Небесная механика. Общий курс

Глава 11. Полиномы Тиссерана 11.1. Производящая функция для полиномов Гегенбауэра В седьмой главе, посвященной сферическим функциям, при определении полиномов Лежандра в качестве производящей рассматривалась функция (7.1.1) F ( x) = (1 − 2τx + τ 2 ) − m

(11.1.1)

действительной переменной x = cosθ при m = 1/2. Исследуем теперь более общий случай, когда величина m является произвольным положительным числом. При этом по-прежнему будем считать, что −1 ≤ x ≤ 1, а переменная τ — действительное число, изменяющееся в пределах 0 < τ < 1. Аналогично случаю полиномов Лежандра представим функцию F(x) в виде ⎡ τ ⎞⎤ ⎛ F ( x) = ⎢1 − 2τ ⎜ x − ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎣

−m

(11.1.2)

и разложим правую часть (11.1.2) в ряд по возрастающим степеням τ *) . Тогда, согласно формуле бинома Ньютона, будем иметь ∞

F ( x) = 1 + ∑ k =1

k

τ⎞ m(m + 1)...(m + k − 1) ⎛ (2τ ) k ⎜ x − ⎟ . k! 2⎠ ⎝

(11.1.3)

Но, поскольку k

j

k k! τ⎞ ⎛ ⎛τ ⎞ j xk− j ⎜ ⎟ , ⎜ x − ⎟ = ∑ (−1) 2⎠ j!(k − j )! ⎝ ⎝2⎠ j =0

то, подставляя последнее равенство в (11.1.3), найдем ∞

k

F ( x) = 1 + ∑∑ (−1) j 2 k − j k =1 j =0

m(m + 1)...(m + k − 1) k + j k − j τ x . j! (k − j )!

(11.1.4)

Если заменить далее в (11.1.4) величину k на n = k + j, так что при изменении k от 1 до ∞ значение n также будет принимать все целые (положительные) значения от 1 до ∞, в то время как целое число j = n − k будет уже изменяться от 0 до k* = E(n/2), где E(n/2) — целая часть числа n/2 (так как при j = k имеем n = 2k и в зависимости от того, четно или нечетно n получим k = n/2 или k = (n − 1)/2), то из (11.1.4) и (11.1.1) получим ∞

(1 − 2τx + τ 2 ) −m = ∑ τ n Gn( m ) ( x).

(11.1.5)

n =0

Здесь G0( m ) = 1, а при n ≥ 1 *)

1 [exp(iϕ ) + exp(−iϕ )] , то, согласно (11.1.1), 2 −m −m F = [1 − τ exp(iϕ )] [1 − τ exp(−iϕ )] , i 2 = −1.

Так как при −1 ≤ x ≤ 1 справедливы равенства x = cos ϕ =

Поэтому при ⏐τ⏐< 1 каждый сомножитель, а следовательно, и их произведение можно разложить в абсолютно сходящийся ряд по возрастающим степеням τ.

Глава 11. Полиномы Тиссерана

Gn( m ) ( x) =

E ( n / 2)

∑ (−1) j =0

j

353

2 n −2 j

m(m + 1)...(m + n − j − 1) n−2 j x , j! (n − 2 j )!

(11.1.6)

или

Gn( m ) ( x) = 2 n

m(m + 1)...(m + n − 1) ⎡ n 1 n(n − 1) x − 2 x n−2 + ⎢ n! 2 1 ( m n 1 ) ⋅ + − ⎣ ⎤ 1 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) x n−4 − ...⎥. + 4 2 1 ⋅ 2(m + n − 1)(m + n − 2) ⎦

(11.1.7)

В частности, при m = 1 имеем ( n − 1) n − 2 ( n − 2)( n − 3) n − 4 ( n − 3)( n − 4)( n − 5) n −6 ⎡ ⎤ G n(1) ( x) = 2 n ⎢ x n − x + x − x + ...⎥. (11.1.8) 2 4 6 1!⋅2 2!⋅2 3!⋅2 ⎣ ⎦

Коэффициент при τn в разложении (11.1.5), являющийся полиномом степени n относительно переменной x, называется полиномом Гегенбауэра, а сама функция F(x) вида (11.1.1) — производящей функцией для этих полиномов Из (11.1.6) следует, что Gn( m ) (− x ) = (−1) n Gn( m ) ( x ),

то есть при четном n полином Гегенбауэра является четной функцией, в то время как в случае нечетного значения n полином Gn( m ) ( x) — нечетная функция. Покажем теперь, что полином Гегенбауэра Gn( m ) ( x) удовлетворяет следующему линейному дифференциальному уравнению второго порядка: (1 − x 2 )

d 2Gn( m ) dGn( m ) − ( 2 m + 1 ) x + n(n + 2m)Gn( m ) = 0. dx 2 dx

(11.1.9)

Для это вычислим частные производные по x и α первого и второго порядков функции (11.1.1) F = (1 − 2τx + τ 2 ) − m . Тогда будем иметь ∂F ∂2F = 2mτF 1+1/ m , = 4m(m + 1)τ 2 F 1+ 2 / m , 2 ∂x ∂x ∂F ∂2F = 2m( x − τ ) F 1+1/ m , = −2mF 1+1/ m + 4m(m + 1)( x − τ ) 2 F 1+ 2 / m . 2 ∂τ ∂τ С учетом этих равенств нетрудно проверить справедливость следующего уравнения в частных производных (1 − x 2 )

2 d 2F dF dF 2 d F m x m − ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) + = 0. τ τ dx 2 dx dτ dτ 2

Но согласно (11.1.5) ∞

F = ∑ τ n Gn( m ) ( x), n =0

(11.1.10)

354

Часть II. Аппарат специальных функций

поэтому ∞ dGn( m ) ( x) ∂F = ∑τ n , ∂x n=0 dx

2 (m) ∞ ∂2F n d Gn ( x ) = τ , ∑ ∂x 2 n=0 dx 2

∞ ∂F = ∑ nτ n−1Gn( m ) ( x), ∂τ n=1

∞ ∂2F = n(n − 1)τ n−2Gn( m ) ( x). ∑ 2 ∂τ n =2

Если подставить последние равенства в (11.1.10), то сразу получим требуемое уравнение (11.1.9), которое называется уравнением Гегенбауэра *) . 11.2. Взаимосвязь полиномов Гегенбауэра с полиномами и присоединенными функциями Лежандра Согласно определению (7.1.2), для полиномов Лежандра Pn(x) порядка n имеет место равенство ∞

(1 − 2τx + τ 2 ) −1 / 2 = ∑ τ n Pn ( x),

(11.2.1)

n =0

сопоставляя которое с (11.1.5), сразу находим, что Gn(1 / 2 ) = Pn ( x ).

(11.2.2)

Продифференцируем далее равенство (11.2.1) m раз по переменной x. Тогда получим ∞

(2m − 1)!!τ m (1 − 2τx + τ 2 ) −m−1 / 2 = ∑τ n n =0

d m Pn ( x) , dx m

или

τ n−m

d m Pn ( x) . dx m n =0 ( 2m − 1)!! ∞

(1 − 2τx + τ 2 ) −m−1 / 2 = ∑

(11.2.3)

Здесь, как и ранее, используется следующее обозначение: (2m − 1)!! = 1 ⋅ 3...( 2m − 1), m = 1,2,...

С другой стороны, как следует из (11.1.5), при целых положительных значениях m справедливо соотношение (1 − 2τx + τ 2 )

−m−

1 2

∞

= ∑ τ n Gn(m+1 / 2 ) ( x).

(11.2.4)

n =0

Приравнивая правые части равенств (11.2.3) и (11.2.4), будем иметь ∞

∑τ n =0

n

( m+1 / 2 )

Gn

τ n−m

d m Pn ( x) ( x) = ∑ . dx m n =0 ( 2m − 1)!! ∞

Следовательно,

Gn(m−m+1 / 2 ) ( x) =

*)

d m Pn ( x) 1 , (2m − 1)!! dx m

(11.2.5)

При m = 1/2 в соответствии с определением (7.1.1) уравнение Гегенбауэра (11.1.9) переходит в уравнение Лежандра (7.3.2).

Глава 11. Полиномы Тиссерана

355

или

Gn(m+1 / 2 ) ( x) =

d m Pn+ m ( x) 1 . (2m − 1)!! dx m

(11.2.6)

Таким образом, если m — целое положительное число, то полином Гегенбауэра G ( x ) связан с полиномом Лежандра Pn+ m (x ) соотношением (11.2.6). Но так как, согласно (7.6.1), при n и m — целых неотрицательных значениях выполняется равенство m (m) 2 m / 2 d Pn + m ( x ) Pn+ m ( x) = (1 − x ) , dx m ( m +1 / 2 ) n

в котором Pn(+mm) ( x ) — присоединенная функция Лежандра, то из (11.2.6) при m = 1, 2, … для полиномов Гегенбауэра и присоединенных функций Лежандра оказывается справедливой следующая взаимосвязь: ( m+1 / 2 )

Gn

(1 − x 2 ) − m / 2 ( m ) ( x) = Pn+ m ( x). (2m − 1)!!

(11.2.7)

Здесь также, как и в соотношениях (11.2.5) и (11.2.6), m является целым положительным числом, а n = 0, 1, … 11.3. Определение полиномов Тиссерана

Представим аргумент x полинома Гегенбауэра Gn( m ) ( x) через 2π–периодические вещественные переменные ξ и η, такие, что *) x = μcosξ + νcosη, 0 ≤ μ ≤ 1, 0 ≤ ν ≤ 1, μ + ν = 1,

(11.3.1)

и разложим функцию Gn( m ) ( x ) = Gn( m ) ( μ cos ξ + ν cos η )

(11.3.2)

в ряд по степеням μ и ν. Для этого, согласно (11.1.7), представим на основании формулы бинома Ньютона при целых k ≥ 2 выражение x k = ( μ cos ξ + ν cos η ) k , k = n, n − 2,..., в виде k

xk = ∑ l =0

k! ( μ cos ξ ) l (ν cos η ) k −l . l! (k − l )!

(11.3.3)

Выражая далее величины cos l ξ и cos k −l η через cos lξ , cos(l − 2)ξ , ... (l ≥ 2), cos(k − l )η , cos(k − l − 2)η , ... (k − l ≥ 2),

из (11.3.3) получим

*)

При выполнении приведенных условий для μ и ν, нетрудно видеть, что в соответствии с определением в разделе 11.1 полиномов Гегенбауэра, −1 ≤ x ≤ 1.

356

Часть II. Аппарат специальных функций

x k = ∑ C p ,q cos pξ cos qη.

(11.3.4)

p = l, l−2, …, q = k − l, k − l − 2, …,

(11.3.5)

p ,q

Здесь

а коэффициент Cp,q является однородным относительно μ и ν полиномом степени k = l + (k − l), который, согласно (11.3.3) и (11.3.5), можно представить в виде *)

С p ,q = μ pν q D( μ 2 ,ν 2 ), 1 (k − p − q) . 2 Следовательно, поскольку Gn( m ) ( x) есть полином вида (11.1.7) степени n относительно переменной x, то, полагая p + q = n, n−2, …, **) с учетом (11.3.4), найдем

где D( μ 2 ,ν 2 ) — однородный относительно μ2 и ν2 полином степени

Gn( m ) ( x) = T0(,n0.m ) + 2∑ T p(,n0.m ) cospξ + 2∑ T0(,nq.m ) cosqη + 4∑ T p(,nq.m ) cos pξ cosqη. (11.3.6) q

p

p ,q

Здесь

Tp(,nq.m) = μ pν q Φ( μ 2 ,ν 2 )

(11.3.7)

является полиномом степени n относительно μ и ν, а Φ( μ 2 ,ν 2 ) — многочлен степени 1 ( n − p − q ) относительно μ2 и ν2, или (учитывая, что согласно (11.3.1) μ = 1 − ν) — по2 линомом степени n − p − q относительно ν. Если в (11.3.6) от тригонометрических функций перейти к экспоненциальным, то получим следующее равенство: Gn( m ) ( x ) = ∑ T p(,nq.m ) exp[i ( pξ + qη )] , i 2 = −1,

(11.3.8)

p ,q

в котором величины p и q целые, уже как положительные, так и отрицательные числа, такие что | p | + | q | = n, n − 2, ... Из свойства ортогональности экспоненциальных функций, входящих в (11.3.8), следует, что 2π 1 T p(,nq.m ) ( μ ,ν ) = Gn( m ) ( μ cos ξ + ν cos η ) exp[− i ( pξ + qη )]dξdη. (11.3.9) 2 ∫ ∫ 4π 0 Полиномы T p(,nq,m ) ( μ ,ν ), где m — произвольное положительное число, n = 0, 1, …, определяемые соотношением (11.3.9), принято называть полиномами Тиссерана. *)

Если все слагаемые полинома имеют одну и ту же степень, то такой полином называется однородным. Множители 2 и 4 были введены в (11.3.6) с тем, чтобы в дальнейшем при переходе к экспоненциальным функциям в (11.3.8) отсутствовал бы сомножитель 1/4. При нечетном n очевидно, что слагаемое T0(,n0,m ) следует считать равным нулю.

**)

Глава 11. Полиномы Тиссерана

357

Так как при замене ξ на −ξ или η на −η равенство (11.3.6) не изменяется, то из (11.3.9) имеем T−(pn.,qm ) = T p(,nq.m ) , T p(,n−.mq ) = T p(,nq.m ) , (11.3.10) поэтому можно ограничиться рассмотрением полиномов Тиссерана T p(,nq,m ) только с неотрицательными значениями p и q. В последующих двух разделах будут подробно рассмотрены полиномы ( n ,m ) Tp ,q ( μ ,ν ) при m = 1/2 (для полуцелого индекса) и при m = 1 (в случае целочисленного индекса), имеющие важные приложения в задачах небесной механики. 11.4. Полиномы Тиссерана в случае полуцелого индекса Равенство (11.3.8) при m = 1/2 будет иметь вид Gn(1 / 2 ) ( x ) = ∑ T p(,nq,1 / 2 ) exp[i ( pξ + qη )] .

(11.4.1)

p ,q

Но, согласно взаимосвязи (11.2.2) между полиномами Гегенбауэра Gn(1 / 2 ) ( x ) и Лежандра Pn (x), имеем Gn(1 / 2 ) ( x ) = Pn ( x ),

так что на основании (11.4.1) и (11.3.2) полиномы Тиссерана T p(,nq,1/ 2) ( μ ,ν ) будут определяться следующим выражением: Pn ( μ cos ξ + ν cos η ) = ∑ T p(,nq,1 / 2 ) ( μ ,ν ) exp[i ( pξ + qη )] ,

(11.4.2)

p ,q

в котором | p| +| q| = n, n−2,…, 0 ≤ μ ≤ 1, 0 ≤ ν ≤ 1, μ + ν = 1, n = 0, 1, …, i 2 = −1 . Поскольку μ = 1 − ν, то полином T p(,nq,1/ 2) ( μ ,ν ) будем считать функцией только от переменной ν, и определим его как решение соответствующего дифференциального уравнения, для получения которого воспользуемся уравнением Лежандра (7.3.2) *) (1 − x 2 )

d 2 Pn dP − 2 x n + n(n + 1) Pn = 0. 2 dx dx

Учитывая, что (см. (11.3.1)) x = (1 − ν ) cos ξ + ν cos η ,

очевидно, будем иметь 2 dP ∂Pn ∂ 2 Pn 2 d Pn = (cos η − cos ξ ) n , = (cos η − cos ξ ) , dx dx 2 ∂ν ∂ν 2 dPn d 2 Pn ∂ 2 Pn 2 2 = −(1 − ν ) cos ξ + (1 − ν ) sin ξ , dx dx 2 ∂ξ 2

dPn d 2 Pn ∂ 2 Pn 2 2 = −ν cos η + ν sin η . dx dx 2 ∂η 2 *)

Уравнение Лежандра совпадает с уравнением Гегенбауэра (11.1.9) при m = 1/2.

(11.4.3)

358

Часть II. Аппарат специальных функций

Из уравнения Лежандра и соотношений (11.4.3) непосредственно следует, что

∂ 2 Pn ∂Pn 1 ∂ 2 Pn 1 ∂ 2 Pn (ν −ν ) + (1 − 2ν ) + + + n(n + 1) Pn = 0. ∂ν 2 ∂ν 1 −ν ∂ξ 2 ν ∂η 2 2

(11.4.4)

Вычисляя далее на основании (11.4.2) соответствующие производные, входящие в уравнение (11.4.4), а затем приравнивая нулю коэффициенты при exp[i(pξ + qη)] ≠0, найдем искомое дифференциальное уравнение для полинома T p(,nq,1/ 2) (ν ) :

(ν − ν ) 2

d 2T p(,nq,1/ 2)

+ (1 − 2ν )

dν 2

dT p(,nq,1/ 2) dν

⎡ p2 q2 ⎤ + ⎢n(n + 1) − − ⎥T p(,nq,1/ 2) = 0. 1 −ν ν ⎦ ⎣

(11.4.5)

Таким образом, полином Тиссерана T p(,nq,1/ 2) (ν ) является решением линейного дифференциального уравнения второго порядка вида (11.4.5). Предполагая, в соответствии с (11.3.7), что

T p(,nq,1/ 2) = (1 − ν ) pν q R p( n,q) ,

(11.4.6)

из (11.4.5), как нетрудно видеть, для определения R (pn,q) (ν ) получим гипергеометрическое уравнение Гаусса вида (ν − ν ) 2

Здесь

d 2 R p( n,q) dν 2

+ [(α + β + 1)ν − γ ]

dR p( n,q) dν

+ αβR p( n,q) = 0.

α = p + q − n, β = p + q + n + 1, γ = 2q + 1.

(11.4.7) (11.4.8)

Полиномиальное решение уравнения (11.4.7) может быть найдено, если искать его в виде ряда по возрастающим степеням ν R p( n,q) =

n− p −q

∑Rν k =0

k

k

.

(11.4.9)

Если подставить (11.4.9) в уравнение (11.4.7) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях νk, то считая, на основании (11.3.10), q неотрицательным числом (так, чтобы k ≠ − γ), сразу получим следующее рекуррентное соотношение: Rk +1 =

(k + α )(k + β ) Rk . (k + 1)(k + γ )

Поскольку в данном случае, как следует из (11.4.2), |p| +|q| = n, n−2,…, то α = p + q − n может принимать значения α = 0, −2, …, −2n. Следовательно, коэффициенты Rk +1 , начиная с k = −α = n − p − q, обращаются в нуль. Поэтому функция *)

R p( n,q) = R0 F (α , β , γ ;ν ), где *)

При произвольных значениях аргументов α, β, γ и ν (таких, что γ ≠ 0, −1, −2, …) функцию F(α,β,γ;ν), аналитическую в области |ν| < 1, принято называть гипергеометрической функцией.

Глава 11. Полиномы Тиссерана

359

αβ α (α + 1) β ( β + 1) 2 ν+ ν + ... + 1!γ 2!γ (γ + 1) (11.4.10) α (α + 1)...(α + n − p − q − 1) β ( β + 1)...( β + n − p − q − 1) n− p −q + ν , 1 ⋅ 2...(n − p − q)γ (γ + 1)...(γ + n − p − q − 1)

F (α , β , γ ;ν ) = 1 +

является относительно ν полиномом степени n − p − q (см. также (11.3.7)). Учитывая (11.4.8) и тот факт, что −α = n − p − q — четное число (либо нуль), последнее слагаемое ряда (11.4.10) можно представить в более компактном виде: ( p + q + n + 1)( p + q + n + 2)...(2n) n− p −q ν , (2q + 1)(2q + 2)...(n − p + q) или (2n)!(2q)! ν n− p −q . (n + p + q)!(n − p + q)!

(11.4.11)

Для нахождения коэффициента R0, зависящего, как следует из (11.4.9), от индексов n, p, q, следует, с учетом, (11.4.6)-(11.4.11), а также (7.1.9), сопоставить коэффициенты при νn в левой и правой частях соотношения (11.4.2), Проделывая несложные, но громоздкие преобразования, в итоге получим R0 =

(2q − α )!(2 p − α + 2q)! , 2 (2q)!( p + q − α / 2)!( p − α / 2)!(q − α / 2)!(−α / 2)!

(11.4.12)

2n

где −α = n − p − q есть четное положительное число (либо нуль). Таким образом, из (11.4.6) –(11.4.12) для полинома Тиссерана T p(,nq,1/ 2) ( μ ,ν ) окончательно получим следующее выражение: (n − p + q)!(n + p + q)! × ⎛n+ p+q⎞ ⎛n+ p−q⎞ ⎛n+q− p⎞ ⎛n−q− p⎞ 2n 2 (2q)!⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ (11.4.13) 2 2 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ × F ( p + q − n, p + q + n + 1, 2q + 1; ν ).

T p(,nq,1 / 2) = μ pν q

!

!

!

!

Здесь полином F(α,β,γ;ν) степени n − p − q определяется (11.4.10)-(11.4.11), μ = 1 − ν, 0 ≤ ν ≤ 1, n, p, q — целые неотрицательные числа, такие что p + q = n, n−2 , … При отрицательных значениях индексов p и q, согласно (11.3.10), имеем

T p(,nq,1 / 2 ) = T−(pn,,1q/ 2 ) , T p(,nq,1 / 2 ) = T p(,n−,1q/ 2) .

(11.4.14)

Представим явные выражения для полиномов Tp(,nq,1/ 2) при n, p, q = {0, 1, 2}: 1 1 1 μ , T0(,11,1 / 2) = ν , T0(,20,1 / 2) = (3μ 2 + 3ν 2 − 2), 2 2 4 3 3 3 = μν , T2(,20,1 / 2) = μ 2 , T0(,22,1 / 2) = ν 2 ; μ = 1 − ν . 4 8 8

T0(,00,1 / 2 ) = 1, T1(,10,1 / 2) = ( 2 ,1 / 2 ) 1,1

T

(11.4.15)

360

Часть II. Аппарат специальных функций

В согласии с приведенными равенствами (11.4.15) заметим, что из симметрии выражения (11.4.2) относительно вхождения в него величин p, ξ, μ и, соответственно, q, η, ν следует справедливость соотношения *)

T p(,nq,1 / 2) ( μ ,ν ) = Tq(,np,1 / 2) (ν , μ ).

(11.4.16)

В заключение заметим также, что при m = 3/2, 5/2, … явные выражения для полиномов Тиссерана могут быть получены аналогичным образом, но уже как решение уравнения Гегенбауэра (11.1.9), При этом, в частности, в случае m = 3/2 из (11.1.1) и (11.1.5) следует, что (1 − 2τx + τ ) 2

⎛1 ⎞ −⎜ +1 ⎟ ⎝2 ⎠

⎛ ∞ ⎞⎛ ∞ ⎞ ∞ = ⎜ ∑ Gl(1 / 2) ⎟⎜ ∑τ k Gk(1) ⎟ = ∑τ n Gn( 3 / 2 ) , ⎝ l =0 ⎠⎝ k =0 ⎠ n =0

где n

Gn(3 / 2 ) = ∑ Gr(1 / 2 ) Gn(1−)r .

(11.4.17)

r =0

Следовательно, при m = 3/2 в (11.3.9) следует осуществить замену (11.4.17), так что полином Tp(,nq,3 / 2) удается выразить через полиномы Гегенбауэра Gr(1 / 2 ) и Gn(1−)r , которые, в свою очередь, на основании (11.3.8), определяются по полиномам Тиссерана Tp(,rq,1 / 2 ) и

Tp(,nq−r ,1) . 11.5. Полиномы Тиссерана целочисленного индекса Ограничимся рассмотрением случая m = 1, имеющего непосредственное практическое приложение в небесной механике. Согласно (11.3.8) и (11.3.1), полиномы T p(,nq,1) ( μ ,ν ) определяются из следующего равенства Gn(1) ( μ cos ξ + ν cosη ) = ∑ T p(,nq,1) ( μ ,ν ) exp[i ( pξ + qη )] ,

(11.5.1)

p ,q

в котором Gn(1) — полиномы Гегенбауэра вида (11.1.8), n = 0, 1, …, i 2 = −1 , 0 ≤ ν ≤1, μ = 1 − ν, p и q — целые, в общем случае, как положительные, так и отрицательные числа, удовлетворяющие условию |p| + |q| = n, n−2, … (11.5.2) С целью получения для полинома T p(,nq,1) (для функции ему пропорциональной) дифференциального уравнения аналогичного (11.4.7), то есть случаю полуцелого индекса m = 1/2, воспользуемся преобразованием Стильтьеса и представим переменную (11.3.1) (11.5.3) x = (1 − ν ) cos ξ + ν cosη в виде (11.5.4) x = a 1 − z cos ξ + b z cosη. *)

В частности, при q = n (11.4.13) имеем

− p > 0 и p > 0, когда согласно (11.4.8) и (11.4.10), α = 0 и F(0,β,γ;ν) = 1, из T p(,nn,−1 /p2 ) ( μ ,ν ) =

(2n)! μ pν n − p = Tn(−np,1, /p2 ) (ν , μ ). 2 n! p!(n − p )! 2n

Глава 11. Полиномы Тиссерана

361

Здесь a = 1 − z′, b = z′

(0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ z ′ ≤ 1),

так что a2 + b2 = 1

(11.5.5)

и в случае, когда две введенные независимые переменные совпадают (z = z′ = ν) получим исходное равенство (11.5.3). Фиксируем сначала переменную z′. Поскольку, как было показано в разделе 11.3, полином T p(,nq,1) ( μ ,ν ) можно представить в виде (11.3.7)

T p(,nq,1) ( μ ,ν ) = μ pν q Φ( μ 2 ,ν 2 ), где Φ( μ 2 ,ν 2 ) — полином степени

1 (n − p − q ) относительно μ 2 ,ν 2 , то в случае (11.5.4) 2

будем иметь

T p(,nq,1) = (1 − z ) p / 2 z q / 2Q p( n,q) ( z ). Здесь Q p( n,q) — полином относительно z степени

(11.5.6)

1 (n − p − q ) . С учетом (11.5.6) равенство 2

(11.5.1) преобразуется к виду Gn(1) ( x) = ∑ (1 − z ) p / 2 z q / 2 Q p( n,q) ( z ) exp[i ( pξ + qη )] .

(11.5.7)

p ,q

Согласно (11.1.9), полином Гегенбауэра Gn(1) ( x) удовлетворяет уравнению d 2 Gn(1) dGn(1) (1 − x ) − 3x + n(n + 2)Gn(1) = 0, 2 dx dx 2

(11.5.8)

которое при рассмотрении на основании (11.5.4) Gn(1) как функции от z, ξ и η, ввиду очевидных равенств ∂Gn(1) ⎡ a cos ξ b cosη ⎤ dGn(1) = ⎢− + , ⎥ ∂z 2 z ⎦ dx ⎣ 2 1− z 2

∂ 2 Gn(1) ⎡ a cos ξ b cosη ⎤ dGn(1) ⎡ a cos ξ b cosη ⎤ d 2 Gn(1) = − − + , ⎢ 4(1 − z ) 3 / 2 4 z 3 / 2 ⎥ dx + ⎢− 2 ⎥ ∂z 2 2 z ⎦ dx ⎣ 2 1− z ⎣ ⎦ dGn(1) d 2 Gn(1) ∂ 2 Gn(1) 2 2 a z a z = − 1 − cos ξ + ( 1 − ) sin ξ , dx dx 2 ∂ξ 2 dGn(1) ∂ 2 Gn(1) d 2 Gn(1) 2 2 = −b z cosη + b z sin η , dx ∂η 2 dx 2

и соотношения (11.5.5) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению в частных производных

∂ 2Gn(1) ∂Gn(1) 1 ∂ 2 Gn(1) 1 ∂ 2Gn(1) 4 z (1 − z ) + 4(1 − 2 z ) + + + n(n + 2)Gn(1) = 0. (11.5.9) 2 2 2 ∂z ∂z 1 − z ∂ξ z ∂η

362

Часть II. Аппарат специальных функций

Подставляя теперь (11.5.7) в (11.5.9) и приравнивая нулю коэффициенты при экспоненциальных множителях, получим ( z 2 − z)

d 2 Q p( n,q) dz

2

+ [(α + β + 1) z − γ ]

dQ p( n,q) dz

+ α β Q p( n,q) = 0,

(11.5.10)

где 1 2

1 2

α = ( p + q − n), β = ( p + q + n + 2), γ = 1 + q.

(11.5.11)

Уравнение (11.5.10) того же вида, что и уравнение (11.4.7), полиномиальное решение которого было получено в предыдущем разделе. Поэтому решение уравнения (11.5.10) представимо в виде (см. (11.4.10)):

Q p( n,q) = Q0 ( z ′) F (α , β , γ ; z ). Здесь F (α , β , γ ; z ) = 1 +

αβ α (α + 1) β ( β + 1) 2 z+ z + ... 1!γ 2!γ (γ + 1)

(11.5.12) (11.5.13)

n− p−q относительно z, и при этом величина Q0 2 не зависит от z, а согласно (11.5.4), является функцией от a и b, то есть функцией от z′. Следовательно, из (11.5.6) и (11.5.12) будем иметь

является полиномом степени k = −α =

T p(,nq,1) = Q0 ( z ′)(1 − z ) p / 2 z q / 2 F (α , β , γ ; z ).

(11.5.14)

При определении Q0 ( z ′) учтем, что из (11.5.1)-(11.5.4) следует, что выражение для

T p(,nq,1) не изменяется при формальной замене z на z′, то есть при фиксировании величины z и рассмотрении в качестве независимой переменной z′. Поэтому наряду с представлением (11.5.14) будет также справедливо равенство

T p(,nq,1) = Q1 ( z )(1 − z ′) p / 2 z ′ q / 2 F (α , β , γ ; z ′), в котором величина Q1 ( z ) уже не будет зависеть от z′, а будет функцией от z. Таким образом, Q0 ( z ′)(1 − z ) p / 2 z q / 2 F (α , β , γ ; z ) = Q1 ( z )(1 − z ′) p / 2 z ′ q / 2 F (α , β , γ ; z ′), так что Q0 ( z ′) Q1 ( z ) = . p/2 q/2 p/2 q/2 (1 − z ′) z ′ F (α , β , γ ; z ′) (1 − z ) z F (α , β , γ ; z ) Левая часть полученного равенства является функцией только от z′, в то время как правая часть — функция только от переменной z. Но z и z′ по предположению — независимые переменные Поэтому обе части указанного равенства должны быть равны некоторой постоянной, не зависящей от z и z′. Обозначая эту постоянную через C0, будем иметь Q0 ( z ′) = C0 (1 − z ′) p / 2 z ′ q / 2 F (α , β , γ ; z ′).

Глава 11. Полиномы Тиссерана

363

Тогда из (11.5.14) найдем, что T p(,nq,1) = C0 [(1 − z ′)(1 − z )]

p/2

[z ′z ]q / 2 F (α , β ,γ ; z ′) F (α , β ,γ ; z ),

или, полагая в соответствии с (11.5.3) z = z′ = ν, получим

T p(,nq,1) ( μ ,ν ) = C0 μ pν q F 2 (α , β , γ ;ν ), μ = 1 − ν .

(11.5.15)

Если сопоставить (как и в предыдущем разделе для случая m = 1/2) коэффициенты при

νn в левой и правой частях равенства (11.5.1), то с учетом (11.5.13), (11.5.15), а также

(11.1.8) и (11.5.3) для неотрицательных значений p и q после несложных преобразований будем иметь (q − α )!(q − α + p)! (11.5.16) C0 = . (q!) 2 ( p − α )!(−α )! 1 Здесь, ввиду (11.5.2), − α = (n − p − q ) является целым положительным числом (либо 2 нулем). Таким образом, из (11.5.11), (11.5.15) и (11.5.16) для T p(,nq,1) окончательно получим следующее выражение ⎛n+q− p⎞ ⎛n+q+ p⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ × = ⎛n+ p−q⎞ ⎛n− p−q⎞ (q!) 2 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠

!

T

( n ,1) p ,q

!

!

!

(11.5.17)

⎛ p+q−n p+q+n+2 ⎞ , ,1 + q;ν ⎟, × μ pν q F 2 ⎜ 2 2 ⎝ ⎠ 1 в котором полином F (α , β , γ ;ν ) степени (n − p − q ) определяется (11.5.13), μ = 1 − ν, 2 0 ≤ ν ≤ 1, n, q, p — целые неотрицательные числа, такие что q + p = n, n− 2, … В случае отрицательных значений q и p, из (11.3.10) будем иметь

T p(,nq,1) = T−(pn,,1q) , T p(,nq,1) = T p(,n−,1q) .

(11.5.18)

В то же время при q = n − p > 0 и p > 0, когда, согласно (11.5.11) и (11.5.13), α = 0 и F (0, β , γ ;ν ) = 1, из (11.5.17) имеем T p(,nn,1−)p ( μ ,ν ) =

n! μ pν n− p . (n − p )! p!

(11.5.19)

И, в частности, при n, p, q = {0,1,2} на основании (11.5.19) и (11.5.17), получим T0(,00,1) = 1, T1(,10,1) = μ , T0(,11,1) = ν , T0(,20,1) = (1 − 2ν ) 2 , T1(,12,1) = 2 μν , T2(,20,1) = μ 2 , T0(,22,1) = ν 2 ; μ = 1 − ν .

(11.5.20)

364

Часть II. Аппарат специальных функций

11.6. Разложение возмущающей функции в спутниковом варианте задачи трех тел В разделе 10.5 рассматривалась возмущающая функция (10.5.1) ⎛ 1 r cos H ⎞ R = fm′⎜ − ⎟ r ′2 ⎠ ⎝Δ

(11.6.1)

характеризующая гравитационное воздействие некоторого тела P′ с массой m′ на орбитальное движение материальной точки P в поле притяжения центрального тела Pc (см. также раздел 13.14). Будем считать, что P является спутником планеты Pc , так что масса m спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой m0 центральной планеты Pc, а также с массой m′ некоторой внешней планеты P′. Данную задачу по определению орбитального движения спутника P принято называть спутниковым вариантом задачи трех тел. В (11.6.1) f — гравитационная постоянная, r и r′ — модули радиус-векторов спутника P и возмущающей планеты P′ соответственно, H — угол между этими радиусвекторами, а Δ — взаимное расстояние между P и P′:

Δ = r 2 − 2rr ′ cos H + r ′ 2 .

(11.6.2)

Поскольку для большинства спутников планет и искусственных спутников Земли отношение расстояния r между спутником и центральной планетой к расстоянию r′ между центральной планетой и возмущающей планетой является малой величиной, то возмущающую функцию R можно разложить в ряд по степеням r/ r′. В самом деле, из (11.6.2) следует, что 2 r 1 1⎡ ⎛r⎞ ⎤ = ⎢1 − 2 cos H + ⎜ ⎟ ⎥ Δ r ′ ⎢⎣ r′ ⎝ r ′ ⎠ ⎥⎦

−1 / 2

,

или, согласно (7.1.2), n

1 1 ∞ ⎛r⎞ = ∑ ⎜ ⎟ Pn (cos H ), Δ r ′ n =0 ⎝ r ′ ⎠

(11.6.3)

где Pn (cos H ) — полиномы Лежандра степени n относительно величин cosH. Но, как следует из (7.1.9), P0 (cos H ) = 1, P1 (cos H ) = cos H , потому n

1 1 r cos H 1 ∞ ⎛ r ⎞ = + + ∑ ⎜ ⎟ Pn (cos H ). Δ r′ r ′2 r ′ n=2 ⎝ r ′ ⎠

Подставляя полученное выражение в (11.6.1) и отбрасывая при этом слагаемые, не зависящие от координат спутника P, получим искомое разложение n

fm ′ ∞ ⎛ r ⎞ R= ∑ ⎜ ⎟ Pn (cos H ), r ′ n=2 ⎝ r ′ ⎠

которое, как было показано в разделе 7.1, сходится абсолютно для всех r < r′.

(11.6.4)

Глава 11. Полиномы Тиссерана

365

Если в качестве основной координатной плоскости выбрать плоскость орбиты возмущающего тела P′, то согласно (10.5.3) (см. рис.36 раздела 10.5), в рассматриваемом случае будем иметь cos H = cos w cos w′ + sin w sin w′ cos I , (11.6.5) где I — наклон плоскости отбиты спутника P к основной плоскости (то есть плоскости отбиты возмущающего тела P′), а w и w′ — истинные долготы P и P′. Отсчитывая указанные долготы от общего узла отбит P и P′, из (10.6.1) найдем *) w = u,

w′ = u ′ − Ω. .

(11.6.6)

Здесь u — аргумент широты спутника, Ω — долгота узла орбиты спутника в плоскости орбиты P′, u′ — аргумент широты возмущающего тела P′. Из (11.6.5) и (11.6.6) следует, что cos H =

1 [(1 + cos I ) cos(u − u ′ + Ω) + (1 − cos I ) cos(u + u ′ − Ω)] , 2

или I I cos H = cos 2 cos(u − u ′ + Ω) + sin 2 cos(u + u ′ − Ω). 2 2

(11.6.7)

Воспользуемся далее результатами раздела 11.4 и введем обозначения I 2

I 2

μ = cos 2 , ν = 1 − μ = sin 2 ,

(11.6.8)

так что 0 ≤ μ ≤1, 0 ≤ ν ≤1, тогда, согласно (11.4.2), будем иметь

I I⎞ ⎛ Pn (cos H ) = ∑ T p(,nq,1 / 2 ) ⎜ cos 2 , sin 2 ⎟ exp{i[ p (u − u ′ + Ω) + q(u + u ′ − Ω)]}, 2 2⎠ ⎝ p ,q

(11.6.9)

где n = 0, 1, …, |p| + |q| = n, n−2, …, i 2 = −1 , T p(,nq,1/ 2) — полином Тиссерана полуцелого индекса ( m = 1/2), определяемый с учетом (11.6.8) выражениями (11.4.13) и (11.4.14). Переходя в (11.6.9) от экспоненциальных функций к тригонометрическим, полу**) чим Pn (cos H ) = T0(,n0,1 / 2) + 2∑ T p(,n0,1 / 2 ) cos p (u − u ′ + Ω) + p+

+ 2∑ T

( n ,1 / 2 ) 0,q

q+

cos q (u + u ′ − Ω) + 4 ∑ T p(,nq,1 / 2 ) cos p (u − u ′ + Ω) cos q (u + u ′ − Ω),

(11.6.10)

p+ , q+

или, заменяя произведения косинусов двумя слагаемыми — косинусом разности и суммы соответствующих аргументов — и подставляя результат в (11.6.4), окончатель*)

Напомним, что аргумент широты u характеризует положение на эллиптической орбите материальной точки P в момент времени t и определяется как u = ω + v,  где v — истинная аномалия, ω — аргумент перицентра орбиты материальной точки P. **) В (11.6.9) p и q — как положительные, так и отрицательные целые числа, удовлетворяющие условию |p| + |q| = n, n−2, …

366

Часть II. Аппарат специальных функций

но найдем следующее разложение возмущающей функции в спутниковом варианте задачи трех тел *) ∞ rn ⎧ R = fm′∑ n+1 ⎨T0(,n0,1 / 2 ) + 2∑ T p(,n0,1 / 2) cos p(u − u ′ + Ω) + n =2 r ′ p+ ⎩

+ 2∑ T0(,nq,1 / 2) cos q(u + u ′ − Ω) + 2 ∑ T p(,nq,1 / 2) cos[( p − q)u + ( p + q)(Ω − u ′)] + (11.6.11) q+

p+ , q+

⎫ + 2 ∑ T p(,nq,1 / 2) cos[( p + q)u + ( p − q )(Ω − u ′)]⎬. p+ , q + ⎭ В (11.6.10), (11.6.11) величины p и q уже являются целыми положительными числами, удовлетворяющими условию p + q = n, n−2, …; при этом, если n — нечетное число, то T0(,n0,1/ 2) следует считать равным нулю. 11.7. Разложение возмущающей функции в астероидной задаче трех тел Будем теперь считать, что исследуемым телом является малая планета P (астероид), движущаяся под действием гравитационного притяжения Солнца S, а также некоторой возмущающей планеты P′, и при этом отношение расстояния r между планетой P и Солнцем к расстоянию r′ между Солнцем и возмущающей планетой P′ (или обратное расстояние r′/r) уже не является достаточно малой величиной, так что в разложении (11.6.4) при практическом вычислении необходимо учитывать значительное число слагаемых. В рассматриваемом случае возмущающая функция задачи, как уже указывалось в разделе 10.5, будет иметь вид (10.5.1), или (11.6.1) ⎛ 1 r cos H R = fm′⎜ − r ′2 ⎝Δ

⎞ ⎟, ⎠

где f — гравитационная постоянная, m′ — масса возмущающей планеты P′, H — угол, r r образованный радиус-векторами r (возмущаемой планеты P) и r ′ (возмущающей планеты P′), Δ — взаимное расстояние между P и P′:

Δ = r 2 − 2rr ′ cos H + r ′ 2 . Предположим для определенности, что α = r / r′ < 1 (в случае r/r′ > 1 в качестве α в нижеследующих преобразованиях следует выбрать α = r′/r < 1). В отличие от предыдущего раздела разложим далее возмущающую функцию R в ряд по косинусам величин, кратных H. Тогда на основании (10.1.2) и (10.1.3) получим *)

Для спутникового варианта задачи разложение (11.6.11) во многих практических случаях, когда r/r′ << 1, сходится настолько быстро, что в нем можно ограничиться лишь несколькими первыми слагаемыми. С другой стороны, ряды (11.6.4) и (11.6.11) можно также применять и в так называемом планетном варианте задачи (см. раздел 10.5 и 11.7), когда r/r′ ≤ 1, если унифицировать процесс вычисления возмущающей функции [44].

Глава 11. Полиномы Тиссерана

R=

367

∞ f m′ ⎧ 1 ( 0 ) ⎫ (1) (k ) ⎨ L1 (α ) + L1 (α ) − α cos H + ∑ L1 (α ) cos(kH )⎬. r′ ⎩ 2 k =2 ⎭

[

]

(11.7.1)

Здесь L1( n ) (α ) (n = 0, 1, ...) — соответствующие коэффициенты Лапласа вида (10.1.12). Принимая плоскость орбиты возмущающего тела P′ за основную координатную плоскость, аналогично предыдущему разделу будем иметь (см. (11.6.7) и (11.6.8)) cos H = μ cos ξ + ν cosη ,

(11.7.2)

где

μ = cos 2 ( I / 2), ν = sin 2 ( I / 2), ξ = u − u ′ + Ω, η = u + u ′ − Ω. В свою очередь, Ω — долгота узла возмущаемой планеты P в плоскости орбиты возмущающей планеты P′, I — взаимный наклон орбит планет P и P′, а u, u′ — аргументы широты этих планет. Покажем теперь, что величину cos(kH) можно выразить через полиномы Гегенбауэра, а следовательно, и полиномы Тиссерана. Действительно, согласно (11.1.5), ∞ 1 = τ n Gn(1) ( x), ∑ 2 1 − 2τx + τ n =0

где Gn(1) ( x ) — полиномы Гегенбауэра целочисленного индекса m = 1. С другой стороны, полагая 1 x = cos H = [exp(iH ) + exp( −iH )] , i 2 = −1, 2 будем иметь 1 − 2τx + τ 2 = [1 − τ exp(iH )][1 − τ exp(−iH )] , а следовательно, ⎡ exp(iH ) 1 1 exp(−iH ) ⎤ . = − ⎢ 2 1 − 2τx + τ exp(iH ) − exp(−iH ) ⎣1 − τ exp(iH ) 1 − τ exp(−iH ) ⎥⎦ Но поскольку ∞ 1 = ∑τ n exp( ±inH ), exp(iH ) − exp( −iH ) = 2i sin H , 1 − τ exp( ±iH ) n =0 то ∞ 1 1 = ∑τ n {exp[(i(n + 1) H )] − exp[(−i(n + 1) H )]}, 1 − 2τx + τ 2 2i sin H n =0 или 1 1 ∞ n = ∑τ sin(n + 1) H . 1 − 2τ cos H + τ 2 sin H n =0 Сопоставляя (11.7.3) и (11.7.4), найдем *) sin( n + 1) H Gn(1) (cos H ) = , n = 0, 1, ..., sin H *)

(11.7.3)

(11.7.4)

(11.7.5)

В частности, из (11.7.5) в согласии с (11.1.8) сразу находим G 0(1) = 1, G1(1) (cos H ) = 2 cos H , G 2(1) (cos H ) = 4 cos 2 H − 1, G 3(1) (cos H ) = 8 cos 3 H − 4 cos H .

368

Часть II. Аппарат специальных функций

и учитывая, что

sin( k + 1) H − sin( k − 1) H , sin H при k ≥ 2, то есть k = 2, 3, …, получим искомое выражение 1 (11.7.6) cos( kH ) = Gk(1) (cos H ) − Gk(1−)2 (cos H ) . 2 Таким образом, разложение возмущающей функции (11.7.1) с учетом (11.7.2) и (11.7.6) представимо в следующем виде: 2 cos( kH ) =

[

R=

]

fm ′ ⎧ 1 ( 0 ) (1) ⎨ L1 (α ) + L1 (α ) − α r′ ⎩ 2

[

]⎡⎢cos ⎣

2

I I ⎤ cosξ + sin 2 cosη ⎥ + 2 2 ⎦

[

]

1 ∞ ⎫ + ∑ L1( k ) (α ) Gk(1) (cos H ) − Gk(1−)2 (cos H ) ⎬, 2 k =2 ⎭ где, согласно (11.5.1), при n = 0, 1, …

I ⎛ Gn(1) (cos H ) = ∑ T p(,nq,1) ⎜ cos 2 , sin 2 2 ⎝ p ,q

I⎞ ⎟ exp[i ( pξ + qη )] , 2⎠

(11.7.7)

(11.7.8)

p и q — целые, как положительные, так и отрицательные числа, такие что |p| + |q| = n, n−2, …, i 2 = −1 , а полиномы Тиссерана T p(,nq,1) ( μ ,ν ) вычисляются по выражениям (11.5.17) (при неотрицательных значениях p и q) и (11.5.18). Если в (11.7.8) перейти от экспоненциальных функций к тригонометрическим, то аналогично (11.3.6) будем иметь Gn(1) (cos H ) = T0(,n0,1) + 2∑ T p(,n0,1) cos pξ + 2∑ T0(,nq,1) cos qη + p+

+ 2 ∑T p+ , q +

q+

( n ,1) p ,q

cos( pξ − qη ) + 2 ∑ T p(,nq,1) cos( pξ + qη ),

(11.7.9)

p+ , q+

при этом здесь уже суммирование производится по всем целым положительным значениям p и q таким, что p + q = n, n−2, …, и в случае, если n является нечетным числом, то слагаемое T0(,n0,1) следует считать равным нулю. Полученное разложение (11.7.7) не связано предположением о малости угла взаимного наклона I орбит планет P и P′, что позволяет использовать его и в теории движения тех астероидов, для которых условие sin 2 ( I / 2) << 1 не реализуется. 11.8. Дополнения

Полиномы Gn( m ) ( x) были впервые исследованы в 1874 г. в работах Л. Гегенбауэра, который обозначал их как C νn (x) . Полиномы Гегенбауэра по своим свойствам достаточно близки к полиномам Лежандра Pn (x) , обращаясь в них, как было показано в разделе 11.2, при m = 1/2. В связи с этим полиномы Гегенбауэра иногда называют ультрасферическими полиномами. Получим рекуррентные соотношения для вычисления полиномов Гегенбауэра. Для этого продифференцируем равенство (11.1.5)

Глава 11. Полиномы Тиссерана

369

(1 − 2τx + τ )

∞

= ∑ τ n Gn( m ) ( x)

2 −m

n =0

по переменной τ, тогда будем иметь

(

2m( x − τ ) 1 − 2τx + τ 2

)

− m −1

∞

= ∑ nτ n −1Gn( m ) ( x),

(11.8.1)

n =1

или ∞

∞

n =0

n =1

2m( x − τ )∑ τ n Gn( m ) ( x) = (1 − 2τx + τ 2 )∑ nτ n−1Gn( m ) ( x).

Приравнивая в левой и правой частях последнего равенства слагаемые при τ n −1 , для n = 2, 3, … получим 2mxGn( −m1) ( x ) − 2mGn( −m2) ( x ) = nGn( m ) ( x) − 2 x( n − 1)Gn( −m1) ( x ) + ( n − 2)Gn( −m2) ( x ),

а следовательно, nG n( m ) ( x ) − 2( n + m − 1) xGn( m−1) ( x ) + ( n + 2m − 2)Gn( m− 2) ( x ) = 0.

(11.8.2)

Соотношение (11.8.2) позволяет последовательно определять полиномы Гегенбауэра G2( m ) ( x) , G3( m ) ( x) , … по известным значениям G0( m ) = 1 и G1( m ) ( x) = 2mx (см. (11.1.5)(11.1.7)). Выведем также рекуррентное соотношение, связывающее полиномы Гегенбауэра с различными верхними индексами m. В связи с этим заменим в (11.8.2) m на m + 1, так что (11.8.3) nG n( m +1) ( x) − 2( n + m) xGn( m−1+1) ( x ) + (n + 2m)Gn( m− 2+1) ( x ) = 0, и учтем равенство, следующее из (11.8.1) после приравнивания в нем коэффициентов при τ n −1 (n = 2, 3, …), (11.8.4) 2m xGn( −m1+1) ( x ) − Gn( m− 2+1) ( x ) = nGn( m ) ( x ),

[

или после замены n на n + 1:

[

]

]

2m xGn( m +1) ( x ) − Gn( m−1+1) ( x ) = (n + 1)Gn( m+1) ( x).

(11.8.5)

Тогда, исключая из (11.8.3)-(11.8.5) Gn( m−2+1) ( x) и Gn( m−1+1) ( x ) , получим искомое соотношение: (11.8.6) 2m(1 − x 2 )Gn( m +1) ( x ) = ( n + 2m)Gn( m ) ( x) − ( n + 1) xGn( +m1) ( x ), связывающее полиномы Гегенбауэра с соседними индексами. И в заключение заметим, что полиномы Тиссерана T p(,nq,m ) ( x) , определяемые выражениями (11.3.8), (11.3.9) через полиномы Гегенбауэра, были впервые введены в рассмотрение в 1889 г. Ф. Тиссераном в его знаменитом "Трактате по небесной механике" [41].