Адиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2006. Том 47, № 3

УДК 515.164.13

АДДИЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

Аннотация: Вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа, действующего в пространстве дифференциальных форм, при разрезании и склеивании многообразий сводится к аналогичным вопросам о компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования. На этой основе указаны условия на разрез Y , разбивающий риманово многообразие X на две части X+ и X− , при выполнении которых спектр оператора Лапласа на X дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов Лапласа на X+ и X− . Ключевые слова: оператор Лапласа, дифференциальные формы, спектр самосопряженного оператора.

1. Введение Пусть риманово многообразие X разбито гладкой поверхностью Y на две области X+ и X− . Представляет интерес задача о том, как соотносятся между собой спектральные свойства операторов Лапласа, действующих в пространствах дифференциальных форм на многообразиях X, X+ и X− . В случае форм степени 0 эта задача тесно связана с так называемым принципом расщепления в качественной спектральной теории дифференциальных операторов [1]. В качестве операторов Лапласа в указанной задаче естественно рассматривать самосопряженные расширения минимального оператора kmin , порожденного дифференциальной операцией k . Если многообразие X полно (без края), то такое расширение единственно. В общем случае это не так. Поэтому необходимо указывать, какие именно операторы Лапласа, действующие на многообразиях X, X+ и X− , имеются в виду. Мы рассматриваем операторы k = D∗ ◦ D, где D — замкнутый оператор, порожденный дифференциальной операцией d × δ, d — операция внешнего дифференцирования, δ — операция кодифференцирования. Ключевым моментом в нашем исследовании является следующий факт: спектр оператора D∗ ◦ D дискретен тогда и только тогда, когда оператор D компактно разрешим и dim Ker D < ∞. Этот результат позволяет свести вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий к аналогичным вопросам о компактной разрешимости операторов внешнего дифференцирования и на этой основе найти условия, при выполнении которых спектр оператора Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–311.2003.1).

c 2006 Кузьминов В. И., Шведов И. А.

558

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

Лапласа на многообразии X дискретен в том и только том случае, когда дискретны спектры соответствующих операторов Лапласа на многообразиях X+ и X− . Все результаты работы о спектре операторов относятся к самосопряженным операторам, действующим в гильбертовом пространстве. В то же время вспомогательные результаты о компактной разрешимости относятся к операторам, действующим в банаховых пространствах. Нам представляется, что в этой большей общности вспомогательные результаты приобретают самостоятельное значение. 2. Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах В дальнейшем оператором T : A → B, действующим из векторного пространства A в векторное пространство B, будем называть произвольное линейное отображение, заданное на некотором линейном подпространстве Dom T пространства A и принимающее значения в пространстве B. Будем использовать обозначения Ker T = {a ∈ Dom T : T a = 0}, Im T = {T a : a ∈ Dom T }. Для произвольного линейного подпространства K ⊂ Ker T обозначим через T /K : A/K → B оператор, определенный следующими условиями: Dom T /K = π(Dom T ), (T /K)πa = T a для любого a ∈ Dom T , где π : A → A/K — каноническая проекция. Для нормированных пространств A и B и оператора T : A → B простран
1/2 ство Dom T будем считать снабженным нормой kakDom T = kak2A + kT ak2B . Пусть A и B — банаховы пространства. Замкнутый оператор T : A → B называется нормально (компактно) разрешимым, если оператор (T / Ker T )−1 : Im T → A/ Ker T , заданный на Im T , непрерывен (компактен). Замкнутый оператор T : A → B нормально разрешим тогда и только тогда, когда подпространство Im T замкнуто в B. Лемма 1. Пусть T : A → B — оператор, A и B — банаховы пространства, K — замкнутое подпространство пространства A, K ⊂ Ker T . Тогда 1) оператор T /K замкнут тогда и только тогда, когда замкнут оператор T ; 2) оператор T /K нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда нормально (компактно) разрешим оператор T ; 3) оператор T /K плотно определен тогда и только тогда, когда плотно определен оператор T ; 4) если оператор T плотно определен, то T ∗ = π ∗ ◦ (T /K)∗ , где π : A → A/K — каноническая проекция. Доказательство. Первые три утверждения леммы очевидны. Докажем следующее утверждение, эквивалентное п. 4: если T = R◦S, S : A → C — непрерывный оператор, Dom S = A, Im S = C, R : C → B — плотно определенный оператор, то T ∗ = S ∗ ◦ R∗ . Включение S ∗ ◦ R∗ ⊂ T ∗ очевидно, докажем обратное включение. Пусть f ∈ Dom T ∗ . Так как оператор S непрерывен и Im S = C, то найдется такая константа M , что для каждого c ∈ C существует ac ∈ A, для которого Sac = c и kac kA ≤ M kckC . Так как f ∈ Dom T ∗ , найдется такая константа N , что |f (T a)| ≤ N kakA для любого a ∈ Dom T . Тогда |f (Rc)| = |f (T ac )| ≤ N M kckC для любого c ∈ Dom R. Следовательно, f ∈ Dom R∗ = Dom(S ∗ ◦ R∗ ). Лемма доказана.

Аддиционная теорема для многообразий

559

Лемма 2 [2]. Замкнутый оператор T : A → B компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактен оператор π ◦ j : Dom T → A/ Ker T , где j : Dom T → A — оператор вложения, π : A → A/ Ker T — каноническая проекция. Следствие 1. Оператор вложения j : Dom T → A компактен тогда и только тогда, когда оператор T компактно разрешим и dim Ker T < ∞. Используя п. 4 леммы 1, легко доказать следующее утверждение. Лемма 3 [2]. Замкнутый плотно определенный оператор T : A → B компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактно разрешим оператор T ∗ : B ∗ → A∗ . Для произвольных операторов R : A → B и S : A → C символом R × S : A → B × C будем обозначать оператор, определенный следующим образом: Dom(R × S) = Dom R ∩ Dom S,

(R × S)a = (Ra, Sa).

Для произвольных операторов U : B → A и V : C → A символом U ⊕V : B×C → A будем обозначать оператор, для которого Dom(U ⊕ V ) = Dom U × Dom V , (U ⊕ V )(b, c) = U b + V c. Лемма 4. Пусть Z1 и Z2 — замкнутые подпространства банахова пространства A такие, что Z1 ∩ Z2 = 0 и подпространство Z1 + Z2 замкнуто в A. Тогда найдется такая константа M , что для любых a ∈ A, z1 ∈ Z1 , z2 ∈ Z2 имеет место оценка kakA ≤ M (ka − z1 kA + ka − z2 kA ). Доказательство. Пусть π : Z1 + Z2 → Z1 — оператор проектирования на подпространство Z1 параллельно подпространству Z2 . Используя теорему Банаха об открытом отображении, заключаем, что этот оператор ограничен. Для произвольных a ∈ A, z1 ∈ Z1 , z2 ∈ Z2 имеем kakA ≤ ka − z1 kA + kz1 kA ≤ ka − z1 kA + kπk · kz1 − z2 kA = ka − z1 kA + kπk · kz1 − a − z2 + akA ≤ (1 + kπk) · (ka − z1 kA + ka − z2 kA ). Лемма доказана. Лемма 5. Пусть A, B, C — банаховы пространства, R : A → C и S : A → C — замкнутые операторы. Тогда 1) если операторы R и S нормально (компактно) разрешимы и подпространство Ker R + Ker S замкнуто в A, то оператор R × S нормально (компактно) разрешим; 2) если оператор R×S нормально (компактно) разрешим и Dom R ⊂ Ker R+ Ker S, то R — нормально (компактно) разрешимый оператор. Доказательство. Лемма 1 позволяет, не ограничивая общности, предполагать, что Ker R ∩ Ker S = 0. Пусть операторы R и S нормально разрешимы, подпространство Ker R + Ker S замкнуто в A и Ker R ∩ Ker S = 0. В силу нормальной разрешимости операторов R и S найдется такая константа K, что для любого a ∈ Dom(R × S) существуют такие z1 ∈ Ker R и z2 ∈ Ker S, что ka − z1 kA ≤ KkRakB и ka − z2 kA ≤ KkSakC . По лемме 4 kakA ≤ M (ka − z1 kA + ka − z2 kA ) ≤ M K(kRakB + kSakC )

560

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

для некоторой константы M . Следовательно, оператор R × S нормально разрешим. Предположим теперь, что R и S компактно разрешимы и {an }n∈Z — последовательность в Dom(R × S) такая, для которой последовательности {Ran }n∈Z и {San }n∈Z ограничены. В силу компактной разрешимости операторов R и S найдутся такая подпоследовательность {ank }k∈Z последовательности {an }n∈Z и такие последовательности {zk0 }k∈Z ⊂ Ker R, {zk00 }k∈Z ⊂ Ker S, что последовательности {ank − zk0 }k∈Z и {ank − zk00 }k∈Z сходятся в A. По лемме 4 kank − anl kA ≤ M (kank − anl − zk0 + zl0 kA + kank − anl − zk00 + zl00 kA ). Для любого ε > 0 при достаточно больших k и l получаем kank − anl k < ε. Следовательно, последовательность {ank }k∈Z сходится. Оператор R × S компактно разрешим. Пусть оператор R×S нормально разрешим, Dom R ⊂ Ker R+Ker S, Ker R∩ Ker S = 0, a ∈ Dom R. Представим элемент a в виде a = a0 + a00 , a0 ∈ Ker R, a00 ∈ Ker S. Так как a00 ∈ Dom(R × S), в силу нормальной разрешимости оператора R × S имеет место оценка ka00 kA ≤ k(R × S)−1 k · k(R × S)a00 kB×C = k(R × S)−1 k · kRakB . Следовательно, оператор R нормально разрешим. Предположим теперь, что оператор R × S компактно разрешим, Dom R ⊂ Ker R + Ker S, Ker R ∩ Ker S = 0. Пусть {an }n∈Z — последовательность в Dom R, для которой последовательность {Ran }n∈Z ограничена. Представим элементы an в виде an = a0n + a00n , a0n ∈ Ker R, a00n ∈ Ker S. Тогда a00n ∈ Dom(R × S) и (R × S)a00n = (Ran , 0) — ограниченная последовательность в B × C. В силу компактной разрешимости оператора R × S найдется сходящаяся в A подпоследовательность {a00nk }k∈Z последовательности {a00n }n∈Z . Кроме того, Ra00n = Ran . Этим установлена компактная разрешимость оператора R. Лемма доказана. Лемма 6. Пусть R : A → B, S : A → C — замкнутые плотно определенные операторы и Ker R+Ker S = A. Тогда R×S — замкнутый плотно определенный оператор и (R × S)∗ = R∗ ⊕ S ∗ . Доказательство. Предположим сначала, что Ker R ∩ Ker S = 0. Используя теорему Банаха об открытом отображении, заключаем, что оператор P : A → Ker S проектирования на Ker S параллельно подпространству Ker R непрерывен. Поэтому подпространство P (Dom R) = Dom(R × S) ∩ Ker S плотно в Ker S. Аналогично подпространство Dom(R × S) ∩ Ker R плотно в Ker R. Следовательно, подпространство Dom(R × S) плотно в A. Оператор R × S плотно определен, и его замкнутость очевидна. Для доказательства равенства (R × S)∗ = R∗ ⊕ S ∗ достаточно установить импликацию (f, g) ∈ Dom(R × S)∗ =⇒ f ∈ Dom R∗ , g ∈ Dom S ∗ . Пусть (f, g) ∈ Dom(R × S)∗ . Это означает, что функционал f ◦ R + g ◦ S непрерывен на Dom(R × S) относительно нормы пространства A. Но тогда функционал f ◦ R непрерывен на Dom(R × S) ∩ Ker S = Dom R ∩ Ker S. Так как f ◦ R ◦ P = f ◦ R, функционал f ◦ R непрерывен на (Dom R ∩ Ker S) + Ker R = Dom R. Следовательно, f ∈ Dom R∗ . Аналогично g ∈ Dom S ∗ . В случае Ker R ∩ Ker S = 0 лемма доказана. Рассмотрим общий случай. Пусть K = Ker R∩Ker S. Выполнено равенство (R×S)/K = R/K ×S/K. По лемме 1 операторы R/K и S/K плотно определены

Аддиционная теорема для многообразий

561

и замкнуты. Так как (Ker(R/K)) ∩ (Ker(S/K)) = 0, по доказанному частному случаю леммы оператор (R × S)/K плотно определен и замкнут. Кроме того, (R × S)∗ = π ∗ ◦ ((R × S)/K)∗ = π ∗ ◦ ((R/K)∗ ⊕ (S/K)∗ ) = π ∗ ◦ (R/K)∗ ⊕ π ∗ ◦ (S/K)∗ = R∗ ⊕ S ∗ . Лемма доказана. Пусть L : H → H — самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Следуя общепринятой терминологии, будем говорить, что спектр оператора L дискретен, если он состоит из собственных значений конечной кратности и является дискретным подмножеством вещественной прямой. Лемма 7. Пусть H1 , H2 — гильбертовы пространства, D : H1 → H2 — замкнутый плотно определенный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) спектр оператора D∗ ◦ D : H1 → H1 дискретен, 2) оператор D компактно разрешим и dim Ker D < ∞, 3) оператор вложения i : Dom D → H1 компактен. Доказательство. По теореме фон Неймана [3, теорема V.3.24] оператор D∗ ◦ D самосопряжен. В [2] установлено, что спектр самосопряженного оператора T дискретен тогда и только тогда, когда оператор T компактно разрешим и dim Ker T < ∞. Там же установлено, что оператор D∗ ◦ D компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактно разрешим оператор D. Так как Ker(D∗ ◦ D) = Ker D, утверждения 1 и 2 эквивалентны. По следствию леммы 2 эквивалентны утверждения 2 и 3. Лемма доказана. 3. Банаховы и гильбертовы комплексы Пусть для каждого i ∈ Z заданы банахово пространство Ai и оператор : Ai → Ai+1 . Будем говорить, что пространства Ai и операторы TAi образуют банахов комплекс A, если все операторы TAi плотно определены и замкнуты, причем Im TAi ⊂ Ker TAi+1 для каждого i ∈ Z. Последовательность ϕ = (ϕi )i∈Z ограниченных операторов ϕi : Ai → B i называется морфизмом банахова комплекса A в банахов комплекс B, если TAi

Dom ϕi = Ai ,

ϕi (Dom TAi ) ⊂ Dom TBi

и TBi ◦ ϕi = ϕi+1 ◦ TAi на Dom TAi для каждого i ∈ Z. Для произвольного банахова комплекса A определены пространства гомологий H i A Ker TAi /Im TAi−1 . Каждому морфизму ϕ : A → B банаховых комплексов обычным образом соответствуют линейные отображения H i ϕ : H i A → H i B пространств гомологий. Последовательность ϕ ψ A→B→C банаховых комплексов A, B, C и их морфизмов ϕ и ψ будем называть точной (в члене B), если для каждого i ∈ Z точны последовательности ϕi

ψi

Ai → B i → C i

562

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

и

ϕi

ψi

Dom TAi → Dom TBi → Dom TCi векторных пространств. Каждой точной (в членах A, B и C) последовательности банаховых комплексов ϕ ψ 0→A→B→C→0 обычным образом соответствует точная последовательность гомологий δ i−1

Hiϕ

Hiψ

δi

· · · → H i−1 (C) → H i (A) → H i (B) → H i (C) → H i+1 (A) → . . . .

(1)

Лемма 8 [4, теорема 3]. Пусть ϕ

ψ

0→A→B→C→0 — точная последовательность банаховых комплексов и для некоторого i ∈ Z оператор TBi компактно разрешим. Тогда операторы TAi и TCi компактно разрешимы и dim Im δ i < ∞. Лемма 9. Пусть ϕ

ψ

0→A→B→C→0 — точная последовательность банаховых комплексов. Тогда если для некоторого i ∈ Z операторы TAi и TCi компактно разрешимы, dim Im δ i < ∞ и выполнено следующее условие: (Pi ) существует такой ограниченный линейный оператор …i : C i → B i , что ψ i ◦ …i = IdiC и …i (Dom TCi ) ⊂ Dom TBi , то оператор TBi компактно разрешим. Доказательство. Прежде всего заметим, что сужение …i |Dom TCi : Dom TCi → Dom TBi оператора …i является непрерывным оператором. Действительно, непрерывность оператора …i влечет замкнутость его графика. Из замкнутости графика оператора …i , непрерывности вложений Dom TCi ⊂ C i , Dom TBi ⊂ B i и усло
i i вия …i Dom TC ⊂ Dom TB следует замкнутость графика оператора …i |Dom TCi . Оператор …i |Dom TCi : Dom TCi → Dom TBi непрерывен по теореме о замкнутом графике. Пусть в Dom TBi , для которой последователь i {b n }n∈Z — последовательность i+1 ность TB bn n∈Z ограничена в B . Тогда последовательность ψ i+1 TBi bn n∈Z ограничена в C i+1 и содержится в Im TCi . В силу компактной разрешимости оператора TCi существуют такие подпоследовательность {bnk }k∈Z последовательности {bn }n∈Z и сходящаяся в C i последовательность {ck }k∈Z , лежащая в Dom TCi , что TCi ck = ψ i+1 TBi bnk . Поскольку операторы …i : C i → B i и …i |Dom TCi : Dom TCi → Dom TBi ограничены, последовательность b0k = …i ck сходится в B i , а последовательность TBi b0k ограничена в B i+1 . Так как ψ i+1 TBi (bnk − b0k ) = 0, найдутся такие ak ∈ Ai+1 , что ϕi+1 ak = TBi (bnk − b0k ).  Последовательность TBi (bnk −b0k ) k∈Z ограничена в B i+1 , подпространство Im ϕi+1 = Ker ψ i+1 замкнуто в B i+1 и Ker ϕi+1 = 0, поэтому по теореме Банаха об открытом отображении последовательность {ak }k∈Z ограничена в Ai+1 .

Аддиционная теорема для многообразий

563

Последовательности ϕi+2

ψ i+2

Ai+2 → B i+2 → C i+2 ,

ϕi+1

ψ i+1

Dom TAi+1 → Dom TBi+1 → Dom TCi+1

точны и TBi+1 ϕi+1 ak = 0, значит, ak ∈ Dom TAi+1 и TAi+1 ak = 0. Обозначим через [ak ] элемент пространства гомологий H i+1 A, содержащий цикл ak . Так как [ak ] = δ i [ψ i bnk − ck ] и dim Im δ i < ∞, последовательность {[ak ]}k∈Z содержится в некотором конечномерном подпространстве пространства H i+1 A. Найдется такое конечномерное подпространство V в Ker TAi+1 , что [ak ] ∈ i+1 π(V ), где π : Ker TAi+1 → HA — каноническая проекция. Оператор TAi компактно разрешим и поэтому нормально разрешим. Следовательно, подпространство Im TAi замкнуто в Ai+1 . Ограниченная последовательность {ak }k∈Z содержится в Im TAi + V , подпространство Im TAi замкнуто в Ai+1 , а подпространство V конечномерно. Поэтому последовательность {ak }k∈Z можно представить в виде ak = a0k + a00k , где {a0k }k∈Z — ограниченная последовательность в Im TAi , а {a00k }k∈Z — ограниченная последовательность в V . Переходя к подпоследовательностям, без ограничения общности можно считать последовательность {a00k }k∈Z сходящейся. В силу компактной разрешимости оператора TAi существуют такие подпоследовательность {a0kj }j∈Z последовательности {a0k }k∈Z и сходящаяся в Ai по˜j = a0kj . Вновь переходя к подпоследовательaj }j∈Z , что TAi a следовательность {˜ ностям, будем считать, что kj = j, т. е. что подпоследовательность {a0kj }j∈Z совпадает со всей последовательностью {a0k }k∈Z . Последовательность {ϕi+1 a00k }k∈Z сходится в B i+1 и содержится в конечно˜k мерном подпространстве ϕi+1 (V ). Так как ϕi+1 ak ∈ Im TBi и ϕi+1 a0k = ϕi+1 TAi a ˜k , то ϕi+1 a0k ∈ Im TBi . Следовательно, ϕi+1 a00k ∈ Im TBi . = TBi ψ i a Найдется такая сходящаяся в B i последовательность {˜bk }k∈Z , лежащая в ˜k + ˜bk + b0k }k∈Z сходится Dom TBi , что TBi ˜bk = ϕi+1 a00k . Последовательность {ϕi a i вB,и ˜k + ˜bk + b0k ) = ϕi+1 a0k + ϕi+1 a00k + TBi b0k = TBi bnk . TBi (ϕi a
−1 Установлено, что оператор TBi / Ker TBi : Im TBi → B i / Ker TBi компактен. Лемма доказана.
Банахов комплекс A = Ai , TAi i∈Z будем называть гильбертовым комплексом, если все Ai — сепарабельные гильбертовы пространства.
∗ Пусть A — произвольный гильбертов комплекс. Так как Ker TAi−1 =

i−1 ⊥ i−1 i−1 ∗ i i i Im TA и Im TA ⊂ Ker TA , то Ker TA + Ker TA = A для каждого i. По лемме 6
∗
∗
i ∗ i TAi−1 ◦ TAi−1 + TAi ◦ TAi = DA ◦ DA ,
∗ i i где DA = TAi−1 × TAi . Из лемм 7, 5 и 3 и равенства Ker DA = H i A вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Для произвольного гильбертова комплекса A следующие утверждения эквивалентны:
∗
∗ 1) спектр оператора LiA = TAi−1 ◦ TAi−1 + TAi ◦ TAi дискретен, 2) операторы TAi−1 и TAi компактно разрешимы и dim H i A < ∞, i 3) оператор вложения Dom DA ⊂ Ai компактен.

564

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Теорема 2. Пусть ϕ

ψ

0→A→B→C→0 — точная последовательность гильбертовых комплексов. Тогда 1) если спектр оператора LiB дискретен , то дискретны спектры операторов i LA и LiC ; 2) если спектры операторов LiA и LiC дискретны и выполнены условия (Pi ) и (Pi−1 ) леммы 9, то спектр оператора LiB дискретен. Доказательство. 1. Пусть спектр оператора LiB дискретен. По теореме 1 операторы TBi−1 и TBi компактно разрешимы и dim H i B < ∞. По лемме 8 операторы TAi−1 , TAi , TCi−1 , TCi компактно разрешимы и dim δ i−1 < ∞, dim δ i < ∞. В силу точности последовательности гомологий (1) dim H i A < ∞ и dim H i C < ∞. По теореме 1 спектры операторов LiA и LiC дискретны. 2. Пусть спектры операторов LiA и LiC дискретны и выполнены условия (Pi ) и (Pi−1 ). По теореме 1 операторы TAi−1 , TAi , TCi−1 , TCi компактно разрешимы и dim H i A < ∞, dim H i C < ∞. Из условия dim H i A < ∞ следует, что dim δ i−1 < ∞, а из условия dim H i C < ∞ — что dim δ i < ∞. По лемме 9 операторы TBi−1 и TBi компактно разрешимы. Так как последовательность гомологий точна и dim H i A < ∞, dim H i C < ∞, то dim H i B < ∞. По теореме 1 спектр оператора LiB дискретен. Теорема доказана. 4. Аддиционная теорема для гладких многообразий Пусть X — гладкое n-мерное ориентируемое риманово многообразие, σ — гладкая строго положительная функция, называемая в дальнейшем весовой функцией на X или весом, ƒk T ∗ — k-я внешняя степень кокасательного расслоения T ∗ над X. Сечения расслоения ƒk T ∗ — это дифференциальные формы степени k на X. Риманова метрика многообразия X индуцирует на каждом слое ƒk Tx∗ скалярное произведение (·, ·)x . Будем использовать следующие обозначения для некоторых пространств сечений расслоения ƒk T ∗ : D k (X) — пространство гладких сечений с компактными носителями, лежащими в int X = X \ ∂X; Lk1,loc (X) — пространство тех дифференциальных форм степени k на X, представления которых в локальных картах многообразия X имеют локально интегрируемые коэффициенты; Lk2 (X, σ) — гильбертово пространство, снабженное скалярным произведением Z Z 2 (α, β) = (α, β)x σ (x) dx = α ∧ σ 2 ∗ β, X

X

где ∗ — оператор Ходжа, dx — элемент риманова объема многообразия X; это пространство образовано всеми формами α ∈ Lk1,loc (X), для которых kαk = (α, α)1/2 < ∞; Lk2,loc (X, σ) — пространство тех форм из Lk1,loc (X), которые, будучи умноженными на любую гладкую функцию с компактным носителем, принадлежат Lk2 (X, σ); k,s Hloc (X) — пространство форм степени k на X, представления которых в локальных картах многообразия X имеют коэффициенты, принадлежащие s пространству Соболева Hloc , s ≥ 0 целое.

Аддиционная теорема для многообразий

565

В дальнейшем мы будем иметь дело со следующими дифференциальными операторами, действующими в пространствах дифференциальных форм: dk : D k (X) → D k+1 (X) — оператор внешнего дифференцирования; δσk : D k (X) → D k−1 (X) — оператор, формально сопряженный к оператору dk−1 ; Dσk = δσk × dk : D k (X) → D k−1 × D k+1 (X) — оператор Гаусса — Бонне (соответствующий весу σ); kσ = δσk+1 ◦ dk + dk−1 ◦ δσk — оператор Лапласа (соответствующий весу σ). В соответствии с определением оператор δσk формально сопряжен к операk−1 тору dk−1 . Это означает, что для (X) и β ∈ D k (X) выполнено
любых α ∈ D k−1 k равенство (d α, β) = α, δσ β . Так как для любых α ∈ D k−1 (X), β ∈ D k (X) Z Z (dk−1 α, β) = dk−1 α ∧ σ 2 ∗ β = (−1)k α ∧ dm−k+1 σ 2 ∗ β X

X

= (α, (−1)k σ −2 ∗−1 dm−k+1 ∗ σ 2 β), то δσk β = (−1)k σ −2 ∗−1 dm−k+1 ∗ σ 2 β = δ1k β + (−1)k ∗−1 (2σ −1 dσ ∧ ∗β).

(2)

Здесь δ1k — оператор δσk , соответствующий весу σ ≡ 1. Используя формулу (2), получаем Dσk α = D1k α + ((−1)k ∗−1 (2σ −1 dσ ∧ ∗α), 0),

(3)

kσ α = k1 α + (−1)k+1 ∗−1 (2σ −1 dσ ∧ ∗dk α) + (−1)k dk−1 ∗−1 (2σ −1 dσ ∧ ∗α). (4) Поскольку dk , δσk , Dσk и kσ — дифференциальные операторы, их действие стандартным образом распространяется на пространства, более широкие, чем D k (X). В частности, будем рассматривать оператор dk как оператор, действующий из Lk1,loc (X) в Lk+1 1,loc (X). Область задания этого оператора образована всеми формами ω ∈ Lk1,loc (X), для каждой из которых существует такая форма ω 0 ∈ Lk+1 1,loc (X), что Z Z
2 k+1 ω, δσ α x σ dx = (ω 0 , α)x σ 2 dx (5) X

X

для всех α ∈ Dk+1 (X). Условие (5) определяет форму ω 0 однозначно. Эта форма ω 0 объявляется значением оператора dk на форме ω ∈ Dom dk . Используя формулу (2), легко проверить, что так определенный оператор dk : Lk1,loc (X) → Lk+1 1,loc (X) не зависит от выбора веса σ. Определим оператор dkmax : Lk2 (X, σ) → Lk+1 (X, σ). Область задания этого 2 оператора образована всеми теми формами ω ∈ Dom dk ∩ Lk2 (X, σ), для которых dk ω ∈ Lk+1 (X, σ), dkmax ω := dk ω для форм ω ∈ Dom dkmax . 2 Рассмотрим оператор dk : Lk2 (X, σ) → Lk+1 (X, σ) с областью определения 2 Dom dk = D k (X). Замыкание этого оператора будем обозначать через dkmin : Lk2 (X, σ) → Lk+1 (X, σ). 2 Аналогично тому, как это было сделано в случае операторов dk , dkmax и dkmin , определяются операторы δσk : Lk1,loc (X) → Lk−1 1,loc (X),

k k δσ,min , δσ,max : Lk2 (X, σ) → Lk−1 (X, σ), 2

566

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов k+1 Dσk : Lk1,loc (X) → Lk−1 1,loc (X) × L1,loc (X), k k Dσ,max , Dσ,min : Lk2 (X, σ) → Lk−1 (X, σ) ⊕ Lk+1 (X, σ), 2 2

kσ : Lk1,loc (X) → Lk1,loc (X),

kσ,max , kσ,min : Lk2 (X, σ) → Lk2 (X, σ).

k+1 k k k Оператор δσ,max сопряжен к оператору dk−1 min , dmax сопряжен к δσ,min , σ,max k сопряжен к σ,min .

Лемма 10. Если ω ∈ Lk2,loc (X) — форма с компактным носителем и dk ω ∈ k k (δσk ω ∈ Lk−1 2,loc (X)), то ω ∈ Dom dmin (ω ∈ Dom δσ,min ).

Lk+1 2,loc (X)

Доказательство. В случае dk ω ∈ Lk+1 2,loc (X) утверждение леммы легко доказать, используя для аппроксимации формы ω гладкими формами процедуру усреднения [5]. Случай δσk ω ∈ Lk−1 2,loc (X) сводится к предыдущему с помощью формулы (2). Лемма доказана.
Пусть ω ∈ Dom δσk : Lk1,loc (X) → Lk−1 1,loc (X) и f : X → R — гладкая функция. Тогда для произвольной формы α ∈ D k−1 (X) имеем Z Z Z
(f ω, dk−1 α)x σ 2 dx = (ω, dk−1 (f α) − df ∧ dk−1 α)x σ 2 dx = f δσk ω, α x σ 2 dx X

X

Z k

+ (−1)

d

k−1

X

Z 2

f δσk ω

α ∧ df ∧ ∗σ ω =

X




k

+ (−1) ∗

−1


(df ∧ ∗ω), α x σ 2 dx.

X

k Так как f δσk ω + (−1)k ∗−1 (df ∧ ∗ω) ∈ Lk−1 1,loc (X), то f ω ∈ Dom δσ и

δσk (f ω) = f δσk ω + (−1)k ∗−1 (df ∧ ∗ω).

(6)

Аналогично устанавливаем, что dk (f ω) = df ∧ ω + f dk ω,
если ω ∈ Dom dk : Lk1,loc (X) → Lk+1 1,loc (X) , f : X → R — гладкая функция.

(7)

Лемма 11. На полном римановом многообразии (без края) dkmax = dkmin , k k k = δσ,min , Dσ,max = Dσ,min , kσ,max = kσ,min . Доказательство. На полном римановом многообразии существует последовательность fn : X → [0, 1] гладких функций, удовлетворяющая следующим условиям: 1) каждая функция fn имеет компактный носитель, 2) fn+1 ≥ fn , 3) для каждой точки x ∈ X существует такой номер n = n(x), что fn (x) = 1, 4) |dfn |x ≤ 1 в каждой точке x ∈ X. Используя оценки

k δσ,max

|dfn ∧ ω|x ≤ |ω|x ,

| ∗−1 (dfn ∧ ∗ω)|x ≤ |dfn |x |ω|x

и формулы (6) и (7), заключаем, что для каждой формы ω ∈ Dom dkmax будет fn ω ∈ Dom dkmax и fn ω → ω в Dom dkmax при n → ∞, а для каждой формы k k k будет fn ω ∈ Dom δσ,max и fn ω → ω в Dom δσ,max при n → ∞. ω ∈ Dom δσ,max k k По лемме 10 fn ω ∈ Dom dmin в первом случае и fn ω ∈ Dom δσ,min во втором. k Поэтому в силу замкнутости операторов dkmin и δσ,min имеем dkmax = dkmin и k k δσ,max = δσ,min . Известно, что символы дифференциальных операторов D1k и k1 инъективны [6]. Ввиду формул (3) и (4) порядок оператора Dσk − D1k меньше порядков

Аддиционная теорема для многообразий

567

операторов Dσk и D1k , а порядок оператора kσ − k1 меньше порядков операторов kσ и k1 . Поэтому символы операторов Dσk и kσ инъективны. Следоk,1 k вательно, согласно теории эллиптических операторов Dom Dσ,max ⊂ Hloc (X), k,2 k Dom σ,max ⊂ Hloc (X) [7, теорема 7.1]. k k k Пусть ω ∈ Dom Dσ,max . Так как Dσ,max = δσ,max × dkmax и fn ω → ω в проk k k странствах Dom δσ,max и Dom dmax , то fn ω → ω в пространстве Dom Dσ,max . k,1 Поскольку fn ω ∈ Hloc (X) и носитель этой формы компактен, с помощью проk,1 цедуры сглаживания ее можно представить как предел сходящейся в Hloc (X) k последовательности форм из D (X), носители которых лежат в одном компакk,1 k,1 те K ⊂ X. Подпространство HK пространства Hloc (X), образованное форk,1 k мами с носителями в K, содержится в Dom Dσ,max , причем вложение HK ⊂ k k Dom Dσ,max непрерывно. Следовательно, ω ∈ Dom Dσ,min для любой формы k k k = Dσ,min . , и тем самым Dσ,max ω ∈ Dom Dσ,max k,2 k (X) и гладкая функция fn Пусть ω ∈ Dom σ,max . Поскольку ω ∈ Hloc имеет компактный носитель, получаем Z Z





fn δσk ω 2 = fn δσk ω, fn δσk ω x σ 2 dx = δσk ω, fn2 δσk ω x σ 2 dx Z

X

X




δσk ω, δσk fn2 ω x σ 2

= X

Z

Z

dx − (−1)k X

Z




dk−1 δσk ω, fn2 ω x σ 2 dx − (−1)k

=



δσk ω, ∗−1 (dfn2 ∧ ∗ω x σ 2 dx

X



fn δσk ω, ∗−1 (2 · dfn ∧ ∗ω x σ 2 dx

X

Z




dk−1 δσk ω, fn2 ω x σ 2

≤

2 1 dx + fn δσk ω + 2kdfn ∧ ∗ωk2 . 2

X

Следовательно, Z

1 kfn δσk ωk2 ≤ 2


dk−1 δσk ω, fn2 ω x σ 2 dx + 2kdfn ∧ ∗ωk2 .

(8)

X

Аналогично k

Z

2

d

kfn d ωk = k

Z




ω, fn2 dk ω x σ 2

X

Z −

k

Z

dx =


dk ω, dk fn2 ω x σ 2 dx

X




δσk+1 dk ω, fn2 ω x σ 2

2

(fn d ω, 2·dfn ∧ω)x σ dx ≤

1 dx+ kfn dk ωk2 +2kdfn ∧ωk2 . 2

X

X

Отсюда 1 kfn dk ωk2 ≤ 2

Z


δσk+1 dk ω, fn2 ω x σ 2 dx + 2kdfn ∧ ωk2 .

(9)

X

Из (8) и (9) вытекает, что

2
kfn dk ωk2 + fn δσk ω ≤ 2 kσ,max ω, fn2 ω + 4kdfn ∧ ωk2 + 4kdfn ∧ ∗ωk2 . Легко видеть, что

kσ,max ω, fn2 ω → kσ,max ω, ω ,

kdfn ∧ ∗ωk → 0,

kdfn ∧ ωk → 0

(10)

568

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

при n → ∞.

2

В силу теоремы Беппо Леви kfn dk ωk2 → kdk ωk2 и fn δσk ω → kδσk ωk2 при n → ∞. Переходя в (10) к пределу при n → ∞, получаем

2
kdk ωk2 + δσk ω ≤ 2 kσ,max ω, ω . Следовательно, dk ω ∈ Lk+1 (X, σ), δσk ω ∈ Lk−1 (X, σ). 2 2 k Пусть α, β ∈ Dom σ,max . Имеем


kσ,max α, β = lim kσ,max α, fn β = lim dk−1 δσk α + δσk+1 dk α, fn β n→∞ n→∞


= lim δσk α, δσk fn β + (dk α, dk fn β) = δσk α, δσk β + (dk α, dk β). n→∞

Аналогично



α, kσ,max β = δσk α, δσk β + (dk α, dk β).

Тем самым оператор kσ,max симметричен. Так как при этом сопряженный оператор к kσ,max есть оператор kσ,min и kσ,min ⊂ kσ,max , то kσ,max = kσ,min . Лемма доказана. Следствие 2. Оператор kσ,min самосопряжен. Это следствие в случае σ ≡ 1 установлено в [6]. k , Пусть G — замкнутое подпространство банахова пространства Dom Dσ,max содержащее D k (X). Обозначим символом k DG : Lk2 (X, σ) → Lk−1 (X, σ) ⊕ Lk+1 (X, σ) 2 2

оператор, определенный следующими условиями: k Dom DG = G,

k k DG (ω) = Dσ,max (ω)

для произвольной формы ω ∈ G, а символом G : Lk2 (X, σ) → Lk2 (X, σ)
k ∗ k — оператор DG DG . По теореме фон Неймана [3, гл. V, теорема 3.24] оператор G является самосопряженным расширением оператора kσ,min . Лемма 12. Пусть G1 и G2 — замкнутые подпространства пространства k Dom Dσ,max , D k (X) ⊂ G1 ⊂ G2 и спектр оператора G2  дискретен. Тогда спектр оператора G1  дискретен. Доказательство. По лемме 7 оператор вложения G2 ⊂ Lk2 (X, σ) компактен. Следовательно, оператор вложения G1 ⊂ Lk2 (X, σ) компактен. По лемме 7 спектр оператора G1  дискретен. Лемма доказана. Обозначим символом W k (X, σ) банахово пространство Dom dkmax : Lk2 (X, σ)
→ Lk+1 (X, σ) . Подпространство € пространства W k (X, σ) будем называть d2 подпространством, если оно замкнуто в W k (X, σ) и содержит D k (X). Для произвольного d-подпространства € ⊂ W k (X, σ) обозначим через dk€ : Lk2 (X, σ) → Lk+1 (X, σ) оператор, определенный следующими условиями: Dom dk€ = € , 2 k d€ ω = dk ω для любой формы ω ∈ € . Последовательность d-подпространств € = (€ k ⊂ W k (X, σ))k∈Z будем называть правильной последовательностью, если dk (€ k ) ⊂ € k+1 для каждого k ∈ Z.

Аддиционная теорема для многообразий

569

Для любой правильной последовательности € = (€ k ⊂ W k (X, σ))k∈Z операторы dk€ : Lk2 (X, σ) → Lk+1 (X, σ) образуют гильбертов комплекс. 2
∗
Обознаk−1 ∗ чим через k€ : Lk2 (X, σ) → Lk2 (X, σ) оператор dk€ dk€ + dk−1 d . Так как € € k−1 ∗ k k dk€ dk−1 = 0, то Ker d + Ker(d ) = L (X, σ). По лемме 6 2 € € €


∗ ∗ dk−1 )∗ × dk€ = G, k€ = dk−1 × dk€ € €
∗ где Gk = Dom dk−1 ∩ Dom dk€ . € Лемма 7 и теорема 1 приводят к следующему критерию дискретности спектров операторов G и k€ . Лемма 13. Для произвольного замкнутого подпространства G пространства W k (X, σ), содержащего Dk (X), спектр оператора G дискретен тогда и только тогда, когда оператор вложения G ⊂ Lk2 (X, σ) компактен. Для произвольной правильной последовательности € = (€ k ⊂ W k (X, σ))k∈Z спектр оператора k€ дискретен тогда и только
тогда, когда операторы d€k−1 и dk€ компактно разрешимы и dim Ker dk€ / Im d€k−1 < ∞. Теорема 3. Пусть h : X → X 0 — диффеоморфизм римановых многообразий, σ и σ 0 — весовые функции на X и X 0 соответственно. Предположим, что функции |dh|, |dh−1 |, σ ◦ h−1 /σ 0 и σ 0 ◦ h/σ ограничены. Тогда для любой правильной последовательности € = (€ k ⊂ W k (X 0 , σ 0 ))k∈Z последовательность h∗ (€ ) = (h∗ (€ k ) ⊂ W k (X, σ))k∈Z правильная и спектры операторов k€ и kh∗ (€ ) дискретны одновременно. Доказательство. При выполнении условий теоремы диффеоморфизм h индуцирует топологические изоморфизмы h∗ : Lk2 (X 0 , σ 0 ) → Lk2 (X, σ) и h∗ : W k (X 0 , σ 0 ) → W k (X, σ). Так как при этом h∗ (D k (X 0 ) = D k (X), для любой правильной последовательности € = (€ k ⊂ W k (X 0 , σ 0 ))k∈Z последовательность h∗ (€ ) правильная. Условия дискретности, указанные в лемме 13, выполняются для операторов k€ и kh∗ (€ ) одновременно. Теорема доказана. Пусть риманово m-мерное многообразие X представлено в виде объединения двух замкнутых множеств X− и X+ , причем X− и X+ — гладкие m-мерные подмногообразия, а Y = X− ∩ X+ — гладкое (m − 1)-мерное подмногообразие многообразия X, лежащее в int X. Обозначим через i∗ оператор ограничения форм с X на X+ , а через j ∗ оператор продолжения форм нулем с X− на X. Пусть σ — весовая функция на X и € = (€ k ⊂ W k (X, σ))k∈Z — правильная последовательность d-подпространств. Положим €+k = i∗ (€ k ),

€−k = {ω ∈ W k (X− , σ) : j ∗ ω ∈ € k }.

Последовательность €− = (€−k ⊂ W k (X− , σ))k∈Z является правильной, а последовательность €+ = (€ k ⊂ W k (X+ , σ))k∈Z правильна, если каждое подпространство €+k замкнуто в W k (X+ , σ). Теорема 4. Пусть € = (€ k ⊂ W k (X+ , σ))k∈Z — правильная последовательность d-подпространств, j ∈ Z+ . Предположим, что для каждого k ∈ Z существует такой непрерывный линейный оператор …k : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X, σ), что i∗ …k ω = ω для любой формы ω ∈ Lk2 (X+ , σ), …k (W k (X+ , σ)) ⊂ W k (X, σ), …k (€+k ) ⊂ € k . Тогда €+ — правильная последовательность d-подпространств и спектр оператора j€ дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов j€+ и j€− .

570

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

Доказательство. Поскольку операторы …k : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X, σ) непрерывны и …k (W k (X+ , σ)) ⊂ W k (X, σ), операторы …k : W k (X+ , σ) → W k (X, σ) непрерывны (см. доказательство аналогичного утверждения
в лемме 9). Так как i∗ …k ω = ω для любой формы ω ∈ Lk2 (X+ , σ) и …k €+k ⊂ € k , то €+k = (…k )−1 (€ k ). Следовательно, подпространство €+k замкнуто в W k (X+ , σ) и поэтому €+ — правильная последовательность d-подпространств. Рассмотрим гильбертовы комплексы


A = Lk2 (X− , σ), dk€− k∈Z , B = Lk2 (X, σ), dk€ k∈Z , C = Lk2 (X+ , σ), dk€+ k∈Z . Последовательность гильбертовых комплексов j∗

i∗

0→A→B→C→0 точна. Для этих комплексов операторы LkA , LkB , LkC совпадают с k€− , k€ , k€+ соответственно. По теореме 2 спектр оператора LjB дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов LjA и LjC . Теорема доказана. Пусть многообразие Y = X+ ∩ X− обладает замкнутой окрестностью U в X, для которой существует диффеоморфизм ϕ : [−1, 1] × Y → U , удовлетворяющий следующим условиям: ϕ(0, y) = y, ϕ(t, y) ∈ X− при t ≤ 0, ϕ(t, y) ∈ X+ при t ≥ 0 для любого y ∈ Y . Такой диффеоморфизм ϕ называют воротником подмногообразия Y в X. Будем называть воротник ϕ равномерным, если функции |dϕ| и |dϕ−1 | ограничены. Будем говорить, что воротник ϕ согласован с весовой функцией σ, заданной на X, если существует такая весовая функция σY на Y , что 1 σY (y) ≤ σ(ϕ(t, y)) ≤ cσY (y) c для некоторой константы c и любых t ∈ [−1, 1], y ∈ Y . Если многообразие Y компактно, то любой его воротник является равномерным воротником, согласованным с произвольной весовой функцией на X. Лемма 14. Пусть Y = X+ ∩ X− обладает равномерным воротником в X, согласованным с весовой функцией σ. Тогда для каждого k ∈ Z существует такой непрерывный линейный оператор …k : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X, σ), переводящий W k (X+ , σ) в W k (X, σ), что i∗ …k ω = ω для любой формы ω ∈ Lk2 (X+ , σ). Доказательство. Используя воротник ϕ : [−1, 1] × Y → U , согласованный с весовой функцией σ, легко построить гладкую функцию λ : X → [0, 1], удовлетворяющую следующим условиям:  0 при |t| ≥ 2/3, λ(ϕ(t, y)) = (11) 1 при |t| ≤ 1/3, λ ≡ 0 на X \ U , функция |dλ| ограничена. Рассмотрим отображение ψ : X+ ∪ U → X+ , заданное условиями: ψ(x) = x при x ∈ X+ , ψ(ϕ(t, y)) = ϕ(−t, y) при t ∈ [−1, 0]. Для произвольной формы ω ∈ Lj2 (X+ , σ) положим …k ω ≡ 0 на X− \ U , k … ω = ψ ∗ (λω) на U \ X− , …k ω = ω на X+ . Тогда …k ω ∈ Lk2 (X, σ), оператор …k : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X, σ) непрерывен и …k ω ∈ W k (X, σ), если ω ∈ W k (X+ , σ). Эти утверждения доказаны в [8, лемма 1 и доказательство леммы 4]. Равенство i∗ …k ω = ω следует непосредственно из определения формы …k ω. Лемма доказана.

Аддиционная теорема для многообразий

571

Семейством носителей в X называется произвольное множество ‚ замкнутых в X множеств, удовлетворяющее следующим условиям: 1) F1 , F2 ∈ ‚ ⇒ F1 ∪ F2 ∈ ‚, 2) F1 ∈ ‚, F1 ⊂ F2 , F2 замкнуто в X ⇒ F2 ∈ ‚. Для семейства носителей ‚ на X и произвольного множества Z ⊂ X символом ‚|Z будем обозначать семейство {F ∈ ‚ : F ⊂ Z}. Для семейства носителей ‚ на X обозначим через W‚k (X, σ) замыкание в W k (X, σ) подпространства, образованного всеми формами из W k (X, σ), носители которых содержатся в ‚. Для
произвольного семейства носителей ‚ на X последовательность W‚k (X, σ) k∈Z — правильная последовательность dподпространств. Будем говорить, что равномерный воротник ϕ : [−1, 1] × Y → U ⊂ X и семейство носителей ‚ на X согласованы, если ψ −1 (F ) ∈ ‚ для любого F ∈ ‚|X+ , где ψ : X+ ∪ U → X+ — отображение, заданное условиями: ψ(x) = x при x ∈ X+ , ψ(ϕ(t, y)) = ϕ(−t, y) при t ≤ 0 и y ∈ Y . Теорема 5. Пусть подмногообразие Y = X+ ∩ X− обладает равномерным воротником ϕ, согласованным с весом σ и семейством носителей ‚ на X, k € k = W‚k (X, σ). Тогда €+k = W‚| (X+ , σ) и для произвольного j ∈ Z спектр X +

оператора j€ на X дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов j€+ на X+ и j€− на X− . Доказательство. Пусть …k : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X, σ) — операторы продолжения форм, указанные в лемме 14. Из условия согласованности воротника ϕ с семейством носителей ‚ следует, что операторы …k переводят формы с носителями в ‚|X+ в формы с носителями в ‚. В силу непрерывности операторов k …k : W k (X+ , σ) → W k (X, σ) получаем отсюда, что …k (W‚| (X+ , σ)) ⊂ € k . Так X +

k как i∗ …k ω = ω для форм ω ∈ Lk2 (X+ , σ), то W‚| (X+ , σ) ⊂ i∗ (€ k ) = €+k . ОбратX +

ное включение следует из непрерывности оператора i∗ : W k (X, σ) → W k (X+ , σ).
k k k k k Следовательно, €+ = W‚|X (X+ , σ) и … €+ ⊂ € . Осталось воспользоваться + теоремой 4. Теорема доказана. Каждое из следующих четырех семейств носителей на X согласовано с любым воротником многообразия Y = X+ ∩ X− : ζ — семейство всех замкнутых в X множеств, c — семейство всех компактных подмножеств многообразия X, ζ0 = ζ|int X , c0 = c|int X . Лемма 15. Если ‚ — одно из семейств носителей ζ, c, ζ0 , c0 , € k = W‚k (X, σ), подмногообразие Y = X+ ∩ X− обладает равномерным воротником ϕ, согласоk ванным с весом σ на X, то €−k = W‚| (X− , σ). X\X +

k Доказательство. Очевидно, что W‚| (X− , σ) ⊂ €−k . Докажем обратX\X +

ное включение. Предположим сначала, что ‚ = ζ. Пусть ω ∈ €−k и ε > 0 произвольны, ω e = j ∗ ω — форма, совпадающая с ω на X− и равная 0 на X+ \ Y . Рассмотрим какое-либо открытое локально конечное покрытие V = (Vi )i∈N многообразия X относительно компактными множествами Vi . Пусть (fi )i∈N — гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Для каждого i ∈ N существует такой диффеоморфизм hi : X → X, что носитель формы h∗ (fi ω e) ∗ −i 0 содержится в V ∩ (X \ X ) и kh (f ω e ) − f ω e k ≤ 2 ε. Положим ω = k i + i i W (X,σ) i P ∗ hi (fi ω e ). Суммирование по i имеет смысл, поскольку носители форм h∗i (fi ω e) i

572

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов

образуют локально конечное в X семейство множеств. Так как X ω e − ω0 = (fi ω e − h∗i (fi ω e )) i

P и ряд (fi ω e − h∗i (fi ω e )) сходится в W k (X, σ), то ω e − ω 0 ∈ W k (X, σ). Следоваi

тельно, ω 0 ∈ W k (X, σ). Кроме того, ke ω − ω 0 kW k (X,σ) ≤ ε и носитель формы ω 0 содержится в X \ X+ . Установлено, что в пространстве €−k формы с носителями k (X− , σ). в X \ X+ образуют плотное подмножество. Поэтому €−k = Wζ| X\X +

Рассмотрим теперь случай ‚ = c. Пусть ω ∈ €−k , ω e = j ∗ ω, ε > 0 произвольk но. Так как ω e ∈ Wc (X, σ), то существует такая форма α ∈ W k (X, σ) с компактным носителем, что ke ω − αkW k (X,σ) < ε. Пусть …k : W k (X+ , σ) → W k (X, σ) — оператор продолжения форм, указанный в лемме 14, C — норма этого оператора и i∗ — оператор ограничения форм с X на X+ . Ввиду того, что i∗ ω e = 0, имеем ki∗ αkW k (X,σ) ≤ ε, k…k i∗ αkW k (X,σ) ≤ Cε. Пусть β = α − …k i∗ α. Тогда ke ω − βkW k (X,σ) ≤ (1 + C)ε и форма β имеет компактный носитель, лежащий в X− . Существует такой диффеоморфизм h : X → X, что носитель формы h∗ β содержится в X \ X+ и kβ − h∗ (β)kW k (X,σ) ≤ ε. Тогда ke ω − h∗ (β)kW k (X,σ) ≤ (2 + C)ε. Установлено, что формы с компактными носителями образуют плотное в €−k множество. Тем самым €−k = Wc|k X\X (X− , σ). + Случаи ‚ = ζ0 и ‚ = c0 рассматриваются аналогично. Лемма доказана. Лемма 16. Пусть подмногообразие Y = X+ ∩ X− обладает равномерным воротником ϕ, согласованным с весом σ на X, ‚ — одно из семейств носителей k k (X+ , σ). Тогда для каждого ζ, c, ζ0 , c0 на X, € k = W‚| (X+ , σ), €0k = W‚| X X \Y +

+

j ∈ Z спектры операторов j€ и j€0 на X+ дискретны одновременно. Доказательство. Предположим, что спектр оператора j€ дискретен. Рассмотрим многообразия 0 0 X 0 = X+ , X + = ϕ([0, 1/2] × Y ), X− = X 0 \ ϕ([0, 1/2] × Y ), 0 0 0 Y = X+ ∩ X− = ϕ({1/2} × Y ). Подмногообразие Y 0 имеет в X 0 равномерный воротник, согласованный с k весом σ и семейством носителей ‚|X+ . Пусть (€ 0 )k = W‚| (X 0 , σ). По теоре0 0

0

0

X

0 ме 5, примененной к разложению X = X+ ∪ X− , оператор j€ 0 на X− имеет −

k дискретный спектр. По лемме 15 (€ 0 )k− = W‚|

X 0 \Y −

0 (X− , σ). Используя теоре0

0 му 3, заключаем, что спектры операторов j€ 0 на X− и j€0 на X+ дискретны − одновременно. Поэтому спектр оператора j€0 дискретен, если дискретен спектр оператора j€ . Предположим теперь, что дискретен спектр оператора j€0 . Рассмотрим 00 0 00 0 k многообразия X 00 = X+ , X+ = X− , X− = X+ . Пусть (€ 00 )k = W‚| (X+ , σ). X+ \Y 00 00 00 Предыдущее рассуждение, примененное к разложению X = X+ ∪ X− и пра00

вильной последовательности d-подпространств € , доказывает, что спектр оператора j€ дискретен, если дискретен спектр оператора j€0 . Лемма доказана. Из теоремы 5, лемм 15 и 16 вытекает

Аддиционная теорема для многообразий

573

Следствие 3. Пусть Y обладает равномерным воротником, согласованным с весом σ на X, ‚ = {ζ, c, ζ0 , c0 }, € k = W‚k (X, σ), €0k = W‚k (X− , σ), €1k = W‚k (X+ , σ). Тогда спектр оператора k€ на X дискретен в том и только в том случае, когда спектры операторов k€0 на X0 и k€1 на X+ дискретны. Лемма 17. Пусть X — полное многообразие без края, ϕ : [−1, 1]×Y → U ⊂ X — равномерный воротник подмногообразия Y = X− ∩ X+ , согласованный с весом σ на X, U+ = ϕ([0, 1] × Y ), € k = Wck0 (X+ , σ), €1k = Wck0 (U+ , σ), F kσ,min — расширение по Фридрихсу оператора kσ,min : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X+ , σ). Тогда спектр оператора k€ дискретен в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия: (1) спектр оператора F kσ,min дискретен, (2) операторы : Lk−1 (U+ , σ) → Lk2 (U+ , σ), dk−1 2 €1

dk€1 : Lk2 (U+ , σ) → Lk+1 (U+ , σ) 2
< ∞. компактно разрешимы и dim Ker dk€1 / Im dk−1 €1
∗ k k Доказательство. По лемме 7 работы [2] F kσ,min = Dσ,min ◦Dσ,min , где k−1 k+1 k k k k Dσ,min — замыкание оператора δσ ×d : L2 (X+ , σ) → L2 (X+ , σ)×L2 (X+ , σ), заданного на D k (X+ ).
k Предположим, что спектр оператора k€ дискретен. Так как Dom Dσ,min = k−1 ∗ k k Dom(d€ ) ∩ Dom(d€ ), по лемме 12 спектр оператора F σ,min дискретен. 0 0 = X+ \ ϕ([0, 1/2] × Y ), Y 0 = = ϕ([0, 1/2] × Y ), X+ Пусть X 0 = X+ , X− 0 0 0 0 0 0 ϕ({1/2}×Y ). Тогда X = X+ ∪X− , Y = X+ ∩X− , Y 0 обладает в X 0 равномерным воротником, согласованным с весом σ. 0 0 , σ) дискретен. , σ) → Lk2 (X− По теореме 5 спектр оператора k€− : Lk2 (X− k k 0 По лемме 15 €− = Wc0 (X− , σ). По теореме 1 выполнено условие (2). Предположим теперь, что и
(2). k

∗ выполнены
k условия (1) k−1 ∗ k = Dom d × d€1 . По теореме 1 Пусть Gk = Dom dk−1 × d , G 1 € €1 €
k компактны операторы вложения Dom Dσ,min ⊂ Lk2 (X+ , σ) и Gk1 ⊂ Lk2 (U+ , σ). Докажем, что компактен оператор вложения Gk ⊂ Lk2 (X+ , σ). Пусть {ων }ν∈Z — произвольная ограниченная последовательность в Gk . Наличие равномерного воротника ϕ у подмногообразия Y позволяет построить гладкую функцию a : X+ → [0, 1], удовлетворяющую следующим условиям: a(x) ≡ 1 на ϕ([0, 1/3]×Y ), a(x) ≡ 0 на X \ ϕ([0, 2/3] × Y ), функция |da| ограничена на X+ . Используя формулы (6) и (7), легко проверить, что {aων }ν∈Z — ограниченная последовательность в Gk1 . Установим, что {(1 − a)ων }ν∈Z — ограниченная после
k довательность в Dom Dσ,min . Пусть fn : X → [0, 1] — последовательность гладких функций такая же, как в доказательстве леммы 11. Каждая форма {fn · (1 − a)ων }ν∈Z принадлежит G
k и имеет компактный носитель. По лемk ме 10 fn · (1 − a)ων ∈ Dom Dσ,min . Так как для каждого ν последовательk ность {fn · (1 − a)ων }n∈Z ν в пространстве G , то
сходится при n → k∞ к (1 − a)ω k k (1−a)ων ∈ Dom Dσ,min . Вложение Dom(Dσ,min ) ⊂ G изометрично, значит, по
k следовательность {(1 − a)ων }ν∈Z ограничена в Dom Dσ,min . Так как операторы
k вложения Dom Dσ,min ⊂ Lk2 (X+ , σ) и Gk1 ⊂ Lk2 (U+ , σ) компактны, существуют сходящиеся в Lk2 (X+ , σ) подпоследовательности {aωνi }i∈Z и {(1 − a)ωνi }i∈Z последовательностей {aων }ν∈Z и {(1 − a)ων }ν∈Z соответственно. Установлено, что оператор вложения Gk ⊂ Lk2 (X+ , σ) компактен. По теореме 1 спектр оператора k€ дискретен. Лемма доказана.

574

В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Из следствия теоремы 5 и леммы 17 вытекает следующий результат.

Теорема 6. Пусть X — полное риманово многообразие (без края), X = X+ ∪ X− и выполнены следующие условия: (1) подмногообразие Y = X+ ∩X− имеет равномерный воротник ϕ : [−1, 1]× Y → U ⊂ X, согласованный с весом σ на X, (2) операторы dk−1 и dk€
компактно разрешимы, € k−1 k (3) dim Ker d€ / Im d€ < ∞, где € k = Wck0 (U, σ). Тогда спектр оператора F kσ,min : Lk2 (X, σ) → Lk2 (X, σ) дискретен в том и только в том случае, когда дискретны спектры операторов F kσ,min : Lk2 (X+ , σ) → Lk2 (X+ , σ),

F kσ,min : Lk2 (X− , σ) → Lk2 (X− , σ).

Если подмногообразие Y компактно, то условия (1)–(3) теоремы 6 выполнены автоматически [9, 10]. Поэтому в случае полного многообразия X и компактного разреза Y спектр оператора F kσ,min на X дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов F kσ,min на X+ и X− . Этот последний результат можно рассматривать как вариант принципа расщепления из [11]. ЛИТЕРАТУРА 1. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963. 2. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования // Сиб. мат. журн.. 1997. Т. 38, № 3. С. 573–590. 3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 4. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб. мат. журн.. 1999. Т. 40, № 4. С. 893–904. 5. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об одном свойстве операторов регуляризации де Рама // Сиб. мат. журн.. 1984. Т. 25, № 2. С. 104–111. 6. Gaffney M. P. The harmonic operator for exterior differential forms // Proc. Nat. Acad. Sci.. 1951. V. 37. P. 48–50. 7. Шварц Л. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения. М.: Мир, 1964. 8. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: Наука, 1985. С. 53–87. 9. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов // Сиб. мат. журн.. 1989. Т. 30, № 5. С. 49–59. 10. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Lp -когомологии римановых многообразий // Исследования по геометрии и математическому анализу. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1987. Т. 7. С. 101–116. (Тр. ИМ СО АН СССР). 11. Eichhorn J. Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmetrischen Metrik // Math. Nachr. 1983. Bd 144. S. 23–51. Статья поступила 20 октября 2005 г. Кузьминов Владимир Иванович, Шведов Игорь Александрович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 [email protected]