Небесная механика. Общий курс

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела 14.1. Уравнения Эйлера Как известно, всякое сложное движение тела T произвольной формы можно представить (разложить) в виде поступательного движения его центра масс G (центра инерции) и вращения вокруг его мгновенной оси, проходящей через G. При этом в общем случае мгновенная ось вращения изменяет свое положение и в пространстве, и относительно самого тела T, так что ось вращения тела T не совпадает с его главной осью инерции (см. раздел 7.11). Чтобы определить положение и ориентацию тела T относительно абсолютной прямоугольной системы координат Oξηζ выберем подвижную декартовую систему координат Gξ′η′ζ′ с началом в точке центра масс тела T и неизменно связанную с телом T (см. рис. 96). Обозначим через ξ1, η1, ζ1 координаты центра инерции G. ζ

ζ

ζ′ r ϕ&

C

θ

r

η′

ψ&

B G

ψ ξ

T

r

θ&

O

η

A

ϕ Ω

ξ′ η

ξ

Рис. 96. Будем считать, что рассматриваемое тело T занимает область пространства V и при этом расстояние между двумя произвольными точками тела T не изменяется, так что объем V не зависит от времени ("тело абсолютно твердое"), тогда принимая за χ(ξ, η, ζ) пространственную плотность тела T, согласно определению центра масс, получим 1 1 1 ξ1 = ∫∫∫ξdm, η1 = ∫∫∫ηdm, ζ 1 = ∫∫∫ζdm. (14.1.1) m V m V m V Здесь dm = χdV, m = ∫∫∫ χdV — масса тела T. V

Оси подвижной системы координат Gξ′η′ζ′, жестко связанной с твердым телом T, направим вдоль главных центральных осей инерции тела T (так называемых "осей

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

473

фигуры"), соответствующих моментам инерции A, B и C, однозначно определяемым (7.11.12) формой и структурой рассматриваемого твердого тела T *) . Ориентация тела T в системе Oξηζ, таким образом, определяется ориентацией системы координат Gξ′η′ζ′, неизменно связанной с телом T, относительно абсолютной системы Oξηζ. Расположение же осей системы Gξ′η′ζ′ относительно осей подвижной системы Oξηζ (или системы координат Gξηζ, перенесенной в точку G) может быть определено тремя независимыми углами, в качестве которых выберем (см. раздел 7.9) следующие три угла (см. рис. 96), предложенные Л. Эйлером **) : угол прецессии ψ, определяемый как угол между направлением Gξ и линией узлов GΩ (линией пересечения плоскостей η′Gξ′ и ηGξ); угол собственного вращения ϕ — угол между линией узлов GΩ и осью Gξ′; угол нутации θ между осью Gζ и направлением оси Gζ′. При этом угол нутации будет изменяться в пределах 0 ≤ θ ≤ π, а углы прецессии и собственного вращения — от нуля до π. Следовательно, положение и ориентация тела T в абсолютной системе координат Oξηζ однозначно будут определяться шестью независимыми параметрами: ξ1, η1, ζ1, ψ, ϕ, θ, являющимися при произвольном движении тела T функциями времени. Поэтому движение твердого тела в общем случае характеризуется шестью степенями свободы. Произвольное вращение тела T может быть представлено в виде суммы трех поворотов относительно осей Gξ′, Gη′ и Gζ′, которые по исходному предположению считаются совпадающими с главными осями инерции, соответствующими моментам инерции A, B и C. Сумма этих поворотов и определяет результирующее вращение r твердого тела с угловой скоростью ω вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс G ***) . Компоненты угловой скорости ω i (i = 1,3) , направленные вдоль главных осей инерции, характеризуют движение тела T относительно мгновенной оси вращения. Но поскольку движение в пространстве тела T относительно его центра масс может быть представлено также движением главных T

*)

Если тело T обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр масс располагается на этой оси и с ней совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. **) Рассматриваемые параметры, определяющие положение и ориентацию тела T не являются единственно возможными. В частности, вместо прямоугольных могут быть выбраны сферические координаты, а вместо углов Эйлера – направляющие косинусы оси вращения и угол соответствующего поворота. r ***) При произвольном бесконечно малом перемещении твердого тела T смещение dρ в абсолютной r системе координат какой-либо точки P ∈ T, располагающейся на удалении | r | от центра масс G этого → r r тела, будет складываться из ее движения | dR | вместе с центром масс G и перемещения [dϕ × r ] r относительно G при повороте на бесконечно малый угол | dϕ | , так что → → → dρ r dR ⎡⎢ dϕ r ⎤⎥ =v= + ×r , dt dt ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦

→ → r r где dR dt = VG — вектор скорости центра масс (скорость поступательного движения), dϕ dt = ω — →

вектор угловой скорости вращения твердого тела. При этом его направление (как и направление dϕ ) совпадает с направлением оси вращения.

474

Часть III. Основные задачи небесной механики

осей инерции (Gξ′, Gη′, Gζ′,), то есть изменением со временем углов Эйлера, то r r r величины ωi должны быть связаны с | θ& |, | ϕ& |, | ψ& | . r r r Разложим векторы угловых скоростей θ& , ϕ& , ψ& на составляющие вдоль главных осей инерции и просуммируем затем эти проекции вдоль каждой оси. r → Как очевидно из рис. 96, вектор угловой скорости θ& = dθ dt , перпендикулярный плоскости ζGζ′, направлен по линии узлов GΩ, поэтому составляющие этого вектора по осям ξ′, η′, ζ′ равны θ&ξ ′ = θ& cosϕ , θ&η′ = −θ& sin ϕ , θ&ζ ′ = 0. (14.1.2) r r Здесь θ& =| θ& | . Вектор угловой скорости ϕ& направлен вдоль оси Gζ′, так что (см. рис. 96) (14.1.3) ϕ& ξ ′ = ϕ&η′ = 0, ϕ& ζ ′ = ϕ& , r r где ϕ& =| ϕ& | . И, наконец, угловая скорость ψ& направлена по оси Gζ, и при этом ее проекция на плоскость ξ′Gη′ равна r ψ& ξ ′ζ ′ = ψ& sin θ (ψ& =| ψ& |), следовательно,

ψ& ξ ′ = ψ& sin θ sin ϕ , ψ& η′ = ψ& sin θ cos ϕ , ψ& ζ ′ = ψ& cosθ .

(14.1.4)

Таким образом, на основании (14.1.2)-(14.1.4), будем иметь

ω1 = ψ& sin θ sin ϕ + θ& cos ϕ , ω 2 = ψ& sin θ cos ϕ − θ& sin ϕ , ω 3 = ψ& cosθ + ϕ& .

(14.1.5)

Разрешая систему (14.1.5) относительно производных от углов Эйлера, получим в итоге следующую систему кинематических уравнений Эйлера

ψ& sinθ = ω1 sin ϕ + ω 2 cosϕ , θ& = ω1 cosϕ − ω 2 sin ϕ , ϕ& = ω 3 −ψ& cosθ .

(14.1.6)

Если из динамических соображений удалось бы определить компоненты угловой скорости вращения твердого тела T в виде функций времени ω i = ω i (t ) (i = 1,3), то из (14.1.6) были бы найдены зависимости ψ(t), θ(t) и ϕ(t), полностью характеризующие вращение тела T относительно центра масс G. Однако в общем случае независимое определение указанных компонент угловой скорости не представляется возможным, поэтому для описания движения твердого тела относительно его центра масс следует иметь еще три уравнения для углов Эйлера и компонент угловой скорости ω i (i = 1,3) *) . *)

Для полного определения движения твердого тела T с учетом перемещения его центра масс G(ξ1, η1, ζ1) необходимо также еще три уравнения для нахождения зависимостей ξ1(t), η1(t) и ζ1(t).

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

475

Кинетическая энергия K движущегося твердого тела T, имеющего массу m, равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс G(ξ1, η1, ζ1), в котором была бы сосредоточена вся масса тела T, и вращательного движения с угловой r скоростью ω относительно оси вращения, проходящей через центр масс *)

K=

(

)

r r2 m &2 1 ξ1 + η&12 + ζ&12 + ∫∫∫ χ [ω × r ] dV . 2 2 V

(14.1.7)

r Здесь χ и V — соответственно плотность и объем тела T, а r — радиус-вектор произвольной точки твердого тела T, отсчитываемый от центра масс. Обозначая через r r r i , j , k соответствующие орты жестко связанной с твердым телом системы координат Gξ′η′ζ′ и учитывая, что r r r i j k r r r r r [ω × r ] = ω1 ω 2 ω 3 = i (ω 2ζ ′ − ω 3η ′) + j (ω 3ξ ′ − ω1ζ ′) + k (ω1η ′ − ω 2ξ ′), ξ ′ η′ ζ ′

для второго слагаемого (14.1.7) получим

{

}

1 χ (ω 2ζ ′ − ω 3η ′) 2 + (ω 3ξ ′ − ω1ζ ′) 2 + (ω1η ′ − ω 2ξ ′) 2 dV . 2 ∫∫∫ V

(14.1.8)

Так как оси системы координат Gξ′η′ζ′ нами были выбраны вдоль направлений главных осей инерции твердого тела, то в (14.1.8) все центробежные моменты инерции (см. (7.11.13)) обращаются в нуль (тензор инерции имеет диагональный вид), а следовательно, кинетическая энергия вращательного движения твердого тела будет иметь вид 1 K вр = ∫∫∫ χ ω12 (η ′ 2 + ζ ′ 2 ) + ω 22 (ξ ′ 2 + ζ ′ 2 ) + ω 32 (ξ ′ 2 + η ′ 2 dV , 2 V

{

}

или, согласно (7.11.12), K вр = *)

(

)

1 Aω12 + Bω 22 + Cω 32 , 2

Так как скорость произвольной точки твердого тела в абсолютной системе координат равна (см. r r r r комментарий на предыдущей странице) v = VG + [ω × r ], то для кинетической энергии твердого тела будем иметь выражение r r r 2 1 K = ∫∫∫ χ V G + [ω × r ] dV , 2 V или r r r r r 2 m 1 K = VG2 + ∫∫∫ χ [ω × r ] dV + ∫∫∫ χVG [ω × r ]dV . 2 2 V V r r r r r r r r Поскольку VG [ω × r ] = r [VG × ω ], а скорости VG и ω являются характеристиками всего твердого тела и постоянны в пределах всей области интегрирования, то последний интеграл обращается в нуль ввиду r того, что радиус-вектор r отсчитывается от точки центра масс (так что ∫∫∫ χrdV = 0 ), и мы приходим

{

}

V

к выражению (14.1.7).

476

Часть III. Основные задачи небесной механики

где A, B и C — главные центральные моменты инерции твердого тела *) . Таким образом, в рассматриваемом случае полная кинетическая энергия твердого тела равна m 1 (14.1.9) K = ξ&12 + η&12 + ζ&12 + (Aω12 + Bω 22 + Cω 32 ) . 2 2

(

)

14.2. Силовая функция Пусть имеются два материальные тела T1 и T2, обладающие фиксированными объемами V1 и V2. Положение и ориентацию каждого из этих тел в абсолютной прямоугольной системе координат Oξηζ, как и в предыдущем разделе, определим шестью независимыми параметрами (см. рис. 97): координатами ξj, η j, ζ j центра масс G j твердого тела Tj (j = 1, 2) и тремя углами Эйлера ψj, ϕj, θj, определяющими ориентацию относительно Oξηζ подвижной (собственной) системы координат G jξ ′jη ′jζ ′j с центром в Gj, жестко связанной с телом Tj (j = 1, 2). T

T

ζ

θ1

ψ1

P1(x1,y1,z1)

η1′ η

G1(ξ1,η1,ζ) )

T2

P2(x2,y2,z2)

G2(ξ2,η2,ζ2)

dm2

Δ12

ξ

ϕ1

Ω1

η2′

θ2

dm1

T1

ξ

ω2

ω1

ζ

ζ 1′

ζ

ζ 2′

r

r

ϕ2

ψ2

ξ1′

η

ξ 2′

Ω2

η

O

ξ

Рис. 97.

Обозначим через xj, yj, zj координаты в абсолютной системе Oξηζ произвольной точки Pj тела Tj, в которой сосредоточена элементарная масса dmj (j = 1, 2). Тогда элементарная силовая функция взаимного притяжения материальных точек P1 и P2, принадлежащих, соответственно, телам T1 и T2, будет равна T

δU 12 = f

*)

dm1 dm2 . Δ12

(14.2.1)

Если в полученное выражение для Kвр подставить (14.1.5), то кинетическую энергию вращательного движения можно также выразить через углы Эйлера и их производные. В частности, при A = B 1 K вр = A(ψ& 2 sin 2 θ + θ& 2 ) + C (ψ& cos θ + ϕ& ) 2 . 2

[

]

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

477

Здесь f — гравитационная постоянная, Δ12 — взаимное расстояние между точками P1 и P2: Δ12 = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2 .

(14.2.2)

Полная силовая функция U12 взаимного притяжения (взаимный потенциал) двух тел T1 и T2 будет, очевидно, являться результатом суммирования взаимных потенциалов (14.2.1), определенных для всех возможных комбинаций элементарных масс рассматриваемых тел, то есть эта функция получается интегрированием (14.2.1) по объемам V1 и V2 взаимодействующих твердых тел T1, T2: U 12 = f ∫∫∫ dm1 ∫∫∫ V1

V2

dm2 , Δ12

(14.2.3)

где dm j = χ j dV j , χj— объемная плотность твердого тела Tj (j = 1, 2). Для того, чтобы силовую функцию (14.2.3) выразить в явном виде через введенные ранее независимые параметры ξj, η j, ζ j, ψj, ϕj, θj, (j = 1, 2) перейдем в (14.2.2) от переменных xj, yj, zj, определяющих в абсолютной системе Oξηζ координаты точек Pj (j = 1, 2), по которым в (14.2.3) производится интегрирование, к их координатам x ′j , y ′j , z ′j в соответствующей подвижной системе G jξ ′jη ′jζ ′j (j = 1, 2). Указанное преобразование координат, как нетрудно видеть из рис. 97, выражается в виде T

x j = ξ j + a j1 x ′j + a j 2 y ′j + a j 3 z ′j , y j = η j + b j1 x ′j + b j 2 y ′j + b j 3 z ′j , z j = ζ j + c j1 x ′j + c j 2 y ′j + c j 3 z ′j

(14.2.4) ( j = 1, 2),

где (a, b, c)jk — направляющие косинусы ( k = 1,3) собственных осей тела Tj в абсолютной системе с центром в Gj (j = 1, 2). Для нахождения этих коэффициентов преобразования (14.2.4) обратимся к рис. 98 (см. также рис. 25 в разделе 7.9), на котором изображена полусфера единичного радиуса и оси двух систем координат — подвижной , жестко связанной с телом Tj, и абсолютной с центром в точке центра масс Gj (j = 1, 2). Из сферических треугольников EΩA, ΩAD и FΩA на основании теоремы косинусов *) , учитывая, что T

T

∪

∪

EΩ = ψ j , ΩA = ϕ j ,

∧

∪

AΩD = θ j , ΩD = 90 −ψ j , FΩ = π / 2,

получим, аналогично разделу 7.9,

*)

ˆ , противолежащим стороне a, Для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углом A справедливо соотношение, именуемое теоремой косинусов: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Aˆ .

478

Часть III. Основные задачи небесной механики ∧

∪

∧

∪

a j1 = cos(ξ ′j ,ξ ) = cosψ j cosϕ j − sinψ j sin ϕ j cosθ j = cos EA, b j1 = cos(ξ ′j ,η ) = cos ϕ j cosψ j + sin ϕ j sinψ j cosθ j = cos AD, ∧

(14.2.5)

∪

c j1 = cos(ξ ′j ,ζ ) = sin ϕ j sin θ j = cos FA ( j = 1,2). ζ

ζ ′j

F

θj

C

η′j B Gj

ψj E

ϕj

A

D

θj

η

ξ ′j

Ω

ξ

Рис. 98. Коэффициенты a j 2 , b j 2 , c j 2 , очевидно, могут быть непосредственно найдены из (14.2.5), если осуществить в них замену ϕ на ϕ + π/2: ∧

a j 2 = cos(η ′j ,ξ ) = − cosψ j sin ϕ j − sinψ j cosϕ j cosθ j , ∧

b j 2 = cos(η ′j ,η ) = − sin ϕ j sinψ j + cosϕ j cosψ j cosθ j , ∧

c j 2 = cos(η ′j ,ζ ) = cosϕ j sin θ j

(14.2.6)

( j = 1,2).

И последняя группа коэффициентов преобразований (14.2.4) также может быть сразу получена из соотношений (14.2.5), если считать в них ϕj = π/2, а θj заменить на θj + π/2 (при ϕj = π/2 оси G jζ ′j , G jξ ′j и линия узлов GjΩ будут триортогональны, так что увеличением угла нутации θj на π/2 ось G jξ ′j будет совмещена с осью G jζ ′j ): ∧

a j 3 = cos(ζ ′j ,ξ ) = sinψ j sin θ j , ∧

b j 3 = cos(ζ ′j ,η ) = − cosψ j sin θ j , ∧

c j 3 = cos(ζ ′j ,ζ ) = cosθ j

( j = 1,2).

(14.2.7)

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

479

Таким образом, если подставить (14.2.4) в (14.2.2), то силовая функция (14.2.3) будет являться функцией от двенадцати независимых параметров *) ξj, ηj, ζj, ψj, ϕj, θj, (j = 1, 2), при этом интегрирование в (14.2.3) будет уже производиться по переменным x′j , y ′j , z ′j , определяемым в собственной, непосредственно связанной с телом Tj, системе T

координат G jξ ′jη ′jζ ′j (j = 1, 2). Аналогично может быть введена силовая функция и в случае системы, состоящей из N > 2 твердых тел. Представляя взаимную силовую функцию любой пары тел Ti и Tj (i, j = 1, N , i ≠ j ) выражением вида (14.2.3) T

U ij = f ∫∫∫ dmi ∫∫∫ Vi

Vi

dm j Δ ij

,

T

(14.2.8)

в котором Δ ij = ( xi − x j ) 2 + ( yi − y j ) 2 + ( zi − z j ) 2 ,

(14.2.9)

а переменные (x, y, z)i,j определяются (14.2.4), для силовой функции задачи N тел, поскольку, как следует из (14.2.8), Uij =Uji (i ≠ j), получим

U=

1 N N / ∑∑ U ij . 2 i =1 j =1

(14.2.10)

Здесь штрих при знаке суммы означает, что при суммировании предполагается i ≠ j. Силовая функция системы N твердых тел уже будет являться функцией от 6N независимых переменных ξi, ηi, ζi, ψi, ϕi, θi (i = 1, N ). Если обозначить расстояние между центрами масс Gi и Gj двух тел Ti и Tj (i ≠ j) через T

Rij = (ξ i − ξ j ) 2 + (ηi − η j ) 2 + (ζ i − ζ j ) 2 ,

T

(14.2.11)

то из (14.2.9) и(14.2.4) будем иметь

Δ2ij = Rij2 − 2σ rij Rij + rij2 , где rij2 = ( xi − x j ) 2 + ( yi − y j ) 2 + ( z i − z j ) 2 ,

σ =

ξ j − ξ i ( xi − x j ) η j − η i ( y i − y j ) ζ j − ζ i ( z i − z j ) Rij

rij

+

Rij

rij

+

Rij

rij

,

(14.2.12)

а xk = xk − ξ k , y k = y k − η k , z k = z k − ζ k (k = i, j) — координаты произвольной точки тела Tk в абсолютной системе координат, но с центром в точке центра масс Gk. Следовательно, T

*)

Частные производные ∂U 12 ∂ξ j , ∂U 12 ∂η j , ∂U 12 ∂ζ j определяют соответствующие проекции сил притяжения, действующие на рассматриваемые тела Tj (j = 1, 2), а величины ∂U 12 ∂ψ j , ∂U 12 ∂ϕ j , T

∂U 12 ∂θ j — составляющие моментов этих сил относительно центров масс Gj по осям прецессии (Gjζ) , собственного вращения (Gjζj′ ) и нутации (GjΩj), j = 1, 2.

480

Часть III. Основные задачи небесной механики 2 rij ⎛ rij ⎞ ⎤ 1 1 ⎡⎢ = +⎜ ⎟ ⎥ 1 − 2σ Δ ij Rij ⎢ Rij ⎜⎝ Rij ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

−1 / 2

,

(14.2.13)

и поскольку для тел, не имеющих общих точек, | σ |≤ 1, | rij R |< 1,

то, воспользовавшись разложением вида (7.1.2) по полиномам Лежандра Pn (σ ), для (14.2.13) получим следующий абсолютно сходящийся ряд 1 1 = Δ ij Rij

⎛ rij ⎜ ∑ ⎜ n =0 ⎝ Rij ∞

n

⎞ ⎟ Pn (σ ). ⎟ ⎠

(14.2.14)

Подставляя (14.2.14) в (14.2.8), для взаимной силовой функции двух тел Ti и Tj (i, j = 1, N ; i ≠ j ) будем иметь ∞ 1 U ij = f ∑ n+1 ∫ ... ∫ rijn Pn (σ )dmi dm j , n =0 Rij (Vi ) (V j ) T

или, учитывая выражение (7.1.8) для полиномов Лежандра, Pn (σ ) =

E ( n / 2)

∑A k =0

n ,k

σ n−2 k ,

где

An ,k =

(−1) k (2n − 2k )! , n 2 (n − k )!k!(n − 2k )!

(14.2.15)

согласно (14.2.12), получим ∞

U ij( n )

n =0

Rij2 n+1

U ij = f ∑

.

(14.2.16)

Здесь

U при этом

(n) ij

=

E ( n / 2)

∑A k =0

n ,k

Rij2 kU ij( n ,k ) , U ij( n ,k ) =

∫ ... ∫ r

2k ij

(Vi )

σˆ ijn−2 k dmi dm j ,

(14.2.17)

(V j )

σˆ ij = (ξ j − ξ i )( xi − x j ) + (η j − ηi )( yi − y j ) + (ζ j − ζ i )( zi − z j )

— однородный полином первой степени относительно

ξ j − ξ i , η j − ηi , ζ j − ζ i

(i, j = 1, N ; i ≠ j ).

(14.2.18)

Поэтому U ij( n ,k ) является полиномом степени n − 2k относительно (14.2.18), а согласно (14.2.11) и (14.2.17), U ij(n ) есть однородный полином степени n относительно разностей координат (14.2.18) центров масс тел Ti и Tj (i, j = 1, N ; i ≠ j ) . Следовательно, T

U

(n ) ij

можно представить в виде

T

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

U ij( n ) =

∑U

( n ,m ) ij m1 + m2 + m3 = n

(ξ j − ξ i ) m1 (η j − ηi ) m2 (ζ j − ζ i ) m3 ,

481

(14.2.19)

где суммирование производится по всем целым неотрицательным величинам m = (m1 , m2 , m3 ), сумма которых равна n. Коэффициенты полиномов (14.2.19), как очевидно из (14.2.17), (14.2.12) и (14.2.4), будут являться функциями от углов Эйлера ψk, ϕk, θk (k = i, j), определяющих ориентацию каждого из тел Tk относительно абсолютной системы координат *) . В частности, при n = 0 из (14.2.15), (14.2.17) имеем T

U ij( 0 ) = A0,0U ij( 0,0 ) =

∫ ... ∫ dm dm i

(Vi )

j

= mi m j ,

(14.2.20)

(V j )

а при n = 1

∫ ... ∫ σˆ

U ij(1) = A1,0U ij(1,0 ) =

(Vi )

ij

dmi dm j = 0,

(14.2.21)

(V j )

поскольку координаты xk , y k , z k отсчитываются от центра масс Gk (k = i, j) и поэтому

∫∫∫ x dm = ∫∫∫ y dm = ∫∫∫ z dm k

Vk

k

k

Vk

k

k

k

= 0.

Vk

Аналогично

U ij( 2) = A2, 0U ij( 2, 0) + A2,1 Rij2U ij( 2,1) , то есть U ij( 2 ) =

3 1 ... ∫ σˆ ij2 dmi dm j − Rij2 ∫ ... ∫ rij2 dmi dm j , ∫ 2 (Vi ) (V j ) 2 (Vi ) (V j )

или, учитывая (14.2.17), (14.2.12), после несложных преобразований получим U ij( 2) Rij2 =

mj mi ( A j + B j + C j − 3I (ji , j ) ) + ( Ai + Bi + Ci − 3I i( i , j ) ) . 2 2

(14.2.22)

Здесь mk — масса, Ak, Bk, Ck — главные центральные моменты инерции тела Tk (k = i, j), определяемые выражениями вида (7.11.12), а I (j i , j ) и I i( i , j ) — моменты инерции тел Tj и T

T

Ti относительно прямой, проходящей через центры масс этих тел, то есть T

I (j i , j ) = A jα 2ji + B j β ji2 + C j γ 2ji , I i( i , j ) = Aiα ij2 + Bi β ij2 + Ciγ ij2 ,

*)

(14.2.23)

Так как подынтегральное выражение (14.2.7) для U ij( n ,k ) является однородным полиномом степени n относительно величин (см. (14.2.12)) xi − x j , yi − y j , z i − z j

(i ≠ j ),

а также, согласно (14.2.4), и относительно координат x′k , y ′k , z ′k и направляющих косинусов akl, bkl, ckl (k = i, j; l = 1,3), то вычисление интегралов в (14.2.7) легко может быть реализовано.

482

Часть III. Основные задачи небесной механики

где α ji , β ji , ..., γ ij — косинусы углов, образованных прямой GjGi, проходящей через центр масс тел Tj и Ti, с главными осями инерции этих тел: ξ −ξ η −η ζ −ζ i α ji = a j1 j i + b j1 j i + c j1 j , Rij Rij Rij T

T

β ji = a j 2 γ ji = a j 3

ξ j − ξi Rij

ξ j − ξi Rij

+ bj2 + b j3

η j − ηi Rij

η j − ηi Rij

+ c j2 + c j3

ζ j −ζ i

ζ j −ζ i Rij

(14.2.24)

,

Rij .

В (14.2.24) направляющие косинусы ajl, bjl, cjl (l = 1,3) собственных (подвижных) осей координат тела Tj определяются выражениями (14.2.5)-(14.2.7). Величины αij, βij, γij, входящие в (14.2.23), вычисляются также из выражений (14.2.24), но в них следует направляющие косинусы собственных осей координат уже определять для тела Ti, то есть в коэффициентах ajl, bjl, cjl (l = 1,3) необходимо заменить индекс j на i (при этом очевидно, что в общем случае α ji ≠ α ij , β ji ≠ β ij , γ ji ≠ γ ij ). T

T

Таким образом, на основании (14.2.16) и (14.2.20)-(14.2.22) для силовой функции (14.2.10) задачи N тел будем иметь следующее представление ⎤ A j + B j + C j − 3I (j i , j ) Ai + Bi + Ci − 3I i( i , j ) 1 N N / ⎡ mi m j U = f ∑∑ ⎢ m + mi + + ...⎥ . (14.2.25) j 3 3 2 i =1 j =1 ⎣⎢ Rij 2 Rij 2 Rij ⎦⎥ Если все расстояния Rij между рассматриваемыми телами (их центрами масс) достаточно велики по сравнению с их размерами, так что в (14.2.25) можно ограничиться лишь слагаемыми, пропорциональными Rij−1 , то из (14.2.25) следует, что выражение для силовой функции U будет совпадать со случаем взаимодействия N материальных точек. 14.3. Уравнения поступательно-вращательного движения для системы твердых тел

Рассмотрим систему, состоящую из N твердых гравитирующих тел Tj ( j = 1, N ). Положение и ориентация каждого из этих тел в абсолютной прямоугольной системе координат Oξηζ, как было показано в двух предыдущих разделах, характеризуется шестью независимыми параметрами (см. рис. 96, 97): тремя координатами ξj, ηj, ζj центра масс Gj и тремя углами Эйлера ψj, ϕj, θj, определяющими ориентацию подвижной, жестко связанной с твердым телом системы координат G jξ ′jη ′jζ ′j ( j = 1, N ). T

При этом будем предполагать, что оси подвижных систем координат каждого из тел направлены вдоль их главных осей инерции, так что все центробежные моменты (произведения инерции) Dj, Ej, Fj ( j = 1, N ) обращаются в нуль (см. раздел 7.11).

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

483

Если массы тел Tj обозначить через mj, а главные центральные моменты инерции — в виде *) Aj, Bj, Cj, то кинетическая энергия твердого тела Tj, согласно (14.1.9), будет определяться следующим выражением T

T

Kj =

в котором ω j1 , ω j 2

[

]

1 (14.3.1) m j (ξ& 2j + η& 2j + ζ& 2j ) + A jω 2j1 + B jω 2j 2 + C jω 2j 3 ( j = 1, N ), 2 r и ω j 3 — проекции угловой скорости ω j вращения твердого тела Tj T

на оси подвижной его системы координат ( j = 1, N ) . Эти компоненты угловой скорости, направленные вдоль главных осей инерции, характеризуют движение тела Tj относительно мгновенной оси вращения и связаны с углами Эйлера кинематическими уравнениями вида (14.1.5): ω j1 = ψ& j sin θ j sin ϕ j + θ& j cos ϕ j , (14.3.2) ω = ψ& sin θ cos ϕ − θ& sin ϕ , T

j2

j

j

j

ω j 3 = ψ& j cosθ j + ϕ& j

j

j

( j = 1, N ).

Полная кинетическая энергия всей системы N тел по определению является аддитивной величиной: N

K = ∑K j.

(14.3.3)

j =1

В предыдущем разделе было установлено, что силовая функция рассматриваемой системы, состоящей из N гравитирующих твердых тел, определяется в виде (14.2.10)

U=

1 N N / ∑∑ U ij , 2 i =1 j =1

где штрих над знаком суммы обозначает, что i ≠ j, а силовая функция взаимного притяжения двух тел Ti и Tj равна dmi dm j (14.3.4) . U ij = f ∫ ... ∫ Δ ij (Vi ) (V j ) T

T

Здесь f — гравитационная постоянная, Vi и Vj — объемы твердых тел, а Δij — взаимное расстояние между телами Ti и Tj (i, j = 1, N ; i ≠ j ), определяемое (14.2.9). Силовую функция (14.3.4), как следует из результатов предыдущего раздела, можно представить в виде (14.2.16), (14.2.19) или (14.2.25). Она является функцией от координат ξk, ηk, ζk центров масс Gk и углов Эйлера ψk, ϕk, θk, определяющих ориентацию собственной (подвижной) системы координат каждого из взаимодействующих тел Tk (k = i, j). Полная силовая функция поэтому зависит от 6N переменных, определяющих положение и ориентацию всех N тел системы. T

T

T

*)

Здесь и далее предполагается, что ни одна из величин Aj, Bj, Cj ( j = 1, N ) не обращается в нуль, то есть рассматриваются реальные трехмерные тела, а не "нитеобразные структуры" (см. определения (7.11.12)).

484

Часть III. Основные задачи небесной механики

Выбирая теперь в качестве канонических "координатных" переменных абсолютные координаты ξj, ηj, ζj центров масс Gj тел системы и соответствующие углы Эйлера ψj, ϕj, θj ( j = 1, N ) : ξ j = q3 j −2 , η j = q3 j −1 , ζ j = q3 j , (14.3.5) ψ j = u3 j −2 , ϕ j = u3 j −1 , θ j = u3 j ( j = 1, N ), определим с учетом (14.3.1)-(14.3.3) сопряженные им канонические импульсы в виде (см. главу 1) ∂K ∂K ∂K = m jξ& j , p3 j −1 = = m jη& j , p3 j = p3 j − 2 = = m jζ& j , ∂q&3 j −2 ∂q& 3 j −1 ∂q&3 j v 3 j −2 =

∂K = A jω j1 sin θ j sin ϕ j + B jω j 2 sin θ j cos ϕ j + C jω j 3 cos θ j , ∂u&3 j −2

v 3 j −1 =

∂K ∂K = C jω j 3 , v 3 j = = A jω j1 cos ϕ j − B jω j 2 sin ϕ j ∂u&3 j −1 ∂u&3 j

(14.3.6)

( j = 1, N ).

Тогда уравнения поступательно-вращательного движения рассматриваемой системы с 6N степенями свободы, состоящей из N твердых тел, будут иметь вид dqi ∂F = , dt ∂pi

dpi ∂F =− , dt ∂qi

dui ∂F = , dt ∂v i

dv i ∂F =− dt ∂u i

(14.3.7) (i = 1,3 N ),

где гамильтониан F = K − U представляет собой полную энергию системы N взаимно притягивающихся тел. Так как из (14.3.5)-(14.3.6) следует, что

ξ& j =

p3 j − 2 mj

, η& j =

p3 j −1

p3 j , ζ& j = , mj mj

A jω j1 sin θ j = v 3 j − 2 sin ϕ j − v 3 j −1 sin ϕ j cosθ j + v 3 j sin θ j cosϕ j ,

(14.3.8)

B jω j 2 sin θ j = v 3 j − 2 cosϕ j − v 3 j −1 cosϕ j cosθ j − v 3 j sin θ j sin ϕ j , C jω j 3 = v 3 j −1 , то, подставляя эти соотношения в (14.3.1) и учитывая (14.3.3), для гамильтониана F получим следующее явное выражение через введенные канонические переменные (14.3.5), (14.3.6) 2 2 2 1 N ⎡ p3 j −2 + p3 j −1 + p3 j 1 (M sin u3 j −1 + v 3 j cos u3 j −1 )2 + + F = ∑⎢ 2 j =1 ⎣⎢ mj Aj

⎤ 1 (M cos u3 j −1 − v 3 j sin u3 j −1 )2 + 1 v 32 j −1 ⎥ − U (q1 ,..., q3 N ; u1 ,..., u3 N ), + Bj Cj ⎥⎦

в котором введено обозначение

(14.3.9)

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела M=

v 3 j −2 − v 3 j −1 cos u3 j sin u 3 j

485

(14.3.10)

,

а силовая функция U была уже определена ранее. Следует заметить, что в случае, когда в (14.3.10) u 3 j = θ j = 0, то (см. рис. 96, 98) и

ϕj = 0, поэтому, согласно (14.3.6) и (14.3.2) для (14.3.10) будем иметь M = A jω j1 sin ϕ j + B jω j 2 cosϕ j = 0 ( j = 1, N ) (при этом v 3 j − 2 = v 3 j −1 ), так что для рассматриваемых твердых тел кинетическая энергия (14.3.9) при u 3 j = 0 является конечной величиной, поскольку в этом случае M в (14.3.9) будет обращаться в нуль. Как нетрудно видеть из (14.3.5)-(14.3.10), уравнения dui dt = ∂F ∂v i (i = 1,3 N ) представляют собой каноническую форму кинематических уравнений Эйлера вида (14.1.6), а канонически сопряженные им уравнения системы (14.3.7) dv i ∂F =− dt ∂ui

(i = 1,3 N ),

с учетом (14.3.1), (14.1.6) и (14.3.6)-(14.3.10), могут быть также представлены (после их разрешения относительно производных от компонент скоростей вращения тел) в виде так называемых динамических уравнений Эйлера A jω& j1 + (C j − B j )ω j 2ω j 3 = B jω& j 2 + ( A j − C j )ω j1ω j 3 = C jω& j 3 + ( B j − A j )ω j1ω j 2 =

sin ϕ j sin θ j cos ϕ j sin θ j ∂U ∂ϕ j

Q + cos ϕ j

∂U , ∂θ j

Q − sin ϕ j

∂U , ∂θ j

(14.3.11)

( j = 1, N ),

где, как и ранее, точка над символом компоненты угловой скорости (l = 1,3) обозначает дифференцирование по переменной времени t *) ,

Q=

ωjl

∂U ∂U − cosθ j , ∂ϕ j ∂ψ j

при этом ∂U ∂ϕ j , ∂U ∂ψ j и ∂U ∂θ j ( j = 1, N ) являются составляющими по оси собственного вращения G jζ ′j , оси прецессии G jζ j , и оси нутации G j Ω j , соответственно, момента результирующей силы притяжения, действующего на тело Tj ( j = 1, N ) , относительно его центра масс Gj (см. рис. 96, 97). T

*)

При θj = 0, как очевидно из рис. 96, ϕj = 0, а следовательно, ∂U ∂ψ j = ∂U ∂ϕ j ( j = 1, N ), поэтому в этом случае Q = 0 и правые части в (14.3.11) являются конечными величинами.

486

Часть III. Основные задачи небесной механики

И, наконец, заметим также, что первая канонически сопряженная группа уравнений (14.3.7), согласно (14.3.5), (14.3.6) и (14.3.9), эквивалентна "ньютоновским уравнениям" для соответствующих компонент ускорений центров масс рассматриваемых тел:

∂U ∂U ∂U m jξ&&j = , m jη&& j = , m jζ&&j = ∂ξ j ∂η j ∂ζ j

( j = 1, N ).

(14.3.12)

Но следует иметь ввиду, что в общем случае силовая функция U зависит от 6N переменных (и от абсолютных координат центров масс всех гравитирующих тел, и от соответствующих углов Эйлера), поэтому систему уравнений (14.3.7) и равносильные ей приведенные системы, включая кинематические и динамические уравнения Эйлера, необходимо решать совместно, то есть полная система уравнений "не расщепляется" на независимые системы для поступательного и вращательного движений. 14.4. Первые интегралы Уравнения (14.3.7) поступательно-вращательного движения N твердых гравитирующих тел образуют систему с 6N степенями свободы. Поэтому согласно теореме Лиувилля (см. раздел 2.10) для полного интегрирования в квадратурах этой системы необходимо 6N независимых первых интегралов, которые находятся в инволюции (для которых выполняется условие (2.10.11)) *) . Однако, как и в случае классической задачи N тел, когда рассматривается гравитационное взаимодействие N материальных точек (см. раздел 13.5 и 13.15), уравнения поступательно-вращательного движения N гравитирующих твердых тел в общем случае имеют лишь десять первых интегралов, являющихся следствиями из законом сохранения движения центра масс, момента количества движения и полной энергии системы N тел. Но из них при N ≥ 2 (в случае N = 1 система фактически обладает тремя степенями свободы, поскольку центр масс твердого тела в отсутствии внешних сил движется равномерно и прямолинейно) лишь пять — три интеграла движения центра масс, интеграл момента количества движения и интеграл энергии — оказываются интегралами в инволюции **) . Все указанные интегралы выводятся аналогично случаю классической задачи N тел (см. разделы 13.5, 13 15). Интеграл энергии сразу следует из автономности (независимости гамильтониана F явно от времени) рассматриваемой канонической системы (14.3.7) и имеет вид

F = h, *)

(14.4.1)

Для получения же общего интеграла системы уравнений 12N–го порядка в форме (14.1.6), (14.3.11) и (14.3.12) необходимо 12N независимых первых интегралов, естественно, уже не связанных (не отбираемых) условиями инволюции. При этом указанный общий интеграл должен содержать 12N произвольных постоянных, однозначно определяемых по начальным значениям координат и скоростей центров масс гравитирующих N тел, а также по начальным значениям углов Эйлера и их производных (скоростей). **) В случае одного произвольной формы твердого тела (N = 1), но находящегося в некотором силовом гравитационном поле, так что тело вращается вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром масс (твердое тело с тремя степенями свободы) интегралов в инволюции оказывается два: интеграл энергии и момента количества движения, а поэтому при произвольной форме твердого тела задача не интегрируется.

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

487

где h — произвольная постоянная, а гамильтониан F определяется выражением (14.3.9). При получении других интегралов используются соответствующие свойства симметрии силовой функции задачи. Так, силовая функция (14.2.10), (14.3.9) рассматриваемой системы N гравитирующих твердых тел, определяемая взаимным притяжением тел, не зависит от выбора абсолютной (инерциальной) системы координат Oξηζ (см. рис. 97), а поэтому она инвариантна относительно любых (не изменяющих масштабов) преобразований координат. В частности, при произвольном бесконечно малом преобразовании системы координат полное приращение силовой функции должно быть равно нулю: 3N ⎛ ∂U ⎞ ∂U dui ⎟⎟ = 0. dqi + dU (q1 ,...q3 N ; u1 ,..., u3 N ) = ∑ ⎜⎜ (14.4.2) ∂u i i =1 ⎝ ∂qi ⎠ Здесь, согласно (14.3.5) q3 j −2 = ξ j , q3 j −1 = η j , q3 j = ζ j , u3 j − 2 = ψ j , u3 j −1 = ϕ j , u3 j = θ j

(14.4.3)

( j = 1, N ),

а ξj, ηj, ζj — абсолютные координаты центра масс Gj гравитирующего тела Tj ( j = 1, N ) , ψj ϕj, θj — соответственно углы прецессии, собственного вращения и нутации, которые принято именовать углами Эйлера (см. рис. 96, 97). Если сместить начало координат абсолютной системы Oξηζ вдоль оси Oξ на бесконечно малую (но конечную) величину δξ, не изменяя направления осей координат, то координаты ξj центров масс всех гравитирующих тел получат одно и то же приращение dξj = −δξ ≠ 0, в то время как остальные координаты центров масс Gj, а также и все величины углов Эйлера останутся неизменными, то есть dηj = dζj = dψj = dϕj = dθj = 0 ( j = 1, N ) . Следовательно, из (14.4.2) получим T

∂U

N

∑ ∂q j =1

∂U =0. j =1 ∂ξ j N

3 j −2

=∑

(14.4.4)

Аналогичным образом, предполагая возможным смещение начала координат абсолютной системы Oξηζ вдоль осей Oη и Oζ на основании (14.4.2) найдем еще два искомых соотношения *) N N ∂U ∂U (14.4.5) = 0 , = 0. ∑ ∑ j =1 ∂q3 j −1 j =1 ∂q3 j Обратимся теперь к первой группе канонически сопряженных уравнений (14.3.7) и, обозначая точкой над символом производную по переменной времени t, представим уравнения p& i = − ∂F ∂qi (i = 1,3N ) в виде

*)

Из (14.4.4) и (14.4.5) также следует, что

3N

∂U

i =1

i

∑ ∂q

= 0.

488

Часть III. Основные задачи небесной механики

p& 3 j −2 = −

∂F , ∂q3 j −2

p& 3 j −1 = −

∂F , ∂q3 j −1

∂F ∂q3 j

p& 3 j = −

( j = 1, N ).

(14.4.6)

Просуммируем по индексу j = 1, N каждое из приведенных равенств и учтем, что согласно (14.3.9), (14.3.10) кинетическая энергия K, входящая в гамильтониан F, не зависит от qi (i = 1,3N ) . Тогда, очевидно, будем иметь ∂U , j =1 ∂q3 j − 2

N

N

∑ p& 3 j −2 =∑ j =1

∂U , j =1 ∂q3 j −1

N

N

∑ p& 3 j −1 =∑ j =1

∂U , j =1 ∂q3 j

N

N

∑ p& 3 j =∑ j =1

или, на основании соотношений (14.4.4) и (14.4.5), после интегрирования по t получим N

∑p j =1

3 j −2

=a1 ,

N

∑p j =1

3 j −1

=a2 ,

N

∑p j =1

3j

=a3 .

(14.4.7)

Здесь a1, a2, a3 — постоянные интегрирования. Но поскольку из канонически сопряженной к (14.4.6) пары уравнений (14.3.7), согласно (14.3.9), следует, что p3 j −2 = m j q&3 j −2 ,

p3 j −1 = m j q&3 j −1 ,

p3 j = m j q& 3 j

( j = 1, N ),

(14.4.8)

то, подставляя последние равенства в (14.4.7) и интегрируя по переменной t, найдем N

∑m q j

j =1

3 j −2

=a1t + b1 ,

N

∑m q j =1

j

3 j −1

=a2t + b2 ,

N

∑m q j =1

j

3j

=a3t + b3 ,

(14.4.9)

где b1, b2, b3 — некоторые постоянные. Полученные равенства (14.4.7) и (14.4.9), с учетом обозначений (14.3.5), (14.4.8), полностью аналогичны интегралам (13.5.7) и (13.5.8) (см. также раздел 13.15) уравнений абсолютного движения системы материальных точек и также именуются интегралами движения центра масс системы N гравитирующих твердых тел. Обозначая абсолютные координаты центра масс G* всей рассматриваемой системы N твердых тел через 1 N 1 N 1 N ξ ∗ = ∑ m j q3 j −2 , η ∗ = ∑ m j q3 j −1 , ζ ∗ = ∑ m j q3 j , (14.4.10) m j =1 m j =1 m j =1 N

где m = ∑ m j — полная масса всей системы, интегралы (14.4.9) и (14.4.7) можно также j =1

представить в виде 1 1 1 (a1t + b1 ), η ∗ = (a2 t + b2 ), ζ ∗ = (a3t + b3 ), m m m a a a ξ& ∗ = 1 , η& ∗ = 2 , ζ& ∗ = 3 . m m m

ξ∗ =

(14.4.11)

Отсюда и следует, что центр масс G* всей системы N гравитирующих твердых тел относительно инерциальной (абсолютной) системы координат движется прямолинейно и равномерно.

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

489

Для получения еще одной группы первых интегралов системы (14.3.7), обусловленных сохранением уже момента количества движения всей системы N твердых тел, учтем, что вторая группа канонически сопряженных уравнений (14.3.7), как было показано в предыдущем разделе, может быть представлена в виде системы динамических уравнений (14.3.11), а также кинематических уравнений Эйлера (14.1.6), или (14.1.5)

ω j1 = ψ& j sin θ j sin ϕ j + θ& j cos ϕ j , ω j 2 = ψ& j sin θ j cos ϕ j − θ& j sin ϕ j , ω j 3 = ψ& j cosθ j + ϕ& j

(14.4.12)

( j = 1, N ),

r где ωjl (l = 1,3) компоненты угловой скорости вращения ω j твердого тела Tj ( j = 1, N ) , направленные вдоль главных его осей инерции. Поэтому, умножая уравнения (14.3.11) соответственно на направляющие косинусы углов a j1 , a j 2 , a j 3 , образуемых T

собственными (неподвижными) осями координат тела Tj ( j = 1, N ) с осью Gjξ (см. рис. 97, 98) и связанных с углами Эйлера выражениями (14.2.5)-(14.2.7), а кинематические уравнения (14.4.12) умножая на A j a& j1 , B j a& j 2 , C j a& j 3 , и складывая получившиеся шесть T

равенств, после суммирования их по индексу ( j = 1, N ) получим

∑ [a N

j =1

j1

]

A jω& j1 + a j 2 B jω& j 2 + a j 3C jω& j 3 + A j a& j1ω j1 + B j a& j 2ω j 2 + C j a& j 3ω j 3 = P.

(14.4.13)

Здесь Aj, Bj и Сj — главные центральные моменты инерции тела Tj ( j = 1, N ) , а согласно (14.2.5)-(14.2.7) и (14.1.6) T

a& j1 =

da j1 dt

= a j 2ω j 3 − a j 3ω j 2 , a& j 2 = a j 3ω j1 − a j1ω j 3 , a& j 3 = a j1ω j 2 − a j 2ω j1 ,

и, наконец, N ⎛ ∂U ∂U ∂U + β j2 + β j3 P = ∑ ⎜ β j1 ⎜ ∂ψ j ∂ϕ j ∂θ j j =1 ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

(14.4.14)

где, в свою очередь (см. (14.2.5)-(14.2.7)),

β j1 = (a j1 sin ϕ j + a j 2 cos ϕ j ) sin θ j = − sin ψ j ctgθ j , β j 2 = a j 3 − β j1 cos θ j = sin −1 θ j sin ψ j , β j 3 = a j1 cos ϕ j − a j 2 sin ϕ j = cosψ j

( j = 1, N ).

Так как главные центральные моменты инерции Aj, Bj и Сj для рассматриваемых твердых недеформируемых тел не зависят от времени t (см. определения (7.11.12)), то левая часть уравнения (14.4.13) является полной производной от времени:

[

]

d N ∑ A j a j1ω j1 + B j a j 2ω j 2 + C j a j 3ω j 3 = P. dt j =1

(14.4.15)

490

Часть III. Основные задачи небесной механики

Аналогично случаю задачи о движении системы материальных точек (см. раздел 13.5), из последних двух уравнений (14.3.12) следует справедливость соотношения N ⎛ && − ζ η&& = ⎜η ∂U − ζ ∂U m η ζ ∑ ∑ j j j j j j ⎜ j ∂ζ ∂η j j =1 j =1 ⎝ j

(

N

)

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

(14.4.16)

левая часть которого также представляется в виде полной производной по времени: N

(

)

d ∑ m j η jζ& j − ζ jη& j , dt j =1 поэтому, суммируя два равенства (14.4.15) и (14.4.16), и учитывая (14.4.14), получим *)

[ (

)

]

d N ∑ m j η jζ& j − ζ jη& j + A j a j1ω j1 + B j a j 2ω j 2 + C j a j 3ω j 3 = P∗ . dt j =1

(14.4.17)

Здесь N ⎛ ∂U ∂U ∂U sinψ j ∂U ∂U ⎞⎟ −ζ j − sinψ j ctgθ j + + cosψ j P ∗ = ∑ ⎜η j . ⎜ ∂ζ ∂η j ∂ψ j sin θ j ∂ϕ j ∂θ j ⎟⎠ j =1 ⎝ j Но, как можно непосредственно убедиться из (14.2.8)-(14.2.13) и (14.2.4)-(14.2.7), P* = 0 **) . Следовательно, из (14.4.17), обозначая постоянную интегрирования через с1 , будем иметь

∑ [m (η ζ& N

j =1

j

j

j

)

]

− ζ jη& j + A j a j1ω j1 + B j a j 2ω j 2 + C j a j 3ω j 3 = c1 .

(14.4.18)

Циклической перестановкой символов ξ, η, ζ и последовательной заменой на основании (14.2.5)-(14.2.7) направляющих косинусов ajl на bjl и cjl (l = 1,3) аналогично получим еще два равенства

∑ [m (ζ ξ& N

j =1

j

j

∑ [m (ξ η&

j

N

j =1

j

j

j

)

]

− ξ jζ& j + A j b j1ω j1 + B j b j 2ω j 2 + C j b j 3ω j 3 = c2 ,

)

]

(14.4.19)

− η jξ& j + A j c j1ω j1 + B j c j 2ω j 2 + C j c j 3ω j 3 = c3 ,

в которых с2 , с3 — произвольные интегральные постоянные. Так как левые части равенств (14.4.18) и (14.4.19) являются соответствующими проекциями вектора полного момента количества движения всей системы N твердых тел на координатные оси абсолютной системы Oξηζ, то указанные равенства принято называть интегралами момента количества движения ***) . Для получения этих *)

Необходимость добавления к соотношению (14.4.15) равенства (14.4.16) связана с тем, что при стремлении главных моментов инерции Aj, Bj и Сj к нулю (при предельном переходе к системе материальных точек) искомый интеграл момента количества движения должен совпадать с соответствующим интегралом вида (13.15.10) для системы материальных точек. **) Равенство P* = 0 может быть также установлено из соотношения (14.4.2) на основании инвариантности силовой функции задачи относительно бесконечно малого поворота абсолютной системы координат вокруг оси Oξ [24]. ***) Согласно определению момента количества движения произвольной материальной точки P с

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

491

интегралов в канонических переменных необходимо в равенствах (14.4.18) и (14.4.19) произвести замены (14.3.8)-(14.4.3). Таким образом, уравнения поступательно-вращательного движения (14.3.7) системы N твердых взаимно притягивающихся тел имеют такие же десять первых интегралов, как и уравнения движения системы гравитирующих материальных точек. 14.5. Частные случаи В предыдущем разделе было показано, что для уравнений поступательновращательного движения N твердых тел в общем случае, когда рассматриваемые тела произвольны, имеется десять классических интегралов. Однако в ряде частных случаев удается найти еще и другие алгебраические интегралы движения. Если k из N тел (k < N) представляют собой однородные шары, так что для каждого из этих k тел произвольные взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через центр шара, являются главными осями инерции, то очевидно, (см. определения (7.11.12)), что все их главные центральные моменты инерции оказываются равными величинами: Al = Bl = Cl (l = 1, k )

и при этом, ввиду симметрии, силовая функция (14.2.10) задачи не будет зависеть от углов Эйлера ψ l = ϕ l = θ l (l = 1, k ). Следовательно, ∂U ∂U ∂U = = = 0 (l = 1, k ) ∂ψ l ∂ϕ l ∂θ l

(14.5.1)

и из (14.3.7), (14.3.11) будем иметь

ω l1 = ω l(10) , ω l 2 = ω l(20) , ω l 3 = ω l(30)

(l = 1, k )

(14.5.2)

r радиусом r относительно начала абсолютной системы координат Oξηζ: r r r H p = m0 [r × v ], r где m0 — масса P, v — скорость, которая для произвольной точки твердого тела (см. раздел 14.1) r r выражается через скорость центра масс VG этого тела и угловую скорость ω его вращения в виде r r r r v = VG + [ω × r ]. Следовательно, для твердого тела объемом V и с массой m полный момент количества движения равен r r r r r r H = m[r × VG ] + ∫∫∫ ([r × [ω × r ]])dm. V

r i

r r j k

r r r r r r r r r rr r r Но поскольку ω = i ω 1 + j ω 2 + k ω 3 , r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 , [r × VG ] = ξ η ζ , [r × [ω × r ]] = ωr 2 − r (r ω ) и ξ& η& ζ& r r r r 2 r rr ∫∫∫ (ωr − r (r ω ))dm = i Aω1 + j Bω 2 + k Cω 3 (компоненты угловой скорости направлены по главным осям V

инерции твердого тела), то переходя к моменту количества движения системы N твердых тел и проектируя его на направления осей абсолютной системы координат, мы и получим левые части равенств (14.4.18) и (14.4.19).

492

Часть III. Основные задачи небесной механики

или, подставляя постоянные величины компонент ω ln( 0) (n = 1,3) угловой скорости вращения однородного шара Tl в (14.3.8), получим, с учетом (14.3.5), следующие 3k дополнительных интегралов уравнений задачи: T

Alω l(10 ) sin u3l = v 3l −2 sin u3l −1 − v 3l −1 sin u3l −1 cos u3l + v 3l sin u3l cos u3l −1 , Alω l(20 ) sin u3l = v 3l −2 cos u3l −1 − v 3l −1 cos u3l −1 cos u3l − v 3l sin u3l sin u3l −1 , v 3l −1 = Alω l(30 )

(14.5.3)

(l = 1, k ).

Так как ориентация главных осей инерции, выбираемых в качестве собственной (подвижной) системы координат, для каждого из рассматриваемых тел-шаров совершенно произвольна, то из постоянства (по величине и направлению) угловой r скорости ω l вращения относительно собственной системы координат (см. (14.5.2)) r каждого из шаров Tl следует, что ω l (l = 1, k ) будет оставаться постоянной и относительно абсолютной системы координат Oξηζ, а потому каждый из шаров будет вращаться равномерно вокруг некоторой неизменной оси, задаваемой начальными условиями. Предполагая ввиду возможности для каждого из Tl (l = 1, k ) тел произвольного выбора собственной (подвижной) системы координат, что направление вектора угловой r скорости ω l совпадает с осью Glζ l′ подвижной, непосредственно связанной с телом Tl системы координат, из кинематических уравнений Эйлера (14.1.6), тогда получим T

u3l −2 = ψ l = ψ l( 0) , u3l −1 = ϕ l = ω l 3 (t − t0 ) + ϕ l( 0) , θ l = θ l( 0)

(l = 1, k ).

(14.5.4)

Из (14.5.1) также следует, что при наличии в системе k однородных тел-шаров ( Tl , l = 1, k ) уравнения задачи (14.3.7) уже не будут содержать углов Эйлера

ψ l , ϕ l , θ l (l = 1, k ) , а следовательно, относительно остальных (то есть исключая ψ l , ϕ l , θ l ) переменных (14.3.7) будет являться канонической системой с 6N − 3k

степенями свободы *) . Особого внимания заслуживает случай, когда k = N, то есть каждое из рассматриваемых твердых тел обладает сферически симметричным распределением плотности (все тела системы — шары). Тогда силовая функция U, а также гамильтониан (14.3.9) вообще не будут зависеть от углов Эйлера, а поэтому вращательное движение, определяемое выражениями (14.5.4) при l = 1, N , каждого из твердых тел-шаров не будет зависеть от его поступательного движения, и каноническая система (14.3.7) фактически сведется к системе (см. также (14.3.12)) dqi ∂F = , dt ∂pi

*)

dpi ∂F =− dt ∂qi

(i = 1,3 N ),

(14.5.5)

При Al = Bl = Cl, согласно (14.3.9), кинетическая энергия K, а следовательно, и гамильтониан не будут зависеть от углов Эйлера (см. обозначения (14.3.5)): ψ l = u 3l − 2 , ϕ l = u 3l −1 , θ l = u 3l (l = 1, k ).

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

493

определяющей поступательные движения гравитирующих материальных точек Gl ( l = 1, N ), совпадающих с геометрическими центрами тел-шаров и обладающих их массами. Таким образом, силовая функция данной системы, как и в классическом случае ньютоновского взаимодействия системы материальных точек, будет иметь вид (см. (13.15.3)) f N N mm U = ∑∑ / k l , (14.5.6) 2 k =1 l =1 Rkl где f — гравитационная постоянная, mk и ml — массы тел-шаров, Rkl — расстояние между их центрами (между точками Gk и Gl; k , l = 1, N , k ≠ l ). Интегрирование системы (14.5.5) при N > 1, как было установлено в предыдущей главе, в общем случае, возможно лишь для (N = 2) задачи двух тел (двух материальных точек). Важным для приложений является также случай, когда каждое из k ≤ N твердых тел обладает осесимметричным распределением плотности, так что центр симметрии этих тел располагается на оси симметрии, которую и можно принять за ось Glζ l′ собственной для тела Tl (l = 1, k ) системы координат (см. рис. 97). В этом случае, согласно (7.11.12), Al = Bl (l = 1, k ) (14.5.7) и силовая функция U не зависит от углов собственного вращения ϕ l (l = 1, k ) . При этом, поскольку и кинетическая энергия, как нетрудно видеть из (14.3.9), также не зависит от указанных углов собственного вращения *) , то из (14.3.7), учитывая обозначение ϕ l = u3l −1 (см. (14.3.5)), получим dv 3l −1 ∂F =− = 0, ∂ϕ l dt или, согласно (14.3.6) **) , v 3l −1 = Сlω l 3 = constl (l = 1, k ). (14.5.8) Полученные интегралы канонической системы (14.3.7) позволяют понизить ее порядок на k ≤ N степеней свободы, так что решение исходной задачи сведется к интегрированию системы (14.3.7) с 6N − k степенями свободы и определению затем квадратур:

*)

Кинетическая энергия K рассматриваемой системы твердых тел не зависит от углов ϕ l = u 3l −1 , l = 1, k (см. обозначения (14.3.5)), поскольку, как следует из (14.3.9), сумма k ⎡ ⎤ 1 1 2 2 ∑ ⎢ ( M sin u 3l −1 + v 3l cos u 3l −1 ) + ( M cos u 3l −1 − v 3l sin u 3l −1 ) ⎥ Bl l =1 ⎣ Al ⎦ при Al = Bl равна

**)

k

∑ (M l =1

2

+ v 32l ) Al и, согласно (14.3.10), не зависит от

ϕ l = u3l −1 , l = 1, k .

Интегралы (14.5.8) непосредственно также следуют из динамических уравнений Эйлера (14.3.11) при Al = Bl и ∂U/∂ϕl = 0 (l = j).

494

Часть III. Основные задачи небесной механики

ϕl = ϕ

t

( 0) l

+ ∫ (∂F ∂v 3l −1 )dt

(l = 1, k ),

t0

в которых, как следует из (14.3.9) и (14.5.7) ***)

[

]

v cos u ∂F = const l Cl−1 + Al−1ctg 2 u 3l − 3l − 2 2 3l . ∂v 3l −1 Al sin u3l

Предположим теперь, что наименьшее из расстояний (Δij ~ Rij) между произвольной формы твердыми телами Ti и Tj системы (между точками их центров масс) настолько велико, что в разложении (14.2.25) силовой функции U можно пренебречь слагаемыми, содержащими третьи и более высокие степени (1/ Rij). Тогда, согласно результатам раздела 14.2, силовая функция задачи будет иметь вид (14.5.6) и окажется функцией только от абсолютных координат (ξ, η, ζ) центров масс Gk тел Tk ( k = 1, N ) поэтому, как и в случае, когда твердые тела имеют сферические распределения плотностей (тела-шары), в рассматриваемом приближении уравнения поступательно-вращательного движения (14.3.7) системы твердых тел произвольной формы разделятся на две независимые системы. Первая из них, каноническая система (14.5.5), определит, аналогично тому, как если бы каждое из тел было материальной точкой, только поступательные движения этих тел. Другая независимая система — вторая пара канонически сопряженных уравнений (14.3.7), определяющая чисто вращательные движения твердых тел, ввиду выполнения с учетом (14.5.6) и (14.2.11) равенств (14.5.1), (14.3.11), представляется кинематическими (14.1.5), а также динамическими уравнениями Эйлера вида: T

T

T

A jω& j1 + (C j − B j )ω j 2ω j 3 = 0, B jω& j 2 + ( A j − C j )ω j1ω j 3 = 0,

(14.5.9)

C jω& j 3 + ( B j − A j )ω j1ω j 2 = 0 ( j = 1, N ). При этом очевидно, что полная система (14.5.9) представляет собой N независимых систем, каждая из которых определяет вращательное движение соответствующего тела Tj системы так, как будто бы оно не подвергается воздействию внешних сил *) . Система (14.5.9) является интегрируемой. Предположим для определенности, что оси собственной (подвижной) системы координат каждого из тел Tj выбраны таким образом, что (14.5.10) Aj > Bj > Cj (Cj ≠ 0). T

T

Вычисление ϕl может быть также произведено и в иной форме. Действительно, на основании третьего кинематического уравнения Эйлера (14.1.6), ϕ& l = ω l 3 − ψ& l cosθ l , с учетом (14.5.6), имеем t const l ϕ l = ϕ l( 0 ) + (t − t 0 ) − ∫ψ& l cos θ l dt (l = 1, k ). Cl t *) Случай движения твердого тела относительно его неподвижного центра масс впервые был исследован в 1750-1758 гг. Л. Эйлером, а позднее (в 1834 г.), с чисто геометрической точки зрения, Пуансо. И как мы показали, к этой же задаче приводится определение движения твердого тела вокруг его центра масс, когда результирующая всех сил, действующих на тело, проходит через его центр масс. ***)

0

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

495

Тогда, умножая первое уравнение (14.5.9) на ( A j − C j )ω j1 , а второе — на ( B j − C j )ω j 2 и почленно суммируя получившиеся равенства, после интегрирования найдем

A j ( A j − C j )ω 2j1 + B j ( B j − C j )ω 2j 2 = b12j ,

(14.5.11)

где, ввиду положительности левой части (14.5.11), при выполнении неравенств (14.5.10), постоянная интегрирования обозначена через b12j ( j = 1, N ). . Аналогично из второго и третьего равенств (14.5.9), обозначая постоянную интегрирования через b22 j , получим B j ( A j − B j )ω 2j 2 + C j ( A j − C j )ω 2j 3 = b22 j ( j = 1, N ). (14.5.12) Выражая теперь из последних двух равенств соответственно ω j1 и ω j 3 через компоненту угловой скорости ω j 2 , и вводя обозначения

λ2n = где f1 = B j − C j ,

bnj2 Bj fn

, hn2 =

B j fn

(n = 1,2),

( A j − C j )d n

f 2 = A j − B j , d1 = A j , d 2 = C j

( j = 1, N ), будем иметь

ω 2j1 = h12 (λ12 − ω 2j 2 ), ω 2j 3 = h22 (λ22 − ω 2j 2 ).

(14.5.14)

Следовательно, подставляя (14.5.14) во второе равенство (14.5.9) и переходя к переменной (14.5.15) τ = ν (t − t 0 ), где ν 2 = f1 f 2 (d1d 2 ) > 0, придем к уравнению 2

⎛ dω j 2 ⎞ ⎜ ⎟ = (λ12 − ω 2j 2 )(λ22 − ω 2j 2 ) ⎜ dτ ⎟ ⎝ ⎠

j = 1, N ,

(14.5.16)

которое, согласно выражениям (8.9.2) и (8.9.26) раздела 8, при λ1 ≠ 0 и λ1 ≠ λ2 *) подстановкой вида (8.9.28) 6λ1 (λ12 − λ22 ) (14.5.17) ω j 2 − λ1 = 12 w + λ22 − 5λ12 приводится относительно переменной w к дифференциальному уравнению для ℘функции Вейерштрасса (8.9.29) *)

r В случае λ1 = 0, как следует из (14.5.10)-(14.5.13), ω j1 = ω j 2 ≡ 0, то есть мгновенная ось вращения ω j

твердого тела Tj располагается вдоль его оси G jζ ′j собственной (подвижной) системы координат (см. T

рис. 97 и раздел 14.1), и из (14.5.12) находим ω j = ω j 3 =

b2 j C j ( Aj − C j )

выражается в элементарных функциях:

ω j 2 = λ1 th | λ1τ |,

j = 1, N .

. При λ1 = λ2 решение (14.5.16)

496

Часть III. Основные задачи небесной механики 2

⎛ dw ⎞ 3 ⎜ ⎟ = 4w − g 2 w − g 3 d τ ⎝ ⎠

с инвариантами g 2 = λ12 λ22 +

λ0 2

g 3 = λ0 (λ20 − λ12 λ22 ).

,

Здесь λ0 = (λ12 + λ22 ) 6 , а постоянные λ1 и λ2 определяются выражениями (14.5.13). Таким образом, искомая компонента угловой скорости вращения, согласно (14.5.15)-(14.5.18), будет определяться в виде (см. также раздел 8.9)

ω j 2 = λ1 +

6λ1 (λ12 − λ22 ) 12℘[ν (t − t 0 )] + λ22 − 5λ12

( j = 1, N ),

(14.5.19)

а величины ω j1 и ω j 3 ( j = 1, N ) тогда можно вычислить из выражений (14.5.14). Для определения по найденным компонентам угловой скорости ω jl (l = 1,3) углов Эйлера, полностью характеризующих вращение тела T j ( j = 1, N ) относительно его центра масс, а следовательно, и ориентацию осей собственной, непосредственно связанной с телом Tj системы координат по отношению к соответствующим осям неподвижной (абсолютной) системы Gjξηζ (см. рис. 98), учтем, что из интегралов момента количества движения (14.4.18)-(14.4.19) в рассматриваемом случае (когда на вращательное движение каждого из тел Tj системы не проявляется влияние других тел, а поступательные и вращательные движения тел не зависят друг от друга) следует постоянство для каждого из тел Tj его вектора момента количества движения r H j = {A jω j1 , B jω j 2 , C jω j 3 }, j = 1, N , (14.5.20) T

T

T

определяемого относительно центра масс Gj (см. раздел 14.4). Это означает, что для компонент вектора (14.5.20) выполняются равенства A j ω j1a j1 + B j ω j 2 a j 2 + C j ω j 3 a j 3 = α j , A jω j1b j1 + B jω j 2b j 2 + C jω j 3b j 3 = β j ,

(14.5.21)

A jω j1c j1 + B jω j 2 c j 2 + C jω j 3c j 3 = γ j ( j = 1, N ), r в которых левые части являются проекциями H j на оси абсолютной (инерциальной) системы координат Gjξηζ, αj, βj, γj — постоянные, а направляющие косинусы ajl, bjl и cjl (l = 1,3; j = 1, N ) определяются выражениями (14.2.5)-(14.2.7). На основании (14.5.21) при определении вращательного (независимого) движения каждого из тел T j ( j = 1, N ) будем считать, что оси абсолютной системы координат Gjξηζ (с центром в точке центра масс тела Pj) выбраны так, что ось Gjζ r направлена вдоль неподвижного вектора H j . Тогда, согласно (14.5.21) *) , *)

Здесь предполагается, что для характеристики вращательного движения каждого из тел системы вводится своя строго ориентированная в пространстве система координат, что целесообразно ввиду

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

α j = β j = 0, γ 2j = ( A jω j1 ) 2 + ( B jω j 2 ) 2 + (C jω j 3 ) 2 ,

497

j = 1, N .

(14.5.22)

Следовательно, ∧

c j1 = cos(ξ ′j ,ζ ) =

A j ω j1

γj

∧

, c j 2 = cos(η ′j ,ζ ) =

B jω j 2

γj

∧

, c j 3 = cos(ζ ′j ,ζ ) =

C jω j 3

γj

.

r Здесь считается, что γj ≠ 0, то есть ω j ≡/ 0 при выполнении неравенств (14.5.10). Учитывая далее выражения (14.2.5)-(14.2.7)

c j1 = sin ϕ j sin θ j , c j 2 = cosϕ j sin θ j , c j 3 = cosθ j

( j = 1, N ),

для искомых величин углов Эйлера с учетом третьего уравнения (14.1.6) получим tgϕ j (t ) =

A j ω j1 B jω j 2

ψ j (t ) = ψ 0 j

, cosθ j (t ) =

γj ⎡

C jω j 3

γj

⎤ + ⎢t − ∫ (ϕ& j ω j 3 )dt ⎥, C j ⎢⎣ t0 ⎥⎦

, (14.5.23)

t

j = 1, N ,

где ψ 0 j — постоянная, и изменения со временем компонент угловой скорости

ω jl (l = 1,3) определяются (14.5.19) и (14.5.14) *) . Полученные результаты, относящиеся к случаю достаточно больших взаимных расстояний между телами системы, так что силовая функция задачи выражается в виде (14.5.6.), значительно упрощаются, если какое-либо из тел (или все тела) системы при этом обладает осесимметричным распределением плотности вида (14.5.7). При Aj = Bj из (14.5.9) сразу следует, что ω j 3 = ω (j03) = const j ( j = 1, N ), а для двух других компонент угловой скорости, вводя обозначения λ j = ω (j03) ( A j − C j ) A j , получим

ω j1 = f 0 j cos λ j t + g 0 j sin λ j t , ω j 2 = g 0 j cos λ j t − f 0 j sin λ j t , или

ω j1 = h0 j sin(λ j t + s0 j ), ω j 2 = h0 j sin(λ j t + s0 j ),

j = 1, N .

(14.5.24)

независимости вращательных движений тел. Последнее соотношение (14.5.22) следует в общем случае из (14.5.21) ввиду ортогональности направляющих косинусов (14.2.5)-(14.2.7). Однако оно может быть также получено непосредственно из уравнений (14.5.9), если умножить их последовательно на A jω j1 , B j ω j 2 , C j ω j 3 , а затем сложить. В общем случае левая часть этого соотношения будет равна α 2j + β j2 + γ 2j ( j = 1, N ). Заметим также, что из (14.5.22) и одного из интегралов (14.5.11), (14.5.12) следует в рассматриваемом случае интеграл энергии для вращательного движения (см. также (14.1.9) и (14.4.1)): A j ω 2j1 + B j ω 2j 2 + C j ω 2j 3 = h0∗ j ( j = 1, N ). *)

Так как в рассматриваемом случае ω jl (l = 1,3; j = 1, N ) выражается через ℘-функцию Вейерштрасса, то подынтегральное выражение (14.5.23) является эллиптической функцией, а следовательно, согласно результатам разделов 8.2 и 8.11, функция ψj(t) может быть представлена в виде функций Вейерштрасса.

498

Часть III. Основные задачи небесной механики

Здесь f 0 j , g 0 j , и h0 j , s0 j — постоянные интегрирования, связанные соотношениями f 0 j = h0 j sin( s0 j ),

g 0 j = h0 j cos( s0 j ).

r Из (14.5.24) следует, что в этом случае угловая скорость вращения ω j каждого из тел (относительно их центров масс) оказывается постоянной по величине

ω j = h02 j + ω 2j 3

( j = 1, N ),

а для углов Эйлера (14.5.23), если, как и ранее, неподвижную ось Gjζ направить вдоль вектора момента количества движения (14.5.20), будем иметь ⎛ C jω (j03) ⎞ γ ⎟, ψ j = ψ 0∗ j + j t ⎟ Aj ⎝ γj ⎠

ϕ j = λ j (t − t 0 ), θ j = arccos⎜⎜

( j = 1, N ),

(14.5.25)

где, согласно (14.5.22), ψ 0∗ j — постоянная,

γ 2j = ( A j h0 j ) 2 + (C jω (j03) ) 2 , t 0 = −

s0 j

λj

Aj − C j

, λ j = ω (j03)

Aj

( j = 1, N ).

Таким образом, в данном случае все решения выражаются в элементарных функциях и, как следует из (14.5.25), каждое из тел T j ( j = 1, N ) будет совершать два равномерных движения вокруг неподвижного в пространстве вектора момента r количества движения H j (ввиду изменения угла прецессии ψj) и относительно "оси фигуры" (при изменении угла собственного вращения ϕj) — G jζ ′j (см. рис. 97, 98). При этом в каждый момент времени движение тела Tj будет представлять собой r мгновенный поворот вокруг оси Gjωj (вектора ω j ), наклоненной под постоянным углом T

(см. рис. 99) ⎛

ν j = arcsin⎜⎜

h0 j

⎜ h02 j + ω 2j 3 ⎝

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

(14.5.26)

к оси фигуры G jζ ′j ( j = 1, N ) , а угол нутации θj будет оставаться постоянным по величине, так что угол между мгновенной осью вращения Gjωj и вектором момента r количества движения H (ось Gjζ) будет равен *)

ν j −θ j , или, с учетом (14.5.25) и (14.5.26),

*)

r Изменение в пространстве положения вектора ω j во вращающемся теле при отсутствии внешнего воздействия называется свободной нутацией. Она проявляется из-за рассогласования направления r r вектора угловой скорости ω j и вектора момента количества движения H j .

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела r ∧r C j − Aj sin 2ν j sin( H j ,ω j ) = 2 A j sin 2 ν j + (C j A j ) 2 cos 2 ν j

[

]

1/ 2

499

( j = 1, N ).

Следовательно, рассматриваемое вращение каждого твердого тела можно представить как "скольжение" конуса (неподвижно связанного с телом Tj) с осью G jζ ′j , T

направленной вдоль главной оси инерции Cj тела Tj, и углом при вершине 2νj по поверхности конуса с неподвижной осью Gjζ и углом при вершине (νj − θj). Подвижная линия касания и является мгновенной осью вращения тела T j ( j = 1, N ) . Если же в силовой функции (14.2.25) не представляется возможным пренебречь третьими и более высокими степенями обратных расстояний 1/Rij между телами (их центрами масс) Ti и T j (i, j = 1, N ) , то силовая функция U будет зависеть от всех координатных переменных (14.3.5), и уравнения поступательно-вращательного движения (14.3.7) не разделяются на две независимые системы *) . T

T

ζ ′j θj Cj

ζ r Hj

r

ωj νj ωj2

Gj

ωj1

h0j λj(t−t0)

Bj

η′j

Aj

ξ ′j Рис. 99. Следует заметить, что согласно (14.2.25) в функциях ∂U , ∂ξ l

∂U , ∂ηl

∂U ∂ζ l

(l = i, j ),

непосредственно определяющих соответствующие проекции сил взаимного притяжения, вторые слагаемые получаемых рядов являются величинами порядка

*)

За параметр, характеризующий порядок малости силовой функции задачи, выбирается величина, обратная наименьшему из расстояний между телами системы. Однако среди остальных обратных расстояний могут быть величины более высоких порядков, которыми можно пренебречь и тогда силовая функция будет зависеть не от всех координатных переменных задачи.

500

Часть III. Основные задачи небесной механики

четвертой степени 1/Rij **) , а в функциях, характеризующих соответствующие проекции моментов (относительно центра масс тела Tl) сил T

∂U , ∂ψ l

∂U , ∂ϕ l

∂U ∂θ l

(l = i, j ),

первые слагаемые — величины третьего порядка относительно 1/Rij. Поэтому если в правых частях уравнений задачи (14.3.7), а не в силовой функции, сохранить все слагаемые разложений (14.2.25) по величинам обратных расстояний 1/Rij до третьего порядка включительно, то каноническая система (14.5.5) вновь не будет содержать углов Эйлера и может быть проинтегрирована независимо, определяя тем самым поступательные движения тел, а правые части уравнений (14.3.11) будут уже являться функциями от углов Эйлера и координат центров масс Gj тел T j ( j = 1, N ) системы. И если в рассматриваемом приближении уравнения поступательного движения (14.5.5) удалось бы проинтегрировать, то подставляя в (14.3.11) вместо координат ξ j , η j , ζ j ( j = 1, N ) их явные выражения в функции времени t и произвольных постоянных, правые части уравнений (14.3.11) оказались бы функциями лишь от углов Эйлера и времени t. При этом интегрирование уравнений (14.3.11) и (14.1.5) относительно 6N переменных — ω j1 , ω j 2 , ω j 3 и ψ j , ϕ j , θ j ( j = 1, N ) и определит с рассматриваемой точностью вращательные движения тел системы. 14.6. Дополнения В разделе 14.4 в абсолютной системе координат Oξηζ были получены десять классических интегралов (14.4.1), (14.4.7)-(14.4.9) и (14.4.18), (14.4.19) уравнений поступательно-вращательного движения N твердых тел, которые позволяют в принципе понизить порядок исходной системы (14.3.7) на десять единиц (на пять степеней свободы). Но аналогично задаче о движении N гравитирующих материальных точек для практических приложений эффективными для понижения порядка системы (14.3.7) оказываются лишь шесть интегралов движения центра масс всей системы. Перейдем от абсолютной системы координат Oξηζ к относительной (неинерциальной) с началом в одной из точек центра масс Gj тела Tj. Пусть для определенности j = 1, то есть выберем начало координат новой относительной системы в точке G1, сохраняя при этом направления осей координат неизменными и параллельными соответствующим осям абсолютной системы Oξηζ. Тогда относительные координаты центров масс Gl тел Tl (l = 2, N ) будут равны T

ξ l = ξ l − ξ1 , η l = ηl − η1 , ζ l = ζ l − ζ 1 ,

(14.6.1)

где ξj, ηj, ζj — абсолютные координаты центров масс Gj тел T j ( j = 1, N ) в системе Oξηζ. При этом углы Эйлера ψj, ϕj, θj определяющие ориентацию относительно G1ξηζ **)

Величины (ξ j − ξ i ) Rij , ..., (ζ j − ζ i ) Rij

представляют собой направляющие косинусы углов между

радиус-вектором, соединяющим центры масс тел Ti и Tj, и координатными осями абсолютной системы Oξηζ. Эти величины могут принимать любые значения от нуля до единицы. T

T

Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела

501

подвижной системы координат G jξ ′jη ′jζ ′j с центром в Gj, жестко связанной с телом T j ( j = 1, N ) , не изменятся, так как по исходному предположению направление новых осей относительной системы координат G1ξηζ будет совпадать с соответствующими направлениями абсолютных осей системы Oξηζ. Силовая функция (14.2.10), зависящая только от разностей абсолютных координат Gj всех точек системы (см. разделы 14.2 и 14.4), после преобразования к новым переменным (14.6.1) будет функцией от 3(N−1) относительных координат точек Gl (l = 2, N ) , поскольку координаты точки G1 уже будут равны нулю, и функцией от 3N углов Эйлера всех N тел системы. Для перехода к новым переменным (14.6.1) введем аналогично (14.3.5) обозначения: q3 j −2 = ξ j , q3 j −1 = η j , q3 j = ζ j , (14.6.2) u3 j − 2 = ψ j , u3 j −1 = ϕ j , u3 j = θ j ( j = 1, N ), и воспользуемся каноническим преобразованием (1.5.12) Qi =

∂S , ∂Pi

pi =

∂S ∂S ∂S , ui∗ = ∗ , v i = ∂qi ∂v i ∂ui

(i = 1, 3 N ),

(14.6.3)

в котором производящая функция S = S1 + S2, где N

S1 = ∑ [(q3l − 2 − q1 ) P3l −2 + (q3l −1 − q2 ) P3l −1 + (q3l − q3 ) P3l ] − q1 P1 − q 2 P2 − q3 P3 , l =2

3N

S 2 = ∑ ui v , i =1

(14.6.4)

∗ i

зависит от переменных (14.6.2) q1 , ..., q3 N , u1 , ..., u3 N

и от новых "обобщенных

импульсов" P1 , ..., P3 N , v 1∗ , ..., v 3∗ N . В (14.6.3) u i∗ — новые "угловые координатные переменные", а pi, vi являются канонически сопряженными к q j , ui ( j = 1,3 N ) и были определены ранее соотношениями (14.3.6). Преобразование (14.6.3), как очевидно из (14.6.4), определяет следующую каноническую замену переменных Q1 = −q1 , Q2 = −q 2 , Q3 = −q3 , Q3l −k = q3l −k − q3−k , N

p1 = −∑ P3 j −2 , j =1

N

p2 = −∑ P3 j −1 , j =1

N

p3 = −∑ P3 j , j =1

pn = Pn

(k = 0,2, l = 2, N , n = 4, 3N ), а канонические переменные ui, vi и ui∗ , v i∗ (i = 1,3N ) тождественно совпадают. Уравнения для новых переменных тогда примут вид

(14.6.5)

502

Часть III. Основные задачи небесной механики

dQi ∂F ∗ = , dt ∂Pi

dPi ∂F ∗ =− , dt ∂Qi

dui ∂F ∗ = , dt ∂v i

dv i ∂F ∗ =− dt ∂ui

(i = 1,3N ),

(14.6.6)

где гамильтониан F ∗ = K ∗ −U ∗

будет определяться выражением (14.3.9), в котором необходимо произвести замены (14.6.5). Но поскольку в новых переменных Qi, совпадающих, с учетом обозначений (14.6.2), при i ≠ 1,3 с (14.6.1), силовая функция U* уже не будет зависеть от переменных Q1, Q2, Q3, то есть U ∗ = U ∗ (Q4 , ..., Q3 N ; u1 , ..., u 3 N ),

а кинетическая энергия K*, как следует из (14.3.9) и (14.6.5), не зависит от Qi (i = 1,3N ) , то на основании (14.6.6) заключаем, что P1, P2, и P3 являются постоянными величинами, то есть интегралами задачи *) . Следовательно, гамильтониан F* уже не является функцией от координат и импульсов центра масс G1 тела T1, а поэтому каноническая система (14.6.6) будет уже с 6N − 3 степенями свободы. Для полученных уравнений (14.6.6) относительного движения, в которых для переменных Qi и Pi следует считать, что i = 4, 3 N , существует также (ввиду независимости явно от времени гамильтониана F*) интеграл энергии F* = h*= const, а также три интеграла момента количества движения вида (14.4.18), (14.4.19), в которых следует произвести замены (14.6.2), (14.6.5) и (14.3.6).

*)

Из соотношений (14.6.5) следует, что N

N

N

j =1

j =1

j =1

P1 = −∑ p3 j − 2 , P2 = −∑ p3 j −1 , P3 = −∑ p3 j ,

поэтому равенства P1 = −a1, P2 = −a2, P3 = −a3, в которых a1, a2, a3— постоянные, представляют собой интегралы (14.4.7) движения центра масс системы N тел.