Высшая математика. Раздел: Определители. Аналитическая геометрия: Методические указания и контрольные работы

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ: «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» для студентов 1 курса дневного отделения химического факультета

Составители: Л.Н.Баркова

Воронеж – 1999

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

2

CОДЕРЖАНИЕ Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Полярная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение. Графики некоторых функций, заданных в полярных координатах и параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 6 10 15 21 27 29 32

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Определителем n -го порядка ∆ n называется число, заданное с помощью таблицы: a11 a12 Κ a1n a a 22 Κ a 2 n ∆ n = 21 . Κ Κ Κ Κ a n1 a n 2 Κ a nn Числа {aij }, i, j = 1, n называются элементами определителя. Значение определителя находится по следующему правилу: a a12 ∆ 2 = 11 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 ; для n = 2 : a 21 a 22 a11 ∆ 3 = a 21 a31 для n = 3 :

a12 a 22 a32

a13 a 23 = a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 + a33

+ a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 21 ⋅ a 32 ⋅ a13 −

− (a13 ⋅ a 22 ⋅ a31 + a12 ⋅ a 21 ⋅ a33 + a 23 ⋅ a32 ⋅ a11 )

Нахождение слагаемых в правой представить с помощью следующих схем:

части

.

равенства

можно

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия a11 a 21 a 31

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

(1) и

a11 a 21 a 31

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

3

(2).

Произведения элементов по три, вычисленные по схеме (1), берутся со знаком «+», а произведения элементов по три, вычисленные по схеме (2) берутся со знаком «-». Для вычисления определителя n -го порядка введем понятие минора и алгебраического дополнения. Минором M ij элемента aij называется определитель (n − 1) -го порядка, полученный из определителя n -го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число i+ j Aij = (− 1) ⋅ M ij . И в этом случае значение определителя ∆ n можно найти по формуле ∆ n = ai1 Ai1 + a i 2 Ai 2 + Κ + ain Ain , (3) где i - произвольно выбранная строка заданного определителя. (Разложение справедливо и для любого выбранного столбца).

Свойства определителей 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером. 2. Перестановка двух столбцов или двух строк меняет знак определителя на противоположный. 3. Если в определителе есть две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю. 4. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. 5. Умножение всех элементов некоторого столбца или строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число. 6. Если соответствующие элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 7. Если каждый элемент i − ого столбца или i − ой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i − ом столбце или i − ой строке имеет первые слагаемые, а другой

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

4

– вторые слагаемые; элементы, стоящие на остальных местах у всех определителей одни и те же. 8. Значение определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любой общий множитель. Пример. Вычислить определитель 30 − 10 120 80 −5 3 − 34 − 23 ∆n = . −7 1 1 3 −9 − 15 2 8 По свойству 5 вынесем из первой строки множитель 10 . Затем, последовательно умножая полученную строку на 3, 1, 2, складываем соответственно со второй, третьей и четвертой строками, тогда по свойству 8, получим: 3 − 1 12 8 3 − 1 12 8 − 5 3 − 34 − 23 4 0 2 1 = 10 ⋅ ∆ 4 = 10 . −7 4 0 15 1 1 1 3 − 3 0 32 1 −9 2 − 15 8 Разложим последний определитель по элементам второго столбца. Тогда ∆ 4 = 10 (− 1) ⋅ (− 1)1+ 2 M 12 + 0 ⋅ (− 1)2+ 2 M 22 + 0 ⋅ (− 1)3+ 2 M 32 + 0 ⋅ (− 1)4+ 2 M 42 =

(

)

4 2 1 = 10 4 15 1 = 10(4 ⋅ 15 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (− 3) + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) − 10(1 ⋅ 15 ⋅ (− 3) + − 3 32 1 + 4 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 1) = 10(60 − 6 + 128 + 45 − 128 − 8) = 10 ⋅ 91 = 910.

ЗАДАНИЯ. Вычислить данные определители четвертого порядка −1 1 − 2 3 −1 − 2 4 1 2 3 4 1 −2 1 −4 3 1 2 2 3 2 3 0 6 1. 2. 3. −2 3 1 0 3 − 4 −1 2 2 −2 1 4 2 3 −2 0 4 3 − 2 −1 3 1 − 2 −1

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия 6 2 − 10 4 −5 −7 −4 1 4. 2 4 −2 −6 −5 4 3 0 3 1 2 0 5 0 −6 1 7. −2 2 1 3 −1 3 2 1 1 8 2 −3 3 −2 0 4 10. 5 − 3 7 −1 3 2 0 2 0 −2 1 7 4 −8 2 −3 13. 10 1 − 5 4 −8 3 2 −1 2 −1 2 0 3 4 1 2 2 −1 0 1 1 2 3 −2 4 − 5 −1 −3 2 8 19. 5 3 1 −2 4 −6 1 1 −2 0 3 6 −2 5 22. 1 0 6 4 2 3 5 −1 1 11 3 4

16.

25.

2 12 4 1 3 13 1 2 4 14 2 3

−5 −2 3 8

0 4 2 1 −1 2 1 5. 4 1 2 0 1 1 1 1 3 1 2 3 4 −1 2 4 8. 1 −1 1 1 4 −1 2 5 4 −1 1 5 0 2 −2 3 11. 3 4 1 2 4 1 1 −2 0 4 1 1 −4 2 1 3 14. 0 1 2 −2 1 3 4 −3 3 2 0 −5 4 3 −5 0 17. 1 0 −2 3 0 1 −3 4 2 7 2 1 1 7 −1 0 20. 3 4 0 2 0 5 −1 − 3 3 −1 −1 − 2 2 3 −1 −1 23. 1 1 2 3 1 2 3 −1 2 1 −2 3 1 −2 1 1 26. 3 1 −2 2 1 2 3 4

1 −1

5

5 0

3 2 1 1 2 −1 4 0 1 2 −3 4 4 −2 3 9. 3 0 2 3 −1 4 5 −3 7 6.

12.

15.

3 2 2 1 3 −2 3 2 1 −1 4 5 −1 2 3 5

0 4 9 0

3 −1 3 2 1 2 1 3 −1 2 −6 4 −2

2 3 1 0 3 −3 3 2

2 4 1 0 1 −2 2 1 5 1 −2 4 2 0 −1 3 6 −3 −9 0 21. 0 2 −1 3 4 2 0 6 12 3 5 7 18.

24.

27.

0 4 16 2

5 7 1 −1

7 1 1 3 3 5 3 3

1 3 3 16 3 −1 1 − 3 3 1 3 5

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

6

−1 −1

3 −1 4 3 −1 2 28. 2 −2 1 −2 −1 1 −1 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Система уравнений n − го порядка имеет вид:  a11 x1 + a12 x 2 + Κ + a1n x n = b1 a x + a x + Κ + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 .  Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ  a n1 x1 + a n 2 x 2 + Κ + a nn x n = bn В данной системе число уравнений равно числу неизвестных. Для того, чтобы узнать, имеет ли эта система решение, необходимо вычислить ее определитель, который составляется из коэффициентов при неизвестных ∆ n . Если ∆ n ≠ 0 , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера ∆x xi = i , i = 1, n , ∆n где ∆xi - определитель, полученный из определителя ∆ n заменой i -го столбца столбцом свободных членов. Если ∆ n = 0 и одновременно все

(

)

∆xi = 0 i = 1, n , то система будет иметь бесконечно много решений (если при данных условиях хотя бы одно решение существует). Если ∆ n = 0 , а хотя бы один из ∆xi ≠ 0 , то соответствующая система решений не имеет. Если в системе линейных уравнений число уравнений не равно числу неизвестных, то удобно ее решать методом Гаусса (методом исключения неизвестных).

Пример. Решить систему по правилу Крамера  5 x1 − x 2 + 2 x3 = −2  2 x1 + 3 x 2 − 4 x3 = 19 .  x + 2 x + 3x = 1 2 3  1

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

7

5 −1 2 ∆ 3 ≠ 0 , то система имеет Найдем ∆ 3 = 2 3 − 4 = 97 ; так как 1 2 3 единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: ∆x ∆x ∆x x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3 . ∆3 ∆3 ∆3 Вычислим определители ∆x1 , ∆x 2 , ∆x3 : − 2 −1 2 5 −2 2 ∆x1 = 19 3 − 4 = 97; ∆x 2 = 2 19 − 4 = 291; 1 2 3 1 1 3 5 −1 − 2 ∆x3 = 2 3 19 = −194 . 1 2 1 Значения неизвестных будут равны: − 194 97 291 = 1, x 2 = = 3, x3 = = −2 . x1 = 97 97 97 Таким образом, решением системы будет тройка чисел: x1 = 1, x 2 = 3, x3 = −2 . Решим эту же систему методом Гаусса. Перепишем сначала систему в виде:  x1 + 2 x 2 + 3x3 = 1   5 x1 − x 2 + 2 x3 = −2 . 2 x + 3x − 4 x = 19 2 3  1 Исключим « x1 » из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 5 и вычтем из второго; затем первое уравнение умножим на 2 и вычтем из третьего:  x1 + 2 x 2 + 3x3 = 1   x 2 + 10 x3 = −7 .  x + 10 x = −17 3  2 Умножим теперь третье уравнение результате получим:

на 11 и сложим со вторым, в

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

8

 x1 + 2 x 2 + 3x3 = 1   x 2 + 10 x3 = −17 .  97 x = −194 3  А теперь из полученной системы находим: x1 = −2; x 2 = 3; x3 = 1 . ЗАДАНИЯ Решить системы уравнений методом Гаусса и с помощью формулы Крамера.  x1 + x 2 + 2 x3 + 3x 4 = 1  x1 + 2 x 2 + 3 x3 − 2 x 4 = 6 3x − x − x − 2 x = −4  2 x − x − 2 x − 3x = 8  1  2 3 4 2 3 4 1.  2.  1 2 x1 + 3x 2 − x3 − x 4 = −6  3 x1 + 2 x 2 − x3 + 2 x 4 = 4  x1 + 2 x 2 + 3x3 − x 4 = −4 2 x1 − 3 x 2 + 2 x3 + x 4 = −8  x1 + 2 x 2 + 3 x3 + 4 x 4 = 5  2 x + x + 2 x + 3x = 1  2 3 4 3.  1  3 x1 + 2 x 2 + x3 + 2 x 4 = 1 4 x1 + 3 x 2 + 2 x3 + x 4 = −5  x1 + 3 x 2 + 5 x3 + 7 x 4 = 12  3x + 5 x + 7 x + x = 0  2 3 4 5.  1  5 x1 + 7 x 2 + x3 + 3 x 4 = 4 7 x1 + x 2 + 3 x3 + 5 x 4 = 16  x1 + 2 x 2 + 3x3 + 4 x 4 = 11 2 x + 3x + 4 x + x = 12  2 3 4 7.  1 3x1 + 4 x 2 + x3 + 2 x 4 = 13 4 x1 + x 2 + 2 x3 + 3x 4 = 14  x1 + 2 x 2 + x3 − x 4 = 3  2x + x − x − x = 1  2 3 4 9.  1  x1 + 3x 2 − 3x 4 = 1  x1 − 2 x 2 + x3 + x 4 = 1

 2 x1 − x 2 + 3x3 + 2 x 4 = 4 3x + 3x + 3x + 2 x = 6  2 3 4 4.  1  3x1 − x 2 − x3 + 2 x 4 = 6  3x1 − x 2 + 3x3 − x 4 = 6  2 x1 − x 2 + x3 − x 4 = 1  2 x1 − x 2 − 3x 4 = 2  6.  3x1 − x3 + x 4 = −3  2 x1 + 2 x 2 − 2 x3 + 5 x 4 = −6  2 x1 + x 2 − x3 + x 4 = 1 3 x − 2 x + 2 x − 3 x = 2  2 3 4 8.  1 x1 + x 2 + x 4 = −1   2 x1 − x 2 + x3 − 3x 4 = 4  x1 + 2 x 2 + 3x3 + 4 x 4 = 15  2 x + x − 2 x + 3x = 0  2 3 4 10.  1  x1 − 2 x 2 + x3 + x 4 = −4 3x1 + x 2 − 2 x3 + 2 x 4 = −2

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия  2 x1 − x 2 + 3 x3 + 2 x4 = 3  x + 3 x + 3 x + 2 x = 16  2 3 4 11.  1  3 x1 − x 2 + x3 + x 4 = −3  3x1 + x2 + 3 x3 − x 4 = 5  x1 + x 2 + x3 + 2 x 4 = 6 2 x − x + 2 x + 3 x = 2  2 3 4 13.  1 3x1 + 2 x 2 − x3 + 5 x 4 = 6  x1 + 4 x 2 + x3 − x 4 = 12

2 x1 − x 2 + 3x3 − x 4 = −1  x + 3x − x + 2 x = 4  2 3 4 12.  1 3x1 − 2 x 2 + x3 − 2 x4 = 2 2 x1 + x 2 − x3 + 3x 4 = −1  x1 + x 2 + 2 x3 + 3x 4 = 7 2 x + 3x − x − x = −4  2 3 4 14.  1  3x1 − 2 x 2 − x3 − 2 x 4 = 1  x1 + 2 x 2 + 3x3 − x 4 = 4

 x1 + 2 x 2 + 3x3 − 2 x 4 = 6  2x − x + x − x = 1  1 2 3 4 15.   3x1 + 2 x 2 − x3 + 2 x 4 = 4 2 x1 − 3x 2 + 2 x3 + x 4 = −8  2 x1 + x 2 + x3 + x 4 = 3  x + 2x − x + 2x = 3  2 3 4 17.  1  3x1 − x 2 + x3 − 2 x 4 = 0 4 x1 + 3x 2 + 4 x3 + x 4 = 3

 2 x1 − x 2 + 3 x3 − x 4 = 8  x + x − x + 2x = 0  2 3 4 16.  1  x1 + 3 x 2 − x3 + x 4 = −3 2 x1 + x 2 + x3 + 3x 4 = 6  2 x1 + 2 x 2 − x3 + x 4 = 4  4 x + 3x − x + 2 x = 6  2 3 4 18.  1 8 x1 + 5 x 2 − 3x3 + 4 x 4 = 12  3x1 + 3x 2 − 2 x3 + 2 x 4 = 6

 2 x1 − 2 x 2 + x 4 + 3 = 0 2 x + 3 x + x − 3 x + 6 = 0  2 3 4 19.  1  3x1 + 4 x 2 − x3 + 2 x 4 = 0  x1 + 3 x 2 + x3 − x 4 − 2 = 0  x1 + x 2 − 6 x3 − 4 x 4 = 6  3x − x − 6 x − 4 x = 2  2 3 4 21.  1  2 x1 + 3 x 2 + 9 x3 + 2 x 4 = 6 3x1 + 2 x 2 + 3 x3 + 8 x 4 = −7

6 x1 + 5 x 2 − 2 x3 + 4 x 4 + 4 = 0  9 x − x + 2 x − x − 10 = 0  2 3 4 20.  1  3x1 + 4 x 2 + 2 x3 − 2 x 4 − 1 = 0  3 x1 − 9 x 2 + 2 x 4 − 11 = 0

 3 x1 − 2 x 2 − 5 x3 + x 4 = 3 2 x − 3 x + x + 5 x = −3  2 3 4 23.  1  x1 + 2 x 2 − 4 x 4 = −3  x1 − x 2 − 4 x3 + 9 x 4 = 22  x1 + x 2 + x3 + x 4 = 14  x + 2 x + 3x + 4 x + 30  2 3 4 25.  1  x1 + 3x 2 + 6 x3 + 10 x 4 = 55  x1 + 4 x 2 + 10 x3 + 20 x 4 = 91

2 x1 + x 2 + 4 x3 + 8 x 4 = −1  x + 3x − 6 x + 2 x = 3  2 3 4 22.  1 3 x1 − 2 x 2 + 2 x3 − 2 x 4 = 8  2 x1 − x 2 + 2 x3 = 4  3 x1 + 4 x 2 + x3 + 2 x 4 + 3 = 0 3 x + 5 x + 3 x + 5 x + 6 = 0  2 3 4 24.  1  6 x1 + 8 x 2 + x3 + 5 x 4 + 8 = 0 3 x1 + 5 x 2 + 3 x3 + 7 x 4 + 8 = 0 7 x1 + 9 x 2 + 4 x3 + 2 x 4 − 2 = 0  2x − 2x + x + x − 6 = 0  2 3 4 26.  1  5 x1 + 6 x 2 + 3x3 + 2 x 4 − 3 = 0  2 x1 + 3x 2 + x3 + x 4 = 0

9

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия  2 x1 − x 2 − 6 x3 + 3 x 4 + 1 = 0 7 x − 4 x + 2 x − 15 x + 32 = 0  2 3 4 27.  1  x1 − 2 x 2 − 4 x3 + 9 x 4 − 5 = 0  x1 − x 2 + 2 x3 − 6 x 4 + 8 = 0

10

 2 x1 + 5 x 2 + 4 x3 + x 4 = 20  x + 3 x + 2 x + x = 11  2 3 4 28.  1 2 x1 + 10 x 2 + 9 x3 + 7 x 4 = 40  3x1 + 8 x 2 + 9 x3 + 2 x = 37

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ На плоскости в выбранной системе координат прямая линия может быть задана уравнением первой степени. Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Уравнение вида

y − kx + b

называется уравнением прямой с

угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент; b - величина отрезка, который отсекает прямая по оси ординат, считая от начала координат. Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 , то A ее угловой коэффициент находится по формуле: k = − . B является уравнением прямой, Уравнение y − y 0 = k (x − x 0 ) которая проходит через данную точку M (x0 , y 0 ) и имеет угловой коэффициент k . x − x1 y − y1 = Уравнение является уравнением прямой, x 2 − x1 y 2 − y1 проходящей через две данные точки M 1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x ; y 2 ) . Угловой y − y1 коэффициент прямой в этом случае определяется по формуле k = 2 . x 2 − x1 x y + =1 называется уравнением прямой «в Уравнение a b отрезках», где a и b величины отрезков, которые отсекает прямая на b координатных осях. Угловой коэффициент прямой будет равен k = − . a Если известны угловые коэффициенты двух прямых k1 и k 2 , то один из углов ϕ , образованных этими прямыми определяется по формуле: k − k1 tgϕ = 2 . 1 + k1 k 2 Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k1 = k 2 .

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия Признаком

перпендикулярности

двух

прямых

11 является

1 . Иначе говоря, угловые k1 коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. x cos α + y sin α − p = 0 называется нормальным Уравнение соотношение

k1 k 2 = −1

или

k2 = −

уравнением прямой. В этом уравнении p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую; α - угол, образованный этим перпендикуляром с осью абсцисс. Если даны координаты точки M 0 (x0 , y 0 ) и нормальное уравнение прямой, то расстояние от точки M 0 до прямой вычисляется по формуле: d = x0 cosα + y 0 sin α − p . Если дано общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель 1 µ=± . Знак нормирующего множителя выбирается A2 + B 2 противоположным знаку свободного нормируемого уравнения. В этом случае расстояние от данной точки M 0 (x0 , y 0 ) до прямой, заданной общим уравнением, будет Ax0 + By 0 + C d= . 2 2 A +B Условие, при котором три точки M 1 (x1 , y1 ) , M 2 (x 2 , y 2 ) и x1 y1 1 M 3 (x3 , y 3 ) лежат на одной прямой, записывается в виде: x 2 y 2 1 = 0. x3 y 3 1 Если же эти точки не лежат на одной прямой и являются вершинами ∆ , то площадь этого ∆ можно найти по формуле: x1 y1 1 1 S = ± x2 y2 1 , 2 x3 y 3 1 где знак выбирается такой же, как и знак определителя. Уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 (x1 , y1 ) и также может быть записано в виде определителя M 2 (x 2 , y 2 ) x y 1 x1 y1 1 = 0 . x2 y2 1

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

12

Пример. Дан ∆ABC : A(4,3); B (−3,−3); C (2,7) Найти: а) уравнение стороны AB ; б) уравнение высоты CH ; в) уравнение медианы AM ; г) уравнение одной из биссектрис; д) точку N пересечения медианы AM и высоты CH ; е) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ; ж) расстояние от точки C до прямой AB ; з) координаты центра описанной окружности; и) найти площадь ∆ABC . а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей x − x1 y − y1 = , получим уравнение стороны через две точки x 2 − x1 y 2 − y1 x−4 y −3 = AB : , откуда 6( x − 4) = 7( y − 3) или 6 x − 7 y − 3 = 0 . −3−4 −3−3 б) Согласно уравнению y = kx + b , где k − tgα (уравнение прямой с угловым коэффициентом), угловой коэффициент прямой 6 AB : k AB = . 7 А для того, чтобы прямые были перпендикулярны (высота CH перпендикулярна основанию AB ), необходимо и достаточно, чтобы 1 7 =− . k AB ⋅ k CH = −1; т.е. k CH = − 6 6 7 Составим уравнение высоты, проходящей через точку C (2;7) с 7 угловым коэффициентом k CH = − : 6 7 y − 7 = − ( x − 2) или 7 x + 6 y − 56 = 0 - уравнение CH ю 6 x + x2 y + y2 ; y= 1 , где x, y - координаты в) По формулам x = 1 2 2 −3+ 2 −3+7 1 = − ;y = = 2, середины отрезка BC ; т.к. AM - медиана, x = 2 2 2  1  т.е. точка M  − ;2  .  2  Решение.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

13

Теперь по двум известным точкам A и M составляем уравнение x−4 y −3 = медианы AM : или 2 x − 4 y + 19 = 0 . 1 2−3 − −4 2 г) Составить уравнение биссектрисы угла C . Пусть K - точка пересечения со стороной AB . Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что BK : KA = CB : CA . Но CB = CA =

(− 3 − 2)2 + (− 3 − 7 )2 (4 − 2)2 + (3 − 7 )2 =

= 25 + 100 = 125 . 4 + 16 = 20 .

5 5 5 125 = . ; λ= 2 5 2 20 Так как известно отношение, в котором точка K делит отрезок BA , то координаты точки K определяются равенствами: x + λ xA y + λ yA ; yK = B ; xK = B 1+ λ 1+ λ 5 5 15 −3+ ⋅4 − 3+ ⋅3 − 3 + 2 = − 3 + 10 = 7 ⋅ 2 = 2; y = 2 = 2 = 9⋅2 = 9. xK = K 5 7 5 7 7 2⋅7 7 1+ 1+ 2 2 2 2 Следовательно, λ = BK : KA =

 9 Т.е. K  2;  .  7 Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через точки C и K : y−7 x−2 = ; x = 2 - уравнение биссектрисы CK . 9 2−2 −7 7 д) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты CH составляем систему уравнений и решаем ее методом Крамера: 7 x + 6 y − 56 = 0 ;  − + 2 x 9 y _ 19 0  7 6 ∆= = 75, 2 −9

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия ∆X =

14

56 6 7 56 = −390; ∆ Y = = −245; − 19 − 9 2 − 19

− 245 49 = , − 75 15  26 49  т.е. N  ; .  5 15  е) Так как прямая, проходящая через вершину C , параллельная стороне AB , то их угловые коэффициенты равны ( k1 = k 2 - условие 6 параллельности), т.е. k= . Тогда, согласно уравнению 7 по точке C и угловому коэффициенту составляем y − y 0 = k (x − x 0 ), уравнение прямой CD 6 y − 7 = ( x − 2) или 6 x − 7 y − 37 = 0 . 7 ж) Расстояние от точки C до прямой AB вычисляется по формуле Ax0 + By 0 + C d= , A2 + B 2 6⋅2 − 7⋅7 −3 40 8 85 = = . т.е. d = CH = 2 17 85 6 2 + (− 7 ) x=

− 390 26 = ; − 75 5

y=

Расстояние от точки C до прямой можно найти как расстояние между точками C и H . Координаты точки C известны. Координаты H находим, решая совместно уравнение прямой CH и AB : d = (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) . з) Зная, что центр описанной около треугольника окружности находится на пересечении перпендикуляров, проведенных из середины сторон треугольника, составим уравнение перпендикуляров.  1  Середина отрезка BC найдена: M  − ;2  .  2  Составим уравнение сторон BC : y+3 x+3 y +3 x+3 = = ; ; y + 3 = 2 x + 6; 7+3 2+3 10 5 2 x − y − 3 = 0 - уравнение BC . 1 ; уравнение тогда K BC = 2, K перпендикуляра равен − 2 перпендикуляра 2

2

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

15

1 1 1 1 y − 2 = −  x + , y − 2 = − x − , 2 2 2 4 4 y − 8 = −2 x − 1, 2 x + 4 y − 7 = 0. Второй перпендикуляр можно провести через середину стороны AB . 1  D ,0  - середина стороны AB . Уравнение AB найдено в п.а. 2  6 6 x − 7 y − 3 = 0, K AB = . 7 7 , уравнение Тогда угловой коэффициент перпендикуляра равен 6 перпендикуляра: 7 1 7 7 y − 0 = −  x − ; y = − x + ; 6 2 6 12 12 y = −14 x + 7; 14 x + 12 y − 7 = 0. Найдем координаты центра описанной окружности, решив систему уравнений:  2x + 4 y − 7 = 0  7 21  , получим O − ; .   4 8 14 x + 12 y − 7 = 0 и) Найдем площадь ∆ABC : 4 3 1 1 S = ± − 3 − 3 1 = (−20) = 20. 2 2 7 1

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнение F ( x, y ) = 0

определяет кривую второго порядка, если

хотя бы одна из переменных в этом уравнении имеет вторую степень. 2 2 Уравнение (x − a ) + ( y − b ) = R 2 определяет окружность радиуса

R с центром C (a, b ) . x2 y2 + = 1 определяет эллипс, расположенный Уравнение a2 b2 симметрично относительно осей координат, с полуосями a и b . Фокусы

эллипса находятся на оси абсцисс, если a > b

(c =

a2 − b2

)

, и на оси

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия a
ординат, если

(c =

b2 − a2

)

. Число ε =

c a

16 называется

эксцентриситетом эллипса (ε < 1) . x2 y2 − = 1 определяет гиперболу, расположенную Уравнение a2 b2 симметрично относительно осей координат с фокусами на оси абсцисс x2 y2 2 2 определяет гиперболу, c = a +b . Уравнение − 2 + 2 = 1 a b расположенную симметрично относительно осей координат с фокусами

(

)

(

)

на оси ординат c = a 2 + b 2 . b b Прямые y = x и y = − x являются асимптотами гиперболы. a a c Число ε = называется эксцентриситетом гиперболы (ε > 1) . a Уравнение y 2 = 2 px определяет параболу, симметричную относительно оси абсцисс, ветви которой лежат в правой полуплоскости, p  если p > 0 , и в левой – если p < 0 . Фокус имеет координаты  ;0  ; 2  p а директриса задана уравнением x = − . 2 Уравнение определяет параболу, симметричную x 2 = 2 py относительно оси ординат, ветви которой лежат в верхней полуплоскости, если p > 0 , и в нижней – если p < 0 . Фокус имеет координаты p  p  0;  , а директриса задана уравнением y = − . 2  2 Пример. Определить вид кривой, привести к каноническому виду и построить: 4 x 2 + 9 y 2 + 32 x − 54 y + 109 = 0 . Дополним члены, содержащие x , и члены, содержащие y , до полных квадратов. Получим

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

( 4[(x

) (

)

4 x 2 + 8 x + 9 y 2 − 6 y + 109 = 0, 2

)] [(

17

)]

+ 8 x + 16 − 16 + 9 y 2 − 6 y + 9 − 9 + 109 = 0,

4(x + 4) − 64 + 9( y − 3) − 81 + 109 = 0, 2

2

4(x + 4) + 9( y − 3) = 64 + 81 − 109, 2

(x + 4)2 9

2

2 ( y − 3) =

4

= 1,

т.е. имеем эллипс, центр которого лежит в точке C (−4;3) , большая полуось a = 3 , малая полуось - b = 2 . Найдем пересечение с осями O x , O y . Пусть y = 0 , тогда из данного уравнения имеем 4 x 2 + 32 x + 109 = 0. x1, 2 =

− 32 ± 1024 − 1744 − 32 ± − 720 ; x1, 2 = . 8 8

Т.к. действительных корней нет, то кривая не имеет пересечения с осью O x . Пусть x = 0 , тогда 9 y 2 − 54 y + 109 = 0. 54 ± 2916 − 3924 54 ± − 1008 ; y1, 2 = . 18 18 Пересечения с осью O y кривая тоже не имеет. Строим кривую (рис.1.) y1, 2 =

Y Y’ с 3

X’ X

-4

0 Рис. 1.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

18

ЗАДАНИЯ № 1. Даны точки A(x1 , y1 ), B (x 2 , y 2 ), C (x3 , y 3 ) . 1) Проверить, что эти точки являются вершинами треугольника. 2) Найти площадь этого треугольника. 3) Написать уравнение сторон треугольника. 4) Написать уравнение медианы, проведенной из вершины A и высоты, проведенной из вершины B . Найти их точку пересечения. 5) Написать уравнение прямой, проходящей через точку C , параллельной и перпендикулярной прямой AB , если точки имеют координаты: 1. А(11, -15) В(6, -3) С(-2, 9) 2. А(9, -9) В(4, 3) С(-2, -5) 3. А(19, -2) В(7, 3) С(-1, -3) 4. А(7, 8) B(2, 4) C(-6, -2) 5. A(11, -7) B(-1, -2) C(5, 6) 6. A(14, -1) B(2, 4) C(-4, -4) 7. A(11, -10) B(6, 2) C(0, -6) 8. A(13, -11) B(1, -6) C(-7, -12) 9. A(8, -7) B(3, 5) C(-5, -1) 10. A(10, -9) B(-2, -4) C(4, 4) 11. A(11, -3) B(-1, 2) C(-7, -6) 12. A(13, -11) B(8, 1) C(2, -7) 13. A(14, 10) B(2, -5) C(-6, -11) 14. A(9, -9) B(4, 3) C(-4, -3) 15. A(9, -11) B(-3, 6) C(3, 2) 16. A(8, -5) B(-4, 0) C(-10, -8) 17. A(15, 12) B(10, 0) C(4, -8) 18. A(15, -9) B(3, -4) C(-5, -10) 19. A(6, -11) B(1, 1) C(-7, -5) 20. A(12, -13) B(0, -8) C(6, 0) 21. A(10, -6) B(-2, -1) C(-8, -9) 22. A(14, -13) B(9, -1) C(3, -9) 23. A(1, -1) B(2, 1) C(-1, 0) 24. A(2, -1) B(3, 5) C(-2, 4) 25. A(3, 1) B(2, 3) C(-1, 5) 26. A(-1, 2) B(3, 3) C(1, 0) 27. A(0, 1) B(2, 2) C(-2, 3) 28. A(3, 0) B(2, 2) C(-1, 4)

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия № 2.

Дан эллипс с уравнением

x2 y2 + =1 a2 b2

x2 y2 − = 1: a2 b2 1. Написать уравнение прямой, проходящей через (гиперболы), перпендикулярно осям координат. 2. Найти длину отрезка этой прямой, лежащей (гиперболы), если значения a и b заданы: 1. а=5, b=4 2. a=3, b=5 3. a=7, 4. a=1, b=2 5. a=3, b=2 6. a=4, 7. a=5, b=3 8. a=6, b=8 9. a=8, 10. a=4, b=5 11. a=8, b=4 12. a=10, 13. a=12, b=13 14. a=13, b=5 15. a=5, 16. a=12, b=5 17. a=9, b=4 18. a=2, 19. a=4, b=2 20. a=4, b=1 21. a=7, 22. a=24, b=10 23. a=13, b=10 24. a=10, 25. a=15, b=8 26. a=8, b=15 27. a=7, 28. a=10, b=6

19

и гипербола

фокусы эллипса внутри эллипса b=3 b=6 b=6 b=3 b=12 b=1 b=2 b=24 b=3

№ 3. Составить уравнение параболы, проходящей через точку M (x o , y 0 ) , симметрично относительно оси O x и оси O y , если точка имеет следующие координаты: 1. M(1, 2) 8. M(-2, -1) 15. M(4, -1) 22. M(-1, 4) 2. M(-1, 2) 9. M(3, 4) 16. M(5, -2) 23. M(-2, -4) 3. M(1, -2) 10. M(2, -3) 17. M(8, 1) 24. M(3, 5) 4. M(-1, -2) 11. M(-5, 2) 18. M(-2, 5) 25. M(-2, 4) 5. M(2, -1) 12. M(3, 2) 19. M(4, 3) 26. M(5, 8) 6. M(2, 1) 13. M(2, 3) 20. M(3, -4) 27. M(-4, -2) 7. M(-2, -1) 14. M(-2, 3) 21. M(4, 1) 28. M(-2, 6) № 4. Привести уравнение кривой к каноническому виду с помощью выделения полного квадрата. Построить полученную кривую. 1. а) x 2 − 4 x + y = 0 б) 4 x 2 − y 2 + 2 x − 3 = 0 в) 2 x 2 + x + 2 y 2 = 0

г) 3 x 2 + 2 y 2 − 3 y − 2 = 0

а) x 2 − y 2 − 4 y − 5 = 0

б) 3 x 2 − y 2 + 2 y − 3 = 0

в) 2 x 2 + 2 y 2 − x = 0

г) x 2 + 2 y 2 + x + y = 0

2.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия 3. а) y 2 − 6 x + 2 y − 11 = 0

б) x 2 + 4 x + 4 y 2 = 0

в) y 2 − 6 y + x 2 + 2 x = 0

г) x 2 + x + y 2 − 4 = 0

4. а)

x

2

− 2x + y = 0

б) x 2 + 4 x + 4 y 2 − 3 = 0

в) y 2 − 6 y + x 2 + 2 x = 0

г) x 2 + x + y 2 − 4 = 0

а) x 2 − 4 x + 5 y + 14 = 0

б) x 2 + y 2 − 7 y − 2 = 0

в) 4 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 1 = 0

г) 2 x 2 − y 2 − y + 7 = 0

5.

6. а) 36 x 2 + 36 y 2 − 36 x − 24 y − 23 = 0

б) x = y 2 − 2 y

в) 4 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 1 = 0

г) 2 x 2 − y 2 − y + 7 = 0

7. а) y 2 + x − 4 y + 2 = 0

б) x 2 + y 2 − 7 y − 2 = 0

в) 4 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 1 = 0

г) 2 x 2 − y 2 − y + 7 = 0

8. а) x 2 − 9 y 2 + 2 x + 36 y − 44 = 0

б) x = y 2 − 2 y

в) x 2 + y 2 − 7 y − 2 = 0

г) 4 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 1 = 0

9. а) x 2 − 8 x − 3 y + 19 = 0

б) x 2 − y + y 2 − 10 = 0

в) 2 x 2 + 3 y 2 − 5 x = 0

г) 3 x 2 + 7 y − y 2 + 10 = 0

10. а) 4 x 2 + 9 y 2 − 8 x − 36 y + 4 = 0

б) 2 x 2 + x − 5 y 2 = 0

в) y 2 + 2 y + x + 1 = 0

г) x 2 − 3 x + y 2 − 4 y = 0

11. а) y 2 − 5 x + 6 y + 4 = 0

б) 4 x 2 + y 2 − 4 = 0

в) 2 x 2 − 3 y 2 − 2 y = 0

г) x 2 − 4 y + y 2 + 3 y = 0

12. а) x 2 + 4 y 2 − 4 x − 8 y − 6 = 0

б) 2 x 2 + x + 3 y = 0

в) x 2 + 3 x + y 2 − 5 = 0

г) 5 x 2 − 6 y 2 − 7 = 0

13. а) x 2 + 6 x + 5 y − 6 = 0

б) 2 x 2 + y 2 − y − 2 = 0

в) 3 x 2 − 2 y 2 − y + 1 = 0

г) x 2 + 5 x + y 2 − 7 = 0

20

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

21

14. 1 2 1 2 2 x − y − x + y −1 = 0 4 9 3 2 2 в) 3 x + 4 y − 10 = 0

б) x 2 + y 2 − 3 x − 1 = 0

а)

г) x 2 − 2 y 2 − 2 y + 1 = 0

15. а) y 2 + 6 x − 8 y + 22 = 0

б) x 2 + 3 y 2 + 4 x − 2 = 0

в) x 2 + y 2 + x − y − 1 = 0

г) 3 x 2 − 5 y 2 + 3 x + 4 = 0

16. а) 16 x 2 + 25 y 2 − 32 y + 5 y − 359 = 0

б) x 2 + 3 y 2 + 5 x = 0

в) x 2 + y 2 − 5 y − 1 = 0

г) 3 x 2 − 5 y 2 + 3 x + 4 = 0

17. а) x 2 + 8 x − 2 y + 14 = 0

б) x 2 + 3 y 2 + 5 x = 0

в) x 2 + x + y 2 − 4 = 0

г) 7 x 2 − 9 y 2 = 2

а) y = − x 2 + 2 x

б) x 2 + y 2 − 3x + 1 = 0

в) x 2 − 5 y 2 + 2 = 0

г) 2 x 2 + y 2 + 4 x − 2 = 0

а) y 2 − 3 x + 10 y + 16 = 0

б) 2 x + x 2 − 3 y 2 + 6 = 0

в) 3 x 2 + 3 y 2 − 2 x = 0

г) 5 x 2 + y 2 + x − 6 = 0

а) y 2 − 2 x + 4 y + 2 = 0

б) x 2 + y 2 − 3 x − 4 = 0

в) x 2 + 5 y 2 − 5 y = 0

г) x 2 + x − y 2 = 0

18.

19.

20.

21. а) 7 x 2 − 5 y 2 − 14 x − 20 y − 22 = 0

б) x 2 + 2 y 2 + 2 x = 2

в) 2 x 2 + 3 y 2 − y − 2 = 0

г) 3 x 2 + 3 y 2 − 2 = 0

22. а) 4 x 2 + 3 y 2 + 18 y + 15 = 0

б) x 2 + y 2 + 3x − 1 = 0

в) y 2 + y + x − 2 = 0

г) 2 y 2 − 3 x 2 + 2 y = 5

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Направленные отрезки называются векторами. Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых и одинаково направлены. Число, равное длине вектора, называется его модулем и обозначается a . Проекцией вектора

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

22

на ось называется число ПРu a = a cos ϕ , где ϕ - угол наклона вектора к оси u . Проекции произвольного вектора a на координатные оси называются координатами вектора. В этом случае вектор записывается с помощью координат: a = {x, y, z}. Модуль вектора в этом случае находится по формуле: a = x 2 + y 2 + z 2 . Если даны две точки M 1 (x1 , y1 , z1 ) и

M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , то

координаты вектора M 1 M 2 находятся по формулам: x = x 2 − x1 ; y = y 2 − y1 ; z = z 2 − z1 .

Если даны два вектора a = {x1 , y1 , z1 } и b = {x 2 , y 2 , z 2 } , то a + b = {x1 + x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 }; a − b = {x1 − x 2 ; y1 − y 2 ; z1 − z 2 } . Если α - произвольное число, то α a = {α x1 α y1 , α z1 } . Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов a = {x1 , y1 , z1 } b = {x 2 , y 2 , z 2 }

является пропорциональность их координат: x1 y1 z1 = = . x2 y 2 z 2 Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними, т.е. (a , b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ . и

Если векторы a и b перпендикулярны, то (a , b ) = 0 . Произведение (a, a ) называется скалярным квадратом вектора, причем a

2

= a2 .

Если векторы a и b заданы своими координатами: a = {x1 , y1 , z1 } и b = {x 2 , y 2 , z 2 } , то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле: (a , b ) = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 . Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство: x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 = 0 . Косинус угла между векторами a и b определяется по формуле x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 (a , b ) , или в координатах cos ϕ = cos ϕ = . 2 2 2 2 2 2 a ⋅b x1 + y1 + z1 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор c = [a , b ] , который определяется тремя условиями: 1) c = a ⋅ b ⋅ sin α , где α - угол между векторами a и b ; 2) вектор c перпендикулярен каждому из векторов a и b ;

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

23

3) вектор c направлен так, чтобы векторы a, b и c , взятые в указанном порядке, составляли правую тройку векторов. Для векторного произведения справедливы следующие свойства: 1) [a , b ] = −[b , a ] ; 2)

[a, b ] -

есть площадь параллелограмма, построенного на

векторах a и b ; [a , b ] = 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b 3) коллинеарны. В частности, [a , a ] = 0 . и Если векторы заданы координатами a = {x1 , y1 , z1 } b = {x 2 , y 2 , z 2 }, то координаты их векторного произведения определяются формулой: i j k x1 z1 x1 y1   y1 z1 [a , b ] =  y z , − x z , x y  или [a , b ] = x1 y1 z1 , 2 2 2 2 2   2 x2 y2 z2 где i, j, k единичные векторы на осях координат. Смешанным произведением трех векторов a , b , c называется [a, b ] , умноженному число, равное векторному произведению скалярно на вектор c , т.е. a b c = ([a , b ]c ) . Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a,b , c , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов a , b , c правая, и со знаком «минус», если тройка левая. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения, т.е. a , b , c = 0 . Если векторы a , b , c заданы координатами a = {x1 , y1 , z1 } , b = {x 2 , y 2 , z 2 } , c = {x3 , y 3 , z 3 } , то x1 y1 z1 a b c = x2 y 2 z 2 . x3 y 3 z 3 Пример. Вершины пирамиды находятся в точках: A(2,3,4), B (4,7,3), C (1,2,2), D (−2,0,−1). Вычислить: а) площадь грани ABC ; б) объем пирамиды ABCD ; в) проекцию вектора AC на направление вектора BD ; г) угол ABC ; д) проверить, что векторы AB, BC , AC компланарны.

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

24

Решение. а) Из определения векторного произведения известно, что: 1 S ∆ABC = AB × AC . 2 Находим векторы AB и AC , используя формулу M 1 M 2 = {x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 };

AB = (2, 4, − 1); AC = (− 1, − 1, − 2). Для векторов, заданных своими проекциями, произведение находится по формуле i j k a = (a x , a y , a z ) . a × b = a x a y a z , где b = (bx , b y , bz ) b x b y bz

векторное

Для нашего случая i j k AB × AC = 2 4 − 1 = −9i + 5 j + 2k . −1 −1 − 2 Длину полученного вектора находим, используя формулу a = a x2 + a y2 + a z2

a = (a x , a y , a z )

AB × AC = 9 2 + 5 2 + 2 2 = 110 и тогда 1 110 (кв.ед.) 2 б) Смешанное произведение трех векторов по абсолютной величине как равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c на ребрах. Смешанное произведение вычисляется по формуле: ax a y az a ⋅ b ⋅ c = bx b y bz . cx c y cz S ∆ABC =

Найдем векторы AB, AC , AD , совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися к вершине A : AB = 2i + 4 j − k AC = −i − j − 2k . AD = −4i − 3 j − 5k Смешанное произведение этих векторов

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

25

2 4 −1 AB ⋅ AC ⋅ AD = − 1 − 1 − 2 = 11 . −4 −3 −5 1 части объема параллелепипеда, Так как объем пирамиды равен 6 11 построенного на векторах AB, AC , AD , то V ПИР = (куб.ед.). 6 в) Используя формулу a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ , определяющую скалярное произведение векторов a, b , можно записать так: a ⋅ b = a ⋅ ПРa ⋅ b = b ⋅ ПРb ⋅ a ,

где

ПРa ⋅ b = b ⋅ cos ϕ

ПРb ⋅ a = a ⋅ cos ϕ

BD

или ПРa ⋅ b = b ⋅ ПРb ⋅ a = a ⋅

или

Для нахождения проекции вектора AC находим координаты векторов

a ⋅b a ⋅b = ; a a ⋅b

a ⋅b a ⋅b = . a ⋅b b

на направление вектора AC = −i − j − 2k ,

BD = −6i − 7 j − 4k , а затем, применяя формулу

ПРBD ⋅ AC = получаем ПРBD ⋅ AC =

AC ⋅ BD BD

,

(− 1)⋅ (− 6) + (− 1) ⋅ (− 7 ) + (− 2) ⋅ (− 4) = (− 6)2 + (− 7)2 + (− 4)2

21 = 2,1 . 101

г) Для нахождения угла ABC определяем векторы BA, BC имеющие общее начало в точке B : BA = −2i − 4 j + k . BC = −3i − 5 j − k Затем по формуле скалярного произведения BA ⋅ BC = BA ⋅ BC ⋅ cos ∠ABC находим cos ∠ABC = cos ∠ABC =

BA ⋅ BC BA ⋅ BC

6 + 20 + 1 = 4 + 16 + 1 ⋅ 9 + 25 + 1

,

25 25 = = 0,92. 21 ⋅ 35 7 15

,

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

26

д) Для того чтобы три вектора AB = 2i + 4 j − k ; BC = −3i − 5 j − k ; CA = i + j + 2k были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю. В нашем случае имеем 2 4 1 − 3 − 5 −1 = 0 . 1 1 2 Следовательно, векторы компланарны. ЗАДАНИЯ Заданы четыре точки: A(x1 , y1 , z1 ), B(x 2 , y 2 , z 2 ), C (x3 , y 3 , z 3 ), D(x 4 , y 4 , z 4 ) . 1) Проверить, что эти точки будут вершинами некоторой пирамиды и найти объем этой пирамиды. 2) Найти проекцию вектора AB на направление вектора AC . 3) Найти угол ABC . 4) Найти площадь грани CBD . 5) Найти векторное произведение и скалярное произведение векторов BC и BD , если точки заданы координатами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

A(2,-3,-3) A(4,6,5) A(10,6,6) A(1,8,2) A(7,2,2) A(3,1,4) A(3,5,4) A(9,5,5) A(0,7,1) A(6,1,1) A(2,0,3) A(2,4,3) A(8,4,4) A(-1,6,0) A(5,0,0) A(1,-1,2) A(1,3,2) A(7,3,3) A(-2,5,-1)

B(0,2,2) B(6,9,4) B(-2,8,2) B(5,2,6) B(5,7,7) B(-1,6,1) B(5,8,6) B(-3,7,1) B(4,1,5) B(4,6,6) B(-2,5,0) B(4,7,2) B(-4,6,0) B(3,0,4) B(3,5,5) B(-3,4,-1) B(3,6,1) B(-5,5,1) B(2,-1,3)

C(0,-2,-4) C(2,10,10) C(6,8,9) C(5,7,4) C(5,3,1) C(-1,1,6) C(1,9,9) C(5,7,8) C(4,6,3) C(4,2,0) C(-2,0,5) C(0,8,8) C(4,6,7) C(3,5,2) C(3,1,-1) C(-3,-1,4) C(-1,7,7) C(3,5,6) C(2,4,1)

D(-3,-2,2) D(7,5,9) D(7,10,3) D(4,10,3) D(2,3,7) D(0,4,-1) D(6,4,8) D(6,9,2) D(3,9,8) D(1,2,6) D(-1,3,-2) D(5,3,7) D(5,8,1) D(2,8,7) D(0,1,5) D(-2,2,-3) D(4,2,6) D(4,7,0) D(1,7,6)

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

A(4,-1,-1) A(0,-2,1) A(0,2,1) A(1,3,2) A(-1,3,2) A(1,2,-3) A(3,-1,2) A(2,3,2) A(4,1,2)

B(2,4,4) B(-4,3,-2) B(2,5,0) B(3,4,1) B(-3,4,1) B(3,4,1) B(4,2,1) B(4,2,1) B(-2,3,1)

C(2,0,2) C(-4,-2,3) C(-2,6,6) C(2,1,3) C(-2,1,3) C(2,-1,3) C(1,3,2) C(-2,-2,3) C(-1,2,3)

27

D(-1,0,4) D(-3,1,-4) D(3,1,5) D(-1,2,1) D(1,2,-1) D(1,-2,2) D(2,4,5) D(3,4,1) D(-4,-2,-2)

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В полярной системе координат положение точки M на плоскости определяется ее расстоянием OM = ρ от полюса 0 ( ρ - полярный радиус-вектор точки) и углом ϕ , образованным отрезком OM с полярной осью ( ϕ - полярный угол точки). Угол ϕ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки. Для построения точки M (ρ , ϕ ) в полярной системе координат проводят через полюс 0 под углом ϕ к полярной оси вспомогательную ось, а затем откладывают на ней от точки 0 отрезок длины ρ в положительном направлении оси, если ρ > 0 , или в отрицательном направлении оси, если ρ < 0 . Если начало прямоугольной системы координат xOy совпадает с полюсом, а положительное направление оси O x - с полярной осью, то прямоугольные координаты x, y и полярные координаты ρ , ϕ точки M связаны формулами: 1) x = ρ ⋅ cos ϕ , y = ρ ⋅ sin ϕ ; Y

ρ = x2 + y2 , X

2)

x

cos ϕ =

x2 + y2

полярная ось

Рис. 2. Пример. Написать уравнение кривой координатах и построить ее график.

(x

2

+ y2

)

2

; sin ϕ =

y x2 + y2

= 2 xy в полярных

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

(

28

)

2

Переходя в уравнении x 2 + y 2 = 2 xy к полярным координатам по формулам x = ρ ⋅ cos ϕ , y = ρ ⋅ sin ϕ , получим

ρ 4 = 2 ρ 2 ⋅ cos ϕ ⋅ sin ϕ , т.е. ρ 2 = sin 2ϕ . Из этого уравнения видно, что график кривой лежит в первой и третьей четверти (там, где sin 2ϕ ≥ 0 ). Из исходного уравнения видно, что график симметричен относительно начала координат (так как в

(

)

2

уравнении x 2 + y 2 = 2 xy ничего не изменится, если одновременно изменить знаки у ( y ) и у (x ) ). Поэтому график кривой достаточно π построить в первой четверти, т.е. при 0 ≤ ϕ ≤ . 2 Составляем таблицу: ϕ 0 π π π π π π 3π 5π 12 8 6 4 3 8 12 2 ρ 0 0 1 1 1 1 1 4 3 4 3 4 4 4 4 2 2 2 2 Точки с координатами, заданными в таблице, откладываем на плоскости ρ , ϕ . Проводя через эти точки плавную кривую, получим часть графика, лежащую в первой четверти. Часть графика, лежащую в третьей четверти, можно построить с помощью отображения. Y

0

Рис. 3.

1

X

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

29

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

30

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

31

Высшая математика. Определители. Аналитическая геометрия

32

ЛИТЕРАТУРА 1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. –М., 1967. –256с. 2. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М., 1966. –336с.

Составители: Л.Н.Баркова Редактор: Бунина Т.Д.