整数論入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基礎数学シリーズ

編 集 の ことば  近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応 用 も さる こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的精 神 の浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理念 に接 しなけ れ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.  編 者 らは,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に 伝 える こ とを 目的 と して本 シ リー ズ の 刊行 を 企 画 した の で あ る.  上 の 主 旨 に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 し て あ る.高 等 学 校 の 数 学 に直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の 理解 へ の大 道 に容 易 には い れ る よ う書 か れ て あ る.  こ れ に よ っ て,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の人 々の 参 考 書 と し て,ま

た学 生 の入 門書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ とを念 願 と して い る.

 こ の シ リー ズ は,読 者 を 数 学 と い う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る とと も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の 力 を養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

『基礎数学シリーズ 16 頁

18 34 35 39 91 113 115 139 140

行 ↑12 ↓12 ↓5 ↑5 ↑1 ↑7 ↓7 ↑5 ↑4 ↓2

整数論入門』正誤表

誤

正

S を含む x ∈ M をとり，x ∈ Mn N ∼ = F (x) det(θ(i)j−1 )

o を含む x ∈ N をとり，x ∈ Nn M ∼ = F [x] det(θ(i)j−1 )2

基準 補素 整数環 とにかく op の

規準 複素 加法群 とにかく Fp の

Fp

Hp

ま

え

が

き

  本 書 は 代 数 的 整 数 論 に お い て 不 可 欠 の 基 礎 知 識 で あ る 代 数 体 の 理 論 を,近 代 的 視 点 か ら検 討 し,配 列 構 成 しな お して 記 述 した も の で あ る.し か し,入 門 書 とい う性 格 を 考 慮 して,あ

ま り極 端 な 表 現 法 の 変 更 は 避 け,で

き るだ け 普 通 に

見 られ る形 に お さ め る よ うつ とめ た.   整 数 論 は本 来,約

数 ・倍 数,あ

る い は 方 程 式 の 整 数 解 とい った こ とか ら発 展

した も の で あ ろ うが,現

在 で は きわ め て 多 くの 数 学 の分 野 と関 連 を もつ 大 き な

理 論 に 成 長 して い る.そ

して,代 数 体 の 理 論 は,整

にあ た っ て も

数論 の どの部 分 を研 究す る

,当 然 の 常 識 と して 必 要 とな る も の で あ る.し か し,現 在 の 大 学

に お い て は,代

数 体 の 理 論 の 講 義 は あ ま り行 な わ れ ず,そ

の 学 習 は ほ とん ど 書

物 に よ る 独 習 に ゆ だ ね られ て い る.そ の た め に 便 利 な入 門 書 が 望 ま れ る わ け で あ る.   入 門 書に は 大 き くわ け て2つ

の 型 が あ る.1つ

は そ の 理 論 に ま だ 接 す る機 会

の な か っ た 読 者 に 対 して 興 味 を 湧 か せ る た め の も の,他

の1つ

る 程 度 本 格 的 に 習 得 し よ うと す で に 志 した 読 者 に 対 して,し

はそ の理 論 をあ

っか り した 基 礎 知

識 を あ た え る た め の も の で あ る.本 書 は シ リー ズ の 企 画 に 従 っ て,ど い え ば 後 者 の タ イ プ を と った.そ

の た め も あ っ て,い

ち らか と

わ ば 文 法 書 の よ うに 内 容

が か た くな り,読 ん で 面 白 い とい う部 分 を ほ と ん ど 入 れ る こ と が で き な か っ た.し

か し,系 統 的 な 独 習,セ

ミナ ー,ま た は 引 用,参

にお い て な お 多 くの あ ら た め るべ き 点 が あ る に して も

照 等 の た め に は,細

,い

部

く らか の利 用 価 値 を

も つ と信 じ る.   本 書 に お い て は,代

数 体 と い う特 殊 な 対 象 物 の 性 質 を,で

き る か ぎ り数 学 の

基 礎 的 理 論 に 自然 に 吸 収 さ れ た 形 で の べ る こ とを 目標 と した.ま 理 論 も,他 か ら 引 用 しな い 方 針 と した.そ な る第1章

を,代

数,位

の た め,ペ

た そ の基 礎 的

ー ジ数 に して 半 分 近 くに

相 等 の 一 般 論 の 構 成 に あ て な け れ ば な ら な か っ た.こ

れ は 執 筆 に あ た っ て 最 も 困 難 だ っ た 点 で あ る が,そ

の 結 果 と して 第2章 以 下 の

本 論 は 相 当 簡 潔 に す る こ とが で き た.な お,形 の 予 備 知 識 は な くて よい の で あ るが,実

の 上 で は,本

際 に は,代

ご く初 歩 の 予 備 知 識 は 期 待 さ れ て い る.第1章

数,解

書 を 理 解 す るた め

析,位

の 内 容 は,む

相等 に 関す る

しろ 予 備 知 識 の ま

と め な お し と理 解 さ れ るべ き で あ る.  古 田 孝 臣,横 井 英 夫,浅

井 哲 也,小

林 功 武,北

正 刷 の 段 階 で 多 くの 助 力 を あ た え られ た.こ

岡 良 之 の 諸 氏 か ら,原 稿,校

こに 記 して,謝

意 を あ らわ す 一 助

とす る. 1971年

秋

久保 田

富雄

目 1. 

予 備 知 識 の ま と め 

次 1

 1.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

1

 1.2  集 合 論 よ り 

2

 1.3  代 数 学 の 一 般 論 よ り 

7

 1.4  整 数 論 的 な 抽 象 概 念 

18

 1.5  加 群 の 理 論 よ り 

24

 1.6 

41

ガ ロ ア 理 論 よ り 

 1.7  位 相 群 論 よ り 

2. 

代 数 的 整 数 と イ デ ア ル 

56

88

  2.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

88

  2.2  代 数 体 と 代 数 的 整 数 

88

  2.3  代 数 体 の イ デ ア ル 論 

92

  2.4 

ミ ン コ ウ ス キ ーの 定 理 

104

  2.5  単 数 と イ デ ア ル 類 

107

3.  付 値 とp進

114

体 

  3.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

114

  3.2  付 値 とそ の延 長 

115

  3.3  付 値 に 関 す る 完 備 性 

120

  3.4  代 数 体 の 付 値 とp進 体 

126

  3.5  p進 体 の 構 造 

135

4.  相 対 代 数 体 

144

  4.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

144

  4.2  相 対 代 数 体 の イ デ ア ル 

145

  4.3  相 対 ガ ロ ア 体

152

5.  分 岐 理 論 

163

  5.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

163

  5.2  共 役 差 積 と相 対 判 別 式 

163

  5.3  局 所 体 の 分 岐 理 論 

168

  5.4  相 対 代 数 体 の 分 岐 理 論 

173

  5.5  多 項 式 の分 解 と 素 イ デ ア ル の 分 解 

181

6. 

ー ル 

186

 6.1  本 章 の 内 容 に つ い て 

186

 6.2 

187

イ

デ

イ デ ー ル 群 

  6.3  相 対 代 数 体 の イ デ ー ル 群 

191

  6.4  単 数,イ

196

参 索

考

デ ア ル 類 へ の 応 用 

書 

200

引 

201

* 本 文 中 に お い て 他 の 章,節

を 引 用 す る と き は 章,節

の 番 号 だ け を あ げ る.ま た 同一 の

節 に あ る例 題 を 引用 す る と き は 例 題 の 番 号 だ け を あ げ る.

1.予

備 知 識 の ま とめ

  1.1  本 章 の 内 容 に つ い て   本 書 で は,微

積 分 の 基 礎 知 識,お

既 知 と して 話 を 進 め る.従

よ び そ れ に 続 く1変 数 複 素 関 数 論 の初 歩 は

っ て,そ の 程 度 の 数 学 に あ らわ れ る範 囲 の 集 合 論 も

既 知 とす る.こ れ ら の 予 備 知 識 は,現 在 で は す で に 大 学 の 低 学 年 ま で に ほ とん ど習 得 され る こ とで あ り,ま た 多 くの 教 科 書 に 詳 述 さ れ て い る こ と で あ る か ら,本 書 に お い て そ れ ら を 仮 定 して も別 に 支 障 を 生 じ る こ とは な い で あ ろ う. さ らに 本 書 で は,簡 単 な 抽 象 代 数 学 の 知 識,お

よ び 位 相 空 間 論 の 知 識 も一 応 既

知 とす る.こ れ ら もや は り多 くの す ぐれ た 参 考 書 が 入 手 しや す い 分 野 に 属 す る こ とで あ る し,ま た 完 全 な 知 識 を 要 求 す るわ け で は な い か ら,ひ

と とお りの 素

養 を 期 待 す る こ と は さ しつ か え な い と思 わ れ る.   しか し,そ れ に もか か わ らず,本 備 知 識 の 要 点 を,あ

章 で は,次 章 以 下 を 理 解 す る の に 必 要 な 予

らた め て 系 統 的 に ま とめ な お す.そ

の 目的 は,ひ

とつ に

は,多

くの 分 野 の 知 識 を 総 合 的 に 混 合 し て 用 い る 必 要 の あ る 整 数 論 に おい て

は,代

数 学 で も,位 相 空 間 論 で も共 に 特 殊 な 対 象 と し て あ つ か わ れ て しま う こ

との 多 い,た

と え ば 位 相 体 と い っ た 概 念 を,む

しろ 最 も基 本 的 な,重 要 な 基 礎

概 念 と して,表 面 に 押 し 出 して 十 分 に 論 じ る 必 要 が あ り,そ の よ うな 事 情 の た め に,種

々の 分 野 か ら の 予 備 知 識 を,単

に 知 って い る だ け で な く,重 点 の 置 き

方 を 変 え て 配 列 し直 され た 形 で 再 認 識 す る必 要 が あ る か ら で あ る.さ ひ とつ の 理 由 は,従 来,種

らに も う

々 の 伝 統 の 影 響 も あ っ て,構 成 に 雑 多 な 手 段 が 入 り

乱 れ て い た 代 数 体 の 基 礎 理 論 を,基 礎 数 学 の 一 分 枝 と して,現 代 的 な 抽 象 的 な 手 段 で,一 貫 して 完 全 に 記 述 す る こ とを 目的 とす る 本 書 に お い て は,ど の 予 備 知 識 が,ど

れだ け

の よ うな 順 序 で 積 み 上 げ られ て か ら本 論 に つ な が るか を は っ

き りさせ て お く こ とが 望 ま しい か らで あ る.   本 章 で は 証 明 は で き る だ け 簡 略 に した.し

か し,普 通 と多 少 変 った 仕 方 で 証

明 を の べ た 方 が 適 当 と思 わ れ る定 理 に つ い て は,証

明 を くわ し く付 した 。 ま

た,証

明 を つ け な い 定 理 に つ い て は,そ

の 証 明 を 例 題 と し,解 の 中 に 略 証 が 見

出 せ る よ うに した.

  1.2  集 合 論 よ リ   本 書 で は,現 在 大 体 に お い て 世 界 共 通 の 約 束 に 従 っ て,次

の4つ

は 常 に 一 定 の意 味 に 使 用 す る.R:実

素 数 全 体 の 集 合,

Q:有

理 数 全 体 の 集 合,Z:Qの

数 全 体 の 集 合,C:複

中 の 整 数,す

の太字 記号

な わ ち0,±1,±2,…

全体の

集 合.   また,集

合 論 の 基 本 的 概 念 を あ ら わ す 次 の 記 号 も通 常 の 習 慣 と お り使 用 す

る.す な わ ち,a∈M:aが M:集

合Nが

集 合Mに

集 合Mに

含 まれ る,す

 がMの N:2つ

属 す,た

な わ ちNはMの

部 分 集 合 でMと

の 集 合 の 共 通 部 分.M∪N:2つ

じ集 合 のn個

形 の 組 全 体 の 集 合.ⅡMi:多 の 直 積,す

な わ ちM×

元 全 体 と,も

… ×M,(n個).φ:空

う1つ の 元aと

はcNと

通 常Nの

あ らわ す.た

全 体 の 集 合 がR−Q=cQで

集 合. とえ

あ らわ し,あ るい は あ らわ す,

の よ うな と き に は,

と き,M−Nに

元 全 体 の 集 合 を あ ら わ す.Mが

る と き は,M−Nは

な わ ち(m,n),

か ら な る 集 合 を{M,a}と

そ れ を 便 宜 上 集 合 の 族 とい う.ま た,M⊃Nの

くの

用 い る こ とが あ る.た

等 で あ る.集 合 の 集 合 を 考 え る必 要 も しば しば お こ る.こ

属 さ な いMの

M∩

くの 集 合 の 直 積.Mn:同

い う3つ の 元 か ら な る 集 合 をM={1,2,3}と

集 合Mの

とえ ば 

直 積 集 合,す

  集 合 を そ の 元 で あ らわ す と き に は,記 号{}を ば1,2,3と

異 な る,た

部 分 集 合 で あ る.

の 集 合 の 合 併.∩Mi,∪Mi:多

集 合 の 共 通 部 分 お よび 合 併.M×N:MとNの (m∈M,n∈N),の

とえ ば1∈Z.M⊃N,N⊂

よ って,Nに

あ る議 論 の 中 で 固 定 され て い

補 集 合 と よば れ る 集 合 で あ るが,こ

れ を本 書で

と え ば 実 数 の 集 合 ば か りを 論 じて い る と きに は,無

理数

あ る.

  これ か ら,集 合 に 関 して き わ め て 基 本 的 な 概 念 で あ る写 像,類

別,順

序 につ

い て,本 書 に お け る そ れ ら の あ つ か い 方 を 中 心 に 概 説 し よ う.   集 合Mか

ら 集 合Nへ

の(ま た はNの

中 へ の)写 像 とは,任

意 のa∈Mに

つ い てf(a)∈Nを

一 意 的 に 定 め る操 作fの

こ とで あ り,関 数 に 他 な ら な い.

写 像 を あ らわ す の にa→f(a),f:M→N, 

また は 単 にM→Nと

う よ うな 矢 印 に よ る方 法 を しば しば 用 い る.f(a)をaの の 全 体 の 集 合f(M)をMの るa∈M全

像 とい い,あ

体 の 集 合 をbの

定 義 す る.f(M)=Nの ば 

ときfを

つ い てf(a)=bと

上 へ の 写 像 ま た は 全 写,a,a′ ∈Mが

恒 等 写 像 とい い,idMま

  写 像f:X→Yお

た はidと

よ びg:Y→Zが

らZへ

の 写 像 とな る.こ れ をg°fと

そ れ 自身 に うつ す

書 い て2つ

つ い てx→g(f(x)) の写像 の結合 また は

像 は またx→xfの

に 記 号 を つ け る こ とに よ っ て あ らわ され る こ と も あ る が,こ (xf)gをxfgと

あ らわ す.す

な わ ちxfg=(xf)g.従

の よ うに あ ら わ す とき と,ベ キ の よ うにxfと 見 か け 上 逆 の 順 序 に な る.と 方 を とれ ば よい が,そ

よ うに,右

上

の よ うな と き に は

っ て 通 常 の 関 数 記 号 でf(x) す る と き とで は,写 像 の 結 合 が

りあ つ か う こ とが らに よ っ て,ど

の え らび 方 が,記

異 なれ

記 す.

あ る と き,x∈Xに

積 とい う.す な わ ち(g°f)(x)=g(f(x)).写

な

部 分 集 合 の 逆 像 も 同 じ よ うに

で あ る よ うな 写 像 を 単 写 と い う.a∈Mを

写 像 をMの

はXか

像,f(a),(a∈M),

るb∈Nに

逆 像 と い う.Nの

い

ち らで も適 当 な

述 を 明快 にす る上 に案 外重 要 で あ る こ

とが 多 い.   写 像f:M→Nお

よ び 写 像g:N→Mが

と き,fは1対1の

写 像,gはfの

集 合{f,g}をMとNと

あ っ て,f°g=idN,g°f=idMの 逆 写 像 で あ る とい い,fとgと

の1対1対

応 と い う.1対1の

集 合 は 濃 度 が 等 しい とい わ れ る こ と,Zと れ る こ と,ま

たQは

か らな る

対 応 を もつ2つ

の

濃 度 が 等 しい 集 合 が 可 算 集 合 と よ ば

可 算 で あ るがRやCは

非 可 算 で あ る こ と,等

は くわ

し くの べ る ま で も な い で あ ろ う.   例 題1 ⅰ)集 で あ る.ⅱ)ま

合Mか た,Mか

の 全 写 δ が δ° δ=δ を 満 足 す れ ば δ=idM

ら集 合Nへ

gが あ っ て,g°f=idMな   解   i)x∈Mに

らMへ

らf°g=idNで ついて

ⅱ)f°g°f=f°(g°f)=fが

δ(y)=x 

の 全 写fお

よびNか

らMへ

の写 像

あ る. とす れ ば, 

全 射 だ か らf°gも

全 射.一

方(f°g)°(f°g)

=f°(g°f)°g=f°g.故

  集 合Mを

にⅰ)よ

ど の2つ

らわ す こ とをMの か の 類 に,ま て,そ

りf°g=idN.

 (以 上)

も互 い に 交 わ ら な い い くつ か の 部 分 集 合 の 合 併 と して あ

類 別 とい い,そ

た た だ1つ

の 各 部 分 集 合 を 類 とい う.Mの

の 類 に 属 す.あ

る 類 に 属 す1つ

の 元 を 任 意 に と りだ し

の 元 を そ の 類 の 代 表 元 とい う.各 類 の 代 表 元 の 集 合 を,そ

る代 表 系 とい う.Mの す れ ば,∼

元aとbと

元 は どれ

の類別 に お け

が 同 じ類 に 属 す ときa∼bと

か くこ とに

と い う関 係 は 次 の 条 件 を み た す.1)a∼a,2)a∼bな

a∼b,b∼cな

らa∼c.1),2),3)を

らb∼a,3)

満 足 す る 関 係 ∼ を 同 値 関 係 とい う.集

合

を 類 別 す る こ とは 同 値 関 係 を あ た え る こ とに 他 な らな い.   集 合Mの て, 

元a,bの と 

 はa=bと

間 に 〓 また は 〓 で あ らわ さ れ る関 係 が あ た え られ て い

とは 同 じ こ と を あ らわ す とす る.こ 同 等,2) 

な ら 

に あ る,あ ∈Mの

の と きaはbよ

り前 に あ る,あ

で あ っ て 

か 

の と きa
る い は 小 さい,bはaよ

る い は 大 き い とい う.順 序 集 合 に お い て は,必

間 に 

かつ

が な りた つ な ら ば,Mは

こ の 関 係 〓に つ い て 順 序 集 合 で あ る とい う.  とか く.こ

の と き,1) 

りあ と

ず し もす べ て のa,b

が な りた た な くて も よい.特

に 任 意 のa,b∈Mに

つ い て こ の こ との な りた つ 順 序 集 合 を 全 順 序 集 合 とい う.   順序 集 合Mの

部 分 集 合 をAと

で あ るy∈MをAの て 

上 界 とい う.ま たAの

と な る も の が 存 在 す る と き,cをAの

の 集 合 の 中 に 最 小 元aが 元,下

ど の 元xに

元cで

つ い て も 

す べ て のx∈Aに

最 小 元 とい う.Aの

存 在 す る と き,aをAの

上 端 とい う.下

つい

上 界全 体 界,最

大

端 も 同 様 に 〓 を 〓 に と りか え て 定 義 で き る.

  順 序 集 合Mの

部 分 集 合 は 自然 に ま た 順 序 集 合 と考 え られ る.今Mの

て の 全 順 序 部 分 集 合 がMの ま たMの Mの

す る と き,Aの

元aに

つ い て,aよ

中 に 上 端 を も つ と き,Mは り大 き い 元 がMの

すベ

帰 納 的 であ る と い う.

中 に 存 在 しな い と き,aは

極 大 元 で あ る と い う.極 小 元 も同 様 に 定 義 で き る.

  数 学,特

に 抽 象 的 な 一 般 論 を くみ た て る に は,あ

が な い と,理 論 の 構 成 が 困 難 に な る も の で あ る.そ

る種 の 存 在 を 保 証 す る 公 理 こで 本 書 で は,応

用上 最 も

便 利 な,ツ

ォル ン(Zorn)の 補 題 と よば れ る 次 の 命 題 を 公 理 と して 承 認 す る.

  ツ ォル ン の 補 題   帰 納 的 な 順 序 集 合 は 極 大 元 を もつ.   この 補 題 の 意 義 とか,そ は,本

れ の 用 い ら れ る必 然 性 とか に 関 す る くわ しい 説 明

書 の 目 的 外 の こ と で あ るか らは ぶ く.

  集 合 論 に 関 す る予 備 知 識 の 整 理 は,一

応 今 ま で に の べ られ た こ と で 十 分 で あ

る.し か し これ か ら も う しば ら く の 間,厳

密 な 定 義,用

語 の 説 明 と い うわ け で

は な い が,現

代 数 学 に お い て ほ と ん ど常 識 とい って よ い ほ ど 普 及 して い る あ る

種 の 論 法,な

い しは 思 考 の 表 現 法 に つ い て 少 し解 説 し よ う.そ れ ら は 必 ず し も

ス タ イ ル の 問 題 だ け に 止 ま ら ず,数 学 の 発 展 に 相 当 本 質 的 な 寄 与 を しつ つ あ る も の で あ り,本 書 で もで き るか ぎ りそ れ らを 有 益 に 利 用 して,記

述 の 明快 化 を

は か ろ う とす る もの で あ る.   ま ず 第1に

の べ るべ き こ と は,標 準 的 な もの,あ

え 方 で あ る.た

と え ば,写

N∋a→f(a)∈Sと

像f:M→Sが

い う写 像 は,fに

像 で あ る とい う こ とが で き る.こ

あ り,一 方M⊃Nで

の 延 長 とい う.次

の 写 像 をfのNへ

に,集

合Mか

へ の 自然 な 写 像 と して は,M∋a→(a,a)∈M×Mが 写 像 と よば れ る写 像 で あ る.さ に は,こ

れ ら をX→Y→Zの

ら に,2つ

あ る と き,

よ っ て 自然 に 定 ま るNか

号 で は っ き り させ る必 要 が あ る と き に は,f￨Nと f￨NのMへ

るい は 自然 な も の と い う考

らSへ

の写

の 制 限 と い い,特

に記

か く.逆

の 立 場 か ら,fを

ら,Mの2つ

の 直 積.M×M

考 え ら れ る.こ

の 写 像X→Y,Y→Zが

よ うに 直 接 つ な い で,1つ

れ が対 角

あ った と き

の 写 像X→Zを

得る

操 作 は た しか に 標 準 的 な もの で あ り,こ れ が 前 に 定 義 した 写 像 の 積 に 他 な ら な い.そ

の 他,恒

す る類aに

等 写 像 とか,集

合Mの

類 別 が あ る と き,a∈Mをaの

代表

うつ す 写 像 な ど は,い ず れ も最 も簡 単 な 標 準 的 写 像 で あ る.

  標 準 的 な,も

し くは 自然 な 写 像 あ る い は 操 作 とい う も の は,与

え られ た 情 況

の 下 に 必 ず し も一 意 的 に 定 ま る も の で は な く,ま た 数 学 的 に 定 義 で き る も の で も な い.そ れ ど こ ろ か,異

な る標 準 的 写 像 が 一 致 す るか ど うか と い う形 で,重

要 な 定 義 や 定 理 が の べ られ る こ とが 多 い.た (x,y)→xy,(x,y)→yxは

と え ばR×Rか

共 に 自 然 な もの と考 え られ る が,こ

らRへ

の写像

の2つ

が一 致す

る とい う こ とが 実 数 の乗 法 の 可 換 性 で あ る.   次 に 内 容 的 な 定 義 とい う こ とを の べ よ う.例 を と っ て 説 明 す る.3次 ク リ ッ ド(Euclid)空 間R×R×R=R3の 変 換)は,直

原 点0を

交 座 標xi,(i=1,2,3),を

元 ユー

動 か さ な い 合 同 変 換(直 交

と れ ば 

で 定 義 され る.δijは ク ロ ネッ カ ー(Kronecker)の

記 号 で,i=jな

ら1, 

な ら0で あ る.こ の 定 義 は 非 常 に 具 体 的 で は あ るが 多 く の 欠 点 を もつ.ま

ず式

が 多 く,か き に くい.そ

の直

の 上,定

義 が 座 標 の と り方 に 無 関 係 な こ と,2つ

交 変 換 の積 が ま た 直 交 変 換 で あ る こ と,等 は す べ て 証 明 を 要 す る.と 今R3の2点x,y間

の 距 離 を￨x−y￨で

写 像R3∋x→xσ

∈R3で

￨xσ −yσ￨=￨x+y￨と

あ らわ し,R3の

あ っ て,0σ=0,お

直 交 変 換 とは,

よ び 任 意 のx,y∈R3に

い う性 質 を もつ もの で あ る,と

こ ろ が,

ついて

定 義 す れ ば,記 法 が 見 や す

く,定 義 の 意 味 が 明 瞭 に つ か め るば か りで な く,前 の定 義 に お い て は 証 明 を 要 した 座 標 系 との 無 関 係 性 等 は 自 明 に な る.こ 義 とい うの で あ って,そ で あ る.も

の 思 想 は,前

の よ うな 定 義 の 仕 方 を 内 容 的 な定

の 自 然 な操 作 とい う よ うな 考 え 方 と 同 じ

ち ろ ん この 例 の 場 合 で も,2つ

の定義 が 一致 す る ことは証 明を要す

る.し か し,一 度 そ れ を 証 明 し て お け ば,あ

とは 非 常 に 見 と お し の よい 議 論 に

よ っ て,煩 雑 な 計 算 を 全 部 お きか え る こが で き,そ れ ば か りで な く,座 標 系 を 考 え る こ と な ど は,多 の で あ る.こ て,そ

くの 問 題 に 関 し て 不 必 要 で あ る こ と ま で 了 解 さ れ て く る

の よ うに して,む

だ や 見 お と しが な くな り,論

旨が整 然 とな っ

の 結 果 数 学 自 体 の 進 歩 が うな が され る の で あ る.

  こ こで さ らに 図 式 に つ い て 簡 単 に 説 明 し て お こ う.図 式 と は,多 間 の 多 くの 写 像 を,す

くの集合 の

べ て 矢 印 で 図 形 的 に か き 上 げ た も の で あ る.き わ め て簡

単 な 例 と して 左 図 の よ うな も の が あ る.図 式 中 の1つ 合 か ら,他

の集

の 集 合 へ 矢 印 に そ っ て 到 達 す る道 は い くつ か あ

り得 る.し か し,そ の どれ を 通 っ て も,矢 印 の 写 像 を 通 っ た 順 に 結 合 し た 結 果 が 変 ら な い と き,図 式 は 可 換 で あ る と い う.写 像 に 関 す る 命 題 は,図 式 の 可 換 性 と して 見 と お し よ くあ らわ され る. た とえ ば,今

考 え て い る 図 式 が 可 換 で あ る とい う こ とは,h=g°fと

い うの と

同 じ で あ る.

  1.3  代 数 学 の 一 般 論 よ り   最 初 に,本 書 で は 一 応 既 知 と して と りあ つ か う代 数 学 の 基 本 概 念 を,整 理 の 目的 で 列 挙 す る.結 合 律(ab)c=a(bc)を 義 さ れ る半 群,1a=a1=aを =1を

満 足 す る単 位 元1,お

満 足 す る逆 元a−1を

な,す

な わ ちab=baの

で か か れ,単

位 元 が0と

満 足 す る乗 法 を も った 集 合 と して 定 よび 各 元aがaa−1=a−1a

もつ よ うな 半 群 と し て定 義 さ れ る 群 ,乗

な りた つ ア ー ベ ル(Abel)群,積

法 が 可換

が 便 宜 上 和 の 記 号+

か か れ る ア ー ベ ル 群 と して 定 義 さ れ る加 群,加

群であ

っ て 同 時 に 乗 法 を も ち,両 者 の 間 に 分 配 律a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca の な りた つ 環,乗   ax=0と に 右0因

法 の 可 換 な 可 換 環,さ な るx∈Rの

子,可

元 

で あ っ て,

存 在 す る も の と して 定 義 さ れ る左0因

換 環 の 場 合 の0因 子,単

と して 定 義 され る整 域,0以

ら に,環Rの

位 元 を もち,0因

外 の元 が 逆 元 を もち,従

して 定 義 され る 体.以 上 で あ る が,こ

の 他,部

子,同

様

子 を もた な い 可 換 環

って可 換群 を なす 整域 と

分 群,部

分 環,部

分 体 とい っ た

言 葉 も用 い る.し か し,こ れ ら の意 味 は あ き らか で あ ろ うか ら,あ

らた め て 定

義 し な い.   これ か ら,や や くわ し く定 義 を あ た え る用 語,お うつ る.群Gか f(a)f(b)を fが

ら群G0へ み た す と き,fを

の 写 像fが

よび基 本 的諸 定理 の 解説 に

積 を 保 つ とき,す

な わ ちf(ab)=

準 同 型 写 像 とい い,f−1(1)をfの

特 に 全 写 か つ 単 写 で あ る と き 同 型 写 像 と い い,fとf−1と

1対 応 を 同 型 対 応,同

型 対 応 を もつ 群 を 互 い に 同 型 と い う.2つ

核 とい う. で 定 ま る1対 の 群G1,G2

の 直 積 集 合 の 元 の 間 の 積 を(a1,a2)(a1′,a2′)=(a1a1′,a2a2′),(a1,a1′ ∈G1, a2, a2′∈G2),と

して 定 義 さ れ る群G1×G2をG1とG2と

の直 積 と い う.多

くの

元 の 直 積 も 同 じ よ うに 成 分 ご との 積 で 定 義 す る.加 群 に つ い て は,直 積 の代 り に 直 和 とい う言 葉 を 用 い,記

号 もA1+A2,ま

た はA1 

A2を 用 い る.直 和 の

元 を あ らわ す に は 加 群 の 場 合 で も(a1,a2),(a1∈A1,a2∈A2),が こ と もあ るが,場

合 に 応 じて,a1+a2ま

用 い られ る

た はa1  a2と い う記 法 を 併 用 す る.

群Gの

部 分 集 合Mに

つ い て,M−1はa−1,(a∈M),全

つ の 部 分 集 合M1,M2に

群 の2つ

の,す

た2

つ い て,M1M2はa1a2,(a1∈M1,a2∈M2),全

集 合 を あ ら わ す の が 普 通 で あ る.加 くが,加

体 の 集 合,ま

体の

群 に つ い て は,M−1の

の 部 分 集 合M1,M2に

つ い て,上

な わ ちa1+a2,(a1∈M1,a2∈M2),の

代 りに

記 のM1M2に

−Mと

か

相 当す る も

全 体 を あ ら わ す の に は,M1+M2

ま た は 直 和 と ま ぎ れ る こ と を 防 ぐ た め,(M1,M2)と

い う記 号 が 用 い ら れ る.

本 書 で は 主 と し て 後 者 を 用 い る.   群Gと

そ の 部 分 群Hが

a∼bと

定 め る と,こ

に 他 な ら な い.そ

の ∼ は1つ

こ でGは

さ れ る こ と に な る.こ う.同

あ る と き,Gの

に よ っ て 自 然 な1対1対 別 で も 同 じ で あ る.こ い う.G⊃G′

⊃Hと

な りた つ.こ

れ は 

の 同 値 関 係 で,aと

つ い てa−1b∈Hの

…=∪aiHと

よ る 右 剰 余 類 別,各

定 義 さ れ る.左

応 を も つ.故

あ らわ

類 を右剰 余類 とい

剰 余 類 と 右 剰 余 類 と は 

に 剰 余 類 の 個 数(濃 度)は 左 右 ど ち ら の 類

れ を(G:H)で

あ ら わ し て,HのGに

な る 部 分 群G′

とき

同 値 な 元 全 体 の 集 合 はaH

類 別 さ れ,G=a1H∪a2H∪

れ をGのHに

様 に 左 剰 余 類(別)が

元a,bに

対 す る指数 と

を と れ ば(G:H)=(G:G′)(G′:H)が

と な る こ とか ら

な ら 

直 ち に わ か る.   群Gの

部 分 群Hが

る あ る と き,GのHに

特 に 単 位 群,す

にGに

元 の 個 数 をGの

対 す る{1}の

指 数 はGの

位 数 と よ び,￨G￨で

を 簡 単 の た め に1と か け ば,￨G￨=(G:1)で れ ば,指

あ

よ る剰 余 類 別 に お い て は,右 の 場 合 も左 の 場 合 もGの

各 元 が1つ ず つ で 類 を 作 る.故 (濃 度)に 等 しい.Gの

な わ ち 単 位 元 だ け か らな る群{1}で

あ らわ す.単

あ る.G⊃H⊃1と

数 の 関 係 式 か ら(G:1)=(G:H)(H:1),従

元 の個 数 位群

い う列 を 考 え

って 有 限 群 で は 部 分 群

の 位 数 は は じ め の 群 の 位 数 の 約 数 で あ る.   群Gに

お い て,1つ

う写 像 を 考 え る と,こ

の 固 定 され た 元 σ∈Gを れ はGか

を 内 部 同 型 写 像 とい う.Gの と き,す

な わ ち σ−1Nσ=Nが

らGへ

と り,G∋x→Q−1xσ

の 同 型 写 像 で あ る.こ

部 分 群Nが,す 任 意 の σ∈Gに

∈Gと

い

の よ うな 写 像

べ て の内部 同型 写像 で動か な い つ い て な りた つ と き,Nを

正 規 部 分 群 とい う.正 規 部 分 群 の 重 要 な 性 質 の1つ は,左 す る こ とで あ る.従

右 の剰 余 類別 が一 致

っ て 正 規 部 分 群 に 対 し て は,左 右 を 区別 せ ず,剰

剰 余 類 とい う言 葉 を 使 う.さ

らに 重 要 な こ とは,正

余 類 別,

規 部 分 群 に よ る剰 余 類 は,

類 の 積 を 代 表 元 の積 で代 表 さ れ る類 と し て定 義 す る こ とに よ っ て 群 を なす こ と で あ る.群Gの

正 規 部 分 群Nに

余 類 群 とい い,G/Nと

γ∈ Γ がG∋a→aγ

同 型 写 像 を 定 め る と き,Γ

をGの

∈Gに

よ っ て 群Gか

らGへ

の準

作 用 域 とい い,γ ∈Γ を 作 用 素 とい う.ま

作 用 域 Γ を もつ 群,あ

が す べ て の γ∈Γ に よ っ てHの (γ∈Γ),で

よる剰

あ らわ す.

  Γ が あ る 集 合 で,各

た そ の と き,Gを

よ る剰 余 類 の な す 群 を,GのNに

る い は Γ 群 とい う.Gの

中 へ 写 像 さ れ る と き,す

あ る と き,HをGの

Γ 認 容 部 分 群,あ

部 分 群H

な わ ちHγ

⊂H,

るい は Γ 部 分 群 とい

う.作 用 域 とい う概 念 は は な は だ 簡 単 で あ り,作 用 域 の な い 場 合 に な りた つ 諸 定 理 は,ほ

と ん どす べ て,容

そ の 際,証

明 は た い て い も と の証 明 を 解 釈 し な お す 程 度 で 足 りる.そ れ に もか

か わ らず,定

易 に 作 用 域 の あ る場 合 に 拡 張 す る こ とが で き る.

理 の 主 張 そ の もの は きわ め て 拡 大 さ れ,広

範 囲 に わ た る現 象 が 一

度 に統 一 され る.こ の よ うな 意 味 で 作 用 域 の 概 念 は 非 常 に 重 要 で あ る.   作 用 域 を もつ 群 に つ い て は,す

べ て の 概 念,操

作 を 作 用 域 とむ す び つ け て 考

え る.部 分 群 に つ い て は す で に ふ れ た が,そ

の 他,た

群Gお

の 準 同 型 写 像fが,作

よびG0が

あ る と き,Gか

らG0へ

とえ ば 作 用 域 Γ を もつ 用 準同型

写 像 ま た は Γ 準 同 型 写 像 で あ る とは,f(aγ)=f(a)γ,(a∈G,γ∈Γ),の た つ こ と を い い,準

同 型 とい え ば,こ

な り

の よ うな 作 用 準 同 型 だ け を 考 え る の で あ

る.   Nが Gか

Γ 群Gの らG/Nの

Γ 正 規 部 分 群 な らば,G∋a→aN∈G/Nに

上 へ の 標 準 的 準 同型 写 像 が Γ 準 同 型 に な る よ うなG/Nの

群 と して の構 造 は一 意 的 に 定 ま る.す あ る.Γ

よ って定 まる

な わ ち(aN)γ=aγNと

群 の Γ 正 規 部 分 群 に よ る 剰 余 群 は,常

Γ

す れ ば よい の で

に こ の よ うに して Γ 群 と考

え る こ と に す る.   群 の準 同 型 写 像 に 関す る定 理 の うち,次

の3つ

が最 も基 本 的 か つ 代 表 的 な も

の と して あ げ られ る.   定 理1.1(準

同 型 定 理)  Γ 群Gか

が あ り,そ の 核 がNな

ら Γ 群G0の

らば,NはGの

上 へ の Γ 準 同 型 写 像f

Γ 正 規 部 分 群 で,G/NとG0は

自

然 に Γ 同 型 で あ る.   証 明  a∈N,x∈G,γ

∈ Γ な らば,f(x−1aγx)=f(x)−1f(a)γf(x)=1だ

Nは 認 容 正 規 部 分 群 で あ る.ま =bNと

た,a,b∈Gに

同 等 で あ るか ら, 

か ら,

つ い て,f(a)=f(b)はaN

は1対1,し

か も剰余 類群 の定義 に よ り

同 型 対 応 で あ る.    定 理1.2(第1同 分 群 でNを

(証終) 型 定 理)  Nが

Γ 群Gの

含 む と き,HとH/Nと

正 規 部 分 群,HがGの

の 対 応 は1対1で

の 正 規 部 分 群 で あ るた め に は,HがGの

Γ 部

あ り,H/NがG/N

正 規 部 分 群 で あ る こ とが 必 要 十 分 で

あ る.ま た そ の と き,自 然 な 対 応 で Γ 群 と して の 同 型  が な りた つ.   証 明  Gか Γ 群Hに

らG/Nへ

の標 準 的 準 同 型 写 像 を 考 え る と,G⊃H⊃Nと

つ い て は,Hの

な っ て い る.こ

像 がH/Nで

れ に よ っ て 前 半 が い え る.次

あ る と して(G/N)/(H/N)を 類 を 対 応 させ れ ば,そ

  群Gの

部 分 集 合Mが

代 表 す る(G/N)(H/N)の

含 む 最 小 の 部 分 群 をMで

元 を そ の 部 分 群 の 生 成 元 と い う.Gが

最 小 の Γ 部 分 群 をMで

HN=NHで

用 素 を 考 え な い 群Gに

部 分 群,NがGの

あ り,こ れ が さ らにH∪Nで

  定 理1.3(第2同

型 定 理)  Hが

正 規 部 分 群 な らば,NはHNの,H∩NはHの

Γ 群の

の 元 で 生 成 され る 群 を 巡

つ い て は,a∈Gで

位 数 と い う.HがGの

生

生 成 され た Γ 部 分 群 とい

う.有 限 個 の 元 で 生 成 され る群 を 有 限 生 成 な 群,1つ

の 位 数 をaの

あ る か ら,定 (証終)

あ る と き,GのMを

成 され る部 分 群 とい い,Mの

回 群 とい い,作

Γ 正 規 部 分群 で

れ に よ って 定 ま る準 同型 写 像 の核 はHで

よ って 後 半 が 得 られ る. 

含 むGの

逆 像 が ち ょ うどHに

にHがGの

考 え,aにaNの

理1.1に

と きは,Mを

あ り,H/Nの

なる

生 成 され た 巡 回 群 正 規 部 分 群 な ら ば,

生 成 され た 部 分 群 に 一 致 す る.

Γ 群Gの

Γ 部 分 群,NがGの

Γ

Γ 正 規 部 分 群 で あ り,

  (Γ 同 型),で H/H∩Nの

元 に,hの

あ る.こ

の 同 型 対 応 は,h∈Hの

代 表 す るHN/Nの

代表 す る

元 を 対 応 させ て 得 られ る.

  証 明   NがHNのΓ

正 規 部 分 群 で あ る こ とは あ き らか で あ る.h∈Hに

hで

元hNを

代 表 さ れ るHN/Nの

へ のΓ

対 応 させ る 写 像 は,Hか

準 同 型 写 像 で あ り,そ の 核 はH∩Nに

等 しい.故

らHN/Nの

上

に 定 理1.1を

用い

て 本 定 理 を 得 る. 

(証終)

  例 題1  定 理1.3に

い う対 応 は,NがGの

余 類 の 集 合H/H∩Nと,HN/Nと   解  h1N=h2Nな   例 題2 fが

正 規 部 分 群 で な くて も,右

の1対1対

らh2−1h1∈H∩N.逆 群Gか

き,H1,H2がGの

らG0の

応 を あ た え る こ とを 示 せ.

も い え る. 

(以上)

上 へ の 準 同 型 写 像 で,そ

部 分 群 で共 にNを

剰

の 核 がNで

あると

含 む な ら ば,f(H1H2)=f(H1)f(H2),

f(H1∩H2)=f(H1)∩f(H2).   解   定 理1.2に   例 題3 fが

い う1対1対 群Gか

き,H1がGの

応 か ら 直 ち に み ち び か れ る. 

らG0の

上 へ の 準 同 型 写 像 で,そ

部 分 群,H2がGのNを

f(H1)∩f(H2)で

(以上)

の 核 がNで

あると

含 む 部 分 群 な ら ば,f(H1∩H2)=

あ る こ とを 証 明 せ よ.

  解   H′=H1Nと に よ っ てG/Nの

す れ ば,仮

定 に よ りf(H1∩H2)=f(H1′

部 分 群 はGのNを

f(H1′ ∩H2)=f(H1′)∩f(H2).ま

∩H2).定

含 む 部 分 群 と1対1に た,あ

理1.2

対 応 す るか ら,

き らか にf(H1)=f(H1′). 

(以上)

  環 は 自分 自身 が 乗 法 を 通 じ て 作 用 域 に な っ て い る加 群 で あ る.こ の こ とに 注 意 す れ ば,環

の か な り多 くの 性 質 は 作 用 域 の あ る 群 の場 合 に 帰 着 して しま う.

しか し,実 用 上 は 環 に 対 して 直 接 考 え る方 が 便 利 な こ と も多 い の で,こ れ か ら しば ら くの 間,一

応 環 特 有 の 概 念,用

語 とみ な され る も の を い くつ か 説 明す

る.部 分 集 合 に よ っ て 生 成 され る部 分 環,準

同 型,同

型,等

の用 語は群 の場合

と 同 じ意 味 で あ る.乗 法 と加 法 と を 同 時 に 考 え る 点 が 群 と異 る だ け で あ る.   環Rの

部 分 集 合aに

λaで あ らわ す.aがRの な りた つ と き,aはRの

つ い て,λa,(λ

∈R,a∈a),の

形 の元全体 の集合 を

部 分 加 群 で あ り,任 意 の λ∈Rに

つ い て λa⊂aが

左 イデ ア ル で あ る とい う.同 様 に 任 意 の λ∈Rに

つ

い てaλ ⊂aと な るRの

部 分 加 群 を 右 イデ ア ル と い う.左 イ デ ア ル で あ っ て 同

時に 右 イデ ア ル で あ る もの を 両 側 イ デ ア ル,あ の 左 右 イ デ ア ル は い ず れ もRの

るい は 単 に イ デ ア ル とい う.R

部 分 環 で あ る.0は

ル を 作 る.こ れ を0イ デ ア ル とい う.aがRの に つ い てa−b∈aで

あ る こ とを,aとbと

で 合 同 で あ る とい い,a≡b(mod a)と 分 加 群 とみ た と き,aとbと す る.a≡a′(mod

はaを

がRのaに

法 と して,あ

るい はmoda

a)は,aをRの

部

よ る 同 じ剰 余 類 に入 る こ とを 意 味

a)な

ら,a+b≡a′+b′(mod

らにab≡a′b′(mod a)も

よ る 剰 余 加 群 は,そ

イデア

イ デ ア ル で あ る と き,a,b∈R

か く.a≡b(mod

a),b≡b′(mod

か で あ る が,さ

そ れ だ け でRの

a)は あ き ら

な りた つ.こ れ に よ って,Rのaに

の 元 の 間 の 積 を 代 表 元 の 積 で 定 義 す る こ とに よ っ て,環

な す こ とが わ か る.こ

の よ うに して で き る 環 を,Rのaに

た は 剰 余 環 とい い,剰 余 加 群 と同 じ記 号R/aで の 類 はa+aと

か け る.こ れ をa

  fが 環Rか

ら環R0へ

集 合aをfの

核 と よぶ.aはRの

mod

を

よ る剰 余 類 環,ま

あ らわ す.aで

代 表 され るR/a

aと も か く.

の 準 同 型 写 像 の と き,f(a)=0と イ デ ア ル で あ る.そ

な るa∈R全

体の

こで 剰 余 類 環R/a

が 考 え られ る.こ の と き 次 の 準 同 型 定 理 が 得 られ る.   定 理1.4 fが ば,aはRの

環Rか

ら環R0の

上 へ の 準 同 型 写 像 で,そ

イ デ ア ル で あ って,R/aとR0と

の 核 がaな

は 同 型 で あ る.こ の 同 型 対 応

は,R/aの

元a+aにf(a)を

  例 題4 

環 を 作 用 域 を もつ 加 群 と し て あ つ か う こ とに よ り,定 理1.1か

理1.4を

対 応 さ せ て 得 られ る. ら定

み ち び け.

  解   今b∈Rと R0に

ら

し,γ ∈Γ をRに

つ い て はf(a)γ=f(a)f(b)と

が 加 群 のΓ

つ い て はaγ=abに す れ ば,定

理1.3に

同 型 に な る.す な わ ちab+a→f(a)f(b).こ

を 意 味 す る.    こ の よ うに,環

よ っ て 定 め,さ

らに

よ ってa+a→f(a) れ は環 としての 同型 (以上)

に 関 す る 準 同 型 定 理 は,作

用 素 を も つ 群に 関 す る 準 同 型 定 理

の 特 別 の 場 合 と み な され る.同 型 定 理 に つ い て も 同 様 で あ るが,一 応 あ らた め て の べ る な らば 次 の よ うな 形 に な る.

  定 理1.5 aが

環Rの

き,mとm/aと デ ア ル,右

イ デ ア ル で あ り,mがRの

の対 応 は1対1で イ デ ア ル,イ

左 イ デ ア ル,右

  定 理1.6 rが デ ア ル,aは(r,a)の

含む と

そ れ ぞ れ 部 分 環,左

イ

そ れ ぞ れ 部 分 環,

デ ア ル で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.mがRの

と して の 自然 な 同 型 

環Rの

型 対 応 は,r∈rで

あ り,m/aがR/aの

デ ア ル で あ る た め に は,mがRの

イ デ ア ル,イ

イ デ ア ル な ら ば,環

部 分 加 群 でaを

が な りた つ.

部 分 環,aがRの

イ デ ア ル な らば,r∩aはaの

イ デ ア ル で あ り,  代 表 され るr/r∩aの

元 と,rで

イ

が な りた つ.こ

の同

代 表 され る(r,a)/aの

元と

を 対 応 させ て 得 られ る.   例 題5  環 を 作 用 域 を もつ 加 群 と して あ つ か う こ とに よ り,定 理1.2,定 1.3よ

り定 理1.5,定

  解   例 え ばRの

理1.6を

み ち び け.

イ デ ア ル とは,a→λa,a→aλ,(λ∈R)の

全 体 をΓ

した と き のΓ 部 分 加 群 に 他 な ら な い.こ れ に よ り定 理1.5は 理1.6に

を 含 むRの

環Rか

らR0へ

イ デ ア ルgお

よびRの

(以上)

の 準 同 型 写 像 で,そ 部 分 環Sに

と

明 白 と な る.定

つ い て は λ∈rだ け を 考 え れ ば よい. 

  例 題6 fが

理

の 核 がaで

あ る と き,a

つ い て,f(S∩g)=f(S)∩f(g).

  解   例 題2を 環 の 場 合 に い い か え る だ け で あ る. 

(以上)

  こ れ か ら,本 書 で は 可 換 環 に つ い て しか 用 い な い 用 語 や 概 念 を い くつ か 説 明 し よ う.以

下 本 節 で は 環 は すべ て 可 換 で,特

に こ とわ ら な い 限 り単 位 元 を も

つ.

  単 位 元 を も つ 可 換 環〓 の イ デ ア ルa,bに り切 れ る,bはaを

わ り切 る とい う.あ

bの 倍 イ デ ア ル とい う.記 い う こ とをb×aで

ま た は(a)で 〓 自 身 は1で

号 で はb￨aと

あ らわ す.〓

で 生 成 され る イ デア ル,Mの の イ デ ア ル を,aで

つ い て,a⊂bの るい は,bをaの

の 部 分 集 合Mを

生成 され る単 項 イ デ ア ル(1)で

わ り切 れ な い と

含 む 最 小 の イ デ ア ル を,M

元 を 生 成 元 とい う.1つ

合 に よ っ て は,(a)を

わ

約 イ デ ア ル,aを

あ らわ す.aがbで

生 成 され る単 項 イデ ア ル,ま

あ らわ す.場

と きaはbで

の 元aで

生成 され る 〓

た は 主 イ デ ア ル とい い ,〓a 単 にaと

か く こ と もあ る.

あ る .従 っ て 単 位 イ デ ア ル と も よ

ば れ る.(a)は (a),(b)に

λa, 

の 形 の 元 全 体 か ら な る.従

つ い て は,(b)￨(a)はa=λbと

  〓 の イ デ ア ルa1,…,arを

な る 

の 存 在 と 同 等 で あ る.

す べ て 含 む 最 小 の イ デ ア ル,す

生 成 さ れ る イ デ ア ル(a1,…,ar)をa1,…,arの はΣai,(ai∈ai),の

って 単 項 イ デ ア ル

最 大 公 約 イ デ ア ル と い う.こ

形 の 元 全 体 か ら な る.〓

さ れ る イ デ ア ル を(a1,…,ar)で

な わ ちa1,…,arで

あ ら わ す.こ

の 何 個 か の 元a1,…,arで

,

ル と 考 え な い.pが〓

な りた つ.

つ い て,ab∈pな

と い う性 質 を も つ と き,pは〓

生成

れは 

の 形 の 元 全 体 か ら な る か ら,(a1,…,ar)=((a1),…,(ar))が   〓 の イ デ ア ルpが,a, に

れ

ら ばa∈pか

の 素 イ デ ア ル で あ る と い う.〓

の 素 イ デ ア ル で あ る と は, 

が0因

ま た はb∈p 自身 は 素 イ デ ア

子 を も た な い こ と,

従 っ て 整 域 で あ る こ と に 他 な ら な い.   〓 の2つ

の イ デ ア ルa,bに

つ い て,ab,(a∈a,b∈b),の

さ れ る イ デ ア ル をaとbと ル,a,bが〓

の イ デ ア ル でp￨abが

の 元 でpに b∈p,す

の 積 と い い,abで

属 さ な い も のaが な わ ちp￨bが

で あ り,こ

出 る.故

う.〓

が〓

な りた っ た とす る.p×aと あ り,任 にp￨abか

意 のb∈bに らp￨aま

の素 イデ ア 仮 定 す れ ば,a

つ い てab∈p,従 た はp￨bが

かp以

の イ デ ア ルpに

つ い て, 

外に 存 在 し な い と き,pは〓

って

結 論 で き るわ け

理1.5に

よ っ て0が 

が 体 で あ る こ と と 同 等 で あ る.従

と な る よ うな イ デ の極大 イデ アル で あ るとい

自 身 は や は り極 大 イ デ ア ル と 考 え な い.pが〓

い う こ と は,定 ち 

あ ら わ す.pが〓

れ を 素 イ デ ア ル の 定 義 と し て も よ い の で あ る.

  単 位 元 を も つ 可 換 環〓 ア ルp′

形 の元 全体 で生成

の極 大 イデ アル で あ る と

の 極 大 イ デ ア ル で あ る こ と,す

なわ

って極 大 イデ ア ルは 素 イ デア ルで あ

る.   単 位 元 を も つ 可 換 環〓

の イ デア ルa,bに

ア ル が 単 位 イ デ ア ル に な る と き,す に 素 で あ る と い う.〓 と い う.互

の 元a,bに

な わ ち(a,b)=1の

の最 大 公約 イデ と き,aとbと

つ い て も(a,b)=1の

い に 素 で あ る と い う こ と は,〓

う こ と で あ る.(a,b)はax+by,(x, 

つ い て,aとbと

は互い

と き 互 いに 素 であ る

以外 の公約 イデ アル を持 た ない とい ),の

形 の 元 全 体 か ら な る か ら,〓

の 元a,bが

互 い に 素 で あ る とい う こ とは,ax+by=1と

な る 

の存 在

と 同 等 で あ る.   例 題7  =1な

単 位 元 を も つ 可 換 環 の イ デ ア ルa,b,cに

らa￨cで

つ い て,a￨bcで

か つ(a,b)

あ る.

  解   a+b=1と

な るa∈a,b∈bが

存 在 す る.故 に,c∈cに

つ い てc=ac+

bc∈a. 

(以上)

  〓 の 元a,cに

つ い て,a=cλ

cで わ り切 れ る と き,cをaの

とな る 

約 元 とい う.cが

の 約 元 で あ る と き,cはa1,…,arの …,arの

す れ ば,倍

任 意 の 公 約 元 はdの

最 大 公 約 元 で あ る とい う.わ 元,最

な わ ちaが

い くつ か の〓 の 元a1,…,ar

公 約 元 で あ る と い う.ま

公 約 元 で あ り,a1,…,arの

はa1,…,arの

が 存 在 す る と き,す

り切 る,わ

小 公 倍 元 が 定 義 され る. 

た 

がa1,

約 元 で あ る と き,d り切 れ る の 関 係 を 逆 に

で あ る よ うな 

を〓 の

単 元 あ る い は 正 則 元 とい う.〓 の 単 元 全 体 は 群 を な す.   〓 の 元 π に つ い て,(π)が〓 い う.ま

の 素 イ デ ア ル で あ る と き,π

た〓 の 元 κ に つ い て,κ

単 元 か,(κ′)=(κ)と

の 約 元κ′ は, 

を〓 の 素 元 と

とな る も の つ ま り

な る も の 以 外 に 存 在 しな い と き,κ

を〓 の 既 約 元 とい

う.   例 題8 

整 域〓 に お い て は,0で

な い 素 元 は 既 約 元 で あ る.

  解   π が〓 の 素 元,π′ が π の 約 元 な ら ば,π=π′λ とな る 

が とれ る

が,π

がな けれ

が 素 で あ る こ とか ら,π′=πδ ま た はλ=πδ′ と な る 

ば な ら な い.そ か ら1=δ

こ でπ′=πδ とす れ ば,π=πδλ,従

λ とな り,λ π′ δ′=1か ら 

は 単 元 で(π′)=(π)を

っ て〓 が 整 域 とい うこ と 得 る.λ=πδ′

を 得 る. 

の と き は  (以上)

  イ デ ア ル が す べ て単 項 イ デ ア ル で あ る よ うな 整 域 を 単 項 イ デ ア ル 整 域 ま た は 主 イ デ ア ル 整 域 とい う.単 項 イ デ ア ル 整 域 で は 以 下 に の べ る よ うな定 理 が 証 明 で き る.   定 理1.7  d,最

単 項 イ デ ア ル 整 域Iに

小 公 倍 元mは

必 ず 存 在 し,そ

お い て は,Iの

元a1,…,arの

れ ぞ れ(a1),…,(ar)の

最 大 公 約元

最 大 公 約 イデ ア

ル,最

小 公 倍 イ デ ア ル を 生 成 す る.

  証 明  (a1,…,ar),(a1)∩ れIの

元d,mで

… ∩(ar)は

共 に 単 項 イ デ ア ル で あ る か ら,そ れ ぞ

生 成 さ れ る.こ のd,mは

あ き らか に 最 大 公 約 元,最

元 と し て の 性 質 を もつ.    定 理1.8 

(証終)

単 項 イ デ ア ル 整 域Iに

め に は,a,bが

お い て は,2元a,bが

最 大 公 約 元dが

存 在 し,(a,b)=dと

単 元 以 外 の 公 約 元 を も た な い こ と は,dが

り,従 って(a,b)=1と   定 理1.9 

互 いに 素 であ るた

単 元 以 外 の 公 約 元 を もた な い こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  証 明   前 定 理 に よ り,a,bの a,bが

小公倍

な る.

単 元 で あ る こ とと同等 であ

同 等 で あ る. 

単 項 イ デ ア ル 整 域Iに

(証終)

お い ては,0以

単 元 以 外 の 既 約 元 は 素 元 で あ る.ま たIの0以

外 の 素 元 は 既 約 元 で あ り,

外 の 素 イデ アル はす べ て極大

イ デ ア ル で あ る.   証 明   素 元 が0で

な け れ ば 既 約 元 で あ る こ とは 例 題8で

単 元 で な い 既 約 元 で あ る とす る.Iの 約 元κ′ が(κ′)=Iと う こ とは,(κ)が

示 した.そ

こで κが

イ デ ア ル が す べ て 単 項 で あ る か ら,κ の

な る も の か(κ′)=(κ)と

な る も の し か 存 在 しな い とい

極 大 イ デ ア ル で あ る こ とを 意 味 す る.故

ル を 生 成 し,も ち ろ ん 素 元 で あ る.0以

に κ は 極大 イデ ア

外 の 素 元 は 既 約 元 で あ るか ら,Iの0

以 外 の 素 イ デ ア ル は 極 大 で あ る.    定 理1.10  がa,bの

単 項 イ デ ア ル 整 域Iに

(証終) お い て,dがa,b∈Iの

最 小 公 倍 元 な ら ば,(a)(b)=(d)(m)で

  証 明   (d)=(a,b),(m)=(a)∩(b)で b=db0と

な るa0,b0∈Iを

るか らa0b0d∈(a)∩(b)=(m).故

にa=da0,

な り,a0b0d=a0b=ab0で

に(ab)⊂(dm). 

  単 項 イ デ ア ル 整 域 に 関 して さ ら に1つ 新 しい 概 念 を 導 入 す る.環〓

る番 号rか

が あ る番 号rに

あ (証終)

の 基 本 的 定 理 を の べ る前 に,ま

に お い て,a1⊃a2⊃

〓は 最 小 条 件 を 満 足 す る と い う.ま ずar=ar+1=…

あ る.

あ る か ら(ab)⊃(dm).次

とれ ば,ab=a0b0ddと

列 を ど の よ うに と っ て も,あ

最 大 公 約 元,m

…

た少 し

とな って い る イ デ ア ル の

ら先 は 必 ずar=ar+1=…

た イ デア ル の 列a1⊂a2⊂

で あ る と き, … に つ い て,必

つ い て な りた っ て い る と き,〓 は 最 大 条 件 を

満 足 す る とい う.但 し,以 上 い ず れ の 場 合 に も,rは

一定 の数 を意 味す るの で

は な く,個 々 の イ デ ア ル 列 に つ い て 別 々 に 存 在 す れ ば よ い の で あ る.最 大 条 件 を 満 足 す る 可 換 環 を ネ ー タ ー(Noether)環   定 理1.11 〓

と い う.

が ネ ー タ ー 環 な らば,〓 の イ デ ア ル の 任 意 の 集 合Mは

包 含関

係 に よ る順 序 で 極 大 元 を もつ.   証 明  Mに rにつ

属 す イ デ ア ル の 列 でa1⊂a2⊂

い てar=ar+1=…

… と な る もの を とれ ば,あ

と な り,ar∈M.故

る番 号

に ツ ォル ン の 補 題 に よ りMは

大 元 を も つ.    定 理1.12 

極

(証終) 可 換 環〓 が ネ ー タ ー 環 で あ るた め に は,〓

の任意 のイ デ アルが

有 限 個 の 元 で 生 成 され る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明  〓 が ネ ー タ ー環 な ら,〓 の イ デ ア ルaに

つ い て,aに

属 す有 限 個 の元

で 生 成 され る イ デ ア ル 全 体 の 集 合 が,前 定 理 に よ り極 大 元 を も つ.そ 一 致 しな け れ ば な らな い.逆 イ デ ア ル の 列a1⊂a2⊂

に ,〓

れ はaと

の任 意 の イ デ アル が 有 限 生 成 な らば,〓 の

… に つ い てa=∪aiが

有 限 生成.故

にaはaiの

の ど れ か に 一 致 す る. 

うち (証終)

  以 上 の 準 備 の下 に,単 項 イ デ ア ル 整 域 に お け る素 元 分 解 の 一 意 性 とい わ れ る 次 の 定 理 が 証 明 で き る.   定 理1.13 

単 項 イ デ ア ル 整 域 の0で

素 元 π1,…,πrの 積 と し て, 

な い 元 α は,単

の 形 に 分 解 され る.こ

ど ん な 分 解 を と って も,イ デ ア ル(π1),…,(πr)は   証 明  単 項 イ デ ア ル 整 域 は 定 理1.12に Iの 元 

よ って 最 大 条 件 を 満 足 す る.従

って,

で 有 限 個 の 既 約 元 の 積 と して あ らわ され な い も の が あ れ ば, 

個 の 既 約 元 の 積 に な れ な い.そ

少 な く と も一 方 が 有 限

こ で α1が そ うで あ る と して,同

じ こ とを く り

とい う列 が で き,最 大 条 件 に 反 す る.従

必 ず 有 限 個 の 既 約 元 の 積 とな る.と

こ ろ で定 理1.9に

域 に お い て は,既 約 元 は 単 元 で あ るか 素 元 で あ った.従 と は,Iの0で

の よ うな 形 の

順 序 を の ぞ い て一 定 で あ る.

と 分 解 した と き,α1,α2の

か え せ ば, 

元 εお よび有 限 個 の

って α は

よ っ て,単 項 イ デ ア ル 整 っ て,上

に 証 明 した こ

な い 元 が 有 限 個 の 素 元 の 積 に な る こ とを 示 す.今,Iに

お い て,

 

がα=επ1…πr=ε′π1′…πs′,(r≦s),と2と 元πi,πi′

の 積 に 分 解 さ れ た と す る と,イ

(πs′)で あ り,(πi),(πi′)は

1.9),(π1)=(π1′)で

(πr)=(π′),お

に(π1)は(π1′),…,(πs′)

し て も さ しつ か え な い.と

こ ろ で,単

な い 素 イ デ ア ル は 極 大 イ デ ア ル で あ っ た か ら(定 理

あ る,ま

=(c)の が 結 論 で き る か ら,結 同 様)に 進 め ば,必

デ ア ル と し て(π1)…(πr)=(π1′)…

素 イ デ ア ル で あ る.故

の うち ど れ か を わ り切 る.(π1)￨(π1′)と 項 イ デ ア ル 整 域 で は,0で

お りに 単 元ε,ε′ お よ び 素

た 整 域 で は(a)(b)=(a)(c), 

か ら(b)

局(π2)…(πr)=(π2′)…(πs′)が

得 ら れ る.以

要 な ら ば 積 の 順 序 を 変 更 す る こ と に よ っ て,(π2)=(π2′),…, よ び(πr+1′)…(πs′)=(1)が

得 ら れ る.最

後 の 式 はr=sで

け れ ば な ら な い こ と を 示 す.    可 換 環〓 ∈Sで

よ び0因

あ る と き,m/a,( 

子 を 含 ま ず,か

a∈S),の

元 の 普 通 の 分 数 の 場 合 に な ら っ た 和 と 積,す

い, 

集 合 の と き, 

ば,す

な わ ち〓

の 全 商 環 と い う.〓

の0因

のSに

含 む.Sが〓

が た だ1つ

の 単 元 で な い 元 全 体 が イ デ ア ルmを し て〓

表

な わ ちm/a+m′/a′=(ma′+m′a)

は 自 然 にSを

を ま た  わ と か く.〓

そ の 逆 も 正 し い.Sと

QはZの

ら 

らab

の 類 の 間 の 和 お よ び 積 を,代

で 定 義 し て 得 ら れ る 環 を,〓

で あ ら わ す.1∈Sな

p補

つa,b∈Sな

形 の 分 数 記 号 全 体 を,m/a=m′/a′

こ と で あ る と し て 類 別 し,そ

/aa′,m/a・m′/a′=mm′/aa′

な (証 終)

の 部 分 集 合Sが0お

はma′=m′aの

下

よ る商 環 と い の素 イデ アル

の極 大 イデ アルを もて な せ ば, 

で あ り,

子 で な い 元 全 体 を と っ た と き, 

が 整 域 な ら 全 商 環 は 体 と な り,商

体 と よ ば れ る.た

を

〓

とえば

商 体 で あ る.

  1.4  整 数 論 的 な 抽 象 概 念   0,±1,±2,…

は 通 常 整 数 と よ ば れ る が,我々

を 考 え る こ とに な る の で,こ

は後 に もっ と広い 意 味 の整 数

れ ら通 常 の 意 味 で の 整 数 を,今 後 有 理 整 数,Zを

有理 整 数 環 と と な え る こ とに す る.こ

の 節 で は,ま ずZの

の 一 般 論 の 応 用 と して 導 き 出 せ る こ と を の べ た 後,体 な 考 察 を 行 い,つ い で さ らに 一 般に,環

諸 性質 が 前節 まで

の 上 の 多 項 式 環 に も同 様

の 上 の 多 項 式 環 と関 係 す るい ろ い ろ な

現 象 を の べ,そ い って,こ

れ が ふ た た びZの

の 節 の 目的 は,可

性 質 に 反 映 し て く る こ とを 示 す.ひ

と 口に

換 環 の 理 論 の 中 か ら,代 数 的 整 数 論 と の 関 連 が 特

に 深 い と考え られ る こ とを い くつ か え らび 出 し,そ れ らを 一 般 論 と別 に ま とめ る こ と で あ る.   整 域Iの0で

な い 各 元aに,有

理 整 数 ρ(a)≧0が

 に つ い て は,b=aq+rで る よ うなq,r∈Iが りた つ と き,Iは

あ っ て,r=0で

な い か ぎ り ρ(r)<ρ(a)で

必 ず 存 在 し,ま た 

そ の 元 

に 絶 対 値￨a￨を

ッ ド整 域 で あ る.な

ぜ な ら,実

ら,b=aq+r,(0≦r<￨a￨),と

あ

な ら ばρ(ab)≧ρ(a)が

ユ ー ク リ ッ ド整 域 で あ る とい う.q,rは

ま らな くて よ い の で あ る.ρ(a)をIの Zは

対 応 さ せ ら れ,a,b∈I,

元 

な

必 ず し も一 意 的 に 定

の 大 き さ と よぶ こ とに しよ う.

対 応 さ せ る こ とに よ っ て た しか にユー ク リ 数 の 基 本 的 性 質 と し て,a,b∈Rで  な るq∈Z,r∈Rが

な

一 意 的に 決定 され るか ら

で あ る.   定 理1.14 

ユ ー ク リ ッ ド整 域 は 単 項 イ デ ア ル 整 域 で あ る.

  証 明   ユ ー ク リ ッ ド整 域Iの0で

な い イ デ ア ルaが

の0で な い 元 の うち で 大 き さ が 最 小 の も の をaと を と り,b=aq+r,(r=0ま れ ば,r=b−aqに

す る.aに

た は ρ(r)<ρ(a)),と

よ っ てr∈aで

属 す こ とに な っ て 矛 盾 で あ る.故 で あ り,こ れ か らa=(a)を

あ るか ら,大 にr=0で

あ た え られ た と し,a 属 す 任 意 の 元b

表 示 した と き, 

き さ がaよ

り小 さい 元 がaに

な け れ ば な らな い.従

得 る.故 にIの

とす

っ てb=aq

イ デ ア ル は す べ て 単 項 で あ る. (証終)

  以 上 に よ り,Zに

お け る 素 因 数 分 解 等 の 基 本 的 事 項 は,す べ て 前 節 に のべ た

こ と,特 に 定 理1.7∼ 数 はZの

定 理1.10お

よび 定 理1.13に

帰 着 す る こ とに な る.素

正 の 素 元 で あ る.

  素 因 数 分 解 は 有 理 数 に 拡 張 で き る.正 に な るが,m,nを

素 因 数 分 解 し て,約

した 素 数 の べ キ 積 と し て,a=Πpapと うな あ ら わ し方 は,(m,n)=1と

の有 理 数 はa=m/nの せ る 素 因 子 を 約 せ ば,負 あ らわ され る.と

形 に 自然数 の比 の べ キ もゆ る

ころ で,a=m/nの

して お け ば 一 意 的 で あ る.な ぜ な ら,同

よ じ条

件 を み た す あ らわ し方 が2と =m′n,(m,n)=1か =m′ ,従

お りあ っ た と して,m/n=m′/n′

ら ,1.3例

っ てn=n′

題7に

と な る.故 に0で

的 に 分 解 さ れ る.apをaのp指 な るpに

つ い て のpapの

papの 積 をaの   例 題1 

様 にm′￨m,故

な い 有 理 数 は,a=±Πpapの

数,papをaのp成 積 をaの

にm

形 に一 意

分 と よぶ.ap>0と

分 子 因 子,ap<0と

な るpに

ついての

分 母 因 子 とい う.

時,分,秒

そ れ ら の 針 が3本   解   12時

よ っ てm￨m′,同

と す れ ば,mn′

の3本

の 針 が 同 一 の 軸 に つ け られ て い る 時 計 に お い て,

と も重 な る の は12時

間=12・602秒

秒 針 は12・602/(12・60−1)秒 秒 で は か る と,次 の12時 重 な る 時 刻 は,分

に か ぎ る こ と を 証 明 せ よ.

で あ り,時 針 と分 針 は12・602/11秒 ご と に そ れ ぞ れ 重 な る.12時

針と

か らの経 過 時間 を

よ り前 に 時 針 と分 針 の 重 な る時 刻 と,時 針 と秒 針 の

母 因 子 の 異 な る有 理 数 で あ らわ さ れ,一

  例 題2 

ご とに,時

致 しな い.  (以上)

は 有 理 数 体 に 属 さな い(す な わ ち 無 理 数 で あ る)こ とを 証 明 せ

よ.   解 

が 有 理 数 で あ る と し, 

ば,2n2=m2.左

(m,n∈Z,(m,n)=1),と

辺 は 奇 数 個 の 素 数 の 積,右

すれ

辺は 偶 数 個 の素 数の積 に 分解 され

るか ら不 合 理 で あ る.    〓 を 可 換 環 とす る と,〓 +an, 

(以上) の 元 を 係 数 とす る多 項 式f(x)=a0xn+a1xn−1+…

は 普 通 の 加 法 乗 法 に よ っ て 環 を つ くる.こ

た は〓 係 数 の1変 る.〓 の 元 を 

数 多 項 式 環 とい って  の 定 数 とい う.同 様 に2変

の 多 項 式 環 も考 え られ る.f(x)の 項 式  き,f(x)は〓

数 の 多 項 式 環,あ

に 含 まれ るい は 多 変 数

あ らわ す.0で

か し〓 が 体 で あ れ ば,0で

ない 多

の 多 項 式 の 積 に 分 解 され な い と

に お い て 既 約 で あ る と い う.こ れ はf(x)が 

あ る と い う よ り弱 い 条 件 で あ る.そ る.し

で あ らわ す.〓 は 

次 数 をdegf(x)で

が それ よ り低 い 次 数 の 

れ を〓 の 上 の,ま

で既 約 元 で

れ は 定 数 が 必 ず し も単 元 で な い か ら で あ

な い 定 数 は す べ て 単 元 で あ るか ら,既 約 多 項

式 で あ る こ と と既 約 元 で あ る こ と とは 同 等 に な る.多 変 数 の 多 項 式 に つ い て も 同 様 に 既 約 性 が 定 義 で き る.既 約 で な い 多 項 式 は 可 約 と い わ れ る.

  例 題3 

Z係

数 の 多 項 式,f(x),g(x)に

つ い て,f(x),g(x),f(x)g(x)の

係 数 の 最 大 公 約 数 を そ れ ぞ れ(f),(g),(fg)と

か け ば,(fg)=(f)(g)で

あ

る こ とを 証 明 せ よ.   解   素 数pに f(x)の

つ い て,(f),(g)のp成

分 が そ れ ぞ れpa,pbで

項 を 次 数 の 順 に み て,係 数 がpa+1で

同 様 にg(x)に

つ い て 係 数 がpb+1で

す れ ば,f(x)g(x)のxl+mの

わ り切 れ な い 最 初 の も の が αxl,

わ り切 れ な い 最 初 の も の が βxmで あ る と

項 の 係 数 はpa+bで

り切 れ な い.こ れ が す べ て のpに

あ る と し,

わ り切 れ るがpa+b+1で

はわ

つ い て な りた つ の で あ るか ら(fg)=(f)(g). (以上)

  最 高 次 項 の 係 数 が1で   定 理1.15 

f(x)が

あ る 多 項 式 を 本 書 で は 単 多 項 式 と よ ぶ. 単 位 元 を も つ 可 換 環〓

 はDのn個

はf(x)に

g(x)=f(x)q(x)+r(x)と

よ って 通 常 の 意 味 で わ り算 が で き,

な る 

よ うな も の が とれ る.す

らn−1次

の 単 多 項 式 な らば,

の 直 和 と〓 加 群 と して 同 型 で あ る.

  証 明  任 意 の 

で 代 表 さ れ る.と

上 のn次

で,deg

な わ ち 

r(x)≦n−1で

の 各 類 はn−1次

以下 の多項 式

こ ろ で, 

は〓nか

以 下 の 多 項 式 の 加 群 の 上 へ の〓 同 型 で あ るが,n−1次

な い 多 項 式 がf(x)で

わ り切 れ る こ とは な い か ら,上

以 下 の0で

の 矢 印 の 写 像 に 

を つ な げ ば,定 理 に い う同 型 が い え る.   

が 体 に な った 場 合,多

の 商 体 はFの 体 で あ る.こ

項 式 環F[x],F[x,y]等

(証終) は 整 域 を な す.F[x]

元 を 係 数 とす る有 理 式f(x)/g(x),(f,g∈F[x]),全 の 体 をF係

同 様 に 多 変 数 の 多 項 式 整 域 の 商 体 と して,多

あ ら わ す.

変 数 の有 理 関 数 体 が 定 義 され る.

き わ め て 類 似 した 性 質 を もつ.そ

F[x]が

や は りユ ー ク リッ ド整 域 に な る こ とに あ る.実

g(x)が

あ た え られ, 

にq(x),r(x)∈F[x]を

体 の なす

数 の1変 数 有 理 関 数 体 とい い,F(x)で

  1変 数 の 多 項 式 環F[x]はZと

ある

際F[x]の

元f(x),

で あ れ ば,g(x)=f(x)q(x)+r(x)と と って,r(x)=0か,あ

数 の 低 い 多 項 式 で あ る よ うに で き るか ら,0以

なるよ う

る い はr(x)がq(x)よ 外 の 多 項 式 に,そ

の原 因 は

り次

の大 き さ と し

て 次 数 を 対 応 させ れ ば,F[x]は 1.10や

定 理1.13の

ユ ー ク リ ッ ド整 域 に な る.従

よ うな こ とは,そ

の ま ま 体 の 上 の1変

す る.も ち ろ ん,素 数 の 代 りに 既 約 多 項 式,素

っ て定 理1.7∼

数多項 式 環 に通 用

因 数 分 解 の 代 りに 既 約 因 子 分 解

と い う よ うに,用 語 を 適 当 に 変 え る 必 要 は あ る.   aが 環〓 の イ デ ア ル で あ る と き,  が そ れ ぞ れ す べ てmod aで

の,同

じ次 数 の 項 の 係 数

合 同 の と き,f(x)とg(x)はmod aで

合 同 であ

る とい い,f(x)≡g(x)(mod a)と

か く.a[x]は 

の イ デ ア ル を な し,

f(x)≡g(x)(mod a)はf(x)≡g(x)(mod a[x])に は 

他 な ら な い. 

と同 型 で あ る.  に よ る像f(x)の

え ば,mod aで

既 約,あ

に つ い て,そ

れ の標 準 的 写 像 

性 質 を,f(x)のmod aで

る い はmod aで

の性 質 とい う.た

の 因 子,等

と

のいい 方 を用 い るの であ

る.多 変 数 の 場 合 も 同 様 で あ る.   これ か ら,環 に 関 す る 重 要 な 概 念 で あ っ て,多 項 式 を 用 い て い い あ らわ せ る も の を い くつ か 説 明す る.   Rが

可 換 環,Sが

そ の 部 分 環 で あ り,単

と き,α ∈RがSの ∈S[x]の はSの

上 に 代 数 的 で あ る とは,f(α)=0と

存 在 す る こ と を い う.Rの 上 に 代 数 的,ま た はR/Sが

単 多 項 式f(x)が い,すべ

あ っ て,f(α)=0と

て の α∈Rが

い う.Rの

元 が すべ てSの

な る と き,α

整 の と き,RはSの

れ をS[α]と

う.(S[α1])[α2]をS[α1,α2]と

  こ こ で代 数 的,整

つ い て,S[x]の 上 に 整 で あ る とい

た はR/Sが

整 であ る と

形 に か け る 元 全 体 はR α を 添 加 し て で き る 環 とい

か き,同 様 にS[α1,…,αr]を もち ろ ん,Sの

よ っ て,f(α1,…,αr)と

定 義 して,や 上 のr変

数の

あ らわ せ る 元 全 体 の な す 環

α1,…,αrで 生 成 され る環 で あ る.環Sの

成 され る環 をS上

な いf(x)

上 に 代 数 的 な と き,R

はSの

上 に,ま

か い て,Sに

は り添 加 と い う言 葉 を 用 い る.S[α1,…,αr]は 多 項 式f∈S[x1,…,xr]に

な る0で

代 数 的 とい う.α ∈Rに

元 α を 固 定 す る と,f(α),(f∈S[x]),の

の 部 分 環 を な す.こ

で あ り,Sと

位 元 を 共 有 す る も の とす る.こ の

上 に 有 限 個 の元 で 生

有 限 生 成 の 環 とい う. とい う概 念 に 関 す る初 等 的 な 定 理 を の べ よ う.

  定 理1.16 

整 域Rが

部 分 整 域S上

代 数 的 で, 

がRの

イ デ ア ル な ら,

 で あ る.   証 明   0で

な いa∈aを

が あ っ て,f(a)=0で

と る と,多 あ る.従

+…+cr−1′,(ci′ ∈R),が と し て よ い.従

か つ 

環Rが

部 分 環S上

と な るf(x)∈S[x]が,係

整 域 だ か ら  (証 終)

代 数 的,q1,q2がRの

の と き さ ら に,任

イ デ ア ル で,q2が

意 の α ∈Rに

数 の う ち 少 く と も1つ

と れ る な ら ば, 

素,

つ い て,f(α)=0

はS∩q2に

入 ら な い よ うに

で あ る.

  証 明   R/q2を

と な るRの

Rが

 

で あ る とす る.こ

  定 理1.18 

っ てf(x)=(x−a)g(x),g(x)=c0′xr−1+c1′xr−2

な りた ち,cr=−cr−1′a∈a∩S. 

って

  定 理1.17 

項 式f(x)=c0xr+c1xr−1+…+cr,(ci∈S),

考 え れ ば 前 定 理 に 帰 着 す る.  環Rが

部 分 環S上

(証 終)

整 で,pがSの

イ デ ア ル が 存 在 す る.こ

素 イ デ ア ル な ら,a∩S=p

の よ う なaの

う ち で 極 大 な も の はRの

素

イ デ ア ル で あ る.   証 明   前 半 は  デ ア ルRaを +crが

の と き 証 明 す れ ば よ い か ら, 

考 え る.任

あ っ てf(b)=0で

意 のb∈Rを

と れ ば,単

あ る か ら,c=ba∈

と し,単

多 項 式f(x)=xr+c1xr−1+…

…Raに

つ い て 

と お け ばf1(c)=0で で も しc∈Sな

ら, 

を 意 味 す る.従 在 す る.そ な い.な

故 にc∈p.こ

っ てRの

イ デ ア ルaで 

の よ う なaの ぜ な ら,も

を く りか え せ ば,aの   次 に,p=S∩aと

し て よ く,証

あ る.今,Sの

がRで0因

イ デ ア ル 

こ と は な い.そ

代 りにR/aを

なけれ ば な ら 考 え て今 までの議 論

極 大 性 に 反 す る か ら で あ る.

こ と に よ り,p=a=0と

はRの

こ

と な る も の は と に か く存

な ら,Rの

な る 極 大 なaが

元 

あ る.そ

れ は 

う ち 極 大 な も の を と れ ば,p=S∩aで

し 

項イ

を な し,Sが

こ で 次 は,c∈RがRで0因

素 で あ る こ と を い う に は,R/aを 明 す べ き こ と はRが

整域 で あ る こ とで

子 に な る と す れ ば,cx=0と 整 域 だ か らm∩S=0.故 子 と す れ ば,同

考える

な るx∈R に こ の よ うな 様 にcx=0と

な

るx∈RはRの

イ デ ア ル 

を な し,上

の こ と か らm∩S=0.こ

れ もや

は り矛 盾 で あ る. 

(証 終)

  こ れ ら2定 理 の 証 明 に は,1つ そ の 要 点 を ま とめ れ ば1.3例  

Iが 整 域 でFが

ぎ る と き,Iは

の 環 か らそ の剰 余 環 に うつ る 論 法 が 用 い られ て い るが,

題6に

な っ て い る こ とに 注 意.

そ の 商 体 で あ る と き,Fの

ネ ー タ ー 整 域Iが

整 閉 で,FがIの

す べ て のベ キ λm,(m=1,2,…),に が 存 在 す れ ば,λ

元 にか

∈Iで

λ∈F,a∈Iを

商 体 で あ る と き,λ ∈Fの

対 し て 同 時 にaλm∈Iと

あ る.逆

  証 明   ま ず ネ ー タ ー 整 域Iを

な る0で

るrに

な いa∈I

に こ の 性 質 を も つ 任 意 の 整 域 は 整 閉 で あ る. 整 閉 とす る.こ

の と き,定

理 に い う よ うな 性 質

と り, 

ア ル の 列 を 考 え れ ば,あ と な る.故

整 の も の はIの

整 閉 で あ る と い う.

  定 理1.19 

を もつ

元 でI上

と い うIの つ い て 

に 

が な り た ち,Iが

こ と か ら 

イデ

す な わ ち λ がIの

整域 であ る

上 に 整 で あ る.Iは

整閉

だ か ら λ∈I.   次 に 逆 を 証 明 す る.λ ∈FがI上 うち の 有 限 個

入 る よ うに 

つ い てaλm∈Iと

ば,Iは   有理 数

か な い.こ

な る.従

入 る.故

を と れ ば,λ

っ て,も

のベ キの

λ∈Qの

し こ の こ と か ら λ∈Iが

い え るな ら (証 終)

す べ て の ベキ

λmに つ い てaλm∈Zと

因 数 分 解 の 一 意 性 か ら,た

整 閉 で あ る.す

にaλ,

の任 意 のベ キ

整 閉 で あ る. 

が あ れ ば,素 か らZは

の 任 意 の ベ キ は,λ

λ,…,λr−1を と っ て 作 っ た(I,Iλ,…,Iλr−1)に

… ,aλr−1が す べ てIに λmに

整 な ら ば,λ

な わ ち,有

の こ と か ら も,有

しか に λ∈Zと

理 数 で あ っ てZ上

な る0で な る.従

な いa∈Z っ て 定 理1.19

整 の も の はZの

元 し

理 整 数 と い う よ び 名 が 理 解 さ れ る で あ ろ う.

  1.5  加 群 の 理 論 よ り  作 用 域 を もつ 群 の 理 論 の うち で も,環 を 作 用 域 に もつ 加 群 の 理 論 は,お くべ きほ ど広 汎 な 応 用 を もつ.こ

の節 で は,そ

の 理 論 を,本

どろ

書 で 必 要 とす る 範

囲 内 で,し か も な る べ く一 般 的 に,か   〓 が 単 位 元 を もつ 可 換 環,Mが る とす る.す め,従

な わ ち 

加 群 で あ り,〓 の 各 元 はMの

はM∋a→

っ て 

つ 内 容 的 に 統 一 整 理 され た 形 で の べ る.

λa∈Mに

よ ってMの

作用素であ

準 同型 写像 を 定

が な りた つ とす る の で あ る.こ の と き さ らに,  お よ び 

りた つ な らば,〓 はMの

作 用 環 で あ る とい い,Mを〓

元 に つ い て,0・a,(a∈M),がMの0元 の0元

も0で あ ら わ せ ば0a=0と

任 意 の 加 群 が 自然 にZ加  

のa∈Mへ

がな

な る.有

理 整 数 環Zを

とか くこ と もあ る.こ

群Mを

せ るMの

そ れ ぞ れ〓 左 加 群,〓 右 加 群 と よ ぶ.本

らNへ

合に おい て写像 を 関 数

つ い て, 

な わ ち 

とい う.ま た,〓 加 群Mか も い う.Mか

書 で は,

キ の 記 法 で あ らわ す か の 違 い と同 じで あ る.

元x1,…,xrに 元,す

の と き は 

左 右 ど ち か ら作 用 させ る か

ほ とん ど左 加 群 だ け を 用 い る.左 右 両 加 群 の 相 違 は,集

  〓 加 群Mの

作 用 環 に とれ ば,

群 と考 え られ る.

を 仮 定 す る.〓 をaの

記 号 で あ らわ す か,ベ

の 形 に あ らわ

の 元 を,x1,…,xrの〓 ら 〓 加 群Nへ

係 数 の1次

結合

の 〓準 同 型 写 像 を 〓線 型 写 像 と

の 〓線 型 写 像 全 体 を 

とか く. 

に つ い て,  く こ とに よ り, 

の0

で あ る こ とは 直 ち に 知 られ る.M

の 作 用 をa→aλ

を あ らわ す に は,加

加 群 と よぶ.〓

とお は そ れ 自身 また〓 加 群 で あ る.

  〓 を 単 位 元 を も つ 可 換 環,M1,M2,…,Mrを

〓加 群 とす る.今Miの

直積

集合 の元 を任 意 に 有限個 とって

の よ うな 形 式 的 な 和 を つ く り,そ 元 は,そ

れ ら全 体 の 集 合 をMと

れ ら の 中 に あ らわ れ る 元 の 組(m1j,m2j,…,mrj)の

数 が 一 致 す る と きに だ け 等 しい も の と約 束 し,αj=0の す.こ

の と きMの

元 に 対 して

す る.Mの2つ

の

すべ て に つ い て 係 項 は な い と同 じに み な

に よ っ て 加 法 お よ び 〓 の 元 の 作 用 を あ た え れ ば,Mは 〓 と 〓 同 型 な,一

〓加 群 に な る.Mは

般 に は 無 限 個 の 加 群 の 直 和 で あ る.次 に 各iに つ い てMの

元で (m1,…,mi+mi′,…,mr)−(m1,…,mi,…,mr)−(m1,…,mi′,…,mr)

お よび

と い う 形 の も の を 考 え,こ

れ ら 全 体 で 生 成 さ れ るMの

す る.M/M0は

の 〓 加 群 と な る.こ

や は り1つ

い て,M1,M2,…,Mrの

テ ン サ ー 積 と い う.ま

代 表 さ れ るM1  ー積 が

M2 

…  Mrの

元 をm1 

〓 部 分 加 群 をM0と

れ をM1  たMの

m2 

M2 

…  Mrと

元(m1,m2,…,mr)で

… mrと

あ ら わ す.テ

〓 の 上 の も の で あ る こ と を は っ き り あ ら わ し た い と き に は,記

字 を つ け て 〓

と す る こ と も あ る.定

か

義 か ら 直 ち に わ か る よ う に,任

ンサ 号 に添

意 のiに

つ いて

が な りた ち,ま

たM1 

M2  …  Mrの

元 は す べ て 

の 形 に あ ら わ さ れ る.M1 

も か か れ る.Miが

り記号    今Miの

すべ て1つ

の 加 群Aに

M2 

…  Mrは

と

ま た 

等 しい と きに は,A 

…  Aの

代

を 用 い る こ と も あ る. 直 積 集 合M1×M2×

が あ り,各iに

固 定 し た と き,Miか

らLへ

中 へ の 写 像f

の 〓準 同型 写像 に な って

の よ う な 写 像 を 今 後 直 積 因 子M1,M2,…,Mrに

な 写 像 と い う.r=2の に 定 義 し たMの

ら あ る 〓 加 群Lの

つ い てf(m1,…,mi,…,mr),(m1∈M1,…,mr∈Mr),はm1,

… ,mi−1,mi+1,…,mrを い る と す る.こ

… ×Mrか

と き に は,双

元 に つい て

線 型 な 写 像 と も い う.さ

つ い て 重線 型 て こ の と き,上

と お け ば,fはMか

らLの

の 元 に つ い て は0と

中 へ の 〓 準 同 型 写 像 に 延 長 され る が,fはM0

な る か ら,fは 

か らLの

中への準同型写像 と考え

ら れ る.具 体 的 に か け ば

で あ る.逆

に 

Miか

元(m1,…,mr)に M1×

… ×Mrか

う に し て,M1×

らLの

中 へ の 準 同 型 写 像fが

つ い てf(m1,…,mr)=f(m1  らLへ

… mr)と

の 写 像 が 得 ら れ,そ

… ×Mrか

らLへ

あ れ ば,M1×

お く こ とに よ っ て

れ は 重 線 型 に な っ て い る.こ

の 重 線 型 な 写 像 は 

同 型 写 像 と 同 一 視 さ れ る の で あ る.こ

… ×Mrの

Miか

らLへ

のよ

の 〓準

の こ と は 次 の よ うな 形 の 定 理 で い い あ ら

わ す こ と が で き る.

 定 理1.20 

作 用 環 〓 を もつ 加 群M1,M2,…,Mrの

直 積 集 合 か ら任 意 の 〓

加 群Lへ

の 〓 重 線 型 写 像fに

つい

て,左 の 図 式 が 可 換 に な る よ うな 〓線 型 写 像gが

存 在 す る.但

しf0は

標準

的 〓線 型 写 像 で あ る.   す な わ ち テ ンサ ー積 は あ ら ゆ る重 線 型 写 像 を 統 一 支 配 し て い る.定 理1.20 を テ ン サ ー 積 の 万 有 写 像 性 と い う.万

有 写 像 性 に よ って テ ン サ ー 積 が 一 意 的 に

特 徴 づ け ら れ る こ と は あ き ら か で あ る.こ

の よ う に 万 有 写 像 性 と い う 概 念 も,

数 学 の 内 容 的 構 成 に 有 用 な も の で あ る.   M1,M2,M3を3つ

の 〓加 群 と し,直

積M1×M2×M3の

つ い て,f(m1,m2,m3)=(m1 m2) m3∈(M1  M2×M3か

ら(M1 

=(m1 m2) m3と

M2) 

M3へ

と お く と,ま

M2 

方g(m1,m2

ず こ の 写 像 が 直 積 因 子M1お

M3へ

お く.fはM1×

の 写 像 で 重 線 型 で あ る か ら,f(m1 m2 m3) ,fはM1 

と か ら,g(m1 m2,m3)=m1 m2  らM1 

M2) M3と

お く こ とに よ り

へ の 〓準 同 型 写 像 を 定 め る.一

元(m1,m2,m3)に

m3と

の 写 像 が 定 ま り,こ

M2 

M3か

,m3)=m1 

m2 

よ びM2に

m3∈M1 

M2) 

M3

M2 

M3

つ い て双線 型 で あ る こ

お い てM1  のgは

ら(M1 

M2とM3と

そ の2つ

の直 積か

の直積 因子 に つ い

て 双 線 型 と な る.従 (M1 M2) 

M3か

っ て さ らにg((m1  らM1 M2 

M1  M2  M3,(M1 

M3へ

M2)  M3間

m2)  m3)=m1 

m2  m3に

よ って

の 〓準 同型 写 像 が 定 ま る こ とに な る.

の写 像 と して のf,gは

い ず れ も上 へ の 写

像 で あ り,し か も互 い に 逆 で あ る.こ の こ とか ら対 応  に よ っ て,〓 か る.以 上3個

同 型 

の な りた つ こ とが わ

の 加 群 の 場 合 に 説 明 した が,加

群 が 何 個 あ る 場 合 で も,ま た テ

ンサ ー 積 を ど の よ うに 括 弧 で ま と め て考 え て も,同 様 の 同 型 が 証 明 され る.   テ ンサ ー積 に お い て 加 群 の 順 序 を どの よ うに と りか え て も,得 互 い に 同 型 で あ る.た

とえ ば2つ

に よ って 

の 〓加 群M1,M2に

とな る.何

られ る もの は

つ い て 

個 の 加 群 の テ ン サ ー積 に つ い て も 同

様 で あ る.   Mi′,(i=1,2,…,r),が の 元m1 

そ れ ぞ れ 〓 加 群Miの

… mr,(mi∈Mi′),を

 Mi′ か ら  Miの

〓 部 分 加 群 な ら ば, Mi′

そ の ま ま  Miの

元 と考 え る こ とに よ っ て,

中 へ の 標 準 的 〓 準 同 型 写 像 が 定 ま る.

  1個 の 〓 加 群 の テ ンサ ー 積 は そ の 加 群 自身 で あ る.ま

た 便 宜 上0個

の 〓加

群 の テ ンサ ー積 は 〓 で あ る と考 え る.   任 意 の 〓 加 群Mに 合 〓×Mか 〓,Mに

らMへ

つ い て 〓 MはMと

〓同 型 で あ る.な ぜ な ら直 積 集

の 写 像fをf(α,m)=αm∈Mに

よ っ て 定 め る と,fは

つ い て 双 線 型 で あ るか ら,f(α  m)=αmに

上 へ の 〓準 同 型 写 像 が 定 ま るが,一 はMか

ら 〓 Mへ

か らで あ る.(し

よ っ て 〓 Mか

方g(m)=1 

m,(m∈M),と

の 〓 準 同 型 写 像 で あ り,fとgと

らMの お く とg

は 互 い に 逆 写 像 とな る

ば し ば 用 い られ る こ の タ イ プの 論 法 に つ い て は,1.2例

題1

を 参 照.)   定 理1.21 

〓 が 単 位 元 を もつ 可 換 環,A,B,Cが

 証 明   (a  b,c)∈(A  B  Cと A 

お く と,fはA 

C  B  Cへ

B)×Cに B,Cに

の 〓 準 同 型 写 像fを

つ い てf(a 

〓 加 群 な らば,

b,c)=a 

c  b  c∈A 

つ い て 双 線 型 だ か ら,(A  定 め る.こ

のfは

B)  Cか

C  ら

上 へ の 写 像 で あ る.

一 方g(a  ら(A 

c)=(a 

B)  Cへ

てf,gは

0)  c,g(b 

c)=(0 

の 〓準 同 型 写 像gが

b)  cに

よ っ てA 

定 ま り,gはfの

C  B  Cか

逆 写 像 に な る.従

共 に 上 へ の 同 型 写 像 で あ る. 

  定 理1.22 

っ

(証終)

〓 が 単 位 元 を もつ 可 換 環,a,bが

〓 の イ デ ア ル な らば,〓

加群

と して  証明 

の 元(μmod a,νmod b)=(μ,ν)に

つ い て, 

とお く こ とに よ り,  型 写 像fが

定 ま る.一 方 α∈a,β ∈bな

(1  1)=α  1+1  β=0で は 

か ら 

の 上 へ の 〓準 同

らば 

に つ い て(α+β)

あ る か ら, 

か ら 

へ の 〓 準 同 型 写 像gを

定 め,gはfの

る. 

逆 とな (証終)

  次 に 加 群 の 外 積 と よば れ る も の に つ い て 説 明 し よ う.〓 を 単 位 元 を もつ 可 換 環,Mを1つ  の 元m1 

の 〓 加 群 と す る.Mのr個 …  mrで, m1,…,mrの

集 合 をN′ き 〓加 群

と し,N′

う ち 少 な く と も2つ

 とか い て,Mのr個

とす る.m1 

が一致 す る もの全体 の

 の 〓部 分 加 群 をNと

で 生 成 され る

 を

に よ っ て あ らわ す.定

の テ ンサ ー積

…  mrで

す る.こ

のと

の 外 積 とい う.便 宜 上 

代 表 され る

 の 元 をm1∧

…∧mr

義 か ら直 ち に わ か る よ うに

が な りた つ.   外 積 も万 有 写 像 性 を もつ こ とが 次 の 定 理 に よ っ て い い あ らわ され る.証 定 理1.20と   定 理1.23  集 合Mrか

明は

同 様,簡 単 で あ る. 〓 が 単 位 元 を もつ 可 換 環 で あ る と き,〓 加 群Mのr個 ら,任 意 の 〓加 群Nの

の 成 分 が 等 しい よ うなMrの

中 へ の 重 線 型 写 像fが,少

元 に つ い て は0に

な る な ら ば,次

の直 積 な く と も2つ の図式 を 可換

に す る 〓 線 型 写 像gが

存 在 す る.但

しf0は

標 準的 〓

線 型 写 像 で あ る.   外 積 を 実 際 に 用 い る に あ た っ て よ く利 用 され る 定 理 を こ こ で のべ よ う.  定 理1.24   な ら ば,

 (k≧0),の

Eに 属 す も の は0で

あ る.

  証 明   Er×Mkか

ら

∧mr+1∧

元m1∧

Eが

〓加 群Mの

…∧mr+kで,miの

〓部 分 加 群 で, う ち 少 な く と もr個

  へ の 写 像(e1,…,er,mr+1,…,mr+k)→e1∧

… ∧mr+kは,定

理1.20に

へ の 写 像 を 定 め る. 

い う よ う に 

で あ る か ら 

が

…∧er

か ら  従 っ て  (証終)

 定 理1.25  のiに

〓 が 単 位 元 を も つ 可 換 環,M1,M2,…,Mrが〓

つ い て  はs≦rな

で あ る な ら ば,直 ら ばMi1 Mi2 

同 型 で あ り,r<sな   証 明   ま ずE,Fが

らば0加

和M=M1 M2 

… Mi3,(i1
加 群 で,す …  Mrに

べて

つ い て, 

体 の 直和 と 〓

群 で あ る.

〓加 群 て 

である場合に 

の な りた つ こ とを い お う.そ れ に は こ の 両 辺 の 加 群 の そ れ ぞ れ 一 方 か ら 他 方 の 上 へ の 〓 準 同 型 写 像 を 定 め,そ せ ば よ い.ま ずE 

Fのs個

(ei∈E,fi∈F),に

よ っ て 定 め る と,φ

の うち 少 な く と も2つ こ れ で 定 理1.23に

れ ら が 互 い に 逆 に な っ て い る こ とを 示

の 直 積 集 合 か ら 

は 〓 重 線 型 で あ り,e1 f1,…,es 

が 一 致 す れ ば φは0と よ り, 

像 が 定 ま っ た こ と に な る.逆 に

へ の 写 像 φを

な る こ と が,φ

か ら 

fs

の 定 義 か ら い え る.

への 〓準 同型写

(e∈E,fi,fi′

∈F),は

上 へ の〓 準 同 型 写 像 ψ を 定 め るが,た

の

か ら 

前 定 理 に よ っ て 

しか にφ°ψ=idで

あ る.こ れ で 求 め る

結 果 が 得 られ た.   そ こ で 定 理 の 証 明 で あ るが,s=1な と し,E=M1,F=M2 

ら ば 定 理 は あ き らか で あ る か ら,r>1

…  Mrに

従 って 定 理1.21お

つ い て 上 の 結 果 を 用 い れ ば,

よび 帰 納 法 に よっ て定 理 が 得 られ る. 

(証終)

  テ ンサ ー積 の 概 念 は 環 に 拡 張 す る こ とが で き る.〓 加 群Aが〓 環 で あ る とは,Aが =a(λb)の

環 を な し,さ

ら に λ∈〓,a,b∈Aに

な りた つ こ とを い う.〓 の 上 の2つ

A1  A2に 

の上 の多 元

つ い て λ(ab)=(λa)b

の 多 元 環A1,A2が

あ る と き,

に よ っ て 積 を 定 義 す れ ば,A1 A2

は ま た〓 の 上 の 多 元 環 に な る.こ れ が 環 の テ ン サ ー 積 で あ る.   こ こ で,テ

ンサ ー積,外

積 の 本 書 に お け る 最 も重 要 な 応 用 と して,あ

加 群 の 直 和 分 解 の 一 意 性 を 証 明 す るが,そ Mの

元mに

す.こ

つ い て,am=0と

のmをmの

合Nに

な るa∈〓

位 数 イ デ ア ル,ま

つ い て は,Nの

と い う.〓=Zの

各 元 の0化

と き,(Z:m)が

  可 換 環〓 の1つ

の 前 に 少 し定 義 す る.ま

た は0化

の イ デ ア ルmを

イ デ ア ル と い う.Mの

元mの

回〓 加 群Mに

な

部 分集 イデ アル

位 数 に 等 しい.

の イ デ ア ル〓 を とれ ば,〓/aは

め た)に 他 な ら な い.巡

ず〓 加 群

イ デ ア ル の 共 通 部 分 をNの0化

の よ うな 加 群 を 巡 回 加 群 とい う.〓=Zな

  定 理1.26 〓

の 全 体 は,〓

る種 の

ら,巡

も ち ろ ん〓 加 群 で あ る.こ 回 加 群 は 巡 回 群(Z自

つ い て は 

身 も含

が な り た つ.

を 単 位 元 を も つ 可 換 環,  を〓

の イ デ ア ル の2つ

の 列 とす る.こ

  と 

と が〓

の と き,巡

回加 群 の直和

同 型 な ら ば,a1=b1,…,ar=br

で あ る.  証 明   定 理1.22お  の0化 に よ っ て 

よ び 定 理1.25に

イ デ ア ル で あ る.一

方biは 

で あ る か ら,ai=bi. 

よ り,i=1,2,…,rに の0化

つ い てaiは

イ デ ア ル で あ る.  (証 終)

  こ の 定 理 に お い て,2つ も,一

の 列 は 同 じ 長 さ と し た が,も

し長 さが 異 な っ て い て

方 の 列 の 末 尾 に さ ら に 〓 自 身 を イ デ ア ル と み て い く つ か つ け 加 え れ ば,

長 さ の 等 し い 場 合 に な る.こ   系1 

の こ とか ら 直 ち に 次 の 系 を 得 る.

〓 を 単 位 元 を も つ 可 換 環,  を

〓 の イ デ ア ル の2つ

の 列 とす る.こ

と  (i=1,2,…,r),で   〓 のr個

とが

〓 同 型 な ら ば,r=sで

と 同 型 な 〓 加 群Mを,自

の 上 の ベ ク トル 空 間 と い い,rをMの 〓 上 のr次

る と,Mの

回 加 群 の 直 和  か つai=bi,

あ る.

の 直 和 

う.Mが

の と き,巡

〓 の 上 の,ま

元 ベ ク トル 空 間 の と き,Mの

元 は す べ て 

た はM/〓

の 次 元 とい

元x1,…,xrを

適当に と

の よ う なx1,…,xr∈MをMの

上 の 一 般 の 加 群Mの

で 生 成 さ れ る 〓加 群 が 直 和  立 で あ る と い う.基

たは 〓

の 形 に 一 意 的 に あ らわ され

る こ と は 定 義 の い い か え に す ぎ な い が,こ に 関 す る 基 底 とい う.〓

由 加 群,ま

元x1,…,xrに

〓

つ い て,そ

に な る と き,x1,…,xrは

底 を な す 元 は1次

独 立 で あ る が,1次

し い 個 数 だ け あ っ て も 基 底 を な す と は か ぎ ら な い.定

れ ら

〓上1次

独

独 立 な元 が次 元 に等

理1.26の

系1に

よ っ て,

直ちに   系2 

可換 環

〓 の 上 の ベ ク トル 空 間 の 〓 上 の 基 底 は,常

に一 定 の個 数 の元

か ら な る.   が 得 ら れ る.ベ

ク トル 空 間 の 次 元 の 不 変 性 は,外

こ の よ うに 最 も 正 し く と ら え ら れ る の で あ る.定

積 を 用 い る こ と に よ っ て, 理1.26は

さ ら に,後

に のべ

る ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理 の 主 要 部 を な す も の で あ る.   外 積 の も う1つ の 著 しい 効 用 は,そ で あ る.こ

れ に よ っ て 行 列 式 の 理 論 の 本 質 が 理 解 され る こ と

こに そ の概 要 を の べ よ う.〓

加 群Mか

らMの

中 へ の 〓 準 同型 写 像 をM

の〓 自 己 準 同 型 写 像 とい う.特 に 同 型 写 像 に つ い て は 自己 同 型 写 像 とい う.Mの〓 己 準 同 型 写 像 全 体,す

な わ ちHom〓(M,M)をEnd〓Mと

f°gで あ る と定 義 す る こ とに よ り,End〓Mは〓   Mが

単 位 元 を もつ 可 換 環 〓 の上 のn次

底 とす れ ば,定

理1.22,定

理1.25に

か く.f,g∈End〓Mの

自 積を

上 の 多 元 環 を なす.

元 ベ ク トル 空 間 の と き,x1,…,xnを1つ

よ って, は 

の基

で 生 成 され る1次 元

ベ ク トル 空 間 で あ り,一 方Mの

任 意 の〓

自己 準 同 型 写 像 λは 

ら,〓 の元detλ が 

のそ れ を定 め るか

を満足 す る よ うに 定 ま る.こ

の

detλ を λの行列式 とい うので あ る.行 列式 の定 義の 式は,x1,x2,…,xnをMの

任意の

n個 の元 として もそ の ま まな りた って い る.こ の こ とか ら 

とい う

乗 法性 も直 ち に得 られ る.   x1,…,xnがM/〓

の 基 底 な ら ば,Mの

自己 準 同 型 写 像 λは  の形 の行列 で あ ら

わ さ れ る.λ →P(λ)を

λの 基 底x1,…,xnに

関 す る 正 則 表 現 とい う.

  detλ が 通常 の意味 でのP(λ)の 行列 式 に等 しい こ とは定 義か ら直 ちにわ か る.本 書 で は 今 までに まだ行 列 式を 必要 と しなか った か ら,今 ここで行列式 が は じめて定 義 された と考 えて も よい ので あ る.行 列 式 は加 群 の外積 を用 い るこ とに よって,こ の よ うにす ぐ れ た 内容的 定義 が あたえ られ るので あ る.   〓 の 上 のn次 元 ベ ク トル 空 間Aが す る と,A∋x→ax∈AはAの 像 の 正 則 表 現 をaの(左)正

特 に 多 元 環 で あ る と きに は,a∈Aを

固定

加 群 と して の 自己 準 同 型 写 像 で あ る.そ

の写

則 表 現 とい う.

  ベ ク トル 空 間 す な わ ち 自 由加 群 は 今 ま で 有 限 次 元 の も の だ け を 考 え た が,こ こ で 無 限 次 元 の も の に ふ れ て お こ う.一 般 に 無 限 個 の群 の 直 積 を 考 え る と き に は,単

に 直 積 集 合 の 元 全 体 を 考 え ず,適

当 に制 限 をつけ た いわ ゆ る制 限直 積 を

用 い る こ とが 多 い.単 位 元 を も つ 可 換 環 〓の 無 限 個 の 直 積 集 合 の 元 で,ほ ど す べ て の 成 分,す

な わ ち 有 限 個 以 外 の 成 分 が0に

て 得 られ る制 限 直 和 を,〓

な る よ うな も の だ け を 考 え

の上 の 無 限 次 元 ベ ク トル 空 間 とい う.従 っ て 無 限 次

元 ベ ク トル 空 間 の 基 底 とは,Mの Vの

とん

部 分 集 合Vで

有 限 個 の元 の 〓 係 数 の1次 結 合 と して,一

あ っ て,任

意 のm∈Mが

意 的 に あ ら わ さ れ る もの を い

う.本 書 で は 一 般 の 環 に つ い て 無 限 次 元 ベ ク トル 空 間 を 考 え る 必 要 は あ ま りな い が,特

に 〓 が 体 に な った 場 合 だ け を こ こ で 少 し くわ し く論 じて お く.

  定 理1.27 

体Fの

上 の 任 意 の 加 群Mは

間 で あ る.VがMの

部 分 集 合 で,Vの

な らば,Vを

含 むM/Fの

  証 明   Vを

含 む 集 合V′ で,そ

の うち に は,ツ

有 限 ま た は 無 限 次 限 の ベ ク トル 空 任 意 の有 限 個 の 元 がF上1次

独立

基 底 が 存 在 す る. の 任 意 の 有 限 個 の 元 がF上1次

ォル ンの 補 題 に よ って 極 大 な も の が 存 在 す る.そ

独 立 な もの れが基底 と

な る. 

(証 終)

  こ れ か ら 単 項 イ デ ア ル 整 域Iの

上 の 加 群 に か ぎ っ て,さ

ら に い くつ か の 重 要

な 結 果 を 出 す こ とに し よ う.   定 理1.28 

Mが

単 項 イ デ ア ル 整 域Iの

分 加 群 な ら ば,Nは

ま たI自

  証 明   x1,x2,…

由 加 群 で あ る.

をMの

分 加 群 をMnと

基 底 と す る.x1,x2,…,xnで

し,N∩Mn=Nnと

ア ル を な し,あ

るan∈Iで

の 係 数 がanで

あ るyn∈Nnを1つ

独 立 で あ る.な

ぜ な ら,有

+bn−1xn−1+anxnの ckが0と

の1次

生 成 さ れ るMのI部

お く.Nnの

生 成 さ れ る.そ

元 のxnの

こ で, 

ず つ と る と,任

つ い てx−cyn∈Mn−1.こ

対 し,xn

ら,ynがb1x1+…

後 の 番 号 の 係 数 が0,故

に 任 意 のx∈Mを

にす べ ての

と り,x∈Mnと

れ を く りか え せ ば,xが

す れ ば,適 有 限 個 のyk

結 合 と し て あ ら わ さ れ る. 

  こ の 定 理 に お い て はMが

イデ

意 有 限 個 のynはI上1次 が0な

形 で あ る こ と か ら,最

係 数 はIの

で あ るnに

限 和 

な る か ら で あ る.次

当 なc∈Iに

上 の 自 由 加 群 で,NがMのI部

(証 終)

可 算 個 の 元 か ら な る基 底 を も つ か の よ うな か き方 を した が,

ツ ォル ン の 補 題 と 同値 な整 列 原 理 とい うも の を 用 い れ ば,こ

の 証 明 法 は全 く一 般 の 場 合

に 適 用 で き る も の で あ る.   単 項 イ デ ア ル 整 域 上 の 自 由 加 群 の 部 分 加 群 は,非 も つ.そ

れ を い うの が 次 の 定 理 で あ る.

  定 理1.29  限 生 成I部

常 に 著 しい 一 種 の 標 準 形 を

Iを

単 項 イ デ ア ル 整 域,MをIの

分 加 群 とす る と,Nは

や は りI自

を 適 当 に え ら ん で お け ば,Nの

上 の 自 由 加 群,NをMの 由 加 群 で あ り,Mの

よ っ て,Nは

m>0と

し,mに

像 をfと

す る と,f(N)はIの

理1.11に

あ る よ うに と

の 条 件 の 下 に イ デ ア ル(a1),…,(am)は

  証 明   定 理1.28に

基 底x1,x2,…

基 底 と し てa1x1,…,amxm, 

を と る こ と が で き る.a1,…,amはai￨ai+1,(i=1,…,m−1),で る こ と が で き,こ

有

と に か くI自

関 す る 帰 納 法 で 証 明 を 行 う.Mか イ デ ア ル で あ る.従

よ っ て 極 大 な も の が 存 在 す る.そ

一 意 的 に 定 ま る.

由 加 群 で あ る.Nの らIの

中 へ のI準

っ て,f(N)の

の イ デ ア ル は,あ

次元 を 同型 写

うち に は 定 るI準

同型写 像

f1を

とれ ばf1(N)に

で 生 成 さ れ る.こ がa1で

等 し く な り,さ の と き,Mか

らIへ

(a1)の

にNか

元bをb=b1z1+b2z2+…

へ の1つ

のI準

と な る よ う なx1∈Mが

加 群 で あ る.さ

生 成 さ れ るI加

  Mか

固 定 す る と,

や は りI自

あ り,一

由 加 群 で あ り,そ 基 底x2,x3,…

よ びy1を っ てy1=a1x1

れ は1次

元 のI自

群

方 任 意 のx∈Mに

つ

でMが

生 成 され る

お け ば,N=Iy1 

N1と

あ る.故

を 適 当 に え ら べ ば,N1の れ でNの

由

M1とI加

の 次 元 はm−1で

と な る.こ

中

に よ っ てf1(x1)

お く と,MはM=Ix1 

様 にN∩f1−1(0)=N1と

が と れ,a2￨a3,…

らIの

た, 

よ っ てIx1とM1と

に 帰納 法 基 底 と して

基 底 と し てa1x1,a2x2,

と れ た こ と に な る. らIへ

のI準

同 型 写 像gを

切 れ な か っ た と す る と,Ix1で I準

を1つ

わ り切 れ,従

す れ ば,こ

ぜ な らIx1∩M1=0で

こ と が わ か る か ら で あ る.同

の 仮 定 に よ っ て,M1の

同 型 写 像 に つ い て,

で あ る こ と,お

す べ てa1で

群 をIx1と

い てx=f1(x)x1+(x−f1(x)x1)に

… ,amxmが

の 任 意 のI準

れ か ら, 

ら に,f1−1(0)=M1と

a2x2,a3x3,…

り大 き い イ デ ア ル を 生 成 し,

存 在 す る こ と が わ か る.ま

の 直 和 に 分 解 さ れ る.な

な る.N1は

結 合f′=cf1+

と あ ら わ し た と き,b→biはMか

の 形 に あ ら わ せ ば,biは

あ る .x1で

つ い て,g(y1)

数1次

関 す る 基 底z1,z2,…

同 型 写 像 で あ る.こ

b1z1+b2z2+…

の 適 当 なI係

らIへ

わ り切 れ る.MのIに

と れ ばa1=f1(y1)

同 型 写 像gに

つ く る と,f′(y1)が(a1)よ

極 大 性 に 反 す る.故

g(y1)はa1で

=1で

の あ るI準

わ り切 れ な い とす れ ば,f1とgと

c′g,(c,c′ ∈I),を

Mの

ら に あ るy1∈Nを

同 型 写 像g′

任 意 に と る と き,も

はf1と

に つ い て,g′(N)が(a1)よ

の 極 大 性 に 反 す る.故

にg(N1)はa1で

一 致 し,M1で

しg(N1)がa1で はgと

わ り

一 致 す る よ うな

り大 き い イ デ ア ル と な り,(a1) わ り切 れ,特

にa2,…,amがa1で

わ り切 れ る.   最 後 に,M/Nの Mと

元 で,0で

な い0化

す れ ば, 

は 定 理1.26に

イデ アルを もつ もの全 体 のなす 加 群 を 故 に イ デ ア ル(a1),…,(am)の

よ っ て 得 ら れ る. 

  こ の 定 理 の 応 用 と し て,ア

一 意性 (証 終)

ーベ ル 群 の 基 本 定 理 と称 せ られ る次 の 定 理 が 得 ら

れ る.   定 理1.30  は,有

(ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理)有

限個 の元 で生成 さ れ る ア ーベル群

限 個 の 有 限 ま た は 無 限 巡 回 群 の 直 積 で あ る.こ

の 直 積 分 解 に あ らわ れ る

無 限 巡 回 群 の 個 数 は 一 意 的 に 定 ま る.ま

た,同

の 位 数a1,…,arはa1￨a2,…,ar−1￨arと

な る よ うに と る こ と が で き,こ

の 下 でa1,…,arは   証 明   Mを

有 限 個 の 生 成 元b1,…,bnを 由 加 群 をM*と

よ っ て,Mの

as′xs′,(s≦n),の

の と き に は,直

群 と す る.x1,…,xnを

こ でa1′,…,as′

よ っ てM*か

を 適 当 に と れ ば,Hはa1′x1′,…,

に 

の 中には

±1が

あ ら わ れ る こ と も あ る.そ れ らをは ぶ いた も

む だ の な い 直 和 分 解 

が 得 ら れ,ai￨ai+1と

な る.一

意 性 の 主 張 は 定 理1.26,系1か

あ き ら か で あ る.    例 題1 

n個

上

と こ ろ で,

な い と 同 じ で あ る か ら,そ

す る と,Mの

らMの

す れ ば , 

基 底x1′,…,xn′

和 因 子Z/(at′)は

の をa1,…,arと

の 核 をHと

形 の 基 底 を も つ.故

と な る.こ

も つZ加

す る と,xi→biに

同 型 写 像 が 定 ま る.そ

定 理1.29に

の条 件

一 意 的 に 定 ま る.

基 底 とす るZ自 へ のZ準

じ分 解 に あ らわ れ る 有 限 巡 回 群

ら (証 終)

の 元 で 生 成 さ れ る ア ー ベ ル 群 の 部 分 群 はn個以

下 の元 で生成 さ

れ る.   解   Mが

有 限 個 の 生 成 元b1,…,bnを

とす る.n個

の 元x1,…,xnで

の 準 同 型 写 像 をxi→biで に よ ってn個   例 題2  な らば,abの らば,abの に は,位

生 成 さ れ るZ自

定 め,Nの

以 下 の 生 成 元 を も ち,そ

群Gの

元a,bが

位 数 はhとkと 位 数 はhkで

数 がhとkと

もつ 加 群,Nが

由 加 群M*か

逆 像 をN*と の 像 でNは

そ の部 分加 群 で あ る らMの

す る.N*は

上へ

定 理1.29

生 成 され る. 

(以上)

乗 法 に つ い て 可 換 で あ り,そ れ ら の 位 数 がh,k の最 小 公 倍 数 の 約 数 で あ る.特 に(h,k)=1な

あ る.一 般 にaとbと

で 生 成 され るGの

部分 群 の中

の 最 小 公 倍 数 に 等 しい も の が 存 在 す る.

  解   第1段

は あ き らか で あ る.(h,k)=1の

と,am=b−mと

な る.左 辺 の 位 数 はhの

と き,(ab)m=1と 約 数,右 辺 の 位 数 はkの

な った とす る 約 数 で あ るか

ら,両 kで

辺 と も 実 は 位 数 が1,従 わ り切 れ,hkの

っ てam=b−m=1と

倍 数 で あ る.す

な わ ちabの

た び 一 般 の 場 合 に も ど り,(h,k)=dと 互 い に 素 な 因 子d1,d2の で き る.ad/d1,bd/d2の ad/d1bd/d2の

な る.故

にmはhお

位 数 はhkに

す る,(h/d,k/d)=1で

等 し い.ふ

位 数 はhk/dに

等 し い.hk/dは

す る ことが な り互 い に 素 だ か ら,

定 理1.10に

よ っ てhとkと

の最

小 公 倍 数 で あ る.    例 題3  h1,h2の の2つ h1の

aで

(以 上)

生 成 さ れ る 巡 回 群Zの

位 数hが,2つ

積 な ら ば,Zはa1=ah2,a2=ah1の の 巡 回 群 の 直 積 に な る.逆

巡 回 群Z1,位

ば,Z1×Z2は

た

あ る か ら,dを

積 に わ け,(d1,k/d)=1,(d2,h/d)=1と 位 数 は そ れ ぞ れhd1/d,kd2/dと

よび

数h2の

生 成 す る,位 に,互

数 が そ れ ぞ れh1,h2

い に 素 な 自 然h1,h2に

巡 回 群Z2が

位 数 がh1h2の

の互 いに 素 な 自然数

あ り,a1,a2が

つ い て,位

数

それ らの生成 元 な ら

巡 回 群 で あ り,(a1,a2)∈Z1×Z2が

そ の1つ

の生

成 元 で あ る.   解   a1,a2で

生 成 さ れ る 巡 回 群 を そ れ ぞ れZ1,Z2と

にZはZ1×Z2と

同 型 な 群 を 含 む が,位

す れ ば,Z1∩Z2=1.故

数 の 関 係 か らZ=Z1×Z2と

な る.後

段 は 前 例 題 か ら あ き ら か で あ る.    例 題4 

位 数hの

分 群 で 位 数 がdの   解   Zの る.逆

巡 回 群 をZと も の が た た1つ

生 成元 を

にH′

がZの

か ら σh/d∈H′.故

い て σmの

位 数 をdと

(m)∩(n)で

巡 回 群 で,σ

生 成 さ れ る 部 分 群 をHと イ デ ア ル(m)か

つ い て,Zの

部

らHの

位 数 がdで

あ る と す る.(Z:H′)=h/dで な る. 

あ ある

(以 上)

が そ の 生 成 元 で あ る と き,m∈Zに

す れ ば,n/d=(m,n)が

つ

な りた つ. し,mの

倍 数xに

σxを 対 応 さ せ れ

上 へ の 準 同 型 写 像 が 得 ら れ,そ

に 

((m,n):n)=(Z:(n))/(Z:(m,n))で   定 理1.29 

生 成 す る 部 分 群Hは

⊃HでH′=Hと

位 数nの

あ る.故

任 意 の 約 数dに

だ け 存 在 す る.

σ と す る と,σh/dの

にH′

Zが

ば,Zの

す る と,hの

部 分 群 で 位 数 がdで

  例 題5 

  解   σmで

(以 上)

の核 は

と な る.d=￨H￨= あ る か ら 求 め る 結 果 を 得 る.  (以 上)

と あ る 意 味 で 双 対 的 な も の と し て,単

項 イデ アル整 域上 の 自由加

群 の 間 の 準 同 型 写 像 に つ い て,一   定 理1.31 

種 の 標 準 形 を あ た え る 定 理 が あ る.

単 項 イ デ ア ル 整 域I上 型 写 像fが

のm次

元 自 由 加 群Mか

加 群Nへ

のI線

あ る と き,Mの

y1,y2,…

を 適 当 に と れ ば,f(xi)=aiyi,(ai∈I,i=1,…,m),が

aiはai￨ai+1,(i=1,…,n−1),と

核 をM0と

れ ら の 元 の 代 表 す るM/M0の

で あ る か ら,

と り,Mの

あ る.但

よ う に と れ る こ と は 定 理1.29に でa1y1,…,aryrがf(M)の

しi>rな

従 って 生成 す

M0と

な っ て い る.

基 底 と し てx1,…,xmを

用 い れ ば,

らai=0で

含 ま れ て い る.ま

あ る.ai￨ai+1と たy1,y2,…

任 意 に と る と き,m×n型

(証 終)

元 自 由 加 群Nへ のI上

のI線

項 イ デ ア ル 整 域I上

型 写 像fは,M,Nの

上 の 行 列Aに

と で き る こ とに 他 な ら な い.一

対 し,正

理1.27に

方 可 逆 行 列P,Qを

意 的 に 定 ま る(a1),…,(ar)をAの

のm次 基 底を

の 行 列 で あ ら わ す こ と が で き る.基

が 可 逆 な 正 方 行 列 で あ ら わ さ れ る こ と を 考 え れ ば,定 別 の 基 底 の 存 在 は,Iの

基底

一 意 性 もや

一 部 で あ る. 

らn次

なる

がNの

基 底 で あ る こ と を 考 え れ ば,(ai)の

  こ の 定 理 は い わ ゆ る 単 因 子 論 の 主 定 理 で あ る.単 元 自 由 加 群Mか

と れ ば,こ

元 自 由 部 分 加 群M1を

の 同 型 対 応 を あ た え,M=M1 

た し か にf(xi)=aiyiで

理1.29

基 底 を な す.x1,…,xrは

独 立 と な り,Mのr次

基 底xr+1,…,xmを

は り定 理1.29の

由 加 群 で あ り,定

な るx1,…,xr∈Mを

類 がM/M0の

る.fはM1とf(M)と 故 にM0の

の 条件 の下

す る と, 

由 加 群 で あ り,f(xi)=aiyiと

関 して1次

底

を 適 当 に と れ ばa1y1,…,aryr, 

基 底 と な る.fの

そ れ 自 身Iに

よ びN基

な りた つ.

分 加 群 で あ る か ら,I自

基 底y1,y2,…

M/M0はI自

の 自由

一 意 的 に 定 ま る.

  証 明   f(M)はNのI部

がf(M)の

基 底x1,…,xm,お

な る よ う に と る こ と が で き,こ

で イ デ ア ル(a1),…,(am)は

に よ っ て,Nの

ら,I上

底 の変換

い う よ うな 特 とって

単 因子 と

い う.   例 題6 

Aが

単 項 イ デ ア ル 整 域I上

のm×n型

の 行 列 の と き,Aのi次

の 小 行 列 式 の 最 大 公 約 イ デ ア ル を(di)と

す れ ば,Aの

単 因 子(a1),…,(ar)

は,(d1)=(a1),(d2)=(a1a2),…,dr=(a1a2…ar),dr+1=dr+2=…=0に

よ

っ て 定 ま る.   解   可 逆 行 列 を 左 右 か ら か け て も,i次

の小 行 列 式 で 生 成 され る イ デ ア ルは

不 変 だ か ら で あ る.    例 題7 

(以 上)

を 第1行

m1,m2,…,mr∈Zで,(m1,m2,…,mr)=1な と す るZ上

の 正 方 行 列 で,行

ら ば,m1,m2,…,mr 列 式 が1の

も の が 存 在 す る こ とを 証 明

せ よ.   解   Z上

の 可 逆 正 方 行 列Pを

と り,(m1,m2,…,mr)P=(1,0,…,0)と

して

か ら 考 え れ ば あ き ら か で あ る.    例 題8 

(以 上)

単 因 子 の 理 論 を 用 い て,連

1≦j≦n,aij,bj∈Z),の

立1次

方 程 式 

(1≦i≦m,

  解   行 列(aij)を

有 理 整 数 解 を 求 め る 方 法 を 研 究 せ よ. 単 因 子 論 に よ っ て 対 角 形 に 直 せ ば,簡

単 な こ と に す ぎな

い. 

(以 上)

  こ の 節 の 終 りに,体

上 の 行 列 の い わ ゆ る 標 準 形 と よ ば れ る も の も,や

群 の 理 論 の 一 部 に 他 な ら な い こ と を 示 そ う.Fを 列 と し,P(x)=xI−Aと 上 のn次

お く.Iはn次

元 ベ ク トル 空 間 をMと

に うつ す 写 像 をfと

す る.fは〓

体,AをF上

の 単 位 行 列,xは

のn×n型

し,M∋(c1(x),…,cn(x))=〓

を〓P(x)∈M

準 同 型 写 像 で あ る.P(x)の

る.deg

す べ て 定 数 で な く,a1の

ai(x)=niと

よ っ てF[x]/(ai(x))はF上ni次

単 因 子 は,  い う 形 を し て い る.

前 に あ ら わ れ る1の

す れ ば,ni≦ni+1で, 

個 数 はn−rで

で あ る か ら,定

元 の ベ ク トル 空 間 で あ り, 

の ベ ク トル 空 間 で あ る.(1,0,…,0),(0,1,…,0),(0,0,…,1)∈Mの 元 を そ れ ぞ れe1,e2,…,enと

で 生 成 さ れ る が,Mの

あ

理1.15に

に よ っ て,M=M/f(M)はF上n次

Mの

行

変 数 で あ る.〓=F[x]

か ら,1,…,1,a1(x),…,ar(x),(ai(x)￨ai+1(x)),と 但 しai(x)は

は り加

す れ ば,Mは〓

像 とな る 加 群 と し てe1

作 り方 か らx(e1,…,en)=(e1,…en)Aで  で あ り,e1,e2,…,enはM/Fの

元

,e2,…,en あ る か ら,

基 底 で あ る.さ

て,

一 般 にa(x)=xm+α1xm−1+…+αm,(αi∈F),の の 基 底 は,代 と れ る.こ

で あ る.従

表 す る 類 をxの

と き ,F[x]/(a(x))のF上

よ う に あ ら わ す も の とす れ ば,1,x,…,xm−1で

の とき

っ て,上

のF[x]/(ai(x))に

つ い て,す

べ てxの

ベ キ に よ る基 底

を と る こ と に よ り,

と な るF上

の 行 列Pの

行 列Aの

標 準 形 と い う.

  も し,す

存 在 す る こ と が わ か る.こ

べ て のai(x)がFで1次

因 子 の積 に 分 解 して い る とす れ ば,例

考 え 方 に よ っ て,F[x]/(ai(x))を こ とが で き る.こ

の 式 に あ ら わ れ るP−1APを

さ らにF[x]/((x−

の と きx− λ=yと

題3と

同じ

λ)e)の 形 の 加 群 の 直 和 に 分 解 す る

して,F[x]/((x−

λ)e)の 基 底 に1,y,…,ye−1を

とれ ば,

従 って,F上

の行 列Pを 適 当に とれ ば,P−1APは

上 式に あ らわれ る よ うな 形の正 方行 列

が,何 個 か対角形 に な らんだ ものにな る.こ の よ うなP−1APをAの

ジ ョルダ ン(Jordan)

の 標準 形 とい う.   以 上 に よ っ て,行

列 の 標 準 形 がP(x)=xI−Aの

単 因子 に よって具 体 的 にか

き あ らわ さ れ る こ と が あ き ら か に され た の で あ る.p(x)=det(xI−A)を

行列

Aの 特 性 多 項 式,ま

の線

た はAを

ベ ク トル 空 間 の 線 型 写 像 とみ た と き に は,そ

型 写 像 の特 性 多 項 式 とい う.Aは

ベ ク トル 空 間 の 基 底 の と り方 に よ るが,特

性

多 項 式 は そ うで は な く,線 型 写 像 そ の もの で き ま る の で あ る.   上 の 考 察 の 要 点 は,F上 F[x]加

群 で あ り,xの

ろ に あ った.こ

の 行 列Aに 作 用 がAに

対 して,F上

の ベ ク トル 空 間 で あ って

よ る1次 変 換 に 等 しい も のMを

の よ うな ベ ク トル 空 間 を 用 い て,さ

作 る とこ

ら に い くつ か の 結 論 が 出せ

る.た

と え ば,任

意 の〓 ∈Mに

ら に(xI−A)の p(x)はAの =0と

つ い て,〓(xI−A)=0だ

か ら,こ

余 因 子 行 列 を か け る こ と に よ り,〓 特 性 多 項 式 で あ る.こ

の 作 り方 か ら,xI−Aの

・p(x)=0が

れ はp(A)=0を

な る 最 も 次 数 の 低 い 多 項 式 をAの

得 ら れ る.

意 味 す る.さ

ら に,f(A)

最 小 多 項 式 と い う こ と に す れ ば,M

単 因 子 の う ち 最 大 の も の,す

右 下 の 端 に く る も の がAの

の右 か ら さ

なわ ち 今 まで の表 示 で

最 小 多 項 式 に な る こ と が わ か る.従

って 次 の 定 理

を 得 る.   定 理1.32 

体F上

の 行 列Aの

と す れ ば,p(x)はf(x)で はf(x)のベ

わ り切 れ る.も

の 応 用 と し て,体

明 し よ う.A=(aij),B=(bij)を き,A  …,em,お

しf(x)がFで

小 多 項 式 をf(x) 既 約 な ら,p(x)

キ で あ る.

  行 列 の 標 準 形 の1つ

A,Bを

特 性 多 項 式 をp(x),最

B=(aijB)に

上 の 行 列 の テ ン サ ー 積 に 関 す る1つ の 定 理 を 証

体Fの

上 の そ れ ぞ れm次,n次

よ って 定 め られ る行 列A 

そ れ ぞれF上

のm,n次

よびf1,…,fnに

BをAとBと

の 正 方 行 列 とす る と の テ ンサ ー積 とい う.

元 の ベ ク トル 空 間 の 自己 準 同 型 写像 λ,μ の,基

よ る正 則 表 現 と み れ ば ,A 

に よ って 定 ま るM 

Nの

Bは 

自 己 準 同 型 写 像 λ μを,基

底 

で 正 則 表 現 して 得 られ る行 列 に 他 な ら な い.こ (A  B)(A′  B′)=AA′    定 理1.33  体F上 =(detA)n(detB)mが

の こ とか ら

BB′ が わ か る.

のm次,お よびn次 な りた つ.

の2つ

の 正 方 行 列A,Bに

  証 明   Aが 標 準 形 に な っ て い る も の と して よ い,そ

とな り,detA=(−1)mam,det(A 

つ い て,det(A 

B)

うす る と

B)=(−1)mnanm(detB)m.故

=(detA)n(detB)m. 

にdet(A 

B)

(証 終)

  こ の 定 理 は 行 列 の 標 準 形 に よ らな くて も,外

積 を 用 い て,一

般 の可 換環上 の行 列 につ

い て 証 明 で きる も の で あ る.

1.6  ガ ロ ア 理 論 よ り  こ こ で は,ガ

底e1,

ロ ア(Galois)理 論 を 主 眼 と して,体 論 の 知 識 を 整 理 す る.

  体Kが

体Fを

部 分 体 と して 含 む と き,KはFの

拡 大 体 で あ る とい う.F

の 元 の 作 用 を 体 の 中 で の 乗 法 で 定 義 す れ ば,KはF上 ら れ る."Fの

拡 大 体Kの",あ

る い は"Fに

関 す るKの"と

ク トル 空 間 の とき と同 じ よ うに,"K/Fの"と 分 体 でFを

含 む と き,LはK/Fの

の0点,あ

るい はf(x)=0の

のベ ク トル 空 間 と 考 え い う代 りに,ベ

い う こ とに す る.LがKの

部

部 分 体 で あ る とい う.体 の 上 の 多 項 式f(x) 根 とい う言 葉 は,通

常 どお り,代 入 して0を 得

る元 とい う意 味 で 用 い る.環 の 場 合 に 導 入 した 代 数 的 とい う概 念 と 整 とい う概 念 は 体 の 上 で は 一 致 す る.   K/Fに

お い て,Fに

う.Kの

各 元 がFに

関 して 代 数 的 で な い 元 をFに

関 して 超 越 的 で あ る と い

関 して 代 数 的 で あ る と き,K/Fは

代数 的拡 大 体 で あ る と

い う.代 数 的 で な い 拡 大 体 を 超 越 的 拡 大 体 とい う.   K/Fに ば,Fと

お い て,KがFとKの1つ

の 元 α とで 生 成 され る と き,い い か え れ

α と を 含 む 最 小 の 体 がKと

き る と い い,K=F(α)と

か く.同

加 した 体 も考 え られ る.α

がFに

一 致 す る と き,KはFに 様 にF(α1,…,α2)の

と を 含 む 最 小 のL/Fの K2の

  K/FがF上

共 に 拡 大 体L/Fの

れ をK1K2と

か い て,K1と

くの 体 の 合 併 も 同 じ よう に 定 義 す る.

ク トル 空 間 と して のK/Fの

次 数 とい って(K:F)で

あ らわ す.ま

て の 基 底x1…,xnを,体KのFに ぞ れm次,n次 x1,…,xnな

部 分 体 な らば,K1とK2

の ベ ク トル 空 間 と して 有 限 次 元 で あ る と き,KはFの

大 体 で あ る と い い,ベ

たKのFに

関す る

関 す る ベ ク トル 空 間 と し

関 す る 基 底 とい う.L/K,K/Fが

ら ば, 

大 体 とい う.そ

有 限次 拡

次 元 を,KのFに

の 有 限 次 拡 大 体 で,L/K,K/Fの

故 に(L:K)(K:F)=(L:F)が

の

の 元 を 添 加 して得 られ る 拡 大 体 を 単

部 分 体 が 存 在 す る.そ

合 併 ま た は 合 成 体 とい う.多

よ うに 多 くの 元 を 添

つ い て 超 越 的 な らば,K=F(α)はF上

1変 数 有 理 関 数 体 と同 じ もの で あ る.1つ 純 拡 大 体 と い う.K1/F,K2/Fが

α を 添 加 して で

基 底 が そ れ ぞ れy1,…,ym, の 全 体 はL/Fの

な りた つ.有

の と き は(K:F)=∞

間 とみ て 基 底 を 考 え る こ とが で き る.

それ

基 底 を な す.

限次 で ない拡 大体 を 無 限次 拡

とか く.無

限 次 拡 大 体 も,ベ

ク トル 空

  超 越 的 拡 大 体K/Fは

必 ず 無 限 次 で あ る.従

って有 限 次拡 大体 は 代 数的 で あ

る が,代 数 的 で も有 限 次 とは い え な い.   体Fの

拡 大 体 の 元 α が,Fに

属 す あ る多 項 式 の0点

関 して 代 数 的 で あ れ ば,α は 多 項 式 環F[x]に

と な る.α

を0点 に もつF[x]の

多 項 式 全 体 はF[x]

の 素 イ デ ア ル を な す.そ

れ を 生 成 す るp(x)∈F[x]はF[x]の

あ る.p(x)を

関 す る最 小 多 項 式 とい う.こ れ は 定 数 因 子 を の ぞ い て

α のFに

既 約多項 式 で

一 意 的 に定 ま る.   体Fの

拡 大 体K1,K2に

お い て,K1か

を そ れ 自 身 に う つ し て い る と き,こ K1/Fか

らK2/Fへ

け で な く,F加   定 理1.34 

中 へ の 同 型 写 像 がFの

の 同 型 写 像 をFの

の 同 型 写 像 とい う.こ

れ はK1と

元

上 の 同型写 像 また は そ の 像 とが 体 と して だ

群 と して も 同 型 とい う こ とに 他 な ら な い. 体Fで

られ る体F(α)は,剰

既 約 な 多 項 式f(x)の1つ

  証 明   (f(x))が

の0点

余 体F[x]/(f(x))とF上

で あ り,(K:F)=degfで

(f(x))は

らK2の

α をFに

同 型 で あ る.F(α)=F[α]

あ る.

定 理1.9に

よ っ てF[x]の

極 大 イ デ ア ル で あ るか らF[x]/

た しか に 体 で あ る. 

あ り,F(α)がF[x]/(f(x))とF上

に よ りF(α)=F[α]で 同 型 に な る.最 後 の 主 張 は 定 理1.15に

よっ て あ き ら か で あ る.    例 題1  K/F,L/Kが

添 加 して 得

(証終) 共 に 代 数 的 拡 大 体 な らば,L/Fも

代 数 的 で あ る.

  解 で 

と す れ ば,  だ か ら(K(θ):F)

<∞.    体Ω

(以上) が 自分 自身 以 外 に 代 数 的 拡 大 体 を もた な い と き,Ω

る とい う.Ω

が 代 数 的 閉 体 で あ るた め に は,Ω[x]の

で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.Ω 的 閉 体 で あ る と き,Ω  定 理1.35  は,F上

をFの

任 意 の 体Fは

が 体Fの

は 代数 的 閉 体 であ

既 約 多 項 式 が すべ て1次

代 数 的 拡 大 体 で あ り,し か も代 数

代 数 的 閉 包 とい う. 代 数 的 閉 包 を もつ.Fの2つ

の 同 型 対 応 が 存 在 す る.

の代 数 的 閉包 の間に

  証 明   Fの 代 数 的 拡 大 体 全 体 の 族 を 考 え る と,そ れ は 包 含 関 係 に よ っ て 帰 納 的 順 序 集 合 を な す.な

ぜ な ら,そ の 族 の 全 順 序 部 分 族 は,そ

の 部分 族 に属す 体

全 部 の 合 成 体 を 上 端 と して もつ か らで あ る.故 に ツ ォルン の 補 題 に よ って,今 考 え て い る族 の 中 に 極 大 元Ω に 反 す る か ら(例 題1),Ω 在 が わ か った.次

が 存 在 す る.Ω

は 代 数 的 閉 体 で あ る.こ

にΩ1/Fを

中 へ の 同 型 写 像 をfと

を 入 れ る.そ

の 入 れ 方 は,そ

で あ っ て,f′

で あ る.こ

がfの

し,(K,f)と

の よ うな2つ

代 数 的 閉包 の存

の組(K,f),(K′,f′)に

の1つ

つ い て, と定 義 す る の

い う組 全 体 は 帰 納 的 順 序 集 合 を な し,

しΩ の 元 α でΩ′ に 属 さな い もの が あ れ ば,α の

Ω′に 関 す る 最 小 多 項 式 を,係 数 ご と にφ を つ け てφ(Ω′)[x]の そ の0点

部 分 体K

い う組 全 体 の 集 合 に 順 序

延 長 で あ る と き 

の よ うに す る と,(K,f)と

極 大 元(Ω′,φ)を も つ.も

れ でFの

も う1つ の 代 数 的 閉 包 とす る.Ω/Fの

か らΩ1/Fの

K⊂K′

が 代 数 的拡 大体 を もて ば極大 性

を α′とす れ ば,定

理1.34に

多 項 式 に し,

よ っ て,Ω′(α)か らφ(Ω′)(α′)

の 上 へ の 同 型 写 像 でφ の 延 長 に な る も の が 得 られ るか ら,(Ω′,φ)の 極 大 性 に 反 す る.故

にΩ′=Ω

で な け れ ば な ら な い.ま

分 体 で あ り,従 っ てΩ1と

一 致 す る.故 にφ

たφ(Ω′)はΩ1の はΩ

とΩ1と

対 応 を あ た え る. 

のFの

代 数 的閉 部 上 の 同型 (証終)

  複素 数体 が代数 的 閉体 で あ るこ とは よ く知 られ てい る.複 素 数の 中で 有理数 体Qに い て代 数的 な もの全 体は代 数 的閉 体 をなす(例題1).こ   定理1.35の る.そ れ は"Fの

つ

れ がQの 代 数的 閉包 で あ る.

証 明の前半,す な わ ち 代 数的 閉包 の存在 をい うところに はやや 問題が あ すべ て の代数 的拡 大 体の族"と い うよ うな ものを考 えて も よ い か とい

う点で あ る.実 際,集 合論 で はあ ま り広 汎な ものの集 ま りは それ 自身 矛盾 を含 んで しま うこ とが知 られ てい る.Fを

含 む代 数的 拡大 体 の族 を無 制限 に ひろ く とれ ば,や は りそ

れ 自体 が矛 盾を含 み,そ れを 用い た証 明は完全 とは いえな い.よ は,Fの

り厳 密 な証 明を得 るに

代 数的 拡大 体全 部 を考 え る代 りに,適 当に制 限 され た ものだ け を考 え るよ うに

す れば よい ので あ るが,そ れ は技 術 的に 多少 めん ど うで あ り,ま た 今問題 に してい る こ と自体 が,集 合 の定 義 とか矛 盾 の分析 とい った こ とに深 く立 ち入 らな けれ ば,論 との意 義 さ え理解 しが た い.そ

じる こ

こで 本書 の 目的 か らあ ま りそれ るのを さけ る た め に,

代 数的閉 包 の存在 は これ以 上 追究 せず に承 認す る こ とに し,ただ それが 多 少特殊 な性 格 の もので あ る こと,お よびそ の証 明の要 旨は上 に のべた とお りで あ る こ とをい うに 止 め て お く.

  体Fの き,す

上 の 多 項 式f(x)がFの

な わ ちf(x)=0の

い う.特

根 が す べ てKに

に,Fにf(x)=0の

一 致す る とき 在 し,F上

拡 大 体Kで1次

因 子 の積 に 分 解 す る と

入 る とき,Kをf(x)の

分解体 と

根 を 全 部 添 加 し て得 られ るKの

,Kをf(x)の

最 小 分 解 体 と い う.f(x)の

部 分 体 がKと

最 小分 解体 は必 ず存

の 同 型 を の ぞ い て 一 意 的 に 定 ま る.こ れ は 定 理1.35か

らの当 然 の

帰 結 で あ る.   体Fを

加 法 に 関 してZ加

整 数p≧0をFの は,任

群 とみ た と き,1の

標 数 とい う.pは

意 の 元 をp個 加 え れ ば0に

素 数 ま た は0で

+βpの

数 がp>0の

体 で は,任

な りた つ こ と,従

あ り,標 数p>0の

な る.本 書 で は,標 数 が0で

デ ア ル に よ る代 数 体 の 整 数 環 の 剰 余 体,従 あ る.標

位 数 イ デ ア ル を 生 成 す る有 理

意 の2つ

体で

な い 体 は,素

イ

っ て 有 限 体 と して あ らわ れ る だ け で の 元 α,β に つ い て(α+β)p=αp

っ て α→ αpが 部 分 体 の 上 へ の 同 型 写 像 に な る こ と

が 著 しい 事 実 で あ る.   標 数0の

体 はZと

同 型 な 部 分 整 域 を 含 み,従

型 な 体 を 含 む.こ の よ うにQは ら,標

数0の

はZか

素 体 と よ ば れ る.Fを

らFの

有 限 体 は 標 数pの

て,そ

同

す べ て の 体 に 含 まれ る と考 え られ るか

標 数p>0の

体 とす る と,Z∋a→a・1∈F

中 へ の 環 と して の 準 同 型 写 像 で あ り,そ

で あ る.故にFはZ/(p)と

  体Fの

標 数0の

っ て そ の商 体 と してQと

同 型 な 体 を 含 む.こ

の 核 は イ デ ア ル(p)

の 意 味 でp個

の元 か ら な る

素 体 と よば れ る.

元 を 係 数 と す る 多 項 式f(x)=a0xn+a1xn−1+…+an−1x+anに

つい

の 導 関 数 を 形 式 的 にf′(x)=na0xn−1+(n−1)a1xn−2+…+an−1で

定義

す る.f′(x)∈F[x]で (fg)′=f′g+fg′ 代 数 的 閉 拡 大 体Ω

あ り,ま たf,g∈F[x]に

つ い て(f+g)′=f′+g′,

の な りた つ こ とは 容 易 に た しか め られ る.ま

たFの1つ

を と り,f(x)∈F[x]がΩ[x]でf(x)=(x−

の

α)ag(x),

 と分 解 した とす れ ば,f′(x)=a(x−α)a−1g(x)+(x−α)ag′(x) で あ る か ら,a=1な =0が

ら 

な らf′(α)=0と

重 根 を もた な い た め の 必 要 十 分 条 件 が

れ る こ とが わ か る.こ

な る.故

,(f(x),f′(x))=1で

の 性 質 を もつ 多 項 式 を 分 離 多 項 式,そ

にf(x) あた え ら

うで な い も の を

非 分 離 多 項 式 とい う.   体Fに

関 して 代 数 的 な 元 α の,Fに

式 な らば,α

関 す る最 小 多 項 式 がF[x]の

はFに 関 して 分 離 的 で あ る とい い,そ

る と い う.Fの

代 数 的 拡 大 体Kの

を 分 離 的 拡 大 体,そ f(x)がn次

うで な け れ ば 非 分 離 的 で あ

元 が すべ てFに

つ い て 分 離 的 な とき,K/F

うで な い と き非 分 離 的 拡 大 体 とい う.標

数0の

既 約 多 項 式 で あ る とす れ ば,f′(x)はn−1次

(f(x),f′(x))=1で

あ る.故 にf(x)は

分 離多 項

分 離 的 で,従

体 で は,

で あ る か ら,

っ て 標 数0の

体 は 非分 離

拡 大 体 を もた な い.   非 分 離 的 な 拡 大 体 が あ ら わ れ る の は,標

数p>0の

体 特 有 の 現 象 で あ り,そ

の と りあ つ か い は しば しば や っ か い な 問 題 とな る.本 書 で は 非 分 離 的 拡 大 を 用 い る こ と は な い が,分

離 非 分 離 の 区 別 を す る こ とは 必 要 な の で,こ れ か ら しば

ら くそ の 方 向 の 考 察 を 行 う.   可 換 環Fか

らFを 含 む 可 換 環F′

=Dα+Dβ,Dα

β=αDβ+βDα

微 分 とい う.F,F′ の 微 分 全 体 はF′ F=F′

ば,Kの

加 群 を な す.恒

K=F(α)が

微 分DでFに

体Fの

の 条 件:D(α+β)

を み た す と き ,DをFの(F′

を 固 定 す れ ば,(γD)α=γ(Dα)と

の と き の 微 分 を 単 にFの

  定 理1.36 

の 中 へ の 写 像Dが,2つ

等 的 に0を

に 値 を と る)

す る こ とに よ っ て,F

と る微 分 を0微

分 とい う.ま

微 分 とい う. 単 純 代 数 的 拡 大 体 で,α

がF上

分離的なら

制 限 す る と0微 分 に な る も の は0微 分 しか な い.α

非 分 離 的 な ら ば,Kの0で

た

な い 微 分 で あ って,Fに

が

制 限 す る と0微 分 に な る も

の が 存 在 す る.   証 明   α のFに

関 す る最 小 多 項 式 をf(x)=xn+c1xn−1+…+cnと

が 分 離 的 と し,DをKの =Df(α)=f′(α)Dα い.次

で あ るが, 

∈F),と

微 分Dは(f(x))を

あ るか ら,Dγ=0,(γ そ れ 自身 に うつ す.従

微 分 とみ な す こ とが で き,Dα=1,Dγ=0,(γ

  定 理1.37 

体Fの 微 分Dは,α

な る もの とす れ ば,0

だ か らDα=0で

に α が 非 分 離 的 な ら,f′(x)=0で

で 定 ま るF[x]の にKの

微 分 でDγ=0,(γ

がF上

す る.α

∈F),で

な けれ ば な らな ∈F),Dx=1 っ てDを

自然

あ る. (証終)

非 分 離 代 数 的 で な い か ぎ り,Fの

単

純 拡 大 体F(α)の

微 分 に 延 長 で き る.

  証 明   γ∈F(x),(xは F(x)に Dを

変 数),を

値 を と るF[x]の

任 意 に と っ て,Dx=γ

微 分 に 延 長 で き る.従

さ らに 商 体 

とす れ ば,Dは

っ て α がF上

超 越 的 な ら,

ま で通 常 の微 分 の 公 式 に よ っ て 延 長 す る こ と が

で き る.   α がF上 分 離 的 で,f(x)が a(x)∈F[x]に

α のFに

関 す る 最 小 多 項 式 な ら ば,ま ず 任 意 の

つ い て,D(a(x)f(x))=a(x)Df(x)+f(x)Da(x)=a(x)(fD(x)

+f′(x)Dx)+f(x)(aD(x)+a′(x)Dx)が a0xn+a1xn−1+…+an=h(x)な い うこ と で あ る.従

な るFの

の 意 味 は,

な る よ うにDx∈F(x)を

と

α を 代 入 した 結 果 は0で あ る.故 にfD(α)+f′(α)Dα

微 分Dで,も

とのDの 延 長 に な って い る も の が 得 られ る. (証終)

 上 の2定 理 とも,証 明には 定理1.34が   例 題2  体F上

こ でfD等

らhD(x)=(Da0)xn+(Da1)xn−1+…+Danと

ってfD(x)+f′(x)Dx=0と

れ ば,D(a(x)f(x))に =0と

な りた つ.こ

用 い られ てい る.

の 有 理 関 数 体F(x1,…,xn)の

微 分 で あ っ て,Fで0微

分に

な る も の を す べ て 決 定 せ よ.   解   Dixj=δij,(ク F(x1,…,xn)係

数 の1次

  定 理1.38  分 体K0を

体Fの

γ=aβ,ま

これ は 

の 微 分D1,…,Dnの,

結 合 全 体 で あ る. 

代 数 的 拡 大 体Kの

つ い て 分 離 的 なKの

た は γ=α ± β とお く.  つFへ

定 理1.37に と もに0微

定 ま るn個

元 でF上

(以上) 分 離 的 な も の 全 体 はKの

部

な す.

  証 明   K0をFに

あ り,か

ロ ネ ッカ ー の 記 号),で

の 制 限 は0で

よ ってF(α,β)ま

元 の 集 合 とす る.α,β ∈K0の な ら ば,F(γ)の

微 分 で 

あ る も の が 存 在 す る(定 理1.36).Dを で 延 長 す る と,DのF(α),F(β)へ

分 で あ る か ら,DはF(α,β)=F[α,β]に

閉 包 で あ る場 合,K0す 数 的 閉 包 とい う.

で さらに の制 限 は

お い て0微 分 で あ る.

と 矛 盾 す る. 

  こ の 定 理 に い うK0をK/Fの

と き,

(証終) 最 大 分 離 的 部 分 体 とい う.KがFの

な わ ちF上

分 離 的 な 元 全 体 の な す 体 を,Fの

代数的 分離 代

  非 分 離 的 拡 大 体 を もた な い 体 を 完 全 体 とい う.標 数0の しか に 完 全 体 で あ るが,他

の 例 と して 有 限 体,す

が 完 全 体 で あ る.そ れ を い うつ い で に,こ

体 や代 数 的閉 体 はた

なわ ち有 限 個 の元 か らな る体

こ で し ば ら く有 限 体 の 性 質 を しら べ

よ う.   有 限 体Fがq個

の 元 か ら な り,Fの

標 数 がpで

あ る とす れ ば,Fはp個

元 か ら な る 素 体 の上 の ベ ク トル 空 間 で あ る.故 にFの り,q=pfと   Fの0以 ら,F×

の 元 は す べ てxq−1−1=0の

な い か ら,結

とか く と,F×

局 

素 数 と し,q=pfをpの

の 根 は 体 を な す.そ

あ るか

任 意 のベキ と す る.標 数pの 最 小 分 解 体 で も あ り,Fの

ら,素 体 の 代 数 的 閉 包 を1つ 標 数 がpの

と きに は,定

お く と,f′(x)=0と

中 でxq−x=0

の 元 か ら な る 標数pの

数 で な い 既 約 多 項 式f(x)∈F[x]が

必 要 十 分 で あ るが,f(x)=a0xn+a1xn−1

な る た め に は,す べ て のiに

項 の うち,次

数 がpで

つ い て(n−i)ai

らai=0と

なることと

わ り切 れ な い もの はす

べ て0に

な る と きに か ぎ ってf′(x)=0で

あ る.故 にf(x)=f0(xpe)と

うなpの

ベ キpeお

と っ て,f0(x)が

よびf0(x)∈F[x]を

形 に あ らわ さ れ な い よ うに し た と き,f(x)はe≧1の 的 で あ り,ま たf0(x)は

有

の 中 で 一 意 的 に 定 ま る.

必 要 十 分 で あ り,こ の こ とは さ らに,p×n−iな

同 等 で あ る.す な わ ち,f(x)の

素 体 の上 で

素体 の上 の最 小分 解 体 であ るか

あ たえ て お け ば,そ

非 分 離 的 に な る た め に は,f′(x)=0が

  さ て 標 数pの

しか

一 致 しな け れ ば な ら な い.

ベ キqに つ い て,q個

限 体 は 必 ず 存 在 す る.し か も そ れ はxq−1−1の

  一 般 に 体Fの

根 はq−1個

素 体 の上 の 最 小 分 解 体 で あ る.

の 体 は 従 っ てFと

  以 上 の こ とか ら,任 意 のpの

=0が

の 位 数 はq−1で

とい う分 解 が で き る こ とに な

xq−1−1の 最 小 分 解 体Fはxq−xの

+…+anと

キで あ

根 で あ る.xq−1−1=0の

る.こ れ か らわ か る よ うに,Fはxq−1−1の

のq個

元 の 個 数 はpのベ

な る. 外 の 元 の な す 乗 法 群 をF×

  逆にpを

の

なるよ

も は やf1(xp)の と き に か ぎ って 非 分 離

分 離 的 な 既 約 多 項 式 で あ る.

体 に お い て は,qがpの

ベ キ な らばxq−1−1は

分離 的多項 式

だ か ら,有 限 体 の 元 は 常 に 素 体 の 元 を 係 数 とす る分 離 的 多 項 式 の0点

とな る こ

とに な り,従 っ て 有 限 体 が 完 全 体 で あ る こ とが わ か る.   有 限 体Fがq個

の 元 か ら な れ ば,xqf−x=0の

根 全 体 はFを

元 か ら な る 有 限 体 を つ く る.こ れ に よ っ て 有 限 体Fは て,f次

の 拡 大 体 を もつ こ とが わ か る.そ

的 閉 包 の 中 で は,xqf−xの   定 理1.39 

任 意 の 自然 数fに

の つい

の よ うな 拡 大 体 は,Fの1つ

の代 数

最 小 分 解 体 と して 一 意 的 に 定 ま る.

有 限 体 の0以 外 の 元 は 乗 法 に つ い て 巡 回 群 を つ く る.

  証 明   有 限 体Fの0以

外 の 元 の な す 乗 法 群F×

ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理(定 理1.30)に

よ っ て,F×

の 巡 回 群 を 少 な く と も2つ 含 む(1.5例 題3参 い てl2個

含 み,qf個

が 巡 回 群 で な い と す る と, は あ る 素 数lに

照).こ

つ い て 位 数l

れ はxl−1=0がFに

以 上 の 異 な る根 を もつ こ とを 意 味 し,不 合 理 で あ る. 

お (証終)

  有 限 体 の こ とは ひ と まず こ こ ま で と し,ふ た た び 話 を 一 般 の場 合 に も どす.   定 理1.40  がFに

体Fの

代 数 拡 大 体F(α,β)に

関 して 分 離 的 な ら ば,F(α,β)は

お い て,α,β

の 少 な く と も一 方

単 純 拡 大 体 で あ る.ま たFの

有限次

分 離 的 拡 大 体 は 常 に 単 純 拡 大 体 で あ る.   証 明  α がFに 関 して 分 離 的 で あ る と仮 定 す る.α,β 項 式 を そ れ ぞ れf(x),g(x)と て,Ω

し,F(α,β)の1つ

の 中 に お け る.f(x)=0の

β1,…,βmと す る.Fが で あ るか ら,Fが i=i′,j=j′

のFに

の 代 数 的 閉 包Ω

根 を α1,…,αn,g(x)=0の

有 限 体 の と き は 定 理1.39に

無 限 個 の 元 を 含 む とす る.そ

関 す る最 小 多 を 固定 し

互 い に 異 な る根 を

よ って 本 定 理 は あ き らか

うす れ ば 

で な い か ぎ りな りた た な い よ うにc∈Fを

が と る こ とが で き る.

こ れ は−(βj− βj′)/(αi− αi′)の形 の 元 が 有 限 個 しか な い こ とか ら あ き ら か で あ る.今

η=cα+β

とお き,多

F(η)[x]で

あ り, 

方 か ら,α

以 外 のαiに

項 式g(η−cx)=h(x)を

で あ る か ら,h(α)=0と つ い て は,決

こ とは な く,そ れ 故h(αi)=0と

して 

な る こ とは な い.従

と の 共 通 根 は Ω に お い て α しか な く,f(x)=0が とh(x)と

のΩ[x]に

故 にf(x)とh(x)と

考 え る と,h(x)∈ な る.し

とり

とい う関 係 の な りた つ ってf(x)=0とh(x)=0 重 根 を もた な い か ら,f(x)

お け る 最 大 公 約 多 項 式 の1つ がx− のF(η)[x]に

か もcの

α で あ た え られ る.

お け る 最 大 公 約 多項 式 は す べ て γ(x−α),

(γ∈F(η)),の

形 とな り,こ の こ とか ら α∈F(η)で

て 

な け れ ば な らな い.従

で あ り,当 然 

で あ る.

  次 に 定 理 の 後 段 で あ る が,K/Fが

有 限 次 分 離 的 な ら ば,K=F(α1,…,αm)

とな る α1,…,αm∈Kが

す べ てFに

とれ,αiは

つ い て 分 離 的 で あ る.故 に 定

理 の 前 段 の こ とを く りか え して 用 い れ ば,K=F(η)と

な る η∈Kの

か る. 

とを 固 定 し,種

々 の 議 論 に あ ら わ れ る 体 は,こ

そ の1つ

の代数 的 閉包 Ω

とわ らな くて もす べ てFを

含

に 含 まれ る も の とす る.

  KがFの

代 数 的 拡 大 体 で あ る と き,Kか

像 σをKのFの の 元 で,Kが α のFの

上 の 共 役 写 像,Kσ

らあ る体Kσ

をKのFの

α を 含 む 体 で あ る と き,K/Fの

上 の 共 役 元 とい う.KのFの

に よ っ て,Ω

へ のFの

の Ω の 上 へ の 共 役 写 像 で,σ

の こ とか ら,α ∈Ω のFに

上 の同型写

上 の 共 役 体 とい う.ま た α が Ω 共 役 写 像 σに よ る α の 像 ασを,

上 の 共 役 写 像 σは,Ω

像 に 延 長 で き る.な ぜ な ら Ω は 同 時 にK,Kσ

る.こ

存 在 がわ (証終)

  こ れ か ら ガ ロ ア 理 論 の ま とめ に 入 る.以 後 体Fと

み,Ω

っ

のFの 上 の 共 役 写

の 代 数 的 閉 包 だ か ら,定 理1.35 を延 長 す る ものが存 在す る ので あ

関 す る共 役 元 は α を 含 む 代 数 的 拡 大 体Kの

と り方 に 無 関 係 で あ る.   K/F,L/Kが

共 に 代 数 的 拡 大 体 の と き,K/Fの

と し,σiの

Ω へ の延 長 を1つ

とっ て や は り σiで あ ら わ す.ま

な る共 役 写 像 を τ1,τ2,… とす る.こ の と き,Lの がL/Fの

異 な る 共 役 写 像 を σ1,σ2,… たL/Kの

異

写 像 τiσj,(i,j=1,2,…),

異 な る共 役 写 像 の 全 体 で あ る.

  K/Fがn次

の 分 離 的 拡 大 体 な らば,定

役 写 像 の 数 は ち ょ う どnで

K/Fがn次

よ っ て,K/Fの

異 な る共

あ り,ま た 共 役 写 像 の Ω へ の 延 長 の存 在 か ら,す

べ て の 共 役 写 像 で うご か な いKの   定 理1.41 

理1.40に

元 はFの

の 拡 大 体 で,n個

元 に か ぎ る. の 異 な る共 役 写 像 を もて ば,K/F

は 分 離 的 で あ る.   証 明   K/Fが に 入 らな いKの

非 分 離 的 な らば,そ 元 α のK0に

の 最 大 分 離 的 部 分 体 をK0と

関 す る最 小 多 項 式 はxp6−aの

す れ ば,K0 形 で あ る(pは

標 数).xp6−a=(x−

α)p6だ か ら α の 共 役 元 は α しか な く,K/K0の

は 恒 等 写 像 しか な い.故   ガ ロア 理 論 は,体

にK/Fの

的 拡 大 体 で,KのFに

を 固 定 して 考 え る.K/F,(K⊂Ω),が

関 す る 共 役 体(⊂Ω)が

をFの

ガ ロ ア 拡 大 体 とい う.

  F係

数 の 方 程 式f(x)=0のF上

  K/Fが

しか な い.(証 終)

の 分 離 的 拡 大 体 を 群 論 的 に あ つ か う重 要 な 理 論 で あ る.体

Fお よ び そ の 代 数 的 閉 包Ω

あ れ ば,K/Fは

共 役 写 像 は(K0:F)個

共 役写像

す べ てKと

有限 次 分離

一 致 す る と き,K

の最 小 分 解 体KがFの

分離 的 拡大 体 で

ガ ロア 拡 大 体 で あ る.

ガ ロア 拡 大 体 な ら ば,K/Fの

任 意 の部 分 体F′

に つ い て,K/F′

も

ガ ロ ア 拡 大 体 で あ る.   K/Fが

ガ ロ ア 拡 大 体 な らば,K/Fの2つ

(ασ)τ,(α∈K),に

よ って σ と τ と の 積 στ を 定 義 す れ ば,K/Fの

像 全 体 は 群 を な す.こ と き,K/Fを

れ をK/Fの

ア ー ベ ル 拡 大 体,巡

  K/Fがn次

の共 役 写 像 σ,τに つ い て,ασ τ=

ガ ロア 群 とい う.ガ

ロ ア 群 の す べ て の 元 で うご か な いKの   定 理1.42 

有 限 群Gの

ロ ア群 が ア ー ベ ル 群 の

回 群 の と き巡 回 拡 大 体,等

の ガ ロ ア拡 大 体 な ら ば,K/Fの

とい う.

ガ ロ ア 群 の 位 数 はnで

元 はFの

共 役写

あ り,ガ

元 に か ぎ る.

各 元 σ が, 

に よ って 体Kか

の 上 へ の互 い に 異 な る 同 型 写 像 を ひ き お こ し,  と き,すべ

て の σ∈Gで

動 か な いKの

は ガ ロ ア 拡 大 体 で,(K:F)=￨G￨で   証 明   θ∈Kに GのHに

はF上

であ る

元 全 体 はKの

部 分 体Fを

な す.K/F

あ る.

つ い て,θ σ=θ とな る σ∈G全

体 の な す 部 分 群 をHと

よ る 左 剰 余 類 の 代 表 元 を σ1,…,σmと して 

ば,g(x)の

係 数 は す べ てGの

分 離 的 で あ る.故

体K′ に つ い て,F(θ)=K′ の 次 数 はnよ ら(K:F)≧n.故 な る.Kは

り,K/FのF上

σ∈GでKの

す れ ば,g(x)

方 共 役 写 像 がn個

∈GがK/Fの

って θ

有 限 次 な任 意 の部 分

とな る よ うに θが とれ る.n=￨G￨と

り大 き くな い か ら,(K:F)≦n.一

し, とお け

元 で うご か な い か ら,g(x)∈F[x].従

に 定 理1.40よ

に(K:F)=nで,σ

らK

あ る こ とか

す べ て の共 役 写像 と

上 へ うつ され て い る か ら,K/Fは

ガ ロア 拡 大 体 で

あ る. 

(証終)

  定 理1.43  (ガ ロ ア の 基 本 定 理)K/Fが で あ る とす る.K/Fの 全 体 の な すGの Hの

部 分 体Lに

つ い て,Lの

部 分 群 をG(L)で

各 元 で うご か な いKの

元 全 体 の な すKの

￨G(L)￨.ま

そ の ガ ロア 群

各 元 を うご か さ な いGの

あ らわ し,逆 にGの

と き,K(G(L))=L,G(K(H))=Hが   証 明   K(G(L))⊃Lは

ガ ロア 拡 大 体,Gが

部 分 群Hに

部 分 体 をK(H)と

元

つ い て, か く.こ の

な りた つ. あ き らか で あ る.前

た￨G(L)￨=(K:L).故

定 理 に よ っ て(K:K(G(L))=

に(K:K(G(L)))=(K:L)で

あ り,

K(G(L))=L.   次 にG(K(H))⊃Hは り,ま

あ き らか で あ る.￨G(K(H))￨=(K:K(H))で

た 前 定 理 か ら(K:K(H))=￨H￨.故

あ

に￨G(K(H))￨=￨H￨で

あ り,

G(K(H))=H. 

(証終)

  こ の 定 理 に よ っ て,K/Fの G(L),H→K(H)が   定 理1.44 

部 分 群 との 間 に1対1の

対 応L→

あ た え られ る. K/Fが

ガ ロ ア 拡 大 体,そ

の 部 分 体,HをLに て,Lσ

部 分 体 とGの

対 応 す るGの

に 対 応 す るGの

Hσ,(σ ∈G),に 

  証 明   α∈L,h∈Hと

につ い てLσ=Lで

た,HがGの

い

正規 部

共 役 写 像 を 対 応 さ せ る こ とに

こ れ で σ−1Hσ がLσ 拡 大 体 で あ る た め に は,す

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ

に つ い て σ−1Hσ=Hで

意 の σ∈Gにつ

同 型 に な る.

す れ ば  にL/Fがガロア

と き,LをK/F

ガ ロ ア拡 大 体 で あ る.そ の とき に は 剰 余 類 とい うL/Fの

ガ ロア 群 はG/Hと

る こ とが い え る.次

部 分 群 とす れ ば,任

部 分 群 は σ−1Hσで あ る.ま

分 群 で あ る と きに か ぎ って,L/Fは

よ っ て,L/Fの

の ガ ロア 群 がGの

の こ と は,す

に対 応す

べ て の σ∈G べ て の σ∈G

あ る こ と と同 等 で あ る.最 後 の 主 張 は 明 白 で あ る. (証終)

  定 理1.45 

K/Fを

あ る代 数 的 閉 体Ω 拡 大 体 で,そ

ガ ロア 拡 大 体,L/Fを

任 意 の 拡 大 体 と し,K,Lが

の 部 分 体 に な っ て い る と す る.こ

の 次 数 は(K:K∩L)に

等 し く,KL/Lの

の と きKL/Lは

共に ガ ロア

共 役 写 像 σに,σ

の

Kへ

の 制 限 を 対 応 させ る こ と に よ っ て,KL/LとK/K∩Lと

の ガ ロ ア群 は

同 型 と な る.   証 明   K=F(α1,…,αn)と る.αiのLに

な る αi∈Kを

関 す る 共 役 元 は αiのFに

に 含 まれ る.故 にKLはKL/Lの に な り,一

よ っ てKL/Lは

ガ ロア 拡 大 体 で あ る こ とが いえ た.次

Hの

て,(K:K∩L)=￨H￨と

分 離 的 で あ る.こ

に,定

ガ ロ ア群 の 部 分 群Hと

各 元 で うご か な いKの

れ でKL/Lが

理 に い う対 応 で,KL/Lの

ガ ロア

元 で あ る か ら,定 理1.42に

な る. 

さ れ る こ と に な る.Hの

部 分 群Bに

ガ ロア 群Hと

対 応 す るK/F,KL/Lの たML⊂Nで

同一 視

部 分 体 をそ れ ぞ

あ るが,M/K∩Lの

共 役 写 像 に 延 長 さ れ る か らML=N.こ

の 部 分 体 とKL/Lの

よっ (証終)

ガ ロ ア群 は,K/K∩Lの

す れ ば,N∩K=M,ま

像 は す べ てN/Lの

っ てK

同 型 に な る こ とは あ き らか で あ る.

元 はK∩Lの

  こ の 定 理 に よ っ て,KL/Lの

れM,Nと

関 す る共 役 元 とな り,従

あ

す べ て の 共 役 写 像 で そ れ 自身 に うつ る こ と

方 定 理1.38に

群 がK/K∩Lの

とれ ば,KL=L(α1,…,αn)で

共 役写

の よ うに,K/K∩L

部 分 体 とが,M→ML,N→K∩Nに

よ って1対1に

対

応 す る の で あ る.   例 題3 

K1,K2が

共 にFの

ガ ロ ア拡 大 体,G1,G2を

の ガ ロア 群 とす れ ば,K1K2/Fも の 部 分 群 と同 型 で あ る.特 ×G2で

そ れ ぞ れK1/F,K2/F

ガ ロ ア拡 大 体 で,そ の ガ ロ ア 群 は 直 積G1×G2

にK1∩K2=Fな

ら ば,K1K2/Fの

ガ ロ ア 群 はG1

あ る.

  解  K1K2/Fの

ガ ロア 群Gの

し, 

元 σの,K1,K2へ

の 制 限 を そ れ ぞ れ σ1,σ2と

とい う写 像 を 考 え れ ば よ い. 

(以上)

  こ こ で 有 限 体 の場 合 に つ い て ガ ロ ア群 を 具 体 的 に きめ て み よ う.Fをq個 元 か ら な る有 限 体 と し,q=pf0,pはFの Kはqf個

の 元 か らな る.Fは

標 数 とす る.K/Fをf次

完 全 体 で あ る か ら,K/Fは

Kはxqf−1−1のF上

の 最 小 分 解 体 で あ るか ら,K/Fは

pの 任 意 の べキpmに

つ い て, 

写 像 と な る が,特

にm=f0と

す れ ば,α

はKか ∈Fに

の

とす れ ば,

分 離 的 であ るが , ガ ロ ア拡 大 体 で あ る . らKの

つ い て αq=α

上 へ の同 型 で あ る か ら,

 はK/Fの

ガ ロ ア 群 の 元 σを 定 め る こ とに な る.σ の 位 数 をf′

とす れ ば,f′ は αqf′=αが す べ て の α∈Kに 然 数 で あ る.α

と して 特 に 定 理1.39に

αqf′−1=1か らf=f′

とな る.故

つ い て な りたつ よ うな 最 小 の 自

よ って,巡 回 群K×

に σの 位 数 はfで

の 生 成 元 を とれ ば,

あ り,Gは

σで 生 成 され た

巡 回 群 とな る.以 上 を ま とめ て 次 の定 理 を 得 る.   定 理1.46 

q個 の 元 か ら な る 有 限 体 のf次

の 拡 大 体 は 巡 回 拡 大 体 で あ り,

そ の ガ ロ ア 群 は α→ αqに よ って 定 ま る 同 型 写 像 で 生 成 され る.   Rを

体Fの

上 のn次 元 の 多 元 環,ω1,…,ωnをR/Fの

意 の α∈Rに

つ い て, 

現 α→A(α)が

に よって α の正 則表

あ た え られ る.A(α)=(aij)と  を α のR/Fに

N(α)=NR/F(α)を NR/Fα る.ま

基 底 とす る と き,任

α のR/Fに

の よ うに()を た 一 般 に,2つ

列A(α)の

関 す る 跡,A(α)の

固有和

行 列 式detA(α)=

関 す る ノ ル ム とい う.そ れ ら を ま たSR/Fα,

つ け ず に か く こ と も あ る.ノ ル ムは 基 底 に 無 関 係 で あ のn次 正 方 行 列A=(aij),B=(bij)に とな り,こ れ はBAの

固有和は 

お き,行

逆 行 列 な ら,P−1・A(α)Pの

つ い て,ABの

固 有 和 と同 じ で あ る.故 にPが

固 有 和 はA(α)P・P−1=A(α)の

従 って 跡 も また 基 底 に 無 関 係 で あ る.α,β ∈Aな

固 有 和 に 等 し く,

らば,あ

が な りた つ.ノ

可

き らか に 

ル ム,跡

は い ず れ も,

ベ ク トル 空 間 の 自己 準 同 型 写 像 に 対 して 定 義 され る 概 念 で あ る.   K/Fが

有 限 次 拡 大 体 の と きに は,KはFの

の 元 のFに α∈Kの

上 の 可 換 多 元 環 と考 え られ,K

関 す る ノ ル ム,跡 が 定 義 で き る.K/Fがn次

正 則 表 現A(α)の

の 拡 大 体 で あ る と き,

特 性 多 項 式p(x)=det(xI−A(α))をK/Fに

る α の 特 性 多項 式 とい う.こ こ にIはn次

の 単 位 行 列 で あ る.行 列 式 の 展 開 か ら

す ぐわ か る よ うに,p(x)=xn−S(α)xn−1+…+(−1)nN(α)で は 単 写 だ か ら,A(α)の に よ り,p(x)はf(x)の   今K/Fが

最 小 多 項 式f(x)は

あ る.α →A(α)

α の 最 小 多 項 式 で あ り,定 理1.32

ベ キ で あ る.

分 離 的 で,Fの1つ

体 がK(1),…,K(n)で

関す

あ り,Kか

の代 数 的 閉 包Ω らK(i)へ

の 中 に お け るK/Fの

の共 役 写 像 が

共役

で あ らわ され て い る とす る と,任 意 の α∈Kに Fに 関 す る最 小 多 項 式f(x)の0点 い る.α

αの

を 同 じ個 数 だ け ずつ 重 複 した も の に な っ て

の 特 性 多 項 式p(x)はf(x)の

べ キ で あ った か ら,結 局p(x)=(x−

α(1))…(x− α(n))と い う分 解 が 得 られ る.故 が 得 ら れ,ノ

つ い て,α(1),…,α(n)は

に 

ル ム,跡 が そ れ ぞ れ 共 役 積,共

役 和 と して の 意 味

を もつ こ とが わ か る.   K/F,L/Kが

共 に 有 限 次 拡 大 体 で,L/Fが

分 離 的 で あ る と し,α ∈Lと す る

と,定 義 の す ぐ次 に の べ た 共 役 写 像 の 簡 単 な 性 質 の1つ に よ っ て,L/Fの 写 像 がK/FとL/Kの =NL/Fα

共 役 写 像 の 結 合 を 行 っ て あ らわ せ る か ら,NK/F(NL/Kα)

が 得 られ る.こ

か え る だ け で,連   定 理1.47 

共役

れ を ノ ル ム の 連 鎖 律 とい う.跡

鎖 律SK/F(SL/Kα)=SL/Fα

K/Fがn次

に つ い て も積 を 和 に

が 得 られ る.

の 分 離 的 拡 大 体 で,K(i)がKのF上

K∋ α→ α(i)∋K(i)が 共 役 写像 とす る.こ の 基 底 と な る た め に は,行

の と き,Kの

列 式det(ωj(i))ま

こ とが 必 要 十 分 で あ る.但

しK(i)は

の 共 役 体, 元 ω1,…,ωnがK/F

た はdet(SK/Fωiωj)が0で

すべ てFの

ない

あ る代 数 的閉 包 の 中で考 え

る も の とす る.   証 明   定 理1.40に K/Fの

よ ってK=F(θ)と

な る θ∈Kが

基 底 を な す. 

あ り,1,θ,…,θn−1が

とな るF上

とれ ば,ω1,…,ωnは 

の と きに か ぎ ってK/Fの

の 行 列Aを

基 底 と な る.一

方

(ωj(i))=(θ(i)j−1)Aで あ り,右 辺 の θ(i)j−1からな る 行 列 の 行 列 式 は  (i>j),に で な い.故

等 し く,(ヴ

に 

ァ ン デ ル モ ン ド(Vandermonde)の

とdet 

とは 同 等 に な る.次

=t(ωj(i))(ωj(i)に よ ってdet(SK/Fωiωj)=(detωj(i))2と を あ らわ す.こ

行 列 式),0 に(SK/Fωiωj)

な る .tは

れ か ら直 ち に 定 理 の 残 りの 部 分 が 出 る. 

  系   有 限 次 拡 大 体K/Fが

分 離 的 な らば, 

転 置行 列 (証終)

とな る α ∈Kが

存在

す る.   例 題4  K/Fが SK/Fα=0で

あ る.

有 限 次 非 分 離 的 拡 大 体 な らば,す

べ て の α∈Kに

つ いて

  解   α の 特 性 多 項 式 を 最 小 多 項 式 の べキ と し て あ ら わ す と,最 の 項 が 必 ず0に   ノ ル ム,跡

な る か ら で あ る. 

う.Rは K/Fの

(以 上)

の 連 鎖 律 は 分 離 的 拡 大 体 に つ い て 証 明 した だ け で あ っ た か ら,こ

の 拡 大 体 は もち ろ ん,ベ   Rが 体Kの

またFの

こで一般

ク トル 空 間 に つ い て も適 用 で き る形 で 別 証 を あ たえ て お こ う.

上 の有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 で あ り,Kが

体Fの

有 限 次 拡 大 体 で あ る と しよ

上 の 有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 と も考 え られ る.R/Kの

基 底 を α1,…,αnと

… ,ωNα1,…,ωNαnを

し,RをK右

加 群 とみ れ ば,R/Fの

と る こ とが で き る.こ

を そ れ ぞ れAR/K,AK,ARで

基 底 を ω1,…,ωN,

基 底 に ω1α1,…,ω1αn,

れ ら3組 の 基 底 に よ っ て 得 られ る 正 則 表 現

あ らわ そ う.R/Kの

自己 準 同 型 写 像aに

つ い て,AR/K(a)=

とす れ ば,

(aij), 

 と な るか ら,AR(a)はAR/K(a)の 次 の 正 方 行 列 で あ る.す

要 素aijを

そ の 表 現Aijで

な わ ちAR(a)=(Aij).故

お きか え て で き るN・n

にAR(a)とAijと

の固有和 の関係

が 得 られ る.ノ

か ら, 

を 証 明 す る に は,行

列 を 標 準 形 に な お して 考 え る のが 便 利 で あ る.す

を 適 当 に と りな お せ ば,上

ル ムの連鎖 律

な わ ちR/Kの

基底

記 のAR/K(a)は

の 形 の 行 列 が い くつ か 対 角 線 型 に 並 ん だ も の とす る こ とが で き る.Aの K/Fに

高 次 の項 の次

各 要 素をそ の

関 す る 正 則 表 現 で お きかえ た 行 列 の 行 列 式 は(−1)dndetAK(ad)と

detA=(−1)dadのK/Fに

関 す る ノル ム と 一 致 す る.故

な る.こ れ は

に ノル ム に つ い て も連 鎖 律 が な

りた つ こ とが わ か った.

  1.7  位 相 群 論 よ り   集 合Rが

位 相 空 間 で あ る,あ

す べ て の 部 分 集 合XにXの

る い はRに

位 相 が 定 め られ て い る と は,Rの

閉 包 と よば れ るRの

部 分 集 合Xが

対 応 させ られ

て い て,そ れ が 次 の 条 件 を 満 足 す る こ と を い う.   1) X⊂X,2) 

X⊂Yな

らばX⊂Y,3) 

や は りRの

部 分 集 合 を,φ

X=X,4) 

X∪Y=X∪Y,5) 

φ

=φ.   こ こでYは 空 間Rの

元 は ま たRの

よ ば れ る.補 集 合cXが

は 空 集 合 を あ らわ す の で あ る.位 相

点 と よば れ る.X=Xと 閉 集 合 で あ る と き,Xは

な る部 分 集 合 はRの

閉集 合 と

開 集 合 で あ る とい う.任 意 個

の 閉 集 合 の 共 通 部 分 は ま た 閉 集 合 で あ る.任 意 個 の 開 集 合 の 合 併 は ま た 開 集 合 で あ る.さ

らに,有

限 個 の 閉 集 合 の 合 併 は 閉 集 合,有

は 開 集 合 で あ る.R自   Rの1点aを 族 をaの

身 お よ び φ は 開 集 合 で も あ り,閉 集 合 で も あ る.

含 む 開 集 合 を 含 む 集 合 をaの

近 傍 系 とい う.aの

を とれ ば,す

含 む.2′) 

ら ばU∩V∈νa.4′) 

べ て のb∈Vに

  4′)につ い て はVと

近 傍 とい う.ま たaの 近 傍 全 体 の

近 傍 系 をνaと

  1′)  任 意 のU∈νaはaを 3′)  U,V∈νaな

限 個 の開 集合 の 共通 部 分

か け ば,νaは U∈νaでU⊂Vな

U∈νaの

対 してU∈νbと

してaを

含 みUに

次 の 性 質 を もつ. らばV∈νa.

と き 適 当 に も う1つ のV∈νa な る.

含 まれ る 開 集 合 を とれ ば よい.そ

の他

は すべ て あ き らか で あ る.   今Rを

任 意 の 集 合 と し,各a∈Rに

つ い てRの

部 分 集 合 の 族νaで あっ て,

1′)−4′)をみ た す もの が あ た え ら れ た と し よ う.こ ど のU∈νaを

と って も 

ば,こ

閉 包 の 条 件1)−5)を

のXは

で あ る よ うなa∈Rの

∈νaを と っ て,す べ て のb∈Vに 中 に はXの

りU∈νbの

中 に はXの

と あ わ せ て3)が もXま

た はYと

な る よ うに で き る.仮 定 に

点 が 存 在 す る.そ れ をbと

考 え れば ふた た び仮 定 に よ

点 が 存 在 す る.こ れ でX⊂Xが

出 る.次

にa∈X∪Yと

交 わ る が,も

る.こ

い え た.故

にXかYの

一方 はす べ ての

な りた つ.X∪Y⊃Xお

あ き らか だ か ら,こ れ で4)が

の と き最 初 のνaは 位 相 空 間 とな ったRに

お い て,ち

に な っ て い る の で あ る.そ れ に は,U∈νaとUがaを で い る こ と とが 同 等 で あ る こ とを い え ば よい.ま

いず れ

で あ った とす れ ば

閉 包 と定 義 す る こ とに よ り,Rは

で あ る か らaは 閉 包 の 定 め 方 か らcUに

にX⊂X

す る と任 意 のU,V∈νaは

しU∩X=φ,V∩Y=φ

らX∪Y⊃X∪Yは ってXをXの

な るV

つ い てU∈νbと

U∈νaと 空 で な い 共 通 部 分 を も ち,X∪Y⊂X∪Yが

け で あ る.従

すれ

明 白 で あ る か ら3),

と る.4′)に よ っ てV⊂Uと

 とな り3′)に反 す る.故

よびX∪Y⊃Yか

つ い て,

全 体 をXと

満 足 す る.1),2),5)は

4)を 示 そ う.任 意 のU∈νa,(a∈X),を

よ りVの

の と き,X⊂Rに

属 さ な い.cUの

位 相 空 間 とな

ょ う どaの 近 傍 系

含 むRの ずU∈νaと

い えたわ

開 集合 を含 ん

す る.cU∩U=φ

補 集 合 をVと

すれ

ば,V⊂Uで

あ り,Vは

で,UがVを

含 むRの

に 属 すaに

開 集 合 でaを 含 む.逆

部 分 集 合 で あ る とす る と,cVは

つ い て はW∈νaが

か らUがWを

にVがaを

含 み,従

あ ってW∩cV=φ

間Rの

開集 合

閉 集 合 で あ る か ら,V

とな る.VはWを

っ て2′)か らU∈νaと

  以 上 の こ とか らわ か る よ うに,空

含 むRの

含む

な る.

位 相は 各 点 の近傍 系 を あた えて 定め

る こ と もで き る の で あ る.   位 相 空 間Rの 任 意 のU∈νaは

各 点aに

つ い て,aの

近 傍 系νaの

部 分 族νa′ が あ た え られ,

あ るU′ ∈νa′を 含 ん で い る とす る.こ

の と きνa′ はaの

近

傍 系 の 基 で あ る とい う.νa′ は 次 の 性 質 を もつ.   1″) U∈νa′ な らa∈U,2″) 

U,V∈νa′ な らU∩Vは

あ るW∈νa′

む,3″) U∈νa′ の と き,適 当 に も う一 つ のV∈νa′ を とれ ば,ど つ い て もνb′ はUに   と こ ろ が,あ

のb∈Vに

含 まれ る 集 合 を 含 む.

る 集 合Rの 各 元 に1″),2″),3″)を満 足 す るRの 部 分 集 合 の 族νa′

が あ らわ れ て い る とす れ ば,νa′ に 属 す 集 合 を 含 む 集 合 全 体 の 族 をνaと と き,νaは

を含

あ き らか に 近 傍 系 の 条 件1′)−4′)を 満 足 す る.従

ってRに

定 ま り,そ の 位 相 に つ い て は じめ のνa′は 近 傍 系 の 基 と な っ て い る.こ

お く

位相が のよ う

に 位 相 は 近 傍 系 の 基 を あ た え て定 め る こ と も で き る の で あ る.近 傍 系 の 基 の 条 件3″)は や や め ん ど うで あ る が,3″)が

満 足 され るた め の1つ

の十分 条 件 と し

て 次 の3″a)が あ げ られ る.   3″a)U∈νa′ の と き,任 意 のb∈Uに   位 相 空 間 の 近 傍 系 の 基 の 例 と して は,点

つ い てU∈νb′

で あ る.

の近 傍 で あ って 開 集 合 で あ る も の,

す な わ ち 開 近 傍 全 体 の 族 が あ る.こ れ に つ い て は,1″),2″)お

よ び3″a)が 満 足

され る.   位 相 は さ ら に 閉 集 合 を 出 発 点 と して 入 れ る こ と も で き る.Rを れ ば,Rの

位 相 空 間 とす

閉 集 合 全 体 の 族 Γ は 次 の 性 質 を もつ.

  Ⅰ) Γ に 属 す 集 合 の 任 意 個 の共 通 部 分 は Γ に 属 す.Ⅱ)  Γ に 属 す 集 合 の 有 限 個 の 合 併 は Γ に 属 す.Ⅲ)  R自   と こ ろ で,Rを

身 お よび φ は Γ に 属 す.

集 合 と し,こ のⅠ),Ⅱ),Ⅲ)を

満 足 す るRの

部 分 集合 の族 Γ

が あ た え られ た と し よ う.任 意 のX⊂Rに の 共 通 部 分 をXと

お く と,こ のXが

は 位 相 空 間 とな り,Γ

つ い て,Xを

含 む す べ て のX′ ∈Γ

閉 包 の 条 件 を す べ て 満 足 す る.故 にR

は ち ょ う ど そ の 位 相 に よ る 閉 集 合 全 体 の 族 に な る.

  開 集 合 の 族 を あ た え て 位 相 を 定 め る こ と も同 様 に で き る.そ れ に は,次 条 件 を 満 足 す るRの

部 分 集 合 の 族Δ

を 開 集 合 の 族 と して あ た え れ ば よい.

  Ⅰ′)  Δ に 属 す 集 合 の 任 意 個 の 合 併 はΔ の 共 通 部 分 はΔ

に 属 す.Ⅲ′)  R自

  こ の こ とは,閉   位 相 空 間Rか

に 属 す.Ⅱ′) Δ に 属 す 集 合 の 有 限 個

身 お よび φ はΔ

に 属 す.

集 合 の 補 集 合 が 開 集 合 で あ る こ とを 考 え れ ば 当 然 で あ る. ら も う1つ の 位 相 空 間Sの

Sの 任 意 の 開 集 合 に つ い て そ のfに

中 へ の 写 像fが

よ る 逆 像 がRの

連 続 で あ る とは,

開 集 合 で あ る こ とを い う.

こ れ は 閉 集 合 の 逆 像 が 閉 集 合 で あ る こ と と もい い あ らわ せ る が,さ a∈Rに

の3

つ い て,f(a)の

近 傍 の 逆 像 がaの

らに 任 意 の

近 傍 で あ る とい っ て も 同 じ こ とに

な る.   Rか

らSへ の 写 像fがRの1点aに

お い て,f(a)の

の 近 傍 で あ る とい う条 件 を 満 足 す る と き,fはaに Rか

らSへ の 写 像fが

任 意 の近 傍 の 逆 像 がa

お い て 連 続 で あ る とい う.

連 続 で あ る とい う こ とは,fがRの

すべ て の 点 で 連 続

お い て,fがRか

らTへ

な こ と と もい え る.   位 相 空 間R,S,Tに な らば,g°fはRか   1つ の 集 合Rに 定 義 し よ う.Rに2つ

らTへ

の連 続写 像

の 連 続 写 像 で あ る.

もい くつ か の 位 相 が 入 り うる.そ れ ら の 位 相 に つ い て 強 弱 を の 位 相 が 定 義 され,第1の

相 に よ る 開 集 合 で あ る と き,第2の 第2の

らSへ の,gがSか

位 相 は 第1の

位 相 に よ る 開 集 合 が 第2の 位 相 よ り強 い,第1の

位

位相 は

位 相 よ り弱 い とい う.開 集 合 とい うか わ りに 閉 集 合 とい っ て も全 く同 じ

で あ る.す

な わ ち 位 相 は 閉 集 合 また は 開 集 合 が"多

け で あ る.Rに

入 る 最 も 強 い 位 相 はRの

く"な る ほ ど強 い とい うわ

す べ て の 部 分 集 合 を 開 集 合,従

って閉

集 合 と した 位 相 で あ る.こ れ を 離 散 的 な 位 相 とい う.逆 に 最 も弱 い 位 相 はRと φ だ け を 開(閉)集 合 と した 位 相 で あ る.   例 題1 

同 じ集 合Rに2つ

の 位 相 を 入 れ て 作 られ た 位 相 空 間 をR1,R2と

す

る と き,R1の

位 相 がR2の

位 相 よ り強 い と い う こ とは,恒

等 写 像id:R1→R2

が 連 続 と い う こ と と同 等 で あ る.   解   定 義 の い い か え で あ る.    位 相 空 間R,Sにつ うつ す と き,fは

い て,Rか

たRか

が 共 に 連 続 で あ る と き,fはRか に よ っ て あ た え られ るRとSと

開 集 合 をSの

開集 合に

らSの 上 へ の1対1の

写 像fが

あ り,f,f−1

らSの 上 へ の 同相 写 像 で あ る と い い,f,f−1 の1対1対

応 を 同 相 対 応 とい う.同 相 対 応 を も

の 位 相 空 間 を 同 相 で あ る とい う.

  位 相 空 間Rの

部 分 集 合Xが

閉 集 合 と定 め れ ばXは をRの

らSへ の 写 像fがRの

開 写 像 で あ る とい う.同 様 に 閉 写 像 は 閉 集 合 を 閉 集 合 に うつ

す 写 像 と して 定 義 す る.ま

つ2つ

(以上)

あ る と き,Rの

位 相 空 間 とな る.こ

部 分 空 間 と い う.Xの

る よ うなXの

  位 相 空 間Rの 分 集 合Xに

の 共 通 部 分 をXの

の よ うに して 位 相 を 入 れ た と き,X

こ の 位 相 は,Xか

位 相 の うち,最

の 近 傍 は,aのRに

閉 集 合 とXと

らRへ

の恒 等写 像 が 連続 に な

も 弱 い も の で あ る.部 分 空 間 の 点 と し て のa∈X

お け る 近 傍 とXと

の 共 通 部 分 とな る.

類 別 が あ た え ら れ た と し,そ の 類 の 集 合 をRと

つ い て,Xに

属 す 類 全 体 の 合 併 集 合 がRの

の 閉 集 合 と定 義 す れ ば,Rは 剰 余 空 間 の 位 相 はRか

剰 余 空 間 とい う.

の 標 準 的 写 像 が 連 続 に な る よ うなRの

ってU⊂Rがa∈Rの

の 類 全 体 のRに お け る 合 併 集 合 が 類aに

部

閉 集 合 の と きXをR

位 相 空 間 とな る.こ のRをRの

らRへ

ち最 も強 い も の で あ る.従

し よ う.Rの

位相 の う

近 傍 で あ る た め に は,U

属 す す べ て のRの

点 の近 傍 で あ る こ

とが 必 要 十 分 で あ る.   集 合Rに

い くつ か の 位 相 が 入 って い る とき,そ れ らの どれ よ り も強 い 位 相 の

うち に は,最

も弱 い も の が 存 在 す る.そ れは,ど

れ か の位 相 で 開 集合 で あ る集

合 全 体 の 族 を と り,そ の 族 の 集 合 の 任 意 個 の 合 併 お よび 有 限 個 の 共 通 部 分 を 開 集 合 と して 定 義 され る 位 相 で あ る.ま た,あ も弱 い 位 相 の 中 に は,最

ら か じめ 入 って い る ど の 位 相 よ り

も強 い も の が 存 在 す る.そ れ は,ど

の位 相 で も開集合

で あ る 集 合 を 開 集 合 と して 定 義 さ れ る 位 相 で あ る.こ れ らの こ とに よ り,1つ の 集 合 に 入 る位 相 全 体 を,強

弱 に よ って 順 序 集 合 とみ れ ば,そ

の順 序 集 合の任

意 の 部 分 集 合 は 上 端 お よび 下 端 を もつ こ とが わ か る.   位 相 空 間Rの

開 集 合 の 族Δ′ が あ り,Rの

併 と して あ ら わ さ れ る と き,Δ′ はRの た い くつ か の 位 相 の上 端 位 相 は,ど

任 意 の 開 集 合 がΔ′ の 集 合 の 合

開 集 合 の 基 で あ る とい う.上 に 説 明 し

れ か の 位 相 で 開 で あ る 集 合 の,有

限個 の共

通 部 分 全 体 を 開 集 合 の 基 と して 得 られ て い る の で あ る.   例 題2 

集 合Xか

ら位 相 空 間Rへ うなXの

の 写 像fが

あ る と き,fが

連 続 にな る よ

位 相 の うち 最 も弱 い も の とは,任 意 の 位 相 空 間

Sか らXへ

の 写 像gが

あ る とき,h=f°gの

連続 性か ら

gの 連 続 性 が 結 論 で き る よ うな 位 相 で あ る こ とを 証 明 せ よ.ま

た こ の こ とを,XがRの

適 用 す る と,ど

うい う結 果 が 得 られ る か.

  解   hの 連 続 性 か らgの 連 続 性 が 出 る よ うにXに X,g=idと

部 分空 間 であ る場 合に

お く こ とに よ り,例 題1か

ら,そ

位 相 が 入 って い れ ば,S=

の 位 相 がfが

連 続 に な る位 相 の

うち 最 も 弱 い こ とが わ か る.逆 は 連 続 性 の 定 義 か ら直 接 い え る.特 の 部 分 空 間 とす れ ば,任 意 の 位 相 空 間Sか とみ て 連 続 な ら ば,Sか

らXへ の 写 像 が,Sか

にXをR

らRへ

ら部 分 空 間 へ の写 像 と して 連 続 で あ る,と

い う結 果 が

得 られ る.    例 題3  うなRの

の写 像

(以上)

位 相 空 間Xか

ら集 合Rへ

の写 像fが

位 相 の うち 最 も強 い も の とは,Rか が あ る とき,h=g°fの

あ る と き,fが

連続 に な る よ

ら任 意 の 位 相 空 間Sへ 連 続 性 か らgの

の 写 像g

連続 性 が結 論 で

き る よ うな 位 相 で あ る こ とを 証 明 せ よ.ま た こ の こ とを, RがXの

剰 余 空 間 で あ る 場 合 に 適 用 す る と,ど

うい う結

果 が 得 られ る か.   解   前 半 は 前 例 題 と 同 様 で あ る.ま たRがXの 空 間 な ら,Xか 空 間Sへ

らRへ

の 写 像gを 続 け て 行 っ た もの が,Xか

の 標 準 的 写 像 に,Rか

剰余

らあ る位 相

らSへ の 連 続 写 像 で あ れ ば,g

が 連 続 で あ る,と い う結 果 が 得 られ る.    今 度 は 位 相 空 間 の 積 空 間 とい う も の を 定 義 し よ う.あ る 集 合Aの

(以上) 元 αに対 し

て1つ

ず つ 位 相 空 間Rα

し,1つ

が あ る とき,Rα

のa=(…,aα,…)∈Rお

うに と る.す

の 直 積 集 合 をR=ΠRα,(α

よび 各 α∈Aに

な わ ち α∈Aの

つ い て,Uα

こ の よ うなU全

⊂Rα を 次 の よ

うち 有 限 個 の も の に つ い て はUα

Rα に お け る 開 近 傍 を と り,そ の 他 の も の に つ い て はUα=Rα 体 の な す 族 をνa′ とす る.そ

の 際,有

∈A),と

と してaα の

とお くの で あ る.

限 個 の α∈Aも

あら

ゆ る 可 能 な と り方 で うご か す の で あ る.νa′ は 近 傍 系 の 基 の 条 件1″),2″),3″a) を 満 足 す る.故 にνa′ はRに 間RをRα

位 相 を 定 め る.こ の よ うに して 得 られ た 位 相 空

の 積 空 間 とい う.任 意 のU∈νa′

は そ の各 点の近傍 にな ってい る

か らaの 開 近 傍 で あ る.   有 限 個 の α に つ い て はXα

をRα

Xα=Rα

とお い てX′=ΠXα

うなX′

全 体 の 族 をΔ′ とす る と,Rの

に 属 す 集 合 を 含 む.そ

の 開 集 合 と し,そ

を 考 え れ ば,X′

はRの

の他 の α に つ い て は 開 集 合 で あ る.こ

のよ

任 意 の 開 集 合Xはνa′,(a∈X),

の 集 合 は またΔ′ に 属 す か ら,結 局XはΔ′

合 の 合 併 と して あ らわ され る こ とに な る.す

な わ ちΔ′ はRの

に 属す 集 開集 合 の基 で

あ る.   何 個 か の 集 合Rα,(α

∈A),の

直 積 集 合Rの

aα∈Rα に うつ す 写 像fα をRか る と きに は,すべ

そ の成 分

へ の射 影 とい う.Rα が 位 相 空 間 で あ

て のfα が 連 続 に な る よ うなRの

が 積 空 間 と して のRの   定 理1.48 

らRα

元a=(…,aα,…)を

位 相 の うち,最

も弱 い も の

位 相 で あ る.

位 相 空 間Rα

の積 空 間Rか

らRα

任 意 の 位 相 空 間 をSと

へ の 射 影 をfα

と し,一

方

す る と き,左 の 図 式 が 可 換 な ら,

gが 連 続 で あ る た め に は,す

べ て のhα が 連 続 で あ る こ

とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   hα が 連 続 な ら,Rα

の 開 集 合Xα

hα−1(Xα)の有 限 個 の 共 通 部 分 はSの

を と る とき,

開 集 合 で あ る.R

の 開 集 合 はfα−1(Xα)の 形 の 集 合 の 有 限 個 の 共 通 部 分 を 基 とす るか ら,Rの 意 の 開 集 合Oに

つ い て,g−1(O)はSの

任

開 集 合 で あ る.逆 は あ き ら か で あ る. (証終)

  この定理 でS=R,g=idと ち,最 も弱 いの がRの

お けば,すべ

て のfα が 連続 にな る よ うなRの

位 相 であ る ことが わか る.例 題2,例

位 相空 間 の基 本的 性 質は,こ

位相 の う

題3で もそ うで あ った が,

の よ うに図式 に よ ってた いへ んわ か りやす くされ るので あ

る.さ らに注 目すべ き こ とは,例 題2,3,定

理1.48の 図式 をそれ ぞれ 部分 空 間,剰 余空

間,積 空 間 の定義 とみれ ば,こ れ らの諸概 念が テ ンサ ー積 等 の場 合 と同様,万 有写像 性 に よってあ たえ られ てい る こ とであ る.   積 空 間Rか そ れ はRの

ら成 分Rα へ の 射 影fα は 連 続 で あ る だ け で な く開 写 像 で あ る.

開 集 合 が 前 に の べ た よ うに 基Δ′ を も つ こ とか ら あ き ら か で あ る.

  位 相 空 間Rの

部 分 集 合Xに

つ い て,X=Rと

あ る とい う.ま たcXがRで

な る と き,XはRで

稠 密 で あ る と き,XはRで

Rの 点aの 任 意 の 近 傍にa以

外 のXの

稠密で

疎 で あ る とい う.

点 が 含 まれ て い る と き,aはXの

集積 点

で あ る とい う.Xの

集 積 点 は 必 ず し もXに 属 さ な い.Xの

点 で な い も の をXの

弧 立 点 と い う.部 分 空 間 と し てXが 離 散 的 な 位 相 空 間 に な

る た め に は,Xの

点 で あ ってXの

集積

点 が す べ て 弧 立 点 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  位 相 空 間Rが そ れ 自身 お よ び 空 集 合 以 外 に は 開 で あ りか つ 閉 で あ る部 分 集 合 を もた な い と き,Rは がRの

連 結 で あ る とい う.2つ

連 続 像 で あ った とす る.す

な わ ちRか

の 位 相 空 間R,Sに

つ い て,S

らSの 上 へ の 連 続 写 像fが

した とす る.こ の と きRが 連 結 な ら,定 義 か ら直 ち にSも

存在

連 結 で あ る こ とが わ

か る.   例 題4  は,Rの

位 相 空 間Rの 閉 集 合M,Nを

つ い てM′

部 分 空 間Xが

連 結 で あ る た め の1つ

の必要 十 分条 件

ど の よ うに と っ て も,M′=X∩M,N′=X∩Nに

∩N′=φ,M′∪N′=Xで

あ る か ぎ り,XがMかNの

ど ち らか

一 方 に 含 ま れ て し ま う こ とで あ る .   解   位 相 空 間 が 連 結 とは,互

い に 交 らず,ま

た 空 で な い2つ

の 閉(開)集 合 の

合 併 に な ら な い と い う こ と だ か ら で あ る.    位 相 空 間Rの1点aを

含 む す べ て の 連 結 部 分 集 合 の 合 併 は またRの

集 合 で あ る(上 の 例 題 参 照).こ

れ はaを

連 結 成 分 と よば れ る.Rの2点a,bに と きa∼bと

す れ ば,∼

(以上) 連 結 部分

含 む 最 大 の 連 結 部 分 集 合 で あ り,aの つ い てa,bを

は 同値 関 係 とな り,Rは

含む 連結 部 分 集合 が あ る

類 別 され る.そ

の各 類 をRの

連 結 成 分 とい う.各 点 の 連 結 成 分 が そ の 点 だ け か ら な る よ うな 空 間 を 完 全 不 連 結 な 空 間 とい う.   位 相 空 間Rの1点aを

含 み,開

閉 集 合 で あ る か ら,aの

連 結 成 分 はXの

の こ とか ら,aの に 含 ま れ る.こ   例 題5 

連 結 成 分 は,aを

中 に 含 ま れ て し まわ ね ば な ら な い.こ

準 連 結 成 分 とい う.

位 相 空 間 の 連 結 成 分 は 閉 集 合 で あ る.

い え ば よい.今2つ

つ い て,X⊂Y⊂Xと

の 閉 集 合M,Nが

∩N′=φ,M′∪N′=Yと

に つ い て もM″ XはMま

な るYが

な り,Y⊂M.故

位 相 空 間Rの

つい

な った とす る と,M″=X∩M,N″=X∩N

含 ま れ る.そ

にYは

連 結 で あ る こ とを

あ り,M′=Y∩M,N′=Y∩Nに

∩N″=φ,M″∪N″=Xが

た はNに

  例 題6 

とれ ば,cXも

含 み 開 で も閉 で もあ る 集 合 全 体 の 共 通 部 分

の 共 通 部 分 をaの

  解   連 結 部 分 集 合Xに

てM′

で も閉 で もあ る 部 分 集 合Xを

な りた つ か ら,Xの こ で た とえ ばX⊂Mと

連 結性 か ら

す る とX⊂Mと

連 結 で あ る. 

(以上)

連 結 成 分 を そ れ ぞ れ1つ

の 類 と して 得 られ る剰 余 空 間

は 完 全 不 連 結 で あ る.   解   Rの い.前

部 分 集 合Sで2点

以 上 を 含 む も の は 連 結 で は な い こ とを い え ば よ

例 題 に よ りSは 閉 集 合 と して よい.Rか

の 逆 像 をTと

す れ ば,TはRの

T1∪T2,T1∩T2=φ

空 で な い2つ

とあ らわ され る.Rの

わ る こ とは あ りえ な い か ら,T1,T2はRの で あ る.故

にT1,T2の

=S,T1∩T2=φ.故   例 題7 

分 がaの と,R′

の 閉 集 合 の 合 併 と し て,T=

連 結 成 分 がT1と

も交

連 結 成 分 を い くつ か 合 併 した も の

標 準 的 写 像 に よ る 像T1,T2はRの にSは

もT2と

閉 集 合 で,T1∪T2

連 結 で な い . 

(以上)

連 結 空 間 の 積 空 間 は また 連 結 で あ る.

  解   R=ΠRα とす る.今

らRへ の 標 準 的 写 像 に 関 す るS

が 連 結 空 間Rα

α の うち の1つ

α0を 固 定 し,Rの

α 成 分 に 一 致 し,α0成 はRα0と

異 な る よ うなRの

の 積 で あ る と し,Rの1点 点 で 

に つ い て は α成

分 は 任 意 で あ る も の 全 体 の 集 合 をR′

同 相 で あ る か ら連 結 で あ る.故 にaと 点a′ はaの

をa=(…,aα,…)

連 結 成 分 に 属 す.こ

とす る

α0成 分 に お い て だ け の こ とを つ づ け て 適 用 す

れ ば,aと

有 限 個 の 成 分 だ け で 異 な る よ うなRの

す こ と が わ か る.こ れ は,積

元 は す べ てaの

空 間 の 位 相 の 入 れ 方 か ら,Rの

連結成 分 に属

す べ ての 点 の任意

の 近 傍 にaの 連 結 成 分 の 点 が 存 在 す る こ とを 意 味 す る.す な わ ちaの 連 結 成 分 はRに

お い て 稠 密 で あ る.aの

そ れ はRと   例 題8  のRα

一致 しな け れ ば な らな い.  位 相 空 間Rα

局

(以上)

の 積 空 間 の 点a=(…,aα,…)の

に お け る 連 結 成 分Xα

  解   X⊃ΠXα Xの

連 結 成 分 は 閉 集 合 で あ る か ら(例 題5),結

連 結 成 分Xは,aα

の 直 積 集 合 と一 致 す る.

は 前 例 題 に よ りあ き らか.も

像 を 考 え る こ とに よ り,あ

るaα がXα

し 

な ら,射

影 に よる

よ り大 き い 連 結 成 分 を もつ こ と

に な る. 

(以上)

  位 相 空 間Rの

部 分 集 合 の 族 で,そ の 合 併 がRの

部 分 集 合Xを

の 被 覆 とい う.開 集 合 か らな る 被 覆 を 開 被 覆 とい う.R自 と っ て も,そ の 適 当 な 有 限 部 分 族 が す で にRの

身 の どんな 開被 覆を

開 被 覆 に な っ て い る と き,Rは

コ ン パ ク トで あ る とい う.こ れ は,補 集 合 を 考え て み れ ば,Rの あ り,そ の うち の 任 意 の 有 限 個 が 共 有 点 を も て ば,そ が あ る,と い うこ と と 同 等 で あ る.位 存 在 す る と き,Rを

含 む も の をX

相 空 間Rの

閉集 合 の族 が

の族 の集 合全体 の共有 点

各 点 に コ ンパ ク トな 近 傍 が

局 所 コ ン パ ク トな 位 相 空 間 とい う.

  位 相 空 間 の フ ィル ター とは,Rの

部 分 集 合 の 族〓

で,次

の条件 を満 足す る

も の を い う.   1) 

U⊂Vな

らば 

2)U, 

な ら ば 

3) 

  あ る フ ィル タ ー が そ れ と異 な る どん な フ ィル タ ー に も 含 ま れ な い と き,〓 は 極 大 フ ィル タ ー で あ る とい う.1点 る.あ

る フ ィル ター〓

が1点aの

う.フ

ィル タ ー の 基 とは,Rの

の近 傍 系 は た しか に1つ 近 傍 系 を 含 む と き,〓

部 分 集 合 の 空 で な い 族Bで

の フ ィル タ ー とな

はaに

収 束 す る とい

あ っ て,次 の 条 件

を 満 足 す る もの を い う.   1′)  U,V∈Bな

らばU∩VはBの

  フ ィル タ ー の 基Bの ー を な す.

あ る集 合 を 含 む. 2′) 

あ る集 合 を 含 むRの

部 分 集 合 全 体 は,Rの

フ ィル タ

  フ ィル タ ー〓 のす べ て の 集 合 と交 わ る集 合Xが〓 集 合 とXと

の 共 通 部 分 全 体 を〓

に 属 さ な け れ ば,〓

に つ け 加 え れ ば,〓

よ り大 き い フ ィル タ ー

の基 が で き る.故 に フ ィル タ ー が 極 大 で あ る か ど うか は,〓 る集 合 が 常 に〓

な す.こ

ま た,そ

つ い て,Rか

に 属 す 集 合 のfに の 基 の 定 め るSの

ら わ す.fが

の 集 合 全 体 と交 わ

に 属 す か ど うか で 見 わ け られ る の で あ る.

  位 相 空 間R,Sに ル タ ー〓

の

全 射 な ら ば〓

の と き〓

らSの

中 へ の 写 像fが

よ る 像 全 体 はSに フ ィル タ ー を〓

あ る と き,Rの

お い て1つ のfに

フィ

の フ ィル タ ー の 基 を

よ る 像 とい い,f(〓)で

の 集 合 の像 全 体 の 族 が す で にf(〓)と

が 極 大 フ ィル タ ー な らばf(〓)も

あ

一 致 す る.

極 大 フ ィル タ ー とな る.

これ は 上 に のべ た 極 大 フ ィル タ ー の 判 定 法 か らわ か る.   定 理1.49 

位 相 空 間Rが

コ ンパ ク トで あ る た め に は,Rの

極 大 フ ィル タ ー

が すべ て 収 束 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   Rが

コ ンパ ク トで,〓

合 の 閉 包 の 全 体 は 共 有 点aを 個 の 集 合 を と り,そ に な っ て い る.〓

がRの

極 大 フ ィル タ ー で あ る とす る.〓

もつ.aの

近 傍 系νaお

の 共 通 部 分 全 体 の 族 を〓

が 極 大 で あ る か らνaは〓

大 フ ィル タ ー が 収 束 す る とす る.Rの 共 有 点 を もつ も のmを る 集 合 全 体 の 族 を〓

と り,mの

とす る と〓

か ら任 意 に 有 限

は フ ィル タ ー の 基

に 含 まれ る.逆 にRの

閉 集 合 の族 で,そ

任 意 の極

の うち の 任 意 有 限 個 が

集 合 の 有 限 個 の 共 通 部 分 と して あ らわ され

と か け ば,〓

は フ ィル タ ー の 基 を な す.〓

フ ィル タ ー は ツ ォル ン の 補 題 に よ っ て 存 在 す る が,そ はmの

よ び〓

れ は1点aに

を 含む 極 大 収 束 し,a

集 合 全 体 の 共 有 点 と な る. 

  定 理1.50 

Rが

る た め に は,Rα

(証終)

何 個 か の 位 相 空 間Rα

へ の 射 影 で あ る とき,Rの

の集

フ ィル タ ー〓

の 積 空 間 で あ り,fα がRか がRの

点a=(…,aα,…)に

らRα 収 束す

の フ ィル タ ーfα(〓)が す べ てaα に 収 束 す る こ とが 必 要 十 分

で あ る.   証 明  〓 がaに 収 束 す れ ば〓

はaの

近 傍 系 を 含 み,aの

る 像 はfα が 開 写 像 で あ る こ とか らRα fα(〓)はaα

に 収 束 す る.逆

にfα(〓)が

近 傍 系 のfα に よ

に お け るaα の近 傍 系 と な る.故 す べ てaα に 収 束 す る と し,α

に の う

ち の1つ

α0を 固 定 してRα0に

fα0(U)=U0と

お け るaα0の1つ

な る あ る 集 合Uを

意 で あ る よ うなRの

含 む.α0成

元 全 体 の 集 合 はUを

の 近 傍 をU0と

分 がU0に

す る.〓

属 し,他 の 成 分 は 任

含 む か ら〓 に 含 ま れ る.従

はaの 近 傍 系 を 含 む. 

って 〓 (証終)

  定 理1.51  (テ ィホ ノ フ(Tihonov)の 空 間 で あ る と き,Rが

は

定 理)Rが

何 個 か の 位 相 空 間Rα

コ ンパ ク トで あ る た め に は,Rα

の積

が すべ て コ ン パ ク トで

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   Rが

コ ンパ ク トな ら,Rか

らRα

へ の 射 影fα

は 連 続 だ か らRα

コ ン パ ク トで あ る.逆 にRα が す べ て コ ンパ ク トな らば,Rの 〓 に つ い て,Rα

の 極 大 フ ィル タ ーfα(〓)が 定 理1.49に

す るか ら 前 定 理 に よ って 〓 が 収 束 す る.故 にRは   位 相 空 間Rの U∩V=φ

異 な る2点a,bに

つ い てa,bの

と で き る と き,RはT2空

間,あ

空 間,ま た は 分 離 的 空 間 と よ ば れ る.T2空 な る2点 に 収 束 しな い,と   定 理1.52 

Rが

は

極 大 フ ィル タ ー よって す べ て 収束

コ ンパ ク トで あ る. (証終) 近 傍U,Vを

そ れ ぞ れ と り,

る い はハ ウ ス ドル フ(Hausdorff) 間 の 条 件 は1つ

の フ ィル タ ー が 異

も い い あ らわ せ る.

分 離 的 位 相 空 間 な ら ば,Rの

コ ンパ ク ト部 分 空 間XはR

の 閉 集 合 で あ る.   証 明  Xの1点

をaと す る.aの

近 傍 とXと

の 共 通 部 分 全 体 はXの

ー を な す か ら,そ れ を 含 む 極 大 フ ィル タ ー 〓 が 存 在 し,Xの1点bに る.も

し 

な ら ば,a,bの

フ ィル タ 収 束す

近 傍 で共 通 点 の な い も の が とれ る こ と に よ っ て

 とな り不 合 理 で あ る.故 にa=b,a∈X,従

ってX=Xと

な る. (証終)

  こ の定 理 の1つ の 応 用 と して   定 理1.53 

コ ンパ ク トな 空 間Rか

ら分 離 的 空 間Sの 上 へ の1対1連

続 写像

は 同 相 写 像 で あ る.   証 明   Rの

閉 集 合Xを

と る とf(X)は

Sの 閉 集 合 で あ る.故 にf−1は   T2空 の1つ

間 の 条 件 は,位 で あ る.T0空

コ ンパ ク トだ か ら 前 定 理 に よ っ て

連 続 で あ る. 

(証終)

相 空 間 の 分 離 条 件 と よ ば れ る 条 件T0,T1,T2,T3,T4

間 とは 任 意 の2点a,bに

つ い てaを 含 ま な いbの

近傍ま

た はbを

含 ま な いaの

近 傍 がと れ る よ うな 空 間 で あ る.こ れ は 異 な る2点 の 閉

包 が 異 な る,あ る い は 異 な る2点 T1空 間 は 異 な る2点a,bに

の 近 傍 系 が 異 な る,と

つ い て,aを

の 近 傍 も とれ る よ うな 空 間 で あ って,こ あ る.T3空

間 とは1点

され る 空 間 を い う.T4空

間 とは2つ

空 間 を い う.T0,T1,T2は り,T4は

らT2で

  定 理1.54 

Rが

位 相 空 間,MがRの

間Sの

い てaの

f(U∩M)⊂Vと よ ってzの

近 傍 とMと

し,V′

をf(a)の

含 む.仮

の と き,も

(証終)

し任 意 のa∈Rに

フ ィル タ ー 〓

近 傍 とす る.SはT3で

定 に よ ってaのRに

のfに

よ

あ る か ら,V′

お け る 開 近 傍Uを

す る とf(z)の

つ い てf(W∩M)を

と り,

近傍 で もあ る

ってf(z)の

にf(U)⊂f(U∩M).こ

とな りfは

稠 密 な 部 分 集 合Mか

は

任 意 の 近 傍 は や は り仮 定 に 含 む.Uはzの

点 が 含 まれ る こ と に な る.故

つ

連 続 で あ る.

含 ま れ る よ うに と る こ とが で き,従

位 相 空 間Rの

収

稠 密 な 部 分 空 間 で あ り,fがRか

閉 で あ る こ と とか らf(U)⊂V⊂V′

  定 理1.56 

フ ィル タ

収 束 す る.同 様 にg(〓)はg(a)に

収 束 して い る な らばfは

あ る 近 傍Wに

にf(U∩M)の

の 共 通 部 分 全 体 の な すMの

の共 通 部 分 全 体 の な すMの

で き る.z∈Uと

か らWはUに

Vが

稠 密 な 部 分 空 間 で あ り,f,gがR

位 相 空 間,MがRの

近 傍 とMと

閉 近 傍Vを

あ ってT3な

は 同 じ フ ィル タ ー で あ る か らf(a)=g(a). 

る 像f(〓)がf(a)に

f(a)の

か しT1で

必ず

あ る こ とは あ き らか で あ る.

中 へ の 写 像 で あ る とす る.こ

  証 明   a∈Rと

と閉 集 合 とが 開 集 合 で 分 離

一 致 す る.

し,aの

Rが

れ ぞ れ を含 み互

中 へ 連 続 写 像 で あ る とす る.こ の と き,f,gのMへ

束 す る.f(〓)とg(〓)と

らT3空

らT3で

とす る と,f(〓)はf(a)に

 定 理1.55 

な わ ち1点

り強 くな い.し

あ っ てT4な

の 制 限 が 一 致 す ればf,gは

ーを 〓

が閉集 合 を なす こ とと同等 で

だ ん だ ん 強 くな っ て い る 条 件 で あ る が,T3は

か ら分 離 的 位 相 空 間Sの

  証 明  a∈Rと

れ は1点

の 交 らな い 閉 集 合 が 開 集 合 で 分 離 され る

必 ず し もT3よ

あ り,T1で

含 ま な いbの 近 傍 もbを 含 ま な いa

とそ れ を 含 ま な い 閉 集 合 に つ い て,そ

い に 交 わ ら な い 開 集 合 が とれ る 空 間,す

し もT2よ

い う こ とを 意 味 す る.

任 意 の近 傍 れと

連 続 で あ る.  (証終)

らT3空

間Sの

中へ の連

続 写 像fが

あ た え られ,すべ

部 分 全 体 の な すMの る な らば,そ れ る.fは

て のa∈Rに

フ ィル タ ー〓

の 点 をf(a)と

のSへ

つ い てaの

の 像f(〓)がSの

お く こ とに よ ってRか

連 続 で あ り,fの

近 傍 とMと

らSへ

延 長 を あ た え る.特にSが

の 共通

点に収 束 す の 写 像fが

定めら

分 離 的 な ら ば,fのR

へ の 延 長 は こ の よ うに して あ た え られ る も の だ け で あ る.   証 明   前 定 理 か ら 直 ち に 得 られ る.最

後 の 一 意 性 は 定 理1.54に

よ る. (証終)

  群Gが

同 時 に 位 相 空 間 で あ り,G×Gか

空 間G×Gか

らGへ

らGへ

の 写 像(x,y)→x−1yが

の 写 像 と して 連 続 で あ る と き,Gは

積

位 相 群 で あ る とい

う.   群 の 元a,bを a,bに

固 定 して 考 え た と き,x→xa,y→byの

よる 右 移 動,左

そ れ ぞ れ 右,左

移 動 と よぶ.群

の 部 分 集 合Mに

移 動 とい う.群 が 可 換 な らば,右

形 の写像 をそれ ぞれ つ い て も,Ma,bMを

左 の 区別 は 必 要 な い か ら単 に

移 動 とい う.   移 動 は 位 相 群Gに

お い て は 同 相 写 像 で あ る か ら,Gの

単位 元 の近傍 系 を あ

た え れ ば そ れ を 移 動 した も の が 各 点 の 近 傍 系 と な る.故 にGの

位相 は 単位 元 の

近 傍 系 だ け を あ た え れ ば 定 ま る.   Gの 単 位 元 の 近 傍 系 をν と し,ν に よ っ てGに

位 相 を あ た え る こ と を も う少

し くわ し く考 え よ う.ν は ま ず 次 の性 質 を もつ.   1) U∈ν な ら ば1∈U.2)  ばU∩V∈ν.4)  る.W−1はWの

任 意 のU∈ν

U∈ν.U⊂Vな

ら ばV∈ν.3) 

に つ い てW−1W⊂Uと

元 の 逆 元 全 体 の 集 合 で あ る.(1.3参

U,V∈ν

な るW∈ν

なら

が存 在す

照)  5) a∈G,U∈

ν

な ら ばa−1Ua∈ν.   1),2),3)は

あ き らか,4),5)は

に 他 な ら な い.条   と こ ろ が 群Gに

件4)か

そ れ ぞ れ(x,y)→x−1y,x→a−1xaの

ら特 にU∈ν

つ い て1)‐5)を

る と,そ れ に よ ってGに

な ら ばU−1∈ν

連続性

で あ る.

満 足 す る集 合 族ν が あ た え られ て い る とす

位 相 を 定 め,そ

の 位 相 に 関 す る1の 近 傍 系 が ち ょ うど

は じめ のνに な り,ま た そ の 位 相 に つ い てGが 位 相 群 に な る よ うに す る こ とが

で き る.こ れ を た しか め るた め に,ま ずν が あ た え られ た と し,任 意 のa∈G に つ い てνに 属 す 集 合 を す べ てaで 左 移 動 し て 得 られ る族 をνaと

お く.こ の

と きνaが 近 傍 系 の 条 件1′)‐4′)を 満 足 す る こ と を 示 そ う.1′),2′),3′)はあ き らか で あ る.4′)を い うに は 任 意 のaU∈νa,(U∈

ν),に 対 し,W−1W⊂Uと

な るW∈

つ い てbW⊂aW−1W⊂aU

ν を と る.こ

で あ るか らaU∈ さ れ た.Gは

の と き任 意 のb∈aW−1に

νb.一 方W−1∈ν

で あ る か らaW−1∈

νa.こ れ で4′)が 証 明

従 って 位 相 空 間 と な り,νaが そ の 各 点 の 近 傍 系 とな る.こ

相 に よ ってGが

位 相 群 で あ る こ と を い う に は,x−1yの

に お い て(x,y)の

近 傍 の 逆 像 がG×G

近 傍 で あ る こ とを い え ば よい.x−1yの1つ

(U∈ ν),と し,W−1W⊂Uと

な るW∈

ν を と る.5)に

∈νで あ る か ら,x・x−1yW(x−1y)−1はxの

の位

の 近 傍 をx−1yU,

よ ってx−1yW(x−1y)−1

近 傍 で あ る.故 に(x・x−1yW(x−1y)−1 ,

yW)⊂G×Gは(x,y)の

近 傍 で あ る.こ

の 近 傍 の(x,y)→x−1yと

に よ る像 はx−1yW−1Wに

等 し く,こ れ はx−1yUに

含 ま れ る.こ

い う写 像 れ でGが

位 相 群 と な る こ とが わ か っ た.   位 相 群 の 部 分 群 は 部 分 空 間 と して の 位 相 で ま た 位 相 群 とな る.普 通 位 相 群 の 部 分 群 といえ ば こ の 位 相 を 考 え て い る もの とす る.位 相 群 の 直 積 は 積 空 間 と し て の 位 相 で 位 相 群 と考 え られ る.制 限 直 積 の 場 合 も 同 様 で あ る.次 に 位 相 群G の 正 規 部 分 群Nが 群 に な る.こ

あ った と き,剰

余 群G/Nは

の と きG∋x→xN∈G/Nは

も ち ろ ん 連 続 写 像 で あ る が,こ れ は

さ らに 開 写 像 で あ る.な ぜ な らGの 集 合XNの

剰 余 空 間 と して の 位 相 で 位 相

開 部 分 集 合Xの

こ の 写 像 に よ る 像 は,開

像 に 等 しい か ら で あ る.

  一 般 に 位 相 群Gか

ら位 相 群Hへ

Gか

の写 像 と し て 連 続 開 写 像 で あ る と き,fをGか

らf(G)⊂Hへ

の 写 像fが

群 の 準 同 型 写 像 で あ り,さ ら に

中 へ の 位 相 群 の 準 同 型 写 像 とい う.こ の と き も しfがHの fの 核 をNと f(a),f(a)→aNは

す る と,定 理1.1に

よ っ て 群 と して 

い ず れ も開 写 像 で あ る か ら, 

相 対 応 に も な って い る.群

らHの

上 へ の 写 像 な らば, で あ る が,aN→ は位 相空 間 の 同

と して の 同 型 対 応 が 位 相 空 間 の 同 相 対 応 に も な って

い る と きそ れ を 位 相 群 の 同 型 対 応 とい う こ とに す れ ば,準

同 型定 理は 位相 群 に

つ い て もな りた つ.   Hが

位 相 群Gの

定 理1.2に

正 規 部 分 群,Hの

よ り,群

部 分 群Nが

またGの

と して 

G/N→(G/N)/(H/N)と

正 規 部 分 群 な らば,

で あ り,こ

の 同 型 はG→

い う標 準 的 準 同 型 写 像 を つ づ け て 行 う こ と に よ っ て

得 られ た.こ れ らの 標 準 的 写 像 は い ず れ も連 続 開 だ か ら,上 の 同 型 は 位 相 群 と して の 同 型 に な って い る.す

な わ ち,第1同

型 定 理 は 位 相 も考 え て な りた つ.

  第2同 型定 理は位 相群 につ い ては無 条件 では な りたた ない.   位 相 群G1,…,Grの

正 規 部 分 群N1,…,Nrが

あ る と き に は,位

相 群 と して

 で あ る.   位 相 群 の 直 積 分 解 に つ い て は ま た 次 の 定 理 が な りた つ.   定 理1.57  G=N1×

Gが

… ×Nrと

N1,…,Nrの

位 相 群,N1,…,NrがGの

正 規 部 分 群 で,Gは

直 積 分 解 され て い る とす る.こ

直 積 で あ る た め に は,Gか

の と きGが

群 と して

位 相 群 と して も

らNi,(i=1,…,r),へ

の 射 影fiが

す べ て 連 続 な こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   必 要 な こ とは あ き ら か で あ るか ら十 分 な こ とを 証 明 す る.a∈Gを a=a1…ar,(ai=fi(a)),と

あ らわ す と,fiの

直 積 位 相 よ り強 い.と aiのGに =Viと

こ ろ が,aの

お け る近 傍Uiを

連 続 性 か らGの

任 意 の 近 傍Uに

と り,U1…Ur⊂Uと

す れ ばViはaiのNiに

… ×Nrの

  例 題9 

単 位 元 の 連 結 成 分 をDと

G/Dは

の連続 性 か ら

す る こ とが で き る.Ui∩Ni … ×V

rはUに

お け る近 傍 の 直 積 集 合 を 含 む.故

相 は 位 相 群 の 直 積N1× 位 相 群Gの

対 して,積

お け る近 傍 でV1×

る.す な わ ちUはaiのNiに

位 相 はNiの

にGの

位 相 と一 致 す る.  す れ ば,Dは

含 まれ 位

(証終) 正 規 部 分 群 で,

完 全 不 連 結 で あ る.

  解   任 意 のa∈Gに

つ い てa−1Daは1を

で あ る.後 半 は 例 題6に   例 題10 

位 相 群 はTs空

  解   Xが 単 位 元1を る も の が 存 在 す る.1の

含 む 連 結 集 合 でDに

よ る. 

含 まれ る か ら (以上)

間 で あ る.

含 ま な い 閉 集 合 な ら ば,1の 近 傍WでW−1W⊂Uで

近 傍UでU∩X=φ

とな

あ る も の を と れ ば,W−1W

∩X=φ

か らW∩WX=φ

で あ る.故 に1とXが

開 集 合 で 分 離 され る. (以上)

  例 題11 

位 相 群GはT0な

  解   a,b∈Gに

ら ば 分 離 的 で あ る.

つ い て,1の

で あ る.故 にGはT1で   例 題12 

近 傍Uを

と っ て 

前 例 題 に よ りT2と

位 相 群Gが

とで きれ ば 

な る. 

分 離 的 で あ る た め に は,単

(以上)

位 元 が 閉 集 合 を な して い る

こ とが 必 要 十 分 で あ る.   解   例 題10よ

りGの

各 点 が 閉 集 合 を な す こ と とGがT2で

あ る こ ととは

同 等 で あ る.    例 題13 

(以上)

位 相 群Gの

は,NがGの

正 規 部 分 群Nに

つ い て,G/Nが

分 離 的 で あ るため に

閉 集 合 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.

  解   前 例 題 に よ る.    例 題14 

Nが

  解   a,b∈Nな 含 み,部

位 相 群Gの

含 む.故

上 へ の 同 相 写 像fが

=f(u)f(u′)が

正 規 部 分 群 で あ る.

点 が 属 す か らNはa−1bを つ い て,a−1NaはNを

にa−1Na=N.  適 当 な1の

近 傍U1,U2を

ら にfの

含 む閉 (以上)

あ り,u,u′ ∈U1でuu′

な りた ち,さ

る と き,G1とG2と

任 意 の 近 傍 にNの

た す べ て のa∈Gに

  2つ の 位 相 群G1,G2の U2の

正 規 部 分 群 な らば,閉 包Nも

らa−1bの

分 群 で あ る.ま

集 合 だ か らNを

(以上)

そ れ ぞ れ え ら び,U1か ∈U1で

ら

あ る か ぎ りf(uu′)

逆 写 像 も 同 様 の 性 質 を もつ よ うに で き

は 局 所 同 型 で あ る とい う.

  Gが 局 所 コ ン パ ク トな 位 相 群 な ら ば,単

位 元1の

近 傍 で コ ンパ ク トな もの が

存 在 し,そ れ と1の 閉 近 傍 と の 共 通 部 分 は コ ンパ ク ト空 間 の 閉 部 分 集 合 だ か ら コ ン パ ク トに な る.GはT3空 あ るか ら,1の

間 で,1の

近 傍 系 の 基 は 閉 近 傍 で とれ る の で

近 傍 系 の 基 は また コ ン パ ク トな 近 傍 で とれ る こ とに な る.故 に

Gが 局 所 コ ンパ ク トで あ る た め に は1の

任 意 の 近 傍 が コ ンパ ク トな 近 傍 を 含 む

こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ れ か ら直 ち に わ か る よ うに,2つ

の位 相 群 が局所 同

型 な と き に は,一 方 が 局 所 コ ンパ ク トな ら他 方 も そ う で あ る.   Gが

位 相 群,NがGの

正 規 部 分 群 で しか も離 散 的,す

なわ ち弧 立 点 ばか り

か らな る も の とす る.こ め に はGの

の と きG/NはGと

単 位 元 の 近 傍UでU−1Uが1以

り,a∈UにaN∈G/Nを

位 相 空 間Rが

外 のNの

元 を含 まない ものを と

相 体 も 考 え られ る.こ

こ に 定 義 を の べ て お こ う.

同 時 に 環 で あ り,x−y,xy,(x,y∈R),が

の 連 続 写 像 で あ る と き,Rは

共 に 直 積 空 間R×R

位 相 環 で あ る とい う.Rは

は 位 相 群 とな る.次

に 位 相 空 間Fが

で,し

か もFの0以

外 の 元 の な す 乗 法 群Fxに

Fxへ

の 連 続 写 像 で あ る な ら ば,Fは

法 群 お よびFxは

れ をみ るた

対 応 させ れ ば よい.

  位 相 群 と同 時 に 位 相 環,位

か らRへ

局 所 同 型 で あ る.そ

同 時 に 体 で あ り,Fが

加 群 と して

環 と して は 位 相 環

つ い て,x→x−1がFxか

ら

位 相 体 で あ る とい う.こ の と き,Fの

加

共 に 位 相 群 と な る.加 群 で あ る 位 相 群 を 位 相 加 群 と い う.

  位 相 空 間 の 一 般 的 説 明 の 最 後 に の べ る べ き こ と は,完 備 性 とい う重 要 な 概 念 で あ る.た

と え ば,実

3.1,3.14,…

数 の 中 で は π に 収 束 す る が,有

理 数 に は 収 束 しな い3,

と い う 数 列 の 存 在 は,有

理 数 の集 合 が 実 数 の集 合 とは か な り位

相 的 性 格 を 異 に して い る こ と を 示 す.こ

の よ うな こ とを 正 確 に と ら え る た め 完

備 性 とい う概 念 が 用 い られ る の で あ る が,完

備 性 は 一見 簡 単 に 見 え て 実 は 相 当

高 度 な 概 念 で あ り,各 点 の近 傍 の 状 態 が 互 い に 比 較 で き る よ うな,い

わ ゆ る一

様 位 相 空 間 を 用 い て 初 め て 明 確 に で き る も の で あ る.し か し,本 書 で は,そ れ ほ ど一 般 な こ とは 必 要 で な い の で,一 様 位 相 空 間 の 特 別 の 場 合 で あ る 可 換 位 相 群 と,距 離 空 間 とだ け に つ い て,完 備 性 を 説 明す る.位 相 群 に お い て は,単 元 の 近 傍 の 移 動 に よ っ て 各 点 の 位 相 が き ま り,ま た 後 に の べ る よ うに,距

位

離空

間 で は 距 離 とい う関 数 に よ っ て,空 間 全 体 に わ た って 一 度 に 位 相 が 定 め られ る か ら,い ず れ の 場 合 に も各 点 の 近 傍 の状 態 が 互 い に 比 較 で き る の で あ る.   Gを 可 換 位 相 群,ν をGの (U∈ν,a∈G),の 部 分 空 間Xの き,〓

単 位 元 の近 傍 系 とす る.Gの

形 の 集 合 に 含 まれ る と き,MをU位 フ ィル タ ー〓

を コ ー シ ー(Cauchy)フ

る た め の 条 件 は,任 に つ い てx−1y∈Uと

意 のU∈ν

が 任 意 のU∈ν

の 集 合 とい う.Gの

に つ い てU位

ィル タ ー とい う.〓 に つ い てM∈〓

部 分 集 合MがaU,

の 集 合 を含 む と

が コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ

が 存 在 し,す べ て のx,y∈M

な る こ と と い っ て も 同 じで あ る.収

束 す る フ ィル タ ー は

必 ず コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ る.Xの

す べ て の コ ー シ ー フ ィル タ ー がXの

収 束 す る と きXは

完 備 で あ る とい う.Gの

い て 有 限 個 のU位

の 集 合 の 合 併 に 含 ま れ る と き,Xは

  定 理1.58 

分 離 的 可 換 位 相 群Gの

  証 明   aをHの

部 分 集 合Xが

とbと a=bで

を な し,〓

はHの

点bに

  定 理1.59 

す る.νaは

収 束 す る.も

し 

コー

な ら ばa

が 空 集 合 を 含 む.故

な る. 

可 換 位 相 群Gの

コー

の 共 通 部 分 全 体 はHの

の 近 傍 を 交 わ らな い よ うに と る こ と に よ り,〓 あ り,a∈H,H=Hと

閉 集 合 で あ る.

お け る 近 傍 系 をνaと

シ ー フ ィル タ ー で あ る か らνaに 属 す 集 合 とHと

につ

全 有 界 で あ る とい う.

完 備 な 部 分 集 合Hは

点 と し,aのGに

シ ー フ ィル タ ー〓

任 意 のU∈ν

点に

に

(証終)

部 分 集 合Xが

コ ンパ ク トで あ る た め に は,Xが

全 有 界 で あ り同 時 に 完 備 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   Xが

コ ンパ ク トで あ る と し,Gの

る と,aU,(a∈X),の の 合 併 にXが

全 体 の 合 併 にXが

含 ま れ る.故 にXは

ィル タ ー とす れ ば,〓 〓の 集 合 のXに Vを

単 位 元1の 含 ま れ,従

全 有 界 で あ る.ま

と な る.故

た〓

をXの

コー シ ー フ

の 集 合 をM⊂bW,(b∈G),と が 交 わ り,b∈aWW−1,従

にaのXにお

もつ.Gの1の

な るGの1の

け る任 意 の 近 傍 が〓

な わ ちXは

完 備 で あ る.

  逆 にXが

全 有 界 で 完 備 で あ る とす る.Uを1の

aU,(a∈G),の

って そ の うち の 有 限 個

中 に 共 有 点aを

任 意 に と り,さ らにWW−1W⊂Vと

わ る か らbWとaWと

す

に 属 す 集 合 の 任 意 の 有 限 個 が 共 有 点 を もつ こ と に よ り,

お け る 閉 包 全 体 はXの

に 含 まれ るW位

任 意 の 開 近 傍 をUと

形 の 集 合 の 有 限 個a1U,…,arUの

近 傍Wを

は交

っ てM⊂aWW−1W⊂aV に 属 し,〓 はaに

収 束 す る.す

任 意 の近 傍 とす れ ば,Xは 合 併 に 含 まれ る.Xの

極大

交 わ らな い 集 合Ai∈〓

がと

つ い てaiUと

れ る な らば,∩Aiの

ど れ に も 属 さ な い か ら,XがaiUの

含 ま れ る こ とに 反 す る,故 の す べ て の 集 合 と交 わ り,〓

に 少 な く と も一 つ のaiUに の 極 大 性 か ら〓

と る.〓

す れ ば,MとaWと

フ ィル タ ー〓 を と る と き,各iに 点 はaiUの

近傍

つ い てaiU∩Xは

に 属 す.従

合 を 含 む こ とに な り,コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ る.故

合併 に

に〓

っ て〓 はU位 は 収 束 し,Xは

〓 の集 コ

ンパ ク トに な る.    例 題15 

(証終)

可 換 位 相 群Gの

全 有 界 部 分 集 合Xに

お い て は,極 大 フ ィル タ ーは

必 ず コー シ ー フ ィル タ ー で あ る.逆 にXの 極 大 フ ィル タ ー が 必 ず コー シ ー フ ィ ル タ ー な ら ばXは

全 有 界 で あ る.

  解   前 半 は 定 理1.59の

証 明 に 含 ま れ て い る.後 半 を い うた め に,Xを

界 で な い とす れ ば,Gの

単 位 元 の あ る近 傍Uに

限 個 の 合 併 に な ら な い か ら,XのU位 族 を とれ ば,そ 体 はXの

の 部 分 集 合 のXに

の集 合 の有

おけ る補集 合 全体 の

の 族 に 属 す 集 合 の 有 限 個 の 共 通 部 分 と して あ らわ され る集 合 全

あ る フ ィル タ ー の 基 に な る.そ

タ ー を〓

つ い てXはU位

とす れ ば,〓

はU位

の フ ィル タ ー を 含 むXの

の 集 合 を1つ

も含 ま な い.故

極 大 フ ィル

に〓

は コー シ

ー フ ィル タ ー で な い .    定 理1.60 

(以上)

局 所 コ ン パ ク トな 可 換 位 相 群Gは

  証 明  〓 をGの 傍 とす る.A∈〓

に 属 す.ま

でU′

近 傍Wを

分 集 合 と してU′ Gの

と る と,GのW位 位 で あ る.故

部 分 集 合 と して のXの

に 注 意 す れ ば,定

理1.58,定

部分 集 合 なる

の 共 通 部 分 はHの

部 分 集 合Xの

理1.60か

のこと

ら直 ち に 本 定 理 が 得 られ る. (証終)

閉 部 分 集 合Hは

  解  Hの

コ ー シ ー フ ィル タ ー〓

のHか

の コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ り,a∈Gに

部

コ ー シー フ ィル タ ー は

コ ー シ ー フ ィル タ ー と 同 じ も の で あ る.こ

完 備 な 可 換 位 相 群Gの

に 属 す.Hは

閉 集 合 で あ る.

で あ る.ま たW−1W⊂Uと

  例 題16 

の 共 通 部 分 は〓

(証終)

と お く とHの

の 集 合 とHと にHの

に属 す集 合 と

もaに 収 束 す る. 

つ い て,U∩H=U′

部 分 集 合 と してU位

コ

コ ー シ ー フ ィル タ ー だ か

分 離 的 可 換 位 相 群Gの 局 所 コ ン パ ク ト部 分 群Hは

位 の も の はGの

Gの1の

完 備 で あ る.〓

はBの

だ か ら〓

  証 明   Gの 単 位 元 の 近 傍Uに

コ ンパ ク トな 近

な る も の が 存 在 し,x0U=Bは

とす る と,〓

収 束 す る. 

  定 理1.61 

単 位 元1の

た 前 定 理 に よ ってBは

Bと の 共 通 部 分 全 体 の 族 を〓 るa∈Bに

完 備 で あ る.

コ ー シ ー フ ィル タ ー,UをGの でA⊂x0U,(x0∈G),と

ンパ ク トで〓

ら,あ

全有

らGへ

完 備 で あ る. の 標 準 的 写 像 に よ る像 はG

収 束 す る.故 にaの

閉 集 合 で あ る か らa∈Hで

任 意 の 近 傍 とHと あ り,〓

はaに

収

束 す る. 

(以上)

  例 題17 

完 備 な 可 換 位 相 群Gaの

  解   Gの

コ ー シ ー フ ィル タ ー〓

り,収 束 す る.故 に〓   位 相 体 は 加 法 群,乗

よ る〓′ の 像 を〓

れ に つ い て は 次 の 定 理 が あ る. 加 法 群 が 完 備 な ら ば,Fの0以

コ ー シー フ ィル タ ー と し,Fxか とす る.〓 が 加 法 群Fの

しな い こ とを 示 せ ば よい.Fの0の と な るFの0の

近 傍Wが

と りだ して,す

に で き る.aをAの の0の

(以上)

外 の元 の な

完 備 で あ る.

  証 明  〓 ′をFxの

集 合Aを

の 射 影 は コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ

法 群 が 共 に 位 相 群 で あ る か ら,完 備 性 に つ い て も両 方 を

分 離 的 な 位 相 体Fの

す 乗 法 群Fxも

のGaへ

完 備 で あ る.

が 収 束 す る. 

考 え な け れ ば な ら な い.こ   定 理1.62 

直 積G=ΠGaは

らFへ

コ ー シ ー フ ィル タ ー で,0に

任 意 の近 傍Uに

とれ る.1+Wは1の べ て のx,y∈Aに

て す べ て のx,y∈Bに

近 傍 で あ る か ら,〓 つ い てx−1y∈1+Wと あ る.こ

な る よ うに す る.任

から

な るよう こ で さ らにF

な る よ うに と り,〓 ′か ら集 合B⊂Aを つ い てx−1y∈1+Vと

収束

対 して,W⊂U,WW⊂U

任 意 の 点 とす れ ばA⊂a+aWで

近 傍VをaV⊂Wと

の標 準 的 写 像 に

と りだ し 意 のb∈Bを

とれ ば,  と な る.こ れ で ま ず 〓 が コー シ ー フ ィル タ ー で あ る こ とが わ か っ た.次

に 上 のWは

離 性 か らWは A⊂a+aWに

位 相 群 の 性 質(例 題10)か −1を 含 ま ず,従

よ って0の

ら 閉 集 合 で とれ る.ま たFの

ってa+aWは0を

あ る 近 傍 はAと

含 ま な い と して よい.

交 わ らず,従

っ て〓

は0に

な い. 

あ た え られ

稠 密 な 部 分 群 と して 含 む 完 備 な 分 離 的 可 換 位 相 群GをGの

化 と い い,Gを

あ た え てGを

  可 換 位 相 群Gか

つ く る こ とをGを完

ら 可 換 位 相Hへ

の よ うに と って も,Gの1の よ る 像 がV位

収束 し (証終)

  これ か ら可 換 位 相 群 の 完 備 化 を 論 じ よ う.分 離 的 可 換 位 相 群Gが た と き,Gを

分

近 傍Uを

に な って い る と き,fは

の 写 像fが

完備

備 化 す る とい う の で あ る. あ り,Hの1の

適 当 に 定 め れ ばGのU位

近 傍Vを

ど

の 集 合 のfに

一 様 連 続 で あ る とい う.一

様 連続 写像

に よ る コ ー シ ー フ ィル タ ー の 像 は コ ー シー フ ィル タ ー で あ る.ま た 一 様 連 続 写 像 は 連 続 で あ る.   定 理1.63 

Gが 完 備 な 可 換 位 相 群,Gが

か ら完 備 な 分 離 的 可 換 位 相 群Hの Gか らHの

し,aの

従 っ てf(〓a)はHの f(〓a)はHの1点

延 長 で あ る もの が 一 意 的 に 定 ま る.

近 傍 とGと

を 〓aと す る.こ れ はGの

写 像fが

中 へ の 一 様 連 続 写 像 で あ る とす る.こ の と き

中 へ の 一 様 連 続 写 像fでfの

  証 明   a∈Gと

そ の稠 密 な 部 分 群 で あ り,fがG

の 共 通 部 分 全 体 の な すGの

フ ィル タ ー

コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ り(定 理1.61の

証 明 参 照),

コ ー シ ー フ ィル タ ー で あ る.Hは に 収 束 す る.そ

得 られ る.fの

の 点 をf(a)と

一 意 性,連

分 離 的 で 完 備 だ か ら,

お くとGか

続 性 は 定 理1.54,定

らHの

理1.55か

中へ の

ら あ き らか

で あ る.   fの 一 様 連 続 性 を い うに は,Hの1の な るHの1の のfに

近 傍Wを

定 め,Gの1の

よる 像 が す べ てW位

と って,GのU位

近 傍Vに 近 傍Uを

で あ る よ うに す る.さ

の 集 合 とGと

f(M)はW位

らにGの1の

の集合 開 近 傍Uを

で あ る よ うに して お

傍 に は い った と し,aU∩G=Mと

も 〓bに も入 る か らf(M)はf(〓a)に で あ り,f(〓a),f(〓b)が

か らf(a)W,f(b)Wは ⊂f(a)Vと

と ってGのU位

の 共 通 部 分 が す べ てU位

く.こ の と きb∈Gがa∈GのU近 ばMは〓aに

対 しWW−1WW−1⊂Vと

共 にf(M)と

もf(〓b)に

そ れ ぞ れf(a),f(b)に

おけ もは い る.

収束すること

交 わ る.故 にf(b)∈f(a)WW−1WW−1

な る.こ れ はf(aU)⊂f(a)Vを

意 味 し,fは

一 様 連続 で あ る. (証終)

  可 換 位 相 群Gか

ら可 換 位 相 群 へ の 群 と し て の 準 同 型 写 像fで

き ら か に 一 様 連 続 で あ る.従 っ てHが 上 の 定 理 に よ りfはGか

らHへ

g(x,y)=f(x)f(y)f(xy)−1と x,y∈Gな

らg(x,y)=1で

上 で 恒 等 的 に1で

完 備 分 離 的 で,Gが

の 一 様 連 続 写 像fに

い うG×Gか あ る.故

らHへ

にg(x,y)は

連続 な ものは あ

完 備 化Gを 延 長 され る.と

もて ば, ころで

の 連 続 写 像 を 考 え る と, 定 理1 .54に

よ っ てG×G

あ る.す な わ ち 群 と して の 準 同 型 写 像 は 必 ず 群 と して 準 同 型

写 像 に 延 長 され る の で あ る.

  定 理1.64 

Gが

可 換 位 相 群Gの

稠 密 な 部 分 群 で あ る とす る.こ の と きGの

コ ー シー フ ィル タ ー を 基 とす るGの

フ ィル タ ー が す べ て 収 束 す れ ばGは

完備

で あ る.   証 明   〓 をGの びM∈

任 意 の コ ー シ ー フ ィル タ ー とす る.Gの1の

〓 に つ い てMWの

を 〓0と す る.〓0は

や は りGの

な す.gはGの

フ ィル タ ーgは

近 傍 とgと

コー シ ー フ ィル タ ー で あ る.Gの

の 共 通 部 分 は 空 で な く,従

フ ィル タ ーgを

す るGの

の 任 意 の 集 合 とが 必 ず 交 わ る.Gの1の

cW−1Wで

点aに

属 し空 で な い.従

近 傍WをWW−1W−1W⊂Vと

近 傍Vを

収 束 す る.故 にaの

な る よ うに と る.〓 か らW位

含 み,従

基 と 任意 の

任 意 に と り,さ らにGの1の

はMの

あ る か らM⊂aWW−1W−1W⊂aVと

に 収 束 し,Gは

って そ の よ うな 集 合 全 体

っ て ま たaの 任 意 の 近 傍 と 〓0

あ る 点bを 含 む.bW−1に

傍 が 〓 の 集 合Mを

稠 密性 に

コ ー シ ー フ ィル タ ーで あ り,gを

仮 定 に よ っ てGの

の 共 通 部 分 はgに

とれ ば,MW∩aWは

よ

形 の 集 合 を つ く り,こ れ ら全 体 の な す フ ィル タ ー

よ っ て 〓0の 集 合 とGと はGの

近 傍Wお

の 集 合Mを

点cが 含 まれ,M⊂

な る.こ

れ はaの 任 意 の 近

って 〓 に 属 す こ とを 示 して い る.故 に 〓 はa

完 備 で あ る. 

(証終)

  こ こ で さ らに 次 の こ とを 注 意 して お こ う.任 意 の 位 相 空 間Rに お い て1点a か ら な る 集 合 の 閉 包 をaで れ ば,Rは

類 別 され て 剰 余 空 間Rが

閉 包 を も ち,従 してT0空

あ ら わ し,a=bの

ってRはT0空

間Rが

は そ れ ぞ れT3,T4と

と きaとbと

で き る.Rに

間 で あ る.こ

つ くれ る.RをRのT0化

が 同 値 で あ る とす

お い て は 異 な る2点 は 異 な る の よ うに 任 意 の 空 間Rを と い う.T3,T4空

類別

間 のT0化

な る.

  これ か ら位 相 群 の 完 備 化 の 本 論 に は い る.   定 理1.65  たGの2つ

Gが

分 離 的 可 換 位 相 群 な らば,Gの

の 完 備 化 の 間 に は,Gの

完 備 化 は 必 ず 存 在 す る.ま

元 を そ れ 自身 に うつ す よ うな 位 相 群 と して

の 同 型 対 応 が 一 意 的 に 定 ま る.   証 明   Gの の近 傍Uに

コ ー シ ー フ ィル タ ー 全 体 の 集 合 をGと つ い て,〓

とU位

し,〓 ∈Gお

よ びGの1

の 集 合 を 共 有 す る よ うな 〓′ ∈Gの

全 体 の集

合 をU〓

と す る.ま

を 証 明 す る.近

ずU〓

傍 系 の 基 の 条 件1″),2″),3″)に つ い て み れ ば よい が,1″),2″)

は あ き ら か で あ る.3″)に 〓′ ∈W〓

が 〓 の 近 傍 系 の 基 と して の 条 件 を 満 足 す る こ と

に つ い てW〓

が そ れ ぞ れW位

つ い て はW−1W⊂Uと

な る1の 近 傍Wを

′を 考 え る.〓″ ∈W〓′ とす れ ば 〓′と 〓′,〓′と 〓″

の 集 合M,M′

を 含 み,M⊂aW−1W,M′

を 共 有 す る.M∩M′

⊂aW−1Wで

∈〓′は 空 で な く,点a

あ るか らM∪M′

はU位

で,し

〓 と 〓″ との 共 有 集 合 で あ る.こ れ か らW〓 ′ ⊂U〓 と な り,3″)が た.こ

れ でGは

な るGの1の

の 近 傍U〓 近 傍Wを

でCと

る 〓∈Cに

とB,Bと〓

〓 と〓

つ い てW〓

とが

の 集 合.M,N

と に 共 有 され,W−1W位,従

っ てU位

と,W〓,(〓

∈C),全

体 の合 併 と し

含 む 開 集 合 とが 交 わ ら な い.

  次 にGをT0化

す る.こ

れ は 〓,〓′ ∈Gが

任 意 のUに

合 を 共 有 す る と き 同 値 と して 類 別 す る こ とに 他 な ら な い.こ 得 られ る.Φ ∈Gと

す る と,Gか

で あ る こ とか ら,〓 ∈Φ お よ びGの1の の 集 合 の,Gへ

とW〓

が そ れ ぞ れW位

と な り不 合 理 で あ る.故 に 〓 の 近 傍W〓 て 定 義 され たCを

閉集 合

交 わ ら な い も の が 存 在 す る.W−1W⊂Uと

と っ た と き,あ

を 共 有 す る か ら,M∪Nは

  Gは

証 明 され

間 で あ る.な ぜ な ら 〓 をGの1点,CをGの

共 通 元 〓 を も った とす る と,〓

空 間Gが

かも

位 相 空 間 と な る.

  さ らにGはT3空 とす る と,〓

と り,

の 標 準 的 像U〓

実 はT1空

らGへ 近 傍Uに

つ い てU位

の集

の よ うに してT0

の標 準 的写 像 が連 続 開写像 つ い て つ く ったU〓

の形

が Φ 近 傍 系 の 基 を な す.

間 で あ る.そ れ は 次 の よ うに して わ か る.Φ,Φ ′∈Gと

し,

Φ′が Φ の 任 意 の 近 傍 に は い って い る とす る.〓 ∈Φ,〓 ′∈Φ′を と る とGの 1の 任 意 の 近 傍Wに

つ い て 〓 とW位

〓′ と 〓″ とは や は りW位

の 集 合 を 共 有 す る 〓″∈Φ′が あ り,

の 集 合 を 共 有 す る.こ

れ か ら 〓 と 〓′とは い く

ら で も小 さ い 位 の 集 合 を 共 有 す る こ と に な り,〓′ ∈Φ,Φ ′=Φ で な け れ ば な ら な い.   以 上 の こ と に よ ってGはT1で (分 離 的)に もな るわ け で あ る.

も あ りまたT3で

も あ る.従

ってGはT2

  Gの

フ ィル タ ー の うちGの

そ の 点 をaと

か く.一 般 にGの

の 集 合 をMと らば 

点aに 収 束 す る も の はGの 部 分 集 合Mに

か く こ とに す る.Gは

で あ り,Gはa→aに

ろ でaに

よ ってGの

中 に1対1に

な るGの1の

はaに

対 し,Gの1の

りあ た え られ たUに

対 しVを

G∋a→a∈GはGか

らGの

と考 え られ る,さ a∈Gを し,従

ってaを

こ でGの

あ た え ら れ た1の 近 傍Uに

え ら ん で,aとbと

あ るか ぎ りaとbと

た やは

を 代 表 す る フ ィル タ ーが

中 へ の 同 相 写 像 で あ る.故 にGはGの

含 むGの

を

な る よ うに で き る.こ れ らの こ とか ら

ら に 任 意 の Φ∈Gに

とれ ば,aを

近傍

近 傍Vで

の 集 合 を 共 有 す る よ うに で き る.ま

V位 の 集 合 を 共 有 す る か ぎ りb∈aUと

こ

し,Uを

近 傍 とす れ ば,aの

適 当 に え らべ ば,b∈aVで

代 表 す る 任 意 の フ ィル タ ーがU位

写 像 され る.と

な る か らaの 任 意 の 近 傍 が 〓

収 束 す る の で あ る.そ

近 傍Vを

な

の 共 有 集 合 を もつ か ら,aの

の も の が 〓 に 属 す.V⊂aW−1W⊂aUと

に 属 し,〓

全体

収 束 す る.な ぜ な ら 〓 ∈aと

近 傍,WをW−1W⊂Uと

系 の な す フ ィル タ ー と 〓 とはW位 W位

つ い てa,(a∈M),の

分 離 的 で あ る か ら 

属 す フ ィル タ ー は す べ てaに

Gの1の

同 じ点 を 代 表 す る.

つ い て 〓∈Φ のU位

部 分 集 合 全 体 はaに

代 表 す る か ら,a∈U〓.故

部分 空間 の集 合 に属す

収 束 す る フ ィル タ ー を な

にGはGで

稠 密 で あ る.

  これ か らGに

群 の 構 造 を あ た え よ う.Gの

任 意 の コ ー シ ー フ ィル タ ー を 〓

と し,M,(M∈

〓),の 全 体 を 基 とす るGの

フ ィル タ ー を 〓 とす る.Uを

Gに

お け る1の 任 意 の 近 傍 と し,〓

る.U〓

は 〓 とU位

い る.U〓 し,〓

れ はM⊂U〓

の 集 合Mに

で あ る こ と,す

を考え

属 すa∈Gに

な わ ちU〓

つ い て はa∋U〓

∈〓 で あ る こ と を 示 して

は Φ の 近 傍 系 の 基 を な す か ら,結 局 Φ の す べ て の 近 傍 が 〓 に 属

は Φ に収 束 す る.す な わ ちGをGの

ー シ ー フ ィル タ ー を 基 とす るGの あ る.逆

元 Φ の近 傍U〓

の 集 合 を 共 有 す る コ ー シ ー フ ィル タ ー で 代 表 され るG

の 点 全 体 か ら な る.故 に 〓 のU位 と な る.こ

の 代 表 す るGの

に Φ∈Gを

の1の 近 傍Uに

代 表 す るGの

対 して1の 近 傍Vを

部 分 空 間 と考 え た と き,Gの

フ ィル タ ーは す べ てGの

コ

点 に収 束す るので

コ ー シ ー フ ィル タ ー を 〓 とす る と き,G 適 当 に あ た えて お け ば,〓

とa,(a∈G),

の あ る 代 表 元 と がV位

の 集 合 を 共 有 す る か ぎ りaは〓

含 まれ る よ うに で き る.従 の 共 通 部 分 は〓 併 集 合 はUの

に 属 す す べ て のU位

とGの

の 共 通 部 分 はGの

点

コ ー シ ー フ ィル タ ー に な り,そ れ を 基 と

す る.〓a,〓bはGの

MN,(M∈〓a,N∈〓b),の を な し,〓

はGの1点

の 共 通 部 分 の な す フ ィル タ ー

コー シ ー フ ィル タ ー で あ る か ら,

形 の 集 合 全 体 はGの を 定 め る.そ の 点 をabと

コ ー シ ー フ ィル タ ー〓 定 義 す る.abは〓

フ ィル タ ー が 収 束 す る 点 で も あ る.Gに

へ の 連 続 写 像 で あ った か ら,定

理1.55に

の 写 像 と して 連 続 とな る.Gに

点 をa−1と

を基 と

お け る 積 はG×Gか

らG

よ っ て 今 定 義 した 積 はG×Gか

ら

な す コ ー シ ー フ ィル タ ー が 定 め るGの

定 義 す る こ とに よ っ て, 

た た び 定 理1.54に

の基

お け る結 合 律 お よび 可 換 性 は 定 理1.54か

ら 得 られ る.ま たM−1,(M∈〓a),の

れ,ふ

の よ うな 合

フ ィル タ ーが Φ に 収 束 す る の で あ る.

を そ れ ぞ れ〓a,〓bと

Gへ

部 分 空 間 と して のGと

の 集 合 の 合 併 に 含 まれ,こ

  さ てa,b∈ …Gに つ い て そ れ らの 近 傍 系 とGと

す るGの

の集合 に

と り方 に よ って い く ら で も小 さい 位 に で き る.す な わ ちGの

Φ の 近 傍 系 とGと す るGの

って Φ の 近 傍V〓

に 属 すU位

がGま

よ っ て 常 にaa−1=a−1a=1と

換 分 離 的 位 相 群 に な った の で あ る.定

理1.64に

で連 続 に延長 さ

な る.こ

よ っ てGは

れ でGが

可

完 備 で あ るか ら

以 上 で 完 備 化 の 存 在 が 証 明 され た.   今 度 は 一 意 性 の 証 明 で あ る.G1,G2をGの2つ に よ ってG1か

らG2の

の が 存 在 し,f1は

中 へ の 連 続 写 像f1でGの

群 の 準 同 型 写 像 とな る.G2か

が 存 在 す る.f2°f1はG1か ら,定 理1.54に

よ っ てG1の

等 写 像 に な る.故 にG1とG2は

らG1へ

f=f′

れ ら をf,f′

で あ る. 

  定 理1.65は

元 を そ れ 自 身 に うつ す も らG1の

の 連 続 写 像 でGの

中 へ も 同様 な写 像f2 元 を うご か さな い か

恒 等 写 像 と一 致 す る.同 様 にf1°f2はG2の 位 相 群 と して 同 型 で あ る.ま

の 上 へ の 位 相 群 と して の 同 型 写 像 でGの っ た と し,そ

の 完 備 化 とす る.定 理1.63

たG1か

恒 らG2

元 を そ れ 自身 に うつ す もの が2つ

とす れ ば,f−1°f′

はG1の

あ

恒 等 写 像 と な り, (証終)

位 相 群 の 完 備 化 に 関 す る 基 本 定 理 で あ り,こ れ が 証 明 され た 上

は 位 相 環,位   Rを Rは

相 体 の 完 備 化 は 簡 単 に 論 じ る こ とが で き る.

分 離 的 な 位 相 環 と し,Rを

ま ず 加 群 と考え て そ の 完 備 化Rを

完 備 な 加 群 で あ る.今〓,〓

の 近 傍Uに

をRの

つ い て,VV⊂Uと

コー シ ー フ ィル タ ー とす る.Rの0

な る0の 近 傍Vを

と りだ して,M0の

どの2元

質 を も つ 集 合N0を

と りだ す.a0∈M0,b0∈N0に

W⊂Vで

の 差 もVに

あ る よ うな0の 近 傍Wを

∈Nと

の 差 がWに

部 分 集 合M,N 属 す よ うに す る.

す れ ばab−a′b′=a(b−b′)+(a−a′)b′

∈(a0 全

コ ー シー フ ィル タ ー の 基 を な す こ と を 示 して い る.故 にa,b∈Rに の 共 通 部 分 の な すRの

し,MN,(M∈〓a,N∈〓b),の 元 をabと

れ る.こ

つ い てa0W⊂V,Wb0⊂V,

れ はMN,(M∈〓,N∈〓),の

つ い て そ れ ら の 近 傍 系 とRと

Rの

か らも同様 の性

と り,〓,〓 か らM0,N0の

+V)W+W(b0+V)⊂U+U+U+U.こ 体 がRの

と り,〓 か ら集 合M0を

属 す よ うに す る.〓

を そ れ ぞ れ と りだ して,両 方 と も そ れ に 属 す2点 こ の と きa,a′ ∈M,b,b′

つ く る.

全 体 を 基 とす るRの

定 義 す る こ とに よ って,R×Rか

の 写 像 は 定 理1.65の

連 続 写 像 と な る.こ 定 理1.65の

フ ィル タ ー を〓a,〓bと フ ィル タ ー の 収 束 す る

らRへ

の 写 像 が1つ

証 明 に お け る と 同 じ よ うに 定 理1.55に

決定 さ よ って

の よ うに 定 義 され た 積 に つ い てRが 環 とな る こ とは や は り

証 明 に お け る と 同 じ よ うに 定 理1.54か

ばa(b+c)−(ab+ac)はR×R×Rにお 合 律 が 出 る の で あ る.こ のRをRの

い て0だ

ら直 ち に わ か る.た か らR×R×Rで

完 備 化 とい う.Rは

とえ

も0で 結

加 群 と して 一 意 的 に 定

ま り,そ の 積 の 入 れ 方 は 積 の 連 続 性 か ら一 意 的 に 定 ま る か ら,Rは

環 と して 一

意 的 に 定 ま る.   Fが 分 離 的 位 相 体 の と きに は,Fを う.Fは

完 備 化 とい

一 般 に は 体 に な ら ない.

  例 題18 

位 相 体Fの

フ ィル タ ー〓 mを

環 と して 完 備 化 したFをFの

完 備 化Fが

体 で あ る た め に は,Fの

加 法群 の コー シー

で0に 収 束 しな い も の に つ い て,M−1,(M∈〓),の

基 とす るFの

全 体 の族

フ ィル タ ー が す べ て また コ ー シ ー フ ィル タ ー とな る こ とが

必 要 十 分 で あ る.   解  〓 が0に

収 束 し な け れ ば,〓

を 基 とす るFの

フ ィル タ ー も0に 収 束 し

な い.故

に0で

意 の 近 傍Uに

な いFの

点aに

の あ る 集 合 を 含 む.こ

フ ィル タ ーはa−1に

しな い 任 意 の〓

M−1MがFの

収 束 し,コ

に つ い て,mを

ィル タ ー で あ れ ば,〓

ー シー フ ィル タ ー で あ る.逆

基 とす るFの

任

なるよう

の こ とか らmを

基 とす る に0に

収束

フ ィル タ ー〓′ が コ ー シ ー フ

に 属 す 十 分 小 さ い 位 の 集 合Mを

と る こ とに よ っ て,

単 位 元 の 任 意 に あ た え られ た 近 傍 に は い る よ うに で き る こ とか

ら,〓′ を 基 にす るFの

フ ィル タ ー の 収 束 す るFの

の フ ィル タ ー の 収 束 す る 点aの   Fが

体 で あ った とす れ ばa−1の

つ い てaの 近 傍 で0を 含 ま な い も のVをV−1⊂Uと

に と る こ とが で き,Vは〓 Fの

収 束 す る.Fが

体 で あ れ ばFの0で

備 で あ り,従 っ てF×   集 合Rの2つ

を 基 とす るF

乗 法 に 関 す る 逆 元 で あ る. 

な い 元 の なす 乗 法 群F×

はF×

(以上)

は 定 理1.62に

よって完

の 完 備 化 に な っ て い る わ け で あ る.

の 元a,bに

件 を 満 足 す る と き,Rに

点a′ は〓

負 で な い 実 数d(a,b)が

は 距 離dが

対 応 させ られ,次

の条

あ た え ら れ た とい い,d(a,b)をaとbと

の 距 離 と い う.   1) d(a,b)=0とa=bと +d(b,c)≧d(a,c),(3角

が 同 等 で あ る.2)  d(a,b)=d(b,a).3)  不 等 式),(a,b,c∈R).

  εを 正 の 実 数 と し,Rの 体 の 集 合 をaの 件 を 満 足 し,Rは

d(a,b)

元aに

つ い てaと

ε近 傍 と い う こ と に す れ ば,aの 位 相 空 間 に な る.こ

の 距 離 が εよ り小 さいRの

元全

ε近 傍 全 体 は 近 傍 系 の 基 の 条

の よ うに位 相 が 距 離 で あ た え られ た 空 間

を 距 離 空 間 と い う.距 離 空 間 の 部 分 空 間 は 自然 に 距 離 空 間 に な る.   例 題19 

距 離 空 間 はT1か

つT4で

あ る.

  解   T1で あ る こ と は あ き らか.ま たX,Yを ば,す べ て のa∈X,b∈Yに 交 わ らず,bの

つ い て εa,εb>0を と ってaの

εb近 傍 がXと

εa/2近 傍 全 体 の合 併 をX′,b∈Yの Y′ は そ れ ぞ れX,Yを   距 離 空 間Rに

互 い に 交 わ らな い 閉 集 合 とす れ

交 わ らな い よ うに で き る.そ εb/2近 傍 全 体 の 合 併 をY′

含 む 開 集 合 で,互

εa近 傍 がYと こでa∈Xの とす る と,X′,

い に 交 らな い. 

お い て は 位 相 群 と同 じ よ うに コ ー シ ー フ ィル タ ー,完

有 界 等 の 概 念 が 定 義 で き る.

(以上) 備,全

  ま ずRの

部 分 集 合 に お い て そ の 任 意 の2点

間 の 距 離 が εよ り小 さい と き,そ

れ を ε位 の集 合 と い う.次 に 任 意 の ε>0に ー を コー シ ーフィ ル タ ー とい い Rを

,すべ

完 備 と い う.ま たX⊂Rが

で 被 覆 され る と きXを d,gを

つ い て ε位 の 集 合 を 含 む フ ィル タ

て の コー シー フ ィル タ ー が 収 束 す る と き

ど ん な ε>0に

つ い て も有 限 個 の ε位 の 集 合

全 有 界 と い うの で あ る.さ

も っ た 距 離 空 間 で,fがRか

らSへ

ら にR,Sが

それ ぞれ距 離

の 写 像 で あ る と き,任

意 の ε>0

な らg(f(a),f(b))<ε,(a,b∈R),と

で

に つ い て δ>0を

定 め,d(a,b)<δ

き る な らば,fは

一 様 連 続 で あ る と い う.

  位 相 空 間 の1点

の 近 傍 系 の 基 が 可 算 個 の 集 合 で とれ る と き,そ の 点 に お い て

第1可

算 公 理 が な りた つ とい う.ま た 位 相 空 間 の 開 集 合 の 基 が 可 算 個 の 集 合 で

とれ る と き 第2可 算 公 理 が な りた つ と い う.位 相 群 に お い て は,第1可 は1点

で な りた て ば す べ て の 点 で な りた つ か ら,単 に 第1可

算公 理

算 公 理 が な りた つ

と い って よ い,距 離 空 間 に お い て は 各 点 で 第1可 算 公 理 が な りた っ て い る.   と こ ろ で,距 離 空 間 お よび 第1可 の 特 徴 的 な 現 象 は,フ

算 公 理 を 満 足 す る 可 換 位 相 群 に つ い て1つ

ィル タ ー の 代 りに 可 算 点 列 を 考 え て 収 束 が 論 じ られ る こ

と で あ る.こ の こ と を 距 離 空 間 に つ い て 説 明 し よ う.位 相 群 の 場 合 の 考 え 方 も 同 様 で,ε

位 の 集 合 の 代 りに 単 位 元 の 近 傍Uに

関 す るU位 の 集 合 を 用 い る だ け

で あ る.   位 相 空 間Rに い う.1つ

お い て,自 然 数 と の1対1対

の 点 列a1,a2,…

∈Rに

対 し て 点a∈Rが

を と って も そ れ に つ い て 自 然 数Nが き,点 列a1,a2,… い,liman=aと な ε>0を aの

か く.Rが

定 ま り,n>Nな

収 束 す る.あ

る い はaは

あ り,aの

どん な 近 傍U

らばan∈Uと

そ の 点 列 の 極 限 で あ る とい

距 離 空 間 で あ る と きに は,liman=aと

あ た え て も そ れ に つ い て 自然 数Nが

なると

定 ま り,n>Nな

は,ど

ん

らばanが

ε近 傍 に 入 る とい うこ と に な る.

  距 離dを Nを

はaに

応 を指定 され た部 分集 合 を 点列 と

もつ 空 間Rの

定 め れ ばm,n>Nで

列 とい う.

点 列a1,a2,…

で,ど ん な ε>0に

あ る か ぎ りd(am,an)<ε

つ い て も 自然 数

とな る もの を コー シ ー 点

  定 理1.66 

距 離 空 間Rは

す べ て の コ ー シ ー 点 列 が 収 束 す る と き,ま

たその

と き に か ぎ っ て 完 備 で あ る.   証 明   Rに

お い て す べ て の コ ー シ ー 点 列 が 収 束 す る と し,〓

ー フ ィ ル タ ー と す る .ε1,ε2,…,(εi≧ 〓 に 属す Aiか

εi位 の 集 合Aiを

ら 点aiを

るa∈Rに

と りだ し てA1⊃A2⊃

と れ ばa1,a2,…

収 束 す る.aの

す る.εi≦

εi+1),を0に

ε/2と な る よ う なiを

近 傍 系 を 含 み,従

っ てaに

備 で あ る と す る と,コ 1,2,…),全 こ のaに

…

と な る よ う に で き る.

と れ ばAiはUε/2と

収 束 す る.す

にa1,a2,…

と か く こ と に し,ε>0を

任 意 の 点 と の 距 離 は ε よ り小 さ く な り,AiはUε

任 意 に 固定

に 含 ま れ る.故

に〓

完 備 で あ る.逆

完

に つ い てMn={an,an+1,…},(n= 収 束 し,

も と の 点 列 も 収 束 す る. 

場 合 で あ るか ら,両

はaの

にRが

体 を 基 と し て で き る コ ー シ ー フ ィ ル タ ー は あ るa∈Rに

  可 換 位 相 群 と距 離 空 間 は,前

はあ

交 わ る か らaとAiの

な わ ちRは

ー シ ー 点 列a1,a2,…

コー シ

収 束 す る 正 数 列 と す れ ば,

は コ ー シ ー 点 列 で あ る.故

ε近 傍 をUε

をRの

(証 終)

に も の べ た よ うに 一 様 位 相 空 間 と よば れ る も の の 特 別 な

者 に類 似 点 の 多 い の は 当 然 で あ る.位

相 群 に つ い て の べ た 定 理 で,

距 離 空 間 に つ い て も ほ とん どそ の ま まな りた つ もの を こ こで い くつ か あ げ て お こ う.   定 理1.58に

相 当 す る こ とは 一 般 の 距 離 空 間 で な りた つ.す

な わ ち 距 離 空 間 の(部 分 空

間 と し て)完 備 な 部 分 集 合 は 閉 集 合 で あ る.こ れ は あ る集 合 の 閉 包 の 点 は そ の 集 合 に 属 す 点 か らな る コ ー シ ー点 列 の極 限 で あ る こ とか ら あ き ら か で あ ろ う.ま た 定 理1.59に

相当

す る こ と も証 明 で き る.な ぜ な ら全 有界 で 完 備 な ら コ ン パ ク トで あ る こ とは 定 理1.59の 証 明 と 同 様 で あ り,コ

ン パ ク トな ら全 有 界 で あ る こ と もあ き らか で あ る.コ

ら完 備 で あ る こ とは 同 定 理 の 証 明 と同 じ よ うに して も い え る が,次 で あ る.Rを とす る と,Aiは

コ ン パ ク ト と し,a1,a2,…

をRの

ンパ ク トな

の よ うに す れ ば 簡 単

コ ー シ ー 点 列 とす る.{ai,ai+1,…}=Ai

任 意 有 限 個 が 共 有 点 を もつ 族 を な す か ら,Aiの

し,a1,a2,…

はaに

  定 理1.64に

相 当 す る こ と も 一 般 の 距 離 空 間 で な りた つ.証

閉 包 に 共 有 点aが

存在

収 束 す る. 明 は 大 体 同 様 で よい.距

離

空 間 の 完 備 化 も コ ー シ ー フ ィル タ ーを 適 当に 類 別 した 空 間 を 用 い て つ く る こ とが で き る.   定 理1.60は 位 相 群 で な け れ ば 必 ず し もな りた た ず,従 っ て 定 理1.61も て しか 一 般 に は な りた た な い.た とえ ば 実 直 線 上 で1/n,(n=1,2,…),の

部分 群に つ い 全 体は あ きら

か に 局 所 コ ンパ ク トな 空 間 と な るが 完 備 で は な い.

  位 相 群Gの

位 相 が 距 離 に よ っ て あ た え られ て い る と き に は,Gの

完備性 は 位

相 群 と して の も の と距 離 空 間 と して の も の と2通 備 性 は 一 般 に は 一 致 しな い が,任 意 の ε>0に 定 め,U位

り考 え られ る.こ の2つ

つ い てGの

の 集 合 が 必 ず ε位 の 集 合 で あ り,逆 にGの

に つ い て ε>0を な らば,当

定 め,ε 位 の 位 の 集 合 が 必 ずU位

の完

単 位 元 の 近 傍Uを

単 位 元 の 任 意 の 近 傍U

の 集 合 で あ る よ うに で き る

然 両 完 備 性 は一 致 す る.位 相 群 の 位 相 を あ た え る 距 離 が こ の よ うな

性 質 を も っ て い る と き 一 様 な 距 離 と い う.Gの わ ち 任 意 のa,x,y∈Gに

距 離dが

つ い てd(x,y)=d(ax,ay)で

不 変 距 離 の 場 合,す

な

あ る場 合 が そ の1例

で

あ る.実 数 の 加 法 群 な ど た しか に そ うで あ る.   Gを 一 様 な 距 離dで

位 相 の あ た え られ た 可 換(分 離 的)位 相 群 と し,Gを

完 備 化 とす る.d(x,y),(x,y∈G),をG×Gか

ら 実 数 の 加 法 群Rの

写 像 とみ れ ば そ れ は 一 様 連 続 で あ る.故 に 定 理1.63が か らRの

中 へ の 一 様 連 続 写 像dに

こ とを 示 そ う.d(x,y)=0な し く,Gの1の

任 意 の 近 傍Uに

y=xU,(x,y∈G),の な らyはxの ⊂Uと

と り,さ らに3ε

に 含 まれ る.故 にy∈xWW−1WW−1⊂xUと   こ れ でGは の ε>0に

距離dを

近 傍Uを

から

しd(x,y)=0

部 分 集 合 は す べ てW

とす る と,xWの

で あ る か らa,bは1つ

中 に はd(x,a) とな るb∈G のW位

の集合

な る. 一 様 連 続 で あ るか ら,任 意

定 め,x,y∈GがU位

とな る よ うに で き る.こ れ は,上

Gの 一 様 な 距 離 で あ る こ と を 示 す もの で あ る.従   定 理1.67 

うす れ ば,も

位 のGの

も った 空 間 とな る が,dは

つ い てGの1の

れ ばd(x,y)<ε

定 め れ ば,d(x,y)<ε

連 続 性 か ら存 在 す る.ま たd(y,b)<ε

中 に 存 在 す る.d(a,b)<3ε

し くわ

な る の で あ る.さ て,WW−1WW−1

定 め る.d(x,y)<ε

<ε と な るa∈Gがdの がyWの

つ い て ε>0を

任 意 の 近 傍 に 入 り,x=yと

位 で あ る よ うに ε>0を

距 離 であ る

あ る こ と を い え ば よ い が,少

結 論 され る こ と を い う.そ

な る1の 近 傍Wを

中へ の

適 用 で き,dはG×G

一 意 的 に 延 長 で き る.dがGの

らx=yで

その

の 集 合 に 含 まれ

の こ と と あ わ せ れ ば,dが っ て 次 の 定 理 が 得 られ た.

一 様 な 距 離 で あ た え られ た 位 相 を もつ 可 換 位 相 群Gの

完 備 化G

は,も と の 距 離 の 一 意 的 な 延 長 で あ る よ うな 一 様 な 距 離 で 位 相 が あ た え ら れ る.   この 定理 にお け るGの

点は,定 理 の主 張 の帰 結 と して,Gの

コーシー点列 の極限 に な

る.ま

たGの

コ ー シ ー点 列x1,x2,…

x1,x2,…,y1,y2,… る.さ

が 同 じGの

は 必 ずGの

点 に 収 束 す る.2つ

点 に 収 束 す る た め に はlimd(xi,yi)=0が

らにlimxiyi=limxi limyi,limxi−1=(limxi)−1も

逆 に 用 い れ ば,一

の コー シー点 列

様 な 距 離 を も っ た 位 相 群,あ

必要十 分 で あ

な りた つ.こ

れ ら の こ とを

る い は さ ら に 一般 の 距 離 空 間 の 完 備 化 は

フ ィル タ ー の 代 りに コ ー シ ー点 列 の 全 体 を 適 当 に 類 別 した 集 合 を 用 い て 行 な う こ とが で き る.   他 方,加 Fは

法 に 関 して 一様 な距 離 を もつ 位 相 体Fの(環

一 般 に は 体 で は な い が,も

せ ず,ま

た0を

収 束 し,従

しFが

で 例 題18に

体 で あ る とす る と,Fの

含 まな い ものa1,a2,…

に つ い て はa1−1,a2−1,…

っ て コ ー シ ー点 列 とな る.逆

a2−1,… が コ ー シ ー点 列 な らば,Fは の べ られ た,Fが

こ とが わ か る.

と して の)完 備 化 をFと

コ ー シ ー点 列 で0に 収 束 もFの0で

に す べ て の そ の よ うなa1,a2,…

す べ て の0で

な い 元 が 逆 を もち,体

体 に な るた め の 条 件 が,今

す る と,

な い元 に

に つ い てa1−1, とな る.こ

れ

の場 合 に は ず っ と簡 単 に な る

2.  代 数 的 整 数 とイデ アル

2.1  本 章 の 内容 につ い て   有 理 整 数 環 や,い

わ ゆ る ガ ウス の 整 数 と よば れ る 

の

形 の 数 の な す 環 は い ず れ も単 項 イ デ ア ル 整 域 で あ り,従 って 素 元 分 解 の 一 意 性 等 種 々 の 数 論 的 な 性 質 が 簡 単 に な る.し か し,一 般 の代 数 体 に お け る 整 数 論 は 単 項 イ デ ア ル 整 域 の 範 囲 で は あ つ か え な い.そ

れ に も か か わ らず,素

元 の かわ

りに 素 イ デ ア ル を 用 い る こ と に よ っ て,代 数 的 整 数 論 の 基 礎 は 完 全 に,し き わ め て わ か りや す い 形 で 確 立 され る.現 今 で は,次

章以 下 に のべ る局所 理論

に よ っ て,代 数 体 の 理 論 の 多 くが 著 し く簡 易 化 され て い る が,や ト(Dedekind)の

イ デ ア ル 論 は 便 利 な常 識 で あ る.こ

前 章 の 抽 象 的 知 識 を 有 効 に 用 い て,な

かも

は りデ デ キ ン

の 最 も基 本 的 な 素 材 を,

る べ く簡 明 に,理

解 しや す く説 明 す る こ

と が 本 章 の 目 的 で あ る.   も っ と も,代 数 体 の性 質 は 抽 象 的 な も の だ け で つ く され る の で は な く,複 素 数 体 の 部 分 体 と して の 性 質 が 必 然 的 に あ らわ れ て く る.す な わ ち,判 別 式,単 数 の よ うに 定 義 そ の も の は 抽 象 的 に す る こ とが 可 能 で あ って も,そ れ らの 性 質 の 中 に は 体 の 解 析 的 特 性 とみ な し得 る も の を 多 く含 む も の が あ ら わ れ る.こ れ ら の こ とを 示 す た め に,本 章 で は,イ (Minkowski)の

デ ア ル 論 に ひ きつ づ い て ミ ン コ ウ ス キ ー

格 子 点 定 理 を の べ,そ れ の 判 別 式 や 単 数 へ の応 用 を 示 す こ と に

す る.   い ず れ に して も こ の 章 の 内 容 は,歴 史 的 に み て も,文 字 ど お り代 数 的 整 数 論, 中 で も 代 数 体 の 一 般 論 の 第1歩

で あ る.し か し,そ れ と 同 時 に,代

数 的整 数論

の どの 分 野 を 習 得 す る 際 に も,根 本 的 な 基 礎 知 識 は 結 局 こ の 章 に あ る こ とに 帰 す る の で あ り,そ の 意 味 で,こ

の 章 の 内 容 は こ とに 大 切 で あ る.

2.2  代 数 体 と代数 的 整 数  複素数体Cの

部分体 であ って有理数体Qの

有限次拡大体であるものFを

代 数 体 とい う.Cの

部 分 体 でQの

代 数 的 拡 大 体 で あ る も の をQの

大 体 も含 め て 代 数 体 と よぶ こ と も あ る.こ 数 体 を 有 限 次 代 数 体 とい い,そ る.代 数 体 の うち,実

の と き に は,上

数 体Rの

あ る代 数 体 をn次

に い った 意 味 で の 代

れ 以 外 の も の を 無 限 次 代 数 体 とい っ て 区 別 す 部 分 体 と な る も の を 実 の 代 数 体,そ

も の を 虚 の 代 数 体 とい う.体 次 数(F:Q)を nで

代 数 体Fの

の 代 数 体 とい う.複 素 数 α がQに

数 体 の共 役 写 像,合

n次 代 数 体Fの(Q上

の)共 役 体 はF(1),…,F(n)で

に よ ってFか   代 数 的 数 α がZ上

併 等 は す べ てQの

らF(i)へ

うで な い

次 数 とい い,次

数が

関 して 代 数 的 で あ

る と き,そ れ を 代 数 的 数 とい う.代 数 的 数 全 体 の な す 体QはQの 包 で あ る.代

無 限次 拡

代数 的 閉

中 で 考 え る も の とす る. あ ら わ し,ま た. 

の 共 役 写 像 を あ ら わ す.

整 で あ る と き,す な わ ちxn+a1xn−1+…+an=0,(ai∈Z),

とい う有 理 整 係 数 の 方 程 式 を 満 足 す る と き,α

を 代 数 的 整 数,あ

るい は単 に整

数 とい う.   定 理2.1  を も つ.逆 ば,Mの

α が 代 数 的 整 数 な ら ば,Z[α]はZ加 に 代 数 的 数 か ら な る 環MがZ加

群 とす る.α ∈Mを

cij∈Zが ば,α はZ係

群 と して 有 限 個 の 生 成 元 を も て

元 は す べ て 代 数 的 整 数 で あ る.

  証 明   前 半 は 定 理1.15か Z加

群 として有限 個 の生成 元

とれ る.故

ら得 られ る.次 にMが 任 意 に と る と, 

に 行 列(cij)をCと

はdet(xI−C)=0の

の 単 位 行 列 をIと

かけ

列 式 の 展 開 を 行 え ば,det(xI−C)

は 代 数 的 整 数 で あ る. 

(証終)

α,β が 代 数 的 整 数 な らば,α ±β,α β も 代 数 的 整 数 で あ る.

  証 明   環Z[α,β]はZ[α]上

有 限 生 成 だ か らZ上

て 前 定 理 に よ り,α ±β,α β∈Z[α,β]は   定 理2.3 

とな る お き,m次

根 と な るが,行

数 の 単 多 項 式 と な る か ら,α

  定 理2.2 

α1,…,αmで 生 成 され た

任 意 の 代 数 的 数 α は,0で

有 限 生 成 で あ る.従

代 数 的 整 数 で あ る. 

っ

(証終)

ない適 当な 有理 整 数を かけ る ことに よ

り代 数 的 整 数 に な る.   証 明  α がa0xn+a1xn−1+…+an=0,(ai∈Z,  はxn+a1xn−1+…+a0n−1an=0の

),の

根 な ら ば,a0α

根 で あ る か ら 代 数 的 整 数 で あ る. 

(証終)

  定 理2.4 

代 数 体Fは

  証 明   定 理1.40と   定 理2.5    証 明   Zの   定 理2.6 

有 理 数 体 に1つ

の 代 数 的 整 数 を 添 加 して 得 られ る.

前 定 理 に よ っ て 得 られ る. 

代 数 的 整 数 α が 有 理 数 な ら ば,α

(証終)

は 有 理 整 数 で あ る.

整 閉 性(1.4)に 他 な ら な い.  代 数 的 整 数 α のQに

  証 明   α がf(x)=xn+…

(証終)

関 す る共 役 は 代 数 的 整 数 で あ る.

∈Z[x]の0点

な ら α の 共 役 もそ うで あ る. (証終)

  定 理2.7 

代 数 的 整 数 α は,xn+a1xn−1+…+an=0,(ai∈Z),の

形 のQ

に お け る 既 約 方 程 式 の 根 で あ る.   証 明   α のQに

関 す る最 小 単 多 項 式 をxn+a1xn−1+…+anと

は α の 共 役 の 積 の 和 と して あ ら わ され る か ら,定 理2.2,定 は 代 数 的 整 数 で あ り,定 理2.5に   定 理2.8 

す れ ば,ai 理2.6に

よ っ てai

よ っ て 有 理 整 数 で あ る. 

α がxn+α1xn−1+…+αn=0の

(証終)

根 で,α1,…,αnが

代数 的整 数

な ら α は 代 数 的 整 数 で あ る.   証 明  Z[α,α1,…,αn]はZ加

群 と して 有 限 生 成 だ か ら定 理2.1に

α は 代 数 的 整 数 で あ る.    例 題1 

1.4例

題3か

よ って (証終)

ら定 理2.7を

み ち び け.

  解   同 例 題 は 有 理 整 係 数 の 多 項 式 が 有 理 数 の 範 囲 で 因 数 分 解 され れ ば 有 理 整 数 の 範 囲 で す で に 分 解 され る と い う"常 識 的"な 事 実 に 証 明 を あ た え る も の で あ る.こ

の こ とは 定 理2.7そ

  例 題2 

の もの で あ る. 

(以上)

代 数 的 数 か ら な る 整 域〓 で,〓 ∩Q=Zで

の 共 役 写 像 σに つ い て〓 σ=〓で あ る もの は,代

あ り,ま たQ/Qの

任意

数 的 整 数 か ら な る こ とを 証 明 せ

よ.   解   α のQに

関 す る最 小 単 多 項 式 の 係 数 が す べ てZに

  Fを 代 数 体 とす る.Fに 代 数 体Fの   定 理2.9 

属 す. 

含 ま れ る 代 数 的 整 数 全 体 は 整 域〓Fを

(以上)

な す.こ

れを

整 数 環 とい う. 代 数 体Fの

元 か ら な る 基 底 を もつ.

整 数 環〓FはZに

関 してFの

次 数 に 等 しい 個 数 の

  証 明   定 理2.4に

よ っ てF=Q(θ)と

α を

α=c0+c1θ+…+cn−1θn−1,(ci∈Q),の

元 を

θ(1),…,θ(n)と

と お く と,こ cj=Δj/Δ

な る〓Fの

元 θ が あ る.〓Fの

形 に あ ら わ し,θ

のn個

の1次

と な る.こ

な く,Δ2は

=cjΔ2と

式 はcjに

の共 役

関 す る 連 立 方 程 式 と し て 解 く こ と が で き,

こ でΔ=det(θ(i)j−1)で,Δjは(θ(i)j−1)の

お け ば,xjは

第j列

を α(i)

は 定 理1.47に

θ(i)の 対 称 式 だ か ら 有 理 数 で あ る.こ

よって

の こ と か ら,xj=ΔjΔ

有 理 数 で あ っ て 代 数 的 整 数 で あ る か ら 定 理2.5に

て 有 理 整 数 で あ る.故

に〓Fは 

はmの

関 し て1次

基 底 で あ り,従

底 が ち ょ う どn個

よっ

で 生 成 さ れ るZ加

の 部 分 加 群 で あ る が,1,θ,…,θn−1がQに

つ.基

のn個

し て, 

で お き か え た 行 列 の 行 列 式 で あ る,(j=1,2,…,n).Δ 0で

任 意 の元

群m

独 立 で あ る か ら, 

っ て 定 理1.28に

よ り〓Fは 基 底 を も

の 元 か ら な る こ と は, 

か ら わ か る. (証 終)

  こ の 定 理 に よ っ て,〓Fはn次 の 整 数 環〓FのZに

関 す る基 底

  代 数 体FはQの さ れ る.こ

元Z自

由 加 群 と な る わ け で あ る.代

ω1,…,ωnをFの

整 数 の 基 底 と い う.

有 限 次 拡 大 体 で あ る か ら,ノ

れ ら をNF,SFと

行 列(SF(ωiωj))の

略 記 す る.Fの

行 列 式d(F)をFの

の と り方 に よ ら な い.な

ぜ な ら,今

ル ムNF/Q,跡SF/Qが

定義

整 数 の 基 底 を ω1,…,ωnと 判 別 式 と い う.判

し,

別 式 は 整数 の基底

ω1′,…,ωn′が 別 の 基 底 で あ っ た と す れ ば,

 と な る よ う にZ上 あ る も の が と れ,tPをPの

数 体F

の 行 列PでdetP=±1で

転 置 行 列 と す れ ば, 

と な る か ら で あ る.   F/Qの

共 役 写 像 に よ る ωiの 像 を

ωi(1),…,ωi(n)と あ ら わ せ ば,SF(ωiωj)=

ωi(1)ωj(1)+…+ωi(n)ωj(n)で

あ る か ら,Δ=Δ[ω1,…,ωn]=det(ωj(i))と

Fの

等 し い こ と が わ か る.F/Qは

1.47に

判 別 式d(F)はΔ2に よ っ て 

  次 に θ を 代 数 的 数,θ

お け ば,

分 離 的 だ か ら,定

理

で あ る. のQに

d(θ)=det(θ(i)j−1),(i,j=1,…,n),を

関 す る 共 役 の 全 体 を θ(1),…,θ(n)と す る と き, 代 数 的 数 θ の 判 別 式 と い う.θ

が 代数

体Fを

生 成 す る 整 数 な ら ば,d(θ)/d(F)は

何 とな れ ば,Fの

有 理 整 数 で,し

か も 平 方 数 で あ る.

整 数 の 基 底 ω1,…,ωnを 用 い てθj−1を 

らわ せ ば,d(θ)=d(F)(det(bij))2と

とあ

な る.

  2.3  代 数 体 の イ デ ア ル 論   Fが

整 域Iの

商 体 で あ る と き,Fを

aの 元 と λ∈Fと 1)す

加 群 とみ た と き の1つ

の 部 分 加 群 をa,

の 積 全 体 か ら な る 集 合 を λaと あ らわ す.こ

の と き も しaが,

ベ て の α∈Iに つ い て αa⊂aで あ る,2)適

当 な γ∈I, 

ば γa⊂Iと な る,と い う2条 件 を 満 足 す れ ば,aをIの 分 数 イ デ ア ル は イ デ ア ル よ り広 い 概 念 で あ って,今

を とれ

分 数 イ デ ア ル と い う.

ま で あ つ か っ て きた イ デ ア

ル は 分 数 イ デ ア ル の 特 別 の 場 合 と考 え られ る.イ デ アル が 他 の イ デ ア ル で わ り 切 れ る とい うこ と,イ デ ア ル の 積,生

成 元,お

よび 単 項 イ デ ア ル 等 の用 語 は,

そ の ま ま 分 数 イ デ ア ル に も 用 い る も の とす る.Iの と き,λa⊂Iと

な る λ∈Fの

全 体 は や は りIの

分 数 イ デ ア ル 

があ る

分 数 イ デ ア ル を な す.そ

れを

a−1と あ ら わ す.   こ れ だ け の 準 備 の 下 に,イ

デ ア ル の 素 ベ キ 分 解 に 関 す る 基 本 定 理 を のベ よ

う.   定 理2.10(ネー る,3) Iの

タ ー)  整 域Iが,1) 

素 イ デ ア ル 

い れ ば,Iの0で

  証 明   ま ずIの 証 明 す る. 

は 極 大 イ デ ア ル で あ る,の3つ

な い イ デ ア ルaは

らわ され る.p1,…,prは

ネ ー タ ー 整 域 で あ る,2)  整 閉 で あ の性 質 を もって

素 イ デ ア ル の積 と してa=p1…prの

形に あ

順 序 を の ぞ い て 一 意 的 で あ る.

任 意 の 素 イ デ アル  をIの

に つ い てpp−1=Iが

イ デ ア ル と し,cが

な りた つ こ と を

素 で な い とす れ ば,c×c1′,

c×c2′でc￨c1′c2′ と な る よ うな イ デ ア ルc1′,c2′ が とれ る が,c1=(c,c1′),c2=(c,c2′) とお け ばc1c2=(c2,cc1′,cc2′,c1′c2′)⊂cに よ っ てc￨c1c2,  らに 今cがIの る と,c1,c2の

ど ん な 有 限 個 の0で 少 な く と も一 方,た

素 イ デ ア ル で あ りえ な い.そ

で あ る.さ

な い 素 イ デ ア ル の 積 を もわ り切 ら な い とす とえ ばc1が

こ でc1に

同 じ性 質 を もち,従

っ てc1は

つ い て 同 じ こ とを く りか え し,c1￨c11c12,

, 

と な る よ う な イ デ ア ルc11,c12を

ち 一 方,た

と え ばc11がIの

件1)に

(c)￨p1…prと

ら にpiの

と な る 素 イ デ ア ルp1,…,prは

身 が 素 の と き は こ の 結 果 は 自 明 で あ る.こ

属 す 元 

に よ っ て 生 成 さ れ る 単 項 イ デ ア ル に 適 用 し,

す れ ば,p￨p1…prに

3)に よ っ てpと

よ っ てpiの

一 致 す る.そ

うち1つ

こ でp1=pで

はpで

で あ る よ う なb∈Iを

と り,Iの

商 体Fの

に つ い て λma⊂a,従 に ょ っ て 条 件2)に p⊂pp−1で

のと

中 で λ=b/c

従 っ て λ∈p−1と な

だ か ら 

 に つ い て も λa⊂aと

件

す る.さ

あ る よ う に し て お く.こ

と い う元 を 考 え る と,  る が, 

わ り切 れ,条

あ る と し,(c)￨pp2…prと

個 数 を 十 分 小 さ く し て,(c)×p2…prで

きb∈p2…pr, 

う

の よ う に し て イ デ ア ル の 列 

反 す る か ら, 

必 ず 存 在 し な け れ ば な ら な い.c自 の こ と を 特 にpに

は りc11,c12の

ど ん な 有 限 個 の 素 イ デ ア ル の 積 を も わ り切 ら ず,

従 っ て そ れ 自 身 素 イ デ ア ル で な い.こ が 得 ら れ,条

求 め れ ば,や

で あ る.と

こ ろ で 

は な ら な い.な

っ てaの

ぜ な ら λa⊂aな

元 

な り,定

に 今 の 場 合 

は な れ な い.そ

どの イデ ア ル

ら λ の 任 意 の ベ キ λm

に つ い てaλm∈Iと

反 す る か ら で あ る.故

は あ る がp=pp−1と

な ら ばIの

理1.19

で あ る こ とか ら

こ で 条 件3)に

よ っ てpp−1=Iで

あ る.   こ れ を 用 い れ ば 定 理 の 証 明 は 容 易 で あ る.す に つ い て,aを の1つ

をp1と

わ り切 る 素 イ デ ア ル は 条 件1)に す る.a⊂ap1−1で

に よ っ てap1−1p2−1…pr−1=Iと   a=p1…pr=p1′

…ps′ を2と

と し て よ い.p1−1を r=sを

は な い.ap1−1に

れ を く りか え せ ば, 

イ デ ア ル 

よ っ て 必 ず 存 在 す る か ら,そ

あ る が,p1−1はIに

上 に の べ た こ と に よ っ てa=ap1−1で い,そ

な わ ちIの

属 さ な い 元 を 含 む か ら, つ い て も同 様 の こ と を 行 と い う 列 が で き る.条

な るrが

あ り,a=p1…pr,が

得 ら れ る.

お り の 分 解 と す れ ば,p1￨p1′ …ps′ に よ っ てp1=p1′

か け れ ばp2…pr=p2′

…ps′.こ の こ と を く り か え し てpi=pi′,

得 る. 

  こ の 定 理 の 条 件1),2),3)を

件1)

(証 終) 満 足 す る 整 域 を デ デ キ ン ト整 域 と い う.

  こ の 定 理 に い う 分 解 に お い て,あ

らわ れ る 素 イ デ ア ル の うち 同 じ もの を ま と

め れ ば,  I=Πp0と

の 形 の 素 ベ キ 分 解 を 得 る.単 位 イ デ ア ルIは 分 解 さ れ る もの とみ な す.

  定 理2.11  aがbで

デ デ キ ン ト整 域Iの2つ

の0で

わ り切 れ る た め に は,a=bcと

が 必 要 十 分 で あ る.ま たa,bの れ ば,aがbで

な い イ デ ア ル をa,bと

な るIの

イ デ ア ルcの

す る と き,

存在 す るこ と

素 ベ キ 分 解 を そ れ ぞ れa=Πpap,b=Πpbpと

わ り切 れ るた め の 必 要 十 分 条 件 は,各pに

す

つ い てap≧bpと

な る こ と で あ る.   証 明   前 半 は 後 半 か ら得 ら れ る か ら後 半 だ け を 証 明 す れ ば よ い.pap,pbpは そ れ ぞ れa,bを

わ り切 る最 大 のpの

い られ たpp−1=Iに か にap≧bpな   Iの2つ

ベ キ で あ る こ とが 前 定 理 の 証 明 の 中 で 用

よ っ て わ か る か ら,b￨aな

らb￨aで

らap≧bpで

あ り,ま た あ き ら

あ る. 

の イ デ ア ルa,bの

(証終)

最 大 公 約 イ デ ア ル,最

小 公 倍 イ デ ア ル は,こ

定 理 に よ っ て そ れ ぞ れ 

の

で あ らわ され

る.   定 理2.12 

デ デ キ ン ト整 域Iの0で

乗 法 に 関 して 群 を な す.aを1つ

な い分 数 イデ アルの全 体は イデ アル の

の 分 数 イ デ ア ル とす れ ば,aの

逆 元 はa−1で

あ る.   証 明   群 を な す こ とを 証 明 す る に は,逆 元 の 存 在 を い え ば 十 分 で あ る.ca⊂I と な る よ うに0で

な いc∈Iを

caで わ り切 れ る か ら,前 る.こ

元 

を とれ ば,(a)は

な る イ デ ア ルbが

あ るか らa′=(c/a)bがaの

存在 す

逆 元 で あ る.次

に定

か らa′aa−1⊂a′とな りa−1⊂a′を 得 る が,一 方aa′=Iに

よ っ てa′ ⊂a−1で あ るか らa′=a−1と   こ の 定 理 に よ っ て,a−1は わ か った.従

属 すIの

定 理 に よ っ て(a)=cabと

の と き(c/a)ab=Iで

義 に よ りaa−1⊂Iだ

と り,caに

な る. 

(証終)

乗 法 に 関 す る 逆 元 とい う意 味 に と っ て よい こ とが

っ て(ab)−1=a−1b−1,(a−1)−1=aで

あ り,(an)−1=(a−1)nをa−n

と か い て よ い.   定 理2.13  い れ ば 

デ デ キ ン ト整 域Iの0で

な い 分 数 イ デ ア ル は,負 の べ キ を も用

の 形に一 意 的 に あ らわ され る.

  証 明   0で な いc∈Iでca⊂Iと

な る も の を とれ ば,ca=bはIの

a=b・(c)−1で あ る.故 にb,(c)を

素 ベ キ 分 解 して 整 頓 す れ ばa=Πpapと

2と お りの 異 な る 表 示 

で あ っ た と し,ap>bpと

関 す る 積 を Π′,ap
な るpに

を 得 る が,こ

関 す る積 を Π"と

な る.

な るpに

す れ ば, 

れ は 素 ベ キ 分 解 の 一意 性 に 反 す る. 

  こ の 定 理 を い い かえ れ ば,デ は,素

イデ ア ルで

(証終)

デ キ ン ト整 域 の0で な い 分 数 イ デ ア ル の 全 体

イ デ ア ル を 生 成 元 とす るZ自

由 加 群 を な す とい う こ と に な る.も

ちろ

ん イ デ ア ル の 積 を 加 群 の 加 法 とみ な す の で あ る.   デ デ キ ン ト整 域 の 分 数 イ デ ア ル  約 分 数"と

して の 表 示a=b/cを

理2.13に

よ って 一 意 的 に"既

もつ こ とに な る.bをaの

の 分 母 因 子 とい う.a=Πpapの ordpaと

は,定

分 子 因 子,cをa

形 の 表 示 に お い て,apをaのp指

か き,papをaのp成

数 とい っ て

分 とい う.

  こ れ か ら問 題 に す る の は 代 数 体 の 整 数 環 に お け る 素 ベ キ 分 解 の 一 意 性 で あ る.代

数 体Fの

整 数 環〓Fは

〓Fの イ デ ア ル を 代 数 体Fの も 同 じ意 味 で用 い る.但 る が,代

イ デ ア ル と い う.代 数 体 の 素 イ デ ア ル とい う言 葉

し,0は

環 論 に おけ る定 義か らすれ ば 素 イデ アル であ

数 体 の 素 イ デ ア ル か らは の ぞ い て 考 え る.〓Fの

っ て た しか にFで   定 理2.14  (〓F:a)は

こ れ か ら示 す よ うに 実 際 デ デ キ ン ト整 域 で あ る.

商 体 は 定 理2.3に

よ

あ る.

代 数 体Fの

整 数 環 を〓F,〓Fの0で

な い イ デ アル をaと

す れ ば,

有 限 で あ る.

  証 明   Fの

次 数 をnと

てn次 元 のZ自

し,0で

に 定 理1.29に

(〓:a)も

有 限 で あ る. 

よ っ て(〓:α〓)は

代 数 体Fの

  証 明   定 理2.8に

元 のZ自

有 限 で あ り,α〓 ∈aで

よっ

由加群 で あ るか ら (証終)

  こ の定 理 に よ っ て,ま ず〓Fは

  さ てpがFの

とれ ば,〓 は 定 理2.9に

由 加 群 で あ り,従 っ て α〓 もや は りn次

あ る.故

  定 理2.15 

な いα ∈aを

ネ ー タ ー環 で あ る こ とが い え た.

整 数 環〓Fは

整 閉 整 域 で あ る.

よ っ て あ き ら か で あ る.  素 イ デ ア ル な らば,〓F/pは

整 域 で あ り,定 理2.14に

(証終) よ って

有 限 個 の 元 か ら な る.と 写 像I∋x→ax∈Iは

こ ろ で 一 般 に 有 限 整 域Iの0で

加 群 と して のIか

  定 理2.16 

っ て 特 にax=1と

れ で 有 限 整 域 は 体 で あ る こ とが わ か った.従

は 体 と な り,pは〓Fの

す る と,

らIの 中 へ の 同 型 写 像 と な る が,元

個 数 を 考え れ ば 全 写 で な け れ ば な らな い.従 存 在 す る.こ

な い 元 をaと

の

な るx∈Iが って 今 の 場 合〓F/p

極 大 イ デ ア ル で あ る.こ れ で 次 の定 理 が 得 られ た.

代 数 体Fの

整 数 環〓Fの

素 イ デ ア ル 

は 極大 イ デ アルで

あ る.   以 上 の3定 理 に よ っ て,代 と が あ き らか と な った.故

数 体Fの

整 数 環〓Fが

デ デ キ ン ト整 域 で あ る こ

に代 数 体 の イデ アル の素 ベ キ分解 そ の他 基本 的 な こ

と が す べ て 得 られ る の で あ る.   〓Fの イ デ ア ル をFの

イ デ ア ル とい った よ う に,〓Fの

分 数 イデ ア ル を 今 後

Fの 分 数 イ デ ア ル とい う.整 数 環 に 含 ま れ る イ デ ア ル を 整 イ デ ア ル,分

数 イデ

ア ル を 単 に イ デ ア ル と も よぶ.   代 数 体 の イ デ ア ル の性 質 で,デ

デ キ ン ト整 域 の性 質 か ら 直 ち に み ち び か れ る

も の を ま とめ れ ば 次 の とお りで あ る.   定 理2.17 

代 数 体 の 整 イ デ ア ル 

形 に あ らわ され,p1,…,prは

は 素 イ デ ア ル の 積 と してa=p1…prの

順 序 を の ぞ い て 一 意 的 に 定 ま る.

  例 題1  代 数 体 は 無 数 の 素 イデ ア ル を もつ.   解  p,qを れ1つ

異 な る 素 数 と し,(p),(q)を

ず つ とれ ば,(p,q)⊃(p,q)=1だ

  定 理2.18 

代 数 体Fの2つ

れ る こ とは,a=bcと

な るFの

べ て のpに

  定 理2.19 〓Fを

か ら 

整 イ デ ア ルcの

代 数 体Fの

全 体 は 乗 法 に 関 して 群 を な す.そ

つ い て,aがbで

の 群 の 単 位 元 は〓Fで

体 の 集 合 をa−1と

り,こ のa−1がaの

逆 元 と な る.Fの

た  わ り切 れ

な る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

整 数 環 とす れ ば,Fの

な る よ うな λ∈F全

わ り切

存 在 と 同 等 で あ る.ま

素 ベ キ 分 解 で あ る と き,aがbで

つ い てap≧bpと

それ ぞ (以上)

の 整 イ デ ア ルa,bに

が そ れ ぞ れa,bの る た め に は,す

わ り切 る 素 イ デ ア ルp,qを

す れ ば,a−1はFの 分 数 イ デ ア ル 

分 数 イ デ ア ル 

の

あ る.ま た,λa⊂〓Fと 分 数 イ デ アルで あ は,負

の べ キ も用

い れ ば 

の 形 に 一 意 的 に あ ら わ さ れ る.

  こ の 定 理 に の ベ ら れ た 群 を 代 数 体 の イ デ ア ル 群 とい う.   代 数 体Fの

イ デ ア ルaは,p指

整 イ デ ア ル で あ る.ま

数 が どれ も負 で な い と き,ま

たFの0で

な い 元 α は(α)のp指

た そ の ときにか ぎ って

数 が どれ も負 で な い と き,

ま た そ の と き に か ぎ っ て整 数 で あ る.   代 数 体Fの

整 数 環 を〓Fと

が 考 え ら れ る.こ る い はaの

し,整

れ をmodaの

イ デア ルaを

と れ ば,〓Fの

剰 余 類 環 と い い,〓F/aの

剰 余 類 環〓F/a

各 類 をmodaの,あ

剰 余 類 と い う.

  定 理2.20 〓Fが の と き,合

同式

代 数 体Fの αx≡ β(mod

が 必 要 十 分 で あ る.ま

整 数 環 で,mがFの

た,解

m)が(〓Fの

で あ り,す

な わ ち(α,m)￨β

α(x−x′)≡0(mod

m)で

中 に)解

が あ れ ば 解 はmod

  証 明   解 が あ る とい う こ とは

整 イ デ ア ル,α,β

を も つ た め に は,(α,m)￨β

m/(α,m)で

一 意 的 で あ る.

αx+ω=β, 

の な りた つ こ と

の こ と で あ る.次

あ り,従

っ てx−x′

∈〓F

にx,x′が

≡0(mod

共 に 解 で あ れ ば,

m/(α,m))で

あ る. (証 終)

  定 理2.21  ば,連

m1,m2が

立 合 同 式x≡

と き,ま

代 数 体Fの

α1(mod

m1),

整 イ デ ア ル で,α1,α2がFの x≡ α2(mod

た そ の と き に か ぎ りFの

m2)は

整数なら

α1≡ α2(mod(m1,m2))の

中 に 整 数 解 を も つ.解

が あ れ ば 解 はm1∩m2

を 法 と し て 一 意 的 で あ る.   証 明   α1− α2≡0(mod(m1,m2))な

ら ば,α1−

∈miが

と れ る.x=α1−

あれ ば

α1− α2=(α1−x)−(α2−x)∈(m1,m2)と

ら ばx−x′

は あ き ら か にm1∩m2に

  定 理2.22 m1,…,mrが ら ば,Fの =1,…,r),が  証 明 

たx,x′

たx,x′

ωi

に 解xが が共 に 解 な (証 終)

整 イ デ ア ル で,ど つ い て,連

の2つ

立 合 同 式x≡

m1…mrで

も互 い に 素 な αi(mod mi),(i

一 意 的 で あ る.

定 に よ っ て(mi,mi′)=1で

xi=0(mod

解 と な る.ま

な る.ま

の 解 はmod

と お け ば,仮

に よ っ てxi≡1(mod mi), お け ば こ のxが

α1,…,αrに

整 数 解 を も ち ,そ

な る よ うに

解 で あ る .逆

属 す. 

代 数 体Fの

任 意 の整 数

α2=ω1− ω2と

ω1=α2− ω2と お け ば こ のxが

あ る か ら,前

mi′)が 解 を も つ.x=α1x1+…+αrxrと が 共 に 解 な ら ば, 

定理

で あ る. 

(証終)

 以上 の定 理 に相 当す る こ とが らは,有 理数体 につい ては古 来 よ く知 られ,用 い られ て い た もので あ るが,一 般代 数体 で と りあつ か った方が む しろわ か りやす い.   定 理2.20  に よ っ て,代 るmod

mの

数 体 の 整 イ デ ア ルmと

剰 余 類 全 体 は,乗

剰 余 類 群,そ

法 に 関 して 群 を な す.こ

の 群 に 属 す 各 類 をmod

な わ ち 剰 余 類 環 の 単 元 で あ る.素 を な す か ら,定 理1.39か

mの

の 群 をmod

イ デ ア ルpに

つ い て はmod

た はpの

の 整 イ デ アル 

pの 剰 余 類 は 体

mの

原 始 根 とい う.

を と り,m=p1a1…prarをmの

の に よって対応 さ

同 型 対 応 とな る こ とが 定 理2.22か

も こ の 対 応 に よ っ て,mod mの

既 約 剰 余 類 群 がmod piaiの

に 同 型 で あ る こ と も 同 時 に 示 され て い る.mod よ っ て 有 限 で あ る.そ N0=0と

オ イ ラ ー(Euler)の 然 数mに

れ をNmま

す る.ま たmod

mの

た はNFmと

mの

ら知 られ る.し か 既 約剰 余 類 の直積

剰 余 類 の 数 は 定 理2.14に

か い て,mの

既 約 剰 余 類 群 の 位 数 を φ(m)と

関 数 とい う.φ((1))=1と

つ い て,Zの

素ベ

剰 余 類 環 の 元 に 

剰 余 類 環 の 直 和 の 元 を  れ が1対1の

既約

らわ か る よ うに 既 約 剰 余 類 は 巡 回 群 で あ る,そ の 巡

キ 分 解 とす る.こ の と きmod

せ れ ば,こ

mの

既 約 剰 余 類 とい う.既 約 剰 余 類 は す

回 群 の 生 成 元 を 代 表 す る 整 数 をmod pの,ま   今 代 数体Fの1つ

互 い に 素 な 整 数 で 代 表 され

イ デ ア ル(m)の

これ が 本 来 の オ イ ラー の 関 数 で あ る.上

ノル ム とい う. か い て,mの

す る.有 理 数 体 に お い て は,自 オ イ ラ ー の 関 数 をφ(m)と

か く.

の こ と か ら あ き らか に 

が 得 られ る.素

イデ アル のべ キの ノル ムとオ

イ ラーの 関 数 を さ らに くわ し く し らベ るた め に 次 の よ うに す る.pをFの

素

イ デ ア ル と し,π ∈p, 

各

と な るFの

整 数 π を1つ

剰 余 類 を 代 表 す る 整 数 を1つ ず つ と っ て つ く ったNp個 とす る.こ

の と き,Fの

な α0∈Sは 解 を も ち,そ

と る.ま たmod pの

の 元 か ら な る 集 合 をS

任 意 の 整 数 α に つ い て,α ≡α0(mod p)と

一 意 的 に 定 ま る.次 に 定 理2.20に の 解 は す ベ てmod pで

なるよ う

よ って 

合 同 で あ る.故

は

に 

とな る よ うな α1∈Sが 一 意 的 に 定 ま る.こ れ を く りか え せ ば,任 意 のmに

つ

い て 

とい う展 開 式 が α に つ

い て 一 意 的 に 得 ら れ,こ る.ま

の 展 開 式 が 同 一 に な る 整 数 だ け がmod pmで

た, 

合 同であ

で あ る も の が 既 約 剰 余 類 を 代 表 す る.故

に 

で あ る こ とが わ か っ た.こ

れ で 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理2.23 

代 数 体 の 任 意 の 整 イ デ ア ルa,bに

特 に(a,b)=1な

ら ば φ(ab)=φ(a)φ(b)で

ベ キ 分 解 を 

つ い てNab=Na・Nbで

あ る.ま

あ る.

た 代 数 体 の 整 イ デ ア ルmの

素

と す れ ば, 

が な りた つ.   オ イ ラ ー の 関 数 の 定 義 か ら 直 ち に 次 の 定 理 も 得 ら れ る.   定 理2.24(フ がFの

ェ ル マ ー(Fermat)の

整 数 で(α,m)=1な

定 理)  mが

代 数 体Fの

ら ば, 

素 イ デ ア ル,α

で あ る.

  な お し ば ら く代 数 体 の イ デ ア ル の 諸 性 質 を し ら ベ よ う.   定 理2.25 aが る よ うなFの ら れ たFの

代 数 体Fの 整 イ デ ア ルbが

イ デ ア ル で あ る と き,abが 存 在 す る.し

か もbは

有 限 個 の 素 イ デ ア ルq1,…,qtの

単 項 イデ アル にな

あ らか じめ 任 意 に あ た え

ど れ に よ っ も わ り切 れ な い よ うに

と る こ と が で き る.   証 明  aを

整 イ デ ア ル と し て よ い.a=p1a1…prarをaの

集 合{p1,…,pr}お … ,ps=qsが

よ び{q1,…,qt}は

あ る よ う なFの

整 数 αiを

整数

代 数 体Fの

と れ ば,定

理2.22に

はp1,…,prの

す れ ば,α

な る. 

単 項 イ デ ア ル(α)が

で

よ っ て 

あ る が(α)=abと

ど れ に よ っ て も わ り切 れ な い 整 イ デ ア ルm,nに れ る な ら ば,α

中 に は 同 じ素 イ デ

お の お の に つ い て αi∈piαi, 

α が 存 在 す る.a￨aで

方 に よ っ てqi×b,(i=1,…,t),と   例 題2 

共 通 の 素 イ デ ア ル を 含 み う る が,P1=q1,

両 集 合 の 共 通 元 で あ り,ps+1,…,pr,qs+1,…,qtの

ア ル は な い と し て よ い.p1,…,ptの

と な るFの

素 ベ キ 分 解 と す る.

の と り (証 終)

有 限 個 の 素 イ デ ア ルp1,…,prの よ っ て(α)=m/nと

ど れ に よ っ て も わ り切 れ な いFの

あ らわ さ 整 数 μ,ν に

よ っ て α=μ/ν

と あ ら わ さ れ る.

  解   前 定 理 に よ っ て,pi×b,(i=1,…,r),で ル で あ る よ う なFの ま た ど のpiに   例 題3 

整 イ デ ア ルbが

あ り,nb=(ν)が

存 在 す る.μ=αν

単 項 イデ ア

と す れ ば(μ)=mbも

よ っ て も わ り切 れ な い. 

代 数 体 の イ デ ア ルaは

  解   定 理2.25に

(以 上)

常 に 高 々2つ

よ っ てab=(β),ac=(γ)が

の 元 で 生 成 さ れ る. 単 項 で,b,cが

互 い に素 で あ

る よ う に す れ ば,(β,γ)=a.    定 理2.26 

〓Fが 代 数 体Fの

群 と し て 

αγmod abに

よ っ て(ab,α)=aと

よ っ て〓Fか

り方に よ っ てfは 核 はbで

  例 題4 

整 数 環,a,bがFの

整 イ デ ア ル な ら ば,〓F加

で あ る.

  証 明   定 理2.25に

か らfの

(以 上)

らa/abへ

全 射 で あ る.α

なる

α ∈aが

の 〓F準 同 型 写 像fが γ≡0(mod

ab)は

得 ら れ る が,α

γ ≡0(mod

b)と

出 せ.  

整 イ デ ア ルaに

き μ(a)=(−1)t,aが 件 に よ って関数 μ((1))=1と と か く.こ

つ い て,aがt個

素 イ デ ア ル の2乗 μ(a)を

す る.有

の と

(証 終)

こ の 定 理 か ら ノ ル ム の 乗 法 性Nab=Na・Nbを

  代 数 体Fの

γ→

同等 であ る

あ る. 

 解

次 の2定

と れ る.〓F∋

定 義 し,こ

(以 上)

の異 な る素 イデ アル の積 の と

で わ り切 れ る と き μ(a)=0と

れ を メ ビ ウ ス(Mobius)の

理 数 体 に お い て は 自 然 数mに

関 数 と い う.

つ い て μ((m))を

れ が も と も と の メ ビ ウ ス の 関 数 で あ る.メ

い う条

μ(m)

ビ ウス の 関 数 につ い て は

理 が 基 本 的 で あ る.

  定 理2.27 

aが

代 数 体Fの

であ る.和

はaの

整 イ デ ア ル で 単 位 イ デ ア ル で な い な らば,  す べ て の 約 イ デ ア ル に わ た る.

  証 明   a=p1a1…prarをaの

素 ベ キ 分 解 と す れ ば,

(証終)   定 理2.28 

f(a),g(a)が

へ の 写 像 で あ る と き,も る.逆

に も し 

代 数 体Fの し 

整 イ デ ア ル の 集 合 か ら1つ の 加 群 の 中

であ

な らば  ならば 

で あ る.和

はいず

れ もaの

す べ て の 約 イデ ア ル を わ た る.

  証 明   前 定 理 は,x,yを

一 般 の 整 イ デ ア ル,x′ を 固 定 され た 整 イ デ ア ル とす の と き だ け1で

る と き,  す.故

そ の 他 の と きは0で

あ る こ とを 示

に 

逆 の 方 につ い て は,  (証終)  例 題5  f*gと

代 数 体 の 整 イ デ ア ル 全 体 の 集 合 か ら環 の 中 へ の写 像f,gに

に よ って 定 義

い う写 像 を 

す る と,3つ

の 写 像f1,f2,f3に

つ い て,結

が な りた つ こ と を 証 明 せ よ.次

あ る イ デ ア ルaに

に 等 しい.次

数 の 積 はZ加

お き,f2は

群 へ のZの

恒 等 的 に1と

pnが

位 数 がp−1の

(証終)

ベ キ な ら ば,Zのmodpnの 数 がpn−1の

群A2と

と い う合 同 式 を 考 え る.こ

あ る.故

既 約 剰 余 類 群 は 位 数p−1

の 直 積 で あ る.と

にA1は

の 解xが

既 約 剰 余 類 群 は,

巡 回 群 と の 直 積 で あ る.

既 約 剰 余 類 群 か らmodpの

型 写 像 で そ の 核 はA2で

こ ろ で,写

像amodpn→

既 約 剰 余類 群 の 上 へ の準 同

巡 回 群 で あ る.次

にxp≡1(modpn)

あ っ た と す れ ばx≡xp≡1(modp)で

か ら,x=1+upm,(1≦m,(u,p)=1,u∈Z),と

っ てxp≡1(modpn)の

ある

お け ば,xp=(1+upm)p=

1+p・upm+1/2p(p−1)(upm)2+…+p・(upm)p−1+(upm)pと で な け れ ば な ら な い.従

が な りた つ.

これ か ら

あ る か ら,modpnの

位 数pn−1の

し,関

(以上)

を 得 る. 

巡 回 群 と,位

理 の記

半 を 出 す に はf1を

よ り 

奇 の 素 数pの

amodpはmodpnの

等 しい 関 数 とす る.但

整 イ デ ア ル とす れ ば, 

  解   φ(pn)=pn−1(p−1)で の 群A1と

前 半 を 出 す に は,定

す る. 

前定理を用 いて    例 題6 

明 せ よ.

お け る 値 は 共 に 

作 用 と 解 釈 す る の で あ る.後

代 数 体Fの

  証 明   定 理2.23に

に 定 理2.28の 恒 等 的 に1に

し,f2=μ,f3=gと

 定 理2.29 aを

合 律(f1*f2)*f3=f1*(f2*f3)

に こ の こ と を 用 い て を 定 理2.28証

  解   (f1*f2)*f3,f1*(f2*f3)の

号 でf1=μ,f3=fと

つ い て,

な り,m≧n−1 解 で,modpnで

互 いに合 同

で な い も の はp個

しか な い.故

に ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理 か らA2は

巡 回群 であ

る. 

(以 上)

  例 題7  2の

nが

自 然 数 でn≧2な

巡 回 群 と 位 数2n−2の

  解  n=2な

∈Z),と

な り,υ ≡0ま

い れ れ ばx≡

±1(mod2n−1)と

たは

す る.x2≡1(mod2n)の

お け ば,x2=1+4υ+4υ2よ −1(mod2n−2)で

な り,従

も 解 け な い.故

方x2≡

  例 題8 

−1(mod8)は

にmod2nの

っ てx2≡1(mod2n)の

≡ −1(mod4)の

直 積 因 子 を も つ.  (以 上)

で あ る か ら,mod2nの 方 が5の

ベ キ で 代 表 さ れ,そ

れに

(ウ イ ル ソ ン(Wilson)の −1(moda)が

定 理)有

な りた た な い.a=pが

(以 上) 理 整 数a>1が

素 数 な ら ば(p−1)!はmodpの

は2つ

ず つ で 類 を な す.従

を す べ て か け あ わ せ た も の は 位 数2の と こ ろ がmodpの 数2の

既約 剰余

数2ま

た は1の

っ て 有 限 ア ーベ ル 群 の元

な い元 全 体 のな す乗 法群 であ

な い 根 し か な い.す

な わ ち(p−1)!≡

あ る.  の 代 数 体Fの

元 だけ

元 を す べ て か け あ わ せ た も の に 等 しい.

既 約 剰 余 類 群 は 有 限 体 の0で 元 はx2=1の1で

−1

般 に 群 の 各 元 とそ の 逆 元

と を ひ と 組 に す る こ と に よ っ て 群 の 元 を 類 別 す れ ば,位 で 類 を な し,他

素数 であ るため に

互 い に 素 で な い か ら(a−1)!≡

類 を す べ て か け あ わ せ て 得 ら れ る 類 を 代 表 す る が,一

  n次

か け た もの

必 要 十 分 で あ る.

(moda)は

(modp)で

−1を

既 約剰余

方 が 代 表 さ れ る. 

素 数 で な け れ ば(a−1)!はaと

る か ら,位

−1(mod2n)

既 約 剰 余 類 は,(−1)a5b,(a=0,1,b=

  解   aが

が そ れ1つ

の巡 回群

形 の 数 で す べ て 代 表 さ れ る.

類 の う ち,≡1(mod4)の

は,(a−1)!≡

に

解 の 数 は4で

既 約 剰 余 類 群 は2つ

既 約 剰 余 類 は 位 数2の

  解   5m≡1(mod2m+1), 

 例 題9 

れ をx=1+2υ

解 け な い か ら 一 般 にx2≡

Zのmod2n,(n≧3),の

0,1,…,2n−2−1),の

解 を求 り υ(υ+1)≡0

あ る.こ

に ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理 か らmod2nの

の 直 積 で あ る.一

数

巡 回 群 と の 直 積 で あ る.

(mod2n−2)と

で

既 約 剰 余 類 群 は,位

ら あ き ら か で あ る か らn≧3と

め る た め にx=1+2υ,(υ

あ る.故

ら ば,Zのmod2nの

−1 (以 上)

整 数 環 〓Fは 定 理2.9に

よ っ て 基 底 を も つ.aが0で

な

い 整 イ デ ア ル な ら ば,aも α1,…,αnお ωn)Aと

よ っ て 基 底 を も つ.aの

よ び 〓Fの 任 意 の 基 底 ω1,…,ωnに

な るZ上

￨detA￨で

定 理1.28に

の 行 列Aを

と れ ば,定

対 し て,(α1,…

任 意 の基 底

理1.29に

,αn)=(ω1,…,

よ っ てNa=(〓F:a)=

あ る.

  aが 代 数 体Fの Nb・(Nc)−1と

分 数 イ デ ア ル で,a=b/c,(b,cは

お き,こ

れ を 分 数 イ デ ア ルaの

の と り方 に よ ら な い.Nab=Na・Nbも Fの0で

基底

群 と し て のaの

を 分 数 イ デ ア ルaの の 行 列Aに

整 数 

の と きcの

ば α1,…,αnはZ加

γ1,…,γnを

数 イ デ ア ルaの

整 数 の基 底

と い う 関 係 に あ っ た と し,caが

を と って

ノ ル ム はb,c

αa=cが

とお け

群 と し て のaの 基 底 α1,…,αnが

ω1,…,ωnと(α1,…

基底 有理数

αn)=(ω1,…,ωn)A

整 イ デ ア ル と な る よ う な,す

上 の 行 列 と な る よ う な 自 然 数c>0を

整 イデ ア

と り,αi=γi/α

基 底 で あ る.Z加

基 底 と い う.分

よ っ てFの

ノ ル ム と い う.aの

と き,Na=

分 数 イ デ ア ル に つ い て な り た つ .aを

な い 分 数 イ デ ア ル と し,Fの

ル で あ る よ うに す る.こ

整 イ デ ア ル),の

な わ ちcAがZ

と る と,(cα1,…,cαn)=(ω1,…,ωn)cA

か ら,N(c)・Na=cn￨detA￨と

な る.と

こ ろ が 単 項 イ デ ア ル(c)の

に 等 し い か ら,Na=￨detA￨を

得 る.以

上 を ま と め れ ば 次 の 定 理 に な る.

  定 理2.30 

代 数 体Fの

イ デ ア ルaの

基 底 α1,…,αnが

…,ωn)Aと

整 数 の基 底 を

ω1,…,ωnと

す る と き,Fの(分

有 理 数 の 行 列Aに

あ ら わ さ れ る な ら ば ,Na=￨detA￨で

N(γ)は

代 数 体Fの

あ る.

  証 明   Fの

の 基 底 は(γ ω1,…,γ ωn)で

あ る.そ

と れ ば,定

前 定 理 と か ら￨NF/Qγ￨=N(γ)を   定 理2.30の   定 理2.32代

な り た つ.

ノ ル ム で あ る.

整 数 の 基 底 ω1,…,ωnはF/Qの

有 理 数 の 行 列Cを

なわ ち

任 意 の 数 γ に つ い て,￨NF/Qγ￨=N(γ)が

単 項 イ デ ア ル(γ)の

数)

よ っ て(α1,…,αn)=(ω1,

  単 項 イ デ ア ル の ノ ル ム は 数 の ノ ル ム と 密 接 に 関 係 す る.す   定 理2.31 

ノ ル ム はcn

基 底 に も な っ て い る.ま

こ で 

義 に よ っ てNF/Qγ=detCで

た(γ) とな る

あ る.こ

得 る. 

のことと (証 終)

変 形 と し て さ ら に 次 の 定 理 が 得 ら れ る. 数 体Fの

整 数 の 基 底 を ω1,…,ωn,Fの

イ デ ア ルaの

基底を

α1,…,αnと

す る と き,F/Qの

共 役 写 像 を 

Na=￨det(αj(i))/det(ωj(i))￨で

あ る.ま

で あ らわせ ば

たFの

判 別 式 をd(F)と

す れ ば,

  で あ る.   証 明 

が 有 理 数 の 行 列Aに  も な り た つ.こ

得 ら れ る.(det(ωj(i)))2=d(F)で

つ い て な りた て ば,

れ か ら 直 ち に 第1の

あ っ た か ら,第2の

式が

式 も あ き ら か で あ る. (証終)

  例 題10 

α1,…,αnがn次

の 代 数 体Fの

る い は 

な らば

(記 号 の 意 味 は 定 理2.32と   解   定 理2.30,定

α1,…,αnはFの

理2.32はaが

の 場 合 仮 定 か ら(〓F:a)=1と

イ デ ア ル で な く,Fの

整 数 環 〓FのZ

意 味 に と れ ば な りた っ て い る.故

な り,〓F=aで

あ る. 

に今

(以 上)

ミン コウ スキ ー の定 理

  X1,X2,…,Xnを

座 標 系 と す るn次

(i=1,2,…,n,a∈Z),の に よ っ て,可

算 個 の1辺1の(n次

と す る.境

が1よ

り 大 き い 有 界 集 合Vが

元)立 方 体 に わ け ら れ る.そ

あ っ た と し,Vと

し こ の と き,V1,…,VNが

の 体 積 がC0の

体 積 す な わ ち1よ

中 に体 積

交 わ る 立 方 体 がC1,C2,…,CN

含 む.C0を

が そ れ ぞ れPi,Pjに

ど の2つ

り大 き く な く,従

き くな い こ とに な っ て 不 合 理 で あ る.故

い も の は,必

れ ら をC0,C1,

重 な る よ う に 平 行 移 動 した と き,V∩CiがVi⊂C0に

つ る と す る.も

あ る よ うな2点

元 の 超 平 面)全 体

界 は い れ て 考 え て も い れ ず に 考 え て も よ い.Rnの

で あ り,CiをC0に

点P0を

元 実 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnは,Xi=a,

形 の 方 程 式 で 定 ま る 平 面(n−1次

C2,…

のC0の

整 数 の 基 底 で あ る.

同 じ.)

部 分 加 群 で あ っ て も,Naを(〓F:a)の

  2.4 

整 数 で,detSF(αiαj)=d(F)あ

に あ るi,jに

で あ る.す

も 交 わ ら な け れ ば, 

ってVの

な わ ち,Rnの

体 積 が1よ

り大

つ い てVi∩Vjは1つ

平 行 移 動 して も と のCi,Cjに

うつ っ た とす れ ば,PiとPjは

う

うつ した と き,P0

各 座 標 の差 が有 理 整数 で

有 界 部 分 集 合 で,体 積 が1よ

ず 各 座 標 の 差 が 有 理 整 数 で あ る よ うな,異

り大 き

な る2点 を 含 む の で

あ る.次

に,Rnの

る と き,集

部 分 集 合Mの

合Mを

任 意 の2点

を 結 ぶ 線 分 が 全 部Mに

凸 で あ る と い う こ と に し よ う.今Mが

称 な,体

積 が2nよ

り大 き い 凸 集 合 で あ る と き,原

で1/2に

縮 少 し た 凸 形 をM0と

す れ ば,さ

と か ら,Pと

−Qと

ずM0の

原 点 に 関 して 対

点 を 中 心 と し てMを

き に の べ た よ うに,M0は

差 が 有 理 整 数 で あ る よ う な 異 な る2点P,Qを 点 と 考 え て 演 算 す れ ば,ま

含 まれ

含 む.P,Qを

対 称 性か ら

各 座標 の

ベ ク トル 空 間 の

−Q∈M0,ま

の 中 点(P−Q)/2∈M0.故

長 さ

たM0が

にP−Q∈Mと

凸な こ な る.Rn

の 点 で 座 標 が す べ て 有 理 整 数 で あ る も の を 格 子 点 と い う こ と に す れ ば,以

上に

よ っ て 次 の 定 理 が 得 ら れ た.   定 理2.33(ミ

ン コ ウ ス キ ー の 格 子 点 定 理) 

の 中 に あ り,原

点 に 関 し て 対 称 で,体

n次

積 が2nよ

元 実 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rn

り大 き い 凸 集 合 は,原

点以外

の 格 子 点 を 含 む.   n個

の1次

1≦i≦r1に

形 式fi=ai1x1+…+ainxn,  つ い てfiは

が あ り,

実 形 式,r1+1≦i≦r1+r2に

互 い に 共 役 な 複 素 形 式 で,r1+2r2=nと 数

γ1,…,γnを

う に す る.こ

な っ て い る と す る.別

と り,r1+1≦i≦r1+r2に の と きRnの

つ い てfiとfi+r2と

つ い て は γi=γi+r2と

点(x1,…,xn)で

にn個

は の正 実

な ってい る よ

あ っ て,￨fi￨<γi,(i=1,…,n),

を 満 足 す る も の は 原 点 に 関 し て 対 称 な 凸 集 合Mを

な す.Mの

体積 を 求め て

み よ う.fi(x1,…,xn)=ui,(1≦i≦r1),fr1+l(x1,…,xn)=υle(θl),  と お い て 変 数 をx1,…,xnか … ,υr2,θ1,…,θr2,(0≦ 式は

θl<2π),に

か え る と,そ

らu1,…,ur1,υ1,

の 時 の ヤ コ ビ(Jacobi)行

列

と な る.さ ≦r1),0≦

て￨fi￨<γiと

い う 条 件 は,u,υ,θ

υl<γr2+l,(1≦l≦r2),で

同 時 に 求 め る体 積

と な る.も

な ら ば,た 原 点 以 外 の 格 子 点 を 含 む.故

…,n),はx1=…=xn=0以

しか に υ(M)>2nで

あ る か ら,こ

に￨ai1x1+…+ainxn￨<γi,(i=1, こ ろ で,も

とな る 場 合 を 考 え て み る.ま ずr2=0の

γ1δ,(1<δ),を

をMδ

有 界 で あ る こ と が わ か り,

外 の 有 理 整 数 解 を も つ.と

し く, 

りに

あ る か ら,Mが

− γi
υ(M)は

し 

の と き はMが

でい えば

場 合 γ1の代

と り,￨f1￨<γ1δ,￨f2￨<γ2,…,￨fn￨<γnで

と す れ ば,Mδ

は 原 点 以 外 の 格 子 点 を 含 む.そ

有 界 だ か ら 有 限 で あ る.従

っ て す べ て の δ>1に

定 ま る 凸集 合 の 格 子 点 の 数 はMδ

つ い て 同 時 にMδ

原 点 以 外 の 格 子 点 が な け れ ば な ら な い.そ

の 格 子 点 は,￨f1￨≦

￨fn￨<γnで

ら ば,υ(M)を

定 ま る 凸 集 合 に 属 す.r2>0な

が

に 含 まれ る

γ1,￨f2￨<γ2,…,

あ らわ す 式 の 分 母 に

で あ っ て も2nよ

2/π で あ ら わ れ,υ(M)は 

う少 し くわ

り大 き く な る

の定め る凸集合がすでに原点以外の格子点を含む.

か ら,  こ れ で 次 の 定 理 が 得 ら れ た.   定 理2.34  が あ り,各fiの と き, 

n個

の1次

形 式fi=ai1x1+…+ainxn, 

複 素 共 役 形 式fiは

ま たf1,…,fnの

で あ る よ うな 正 の 実 数

γi=γi′ と な っ て い る よ うに と れ ば,連

も よ い.

γ1,…,γnを,fi=fi′

立 不 等 式￨a11x1+…+a1nxn￨≦

+…+ainxn￨<γi,(i=2,…,n),はx1=…=xn=0以 し か も,fiの

中 に あ る とす る.こ

中 に 実 で な い 形 式 が あ れ ば,第1の

の

な らば γ1,￨ai1x1

外 の 有 理 整 数 解 を も つ. 不 等 式 の 等 号 は と りさ っ て

  さ てFを

代 数 体,ω1,…,ωnをFの

整 数 の 基 底 と し,F/Qの

 で あ ら わ す.こ fiは

の と き,fi=ω1(i)x1+…+ωn(i)xnと

上 の 定 理 に い う条 件 を 満 足 し て い る.ま

ば 

で あ る.さ

をFの

共 役写 像 を

たFの

判 別 式 をd(F)と

ら にx1,…,xnに

っ て 上 の 定 理 を 用 い て,n=(F:Q)>1な

るFの

整 数 

の 存 在 が い え る. 

すれ

有 理 整 数 を 入 れ て 

整 数 とす れ ば, 

い.従

す れ ば,

はNF/Qω

らば, 

に等 し

とな

な ら1≦￨NFω￨で

あ るか ら1<￨d(F)￨

で あ る.こ れ で 次 の定 理 が 得 ら れ た.   定 理2.35 

代 数 体Fの

ぎ り￨d(F)￨>1で

判 別 式 をd(F)と

す れ ば,Fが

有 理 数体 でな いか

あ る.

  こ の 定 理 は ミ ン コ ウ ス キ ー の 定 理 の 最 も 興 味 あ る応 用 の1つ

で あ る.

  2.5  単 数 と イ デ ア ル 類   逆 数 も整 数 で あ る よ うな 代 数 的 整 数 を 単 数 とい う.代 数 体Fに 属 す 単 数 とは す な わ ちFの

整数 環 〓Fの 単 元 で あ る.Fの

の 単 数 群 とい う.Fの

素 イ デ ア ルpに

わ り切 れ な い α∈FをFのp単 つ い てp単

単 数 全 体 は 群 を な す.こ

れ をF

つ い て,分 母 因 子,分 子 因 子 と もpで

数 と い う.ε ∈Fは

す べ て の 素 イ デ ア ルpに

数 で あ る と き に か ぎ って 単 数 で あ る.

  例 題1  代 数 体Fの

整 数 εが 単 数 で あ る た め に は,NFε=±1が

必 要十 分 で

あ る.   解   ε と ε−1と が 共 に 代 数 的 で あ る た め に は,ε 多 項 式(∈Z[x])の0点

が ±1を

定 数 項 とす る 単

に な る こ とが 必 要 十 分 だ か ら で あ る. 

(以上)

  こ こ で 特 殊 な単 数 で あ る1の ベ キ 根 に つ い て の べ て お こ う.何 乗 か して1に な る 数 を1の

ベ キ 根 とい う.1の

す な わ ち1のm乗 mを

わ る1つ

xp−1=0の

ベ キ 根 は あ るmに

根 で あ る.1のm乗

の 素 数 をpと

理 と か らGmは

根 の 全 体 は 位数mの

す る と,Gmの

根 で あ る か ら丁 度p個 巡 回 群 で あ る.Gmの

つ い てxm−1=0の

元 で 位 数 がpの

存 在 す る.こ

群Gmを

根, な す が,

約 数 であ る ものは

の こ とと アーベ ル群 の基 本 定

生 成 元 とな る1の

ベ キ 根 を1の

原 始m

乗 根 とい う.ζ が1の に か ぎ っ て 原 始m乗

原 始m乗

根 な ら ば,ζν,(ν∈Z)は(ν,m)=1の

根 で あ る(1.5例 題5).1の

とき

ベ キ 根 ζの 生 成 す る 群 の 位 数

を ζの 位 数 とい う.   定 理2.36  定 数Cを

n次 代 数 体Fの

整 数 θで,そ

の す べ て の 共 役 の 絶 対 値 が1つ

の

こ え な い も の の 個 数 は 有 限 で あ る.

  証 明   Fの 整 数 の 基 底 を ω1,ω2,…,ωnと し,  と す る.F/Qの

共 役 写 像 を 

に よ っ て あ ら わ せ ば  と な る.こ

が θ(i)の1次 式 で あ らわ され る.故 を こ え ず,そ

つ い て と け ばxj

ら ば￨xj￨も

み なあ る定数

の よ うな θの 個 数 は 有 限 で あ る. 

  定 理2.37  のw乗

に￨θ(i)￨
れ をxjに

代 数 体Fに

含 ま れ る1の

(証終)

ベ キ 根 は 適 当 な 自然 数wを

定 め れ ば1

根 の 全 体 と な る.

  証 明   1の ベ キ 根 の 絶 対 値 は1だ キ 根 の 個数wは

か ら,前 定 理 に よ っ てFに 含 まれ る1の ベ

有 限 で あ り,そ れ ら は す べ て1のw乗

根 で あ る.故

にFは1の

w乗 根 全 体 を 含 む.    定 理2.38  け れ ば,θ

(証終)

が 代 数 的 整 数 で,そ

は1の

す る と,定 理2.36に

で あ る こ と は で き な い.故 れ か ら θw=1を

  代 数 体Fの

よ って θ のベ キはす べ て異 な る数

に θm=θm+w, 

とな る 自然 数m,wが

得 る. 

単 項 イ デ ア ル 群,す

す 群 に よ るFの

こえな

ベ キ 根 で あ る.

  証 明  Q(θ)=Fと

る.こ

の す べ て の 共 役 の 絶 対 値 が1を

(証終) な わ ち0で

イ デ ア ル 群 の 剰 余 群 をFの

イ デ ア ル 類 とい う.Fの

な い 単 項(分 数)イ デ ア ル 全 体 の な

イ デ ア ル 類 群,そ

の 各 剰 余 類 をFの

共 役 体 の うち 実 の もの をF(1),…,F(γ1)と

  が 共 役 写 像 で ξ(i)∈F(i)に うつ る とす る と き,も な らば ξは 総 正 で あ る とい う.Fの

単 項 イ デ ア ル 群 に よ る 剰 余 群 をFの

し,ξ ∈F,

し 

総 正 な 数 で 生 成 され る単 項 イ デ ア ル 全

体 の な す 群 をFの 狭 義 の 単 項 イ デ ア ル 群 とい い,Fの

義 の イ デ ア ル 類 とい う.

あ

イ デ ア ル 群 のFの

狭 義 の イ デ ア ル 類 群,そ

狭義の

の 剰 余 類 をFの

狭

  例 題2 〓Fが

代 数 体Fの

整 数 環 で あ る と き,Fの2つ

同 じ イ デ ア ル 類 に 属 す た め に は,aとbが〓F加

の イ デ ア ルa,bが

群 と して 同 型 で あ る こ とが 必

要 十 分 で あ る.   解  aとbと

が 同 類 な らb=ρaと

てaとbは〓F同

型 で あ る.逆

を も て ば,aに

属 す2つ

  例 題3 

代 数 体Fの

す れ ば,〓F加   解   a,bは

α1,α2に

つ い て  (以 上) の0で

な い イデ アル と

で あ る. た,定

理2.25に

よ っ てa,bは

な る よ う にe1∈a,e2∈bを

てx′=e1x+y,y′=e2x+yと

お け ば,こ

っ て 

と り,変

∈bと

と 

つい

−y′,y=−e2x′

す れ ばx∈〓F,y∈a∩bで

,(x′ ∈a,y′ ∈b),と 

れ が 

互いに

数x,yに

れ は 逆 に と け てx=x′

こ で も しx′ ∈a,y′

と を 対 応 さ せ れ ば,こ

型 対 応 

し,a,bを2つ

整 イ デ ア ル と し て よ い.ま

の 逆 も な りた つ.従

に よっ

は 一 定 で,f(α)=ρα. 

群 と し て 

と な る.こ

あ り, 

が〓F同

な い元

整 数 環 を〓Fと

素 と し て よ い.e1−e2=1と

+e1y′

にaとbと

の0で

故 にf(α)/α=ρ

な る ρ∈Fが

と の〓F同

  単 数 お よ び イ デ ア ル 類 に 関 す る 最 も 重 要 な2つ

あ りこ

,(x∈〓F,y∈a∩b), 型 対 応 で あ る.(以

上)

の 定 理 を 証 明 す る た め に は,

次 の 定 理 が 必 要 で あ る.   定 理2.39 

Fをn次

代 数 体,F(1),…,F(n)を

を 共 役 写 像 と し,γ1,…,γnを

正 の 実 数 と す る.但

複 素 共 役 に な っ て い る と き に は γi=γjと ま る あ る 正 の 定 数Cを ル 

そ の 共 役 体,F∋ しF(i)とF(j)と

す る.こ

と れ ば, 

の と きFだ

で あ る よ う なFの(分

は￨α(i)￨<γi,(i=1,…,n),を

満 足 す る0で

ぜ な ら,aの

基 底を

α1(i)x1+…+αn(i)xnを で あ る か ら,Cと Fが

α1,…,αnと

と れ ば,定 し て 

虚 の 共 役 を も て ば 

  しか し,こ の 定 理2.39は

理2.32に

し,定

が互 い に け に よ って 定 数)イ デ ア

な い 数 α を 含 む.

  証 明   ミ ン コ ウ ス キ ー の 定 理 か ら 得 ら れ た 定 理2.34を る.な

α→ α(i)∈F(i)

理2.34に

用 いれ ば 直 ちに で き お け るfiと

して

よ っ て 

よ り大 き い 任 意 の 数 を と れ ば よ い の で あ る . で よ い. 

(証 終)

実 は ミ ン コ ウ ス キ ー の 定 理 な しで も得 られ る の で あ る(第6

章).但

しCと 

  定 理2.39を

と の 関 係 は ミ ン コ ウス キ ー の 定 理 な しで は 出 な い. 用 い て,こ

を 証 明 す るが,そ ば よ い.従

れ か ら類 数 の 有 限 性 お よび デ ィ リ ク レ(Dirichlet)の 単 数 定 理

の際 必 要 な の は 同 定 理 だ け で あ り,Cは

た だ あ る定 数 で あ りさ え す れ

っ て ミ ン コ ウ ス キ ー の定 理 は 用 い られ な い と考 え て さ しつ か え な い の で あ る.

  定 理2.40 

代 数 体 の イ デ ア ル 類 の 個 数 お よ び 狭 義 の イ デ ア ル 類 の 個 数 は有

限 で あ る.   証 明   Fをn次 イ デ ア ルaを

の 代 数 体,cをFの と る.Cを

け ば, 

故 にaは￨α(i)￨<γiと

iはcに

な る 

よ っ てN(α)
各 イ デ ア ル 類 は ノ ル ム がCよ

自然 数aを

あ た え た と き,Ni=aと

数 のa倍

は す べ てiに

あ る.故

にNi=aと

べ て のiに す れば あ る.す

り小 さ い 整 イ デ ア ル を 含 む.任

属 す か ら,iはFの な るFの

を 含 む.す

りNi
な るFの

整 イ デ ア ルiが

意の

あ れ ば,Fの

単 項 イ デ ア ル(a)の

整 イ デ ア ル は 有 限 個 しか な く,従

り小 さ い イ デ ア ル も 有 限 個 しか な い.以

ら とお

こ で(α)=aiと

属 す 整 イ デ ア ル で,N(α)=Na・Ni
な わ ちFの

の 逆 の 類c−1か

前 定 理 に お け る 定 数 と し, 

つ い て か け れ ば 定 理2.31に

Cよ

イ デ ア ル 類 と し,そ

上 の こ と か ら,Fの

整

約 イデ アルで って ノル ムが イデ アル類 の

個 数 は 有 限 で あ る.   Fの0以 す.こ

外 の 元 の な す 乗 法 群 の 中 で,Fの

総 正 な元 は指 数有 限 の部 分群 を な

の こ と か ら 狭 義 の イ デ ア ル 類 の 個 数 も 有 限 で あ る. 

  代 数 体Fの   例 題4 

イ デ ア ル 類 の 個 数h(F)をFの d(F)が

代 数 体 

類 数 と い う.

の 判 別 式 な ら ば,Fの

 で あ る よ う な 整 イ デ ア ルiを   解   定 理2.40の

イ デ ア ル の各 類 は

含 む.

証 明 に お い て 

と お き,定

ば, 

と な る α ∈aの

れ か ら や は り 

(証終)

が 得 ら れ る.Fが

理2.34を

存 在 が わ か り,こ

虚 な ら ば 第1の

の 等 号 は い ら な い.    定 理2.41(デ

(n=r1+2r2),を

虚 と す る.ま

不 等式 (以 上)

ィ リ ク レ の 単 数 定 理) 

役 体 の う ちF(1),…,F(r1)を

用 いれ

Fをn次

の 代 数 体 と し,Fのn個

の共

実,F(r1+1),…,F(r1+r2),F(r1+r2+1),…,F(r1+2r2), たF(r1+l)とF(r1+r2+l)と

は 複 素 共 役 と す る.

こ の と きFの

単 数 群 はFの1のベキ

根 の 群 と,r=r1+r2−1次

元 のZ自

由

し,同

定理

加 群 と の 直 積 で あ る.   証 明   しば ら くr≧1と に お い てaをFの ￨α(i)￨<γiと

仮 定 す る.定

理2.39に

整 数 環〓F, 

な る 

が 存 在 す る.次

と す れ ば,〓Fは

を 含 む.す

な わ ち,N(α)
に よっ て 定 め れ ば,ま と な る 

っ て,し

か も 

数 

が 存 在 す る.さ

を 含 む.す

ら に  に よ っ て 定 め れ ば,

あ っ て さ ら に  と な るFの

整 数 α2の

と を く り か え せ ば,ノ

ル ム がCよ

(i=2,3,…,r1+r2)で

あ る 無 数 の0で

存 在 す る こ と が わ か る.こ

ア ル(α),(α1),(α2),…

な い 整 数 の 列 α,α1,α2,…

の 中 に は(αk)=(αm),(k<m),と

の と き 

で あ る.以

上 に お い て は 番 号1を

ベ キ 根 ρ,お

の と き  い て は  が1の

数 α につ い て

とえば

よ びxi∈Zに

,1≦i≦r1の

ηr1+r2を と りの ぞ い た 残 り よ っ て 

の形

と き に か ぎ る こ と を 示 そ う. とき

 r1+1≦i≦r1+r2

と す る と,  で あ る.

の

が な りた つ.

の 関 係 が な りた つ の は,x1=…=xr=0,ρ=1の 一 般 にFの

特 別 に あつ

使 っ て 同 じ こ と を く りか え せ ば,r1+r2=r+1個

  η1,η2,…,ηr1+r2の 中 か ら ど れ か1つ,た 間 に,1の

項 イデ

よ っ て 

η1,η2,…,ηr1+r2が 得 ら れ て, 

η1,…,ηrの

が 得 ら れ る.

な るも のが必 ず

は 単 数 で あ り,￨NFη1￨=1に

代 りにjを

のこ

り 小 さ く て, 

こ え な い イ デ ア ル の 数 は 有 限 だ か ら(前 定 理 証 明 参 照),単

か っ た が,1の

あ とな る整

前 と 同 様 にN(α2)
あ る.そ

れ

た 定 理2.39

な わ ちN(α1)
の 他 の γi″ を 

ノ ル ム がCを

整 数  と お き,こ

に よ っ て〓Fは 

単数

な るFの

に 

ら 以 外 の γi′を 

と お き,そ

い う 定 数 をCと

ま た す べ て のiにつ

故 に 単 数 ε∈Fに つ い てl(i)ρ=0と

べ キ 根 で あ る こ と と 同 等 で あ る(定 理2.38).さ

て単数

な る こ とは ρ η1,…,ηrの

間に

 と い う関 係 が あ る な ら ば,共

役 を と っ て 

これ を連立1次 方程式 と考

が な りた つ か ら  え,そ

の 係 数 の 行 列 を(cij)と

お く と,  と な る.

今 も しdet(cij)=0で

あ れ ば, 

外 の 解 を も つ.そ

の よ う な1つ

がt1=…=tr=0以 を あ ら た め てt1,…,trと

か き, 

と な っ て 不 合 理 を 生 じ る.故 ρ=1で

の解

と す れ ば,

に 

従 っ てx1=…=xr=0で

あ り,

な け れ ば な ら な い.

  単 数 η1,η2,…,ηrで 生 成 さ れ る 乗 法 群 をHと す 群 をWと

す れ ば,今

あ る.Fの

し,Fの1の

ベ キ根 全 体 の な

ま で の こ と に よ っ てHW/Wはr次

単 数 群 をeFと

す れ ば,任

元Z自

意 の ε∈eFに

由加群 で

つ い て 連 立1次

方程 式

 は 実 数 解t1,t2,…,trを つ.xi≦tiと

な る 最 大 の 有 理 整 数xiを

ε=ε0η1x1…ηrxrと お け ば,ε0は

剰 余類

と っ てti=xi+ti′,(0≦t1′<1),と εHに

属 す.こ

1,2,…,r+1に 役

の 式 はi=r+1に

つ い て￨l(i)ε0￨
ε0(i)に つ い て,￨ε0(i)￨は1つ

な る.eF/Wは

有 限 位 数 の 元 を も た な い か ら,ア

有 限 次 元 のZ自 あ る か ら,定

由 加 群 と な る が,HW/Wがr次 理1.29に

元 を 代 表す る単数

よ っ てeF/Wもr次

ε1,…,εrを

数

εに つ い て は

つ い て も な り た つ.故 な り,従

の 定 数 よ り小 さ い.定

よ う な ε0は 有 限 個 し か な い か ら,(eF:H)は

し,

こ で 

が な り た つ が,単  で あ っ た か ら,こ

も

にi=

っ て ε0の す べ て の 共 理2.36に

有 限 で あ り,eFは

よ ってそ の 有 限 生成 と

ーベ ル群 の基 本 定理 に よ って 元 でeF/HWが 元 で あ る.故

と れ ば,eFはWと,ε1,…,εr,で

有 限群 で

にeF/Wの

生成

生成 され る 自

由 加 群 と の 直 積 に な る.   こ れ でr≧1の 値 は す べ て1で

場 合 に は 定 理 が 証 明 さ れ た が,r=0な あ り,従

っ て1のベ

ら単 数 の 共 役 の 絶 対

キ 根 以 外 に 単 数 は 存 在 し な い(定 理2.38).

故 に 定 理 は や は り な り た っ て い る.    この 定 理 に い う 自 由 加 群 とは,も   こ の 定 理 に よ っ て,代 は す べ て. 

ち ろ ん 乗 法 群 を 加 群 とみ な して い っ て い る の で あ る.

数 体Fの

単数

の 形 に,1のベ

に あ ら わ さ れ る.こ   代 数 体Fの

(証 終)

ε1,…,εrを 適 当 に え ら べ ば,Fの

キ根

ρ∈Fお

の よ う な ε1,…,εrをFの

基 本 単 数 を ε1,…,εr,l(i)を

行 は 全 部 加 え た と き0ベ

定 理2.41の

ク トル に な る.故

単 数 規 準 と い う.η1,…,ηrをFの

(l(i)ηj),(i=1,2,…,r+1),か 値 をRη

と す る.こ

ら 任 意 の1行

の と き,も

な ら ば,Rη/RF=￨det(alj)￨で 1のベ

キ 根 と で 生 成 さ れ る 群 の,Fの

にEか

ら ど の1行

を

の 単 数 と し,行

列

を の ぞ い て つ く った 行 列 式 の 絶 対 (ρjは1の

の 値 は 

ベ キ 根,alj∈Z),

な ら ば η1,…,ηrとFの

単 数 群 に 対 す る 指 数 に 等 し い.こ

数 基 準 が 基 本 単 数 の と り方 に よ ら な い こ と が わ か り,ま … ,ηrの 存 在 は 定 理2.41の

の行列 を 考

の 等 し い 絶 対 値 をRFと 任 意 のr個

し  あ り,こ

証 明 に お け る と同 じ

い う(r+1)×r型

の ぞ い て つ く っ た 行 列 式 も そ の 絶 対 値 は 等 しい.そ か い てFの

用 いて一 意 的

基 本 単 数 と い う.

意 味 と し て,E=(l(i)εj),(i=1,2,…,r+1),と え る と,Eの

よ びxi∈Zを

単数

た 

証 明 で 示 さ れ て い る か ら,RFは0で

れ で単

と な る η1, な い.す

な

わち   定 理2.42 

代 数 体 の 単 数 規 準 は0で

な い.

  こ の 定 理 は デ ィ リ ク レ の 単 数 定 理 の 一 部 と み な さ れ る べ き も の で あ る.デ リ ク レの 得 た 結 果 は 定 理2.41の 理2.42の

よ う な 単 数 群 の 抽 象 的 構 造 だ け で は な く,定

よ う な 強 い 解 析 的 内 容 を も 含 ん で い る の で あ る.

ィ

3.  付 値 とp進

体

  3.1  本 章 の 内 容 に つ い て   前 章 で のべ た 程 度 の 代 数 体 の 理 論 に つ い で 整 数 論 に お い て 基 礎 的 な も のは, 後 に 第4章,第5章

で の べ る 相 対 代 数 体 の 理 論,と

ら の 理 論 を 構 成 す る に は,古

来 種 々の 方 法 が 用 い られ,特

用 い る方 法 が 多 くの 著 書 に 見 ら れ る.し 論,す

くに 分 岐 理 論 で あ る.こ れ

か し,こ

な わ ち い わ ゆ るヘ ン ゼル(Hensel)のp進

に 多 変 数 の多 項 式 を

の 章 で のべ よ う と す る 付 値

数 の 理 論 に よ っ て,分 岐 理 論 を

含 め た 代 数 体 の 諸 理 論 は 著 し く簡 易 化 され う る よ うに な っ た.付 値 論 は1つ 解 析 学 で は あ る が,結

局 は 完 備 位 相 群 の 理 論 で あ り,一 般 な 抽 象 概 念 だ け で 構

成 で き る も の で あ る.本 で,し

の

書 に お い て は こ の 付値 論 を代 数 体 の理論 に適 す る形

か も 適 度 な 普 遍 性 を もた せ て 組 み 立 て た 上,相

対 代 数体 の理 論 をすべ て

そ の 応 用 と し て 簡 明 に 処 理 し よ う とす る も の で あ る.但 い て 数 体 の 性 質 を み ち び き 出 す 方 法 は,そ 有 力 な もの で あ る の で,5.5に

し,多 変 数 多 項 式 を 用

れ 自体 きわ め て す ぐれ た 着 想 を 含 む

お い て そ の一 端 を 示 す こ と に す る.

  前 章 で の べ た 代 数 体 の イ デ ア ル 論 も,付 値 論 の 立 場 か ら 構 成 で き る の で あ る が(本 章4節,特

に 例 題7),本

書 で はそ の程 度 の ことは主 と して環論 的 に直接

と りあ つ か い,分 岐 理 論 を 付 値 論 の応 用 の 最 大 目標 と した.す

で に 付 値 論 自体

きわ め て 強 い 環 論 的 側 面 を もつ も の で あ る こ とが 本 章 の 内 容 か ら も理 解 され る で あ ろ う.   付 値 論 の 構 成 に あ た っ て,本 書 の一 つ の 特 色 的 な 点 は,い わ ゆ る ヘ ンゼ ル の 補 題(3.4例

題5)を

全 面 的 に 避 け た こ とで あ る.ヘ

興 味 深 く,重 要 な も の で あ るが,本

ンゼル の補題 自体は 非常 に

書 で は,付 値 の 延 長 定 理 に は 環 論 的 な一 般

の 延 長 定 理 を 用 い,延

長 の 一意 性 に は や は り一 般 な位 相 ベ ク トル 空 間 の 性 質 を

用 い る な ど して,すべ

て 標 準 的 か つ 単 純 な 概 念 構 成 ば か りで統 一 した.従

って

本 章 の 内 容 を 基 礎 に す る こ とに よ り,相 対 代 数 体 の 古 典 的 基 本 的 諸 性 質 はす べ て ひ とつ も 特 殊 な 技 巧 を 使 うこ と な く,代 数 学 や 位 相 に 関 す る基 本 概 念 の 自然

な くみ あ わ せ だ け で み ち び き 出 さ れ る こ と に な る の で あ る.   な お,5節

に お い て のべ られ て い る よ うな,局 所 体 の や や 詳 細 な 諸 性 質 を み

ち び くた め に は,従 い て も,本

来 や は りヘン ゼ ル の 補 題 が 用 い られ て い た が,そ

れ らにつ

書 で は ヘ ンゼ ル の 補 題 を は る か に 簡 単 な ニ ュ ー トン(Newton)の

近

似 法 で お き か え る こ と に よ り,証 明 を 容 易 に した.

  3.2  付 値 と そ の 延 長  体Fが

実 数 体Rま

(a∈F),の

た は 補 素 数 体Cの

通 常 の 絶 対 値￨ι(a)￨を

中 へ 同 型 写 像ι を もつ と き,ι(a),

φ(a)と か け ば,φ は 次 の3条

件 を満 足す

る.  ⅰ ) φ(a)≧0か

つ φ(a)=0はa=0と

同 等. ⅱ)

 ⅲ)

  こ の φ お よ び φα,(α>0),の ス(Archimedes)付   体Fか

形 に か け る 関 数 を 総 称 してFの

ア ルキ メデ

値 と い う.

らRへ

の 写 像 φ が 上 のⅰ),ⅱ)お

≦max(φ(a),φ(b))を

満 足 す る と き,φ

よ びⅲ)よ

をFの

り強 いⅲ')φ(a+b)

非 ア ル キ メ デ ス 付 値 と い う.

ア ル キ メ デ ス 付 値 と 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 と を あ わ せ て 付 値 と い う.   通 常,付

値 論 で はⅰ),ⅱ)ⅲ)を

実 は 上 に 定 義 した2種

満 足 す る写 像 を 一 般 に 付 値 と い い,そ

に 限 る こ と を 証 明 す るの で あ る が,本

の よ うな 付 値 が

書 の 目的 の た め に は 上 の 定

義 か ら 出 発 す れ ば 十 分 で あ る.付 値 論 の 主 要 部 は 非 ア ル キ メデ ス 付 値 に あ る の で,本 で も 非 ア ル キ メデ ス 付 値 が 中 心 に な る,ア て 簡 単 に な る の で,説

明 を は ぶ く と こ ろ も多 い.た

て しか の べ な い 定 理 が あ っ て も,そ

書

ル キ メデ ス 付 値 に つ い て は こ とが ら が き わ め と え ば,非

ア ル キ メデ ス 付 値 に つ い

れ は そ の 定 理 が ア ル キ メデ ス 付 値 に つ い て な りた た

な い の で は な く,自 明 に な る た め で あ る と い う こ と もあ る で あ ろ う.   定 理3・1  +1に

付 値 φ が 非 ア ル キ メ デ ス で あ る た め に は,1の

つ いて

φ(1+…+1)≦1の

な り た つ こ と が 必 要 十 分 で あ る.

  証 明   φ が 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 で あ れ ば1∈Fに +1)≦1が

な りた つ.φ

任 意 個 の 和1+…

つ い て た しか に

が ア ル キ メ デ ス 付 値 な ら φ(1+…+1)は

対 値 の 正 ベ キ で あ る か ら 有 界 で な い. 

φ(1+…

自然 数 の 絶 (証 終)

  φ と φα,(α>0),を

同 値 な 付 値 と い う.非

く わ し くは 加 法 に 関 し て 不 変 な 距 離 な 付 値 は 同 じ 位 相 を 定 め る.ア

φ(a−b),(a,b∈F),を

必 ず し も 距 離 に は な ら な い.同

で あ る.な

ぜ な ら,φ1(α)<1,φ2(α)<1,(α

定 め る が,同

あ る よ うな

じ位 相 を 定 め る 付 値 ∈F),は

α′∈Fお

意の

定める

つ い て は  と な りc2<m/n

にc2<m/nな

らc1<m/nと

な る こ と も 同 様 だ か ら,結

に α′に つ い て 

α ∈Fに

同値

同 時 に な り た つ か ら,

従 っ て 

と な る.故

し

φ1,φ2は

と な る 実 数c1,c2を

り大 き い 有 理 数m/n,(m,n∈Z),に

を 得 る.逆

値

よ び 任 意 の α ∈F, 

を と り,  と,c1よ

位 相,

ル キ メ デ ス 付 値 に つ い て も 同 様 で あ る.但

φ(a−b)は

1<φ1(α′),1<φ2(α′)で

ア ル キ メ デ ス 付 値 はFに

と な るc>0を

つ い て 

局c1=c2

定 め て お け ば,任

が な りた つ の で あ る.

  0以 外 の 元 に つ い て 恒 等 的 に1と

い う 値 を と る 付 値 を 自 明 的 な 付 値 と い う.

以 下 のべ る こ と は 自 明 的 な 付 値 の 場 合 に も 正 し い こ と が 多 い が,特

に 断 らない

か ぎ り 自 明 的 な 付 値 は 除 い て 考え る も の とす る.   同 値 で な い 付 値 の 独 立 性 に つ い て は 次 の 近 似 定 理 が な りた つ.   定 理3.2 

φ1,φ2,…,φrが

体Fの

ば,Fの

α1,α2,…,αrお

よび

元

1,2,…,rに

と な る よ う な α ∈Fが

不 等 式)を 満 足 し て い る と し て さ し つ かえ な い.

と れ た とす る.φ1と

な る γ′ ∈Fお

とれ る こ と

φ1(γ)>1,φr(γ)<1で

あ る.こ

な る γ″∈Fが

存在

こ に お い てφr(β1′)

の 場 合 に は 

の β1が 十 分 大 き なmに β1,…,βrに

φrと が 同 値 で な い こ と か ら,φ1(γ′)>1,

よ び φ1(γ″)≧1,φr(γ″)<1と

場 合 に は 

て 得 られ た

存 在 す る.

と な る βi∈Fの

す る.γ=γ′ γ″ と お け ば

お け ば,こ

て のi=

し て よ い.帰 納 法 を 用 い 

と な る β1′ ∈Fが φr(γ′)≦1と

も互 い に 同 値 で な い な ら

任 意 に あ た え た と き,すべ

つ い て 

を い う.i=1と

≦1の

δ>0を

つ い て 同 時 に 

  証 明   各 付 値 は 条 件ⅲ)(3角 ま ず 各iに

付 値 で ど の2つ

つ い て 

と

対 し て 求 め る も の と な る.こ と お け ば,十

の よ うに し

分 大 き なnを

と

る こ と に よ り,任

意 の 正 数 δ′に つ い て φi(εi−1)<δ′,φj(εi)<δ′, 

な り た た せ る こ と が で き る.故

に

α=α1ε1+…+αrεrと

で あ り,δ′rmax{φi(αj)}<δ

を

お け ば, 

とな る よ うに δ′を と っ て お け

ば αは 定 理 の 条 件 を 満 足 す る.    これ か ら しば ら くの 間,非

(証終)

ア ル キ メ デ ス 付 値 だ け を 特 に 考 察 す る.そ の た め

に,加 法 付 値 とい う概 念 を 導 入 す る.   Γ を 順 序 加 群 とす る.す な わ ち Γ は 全 順 序 集 合 か つ 加 群 で あ り,  な ら 

とい う性 質 を も つ.さ

す べ て のa∈ Γ に つ い てa<∞,a+∞=∞,∞+∞=∞ 記 号 と して Γ に つ け 加 え る.体Fか あ る とは,次

ら に ∞ を,

とい う性 質 を もつ

ら ΓU{∞}へ

の写 像wが

加 法 付値 で

の 条 件 が 満 足 さ れ る こ とを い う.

 ⅰ)  w(a)=∞

はa=0と

同 等, ⅱ) w(ab)=w(a)+w(b), ⅲ) 

w(a+b)≧

min(w(a),w(b)).   φ が 非 アル キ メ デ ス 付 値 な ら,w(a)=−logφ(a)は1つ の 場 合 Γ はRに

とれ る.wを

い う.ま た 加 法 付 値wに い う.値

群 がRの

の 加 法 付 値 で,そ

非 ア ル キ メデ ス 付 値 φに 対 応 す る加 法 付 値 と

つ い て,w(F)−{∞}⊂

Γ をwのFに

離 散 的 な 部 分 群 で あ る と き,加

お け る値 群 と

法 付 値wま

たは それ の対

応 す る 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 を 離 散 的 で あ る と い う.   定 理3.3 

順 序 加 群 Γ がRの

部 分 加 群 と順 序 も含 め て 同 型 で あ るた め に

は,任 意 の γ,γ0∈ Γ, 

に つ い て,γ<mγ0と

な るm∈Zの

とれ る こ

とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   条 件 が 十 分 で あ る こ と を い え ば よ い.今 い て,γ1
い う式 の 意 味 を,r=n/m,(m>0),と

0で あ る よ うに1つ 全 体 の 集 合Mγ r
を 考 え る.Mγ

γ1,γ2∈ Γ お よ びr∈Qに

つ

あ ら わ した と きmγ1

あ らわ し方 に よ ら な い.こ

こで

固 定 し,γ ∈Γ に つ い て γ
は 空 で もQ全

体 で も な く,も

しr∈Mγ

な ら,

とな るす べ て のr′ に つ い て γ
従 っ てMγ

は い わ ゆ るQの

っ て Γ か らRへ

切 断 を 定 め,Mγ

の 写 像gが

定 ま る.と

の 下 端infMγ=g(γ)∈Rに

こ ろ で こ のgは

写 で あ る.な ぜ な ら,γ′<γ とす れ ば  (m+1)γ′<mγ
とな る.故

あ る.ま たMγ

全 体 を 含 む.従 て,γ
ま ず 順 序 を 保 った 単

と な るm>0が

に γ
な り,g(γ′) の

一 方 今 ま で の 議 論 を反 対に し

な く γ>rγ0と な るr∈Qの の 上 端supM′γ

全 体 と してM′γ を 定 義 して もや は

と して 得 られ, 

の 全 体 を 含 む こ と か ら,  故 にg(γ+γ′)=g(γ)+g(γ′)と   体Fの

加 法 付 値wの

を 階 数1の

存 在 し,

の 定 義 か らMγ+γ′ は 

っ て 

り同 じg(γ)がM′γ

よ

が な りた つ.

な り,gは

値 群 がRの

準 同 型 写 像 で あ る. 

(証終)

部 分 加 群 と順 序 も 含 め て 同 型 の と き,w

加 法 付 値 とい う.こ れ は す な わ ち 非 アル キ メ デ ス 付 値 に 対 す る加 法

付 値 で あ る.   体Fの

加 法 付 値wが

域)を な す.そ

れ をwの

す る と き に は,wの

あ る と,w(a)≧0と 付 値 環 とい う.wが

極 大 イ デ ア ルpを

な す.こ

らに 体S/pをwま

付 値 環Sの

あ る非 アルキ メデ ス付値 φ に対応

元 の うち,w(a)>0で

れ をwの,ま

た は φ の 付 値 イ デア ル とい う.さ

な らa−1∈Sで

あ る 加 法 付 値 の 付 値 環 で あ る た め に は,a∈F あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  証 明   必 要 な こ とは あ き らか だ か ら十 分 な こ とを い う.Fの てab−1∈Sの わ ち 

と き 

か つ 

と定 義 す れ ば,  で あ るa,bを

はFの

同 値 と してFの

全 体 の 集 合 Γ は 全 順 序 集 合 と な る.ま たFの 集 合 は 順 序 加 群 で あ る.故 w(0)=∞

あ る も の はSの

た は φ の 剰 余 体 と い う.

体 の 部 分 環SがFの

に つ い て, 

全 体 は 環(も ち ろ ん 整

付 値 環 を φの 付 値 環 とい う.φ の 同 値 類 は 付 値 環 と1対1

に 対 応 す る.加 法 付 値wの

  定 理3.4 

な るa∈Fの

にa∈Fを

とお くこ とに よ りFの

元a,bに

つい

元 に 順 序 を あ た え る.す な 元 を 類 別 す れ ば,そ

乗 法 を 加 法 とみ れ ば,そ

の類

の順 序

そ れ を 含 む Γ の 元 に うつ す 写 像wは

加 法 付値 とな り,Sはwの

付 値 環 で あ る. (証終)

  定 理3.5 

加 法 付 値wの

付 値 イ デ ア ルpは,wの

付 値 環Sの

た だ1つ

の極

大 イ デ ア ル で あ る.   証 明  pに 属 さ な いSの で あ る.こ  環Sの

元aは

すべ てw(a)=0を

満 足 す るか らSの

の こ とか ら定 理 は あ き らか で あ る.  素 イ デ ア ル の 列 

もた な い 環 を 階 数1の

(証終)

をSの

rを 素 イ デ ア ル の 鎖 の 長 さ と い う.長 さが2ま 環 とい う.階 数1の

単元

素 イ デ ア ル の 鎖 とい う.

た それ 以上 の素 イ デア ルの 鎖を

加 法 付 値 は 次 の 定 理 に よ りそ の 付 値

環 の 性 質 で 特 徴 づ け られ る.   定 理3.6 

体Fの

加 法 付 値wが

階 数1で

あ る た め に は,wの

付 値 環 が 階 数1

で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   証 明   wの 値 群 を Γ とす る.wが の 付 値 環,付

階 数1な

値 イ デ ア ル を そ れ ぞ れS,pと

つ い てw(c)>0だ

す な わ ちcm∈p1と でp1=p.こ   次 にwの

任 意 の素 イデ アル

らb/a∈Sか

か ら,a∈p1, 

な るm∈Z,(m>0),が

らb∈p1.と

ころが 任

に つ い てw(a)<mw(c) 存 在 す る.p1は

素 だ か らc∈p1

れ で 必 要 性 が い え た. 階 数 が1で

に つ い て,mα<γ

な い とす る と,定 理3.3に

が すべ て のm∈Zに

よ っ て,あ

ら2mα<γ,2mα′<γ

が 任 意 のm∈Zに

と な り,m(α+α′)<γ

る素 イ デ ア ル でpと

とな れ ば,α,α′∈Γ′な

つ い て い え る.従

が な りた つ か ら で あ る.α

β∈Γ′ で あ る こ とも あ き らか で あ る.故

る γ∈Γ,(γ>0),

つ い て い え る α∈Γ が 存 在 す る.そ

の よ うな α 全 体 の 集 合 Γ′は Γ の 部 分 加 群 を な す.何

<2γ

序 も入 れ て Γ ⊂R.w

し,p1をSの

 とす る と,a∈p1でw(a)≦w(b)な 意 のc∈pに

ら ば,順

って2m(α+α′)

∈Γ′,0<β<α

に 

なら

は0と

も 異 な る. 

異な

(証終)

  加 法 付 値 の 延 長 定 理 は 非 常 に 一 般 な 形 で 証 明 され て い る.し

か し,こ

こで

は,局

所 体 の理 論を 構成 す るため に 必要 な こ とだ け を 含 む比 較 的 弱い形 に し

て,そ

の 純 環 論 的 証 明 を あ た え る.

  定 理3.7 

体Fの

階 数1の

加 法 付 値wは,Fの

法 付 値 に 延 長 で き る.す な わ ちKの 階 数1の

代 数 的 拡 大 体Kの 加 法 付 値w′

で,Fで

階 数1の

加

はwと

一

致 す る も の が 存 在 す る.   証 明   定 理3.6に Fのwに 環Rで

よ り,要 す る にKの

関 す る付 値 環 をS,付 あ っ て,pで

階 数1の

付 値 環 を 構 成 す れ ば よい.

値 イ デ ア ル をpと

生 成 され るRの

す る と,Sを

イ デ ア ルpRが1を

に は ツ ォル ン の 補 題 に よ っ て 極 大 な もの が あ る.そ く.そ

うす る と ま ずRは

あ れ ば,pRを て,R′

含 むRの

極 大 イ デ ア ルnを1つ

だ か ら 

と な り,Rの

元 が す べ てRの

  こ こ でRが

付 値 環 で あ る こ とを 示 そ う.x∈KがRに

pR[x]∋1.従

っ てc0xr+c1xr−1+…+cr=1がci∈pR⊂nに

で あ る.Rは

がK内

に よっ

だか ら

た だ1つ

の極 大 イ

でRの

商環

極 大 性 か らRn=R.こ

正 則 元 で あ る こ とに 他 な ら な い.

あ る か らcr−1はRの

の 付 値 環 で あ る こ とが い え た.Rが 係 数 の 方 程 式 の 係 数 が すべ てSに

属 さ な い とす る と, よ っ て な りた つ.

正 則 元 で あ り,従 っ てx−1はR上

整 閉 で あ っ た か らx−1∈Rで

と れ る こ と と,定 理1.17と

にRは

上 に と っ た 極 大 イ デ ア ル と し,K内

れ はR−nの

cr−1∈R−nで

整 な 環R′

してお

と る と き,定 理1.18に

極 大 性 に 反 す る.次

ぜ な らnを

考 え る と, 

含 ま な い も の の うち

とな る も の が あ り, 

こ れ はRの

デ ア ル を もつ.な

部分

れ を 初 め か らRと

ぜ な ら,R上

の イ デ ア ルqで 

も ち ろ ん 

Rnを

整 閉 で あ る.な

含 むKの

整

な け れ ば な ら な い.こ れ でRがK

階 数1で

あ る こ とは,Rの

元 が 満 足 す るF

入 り,か つ 少 な く と も1つ は1で あ る よ うに

に よ っ て わ か る. 

(証終)

  3.3  付 値 に 関 す る 完 備 性   これ か ら しば ら くの 間,ア

ル キ メ デ ス,非

ア ル キ メデ ス を 問 わ ず,付

値を も

っ た 体 の 位 相 的 性 質 を一 般 に 問 題 に す る.付 値 φを も っ た 体 は,加 法 に つ い て 不 変 な 距 離 に よ っ て 位 相 が あ た え られ る の で あ る か ら,1.7で

み た よ うに,位

相 空 間 と して も距 離 空 間 と して も 同 一 の 意 味 で 完 備 性 が 定 義 され,完 在 が 証 明 さ れ る.こ れ ら を 付 値 φに よ る 完 備 性,完 備 性 は 定 理1.66に

よ っ て,フ

つ か う こ とが で き る.ま た1.7例

備 化 とい う.付 値 に よ る 完

ィル ター を 用 い ず に,コ 題18に

備 化 の存

ー シ ー点 列 の 収 束 で あ

よ っ て,付 値 に よ る体 の 完 備 化 は 体

で あ る.付 値 は 完 備 化 の 付 値 に 一 意 的 に 延 長 され る(定 理1.67).   Mが

位 相 体F上

の 位 相 ベ ク トル 空 間 で あ る とは,Mが

上 の ベ ク トル 空 間 で あ り,さ

ら に(a,x)→axで

続 な こ とを い う.位 相 体 は 部 分 体F上   位 相 体Fの Mが

直 和 は 定 理1.48に

位 相 体F上

定 ま る 写 像F×M→Mが

の1つ の 位 相 ベ ク トル 空 間 で あ る.

の 有 限 次 元 位 相 ベ ク トル 空 間 で あ っ て も,Mは

  定 理3.8 Mが

位 相 体F上

必 ず しもF

れ に つ い て は 次 の 定 理 が あ る. の有 限 次 元 位 相 ベ ク トル 空 間 で あ る と き,M

直 和 と位 相 も含 め て 同 型 で あ るた め に は,Mか

像 が す べ て 連 続 な こ とが 必 要 十 分 で あ る.ま に よ っ て,体

連

よ っ て た しか に 位 相 ベ ク トル 空 間 で あ るが,

の 位 相 的 直 和 と は か ぎ ら な い.こ

がFの

位 相 加 群 で か つF

の 直 和 に 分 解 す れ ば,そ

らFへ

た こ の と き,Mを

のF線

型写

そ の任意 の基

の分 解 は位 相体 の直和 へ の 分解 に な って

い る.   証 明   定 理1.57よ   例 題1 

り直 ち に 得 ら れ る. 

位 相 体F上

の1次

(証 終)

元 位 相 ベ ク トル 空 間 はFと

  解   必 ず し も そ う で な い.Mと

し て,Fと

同 相 で あ る か.

同 型 な 体 にFよ

り弱 い 位 相 を

入 れ た も の が 反 例 と な る.   定 理3.9  Kへ

Fが

付 値 φ で 完 備 な 体,KがFの

の 延 長 で あ る と す る.K/Fの1つ

有 限 次 拡 大 体 で,Φ

の 基 底u1,…,unを

{αν}に つ い て 

がφ

と り,Kの

の

元 の列

(i=1,2,…,n),が

に よ っ て γi(ν)∈Fを 定 め れ ば,{γi(ν)}, す べ て コ ー シ ー 列 で あ る こ と と,{αν}が

コー シ ー列 で あ る

こ と と は 同 等 で あ る.   証 明   {αν}が コ ー シ ー 列 で あ る と し て{γi(ν)}がコ ー シ ー 列 で あ る こ と を い え ば よ い.も

し{γn(ν)}がコ ー シ ー 列 な ら ば,  が コ ー シ ー 列 を な す.故

シ ー 列 と な る.そ

こ で{γn(ν)}が

つ い て 

に 帰 納 法 を 用 い れ ば 各{γi(ν)}が

コ ー シ ー 列 で な い と 仮 定 す る と,任

と な る 自 然 数mν

コー

意 のν に

を と る こ と が で き る.こ

こで ε

は 正 の 実 数 で あ る.  と お け ば, 

が な り た つ が,

ν → ∞ の と き δν →0で

あ る か ら{un−

コ ー シ ー 列 で あ り,従

δν},(ν=1,2,3,…),はunに

収束 す る

っ て 帰 納 法 を 用 い れ ば{β1(ν)},…,{βn−1(ν)}はす べ て コ

ー シー 列 で そ れ ぞ れFの

元 β1,…,βn−1に収 束 す る.故 に 結 局ν → ∞ の と き   とい う関 係 が な りた つ こ とに な り,u1,…,unが

底 で あ る こ とに 反 す る. 

基

(証終)

  こ の 定 理 よ り直 ち に   定 理3.10 

定 理3.9の

条 件 の 下 に,KはΦ

に 関 して 完 備 で あ る.

さ ら に くわ し く,   定 理3.11 

定 理3.9の

条 件 の 下 に,KはFのn個

の 直 和 と位 相 ベ ク トル

空 間 と し て 同 形 で あ る.   証 明 

で 

な ら,定 理3.9

に よ っ て{γi(ν)}は す べ て コ ー シー 列 で あ る が,u1,…,unが γi(ν)→ γiで な け れ ば な ら な い.す べ て 連 続,従

っ て定 理3.8よ

  定 理3.12  長Φ

な わ ち 任 意 の α∈Kに

を もつ な らば,Φ(α)はφ(NK/Fα)1/n,(α

定 理3.11か

は 一 意 的 で あ る.こ

らわ か る.Φ(α)の

離 的 の と き はK/Fが 写 像 な ら,φ

つ い て α→ γiが す

り本 定 理 を 得 る. 

(証終)

Fが 付 値φ に 関 して 完 備 な 体,KがFの

  証 明   延 長Φ

基 底 で あ るか ら

有 限 次 拡 大 体 でφ の 延

∈K),に

等 しい.

れ は 位 相 で 付値 の 同値 類 が き まる こ とと

具 体 的 な 形 を 出 す た め に は,ま ずK/Fが

ガ ロ ア 拡 大 体 で あ る と して よい.σ

がK/Fの

自己 同 型

の 延 長 の 一 意 性 か ら,Φ(α)=Φ(α σ)で な け れ ば な ら な い.故  次 にK/Fが

拡 大 体 をK0/Fと

す る と,Kか

分 離 的 で な い と き に は,K/Fの らK0へ

に

最大 分 離的

の ノ ル ムは,α ∈Kをpe=(K:K0)

乗 す る 写 像 に な っ て い る.従

っ て 定 理 はK0/Kに

鎖 律(1.6)に

つ い て 正 しい. 

よ っ てK/Fに

分

つ い て正 し く,ノ

ル ムの連 (証終)

  この 定 理 は 付 値 の 延 長 の 一 意 性 を い っ て い る の で あ る が,延

長 の存 在 は非 ア

ル キ メ デ ス 付 値 に つ い て は 定 理3.7で

ルキ メデ ス付値

に つ い て 完 備 な 体 はCかRに て,ア

わ か っ て い る.ま た,ア

絶 対 値 で 付 値 を あ た え た も の しか な く,従 っ

ル キ メデ ス 付 値 の 代 数 的 拡 大 体 へ の 延 長 は ほ とん ど 自 明 な の で あ る.

  今 ま で の 議 論 に よ っ て,付 値 に つ い て 完 備 な 体Fが 的 拡 大 体Kは,Fの 次 な ら,Kも

あ れ ば,Fの

付 値 の 延 長 とな る 付 値 を た だ1つ

も ち,特

にK/Fが

延 長 され た 付 値 に つ い て 完 備 で あ る こ とを 知 った.付

知 識 を さ ら に 深 め る た め,こ 方 を 説 明 す る.す

任意 の代数 有限

値 に関 す る

こ で ニ ュー トンの 近 似 法 と称 せ られ る 有 効 な 考 え

な わ ち 方 程 式 の 根 の 近 似 値 を 求 め る ニ ュ ー トンの 方 法 を 非 ア

ル キ メ デ ス 付 値 の 場 合 に 応 用 す る の で あ る.   定 理3.13 

Fを 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 φ で完 備 な 体,〓 を そ の 付 値 環 とす る.

 に つ い て,  f(x)=0は〓

の な りた つ 

の 中 にφ(a− α)<1で

  証 明   f(x)をx−aの +…

が 存 在 す れ ば,

あ る よ うな 根 α を 少 な く と も1つ

もつ.

多 項 式 と し て あ らわ せ ばf(x)=f(a)+f′(a)(x−a)

で あ り,係 数 は す べ て〓 に 属 す.同 様 にf′(x)=f′(a)+f″(a)(x−a)+….

また 仮 定 に よ り0<ε<1が a1=a−f(a)/f′(a)と

存 在 し て 

と な る.そ

こで

お け ば 

より

 が 得 られ,f′(a1)=f′(a)+f″(a)(−f(a)/f′(a))+… よ りφ(f′(a1))=φ(f′(a))が のa1を

初 め のaの

得 ら れ る.故

に .こ

よ うに 考 え てa2=a1−f(a1)/f′(a1)と

お け ば, 

が 得 られ る.こ れ を 以 下 同 様 に く りか え せ ば,an+1=an−f(an)/ f′(an)に よ り 

とな る 

で あ る.故 φ(f(α))に

にanは

あ る 

収 束 す るか ら φ(f(α))=0.す

が 定 ま り, 

に 収 束 す るが,φ(f(an))も な わ ちf(α)=0. 

(証終)

  次 の 定 理 も ア ル キ メデ ス 付 値 に つ い て は 簡 単 な こ とを 非 ア ル キ メデ ス 付 値 に つ い て い っ て い る も の で あ る.し か も,そ の 証 明 は,代

数 方程 式 の根が 係 数 の

連 続 関 数 で あ る とい う定 理 の 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 に 関 す る類 似 に も とづ い て い る こ とが わ か る で あ ろ う.   定 理3.14 

Fが 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 φ に つ い て 完 備 な 体 で,f(x)=xn+

α1xn−1+…+αnがF係 …+β n,(βi∈F),の ば や は りFに

数 の 既 約 な 分 離 的 多 項 式 な らば,g(x)=xn+β1xn−1+ 形 の 多 項 式 は,φ(αi− βi)が 各iに

お い て 既 約 とな る.

つ い て 十 分 小 さけ れ

  証 明  Fの1つ θ1,…,θnと

の 代 数 的 閉 包Fを

す る.定

理3.7,定

値 が 一 意 的 に 入 る.そ

考 え て,Fの

理3.12に

よ っ て,Fに

はφ

れ を や は りφ で あ ら わ す こ と に し,す

に よ る 

の 最 小 値 をAと

十 分 近 い βiに つ い て は φ(βi)
す る.定

各iに

う ち1つ

根を

の 延 長 とな る 付

べ て の組 み 合 わ せ

数B>1を

と り,αiに

つ い て な りた つ よ うに し て お く.

こ の 条 件 を 満 足 す る βiを と り,g(x)=0のFに も し λ1,…,λnの

中 で のf(x)=0の

お け る 根 を λ1,…,λnと す る.

の λ に つ い てφ(λ)>Bな

らば, 

に よ っ て  不 合 理 で あ る か ら φ(λ)≦Bで さ ら に 

あ る.そ

こ で0<ε

とな って ≦Aと

な る εに つ い て,βiが

を 満 足 す る よ う に し て お け ば,  か ら  と な り,φ(λ− θi)の

し か し2つ

う ち 少 な く と も1つ

の θi,θjに つ い て 

は ε よ り小 さ い.

と な れ ば  と な っ て 不 合 理 で あ る か ら, 

る θiは た だ1つ g(x)に

定 ま る.そ

こ で, 

つ い て は,λ1,…,λnの

の と す る.さ

を満 足 す る

番 号 は 

と な る よ うに つ け て お く も

て そ の よ う な 多 項 式 の う ち か ら  をgν(x)→f(x)と

につ い ては

λi(ν)→ θiが 各iに

な る よ う に と れ ば,gν(x)=0の つ い て な りた つ.gν(x)の

な も の が 無 数 に あ る と し,可 約 なgν(x)が1,2,…,nの て, 

根 λ1(ν),…,λn(ν)

中 でFに

おい て可 約

部 分 集 合i1,…,isに

と い う 因 子 を も つ と き(i1,…,is)型

と い う こ と に す る と,可 た と え ば(1,…,s)型 と お く と,hν(x)の

能 な 型 は 有 限 個 し か な い か ら,少 に 無 数 のgν(x)が

各 係 数 はν → ∞

数 に 収 束 す る か ら,h(x)∈F[x]と

属 す.hν(x)=(x− の と きh(x)=(x−

な り,f(x)の

  完 備 化 の 概 念 を 用 い れ ば,付

な く と も1つ

っ と く わ し く記 述 で き る.

つい に属す の 型,

λ1(ν))…(x− λs(ν)) θ1)…(x− θs)の 各 係

既 約 性 に 反 す る. 

値 に 関 し て 完 備 で な い 体 に つ い て も,そ

の 拡 大 体 へ の 延 長 の 性 質 が,3.2に ず,ず

とな

(証 終) の 付値

お け る よ うな 単 な る延 長 の 存 在 に と ど ま ら

  定 理3.15  完 備 化,Fφ

Kが 付 値φ を もつ 体Fの 有 限 次 拡 大 体 で,Fφ がFφ

Fφ の 中 へ のF上

の 代 数 的 閉 包 な らば,φ のKへ の 同 型 写 像 に よ る 像 を,Fφ/Fφ

がφ に よ るFの

の 異 な る 延 長 は,Kか

ら

の 共 役 写 像 で 互 い に うつ れ

る と き同 値 と し て 類 別 した と きの 類 に よ っ て1つ ず つ 定 ま る.   証 明  Kか

らFφ

へ のF上

れ をΦ(σ)と

か く.今φ

の 完 備 化KΦ

はFφ

の 同型 写 像 σは,自

のKへ

然 にφ の延 長 を 定 め る.そ

の 任 意 の延 長 をΦ

を 含 む か ら,KΦ 理3.10に

はFφ

とす る と,Φ

に よ るK

の 部 分 体 とFφ 上 同 型.故

はΦ(σ)の

形 に か け る.定

よ っ てKΦ=KFφ

Kσ′がFφ

上 の 同 型 写 像 で 互 い に うつ れ る な らば,付

で あ る か ら,も

に Φ しKσ,

値 の 延 長 の 一 意 性(定 理

3.12)に よ りΦ(σ)=Φ(σ′).逆 にΦ(σ)=Φ(σ′)な ら,そ れ らの 完 備 化KΦ(σ), KΦ(σ′)はFφ 上 同 型 で あ る か ら,Kσ

とKσ′ もFφ 上 の 同 型 写 像 で 互 い に う

つ れ る. 

(証終)

  K=F(θ)がFの の と き,LをFの Lに

単 純 分 離 的 拡 大 体 でf(x)が 任 意 の 拡 大 体,LをLの

θのFに

関 す る最 小 単 多 項 式

代 数 的 閉 包 と し,f(x)のLお

よび

お け る既 約 因 子 分 解 を そ れ ぞ れf(x)=f1(x)…fg(x),f(x)=Π(x−

とす れ ば,Kか

らLの

θ(i))

中 へ の 同 型 写 像 は σi:θ→ θ(i)で定 ま るn個 が あ り,

θ(i)と θ(j)とが 同 じfl(x)=0の

根 の と き,σiとσjはLの

上 の共 役 写像 を

の ぞ い て 一 致 す る.   次 に,K=F[x]/(f(x))と modf(x),α)→

み る と,g(x)∈F[x],α

αg(x)modf(x)は

を 定 め る が,

理1.21),こ

あ る.以 上 を ま と め て 定 理3.15と K=F(θ)が

の 写 像 はL上

の 同型 写 像 で

あわ せ れ ば

付 値 φ を も つ 体Fの

が θのFに 関 す る 最 小 多 項 式 で あ る と き,Fの の 既 約 因 子 分 解 をf(x)=f1(g)…fg(x)と Fφ[x]/(fl(x)),(l=1,2,…,g),の

つ い て,(g(x)

全 写 

L上 の 次 元 を 考 え れ ば(定 理1.15,定

  定 理3.16 

∈Lに

単 純 分 離 的 拡 大 体 で,f(x)

φに よ る完 備Fφ に お け るf(x)

す れ ば,K=F[x]/(f(x))を

中 へ うつ す こ とに よ り,φ のKへ

自然 に のす べ て

の 異 な る延 長 が 得 られ る.   定 理3.17 

KがFの

有 限 次 分 離 的 拡 大 体 の と き,Fの

付 値 φのKへ

の互

い に 異 な る 延 長 に よ るKの

完 備 化 をK1,…,Kg,Fのφ

とす れ ば, 

で あ る.α ∈Kに

とす れ ば,α →αiがφ

のKへ

  最 初 に 有 理 数 体Qの のp指

体

す べ て の 付 値 を 決 定 し よ う.pを1つ

数 をw(a)と

て 任 意 の 実 数c>1に

す る と,wはQの

メ デ ス 付 値 とな る.こ

の 素 数 と し,有

加 法 付 値 を あ た え る.従

つ い て,φ(a)=c−w(a)はQの

る.一 方 有 理 数 に そ の 絶 対 値￨a￨を

い てQは

つ い て 

の 異 な る延 長 を1つ ず つ 定 め る.

  3.4  代 数 体 の 付 値 とp進

理 数 

に よ る 完 備 化 をFφ

っ

非 ア ル キ メデ ス 付 値 と な

対 応 させ る と,こ れ はQの

唯一 の アル キ

の よ うに 有 理 数 体 に は 無 数 の 付 値 が あ り,そ れ ぞ れ に つ

異 な る 距 離 空 間 と な る.と

こ ろ で 逆 にQの

付 値 は 実 は 以 上 のべ た

も の だ け に 限 る の で あ る.こ れ を 次 の 定 理 に よ っ て あ き ら か に し よ う.   定 理3.18 

有 理 数 体 の 非 ア ル キ メデ ス 付 値φ

を と り,有 理 数 

のp指

数 がw(a)で

は1つ

の 素 数pと

実 数c>1

あ る と き φ(a)=c−w(a)と す る こ と

に よ っ て 定 め られ る も の 以 外 に な い.   証 明   φ をZへ

制 限 して 考え て み る と,φ

を と る こ と は な い.も の0で

しφ がZの0で

な い 元 に つ い て も 恒 等 的 に1と

察 か らは 除 か れ て い る.故 ル を な す が,φ(ab)<1な

な るZの

らばφ(a)<1ま

元 はZの0で

た は φ(b)<1で

の 素 数pで

ら ば,Q

な い イデ ア

あ る か ら,そ の イ

生 成 さ れ る.こ の こ と は ま たpで

つ い て はφ(a)=1で

φ(p)=c−1に

定 め れ ば 任 意 の 有 理 数 

あ る こ とを 示 し て い る.故 に に つ い て φ(a)=c−w(a)

で あ る. 

(証終)

  次 に 任 意 の 代 数 体Fの 1つ と り,α ∈Fのp指 w(α)がFの

り大 きい 値

な り,φ は 自 明 的 な 付 値 で,わ れ わ れ の考

わ り切 れ な い 有 理整数aに よ っ てc>1を

お い て1よ

な い 元 に つ い て 恒 等 的 に1な

にφ(a)<1と

デ ア ル は 素 イ デ ア ル で あ り,1つ

はZに

す べ て の 付 値 を 決 定 す る.ま ずFの 数 をw(α)と

す れ ば,有

加 法 付 値 で あ り,従 って 任 意 のc>1に

素 イ デ ア ルpを

理 数 体 の場合 と同様 に この つ い て φ(α)=c−w(a)が

Fの 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 で あ る こ とが わ か る.ま たFは

も ち ろ ん 複 素 数 体C

の 部 分 体 で あ る か ら,α ∈Fに ら れ る が,さ

ら にFのCの

が またFの

そ の 絶 対 値￨α￨を

対 応 させ れ ばFの

中 で の 共 役 体 をF(1),…,F(n)と

ア ル キ メ デ ス 付 値 と な る.以

付 値が 得

す れ ば, 

下 わ れ わ れ は こ こに あ げ た 付 値

が 代 数 体 の 付 値 の す べ て で あ る こ とを 示 す.   定 理3.19  と り,Fの

代 数 体Fの

元 

非 ア ル キ メ デ ス 付 値 φはFの1つ

のp指

数 がw(α)で

の 素 イ デ アルpを

あ る と き φ(α)=c−w(a),(c>1),と

す る こ と に よ っ て 定 め られ る も の 以 外 に な い.   証 明   Fの

整 数 環 を〓Fと す る.〓Fの

元 α は 

の 形 の 関 係 を み た し,φ(ai)≦1で

あ るか ら,も

し φ(α)>1な

らば

 か ら 矛 盾 を 生 じ る.故

に φ は〓Fに

お い て1よ

な い 元 に つ い て 恒 等 的 に1で の0で

り大 き い 値 を と る こ とは な い.φ が〓Fの0で

は な い か ら,φ(α)<1と

な い イ デ ア ル を な す が,そ

の イ デ ア ルpは

な る 

φ の 付 値 イ デ ア ル と〓Fと

の 共 通 部 分 で あ る か ら〓Fの 素 イ デ ア ル で あ り,pで に つ い て はφ(α)=1と

な る.そ

こ でFの

指 数 がw(α)で

あ る と し,一 方pに

てφ(π)=c−1に

よっ てc>1を

  のp指 いFの

数 は0で

整 イ デ ア ルm,nに

と な る よ うなpで φ(β)=1,す

わ り切 れ な い〓Fの 元 α

任 意 の 元 

属 しp2に

の 全 体 は〓F

に つ い て α のp

属 さな い〓Fの 元 π を1つ

定 め れ ば, 

と な る が,

あ る か ら,単 項 イ デ ア ル(β)はpで よ っ て(β)=m/nと

わ り切 れ な い 

とっ

わ り切 れ な

あ ら わ さ れ る.故

が 存 在 す る(2.3例

に β=μ/ν

題2).従

な わ ち φ(α)=c−w(a)で あ る. 

って (証終)

  有 理 数 体 の 場 合 に も代 数 体 の 場 合 に も 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 は 定 理3.18,定 理3.19に

い う意 味 で 素 数 ま た は 素 イ デ ア ル を 定 め る こ と が わ か っ た.こ

の場

合 同 じ 素 数 ま た は 素 イ デ ア ル を 定 め る 付 値 は 互 い に 同 値 で あ り,ま た 同 値 で あ る の は そ の よ うな 場 合 に か ぎ る.こ の こ とは 付 値 環 を 考 え て み れ ば わ か る.素 イ デ ア ルpを

定 め る 付 値 をp進

付 値 とい う.p進

付 値,従

って代 数体 の 非 ア

ル キ メ デ ス 付 値 は す べ て 離 散 的 で あ る.   代 数 体 の ア ル キ メ デ ス 付 値 に つ い て は,定

理3.15を

用 い れ ば,直

ちに次 の

定 理 が 得 ら れ る.   定 理3.20 

代 数 体Fの

個 あ る とす れ ば,Fは

共 役 体 の うち,実

ち ょ う どr1+r2個

値 を もつ.F(1),…,F(γ1)がFの の2つ

の も の がr1個,虚

の も の が2r2

の 互 い に 同値 で な い ア ル キ メ デ ス 付

すべ て の 実 の 共 役 体,F(γ1+1),…,F(γ1+γ2)が ど

も複 素 共 役 で な い よ うなFの

虚 の 共 役 体 で あ る と し, 

に よ っ て 共 役 写 像 を あ らわ せ ば,Fの の 形 の 付 値 の ど れ か1つ

ア ル キ メ デ ス 付 値 は すべ て 

と同 値 で あ る.

  F(1),…,F(γ1)は 実 数 体 の,F(γ1+1),…,F(γ1+γ2)は 複 素 数 体 の い ず れ も稠 密 な 部 分 集 合 で あ るか ら,Fの

アル キ メデ ス付値 に よる完 備化 は それ ぞれ の場 合 に

実 数 体 ま た は 複 素 数 体 で あ る.   これ で 代 数 体Fの も うけ,代

付 値 は 完 全 に 決 定 さ れ た.こ

数 体 の 付 値 を 互 い に 同 値 な も の 同士 集 め て 類 別 した と き,そ の 各 類

に は そ れ ぞ れ 代 数 体 の 素 点 とい う も の が1対1に す る.さ

ら に 素 イ デ ア ルpを

文 字pで

こでわれ われ は 特別 な 用語 を

あ らわ して,こ

対 応 して い る と考 え る こ とに

定 め る非 アル キ メデ ス付値 に対 応す る素点 を 同 じ

れ を 有 限 素 点,ア

ル キ メデ ス付値 で定 まる素 点を 通

常p∞ の よ うに ∞ を そ え た 記 号 で あ らわ して,こ れ を 無 限 素 点 とい う.ま た 無 限 素 点p∞ がFの

実 の 共 役 体 で定 ま る か,虚

の そ れ に よ る か に 従 っ て,p∞

そ れ ぞ れ 実 あ るい は 虚 で あ る と い う.素 点 はFに1つ あ る.有 限 素 点pに 値 に よ るFの

よ っ て あ た え られ る 位 相 をp進

完 備 化 を,そ

は

の位 相を あ たえ るの で 位 相 とい う.ま た あ る付

の 付 値 の 定 め る 素 点 に よ る完 備 化 と もい う.無 限 素

点 が 実 で あ る か 虚 で あ る か は,そ

れ に よ るFの 完 備 化 が 実 数 体 で あ るか 複 素 数

体 で あ る か とい う こ とに 他 な ら な い.   例 題1 

代 数 体Fの

整 数 環 は,Fの

すべ て の 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 に 関 す る 付

値 環 の 共 通 部 分 で あ る.   解   α∈Fは

α のp指

数 が す べ て の 素 イ デ ア ルpに

ま た そ の と き に か ぎ っ て 整 数 だ か らで あ る.    代 数 体Fの

つ い て 負 で な い と き, (以上)

素 点pに 対 応 す る付 値 は 同 値 な も の の うち か ら任 意 に え らべ るわ

け で あ る が,今

後 の 便 利 の た め,そ

れ ら の 付 値 の 中 か ら1つ 代 表 的 な も の を え

ら ぶ こ と に す る.す

な わ ちpが

で あ る と き,  と きは,Fか

有 限 素 点 の と きは,α ∈Fのp指

で あ た え られ る付 値 を と り,p=p∞ らCの

が 無 限 素点 の

中 へ のp∞ を 定 め る 写 像 を σ と し,p∞ が 実 の と き 

p∞ が 虚 の と き 

で あ た え られ る付 値 を と る.こ

して 定 め た 付 値 を 正 規 付 値 と よ び,記 す る.有

数 がw(α)

限 素 点pに

号￨￨pは

の よ うに

こ の 場 合 だけ に用 い る ことに

つ い て は 

が な りた ち,実

素 点p∞ に つ い て は 

が な りた つ.虚

無限

の 無 限 素 点p∞ に

つ い て は, 

によ

っ て 

が な りた つ.

  定 理3.21  (付 値 の 積 公 式)  Fを

代 数 体 と し,￨￨pがFの

正 規 付 値 を あ らわ す とす れ ば,Fの りた つ.積

はFの

任 意 の 元 

素 点pに

に つ い て 

がな

すべ て の 素 点 を わ た る.

  証 明   すべ て の 有 限 素 点 を わ た る 積 をΠ′ い て は 単 項 イ デ ア ル(α)の

で あ ら わ す と,有

素 ベ キ 分 解 が(α)=Π′papで

で あ る か ら, 

で あ る.一

中 へ の 同 型 写 像 を σiと す れ ば,α

限 素 点pに

方 に お い てFの

実 無 限 素 点 をp∞,1, 定 め るFか

と な る.と

  pが 代 数 体Fの

らCの

σ1,…,ασγ1,α σγ1+1,…,ασγ1+1,…,ασγ1+γ2はα

す べ て の 共 役 写 像 を ほ ど こ し て な らべ た も の に な る,従

で あ るか ら, 

こ ろ が 定 理2.31に

っ て  よ っ て 

を 得 る. 

(証 終)

有 限 素 点 で あ る と き,Fのpに

よ る完 備 化Fpは

実 数体 や

複 素 数 体 と は 全 く異 な った 完 備 な 位 相 体 と な る.そ れ をp進 体 と よ び,そ をp進

数 と い う.素

や は り￨￨pで

点pに

あ らわ し,p進

関 す るFの 体Fpの

正 規 付 値 をFpま

付 値 環〓pをFpの

整 数 環,そ

数 体 お よび 複 素 数

を 正 規 付 値 と い う.p進 の 元 をFpの

整 数 とい う.〓pの イ デ ア ル を 分 数 イ デ ア ル も含 め てFpの れ は 代 数 体 の イ デ ア ル と平 行 した 定 義 で あ る.￨￨pの

の元

で 延 長 した も の を

正 規 付 値 とい う.実

体 に お い て も,そ れ ぞ れ 絶 対 値 お よ び そ の2乗 に お い て￨￨pの

つ

あ れ ば￨α￨p=Np−ap

… ,p∞,γ1,虚 の 無 限 素 点 をp∞,γ1+1,…,p∞,γ1+γ2と し,p∞,iを

にF/Qの

関する

体Fp

整 数 また はp進

イ デア ル とい う.こ

付 値 イ デ ア ル を や は りp

で あ ら わ して,こ れ をFpの

素 イ デ ア ル と い う.

  〓pの 元 α を とれ ば α はFpの と な る α′ ∈Fが ル(α′)のp指 いFの

元 だ か ら,任 意 の 自然 数mに

とれ るが,α′ は ま た〓pに 入 るか ら単 項 イデ ア

数 は 負 に な ら な い.故

に 定 理2.25に

よ っ てpで

整 数 μ を と っ て μα′が 整 数 で あ る よ うに で き る.こ

に よ っ て 

は 整 数 解x∈Fを と な る.こ

の こ と はFpの

数 環〓pの 閉 包 で あ り,〓p/pは〓F/pと

の と き 定 理2.20

整 数 が 素 点pの

位相 に つい て

な わ ち〓pはFの

整

同 一 視 で き る 同 型 な有 限 体 で あ る.pの

つ い て も 同 様 な 関 係 

pに 属 しp2に

わ り切 れ な

も ち, 

Fの 整 数 で い く ら で も近 似 され る こ と を 示 す の で あ る.す

ベ キpmに

つ い て 

が 得 られ る.一

方Fpに

おいて

属 さ な い 元 π を と り,ま た〓p/pの 各 剰 余 類 の 代 表 を1つ ず つ

と っ て つ くっ た 集 合 をSと

す れ ば,Fpの

整 数 α に つ い て 

とな る αi∈Sが して 定 ま る こ とが2.3に 関 係に 定 ま る.従

い く ら で も高 い ベ キpmに

お け る と 同 じ よ うに し てわ か る.α0,α1,…

っ てm→

∞ と して 考 え れ ば,α

て 

はmに

対 無

は 収 束す る無限 級数 に よ っ

と あ らわ され る の で あ る.α

が整数で

な い と き も π の 適 当 なベ キ を か け て 考 え れ ば  の 形 の 展 開 が 得 られ る.こ れ ら の 展 開 をp進 とを 固 定 して お け ばp進 とれ る こ と もFpの   p進 体Fpの

展 開 は 一 意 的 で あ る.π

整 数 がFの

整 数 環〓pは,付

〓pの0の

属 しp2に

やαiが

値 環 と し て の 性 質 か らた だ1つ

キpmの

っ て 完 備 で あ り,従 っ て 定 理1.59に

全 体 を と る こ とが で き る が, 

だか ら,Fpは

は有 限 題16に

よ っ て〓pは コン パ ク トで あ る.こ

身 は 局 所 コ ンパ ク トな 空 間 で あ る.さ

る 集 合 で あ り, 

の 素 イデ アル

な る.ま た 位 相 的 に は

環 で あ る か ら〓pは 全 有 界 で あ る.一 方〓pは 閉 集 合 だ か ら1.7例

とか らFp自

整数 で

キ で あ り,ま た 単 項 イ デ ア ル で あ る.す

属 さ な い 元 πに よ っ てp=(π)と

近 傍 と してpのベ

すべ てFの

整 数 で近 似 され る こ とか らわ か る.

pを も ち,す べ て の イ デ ア ル はpのベ な わ ちpに

展 開 とい う.π とS

ら にpmは

よ のこ

開 で も閉 で も あ

完 全 不 連 結 な 空 間 で あ る.無 限 素 点p∞ に

つ い て もFp∞

は 実 数 体 か 複 素 数 体 で あ るか らた しか に 局 所 コ ンパ ク トで あ る.

  p進 体 は 代 数 的 に 簡 単 で あ り,一 方 位 相 的 な手 段 が い ろ い ろ用 い られ る こ と もあ っ て 非 常 に あ つ か い や す く,代 数 体 の 多 くの こ とが ら はp進 体 へ うつ す こ とに よ っ て 見 通 し よ くな る.た ルpに

つ い てp成

分paを

とあ らわ せ ば,Fpの か け る.す

と え ば 代 数 体Fの

も つ と き,aで

素 イ デ ア ル はpで

な わ ちa→〓paに

で が き る.ま たaがpのベ

イ デ ア ルaがFの

生 成 さ れ るFpの

素 イデ ア

イ デ ア ル を〓pa

あ ら わ す の で あ った か ら,〓pa=paと

よ っ てaのp成

分 だ け を と り出 して 論 じ る こ と

キ の と き に は,aはFpの

イ デ ア ル と同 一 視 で き

る の で あ る.   離 散的 な非 アル キ メデス付値 に 関 して完 備で,か つ剰 余体 が有 限体 であ る体 は,種 々 の点 でp進 体 と似 た性質 を もつ.付 値 イ デアルpは 単項 イデ アル であ り,付 値 環〓 は デデ キ ン ト整 域 であ る.ま た 位相 的に は完 全不 連結 で,〓/pの 代 表系 に よってp進

展開

もで きる.ま た イデ アルの ノル ム も剰余 類 の個 数 と して定義 で き,乗 法的 にな る.こ の よ うな体 を一 般的 に と りあつ か うことは われ われ の 目的 とす る ところでは な い が,以 下 の考 察 の中 に時 々それ が補助 的に 用い られ るで あ ろ う.   例 題2 

代 数 体Fの1つ

とす る.一

方p∩Z=(p)と

Qpの

整 数 環 をZpと

の 素 イ デ ア ル をpと な る素 数pを

し,p進

体Fpの

整 数 環 を〓p

と り,有 理 数 体 か ら つ く っ たp進 体

す る.こ の と き〓pはFpの

元 でZpに

つい て整 な もの

全 体 か ら な る.   解   Fp/Qpの

共 役 写 像 が 付 値 を 変 え な い こ と か ら,〓pの

元 はZpに

ついて

整 で あ る こ とが わ か る.逆 に α∈Fpがxr+a1xr−1+…+ar=0,(ai∈Zp),の 根 な ら ば,非

ア ル キ メ デ ス 付 値 の 定 義 か ら￨α￨p≦1で

な け れ ば な ら な い. (以上)

  例 題3  Zp上

Fp, 〓p, Qp, Zpを

にt個

  解   Zpが

前 例 題 と同 じ と し,(Fp:Qp)=tと

の 元 か ら な る 基 底 を もつ. 単 項 イ デ ア ル 整 域 で あ る か ら,定

理2.9と

る.    例 題4 

す れ ば,〓pは

同 じ方 法 で 証 明 で き (以上)

上 の 例 題 に お け る〓p/Zpの (γi∈Zp),の

基 底 を ω1,…,ωtと し,α ∈〓pを 

形 に あ らわ した と き,α ≡0(modpm)は

す べ て のiに

つ

いて

γi≡0(modpm)の

な りた つ こ と と 同 等 で あ る.

  解  α ≡0(modpm)な

ら,α/pmが

また

(γi′ ∈Zp),の

形 に な る. (以 上)

  例 題5  (ヘ ン ゼ ル の 補 題)代 Fpの

数 体Fの1つ

整 数 環 を〓pと す る.〓p[x]の

(modp)と modpで

な る〓p[x]の

の 有 限 素 点 をpと

単 多 項 式f(x)に

単 多 項 式   g0(x),

g≡g0(modp), 

h≡h0(modp)と

あ り,g0(x)とh0(x)が

degg=degg0, 

な る〓p[x]の

体

つ い て .f(x)≡g0(x)h0(x)

h0(x)が

互 い に 素 な ら ば,f(x)=g(x)h(x), 

し,p進

degh=degh0,

単 多 項 式g(x), 

h(x)が

存 在す

る.   解  pで πc0(x)と

わ り切 れp2で

わ り切 れ な い

な るc0(x)∈〓p[x]が

(modp)と

と れ,一

な るu0,υ0∈〓p[x]が

低 次 と し て よ い.も

π∈〓pを と る.f(x)−g0(x)h0(x)= 方g0(x)u0(x)+h0(x)υ0(x)≡c0(x)

存 在 す る.u0はh0よ

し そ う で な け れ ば,u0, υ0を

り低 次,υ0はg0よ そ れ ぞ れh0,

g0で

り

わ っ て,

そ の 剰 余 を 代 りに 用 い れ ば よ い か ら で あ る.g1(x)=g0(x)+πυ0(x),  h0(x)+πu0(x)と =degh0,

お く と,f(x)≡g1(x)h1(x)(modp2)で,degg1=degg0, 

g1=g0(modp), 

≡ π2c1(x)と

h1≡h0(modp)で

な るc1(x)∈〓p[x]が

h1(x)υ1(x)≡c1(x)(modp)と

あ る.従

と れ る.そ

し て 求 め るg,hが pを

っ てf(x)−g1(x)h1(x)

そ れ ぞ れh1,g1よ

h2(x)=h1(x)+π2u1(x)と

作 を く り か え せ ば 多 項 式 の 列{gm(x)},{hm(x)}が

degh1

こ で 前 と 同 様 にg1(x)u1(x)+

な るu1,υ1∈〓p[x]で

も の を と り,g2(x)=g1(x)+π2υ1(x), 

  例 題6 

h1(x)=

り低 次 の

お く.こ

得 ら れ,そ

れ ぞれ の極 限 と

得 ら れ る.  有 理 素 数 と し,p進

の操

(以 上) 体Qpの

単 多 項 式xr+a1xr−1+…+arがQpで

整 数 環 をZpと

既 約 な らば,p指

す る.Zp[x]の 数 をordpで

あ らわ

す と き,minl−1ordpal=r−1ordpar,(l=1,2,…,r).   解   問 題 の 多 項 式 の0点 長 が ど の0点

を す べ てQpに

添 加 し た 体 に お い て,p進

付値 の延

で も 等 しい 値 を と る こ と に 注 意 す れ ば あ き ら か で あ る.  (以 上)

  xr+a1xr−1+…+ar∈Zp[x]に

お い て,係

れ ば,Pl=(l,ordpal),(l=1,2,…),と 点 を 結 ぶ 線 分 の うち,そ

の 下 方 に は1つ

数 の 番 号 を 横 軸 に と り,ordpalを

い う有 限 個 の 点 が 第1象

縦軸にと

限 に 定 ま る.こ

れ らの

も そ の よ うな 線 分 が 存 在 しな い もの ば か りを 残

し て え が くと,下 に 凸 な 折 線 図 形 が で き る.こ 6に よ り,ニ   例 題7 

ュー トン の折 線 図 形 が1本 体Fに

す べ て のφ∈Φ

の 線 分 に な らな い 多 項 式 はQpで

非 ア ル キ メ デ ス 付 値φ

あ る,ⅲ)有

が あ たえ ら れ た と き,任 と な る α がφ∈Φ

な い α ∈Fに

限 個 の φ1,…,φrに

意 の ε>0に

つ い てφiの

(i=1,2,…,r),

は テ デ キ ン ト整 域 で あ り,〓

い う3条

らFは〓

で 定 ま るmをordφaと

の 商 体 と な る.Fの

元 で〓

に 関 して 整 な も の

を〓 の イ デ ア ル と し,ε φ

か く と,ordφ

α2=ordφa,か と れ る.そ

な らordφ ⅲ)に

か らxφ

α2=0だ

よ り,xφ

は

のx∈〓

な らordφ たordφa=0で

ってふ たた び 条件

で 同 時 に と れ る こ と に な る.(α− 属 す.こ

を 有 限 個 だ け が0で

α ≧ordφ α2

も 

の 付 値 環 に 属 す.従

の 元 で あ る か ら α=α2x+α1yはaに

に 負 で な い 有 理 整 数mφ

で あ る 各 φ∈ Φ

と れ る が, 

はφ

なる

す べ て の φ∈Φ に つ い て な り た つ

φ の 付 値 環 に 入 る.ま

か ら や は りxφ は1つ

α2=0と

α2xφ)≧ordφ α1が 

に つ い て な り た つ よ う にxφ ∈Fを =ordφ α1だ

ら に 

な らordφ

α ≧ordφaが

 を 任 意 に と る と,ordφ(α−

で あ る有限 個

ら と れ る.さ

つordφa=0で  こ でordφ

(α∈a),

α1=ordφaが 

の φ に つ い て な りた つ よ う な α1∈ α が 条 件ⅲ)か

α2∈aも

件が

の 素 イ デ アルはす べ て

が そ の 付 値 イ デ ア ル の 上 で と る 最 大 値 と す る. 

な らordφ

有限

付 値 環 の 元 αi

つ い て 

は〓 の 定 義 か ら〓 に 入 る か ら,〓 は 整 閉 で あ る. 

は〓

つ い てφ(α)は

の 付 値 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と し て あ た え ら れ る.

  解   条 件ⅱ),ⅲ)か

をφ

可 約 で あ る.

の 付 値 環 全 体 の 共 通 部 分〓 の 中 に と れ る,と

満 足 さ れ て い る な ら ば,〓

題

の 集 合 Φ が あ た え ら れ て い て,ⅰ)

は 離 散 的 で あ る,ⅱ)0で

個 を の ぞ い て1で

〓 とφ∈Φ

れ を ニ ュー トン の 折 線 図 形 とい う.例

α2x)α1−1=y

れ で〓 の イ デ ア ル はφ ∈ Φ

な い よ う に あ た え た と き,ordφ

α

≧mφ が す べ て の φ∈ Φ に つ い て な りた つ α ∈〓 全 体 の 集 合 に 他 な ら な い こ と が 示 さ れ た.mφ

の ど れ か が 異 な れ ば イ デ ア ル は 異 な る し,mφ

に 対 応 す る イ デ ア ル は 後 者 に 対 応 す る イ デ ア ル を わ り切 る.こ デ ア ル に 関 す る 最 大 条 件 が 得 ら れ,ま が0で

あ る よ うなmφ

た 素 イ デ ア ル は1つ

のmφ

≦mφ′ な ら 前 者 の こ と か ら,イ だ け が1で

他

を あ た え た と き 得 ら れ る イ デ ア ル で あ る こ と が わ か る.

こ れ で 素 イ デ ア ル が 極 大 イ デ ア ル で あ る こ と も わ か り,〓

は テ デ キ ン ト整 域 と

な る. 

(以上)

  こ の 問 題 の 条 件ⅲ)を

付 値 の 集 合 Φ に 関 す る強 近 似 定 理 と い う.有 限 個 の 元 を近 似 す

る 元 が 付 値 環 の 共 通 部 分 か ら とれ る と い う意 味 で 定 理3.2よ 定 理 と は,定

理2.22で

り強 い か らで あ る.強 近 似

の べ た 連 立 合 同 式 の 解 の 存 在 に 他 な ら な い.定

キ ン ト整 域 とい う性 質 だ け を 使 っ て 得 られ た の で あ る か ら,デ 例 題7のⅰ),ⅱ),ⅲ)が

理2.22は

デデ

デ キ ン ト整 域 に つ い て は

す べ て な りた っ て い る.す な わ ちⅰ),ⅱ),ⅲ)は

デ デ キ ン ト整 域

を 特 徴 づ け る条 件 で あ る.   代 数 体Fの 環〓Fは

非 アル キ メデ ス 付 値 は 有 理 数 体 のp進

付 値 の延 長 の 全 体 で あ り,Fの

整数

定 義 か らす べ て の 非 ア ル キ メ デ ス 付 値 の 付 値 環 の共 通 部 分〓 に 含 まれ る.逆 に

〓 の 元 は そ の 最 小 単 多 項 式 の 係 数 がQの か ら〓Fの

元 で あ る.こ

れ で〓F=〓(例

す べ て のp進 題1)が

付 値 の 付 値 環 の共 通 部 分 に 入 る

直 接 い え た.こ

の〓F=〓

7のⅰ),ⅱ),ⅲ)も

また 直 接 に 証 明 す る こ とが で き る.ⅰ)は 定 理3.12か

ⅱ)は 定 理3.16を

用 い れ ば 簡 単 で あ る. ⅲ)を い うに は,有

の 定 め るQの 付 値 の 延 長 全 体 で 定 ま る 素 点φ1,…,φrに 3 .2を 用 い て  とな る α′ ∈Fを 求 め,次 1に 合 同 で あ り,か

つφ(α′)>1で

  この よ うに し て,代 る.し か も,デ

限 個 の 有 理 素 数p1,…,ps

つ い て い え ば よい が,ま にp1,…,prの

と っ て,α=aα′

ず定 理

十 分 高いベ キで つ い て,そ

の

とす れ ば よい.

数 体 の 整 数 環 が デ デ キ ン ト整 域 で あ る こ との 別 証 明 が あ た え られ

デ キ ン ト整 域 とい う概 念 す ら用 い る こ とな く,例

ま ま用 い れ ば,代

ら得 られ る し,

あ るφ に つ い て はφ の定 め る素 数pに

十 分 高 い ベ キ で わ り切 れ る よ うな 有 理 整 数aを

に つい て例題

題7の

解 の一 部を その

数 体 の イデ アルに関 す る素ベ キ分解 の一 意性 が直接 証 明で きるのであ

る.

  例 題8  て はp指

代 数 体Fの

素 イ デ ア ル の任 意 の 集 合 をSと

数 が 負 で な い よ うなFの

  解   問 題 の 環 はp∈Sの

す る と き,p∈Sに

元 全 体 の な す 環 は デ デ キ ン ト整 域 で あ る.

付 値 環 の 共 通 部 分 で あ る か ら,当 然 例 題7のⅰ),ⅱ),

ⅲ)が な りた つ.    例 題9 

(以上)

有 限 個 の 素 数p1,…,prを

も十 分 小 さな 付 値￨a￨piを 相 体 とな る.こ

と り,有 理 数a∈Qが

あ る.あ

有 理 整 数 環Zの

ついて 位

完 備 化 は 何 か.

た え られ た 位 相 に 関 す る コ ー シー 列 に,各pi

進 位 相 で の極 限 を な らべ た も の を 対 応 さ せ れ ば よ い.    例 題10 

ど のpiに

も つ と き0の 小 さ い 近 傍 に 入 る と 定 め る とQは

の 位 相 に 関 す るQの

  解  Qp1  …  Qprで

つい

(以上)

イ デ ア ル 全 体 を0の 近 傍 系 の 基 とす る とZは

位

相 加 群 とな る.そ の と きZの   解   p進 体Qpの

完 備 化 は 何 か.

整 数 環 をZpと

(制 限 直 和 で な い).あ

す る と き,す

べ て のZpの

直和であ る

たえ られ た 位 相 に 関 す る コ ー シー 列 に,各p進

の 極 限 を 並 べ た も の を 対 応 させ れ ば よ い. 

  3.5 

位相で (以上)

p進 体 の 構 造

  これ か らのべ る ことの中 に は,非 アル キ メデ ス付値 につ い て完備 な体な らば な りたつ もの,離 散的 な付 値に つい て完備 な体 な らばな りた つ もの,あ

るい は離散的 で剰 余体 が

有限 体 で あ る付 値に つい て完備 な体 な らばな りた つ もの等 必ず しもp進 体 でな くと もそ の ままな りたつ ものが多 く含 まれ てい る.い ち いち ことわ らな いが,証

明をみれ ば どの

程 度 の条件 で な りたつか わか るで あろ う.   代 数 体Fの1つ

の 有 限 素 点 をpと

い 元 全 体 の な す 乗 法 群Fp× る.Fpは

してp進

体Fpを

考 え る.Fpの0で

な

の 構 造 を し ら べ る の が これ か ら の 最 初 の 目的 で あ

複 素 数 体 や 実 数 体 が そ うで あ る よ うに,付

値￨￨pに

よる位 相 を も っ

た 局 所 コ ンパ ク トな 体 で あ る か ら,そ の 構 造 も 位 相 的 な 見 方 を す る こ と に よ っ て あ き ら か に な る.こ 実 数 体 に 似 て い て,位   Fpの

の 点p進

体 は 代 数 体 そ の も の よ りもむ しろ 複 素 数 体 や

相 解 析 に 類 した あ つ か い が で き る の で あ る.

元 α で￨α￨p=1で

全 体 の な す 群UpをFpの

あ る も の をp進 単 数 群 とい う.p進

体Fpの

単 数 と い い,Fpの

単数

体 で は 単 数 の十 分 小 さな 近 傍 の

元 お よび 単 数 の 収 束 した 極 限 は や は り単 数 で あ る か ら,Upは

開 で も閉 で も あ

る 集 合 で あ り,Fp×/Upは

整 数環 が コ ンパ

ク トだ か らUpは れ な いFpの

離 散 的 な 位 相 群 で あ る.ま

コ ン パ ク ト,従 っ て 完 備 で あ る.pで

元 π を1つ

とれ ば,Fp×

の 位 相 群 と して の 直 積 に 分 解 され る.従

たFpの

わ り切 れp2で

わ り切

は π で 生 成 さ れ る 無 限 巡 回 群 とUpと っ てFp×

の 構 造 を 知 る に はUpを

し

らべ れ ば よい.   定 理3.22 Fpが

代 数 体Fの

有 限 素 点pに

り切 れ る 素 数 で あ る と き,有 理 整 数mがpで で あ る よ うな 任 意 の η∈Fpに の と き さ ら に η′ ≡1(modp)と

関 す るp進

体 で,pがpで

わ

わ り切 れ な け れ ば,η ≡1(modp)

つ い て,η=η′mと

な る η′ ∈Fpが

と る こ とが で き る.

存 在 す る.こ

 

証 明   f(x)=xm−

か ら,定

η と す る と,f(1)≡0(modp), 

理3.13に

よ りf(x)はFpの

(modp)で

ある

整 数 環 の 中 に η′≡1(modp)を

満 足す

る 根 を も つ. 

(証 終)

  定 理3.23 Fpが に 属 す1の

代 数 体Fの

有 限 素 点pに

Np−1乗

ベ キ 根 で 位 数 がpで 根 で あ る.ま

め に は,そ

わ り切 れ る 素 数pと

たFpに

の 位 数 がpの

属 す1の

ベ キ 根 で,ζ

い に 素 で あ る と す る.ζm−1=0か

ベ キ 根 がmodpで1と

≡1(modp)で

含 ま れ る1の

ル マ ー の 定 理(定 理2.24)か あ る .次

  定 理3.24 

な

ベ キ 根 で そ の 位 数 がpと

互 い に 素 な ら,フ

ェ

に ξ≡1(modp)と

ベ キ 根 で,ξ

η≡1(modp)で

の 位 数 がpの

な る よ う な1の

ベ キpa

位 数 はpと

代 数 体Fの

有 限 素 点pに

あ る よ うな

か も ξpa

得 る. 

関 す るp進

(証 終)

体 と し,Upを

その

れ ら はmodpで

含 ま れ る1のNp−1乗

η∈Fp全

位数が

互 い に 素 で,し

根 を す べ て 含 み,そ

たUpはUpに

な

ベ キ 根 ξ∈Fpの

に ふ た た び 上 の こ と か らξpa=1を

単 数 群 と す る と,Upは1のNp−1乗 い に 不 合 同 で あ る.ま

っ て 上 の こ と か ら ηNp−1

互 い に 素 で あ る こ と と か ら ξ≡1(modp)で

あ る.故 Fpを

互

な わ ち ζ=1と

あ る と す れ ば,ξpaの

≡1(modp)で

の 位 数mがpと

か ら,ζ−1=0す

含 ま れ る1の

な ら,ξpa=1とpがNp−1と

pab,((p,b)=1),で

あ り,ζ

ら ηNp−1≡1(modp),従

に ξ がFpに

け れ ば な ら な い.逆

合 同 であ るた

である

(modp)だ

=1で

互 い に 素 な も の は1の

ら 

が,  て ηがFpに

体 で あ る と き,Fp

ベ キ で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.

  証 明   ζ∈Fpが1の

る.さ

関 す るp進

互

体 の な す 群Hpと

根 の な す 群 と, の 位 相 群 と して の 直 積

で あ る.   証 明   定 理2.24に

よ っ て 任 意 のu∈UpはuNp−1≡1(modp)を

か ら,Upをmodpの と し,f(x)=xt−1と つ.一

方 

同 な 根 を も つ.そ

満足 す る

剰 余 類 に わ け た と き の 代 表 元 をu1,…,ut,(t=Np−1), お く と,ど (modp)だ

のuiに か ら,定

れ ら は1のNp−1乗

  こ の 定 理 に よ っ てUpの

つ い て もf(ui)≡0(modp)が 理3.13に

よ り,f(x)は

な りた 各uiと

根 全 体 で な け れ ば な ら な い. 

構 造 は さ ら にHpの

合

(証 終)

構 造 に よ っ て わ か る こ とに な

っ た.HpをFpの

単 位 単 数 群,そ

単 数 をFpの

単 位 単 数 と い う.

  定 理3.24で

わ か る よ うに,p進

系 が 乗 法 的 に,す

の元す なわち

η≡1(modp)と

体 の 整 数 環 に お い て は,素

な るFpの

イデ アルの剰 余 類の代 表

な わ ち 類 の積 の 代 表 元 が 代 表 元 の積 に 等 しい よ うに とれ る.こ

れ が一

般 の 環 で は み られ な い 大 きな 特 徴 で あ る.   Fpをp進

体,Hpを

数 体Qのp進 α ∈Zpに

体Qpの つ いてベ キ

い て η≡1(modpM)と

そ の 単 位 単 数 群,pで 整 数 環 をZpと

η∈Hpに

な るFpの

ベ キ で あ る か ら,十 っ て￨1−

意 の η,η′ ∈Hp,  a,a′ ∈Zに

し,有

理

意 の η∈Hpお

よび

任 意 の ベ キpMに

単 数 全 体 の な す 群 はHpの

つ い て ηpm≡1(modpM),従

こ と と,任

す る と き,任

ηα が 定 義 さ れ る こ と を 示 そ う.pの

群 を な し,し か も そ の 指 数 はpの の

わ り き れ る 素 数 をpと

つ

有 限指 数 の部 分

分 大 き なmを ηpm￨p≦Np−Mと

とれ ば 任 意 な る.こ

の

つ い て￨ηa− η′a′￨p≦max(￨ηa− η′a￨p,

｜ η′a−η′a′￨p)≦max(￨η− η′￨p,￨1− η′a−a′￨p)がな りた つ こ と と か ら,Hp×Z∋ (η,a)→ ηa∈HpはHp×Zか こ こ で はp進

らHpの

中 へ の 一 様 連 続 写 像 と な る.但

位 相 を 入 れ て 考 え る の で あ る.従

(η,a)→ ηaはHp×Zpか

らHpの

η,η′ ∈Hp,  α,α′∈Zpに

像 を ηα と お き,こ

の延

れを η の α 乗 と

が 有 数 整 数 な ら ηα は 通 常 の ベ キ と 同 じ で あ り,ま

た

つ い て(η η′)α=ηαη′ α,  ηα+α′=η αηα′,  (η α)α′=η αα′等 の

指 数 法 則 の な り た つ こ と も 定 理1.64の さ れ る.こ

よって写 像

中 へ の 一 様 連 続 写 像 に 延 長 さ れ る.こ

長 さ れ た 写 像 に よ る(η,α)∈Hp×Zpの 定 義 す る の で あ る.α

っ て 定 理1.63に

しZは

の こ と か らHpはZpを

前 の注 意 と同様 の考 え方 で直 ちに 証 明 作 用 環 に も つ 可 換 群 で あ り,そ

の作 用 は

位 相 ベ ク トル 空 間 の 場 合 と 同 じ連 続 性 を も っ て い る.   こ こ でHpを

さ ら に み や す い 群 の 中 に う つ す た め に,p進

数 お よ び 指 数 関 数 を 導 入 す る.解

がp進

体Fpの

体 にお け る対 数 関

析 学 で よ く知 ら れ て い る 次 の 級 数

元 α に つ い て 収 束 す る と き,そ

の 値 を そ れ ぞ れlog(1+α),

expα

と定 め る の で あ る.こ

す る か を し ら べ よ う.Fpに

の2つ

の 級 数 がFpの

お い て(p)=peで

あ る と し,Fpの

指 数 をw(x)で

あ ら わ す こ と に す る.nのp指

n・w(x)−eanと

な る が,an≦logpn(こ

n・w(x)−elogpn,従

らxn/nが0に

お け る 級 数 は 一 般 項 が0に xがpに

属 す と き,い

を も つ.次

たえ ら れ る.[ 

のp

ら ば,w(xn/n)= あ る か らw(xn/n)≧

∞ の と き0に

収 束 す る.

収 束 し な い こ と は あ き ら か で あ る.p進

体に

収 束 す る と き に 限 っ て 収 束 す る か ら,log(1+x)は

数an′

]は

らxn/nはn→

い か え れ ば1+xが

にn!のp指

元 

数 がanな

れ は 普 通 のlog)で

っ てw(x)>0な

ま たw(x)<0な

どの よ うな 元 に つ い て 収 束

単位 単 数 であ る ときに限 って意味

はan′=[n/p]+[n/p2]+…+[n/pν]+…

であ

そ の 中 に あ る 数 を こ え な い 最 大 の 有 理 整 数 を あ ら わ す.

an′ を も う 少 し 便 利 な 形 に あ ら わ す た め に,nをp進 +…+ctpt,(0≦ci
法 で あ ら わ しn=c0+c1p

す れ ば,[n/pν]=cν+cν+1p+…+ctpt−ν

であ るか

ら,an′=c1+c2(1+p)+…+ct(1+p+…+pt−1)=(p−1)−1{(c0+c1p+…+ctpt) −(c0+c1+…+ct)}と (p−1)を

な り,c0+c1+…+ct=s(n)と

得 る.従

って

と な り,w(x)>e/(p−1)な

らn→

大 き なnに

つ い て もs(n)=1と

はn→

の と き 無 限 大 と な ら ず,従

∞

か ら,expxはxのp指

∞

の と きxn/n!→0で

あ る.一

な り う る か ら,w(x)≦e/(p−1)な っ てxn/n!は0に

数 がe/(p−1)よ

と が わ か っ た.し

お け ばan′=(n−s(n))/

方 い くら

らw(xn/n!)

収 束 し な い.こ

のこと

り大 き い と き に か ぎ っ て 収 束 す る こ

か もw(x)>e/(p−1)な

ら ばn>1に

つ い てs(n)≧1を

用

いれば

が 得 ら れ る か ら￨expx−1￨p=￨x￨pと は,x≡0(modpm)な   log(1+x)の を も つ.す

な る.す

らexpx≡1(modpm)と 級 数 も ま たw(x)>e/(p−1)で

な わ ち こ の 条 件 の 下 で はw(n)≦w(n!)お

な わ ちm>e/(p−1)の

場 合に

な る の で あ る. あ る 場 合 に は は っ き り した 性 質 よび上 の指 数 関 数 に関 す

る 考 察 か ら,n>1に と な る.故

つ い てw(xn/n)−w(x)>0が

な りた ち,￨log(1+x)￨p=￨x￨p

にm>e/(p−1)でx≡0(modpm)な

ら ばlog(1+x)≡0(modpm)

と な る こ と が わ か る.   上 に の べ たw(xn/n),w(xn/n!)の exp(x+y)=expx・expyお

評 価 を 用 い れ ば,logxy=logx+logy,

よ びlog(expx)=exp(logx)=xが

り な りた つ こ と は,通

意 味 を もつ か ぎ

常 の 解 析 学 に お け る と 同 様 あ る い は む し ろ よ り容 易 に 級

数 の 計 算 で 証 明 で き る.ま さ ら にlogxy=ylogx, 

たlog,

expの

連 続 性 は 定 義 か ら あ き ら か で あ る.

exp(ylogx)=xyはyが

も つ か ぎ り な り た つ.故

有 理 整 数 な らば 両 辺 が 意 味 を

に 連 続 関 数 の 延 長 の 一 意 性 を 用 い れ ば,yがZpの

元

で あ っ て も や は り意 味 を も つ か ぎ りな り た つ こ と に な る.   Fpの

イ デ ア ル をZpが

乗 法 に よ っ て 作 用 す る 加 群,Fpの

が ベ キ に よ っ て 作 用 す る 可 換 群 と み れ ば,今

単 位 単 数 群 をZp

ま で の こ とを ま とめ て 次 の よ うに

の べ る こ と が で き る.   定 理3.25 

Fpを

代 数 体Fの

れ る 素 数 と し,Fpに

有 限 素 点pに

お い て(p)=peで つ い て,η

数 全 体 の な す 群Hp,mと

イ デ ア ルpmの

群 と し て 同 型 で あ る.そ

→expy∈Hp

,mに

体,pをpで

あ る と す る.こ

と な る 任 意 の 自 然 数mに

ま たZp加

よ るp進

≡1(modpm)で

わ り切

の と きm>e/(p−1)

あ る よ う なFpの

元 全 体 の な す 加 群 と は,位

単位単

相群 と して

の 同 型 対 応 はHp,m∋x→logx∈pm, pm∋y

よ っ て あ たえ ら れ る.

  こ の 定 理 に い う同 型 対 応 は 作 用 素 に つ い て も位 相 ベ ク トル 空 間 の場 合 と同 様 の 連 続 性 を もつ.す Zpか  Fpの

な わ ちxα → αlogx,  αy→(expy)α,(α

らpm,Hp

構 造 を 決 定 す る た め に,も

対 数 関 数logはHpか

はZpに

それ ぞ れHp,m×Zp, pm×

,mへ の 連 続 写 像 で あ る.

単 位 単 数 群Hpの

そ の 像logHpは

∈Zp),が

らFpの

整 数 環 の 中 へ のZp準

と に か く〓pのZp部

関 し てt個

あ る こ と を 注 意 す れ ば,定

理1.28に

同 型 写 像 で あ る か ら,

分 加 群 と な る.(Fp:Qp)=tと

の 元 か ら な る 基 底 を も つ(3.4例

は 上 の 定 理 に よ って あ る イ デ ア ルpmを

う少 し考 察 を す す め る.

含 む か ら,Zpが よ っ てlogHp自

題3).と

す れ ば〓p こ ろ がlogHp

単項 イデ アル整 域 で 身 もZpに

関 し てt個

の 元 か ら な る 基 底 を も つ こ と に な る.故 … ,logηtがlogHpのZpに は 

にFpの

関 す る 基 底 に な る よ うに え ら べ ば,任 (αi∈Zp,logζ=0),の

な る.こ

単 位 単 数 η1,…,ηtをlogη1, 意 の η∈Fp

形 に 一 意 的 に あ ら わ さ れ る こ とに

こ に お い て 次 の 定 理 が な りた つ.

  定 理3.26 Fpが

代 数 体Fの

単 位 単 数 群 な ら ば,ζ き で あ り,ま

有 限 素 点pに

∈Hpに

よ るp進

つ い てlogζ=0と

な る の は ζ が1の

ベ キ根 の と

た そ の と き に か ぎ る.

  証 明   ζm=1と にlogζ=0と

す れ ばmlogζ=logζm=log1=0だ す る.十

分 大 き なmを

か らlogζ=0で

とれ ば す べ て の

1の 十 分 小 さ い 近 傍 に 含 ま れ る よ う に で き る か ら,定 exp(logζpm)が ζpm=1で

体 で,HpがFpの

η∈Hpに

あ る.逆

つ い てηpmが

理3.25に

よ っ てζpm=

な りた つ.exp(logζpm)=exp(pmlogζ)=exp0=1で

あ る か ら,

あ る. 

  こ れ でp進

(証 終)

体 の 単 数 群 の 構 造 に 関 す る 次 の 基 本 的 な 定 理 は もは や 明 白 な 事 実

と な る.   定 理3.27 Fpを

代 数 体Fの

有 限 素 点pに

位 単 数 群 とす る.ま

たpをpで

し,(Fp:Qp)=tと

お く.こ

ベ キ 根 で な いHpの

元 η1,…,ηtを

わ り切 れ る 素 数,Qpを の と きHpに

属 す1のpベ

適 当 に と れ ば,す

ζα0η1α1… ηtαtの形 に あ ら わ さ れ る.α0は 一意 的 に定 ま り

,α1,…,αtはQpの

  この 定 理 に よ っ てHpは

よ るp進

体,HpをFpの

単

有 理 数 体 のp進

体 と

キ 乗 根 ζ お よ び1の べ て の η∈Hpは

η=

有 理 整 数 で あ っ て ζ の 位 数 を 法 と して 整 数 で あ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

有 限 巡 回 群 とt個 のZpと

の 直 積 に な る.こ

れ は 定 理1.53

に よ っ て 位 相 群 と して の直 積 分 解 で もあ る.   p進 体Fpの0で 理3.27か のmは

な い 元 全 体 の な す 乗 法 群 をFp×

ら指 数(Fp×:Fp×m)あ 元 のm乗

  例 題1 Fpが

単 数 群 で あ り,pがpで る と す る.さ N>e/(p−1)+aeで

る い はFp×/Fp×mの

全 体 の な す 群 を 示 す.)特 代 数 体Fの

ら にmを

とす る と き,自

然 数mに

つ い て定

構 造 が 容 易 に 定 め られ る.(右 上

に こ こに 考え た 指 数 は常 に 有 限 で あ る.

有 限 素 点pに

関 す るp進

わ り切 れ る 素 数 でFpに 任 意 の 自 然 数 と す る.こ あ る よ う に 自 然 数Nを

体,HpがFpの

お い て(p)=peと の と きmのp指

と れ ば,η

単位 な って い

数 をaと

≡1(modpN)で

し, ある

η∈Hpに

つ い て は η=η ′mと な る η′∈Hpが

存 在 す る.

  解   η≡1(modpN),N>e/(p−1)+aeな (modpN).従

っ てm−1logη

exp(m−1logη)が

のp指

存 在 し,η=η

  こ れ か らp進

ら ば 定 理3.25に

に η′=

′mと な る. 

代 数 体Fの1つ

(以 上)

の 有 限 素 点 をpと

の 代 数 的 拡 大 体Lは,FpにFに   証 明   L=Fp(θ)の

場 合 を い え ば よ い.θ

φ に 関 し て 完 備 で あ り,θ

よ りg(x)はFp[x]で

こ で 定 理3.13をg(x)お

よび

代 数 体Fの

数 的 閉 包Fpをp進

付

は φ の付値 環 〓

あ る 程 度 以 上 小 さ くな

既 約 で あ る と し て よ い.こ

θ∈〓 に 適 用 す れ ば,g(x)=0が〓

を も つ こ と が わ か る.(Fp(α):Fp)=rだ   定 理3.29 Fpが

既 約 方程 式

と れ ば,f(θ)=0, 

十 分 小 に で き る が,φ(g′(θ))は

た 定 理3.14に

任意

整 数 と し て よ い.Fpのp進

各 係 数 が 十 分 に 近 いg(x)∈F[x]を

か ら φ(g(θ))は

体Fpの

の 満 足 す るFp[x]の

つ い て,ciはp進

の 延 長 を φ と か く と,Lは

に 入 る.f(x)に

す る と き,p進

関 し て 代 数 的 な 元 を 添 加 し て 得 ら れ る.

f(x)=xr+c1xr−1+…+cr=0に

ら な い.ま

り大 き い.故

≡0

体 の 代 数 的 拡 大 体 の 性 質 を ま と め て み よ う.

  定 理3.28 

値 のLへ

数 はe/(p−1)よ

よ っ てlogη

内に根

か らFp(α)=L. 

有 限 素 点pに

(証 終)

関 す るp進

付 値 の 延 長 で 完 備 化 した 体 をF*と

α

体 の と き,Fpの

代

す れ ば,F*は

代数

的 閉 体 で あ る.   証 明   F*[x]の

既 約 単 多 項 式f(x)に

考 え た と き,定 Fp[x]で

理3.14に

既 約,従

十 分 近 いFp[x]の

よ りg(x)はF*[x]で

っ てg(x)は1次

単 多 項 式g(x)を

既 約 で あ る か ら もち ろ ん

で な け れ ば な ら ず,f(x)も1次

で あ る. (証 終)

  定 理3.28は

代 数 体Fの

っ き り と決 定 す る.す 体 で あ る.FpはFpの

素 イ デ ア ルpに

な わ ちFpの

よ るp進

無 限 次 拡 大 体 で あ る.そ

成 元 π の ベ キ 根 をFpに

体Fpの

代 数 的 閉 包FpはFの

代 数的 閉 包を きわ め ては 代 数 的 閉 包 とFpと

れ は た とえ ばFpの

添 加 して み れ ば わ か る よ うに,p進

の合 成

素 イ デ ア ルpの

付 値 のFpへ

生

の延 長 が 離

散 的 に な らな い か ら で あ る.   Fpは￨ 

￨pの 延 長に 関 して 完 備 に な ら な い.す

で あ る.そ

な わ ち 定 理3.29に

の事 情 を あ き らか に し よ う.FpとFpと

お い て実 際 に 

の 間に 体 の 列Fp=K0⊂K1

⊂K2⊂

…

を と り,Ki,(i≧1),はKi−1の

有 限 次 拡 大 体 で,∪Ki=Fpと

う に す る.￨  ￨pの 延 長 に 関 す るKiの

付 値 環 を〓iと

よ うに,〓i−1に

た 任 意 のi≧1に

関 す る 基 底 を も つ.ま

は 常 に1を

含 め て と れ る.こ

を 〓i−1の

〓0に 関 す る 基 底 を 含 む よ うに と れ る.さ

〓i−1の

の こ と か ら,〓iの

な って い る よ

す れ ば,〓iは3.4例 つ い て 〓iの

〓0に 関 す る 基 底

題3に

おけ る

〓i−1に 関 す る 基 底

ω1,…,ωni,(ω1=1),

らに そ の 際

ω1,…,ωni−1が ち ょ う ど

〓0に 関 す る 基 底 で あ る と し て さ しつ か え な い.￨ ￨pのFpへ

の延 長 の 付 値 環 を

〓 と す れ ば,〓

の 元 は あ るKiに,従

元 α は 

(γi∈ 〓0),の

〓 は 有 限 個 の γiだ け が0で こ とが わ か る.従 てFpの

って

〓iに 属 す か ら 〓=∪ 〓iで あ り,任

形 に 一 意 的 に あ ら わ さ れ る.こ

な い よ うな 和 

って 有 限 個 の γiだ け が0で

意 の 〓の

の こ と か ら 直 ち に,

(γi∈〓0),で か け る 元 全 体 か らな る な い よ うな 和 

(γi∈Fp),に

元 が す べ て 一 意 的 に あ らわ さ れ る こ と,す な わ ち ω1,ω2,… がFp/Fpの

よっ

ベ クト

ル 空 間 と して の 基 底 と な る こ と もわ か る. (γi∈〓0),と

 さ て 〓 の 元 α を  れ るKiの

イデアル

〓ipを や は りpと

(modpm)な

ら γi∈pmで

す べ て のiに

つ い て

α*は

〓 の 元 の列

あ ら わ し,Fpの

か く こ と に す る と,pの

な け れ ば な ら な い(3.4例

γi≡0(modpm)と

α1,α2,…

題4).す

λi(ν)は各 νに つ い て 有 限 個 を の ぞ い て0で

後 の 番 号iをNν′ Nν
っ て 任 意 の 自 然 数mに

が な り た つ.Nν

付値環

〓*の 元

αν+1−αν≡0(modpν)

によ

方 βν≡0(modpν)に

よ っ て λi(ν)≡0

≦Nν,(ν′ ≦ ν),と

のν に つ い て 

と な る最

な る よ うに 自 然 数Nν

あ る か ら λi≡0(modpν+1)と

を と れ ば, な る.従

つ いて

はlimNν=∞

と な る よ うに と っ て お く こ と が で き る か ら,α*は

す る無 限級 数に よって 

(λi∈〓0),と

あ ら わ さ れ る こ と に な る.α*∈

つ い て あ る 限 界 以 上 のNに

に つ い て λi≡0(modpm)の

つ い て は 

収 束 〓*を

な ら ば 任 意 のpの

この よ うな 級 数 で あ らわ す 方 法 が 一 意 的 で あ る こ とは,  キpmに

α≡0

(λi(ν)∈〓0),と お け ば,

あ り,一

あ る か ぎ り λi(0)=λi(1)=…=λi(ν)=0で

つ いて

αν と お け ば, 

が 存 在 す る.1つ

と か き,maxN′ν′

の際

生成 さ

α≡0(modpm)は

な る こ と と 同 等 で あ る.F*の

って α*は 収 束 す る 無 限 級 数 で あ らわ さ れ る. 

あ る か ら 

ベ キpmに なわ ち

の 極 限 と し て あ ら わ さ れ る.こ

と な っ て い る と し て さ し つ か え な い.β0=α1,βν=αν+1−

(modpν)で

素 イ デ ア ルpで

(modpm),従

得 られ る こ と か ら あ き らか で あ る.こ

ベ

っ て す べ て のi

れ でFpの

付 値環 〓

の元 は有 限個 の γiだけが0で ない よ うな級 数 

(γi∈ 〓0),で

あ ら わ さ れ,F*

の 付値 環 〓*の元 は実 際に 無限個 の項 の あ らわ れ る場 合 も含 めたす べ ての収 束す る無 限

級数 

(λi∈〓0),で

 以 上 の こ とか らFpは

あ ら わ さ れ る こ と が わ か っ た.

完 備 で な い.ま

時 に あ き らか に な っ て い る.す

な わ ちF*の

無 限 級 数 で 一 意 的 に あ らわ さ れ,こ どFpを

あ らわ す の で あ る.上

る よ うな 

Fpは

元 は 

近 傍 系 の 基 を な す.従

まで の こ と はFpの

な い もの全体 が ち ょ う の0の 近 傍 に 入

って 

〓0の 可 算 個 の 直 和 の 部 分 集 合 と み る と き,〓*の

たF*は

十 分 大 き いiに

や は りFpの

そ の 直 和 の 元 の うち 有 限 個 の 成 分 だ け が0で

い え る こ とで あ る.

(λi∈Fp),と い う収 束 す る

に み た とお りす べ て の λiが 同時 に1つ

常 の 直 積 空 間 の 部 分 空 間 よ り一 見 強 い が,λiは るか ら両 者 は 実 は 一 致 す る.ま

完 備 化 が どの よ うな もの で あ るか も 同

の うち 有 限 個 の 項 だ け が0で

の 全 体 が 〓*の0の

λi,…)を 対 応 さ せ て,〓*を

たFpの

代 数 的 閉 包 で な く て も,任

つ い て は0に

に(…,

位 相 は通 十 分 近 くな

可 算 個 の 直 和 の 部 分 空 間 で あ り,

な い も の 全 体 と な る(制 限 直 和) .今

意 の無限 次代 数的 拡大体 につ い て同様に

4. 

相

対

代

数

体

  4.1  本 章 の 内 容 に つ い て   代 数 体Fの

代 数 的 拡 大 体KをFの

上 の 相 対 代 数 体 と い う.(K:F),(F:Q)

は 本 書 で は 特 に こ とわ ら な い か ぎ り有 限 と す る.Kは が,KとFと

の 両 方 に 関 係 す る 性 質 を しら べ る の が 相 対 代 数 体 の 理 論 で あ る.

1つ の 代 数 体Kだ な され る.こ

  相 対 代 数 体K/Fに (K:F)=nな

け に 関 係 す る 性 質 は,K/Qと

の よ うなQ上

が あ る と きに は,特

K(n)と

そ れ 自身 代 数 体 で あ る

の相対 代 数 体 を一 般 の相 対代 数 体 と区別 す る必 要

に 絶 対 代 数 体 と よぶ. つ い て,体

らば,KはFの

か き,Kか

ま たK/Fが

い う相 対 代 数 体 の 性 質 と も み

らK(i)へ

の 次 数(K:F)をK/Fの 上 にn個

の 共 役 体 を もつ.そ

な ら ば 相 対 ア ー ベ ル 体 等 とい う.さ ら にKの

場 合 に は,相

れ ら をK(1),…,

の 共 役 写 像 を 

で あ らわ す.

ガ ロ ア拡 大 体 で あ る な らば 相 対 ガ ロア 体,ア

を 相 対 ノ ル ム,相

次 数 と い う.

対 跡 と よぶ.こ

元 α のK/Fに

れ ら の 用 語 はF=Qす

ーベ ル 拡 大 体 で あ る 関 す る ノ ル ム,跡 なわ ち絶 対代 数 体 の

対 で な く絶 対 とい う言 葉 を つ け て 使 用 す る.

  本 章 の 内 容 は 相 対 代 数 体 の 一般 的 基 礎 理 論 を 解 説 す る こ と で あ る.本 章 の 内 容 は 次 章 に うけ つ が れ て,さ

ら に くわ しい 理 論 に 発 展 す る.こ れ らの 理 論 を 立

て る に は,種

々 の 方 法 が 古 来 用 い られ,そ

で あ る が,本

書 は す べ て を 付 値 論 的 な 立 場 か ら統 一 して 記 述 す る.

  な お,本

れ ら が 入 り ま じ っ て し まい や す い の

書 で の べ て い る程 度 の 相 対 代 数 体 の 基 礎 理 論 は,大

体 にお い てデ デ

キ ン ト整 域 の 商 体 の 有 限 次 拡 大 の 理 論 に 他 な らな い こ と に 注 意 す べ き で あ る. 従 って,一

見 容 易 な 内 容 を もつ よ うに 見 え る 第3章

に お い て,代 数 体 特 有 の 現

象 とい うべ き もの が か な りあ らわ れ て い る の に 反 し,本 章 や 次 章 に お け る 相 対 代 数 体 の 理 論 に お い て は,代

数 体 自体 の 特 性 は 強 くあ らわ れ て こな い.相 対 代

数 体 と絶 対 代 数 体 と を 区別 して あ つ か う一 つ の 理 由 が そ れ で 理 解 され る で あ ろ う.

  4.2  相 対 代 数 体 の イ デ ア ル   K/Fを

相 対 代 数 体,aをFの(分

で 生 成 され るKの

数)イ デ ア ル とす る.こ の と きaの

イ デ ア ル,す

な わ ちaを

含 むKの(分

集 合 と して 最 小 の も の を 〓Kaで あ らわ す.〓KはKの つ の イ デ ア ルa,bに Fの

つ い て 

イ デ ア ル 群 か らKの

数)イ デ ア ル の うち

整 数 環 で あ る.Fの2

が な りた つ か ら,〓 → 〓Kaに よ っ て

イ デ ア ル 群 の 中 へ の 準 同 型 写 像 が あ た え られ る.こ

れ が 同 型 写 像 で あ る こ と を 示 せ ばFの よ り,自 然 にKの

元 全体

イ デ ア ルaは

〓Kaと 同 一 視 す る こ と に

中 に 入 れ て 考 え られ る こ と な る.そ

のた め には 次 の定 理 を

証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   定 理4.1 

K/Fを

相 対 代 数 体,aをFの

れ ば,〓Ka∩F=aで

イ デ ア ル,〓KをKの

整 数 環 とす

あ る.

  証 明   〓Ka∩F⊂aを

いえ ば よ い.Kの

(α∈a),の 最 小 値 をmと

素 イ デ ア ルBに

す れ ば,〓Kaの

つ い てB指

数ordBα,

元 は 

の

形 で あ る か らordBα′ ≧m. 

(証終)

  わ れ わ れ は 今 後 もは や 〓Kaの よ うな 記 号 は 用 い ず,ど 令 に も イ デ ア ル は 同 じ文 字 で あ らわ す.イ

の体 に おい て考 え る場

デ ア ル の 積 お よび 包 含 関 係 は,イ

ア ル を どの 体 に お い て 考 え る か とい う こ と に は 無 関 係 で あ る.ま た2つ ア ル の 最 大 公 約 イ デ ア ル,最

デ

の イデ

小 公 倍 イ デ ア ル も体 に 無 関 係 に 定 ま る もの で あ

る.   これ か ら イ デ ア ル の 相 対 ノ ル ム とい う概 念 に つ い て 説 明 す る.K/Fが 代 数 体 の と き,Kの で わ り切 れ るFの

素 イ デ ア ルBに 素 イ デ ア ルpが

と す れ ば,〓K/B,〓F/pは れ をBのK/Fに

つ い てB∩F=pと

す る こ と に よ り,B

た だ1つ 定 ま る.〓K,〓FをK,Fの

共 に 有 限 体 で あ り,次 数(〓K/B:〓F/p)が

関 す る 相 対 次 数 ま た は 次 数 とい う.Fの

相対

整数 環 定 ま る.こ

素 イ デ ア ルpをK

の イ デ ア ル と考 え て 素 ベ キ 分 解 した も の をp=B1e1…Brerと

す る と き,eiをBi

のK/Fに

素 イ デ ア ル はK/F

関 す る 分 岐 指 数 とい い,ei>1で

に 関 して 分 岐 す る とい う.す な わ ちKの

あ る よ うなKの

素 イ デ ア ルBがK/Fで

分 岐す る と

い うの は,Bの

わ り切 るFの

pを わ り切 るBの

素 イ デ ア ルpがB2で

最 高 ベ キ の 指 数 がBの

わ り切 れ る こ と で あ り,

分 岐 指 数 で あ る.分 岐 しな い 素 イ デ

ア ル を 不 分 岐 で あ る と い う.   相 対 次 数 を用 い て イ デ ア ル の 相 対 ノ ル ム を 次 の よ うに 定 義 す る.UをKの (分 数)イ デ ア ル,U=ПBiaiを 次 数 をfi,Bi∩ のK/Fに

そ の 素 ベ キ 分 解 と し,BiのK/Fに

〓F=piと す る と き,NK/FU=Пpifiaiと

関 す る 相 対 ノ ル ム とい うの で あ る.piの

て よい の で あ るか ら,Пpifiaiは 義 か ら 直 ち に,Kの2つ を 得 る.ま たF=Qの でNUは

中 に は 同 じ もの が あ らわ れ

場 合 に は,や

素 ベ キ 分 解 で は な い.定

つ い てNK/FUB=NK/FU・NK/FB

は り定 義 か らNK/QU=NUを

剰 余 類 の 個 数 に よ る ノル ム で あ る.さ

に あ る体 をK1と

お い て,NK/FUをU

必 ず し もNK/FUの

の イ デ ア ルU,Bに

関 す る相 対

し た と き に,K1の

得 る.こ

ら にK⊃K1⊃Fと

整 数 環 を〓K1,B∩K1=B1と

こ

い う関 係 す れ ば,

 で あ る か ら,NK1/F(NK/K1U)= NK/FUが

得 られ る.

  K/Fを

相 対 代 数 体,UをKの

す る共 役 体K(i)へ デ ア ルU(i)が

イ デ ア ル とす る と き,Kか

の 共 役 写 像 に よ っ てUの

で き る.こ

れ をUの(相

の 素 イ デ ア ル な らばU(i)=B(i)もK(i)の

らKのFに

関

元 を す べ て うつ せ ば,K(i)の

イ

対)共 役 イ デ ア ル とい う.U=BがK 素 イ デ ア ル で あ る.相 対 ノル ム の 重

要 な 性 質 は そ れ が 数 の 場 合 と 同 様 に や は り共 役 積 と して の 意 味 を もつ こ とで あ る.そ れ を 示 す た め に,し

ば ら く付 値 論 的 考 察 へ 移 行 す る.

  有 理 数 体Qの

よ る 完 備 化 をQpと

素 点pに

す る と き,Qpの

を 局 所 体 ま た は 局 所 数 体 と い う.局 所 体 に は 常 にQpの え る もの とす る.pが

無 限 素 点p∞

素 点 な らば 定 理3.28に るp進

体Fpで

と な るFは

あ る.し

付値 の 延 長を 入れ て考

な ら局 所 体 はRかCで

よ っ て 局 所 数 体 は あ る 代 数 体Fの か し,こ の 場 合 局 所 体Lが

一 意 的 に 定 ま るわ け で は な く,Lを

と して あ つ か う必 要 は な い.そ

有 限 次拡 大体

あ り,pが

有限

素 イ デ ア ルpに

あ た えられ て も,L=Fp

必 ず し も あ る代 数 体 のp進

れ は ち ょ うどRやCを

よ

体

必 ず し も常 に 代 数 体

の 無 限 素 点 に よる 完 備 化 と して と りあ つ か う必 要 が な い の と 同 じで あ る.

  今 後 特 に こ と わ らな い か ぎ り,局 所 体 と い え ば,非

ア ル キ メ デ ス 付 値 を もつ

局 所 体 す な わ ち 有 理 数 体 の 素 数pに

の局 所 体 を さす も の とす

る.こ

の よ うな 局 所 体Fに

ル を,そ

れ ぞ れFの

よるp進

体Qp上

つ い て は,p進

整 数 環,素

付 値 の 延 長 の 付 値 環,付

イ デ ア ル と い う.こ

p進 体 と み た と きの 定 義 と 一 致 す る.局 所 体Fpと pがFpの

代数 体 の

い う書 き方 を す る と き に は,

素 イ デ ア ル で あ る とい う意 味 が 含 まれ,場

あ る 代 数 体Fのpに

の 定 義 はFを

値イデア

合 に よ っ て は またFpが

よ る 完 備 化 で あ る と い う意 味 が 含 まれ る も の とす る.局

所 体 の イ デ ア ル とい う言 葉 はp進 体 と同 じ意 味,す

なわ ち整 数環 の分 数 イ デ ア

ル と い う意 味 で 用 い る.局 所 体 の イ デ ア ル は 素 イ デ ア ル の ベ キ で あ る.   局 所 体 の 有 限 次 拡 大K/Fを

相 対 局 所 体 と い い,(K:F)を

数 とい う.相 対 局 所 体KB/Fpと KB,Fpの

れ る も の と す る.相 Fの

い う書 き 方 を した と きに は,B,pが

素 イ デ ア ル で あ る とい う意 味 が 含 ま れ,ま

が あ る相 対 代 数 体K/Fか

  相 対 局 所 体K/Fが る 相 対 次 数f,お

らB,pに

た 場 合 に よ っ て はKB/Fp

お い て は,代

数 体 の と き と 同 様 に して,

イ デ ア ル とみ なす こ とが で き る. あ た え られ た と き,Kの よびK/Fの,あ

素 イ デ ア ルBのK/Fに

る い はBのK/Fに

全 分 岐 で あ る とい う.K/Fの

素 イ デ ア ルBの

局 所 体KB/Fpで

の付 値

岐 指 数 が1の

とき

岐 指 数 が 体 の 拡 大 の 次 数 に等 しい と き 完

分 岐 指 数 がeな

の イ デ ア ル とみ た と き,p=Beが Kの

よびKの1つ

の 値 群 の 間 の 指 数 と して 定 義 す る.分

相 対 局 所 体 は 不 分 岐 で あ る とい い,分

関す

関 す る 分 岐 指 数eを

そ れ ぞ れ 整 数 環 の 素 イ デ ア ル に よ る剰 余 体 間 の 次 数,お に 関 す るKとFと

それ ぞ れ

よ る 完 備 化 で 得 られ る と い う意 味 が 含 ま

対 局 所 体K/Fに

イ デ ア ル はKの

相対 局 所体 の 次

な りた つ.ま

ら ば,Fの た,相

素 イ デ ア ルpをK

対 代 数 体K/Fに

お いて

相 対 次 数 と分 岐 指 数 は 前 に 定 義 され た が,こ れ ら は 相 対

定 め た も の と 一 致 す る.

  定 理4.2 KB/Fpが 対 次 数 を そ れ ぞ れe,fと

相 対 局 所 体 の と き,BのKB/Fpに し,KB,Fpの

〓B/pの 〓p/p上 の 次 元 はefに

等 しい.ま

関 す る分 岐 指 数,相

整 数 環 を そ れ ぞ れ〓B,〓pと す る と き, た〓Bの

〓B/pの 類 が 〓p/pに関 して1次 独 立 な らば,ω1,…

元 ω1,…,ωefの 代 表 す る ωefは

〓Bの

〓pに 関 す る 基

底 と な る.   証 明   〓B/Bの す るKBの

〓p/pに 関 す る 基 底 を 代 表 す る 〓Bの 元 をλ1,…,λf,Bを

元 をП

か け ば,γiの

と し,λiПj,(1≦i≦f,0≦j<e),の

代 表 す る 〓B/pの 元 は〓p/pに

全 体 を γ1,…,γefと

関 す る 

の 基 底 と な る.

次 に 定 理 に い う よ うな ω1,…,ωt,(t=ef),を

と っ た と き 

と な れ ば,αiは

部0で

はpで て

す べ て〓pか

ら と れ る が,全

関 して も1次

考 え て 矛 盾 を 生 じ る.従

独 立 で あ る.一

α ≡ α1(0)ω1+…+αt(0)ωt(modp)と

な る αi(0)∈〓pが 存 在 す る.p=(π)と だ か ら,α(1)≡

な る

αi(1)∈〓pが

(αt(0)+αt(1)π)ωt(modp2)が

存 在 し,α

な り た つ.以

〓pの 元 αiに 収 束 し, 

 

係 数 はm→

∞ の とき

とな る. 

(証終)

す れ ば,(KB:Fp)=efで

この 系 か ら ま ず,相 対 局 所 体KB/Fpに

関 す る ノ ル ム をNKB/FpBa=pfaと 味 を も つ こ とが わ か る.す

α1(1)ω1+…

下 同 じ こ と を く り か え せ ば, 

相 対 局 所 体 で あ る と き,BのKB/Fpに

次 数 を そ れ ぞ れe,fと

な

≡(α1(0)+α1(1)π)ω1+…+

と い う式 が 得 られ,ωiの

  系   KB/Fpが

っ

方 任 意 の α ∈ 〓Bに つ い て

る π∈ 〓pを と れ ば,  +αt(1)ωt(modp)と

(αi∈Fp),

な い か ぎ り 少 な く と も1つ

わ り 切 れ な い よ うに と れ る か ら,modpで

ω1,…,ωtはFpに

生成

関 す る 分 岐 指 数,相

対

あ る. つ い て,Bの

ベ キBaのKB/Fpに

して 定 め た と き,そ

れ が 共 役 積 と して の 意

な わ ち 相 対 局 所 体 に つ い て も相 対 代 数 体 に お け る と

同 様 に 共 役 イ デ ア ル を 定 義 す れ ば,す

べ て の 共 役 イ デ ア ル は あ る拡 大 体 で 一 致

す る か ら,イ デ ア ル の ノ ル ム は 共 役 イ デ ア ル の 積 に 等 しい.   な お,定 理4.2に

おい て 〓Bの〓pに 関 す る基 底が 存在 す る ことは,3.4例

題3と 同

じよ うに して簡 単に いえ るこ とで あ るが,定 理 はそれ よ りくわ しい こ とをい ってい る.   K/Fが はFの

相 対 代 数 体 の と き,Kの 素 点pを

に あ るKの とは,素

素 点Bを

定 め る 付 値 が,Fの

定 め る 付 値 で あ る とき,Bはpの

素 点 は 有 限 個 で あ り,pが

イ デ ア ル を 考 え た と きBがpを

元 につ い て

上 に あ る と い う.pの

有 限 素 点 の と き は,Bがpの

上

上にある

わ り切 る こ と で あ る.相 対 次 数,分

岐 指 数 と い う言 葉 は 素 イ デ ア ル の も の を そ の ま ま有 限 素 点 に つ い て 使 用 す る.   定 理4.3  Kの

K/Fが

相 対 代 数 体,pがFの

素 点 で あ る と き,KのBiに

れKi,Fpと

す れ ば.Kの

素 点,B1,…,Brがpの

よ る 完 備 化,Fのpに

上にある

よ る完 備 化 を そ れ ぞ

任 意 の 元 α に つ い て 

が な り た つ.

  証 明   K  FFpのFpに のK 

Fp/Fpに

方Ki/Fpの

関 す る基 底 はK/Fの

基 底 と 同 じに とれ る か ら,α

関 す る ノ ル ム,跡 は α のK/Fに

関 す る そ れ らに 等 しい.一

基 底 に よ っ て α を 正 則 表 現 して 得 られ るFpの

とす れ ば,定

理3.17に

よ っ て α のK 

Fp/Fpに

てAi(α)を

対 角 型 に な らべ た も の が とれ る.こ

上 の 行 列 をAi(α)

関 す る 正 則 表 現 の1つ

とし

れ か ら直 ち に 本 定 理 が 得 られ

る. 

(証終)

  定 理4.4 

K/Fがn次

の上 に あ るKの

の 相 対 代 数 体,pがFの

素 点 で あ る と き,BiのK/Fに

そ れ ぞ れei,fiと

す れ ば, 

  証 明   定 理4.2系,定

有 限 素 点,B1,…,Brがp 関 す る 分 岐 指 数,相 対 次 数 を

が な りた つ.

理4.3か

ら直 ち に 得 られ る. 

(証終)

  相 対 代 数 体 に 関 す る イ デ ア ル の 相 対 ノル ム と共 役 積 との 関 係 は,以 上 の 結 果 を 使 え ば 次 の よ うに 簡 単 に み ち び き 出 され る.   定 理4.5  UのFに

K/Fがn次

イ デ ア ル,U(1),…,U(n)が

関 す る共 役 イ デ ア ル な ら ば,NK/FU=U(1)…U(n)で

はKのFに

あ る .但

し,積

関 す る 共 役 体 を す べ て 含 む 代 数 体 の 中 で 考 え る もの とす る .

  証 明   U=Bを イ デ ア ル をpと

素 イ デ ア ル と し て 証 明 す れ ば よ い.Bで し,pを

ぞ れ の 分 岐 指 数,相 … ,r),と

の 相 対 代 数 体,UがKの

な るKの

わ り切 るKの

対 次 数 をei,fiと

お い て,pを

っ た と き,ordDB(1)…B(n)≦ordDpf1.従 様 にpfiがBi(1)…Bi(n)で

素

,Br,そ

れ

す れ ば,ordB1α=1,ordBiα=0,(i=2 理4.2系,定

あ る.B(1)…B(n)はNK/Fα

体 を す べ て 含 む 代 数 体Lに

で わ り切 れ る.同

素 イ デ ア ル をB=B1,B2,…

整 数 α を と る こ と に よ り,定

い てordpNK/Fα=f1で

わ り切 れ るFの

を含 む か ら

理4.3を ,K/Fの

わ り切 る 素 イ デ ア ルDを っ てpf1はLに わ り切 れ る.

, 用 共役 任意に と

お い てB(1)…B(n)

  こ こ でp=B1e1…Brerの Br(n))erで

共 役 積 を つ く れ ばpn=B1(1)…B1(n))e1…(Br(1)…

あ る が,前

定 理 に よ っ てpn=(pf1)e1…(pfr)erで

果 と あ わ せ てpfi=Bi(1)…Bi(n),(i=1,…,r),従

あ る か ら,上

っ て 特 にpf=B(1)…B(n)で

な け れ ば な ら な い.    例 題1 

K/Fが

(証 終)

相 対 代 数 体,(α)が

ル な ら ば,NK/F(α)=(NK/Fα)で   解   定 理4.5お

の結

α ∈Kに

よ っ て 生 成 され る 単 項 イ デ ア

あ る.

よ び 数 の ノ ル ム が 共 役 積 に な る こ と か ら あ き ら か で あ る. (以 上)

  例 題2  るKの

K/Fを

相 対 代 数 体,pをFの

素 点 と し,〓p,〓Biを

有 限 素 点,B1,…,Brをpの

れ ば, 

そ れ ぞ れp進 で あ る.こ

体Fp,Bi進

上にあ

体KBiの

整 数 環 とす

こ に 〓K,〓Fは そ れ ぞ れK,Fの

整数

環 で あ る.   解   K 

FpにFpの

直 積 位 相 を 入 れ て 位 相 ベ ク トル 空 間 に す る と,Kは  に よ っ てK Fpの

はFのp進

位 相 の 直 積 位 相 で,〓Kに

し た 位 相 に な る.K Fpの ま た は3.4例 2.22に

部 分 位 相 体 と な り,Kに

題9の

ベ キ を0の

近 傍系 の基 と

中 で 〓Kの 完 備 化 〓Kを 考 え る と,ま

考 え 方 に よ っ て 

よ っ て 

limai=a∈

お い て はpの

一方

入 る位相

ず 定 理3.17

で あ る か ら定 理 〓K 〓pは 完 備 で あ り 〓Kを 含 む が,

〓p,(ai∈ 〓F),な ら α ∈ 〓Kに つ い て 

で あ る か ら 

と な り 

従 っ て 

であ

る. 

(以 上)

  相 対 代 数 体 に お い て は,絶 一 般 に 存 在 し な い .少

対 代 数 体 の と き の よ うな 整 数 の 基 底 と い う も の は

し 横 道 に そ れ る が,そ

れ に 関 連 し た1つ

の定理 をのべ よ

う.   定 理4.6 

K/Fをn次

の 相 対 代 数 体,〓KをKの

と な る よ う なFの   証 明   K/Fの

イ デ ア ルaiお

基 底 β1,…,βnを

と で 生 成 さ れ る 加 群Miに

整 数 環 と す れ ば,  よ び γi∈Kが

と る.a∈Fでaβiが

存 在 す る.

〓Kと 

属 す も の 全 体 の 集 合 をai,(i=1,2,…,n),と

す る.

た だ しM1は〓Kを

意 味 す る も の と す る.Fの

す な わ ちaiはFの〓F部  

Kの

元

整 数 環 を〓Fと

分 加 群 で あ る.

α を α=x1β1+…+xnβn,(xi∈F),の

る 共 役 

形 に か く と き,K/Fに

を と れ ば,定

だ か らxiは 

理1.47に

の 形 に あ ら わ さ れ る.こ

け に よ っ て 定 ま る 数 で あ る.故 ばxiが

にFの

整 イ デ ア ルbを

整 数 で あ る よ う に で き る.従

っ て あ るb∈〓Fを

が な り た ち,aiの

⊂Miに

あ っ た か ら 

上 に よ っ てaiはFの

 ai−1の 元 とMiの

こ でBijは

適 当 に 定 め,b￨α と れ ば 

分 数 イ デ ア ル で あ る.

の

と を とる

γiに 対 し て 

定 義 に よ り 

が な り

で あ り,一

独 立 な こ と か ら γ1,…,γnもFに

方 β1,…,βnがFに

関 し て1次

α=x1γ1+…+xnγn,(xi∈F),の

を い え ば よ い.ま

か け ば,aiβi

あ る が,ai−1Miはai−1〓Kと 

す る.こ

た つ こ と を 示 そ う.γiの

と は 任 意 の α ∈〓Kを

な ら

と な る よ う な 

こ と が で き る.β1=γ1と

独 立 で あ る.故

にあ

形 に か い た と き,xi∈ai

ず 

で あ る か ら 

と な り,anの

定 義 か らxn∈an.次

つ い て,xn∈an,…,xi+1∈ai+1で

あ れ ばxi∈aiで

に1≦i
だ か ら,  が す べ て  xi∈aiと

β1,…,βnだ

で な け れ ば な ら ず, 

で 生 成 さ れ る か ら, 

のiに

よ っ て 

元 と の 積 全 体 で 生 成 さ れ る 加 群 をai−1Miと

よ っ て βi∈ai−1Miで

関 し て1次

関す

定 義 よ り 

と な る.〓i⊂Fで が 得 ら れ る.以

す れ ば 

に 属 す こ と を 用 い て 

な る か ら で あ る.こ

れ で す べ て のiに

な る任 意 ぜ な ら  お よ び βi− γi

が 知 ら れ,従

つ い てxi∈aiが

って

な りた つ こ と

に な る. 

(証 終)

 これ で 

す な わ ち〓KがFの

れ た.2.5例

題3を

用 い れ ば,上

aはFの1つ

の イ デ ア ル 類 を 定 め る.

  局 所 体 の 理 論 は,す

イ デ ア ル の 直 和 と〓F同 型 な こ とが 示 さ

の 式 の 右 辺 は さ ら に 

の 形 に 変 形 で き,

で に 相 対 ノ ル ム に 対 し て そ う で あ っ た よ う に,代

数体 の

理 論 に しば しば 有 効 に 応 用 さ れ る.代

数 体 の 諸 性 質 を そ れ に 対 応 す るp進 体 の

性 質 に うつ して 考 え る こ とを 一 般 に 局 所 化 あ る い は 局 所 的 考 察 と い う.p進

体

自 身 を 代 数 体 の 局 所 化 と よぶ こ と もあ る.局 所 化 の 方 法 を 用 い て 構 成 され て い る 理 論,あ

る い は 局 所 体 自身 の 理 論 を 一 般 に 局 所 理 論 とい う.

 これ に反 して,代 数体 の理 論で あ って局 所 化で きない もの,ま た は局 所化 され た形 で の べ られ てい ない もの,あ るいは,局 所 化 され た 形に はな ってい て も,各 素 点 に関す る 性 質 が すべ て互 いに 関係 を もつ ものを大 局理 論 とい う.定 理4.6の

よ うに イデ アル類 に

関 係 す る ものは,局 所 理論 には 帰着 させ られ な いの で大局理 論で あ る.

  4.3  相 対 ガ ロ ア 体   代 数 体 の 素 イ デ ア ル が 拡 大 体 に お い て 分 解 さ れ る 様 子 を 研 究 す る1つ の 手 段 と して,特

に 相 対 ガ ロ ア 体 の 場 合 に ヒ ル ベ ル ト(Hilbert)の 理 論 が あ る.そ

を こ こで 説 明 す る.以

下 この 節 に お い て 特 に こ とわ ら な い か ぎ りK/Fは1つ

の 相 対 ガ ロ ア体,Gは

そ の ガ ロ ア群 を あ らわ し,(K:F)=nで

相 対 ガ ロ ア 体K/Fに ルBを1つ

お い て は,Fの

とれ ば,Bの

る か ら,BのK/Fに 従 っ てpの

因 子 と な るKの

にpはKに く,そ

ら にBの

つ い てBσe￨pで

お い て 

K/Fの

共 役 の 全 体 で あ る.ま たBe￨p

あ る か ら,Bの

どの共役 の 分岐 指 数 も

の 形 に 分 解 さ れ,Biの な る.今Kの1つ

全 体 はGの

部 分 体 をBの

に つ い て 

部 分 群Zを

対 応 す るK/Fの

分 解 体 とい う.ま

部 分 体 をBの

全 体 の な す 群VmをBの

部 分 体 をBの

第m分

岐 体 と い う. 

次数 は すべ て等 し

の 素 イ デ ア ルBを

れ をBの

たKの

分 解 群,Z

す べ ての 整数 α

全 体 の な す 群TをBの

惰 性 体,  第m分

とる

元 σ,す な わ ちBσ=B

な す.こ

で あ る よ う な σ∈Zの

る よ うな σ∈Zの

形 の イ デ アル であ で あ る.

集 合 と して そ れ 自身 に うつ す よ うなGの

に 対 応 す るK/Fの

素 イデ ア

共 役 が す べ て 同 じ次 数 を もつ こ と も あ き らか で あ る.故

で あ る よ うな σ∈Gの

性 群,Tに

わ り切 るKの

す れ ば, 

素 イ デ ア ル はBの

れ をfと す れ ばn=efgと

と き,Bを

あ る とす る.

共 役 イ デ ア ル はBσ,(σ ∈G),の

関 す る 次 数 をfと

な らば 任 意 の σ∈Gに 等 しい.さ

素 イ デ ア ルpを

れ

惰 であ

岐 群,Vmに

対応 す る であっ

て,T以

下 の 群 はZの

正 規 部 分 群 で あ る.ま

群 が 上 の とお りの 列 を な し て い る とす れ ば,Bσ

たBの

分 解 群,惰

性 群,分

岐

の そ れ らは 

とな る こ と も定 義 か ら容 易 に 知 られ る.  定 理4.7  群Zの

K/Fが

位 数 はBの

  証 明  K/Fの

相 対 ガ ロ ア 体,BがKの

素 イ デ ア ル な らば,Bの

分 岐 指 数eと 相 対 次 数fと

の 積efに

ガ ロ ア群 をGと

あ る か ら￨Z￨=efで

 定 理4.8 

相 対 ガ ロ ア体,K′

K/Fが

の ガ ロ ア 群 をG′ そ れ ぞ れZ,Z′

と し,Kの

等 しい.

す れ ば,g=(G:Z)はBの

で あ る.efg=￨G￨で

異 な る共役 の数

あ る.  がK/Fの

(証終) 部 分 体 で あ る と き,K/K′

素 イ デ ア ルBのK/F,K/K′

とす れ ば,Z′=G′

∩Zで

に 関 す る分 解 群 を

あ る.

 証 明  定 義 か ら あ き らか で あ る.   定 理4.9  KZの

K/Fが

(証終)

相 対 ガ ロ ア体 の と き,Kの

素 イ デ ア ルBがBの

素 イ デ ア ルp′ を わ り切 る と す れ ば,p′

り,p′ のKZ/Fに

はKZ/Fに

分解 体

関 して 不 分 岐 で あ

関 す る次 数 は1で あ る.

 証 明  相 対 ガ ロ ア体K/KZにお に よ っ てK/KZの

い てBの

ガ ロア 群 す な わ ちBの

よ っ てBのK/KZに に 等 しい.従

分 解 群 を 考 え る と,そ れ は 前 定 理 分 解 群 と一 致 す る.故

関 す る分 岐 指 数 と次 数 との 積 はK/Fに

っ てp′ のKZ/Fに

関 す る 分 岐 指 数,次

に 定 理4.7に

関 す る同様 な積

数 は 共 に1で

なけ れ ば な

ら な い. 

(証終)

 定 理4.10  たK′

K/Fが

がK/Fの

相 対 ガ ロ ア体,BがKの

部 分 体 で あ り,BはK′

る.こ の と き,も はBの

分解

しp′ のK′/Fに

分 解 体KZに

素 イ デ ア ル で あ る とす る.ま の 素 イ デ ア ルp′ を わ り切 る とす

関 す る 分 岐 指 数,次

とす れ ば,定

理4.7か

らZ′ とZの

らば,K′

含 まれ る.

 証 明  K/K′ の ガ ロ ア 群 をG′,BのK/F,K/K′ れZ,Z′

数 が 共 に1な

理4.8に

よっ てZ′=G′

位 数 は 等 し く,従

に関 す る分 解群 を それ ぞ ∩Zで

ってZ=Z′.故

と な り,こ れ か らKZ⊃K′

を 得 る. 

 定 理4.11 

共 に 相 対 ガ ロア 体 で,K⊃K′

K/F,K′/Fが

あ る が,仮 にZ=G′

定 お よび 定 ∩Z,Z⊂G′ (証終)

で あ る とす る.こ

の

と きKの

素 イ デ ア ルBを

ぞ れp′,pと をZ′

と り,Bで

し,BのK/Fに

とす れ ば,Z′

関 す る分 解 群 をZ,p′

はK/Fの

準 的 準 同 型 写 像 に よ るZの  証 明  Zの

わ り切 れ るK′,Fの

元 σ をK′

ガ ロ ア群Gか

のK′/Fに

らK′/Fの

関 す る分 解 群

ガ ロ ア群G′ へ の 標

像 に な っ て い る. に 制 限 し て 得 ら れ るG′

p′ σ′=p′とい う性 質 を も つ か らZ′ に 属 す.逆 像 でBを

素 イデ アル をそれ

の 元 σ′は,あ

き らか に

にZ′ の 元 σ′はK/Fの

共 役写

う ごか さ な い もの に 延 長 さ れ る. 

(証終)

 以 上 の 定 理 に よ っ て 分 解 群 の 主 要 な性 質 が し らべ られ た.次

に惰 性 群 につい

て 考え る.  定 理4.12  切 れ るFの

K/Fが

相 対 ガ ロ ア体,BがKの

素 イ デ ア ル な らば,Bの

い て 

原 始 根 ρ を と り,f(x)=Π(x−ρ

式 を 考 え れ ば,こ れ はBの

分 解 体KZの

す べ ての 整数 α につ

よ りKZの

σ),(σ∈Z),と

整 数 を 係 数 とす る が,Bの

素 イ デ ア ル をp′ とす れ ば 定 理4.9に

2.24に

よ りNp′=Npで

わ り切 る

で あ る.従

とな る.  のZの

い う多 項

あ るか ら,定 理

任 意 の 整 数 α に つ い て 

  か1つ

分 解 群ZはKの

わり

とな る 元 φ を 含 む.

 証 明  modBの

KZの

素 イ デ ア ル,pがBで

で あ る か ら,ど れ

元 φ に つ い て 

と な ら な け れ ば な ら な い.K

の 任 意 の 整 数 は ρ の 適 当 な べ キ とmodBで

合 同 だ か ら,こ れ で 定 理 は 証 明 さ

れ た. (証

終)

 相 対 ガ ロ ア 体K/Fに 切 れ るFの Kの た.こ

って

お い てKの1つ

素 イ デ ア ル をpと

す れ ば,こ

す べ て の 整 数 をmodBでNp乗 の φ をBのK/Fに

の 素 イ デ ア ルBを

と り,Bで

の 定 理 に よ っ てBの

分 解 群Zは

す る よ うな 元 φ を 含 む こ と が わ か っ

関 す る フ ロベ ニ ウ ス(Frobenius)置

つ の フ ロベ ニ ウ ス 置 換 φ,φ′ が あ れ ば,φ φ′−1はBの た φ がBの

フロ ベ ニ ウス 置 換 な らばK/Fの

σ−1φ σ はBσ

の フ ロベ ニ ウ ス置 換 と な る.Kお

環 を そ れ ぞ れ〓K,〓Zと し,Bの

わ り

わ り切 るKZの

換 とい う.2

惰 性 群Tに

属 す.ま

ガ ロ ア群 の 任 意 の 元 σ に 対 し よ びBの

分 解 体KZの

整数

素 イ デ ア ル をp′ とす れ ば,

〓Z/p′はq=Np′=Np個

の 元 か ら な る 有 限 体 で あ り,〓K/Bはqf=NB個

か らな る 有 限 体 で あ る.こ こ ろ で 定 理1.46で

こにfはBのK/Fに

み た とお り,q個

次 の 巡 回 拡 大 体 で,そ

関 す る 次 数 を あ らわ す.と

の 元 か ら な る 有 限 体 のf次

元 は〓K/Bの〓Z/p′

定 理4.12はZの

元 に よ っ て〓K/Bの〓Z/p′

ひ き お こ さ れ る こ と を 示 し て い る.し の で あ る か ら,結 局Z/Tは

位 数fの

と が わ か った.eはBのK/Fに

解 群,惰

か も単 位 元 を ひ き お こす の はTの

群 であ る こ

って 特 に 素 イ デ それ

上 に よ っ て ま ず 次 の 定 理 を 得 る.

相 対 ガ ロ ア 体 で,BがKの

位 数eの

位 数eの

元な

フ ロベ ニ ウ ス 置 換 は 一 意 的 に 定 ま り,Zは

性 群 を そ れ ぞ れZ,Tと

と す れ ば,Tは

に 関 す る ガ ロ ア群 の 元 が す べ て

巡 回 群 で あ り,Tは

に よ っ て 生 成 さ れ る 巡 回 群 で あ る.以 K/Fが

に 関 す る ガ ロア 群 の 元 を ひ き お こす が,

関 す る 分 岐 指 数 で あ る.従

不 分 岐 な ら ば,Bの

  定 理4.13 

の 拡 大 体 はf

の ガ ロ ア 群 は 各 元 を そ のq乗 に うつ す 写 像 に よ っ て 生 成

さ れ る.一 方Zの

ア ルBが

の元

し,Bの

素 イ デ ア ル の と き,Bの

分

分 岐 指 数,相 対 次 数 を そ れ ぞ れe,f

群 で あ り,Z/Tは

位 数fの

巡 回 群 で あ る.

 さ ら に い くつ か の 定 理 を 証 明 し よ う.   定 理4.14 

K/Fが

の ガ ロ ア群 をG′ そ れ ぞ れT,T′

相 対 ガ ロ ア 体,K′

と し,Kの

がK/Fの

部 分 体 で あ る と き,K/K′

素 イ デ ア ルBのK/F,K/K′

とす れ ば,T′=G′

∩Tで

に 関 す る惰 性 群 を

あ る.

  証 明  定 義 か らあ き ら か で あ る.   定 理4.15 

K/Fが

岐 指 数 をe,Bの KT,KZの

(証終)

相 対 ガ ロ ア 体 でBがKの

分 解 体,惰

素 イ デ ア ル の と き,Bの

性 体 を そ れ ぞ れKZ,KTと

わ り切 れ る

素 イ デ ア ル を そ れ ぞ れB′,p′ とす れ ば,Be=B′,B′=p′

  証 明 BのK/KTに

関 す る 惰 性 群 は 前 定 理 に よ りK/KTの

す る か ら,定 理4.13に

よ っ てBのK/KTに

故 にBe=B′

た この こ とか らB′ はKT/KZに

のK/KTに

し,Bで

で あ る.ま

関 す る 次 数 は1と

に 関 す る 次 数 はfと

な る.故

な る が,定

B′=p′ で な け れ ば な らな い. 

理4.13に

で あ る.

ガ ロ ア 群 と一 致

関 す る分 岐 指 数 はeに

に 定 理4.9を

分

等 しい.

関 して 分 岐 せ ず,B 用 い れ ばB′

よ っ て(KT:KZ)=fで

のKT/KZ あ るか ら (証終)

  定 理4.16 

K/Fが

相 対 ガ ロ ア体,BがKの

たK′

がK/Fの

る.こ

の と き も しp′ のK′/Fに

体KTに

定 理4.14に

の 素 イ デ ア ルp′ を わ り切 る とす

関 す る 分 岐 指 数 が1な

の ガ ロ ア 群 をG′,BのK/Fに よ りT′=G′

と きKの

∩Tで

K/F,K′/Fが

はBの

関 す る惰 性 群 をTと

あ る.一 方 仮 定 お よび 定 理4.13に

惰性

と り,Bで

し,BのK/Fに

とす れ ば,T′

はK/Fの

標 準 的 準 同 型 写 像 に よ るTの  証 明 Tの に 属 す.逆

元 σ をK′ に1つ

ガロ ア 群Gか

らK′/Fの

ガ ロ ア 群G′

の 整 数 環 を そ れ ぞ れ〓K,〓K′ とす

と い う関 係 が,あ

にBのK/K′

る 自然数cに

意の

ついて

に 関 す る フ ロベ ニ ウ ス置 換 を φ と し, 

と お け ば,σ￨K′=σ ′で σ はTに   今 ま で の 議 論 に よ っ て,相

属 す. 

(証終)

対 ガ ロ ア 体K/Fに

い は 分 岐 して 行 く様 子 を み とお す1つ

おい て素 イ デア ルが 分 解 あ る

の 方 法 が あ たえ られ た わ け で あ る.す な

分 解 体,惰

性 体 を そ れ ぞ れKZ,KTと

 と い う体 の 列 が で き る.こ の と きBで お い てp=(B1…Bg)eと

ガ ロ ア 体 で はKの

素 イ デ ア ルBが

う こ とが で き,Bの

分 岐 指 数 をpの 分 解 群,惰

す れ ば,

わ り切 れ るFの

分 解 され,各Biの

とす れ ば,(K:KT)=e,(KT:KZ)=f,(KZ:F)=gと

ア ー ベ ル 体 な らば,Biの

よ っ てBのK/Fに

に 関 す る ガロ ア 群 の 元 を ひ きお こす か ら,任

α∈〓Kに つ い て 

デ ア ルpがKに

への

の 元 σ′は あ き らか にT′

の σ′ ∈T′ を とれ ば σ′は 定 理4.11に

素 イ デ ア ルBの

関 す る惰 性群

像 に な っ て い る.

関 す る分 解 群 の 元 σ1に 延 長 さ れ る.K,K′

な りた つ.故

の

素 イ デ アル をそれ

のK′/Fに

に 制 限 して 得 ら れ るG′

れ ば,σ1は〓K/Bの〓K′/p′

よ っ てT

で あ る とす る.こ

わ り切 れ るK′,Fの

す る惰 性 群 をT,p′

す れ ば,

を 得 る. (証終)

共 に 相 対 ガ ロア 体 でK⊃K′

素 イ デ ア ルBを

ぞ れp′,pと

わ ちKの

ら ば,K′

との 位 数 は 等 し く,従 っ てT=T′,T⊂G′,KT⊃K′

 定 理4.17 

をT′

部 分 体 で あ り,BはK′

含 ま れ る.

 証 明  K/K′

とT′

素 イ デ アル で あ る とす る.ま

次 数 がfで

素イ ある

な る の で あ る.相 対 分 岐 す る とい う代 りにpが

分 岐 指 数 とい って よい.特 性 群,従

っ て,分 解 体,惰

分 岐 す る とい にK/Fが

相対

性体 はす べ て

一致 し,そ

れ らをpの

分 解 群,惰 性 群 等 と よ ん で よ い.ま

の フ ロベ ニ ウ ス 置 換 もす べ て 同 じ もの に な る.そ い う こ とに す れ ば,不

分 岐 なpの

つ い て 

れ をpの

た そ の と き に はBi フ ロベ ニ ウ ス 置 換 と

フ ロベ ニ ウ ス置 換 は,Kの

任 意 の整 数 α に

とい う条 件 で定 義 され る こ とに な る.一

数 体K/Fに

お い て,Fの

の よ うに1次

の 相 異 な る 素 イ デ ア ル の 積 に 分 解 す る と き,pはKに

素 イ デ ア ルpがKでp=B1…Bn,(n=(K:F)),

全 分 解 す る とい い,p=Bnと この い い 方 を 使 え ば,相

般 に 相対 代

な る とき,pま

た はBが

対 アー ベ ル 体K/Fに

分 解 体KZはpが

完 全 分 解 す る よ うなK/Fの

惰 性 体KTはpが

分 岐 し な い よ うなK/Fの

あ らわ す こ とが で き る し,ま たKTに

おい て完

完 全 分 岐 す る とい う.

つ い て は,Fの

素 イ デ ア ルpの

部 分 体 の うち 最 大 の も の,pの 部 分 体 の う ち 最 大 の もの とい い

お け るpの

素 因 子 はK/KTに

お い て完

全 分 岐 す る とい う こ とに な る.  定 理4.18  デ ア ルBで

K/Fが

相 対 ガ ロ ア体,K′

わ り切 れ るK′

で あ る とす る.こ

部 分 体 で あ り,Kの

の 素 イ デ ア ルp′ のK′/Fに

の と き φ がBのK/Fに

φfはBのK/K′  証 明 Bで

がK/Fの

関 す る 相 対 次 数 がf

関 す る フ ロベ ニ ウ ス置 換 な らば,

に 関 す る フ ロベ ニ ウ ス置 換 で あ る. わ り切 れ るFの

て 

素 イ デ ア ル をpと

で あ る.と

す れ ば,Kの

こ ろ がNp′=(Np)fで

整 数 α につ い

あ る か ら 

を 得 る.   定 理4.19  Kの

素イ

(証終)

K/F,K′/Fが

素 イ デ ア ルBのK/Fに

制 限 φ′は,Bで

共 に 相 対 ガ ロ ア 体 で,K⊃K′

で あ る と き,φ

関 す る フ ロベ ニ ウ ス 置 換 な ら ば ,φ

わ り切 れ るK′

の 素 イ デ ア ルp′ のK′/Fに

が

のK′ へ の

関 す る フ ロベ ニ

ウ ス 置 換 で あ る.  証 明  定 義 か らあ き らか で あ る. 

(証終)

 これ か ら,必 ず し も ガ ロア 拡 大 で な い 相 対 代 数 体 に お け る 素 イ デ ア ル の 分 解 に ヒ ル ベ ル トの 理 論 を 応 用 す る こ と を 考 え て み よ う.   一 般 に 群Gの2つ h∈H),の

の 部 分 群Z,Hが

あ る とき

よ うな 形 の 元 全 体 の 集 合 をZσHと

,σ ∈Gに

つ い てzσh,(z∈Z,

か く と,ZσH=Zσ

′Hと な る

σ,σ′ を 同 類 と す る こ と に よ っ てGは う.Gが

類 別 さ れ る.こ

れ をGの

両 側 類 別 とい

そ れ ら の 類 に わ か れ る こ と を 

 定 理4.20 

L/Fを

と し,BをLの

ガ ロ ア 群Gを

も つ 相 対 ガ ロ ア 体,KをL/Fの

素 イ デ ア ル,ZをBの

に つ い てBσ

とBτ

と がKの

分 解 群 と す る.こ

部 分 群Hに

つ い てZσH=ZτHの

る.Z,Hに

よ っ てGを

両 側 類 別 し て 

り切 れ るKの

素 イ デ ア ル をqiと

素 イ デ ア ルpのKに

の と き,σ,τ ∈G

と し,Bσiで

にB=Bτ

関 す る分岐

す れ ば 

が な り た つ.但 がKの

しTはBの

惰 性 群 で あ る.

同 じ素 イ デ ア ル を わ り 切 れ ばBσ=Bτ ησ −1か ら τησ−1∈Zと

η と な る η∈H

な り,ZσH=ZτHで

あ る.逆

あ き ら か で あ る.Lに

お け るpの

素 因 子 は す べ てBσ,(σ

か ら,q1,…,qtがKに

お け るpの

す べ て の 素 因 子 で あ る.BσiのL/Fに

す る 分 解 群,惰

性 群が そ れ ぞれ

に 関 す る 分 岐 指 数,次

∈G),の

は

形 であ る 関

σi−1Zσi,σi−1Tσiで あ る こ と か ら,BσiのL/F

数 を そ れ ぞ れe,fと

=￨σi−1Tσi￨,ef=￨σi−1Zσi￨で

わ

わ り切 れ るFの

お け る 素 因 子 の 全 部 で あ る.qiのK/Fに

  証 明 Bσ,Bτ

対

な りた つ こ とが 必 要 十 分 で あ

す れ ば,q1,…,qtはBで

数 を そ れ ぞ れei,fiと

が と れ る.故

部分 体

同 じ 素 イ デ ア ル を わ り切 る た め に は,Kに

応 す るGの

指 数,次

と あ ら わ す.

あ る.ま

す れ ば,e,fはiに

無 関 係 でe

た σi−1Zσi,σi−1TσiとHと

が ち ょ う どBσiのL/Kに

関 す る 分 解 群,惰

に 関 す る 分 岐 指 数,次

数 を そ れ ぞ れei′,fi′

と な る.ei=e/ei′,fi=f/fi′

の共 通部 分

性 群 で あ る こ と か ら,BσiのL/K と す れ ば,  だ か ら 求 め る 結 果 を 得 る. (証 終)

 一 般 に群Gの2つ Hに

σHσ−1に よ る 右 剰 余 類 と1対1に

σHσ−1)=(σ−1Zσ:σ−1Zσ∩H).こ よ る右 剰 余 類 の うちTσiHに

に よ る右 剰 余 類 の う ちZσHに

∈G),はGの

の 個 数 を 求 め て み よ う.zσH=z′

−1z∈σHσ−1と 同等 で あ るか ら,GのHに

ま れ る も の はZのZ∩

GのHに

よ る両 側 類 別 に お い て,ZσH,(σ

よ るい くつ か の 右 剰 余 類 か ら な る.そ

∈Z),はz′

(Z:Z∩

の 部 分 群Z,Hに

σH,(z,z′

よ る右 剰 余 類 の うちZσHに 対 応 す る.故

含

に求め る個数 は

れ を 特 に上 の 定 理 の 場 合 に 適 用 す れ ば,eiは 含 まれ る も の の 個 数 に 等 し く,eifiはGのH

含 まれ る も の の 個 数 に 等 しい こ とが わ か る.

 

K/Fを

相 対 ガ ロア 体,T,KTを

そ れ ぞ れKの

性 体 とす れ ば,BのK/KTに modBの

関 す る次 数 は1で

剰 余 類 は す べ てKTの

り切 れB2で

あ る か ら,Kの

わ り切 れ な い も の πを とれ ば,2.3に

惰 性 群,惰 整 数 環〓Kの

整 数 で 代 表 さ れ る .故 にKの

に つ い て  … ,αmを

素 イ デ ア ルBの

整 数 でBで

の べ た こ とに よ り,α ∈〓K と な る よ うなKTの

任 意 のmに

つ い て とる こ とが で き る.従

べ て の 整 数 α に つ い て 

ってTの

整 数 α0,

元 σ がKの

を満 足す る と い う こ と は

 を 満 足 す る こ と と同 じに な る.ま たBがK/KTで 岐 す る こ とに よ っ てK=KT(π)と あ る.従

って ど の 

れ な くな る.そ  定 理4.21  をKの

K/Fが

整 数 でBで

元 σ がBの

第m分

な る か ら,σ=1で

す

,σ

が

完全 分

な い か ぎ り 

に つ い て も,π σ− π はBの

こで ま ず1つ

わ

で

十 分 高 い ベ キ で は わ り切

の定 理 を 得 る.

相 対 ガ ロア 体,TをKの わ り切 れB2で 岐 群Vmに

素 イ デ ア ルBの

惰 性 群,π

わ り切 れ な い も の とす る.こ の と きTの 入 る た め に は, 

つ こ とが 必 要 十 分 で あ る.ま た 十 分 大 き いmに

の な りた

つ い て はVm=1と

な る.

  次 の 定 理 は 分 岐 群 に 関 して 最 も 基 本 的 で あ る.  定 理4.22 

K/Fが

群 をT,Bの

第m分

をe,Bで について

,Vm/Vm+1は

  証 明 Bの

ら  BはK/KTに

岐 群 をVmと

わ り切 れ る 素 数 をpと

位 数e0はNB−1の

切 れB2で

相 対 ガ ロ ア体,BがKの

位数pの

らにBのK/Fに

す れ ば,T/V1は

惰性

関す る分岐 指 数

巡 回 群 で あ り,ま たm≧1

巡 回 群 の 何 個 か の 直 積 に 同 型 で あ る.T/V1の

約 数,Vm/Vm+1の位

惰 性 体 をKT,KTの

数はNBの

整 数 環 を〓Tと

わ り切 れ な い もの を π とす れ ば,各 とな るKの

し,Kの σ∈Tに

整 数 ασがmodBで

約 数 で あ る. 整 数 でBで

一 意 的 に とれ る が,

つ い て 

と な る.従

っ て 

既 約 剰 余 類 群 の 中 へ の 準 同 型 写 像 で あ り,そ の 核 はV1で

わ り

つ い て 定 理2.20か

つ い て1次 で あ る か ら ασ∈〓Tと して よ い.α σ はBと

素 で あ り,し か も σ,σ ′ ∈Tに か ら 

し,さ

素 イ デ ア ル の と き,Bの

互 いに であ る

はTか

らmodBの

あ る.こ れ でT/V1

が 巡 回 群 で,そ

の 位 数e0はNB−1の

 次 に σ∈Vmと

約 数 で あ る こ とが わ か った.

す れ ば 

で あ るか ら, 

とな る よ うなKの

整数 ασがmodBで

うに ασ∈〓Tと し て よい.そ

一 意 的 に定 ま るが,前

うす れ ば σ,σ ′ ∈Vmに

つ い て 

が 得 られ る か ら,  modBの

剰 余 類 の な す 加 群 の 中 へ の 準 同 型 写 像 で,そ

modBの

剰 余 類 の な す 加 群 は 標 数pの

位 数pの

の核 はVm+1で

位数pの

位 数 はNBの

 この 定理 に よって,(T:V1)=e0はpと ￨V1￨はeのp成

はVmか

ら

あ る.

素 体 の 上 の ベ ク トル 空 間 で あ る か ら,

巡 回 群 の 直 積 に 同 型 で あ る.故 にVm/Vm+1も

か の 直 積 と同 型 で あ り,Vm/Vm+1の

と同 じよ

巡 回群 の何 個

約 数 で あ る. 

互い に素,￨V1￨はpの

分 にな る.ま た定理 におい てVm/Vm+1が

(証終)

ベ キ とな り,従 って

単位 群の ときは,そ れを 位

数pの巡 回 群の0個 の直積 と考 え るので あ る.  群Gの

部分 群 の列 

が あ り,GiがGi−1(i=1,…,m),の

規 部 分群 で,し か もGi−1/Giが アーベ ル群 にな る とき,Gは

正

可解 群で あ る とい う.上 の

定理 に よって素イ デ アルの分解 群 は常 に可解 群 であ る.   以 上 の べ て きた ヒ ル ベ ル トの 理 論 は,完 あ る.K/Fを

相 対 ガ ロ ア体,BをKの

の 素 イ デ ア ル をpと

す れ ば,相

全 に 局 所 化 で き る 点 が 著 しい 特 徴 で 素 イ デ ア ル とす る.Bの

対 局 所 体KB/Fpの

群 の 部 分 群 と考 え られ る(定 理1.45).Bの Bσ=Bの

こ とで あ るか ら,定 理3.15に

に な り,K∩Fp=KZはBの

第m分

る い はKB／Fpの

す れ ば,σ ∈Zは

ガ ロア 群 は ち ょう どZ

整 数 環〓Bの す べ て の

惰 性 群 とい え ば,惰 性 群 がKB/Fpに

相 対 ガ ロ ア 体K/Fの

関 す る惰 性 群 はKB/Fpに

る い はKB/Fpの

相 対 代 数 体K/Fに

つ

局 所 化 で あ る と きに は,B

つ い て定 め た も の と 自然 に 同 型 で あ る.

岐 群 に つ い て も 同 様 で あ る.KB/Fpの

の 部 分 体 をBの,あ はBの

よ りBK/Fpの

ガ ロア

を 満 足 す る ガ ロ ア群 の 元 σ全 体 の な す 群 を 考

い て 直 接定 義 で き,KB／Fpが のK/Fに

分 解 群 をZと

相 対 局 所 ガ ロ ア 体 と し,KBの

元 α に つ い て  れ をBの,あ

ガ ロ ア群 はK/Fの

分 解 体 に な る.

 こ こ で 一 般 にKB/Fpを

え,こ

わ り切 るF

惰 性 群,分 岐 群 に 対 応 す るKB/Fp

惰 性 体,分 岐 体 と定 義 す れ ば,こ

お け る惰 性 体,分

岐 体 と1対1に

対 応 し,ヒ

れ ら ルベ

ル トの 理 論)につ い て は 全 く同 様 の 性 質 を も つ.た 大 な 不 分 岐 部 分 体 で あ る.さ KB/Fpに

と え ば 惰 性 体 はK/Fpの

最

らに フ ロ ベ ニ ウ ス 置 換 の 定 義 お よび 存 在 の 証 明 も

つ い て 相 対 代 数 体 の 場 合 と全 く同様 に で き,相 対 局 所 体KB/Fpに

い て 定 め た フ ロ ベ ニ ウ ス 置 換 は,相

対 代 数 体K/Fに

つ

お け る フ ロベ ニ ウ ス 置 換

の 延 長 で あ る.  相 対 局 所 体 に つ い て は,必 ず し も ガ ロア 拡 大 体 で な く て も最 大 分 岐 部 分 体 と い う もの が 存 在 す る.  定 理4.23  e,fな

KB/Fpが

らば,KB/Fpの

相 対 局 所 体 で,Bの

分 岐 指 数,相

部 分 体Tで,T/Fpが

不 分 岐,KB/Tが

る も の が 存 在 す る.TはFpに1のN>pf−1乗 のFp上

て 含 み,そ

お け ば,定

れ らの1の

表 系 に な って い る.そ イ デ ア ル,整

の 原 始qf−1乗

KB/Fpの

部 分 体T′ がFp上

素

と な り,

ガ ロ ア拡 大 体 で,ζ

は そ の どの共

フ ロベ ニ ウ ス置 換 は 一 意 的 に 定 ま

惰 性 群 は 単 位 元 で,T/Fpは

系 に よ り(T:Fp)=fで,KB/Tはe次

よ る既 約 剰 余 類 の 代

根 を ζ と し,Fp(ζ)=Tの

合 同 で な い か ら,T/Fpの

っ てT/Fpの

根 をす べ

と す れ ば, 

な け れ ば な ら な い.T/Fpは

役 と もmodBで る.従

こ で1つ

よ っ てKBは1のqf−1乗 整 数 環OBのBに

数 環 を そ れ ぞ れB′OB′

(T:Fp)≧fで

含 ま れ る.

理3.24に

ベ キ 根 はKBの

完 全分 岐 であ

根 を 添 加 して 得 られ,KB/Fp

不 分 岐 な 部 分 体 は す べ てTに

  証 明  Np=qと

対 次 数が それ ぞれ

不 分 岐 で あ る.故 に 定 理4.2

の 完 全 分 岐 拡 大 で な け れ ば な らな い. 不 分 岐 な ら,そ れ は1のqf′

−1乗 根,(f′ ≦f),

を 添 加 して 得 られ る こ とが 上 と同 じ よ うに して わ か るか ら,T′ ⊂Tで

あ る. (証終)

 こ の 定 理 に い うTをKB/Fpの 拡 大 体 な らばTは  例 題1  根 をFpに

Fpが

ガ ロア

ち ょ う ど惰 性 体 とな る. 局 所 体 で,mがpで

わ り切 れ な い 自然 数 な らば,1のm乗

添 加 して 得 られ る 体 は 不 分 岐 で あ る.

  解  f(x)=xm−1と 乗 根 はp進

最 大 不 分 岐 部 分 体 とい う.KB/Fpが

す れ ば,f′(x)=mxm−1だ

か ら,2つ

の 異 な る1のm

付 値 の い か な る延 長 の 付 値 イ デ ア ル で も合 同 に な らな い.従

って 定

理4.23の

証 明 と同 様,フ

ロ ベ ニ ウ ス 置 換 の 一 意 性 か ら結 論 が 得 られ る. (以上)

  例 題2  Kと

KB/Fpが

相 対 代 数 体K/Fの

の 共 通 部 分 は,K/Fの

B′ に つ い て,B′

のK′/Fに

部 分 体K′

局 所 化 な ら ば,KBの で,Bで

中 で のFpと

わ り切 れ るK′ の 素 イ デ ア ル

関 す る分 岐 指 数,相

対 次 数 が 共 に1で あ る も の の

うち 最 大 の もの で あ る.   解  そ の よ うなK′

に つ い て は 定 理4.2系

に よ りK′B′=Fpだ

か ら で あ る. (以上)

5.  分

岐

理

論

  5.1  本 章 の 内 容 に つ い て   分 岐 理 論 とは,相 対 代 数 体 に お い て 分 岐 す る 素 イ デ ア ル の 性 質 を くわ し く研 究 す る 理 論 で あ る.相 対 代 数 体 で は 有 限 個 の 素 イ デ ア ル だ け が 分 岐 す る こ とが で き,そ の 際 の 分 岐 指 数 も種 々 の 特 性 を もつ.こ 役 差 積,要

れ らの こ とが 相 対 代 数 体 の 共

素,相 対 判 別 式 とい った 基 本 概 念 と組 み 合 わ さ っ て,多

結 果 を もた らす とい う点 で,分

くの 有 用 な

岐理 論 は相 対 代数 体 の基礎 理 論 におけ る最大 の

要 所 とみ な さ れ る もの で あ る.本 書 で は,分

岐理 論 の主 要部 をす べ て局 所理 論

の 立 場 か ら統 一 して 解 説 す る.し か も,今 ま で 成 書 に お い て あ ま り整 理 して の べ られ て い な か った 定 理5.16,定 した 局 所 的 証 明 を 付 した.そ

理5.20等

に つ い て も,あ

らた め て は っ き り

の 結 果 と し て,従 来 む しろ 分 岐 理 論 の 構 成 に 利 用

さ れ て い た 多 変 数 多 項 式 と分 岐 理 論 との 関 係 も,5.5に

お い て,局

所 理論 で得

られ た 諸 定 理 を 用 い て逆 に み ち び き 出 す こ とが 可 能 に な った.  こ の よ うな 意 味 で,本 章 の 内 容 は,分

岐 理 論 の 基 礎 を 十 分 に 整 理,消

化 され

た 形 で 含 む も の で あ る.

  5.2  共 役 差 積 と相 対判 別式   一 般 にKを

体Fのn次

こ の と き も しKの の 記 号),と

の拡 大 体 と し

,ω1,…,ωnをK/Fの

元 γ1,… γnが あ っ て, 

な る な ら ば,γ1,…,γnを

(δijは ク ロ ネ ッ カ ー

ω1,…,ωnの

相 補 な 基 底 と い う.γ1,…,γn

が 実 際 に 基 底 で あ る こ と は 次 の よ う に し て わ か る,す … ,ωnの

相 補 な 基 底 で あ る と い う条 件 は,か

い う こ と で あ る.こ か らKのFに

こ でIは

は 転 置 行 列 を あ ら わ す.従 底 と な る(定 理1.47参

照).

な わ ち γ1,…,γnが

に よ っ てK

の 共 役 写 像 が あ ら わ さ れ て い る.ま

っ て 直 ち に 

ω1,

き な お せ ば(ωi(k))t(γj(k))=Iと

単 位 行 列 で あ り, 

関 す る 共 役 体K(i)へ

基 底 とす る.

が 得 ら れ,γ1,…,γnは

たt 基

 こ こ で 分 離 的 拡 大 体K/Fの

基 底 ω1,…,ωnに

底 の と れ る こ と を 示 そ う.変数x1,…,xnを

つ い て は,必

用 い てn個

の1次

ず その 相補 な基 形 式 

を つ く り, 

とお く

  とな

と,

る.定

理1.47に

よ っ て 

当 に え ら べ ば,そ つ.こ

で あ る か ら,xj1,…,xjn∈Fを

れ ら の値 を 代 入 した

の こ と を 各jに

しか も こ の 証 明 で

γjに つ い て 

つ い て 行 な え ば γ1,…,γnと

γ1,…,γnが

ω1,…,ωnに

適

が な りた

い う相 補 な 基 底 が 得 ら れ る.

対 して 一 意 的 に 定 ま る こ と も同 時

に 示 さ れ て い る.  こ れ か らK/Fを し,Kの

相 対 代 数 体 と し よ う.K,Fの

元 μ で す べ て の α ∈OKに

す 加 群 をMと

す る.MはOK加

る こ と が 示 さ れ る.そ と し,そ

 

M⊃OKで K/Fの

基 底 で 整 数か らな る ものを す る.μ

∈Mは

っ て αiはFの

と れ ば,  にOK加

れ を〓(K/F)と

逆 共 役 差 積 と い わ れ る.共

相 対 ノ ル ムNK/Fd(K/F)をK/Fの

群M

れ 自 身 分 数 イ デ ア ル で あ る.

整 イ デ ア ル で あ る.こ

共 役 差 積 と い う.M=d(K/F)−1は

ω1,…,ωn

一 意 的 に 

整 数 で あ る.故

生 成 さ れ る イ デ ア ル に 含 ま れ,そ

あ る か らM−1は

れ が実 は 分数 イ デ アル で あ

の 両 辺 に ωiを か け てSK/Fを

と な り,従 γ1,…,γnで

とな る も の 全 体 の な

群 で あ る が,こ

γ1,…,γnと

と か け る が,こ

は

つ い て 

れ に は,K/Fの

の 相 補 な基 底 を

整 数 環 を そ れ ぞ れOK,OFと

相 対 判 別 式 と い っ てd(K/F)で

か いて 役差 積 の あ らわ

す.   例 題1 

K/Fがn次

積d(K/F)に

の 相 対 ガ ロ ア 体 な ら ば,相

よ っ てd(K/F)=d(K/F)nと

 解  定 義 に よ っ てd(K/F)は   定 理5.1  式d(F)で   証 明  Fの γnを

絶 対 代 数 体F/Qに 生 成 さ れ るZの

共役差

あ ら わ さ れ る.

ガ ロ ア 群 の 元 で 不 変 で あ る.  つ い て は,相

対 判 別 式d(F/Q)はFの

(以 上) 判別

イ デ ア ル と 一 致 す る.

整 数 の 基 底 を ω1,…,ωnと

と り,μ ∈Fを 

対 判 別 式d(K/F)は

す る.ω1,…,ωnの

相 補 な 基 底 γ1,…,

の 形 に あ ら わ す と,

と な る た め に は  で あ る か ら,す

が 必 要 十 分 で あ る が, 

べ て のaiが

要 十 分 条 件 と な る.故 2.32に

に γ1,… γnは

よ っ てd(F/Q)−1の

っ て 求 め ら れ る.こ

有 理 整 数 で あ る こ と が  イ デ ア ルd(F/Q)−1の

の 式 の 右 辺 は さ ら に 

 相 対 代 数 体K/Fに

は 互 い に 逆 行 列 で あ り,(det(ωj(i))2)=d(F) な り求 め る 結 果 を 得 る. 

つ い てKの

元

と す る と き, 

を

α のK/Fに α のK/Fに

関 す る 共 役 体 をK(1),…,K(n)と

平方を

理 によ

で あ る か らN>d(F/Q)−1=￨d(F)￨−1と

∈…K(i)に

基 底 で あ る.定

ノ ル ム は 

に 等 し い が,(γj(i))と(ωi(j))と

たKのFに

の ため の必

うつ る も の と す る と き,行

α のK/Fに

関 す る 特 性 多 項 式 をp(x) 関 す る 共 役 差 積 と い う.ま し,α

∈Kが

共 役 写 像 で α(i)

列(α(i)j−1),(i,j=1,…,n),の

関 す る 相 対 判 別 式 と い っ て,d(α,K/F)と

  d(α,K/F)2とNK/Fd(α,K/F)と

(証終)

行列式 の あ ら わ す.

は 符 号 を の ぞ け ば 同 じ も の で あ る.ヴ

ァ

ン デ ル モ ン ドの 行 列 式 を 用 い て 示 せ ば

と な る.   F=Qが

有 理 数 体 の と き に は,α

の 判 別 式(2.2)と る.そ

一 致 し,α

∈Kの

がKの

相 対 判 別 式 はK=Q(α)な

真 の 部 分 体 に 含 ま れ る と き は0と

の と き は も ち ろ んd(α,K/Q)も0で

あ る.F=Q,K=Q(α)の

 を α の 共 役 差 積 と い う.こ 等 し い.α(i)は  定 理5.2 

な

と き,

れ は П(α − α(i))に

α の 共 役 で α と 異 な る も の を う ご く の で あ る. Fがn次

の 代 数 体,θ

がFの

f(x)xn+a1xn−1+…+an=0,(ai∈Z),を しf′(θ)がF/Qの  証 明  NF/Qf′(θ)は Fの

ら α

整 数 で,有

満 足 す る も の と す る.こ

共 役 差 積 を 生 成 す れ ば,Fの θ のF/Qに

理 数 体 で既 約 な方程式

整 数 環 はZ[θ]と

の とき も 一 致 す る.

関 す る 相 対 判 別 式 で あ る か ら,f′(θ)が

共 役 差 積 を 生 成 す れ ばNF/Qf′(θ)はFの

判 別 式 と符 号 を の ぞ い て 同 じ

も の で あ る.す

な わ ち 行 列 式det(θ(i)j−1),(i,j=1,…,n),の2乗

符 号 を の ぞ い て 同 一 で あ る.故

に1,θ,…,θn−1はFの

がd(F)と

整 数 の 基 底 と な る(2.3

例 題10). 

(証 終)

 共 役 差 積 の さ ら に くわ し い 性 質 を し ら べ る た め に,特 る.そ

れ を こ こ で 説 明 し よ う.Fを

の 元 と し てp(x)=(x− g(x)∈F[x]を

α1)…(x−

高 々n−1次

が な りた つ.左

任 意 の 体,α1,…,αnを αn)と

と す る.こ

互 い に 異 な るF

お く.p′(x)をp(x)の の と き 

際 は 多 項 式 で あ る.こ

お け ば 左 辺 は あ き ら か にg(αi)に

補 間 式 と い う.さ

αiで わ り切

れ は 簡 単 に 証 明 さ れ る.す 等 し い.左

な わ ち,

辺 も 右 辺 もn−1次

下 で あ る か ら 結 局 多 項 式 と し て 一 致 し な け れ ば な ら な い.上 ュ(Lagrange)の

導 関 数,

辺 は 分 数 の 形 を して い る が,p(x)はx−

れ る の で あ る か ら,実 x=αiと

殊 な 恒 等 式 が 必 要 とな

以

の 式 を ラ グ ラ ンジ

ら にg(x)=b0xn−1+…+bn−1,(bi∈F),と

お い て 両 辺 のxn−1の 係 数 を 比 較 す れ ば,

 が 得 られ る.こ

れ を オ イ ラ ー の 恒 等 式 と い う.  ラ グ ラ ン ジ ュ の 補 間 式 はg(x)/p(x)の  定 理5.3 

K/Fをn次

る.θ ∈OKな

ら ば,K/Fの

d(θ,K/F)の

相 対 代 数 体,OK,OFを

そ れ ぞ れK,Fの

共 役 差 積d(K/F)は

θ のK/Fに

約 イ デ ア ル で あ る. 

に 含 ま れ るKの  証 明  F(θ)=Kと

部 分 分 数 展 開 の 公 式 に 他 な ら な い. 整 数 環 とす 関 す る共 役 差 積

と お く と,〓 θはOF[θ]

最 大 の 整 イ デ ア ル で あ る. の 場 合 はd(θ,K/F)=0で

た し か に 定 理 は な り た つ か ら,

な る θ ば か り に か ぎ っ て よ い.p(x)を

項 式 と す る. 

θ のFに

に よ っ て 〓θを 定 め る と,ま

関 す る最 小 単 多 だ 〓θ が 整 イ

デ ア ル で あ る か ど うか は わ か ら な い が,〓 θの 元 は と に か くg(θ),(g(x)∈F[x], degg≦n−1),の はd(K/F)−1に

形 に か け る.p′(θ)=d(θ,K/F)で 属 す.従

に 関 す る 跡 は す べ てOFに

あ る か らg(θ)/p′(θ)

っ て 多 項 式  入 る.そ

こ で θ の 共 役 を θ(1),… θ(n)と す れ ば

 がOF係 ン ジ ュ の 補 間 式 か ら こ れ はg(x)に

の 係 数 のK/F

数 の 多 項 式 と な る.と

等 し い.故

ころが ラグ ラ

に 〓θ の 元 は す べ てOF[θ]に

属 し,〓 θは 整 イ デ ア ル で あ る.こ

れで  

が 証 明 さ れ た.ま

た ξ∈OKが あ り,任 意 の α∈OKに つ い て αξ=g(θ)と

な る 

が 存 在 す る とす れ ば,オ イ ラ ー の 恒 等 式 に よ っ て  と な る か ら 

従 って 

と な る. 

(証 終)

  代 数 体Fの

整 数 環OFの

の を 一 般 にFの 通 の分 母

部 分 環RでZを

域 と い う.Fの

β0∈Rに

整 数 の基 底 を

イ デ ア ル(β0)を 含 ま れ るOFの

対 代 数 体K/Fに

理5.3に

含 む.Rに

含 ま れ るOFの

最 大 の イ デ ア ル で あ る.こ

つ い て はKの

域 でOFを

お い て は,F(θ)=Kな

あ るも

す る と,ωiは

と あ ら わ さ れ る.こ

の イ デ ア ル の 合 併fRはRに

の 域 と い う.定

の 商 体 がFで

ω1,…,ωnと

よ っ て 

 と な りRはFの

の 導 手 と い う.相

含 み,そ

共

れか ら すべて れ をR

含 む も の をK/F

ら ばOF[θ]がK/Fの1つ

の

域 で あ り,〓 θ は そ の 導 手 に な っ て い る の で あ る.  例 題2 

Fがn次

代 数 体,θ

がFの

=xn+a1xn−1+…+an=0,(ai∈Z),を がFの

整 数 で,Qに

お け る 既 約 方 程 式f(x)

満 足 す る も の とす る.こ

整 数 環 で あ る な ら ば,f′(θ)はF/Qの

の と き,Z[θ]

共 役 差 積 を 生 成 す る(定 理5.2

の 逆).  解  定 理5.3をF/Qに  

K/Fをn次

適 用 す れ ば 直 ち に 得 ら れ る. 

相 対 代 数 体,K(1),…,K(n)を

で 共 役 写 像 を あ ら わ す と す る.ま に つ い て差 と か い て,こ

れ をK(i)に

に つ い て 定 ま り,Kの 体Lの Kの

べ て のa−a(i)の

対 応 す るK/Fの

す る.Kの

整 数 の 基 底 を ω1,…,ωNと

大 公 約 イ デ ア ル に 等 し い.場

要 素 と い う.要

素 は 各i=1,2,…,n す べ て含 む代 数

らe(1)=0で

あ る か ら こ れ は 以 下 除 外 す る.

す る と,e(i)は

ω1− ω1(i),…,ωN− ωN(i)の

合 に よ っ て はK/Fの

共 役 写 像 σ に よ っ て あ ら わ し,対

α

最 大 公 約 イ デ ア ル をe(i)

イ デ ア ル に は 必 ず し も な ら ず,K(i)を

イ デ ア ル で あ る.i=1な

よ ぶ こ と も あ る.

そ の 共 役 体 と し, 

た 簡 単 の た めK=K(1)と

α − α(i)を つ く り,す

(以 上)

共 役 体 をKσ

応 す る 要 素 をe(σ,K/F)と

最

とい う よ うに

か い て,σ

要素 と

  5.3 

局 所 体 の分 岐 理 論

 相 対 局 所 体KB/Fpに き,KBの

元

お い て,OB,Opが

μ でOBの

体 の 集 合 をMと

の 分 数 イ デ ア ル に な る.な

あ き ら か にOB加

ぜ な らOpの

分 大 き なmに

従 っ て, 

整数 環 で あ る と

ど ん な 元 α に つ い て も 

す る と,Mは

を と れ ば,十

そ れ ぞ れKB,Fpの

とな る もの全

群 で あ る が,こ

素 イ デ ア ルpを

生 成 す るFpの

つ い て 

のKB/Fpに

役 差 積 はKBの

る 共 役 体 をKB(i)と

し,共

か き,こ

整 イ デ ア ル で あ る.次

関 す る 特 性 多 項 式 をp(x),そ を α のKB/Fpに

元 π と な り,

と な る か ら で あ る.M−1をd(KB/Fp)と

の 共 役 差 積 と い う.共

れ が 実 はKB

れ をKB/Fp

にKBの

の 導 関 数 をp′(x)と

元 α

し, 

関 す る 共 役 差 積 と い う.KBのFpに

関す

役 写 像 に よ っ てα∈KBがα(i)∈KB(i)に

と す れ ば, 

と な る.但

うつ る

し こ の 積 は 

とな る

iに つ い て つ く る の で あ る.  定 理5.4 

KB/K′B′,K′B′/Fpが

共 に 相 対 局 所 体 な ら ば, 

で あ る.   証 明  KB,K′B′,Fpの

整 数 環 を そ れ ぞ れOB,OB′,Opと

つ の 元 を μ,O(K′B′/Fp)を

生 成 す るK′B′

元 α に つ い て 

の 元 を ω と す れ ば,CBの

任意の

故 に 

れ か ら 

こ

を 得 る.逆 に 

と し,μ ′ をd(K′B′/Fp)−1に

含 ま れ るK′B′

つ い て 

の 元 と す れ ば,任

意 の α ∈OBに

よ り 

な わ ち    定 理5.5 

し,O(KB/Fp)−1の1

を 得 る.  KB/Fpが

き に か ぎ りBで

相 対 局 所 体 な ら ば,O(KB/Fp)はKB/Fpが

わ り切 れ る.KB/Fpの

で わ り切 れ る.さ

ら にBがeを

す (証 終)

分 岐 指 数 がeな

分岐 す る と ら ばd(KB/Fp)はBe−1

わ り切 ら な い と き,ま

た そ の ときにか ぎ り

  で あ る.  証 明  KB/Fpの

最 大 不 分 岐 拡 大 体 をTpと

し,KB,Tp,Fpの

整 数 環 を それ

そ れOB,Op′,Opと

す る.Bを

生 成 す るKBの

よ っ て1,П,…,Пe−1はOBのOp′ 表 現 を 用 い てOBの1つ KB/Tpに

に 関 す る 基 底 と な る.こ

元 でpに

が 直 ち に わ か る.と

α0′≡0(modp)だ

つ い て 

す る 基 底 と な る.そ の 代 表 す るFの

お き,OのFに

す れ ば,定

理4.2に

で な い も の が あ り,従

に よ っ てOの

に よ っ てeがBで 方eがBで

ら な い と き に か ぎ ってBeで KB/Fpが α のKB/Fpに

元 を 代 表 す るOp′

の元

α′を とれ

わ り切 れ な い か ぎ り 

は

つ い て 

れ はd(KB/Fp)が,Bがeを

わ り切 (証終)

共 役 差 積d(KB/Fp)は

関 す る 共 役 差 積d(α,KB/Fp)全 な るα∈OBに

単 数 の 中 か ら とれ る.こ

こ

整 数 環 を あ らわ す.

な るα∈OKだ

α に つ い て は 

体 の最大 公 約 イデ

つ い て は 実 際 に 

の よ うな α はKBの

そ れ ぞ れKB,Fpの

け を考 え れ ば よい.な

だ か らで あ る.KB/pの

従 っ て(KB:Fp)=ef=tと … ,α(t)と し,Fp係

関

関 す る 跡 が0

わ り切 れ な い こ とを 示 す. 

にOp[α]=OBと

 証 明  KB=Fp(α)と

元 でO/Fに

相 対 局 所 体 な らば,KB/Fpの

が な りた つ.そ でOB,Opは

のOpに

関 す る 跡 と 一 致 す る.

わ り切 れ れ ば 任 意 のα∈CBに とな る.こ

ア ル で あ る.特

関 す る基 底 を 代 表 す る

元 のO/Fに

っ て そ の よ う なOの

ば, 

整数

の こ と はB−(e−1)

よ っ て ω1,…,ωfはOp′

α の 代 表 す るOの

分 離 的 で あ る か ら 定 理1.47系

 定 理5.6 

属 す.こ

こ で 正 則 表 現 を つ く っ て 考 え れ ば,α ∈Op′に つ い てSTp/Fpα

元は

Opに 属 さ な い.一

に

属 す こ と を 示 す か らd(KB/Fp)はBe−1で

にOp′/p=O,Op/p=Fと

Op′ の 元 を ω1,…,ωfと

属 す か ら,上

か ら 

はOpに

元 の 跡 が す べ てOpに

わ り切 れ る.次

関 す る 跡 はpに

関 す る 跡 を と れ ば, 

らば

生 成 元π∈Fpに

に 属 すKBの

の 基 底 に よ る正 則 の

属 す も の のTp/Fpに

と な る.α∈Bな 故 にpの

理4.2に

の 元 

得 ら れ た 合 同 式 の 両 辺 のTp/Fpに

KBの

とす れ ば,定

関 す る 跡 を 求 め れ ば, 

こ ろ でTpの

O/Fは

元を П

数 で 次 数 がt−1以

す る.α

のFpに

ぜ な らそ うで な い

分 岐 指 数 をe,  関 す る共 役 元 を α(1),

下 の 多 項 式 をg(x)と

す る と,ラ

グラ

ン ジ ュの 補 間 式 に よ っ て

 が 得 られ る.

但 しp(x)は

α のKB/Fpに

成 す るKBの

元 δ を と り, 

以 下 のg(x)∈Fp[x]を

辺 を 多 項 式 と考 え た と き そ の 係 数 は す べ て1/δ

の整数 倍 で

整 係 数 の 多 項 式 で あ り,g(α)は

れ で が 

整数

を わ り切 る こ と が わ か っ た.

 と こ ろ で オ イ ラ ー の 恒 等 式 に よ っ て,Op係 g(x)に

生

と な る よ う なt−1次

に 上 に 得 ら れ た 式 か らg(x)は

と な る.こ

こ でd(KB/Fp)を

と る.こ の と き 

が な り た つ か ら,左 あ る.故

関 す る 特 性 多 項 式 で あ る.そ

つ い て, 

数 のt−1次

以 下 の任意 の 多項 式

で あ る こ と が わ か る.従

 と な る 

が と れ た とす れ ば,こ

って も し

の α に つ い て はg(α)はCBの

す べ て の 元 と 等 し く な り う る か ら,共 役 差 積 の 定 義 か ら  す な わ ち 

と な り, 

な り た つ.故   を

Bを

に あ と は 

生 成 す るKBの

ζ と す れ ば,定

任意 の元 を 理4.2に

分 体  OBのOp′

と な る 単 数 

の 存 在 を い え ば よ い. 含 ま れ る1の

のOpに

に 関 す る 基 底 と な る.故 場 合 は 

関 す る 基 底 と な り,1,П,…,Пe−1は

にe=1の

す る.こ

と き は α=ζ

れ はf次

でOp係

展 開 し てa0(x)+a1(x)t+a2(x)t2+…,  =h(x),a1(x)=h′(x)で

にx=ζ,t=П

が 得 ら れ る.h′(ζ)はd(Tp/Fp)を

た び 定 理4.2に こ れ はOBのOpに  

KB/Fpの

い てKB/Fpの pで

よって

が 求 め る ものであ のTp/Fpに

数 で あ る.h(x+t)を の 形 に す れ ばa0(x)

あ る.故

っ てh(a)はBを

根

最 大 不分 岐部

と す れ ば よ い こ と を 証 明 し よ う.ζ

関 す る 特 性 多 項 式 をh(x)と

数 で あ り,従

原 始NB−1乗

よ っ て,1,ζ,…,ζf−1はKB/Fpの

の 整 数 環Op′

る.e>1の

П,KBに

が

と お け ば  生 成 す る か ら前 定 理 に よ っ て 単

生 成 す る. 

αih(α)jの

で あ る か ら,ふ

形 の 元 がOBのOpに

た

関 す る 基 底 を な す.

関 す る 基 底 が α の ベ キ で と れ る こ と に 他 な ら な い.  (証 終)

共 役 差 積 

のKB/Fpに

判 別 式 と い う.d(KB/Fp)はFpの

わ り切 れ る の はKB/Fpが

関 す る ノ ル ム をd(KB/Fp)と 整 イ デ ア ル で あ る.そ

分 岐 す る と き に か ぎ る こ と,そ

か れが

の 他 い くつ か の

性 質 が 定 理5.5か

ら 容 易 に 得 ら れ る.ま

た 定5.4の

結 果 の ノ ル ム を と れ ば,

(s=(KB:K′B′)),が 列KB⊃K′B′

⊃Fpに

つ い て 得 ら れ る.

  次 にKBのFpに

関 す る 共 役 体 をKB(i),α

に う つ る と す る.こ

の と き α ∈KBに

t=(KB:Fp)),を

∈KBが

共 役 写 像 で α(i)∈KB(i)

つ い て 行 列A=(α(i)j−1),(i,j=1,…,t,

考 え,(detA)2=d(α,KB/Fp)を

α のKB/Fpに

別 式 と い う.  のKB/Fpに

局所体の

関す る判

で あ る か ら,d(α,KB/Fp)は

α

関 す る 共 役 差 積 の ノ ル ム と 符 号 を の ぞ け ば 同 一 で あ る.従

理5.6か

らd(KB/FpはKBの

整 数 α のKB/Fpに

って 定

関 す る 判 別 式d(α,KB/Fp)

全 体 の 最 大 公 約 イ デ ア ル で あ る.  定 理5.7 

KB/Fpが

相 対 局 所 体,〓B,〓pが

と き,ω1,…,ωtを〓Bの〓pに d(KB/Fp)は

∈KB(k)に

うつ る と す る.ω1,…,ωtの

を あ ら わ す.故 ま れ る.逆

位 行 列)が

に γ1,…,γtで

にd(KB/Fp)−1の

し,α

相 補 な基 底

な りた つ.行

共 役写 像 で

γ1,…,γt∈KBを

…,κtは

て(δ)=d(KB/Fp)と

ま た〓Bの〓pに

α(k)

と れ ば,

列 の 左 上 に つ け たtは

生 成 さ れ るKBの 元 を 

∈KBが

転置行列

イ デ ア ル はd(KB/Fp)−1に (αi∈Fp),の

な る δ∈KBを

含

形 に あ ら わ せ ば,

で あ る か ら γ1,…,γtはd(KB/Fp)−1の〓pに で あ る.従っ

判 別式

行 列 式 で 生 成 さ れ る イ デ ア ル に 等 し い.

関 す る 共 役 体 をKB(k)と

(γi(k))t(ωj(k))=I(単

整 数 環 であ る

関 す る 基 底 と す れ ば,KB/Fpの

行 列(SKB/Fpωiωj)の

  証 明  KBのFpに

そ れ ぞ れKB,Fpの

関 す る基 底

と り δγi=κiと

お け ばκ1,

関 す る 基 底 で あ る. 

で あ る が,〓Bの〓pに

関 す る 基 底 が 互 い に 可逆 行列 で うつ れ る こ とか ら は 単 数 で あ り,  が 得 ら れ る. 

  例 題1  d(KB/Fp)を KB,Fpの

KB/Fpが

(証 終)

相 対 局 所 体 の と き,θ

生 成 す れ ば, 

がKBの

が な り た つ.こ

整 数 で,d(θ,KB/Fp)が こ に〓B,〓pは

それ ぞれ

整 数 環 で あ る.

  解 Θ=(θ(i))j−1),(i,j=1,…,t,t=(KB:Fp)),と

お き,一

方〓Bの〓pに

関 す る1つ

の 基 底 ω1,…,ωtに

び 

とお け ば,上

つ い て 

に よ っ てdet(αjk)が

の定 理 お よ

単 数 と な る か ら で あ る. (以 上)

 相 対 局 所 体KB/Fpの

共 役 を 一 般 にKBσ

を あ らわ す とす る.KBの 定 理5.6に

と か き,σ

整 数 α で あ っ て 

よ っ て と る と,α− ασ はKBとKBσ

とな る も の を

とを 共 に 含 む よ う な 局 所 体

の 整 イ デ ア ル を 生 成 す る.そ の イ デ ア ル はKBの ったx−xσ

は 共 役 写 像 

す べ て の 整 数xに

つい て つ く

全 体 で 生 成 され る イ デ ア ル と一 致 す るか ら α の と り方 に よ ら な い

で 定 ま る.こ

れ を 

う.σ=1(=id)な  定 理5.8 

とか い てKB/Fpの らば 

相 対 局 所 体KB/Fpの

要 素,ま

た は σ 要 素 とい

で あ る. 共 役 差 積d(KB/Fp)はKB/Fpの

と して 

とあ らわ され る.積

要 素 の積

は 恒等 写像 以 外 のす べ

て の 共 役 写 像 を わ た るの で あ る.   証 明  KB,Fpの る と,α

整 数 環 を そ れ ぞ れ〓B,〓pと し, 

の 特 性 多 項 式 が  とな る.故 に 定 理5.6か

 定 理5.9  写 像 の1つ

とな る α を と

の 形 に か け る こ とか ら,  ら 本 定 理 が 得 られ る. 

(証終)

KB/K′B′,K′B′/Fpが 共 に 相 対 局 所 体 で あ る とき,K′B′/Fpの 共 役 を τ と し,τ

の 延 長 と な るKB/Fpの

共 役 写 像 を 一 般 に τ′ とか

が な りた つ.こ

け ば, 

こ で 積 は τ の延 長 とな る

す べ て の τ′ に わ た る の で あ る.   証 明 

と し て よ い.KB,KB′,Fpの

 を 

か け ば,α f(x)の

整 数 環 を そ れ ぞ れ〓B,〓B′,〓pと し,

と な る よ う に と る.KB/K′B′

のKB/K′B′

の共役 写像 を一 般 に

に 関 す る 特 性 多 項 式 は 

で あ る か ら,

係 数 に す べ て τ を ほ ど こ し て 得 られ る 多 項 式 をfτ(x)と の 生 成 元 と し て 

が,fτ(x)−f(x)の

が 

係 数 が す べ て 

λ と

す る と き, が とれ る

で わ り切 れ る か ら, 

で わ り切 れ る.一 方 前 定 理 に よ り

で あ り,こ の 右 辺 は 定 理5.4に

よっ て 単 位 イ デ ア ル と な る. 

(証終)

  5.4  相 対 代 数 体 の 分 岐 理 論  定 理5.10  れ るFの

K/Fを

相 対 代 数 体,BをKの

素 イ デ ア ル,pをBで

素 イ デ ア ル と し,KBをKのB進

ば,K/Fの

共 役 差 積d(K/F)のB成

体,FpをFのp進 分 はKB/Fpの

わ り切 体 とす れ

共 役 差 積d(KB/Fp)に

等 しい.  証 明  μ∈Kが

す べ て のBに

つ い てd(KB/Fp)−1に

任 意 の 整 数 α に つ い て  り切 るKの 定 理4.3に Fpの

素 イ デ ア ル をB1,…,Brと

をKB1の

整 数 で あ る.そ

し,KのBi進

整 数,従

れ が す べ て のpに

す れ ば,

って μ はd(K/F)−1に

つ い て な りた つ の で あ る か らSK/Fα μ 属 す.逆

に μ∈d(K/F)−1と

し,α1

い て 

整 数 α を とれ ば,SK/Fα μ は 整 で あ り,ま た  が す べ てFpの

に か か れ た 跡 の 関 係 式 か ら 

はFpの

整 数 とな る.故 に 上

整 数 で あ る.B1と

任 意 の 素 イ デ ア ル が とれ る か ら,結 局 す べ て のBに

してKの

つ い て 

な る. 

と (証終)

 こ の 定 理 と定 理5.4,定

理5.5か

ら直 ち に 次 の2つ

 定 理5.11  (共 役 差 積 の 連 鎖 律)  K/K′,K′/Fが d(K/F)=d(K/K′)d(K′/F)で

共 役 差 積d(K/F)はBがK/Fで で わ り切 れ る.BのK/Fに か もBがeと

の 定 理 が 得 られ る. 共 に 相 対 代 数 体 な ら ば,

あ る.

 定 理5.12  (判 別 定 理)  K/Fが

で わ り切 れ る.し

のpを わ

とな り,こ の 右 辺 は

整 数 とす る.十 分大 き なmにつ と な るKの

こ で1つ

体 をKBiと

よ っ て 

整 数 で あ る.こ

はFの

はFpの

属 した とす る と,Kの

相 対 代 数 体,BがKの

素 イ デ ア ル な らば,

分 岐 す る と き,ま 関 す る 分 岐 指 数 がeで 互 い に 素 な と き,ま

た そ の と き に か ぎ りB

あ れ ば,d(K/F)はBe−1 た そ の ときにか ぎ って

Be−1は

ち ょ う どd(K/F)のB成

 例 題1 

定 理5.11を

 解  K,K′,Fの

分 と な る.

直 接 証 明 せ よ.

整 数 環 を そ れ ぞ れ〓K,〓K′,〓Fと

と す れ ば,任

意 の 

す る. 

に つ い て 

故に

次 に 

と す れ ば,任

に つ い て   定 理5.13 

意 の 

故 に  K/K′,K′/Fを

d(K′/F)s,(s=(K:K′)),で  証 明  定 理5.11の

(以 上)

相 対 代 数 体 と す れ ば,d(K/F)=NK′/Fd(K/K′)・ あ る.

結 果 につ い てK/Fに

関 す る ノ ル ム を と れ ば 得 ら れ る. (証 終) 

定 理5.5の pを

結 果 の ノ ル ム を と っ て 考 え れ ば,K/Fの

わ り切 る す べ て のKの

と が わ か る.従

素 イ デ ア ルBに

っ て 相 対 代 数 体K/Fの

の 素 イ デ ア ルB,pの

相 対 判 別 式 のp成

関 す るd(KB/Fp)の

共 役 差 積,相

分は

積 であ るこ

対 判 別 式 に つ い て,K,F

上 に わ た る積 公 式  が 得 られ る こ と に な る.

 定 理5.14  K/Fに

K/Fが

関 す る共 役 差 積d(θ,K/F)全

 証 明  Fの1つ Brと

相 対 代 数 体 な らば,共

役 差 積d(K/F)はKの

体 の 最大 公 約 イ デ ア ル で あ る.

の 素 イ デ ア ル をp,pを

わ り切 るKの

体 をKBi,Fのp進

体 をFpと

す る.KのBi進

に よ っ て 

素 イ デ ア ル をB1,…, す れ ば,定

とい う直 和 分 解 が で き る.こ とす れ ば θiはKBiの

関 す る特 性 多 項 式 をp(x),θiのKBi/Fpに 上 の 直 和 分 解 か らp(x)=p1(x)…pr(x)が 数 で あ り,a∈Fは 

はd(θ,K/F)を

のK/Fに

関 す る そ れ をpi(x)と

す れ ば,

こ ろ でp(x)はF係 代 入す る

とい う分 解 が 得 られ る. のB1成

ル に 等 しい こ とを 示 す. 

整 数 で あ る.θ

な りた つ.と

理3.17

の 分 解 で 

と直 和 分 解 され る か ら,θ をp′(x)に

演 算 を 両 辺 で 行 な え ば  これ は 

整 数 θの

分 がp′(θ1)で 生 成 さ れ るKB1の で あ るか ら 

わ り切 り,従 っ て 定 理5.6に

よ って

イデ ア

がd(θ,K/F)を

わ り切 る.こ

み て な りた つ か ら,定 こ れ は 定 理5.3に

の整 数

理5.10によ

すべ て の 素 イ デ ア ルBをB1と

っ てd(K/F)はd(θ,K/F)を

含 ま れ る 結 論 で あ る が,さ

成 す る よ う なKB1の 然 数mに

の こ と がKの

単数

γ1を 定 理5.6に

らにp1′(γ1)がd(KB1/Fp)を よ っ て と り,次

つ い て 

はd(KB1/Fp)を

生 成 す る .従

K/Fが

をB,pと

相 対 代 数 体 で σ がK/Fの

の 素 イ デ ア ルDを す る.こ

るKB/Fpの に 等 しい.σ

ガ ロア 群Zの

(証 終)

ガ ロア 群 をGと

わ り切 れ るK,Fの

σ 要 素e(σ,K/F)のD成

す る.

素 イデ アル 分 は,σ

が相

元 σ′で ひ きお こ さ れ る な らば,σ ′ の 定 め

共 役 写 像 を や は り σ とか く と き,KB/Fpの がZの

して

共 役 写 像 で あ る と き,Kを

と り,L/Fの

と り,Dで

の と き,K/Fの

対 局 所 体LD/Fpの

分が

最 大 公 約 イ デ ア ル で あ る. 

有 限 次 ガ ロ ア拡大 体Lを1つ

一 方Lの1つ

っ て 

の よ う な θ が す べ て のBをB1と

と れ る か ら,d(K/F)はd(θ,K/F)の

属

単 数 と な る.

分 す な わ ちd(θ,K/F)のB1成

分 と 等 し く な る.こ

  定 理5.15 

な るK

最 高 次 以 外 の 項 の 係 数 は す べ てpに

生 成 し,p′(θ)のB1成

d(K/F)のB1成

生

分 大 きな 自

単 数 で あ る こ と か ら,p2(θ1)…pr(θ1)はKB1の

一 方p1′(θ1)もd(KB1/Fp)を

含 むFの

に,十

(i=2,…,r)と

θ を と れ ば,p2(x),…,pr(x)の

し,θ1がKB1の

わ り切 る.

σ 要 素 

元 で ひ き お こ さ れ な い と きに は,e(σ,K/F)のD成

分は

1で あ る.   証 明  σ がZの

元 で ひ き お こ さ れ な い と し,Dで

ア ル を〓 ′ と して〓′=〓σ と な るKの D進

体LDの

素 イ デ ア ル〓

か ら,写 像K→K⊂Ω

で α∈B,  り切 れ な い.こ あ る. 

を と る.K,Kσ

部 分 体 と考え られ る か ら 共 にFpの1つ

分 体 で あ る が,そ れ ら は 仮 定 に よ りFp上

値 は 定 理3.15に

わ り切 れ るKσ の 素 イ デ

お よびK→Kσ⊂Ω

よ っ て 同 値 で な い.従 と な る もの が 存 在 し, 

は共に

の 代 数 的 閉 包Ω

の部

の 同 型 写 像 で は うつ れ な い の で あ る に よ っ てKに っ て 

ひ き お こされ る付

で あ る.故 にKの

整数 α

だ か ら,α− ασはDで

れ で 定 理 の 第2の 主 張 が 得 ら れ た.第1の

わ

主 張 は あ き らか で (証終)

 こ の 定 理 と 定 理5.8,定   定 理5.16 

理5.9か

K/Fをn次

ら 直 ち に 次 の2つ

の 定 理 が 得 ら れ る.

相 対 代 数 体,K=K(1),K(2),…,K(n)をK/Fの

役 体 と し,e(i)をK(i)に

対 応 す るK/Fの

共

要 素 と す れ ば, 

で あ る.   定 理5.17  と す る.ま

K/K′,K′/Fを たK/Fの

の と きK′/Fの

相 対 代 数 体 と し,K′/Fの

共 役 写 像 の1つ

を τ

共 役 写 像 で τ の 延 長 と な る も の を 一 般 に τ′ と す る.こ τ 要 素 は す べ て の τ′ を わ た るK/Fの

τ′要 素 の 積 と な る.

す な わ ち  要 素 の積 に 分 解 され る こ とが 共 役 差 積 の 重 要 な 性 質 で あ り,そ

れ が 共 役 差 積 と い う名

の意 味 で も あ る.  定 理5.18 

K/F,L/Fを

相 対 代 数 体 と す れ ば,d(K/F)はd(KL/L)で

わ

り切 れ る.  証 明  KL/Lの1つ K/Fの

の 共 役 写 像 を σ と す る.(KL)σ,Kσ

要 素 を そ れ ぞ れeσ,eσ0と

ま たKL/Lの

す れ ば,前

を ひ き お こ す こ と は な い.故  定 理5.19  d(K2/F)が

K1/F,K2/Fが

に 定 理5.16か

同一 の 共 役 写 像

ら こ の 定 理 の 結 論 を 得 る.  (証終)

相 対 代 数 体 で,そ

れ ら の 共 役 差 積d(K1/F),

互 い に 素 な ら ば,d(K1K2/K2)=d(K1/F),d(K1K2/K1)=d(K2/F),

  証 明  定 理5.11によ あ る が,仮

な りた つ.

っ てd(K1K2/F)=d(K1K2/K1)d(K1/F)=d(K1K2/K2) 定 に よ っ てd(K1/F)￨d(K1K2/K2)が

理 に よ っ てd(K1K2/K2)=d(K1/F).同

 前 に 相 対 代 数 体K/Fに

つ い て は,共

得 られ るか ら前 定

様 にd(K1K2/K1)=d(K2/F)で

こ れ か ら 直 ち にd(K1K2/F)=d(K1/F)d(K2/F)と

積d(θ,K/F)の

共 役 写 像 はK/Fの

異 な る 共 役 写 像 がK/Fの

お よ びd(K1K2/F)=d(K1/F)d(K2/F)が

d(K2/F)で

者 の 方 が大 き い か らeσ￨eσ0で あ る.

共 役 写 像 に よ っ て ひ き お こ さ れ るK/Fの

共 役 写 像 の 一 部 分 で あ り,KL/Lの

に 対 応 す るKL/L,

あ る.

な る. 

役 差 積d(K/F)が

最大 公 約 イ デ ア ル で あ る こ とを のべ た.ノ

すべ て のKの

(証 終) 整 数 の共役 差

ル ムを と っ て 考 え れ ば,あ

らか に 相 対 判 別 式d(K/F)が す べ て のd(θ,K/F)の 公 約 イ デ ア ル に な る.し 一 般 に は 最大 公 約 イ デ ア ル に は な ら な い こ と が 知 ら れ て い る.d(θ,K/F)は det(θ(i)j−1)2で あ った.但

しn=(K:F)で

あ り,θ(i)は 共 役 で あ る.従

き

か し今 度 は 定義 か ら って この よ う

な 行 列 式 の 最 大 公 約 イ デ ア ル が 一 般 に はd(K/F)に を も う少 し一 般 に して,Kか

ら任 意 にn個

な ら な い こ とに な るが,こ

の整

α1,…,αnを

の行列 式

と り,det(αj(i))2と

行 列 式 全 体 の 最大 公 約 イ デ ア ル を 考 え た ら ど うで あ ろ うか.そ

い う

うす る と そ れ はd(K/F)

と 一 致 す る の で あ る.  定 理5.20 

K/Fがn次

を 任 意 に と り,そ

の 相 対 代 数 体 の と き,Kのn個

の共 役

α1(i),…,αn(i)を

の整数

α1,…,αn

な らべ て つ く っ た 行 列(αj(i))の

列 式 の 平 方 全 体 の 最 大 公 約 イ デ ア ル はK/Fの

相 対 判 別 式d(K/F)に

等 し い.

 証 明  定 理 に い う行 列 式 の 平 方 は 行 列(SK/Fαkαl),(k,l=1,…,n),の 式 に 等 し い.pをFの ア ル と し,Bi進 理5.7に

素 イ デ ア ル,B1,…,Brをpを 体KBi,p進

よ り,〓Bi/〓pの

体Fpの 基底

=1,…,ni),がd(KBi/Fp)を p指

数 は 

近 く,そ

の 他 のBjの

αi,niを と り,こ

わ り切 るKの

に,Biの

(k,l

定 め る 付 値 に つ い て は ω1,…,ωniに

定 め る 付 値 に つ い て は0に

っ て,(SK/Fαkαl)は 

十 分 近 いKの

にdet(SK/Fαkαl)のp指

数 は 

つ い て い え る か ら 定 理 が 得 ら れ る. 

と し,L/Kに

のL/Fに

る か らT=T′

し,BのK/Fに とす れ ば,B′

わ り切 れ ず,e/e0がpのベ

(証 終)

ガ ロ ア 群 をG,L/K

で あ る.B′

な わ ちBがK/Fで

に 等 しい .

岐 群 を そ れ ぞ れT,Vm

のL/Kに

関 す る分 岐 指 数 はee′

様 にe′ に つ い てe0′ を 定 め る.T/V1,T′/V1′ 理4.22).V1,V1′

よ

ず ヒル ベ ル トの 理 論 に

とす る,L/Fの

関 す る分 岐 指 数,B′ のL/Fに

と な る た め に は,e=1す

らにe0をpで

理4.3に

ガ ロ ア 拡大 体 とす る.Lの

関 す る惰 性 群,第m分

関 す る そ れ ら を そ れ ぞ れT′,Vm′

素 イ デ ア ル をBと

で わ り切 れ るKの 関 す る分 岐 指 数 を

で あ る.T⊃T′

であ

不 分 岐 な こ とが 必 要 十 分 で

キ と な る よ うな 自 然 数 とす る.同 の位 数 は そ れ ぞ れe0e0′,e0′ とな る(定

の 位 数 は こ の こ とか らそ れ ぞ れee′/e0e0′,e′/e0′で あ ら わ され る.

V1⊃V1′ で あ るか ら,V1=V1′

とな るた め に は,e/e0=1す

な い こ とが 必 要 十 分 で あ る.V1=V1′ あ る.

含 むFの

とす れ ば,T′=T∩G′,Vm′=Vm∩G′

そ れ ぞ れe,e′

あ る.さ

相 対 代 数 体,LをKを

を と り,B′

の そ れ をG′

整 数 αi,1,…,

す れ ば,定

 判 別 定 理 の ヒ ルベ ル トの理 論 を 用 い た 別 証 を のべ て お こ う.ま

素 イ デ ア ルB′

十分

を 対 角 形 に な ら べ た 行 列 と 十 分 高 いpの

ベ キ を 法 と し て 合 同 で あ る.故

つ い て 補 足 す る.K/Fを

す れ ば,定

と す れ ばd(K/F)の

れ ら を 辞 書 式 に な ら べ て α1,…,αnと

こ の こ と が 任 意 のpに

素 イデ

つ い て, 

生 成 す る. 

で あ る.次

行列

整 数 環 を そ れ ぞ れ〓Bi,〓pと

ω1,…,ωniに

行

な わ ちeがpで

な ら もち ろ ん す べ て のmに

わ り切 れ

つ い てVm=Vm′

で

 こ れ だ け た しか め て お い て 判 別 定 理 の証 明 に うつ ろ う.σ ∈Gに るL/Fの

要 素 をe(σ,L/F)と

か く.定

σ∈Vmは  のB′

つ い てLσ

義 か ら σ∈Tは 

に対応 す

と 同 等 で あ り,

と同 等 で あ る.故に 

指 数 は ち ょ う ど 

d(L/K)のB′

で あ らわ さ れ る.同

指 数 は 

とな る.そ

を 用 い る こ とに よ っ てd(K/F)のB指

数 は 

で あ た え ら れ る.BがK/Fで たが,T=T′

不 分 岐 で あ る こ とはT=T′

な ら もち ろ んVm=Vm′,(m=1,2,…),で

で 不 分 岐 な こ と とd(K/F)のB指

数 が0で

が 互 い に 素 で あ る こ と と,す 等 で あ った が,上

様に

こで 定 理5.11

と同 等 で あ っ

あ るか ら,こ

れ でBがK/F

あ る こ と とが 同 等 と な る.次 に,eとBと

べ て のm=1,2,…

に つ い てVm=Vm′

とな る こ と とが 同

の式 に よ っ て そ の こ とは さ らにd(K/F)のB指 に 一 致 す る こ と と同 等 で あ る.こ

数 が 

れ で判 別定 理 の主張 がすべ て証

明 され た.  有 理 数 体Qに1のベ ζ が1の

原 始m乗

キ 根 ζ を 添 加 して 得 ら れ る代 数 体F=Q(ζ)を 根 で あ る と きに はFを

を 添 加 して も生 じ るm分

円 のm分

体 は 同 一 で あ る.1の

体 とい う.1の

原 始m乗

属 す か ら,F/Qは

ガ ロ ア 拡大 体 で あ る.F/Qの

て 

に よ っ てaσ ∈Zを

とれ ば, 

ガ ロ ア群Gの

はGか

らmodmの

の 中 へ の 同 型 写 像 を あ た え る.故 にF/Qは

ア ーベ ル 拡大 体 で あ る.

  例 題2 

根(m≧2)な

は 単 数 で あ る.mが2つ  解  ζ′は

原 始m乗

に よ り ε は 整 数 で あ る.ζ る.故

ζ′=ζaと

元 σ に つい 既約 剰余類 群

ζ 自 身 が 単 数 で あ る.

あ ら わ さ れ る か ら, 

と ζ′ を と りか え て 考 え れ ば ε−1も ま た 整 数 で あ

に ε は 単 数 で あ る.次

にmが2つ

の 異 な る 素 数p1,p2で

と し,f(x)=(xm−1)(xm/p1p2−1)(xm/p1−1)(xm/p2−1)と 項 式 でf(ζ)=0,f(1)=1.故

にf(1)=1が1−

わ り切 れ る

お く と,f(x)は ζ の 倍 数 と な り,1−

(以 上) 素 数 な ら ば,pの

Fは 

ベ キpν(ν

次 で あ り,pはF/Qに

素 数(で 生 成 さ れ るZの のFに

素 イ デ ア ル)はF/Qに

お け る 素 因 子 はB=(1−

こ で ζ は1の

多 ζは単

数 で あ る.   例 題3 pが

根

ら ば, 

以 上 の 素 数 で わ り切 れ れば1−

ζ のベ キ と し て

ど の 原 始m乗

根 の 共 役 は や は り1の 原 始m

乗 根 でFに

ζ,ζ′ が 共 に1の

円 分 体 と い う.

任 意 の 原 始pν

ζ)で

≧1),に

つ い て,円

のpν

お い て 完 全 分 岐,p以 お い て 不 分 岐 で あ る.ま

分体 外の たp

あ た え ら れ る 単 項 イ デ ア ル で あ る.こ

根 で あ る.

  解 

はFに

お い てすべ て の1の 原 始pν れ る.ζ,ζ ′を2つ て(1−

乗 根 を わ た る 積 と してf(x)Π=(x−

の 原 始pν 乗 根 とす れ ば,前

ζ)=(1− ζ′)で あ る.そ

p=Π(1−

に 定 理4.4に

理5.14に

お く と,

お い て 

が

よ っ て(F:Q)=pν−1(p−1)で

素 イ デ ア ル で な け れば な ら な い. 

か ら,定

例 題 に よ り単 項 イ デ ア ル と し

分 解 式 に お い てx=1と

ζ),従 っ て 単 項 イ デ ア ル と し てFに

な りた つ.故 はFの

こ でf(x)の

ζ)と 分 解 さ

あ り,(1−

な ら 

よ っ てd(F/Q)はB以

外 のFの

である 素 イ デ ア ル で は わ り切

れ な い.   例 題4 

(以上) 任 意 の有 理 整 数m≧1に

体 で あ る.mを が,ま

つ い て 円 のm分

素 ベ キ 分 解 してm=p1a1…prarと

体Fはφ(m)次

す れ ば,F/Qで

の代 数 はp1,…,pr

た そ れ ら だ け が 分 岐 す る.

  解  円 のpiai分 で あ る か ら,前 不 分 岐,ま Fi/Qで

ζ)=B

体 をFiと

し,Fi′=F1…Fi−1Fi+1…Frと

例 題 お よ び 定 理5.18に

お け ば,F=F1…Fr

よ っ てp1,…,pr以

たp1,…,pi−1,pi+1,…,pr以

外 の 素 数 はFで

外 の 素 数 はFi′ で 不 分 岐 とな る.piは

完 全 分 岐 で あ る か らFi∩Fi′=Qで

な け れ ば な らな い.こ

の こ とか ら

が 得 られ る. (以上)  これ でF/Qの  例 題5 

ガ ロア群 はmodmの

正m角

既 約剰余 類 群 と同型 にな る.

形 が 定 規 と コン パ ス で 作 図 で き る た め に は,φ(m)が2の

ベ キ で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.   解  定 規 と コン パ ス で 作 図 で き る 量 は 有 理 数 体 上 に2次 み 重 ね て 得 られ る体 に 入 り,逆 も い え る.ま に1の

原 始m乗

た 正m角

根 の 位 置 を 作 図 す る こ と で あ る.円

形 の作 図は 単 位 円周 上 のm分

次 の アー ベ ル 拡大 体 だ か ら本 例 題 に い う結 論 を 得 る.   1の 原 始m乗

根 の す べ て を,そ

の 拡 大 体 ば か りを つ

体 はQ上

φ(m) (以上)

し て そ れ だ け を0点 に もつ 単 多 項 式 

を 円 周 等 分 多 項 式 とい う.  例 題6 Φm(x)はQで   解  例 題4に

既 約 で,Z[x]に

よ り,Φm(x)は1の

属 す.

原 始m乗

根 のQ上

の 最 小 単多 項 式 で

あ る. 

(以 上)

 例 題7  μ を メ ビ ウス の 関 数 とす れ ば,  はmの

約 数d>0を

わ た る.

  解 

と 定 理2.28と

  例 題8 

で あ る.積

素 数pのベ

か ら 得 ら れ る. 

キpν,(ν ≧1),に つ い て ζ を1の

円 のpν 分 体,〓FをFの

整 数 環 とす れ ば, 

す れ ば 

に 等 し く,ま たB=(1−

キ で あ るか ら,d(F/Q)を

考 え れ ば よい.π=1−

ζ)と

ζ とお き,F/Qの

求 め るには そ の指 数だ け を

ガ ロ ア群Gの

元 σ に つ い て 

数 をυ(σ)と す る と,分 岐 群 の 性 質 お よ び 定 理5.16か に 等 しい. 

B指 数は  共 役 差 積 はd(F/Q)を F/Qに

のF/Qに

で あ る.

  解  d(F/Q)はBのベ

らd(K/F)の

で あ るか ら,ζ のF/Qに

生 成 し,従

っ て 定 理5.2か

ら 

関す る

とな る.ζ

関 す る特 性 多 項 式 は 

か ら,  る.こ

原 始pν 乗 根,Fを

で あ る.ζ

関 す る 共 役 差 積d(ζ,F/Q)は 

のB指

(以 上)

である

とお け ば, 

とな

こ で 

と い う式 を 用 い れ ば,  得 られ る.イ   例 題9 

場 合 は 

が

デ ア ル と して は 

素 数pのベ

はp≡−1(mod4)か

で あ る. 

キpν,(ν ≧1),に つ い て 円 のpν 分 体Fの ま た はpν=22な

ら 

(以上) 判 別 式d(F)

に 等 し く,そ

の他 の

で あ る.

  解  1の 原 始pν 乗 根 の1つ はFの

の

整 数 の 基 底 を な す.従

ζ のF/Qに

で あ り,前

を ζ とす れ ば,前 例 題 に よ っ て1,ζ,…,ζφ(pν)−1 っ てd(F)は

関 す る 共 役 差 積 をd(ζ,F/Q)と

例 題 に よ り 

で あ り,ま たNF/Qζ

ζ の 判 別 式d(ζ)と す れ ば,5.2に

一 致 す る.

の べ た よ うに

で あ る.  はF=Qす

で あ る.以 下 こ の 場 合 を の ぞ け ば,

な わ ちp=2,ν=1の

場 合 以 外 は1

と な る.p≡1(mod

4)な

ら φ(pν)(φ(pν)+1)≡0(mod

ら φ(pν)(φ(pν)+1)≡2(mod +1)≡2(mod

4)で

4).ま

たp=2な

4),p≡−1(mod らν=2の

4)な

と き φ(pν)(φ(pν)

そ の 他 の と き は φ(pν)(φ(pν)+1)≡0(mod

4)で

あ るか ら

求 め る 結 果 を 得 る.(以  例 題10 

上)

自 然 数m≧2の

をF,1の1つ

の 原 始m乗

致 す る.Fiを d(Fr/Q),ま

円 のpiai分 たFの

素 ベ キ 分 解 をm=p1a1…prarと

し,円

根 を ζ と す れ ば,Fの

〓FはZ[ζ]と

体 とす れ ばF/Qの

整 数環

のm分

体 一

共 役 差 積 はd(F/Q)=d(F1/Q)…

判 別 式 はd(F)=d(F1)m1…d(Fr)mr,(mi=φ(m)/φ(piai)),

で あ た え ら れ る.  解 

一般 にK,Lが

そ れ ぞ れm,n次

従 っ て 当 然K∩L=Qと α1,…,αmお

な っ て い る も の と し,L,Kの

よ び β1,…,βnと

に 素 な ら ば,定

理5.19に

す る.こ

よ っ てdet

… ,αmβnはKLの

A  B=(det

っ てd(KL/Q)

テ ンサ ー 積A  A)n(det

に2.3例

互い

共役を

β1(j),…,βn(j),(1≦j≦n),で

B)mで

題10に

整 数 の 基 底 で あ る.従

も 得 ら れ る.以

  K/Fを

共役を

の 行 列A=(αk(i)),B=(βl(j))の

が な りた つ.故

  5.5 

の と き も しd(K/Q)とd(L/Q)が

い う 関 係 が な りた つ.α1,…,αmの

αm(i),(1≦i≦m),β1,…,βnの

理1.33に

整 数 の基 底を それ ぞれ

よ っ てd(KL/Q)=d(K/Q)d(L/Q),従

=d(K/Q)nd(L/Q)mと

し,2つ

の 代 数 体 で,(K:Q)(L:Q)=(KL:Q),

Bを

α1(i),…, あ らわ

つ く る と,定

あ る か ら, 

よ っ て α1β1,…,α1βn,…,αmβ1, っ て 同 時 にd(KL)=d(K)nd(L)m

上 の こ と を 用 い れ ば 直 ち に 求 め る 結 果 を 得 る. 

(以 上)

多項 式 の分 解 と素 イデ アル の 分解 相 対 代 数 体 と す る と き,Fの

キ 分 解 さ れ る か と い う こ と は,い る 問 題 で あ る.こ

素 イ デ ア ルpがKで

ろ い ろ の 立 場 か ら考 え る こ との で き る 興 味 あ

こ で は あ る 多 項 式 のmod

pで

ベ キ 分 解p=B1e1…Brerと

の 関 係 を し ら べ る.

 定 理5.21 

の 相 対 代 数 体,θ

K/Fをn次

どの よ うに 素 ベ

の 分 解 とpのKに

をK=F(θ)と

お け る素

な る 整 数,f(x)を

θ のFに

関 す る 最 小 単 多 項 式 と す る.d(K/F)をK/Fの

相 対 判 別 式,d(θ,K/F)

を θ のK/Fに

関 す る 相 対 判 別 式 と し,d(θ,K/F)=d(K/F)fθ

整 イ デ ア ルfθ

を 定 め る.こ

い てf(x)がmod

の と き,fθ

p=B1e1…Brerと   証 明  K,Fの

と互 い に 素 なFの

pでf(x)≡p1(x)e1…pr(x)er(mod

る な ら ば,(pi(θ),p)=BiはKの

整 数 環 をそれ ぞれ

を 考 え れ ば,こ

る.さ

元 で,左

辺 も そ うで あ

こ で 仮 定 の よ う にf(x)=p1(x)e1… の 素 イ デ ア ル を 生 成 し,p1(x)e1…

f(x))と

な る 最 小 の 指 数 系 がe1,…,erで

あ る.す

が あ れ ばei≦ei′,(i=1,2,…,r),で

れ ら の こ と を 〓Kへ

たpを

こ こで

辺 は 〓F上n次

す れ ば,pi(x)は 

イ デ ア ル を 生 成 す る.い

域 〓F[θ]の

然 な 準 同 型 

れ は 全 写 で あ る が,右

様 の 性 質 を も つe1′,…,er′

ル で,ま

お け る 分 解は

〓K,〓Fと す れ ば 仮 定 に よ りpは

で あ る.そ

pr(x)er≡0(mod

既 約 因 子 分 解 され

従 っ て 

る か ら, 

な い.こ

p)と

自 然 に う つ し て 考 え れ ば,ま

わ り切 るKの

な わ ち,同 なけ れ ばな ら

ずpi(θ)が

い か え れ ば(pi(θ),p)=Biがpを

〓Kの 素

わ り切 る 素 イ デ ア

任 意 の 素 イ デ ア ル は そ の よ うなBiの

ら にe1,…,erは,B1e1…Brerがpを

うち に あ

わ り 切 る よ う な 最 小 指 数 系 で あ る.

従 っ てp=B1e1…Brer.   ζ2+ζ+1=0を は5.4例

題8に

 例 題1 

つ

な る.

pで の 類 を すべ て ∼ で あ ら わ し,自

pr(x)erと

素 イ デ ア ルpに

素 イ デ ア ル で,pのKに

導 手 と互 い に 素 だ か ら,  mod

に よ っ てFの

(証 終)

満 足 す る ζを と る.こ れ は1の

原 始3乗

根 で あ る.Q(ζ)に

お い て1,ζ

よ っ て 整 数 の 基 底 を な す.

円 の3分

体Q(ζ)に

お け る 素 数pの

分 解 をx2+x+1のmod

p

で の 分 解 か ら 求 め よ.  解  x2+x+1≡(x−1)2(mod x2+x+1≡(x−a)(x−b)(mod p=(3,ζ−a)(3,ζ−b).p≡−1(mod らpはQ(ζ)で でfζ=1で

3)に p)と

よ り3=(3,ζ−1)2,p≡1(mod な る  3)な

ら

が あ り, らx2+x+1はmod

も 素 イ デ ア ル を 生 成 す る.今 あ る. 

3)な

の 場 合 定 理5.21に

pで

既約 だか お け る意味 (以 上)

 さ て,定 い.そ

理5.21の

方 法 はfθ を わ り切 る 有 限 個 の 素 イ デ ア ル に つ い て は 適 用 さ れ な

の 欠 点 を の ぞ い て す べ て の 素 イ デ ア ル の 分 解 を 同時 に 知 る こ とが で き る よ うに す

る た め に も う少 し くわ し く考 え る.ま  例 題2 

Fが

代 数 体,f(x),g(x),h(x)がm個

数 の 多 項 式 で,同 Fの

ら ばab=cで

あ る とす る.こ

係 数 で 生 成 され る

の と きf(x)g(x)=h(x)な

あ る.

 解  1.4例

題3と

同 じ方 法 で で き る.Fの1つ

数 を そ れ ぞ れa,bと

し,a,b

辞 書 式 整 頓 に お い て,係

数 のp

あ る よ う な 最 初 の 項 を 

と す れ ば,h(x)のx1a1+b1x2a2+b2… にcのp指

の 素 イ デ ア ル をpと

す る.f(x),g(x)の

指 数 が そ れ ぞ れ ち ょ う どa,bで

る.故

の 変 数x1,…,xmのF係

類 項 は 整 頓 さ れ て い る も の と し,f,g,hの

イ デ ア ル が そ れ ぞ れa,b,cで

のp指

ず 次 の 例 題 を と りあ げ る.

の 係数

数 がa+bに

γ のp指

な る.pは

数 は ち ょ う どa+bで

あ

任 意 で よ い の で あ る か らab=cで

あ る. 

(以 上)

 こ の 例 題 に お け る イ デ ア ルaを f(x)の

内 容 とは,同

多 項 式f(x)の

内 容 と い う.す

類 項 を ま とめ て 整 頓 した と き のf(x)の

な わ ち 一 般 に多項 式

係数 の最大 公約 イデ アルで

あ る.  これ だ け の 準 備 に よ っ て 次 の 非 常 に 面 白 い 定 理 が 証 明 で き る が,証 純 で あ って も実 際 に は 少 し長 くな る の で,か

明は理 論 的に は単

な り簡 略 な 書 き 方 を す る と こ ろ も あ る こ と

を こ とわ っ て お く.  定 理5.22 

K/Fがn次

相 対 代 数 体,〓K,〓Fが

とな る  り,K/Fの

そ れ ぞ れK,Fの

を と り,1次

共 役 写 像  とお く.こ

内 容 とpと

の と きpをFの

で,そ

の 元f=f1/f2,(f1,f2∈K[t1,…,tN]),に

に〓F,pを

内 容 を 定 義 す る.fの

お

補 集 合 に よ る 〓K,〓Fの 商 環

れ ら は い ず れ も単 項 イデ ア ル 整 域 で あ り,

素 イ デ ア ル はpだ つ い て,f1の 内 容 はfの

け で あ る.次 にK(t1,…,tN)

内 容 をf2の

内容でわ った イデ ア

分 数 式 に よ る表 示 に よ らな い.そ

分 母 に もた な い よ うなf∈K(t1,…,tN)全 定 義 す る. 

素 イ デ ア ル で,pのKに

は イ デ ア ルpの

とか く.こ

〓K,pの 素 イ デ ア ル はB1,…,Br,〓F,pの

内 容 がpを

任 意 の 素 イ デ ア ル と し,f(x,t)が

な る.

の整 域 を 導 入 す る.1つ

れ ら を そ れ ぞ れ 

ル と してfの

をつ く

い う形 に 既 約 因 子 分 解 さ れ る と す れ

の 最 大 公 約 イ デ ア ルBiはKの

け る 素 ベ キ 分 解 はp=B1e1…Brerと  証 明  まず2種

形 式 

に つ い て 

modpでf(x,t)≡p1(x,t)e1…pr(x,t)er(modp)と ば,pi(x,t)の

整 数 環 の と き, 

体 の な す 整 域 を〓K,pと

で あ る.〓K,pの1つ

こ で,

し,同

の イ デ ア ル をaと

様 すれ

ば, 

は 〓K,pの イ デ ア ル と な るが,任

れ る〓K,pの

イ デ ア ル が(α),(α

で あ るか ら, 

∈K),で

あ れ ば,f=α

つ い て,そ の 内 容 で 生 成 さ

・α−1fで α−1fは〓K,pの

とな り,こ れ で〓K ,pの イ デ ア ル は〓K,pの

1に 対 応 す る こ とが わ か った,そ 項 イ デ ア ル 整 域 で あ る.〓F,pに

イ デ ア ル と 自然 に1対

の対 応 は イ デ ア ル 群 の 同 型 対 応 で あ り,ま た〓K ,pは 単

で あ る こ とを 証 明 す る.仮 と な る 

定 に よ り 

が 存 在 す る. 

とお

ァ ンデ ル モ ン ドの 行 列 式 で 

定 理5.16に

単元

つ い て も 同 様 で あ る.

 次 に 我 々は 

け ば,ヴ

意 のf∈aに

が 得 られ る が,

よ り左 辺 の 内 容 はd(K/F)で

あ る.故 にdet(UΩ)2の

内 容 もd(K/F)で

な け れ ば な ら な い.  

K/Fの

な るn個

共 役 写 像 は 係 数 ご とに 作 用 させ る こ とに よ っ てK(t1,…,tN)/F(t1,…,tN)の の 共 役 写 像 を ひ きお こす か ら,そ

法 で あ ら わ す.Ξ(i)は

れ ら の 共 役 写 像 を や は りf→f(i)の

ち ょ う どそ の 意 味 に な っ て い る.さ

〓F,p上 の 加 群 と し てn個

よ うな 記

て〓K,pは 単 項 イ デ ア ル 整 域

の 元 γ1,…,γnか ら な る基 底 を も つ.今

と し, 

異

簡 単 の た めK(1)=K

をf=f1f2(2)…f2(n)/f2f2(2)…f2(n)と

形 す れ ば,分

母 

に属 し,し

イ デ ア ル 整 域 で あ る こ とか ら,pと の 正 則 元 で,従

か も そ の 内 容 は〓K,pが

互 い に 素 で あ る と して よい.故

っ て 

と を 考 え れ ば,γ1,…,γnは

が な りた つ.と

っ てn次

基 底 に もな る こ とが わ か る.そ

と な る〓F,p上 のn次 こ ろ が,定

正 方 行 列Rが

理5.7か

の 行 列 式 の 平 方 は〓F ,pに お い てd(K/F)のp成

〓F,p

を 意 味す

の 異 な る共 役 写 像 を もち,従

また の

単項

にf2(1)…f2(n)は

と な る.こ れ は 

る が,K(t1,…,tN)/F(t1,…,tN)がn個

変

で あ るこ

こ で 

とれ, 

らわ か る よ うに,右 分 を 生 成 し,左

辺 の 行 列(γj(i))

辺 の 

の 行 列 式 の 内 容 の 平 方 も上 に い っ た よ うに 同 じイ デ ア ル を 生 成 す る.こ の こ とか らdet R の 内 容 はpと

互 い に 素,す   の〓F,p上

な わ ちRは〓F,p上

の1次

の 可 逆 行 列 で あ る.故

結 合 で あ ら わ せ る.こ れ で 

 と し, 

も 同 じ記 号pで

 を 含 む か ら 

が い え た.

あ ら わ す こ とに す れ ば, 

上n次

元 で あ る.一

で あ らわ し,自 然 な 準 同 型  た 結 果 か ら右 辺 は〓K,p/pに

に γ1,…,γnは

方mod

pで の 類 を ∼

を 考 え れ ば,前

等 し く,〓F,p/p上n次

ら ば,pi(x,t)は

 の 素 イ デ ア ル を 生 成 し,p1(x,t)e1…pr(x,t)er≡0(mod

ば,(pi(Ξ,t))で

照)がe1,…,erで

生 成 さ れ る〓K,pの

に 得 られ

元 で あ る.故 に 

そ こ で 定 理 に い う よ うにf(x,t)=p1(x,t)e1…pr(x,t)erな

な る最 小 の 指 数 系(定 理5.21参

は

あ る.故

素 イ デ ア ルBiに

に〓K,p/pへ

f(x,t))と うつ っ て 考 え れ

つ い て,B1e1…Brer=pが

い え る.

〓K,pの イ デ ア ル 群 は〓K,pの

イ デ ア ル 群 と 同 型 で,そ

得 られ る の で あ った か ら,(pi(Ξ,t)の あ る. 

内 容 が 

の 対 応 は 内 容 を と る こ とに よ っ て な ら,B1e1…Brer=pで (証終)

6. 

イ

デ

ー

ル

  6.1  本 章 の 内 容 に つ い て  前 章 ま で に の べ られ た 代 数 体 の 基 本 概 念 は,そ 時 か つ 平 等 に 関 係 す る性 質 を も って い る.た に お い て 同 時 にp進 にp単

の 多 くが,す

と え ば,整

数 とは す べ て の 素 点p

整 数 で あ る 数 で あ り,単 数 とは す べ て の 素 点 に お い て 同 時

数 で あ る数 で あ る.さ

らに,イ

デ アル は そ の 各p成

ノル ムや 共 役 差 積 も そ の 各 局 所 成 分 の 積 で あ る.こ とは,整

べ て の素 点に 同

分 の 積 に 等 し く,

の よ うな 現 象 に 着 目す る こ

数 論 の 中 の い ろ い ろ な 理 論 の 基 礎 づ け に あ た っ て,し

脚 点 を あ た え る も の で あ る.す

で に 前 章 に お い て,共

ば しば 有 用 な 立

役差 積 の理 論 を局所 理 論

に 帰 着 させ る こ と に よ り,そ の 簡 潔 な 基 礎 づ け が 得 られ て い る.  1つ の 素 点 だ け に 関 係 す る 性 質,い

い か え れ ば1つ

のp進

体 の性 質 を あ つ か

う理 論 を 我 々 は 今 ま で 局 所 理 論 と よ び,こ れ に 反 しす べ て の 素 点 に 同 時 に関 係 す る 理 論 は 大 局 理 論 と よん だ が,こ

の 言 葉 を 用 い て い え ば,局

所 理 論 か ら大 局

理 論 を み ち び く とい う進 み 方 が,整

数 論 の 多 くの 問 題 に お け る1つ の 定 形 的 方

法 で あ る とい え る の で あ る.  しか し,大 局 理 論 は 単 に 局 所 理 論 を 全 部 集 め た だ け で で き る もの で は な い. た とえ ば 分 岐 理 論 に して も,局 所 か ら大 局 へ 移 る に は,個

々 の 問 題 に つ い て,

そ れ ぞれ 特 有 の 段 階 が あ らわ れ て い る.一 方に お い て,近

似 定 理(定 理3.2)や

積 公 式(定 理3.21)は,局

所 理 論 と大 局 理 論 と の 関 係 を 比 較 的 一 般 に 示 して く

れ る 原 理 で あ る.  イ デ ー ル も ま た 局 所 と大 局 の つ な が りを,非 常 に 便 利 な 直 観 的 な 形 に あ らわ す 一 般 的 方 法 を あ た え る も の の1つ 各p進

とい う点 で 重 要 で あ る.イ

デ ール 群 は 一 見

体 の 乗 法 群 の 直 積 に す ぎな い.そ れ だ け な らば 単 に 局 所 的 な も の を 全 部

集 め た とい う意 味 以 上 の も の は 持 ち え な い で あ ろ うが,主

イ デ ー ル と い う もの

の 媒 介 に よ っ て,大 局 的 な 性 質 が 都 合 よ く局 所 的 な 性 質 に 分 散 さ れ る.イ ル 類 群 の よ うな も の ま で が,イ

デア

デ ー ル に よ っ て わ か りや す い 形 に な お され る の

で あ る.  本 章 で は,代

数 体 の 基 礎 理 論 の 最 後 の 段 階 と して,イ

項 を 説 明 し,そ の 応 用 と して,第2章

デ ールに 関す る基本 事

で の べ た 単 数 定 理 と類 数 の有 限 性 と に,

ミ ン コ ウス キ ーの 定 理 に よ ら な い 証 明 を あ た え る こ とに す る.こ れ に よ っ て, イ デ ア ル 論 や 相 対 代 数 体 の 分 岐 理 論 だ け で な く,絶 対 代 数 体 に つ い て 第2章 の べ られ た こ との うち,定

理2.35を

の ぞ く全 部 が,や

で

は り付 値 論 的 立 場 か ら

統 一 さ れ る こ とに な る の で あ る.   6.2    Fを

イデ ー ル群 代 数 体,pをFの1つ

の 素 点 と す る.Fのpに

所 コ ンパ ク トな 位 相 体 で あ る.pが ク トな 位 相 群 で あ り,Fpの0で ば,Fp×/Upは

よ る完 備 化Fpは

有 限 素 点 な らばFpの

単 数 群Upは

な い 元 全 体 の な す 乗 法 群 をFp×

離 散 的 な 群 とな る.pが

関 す るFp×

の 直 積 の 元 

実 で あ るか

ずれ の場 合 に も す べ て の素点 に

で あ っ て,成

分 αpの うち

 とな る もの が 有 限 個 しか な い よ う な も の 全 体 の な す 群 をIFと IFの

部分群

 に はUpの

散 的 に な る よ うに,す 位 相 をIFに

入 れ る.こ

な わ ちUFをIFの

をFの 分,さ

らにUFをFの

か き,

らにIF/UFが

離

開 集 合 とす る よ うに 位 相 群 と し て の

の よ うに して 得 ら れ た 位 相 群IFをFの

そ の 元  た はp成

積 空 間 の 位 相 を 入 れ,さ

コ ンパ

で あ らわ せ

無 限 素 点 の と き に は,pが

虚 で あ る か に 従 っ てFpは 実 数 体 ま た は 複 素 数 体 と な るが,い Fp× 自 身 をUpと して 無 限 素 点 に も群U pを 定 義 す る.Fの

局

イ デ ー ル 群,

イ デ ー ル,apをaの

単 イデ ー ル 群,そ

の 元 をFの

局 所 成分 ま 単 イデ ール と

い う.  イデ ール群IFはFp×

の一 種 の制限 直積 であ る.単 イデ ール群UFはUpの

本当の

直 積 であ る.  イデ ール と大 体 同 じ意 味で アデ ール とい う言葉 もよ く用 い られ る.  α をFの0で

な い 元 と し,す べ て の 素 点 に つ い てap=α

p指 数 は 有 限 個 のp以 る.こ

外 で は0で

の よ うな イ デ ー ル をFの

あ る か ら,こ

主 イ デ ー ル,Fの

れ で1つ

とお け ば,α

の

の イ デ ー ル が 得 られ

主 イ デ ー ル 全 体 の な す 群PF

をFの

主 イ デ ー ル 群 とい う.PFはFの0で

同 一 視 され る.位 の 元 をFの

な い 元 全 体 の なす 乗 法群F×

相 群 と して の 剰 余 群CF=IF/PFをFの

イ デ ー ル 類 とい う.イ デ ー ルaで

あ らわ す.単

に イ デ ー ル 類aと

と

イ デ ー ル 類 群,そ

代 表 され る イ デ ー ル 類 をaで

い う と き に も,そ れ が イ デ ー ルaで

代 表 され

る と い う意 味 を 含 め て い る も の とす る.   Fの

イ デ ー ルaのFの

あ る と き,す (a)=Πpmpを て は,α

イ デ ー ルaの

数 がmpで イデ アル

生 成 す る イ デ ア ル とい う.主 イ デ ー ル α に つ い

の 生 成 す る イ デ ア ル はFの

IF/UFはFの

関 す る 局 所 成 分 のp指

べ て の 有 限 素 点 に つ い て 積 を つ く って 得 ら れ るFの

に 等 しい.Fの

元 と して の α の生 成 す る 単 項 イ デ ア ル

イ デ ー ルaで(a)=1と

な る もの がUFの

元 で あ る か ら,

イ デ ア ル 群 と 同 型 で あ る.

  次 に￨￨pを apに

有 限 素 点pに

素 点pに

よ る 正 規 付 値 とす る と き,Fの

つ い て￨ap￨pを￨a￨pと

あ ら わ す.ま

とお き,V(a)をaの

たFの

容 積 と い う.但

わ た る の で あ る.定 理3.21(積

イ デ ー ルaに

し積 はFの

公 式)に よっ てV(a)は

イ デ ー ル に つ い て は 同 一 で あ り,V(a)=V(a)に

イ デ ー ルaのp成

分

つ い て 

す べ て の素 点 を

同 じイデ ール類 に 属す

よ ってイ デ ー ル 類 の容 積 が

定 義 され る.  定 理6.1 

代 数 体Fの

主 イ デ ー ル 群PFはFの

イ デ ー ル 群IFの

離散的

な 部 分 群 で あ る.   証 明  α∈PFが

イ デ ー ル 群 の 単 位 元 の 十 分 小 さ い 近 傍 に 属 し た と す れ ば,

無 限 素 点 を す べ て 含 む 有 限 個 のpに のpに

つ い て は α がp進

に 定 理3.21(積

体Fpの

つ い て は￨α−1￨p<1が 単 数 で,従

公 式)に よ っ て α−1=0,α=1で

な りた ち,そ

って￨α−1￨p≦1で

の他

あ る.故

な け れ ば な ら な い. (証終)

  代 数 体Fの

イ デ ー ル 群 の 単 イ デ ー ル 群 に よ る剰 余 群 は 離 散 的 で あ り,単 イ デ

ー ル 群 は テ ィホ ノ フ の 定 理 に よ っ て 局 所 コ ン パ ク トで あ る か ら,Fの

イデ ール

群 は 局 所 コ ンパ ク トで あ る.ま た 上 の 定 理 に よ っ て イ デ ー ル 類 群 は イ デ ー ル 群 と局 所 同 型 で あ り,従 っ て や は り局 所 コ ンパ ク トで あ る.イ デ ー ル 群 は もち ろ

ん 分 離 的 位 相 群 で あ り,主

イ デ ー ル 群 は 離 散 的,従

群 だ か ら 閉 部 分 群 で あ る(定 理1.61).故 る(1.7例

っ て 局 所 コ ン パ ク トな 部 分

に イデ ール 類群 も分 離的 位相 群 に な

題13).

 定 理6.2 

代 数 体Fに

つ い て定 数

γ>0を

え ら び,Fの

積 が γ よ り大 き い も の に つ い て は,￨α￨p≦￨a￨pがFの な りた つ 主 イ デ ー ル  証 明  Fをn次 を と る.Fの

と し,Fの

す る,cを4bよ

す べ て の 有 限 素 点pに

な る よ う な 有 理 整 数y>0を

を 満 足 す る.故

対 し4b≦￨α1a￨p∞

に 有 限 素 点 に 関 す るp成 と れ ばFの

Mと

す る と,MはFの

ま たbの り た つ.さ

の個数は  がFの

し,aのp指 に 等 しい.こ

α=α ′(α1y)−1は￨α￨p≦￨a￨p

こで 積 はFの

に つ い て4b￨y￨p∞

元

≦￨a￨p∞

イ デ ー ルaで

μ 全 体 の集 合 を

の 元 の 個 数 はynよ

り大 き い.

に つ い て￨μ￨p∞ ≦b￨y￨p∞ が な

と な る.従 方Fの

っ てMの

元

整 数 α0で￨α0￨p≦￨a￨p

つ い て な りた つ も の はFの 分 のp指

る

の ωiを 用 い て μ=

あ ら わ せ るFの

よ り大 き い こ と に な る.一

数 はaのp成

整 数 で あ り,あ

γ と し,Fの

か ら 

す べ て の 有 限 素 点pに

整数 と

容 積 と 同 じで あ り,

で あ る も の を と る.前

す べ て の 無 限 素 点p∞

ら に 

こで さ ら

か り を 考 え て 定 理 を 証 明 す れ ば よ い.

整 数 の 有 限 集 合 で,そ

と り方 か らFの

す べ て の無

体Fpの

分 が す べ てFpの

無 限 素 点 の 個 数 乗 し て 得 られ る数 を

ω1x1+…+ωnxn,(xi∈Z,0≦xi≦y),と

似 定 理)

え ら べ る.こ

容 積 はaの

す べ て の 無 限 素 点p∞

上 に い う 条 件 を み た し,V(a)>γ

の うち 最

理3.2(近

分 がp進

α′ が あ れ ば

≦c￨y￨p∞ が な り た つ よ う な イ デ ー ルaば   cをFの

れ ら のbp∞

主 イ デ ー ル α1が

と れ ば,α1yaの

の無限 素 点

≦cがFの

つ い て α1yaのp成

な る 主 イデ ー ル

有 理 整 数y>0を

お き,こ

り大 き い 定 数 と す れ ば,定

任 意 の イ デ ー ルaに

￨α′￨p≦￨α1ya￨pと

独 立 な も の ω1,…,ωn

に つ い てbp∞=￨ω1￨p∞+…+￨ωn￨p∞,虚

限 素 点 に つ い て な りた つ よ う なFの にFの

す べ ての 素点 につ い て

整 数 で 有 理 数 体 に 関 し て1次

p∞ に つ い て はbp∞=2n−1(￨ω1￨p∞+…+￨ωn￨p∞)と

に よ っ て,Fの

容

α が 存 在 す る よ うに で き る.

実 無 限 素 点p∞

大 の も の をbと

イ デ ー ルaで

数 に 等 しい か らaの

す べ て の 有 限 素 点 を わ た る.と

整 イ デ ア ルaを ノ ル ム は  ころが

な

で あ る か ら,aの な るMの

元 μ0,μ

を 含 む.α=μ0−

(mod a)に

よ っ て￨α￨p≦￨a￨pで

￨μ￨p∞)≦4b￨y￨p∞ ≦￨a￨p∞

の剰 余 類 は2個

限 素 点 に つ い て も￨α￨p∞ ≦2(￨μ0￨p∞+

が 実 な ら こ の 式 の 中 の2は

い ら な い.こ

で 定 理 に い う α の 存 在 が い え た.   こ の 定 理 のaと

の異

μ と お け ば 有 限 素 点 に つ い て は μ0≡ μ

あ り,無

と な る.p∞

少 な く と も1つ

れ

して 特 に 有 限 素 点pに

(証 終) お け る成 分 のp指

数 がFの

あ る イ デ ア ルa

の そ れ と等 し く,ま た 無 限 素 点p∞,iで の成 分 が 正 の実 数 γiで あ る も の を とる.i=1,…, r1に つ い てp∞ ,iが 実,i=r1+1,…,r1+r2に

つ い て 虚 で あ る と して 定 理 を 適 用 す れ ば,

 で あ る か ぎ り￨α(i)￨<γiと す る こ とが わ か る.故 が な りた つ.こ

に γ よ り大 きい 定 数 をCと

れ が す な わ ち 定 理2.39の

厳 密 に い え ば 定 理6.2か

な る 

す れ ば,こ

が存在

のCに

つ い て 定 理2.39

ミ ン コ ウ ス キ ー の 定 理 を 用 い な い 証 明 で あ る.

ら出 る こ と は￨α(i)￨≦ γiで あ る が,γiを

そ れ よ り少 し小 さい

γi′で お きか え る こ とに よ り,等 号 は 除 け る の で あ る.  定 理6.2の な く と も1つ

証 明 の 中 に は,N+1個 の 部 屋 に2つ

以 上 の も の をN個

以 上 が 入 る,と

の部 屋 に わ け て 入 れ れ ば,少

い う形 の 論 法 が 用 い られ て い る.こ

れを デ ィ

リ ク レの 部 屋 割 り論 法 と い う.  定 理6.3 

代 数 体Fの

とす れ ば,CF0はFの

イ デ ー ル 類 で 容 積 が1で イ デ ー ル 類 群CFの

あ る も の 全 体 の な す 群 をCF0

コ ン パ ク トな 部 分 群 で あ る.

 証 明  イ デ ー ル 類 に そ の 容 積 を 対 応 さ せ る 写 像 はCFか 法 群 の 上 へ の 連 続 写 像 で あ る.従 合 を な す.と

ころで

き い イ デ ー ルaに

γ>0を

っ て 容 積 一 定 の イ デ ー ル 類 はCFの

た つ 主 イ デ ー ル α が と れ る.そ

す べ て の 素 点pに

こ でV(a)=γ1>γ

α を と り,apをaのp成

つ い て 

と な るFの 分 と す れ ば,任

が な り た つ.こ

あ る よ う な 素 イ デ ア ルpに

閉 部分 集

適 当 に 定 め れ ば 前 定 理 に よ っ て 容 積 が γ よ り大

つ い て は￨α￨p≦￨a￨pがFの

に つ い て そ の よ うな

ら正 の 実 数 の な す 乗

つ い て は￨α−1a￨p=1と

イ デ ー ルa 意 の 素 点pに

れ か らNp>γ1で

な る.Np≦

γ1と な る 素 イ

デ ア ル はp≦

γ1と な る 素 数pを

っ てFの

有限 素

点pでNp≦

γ1で あ る も の 全 体 お よ び 無 限 素 点 全 体 か ら な る 集 合Sは

有限 集

合 で あ る.Fの Sに

わ り切 る も の し か な い.従

つい て な り

イ デ ー ルbでSに

属 さ な い 素 点 に つ い て は￨b￨p=1で

属 す 素 点 に つ い て は1≦￨b￨p≦

γ1と な り,

あ る も の 全 体 の 集 合 を 考 え る と,

V(a)=γ1と

な る イ デ ー ル で 代 表 さ れ る イ デ ー ル 類 は,上

代 表 さ れ る イ デ ー ル 類 の 集 合Bの の 連 続 像Bも

中 に 含 ま れ る.Bは

コ ン パ ク トで あ り,従

って 容 積 が

の こ と か らBの

コ ン パ ク トで あ る か ら そ

γ1の イ デ ー ル 類 の 集 合 は コ ン

パ ク トな 集 合 の 閉 部 分 集 合 と し て コ ン パ ク トで あ る.故

に そ れ と 同 相 なCF0も

コ ン パ ク トで あ る. 

 定 理6.4  群CF0と

元で

(証 終)

代 数 体Fの

イ デ ー ル 類 群CFは

容 積1のFの

イ デ ー ル のなす

正 の 実 数 の な す 乗 法 群 との 直 積 に 位 相 群 と して 同 型 で あ る.Fの

限 素 点p∞

を1つ

と り,Fの

イ デ ー ル でp∞ 成 分 が 正 の 実 数 で あ り他 の 成 分 が

1で あ る もの 全 体 の な す 群 をHと 群 をHと

無

し,Hの

す れ ば,CF=CF0×Hに

元 で代 表 され る イデ ール類 のなす

よ っ て そ の よ うな 直 積 分 解 の1つ が あ た え

ら れ る.   証 明  群 と して はCFは

た しか にCF0とHと

=a0a1,(a0∈CF0,a1∈H),と は 連 続 写 像, 

の 直 積 で あ る.a∈CFをa

あ らわ せ ばV(a)=V(a1)で

あ り,a→V(a)

は 同 相 写 像 で あ る か らa→a1は

にa→aa1−1=a0も

連 続 写 像 と な り,定

理1.57に

連 続 写 像 で あ る.故

よ っ てCFはCF0とH

との 位 相 群 と して の 直 積 で あ る.   例 題1  代 数 体 の イ デ ー ル 群,イ

(証終) デ ー ル 類 群 は 共 に 完 備 で あ る.

  解  局 所 コ ンパ ク トで あ る か ら定 理1.60に

よ っ て い え る. 

(以上)

 例 題2  代 数 体 の イ デ ー ル 群,イ デ ー ル 類 群 は 共 に 第2可 算 公 理 を 満 足 す る.   解  イ デ ー ル 群 に つ い て は 位 相 の入 れ 方 と各 局 所 体 の 性 質 とか らあ き らか. イ デ ー ル 類 群 に つ い て は,そ れ が イ デ ー ル 群 の 開 連 続 像 で あ る こ とに 注 意 す れ ば よ い. 

(以上)

  6.3  相 対 代 数 体 の イ デ ー ル 群  

K/Fをn次 ま ずIFがIKの をpの

の 相 対 代 数 体,IK,IFを

イ デ ー ル 群 と す る.

部 分 空 間 と考 え られ る こ と を 説 明 し よ う.pをFの

上 に あ るKの

でIFの1つ

そ れ ぞ れK,Fの

の 元 をaと

素 点 とす れ ば,完 し,Fの

備 化KBは

素 点pの

完 備 化Fpを

上 に あ るKの

素 点,B 含 む.そ

こ

す べ て の 素 点B

に つ い てB成

分 がaのp成

写 像 ιはIFのIKの

分 に 等 しい よ うなIKの

中 へ の 群 と して の 同 型 写 像 で あ る.a∈IFのp成

に つ い て  あ るBに

が な りた つ こ と と, 

お い て 適 当 な εB>0に

ι(IF)はIKの

部 分 空 間 と してIFと

を そ の ま まIKの

的 位 相 群 で あ るか ら,IFはIKの

点,Bσ

意 の 相 対 代 数 体K/Fに

を 共 役 写 像 と す る.BをKの

備 化 の一 意 性 か ら σ はKのBに

よ る 完 備 化KBか

な わ ちKBか

分 がaB∈KBの

と き,Kσ のaσ

イ デ ー ル 群IKか

ル 群UKがKσ

をaの

らKσ

イ デ ー ルaが

あ り,そ

共 役 イ デ ー ル と い う.共

役 写 像a→aσ

の イ デ ー ル群IKσ の 上 へ の 群 と して の 同 型 写

の 単 イ デ ー ル 群UKσ

の 主 イ デ ー ル 群PKσ

との

の イ デ ー ルaσ で そ のBσ 成 分 が 

と対 応 し,UK,UKσ

互 い に 対 応 して い る こ とか ら あ き らか で あ る.さ

K/Fが

ら

らKσBσ の 上 へ の 位 相 体 と して の 同 型 写 像 σ で,も

像 を あ た え る が,そ れ が 位 相 群 と して も 同 型 写 像 で あ る こ とは,Kの

とKσ

素

に よ る 完 備 化KσBσ の 上 へ の 位 相 体 と して の 同 型 写 像 σ を ひ き お こ

で あ る も の を 考 え,こ はKの

局 所 コ ンパ ク トな 分 離

閉 部 分 群 と な る(定 理1.61).

σ の 延 長 に な っ て い る も の が 一 意 的 に 存 在 す る.Kの のB成

つ い てIF

に よ っ て 定 ま るKσ の 素 点 とす る.こ の よ うな 素 点 を

共 役 素 点 と い う.完

す.す

上に

同 相 で あ る.

共 役 体, 

を 

Kσ のBσ

がpの

部 分 群 と考 え る こ とに す る.IK,IFは

Kσ をK/Fの

分ap

つ い て な りた つ こ と と は 同 等 で あ るか ら,

  我 々は 以 下 ιの よ うな 記 号 を 用 い ず,任

 

元 を ι(a)と か く と,

ら にKの

も 

ガ ロ ア 拡 大 体 な ら ば,K/Fの

単 イデ ー

の1の 近 傍 が また 主 イ デ ー ル 群PK

に よ っ て 同 型 に な る.特 ガ ロ ア 群 の 元 は す べ てIKの

に

それ 自身 の

上 へ の 位 相 群 と し て の 同 型 写 像 を ひ き お こす わ け で あ る.  定 理6.5 

K/Fが

の ガ ロ ア群Gの

相 対 ガ ロ ア体 の と き,Kの

す べ て の 元 σ に つ い てaσ=aを

の イ デ ー ル 群IFに

属 す こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  証 明  BをKの

素 点 と し,BはFの

つ い て,KのBに

イ デ ー ル 群IKの

よ る 完 備 化KBか

素 点pの らKのBσ

元aがK/F

満 足 す る た め に は,aがF

上 に あ る とす る.σ ∈Gに に よ る 完 備 化KBσ

の上 へ

の,σ Fpの

の 延 長 と な る 同 型 写 像 を や は り σ で あ ら わ せ ば,Fのpに 元 は こ の σ で う こ か な い か ら,a∈IFな

な ら,aのB成 はaBσ

分 をaB,aのBσ

で あ り,従

に 属 す.従

成 分 をaBσ

っ て 

て み れ ば, 

らaσ=aで

あ る.逆

と す る と き,aσ

と な る が,Bσ=Bと

がKB/Fpの

よる完備 化 にaσ=a のBσ

な る σ∈Gだ

け につ い

任 意 の 共 役 写 像 で う こ か な い か ら,aBはFp

っ て 任 意 のBお

よ び σ に つ い て 

と な り,aはIF

の 元 で あ る.   定 理6.6 

(証終) K/Fが

K′ に 対 応 す るGの と す れ ば,IK′

相 対 ガ ロ ア 体,Gが 部 分 群 をG′

そ の ガ ロ ア 群 の と き,K/Fの

と し,K,K′

の 各 元 を う ご か さ な いGの

の 各 元 を う ご か さ な い か らG′ K/Fを

ア 拡 大 体Lを はL/Fの

し,PKの

で あ る.こ

元 はIK′

の 主 イ デ ー ル す な わ ちK′

元

(証 終)

イ デ ー ル 群,主

α がIFに

と り,IK,IFをLの

ガ ロ ア 群Gの

の 元 で あ る.

に 属 す. 

任 意 の 相 対 代 数 体,K,Fの

IK,IF,PK,PFと

イ デ ― ル群 を それ ぞれ

属 した とす る.Kを

イ デ ー ル 群ILの

らKの

イ デ ー ル類群CKの

の 標 準 的 写 像 をIFに

制 限 し,そ

よ び 定 理1.53に

群 と し て 同 型 で あ る.そ 代 数 体 に つ い てCFをCKの

れ をCFか

時 にF

の 同型 写像 を また

うつ す 写 像 で あ る.こ

る の で あ る か ら 連 続 で あ る.故 こ と,お

っ て α∈PF

部 分 群PKIF/PKの

上 へ の 群 と し て の 同 型 写 像 が あ た え ら れ る こ と が わ か る.こ はaPF,(a∈IF),をaPKに

ガ ロ

部 分 群 と 考 え れ ば,α

部 分 群 と 考 え る こ と に よ っ て,同

の イ デ ー ル 類 群CF=IF/PFか

らCKへ

含 むFの

す べ て の 元 に よ っ て そ れ 自 身 に うつ る.従

の こ と か ら,IFをIKの

ι と か く.ι

部 分体

の イ デ ー ル 群 を そ れ ぞ れIK,IK′ 元 はG′

  証 明  IK′ の 各 元 を う ご か さ な いGの

 

成分

の ιはIKか

ら の 写 像 と み て 得 られ

に イ デ ー ル 類 群 が 局 所 コ ン パ トで 分 離 的 で あ る

よ り,CKの

部 分 群 と し て の ι(CF)はCFと

こ で 我 々 は 今 後 ιの よ う な 記 号 を 用 い ず,任

位相 意 の相対

部 分 群 と 考 え る こ と に す る.CFはCKの

閉部

分 群 で あ る(定 理1.61).  イ デ ー ル 類 群 に つ い て も 共 役 写 像 が 考 え ら れ る.Kσ き,Kの

イ デ ー ルaの

共 役aσ

で 代 表 さ れ るKσ

がK/Fの

共 役体 の と

の イ デ ー ル 類 をKの

イデ

ー ル 類aの

共 役 イ デ ー ル 類 と い い,aσ

の イ デ ー ル 類 群CKσ 特 にK/Fが

とか く.Kの

と 共 役 写 像 

イ デ ー ル 類 群CKはKσ

に よ っ て 位 相 群 と し て 同 型 に な る.

ガ ロ ア 拡 大 体 な ら ば,K/Fの

ガ ロ ア 群 の 元 は す べ てCKの

それ

自 身 の 上 へ の 同 型 写 像 を ひ き お こ す.  イ デ ー ル 類 群 に つ い て 定 理6.5に

相 当 す る こ と が ら を 証 明 す る に は1つ

備 が い る.す

な わ ち 次 の 定 理 で あ る.

 定 理6.7 

K/Fが

相 対 ガ ロ ア 体,Gが が 任 意 の2つ

b∈Kが

そ の ガ ロ ア 群 の と き,写

の 

存 在 し て す べ て の σ∈Gに

に つ い て  つ い てaσ=b1−

の準

像 

を 満 足 す れ ば,

σ と な る.こ

こ でb1−σ=b/bσ

で あ る.  証 明  (K:F)=nと

し,K=F(θ)と

と お く.定

中 に は 少 な く と も1つ0で

理1.47に

な る θ∈Kを

と り, 

よ っ て 

で あ る か ら,biの

な い も の が あ らわ れ る.そ

れ をbと

す れ ば,任

意

とい う性 質 を もつ

のbiが  か ら,bに

つ い て もaσbσ=b,す

な わ ちaσ=b1−

σ と な る. 

(証 終)

 こ れ で 次 の 定 理 が 証 明 で き る.  定 理6.8  K/Fの Fの

K/Fが

相 対 ガ ロ ア 体 の と き,Kの

ガ ロ ア 群Gの

す べ て の 元 σ に つ い てaσ=aを

イ デ ー ル 類 群CF(⊂CK)の

 証 明  aを

代 表 す るKの

と はaσ=aσaと

イ デ ー ル 類 群CKの

な るKの

abと

つ い てaσ=b1−

満 足 す る な ら ば,aは

元 で あ る. イ デ ー ルaを

と っ て 考 え れ ば,aσ=aと

主 イ デ ー ルaσ

っ て 前 定 理 に よ り,す

σ が な りた つ よ う なKの

い う イ デ ー ル を 考 え る と 

っ てabはFの

ぞ れCK,CFと

べて

と れ る.

理6.5に

代 表 さ れ る か らCFの

る.   例 題1 

主 イ デ ー ルbが だ か ら,定

イ デ ー ル で あ る.aはabで

い うこ

が あ る と い う こ と で あ る. 

に よ りaσ τ=aστaτが 得 ら れ る.従 の σ∈Gに

元aが

よ

元であ (証終)

K/Fが

相 対 代 数 体 で  す れ ば, 

の と き,K,Fの で あ る.

イデ ール類 群 をそれ

 解  Kを

含 むFの

類 群 をLの

ガ ロ ア 拡 大 体Lを

と り,F,Kの

そ れ ら の 中 へ 入 れ て 考 え る.Kの

イ デ ー ル 群,イ

イ デ ー ルaでa1−

デ ール

σ がL/Fの

ガ ロ ア 群 の あ る 元 σに つ い て 主 イ デ ー ル に な ら な い も の が 存 在 す る こ と を い え ば よ い.Kの1つ な る θ∈Kで

の 素 点 をBと あ り,他

し,Kの

の 成 分 が す べ て1で

イ デ ア ル でB成

分 がK=F(θ)と

あ る も の をaと

す れ ば,aは

る も の で あ る.   定 理6.9 

(以 上)

K/Fが

K′ に 対 応 す るGの CK,CK′

相 対 ガ ロ ア 体,Gが 部 分 群 をG′

と す れ ば,CK′

の 元 はHに

な い(定 理6.8),こ  定 理6.5,定 ル 群,イ

そ の ガ ロ ア 群 の と き,K/Fの

と し,K,K′

対 応 す るK′

元 がG′

元 はG′

なせ

の真 の部分 体 の イデ ール類 で なけ れ ば な ら

れ は 前 例 題 に よ り不 合 理 で あ る.  理6.6,定

理6.8,定

理6.9に

(証 終)

よ っ て,相

対 ガ ロア 体 の イ デ ー

デ ー ル 類 群 に 関 す る ガ ロ ア 理 論 と 類 似 の こ と が ら が た し か め ら れ た.

デ ー ル で あ る と す る.Fの Br,Biに

よ るKの

分 をaBiと

素 点pを

と り,pの

完 備 化 をKBi,pに

をp成

し, 

関 す る ノル ム とい い,NK/Faで

分 とす るFの

れ るFの

がK/Fの

つ こ とは,イ

素 点 をB1,…,

完 備 化 をFp,aのBi成

イ デ ー ル をaのK/Fに

ル ム は 準 同 型 写 像 で あ る.aが

ノ ル ムNK/Faで

関 す る ノ ル ム とい い,Nk/Faで

部 分 体 で あ る 場 合,連

元 と

よ っ て 知 られ る.次 にaをKの

代 表 す る イ デ ー ルaの

イ デ ー ル 類 をaのK/Fに

イ

の 主 イ デ ー ル と して の ノ ル ムはKの

し て の ノ ル ム と一 致 す る こ とが 定 理4.3に イ デ ー ル 類 とす る と き,aを

相 対 代 数 体,aがKの

上 に あ るKの

よ るFの

あ らわ す.ノ

主 イ デ ー ル α で あ る と き に は,α

る.ま

の 元 で あ る.

よ り実 際 大 き い 群Hを

 こ れ か ら イ デ ー ル の ノ ル ム を 定 義 し よ う.K/Fが

す.K′

部 分体

の イ デ ー ル類群 を そ れ ぞ れ

の 各 元 を う ご か さ な いGの

 解  CK′ の 各 元 を う ご か さ な いGの ば,CK′

求 め

鎖 律NK/F=NK′/F°NK/K′

代表 さ あ らわ が な りた

デ ー ル に つ い て も イ デ ー ル 類 に つ い て も 定 義 か ら容 易 に 知 られ

た 局 所 体 の ノ ル ム の 連 続 性 か ら,イ デ ー ル,イ

デ ー ル 類 の ノ ル ム も連 続

写 像 に な る.さ て 重 要 な の は ノ ル ム と共 役 積 との 関 係 で あ る.  定 理6.10 

K/Fをn次

の 相 対 代 数 体,LをKを

含 むFの

有 限 次 ガ ロア

拡 大 体,GをL/Fの こ すGの

ガ ロア 群 とす る.K/Fの

元を

σ1,…,σnと

す れ ば,Kの

互 い に 異 な る共 役 写 像 を ひ き お

任 意 の イ デ ー ルaに

つ い て 

で あ る.  証 明  aがKの1つ ば よ い.qの

の 素 点q以

上 に あ るLの

pと

し,L,FのD,pに

Zと

す れ ば,定

よ っ てDは

のD成

にqに

分は

σ∈Zの

σ∈Zな

よ るKの

等 しい.こ

役 積 もFの

をD,Dが

あ る場 合 に 証 明 す れ

そ の 上 に あ るFの

よ る 完 備 化 を そ れ ぞ れLD,Fp,LD/Fpの

の 上 に あ る か ら,aσ

はNKq/Fpaqに

素 点 の1つ

理3.15に

な ら1で あ る.故

外 で は 局 所 成 分 が1で

こ でaqはaのq成

イ デ ー ル で あ り,p成

ガ ロア群 を

と き に か ぎ っ てqσ,(σ

ら ばaσ

完 備 化 をKqと

素点を

のqσ

∈G),

成 分 に 等 し く, 

す れ ば, 

のD成

分 で あ る.NK/Faもaの

分 以 外 は1だ か ら,D成

分 共

分 だ け が 等 しけ れ

ば そ れ ら は 一 致 す る. 

(証終)

 こ の 定 理 か ら イ デ ー ル 類 に つ い て も ノル ムは 共 役 積 に な る.ま た イ デ ー ル の 生 成 す る イ デ ア ル を 考 え れ ば,イ 4.5が

デ ア ル の ノル ムが 共 役 積 に 等 しい とい う定 理

ふ た た び 得 られ る.

  例 題2 

K/Fがn次

相 対 代 数 体,aがFの

の イ デ ー ル と して の 容 積 をVF(a),Kの す れ ば,VK(a)=VF(a)nで   解  Fの1つ Fのpに

イ デ ー ル と して の 容 積 をVK(a)と

あ る.

の 素 点 をp,そ

よ る完 備 化Fpの

の 上 に あ るKの 任 意 の元

だ か らで あ る. 

  6.4  単 数,イ  代 数 体Fの

イ デ ー ル で あ る と き,aのF

素 点 を一 般 にBと

か け ば,

α に つ い て 正 規 付 値 の 定 義 か ら  (以上)

デ アル 類へ の応 用

単 数 群 はFに

含 まれ る1の ベ キ 根 の 群 と有 限 個 の 生 成 元 を も つ

自 由 加 群(と 同 型 な 乗 法 群)と の 直 積 に な る こ と が デ ィ リク レの 単 数 定 理(定 理 2.41)と して 証 明 さ れ て い る.ま 2.40).こ よ っ て,ミ

れ らの 結 果 は 定 理2.39に

たFの

イ デ ア ル 類 の 個 数 は 有 限 で あ る(定 理

も とづ く も の で あ り,同 定 理 は 定 理6.2に

ン コ ウ スキ ー の 定 理 な しで 得 ら れ る こ とが す で に 示 され て い る.し

か し,デ

ィ リ ク レの 単 数 定 理 や イ デ ア ル 類 数 の 有 限 性 は イ デ ー ル を 用 い て も っ

と直 接 に 導 き 出 す こ とが で き る の で,そ  定 理6.11  ル 群,主

Fを

の 方 法 を こ の 節 で 説 明 し よ う.

代 数 体,IF,UF,PFを

そ れ ぞ れFの

イ デ ー ル 群 とす れ ば,IF/PFUFは

 証 明  PFUF/PF=UFと

イ デ ー ル 群,単

有 限 群 で あ る.

お け ば 位 相 群 に 関 す る 第1同

但 しCFはFの 全 体 の な す 群 をCF0と

イ デ ー ル 類 群 で あ る.容 す れ ば,定

とな る か ら,CF/UFはCF0の

理6.4に

型 定 理 か ら 

積1のFの

ってIF/PFUFは

よ っ てCF0は

コン

コ ンパ ク トで あ る.一 方IF/UF

は 離 散 的 で あ り,従 って  にIF/PFUFは

イデー ル類

よ っ てCF=CF0×H,(H⊂UF),

連 続 像 と な る.定 理6.3に

パ ク トで あ る か らCF/UF,従

イデ ー

も離 散 的 で あ る,故

コ ン パ ク トか つ 離 散 的 で 有 限 群 で あ る. 

 この 定 理 に お け るIF/PFUFはa∈IFを つ して 考 え る こ とに よ りFの

(証終)

そ れ の 生 成 す る イ デ ア ル(a)に

イ デ ア ル 類 群 と 同 型 で あ る.こ

う

れ で類数 の有 限

性 が 得 られ た.  例 題1  Fを に よ っ てFの

代 数 体,IF,PFをFの

イ デ ー ル 群,主

イ デ ー ル 群 と し,UF+

単 イ デ ー ル で 実 無 限 素 点 の成 分 が す べ て 正 な も の 全 体 の な す 群

を あ らわ す.こ

の と きIF/PFUF+はFの

狭 義 の イ デ ア ル 類 群 と同 型 で あ る こ

と を 示 せ.   解  a∈IFに

つ い てaα の 実 無 限 素 点 の 成 分 が す べ て 正 に な る よ うに α∈PF

を と る.α が とれ る こ とは 付 値 の 近 似 定 理(定 理3.2)か ル(aα)の =(ξ)と

イデ ア

属 す 狭 義 の イ デ ア ル 類 に うつ す 写 像 は 準 同 型 写 像 で あ り,(aα) な る 総 正 な ξ∈Fが

あ る か ら,PFUF+が

あ れ ば , 

ル 空 間Rmの

部 分 群Lで,Rmの

パ ク トに な る も の をRmの  定 理6.12 

Lがm次

で

そ の 写 像 の核 で あ る. 

 これ か ら単 数 群 に 関 す る 考 察 に は い ろ う.実

がRに

らわ か る.aを

(以上) 数 体Rの

上 のm次

中 で 離 散 的 で あ り,剰 余 群Rm/Lが

元べ ク ト コン

格 子 群 と い う. 元 実 ベ ク トル 空 間Rmの

関 して1次 独 立 なm個

の 元x1,…,xm∈Lで

格 子 群 で あ る た め に は,L 生 成 さ れ た 自由加群 で

あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.  証 明  十 分 性 は 明 白 で あ る.逆

にLがRmの

ン パ ク ト で あ る こ と か ら,Lは y1,…,ymを ば,L′

も つ.こ

故 に あ る 自 然 数cを がm個

と に か くRに

れ ら のyi全

は 格 子 群 でRm/L′

格 子 群 で あ れ ば,Rm/Lが つ い て1次

体 で 生 成 さ れ るLの

独 立 なm個

⊃cLと

で き る.従

とす れ

は 有 限 群 で あ る.

っ て 定 理1.28に

の 元 か ら な る 基 底 を も つ こ と が わ か る.こ

の元

部 分 群 をL′

が コ ン パ ク トに な る か ら,L/L′

と っ てL′

コ

よ っ てL

れ で 必 要 性 が い え た. (証終)

 以 上 の 準 備 の 下 に 次 の 定 理 が の べ ら れ る.  定 理6.13 

Fを

eFをFの

代 数 体, 

をFの

単 数 群 と す る.p∞,iに

無 限 素 点 の 全 体 と し,

関 す る 正 規 付 値 を￨  ￨iと 略 記 し,ε ∈eFを

 を そ れ ぞ れX1,X2,…,Xr+1座 元 実 ベ ク トル 空 間Rr+1の

点 に うつ す 準 同 型 写 像 をlと

X2+…+Xr+1=0に

よ っ て 定 ま るRr+1の

  証 明  IFをFの

イ デ ー ル 群 と し,UFをFの

Fの

イ デ ー ル で 容 積 が1の

お く と,    IFか

単 イ デ ー ル 群 とす る.ま

れ はIFか

元 に つ い て は 定 理 に い うlと

る こ と に よ っ て わ か る.特

  一 方Fの

格 子 群 で あ る. た

す る. 

と

の 準 同 型 写 像lを 

中 へ 写 像 さ れ る.こ

群 はRで

部 分 空 間Vrの

も の 全 体 の な す 群 をIF0と

に よ っ て 定 め る と,こ

Vrの

す れ ば,l(eF)はX1+

で あ る.

らRr+1へ

eF(⊂PF)の

標 と す るr+1次

ン パ ク トで あ り,UF0はIF0の

と し て の 準 同 型 写 像 と な る.故

たUF0はlに

よっ て

とな

な る.さ

ら にlog￨a￨全

体 の なす

あ る. す れ ば,IF0/PF=CF0は

定 理6.3に

開 部 分 群 だ か ら,PFUF0/PFはCF0の

て 閉 部 分 群 で コ ン パ ク トで あ る.さ らPFUF0/PFへ

の 連 続 写 像 で,

つ い て は 

にl(eF)⊂Vrと

主 イ デ ー ル 群 をPFと

と に よ り,UF0か

一 致 す る.ま

れ はa∈UF0に

あ る か ら,Vr=l(UF0)で

らRr+1へ

ら に ふ た た びUF0がIF0の

開,従

っ

中で 開で あ る こ

の 標 準 的 写 像 は 開 写 像 と な り,従 にPFUF0/PFは

よって コ

って位相 群

位 相 群 と し てUF0/UF0∩PF=

UF0/eFと

同 型 で あ り,UF0/eFは

が コ ン パ ク トで あ り,す  次 にRr+1の

な わ ちVr/l(eF)が

原 点Oの

パ ク トで あ る か ら,定

コ ン パ ク トに な る.こ の こ と か らl(UF0)/l(eF) コ ン パ ク トで あ る.

コ ン パ ク トな 近 傍Hを 理6.1に

コン

よ り 

ン パ ク トで 同 時 に 離 散 的 と な り,有 と な り,l(eF)はVrで

と れ ば,UF∩l−1(H)は

は コ

限 集 合 で あ る.故

離 散 的 で あ る.以

にl(eF)∩Hも

有 限集 合

上 に よ っ てl(eF)はVrの

格子群

で あ る. 

(証 終)

 こ の 定 理 に お い て,eF∩l−1(0)は て そ れ はFに い れ ば,定

含 ま れ る1の 理6.13か

証 明 か ら わ か る よ う に 有 限 群 で あ る.従

ベ キ 根 の 群 で あ る.こ

の こ と と定 理6.12と

な い こ と も定 理6.13に

にお い て,各Aiが つ い てfiの

 例 題2 

単数 規準

群,fiが

準 同 型 写 像 で あ り,す

核 がfi−1の 像 に 等 しい と き,図 式 は 完 全 系 で あ る と い う.

代 数 体Fに

つ い て 記 号 の 意 味 は 次 の と お り と す る.eF:単

UF0:容

積1の

単 イ デ ー ル 群,PF:主

CF0:容

積1の

イ デ ー ル 類 群,gF:主

ア ル 類 群.こ

らにFの

含 まれ て い る.

 図 式  べ て のiに

を用

ら 直 ち に デ ィ リ ク レ の 単 数 定 理 が 得 ら れ る.

  Fに 含 まれ る1の ベ キ 根 が 有 限 個 で あ る こ と も 同 時 に 得 られ た.さ が0で

っ

の と き,次

イ デ ー ル 群,IF0:容 イ デ ア ル 群,GFイ

の 可 換 な 図 式 に 含 ま れ る 縦 横3つ

べ て 完 全 系 で あ る こ と を た し か め よ.

積1の

数 群,

イ デ ー ル 群,

デ ア ル 群,cF:イ

デ

ず つ の直線 図式 はす

参

考

書

 現 在 店 頭 で 簡 単 に 入 手 で き る と思 わ れ る邦 文 の参 考 書 の うち,比

較的 一般 向 きで基 礎的

な も の を あ げ て お く.  高 木 貞 治,代

数 的 整 数 論,(岩

波 書 店).

 代 数 体 そ の もの の理 論 と して は 最 高 峰 で あ る 類 体 論(相 対 ア ー ベ ル 体 の 理 論)を 完 成 した 著 者 が,代

数 体 論 の 基 礎 づ け か ら筆 を お こ して 同 理 論 を 解 説 した もの で,歴 史 的 な 名 著 で

あ る と と もに,現

在 で も整 数 論 を 志 す 者 が 一 度 は 目を 通 す 価 値 の あ る もの で あ る.

 弥 永 昌 吉 編,数

論,(岩

波 書 店).

 上 述 の 類 体 論 を 現 代 的 か つ 総 合 的 な 立 場 か ら くわ し く記 述 した も の で あ る.あ 者 む き で は な い が,類

ま り初 心

体 論 以 外 の 事 項 も 広 く と り入 れ た 大 作 で あ り,豊 富 な 内 容 の 中 に 多

くの 基 本 的 知 識 が 盛 られ て い る.  末 綱 恕 一,解

析 的 整 数 論,(岩

波 書 店).

 代 数 体 の 理 論 とは か な り異 る が,整 た もの で,専

数 論 の 根 本 問 題 の1つ

であ る素数 分布 その他 を のべ

門 家 の 間 で も 現 在 な お す ぐれ た 著 書 と して 広 く利 用 され て い る も の で あ る.

 ボ レビ ッチ ーシ ャハ レビ ッチ,整

数 論,(吉

岡 書 店).

 欧 米 に お い て 現 在 整 数 論 の 典 型 的 な 教 科 書 と して 定 評 の あ る著 書 の 邦 訳 で あ る.か 大 著 で あ る が,重

み の あ る記 述 の 中 に 有 益 な 実 例 の 解 説 な どが は さ まれ,独

なり

特 の味 を も っ

た 入 門 書 で あ る.  もち ろ ん これ ら の教 科 書 だ け で は,整 は な く,ま た,代

数 論 の す べ て の 分 野 へ の 手 引 き が 得 られ るわ け で

数 体 の 理 論 とみ られ る こ と だ け に 限 っ て み て も,新

しい 研 究 が 専 門 の 学

者 に よ っ て 日 々に 行 な わ れ て い るの で あ るか ら,そ の 全 容 を さ ぐ る こ とは 容 易 で な い.し かし  日本 数 学 会 編,数

学 辞 典,(岩

の 種 々 の 項 目を 読 め ば,現 で あ ろ う.ま た,歴  高 木 貞 治,近

波 書 店),

代 の 整 数 論 とい う も の の 概 要 を あ る程 度 は つ か む こ とが で き る

史 的 な 興 味 に 富 む 読 み 物 と して は,

世 数 学 史 談,(共

立 出 版),

が あ る.こ れ は 整 数 論 に 関 す る こ とだ け が 書 か れ て い るわ け で は な い が,著 家 で あ るだ け に,や く説 明 して い る.

者が そ の専 門

は り整 数 論 に は 大 き な 比 重 を か け て,重 要 な 問 題 点 の い くつ か を 面 白

索

ア

イ デ ー ル 群  187

行

イ デ ー ル 類  188

ア デ ー ル  187

イ デ ー ル 類 群  188 移

あ とに あ る  4 ア ーベ ル(Abel)拡

引

動  69

ε近 傍  83

大 体  51

ア ーベ ル 群  7 ―

の 基 本 定 理  36

ア ル キ メデ ス(Archimedes)付

ヴ ァ ン デ ル モ ン ド(Vandermonde)の

値  115

行 列 式  55 ウ イ ル ソ ン(Wilson)の

位  73,84

上 に あ る  148

域  167

上 へ の 写 像  3

位

定 理  102

数  8,10,108

位 数 イ デ ア ル  31

n次 の 代 数 体  89

位

円 周 等 分 多 項 式  179

相  56

位 相 加 群  73

延

位 相 環  73

End  32

長  5

位 相 空 間  56

円 のm分 体  178

位 相 群  69

円 分 体  178

位 相 体  73 位 相 ベ ク トル 空 間  121

オ イ ラ ー(Euler)

1次 結 合  25 1次 独 立  32

―

の 関 数  98

―

の 恒 等 式  166

1対1対

応  3

大 き い  4

1対1の

写 像  3

大 き さ  19

1の ベ キ 根  107

ord  95

一 様 な 距 離  86

カ

一様 連 続  76,84 イ デ アル  12,95,96,129

開 近 傍  58

イ デ ア ル 群  97

開 写 像  60

イ デ アル 類  108

開 集 合  56

イ デ ア ル 類 群  108

階 数1の 

イ デ ール  187

外

積  29

118,119

行

開 被 覆  65

既 約 元  15

下

逆 写 像  3

界  4

可 解 群  160

既 約 剰 余 類  98

可

既 約 剰 余 類 群  98

換  6

可 換 環  7

逆

核  7,12 拡 大 体  42

虚  128 ― の 代 数 体  89

加

群  7

共 役 イ デ ア ル  146,148

下

端  4

共 役 イ デ ー ル  192

合

併  42

共 役 イ デ ー ル 類  194

加 法 付 値  117 非 ア ル キ メデ ス 付 値φ に 対 応 す る―  117 可

約  20

像  3

共 役 元  50 共 役 差 積  164,165,168 ― の 連 鎖 律  173 共 役 写 像  50,192,194

ガ ロ ア拡 大 体  51

共 役 素 点  192

ガロ ア群  51

共 役 体  50

ガ ロ ア(Galois)の 基 本 定 理  52

狭 義 の  108

完 全 系  199

強 近 似 定 理  134

完 全 体  48

行 列 式  33

完 全 不 連 結  64

極

完 全 分 解  157

極 小 元  4

完 全 分 岐  147,152

局 所 化  152

完

局 所 コ ン パ ク ト 65

備  74,84

限  84

完 備 化  76,82,120,128

局 所 数 体  146

完 備 化 す る  76

局 所 成 分  187

完 備 性  120

局 所 体  146

Γ

局 所 的  152

群  9

Γ準 同 型  9

局 所 同 型  72

Γ 部 分 群  9

局 所 理 論  152 極 大 イ デ ア ル  14

基  58,61,65

極 大 元  4

基

極 大 フ ィル タ ー  65

底  32,33,42,103

帰 納 的  4

距

基 本 単 数  113

距 離 空 間  83

既

近 似 定 理  116

約  20

逆 共 役 差 積  164

近

離  83

傍  57

近 傍 系  57

作 用 準 同 型  9 作 用 素  9

ク ロ ネ ッ カ ー(Kronecker)の

記 号  6

3角 不 等 式  83

群  7 次 結

合  3

原 始m乗

元  32

自 己 準 同 型 写 像  32

根  107

自己 同 型 写 像  32

原 始 根  98

格 子 群  197

指

数  8,20,95

次

数  42,89,95,144,145,147

指 数 関 数  137

格 子 点  105

自然 な  5

合 成 体  42

実  128 ― の 代 数 体  89

合

同  12,22

恒 等 写 像  3

射

コ ー シ ー(Cauchy)点

列  84

影  62

主 イ デ ア ル  13

コ ー シ ー フ ィル タ ー  73,84

主 イ デ ア ル 整 域  15

固 有 和  54

主 イ デ ール  187

弧 立 点  63

自 由 加 群  32

根  42

集 積 点  63

コ ンパ ク ト 65

重 線 型  26 収 サ

行

束  65,84

巡 回 拡 大 体  51

鎖  119

巡 回 加 群  31

最 小 元  4

巡 回 群  10

最 小 公 倍 元  15

順 序 加 群  117

最 小 条 件  16

順 序 集 合  4

最 小 多 項 式  41,43

準 同 型  11

最 小 分 解 体  45

準 同 型 写 像  7,70

最 大 元  4

準 同 型 定 理  10,12

最 大 公 約 イ デ ア ル  14

準 連 結 成 分  64

最 大 公 約 元  15

上

界  4

最 大 条 件  16

商

環  18

最 大 不 分 岐 部 分 体  161

商

体  18

最 大 分 離 的 部 分 体  47

上

端  4

作 用 域  9

剰 余 環  12

作 用 環  25

剰 余 空 間  60

剰 余 体  118

全

写  3

剰 余 類  9,97

全 順 序 集 合  4

剰 余 類 環  12,97

全 商 環  18

剰 余 類 群  9

全 有 界  74,84

剰 余 類 別  9 ジ ョルダ ン(Jordan)の

標 準 形  40

疎  63 素 イ デ アル  14,95,130,147

図

式  6

像  3,66 総

正  108

整  22

双 線 型  26

整

相 対 ア ー ベ ル 体  144

域  7

整 イ デ アル  96

相 対 ガロ ア 体  144

正 規 付 値  129

相 対 局 所 体  147

正 規 部 分 群  9

相 対 次 数  145,147,148

制

相 対 跡  144

限  5

制 限 直 積  33

相 対 代 数 体  144

整

相 対 ノル ム  144,146

―

数  89,129 の 基 底  91

相 対 判 別 式  164

整 数 環  90,129,147

相 補 な 基 底  163

生

族  2

成  10,11,13,188

生 成 元  10,13

素

元  15

正 則 元  15

素

数  19

正 則 表 現  33

素

体  45

成

分  20,95,187

素

点  128

整

閉  24

素 ベ キ 分 解  94

跡  54 タ

積  3,14 積 空 間  61

体  7

積 公 式  129,174

第1可

算 公 理  84

絶 対 代 数 体  144

第1同

型 定 理  10

0イ デ ア ル  12

対 角 写 像  5

0因 子  7

大 局 理 論  152

0化 イ デ アル  31

対 数 関 数  137

0点 

42

代 数 体  89

0微 分  46

代 数 的  22

線 型 写 像  25

代 数 的 拡 大 体  42

行

代 数 的 整 数  89

直

和  7

代 数 的 閉 体  43

強

い  59

代 数 的 閉 包  43 第2可

算 公 理  84

T0化 

第2同

型 定 理  10

T0空

間  67

代 表 系  4

T1空

間  68

代 表 元  4

T2空

間  67

互 い に 素  14

T3空

間  68

多 元 環  31

T4空

間  68

多 項 式 環  20

定

惰 性 群  152,157,160

テ ィ ホ ノフ(Tihonov)の

惰 性 体  152

デ ィ リ ク レ(Dirichlet)の

単 位 イ デ ア ル  13

deg 

単 位 群  8

det  33

単 位 単 数  137

デ デ キ ン ト(Dedekind)整

単 位 単 数 群  137

点  56

単 イ デ ール  187

添

単 イデ ール 群  187

テ ン サ ー 積  26,31

単 因 子  38

点

単

78

数  20

域  93

加  22,42

列  84

元  15 導 関 数  45

単 項 イ デ アル 群  108

同

単 項 イ デ アル 整 域  15

同 型 写 像  7

写  3

数  107,135

型  7,11

Fの

単 純 拡 大 体  42 単

単 数 定 理  110

20

単 項 イ デ アル  13

単

定 理  67

上 の ― 

K1/Fか

43

らK2/Fへ

の ― 

同 型 対 応  7,70

単 数 規 準  113

導

手  167

単 数 群  107,135

同

相  60

単 多 項 式  21

同 相 写 像  60 同 相 対 応  60

小 さい  4

同

値

同 値 関 係  4

群  117

超 越 的  42

値  116

特 性 多 項 式  40,54

超 越 的 拡 大 体  42 稠

密  63

直

積  7

ナ 内 部 同 型 写 像  8

行

43

内

非 分 離 多 項 式  46

容  183

非 分 離 的  46

内 容 的  6

非 分 離 的 拡 大 体  46 ニュー ト ン(Newton)

標 準 的  5

―

の 近 似 法  123

標

―

の 折 線 図 形  133

ヒル ベ ル ト(Hilbert)の 理 論  152

数  45

認 容 部 分 群  9

フ ィル タ ー  65 ネ ー タ ー(Noether)環 

フ ェル マ ー(Fermat)の

17

付 ノ ル ム  54,98,103,148,195 ハ

定 理  99

値  115

付 値 イ デ ア ル  118 付 値 環  118

行

不 分 岐  146,147 倍 イ デ ア ル  13 倍

部 分 空 間  60 部 分 体  42

元  15

ハ ウ ス ドル フ(Hausdorff)空 半

間  67

不 変 距 離  86 フ ロ ベ ニ ウ ス(Frobenius)置

群  7

判 別 式  91,170,171

分 解 群  152,157

判 別 定 理  173

分 解 体  45,152

万 有 写 像 性  27

分

岐  145,156

分 岐 群  152,160 非 ア ル キ メ デ ス 付 値  115

分 岐 指 数  145,147,149,156

p進

位 相  128

分 岐 体  152

p進

数  129

分 子 因 子  20,95

p進

整 数  129

分 数 イ デ アル  92,96

p進

体  129

分 母 因 子  20

p進

展 開  130

分 離 条 件  67

p進

付 値  127

分 離 代 数 的 閉 包  47

左 イ デ ア ル  12

分 離 多 項 式  45

左 移 動  69

分 離 的  46

左 加 群  25

分 離 的 拡 大 体  46

左 剰 余 類(別)  左0因

8

分 離 的 空 間  67

子  7

p単

数  107

閉 写 像  60

被

覆  65

閉 集 合  56

微

分  46

閉

包  56

換  154,161

ベ

キ  137

有 限 次 拡 大 体  42

ベ ク トル 空 間  32

有 限 次 代 数 体  89

部 屋 割 り論 法  190

有 限 生 成  10,22 有 限 素 点  128

法  12

有 限 体  48

補 集 合  2

有 理 整 数  18

ほ と ん どす べ て  33

有 理 整 数 環  18

Hom 

ユ ー ク リ ッ ド(Euclid)整 域  19

25 マ

行

前 に あ る  4

容

積  188

要

素  167,172

弱

い  59

右 イ デ ア ル  12

ラ

右 移 動  69

行

ラグヲ ン ジ ュ(Lagrange)の

右 加 群  25 右 剰 余 類  8 右 剰 余 類 別  8

離 散 的  59,117

右0因

両 側 イ デ ア ル  12

子  7

ミ ン コ ウ ス キ ー(Minkowski)の

格子点

両 側 類 別  158

定 理  105 類  4 類

別  4

無 限 次 代 数 体  89

連

結  63

無 限 素 点  128

連 結 成 分  63,64

無 限 次 拡 大 体  42 無 限 次 元  33

連 鎖 律  55 メ ビ ウ ス(Mobius)の

関 数  100

連

続  59

連 続 像  63 mod 

12 ワ ヤ

約 イ デ ア ル  13 約

元  15

行

わ り切 る  13 わ り切 れ る  13

行

補 間 式  166

著者 略歴

久保田富雄 1930年 

東 京 に生 れ る

1952年  名古屋大 学理 学部卒 業 現 在 名古屋大 学名誉教 授・理 学博士

基礎 数学 シ リー ズ16

整 数 論 入 門

定価 は カバー に表示

1971年11月30日 

初 版 第1刷

2004年12月1日 

復 刊 第1刷

2008年4月25日 

第2刷

著

者  久

保

発行者  朝

田

倉

発行所  株式 会社 朝

富

雄

邦

造

倉 書

店

東 京都 新 宿 区新 小 川 町6-29 郵便番 号  162-8707 電

話 

FAX 

〈検 印 省 略 〉 C1971<無

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

断複 写 ・転載 を禁ず>

ISBN  978-4-254-11716-5

03(3260)0141

中央印刷 ・渡辺 製本 C3341

Printed in Japan