Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента: Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: С.П. Зубова, И.Н. Гурова, М.И. Каменский, Е.В. Раецкая

Воронеж 2007

2

Утверждено научно-методическим советом математического факультета, протокол №7 от 08.02.2007 г.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов второго курса дневного отделения в помощь при изучении вопросов дифференциального исчисления отображений, действующих в конечномерных пространствах. Для специальности: 010101 (010100) — Математика и направления: 010200 (510200) — Математика. Прикладная математика.

3

Для векторных функций векторного аргумента, то есть для отображений Rn → Rm , производные могут вводиться различными способами. В настоящем пособии рассматриваются: производная по направлению, производные и дифференциалы Фреше, Гато, частные производные. Устанавливаются связи между их существованием и между ними. Приводятся примеры, иллюстрирующие свойства различных производных и дифференциалов. Выводятся формулы для их нахождения.

Обозначения ∃ — существует, найдется; ∀ — любой, каждый; для любого, для всякого; ∈ — принадлежит; ⊂ — вложено; e — предположим противное; (?!) — противоречие; P → Q — из соотношения P следует выполнение свойства Q; P À Q — P справедливо тогда и только тогда, когда выполняется условие Q; (a) P → Q — из P следует Q из соотношения (a); def

P → Q — из P следует Q по определению; T P → Q — из P следует Q по теореме; P ∧ Q — свойства P и Q выполняются одновременно; {x| P } — совокупность {x}, обладающих свойством P ; R1 = R — множество действительных чисел; R+ = {x ∈ R| x > 0}; Rn = {x| sx = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}; n P x2i ; kxkn = hx, yi =

i=1 n P

i=1

xi yi , если x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn );

f : G → F — отображение, действующее из G в F ; f (·) — значение отображения f на элементе (·); L(Rn , Rm ) — пространство линейных операторов, действующих из Rn в Rm ; kAkn→m — норма оператора, действующего из Rn в Rm . Для удобства отдельные высказывания, содержащие логические символы, заключаются в скобки.

4

Конец доказательства будем помечать значком N. Мы будем рассматривать отображения f : G → Rm , где G ⊂ Rn . Всюду в дальнейшем будем предполагать, что G — открытое множество.

§1. 1.

Дифференциал Фреше. Производная Фреше Определения. Примеры

Пусть для x ∈ G существует линейный оператор A(x) ∈ L(Rn , Rm ), такой, что при всех h ∈ Rn , удовлетворяющих условию h + x ∈ G, имеет место равенство f (x + h) − f (x) = A(x)h + ω(x, h), (1) где

kω(x, h)km → 0 при khkn → 0. khkn

(2)

Тогда отображение f называется дифференцируемым по Фреше (или просто дифференцируемым) в точке x. Значение оператора A(x) на элементе h называют дифференциалом Фреше (или просто дифференциалом) отображения f в точке x и обозначают df (x) или df (x, h) (очевидно, что дифференциал отображения зависит и от точки x и от приращения h). Оператор A(x) называют производной Фреше (или производной) отображения f в точке x и обозначают f 0 (x). Таким образом, f (x + h) − f (x) = df (x, h) + ω(x, h) и df (x, h) = f 0 (x)h, причем при фиксированном значении x дифференциал df (x, h) является линейной по h частью приращения f (x + h) − f (x). Выражение ω(x, h) называют остатком приращения. Если отображение f дифференцируемо в каждой точке x ∈ G, то говорят, что f дифференцируемо на G. Тогда отображение, которое каждому x ∈ G ставит в соответствие оператор f 0 (x) ∈ L(Rn , Rm ), обозначают f 0 : G → L(Rn , Rm ). Итак, def

(f — дифф. в точке x ∈ G) À ∀(h ∈ Rn | x + h ∈ G)∃(A(x) : Rn → Rm | | (f (x + h) − f (x) = A(x)h + ω(x, h)) ∧ (

kω(x, h)km → 0 при khkn → 0)), khkn

где f 0 (x) = A(x) — производная f в точке x; df (x, h) = f 0 (x)h — дифференциал f в точке x, соответствующий приращению h, равен значению производной f 0 в точке x на элементе h.

5

Примеры 1. Рассмотрим f : R1 → R1 . Обозначим h через ∆x. Пусть f (x + ∆x) − f (x) = A(x)∆x + ω(x, ∆x), где lim ω(x,∆x) = 0 (т. е. ∆x ∆x→0

ω(x, ∆x) — бесконечно малая при ∆x → 0 более высокого порядка, чем ∆x). Тогда A(x)∆x = df (x) = f 0 (x)∆x = f 0 (x)dx. То есть в этом случае понятия производной и дифференциала Фреше совпадают с обычными понятиями производной и дифференциала скалярной функции. 2. Пусть f : R2 → R1 , f (x) = f (x1 , x2 ) = x21 + x1 · x2 . Для любого h = (h1 , h2 ) ∈ R2 имеем: f (x + h) − f (x) = (x1 + h1 )2 + (x1 + h1 )(x2 + h2 ) − x21 − x1 · x2 = = (2x1 + x2 )h1 + x1 h2 + h21 + h1 h2 . Выражение (2x1 + x2 )h1 + x1 · h2 линейно зависит от h, а h21 + h1 h2 таково, 2 +h1 h2 что h1khk → 0 при khk2 → 0 (в самом деле, h21 + h1 h2 6 h21 + 12 (h21 + h22 ) 6 2 6 32 (h21 + h22 ) = 32 khk22 ). Таким образом, f — дифференцируемое отображение ∀x ∈ R2 и (2x1 +x2 )h1 +x1 h2 — дифференциал f в точке x, соответствующий приращению h. Он равен hf 0 (x), hi, где f 0 (x) — линейный функционал, определяемый вектором u = (2x1 + x2 , x1 ), то есть f 0 (x)(·) = hu, (·)i. 3. Рассмотрим f : R2 → R2 , заданное равенством µ ¶ 1 2 2 f (x1 , x2 ) = (x − x2 ), x1 x2 . 2 1 Для любого вектора h = (h1 , h2 ) ∈ R2 имеем µ ¶ 1 2 2 f (x + h) − f (x) = [(x1 + h1 ) − (x2 + h2 ) ], (x1 + h1 )(x2 + h2 ) − 2 ¶ µ 1 2 2 (x − x2 ), x1 x2 = − 2 1 µ ¶ 1 1 = [(x1 + h1 )2 − (x2 + h2 )2 ] − (x21 − x22 ), (x1 + h1 )(x2 + h2 ) − x1 x2 = 2 2 ¶ µ 2 h1 − h22 , h1 h2 . = (x1 h1 − x2 h2 , x2 h1 + x1 h2 ) + 2 Легко проверить, что слагаемое ¶ ¶µ µ h1 x1 −x2 (x1 h1 − x2 h2 , x2 h1 + x1 h2 ) = h2 x2 x1

6

Рис. 1

³

h21 −h22 2 , h1 h2

´

имеем соотношение линейно по h. Для слагаемого °³ 2 2 ´° q ° h1 −h2 ° (h1 −h2 )2 ° 2 , h 1 h2 ° +h21 h22 1 q 4 2 2 +h2 = 1 khk → 0 при khk → 0. p = = h 2 2 1 2 khk2 2 2 h21 +h22 Итак,

µ f 0 (x) =

x1 −x2 x2 x1

¶ .

Если x 6= 0, то очевидно µ 0

f (x) = kxk2

cos α − sin α sin α cos α

¶ ,

где α — угол, образуемый x с осью абсцисс, x1 x2 , cos α = . sin α = kxk2 kxk2 Оператор f 0 (x) любой вектор h ∈ R2 поворачивает на угол α и растягивает в kxk2 раз. На рис. 1 показано действие оператора f 0 (x) на вектор h в случае x = (0, 1). В этом случае kxk2 = 1 и f 0 (x) есть просто оператор поворота на угол α = π2 . Задание 1. Проверить дифференцируемость отображения n 1 2 0 f : R → R , f (x) = kxkn . Доказать, что f (x)(·) = 2hx, ·i (воспользоваться тем, что kxk2n = hx, xi). 4. Покажем, что отображение f : Rn → R1 , f (x) = kxkn не дифференцируемо в точке x = 0. e : (f (x) — дифф. в точке 0) → (∀h ∈ Rn )(∃A(0) : Rn → R1 | µ µ ¶¶ |ω(0, h)| | k0 + hkn − k0kn = A(0)h + ω(0, h)) ∧ при khkn → 0 , khkn

7

откуда A(0)h = khkn − ω(0, h), следовательно, A(0)h > 0, ∀h ∈ Rn . Этого не может быть, если A(0) линейно по h, так как, если возьмем h1 = −h2 , то A(0)h1 = −A(0)h2 < 0, т. е. A(0)h1 < 0 (?!). Задание 2. Показать, что отображение, рассмотренное в примере 4, дифференцируемо в любой точке x 6= 0 и f 0 (x)(·) = <x,·> kxk2 . n

2.

Свойства дифференцируемых отображений и производной Фреше

Свойство 1. Производная Фреше определяется единственным образом. Докажем это.

à f (x + h) − f (x)

e:

f (x + h) − f (x)

(1)

= f10 (x)h (1) 0 = f2 (x)h

! + ω1 (x, h) + ω2 (x, h)

→

→ ([f10 (x) − f20 (x)]h = ω1 (x, h) − ω2 (x, h)) → kω1 (x, h) − ω2 (x, h)km k[f10 (x) − f20 (x)]hkm = 6 → khkn khkn kω1 (x, h)km kω2 (x, h)km (2) + → 0 при khkm → 0. (3) khkn khkn Возьмем теперь произвольный элемент h1 ∈ Rn и числовой коэффициент t → 0. Пусть h = th1 , тогда µ 0 ¶ k[f1 (x) − f20 (x)]hkm k[f10 (x) − f20 (x)]th1 km (3) = → 0 при t → 0 → khkn kth1 kn 6

→ (k[f10 (x) − f20 (x)]h1 km < ε, ∀ε ∈ R+ , ∀h1 ∈ Rn ) → → (f10 (x) − f20 (x) ≡ 0) → (f10 (x) ≡ f20 (x)).

N

Свойство 2. Отображение, дифференцируемое в точке x, непрерывно в этой точке. Действительно, def

(1)

(2)

(f – дифф. в т. x) À (f (x+h)−f (x) = f 0 (x)h+ω(x, h))∧( lim ω(x, h) = 0), khkn →0

def

(1), (2) → (lim f (x + h) − f (x) = 0) À (f непр. в точке x). h→0

N

8

Свойство 3. Линейная комбинация дифференцируемых отображений — дифференцируема, и производная линейной комбинации дифференцируемых отображений является линейной комбинацией производных этих отображений. То есть: если f : G → Rm , g : G → Rm — дифференцируемы в точке x ∈ G, то ϕ = αf + βg (α, β ∈ R) также дифференцируемо в точке x и ϕ0 (x) = αf 0 (x) + βg 0 (x). Доказательство. Дано: f (x + h) − f (x) = f 0 (x)h + ω1 (x, h),

(10 )

g(x + h) − g(x) = g 0 (x)h + ω2 (x, h).

(100 )

Имеем ϕ(x + h) − ϕ(x) = α[f (x + h) − f (x)] + β[g(x + h) − g(x)]

(10 ),(100 )

=

= [αf 0 (x) + βg 0 (x)]h + [αω1 (x, h) + βω2 (x, h)]. Здесь выражение [αf 0 (x) + βg 0 (x)]h линейно по h (в силу линейности f 0 (x) и g 0 (x)) и kαω1 (x, h) + βω2 (x, h)km kω1 (x, h)km kω2 (x, h)km (2) 6 |α| + |β| →0 khkn khkn khkn при khk2 → 0. Следовательно, [αf (x) + βg(x)]0 = αf 0 (x) + βg 0 (x).

N

Заметим, что свойство 3 означает, что отображение, которое каждому дифференцируемому отображению f ставит в соответствие f 0 , — линейно. Задание 3. Дано f : G → R1 и g : G → R1 (G ⊂ R1 ) — дифференцируемые в точке x отображения и ϕ(x) = f (x)g(x). Доказать, что ϕ(x) — дифференцируемо в точке x и ϕ0 (x) = g(x)f 0 (x) + f (x)g 0 (x). При (x) дополнительном условии g(x) 6= 0 доказать, что ψ(x) = fg(x) также дифференцируемо в точке x и ψ 0 (x) =

g(x)f 0 (x)−f (x)g 0 (x) . g 2 (x)

Свойство 4. Суперпозиция дифференцируемых отображений — дифференцируема и производная суперпозиции дифференцируемых отображений равна произведению производных соответствующих отображений.

9

Точнее: пусть f : G → Rm — дифференцируемо в точке x0 ∈ G, f (G) ⊂ Ω ⊂ Rm и Ω открыто; g : Ω → Rk и g — дифференцируемо в точке f (x0 ). Тогда отображение F : G → Rk , F (x) = gf (x) = g(f (x)) — дифференцируемо в точке x0 и F 0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ). Докажем это. Обозначим y0 = f (x0 ), A = f 0 (x0 ), B = g 0 (y0 ). По определению (1) имеем Ah = f (x0 + h) − f (x0 ) − ω1 (x0 , h)

(4)

g(y) − g(y0 ) = B(y − y0 ) + ω2 (y, y − y0 )

(5)

Рассмотрим: ω(x0 , h) = F (x0 + h) − F (x0 ) − BAh. Нужно доказать, что F (x0 ) = BA, т. е. что kω(x0 , h)kk → 0 при khkn → 0. (6) khkn Действительно: 0

(5)

(4) → ω(x0 , h) = g(f (x0 + h)) − g(y0 ) − B(f (x0 + h) − y0 − ω1 (x0 , h)) =

= B(f (x0 +h)−y0 )+ω2 (y0 , f (x0 +h)−y0 ) − Bf (x0 +h)−y0 )+Bω1 (x0 , h) = = ω2 (y0 , f (x0 + h) − y0 ) + Bω1 (x0 , h); (7) →

(7)

kω(x0 ,h)kk kω2 (y0 ,f (x0 +h)−y0 )kk kf (x0 +h)−y0 km kBω1 (x0 ,h)kk 6 + . khkn kf (x0 +h)−y0 km khkn khkn | {z }| {z } | {z } I1

I2

I3

Св.2

При h → 0 имеем kf (x0 + h) − y0 km −→ 0, следовательно, I1 → 0 при h → 0; I3 → 0 при h → 0 в силу (4). Из соотношения (4), кроме того, име0 km 1 (x0 ,h)km ем I2 = kf (x0 +h)−y 6 kAhkm +kω 6 kAkn→m = kf 0 (x0 )kn→m < ∞, слеkhkn khkn довательно,

§2.

1.

kω(x0 ,h)kk khkn

→ 0 при khkn → 0.

N

Производная по направлению. Дифференциал Гато. Производная Гато Определения. Примеры

Пусть f : G → Rm , G ⊂ Rn ; e = (e1 , e2 , . . . , en ) — фиксированный вектор с нормой, равной 1, определяющий некоторое направление; x ∈ G. Пусть t — мало, тогда x + te ∈ G.

10 (x) Предел отношения f (x+te)−f при t → 0, если он существует, называется t производной по направлению e и обозначается fe0 (x). То есть

def

f (x + te) − f (x) . t→0 t

fe0 (x) = lim

Можно взять произвольный (не обязательно единичный) фиксирован(x) ный вектор h ∈ Rn и рассмотреть lim f (x+th)−f при t → 0. Если этот t предел существует, то его называют дифференциалом Гато отображения f в точке x (при приращении h) и обозначают Df (x) или Df (x, h). def

f (x + th) − f (x) . t→0 t

Df (x, h) = lim

Задание 4. Доказать, что Df (x, h) = fh0 1 (x) · khkn , где h1 — единичный t1 вектор направления h (можно, например, сделать замену t = khk ). n Дифференциал Гато однороден по h, т. е. Df (x, αh) = αDf (x, h), (x) ∀α ∈ R. Действительно, Df (x, αh) = lim f (x+tαh)−f . Сделаем замену t t→0 tα = τ , получим: f (x + τ h) − f (x) α = αDf (x, h). t→0 τ

Df (x, αh) = lim

Однако Df (x, h) не обязательно аддитивен по h. Например, рассмотрим отображение f : R2 → R1 , определяемое равенством ( 2 x1 ·x2 , если (x1 , x2 ) 6= (0, 0), 2 +x2 x 1 2 f (x1 , x2 ) = 0 , если (x1 , x2 ) = (0, 0). Возьмем два направления: h(1) = (1, 0) и h(2) = (0, 1) и рассмотрим соответствующие дифференциалы Гато этого отображения в точке 0. Имеем 0 + th(1) = (t, 0), 0 + th(2) = (0, t), 0 + t(h(1) + h(2) ) = (t, t). Тогда Df (0, h(1) ) = lim t→0

(2)

Df (0, h ) = lim t→0

2

t ·t t2 +t2

−0

t2 ·0 t2 +0

−0 = 0, t

0·t 0+t2

−0 = 0, t

1 6= Df (0, h(1) ) + Df (0, h(2) ). t→0 t 2 Если же дифференциал Гато является аддитивным по h, то Df (x, h) линеен по h и может быть представлен в виде Df (0, h

(1)

(2)

+ h ) = lim

=

Df (x, h) = fΓ0 (x)h,

11

где fΓ0 (x) : Rn → Rm — линейный оператор (символ Γ означает Гато). Тогда отображение f называют дифференцируемым по Гато в точке x, а fΓ0 (x) называют производной Гато в точке x. Примеры 5. Пусть f : R2 → R1 , f (x) = f (x1 , x2 ) = x1 + x22 и h = (h1 , h2 ). То2 2 2 ) −(x1 +x2 ) гда x + th = (x1 + th1 , x2 + th2 ) и Df (x, h) = lim x1 +th1 +(x2 +th = t t→0

= h1 + 2x2 h2 = hu, hi, где u = (1, 2x2 ). Таким образом, Df (x, h) линеен по h и fΓ0 (x)(·) = hu, ·i. 6. Пусть f — отображение, рассмотренное в примере 3. Имеем ·µ ¶ 1 1 1 Df (x, h) = lim (x1 + th1 )2 − (x2 + th2 )2 , (x1 + th1 )(x2 + th2 ) − t→0 t 2 2 µ ¶¸ 1 2 1 2 1 1 1 1 1 − x1 − x2 , x1 x2 = lim ( (x1 +th1 )2 − (x2 +th2 )2 − x21 − x22 , (x1 +th1 )· t→0 t 2 2 2 2 2 2 t 1 1 ·(x2 +th2 )−x1 x2 ) = lim (x1 h1 −x2 h2 , x2 h1 +x1 h2 )+lim t( h21 − h22 , h1 h2 ) = t→0 t t→0 2 2 µ ¶µ ¶ x1 −x2 h1 = (x1 h1 − x2 h2 , x2 h1 + x1 h2 ) = , x2 x1 h2 то есть ¶ µ x −x 1 2 (·). fΓ0 (x)(·) = x2 x1 Производные Фреше и Гато этого отображения совпадают. Условия, при выполнении которых производные Гато и Фреше совпадают, будут выявлены позже. 2.

Свойства производной Гато

Свойство 1. Как и производная Фреше, производная Гато определяется единственным образом (это следует из единственности предела). Свойство 2. Производная Гато линейной комбинации дифференцируемых по Гато отображений существует и равна (как и производная Фреше) линейной комбинации производных Гато этих отображений. То есть, если α, β ∈ R, f : G → Rm , g : G → Rm , G ⊂ Rn , f и g — дифференцируемы по Гато в точке x ∈ G, то ϕ = αf + βg также дифференцируемо в точке x и ϕ0Γ (x) = αfΓ0 (x) + βgΓ0 (x). В самом деле, ϕ(x+th)−ϕ(x) Dϕ(x,h) = lim = t→0 t

12

f (x+th)−f (x) g(x+th)−g(x) +β lim = t→0 t→0 t t = αDf (x, h) + βDg(x, h) = [αfΓ0 (x) + βgΓ0 (x)]h. = α lim

N

Замечание 1. Из дифференцируемости отображения по Гато в некоторой точке не следует, вообще говоря, непрерывность отображения в этой точке (как было для производной Фреше). Например, пусть f : R2 → R1 задается равенством ( 3√ x1 · 4 x22 , если (x1 , x2 ) 6= (0, 0), x41 +x22 f (x1 , x2 ) = 0 , если (x1 , x2 ) = (0, 0). Это отображение разрывно в точке (0, 0), так как при x2 = x21 имеем ½ 1 x31 · |x1 | при x1 > 0, 2 lim = 1 4 x1 →0 − 2 при x1 < 0, 2x1 что не равно f (0, 0). Однако в точке (0, 0) существует производная Гато: √ √ p (th1 )3 4 (th2 )2 4 h31 · 4 h22 · t2 (th1 )4 +(th2 )2 − 0 = 0 = 0 · h, Df (0, h) = lim = lim t→0 t→0 t t2 h41 + h22 то есть, fΓ0 (0, 0) = (0, 0) — матрица-строка.

N

Замечание 2. Для производной Гато не имеет места и теорема о дифференцировании суперпозиции отображений в том смысле, что производная Гато суперпозиции отображений не равна суперпозиции (произведению) производных Гато соответствующих отображений (ср. со свойством 4 стр. 8). Действительно, f1 (x1 , x2 ) = x1 , а

пусть

f2 (x1 , x2 ) =

(

f : R2 → R2 , x31 ·x2 x41 +x22

0

, если , если

f (x) = (f1 (x), f2 (x)), (x1 , x2 ) 6= (0, 0), (x1 , x2 ) = (0, 0)

где

(8)

и g : R2 → R1 , g(x) = f2 (x). Вычислим производные Гато отображений f и g в точке (0, 0). ¶ µ t4 h31 h2 th31 h2 h1 , Dg(0, h) = lim 4 4 = lim 2 4 = 0 = (0 0) t→0 t(t h1 + t2 h22 ) t→0 t h1 + h22 h2

(9)

(10)

13

то есть gΓ0 (0) = (0 0). Аналогично µ ¶ µ ¶µ ¶ 1 t4 h31 h2 1 0 h1 Df (0, h) = lim th1 , 4 4 , = (h1 , 0) = t→0 t h2 0 0 t h1 + t2 h22 µ ¶ 1 0 0 . то есть fΓ (0) = 0 0 µ ¶ 1 0 0 0 Следовательно, gΓ (0) · fΓ (0) = (0 0) = (0 0). 0 0 С другой стороны, ( 2 4 2 x1 x2 (x1 +x2 ) , если x1 6= 0, 4 +x2 )2 +x2 x2 (x 1 2 1 2 gf (x) = 0 , если x1 = 0. Поэтому, если h = (h1 , h2 ) и h1 6= 0, то h21 h2 (t2 h41 + h22 ) h21 h32 Dgf (0, h) = lim 2 4 = 4 . t→0 (t h1 + h22 )2 + h21 h22 h2 + h21 h22 При h1 = h2 6= 0 имеем: Dgf (0, h) = 12 6= 0, то есть Dgf (0, h) 6= gΓ0 (0)·fΓ0 (0)h. Однако если внешнее отображение дифференцируемо по Фреше, а внутреннее по Гато, то их суперпозиция дифференцируема по Гато (см. §3).

§3.

Связь производных Фреше и Гато

Теорема 1. Если отображение дифференцируемо в некоторой точке по Фреше, то оно дифференцируемо в этой точке по Гато, и производные Фреше и Гато совпадают, то есть: (f : G → Rm , G ⊂ Rn — дифф. по Ф. в т. x) → → (f — дифф. по Г. в т. x) ∧ (fΓ0 (x) = f 0 (x)). Доказательство. tf 0 (x)h + ω(x, th) f (x + th) − f (x) (1) = lim = Df (x, h) = lim t→0 t→0 t t def

ω(x, th) (2) khkn · sign t = df (x, h), kthkn →0 kthkn

= f 0 (x)h + lim

т. е. Df (x, h) = df (x, h) = f 0 (x)h, откуда fΓ0 (x) = f 0 (x). (См. пример 6).

N

14

Обратное утверждение неверно. Например, рассмотрим отображение g : R → R1 , определяемое соотношениями (9), (8). Равенство (10) показывает, что Dg(0, h) = 0. Вместе с тем, этот дифференциал не является дифференцируемым по Фреше в точке (0, 0). Докажем это. 2

e:

def

(1)

(0 = dg(0, h)) À ((g(0 + h1 , 0 + h2 ) − g(0, 0) − ω(0, h) = 0 − ω(0, h))∧ ∧ lim

|ω(0, h)| (2) = 0 при khk2 → 0; khk2

(11)

¶ h31 h2 (11) → (9), (8) → g(0+h1 , 0+h2 )−g(0, 0) = 4 2 h1 + h2 Ã ! µ ¶ 3 3 h h2 h1 h2 (11) p → ω(0, h) = − 4 1 2 → lim 4 =0 . h→0 (h + h2 ) h2 + h2 h1 + h2 1 2 1 2 µ

Возьмем, однако, h2 = h21 и h1 > 0, тогда h31 h2 h51 1 1 h51 p p p lim 4 = lim = = lim h→0 (h + h2 ) h2 + h2 h1 →0 2h4 h2 + h4 2 h1 →0 h51 1 + h21 2 1 2 1 2 1 1 1

(?!).

Ниже приводится теорема, которая указывает, в каких случаях существование производной Гато влечет существование производной Фреше. Теорема 2. Если производная Гато отображения f : G → Rm (G ⊂ Rn ) существует при всех x из некоторой окрестности точки x0 и она непрерывна в точке x0 , то в точке x0 существует производная Фреше отображения f , и f 0 (x) непрерывна в точке x0 , то есть ((∀x ∈ окр. т. x0 )(∃fΓ0 (x)) ∧ (fΓ0 (x) — непр. в. т. x0 )) → (∃f 0 (x0 )). Доказательство этой теоремы приведено в следующем параграфе. Теорема 3. Пусть f : G → Rm (G ⊂ Rn ) дифференцируемо по Гато в точке x0 ∈ G; Ω ⊂ Rm , открыто и Ω ⊃ f (G); g : Ω → Rk — дифференцируемо по Фреше в точке y0 = f (x0 ). Тогда отображение F : G → Rk , F (x) = gf (x) дифференцируемо по Гато в точке x0 и FΓ0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))fΓ0 (x0 ).

(12)

Доказательство. def

(f — дифф. по Г. в т. x0 ) À

µ

¶ f (x0 + th) − f (x0 ) = fΓ0 (x0 )h + r(x0 , t, h) ∧ t

∧ (r(x0 , t, h) → 0 при t → 0) →

(13)

15

→ (f (x0 + th) = y0 + tfΓ0 (x0 )h + tr(x0 , t, h)). Далее

(14)

gf (x0 +th)−g(y0 ) (14) = t→0 t

DF (x0 ,h) = lim

1 = lim [g(y0 + tfΓ0 (x0 )h + tr(x0 , t, h)) − g(y0 )]. t→0 t Обозначим τ = tfΓ0 (x0 )h + tr(x0 , t, h),

(15) def

тогда последнее выражение — это lim 1t [g(y0 + τ ) − g(y0 )] = lim 1t [g(y0 )τ + t→0

+ω(y0 , τ )], где lim

t→0

kω(y0 , τ )kk = 0 при kτ km → 0. kτ km

(16)

Но 1 1 ω(y0 , τ ) (15) lim [g(y0 )τ + ω(y0 , τ )] = lim g 0 (y0 )(tfΓ0 (x0 )h + tr(x0 , t, h)) + lim = t→0 t t→0 t t→0 t ω(y0 , τ ) (13) = t→0 t→0 t ω(y0 , τ ) = g 0 (y0 )fΓ0 (x0 )h + lim . t→0 t Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что последний предел равен нулю. Действительно, = g 0 (y0 )fΓ0 (x0 )h + lim g 0 (y0 )r(x0 , t, h) + lim

kω(y0 , τ )kk kω(y0 , τ )kk kτ km (15) = lim · = t→0 t→0 |t| kτ km |t|

lim

kω(y0 , τ )kk ktfΓ0 (x0 )h + tr(x0 , t, h)km = lim · lim 6 t→0 t→0 kτ km |t| ´ (16),(13) kω(y0 , τ )kk ³ 0 6 lim kfΓ (x0 )k · khk + lim kr(x0 , t, h)km = 0. t→0 t→0 kτ km

§4.

Частные производные

Пусть e1 , e2 , . . . en — базис пространства Rn , а g1 , g2 , . . . gm — базис пространства Rm . Пусть f : G → Rm , G ⊂ Rn . Имеем: f (x) ∈ Rm , следоm P вательно, f (x) = fi (x)gi , где компоненты fi (x) — скалярные функции i=1

векторного аргумента, т. е. fi : G → R1 (i = 1, 2, . . . , m). (См. пример 3)

16

Определение. Частной производной отображения fi по переменной xj f (x+tej )−fi (x) , если он существует. в точке x ∈ G называется предел lim i t Обозначают его

∂fi ∂xj (x)

t→0

или Dj fi (x). Таким образом,

∂fi fi (x + tej ) − fi (x) . (x) = Dj fi (x) = lim t→0 ∂xj t

(17)

Если этот предел существует при всех x из некоторой области G1 ⊂ Rn , то приходим к отображению Dj fi : G1 → R. Таким образом, частная производная — это скалярная функция векторного аргумента. Из определения (17) видно, что Dj fi (x) = Dfi (x, ej ),

(18)

где Dfi (x, ej ) — дифференциал Гато отображения fi в точке x при приращении ej (см. определение стр. 10). Связь между частными производными и производными Гато устанавливается следующей теоремой. Теорема 4. Пусть отображение f имеет производную Гато fΓ0 в точке x. Тогда в этой точке существуют все частные производные Dj fi (x), i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, причем Dj fi (x) = (fi )0Γ (x)ej .

(19)

Доказательство. ∃(fΓ0 (x))

def

À (Df (x, h) =

fΓ0 (x)h)

∗ ( )

À (Dfi (x, h) = (fi )0Γ (x)h, i = 1, 2, . . . , m).

Положим в последнем равенстве h = ej , j = 1, 2, . . . n, получим: ∃(fΓ0 (x)) → (Dfi (x, ej ) = (fi )0Γ (x)ej ,

i = 1, 2, . . . , m,

(18)

j = 1, 2, . . . , n) À

Равенство Df (x, h) = fΓ0 (x)h между элементами из Rm рассматривается для каждой компоненты fi (x), i = 1, 2, . . . , m отдельно: ∗

(Df (x, h) = fΓ0 (x)h) À (lim t→0

f (x + th) − f (x) – сущ. и линеен по h) À t

fi (x + th) − fi (x) – сущ. и линеен по h, ∀i = 1, 2, . . . , m) À t→0 t À (Dfi (x, h) = (fi )0Γ (x)h, i = 1, 2, . . . , n).

À (lim

17

À (Dj fi (x, ej ) = (fi )0Γ (x)ej ,

i = 1, 2, . . . , m,

j = 1, 2, . . . , n).

N

Из теорем 1 и 4 вытекает следующее следствие. Следствие. Если в точке x отображение f дифференцируемо по Фреше, то в этой точке существуют все частные производные, причем Dj fi (x) = fi0 (x)ej , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. То есть: ∃(df (x, h)) → ∃(Dj fi (x) = fi0 (x)ej ,

i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n). (20)

Утверждения, обратные к теореме 4 и следствию, вообще говоря, неверны даже если все частные производные отображения существуют во всех точках множества G. Покажем это на примере. Пусть f : R2 → R1 и ( 3 3 x1 +x2 , если (x1 , x2 ) 6= (0, 0), x21 +x22 f (x) = 0 , если (x1 , x2 ) = (0, 0). Это отображение непрерывно в R2 и существуют обе частные производные. В самом деле, пусть e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) и x 6= 0. Находим: (x1 +t)3 +x32 (x1 +t)2 +x22

−

x31 +x32 x21 +x22

−

x31 +x32 x21 +x22

∂f f (x + te1 ) − f (x) def (x) = lim = lim t→0 t→0 ∂x1 t t µ 3 ¶ x1 + x32 ∂ x41 + 3x21 x22 − 2x1 x32 = = ; ∂x1 x21 + x22 (x21 + x22 )2 ∂f def (0) = lim t→0 ∂x1

t3 t2

−0 = 1; t x31 +(x32 +t)3 x21 +(x22 +t)2

∂f f (x + te2 ) − f (x) def (x) = lim = lim t→0 t→0 ∂x2 t t µ 3 ¶ x1 + x32 x42 + 3x21 x22 − 2x31 x2 ∂ = ; = ∂x2 x21 + x22 (x21 + x22 )2 3

t ∂f 2 − 0 def (0) = lim t = 1. t→0 ∂x2 t Покажем, что f — не дифференцируемо в нуле по Гато:

def

Df (0, h) = lim t→0

(th1 )3 +(th2 )3 (th1 )2 +(th2 )2

t

=

h31 + h32 = 2 , h1 + h22

=

18

но

выражение

h31 +h32 h21 +h22

не

является

линейным

по

h.

Напри-

мер, если h(1) = (1, 0), h(2) = (0, 1), h(3) = h(1) + h(2) = (1, 1), то 3 3 3 3 3 3 Df (0, h(2) ) = 002 +1 Df (0, h(3) ) = 112 +1 Df (0, h(1) ) = 112 +0 +02 = 1, +12 = 1, +12 = 1, то есть Df (0, h(1) + h(2) ) 6= Df (0, h(1) ) + Df (0, h(2) ). N Однако как будет показано ниже, если частные производные существуют и непрерывны в точке x, то существуют и fΓ0 (x), f 0 (x). Для доказательства этого факта мы воспользуемся теоремой Лагранжа. Теорема Лагранжа. Пусть отображение f : G → R1 (G ⊂ Rn ) имеет в каждой точке множества G частную производную по xj ; h = 1, 2, . . . , n. Тогда для достаточно малых t ∈ R1 (таких, что если x ∈ G, то и x + tej ∈ G) выполняется соотношение: f (x + tej ) − f (x) = tDj f (x + Θtej ), где 0 6 Θ 6 1, то есть: ((∀j = 1, 2, . . . , n)(∀x ∈ G)(∃Dj f (x))∧(∀t ∈ [−δ, δ]|(x ∈ G) → (x+tej ) ∈ G) → → (∃Θ ∈ [0, 1]| f (x + tej ) − f (x) = tDj f (x + Θtej )). Доказательство. Рассмотрим функцию ϕ(t) = f (x + tej ). Она дифференцируема при t ∈ [−δ, δ] и ϕ0 (t) = Dj f (x + tej ), так как ϕ(t + ∆t) − ϕ(t) f (x + tej + ∆tej ) − f (x + tej ) = lim = Dj f (x+tej ). ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t lim

К функции ϕ(t) можно применить теорему Лагранжа для скалярной функции скалярного аргумента f (x + tej ) − f (x) = ϕ(t) − ϕ(0) = tϕ0 (Θt) = tDj f (x + Θtej ).

N

Как показывает приводимый ниже пример, формула Лагранжа неверна, если область значений отображения существенно лежит в пространстве размерности больше единицы. Пример 7. Пусть f : R1 → R2 и задается формулой f (x) = (sin x, cos x). Отображение f дифференцируемо по Фреше в любой точке x и f (x) = (cos x, − sin x). (Докажите это!) Нетрудно видеть: f (0) = (0, 1), f ( π2 ) = (1, 0) и если бы формула Лагранжа была верна, то 0

π Θπ Θπ π f ( ) − f (0) = (cos , − sin )· , 2 2 2 2

19

или покоординатно: 1 = (cos

Θπ π )· , 2 2

1 = (sin

Θπ π )· , 2 2

2 Θπ 4 4 8 откуда cos2 Θπ N 2 + sin 2 = π 2 + π 2 = π 2 (?!). Однако вытекающая из формулы Лагранжа оценка

kf (x1 ) − f (x2 )km 6 Kkx2 − x1 kn ,

(21)

где K = sup{ kfΓ0 (x)kn→m , x = tx2 + (1 − t)x1 , t ∈ [0, 1]} справедлива и в многомерном случае. Прежде чем переходить к доказательству оценки (21), докажем сначала следующую лемму. Лемма 1. Пусть ϕ : [a, b] → Rm непрерывно на [a, b] и дифференцируемо (в этом случае производные Фреше и Гато, очевидно, совпадают) в каждой точке t интервала (a, b). Пусть sup kϕ0 (t)k1→m 6 K, t∈(a,b)

Тогда kϕ(b) − ϕ(a)km 6 K|b − a|.

(210 )

Доказательство. Зададимся произвольным ε > 0 и покажем, что для всех t ∈ [a, b] выполнено неравенство kϕ(t) − ϕ(a)km 6 (K + ε)(t − a) + ε.

(22)

e: (∃t ∈ [a, b]| kϕ(t) − ϕ(a)km > (K + ε)(t − a) + ε). Заметим, что множество V = {t| kϕ(t) − ϕ(a)km > (K + ε)(t − a) + ε} открыто. Действительно, пусть t0 ∈ V , т. е. выполнено неравенство kϕ(t0 ) − ϕ(a)km > (K + ε)(t0 − a) + ε, или kϕ(t0 ) − ϕ(a)km − (K + ε)(t0 − a) − ε > 0. Положим ψ(t) = kϕ(t) − ϕ(a)km − (K + ε)(t − a) − ε. Тогда ψ — непрерывная функция и ψ(t0 ) > 0, но тогда ψ(t) > 0 и в некоторой окрестности t0 , т. е. t0 входит в V с некоторой окрестностью. Положим c = inf V . Тогда c > 0, поскольку в неравенстве (22) обе части непрерывны и при t = a неравенство выполнено. Кроме того, так как V открыто, c∈V и c 6= b. Итак, a < c < b. Но тогда kϕ(c) − ϕ(a)km 6 (K + ε)(c − a) + ε.

(23)

20

Кроме того, (1)

kϕ(t) − ϕ(c)km = ϕ0 (c)(t − c) + ω(c, t − c). Откуда в силу определения производной: ε ∃η > 0| (|t − c| < η) → (kϕ(t) − ϕ(c)km 6 kϕ0 (c)k1→m · |t − c| + |t − c|). 2 Поэтому

ε kϕ(t) − ϕ(c)km 6 (K + )|t − c| < (K + ε)|t − c|, 2 или для t ∈ (c, c + η) kϕ(t) − ϕ(c)km < (K + ε)|t − c|. Складывая последнее неравенство с (23), получим kϕ(t) − ϕ(a)km 6 kϕ(t) − ϕ(c)km + kϕ(c) − ϕ(a)km 6 6 (K + ε)(t − c) + (K + ε)(c − a) + ε = (K + ε)(t − a) + ε. Поскольку c∈V и существует окрестность Vη = {t| |t − c| < η} такая, что Vη ∩ V 6= ∅, то c 6= inf V (?!). Поскольку ε в неравенстве (22) выбрано произвольно, то из него следует (210 ). N Теорема 5. (О неравенстве (21)). Пусть отображение f дифференцируемо по Гато в выпуклой области G, тогда для всех x1 , x2 ∈ G справедливо неравенство (21), если f непрерывно на G. Доказательство. Рассмотрим отображение ϕ : [0, 1] → Rm , задаваемое формулой ϕ(t) = f (x1 + t(x2 − x1 )). Покажем, что ϕ дифференцируемо в любой точке x ∈ (0, 1). Действительно, ϕ(t + ∆t) − ϕ(t) lim = ∆t→0 ∆t ϕ(x1 + (t + ∆t)(x2 − x1 )) − ϕ(x1 + t(x2 − x1 )) = = lim ∆t→0 ∆t = fΓ0 (x1 + t(x2 − x1 ))(x2 − x1 ), т. е. ϕ0 (t) = fΓ0 (x1 + t(x2 − x1 ))(x2 − x1 ).

21

Поэтому kϕ0 (t)k1→m 6 kfΓ0 (x1 +t(x2 −x1 ))k1→m ·kx2 −x1 kn 6 Kkx2 −x1 kn и в силу леммы: kϕ(1)−ϕ(0)km 6 Kkx2 −x1 kn . Но ϕ(1) = f (x2 ), а ϕ(0) = f (x1 ), то есть kf (x2 ) − f (x1 )km 6 Kkx2 − x1 kn . N Определение. Отображение f : G → Rm (G ⊂ Rn ) называется непрерывно дифференцируемым в т. x0 ∈ G по Фреше (по Гато), если оно дифференцируемо по Фреше (по Гато) ∀x ∈ окр. т. x0 и f 0 (fΓ0 ) непрерывна в точке x0 . То есть   † ( ) µ ¶ 0 (x)) ∧ ∀(x ∈ окр. т. x0 ) ∀(x ∈ окр. т. x0 )∃(f(Γ) f непр. дифф. в   À  ∀(ε ∈ R+ )∃(δ ∈ R+ |(kx0 − xkn < δ) → т. x0 по Ф. (по Г.) 0 0 → (kf(Γ) (x0 ) − f(Γ) (x)kn→m < ε)) (24) Замечание 3. Если расписать (1) и (2) по компонентам (то есть отдельно для каждого fi , i = 1, 2, . . . , m), то нетрудно видеть, что ∃f 0 (x) À (∃fi0 (x), i = 1, 2, . . . , m). Задание 5. Доказать, что 0 (x)). f 0 (x) = (f10 (x), f20 (x), . . . , fm

(25)

Воспользоваться тем, что если ω(x, h) = (ω1 (x, h), ω2 (x, h), . . . , ωm (x, h)), то µ ¶ kω(x, h)km при khkn → 0 À khkn µ ¶ |ωi (x, h)| À при khkn → 0, ∀i = 1, 2, . . . , m . khkn Замечание 4. Из (24), расписанного по компонентам, легко увидеть, что (f непр. дифф. по Ф. (Г.)) À (fi непр. дифф. по Ф. (Г.) ∀i = 1, 2, . . . , m). (26) Теорема 6. Отображение f : G → Rm (G ⊂ Rn ) непрерывно дифференцируемо по Фреше в точке x0 ∈ G в том и только том случае, когда все частные производные отображения существуют в некоторой окрестности точки x0 и непрерывны в точке x0 , то есть: µ ¶ µ ¶ f непр. дифф. в ∀(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)∀(x ∈ окр. т. x0 ) 1) À2) . т. x0 ∈ G по Ф. ∃(Dj fi (x)) ∧ (Dj fi (x) непр. в т. x0 ) †

0 Через f(Γ) (x) обозначена производная Фреше (Гато) отображения f в точке x.

22

Доказательство 1. (f — дифф. в окр. т. x0 по Ф.) → ∀(x ∈ окр. т. x0 ) ∃(f 0 (x)) → → ∀(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) ∀(x ∈окр. т. x0 ) ∃(Dj fi (x)). Далее имеем для x ∈ окр. т. x0 : (20)

kDj fi (x0 ) − Dj fi (x)km = kfi0 (x0 )ej − fi0 (x)ej km = = k[fi0 (x0 ) − fi0 (x)]ej km 6 kfi0 (x0 ) − fi0 (x)kn→m . Отсюда и из соотношения (26) следует непрерывность Dj fi (x) ∀ i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n в точке x0 . N Доказательство 2. Из замечания следует, что доказательство достаточно провести для каждой компоненты fi , i = 1, 2, . . . , m. n P Пусть h ∈ Rn таково, что x0 + h ∈ G, h = hj ej , hj ∈ R1 , и пусть j=1

v0 = 0, vk = h1 e1 + h2 e2 + · · · + hk ek при k = 1, 2, . . . , n. Тогда x0 + v0 ∈ окр. т. x0 и fi (x0 + h) − fi (x0 ) = fi (x0 + vn ) − fi (x0 + v0 ) = = fi (x0 + vn ) ∓ fi (x0 + vn−1 ) ∓ f (x0 + vn−2 ) ∓ · · · ∓ fi (x0 + v1 ) − fi (x0 + v0 ) = n n X X Т.Лагр. = fi (x0 +vj )−fi (x0 +vj−1 ) = fi (x0 +vj−1 +hi ej )−fi (x0 +vj−1 ) = j=1

j=1

=

n X

Dj fi (x0 + vj−1 + Θhj ej ) · hj ,

(0 6 Θ 6 1).

j=1

Рассмотрим разность n n X X fi (x0+h)−fi (x0 )− hj Dj fi (x0 ) = [Dj fi (x0+vj−1+Θhj ej )−Dj fi (x0 )]hj . (27) j=1

j=1

Обозначим сумму, стоящую в правой части равенства (27), через ωi (x0 , h), тогда n X fi (x0 + h) − fi (x0 ) = hj Dj fi (x0 ) + ωi (x0 , h), (28) j=1

причем

|ωi (x0 , h)| → 0 при khkn → 0. khkn

(29)

Действительно, n P

|ωi (x0 , h)| 6 khkn

j=1

|Dj fi (x0 + vj−1 + Θhj ej ) − Dj fi (x0 )| · khkn khkn

=

23

=

n X

|Dj fi (x0 + vj−1 + Θhj ej ) − Dj fi (x0 )| → 0 при khkn → 0

j=1

в силу непрерывности Dj fi в точке x0 и того, что kvj−1 + Θhj ej kn = kh1 e1 + h2 e2 + · · · + hj−1 ej−1 + Θhj ej kn → 0 при khkn → 0. Из (28), (29) вытекает, что Dfi (x) =

n X

hj Dj fi (x),

(30)

j=1

следовательно, производная Фреше отображения fi в окрестности точки x0 существует, и она непрерывна в точке x0 (в силу непрерывности Dj fi в точке x0 ). Доказательство теоремы 2. Т.4 ∃(fΓ0 (x), ∀x ∈ окр. т. x0 ) ∧ (fΓ0 – непр. в т. x0 ) → → ∀(x ∈ окр. т. x0 )∀(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) Т.6 ∃(Dj fi (x)) ∧ (Dj fi непр. в т. x0 ) → (∃f 0 (x0 )).

§5.

N

Формулa для нахождения производной (Фреше)

Пусть f : G → R1 , G ⊂ Rn . Соотношение (30) означает, что Df (x) =

n X

hi Dj f (x) = ( D1 f (x) D2 f (x) . . . Dn f (x)) h,

j=1

Следовательно, для скалярной функции векторного аргумента имеет место формула f 0 (x) = ( D1 f (x) D2 f (x) . . . Dn f (x)) − матрица-строка. Или то же самое: ³ ∂f 0 f (x) = ∂x 1

∂f ∂x2

...

∂f ∂xn

´ .

Пусть теперь f : G → Rm , G ⊂ Rn . В силу (25) и (31) имеем:   0 f1 (x)  f20 (x)  (31) 0 0 0 0  (25) → f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) =   ...  = 0 fm (x)

(31)

24



D1 f1 (x) D2 f1 (x)  D1 f2 (x) D2 f2 (x) =  ... ... D1 fm (x) D2 fm (x)

 . . . Dn f1 (x) . . . Dn f2 (x)  ,  ... ... . . . Dn fm (x)

откуда получаем формулу для нахождения производной   ∂f ∂f ∂f1 1 1 . . . ∂x ∂x ∂xn  ∂f21 ∂f22 ∂f   ∂x1 ∂x2 . . . ∂xn2  0 f (x) =  .  ... ... ... ...  ∂fm ∂fm ∂fm ∂x1 ∂x2 . . . ∂xn

(32)

Пример 8. Пусть f : R2 → R3 , f (x) = (x1 − x22 , 3x1 x2 , x2 − x21 ). Найдем f 0 (2, 3). Имеем: f1 (x) = x1 − x22 , f2 (x) = 3x1 x2 , f3 (x) = x2 − x21 . Следовательно, ∂f1 ∂x1 (x) ∂f2 ∂x1 (x) ∂f3 ∂x1 (x)

= 1, = 3x2 , = −2x1 ,

По формуле (32) получаем:   1 −2x2 3x1  , f 0 (x) =  3x2 −2x1 1

∂f1 ∂x2 (x) ∂f2 ∂x2 (x) ∂f3 ∂x2 (x)

= −2x2 , = 3x1 , = 1. 

 1 −6 откуда f 0 (2, 3) =  9 6  . −4 1

25

Содержание Обозначения

3

§1. Дифференциал Фреше. Производная Фреше

4 4

1. 2.

Определения. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Свойства дифференцируемых отображений и производной Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

§2. Производная по направлению. Дифференциал Гато. Производная Гато 1. Определения. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Свойства производной Гато . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 11

§3. Связь производных Фреше и Гато

13

§4. Частные производные

15

§5. Формулa для нахождения производной (Фреше)

23

Литература 1. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. — М. : Дрофа, 2003. — 639 с. 2. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М. : Мир, 1976. — 544 с. 3. Рудин У. Основы математического анализа/ У. Рудин. — М. : Мир, 1976. — 321 с.

26

Учебное издание Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента учебно-методическое пособие для вузов

Составители: доц. Зубова Светлана Петровна, доц. Гурова Ирина Николаевна, проф. Каменский Михаил Игоревич, ст. преп. Раецкая Елена Владимировна Редактор

Бунина Т.Д.