Тригонометрические уравнения

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

6. Тригонометрические уравнения

методические указания для абитуриентов физического факультета

Ростов-на-Дону 2002

2

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ. Составители — А.Н. Румянцев, канд. физ.-мат. наук, доц., Т.Г. Румянцева, канд. физ.-мат. наук, доц., В.В. Махно, 1 курс магистратуры мехмата

Методические указания предназначены для подготовки к вступительному экзамену по математике на физический факультет университета и содержат основные формулы для решения тригонометрических уравнений; задачи для самостоятельного решения с ответами; контрольную работу.

3 1. Основные формулы Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента sin 2 x + cos2 x = 1 ; π sin x tg x = , x ≠ (2 n + 1) , n ∈ Z ; cos x 2 cos x ctg x = , x ≠ πn , n ∈ Z ; sin x πn , n∈Z; tg x ⋅ ctg x = 1 , x ≠ 2 Формулы сложения sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y ; sin(x − y ) = sin x cos y − cos x sin y ; cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y ; cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y ;

tg x + tg y π , x , y , x + y ≠ + π n , n ∈Z; 1 − tg x ⋅tg y 2 tg x − tg y π tg (x − y ) = , x , y , x − y ≠ + π n , n ∈Z; 1 + tg x ⋅tg y 2 tg (x + y ) =

Формулы двойного аргумента

sin2x = 2 sinx cos x ; cos2x = cos 2 x − sin 2 x ; Формулы понижения степени

sin 2

x 1 − cos x = ; 2 2

cos2

x 1 + cos x = . 2 2

Преобразование суммы в произведение

x +y x −y cos ; 2 2 x +y x −y sin x − sin y = 2 cos sin ; 2 2 x +y x −y cos x + cos y = 2 cos cos ; 2 2 x +y x −y cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 sin⎛⎜⎝ x ± y ⎞⎟⎠ π , x , y ≠ + π n , n ∈Z. tg x ± tg y = cosx cos y 2 sin x + sin y = 2 sin

4 Преобразование произведения в сумму

1 (cos(x − y ) − cos(x + y )) ; 2 1 cosx cos y = (cos(x − y ) + cos(x + y )) ; 2 1 sinx cos y = (sin(x − y ) − sin(x + y )) ; 2 sinx sin y =

Формулы приведения Всякая тригонометрическая функция угла 90o n + α по абсолютной величине равна той же функции угла α , если n — чётное, и “ дополнительной ” функции этого же угла, если n — нечётное. При этом, если функция угла 90 o n + α положительна, когда α — острый угол, то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны. Соответствующие этому правилу формулы можно разбить на четыре группы. I группа:

sin( −α ) = − sin(α ) ;

ctg ( −α ) = −ctg (α ) ;

tg ( −α ) = −tg (α ) ;

cos( −α ) = cos(α ) .

Эти формулы позволяют избавиться от рассмотрения отрицательных углов. II группа:

sin ⎫ sin ⎫ cos⎪⎪ cos ⎪⎪ o ⎬(360 k + α ) = ⎬α tg ⎪ tg ⎪ ctg ⎪⎭ ctg ⎪⎭

(здесь k — целое положительное число).

Эти формулы позволяют избавиться от рассмотрения углов, больших, чем 360 o . III группа:

sin ⎫ msin ⎫ cos⎪⎪ − cos⎪⎪ o α k ± = 180 ⎬ ⎬α , tg ⎪ ±tg ⎪ ctg ⎪⎭ ±ctg ⎪⎭ Названия функций сохраняются; знак в правой части берётся тот, который будет иметь левая часть при остром угле α .

(

)

IV группа: sin ⎫ + cos⎫ ⎪ cos⎪ o m sin ⎪⎪ α 90 ± = ⎬α ; ⎬ m tg ⎪ tg ⎪ m ctg ⎪⎭ ctg ⎪⎭

(

)

sin ⎫ − cos⎫ ⎪ cos⎪ ± sin ⎪⎪ o α 270 ± = ⎬α . ⎬ m ctg ⎪ tg ⎪ m tg ⎪⎭ ctg ⎪⎭

(

)

Название функции меняется: вместо каждой функции берётся её “дополнительная”.

2. Задачи для самостоятельного решения

5 Решить уравнения:

π

4 ctg x + sin 2 2x + 1 = 0 ; 2 1 + ctg x t 2). ctg t − sin t = 2 sin 2 ; 2

Ответ: − + πk , k ∈ Z

1).

4

Ответ:

π 4 −

+ πk , k ∈Z;

π

+ 2πk , k ∈Z.

2

π

3). sin⎛⎜ + 2x ⎞⎟ ctg 3x + sin(π + 2x ) − 2 ⋅ cos 5x = 0 ; ⎝ ⎠ 2

Ответ: 4).

(1 + cos 4x ) ⋅ sin 2x

π 10

+

πk 5

, k ∈Z; ( −1) ⋅

π

k

π

12

+

πk 3

, k ∈Z.

1 + πk , k ∈ Z; 4 2 π 1 (−1) k 12 + 2 πk , k ∈Z.

= cos 2 2x ;

Ответ:

5). sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 5x = 2 ; π

Ответ:

2

+ πk , k ∈Z;

π

π

1 + πk,k ∈ Z; 14 7

1 + πk , k ∈ Z; 4 2

6). 2 ctg 2 x ⋅ cos2 x + 4 cos2 x − ctg 2 x − 2 = 0 ; Ответ: 7).

0,5(cos 5x + cos 7x ) − cos 2 2x + sin 2 3x = 0 ;

Ответ: 8). sin x cos x cos 2x cos 8x = sin 12x ;

1 4

Ответ:

9). 3 sin 2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0 ;

Ответ:

π

1 + πk , k ∈ Z; 4 2

π 2

+ πk , k ∈Z;

2πk , k ∈Z. 11

1 πk , k ∈Z; 8 π 1 + πk , k ∈ Z; 4 2

1 π πk , k ∈Z. πk , k ∈Z; ± + 12 2 2 2π Ответ: ± + 2πk , k ∈Z; 3

10). sin 3x cos 3x = sin 2x ;

Ответ:

11). 5(1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos4 x ; 12). cos2 x = 2 (cos x − sin x ) ;

Ответ:

π

4

+ πk , k ∈Z;

13). sin 2z + cos 2z = 2 ⋅ sin 3z ; Ответ: x x 14). sin 2 x + 2 sin 2 − 2 sin x ⋅ sin 2 + ctg x = 0 ; 2 2

π 4

+ 2πk , k ∈Z;

π

3π 2 π k + , k ∈Z. 20 5

Ответ: − + πk , k ∈Z; 4

6 15). 8cos x − 8cos x − cos x + 1 = 0 ; 4

2

Ответ:

2 2 πk , k ∈Z; π k , k ∈Z. 5 3

16). tg x + tg α + 1 = tg x tg α ; π

π

4

4

Ответ: 1) − − α + π k , k ∈Z при α ≠ 2) при α =

π 4

;

решений нет.

3. Контрольная работа Решить уравнения: 1). 6 sin 2 x + 2 sin 2 2 x = 5 ;

⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2). cos t ⋅ sin ⎜ + 6 t ⎟ + cos ⎜ − t ⎟ ⋅ sin 6t = cos 6t + cos 4t ; ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 3). sin 3x + sin 5 x = 2 (cos 2 2 x − sin 2 3 x ); 4).

sin z − sin 2 z = cos 2 z − cos z ;

5).

⎛π ⎞ tg ⎜ + x ⎟ − ctg 2 x + sin − 2 x ⋅ (1 + cos2 x ) = 0 ; ⎝2 ⎠

6).

cos 2 x + cos 6 x + 2 sin 2 x = 1 ;

7).

1 − cos (π + x ) − sin

8).

sin 4 x + cos 4 x = cos 2 2 x + 0,25 ;

9).

cos z ⋅ cos 2 z ⋅ cos 4 z ⋅ cos 8 z = 1 16 ;

10).

11).

3π + x = 0; 2

cos (3 x − 30 o ) − sin (3 x − 30 o ) ⋅ tg 30 o = ⎧ 2 ⋅ sin x = sin y, ⎨ ⎩ 2 ⋅ cos x = 3 ⋅ cos y.

1 ; 2 ⋅ cos 210 o

⎧⎪ 9 2 tg x +cos y = 3, 12). ⎨ cos y tg x ⎪⎩9 − 81 =2.