統計モデル入門 (医学統計学シリーズ)

序

  統 計 モ デ ル(statistical  model)は,見

か け の 変 動 を示 す デ ー タ の 中 に 埋

没 し て い る 本 当 の 姿 を 把 握 す る 重 要 な ツ ー ル で あ る と 考 え る こ とが で き る. こ こ20年

間 の 間 に,実

際 の 問 題 解 決 をめ ざ した さ ま ざ ま な新 し い 統 計 モ デ

ル が コ ン ピ ュ ー タ の 進 歩 ・普 及 と と も に 急 速 に 進 歩 し て きた.   伝 統 的 な 最 尤 法 は 依 然 と し て そ の 応 用 範 囲 は 広 いが,個

体差 な ど考慮 した

変 量 モ デ ル が 普 及 す る に つ れ て 登 場 す る 制 限 付 き最 尤 法,理 難 な 状 況 で も推 測 の バ ラ ツ キ を 評 価 で き るbootstrap,モ す る ク ロ ス ・バ リデ ー シ ョン ・情 報 量 規 準,正 分 布 に 拡 張 し た 一 般 化 線 形 モ デ ル,パ

論 的 な展 開 が 困

デ ル の良 さを評価

規 線 形 モ デ ル を よ り広 い 確 率

ラ メ トリ ックな関数 を指 定す るこ とな

く,デ ー タ に 語 らせ る ノ ンパ ラ メ ト リ ック 回 帰 モ デ ル,Gibbs  samplingに づ くMarkov  chain Monte  Carlo法 を 利 用 したBayesianモ

基

デ ル,個 体 毎 に あ

る イベ ン トの 発 生 と そ の 共 変 量 を経 時 的 に 観 測 した 回 帰 モ デ ル(longitudinal  data analysis)に お い て 個 体 内 相 関 構 造 を特 定 す る 必 要 の な い 一 般 化 推 定 方 程 式 法,な

ど コ ン ピ ュ ー タ を駆 使 し た 新 し い 方 法 が 続 々 と生 まれ て きて い る.

  本 書 の 主 要 な 目 的 は,「 統 計 モ デ ル の 面 白 さ 」,「統 計 モ デ ル の 基 礎 」,「代 表 的 な 方 法 の 原 理 」 を 具 体 的 事 例 を 通 し て 解 説 す る こ と に あ る が,そ 同 時 に,読

者 が 「計 算 」 で き る こ と を 目指 し て い る.プ

ヒ ッ トを 打 つ こ とが 自信 に つ な が る の と 同 じ よ う に,自 こ とが わ か る と 自信 と興 味 に つ な が る か らで あ る.ま

れと

ロ 野 球 選 手 で も まず 分 で 「計 算 で き る 」

た,本

書 で は,い

くつ

か の トピ ッ ク ス を 交 え な が ら,上 記 の 新 し い モ デ ル を 紹 介 し,な ぜ こ の よ う な 「モ デ ル 」 が 必 要 な の か,ど

の よ う な ア イデ ア の 下 に 誕 生 し て き た の か な

ど に つ い て も 入 門 的 な 解 説 を行 う.た だ,longitudinal  data analysisの 統 計 モ デ ル の 詳 細 に 関 して は,そ

の 内容 の 豊 富 さ,他 の 章 と の バ ラ ン ス ,か ら 残

念 な が ら 本 書 で は 割 愛 し た.   ま た,具

体 的 事 例 の 統 計 解 析 に はS‐Plusを

者 はS‐Plusの

広 報 担 当 で は な い け れ ど も,新

利 用 させ て 頂 い た.な

試 行 錯 誤 の 道 具 と し て,ま

た,学

の ソ フ トと して もS‐Plusは

に も筆

会 発 表,論

し い 方 法 論 を創 造 す る た め の 文発 表用 の 図表 を作成 す るた め

ま こ と に 便 利 で あ る か らで あ る.欧

米 に お い て,

S‐Plusを 利 用 し た 研 究 論 文 ・テ キ ス トが 増 加 し て い る こ とは そ の 便 利 さ を雄 弁 に 物 語 っ て い る.   本 書 は ま た,こ

こ 数 年 の 慶 應 義 塾 大 学 理 工 学 部 で の 講 義 テ キ ス ト をベ ー ス

に 再 構 成 し た もの で あ り,大 学 の 学 部 ・大 学 院 に お け る統 計 モ デ ル,応 計 学 に 関 す る授 業 で の テ キ ス トと し て 利 用 で き る よ う,例 題,練

用統

習 問題 を適

宜 配 備 し,そ れ な りの 工 夫 を 凝 ら し た つ も りで あ る.   本 書 に よ っ て 「統 計 モ デ ル 」 の 面 白 さ を実 感 し,統 計 学 に 興 味 を 覚 え る 読 者 が 少 しで も増 え れ ば 幸 い で あ る. 2000年

１月

丹 後俊郎

S‐Plusに

日本 で は,デ る.S‐Plusに

つ いて

ー タ の 統 計 解 析 の た め の ソ フ ト と し てSAS,SPSSな

そ の 特 徴 は な ん と い っ て も,統

計 手 法 ・統 計 モ デ ル を 芸 術 的 な 感 覚 でvisualに

作 で き る 便 利 な ツ ー ル とい え る こ と に あ る.問

(株)数

どが 有 名で あ

も他 の ソ フ トに 優 る と も劣 ら な い 統 計 解 析 機 能 が 備 わ っ て い る が,

理 シ ス テ ム,S‐PLUSグ

い 合 わ せ は 下 記 へ.

ル ー プ,Tel:(03)3358‐6681

創

目    次

１. トピ ッ ク ス Ⅰ：新 記 録 の 誕 生 と競 技 水 準 の 向 上  

１

1.1  考   え   方  

１

1.2  新 記 録 の 数 の 確 率 分 布  

２

練 習問題  

３

２.  トピ ッ ク ス Ⅱ ：病 原 性 大 腸 菌O‐157に 2.1  は

じ

め

に

よる集 団食 中毒  

 

６ ６

2.2  デ ー タ を み る 目  

７

2.3  統

８

計

モ

デ

ル  

2.4  尤 度 関 数 と最 尤 推 定 値  

８

2.5  対 数 正 規 分 布  

９

2.6  最 尤 推 定 値 は 最 小 値? 

12

2.7  適

13

用

例

 

2.8  なぜ 対 数 正 規 分 布  

16

練 習 問題  

16

３. Bootstrap― 3.1  は

じ

め

中 央 値 の 標 準 誤 差 を 求 め る? 

18

に

19

 

3.2  古 典 的 な 統 計 学 的 推 測  

19

3.3  Bootstrapに

よ る推 測  

20

3.4  Bootstrap信

頼 区 間 

26

3.4.1 

パ ーセ ン タ イル法  

27

3.4.2 

BC 

法

 

3.4.3 

BCa 

法 

27

28

練 習問 題 

32

４. モ デ ル を 比 較 す る  4.1 

は

じ

め

35

に

 

36

4.2  MallowsのCp規

準 

36

4.3  AkaikeのAIC規

準 

40

4.4  自 由度 調 整 重 相 関 係 数  

44

4.5  よ く見 か け る 変 数 選 択 法  

46

4.6  AllenのCV規

49

4.7 

準 

モ デ ル 選 択 の 例No.１  

4.8  HjorthのCMV規 4.9 

51

準 

モ デ ル 選 択 の 例No.２

54

 

56

練 習 問題  

58

５. 測 定 誤差 の あ る線形 モデ ル― 5.1  誤

差

測 定 法の 比 較 

 

61 62

5.2  正 確 度 の 評 価 の 基 本  

63

5.3 

63

測 定 法 の 比 較  

5.3.1  線 形 回 帰 式 と線 形 関 係 式  

65

5.3.2 

68

Bootstrapに

よ る 推 測

 

5.3.3  繰 り返 し測 定 の あ る場 合  

練 習 問題  

72

６. 一 般 化 線 形 モ デ ル(GLIM)  6.1 

は

じ

70

め

に

 

75 75

6.2  GLIMの

三つ の特徴  

77

6.3  最

推

79

尤

定

 

6.4  モ デ ル の 適 合 度 の 評 価  

81

6.5 

Analysis 

6.6 

Over‐dispersion 

84

6.7  回 帰 係 数 の 解 釈  

86

6.8  適

of deviance 

用

例

83

 

88

練 習 問題  

91

７.  ノ ン パ ラ メ ト リ ッ ク 回 帰 モ デ ル 

92

7.1  基 本 的 ア イ デ ア  

93

7.2  局 所 重 み 付 き 平 均 ―kernel 

smoother 

94

7.3  局 所 重 み 付 き線 形 回 帰 ―loess  7.4 

ス プ ラ イ ン 関 数 の 利 用 ―smoothing 

7.5  Smootherの

バ ラ ツ キ とsmoothingパ

96 splines  ラ メ ー タ 

98 102

7.6  一 般 化 加 法 モ デ ル ―GAM 

106

練 習問 題  

111

8.  イベ ン ト発 生 ま で の 時 間 の 長 さに 関 す る モ デ ル  

114

8.1  生 存 時 間 の 確 率 分 布  

116

8.2  生 存 関 数 の 推 定  

118

8.2.1 

パ ラ メ ト リ ッ ク法  

119

8.2.2 

ノ ン パ ラ メ ト リ ッ ク 法 

121

8.3 

比 例 ハ ザ ー ド 回 帰 モ デ ル 

126

8.3.1 

パ ラ メ ト リ ッ クモ デ ル  

128

8.3.2 

Coxの

130

8.3.3 

log‐rank検

９. Bayes推

モデ ル ―

測

定

伝 統 的統計 学  

140 141

9.3  無 情 報 事 前 分 布   後

133

140

Bayesian 

9.4  事

 

 

9.1  Frequentist― 9.2 

セ ミパ ラ メ ト リ ッ ク モ デ ル  

分

布

142  

144

9.5  階層 的 条 件 付 き独 立 モ デ ル  

145

9.6  応

149

用

例

 

練 習 問題  

10. 

153

Markov 

chain 

Monte 

Carlo法

 

155

10.1 

期 待 値 の 計 算  

155

10.2 

Markov連

156

10.3 

Metropolis‐Hastingsア

10.4 

２ 種 類 のsampler 

10.5 

収

10.6 

Single‐component 

10.7 

Gibbs 

鎖

束

診

  ル ゴ リ ズ ム  

159 161

断

 

165

MH法

 

166

sampling 

169

11.  トピ ッ ク ス Ⅲ:多

施 設 共 同臨床 試験 に おけ る施設 間 差 

181

11.1 

治 療 効果 の モデ ル 

182

11.2 

Balanced 

190

dataで

の 推 測  

11.2.1 

分 散 分 析(ANOVA)法

11.2.2 

最

11.2.3 

制 限 付 き 最 尤(REML)法

尤(ML)法

11.3 

Unbalanced 

11.4 

解

192

 

dataで

析

 

例

192  

194

の 推 測 の 留 意 点 

196

 

197

練 習 問題  

200

12.  トピ ッ ク ス Ⅳ:疾 12.1 

は

じ

12.2 

問 題

め の 所

病 地 図 と疾 病 集 積 性   に

在

 

202 202

 

203

12.3  年 齢 調 整 で も不 十 分  

205

12.4 

207

Bayesian 

approach 

12.4.1 

Empirical 

12.4.2 

Bayesian 

Bayes  hierarchical 

209 model 

212

12.5  疾 病 の 集 積 性  

213

練習 問題  

220

付 録 Ａ:最

尤

推

定  

221

A.1  尤 度 に 基 づ くモ デ ル  

221

A.2  漸 近 的 に 同 等 な 三 つ の 検 定 統 計 量  

223

A.3 

信

頼

区

間

225

A.4 

デ

ル

タ

法

付 録 Ｂ:S‐Plusプ

   

ログ ラム他  

226

227

文

献  

238

索

引  

241

１ トピ ッ クス Ⅰ: 新 記 録 の 誕 生 と競 技 水 準 の 向上

  世 界 大 会,オ

リン ピ ッ クな ど で,多

で 塗 り変 え られ て い るが,こ で あ ろ うか? 

くの 競 技 種 目の 記 録 が 年 々 「新 記 録 」

れ は 選 手 ・競 技 の 水 準 が 向 上 し て い る 結 果 な の

水 準 に 向 上 が 全 くな く と も,何

年 か す る と必 ず 更 新 され る,

す な わ ち 「新 記 録 」 が 生 まれ る こ と も確 か の よ う に 思 わ れ る.   そ こで,こ

こ で は,最 近 の ス ポ ー ツ の 世 界 で の 新 記 録 の デ ー タか ら,本 当

に 競 技 水 準 が 向 上 し て い る と 言 え る の か ど うか?を

統計 学 的に検 討 して み

よ う!

1.1考

  まず,あ

  え

  方

る 競 技 種 目 に 関 す る 毎 年 の 最 高 記 録 を 考 え る.そ の 記 録 が 初 め て

と ら れ た 年 を 時 点 ｌと し よ う.も ち ろ ん,最

表1.1 

1975年

か ら1985年

初の 年 の最高記 録 は新記 録で あ

まで の 陸 上競 技 に お け る 新 記 録 の 数

る.そ

こ で,次

  帰 無 仮 説H0:競

の 帰 無 仮 説 を考 え よ う: 技 の 水 準 に 変 化 が な く,各 年 の 最 高 記 録 が 同 じ 分 布 に 従 う

こ の 帰 無 仮 説 の 下 で は,к 年 目の 最 高 記 録 が 新 記 録 とな る確 率 は1/к とな る. なぜ な ら,1,2,…

，κ年 目の そ れ ぞ れ の 最 高 記 録 は 同 じ確 率 分 布 に 従 うの で

あ るか ら,ど れ が 最 大 に な る か は す べ て,等 確 率 で あ る か らで あ る.こ の 現 象 を記 述 す る た め に,次

Xκ=

の確 率 変数 Ｘ

を 導 入 し よ う.

１,κ 年 目 の 記 録 が 新 記 録 で あ る

｛

０,κ 年 目 の 記 録 が 新 記 録 で な い こ れ ら は,互

い に 独 立 で, Pr{Xκ=1}=1/κ

              

Pr{Xκ=0}=(κ-1)/た

(1.1)

            (1.2)

で あ り,そ れ ら の 期 待 値 と分 散 は そ れ ぞ れ,

(1.3)

(1.4)

1.2  新 記録 の数 の確 率 分 布

さ て,以

上 の 準 備 よ り,ｎ 年 間 の 新 記 録 の 数Snは Sn=Xl+X2+…+Xn 

で あ る か ら,そ

             (1.5)

の 期 待 値 と分 散 が

(1.6)

(1.7) と な る.   さ て,Ｓnの

確 率 分 布 は 次 の よ うに し て 求 め る こ とが で き る.い p(r,n)=Pr{Sn=r} 

と お こ う.{Sn=r}と

ま,

             (1.8)

い う事 象 は

{Sn-1=γ-1か

つXn=1}U{Sn-1=rか

つXn=0}

と い う二 つ の 排 反 な 事 象 の 和 と して 表 現 され るか ら p(1,1)=1 

               

(1.9)

(1.10) r=1,...,n;n=2,3,... と い う関 係 が 成 立 す る.た

だ し,

p(0,n)=p(n+1,n)=0,  と す る.こ

こ で,r=1と

n=1,2,... 

      

(1.11)

す る と,

(1.12) が 得 られ る ． つ ま り,p(1,n)は を 表 す.さ

て,こ

最初 の 年 の記 録が ｎ年 間更新 され ない 確率

れ 以 降 は 次 の 練 習 問 題 を や りな が ら 考 え て み よ う.

練 習 問題 [問題1.1]次

式 を証 明 せ よ.

(1.13)

[問 題1.2]p(r,n)を{p(r-1,j):j=r-1,r,…,n-1}を

利 用 して 求 め

よ.

[問題1.3]あ

る競 技 の 記 録 は こ こ25年

間 更 新 され て い な い.こ

準 に 関 し て は 向 上 が み られ な い と評 価 して よい か? 

の 競 技 の水

有 意 水 準5%で

検 定せ

よ.

[問 題1.4]p(r,11),r=1,2,…,11を 側5%の

コ ン ピ ュ ー タ を利 用 し て 計 算

棄 却 限 界 点(critical 

し,上

value)s*

離散分布の上側5%の 棄却限界点s* Pr{sn〓s*｝

〓0.05

Pr{Sn〓s*-1}＞0.05

を 求 め よ.そ

の 際,作

成 し た プ ロ グ ラ ム とoutputも

図1.1 

S‐Plusで

作 成 し たp(γ,20)の

添 付 せ よ ． な お,プ

分 布

ロ

グ ラ ム チ ェ ッ ク の た め に,図1.1にS‐Plusで [問 題1.5]表1.1の,1975年

か ら1985年

技 の 新 記 録 の 回 数 の 成 績 に 基 づ い て,競

作 成 し たp(r,20)の ま で の11年

分 布 を 示 す.

間 に 生 まれ た 陸 上 競

技 水 準 の 向 上 に 関 す る 解 説 を 行 え.

２ トピ ッ ク スII: 病 原 性 大 腸 菌O‐157に

  表2.1は,平

よ る集 団食 中毒

成 ８年 ５月 岡 山 県 邑 久 町 の 小 学 校 で 発 生 し たO‐157に

団 食 中毒 に お け る発 症 日別 度 数 分 布 で あ る.感

よ る集

染 源 へ の 曝 露 時 点 は い つ と推

定 で き る だ ろ うか? 表2.1 

平 成 ８ 年 ５ 月 岡 山 県 邑久 町の 小 学 校 で 発 生 し たO‐157:H7に に お け る 発 症 日別 度 数 分 布(市 場,日

2.1 

  平 成 ８年,大

よる集団食中毒

本 医 事 新 報,No.3785,26‐30,1996)

は  じ  め  に

阪 で 勃 発 し た 病 原 性 大 腸 菌O‐157：H7に

よ る 食 中毒 の 集 団 発

生 は 食 中 毒 の 恐 ろ し さ を 再 認 識 させ る と と も に,当 時 の 管 厚 生 大 臣 の 「貝 割 れ 大 根 が 感 染 原 因 で な い こ とが 否 定 で き な い 」 旨 の 発 言 に よ る カ イ ワ レ ・パ

ニ ッ クは 食 中 毒 の 感 染 原 因特 定 の 重 要 性 とそ の 困 難 性 を浮 き彫 りに し た.一 般 に,集

団 食 中 毒 の 感 染 源 の 調 査 は,過 去 に 食 べ た 食 品 の 細 菌 検 査,症

発 現 し た 人 と発 現 し な い 人 で 比 較 す る 喫 食 調 査 な ど が 実 施 さ れ る.し 事 件 が 起 き て か ら後 ろ 向 き に行 う調 査 で あ る だ け に,時 て,曝

状の か し,

間が 経 過 す る に つ れ

露 時 点 と感 染 源 の 特 定 に 必 要 な 決 め 手 と な る 食 品 に 関 す る デ ー タが 入

手 困 難 と な る.さ

ら に,感 度 の 低 い とい わ れ る細 菌 検 査,大

部 分 の 人が 同 じ

食 事 を と る と い う集 団 食 中 毒 の 性 格 か ら 感 染 源 を 同 定 す る こ とは 容 易 で は な い.も

っ と も,感 染 源 が 体 内 に 入 っ て か ら １日 も た た な い で 症 状 が 現 れ る 食

中 毒 で は 感 染 菌 の 混 入 し た 食 事 を 特 定 す る こ と は 比 較 的 容 易 で あ る.   と こ ろ が,病

原 性 大 腸 菌O‐157の

場 合 は 潜 伏 期 間 が １週 間 以 上 に も な る

厄 介 な 代 物 な の で あ る.１ 週 間 前 に 食 べ た 食 事 の 内 容 を 明 確 に 回 答 で き る 読 者 は ど の くら い い る だ ろ うか?  り向 け られ が,医

一 般 の 関 心 と調 査 の 目 は 食 品 の ほ う にば か

療 機 関 が 中 心 とな っ て 実 施 す る 初 発 症 状 の 問 診 調 査 に 貴 重

な 情 報 が 隠 され て い る こ とは 意 外 と 知 られ て い な い.そ

れ は 「症 状 が 発 現 し

始 め た 時 期 」 で あ る.

2.2 

  具 体 例 と して 表2.1の

デ ー タ をみ る 目

デ ー タ を み よ う.こ れ は 平 成 ８年 ５月 に 岡 山 県 邑 久

町 の 小 学 校 で 発 生 した 学 校 給 食 が 感 染 源 とみ られ るO‐157:H7に 中 毒 事 件 の 発 症 日の 度 数 分 布 で あ る.こ が 死 亡 して い る.こ

よる集 団食

の 食 中 毒 事 件 で は,脳 症 で 児 童 ２名

の 表 を ど うみ る か が 鍵 と な るが,こ

の デ ー タに は わ れ わ

れ が 知 り た い 未 知 の 曝 露 時 点 か ら の症 状 発 現 まで の 潜 伏 期 間 の 個 人 差 に 関 す る貴 重 な 情 報 が 入 っ て い る.感 染 して も,健 康 度,免

疫 力 の 違 い か ら,外 部

の 侵 入 者 に す ぐ 負 け て 早 々 に発 症 す る者 も い れ ば,最

初 の うちは抵抗 してそ

の 拡 大 を 阻 止 し て い た が 力 尽 きて 発 症 す る者,逆

に 侵 入 者 が 打 ち負 か され て

発 症 し な い 強 い 者 な ど さ ま ざ まで あ る.こ の 貴 重 な デ ー タ を上 手 に解 析 す れ ば 曝 露 時 点 の 候 補 を か な り絞 り きれ る か も しれ な い.

2.3

統 計 モ デ ル

  さて,こ の 観 察 され た 潜 伏 期 間 の 個 人 差 の 分 布 か ら ど の よ う にO‐157に

集

団 曝 露 し た 時 点 を特 定 す る か が 問 題 と な るが,「 潜 伏 期 間 の 個 人 差 」が １)あ る 確 率 分 布 に 従 う確 率 変 数 で あ り,２)表2.1が

そ の 実 現 値 で あ る発 症 日の 分

布 で あ る,と い う統 計 モ デ ル を 考 え る こ とが で き る ． つ ま り,一 斉 に 曝 露 し た 時 点 を γ,あ る個 人 の 発 症 日を Ｘ とす れ ばX-γ(〓0)の 義 され る確 率 分 布 を適 用 す る の で あ る.そ

うす れ ば,問

分 布 に正値 で定 題 は適 用 した確 率分

布 が 観 察 され た デ ー タ に 最 も適 合 す る よ うに パ ラ メ ー タ(曝 露 時 点 γ と確 率 分 布 が も っ て い るパ ラ メ ー タ)を 推 定 す る統 計 学 的推 測 に 帰 着 す る.   感 染 症 の 潜 伏 期 間 と し て は 古 くか ら対 数 正 規 分 布(log‐normal distribution) が 利 用 され て い る の で こ こ で もそ れ を適 用 し て み よ う:

(2.1) つ ま り,対 数 を と っ たln(X-γ)が

平 均 μ,分 散 σ2の 正 規 分 布 に 従 う と仮

定 す る の で あ る.

2.4  尤 度 関 数 と最尤 推 定 値 一 般 に 確 率 変 数 Ｘ の 確 率 分 布f(x;θ)は θ=(θ1,...,θp) 

パ ラ メー タ             

(2.2)

を 固 定 した 下 で の ｘの 関 数 と考 え た もの で あ る.こ の 関係 を逆 に して,ｘ に デ ー タを 入 れ て ｘを 固 定 し て パ ラ メー タ θの 関 数 と考 え た もの を尤 度(likelihood) , 尤 度 関 数 と よ び 一 般 にL(θ)と

表 す ． つ ま り,デ ー タ に 適 合 し て い る も っ と

も ら し さの 度 合 い で あ り,こ の 尤 度 が 最 大 と な る パ ラ メ ー タ の 値 が デ ー タ に 最 も適 合 し て い る と い え る.大

き さ ｎ の １組 の 独 立 な 標 本x=(x1,...,xn)

が 与 え られ る 同 時 確 率 密 度 関 数 は

と な るか ら,尤

度 関数 は

(2.3) と な る.こ

の 尤 度 関 数 を 最 大 に す る パ ラ メ ー タの 値 θ は 最 尤 推 定 量(maxi‐

mum  likelihood estimator)と

よば れ,一

般 に ｎが 大 き くな る に つ れ て 最 良

の 性 質 を もつ 推 定 値 で あ り実 際 問 題 の 統 計 モ デ ル に よ く登 場 す る(付

録 Ａ

参 照).   最 尤 推 定 量 を 実 際 に 求 め る に は,尤 る た め,対

度 関 数 を直 接 取 り扱 う こ とが 面 倒 で あ

数 を と っ た 対 数 尤 度 関 数 の 最 大 値 を 考 え る.こ

の対 数 尤度 関 数

l(θ)=log  L(θ)             

(2.4)

が 上 に凸 な滑 らか な 関数 であ るこ とが 多 い こ とか ら次 の連 立偏 微 分方 程式

(2.5) の 解 と して 求 め る の が 通 常 で あ る.こ の 連 立 方 程 式 は 一 般 に は 非 線 形 方 程 式 と な る.非

線 形 方 程 式 を解 くに はNewton‐Raphson法

を利 用 す るのが 一般

的 で あ る が....

2.5 

対 数 正 規 分 布

  まず,ｎ 例 の 食 中 毒 患 者 の 症 状 の 発 生 時 点{Xi,i=1,...,n}の 計 算 され る 尤 度 関 数 は,一

デ ー タか ら

斉 曝 露 で 症 状 が 独 立 に発 生 す る と い う条 件 の 下 で

とな る.三 つ の パ ラ メ ー タ(γ,μ,σ2)の 最 尤 推 定 量 は,対 数 尤 度 関 数 の 偏 微 分 を計 算 して,連

立方 程式

の 解 と して 求 め るの が 通 常 で あ る と述 べ た が,こ

の非線 形方 程式 には解が 収

束 し な い ケ ー ス が 少 な くな い と い う計 算 上 の 問 題 点 が 知 られ て い る(Cohen, 1988).そ

の た め い ろ い ろ な 工 夫 が さ れ て い る が,こ

こ で は,簡

単 でか つ収

束 問 題 の な い 線 形 探 索 法 を利 用 し て 解 を 計 算 す る方 法 を紹 介 す る,ま ず,γ を所 与 と す る と,(μ,σ2)の 最 尤 推 定 量 は 簡 単 に

(2.6) (2.7) と計 算 で き る.し

たが っ て,最

大 対 数 尤 度 は γ の 関 数 と して

(2.8) と 計 算 で き る.こ lihood)と

よ ぶ.つ

の 最 大 対 数 尤 度 を γ の プ ロ フ ァ イ ル 対 数 尤 度(profile  likeま り,こ

め る 最 尤 推 定 量 で あ り,そ {γ1〓

の プ ロ フ ァ イ ル 対 数 尤 度 を 最 大 に す る γ が,求 れ は 適 当 に 用 意 し た γの 数 値 列 γ2〓...〓

γM＜min 

xi}

に 対 応 し た プ ロ フ ァ イ ル 対 数 尤 度ι**(γj),j=1.....Mを

計 算 して最大 値 を

探 す 一 次 元 数 値 探 索 法 で 簡 単 に 求 め ら れ る.   さ て,最

尤 推 定 量 の 次 に,プ

め 方 に つ い て 説 明 し よ う.そ test)を

知 る 必 要 が あ る.そ

ロ フ ァ イ ル 対 数 尤 度 を利 用 し た 信 頼 区 間 の 求

の た め に は,ま の た め に,次

H0:γ=γ0, 

度 比 検 定(likelihood  ratio

の 仮 説 検 定 を 考 え よ う. H1:γ

帰 無 仮 説 の 下 で の 最 大 尤 度L**(γ0.μ,σ2｜H0)と L**(γ,μ,σ2｜H1)の

ず,尤

≠ γ0

対 立仮 説の 下で の最大 尤度

比 を 考 え る.

(2.9) こ こ に,「.」 と 「.」は そ れ ぞ れ 帰 無 仮 説,対 す 記 号 で あ る.対

立仮 説 の下で の 最尤推 定 量 を示

立 仮 説 の 下 で は γ は γ0に 縛 られ る こ と な く自 由 に 動 き 回

れ る の で,分

母 の 尤 度 は 分 子 の そ れ よ り小 さ くは な ら な い.し

たが って,こ

の 尤 度 比 は １以 下 で あ り,尤 度 比 が １か ら遠 ざ か る に つ れ て 帰 無 仮 説 の 信 憑 性 は 小 さ くな る,こ

の性 質 を 利 用 し た検 定 を 尤 度 比 検 定 と よび 統 計 的 検 定 の

中 で 重 要 な 位 置 を 占 め て い る.漸

近的 に は

-2logλ

な る 性 質 を 利 用 す る.こ

∼

X

2 1

分布                 (2.10)

の χ2分 布 の 自 由 度 １は 帰 無 仮 説,対

自 由 に 変 化 で き るパ ラ メー タ の 数 の 差 を 意 味 す る.い

立 仮説 の 下で

まの 場 合,帰

無仮説 で

の 自 由 な パ ラ メ ー タ数 は ２,対 立 仮 説 の 下 で は ３で あ る か らそ の 差 １が 自 由 度 と な る.し

た が っ て, -2ι**(γ

で あ れ ば,帰

2

ο)+2ι**(γ)〓

χ1 (α)   

無 仮 説 を棄 却 して 対 立 仮 説 を採 択 す る.こ

(2.11)

こ に,χ21(α)は 自 由

度 １の χ2分 布 の 上 側100α パ ー セ ン タ イル で あ る.   と こ ろで,こ

の 検 定 の 裏 返 し を 考 え よ う. -2ι**(γ

2

ο)+2ι**(γ)〓

χ1 (α)   

(2.12)

と な る γοの 範 囲 は 帰 無 仮 説 を棄 却 で きな い 範 囲 で あ り,信 頼 区 間 と言 い 換 え る こ とが で き る ． つ ま り,γ οを γ と お く と,γ の 両 側(1-α)水

準 の 信頼

区 間が 1 {γ

：ι**(γ)〓

と し て 定 義 で き る の で あ る.こ 信 頼 区 間(profile

  な お,対 が,観

ι**(γ)-

/2

2

χ1 (α)}

(2.13)

の 信 頼 区 間 を プ ロ フ ァ イル 対 数 尤 度 に基 づ く

likelihood  based  confidence  interval)と

よ ぶ.

数 正 規 分 布 は 一 般 に 高 値 に 裾 を 長 く引 く非 対 称 な 分 布 形 状 を 示 す

察 され た デ ー タ に よ っ て は,正

す も の も少 な く な い.こ

規 分 布 の よ うに 対 称 性 に近 い 分 布 を示

の よ う な 場 合 に は,式(2.8)の

度 関 数 が γ の 単 調 減 少 関 数 と な り γ →-∞

プ ロ フ ァ イル 対 数 尤

と な る こ とが あ る.し た が って,

こ の 場 合 に は 曝 露 日の 推 定 は で きな い こ と に 注 意 し た い.正 裾 が −∞ へ と伸 び て い る こ と を 考 え れ ば,自

然 で あ る.

規分 布の左 側 の

2.6  最 尤推 定 値 は最 小値?

と こ ろ で,デ

ー タ の 最 小 値 をx(1)と

お くと

(2.14) と な る.な

ぜ な らx(1)に

十 分 近い γに対 して

と な る か ら,

と な る.こ

こで

で あ る 。 と こ ろ が,limx→0H(x)=+∞ で あ る.つ

で あ る か ら 式(2.14)が

ま り最 尤 推 定 値 は デ ー タ の 最 小 値 と な っ て し ま う.し

事 例 で も 示 す よ う に,通

常 の 精 度 で 計 算 す る か ぎ り,式(2.8)の

γ を 過 ぎ る と 尤 度 関 数L**(γ)は と し てlog10H(x)の

減 少 す る.と

づ く に つ れ て,log10(x）

る 点 よ り 減 少 か ら 増 加 に 転 じ,徐 る.し

か し,後

た が っ て,式(2.8)の

  こ の 問題 は,式(2.1)の

の

最 大 値 を とる

こ ろ が,図2.1にx=x(1)-γ

挙 動 を10-100〓x〓10-1,n=1(1)50の

た よ う に 驚 くべ き 挙 動 を 示 す の で あ る.小 がx(1)に)近

成 立す るの

さ い ｎ を 除 け ば,ｘ

範 囲 で示 し が ０ に(γ

も 最 初 は 減 少 し て ０ に 近 づ くが,あ

々に増加 し ∞ へ と無 限に増 加 す るので あ

最 大 値 は 極 大 値 と な っ て し ま う.

条 件 「x＞ γ」 に よ り,最 尤 推 定 量 の 正 則 条 件 の ひ

とつ 「デ ー タの 範 囲が パ ラ メー タに 依 存 し な い こ と 」 を 満 た し て い な い こ と が 原 因 で あ る.し

た が って,式(2.8)を

常識 的範 囲で最 大 にす る推 定量 γは

厳 密 に い え ば 最 尤 推 定 量 と は よべ な い も の の,実 が 示 され,実

際 には十分 有効 で あ るこ と

用 的 な 意 味 で の 最 尤 推 定 量 と よべ る もの で あ る.つ

条 件 を 満 足 し な い 場 合 の 最 尤 推 定 量x(1)が

ま り,正 則

実 用 上 は 正 し くな い こ と を示 す

図2.1 

範 囲10-100〓x〓10-1and  log10{｜Inx｜-ｎ

ｘ-1}の

ｎ=1(1)50で プ ロ ッ ト,ｘ

興 味 深 い 例 の 一 つ で あ る(computer 

の 関 数log10H(x)＝

軸 の ス ケ ー ル はlog10(x)

simulationで

2.7  適 

用

確 認 し て み よ).

 例

  平 成 ８年 ５月 岡 山 県 邑 久 町 の 小 学 校 で 発 生 し たO‐157に に お け る発 症 日別 度 数 分 布 の デ ー タ(表2.1)に   計 算 の た め,4月30日 午 はx=24で

正 午 を原 点x=0と

あ り,６ 月 １ 日はx=32で

よる集 団 食 中毒

適 用 し て み よ う. し よ う.例 え ば,５

あ る.実

月24日

正

際 の 計 算 で は,γ の 数 値

列を

と し て 小 数 点 以 下 １桁 の 精 度 で プ ロ フ ァ イル 対 数 尤 度 ι**(γ)をS‐Plusを 利 用 し て 計 算 し た 結 果 を 図2.2に 照).曝

示 し た(S‐Plusプ

ロ グ ラ ム は 付 録B.1参

露 時 点 の 最 尤 推 定 値 は プ ロ フ ァ イル 対 数 尤 度 が 最 大 と な る γ の 値 で,

γ=21.9,最

大 値 は ι**(21,9)=-379.93で

給 食 が 最 も 疑 わ れ る.図2.2に

と な る線 で あ る.式(2.13)よ 頼 限 界 を 与 え る.こ

で あ っ た.つ

1/ 2 χ1 2

の よ う に し て 求 め た95%信 曝 露 時 点 が5月20日

と23日

頼 区 間 は(20.3,22.8) か ら5月23日

が 最 も疑 わ れ る と し て い るが,原

数 正 規 分 布 の 適 合 度 を 視 覚 的 に 検 討 す る た め に,

表2.1の

まで の 学

お,学 校 給 食 の 料 理 の 調 査 か ら も

定 は 難 航 して い る と 報 告 し て い る.

図2.2 

れ は

(0.05)=-381.85

校 給 食 の い ず れ か で あ る と推 測 で き る.な

さて,対

の

り,こ の 水 平 線 と ι**(γ)との 曲 線 と の 交 点 が

ま り,確 率95%で

曝 露 日 と して5月22日

な わ ち,5月22日

は ｘ 軸 に 平 行 な 線 が 描 か れ て い る が,こ

y=ι**(γ)-

95%信

あ っ た.す

デ ー タ のプ ロ フ ァ イル 対 数 尤 度 ι**(γ)と 推 定 値

因食 品の特

図2.3  表2.1の

デ ー タに つ い て(ａ)ヒ

ス トグ ラ ム と対 数正 規 分布 の 推 定 値,(ｂ)対

正規 性の 良 さを チ ェッ クす るた め のlog(ｘ-γ)の

数

正規プ ロッ ト

１)発 症 日の 相 対 度 数 分 布 の 図 上 に 推 定 され た 対 数 正 規 分 布 を重 ね 合 わ せ た 図 を 図2.3(ａ), ２)推 定 さ れ た 潜 伏 期 間 の 対 数 変 換 値,log(x-γ),の

正 規 プ ロ ッ トを 図

2.3(ｂ), に そ れ ぞ れ 示 し た.図2.3(ａ)の

視 覚 的 適 合 性 と 図2.3(ｂ)の

点 の並び のほぼ

直 線 性 に よ り対 数 正 規 分 布 へ の 適 合 度 は ま ず ま ず と い う こ と に な る.区

間頻

度 デ ー タ に 基 づ い て い る の で 正 規 プ ロ ッ トの 点 が 階 段 関 数 とな っ て い る こ と に 注 意 し た い.他

の パ ラ メ ー タ は=1.79,σ=0.41と

か ら 潜 伏 期 間 の 中 央 値 はexp(μ)=5.99,95%点 と 推 定 さ れ る.

推 定 さ れ た,こ はexp(μ+1.645σ)=11.73

れ

2.8 

  これ まで は,対

な ぜ対 数 正 規 分 布

数 正 規 分 布 を 利 用 してO‐157へ

たが,「 病 原 性 大 腸 菌O‐157に,一

食 中毒 の 潜 伏 期 間が 対 数 正 規 分 布 に 従 うか?」 的 根 拠 は 希 薄 で あ る.動

の 曝 露 時 点 を追 い つ め て き

斉 に 曝 露 す る こ とに よ っ て 発 生 す る 集 団 と い う本 質 的 な 仮 定 の 生 物 学

物 実 験 モ デ ル な ど で 確 認 さ れ て い る わ け で は な く,

O‐157と は 異 な る 他 の 感 染 症 の 流 行 事 例 の 潜 伏 期 間 の 分 布 を よ く記 述 で きた とい う経 験 を利 用 した だ け で あ る.し

たが っ て,対

数正規 分布 の仮 定 の下で

は 漸 近 的 に 最 良 の 推 定 値 を 与 え る方 法 も,対 数 正 規 分 布 の 仮 定 が 正 し くな い 場 合 に は,推 の で,対

定 され た 曝 露 日が 非 現 実 的 な も の と な る こ と も十 分 予 想 さ れ る

数 正 規 分 布 の 適 合 度 を 十 分 チ ェッ クす る必 要 が あ る(本 章 で 紹 介 した

方 法 は 明 らか に,robustで れ る ケ ー ス で は,ま ず,収

は な い).も

し 対 数 正 規 分 布 の 妥 当 性 が 強 く疑 わ

集 され た デ ー タの 信 頼 性 を再 検 討 す る必 要が あ る.

練 習 問題 [問 題2.1]表2.2に

示 す 平 成 ８年 ７月 に 石 川 県 の 中 学 校 で 発 生 し た 学 校 給

食 が 感 染 源 とみ られ る 集 団 食 中 毒 事 件 に 適 用 し て み よ う.こ の 原 因 菌 はO‐ 157:H7で

は な くO‐118:H2で

あ った.使

用 す る デ ー タは 初 発 症 状 の 日別 推 移

の デ ー タで あ る.

表2.2 

平 成 ８年 ７ 月 石 川 県 の 中 学 校 で 発 生 したO‐118:H2に る発 症 日別 度 数 分 布(蓮 井 他,日

よる集団食中毒におけ

本 医 事 新,No.3788,27‐29,1996)

[問題2.2]過

去 のO‐157の

件 の デ ー タ か ら,対

食 中 毒 事 件 簿 よ り,曝 露 時 点 が 判 明 し た 事 例 Ｋ

数 正 規 分 布 を 仮 定 し て 推 定 され た (η κ,μ

κ,σ

κ), 

κ=1,...,K

の デ ー タが 利 用 可 能 で あ る.こ の デ ー タ を利 用 す る と,こ れ か ら起 きるO‐157 の 食 中 毒 の 曝 露 時 点 の 推 定 に ど の よ う な モ デ ル 化 が 可 能 か? [問 題2.3]式(2.1)の

対 数 正 規 分 布 に つ い て, E(X)=γ+exp(μ)ω1/2 Var(X)=exp(2μ)ω(ω-1) α3(X)=(ω+2)(ω-1)1/2

を 示 せ.こ

こ に, ω=exp(σ2)

で あ る.

[問題2.4]最

尤 推 定 量 θ=(γ,μ,σ)tの 漸 近 分 散 ・共 分 散 が 次 式 で 与 え られ

る こ と を 示 せ.

こ こ に,

で あ る.

[問 題2.5]本 表2.2に

章 で は,発 症 時 点 を 連 続 変 数 と し て 扱 っ たが,実

際 に は 表2.1,

もみ ら れ る よ う に 日単 位 の よ うに 区 間 頻 度 デ ー タで あ る こ とが 多 い.

区 間 頻 度 で あ る こ と を 積 極 的 に 利 用 す る と ど の よ う な モ デ ル 化 が 可 能 か? [問題2.6]HIVに

感 染 し てか らAIDSを

分 布 が よ く仮 定 され る.表2.1の 布 にWeibull分

布

を 仮 定 す る と ど うな る か?

発 症 す る まで の 潜 伏 期 間 にWeibull

食 中 毒 の デ ー タ に つ い て も,潜 伏 期 間 の 分

３ Bootstrap―

  「中央 値 の 標 準 誤 差?」 うか? 

中 央 値 の 標 準 誤 差 を 求 め る?

と 聞 い て,は て?,と

思 う人 は 多 い の で は な い だ ろ

平 均 値 の 標 準 誤差(standard  error)は,母

分 散 を σ2と す れ ば 無 作

為 標 本 の 背 後 の 分 布 が 何 で あ れ,

(3.1) で 計 算 で き る の に,中

央 値X0.5の

標 準 誤 差 は? 

で は あ ま りな じ み が な い か も しれ な い が,も

一般 の 統計 学 の テキ ス ト

う少 し 数 理 に 詳 し い テ キ ス トを

調 べ て み る と あ る だ ろ う.そ れ は 漸 近 的 に

(3.2) で 与 え ら れ る.し

か し,こ

こ に 〓(X0.5)は

ｘ=X0.5で

の 密 度 関 数.〓(ｘ)の 値

で あ り 確 率 分 布 Ｆ が 未 知 の 場 合 に は 求 め ら れ な い の で あ る. 表3.1 

あ る疾 患 患 者11人

の 血 清 酵 素GPT値

のデ ータ

3.1は

じ

め

に

  1979年 に ア メ リ カ の 数 理 統 計 学 の 雑 誌Annals  of  Statisticsに,コ

ン ピュ ー

タ時 代 の 到 来 に ふ さ わ し い 新 し い 方 法 論bootstrap  methodがEfron(1979) に よ っ て 提 案 さ れ た.こ

の 方 法 は あ るパ ラ メー タ推 定 に お け る推 定 誤 差,バ

イ ア ス を表 現 す る統 計 量 を コ ン ピ ュ ー タ乱 数 を 利 用 す る だ け で 簡 単 に 導 け る 方 法 論 を示 し た も の で あ る.実

に 簡 単 な 方 法 で あ る に もか か わ らず,理

論的

に は 構築 不 可 能 な 困 難 な 問 題 に 対 し て エ レ ガ ン トな 解 答 を 与 え て くれ る た め, そ の研 究 は そ れ 以 来 数 理 統 計 学 者 の 一 大 テ ー マ と な り,さ ま ざ まな 問 題 に 拡 張 され 今 日の 統 計 学 の 発 展 の 中 核 を な す 方 法 論 に ま で 成 長 し て い る(Efron and Tibshirani,1993).   こ こ で,議

論 す る 問 題 は,未

知 の 確 率 分 布 Ｆ か ら の 無 作 為 標 本 か ら分 布

の あ るパ ラ メ ー タ θを 推 定 量 θで 推 定 す る 場 合 の １)推 定 誤 差 の 大 き さ ２)バ イ ア スの 大 き さの 推 定,バ

イアス を修正 した推 定量 の導 出

３)信 頼 区 間 の 構 成 に 関 す るnonparametric  はpararnetric 

bootstrapの

bootstrapと

比 較 し てbootstrap推

い う.こ

問 題 で あ る.分 こ で は,古

布 型 を仮定 した場 合 に

典 的な統計 学 的推測 の形 式 と

測 の 考 え 方 を 説 明 し よ う.回

帰 モ デ ル へ の 適 用 は ５章,

７ 章 を 参 照 の こ と.

3.2  古典 的 な統 計 学 的 推測

  ま ず,当

た り前 の こ と を 記 述 し よ う,(x1,...,Xn)を

あ る 確 率 分 布F(x)に

従 うサ イ ズ ｎ の 独 立 な 無 作 為 標 本 の 実 現 値 と し よ う.θ θ=θ(X1,...,xn) 

を 「標 本 の 関 数 」

                    (3.3)

と し て 推 定 し た い パ ラ メー タ と す る.期 待 値 は 当 然 EF(θ)=∫

とな る.こ

こでEFは

… ∫ θ(x1,…,xn)〓(x1)…

〓(xn)dx1…dxn(3.4)

分 布 Ｆ で 期 待 値 を 計 算 す る とい う意 味 で あ る.こ

の推

定量 の バ イアス は Bias(θ)=EF(θ-θ)  で あ る.す い う.ま

               (3.5)

べ て の θ に 対 し て.EF(θ-θ)=0の た,そ

と き 推 定 量 θは 不 偏 で あ る と

の分 散 は Var(θ)=EF{(θ-EF(θ))2} 

で あ り,標 準 誤 差SE(θ)は 性 質,例

えば,そ

れ て い る,つ

       

そ の 平 方 根 で あ る.さ て,パ

の 分 布,期

待 値,分

(3.6)

ラ メー タの 推 定 量 の

散 など は未 知の分布 Ｆ の 関数で 定義 さ

まり θ=g(F) 

し た が っ て,Ｆ

               

(3.7)

が 未 知で あ る以 上 これ らの 統計 量 を古典 的な推 測 で は正 確

に計 算 す る こ とは ま ず 不 可 能 で あ る.多

くの 古 典 的 な 統 計 学 的 推 測 で は,指

数 型 分 布 族 に 含 まれ る 一 つ の 分 布 型 を 仮 定 し,未

知 のパ ラ メー タに依 存 し

な い 統 計 量 を 構 成 す る こ とで こ の 問 題 を 回 避 し て き た と もい え る.例

え ば,

F(x;μ,σ2)が 平 均 μ,分 散 σ2の 正 規 分 布 で あ る と き,

が(μ,σ2)の 値 に か か わ らず 自由 度n-1の い る.ま

た,(n-1)S2/σ2が

ｔ分 布 す る こ とは よ く知 られ て

σ2の 値 に か か わ らず 自 由 度n-1の

χ2分 布

を す る こ と も.こ れ ら の 性 質 を利 用 し て μ,σ2そ れ ぞ れ の 信 頼 区 間 が 構 成 さ れ て きた の で あ る.ま た,標

本 サ イズ ｎが 大 き くな る に つ れ て 正 規 分 布 へ 収

束 す る と い う,便 利 な 中心 極 限 定 理(central  limit  theorem)を ざ ま な 推 定 量 の 漸 近 分 布 を 導 い て きた の で あ るが,そ

利 用 して さま

の 適 用 に は 多 くの 限 界

が あ る.

3.3 

  さ て,(nonparametric)bootstrap法 関数 Ｆ 自身は経 験 分布 関数

Bootstrapに

よ る推 測

の 原 点 は 経 験 分 布 関 数 で あ る.分

布

(3.8)

に よ り推 定 で き る こ と は よ く 知 ら れ て い る.つ か ら 観 察 さ れ た 標 本(x1,...,xn)を

ま り,未

基 に し て Ｆ(x)を

知 の 分 布 関 数F(x)

経 験 分 布 関 数Fn(x)に

置 き換 え て random ∼

(x1,...,xn)

F(x)                (3.9)

とい うフ レー ム を *

(x1 に 置 き 換 え て 推 測 す る,つ

* n

,...,x

)

random ∼

ま り,式(3.9)で

(3.10)で

定 義 さ れ る 「bootstrapの

strap法

の 基 本 的 ア イ デ ア で あ る.こ

い う.し

き る と い う の がboot‐

こで *

*

sampleと

定 義 さ れ る 「現 実 の 世 界 」 が 式

世 界 」 でsimulateで

(x1 ,...,x をbootstrap 

Fn(x)              (3.10)

)

n

た が っ て,式(3.7)で

与 え られ た パ ラ メ ー タ

の定 義 は θ=g(Fn) 

                      (3.11)

に 置 き 換 え ら れ る,標

本(x1,...,xn)が

つ ま り,bootstrapの

世 界 で の 母 集 団 パ ラ メ ー タ に 相 当 す る.分

う サ イ ズ ｎ のbootstrap 

sampleと

得 ら れ て い る 下 で はFn(x),θ

は,標

し た 無 作 為 抽 出(with  replacement)を ら れ る 標 本 を 意 味 す る の で,コ 実 現 で き る.つ

本(x1,...,xn)の

は 既 知,

布Fnに

中 か ら重 複 を 許

独 立 に ｎ 回 繰 り返 す こ と に よ っ て 得

ン ピ ュ ー タ 乱 数 を利 用 す れ ば きわ め て 簡 単 に

ま り.θ の 推 定 が θ*=θ(x

と で き る こ と に な る.こ

従

* 1 ,...,x

の 操 作bootstrap 

* n.

)             

simulationを

Bias*=E*(θ*)-θ

繰 り 返 せ ば,

                   (3.13)

Var*(θ*) Pr*{θ*-θ

(3.12)

〓t}

な ど の 推 定 量 の 近 似 値 が 簡 単 に 得 られ る.実

は これ らの値 が

Bias=E(θ)-θ Var(θ) Pr{θ-θ

をsimulateし

〓t}

て い る 点 が 重 要 で あ る.こ

こ でbootstrap 

simulationの

繰 り

返 し 数 を Ｂ とす る と

(3.14) (3.15) で 推 定 で き る.た

と え ば,バ

イ ア スBias*が

大 き け れ ば,バ

イア スが

Bias*=E*(θ*)-θ

で 推 定 で き る か ら,バ

イアス修 正推 定値が θc=θ-Bias*=θ+θ-E*(θ*) 

で 定 義 で きる.も

ち ろ んBias*が

り返 し数 Ｂ が 必 要 で あ る.興

      

(3.16)

十 分 に 正 確 に推 定 で き る 程 度 の 大 き さの 繰

味 深 い こ と はBias*が

い ま手 元 に あ る 一 つ の

標 本 だ け か ら 定 義 さ れ た 経 験 分 布 関 数 の 関 数 と して 構 成 で き る 点 で あ る.こ の よ うな 性 質 は 古 典 的 な 統 計 学 的 推 測 で は 考 え も し な か っ た 新 しい 発 見 で は な い だ ろ うか?   も ち ろ ん,こ

の よ う な 性 質 を 利 用 で き る の は,あ

る条件 の 下 で次 の 性 質

(概 収 束)

(3.17) を 満 た す 推 定 量 θ で な け れ ば な ら な い.さ

ら に,中

央 値 につ いて は

(3.18) と い う法 則 収 束 が 成 立 す る.式(3.2)と [例 題3.1]表3.1の

ど こ か 似 て い るで あ ろ うか?

デ ー タ に お け る 中 央 値 θに つ い て

１)標 準 誤 差 ２)バ イ ア ス ３)バ イ ア ス 修 正 推 定 値

をbootstrap法

で 計 算 し て み よ う,

[解答]  まず,実

世 界 で は,通

常 の推 定値 θ=x(6)=129 

                     (3.19)

を 利 用 し よ う.経 験 分 布 関 数 か ら は 中 央 値 の 定 義 か ら θ=x(6)=129 

が 導 か れ る.こ

の 場 合 は θ=θ と な った.実

る こ とは 少 な くな い が,異 る.し

か し,bootstrap法

  い ま,一

           

際 に は,同

な っ た(間 違 った)推

(3.20)

じ推 定 量 が 利 用 され

定 量 が 利 用 され る こ と もあ

で は 後 で み る よ う に そ れ は あ ま り問 題 で は な い.

つ のbootstrap 

sampleを

コ ン ピ ュ ー タ 乱 数 で 抽 出 し て み る と

41,41,57,124,193,215,215,215,280,280,363 と な っ た.式(3.19)よ

り θ*=x*(6)=215

と 推 定 さ れ る.B=100と

し たbootstrap 

simulationをS‐Plusで

つ の 結 果 は 次 に 示 す と お り で あ る.

平均     

E*(θ*)=152.7

標準 偏 差 バ

イ ア ス     Bias*=23.8

S‐Plus 

g←rep(0,nb)#nb 

program:表3.2

is a value  of Ｂ

x←c(16,41,57,76,124,129,193,215,280,363,914)

med←x[6] for(i in  １:nb{ y←sort(sample(x,replace=T)) g[i]←

y[6]}

g mean←mean(g);gsd←sqrt(var(g)) gbias←gmean‐med;gmod←med-gbias

行 った一

バ イ ア ス 修 正 推 定 値   θc=129-23

  繰 り返 し数 をB=200,500,1000,2000と 表3.2に

示 し た.1000を

増 加 させ て い った と きの 結 果 を

越 え る とそ れ ぞ れ の 推 定 量 が ほ ぼ 一 定 の 値 に 収 束

し て い る こ とが わ か る.表3.2に (例 題3.2)の

.8=105.23

はB=∞

と し た,つ

ま り,理 論 的 な 計 算

結 果 も示 し た.理 論 値 に ほ ぼ 近 い 結 果 が 得 られ て い る だ ろ う.

  次 に,bootstrapの

面 白 さ を味 わ っ て い た だ くた め に,平

均 値で 中央値 を

推 定 し よ う とす る とど う な る か を 見 て み よ う.こ の 場 合,式(3.19)が θ=x=218.91

と な る.つ

ま り

と 変 更 さ れ る.B=100の

結 果 は

平 均                     E*(θ*)=228.4

標 準偏 差 バ イ ア ス                 Bias*=99.4 バ イ ア ス 修 正 推 定 値   θc=218.9-99.4=119.5

と な る.表3.3に

は 繰 り返 し数 をB=200,500,1000,2000と

た と きの 結 果 を 示 した,同

様 に,1000を

理 論 値 に 収 束 し て い る こ とが わ か る.こ

増 加 させ て い っ

越 え る とそれ ぞれ の推 定 量が ほぼ こで 興 味 深 い 結 果 は,「 平 均 値 を 中

表3.2 

表3.1の

デ ー タ の 中 央 値 に 関 す るbootstrap 

simulationの

結 果 と理 論 値

表3.3 

表3.1の

デ ー タ の 中 央 値 に 関 す るbootstrap 

simulationの

結 果 と理 論 値

央 値 の 推 定 値 」 と し て 利 用 し たbootstrapで

あ るが,そ

の バ イア ス 修 正 推 定

値 が 理 論 的 に は 中 央 値 そ の も の と な っ た と い うこ と で あ る.な ぜ だ ろ うか? そ こ で,理

論 的 に これ ら の 値 を 計 算 し て み よ う.

つ ま り,バ

イ ア ス は 式(3.13)か

ら,も

との デ ー タの 平 均 値 と 中央 値 との 差 で

あ り

Bias*=218.9-129=89.9 し た が っ て,バ

イ ア ス 修 正 推 定 値 は 平 均 値 か ら バ イ ア ス を 引 くの で 中 央 値 に

一 致す るわけで あ る

.一

般 に は,式(3.16)よ

り,た

と え,実

世界 で使 用 して

い る パ ラ メ ー タ の 推 定 値 が 誤 っ て い て も(mis‐specified) θ=E*(θ*)

で あ れ ばbootstrapに

よ り正 しい 推 定 値 θが バ イ ア ス 修 正 推 定 値 と して 推 定

され る. [例 題3.2]表3.2の [解 答]理

理 論 値 を 導 け.

論 的 な 計 算 に は,bootstrap 

大 き い 観 測 値x

個 以 上 のX*iがx(κ)を

た が っ て,

ず,x(κ)よ

第 κ番 目に り大 き くな

越 え な い 確 率 に等 し い の で

る と, Pr*{X*(6)=x(κ)}=α

と な る,し

中 央 値X*(6)が

（ κ)に 等 し い 確 率 を 計 算 す れ ば よ い.ま

ら な い 確 率 は,６

と お く.す

sampleの

κ-α

κ-1=pκ

と計 算 で き る.こ

れ を 実 際 に 計 算 す る と表3.2の

3.4 

Bootstrap信

理 論 値 と な る.

頼 区 間

  信 頼 区 間 の 構 成 法 に つ い て は 少 々議 論 の 多 い と こ ろ で あ る.ま

た,分

布の

裾 を 推 定 す る わ け で あ る か ら バ ラ ツ キ も大 き く,精 度 よ く推 定 し よ う とす れ ば,繰

り返 し数 Ｂ も必 然 的 に1000,2000と

B=1000個

のbootstrap  sampleか

大 き さが 要 求 され る.例

ら計 算 され たbootstrap推

え ば,

定 値 を小 さ い

順 に並べ て θ*(1)〓

と す る と,θ

の90%信

を θ-θ

-θ

parametric推 け(推

θ*(1000)

＜ θ*-θ

世 界で の 関係

＜ θ

-θ}=0

*

.90

(3.21)

に 置 き換 え る こ とに よ り θ-θ*(951)

し,θ=θ 2θ-θ

と な る.し

〓

(951)

θ+

と 推 定 で き る.も

…

頼 区 間 はbootstrapの

Pr*{θ*(50)

の θ*-θ

θ*(2)〓

＜ θ ＜ θ+θ-θ

* （951）

＜ θ ＜2θ

-θ*(50)     

sample自

(3.23)

身 の 分 布 に 基 づ くnon

Ｆ とあ る 程 度 ず れ て い る の で そ の 安 定 性 に 欠

定 の バ ラ ツ キ が 大 きい)あ

ま り推 奨 で き る もの で は な い.実

タ解 析 で も正 規 分 布 に 近 づ け る 変 数 変 換 を よ く行 う よ うに,推 あ る単 調 増 加 関 数hに

(3.22)

で あ れ ば,式(3.18)は

か し,式(3.23)はbootstrap  定 で あ り,Fnは

＊(50)    

定 値の分 布 を

よ り正 規 分 布 に 変 換 す る こ と を考 え よ う.こ θ=θ

とい う よ り一 般 的 な 場 合 を 考 え る.

際 のデ ー

こで は

                                (3.24)

3.4.1 

パ ー セ ン タ イル 法

まず,任

意 の θに対 して h(θ)-h(θ) 

が 達 成 で き た と し よ う.bootstrapの

 ∼   N(0,1) 

    

(3.25)

世 界 で も 同 様 の 正 規 性が 期 待 され る か

ら Pr*{h(θ*)-h(θ)〓+zα}=Pr*{ と な る.こ

こ で,zα

はN(0,1)の

θ*〓h-1(h,(θ)+zα)}=α

下 側 α パ ー セ ン ト点 と す る.θ*のbootstrap

分 布 の 下 側 α 点 を θ*αと す る と, *

h-1(h(θ)+zα)=θ と 推 定 で き る ． 一 方,式(3.25)の

          (3.26)

a

実 世 界 と 式(3.26)か

α=Pr{h(θ)-h(θ)＜zα} 

と な る.つ

ま り,両

         

 

=Pr{θ

〓h-1(h(θ)-zα)}

 

=Pr{θ

〓h-1(h,(θ)+z1

 

=Pr{θ

〓 θ*1 -α}

側100(1-α)%信

ら (3,27) (3.28)

-α)}

(3.29) (3.30)

頼 区 間は単 純 に *

θ*α/2〓 θ 〓 θ1-α/2

で 計 算 で き る こ と に な る.こ

3.4.2 

BC 

満 た す よ い 変 換 は そ うそ う存 在 し な い.よ

原 点 調 整 の 定 数 ｃを 加 え て,次 h(θ)-h(θ)+c 

ｃは 原 点 修 正 の た め の 定 数 で あ る.こ

り現 実 的 に

の よ う に 変 形 す る ほ うが よ い.

 ∼   N(0,1)

(3.32)

うす る と,式(3.26)は

h-1(h(θ)+zα-c)=θ

と な り,式(3.27)に

（3.31)

パ ー セ ン タ イ ル 法 と よ ば れ て い る.

  法

  しか し,式(3.25)を は 式(3.25)に

れ はEfronの

*

α

(3.33)

相 当 す る式 は α=Pr{h(θ)-h(θ)+c＜zα}

  =Pr｛

と な るか ら β を

θ 〓h-1(h(θ)-zα+c)}

 

(3.34)

zβ-c=-zα+c

と な る,す

な わ ち, β=Φ(2c+z1-a) 

                   (3.35)

と設 定 す れ ば, α=Pr{θ と な る,こ

こ に,Φ(.)はN(0,1)の

〓 θ*β}             

分 布 関 数 で あ る.さ

ら に,hは

(3.36) 単 調増 加

関 数 で あ,る か ら Pr*{θ*〓

θ}=Pr*{h(θ*)-h(θ)〓0}

       

=Pr*{h(θ*)-h(θ)+c〓c}

       

=Φ(c)

 

(3.37)

と な る か ら,

(3.38) と な る.し

た が っ て,両

側100(1-α)%信

頼 区間は

βL=Φ(2c+zα/2)          

(3.39)

βU=Φ(2c+z1-α/2)         

(3.40)

とお くことに よ り θ*βL〓 θ 〓 θ＊ βU          で 計 算 で き る こ と に な る.こ

れ はEfronのBCパ

rected 

よ ば れ て い る.

percelltile 

3.4.3 

  Efronは

 BCa 

method)と

(3.41)

ー セ ン タ イ ル 法(bias 

cor

  法

正 規 変 換 を 考 え る と き,推 定 す べ きパ ラ メー タ θの 大 き さ に よ っ

て 分 散 が 変 化 す る,と い う よ り現 実 的 な モ デ ル も提 案 して い る.分 散 と して 平均 の二次 関数 Var(h(θ))=(1+ah(θ))2 を 考 え,

(3.42)

と い う モ デ ル を 提 案 し た.こ centile method)と (3.40)が

れ はBCa法(accelerated 

よば れ る.こ

の 場 合 もBC法

bias corrected  per

と 同 様 に 展 開 す る と 式(3.39),

次 の よ う に 変 更 さ れ る.

(3.43) (3.44) こ こ に,aは

推 定 値 θ の 分 布 の 正 規 分 布 か ら の 歪 み の 度 合(skewness)を

価 し た も の で,詳

細 は 省 略 す る が,Efronは

１)κ 番 目 の デ ー タxκ を 除 い た(n-1)個 (Jackknife推

評

次 式 を 提 案 し て い る. の デ ー タ か ら θ(-κ)を 計 算 す る

定 値 と よ ば れ て い る).

２)θ( .)=Σnκ=1θ(-κ)/nと

す る.

３)次 式 で 計 算 す る.

(3.45) 推 定 値 θの 分 布 が 正 規 分 布 に 近 い 場 合 に はa=0に

近 づ きBC法

と 同 じに

な る. [例 題3.3]表3.1の

デ ー タ に つ い て 中 央 値 の90%信

頼 区 間 をbootstrap法

に よ り, １)パ

ー セ ン タ イル 法

２)BC法 ３)BCa法

で 推 定 せ よ. [解 答]表3.2のB=2000の

デ ー タ を 利 用 す る と θ*=x*(6)の

に 示 す よ う に な る.そ

の 詳 し い 頻 度 表 は 表3.4の

パ ー セ ン タ イ ル 法 に よ る90%信

頼 区 間(対

分 布 は 図3.1

よ う で あ る.し

た が っ て,

称)は

(θ*100,θ*1901)=(x(3),x(9))=(57,280)

と推 定 され る.さ 要 と な る.こ 定は

て,BC法

で 求 め る 場 合 に は 式(3.38)に

よ る原 点 修 正 が 必

の デ ー タの 場 合 は θ*の 分 布 は 離 散 分 布 で あ る た め 定 数 ｃの 推

図3.1 

表3.1の

表3.4 

表3.1の

デ ー タ の 中 央 値 のB＝2000のbootstrap推

定 値 の分 布

デ ー タ の 中 央 値 のB=2000のbootstrapの

し た が っ て,式(3.39),(3.40)よ

頻 度 表

り

βL=Φ(2×-0.0226-1.645)=0.0455 βU=Φ(2×-0.0226+1.645）=0.9452 と な る.つ

ま り, 2000×0.0455=91, 

で あ る か ら求 め る90%の * (θ91

  2000×0.9452=1890

対 称 な信 頼 区 間 は ,θ*1890 ) =(x(3)

,ｘ(9))=(57,280)

と離 中 散 分 布 よ りパ ー セ ン タ イル 法 と同 じ 信 頼 区 間 とな っ た. 次 に,BCa法

で 計 算 す る と,(θ(-1),...,θ(-n))は,10個

の デ ー タの 中 央

値 は

５ 番 目 と ６ 番 目 の デ ー タ の 平 均 値 で あ る か ら, (161,161,161,161,161,158.5,126.5,126.5,126.5,126.5,126.5)

と 計 算 さ れ, θ(.)=149.09

と な る.式(3.45)よ

り α=0.00893

と 計 算 さ れ る.こ

の 値 は き わ め て 小 さ くそ の 影 響 は 少 な い が,試

て み る と,式(3.43),(3.44)よ

で あ る か ら求 め る90%の

しに 計 算 し

り

対称 な信 頼 区間 は

(θ*96,θ*1896)=(x(3),x(9))=(57,280)

と これ ま た 同 じ結 果 が 得 られ て い る. [例 題3.4】

表3.1の

デ ー タ の 中 央 値 の90%信

頼 区 間 をnonparametric法

で

理 論 的 に 導 け.

[解答]理

論 的 に は 対 称 な 順 序 統 計 量 の ペ ア を(X(γ),X(n-γ+1))と

す る と,

こ の 範 囲 に 中 央 値 が 含 まれ る確 率 は

(3.46) で 与 え ら れ る.し

た が っ て,信

頼 係 数(1-α)の

信頼 区間 は

(3.47) を 満 た す 最 大 の γで 推 定 され る.n=11の よ う に な る か ら,90%信

場 合 の 計 算 を し て み る と表3.5の

頼 区 間 は,式(3.47)よ

り γ=３ と な るか ら 理 論 的 に は

(x(3),x(9))=(57,280) と 推 定 さ れ る.こ

の 結 果 は 例 題3.3のbootstrap推

定 値 と 同 じ で あ っ た.

表3.5 

式(3,47)の

γ と Ｑ

との 関係

練 習 問題 [問 題3.1】

未 知 の 分 布 Ｆ(平 均 μ,分

(x1,...,xn)と

し,そ

を 問 題 に し よ う.い し てbootstrap推

散 σ2)か

らの無作 為標 本 の 実現 値 を

の 平均 値

ま,こ

の 標 本 か ら のbootstrap 

sampleを(x*i,...,x*n)と

定 値

につ い て Ｂ →

∞,つ

ま り, E*(μ*)=x 

Bias*=0 

               

(3.48)

                 (3.49)

(3.50) と な る こ と を 示 せ.こ

こに

で あ る. [問 題3.2]い

ま,手

元 に あ る 標 本(x1,...,xn)は,次

の式 で 定義 され る確

率 変 数 の ｎ 回 の 独 立 試 行 の 実 現 値 で あ る と す る: Pr{X=1}=p, 

Pr{X=0}=1-p

ｐの推 定値 は通常 不偏推 定 値

で 与 え られ,そ

で あ っ た.さ

の分散 推定 値 は

て,こ

の 標 本 か ら のbootstrap推

定 を 考 え よ う.経 験 分 布 関 数 は

0, 

{

Fn(x)=

  x＜0

1-p,0〓x＜1 1, 

1〓

ｘ

で あ る か ら, p=p と な る.こ

の と き,bootstrap推

定 値

につ いて E*(p)=p 

Bias*=0 

              

(3.51)

              (3.52)

Var*{p*}=Var(p) 

            

(3.53)

と な る こ と を示 せ. [問題3.3]次

の 命 題 を証 明 せ よ.

１)あ る連 続 分 布 Ｆ か ら抽 出 し た サ イ ズ ｎ の 独 立 な 無 作 為 標 本 に お い て, 「(k-1)個

が ｘ未 満,１ 個 がX=x,残

りがｘ を 越 え る 」 確 率 は

g(F)=F(x)k-1(1-F(x))n-kdF(x) に比 例 す る.ｎ → ∞ の と き,こ の 確 率 を最 大 に す る 値ｘ は F(x)=p, 

で 与 え ら れ る.つ

２)Xpの

ま り,分

k=np

布 の ｐ パ ー セ ン タ イ ルXpで

付 近 の 確 率 分 布g(x)(定

数 は 省 略)を 調 べ る た め に δ=F(x)‐p 

と お こ う.そ 従 う.(ヒ

う す る と,δ

あ る.

            

の 確 率 分 布 は 漸 近 的 にN{0,p(1-p)/n}に

ン ト: 9(F)→(δ+p)np(1-p-δ)n(1-p), 

と な る の で,対

数 変 換 し た 後 にTaylor展

３)式(3.54)のTaylor展

開 を 行 う)

開 の 一 次 近 似 を 利 用 し て, Var(δ)=(〓(x))2Var(x)

と な る 。 つ ま り,

 ｎ → ∞

(3.54)

(3.55) と な る. ４)式(3.2)を [問 題3.4]あ X(n))と

示 せ. る 分 布 Ｆ か ら の 無 作 為 標 本 で の 順 序 統 計 量 を(X(1)〓

し よ う.こ

…

〓

の と き,

１)

(3.56) ２)

と す る と き,

(3.57) ３)分

布 Ｆ の ｐ パ ー セ ン タ イ ル をXpと Pr{X(γ)〓Xp〓X(s)}=I1-P(n-s+1,s)-I1-p(n-γ

す る.こ

の と き, 十1,γ)

(3.58) ４)式(3.46),(3.47)を

示 せ.

４ モ デ ル を比 較 す る

  表4.1は,1960年

代 後 半 の ア メ リ カ 合 衆 国 の60の

主 要 な都市 におけ る大

気 汚 染 の 健 康 影 響 を検 討 す る た め の デ ー タ の 一 部 で あ る(デ 録B.2).全

死 因 の 年 齢 調 整 死 亡 率(MORT)の

六 つ 上 げ て あ る.年 (EDUC),人

平 均 降 雨 量(RAIN),25歳

口密 度(POPD),人

ー タ の 全 貌 は付

変 動 を 説 明 す る た め の 変 数が 以 上 の メデ ィア ン就 学 年 数

口 に 占 め る非 白 人 の 割 合(NONW),一

酸 化+二 酸 化 窒 素 濃 度(NOX,oxides 

of nitrogen),二

suifur dioxide)で

デ ー タは 対 数 変 換(log10)し

あ る.NOx,SO2の

酸 化 硫 黄 濃 度(SO2, て使 用す

る も の と し て, MORT=β0+β1RAIN+β2EDUC+β3POPD+β4NONW +β5log10(NOX)+β6log10(SO2)+誤

差

を 最 大 の 回 帰 モ デ ル と して 最 適 な 変 数 の 組 み 合 せ か ら な る 最 適 回 帰 モ デ ル を 検 討 して み よ う. 表4.1 

ア メ リカ合 衆 国の60の

主 要都 市に おけ る大 気 汚 染の 健 康 影響 を検 討す る

た め のデ ー タセ ッ トの一 部

4.1 

まず,線

は  じ  め  に

形 回帰 モデ ル y=β0+β1x1+…+βpxp+〓

の 良 さ を 評 価 す る,比

(4.1)

較 す る とは ど う い うこ とか を考 え よ う.ｎ 組 の 観 測 値

{yκ;xκ1,xκ2，

を 用 い て,式(4.1)を

        

…,xκp}, 

 κ=1,2,...,n

ベ ク ト ル と 行 列 表 現 に 変 え て お こ う.

y=(y1,...,yn)t β=(β0,β1,...,βp)t

X=(xκi),κ=1,...,n;ｉ=0,...,p

Xt=(x1,x2,...,xn) xκ

＝(xκ0,xκ1,…,xκp)t，xκ0=1

〓 ＝ （〓1,...,〓n)t と す れ ば,式(4.1)は y=Xβ+〓

                   (4.2)

と な る.

4.2 

  も と も と,モ ぎ な い.回

MallowsのCp規

デ ル 自体 は 真 で は な く,あ る 現 象 を記 述 す る た め の 近 似 に す

帰 モ デ ル で い え ば,真 E(y)=θ

実は

                 

Var(y)=T2In,Inはn×nの

で あ る の に,わ る.こ

準

れ わ れ は 式(4.2)の

(4.3)

単 位 行 列          (4.4)

回帰 モ デ ル で 近 似 し よ う とす る わ け で あ

の 場 合, E(〓)=0,0はn×1の

Var(〓)=σ2In 

ゼ ロ ベ ク ト ル         (4.5)

             

(4.6)

を 通 常 仮 定 す る(等

分 散 性 は か な らず し も必 要 は な い).最

小 ２乗 法 を 適 用

し てβ を推 定 す る と

と な る の で βで 偏 微 分 して ０ とお く と -2Xty+2XtXβ=0 つ ま り,

(4.7) (4.8) が 得 ら れ る.ま

た,そ

の 期 待 値 は,仮

定(4.5),(4.6)の

下 で は

E(β)=(XtX)-1XtE(y)   

=(XtX)-1XtXβ=β

  (:不

偏 推 定 量)

で あ り,分 散 は Var(β)=σ2(XtX)-1  と な る.な

           (4.9)

ぜ な ら, β=(XtX)-1Xty   =(XtX)-1Xt(Xβ+〓)    =β+(XtX)-1Xt〓

で あ るか ら Var(β)=E(β-E(β))(β-E(β))t    

=E((XtX)-1Xt〓)((XtX)-1Xt〓)t

   

=(XtX)-1XtE(〓

   

=E(〓

   

と な るか ら で あ る.さ

〓ｔ)X(XtX)-1

〓ｔ)(XtX)-1

=σ2(XtX)-1

て,わ

れ わ れ の モ デ ル で は θの 推 定 値 と し て

y=θ=X(XtX)-1Xty=Hy を 考 え て い る こ と に な る.こ

こ で,

H=X(XtX)-1Xt=(hij)  は ハ ッ ト 行 列 と よ ば れ る.こ

       

(4.10)

こ で,

Ht=H H2=H trH=trX(XtX)-1Xt     =tr(XtX)-1XtX     =trIp+1=p+1

が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.つ ま り,わ れ わ れ の モ デ ル を真 の 世 界 で 評 価 す ると E(θ)=Hθ

と な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.さ て,真

≠ θ                  (4.11)

の世界 で は不偏 で は ない推定 値の

良 さ を 評 価 す る尺 度 と して は θ-θ=(θ-E(θ))+(E(θ)-θ)     に 注 意 す る と,分

=(偏

差)+(バ

イ ア ス)

散 と バ イ ア ス の バ ラ ン ス を 考 慮 し た 平 均 ２ 乗 誤 差(mean

  square  error.) △p=E‖

を考 え る の が 自然 で あ る.つ

θ-θ ‖2=E(θ-θ)t(θ-θ) 

 

(4.12)

ま り,△ ｐが 最 小 と な る モ デ ルが 最 も 良 い こ と

に な る.実 際 の デ ー タか らモ デ ル を 評 価 す る の で あ るか ら,問 題 は △ｐの 不 偏 推 定 量 を 求 め る こ とに 帰 着 され る.   さ て,△ ｐを 変 形 し て い く と △p=E‖Hy-Hθ-θ+Hθ     =E‖H(y-θ)‖2+‖(I-H)θ     =E{(y-θ)tH(y-θ)}+θt{1-H)θ     =E{tr(y-θ)tH(y-θ)}+θt(1-H)θ

‖2 ‖2,  H(I-H)=0

(4.13) と な る こ とが わ か る.第

１項 は モ デ ル に 入 っ て い る 変 数(独

の 数 に 対 す る ペ ナ ル テ ィ で あ り,第 き さ を 表 現 し て い る.と

立 な パ ラ メ ー タ)

２項 は バ イ ア ス の ２乗 和 で バ イ ア ス の 大

こ ろ で,式(4.2)の

回 帰 の 残 差 平 方 和RSSp(residual

sum  of squares)は

(4.14) で あ る.仮

定(4.5)(4.6)の

下 でRSSpの

期 待 値 を考 え る と

(4.15) と な り,誤 差 分 散 σ2の 不 偏 推 定 値 は

(4.16) で 与 え ら れ る.と

こ ろ が,真

の 世 界 で は,

(4.17) と な る.つ

ま り,真

の 分 散 〓2を 既 知 と す れ ば

が 最 小 ２乗 誤 差 △pの 不 偏 推 定 量 と な る こ とが わ か る.し たが って,こ の 値 が 小 さ い モ デ ル ほ ど 式(4.2)の

回帰 モ デ ル は 望 ま し い こ とに な る.Mallows(1973)

は こ の 式 を 〓2(の 推 定 量〓2)で

割 っ て,

MallowsのCp規

準

Cp=RSSp/〓2+2(p+1)-n

=RSSp/ 〓2+2×(モ

デ ル に含 まれ る独 立 な パ ラ メ ー タ 数)-n

(4.18) を モ デ ル 選 択 の 規 準 と す る こ と を提 案 し た.〓2の が あ るわ け で は な いが,一 多 い)モ

デ ル(フ

般 に は,い

決 め方 に特 別 に 良 い方法

ま考 え て い る 最 も複 雑 な(変

数 の最 も

ル モ デ ル と い う)の 誤 差 分 散 の 不 偏 推 定 量 を 〓2に 置 き換

え る こ とが よ く行 わ れ る.つ

ま り,フ ル モ デ ル の 変 数 の 数 をpmaxと

す る と,

(4.19) と 設 定 し,Cpの  selectioｎ ら,最

値 が 最 も 小 さ く な る 最 適 な 変 数 の 組 み 合 せ を 選 ぶ(subset

規 準 と し て よ く 利 用 さ れ る.こ

の 場 合Cp

max=pmax+1で

あるか

適 モデ ルで は Cp〓pｍax+1 

             

(4.20)

と な る.

4.3 

式(4.2)に

AkaikeのAIC規

準

対 して 〓 ∼N(0,σ2I) 

            

(4.21)

と い う正 規 性 を 仮 定 し よ う.こ の と き明 らか に ｙ は y∼N(Xtβ,σ2I) 

           (4.22)

に従 う.   こ の よ う に,回 帰 モ デ ル に 限 らず,一 〓(ω ｜β)を 仮 定 で き る 場 合,真

般 に 観 測 値 Ｗ に あ る確 率 密 度 関 数

の 未 知 の 確 率 密 度g(ω)を

モ デ ル 〓(ω￨β)

で 近 似 す る 場 合 を 考 え よ う.こ Kullback‐Leibler情

の モ デ ル 間 の 距 離 を計 る 尺 度 の 一 つ と し て

報 量

(4.23) を 導 入 し よ う.モ デ ル の 相 対 的 な 比 較 を考 え る と き この 距 離 が 小 さい ほ ど 良 い モ デ ル とい う こ と に な る.言

い換 えれば

L(β)=Eω(log〓(ω￨β))=∫g(ω)log〓(ω￨β)dω(4.24)

が 最 大 と な る モ デ ル が 良 い モ デ ル とい う こ とに な る.さ て,確 られ た 場 合 の パ ラ メ ー タ β の 推 定 は,漸

率分 布が 与 え

近 的 に 最 良 な 最 尤 推 定 量 β を計 算

す る か ら,わ れ わ れ は 最 大 尤 度 を も つ モ デ ル 〓(ω￨β)で 真 の モ デ ルg(.)を 近 似 す る こ と に な り, L(β)=Eω(log〓(ω￨β))=∫g(ω)log〓(ω￨β)dω(4.25)

を 最 大 に す る モ デ ルが 良 い モ デ ル と い うこ と に な る.し 推 定 量 β=β(y)の

か し なが ら,こ れ は

関 数 と して の 確 率 変 数 で あ る か ら,ｙ で 期 待 値 を 計 算 す

る こ とに よ り Λp=Ey{L(β(y))}=∫g(y)Eω(log〓(ω￨β))dy(4.26)

で そ の モ デ ル の 評 価 が 可 能 とな る.つ

ま り,こ こで は,規 準 Λpを 最 大 にす る

モ デ ル が 最 良 と な る の で,問 題 は そ の 不 偏 推 定 量 を 求 め る こ と に 帰 着 され る.   さ て,一

般 に確 率 変 数 Ｘ の 関 数 ん(Ｘ)に お け る 期 待 値 Ｅ(h(x))の

不 偏 推 定 量 は,ｎ 個 の 独 立 な 確 率 標 本 を(X1,...Xn)と

自然 な

すれ ば

1 /n

(h(X1)+…+h(Xn))

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,式(4.26)の

「自 然 な不 偏 推 定 量 」 は 最 大 対 数 尤 度

の平 均 値

(4.27)

で 与 え ら れ る.問

題 は こ の 最 大 対 数 尤 度 ι(β)の平 均 が 式(4.26)の

偏 推 定 量 とな っ て い るか 否 か で あ る.も 良 と な る.そ

こ で,そ

し不 偏 で あ れ ば 尤 度 最 大 モ デ ル が 最

の 関 係 を検 討 す る た め に,こ g(ω)=〓(ω￨β*) 

で 表 現 で き る と仮 定 し よ う(一 般 論 で は,こ いが 簡 単 の た め).ま

ず,式(4.25)の

メー タ β*の 近 傍 でTaylor展

Λpの 不

こで は,真

のモデ ルは

                  (4.28)

の 仮 定 は か な らず し も必 要 は な

漸近 的分 布 を検 討 す るため に真 のパ ラ

開 して み る と

(4.29) と な る.と

こ ろ で,最

尤推定 量 はあ る正則 条 件 の下 で 漸近 的 に

(4.30) が 成 立 す る.こ

こ に,I*FはFisher情

報 行 列 と い い,そ

れは

(4.31) で 定 義 さ れ る.し

た が っ て,式(4.29)の

次 元 数 の 自 由 度(こ

こ で は,p+1)を L(β)=L(β*)-

第 ２項 は ０,第

３ 項 の2n倍

は β の

も つ χ2分 布 に 従 う こ と が わ か る: 1 /2n

χ2p+1

し た が っ て, Λp=Ey{L(β(y))}=L(β*)-

一 方

,式(4.27)の

1 /2n

(p+1) 

 

(4.32)

対 数 尤 度 ι(β)の平 均 に つ い て 最 尤 推 定 量 β の 近 傍 でTaylor

展 開す る と

(4.33)

と な る.と

こ ろ で,対

数 の法 則 に よ り

(4.34) と な る,し

た が っ て,式(4.33)で

β → β*と 置 き 換 え

ι(β*)=ι(β)-

ば

1 /2

χ2p+1         

(4.35)

つ ま り 1 Ey{ι(β*)}=Ey{ι(β)}が 成 立 す る.と

/2

(p+1) 

   

(4.36)

こ ろ で,

(4.37) が 成立 す るか ら

(4.38) と な る.つ

ま り,

1 /n

{ι(β)-(p+1)} 

が Λpの 不 偏 推 定 量 と な る こ とが わ か る.つ

           (4.39)

ま り,こ の 値 が 大 き い モ デ ル ほ

ど 良 い モ デ ル とい う こ とが わ か る.Akaike(1973)は

こ の 式 を 変 形 して

AkaikeのAIC規

準

AIC=-2ι(β)+2(p+1) =-2(最

大対 数尤 度)+2(モ デ ル に含 まれ る独 立 をパ ラ メーダ 数)

(4.40) を モ デ ル 選 択 の 規 準 とす る こ と を提 案 し た.式(4.39)と

は 符 合が 逆 で あ る か

ら 当 然 こ の 値 が 小 さい ほ ど 良 い モ デ ル とい うこ と に な る.式(4.18)で れ て い るMallowsのCp規 うか? 

定義さ

準 と き わ め て 形 が 似 て い る こ とが 理 解 で き る だ ろ

モ デ ル の 次 元 数(パ

ラ メー タの 数)に

関 す るペ ナ ル テ ィは 全 く同 じ

２倍 で あ る. さ て,式(4.21)の

回 帰 モ デ ル の 話 し に 戻 ろ う.定

数 項 を 除 く と,

(4.41)

(4.42) と な る.こ

こ で,s2は

誤 差 分 散 の 不 偏 推 定 量 で あ る.つ

き,AIC規

準 は近 似的 に

ま り, n≫pの

と

(4.43) と等 価 で あ る こ と に 注 意 し た い.

4.4  自由 度 調整 重相 関 係 数

  さて,式(4.2)の

回 帰 分 析 の 結 果 は 表4.2に

示 す よ うな 分 散 分 析 表 に ま と

め られ る こ と を こ こ で 思 い 出 し て み よ う.式(4.21)の

下 で は,仮

説検 定

表4.2 

回 帰 分 析 に お け る分 散 分 析

H0:β1=…=βp=0 

           (4.44)

に は 次 の Ｆ 検 定 が 有 名 で あ る.

(4.45)   さ て,回

帰 分 析 の 有 意 性 の 指 標 と し て 重 相 関 係 数 Ｒ,寄 与 率(決

定 係 数)

R2

(4.46) が よ く利 用 され るが,モ な ら,変

デ ル 選 択 に は この 重 相 関 係 数 は 適 用 で き な い.な ぜ

数 を増 加 させ れ ば い く らで も1.00に

こ の 回 帰 分 析 の 自由 度 は ０,RSSp=0と

近 くな り,p=n-1と

な る の だ か らR=1と

すれ ば な って し ま

う.ｙ を 説 明 す る の に全 く情 報 が な い 変 数 を 選 ん で も数 学 的 にR=1と

なる

の で あ る.こ の 自 由 度 に よ る い た ず ら を 除 去 す る た め に,次

の 自由度 調整 重

相 関 係 数R*が

自由度 調 整寄 与

モ デ ル 選 択 に利 用 され る こ と も多 い.R*2は

率 と よば れ

(4.47) (4.48) と 計 算 さ れ る.さ

て,い

ま ま で に 紹 介 した 統 計 量 を こ こ で 整 理 し て み よ う

不 偏 誤 差 分 散:s2

寄 与 率:

自由度 調整 寄与 率: Cp:

(4.49)

AIC: とな る.つ

(4.50)

ま り,ｐ が 一 定 で あ れ ば,こ

で 同 等 で あ る.例

え ば,10の

れ らの 規 準 はs2だ

け の関数で あ るの

変 数群 の 中か ら五つ の変 数 か らな るモデ ル群

(10  5)=252個 を 考 え た と き,こ と に な る.し

の 中 か ら最 適 モ デ ル を 選 ぶ 規 準 は 単 純 にs2だ

けで 良い こ

た が っ て,こ れ ら の 規 準 の 違 い が 出 て くる の は,明

らか に,「 変

数 の 数 が 変 化 す る モ デ ル 選 択 」 で あ る.そ

こ で 次 節 で は そ の 挙 動 の 違 い を,

よ く統 計 パ ッ ケ ー ジ で 使 わ れ る Ｆ‐to‐enter(〓)Ｆ‐to‐removeの Ｆ 検 定 統 計 量 との 関 連 で み て み よ う.

4.5 

  変 数 選 択,つ

よ く見 か け る 変 数 選 択 法

ま り,各 変 数 の 有 意 性(寄

要 な 点 は 絶 対 的 評 価 は で きず,あ あ る.式(4.1)の

与 の 度 合 い)を

議 論 す る 場 合,重

くまで 相 対 的 評 価 で しか な い と い うこ とで

回 帰 モ デ ル で い え ば,ｐ 個 の 変 数(x1,...,xp)の

「組 み 」の

線形 結合 β0+β1x1+…+βpxp

で ｙ の 変 動 を 説 明 し よ う と い う モ デ ル で あ る か ら,あ

る 変 数 「xκ」 の 有

意 性 は あ く ま で こ の ｐ 個 の 変 数 群 の 中 で の 相 対 的 な も の で あ る.し て,も

し,新

xj(1〓j〓p;j≠

しい 変 数xp+1を

たが っ

モ デ ル に 加 え た り,既 存 の 変 数 の 中か ら変 数

κ)を 削 除 し た りす る と,変

数xκ の 有 意 性 が 変 化 し て し

ま う.   さ て,フ た数 は

ル モ デ ル の サ イ ズが ｐで あ る と き,す べ て の サ ブ モ デ ル を 合 わ せ

(p  1)+(p 2)+…+(p  とな る.こ

p)=2p-1

の す べ て の 組 み 合 せ の 中 か ら 最 適 な モ デ ル を選 択 す る 方 法 を総

当 た り法(best  subset regression)と い うが,ｐ が 大 き くな る に つ れ て 組 み 合 せ の 総 数 は 天 文 学 的 な 数 字 と な りス ー パ ー コ ン ピ ュ ー タで も実 用 上 計 算 不 可 能 とな る.し

た が っ て,実 用 上 は 逐 次 的 に変 数 を 選 択 し て い く逐 次 選 択 法

(stepwise regression)が 利 用 され る.簡

単 に そ の 概 略 を 説 明 す る と,

〓 変 数 増 加 法(forward)

  まず,ｙ

と相 関 の 最 も高 い 変 数x(1)を

選 ぶ.次

x(1)と 組 み 合 わ せ た と き最 大 の 寄 与 率R2(最

に,残

小 のs2)を

りの 変 数 か ら もつ 変 数x(2)

を追 加 す る...こ の よ うに 変 数 の 数 を一 つ ず つ 追 加 し て い く方 法 で,指 定 され た モ デ ル 選 択 の 規 準 で こ の プ ロ セ ス を 継 続 す る か 終 了 す る か を 決 め る. 〓変 数 減 少 法(backward)

  まず,フ

ル モ デ ル で の 寄 与 率 を計 算 す る.次

た と き の 寄 与 率 の 減 少 量 が 最 小 の 変 数x(p)を 残 りの 変 数 か ら さ らに １個 除 い て,寄

に,一 選 ぶ.こ

つ の変数 を削 除 し の変 数 を除 いた

与率 の減少 量 の最小 の 変数 を除 く

...こ の よ う に 変 数 の 数 を フ ル モ デ ル か ら 一 つ ず つ 削 除 し て い く方 法 で, 指 定 され た モ デ ル 選 択 の 規 準 で この プ ロ セ ス を 継 続 す る か 終 了 す る か を 決 め る. 〓変 数 増 減 法(stepwise 

forward)

  変 数 増 加 法 の 各 ス テ ップ で す で に取 り込 まれ た 変 数 の 中 に 相 対 的 に 寄 与 率 の 小 さ くな っ て し ま っ た 変 数 を削 除 す る 方 法. 〓変 数 減 増 法(stepwise 

backward)

  変数 減少 法 の各 ス テ ップです で に落 と され た変 数の 中 に相 対的 に寄与 率 の大 き くな った復 活すべ き変数 を追 加 す る方法. た だ,解

析 の 目的 に よ っ て は,必 ず モ デ ル の 中 に 入 れ るべ き変 数 が あ り,全

くの 自動 選 択 の 結 果 と そ の 解 釈 に は 注 意 が 必 要 で あ る.   さ て,逐

次 変 数 選 択 のstopping 

(4.1)の 残 差 平 方 和RSSpと

変 数xκ

ruleを

考 え る た め に,ま

ず,回

を 除 い た 残 差 平 方 和RSSp-1(-xκ)の

帰 モデ ル 差

を考 え て み よ う.つ ね に,前

者 の ほ うが 小 さ い わ け で,

△(xκ)=RSSp-1(-xκ)-RSSp       =SS(R2-R2(-xk)) 

            (4.51)

が ｐ 個 の 変 数 群 の 中 に お け る 変 数xκ の 寄 与 の 度 合 い を表 現 して い る と考 え ら れ る.こ

こ に,R2(-xκ)は

変 数xκ を 除 い た 残 りのp-1個

る 回 帰 モ デ ル の 寄 与 率 で あ る.こ

の 差 が 大 きけ れ ば ,変 数 の 寄 与 は 大 き い の

で 回 帰 モ デ ル か ら 除 く(に 入 れ る)こ こ と を 意 味 す る だ ろ う.も

し,小

の 変数 か らな

と は モ デ ル 寄 与 率 が 減 少(増

加)す

る

さ い 差 で あ れ ば 変 数xκ が あ って も な くて

もモ デ ル の 寄 与 率 に は 影 響 が な い,必

要 な い と考 え る の が 自然 で あ る.代 表

的 な モ デ ル 選 択 規 準 に よ るstopping  ruleを 比 較 して み よ う.   (１)Ｆ 検 定     も し,正 規 性 の 条 件,式(4.21),を

満 足 す る な らば 次 の 検

定 仮説 H0:β

κ=0 

(△(xκ)=0) 

          (4.52)

に 対 して は 次 の Ｆ 検 定 が 知 られ て い る.

(4.53) こ こ で, F1 ,∞(0.05)=3.84,  F1 ,∞(0.15)=2.07 

Ｆ1,∞(0.10)=2.71 

Ｆ1,∞(0.30)=1.07 

       (4.54)

       (4.55)

と な る こ と を よ く覚 え て お こ う.   (２)自 由 度 調 整 寄 与 率     自 由 度 調 整 寄 与 率 の 大 小 で 変 数 選 択 を 考 え て み よ う.式(4.47)か

で あ るか ら

ら

R*2〓R*2(-xκ)⇔F(-xκ)〓1  と な る.つ

ま り,式(4.55)よ

り,有

     

意 水 準30%前

(4.56)

後 の Ｆ 検定 を実 施 して い

る こ と に な る. (３)MallowsCp規

準     式(4.18),(4.19)よ

り,

で あ る か ら, Cp-1(-xκ)〓Cp⇔F(-xκ)〓2.00 

と な る.つ

ま り,ほ ぼ15%の

(４)AIC規

準  

式(4.50)よ

   

(4.57)

有 意 水 準 の Ｆ 検 定 と等 価 で あ る, り

で あ るか ら

(4.58) と な る.こ は,Cp規

の 規 準 は 漸 近 的 に はMallowsのCp規 準 よ り条 件 が 緩 い.MallowsのCp規

準 と等 価 と な る が,一 準, AIC規

般に

準か ら判 断す る

と,統 計 パ ッ ケ ー ジ の 変 数 選 択 の 規 準 の オ プ シ ョ ン と し て  

F‐to‐enter=2.01＞F‐to‐remove=2.00(有

と 設 定 す る の は,モ こ の 規 準(有

後)

デ ル 選 択 の 観 点 か ら 一 見 合 理 的 の よ う に み え る だ ろ う.

意 水 準15∼20%)は

ク 回 帰 分 析,Coxの

意 水 準15∼20%前

他 の 多 変 量 解 析,た

と え ば,ロ

ジ ス テ ィッ

比 例 ハ ザ ー ド モ デ ル な ど で も 採 用 さ れ て い る よ うで あ る.

4.6 

AllenのCV規

  こ れ ま で の モ デ ル 選 択 の 議 論,特

準

に,MallowのCp規

準,  AkaikeのAIC

規 準 に お い て は,

「デ ー タへ の 適 合 度+モ

デ ル の 複 雑 さへ の ペ ナ ル テ ィ」

をバ ラ ン ス させ た 内 容 で あ っ た.こ れ を 言 い 換 え る と,変 数 を 多 く取 り込 ん だ 複 雑 な モ デ ル に な れ ば な る ほ ど,現

在 の デ ー タ に は 適 合 度 が 良 くな る が,

将 来 の デ ー タ に 対 す る 予 測 の 精 度 は 悪 くな る,つ

ま り

「予 測誤 差 を最 小」 を 目 的 と し た モ デ ル 選 択 の 規 準 も考 え られ る.し か し,現 在 の ｎ組 の デ ー タ か ら 選 ば れ た モ デ ル の 予 測 誤 差 を評 価 す る こ と は 理 論 的 に は 簡 単 で は な い. しか し,昔

か ら,直 感 的 に ナ イー ブ な 方 法 と し て,現

在 の ｎ組 の デ ー タを

１ 回 帰 モ デ ル 推 定 の た め の デ ー タセ ッ トDEST ２ 予 測 の 良 さ を 検 証 す る た め の デ ー タセ ッ トDPRED に 分 割 す る 方 法 が 考 え ら れ て き た.こ (cross validation)と

よ ば れ て い る.Allen(1971)はDPRED=(yi;xi)と

の デ ー タ に 限 定 し,こ 提 案 し た.こ

の 方 法 は ク ロ ス ・バ リ デ ー シ ョ ン 法

れ を 繰 り 返 す,効

こ で は こ の 方 法 をAllenのCV規

AllenのCV規

１組

率 的 な ク ロ ス ・バ リ デ ー シ ョ ン 法 を 準 と よ ぶ.

準 の ア ル ゴ リズ ム

１)Step１:i←1.

２)Step２:第

ｉ組 目 のyiを

り(n-1)組   D

予 測 す る の に ｉ組 目 の デ ー タ を 除 い た 残

み の デ ータ

EST,i={yκ;xκ1,xκ2,…,xκp},κ=1.2,...,n;κ

か ら 推 定 さ れ た 式(4.1)の

≠i

回 帰 モ デ ル で 推 定 値yi(DEST,i)を

計 算

する. ３)Step３:i←i+1;Go 

４)Step４:最

後 に,予

to step 

2.

測 平 方 和(prediction 

sum of  squares)の

平 均

と して予 測 誤 差を 計算 す る. (4.59)

  この 規 準 は,特

に 難 し い 理 論 を必 要 とせ ず,論

理 も 明快 で あ る た め,さ

ざ ま な統 計 モ デ ル の 検 証 に よ く利 用 され て い る方 法 で あ る.た

だ,こ

ま

の計算

は 一 見 す る と 回帰 式 の 推 定 を ｎ 回繰 り返 す 必 要 性 が あ り,計 算 時 間 が ｎ 倍 か

か る か の よ うに 思 わ れ る が,実

は

(4.60) と計 算 で き るの で １回 の 推 定 で す む の で あ る.実 にAICと

等 価 な 式(4.43)に

漸 近 的 に あ る 種 のCV規

近 い こ とが 示 され る.さ

準 とAICは

4.7 

  さて,こ

こで は 表4.1の

は,こ

の 予測誤 差が 漸近 的 ら に,Stone(1977)は

等 価 で あ る こ と を 示 し た.

モ デ ル 選 択 の 例No.１

デ ー タ の 回 帰 分 析 を 行 っ て み よ う.使 用 し た 変 数

全 体 の 基 礎 統 計 量 と 相 関 行 列 を そ れ ぞ れ,表4.3,表4.4に 回帰 モ デ ル MORT=β0+β1EDUC+β2NONW+β3LSO2+〓 表4.3 

各変数の要約統計量

表4.4 

各変数間の相関係数

示 した.例

え ば,

図4.1 

表4.1の

デ ー タの 回帰 モ デ ル に お け る ４種 類 の モデ ル の 選 択 規 準(R*2,Cp,

AIC,CV)で

は,例 CV規

え ば,統

選 ば れ た 最 適 モデ ル(p=4)

計 ソ フ トS‐Plusを 利 用 す る と,線 形 回 帰 モ デ ル に 関 数glm,

準 の 計 算 に 必 要 な ハ ッ ト行 列 は 関 数hatを

よ う な プ ロ グ ラ ム で 計 算 で き る.そ   さて,最

の 結 果 は 図4.1で

る と,変 数 増 加 法,減

少 法,増

減 法,総

示す

あ る.

大 ６個 の 説 明 変 数 か ら な る モ デ ル の 数 は26-1=63通

最 適 な モ デ ル の 選 択 を 実 施 し て み よ う.S‐Plusで

ば,総

利 用 す る と付 録B.3に

りで あ る.

は 関 数stepwiseを

利 用す

当 た り法 な どが 簡 単 に で き る.例

え

当 た り法 は S‐Plus

program:表4.5

ｘ ←cbind(rain,educ,popd,nonw,lnox,lso2)

ｙ←mort stepwise(ｘ,ｙ,intercept="Ｔ",method="exhaustive")

と 指 定 す る.増

加 法 で はmethod="forward"と

の 関 数 か ら はR*2,MallowsのCp,AICは

録B.3に

指 定 す れ ば よ い.た 簡 単 に 計 算 で き る が,

示 す よ うに 別 に 計 算 し な け れ ば な ら な い.

だ,こ S2 CV

は付

表4.5 

subset

selectionに

準 じ た 回 帰 モ デ ル の さ まざ まな 選 択 規 準 の 値.同

サ イズで の モ デ ル の 多 い場 合 に はAllenのCV規

さ て,総

当 た り法 で 計 算 し た 結 果 を表4.5に

R*2,Cp,AIC,

2 s CV

示 す.最

適 なモ デ ル と して

いず れ も

    p=4:{RAIN,EDUC,NONW,LSO2},s2=1315.1,  を 選 択 し て い る.推

じモデル

準 に よ る ベ ス ト ５の モ デ ル

定 さ れ た 回 帰 モ デ ル は 表4.6に

は モ デ ル 選 択 規 準 に か か わ ら ず 同 じ 結 果 で あ っ た.

R=0.683 示 す と お り で,こ

の 結果

表4.6 

モ デ ル 選 択 規 準 に よ り選 択 され た 最 適 回 帰 モ デ ル

4.8 

HjorthのCMV規

準

  こ れ まで 議 論 し て き た モ デ ル 選 択 の 規 準 は,も を 評 価 す る た め の もの で あ るが,実

ち ろ ん,あ

るモデ ルの 良 さ

は,現 在 の デ ー タに 基 づ い て,多

くの モ

デ ル の 中 か ら最 適 な モ デ ル を 一 つ 選 ぶ とい う 「モ デ ル 選 択 そ れ 自身 の 不 確 定 性 」 を 考 慮 し て い な い の で あ る.例

え ば,あ

る モ デ ル 選 択 規 準 と し てAIC

を 考 え て み よ う.も ち ろ ん,MallowsのCp,s2,R2,R*2,s2CVで い.い

も何 で も よ

ま,候 補 と な る モ デ ル が 全 部 で Ｋ 個 あ り

{M1,M2,...,MK} と し よ う.そ れ ぞ れ の モ デ ル のAICをAICκ に,そ

れ ぞ れ の モ デ ル のAICは

タ を と っ て,そ

れ ぞ れ のAICを

とす る と,1.2節

式(4.26)の

で 示 した よ う

不 偏 推 定 量 で あ っ た.い

まデ ー

計 算 し て 最 小 の モ デ ル が モ デ ルMjで

た と し よ う.と す る と,つ ね に モ デ ルMjが

あっ

選 ば れ る こ とが な け れ ば,す

わち Pr{min  AICi=AICj}＜1 

で あ れ ば,期

             (4.61)

待 値 は積 分であ る こ とを考 えて AICj=min 

AICi〓AICi

⇒ E(min  AICi)＜E(AICi)

つ ま り,

E(min  AICi＜E(AICj) 

と な る.つ

          

ま り,モ デ ル 選 択 と い う行 為 に よ りモ デ ルMjの

(4.62)

本 来 のAICが

な

小 さ め に推 定 され て し ま う とい うバ イア ス を もつ こ と に な る の で あ る.も 自 由 度 調 整 重 相 関 係 数 を利 用 し た と し た ら,最

し,

適 なモデ ルの 重相 関係数 は本

来 の 重 相 関 係 数 を 大 きめ に 推 定 す る バ イ ア ス を 示 す こ と に な る.   こ の 種 類 の 欠 点 は,現

在 の デ ー タ だ け に 最 も よ くフ イッ ト した 回帰 モ デ ル

か ら 推 定 され た 誤 差 分 散s2が る.こ

の 意 味 で,変

過 小 評 価 され て い る 点 に きわ め て 類 似 し て い

数 選 択 に 伴 う変 動 を 評 価 す る,つ

ま り,モ デ ル の ク ロ ス

バ リデ ー シ ョ ン を 目的 と し た ク ロ ス ・モ デ ル ・バ リデ ー シ ョ ン(cross model   validation)と

い う方 法 がHjorth(1982)に

よ り提 案 され た.モ

デ ル選択 の不

確 定 性 は 残 念 な が ら理 論 的 に は 評 価 で き な い の で ク ロ ス ・バ リデ ー シ ョ ン で 評 価 し よ う と い う もの で あ る.こ され て い な い と い う点 で,ま

る が,そ

販 の 統 計 ソ フ トに も導 入

だ 市 民 権 を得 る ほ ど に は 至 っ て い な いが,コ

ピ ュ ー タ 時 代 に ふ さ わ し い,利 法 をHjorthのCMV規

の 方 法 は,市

用 価 値 の 高 い 手 法 で あ る.こ

準 と よ ぶ.さ

て,そ

こで は,こ

ン の方

の 方 法 は 以 下 に 示 す とお りで あ

の 中で 使 用 され るモ デ ル 選 択 規 準 は す で に 述 べ た 中 の 何 で も よ い が

一つ 決 め る必 要が あ る. HjorthのCMV規

準 の ア ル ゴ リズ ム

１)Step１:i←1.

２)Step２:第

ｉ組 目 のyiを

り(n-１)組

予 測 す る の に ｉ組 目 の デ ー タ を 除 い た 残

のデ ー タ

DEST,i={yκ;xκ1,xκ2,…,xκp},κ=1,2,...,n;κ

≠i

を 推 定 用 デ ー タセ ッ トと す る. ３)Step３:事

前 に 決 め た 選 択規 準 に 従 っ て,す

q(q=1,2,...,p)毎

に最 適 モ デ ル を決 定 す る.総 当 たり 法 が 利 用

で き な い 場 合 は,stepwise法 M(q,DEST,i):モ

と し,こ

を 利 用 参 る.こ

こ で,

デ ル サ イ ズ が ｑの 最 適 モ デ ル

の 最 適 モ デ ル に よ る 第 ｉ組 のyiの yi(q)=yi(M(q,DEST,i)),q=1,2,...,p 

と定 義 す る.

べ てのモ デル サ イズ

予 測値 を   (4.63)

３)Step４:i←i+1;Go  ４)Step５:予

to  step  2.

測 誤 差 分 散 を

で 計 算 す る. ５)Step６:最 を

後 に,予

測 誤 差 分 散 が 最 小 と な る モ デ ル の 変 数 の 数q*

決 定 す る.

６)Step７:モ デ ルサ イズq*の 中か らデー タ全部 を利用 しそ 最適 モデ ル(変 数 の最 適 な組 み合せ 〉 を事前 に決 めた 選択 規準 に よ り決定 す る 。

上 記 のStep３

に お い て,変 数 の 数 が あ る 程 度 小 さけ れ ば(p＜20程

度),す べ

て の 組 み 合 せ の 中か ら最 適 な モ デ ル を 選 択 す る 方 法(best  subset regression) が 利 用 で き るが,大

きけ れ ば 変 数 増 加 法,減

少 法,増

減 法,減

増 法 を利 用す

れ ば よ い だ ろ う.ま た,観 測 値 の 組 み 数 ｎが 大 き くな る と 時 間 が そ れ だ け か か る が,DESTを

デ ー タの100(1-α)%,DPREDを100α%等

工 夫 も有 効 で あ る.例

え ば,n=1000の

り返 し が 必 要 で あ るが,デ れ ば,計100回

場 合,上

ー タの 最 初 か ら10個

とす るな どの

記 の 方 法 で は1000回 毎 にDPREDと

の 繰 り返 しで 済 む.こ の 場 合 は 式(4.64)の

の繰

して 定義 す

予 測誤 差 の分散 は

で 計 算 す る.

4.9 

  さ て,CV規 表4.1の

モ デ ル 選 択 の 例No.2

準 を モ デ ル 選 択 規 準 と し て 利 用 し たHjorthのCMV規

デ ー タ に 適 用 し て み よ う.そ の 結 果 は 表4.7に

準を

示 す よ う に,CV規

準 に よ る最 適 モ デ ル よ りは モ デ ル サ イズ が 一 つ 小 さい モ デ ルが 選 ば れ た,最

表4.7 

モ デ ル選 択 の変 動 を考 慮 し ないAllenのCV規 考慮 したHjorthのCMV規

表4.8 

適 モ デ ル は 表4.8に

HjorthのCMV規

準と

準 の 比較

準 に よ り選 択 され た 最 適 回帰 モ デ ル

示 し た よ う に,

p=3:{RAIN,NONW,LSO2},s2=1387.0,R=0.660 の 組 み 合 せ が 選 ば れ た.ま

ず,表4.7か s2CMV(q)〓

ら s

2 CV

(q)

と な っ て い る こ とが 理 解 で き る で あ ろ う.モ デ ル 選 択 の 変 動 の 影 響 が 出 て お り,式(4.62)で

示 した よ う に,通 常 の モ デ ル 選 択 規 準 が 低 め に 推 定 す る バ イ

ア ス の 実 例 で あ る.p=6の

と き とp=3の

と きが 両 者 が 一 致 し て い る.前

者 の 場 合 は 最 も大 きい モ デ ル の 場 合 で あ る か ら,比 較 す る モ デ ル(つ 選 択 に よ る 変 動)が

ま り,

な い の で 一 致 し て 当 然 で あ る.後 者 の 場 合 に 一 致 し た こ

との 意 味 は,式(4.61)の

確 率 が つ ね に １で あ る こ と を 意 味 す る の で あ る.つ

ま り,こ の ケ ー ス で は

Pr{M(q=3,DEST,i)={RAIN,NONW,LSO2}}=1, で,DEST

,iに か か わ らず,つ

ね に 組 み 合 せ{RAIN,NONW,LSO2}が

最適

モ デ ル で あ っ た こ と を 示 し,そ れ だ け こ の 組 み 合 せ が 強 い モ デ ル で あ る こ と を 意 味 す る の で あ る.つ

ま り,(１)降 雨 量 が 多 く(天 候 条 件),(２)白

の 人 種 が 多 く(低 所 得 者 階 級 を 表 現),し

人以外

か も,(３)工 場 を 固 定 発 生 源 と した

大 気 汚 染 物 質 の 代 表 で あ る 二 酸 化 硫 黄 に 汚 染 され て い る程 度 が 高 い ほ ど全 死

因 の 死 亡 率 が 高 く な る と い う,reasonableな

モ デ ル で あ る.

  モ デ ル 選 択 の 変 動 を考 慮 をせ ず に選 ば れ た 最 適 モ デ ル とCMVで モ デ ル の(１)予 測 値 の プ ロ ッ トの 比 較,CMVで ロ ッ トを 図4 .2,図4.3に Orleansが

の 最 適 モ デ ル の(２)残 差 プ

示 した.残 差 プ ロ ッ トで み る とLouisiana州

のNew

若 干 高 値(推 定 値 が 低 値)に 飛 び 離 れ て い る.

  な お,表4.1の

よ う な 死 亡 率 を 取 り扱 う と き は,各

を 考 慮 に い れ た 重 み 付 き 回 帰 モ デ ル,死 化 線 形 モ デ ル(generalized  式(4.1)の

の最適

linear model)な

都 市 の 「人 口 」 の 大 き さ

亡 数 にPoisson分

布 を仮 定 し た 一 般

ど を 利 用 す る の がbetterで

あ る.

単 純 な 「正 規 線 形 」 モ デ ル で は 人 口 が 大 き く異 な る とmisleading

な 結 果 に つ な が る 危 険 性 が 大 き い(12章

参 照).

練 習 問 題 [問 題4.1]y=Xβ+〓,z=Xβ+δ

図4.2 

CVで

の 最 適 モ デ ル(p=4)とCMVで

プ ロ ッ トの 比 較

と し,〓,δ

は 独 立 にN(0,σ2I)に

の 最 適 モ デ ル(p=3)と

の予測値の

従

図4.3  CMVで

う と す る.β

の最適モデ ルの残差プ ロッ ト

は ｙ か ら推 定 し β=(XtX)-1Xtyと

し よ う.そ の と き,こ

の 推 定 値 を 利 用 し て 同 じ 説 明 変 数 の 値 で ｚの 予 測 に 利 用 す る と き次 式 を証 明 せ よ.

(4.65) こ の 推 定 値 は 式(4.43)に

等 し い,つ

[問 題4.2]AllenのCV規

準 のs

2 CV

ま りAIC規

準 と漸 近 的 に 等 価 で あ る.

が,式(4.60)の

よ う に ハ ッ ト行 列 を 利

用 し て １回 の 推 定 で 計 算 可 能 と な る こ と を次 の ス テ ップ で 証 明 せ よ, １)式(4.10)の

ハ ッ ト行 列 の ｉ番 目 の 対 角 成 分 はhii=xi(XtX)-1xtiで

あ る こ と に 注 意 し て 次 式 が 成 り 立 つ こ と を 示 せ.

２)XtX=

n

Σi=1

xixtiで

あ る こ と に 注 意 し てDEST

定 値 β(-i)は β(-i)=(XtX-xixti)-1(Xty-xiyi) ３)１),２)か

ら

,iか ら 推 定 さ れ た 推

-yi-yi

β(-i)=β こ こ に,yi=xtiβ

４)結 局,次

(XtX)-1xi 

/1-hii

式 が 成 立 す る.

な お,式(4,66)は

analysis)に

△β=β-β(-i) 

[問題4.3]モ

yi-yi

/1-hii

第 ｉ組 目 の デ ー タが 回 帰 係 数 の 推 定 値 β に 与 え る 影 響 の 度

合 を 検 討 す る 感 度 分 析(sensitivity 

た,そ

(4.66)

で あ る.

yi-yi(DEST,i)=

が,ま

  

の 関 数 で あ るCook(1979)の

デ ル 選 択 規 準 にAllenのCV規

利 用 してHjorthのCMV規 結 果 を再 現 せ よ.

                  (4.67)

距 離 は 有 名 で あ る.

準,変

数 選 択 に 総 当 た り法,を

準 ア ル ゴ リズ ム の プ ロ グ ラ ム を 作 成 し,表4.7の

５ 測定誤差 のあ る線 形モデ ル―

  こ こ で は,説

測定法 の比較

明 変 数 に 測 定 誤 差 の あ る 場 合 の 回 帰 モデ ル の 例 と し て 測 定 法

の 比 較 を 取 り上 げ る.表5.1は

未 熟 児20例

の 検 体 か ら血 清Kanamycinの

をheelstick法(Ｘ),umbilical 

catheter法(Ｙ)の

２種 類 の 検 査 法 で 測 定 した

も の で あ る.２ 種 類 の 測 定 法 の 比 較 を統 計 学 的 に 推 論 せ よ. 表5.1 

未 熟 児20検

値

体 か ら 測 定 した.血清Kanamycin値

5.1

  測 定 に は 誤 差(error)が

誤

 

 差

つ き もの で あ る.真

値 が θで あ る物 質 の 測 定 値 を

ｘ と す る と 誤 差 〓は 〓=x-θ

で 定 義 され る.こ

                

(5.1)

の 誤 差 の 中 身 は 大 き く分 け て

１)分 析 操 作 の 誤 り ２)精

密 度(precision)ま

３)偏

り(bias),正

た は,偶

然 誤 差(random 

確 度(accuracy),ま

の 三 つ に 分 解 で き る.す

た は 系 統 誤 差(systematic 

error)

な わ ち,

〓=(x-y)+(y-μ)+(μ-θ) 

と な る.こ

error)

       

(5.2)

こ に,ｙ は 操 作 誤 りの な い 場 合 の 測 定 値 で あ る.操 作 誤 りが な い

と仮 定 す れ ば 真 値 θを もつ 試 料 を ｎ 回 「繰 り返 し 測 定 」 し た と き の 第 ｊ回 目 の 測 定 値xjは

母 平 均 μ,母 分 散 σ2eの正 規 分 布 に 従 う変 量 と 考 え ら れ る(誤

差 の 法 則).さ

て,平

均 値 ｘ を利 用 す る と,第

ｊ回 目 の 誤 差 は

〓j=(xj-x)+(x-θ) 

と 分 解 され る.こ

こ で,第

１項 は 偏 差(deviation)と

推 定 値 で あ る 平 均 値 ｘの ま わ りの バ ラ ツ キ,つ す る.そ

          

よ ば れ,母

(5.3)

平 均 μの

ま り測 定 法 の 精 密 度 を 意 味

の 平 均 的 な 大 き さは 母 標 準 偏 差 σEの 推 定 値 と して の 標 準 偏 差SD

(standard  deviation)

(5.4) で 推 定 で き る.一 表 す.言

方,第

２項(x-θ)は

真 値 か ら の 偏 り(μ-θ)の

推定値を

い 換 え れ ば 測 定 法 の 正 確 度 を 表 す と 考 え られ る,さ て,精

密 度 と正

確 度 を 含 め た 誤 差 の 総 合 的 指 標 と して の 測 定 精 度 σ〓 は

(5.5) で 与 え ら れ る.こ

の 精 度 σTが 臨 床 に お い て ど の 程 度 ま で 許 容 さ れ る か と い

う 精 度 の 目 標 と し て 許 容 誤 差(tolerance 

limit)が

よ く 用 い ら れ る.

  と こ ろ で,測

定 誤 差 の 大 き さ に 関 し て は,現 実 に 測 定 され る値 の 全 域 で の

評 価 が 必 要 不 可 欠 と な る.し か し,標 準 試 料 の 値 を連 続 的 に 動 か す の も現 実 的 で は な く,実 際 に は低 値,中 評 価 を 行 う.こ の 場 合,真

値,高

値,な

ど数 点適 宜選 定 して測定 誤差 の

値 θ と測 定 値 ｘ と の 間 に x=μ+〓=α+β

と い う 線 形 関 係 が 成 立 す る こ と が 多 い.こ

θ+〓                  (5.6) こ で,α

は 一 定 系 統 誤 差(constant

systematic 

error),β

は 比 例 系 統 誤 差(proportional 

systematic  error)と

よ

ば れ る.正

確 度 の 評 価 で は こ の ２種 類 の 誤 差 は 区 別 し て 評 価 し な け れ ば な ら

な い.

5.2  正 確 度 の 評 価 の 基 本

  さ て,最

も 基 本 的 な 正 確 度 の 評 価 方 法 は 標 準 試 料 を 利 用 し て,２

系 統 誤 差 の 大 き さ を 検 討 す る こ と で あ る.す 異 な る 標 準 試 料 を α 個 用 意 し,そ る.測

な わ ち,真(表

種類 の

示)値

θiの

れ ぞ れ ｂ 回 繰 り返 し 測 定 す る 実 験 を 考 え

定 順 序 に 関 し て は な ん ら か の 適 当 なrandomizationを

{xij:i=1,...,a;j=1,...,b;N=ab}と

し,一

施 す.測

定 値 を

定 系 統 誤 差 を α,比

例 系

統 誤 差 を β とす る と xij=α+β

θi+〓ij, 

と い う 回 帰 分 析 で α と β を 推 定 す る,こ

〓ij∼N(0.σ2e)

(5.7)

こで の 統 計 学 的 推 測 の 興 味 は,そ

れ ぞ れの 信頼 区間 と １)H0:β=1の

検定

２)H0:α=0の

検定

等 で あ ろ う.

5.3 

測 定 法 の比 較

  近 年 の 臨 床 検 査 技 術 の 進 歩 は め ざ ま し く,新 し い 測 定 法 が 次 々 と 開 発 され て い る.測

定 法 の 取 り換 え に 際 して は,従

来 法 と新 し い 方 法 の 比 較 検 討 が

重 要 と な る.こ

の 際,日

に 示 す 例 で は,図5.1に

常 遭 遇 す る患 者 検 体 を利 用 す る場 合 が 多 い.表5.1 示 す よ う に,ｘ 軸 に 従 来 法 で あ るheelstick法,ｙ

に 新 しい 方 法 で あ るumbilical  catheter法

の 測 定 値 を プ ロ ッ トし て 回 帰 直 線

を 計 算 し て...と い う誘 惑 に 駆 ら れ そ うで あ るが,実 ん で い る の で あ る.表5.2に

は1986年

軸

は こ こ に 落 と し穴 が 潜

の 雑 誌 「臨 床 病 理 」 に 掲 載 さ れ た 臨

床 検 査 法 の 比 較 に 関 す る論 文 の 中で 使 用 され て い た 回帰 直 線 の 例 を示 す.な お,以

下 の 議 論 は,臨

床 検 査 を例 に あ げ る もの の,測 定 法 一 般 に つ い て 適 用

図5.1 

表5.2 

1986年

表5.1の

の臨 床 病 理(Vol.34)に

主 要 な 結 果(丹

後,1988)

デ ー タの線 形 回 帰 式

掲 載 され た 測 定 法 の 比 較 に 関 す る主 な 論 文 で の

で き る.

5.3.1  線 形 回帰 式 と線 形 関 係 式   従 来 法 の 測 定 値 を ｘ,新 し い 方 法 の そ れ を ｙ と し よ う.同 一 試 料 を 二 分 し て 測 定 値{(xi,yi),i=1,2,...,n}を

測 定 す る 場 合 を 考 え よ う.測 定 法 を 比

較 す る場 合,ま ず 精 度 が 悪 け れ ば お 話 に な ら な い.あ 法 の 精 密 度 を検 討 して.測

らか じめ ２種 類 の 測 定

定誤 差 の分 散比 σ2y/

λ= σ2x              

(5.8)

を推 定 し,λ が 許 容 され る 限 界 を 越 え れ ば 新 しい 測 定 法 に は 交 換 で き な い と 判 断 す る の が 順 当 で あ ろ う.   さて 正 確 度 の 比 較 の 基 本 モ デ ル は,ｉ 番 目 の 試 料 の 真 値 を θiとす る と,次 の線 形 モデ ル xi=θi+δi,

yi=α+β で あ り,通

 δi∼N(0,σ2x)       

θi+〓

常 の 線 形 回 帰 式(linear 

ｉ，  〓i∼N(0,σ2y) 

regression 

(5.9)

 

(5.10)

line)

yi=α+βxi+〓i

で は な い こ とに ま ず 注 意 し た い.期

待 値 で 表 現 す れ ば 線 形 回帰 式 は

E(y)=α+βx で あ る の に 対 して,こ

の 場合 の モデ ル は E(y)=α+βE(x) 

とい う違 い が あ る.線 形 回 帰 式 で は,xiに

   

(5.11)

誤 差 は 許 さ れ て い な い,も

し くは

ｘ軸 の 測 定 誤 差 が ｙ軸 に 比 較 し て 無 視 で き る場 合 を 想 定 して お り,パ ラ メー タ推 定 値 は 最 小 ２乗 法(最

尤 推 定 法)に

より

Sxy

β=

/ S2x               

α=y-βx  で 与 え ら れ る こ と は よ く 知 ら れ て い る.し 最 小 ２ 乗 法 ま た は モ ー メ ン ト 法 に よ り,

(5.12)

     (5.13) か し,式(5.10)の

α,β

は後 述 の

(5.14) α=y-βx  で 推 定 さ れ る.こ (検 体 間)の

こ で,S2x,S2y,Sxyは

               

標 本 分 散,共

(5.15)

分 散 で あ る.も

し,θi間

バ ラ ツ キ に正 規 分 布 が 仮 定 で き る場 合 に は この 推 定 値 は最 尤 推 定

値 に 一 致 す る.こ [例 題5.1]線

の 関 係 式 を 線 形 関 係 式(linear 

形 関 係 式 は 観 測 点 Ｐ(xi,yi)か

で の ｘ 軸 方 向,ｙ

relationship  line)と

い う.

ら 直 線 上 の 点 Ｑ(θi,α+β

θi)ま

軸 方 向 の 距 離 を そ れ ぞ れ の 測 定 誤 差 σ2x,σ2yで規 準 化 した 距

離 の平 方和

(5.16) を 最 小 に す る,最

小 ２乗 法 で 導 か れ る こ と を 示 せ.こ

こ で θi,i=1,2,...,n

は 未 知 で あ る. [解 答]線

形 モ デ ル(5.9),(5.10)よ

は そ れ ぞ れ 直 線 上 の 点(θi,α+β る と 考 え ら れ る,し

り,測

定 値 の ペ ア(xi,yｉ),i=1,2,...,n

θi)を 中 心 に 二 次 元 正 規 分 布(無

た が っ て,パ

相 関)を

ラ メ ー タ の 最 尤 推 定 値 を 考 え る と,測

差 で 規 準 化 さ れ た 距 離D2(Mahalanobis 

す 定誤

distance)

(5.17) を最 小 化 す る 問 題 に 還 元 され る.も

し,ｘ 軸 方 向 の 測 定 誤 差 が な け れ ば ｘ軸

方 向 に デ ー タ の バ ラ ツ キ は な い の で, θi=xi, 

i=1,2,...,n

で あ る か ら,ｙ 軸 方 向 の 誤 差 だ け を考 慮 に 入 れ れ ば よ く,そ れ は 通 常 の 最 小 ２乗 法 に 一 致 す る. ま ず 点 θiを推 定 す る の に偏 微 分

と な る.こ

れ をD2に

代 入 す る と

∂D2/ ∂θi

=0を

計 算 す る と,

(5.18) と な る,こ

のD2に

関す る連立 偏微 分 方程 式

を解 くと βに 関す る二次 方程 式 Sxyβ2-(S2y-λS2x)β-λSxy=0  が 導 か れ る.こ を 満 た す.こ

れ を 解 け ば,式(5.14)が

    

得 ら れ る,も

(5.19)

ち ろ ん α は 式(5.15)

の 方 法 は そ れ ぞ れ の 真 値 θiが 固 定 さ れ て い る(fixed)と

linear functional  relationshipと [例 題5.2]モ

考 えた

よ ば れ る*1).

ー メ ン ト法 に よ っ て も 式(5.14),(5.15)で

与 え られ る推 定 値 が

導 か れ る こ と を 示 せ. [解 答]検

体 の 真 値

(5.9),(5,10)よ

θiの 期 待 値 と 分 散 を μ,σ2と

す る と,線

り E(Xi)=μ

                

E(yi)=α

σ2x            

Var(yi)=β2σ2+σ2y  Cov(xi,yi)=β

(5.19)の

(5.20)

＋ βμ              (5.21)

Var(Xi)=σ2＋

が 成 立 す る.こ

形 モ デ ル

       

σ2            

れ ら の 式 に 標 本 平 均,標

本 分 散,標

二 次 方 程 式 が 得 ら れ 式(5.14),(5.15)の

(5.22) (5.23) (5.24)

本 共 分 散 を代 入 す る と式

線 形 関 係 式 が 推 定 さ れ る.こ

の 方 法 は そ れ ぞ れ の 真 値 θiが あ る 分 布 に 従 う 変 量(random 

variable)で

と 考 え たlinear  structural  relationshipと

定 誤 差 を考 慮 し

よ ば れ て い る.測

あ る

た 統 計 学 的 推 測 は こ の 考 え 方 が 利 用 さ れ る.   さ て,式(5.12),(5.22),(5.24)よ

り

(5.25) *１)  な お

,こ

n＋2で

の 方 法 で は 推 定 す べ き パ ラ メ ー タが

α,β,θi(i=1,2,...,n)と

あ る た め 統 計 学 推 測一 般 に は 適 さ な い.

デ ー タ数 よ り ２個 多 い

が 導 か れ る.つ

ま り測 定 誤 差 σ2xを無 視 して 回 帰 直 線 を推 定 す る と真 の 傾 き

β よ り小 さめ に 推 定 され て し ま う(attenuated  to zero)こ とが わ か る.測

定

誤 差 σ2xが大 きい ほ ど 小 さ くな る.

をattenuation 

factorと

よ ぶ.

  5.3.2  Bootstrapに

よ る推 測

  推 定 値 α,βの 標 準 誤 差,帰

無 仮 説 「H0:β=1,α=0」

の 検 定,信

頼 区間

の 計 算 な ど の 推 測 は 通 常 の 回 帰 モ デ ル と異 な り容 易 で は な い.日 常 遭 遇 す る 患 者 検 体 の 中か ら選 ば れ る検 体(真

値)の

分 布 が 正 規 分 布 す る 仮 定 も不 自然

で あ る し,そ の よ うに 仮 定 し て も理 論 的 な推 測 は容 易 で は な い.し こ こ で は 分 布 型 に 依 存 し な いbootstrap法(３ 的 で もあ り便 利 で あ ろ う.例

え ば,勾

章 参 照)を

の 問 題 点 は 問 題5.6参

１)ωi=(xi,yi),i=1,2,...,nと

ン プ ル をbootstrap  ３)こ

のbootstrap 

４)Step２-３

中 か ら 重 複 を 許 し て 無 作 為 に(コ

組 の サ ン プ ル(ω*1,...,ω*n)を sampleと

sampleを

信 頼 区 間 はEfronのBC法(3.4.2項)ま の が 簡 単 で あ る.

抽 出 す る.こ

のサ

代 入 し て β*を 計 算 す る. 得 る.信

頼 区 間を計算 す る

が 必 要 で あ る.

推 定 値 β の 標 準 誤 差 のbootstrap推

こ に,β*=

ンピュー

よ ぶ.

式(5.14)に

の が 最 終 目 的 の 場 合 はB=2000位

で 与 え ら れ る.こ

以 下 に示

照).

を Ｂ 回 繰 り返 し,{β*1,...,β*B}を

５)式(5.14)の

bootstrap)は

か し,

す る.

２)ｎ 組 の 測 定 値(ωi,...,ωn)の タ 乱 数 を 利 用 し て)ｎ

利 用 す るのが 実 際

配 β に 関 す る 一 つ の 簡 単 な,し

少 々 過 大 評 価 ぎ み の ア ル ゴ リズ ム(nonparametric  す と お りで あ る(そ

たが って,

ΣB1β*j/Bで

定値 は

あ る.

た は,BCa法(3.4.3項)を

利 用す る

[例題5.3]表5.1の [解答]こ

未 熟 児 の デ ー タ に つ い て 解 析 し て み よ う.

こで は 測 定 誤 差 の 分 散 比 は λ=1と

S‐Plusで 行 い,そ

の プ ロ グ ラ ム は 付 録B.4に

仮 定 で き る と し よ う.計 算 は 示 す.推 定 され た 線 形 関 係 式 は

E(y)=-1.16+1.07E(x) で あ っ た.ま

たB=2000と

し てbootstrap法

形 関 係 式y=α*j+β*jx,j=1,...,Ｂ を 図5.3に

示 し た.ま

を 図5.2,ま

た,BC法

に よ り,α,β

β:  0,72∼1.53, 

た,α*jと

の線

β*jの 散 布 図

の信 頼 区間 は

SE=0.222

α:-10.70∼5.20, 

と推 定 され た.こ

に よ り推 定 し た2000本

SE=4.279

の 結 果 よ り,帰 無 仮 説H0:α=0,β=1を

積極 的 に否定

で きず,２ 種 類 の 測 定 方 法 の 差 異 認 め る 十 分 な 証 拠 は な い と推 測 で き る.ま た,二

つの 回帰 直線 は y =2

図5.2 

表5.1の

.786＋0.881x

デ ー タ の 線 形 関 係 式 のB=2000回

のbootstrap推

定

図5.3 

表5.1のbootstrap 

sample(α*j,β*j,j=1,...,B)の

散 布 図

x=-5.350+1.271y で あ っ た.こ

れ ら の ３ 種 類 の 直 線 を 図5.4に

は 定 点(x,y)=(20.86,21.15)を

  5.3.3 

示 し た.も

つ の直線

通 る.

繰 り返 し測 定 の あ る 場 合

  繰 り 返 し デ ー タが な い 場 合 に は,あ お く必 要 が あ っ た が,も

し,同

ら か じ め 測 定 誤 差 の 分 散 比 を推 定 し て

一 試 料 を ４等 分 し て そ れ ぞ れ ２回 繰 り返 し て

測 定 し た デ ー タ{(xij,yij),i=1,2,...,n;j=1,2}が は な く,か １)精

ち ろ ん,三

つ,よ

得 ら れ れ ば,そ

の必 要

り 完 全 な 解 析 が 一 挙 に 可 能 と な る.

密度 の 比較 ま ず,そ

れ ぞ れ の 精 密 度,例

え ば,

(5.26)

図5.4 

を 計 算 して,分

表5.1の

デ ー タの線 形 関 係 式

散比を

(5.27) と 推 定 す る と と も に信 頼 区 間 を計 算 す る こ とが で き る.帰 無 仮 説 H0:σ

の 下 で は,式(5.27)は

2

自 由度(n,n)の

x=σ

2 y

           (5.28)    

Ｆ 分 布 に 従 うの で,検 定 に よ り

新 し い 方 法 の 精 密 度 を 検 討 す る こ とが 可 能 で あ る. ２)正 確 度 の 比 較   基 本 モ デ ル は,式(5.9),(5.10)と

同 様 で,真

値 を θiとす る と,次 の

線 形 モ デ ル で 与 え られ る. xij=θi+δij,

δij∼N(0,

2 σx

)         (5.29) 2

yij＝

α+β

θｉ+〓ij,

〓ij∼N(0,

σy

)

(5.30)

こ の モ デ ル で は α,βの 推 定 が,

(5,31)

 と 変 換 す る こ と に よ り,式(5.14),(5.15)が

利 用 で き る.λ

は 式(5.27)

の 推 定 値 が 利 用 で き る の で あ る. ３)患

者試料 の大 き さ

  さ ら に,新

しい 測 定 法 の 精 度 が 従 来 法 に比 較 して,許

容 で きない精

度 を もつ もの を検 定 で 排 除 す る た め に最 低 限 必 要 な 標 本 サ イ ズ を 考 え る こ とが 可 能 で あ る.そ

れ に は,ま ず,測

定 誤 差 の 分 散 比(＝

変 動係

数 の 比 の ２乗)

(5.32) の 許 容 限 界 λ0を 設 定 す る こ とで あ る.そ

うす る と,式(5.28)の

仮 説 の 下 で の 等 分 散 の Ｆ 検 定 に お い て,Ｆn,n(α)を 側100α%点

帰無

自 由 度(n,n)の

とす る と有 意 水 準 α で 有 意 差 が 出 る(設 定 した λ0を 検 出

す る)確 率,す

なわ ち 「 検 出 力1-β 1-β=Pr{F＞Fn

した が っ て,標

本 サ イ ズnと

」 が 次 式 で 計 算 で き る. ,n(α)/λ0}         (5.33)

λ0の 値(CVの

比 の ２乗)の

組 み合せ

に 関 す る検 出 力 を計 算 し,必 要 な ｎ の値 を 検 討 す る.表5.3に 値 を示 す.現

実 に は,少

な く と も,検 出 力80%は

一部 の

ほ しい.

練習問題 [問題5.1]  線 形 関 係 式 の傾 き β に 関 して 次 の 命 題 を証 明 せ よ. １

上

λ → ∞ の と き β=βy￨ｘ=Sｘ

２

λ →0の

と き β=β

３

βx｜y〓 β 〓 βylx

４

λ=1の

ｘ￨y=Sxy/

2

ｙ/S x

S

2 y

(式(5.12))

(ｘの ｙ に対 す る 回 帰 式 の 傾 き)

と き β は ２ 変 数 ｘ,ｙ の 主 成 分 分 析(principal 

表5.3 

有 意 水 準5%で

の検 出力(%)の

表

component

analysis)を [問 題5.2] 

適 用 し た と き の 第 １主 成 分 の 傾 き に 等 し い.

例 題5.1で,T(xｉ,α+βxｉ)と

す る と

tan∠QPT=β/λ

で あ る こ と を 証 明 せ よ. [問 題5.3] 

式(5.18)を

変形 す る と

とな る.こ れ か ら類 推 し て,線 形 関 係 式 の モ デ ル の 検 証 の た め の 残 差 統 計 量 は

表5.4 

患 者 検 体48例

か ら ２ 種 類 の 方法 で 測 定 し た あ る 臨床 検 査 値

(5.34) で あ り,モ

デ ル(5.9),(5.10)が

に,約99.7%が

正 し け れ ば,残

区 間(-3,3)に

差 の 約95%が

入 る と 推 測 で き そ う で あ る が,こ

区 間(-2,2) の こ とを説

明 せ よ. [問 題5.4] 

表5.1の

デ ー タ の 残 差 プ ロ ッ ト を 行 え.

[問 題5.5] 

表5.4は

あ る 検 査 に 関 す る 標 準 法(reference 

提 案 さ れ た 方 法(proposed 

method)に

よ る48検

方 法 で ２ 回 繰 り 返 し て 測 定 し た デ ー タ で あ る.線

method)と

新 し く

体 を利 用 して それ ぞ れ の 形 関 係 式 を 推 定 せ よ(答:

E(y)=−6.629+0.991E(x)). [問 題5.6]  に,計

5.3.2項

で 解 説 し た 線 形 関 係 式 で のbootstrap 

画 行 列 が 変 化 し,計

さ れ て い る.そ

こ で,例

画 行 列 のsamplingの 題5.1を

sampleで

はつ ね

影 響 で 分 散 推 定 が 大 きめ に

参 考 に して

δi=xｉ-θi〓

ｉ=ｙi-ａ-β

と し た 誤 差(δi,〓i),i=1,....nか ル ゴ リ ズ ム が 考 え ら れ る か?  [問 題5.7] 

ら のbootstrapを

考 え た らど の よ うなア

ま た そ の 結 果 を 比 較 し て み よ.

式(5.9),(5.10)で θi∼N(μ,σ2) 

と 仮 定 で き る 場 合,α,β を 示 せ.

θi

              (5.35)

の 最 尤 推 定 値 は 式(5.14),(5.15)に

一致 す る こ と

６ 一 般 化 線 形 モ デ ル(GLIM)

  表6.1は,あ

る 薬 剤 の50%致

死 量(LD50,median

こ と を 目 的 と し た 毒 性 試 験 の デ ー タ で あ る.ロ

lethal dose)を

推 定す る

ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル で 推

定 し て み よ う.

6.1 

  Nelder  and generalized

は 

Wedderburn(1972)に linear

model)は

じ  め  に

よ り提 案 さ れ た 一 般 化 線 形 モ デ ル(GLIM, 今 日の医学 分 野 におけ る統 計学 的推 測 の根 幹 を

な す 基 本 モ デ ル で あ る(McCullagh

and

Nclder,1989).そ

れ は,古

典 的 な線

形 モ デ ル に お け る 誤 差 項 に 仮 定 さ れ て い た 正 規 分 布 の 枠 組 み を 外 し,正

規分

布 に な じ まな い 確 率 変 数 に 対 し て も統 一 的 な 線 形 推 測 が 可 能 と な る よ うに し た も の で あ る.い

く つ か の 例 を 紹 介 し よ う.

１)正 規 線 形 モ デ ル 表6.1 

毒性試験デ ータ

  ４章 で 例 題 と して 利 用 した 大 気 汚 染 の 健 康 影 響 に 関 す るデ ー タ の 線 形 回 帰 モ デ ル は,誤

２)ロ

差 に 正 規 分 布 を 仮 定 す る と,次 の よ うに 表 現 で き る. yi∼Normal(μi,σ2)≡N(μi,σ2)     

(6.1)

μi=β0+β1xi1+…+βpxip         

(6.2)

ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル

  表6.1に

示 す動 物 を利 用 した毒 性試 験 のデ ー タにおけ る解析 の 一つ

の 方 法 は,各 用 量 群 の 標 本 サ イズmiの

中 の 観 測 死 亡 数diが

piを 母 数 に も つ 二 項 分 布Binomial(pi,mi)に

死亡 確率

従 う確 率 変 数 で,用

量反

応 曲線 が ロ ジ ス テ ィッ ク 曲 線 に 従 うモ デ ル を導 入 す る こ とで あ る. di∼Binomial(pi,mi）

                (6.3)

(6.4) ３)ロ

ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル

  ア メ リ カ の フ ラ ミ ンガ ム で 開 始 され た 冠 状 動 脈 性 疾 患 の リ ス ク フ ァ ク ター に 関 す る 大 規 模 コ ホ ー ト研 究 で は,調 す る リ ス ク フ ァ ク ターxi=(xi1,...,xip)を

査 対 象 者 ｉ毎 に(１)検 討 追 跡 開 始 時 点 で 観 測,(２)

12年 間 の 追 跡 期 間で の 当 該 疾 患 の 発 生 の 有 無di=0(無),１(有)を

観測

し た.当 該 疾 患 の 発 生 確 率piに 影 響 を 与 え る リス ク フ ァ ク ター を検 討 す る 一 つ の モ デ ル は次 の よ うに 表 現 で き る. di∼Binomial(pi,１) 

             (6.5)

(6.6) ４)Poisson回

帰モデ ル

  あ る県 内 の 市 町村 毎 の 死 亡 率 の 比 較 に標 準 化 死 亡 比(SMR,standard mortality

ratio)が よ く用 い られ る.そ

れ は 観 測 死 亡 数diを(県

ま た は 国 全 体 の 年 齢 階 級 死 亡 率 に 基 づ い て 計 算 さ れ る)ベ 期 待 死 亡 数E0iで

除 し た 比 で あ る.死

社 会 経 済 的 要 因xi=(xi1,...,xip)を デ ル は,死

全体

ース ラ イン

亡率 の地域 差 を説 明す るため に 説 明 変 数 と して 行 わ れ る 回 帰 モ

亡 数 が 期 待 死 亡 数 μiを もつPoissozi分

布Poisson(μi)に

従 う確 率 変 数 と考 え た 次 の 対 数 線 形 モデ ル(log‐linear  model)が

標準 的

な 統 計 モ デ ル で あ る. di∼Poisson(μi) 

          

(6.7)

logμi=logEoi+β1xi1+…+βpxip    

こ の 線 形 モ デ ル か ら,説

(6.8)

明 変 数 で 調 整 され たSMRの

推 定値が

(6.9) と して 求 め ら れ る.

6.2 

GLIMは

GLIMの

次 の 三 つ の 成 分 で 規 定 され る モ デ ル で あ る.

  (１)ラ ン ダ ム 成 分(random  規 分 布,二

三 つ の 特徴

component) 

項 分 布,Poisson分

確 率 変 数Yiの

従 う分 布 は,正

布 など を含 む指 数型 分布 族

(6.10) で あ る.こ

こ に θiは 正 準 母 数(canonical 

数(dispersion  れ る.Yiの

parameter),ま

parameter),φ

た は 局 外 母 数(nuisance 

は 散 ら ば りの 母 parameter)と

よば

期 待 値 と分 散 は μi=E(Yi)=b(θi) 

          

(6.11)

Var(Yi)=ai(φ)b(θi)         

で 与 え ら れ る.こ

こ で,b(θ)は

ance  function)と

期 待 値 μ だ け の 関 数 で あ り,分

よ ば れ る,こ

(6.12)

散 関 数(vari

の 意 味 で, V(μi)=b(θi)             

と し て お く.ま

(6.13)

た,ai(・)は ai(φ)=φ/ui,(uiは

の 形 に 特 定 す る ． さて,指

(6.14)

数 型 分 布 族 の例 を 典 型 的 な 分 布 で 調 べ て み る と次

の と お りで あ る. １)正 規 分 布:Ｙ

既 知)           

∼ Ｎ(μ,σ2) α(φ)=φ;ui=1

b(θ)=θ2/2    μ=θ V(μ)=1

２)二

項 分 布:Y=d/m,d∼Binomial(μ,m),μ=p α(φ)=1/m,φ=1,ui=mi b(θ)=log(1+exp(θ))     μ=1/(1+exp(-θ)) V(μ)=μ(1-μ)

３)Poisson分

布:Y∼Poisson(μ) α(φ)=1,φ=1,ui=1 b(θ)=exp(θ)

    μ=exp(θ) V(μ)=μ

  (２)系 統 的 成 分(systematic 

component) 

明 変 数， 共 変 量 の 線 形 結 合 をGLIMで と よ び,η

通 常 の線形 モデ ル で考 え る説

は 改 め て 線 形 予 測 子(linear  predictor)

で 表 す:

(6.15)   (３)連 結 関 数(link  function) 

期 待 値 μiと 線 形 予 測 子 ηiと を 連 結 す る

関 数g(・): g(μi)=ηi=xtiβ を 連 結 関 数 と よ ぶ.連

結 関 数 の 中 で,特

の が 正 準 連 結 関 数(canonical 

                    (6.16)

別 な,し

か し,標

準 的に利 用 され る

link function)

g(μi)=θi=ηi=xtiβ

         

(6.17)

で あ る.こ の 連 結 関 数 に よ る 推 測 は θの 十 分 統 計 量 が 利 用 で きる の で,他 連 結 関 数 よ り特 に 小 標 本 で 望 ま し い 性 質 が あ る.例 え ば,そ の 正 準 連 結 関 数 は 次 の とお りで あ る.

の

れぞれ の 分布で

１)正 規 分 布:μ=η(正

規 線 形 モ デ ル)

２)二 項 分 布:log{μ/(1-μ)}=η(ロ ３)Poisson分

ジ ス テ ィ ッ ク 回 帰 モ デ ル)

布:logμ=η(Poisson回

帰 モ デ ル)

これ 以外 の連 結 関数 として は １)プ

ロ ビ ッ ト変 換

Φ-1(μ)=η             (6.18) ２)complementary 

log-log変

換

log{-log(1-μ)}=η ３)Box-Cox変

         

(6.19)

換

(6.20) な ど が 利 用 され る,

6.3最

さて,母

尤

推

定

数 の 推 定 は 最 尤 推 定 が 用 い られ る.最

尤 推定 量 β は 対数 尤 度

(6.21) を 最 大 に す る,つ

ま り,βs,s=0,1,...,pで

偏 微 分 し て

(6.22) を 満 た す.こ

こに

(6.23) で あ る.さ

て,正

準 連 結 関 数 を 考 え れ ば,

とな る こ と に 注 意 し よ う. 次 に,式(6.22)を

βtで 偏 微 分 す る と

(6.24) と な る.そ

の期 待値 を とる と

(6.25) こ こ に,

(6.26) で あ る.し

た が っ て,Fisherの

ス コ ア 法 を 利 用 す れ ば,ベ

ク ト ル 表 示 で,

(6.27)

を 解 け ば よ い.最

尤 推 定 値 の 漸 近 分 散 はFisherの

情報 行 列の 逆行列

(6.28) で 与 え られ る. こ こ で は,式(6.27)を

さ ら に 変 形 し て み よ う.

と な る.こ

れ は

と い う回 帰 モ デ ル の 最 小 ２乗 解 の 反復 計 算 と な る こ とが わ か る.言 い 換 えれ ば,β

の 最 尤 推 定 の 反 復 計 算 の 各 過 程 は,

〓重 み:ωi=1/{αi(φ)b(θi)(g(μi))2} 〓従 属 変 数:ηi+g(μi)(yi-μi) 〓 説 明 変 数:xi

と設 定 し た 通 常 の 重 み 付 き線 形 回帰 モ デ ル で 最 小 ２乗 解 と同 値 とな る こ とが わ か る.例

え ば,正

規 分 布 の ケ ー ス で あ れ ば,重

明 変 数 は そ れ ぞ れyi,xiと 一 致 す る.   と こ ろ で,式(6.29)の 値 が 必 要 に な る が,一 の が 通 常 で あ る.し て はy=0,1で

な り,繰

み は ωi=1,従

属 変 数,説

り返 し な し の 通 常 の 線 形 回 帰 モ デ ル に

重 み 付 き最 小 ２乗 解 の 反 復 計 算 に は 従 属 変 数 の 初 期 般 に は デ ー タ 自 身yiを

か し,二

μiに 代 入 し た η(yｉ)を用 い る

項 分 布 の 場 合 の η(y)=log{y/(1-y)}に

発 散 し ま うの で,そ

おい

の よ う な 場 合 に は 微 調 整 し た η(yi+〓

と設 定 す る 必 要 が あ る.

6.4 

モデ ル の 適 合 度 の評 価

  一 般 化 線 形 モ デ ル の デ ー タ に 対 す る 適 合 度 を 評 価 す る方 法 と し て は,尤 度 比 検 定 規 準 の 考 え 方 を 利 用 し た"scaled deviance"を

利 用 す る.そ れ は,デ ー

タ 自身 を 代 入 し た full model 

の対 数 尤度 ι 〓 とp+1個(interceptを

〓:θ=θ(yi)

考 慮 し て の 「+1」)の 母 数 を もつ モ

デ ル の 最 大 対 数 尤 度 ιpと の 差 の ２倍 で 定 義 され る:

(6.30) こ こ で,D(p,〓)を

“deviance”

と よ ぶ.“scaled 

ル が 正 し い と い う 帰 無 仮 説 の 下 で 漸 近 的 に(正 由 度n-p-1の

χ2分 布 に 従 う.例

deviance”

は,現

在 の モデ

規 線 形 モ デ ル で は 正 確 に)自

え ば,

１)正 規 線 形 モ デ ル この 場 合 に は

(6.31) と よ く知 られ た 性 質が 導 か れ る. ２)二 項 分 布 モ デ ル こ の 場 合 に は,

で あ る こ と に 注 意 し て 式 を 変 形 して い くと

(6.32) が 得 られ る. ３)Poissonモ

デ ル

(6.33) が 得 られ る.

  二 項 モ デ ル,Poissonモ

デ ル で は,deviance統

計 量 以 外 にPearsori 

χ2適

合度 統 計量

(6.34) が 利 用 で き る.ま

た,そ

の 成 分 のPearson残

差

(6.35) で あ る.正 規 線 形 モ デ ル の 残 差 は こ のPearson残

差 を散 らば りの パ ラ メー タ

φ の推 定値 で規 準化 した残 差

(6.36) を 利 用 す る の が 通 常 で あ る.二 が 適 合 し て い れ ばX2の

値 はdevianceと

E(X2)=n-P-1(現

か し,多

れ ら の 漸 近 性 が くず れ,特

6.5 

く の 観 測 度 数miま にdevianceの

Analysis 

た は,yiが

の よ

あ る.

of  deviance

局 外 母 数 φ を 含 ま な い 統 計 量 で あ る た め,こ

デ ル で はanalysis 

小 さ

性 質 が 悪 く な る.こ

計 量 がbetterで

て 正 規 線 形 モ デ ル で は い わ ゆ る 分 散 分 析(analysis  Poissonモ

在 の モデ ル

同様

う な 場 合 に は ど ち ら か と い う とPearson統

  さ て,devianceは

デ ル で,現

在 の モ デ ル が 正 し い と い う 条 件 で)(6.37)

の 近 く に あ る は ず で あ る.し い と,こ

項 モ デ ル,Poissonモ

of devianceが

of  variance),二

れ を 用い 項 モ デ ル,

展 開 で き る.

その準 備 として Mp=p+1個 と して,二

の 母 数 を含 む モ デ ル

つ の モ デ ルMpとMq(P＞q)を

り,こ こ で,興

比 較 す る こ と を考 え よ う.つ

ま

味 あ る検 定仮 説 は

H0:モ

デ ルMPか

ら 除 か れ た(p-q)個

の母 数 の効 果は な い

H1:モ

デ ルMpか

ら 除 か れ た(p-q)個

の母 数 の効 果 はあ る

(6.38)

で あ る.ま て,そ

ず,正

規 線形 モデ ル では

のdeviance(=残

「最 大 モ デ ル の 母 数 の 数 をpmax」

差 平 方 和)をD(pmax,〓),自

とし

由 度 をn-pmax-1と

す る と,「 最 大 モ デ ル を 前 提 に し て 」 散 ら ば り の パ ラ メ ー タ φ を,

(6.39) と 推 定 し て お く.そ うす る と,帰 無 仮 説 の 検 定 統 計 量 は Ｆ 検 定 統 計 量 とな る:

(6.40) つ ま り,こ れ に よ り,分 散 分 析 表 が 構 築 で き る .   一 方,二

項 分 布,Poisson分

布 の 場 合 に はscaled  deviance=devianceで

あ る の で 単 純 に,「devianceの ま り,大

差 と し て 」 尤 度 比 検 定 統 計 量 が 定 義 で き る.つ

き い モ デ ルMpが

正 し い と い う帰 無 仮 説 の 下 で

(6.41) が 成 立 し,モ

デ ルMpか

ら 除 か れ たp-q個

比 検 定 に よ り計 算 で き る.こ   deviance"が

の母 数 の 有 意性 検 定 が 尤 度

れ を 繰 り 返 し 適 用 す る こ と に よ り"analysis  of

で き る の で あ る.

6.6 

 Over-dispersion

正 規 線 形 モ デ ル を 除 くと,確 率 変 数Yiの 分 散 が 期 待 値 の 関 数 と な って い る, 二 項 分 布:V(μ)=μ(1-μ) Poisson分

こ れ は,同

布:V(μ)=μ

じ 説 明 変 数 の 値xiを

同 じ 期 待 値 μi,同 じ分 散V(μi)を い る.現

実 に は,全

もつ 個 体 す べ て が 同 じ確 率 分 布 ,す な わ ち, も つ と い うか な り強 い 条 件 が 課 せ ら れ て

く同 じ 年 齢 ,同 じ 生 活 習 慣 を 有 し て い て も 個 体 差 が あ

り,観 測 ・制 御 不 可 能 な 要 因 に よ り期 待 値 が 変 化 す る.こ

の よ うな 場 合 に

は 観 測 値 の 分 散 が 分 布 で 規 定 さ れ て い る 分 散 よ り大 き くな る.こ over‐dispersionと い い,程

の現 象 を

よ く適 合 し て い る モ デ ル で もdeviance,Pearson

統 計 量 が か な り大 き くな り,有 意 に 適 合 が 悪 い と い う答 え を 出 して し ま う. い ま,二

項 分 布 の 例 で,μiの

個 体 差 が 平 均 μ,分 散 〓2を 有 す る 確 率 変 数 で

あ る とす る と E(yi)=Eμ(E(yi￨μi))=μ

             

(6.42)

(6.43)

と な る.ベ

ー タ 二 項 分 布 は こ の 種 のover‐dispersionを

る た め に 利 用 さ れ る が,一

積 極 的 にモデ ル化 す

般 的 に 適 用 で き る ほ ど の 柔 軟 性 は な い.そ

こ で,

〓2=cμ(1-μ)

とお け ば 式(6.43)は             (6.44)

と 表 現 さ れ る.Poissonモ -likelihood  approach)と

デ ル で も 同 様 で あ る.こ い うつ

ま り， 分 散 関 数 を

V(μ)〓 とす る方 法 で あ る.し

の 方 法 を 疑 似 尤 度 法(quasi

た が って,モ

σ2V(μ)                     (6.45) デ ル を フ ィッ トさ せ た 後 で,残

差 など を

検 討 し て も 系 統 的 な 不 適 合が み られ な い 場 合 に は 式(6.34)のPearson 

χ2適

合度 統計 量 で σ2=X2/(n-p-1) 

と推 定 し,パ

ラ メー タ β の 共 分 散 行 列 を

             

(6.46)

表6.2 

ダ ミー 変 数 の つ く り方 の例

(6.47) と変 更 し,興 味 あ る パ ラ メー タ の 検 定,信

6.7 

頼 区 間 を 計 算 す る.

回 帰 係 数 の解 釈

  従 来 の 線 形 モ デ ル 用 い ら れ る 変 数 は 基 本 的 に は 間 隔 尺 度 で あ る計 量 値,連 続 量 で あ るが,名 義 尺 度,順 序 尺 度 で あ る κ個 の カテ ゴ リー(グ ル ー プ)か な る変 数 を利 用 す る こ とが 多 い.そ の 場 合 に は,ダ な ら な い.そ

の代 表 的 な方 法 の 一 つ が,基

ミー 変 数 を作 成 し な け れ ば

準 カ テゴ リー(reference  category)

を 定 義 し て そ れ に 対 す る 「差 」 を 表 現 す る(κ-1)個 る こ とで あ る.例

え ば,変

基 準 カ テ ゴ リ ー と し,第 す る と,表6.2の

数xjが

ら

の ダ ミー 変 数 を 定 義 す

５ カテ ゴ リー の 場 合,第

１カ テ ゴ リ ー を

２ カ テ ゴ リー 以 降 の ダ ミー 変 数 を(xj2,...,xj5)と

よ う に 作 成 す る こ と に な る.ま

た,合 成 変 量 Ｚ の 中 の 変 数

xiに 対 応 す る部 分 は βjxj⇒

βj2xj2+...+βjKxjK

と変 更 さ れ る こ とに 注 意 し た い.例

え ば,式(6.6)に

おけ る冠 状動 脈 性疾患

の リス ク フ ァ ク タ ー に 関 す る大 規 模 コ ホ ー ト研 究 に お い て,喫 りの 喫 煙 量)の {1:=喫

影 響 を み る た め に.ア

煙 経 験 な し,2:=1箱

リー と し て,喫

よ り 多 い}

の 場 合,｢喫 煙 経 験 な し｣を

煙 の 影 響 を 考 え て み よ う.変 数x1を

は 連 続 変 数 と し て,式(6.6)の

日当た

ン ケ ー ト調 査 に お い て

未 満,3:=1箱,4:=1箱

とい う 質 問 票 が 作 成 され て い る.こ

煙(１

対 数(こ こで は,個

規準 カテゴ

喫 煙 と し て,他

の変 数

人 を表 す 添 え 字 ｉは 繁 雑 に

な る の で 省 略 す る)を と る と, p

=exp(β0+β12x12+β13x13+β14x14+β2x2+…

/1-p

  +βpxp)

                                 (6.48)

と な る.左

辺 は リス ク フ ァ ク タ ー ｘ を も つ 個 体 の 冠 状 動 脈 性 疾 患 を 発 症 す

る 確 率p(x)の

発 症 し な い 確 率1-p(x)に

(incidence odds)で

あ る,そ

対 す る 比,す

な わ ち発 症 オ ッズ

こ で,「喫 煙 経 験 の な い 人 」 の発 症 確 率p(xA)と

「１日 １箱 よ り多 く喫 煙 す る 」人 の 発 症 確 率p(xB)を

比 較 し て み よ う.こ こ に

xA=(0,0,0,x2,x3,...,xp)

xB=(0,0,1,x2,x3,...,xp) で あ る.こ こ で,あ

る 因子 の 効 果 を 比 較 で き る とい うこ とは,他 の リス ク フ ァ

ク ター の 値 が 同 じ と い う条 件 が 必 要 で あ る.そ

こで,そ

の 条 件 の 下 で,そ

れ

ぞ れ の 発症 確率 は

と な り,そ

の 比 を と る と,オ

ッ ズ 比(odds 

と計 算 で き る こ とが わ か る.こ

ratio)が

の オ ッ ズ比 を他 の 変 数(交

た 調 整 オ ッズ 比(adjusted  odds ratio)と よぶ.こ

絡 因 子)を

の よ う に して,疫

お け る ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル の 適 用 結 果 の 解 釈 で は 表6.3の 毎 に 整 理 す る こ とが 多 い. 表6.3 

回帰 係 数 の 解 釈

調整し

学研 究 に

よ うに変数

  一 方,Poisson回

帰 モ デ ル に お い て 同 様 な 計 算 に よ り導 か れ る 指 標 は 相 対

リ ス ク(relative  risk)と

よ ば れ る.

6.8  適 

用

 例

  こ こ で は,２ 種 類 の 適 用 例 を 紹 介 し よ う.   (１)量 反 応 関 係 の ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル    表6.1に

示 す毒 性 デ ー タ

の 量 反 応 曲 線 に ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル を適 用 し て み よ う.表6.1の デ ー タ そ の も の を 利 用 で き るS‐Plusの

「glim関 数 」 を 利 用 し た プ ロ グ ラ ム

は 次 に 示 し た. S‐Plus 

program:図6.1,表6.4,表6.5

xx←c(1.691,1.724,1.755,1.784,1.811,1.837,1.861,1.884) d←c(4,10,19,31,52,53,60,60) n←c(59,60,62,56,63,59,62,60) dose←glim(xx,d,n,error="binofmial",link="logit",resid="Pearson")

図6.1 

表6.1の

頻度

ロ ジ ステ ィッ ク回帰 モデ ル に よ る死 亡 率 の 推 定 値 と観 測 値

表6.4 

表6.5

deviance分

析 表

ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル に よ るPearson残

差

推 定結 果 は log

と な っ た.推

p/

= -64

1-p

.77+36.53x

定 誤 差 はSE(α)=5.51,SE(β)=3.10で

曲 線 は 図6.1に

示 し た.し

あ る.推

た が っ て,LD50はp=1/2つ

定 され た量 反 応

ま り,α+βx=0な

る

xで あ り,ｘ 軸 は 対 数 目 盛 り で あ る こ と に 注 意 し て,x=1064.77/36.53=59.29 と 推 定 さ れ る.ま

た,deviance表

は 表6.4の

と お り で あ る.モ

は 尤 度 比 検 定 で χ2=4.07,df=6,two-tailed 

p=0.66と

デ ル に よ る 推 定 値,Pearson残

示 す.

差 を 表6.5に

デ ルの適 合度

悪 く な い.ま

た,モ

  特 別 に 系 統 的 な 残 差 の パ タ ー ン は 観 察 さ れ な い.   (２)放 射 線 被 曝 従 業 員 の 追 跡 調 査 に お け るPoisson回

帰 モ デ ル    あ るエ

ネ ル ギ ー研 究 所 で の 低 濃 度 放 射 線 の 健 康 影 響 を調 査 す る た め に 実 施 され た 従 業 員7778名

の 追 跡 調 査(1943‐1977)の

た 例 を 紹 介 し よ う.説

解 析 にPoisson回

明 変数 としては

１)x1=累

積 被 曝 線 量(dose):４

２)x2=年

齢(age 

３)x3=暦

年(year 

４)x4=就

業 期 間(employment):４

５)x5=追

跡 期 間(follow‐up):４

at risk):９ at risk):４

カ テ ゴ リー カテ ゴ リー カ テ ゴ リー

カテゴ リー カ テ ゴ リー

帰 モ デ ル を適 用 し

を 取 り 上 げ て い る.標

本 は 全 体 で,最

層 別 され る が,こ

の 場 合 に は390の

(person‐years)Ｎ

を 集 計 し て,期

大4×9×4×4×4=2304個 層 に 層 別 さ れ た.層

の層 に 毎 に 死 亡 数 ｄ,人 年

待 死 亡 数 μ のPoisson回

帰 モデ ル

d∼Poisson(μ)

(6.49) を 適 用 して い る.こ

こ で,d/N=pは

観 測 死 亡 率 で あ る.そ の 結 果 の 一 部 と

し て全 死 因 に 関 す る 解 析 の プ ロセ ス と 累 積 被 曝 線 量 の 第 １カ テ ゴ リー を規 準 と し た 各 線 量 カ テ ゴ リ ー に お け る死 亡 相 対 リ ス クの 推 定 値 を 表6.6に   線 量 だ け を 入 れ た モ デ ル で は,線 向 が み られ,特

量 の 増 大 に つ れ て 相 対 リ ス クの 増 大 の 傾

に ３番 目の 線 量 カ テ ゴ リー で 相 対 リ ス クが1.47を

か し,モ デ ル のdeviance=1699, 

示 す.

df=386で

示 した.し

適 合 度 が き わ め て 悪 い 。他 の 交

絡 因 子 を 説 明 変 数 に 順 々 に 入 れ て い く とモ デ ル の 適 合 度 が 徐 々 に よ くな り, 全 変 数 を 入 れ た 段 階 で はdeviance=369,df=369と 表6.6 

あ るエ ネ ルギ ー研 究 所 の 低 濃 度 放 射 線 被 曝 に 関 す る 追 跡 調 査 の 全 死 因 に 関 す る Poisson回

表6.7 

きわ め て よ くな り,ま

帰 モ デ ル の 適 合 度 と相 対 リ ス ク

あ るエ ネ ル ギ ー 研 究 所 の 低 濃 度 放 射 線 被 曝 に 関 す る追 跡 調 査 の 全 死 因 に 関 す る Poissson回

帰 モ デ ル:各

変数の有意性検定

た,over‐dispersionも

み ら れ な い.そ

の 傾 向 は み ら れ な い.ま で 行 う と,表6.7に

の 結 果,線

た,式(6.41)に

量 の 増 大 と死 亡 との 間 に 正

よる各 変 数の 有 意性 を尤度 比 検 定

示 す ご と く に な る.年

齢 効 果 が は るか に 大 き い こ とが わ

か る.

練 習 問 題 [問 題6.1]正

準 連 結 関 数 を 利 用 す れ ば,最

法 とNewton‐Raphson法 [問 題6.2]一

尤 推 定 に お け るFisherの

ス コア

は 同 じ と な る こ と を 示 せ.

般 化 線 形 モ デ ル で のAIC(Akaike's 

information 

criterion)は

ど の よ う に 定 義 で き る か? [問 題6.3]帰

無仮 説 H0:β1=…=βp=0

の 下 で の 最 大 尤 度 をL(0)と

す る と 、一 般 化 線 形 モ デ ル に お け る ｐ 個 の 説 明

変 数 の 「寄 与 率 」 は

(6.50) と 定 義 で き る.な

ぜ な ら,正

の 寄 与 率 の 定 義 に 一 致 し,一 る.一

規 線 形 モ デ ル で は 式(6.50)は

式(4.46)の

通常

般 化 線 形 モ デ ル へ の 拡 張 と考 え ら れ る か ら で あ

致 す る こ と を 示 せ.

[問 題6.4]式(6.27)を 作 成 し,表6.1に

利 用 し て ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル の プ ロ グ ラ ム を 示 す 毒 性 デ ー タ に 適 用 し,S‐plusの

結 果(表6.4‐5)を

再現

せ よ. [問 題6.5]平

均 値 を μ とす る ガ ン マ 分 布

も ま た 指 数 型 分 布 族 で あ る.式(6.10)の

θ,α(φ),b(θ),c(y,φ)を

求 め よ,

７ ノ ンパ ラ メ ト リ ッ ク 回 帰 モ デ ル

  図7.1は

茨 城 県 龍 ヶ崎 地 方 城 取 清 掃 工 場(以 下,ご

の 中 か ら公 募 で 選 ば れ た 男 性57名

み焼 却 施 設)週 辺 の 住 民

の 血 液 中の ダ イ オ キ シ ン 濃 度(pg‐TEQ/g

脂 肪)と 住 民 の 居 住 地 の 焼 却 施 設 か ら の 距 離 との 関 係 で あ る.血

中濃度 は焼

却 施 設 周 辺 に 高 い と い え るだ ろ うか?

図7.1 

茨 城 県 龍 ヶ崎 地 方 城 取 清掃 工 場 週 辺 の 住 民(男 性)57名 の 血 液 中の ダ イ オ キ シ ン濃 度(pg‐TEQ/g脂 肪)と 焼 却 施 設 か ら の 距 離 との 関 係 で あ る

7.1 

まず,手

基 本 的 ア イデ ア

元 に あ る デ ー タが (yi,xi),i=1,...,n 

         

で あ る と し,ｙ の 変 動 を ｘで 説 明 し た い 状 況 を考 え る.さ

(7.1)

ら に,神 様 だ けが

ご 存知 の モ デルが y=s(x)+〓, 

E(〓)=0,Var(〓)=σ2e 

と 表 現 で き る 場 合 を 考 え る.こ る.未

こ でs(･)は

     

未 知の真 の

(7.2)

「滑 ら か な 」 関 数 で あ

知 の 関 数 を パ ラ メ ト リ ッ ク に 仮 定 せ ず,「 滑 ら か さ 」 だ け を 仮 定 し て,

デ ー タ 自 身 に 語 ら せ よ う と い う の がnonparametric回 で あ り,そ

の 推 定 値 ｓ をsmootherと

age,running 

mean)が

い う.い

わ ゆ る 移 動 平 均(moving 

そ の た め の 最 も 基 本 的 な 方 法 で あ り,い

済 の 時 系 列 デ ー タ の 処 理 に よ く利 用 さ れ て い る.そ 幅 ｈ の 窓(window)の

帰 モ デ ル(smoothing)

れ は,点

aver

ま で も よ く経

ｘ を 中心 と して

中 に 入 る デ ー タ の 平 均 値 を 利 用 し た 方 法 で,

κ(xi-x￨h)= 0,そ の他 {1,xi〓[x-h,x+h]

                 (7.3)

と お い た と き,

(7.4) で 表 現 で き る.な ぜ な ら ば,

(7.5) はwindow[x-h,x+h]の

中 に 入 る デ ー タ の 数 で あ る か ら で あ る.式(7.4)

の 平 均 と い う 操 作 を 「中 央 値 」 に 置 き 換 え れ ば,移  

median)と

な り,平

均 値 よ りrobustなsmootherと

動 メ デ ィ ア ン(running な る が,等

れ て い る よ う な デ ー タ 以 外 に は あ ま り 有 用 で は な い の で,こ 象 外 と す る.

間隔で測 定 さ こで は議 論 の 対

7.2 

式(7.3)を,よ

局 所 重 み 付 き 平 均 ―kernel 

smoother

り広 い 範 囲 の 関 数 に拡 張 して,改

めて 重み 関数 を

(7.6) と お く と,

(7.7) と な る か ら,

(7.8) で 定 義 さ れ た 局 所 重 み 付 き 平 均(locally  weighted  (kernel)に

も つkernel 

メ ー タ と よ ぶ.一

smootherと

般 に,ｈ

幅(width)を

  behaviour)」

核

数 の ｈ をsmoothingパ

ラ

よ うに か な らず し も利 用 す るデ ー タの

意 味 し な い,し

表 す の でbandwidthと

数 で はwindow内

い う. Kernel関

は 式(7.3)の

範 囲 を 定 義 す るwindowを

average)を,た(z￨h)を

か し,そ

よ ば れ る.さ

れ に 似 た 範 囲(band)の て,式(7.3)のkernel関

の デ ー タ の 重 み は 等 し く設 定 さ れ て い る が,「 局 所 性(local を 考 え れ ば,  ｘ の 近 くは 重 み を 大 き く し,遠

重 み を 小 さ くす る 方 法 が 自 然 で あ る.kernel関

くに い くに 従 っ て

数 に 要 求 さ れ る 主 な性 質 を ま

とめ る と

と な る.中

で も,平

均 ０,分 散h2の

正 規分 布

(7.9) は 代 表 的 で あ る.   図7.2に

は,図7.1の

デ ー タ(変

設 か ら の 距 離 をdistance)に

数 名:ダ

対 し て,式(7.9)の

イ オ キ シ ン 濃 度 をdiox,焼

却 施

正 規 分 布 をkernel関

数 と

図7.2 

bandwidth 

ｈ を1.0(0.5)5.0と

変 化 さ せ て い っ た と き のkernel 

smootherの

推 定 値 の 変 化

し て,bandwidth   smootherを

ｈ を1.0(0.5)5.0と

変 化 さ せ て い っ た と き の 九 つ のkernel

重 ね て 描 い た も の で あ る.

S‐Plus  program:図7.2

for(i  in 2:10){

lines(ksｍooth(distance,diox,kernel=”normal”,

bandwidth=i*0.5),lty=l,col=i）

}   デ ー タが 粗(sparse)な

と こ ろ(3km付

近)は,  bandwidthの

変 化 して い る のが 理 解 で き よ う.bandwidthの 凸 な 曲線 を 描 い て い る.図7.2か

ら の 全 体 の 印 象 と して は,血

キ シ ン 濃 度 が 焼 却 施 設 付 近 か ら わ ず か に 減 衰 曲 線(直 れ た 地 点 で は だ い た い1pg‐TEQ/(ｇ

値 で大 き く

値 が 小 さい ほ ど,大

線)を

脂 肪)か ら1.5pg‐TEQ/(ｇ

き く下 に

液 中 の ダ イオ 描 き,7km離 脂 肪)程 度 低

下 して い る と解 釈 で き よ う.   次 に,式(7.8)を

各 デ ー タ ポ イ ン トxjで

考 える と

(7.10) つ ま り,ベ ク トル ・行 列 で 表 現 す る と y=s=Sy  と な る.こ は,デ

の 表 現 の 意 味 は 重 要 で あ る,な

ー タy=(y1,...,yn)tの

                (7.11) ぜ な ら,後

述 す る す べ て のsmoother

変 換 Ｓ と し て 定 義 で き るか らで あ る ． 一 般

線形 モ デ ル

y=Xβ+〓

に おけ る推 定 量は

y=X(XtX)-1Xty=Hy とハ ッ ト行 列 で 変 換 さ れ,そ

の 自由度 は

tr(H)=p+1,ｙ で あ っ た.つ

ま り,smootherの

切 片 を 含 む モ デ ル           (7.12) 自 由度 も

smootherのdf=tr(S) 

で 定 義 で き る.例

え ば,smootherの

               (7.13)

自 由 度 が ほ ぼ ２に 等 し け れ ば そ れ は ほ

ぼ 直 線 と な っ て い る こ と が わ か る.

7.3  局 所 重 み 付 き線 形 回 帰 ―loess

  式(7.8)の た次 の

局 所 重 み 付 き 平 均smootherに

「局 所 重 み 付 き 線 形 回 帰(locally 

比 べ る と も う少 々 回 帰 を 意 識 し weighted 

linear  regression)」

型 の

smoother

(7.14) も 自 然 で あ る.つ

ま り,

(7.15)

で 与 え られ る.こ

こで

で あ る.な

のsmootherは,式(7.8)の

お,こ

が 上 の 回 帰 モ デ ル で β(xi-x)の

局 所 重 み 付 き平 均 のsmoother

項 を 除 い た 回帰 モ デ ル の 解 と一 致 す る と い

う意 味 で 拡 張 と な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.kernel関 もの が 考 え られ る.ま た,式(7.14)の

数は前 節 と同様 な

式 を考 え る こ とが 可 能 で あ るが,多

回帰 モ デ ル を 二 次,三 くの 場 合,そ

次 と高 次 の 多 項

の メ リ ッ トは 少 な く線 形 回

帰 で 十 分 で あ る.   さ て,Cleveland(1979)は

こ のsmootherの

し た.最

ど と よ ば れ て い るsmootherで

近,lowess,loessな

１)デ

ー タxjに

一 つ と し て 次 の モ デ ル を 提 案

近 い デ ー タ の う ち,κ

番 目 ま で の デ ー タ の 集 合(k 

neighbors)をNp(xj),j=1,...,ｎ と よ ば れ,こ

と す る.こ

のsmootherのsmoothingパ

２)kernel関

数 のbandwidth 

３)kernel関

数

hの

あ る. nearest

こ で,p=κ/nはspan

ラ メ ー タ で あ る. 定 義

(7.16) loessの

特 徴 は,局

所 重 み 付 き 線 形 回 帰 に 寄 与 す る(正

タ の 割 合 を 示 すspanがsmoothingの た め ，bandwidth 

hを

指 定 す る よ り,理

離 だ け で は な く,残

る 工 夫 で あ る.そ   図7.3に

ー

程 度 を 表 現 す るパ ラ メ ー タ と して い る 解 し や す い,ま

は 記 述 し て い な い 異 常 値 に 影 響 さ れ に く いrobustな つ ま り,距

の 重 み を も つ)デ

た,「loess」 に は 上 に

方 法 も 導 入 さ れ て い る.

差 の 大 き い デ ー タ に 対 し て は 重 み を 小 さ くす

の 詳 細 は 原 文 を 参 照 し た い.

は,図7.1の

デ ー タ に 対 し て,span 

い っ た と き の 九 つ のloessを

ｐ を0.2(0.1)1.0と

重 ね て 描 い た も の で あ る.

変 化 させ て

図7.3 

span  pを0.2(0.1)1.0と

変 化 さ せ て い っ た と き のloessの

推 定 値 の 変 化

S‐Plus  program:図7.3

for(i  in 2:10){

lines(loess.smoosth(distance,diox,span=i/10,col=i))

}

  全 体 と し て の 推 定 値 は,kernel  や は り,デ

ー タ が 粗(sparse)な

る に 従 っ て,推

7.4 

  明 確 にkernel関 smootherと

smootherと と こ ろ(3km付

さ ほ ど 違 い は な い よ う で あ る. 近)は,spanの

値が 変化 す

定 値 も 同 様 な 変 化 を し て い る.

ス プ ラ イ ン 関 数 の 利 用 ―smoothing 

数 を 指 定 し て い る わ け で は な い が,近

同 じ よ う な 局 所 的 性 質 を も つ も の にsmoothing 

splines

似 的 にkernel型 splinesと

の

よばれ

るsmootherが

あ る.そ

れ は,三

次 の ス プ ラ イ ン 関 数s(x)を

利 用 して

(7.17) を 最 小 に す るs(x)で   まず,ス

あ る.

プ ラ イ ン 関 数 と は,二

を 含 む あ る 区 間a＜t1＜

…

を 通 る 滑 ら か なpiecewise多 を 補 間(interpolation)す

次 元 の 問 題 で い え ば,ｘ

＜tκ ＜bで,観

測 値 の ペ ア(tj,zj),j=1,...κ

項 式 関 数 で あ り,区 る た め に 使 わ れ る.そ

１)任 意 の 区 間(tj,tj+1)で

は,s(x)は

軸 上 の デ ー タ点 列

間 上 の 任 意 の 点 ｘ の 値z(x) れ は 次 の 性 質 を も っ て い る.

γ 次 の 多 項 式 で あ る,

２)s(x)は(γ-2)次

ま で の 連 続 な 導 関 数 を も つ,

３)s(x)の(γ-1)次

導 関 数 は,点t1,...,tκ

でjumpを

もつ ス テ ップ 関

数 で あ る.

  実 際 の 応 用 で は 三 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 を利 用 す る こ とが 多 い の で,cubic splineと よば れ,次

の 多 項 式 の 形 で 表 現 で き る:

(7.18) こ こ で,()+は()内

が 正 の 部 分 だ け を 表 し,点

い う.も

こ で 推 定 す る ス プ ラ イ ン 関 数 は デ ー タ の 補 間 で は な く,

ち ろ ん,こ

式(7.17)の

関 数 を 最 小 に す る デ ー タ のsmoothingで

正 のsmoothing  span,に

parameterで

penalty)で

次 微 分=0)と

な り,変

数 で あ る.こ

の 意 味 で,Ｐ

sum  of squares)と   さ て,こ

数 Ｐ の λは

２項 は 「滑 ら か で な い 関 数s(x)」 あ り,最

へ の ペ

も 滑 ら か な 「直 線 」 の 場 合 に ０(二

動 の 激 し い 曲 線 に な る ほ ど大 き くな る ペ ナ ル テ ィ関 は ペ ナ ル テ ィ付 き 残 差 平 方 和(penalized 

residual

よ ば れ る.

の ペ ナ ル テ ィ付 き 残 差 平 方 和 を 最 小 に す る ス プ ラ イ ン 関 数 は 一 意

に 決 ま り,デ …

あ る.関

を 節(knots)と

あ りkernel  smootherのbandwidth,loessの

相 当 す る も の で あ る.第

ナ ル テ ィ(roughness 

(x(1)＜

列t1,...tκ

ー タ ポ イ ン ト(x1,...,xn)を

＜x(m))を

小 さい順 に並べ た相 異 な るデ ー タ

節 と し たcubic  splineと

な る こ と が 導 か れ る:

(7.19) も し,λ=0と

す れ ば,第

１項 の 残 差 平 方 和 の 最 小 化 の 問 題 とな り,ｘ の デ ー

タが す べ て 異 な れ ば ス プ ラ イ ン 関 数 の 性 質 か ら,す べ て の 点 を 通 るデ ー タ補 間 に 対 応 し,す べ て の 点 の 残 差 は ０ とな っ て し ま う.逆 に λ→ ∞ と す る と, 第 ２項 が き わ め て 小 さ くな り,そ の結 果,smootherは

直 線 と な っ て し ま う.

し た が っ て,λ の 値 に よ り,「適 合 度 と 滑 ら か さ」 の バ ラ ン ス を 図 っ て い る と 考 え る こ とが で き る.   さて,実

際 の 推 定 に あ た っ て は 式(7.19)の

多 項 式 表 現 は デ ー タに よ って は

き わ め て 大 き な 値 とな る 可 能 性 が あ り,そ れ を 避 け る た め に,パ 数 に 相 当 す る(m+2)個(両 る)の

方 の 端 の境 界 条 件 の た めm+4か

Ｂ ス プ ラ イ ン 関 数 を 基 底(base)と

ラ メー タの

ら二 つ 減 少 す

した

(7.20) とい う形 式 で 表 現 す る と計 算 が 容 易 と な る.Ｂ テ キ ス ト を 参 照 され た い(例,Boor.1978).そ Bij=Bj(x(i)):n×(m+2)行

スプ ラ イ ン 関 数 の 詳 細 は 他 の うす る と,

列              

(7.21)

(7.22) と お く と,ペ

ナ ル テ ィ付 き残 差 平 方 和 は P=(y-Bθ)t(y-Bθ)+λ

θtΩθ  

       (7.23)

と表 現 で き る ： し た が っ て,θ で の 微 分 を ０ とお い て (BtB+λ と な る.こ

の 推 定 値 θ を 式(7,20)に

  図7.4に

は,図7.1の

を2(0.5)6と も の で あ る.こ

Ω)θ=Bty 代 入 す る こ と に よ りs(x)が

デ ー タ に 対 し て,λ

の 値 で は な く,自

変 化 さ せ て 推 定 し た 九 つ のsmoothing  こ で,smoothingパ

(7.24)

由 度df=tr(S)

splinesを

ラ メ ー タ で あ る λ の 値 は,ど

を 動 か せ ば よ い か は 一 般 に わ か ら な い の で,S‐Plusに

推 定 さ れ る.

重ね て描 いた の値 の範 囲

は 自由度 で指 定 で き

図7.4 

自 由 度df=tr(S)を2(0.5)6と

変 化 さ せ た と き のsmoothing 

splinesの

推 定

値 の 変化

る 機 能 が 備 わ っ て い る.自

由 度 ２の 場 合 に は 回帰 直 線 を意 味 す る こ とは 既 述

し た, S‐Plus program：

図7.4

for(iin4:12){ lines(smoo.spline(distance,diox,df=i/2）1ty=1col=i)

全 体 と し て,κernel  い る.

smoother,loessと

類 似 の 推 定値 のパ ター ン を示 して

7.5 

Smootherの

こ れ ま で,解

バ ラ ツ キ とSmoothingパ

ラ メー タ

説 し て き たsmootherは

y=s=Sy  と表 現 で き る.こ

の 場 合 に は,そ

               (7.25)

の分散 が

Var(S)=SStσ2e

と 計 算 で き る.ま

た,誤

(7.26)

差 分 散 σ2eは

(7.27) と推 定 で き る の で,ポ け れ ば,近   さ ら に,３

イ ン トワ イズ の 推 定 誤 差,ま

の バ イ ア スが 小 さ

似 的 な 信 頼 区 間 な ど の 計 算 が で き る. 章 で 述 べ たbootstrapを

利 用 す る と,smootherの

子 が 実 際 に 推 測 で き る の で 便 利 で あ る.つ 「残 差 」 をbootstrapす

よ るsmoother

１)残 差〓i=yi-s(Xi)を ２)残 差 を 平 均0に

の よ う に な る.

s のバ ラツキ の推 定

計 算 す る.

ら のbootstrap

sampleを(〓*1,...,〓*n)と

お く. し て, y*i=

お く.

４)(xi,y*i),i=1,...,nをsmoother

推 定 値s*(xi)を ５)Step3)-4)を

  図7.5にloess(span=0.7)の や は り,わ

バ ラ ツキ の様

の ア ル ゴ リズ ム は 回帰 の

左 規 化 し て〓i=〓i-Σi〓i/nど

３)(〓l,...,〓n)か s(xi)+〓*1と

ま り,そ

る こ と に 注 意 す れ ば,次

bootstrapに

200)．

た,ｓ

求 め,プ

s でsmoothingし

てbootstrap

ロ ヅ トす る.

Ｂ 回繰 り返 す.

変 動 幅 のbootstrap推

定 値 を 示 し た(B=

ず か な が ら 距 離 減 衰 し て い る パ タ ー ン に は 変 わ り は な い.

図7.5 

loess(span=0.7)のbootstrap変

動 幅(B=200)

S‐Plus  program:図7.5

dd＜-loess.smooth(distance,diox,span=0.7) h＜-approx（dd$x，dd$y,distance)

lines(dd,lty=1,col=2) r＜-diox-h$y r＜-r-mean(r)

for(i  in  1:B)｛ lines (loess.smooth(distance,h$y+sample(r,replace=Ｔ)),lty=4)

｝   次 に,smoothingの

程 度 を ど の 程 度 にす べ きか と い うsmoothingパ

タの 選 択 の 問 題 は ま じめ に 考 え 出 す と,簡 単 な こ とで は な い が,通 モ デ ル の 評 価 法 と 同 様 に,バ

ラメー 常 の線形

イ ア ス と精 度 を考 慮 し た 平 均 ２乗 誤 差(mean

squaxe 

erxor)

(7.28) を 最 小 に す る の が 好 ま し い モ デ ル と考 え る こ とが で き る.こ

れ は,

(7.29) と 分 散 と バ イ ア ス の 項 に 分 解 で き る.こ も つsmootherに

こ で,κernel型

の 重 み 関 数 ω(・)を

つ い て 期 待 値 と 分 散 を 考 え る と,近

似 的に

(7.30) (7.31) と な る(Bowman 

and  Azzalini,1997). 

で あ り,ま

こ で はsmoothingパ

た,こ

れ か ら,smoothingパ

は ｘの未 知の密 度 関数

ラ メ ー タ を ん で 代 表 さ せ て い る.こ

ラ メ ー タ を 大 き くす る と バ イ ア ス が 増 加 し,分

少 し,smoothingパ き よ う.し

dense(x)と

散が 減

ラ メ ー タ を 小 さ くす る と 逆 の 現 象 が 生 じ る こ と が 理 解 で

た が っ て,バ

イ ア ス と 分 散 の バ ラ ン ス を 図 る 必 要 が あ る.こ

的 の た め に 一 般 に よ く 利 用 さ れ る 規 準 は,MSEの バ リデ ー シ ョ ン(CV)平

の 目

推 定 量 と して の ク ロ ス ・

方 和 の 最 小 化 で あ る:smoothingパ

ラ メ ー タ を んで

代 表 さ せ る と,

(7.32) で あ る.こ

こ に,S−i(xi)は,１

組 の デ ー タ(xi,yi)を

の デ ー タ で 推 定 し た ｓ に 基 づ くyiの ル と 違 っ て,S−i(Xi)は(n−1)個 題 と な る の で,ｎ

推 定 値 で あ る.し

除 い た 残 り(n−1)個 か し,一

般線 形 モデ

の デ ー タか ら他 の デ ー タポ イ ン トの 推 定 問

個 の デ ー タ の 関 数 と し て 導 か れ た ｓ と 異 な り,一

定 義 の 関 数 で あ る.一

つ の 自 然 な 考 え 方 は,ち

ょ う ど(xi,yi)へ

般 には未 の 重 みSii

に 相 当 す る 部 分 を0に

し,そ

の 分 だ け 残 り の 重 みSij,j=1,...,nを

引 き

上 げ た ｓ に よ る 推 定 値 と 定 義 す る こ と で あ る.

(7.33) し た が って,線

形 モ デ ル と 同様 にCVの

計 算 が わ ざ わ ざ 「除 去 」 の 計 算 を 繰

り返 す こ と な く,１ 回 の 計 算 で

(7.34) と 計 算 で き る.も

ち ろ ん,smoothingパ

ラ メー タ んを 変 化 させ て 最 小 と な る

ん*を 選 ぶ.  S‐Plusに

はsmoothing 

を 選 択 で き る(自 て み た の が 図7.6で のsmootherを

splinesに

だ け,CV規

準 でsmoothingパ

由 度 や λ の 指 定 を し な い 標 準 オ プ シ ョ ン)の あ る.ほ

ぼ,直

比 較 す る た め に,代

図7.6 

線 が 選 ば れ て い る.さ 表 的 なsmoothingパ

CV  規 準 で 推 定 し たsmoothing 

splines推

て,こ

ラ メー タ で,実 こ で,三

行 し つ

ラ メー タの 値 を選 ん

定値

図7.7 

で 比 較 し た の が 図7.7で と,kernel  る.こ

smoother,smoothing 

れ は,loessに

はrobustで 近 で20pgを

あ る.傾

三 つ のsmootherの

比 較

向 は 大 差 な い が,絶 splineが

約 １pg程

は 飛 び 離 れ た 値 にrobustで

対 値 がloessに

比べ る

度 高 い 値 を 維 持 して い

あ る の に 対 し て,他

な い こ と を 示 し て い る 可 能 性 が 高 い.事

実,１km付

の二 つ

近 と ６km付

越 え た 比 較 的 飛 び 離 れ た デ ー タ が 存 在 し て い る こ と と,対

換 後 の デ ー タ に 適 用 し た 結 果,こ

数 変

れ ほ ど の 差 は み ら れ な か っ た こ と か ら,そ

の 可 能 性 が 高 い と い え る.

7.6  一般 化 加 法 モデ ル―GAM

こ こで は,こ

れ まで のx-yの

関係 に影 響 を与 え る共変 量が あ る場 合

(yi;x1i,x2i,...,xpi),i=1,...,n を考 え よ う.図7.1の

例 で は,血

中 ダ イオ キ シ ン濃 度 に 関 連 が 大 きい と考 え

られ る年 齢(age),曝

露 年 数(施

設 が 稼 動 し て か らの 居 住 年 数)の

二 つ を取

り上 げ る.例

え ば,次

の一 般線 形 モデ ル

yi=β0+β1x1i+β2x2i+〓i,i=1,...,n 

 

(7.35)

に お い て,も し線 形 性 「β1x1」 が 疑 わ しけ れ ば,二 次,三 次 の 多 項 式(例 え ば, β12x21)を 追 加 し た り,ま た は 非 線 形 の 項 に 変 形(例 し た り試 行 錯 誤 を 繰 り返 す こ と に な る.こ

え ば,β11exp(β12x1))

の よ うなパ ラ メ トリ ックな アプ

ロ ー チ は 結 構 大 変 で か つ 不 満 足 な 結 果 に 終 わ る こ と も少 な くな い .こ の 未 知 の 「関 数 」 を デ ー タ 自 身 に 語 らせ る,つ

ま り,smootherを

利用 した ノンパ

ラ メ トリック回帰 モデ ル yi=β0+s1(x1i)+s2(x2i)+〓i,i=1,...,n 

がFriedman  提 案,開

(7.36)

and  Stuetzle(1981),Hastie  発 さ れ た.こ

and  Tibshirani(1990)ら

こ で,各smootherが

に よ っ て

一 意 解 を 得 る た め に

    (7.37)

の 条 件 が あ る.こ の 条 件 は,分 散 分 析 に お け る各 要 因 効 果 の 一意 解 の た め に , パ ラ メ ー タ に 課 せ ら れ た 条 件 と 同 一 で あ る .た だ,そ sj(ｘ)に 適 用 す るsmootherは

な ん で も よい し,変 数 毎 に 変 え て もか ま わ な

い.さ

て,推

次,残

差 に フ ィッ ト させ る 」 と い う こ とで あ る.

１)ま ず,各

れぞ れ の変 数 の 関数

定 の 基 本 的 な 考 え 方 は,additive  modelの

変 数 の 一 意 解 の 条 件 式(7.37)を

特 徴 を 利 用 し て 「順

生 か す た め に,定

数 項 βοの

推 定 値 は 全 平 均 ｙ とす る. ２)次

に,残

差

「y-y」

に 変 数x1を

フ ィッ ト さ せ る,つ

ま り,smoother

の行 列で 表現 す ると

s1(x)=S1(y-y) ３)次

に,残

差

「y-y-s1」

に 変 数x2を s2(x)=S2(y-y-s1) 

４)同 様 に し て,s1が

              (7.38)

更 新 さ れ る. s1(x)=S1(y-y-s2) 

５)３),４)を

フ ィッ ト さ せ る.

収 束 す る ま で 繰 り返 す.

                 (7.39)

こ の 方 式 は 「backfitting」 ア ル ゴ リズ ム と よば れ て い る.こ

の方 法は 一般 の

回帰 モ デ ル に 容 易 に 拡 張 で き る.

(7.40) つ ま り,

(7.41) を 繰 り返 せ ば よ い.た

だ,理

リズ ム の 「収 束 条 件,そ ま た,こ

のbackfittingア

smoothingパ

論 的 に は,３ 変 数 以 上 に な る と,こ

の 性 質 」 な ど に 関 し て は ま だ よ くわ か って い な い. ル ゴ リ ズ ム を 利 用 す る に し て も,各smootherの

ラ メ ー タ の 選 択 は 別 の 問 題 で あ る.例

え ば,各

ス バ リデ ー シ ョ ン を 適 用 し て 自動 選 択 は 可 能 で あ るが,計 な る 可 能 性 が 高 い.し

たが っ て,視

量 毎 の 回 帰 モ デ ル にCVを

の アル ゴ

ス テ ップ で ク ロ

算時 間が ネ ックと

覚 的 判 断 に よ って 主 観 的 に 選 ぶ か,１ 変

適 用 し て 得 ら れ たsmoothingパ

ラ メ ー タ を参 考

に す る こ とが 考 え られ よ う.   次 に,通

常 の 線 形 モ デ ル と 同様 に,ノ

て も各 変 数 の 有 意 性 の 検 討 は,近

ン パ ラ メ ト リ ッ ク回 帰 モ デ ル に お い

似 的 で は あ る も の の,残

差平 方和

(7.42) を 規 準 に す る こ とが 可 能 で あ る.つ

ま り,

１)最 大 モ デ ル で の 残 差 平 方 和 をRSS1,自 ２)最 大 モ デ ル か ら変 数xjを

由 度 をdf1,

除 い た モ デ ル の 残 差 平 方 和 をRSS2,自

由

度 をdf2,

とす る と,誤 差の 正規 性 の下 に導か れ る Ｆ 検 定統 計量

(7.43) に よ る 「近 似 的 」 な 推 論 が 可 能 で あ る.こ

こ で,変

の 組 み 合 せ に よ っ て 変 化 す る もの の 式(7.27)よ

り

数 ｊの 自由 度 は,共

変量

tr(2Sj-SjStj) と な る の で,残

差 平 方 和 の 自 由度 は

(7.44) と な る.さ

ら に,現 実 の 解 析 で は 「線 形 性 」 を 満 た す 変 数 もあ る わ け で,そ

の よ う な 変 数 ま で も ノ ンパ ラ メ ト リ ッ ク に 推 測 す る こ とは い た ず ら に推 定 精 度 と 検 出 力 を 落 とす こ と に な る ． し たが っ て,よ

り興 味 あ る モ デ ル は

(7.45) と い う セ ミ パ ラ メ ト リ ッ ク(semi‐parametric)モ 数xjが

「線 形 」 が 良 い か

１)変 数xjは

デ ル で あ る.こ

の 場 合,変

「曲 線 ｓ(xj)」 が 良 い か に つ い て も,

曲 線 「s(x)」 を仮 定 し た モ デ ル で の 残 差 平 方 和 をRSS1,自

由 度 をdf1, ２)変 数xjは

線 形 「βjxj」 を 仮 定 した モ デ ル で の 残 差 平 方 和 をRSS2,自

由 度 をdf2, とす る と,式(7.43)と

同様 の Ｆ 検 定 を利 用 し た 推 論 が 可 能 で あ る.こ

df2-df1は

項 をsmootherか

変 数xjの

こ で,

ら線 形 に 変 え た こ と に よ る 残 差 平 方

和 の 自 由 度 の 増 加 分 に 等 しい.   本 章 で は 正 規 線 形 モ デ ル の 枠 組 み の 下 で,smoother,ノ 回 帰 モ デ ル を 解 説 し た が,全 え ば,ロ

ンパ ラ メ ト リ ッ ク

く 同 様 の 展 開 が 一 般 化 線 形 モ デ ル(GLIM),例

ジ ス テ ィ ッ ク 回 帰 モ デ ル,Poisson回

ド モ デ ル な ど に 対 し て も 可 能 で あ る.加

帰 モ デ ル,Coxの

比 例 ハザ ー

法 モ デ ル を 一 般 化 線 形 モ デ ル に拡 張

し た モ デ ル を 特 に 一 般 化 加 法 モ デ ル(GAM,generalized 

additive  model)と

よ ん で い る.

  さ て,図7.1の

デ ー タ に 戻 ろ う.血 液 中 の ダ イオ キ シ ン濃 度(pg‐TEQ/g脂

肪)に 関 連 が 大 きい 項 目 と し て,年 住 年 数)の

齢 と 曝 露 年 数(施

設 が 稼 動 し て か らの 居

二 つ の 変 数 を 加 え て 解 析 して み よ う(変 数 名:年

年 数=expyear).そ

れ ぞ れ の 散 布 図 は 図7,8に

は 正 の 相 関が あ りそ うで あ る.一 方,曝

齢=age,曝

示 す と お りで あ る.年

露 齢と

露 年 数に 関 しては調 査対 象 と選ばれ

図7.8  年 齢,曝

露 年 数 とダ イオ キ シ ン濃 度 との 相 関

た 住 民 が 焼 却 施 設 が 稼 動 す る前(27年 と な って い る た め,あ

前)か ら住 ん で い た た め,ほ

ま り明確 な 関 連 が 観 察 され て い な い.い

こ の 二 つ の 共 変 量 を調 整 す る た め の 第 １段 階 と して,ま し て み る と 表7.1に

とん ど27

ず れ に して も

ず線 形 モデ ルで解 析

示 す 結 果 が 得 られ た.

S‐Plus prograｍ:表7.1

model←glｍ(diox∼age+expyear+distance) summary(ｍodel)

  年 齢 と は 有 意 な 関 連 が 認 め ら れ た が,距 意 で は な い.次 た 結 果 を 表7.2に

離 と 負 の 関 連 が 認 め ら れ る が,有

に ノ ン パ ラ メ ト リ ッ ク 回 帰 モ デ ル(additive  示 す.い

ず れ も,loessを

使 用 し,span=0.7と

model)を

適用 し 設 定 し た.

表7.1 

血 液 中 の ダ イオ キ シ ン濃 度 と ご み焼 却 施 設 か ら の 距 離:線

RSS=561.285, 

表7.2 

形モデルでの 解析

df=53,σ2e=10.59

血 液 中の ダ イオキ シ ン濃 度 とごみ 焼 却施 設 か らの 距離:ノ ラ メ トリ ック 回帰モ デ ルGAMで

RSS=525.863, 

df=47.505. 

ンパ

の 解析

σ2e=11.0697

い ず れ の 変 数 も 「非 線 形 部 分 」(Npar  Df,Npar  Ｆ,Pr(Ｆ))は こ こ で は そ れ ぞ れ のsmootherに

有 意 で な いが,

よ る推 定 値 を 考 え よ う.図7.9に,そ

れぞ

れ の 変 数 の 他 の 変 数 を 調 整 し たsmootherの

推 定 値 と推 定 誤 差 を示 す.こ

で,特

あ る.も

に 興 味 深 い の は,距

離 のsmootherで

ち ろ ん,有

こ

意で は な い

もの の,焼 却 施 設 付 近 が わ ず か に 高 く,徐 々 に 減 少 し,２ ∼３km以

降は ほぼ

直 線 とな っ て い る 点 で あ る.

S‐Plus program:表7.2 

m odel←gaｍ

図7.8

（diox∼lo(age,span=0.7)+lo(expyear,span=0.7

) +lo(distance,span=0.7))

plot(ｍodel,se=T）

練習問題 [問 題7.1]式(7.25)で

表 現 で き るsmootherSは

そ の よ う に 表 現 で き な い も の は 非 線 形smootherと ン(running  [問 題7.2]一

median)は

線 形smootherと い わ れ る.移

い わ れ る. 動 メデ ィ ア

線 形 か 非 線 形 か?

つ の 局 所 重 み 付 き 線 形smootherが

式(7.15)で

与 え られ る こ

図7.9 

年 齢,曝

露 年数,距

離 それ ぞ れ に,他

の 変 数 を 調 整 したsmootherの

推 定値 と

推定誤 差

と を 示 せ.

[問題7.3]式(7.18)の

多項式 が そ の上 の三 つ の性 質 を満足 す る こ とを証 明

せ よ. [問 題7.4]Taylor展

開 の 一 次 近 似 を 利 用 し て,式(7.30),(7.31)を

[問 題7.5]式(7.33)で  smoother,smoothing 

新 し く 定 義 し たs-i(xi)は,式(7.6)の splinesで

は,線

導 出 せ よ. 型 のkernel

形 回 帰 モ デ ル と 同 様 に,smoother自

体 の 定 義 か ら 導 か れ る こ と を 示 せ. [問 題7.6]式(7.27)を [問 題7.7]線

線 形 回 帰 モ デ ル で の 式(4.17)のanalogyか

形smootherの

自 由 度 を 式(7.13)でtr(S)と

れ 以 外 に も 二 つ の 自 由 度,tr(2S-SSt)(式(7.27)の の た め の 自 由 度)とtr(SSt)(式(7.29)の が 定 義 さ れ て い る.も

し,Ｓ

ら 導 け. 定 義 し た が,こ

意味 で 、残差 平 方和 意 味 で,分

が 対 称 行 列 で あ れ ば,線

散 の た め の 自 由 度), 形 回帰モ デ ルの ように

こ れ ら の 三 つ は 一 致 す る こ と を 示 せ.

８ イベ ン ト発 生 まで の 時 間 の長 さ に 関す るモデ ル

  が ん の 臨 床 に お け る 治 療 効 果 の 判 定 の 物 差 し と し て,治 療 後 か ら死 亡 ま で の 時 間 の 長 さ,つ

ま り,生 存 時 間,を 評 価 す る こ とが 多 い.し

間 の 大 小 を 単 純 に 比 較 す る こ と は で きな い.な

か し,生 存 時

ぜ な ら,図8.1,図8.2に

図8.1  臨 床 試験 に お け る登 録 され た 患 者 の 動 向

図8.2 

図8.1の

５ 名 の 患 者 の 追 跡期 間 の 長 さ と追 跡 終 了 時 点 で の 患 者 の転 帰

示

表8.1 

す よ うに,治

療 中 止,転

肝 硬 変 患 者 に 対 す る 臨床 試 験 デ ー タ

院 な ど で 追 跡 不 能 が 生 じ た り,研 究 の 終 了 時 点 で は

多 くの 対 象 患 者 が 生 存 す る な ど の 理 由 か ら 死 亡 時 点 の デ ー タが 入 手 で きな い こ とが 当 然 起 こ り得 る か ら で あ る.例 こ とが 確 認 され て い るが,そ カ 月 」 とは で きな い.正

え ば,「３年 ２カ 月 ま で は 生 存 して い た

の 後 は 不 明 」 で あ る 場 合,生

存 時 間 は 「３年 ２

し くは 「３年 ２ カ 月 以 上 」 で あ り,こ の よ う な 状 況

を 「打 ち切 りが 生 じ た(censoring)」,こ

の よ うな デ ー タ を 「打 ち 切 りデ ー

タ 」(censored  data)と

い い,表8.1の

よ うに 整 理 され る.し

ち切 りデ ー タが あ る以 上,「死 亡 ま で の 時 間 の 長 さ の 平 均 値,中

た が っ て,打 央 値 」,ま た

は,「５年 生 存 率 」 と い っ た 頻 度 な ど も単 純 に は 計 算 で きな い の で あ る .   そ こ で,打

ち切 りの 可 能 性 が あ り,興 味 あ る イベ ン ト(event)が

発 生す

る ま で の 時 間 の 長 さ を評 価 す る た め に 登 場 す る統 計 手 法 が 「イベ ン ト発 生 ま で の 時 間 を 生 存 」 と す る 生 存 時 間 分 析(survival  analysis)で トは 死 亡 だ け で な く,脳 卒 中,心 筋 梗 塞 な ど の 発 生,あ で あ っ た りす る.た

だ し,こ

こ で 注 意 し た い の は,い

あ る ． イベ ン

る病 気 の 再 発,寛

解

く ら打 ち 切 りデ ー タが

解 析 で き る と い っ て も 「イベ ン ト発 生 と 関 連 して い る打 ち切 り(informative  censoring)」 は 解 析 で きな い こ とで あ る.例 え ば,患 者 の状 態 が 悪 化 し て きた た め 担 当 医 へ の 信 頼 に 疑 問 を もち 転 院 し て し ま っ た 場 合 のcensoringが で あ る.こ

の 場 合 は,生

そう

存 時 間 が 長 くな る ほ うへ バ イ ア ス が 生 じ る.解 析 に

正 し く利 用 で きる 打 ち切 りデ ー タは,不

慮 の 事 故,引

っ越 しな ど の イベ ン ト

の 発 生 と は 無 関係 に 起 こ る 原 因 で 打 ち切 られ た(non‐informative  censoring) デ ー タで あ る.

8.1  生 存 時 間の 確 率 分 布

  一 般 に 生 存 時 間 Ｔ が 連 続 な 生 存 関 数(累 積 生 存 率 曲線 と も よば れ る)S(t), 確 率 密 度 関 数 〓(t)を もつ 確 率 変 数 で あ る と き, S(t)=Pr{T〓t}, 

0＜t＜

∞          

(8.1)

(8.2) と定 義 され る.生 存 時 間 分 析 で 重 要 な 関 数 で あ る ハ ザ ー ド関 数(瞬 瞬 間 故 障 率)は

間 死 亡 率,

次 の 条 件 付 き確 率 で 定 義 さ れ る.

(8.3) この式 か ら

dlogS(t)/ λ(t)=-

で あ り,S(0)=1か

ら,

dt

(8.4) (8.5) と 書 け る.ま

た,生

存 時 間 ｔで の 平 均 余 命(expected 

residual  life)は

(8.6)

(8.7) で 与 え ら れ る.こ

れ か らt=0と

し た 平 均 寿 命(expected 

life)は

(8.8) (8.9) で 与 え られ る.   次 に,生 数,す

存 時 間 Ｔ が,0＜t1＜t2＜

…

の 離 散 値(discrete)を

とる 確 率 変

な わ ち, pj=〓(tj)=Pr{Ｔ=tj}, 

j=1,2,... 

    

(8.10)

で あ る と き,生 存 関 数 は

(8.11) で あ り,ハ

ザ ー ド関数 は

(8.12) で 与 え られ る,最 み る と,条

後 に 確 率 分 布pj,生

存 関 数S(t)を

件 付 き確 率 の 性 質 とPr{T＞0}=1か

〓(tj)=Pr{T=tj}    

=Pr{T=tj￨T＞tj-1}Pr{T＞tj-1}

ら

ハ ザ ー ド関 数 で 表 し て

(8.13) と な る.し

た が っ て,

(8.14) と な る.

8.2 

  まず,生

生存 関数 の 推 定

存 時 間 分 析 の 対 象 と な る デ ー タの 構 造 を 整 理 し よ う.あ る 一 定 の

研 究 期 間 に エ ン ト リー し た 患 者 総 数 をn0と

し よ う.こ の 期 間 に イ ベ ン トが

確 認 され た相 異 な る 生 存 時 間(イ ベ ン ト発 生 まで の 時 間)を 小 さ い ほ うか ら 順 に 並べ て t1＜t2＜ で あ っ た と し よ う.こ し て お

…

＜tj＜

…

＜tm          

の 場 合,j=0,1,2,...,ｍ

と し て,以

(8.15)

下 の 項 目 を 定 義

く.

１)dj(〓1)例 こ で,イ

が 同 じ 生 存 時 間tjを

記 録 し た.こ

こ で,d0=0と

す る.こ

ベ ン トの 総 数 を

(8.16)

２)左

閉 右 開 区 間[tj,tj+1)に

ωj例 が な ん ら か の 理 由 で 追 跡 不 能 と な り,

そ れ ぞ れ の 打 ち 切 ら れ た 時 間(censored  {tj1,tj2,…,tjωj} 

 

で あ っ た と し よ う.こ

３)つ

ま り,時

点tjの

こ で,t0=0,tm+1=∞

直 前tj-0に

time)は  

(8.17)

と す る.

は

nj=(dj+ωj)+(dj+1+ωj+1)+…+(dm+ωm) 

例 の患 者が まだ な る.こ

「生 存 」(number 

の 患 者 全 体 を 時 点tjで

  (8.18)

of patients  at risk)し の リ ス ク セ ッ トR(tj)と

て いる こ とに い う.

R(tj)={時 ４)最

後 に,エ

点tj以

後 に観 測 され たnj例

ン ト リ ー し た 患 者 全 体 の 打 ち 切

{tj,tjκ},j=0,...,m;κ=1,...,wj,を

z(1)〓z(2)〓

小

…

の 患 者 全 体}  (8.19) りデ ー タ を 含 め た デ ー タ

さい 順 に並 べ て

〓z(no)               (8.20)

と 定 義 し て お く.

8.2.1  パ ラ メ ト リ ッ ク 法 生 存 時 間分 析 で よ く利 用 され る 連 続 な 確 率 分 布 は 次 の ２通 りで あ る.

１)指 数分 布

(8.21) (8.22) (8.23) ２)Weibull分

布

(8.24) (8.25) (8.26) Weibull分

布 でc=1の

Weibull分

布 の 場 合 の 最 尤 推 定 法 を考 え よ う.尤 度 は 二 つ の パ ラ メー タ(η,c)

の 関数 として

ケ ー ス で は 指 数 分 布 に 一 致 す る の で,こ

こで は

(8.27) と な る.し

た が っ て,対

と な る.そ

こ で,パ

数 尤 度 ι(η,c)は

(8.28) ラ メ ー タ(η,c)で

偏微 分 す る と

(8.29) (8.30) と な る.

∂ ι/

∂c

=∂ι /∂η=

0の

尤 度 方 程 式 を 解 く と,２ 変 数 のNewton‐Raphson法

(8.31) を利 用 す る まで も な く ｃは

(8.32) の 解 と し て 得 ら れ,１

変 数 のNewton‐Raphson法

(8.33) で 計 算 で き る.こ

で あ る.結

局,η

こに

は

(8.34)

で 計 算 で き る.最 尤 推 定 値(ｃ,η の 漸 近 的 な 分 散 共 分 散 行 列 はFisher情

報行

列 の 逆 行 列 で あ るか ら

(8.35) と 計 算 で き る.し か し,実 際 の 生 存 時 間 デ ー タ の 解 析 で は 次 節 の ノ ン パ ラ メ ト リ ッ ク法 が 利 用 され る こ とが 多 い.

8.2.2 

ノ ンパ ラ メ トリ ッ ク 法

 最 尤 推 定 法 で 推 定 す べ き生 存 関 数 を  S(t)と お こ う.時 点tjで

イベ ン トが

発生 す る 確 率 は

(8.36) と な る の で,S(t)の

関数 として尤 度 は

(8.37) と な る.さ

て,も

し推 定 値s(t)が

が 明 らか に ０ と な るの で,S(t)は を 最 大 に す るの で あ る か ら,第

連 続 関 数 とす れ ば,上

記 の 尤 度 の 第 １項

離 散 分 布 で な け れ ば な らな い.ま た,尤

度

２項 目は

S(tjκ+0)=S(tj+0),j=1,...,m,κ=1,...,ωj S(t0κ+0)=S(0)=1,κ=1,...,ω0

とす る こ と に よ り最 大 化 され る こ とが 容 易 に わ か る.し た が っ て,尤 度 関 数 は

(8.38)

と な り,式(8.14)か

ら生 存 関 数S(t)は

次 の 式 で 推 定 さ れ る.

(8.39)

(8.40) (8.41) こ こ に λjは 時 点tjで

の ハ ザ ー ド 関 数 の 推 定 値 で,そ

し た 尤 度 Ｌ を最 大 化 す る こ と に よ り得 られ る.つ

れ は これ ら の 式 を代 入

ま り,

(8.42) と な る.最

後 は ωm=nm-dmに

注 意 す る.こ

の 尤 度 関 数 は 明 らか に 二 項

分 布 の そ れ に 等 し い か ら最 尤 推 定 値 λjは dj/ λj= nj

で 与 え られ る.し

た が っ て,生

,

j=1,...,m 

          

存 関 数 の 最 尤 推 定 値 は 式(8.39)に

(8.43)

代 入 して

(8.44) で 与 え ら れ る.こ

れ が い わ ゆ る,「 累 積 生 存 率 曲 線 のKaplan‐Meier推

と よ ば れ る も の で あ る.も

し,ωm＞0で

あ れ ば,S(t)は

決 し て,０

定値 」 にな ら

な い の で, S(t)=定

義 さ れ な い,for 

t＞tmωm(ωm＞0) 

(8.45)

と な る.

  さ て,次

に,生

存 関 数 の 推 定 誤 差 を 計 算 し て み よ う.最 尤 法 と 同 様 に 式

(8.39)の 対 数 を と っ て 考 え る と,

(8.46) この漸 近的 な分 散 推定 量 は,

(8.47) の 性 質 を 利 用 す れ ば,

(8.48) と 計 算 で き る.今

度 は,式(8.47)で

Var(logS(t))= で あ る か ら,

θ=S(t)と 1/

お くこ とに よ り

vas(S(t)) S(t)2

(8.49) と計 算 で き る.こ の 式 がGreenwoodの の 式 を 利 用 し て,例

え ば,あ

公 式 と よば れ る も の で あ る.た だ,こ

る生 存 時 間 ｔで の95%信

頼区間を

で 計 算 す る と,信 頼 区 間 の 限 界 値 が 範 囲[0,1]を は み だ し て し ま う こ とが あ る.こ

れ を避 け る た め,範

は 次 のlog(-log)変

囲[0,1]の 範 囲 で 定 義 され る 推 定 量 の 信 頼 区 間 に

換 が よ く利 用 され る. y(t)=log(-logS(t)) 

も う 一 度,式(8.47)を

利 用 し て,y(t)の

               (8.50)

分 散 υ(t)を 計 算 す る と

(8.51) と 計 算 で き る.こ

う す れ ば,

S(t)=exp(-exp(y(t))) で あ るか ら,S(t)の95%信

頼 区 間は

(8.52) と計 算 され る. [例 題8.1] 

表8.1の

デ ー タを利用 して

１)デ ー タ全 体 の 生 存 率 曲 線 の 推 定 を,(１)Weibull分

布,(２)Kaplan‐Meier

法 の 両 方 で 推 定 せ よ.

２)治 療 群 別 に も 上 と 同 様 に ２種 類 の 方 法 で 推 定 せ よ. [解答] １)デ ー タ全 体

図8.3 

表8.1の

デ ー タ全 体 に お け る 生 存 率 曲線 のWelbull分

リ ッ ク推 定 値 とKaplan‐Meier推

  式(8.33)-(8.35)を

布を仮定 したパラ メ ト

定値

利 用 す る と,そ

0.690±0.136,η=2.09±0.730)と

れ ぞ れ の 推 定 値 と標 準 誤 差 は(c= 推 定 さ れ,最

大 対 数 尤 度 は 式(8.28)

よ り ι(c,η)=-27.905

で あ っ た.Kaplan‐Meier法 こ で は,S‐Plusの 体 のS‐Plusプ

は 式(8.44)を

計 算 す る こ と に な る が,こ

プ ロ グ ラ ム 「surv.f it」 を 利 用 す る.こ ロ グ ラ ム は 付 録B.5に

示 し た.結

れ らの 計 算 全

果 は 図8.3に

示 す とお

り で あ る.

２)治 療 群 別 Weibull分

布 の パ ラ メ ー タ は,

と推 定 さ れ た.治 療 群 別 の 生 存 曲線 の 推 定 結 果 は,Kaplan‐Meier法

の

図8.4 

表8.1の

デ ー タの 治 療 群 毎 の 生 存 率 曲線 のWeibull分

ト リ ッ ク推 定 値(Weibull比 Kaplan‐Meier推

布 を仮定 したパ ラメ

例 ハ ザ ー ド モ デ ル に よ る推 定 値 と ほ ぼ 同 じ)と

定値

結 果 と 一 緒 に 図8.4に

示 す.

8.3  比 例 ハ ザ ー ド 回 帰 モ デ ル

  生 存 時 間 分 析 に お け る 回 帰 分 析 は 比 例 ハ ザ ー ドモ デ ル が よ く利 用 され る. そ れ は,ハ

ザ ー ド関 数 と共 変 量x=(x1,...,xp)tと λ(t;x)=λ0(t)exp(xtβ) 

           

=λ0(t)exp(β1x1+…+βpxp) 

で 表 現 さ れ る モ デ ル で あ る.こ ‐ard  function)で デ ル の下 では

あ り,xtβ=0の

の関係が 線形 対数 モデル (8.53)   

(8.54)

こ に λ0(t)は 規 準 ハ ザ ー ド 関 数(baseline  場 合 の ハ ザ ー ド 関 数 と 考 え ら れ る.こ

haz の モ

(8.55) と な る.こ

こ にS0(t)は

規 準 生 存 関 数 で あ る.

  さ て,共

変 量 が そ れ ぞ れxA,xBと

相 異 な る ２群 の ハ ザ ー ド 関 数 を 比 較 し

てみると

(8.56) と 生 存 時 間 に 無 関 係 に 一 定 と な る.こ

の 比 例 定 数 を ハ ザ ー ド比(hazard  ra

‐tio),相 対 ハ ザ ー ド(relative hazard)な

ど と よ び 共 変 量 の 評 価 指 標 と して 推

定 され る.   例 え ば,２ 種 類 の 治 療 Ａ(新 治 療),Ｂ(標 準 治 療)の 効 果 を,予

後 因子 を調 整

して比 較す る

H0:SA(t)=SB(t) H1:SA(t)≠SB(t)      

に は,共

変 量x1を

治療 群 を表す 変数 として x1=1(A群)，

と し,予

(8.57)

後 因 子 を{x2,...,xp}と

  x2=0(B群) し た,変

数x1の

係 数 の有 意性 検 定

H0:β1=0

H1:β1≠0 

        

(8.58)

を行 え ば よ い.な ぜ な ら,共 変 量 を調 整 す る と い う こ と は 治 療 群 を表 す 変 量 x1以 外 の 他 の 変 量 は 同 じ値 を もつ 群 を 比 較 す る こ と を 意 味 す る の で,

(8.59) か ら,標

準 治 療 に 対 す る新 治 療 の ハ ザ ー ド比 はexp(β1)で

与 え られ,

(8.60) と な り,仮

説(8.57)と(8.58)が

一 致 す る か ら で あ る.

  さ て,次

の 項 か ら 比 例 ハ ザ ー ド モ デ ル に 関 す る 推 測 方 式 の 解 説 を 行 うが,

1.2節 で 定 義 し た 用 語:式(8.15)-(8.20)を

こ こ で も 利 用 す る.

8.3.1 

パ ラ メ ト リ ック モ デ ル

  規 準 ハ ザ ー ド関 数 λ0に あ る 確 率 分 布 を仮 定 す る 方 法 で,中 で も,式(8.24) -(8.26)のWeibull分

布 を仮 定 す る こ とが 少 な くな い.ま

ず,尤

度 関 数 は,式

(8.27)を 参 考 に し て

(8.61) と な る.共

変 量 に 関 す る 記 号 の 意 味 は 後 述 のp.131を

参 照 の こ と.対 数 尤 度

関数は

(8.62)

と な る.偏

微分は

(8.63) (8.64) (8.65) と な る.し

た が っ て,

(8.66) と お け ば,最

尤 推 定 値 θ はNewton‐Raphson法

(8.67) で 計 算 で き る. [例 題8.2]表8.1の

デ ー タ を 利 用 し て,次

λ(t;x)=λ0(t)exp(βx) 

x=0(プ

のWeibull比

ラ セ ボ),x=1(プ

例 ハ ザ ー ドモ デ ル レ ド ニ ソ ン)

に よ り治 療 効 果 を推 定 せ よ. [解 答]S‐Plusで 録B.6に

のNewton‐Raphson法

示 し た.推

  し た が っ て,プ 95%信

等,す

べ ての計 算 のプ ログ ラムは付

定 結果 は

ラ セ ボ に 対 す るプ レ ドニ ソ ン 治 療 の ハ ザ ー ド比 の 推 定 値 と

頼 区 間は 最 尤 推 定 値:exp(-0.735)=0.480 95%CI:exp(-0.735±1.94・0.519)=0.177-1.300

と計 算 され る.ま

た,帰

無 仮 説H0:β=0に

対 す るWald検

定の 自由度 １

の χ2検 定 統 計 量 は β2/SE(β)2=2.085, 

と な る.ま =0に

た,ι(c,η,0)=-27.905(例

p=0.149

題8.1)で

あ る の で,帰

対 す る 尤 度 比 検 定 の 自 由 度 １の χ2検 定 統 計 量 は -2(ι(c

,η,0)-ι(c,η,β))=2.256, 

p=0.133

と 計 算 で き る.   さ ら に,式(8.55)よ

り生 存 関 数 は

プ ラ セ ボ 群:S0(t),プ

レ ド ニ ソ ン 群:S0(t)exp(β)

無 仮 説H0:β

で あ る.治 療 群 別 の 推 定 値 は 図8.4の あ っ た.比

8.3.2 

群 別 に 推 定 し た 生 存 関 数 と ほぼ 同 じで

例 ハ ザ ー ドモ デ ル の 適 合 度 が 程 よい こ と を 示 す 傍 証 で あ る.

Coxの

モデ ル―

セ ミパ ラ メ ト リ ッ ク モ デ ル

  こ こで の 推 定 の 最 も重 要 な 点 は,パ

ラ メ ト リ ッ ク法 と異 な り,規 準 ハ ザ ー

ド 関 数 λ0(t)は 未 知 の ま ま に し て お い て,β し た が って,統

に 関 す る 推 測 を 行 うこ と に あ る.

計 学 的 に は な ん らか の 意 味 で の 条 件 付 き推 測 に よ り,局 外 母

数(nuisance  parameter)と

もい え る 規 準 ハ ザ ー ド関 数 を推 定 方 程 式 か ら除 か

ね ば な ら な い. さ て,い

ま,２

種 類 の 事 象 Ａ,Ｂ の 列 {A1,A2,…,Am}, 

{B0,B1,...,Bm}

を 考 え, 事 象Aj:時

点tjで

事 象Bj:区

間[tj,tj+1)で

と定 義 し よ う.す

る と,デ

の イベ ン トの 発 生 の 打 ち 切 りの 発 生

ー タ全 体 の 尤 度(確

率)は

Pr{B0A1B1A2,...,Bm-1AmBm} 

で 与 え ら れ る.条

と な る.8.2節

     

(8.68)

件 付 き確 率 を 順 に 計 算 し て い く と

で も 解 説 し た よ う に,censored 

関 数 の 推 定 に ほ と ん ど 情 報 を も っ て い な い.し

timesで

あ る 事 象Bjは

た が っ て,回

生存

帰 の パ ラ メー タ

で あ る β に も ほ と ん ど 情 報 が な い と考 え て も ほ と ん ど 間違 い は な い だ ろ う. し たが っ て,β

に 関 す る 尤 度 を 考 え る に は,尤

度 全 体 か ら事 象Aκ

に関す る

「部 分 」 尤 度(partial likelihood)

(8.69) だ け を考 え れ ば よ い こ とに な る.   さ て,こ

の 部 分 尤 度 を 考 え る の に,ま

な い,つ

ず,生

ま り,dj=1(j=1,...,m)で り,dj=1(j=1,...,ｍ)で

リ ー し たn0例

存 時 間 に タ イ(tie,同

あ る 場 合 を 考 え よ う.研

時 間)が

究 にエ ン ト

の患 者 につ いて

１)共

変 量:xi=(x1i,x2i,...,Xpi)t,i=1,...,n0 量:xi=(x1ｉ,x2i,...,xpi)t,i=1,...,n0

２)生

存 時 間tjを

記 録 し た 患 者 の 共 変 量 をx(j)

す る と,

(8.70) と な る.し

た が っ て,式(8.69)よ

り β の部 分尤 度 は

(8.71) と な る.次

に,タ

イが あ る 場 合(dj〓1),を

考 え よ う.そ

こ で 次 の 用語 を 用

意 し て お こ う. １)タ １)タ

イで イ で あ あ っ っ たdj例 たdj例

…+x(j …+x(j ２)R(tj,dj):リ ２)R(tj,dj):リ

dj)と dj)と

の の共 共変 変 量 量 を(x(j1),...,x(jd を(x(j1),...,x(jd

ス ス ク クセ セ ッ ッ トR(tj)の トR(tj)の

こ の こ の 場 場 合 合は は 式(8.70)の 式(8.70)の

j))と j))と

し し,s(j)=x(j1)+ ，s(j)=x(j1)+

す す る. る.

展 展 開 開が が

Pr{Aj￨B0A1…Bj-2Aj-1Bj-1}

中か 中 か らdj例 らdj例

の の添 添 字 字 の の組 組 み み合 合せ せ の の 集 集 合. 合.

(8.72) と な る ． し た が っ て,求

め る正確 な部 分 尤度 は

(8.73) と な る.   し か し,タ

イの数が 多 い と上記 の尤 度 の計算 は膨 大 な組 み合せ nj

(   dj ) の 計 算 を必 要 と す る の で 計 算 が 困 難 で あ る.そ 考 え る 必 要 が あ る.njがdjに

こで,一

般 的 にはそ の近似 を

比 べ て 大 きい 場 合 に は

(8.74) と 近 似 で き る.こ れ がBreslow(1974)の

近 似 部 分 尤 度 と よば れ る も の で, S‐

Plus等 の 代 表 的 な 統 計 パ ッ ケ ー ジ に 利 用 され て い る.   さ て,一 般 に は この 部 分 尤 度 関 数 が 利 用 され て い る の で,こ

れ を用 いて β

の 最 尤 推 定 値 を 求 め て み よ う.対 数 部 分 尤 度 は

(8.75) と な る か ら,最

尤 推 定 値 β は β で 偏 微 分 し た 式,エ

フ ィ シ ェ ン ト ・ス コ ア

(efficient score) U(β)=

∂logPL(β) /∂β

          (8.76)

の 各 成 分 を ０ と し た ｐ 個 の 連 立 方 程 式 の 解 で あ る.そ

の 第 ｉ成 分 は

(8.77)

こ こ で,

(s1(j),

s(j)=

s2(j), ...,sp(j) )t  

   (8.78)

(8.79) で あ る.さ

ら に,β

に 関 す るFisher情

報 量I(β)の

第(ih)成

分は

(8.80) こ こ に,

(8.81) で 与 え ら れ る.通

常,最

尤 推 定 値 はNewton‐Raphson法,ベ (κ+1)

β

=β(κ)+

の 繰 り返 し計 算 で 求 め る.推

I(β(κ))-1U(β

ク トル 表 記 で は (κ))

(8 .82)

定 値 β の 分 散 共 分 散 行 列 は も ち ろ ん,I(β)-1

で あ る.

8.3.3 

  さ て,比

log‐rank検

定

例 ハ ザ ー ドモ デ ル で の 部 分 尤 度 に 基 づ くパ ラ メ ー タの 検 定 に も通

常 の よ う に,漸 １)Wald検

近的 に 同等 な三 つの 方法 定

２)尤 度 比 検 定 ３)ス コ ア検 定 が 利 用 で き る.こ

こ で は,次

の治 療変 数 以外 に共 変量 の ない モデ ル

λ(t;x)=λ0(t)exp(βx),  x=1(新

      

治 療),x=0(標

(8.83) 準 治 療)

で の仮 説 H0:β=0,  に ス コ ア 検 定 を 考 え よ う.ま

H1:β

ず,式(8.73)に

≠0 

             (8.84)

基 づ く正 確 な 部 分 尤 度 で 考 え て

み る と ， エ フ ィ シ ェ ン ト ・ス コ ア は

(8.85) ここで

,

(8.86) で あ る.さ

ら に,β

に 関 す るFisher情

報 量I(β)は

(8.87) ここ に,

(8.88) で 与 え ら れ る.そ

こ で,帰

無 仮 説 の 下 で の エ フ ィシ ェ ン ト ・ス コ アU(0)を

考 え て み る と,超

幾何 分布 に 関す る推論 で {(新 治 療 群 に お け る時 点tjで

の イベ ン トの 観 測 数)

-(新 治 療 群 に お け る ,時 点tjで

の イベ ン トの 期 待 数)}

(8.89) と な っ て い る こ と が 理 解 で き る だ ろ う.つ

ま り,表8.2の

ような分割 表 を考

え る と,

(8.90)

表8.2 

イベ ン ト発 生 時 点tjで

の 「治 療 群 」 × 「イベ ン ト発 生 の 有 無 」 の 分 割 表

で あ り,

(8.91)

(8.92) (8.93) と な る.し

た が っ て,ス

コア検 定 は

(8.94) と な り,い れ は,オ

わ ゆ るlog‐rank検

定 と い わ れ る 検 定 統 計 量 が 導 か れ る .ま

ッ ズ 比 の 層 別 解 析 で 有 名 なMantel‐Haenzsel検

  と こ ろ が,式(8.74)の

た,こ

定 と 同 一 で あ る.

近 似 部 分 尤 度 で 計 算 す る と超 幾 何 分 布 で は な く幾

何 分 布 で の 推 論 に 変 換 され て い る こ と に注 意 し て,近 似 式(8.74)-(8.81)か

ら

(こ こ で は 近 似 を 意 識 し て 記 号 に 添 字 「approx」 をつ け る),

(8.95)

(8.96) と な る.式(8.93)と

式(8.96)と

に の み 両 者 は 一 致 す る が,一

を 比 べ る と,明 らか に タ イが な い 場 合dj=1

般 に は 近 似 尤 度 の 分 散 が 過 大 推 定:

djRapprox,j(0)〓Rj(0)  Iapprox(0)〓I(0)  と な っ て お り,近

(8.97)

           

(8.98)

似 部 分 尤 度 に 基 づ くス コ ア 検 定 は 少 々 検 出 力 が 小 さ くな る

傾 向(conservative)が し て,n1j/nj＜

         

あ る.Peto 

＜1で

and  Pike(1973)は

さ らに分散 を過大 評価

あ れ ば 近 似 的 に 成 立 す る 分 散: n1j/

Vj=

dj

=Ej(期

待 値)

nj

を 利 用 し た 簡 便 な(し

を 提 案 し て い る.コ   本 章 で は,比

か し,conservativeな)log‐rank検

ン ピ ュ ー タ の 普 及 し て い な か っ た 時 代 の 産 物 で あ ろ う.

例 ハ ザ ー ド モ デ ル の 基 本 的 な 考 え 方 に 重 点 を お い た の で,他

の ト ピ ッ ク は 省 略 し た.中 tionality)の

定

で も,そ

の 応 用 上,重

要 な 比 例 ハ ザ ー ド 性(propor

チ ェ ッ ク の 考 え 方 に つ い て は 他 の テ キ ス ト,例

and  Prentice(1980),Fleming 

and  Harrington(1991)な

え ば,Kalbfleisch

どに進 んで い ただ き

た い. [例 題8.3]下

の 架 空 の 生 存 時 間 デ ー タ にCoxの

し 治 療 効 果 の 推 定,検

定 の 計 算 を 行 え.な

比 例 ハ ザ ー ド モ デ ル を 適用

お,20+,35+はcensored 

timeを

表 す.

[解 答 ］ まず,こ

の デ ー タ に 適 用 す るCoxの

比 例 ハザ ー ドモデ ル は

λ(t;x)=λ0(t)exp(βx)

で あ る.必

要 な デ ー タは 表8.3の

似 尤 度 式(8.74)を

よ う に ま と め ら れ る.そ

利 用 し て い る.こ

こ で の 尤 度 は,近

の 表 か ら部 分 尤 度 は

(8.99) と な る.し

た が っ て,

ι(β)=logPL(β)

表8.3 

生 存 時 間 分 析 の た め の 架 空 デ ー タ.共 変 量 は １個 ｘ で,治 で,x=1(新

治 療),=0(標

を示 す 変 数 で,δ=1(イ (8.74)を

と な り,最

準 治 療),で

あ る.ま た,δ

ベ ン ト発 生),=0(censored)で

療の種類を表す変数

は イベ ン ト発 生 の 有 無 あ る.尤

度は近似 式

利 用 して 計 算 し て い る,

尤 推 定 値 β は 次 のNewton‐Raphson反

復 収束 法

の 解 と な る.そ

の 結 果,

と な る.

し た が っ て,標

準 治 療 に 対 す る 新 治 療 の ハ ザ ー ド比 の 推 定 値 と95%信

頼区

間は 最 尤 推 定 値:exp(-1.380)=0252  

95%CI:eXp(-1.380±1.96･1.157)=0.026-2.431

と計 算 され る.ま た,帰

無 仮 説H0:β=0に

対 す るWald検

定 の 自由 度 １の

x2検 定 統 計 量 は β2I(β)=1.422 と な る.ま

た,U(0)=-1.271,I(0)=0.975で

あ る の で,帰

無 仮 説H0:β=0

に対 す る 有 効 ス コ ア 検 定 の 自 由 度 １のX2検

と な る.ま β=0に

定統 計 量 は

た,ι(0)=-7.937,ι(β)=-7.098で

あ る の で,帰

対 す る 尤 度 比 検 定 の 自 由 度 １のx2検 -2(ι(0)-ι(β))=1

無 仮 説H0:

定 統計 量 は .678

と計 算 で きる.   さ て,次

に,式(8.73)の

正 確 な 部 分 尤 度 に 基 づ く推 定 値 を 求 め て み よ う.

近 似 尤 度 と の 違 い はt4=25,d4=2,n4=5に

対 す る尤度が 近 似部 分尤 度

か ら,正 確 な 部 分 尤 度

eβ/{(2 2)+(2 と変 化 す る だ け で あ る.こ み 合 せ が,二

1)(3 1)eβ+(3 2)e2β}

こ で,リ

ス クセ ッ トR(t4)の

(8.100)

中か ら ２ 人 を 選 ぶ 組

つ の 治 療 群 か らの 組 み 合 せ を考 え て (2

2 1)

(5 2)=

2)+(

と な っ て い る こ と に 注 意 し た い.さ

て,こ

2) (3 1)+(3 の 正 確 な 部 分 尤 度 に よ り推 定 す

ると            β=-1.606, 

SE(β)=1.245

ハ ザ ー ド 比=0.201,95%CI:0.017-2.304

で あ り,帰 無 仮 説H0;β=0に

対 す るそれ ぞ れ の検定 統 計量 は Wald検

定 統 計 量=1.663

ス コ ア 検 定 統 計 量=1.891 尤 度 比 検 定 統 計 量=1.947

と な る,こ

の 結 果 は,近

似 尤 度 が 少 々 控 え 目 で あ る こ と を示 す 一 例 で あ る.

[例 題8.4] １)例 題8.2の

モ デ ル にCoxの

λ(t;x)=λ0(t)exp(βx),x=0(プ

比 例 ハ ザ ー ド モ デ ル を 適 用 せ よ. ラ セ ボ),x=1(プ

レ ド ニ ソ ン)

表8.4 

２)表8.1全

表8.1の

デ ー タ に対 す るCoxの

体 の デ ー タ にCoxの

比 例 ハ ザ ー ドモ デ ル の 適 用 結 果

比 例 ハ ザ ー ドモ デ ル を適 用 し て 治 療 効 果

を 推 論 せ よ. [解 答]い

ず れ も 近 似 尤 度(8.74)に

利 用 す る.変 法),alb(ア

数 は,day(生

基 づ くS‐Plusプ

存 日数),event(イ

ル ブ ミ ン),sake(飲

酒 の 有 無)で

S‐Plus  program:例

ログ ラム

「coxreg」

ベ ン ト発 生 の 有 無),treat(治

を 療

あ る.

題8.4,表8.4

coxreg(day,event,treat) coxreg(day,event,cbind(treat,alb,sake))

１) 例 題8.2

推定 結 果 は

で あ っ た.ま 定,ス

た,帰 無 仮 説H0:β=0に

対 す るWald検

定,尤

度比検

コ ア 検 定 の χ21検定 統 計 量 は い ず れ も1.2と 計 算 され た.Weibull

比 例 ハ ザ ー ドモ デ ル で の 推 定 結 果 と比 較 し て み よ う. ２)全 体   推 定 結 果 は 表8.4に ず か に 及 ば な い0.067で

示 す と お りで あ る.治 あ っ た.

療 効 果 のp値

は5%に

わ

９ Bayes推

9.1 

Frequentist―

伝 統 的統 計 学

  こ れ まで 解 説 し て きた 推 測 方 式 の 多 くは,原 可 能 な 実 験(標

本 抽 出)か

測

則 と して,何

度 も繰 り返 しが

ら 得 られ る 標 本 Ｘ に 対 し て,未

知 母数 θを含 む

確 率 分 布〓(x｜ θ)を 考 え る と い う意 味 で 頻 度 論 者(frequentist)の る と い え る.す [例 １]あ

立場であ

で に 解 説 して あ る 事 柄 も あ るが こ こ で 整 理 し て お く.

る 母 集 団 か ら 無 作 為 に 選 ん だ １組 の 標 本

(X1,X2,...,Xn) に 対 し て,正

規 分 布N(μ,σ2E)を

考 え,未

知 母 数(μ,σ2E)を 推 定 し よ う とす

る の は 頻 度 論 者 で の 統 計 モ デ ル で あ る. [例 ２]ｎ タXijに

人 の 患 者 に つ い て,そ つ い て,統

れ ぞ れ γ回 繰 り返 し測 定 し た 一 元 配 置 デ ー

計 モデ ル Xij=μ+αi+〓ij, 

を 考 え,母

数 αi,i=1,...,nを

〓ij∼N(0,σ2E) 

 

(9.1)

推 定 し よ う とい うの は 頻 度 論 者 の モ デ ル で

あ る.

[例 ３】 例 ２の モ デ ル の 中 で,αiは 場 合 に は,母

対 象 とす る 集 団 か ら “random” に 選 ん だ

数 で は な く,確 率 変 数 で あ る と考 え る こ と もで き る.つ

ま り,

選 ば れ た 患 者 の 効 果 に は 興 味 が な く,そ の バ ラ ツキ に 興 味 が あ る 場 合 で あ る. し た が っ て,αiに αi∼N(0,σ2B) 

          

(9.2)

と い うモ デ ル を 導 入 し,σ2Bを 推 定 し よ う とい うモ デ ル も頻 度 論 者 の モ デ ル

で あ る が,変 て,例

量 効 果 モ デ ル(random‐effects 

model)と

よ ば れ る.こ

１,２ は 母 数 効 果 モ デ ル(fixed‐effects  model)と

よ ば れ る.

[例 ４]  あ る 条 件 下 に お か れ た 動 物 の 成 長 を 観 察 す る た め に,ｎ の 体 重 を γ 回 の 測 定 時(t1,...,tr)で て,母

れ に対 し

例 の マ ウス

測 定 し た 二 元 配 置 デ ー タXijに

対 し

数効 果の 線形 モ デ ル Xij=α+βtj+〓ij,〓ij∼N(0,σ2E) 

  

(9.3)

を考 え て み よ う.デ ー タ を グ ラ フ に プ ロ ッ トし て 観 察 して み れ ば わ か る よ う に,個

体 差 が 大 き くて 一 つ の 線 形 モ デ ル で 表 現 で き る ケ ー ス は 少 な い,こ

よ うな 場 合 に は,個 Xij=(μ

の

体差 を表現 す るた めの 変量効 果 モデ ル α+αi)+(μ

2

β+βi)tj+〓ij,〓ij∼N(0,

(αi,βi)∼N(0,Σ) 

σE

)

(9.4)

         

(9.5)

を 考 え る こ とが で き る.

9.2 

Bayesian

  これ に対 して,Bayes推 測 の 立 場(Bayesian)で は,頻 度 論 の 立 場 に 立 た な い た め,ど の よ うな もの に も確 率(分 布)を 考 え る こ とが で き る .例 え ば,次 の よ う な推 測?で

あ る. 「あ い つ が 彼 を殺 し た 確 率 は0.9以

上 だ!」

頻 度 論 者 は こ の 推 測 は ナ ン セ ン ス で あ り,ま さ に,げ

す(guess)の

かんぐ り

で あ る と非 難 す る, さ て,Bayes推

測で は

〓問 題 に す る 未 知 パ ラ メ ー タ(母 数 と は い わ な い)θ 布p(θ)と

し て 表 現 し,θ

は 確 率 変 数 と 考 え る.こ

観 測 す る 前 に 設 定 さ れ る か,後   distribution),事

の不 確 実性 を確 率分 の確率 分布 をデ ー タを

に 設 定 さ れ る か に よ っ て 事 前 分 布(prior

後 分 布(posterior 

distribution)と

い わ れ る.

〓デ ー タ Ｘ も頻 度 論 者 と 同 様 に 確 率 変 数 で あ り,確 率 分 布 〓(x｜θ)を も つ,し

たが っ て,

〓未 知 パ ラ メ ー タ とデ ー タの 同 時 確 率 分 布 を 考 え る こ とが で き る. p(θ,x)=p(θ)〓(x｜

θ)         

(9.6)

  さて,Bayes推

測 で 推 測 の対 象 と な る 未 知 パ ラ メ ー タ θ は な に も確 率 分 布

〓(x￨θ)に 含 ま れ る もの に 限 ら な い.応 〓 欠 損 値(missing 

用 上 で 重 要 な もの と し て

value)

〓測 定 誤 差 に 隠 れ て い る 真 の 値

な ど も 対 象 と な る.さ て,Bayes推

測 で は θの 不 確 実 性,す

率 分 布 に 推 測 の 興 味 が あ る わ け で,デ

な わ ち,そ の 確

ー タが 観 測 され て い れ ば,デ

ー タで 条

件 付 け す る こ と に よ り(デ ー タ の 情 報 が 付 加 され た)θ に 関 す る 条 件 付 き確 率 分 布p(θ￨x)を Bayesの

求 め よ う と す る の は 自然 で あ ろ う.そ

し て,そ

の 方 法 は,

定 理 が 教 え て くれ る の で あ る.

Bayes 

theorem

(事 後 分 布 の 「核 」 と よぶ)

(9.7)

事 後 分 布 ＝ 事 前 分 布 х 尤 度(デ ー タが.given)(9.8)

9.3  無 情 報 事 前 分 布

さて,Bayes推

測 の 最 大 の 問 題 は事 前 分 布 の 設 定 法 で あ る.

〓最 も極 端 なBayes推

測 は 「主 観 確 率 」 で 推 測 す る 立 場 で あ る.主 観 確 率

の 選 び 方 に よ り事 後 確 率 が 大 き く異 な り,こ の 意 味 で 頻 度 論 者 か ら 非 難 さ れ て きた 歴 史 的 背 景 が あ る. 〓専 門 家 の 考 え を事 前 確 率 に取 り入 れ る こ とが 容 易 とい う点 で,Bayes流 意 思 決 定 の 分 野 で は 応 用 上 重 要 で あ る と 考 え ら れ て い る. 〓しか し,実

際 の 統 計 的 推 測 に お い て,未

知 パ ラ メー タの不確 実性 を規定

す る 事 前 分 布 の 選 び 方 に よ り結 果 が 変 わ っ て し ま っ て は 困 るわ け で,こ の 意 味 で,実

際 のBayes推

試 み る こ とが 多 い.な

測 で は 「客 観 的 」 に 事 前 分 布 を 設 定 し よ う と

か で も,

  ‐ モ デ ル の 未 知 パ ラ メ ー タ の 事 前 分 布 に 含 ま れ る パ ラ メ ー タ(超 パ ラ メ ー タ,hyper  tive prior)」

paremeter)に

さ ら に 「無 情 報 事 前 分 布(noninforma

を 仮 定 し たfull  Bayes法

  ‐ 超 パ ラ メ ー タ の 事 前 分 布 は 未 知 と 考 え,そ 法 で 推 定 す るempricial 

Bayes法(具

れ を 観 測 デ ー タか ら最 尤

体 例 は12.4.1項

参 照)

の 二 つ が よ く 利 用 さ れ る.

こ こ で,無

情 報 事 前 分 布 とは.未

知 パ ラ メー タに 関 し て 事 前 の 知 識 が 欠 け て

い る 状 況 を 表 す 事 前 分 布 を さす.「 未 知 」 と い う こ と は も と も と 「知 識 が 欠 け て い る 」 こ と を 意 味 す る の で あ る か ら,頻 度 論 者 か らみ れ ば な ん と も変 な こ と を し て い る もの だ!と で あ るか ら,そ

一 蹴 され か ね な い.と

はp(θ)∝C(定

「-∞

〓 θ 〓 ∞ 」 の 値 を と り得 る と き そ の 事 前 分 布

「0＜

θ 〓 ∞ 」 の 値 を と り得 る と き そ の 事 前 分 布 は

数).

〓未 知 パ ラ メ ー タが p(logθ)∝C(定

数),す

な わ ち,p(θ)∝1/θ

と 考 え る の が 自 然 で あ ろ う,し

こ で,応

前情 報が ない の

れ を 表 す 確 率 分 布 と し て は 「一 様 分 布 」 が 自然 で あ ろ う.

〓未 知 パ ラ メー タが

し ま い,確

もあ れ,事

か し,前

と な る.

者 の 場 合,積

分 す る と ∞

率 分 布 と し て は 正 し く な い 事 前 分 布(improper  用 上 は,観

prior)と

な る.そ

測 デ ー タの 適 当 な ス ケ ー リ ン グ に よ り

〓未 知 パ ラ メ ー タが,平

均 値 の よ うに,「-∞

と きそ の 事 前 分 布 は,正

〓未 知 パ ラ メー タ が,分 そ の 事 前 分 布 は,逆

〓 θ〓 ∞ 」 の 値 を と り得 る

規 分 布,

p(θ)=N(0,σ2),σ=100程

散 の よ うに,「0＜

度               (9.9)

θ 〓 ∞ 」 の 値 を と り得 る と き

ガ ン マ 分 布,

p(1/θ)=Gα(α,α),α=0.001程

とす る こ とが 多 い.こ

こ に,Gα(α,b)は

度           (9.10)

ガ ンマ分 布で そ の確 率密 度 関数 は

α/

ｂ 〓(x｜

とな って

α,b)=

α-1

x

Ｔ(α)

exp(-bx)∝x

α-1

exp(-bx) 

 

図9.1 

α/

E(X)= で あ る.こ

,

b

無 情 報 事 前 分 布 の例

Var(X)=

α/

(9.12)

b2

の 二 つ の 事 前 分 布 の 「無 情 報 ぶ り」 は 図9.1に

示 す と お りで あ る.

ま た,こ の よ うに 無 情 報 事 前 分 布 を設 定 す る 他 の 理 由 と し て は,後

で示 す よ

う に,事 前 分 布 と事 後 分 布 が 同 じ 分 布 属 に属 す る 解 析 上 の メ リ ッ トが あ るか らで あ る.こ

の 種 の 事 前 分 布 を 自然 共 役(natural  conjugate prior)と い う.

9.4

  さ て,Bayes推

事

分

布

測 で は 事 後 分 布 に興 味 が 集 中 す る わ け で あ る が 実 際 の 統 計

的 推 定 問 題 へ の 適 用 に 際 して は,事 で あ る.も

後

ち ろ ん,未

後 分 布 か ら点 推 定 値 を求 め る こ とが 必 要

知 パ ラ メ ー タは 確 率 変 数 で あ るか ら,頻 度 論 的 立 場 に

お け る よ うな 未 知 母 数 の 「不 偏 推 定 」 とい う概 念 は な い も の の,推 さの 基 準 が 必 要 に な る.そ

の 一 つ が 損 失 関 数(loss function)と

定 値 の良

い わ れ る もの

で あ る.い

ま,θ が 真 の と き に 推 定 値 ｔを と る と き の 損 失 関 数 をL(t,θ)と

し よ う.す る と,事

後 分 布 に 基 づ く期 待 損 失 は E(L(t￨θ)｜x)=∫L(t・

θ)p(θ ｜x)dθ

 

(9・13)

と な り,こ の 期 待 損 失 を 最 小 にす る推 定 量 ｔを選 ぶ の が 自然 で あ ろ う.も ち ろ ん,用

い る損 失 関 数 に依 存 して 変 化 す る.表9.1に

は代 表的 な損 失 関数 と

そ れ か ら導 か れ る 推 定 量 との 関 係 を示 し た.   一 般 的 に は,期 待 損 失 関 数 を 平 均 ２乗 誤 差 で と らえ る こ とが 多 い の で,し た が って 「事 後 分 布 の 期 待 値 をBayes推 9.1の(３)に な る が,こ らば,事

定 値 」 と す る こ とが 多 い.ま

示 す 損 失 関 数 を利 用 す る と事 後 分 布 の モ ー ドがBayes推

た,表 定値 と

れ は 頻 度 論 者 で の 最 尤 法 を 特 別 な 場 合 と して 含 ん で い る.な ぜ な

前 分 布 に き わ め て 範 囲 の 広 い 一 様 分 布p(θ)=Cを

仮 定 す れ ば,式

(9.7)よ り p(θ￨x)∝

〓(x｜ θ)

と な り,事 後 分 布 最 大 は 尤 度 最 大 を 意 味 す る か らで あ る.

9.5  階 層 的条 件 付 き独立 モデ ル

  こ こ で は,full  Bayes法

の な か で も,複

雑 なモデ ルが 階層 構造 を有す るい

くつ か の 独 立 な サ ブ モ デ ル に 分 解 で き る(確 条 件 付 き 独 立 モ デ ル(hierarchical 

率 計 算 が 簡 単 に で き る)階

conditional  independent 

model)を

層 的 紹 介

し よ う.   ま ず,例

１の 問 題 で,二

分 布p(μ,σ2E)を

導 入 し,事

し よ う と す る の がBayes推

表9.1 

Bayes推

つ の 未 知 パ ラ メ ー タ(μ,σ2E)に 後 分 布p1(μ

｜x)とp2(σ2E｜x)を

測 で あ る.式(9.6)で

あ る ２変 量 の 事 前 そ れ ぞ れ,推

定

示 され る 同 時 分 布 が こ の 例

定 に おけ る損 失 関 数 とそ れ に 対 応 し た推 定 量

では

(9.14) と な り,例 え ば,平

均 値 に 関 す る事 後 分 布 は

(9.15) と計 算 す る. こ の 場 合,図9.2に

示 す よ う に,μ,σ2Eそ

れ ぞ れ 独 立 に,事

前 分 布 と し て,

(9.16) ガ ン マ 分 布            (9.17) を 「独 立 に 」 仮 定 し て み よ う.   さ て,こ dency)」

の 図 は,各

ノ ー ド を 矢 印 で 結 び,矢

を 表 し,そ

acyclic graph)と

印 の 方 向 に 「依 存 性(depen-

の 反 対 方 向 に は 進 ま な い と い う 意 味 で,  DAG(directed

よ ば れ る.「 ○ 」 で 囲 ま れ た 変 数 は 未 知 パ ラ メ ー タ で,「 □ 」

で 囲 ま れ た 変 数 は デ ー タ で あ る. 〓 そ れ ぞ れ の,○,□

〓例 え ば,○

→

を ノ ー ド(node)と

○ の 場 合 に,矢

い う

印 を 出 し て い る ノ ー ド を 「親 」,受 け て

い る ノー ド を 「子 」 とす る と,そ れ ぞ れ の ノー ド は 親(複 数 あ る場 合 も) の み に 依 存 し,親 の 先 祖 に は 依 存 せ ず 独 立 で あ る.た だ し,こ の 独 立 性 は デ ー タ を と る前 に 仮 定 され て い る の で あ って,デ

ー タで 条 件 付 け られ

た後 で はそ の独 立性 はか な らず しも保持 され ない ． 〓矢 印 が 実 線 で あ れ ば 「確 率 的 依 存 性 」 を表 現 し,「点 線 」で あ れ ば 「関 数 的 依 存 性 」 を表 現 す る.

図9.2 

2

正 規 分 布 Ｎ(μ,σ E,)のBayes推

定 に お け るDAGの

例

と仮 定 す る 階 層 的 条 件 付 き独 立 モ デ ル で あ る.し か に 独 立 と 仮 定 して い るが,デ

ー タ を と っ た(条 件 付 け し た)後

は か な らず し も保 存 され な い.つ フ は 階 層 的Bayesモ

た が っ て,μ

では独 立性

ま り,推 定 値 間 の 相 関 が 生 じ る.こ

のグ ラ

デ ル の 同 時 分 布 を 考 え る う え で き わ め て 有 用 で あ る.こ

の モ デ ル の 特 徴 の 詳 細 はSpiegelhalter  et  al.(1993)を さ て,こ

と σ2Eは 明 ら

の モ デ ル の 特 徴 は,式(9.6)の

参 照 され た い.

同 時 分 布 が,

(9.18) と 書 け る こ と で あ る.こ v={モ

こに

デ ル に 含 ま れ る す べ て の ノ ー ド υ の 集 合}(9.19)

で あ る.図9.2のDAGよ

り, P(μ,〓,x)=p(μ)p(〓)〓(ｘ

と書 け る.も

ち ろ ん,こ

｜μ,〓)

の 単 純 な例 で は 明 らか で あ り,こ の よ う な表 現 は つ

ま ら な い 例 か も しれ な い が,後 ル で 発 揮 され る.さ て,そ

で み る よ うに,こ

の 表 現 の 良 さは 複 雑 な モ デ

れ ぞ れ の 事 後 分 布 を計 算 し て み る と,以 下 の よ う

に な る.

(9.20) (9.21) で あ り,ま

た,

(9.22) と な る.し

た が っ て,(μ,〓)のBayes推

定値 は それぞ れ の事後 分布 の期待値

であ るか ら

(9.23) (9.24) の 連 立 方 程 式 を 解 く こ とに な る.こ の 例 で み る よ う に,事 後 分 布 も そ れ ぞ れ 正 規 分 布,逆

ガ ン マ 分 布 とな り,式(9.16),(9.17)の

事 前 分 布 が 自然 共 役 で

あ る こ とが わ か る.解 析 が 容 易 と な る こ とか ら共 役 な 事 前 分 布 が よ く利 用 さ れ て き たが,10章

で み る よ う に,最

近 の 計 算 技 術 の 進 歩 に よ り共 役 な 事 前

分 布 は か な らず し も必 要 で は な くな っ て きて い る. [例題9.1]下

のDAGに

[解 答 ］ 式(9.18)よ

り,同

対 す る 式(9.7)で

与 え ら れ る 事 後 分 布 の 核 を導 け.

時分 布 は

p(α,β,γ,x,y)=p(γ￨α)p(β￨α)p(y￨β,x)p(α).p(x)

と な るか ら,事

後分 布 は

p(α,β,γ￨x,y)∝p(γ￨α)p(β￨α)p(y￨β,x)p(α)

と な る.

9.6応

用

例

  以 下 に い ろ い ろ な 応 用 例 を あ げ る.そ れ ぞ れ のDAGよ

り事 後 分 布 の 核 を

求 め よ. [例 ５]一 元 配 置 分 散 分 析   例 ３ の 変 量 効 果 モ デ ル を 階 層 的Bayesモ

デ ル で 考 え て み よ う.式(9.1),

(9.2)は Xij∼N(μi,σ2E)

μi∼N(μ0,σ2B)

と な り,超

パ ラ メ ー タ のnon‐informative事

前 分 布 の例 は

   μ0∼N(0,σ2),σ=100 1/σ2E∼Gα(α,α),α=0.001 1/σ2B∼Gα(α,α),α=0.001

と な る.こ

の モ デ ル のDAGは

図9.3に

示 す と お りで あ る.

[例 ６]成 長 曲 線 モ デ ル  例 ４の 体 重 の 成 長 曲 線 の 変 量 効 果 モ デ ル を 階 層 的Bayesモ

デ ルで考 えてみ

よ う.式(9.4)は Xij∼N(μij,σ2E) μij=αi+βitj

と再 表 現 で き る.変 量 効 果 モ デ ル で は,(μi,βi)に 式(9.5)の を仮 定 し て い た が,階

層Bayesモ

デ ル で は,独

２変 量 正 規 分 布

立 にそ れぞ れ の 事 前分 布 を

仮定

す る こ と に 注 意 し た い,五 例 は

αi∼N(μ

α,σ2α)

βi∼N(μ

β,σ2β)

つ の 超 パ ラ メ ー タ のnon‐informative事

前 分布 の

図9.3

Bayesian一 モ デ ル のDAGの

元 配 置分散 分 析 例

図9.4  Bayesian成

μα ∼N(0,σ2α),σ

α=100

μβ ∼N(0,σ2β),σ

β=100

長 曲 線 モ デ ル のDAGの

例

1/σ2E∼Gα(α,α),α=0.001 1/σ2α ∼Gα(α,α),α=0.001 1/σ2β ∼Gα(α,α),α=0.001

と な る.こ [例 ７]混

の モ デ ル のDAGは

図9.4に

合 効 果(mixed‐effects)モ

示 す と お りで あ る.

デ ル の ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 分 析

五 つ の 超パ ラ メー タの事前 分布 の 例は β0,β1,β2,β12∼N(0,100)        1/σ2∼Gα(0.001,0.001)

と お け る.こ [例 ８]臨

の 場 合 のDAGは

図9.5で

あ る.

床 試 験 の メ タ ・ア ナ リ シ ス(meta‐analysis)

  第i(=1,...,K)臨

床 試 験 の 対 照 群 の 症 例 数 とevent発

新 治 療 群 の そ れ を(ni2,γi2)と

し よ う.そ

う す る と,可

生 数 を(nil,ril), 能 なモデ ルは

図9.5 

図9.6 

混合 効 果 モデ ル の ロジ ス テ ィッ ク回帰 モ デル にお け るBayes推

定 のDAGの

Bayesianメ

タ ・ア ナ リ シ ス

にお け るDAGの

例

例

γij∼Binomial(Pij,ηij)

log

  pij

=αi+βixj, xj=0(control);=1(new 

treatment)

/1-pij

βi∼N(μ,σ2)

こ こ に,βiは

真 の 効 果 の 対 数 オ ッズ で あ る,三

つ の 超 パ ラ メー タの 事 前 分 布

の例 は αi∼N(0,100) μ ∼N(0,100) 1/σ2∼Gα(0.001,0.001)

と お け る ・ 図9.6にDAGを

[例 ９]測

示 す.

定 誤 差 の あ る ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル

  生 活 環 境 中 のNO2へ

の 曝露 ｘと呼吸 器系 症状 の発生 率 ｐとの関 連 を ロジ

ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル で 検 討 し た い.し NO2曝

露 濃 度 の 真 の 測 定(例,パ

か し,疫

ー ソ ナ ル サ ンプ ラ ー)は 困 難 で,家

濃 度 を 簡 易 測 定 法 で 測 定(ｚ)す る以 外 に な い.た は 双 方 の 測 定 を 行 い,ｘ

学調 査で すべ ての対 象 者の

だ,少

の 中の

数 の 対 象 者 に 対 して

と ｚ との 関 係 式 を推 定 す る こ と は 可 能 で あ る.こ

よ う な状 況 で の モ デ ル は 以 下 の と お りで あ る. dj∼Binomial(pj,nj)  log

  pj/ 1-Pj

=θ1+θ2xj 

   

          (9.25) (9.26)

の

図9.7 

測 定 誤 差 を 考 慮 したBayesianロ

ジ ス テ ィッ ク 回帰 モデ ル で のDAGの

μj=α+bzj 

              

xj=N(μj,σ2) 

こ こ で,(α,b,σ)は

             

少 数 の 対 象 者 で の 推 定 値 で あ る.二

例

(9.27) (9.28)

つ の 超 パ ラ メー タの

事前 分布 の例 は θ1,θ2∼N(0,100)

と お け る.図9.7にDAGを [例10]市

示 す.

町 村 単 位 の 死 亡 率 の 標 準 化 死 亡 比(SMR, 

ratio)のsmoothing(12章

参 照)

１)over‐dispersionモ

デ ル

超 パ ラ メー タの 事 前 分 布 は β0,...,βp∼N(0,100)     1/σ20ti  Ga(0.001,0.001)

と お け る. ２)空 間smoothingモ

デ ル di∼Poisson(μ logμ

ｉ)

ｉ=logEi+β1x1+...+βpxp+αi+θi

standardized 

mortality

超パ ラメー タの事前 分布 は  β0,...,βp∼N(0,100) 1/σ20,1/σ21∼Ga(0.001,0.001)

と お け る,   さ て,こ

れ ま で,Bayesモ

デ ル の 柔 軟 性 を 解 説 し て き た が,実

メ ー タ 推 定 の 計 算 に な る と,次 Carlo)法

の 章 に 解 説 す るMCMC(Markov 

が 重 要 な 武 器 と な る.頻

関 し て は,Breslow 

度論 者の立 場で の変量 モ デル での推 測法 に

and  Clayton(1993)が

参 考 に な る.

練習問題 [問題9.1】

[問題9.2]下

下 のDAGに

対 す る 事 後 分 布 の 核 を導 け,

のDAGに

対 す る事 後 分 布 の 核 を導 け,

[問 題9.3]Bayesian線

形 モ デル

際 の パ ラ

chain  Monte

yi∼N(α+βzi,σ21), 

に お い て,真 し てxiが

i=1,...,n

α ∼N(μ1,φ21), 

(non‐informative)

β ∼N(μ2,φ22), 

(non‐informative)

の 共 変 量 の 値ziは

測 定 で きず,そ

れ に 代 わ っ て,代

替変数と

測 定 さ れ る 状 況 を考 え る. xi∼N(zi,σ22)

も ち ろ ん,ziの

分 布(non‐informative)を

１)DAGを

指 定 す る 必 要 が あ る.こ

の と き,

描 け.

２)同

時 分 布 を 導 け.

３)未

知 パ ラ メ ー タ α,β,zの

事 後 分 布 を 導 け.

[問 題9.4] mi∼Poisson(μ), 

i=1,...,n

μ ∼Gamma(γ,λ)

と す る と き,次

の 問 い に 答 え よ.

１)μ の 事 後 分 布,平

均,分

散 を 求 め よ.

２)ｎ が 大 き くな る と事 後 分 布 は ど うな る か? [問題9.5]表9.1に [問題9.6]例10の ル のDAGを

描 け.

示 す 損 失 関 数 と推 定 量 との 関 係 を導 け. 死 亡 率 の 標 準 化 死 亡 比 のsmoothingに

関す る二つ のモデ

10 Markov 

  ６章 の 表6.1に

Monte 

Carlo 

法

示 し た 毒 性 デ ー タ の ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 分 析(6.8節(１))に

個 体 差 を考 慮 したBayesモ mκ

chain 

∼Binomial(θ

デル κ,nκ),κ=1,...,K 

   

(10.1)

(10.2) ｐ(α,β):あ る事 前 分 布 に 従 う           

(10.3)

〓κ:個 体 差 等 に よ り,二 項 分 布 で 説 明 で きな い 変 動(10.4) を 適 用 し て み よ う.問

を 推 定 し,Bayes推

題 は,(α,β)の

事 後 分 布,例

え ば,

定 値(事 後 分 布 の 期 待 値) β=∫

βp(β￨x,m,n)dβ      

(10.5)

を 求 め る こ とで あ る,

10.1 

期 待値 の計 算

確 率 変 数 Ｘ が 密 度 関 数 π(ｘ)を もつ と き,関 数 〓(ｘ)の 期 待 値 は Eπ(〓(x))=∫ で あ る.し

か し,

〓積 分が 複 雑

〓(x)π(x)dx        

(10.6)

 〓高 次 元  〓解 析 解 が 得 ら れ な い(no 

closed  form)

の 場 合 に は 困 っ て し ま う!最 近 の 統 計 学 の 研 究 は,従 者)の

立 場 の 母 数 効 果 モ デ ル(fixed‐effects)か

effects),混

合 効 果 モ デ ル(mixed‐effects),さ

ら,変

来 のfrequentist(頻

量 効 果 モ デ ル(random‐

ら に は,  Bayesian推

方 法 論 が 盛 ん に な っ て き て い る.そ

の 計 算 に は こ れ ら の 期 待 値(積

要 と な る.解

た は 不 可 能 な 場 合,も

析 的 に 計 算 が 困 難,ま

立 な 標 本 がsimulateで

度論

論 などの 分)が

し,π(x)か

必

らの 独

きる

x(1),x(2),...,x(N)∼

π(x),x(i)⊥x(j) 

 

(10.7)

な らば

(10.8) で 近 似 で き る.こ

れ がMonte 

 large numbers)に

Carlo(MC)積

分 で あ り,大

数 の 法 則(law  of

よ り 一 致 性(consistency)

(10.9) が 成 立 す る.し π(x)か

らの

  実 は,独 ulateす

か し,既

知 の 確 率 分 布 な ら 問 題 は な い が,一

「独 立 」 なrandom 

立 で は な い が,あ

sampleのsimulationも

る 「Markov連

鎖(MC, 

般 に は複 雑 な

ま た 困 難 で あ る. Markov 

chain)」

でsim

れ ば 一 致 性 が 成 立 す る の で あ る,

10.2 

推 移 確 率p(･￨･)を

Markov連

も つMarkov連

鎖 か ら 乱 数 を 発 生 さ せ る と は,

x(i+1)∼p(x￨x(i)),i=1,2,...  と い う こ と で あ る.つ

ま り,x(i+1)はx(i)に

と は 独 立 で あ る.

[例 題10.1]Markov連

鎖

鎖 x(i+1)∼N(0.5x(i),1.0)

     (10.10) は 依 存 す る が,x(0),x(1),...,x(i-1)

につい て １)初 期 値 を 適 当 に 変 え て300個 ２)x(i)の

定 常 分 布 π(x)を

の 乱 数 を 図 示 せ よ.

求 め よ.

[解答] １)S‐Plusを

利 用 し,初

に 示 す.す

期 値 を ２通 りx(0)=5,-4,に

で に,100番

こ と が わ か る.101番

変 え た 結 果 を 図10.1

目前後 か らデ ー タのバ ラ ツキは類 似 して いる 目 か ら の デ ー タ の ヒ ス トグ ラ ム を み る と,正

分 布 に 類 似 し た 形 状 を 示 し,そ

の 平 均 値 と 分 散 は,前

1.416),後

あ っ た.

者 は(0.139,1.270)で

規

者 は(-0.0014,

２)定 常分 布 Markov連

鎖 を 書 き換 え れ ば x(i+1)=0.5x(i)+〓,〓

と な る,ま

図10.1 

ず,定

∼N(0,1)

常 分 布 は 正 規 分 布 で あ る こ と は 明 らか で あ ろ う.そ

例 題10.1のMarkov連

鎖 の 初期 値 を変 え た ２種 類 の300の

個 の 乱 数 列 の ヒ ス トグ ラ ム

乱 数 列 と 最後200

こで そ の定常 分 布 を N(μ,σ2)

と し よ う.定 常 で あ れ ば,期

待値 の 関係 か ら

μ=E(x(i+1))=E(x(i))  

よ り μ=0と

な る.ま

E(x(i+1))=0.5E(x(i))

た,分

散 の 関係 よ り

Var(x(i+1))=0.52Var(x(i))+1 つ ま り,

σ2

=σ2 /4

     か ら σ2=4/3と

な る.結

  し か し,す べ て のMarkov連 性 質 と し て,Markov連

局,定

常 分 布 はN(0,4/3)と

要な

鎖 が 「再 帰 的(irreducible)」 で あ る場 合 に,定

常分

こ に,再 帰 的 と は,任 意 の あ る状 態 か ら他

限 回 の 推 移 で 推 移 で き るMarkov連

は,式(10.9)と

な る.

鎖 が 定 常 分 布 を もつ とは か ぎ らな い.重

布 は 一 意 に 定 ま る こ と で あ る.こ の 状 態 へ,有

+1

鎖 を 意 味 す る.そ

の場 合 に

同 じ等 式

(10.11) が 成 立 す る.た   さ て,そ

だ し,こ

の 場 合 は,エ

の 推 定 誤 差(NSE, 

ル ゴ ー ド 平 均(ergodic 

numerical 

average)と

standard  errors)は,理

よ ぶ.

論 は省 略す

る と,

(10.12) こ こ に ρj(〓)は長 さjの あ る.こ

間 隔(lag)を

お い た 数 値 列{〓(x(i))}の

相 関係 数で

の 推 定 誤 差 に 関 して は

〓Ｎ を大 き くす る こ と に よ り小 さ くす る こ とが で き る 〓独 立 なsamplingで

あれ ば 相 関の 項 はゼ ロで あ る

〓相 関 の 項 は 推 定 誤 差 を 小 さ くす る方 向 に 働 くこ と もあ る が,通 くす る 方 向 に 作 用 す る

常 は大 き

な ど が い え る(Gilks 

et al.,1996参

10.3 

さ て,問

照).

Metropolis‐Hastingsア

ル ゴ

リズ ム

題 は,式(10.10)の Markov連

を 利 用 し て,目

鎖:p(･￨･)

標 で あ る 式(10.6)の

期 待 値 を計 算 す る た め の

定 常 分 布:π(x) を ど の よ う に 構 成 す れ ば よ い の か,で の 方 法 を 提 示 し,Hastings(1970)に MCMC(Markov 

あ る.Metropolis 

よ り ア ル ゴ リ ズ ム が 完 成 し た.こ

chain  Monte  Carlo)法

(i+1)

∼ p

ア ル

設 定 する.

y∼q(x￨x(i))

３)Step２.x(i+1)の  ま ず,ｙ

ゴリズ ム

(x￨x(i))

１)あ ゐ 条 件 付 き分 布(a sampler)をq(･｜･)と ２)Step１.sample

れ を

と い う.

Metropolis‐Hastings 

x

et al.(1953)が,そ

値 と し て,次

の確 率 的 選 択 を行 う.

を採 択 す る か ど う か の 採 択 確率(acceptance

probabil‐

ity)と定義する: (10.13)

ぞこで,次 の決定を行う. x(i+1)=y, 

with probability  α(x(i),y)

x(i+1)=x(i), 

  さ て,上

のMHア

ル ゴ リズ ム で 得 ら れ る 定 常 分 布 が,条

に か か わ らず,π(x)で [例題10.2]対

with probability  1-α(x(i),y)  (10.14)

件 付 き分 布q(･￨･)

あ る こ と を 以 下 の 例 題 を 通 し て 考 え て み よ う.

称 な 条 件 付 き分 布, q(x￨y)=q(y￨x) 

             (10.15)

で あ る 場 合 の 採 択 確 率 α(x,y)は ど う な るか? [解答 】

(10.16) [例 題10.3] π(x)P(y￨x)=π(y)p(x￨y) 

          (10.17)

で あ る こ と を 示 せ. [解答] 1)Case 

1.y≠x

2)Case 

2.y=x

明 ら か.

[例題10.4]定

常 分 布 が π(y)と な る,す

なわ ち

∫(x)p(y￨x)ax=π(y) 

             (10.18

）

と な る こ と を 示 せ.

[解答1定

常 状 態 で,時

点 ｉに 状 態yに

い て,推

移 確 率p(y￨x)で

状 態yに

い る 確 率 は,時

点i-1に

推 移 す る確 率 を ｘ で 合 計(積

もので あ るか ら

∫ π(x)p(y￨x)dx と な る.例

題10.3の

結 果 を 利 用 す る と,次

∫ π(x)p(y￨x)dx=∫

式 が 展 開 で き る.

π(y)p(x￨y)dx

            =π(y)∫p(x￨y)dx

状態 ｘに 分)し

た

=π(y)

10.4 

  さ て,前 Markov連

節 でsampler 

２ 種 類 のsampler

q(･￨･)の

選 び 方 に か ぎ ら ず,MH法

で 構 成 され る

鎖 に よ り望 み の 定 常 分 布 π(x)が 得 ら れ る こ と が わ か っ た.し

〓sampler  q(･￨･)の

か し,

候 補 は た くさ ん あ る

〓 そ の 選 び 方 は? 〓早 く 収 束 す る(rapid  ら,定

mixing)も

の が 良 い が,そ

れ は,当

然 の こ と なが

常 分 布 π(･)と の 関 係 に 大 き く 依 存 す る

〓mixing  rate=「 れ ば,NSEは 〓 し か し,あ

過 去 を 忘 れ る 速 度 」 と 定 義 す る と,mixing 

rateが

速 け

小 さ くな る るMarkov連

鎖 が ど の よ う なmixing 

rateを

もつ か を事 前 に

予 測 す る こ とは 困 難

な ど とい う問 題 が あ る,   こ こ で は,条

件 付 き確 率 と し て ２種 類 の

「common 

choices」

の例 をあげ

よ う. １)対

称sampler(Metropolis 

sampler)

q(y｜x)=q(x｜y)  Metropolis(1953)が (10.16)で

            (10.19)

提 案 し た も の で あ る.こ

与 え ら れ る.応

用 で は,正

規 分 布

q(Y￨X)=N(X,σ2)  と す る こ とが 少 な く な い.そ

の,特

の 場 合 の採 択確 率 は式

            (10.20)

殊 な 場 合 と し て,random 

walkモ

デ ル q(y￨x)=q(｜y-x｜)

が 考 え られ る.後

の 例 で も 示 す よ うに,分

散 σ2の 大 き さの 選 び 方 に

注 意 が 必 要 で あ る. ２)独

立sampler(independence 

sampler)

q(y｜x)≡q(y) 

た だ,独

立samplerは,後

            

の 例 で 示 す よ う に,非

(10.21)

常 に良 いか 非常 に悪

い か の ど ち ら か で あ る こ とが 多 い こ とに 注 意!こ

の 場合 の採 択確 率 は

(10.22) こ こ に,ω(･)=π(･)/q(･)で

あ る.

[例 題10.5]   π(x)=N(0,1) q(y￨x)=N(ax+b,σ2) に お い て, １) a Metropolis 

sampler

２) an  independence 

を 求 め よ.次

に,こ

sampler

れ ら の ２種 類 のsamplerに

つ い て,σ2を

適 当 に 変 え て,

そ の 収 束 状 況 を 観 察 せ よ.

[解答] １) Metropolis 

sampler

q(y￨x)=q(x￨y),で

あ るか ら

     (y-αx-b)2=(x-αy-b)2               〓         

0={(1-α)(y+x)-2b}(1+α)(y-x)

つ ま り, (α=1,b=0),ま

と な る.特

と,random  ２)independence     

た は,(α=-1,b:任

に,(α=1,b=0)の

walk  samplerと

意)

場 合は

な る.

sampler

こ の 場 合 は 明 ら か に(α=0,b:任

さ て,(α=1,b=0)のMetropolis 

意)と samplerで,初

σ2=0.1.0.5.10

な る. 期 値x(0)=-4と

し て,

図10.2 

例 題10.5のMetropolis 

samplerで,分

の 乱 数 列 と 最 後500個

と 変 え て,1000回

の 繰 り返 し たMH乱

乱 数 の ヒ ス ト グ ラ ム を 図10.2に

数 列 と501回

れ る 採 択 確 率 が 高 く な る が,変

た め,採

れ に,対

場 合 はy-xの

変動 幅

１ に 近 く な り,式(10.16)で

与 え ら

た が っ て,mixing 

設 定 す る と,y-xの

択 確 率 は 小 さ く な り,し

に な る.σ2=0.5の

目 まで の

動 は 小 さ く,し

し て,σ2=10と

か ら 順 に σ2=0.1,0.5,10

目 か ら1000回

示 し た.σ2=0.1の

が 小 さ く抑 え ら れ る た め,π(y)/π(x)が

い.こ

散 の 初 期 値 を 変 え た ３ 種 類 の 長 さ1000

の 乱 数 列 の ヒ ス ト グ ラ ム.上

rateは

遅

変 動幅が 大 きす ぎ る

ば ら く 変 動 し な い サ イ ク ル を 繰 り返 す こ と

ケ ー ス で は,こ

れ らの 両 極 端 の パ タ ー ン が 生 じ る こ と な

く比 較 的 早 く収 束 し て い る よ う に 思 わ れ る. 次 に,independence 

samplerの

挙 動 を み る た め に,  b=0と

し て,

σ2=0.5,1.5,5.0

の 三 つ の 場 合 を 調 べ て み よ う.図10.3に

示 す よ う に,σ2=0.5の

場 合は 初

図10.3 

例 題10.5のindependence  長 さ1000の

samelerで,分

乱 数 列 と 最 後500個

散 の 初 期 値 を 変 え た

の 乱 数 列 の ヒ ス ト グ ラ ム.上

３ 種 類 の か ら 順 に

σ2=0.5,1.5,5.0

期 値x(0)=-4が

全 く変 化 し て い な い.し

れ い に 収 束 し て い る こ とが わ か る.こ か? 

か し,σ2=1.5の

場 合はか な りき

の 理 由 は な に が 原 因 して い る の だ ろ う

採 択 確 率,式(10.22)の

の 部 分 を 考 え て み よ う.q(･)の

分 散 が π(･)の 分 散 よ り小 さ い,す

布 の 裾 が よ り 軽 い(light  tailed)場 １)初 期 値 が 分 布 の 裾x(0)=-4に ２)q(x)が

π(x)に

合, 位 置 す る と,

比 し て き わ め て 小 さ く な り,分

きわ め て 大 き くな る

な わ ち,分

母,す

な わ ち,ω(x)が

  ３)そ れ に 対 し て,ｙ の 値 は ほ とん ど 裾 に 位 置 し な い こ とか ら採 択 確 率 は き わ め て小 さ くな る の で あ る.こ の 場 合 は つ ね に採 択 さ れ な い 極 端 な結 果 と な っ た の で あ る.   と こ ろ が,σ2=1.5の

場 合 はq(･)は

の で こ の よ う な こ と は 避 け ら れ る.図 い る 例 で あ り,こ

者 の ヒ ス トグ ラ ム で 示 し

れ ぞ れ,(-0.090,1.038)と

近 づ い て い る こ と が わ か る.と

先 ほ ど のMetroplois 

samplerの

σ2=10の

な り,定

こ ろ が,σ2=5と

例 の よ う に し ば ら く変 動 し な い ど はmixing 

れ で も,後

散 は そ れ ぞ れ,(0.165,1.116)と

の デ ー タ の 平 均,分

常 分 布 す る と,

サ イ ク ル を 繰 り 返 し て い る.σ2=1.5ほ 半500個

tailed)

に 示 し た 結 果 は 非 常 に う ま くい っ て

の 二 つ は 対 照 的 な 例 で あ る.前

た 乱 数 列 の 平 均 値 と 分 散 は,そ π(･)=N(0,1)に

π(･)よ り裾 が 重 く な る(heavy 

rateは

早 く な い が,そ 標

準 正 規 分 布 に 近 づ い て い る.

10.5 

  さ て,図10.2,図10.3の あ っ た.こ

収  束  診  断

右 側 に はMH乱

の 例 で は 一 律 にM=500回

M+1=501回

目 か ら1000回

数 列 の ヒ ス トグ ラ ム を 示 し て の 繰 り返 し は 捨 て て(burn‐in),

目 ま で の500個

の乱 数 列 を利 用 した の で

あ るが,「 乱 数 列 の 最 初 の 項 は 初 期 値 に 依 存 し て い る の で,そ

の 部 分 は 捨 て,

収 束 し た(過 去 を忘 れ た)部 分 だ け を利 用 」 し よ う と い う 自然 な 発 想 で あ る. つ ま り,式(10.11)の

で 置 き換 え ら れ る.最 と よぶ.Ｍ

期待 値 の計 算は

初 の Ｍ 回 の 初 期 値 に 依 存 す る 部 分 をburn‐in sample

の 決 定 を 含 め て,収

束 して い るか ど うか を 簡 単 に チ ェ ック す る方

法 の 一 つ に,burn‐in  sampleを

捨 て た乱 数 列 の 前 半 部 分 と 後 半 部 分,そ

れ の 平 均 値 と分 散 を計 算 し,次

の 統 計 量 を 計 算 す る 方 法 が あ る.

れぞ

(10.24)

乱 数 列 が ほぼ 収 束 して い れ ば,こ

の Ｚ 値 が 標 準 正 規 分 布 に 従 うこ とか ら収 束

の 状 況 を チ ェッ クで き る と い う意 味 で あ る.よ Rubin法(1992)を Markov連

り精 度 の 高 い 方 法 はGelman‐

利 用 す る ． 初 期 値 を数 種 類 変 え てMCMCを

鎖 の 群 内,群

行 い,複

数の

間 分 散 を計 算 す る方 法 で あ るが こ こ で は 省 略 す る.

  いず れ に し て も,初 期 値 を 変 え て 収 束 状 況 を チ ェッ クす る こ とは 重 要 で あ る.

10.6 

こ れ まで は,Markov連

Single‐component 

MH法

鎖の 推 移確 率

は １変 量 を暗 黙 の う ち に 仮 定 して き た.実

際 に は多変 量

x=(x1,...,xp)     

の 場 合 が ほ と ん ど で あ る.例

え ば,表

の ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 分 析 の 例 で は

x=(α,β)  の ２変 量 で あ る.こ

(10.25)

     

  (10.26)

の 多 変 量 の 場 合 に は 推 移 確 率 に 多 変 量 分 布 を設 定 して 一

度 に 推 移 さ せ る 方 法 も 考 え ら れ る が,そ sampler  qj(・￨・)を 設 定 し,そ

れ よ り も,そ

れ ぞ れ のiteration 

に 逐 次 推 移 さ せ る 方 法 が 簡 単 で あ り,か

れ ぞ れ の 変 数xj毎

iで,変

数x1,x2,...の

つ い ろ い ろ と 便 利 で あ る.つ

に 順 ま り,

次 の ア ル ゴ リ ズ ム が よ く 利 用 さ れ る:

(10.27) つ ま り,そ れ ぞ れ の 変 数 の 推 移 に あ た っ て は,最

も新 し い ｘ に 基 づ く採 択 確

率 を利 用 す る.ま ず,iteration  iか らiteration i+1へ 数xjが

の 推 移 に お い て,変

推 移 す る 直 前 の 他 の 変 数 の 状 態 を次 式 で 定 義 す る:

(10.28) つ ま り,こ

の ア ル ゴ リ ズ ム の 下 で は,sampler,定

常 分 布 π(・￨・)と も,現

在

の 状 態 の 条 件 付 き 確 率 で あ る か ら,

(10.29) こ の ア ル ゴ リ ズ ム をsingle‐component 

Metropolis‐Hastings法

と よ び,

(10.30) で,フ

ル 条 件 付 き 分 布(full 

[例 題10.6]表6.1の いBayes流

conditional 

distribution)と

毒 性 デ ー タ にover‐dispersion(6.6節

よ ぶ.

参 照)を

ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル を 適 用 しsingle‐component 

考慮 しな MH法

を

適 用 し て 推 定 せ よ. [解答]ロ

ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル

(10.31) (10.32) の 式(10.32)を,計

算 を 容 易 に す る た め に,

と 標 準 化 し て お こ う.パ ρ1(α),ρ2(β)と す る と,そ

ラ メ ー タ(α,β)の

事 前 分 布 を そ れ ぞ れ 独 立 に

の 事 後 分 布 は,図9.5のDAGを

参 考 に して

と な り積 分 の 項 が 含 まれ る ． しか し,single‐component  MH法 確 率 を計 算 す る と き に 分 母 の 積 分 が 消 え て くれ る の で,こ

におい て採択

こ で は,事

後 分布

の核 p1(α)p2(β)〓(m￨x,n,α,β) だ け が わ か れ ば よ い.そ qβ(･￨･)を

こ で,パ

ラ メ ー タ(α,β)に そ れ ぞ れ,sampler 

適 当 に 選 ん で,single‐component 

MH法

qα(･￨･),

を 適 用 す る と,そ

れぞれ

の 採 択 確 率 は 次 の と お り に な る:

と な る.こ

こ で,samplerと

し て,  independence 

samplerを

適 用 し,

qα(yα￨α(i,β(i)=qα(yα)=p1(α)=N(0,σ2α) 

  (10.33)

qβ(yβ￨β(i,α(i+1))=qp(yβ)=p2(β)=N(0,σ2β) 

と し て み よ う.こ の 場 合,採

択 確率 は

と き わ め て 単 純 化 され る.さ

て,こ

(10.34)

ん な に 単 純 化 され たMCMCの

挙 動 を次

の 三 つ の 場 合 に つ い て 検 討 し て み よ う.

  図10.4に

「run ２」 の 実 行 を,そ れ ぞ れ2000回

タ リ ン グ とburn‐in sampleと 1500回

し て,最

初 の500回

の 数 値 列 の ヒ ス トグ ラ ム を示 し た.初

ま り変 化 は な いが,分

繰 り返 し た 数 値 列 の モ ニ の 繰 り返 し を 捨 て た 残 り

期値 に よって 収束 の仕 方 はあ

散 が 大 きい と し ば ら く変 動 し な い サ イ ク ル を 繰 り返 す

図10.4 

例 題10.6の

「run ２」 の 長 さ2000の

表10.1 

例 題10.6の

挙 動 を 示 す こ とが わ か る.図10.5は で あ る.収

式(10.29)の

３通 りの 実 行 を 一 つ の 図 に 示 した もの

中 のsampler 

れ い な乱 数 列 とは い い

示 す と お り,最 尤 推 定 値 と あ ま り変 わ

束 診 断 の た め の 式(10.24)の

10.7 

の 乱 数 列 の ヒ ス トグ ラ ム

結 果

束 とい う点 で は あ ま り問 題 は 少 な い が,き

が た い.し か し,推 定 結 果 は 表10.1に ら な い.収

乱 数 列 と 最 後1500個

Gibbs 

Ｚ 値 も悪 くな い.

sampling

qj(・￨・,・)を フ ル 条 件 付 き 分 布(式(10.30))

(10.35) と 設 定 し たsamplerはGibbs  応 用 は こ のGibbs 

samplingを

samplerと

よ ば れ る.今

利 用 し て い る.そ

日 のMCMCの

れ は,求

多 くの

め たい定 常分 布 の

図10.5 

例 題10.6の

３種 類 の 「run」 の 長 さ2000の

フ ル 条 件 付 き 分 布 か ら のsamplingと ら 独 立samplerで

あ る.こ

乱 数 列の 重 ね プ ロ ッ ト

な っ て い て, x(i)jに 依 存 し な い こ と か

の 式 を 式(10.29)に

代 入 し て み る と,

(10.36) と な り,つ

ね に 採 択 さ れ る 独 立samplerで

-(10,34)Bayes流

も あ る.と

こ ろ が,式(10.31)

ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル の フ ル 条 件 付 き 分 布 を 求 め て み

る と,

(10.37) (10.38) と な り,こ

の 複 雑 な 分 布 か ら 乱 数 を 「直 接 」 発 生 させ る の は 容 易 で は な い.

し か し,次

に 解 説 す るrejection  samplingと

い うア ル ゴ リズ ム を利 用 す る こ

とで 多 くの 場 合 比 較 的 簡 単 に コ ン ピ ュ ー タ で 乱 数 が 発 生 で き る の で あ る. そ の 論 理 は,す べ て の ｘに つ い て П(x)〓 π(x)と な る 関 数 П(x)が 存 在 し, そ れ に 比 例 した 確 率 分 布 か らの 乱 数 の 発 生 は 容 易 な 場 合 を 考 え る と

と な り,も

し,関 数 П(x)に

で 採 択 す れ ば,そ わ ち,次

比 例 す る 確 率 分 布 か ら の 乱 数 Ｘ を 確 率 π(x)/П(x)

の 乱 数 は π(x)か

のrejection  samplingの

１)П(x)に

３)も し,「U〓

ア ル ゴ リ ズ ム が 成 立 す る.

ら の 乱 数 を Ｕ と す る.

π(X)/П(X)」

な らば Ｘ を π(x)か ら の 乱 数 と し て 採 用 す

用 さ れ な け れ ば １)へ 戻 る(こ の ル ー プ を Ｘ が 採 用 され る まで

繰 り返 す).   し か し,実

な

比 例 す る確 率 分 布 か らの 乱 数 を Ｘ とす る.

２)一 様 分 布 Ｕ(0,1)か

る.採

ら の 乱 数 と 一 致 す る こ と が わ か る.す

際 の 適 用 に あ た っ て は Π(x)を

Wild(1992)は

「secant method」

rejection  samplingを

提 案 し た.そ

adaptive 

求 め る 方 法 が 問 題 と な る.Gilks

を 利 用 し て 微 分 の 必 要 の な い 方 法adaptive

rejection 

の 概 要 は 図10.6に

sampling 

from 

示 す と お り で あ る.

π(･)

１)π(x)を 評 価 す る た め の ｘの 初 期 値 の 集 合S={x1,...,xs}を

用

意す る.通 常 は ４点か ら６ 点 前 後で十 分 であ る. ２)図10.6に

示 す よ う に,{x1,..,xs}に

基 づ い てsecant  method

よ り Πs(x)(太 い折れ 線)を 構 築 する. ３)Πs(x)か

ら の 乱 数 を Ｘ と ず る.

４)一 様 分 布Ｕ(0,1)か

５)もし,｢U〓

ら の 乱 数 をＵ と す る.

π(X)/Πs(X)」 なら ぼ Ｘ を π(x)か らの 乱数 として

採用 し 終 了.採 用 され なけ れば,Ｘ を集 合 Ｓ に加 え,２)へ 戻 る (この ループ を Ｘ が 採用 さ れ るまで繰 り返 す) .

図10.6 

adaptive 

[例題10.7]式(10.37)の グ ラ ム を 作 成 し,そ

rejection 

samplingのsecant 

methodの

概 要 図

α の フ ル 条 件 付 き分 布 か ら乱 数 を発 生 させ る プ ロ の 試 行 例 を 示 せ.

[解 答]S‐Plusで

作 成 し た プ ロ グ ラ ム を 付 録B.7に

10.7に 示 した.こ

の 例 で は まず 集 合 Ｓ の 初 期 値 と して,

示 し,そ

の試 行例 を図

S={-0.5,0,0.5,1,1.5,2.0} パ ラ メー タの 初 期 値 と し て, α(0)=2,β(0)=2.5,σ2α=1.0

と 設 定 し た も の で あ る.こ 0.7463」

の 試 行 で は ３ 回 の 繰 り返 し で,一

を 発 生 さ せ て い る.図10.7の

関 数 を そ の つ どsimulateし

て い る 図 で,右

数 が 増 え る に つ れ て Пs(x)は

[例 題10.8]例

題10.6をGibbs 

[解 答]S‐Plusで の でFortran,Ｃ samplingを

左 の 図 は Пs(x)に

つ の 乱 数 「X= 比例 す る確率 分布

の 図 は ПS(x)で

あ る.繰

り返 し

π(ｘ)に 近 づ い て い る こ と が 理 解 で き よ う.

samplingを

利 用 し て 解 析 せ よ.

作 成 し た プ ロ グ ラ ム を 付 録B.8に

示 す が,計

等 の 言 語 で 作 成 す る こ と を 薦 め る.ま

算 時 間が 遅 い

ず,adaptive 

利 用 す る た め の 集 合 Ｓ の 設 定 を 次 の よ う に 設 定 す る. Sα={-1.0,0.0,1.0,2.0}

Sβ={0.0,1.0,2.0,3.0,4.0}

rejection

図10.7 

例 題10.7のadaptive  る 確 率 分 布 関 数,右

rejection  は Πs(x)で

表10.2 

さ て,こ う.結

こ で は パ ラ メ ー タ の(初 果 は 表10.2に

さ て,最

例 題10.8の

期 値 の)設

ま と め,「run１

後 にover‐dispersionを mκ

∼Binomial(θ

samplingの

試 行 例:左

は Πs(x)に

比 例 す

あ る

推 定結果

定 を ２通 り変 え て 計 算 し て み よ

」 の 結 果 を 図10.8に

示 す.

考 慮 し た ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル κ,nκ),κ=1,...,K 

 

(10.39)

図10.8 

例 題10.8の

「run

1」 の 長 さ2000の

乱 数 列 と 最 後1500個

の 乱数 列 の ヒ ス トグ ラム

(10.40) p1(α)=N(0,σ2a) 

           

(10.41)

p2(β)=N(0,σ2β) 

          

(10.42)

(10.43) p4(〓)=Ga(a,b) 

             (10.44)

の フ ル 条 件 付 き分 布 を 求 め て み る と,

(10.45) (10.46) (10.47)

表10.3 

例 題10.8のover‐dispersionを

考 慮 した 推 定 結 果

(10.48) と な る.つ

ま り,〓

だ け はadaptive 

rejection  samplingを

適用 す る必 要は な

い こ と に な る. [例 題10.9］ plingを

本 章 の 冒 頭 のBayesianロ

ジ ス テ ィッ ク 回 帰 モ デ ル をGibbs 

sam

利 用 し て 解 析 せ よ.

[解 答]S‐Plusで

作 成 し た プ ロ グ ラ ム は 省 略 す る が ， や は り,計

が 遅 い の でFortran,Ｃ  rejection  samplingを

等 の 言 語 で 作 成 す る こ と を 薦 め る.ま

算 時 間

ず,adaptive

利 用 す る た め の 集 合 Ｓ の 設 定 は 前 と 同 様 に 設 定 し よ う.

ま た,

a=b=0.01 と設 定 した.さ

て,こ

こ で は パ ラ メー タの(初

と 設 定 し て み た.2000回 て 推 定 し た,そ

の 繰 り 返 し でburn‐in  sample数

れ ぞ れ の パ ラ メ ー タ のGibbs 

の ヒ ス ト グ ラ ム は 図10.9に [例 題10.10]表10.4,図10.10は

示 し た.推

定を

をM=500と

し

samplingの

乱 数 列 と事 後 分 布

定 結 果 は 表10.3に

示 す と お り で あ る.

あ る 処 理 を 施 し た30匹

体 重 を 測 定 し た 実 験 デ ー タ で あ る.こ 推 定 す る こ と に あ る,こ

期 値 の)設

のratの

５週 間 の

の実験 で の興味 は 出生時点 で の体 重 を

の デ ー タ に 対 し て,次

の変量 モデ ルの線 形 成長 モデ

図10.9 

例 題10.9の

長 さ2000の

乱 数 列 と最後1500個

の 乱 数 列 の ヒ ス トグ ラ ム

ル を 適 用 せ よ. yij=α

ｉ+βi(xj-x)+〓

ｉj, 

i=1,...,n(=30); 

j=1,...,」(=5)

(10.49) 2

〓 ∼N(0,σ αi∼N(μ

E)              

(10.50)

2

α,σa )            

(10.51)

2

βｉ∼N(μ こ こ で,パ

ラ メ ー タ(μ

α,μβ,1/σ2E,1/σ2

β,σ β)            α,1/σ2β)に

分 布 と し て

μα ∼N(0,10,000) μβ ∼N(0,10,000) T=1/σ2∼Ga(0.001,0.001)

は

「noninformative」

(10.52) 事 前

表10.4 

あ る 処 理 を 施 した30匹

〓α=1/σ 〓β=1/σ

のratの

５週 間 の 体 重 の デ ー タ

2 a

∼Ga(0.001,0.001)

2 β

∼Ga(0.001,0.001)

を仮 定 し よ う. [解答]こ

の モ デ ル で の 同 時 分 布 は,図9.4に p(α,β,x,Ｙ,μ

と な る.し

た が っ て,そ

α,μ β,〓α,〓β,〓)=P(〓)p(μ

示 すDAGを

参 考 に して

α)p(〓 α)p(μ β)p(〓 β)

れ ぞ れ の フ ル 条 件 付 き 分 布 は,υ=1/10,000と

し て,

図10.10 

あ る 処 理 を し たrats  30匹 の 体 重 の 成 長 デ ー タ

  以 上 の よ う に,誤 差 に 正 規 分 布 を 仮 定 す る線 形 モ デ ル で は,位 タの 事 前 分 布 に 正 規 分 布,分

置 パ ラ メー

散 パ ラ メー タの そ れ に 逆 ガ ン マ 分 布 を仮 定 す る

こ と に よ り,す べ て の パ ラ メ ー タの フル 条 件 付 き分 布 は 正 規 分 布 ま た は ガ ン マ 分 布 とな り,Gibbs  samplingが

きわ め て 容 易 で あ る.こ の ケ ー ス で は,次

の ア ル ゴ リズ ム が 可 能 で あ る.

１)Step０:パ

ラ メ ー タ の初 期 値

か ら求 め る ．

２)Step１: ３)Step２:κ

を設 定 す る．

←

κ+１

４)Step３: ５)Step４: ６)Step５: ７)Step６: ８)Step７: ９)Step８:

ｉ=1,...,ｎ

10)Step９:i=１,...,ｎ 1 1)Step10：goto 

出生時 の体 重 は

Step２(必

要 な 回 数 だ け繰 り返 す ）

図10.11 

例 題10.10の ス ト グ ラ ム.上

各 パ ラ メ ー タ の 長 さ2000の か ら 順 に μα,μ β,μo,σ

μ0=μ

で あ る.結 に,推

定 結 果 を 下 に ま と め た.出

トBUGS, 

samplingを

WinBUGSな

数 列 を 図10.11に

生 時 体 重 は106.3±3.775と

利 用 し たBayes推

ど がSpiegelhalter 

の 乱 数 列 の ヒ

β ｘ

果 の 一 部(μ α,μβ,μ0,σE)のMC乱

  最 後 に,Gibbs 

い る.

α-μ

乱 数 列 と 最 後1500個 で あ る.

示 す と とも

推 定 さ れ た.

測 の ため の便利 な統計 ソ フ et αl.(1995)に

よ り公 開 さ れ て

11 トピ ックス Ⅲ: 多 施 設 共 同 臨床 試 験 にお け る施 設 間差

  表11.1は

肝 疾 患 治 療 薬 で あ る 強 力 ネ オ ミ ノ フ ァー ゲ ン Ｃ の 「増 量 投 与 」

の 効 果 をGPT値

の 改 善(logス

ケ ー ル)で 検 証 す る た め の 多 施 設 共 同 二 重 盲

験 無 作 為 化 平 行 群 間 比 較 臨 床 試 験 の 結 果 を試 験 に 参 加 した 施 設(center)毎 示 し た もの で あ る(lino et  al.,2000).試 で あ り,試 験 開 始 か ら ２週 後 のGPT値

表11.1 

験 デ ザ イ ン は 図11.1に か ら判 断 して,改

る ため の 多施 設 共 同 二重 盲 験 無 作 為 化平 行 群 間比 較 臨 床試 験 cndpoint 後)か

GPT値(log変

価 変 数は 投 与 ６週 間後 のprimary 換 後)の ベ ー ス ラ イン値(２ 週 間

らの 差

Student's  Wilcoxon 

t-test:p=0.013

rank‐sum 

test:p=0.0053

示 す とお り

善が 認 め られ な い

強 力 ネ オ ミノ フ ァー ゲ ン Ｃ の 「増 量 投 与」 の 効 果 を 検証 す 結 果 の 施 設 毎 の 要約.評

に

図11.1 

患 者 を 対 象 と し て,「40ml継 群 」 そ れ ぞ れ,50症 は

「100ml増

続 投 与 群 」 と 「40mlか

ら100mlへ

の増 量投 与

例 ず つ 無 作 為 に 割 り付 け ら れ た も の で あ る.そ

量投 与群 」が

る(p=0.0053,Wilcoxon  例 に し て,施

「増 量 効 果 」 を検 証 す る 試験 デ ザ イ ン

設 間 差,す

Treatment×Center交

「40ml継

続 群 」 に 比 し てGPT値

rank‐slum  tcst)こ な わ ち,治

と が 示 さ れ た が,こ

  施 設 毎 に 試 験 に 登 録 され,決

を有意 に下 げ のデ ー タを

療 効 果 が 施 設 に よ って 変 化 す る か と い う

互 作 用(interaction)を

11.1 

の結 果

考 え て み よ う.

治療 効 果の モデ ル

め られ た 複 数 の 治 療 の 一 つ に無 作 為 に 割 り付

け られ る多 施 設 平 行 群 間比 較 臨床 試 験 に お い て,治

療 効 果 が ど う も,施 設 に

よ っ て 異 な る か も しれ な い と い う 「治 療 と施 設 との 交 互 作 用 」 を 検 討 す る 統 計 モ デ ル は 次 の よ うに 表 現 され る.施 設 ｉで,治 κ の 反 応yijκ(表11.1の

療 ｊ を割 り付 け られ た 患 者

例 で は ６週 後-2週 後)は

yijκ=μ+αi+βj+γij+〓ijκ

             (11.1)

μ:全

体 の平均

αi:施

設

βj:治

療 ｊ の 効 果,j=1,2

γij:施 〓ijκ:個

ｉの 効 果  

i=1,...,I

設 と治 療 の 交 互 作 用 効 果 体 差

∼ Ｎ(0,σ2E), 

κ=1,...,nij

と い う分 散 分 析 モ デ ル で 表 現 で き る.ま ず,各

施 設 に 同 じ症 例 数 を期 待 す る

の は 現 実 的 で は な く,し た が って,解 析 対 象 症 例 の デ ー タ構 造 はunbalanced data(nijが

異 な る)と な る の が 通 例 で あ る.ま

録 され た と し て も,症 例 検 討 の 結 果,中

た,仮

止,脱

に 全 く同 じ症 例 数 が 登

落 な ど に よ りunbalancedと

な る の は 避 け ら れ な い.   さ て,施

設 の 主 効 果 αiに は,primary 

で あ れ ば,各

endpointが

施 設 で 登 録 され た 患 者 の 個 体 差,主

客観 的 な生体 反 応指標

観 的 要 素 も加 味 され る よ う

だ と医 師 の 技 量 の 差 な ど が 含 ま れ る.一

方,治

療 と施 設 と の 交 互 作 用 項 γij

に は 患 者 の 個 体 差 も含 ま れ る も の の,そ

れ 以 上 に 各 施 設 の 医 師 の 技 量,プ

トコ ー ル の 理 解 度,試

験 へ の 熱 心 度(日 本 な ら で は の 要 素 か も しれ な い)な

ど の 差 が 含 まれ る.さ

て,交

ロ

互 作 用 を 考 え る た め に,各

施設 で観 測 され る治

療効 果 の差 は

(11.2) で あ る.こ

の 値 が 施 設 間 で ０ を ま た い で 大 き く変 化 した り,あ る 特 定 の 施 設

の 結 果 が 他 の 施 設 の 結 果 と大 き く異 な り,か つ そ れ が 全 体 の 治 療 効 果 に 大 き な 影 響 力 を も っ て い る 場 合 に は 結 果 の 解 釈 が 難 し くな る.こ の 検 討 は 重 要 な 意 味 を も っ て くる.図11.2に Box‐Whisker  plotを 示 し た.40ml継 間 差 は み ら れ な い が,100ml増 え る.ま

た,図11.3に

の意 味で 施設 毎

は 施 設 ・治 療 別 の 評 価 変 数 の

続 投 与 群 の 治 療 効 果 に は さほ ど の 施 設

量 投 与 群 に は 結 構 な 施 設 間 差 が あ る よ うに み

は 治 療 効 果 の 差diと

そ の １標 準 誤 差 を 示 した.12施

設 中 ７施 設 で 負 の 改 善 効 果 が 示 され て い るが,５ 施 設 で は わ ず か な が ら正 の 改 善 が み られ な い 結 果 と な っ て い る.も

ち ろ ん,こ

の 症 例 数 が 少 な く,ば らつ い て い る の で,図

の試 験 にお いて は施設 毎

の 印 象 は か な ら ず し も正 し くな

図11.2 

い.さ

施 設 ・ 治 療 群 別 治 療 効 果 のBox‐Whisker 

plot

て,「許 容 で き る 交 互 作 用 か 否 か 」 と は 次 の よ うに 考 え る こ とが で き る

だ ろ う. １)図11.4の

Ａ に 示 す よ う に 明 ら か な 「交 互 作 用 」 が あ っ て も,そ

は 異 な ら な い 場 合,つ

ま り,δi=E(di),δ=(δ1,...,δI),と

の 方向 し て,

Ω+={(δ1,...,δI):δ1＞0,...,δI＞0}

Ω-={(δ1,...,δI):δ1＜0,...,δI＜0}

と お く と, δ 〓 Ω+∪

の 場 合 で あ る.観 測 値 か ら み れ ば,例 示 し,少

Ω-

え ば,大

半 の施 設が 正 の効 果 を

数 の 施 設 が 小 さ な 負 の 効 果 を 示 し た も の の,全

正 の 効 果 が 認 め ら れ た 場 合 で,こ (qualitative interaction)と ２)一 方,図11.4の

体 とし て は

の よ う な 交 互 作 用 を量 的 交 互 作 用

よび,一

般 に は 許 容 され る.

Ｂ の よ う に 正 の 効 果 が 観 測 され た 施 設 と 負 の 効 果 が

図11.3 

施設 別 の 投 与群 別 治 療効 果(左 図,C:40ml,  ±SD)を

N:100mL)と

治療 効 果 の差(mean

大 き い順 に 並 べ た もの(右 図)

図11.4 

量 的交互作用 と質的交互作用の模式図

観 測 され た 施 設 の 数 が 接 近 して お り,そ の 微 妙 な 差 で 全 体 の 試 験 結 果 が 正 と も負 と も な り得 る よ うな 状 況 で あ っ た場 合,こ な い 」 と 判 断 す る.こ interaction)と

よぶ.つ

の よ う な 交 互 作 用 を 質 的 交 互 作 用(qualitative ま り, δ 〓 Ω-(Ω+∪

と な る場 合 で あ る.も

れ は 「許 容 で き

ち ろ ん,こ

果 が 有 意 に は な りに くいが,問

Ω-)

の よ う な 場 合 に は 全 体 と して 治 療 効

題 は 有 意 とな っ た 場 合 で あ り,推 定 さ

れ た 治 療 効 果 は 施 設 のselection  biasを 受 け て い る と 解 釈 せ ざ る を 得 な い. Gail and  Simon(1985)は

そ の 区 別 を 検 定 す る 尤 度 比 検 定 を,di∼

Ｎ(δi,σ2i)

と 仮 定 し て 提 案 し て い る:

(11.3) こ こ に,σ2 iに り,Ｉ(・)は()内 あ る.こ

は 標 本 分 散 を 代 入 し(large  sample必 が 正 し い 場 合 に １,正

要),  c=-21og(κ)で

し く な い 場 合 に0を

あ

とる指示 関 数で

の 制 約 条 件 付 き の 尤 度 比 検 定 は も は や 漸 近 的 な χ2分 布 近 似 は 利 用

で き な い,定

数 ｃ に 興 味 あ る 方 は 論 文 を 参 照 さ れ た い.Gail 

and  Simonは

ｃの 数 表 を 与 え て い る.

  さ て,許 容 で き る 交 互 作 用 効 果 の 存 在 の 下 で,全 体 と し て の 治 療 効 果(over all  effect)△ を 考 え て み よ う.全 体 と して の 治 療 効 果 は 各 施 設 で の 治 療 効 果

diを 適 当 に 定 義 さ れ た 施 設 の 重 み ωi

(11.4) に よる重 み付 け平 均

(11.5) (11.6) で 推 定 で き る.重 な わ ち,こ

み は,推

定 値 の 分 散 の 逆 数 とす る の が 一 般 原 則 で あ る.す

こで は,

(11.7) と な る.そ

こ で,式(11.2)で

与 え られ る各 施 設 で の 治 療 効 果 の 差 を 線 形 モ デ

ル(11.1)の

成分 で 表現 してみ る と

          di=ｙi1-yi2=(β1-β2)+(γi1-γi2)+(〓i1.− と な る.こ

こ で,記

号

で,で

あ る(以

用効 果

〓i2.)  (11.8)

「.」の 意 味 は 当 該 添 字 の 項 で 平 均 を と る と い う 意 味 下 同 様).さ

て,施

設 効 果 αi,交

互作

γijに つ い て 次 の ２通 り の 考 え 方 が 可 能 で あ る.

１)母 数 効 果 モ デ ル(flxed‐effects)

  臨 床 試 験 に 参 加 す る 施 設 が 当 該 の 患 者 を 多 く も っ て い る特 定 の 医 療 機 関 か ら選 ば れ た も の で あ っ て,全

国 の 医 療 機 関 を代 表 す る(無

抽 出 の 意 味)も

た は,比

の で は な い場 合,ま

行 う場 合 な ど に 適 用 で き る.こ

較 的少 数の施 設 で試験 を

の 意 味 で は,こ

た 結 果 は 不 偏 性 が な い と もい え る,し

作為

の 臨 床 試 験 か ら得 られ

か し,日 本 の 新 薬 品 の 大 多 数 の

多 施 設 共 同試 験 は こ の 形 式 で 実 施 され,承

認 を受 け てい るのが 現実 で

あ る. ２)変

量 効 果(random‐effects)

  臨 床 試 験 に 参 加 す る 施 設 は,全

国 か ら無 作 為 と まで は い か な く と も

選 ば れ た 代 表 的 な 施 設 で あ り,し たが っ て,施

設 自体 が 無 作 為 標 本 に

近 い 確 率 変 数 と 考 え られ る.し

た が っ て,こ

の 結 果 は 不 偏 性 ・一 般 化

可 能 性 が あ る と い え る.   治 療 効 果 は 母 数 効 果 と考 え る の が 自 然 で あ ろ う.す べ て の 効 果 が 母 数 効 果 で あ る モ デ ル を 母 数 効 果 モ デ ル(fixed‐effects  model),一

部 の変 数 に変 量効

果 が あ る モ デ ル を 混 合 効 果 モ デ ル(mixed‐effects model)と て,施

設 効 果 が 母 数 効 果 と 考 え る モ デ ル は 母 数 効 果 モ デ ル,変

よぶ.し

たが っ

量 効 果 と考 え

る モ デ ル で は 混 合 効 果 モ デ ル と な り,後 者 の 変 量 効 果 に 関 す る 推 測 で は 分 散 成 分 の 推 定 に 関 心 が あ る.   さ て,母

数 効 果 モ デ ル の 立 場 で 考 え れ ば,誤

差 成 分 だ けが 確 率 変 動 す る項

で あ り,

(11.9) で あ る か ら,

(11.10) と な る.つ

ま り,こ

の場 合 の重 み は

(11.11) と な る.も

し,ni1=ni2=niで

あ れ ば,重

み は 単 純 に,

(11.12) と な り,さ

ら に,ni=n(balanced 

design)で

あ れ ば,

(11.13) つ ま り,各 施 設 毎 の 治 療 効 果 の 単 純 平 均 値 と な る.

したが って,全 体 と して の治 療効 果 の期 待値 と標 準誤 差の 推 定値 は

(11.14) (11.15)

と な り,そ の95%信

頼 区 間は △

で 計 算 で き る.こ dfの

こ に,dfは

ｔ分 布 の 上 側2.5%点

次 に,混

±tdf(0.025)SE(△) 

         

誤 差 分 散 σ2Eの 自 由 度 で,tdf(0.025)は

(11.16) 自由度

で あ る.

合 効 果 モ デ ル の 立 場 に た て ば, αi∼N(0,σ2α)            γij∼N(0,σ2γ) 

と 考 え る の が 通 常 で あ る,そ

(11.17) (11.18)

うす る と,

(11.19) と な る.し

た が っ て,混

合 効 果モ デ ルの場 合 の重 みは

(11.20) で あ る.混 合効 果モ デ ルの 下で の 治療効 果 の期待 値 と標 準誤 差 の推 定値 は △=β1-β2 

             

(11.21)

(11.22)

と な る.   さ て,こ

れ ま で は,式(11.1)の

モ デ ル に つ い て 説 明 し て き た.し

単 純 な線 形 モ デ ル で 他 の 共 変 量 を含 ま な い か し,共

変 量(x1,...,xp)を

含 むモデ ル

(11.23) で も 同 様 で あ り,こ

れ ま で の 議 論 の 中 のyijκ

を 共 変 量 で 調 整 され た 値 に 変

換 す れ ば よ い.こ

の モ デ ル は 一 般 に 共 分 散 分 析(analysis 

ル と よ ば れ る.す

な わ ち,

of covariance)モ

デ

(11.24)

とす れ ば よい.表11.1に

示 す 臨 床 試 験 で はGPT値

な 共 変 量(交

あ る の で 調 整 が 必 要 で あ る.

絡 因 子)で

11.2 

  unbalanced 

dataの

1992)に

の 推 測

dataの

dataに

場合 の比 較 的 簡 単 な問 題 で解 説 す る こ とに し

基 づ く 推 測 の 詳 細 は 他 の テ キ ス ト(例:Searl 

et al.,

譲 る.

  ま ず,推 す る.つ

dataで

場 合 の 推 定 は 問 題 の 本 質 を 理 解 す る うえ で きわ め て 不

透 明 な の でbalanced  て,unbalanced 

Balanced 

の ベ ー ス ラ イ ン値 も 重 要

定 の 構 造 を 理 解 す る た め に,よ ま り,j=1,...,Ｊ

り一 般 的 な 母 数 効 果 モ デ ル で 出 発

と し て 考 え る. nij=nと

い うbalanced 

dataの

場 合に は それぞ れ の効 果 としては 施 設 の 効 果:αi=yi...-y... 

           

治 療 効 果:βj=y.j.-y... 

         

交 互 作 用:γij=yij.-yi...-y.j.+y... 

 

(11.25)

(11.26) (11.27)

と な る. yijκ-y...=(yi...-y...)+(y.j.-y...)

              +(yij.-yi...-y.j.+y...)+(yijκ-yij.) 

と 分 解 す る と,平

方 和(sum 

of  squares)が

       (11.28)

そ れぞ れの平 方和 の和 に直 交分解

で き る.

し た が っ て,こ

の 場 合 に は 表11.2の

  母 数 効 果 モ デ ル の 場 合 に は,平

よ う な 分 散 分 析 表 で 整 理 で き る.

均 平 方 和 の 期 待 値 が 表11.3の

よ うに 整 理

で き, σ2E=MSE 

               (11.29)

で あ り,そ れ ぞ れ の 効 果 の 有 意 性 は 次 の Ｆ 検 定 で 評 価 で き る.

表11.2 

二元 配 置 分 散 分 析:balanced 

dataで

交 互 作 用 項 を 含 ん だ モ デ ル.

i=1,...,I;j=1,...,J;κ=1,...,n

表11.3 

母 数 効 果 モ デ ル で の 二 元 配 置 分 散 分 析 に お け る 平 均 平 方 和 の 期 待 値:balanced  

表11.4 

data,交

互 作 用 項 を 含 ん だ モ デ ル.i=1,...I;j=1,...,J;κ=1,...n

混 合 効 果 モ デ ル で の 二 元 配 置 分 散 分 析 に お け る 平 均 平 方 和 の 期 待 値:balanced  

data,交

互 作 用 項 を 含 ん だ モ デ ル.i=1,...1;j=1,...,J;κ=1,...,n

FA=MSA/MSE∼FI-1

,IJ(n-1)

FB=MSB/MSE∼FJ-1

,IJ(n-1) 

(11.30)        

FAB=MSAB/MSE∼F(I-1)(J-1),IJ(n-1)  こ こ にFυ1

  一 方,混

,υ2は

自 由 度(υl,υ2)の

 

(11.31) (11.32)

Ｆ 分 布 で あ る.

合 効 果 モ デ ル の 場 合 に は 平 均 平 方 和 の 期 待 値 が 表11.4の

整 理 で き る.し

た が って,混

合効 果モ デ ルで の治 療効 果 は

FB=MSB/MSAB∼FJ

と 交 互 作 用 項 の 分 散 を 基 準 に 検 定 す る.こ の 場 合 に は,母

よ うに

-1 ,(I-1)(J-1) 

    

こ で,balanced 

数 効 果 モ デ ル で,式(11.14‐15)と

式(11.31),混

(11.33)

dataで,J=2 合効 果 モ デ

ル で,式(11.21‐22)と

式(11.33)が

対 応 す る,つ

ま り,

(11.34) と な る こ とに 注 意 し よ う.   と こ ろ で,混

合 効 果 モ デ ル で の 分 散 成 分 の 推 定 法 と し て は,１)分

(ANOVA)法,２)最 的 な 方法 で あ る.

11.2.1 

尤(ML)法,３)制

限付 き最 尤(REML)法

散 分析

の三 つが代 表

分 散 分 析(ANOVA)法

  モ ー メン ト法 と も よば れ,計

算 され た 平 均 平 方 和 をそ の 期 待 値 に 等 しい と

して 推 定 す る 方 法 で あ る.表11.2と

表11.4の

分 散 分 析 表 か ら モ ー メ ン ト法

を利 用 して

(11.35) (11.36) (11.37) と 推 定 で き る.こ

の 推 定 量 は 「不 偏 最 小 分 散 」 とい う性 質 が あ る が,分

推 定 量 が 「負 」 と な る 可 能 性 が 排 除 で きな い.そ き換 え て,そ

こでML,REML法

な い こ と,ま た,REML法 る(た だ,ANOVA法 ANOVA法

11.2.2 

の 場 合 に は 通 常 「０」 に 置

の 分 散 は きわ め て 小 さい と評 価 す る が,実

に 困 る 問 題 で あ る.そ

散

務 家 に とって は解釈

が 登 場 す るが,ML法

はbalance  dataの 場 合 に はANOVA法

は不 偏 で は に 一致す

で 負 と な る分 散 成 分 は ０と推 定 され る)の で 実 質 的 に

が 利 用 さ れ る こ とが 多 い.

最

尤(ML)法

 尤 度 を構 築 す る た め に,式(11.1)を

ベ ク トル 表 現 に す る と便 利 で あ る.つ

ま り, y=Xθ+Z1α+Z2γ

E(y)=Xθ

γ+e 

              (11.38)

                           (11.39)

(11.40) と な る.こ

こ で, θ=(μ,β1,...,βJ)t 

で あ り,Ｘ,Z1,Z2は

そ れ ぞ れ のdesign行

あ る 正 方 行 列 で あ る.す

             

列 で,Ｊ

る と最 尤 推 定 量 はN=nIJと

(11.41)

はすべ て の要素が １ で し て,次

の 尤度 を最

大 に す る こ と に よ り求 め られ る.

(11.42) 対 数尤 度 は

(11.43) で あ る か ら,次

の 尤度 連 立方 程式 を

(11.44) の 条 件 の 下 に 解 く こ と に な る.

(11.45)

(11.46)

(11.47) (11.48)   少 々 厄 介 な 計 算 が 必 要 と な る が,balanced  のclosed  formで

dataの

場 合 の最 尤推 定 量 は次

与 え ら れ る. 2

σE

= MSE 

               

(11.49)

(11.50) (11.51)

σ

2 E

を 除 い て 明 らか に 不 偏 で は な い.

11.2.3 

制 限 付 き 最 尤(REML)法

  REMLと

は 「モ デ ル の 母 数 効 果 の パ ラ メ ー タ に 関 す る 尤 度 を 除 い た 部 分

の 尤 度 を 最 大 に す る最 尤 法 」 でrestricted ML,residual  な ど と よ ば れ る.言

い 換 え れ ば,母

た 推 定 法 と い え る.例

え ば,最

ML,marginal 

数 効 果 の 推 定 に必 要 な 自 由度 を考 慮 し

も簡 単 な 例 と し て(Y1,...,Yn)∼N(μ,σ2)

の 場 合 の 分 散 σ2の 推 定 の 問 題 を 考 え て み る の が わ か りや す い.最 は

ML

で あ り不 偏 で は な い.そ

こ で,尤

尤推 定量

度 を変 形 して み

る と,

(11.52) と な る.つ

ま り,平 均 値 μ に 関 す る 尤 度 と分 散 に 関 す る 尤 度 に 分 解 で き る こ

とが わ か る.こ の ケ ー スで は,REML法

は 平 均 値 に 関 す る尤 度 は 無 視 し,分

散 に 関 す る 尤 度 を最 大 に す る方 法 と な る.全 体 の 尤 度 と分 散 の 尤 度 を比 較 す れ ば,計

算 を す る ま で も な く,分 散 のREML推

と不 偏 分 散 と な る こ とが わ か る.と

こ ろ で,尤

定値は

度 の変 形 の過程 をみ る と

yi-μ=(y-μ)+(yi-y)

と に 分 解 し て 後 者 の 残 差(residual)の こ と が で き る.こ ぶ こ と も で き る.さ

部 分 の 尤 度 を最 大 に し た 方 法 と考 え る

の 意 味 で 残 差 最 尤 法(residual 

maximum 

likelihood)と

ら に.式(11.52)は L(σ2￨SS)=∫L(μ,σ2￨y)dμ

       (11.53)

よ

と 表 現 で き る こ と か ら,REMLは hood)と

周 辺 最 尤 法(marginal 

maximum 

likeli

も い え る.

さ て,式(11.38)か

ら母 数 効 果 の 部 分 を 除 去 す る ため に 次 の 分 解 を 考 え よ う.

yijk-μ-βj=(y...-μ)+(y.j.-y...-βj)+(yi...-y...)

             

(yij.-yi...-y.j.+y...)+(yijκ-yij.)                

(11.54)

最 初 の ２項 は 母 数 効 果 の 部 分 で あ る か ら,残 差 は 残 り三 つ の 項 か ら な る.つ ま り,式(11.42)の

尤 度 を 残 差 の 三 つ だ け の 二 次 形 式 に 分 解 し て 変 形 して い く

とMSE,MSA,MSABの

関 数 で 表 現 で き,尤 度 方 程 式 を 解 くと式(11.35)

-(11.37)のANOVA法

と 同 じ推 定 量 が 得 られ る.

  こ の こ と を 統 一 的 に 解 説 す る た め に,ベ

ク トル ・行 列 を利 用 して み よ う.

残 差 だ け を 考 え る とい う こ と は 母 数 効 果 の パ ラ メ ー タ を 消 す 変 換 ベ ク トル αtyを 探 す こ と に ほ か な ら な い.つ

ま り,

αty=αtXθ+αt(Z1α+Z2γ+e) 

      (11.55)

に おい て αtXθ=0,任

意 の θ に 対 し て             (11.56)

つ ま り, αtX=0                 (11.57) と な る コ ン ト ラ ス ト(contrast)で

あ る.こ

の よ う な コ ン トラ ス ト α は 次 の

形で 与 え られ る． αt=ct[I-X(XtX)-Xt]  こ こ にX-は

(cは

Ｘ の 一 般 化 逆 行 列(generalized 

コ ン ト ラ ス ト α は γ=rank(X)個

inverse)で

の よ うな

れ らを利用 して

γ)            

(11.59)

め る残差 の 尤度 は Aty∼N(0,AtΣA) 

で 構 成 され る.尤 行 列Atが

あ る.こ

独 立 に 存 在 す る か ら,そ

A=(α1,...,α

と お け ば,求

任 意)      (11.58)

度 方 程 式 はML法

                  (11.60)

と 同様 で あ る.た だ し,す べ て の 行 列 は

左 か ら 施 さ れ て い る こ と に 注 意 す る.

11.3 

  ま ず,母

Unbalanced 

dataで

の推 測 の 留 意 点

数 効 果 モ デ ル の 場 合 を 考 え よ う,balanced 

で は 各 要 因 が 「直 交 」 し,そ

が 一 意 に 決 ま っ た が,unbalanced  要 因 が 直 交 せ ず,平

dataで

はunbalance 

方 和 が 一 意 に 定 ま ら な い.言

ト さ れ た 順 番 に よ っ て,変

dataの

分散分 析モ デル

れ ぞ れ の 要 因 が 寄 与 す る 平 方 和(sum  ゆ え に,そ

い 換 え れ ば,モ

わ っ て く る の で あ る.例

of squares) れぞれ の

デ ル に フ イッ

え ば,

Y=A+B+TREATMENT Y=TREATMENT+B+A で は 三 つ の 要 因 そ れ ぞ れ の 効 果 の 平 方 和 が 変 化 す る.し

た が っ て,注

目 した

い 要 因 効 果 を検 討 す る と きに は他 の 変 数 と の あ て は め る順 番 を考 え る必 要 が あ る.一

般 的 に 認 め られ て い る ル ー ル は Y=X1+…+Xp+TREATMENT

の よ う に,他 の す べ て の 変 数 を先 に フ イッ トさせ て か ら注 目す る 変 数TREAT MENを

フ イッ ト させ る こ とで あ る.た

だ し,例 外 が あ っ て,注

目す べ き変

数 が 含 ま れ て い る 交 互 作 用 項 は後 に フ イッ トさせ な け れ ば な ら な い. Y=X1+…+Xp+TREATMENT     

もち ろ ん,母

+TREATMENT*X1

数 効 果 の パ ラ メ ー タ推 定 は ダ ミー 変 数 を適 当 に 定 義 して 一 般 正

規 線 形 モ デ ル を利 用 す る. [例題11.1]式(11.14)-(11.16)の

交 互 作 用 効 果 の 重 み 付 き平 均 を とっ た推

定 値 は 通 常 の 一 般 正 規 線 形 モ デ ル を利 用 し,交 互 作 用 項 の な い モ デ ル OUTCOME=CENTER+TREATMENT 

のTREATMENT効 [解答]省

果 の 推 定 値 に一 致 す る こ と を証 明 せ よ.

略 す る が,こ

  最 後 に,unbalanced  てREML法

     (11.61)

の 問 題 は重 要 で あ る. dataで

の 分 散 成 分 の推 定 に は,ANOVA法

を 利 用 す る こ とが 多 い.そ

１)unbalance  ゆ え に,ANOVA法 良 い とは 一 概 に い え な い.ま 良 く な い.

に代 わ っ

の 理 由 の い くつ か を列 挙 し よ う. に も数 種 類 の 方 法 が あ り,ど の 方 法 が

た,最

尤 法 に比 して 不 偏 性 以 外 の 性 質 は

２)ML法 ３)し

は 漸 近 的 で あ る もの も推 定 量 と して 漸 近 的 に は 最 良 の 性 質 を もつ.

か し,ML法

４)REML法 に,母

は 不 偏 で は な い.

は 最 尤 法 の 漸 近 的 な性 質 を もつ と 同 時 に,ANOVA法

の よう

数 効 果 を推 定 す る の に 必 要 な 自 由 度 を 考 慮 し て 分 散 成 分 の 推 定

量 を 導 出 し て くれ る.特 に,balanced  dataの 場 合 に はANOVA法 と 一 致 し た不 偏 推 定 量 と な る .こ の 性 質 は,ANOVAに 慣 れ てい る実務 家 に と っ て は 解 釈 が 容 易 で あ る.

11.4解

さて,表

 析

 例

に 示 したデ ー タの統計 モデ ル は

log(GPT6week/GPT2week)ijκ=μ+θ1GPT2week

図11.5 

GPTの

ベ ー ス ラ イン 値 とGPT値

の 減 少 量(log変

換)

+Centeri+Treatmentj +(Center×Treatment)ij+〓ijκ

と 表 現 で き る,図11.5に 間 後)は

示 す よ う に,GPTの

ベ ー ス ラ イ ン 値(投

与 後 ２週

改 善 と は き わ め て 高 度 の 負 の 相 関(γ=-0.388,p＜0.0001)が

さ れ て い る の で 調 整 変 数 と し て 必 要 で あ る.こ

の モ デ ル はS‐Plusで

観 察 は

S‐Plus program:表11.5-11.7 lgdif←log(gpt6)-log(gpt2) aov(lgdif∼gpt2＋center+treatment+center*treatment) glm(lgdif∼gpt2+center+treatment+center*treatment) aov(lgdif∼gpt2+center+treatment) glm(lgdif∼gpt2+center+treatment)

で 実 行 す る.そ

の 結 果 は 表11.5‐ 表11.7に

示 す と お り で あ る.

 解析 結果 は 問題 とな る治療 と施設 との交互作 用効 果 の存在 は認 め られ て い ない.治 療 効 果 の推 定 値は 交互 作 用項 を含 め な いモデ ルか ら △=-0.2126(p=0.0142)

表11.5 

表11.6 

Treatmeat×Center交

Treatment×Center交

互 作 用 項 の な い 母 数効 果 モ デ ル の 分 散 分 析 表

互 作 用 項 を 入れ た 母 数 効 果 モ デ ル の 分 散 分 析 表

表11.7 

Treatment×Center交

で あ り,そ の95%信 -0

で あ っ た.こ

互 作 用 項 の な い を母 数効 果 モデ ル の推 定 値

頼 区 間は

.2126±1.99×0.08479=(-0.0439∼-0.3813)

の 結 果 は 調 整 な し の モ デ ル “lgdif∼treatment"で

の ｐ値0.0130

と ほ と ん ど 変 わ っ て い な い.   次 に 混 合 効 果 モ デ ル はS‐Plusの

「Varcoinp」

関 数 を 利 用 し,REMLを

利

用 し て 推 定 す る.

S‐Plus  program:表11.8

sat.df←data,frame(treatment,center,gpt２,lgdif)

is.random(mino.df)←c(F,T) summary(varcomp(lgdif∼center+gpt２+treatment +center*treatment,data=sat.df,metnod=”reml”))

  推 定 結 果 は 表11.8に 4203±10-11と

示 す と お りで,交

きわ め て 小 さ い.治

互 作 用 項 の 分 散 推 定 値 は σ2γ=

療 効 果 の 推 定 値 と標 準 誤 差 は

表11.8 

で あ っ た.ま

混 合効 果 モ デ ル で の 推 定 結 果(S‐Plus)

た 漸 近 的 な95%信 -0

頼 区間 は

.2128±1.96*0.0841=(-0.0479∼-0.3777)

で あ っ た.

練 習 問 題 [問 題11.1]式(11.49)‐(11.51)の [問 題11.2]一

最 尤 推 定 値 が 導 か れ る こ と を 証 明 せ よ.

元 配置 変 量効 果モ デ ル yij=μ+αi+〓ij

αi∼N(0,σ

2 α),〓ij∼N(0,σ

2 E

)

i=1,...,α;j=1,...,γ

に お い て 次 の 命 題 を 証 明 せ よ. １)尤 度 の 分 解             L(μ,σ2α,σ2E｜y)=L(μ￨y..)L(σ2α,σ2E￨SSA,SSE) ２)尤

度 の 第 ２項 を 最 大 化 す るREML推

定 値:

ａ)MSA＞MSEで

あ る 場 合 に はANOVA推

MSE)/γ,σ2E=MSE,に ｂ)MSA〓MSEで

定 値,σ2a=(MSA‐

一 致 す る. あ る 場 合 に は,ANOVA推

定 値 に 一 致 せ ず,

σ2E=MST,σ2a=0. [問 題11.3]式(11.1)の 場 合 のREML推 を 証 明 せ よ.

二 元 配 置 で 混 合 効 果 モ デ ル か つbalanced  定 値 が 式(11.35)-(11.37)のANOVA推

dataの

定 値 に一致 す るこ と

12 トピ ック ス Ⅳ: 疾 病 地 図 と疾 病 集 積 性

  本 章 で は 統 計 モ デ ル の 応 用 例 と し て,疾 る 問 題 を 考 え る.図12.1はMissouri州(男

病 の 地 域 分 布,地

性,45‐64歳,1972‐1981年)の

胃が ん 死 亡 率 の 市 別 デ ー タで あ る.こ の 図 は,死

亡 率 が 人 口 に 反 比 例 し,人

口 が 減 る に つ れ て 死 亡 率 が 増 加 す る こ と を 示 し て い る,そ

12.1は

近 年,食

事,生

図12.1 

活 習 慣,生

Missouri州

域 集積 性 に関す

じ

め

ん な ば か な!

に

活 環 境 中 の 環 境 汚 染 な ど に 起 因 す る 健康 影 響 へ

の 市 別 の 人 口 と 胃 が ん 死 亡中 率(男

性,45‐64歳,1972‐1981)

の 関 心 が 高 ま っ て い る.1998年

の所 沢 産 の野 菜 のダ イオキ シ ン騒動 はそ の

典 型 で あ ろ う.し か し,偏 っ た 生 活 習 慣,微

量 ・日常 量 程 度 の 環 境 汚 染 物 質,

な ど に 長 期 に 曝 露 す る こ と に よ り発 現 す る健 康 影 響 の 評 価 は 容 易 で は な い. 個 人 レ ベ ル の 曝 露 量 の 推 定 が 可 能 な 例 は き わ め て 稀 で あ り,曝 露 量 と相 関 す る代 替 指 標 を 上 手 に 利 用 せ ざ る を 得 な い.こ

の 意 味 で 地 域 に 偏 在(集

積)し

た健 康 影 響 を 早 期 に 発 見 す る こ と は 重 要 で あ る.公 衆 衛 生 分 野 で は,市 村 別 の 健康 状 況,疾 (有 病 率),標 図(disease

区町

病状 況 を比較 検討 す るた めにあ る疾患 の年齢 調 整死 亡率

準 化 死 亡 比 な ど を 数 区 分 に 色 分 け して 視 覚 的 に 表 示 した 疾 病 地 map)が

を被 説 明 変 数,市

よ く利 用 され て きた.ま

た,あ

区 町 村 毎 の 社 会 経 済 的 指 標,環

た 回 帰 分 析 な ど も よ く行 わ れ て き た.し

る疾 患 の 年 齢 調 整 死 亡 率

境変 数 など を説明 変数 と し

か し,こ れ らの 「日常 的 な 行 為 」 が

実 は 統 計 学 的 に 適 切 で な い こ とは ほ と ん ど 知 ら れ て い な い. 本 章 で は,い わ ゆ る小 地 域(small  areas)に 対 す る 疾 病 地 図 の 問 題 点 と,そ の 解 決 に 向 け た 代 表 的 な 方 法 論 を紹 介 す る.

12.2問

図12.1に

示 した

題

「直 線 Ａ 」 は 0/

0 y=

で あ り,図12.1の

の 所 在

/x=

=0 log10(人

口)

「曲 線 Ｂ」 は 関 数 1/ y=

log10(人

口)

を ｘ軸 を 対 数 目盛 りで 描 い た もの で あ る.つ

ま り,単 純 な,誰

で も計 算 で き

る死 亡 率 γ=

d /n

×100,000.

  d:死

亡 数,  n:人

口

を そ の ま ま 使 用 し て い る点 が 実 は 大 き な 落 と し穴 で,   各 地 域 の 人 口 の 変 動 が 大 きい と,対 象 と し て い る κ個 の 地 域 毎 に 計 算 した 率(γ1,γ2,...,γк)が,地 域 間 の 死 亡 率 の 大 き さ を比 較 す る の に 適 切 な指 標 とな らな い

の で あ る.当

然 の こ と なが ら,死

亡 率 γｉは,人

口 の 少 な い 地 域 で は,わ

か な 死 亡 数 の 増 減 の 影 響 が 大 き く反 映 され,不

ず

安 定 な 指 標 と な っ て し ま う.

人 口 の 大 き さ に 起 因 す る精 度 を 有 す る 死 亡 率 で 地 図 を 作 成 す る 「行 為 」 は, ｢κ 種 類 の 精 度 の 異 な る 物 差 し の 測 定 結 果 を 同 じ レ ベ ル で 比 較 す る こ と 」 と 等 価 で あ り,サ

イエ ン ス の 世 界 で は 到 底 考 え ら れ な い,し

度 とい う と,次

の よ うな 反 論 が 出 る か も し れ な い.

か し,死 亡 率 の 精

  疾 病 地 図 で 問 題 に して い る死 亡 率 は,通 常,各 地 域 毎 の 全 数調 査(人 口 動 態 統 計)で

「計 算 」 され た もの で あ り,標 本 調 査(random 

に よ り 「推 定 」 され た 死 亡 率 で は な い.し

たが っ て,当

該地域 を母集 団

と し た 標 本 抽 出 に よ る サ ンプ リ ン グ 誤 差 は 考 え られ な い.つ され た 地 域 毎 の 死 亡 率 γi=di/niは,そ

sampling)

ま り,計 算

の 地 域 の 真 の 死 亡 率(母

数)と

考 え られ る. さ て,こ

の 反 論 に 対 して は 次 の よ う に 解 答 す る こ とが 可 能 で あ る.

１)あ る期 間 の あ る 地 域 に お け る 死 亡 率 がpで

あ る とは,こ

の地域 の中 一人

一 人 が こ の 期 間 で 死 亡 す る 平 均 的 確 率 が ｐで あ る と考 え ら れ る . ２)一 人 一人 の 死 亡 は 互 い に 独 立 な 確 率 現 象 と考 え る と,こ

の期 間での 死

亡 数 は 確 率 的 に 変 動 す る変 量 と な り,観 測 死 亡 数 は そ の 実 現 値 で あ る. 具 体 的 に は,人

口 ｎ 人 の 地 域 で,こ

め て 小 さい の で,次

こ の と き,γ=d/nと SD(γ)=√p/nと

のPoisson分

の 期 間 に ｄ人 死 亡 す る 確 率 は １よ りき わ

布 に 近 似 され る.

計 算 さ れ る 死 亡 率 γの 期 待 値 と標 準 偏 差 はE(γ)=p,

な り,不 偏 推 定 量 で あ る も の の,そ

ズ の 平 方 根 に 逆 比 例 す る.す な わ ち,人

口 の 小 さい と こ ろ で は 指 標 の バ ラ ツ

キ が 大 きい とい う 「当 た り前 」 の こ とが わ か る.バ とは,本

当 は 全 国 平 均 と比 べ て 差 が な い の に,あ

き くな っ た り(危 険 地 域,赤

ラ ッ キが 大 きい とい うこ

る と きは 高 度 に 死 亡 率 が 大

で 表 示 さ れ る こ とが 多 い),あ

て 死 亡 率 が 低 くな る(安 全 地 域,青 れ る こ と に な る.現

のバ ラツキ は 人口サ イ

で 表 示)と

る と きは きわめ

い う見 か け 上 の 変 動 で 悩 ま さ

実 の 疾 病 地 図 を み る と この よ うな 現 象 は 少 な くな い.

12.3 

  も ち ろ ん,地

年 齢 調 整 で も不 十 分

域 間 比 較 に お い て は,単

純 な

「率 」 で は な く,年

の 分 布 の 違 い を 調 整 し た 指 標 が よ く 利 用 さ れ る.代 法 と し て 知 ら れ る 年 齢 調 整 死 亡 率DAR(dizectly 

齢 ・性 な ど

表 的 な 指 標 と し て,直

接

age‐adjusted  death  rate)

(12.1) こ こ で,

dκj:κ

地 域,j年

齢 階級 の 観察 死 亡数

nκj:κ

地 域,j年

齢 階 級 の 人 口(正

Nj:標

準 人 口 のj年

確 に は 人 年)

齢 階級 の 人 口

N=N1+…+Nｋ が あ る.こ

の 指 標 は 直 接 に 観 測 死 亡 率dκj/nκjを 利 用 し て い る の で,す

でに

述 べ た 理 由 に 加 え て 年 齢 階 級 の 人 口 の 分 布 の 影 響 も あ り,「地 域 比 較 の 指 標 と し て は 不 適 当 な 指 標 」 で あ る.そ 後(1988)を

参 照 され た い.こ

SMR(standardized 

の 異 常 な性 質の 具体 的例 に つい て は丹

れ に 対 し て,間

接 法 と よば れ る標 準 化 死 亡 比

mortality ratio)

(12.2) Poj:標

準 人 口 に お け る 第j年

齢 階級 の死 亡 率

dκ:κ

地 域 の 観 測 総 死 亡 数(=dκ1+…+dкJ)

eκ:κ

地域 の期待 死亡 数

は 年齢 調 整死 亡 率 ほど は人 口 の変動 の影 響 は受 け に くいが,そ れで も

(12.3)

と 変 形 す れ ば わ か る よ うに,地

域 全 体 の 人 口 が 相 対 的 に 小 さけ れ ば や は り

粗 死 亡 率(crude  mortality rate)dκ/nκ;の 関 数 で あ る か ら や は り人 口 の 影 響

は 大 きい.そ

の 例 と し て 図12.2(ａ)に 高 知 県 の53の

直 腸 が ん のSMR(1987‐1996)を 12.3(左)に は,人

口 を ｘ軸(常

人 口 の 少 な い 市 町 村 でSMRが

利 用 し た 疾 病 地 図 を 示 す(今 用 対 数)にSMRを

井,1998).図

ｙ軸 に し て プ ロ ッ トした.

高 低 に 激 し く変 動 して い る こ とが わ か る だ ろ

う.人 口 の最 大 は 高 知 市 の1,476,788人,最 の 比 は ほ ぼ430:１ で あ る.さ

市 町村 別 男性 の結 腸 ・

て,SMRの

小 は 大 川 村 の3440人

で あ り,そ

最 大 値 は 赤 岡 町 の250(死

人),最 小 値 は 死 亡 者 ０の ５町 村 で あ っ た.こ

亡者 数 ７

れ ら の デ ー タ は 表12.1に

示し

た.こ の よ うな 図 をみ る と,こ の よ うな 地 域 に対 し て 次 の よ うな 回 帰 分 析 が い か に 馬 鹿 げ て い るか 理 解 で き る だ ろ う. SMRκ=β0+β1x1κ+…+βmxmκ+誤

差

こ の よ うに,地

域 の 比 較 を行 うた め に は,「 人 口 の 大 き さ を 調 整 」 しな け れ

ば な ら な い.一

つ の 簡 単 な 方 法 は 重 み 付 き回 帰 分 析 logSMRκ=β0+β1x1κ+…+βmxmκ+誤

差    

Var(logSMRκ)=1/dκ

図12.2 

1987‐1996年

             (12.5)

の 高 知 県 の 市 町村 別男 性 の 結 腸 ・直 腸 が ん の 疾 病 地 図(ａ)SMR,

(ｂ)empirical  Bayes  SMR,(ｃ)Tangoの (今 井,1998)

(12.4)

集 積 性 の 検 定 で 検 出 され た 市 町 村

図12.3 

1987‐1996年

の 高 知 県 の 市 町村 別 男性 の結 腸 ・直 腸 が ん の 期 待 死 亡 数 とSMR

の関連

を 実 施 す る こ とで あ る.も

っ と も,現 在 の 行 政 区域 を 無 視 して で も,人 口 の

変 動 を 調 整 す る 一 番 簡 単 な方 法 は,各

地 域 の 人 口が ほ ぼ 等 し くな る よ うに 地

域 の 再 編 成 を し て か ら疾 病 地 図 を 描 くこ とで あ ろ う.例 え ば,日 比 較 に お い て は,二

本全 国での

次 医療 圏 の疾病 地 図であ れば 人口 の変動 は少 な いの で人

口 の 影 響 は 小 さ い.

12.4 

  と こ ろ で,死

Bayesian 

approach

亡 率 に は 地 域 差 が あ り,全 体 と し て あ る滑 ら か な 連続 分 布 に

従 う と い う こ と は,決

し て 不 自然 な 考 え 方 で は な い だ ろ う.し た が っ て,地

域 毎 の 母 標 準 化 死 亡 比(θ1,...,θK)も,滑 う と考 え られ る.さ

て,こ

らか な 連 続 分 布(事

前 分 布)に

従

こ で,「 連 続 分 布 」 を事 前 分 布 と し て 仮 定 す る と

い う こ とは,「推 定 さ れ る 標 準 化 死 亡 比 θκが,極

端 に高 い ま た は 低 い 値 を も

表12.1 

高 知 県 の 市 町 村 別 人 口,男 死 亡 数,SMR,empirical 

性 の 結 腸 ・直 腸 が ん の 死 亡 数,期 Bayer  SMR(今

井,1998)

待

た な い よ うに バ ラ ツ キ の 大 き さ を 制 御 す る 」 こ と を 意 味 す る.さ て,事 布 をg(θ￨η)と

し よ う.こ

前分

こ に η は 分 布 を 規 定 す るパ ラ メ ー タで あ る.観

測 死 亡 数dκ は 期 待 死 亡 数eκ を もつPoisson分

布

(12.6) に 近 似 で き る か ら,θ κの 事 後 分 布 はBayesの

定理 よ り

(12.7) と計 算 で き る.し

た が っ て,SMR(=θ)の

推 測 は,事

後分 布 か らの期待 値

(12.8) (12.9) で 行 う(9.4節

  12.4.1 

参 照).

Empirical 

  さ て,Bayesian 

Bayes

inferenceの

一 つ のア プ ローチ は

,死

問 題 は 事 前 分 布 の パ ラ メ ー タ η の 設 定 で あ る,

亡 数dκ

の 周辺尤 度

(12.10) に 基 づ く最 尤 推 定 法 で 推 定 す るempirical  簡 単 で,か

つ,解

Bayes推

釈 も 容 易 な 方 法 は,η=(α,β)と

定 で あ る.中

で も,最

も

したガ ンマ分 布

(12.11) (12.12) (12.13) を 仮 定 す る こ と で あ る.な

ぜ な ら,Bayesの

h(θ κ￨eκ,dκ,α,β)=g(θ

定 理 よ り κ ｜α+eκ,β+dκ) 

と事 後 分 布 も ガ ン マ 分 布 に 従 うか ら で あ る(ガ ン マ 分 布 はPoisson分

(12.14)

布 に対

し て 共 役 な 事 前 分 布).こ

の 場 合,死

亡 数dκ の 周 辺 尤 度 は 負 の 二 項 分 布(neg

ative binomial  distribution)

(12.15) と な る の で,(α,β)の Newton‐Raphson法

結 局,Bayes推

最 尤 推 定 値 は,モ で 計 算 す る.必

ー メ ン ト推 定 値 を 初 期 値 と し た

要 な 項 は 下 に 整 理 す る.

定値 は

(12.16) と な る.こ   １)人

の 式 の 形 か ら θEB ,κは

口 が 大 き い 場 合 に は(eκ

→

大),通

常 の 標 準 化 死 亡 比 θκ=dκ/eκ

→

小),地

域 全 体 の 平 均 値 β/α に 近 づ く,

に 近 づ き,   ２)人

口 が 少 な い 場 合 に は(eκ

と い う 性 質 を も つ こ と が わ か る.   図12.4に

は 図12.1のMissouri州

の デ ー タ のempirical 

Bayes推

定 値 を示

し た.こ

の 場 合 はSMRで

は な く死 亡 率 γκ=dκ/nκ で あ る か ら,上 記 の 計

算を nκ ←eκ

と 置 き換 え た も の で あ る.人

口 の 少 な い と こ ろ は ほ と ん ど 一 定 で あ る こ とが

わ か る.高

知 県 の デ ー タ のempirical 

で あ る.最

高 の 「120-」

し,empirical  最 低 の 「-80」 pirical Bayes推

Bayes推

Bayes推

定 値 が 図12.2(b),図12.3(右)

の 階 級 に 入 る 市 町 村 がSMRで

は10も

あ った の に 対

定 で は そ の よ う な 地 域 は 一 つ も な く な っ て い る.ま

の 階 級 に 属 す る 市 町 村 の 数 も 「25→0」 定 で は,室

戸 市(EBSMR=119.6),高

と 激 減 し て い る.em 知 市(EBSMR=114.7)

の 二 つ の 市 が 高 い が 他 は 一 塊 で 特 に 差 は み ら れ な い. [例 題12.1]式(12.14),(12.15)を [解 答 】 式(12.8)よ

と な る か ら,死

こ こ で,変

図12.4 

導 出 せ よ.

り

亡 数dκ の 周 辺 尤 度(確

数 変 換(eκ+α)θ=yを

Missouri州

率 分 布)は

行 っ て,

の 市 別 の 人 口 と 胃 が ん 死 亡 率 のcmpirical 

Bayes推

定 値(丹

後,1988)

た

す な わ ち,こ れ は 負 の 二 項 分 布 で あ る.そ

の 期 待 値 と分 散 は

eκβ/

E(dκ)=

            (

12.17)

α

eκ(eκ+α)β Var(dκ)= / a

で 与 え られ る.そ

(12.18)

2

こ で,θ κの 事 後 分 布 は  (12.19)

(12.20) こ こ で, α*=α

＋eκ

β*=β+dκ

で あ る.つ

ま り,SMR(=θ

κ)の 事 後 分 布 も ま た パ ラ メ ー タ(α+eκ,β+dκ)

を も つ ガ ン マ 分 布 と な る.

  12.4.2 

Bayesian 

  前 項 のempirical 

hierarchical 

Bayes推

model

定 で は 人 口 の 調 整 だ け を 考 慮 に 入 れ た が,疾

病

指 標 に 基 づ い た 実 際 の 解 析 で は,地

域 毎 の 共 変 量 を 説 明 変 数 と し た 回 帰 分 析,

ま た,近

病 率)で

接 地 域 は 類 似 の 死 亡 率(有

あ る と仮 定 で きる 場 合 に は そ れ

を 考 慮 に 入 れ た 空 間 平 滑 化(spatial  smoothing)の い ろ い ろ な 解 析 が 必 要 と な る こ と が あ る.こ Bayes推

モ デ ル を 導 入 し た り,と

の よ う な 場 合 に は,empirical

定 値 を 被 説 明 変 数 と し た 回 帰 分 析 が 可 能 で あ る が,９

Bayesian階 sion model)で

層 的Poisson回

帰 モ デ ル(Bayesian 

議 論 す る の が よ り精 密 で あ る.例

に よ る 説 明 と,近

章で 説 明 した

hierarchical  Poisson  regres え ば,共

変 量(ｘ1,...,xm)

接 地 域 の 類 似 性 を 考 慮 に 入 れ た モ デ ル の 一 つ と して 条 件 付

き 自 己 回 帰 モ デ ル(conditional

autoregressive 

model)

(12.21) dκ ∼Poisson分

布(期

ηκ ∼N(0,σ2)(:標

待 値:μ) 準 化 死 亡 比 の 地 域 差) 空 間smoothing

nh∼ κ=地

が 考 え ら れ る.こ

域 κの 近 接 地 域 の 数

の モ デ ル で はSMRが

(12.22) と 推 定 さ れ る.こ Bayesモ

の モ デ ル は9.6節

デ ル の 統 計 解 析 に は10章

MCMC(Markov 

の 例10で

で 解 説 し たGibbs 

chain  Monte  Carlo)法

12.5 

  前 節 まで は,疾

紹 介 して い るが この 種 の

疾 病 の 集 積性

病 地 図 の 適 切 な 解 釈 に は 人 口 の サ イズ,他

ん な 推 定 値 で あ れ,小

し た が っ て,本

基づ く

を 利 用 す る と 便 利 で あ る.

す る 重 要 性 とそ の 方 法 論 と し て のBayesian  approachを ろで,ど

samplingに

の共 変量 を調 整

議 論 し て き た.と

こ

さい 順 に 並 べ れ ば 必 ず 最 低 と最 高 が 存 在 す る.

当 に 健 康 状 況 が 思 わ し くな い 地 域 は ど の 辺 な の か?と

病 の 地 域 集 積 性(disease clustering)を 検 討 す る 必 要 が あ る.こ

い う疾

こで は,

1)focused  test   ご み 焼 却 ・危 険 物 廃 棄 ・原 子 力 発 電 施 設 な ど の 事 前 に 定 ま っ て い る 地 点 の 周 辺 に 居 住 す る 地 域 住 民 に 関 連 す る疾 病 の 集 積 性 が あ る か 否 か を 検 討 す る 方 法, ２)global test   対 象 地 域 に お け る疾 病 の 地 域 集 積 性  

ａ)特 定 の 地 域(未

知)に

集 積 して い る

 

ｂ)感 染 性 疾 患 の よ うに 特 定 の 地 域 に 集 積 し て い る の で な く,集 積

          が い た る と こ ろ で 発 生 して い る   

の 有 無 を 統 計 学 的 に 検 定 し,有 意 な 集 積 性 が 認 め ら れ た 場 合 に,上 の ａ)の検 討 が 目 的で あ れ ば,そ

の 二 つ に 分 け て 解 説 す る.ま ず,次 帰 無 仮 説H0:調 対 立 仮 説H1： 簡 単 の た め に,最 仮 説 は,各

記

の 地 域 は ど こ か?を 教 え て くれ る 方 法, のfocused  testの 仮 説 を 考 え よ う.

査地 域 に集 積性 は な い 地 域 κ0の 周 辺 に 集 積 して い る

初 は 年 齢 な ど の 交 絡 因 子 は 無 視 し よ う.そ

うす る と,帰 無

地 域 の 死 亡 数dκ,は 人 口nκ に 比 例 す る 期 待 値 を もつPoisson分

布 に 従 う: H0:dκ

∼Poisson(E(dκ))

 E(dκ)=〓nκ

帰 無 仮 説 の 下 で は,d=d1+…+dKが

，  κ=1,...,K 

          (12.23)

未 知 の パ ラ メー タ 〓 の 十 分 統 計 量

で あ る か ら 〓 に依 存 し な い 検 定 統 計 量 は 観 測 さ れ た ｄ の 条 件 付 き推 論 に よ り与 え ら れ る.つ

ま り,総 死 亡 数 ｄ が 一 定 と い う条 件 の 下 で は

(d1,d2,...,dk) は多項 分 布

(12.24) に 従 うサ ン プ ル サ イ ズ ｄ の 無 作 為 標 本 と 考 え ら れ る.し pκdと

な り,〓

た が っ て,EH0(dκ)=

の最 尤 推定 量 は

(12.25) で 与 え ら れ る.さ

て,「 地 域 κ0の 影 響 を 受 け て そ の 周 辺 に 疾 病 が 集 積 し て い

る 」 こ と を 表 現 す る 加 法 超 過 リ ス ク モ デ ル(additive  H1:E(dκ)=〓nκ(1+ω

で あ る.こ

κ,κ0θ), 

excess  risk model)は

κ=1,...,K  

(12.26)

こ に,ω κ,κ ο は 地 域 κ に お け る 地 域 κ0か ら の 汚 染 物 質 へ の 曝 露

量 で あ り,曝 露 量 に 比 例 し て 死 亡 が 増 加 す る モ デ ル で あ る.曝 露 量 に 関 す る 情 報 が ほ とん ど な い 場 合 に は,曝

露 量 の 代 替 変 数 で 置 き換 え ざ る を 得 な い.

中 心 地 点 か らの 距 離 に 反 比 例 し て 曝 露 量 が 減 衰 す る と仮 定 し て も不 自然 で は

な い 場 合 に は,対

立 仮 説H1は

H2:E(dκ)=〓nκ(1+α

と 置 き 換 え ら れ る.こ

κ,κ0θ),  κ=1,...,K 

こ に,α κ,hは

な 関 数 が 考 え ら れ る が,こ

２地 域 κ,hの

(12.27)

近 さ の 尺 度 で,い

ろい ろ

こ で は,

(12.28) dκh=2地

を考 え る.関

域(κ,h)間

数 ακh(λ)の形 状 は 図12.5に

の 距 離           (12.29)

示 す とお りで,ほ

内 部 が 集 積 地 域 を表 す モ デ ル とな っ て い る,二

ぼ 半 径 λの 円 の

つ の 仮 説H0,H2は

したが っ

て, H0:θ=0, 

と再 表 現 で き る.帰

無 仮 説H0の

 H2:θ

対 立 仮 説H2に

＞0         

(12.30)

対 す る エ フ ィシ ェ ン ト ・ス

コアは

(12.31) と な る.こ

こ で, γ=(d1＞d2,...,dK)t/d 

で あ る.帰 無 仮 説 の 下 で は,ス

コ アUκ0の

      

分 散 はFisher情

(12.32)

報 量 で あ るか ら ,

(12.33) と な る.し

た が っ て,ス

コ ア検 定 統 計 量 は

(12,34) と な る.こ

の 検 定 は 「Poisson  trend検

利 用 す る と,次

定 」 と い わ れ て い る.こ

の ス コア を

の ２種 類 の 集 積 性 の 検 定 統 計 量 が 構 成 で き る(Tango,1995)：

図12.5 

近 さの 尺 度 を 表 す 関 数 ακh(λ)の 形状

(12.35) も し,事 前 に わ か っ て い る 危 険 地 域 が ｍ 地 域 Ω={κ0,κ1,...,κm-1} 

あ れ ば,そ

れ ぞ れ の 危 険 地 域 の 重 み(例

ら の 総 排 出 量 に 比 例 し た 量)を

え ば,ご

み 焼 却 施 設 で あ れ ば,煙

ω κ(κ ∈ Ω)と 設 定 し,そ

と す る と こ の 統 計 量 は 一 つ のfocuscd  ω κ=γ

            (12.36)

testと

κ-pκ,κ=1,...,K 

突か

れ 以 外 は,ω

κ=0

な る ． 一 方,         

(12.37)

と観 測 相 対 度 数 と期 待 相 対 度 数 の 単 純 な 差 を と る と 一 つ のglobal  test

(12.38) と な る.さ

て,こ

れ ら を 統 一 的 に ベ ク ト ル 表 現 で 整 理 し て み る と,次

に な る.そ

の 前 に, Aλ=(α

κ.h(λ))

の よ う

w=(wl,w2,...,wK)t 

と お く.ま

ず,漸

             (12.39)

近的 に

(12.40) と な る.こ

こ で,

vp=△(p)-ppt  △(ｐ):ベ

                        (12.41)

ク トル ｐ を 対 角 成 分 とす る 対 角 行 列

が 成 立 す る. １) focused 

test

Cλ=wtAλ(r-p) 

               (12.42)

Var(Cλ)=wtAλVpAλw/d 

            (12.43)

Z=Cλ/Var(Cλ)∼N(0,1)  ２) global 

            (12.44)

test

(12.45) ｐ値 は 次 の 近 似 式 で 計 算 で き る(Tango,1990).

(12.46) こ こ に,χ2vは 自 由 度 ｖのx2分 E(dCλ)= 

布 に 従 う確 率 変 数 で あ り,

tr(AλVp) 

Var(dCλ)=2tr(AλVp)2 

                 (12.47)

            (12.48)

(12.49) (12.50) で あ る(Searle,1971).

こ こ まで は 年 齢 な ど の 交 絡 因子 は 無 視 して きた が,そ 記 の 式 で,次

の よ う に 置 き換 え れ ば よい.交

の 調 整 の た め に は,上

絡 因 子 の 第 ｊ層 に お い て,

(12.51) κ=1,...,K;j=1,...,J 

と し,次

                  (12.52)

の よ う に す れ ば よ い.

(12.53)

(12.54)   こ こ で,パ

ラ メ ー タ λ は,ク

さ(ほ ぼ 最 大 距 離)の

ラ ス タ ー(集

積 が み られ る 地 域 群)の

大き

尺 度 で あ り,そ れ 以 上 の 距 離 に あ る 任 意 の 二 つ の 地 域

は ク ラ ス ター と は 考 え な い.し

た が って,λ

を小 さ く設 定 す れ ば 大 き な ク ラ

ス タ ー は 検 出 力 が 低 く,反 対 に λ を大 き く設 定 す れ ば 小 さ な ク ラ ス タ ー は 検 出 力 が 低 くな る.実 際,事

前 に 存 在 す る ク ラ ス タ ー の 大 き さ を予 想 で き る わ

け が な く(デ ー タを み た 後 で ク ラ ス ター の 大 き さ を 見 積 もっ て 検 定 を適 用 す る こ と は 事 前 の 選 択 バ イ ア ス に よ る 検 定 の 誤 用 で あ る),し 値 を い く通 りか に 変 え て 適 用 す る こ と に な るが,こ と な る.こ

たが っ て,λ

の

こに検定 の多重 性が 問題

の 問 題 を 回 避 す る た め に は λ を 連 続 的 に 動 か し て,λ

して の プ ロ フ ァ イル ｐ値 の 曲 線 を 計 算 し そ の 最 小 値Pminを

の関 数 と

検 定 統 計 量 とす

る こ とが 考 え られ る(Tango,1999b):

(12.55) こ こ にcλ は あ る λ に 対 す る 統 計 量 の 実 現 値 で あ り,λ*が 最 小 値 を 達 成 す る 値 で あ る.実 際 の 計 算 に は λ を小 刻 み に 変 化 させ て 最 小 値 を探 す 一 次 元 探 索 法 で 簡 単 に 計 算 で き る.Pminの ミュ レ ー シ ョ ン に よ り計 算 す る.な

帰 無 仮 説 の 下 で の 分 布 はMonte  Carloシ お,λ

(dmax=調

の値 は

査 地 域 間 の 最 大 距 離)  

(12.56)

の 範 囲 で 変 化 させ れ ば 十 分 で あ ろ う.   も し,global  testで 有 意 な 集 積 性 が 認 め ら れ た 場 合 に は,ク 心 と し て(最

も)疑

われ る地域 は

ラス ターの 中

(12.57) ま た は,

κ地 域 の 寄 与 率         (12.58) の 値 が 他 に 比 べ て,大

き く飛 び 離 れ て い る こ とが 期 待 され る.

  さて,global  testを 高 知 県 の 表12.1の

デ ー タに 適 用 して み よ う.Windows

上 で 統 計 ソ フ トS‐Plusを 利 用 し て 解 析 し た 結 果 を 図12.6に

示 す.画

側 は コ マ ン ド の操 作 画 面 と計 算 結 果 の 表 示 画 面 で あ る が,画

面 の左側 に二つ

の 図 が 示 され て い る.左

図12.6 

Tangoの

の 図 は ｘ軸 を λ に し た プ ロ フ ァ イ ル ｐ値 で あ り,λ

集積 性 の 検 定.Windows上

て い る 画 面.画

面 の右

で 統 計 ソ フ トS‐Plusを

利 用 して 解 析 し

面 の 右 側 は コ マ ン ドの 操 作 画 面 と計 算 結 果 の 表 示 画 面.画

左 側 に 二 つ の 図 が 示 され て い る.左 で あ り,右 の 図 は,各

地 域(region

面の

の 図 は ｘ 軸 を λ に した プ ロ フ ァ イ ル ｐ値 IDが

ｘ 軸)の

寄 与 率(％)を

表示す る図

の 値 が 最 小 の と き に ｐ 値 が 最 小 値 を と っ て い る.つ の 隣 接 地 域 で 発 生 し て い る の で は な く,散 し て い る.図

の 図 は,各

地 域(region

ID=1(高

知 市)が

あ り,高

IDが

ｘ 軸)の

断 然 ト ッ プ で,次

ミュ レ ー シ ョン で 調

度 に 有 意 な 集 積 性 が み ら れ た.右 表 示 し て い る.region

にregion  ID=2(室

の 結 果 は 図12.2(ｃ)に

empirical  Bayes推

定 の 結 果 と 一 致 し て い る.付

近 の 他 の 研 究 はLawson 

Carloシ

寄 与 率(％)を

び 離 れ て い る.こ

き のglobal  testのS‐Plusプ

ラ ス ターが 複 数

発 的 に発 生 し て い る 可 能 性 を 示 唆

上 に も 記 載 さ れ て い る が,Monte 

整 さ れ た ｐ 値 はPmin=0.006で

ま り,ク

戸 市)も

や は り飛

示 す と お り で あ り,図12.3(ｂ)の 録B.9に

ロ グ ラ ム を 掲 載 し た.疾 et al.(1999)に

は λ を 固 定 した と

病 の 集 積 性 に 関 す る最

ま と め ら れ て い る.

練習問題 [問 題12.1] 

式(12.5)を

導 け ： Var(log  SMRκ)=1/dκ

[問 題12.2] 

式(12.30)の

仮 説H0のH2に

対 す る ス コ ア 検 定 が 式(12.34)で

与 え ら れ る こ と を 示 せ. [問 題12.3] 

式(12.47)-(12.50)を

[問 題12.4] 

式(12.45)のglobal 

検 出 力 が 小 さ く,urban  [問 題12.5] 

導 け.

areaの

testの

testに

で 仮 定 し た 各 地 域 の 相 対 危 険 度(=1+ω す れ ば,帰

集積性 の

集 積 性 に は 検 出 力 が 大 き い こ と を 示 せ.

疾 病 集 積 性 のfocused 

(λ11,...,λ1κ)と

検 定 統 計 量 はrural  areaの

お い て,式(12.26)の κ,κ0θ)が,実

対 立 仮 説H1

は 既 知 で,そ

無 仮 説H0:λ01=...=λ0κ=1に

対 す る最強

力検 定 は

の 型 と な る こ と を 証 明 せ よ(ヒ

ン ト:Neyman‐Pearson

れ を,

lemma利

用).

付 録 Ａ:最

A.1 

尤

推

定

尤 度 に 基 づ くモ デ ル

  尤 度 に 基 づ くモ デ ル とは,観 測 され る デ ー タの 同 時 確 率 密 度 関 数 が 指 定 され て い る統 計 モ デ ル を さ す.い ま,観 測 され た デ ー タ(確 率 変 数)yi,i=1,...,n は そ れ ぞ れ 独 立 で あ り,確 率 分 布(密 度 関 数)〓(yi;θ)が 仮 定 さ れ て い る と し よ う.こ れ は パ ラ メ ー タ θ=(θ1,...,θq)

を 固 定 し た 下 で の ｙ の 関 数 と 考 え た も の で あ る.こ

の 関 係 を逆 に し て ｙ を

固 定 し て パ ラ メ ー タ θ の 関 数 と 考 え た も の を 尤 度(likelihood),尤 (likelihood  function)と ま ず,１

度 関数

よ び 一 般 に Ｌ(θ)と 表 す.

組 の 独 立 な デ ー タy=(y1,...,yn)が

与 え られ る 同 時 確 率 密 度 は

と な る か ら,尤 度 関 数 は

(A.1) と な る.こ imum 

の 尤 度 関 数 を 最 大 に す る パ ラ メ ー タ θ の 値 θ は 最 尤 推 定 量(max-

likelihood  estimator)と

よ ば れ る.

  最 尤 推 定 量 を実 際 に 求 め る に は,尤 る た め,対

度 関 数 を直 接 取 り扱 う こ とが 面 倒 で あ

数 を と っ た 対 数 尤 度 関 数 の 最 大 値 を考 え る.

ι(θ)=logL(θ)                最 尤 推 定 量 は い わ ゆ る 正 則 条 件(regularity  conditions)が に 漸 近 的 な 正 規 性,一 に 一 致 す る な ど,最

致 性 を 有 し,か つ,そ

(A.2)

満 た され る 場 合

の 分 散 がCramer-Raoの

下 限値

良 の 性 質 を もつ 推 定 量 と して よ く利 用 され る.主

な正則

条 件 を 以 下 に 示 す. １)確 率 密 度 関 数 は 識 別 可 能 で あ る,す 〓(y￨θ1)≠

な わ ち,θ1≠

θ2で あ れ ば,

〓(y￨θ2)

で あ る.

２)パ ラ メ ー タ空 間 は 有 限 次 元,閉 換 え れ ば,境

集 合,か

つ,コ

ンパ ク トで あ る,言

い

界 上 で 起 こ る面 倒 な 問 題 を 除 外 す る 条 件 で あ る.

３)三 次 ま で の 対 数 尤 度 の 偏 微 分 は 連 続 で 有 界 で あ る. ４)尤 度 の偏 微 分 に お い て,微 分 と積 分 の 順 序 が 変 更 可 能 で あ る こ と.つ ま り,デ ー タ ｙが θ に 依 存 す る よ う な場 合 を 除 外 す る条 件 で あ る.デ ー タが パ ラ メー タ に 依 存 して い る 応 用 例 は ２章 で 議 論 され て い る.   こ こで は,最

尤 推 定 値 θ が パ ラ メ ー タ空 間 の 内 点(interior point)で

境 界 上 に は な い 場 合 だ け を考 え る.そ

の 解 と し て 求 め られ る.こ

あ り,

の と き,そ れ は 次 の 連 立 偏 微 分 方 程 式

の 連 立 方 程 式 を ベ ク トル 表 示 で 表 現 す る と

(A.3) と な る.こ

こ に,∪(θ)は

最 尤 推 定 量 に は,上

エ フ ィ シ ェ ン ト ・ス コ ア(efficient  score)と

記 の 正 則 条 件 の 下 で,真

い う.

の パ ラ メ ー タ θ0へ の 漸 近 正 規

性 か つ 一 致 性(consistency),

(A.4) が あ る.こ

こに

(A.5)

はFisher情

報 行 列(Fisher 

information 

の 一 致 推 定 量 が 必 要 と な る が,そ

matrix)と

い う.実

れ に は,

１)最 尤 推 定 値 θ で 評 価 し たFisher情

報 量IF(θ)

２)期 待 値 を外 し て 最 尤 推 定 値 θ で 評 価 したHessian推 の 二 つ が よ く利 用 され る.ま

際 の計 算 に は こ

た,連

立 方 程 式 の 解,す

定 量 Ｈ(θ)

な わ ち,最 尤 推 定 値 は

一 般 に は 非 線 形 方 程 式 と な る .そ の 場 合 に は,一 次 ま で のTaylor展 て 得 られ る反 復 計 算 の 分 散 推 定 にHessian推

開に よっ

定 量 を 用 い たNewton‐Raphson

法, θ(κ+1)=θ(κ)+H(θ(κ))-1U(θ(κ))  も し くは,Fisher情

報 量 を 用 い たFisherの

 

(A.6)

ス コ ア 法(score  method),

θ(κ+1)=θ(κ)+IF(θ(κ))-1U(θ(κ)) 

(A.7)

で 求 め るの が 一 般 的 で あ る.

A.2  漸 近 的 に 同 等 な三 つの 検 定 統 計量

  尤 度 に 基 づ くモ デ ル に 関 す る 仮 説 検 定 に 関 して は そ の 理 論 が よ く知 ら れ て い る.中

で も三 つ の 漸 近 的 に 同 等 な 検 定 法 「尤 度 比 検 定,Wald検

ア 検 定 」 は よ く利 用 され る.こ

こ で は,仮

定,ス

コ

説 を よ り一 般 化 して 次 の も の を 考

え よ う.

こ こ に,α

は γ ×1(γ

∂α(θ)/∂θtのrankは,帰

＜q)の

H0:α(θ)=0 

             (A.8)

H1:α(θ)≠0 

            

ベ ク ト ル で あ る.こ

こ で,γ

×q行

(A.9) 列 で あ る

無 仮 説 の パ ラ メ ー タ に課 せ られ た γ個 の 制 約 が 独

立 で あ る 必 要 か ら,

(A.10) で な け れ ば な ら な い.例

え ば,q=4.γ=2で, θ1=0, 

  θ3=0

と い う ２個 の 制 約 を 入 れ る 場 合 に は α(θ)=(θ1,θ3)t

と な る.こ

こ で,後

の 説 明 の た め に,

    θγ:  γ個 の 独 立 な 制 約 が 課 せ られ た 帰 無 仮 説 の 下 で の 最 尤 推 定 量 と し よ う.   さて,以

下 に 説 明 す る 三 つ の 検 定 統 計 量 は い ず れ も漸 近 的 に 自 由 度 γの χ2

分 布 に 従 う. １)尤 度 比 検 定(likelihood 

ratio test)統

計 量

  帰 無 仮 説 の 下 で の 尤 度 と対 立 仮 説 の 下 で の 尤 度(制

約 の な い)と

の

比 を 考 え る:

(A.11) 帰 無 仮 説 が 正 し け れ ば,こ

の 比 は ほ ぼ １に 近 づ く.尤 度 比 検 定 統 計 量

と は こ の 比 の 対 数 を と っ て,(-2)倍 X2LR=-2(ι(θ ２)Wald検

定(Wald 

test)統

し た 統 計 量 で あ る: γ)-ι(θ))             

(A.12)

計量

  この 統 計 量 は 帰 無 仮 説 が 正 しけ れ ば,対

立 仮 説 の 下 で(制 約 な し に)

推 定 され た α(θ)で も ０ に 近 くな る こ とが 期 待 され る 性 質 に 注 目 し た も の で あ る.つ

ま り,漸 近 的 に平 均 ０ 分 散 Ｖ(次 式 の{}の

中)の 正 規

分 布 に 従 う性 質 を 利 用 し た もの で あ る.

(A.13) モ デ ル に よ って は,分

散 推 定 のFisher情

量 Ｈ(θ)に 置 き換 え られ る.こ

報 量IF(θ)がHessian推

の統 計量 の 特徴 は 対 立仮 説の 下で の最

尤 推 定 量 だ け で 計 算 で き る 点 で あ る.つ の 最 尤 推 定 値 を 計 算 し て お け ば,い

ま り,最 大 モ デ ル の 制 約 な し

ろい ろ な検定 仮 説の計 算が 便 利で

あ る. ３)ス

コ ア 検 定(score  test)統

こ の 統 計 量 は,制

定

計量

約 の ない最 尤推 定 量が

∪(θ)=0

を 満 た す の で あ れ ば,帰

無 仮 説 が 正 し い 場 合 に は,そ

の制 約付 きの最

尤 推 定 量 θγに お い て も上 の ス コ ア ・ベ ク トル は ０ に 近 くな る と期 待 さ れ る こ と に 注 目 し て い る.つ

ま り,∪(θ γ)が 漸 近 的 に 平 均 ０,分 散

IF(θ γ)の正 規 分 布 に 従 う性 質 を 利 用 し た もの で あ る. -1

2

X SC=Ut(θ

γ)I F

(θγ)U(θ γ)      

(A.14)

この統 計 量 の特徴 は帰 無仮 説 の下 の最 尤推 定量 だ けで計 算で きる点が 便 利で あ る. こ の 三 つ の 検 定 統 計 量 の 中 で は,帰

無仮 説 の下 で の推定量 だけで構 成で きる

ス コ ア 検 定 の 応 用 範 囲 は 実 に 広 く,多 Cochran‐Armitage検 例 で あ る.手   equivalence 

く の 検 定 手 法 が 生 ま れ て い る.例

定,Mantel‐Haenszel検

前 み そ で は あ る が,薬

定 などはその一

剤 の 同 等 性 を 検 証 す る 臨 床 試 験(clinical

trial, non‐inferiority  trial)が

シ ェ ン ト ・ス コ ア を 用 い て,同

定, log‐rank検

え ば,

最 近 話 題 と な っ て い る が,エ

フ ィ

等 性 を 検 証 す る 方 法 論 が 著 者 ら に よ って 最 近

提 案 さ れ て い る(Yanagawa,Tango 

and  Hiejima(1994),Tango(1998)).

A.3 

信

頼

区

間

  最 尤 法 に よ る信 頼 区 間(confidence  interval)の 構成 法 は い くつ か 考 え られ るが,最

も 簡 単 な の が 最 尤 推 定 量 の 漸 近 正 規 性 を利 用 し たWaldの

り,例 え ば,母

数 θjの95%信

方 法で あ

頼 区 間が θj±1・96SE(θj) 

                   (A.15)

で 推 定 で きる.対 数 尤 度 曲線 を直 接 用 い て 信 頼 区 間 を構 成 す る方 法 が 「profile 尤 度(profile likelihood)に 小 標 本 で 性 質 が よ い.こ

よ る信 頼 区 間 」 と よば れ る 方 法 で, Wald法

より

の 方 法 の 詳 細 と応 用 例 が ２章 で 紹 介 され て い る の で

参 照 され た い.   こ の 他 の 方 法 と し て は,エ

フ ィシ ェ ン ト ・ス コ ア を 利 用 す る 方 法,局

対 す る 十 分 統 計 量 を 利 用 し た 条 件 付 き 尤 度 を 構 成 す る 方 法,bootstrapに 方 法 な ど が あ る.こ Efron(1987)な

れ ら は こ こ で は 省 略 す る.McCullagh 

ど を 参 照 さ れ た い.

外母数 に よる

and  Nelder(1989),

A.4 

  統 計 学 的 推 測 に お い て,あ 分 布,漸

デ

ル

タ

法

る推 定 値 の 関 数 と し て 定 義 され る統 計 量 の 漸 近

近 分 散 を 導 出 す る こ とは 重 要 で あ る.そ の ツ ー ル と し て デ ル タ法(δ

method)は

よ く利 用 され る.最

尤 推 定 値 に 限 る こ と な く,式(A.4)と

同様 な

漸 近正規 性

(A.16) が 成 立 す れ ば,微 対 し て,Taylor展

分 可 能 な 関 数(K×q行

列)〓(θ)=(〓1(θ),...,〓K(θ))tに

開 の 一 次 近 似 を 利 用 し て,次

の 漸近 正 規 性 が 成 立 す る こ

と を 利 用 す る も の で あ る.

(A.17)

付 録 Ｂ:S‐Plusプ

ロ グ ラ ム他

B.1

#    appendix 

B.1  (Figure  2.2,2.3)

# #   Input:ts=data 

vector

#        sta=starting 

date

#       

xmin=min 

of x-axix

#       

xmax=max 

of x-axis

#       

dens=max 

of y-axis

#       

hh=width 

adjustment 

#

factor  for  line  search

Example

#  H8  Okayama 

ken

ts＜-c(rep(24,6),rep(25,43),rep(26,56),rep(27,87),rep(28,60),rep(29,50),     rep(30,16),rep(31,31),rep(32,27),rep(33,11),rep(34,26),rep(35,5)) sta＜-19;xmin＜-20;xmax＜-40;dens＜-0.3;hh＜-10

# par(mfrow=c(1,2)) jj＜-floor(min(ts*hh))-1;st＜-sta*hh:q＜-st:jj ind＜-(st:jj)/hh;  for(s 

n＜-length(ts)

in  st:jj){

   ss＜-s/hh;y＜-log(ts-ss);m1＜-mean(y);v＜-var(y)    q[s-st+1]＜-n*(log(v)+2*m1)*(-1/2) 

}

plot(ind,q,type="b",pch=1,xlab="gamma", 

ylab="log 

abline(h=max(q)-1.92);sol＜-ind[q==max(q)];  x1＜-st+(jj-st)/5*2; 

L**(gamma)")

pos＜-(max(q)+min(q))/2

x1＜-x1/hh

x2＜-st+(jj-st)/5*3.5;x2＜-x2/hh text(x1,pos,"Exposure 

time 

low95＜-min( 

="); 

ind[q＞max(q)-1.92] 

text(x2,pos,sol) );upp95＜-max( 

ind[q＞max(q)-1.92] 

w＜-(max(q)-pos)/6  text(x1,pos-w,"95% 

lower 

 text(x1,pos-w*2,"95%  sk＜-sum( 

bound="); 

upper 

(ts-mean(ts))^3 

text(x2,pos-w,low95)

bound="); 

)/(sum( 

text(x2,pos-w*2,upp95)

(ts-mean(ts))^2 

mu＜-mean(log(ts-sol)) sigma＜-sgrt(  linf＜- 

var(log(ts-sol))*(n-1)/n 

-n/2*log( 

var(ts)*(n-1)/n 

lgn＜-max(q)-n/2*(1+log(2*3.141593)) soln＜-floor(sol*10)+1 #

) )

))^1.5*sqrt(n)

)

z＜-(soln:(xmax*10))/10 plot(z,dlnorm(z-sol,mu,sigma),type="1",xlim=c(xmin,xmax),ylim=c(0,dens), ylab="relative 

frequency(%)".xlab="date")

w＜-(xmin:xmax)+0.5;h＜-１ r＜-hist(ts,breaks=w,plot=F);k＜-xmax-xmin for(i 

in  1:k)（

a＜-c(w[i],w[i],w[i+1],w[i+1],w[i]) b＜-c(0,r$count[i],r$count[i],0,0);lines(a, 

b/n/h) 

B.2

#   appendix 

B.2  (Table 

4.1)

# CITY    RAIN  EDUC  POPD  NONW  NOX  SO2 MORT

akronOH  albanyNY  allenPA 

 36  11.4 

3243 

 8.8 

35  11.0 

4281 

 3.5 

 44 

 9.8  4260 

 15   59 

921.9

10   39   997.9

 0.8 

  6   33 

atlantGA 

47  11.1 

3125 

27.1 

  8  24   982.3

baltimMD 

43   9.6  6441 

24.4 

 38  206  1071.0

birmhmAL 

53  10.2 

3325 

38.5 

 32   72  1030.0

bostonMA 

43  12.1 

4679 

 3.5   32   62   934.7

bridgeCT 

45  10.6 

2140 

 5.3 

  4    4   899.5

bufaloNY 

36  10.5 

6582 

 8.1 

 12   37  1002.0

cantonOH 

36  10.7 

4213 

chatagTN 

52   9.6  2302 

22.2 

chicagIL 

33  10.9 

6122 

16.3 

cinnciOH 

40  10.2 

4101 

13.0 

 26  146 

clevelOH 

35  11.1 

3042 

14.7 

 21   64   986.0

colombOH 

37  11.9 

4259 

13.1 

  9  15   958.8

dallasTX 

35  11.8 

1441 

14.8 

  1    1 

daytonOH 

36  11.4 

4029 

12.4 

  4  16   936.2

denverCO 

15  12.2 

4824 

 4.7 

  8  28 

871.8

detrotMI 

31  10.8 

4834 

15.8 

 35  124 

 959.2

flintMI 

 6.7    7  20 

962.4

912.3

  8  27  1018.0 63  278  1025.0  970.5

860.1

 30  10.8 

3694 

13.1 

  4   11   941.2

ftwortTX 

31  11.4 

1844 

11.5 

  1    1 

891.7

grndraMI 

31  10.9 

3226 

 5.1    3   10 

871.3

grnborNC 

42  10.4 

2269 

22.7 

971.1

hartfdCT 

43  11.5 

2909 

 7.2    3   10   887.5

houstnTX 

46  11.4 

2647 

21.0 

  5   1 

indianlN 

39  11.4 

4412 

15.6 

  7  33   968.7

kansasMO 

35  12.0 

3262 

12.6 

  4    4   919.7

lancasPA 

43   9.5  3214 

 2.9    7  32 

losangCA 

11  12.1 

 7.8  319  130 

 861.8

louisvKY 

30   9.9  4474 

13.1 

 37  193 

 989.3

memphsTN 

50  10.4 

3497 

36.7 

 18   34  1006.0

miamiFL 

4700 

  3    5 

952.5

844.1

 60  11.5 

4657 

13.5 

  1   1 

861.4

milwauWI 

30  11.1 

2934 

5.8 

23  125 

929.2

minnplMN 

25  12.1 

2095 

2.0 

11 

857.6

nashvlTN 

45  10.1 

2082 

21.0 

newhvnCT 

46  11.3 

3327 

 8.8    3   8 

26 

 14   78   961.0 923.

）

neworlLA 

54  9.7 3172  31.4 

newyrkNY 

42  10.7  7462  11.3   26 108   994.6

17   1 1113.0

philadPA 

42  10.5  6092  17.5   32 161 1015.0

pittsbPA 

36  10.6  3437    8.1   59 263    991.3

portldOR 

37 12.0  3387   3.6  21  44  894.0

provdcRI  readngPA 

42 10.1  3508   2.2    4  18  938.5 41  9.6 4643   2.7  11  89  946.2

richmdVA 

44 11.0  3768  28.6    9  48 1026.0

rochtrNY 

32 11.1  4355   5.0   4  18  874.3

stlousMO 

34  9.7 5160  17.2   15  68  953.6

sandigCA 

10 12.1  3033   5.9  66  20  839.7

sanfrnCA 

18 12.2  4253  13.7  171  86  911.7

sanjosCA 

13 12.2  2702   3.0  32   3  790.7

seatleWA 

35 12.2  3626   5.7   7  20  899.3

springMA 

45 11.1  1883   3.4    4  20  904.2

syracuNY 

38 11.4  4923   3.8    5  25  950.7

toledoOH 

31 10.7  3249   9.5   7  25  972.5

uticaNY   40 10.3  1671  2.5   2  11  912.2 washDC 

   41 12.3  5308  25.9   28 102   968.8

wichtaKS 

28 12.1  3665   7.5    2   1  823.8

wilmtnDE 

45 11.3  3152  12.1   11  42  1004.0

worctrMA 

45  11.1  3678   1.0   3   8  895.7

yorkPA     42  9.0 9699   4.8   8  49  911.8 youngsOH 

38 10.7  3451  11.7   13  39  954.4

CITY:ア

メ リカ合衆国 60の 主要都市名

RAIN:年

平均降雨量

EDUC:25歳

以上の 人の学歴年 数の中央 値

POPD:人

口密度

NONW:人

口に占める非白人の割 合

NOX:平

均一、二酸化窒素濃度

SO2:平

均二酸 化硫 黄濃度

MORT:全

死 因年 齢調整死 亡率(/110,000人)

B.3

#  appendix 

B.3 

 ( Figure 

4.1  )

# par(mar=c(10,10,10,10)) #  full 

model 

regression

n＜-60 p＜-6 out1＜-glm(mort-rain+educ+popd+nonw+lnox+lso2) res＜-Sum( 

out1$residual^2 

)

tau2＜-res/(n-p-1) # #  3-independent-variables 

regression

p＜-3 out2＜-glm(cp$mort-educ+nonw+lso2) mat＜-cbind(edac,nonw,lso2) hate＜-hat( 

mat 

)

# #residual  res＜-sum( 

sum  of  squares out2$residuals^2 

)

#  unbiased 

error 

variance

s2＜-res/(n-p-1) #  standardized 

residuals

stres＜-out2$residuals/sqrt(s2) #  plot:y 

value 

vs.fitted 

y  value

plot(mort,out2$fitted.value,xlim=c(800,1200),      ylim=c(800,1200),pch=1,      xlab=“MOST",ylab=“Fitted 

value 

of  MOST")

abline(0,1) #  Mallows's 

Cp

xcp＜-res/tau2+2*(p+1)-n #Akaike's 

AIC

xaic＜-n*log(res/n)+2*(p+1) #R^2 xr2＜-1-res/var(mort)/(n-1) #  adjusted 

R^2

xrs2＜-1-s2/var(mort) #Allen's 

cross 

validation

xcv＜-sum(((mort-out2$fitted.value)/(1-hate))^2)/n #display 

the  results 

on  the  plot

text(830,1180,“R"2=");text(880,1180,xr2) text(960,1180,“adjusted 

R^2=”);text(1040,1180,xrs2)

text(830,1150,“Mallows 

Cp=");text(900,1150,xcp)

text(970,1150,“Akaike 

AIC=");text(1030,1150,xaic)

text(1100,1150,“Allen 

CV=");text(1160,1150,xcv)

B.4

#  appendix 

B.4 

(Figure 

5.1, 

5.2, 

5.3)

#

kana＜-scan(“hand.s",list(x=0,y=0)) par(mar=c(6,9,6,9)) infix  ＜-1:20 sx2＜-var(kana$x) sy2＜-var(kana$y) sxy＜-var(kana$x,kana$y) mx＜-mean(kana$x) my＜-mean(kana$y) beta0＜-(sy2-sx2+sqrt((sy2-sx2)^2+4*sxy*sxy))/2/sxy alpha0＜-my-mx*beta0 plot(kana$x,kana$y,pch=1,xlim=c(0,40),ylim=c(0,40), xlab=“Heelstick 

Method",ylab="Umbilical 

abline(alpha0,beta0,lty=1,coｌ=2)

beta＜-rep(0,nb) alpha＜-rep(0,nb) for(i 

in  1:nb)｛

ind＜-sample(indx,replace=T)   xx＜-kana$x[ind]   yy＜-kana$y[ind]

Catheter 

Method")

  sx2＜-var(xx)   sy2＜-var(yy)   sxy＜-var(xx,yy)   mx＜-mean(xx)   my＜-mean(yy)   beta[i]＜-(sy2-sx2+sqrt((sy2-sx2)^2 

+4*sxy*Sxy))/2/sxy

  alpha[i]＜-my-mx*beta[i]   abline(alpha[i],beta[i],lty=i,col=i) } cx＜-qnorm(length(beta[beta＜=beta0])/nb) p1＜-pnorm(-1.96+2*cx) P2＜-pnorm(1.96+2*cx) betaL＜-quantile(beta,pl) 

#  confidence 

limits 

for  beta

betaU＜-quantile(beta,p2) # cx＜-qnorm(length(alpha[alpha＜=alpha0])/nb) p1＜-pnorm(-1.96+2*cx) p2＜-pnorm(1.96+2*cx) alphaL＜-quantile(alpha,p1) 

#  confidence 

limits 

for 

alpha

alphaU＜-quantile(alpha,p2)

B.5

#  appendix 

B.5 

(Figure8.3)

# #    Newton 

Raphson 

method：Weibul 

distribution 

censored 

# #  u＜-g(x)：dLog(L)/d 

beta

#  v＜-dg(x)/dx：d^2Log(L)/d^2beta # #  Variables:cans(=c),eta # par(mar=c(7,10,7,10)) tt＜-surv$day[surv$st==1] 

#  event 

発生のケースの生存時間

zz＜-surv$day;z＜-zz # r＜-length(tt);n0＜-length(zz) eps＜-0.0001;x0＜-1;xl＜-2;x＜-x0 yy<-matrix(0,20,2);fpp＜-matrix(0,2,2) i＜-0 while(abs((x1-x0)/x0)＞eps)（ i＜-i+1 a＜-sum(zz^x);b＜-sum(zz^x*log(zz));ap＜-b bp＜-sum(zz^x*log(zz)*log(zz)) h＜-1/x+mean(log(tt))-b/a;hp<--1/x/x- 

bp/a+(b/a)^2

# x0＜-x;x＜-x-h/hp;x1＜-x e＜-(sum(zz^x)/r)^(1/x) ff＜-r*log(x/e)+(x-1)*sum(  yy[i.1]＜-x1;yy[i,2]＜-ff 

log(tt/e))-sum(          ｝

# cans＜-x;g＜-x;eta＜-(sum(zz^x)/r)^(1/x);e＜-eta fpp[1,1]＜--r/g/g-sum( 

(z/e)^g*(log(z/e))^2)

(zz/e)^x)

case

fpp[1,2]＜-

-r/e+sum((z/e)^g*(1/e+g/e*log(z/e)))

fpp[2,1]＜-fpp[1,2] fpp[2,2]＜-r*g/e/e-sum(g*(g+1)/e/e*(z/e)^g) v＜-solve(-fpp);var＜-c(v[1,1],v[2,2]) # se＜-sgrt(var) 

#  s.e.of 

estimates

ouf＜-surv.fit(surv$day.sarv$st) plot.surv.fit(ouf,conf.int=F) li＜-(1:195)*8/365 lines(li,exp(-(li/eta)^cans),lty=2) text(600/365,0.6,"Weibull 

survival 

text(300/365,0.35,"Kaplan‐Meier 

curve") survival 

curve")

B.6

#  appendix 

B.6 

( Figure 

8.4)

# #    Newton 

Raphson 

#         Weibul 

method

proportional 

hazard 

model

# # u＜-g(x) 

    :dLog(L)/d 

# v＜-dg(x)/dx 

beta

   :d^2Log(L)/d^2 

beta

# #  

Variables:g(=c),e(=eta),b(=beta)

# r＜-length(surv$day[surv$st==1]) tj＜-surv$day[surv$st==1] xj＜-surv$grp[surv$st==1] x＜-surv$grp;z＜-surv$day # eps＜-0.0001;nn＜-150;fold＜-c(0.5,2,0.2);fpp＜-matrix(0,3,3) xx＜-matrix(0,nn,4);fp<-1:3 for(i 

in  l:nn){

# g＜-fold[1];e＜-fold[2];b＜ifold[3] fp[1]＜-r/g+sum(log(tj/e))-sum( 

exp(b*x)*(z/e)^g*log(z/e))

fp[2]＜- 

-r*g/e+sum( 

exp(box)*g/e*(z/e)^g 

fp[3]＜- 

sum(xj)-sum(x*exp(b*x>*(z/e)^g 

fpp[1,1]＜- 

-r/g/g- 

fpp[1,2]＜- 

-r/e+sum( 

sum( 

fpp[1,3]＜-

-sum( 

) )

exp(b*x)*(z/e)^g*(log(z/e))^2) exp(b*x)*(z/e)^g*(l/e+g/e*log(z/e)))

x*exp(b*x)*(z/e)^g*log(z/e))

fpp[2,1]＜-fpp[1,2] fpp[2,2]＜-r*g/e/e-sum(  fpp[2,3]＜-  fpp[3,1〕

exp(b*x)*g*(g+1)/e/e*(z/e>^g)

-sum(x*exp(b*x)*(g/e)*(z/e)^g) ＜-fpp[1,3]

fpp[3,2]＜-fpp[2,3] fpp[3,3]＜-  fnew 

-sum( 

x*x*exp(b*x)*(z/e)^g 

)

＜- fold-solve(fpp)%*%fp*0.2

ff＜-  r*log(g/e)+(g-1)*sum( 

iog(tj/e) 

)+sum( 

xx[i,1]＜-fnew[1]:xx[i,2]＜-fnew[2];xx[1,3]＜-fnew[3];xx[i,4]＜-ff fold＜-fnew } g＜-fnew[1];e＜-fnew[2];b＜-fnew[3]

b*xj 

)-sum(exp(b*x)*(z/e)^g)

ouf＜-surv.fit(surv$day,surv$st, 

surv$grp)

plot.surv.fit(ouf,conf.int=F) li＜-(1:100)*8/365 lines(li,exp(-(li/e)^g).lty=2) li＜-(1:195)*8/365 lines(li,(exp(-(li/e)^g))^exp(b),lty=2) text(3.4,0.5,“Treatment 

Group")

text(3,0.2,“Placebo 

Group")

B.7

#   appendix 

B.7 

(Figure 

10.6,10.7)

# #   There 

are 

３ functions:lga(),lgb(), 

arsal()

# par(mfrow=c(3.2)) #data 

input

x＜-c(1.691,1.724,1.755,1.784,1.811,1.837,1.861,1.884) z＜-(x-mean(x))/sqrt(var(x)) n＜-c(59,60,62,56,63,59,62,60) m＜-c〈4,10,19,31,52,53,60,60) #  FUNCTION:log‐likelihood 

for 

alpha

lga＜-function(alp,bet,sda,z,n,m){ th＜-  alp+bet*z  sum( 

m*th-n*log(1+exp(th))) 

-(alp^2)/2/sda/sda

} #  FUNCTION: 

log‐likelihood 

for 

beta

lgb＜-function(alp,bet,sdb,z,n,m){ th＜-  alp+bet*z  sum( 

m*th-n*log(1+exp(th)) 

)  -(bet^2)/2/sdb/sdb

} #  FUNCTION 

: adaptive 

#  initial 

abscissae 

rejection 

sampling 

:  ( mu,xab(i), 

for 

i=1,...,mu 

arsal＜-function(mu,xab,pb,sd,z,n,m){ jk＜-0;u2＜-1;rat＜-0 while(u2＞rat){ jk＜-jk+1;h＜-1:mu st＜-1:(mu-1) 

;ss＜-1:(2*mu-2);xc＜-1:(2*mu-3)

yy＜-1:(2*mu-3);cu＜-1:(2*mu-2);ff＜-1:(2*mu-2) # xx＜-sort(xab) for(i 

in  l:mu){

h[i]＜-lga(xx[i],pb,sd,z,n,m)   for(i 

)

in  1:(mu-1)){

st(i]＜-(h[i]-h[i+1]}/(xx[i]-xx[i+1])   ss[1]＜-st[1];ss[2]＜-st[2]  for(i 

in  2:(mu-2)){ ss[2*i-1]＜- 

st[i-1]

ss[2*i]＜- 

st[i+1] 

}

ss[2*mu-3]＜-st[mu-2];ss[2*mu-2]＜-st[mu-1] #  xc[1]＜-xx[1]  for(i 

in  2:(mu-2)){

xc{[2*i-2]＜-xx[i]  xc[2*i-1]＜-(h[i+1]-h[i]+st[i-1]*xx[i]-st[i+1]*xx[i+1])/

}

alpha )

(st[i-1]-st[i+1]) 

｝

  xc[2*mu-4]＜-xx[mu-1];xc[2*mu-3]＜-xx[mu] #   cu[1]＜-h[1]-st[1]*xx[1];cu[2]＜-h[2]-st[2]*xx[2]   for 

(i  in  2:(mu-2)){

  cu[2*i-1]＜-h[i]-st[i-1]*xx[i]   cu[2*i] 

 ＜-h[i+1]-st[i+1]*xx[i+1] 

}

  cu[2*mu-3]＜-h[mu-1]-st[mu-2]*xx[mu-1] cu[2*mu-2]＜-h[mu]-st[mu-1]*xx[mu] #   yy[1]＜-st[2]*xx[1]+cu[2]   for 

(i  in  2:(mu-2))｛

   yy[2*i-2]＜-h[i］    yy[2*i-1]＜-ss[2*i-1]*xc[2*i-1]+cu[2*i-1]}   yy[2*mu-4］

＜-h[mu-1]

   yy[2*mu-3]＜-ss[2*mu-3]*xx[mu]+cu[2*mu-3] #   s＜-0   ff[1]＜-exp(ss[1]*xc[1]+cu[1])/ss[1]   for 

(i  in  2:(2*mu-3)){

  ff[i]＜- 

exp(cu[i])*(exp(ss[i]*xc[i])-exp(ss[i]*xc[i-1]))/ss[i]

  s＜-s＋ff[i]］   ff[2*mu-2]＜- 

 -exp(ss[2*mu-2]*xc[2*mu-3]+cu[2*mu-2])/ss[2*mu-2]

  s＜-s+ff[1]+ff[2*mu-2]   for 

(i  in  1:(2*mu-2)){

  ff[i]＜-ff[i]/s 

}

  fg＜-rep(0.2*mu-2)   for 

(i  in  1:(2*mu-2)){

  for 

(j  in  1:i){

  fg[i]＜-fg[i]+ff[j] 

)

                     } # u＜-runif(1,0,1); 

xprob＜-0; 

i＜-O

while(u 

{ i＜-i+1; 

xprob＜-fg(i])

＞ xprob) 

k＜-i ud＜-ifelse(k＞1, 

u-fg[k-1],u)

aaa＜-ifelse(k＞1,exp(ss[k]*xc[k-1]),0) xget＜-log(aaa+s*ud*ss[k]/exp(cu[k]))/ss[k] u2＜-runif(1,0,1) t1＜-ｌga(xget,pb,sd,z,n,m) t2＜-ss[k]*xget+cu[k] rat＜-exp(t1-t2) # #   plot 

only 

for  Figare 

10.7

# xid＜-c(xc,1,5) plot(xid,fg,pch=1,type="b") text(1.0,0.5,"Uniform  text(1.5,0.5,  text(1.0,0.4," 

U 

   =")

u2) g/Env(g) 

    = ")

text(1.5,0.4,ratio) text(1.0,0.3,"Random 

sample 

text(1.5,0.3,xget) plot(xx,h,pch=1,type="b",ylim=c(-230,-150)) lines(xc,yy,pch=2) text(1.0,-220,jk,col=2) #

 = ”)

 xab＜-c(xab,xget)  mu＜-mu+1 xget  }  }

 #   main 

program

 mu＜-6;xab＜-1:mu  xab[1]＜- 

-0.5;xab[2]＜-0.0;xab[3]＜-0.5

 xab[4]＜-1.0;xab[5]＜-1.5;xab[6]＜-2.0  #  initial 

values 

for  alp,bet,sda(sd 

of  alpha)

 sda＜-1.0;alp＜-2;bet＜-2.5  #  galp＜-arsal(mu,xab,bet,sda,z,n,m)

B.8

#  appendix 

B.8 

( Figure 

10.8 

)

# #  input 

(a0,sda,b0,sdb)

start＜-date() niter＜-2000;mg＜-500;mgg＜-1500 k＜-25;batchs＜-20;id＜-1:niter fal＜-matrix(0,k,batchs);fa2＜-matrix(0,k, 

batchs)

fbl＜-matrix(0,k,batchs);fb2＜-matrix(0,k, 

batchs)

mfal＜-rep(0,k);mfa2＜-rep(0,k) mfbl＜-rep(0,k);mfb2＜-rep(0,k) a＜-rep(0,niter);b＜-rep(0,niter) a[1]＜-a0;b[1]＜-b0;alp＜-a0;bet＜-b0 x＜-c(1.691,1.724,1.755,1.784,1.811,1.837, 

1.861,1.884)

z＜-(x-mean(x))/sqrt(var(x)) n＜-c(59,60,62,56,63,59,62,60) m＜-c(4,10,19,31,52,53,60,60) xab＜-1:4;mua＜-4;yab＜-1:5;mub＜-5 xab[1]＜- 

-1.0;xab[2]＜-0.0;xab[3]＜-1.0; 

xab[4]＜- 

2.0

yab[1]＜-0.0;yab[2]＜-1.0;yab[3]＜-2.0;yab[4]＜-3.0;yab[5]＜-4.0 ＃ for 

(i  in  ２:niter)｛

alp＜-arsal(mua,xab,bet,sda,z,n,m) a[i]＜-alp bet＜-arsbe(mub,yab,alp,sdb,z,n,m) b[i]＜-bet } par(mfrow=c(2,2)) plot{id,a,type="１",ylab="alpha",xlab="iteration") ga＜-a[id＞=mg+1];hist(ga,30) plot(id,b,type="１",ylab="beta",xlab="iteration") gb＜-b[id＞=mg+1];hist(gb,30) be＜-mean(gb)/sqrt(var(x));al＜-mean(ga)-be*mean(x) # for 

(j  in  1:k){

   for 

(s  in  1;batchs){

     fa1[j,s]＜-a[s+(j-1)*batchs+mg];fa2[j,s]＜-a[s+(j-1)*batchs+mgg]      fb1[j,s]＜-b[s+(j-1)*batchs+mg]; 

fb2[j,s]＜-b[s+(j-1)*batchs+mgg] 

}｝

for 

(j  in  1:k)( mfa1[j]＜-mean(fa1[j,]): 

mfa2[j]＜-mean(fa2[j,])

mfb1[j]＜-mean(fb1[j,]);mfb2[j]＜-mean(fb2[j.])} ea1＜-mean(mfa１);va1＜-var(mfa1);ea2＜-mean(mfa2);va2＜-var(mfa2) eb1＜-mean(mfb1);vb1＜-var(mfb1);eb2＜-mean(mfb2);vb2＜-var(mfb2) z1＜-(ea1-ea2)/sqrt((va1+va2)/k);z2＜-(eb1-eb2)/sqrt((vb1+vb2)/k) end＜-date()

B.9

#  appendix 

B.9  ( This  is a  ‐Plus function 

for disease  clustering 

)

# cluster.test＜-function(freq,p,mc){ # # input=freq:Observed 

frequency

#      

For  example,you 

#       

for  time  clustering.

can set:freq＜-c(4,3,4,4,4,7, 

# input=p:Multinomial 

parameter 

2,3,11,9,8,3)

vector  under  null  hypothesis

#          Default  values  are "equal  probabilities". # input=mc: 

User  defined  closeness 

#         

See paper  (Tango,  Statistics 

#         

Defaut  values  are  set only  for  time  clustering 

#          #  # 

-4  (dij/lambda)＾2) 

can be  recommended 

        However,the 

#         

in Medicine 

14, 2323‐2334,  1995). and they  are

Exp(-｜  i-j  ｜).

        Usually,Exp( 

#         

measure  A

or Exp(  -dij/lambda 

for spatial  clustering 

selection  of  "lambda" 

)

problems.

is not  so easy  and  depends

on  the cluster  size  to be  investigated.

# output  variables 

are  as follows

#   $c.stat        C for  temporal 

clustering 

(Tango,1984,1990)

#    $c.pval        Prob{C＞c} #    $g.stat 

     G for temporal 

and spatial  clustering 

( Tango,1995 

)

#    $g.pval       Prob(G＞g)

# nn＜-sum(freq);lenn＜-length(freq)   if  (missing(p)) 

p＜-rep(1/lenn,ienn)

  if  ｛missing(mc))( mc＜-matrix(0,lenn,lenn)  for 

(i  in  1:lenn) 

 mc[i,j]＜-exp( 

( for 

(j  in  1:lenn)

-abs(i-j) ) 

)

 ｝  ac＜-mc;pp＜-matrix(p);w＜-diag(p)-pp%*%t(pp):q＜-freq/nn #  ...  Tango(1984)+Tango(1990)....Test 

for  temporal 

# 

in  homogeneous 

clustering populations

  g＜-q%*%ac%*%t(q)   eg＜-p%*%ac%*%t(p)+sum(diag(    vg＜-( 

ac%*%w 

))/nn

4*  p%*%ac%*%w%*%ac%*%t(p)+2/nn*sum(diag( 

  skew＜-8*( 

ac%*%w%*%ac%*%w 

+  (1/nn)*sum(diag(ac%*%w%*%ac%*%w%*%ac%*%w)) 

) /  sqrt(nn) 

/  (nn*vg)**1.5

  df＜-8/skew**2    tc＜-(g-eg)/sgrt(vg)   pval＜-1-pgamma((df+tc*sqrt(2*df))/2,  #  .... 

))  )/nn

3*  P%*%ac%*%w%*%ac%*%w%*%ac%*%t(p）+

Tango(1995) 

#  ...................... 

..... 

df/2)

Test 

for 

temporal 

in  heterogeneous 

and 

spatial 

populations

clustering

g2＜-(q-p)%*%ac%*%(q-p) eg2＜- 

+sum(diag( 

vg2＜-2/nn*sum(diag( 

ac%*%w 

))/nn

ac%*%w%*%act*%w 

))/nn

skew2-8*((1/nn)*sum(diag(ac%*%w%*%ac%*%w%*%ac%*%w)))/sqrt(nn)/(nn*vg2)**1.5 df2＜-8/skew2**2 tc2＜-(g2-eg2)/sgrt(vg2) pva12＜-1-pgamma((df2+tc2*sqrt(2*df2))/2, 

df2/2)

list(c.stat=tc,c.pval=peal,g.stat=tc2, 

g.pval=pea12,p=p) 

 }

文 

献

１)  Agresti,Ａ.Categorical 

Data 

２)  Akaike,Ｈ.Information 

theory 

  2nd  INt.Symp.Information  ３)  Allen,Ｄ.Ｍ.Mean 

Analysis, 

John 

Wiley 

and  an  extension  Theory,Akademia 

square 

&  Sons,New 

York(1990).

of the  maximum 

principle.Proc.

Kiado,Budapest,267‐281(1973).

error  of prediction 

as  ａ criterion 

of selecting 

variables.

Technometrics,13,469‐475(1971). ４)  De  Boor,Ｃ.Ａ

 Practical 

Guide 

to Splines,Springer‐Verlag,New 

５)  Bishop,Ｙ.Ｍ.Ｍ.,Fienberg,Ｓ.Ｅ.and  MIT 

York(1978).

Holland,Ｐ.Ｗ.Discrete 

Multivariate 

Analysis,

press,Cambridge,Mass.(1975).

６)  Bowman,Ａ.Ｗ.and    Oxford 

Azzalini,Ａ.Applied Smoothing 

Science 

Techniques 

for  Data 

Analysis,

Publications,London(1997).

７)  Breiman,Ｌ.The 

little bootstrap 

  regression:x‐fixed 

prediction 

８)  Breslow,Ｎ.Ｅ.Covariance 

and  other  methods 

for dimensionality 

selection 

in

error.Ｊ.Amer.Statist.Assoc.,87,738‐754(1992).

analysis 

of censored 

survival 

data.Biometrics,30,89‐99

  (1974). ９)  Breslow 

Ｎ.Ｅ.and 

Clayton 

Ｄ.Ｇ. Approximate 

inference 

in gexieralized 

linear  mixed

  models.Ｊ.Amer.Statist.Assoc.,88,9‐25(1993). 10) 

Cleveland,Ｗ.Ｓ.Robust 

locally‐weighted 

regression 

and  smoothing 

scatterplots.Ｊ.

  Am.Statist.Assoc.,74,829‐836(1979). 11) 

Cohen,Ａ.Ｃ.Three‐parameter    Applications,eds.Ｅ.Ｌ

Estimation.In   Crow 

Lognormal 

and  Ｋ.Shimizu,New 

Distribution‐Theory 

Ybrk,Marcel 

and

Dekker,113‐137

  (1988)． 12) 

Cook 

Ｒ.Ｄ.Influential 

observations 

in linear  regression.Ｊ.Amer.Statist.Assoc.,74,

169‐174(1979). 13) 

Cox,Ｄ.Ｒ.Regression 

models 

and  life tables(with 

discussion).Ｊ.Roy.Statist.soc.,

  B  seraes,34,187‐220(1972). 14) 

Cox,Ｄ.Ｒ.Partial 

15) 

Efron,Ｂ.Bootstrap 

likelihood.Biometrika,62,269‐276(1975). methods:another 

look  at the  jackknife.Ann.Statist.,7,1‐26,

1979. 16) 

Efron,Ｂ.Better 

bootstrap 

confidence 

intervals.(with 

discussion).Ｊ.Amer.Stdtist.

Assoc.,82,171‐200,1987. 17) 

Efron,B.and 

Tibshirani,Ｒ.Ｊ.An 

Introduction 

to the Bootstrap,Chapman 

&  Hall,

London(1993). 18) 

Fleeting,Ｔ.Ｒ.and   Wiley 

19) 

Harrington,Ｄ.Ｐ.Counting 

Process 

and  Suruival 

Analysis,John

&  Sons(1991).

Friedman,Ｊ.Ｈ.and 

Stuetzle,Ｗ.Projection 

pusuit 

regression.Ｊ.Amer.Statist.

Assoc.,76,817‐823(1981). 20) 

Gelman 

Ａ.and 

Rubin,Ｄ.Ｂ.Inference 

  sequences.Statistical  21) 

Gail,Ｍ.and 

from 

iterative 

simulation 

using 

multiple

Science,7,457‐472(1992).

Simon,Ｒ.Testing 

for  qualitative 

interactions 

between 

treatment

     effects  and  patient  22)Gilks, 

Ｗ.Ｒ.and 

subsets. 

Biometrics,41,361‐372(1985).

Wild,Ｐ.Adaptive 

rejection 

sampling 

for gibbs  sampling．Applied

  Statistics,41,337‐348(1992). 23)Gilks,Ｗ.Ｒ.,Richardson,Ｓ.and    Carlo 

Spiegelhalter,Ｄ.Ｊ.(eds).Markov 

in  Practice,Chapman 

24)Hardle,Ｗ.and 

Bowman,Ａ.Ｗ.Bootstrapping 

  adaptive 

smoothing 

Chain 

Monte

＆ Hall,  London(1996).

and 

in  nonparametric 

confidence 

bands.Ｊ.Arner. 

regression:local

Statist.Assoc.,83,102‐110

(1988). 25)Hardle,Ｗ.and   

Marron,Ｊ.Ｓ.Bootstrap 

simultaneous 

error  bars  for nonparametric

  regression.Ann.Statist.,19,778‐796(1991).

26)Hastie,Ｔ.and 

Tibshirani 

Ｒ.Generalized 

Additive 

Models,Chapman 

＆ Hall,Lon

don(1990). 27)Hastings,Ｗ.Ｋ.Monte 

Calro 

sampling 

methods 

using 

Markov 

Chains 

and  their

   applications.Biometrika,57，97‐109(1970). 28)Hjorth,Ｕ.On 

model 

selection 

in the  computer 

age.Ｊ.Statist.Pldnn.Inference,

  23,101‐115(1989). 29)Hjorth,Ｕ.Model 

selection 

and  forward 

validation.Scarxd.Ｊ.Statist.,9,95‐105

  (1982). 30)Iino,Ｓ.,Tango,Ｔ.,Matsushima,Ｔ.et   

  Neo‐Minophagen  atology 

Ｃ by  different 

Research,In 

Wiley 

Prentice  ＆ Sons,New 

32)Kaplan,Ｅ.Ｌ.and 

doses  on  chronic 

on  therapeutic  hepatitis 

effect  of Stronger

and  liver  cirrhosis. 

Hep

press(2000).

31)Kalbfleisch,Ｊ.Ｄ.and  John 

al. Study 

Ｒ.Ｌ.The 

Statistical 

Analysis 

of Faihcre 

Time 

Data,

York(1980).

Meier,Ｐ.Nonparametric 

estimator 

from  incomplete 

observations.

Ｊ.Amer.Statist.Assoc.,53,457‐481(1958). 33)Kulldorff,Ｍ.and    Statistics 

Nagarwalla,Ｎ.'Spatial 

34)Lawson,Ａ.et     Wiley 

clusters:detection 

and  inference',

al.Disease 

Mappting 

and  Risk  Assessment 

for  Public 

Health,John

&  Sons,London(1999)

35)McCullagh,Ｐ.and  man 

disease 

in Medicine,14,799‐810(1995).

Ｊ.Ａ.Nelder.Generalized 

Linear 

Models,Second 

edition,Chap

and  Hall,London(1989).

36)Mallows,Ｃ.Ｌ

 Some 

remarks 

of Cp.Technometrics,15,661‐675(1973).

37)Metropolis,Ｎ.,Rosenbluth,Ａ.Ｗ.,  Equations 

Rosenbluth,Ｍ.Ｎ.,Teller,Ａ.Ｈ.and 

of state  calculations 

by  fast  computing 

Teller  Ｅ.

machine.Ｊ.Chem.Phys.,21,

1087‐1091(1953). 38)Nelder,Ｊ.Ａ.and   

Wedderburn 

Ｒ.Ｗ.Ｍ. 

Generaliyed 

linear  models.Ｊ.Ｒ.Statist.

Soc.,Ａ.135,370‐384(1972).

39)Peto,Ｒ.and    log rank 

Pike 

MC.Conservatism 

test  for  survival 

data 

of the  approximation(O-E)2/E  on  tumor 

incidence 

in the

data.Biometrics,29,579‐584

(1973). 40)Searle,Ｓ.Ｒ.,Casella,Ｇ.and    ＆ Sons,London(1992).

McCulloch,Ｃ.Ｅ.Variance 

Components,John 

Wiley

41) 

Spiegelhalter,Ｄ.Ｊ.,Dawid,A.P.,Lauritzen,Ｓ.Ｌ.and   in expert 

42) 

systems(with 

Cowell,Ｒ.Ｇ.Bayesian 

discussion).Statistical 

Spiegelhalter,Ｄ.Ｊ.,Thomas,Ａ.,Best,Ｎ.and  ence 

using 

Gibbs 

 Unit,Institute  Stone,Ｍ.Asymptotic 

 

Akaike's 

44) 

Stone,Ｒ.Ａ.Investigation 

Gilks,Ｗ.Ｒ.BUGS:Bayesian 

sampling,Version 

of Public 

43)

analysis

Science,8,219‐283(1993).

0.50,Medical 

Health,Cambridge  equivalence 

Research 

Infer

Council 

Biostatistics

University(1995).

of  choice 

of  models 

by  cross‐validation 

and

criterion.Ｊ.Roy.Stdtist.Soc.Ｂ,39,44‐47(1977).

statistical 

of  excess 

problems 

and  proposed 

45) 

Stuart,Ａ.and 

 

edition,Griffin,London(1987).

46) 

Stuart,Ａ.and 

 

edition,Griffin,London(1991).

environmental 

test,Statistics 

Ord,Ｋ.Kendall's Advanced 

Ord,Ｋ.Kendall's 

47) 

Tango,Ｔ.Ａ

 

diseases,Statistics 

48) 

Tango,Ｔ.Comparison 

 

and  Risk  Assessment 

Advanced 

risks  around 

putative 

sources:

in  Medicine,7,649‐660(1988).

Theory 

of Statistics,Volume 

１,Fifth

Theory 

of Statistics,Volume 

２,Fifth

 class  of tests  for detecting'general'and'forcused'clustering 

of rare

in  Medicine,14,2323‐2334(1995). of general  for  Public 

tests  for disease  Health,(Lawson 

clustering,in 

Disease 

Mapping

et al.eds),111‐117,John 

Wiley

&Sons,London(1999). 49) 

Tango,Ｔ.Ａ

 test  for spatial  disease 

clustering 

adjusted 

for multiple 

testing.Statis

tics  in  Medicine,19,191‐204(2000). 50) 

Tango,Ｔ.Equivalence 

 

for the  paired‐sample 

51) 

test  and  confidence  design.Statistics 

Yanagawa,Ｔ.,Tango,Ｔ.,and 

  equivalence 

or more 

interval 

Hiejima,Ｙ.  than  equivalence 

for the  difference 

in proportions

in Medicine,17,891‐908(1998). Mantel‐Haenszel 

in comparative 

type  tests  for testing

clinical  trials.Biometrics,50,

 859‐864,(1994). 52) 

丹 後 俊 郎.測

定 誤 差 を 考 慮 に い れ た 線 形 関 係 式 ― 測 定 法 の 比 較 の た め の 統 計 学 的 方 法 ―,

臨 床 病 理,36,1101‐1108(1988). 53) 

丹 後 俊 郎.死

亡 指 標 の 経 験 的 ベ イ ズ 推 定 量 に つ い て ― 疾 病 地 図 へ の 適 用 ―.応

用 統 計 学,17,

81‐96(1988). 54) 

丹 後 俊 郎,山

岡 和 枝,高

55) 

宮 原 英 夫,丹

後 俊 郎 編.医

56) 

丹 後 俊 郎.潜

木 晴 良.ロ

ジ ス テ ィッ ク 回 帰 分 析.朝

学 統 計 学 ハ ン ド ブ ッ ク,朝

倉 書 店,1996.

倉 書 店,1995.

伏 期 間 に 対 数 正 規 分 布 を 仮 定 し た 集 団 食 中 毒 の 曝 露 時 点 の 最 尤 推 定 法,日

本

公 衛 誌,45,129‐141(1998). 57) 

今 井 淳.高 平 成10年

58) 

知 県 に お け る 疾 病 の 地 域 集 積 性 に つ い て ‐ 死 亡 指 標 の 評 価 と 疾 病 地 図 へ の 応 用 ‐, 度 国 立 公 衆 衛 生 院 特 別 課 程 疫 学 統 計 コ ー ス ・調 査 研 究 報 告 書,57‐96(1998).

ダ イ オ キ シ ン 類 関 連 健 康 調 査 検 討 委 員 会,茨 イ オ キ シ ン 類 関 連 健 康 調 査 報 告 書,平

城 県 保 健 福 祉 部,城

成11年9月(1999).

取 清 掃 工 場 周 辺 住 民 の ダ

索      引

Box‐Cox変

Ａ accelerated   

換   79

burn‐in 

bias  corrected 

method 

sample 

Ｃ

percentile

29

acceptance 

probability 

adaptive 

rejection 

adjusted 

odds 

159

sampling 

ratio 

AkaikeのAIC規

171

87

of covariance 

analysis 

of deviance 

ANOVA法

link  function  data 

central  189 83

115

conditional 

68

換   79

autoregressive 

model 

  225 likelihood 

    ―bootstrap  consistency  data 

balanced 

design 

bandwidth 

190

constant 

188

94

156,222

baseline 

hazard 

Bayesの

定 理   142,209

crude 

Bayesモ

デ ル   155

cubic  spline 

Bayesian 

126

error 

63

モ デ ル   130

critical  value  function 

11,225

26

systematic 

Coxの

212

interval

    ―profile 

balanced 

20

log‐log変

    ―Wald法

Ｂ

78

limit  theorem 

confidence 

factor 

77

116

complementary 

  192,197

attenuation 

parameter 

canonical 

censoring 

準   50

analysis 

canonical 

censored 

準   44

AllenのCV規

4

cross  validation 

50

mortality 

rate 

205

100

141,207

Bayesian階 BCパ

165,168

層 的Poisson回

Ｄ

帰 モ デ ル   212

ー セ ン タ イ ル 法   28

BCa法

  29

bias  corrected  bootstrap  bootstrap信

percentile 

method 

18,68,74,102

sample 

bootstrap 

simulation 

DAG 

146

DAR 

205

deviance 

頼 区 間   26

bootstrap 

28

directed 

21

directly  21

disease 

82 acyclic  graph  age‐adjusted  clustering 

146 death 

213

rate 

205

disease 

map 

dispersion 

203

parameter 

Ｉ

77

Ｅ

improper 

prior 

independence  efficient  score  empirical 

average 

error 

143,209

interaction 

158

interpolation 

Bayes 

ergodic 

informative 

132,222

expected 

life 

expected 

residual 

Fisher 

182 99 158

Ｊ

life  117

Jackknife推

matrix 

fixed‐effects(model)  test 

222 Kaplan‐Meier推

141,156,187,188

213,216

frequentist 

140,156

full conditional 

distribution 

定 値   29

Ｋ

報 量   121,133,215,222,223 information 

focused 

116

117

Ｆ

Fisher情

161

censoring 

irreducible 

62

143

sampler 

定 値   123

kernel 

smoother 

knots 

99

94

167

Ｌ

Ｇ law  of large  numbers  GAM 

LD50 

106,109

generalized 

additive 

model 

generalized 

inverse 

generalized 

linear  model:GLIM 

Gibbs 

sampling 

global  test 

195

169,175

213,216

Greenwoodの

light  tailed 

109

公 式   124

75

164

likelihood 

８,221

likelihood 

function 

likelihood 

ratio  test 

heavy 

10,224

relationship 

linear  predictor 

78

linear  structural  link  function 

hazard 

221

linear  functional 

linear  relationship 

Ｈ

156

75

line 

67

66

relationship 

67

78

ratio 

127

locally  weighted 

average 

tailed 

165

locally  weighted 

linear  regression 

Hessian推

loess 

定 量   223

hierarchical    model 

conditional 

independent

97

log‐normal  log‐rank検

145

distribution  定   135,136

HjorthのCMV規

準   54,55

loss  function 

hyper 

143

lowers 

paremeter 

94

97

145

８

96

Poisson分

Ｍ

布   204,209,214

Poisson 

trend検

posterior  MallowsのCp規

準   40

Mantel‐Haenzsel検 marginal 

chain(連

Markov 

chain  Monte 

maximum 

鎖) 

MCMC 

159

mean 

square 

104 75

ML法

rate 

ル ゴ

150,156,188

random‐ffects(model)  random 

walk 

reference  93

Ｎ prior 

144

distribution 

Newton‐Raphson法

210

  120,128,133,223

146

noninformative 

censoring  prior 

nonparametric回 nuisance  number 

143

127

  192,194,197

residual 

194

residual 

maximum 

residual 

sum 

likelihood 

of squares 

(residual 

running 

mean 

running 

median 

sum 

194

39

of squres) 

39

93 93

帰 モ デ ル   93

parameter 

Ｓ

77,130

of patients 

numerical 

116

222 170

hazard 

RSSp 

non‐informative 

86

sampling 

REML法

binomial 

162

conditions 

relative 

conjugate 

141,156,187

sampler 

category 

regularity  rejection 

node 

85

Ｒ

リ ズ ム   159

161

average 

negative 

184,186

approach 

161

  192,197

natural 

interaction 

150

sampler 

moving 

63

Ｑ

9,221

quasi‐likelihood 

mixed‐effects(model)  mixing 

error 

136

159

qualitative 

Metropolis‐Hastingsア Metropolis 

10

systematic 

proportionality 

estimator 

error 

meta‐analysis 

proportional 

156

lethal  dose 

median 

194

Carlo 

likelihood 

141

profile  likelihood 

likelihood 

Markov 

141

prior  distribution 

定   135

maximum 

定   215

distribution 

standard 

at risk 

118

errors 

158

sampler 

159,161

scaled 

Ｏ

deviance 

score  method  score  test 

over‐dispersion 

85,152,167,173

secant 

224

method 

sensitivity 

Ｐ

81 223

171

analysis 

single‐component  smoother 

partial  likelihood  penalized 

residual 

Poisson回

帰   76,89

131 sum 

  ― of squares 

99

60 Metropolis‐Hastings 

93

の 自 由 度   96

smoothing 

93,152

smoothing 

splines 

98

167

疑 似 尤 度法   85

SMR 

205

spatial 

smoothing 

standardized 

mortality 

standard 

error 

surrival 

analysis 

基 準 カテゴ リー  86

212 ratio 

152,205

規 準 ハ ザ ー ド関 数  126 期 待 死 亡数   205

18

共 分 散 分析   189

116

共 変 量   189 Ｔ

局 所 重 み付 き線形 回帰  96 局 所 重 み付 き平均   94

tie 

131

空 間smoothing 

Ｕ

213

空 間 平 滑 化   212 ク ラ ス タ ー   218

unbalanced 

data 

183,190,196

ク ロ ス ・バ リ デ ー シ ョ ン  50,104 ク ロ ス ・モ デ ル ・バ リデ ー シ ョ ン   55

Ｖ 交 互 作 用   182,184,198 variance 

function 

交 絡 因 子   218

77

誤   差   62

Ｗ

50%致

死 量   75

混 合 効 果 モ デ ル   150,156,188 Wald 

test(検

Weibull分

布 

定)133,224

サ 行

17,119

ア  行

再 帰 的  158 採 択確 率   159

一 致 性   156 一 般 化 加 法 モ デ ル   106 一 般化

最 尤推 定 量  9,221 ,109

最 尤 法  192

逆 行 列  195

残  差   194 打 ち 切 りデ ー タ  116

残 差最 尤 法   194 残 差平 方 和  39

エ フ ィ シ ェ ン ト ・ス コ ア   132,134,215,222,

225 エ ル ゴ ー ド平 均   158

事後 分布   141,209 指 数分 布   119 施 設 間差   182

重 み 付 き回帰 分 析  206

自然 共役  144 事 前分 布   141,209

カ  行

質 的交 互 作 用  186 疾 病 地 図  203,204

階 層 的 条件 付 き独立 モ デ ル  145

疾 病 の地 域 集 積性  213

感 度 分 析  60

死 亡率   204

ガ ンマ 分布   209

自由 度調 整 寄 与率  45

自 由度 調 整 重相 関 係 数  45

ノ ー ド  146

周辺 最 尤 法  194 周辺 尤 度   209,211

ハ  行

条件 付 き 自己 回帰 モ デ ル  212 ハ ザ ー ド 関 数   116

信頼 区 間  11

ハ ザ ー ド比   127 ス コ ア 検 定   133,215,224 ス コ ア 法  80,223

標 準 化死 亡 比   152,205 標 準 誤差   18

制 限付 き最 尤法   194

比 例 ハザ ー ド回帰 モ デ ル  126

正準 母 数   77

比 例 ハザ ー ド性   136

正則 条 件   12,222

頻 度論 者   156

生存 関数   116 節  99

負 の 二項 分 布  210

線形 関係   66

フル 条件 付 き分布   167,177

線形 予 測 子  78 部 分 尤度   131 相対 ハ ザ ー ド  127

分 散 関数   77

粗死 亡 率   205

分 散 分析   191

損失 関数   144

分 散 分析 法   192 分 布 の裾 が 重 い  165

タ 行

分 布 の裾 が よ り軽 い  164

タ  イ  131 対 称sampler 

プ ロ ビ ッ ト変 換   79 161

対 数 正 規 分布   ８

プ ロ フ ァ イル 対 数 尤 度   10 プ ロ フ ァ イ ル ｐ 値   218

大 数 の 法 則   156 正 し くな い 事 前 分 布   143

平 均 ２乗誤 差   103 平 均 寿命   117

中央 値   18 中心 極 限 定 理  20

平 均余 命   117 ペ ナ ル テ ィ付 き残 差 平方 和   99

調 整 オ ッズ比   87

変 量 効果 モ デ ル  141,156,187

超 パ ラ メー タ  143 散 らば りの 母数   77

補   間  99

治 療 と施 設 との 交 互作 用   182 母 数 効 果 モ デ ル   141,156,187 独 立sampler 

162

ナ  行

マ 行

年 齢 調整 死亡 率  205

無 情 報事 前 分布   143

量 的 交互 作 用   184

ヤ  行 尤   度   8,221

臨床 試 験  181

ラ  行

尤 度 関 数   221 尤 度 比 検 定   10,133,186,224

離散分布 ５

ロ ジ ス テ ィッ ク 回 帰  76,88,155,175

著 者 略歴

丹後俊郎 1950年   北 海道 に生 まれ る 1975年   東京 工業大 学大学 院理工 学研 究科修 了 現 

在  国立保 健医療 科学 院 ・技術 評価 部部 医学博 士

医学統 計学 シリーズ ２

統 計 モ デ ル 入 門 2000年

定 価 はカバ ーに表示

２ 月20日   初 版第 １刷

2008年10月10日

   

第 ７刷

著 者

丹

発行者

朝

発行所

株式 会社

後

俊

郎

倉

邦

造

朝 倉

書 店

東 京都 新宿 区新小 川町 ６‐29 郵 便 番 号162‐8707 電  話03(3260)0141

FAX03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp

〈検 印 省 略 〉 Ｃ2000〈 ISBN978‐

無断 複写 ・転 載 を禁 ず 〉 ４‐254‐12752‐

２  C3341

三 美印刷 ・渡辺 製本 Printed 

in Japan