Единый алгоритм решения задач сопромата

КОРОВАЙЦЕВ АНАТОЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СОПРОМАТА

2010 г.

1

I. Основные определения для идентификации расчетных схем задания Понятие Брус

Ось бруса

Прямой брус

Балка

Определение понятия

Иллюстрация понятия

Тело, одно из измерений которого (длина) намного (>10 раз) превышает другие измерения Линия, проходящая через центр тяжести сечений бруса. Отображает форму бруса в расчетных схемах. Ось бруса - прямая. Нагрузки: 1) Силы по оси бруса ( растяжение-сжатие) 2) Пары сил в плоскости, ⊥ оси бруса( кручение ) Прямой брус, нагруженный силами, ⊥ оси, и парами сил в плоскости. образованной осью бруса и осью,⊥ оси.

Опоры бруса или жесткое защемление (заделка)

Стержень Брус с любой формой оси, нагруженный нагрузками любого направления Стержневая Совокупность стержней, объединенных в единую конструкцию система (СС) с помощью любых связей Растяжение ⇒ Удлинение оси бруса Сжатие ⇒ Укорочение оси бруса Поворот сечений бруса вокруг его оси (кривизна оси бруса неизменна ) Кручение Изгиб Поворот сечений бруса вокруг оси, ⊥ оси бруса (кривизна оси бруса изменяется)

Рама

Плоская рама Плоско-прост ранственный брус Плоско-прост ранственная рама

Пространствен ный брус

СС, все элементы которой испытывают изгиб

Рама, все стержни которой имеют оси, лежащие в одной плоскости, и нагрузки действуют также в этой плоскости Брус, ось которого лежит в плоскости, не совпадающей с плоскостью действия нагрузок Рама, элементами которой являются только плоскопространственные брусья Брус, ось которого является пространственной линией

Пространствен ная рама

Рама, оси элементов которой образуют пространственную линию 2

II. Основные определения для идентификации внутренних силовых факторов (ВСФ)

Содержание понятия

Понятие

Главный вектор

Главный момент

G R

G M

Оси, используемые при расчете главных

G

вектора R и

G

момента M

Теоретическая механика

Сопротивление материалов

Результат приведения всех внешних сил, действующих на тело, к избранному полюсу

Результат приведения всех внешних сил, действующих на ОТСЕЧЕННУЮ ЧАСТЬ тела к ЦЕНТРУ ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ БРУСА

Результат приведения МОМЕНТОВ всех внешних сил и ПАР СИЛ, действующих на тело, к избранному полюсу

Результат приведения МОМЕНТОВ всех внешних сил и ПАР СИЛ, действующих на ОТСЕЧЕННУЮ ЧАСТЬ тела к ЦЕНТРУ ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ БРУСА

Оси ГЛОБАЛЬНОЙ ДЕКАРТОВОЙ системы координат (СК) для всей конструкции

Оси локальной системы координат, образуемой в центре тяжести избранного сечения бруса. Ориентация осей триедра зависит от геометрии оси бруса, исследуемого в составе конструкции.

Компоненты

G R

Компоненты

G M

G главного вектора R G главного момента M

G R

⇒ Rx , Ry , Rz

⇒

M x, M y, M

z

G M N

Связь компонент главных вектора и момента с деформированием бруса

НЕТ никакой связи, так как все элементы конструкции без исключения считаются абсолютно жесткими

N , Qy , Qz

⇒

⇒

Mk, M y, Mz

⇒ растяжение/сжатие бруса

Q y , Q z ⇒ сдвиг (срез) сечения бруса

M

k

⇒ кручение бруса

M

y

, M

z

⇒ изгиб бруса

Связаны с ОСЯМИ декартовой СК

Связаны с СЕЧЕНИЯМИ бруса

НЕ ИМЕЕТ ПРАВА НА СУЩЕСТВОВАНИЕ, так как все элементы конструкции

N , Q

Правила положительных знаков при расчете компонент главных вектора и момента

Внутренний

M

k

y

, M

, Q y

z

- внутренние силы

, M

z

- моменты внутренних сил

силовой фактор

считаются абсолютно жесткими

относительно главных центральных осей рассматриваемого сечения бруса и оси бруса (триедр осей) 3

III.

Основные определения для анализа внутренних силовых факторов (ВСФ) Понятие Использование понятия Комментарий При однократном использовании МС для Метод сечения является выбранного или заданного сечения необходимо: наиболее универсальным 1) Разрезать мысленно брус на две части методом выявления и 2) Отбросить одну из частей (обычно с опорой расчета внутренних сил в бруса) любом деформируемом Метод сечений(МС) (основной метод, 3) Заменить действие отброшенной части теле, но при нагружении алгебраический соответствующими силами действия произвольными нагрузметод расчета ВСФ) отброшенной части на отсеченную ками приводит иногда к 4) Уравновесить осеченную часть бруса относительно более согласно положениям статики теоретической трудоемким арифметимеханики ческим вычислениям Используется в форме, имеющей конкретный вид и смысл Обобщение понимается в смысле использования Обобщенный ⎧ 1) Растяжение / сжатие → продольнаясила N ⎪2) Сдвиг срез /изгиб → поперечные силы Q ,Q ВСФ в энергетическом внутренний ( ) : ⎪ y z подходе и единой силовой фактор R R ⇒⎨ ⎪ 3) Кручение → крутящий момент Mk структурной методики ⎪⎩ 4) Изгиб → изгибающие моменты My , Mz расчета ВСФ Дифференциальный метод (дополнительный метод расчета ВСФ)

Записать универсальное дифференциальное уравнение (ДУ) равновесия обобщенного ВСФ на бесконечно малом участке прямого бруса dR = q ( x ) , q(x) – соответствующая R распределенная нагрузка. dx

МНП используется при представлении общего решения неоднородного ДУ в форме интеграла с переменным верхним пределом x

Метод начальных параметров (МНП)

R ( x ) = R (0 ) +

∫ q (ξ ) d ξ . 0

R(0) – начальный параметр - ВСФ в начале расчетного x

участка (ξ=0), ∫ q (ξ ) d ξ обычно вычисляется на 0

основании геометриче-ского смысла определенного интеграла (то есть по площади подынтегральной функции при ξ∈[0,x].

Эпюра Особенности эпюр ВСФ Расчетное сечение бруса Расчетный участок бруса

Обычно ДУ для криволинейного бруса не используется ради упрощения расчетов МНП – универсальный метод нахождения общего решения любого ДУ с одновременным выделением произвольной постоянной в форме дискретного значения искомого решения

Используется для представления функции одной переменной в виде единого графика независимо от ее особенностей с точки зрения математического анализа Разрыв первого рода в сечении с внешней сосредоточенной обобщенной нагрузкой Вводится в сечении с приложенной внешней сосредоточенной обобщенной нагрузкой или в сечении разрыва функции распределенной нагрузки q(x) Вводится между двумя соседними расчетными сечениями бруса

Чаще всего используют не эпюры ВСФ, а совокупность эпюр, описывающих состояние бруса Разрыв равен величине нагрузки Позволяет выделить сечения бруса для расчета значения ВСФ R(0) Позволяет использовать локально аналитические функции ВСФ

Для прямого бруса: 1) Ось эпюры под осью бруса и параллельна ей

Позволяют без ошибки определить знак произ-

Правила построения эпюр ВСФ для бруса

2) Ординаты эпюр должны быть безразмерны 3) Положительные ординаты откладываются вверх, отрицательные вниз БЕЗ простановки знака Для криволинейного бруса эпюры строятся на но-вом представлении геометрии с описанием функций

ведения любых эпюр в интеграле Мора всего лишь по внешнему виду эпюр для бруса любой геометрии

4

IY. Методика расчета ВСФ статически определимого прямого бруса Этап Выделение расчетных сечений и участков бруса

Действия

Иллюстрация действия

1. Выделение расчетных сечений бруса ( см. III )

2. Выделение расчетных участков бруса (см. III)

∑

Ri = 0 ⇒ N

ОТС

Расчет ординат эпюры обобщенных ВСФ на участке бруса с использованием только метода сечений: в любом сечении бруса ВСФ определяется суммой ВСЕХ внешних сил только по одну сторону от сечения

1.Участок I :

N I = −2ql

2.Участок II:

N II = ql ( −2 + 3) = ql

3.Участок III:

N III ( x ) = ql ( −2 + 3) − qx = ql − qx

(Усилия N напрявлять только от сечения по правилу, см. II )

( построение функций см. Мат. анализ ) x

Ni (x) = Ni (0) + ΔNi (x); ΔNi (x) =

Расчет ординат эпюры обобщенных ВСФ на участках бруса с использованием метода сечений и МНП (cм. III )

∫ qi (ξ )dξ

.

0  

площадь подынтегральной функции

1.Участок I : N I (0) = −2ql ; ΔN I = 0; ⇒ N I = N I (0).   

2.Участок II:

NII (0) = ql(−2 + 3) = ql; ΔNII = 0; ⇒ NII = NII (0).  

3.Участок III: N III (0) = N II = ql ; ΔN IiI ( x ) = − qx; ⇒ N II = ql − qx.

Рекуррентное построение эпюры обобщенных ВСФ в брусе с использованием комбинации метода сечений и МНП

NI (0) = −2ql; ⇒ NI = NI (0), NII (0) = ql;

⇒ NII = NII (0),

NIII (0) = ql; ΔNIII ( x) = −qx; ⇒ NIII ( x) = ql − qx. ( Функции строятся по правилам построения функций Мат. анализа. На участках без распределенной нагрузки ВСФ постоянен, см. III )

5

Y. Основные определения для анализа напряженного состояния, переменного по высоте сечения Понятие

Определение понятия

Силовой фактор

Иллюстрация понятия

Смотри «Основные определения для анализа ВСФ» R

≡ ≡

Касательное напряжение при кручении прямого бруска

Нормальное напряжение при изгибе балки Расчет максимальных напряжений Геометрические характеристики сечений

Смотри «Структурные расчетные формулы курса»

σ =

R W

Смотри «Геометрические характе6ристики сечений бруса» W

ЗАМЕЧАНИЕ: при растяжении-сжатии переменных напряжений в сечении бруса быть не может (см. лекции)

YI. Единая методика расчета на прочность бруса из пластичного материала № этапа 1

Название

Расчетная формула, действие

Расчет ВСФ в сечении бруса

Смотри «Основные определения для анализа ВСФ» Растяжение - сжатие

2

Анализ эпюры ВСФ

Сложное напряженное состояние Кручение

⇓

N

m ax

Изгиб

⇓

M

k m ax

⇓

M

z m ax

⇓

к о м б и н а ц и и

Расчет максимальных напряжений в симметричном сечении

3

4

Проектировочный расчет на прочность

M

z

m a x

M

y

m a x

M

k

m a x

Смотри « Основные определения для анализа напряженного R m ax состояния, переменного по высоте сечения« σ =

W

σ =

R max

W

≤ [σ ] ⇒ значение параметра сечения

6 ПРИМЕЧАНИЕ: для хрупкого материала приходится учитывать знаки ВСФ, знаки напряжений и составлять ДВА условия прочности. Из них находятся ДВА значения параметра проектирования. Выбор максимального или минимального из них зависит от смысла проектировочного параметра: площадь должны выбираться максимальной, допустимая нагрузка – минимальной.

7

Основные задачи расчетных заданий I семестра обучения по курсу «Сопротивление материалов»

ЗАДАНИЕ № 1 Номер задания

1

Название задания

Цели задания

1) Освоение методики анализа компонент напряженнодеформированного состояния прямого бруса при растяжениисжатии Центральное 2) Освоение методики растяжениерешения статически сжатие неопределимых задач прямого бруса при растяжении-сжатии прямого бруса 3) Освоение методики расчетов на прочность и жесткость при растяжении-сжатии 4) Обучение иерархическим алгоритмам расчетов на прочность при комбинированном нагружении при растяжении-сжатии

Название раздела задания

ЗАДАЧА № 1: Расчет статически неопределимого прямого ступенчатого бруса при силовом нагружении продольными нагрузками

Число типов расчетных схем

1

Охватываемые темы курса

Сопряженные темы курса

1) Анализ напряженного состояния при силовом нагружении 2) Анализ деформированного состояния при силовом нагружении 3) Решение статически неопределимых задач при силовом нагружении 4) Расчет на прочность при силовом нагружении

1) Структурный подход анализа состояния бруса 2) Проектировочный расчет бруса 3) Механические характеристики материалов на растяжение-сжатие

Сопутствующие учебные дисциплины

1) Арифметика 2) Алгебра 3) Физика 4) Высшая математика 5) Черчение 6) Теоретическая механика 7) Технология конструкционных материалов

8

ЗАДАЧА № 2: Расчет статически неопределимого прямого ступенчатого бруса при тепловом нагружении

1

1) Анализ напряженного состояния при тепловом нагружении 2) Анализ деформированного состояния при тепловом нагружении 3) Решение статически неопределимых задач при тепловом нагружении

1

1) Освоение простейшей методики анализа компонент напряженнодеформированного состояния прямого бруса Центральное 2) Освоение методики растяжениерешения статически сжатие неопределимых задач прямого бруса для систем с произвольной геометрией

ЗАДАЧА № 3: Расчет запаса прочности прямого бруса при комбинированном нагружении ЗАДАЧА № 4: Расчет статически неопределимой шарнирностержневой системы при силовом нагружении любых элементов системы

1

5

Методы расчета конструкций

1) Анализ напряженного состояния при силовом нагружении 2) Анализ деформированного состояния при силовом нагружении 3) Решение статически неопределимых задач при

1) Использование принципа суперпозиции при решении задач курса 2) Поверочный расчет бруса

1) Структурный подход анализа состояния бруса 2) Проектировочный расчет бруса 3) Механические

1) Арифметика 2) Алгебра 3) Черчение

1) Арифметика 2) Алгебра 3) Геометрия 4) Тригонометрия 5) Физика 5) Высшая математика 6) Черчение

9

3) Освоение методики расчетов на прочность и жесткость 4) Обучение иерархическим алгоритмам расчетов на прочность при комбинированном нагружении

ЗАДАЧА № 5: Расчет статически неопределимой шарнирностержневой системы при тепловом нагружении деформируемых элементов системы

ЗАДАЧА № 6: асчет запаса прочности шарнирностержневой системы при комбинированном нагружении

5

5

силовом нагружении 4) Расчет на прочность при силовом нагружении 1) Анализ напряженного состояния при тепловом нагружении 2) Анализ деформированного состояния при тепловом нагружении 3) Решение статически неопределимых задач при тепловом нагружении

Методы расчета конструкций

характеристики материалов на растяжение-сжатие

1) Использование принципа суперпозиции при решении задач курса 2) Поверочный расчет бруса

7) Теоретическая механика 8) Технология конструкционных материалов

1) Арифметика 2) Алгебра 3) Черчение

10 ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ОДИН РАЗ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОГО ПРЯМОГО БРУСА при Пункт алгоритма

Название

силовом нагружении

Расчетная формула, Действие

Простейшая иллюстрация

1

Применение метода сечений к опоре бруса. Выделение расчетных участков бруса.

Применить аксиому о связях теоретической механики. Связь не отбрасывать. Поэтому реакцию не отброшенной связи изображать только пунктиром!

2

Расчет перемещения правой опоры по принципу независимости действия сил :

 A   A ( RA, x )   A (3ql )   A (2q)   A (2ql )   A (q)

Условие совместности перемещений участков бруса

A 

по числу нагрузок и/или сил

3

Расчет компонент перемещения дополнительной опоры бруса ОТ ВСЕХ ВНЕШНИХ НАГРУЗОК

Типы формул ( ВЫЗУБРИТЬ И ЗНАТЬ ) : R l 1)  ( R)  - для искомой реакции EF дополнительной связи,

2)  (q) 

1 EF

l  0

сосредоточенных сил и равнодействующих распределенных нагрузок 1 l x N ( x) dx    q ( ) d  dx  EF 0 0 N ( x)

для распределенных нагрузок на участке их приложения

 A ( RA, x ) 

RA, x  l EF

(

5   A, i i 1

0

1 2 3 3 2

)

13 RA, x  l 3 EF

по числу участков постоянной жесткости от точки приложения нагрузки или силы до ЛЕВОЙ опоры

ql 2 2 ql 2  A (3ql )  (3  2  3  )  9 EF 2 EF 2 1 2l ql 2 ql 2 4 ql 2  A (2q)  (2  2  )  (2   4)  8   2qxdx  EF 0 EF 2 EF 2 EF N ( x) 2

ql 2 ql 2  A (2ql )  (2  )  2 EF 2 EF 1 l 1 1 ql 2 1 ql 2  A (q)    qxdx   2 EF 0 2 2 EF 4 EF

11

4

Расчет реакции дополнительной связи

l 13 1  RA, x  ql (9  8  2  )   0  EF  3 4 

Метод сечений  для внутренних факторов бруса (ВСФ) :

5

Расчет функций внутренних сил

силовых

для расчета ЛЮБОГО из ВСФ в ЛЮБОМ сечении ЛЮБОГО бруса ДОСТАТОЧНО алгебраически (  ) сложить ВСЕ ВНЕШНИЕ силы (моменты сил), включая найденные реакции опор, ТОЛЬКО ПО ОДНУ ЛЮБУЮ сторону от избранного или заданного сечения стрежня



N I ( x)   Pi  i

x  q ( ) d  0

RA, x 

9 9 ql ; N II  ql ; 52 52 9 165 N III ( x)  (  3)ql 2qx  ql 2qx 52 52 NI 

N IY  ql (

6

Расчет изменений длин участков

1 2) l  EF

l  0

1 N ( x) dx  EF

l x   q ( ) 0 0

d  dx 

NY ( x)  ql (

7

Проверка решения задачи

A 

5   I 1

lI ?

N ( x)

lIY

147 1 ql 2 147 ql 2    ; 52 2 EF 104 EF

lY 

q l 147 147 1 1 ql 2 121 ql 2 l  x)dx  (   )  .  ( 2 EF 0 52 104 2 2 EF 104 EF N ( x)

A 

1) Построение эпюры N ( x) см. ДЗ № 1

3)

Построение эпюр 8

9

N ( x),  x ( x),  x ( x),  ( x)

Использование эпюр

ql 3 9 61 147 121 ql 2 6  18  244  147  121 (     )   0. EF 52 52 26 104 104 EF 104 2

 x , I ( x )   x , I ( x) / E

 I ( x)  2)

 x, I ( x)  N ( x) I / FI

Эпюры использовать по конкретике варианта задачи

9 147  3  2  2  2)  qx   ql  qx 52 52

ql 2 9 1 3 ql 2 9 ql 2 lI    ; lII  ; EF 52 3 52 EF 52 EF q 2l 165 165 ql 2 61 ql 2 lIII  l  2 x)dx  (  4)  ;  ( EF 0 52 26 EF 26 EF

N ( x)

для участка с распределенной нагрузкой q( x) при постоянной жесткости EF

;

9 147  3  2  2  2)   ql; 52 52

площадь подыинтегральной функции

Типы формул даны в пункте 3 алгоритма: R l 1) l  - для любой силы R на участке EF длиной l с жесткостью EF

9 ql 52

4)

I 1 l J   J 5 0

x

 x, J ( x)dx    x, I ( )d 

сумма изменений длин предыдущих участков бруса

0

12

ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ВСФ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НАГРУЗОК Вид дифференциального уравнения по структурной формуле

Расчетная формула МНП

Вид нагрузки

Простейшая иллюстрация

N III (0)  RA, x  3ql

  x  N III ( x)  RA, x  3ql  2q  x q  const   q( )d   2q  x  0     x 1  1 x  1 x2 q  ax   q( )d   x 2q  2q(1  )    N III ( x)  RA, x  3ql  2qx  q 2  2 l   2 l 0  1 x =  q x (2  )  2 l  N III (0)  RA, x  3ql

x

R( x)  R(0)   q( )d

dR  q ( x) dx

0

площадь эпюры q ( x ) на участке   0, x 

NY (0)  RA, x  ql (3  2  2  2)  RA, x  3ql x

q  ax  b   q( ) d  0

1 2

x  1 x  x q  q ( 1  )   q x (2  ) l  2 l  

NY ( x )  R A,x Кручение : абсолютно те же действия и лишь

1 x2  3ql  qx  q 2 l

N  Mk ; q  m

13

Изгиб сложнее, но алгоритм тот же

Q ( x) Этап 1) функция y 7 Qy, V (0)  ql 3

Согласно МНП: R ( x )  R (0) 

x

 q( )d 0

площадь эпюры q ( x ) на участке   0, x  

Ri ( x )  Ri (0)  Ri ( x ); N

Ri (0)   Pj j 1 x

Ri ( x )   qi ( )d  0

q=ax+b ↓ а) найти значение q(x) с использованием значений распределенной нагрузки на концах участка Y ( 3q при x=0 и q при x=2l , данных по расчетной схеме) x

 q( ) d

 

0 площадь эпюры q ( ) (трапеции) на участке  0, x 

q x 1x ( 3  3  ) x   q x (3  ) 2 l 2l

б) в итоге получаем полную квадратичную параболу

7 2 Qy, V ( x)  ql  3q  q 3 2l

14

Этап 2) функция M z ( x) M z,V (0)  0;

q  ax  b 

x

x

0

0

7 2 7 x 2 1 x3  Qy ( ) d    ( 3 ql  3q  q 2l )d   q( 3 lx  3 2  2l 3 ) 

7 3 1 qlx  qx 2  qx3 3 2 6 а) б) в итоге получаем кубическую параболу 7 3 1 M z ,V ( x)   qlx  qx 2  qx3 3 2 6  

Знак «-« учитывает направление интегрирования справа налево на участке Y. Б) Можно обойтись для линейно изменяющейся нагрузки и без интеграла а), если нагрузку в виде трапеции с переменным основанием х разбить на прямоугольник и треугольник с тем же основанием х. Их x x q(3  ) q l и l . Точки высоты соответственно

приложения равнодействующих (выделены на рисунке жирными точками) соответственно х/2 и х/3 от точки С, т.е. их плечи равны х/2 и 2х/3, а далее применить теорему Пуансо из теоретической механики.

15

ЗАМЕЧАНИЕ: 1) В отличие от «традиционных» курсов математического анализа в прикладных дисциплинах используется исключительно метод начальных параметров (МНП) при построении функций решения дифференциальных уравнений. Формальные, не имеющие никакого смысла «произвольные константы» никому не нужны! Осмысленная замена этих констант, безусловно, изменяет форму функций решения дифференциального уравнения (это минус), но зато придает «константам» четкий смысл значений искомых функций в начале участка интегрирования дифференциальных уравнений. Заодно это открывает путь многим мощным методам решения, таким, например, как методы прогонки и ортогонализации интегрирования плохо обусловленных уравнений, где формальная математика и даже «высшая» пасует полностью. Формально при этом «всего лишь» абстрактный неопределенный интеграл заменяется на интеграл с переменным пределом. Но для курса сопротивления материалов невозможно придумать более мощной процедуры преобразования, так сразу же становится возможным использование геометрического смысла определенного интеграла. Такой огромный выигрыш окупает любые минусы МНП. 2) «Трапеция» еще раз подчеркивает бессмысленность формального отношения к математике, но уже на уровне геометрии. Согласно «традиционной» геометрии у трапеции есть два основания и одна высота. Но «трапеции» с наклонными боковыми сторонами опять же никому не нужны в прикладных дисциплинах и даже в математическом анализе, о чем «стыдливо» умалчивают во всех средних школах. В математическом анализе, во всех прикладных дисциплинах, связанных с исследованием функций одного или нескольких аргументов у «трапеций» всего одно основание: изменение аргумента функции и две высоты. Поэтому при формальном привлечении геометрии легко ошибаться в расчете площадей эпюр с трапециедальным видом. Везде, кроме бюрократической геометрии: площадь трапеции равна произведению единственного основания на полусумму двух ее высот ( у «бюрократов» - все наоборот)! К высшей школе, высшей математике, функциональному и математическому анализам, не говоря уж о прикладных дисциплинах, средние школы на допустимом рациональном уровне никого не готовят! Учитесь тогда и математике и теоретической механике, как и механике и логике как таковым у сопротивления материалов!

16 ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ОДИН РАЗ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОГО ПРЯМОГО БРУСА при Пункт алгоритма

Название

Применение метода сечений к опоре бруса

1

температурном нагружении

Расчетная формула, Действие

Простейшая иллюстрация

Применить аксиому о связях теоретической механики. Связь не отбрасывать. Поэтому реакцию не отброшенной связи изображать только пунктиром!

Условие совместности перемещений участков бруса

 Аt   At ( RAt , x )   At (T )   At (T )

2 Расчет перемещения правой опоры :

Типы формул : 3

Расчет компонент перемещения дополнительной опоры бруса

A 

по числу нагрузок

Rl - для реакции опоры EF 2)  (T )   l T - при  и T  const

1)  ( R) 

3)  (T ) 

l  0

 ( x) T ( x) dx - при  или

4 t   A, i i 1

0

t RA, xt  l 1 2 13 RA, x  l ( 3 ) EF 3 2 3 EF t  A (T )   l T

 At ( RA, x ) 

 At (T )  2 l T

T переменных

4

Расчет реакции дополнительной связи

6

Расчет изменений длин участков

13 l RA, xt   l T (2  1)  0 3 EF

RA, xt   lI 

Типы формул даны в пункте 3 алгоритма

3  T EF 13

l 3 14 3 (  T EF )   l T    l T ; lII    l T ; 3EF 13 13 13

lIII 

2l 3 20 3 (  T EF )  2 l T   l T ; lIY    l T . EF 13 13 13

17

7

Проверка решения задачи

A 

4   I 1 t

lI ?

1) Построение эпюры N ( x) см. ДЗ № 1 Построение эпюр 8

N t ( x),  xt ( x),  xt ( x),  t ( x)

 x , I t ( x)   x , I t ( x) / E ;

A 

 l T 13

( 14  3  20  3)  0.

3)

 x, I t ( x)   x, I t ( x) / E   l T ( x); на участках с Т  0

на участках с Т  0

 I t ( x) 

 x, I ( x)  N ( x) I / FI t

2)

9

Использование эпюр

t

4)

Эпюры использовать по конкретике варианта задачи

I 1 l J   J 5 0

x

 t x, J ( x)dx    t x, I ( )d 

сумма изменений длин предыдущих участков бруса

0

18 РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 1 Тема семинара: РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ статически неопределимого прямого бруса

ЗАДАЧА 1. Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при силовом нагружении произвольными нагрузками. 1. Исходная расчетная схема

Рис. 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Этап 1. Применение метода сечений к опоре бруса. Выделение расчетных участков бруса.

Рис. 2 Этап 2. Расчет перемещения правой опоры

 B   B ( RB, x )   B ( F )   B (q) по числу нагрузок

Этап 3. Расчет компонент перемещения дополнительной опоры бруса R l R l 2  B ( RB, x )  B, x (1   1)  3 B, x EA 2 EA  B (F ) 

 B (q) 

ql 2 2 ql 2 (  1)  2 EA 2 EA

1 2 EA

l  0

q x dx ql  N ( x)

l ql 2 1 1 5ql 2  (   1)  EA EA 2 2 4 EA

Этап 4. Расчет реакции дополнительной связи

19

l  5  3RB, x  ql (2  )   0  EA  4 

Этап 5. Расчет функций внутренних сил

участок I : N I 

1 ql ; 4

участок III : N III  

1 3 N II  ql (  1)   ql ; 4 4 3 1 участок IY : N IY  ql (  1)  ql. 4 4

участок II : 3 ql  qx; 4

Этап 6. Расчет изменений длин участков lI 

1 ql 2 ; 4 EA

lIII 

1 2 EA

lII   l  (q 0

x

3 ql 2 1 1 1 3 1 ql 2 ql ) dx  (    ) ; 4 EA 2 2 2 4 8 EA

lIY 

N ( x)

Этап 7. Проверка решения задачи B 

ql 2 1 3 1 1 (    )  0. EA 4 8 8 4

Этап 8. Построение эпюр

3 ql 2 3 ql 2  ; 4 2 EA 8 EA

N ( x),  x ( x),  x ( x),  ( x)

1 ql 2 . 4 EA



1 RB, x  ql. 4

20

ЗАДАЧА 2. Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при тепловом нагружении всего бруса. 1. Исходная расчетная схема

Рис. 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Этап 1. Применение метода сечений к опоре бруса. Выделение расчетных участков бруса.

Рис. 2 Этап 2. Расчет перемещения правой опоры

 B   B ( RB, xt )   B (T ) Этап 3. Расчет компонент перемещения дополнительной опоры бруса

RB, x  l 2 (1   1)  3 ;  B (T )   l T (1  2  1)  4 l T . EA 2 EA Этап 4. Расчет реакции дополнительной связи

 B ( RB, xt ) 

RB, xt  l

t

l 3RB, xt  4 l T  0 EA



4 RB, xt    T EA. 3

Этап 5. Расчет функций внутренних сил Не нужен Этап 6. Расчет изменений длин участков 4 1 4 2 2 4 1 lI   l T (  1)    l T ; lII   l T (   2)   l ; lIII   l T (  1)    l T . 3 3 3 2 3 3 3

Этап 7. Проверка решения задачи  B   l T (

1 2 1   )  0. 3 3 3

Этап 8. Построение эпюр

21

N ( x),  x ( x),  x ( x),  ( x)

РАЗНОВИДНОСТИ ЗАДАЧ Наименование

Расчетная схема

Этапы основных особенностей решения 1  1 ( RB, x )  1 (q, 2q)  1 (ql )

Этап 2. Этап 3.

по числу нагрузок

Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при силовом нагружении переменной рапределенной нагрузкой

1 (q,2q) 

1 l x 3ql  l 1 1 3 ql 2 11 ql 2 (  + )  ;  2q  x  (1  ) dx + 2 EA 0 2l 2 EA 2 6 2 EA 6 EA N ( x)

Этап 5. участок III : N III ( x)  RB, x  ql  2q  x  (1 

x ); 4l

22 Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при тепловом нагружении участка бруса постоянным перепадом температур Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при тепловом нагружении участка бруса переменным перепадом температур

Этап 3.  B (T )   l T . lI  lI ( RB, xt );

lII  lII ( RB.xt );

t t Этап 6. lIII  lIII ( RB, x )  lII (T ); lIY  lIY ( RB.x ).

t  Этап 8. x, III

t RB ,x EA

  T ( x).

l

Этап 3.

 B (T )    T ( x)dx. 0

lI  lI ( RB, x );

lII  lII ( RB.xt );

t

t t Этап 6. lIII  lIII ( RB, x )  lIII (T ); lIY  lIY ( RB.x ).

 xt , III  Этап 8.

t RB ,x EA

  T ( x);

T ( x)  2T (1 

x ). 2l

УКАЗАНИЕ: в задачах с зазором алгоритм никак не изменяется и лишь на этапе 4 перемещение бруса равно зазору .

ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 1 Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ задачу представленного типа и представить на контроль ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ. Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

23 ЕДИНАЯ МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КУРСА Расчетная схема I СЕМЕСТРА курса Расчет прямого бруса на растяжение-сжатие

Расчет прямого бруса на кручение

Расчет балки на изгиб

Расчетная схема II СЕМЕСТРА курса Расчет плоской рамы

1

Расчетные сечения и участки

Расчет плоскопространственной рамы

Расчет пространственной рамы

2

24

Дифференциальные уравнения Единая структурная форма :

3

dR  q ( x) dx ;

 1) Растяжение / сжатие  продольнаясила N 2) Сдвиг срез /изгиб  поперечные силы Q , Q   y z   3) Кручение  крутящий момент M R  k  4) Изгиб  изгибающие моменты M y , M z  и перерезывающие силы Qy , Qz 

Дифференциальные уравнения НИКОГДА не используются в классическом курсе. Вместо них используется более универсальный метод: МЕТОД СЕЧЕНИЙ, при применении которого достаточно алгебраического сложения ОБОБЩЕННЫХ СИЛ

Применение метода начальных параметров ( МНП ) и/или метода сечений ( МС ) к расчетным сечениям N

Ri (0)   Pj j 1

Pj –обобщенная внешняя сила по одну сторону от расчетного сечения N – число обобщенных сил по одну сторону от расчетного

4

Ri (l )  Ri (0)  Ri ;

сечения  P  внешняя сила для эпюры сил ( N , илиQy или Qz )  P  h  момент силы Р при ее плече h  Pj   относительно моментной точки   для эпюры моментов сил ( M z ,или M y , или M k ) 

 l  Ri   qi ( x)dx  x 0  R ( x)  R (0)   q ( )d   площадь эпюры q ( x ) на участке 0  x 0,l  площадь эпюры  q ( x ) на участке i  номер расчетного участка    0, x   l  длина расчетного участка Построение функций ВСФ

5

Ri ( x )  Ri (0)  Ri ( x);  x   Ri ( x )   q ( )d  x  N , или M k  0 R ( x )  R (0)   q ( )d     площадь эпюры 0  R  Qy , или M z q ( x ) на участке   0, x  площадь эпюры  Q , или M q ( x ) на участке    0, x  y  i  номер расчетного участка  z

 qx , или mk  ; q   q y , или Qy семестр I : N , qx ; M k , mk ; Qy , q y или M z , Qy  qz , или Qz семестр II : кроме того Qz , qz или M y , Qz

25

6

Анализ функций ВСФ Функции определяются только: 1) их значениями в начале и конце расчетных участков 2) координатами нулей функции 3) координатами экстремумов и значениями ординат в точке экстремума Построение эпюр ВСФ Расчет прямого бруса на растяжение-сжатие, кручение или изгиб: по длине бруса согласно МНП, структурной формуле

7

dR  q ( x) dx и МС по направлению : а) для растяжения-сжатия – с правого конца бруса на левый б) для изгиба балок- с левого конца балки на правый

От всех свободных концов рамы к остальным элементам рамы при особом внимании к правилам положительных знаков

(кроме заделки на левом конце балки)

Построение эпюр напряжений 8

Расчет прямого бруса на растяжение-сжатие или расчет прямого бруса на кручение: по длине бруса согласно структурной формуле

 

R W

Расчет балки на изгиб, расчет плоской рамы, расчет плоско-пространственной рамы, расчет пространственной рамы: 1) для изгиба – по высоте расчетного ( опасного) сечения балки или рамы 2) для кручения – по высоте или периметру расчетного (опасного) сечения

Построение эпюр обобщенных деформаций 9

Расчет прямого бруса на растяжение-сжатие или расчет прямого бруса на кручение: по длине бруса согласно структурной формуле



Без использования ЭВМ НЕ СТРОЯТСЯ

R EJ

26

Построение эпюр обобщенных перемещений Расчет прямого бруса на растяжение-сжатие или 10 расчет прямого бруса на кручение: по длине бруса согласно МНП и структурной формуле

d  dx

по направлению с левого конца бруса на правый

Без использования ЭВМ НЕ СТРОЯТСЯ

27

ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ПАРАМЕТРОВ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КУРСА Номер эпюры

Название эпюры

Используемые методы и расчетные формулы

Действия

Типы задач

1) Алгебраически сложить ВСЕ ВНЕШНИЕ обобщенные силы ИЛИ моменты сил ПО ОДНУ СТОРОНУ ОТ СЕЧЕНИЯ

 RI , H и / или RI , K

Эпюры ВСФ: 1) продольных сил 2) крутящих моментов

2) Для ПРЯМОГО бруса найти изменение lI

1) Метод сечений из лекционного курса RI   qI ( x)dx (УНИВЕРСАЛЕН) O ВСФ на расчетном участке

Семестр 1: 1) растяжение-сжатие прямого бруса 2) кручение прямого бруса 3) изгиб балки ( за семестр 22 эпюры

1

3) поперечных сил 4) изгибающих моментов 5) комбинации любых ВСФ

dR  q ( x) 2) dx для прямого бруса из структурных формул курса

ИЛИ площадь подынтегральной

функции 3) Для ПРЯМОГО бруса применить МНП для расчета RI , K

RI , K  RI , H  RI 4) Построить, используя RI , H , RI , K , эпюру на одном участке с использованием геометрического смысла производной и (если надо) ординат в точках экстремума

2

Эпюра напряжений: 1) нормальных 2) касательных

 

Определение ных формул курса

R W из структур-

из них 2 расслоенных)

Семестр 2: 1) расчет плоских рам

R( x) на участке

2) расчет пространственного бруса

5) Рекомендуется эпюры строить слева направо от сечения к сечению на одном участке и от участка к участку на всем брусе (опытный строит в любом порядке)

( за семестр 18 эпюр из них 2 на пространственном брусе)

Эпюра алгебраически связана с предыдущей эпюрой и отличается в ординатах только на участках с площадями сечений бруса, отличных от F

Семестр 1: 1) растяжение-сжатие прямого бруса 2) кручение прямого бруса 28

3

Эпюра обобщенных деформаций: 1) удлинений при растяжении-сжатии 2) относительных углов поворота при кручении

R E  J из структурОпределение ных формул курса для ПРЯМОГО БРУСА

 

Эпюра алгебраически связана с предыдущей эпюрой и отличается в ординатах только на участках с площадями сечений бруса, отличных от F и теплового воздействия на брус (при растяжениисжатии) 1) Найти изменение обобщенного перемещения на расчетном участке lI

 I    I ( x)dx O

ИЛИ

Семестр 1: 1) растяжение-сжатие прямого бруса 2) кручение прямого бруса

площадьподынтегральной функции Эпюра обобщенных перемещеий: 4

1) осевые перемещения при растяжении-сжатии 2) углы поворота при кручении

d  Определение dx из структурных формул курса для ПРЯМОГО БРУСА

2) применить МНП для расчета  I , K

 I , K   I , H   I

3) Построить эпюру на одном участке с

использованием геометрического смысла производной и (если надо) ординат в

Семестр 1: 1) растяжение-сжатие прямого бруса 2) кручение прямого бруса

точках экстремума  ( x) на участке 4) Рекомендуется эпюры строить ТОЛЬКО слева направо от сечения к сечению на одном участке и от участка к участку на всем брусе (опытный строит в любом порядке), начиная с неподвижного сечения, где 1, H  0

29 ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ОДИН РАЗ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Пункт алгоритма

Название

Расчетная формула, Действие

при силовом нагружении Простейшая иллюстрация

1

Исходная расчетная схема силовой задачи

2

Применение метода сечений к опорам стержней

3

4

Уравнения равновесия отсеченной части системы

Условие совместности деформирования элементов системы

Применить аксиому о связях теоретической механики. Отбросить связи только деформируемых стержней. Никаких реакций в опоре жесткого бруса не выделять!

Составить условие / условия равновесия отсеченной части системы по допустимым условиям статического равновесия плоской системы сил раздела статика теоретической механики.

M

A

 0  N1  h1  N2  h2  P  2a  a(3cos   N1  2sin   N2  2P).

отс

Снять все внешние нагрузки и составить расчетную схему деформирования системы ПРИ МАЛЫХ поворотах и перемещениях. Направление угла поворота  любое.

30

CC '  AC    3a   ; BB '  AB    2a   ;

Типы формул :

5

6

7

Рассчитать удлинения стержней системы и из них составить геометрическое условие совместности их деформирования в виде ОДНОГО уравнения

Физические соотношения для деформируемых элементов системы Согласование знаков усилий и изменений длин стержней

1) геометрия и тригонометрия средней школы при МАЛЫХ углах поворота 2) кинематика теоретической механики при малых перемещениях и поворотах, искусственно гипертрофированно увеличенных в расчетных схемах

l ( N ) 

l1  CC '  cos   a  3cos  ; l2  BB '  sin =a  2sin ;  a 

N l EF

l1 l  l2  1  2sin 3cos  3cos   2sin  l1  3cos   l2  0. l1 

Условия согласования отражены в схемах пунктов 2 и 4. При рассогласовании знаков N и l знак «-« ставить исключительно перед l !

N1  l1 N l a a  5 N1 ; l2  2 2  17 N2 . EF1 EF EF2 2EF

l1  5N1

a ; EF

-l2  17 N2

a . 2EF

 51 N1  N 2 ;  10   6  51 2 a 1 2 17 (  ) N 2  2 P; (2   5  N1  3    N2 )  0  10 5 17 EF 17 5 2 N 2  0.141P; N 2  0.722 P. a(3 

2 1 N1  2  N 2 )  2 Pa 5 17

8

Расчет усилий в стержнях системы

Уравнения пунктов 7, 5 и 3 решать исключительно методом подстановки, начиная замены искомых усилий с однородных уравнений

9

Использование усилий

Найденные усилия использовать по конкретике варианта задачи

Применить алгоритм в вариантах : 1, 5, 7, 11, 13, 16, 17, 22, 24, 26, 29, 32 ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 1 Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ ДЛЯ ВСЕХ задач и представить на контроль ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ. Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

31 РАЗНОВИДНОСТИ ЗАДАЧ Наименование

Расчетная схема

Этапы основных особенностей решения Пункт 2. Плоская система Пункт 4 сходящихся сил

Симметричная одноузловая ферма Варианты: 10, 14, 27

l1   A  cos  1 ;

Пункт 5.

 l1  cos  2  l2  cos  1  0

Пункт 2. Плоская система сходящихся сил

Симметричная двуузловая ферма с узлами вне оси симметрии фермы

l2   A  cos  2 .

Пункт 4 Квазистатическое поступательное движение стержня 3 в связи с симметрией задачи

32

l1   A,верт  cos    A, гор  sin  ;

l2   A,верт ; l3  2 A, гор . 

l1  l2  cos 

l3  sin   0 2

Пункт 2. Плоская система сходящихся сил

Пункт 4

Пункт 5.

Симметричная двуузловая ферма с узлами на оси симметрии фермы Варианты: 2, 6, 18, 23, 31 Пункт 5. l1=Acos; l2=Bcos; l1

 А= cos  ,



l 2

В= cos 

, l 3=

l3=B-A. l 2

cos 

l1

-

cos 

l1cos-l2cos+l3coscos=0.

.

33

Пункт 2. Плоская система параллельных сил

M

Пункт 3

A

Y  0.

 0;

отс

отс

Закрепление абсолютно жесткого тела на параллельных стержнях Варианты: 4, 9, 20, 28, 31 Пункт 4

l2  l1  a ;

l3  l1  2a.

 l1  2l2  cos   l3  0

Пункт 5. Пункт 2. Плоская система сил

Закрепление абсолютно жесткого тела любой формы стержнями Варианты: 3, 8, 12, 15, 19, 25, 30

Пункт 5.

Пункт 4

l1  BF  3a  sin  ; C, гор  3a , l2  С ,

гор sin 

C, ве р т  2a ,

 С , верт cos   3a sin   2a  cos  . 

34

l2  3 sin   2 cos   

l 1 3 sin 



3 sin  l2  3 sin   2 cos  l1  0 УКАЗАНИЕ: в задачах с зазором алгоритм никак не изменяется и лишь в пункте 5 перемещение узла фермы или удлинение стержня с зазором увеличить на зазор .

35 ЕДИНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ОДИН РАЗ

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Пункт алгоритма

Название

1

Исходная расчетная схема силовой задачи

2

Применение метода сечений к опорам стержней

3

4

Уравнения равновесия отсеченной части системы

Условие совместности деформирования элементов системы

при тепловом нагружении

Расчетная формула, Действие

Простейшая иллюстрация

Применить аксиому о связях теоретической механики. Отбросить связи только деформируемых стержней. Никаких реакций в опоре жесткого бруса не выделять!

Составить условие / условия равновесия отсеченной части системы по допустимым условиям статического равновесия плоской системы сил раздела статика теоретической механики.

M отс

A

 0  a(3cos   N1(t )  2sin   N 2(t ) ).

Снять все внешние нагрузки и составить расчетную схему деформирования системы ПРИ МАЛЫХ поворотах и перемещениях. Направление угла поворота  любое.

36

Типы формул :

5

Рассчитать удлинения стержней системы и из них составить геометрическое условие совместности их деформирования в виде ОДНОГО уравнения

1) геометрия и тригонометрия средней школы при МАЛЫХ углах поворота 2) кинематика теоретической механики при малых перемещениях и поворотах, искусственно гипертрофированно увеличенных в расчетных схемах

CC '  AC    3a   ; BB '  AB    2a   ; l1t  CC '  cos   a  3cos  ; l2t  BB '  sin =a  2sin ;  l1t l1t t a   l2   2sin 3cos  3cos   2sin  l t1  3cos   l2t  0.

6

Физические соотношения для деформируемых элементов системы

N l l ( N )  ; EF

N l l ( N , T )    l T EF

для стрежней с Т  0

для стержней с Т  0

N1(t )  l2 a a (t ) l1   5N1 ; l 2   17 N1(t ) + 17 t aT . EF1 EF EF2 2EF (t )

N1(t )  l1

(t )

Согласование знаков усилий и изменений длин стержней

Условия согласования отражены в схемах пунктов 2 и 4. При рассогласовании знаков N и l знак «-« ставить исключительно перед l !

8

Расчет усилий в стержнях системы

Уравнения пунктов 7, 5 и 3 решать исключительно методом подстановки, начиная замены искомых усилий с однородных уравнений

9

Использование усилий

Найденные усилия использовать по конкретике варианта задачи

7

l1(t )  5N1(t )

a ; EF

-l 2(t )  17 N1(t )

a + 17 t aT . 2EF

 5 (t ) N 1(t )   N ;  3 17 2   a 1 2 17 (t ) 2 10 3 17 (t ) 6 17 (2   5  N 1(t )  3    N 2 )  3 17 t aT  (  )N   t TEF ;  EF 2 17 5 5 51  5 2 5 N 2(t )  1.93 t TEF ; N 1(t )  0.349 t TEF . 3

2 (t ) 1 N 2  N (t )  0 5 1 17 2

Применить алгоритм в вариантах: 1, 5, 7, 11, 13, 16, 17, 22, 24, 26, 29, 32

37

РАЗНОВИДНОСТИ ЗАДАЧ Наименование

Расчетная схема

Этапы основных особенностей решения Пункт 2. Плоская система Пункт 4 сходящихся сил

Симметричная одноузловая ферма Варианты: 10, 14, 27

l1   A  cos  1 ;

Пункт 5.

l2   A  cos  2 .

 l1  cos  2  l2  cos  1  0

Пункт 2. Плоская система сходящихся сил

Пункт 4 Квазистатическое поступательное движение стержня 3 в связи с симметрией задачи

Симметричная двуузловая ферма с узлами вне оси симметрии фермы

l1   A,верт  cos    A, гор  sin  ;

l2   A,верт ; l3  2 A, гор . 

Пункт 5.

l1  l2  cos  

l3  sin   0 2 38

Пункт 2. Плоская система сходящихся сил

Пункт 4

Симметричная двуузловая ферма с узлами на оси симметрии фермы Варианты: 2, 6, 18, 23, 31

Пункт 5. l1=Acos; l2=Bcos; l1

 А= cos  ,



l 2

В= cos 

, l 3=

l3=B-A. l 2

cos 

l1

-

cos 

.

l1cos-l2cos+l3coscos=0. Пункт 2. Плоская система параллельных сил Пункт 3 Пункт 4

Закрепление абсолютно жесткого тела на параллельных стержнях Варианты: 4, 9, 20, 28, 31

 M  0; Y  0. A

отс

отс

l2  l1  a ; Пункт 5.

l3  l1  2a.

 l1  2l2  cos   l3  0 39

Пункт 2. Плоская система сил

Закрепление абсолютно жесткого тела любой формы стержнями Варианты: 3, 8, 12, 15, 19, 25, 30

Пункт 5.

Пункт 4

l1  BF  3a  sin  ; C, гор  3a , l2  С ,

гор sin 

C, ве р т  2a ,

 С , верт cos   3a sin   2a  cos  . 

l2  3 sin   2 cos   

l 1 3 sin 



3 sin  l2  3 sin   2 cos  l1  0 УКАЗАНИЕ: в задачах с зазором алгоритм никак не изменяется и лишь в пункте 5 перемещение узла фермы или удлинение стержня с зазором увеличить на зазор .

40

СТРУКТУРНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ПРЯМОГО БРУСА

Типы напряженных состояний Понятие

1

Структурные изгиб

Растяжениесжатие

Кручение

Прямой чистый

Прямой поперечный

Обозначения

Формулы

2

3

4

5

6

7

qx

mk

mz

qy

q

N

Mk

Mz

Qy

R

Внешняя распределенная нагрузка Внутренний силовой фактор

Mz

Дифференциальное уравнение равновесия

dN  q x ( x) dx

dM k dM z  mk ( x)  mz ( x) dx dx

dQy  q y ( x) dx dM z  Qy ( x ) dx



dR  q ( x) dx

41 Геометрическая характеристика

сечения в расчетах на прочность

F

Wk

Wz

Wz

W

Максимальное напряжение

x

max

x,max

x,max



Расчет максимальных напряжений

x 

N F

 max 

Mk Wk

 x,max 

Mz Wz

 x,max 

Mz Wz



Деформации

x



x

x



Характеристика материала

E

G

E

E

E

Закон Гука

x  E x

  G 

x  E x

x  E x



1 

1 



Обобщенные деформации

1 Геометрическая характеристика в расчетах на жесткость Жесткость сечения

x

k

2

3

4

5

6

F

Jk

Jz

Jz

J

EF

G  Jk

E  Jz

E  Jz

EJ

 

R W

  E 

7

42

Расчет обобщенных деформаций

x 

N EF

k 

Mk G  Jk

1





Mz E  Jz

1





Mz E  Jz

 

Обобщенные перемещения





z

z

Дифференциальные геометрические соотношения

d   x ( x) dx

d   k ( x) dx

d z 1  dx 

d z 1  dx 





R EJ

d  dx

Расчет обобщенных перемещений отдельных сечений длинного

N ( p)  N (1)  dx EF l



Mk

l

(p)

(1)

 Mk dx G  Jk

z  

Mz

l

бруса Потенциальная энергия деформирования длинного бруса

Пр 

1 N 2 dx  2  EF l

ПК 

M 2 dx 1  k 2 l G  Jk

ПИ 

( p)

 Mz E  Jz

(1)

M z ( p )  M z (1) dx  z   dx E  J z l

1 M z2 dx  2 l E  Jz

ПИ 

1 M z2 dx  2 l E  Jz



П 

R( p)  R(1)   dx E  J l

1 R 2dx П   2 EJ

43 ТИПЫ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОГО ПОДХОДА

Тип задач Раздел курса

1

2

3

4

5

ПСОБ под действием сосредоточенных сил и распределенных нагрузок

Прямой статически неопределимый брус (ПСНБ) под действием сосредоточенных сил

ПСНБ под действием сосредоточенных сил и распределенных нагрузок

ПСНБ под действием распределенных

Растяжение-сжатие

Прямой статически определимый брус (ПСОБ) под действием сосредоточенных сил

температурных нагрузок

Растяжение-сжатие

Кручение

Изгиб

Статически определимая многоузловая шарнирно-стержневая система (СОШСС)

Статически неопределимая шарнирно-стержневая система (СНШСС) типа одно и двухузловой фермы

Прямой статически определимый брус (ПСОБ) под действием сосредоточенных пар сил

ПСОБ под действием сосредоточенных и распределенных пар сил

Консольная балка с правой заделкой

Консольная балка левой заделкой

СНШСС с жестким свободным брусом

СНШСС с шарнирно закрепленным жестким свободным брусом

СНШСС с жестким диском

Прямой статически неопределимый брус (ПСНБ) под действием сосредоточенных пар сил

ПСНБ под действием сосредоточенных и распределенных пар сил

Соосные ПСНБ под действием сосредоточенных и распределенных пар сил

Двухопорная балка с консольными участками и без них без врезанного шарнира

Двухопорная консольная балка с врезанным шарниром

Трехопорная балка с консольными участками и без них с врезанным шарниром

44

КВАЗИСТАТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

45 Основные задачи расчетных заданий I семестра обучения по курсу «Сопротивление материалов»

ЗАДАНИЕ № 2 Номер задания

2

Название задания

Кручение прямого бруса

Цели задания ЗАДАЧА № 1 : 1) Освоение методики анализа компонент напряженно-деформированного состояния прямого бруса при кручении 2) Освоение методики решения статически определимых задач при кручении прямого бруса 3) Освоение методики расчетов на прочность и жесткость при кручении ЗАДАЧА № 2 : 1) Освоение методики анализа компонент напряженно-деформированного состояния прямого бруса при кручении 2) Освоение методики решения статически неопределимых задач при кручении прямого бруса 3) Освоение методики расчетов на прочность и жесткость при кручении 4) Обучение алгоритмам декомпозиции в расчетах на кручение

Название раздела задания

Расчет статически определимого прямого ступенчатого бруса при силовом нагружении крутящими моментами Расчет статически неопределимого прямого ступенчатого бруса при силовом нагружении крутящими моментами или по выбору: Расчет соосных валов на кручение

Число типов расчетных схем

1

1

1

Охватываемые темы курса 1) Анализ напряженного состояния при кручении прямого бруса 2) Анализ деформированного состояния при кручении 3) Решение статически опре-делимых задач при кручении 4) Расчет на прочность при кручении 1) Анализ напряженного состояния при кручении прямого бруса 2) Анализ деформированного состояния при кручении 3) Решение статически неопределимых задач при кручении 4) Расчет на прочность при кручении

Сопряженные темы курса

1) Структурный подход анализа состояния бруса 2) Расчет геометрических характеристик сечений бруса при кручении 3) Механические характеристики материалов на сдвиг 2) Проектировочный расчет бруса

Сопутствующие учебные дисциплины

1) Арифметика 2) Алгебра 3) Высшая математика 4) Черчение 5) Теоретическая механика 6) Технология конструкционных материалов

46 РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ Тип сечения

Момент инерции сечения при кручении Jk

Момент сопротивления сечения кручению Wk

Круглое сплошное

0.1d 4

0.2d 3

Круглое не сплошное

0.1D 4 (1  c 4 ) cd /D

0.2 D3 (1  c 4 ) cd /D

 hb3

 hb2

Прямоугольное сплошное

Замкнутое тонкостенное

Форма сечения

Вспомогательная таблица h/b 1 2 3 4 6 10 0.141 0.229 0.263 0.281 0.299 0.313  0.208 0.246 0.267 0.282 0.299 0.313  Не путать эти коэффициенты с коэффициентами задания 3.2 Для промежуточных значений h/b использовать интерполяцию

4  Fk 2 dS

 ; Fk  h  b ; dS 2(b  h)     

2  Fk   FK – площадь контура сечения ВНУТРИ срединных линий его тонкостенных элементов

Разомкнутое тонкостенное

1 L 3 ; 3

1 L 2 3

Lbh

47 РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 2 Тема семинара: КРУЧЕНИЕ статически определимого прямого бруса

ЗАДАЧА 1. Построение эпюр ВСФ в статически определимом прямом брусе при силовом нагружении сосредоточенными и распределенными парами сил. 1. Исходная расчетная схема

Рис. 1

Рис. 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Этап 1. Расчет геометрических характеристик сечений бруса 1.1. Для расчетов на жесткость J k ,1  0.1d 4[1  ( 1.2.

0.8 4 ) ]  0.09744d 4 ; 2

J k ,2  0.229  2d  d 3 =0.458d 4 ; Fk  (2d ) 2  4d 2 ;

0.8 4 ) ]  0.1949d 3; 2

Wk ,2  0.246  2d  d 2 =0.492d 4 ; Fk  (2d ) 2  4d 2 ;



dS





4  2d



J k ,3 

;

4  Fk 2 4  16 d 4 =  0.8d 4 . dS 8 d 



Для расчетов на прочность

Wk ,1  0.2d 3[1  (

Этап 2. Применение метода сечений. Выделение расчетных участков бруса.



dS





4  2d



;

Wk ,3  2 Fk   = 2  4d 2  0.8d 3.

Рис. 3 Этап 3. Расчет функций внутренних сил методом сечений 48

участок I :

M k , I  mx;

участок II :

участок III :

M k , III  ml (2  2)  0;

участок IY :

участок Y :

M k ,Y  ml.

M k , II  2ml ; M k , IY  0;

Этап 4. Расчет изменений углов поворота участков  I 

m 2l ml 2 1 ml 2 2 ml 2 ml 2 (  22 )  2   2.5 ;  (  x) dx  4 GJ k ,3 0 GJ k ,3 2 GJ k ,3 0.8 Gd Gd 4

 II  2

ml 2 2 ml 2 ml 2    4.367 ;  III  0; GJ k ,2 0.458 Gd 4 Gd 4

 IY  0;

Этап 5. Построение эпюр

M k ( x), k ( x),  ( x),  max ( x)

 IY 

ml 2 1 ml 2 ml 2   10.26 . GJ k ,1 0.09744 Gd 4 Gd 4

Рис. 4

49 РАЗНОВИДНОСТИ ЗАДАЧ Наименование Построение эпюр ВСФ в статически определимом прямом брусе при силовом нагружении парами сил

Расчетная схема

Этапы основных особенностей решения Этапы 3, 5. На участке I эпюры Мк, к,  не могут быть переменными

Построение эпюр ВСФ в статически определимом прямом брусе при произвольном нагружении парами сил

Этап 3.

(Расчет функции см. в едином алгоритме для растяжения-сжатия бруса) Этап 5. На участке I эпюры Мк, к,  не могут быть постоянными

ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 2 Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ задачу представленного типа представить на контроль ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ. Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

50

РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 2 Тема семинара: КРУЧЕНИЕ статически неопределимого прямого бруса

ЗАДАЧА 1. Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при силовом нагружении сосредоточенными и распределенными парами сил. 2. Исходная расчетная схема

Рис. 1

Рис. 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Этап 1. Расчет геометрических характеристик сечений бруса 2.1. Для расчетов на жесткость J k ,1  0.1d 4[1  ( 1.2.

0.8 4 ) ]  0.09744d 4 ; 2

J k ,2  0.229  2d  d 3 =0.458d 4 ; Fk  (2d ) 2  4d 2 ;

0.8 4 ) ]  0.1949d 3; 2

Wk ,2  0.246  2d  d 2 =0.492d 4 ; Fk  (2d ) 2  4d 2 ;

dS







4  2d



J k ,3 

;

4  Fk 2 4  16 d 4 =  0.8d 4 . dS 8 d 



Для расчетов на прочность

Wk ,1  0.2d 3[1  (



Этап 2. Применение метода сечений. Выделение расчетных участков бруса.

dS





4  2d



;

Wk ,3  2 Fk   = 2  4d 2  0.8d 3.

Рис. 3 51 Этап 3. Расчет угла поворота правого конца бруса  B   B ( M B )   B (m)   B (2ml )   B ( ml ) по числу нагрузок

Этап 4. Расчет компонент угла поворота правого конца B (M B ) 

l 2 2 2 MB(   ); G J k ,3 J k ,2 J k ,1

 B (m)  

 B (2ml ) 

2ml 2 1 2 (  ); G J k ,2 J k ,1

 B ( ml ) 

m 1 ( G J k ,3

2l  0

ml 2 1 . G J k ,1

xdx 

2  2l 2 2  2l 2 ml 2 2 4 4  ) (   ); J k ,2 J k ,1 G J k ,3 J k ,2 J k ,1

Этап 5. Расчет реакции дополнительной

связи

 l  2 2 2 2 1 1     )  ml[  (4  2)  (4  4  1)]  0; M B ( G J J J J J J k ,3 k ,2 k ,1 k ,3 k ,2 k ,1    1  2 2 2 2 2 1    )  ml[   ]  0 M B ( 0.8 0.458 0.09744 0.8 0.458 0.09744  d4 



M B  0.124ml.

Этап 6. Расчет функций внутренних сил

Рис. 4 участок I :

M k , I  0.124ml  mx;

участок III :

M k , III  ml (2.124  2)  0.124ml;

участок Y :

M k ,Y  ml (0.124  1)  0.876ml.

участок II : участок IY :

M k , II  ml (0.124  2)  2.124ml ; M k , IY  0.124ml ;

Этап 7. Расчет изменений углов поворота участков  I 

m 2l ml 2 1 ml 2 2.248 ml 2 ml 2 (0.124  2   22 )  2.248    2.81 ;  ( 0.124ml  mx ) dx  GJ k ,3 0 GJ k ,3 2 GJ k ,3 0.8 Gd 4 Gd 4

 II  2.124

ml 2 2.124 ml 2 ml 2 ml 2 0.124 ml 2 ml 2    4.637 ;     0.124     0 .27 ; III GJ k ,2 0.458 Gd 4 GJ k ,2 0.458 Gd 4 Gd 4 Gd 4

 IY  0.124

ml 2 0.124 ml 2 ml 2 ml 2 0.876 ml 2 ml 2    1.272 ;    0.876   8.99 . IY GJ k ,1 0.09744 Gd 4 GJ k ,1 0.09744 Gd 4 Gd 4 Gd 4

52 Этап 8. Проверка решения задачи B 

Этап 9. Построение эпюр

5   I I 1

M k ( x), k ( x),  ( x),  max ( x)



ml 2

ml 2

Gd

Gd 4

(2.81  4.637  0.27  1.272  8.99)  103 4

.

Рис. 7

53 РАЗНОВИДНОСТИ ЗАДАЧ Наименование

Расчетная схема

Этапы основных особенностей решения

Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при силовом нагружении парами сил

 B   B ( M B )   B (2ml )   B (ml ) по числу нагрузок Этап 3. Этап 9. Мк, к, max не могут быть переменными

Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе с зазором при силовом нагружении парами сил

Этап 5.

Построение эпюр ВСФ в статически неопределимом прямом брусе при произвольном нагружении парами сил

Этап 4.

 B   B ( M B )   B (2ml )   B (ml )   по числу нагрузок

Этап 9. В сечении с заданным зазором (на правом конце бруса) эпюра углов поворота имеет заданный разрыв 

m 2 2l x 3  2 l2 3  2 l2 B ( m, 2m )   [ ) dx   ]  x ( 1 G J k ,3 0 8l J k ,2 J k ,1

Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ задачу представленного типа (варианты с 1 по 5 и с 11 по 15) представить на контроль ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ. Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

54

РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 2 Тема семинара: КРУЧЕНИЕ статически неопределимого прямого бруса

ЗАДАЧА 1. Построение эпюр ВСФ в статически неопределимых соосных прямых брусьях одинаковой длины при силовом нагружении сосредоточенными и распределенными парами сил.

3. Исходная расчетная схема

Рис. 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Этап 1. Расчет геометрических характеристик сечений бруса 3.1. Для расчетов на жесткость J k ,1  0.1d 4[1  ( 1.2.

0.8 4 ) ]  0.09744d 4 ; 2

J k ,2  0.229  2d  d 3 =0.458d 4 ; Fk  (2d ) 2  4d 2 ;

0.8 4 ) ]  0.1949d 3; 2

Wk ,2  0.246  2d  d 2 =0.492d 4 ; Fk  (2d ) 2  4d 2 ;



dS





4  2d



J k ,3 

;

4  Fk 2 4  16 d 4 =  0.8d 4 . dS 8 d 



Для расчетов на прочность

Wk ,1  0.2d 3[1  (



dS

Этап 2. Применение метода сечений к сопряжению брусьев. Выделение расчетных участков бруса.

Рис. 2

Рис. 3





4  2d



;

Wk ,3  2 Fk   = 2  4d 2  0.8d 3.

Рис.4 55

Этап 3. Расчет перемещения правых концов брусьев 1  1 ( M1 );

2  2 ( M 2 )  2 ( M ). по числу нагрузок

Этап 4. Расчет компонент перемещения правых концов брусьев 1 

M 1  3l M l 3 M 1 l   6.55 1 4 ; 4 GJ K ,2 0.458 Gd Gd

2 

M 2l 1 M l 2 M  2l M 2l 1 2 2 M l M l (  )  4(  )  21.77 24  20.52 4 . 4 G J K ,3 J K ,1 GJ K ,1 Gd 0.8 0.09744 0.09744 Gd Gd Gd

Этап 5. Статико-геометрические условия совместности деформирования брусьев M1  M

Этап 6. Расчет реакции дополнительной связи M 1M 6.55

M 1 l Gd 4

2

 2M  0;

  M l   6.55M 1  21.77 M  21.77 4  20.52 4 . Gd Gd  2

M 2l

1  2 .

 2M  0;

M 1  M 2  2M  M 2  2M  M 1   20.52 M  M 1 (6.55  21.77)  M ( 20.52  2  21.77) 2

 M 1  0.8128M   M 2  1.1872 M

Этап 5. Расчет функций внутренних сил

Рис. 5

Рис. 6

участок I : M K , I  0.8128M ; участок II : M K , II  1.1872M ; участок III : M K , III  0.1872M . Этап 6. Расчет изменений углов поворота участков  I  6.55  III 

M

1

l

Gd 4

2l (M GJ K ,1

 6.55  0.8128

2

 M) 

M l Gd 4

 5.324

2 0.09744Gd

4

M l Gd 4

 II 

;

(1.1872  1)  3.842

M l Gd 4

M 2l 1.1872 M  l M l   1.483 ; GJ K ,3 0.8 Gd 4 Gd 4

.

Этап 7. Проверка решения задачи  1  5.324

Этап 8. Построение эпюр

M k ( x), k ( x),  ( x),  max ( x)

M l Gd

4

;



2



M l Gd

4

(1.483  3.842)  5.325

M l Gd 4

.

56

Рис. 7

Рис. 8

РАЗНОВИДНОСТИ ЗАДАЧ Наименование Построение эпюр ВСФ в статически неопределимых соосных прямых брусьях одинаковой длины при силовом нагружении произвольными нагрузками

Расчетная схема

Этапы основных особенностей решения Этап 1.

2  2 ( M 2 )  2 (m)

Этап 2. Этап 3. 2 (m) 

по числу нагрузок

1 l 1 ml 2 ;  (  m  x) dx   GJ k , I 0 2 GJ k , I

Этап 5. участок IY :

M k , IY ( x)  M 2  mx;

57 Построение эпюр ВСФ в статически неопределимых соосных прямых

Этап 1.

брусьях разной длины при силовом нагружении

Этап 4. M

Построение эпюр ВСФ в статически неопределимых соосных прямых брусьях разной длины с двухсторонним зазором при силовом нагружении

1

 M2  M

Этап 3. 2 

3

 0;

3  2 ;

1  2 .

 0;

3  2 ;

1  2 .

M 2l  . GJ K , II

Этап 4. M

1

 M2  M

3

УКАЗАНИЕ: в задачах с зазором алгоритм никак не изменяется и лишь на этапе 4 перемещение правого торца равно заданному зазору , а в эпюрах перемещений в сечении с зазором будет разрыв эпюры перемещений на заданную величину зазора .

58 Основные задачи расчетных заданий I семестра обучения по курсу «Сопротивление материалов»

ЗАДАНИЕ № 3 Номер задания

Название задания

Цели задания

Название раздела задания Построение эпюр внутренних силовых факторов в балке при силовом нагружении

3

Изгиб балки

1) Освоение методики анализа компонент напряженно-деформированного состояния прямого бруса при изгибе 2) Освоение методики решения статически определимых задач при изгибе 3) Освоение методики расчетов на прочность и жесткость при изгибе

Расчет на прочность различных типов сечений

Расчет касательных напряжений при изгибе тонкостенных сечений

Расчет перемещений отдельных сечений бруса

Число типов расчетных схем

5

4

1

10

Охватываемые темы курса

Сопряженные темы курса

Сопутствующие учебные дисциплины

Построение эпюр внутренних силовых факторов в брусе 1) Расчет геометрических характеристик сечений при изгибе 2) Расчет на прочность при изгибе 1) Расчет геометрических характеристик сечений при изгибе 2) Расчет касательных напряжений при изгибе тонкостенных сечений 3) Расчет положения центра изгиба 1) Интеграл Мора 2) Способ Верещагина

1) Структурный подход анализа состояния бруса 2) Расчет геометрических характеристик сечений бруса при изгибе 3) Механические характеристики материалов на растяжение-сжатие и сдвиг 4) Проектировочный расчет бруса 5) Поверочный расчет бруса

1) Арифметика 2) Алгебра 3) Высшая математика 4) Черчение 5) Теоретическая механика 6) Технология конструкционных материалов

59 РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 3 Тема семинара: ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВСФ В БАЛКЕ ЗАДАЧА. Статически определимая балка постоянного сечения, нагруженная произвольной системой сил. 1. Исходная расчетная схема

Рис. 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Этап 1. Выделение методом сечений реакций опор и точек расположения равнодействующих распределенных нагрузок

Рис. 2 Этап 2. Составление уравнений равновесия балки и расчет реакций опор 1) Условие равенства нулю суммы моментов нагрузок справа от врезанного шарнира для части балки P 1 2 M D = 0 = RC , y ⋅ 2l + ql 2 ⋅ (2 + ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2) 2  

3 справа

∑

(Верхняя фигурная скобка выделяет равнодействующую постоянной части для нагрузки в виде трапеции, нижняя – линейно изменяющейся части, изображаемых соответственно прямоугольником и треугольником. Точки приложения равнодействующих выделены на рисунке жирными точками и лежат в центрах тяжести соответственно прямоугольника и треугольника, посредине и на 1/3 основания этих фигур . С учетом их положения определяются плечи равнодействующих при применении теоремы Пуансо статики курса теоретической механики для распределенной по трапеции нагрузке. Приложение самих равнодействующих запрещено, так как в сопротивлении материалов запрещается переносить силу в точку, отличную от точки ее приложения в отличие от теоретической механики.) Отсюда получаем RC,y= - 7/3 ql, немедленно использующуюся в последующих уравнениях равновесия .

60 2) Условие равновесия моментов нагрузок для всей балки относительно опоры А

∑

M A = 0 = R B ⋅ 2l + ql 2 (−

7 13 1 ⋅ 5 + 2N ⋅4 + 2 ⋅ −1− 2+ ) 3 3 2 N N    

м ом ент от нагрузки по т рапеции

( фигурными скобками выделены моменты от равнодействующих распределенных нагрузок) Отсюда получаем R = - 5 ql , также немедленно использующуюся в последующих уравнениях равновесия . B

4

3) условие равновесия сил в направлении, перпендикулярном оси бруса: 7 5 31 − 28 + 12 − 15 . = R A − ql ∑ Y = 0 = R A + ql ( − 3 + 4 − 4 − 2 − 1) = R A + ql 3⋅4 12 Отсюда получаем R A = 31 ql . 12

Этап 3. Проверка правильности расчета реакций опор.

∑MB

= ql 2 (

7 7 31 5 ⋅ 3 − 2N ⋅2 − 2⋅ +1− 2 + ⋅ 2 − ) = 0. 3 12 2 N N3

Этап 4. Назначение расчетных сечений и участков бруса

Рис. 3

61 Этап 5. Расчет ординат эпюры поперечных сил Qy(x)

Рис. 4 Qy,I (0) = 0; ΔQy,I =−ql; ⎫ ⎪ 31 31 19 участок II : Qy,II (o) = Qy,I (l) + ql =ql(−1+ ) = ql; ΔQy,II = 0; ⎪ ⎪ 12 12 12 ⎪ 19 5 ΔQy,III = 0; ⎪ МНП ⇒ участок III : Qy,III (o) = Qy,II (l) − 2ql =ql( − 2) =− ql; ⎬ 12 12 ⎪ 5 5 5 5 участок IY : Qy,IY (o) = Qy,III (l) − ql =ql(− − ) = − ql; ΔQy,IY = 0; ⎪ 4 12 4 3 ⎪ ⎪ 5 ΔQy,Y = 4ql; ⎪ участок Y : Qy,Y (o) = Qy,IY (l) = − ql; 3 ⎭

участок I :

Qy,I (l) =−ql; 19 Qy,II (l) = ql; 12 5 Qy,III (l) =− ql; 12 5 Qy,IY (l) =− ql; 3 7 QyY , (2l) = ql. 3

( ЗАПОМНИТЬ: 1) НА УЧАСТКЕ ПРЯМОГО БРУСА без распределенной нагрузки НЕ МОЖЕТ БЫТЬ изменения поперечной силы; 2) НА УЧАСТКЕ ПРЯМОГО БРУСА с распределенной нагрузкой изменение поперечной силы равно равнодействующей распределенной нагрузки на участке; 3) НА УЧАСТКЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО БРУСА изменение поперечной силы может быть и без приложения распределенной нагрузки на участке из-за изменения геометрии оси бруса и положения триедра главных центральных осей сечений бруса)

62 Этап 6. Построение эпюры Qy(x), немедленно использующееся при построении функций Qy(x) и эпюры изгибающих моментов Mz(x) .

Рис. 5 Этап 7. Определение функций поперечных сил Qy(x) на расчетных участках балки

Рис. 6 31 19 участок II : Qy,II (x) = ql(−1+ ) = ql; 12 12 19 5 5 5 5 участок III : Qy,III (x) = ql( − 2) =− ql; участок IY : Qy,IY (x) = ql(− − ) =− ql; 12 12 12 4 3 2 7 q x 7 qx . участок Y : Qy, V (x) = ql − (3 + 3 − )x = ql − 3qx + 3 2 l 3 2l участок I :

Qy,I (x) =−qx;

(на первых четырех участках использовано правило положительных знаков для сил ЛЕВОЙ отсеченной части, на пятом участке – для ПРАВОЙ отсеченной части)

63 Этап 8. Расчет ординат эпюры изгибающих моментов Mz(x)

Рис. 7 1 ⎫ 1 ΔMz,I = − ql 2; ⎪ Mz,I (l) = − ql 2; 2 2 ⎪ 19 2 ⎪ 1 19 13 участок II : Mz,II (o) = Mz,I (l); ΔMz,II = ql ; Mz,II (l) = ql2(− + ) = ql2; ⎪ 12 2 12 12 5 2 ⎪⎬ МНП ⇒ 13 5 2 участок III : Mz,III (o) = Mz,II (l); ΔMz,III = − ql ; Mz,III (l) = ql 2( − ) = ql 2; 12 ⎪ 12 12 3 5 2 ⎪ 2 5 участок IY : Mz,IY (o) = Mz,III (l); ΔMz,IY = − ql ; ⎪ Mz,IY (l) = ql 2( − ) = − ql 2; 3 3 3 ⎪ ⎪ 2 Mz,Y (2l) = 0. участок Y : Mz,Y (o) = Mz,IY (l) + ql = 0; ΔMz,Y = 0; ⎭

участок I :

Mz,I (0) = 0;

( на участках бруса, без распределенной нагрузки или с постоянной распределенной нагрузкой изменение изгибающего момента вычисляется по площади соответствующей эпюры поперечных сил по участкам балки; на участках с линейной и более сложно изменяющейся распределенной нагрузкой приходится использовать либо метод сечений, либо МНП) Этап 9. Определение функций изгибающих моментов Mz(x) на расчетных участках бруса с использованием построенной эпюры Qy(x) и МНП

Рис. 8 64

(точками выделены точки расположения равнодействующих распределенных нагрузок на локальных участках длиной х, то есть центры тяжести соответствующих прямоугольника и треугольника ) M z,I (x) = −

1 qx2 ; 2

M z , III ( x ) =

13 5 ql2 − q lx ; 12

12

M

z ,V

1 19 M z , II ( x ) = − ql2 + q lx ; 2 1 2 

(x) = −

M z , IV ( x ) =

7 3 qlx + qx 3 2

2

−

2 5 ql2 − q lx ; 3 3 N

1 q 3 x . 6 l

(На первых четырех участках использовано правило положительных знаков для моментов нагрузок ЛЕВОЙ отсеченной части, на пятом участке – для ПРАВОЙ отсеченной части. На участках со 2 по 4 фигурными скобками выделены значения моментов в начале этих участков, вычисленные по их значениям в конце предыдущих участков). Этап 10. Построение эпюр ВСФ

Рис.9 ЗАМЕЧАНИЯ к решению задачи : 1) В данной задаче рассмотрена наиболее сложная функций распределенной нагрузки для классических задач сопротивления материалов: произвольная линейная функция. Продемонстрированный методический прием определения для такой функции внутренних силовых факторов является общим для любых задач: как растяжения-сжатия или кручения, так и изгиба. Последовательность действий такова: -

вводится сечение произвольного положения на участке нагрузки, в этом сечении находится текущее значение распределенной нагрузки математически общим приемом нахождения констант произвольной линейной функции, подобием или подбором значение распределенной нагрузки, на отсеченной части участка действия нагрузки выделяется постоянная (графически – прямоугольник в составе эпюры распределенной нагрузки) и переменная часть, определяются координаты центров тяжестей графического отображения двух выделенных компонент распределенной нагрузки, 65

-

равнодействующие выделенных компонент определяются площадями выделенных конфигураций эпюры нагрузки, а центры тяжестей являются по теореме Вариньона теоретической механики точками приложения этих равнодействующих. По сути, к сопротивлению материалов особенности учета произвольной линейной распределенной нагрузки не имеют никакого отношения, полностью вписываясь в предметику раздела статики теоретической механики во всем, кроме одного: в отличие от теоретической механики в сопротивлении материалов категорически запрещается прикладывать равнодействующие компонент в точках их приложения по положениям теоретической механики. Причина в том, что в силу специфики предмета в сопротивлении материалов силу нельзя переносить из одной точки в другую из-за деформируемости объектов сопротивления материалов. 2) Для обучающихся, освоивших принципиальную необходимость выделения расчетных сечений и участков во всех задачах сопротивления материалов как неотъемлемую принадлежность формирования совокупности кусочных локальных аналитических функций описания состояния любых деформируемых элементов систем, допускается, начиная с изгиба, не выделять расчетные сечения и участки. 3) При применении метода сечений к опорам балки не имеет никакого значения выбор предполагаемых направлений реакций опор. 4) Уравнения равновесия части балки составляются только для балок с врезанным шарниром . Причем для величин реакций балки не имеет никакого значения, какая по отношению к врезанному шарниру (левая или правая ) часть балки используется. Поэтому рекомендуется для балки без жесткого защемления использовать ту часть балки, для которой проще составляются условия равновесия части балки и формируется уравнение всего с одной неизвестной реакцией опор. Для балки с жестким защемлением при наличии в ней, кроме того, врезанного шарнира и иных опор нельзя по теоремам теоретической механики оставлять это защемление в составе той части балки, для которой составляется дополнительное уравнение равновесия. 5) При вычислении ординат эпюр в начале или конце расчетных участков балки необходимо структурно выделять слагаемые, связанные с изменениями ординат эпюр в связи с действием распределенной на участке нагрузки или сосредоточенных внешних нагрузок в сечениях балки на границе расчетных участков. Рекомендуется эпюры строить в совокупности локальных систем правых координат ( то есть, слева направо вдоль оси балки), используемых по умолчанию, так как при этом естественнее и проще использование геометрических смыслов производных и интегралов из математического анализа. По сути, при этом негласно формируется рекуррентный способ построения эпюр, основанный на комбинации метода сечений и метода начальных параметров с максимальным использованием геометрических смыслов математических операций. Именно такая комплексность и гибкость в сочетании с прагматизмом выделяет логику сопротивления материалов как единственную в своем роде для формирования российского инженера. 6) Во избежание нерациональных действий или действий, неизменно ведущих к ошибкам для большинства, при решении задач ЗАПРЕЩАЕТСЯ: 1. выделять методом сечений и находить реакции опор для жесткого защемления, так как эти реакции автоматически будут определены в процессе построения эпюр, а наличие указанной опоры обычно ничем не мешает применению метода сечений для расчета внутренних силовых факторов в любом сечении балки; 2. изменять порядок уравнений расчета реакций опор балки, так как он связан с построением системы алгебраических уравнений с треугольно структурой матрицы коэффициентов; 3. даже в черновиках расчетной работы применять в полном объеме метод сечений во врезанном шарнире и выделять отдельно с его помощью отсеченную часть балки, так как обычно обучающийся плохо владеет совокупностью правил положительных знаков сопротивления материалов и III законом Ньютона; 66

4. прикладывать пару сил непосредственно во врезанном шарнире, так как по его определению при таком приложении нагрузки немедленно начнется вращение шарнира, не имеющего никакой жесткости для восприятия пары сил. Даже при расчетах несущей способности бруса во втором семестре, когда врезанный шарнир имеет жесткость, определяемую по особым методикам, в сопротивлении материалов никогда не прикладывают пары сил непосредственно во врезанных шарнирах. При ошибках данных обучаемому расчетных схем необходимо пару сил сместить на бесконечно малое расстояние влево или вправо от заданного врезанного шарнира ( результат, конечно, будет разным). 5. переходить к построению эпюр без проверки правильности расчета реакций опор балок, так как вся работа по построению эпюр балок может оказаться не нужной в силу ошибочности исходных данных по внешним активным нагрузкам и реакциям опор; 6. вычислять в чистовом отчете о расчетной работе без надобности функции внутренних силовых факторов. Они должны быть вычислены только при изменении знака перерезывающей силы на участке балки, так как это связано с экстремумом изгибающего момента в сечении с нулевой поперечной силой. ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 1 Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов ДЛЯ ВСЕХ семи балок и представить на контроль только эпюры пункта 10 ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ . Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

67 РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ Тип сечения

Форма сечения

Момент инерции сечения при изгибе Jz

Момент сопротивления сечения изгибу Wz

Круглое сплошное

0.05d 4

0.1d 3

Прямоугольное сплошное

bh3 hb3 ; 12 12

bh3 hb3 ; 6 6

Сортамент ГОСТ Совокупность 4 тонких прямоугольников. Для тонкостенных элементов, параллельных оси расчета геометрической характеристики учитываются 2

Замкнутое тонкостенное

⎛h⎞ только переносные компоненты моментов инерции: δ b ⎜ ⎟ относительно горизонтальной оси или ⎝2⎠ 2 ⎛b⎞ δ h ⎜ ⎟ относительно вертикальной оси. ( НИКОГДА δ 3 ) ⎝2⎠ Совокупность 2 тонких прямоугольников. Для тонкостенных элементов, параллельных оси расчета геометрической характеристики учитываются 2

Разомкнутое тонкостенное

⎛h⎞ только переносные компоненты моментов инерции: δ b ⎜ ⎟ относительно горизонтальной оси или ⎝2⎠ 2 ⎛b⎞ δ h ⎜ ⎟ относительно вертикальной оси. ( НИКОГДА δ 3 ) ⎝2⎠

68 РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 3 Тема семинара: ПРОЕКТИРОВОЧНЫЙ РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ ЗАДАЧА. Обеспечить прочность статически определимой балки постоянного сечения, нагруженной произвольной системой сил. 2. Исходная расчетная схема

Рис. 1 2. Исходные формы сечения балки из пластичного материала.

Рис. 2 3. Исходная форма сечения балки из композиционного материала.

Ритс. 3

69 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Этап 1. Расчет геометрических характеристик прямоугольного сечения для расчетов на прочность и жесткость ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ bh 4 ⎝ 2 ⎠ = = b 12 12 3

I zc

3

= 0 .2 8 1 b 4 ;

Wz =

I zc h/2

= b3

0 .2 8 1 = 0 .3 7 5 b 3 . 0 .7 5

Этап 2. Расчет геометрических характеристик тонкостенного сечения

Рис. 4 2.1. Площади элементов сечения

F {1} = 2 δ b ; F {2} = 2 δ b ; F {3} = δ b ; F {4} = δ b; 2.2. Координаты центров тяжести элементов сечения во вспомогательной системе координат yc{1} = b / 2;

yc{2} = 3 b; 2

yc{3} = b;

yc{4} = b / 2;

2.3. Моменты инерции элементов сечения относительно центральных осей этих элементов

I z{1} = 1

2δ b3 12

; I z{2} = 2

2δ b3 12

; I z{3} = 0 ; 3

I z{4} = δ12b ; 4

3

2.4. Геометрические характеристики сечения для расчетов на прочность и жесткость

70 4

⎡ ⎤ 2 2 2 ⎢ 2 2 1 ⎛1⎞ ⎛3⎞ ⎛1⎞ ⎥ ) = 2 ⋅ δb ⋅ ⎢ + 2⎜ ⎟ + + 2 ⎜ ⎟ + 1N + + ⎜ ⎟ ⎥; 1 2  1 2  1 2 ⎝ 2

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎥ i=3 ⎢



i =1 i=2 i=4 ⎣ ⎦

I zc =

∑ (I

I zc =

16 2 + 8 δ b 3 = 1 .0 2 1b 4 ; 3

i =1

{i } zi

+ F

{i} {i }2

y zi

3

Wz =

I zc = 0 .5 0 1b 3 . 2b

Этап 3. Расчет геометрических характеристик тонкостенного сечения из композиционного материала.

3.1. Расчет положения центра тяжести сечения во вспомогательной системе координат z-yc

Рис. 5 3.2. Геометрические характеристики частей сечения с учетом симметрии

F {1} = 2 b 2 ; F {2} = 14 b 2 ; F {3} = 2 b 2 ; 7 b; yc{3} = 5b; 2 3 b(2b) 8 4 {2} 2b(7b)3 686 4 {3} 8 4 = = b ; I z ,2 = = b ; I z ,3 = b . 12 12 12 12 12

yc{1} = b; yc{2} = I z{1,1}

3.3. Статические моменты частей сечения

S z{ } = F { } yc{ } = 2b 3 ; S z{ } = F { } yc{ } = 49b 3 ; S z{ } = F { } yc{ } = 10b 3 . 1

1

1

2

2

2

3

3

3

71 3.4. Координата центра тяжести сечения во вспомогательной системе координат z-yc S z 2(S z{ } − S z{ } − S z{ } ) 37 yc = = = b. F 2( F {2} − F {1} − F {3} ) 10 2

1

3

3.5. Расчет момента инерции сечения во вспомогательной системе координат 8 32 I z{1} = I z{1,1} + F {1} ⋅ yc{1}2 = b4 ( + 2) = b4 ; 12 12 686 49 2744 4 I z{2} = I z{,22} + F {2} ⋅ yc{2}2 = b4 ( b; + 14 ⋅ ) = 12 4 12 8 608 4 3 3 3 32 I z{ } = I z{,3} + F { } ⋅ yc{ } = b4 ( + 2 ⋅ 25) = b; 12 12 2744 32 608 1052 4 2 1 2 )= I z = 2(I z{ } − I z{ } − I z{ } ) = 2b4 ( b. − − 12 12 12 3

3.6. Расчет главного центрального момента инерции сечения, координат точек, наиболее удаленных от центра тяжести сечения при рациональном расположении сечения для [σ]P>[σ]C

1052 1369 1153 4 )= I zc = I z − F ⋅ yc2 = b4 ( − 20 ⋅ b = 76.9b4 ; 3 100 15 [σ ] p > [σ ]c ⇒ yp,max > yc,max ⇒ yp,max = 3,7b; yp,max = 3,3b. Этап 4. Расчет параметров форм сечений из пластичного материала 4.1. Прямоугольное сечение

σ x ,m ax =

M

z m ax

Wz

=

M

≤ [σ ] ;

z m ax 3

0.375 b

⇒

b≥

3

M

z m ax

0.375 [σ

]

=

3

⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ [ M M ]. ⋅⋅⋅

4.2. Двутавровое сечение

σ x ,m ax = ГО С Т

Mz

m ax

Wz ⇒

≤ [σ ] ;

⇒ Wz ≥

W z ,факт ≥ W z

⇒

Mz

m ax

[σ ]

=

⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⎡⎣ M M 3 ⎤⎦ ; ⋅⋅⋅

профиль № ⋅ ⋅ ⋅ .

72 4.3. Тонкостенное сечение σ x ,max =

Mz

max

Wz

=

Mz

max 3

0.501b

≤ [σ ] ; ⇒ b ≥

3

Mz

max

0.501 [σ ]

=

3

⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ [ MM ] . ⋅⋅⋅

Этап 5. Расчет параметров форм сечений из композиционного материала. 5.1. Обеспечение прочности при растяжении σ x , р ,max =

Mz

max

I zc

⋅ y р ,max ≤ [σ ] p ; ⇒ b p ≥

3

3.7 M z

max

76.9 [σ ] p

=

3

⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ [ MM ] . ⋅⋅⋅

5.2. Обеспечение прочности при сжатии

σ x,с max =

Mz

max

I zc

⋅ yс,max ≤ [σ ]с ; ⇒ bс ≥ 3

3.3 M z

max

76.9[σ ] p

=3

⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅[ MM ] . ⋅⋅⋅

5.3. Обеспечение прочности всего сечения как при сжатии, так и при растяжении

b = max(bp , bс ) = ⋅⋅⋅[ MM ]. Этап 6. Сравнить площади рассчитанных сечений и изобразить все сечения в едином масштабе для сравнения. ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 1 Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ расчеты ДЛЯ ЗАДАННОЙ БАЛКИ и представить на контроль ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ . Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

73

ЕДИНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКОСТЕННЫХ СЕЧЕНИЯХ

Действие

Форма сечения

Расчетная формула

Иллюстрация

Действие

Расчетная формула

Расчет касательных напряжений в расчетных точках сечения

Qy ( x) Szcотс (t ) τ (t ) = δ (t ) Iz

Построение Введение глобальной системы координат

Определение направления потока касательных напряжений в элементах сечения

эпюры касательных напряжений

Построение расчетной схемы по определению положения центра изгиба сечения

Иллюстрация

74

2 2 Szc () t =δt⋅ t = δt2; 4 4 2 2 2 отс Szc{ } () t =δt⋅(2b− t)=δ(2bt − t2); 4 4 {3}отс {2}отс Szc () t =Szc ( 2b)+δt⋅b; {1}отс

Расчет функций статического момента отсеченных частей

S zотс =

ydF

Fотс

2 2 δb ; 2 3 2 2 2 отс S zc{ } ( 2b) = δb ; 2 3 2 3 отс S zc{ } (b) = ( + 1)δ b2 ; 2 4 отс S zc{ } (0) = (2 2 + 1)δ b2 ; S zc{ }

1 отс

Построение эпюры функций статического момента отсеченных частей

∫

S zc{ }

4 отс

t 4 отс 1отс 3отс Szc{ } () t =Szc{ } ( 2b)+Szc{ } (b)+δt⋅(b− )= 2 t 4 отс =Szc{ } (0)+δt⋅(b− ). 2

Расчет равнодействующих касательных напряжений в элементах сечения и выбор моментной точки

ti

Ti = ∫τi (t) δ dt 0

⇓ 2

3

Qy ⋅ b 1 Qy ⋅δ b 1 2 = ; T1 = ⋅ ⋅ 2b⋅δ ⋅ 3 2 3 Iz Iz 2

T3 =

3

Qy ⋅ b 3 2 +1Qy ⋅δ b 3 2 +1 ⋅ b⋅ δ ⋅ = 2 2 Iz Iz

( Площади эпюр τ на соответствующих элементах тонкостенного сечения)

( 2b) =

3 (b) = S zcотс,max = (2 2 + )δ b2 . 2

Расчет положения центра изгиба

4 8 2 +3 Qy ⋅δ b ∑MiO =0= P⋅e+2⋅Mo(T1) −2⋅Mo(T3) = P⋅e− 3 I zc

e=

8 2 +3 16 2 + 8

b = 0 . 369 b e = 8 2 + 3 b = 0 . 369 b 16

2 +8

75 РУКОДЯЩИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ СЕМИНАРА ПО ДЗ № 3 Тема семинара: СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАСЧЕТА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКЕ ЗАДАЧА. Рассчитать перемещение одной и той же точки оси балки с помощью интеграла Мора и способа Верещагина 3. Исходная расчетная схема

Рис. 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Этап 1. Расчетная схема «единичного» нагружения балки

Рис. 2 Этап 2. Построение «единичной» эпюры изгибающих моментов

Рис. 3

76 Этап 3. Расчет реакций опор балки от заданных внешних активных сил (если не был выполнен ранее)

Рис. 4 Этап 4. Построение совокупности расслоенных грузовых эпюр б), адаптированных к единичной эпюре моментов а) ( На рис. 5 ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ при перемножении единичной эпюры моментов на совокупность расслоенных грузовых использован полностью как для расчетных схем нагружения балки, так и для соответствующих эпюр моментов. Перемножение единичной эпюры на совокупность полученных грузовых эпюр может выполняться как в табличной, так и в строчной форме. Наиболее полна и контролируема табличная форма перемножения эпюр, но она и наиболее громоздка. Ниже представлена строчная форма.) ⎡ ⎤ ⎢ 1 5 ⎥ 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ⋅ l⋅ − 2⋅ l ⋅( + ⋅ l ⋅ ( − 2 − 2) + ) + ⎢− ⎥ 2 4 2  3 4  2 2

3

3 2  

4 ⎢  ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ql 2 ⎢ 1 31 2 1 1 1 31 1 31 1 1 1 2 + ) + 2) + ⎥ . = ϕ D , справа = ⋅ 2l ⋅ + ⋅l ⋅( ⋅ 2l ⋅ ( − ⎢+ EI z ⎢ 2 6  3 2  2 2

6 3 12  2 2 

2 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ 5 1 1 14 2 1 3 1 4 4 ⋅ 2l ⋅ + 6 ⋅ 2l ⋅ − ⋅ 2l ⋅ ⋅ l ⋅ (− - ) − ⎢+ ⎥ 2 2

2 3 2 3  3  3  4  4 3  5 ⎢  ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ =

ql 3 ⎛ 5 13 155 39 28 8 ⎞ − + − − +3− ⎜− ⎟= 48 24 9 15 ⎠ EI z ⎝ 48 12

=

41 ql 3 ⋅ ⋅ ⋅ ql 3 -75-780+2325-1170-2240+2160-384 == = ⋅⋅⋅. ⋅ 720 180 EI z ⋅ ⋅ ⋅ EI z

77

Рис. 5 78

Этап 5. Расчет угла поворота в заданной точке оси Табличная форма имеет вид :

1

Типы перемножаем 2 ых эпюр ос вспом. н. 1

2

1

1

2 3

1 2

4

1 2

5

1

6

1

7

1

Площадь основной эпюры −

Ордината вспомогат. эпюры

1 5 ⋅ 2 4

1 − ⋅2 2 1 1 ⋅ 2 2 1 31 ⋅ ⋅2 2 6 1 1 ⋅ 2 2 1 1 ⋅ ⋅2 2 2 1 1 ⋅ 2 2 1 14 − ⋅ ⋅2 2 3 1 ⋅6⋅2 3 1 4 − ⋅ ⋅2 4 3

1 1 ⋅ 3 2

1 2 1 5 + ⋅ = 4 3 4 12 1 8 − (2 + ⋅ 2) = − 3 3 2 1 ⋅ 3 2 31 1 31 217 + ⋅ = 6 3 12 36 1 2 11 − ⋅2 = − 2 3 6 5 1 17 − − =2 3 6 2 ⋅1 3 3 ⋅1 4 4 ⋅1 5

−

Податливость на участке перемножения перемно рассл. ж. −

5 48

5 12 2 − 3 31 18

217 144 −

11 12

17 − 24 −

28 9

−

5 48

−

13 12

115 36

−

39 24

−

28 9

3 −

8 15

3 −

8 15

Этап 6. Совмещенные расчетные схемы «единичного» и грузового нагружений балки для использования интеграла Мора

Рис. 6 79

Этап 7. Функции моментов единичного нагружения балки M

(1) z ,I

=

1 x; 4l

M

(1) z , II

=

1 1 + x; 4 4l

M z(1), III =

1 1 − x; 2 2l

M

(1) z , IY

=

1 x. 2l

Этап 8. Функции моментов грузового нагружения балки 1 19 M z( ,PI ) = − ql 2 + qlx; 2 12

M z( ,PII) =

13 2 5 ql − qlx; 12 12

M z( ,PIII) =

2 2 5 ql − qlx; 3 3

7 3 1q 3 M z( ,PIY) = − qlx + qx 2 − x. 3 2 6l

Этап 9. Расчет угла поворота с помощью интеграла Мора. ϕD,СПРАВА =

1 2 2 ⎫ ql 3 ⎡ 1 29 54 ⎤ ql 3 ⎧ ⎡ 1 19 1 13 5 1 1 2 5 1 1 ⎤ 7 3 2 1 3 1 54 2 7 3 1 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − + + − + + + − − + − + − = − + + ( ) ( )( ) ( )( ) d ( ) d ( ) d (− ξ 2 + ξ 3 − ξ 4 )dξ ⎥ = ⎨∫ ⎢ ⎬ ⎢∫ ∫ ∫ ⎥ EI z ⎩ 0 ⎣ 2 12 4 12 12 4 4 3 3 2 2 ⎦ 3 2 6 2 48 6 4 12 0 0 ⎭ EI z ⎣ 0 48 48 ⎦ 3 3 41 ql ql 29 54 54 7 8 3 16 1 32 = + − ⋅ + ⋅ − ⋅ )=− . ( − EI z 48 48 ⋅ 2 48 ⋅ 3 6 3 4 4 12 5 180 EI z

ПРИМЕЧАНИЕ: При использовании способа Верещагина для расчета обобщенных перемещений используются элементарные геометрические конфигурации приведенной ниже таблицы. Координата № Расчетная Вид Площад Расчетная Вид Площа Координа № центра тяжести типовой схема эпюры ь та схема эпюры дь типовой эпюры эпюры центра эпюры эпюры тяжести 1/3 1/4 1 ½ 1 3

½ 2

1/4

1/3

1/5

4

Необходимо обратить внимание на ее иерархичность, состоящую в последовательном (»змейкой» в стиле сказов Бажова) переходе из строки в строку и из столбца в столбец по мере усложнения геометрической фигуры чисел иерархии элементарных чисел: 1, 1/2, 1/3, 1/4 и так далее. ЗАДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 3 Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ расчеты ДЛЯ ЗАДАННОЙ БАЛКИ и представить на контроль ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ . Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

80

ЕДИНАЯ МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СПОСОБА ВЕРЕЩАГИНА В КУРСЕ Расчетная схема I СЕМЕСТРА курса

Расчетная схема II СЕМЕСТРА курса Расчет плоской рамы

Расчет балки на изгиб

1

Расчетная схема единичного нагружения Расчет угла поворота правой полуокрестности врезанного шарнира D Расчет горизонтального перемещения врезанного шарнира С

2

Расчет реакций схемы единичного нагружения

3

81

Расчет реакций опор грузового нагружения

5

6

7

Расчетные схемы свободных от опор балок или рам Жесткое защемление снимать нерационально

Совместное построение единичной и грузовой эпюр моментов

а) построение в начале единичной эпюры моментов

⇓ Сечение расслоения грузовой эпюры в сечении с |Mz (1) |max

82

б) построение расслоенной эпюры грузовых моментов

Перемножение единичной и расслоенной грузовой эпюр

8 ql 2 ϕD,справа = EI z

⎡ ⎤ ⎢ 1 5 ⎥ 1 1 1 1 2 1 1 1 1 )+ ⋅ l⋅ − 2⋅ l ⋅ ( + ⋅ l ⋅ (−2 − 2) + ⎢− ⎥ 2  4 3 2  2  2  2

3 

4 3 4  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 31 ⎥ 2 1 1 1 31 1 31 1 1 1 2 + )+ ⋅ 2l ⋅ + ⋅l ⋅( ⋅ 2l ⋅ (− - 2) +⎥ . = ⎢+ 2  6 3 2  2  2 6 3 12 2  2 2 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 5 1 1 14 2 1 3 1 4 4 ⎥ ⋅ 2l ⋅ + 6 ⋅ 2l ⋅ − ⋅ 2l ⋅ ⋅ l ⋅ (− - ) − ⎢+ ⎥ 2  2 2 3  2  3 3  3  3 5 ⎥ ⎢

4 4  ⎣⎢ ⎦⎥

=

ql3 ⎛ 5 13 155 39 28 8⎞ − − +3− ⎟ = ⎜− − + 15 ⎠ EI z ⎝ 48 12 48 24 9

=

41 ql3 ql3 -75-780+2325-1170-2240+2160-384 =− ⋅ 720 180 EI z EI z

⎡ ⎤ qa3 ⎢ 1 1 1 1 1 1 ⎥ 1 qa4 − ⋅ ⋅ a ⋅ ⋅1⎥ .= δc = ⎢ ⋅1 ⋅ a ⋅ ⋅ EI z ⎢ 2  3  2 4 ⎥ 24 EI z

3 2  ⎣ ⎦

83

ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРАЛА МОРА И СПОСОБА ВЕРЕЩАГИНА

Понятие, формула

Интеграл Мора

Способ Верещагина

Семестр I

Семестр II δ =

Формула

M z( p) (x)M z(1) (x) δ =∫ dx EI ( x ) z l

∫

M

( p) z

l

+∫

M

l

( x ) M z(1 ) ( x ) dx + EIz (x)

( p) y

(x)M

(1 ) y

(x)

EI y (x)

l

+∫

Семестр I

M

dx

Семестр II

δ =∑ 1 δ =∑ F(M z(,pj) )M z(1, )j,c ∑ i EIz ,i j

( p) k

( x ) M k(1 ) ( x ) dx G Ik (x)

i

1 F ( M z( ,pj) )M z(1), j ,c + ∑ EI z ,i j

+∑

1 F ( M y( ,pj) )M y(1), j ,c + ∑ EI y ,i j

+∑

1 F ( M k( ,pj) )M k(1), j ,c ∑ GI k ,i j

i

i

F(Mz(,pj) ), F(M y( ,pj) ), F(Mk( ,pj) ) - площади грузовых эпюр Смысл числителя

Изгибающие моменты

Изгибающие и крутящие

в балке

моменты в раме

моментов

M z(1), j ,c , M y(1), j ,c , M k(1), j ,c - ординаты единичной эпюры моментов под центрами тяжести грузовых эпюр моментов

Используемые EI ( x) - жесткость на z жесткости изгиб сечений Форма оси бруса Способ вычисления моментов

балка

E I z ,i , E I y ,i , G I k ,i -

EIz (x), EI y (x), GIk (x) жесткости на изгиб и кручение

EIz,i - жесткость на изгиб

жесткости на изгиб и кручение

любая

балка

прямые участки бруса

с произвольной формой оси

Метод сечений без построения эпюр

Эпюры моментов, грузовые эпюры при надобности должны быть в расслоенном виде