 Ом, Z 3 = R3 − jX C 3 = 5 − j 5,005 Ом,

0

Z 2 = 10,009 ⋅ е j 53,168 Ом; 0

Z 3 = 7,075 ⋅ е − j 45,028 Ом. Комплекс полного электрического сопротивления схемы (входное сопротивление): Z ⋅Z (R + jX L 2 ) ⋅ (R3 − jX C 3 ) Z вх = Z 1 + 2 3 = jX L1 + 2 = (R2 + jX L 2 ) + (R3 − jX C 3 ) Z2 + Z3 (6 + j8) ⋅ (5 − j5) = 6,161 + j3,233 = 6,958 ⋅ е j 27,6890 Ом. = j4 + (6 + j8) + (5 − j5)

12

Общий комплексный ток в цепи: 120 120 ⋅ (6,161 − j 3,233) U& = = I&1 = = Z вх 6,161 + j 3,233 (6,161 + j 3,233) ⋅ (6,161 − j 3,233) 0

= 15,271 − j8,014 = 17,246 ⋅ е − j 27,689 А. Комплексное напряжение U& 23 Комплекс полного напряжения U& есть сумма комплексных напряжений на элементах схемы U& 1 + U& 23 , тогда: U& 23 = U& − U& 1 = U& − I&1 ⋅ jX L1 = 120 − 17,246 ⋅ j 4,006 = 0

= 87,9 − j 61,17 = 107,089 ⋅ e − j 34,834 В. Комплексные токи в параллельных ветвях: & 23 107,089 ⋅ e − j 34,8340 107,089 j ( −34,8340 −53,168) U = I&2 = = ⋅e = j 53,1680 Z2 10 , 009 10,009 ⋅ e = 10,699 ⋅ e − j 88,002 = 0,373 − j10,693 А.

& 23 107,089 ⋅ e − j 34,8340 107,089 j ( −34,8340 + 45,028) U = I&3 = = ⋅e = 0 Z3 7,075 7,075 ⋅ e − j 45,028 = 15,137 ⋅ e j10,194 = 14,898 + j 2,679 А. Комплексные напряжения на отдельных участках 0 0 U& L1 = jX L1 ⋅ I1 = 4,006 ⋅ e j 90 ⋅ 17,246 ⋅ e − j 27,689 = 0

= 69,081 ⋅ e j 62,311 = 32,1 + j 61,17 В, 0

0

U& R 2 = R2 ⋅ I 2 = 6 ⋅ 10,699 ⋅ e − j 88,002 = 64,197 ⋅ e − j 88,002 = 2,238 − j 64,158 В, 0

0

U& L 2 = jX L 2 ⋅ I 2 = 8,011 ⋅ e j 90 ⋅ 10,699 ⋅ e − j 88,002 = 0

= 85,714 ⋅ e j1,998 = 85,662 + j 2,988 В, 0

0

U& С 3 = jX С 3 ⋅ I 3 = 5,005 ⋅ e − j 90 ⋅ 15,137 ⋅ e j10,194 = 0

= 75,76 ⋅ e − j 79,806 = 13,408 − j 74,565 В, 0

0

U& R 3 = R3 ⋅ I 3 = 5 ⋅ 15,137 ⋅ e j10,194 = 75,687 ⋅ e j10,194 = 74,492 + j13,395 В.

2 Составить уравнение баланса мощностей для данной схемы и проверить его соблюдение Комплексная полная мощность цепи: * ~ S = U& 13 ⋅ I 1 = 120 ⋅ 17 ,246 ⋅ e − j 27 ,689 = 1,833 ⋅ 10 3 + j 961,682 , откуда: активная мощность источника Pист = 1,833 ⋅ 10 3 Вт; реактивная мощность источника Qист = j 961,682 вар.

13

Активная мощность потребителей цепи: 2

2

Pпот = I 2 ⋅ R2 + I 3 ⋅ R3 = 10 ,699 2 ⋅ 6 + 15,137 2 ⋅ 5 = 1,833 ⋅ 10 3 Вт Реактивная мощность потребителей цепи: 2

2

0

2

Qпот = I1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX L 2 + I 3 ⋅ ( − jX C 3 ) = 17 ,246 2 ⋅ 4 ,006 ⋅ e j 90 + 0

0

+ 10,699 2 ⋅ 8,011 ⋅ е j 90 + 15,137 2 ⋅ 5,005 ⋅ е − j 90 = j1,191 ⋅ 10 3 +

+ j 917 ,092 − j1,147 ⋅ 10 3 = j 961,682 3 Записать мгновенные значения токов в ветвях и напряжений на элементах цепи. Мгновенные значения токов в ветвях схемы i1 = I1 ⋅ 2 sin( ωt + ψ i1 ) = 24,39 sin( 314t − 27 ,689 ) А; i2 = I 2 ⋅ 2 sin( ωt + ψ i2 ) = 15,131 sin( 314t − 88,002 ) А; i3 = I 3 ⋅ 2 sin( ωt + ψ i1 ) = 21,407 sin( 314t + 10 ,194 ) А. Мгновенные значения напряжений на участках схемы Комплексное напряжение на участке 1-2 соответствует комплексному напряжению на катушке индуктивности:U& 12 = U& L1 . u12 = U L1 ⋅ 2 sin(ωt + ψ U L1 ) = 97,695 sin(314t + 62,311) В; u 23 = U 23 ⋅ 2 sin( ωt + ψ U 23 ) = 151,447 sin( 314t − 34 ,834 ) В.

4 Построить векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений на одной комплексной плоскости. Построение векторной диаграммы токов рассмотрено выше в примере 4.1. Построения топографической диаграммы напряжений для данной схемы начинают с построения вектора напряжения на катушке индуктивности U L1 в соответствии с взаимным положением вектора тока и напряжения на этом участке. Из полученной точки откладывают два вектора напряжения U R 2 и U C 3 . Из конца вектора напряжения U R 2 откладывают вектор напряжения U L 2 , а из конца вектора U C 3 – вектор напряжения U R 3 . Два последних вектора сходятся в одной точке плоскости, соединив полученную точку с началом координат получают вектор напряжения, приложенного к зажимам схемы (рисунок 8). 5 Определить показания вольтметра, включенного между точками “а” и “b” цепи

14

+j UL1 UR 2

UC3

I3 U

0

UL2 I1

+1

UR 3 I2

Рисунок 8 Выделим на заданной схеме контур а–3–b–а (рисунок 9). На основании второго закона Кирхгофа для выбранного контура запишем уравнение: U& ab + R3 I&3 − jX L 2 I&2 = 0 , откуда 0 0 0 U& ab = − R3 I&3 + jX L 2 I&2 = −5 ⋅ 15,137 ⋅ e j10 ,194 + 8,011 ⋅ e j 90 ⋅ 10 ,699 ⋅ e − j 88 ,002 = 0

0

= −75,687 ⋅ e j10 ,194 + 85,714 ⋅ e j1,998 = −74 ,492 − j13,395 + 85,662 + j 2 ,998 = 0

I2 a

Uab

b

I3

= 11,17 − j10 ,407 = 15,267 ⋅ e − j 42 ,974 В. Вольтметр показывает действующее значение комплексного напряжения U ab , которое равно его модулю, т.е. 15,267 В.

6 Определить показания ваттметра

Ваттметр имеет две обмотки: токовую (послеR3 довательную) и обмотку напряжения (параллельjXL2 ную). Начала обмоток обозначены звездочками и называются «генераторными зажимами». Положи3 тельное показание ваттметра соответствует протеканию потока мощности со стороны его генераторРисунок 9 ных зажимов. Для схемы (рисунок 6) ваттметр показывает активную мощность равную произведению модуля комплексного тока во второй ветви I&2 , модуля комплексного напряжения на зажимах U 23 и косинуса угла сдвига фаз между током и напряжением: Pw = U& 23 ⋅ I&2 ⋅ cos ϕ = 107 ,089 ⋅ 10 ,699 ⋅ cos(− 34 ,834 + 88,002 ) = 686 ,869 Вт.

15

Список использованных источников 1 Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 247 с. 2 Сборник задач по электротехнике и основам электроники /Под ред. В.С.Пантюшина. – М.: Высшая школа, 1979. – 183 с. 3 Общая электротехника /Под ред. А.Т.Блажкина. – М.: Высшая школа, 1983. – 365 с 4 Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: «СК Пресс», 1997. – 336 с.

16

Приложение А Задание начального индекса первого элемента массива

Производится набором с клавиатуры слова ORIGIN. Знак присвоения «:=» набирается «мышью» с наборной панели арифметических операторов на экране монитора или клавишей «:» (двоеточие) с клавиатуры. ORIGIN:=1 Задание параметров элементов цепи

Задание параметров начинают с буквенного обозначения параметра. Затем следует присвоение числового значения. При наборе десятичных дробей знак, разделяющий целую и дробную части набирается с наборной панели на экране монитора клавишей «.» (точка). Показатель степени (верхний индекс) набирается также с наборной панели, в зависимости от показателя степени, либо клавишей «ху», либо клавишей «х2». U:=120

L1:=12.75·10-3

R2:=6

f:=50

L2:=25.5·10-3

R3:=5

С3:=636·10-6

Определение реактивных сопротивлений элементов цепи

Используя формулу ω=2πf задаем формулы для определения реактивных сопротивлений. Число π задается с наборной панели на экране монитора. Для вывода результатов вычислений необходимо, чуть ниже расчетной формулы, набрать буквенное обозначение определяемой величины и поставить знак равенства с наборной панели или клавиатуры. 1 XC3 := XL1:=2·π·f·L1 XL2:=2·π·f·L2 2 ⋅ р ⋅ f ⋅ C3 XL=4.006 XL2=8.011 XC3=5.005 Определение полных электрических сопротивлений ветвей цепи

Полное электрическое сопротивление ветви задается как сумма активных и реактивных сопротивлений элементов ветви. Причем операция умножения величины реактивного сопротивления на мнимую единицу производится с оператора на экране монитора клавишей «i». Z1:=i·XL1 Z2:=R2+i·XL2 Z3:=R3-i·XC3 Z1=4.006i Z2=6+8.011i Z3=5-5.005i Определение полного (входное сопротивление)

Zвх := Z1 +

Z2 ⋅ Z3 Z2 + Z3

электрического

сопротивления

цепи

Zвх=6.161+3.233i

17

Определение комплексного тока в неразветвленной части цепи

I1 :=

U Zвх

I1=15.271-8.014i

Определение комплексного напряжения на зажимах 2-3

U23:=U-Z1·I1

U23=87.9-61.17i

Определение токов в параллельных ветвях цепи

U23 Z2 U23 I3 := Z3

I2 :=

I2=0.373-10.693i I3=14.898+2.679i

Определение комплексных напряжений на отдельных элементах схемы

UL1:=I1·i·XL1 UR2:=I2·R2 UL2:=I2·i·XL2 UC3:=I3·(-i·XC3) UR3:=I3·R3

UL1=32.1+61.17i UR2=2.238-64.158i UL2=85.662+2.988i UC3=13.408-74.565i UR3=74.492+13.395i

Определение максимальных (амплитудных) значений синусоидально изменяющихся величин

При определении амплитудных значений используются модули определяемых величин, знак модуля, как и знак квадратного корня, набирают с панели арифметических операторов клавишами «| |» и « ». I1max:=|I1|· 2 I2max:=|I2|· 2 I3max:=|I3|· 2 UL1max:=|UL1|· UR2max:=|UR2|· UL2max:=|UL2|· UC3max:=|UC3|· UR3max:=|UR3|·

I1max=24.39 I2max=15.131 I3max=21.407 2 UL1max=97.695 2 UR2max=90.788 2 UL2max=121.218 2 UC3max=107.141 2 UR3max=107.037

Определение начальных фаз синусоидально изменяющихся величин

Обозначать начальные фазы можно как латинскими (с клавиатуры), так и греческими (с оператора греческих букв и символов) буквами. Начальная фаза является аргументом комплексного числа, поэтому формула ее определения имеет вид шI:= arg(I) . Необходимо знать, что для получе-

18

ния результата вычисления начальной фазы в градусах, в формулу вводят множитель 180/π (для перевода из радианой меры измерения угла). 180 шI1:= arg(I1) ⋅ шI1= -27.689 р 180 шI2:= arg(I2) ⋅ шI2 = -88.002 р 180 шI3:= arg(I3) ⋅ шI3 = 10.194 р 180 шUL1= 62.311 шUL1:= arg(UL1) ⋅ р 180 шUR2 = -88.002 шUR2:= arg(UR2) ⋅ р 180 шUL2 = 1.998 шUL2:= arg(UL2) ⋅ р 180 шUC3:= arg(UС3) ⋅ шUC3=-79.806 р 180 шUR3 = 10.194 шUR3:= arg(UR3) ⋅ р Баланс мощностей

Для проверки правильности расчета схемы составляют уравнения, определяющие мощность источников энергии и приемников схемы. В уравнении мощности источников сопряженный комплекс тока задается комбинацией клавиш «Shift»+«Э». Sist:=U· I1 Sist=1.833·103+961.682i P:=(|I2|)2·R2+(|I3|)2·R3 P=1.833·103 Q:=(|I1|)2·i·XL1+(|I2|)2·i·XL2+(|I3|)2·(-i·XC3) Q=961.682i Определение показаний вольтметра

Uab:=I2·i·XL2-I3·R3 Uab=11.17-10.407i |Uab|=15.267 180 шUab = -42.974 шUab:= arg(Uab) ⋅ р Определение показания ваттметра

U23:=I2·Z2

U23=87.9-61.17i

ϕ := шU23− шI2 р   Pw:=|U23|·|I2|·cos  ϕ ⋅   180  Pw1:=Re(U23· I2 )

шU23:= arg(U23) ⋅

ϕ = 53.168

180 р

Pw=686.869 Pw1=686.869 19