Специальные разделы высшей математики. Часть первая: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики Кафедра мехатроники

В.М. Мусалимов, С.С. Резников, Чан Нгок Чау

УДК 517.432.1: 517.916(078) Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы высшей математики. – СПб: Санкт-Петербургский Государственный Университет Информационных Технологий Механики и Оптики (СПбГУ ИТМО), 2006.-80 с.:ил. В учебном пособии приводятся основные положения некоторых разделов математики, касающихся вопросов исследования характера поведения сложных динамических систем, описываемых посредством обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие предназначено для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.

Специальные разделы высшей математики Рецензенты: Часть первая

доктор технических наук, профессор Сизиков В.С. (СПбГУ ИТМО)

Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 200100 «Приборостроение»

кандидат технических наук, доцент Толмачев В.А. (СПбГУ ИТМО)

ISBN

©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2006 © Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау, 2006

Санкт - Петербург 2006 2

Оглавление Глава 1. Топология обыкновенных дифференциальных уравнений ................................................................... 5 1.1. Поля направления дифференциальных уравнений 5 1.2. Фазовое пространство...........................................10 1.2.1. Уравнения с одномерным фазовым пространством ............................................................10 1.2.2. Уравнение нормального размножения..................11 1.2.3. Логистическая кривая, парабола специального вида ..........................................................................12 1.3. Прямые произведения...........................................13 1.4. Уравнения с разделяющимися переменными ...........20 1.5. Функция последования .........................................24 Глава 2. Алгебра потоков в фазовом пространстве........28 2.1. Одномерные динамические системы .......................28 2.2. Двумерные динамические системы .........................28 2.3. Трехмерные динамические системы .......................31 2.4. Странный аттрактор..............................................37 Глава 3. Исследование хаотических режимов ...............39 3.1. Методы вычисления стохастических характеристик .39 3.1.1. Требования к исходным данным ..........................39 3.1.2. Восстановление аттрактора по временному (пространственному) ряду ...........................................40 3.1.3. Выбор временной задержки (сдвига) τ .................41 3.1.4. Алгоритм вычисления корреляционной размерности аттрактора .................................................................42 3.1.5. Алгоритм вычисления корреляционной энтропии аттрактора .................................................................44 3.1.6. Построение динамической модели по экспериментальным данным.........................................44 3.2. Обработка экспериментальных данных с помощью программы Fractan ......................................................45 3.3. Управляющий параметр аттрактора Лоренца...........49 Глава 4. Канонические формы элементарных катастроф ..................................................................54 4.1. Теория особенностей Уитни ...................................55 4.2. Программа исследования потенциальных функций с использованием теории особенностей...........................61 4.3. Функции катастроф...............................................63 3

Глава 5. Операционное исчисление .............................66 5.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу .....................................................................66 5.1.1. Функция-оригинал. ............................................66 5.1.2. Изображение по Лапласу....................................65 5.1.3. Изображения простейших функций .....................67 5.1.4. Изображение составных функций........................70 5.1.5. Изображение периодических функций.................71 5.2. Свойства преобразования Лапласа.........................72 5.2.1. Основные соотношения ......................................72 5.2.2. Таблица стандартных изображений .....................73 5.3. Определение сигнала по его изображению .............74

4

многих случаях удовлетворяются получением решения в неявном виде Ψ( x , y ) = 0 .

Глава 1 Топология обыкновенных дифференциальных уравнений

Пример 1.

1.1 Поля направления дифференциальных уравнений

(1.1)

или уравнение вида:

dx = Φ(t , x ) dt

(1.2)

Решение: Возьмем на плоскости декартовых координат несколько точек, кроме (0,0).

⎧x = 1 ⎩y = 0

a) ⎨

где:

⎧x = 1 ⎩y = 1

x - координата, t - время.

b) ⎨

(1.1) и (1.2) - это записанные в нормальной форме дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Заметим, что точке (x,y). устанавливает

dy = tgα , dx

α

- угол наклона кривой в

Дифференциальное зависимость между

уравнение координатами

(1.1) точек

dy , т.е. в каждой точке (x,y) и значением производной dx (x,y) определяется направление касательной к интегральной кривой , таким образом, дифференциальное уравнение определяет поле направлений. А задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Определение: Линия, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поля, называется интегральной кривой поля направлений. Не всегда удается получить решение дифференциального уравнения в явной форме y = y ( x ) . Во 5

dy y = . dx x

⎛ dy dx ⎞ =∫ ⎟ ⎜∫ x⎠ ⎝ y

Пусть дано уравнение 1-ого порядка:

dy = f ( x, y) dx

Построить поле направлений д. У.

y dy (α = 0 ) = 0 → tgα = =0 x dx dy y = 1 → tgα = = 1 ( α = 45 ) dx x

⎧x = 0 ⎨ ⎩y = 1 ⎧ x = −1 d) ⎨ ⎩y = 1

dy y = ∞ → tgα = =∞ dx x

(α

= 90 )

dy y = −1 → tgα = = −1 dx x

(α

= −45 )

⎧ x = −1 ⎨ ⎩y = 0

dy y = 0 → tgα = =0 dx x

(α

= 180 )

c)

e)

Проведем касательные в указанных точках и покажем направление касательных (кроме точки (0,0) там неопределенность). Аналогичное построение осуществляется для нижней полуплоскости и каждой точки плоскости, кроме (0,0). Полученное поле направлений показано на рис.1.2.

6

C определяется условием: t = t 0 , x = x 0 .

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Это поле направлений интегральных кривых. Здесь очевидна симметрия интегральных кривых относительно вращения плоскости вокруг т. 0. Вывод: из рисунка можно увидеть, что решение дифференциального уравнения есть y = Cx , зависящее от одного параметра (постоянной C ).

Пример 2.

dx = υ (t ) dt

(1.3)

Решение: Решение этого уравнения находим интегрированием:

Рис. 1.3

Касательная в каждой точке кривой x(t) - это

Говорят, что поле направлений уравнения (1.3) инвариантно относительно сдвигов вдоль оси x , и поэтому интегральными кривыми заполнена вся плоскость xt. Интегральные кривые - семейство решений, зависящее от одного параметра C . Определение: Кривая в каждой точке которой наклон поля один и тотже называется изаклиной этого уравнения.

x = ∫ υ (t )dt + C

dx = υ (t )dt ; 7

υ (t ) .

8

Пример 3.

Если x =

dy = 2x dx

(1.4)

y=x и одновременно любая другая функция y = x + C - это 2

Этому уравнению удовлетворяет функция

2

семейство парабол (рис.1.4) Все параболы обладают одним свойством: в каждой точке М (x,y) любой интегральной кривой угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсцисе этой точки: y ′ = tgα = 2 x . Запишем уравнение изоклины: f ( x, y ) = K . Приравняем в (1.4) правую часть постоянному числу К , т.е. запишем 2 x = K . А это значит, что изоклины прямые, параллельные оси ОУ (рис.1.5).

Рис. 1.4

( tgα = 1 ) ;

1 1 , то наклон будет равен: 2 ⋅ x = 2 ⋅ = 1 , 2 2

Если x = 1 следовательно 2 ⋅ x = 2 ⋅ 2 = 4 , ( tgα = 4 ) ; Если x = 0 следовательно 2 ⋅ 0 = 0 , ( tgα = 0 ). x = 0 - линия экстремумов.

1.2. Фазовое пространство Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Размерность фазового пространства для точки равна 6: x, y, z , x& , y& , z& , а для системы n точек - 6n. Для системы из n твердых тел размерность фазового пространства равна 12n. В каждой точке фазового пространства задан вектор - вектор фазовой скорости. Все вектора фазовой скорости формируют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Снятие фазового пространства сводит изучение процессов, описываемых дифференциальными уравнениями (эволюционные процессы) к геометрическим задачам о кривых, определяемых векторными полями.

1.2.1. Уравнения пространством. Рассмотрим уравнение

с

одномерным

x& = V (x) x ∈ R .

фазовым

оно называется

автономным (нет явной зависимости от t). Решаем его:

Рис. 1.5

dx = V (x) dt dx = d (t ) V ( x) dx t=∫ +C V ( x) Изобразим функцию V(x) на плоскости (рис.1.6)

9

10

ln

x = k (t − t 0 ) x0

x = x 0 e k ( t − t0 )

Рис. 1.7

Рис. 1.6

Точка пересечения кривой V(x) с осью x (точка А) называется особой точкой. Так как

dx = tgα , dt

то

V ( x ) = tgα

и мы можем построить поле направлений, отложив на плоскости углы, полученные из левого рисунка. При этом будем учитывать знак и то, что

Va = 0 => α a = 0

o

Итак, слева мы получили векторное поле фазового пространства, а справа поле направлений. Между ними находится ось, которая определяет особености (V=0) на прямой (на оси).

1.2.2. Уравнение нормального размножения

x& = kr , k > 0 dx dx = kr ; откуда = kdt dt x x t dx ∫ x = k ∫t dt ; x0 0

11

Слева - векторное поле фазовой плоскости, справа поле направлений. На оси стрелочками указано положительное значение V на левом графике V(x) Рис.1.7

1.2.3. Логистическая специального вида

кривая,

x& = (1 − x) x dx = (1 − x) x dt dx ∫ (1 − x) x = ∫ dt x =t Ln 1− x et x= 1 + et 2 правая часть уравнения -парабола: x& = x − x

12

парабола

⎧ x&1 = V ( x1 ) ⎨ ⎩ x& 2 = V ( x2 )

(1.6).

фазовым пространством которой является прямое произведение с фазовым пространством V1 ,V2 уравнений (1.5) и (1.5’). Каждое из уравнений (1.5) и (1.5’) - это дифференциальное уравнение с одномерным фазовым пространством. Они определяют векторные поля на прямой (прямые со стрелками). Прямое произведение этих уравнений позволяет перейти к векторным полям на плоскости. Рассмотрим ряд примеров, показывающих связь между теорией бифуркаций, теорией катастроф и теорией устойчивости:

Пример 4

Задана система двух уравнений: Рис. 1.8

Из построения (Рис.1.8, 1.9) видно (по оси), что т. В неустойчивая, т.А - устойчивая.

⎧ x&1 = x1 ⎨ ⎩ x& 2 = kx2 Рассмотрим два случая: (1) когда k>0 (2) когда k<0 Построим векторное поле и поля соответствующие первому случаю (k>0)

Рис. 1.9

1.3 Прямые произведения Рассмотрим два дифференциальных уравнения:

x&1 = ϑ1 ( x1 ) x& 2 = ϑ2 ( x2 )

(1.5), (1.5’)

x1 ∈V1 ; x2 ∈V2

Прямым произведением этих двух дифференциальных уравнений называется система вида:

Рис. 1.10

13

14

(1.7)

направлений,

При k>1 - это семейство парабол, касающихся оси x1 (Рис.1.12) При k<1 - это семейство парабол, касающихся оси x2 (Рис.1.12) На фазовой плоскости оси тоже являются фазовыми кривыми. Направление траектории определяется направлениями осей устойчивости. Точка О-точка равновесия системы.

Рис. 1.11

На плоскости (x1,x2), т.е. на фазовой плоскости системы (1.5). векторное поле можно строить уже известным методом. Нам целесообразно будет воспользоваться решениями этих дифференциальных уравнений. Итак имеем: x

t

1 dx1 dx1 = x1 => ∫ = ∫ dt → x1 = x1 (0)e ( t − t0 ) dt x1 t0 x1( 0 )

x

(1.8)

t

2 dx2 dx2 = x2 k => ∫ = k ∫ dt → x2 = x2 (0)e ( t − t0 ) dt x2 x2 ( 0 ) t0

(1.8’)

где x1(0), x2(0), t0 начальные условия, соответствующие уравнениям (1.5). Чтобы найти траекторию, перейдем к уравнениям (1.8) к координатам x 1 , x2 из первого уравнения

e

k ( t − t0 )

Рис. 1.12

В обоих случаях траекториями системы являются те части парабол (1.8’) и координатных осей x1=0, x2=0. на которых эти кривые разбиваются состоянием равновесия (т.0(0,0)). Состояние равновесия типа рис.1.12 называется неустойчивым узлом. Второй случай: k<0 Построим векторные поля и поля направлений при k<0 : (рис.1.13)

x1k = k , x1 (0)

подставляя во второе уравнение, получим:

x2 = x2 ( 0)

x1k , x1k (0)

x2 = cx1k (0) x2 ( 0) C= k x1( 0 ) 15

,

или где

16

Рис. 1.13

Для учебных целей, для конкретизации примера возьмем k=-1. тогда уравнение (1.8’) примет вид:

x2 = cx1−1 , т.е. система имеет аналитический интеграл: x2 x1 = c (1.9) Интегральными кривыми являются: при c ≠ 0 -гиперболы, при c = 0 -оси x1=0, x2=0 Каждая гипербола состоит из двух траекторий (ее ветвей). Координатные оси определяют состояние равновесия (полуоси на осях x1 и x2). Траектории, являющиеся полупрямыми оси x1 стремятся к состоянию равновесия (x1=0) при t → −∞ , а траектории, являющиеся полуосями оси x2 стремятся к состоянию равновесия (x2=0) при t → +∞ . Это хорошо видно на рис.1.13. Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия, система не имеет. Строим векторное поле на фазовой плоскости (рис.1.14). 17

Рис. 1.14

Состояние равновесия такого типа называется седлом. Траектории, которые стремятся к точке равновесия (т.0), в данном случае это четыре полуоси x1 =0, x2=0 называются сепаратрисами седла.

Пример 5

Пусть задана система уравнений:

⎧ x&1 = − x1 ⎨ ⎩ x& 2 = − x2

( 1.10 )

Производная все действия и построения аналогичные примеру 5, мы получим, что фазовые кривые этой системы имеют вид, представленный на рис.1.15

18

Рис. 1.17 Рис. 1.15

Состояние равновесия такого типа называется устойчивым узлом. Варианты устойчивых узлов показаны на рис.1.16, 1.17.

1.4. Уравнения с разделяющимися переменными Это тип уравнения сводится к дифференциальным уравнениям, заданным векторными полями на прямой, в этом случае фазовые кривые заданной системы совпадают с фазовыми кривыми уравнений - прямых произведений. Определение: уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

dy f ( y ) = dx g ( x )

( 1.11 )

Рассмотрим наряду с этим уравнением систему (прямое произведение):

⎧ x& = g ( x) ⎨ ⎩ y& = f ( y ) Рис. 1.16

19

очевидно, что если

20

(1.11’)

dx = g( x) dt

dy = f ( y ) , то деля второе уравнение dt

на первое, получим

∫

R − ay bx − l dy = ∫ dx + C y x

(1.14)

перепишем (1.13) в виде

dy f ( y ) = dx g ( x)

y dy dτ = R − ay , отсюда dx x dτ bx − l dx x ⎧ ⎪⎪ dτ = bx − l ⎨ dy y ⎪ = ⎪⎩ dτ R − ay

(1.11)

Всюду будем пользоваться теоремой: Фазовые траектории (1.11’) являются интегральными кривыми уравнения (11), и, обратно интегральные кривые уравнения (1.11) являются фазовыми кривыми системы (1.11’).

Пример 6.

Пусть задана система дифференциальных уравнений:

⎧ x& = Rx − axy ⎨ ⎩ y& = −ly + bxy

(1.12)

Эта система является простейшей моделью системы хищник - жертва (модель Лотка- Вольтера). Задача построить фазовые кривые модели. Решение: Проанализируем систему, переписав ее в виде:

Получим прямое произведение этих уравнений. Решение уравнения (1.14) имеет следующий вид: bx − l ln x + C = R ln y − ay , или

P( x) + Q( x) = C где

⎧ P = bx − l ln x ⎨ ⎩Q = ay − R ln y

разделим нижнее уравнение на верхнее, получим (1.13) Рис. 1.18

уравнение с разделяющимися переменными. Далее запишем: 21

(1.16),

Графики функции Р и Q выглядят так: (рис. 1.21):

⎧ x& = x( R − ay ) , или ⎨ ⎩ y& = y (bx − l ) ⎧ dx ⎪⎪ dt = x( R − ay ) ⎨ ⎪ dy = y (bx − l ) ⎪⎩ dt

dy y (bx − l ) dy ( R − ay ) dx(bx − l ) = ⇒ = dx x( R − ay ) y x

(1.15)

22

(1.17)

Т.е. фазовые кривые системы (1.12) замкнутые. Такие кривые называются циклами. Любой цикл всегда соответствует колебательному процессу. Таким образом, система (1.12) описывает колебательный процесс, соответствующий замкнутому циклу, амплитуда колебаний которого определяется начальными условиями. Траекториями системы являются замкнутые траектории. Точка ( x 0 , y 0 ) - точка равновесия.

1.5 Функция последования Запишем уточненную систему (1.12)

⎧ x& = x( R − ay ) + εf ( x, y ) ⎨ ⎩ y& = y (−l + bx) + εg ( x, y )

Рис. 1.19

Видим, что в сечении этой поверхности плоскостями, перпендикулярными оси P+Q, получаются линии (рис.1.22).

где

(1.18),

εf ( x, y ), εg ( x, y )

- отброшенные при идеализации малые поправки к модели (1.12). Будем называть свойство модели (1.12) грубым, если оно имеет место и для всякой системы (1.18) при достаточно малых Е. С этой точки зрения вывод о положении равновесия ( x 0 , y 0 ) является грубым, т.к. положение равновесия имеется не только у системы (1.12), но и у всякой близкой системы (1.18). Вычислим координаты особой точки системы ( x 0 , y 0 ):

⎧ x& = x( R − ay ) ⎨ ⎩ y& = y (−l + bx) x& = 0 ⇒ R = ay0 ⇒ y0 = y& = 0 ⇒ l = bx0 ⇒ x0 =

R a

l b

Точка ( x 0 , y 0 ) - отвечает равновесному состоянию. Картина поля фазовой скорости будет выглядеть так (рис.1.20):

Рис. 1.20а

23

24

При переходе к близкой системе (1.18) в зависимости от вида возмущений γ и g функции последования могут быть такими, как показано на рис.1.21. На рис.1.21 также изображены зависимости Ф(А)=А для каждого вида функции последования соответственно. Неподвижная точка отображения А=Ф(А) устойчива, если производная Φ ′( A ) = tgα < 1 , и неустойчивая, если ∗

Φ ′( A ∗ ) = tgα > 1 .

Рис. 1.20б

Здесь особая точка соединена отрезком прямой с осью x. Каждая точка “А” этого отрезка (не лежащая на х) определяет фазовую кривую, которая снова пересекает отрезок в некоторой точке Ф(А) (у нас Ф(А)=А). Функция Ф(А) называется функцией последования (отображение Пуанкаре, монодромия, голономия). Зависимость Ф(А)=А на рис.1.21.

На

рис.1.21-а

фазовые

кривые

-

спирали, наматывающиеся на любую точку. Равновесие такого типа называется устойчивым фокусом. На рис. 1.21-в - спирали, сматывающиеся с особой точки. Равновесие такого типа - неустойчивый фокус. Рис. 1.21с здесь одна изолированная замкнутая траектория, а все другие, проходящие через точки достаточно малой окрестности, стремятся к ней при t → ∞ . Такая замкнутая траектория называется устойчивым предельным циклом - здесь наблюдаются периодические колебания, но амплитуда установившихся колебаний не зависит от начальных условий, любая фазовая спираль наматывается на предельный цикл. Говорят, что в системе устанавливается автоколебательный режим.

а)

с)

в) Рис. 1.21

Рис. 1.20в

25

Особенности автономных исчерпываются особенностями: 1. Устойчивый узел 26

систем

полностью

2. Неустойчивый узел 3. Седло 4. Центр (колебательный процесс, зависящий от начальных условий ) 5. Устойчивый фокус 6. Неустойчивый фокус 7. Устойчивый предельный цикл (колебательный процесс независящий от начальных условий).

Глава 2 Алгебра потоков в фазовом пространстве 2.1. Одномерные динамические системы Одномерная динамическая система x& = f (x) , не зависящая от параметров управления, как правило, имеет только особые изолированные критические точки, в которых f ( x ) и f ′ (x)=0 , - она содержит критические точки двух видов:

M 01

M 11

притягивающие

отталкивающие

2.2. Двумерные динамические системы А теперь займемся алгеброй динамических систем на плоскости. M 0′ - это одномерный устойчивый аттрактор (морсовское нулевое седло) - аргумент х добавим к нему составляющую - аргумент y.

Получили изолированную критическую точку морсовское нулевое седло. Далее, добавим к нему составляющую

27

28

M 02 -

M 11 (аргумент y) :

Такая критическая траектория (это не точка) называется устойчивым предельным циклом, - в соответствующем разделе мы уже знакомились с этим понятием. Аналогичные “алгебраические” действия произведем с одномерной неустойчивой критической точкой:

2

Получили морсовское 1-седло M 1 (изолированная критическая точка). Теперь добавим к нему ненулевой поток (аргумент y)

В этом случае критическая точка не будет изолированной. Замкнем поток на себя:

2

Здесь M 2 - морсовское 2 - седло

T 1 × M 11 - неустойчивый предельный цикл

Устремим радиусы предельных циклов к нулю: r → 0

T 1 × M 01 - это критический поток Здесь критическое поведение будет отвечать случаю устойчивого кругового движения.

29

30

2

Здесь F− - устойчивый фокус

F+2 - неустойчивый фокус Перечислим полученные структуры:

M 02 , M 12 , M 22 - изолированные морсовские седла, F−2 , F+2 фокусы,

T 1 × M 01 , T 1 × M 11 - предельные циклы, - для динамических систем на плоскости эти структуры являются единственно возможными.

- с изолированной критической точкой

2.3. Трехмерные динамические системы Для получения соответствующих структур возьмем за основу двумерные структуры, перечисленные ранее. Произведем “алгебраические” действия: - с изолированной морсовской точкой

31

M 12 , -

32

M 22 , -

- с изолированной критической точкой

M 02 -

Здесь мы получили изолированные особые точки

M 13 , M 23 , M 33 , M 03 и предельные циклы: T 1 × M 12 , T 1 × M 22 - неустойчивые T 1 × M 02 - устойчивые Произведем “алгебраические” действия: - с устойчивым фокусом

33

34

F−2 , -

S c+ - неустойчивую предельную спираль, 2 1 2 1 2 1 2 1 потоки типа F− × M 0 , F− × M 1 , F+ × M 0 , F+ × M 1 . Произведем “алгебраические ” действия: - с устойчивым предельным циклом

- c неустойчивым фокусом

T 1 × M 01 , -

F+2 , -

- c неустойчивым предельным циклом

Здесь получили:

S c− - устойчивую предельную спираль, 35

36

T 1 × M 11 , -

Спиральное движение в плоскостях является отталкивающим, сами плоскости являются притягивающими. Состояние системы, первоначально соответствующее точке ( x 0 , y 0 , ε ) будет изменяться по раскручивающейся Здесь получены новые структуры: - устойчивый тор

T 2 × M 01 ,

- неустойчивый тор

T 2 × M 11

2.4. Странный аттрактор Пусть

динамическая

система

имеет

два

потока

F × M , - один поток помещен в точку ( x 0 , y 0 , o) , а другой - в точку ( 0, y 0 ,−1 ⋅ x 0 ).

локального типа

2 +

1 0

спирали, оставаясь вблизи плоскости Z=0 до тех пор, пока оно не окажется на значительном расстоянии от первой критической точки. Тогда станет ощутимым влияние плоскости х=0, которая является притягивающей вблизи второй критической точки. Затем ситуация в плоскости х=0 повторит ситуацию в плоскости Z=0, система “перескакивает” из окрестности одной критической точки в окрестность другой критической точки, и это движение оказывается хаотичным. Моделью странного аттрактора является двумерное обобщение квадратичного отображения

⎧ x n +1 = 1 − ax n0 + y n ⎨ ⎩ y n +1 = bx n где b ≤ 1, a - внешние параметры.

37

38

M ≥ M min = 10 2+0.4 D

Глава 3 Исследование хаотических режимов кривошипно-ползунного механизма и нелинейного маятника До начала 60-х годов в нелинейных диссипативных динамических системах в стационарном режиме наблюдали только периодические и квазипериодические движения. Однако в 1963 году в динамической системе Лоренцем было обнаружено очень сложное движение, которое воспринималось как хаотическое. Для характеристики таких движений ввели понятие "динамический хаос". Слово "динамический" означает, что отсутствуют источники флуктуаций. В статье математиков Рюэля и Такенса [8], опубликованной в 1971 году, был введен новый математический образ динамического хаоса - странный аттрактор. Слово "странный" подчеркивает два свойства аттрактора. Это, во-первых, необычность его геометрической структуры. Размерность странного аттрактора является дробной (фрактальной). Во-вторых, странный аттрактор - это притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы, что выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий.

3.1. Методы вычисления стохастических характеристик 3.1.1. Требования к исходным данным

Для вычисления таких статистических средних, как размерность, энтропия, спектр показателей Ляпунова, и других характеристик аттрактора, необходимо иметь множество точек, определенных в фазовом пространстве размерности n и принадлежащих аттрактор. Число точек M в расчетах конечно, но обязано быть достаточно большим. Согласно формуле, предложенной в [8] 39

,

(3.1)

где D - размерность аттрактора. В случае, когда динамическая система задана дискретным оператором отображения, точки находятся автоматически после задания начальных условий. Если динамическая система задана системой дифференциальных уравнений, то в общем случае решение может быть найдено только численным интегрированием системы на компьютере. Однако часто требуется вычислить характеристики аттрактора некоторой реальной системы, математическая модель которой неизвестна. При этом, как правило, неизвестна и размерность ее фазового пространства. В этой ситуации мы располагаем информацией о поведении во времени какой-либо одной из динамических переменных. К тому же и интервал времени экспериментальной реализации естественно ограничен. Можно ли в таких условиях получить характеристики аттрактора? Путь к решению этой проблемы был предложен Такенсом. В [8] доказано, что почти для всех гладких динамических систем по имеющейся временной реализации одной наблюдаемой динамической переменной можно сконструировать новый аттрактор, основные свойства которого будут такими же, как у исходного.

3.1.2. Восстановление аттрактора по временному (пространственному) ряду

Пусть данных,

имеется временной ряд экспериментальных представляющий собой отсчеты некоторой

физической величины: времени

{sk }kM=−01 .

Если известен шаг по

Δt , то время t = k ⋅ Δt . Предполагается, что

физическая величина s является одной из переменных динамической системы. Система находится в стационарном режиме, т.е. фазовая траектория проходит внутри аттрактора. Для восстановления аттрактора Такенсом предложен метод временной задержки координат. В nмерном фазовом пространстве строится последовательность точек вида: 40

xk = (sk , sk +τ , K , sk +( n−1)τ ), k = 0, m − 1,

(3.2)

m = M − (n − 1)τ .

Здесь τ – временная задержка, n – размерность вложения. Основной результат Такенса состоит в следующем. Если M → ∞ , то множество точек xk ∈ R n задает вложение исходного

аттрактора

почти

при

любом

выборе

наблюдаемой переменной, если n не меньше удвоенной размерности исходного аттрактора. Для оценки характеристик реального исследуемого аттрактора можно вычислять характеристики восстановленного аттрактора. С целью уменьшения ошибки, обусловленной конечностью набора

экспериментальных

точек

{sk }kM=−01 ,

n,

M

и добиваться независимости получаемых оценок

характеристик от

даны

bj

множества

sk +τ была по возможности минимальной. Традиционный способ выбора временной задержки состоит в вычислении автокорреляционной функции временного ряда:

1 ∑ (sk − s )(sk +τ − s ), m = M − τ . m k =0

τ

(3.3)

и

множества

B. Aи

Взаимная элементом

определяется как количество информации, и

ai

bj

по отношению друг к

(3.4)

Если измерения независимы, то взаимная информация равна нулю. Усредняя по всем измерениям, получаем:

⎡ P (a , b ) ⎤ (3.5) I AB = ∑ PAB (ai , b j ) ln ⎢ AB i j ⎥ . ai ,b j ⎢⎣ PA (ai ) PB (b j ) ⎥⎦ Заменяя ai и bj на s k и sk +τ соответственно, получаем среднюю взаимную информацию как функцию временной задержки τ . Задержка τ выбирается равной времени первого минимума во взаимной информации.

3.1.4. Алгоритм вычисления размерности аттрактора В

m −1

B

ai

A

⎡ PAB (ai , b j ) ⎤ I ai ,b j = ln ⎢ ⎥. ⎢⎣ PA (ai ) PB (b j ) ⎥⎦

Δt значения sk и sk +1

будут близкими, поэтому большое значение приобретает правильный выбор временной задержки τ . Необходимо стремиться выбрать τ так, чтобы корреляция между sk и

измерений

которое имеют измерения другу:

3.1.3. Выбор временной задержки (сдвига) τ

B(τ ) =

множества

информация между элементом

M и n в пределах заданной точности.

Для малых шагов по времени

два

необходимо

проводить расчеты при нескольких различных значениях и

присутствуют кратные пики, то задержка τ выбирается равной четверти периода самой высокой из доминирующих частот. Третий способ [8] основан на вычислении средней взаимной информации между двумя измерениями. Пусть

случае

модельных

данных,

корреляционной

когда

известна

размерность

фазового

системы и

координат каждой точки на аттракторе,

n все n

пространства

нам

динамической

корреляционную размерность D2 аттрактора находят следующим образом [8]. Рассмотрим корреляционный

выбирается равной времени первого Задержка пересечения нуля автокорреляционной функции. Второй способ требует вычисления спектра мощности временного ряда, т.е. быстрого преобразования Фурье автокорреляционной функции. Если в спектре мощности

интеграл C(r), показывающий относительное число пар точек аттрактора, находящихся на расстоянии, не большем

41

42

r:

m − 2 m −1

1 ∑ ∑θ (r − ρ ( xi , x j )) , m(m − 1) / 2 i =0 j = j +1 ⎧1, α ≥ 0, здесь θ – функция Хевисайда: θ (α ) = ⎨ ; ρ– ⎩0, α ≤ 0, C (r ) =

расстояние в точек

(3.6)

пространства n = 1, 2, 3, ... Для восстановления аттрактора используется метод Такенса. При этом корреляционная размерность аттрактора

n-мерном фазовом пространстве, m - число

D2

на аттракторе. Если выполняется условие

C (r ) ~ r D2 ,

(3.7)

то D2 считают корреляционной размерностью аттрактора. Справедливость приведенного степенного закона ограничена

значениями

r,

достаточно

малыми

по

сравнению с размером аттрактора. При увеличении

C(r)

достигает насыщения

C ( r ) → 1 (при

r r,

сравнимых с размером аттрактора). С другой стороны, при очень

малых

значениях

r

число

пар

точек

(xi,

D2(n) сначала возрастает, но затем

обычно выходит на постоянный уровень D2 (n) ≈ D2 . Таким образом, получают искомую корреляционную размерность

xi

величина

пространства системы и располагаем информацией только об одной координате точек на аттракторе. Поэтому все расчеты проводятся для нескольких размерностей фазового

xj),

расстояние между которыми не превышает r, становится малым (из-за конечности числа точек на аттракторе) и статистика становится бедной. Кроме того, приобретает решающее значение влияние инструментальных ошибок измерения сигнала. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений r (скейлинговом диапазоне), который и может быть использован для определения размерности аттрактора. Учитывая, что из (3.7) следует ln C (r ) ~ D2 ln r , (3.8) получаем оценку размерности аттрактора как тангенс угла наклона прямой, аппроксимирующей график

аттрактора

и

оценку

размерности

фазового

пространства системы n ≤ 2 D2 + 1 . Если же выходной сигнал динамической системы сильно зашумлен, то размерность аттрактора постоянно растет.

3.1.5. Алгоритм вычисления корреляционной энтропии аттрактора Корреляционная энтропия K2 может быть вычислена достаточно просто [8]. Для этого также вычисляют корреляционный интеграл (3.6), но рассматривают не только

его

зависимость

от

расстояния

размерности фазового пространства что

n.

r,

но

и

от

При этом полагают,

C (r , n) ~ r D2 exp(−nK 2 ) ,

(3.9)

откуда

K 2 (r , n) = ln Энтропия

K2

диапазоне значений

C ( r , n) . C (r , n + 1)

аппроксимируется

(3.10) в

приемлемом

r и n.

3.1.6. Построение динамической модели по экспериментальным данным

C(r) в двойном корреляционного интеграла логарифмическом масштабе. В случае экспериментальных данных мы обычно не знаем размерность фазового

В самом общем случае не известно никакой определенной модели. По одной наблюдаемой динамической переменной необходимо восстановить систему дифференциальных уравнений (СДУ) или дискретное отображение, которые управляют поведением

43

44

данного временного ряда [11]. Обычно модель задается системой обыкновенных дифференциальных

Вышеприведенные характеристики можно вычислить с помощью программы, разработанной В.В. Сычевым. Первый раз программа запускается с английским интерфейсом. Перейти на русский можно из меню «Options» => «Russian Interface». При открытии временного ряда отсчеты трактуются как вещественные, независимо от того, целые они или вещественные на самом деле. При последующей «загрузке» отсчеты преобразуются в целочисленные. Здесь есть два варианта в зависимости от состояния пункта меню «Параметры» => «Целочисленные исходные данные». Если там стоит галочка, либо был открыт звуковой файл, то отсчеты просто округляются до

ближайшего целого. Если нет, либо, если диапазон отсчетов окажется больше 65535, то отсчеты сначала подвергаются линейному преобразованию с тем, чтобы их диапазон после округления стал стандартным: от -32768 до 32767.Открыть временной ряд можно с помощью меню «Файл» => «Открыть» или кнопки «Обработка», но перед началом расчета корреляционного интеграла или показателя Херста из этого временного ряда нужно еще загрузить отсчеты для обработки с помощью пункта меню «Обработка» => «Загрузить отсчеты» или кнопки «Обработка». При этом загружаются отсчеты от «Первый отсчет» до «Последний отсчет», поэтому эти два параметра необходимо выставить до загрузки отсчетов. Либо вручную, либо меняя масштаб рисунка мышкой. Левой кнопкой мыши можно выделять прямоугольник на рисунке и автоматически он показывается на всем окне. Т.е. доступен выбор масштаба. Правой кнопкой мыши можно выполнять прокрутку рисунка по горизонтали и вертикали. Для этого нажимаем правую кнопку, перемещаем мышь и отпускаем кнопку. Вернуться к исходному масштабу можно двойным кликом по рисунку. Кстати, выбор масштаба доступен всегда, что бы ни было нарисовано: отсчеты, автокорреляционная функция, средняя взаимная информация, траектория в фазовом пространстве, корреляционная размерность, корреляционная энтропия или зависимость нормированного размаха для расчета показателя Херста. Во время загрузки отсчетов вычисляются автокорреляционная функция и средняя взаимная информация для первой колонки в файле данных. Предлагаемая автоматически оптимальная временная задержка может соответствовать времени: * первого локального минимума средней взаимной информации; * первого пересечения нуля автокорреляционной функции; * первого локального минимума автокорреляционной функции. Все зависит от того, что окажется меньше. Траектории в двумерном фазовом пространстве для одномерных временных рядов рисуются с учетом временной задержки «Оптим. задержка». Тоже самое применяется и для

45

46

уравнений dx / dt = F ( x ) , где

x

- точка в

n-мерном

фазовом

пространстве. Затем F(x) строится с помощью полиномов от фазовых переменных [10]. В этот способ могут быть добавлены различные усовершенствования, включающие использование разложения временного ряда по некоторой системе базисных функций для облегчения эффективного выбора полиномов для СДУ и фильтрации шума в данных [11]. Можно определять параметры динамической системы по экспериментальному временному ряду и предложенному виду СДУ. Стохастические характеристики "подогнанного" аттрактора могут быть затем сравнены с характеристиками "сырого" аттрактора с целью убедиться в адекватности предложенной модели. В простейшем случае модельные параметры входят линейно в СДУ. Типичные примеры системы Лоренца [8] и Ресслера [8]. В более сложных ситуациях, таких как физический маятник, некоторые модельные параметры входят линейно, в то время как остальные - нелинейно. Применение метода наименьших квадратов для поиска параметров дает хорошие результаты в обоих случаях. Допускается даже присутствие умеренного количества (≤ 1%) аддитивного шума.

3.2. Обработка экспериментальных данных с помощью программы Fractan

траекторий в трехмерном фазовом пространстве для одномерных и двумерных временных рядов. Если же количество колонок в исходном файле данных позволяет, то для отображения траекторий в 2D или 3D фазовом пространстве используются, соответственно, первые 2 или первые 3 колонки. Начать расчет корреляционного интеграла можно из пункта меню «Обработка» => «Корреляционный интеграл» или нажатием кнопки «Обработка». В случае одномерного ряда данных при этом используется выставленная временная задержка «Оптим. задержка» и максимальная размерность фазового пространства «Макс. размерность».Если «Макс. размерность» не выставлена, либо меньше 2 или больше 37, то она будет найдена автоматически в процессе расчета. В любом случае размерность фазового пространства будет расти от 1 до «Макс. размерность». Однако если нажать кнопку «Стоп», то программа досчитает при текущей размерности фазового пространства и остановится.По корреляционному интегралу находятся корреляционная размерность и корреляционная энтропия. Результаты записываются в два текстовых файла *.dim и *.ent , которые затем могут быть открыты из меню «Файл» => «Открыть», нарисованы и сохранены как черно-белый рисунок *.bmp (меню «Файл» => «Сохранить В случае многомерного ряда данных рисунок»). корреляционная энтропия не рассчитывается. Корреляционная размерность и энтропия рисуются из пунктов меню «Просмотр» => «Корреляционная размерность» и «Просмотр» => «Корреляционная энтропия». При этом учитывается параметр «Макс. размерность». Размерность фазового пространства не будет превышать значение этого параметра. Минимальная длина временного ряда данных для обработки равна 512. Рекомендуемая длина не меньше 10^(2+0.4*D), где D корреляционная размерность аттрактора. Однако если длина временного ряда будет больше 32768, то перед началом вычисления корреляционного интеграла выдается предупреждение, поскольку сложность расчета растет как квадрат количества отсчетов и время расчета может затянуться. Если предупреждение будет проигнорировано,

то расчеты начнутся, причем использоваться будут все загруженные отсчеты, а не только первые 32768! Минимальная размерность фазового пространства - 1. Максимальная размерность фазового пространства - от 2 до 37. Минимальная временная задержка - 1. Максимальная временная задержка - не более 256. Вычислить показатель Херста можно с помощью пункта меню «Обработка» => «Показатель Херста». После расчета на экране рисуется временная зависимость нормированного размаха в двойном логарифмическом масштабе и ее линейная аппроксимация. Наклон аппроксимирующей прямой и есть оценка показателя Херста.В файл показателя Херста пишутся только результаты аппроксимации, а сама временная зависимость нормированного размаха не сохраняется и ее можно нарисовать из пункта меню «Просмотр» => «Показатель Херста» только после соответствующего расчета. Однако после того как она нарисована, ее можно сохранить через меню «Файл» => «Сохранить». Значения корреляционной размерности CorrDim при различных размерностях фазового пространства PhSpDim записаны в этом файле в колонках таблицы. В строках ниже PhSpDim слева записано значение двоичного логарифма расстояния в фазовом пространстве относительно общего размера аттрактора, а правее – соответствующие значения корреляционной размерности. В строке CorrDim записаны значения корреляционной размерности, которые программа автоматически получает по соответсвующей колонке, но не всегда это дает хороший результат. В столбце находится участок, на котором значения размерности более менее одинаковы и затем значения корреляционной размерности из этого участка усредняются. Далее теоретически нужно смотреть получившуюся строку значений слева направо, пока значения размерности не перестанут расти. Вот этот-то предел и есть искомое значение корреляционной размерности. Если предела не существует, то исходные данные представляли собой не динамический ряд, а просто шум. Смысл остальных записей в этом файле следующий:

47

48

и ( 2σ + b) – Каждая из групп параметров – 2r меняются по конкурирующему сценарию так, чтобы была обеспечена самоорганизация процесса. В частности, эти изменения для обоих слагаемых могут быть сигмоидного типа (рис. 3.1). 2

3.3. Управляющий параметр аттрактора Лоренца Аттрактор Лоренца был предметом исследования многих ученых. При этом в качестве управляющего параметра выбирался параметр r:

⎧ x& = −σ x + σ y, ⎪ ⎨ y& = rx − y − xz , ⎪ z& = −bz + xy. ⎩

(3.11)

Введем ряд обозначений с учетом опыта использования физических параметров линейных систем:

⎧ x& = −σ 1 x + r12 y, ⎪ 2 (3.12) ⎨ y& = r2 x − σ 2 y − xz, ⎪ z& = −σ z + xy. 3 ⎩ r1 = r2 = r > 0 – частотные параметры; Примем σ 1 = σ 2 = σ > 0 , σ 3 = b > 0 – параметры демпфирования. По аналогии с управляющий параметр:

линейными

λ = 2r 2 − (2σ + b) 2 . 49

системами

введем (3.13)

2

Параметры

Data = Имя исходного файла данных Left = Номер первого отсчета Right = Номер последнего отсчета Lag = Временная задержка (в отсчетах) MaxDim = Максимальная размерность фазового пространства Range = Диапазон значений отсчетов в исходном файле данных LDist - Левая граница наилучшего интервала расстояний RDist - Правая граница наилучшего интервала расстояний Sigma - Погрешность вычисления корреляционной размерности

Рис. 3.1 Рис.3.1 Сигмоидные кривые конкурирующих параметров Эти соображения выходят за рамки данной монографии и поэтому мы только их отметим. Рассмотрим некоторые предельные случаи значений управляющего параметра (УП). УП1:

2σ + b = 0 ⇒ 2σ = −b;

λ = 2r 2 > 0 . Система (3.12) перепишется в виде

b ⎧ 2 ⎪ x& = 2 x + r y, ⎪ b ⎪ 2 ⎨ y& = r x + y − xz , 2 ⎪ ⎪ z& = −bz + xy. ⎪ ⎩

(3.14)

Имеет смысл рассматривать только случаи положительных значений коэффициентов демпфирования и, значит, вместо (3.14) запишем 50

⎧ x& = r 2 y, ⎪ 2 ⎨ y& = r x − xz, ⎪ z& = xy, ⎩

⎧ x& = −σ x, ⎪ ⎨ y& = −σ y − xz , ⎪ z& = −bz + xy. ⎩

(3.15)

(3.18)

что дает в линейном приближении на плоскости xOy интегральных кривых гиперболу

В линейном приближении здесь реализуется устойчивый трехмерный узел.

x2 y2 − = 1. c2 c2 ⇒ 2r 2 = (2σ + b) 2 ;

Результаты расчетов представлены на рисунках: Рис. 3.2 – результаты расчета классической системы (3.11) при значениях параметров:

r1 = 3,2; r2 = 5,2; σ 1 = 10 Н; σ 2 = 1; σ 3 = 8 / 3;

[r 2 − (2σ + b)][r 2 + (2σ + b)] = 0 .

Рис. 3.3

r 2 = 2σ + b; b = r 2 − 2σ .

Система (3.12) перепишется в виде

⎧ x& = −σ x + r 2 y, ⎪ 2 ⎨ y& = r x − σ y − xz, ⎪ ⎩ z& = −(r 2 − 2σ ) z + xy.

r 2 = −2σ − b;

x(τ)

Система (3.12) перепишется в виде

0

0

5

-50

10

0

5

500

500

0

0

0

5

10

-500

0

5

τ x ′ (x) 10 0 -10

10

-500

τ y ′ (y)

0 -20 -10

-5 y

Рис. 3.2

52

0

5

τ z ′ (z)

20

-8 x

5

10

τ z ′ (τ)

0 -200

0

τ y ′ (τ) z′

x′

0

10

200

-10

51

z(τ) 50

τ x ′ (τ)

x′

УП3:

0 -20

Система (3.12) перепишется в виде

⎧ x& = −σ x + r 2 y, ⎪ 2 (3.17) ⎨ y& = r x − σ y − xz, ⎪ ⎩ z& = (r 2 − 2σ ) z + xy. λ < 0, ⇒ 2r 2 = 0, ⇒ λ = −(2σ + b) 2 ;

50 z

x

b = −r 2 − 2σ .

y(τ)

20

z′

УП2-2:

(3.16)

.

– результаты расчета системы (3.6) при значениях параметров: r1 = r2 = 10; σ 1 = σ 2 = 4 / 3 . Рис. 3.4 – результаты расчета системы (3.17) при тех же значениях параметров, что у системы (3.16.) Данные результаты показывают, что внутренняя динамика процесса чрезвычайно сложна. Тем не менее, данный подход позволяет ввести в обращение при оценке качества поверхностей фрактальные параметры. Более того, модели внутренней динамики дают возможность исследовать эволюцию структуры поверхностей.

y

УП2-1:

x0 = 0; y0 = 0,01; z 0 = 0

y′

λ = 0,

y′

УП2:

20 0 -20 22 24 26 28 z

10

x(τ)

y(τ)

0

0

2

200

0

z

200

-200

4

τ x 10 x ′ (τ)

0

2

2

0

2

τ

200 x

0

2

2

0 -2 -200

400

0 y

4

τ

z′

x′

y′ 0

4

0 -2

4

4 x 10 y ′ (y)

2

0 -1

2

τ x 10 z ′ (τ)

τ

4 x 10 x ′ (x)

1

2

0 -2

4

0 4

z′

x′

y′ 0

0

4

4

0 -1

2

Канонические формы элементарных катастроф

100

τ x 10 y ′ (τ)

4

1

Глава 4

z(τ)

200 y

x

400

0 -2

200

4 x 10 z ′ (z)

0

100 z

200

На примере универсального квадратичного отображения было показано, что в простой нелинейной модели заложено сложное поведение механической ( или любой другой: биологической, химической и т. д. ) системы. Перечислим еще раз составляющие сложного поведения. λ = 1 происходит 1) При значении параметра бифуркация (первая): кроме одной неподвижной точки

x1* = 0

появляется еще одна

неподвижная точка

Рис. 3.3

появившаяся

0

2

4

5 y′

0 -1

-1000

τ 5 x 10 x ′ (τ)

0

2

2

0

2

τ x 10 x ′ (x)

0

2

200

0

2

4

0 0 y

Рис. 3.4

53

4

τ

x 10 y ′ (y)

-5 -1000

4

τ 22 x 10 z ′ (τ)

1000

x 2* ≠ 0 становится устойчивой. значении параметра λ = 3,0 устойчивых бифуркации

циклов,

происходит происходящее в

S1 → S2 . 4 8 приводит к циклам S , S ,...

удвоения

периода:

Дальнейшие увеличение λ 3) Обобщение результатов с использованием численного эксперимента позволило установить, что качественное поведении при переходе к хаосу описывается универсальными константами, величина которых зависит лишь от характера максимума. Практически для системы

{X n} )

было близко к одномерному с единственным максимумом. При этом фундаментальную роль играет изменения

2 0

x1* = 0 теряет устойчивость, а вновь

достаточно, чтобы ее отображения Пуанкаре (то есть

x 10 z ′ (z) 22

z′

x′

5 y′

0 x

0

2

7

0 -1 -200

результате

τ

5

1

4

4

2) При усложнение

21 x 10 z(τ)

2 0

4

τ 7 x 10 y ′ (τ)

0 -5

4

0

z′

1

0

4 z

0 -200

x′

y(τ) 1000 y

x

x(τ) 200

x 2* ≠ 0 , - в этот момент

0

2 z

4 21

x 10

параметра λ . Все эти составляющие сложной модели являются вехами настоящего курса теории катастроф. Арнольд вводит определение: - перестройки качественной картины движения при изменении параметров изучает теория бифуркаций; - приложения теории бифуркации к исследованию скачкообразных реакций механических, экономических и иных систем на плавное изменение внешних условий получило название теории катастроф. 54

Чтобы нам продвинуться дальше в изучении курса, необходимо привлечь некоторые сведения из теории особенностей дифференцируемых отображений. Именно на этом пути изучение некоторой потенциальной функции, описывающей состояние равновесной динамической системы, приводит к решению задачи о бифуркации и выявлении роли управляющих параметров.

4.1. Теория особенностей Уитни Следует сказать, что теория особенностей - это обобщение исследований функций на максимум и минимум. При перечислении составляющих сложного поведения нелинейного отображения было сказано об универсальном характере качественного поведения одномерных отображений Пуанкаре, которые имеют один максимум (минимум). С точки зрения теории особенностей здесь нет ничего удивительного, потому, что любые такие кривые принадлежат одному классу и имеют общий росток в точке, x (рис.1). А класс эквивалентности ростка в например, ~ критической точке называется особенностью.

Аналитический образ ростка будет дан позднее. Здесь же добавим, что устойчивость одномерного отображения в точке полностью определяется устойчивостью ростка отображения в точке. Теперь расскажем об устойчивых отображениях двухмерных многообразий на двухмерные. Будем рассматривать, следуя [1], отображения поверхности на плоскость. А). В частности рассмотрим сначала особенности, возникающие при проектировании сферы на плоскость (рис.2).

Рис.4.2

Здесь наблюдается особенность первого вида - складка, - она возникает при проектировании сферы на плоскость в точках экватора. В подходящих координатах это отображение задается формулами:

Y1 = x12 ; Y2 = x 2 , здесь

Рис.4.1

Следуя Уитни мы скажем, что росток отображения ( x , это то, что от отображение - это функция) в точке ~ отображения остается, когда бесконечно уменьшаем область определения. 55

m=2 - локальные координаты

n=2 - локальные координаты и в общем случае:

x1 , x 2 ;

Y1 , Y2 ;

⎧Y1 = f 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎩Y2 = f 2 ( x1 , x 2 )

56

(4.1)

(4.2)

Матрица

∂f j ∂xi

называется матрицей Якоби отображения.

Точка x является критической, если ранг матрицы Якоби в этой точке не максимален. Образ критической точки называется критическим значением. В рассматриваемом случае критические значения отображения проектирования сферы на плоскость образуют окружность видимого контура сферы. Приведем некоторые определения, принадлежащие Уитни: - точка x называется критической точкой функции f, если в этой точке производная функции f равна нулю; - критическая точка гладкой функции называется невырожденной (общего положения), если второй дифференциал функции в этой точке - невырожденная квадратичная форма; с “точностью до обратного” определяются вырожденные критические точки. B). Наряду с особенностями типа особенности проектирования на экваторе сферы, встречаются особенности еще одного типа. Они получаются при проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис.4.3.

Эта поверхность задается формулами

⎧Y1 = x13 + x1 ⋅ x2 ⎨ ⎩Y2 = x 2

(4.3)

а особенность называется сборкой. При фиксировании графика рис.3а значения x2 (т.е.при пересечении вертикальной плоскостью x2 = const)

Y1 = x13 + x1 x 2 определяет кубическую параболу. Если x2<0, то Y1 имеет две критические точки локальный максимум и локальный минимум ( на рис. 3а кривые 1 и 2 соответствуют случаю x2<0 ). Если x2>0, то Y1 монотонно растет как функция Y1 ( x1 ) (кривая 3 на этом же рисунке). Чтобы окончательно разобраться в особенностях отображения, рассмотрим 2 проекционные задачи. Задача 1: Проектирование поверхности на плоскость (x1, x2). Тот, у кого имеется пространственное воображение, может сразу сообразить, что особенность этого отображения будет характеризоваться только критическими точками, множество которых дает гладкую кривую параболу. Аналитически задача ставится так: найти критические точки отображения

Y1 = x13 + x1 x 2 , Y2 = x 2 Решение: Построим матрицу Якоби:

∂f 1 = 3x12 + x 2 ; ∂x1

∂f 1 ∂f 2 ∂f = x1 ; = 0; 2 =1 ∂x 2 ∂x1 ∂x 2

if i ⎛ 3x12 + x2 ; x1 ⎞ =⎜ ⎟ , - ранг этой матрицы меньше 2x, ∂x j ⎝ 0 1⎠ значит получающиеся из определителя множества точек критические. Определитель матрицы равен нулю:

3x12 + x 2 = 0 - на плоскости ( x1, x2 ) это парабола Рис.4.3

57

(рис.4.4) 58

Рис.4.5

Рис.4.4

Множество критических точек - парабола. Задача 2. Теперь найдем образ множества критических точек, то есть найдем критические значения отображения сборки. Решение: Из решения задачи 1 имеем, что в критических

x 2 = −3x1 . Подставим точках отображение сборки: 2

это

⎧⎪Y1 = x13 + x1 x 2 = −2 x13 ⎨ ⎪⎩Y2 = x 2 = −3x12

значение

x2

в

(4.4)

Данная система уравнений в параметрической форме дает множество критических значений сборки (рис.4.5), это полукубическая парабола на плоскости (Y1, Y2)

Эта кривая делит горизонтальную плоскость (Y1, Y2) на две части: меньшую (заштрихованную) и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза, точки большей части - по одному прообразу, точки кривой - по два прообраза. При подходе к кривой из меньшей части из 3-х прообразов остается 2 - в этом месте особенность - складка ( говорят - происходит катастрофа сборки). При подходе к острию (точка возврата) сливаются все три прообраза. А теперь сформулируем результаты - сформулируем знаменитую теорему Уитни (1955г.): - отображение двухмерного многообразия в двухмерное устойчиво в точке тогда и только тогда, когда в подходящих локальных координатах (x1,x2) в прообразе и (Y1, Y2) в образе отображения записывается в одном из трех видов: Y1 = x1 , Y2 = x 2 (регулярная точка) (4.5) I

Y1 = x12 , Y2 = x 2 (складка) 3 III Y1 = x1 + x1 x 2 , Y2 = x 2 (сборка) II

(4.6)

(4.7) ( рассматриваемые точки имеют координаты x1=x2=0 ) Иными словами, каждый устойчивый росток отображения двухмерного многообразия на двухмерное дифференцируемо эквивалентен одному из трех ростков отображения приведенного списка ((4.5),(4.6),(4.7)) в нуле:

59

60

- к виду (4.5) - первый из списка росток - приводится всякое гладкое отображение двухмерных многообразий в окрестности некритической точки; - отображение (4.6) плоскости на плоскость можно рассмотреть как семейство одномерных отображений друг на друга( Y1 = x1 ) зависящих (тривиальным образом) от 2

одного параметра ( Y2 = x 2 ). С этой точки зрения рассмотренное ранее отображение {xn} имеет особенность типа складки ( некоторые исследователи называют особенность: “вилы”). Теорема Уитни утверждает, что складки и сборки не уничтожаются при малых шевелениях, а все более сложные особенности рассыпаются при малом шевелении на складки и сборки и поэтому не должны встречаться у гладких многообразий общего положения. По теореме Уитни мы должны повсюду встречать контуры складок и острия полукубических парабол на них. Вся область применения теоремы Уитни была названа Томом теорией катастроф (см. также К.Зимана).

4.2. Программа исследования потенциальных функций с использованием теории особенностей В этом разделе мы дадим еще одно определение теории катастроф и перейдем к приложениям. Рассмотрим систему n уравнений с координатами

x = ( x1 ,... x n ) dψ j ⎞ ⎛ Fi ⎜ψ j ; cα , t j ⎟ = 0, dt ⎠ ⎝ где 1 ≤ i ≤ n ; 1 ≤ α ≤ k

ψj

- решения, которые описывают состояние некоторой

системы - их называют переменными состояния; cα - управляющие параметры, качественно влияют на свойства решений ψ i ; Мы будем рассматривать такие классы уравнений:

61

Fi =

dψ i − f i ψ j ; cα , t = 0 - динамические системы (4.9) dt dψ (4.10) Fi = − f i ψ j ; cα ,− = 0 dt

(

)

(

)

автономные динамические системы

Fi =

(

)

dψ i ∂V ψ j , cα + = 0 - градиентные системы (4.11) ∂ψ i dt

0 = 0+

∂V (ψ j , cα ) ∂ψ i

-

(4.12)

уравнение равновесия градиентных систем (4.12) Будем использовать обозначение (переобозначение (4.11))

∇ψ V = −ψ&

где V - некоторая потенциальная функция. Гилмор [7] дает следующее определение: элементарная теория катастроф - это наука о том, каким образом состояние равновесия ψ j ( cα ) потенциальных функций

V (ψ j , cα )

изменяются

при

изменении

управляющих

параметров. Свойства потенциальных функций в рассматриваемой точке определяется начальными (наименьшей степени) членами разложения ее в ряд Тейлора в этой точке. Так как функция зависит от управляющих параметров, то от них зависят и коэффициенты тейлоровского разложения. Члены разложения могут исчезнуть при некоторых значениях управляющих параметров, при этом свойства функции не изменяются. В этом случае возможно такое преобразование координат, которое позволит удалить последние (более высокой степени) члены разложения функций в ряд Тейлора, а оставшиеся члены будут определять свойства функций в рассматриваемой точке. Именно эти члены называют ростком функции. Следовательно, росток находится между начальными членами, которые исключаются при помощи управляющих параметров и последними членами, которые исключаются в результате преобразования координат (см. рис.4.6). 62

канонической форме в морсовской критической точке. Однако существует, согласно теореме Тома, каноническая форма потенциальной функции в неморсовской критической точке. Пусть l собственных значений

λ 1 (C )..... λ l (C )

отображаются в нуль в точке С=С0, тогда по

лемме расщепления расщепляется на составляющие:

Тома потенциальная функция неморсовскую и морсовскую

∏( x, c ) =& f ( y1 (x, c ),..., yl ( x, c ); c ) + +

n

2

j =l +1

-

Рис.4.6

Нам нужно знать еще об одном. Если росток: - линеен, - то применима теорема о неявной функции; - является невырожденной квадратичной формой, - то применима лемма Морса - содержит вырожденную квадратичную форму, - то применима лемма расщепления.

4.3. Функции катастроф

j

j

y1 ( x , c).... y l ( x , c) -

координаты

∏ =& CG (l ) +

n

∑λ

j =l +1

j

(4.14)

СG(l) - называют ростком катастрофы. Все канонические ростки катастроф при k ≤ 5 приведены в табл.1. Они соответствуют лишь одному ( l = 1) или двум ( l = 2) нулевым

потенциальная функция не может быть представлена в 63

64

в

изолированными, невырожденными или не морсовскими точками. Если потенциальная функция зависит от одного или более , то матрица управляющих параметров С1,...Ск устойчивости ∏ ij и ее собственные значения также зависят от

этих

параметров.

При

некоторых

и

следовательно

значениях

Cα собственные значения матрицы ∏ ij могут обратиться в

нуль.

det ∏ ij = 0

Тогда

необходимые

(∇ ∏ = 0,det ∏

для ij

)

применимости

леммы

условия, Морса

гладкими

y 2j ,

≠ 0 , не выполняются, и в точке равновесия

∏( x1 ,..., x n ) ,

Критические точки функции которых являются не det ∏ ij = 0

являются

функциями переменных xn и управляющих параметров ck; - координаты yl+1(x),....,yn(x) - являются гладкими функциями исключительно xn. В канонической форме (4.13) перепишется так:

собственным значениям.Табл.1. Тип К Росток катастрофы А2 1 x3 А ±3 2 ± x4 А4 3 x5 А ±5 4 ± x6 А6 5 x7 2 D-4 3 x y-y3 D4 3 x2y+y3 D5 4 x2y+y4 D-6 5 x2y-y5 D+6 5 x2y+y5 F ±3 5 x3 ± y 4

Определение.

(4.13)

∑ λ (c)( y ( x)) ;

Возмущение a1x a1x+a2x2 a1x+a2x2+a3x3 a1x+a2x2+a3x3+a4x4 a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 a1x+a2y+a3y2 a1x+a2y+a3y2 a1x+a2y+a3x2+a4y2 a1x+a2y+a3x2+a4y2 +a5y3 a1x+a2y+a3x2+a4y2 +a5y3 a1x+a2y+a3xy+a4y2 +a5xy2

Глава 5

Однако, если (1) справедливо в окрестностях точки и в нем f не имеет (x0,c0) пространство R ⊗ R определенного вида, то второе разложение (4.14) имеет место в окрестностях точки x0 пространства Rn , и в нем функция f имеет вполне определенный вид, называемый ростком катастрофы этой функции. Дальнейшее усовершенствование (4.13) и (4.14) состоит в том, что для x0 - неморсовской критической точки при в открытой окрестности точки (x0,c0) С=С0 n

пространство R

n

Операционное исчисление

n

⊗ R n имеет место представление Р.Тома: ∏ =& Cat (l , k ) +

n

∑ λ (c ) y

j =l +1

i

2 j

(4.15)

5.1.1. Функция-оригинал.

Функцией-оригиналом называется действительнозначная или комплекснозначная функция f ( t) действительной переменной t, удовлетворяющую условиям: 1. f ( t) = 0 при t < 0; 2. Существуют такие постоянные M > 0 и σ 0 ≥ 0 , что

| f (t ) | ≤ M ⋅ e σ 0 t ; 3.

Где Cat(l,k) - функция катастроф. По определению

Cat (l , k ) = CG (l ) + Pert (l , k ) , где Pert(l,k) - возмущение катастрофы.

5.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу

(4.16)

Примеры:

На

любом

отрезке

[a, b ] ( 0 ≤ a < b < ∞ )

функция

удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

1. Функция катастрофы

D− n : f ( x , y , a1 , a 2 , a 3 ) = x 2 y − y 3 + a1 x + a 2 y + a 3 y 2 ⎛ l = 2,⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k = 3⎠

Cat (l , k )

CG (l )

Pert (l , k )

2. Пусть ∏( x , c) зависит от x1...x10 n от C1, C2, C3 (n=10, k=3). Пусть (x0,c0)- неморсовская критическая точка в λ 1 = λ 2 = 0 , λ 3 = λ 4 = λ 5 = −1 и которой

λ 6 = λ 7 = λ 8 = λ 9 = λ 10 = +1 , Определим локальных характер функции в точке (x0,c0). По таблице (l=2,k=3) видим, что Cat(2,3)=D ± 4, то есть Рис. 18

Cat (l , k ) 10

∏ =& ( x 2 y m y 3 ) + (a1 x + a2 y + a3 y 2 ) + ∑ λ j (c) y 2j j =3

CG (l )

Pert (l , k ) 65

5.1.2. Изображение по Лапласу

Изображением по Лапласу функции-оригинала f ( t) (или преобразованием Лапласа функции f ( t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством 66

+∞

F ( p) = ∫ e − pt ⋅ f (t ) dt .

Единичный импульс:

0

Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке p, удовлетворяющей неравенству Re p ≥ σ1 , где σ1 - произвольной число, такое, что

σ1 > σ 0 .

⎧0, t < 0; ⎪ f (t ) = ⎨1, 0 ≤ t ≤ 1; ⎪0, t > 1; ⎩

5.1.3. Изображения простейших функций Единичная ступенчатая функция несмещенная ∞

1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = − ⋅ e − st s 0

∞ 0

1 1 = − (0 − 1) = s s

помощью

функции

Хевисайда

эта

функция

1 • ; по теореме записывается так: f (t ) = 1(t ) − 1(t − 1) . 1(t ) → p

смещенная

L[1 (t-t0)]=

С

1 − st 0 e . s

запаздывания

Единичная импульсная функция: Смещенная

(t 0 = 1)

1 e− p 1 − e− p f (t ) → − = p p p •

Запаздывающий ∞

L[δ (t − t 0 )] = ∫ δ (t − t 0 ) ⋅ e − st dt = e − st 0 0

несмещенная

e− p 1(t − 1) → , p •

. прямоугольный

⎧0, t < T ; ⎪ f (t ) = ⎨b, T ≤ t ≤ T + τ ; ⎪0, t > T + τ ; ⎩

L[δ(t)]=1

Здесь 67

поэтому

68

импульс:

• f (t ) = b ⋅ (1(t − T ) − 1(t − (T + τ ) )→

⎛ e − pT e − p (T +τ ) • → b ⋅ ⎜⎜ − p ⎝ p

(

и,

)

⎞ b ⋅ e − pT ⋅ 1 − e − pτ . ⎟⎟ = p ⎠

⎧0, t < T ; ⎪b ⎪ (t − T ), T ≤ t < T + τ ; ⎪τ f (t ) = ⎨ ⎪− b (t − T − 2τ ), T + τ ≤ t < T + 2τ ; ⎪ τ ⎪0, t > T + 2τ . ⎩

=

τ

(t − T − 2τ ) − b (t − T ) = − 2b (t − T − τ ) ; τ

τ

t > T + 2τ изменение ⎤ b ⎡ b 0 − ⎢− (t − T − 2τ )⎥ = (t − T − 2τ ) , ⎣ τ ⎦ τ

участку

+

b

τ

b

τ

при

переходе

функции поэтому

(t − T ) ⋅η (t − T ) − 2b (t − T − τ ) ⋅1(t − T − τ ) + τ

,

(t − T − 2τ ) ⋅1(t − T − 2τ )

69

1 , p2

b

τ

(t − T ) ⋅1(t − T )→ b ⋅ e

−Tp

•

τ

p2

,

то

b

τ

⋅e

−Tp

(

1 − 2e −τp + e −2τp b −Tp 1 − e −τp ⋅ = ⋅e ⋅ p2 τ p2

)

2

.

⎧0, t < 0; ⎪ f (t ) = ⎨sin t , 0 ≤ t ≤ π ; ⎪0, t > π . ⎩

переписать

f (t ) =

• t→

Синусоидальный импульс.

Изменение функции на переходе от участка T ≤ t ≤ T + τ к участку T + τ < t ≤ T + 2τ равно

b

как

b e −Tp 2b e − (T +τ ) p b e − (T + 2τ ) p • f (t ) → ⋅ − ⋅ + ⋅ = τ p2 τ p2 τ p2

Треугольный импульс. Аналитически эта функция записывается так:

−

так

к

равно можно

Здесь • f (t ) →

f (t ) = sin t ⋅1(t ) + sin(t − π ) ⋅1(t − π ) ,

поэтому

1 e −πp 1 + e −πp + = . p2 + 1 p2 + 1 p2 + 1

5.1.4. Изображение составных функций

Пусть f ( t) задаётся разными выражениями на различных участках области определения:

⎧0, t < t 0 = 0; ⎪f ,0≤t
70

• f (t ) → F1 ( p) + F1 ( p ) ⋅ e − pT + F1 ( p ) ⋅ e −2 pT +

+ F1 ( p) ⋅ e −3 pT + K + F1 ( p) ⋅ e −npT + K =

(

)

= F1 ( p ) ⋅ 1 + e − pT + e −2 pT + e −3 pT + K + e −npT + K = С помощью функции Хевисайда f ( t) записывается так:

5.2. Свойства преобразования Лапласа

f (t ) = f1 (t ) ⋅η (t ) + [ f 2 ( t )− f1 ( t ) ] ⋅ 1(t − t1 ) +

[

]

+ f3 ( t ) − f 2 ( t ) ⋅ 1 ( t − t 2 ) n −1

+ K + [ f n (t ) − f n−1 (t )]⋅1(t − t n−1 ) =

= ∑ f k (t )[1(t − t k −1 ) − 1(t − t k )] + f n (t )·1(t − t n−1 ) k =1

и теорема запаздывания позволяет получить изображение этой функции.

5.2.1. Основные соотношения Оригинал

αf (t ) + βg (t ) f (λt )

5.1.5. Изображение периодических функций

Пусть f ( t)- периодическая при t > 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f 1 ( t) функцию, описывающую первый период функции f ( t):

⎧ f (t ) при 0 ≤ t ≤ T ; f1 (t ) = ⎨ . ⎩0 при t < 0 и при t ≥ T

F1 ( p) . 1 − e − pT

e α t f (t ) f (t − t 0 ) ⋅1(t − t 0 ) t

∫ f (τ )dτ 0

f ′(t ) f ( n ) (t ).

Изображение

αF ( p ) + β G ( p ) ⎛ p⎞ F⎜ ⎟ λ ⎝λ⎠ F(p −α ) 1

e − t0 p ⋅ F ( p ) F ( p) p pF ( p) − f (+0) p n F ( p) − p n−1 f (+0) − p n− 2 f ′(+0) − − p n −3 f ′′(+0) − ... − pf ( n −2 ) (+0) − f ( n −1) (+0).

Теперь

f (t ) = f1 (t ) ⋅1(t ) + f1 (t − T ) ⋅1(t − T ) +

f1 (t − 2T ) ⋅1(t − 2T ) + K + f1 (t − nT ) ⋅1(t − nT ) + K =

f (t ) t − t ⋅ f (t )

∞

∫ F (q)dq p

F ′( p )

∞

= ∑ f1 (t − nT ) ⋅1(t − nT ) (каждое слагаемое описывает n =0

соответствующий период). Пусть

F1 ( p ) =

+∞

T

0

0

− pt − pt ∫ e ⋅ f1 (t ) dt = ∫ e ⋅ f1 (t ) dt - изображение

функции f 1 ( t). Тогда 71

72

5.2.2. Таблица стандартных изображений

f (t ) 1. 1 2. 3.

tn eαt

4.

e αt ⋅ t n 5. 6.

7. 8.

sin βt

cos βt sh β t

ch βt

F ( p) 1 p n! p n+1 1 p −α n! ( p − α )n+1

β p +β 2

f (t ) 9.

e ⋅ sin βt

10.

eαt ⋅ cos β t

11.

eαt ⋅ sh β t

12.

eαt ⋅ ch β t

αt

t ⋅ sin βt

13. 2

p 2 p +β2

14.

β

15.

t ⋅ cos β t t ⋅ sh β t

p2 − β 2 p p −β2

5.3. Определение сигнала по его изображению

t ⋅ ch βt

16.

2

F ( p)

β ( p − α )2 + β 2 p −α ( p − α )2 + β 2 β ( p − α )2 − β 2 p −α ( p − α )2 − β 2

(p

2 pβ 2

+β2

(p

)

+ β2) 2 pβ

2

−β2

)

2

p2 − β 2

(p

2

−β2)

2

1 F ( s ) ⋅ e st ds 2πj c−∫j∞

представляет собой контурный интеграл - интеграл Бромвича по простому контуру в плоскости s-комплексного аргумента; контур охватывает все особые точки изображения

2

2

2

c + j∞

f (t ) =

f (t ) =

p2 − β 2

(p

Обратное преобразование Лапласа - формула МеллинаФурье

1 F ( s ) ⋅ e st ds . ∫ 2πj

Если изображение имеет вид дробно-рациональной функции

F (s) = =

bm s m + bm−1 s m−1 + ... + b1 s + b0 = s n+ a + an−1s n−1 + ... + a1 s + a0

( s − s10 )...( s − sm 0 ) Bm ( s ) , = bm ( s − s1 )...( s − sn ) An ( s )

у которой s1, s2…sn - полюса (особые точки), s10, s20…sm0 - нули (m
74

f (t ) = ∑ Res [ F ( s ) ⋅ e st ]

F (s) =

n

Частные случаи 1. Полюса знаменателя)

F ( s) =

s+2 1 1 ÷ ⋅ e −t + ⋅ e −3t . ( s + 1)( s + 3) 2 2

2. Присутствие нулевого полюса: простые

(разные

корни

полинома

F ( s) =

Bm ( s ) A A A = 1 + 2 + ... + n ; An ( s ) s − s1 s − s 2 s − sn

B ( s)( s − s1 ) B ( s )( s − s 2 ) A1 = m ; A2 = m s = s s=s2 и т. д. 1 A n ( s) An ( s ) n Bm ( s )( s − sk ) ⋅esk t B (s) L−1[ m ] = ∑ s=s . An ( s ) k =1 An ( s ) k 2. Полюса кратные

s+2 2 1 1 ÷ − e −t − e −3t . s ( s + 1)( s + 3) 3 2 6

3. Кратный полюс:

A A12 A s+2 = 11 + + 2 , 2 2 s+3 ( s + 1) ( s + 3) s + 1 ( s + 1) 1 1 1 A12 = ; A2 = − ; A11 = ; 2 4 4 1 −t 1 1 F ( s ) ÷ ⋅ e + t ⋅ e − t − ⋅ e −3t . 4 2 4

F (s) =

4. Пара комплексно сопряженных корней

A A12 A2 B ( s) F (s) = m = 11 + + + ...; An ( s ) s − s1 ( s − s ) 2 ( s − s2 ) 1

Bm ( s )( s − s1 ) 2 A12 = s =s ; 1 An ( s )

A2 =

Bm ( s )( s − s2 ) s=s ; 2 An ( s )

A11 - по методу неопределенных коэффициентов.

s+2 = ( s + 1)( s 2 + 2 s + 2) s+2 = ÷ ( s + 1)( s + 1 + j )( s + 1 − j ) 1− j 1 + j ( −1+ j ) t e ( −1− j ) t + e ÷ e −t + = j (2 j ) − j (−2 j ) F (s) =

= e −t −

0 2 −t j (t + 450 ) e [e + e j ( t + 45 ) ] = 2

st st s t ⎡ B ( s) ⎤ L−1 ⎢ m ⎥ = A11 ⋅ e 1 + A12t ⋅ e 1 + A2 ⋅ e 2 + ... ⎣ An ( s ) ⎦

2 ⋅ e − j 45 ( −1− j ) t e ]. = e − 2 ⋅e cos(t + 45 ) = e + 2 Re[− 2

Численные примеры

5. Неправильная дробь m=n -выделение целой части

1. Простые отрицательные вещественные полюса: 75

0

−t

−t

F ( s) =

0

−t

1 s +1 = 1− ÷ δ (t ) − e − 2t s+2 s+2 76

Литература Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.:МЦНМО, 2004.-672с. 2. Беллман. Введение в теорию матриц. М.:Наука, 1976.-362с. 3. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2-х книгах.М:Мир, 1984.Кн.1-350с.Кн.2-285с. 4. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск.:ИКИ, 2004.-288с. 5. Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. М.:Наука, 1964, 104с. 6. Мусалимов В.М. Аналитическая теория точности механических систем. В кн. Фундаментальные проблемы теории точности. СПб.:Наука, 2001.-504с. 7. Федер Е. Фракталы. М.:Мир, 1991. 8. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.:Мир, 1982.240с. 9. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов – М: «Мир» 1971.- 408с. 10. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. М.:ДМК Пресс, 2005.-304с. 11. Дьяконов В. , Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений.СПб.:Питер,2002.-608с. 12. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. М.:Наука, 1971, 288с. 1.

77

Кафедра мехатроники, одна из старейших кафедр СПбГУ ИТМО, история которой начинается с 30-х годов XX века. Первое упоминание о прародительнице кафедры Мехатроники содержится в приказе №18 от 3.10.1930 по Учебному комбинату точной механики и оптики: «доцент Замыцкий Н.Н. назначен с 1.10.1930 заведующим кафедрой «Детали машин» института точной механики и оптики». Важным этапом было существование в 30-х годах кафедры «Сопротивление материалов и детали машин», поскольку речь шла уже не только о выборе схемы устройства (машины, прибора), но и об определении размеров и формы деталей при прочностном расчёте. Руководил кафедрой в то время виднейший ученый в области строительной механики Ягн Юлий Иванович. С 1945 г. Руководство кафедрой осуществлял Николай Иоасафович Колчин, крупнейший учёный механик в самом широком смысле этого слова. Он расширил и обогатил исследовательскую и преподавательскую деятельность кафедры методами Теории машин и механизмов. Нельзя не сказать, что Н.И. Колчин был в той или иной мере учителем трех последующих заведующих кафедрой – Ф.Л. Литвина, К.И. Гуляева, Б.П. Тимофеева. С 1951 года, заведующим кафедрой Теории механизмов и деталей приборов, становится Рифтин Л.П. Именно в этот момент учебная и научная деятельность кафедры приобрела черты синтетической научной дисциплины, где выбор схем машины, прибора, устройства сопровождался учетом не только геометрико-кинематических, но и динамических, прочностных характеристик. 1964 год: «РЕКТОРАТ и Совет ЛИТМО поручили профессору Литвину Ф.Л. провести реорганизацию кафедры Теории механизмов и машин в кафедру приборостроительного типа, закладывающую основы конструкторской подготовки специалистов, выпускаемых ЛИТМО». Во время заведования Литвиным Ф.Л. была создана лабораторная база оригинальными лабораторными установками, написаны многочисленные методические пособия, разработаны и изготовлены учебные стенды, макеты устройств и прозрачные модели, отвечающие современным требованиям учебного процесса в высшей школе. В начале 1979 года заведующим становится профессор Гуляев К.И. По своей направленности кафедры остается общеинженерной. 78

В 1989 году Тимофеев Б.П. приступил к заведованию общеинженерной кафедрой Теории механизмов и деталей приборов, преобразовав её в 1991 году в выпускающую кафедру Мехатроники. Мы были первыми на территории бывшего СССР. Лишь в 1994 году специальность Мехатроника появилась в официальном списке специальностей. Первый Государственный стандарт специальности (1995 г.) был во многом основан на нашем учебном плане. С 2000 года университет имеет лицензию на образовательную деятельность по специальности Мехатроника. Выпускники кафедры, в основном, трудятся на ведущих предприятиях России и за рубежом. Часть из них поступает в аспирантуру и далее ведет научно-преподавательскую деятельность.

Мусалимов Виктор Михайлович, Резников Станислав Сергеевич Чан Нгок Чау

Специальные разделы высшей математики Часть первая

Учебное пособие

В авторской редакции Компьютерная верстка: С.С. Резников Дизайн обложки П.П.Коваленко Редакционно-издательский отдел СПбГУ ИТМО Зав.РИО Н.Ф.Гусарова Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99 Тираж экз. заказ № Подписано к печати Отпечатано на ризографе 79

80

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

81