有限単純群 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國屋数学叢書 28

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明  (京都大学名誉教授)

鈴木 通夫

有 限 単純 群 紀伊國屋書店

は

し

が

き

 有 限 群 は す べ て単 純 群 を積 み 重 ね て得 られ る.そ こ で単 純 群 は どの よ うな 群 であ ろ うか とい う質 問は,有

限 群 論 の根 本 に あ る重 要 な 問題 で あ っ た.過

去

30年 に わ た る数 多 くの人 達 の努 力 に よ っ て,最 近 つ い に 単純 群 の分 類 定 理 が 証 明 され た.そ の定 理 に よれ ば 有 限単 純 群 は 次 の4種 類 に 分 類 され る.す なわ ち 有 限 単 純 群 は(1)  素 数 位 数 の 巡 回 群,(2)  交 代 群,(3)  Lie型 の群,お

よび

(4)  散在 群 の い ず れ か と同 形 で あ る.   この 定理 に よ り一 般 の 有 限 単純 群 の 性 質 は,上 の4種 類 の 各 場 合 に わ け て調 べ る こ とに よ り解 明 され る こ とが 多 い.一 例 を あ げ て み よ う.有 限 単純 群 をG と し,そ

の 自 己 同形 群Aut

GをAと

お く.こ の 時,外

が 可 解 群 に な る と い う主 張 は 古 くか らSchreierの 分 類 定 理 を つ か えばGが

上の4種

部 自己 同 形 群A/G

予 想 とし て知 られ て い る.

類 の群 の い ず れ か であ る時,A/Gが

に な る こ とを 確 か め れ ば よい.こ れ は 巡 回 群,交 代 群,Lie型

の群,ま

可解 群 たは散

在 群 の各 場 合 に,そ れ ら の群 の 特 別 な 性 質 を つ か って 解 決 され る.こ の よ うに 分 類定 理 か らSchreierの

予 想 の 正 しい こ とが 証 明 され る.(今 の時 点 で は,分

類 定 理 を つ か わ ず に 直 接 この予 想 を証 明 す る た め の 手 がか りは つ か め て い な い.)   分類 定理 は この よ うに単 純 群 の性 質 を調 べ る た め だけ で は な く,一般 の 有 限 群 を調 べ る上 に も今後 の発 展 の基 礎 とな る重 要 な結 果 で あ る.し か しそ の 証 明 は 非 常 に 長 く,非 常 に 難 しい の で,分 類 定 理 の 証 明 の簡 易 化 を は か る こ と,お よび 分 類 定 理 を 利 用 して一般 の 有 限群 の 性 質 を 解 明 す る こ とが 今 後 の有 限 群 論 の 二 つ の 中 心 課 題 であ る と思 わ れ る.そ の た め に は,ま ず 有 限 単 純 群 の性 質 を よ く調 べ る こ とが 必 要 であ る.   そ こ で本 書 では,分 類 定 理 に で て くる有 限 単 純 群 を 定 義 し,そ れ ら の群 の 性 質,特 に そ の単 純 性 を 証 明す る こ とを 目標 と した.巡 れ た 群 で あ る か ら,本 書 で は 主 とし てLie型

回群,交 代 群 は よ く知 ら

の群 お よ び散 在 群 に つ い て 述 べ

た.Lie型

の群 を 定 義 す るに はLie代

数 の分 類 を つか うChevalleyの

方 法に

従 った が,そ の よ うに 定 義 され た 群 と古 典 群 との 関 係 も詳 し く述 べ た.各 散 在 群 の 構 成 に つ い て 詳 し く解 説 す る こ とが で き な か った の は 残 念 で あ るが,第4 章 で 各 散 在 群 の 一 応 の 定 義 とそ の 単 純 性 の 証 明 を 述 べ た.   本 書 を 読 む た め に は 群 論 の 初 歩 の 知 識 が あ れ ば十 分 で あ る よ うに 努 め た.ま ず 第1章 に は 線 形 代 数 の 復 習 を か ね て,基 本 的 な 事 柄 も含 め て 線 形 代 数 と群 論 か ら の準 備 を 解 説 し てあ る.第2章

で は 他 の 書 との 重 複 を で き るだ け 少 な くす

る よ う努 め,一 般 体 上 の ユニ タ リ群 と,標 数2の 体 上 の 直 交 群 に つ い て 詳 し く 述 べ た.   第3章

ではLie代

数 の理 論 を仮 定 す る.し か しそ の 理 論 を 用 い な い で も具 体

的 な場 合 に計 算 を 実 行 し てみ れ ば,理 論 が 示 す よ うな 群 が得 られ る こ とを 確 か め る こ とが で き よ う.Lie代

数 の理 論 を 学 ん で か ら読 み 返 せ ば 更 に 理 解 が 深 ま

るで あ ろ う.   前 の章 の定 理 を 引 用 す る時,定 4.3を 意 味 す る.同

理 Ⅱ4.3と 表 わ し た.こ

れ は 第2章 の 定 理

一 の章 の定 理 や 命 題 を 引 用 す る時 は 単 に 定 理1.2ま

たは

(2.3)な どと書 き,章 の 数 を 表 わ す 記 号 を 省略 し た.   証 明 の終 りを示 す た め に記 号 〓を 用 い た.ま た 同 じ記 号 に よ り定 義 や 注 意 の 終 り,証 明 の略 し て あ る定 理,命 題 の 終 りも表 わ して あ る.

昭和62年6月 鈴

木

通

夫

目

次

は じめに 第1章 

準

備

§1 序 説  

1

 

1  有限単純 群の分類定 理 

1

 

2  Lie型 の単 純群  

2

 

3 群論か らの準備 

3

 

4 置換群,群 の作用 

4

§2  線 形 空 間 と線 形 変 換 群  

5

   

5 9

1 線形空間の基  2 線形変換群 

§3 双 対 空 間  

13

§4 双 線 形 形 式  

15

§5  内 積空 間 と古 典 群  

18 第2章

 古

典

群

§1  交 代 群 の 単純 性  

22

§2  射 影 線 形 変 換 群 の単 純 性  

23

§3  内 積 空 間 の分 類  

32

§4 Wittの

37

定理 

§5 斜 交 群  

41

§6  ユ ニ タ リ群  

45

§7  直 交 群  

55

 

1 2次 形式に よる内積空間 

55

 

2  Wittの 定理  

59

 

3  有限直交群 の位数 

60

 

4  対称 変 換 

62

§8  ク リ フ ォー ド環 

68

§9  直 交 群 の 交 換 子 群 

76

第3章  §1  根 系 

Lie型

の 単 純 群 84

  1  定 義 

84

  2  基 本 系  

86

  3  Weyl群

との 関 係 

88

  4  Weyl群

の基 本 関 係 

92

 

5  根 の 系 列 

93

 

6  根 の 高 さ 

94

§2  複 素 単 純Lie代 §3  単 純Lie代

数 

95

数 の 例 

100

 

1  Al型 

100

 

2  Bl型 

102

 

3  C型 

105

 

4  D型 

106

 

5  E8型 の根 系 

107

 

6  E7型 

109

 

7  E6型 

109

 

8  F4型 

109

 

9  G2型 

109

§4  Chevalley群

の 定 義 

110

 

1  指数 関 数 

 

2  単 純Lie代

110

 

3  Chevalley群

 

4  一般Chevalley群 

115

 

5  Lie代 数 の 表現 

116

 

6  半 単 純Lie代

数 の 包 絡 環 

118

 

7  半 単 純Lie代

数 の 表 現 論 

121

 

8  一 般Chevalley群

 

9  重 み の生 成 す る 格 子 

数 のZ形  の定 義 

の定 義 

111 113

124 126

§5  古 典 型Chevalley群 

127

 1  自 然 表 現 と 随 伴 表 現  のCheaalley群 

130

  3  Bl型

のChevalley群 

130

  4  Cl型

のChevalley群(l≧3) 

131

  5  Dl型

のChevalley群(l≧4) 

132

§6  複 素Chevalley群 

135

  1  準 備 

135

  2  Chevalleyの

公 式 

137

  3  単 項 型 の 元 

138

  4  対 角 型 の 元hr(ζ)の

作 用 

§7  一 般Chevalley群

の 構 造 

  1  Chevalleyの   2  部 分 群Uと

公 式  そ の 構 造 

のTits系 

を も つ 群 

  6  Chevalley群

正 規 化 群 

普 遍Chevalley群 

 1  部 分 群Hの

164 166

  5  有 限Chevalley群

§10 

Steinberg群 

158

160

構 造 

Chevalley群

155

158

  3  fφ の 核 

§9 

150

158

構 造 

  2  普 遍Chevalley群 

  4  Q/Pの

144

152

の 元 の 標 準 形 

  7  部 分 群Uの §8 

143

147

  4  Chevalley群   5  Tits系

141

143

 3  部 分 群HとN 

 

127

  2  Al型

の 位 数  の 単 純 性 

168 170 174

1  定 義 

174

 2  Al型Steinberg群 

177

 3  Dl型

180

§11 

の 古 典 型Steinberg群 

Steinberg群

 1  部 分 群N1,H1お   2  Steinberg群   3  部 分 群H1の

の 構 造  よ びWeyl群W1  のTits系  構 造 

182 182 186 189

 

4  G1/Z(G1)の

単 純 性 

  5  普 遍 型Steinberg群

191 の中 心 

  6  有 限 単 純Steinberg群 §12  そ の 他 のLie型  

195

の 位数 

単 純 群 

196 198

1  例 外 グ ラ フ型 自己 同形 

198

  2  鈴木 群,Ree群,Tits群 

201

  3  標数3のRee群 

205 第4章

  散 在 単 純 群

§1  散 在 単 純 群 の歴 史 

206

§2  散 在 単 純 群 の 位 数 

215

§3  散 在 群 の 単 純 性 

217

§4  Conway群 

224

  1  Mathieu群M24 

224

 

2  Conway群 

230

 

3  Conway群

の単 純 性 

237

文 献 

241

索 引 

242

記

号

表

3

p(V) 

28

Δ+ 

86

G′ 

3

PSL(V) 

28

ad

95

〈X〉 

3

radU 

37

B(h,h′) 

SG(x) 

5

Sp(2m,F) 

42

exp

5

U(h) 

45

xr(t) 

8

SU(h) 

45

Γφ 

127

[x,y] 

￨X￨  dim

V 

x 

α 

95 110 112,114

GL(V) 

10

U(n,q) 

45

P 

127

det

10

O(Q) 

56

Q 

127

SL(V) 

11

T(V) 

68

ωr(ζ) 

139

F# 

11

C(Q) 

68

hr(ζ) 

139

GL(n,F) 

11

φ(空

73

U 

144

V* 

13

G+0 

79

H 

147

At 

15

wr 

84

N 

147

U⊥ 

17

Δ 

84

B 

150

Aut(V,f) 

19

n(r,s) 

84

T(H) 

24

W(Δ) 

84

f 

集 合) 

散 在 単 純 群 の記 号 はpp.215-216の

表 を参 照 され た い.

次 の記 号 は 慣 用 の も の で あ るか ら特 に こ とわ ら な か った. ￨G:H￨ 

部 分 群HのGに

H〓G 

HがGの

お け る指 数

正規 部 分群 で あ る こ と

NG(H) 

部 分 群Hの

正規化群

CG(H) 

部 分 群Hの

中心化群

H×K 

HとKの

Aut

G 群Gの

直積 自己 同 形 全 体 の つ くる群.

第1章  準

  §1 序

備

説

  1. 有 限単 純 群 の分 類 定 理 規 部 分 群 をNと

  有 限 群Gが

おけ ば 商 群G/Nの

な る群{1}お

よび そ れ 自身G/N)だ

る.N=G1と

お い てG1の

与 え られ た 時Gに

含 まれ る極 大 正

正 規 部分 群 は 自明 な も の(単 位 元 だ け か ら け で あ る.す

極 大 正 規 部 分 群 をG2と

なわ ちG/Nは

単純群であ

す れ ばG1/G2は

また 単 純

群 とな る.こ の よ うに して 部 分 群 の列   (1.1)  をGiがGi-1の

G=G0⊃G1⊃G2⊃

…

極 大 正 規 部分 群 とな る よ うに とれ ば,商 群 Si=Gi-1/Gi 

は す べ て 単 純 群 で あ る.部

(i=1,2,…)

分 群 の 列(1.1)はGの

組 成 因 子 と よば れ て い る.群 ば 単 純 群 の 集 合{S1,S2,…}は

組 成 列,単

純 群SiはGの

論 の は じめ に学 ぶJordan-Holderの 与 え られ た 群Gだ

定 理 に よれ

け で 定 ま り,組 成 列 の 取 り方

に は 無 関 係 で あ る.   この よ うに 任 意 の 有 限 群 は 単 純 群 を 積 み 重 ね て で きて い る と考 えられ る.そ こで 単 純 群 が どの よ うな 群 で あ るか,す な わ ち 単 純 群 の 同 形 類 を 分 類 す る こ と が有 限 群 論 の重 要 な 問題 の一 つ とな る.最 近 と うと う次 の 定 理 が 証 明 され この 問 題 が 解 決 され た.   定理1.2 

有 限 単 純 群 は 次 の表 のい ず れ か の群 と同 形 に な る.

Ⅰ   素 数位 数 の 巡 回群, Ⅱ  交 代 群, Ⅲ  Lie型 の単 純 群, Ⅳ  26個 の 散 在 単 純 群.  任 意 の有 限 群 が 与 えられ れ ば そ の組 成 列 に 現 わ れ る単純 群 の 集合 が定 ま るの で,そ れ ら の単 純 群 の性 質 を 用 い て任 意 の有 限 群 の もつ 性 質 を 解 明 す る こ とが で き る と期 待 され る.こ の よ うに 定 理1.2は

一 般 な 有 限 群 の構 造 を調 べ る鍵 と

な る重要 な 結 果 で有 限群 論 の 今後 の発 展 の基 礎 とな る定 理 で あ る.し か し今 の と ころ定 理1.2の

証 明 は 異常 に長 く,現 在(昭 和61年

夏)で も そ の 証 明 の全 部

が 印 刷 され公 表 され て い るわ け で は な い.   そ こで 本 書 で は 定 理1.2の

証 明 に は 全 く触 れ ず,定 理 を 明確 な 形 で 述 べ る こ

とを 目標 と した.す な わ ち 有 限 単 純 群 の 表 に 現 わ れ る群 を 定義 し て,そ れ らが 実 際 に 単 純 群 に な る こ とを 証 明 す る のが 本 書 の 目的 で あ る.  2. Lie型 の単 純 群

 有 限 単 純 群 の表 に 現 わ れ る群 の うち Ⅰお よび Ⅱに 属

す る群 は よ く知 られ て い る群 で あ る か ら あ ら た め て 述べ る ま で も な い.Ⅲ に属 す る群 を 定 義 す るに は 代 数 群 の 概 念 を 用 い るの が 最 も簡 明 で あ ろ う.   定 義1.3 

代 数 的 閉 体 の上 で 定 義 さ れ た 単 純 代 数 群 をGと

す る.Gの

全射

自己 準 同形 σに よ る不 変 元 の 全 体 が つ く る集 合 をGσ とお きGσ が有 限 集合 で あ る と仮 定 す る.こ の 時Gσ の組 成 因 子 に 現わ れ る非 可 換 単 純 群 をLie型

の単

純 群 と い う.   こ の立 場 に た ってLie型

の単 純 群 に つ い て述 べ よ うとす れ ば まず 代 数 的 閉 体

上 の単 純 代 数 群 を 分 類 し,そ

の上 で 各 単 純 代 数 群Gの

ちGσ が 有 限 群 とな る もの を 分 類 す る こ とに な る.本

全 射 自己 準 同 形 σの う 書 で はあ え て こ の方 向 を

と らな か った.一 つ に は,こ の 方 針 に 従 え ば 代 数 群 の 理 論 を 主 とし て 述 べ な く て は な らな い とい うこ とが 理 由 であ るが,そ の 他 に 次 の2点 が あ る.代 数的 閉 体 上 の単 純 代 数 群 は 既 約 根 系 とい うもの に よ り大 別 され る.こ の 時,各 根系 に 対 応 す る単 純 代 数 群 を 構 成 しな くて は な らな い が,そ 応 す るChevalley群

のた め にLie代

を構 成 す る のが 一 つ の方 法 であ る.し

数に対

か も割 合少 な い準

備 の 下 で 群 が 定 義 で き る利 点 が あ る.今 一 つ の 点 は いわ ゆ る古 典 群 との 関係 で あ る.群 論 的 に い え ばGが ろ う.し か し この時Gは2l次

例 えばDl型

の単 純 群 で あ る とい うだ け で十 分 で あ

元 の 線 形 空 間 上 で 定 義 され た 指 数lの2次

形式

を 不 変 に す る直 交 群 か ら,交 換 子 群 を と り,中 心 に よ る商 群 を と る とい う操 作 に よ り得 られ る とい うこ と も証 明 し な くて は な らな い の が 有限 群 論 の立 場 で あ る よ うに 思 われ る.   そ こで 本書 で は まず 古 典 群 を定 義 し,そ れ か らChevalley群,Steinberg群 そ の 他 の変 形 を定 義 す る こ とに し た.し か しLie型

の単 純 群 を理解 す るた め に

は代 数 群 論 の立 場 か ら見 る こ と も重 要 な の で本 書 の あ と代 数 群 の教 科 書 お よび

Steinberg[7]を

あ わ せ て 勉 強 さ れ る こ と を お す す め す る.

  3. 群 論 か ら の 準 備  

群Gの2元x,yが

与 えら れ た 時,そ

の 交 換 子 と呼 ば

れ る 元zを z=xyx-1y-1 と 定 義 し てz=[x,y]と

表 わ す.(こ

順 序 が 違 っ て い る.公

の定義は

『群 論 』 下 で 用 い て い る 定 義 と

式 を 用 い る 時 な ど 注 意 す る 必 要 が あ る.)交

重 要 な 性 質 の 一 つ は 次 の 命 題 で あ る.証   (1.4)  任 意 の 準 同 形 写 像fに

換子 の もつ

明 は 明 ら か で あ ろ う.

つい て

f([x,y])=[f(x),f(y)] が 成 り立 つ.特

にg[x,y]g-1=[gxg-1,gyg-1]が

成 り立 つ.

  交 換 子 を 導 入 す る こ と に よ り積 の 順 序 を 変 え る こ と が で き る.す

なわち

z=[x,y]⇒xy=zyx. こ の よ うに 交 換 子 を 左 に 書 い て 順 序 が 変 わ る がxy=yxz′ て 順 序 を 変 え る こ と も で き る.こ

と右 に 交 換 子 を 書 い

の 場 合z′=[x-1,y-1]で

あ る.群Gの

交換

子 群G′ は G′=〈[x,y]￨x∈G,y∈G〉 と 定 義 さ れ る.こ す.交

こで記 号

〈X〉 は部 分 集 合Xか

ら生 成 さ れ る部分 群 を表 わ

換 子 群 の 重 要 な 性 質 は 次 の 命 題 で あ る.

  (1.5)  群Gの

交 換 子 群 をG′

と お く.G′

は 可 換 群 で あ る.逆

にGの

正 規 部 分 群Nに

と 仮 定 す れ ば,Nは

交 換 子 群G′ を 含 む.す

はGの

正 規 部 分 群 で 商 群G/G′

対 し て 商 群G/Nが

可換 群 で あ る

な わ ち 交 換 子 群 は商 群 が 可換 とな

る 正 規 部 分 群 の うち 最 小 の 群 で あ る.   証 明   (1.4)に

よ り交 換 子 の 共 役 元 は 交 換 子 だ か ら 交 換 子 群 の 生 成 集 合 は 共

役 写 像 に よ り不 変 と な る.し   さて  

た が っ てG′ はGの

と し 自然 準 同 形G→G/Nに(1.4)を

正 規 部 分 群 で あ る. 用 いれば

[x,y]N=[xN,yN] を 得 る.よ る.す

っ てN=G′

な わ ちG/G′

な ら ば 左 辺 は1だ は 可 換 群 で あ る.逆

1に 等 し い か ら[x,y]∈N.す の 交 換 子 群G′ はNに

か らxNとyNと

にG/Nが

可 換 な らば 上 式 の右 辺 が

な わ ち 任 意 の 交 換 子 がNに

含 ま れ る.

は交換可能 であ

含 ま れ る の で,G

 

(1.6)  群Gの

f(G)の

交 換 子 群 をG′

と お く.任

意 の 準 同 形 写 像fに

対 しf(G′)は

交 換 子 群 で あ る.

  証 明   定 義 と(1.4)か

ら 明 ら か で あ る.

  4. 置 換 群,群

  任 意 の 集 合Xの

の作用

で 定 義 さ れ た 全 単 射 で あ る.す つ い て,任

意 のy∈Xに

す る 時pをX上

な わ ちX上

上 で 定 義 さ れ た 置 換 と はXの で 定 義 されXの

対 し てp(x)=yを

の 置 換 と い う.い

値 を と る 関 数pに

み た す 元x∈Xが

まp,qが

上

一意的に存在

共 に 置 換 で あ る 時,積pqを

pq(x)=p(q(x)) と 定 義 す れ ばpqは 違 っ て い る.)こ

ま たX上

の 置 換 と な る.(積

の 積 は 結 合 法 則(pq)r=p(qr)を

み た す の で,X上

全 体 は 上 に 定 義 し た 積 に よ り群 を つ く る.こ 部 分 群 をX上

の 群 を Σ(X)と

の置 換 の

表 わ す.Σ(X)の

の 置 換 群 と い う.

  定 義1.7 

Gを

準 同 形 写 像fが をGの

の 定 義 も 『群 論 』 上 と 順 序 が

任 意 の 群,Xを

任 意 の 集 合 と す る.Gか

与 え ら れ た 時,Gがfに

よ り集 合Xの

ら Σ(X)の

中への

上 に 作 用 す る と い い,f

作 用 と い う.

  こ の 定 義 を 敷 衍 す れ ばfがGのX上 対 し てXの

置 換f(g)が

定 ま り,任

の 作 用 で あ る と い う の は,Gの 意 のx∈Xに

f(g1g2)x=f(g1)(f(g2)x)  が 成 り立 つ こ と で あ る.作 こ の 時GがXに

用fを

元gに

ついて (g1,g2∈G)

省 略 し てf(g)xをgxと

書 く こ と もあ る.

作 用 し て い る とい う の は (g1g2)x=g1(g2x) 

(g1,g2∈G)

が 成 り立 つ こ と で あ る.   定 義1.8 

群Gが

集 合Xに

作 用 し て い る と す る.Xの

部 分 集 合Yが

g∈G,y∈Y⇒gy∈Y を み た し て い る 時YをG不

変 な 部 分 集 合 と い う.空

不 変 部 分 集 合 で あ る時YをG軌 GはXに

道 と い う.集

合X自

集 合 で な いYが 身 がG軌

道 で あ る 時,

可 移 に 作 用 す る と い う.

  こ の 定 義 か ら 次 の 命 題 が 成 り立 つ.   (1.9) 群Gが (a)  YをG軌

集 合Xに

作 用 し て い る と仮 定 す る.

道 と しy∈Yと

す れ ばY={gy￨g∈G}が

極 小 のG

成 り立 つ.

(b)  XはG軌

道 の 直 和 に 分 解 す る.

  証 明   YをG軌 gyはYの

道 と しy∈Yを

元 で あ る.よ

定 め る.定

っ て{gy}⊂Y.と

義 に よ り任 意 のg∈Gに

こ ろ で 任 意 のh∈Gに

つい て

対 し

h(gy)=(hg)y が 成 り立 つ か ら{gy￨g∈G}はG不 か ら(a)が   (a)に

変 で あ る.Yは

極 小 なG不

変部分集合だ

成 り立 つ. よ り二 つ のG軌

道 は 一 致 す る か,ま

は 互 い に 共 通 元 を 含 ま な いG軌   群Gが

集 合Xに

た は 共 通 元 を 含 ま な い.よ

っ てX

道 の 和 集 合 と な る.

作 用 し て い る 時,任

意 の 元x∈Xに

つい て

SG(x)={g￨gx=x} とお く.明

ら か にSG(x)はGの

と い う.SG(x)をGxと   (1.10)  x,そ

部 分 群 を つ く る.こ

の 部 分 群 をxの

安定化群

表 わ す こ と も あ る.

群Gが

有 限 集 合X上

の 安 定 化 群 をHと

に 可 移 に 作 用 し て い る と 仮 定 す る.Xの

お け ばHの

指 数 はXの

元 数 に 等 し い .す

元を

なわち

H=SG(x)⇒￨G:H￨=￨X￨. (有 限 集 合Xに

含 ま れ る 元 の 数 を 表 わ す た め に 記 号￨X￨を

  証 明   仮 定 に よ りGはXに よ っ て(1.9)(a)に y=gxを

可 移 に 作 用 し て い る か らXはG軌

よ りX={gx}と

み た すGの

元gが

用 い る.)

な る.そ

あ る.さ

こ で 任 意 にy∈Xを

道 と な る. とれ ば

て

gx=hx⇔h-1gx=x⇔h-1g∈SG(x) が 成 り立 つ.よ

っ てy=gx→gHはXの

対 応 を 与 え る.す

な わ ち(1.10)が

  (1.11)  群Gが

集 合Xの

元 とHの

剰 余 類 と の 間 の1対1

成 り立 つ.

上 に 作 用 し て い る と す る.こ

の時

SG(gx)=gSG(x)g-1 が 成 り立 つ.   証 明   h∈SG(gx)⇔hgx=gx⇔g-1hg∈SG(x).

  §2  線 形 空 間 と 線 形 変 換 群   1. 線 形 空 間 の 基

  本 書 で 取 り扱 う線 形 空 間 は 主 と し て 有 限 次 元 の も の で

あ るが 係 数 体 は 任 意 の 体 と し て よ い.特

に 有 限 体 を 係 数 体 とす る線 形 空 間 が 重

要 とな る.   線 形 空 間Vの

係 数体 をFと

お く.Vの

係 数 とす るSの

元 の一 次 結 合 Σaisi 

の全 体 はVの

部 分 集 合Sが

元を

(ai∈F,si∈S)

部 分 空 間 をつ くる.そ れ をUと

間 とい う.UがSか

与 え られ た 時Fの

お き,Sか

ら生 成 され る部 分空

ら生 成 され る こ とを記 号 U=〈S〉

を 用 い て 表 わ す こ とに す る.UはSを

含 む最 小 の 部 分 空 間 で あ る,特 に

V=〈S〉   と な る 時Vは Vの

(Sは 有限集 合)

有 限 次 元 で あ る と い う.部

任 意 の 元 が Σaiυi(ai∈F)と

分 集 合B={υ1,υ2,…,υn}が

あ って

一 意 的 に 表 わ せ る 時,BをVの

基 と い う.

表 わ し方 が 一 意 的 に 定 ま るか ら Σbiυi=0(bi∈F)⇒b1=b2=…=bn=0

が 成 り立 つ.す

なわ ち,基

の 元 は一 次 独 立 で あ る.逆

の元 が 一 次 独 立 であ れ ばBはVの

基 であ る.次

にVを

生 成 す る集 合B

の 定 理 が 線 形 空 間 の基 に 関 す

る最 も重 要 な命 題 で あ る.   定 理2.1 

有 限 次 元 の線 形 空 間 は基 を もっ てい る.い ま {υ1,…,υn}, 

が 共 に空 間Vの

{u1,…,um}

基 で あ る と仮 定 す れ ばn=mと σ(υi)=ui 

を 満 足 す るVの(Fに υ2,…,υkがF上

(i=1,2,…,n)

関 す る)線 形 写 像 σ が 唯 一 つ 存 在 す る.空

一 次 独 立 で あ れ ばk≦nでVの

の 基{υ1,…,υn}を

の 一 次 結 合w1,…,wmが

任 意 の(Vの

  n=1の a2=…=0と

元 υ1,

追 加 し てV

基 と は 限 ら な い)集 合 とす る.こ

与 え ら れ た 時m>nな Σaiwi=0 

れ ら の元

らば

(ai∈F)

な く と も 一 つ の 係 数aiが0で

在 す る こ と をnに

元 υk+1,…,υnを

間Vの

つ く る こ とが で き る.

  証 明   {υ1,…,υn}を

を み た し,少

な り,す べ て のiに つ い て

な い よ うなFの

元a1,…,amが

関 す る 帰 納 法 に よ り証 明 し よ う.

場 合 はw1=aυ1,w2=bυ1,… す れ ば よ い.ま

た

と な る.こ  

の場合は

こ でw1=0な

ら ばa1=1,

存

と す れ ば よ い.n>1の

と 仮 定 す る.こ で な い.添 の 元ciを

場 合 もwm=0な

ら ばam=1と

の 時wm=b1υ1+…+bnυnと

す れ ば 各wi-ciwmは 定 に よ りFの

と仮 定 し て よ い.さ

お け る υnの 係 数 を0に υ1,…,υn-1の

元a1,…,am-1が

こで

書 け て 少 な く と も 一 つ の 係 数 は0

数 を つ け か え て も よい か ら   選 ん でwi-ciwmに

で き る.そ

て 適 当 にF

す る こ と が で き る.そ

一 次 結 合 と な る.し

う

た が って 帰 納 法 の仮

あ って Σai(wi-ciwm)=0

が 成 り立 ち,少

な く と も 一 つ の 係 数aiは0で

な い.上

a1w1+…+am-1wm-1+amwm=0 

式 の左 辺 は

(am=-Σaici)

と書 き換 え られ るか ら始 め に 述 べ た命 題 の成 り立 つ こ とが証 明 され る.   こ の命 題 の特 別 の場 合 と し て{υ1,…,υn}がVの

基 な らば,Vの

独 立 な元 集 合 は 高 々n個 の元 しか 含 ん で い な い こ とが わ か る.し の部 分 集 合{u1,…,um}もVの   仮 定 に よ り線 形 空 間Vは

基 な らばm=nで 有 限 集 合Tか

集 合 の うちVを

生 成 す る最 小 の も の をBと

明 し よ う.Vの

任 意 の元 はBの

中 の一 次 た が ってV

あ る.

ら生 成 され て い る.そ こでTの お く.BがVの

部分

基 で あ る こ とを 証

元 の 一 次 結 合 とし て 表 わ され るか ら そ の 表 わ

し方 が 一 意 的 に 定 ま る こ とを 示 せ ば よ い.そ こ で

(ai∈F,bi∈F)と B-{υi}に

B={υ1,…,υn}

お け ば Σ(ai-bi)υi=0と

な る.こ

含 ま れ る 元 の 一 次 結 合 とな り,し

合 と な る.こ ai=biが

υ=Σaiυi=Σbiυi, 

れ はBが

う.こ

成 り立 つ.よ

っ てBはVの

た が っ てB-{υi}がVの

生成集

生 成 す る部 分 空 間 をUと

含 ま れ ぬVの

ついて

基 で あ る.

一 次 独 立 な 元 集 合 で あ れ ばk≦nで

こ で{u1,…,uk}が の 時Uに

な ら ば υiが

最 小 で あ る と い う仮 定 に 反 す る か ら す べ て のiに

  さ て{u1,…,uk}が た.そ

こで  

あ る こ とは 前 に 述 べ

お き, 

元 を 一 つ と りそ れ をuk+1と

と仮 定 し よ

おけば

a1u1+…+akuk+ak+1uk+1=0⇒ak+1=0 が 成 り 立 つ.(  ち,u1,…,uk,uk+1は

な ら ばuk+1がu1,…,ukの 一 次 独 立 でk+1≦nと

一 次 結 合 に な る.)す な る.こ

なわ

の 過 程 を 繰 り返 し て い け

ばVの

基{u1,…,un}が

  空 間V上

のF線

得 ら れ る.

形 写 像 は 基 の 元 で の 値 に よ り定 ま る.す υ=Σaiυi(ai∈F)⇒

σ(υ)=Σaiσ(υi).

し た が っ て σ(υi)=ui(i=1,2,…,n)を 逆 に σ(υi)=uiが w=Σbiυiと

満 足 す る 線 形 写 像 σ は 一 意 的 に 定 ま る.

与 え ら れ れ ば 上 式 に よ り σ がV全

すれば

αυ+βw=Σ(αai+βbi)υiだ σ(αυ+βw)=α

が 成 り立 ち σはVのF線

Vと

体 で 定 義 さ れ る.い

ま

か ら

σ(υ)+β σ(w)

形 写 像 とな る.す なわ ち σ が一 意 的 に 定 ま る.

  有 限 次 元 の 線 形 空 間Vの い い,dim

なわち

基 をBと

書 く.次 元 はVだ

す る.Bの

元 数n=￨B￨をVの

け で 定 ま り基Bの

次元 と

取 り方 に は 依 存 し ない

(定理2.1).   系  有 限体F上n次

元 の 線 形 空 間 をVと

す る.Fがq元

体 な らば

￨V￨=qn.   証 明   い ま{υ1,…,υn}をVの 的 に 書 け る.各

係 数aiは

基 とす れ ばVの

元 は Σaiυi(ai∈F)と

任 意 に 選 べ る か ら￨V￨=qnと

一意

な る.

  部 分 空 間 の 次 元 に つ い て 次 の 関 係 が 成 り立 つ.   (2.2) 

dim

U+dim

W=dim(U∩W)+dim(U+W).

こ こ でU+Wは{U,W}が   証 明   U∩Wの

生 成 す る 部 分 空 間 で あ る. 一 つ の 基{υ1,…,υr}を

と りそ れ をUの

基

{υ1,…,υr,u1,…,us}

に 拡 張 す る.ま

たWの

基{υ1,…,υr,w1,…,wt}に

の 時B={υ1,…,υr,u1,…,us,w1,…,wt}と と を 証 明 し よ う.U+Wの らBがU+Wを

元 はUの

お け ばBがU+Wの 元 とWの

と仮 定 す れ ば Σbjuj=-Σaiυi-Σckwk∈U∩Wを の 基 だ か ら す べ て の 係 数 が0と

な りBの

基 と な りdim(U+W)=r+s+tを

れr+s,r+tだ

か ら(2.2)が

  部 分 空 間Uの

基{u1,…,uk}をVの

基 とな る こ

元 との 和 と し て表 わ され る か

生 成 し て い る こ とは 明 ら か で あ る.そ Σaiυi+Σbjuj+Σckwk=0 

はU+Wの

拡 張 す る こ と も で き る.こ

こで

(ai,bj,ck∈F)

得 る.さ

て{υi}がU∩W

元 は 一 次 独 立 で あ る.し 得 る.U,Wの

た が っ てB 次元はそれ ぞ

成 り立 つ. 基{u1,…,uk,w1,…,wl}に

拡 張 した

とす る.こ

の 時W=〈w1,…,wl〉

と直 和 分 解 され る.こ

と お け ばVは

の 時WをUの

補 部 分 空 間 とい う.一 般 にUの

補 部分

空 間 は 沢 山 あ って一 意 的 に は定 ま ら な い.   (2.3)  線 形 空 間Vの の時U1,U2に

部 分 空 間U1とU2が

共 通 の補 部 分 空 間Wが

が 成 り 立 つ よ う な 部 分 空 間Wが   証 明   U1∩U2の 拡 張 す る.ま

存 在 す る.

一 つ の 基{x1,…,xr}をU1の

たU2の

基{x1,…,xr,y1,…,ys}に

基{x1,…,xr,z1,…,zt}に

同 次 元 だ か らs=tと そ れ にVの

同一 次 元 で あ る と仮 定 す る.こ

存 在 す る.す な わ ち

な る.(2.2)に

元ws+1,…,wmを

も 拡 張 で き る が,U1とU2が

よ り{xi,yj,zk}はU1+U2の

加 え てVの wi=yi+zi 

基 をつ

基 だ か ら

く る こ と が で き る.そ

こで

(i=1,2,…,s)

と 定 義 し てW=〈w1,…,ws,ws+1,…,wm〉

と お く.こ

のWが

共通 の補部分

空 間 で あ る こ と を 証 明 し よ う.   U1+Wはxi,yj,wkを

含 む か ら す べ て のzjも

こ で{xi,yj,wk}が

含 みU1+W=Vと

一 次 独 立 で あ る こ と を 示 そ う.さ Σaixi+Σbjyj+Σckwk=0 

と仮 定 す る.w1,…,wsに

らk=mま

で の 和 で あ る .こ

だ か ら す べ て の 係 数 が0と が 成 り立 つ.同

て

(ai,bj,ck∈F)

そ れ ぞ れy1+z1,…,ys+zsを

代 入 し て 左 辺 を 書 き替

え れ ば Σaixi+Σ(bj+cj)yj+Σclzl+Σ′ckwk=0を k=s+1か

な る.そ

得 る.こ

こで 最 後 の 和 は

の 左 辺 に 現 わ れ るVの

な り{xi,yj,wk}は

一 次 独 立,し

様に第二の直和分解

元 は一 次 独立

た が っ て 直 和 分 解 

 

が 成 り立 つ こ と

も証 明 され る.   2. 線 形 変 換 群

  線 形 空 間V上

て 述 べ る 時 は 常 にVの 元 な ど)と

係 数 体Fが

の 線 形 写 像(ま 基 礎 に あ っ てFに

い うべ き と こ ろ で あ る が,係

た は 基,次

 (2.4) 

の 線 形 写 像f,gが

つい

数 体 は 定 ま って い るの で 略 し て単 に線

形 写 像 と い う こ と が 多 い.   さ てV上

元 な ど)に

関 す る 線 形 写 像(基,次

与 え ら れ た 時fとgと (fg)(x)=f(g(x))

の 積fgを

に よ り定 義 す る.f,gと  線 形 空 間V上

共 にfgもV上

の線 形 写 像 で あ る.

で 定 義 され た 可 逆 な 線 形 写 像 全体 の 集 合 をGL(V)と

表わ す.

明 らか に σ,τ ∈GL(V)⇒

が 成 り立 つ.し い る.こ

σ-1,σ τ∈GL(V)

た が っ てGL(V)は(2.4)で

定 義 され た 積 に よ り群 を つ く っ て

の 群 を 一 般 線 形 変 換 群 と い い,記

号GL(V)は

この群 を表 わ す もの と

定 め る と 線 形 写 像fを(n,n)型

の 行 列 に よ り表 現 で き

規 約 す る.   Vの

一 つ の 基{υi}を

る こ と は よ く知 ら れ て い る.す  (2.5) 

f(υj)=Σaijυi 

に よ り(n,n)型 る(ま

なわ ち

の 行 列(aij)を

た はfを

(j=1,2,…,n)

表 現 す る)行

定 義 し,Mf=(aij)と 列 と い う.逆

列 と す れ ば(2.5)に

よ り線 形 写 像fを

の 最 終 段 階 参 照).こ

の 時Mfの

  線 形 写 像f,gに

お く.Mfをfに

にM=(aij)を

任 意 の(n,n)型

定 義 す る こ と が で き る(定 理2.1の

定 義 に よ りM=Mfと

対 応 す る 行 列 を そ れ ぞ れMf,Mgと

 (2.6) 

対応す の行 証 明

な る. おけば

Mfg=MfMg

の 成 り立 つ こ とが 容 易 に 確 か め られ る.こ の 右 辺 は 行 列 の 積 で あ る.   (2.7)  基{υi}に

つ い て写 像fを 表 現 す る行 列 をMf,別

てfを 表 現 す る行 列 をNfと

S=(sij),υj=Σsijui 

とお け ばNf=SMfS-1が

そ れ ぞ れ(2.5)お

つい

(j=1,2,…,n)

成 り立 つ.

  証 明   基 の 逆 変 換 行 列 を(tij)と Nfは

の 基{ui}に

お く.基 の変 換 行 列 を

お け ばuj=Σtijυiと

よ びf(uj)=Σbijuiに

な る.行

列Mfお

よび

よ り定 義 さ れ る か ら

Σbijui=f(uj)=Σtijf(υi)=Σtijakiυk

が 成 り立 つ.ゆ

え にTNf=MfTを

得 る.

  線 形 写 像fに 対 応 す る行 列Mfは 式det

Mfは

基{υi}の

取 り方 に よ って変 わ るが,行 列

基 の取 り方 に は無 関係 にfだ け で 定 ま る(2.7).そ

こで 任 意 の 線

形 写 像fに 対 し そ の行 列式 を det f=det と定 義 す る.行

列 式 の 性 質 お よ び(2.6)に

Mf よ り写 像f→det

fはGL(V)か

らFの

非 零 元 の つ くる乗 法 群(こ

の乗 法 群 をF#と

の準 同 形 写 像 とな る.こ の 写 像detの 今 後 記 号SL(V)は

核 をSL(V)と

書 き線 形 変 換 群 とい う.

常 に 線 形 変 換 群 を 表 わ す も の と規 約す る. SL(V)={σ￨σ

写 像detはF#の

表 わ す こ とに す る)の 中へ

∈GL(V), 

det

σ=1}.

任 意 の 元 を値 に とる こ とが で きる の で次 式 が 成 り立 つ.

 (2.8)

 空 間Vの

基{υ1,…,υn}を

でき る.す

な わ ちVの

定 め る とVの

元 υ=Σaiυiに

元 を 縦 ベ ク トル で 表 現 す る こ と が

係数aiの

つ く る 縦 ベ ク トル

a=t(a1,…,an)

を 対 応 さ せ る の で あ る.線

形 写 像fの

基{υi}に

f(υ)に 対 応 す る 縦 ベ ク トル はMfaで

あ る.こ

よ る 行 列 表 現 をMfと

おけば

れは

f(υ)=Σajf(υj)=Σajaijυi=Σ(Σaijaj)υi

か ら 明 ら か と な る.   (n,n)型

の 行 列Mはn個

よ うに 見 れ ばMfの Mfの

の 縦 ベ ク トル の 集 ま り と 見 る こ と が で き る.こ

第i列

はf(υi)に 対 応 す る 縦 ベ ク トル で あ る.し

列 ベ ク トル が 一 次 独 立 な ら ば{f(υi)}が

え にfは

可 逆 で 

を 得 る.こ

で あ る と 仮 定 す れ ば(列 ら)行

一 次 独 立 でVの

れ に 反 しMfの

の

た が って

基 と な る.ゆ

列 ベ ク トル が 一 次 従 属

ベ ク トル の 一 つ が 他 の 列 ベ ク トル の 一 次 結 合 と な る か

列 式 の 基 本 性 質 に よ りdet

Mf=0と

な る.し

た が って

 (2.9)

が 成 り立 つ.体Fの

元 を 成 分 と す る(n,n)型

の 行 列 で そ の 行 列 式 が0で

も の の 全 体 は 行 列 の 乗 法 に よ り群 を つ く る.こ 像 σ

→Mσ

はGL(V)か

はGL(V)とGL(n,F)と

  注 意   (2.9)は 1次 方 程 式

らGL(n,F)の

の 間 の 同 形 写 像 で あ る(2.9).す

連 立1次

表 わ す.写

中 へ の 準 同 形 で あ る が(2.6),そ

れ

なわ ち

方 程 式 の 理 論 に お け る 次 の 定 理 と 同 値 で あ る.す

Σaijxj=0(i=1,2,…,n)はdet(aij)=0の

解(x1,x2,…,xn)を

の 群 をGL(n,F)と

ない

な わ ち,連

立

時 か つ そ の 時 に 限 り自明 で な い

も っ て い る.

  定 理2.10 

SL(V)の

  証 明   Vの

基{υi}を

中 心 は{υ 一 つ定 め る と

→ σ

λυ}(λ ∈F#,λn=1)で →Mσ

に よ りSL(V)は

あ る. 行 列 式 が1

に 等 し い 行 列 の つ く る群 と 同 形 に な る.そ 行 列 を Σaijeijと SL(V)の

行 列 単 位eijを

こ でSL(V)の

用 い て 表 わ す.い

中心の元に対応す る

ま 

とす れ ばI+eklは

元 に 対 応 す るか ら (Σaijeij)(I+ekl)=(I+ekl)(Σaijeij)

を 得 る.両 辺 を くらべ れ ば

が 成 り立 っ て い る.k,lは

任 意 に と れ る か ら,SL(V)の

応 す る 行 列 は λIと い う形 を し て い る.逆 SL(V)の

に そ の よ うな 行 列 は λn=1な

らば

中 心 の 元 に 対 応 し て い る こ と は 明 ら か で あ ろ う.

  い ま{υi},{ui}をVの GL(V)の

二 つ の 基 と す れ ばui=σ

元 σ が 存 在 す る(定 理2.1).し

の 集 合 に 可 移 に 作 用 し て い る.と のuiを

中 心 に 含 まれ る 元 に 対

υi(i=1,2,…,n)を

た が っ てGL(V)はVの

こ ろ でn≧2な

満足す る 零以 外 の 元

ら ばunだ

け λunに 変 え,他

動 か さ な い 線 形 写 像 ρを とれ ば ρの 行 列 式 は λ で ρσ(υ1)=u1

を 満 足 し て い る.よ   (2.11)  が1よ

っ て ρσ をSL(V)の

元 に と る こ とが で き る.

一 般 線 形 変 換 群GL(V)はV-{0}に

可 移 に 作 用 す る.Vの

り大 き け れ ばSL(V)もV-{0}に

  最 後 に 有 限 体 上 のGL(V)の   定 理2.12 

係 数 体Fが

次元

可 移 に 作 用 す る.

位 数 を 計 算 し よ う. 有 限 体 で￨F￨=q,dim

V=nと

すれば

￨GL(V)￨=(qn-1)(qn-q)…(qn-qn-1) ￨GL(V):SL(V)￨=q-1.

  証 明   {υ1,…,υn}を

一 つ の 基 と す れ ば 任 意 の σ∈GL(V)に {σ υ1,σ υ2,…,σ

は ま たVの

基 で あ る.逆

すGL(V)の Vの

つ いて

υn}

に{u1,…,un}がVの

基 で あ れ ば σ(υi)=uiを

元 σ が 唯 一 つ 存 在 す る(定 理2.1).し

た が っ てGL(V)の

みた

位数は

も つ 相 異 な る 基 の 数 に 等 し い.

  基{υ1,…,υn}を

選 ぶ に 当 っ て υ1,…,υiま

ば υi+1は{υ1,…,υi}の υi+1はqn-qi通  注 意   ￨GL(n,q)￨を

で す で に 選 ん で あ る と仮 定 す れ

一 次 結 合 に な ら な い 任 意 の 元 と し て よ い.ゆ

りの 取 り方 が あ る.よ

っ て 定 理 が 成 り立 つ.

割 るqの ベ キは 丁 度qn(n-1)/2で

あ る.

えに

 §3  双 対 空 間  係 数 体F上

のn次

の 集合 をV*と

元 線 形 空 間 をVと

お く.Vか

らFの

中への線形写像全 体

お く.す なわ ち

V*=HomF(V,F). い ま,f,g∈V*と

お け ばFの

 (3.1) 

加 法 に よ りV*はFを 間 とい う.記

ま たV*の

元 と な る こ とが 容 易 に 証 明 さ れ る.こ

係 数 体 とす る 線 形 空 間 と な る.こ

号V*は

常 にVの

基{υ1,…,υn}を

に υiの 係 数aiを

の 空 間 をVの

の

双 対空

双 対 空 間 を 表 わ す も の と 規 約 す る.

Vが 有 限 次 元 な ら ばdim

  証 明   Vの 時,υ

α,β に つ い て αf+βgを

(αf+βg)(υ)=αf(υ)+βg(υ)

と 定 義 す れ ば αf+βgは

  (3.2) 

任 意 の元

V*=dim

Vが

一つ 定 め る.Vの

成 り立 つ. 元 υ を υ=Σaiυiと

対 応 させ る写 像 をdiと

お く.す

書いた

なわ ち

υ=Σaiυi⇒di(υ)=ai

と す れ ばdiはV*の V*の

元 で あ る こ と が す ぐ証 明 さ れ る.そ

基 と な る こ と を 証 明 し よ う.ま

ずV*の

こ で{d1,…,dn}が

任 意 の 元fを

とれ ば

f=Σf(υi)di と な る.こ

れ はf(υ)=Σaif(υi)=Σf(υi)di(υ)か

{di}はV*を

生 成 し て い る.さ

ば 任 意 のkに

ら 明 ら か で あ る.し

て Σbidi=0(bi∈F)が

つ い て Σbidi(υk)=0と

な る.と

たが って

成 り立 つ と 仮 定 す れ

こ ろで

(*) だ か ら 上 式 か らbk=0を と な る.よ

っ てdim

得 る.し V*=dim

Vが

  上 の 証 明 に 出 て 来 たV*の い う.双 対 基 は 上 の(*)式   空 間Vの こ の 時,公 い る.こ

元 υ はV*の 式(3.1)は

た が っ て{d1,…,dn}は

基{d1,…,dn}をVの

基{υ1,…,υn}の

らFの

こ ろ で 任 意 のf∈V*に φ(αυ+βw)(f)=f(α

が 成 り立 つ か ら φ(αυ+βw)=α

双対基 と

元 集 合 と し て 特 長 づ け ら れ る.

任 意 の 元fをf(υ)∈Fに

の 写 像 を φ(υ)と お け ば φ はVか

像 で あ る.と

基

成 り立 つ.

を み た すV*の

υ がV*か

一 次 独 立 でV*の

うつ す 写 像 と 考 え ら れ る.

中 へ の 線 形 写 像 で あ る こ と を示 し て らV*の

双 対 空 間V**の

中への写

つい て υ+βw)=αf(υ)+βf(w)

φ(υ)+β φ(w)と

な る.し

た が っ て φ はVか

ら

V**の

中 へ の 線 形 写 像 で あ る.い

てf(υ)=0,す はVか

な わ ちυ=0と

らV**の

をV*の

ま φ(υ)=0な

な る.よ

ら ば す べ て のf∈V*に

っ て φ は 単 射 で,次

上 へ の 同 形 写 像 と な る.こ の よ うにVが

双 対 空 間 と 同 一 視 す る こ とが で き る.Vの

とす れ ばV*の

基{di}の

双 対 基 は(V**をVと

つい

元 が 等 しい か ら φ 有 限 次 元 の 場 合 はV

基{υi}の

双 対 基 を{di}

同 一 視 し た 時){υi}と

一致

す る.   定 理3.3 

有 限 次 元 の 線 形 空 間Vの

に 含 ま れ て い な いVの の 元fが

部 分 空 間 をU,U*の

一 つ の 元 を υ と す る.こ

存 在 す る:f(υ)=1で,さ

ら にUの

の 時,次

任 意 の 元 を μ,U の 条 件 を 満 足 す るV*

上 でf=μ,す

なわ ち

u∈U⇒f(u)=μ(u).   証 明   Uの

基{u1,…,um}を

と りum+1=υ

選 ん で{u1,…,un}がVの un}の

と お く.さ

基 と な る よ う に で き る(定

双 対 基 を{d1,…,dn}と

ら にum+2,…,unを

理2.1).こ

の 基{u1,…,

し

f=μ(u1)d1+…+μ(um)dm+dm+1

と お け ばfが

求 め る 元 で あ る.um+1=υ

ui(i≦m)に

つ い てf(ui)=μ(ui)di(ui)=μ(ui)と

Uの

基{u1,…,um}の

だ か らf(υ)=dm+1(υ)=1.ま な る.し

た任 意 の

た が っ てfと

各 元 に つ い て 一 致 す る か ら,U全

μ とは

体 で 一 致 しf=μ

と

な る.   線 形 空 間Vか

ら 線 形 空 間Wの

写 像 φ*:W*→V*を  (3.4) 

中 へ の 線 形 写 像 φ が 与 え ら れ た時 φ の 双 対

次 の よ うに 定 義 す る. φ*(f)(υ)=f(φ(υ)) 

任 意 の 元f∈W*に

(f∈W*,υ

対 し て φ*(f)はV*の φ*(αf+βg)=α

φ*(f)+β

が 成 り立 つ こ と も 容 易 に 証 明 さ れ る.し す 線 形 写 像 で あ る.ま

Wの

元 とな り φ*(g) 

(f,g∈W*)

た が っ て φ*はW*をV*の

中 に うつ

た 次 の 公 式 も 成 り立 つ.

(αφ+β

 い まVの

∈V).

ψ)*=α

基{υ1,…,υn}お

φ*+β

よ びWの

ψ*, 

(φ θ)*=θ*φ*.

基{w1,…,wm}を

定 め た 時Vか

ら

中 へ の 線 形 写 像 φ に 対 応 す る 行 列A=(aij)を φ(υj)=Σaijwi 

に よ り定 め る.こ

の 時V*,W*に

(j=1,2,…,n)

そ れ ぞ れ 双 対 基{di},{ei}と

を れ ば,双

対

写 像 φ*を 表 現 す る 行 列B=(bij)は φ*(ej)=Σbijdi 

と定 義 さ れ る.双

(j=1,2,…,m)

対 写 像 の 定 義(3.4)に

よ り

φ*(ej)(υk)=ej(φ(υk))=ajk.

一方

,(Σbijdi)(υk)=bkjと

列Aの

な る.す

な わ ちBはAの

転 置 行 列 で あ る.以

下行

転置行列を記号

tA を用 い て表 わ す.

  §4  双 線 形 形 式   係 数 体 がFの

線 形 空 間 をVと

す る.体Fの

定 義 され た(θ に 関 す る)半 双 線 形 形 式(単

自己 同 形 θが与 え られ た 時Vで に形 式 とい うこ と もあ る)と は

f:V×V→F つ ま りV上

で定 義 され,値 をFに

と る2変 数 の 関 数 で 次 の 条件

f(u1+u2,υ)=f(u1,υ)+f(u2,υ)  (4.1)

f(u,υ1+υ2)=f(u,υ1)+f(u,υ2) f(αu,β υ)=α θ(β)f(u,υ) 

(α,β ∈F)

を満 足 し てい る も の で あ る.θ が恒 等 写 像 の時,fを  本 書 で は形 式fの

定 義 され る空 間Vは

 任 意 のu,υ ∈Vに

双 線 形 形 式 と い う.

有 限 次 元 と仮 定 す る.

ついて f(u,υ)=f(υ,u)

が 成 り立 つ 双線 形 形 式fを

対 称 形 式,ま

た任 意 のu∈Vに

つ いて

g(u,u)=0 を み た す 双 線 形 形 式gを 交 代 形 式 とい う.体Fの して い る時,θ に 関す る半 双線 形 形式hに

自己 同形 θが θ2=1を み た

ついて

h(u,υ)=θ(h(υ,u))

が す べ て のu,υ 形 式)と

い う.こ

∈Vに

対 し 成 立 す る 場 合hをHermite形

の3種

  (4.2)  交 代 形 式gは

の 形 式 が 重 要 で あ る. 次 の 式 を み た す.

g(u,υ)=-g(υ,u) 

(u,υ

∈V).

武(略

し て 単 にH

係 数 体Fの

標 数 が2で な け れ ば 上 式 を み た す 双 線 形 形 式gは 交 代 形 式 であ る.

  証 明  gが 交 代 形 式 で あ る と仮 定 す れ ばg(u+υ,u+υ)=0が

任 意 のu,υ

に

つ い て成 立 す る.双 線 形 形式 の条 件 式(4 .1)を 用 い て g(u,u)+g(u,υ)+g(υ,u)+g(υ,υ)=0

を 得 る.最 Fの

初 と 最 後 の 項 は0だ

標 数 が2で

か らg(u,υ)+g(υ,u)=0が

な い 時 は(4.2)の

式 に お い てu=υ

成 り立 つ.係

数体

とお け ば

2g(u,u)=0 が 得 られ る.し た が っ てgは 交 代 形 式 で あ る.   線 形 空 間Vに 一 つ の基 を定 め る と半 双 線 形 形 式fに の よ うに 定 め る こ とが で き る.い ま{υ1,…,υn}をVの Af=(aij), 

とお い てAfをfに

次

aij=f(υi,υj)

対 応 す る行 列(ま た はfの 行 列 表 示)と い う.さ て u=Σxiυi, 

をVの2元

対 応 す る行 列Afを 基 とし

と す れ ばf(u,υ)の

υ=Σyiυi

値 は(4.1)を

用い て

f(u,υ)=Σaijxiθ(yj)

と表 わ され るか らfは 行 列Afに Vの 元uに

そ の"座 標"xiか

よ り完 全 に定 め ら れ る.§2で

述 べ た よ うに

らな る縦 ベ ク トル 〓を対 応 させ れ ば

こ こ で θ(〓)はt(θ(y1),…,θ(yn))を 表 わ し て い る.   形 式fの

行 列 表 示 はVの

{u1,…,un}に

つ い てfに

基 を 変 え れ ば 次 の よ うに 変 換 さ れ る.い 行 列Bが

対 応 し た とす れ ば

B=tTAfθ(T).

こ こ でT=(tij)は   定 義4.3 

基 の 変 換 式uj=Σtijυiの

半 双 線 形 形 式fが

次の条件

す べ て の υ∈Vに を 満 足 し て い る 時,形   定 理4.4 

形 式fに

式fは

つ い てf(u,υ)=0⇒u=0

非 退 化 で あ る と い う.

関 す る 次 の3条

(1)  形 式fは

非 退 化 で あ る.

(2)  形 式fに

対 応 す る行 列Afが

(3)  す べ て のu∈Vに

行 列 で あ る.

件 は 同 値 で あ る.

正 則 で あ る.す

つ い てf(u,υ)=0⇒

υ=0.

なわ ち

ま他 の基

  証 明   Vの

基{υ1,…,υn}を

 (1)⇒(2) 

Afが

定 めfに

対 応 す る 行 列 を(aij)と

正 則 で な い と 仮 定 す れ ば 連 立1次 Σaijxi=0 

は 自 明 で な い 解(x1,…,xn)を 元 υ=Σyiυiに ら 形 式fは

方程式

(j=1,2,…,n)

も っ て い る.そ

こ でu=Σxiυiと

つ い てf(u,υ)=Σaijxiθ(yi)=0と

退 化 し て い る.し

お く.

た が っ てfが

な る.と

おけば任意 の こ ろ で 

だか

非 退 化 な らば そ の行 列 表 示 は 正 則 で

あ る.   (2)⇒(3) 

Afが

正 則 と 仮 定 す る.任

意 のu=Σxiυiに

0=f(u,υ)=Σaijxiθ(yj) 

が 成 り立 つ と す れ ば,任

意 のiに

つ い て(xi=1, 

Σjaijθ(yj)=0 

と な る.と

か らyj=0,し

と お き)

(i=1,2,…,n)

こ ろ で 係 数 の つ く る 行 列 式 が0で

は 自 明 な 解 し か な い.す

つい て

(υ=Σyiυi)

な い か ら,こ

の 連 立1次

な わ ち θ(yj)=0(j=1,2,…,n).θ

た が っ て υ=0を

はFの

方程式 に 自己 同 形 だ

得 る.

  同 様 に(3)⇒(2)⇒(1)も

証 明 さ れ る.

  (4.5)  線 形 空 間Vで

定 義 され た 形 式 をfと

お く.任

意 の υ∈Vに

対し

φ(υ):u→f(u,υ)

と定 義 され る写 像 φ(υ)はVの

双 対 空 間V*の

φ(υ1+υ2)=φ(υ1)+φ(υ2), 

φ(λυ)=θ(λ)φ(υ)

を 満 足 す る.こ

こ で θはfに

はVか

中 へ の 半 線 形 写 像 と 呼 ば れ て い る.)特

らV*の

ば φ はVか 合 をV*の

らV*の

同 伴 す るFの

元 で あ る.こ の写 像 φ は

自 己 同 形 で あ る.(こ

上 へ の 全 単 射 と な る.こ

に 形 式fが

の 時 φ はVの

の よ うな 写 像 非退化 なら

中 で一 次 独 立 な 集

中 の 一 次 独 立 な 元 集 合 に うつ し て い る.

  証 明   前 半 は 明 ら か で あ ろ う.も

しfが

4.4(3)).し

一 次 独 立 な ら ば{φ(υ1),…,φ(υk)}も

た が っ て{υ1,…,υk}が

一 次 独 立 で あ る .VとV*は

非 退 化 な ら ば φ は 単 射 で あ る(定 理 また

同 次 元 だ か ら φ は 全 射 と な る.

  次 の 定 理 は し ば し ば 用 い ら れ る 重 要 な 命 題 で あ る.   定 理4.6 

線 形 空 間Vで

の 次 元 をnと

す る.任

定 義 さ れ た 形 式fが

意 の 部 分 空 間Uに

U⊥={υ￨す

べ て のu∈Uに

非 退 化 と仮 定 す る.さ

対 し つ い てf(u,υ)=0}

ら にV

とお け ばU⊥ はVの

部分 空 間 で そ の次 元 はn-dim dim

  証 明   U⊥ がVの う.Vの

等 しい.

U.

部 分 空 間 とな る こ とは 明 らか で あ る.そ の次 元 を計 算 し よ

双対 空 間V*の

元gでUの

体 の つ くる集 合 をU0と

各 元uに

つ い てg(u)=0を

お く.明 らか にU0はV*の

  (4.5)に よれ ば 形 式fに る.fが

U⊥=n-dim

Uに

はVか

らV*の

み た す もの 全

部分 空 間 で あ る.

中への半線形写像 φが対応して い

非 退 化 だ か ら φ は 全 単 射 で あ る.定 義に よ り U⊥=φ-1(U0)

が 成 り立 つ か ら,(4.5)に   さ てdim

U=mと

よ りdim

お きdim

の 基 とす れ ば そ れ をVの

U⊥=dim

U0を

U0=n-mを

証 明 し よ う.{υ1,…,υm}をU

基{υ1,…,υm,…,υn}に

こ で そ の 双 対 基{d1,…,dn}を

得 る.

と れ ば(§3参

拡 張 す る こ と が で き る.そ

照)

f=Σaidi∈V*⇒f(υk)=ak(k=1,2,…,n)

が 成 り立 つ.し

た が って f=Σaidi∈U0⇔a1=…=am=0.

す な わ ち{dm+1,…,dn}がU0の

基 と な る.よ

っ てdim

U0=n-mと

な り定

理 が 成 り立 つ.   最 後 に 形 式fの   定 義4.7 

判 別 式 Δ(f)を 定 義 し よ う.

基 を 一 つ 定 め 形 式fに

対 応 す る 行 列 をAfと

Δ(f)=det

と お き Δ(f)をfの(定

お く.こ

の時

Af

め ら れ た 基 に 関 す る)判

別 式 とい う.

 注 意   この定 義 では 基 の 取 り方 に よ っ て判 別 式 Δ(f)の 値 が 変 わ る.

  §5 内積空間 と古典群  線形空間Vで 定義 された半双線形形式fが 条件  (5.1) 

f(u,υ)=0⇔f(υ,u)=0

を 満 足 し て い る 時f(u,υ)をVの

元u,υ

の 内 積 と い う.本

さ れ た 空 間 を 内 積 空 間 と い う こ と に す る.つ (V,f)で

あ る.(§4の

書 で は 内 積 の 定義

ま り 内 積 空 間 と はVとfと

の組

規 約 に よ り内 積 空 間 は 有 限 次 元 で あ る.)

  二 つ の 内 積 空 間(V,f)と(V′,f′)が

与 え ら れ た 時Vか

らV′ の 中 へ の 線 形

写 像 σ がVとV′

と の 間 の 同 形 写 像 で あ っ て,さ

らに

f′(σu,σ υ)=f(u,υ)

が す べ て のu,υ

∈Vに

等 長 写 像 とい う.内

つ い て 成 り立 つ 時 σ を(V,f)か

積 空 間(V,f)の

ら(V′,f′)の

上へ の

そ れ 自身 の上 へ の等 長 写 像 の全 体 を

Aut(V,f) と表 わ す.Aut(V,f)はGL(V)の

部 分 集 合 で あ るが 明 らか にGL(V)の

部分

群 を つ くって い る.   以 下 本 書 で 考 察 す る 内 積空 間(V,f)で また はHermite形

はfは

非 退 化 か つfは 対 称,交 代,

式 の い ず れ か で あ る.お の お の の場 合 に 応 じてAut(V,f)

を そ れ ぞ れ 直 交 群,斜 交 群,ま た は ユ ニ タ リ群 と呼 び,上

の3種 類 の群 に 線 形

変 換 群 を 加 え た もの を 古 典 群 と総 称 す る.こ れ らの 群 は 一 般 に 単 純 では な い が 行 列 式 の 値 が1の 元 の つ くる部 分 群 を そ の 中 心 で 割 った 商 群 は 一 般 に 単 純 群 に な る.直 交 群 の 場 合 は 行 列 式 の 値 を1に す るだ け で は 不 充 分 で,交 換 子 群 を と らな くて は な らな い.こ

の様 に して 古 典 単 純 群 が 得 られ る.こ れ ら の事 実 を証

明 す るの が 第2章,第3章

の主 な 目的 で あ る.

  内 積 空 間 を 調 べ るに 当 っ て次 の概 念 が 重 要 とな る.   定 義5.2 

内 積 空 間(V,f)を

考 え る.任

上 へ の 制 限 をgと お け ば 内積 空 間(U,g)が て 線 形 空 間 と し てVはUとWと

意 の部 分 空 間Uに

得 ら れ る.部

つ い てfのU

分 空 間U,Wが

あっ

の 直 和 とな り,そ の上

u∈U,  w∈W⇒f(u,w)=0

が 成 り立 つ 時Vは

部 分 空 間UとWと

  この時V=U⊥Wと

の直 交 和 に 分解 す る とい う.

表 わ す こ とも あ る が,単 にVは

直 交 和 

に分解

す る と表 わ す こ とが 多 い.(記 号  は 線 形 空 間 とし て の直 和 を表 わ す.)   (5.3)  内 積 空 間(V,f)に 空 間Uが のU上

お い て 形 式fは

与 え られ た 時  へ の制 限gが(U上

の)非 退 化 形 式 と な る こ と で あ る.こ の 時WはU

に よ り 一意 的 に定 ま る.す な わ ちW=U⊥   証 明   W=U⊥

が 成 り立 つ.

とお く.fが 非 退 化 だ か ら定 理4.6に dim  W=n-dim 

が 成 り立 つ.さ

非 退 化 で あ る と仮 定 す る.部

てU上

分

と直 交和 に 分 解 す る た め の 条 件 は 形 式f

U 

へ のfの 制 限gが

(n=dim 

より V)

非 退 化 で あ るた め の条 件 は

U∩U⊥={0} で あ る.し

た が っ てgが

非 退 化 な ら ば 

て 逆 も成 り立 つ.明

ら か にW=U⊥

  最 後 にGL(V)の

元 がAut(V,f)に

  定 理5.4 

内 積 空 間(V,f)に

列 をA=Afと

と 直 交 和 に 分 解 す る.そ

はUに

属 す る た め の 条 件 を 求 め て お こ う.

一 つ の 基Bを

お.GL(V)の

し

よ り一 意 的 に 定 ま る.

定 め る.こ

の 時fに

元 σ に 対 応 す る 行 列 をMσ

対 応 す る行

とす れ ば

σ∈Aut(V,f)⇔tMσAθ(Mσ)=A が 成 り立 つ.こ

こ で θはfに

  証 明   B={υ1,υ2,…,υn}と

同 伴 し て い る 係 数 体 の 自 己 同 形 で あ る. お け ばA=(aij)(aij=f(υi,υj)),

συj=Σbijυi, 

が 成 り 立 つ.さ

て

σ ∈Aut(V,f)はf(σ

υi,συj)=f(υi,υj)と

aij=Σbkiθ(blj)akl,す

が 成 り立 つ 時,か   系1 

Mσ=(bij)

つ そ の 時 に 限 り σ∈Aut(V,f)と

内 積 空 間(V,f)に

お い て 形 式fは

た が っ て(det

直 交 群 の 元 σ に 対 し てdet

  証 明   θ=1だ

か ら 系1よ

  注 意   斜 交 群 の場 合 はdet

非退化だか ら

Mσ)θ(det Mσ)=1を σ=±1が

り系2が σ=1と

の時

σ)θ(det σ)=1.

用 い た 記 号 を そ の ま ま用 い る.fが

と な る(定 理4.4).し   系2 

な る.

非 退 化 と 仮 定 す る.こ

σ ∈Aut(V,f)⇒(det

 証 明  定 理5.4で

同 値 で

な わ ちA=tMσAθ(Mσ)

得 る.

成 り立 つ.

証 明 さ れ る.

な る(定 理 Ⅱ5.4).直

交 群 は行 列式 の値 が-1の

元 も含 ん で い る.   内 積 空 間 と し て3種

類 の 特 別 な 空 間 だ け を 特 に 取 り上 げ る理 由 は 次 の 定 理 が

成 り立 つ こ と に よ る.   定 理5.5 

内 積 空 間(V,f)に

こ の 時,形

式fは

でcはFの

元,hはHermite形

お い てfは

対 称 形 式 で あ る か,交

非 退 化,dim

V>1と

仮 定 す る.

代 形 式 で あ る か ま た はf=ch.こ

式 と な る.し

た が っ てAut(V,f)は

こ 直 交 群,

斜 交 群 ま た は コ ニ タ リ群 と な る.   証 明 は 永 尾[4]pp.161-163を い 場 合 に は 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

参 照 さ れ た い.ま

た 形 式 が 非 退 化 と限 ら な

 (5.6)  内 積 空 間 を(V,f)と V0={υ￨す と定 義 し てV=V/V0と

す る.い

ま 部 分 空 間V0を

べ て のu∈Vに お く.さ

義 さ れ た 半 双 線 形 写 像 で(V,f)は

つ い てf(u,υ)=0}

ら にf(υ+V0)=f(υ)と

お け ばfはVで

非 退 化 内 積 空 間 と な る.そ

定

して

G=Aut(V,f) は 正 規 部 分 群Nを

含 み,Nは

が 成 り立 つ.NはVか

らV0の

可換 群,さ

らに

中 へ のF線

でGはNとGL(V0)×Aut(V,f)と

の 半 直 積 と な る.そ

((σ,ρ)f(υ)=σ(f(ρ-1υ)) 

で 与 え ら れ る.こ

こ で σ∈GL(V0),ρ

  証 明 に は 定 理5.4を

形 写 像 全 体 の つ くる加 法 群 に 同 形 の作 用 は

(υ∈V)

∈Aut(V,f),f∈HomF(V,V0).

用 い れ ば よ い が こ こ で は 省 略 す る.

第2章  古

典

群

  §1  交 代 群 の 単 純 性   n個

の 文 字{1,2,…,n}の

と い いAnで

上 の 偶 置 換 の 全 体 の つ く る 群 をn文

表 わ す.定

  (1.1)  交 代 群Anは

二 つ の 互 換 の 積 で 表 わ さ れ る 元 か ら 生 成 さ れ る.

  さ て 置 換 σ が 二 つ の 互 換 の 積 で あ る と し よ う.σ を 動 か し て い れ ば σ=(ab)(bc)と で あ る.σ Anに

の二 つ の因 子 が 共 通 の文 字

書 け る か ら σ=(abc)と

な り σ は3巡

の 因 子 が 動 か す 文 字 が 異 な っ て い れ ば σ は(2,2)型

含 ま れ て い る3巡

  (1.2)  n≧3な

字 の交 代 群

義 か ら 直 ち に 次 の 命 題 が 得 ら れ る.

回 置 換 全 体 の つ く る 集 合 をTnと

ら ば 交 代 群AnはTnか

  証 明  a,b,c,dが

異 な る4文

回置 換

の 置 換 で あ る.

お く.

ら 生 成 さ れ る.

字 を 表 わ し て い る と仮 定 す れ ば

(ab)(cd)=(abc)(bcd) と な る.し

た が っ て(1.1)お

  (1.3)  n≧5な   証 明   (abc)お

よび 上 述 の 注 意 に よ り(1.2)が

ら ばTnはAnの よ び(efg)を

共 役 類 と な る. 二 つ の3巡

a→e, 

回 置 換 と す る.い

b→f, 

τ=(hj)と

お く.そ

ま

c→g

を み た す 置 換 を σ と お け ば σ(abc)σ-1=(efg)と は 奇 置 換 で あ る.n≧5と

成 り立 つ.

な る. 

仮 定 し た か ら{e,f,g}以

と仮 定 す れ ば σ

外 に2元{h,j}を

と り

うす れ ば τσ は 偶 置 換 で τσ(abc)σ-1τ-1=(efg)

と な る.し

た が っ て(abc)と(efg)と

  注 意   (123)と(132)と   定 理1.4 

n≧5な

  証 明   交 代 群Anの い れ ばN=Anと とお き,Anの

はA4の

はAnの

中 で は 共 役 に な ら ない.

ら ば 交 代群Anは 正 規 部 分 群 をNと

単 純 群 で あ る. お く.ま

な る こ と を 証 明 し よ う.Nに 任 意 の3巡

中 で 共 役 で あ る.

ずNが3巡

回置 換 を含 ん で

含 ま れ て い る3巡

回 置 換 を θ′と する.(1.3)に

回置 換 を θ

よ り θ′は θ とAnの

中

で 共 役 で あ る か ら θ′=σθσ-1を み た す σ∈Anが

あ る.し

た が って

θ′=σθσ-1∈ σNσ-1=N, す な わ ちNは

す べ て の3巡

  以 下 

と仮 定 し てNが3巡

単 位 元 ρを と り ρは3巡 ≧4の

回 置 換 を 含 ん で い る.よ

場 合 は 長 さr1の

っ てN=An(1.2).

回 置 換 を 含 む こ と を 証 明 し よ う.Nの

回 置 換 で は な い と仮 定 す る.ρ

の 型 を(r1,…)と

非 しr1

巡 回 置 換 を 一 つ 取 り上 げ て ρ=(ab…cd)…

と お く.r1≦3な

ら ば ρは 長 さ1以

上 の 巡 回 置 換 を 少 な く と も二 つ 含 む か ら

ρ=(ab…)(cd…)… と お く.い

ず れ の 場 合 もa,b,c,dは θ=(acd), 

と お け ば ρθρ-1=(bd*)と θρθ-1∈N,よ 々5文

な る か ら 

っ て γ∈Nが

成 り立 つ.一

字 を 動 か し て い る.も

ま た γが3巡

互 い に 相 異 な る4文

字 を 表 わ す.さ

て

γ=[ρ,θ]=ρ θρ-1θ-1

し γ が3巡

回 置 換 で な け れ ば γは5巡

を 得 る.と 方,γ

こ ろ で ρ∈Nだ

は 二 つ の3巡

か ら

回置換の積で高

回 置 換 な ら ばNは3巡

回 置 換 を 含 む.

回 置 換 で あ る か ま た は(2,2)型

で あ る.

そ こで γ=(xyzwt)ま

た は γ=(xy)(zw),τ=(xyt)

と お け ば 交 換 子[γ,τ]はNに

含 ま れ る3巡

回 置 換 を 含 み 前 述 の よ うにN=An.よ

回 置 換 と な る.よ

っ てAnは

っ てNは3巡

単 純 群 で あ る.

  §2  射 影 線 形 変 換 群 の 単 純 性   こ の 節 で は 任 意 の 係 数 体F上

の 有 限 次 空 間Vを

と る.そ

し てSL(V)を

そ

の 中 心 で 割 っ た 商 群 が 二 つ の 例 外 の 場 合 を 除 け ば 単 純 群 とな る こ とを 証 明 し よ う.証

明 に 当 っ て 幾 何 の 概 念 が 重 要 な 働 き を す る.空

部 分 空 間Hの

次 元 がn-1の

時HをVの

間Vの

次 元 をnと

超 平 面 と い う.超

平 面 に 関 す る移 換

とい う概 念 を 定 義 し よ う.   定 義2.1 

HをVの

超 平 面 と す る.GL(V)の

(1)  す べ て の υ∈Vに

つ い て τ(υ)-υ∈H,お

(2)  す べ て のu∈Hに

つ い て τ(u)=u

を 満 足 し て い る 時 τ を(Hに

元  よび

関 す る)移 換 と い う.

お く.

が次の条件

  (2.2)  HをVの

超 平 面 と しVの

す る も の を 一 つ 定 め る.Hの

双 対 空 間V*の

任 意 の 元aを

と り線 形 写 像

τ(μ,a):υ → と定 義 す る.も

し 

μ=Hを

満足

τ(μ,a)を

υ+μ(υ)a

な ら ば τ(μ,a)はHに

関 す る 移 換 は 

元 μ でker

関 す る 移 換 で あ る.逆

と表 わ す こ とが で き る.ま τ(μ,a)τ(μ,b)=τ(μ,a+b) 

にHに

た

(a,b∈H)

が 成 り立 つ.   証 明   τ(μ,a)が 移 換 の み た す べ き 条 件(1),(2)を で あ る.も   Hに

し 

な ら ば 

関 す る移 換 の 一 つ を τ とす る.適

わ す こ と が で き る こ と を 示 そ う.Vの =τ(υ)-υ

と お く.移

任 意 の 元xはx=λ

μ(x)=λ μ(υ)+μ(u)=λ

当 にa∈Hを

選 べ ば τ=τ(μ,a)と

元 υ で μ(υ)=1を

換 の 条 件(1)に

υ+u(λ

満 足 し て い る こ とは 明 らか

だ か ら τ(μ,a)は 移 換 で あ る.

よ りa∈Hと

∈F,u∈H)と

表

み た す も の を と りa

な る. 

だ か らVの

一 意 的 に 書 く こ と が で き る.そ

こで

が 成 り立 つ か ら

τ(x)=λ τ(υ)+τ(u)=λ(υ+a)+u=x+μ(x)a と な る.す

な わ ち τ=τ(μ,a)を

得 る.

  最 後 の 式 が 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ ろ う.   (2.3)  超 平 面Hを T(H)と

定 めHに

関 す る 移 換 の 全 体 に 単 位 元1を

お く.T(H)はSL(V)の

  証 明   (2.2)に た(2.2)の

部 分 群 で 加 法 群Hと

よ りT(H)の

元 は τ(μ,a)(a∈H)と

最 後 の 式 に よ りT(H)は

加 え た 集合 を

同 形 で あ る. 書 く こ と が で き る.ま

群をつ くり

τ(μ,a)→a がT(H)か

らHの

  定 理2.4 

移 換 はSL(V)の

共 役 と な る.す σ∈GL(V)が

上 へ の 同 形 写 像 を 与 え る. 元 で あ る.ま

あ る.n≧3な

な わ ち στσ-1∈T(H)を   証 明   超 平 面Hに と る.さ

換 は す べ てGL(V)の

中で

な わ ち τ,τ′を 二 つ の 移 換 と す れ ば,τ′=σ τσ-1を 満 足 す る 元 ら ば σ∈SL(V)と

を 定 め れ ば 任 意 の 移 換 τ はSL(V)の

υ,aを

た,移

みた す

中 でHに σ∈SL(V)が

す る こ と が で き る.超

関 す る 移 換 と 共 役 に な る.す 存 在 す る.

関 す る 移 換 を τ と す る.(2.2)の

てaはHの

元 で0で

平 面H

証 明 中 に 定 め た よ うに 元

は な い か ら υ2=aか

ら は じ め てHの

基

{υ2,υ3,…,υn}を

と る こ と が で き る.こ

れ に υ1=υ を 加 え れ ばVの

基 と な る.

こ の基 に 関 して 線 形 写 像 τを表 現 す る行 列 は 左 上 の 隅 に

が あ っ て あ と は 単 位 行 列 に 一 致 す る.よ   任 意 の 移 換 を τ′と す る.こ

っ て τ はSL(V)の

の 場 合Vの

基{u1,…,un}を

や は り上 述 の 行 列 に よ り表 現 さ れ る.そ GL(V)の

元 で あ る. 適 当 に と れ ば τ′が

こ で σ(υi)=ui(1≦i≦n)を

み たす

元 σを とれ ば στσ-1(u1)=u1+u2, 

στσ-1(ui)=ui 

が 成 り立 つ か ら στσ-1=τ′ と な る.し   n≧3の

場 合 はunの

現 さ れ る.こ

の 時,基

場 合u2の

た が っ て τ′は τ と共 役 で あ る.

代 りに 

を 選 ん で も τ′ は 同 じ行 列 に よっ て表

の変 換 行 列 の行 列 式 は も との 行 列 式 に λを 掛 け た もの だ

か ら 適 当 に λ を 選 ん で σ∈SL(V)と   n=2の

(i≧2)

代 りに λu2を

す る こ と が で き る. 選 ん で 変 換 行 列 の 行 列 式 を1に

す る と移 換

τ′を 表 現 す る 行 列 が 変 わ っ て

と な る.こ

の 場 合 τ′は τ と 共 役 に な ら な い か も知 れ な い が 基{υ1,υ2}に

て 上 の 行 列 で 表 現 さ れ るT(H)の 換 はSL(V)の

元 に よ りT(H)の

  定 理2.5  る.す

n≧3な

な わ ち,移

  n=2の

は 少 な く と も4で を 含 む.し と な る か ら(n≧3と

なわ ち任 意 の移

元 と 共 役 に な る.

ら ば 任 意 の 移 換 はSL(V)の

元 の交 換 子 と し て表 わ され

換 τは τ=[σ,ρ](σ,ρ ∈SL(V))と

場 合 も￨F￨≧4な

  証 明   超 平 面Hと

元 τ1が τ′と共 役 に な る.す

書 け る.

ら ば 同 じ命 題 が 成 り立 つ.

群T(H)を あ る.(2.3)に

考 え る.n≧3な よ り 

ら ばdim

H≧2だ

だ か らT(H)は

た が っ て γ=α β-1は 移 換 で あ る.β=δ

  n=2の

意 の 移 換 τ は γ と 共 役 だ か ら τ も 交 換 子 の 形 に 書 け る. 場 合Vの

基{υ1,υ2}を

υ1∈Hを

か ら￨H￨ 移換

 

αδ-1(δ∈SL(V))

仮 定 し て い る) γ=α β-1=α δα-1δ-1=[α,δ]

を 得 る.任

関し

み た す 様 に 選 べ ばT(H)は

とい う形 の 行 列 で 表 現 され る元 か ら な る部 分 群 で あ る.そ こ でs∈F#と

を 得 る.￨F￨≧4な T(H)の

ら ば 

を み た すFの

元 は す べ て 交 換 子 の 形 に 書 け る.移

と共 役 だ か ら 任 意 の 移 換 がSL(V)の   定 理2.6 

  証 明  G=〈T〉

を σ と お く.そ

な わ ちI(σ)={υ

元 の うちI(σ)が

υ∈Vに

そ こ で 或 る 元x∈Vに しx∈U(a)な

Ⅰ3.3).い

ら,こ

∈V￨σ(υ)=υ}.さ

と仮 定 し σ(x)-x=aと

っ てU(a)上

ま τ=τ(μ,a)と

てGに れ

お く.も

な り仮 定 に 反 す る.し

で0,xで

の 値 が1のV*の

お け ば τ は 移 換 で((2.2)参 τ(u)=u=σ(u) 

た が っ て 

れ はU=I(σ)を

に よ る不

つ い て σ(υ)∈U(υ)が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.

τ(x)=x+μ(x)a=σ(x),  が 成 り立 つ.し

な わ ちT

〉 と 定 義 す る.

つ い て 

と な る.よ

元

極 大 に な る も の を 一 つ 定 め,そ

ら ば σ(x)=x+a∈U(a)=U(x)と

て  (定 理

お け ばSL(V)=〈T〉.す

し てU=I(σ),U(υ)=〈U,υ

  (a)  任 意 の 元

中 でT(H)の

と 仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.σ

表 わ す.す

含 ま れ て い な いSL(V)の

換 はSL(V)の

た が って

一 致 す る.

とお く. 

変 元 の 全 体 をI(σ)と

あ る.し

元 の 交 換 子 と な る.

移 換 全 体 の つ く る集 合 をTと

が 生 成 す る 部 分 群 はSL(V)と

元sが

し

と な る.σ

たが っ

元 μ があ る 照)

(u∈U) と 共 に 

だか

極 大 に と った こ と に 矛 盾 す る.

  (b)  (a)で 証 明 し た こ と は 任 意 の υ∈Vに 立 つ こ と と 同 値 で あ る.つ ら か に 

だ か らUはVの

の 一 つ をHと

す る.Hに

ぎ にUがVの

つ い て σ(U(υ))=U(υ)が

成 り

超 平 面 で あ る こ と を 証 明 し よ う.明

真 の 部 分 空 間 で あ る.そ

こ でUを

関 す る 任 意 の 移 換 τ が す べ て のx∈Vに

含む超平面 つい て

τ(x)-x∈U を 満 足 し て い る こ と を 示 そ う.Hに る.も で 

しx∈Hな

ら ば τ(x)=xだ

と 仮 定 し よ う.元

関 す る 移 換 の 定 義 か ら τ(x)-x∈Hを か ら 上 の 関 係 式 は 明 ら か に 成 り立 つ.そ

τσ はGに

含 まれ ず か つUの

得 こ

各 元 を 不 変 にす るか

らU(x)=τ

σ(U(x))=τ(U(x))が

成 り立 つ((b)当

だ か ら τ(x)-x∈U(x)∩H=U(  い て τ(x)-x∈Uが と き τ(x)-xの

だ か ら),す

成 り立 つ.と 形 の 元 はHを

か ら 任 意 の υ∈Vに

σ=1が

ついて

関 す る 移 換 と な り,    系   n≧3ま

つ

がT(H)を

た が っ てUはHと

成 り立 つ.(b)に

σ(υ)-υ∈Uと

動 く

一 致 す る. はU上

で恒 等 写 像

よ りV/Uは1次

な る.し

元だ

た が っ て σ が 超 平 面Uに

と い う仮 説 に 矛 盾 す る.

た は￨F￨≧4な

  証 明   定 理2.5に

よ れ ば,τ

線 形 写 像 σ を 引 き お こ す.σ

σ=det

て τ(x)∈U(x)

な わ ち 任 意 のx∈Vに

こ ろ で(2.3)に

生 成 す る.し

  (c)  明 ら か に σ はV/Uに と一 致 す る か らdet

初 の 注 意).さ

ら ばSL(V)は

そ の 交 換 子 群 と一 致 す る.

よ り任 意 の 移 換 は 交 換 子 と な る.よ

っ て 定 理2.6に

よ り系

が 成 り立 つ.   定 理2.7 

(n,n)型

の 単 位 行 列 をIと

お く.ま

た(i,j)成

行 列 をeijと

お く.行

列 群SL(n,F)は

成 分 が す べ て0の(n,n)型

分 だ け が1で

他 の

か ら 生 成 さ れ る.  証 明  

と お きG=SL(n,F)と

よ う.SL(n,F)はn次

元 の 縦 ベ ク トル 全 体 が つ く る 線 形 空 間Vの

作 用 し て い る.Vの はSL(V)と

な る こ とを 証 明 し

自 然 な 基 を{x1,…,xn}と

同 一 視 で き る か らGが

お く.こ

上 に 自然 に

の 基 に よ りSL(n,F)

す べ て の移 換 を含 む こ と を証 明す れ ば よ

い.   (a)  い まx2,…,xnが

生 成 す る 超 平 面 をH0と I+Σ

と表 わ さ れ る か らGの

お く.H0に

関 す る移 換 は

αiei1=Π(I+αiei1)

元 で あ る.す

な わ ちGはH0に

関 す る移 換 をす べ て 含

ん で い る.   (b)  つ ぎ にGがVの う.そ

の た めVの

双 対 空 間V*の

然 な 基 に 双 対 なV*の 上 へ の 作 用 はMの

超 平 面 の 集 合 に 可 移 に作 用 し て い る こ とを 証 明 し よ

基 を{d1,…,dn}と

元 

作 用 を 考 え る.Vの

す れ ばSL(n,F)の

転 置 行 列 に よ っ て 与 え ら れ る.し

に 可 移 に 作 用 し て い る.さ V*の

上 へ のSL(n,F)の

が あ る.そ

て 任 意 に 超 平 面Hを こ でtσ(μ)=d1を

自

元MのV*の

た が っ てGはV*-{0} とれ ばH=ker

み た すGの

μ をみたす

元 σ を とれ ば

σ(H0)=H が 成 り立 つ.よ

っ てGはVの

超 平 面 の 集 合 に 可 移 に 作 用 し て い る.

  (c)  任 意 の 移 換 τ を と り,τ に よ り σ(H)=H0を る 移 換 で あ る.(a)に   SL(V)の

が 超 平 面Hに

み た すGの

関 す る 移 換 で あ る と す る.(b)

元 σ が あ る.し

よ り στσ-1∈G,す

た が っ て στσ-1はH0に

な わ ち τ∈Gを

構 造 を 調 べ る に 当 っ てSL(V)が

得 る.

自 然 に 作 用 す る 集 合 と,そ

の 作 用 を 調 べ る こ と が 重 要 に な る.SL(V)はV-{0}に 作 用 よ りVの

部 分 空 間 全 体 か ら な る 集 合 をV上

表 わ す.Vの1次

元 部 分 空 間 に 対 応 す るp(V)の

と れ ばPはVの1次

を 点Pの

SL(V)は

共に

射 影 空 間p(V)の

p(V)の

基{x1,…,xn}を

元u,υ

最 初 の2元

を と れ ばuと

とす る基Bが

υ

あ る.さ 移 す 元 σ∈

移 し て い る.元xiが

お け ば σ(P)=P1,σ(Q)=P2と

な る.Pの

σ=1に

な わ ちSL(V)は2重

す る こ と が で き る.す

の 時x

可 移 に 作 用 す る.

一 つ 定 め て お け ばBを{x1,…,xn}に は{u,υ}を{x1,x2}に

点 をPiと

が と れ る か らdet

点 集 合 の 上 に2重

た が っ て{u,υ}を

す る.こ

点

代 表 元 で あ る.

を 代 表 す るVの

と は 一 次 独 立 で あ る.し

あ る.σ

元 を 点 と い う.p(V)の

αx(α ∈F#)もPの

  証 明   p(V)の2点 

GL(V)が

の 射 影 空 間 と い いp(V)と

元 部 分 空 間 だ か ら そ の 生 成 元 をxと

代 表 元 と い う.xと

  定 理2.8 

てVの

の上

作 用 し て い る が この

部 分 空 間 の つ く る 集 合 の 上 へ の 作 用 の 方 が 自 然 で 重 要 で あ る.

  線 形 空 間Vの

Pを

関す

代表 す る

代 表 元 と し て αu 可移に

作 用 し て い る.   (2.9)  SL(V)がp(V)の

点 集 合 の上 に 引 きお こす 置 換 群 は PSL(V)=SL(V)/Z

で あ る.こ

こ でZはSL(V)の

中心で υ

→ λυ(λn=1)と

い う写 像 の 全 体 で

あ る.   証 明   い まp(V)の

各 点 を 動 か さ な い 元 の 全 体 をZと

き お こす 置 換 群 はSL(V)/Zと れ ばZの

表 わ さ れ る.Vの

元 ζに つ い て ζ(xi)=αixi(αi∈F,i=1,…,n)が も 成 り立 つ.よ

αi=α=αjを

得 る.し

基{x1,…,xn}を

(υ∈V)

引

一 つ定 め

成 り立 つ だ け で な く

っ て α(xi+xj)=αixi+αjxjよ

た が って ζ(υ)=λυ  

お け ばSL(V)が

り

と な り λは υ に 無 関 係 な 定 数 で あ る.ζ ∈SL(V)よ の 形 か ら ζ はSL(V)の

り λn=1が

中 心 に 含 ま れ て い る こ と が わ か る.

  逆 に ζがSL(V)の

中 心 の 元 な ら ば ζ(υ)=λυ と な る こ と は 前 に 述 べ た(定

理 Ⅰ2.10).よ

っ て(2.9)が

  定 義2.10 

PSL(V)を

射 影 線 形 変 換 群 と い う.

  定 理2.11 

PSL(V)は

次 の2例

￨F￨≦3の

成 り立 つ.ζ

成 り立 つ.

場 合 で あ る.例

外 を 除 け ば 単 純 群 で あ る.例

外 の 場 合PSL(V)は

外 はn=2で

可 解 群 で 単 純 で は な い.

  こ の 定 理 を 証 明 す る た め に 必 要 と な る 群 論 の 補 題 を 二 つ 証 明 す る.ま

ず次 の

概 念 を 解 説 し よ う.集 合X上

元xの

安 定 化 群 がGの   (2.12) 

に 可 移 に 作 用 し て い る 群Gに

極 大 部 分 群 で あ る 時Gは

群Gが2重

  証 明  集 合Xの

お い てXの

原 始 的 に 作 用 す る と い う.

可 移 に 作 用 し て い れ ば 原 始 的 に 作 用 す る. 上 にGが2重

の 安 定 化 群 をGaと

お く.い

可 移 に 作 用 し て い る と 仮 定 す る.Xの1元a まGaに

含 ま れ て い な い 元 σ,τ を と り

σ∈ 〈Ga,τ〉 を 証 明 し よ う.そ

こ で σ(a)=b,τ(a)=cと

重 可 移 だ か ら ρ(a)=a,ρ(b)=cを ま た τ-1ρ σ(a)=τ-1ρ(b)=aよ

る.Gの

Gは

集 合X上

の 置 換 群 と しX上

正 規 部 分 群 をN,a∈Xの

ら ばN={1}と

な る.

  証 明  Xの

任 意 の 元bを

元 σ が あ る.し

(1.11)参 照).と る.す

成 り 立 つ.し

で あ る.Gは2 あ る.定

義 に よ り ρ∈Ga.

な わ ち σ∈ 〈Ga,τ〉 が 成 り立 つ. た が っ てGaはGの

極大部分群

原 始 的 で あ る.

  (2.13) 

るGの

み た す 元 ρ∈Gが り τ-1ρ σ∈Ga.す

σ は 任 意 だ か ら 〈Ga,τ〉=Gが で,Gは

お け ば 

安 定 化 群 をGaと

と れ ば(Gの

お く.も

しN⊂Gaな

作 用 が 可移 だ か ら)σ(a)=bを

た が っ てGb=Gσ(a)=σGaσ-1⊃

こ ろ でbは

な わ ちN={1}が

に 可 移 に 作 用 し て い る と仮 定 す

任 意 だ か らNの

元 はXの

σNσ-1=Nを

満足 す 得 る(Ⅰ

す べ て の 元 を不 変 に す

成 り立 つ.

  次 に 岩 沢 の 定 理 を 証 明 し よ う.   定 理2.14 

集 合Xの

上 の 可 移 置 換 群Gが

定 す る. (1)  GはXに

原 始 的 に 作 用 し て い る.

次 の3条

件 を 満 足 し て い る と仮

(2) Gの

交換 子 群G′ はGと

(3)  Xの 元aの

一 致 す る.

安 定 化 群Gaは

可 解 な 正 規 部 分 群Qを

含 み,GはQの

共役部

分 群 全 体 に よ り生 成 され る. 以 上 の仮 定 の 下 でGは

単 純 群 で あ る.

  証 明   Gの 正 規 部 分 群 をNと

し 

と仮 定 す る.(2.13)に

Gaの 部 分 群 で は な い.し た が ってNGaはGaよ

よ りNは

り大 きい 部 分 群 とな る.仮 定

(1)に よ りGaは 極 大 部 分 群 だ か ら G=NGa を 得 る.部 びQを

分 群NQを

考 え よ う.QはGaの

正 規 部 分 群 だ か らGaはNお

正 規 化 す る.す なわ ち 

に よ りGはQの

よ

が 成 り立 つ .条 件(3)

共 役部 分 群 で生 成 され るか ら G=NQ

が 成 り立 つ.し た が っ てG=G/Nと

お け ば 同形 定 理 に よ り

と な る.(2)に

交 換 子 群G′

一方

,Qは

よ りG=G′

可 解 群 だ か ら 

可 解 群 は{1}に Gは

はGに

一 致 す る(Ⅰ(1 .6)).

も 可 解 群 で あ る.交

限 る か らG={1},す

な わ ちN=Gが

換 子 群 と一 致 す る

成 り立 つ.し

た が って

単 純 群 で あ る.

  定 理2.11の ば((2.9)参

証 明   G=PSL(V)を 照)定 理2.8に

よ り作 用 は 原 始 的 でGは   定 理2.6系

射 影 空 間 の 点 集 合 の 上 の 置 換 群 と考 え れ

よ り2重 条 件(1)を

可 移 に 作 用 し て い る.し

  最 後 に 条 件(3)も てp(V)の1点(例

と い う形 の 行 列(こ

準 同 形 像 だ か らG=G′

こ でdet

代 表 す る 点)の

A=α-1)全

割 っ た 商 群 に 一 致 す る.こ

そ の 交 換 子 群 と一 致

と な り条 件(2)も

成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.SL(V)を え ばx1が

た が っ て(2.12)に

満 足 す る.

に よ り二 つ の 例 外 の 場 合 を 除 け ばSL(V)は

す る.GはSL(V)の

心Zで

だ か らGの

成 り立 つ .

行 列 の群 と 同一 視 し

安 定 化 群Gaを

考 え れ ばGaは

体 の つ く る 行 列 群HをSL(V)の

の 行 列 群Hの

各元を上の形に書いて

中

を 考 え れ ば θは 準 同 形 写 像 で あ る.明

ら か にker

(Iは(n-1,n-1)型 か ら な る 群 で あ る.さ

てK=ker

θ は の 単 位 行 列)

θ と お け ば 

が 成 り立 つ.そ

こで

Q=KZ/Z と お け ばH/Z=Gaだ りQも

か ら 

可 換 群 で あ る.明

SL(V)を

と な る.Kの

ら か にKは

移 換 を 含 む か らKの

生 成 す る(定 理2.4,2.6).し

PSL(V)を

生 成 し 条 件(3)が

元 の 形 か らKは

た が っ てQの

る.い

共役部 分群全体の集合は

定 理2.14の

仮 定 をみ た し て

単 純 群 と な る.

  例 外 の 場 合.￨F￨=2な あ る.一

共役部分群全体は

成 り立 つ.

  こ の よ うに 例 外 の 場 合 を 除 け ばG=PSL(V)は い る か らGは

可 換 群 とな

方￨F￨=3な

ら ば￨G￨=6でPSL(V)は3次 ら ばPSL(V)の

ず れ の 場 合 もPSL(V)は

  注 意   定 理2.11の

の 対称 群 と同 形 で

位 数 は12で4次

の 交代 群 と 同 形 に な

可 解 群 で 単 純 で は な い.

証 明 は 岩 沢 先 生 の 方 法 に よ る もの を 述 べ た.交 代 群 の 場 合 の 証 明 の

方 針 に 従 っ て証 明す る こ と も で き る.こ

れ に つ い て は た とえ ば 『群 論 』上p.75を

参照

され た い.   最 後 に 次 の 定 理 を 証 明 し て お こ う.   定 理2.15 

定 理2.11の

例 外 の 場 合 を 除 け ばSL(V)の

真 の正 規 部 分 群 は 中

心 に 含 ま れ て い る.   証 明   G=SL(V)と

お きGの

中 心 をZと

中 心 に 含 ま れ て い な い と 仮 定 し よ う.こ

と な る.と

こ ろ で 定 理2.11に

の 時 

よ りG/Zは

し た が っ て 同 形 定 理 に よ り  ら 可 換 群 で あ る.上 はGの

か らN=Gと

てGの

正 規 部 分 群Nが

だか ら

単 純 群 で あ る か らG=NZを が 成 り立 つ.ZはGの

の 同 形 対 応 に よ りG/Nが

交 換 子 群 を 含 ん で い る.と

す る.さ

可 換 群 と な る.し

こ ろ で 定 理2.6系

な り定 理 が 証 明 さ れ る.

に よ りG=G′

得 る. 中心だか た が っ てN が 成 り立 つ

  §3  内積 空 間 の 分類   この節 で は 内 積空 間(V,f)は

非 退 化 と仮 定 す る(Ⅰ §5参 照).さ

対称 形式 で あ る場 合 に は 係 数 体Fの   定 義3.1 

内積 空 間(V,f)の

い う.二 つ の元 の組{x,y}が

標 数 は2で

ない と仮 定 す る.

元xがf(x,x)=0を

み た す 時xは

等 方的 と

次 の条 件

f(x,x)=f(y,y)=0, 

を み た し て い る 時{x,y}を る平 面

らにfが

f(x,y)=1

双 曲 型 の 組 と い う.双

〈x,y〉 を 双 曲 型 平 面 と い う.一

曲 型 の 組{x,y}が

生成す

般 に 双 曲型 平 面 の直 交 和 とな って い る

部 分 空 間 を 双 曲 型 の 部 分 空 間 と い う.   注 意  組{x,y}が 組{x,y}が

双 曲 型か ど うか は も ち 論 与 え られ た 形 式fに

よ る.正 確 に い え ば

形 式fに 関 し て双 曲型 で あ る とい うべ き で あ る が,以

下fは 定 ま っ て い る

と認 め て一 々 ことわ ら ない こ とに す る.双 曲型 の組{x,y}の2元x,yは

一 次 独立 で あ

る.し た が ってx,yが

生成 す る部 分 空 間は2次 元 で あ る.さ て双 曲 型平 面Pを

Pは 双 曲型 の組{a,b}に

よ り生 成 され て い る.そ

考 えれ ば σは 〈x,y〉 か らPの

こで 写 像 σ:λx+μy→

上 へ の等 長 写 像 を 与 え る.す

とれ ば,

λa+μbを

な わ ち双 曲型 平 面 は す べ て

同型 で あ る.同 様 に双 曲型 の部 分 空 間 が 同次 元 の時 そ れ らは 同 形 で あ る.   定 理3.2 

内 積 空 間(V,f)に

曲 型 で あ る.特

にdim

V=nは

  証 明   任 意 の 元  化).そ

お い てfが

偶 数 で(V,f)は

を み た すu∈Vが

み た すFの

f(a,b)=1, 

元 λ を と りb=λuと

てV1=P⊥

あ る(fが

非退

お く.

f(a,a)=f(b,b)=0

は 双 曲 型 平 面 と な り,直

が 成 り立 つ.さ

双

次 元 に よ り一 意 的 に 定 ま る.

に 対 し て 

こ で λf(a,u)=1を

だ か らP=〈a,b〉

非 退 化 交 代 形 式 と す れ ば,Vは

とお きfのV1上

交 和 分 解(Ⅰ(5.3)参

照)

へ の 制 限 をf1と す れ ばf1はV1

で 定 義 され た 非 退 化 交 代 形式 とな る.次 元 に 関す る帰 納 法 に よ り定 理 が証 明 さ れ る.   対 称 形 式 とH形

式 を調 べ るた め に 次 の補 題 が 必 要 で あ る.

  (3.3)  内 積空 間(V,f)に 部 分 空 間Uの

お い て 形 式fは 対 称 また はH形

各 元 が 等 方 的 な らばfのU上 f(x,y)=0 

 証 明  仮 りに 

式 と 仮 定 す る.

へ の 制 限 は 自明,す な わ ち (x,y∈U).

とな るx0,y0∈Uが

あ った とし よ う.Uの

各元

が 等 方 的 だ か ら 任 意 のu,υ

∈Uに

ついて

f(u,υ)=-f(υ,u) が 成 り立 つ(Ⅰ(4.2)の

証 明 参 照).そ

こ で 形 式fに

形 を θ とす れ ば,Fの

任 意 の 元 λに対 し て

同 伴 す る 係 数 体Fの

自己 同

λf(x0,y0)=f(λx0,y0)=-f(y0,λx0) =-θ(λ)f(y0,x0)=θ(λ)f(x0,y0) が 成 り 立 つ. 

よ り θ(λ)=λ

対 称 形 式 で あ る.そ

を 得 る.よ

っ て

θ=1,す

な わ ちfは

こで f(x0,y0)=f(y0,x0)=-f(x0,y0)

が成 り立 つ.対 称 形 式 の場 合,係 数 体 の標 数 は2で 矛 盾 で あ る.よ って(3.3)が   定 理3.4 

  証 明   補 題3.3に

お い てfは 非 退 化 な対 称 形式 また はH形

式

元 空 間 の 直 交 和 とな る.

よ り非 等 方 的 元uが

と 直 交 和 に 分 解 す る.定   定 義3.5 

成 り立 つ.

内 積空 間(V,f)に

とす る.こ の時Vは1次

な い と規 約 した か ら これ は

理3.2の

内 積 空 間(V,f)の

あ る.そ こ でL=〈u〉

証 明 と 同 様 に 帰 納 法 が 適 用 さ れ る. 基{u1,…,un}が

を み た す 時{u1,…,un}をVの

とお け ば

直 交 基 と い う.さ

次の条件

ら にf(ui,ui)=1が

すべての

iに つ い て 成 り立 つ な ら ば 正 規 直 交 基 と い う.   係 数 体 が 有 限 体 の 場 合 を さ ら に 詳 し く調 べ よ う.ま 考 え る.こ はF0の2次

の 時,同

伴 自 己 同 形 θ の 不 変 体 をF0と

の 拡 大 体 で あ る(θ2=1).よ

ずfがH形

式 の場 合 を

お け ば ガ ロ ア 理 論 に よ りF

って

￨F0￨=q と お け ばFはq2元 元u∈Vを

体 で 任 意 の λ∈Fに

対 し て θ(λ)=λqが 成 り立 つ.任

と れ ば エ ル ミ ッ ト条 件 か ら f(u,u)=f(u,u)q∈F0

を 得 る.と

こ ろ で 有 限 体 で は 次 の 補 題 が 成 り立 つ.

  (3.6)  上 の 記 号 を 用 い れ ばF0の

元aは

  証 明   乗 法 群F#は

巡 回 群 で あ る.そ

位 数q2-1の

λ1+qと 表 わ せ る. こで写 像

意 の

ν:α

を 考 え れ ば νはF#の

α1+q

自 己 準 同 形 で そ の 核 の 位 数 はq+1で

νの 像 の 位 数 はq-1と 明 だ か らF0の

→

な りIm ν=(F0)#を

得 る.と

あ る.し

たが って

こ ろ でa=0の

場合は 自

各 元 は λ1+qと 表 わ す こ と が で き る.

  定 理3.7 

非 退 化H形

式 に よ る 有 限 体 上 の 内 積 空 間(V,f)に

を と る こ とが で き る.し

た が っ て(V,f)は

次 元dim

Vに

は正 規 直 交 基 よ り一 意 的 に 定 ま

る.   証 明   定 理3.4に

よ りVは

よ うにf(ui,ui)∈F0だ

直 交 基{u1,…,un}を

か ら お の お の のiに

も っ て い る.前

に注意した

ついて

λi1+qf(ui,ui)=1 を み た す λi∈Fが はVの

存 在 す る(3.6).そ

こ で υi=λiuiと

お け ば{υ1,υ2,…,υn}

正 規 直 交 基 で あ る.

  次 に 対 称 形 式 の 場 合 を 考 え よ う.こ   (3.8)  有 限 体Fの

の 場 合￨F￨=qは

任 意 の 元 α に 対 し α=ξ2+η2を

奇 数 で あ る. み た す 元 の 組(ξ,η)が 存

在 す る.   証 明   自乗 の 形 に 表 わ され る 元 の 集 合 をSと S=Fと

お く.Fの

な る か ら 命 題 は 明 ら か に 成 り立 つ.￨F￨=qが

の 元 の 自乗(F#)2は

位 数(q-1)/2の

標 数 が2の

奇 数 の 場 合,乗

部 分 群 を つ く る.し

場 合には 法 群F#

た が って

￨S￨=((q-1)/2)+1=(q+1)/2 とな る.こ

れ か らSは

な らば￨S￨は￨F￨の

加 法群Fの

約 数 で な けれ ば な ら ない.)よ

を み た す 元 の 組(ξ0,η0)が あ る.さ こ で 

部 分 群 で は な い こ とが わ か る.(も し部 分 群

て 命 題 は α∈Sの

と 仮 定 す れ ば α∈(F#)2β

って

時 明 ら か に 成 り立 つ.そ

だ か ら α=λ2β.よ

って α も二 つ の 自乗

元 の 和 と な る.   定 理3.9 

奇 標 数 の 有 限 体Fの

上 で 非 退 化 対 称 形 式 を も つ 内 積 空 間(V,f)

の 同 形 類 は ど の 次 元 で も 二 つ 存 在 す る.す 形 式fの

判 別 式 Δ(f)に

 証 明  い まfもgも

な わ ち(V,f)の

同 形 類 は 次 元nと

よ り 定 ま る.

対 称 形 式 で あ って 

な らばUとVの

次元

が 等 し い こ と は 明 ら か で あ る.任 ぞ れMf,Mgと

意 に 基 を 定 め てf,gに

すれば定義に よ り Δ(f)=det

で あ る.一

対 応 す る行 列 を それ

方,等

Mf, 

長 写 像U→Vに

対 応 す る 行 列 がMgと

よ るUの

一 致 す る.し

T)を

含 ま れ て い な い 元 

よ り直 交 基{u1,…,un}が

f(ui,ui)=γi  と お け ばuiを

基 に とれ ば,fに

得 る.

標 準 形 を 求 め よ う.(F#)2に

を 一 つ 定 め て お く.定 理3.4に

い て γi=1ま

基 の 像 をVの

gT=Mf

っ てd2Δ(g)=Δ(f)(d=det

  逆 を 証 明 す る た め にfの

Mg

た が っ て Ⅰ§4に よ り

tTM と な る.よ

Δ(g)=det

と れ る.

(i=1,2,…,n)

λuiに 変 え て も 直 交 基 で あ る こ と に 変 わ りは な い か ら 各iに た は γi=γ

と 仮 定 す る こ と が で き る.こ

つ

こ で実 は

γ1=γ2=…=γn-1=1 を み た す 直 交 基 が とれ る こ と を 証 明 し よ う.そ の時

υ=αui+βujと

こ で γi=γj=γ

お け ばf(υ,υ)=(α2+β2)γ

α,β を 選 ん で(α2+β2)γ=1と

で き る.よ

に υ を 直 交 基 の 一 員 に 選 べ ば{γi}の る.す

な わ ち{γi}の

る.さ

て γ1=…=γn-1と

と仮 定 す る.こ

と な る.(3.8)に

っ てf(υ,υ)=1,す

よ り適 当 に

な わ ちuiの

代 り

中 に 現 わ れ る γの数 をへ らす こ とが で き

中 に γが 高 々 一 つ し か 現 わ れ な い よ う な 直 交 基 が とれ すれば Δ(f)=γn

で あ る か ら 次 元 と 判 別 式 で 同 形 類 が 決 定 さ れ る.   注 意   次 元nが 時 Δ(f)=1で

奇 数 の場 合,正 規 直 交 基 を もつ 対 称 内 積空 間 を(V,f)と

す る.こ の

あ る.上 の 証 明 で 用 い た よ うに γを 定 め,形 式 γfを 考 え る.こ れ も 非 退

化 対 称 形 式 だ が 内積 空 間(V,γf)の

判 別式 は Δ(γf)=γn.

仮 定 に よ りnは 奇 数 だ か ら(V,γf)と(V,f)と

は 同形 でな い.と

ころで

Aut(V,f)=Aut(V,γf). し た が っ て奇 数 次元 の直 交 群 は 次 元 に よ り一 意 的 に 定 ま る.偶

数 次 元 の場 合,非

内 積空 間か ら非 同形 な直 交 群が 得 られ る.こ の こ とは 後 で述 べ よ う.   2次 元 の 場 合 を さ ら に 調 べ て み よ う.ま   (3.10) 

(V,f)を2次

ず 次 の 補 題 を 証 明 す る.

元 の 非 退 化 内 積 空 間 と す る.Vの

元u,υ

が

同形 な

を 満 足 し て い れ ば(V,f)は

双 曲 型 平 面 で あ る.

  証 明   υ の 代 りに αυ を 考 えて も よ い か らf(u,υ)=1と

仮 定 す る こ とが で き

る.fが

双 曲 型 平 面 で あ る.

交 代 形 式 な ら ば{u,υ}は

そ こ でfは

双 曲 型 の 組 だ か らVは

対 称 形 式 ま た はH形

  さ てw=λu+υ(λ

∈F)と

式 と 仮 定 す る. お け ばf(u,w)=1お

f(w,w)=λ+θ(λ)+a  が 成 り立 つ.こ

こ で θは 形 式fに

形 式 な ら ばFの

標 数 は2で

と な る.明

同 伴 し て い るFの

な い か ら λ=-a/2と

ら か に{u,w}が

な ら ばa=f(υ,υ)は

よび (a=f(υ,υ))

お け ば{u,w}は

生 成 す る 平 面 はVと

θ の 不 変 体F0の

自 己 同 形 で あ る.fが

双曲型の組

一 致 す る.一

元 で あ る.こ

の 時,次

対称

方fがH形

式

の 補 題 が 成 り立

つ.

  不 変 体F0の   (証 明

元bが

 

与 え ら れ れ ば μ+θ(μ)=bを

だから  

を み た すFの

み た すFの 元xが

元 μ が あ る.

存 在 す る.そ

こで

c=x+θ(x) と お け ばcはF0の

元 で  

と な る.よ

っ て μ=xbc-1と

おけば

μ+θ(μ)=b.)

  した が って 適 当 に λ を選 ん でf(w,w)=0と

す る こ とが で き る.前

と同 様 に

Vが 双 曲型 平 面 とな る.   系  非 退 化 対称 形 式 を もつ2次 元 の 内 積 空 間 は 双 曲 型 平 面(判 別 式 は-1)で あ る か ま た は 直 交 基{x,y}を をみ たす 平 面W(判

もちf(x,x)=1,f(y,y)=-γ(γ

別 式 は-γ)の

は 非 自乗 元)

い ず れ か と同 形 に な る.Wは0以

外に等方

的 な 元 を含 まな い.   定 理3.11 

奇標 数 の 有 限 体 の上 で 非 退 化 対 称 形 式 を もつ 内積 空 間(V,f)は

と直 交 和 に 分 解 す る.こ

こ でP1,…,Prは

0以 外 の 等 方 的 元 を 含 ま な い.も

しdim

双 曲 型 平 面,dim R=2な

ら ばRは

R≦2,か

と 同 形 で あ る.   証 明   次 元n=2m+1が

奇 数 と す る.P1,…,Pmを

つRは

上 に あ げ た 平 面W

双 曲型 平 面 と し

の 判 別 式 を 計 算 す れ ば Δ(f)=(-1)mf(u,u)と よ り Δ(f)は

な る.し

た が っ てf(u,u)の

平 方 元 に も 非 平 方 元 に も な る.n=2mが

偶 数 な ら ば(定

値 に 理3.9)

と は 非 同 形 で 任 意 の 対 称 内 積 空 間 は こ の い ず れ か と 同 形 に な る.

  §4  Wittの

定理

  内 積 空 間 を 考 え る に あ た っ て 最 も基 本 的 な 定 理 が こ の 節 で 述 べ るWittの 理 で あ る.ま

ず 次 の 定 義 か ら 始 め よ う.

  定 義4.1 

内 積 空 間(V,f)の

部 分 空 間Uに

対 し そ の 根 基rad

定

Uを

rad U=U∩U⊥ と 定 義 す る.部

分 空 間Uがrad

の 時,等

U={0}を

方 的 と い う.特

み た す 時,Uを

にrad

U=Uが

非 等 方 的 と い い,

成 り立 つ 時,Uを

全等

方 的 とい う.   定 義 か ら 明 ら か で あ る が 任 意 のUに   (4.2)  内 積 空 間(V,f)の fのUへ

の 制 限 がU上

の 任 意 の 元uに Ⅰ(5.3)で

部 分 空 間Uが

 

Uは

全 等 方 的 で あ る.

非 等 方 的 で あ るた め の 条 件 は 内 積

で 非 退 化 な こ と で あ る.も

的 な らば 直 交 和 分 解   証 明   部 分 空 間Uの

対 し てrad

しfが

非 退 化 でUが

非等方

が 成 り立 つ.

元xがrad

Uに

属 す る た め の 条 件 はf(u,x)=0がU

つ い て 成 り立 つ こ と だ か ら(4.2)の

前 半 が 成 り立 つ.後

半は

証 明 さ れ て い る.

  基 本 定 理 の 証 明 に 次 の 命 題 が 必 要 で あ る.   (4.3)  内 積 空 間(V,f)に Uの

お い て 形 式fは

Uに

対 しrad

基{u1,…,ur}お

よ びrad

Wが

与 え ら れ て い る と仮 定 す る.こ

の 時,次

非 退 化 と 仮 定 す る.Vの UのUに

部分空 間

お け る 補 部 分 空 間

の性 質 を もつ 元 の組

{υ1,…,υr} が 存 在 す る.す

べ て のiに

つ い て{ui,υi}は

双 曲 型 の 組 と な る.い

ま

Pi=〈ui,υi〉,  U0=〈U,υ1,…,υr〉 と お け ば    証 明   命 題 をrに

と 直 交 和 に 分 解 しrad 関 す る 帰 納 法 で 証 明 し よ う.仮

U0={0}.

定 に よ り直 交 和 分 解

が 成 り立 つ.も しr=0な

らば 結 果 は 自明 で あ る か らr>0と

と お く.こ

含 ま な い か らU⊥

の 時U1はurを

そ こ で(U1)⊥-U⊥

の 元 υ を とれ ば  

Pr=〈ur,υr〉, 

限 をf1と

 

お よ びU1⊂V1が

お け ばf1は

V1,f1,U1,Wお

て

V1=(Pr)⊥ 成 り立 つ.い

非 退 化 で あ る.こ

等 方 的 だ か ら(3.10)

っ て 適 当 に 〈ur,υ〉 の 元 υrを と り

双 曲 型 の 組 と な る よ うに で き る.さ

とお け ば

の 真 の 部 分 空 間 とな る.

元urは

に よ り 〈ur,υ〉 は 双 曲 型 平 面 で あ る.よ {ur,υr}が

は(U1)⊥

ま形 式fのV1上

が 成 り 立 つ.さ

よ び{u1,…,ur-1}

存 在 しPi=〈ui,υi〉

ら にU2⊂V1,U2∩U2⊥

は 直 交 和 で あ る.さ

てx∈rad

へ の制

の時

が 帰 納 法 の 仮 定 を み た し て い る こ と が 容 易 に 証 明 さ れ る.よ に よ り{υ1,…,υr-1}が

仮 定し

に つ い て直 交 和 分 解

∩V1={0}と

U0と

っ て 帰納 法 の 仮 定

な る.明

す れ ばx∈(Pr)⊥

らか に

だか ら

x∈U0∩V1=U2 と な る.よ   さ てWittの

っ てx∈U2∩U2⊥

∩V1={0},す

U0={0}.

定 理 は 次 の よ うに 述 べ ら れ る.

  定 理4.4 

内 積 空 間(V,f)と(V1,f1)は

仮 定 す る.こ

の 時Vの

写 像 はVか

な わ ちrad

らV1の

共に非退化で互いに同形であ ると

任 意 の 部 分 空 間 をUと

す れ ばUか

らV1の

中への等長

上 へ の 等 長 写 像 に 拡 張 で き る.

  ま ず 証 明 に 必 要 な 補 題 を 二 つ 証 明 す る.   (4.5)  内 積 空 間(V,f)の

中 に 部 分 空 間U,Wお

σ:U→V,  が 与 え ら れ,U∩W={0},σ(U)∩

が す べ て のu∈U,w∈Wに

らVの

らに

f(τw,σu)=f(w,u)

つ い て 成 り立 っ て い る と仮 定 す る.こ ρ:u+w→

はU+Wか

τ:W→V τ(W)={0},さ

f(σu,τw)=f(u,w), 

よび 等 長 写 像

σu+τw

中 へ の 等 長 写 像 で あ る.

の時

  証 明   条 件U∩W={0}=σ(U)∩

τ(W)に

f(σu+τw,σx+τy)  を 展 開 す れ ば,仮

よ り ρは 単 射 と な る.さ

て

(u,x∈U,w,y∈W)

定 に よ り各 項 か ら σ,τ が 落 せ る の で f(σu+τw,σx+τy)=f(u+w,x+y),

す な わ ち ρは 等 長 写 像 で あ る.   (4.6)  内 積 空 間(V,f)は

非 退 化 と仮 定 す る.さ

中 へ の 等 長 写 像 σが 与 え ら れ て い る とす る.こ 間U0が

あ っ て,σ

はU0か

らVの

  証 明  い まrad

Uの

(4.3)に

元{υ1,…,υr}が

よ りVの

は 直 交 和,さ

ら にU0は

と お け ば,σ

の 時Uを

含む非等方 的部分空

と り

と 分 解 す る.

あ っ て{ui,υi}は

非 等 方 的 と な る.そ Y=σ(W), 

双 曲 型 の 組,

こで

xi=σ(ui) 

(i=1,2,…,r)

は 等 長 写 像 だ か ら{x1,x2,…,xr}はrad

が 成 り立 つ.ま

た(4.3)に

つ い て{xi,yi}は

よ りVの

Xの

元{y1,…,yr}が

双 曲 型 の 組 と な る.さ

は 直 交 和 で あ る.そ

σ0(υi)=yi  らX0の

基 とな り

あ っ て,す

てQi=〈xi,yi〉

こ で σ0:U0→X0をU上

と 定 義 す れ ば σ0がU0か

らVの

中 へ の 等 長 写 像 に 拡 張 で き る.

基{u1,…,ur}を

X=σ(U), 

ら に 部 分 空 間Uか

べ て のiに

とおけ ば

で は σに 等 し く (i=1,2,…,r)

上 へ の等 長 写 像 に 拡張 で き る こ とは 明 らか で

あ る.   定 理4.7  Vの

非 退 化 な 内 積 空 間(V,f)の

中 へ の 等 長 写 像 は(V,f)の

部 分 空 間Uを

  証 明   ま ず 等 長 写 像 σ:U→VがUの1元xを 超 平 面Wの け ばDは

 

各 元 を 固 定 す る場 合 を 考 え る.こ σx-xが

生 成 す る1次

f(σu-u,σ が 任 意 のu,υ

∈Uに

  場 合 を 分 け,ま

の 時Uか

υ)=f(u,υ)-f(u,σ

に 動 か す が,あ

の 時D={σu-u}(u∈U)と

元 の 部 分 空 間 で あ る.さ

つ い て 成 り立 つ.し

ず  

と る.こ

ら

自 己 同 形 に 拡 張 で き る.

υ)=f(u,υ-σ

て υ)

た が っ てW⊂D⊥

の 場 合 を 考 え る.上

る お

式 でu=υ=xと

と な る. お い てみ れ

ばy=σxもD⊥

に 含 ま れ て い な い こ とが わ か る.そ 恒 等 写 像:D⊥

に(4.5)が

→D⊥, 

σ:Fx→Fy

適 用 で き る こ と を 示 そ う.さ f(u,z)=f(σu,z), 

を み た す か ら(4.5)が

こで

て,D⊥

の 任 意 の 元zは

f(z,u)=f(z,σu) 

適 用 さ れ る.こ

(u∈U)

の 場 合W=U∩D⊥

だ か ら拡 張 され た

等 長 写 像 が σ の 拡 張 と な っ て い る こ と は 明 ら か で あ ろ う.ま だ か ら σ は(V,f)の   次 にx∈D⊥ び σUはD⊥

たV=Kx+D⊥

自己 同 形 に 拡 張 さ れ る.

の 場 合 を 考 え る.今

度 はy=σxもD⊥

の 同 次 元 の 部 分 空 間 で あ る.よ

通 の 補 部 分 空 間Xを

も っ て い る.σ:U→

Ⅰ(2.3)に

σUと

恒 等 写 像X→Xに対

して

適 用 さ れ,σ

σx,x共

にD⊥

(4.6)に

よ り τ は 更 に 大 き い 次 元 の 非 等 方 的 部 分 空 間 に 拡 張 さ れ る.こ 超 平 面 だ か ら 結 局 σ はV上

  一 般 の 場 合 はdim 超 平 面Wを

Uに

な わ ちD⊥は

等 方 的.し

こ ろで た が って の場 合

に 拡 張 さ れ る.

関 す る 帰 納 法 に よ り次 の よ うに 証 明 さ れ る.Uの

定 め れ ば σ のWへ

形 τ1に 拡 張 さ れ る.そ る.も

の 等 長 写 像 τに 拡 張 で き る.と

に 含 まれ る か らD⊂D⊥,す

よ

よ りD⊥ の 中 で 共

(4.5)が

D⊥ はVの

はU+X=D⊥

に 含 ま れ る か らUお

って

の 制 限 は 帰 納 法 の 仮 定 に よ り(V,f)の

こ で τ1-1σを 考 え れ ば これ はWの

し τ1が σ の 拡 張 で あ れ ば 証 明 終 り.も

は 始 め に 述 べ た よ うに(V,f)の

自己 同

恒 等写 像 を 与 え て い

し τ1が σ の 拡 張 で な け れ ば τ1-1σ

自己 同 形 τ2に 拡 張 さ れ る.し

た が っ て 自己 同

形 τ1τ2は σ の 拡 張 で あ る.   定 理4.4の

証明 仮定に よ り  

長 写 像 θが あ る.Uか

らV1の

だ か らVか

の 中 へ の 等 長 写 像 で あ る か ら 定 理4.7に る.明

ら か に θτ はVか

一 致 す る .す

らV1の

な わ ち 定 理4.4が

よ り(V,f)の

U2に

みたす dim

U1≦dim

射 線 形 写 像 σ が あ る.と

らV

上 で は θ(θ-1σ)=σ と

成 り立 つ.

非 退 化 と 仮 定 す る.極

  証 明   まずdim

中への等

自己 同 形 τに拡 張 で き

上 へ の 等 長 写 像 でUの

  系   内 積 空 間(V,f)は 対 し てU2=τ(U1)を

らV1の

中 へ の 等 長 写 像 を σ と す れ ば θ-1σはUか

U2と

τ∈Aut(V,f)が U1=dim

あ る.特

に

U2.

仮 定 す る.こ

こ ろ でU1もU2も

大 な 全 等 方 的 部 分 空 間U1と

の 時U1か

らU2の

中 へ の単

全 等 方 的 で あ るか ら σは 等 長 写 像

で あ る.よ

っ てWittの

定 理 に よ り σ は(V,f)の

す な わ ち τ(U1)=σ(U1)⊂U2が

成 り立 つ.し

τ-1も 等 長 写 像 で あ る か ら τ-1(U2)は 的 部 分 空 間 だ か らU1=τ-1(U2)と   も しdim

U1≧dim

  定 義4.8  を 形 式fの

U2で

自 己 同 形 τに 拡 張 さ れ る.

た が っ てU1⊂

全 等 方 的.と

τ-1(U2)を

こ ろ でU1は

得 る.

極 大 の全 等 方

な る.

あ っ て も 同 様 に 証 明 され る.

内 積 空 間(V,f)が

非 退 化 の 時,極

大 な全 等方 的 部 分空 間 の 次 元

指 数 と い う.

  定 理4.7の

系 に よ り指 数 は(V,f)に

よ り 定 ま り極 大 全 等 方 的 部 分 空 間 の 取

り方 に は 無 関 係 で あ る.   定 理4.9 

非 退 化 内 積 空 間(V,f)の

指 数 をν,dim

V=nと

おけば

2v≦n が 成 り立 つ.こ 面,Wは0以

の 時 

と 直 交 和 に 分 解 し 各Piは

双曲型平

外 に 等 方 的 な 元 を 含 ま な い.

  証 明   極 大 な 全 等 方 的 部 分 空 間 の 一 つ をUと ら にU=rad

Uが

が 存 在 す る.よ

成 り立 つ.し

っ てn≧dim

と直 交 和 に 分 解 す る.さ 的 と な る.ひ

た が っ て(4.3)に

U0=2ν.ま

てWの

お く.こ

元wが

たU0は

さ

非 等 方 的 で あ るか ら

等 方 的 と 仮 定 す れ ば 〈U,w〉

は全 等 方

な わ ちwはUとW

な る.

  注 意   内 積 空 間(V,f)は 像 が あ れ ばU⊥ とW⊥

Uで

よ り双 曲 型 の 部 分 空 間

が 極 大 全 等 方 的 部 分 空 間 だ か らw∈U.す

と の 共 通 元 でw=0と

の 時ν=dim

非 退 化 と仮 定 す る.部

分 空 間UとWと

の 間 に全 射 同 形 写

との 間 に も全 射 同 形 写 像 が 存 在 す る.こ れ はWittの

定 理 と同 値

な 命 題 で あ る.

  §5  斜

交

群

  こ の 節 で は 形 式fが りVの

非 退 化 な 交 代 形 式 で あ る場 合 を 調 べ よ う.定

次 元 は 偶 数 でVは

と直 交 和 に 分 解 す る.こ

双 曲 型 で あ る.そ

こ で{υi,υm+i}は

こ でdim

V=2mと

双 曲 型 の 組 で あ る.さ

理3.2に おけば

て

よ

B={υ1,…,υm,υm+1,…,υ2m} はVの

基 で あ る が こ の 基 に関 し てfを

こ こ でIは(m,m)型

表 現 す る 行 列 をAと

の 単 位 行 列 で あ る.Aut(V,f)は

お け ばAは

斜交群で

Aut(V,f)=Sp(2m,F) と書 く こ と に す る.Ⅰ

§5で 述 べ た よ うにSp(2m,F)は S={M∈GL(2m,F)￨tMAM=A}

に よ り定 義 さ れ る 行 列 群 と 同 形 に な る.そ てM∈Sの

こ でMを(m,m)型

の小 行 列 に分 け

条 件 を 書 き 上 げ れ ば 次 の 結 果 を 得 る.   tM

  (5.1)  m=1の

場 合Sp(2,F)=SL(2,F)で

  証 明   上 の 条 件 式 はMの

対 称 行 列.

あ る.

行 列 式 が1と

  (5.2)  移 換 τ(μ,a)が 交 代 形 式fに

1M3,tM2M4は

い う条 件 を 表 わ し て い る. 関 す る等 長写 像 で あ る た め の 条件 は

μ(x)=λf(x,a) と な る こ と で あ る.(こ

の 条 件 を み た す 移 換 を 斜 交 移 換 と い い τ(λ,a)と 書 く.)

  証 明   移 換 τ=τ(μ,a)が

斜 交 移 換 であ るた め の条 件 は f(τx,τy)=f(x,y),

す な わ ち,μ(y)f(x,a)+μ(x)f(a,y)=0が と で あ る.そ

こ でf(a,y0)=-1と

す べ て のx,yに な る 元y0を

つ い て 成 り立 つ こ

一つ定めた上 で

λ=μ(y0) と お け ば μ(x)=λf(x,a)と

な る.逆

に この 式 を み た すλ に つ い て定 義 され る

移 換 は 斜 交 移 換 で あ る こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る.   斜 交 群Sp(2m,F)の

任 意 の 元 σに つ い て στ(λ,a)σ-1=τ(λ,σa)

が 成 り立 つ.よ

っ て τが 斜 交 移 換 な ら ば στσ-1も 斜 交 移 換 で あ る.

  定 理2.6に

対 応 す る 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理5.3 

Sp(2m,F)は

斜 交 移 換 全 体 の 集 合 に よ り生 成 さ れ る.

  証 明   斜 交 移 換 全 体 が 生 成 す る 部 分 群 をTと

お く.

  (a)  TがV-{0}上 u,υ

を と る.ま

a=u-υ

に 可 移 に 作 用 す る こ と を 証 明 し よ う.V-{0}の ず 

と仮 定 し よ う.λf(u,υ)=1を

と お い て 斜 交 移 換 τ=τ(λ,a)を

考 え る.こ

元

み た す λを と り

の時

τ(u)=u+λf(u,u-υ)a=u-a=υ とな る.さ

てu,υ

をV-{0}の

任 意 の2元

補 部 分 空 間 が あ る(Ⅰ(2.3)).そ

が 成 り立 つ.し

とす れ ば

〈u〉⊥ と 〈υ〉⊥ に 共 通 な

れ を 〈w〉 と お け ば

た が っ て 斜 交 移 換 τ1,τ2に よ り τ1(u)=w,τ2(w)=υ

れ る か ら τ2τ1(u)=υ と な り(a)が

証 明 さ れ る.

  (b)  双 曲 型 の 組 全 体 の つ く る 集 合 をHと こ と を 証 明 し よ う.(a)に

お きTがH上

よ りTはV-{0}に

の 組{x,y}と{x,z}が

とお け ば 斜交 移 換

み た すTの

合 を 分 け て まず 

元 σが 存 在 す

と仮 定 す る.い

τ=τ(λ,a)を 適 当 に選 ん で τ(y)=zと

((a)の 証 明 参 照).と

に 可移 に 作用 す る

可移 に 作 用 し て い る か ら 双 曲 型

あ る 時 σ(x)=x,σ(y)=zを

る こ と を 示 せ ば よ い.場

と うつ さ

まa=y-z

す る こ と が で き る

ころ で f(x,a)=f(x,y)-f(x,z)=1-1=0

だ か ら τ(x)=xと

な る.す

  次 にf(y,z)=0と

な わ ち τは{x,y}を{x,z}に

仮 定 す る.こ

でf(y,w)=-1,f(w,z)=1を

の 時w=x+zと

満 足 す る.し

うつ す. お け ば{x,w}も

双 曲型

た が って前 述 の通 り

τ3:{x,y}→{x,w},τ4:{x,w}→{x,z} を み た す 斜 交 移 換 τ3,τ4が あ る.よ Tの

っ て 積 τ4τ3は{x,y}を{x,z}に

うつす

元 で あ る.

  (c)  双 曲 型 の 組{x,y}を ば{ρ(x),ρ(y)}は 足 す るTの

一 つ 定 め て お く.任

双 曲 型 の 組 と な る.(b)に

元 σ が 存 在 す る.し

元 を 不 変 に し て い る.  群 の 元 と見 る こ とが で き る.よ

意 に ρ∈Sp(2m,F)を

よ り ρ(x)=σ(x),ρ(y)=σ(y)を

た が っ て σ-1ρ は 双 曲 型

平面P=〈x,y〉

っ て 次 元 に 関 す る帰 納 法 に よ り定 理5.3が

Sp(2m,F)⊂SL(2m,F).

  証 明   移 換 の 行 列 式 の 値 は1だ

満 の各

と直 交 和 に 分 解 す る か ら σ-1ρ はP⊥ の 斜 交

さ れ る.   定 理5.4 

とれ

か ら 定 理5.4は

定 理5.3の

系 で あ る.

証明

  定 理5.5 

Sp(2m,F)の

中 心 は{±I2m}で

  証 明  対 称 な(m,m)型

行 列 をB,任

あ る.

意 の(m,m)型

正 則 行 列 をAと

すれ

ば

はSp(2m,F)の

元 で あ る.Sp(2m,F)の

中 心 の 元Mを

な ど の 等 式 を 計 算 す れ ば 上 式 よ りM3=0,M1=M4を M4=0,  が 得 ら れ る.と

一 致 す る.

  定 理5.6 

係 数 体Fがq元

か ら λ2=1す

体 で あ る 時Sp(2m,F)の

  証 明   ￨Sp(2m,F)￨=smと がm=1の

得 る.同

お く.(5.1)に

場 合 に 成 り立 つ.そ

れ る 双 曲 型 の 組 の 数 をhmと

な わ ち 斜 交 群 の中 心

位 数は

よ りs1=q(q2-1)と

こ でm>1と

お く.定

様 に して

M1=λI

こ ろ でM1=tM4-1=M4だ

は{±I2m}と

小行列に分けて

な り定 理5.6

仮 定 し 帰 納 法 に よ る.Vに

理5.3の

証 明(b)に

含 ま

よれ ば 斜 交 群 は 双 曲

型 の 組 の 集 合 に 可 移 に 作 用 し,一

つ の 双 曲 型 の 組 の 安 定 化 群 は2(m-1)次

の 斜 交 群 と 同 形 で あ る(定 理5.3の

証 明(c)).し

元

た が って等 式

sm=hmsm-1 が 成 り立 つ.す

な わ ちhmが

の 組{x,y}に

お い て,第1の

方 がq2m-1だ

け あ る.元xを

い.xと

計 算 で きれ ば 上 式 に よ りsmが 元xは0以

み た す 元yの

て双 曲型

外 の任 意 の 元 で よい か ら 可能 な選 び

定 め れ ばyはf(x,y)=1を

直 交 し な い 元 の 数 はV-〈x〉

ちf(x,y)=1を

定 ま る .さ

⊥ の 元 数q2m-q2m-1に

満 足 して い れ ば よ 等 し い .そ

の う

数は

(q2m-q2m-1)/(q-1)=q2m-1 で あ る.よ

っ てhm=q2m-1(q2m-1)と

  後 章 でSp(2m,F)の

中 心 に よ る商 群 が 三 つ の 例 外 の 場 合 を 除 け ば 単 純 群 で

あ る こ と を 証 明 す る.§2で 明 す る こ と も で き る.こ

な り定 理 が 成 り立 つ .

述 べ たPSL(V)の

れ に つ い て は 永 尾[4]を

単 純 性 と同様 な方 法 を用 い て証 参 照 さ れ た い.

  §6  ユ ニ タ リ群   この節 で は θ2=1を み た す 係 数 体Fの hと しhを

自己 同形 θに 関 す る非 退化H形

式を

考 察 す る.θ の 不 変 体 をF0と

お く.

不 変 に す る ユ ニ タ リ群U(h)を

Fが 有 限 体 の 場 合 ユ ニ タ リ群 はhの U(h)=U(n,q) 

と表 わ す.形 式hに

取 り方 に 関 係 し ない か ら

(n=dim

V,q=￨F0￨,q2=￨F￨)

対 応 す る行 列 が 逆対 角行 列,す なわ ち 右 上 か ら左 下へ の 対

角 線 上 に1が 並 び そ の 他 は0と な る もの を とれ ば,有 限 体 上 の非 退 化H形 式 の 指 数 は極 大,す 般 体F上

なわ ち 指数 はn/2ま

た は(n-1)/2と

の ユ ニ タ リ群 を考 え るがhの

な る.以 下 こ の節 で は一

指数 は 正 と仮 定 す る.H形

式や 対称 形

式 で は 指 数0の 場 合 例 外 的 な性 質 を もつ こ とが 多 い.   (6.1)  SU(h)=U(h)∩SL(V)と

特 にFが

有 限 体 の 場 合U(h)/SU(h)は

  証 明   定 理 Ⅰ5.4系1に た す.そ

おけ ば 次 式 が成 り立 つ.

こ でFの

位 数q+1の

よ りU(h)の

任 意 の 元 σ は(det

元 α が αθ(α)=1を

み た し て い れ ばdet

の 元 σ が あ る こ と を 証 明 し よ う.定 と が で き る.い

巡 回 群 で あ る.

理3.4に

σ=α,さ

σ=α

お い てVの

み

と な るU(h)

よ り直 交 基{u1,…,un}を

ま σ(u1)=αu1,σ(ui)=ui(i≧2)と

義 す れ ば 明 ら か にdet

σ)θ(det σ)=1を

とるこ

線 形写像 σを 定

らに

h(σ(ui),σ(uj))=h(ui,uj)

が す べ て のi,jに

つ い て 成 り立 つ.(i=j=1の

し た が っ て σ は ユ ニ タ リ 群U(h)の   係 数 体Fが

有 限 体 な ら ばF#は

場 合

元 と な り,前 巡 回 群 で

αθ(α)=1が

必 要 と な る.)

半 が 証 明 さ れ る.

θ(α)=αq(q=￨F0￨)が

成 り立 つ か

ら 後 半 が 容 易 に 証 明 さ れ る.   注 意   任 意 の 係 数 体 の 場 合 で も(6.1)の 標 数 が2で の時

θ(ζ)=-ζ

ま 体Fの

み た す 元 ζ を と る こ と が で き る.こ

だか ら α=r+sζ

と お け ば αθ(α)=1はr2-s2z=1と 対 し てt=sz/(r-1)と

 

(r,s∈F0)

同 値 と な る.さ

てr2-s2z=1の

解

 

おけば r=(t2+z)/(t2-z), 

と な る.逆

後 半 に 相 当 す る 結 果 が 成 り立 つ.い

な い と 仮 定 す れ ばF=F0(ζ),ζ2=z∈F0を

に 任 意 のt∈F0に

つ い て(r,s)を

s=2t/(t2-z) 上 の よ う に 定 義 す れ ば(r,s)はr2-s2z=1

に

の 解 と な る.し   係Fの

た が っ て α=r+sζ

標 数 が2の

は

αθ(α)=1を

場 合 も 同 様 で あ る.F/F0は F=F0(ζ), 

と な る(『 代 数 』I,p.236定 件 はr2+rs+s2z=1で

ζ2+ζ=z∈F0, 

理4).こ あ る.こ

の時

と な る.多

  定 理6.2 

次 元 が2の

非 退 化,さ

面 で あ る(3.10).よ

と な る.同

おけば

で あ る.逆

と お け ば,α

場 合,hの

に 任 意 のt∈F0

は αθ(α)=1を

解 の 数 は￨F0￨に

満 足 す る.以

等 し い.

指 数 が 正 な らば

ら に 指 数 が 正 と 仮 定 し た か ら(V,h)は

っ て 双 曲 型 の 組{u,υ}が

み た す 元 γ を 含 ん で い る.そ 列 をAと

満 足 す るた め の 条

を と りt=(r+1)/sと

既 約 だ か ら 

無 限 体 な ら ば αθ(α)=1の

  証 明   形 式hは

αθ(α)=1を

s=1/(t2+t+z)

上 の よ うに 定 義 し て α=r+sζ

空 間Vの

が

の 式 を み た すr, 

項 式X2+X+zはF0上

上 の よ う にFが

θ(ζ)=ζ+1

α=r+sζ

r=(t2+z)/(t2+t+z), 

に 対 しr,sを

み た す. ガ ロア拡 大 だ か ら

こ で{u,γ

あ る.さ

υ}をVの

て 体Fは

双 曲型 平 θ(γ)=-γ

基 に と り,hに

対 応 す る行

お け ばAは

じ基 に よ り,SU(h)の

元 を 行 列 表 示 し て,そ

れ をMと

おけ ば

tMAθ(M)=A が 成 り立 つ.det な わ ちMの

M=1だ

か らtMAM=Aも

各 成 分 はF0の

  (6.3)  移 換

成 り立 ち θ(M)=Mを

元 でSU(h)=SL(2,F0)と

τ=τ(μ,a)がU(h)の

で あ る.特

にaはhに

  証 明   τがhを

得 る.す

な る.

元 で あ る た め の条 件 は

μ(x)=γh(x,a), 

θ(γ)=-γ

関 し て 等 方 的 元 で あ る.

不 変 に す る た め の 条 件 は す べ て のx,y∈Vに

つ いて

μ(x)h(a,y)+θ(μ(y))h(x,a)+μ(x)θ(μ(y))h(a,a)=0 が 成 り立 つ こ と で あ る.μ(a)=0だ

か ら 上 式 のyにaを

μ(x)h(a,a)=0,す と な る こ と が わ か る.そ

代入すれば

な わ ちh(a,a)=0

こ でh(a,y0)=-1を

み た すy0を

一つ定め

γ=θ(μ(y0)) と お け ば 上 式 よ り μ(x)=γh(x,a)お

よ び γ+θ(γ)=0を

得 る.

を

  逆 にh(a,a)=0お

よ び θ(γ)=-γ

を み た す 元a,γ

を と り

τ(x)=x+γh(x,a)a と お け ば τはU(h)に

含 ま れ る 移 換 と な る.

  上 の 形 に 表 わ さ れ る 移 換 を ユ ニ タ リ 移 換 と い い τ=τ(γ,a)と 表 わ す.形 の 指 数 が0な

ら ばU(h)は

移 換 を 含 ま な い.指

が 生 成 す る 部 分 群 をTと   定 理6.4 

形 式hの

例 外 はSU(3,2)で   注 意  定 理6.4の

数 が 正 の 場 合 ユ ニ タ リ移 換 全体

お け ば 次 の 定 理 が 成 り立 つ. 指 数 が 正 な ら ば 一 つ の 例 外 を 除 い てT=SU(h)と

証 明 の方 針 はSL(V)や

斜 交 群 の場 合 と同 様 で あ る.非

と直交 和 に 分 解 す る.SU(h)の

τ(u)を み た す τ∈Tが

存 在 す る こ とを 証 明す る.そ

た が って σ∈Tが

等方的な元

元 σ を任 意 に と った 時 σ(u)= うす れ ば τ-1σはuを

ら 〈u〉 ⊥ 上 の ユ ニ タ リ群 の元 と見 る こ と が で き る.そ

雑 で 面 倒 で あ る.係

な る.

あ る.

uを と り 

τ-1σ ∈T,し

式h

不 変 に す るか

こで 次 元 に 関 す る帰 納 法 に よ り

証 明 され る.し か し ユ ニ タ リ群 の 場 合,証

明 の細 部 が 複

数体 が有 限 体 の場 合 に限 定 す れ ば 比 較的 簡 単 に証 明 で き る.こ

関 し て は 永 尾[4]p.193を   証 明   (a)  ま ず2次

元 の 場 合 に 定 理 が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.定 同 形 で あ る.定

に よ り生 成 さ れ る.定

証 明 か ら わ か る よ う に 双 曲 型 の 組{u,υ}お

理6.2の

理2.7に

理6.2に

よ り ユ ニ タ リ群 はSL(2,F0)と

び θ(γ)=-γ

れに

参 照 さ れ た い.

よ りSL(2,F0)は

を み た す 元 γ が あ っ て 上 に あ げ た 行 列 で 表 現 さ れ るU(h)の

そ れ ぞ れ ユ ニ タ リ移 換 τ(bγ,u),τ(cγ,υ)で あ る.よ

っ て2次

よ 元は

元 の場 合 に 定理 が

成 り立 つ.   (b)  以 下n=dim 等 方 的 元uを

V≧3と

選 べ ばW=〈u〉

仮 定 しnに ⊥ とW上

関 す る 帰 納 法 に よ る.ま へ のhの

ず適 当に非

制 限h′ に 対 し て 帰 納 法 が 適

用 で き る こ と,す な わ ちh′ の 指 数 が 正 と な る こ と を 証 明 し よ う.仮 定 に よ りh の 指 数 は 正 だ か ら 等 方 的 元  n-1で

あ る.も

しHの

る.し

た が っ て 定 理4.9に

る.よ

っ てHは

が あ る.い

まH=〈

υ〉⊥ と お け ばHの

各 元 が 等 方 的 な ら ば(3.3)に よ りn-1≦n/2,す

非 等 方 的 な 元uを

な わ ちn≦2と

含 ん で い る.こ

〈u〉⊥ 上 へ の 制 限h′ の 指 数 は 正 と な る.

よ りHは

次元は

全等方的 とな い う矛 盾 が お こ

の よ う に 元uを

選 べ ばW=

  (c)  証 明 を は じ め る 前 に,非

等 方 的 元wが

与 え ら れ た 時wを

面 が 必 ず と れ る こ と を 示 そ う.仮 定 に よ り形 式hの xが

あ る.(4.3)に

て(3.10)の

よ り等 方 的 な 元yが

あ っ て{x,y}は

双 曲 型 の 組 と な る.さ

証 明 の 中 で 注 意 し た よ うにh(w,w)=λ+θ(λ)を

存 在 す る.そ

こ でw0=x+λyと

含む 双 曲型 平

指 数 は 正 だ か ら等 方 的 な元

み た すFの

元 λが

おけ ば

h(w0,w0)=λ+θ(λ)=h(w,w) が 成 り立 つ.し

た が っ て αw0→

像 で あ る.Wittの

αw(α

∈F)は

定 理 に よ りそ れ をVの

〈w0〉 か らVの

中 へ の等 長 写

自 己 同 形 φ に 拡 張 で き る.そ

φ に よ る 〈x,y〉 の 像 をPと

お け ばPは

  (d)  以 下,元uは(b)の

条 件 を 満 足 す る よ うに 選 ば れ て い る と仮 定 す る.

し ば ら く の 間￨F0￨≧5と は σ はTの

仮 定 す る.ま

ず

σ∈SU(h)がuを

元 で あ る こ と を 証 明 し よ う.前

の 制 限 をh′ と お く.元uが(b)の

へ のh つ いて

動 か さ な い か らWも

の ユ ニ タ リ移 換 は(uを

リ移 換 に 拡 張 さ れ る か ら((4.5)参 σ∈Tが

⊥,W上

不変 に

元 σ′を 引 き お こ し て い る.￨F0￨≧5と

し た か ら 例 外 の 場 合 は 起 ら ず 帰 納 法 の 仮 定 に よ り σ′はW上 こ ろ でW上

動 か さな い場 合 に

の よ う にW=〈u〉

定 に よ り σ はuを

に ユ ニ タ リ群SU(h′)の

積 と な る.と

含 ん で い る.

条 件 を み た し て い る か ら(W,h′)に

帰 納 法 の 仮 定 が 満 足 さ れ る.仮 し,W上

双 曲 型 平 面 でwを

こで

仮定

の ユ ニ タ リ移 換 の

動 か さ ず に)V上

の ユ ニ タ

照)σ が ユ ニ タ リ移 換 の 積 と な る.す

なわち

成 り立 つ.

  (e)  SU(h)の

任 意 の 元 σ を と る.こ

の時

σ(u)=τ(u)を

在 す る こ と を い くつ か の 場 合 に 分 け て 証 明 す る.前 ら σ∈Tが

得 ら れ る か ら 定 理 が 成 り立 つ.ま

み た す τ∈Tが

に 注 意 し た よ う に,こ

ず σ(u)とuと

を含 む 双 曲型 平 面

Pが 存 在 す る場 合 を 考 え よ う.αu→

ασ(u)は

だ か らWittの

自 己 同 形 φ に 拡 張 す る こ とが で き る.こ

定 理 に よ り そ れ をPの

こ で φ の 行 列 式 の 値 を1に σ(u)を 一 員 と す るPの を み た す 元 λ∈Fを

と れ る こ と を 証 明 し よ う.σ(u)は

直 交 基{σ(u),υ}が

あ る(定 理3.4)

中へ の 等長写像

非等方的 だ か ら .い

ま γdet φ=1

と れ ば σ(u)→ σ(u),υ → λυ に よ り定 義 され る線 形 写 像 ψ

は ユ ニ タ リ群 の 元 でdet ば ψφ もuを

〈u〉 か らPの

存 れか

ψ=λ

σ(u)に う つ し,行

ユ ニ タ リ移 換 の 積 と な る .(d)と

と な る(6.1).よ

っ て φ の 代 り に ψφ を と れ

列 式 の 値 が1と 同 様 にPの

な る.(a)に

よ り ψφ はPの

ユ ニ タ リ移 換 は(P⊥

の元を動か

さ ず に)Vの

ユ ニ タ リ移 換 に 拡 張 さ れ る か ら ψφ はTの

っ て σ(u)=τ(u),τ

∈Tと

な る.

  (f)  w=σ(u)-uと

お きwが

一 つ 定 め そ れ をPと

お く .元uのPへ

非 等 方 的 と 仮 定 す る.wを の 射 影 をxと

u=x+y 

と お く.こ

こ でxが

元 τ に 拡 張 さ れ る.よ

(x∈P,y∈P⊥)

非 等 方 的 な ら ば σ(u)=τ(u),τ ∈Tを

こ と を 証 明 し よ う.定

含 む 双 曲型 平 面 を

し

義 か ら σ(u)=w+x+yと

み た す τが存 在 す る

な る.よ

って

h(u,u)=h(σ(u),σ(u))⇒h(x,x)=h(w+x,w+x)

を 得 る.仮

定 に よ りw∈PでPは

の 元 ρが 存 在 す る.((e)の を1に

で き る.)前

る.そ

うす れ ば τ∈T.さ

双 曲 型 だ か ら ρ(x)=w+xを 証 明 参 照.元xが

と 同 様P⊥

み た すSU(P)

非 等 方 的 だ か ら ρの 行 列 式 の 値

の 元 は 動 か さ ず に ρ をSU(h)の

ら に τ(y)=yよ

元 τに 拡 張 で き

り

τ(u)=τ(x+y)=w+x+y=σ(u)

と な り τ は 求 め て い た 元 で あ る,よ

っ て この場 合

  (g)  こ の項 で は 引 き続 い てw=σ(u)-uが に お い てu=x+yと

分 解 した 時xが

σ∈Tが

成 り立 つ.

非 等 方 的 と仮 定 す る.前

等 方 的 な らば,wを

含 む 双 曲 型平 面 を と

りか えて(f)の 条 件 が 満 足 され る よ うに で き る こ と を 示 そ う.元wは 的 と仮 定 した か ら  

を 得 る.さ

が 成 り立 つ.そ

な る.し

ら ばh(σ(u),u)=h(u,u)=h(σ(u),σ(u)).よ

って

か し これ は 上 の不 等 式 に 矛 盾 す る か ら

こで u=a+b 

と分解 す れ ば 

(a∈

で あ る.さ

〈w〉,b∈

らに  

〈w〉 ⊥)

が 成 り立 つ(wが

仮 定 して い る).い ま α=h(a,a), 

とお け ば

 ま たc=b-yよ

β=h(b,b), 

りc∈

x=a+c

〈w〉⊥ を 得 る.特

に

h(a,b)=h(a,c)=0 が 成 り 立 つ.元xは

非等方

す なわ ち

てh(w,u)=0な

h(σ(u),w)=0と

項(f)

等 方 的 だ か らh(c,c)=-h(a,a)=-α.こ

こで

非等方的 と

d=λb+μc を 適 当 に選 べ ばP′=〈a,d〉

はwを

含 む 双 曲 型 平 面 で,こ

u=x′+y′

のP′ に よ り

  (x′∈P′,y′∈(P′)⊥)

と分 解 す れ ばx′ が 非 等 方 的 に な る こ と を 証 明 し よ う.そ

のた め に

e=a+d と お け ばh(a,d)=0よ

り  

を 得 る.そ

な ら ばP′ は 双 曲 型 と な る(3.10).元eが -α

で あ る .c=x-a∈Pよ

こ でeが

等方 的

等 方 的 で あ るた め の 条 件 は(d,d)=

りh(c,y)=0,よ

って

h(b,c)=h(c,b)=h(c,c)=-α

を 得 る.し た が ってeが 等方 的 とな るた め の条 件 は (*) 

βλθ(λ)-α(λ θ(μ)+θ(λ)μ+μ

が 成 り立 つ こ と で あ る.こ (*)′ 

こ で γ=(α+β)/α

θ(μ))=-α

と お け ば 上 式(*)は

γλθ(λ)+1-(λ+μ)θ(λ+μ)=0

と書 き直す こ とが で きる.こ の条 件 をみ たす 元dを 型 平 面 で,さ らに  

ならば  

選 べ ばP′=〈a,d〉

とな る.さ てu=x′+y′

は双曲

と分 解 した 時

x′が 等 方 的 と仮 定 す れ ば x′=ξ(a+ρd), 

と 書 け る.さ

ρθ(ρ)=1 

ら にh(x′,u)=h(x′,x′)=0が

成 り立 つ.い

元 ρ を ど の よ うに と っ て も   れ ば,こ

の 元dに

り 前 項(f)の

よ り定 め ら れ る 双 曲 型 平 面P′ へ のuの

仮 定 が 満 足 さ れ る.さ

必ず  

とな る.そ は  

  ま ず 体Fの

β-μ

射 影 は 非 等 方的 とな

α)

を み た す よ うに μ,λを 選 べ ば

こで α2δ θ(δ)を展 開 し て条 件(*)を と同値 に な る.と

だから  

選 ぶ こ とが で き

て

とな るか ら δ=μ-λ(β/α)と お い た 時  

と 同 値 に な る.こ

ま ρθ(ρ)=1を み た す

と な る よ う にdを

h(a+ρd,u)=α+ρ(λ

 

(ξ∈F)

用いれ ば

ころで  

は

の 条 件 と(*)と

標 数 が2で

を 同 時 に 満 足 す る λ,μ が あ る こ と を 示 そ う.

な い 場 合 を 考 え よ う.こ

F=F0(ζ), 

ζ2=z∈F0, 

の時

θ(ζ)=-ζ

と な る.そ

こで

λ=q+rζ,λ+μ=s+tζ(q,r,s,t∈F0)と

γ(q2-r2z)+1-s2+t2z=0と

お け ば 条 件(*)′

な る.s=1,q=r=t=0以

q=ξ(s-1),r=0,t=η(s-1)と

外 の 解 を 求 め

は

る た め

おけ ば (γξ2+η2z)(s-1)=s+1

を 得 る.そ

こで  

を み た すF0の

すs∈F0が

定 ま る.体Fの

標 数 は2で な い と仮 定 した か ら  

とな る.ま た μ=s-q+tζ

を 得 る.こ

こ でs-1で

割 り,上

と同値 に な る.そ こで  

.よ ってλ 

だか ら

に 求 め たsの

値 を代 入 して 式 を 簡 約 す れ ば

を一 つ 定 めれ ば ηは 二 つ の2次 不 等 式 を満 足 す る

よ うに とれ ば よい.￨F0￨≧5と

仮 定 して あ るか ら こ れ ら の 制 限 を み た す ξ,η

は存 在 し,し た が って条 件(*)お  体Fの

元 ξ,ηを とれ ば 上 式 を み た

よび  

をみ たす λ,μが あ る.

標 数 が2の 場 合 も同様 で あ る.こ の時 は F=F0(ζ), 

と な る(『 代 数 』I,p.236).前

ζ2+ζ=z∈F0, 

θ(ζ)=ζ+1

の よ う にq,r,s,tを

定 め れ ば 条 件(*)′

は

γ(q2+qr+r2z)+1-(s2+st+t2z)=0 と 表 わ せ る.そ

こ でq=ξ(s-1),r=0,t=η(s-1)と

お け ば

(γξ2+1+η2z)(s-1)+sη=0

となる.前 のように   より  を得るから  

としさらに   が成 り立つ.さ て

とな るた め の 条 件 は(s-1で

割 った あ とsの 値 を代 入 し て整 理 すれ ば)

とな る.と ころ で  

だか ら  

を得 る.よ って ξの値 を一 つ 定

め れ ば 上 の 三 つ の 不 等 式 を み た す ηが 存 在 し(￨F0￨≧5),し お よび     (h)  前 項(g)お

とすれば上式

た が って条 件(*)

を みた す λ,μが 存 在 す る. よび(f)に お い てw=σ(u)-uが

終 了 し た か ら 今度 はwが

等 方 的 と仮 定 す る.

  さ てh(u,σ(u))=0な

らばuと

非 等 方 的 な場 合 の 証 明 が

σ(u)と が 生 成 す る平 面 は 非 退 化 で等 方 的 な

元 を 含 ん で い る.よ

っ て そ れ は 双 曲 型 と な り(e)に

  そ こ でh(u,σ(u))=γ

とお き  

元 λ を 適 当 に 選 べ ば σ(u)-λuが りwは

よ り定 理 が 成 り立 つ.

と 仮 定 す る.こ

の 時 λθ(λ)=1を

みたす

非 等 方 的 に な る こ と を 証 明 し よ う.仮

定に よ

等 方 的 だ か らh(w,w)=0を

展開 して 2h(u,u)=γ+θ(γ)

を 得 る.い

ま λθ(λ)=1を

み た す 元 λ に つ い て σ(u)-λuが

等 方的 な ら

λγ+θ(λγ)=h(σ(u),σ(u))+h(λu,λu)=γ+θ(γ) と な る.す  

な わ ち λ は2次

式 λ2γ-λ(γ+θ(γ))+θ(γ)=0を

だ か ら こ の よ う な λ は 高 々 二 つ し か な い.一

((6.1)の

あ と)λ θ(λ)=1を

を 選 ん で λθ(λ)=1,さ   元uは

方,前

ら にw′=σ(u)-λuが

非 等 方 的 だ か ら,uを

こ ろで

に 注 意 し た よ うに

み た す 元 は 少 な く と も三 つ あ る.よ

って 適 当 に λ

非 等 方 的 と な る よ うに で き る.

含 む 双 曲 型 平 面Pが

λu→uをSU(P)の

元 に 拡 張 で き る((e)参

τ(λu)=uと

て σ の 代 りに τσ を 考 え れ ば

な る.さ

み た す.と

あ る((c)参

照).す

照).よ

な わ ち τ∈Tが

っ て, あ っ て

τσ(u)-u=τ(σ(u)-λu)=τ(w′) と な り τ(w′)は 非 等 方 的 で あ る.(f)お り立 つ.し

た が っ て σ∈Tと

  (ⅰ) 以 下￨F0￨=q≦4と 納 法 が 適 用 さ れ(d)で に 定 め る.任

よ び(g)に

よ り τσ に つ い て 定 理 が 成

な り定 理 が 証 明 さ れ る. 仮 定 す る.こ

の 時 もn=4,q=2の

証 明 し た 命 題 が 成 り立 つ.非

意 の σ∈SU(h)に

等 方 的 な 元uを

つ い て,n=3,q=2の σ(u)=τ(u), 

を み た す 元 τが 存 在 す る こ と を 証 明 し よ う.こ

場 合 を除 け ば帰 前 の よ う

場合を除けば τ∈T の 場 合 も(e)で

扱 っ た場 合 は そ

σ(u)と が 双 曲 型 で な い 平 面Pを

生 成 す る場 合 だ

の ま ま 成 立 す る.よ

っ てuと

け 考 え れ ば よ い.と

こ ろ で 有 限 体 上 で は 非 退 化 な 平 面 は す べ て 双 曲 型 だ か らP

は 退 化 し て い る.そ

こで σ(u)=λu+υ

と お い て υ がrad

Pを

生 成 す る よ うに で き る.(4.3)に

と直 交 和 に 分 解 し{υ,υ ′}は 双 曲 型 の 組 と な る.こ {0}で

な い 非 退 化 部 分 空 間 で あ る.し

た が っ てV′

よ り

こ でn≧4な はh(w,w)=h(u,u)を

ら ばV′

は み

た す 元wを (e)に

含 ん で い る.こ

の時

〈u,w〉,〈w,σ(u)〉

は共 に 双 曲 型 平 面 だ か ら

より τ1(u)=w, 

を み た す 元 τ1∈T,τ2∈Tが 元 で あ る.次

あ る.よ

にn=3,q>2と

が あ る(3.6).こ そ こ でw=α

っ て τ2τ1(u)=σ(u)と

仮定すれば

 

な り τ2τ1はTの を み た す元  

の β に 対 し αθ(β)+θ(α)β=h(u,u)を

み た す α が 存 在 す る.

υ+β υ′ と お け ば h(w,w)=α

と な る.ま

τ2(w)=σ(u)

θ(β)+θ(α)β=h(u,u), 

た σ(u)=λu+υ

ら〈w,σ(u)〉

h(w,u)=0

だ か らh(w,σ(u))=β

は 非 退 化 な 平 面 と な る.よ

平 面 だ か ら 前 と 同 様 に σ(u)=τ(u)を

を 得 る.よ

って β の定 義 か

っ て〈u,w〉,〈w,σ(u)〉

みたす

τ∈Tが

は共 に双 曲 型

あ る.

  (j)  残 っ て い る の はn=4,q=2の

場 合 σ(u)=uを

がTの

こ で 一 般 性 を 失 わ ず にuはVの

元 と な る こ と の 証 明 で あ る.こ

交 基{u,u1,u2,u3}の1元

と仮 定 で き る.σ はW=〈u〉

み た すSU(h)の

元 σ 正規 直

⊥ を 不 変 にす る か ら

σ(u1)=a1u1+a2u2+a3u3

と な る.以 る.こ

下 τ∈Tが

あ っ て τ(u)∈〈u〉,τσ(u1)∈〈u1〉 と な る こ と を 証 明 す

れ が 成 り立 て ば ρ=τσ は〈u,u1〉

も 不 変 に す る.よ   まずa1=0と で あ る.よ

っ て(a)に

を 不 変 に す る か ら〈u,u1〉 ⊥=〈u2,u3〉

よ り ρ∈Tと

な り σ がTの

仮 定 す れ ばh(u1,σ(u1))=0だ っ てW上

元 と な る.

か ら〈u1,σ(u1)〉

は双 曲 型 平 面

の ユ ニ タ リ移 換 の 積 と な る 元 τが あ っ て τσ(u1)=u1

と な る.こ

の 時 τ はuを

動 か さ ず にV上

の ユ ニ タ リ移 換 の 積 に 拡 張 で き る か

ら 上 の 命 題 が 成 り立 つ.   次 にa2=0と

す れ ば〈u1,u2〉,〈u2,σ(u1)〉

に 命 題 が 証 明 さ れ る.a3=0の

は 共 に 双 曲 型 平 面 だ か ら 上 と同 様

場 合 も 同 様 で あ る.

 最 後 に  

と 仮 定 す る.u2,u3の

に と れ る か らa2=a3=1と

仮 定 し て も よ い.そ

と お く.い β2,β3は0で

ま

υ1=u+u1+u2+u3,υ2=βu+β1u1+β2u2+β3u3と な い とす れ ば

υ1,υ2は

等方 的 元 で

代 りにa2u2,a3u3を

基 の元

こで

お

き

β,β1,

τi(x)=x+h(x,υi)υi  は ユ ニ タ リ移 換 で あ る(6.3).τ2τ1(u1)を

(i=1,2) 計 算 す れ ば

τ2τ1(u1)∈W⇔ を 得 る.こ

β2=β3

の 時 τ2τ1(u)=β

θ(β1)u+(1+θ(β1)β2)(u2+u3)

τ2τ1(u1)=θ(β)β1u1+(1+θ(β)β2)(u2+u3) と な る.そ

こ でFの

生 成 元 を γ とし て τ2τ1(u)=γu, 

を 得 る.上

の

τ=(τ2τ1)-1が

σ(u1)と

較 べ て み れ ば, 

条 件 を み た し て い る.一

τ3:u→

γu, 

u1→

に よ り τ3を 定 義 す る.(a)に

って

方,α=1の

α=γ

と とれ

る か ら

場 合 に は

u2→u2, 

u3→u3

よ り τ3も ユ ニ タ リ 移 換 の 積 と な り γ2u, 

τ=ρ-1が

  以 上 で 定 理6.4が

お け ば

の場 合 に は

γ-1u1, 

ρ=τ3τ2τ1:u→ が 成 り 立 つ.よ

β=γ,β1=β2=β3=1と

τ2τ1(u1)=γ(γu1+u2+u3)

u1→

γ(u1+u2+u3)

求 め る 元 と な る.

証 明 さ れ た.

  最 後 に 有 限 体 上 の ユ ニ タ リ 群 の 位 数 を 求 め よ う.定

理5.6の

証 明 と同様 の方

法 を 用 い る.   (6.5)  をhと

有 限 体GF(q2)上

す る.Vに

のn次

元 線 形 空 間Vで

含 ま れ て い る 等 方 的 元 の 数 をsnと

定 義 さ れ た 非 退 化H形

式

お け ば

sn-1=(qn-1-(-1)n-1)(qn-(-1)n) が 成 り 立 つ.   証 明   定 理3.7に x=λ

υ1+υ(υ

よ りVは

∈〈 υ1〉⊥)と

正 規 直 交 基{υ1,…,υn}を

h(x,x)=λ が 成 り 立 つ.い

ま

λ=0の

時(6.5)が

 (6.6) 

こで

場 合 と

θ(λ)+h(υ,υ)  

の 場 合 に わ け て 等 方 的 元 の数 を数 えれ

ばsn=sn-1+(q2-1)(q2(n-1)-sn-1)/(q-1)を 1の

も っ て い る.そ

お け ば

成 り 立 つ.帰

得 る.明 納 法 に よ り(6.5)が

前 命 題 と 同 じ 記 号 を 用 い る.Vに

け ば 次 式 が 成 り 立 つ. hn=(sn-1)q2n-3

ら か にs1=1だ

か らn=

証 明 さ れ る.

含 ま れ る 双 曲 型 の 組 の 数 をhnと

お

  証 明   まずn=2の に は0以

場 合 を 考 え よ う.双

曲 型 の 組{x,y}に

外 の 等 方 的 元 を 任 意 に 選 ぶ こ とが で き る.さ

お い て 最初 の 元

てxを

一つ定めれば

z=αx+βy とお い た 時{x,z}が

双 曲 型 の組 とな るた め の条 件 は

で あ る か ら β=1お が 丁 度(s2-1)q組

h(x,z)=1, 

h(z,z)=0

よ び α+θ(α)=0を

得 る.し

た が っ てVに

は双 曲 型 の組

存 在 す る.

  以 下n≧3と

仮 定 す る.等

の 組 の 数 を 計 算 し よ う.い

方的元  

を 定 め,xを

ま  

を み た す 元zを

始 め の 元 とす る双 曲 型 任 意 に とれ ばxとz

か ら 生 成 さ れ る 平 面 は 非 退 化 と な る か ら そ れ は 双 曲 型 で あ る.し た が っ てxを 含 む 双 曲 型平 面 の数 は (q2n-q2(n-1))/(q4-q2)=q2n-4 で あ る.各

双 曲 型 平 面 の 中 に{x,y}が

含 ま れ て い る か ら(6.6)が   定 理6.7 

は〈x,y〉

か らVの

意 に 双 曲 型 の 組{x′,y′}を

なわ ち ユ ニ タ

双 曲 型 の 組 全 体 の つ く る 集 合 に 可 移 に 作 用 し て い る.

  組{x,y}の に な る.し

とれ ば 対

中 へ の 等 長 写 像 を 与 え る か ら,Witt

の 定 理 に よ りそ れ を ユ ニ タ リ群 の 元 に 拡 張 す る こ と が で き る.す リ群U(n,q)は

ず つ

の ユ ニ タ リ群 の 位 数 は 次 式 で 与 え ら れ る.

双 曲 型 の 組 と す る.任

応x→x′,y→y′

丁 度q個

成 り立 つ.

有 限 体GF(q2)上

  証 明   {x,y}を

双 曲 型 の 組 と な る 元yが

安 定 化 群 はV′=〈x,y〉

⊥ 上 の ユ ニ タ リ群 でU(n-2,q)と

同形

た が って ￨U(n,q)￨=hn￨U(n-2,q)￨

を 得 る.n=1,2の

場 合 に 定 理6.7が

成 り立 つ か ら 帰納 法 お よ び(6.6)に

よ り

一 般 に 定 理 が 成 り立 つ .

  §7  直   1.2次 標 数 は2で

交

群

形 式 に よる 内 積 空 間

 これ ま で 直 交 群 を 考 え る 場 合,係

な い と仮 定 し 非 退 化 対 称 形 式fを

か し 直 交 群 は2次

数 体Fの

も と に し て 直 交 群 を 定 義 し た.し

形 式 を 不 変 に す る 群 と し て も定 義 さ れ る.こ

の 方 法 に よれ ば

係 数 体 の 標 数 に 関 係 な く理 論 が 構 成 さ れ る の で,こ

の 節 で は2次

形 式 か ら 出発

し て 直 交 群 を 定 義 し よ う.   定 義7.1  数 体Fの

線 形 空 間Vの

上 で 定 義 さ れ た2次

中 に 値 を と る 関 数Qで

形 式 と は,V上

で定 義 され 係

次 の 性 質 を も つ も の と 定 義 す る.

(1)  任 意 のu∈Vと

λ∈Fに

対 し てQ(λu)=λ2Q(u)が

(2)  任 意 のu∈Vと

υ∈Vに

対 して

成 り立 つ.

f(u,υ)=Q(u+υ)-Q(u)-Q(υ)  

と お け ばfはV×Vで

  こ の 時fをQに   条 件(2)に

定 義 さ れ た 双 線 形 形 式 で あ る.

同 伴 す る 双 線 形 形 式 と い う.

よ りQの

同 伴 双 線 形 形 式fは f(u,υ)=f(υ,u)

を み た す.す

な わ ち,同

伴 形 式 は 対 称 で あ る.ま

  (7.2) 

ら

f(u,u)=2Q(u)

が 成 り立 つ.し

た が っ て 係 数 体Fの

体 の 標 数 が2で

な け れ ば2次

間Vに

た(1),(2)か

標 数 が2の

形 式Qは

基{u1,u2,…,un}を

と れ ばFの

場 合fは

同 伴 形 式fに

交 代 形 式 と な る.係

数

よ り一 意 的 に 定 ま る.空

任 意 の 元a1,a2,…,anに

対 して

(7.3) が 成 り立 つ.し 2次 形 式Qは

た が っ て 標 数2の

場 合 もfお

一 意 的 に 定 ま る.ま

た{Q(ui)}を

定 義 さ れ る 関 数Qが

同 伴 形 式fのV上

が 成 り立 つ こ と,す   定 義7.4  に(V,Q)と

2次 形 式Qの

化 で あ る こ と と定 義 す る.Qが

と お く.Aut(V,Q)を(Qに   注 意   もし σ∈Aut(V,Q)な

あ る. 内積 空 間 とい い前 の よ う

非 退 化 で あ る と い うの は 同 伴 形 式fが

非 退 化 な ら ば 内 積 空 間(V,Q)が

元 σ がQ(σu)=Q(u)を Aut(V,Q)={σ

右辺 で

形 式 で あ る た め の 条 件 は(7.2)

定 義 さ れ て い る 空 間Vも 形 式Qが

与えれば

任 意 に 与 え た 時(7.3)の

な わ ち2Q(ui)=f(ui,ui)(i=1,…,n)で

表 わ す.2次

と い う.GL(V)の

の2次

よ びQ(u1),…,Q(un)を

非退

非退化 である

み た す 時 σ を 等 長 写 像 と い い,

∈GL(V)￨Q(σu)=Q(u),∀u∈V} 関 す る)直 交 群 と い いO(Q)と らば 任 意 のu,υ ∈Vに

も 表 わ す.

対 して

f(σu,συ)=f(u,υ) が 成 り立 つ.し

たが ってAut(V,Q)⊂Aut(V,f).係

数 体 の標 数 が2で な け れ ばQはf

に よ り定 ま るか らAut(V,Q)=Aut(V,f).係 伴 形 式fは

非 退 化 交 代 形 式 でVの

数 体 の標 数 が2でQが

次 元nは

偶 数 と な る(3.2).こ

非退 化であれば同 の 場合,直

交 群O(Q)

は 斜 交 群 の 部 分 群 で あ る.   以 下 こ の 節 で は2次

形 式Qに

に 同 伴 す る 双 線 形 形 式fに く.係

数 体 の 標 数 が2の

つ い て 成 り立 つ が2次 る の で あ る.そ

よ る 内 積 空 間 だ け 考え る.こ

場 合fは 形 式Qに

こ で2次

の 場 合,内

積 はQ

よ って 与 え られ て い る こ とを あ らた め て 注 意 して お 交 代 形 式 でf(x,x)=0がVの よ り元xの"長

す べ て の元 に

さ"Q(x)が

別 に 定 め られ て い

形 式 に よ る 内 積 空 間 で は §3,§4で

定 義 し た概 念 を 多

少 変 更 す る 必 要 が あ る.   定 義7.5  Vの

2次 形 式Qに

元xがQ(x)=0を

よ る 内 積 空 間 を(V,Q),Qの

み た し て い る時xを

元 が 特 異 で あ る 時Wを

同 伴 形 式 をfと

特 異 元 と い う.部

す る.

分 空 間Wの

各

全 特 異 な 部 分 空 間 と い う.Vの2元x,yが Q(x)=Q(y)=0, 

を み た し て い る 時{x,y}を

f(x,y)=1

強 双 曲 型 の 組 とい い,強

成 す る 平 面 を 強 双 曲 型 平 面 と い う.強

双 曲 型 の 組{x,y}が

生

双 曲 型 平 面 の 直 交 和 と な る空 間 を 強 双 曲

型 と い う.   (7.6) 

2次 形 式Qに

Wは(Qの

よ る 内 積 空 間(V,Q)の

同 伴 形 式fに

  証 明  任 意 の2元u,υ い てf(u,υ)=0を

関 し て)全 ∈Wに

得 る.す

対 し てu+υ

な わ ちWは

全 特 異 な らば

∈Wで

あ る か ら 定 義 式(2)を

用

全 等 方 的 で あ る.

  注 意  係 数体 の標 数 が2で な けれ ば(7.6)の 空 間 は全 特 異 で あ る.標

部 分 空 間Wが

等 方 的 で あ る.

逆 が 成 り立 つ.す な わ ち全 等 方 的 な 部分

数2の 場 合,逆 が 成 り立 つ とは 限 らな い.標

数 が2で

なけ れば

双 曲型 の組 は 強 双 曲 型 で あ る(7.2).   まず 有 限 体 上 で 非 退 化 な2次

形 式 を 分 類 し よ う.係 数 体 の 標 数 が2で

合 は §3で 述 べ た か ら こ こ で は 係 数 体 は 標 数2の   (7.7)  非 退 化2次 す る.こ

の 時,強

  証 明   Qの 平 面Pが

形 式Qに

よ る 内 積 空 間 を(V,Q)と

 

す れ ばfは

V>2と

非 退 化 交 代 形 式 で あ る.よ

と 直 交 和 に 分 解 す る.仮

り大 き い か ら  

と な る.P⊥

(7.6).そ

を み た すP⊥ の 元zを

こで  

しdim

仮 定

双 曲 型 の 組 が あ る.

同 伴 形 式 をfと

あ って

な い場

有 限 体 と仮 定 す る .

定 に よ りdim

っ て双 曲 型 Vは2よ

は 非 等 方 的 だ か らP⊥ は 全 特 異 で は な い と る.Pの

中に 等方的元

を とれ ば Q(x+λz)=Q(x)+Q(λz)+f(x,λz)=Q(x)+λ2Q(z) と な る.係

数 体Fは

標 数2の

有 限 体 だ か らa=x+λzがQ(a)=0を

う に λ を 選 ぶ こ と が で き る.  る.こ

こで

だ か らaを

みたす よ

双 曲 型 の 組{a,b}に

〈a,b〉 が 強 双 曲 型 で あ る こ と を 証 明 し よ う.い

拡張で き

ま

c=μa+b と お け ばf(a,c)=1お べ ば{a,c}は   (7.8) 

よびQ(c)=Q(b)+μ

が 成 り立 つ.よ

って μを 適 当 に 選

強 双 曲 型 の 組 と な り,〈a,c〉=〈a,b〉. 2次 元 の 非 退 化 内 積 空 間(V,Q)に

が 成 り立 つ と仮 定 す る.こ

おいて

の 時(V,Q)の

項 式X2+X+ξ0がF[X]で

構 造 は 一 意 的 に 定 ま る.す

なわ ち 多

既 約 と な る ξ0を 一 つ 定 め て お け ばVは

件 を み た す 基{x,y}を

次 の条

も っ て い る. f(x,y)=1, 

 証 明  任 意 に  

Q(x)=1, 

を とれ ば  

Q(y)=ξ0.

と な る.そ

こで

Q(λz)=λ2Q(z)=1 を み たす す 元yが

λ∈Fを あ る.そ

と りx=λzと

お く.Vは

こ でQ(y)=ξ

非 退 化 だ か らf(x,y)=1を

と お い てQ(tx+y)を

みた

計算すれば

Q(tx+y)=t2+t+ξ と な る.仮

定 に よ り任 意 のt∈Fに

多 項 式X2+X+ξ

はF[X]で

  さ て 任 意 の α∈Fに そ の 核 は{0,1}の2元 加 法 群Fの

指 数2の

め の条 件 は  

ついて  

って

既 約 で あ る.

対 して写 像 α→

α2+α

か ら 成 る(標 数2).そ 部 分 群 を つ く る.多 で あ る.と

が 成 り立 つ.よ

はFの

加法 群 の 自己準 同形 で

こ で そ の 像 をF1と

項 式X2+X+ξ

こ ろ でF1の

がFで

指 数 が2だ

お け ばF1は 既 約 で あ るた

か ら これ は

ξ∈F1+ξ0 と同 値 で あ る.す 代 りにy′=αx+yを QはfとQ(x),Q(y′)に 一 意 的 に 定 ま る.

な わ ち ξ=α2+α+ξ0を

み たす

α∈Fが

と れ ばQ(y′)=Q(αx+y)=ξ0と よ り決 定 さ れ る か ら((7.3)参

あ る.そ

な る.前 照)内

こ でyの

に 述 べ た よ うに

積 空 間(V,Q)は

  定 理7.9 

標 数2の

形 式 とす る.こ

有 限 体F上

の 時dim

の 内 積 空 間(V,Q)に

V=nは

と 直 交 和 に 分 解 さ れ る.こ

こ でP1,…,Pm-1は

双 曲 型 平 面 で あ る か ま た は(7.8)で

強 双 曲 型 平 面,最

あ り 

しn>2な

後 のPmは

含 ん で い れ ば(7.7)の

非 退 化 平 面 で あ る.も

よび7.9の

よ

元 に関する 強 双曲

外 の特 異 元 を

強 双 曲 型 と な る.一

け と仮 定 す れ ばPmは(7.8)で

っ て 定 理7.9が

  注 意   定 理3.9お

しPmが0以

証 明 を 繰 り返 す こ と に よ りPmが

中 の 特 異 元 は0だ

強

ら ば(7.7)に

と 直 交 和 に 分 解 す る.次 と 直 交 和 に 分 解 しP1,…,Pm-1は

型 平 面 と な る.最

形 と な る.よ

後 のPmは

定 義 さ れ た 平 面 と 同 形 に な る.

帰 納 法 に よ り 

方,Pmの

非 退 化2次

おけ ば

  証 明   次 元 が 偶 数 で あ る こ と は 前 に 述 べ た.も り強 双 曲 型 平 面P1が

お い てQは

偶 数 でn=2mと

定 義 され た 平面 と同

成 り立 つ. 証 明 か らわ か る よ う に係 数 体 が 代 数 的閉 体 な らば 非 退 化

2次 形 式 を もつ 偶 数 次 元 の空 間 は 強 双 曲型 平 面 の直 交 和 で あ る.   2. Wittの

定理 

ま ず(4.3)が   (7.10)  に 対 しrad

2次 形 式 に よ る 内 積 空 間 で もWittの

定 理 が 成 り立 つ.

次 の 形 で 成 立 す る. 非 退 化2次 Uの

形 式Qを

も つ 内 積 空 間 を(V,Q)と

基{u1,…,ur}お

い る と 仮 定 し,さ

よ びrad

ら に す べ て のiに

の 結 論 が 成 り立 ち,す

べ て のiに

  証 明   (4.3)の 証 明 と 同 様 で,た 明 す れ ば よ い.さ

てP=〈ui,υi〉

型 と な る((7.7)の

証 明 参 照).し

Uの

す る.部

補 部 分 空 間Wが

つ い てQ(ui)=0と

つ い て{ui,υi}は だ{ui,υi}が

仮 定 す る.こ

分 空 間U 与え られ て の 時(4.3)

強 双 曲 型 の 組 と な る. 強 双 曲 型 の組 とな る こ とを証

は 非 退 化 平 面 でQ(ui)=0だ た が っ て{ui,υi}が

か らPは

強双 曲

強 双 曲 型 と な る よ うに 元

υiを と る こ と が で き る.   補 題4.5も2次

形 式 の 場 合 に 拡 張 で き る.実

際

Q(σu+τw)=Q(σu)+Q(τw)+f(σu,τw) が 成 り立 つ か ら ρが 等 長 写 像 に な る.(4.6)はrad 仮 定 を 加 え れ ば2次

形 式 の 場 合 に も 成 立 す る.証

Uが

全特異 であ る と い う

明 に は(7.10)を

用 い,双

曲

型 と い う と こ ろ を 強 双 曲 型 に 変 更 す れ ば よ い.   定 理4.7の

証 明 で は 第2の

場 合,す

な わ ちx∈D⊥

の 場 合Dが

全特異であ

る こ と を 示 せ ば(4.6)の

修 正 が 適 用 さ れ て 証 明 が 成 り立 つ .さ

て

Q(σx-x)=Q(σx)+Q(x)-f(σx,x)=2Q(x)-f(σx,x) =f(x だ か らx∈D⊥ らDは

,x)-f(σx,x)=f(x-σx,x)

か らQ(σx-x)=0を

σx-xで

生 成 され て い る か

全 特 異 と な る.

  定 理4.7の

系 お よ び 定 理4.9で

  定 義7.11 

非 退 化 な2次

異 部 分 空 間 の 次 元 をQの   前 と 同 様dim Fが

得 る.Dは

あ れ ばQの

形 式Qを

時Qの

奇 数 の 場 合,Vが

と直 交 和 に 分 解 しPは と な る.ま

ずVに

  (7.12) 

非 退 化2次

お い て極 大全 特

満 足 す る.係

指 数 はm,次

照).

形 式 を も つ 内 積 空 間(V,Q)の 強 双 曲 型 の 場 合,お

ず れ の 場 合 もn≧3で

数体

元 が2mで

あ る(定 理3.11,3.7,7.9参

非 退 化2次

場 合 に 分 け て 考 察 す る.い

不 等 式2v≦nを 場 合Qの

た はm-1で

  3.  有 限 直 交 群 の 位 数   下nが

指 数vは

元 が 奇 数2m+1の

指 数 はmま

nと お く.以

も つ 内 積 空 間(V,Q)に

指 数 と い う.

V=nの

有 限 で あ る 時,次

は 等 方 的 を 特 異 と変 え れ ば よ い.

次元 を

よび強 双 曲型 で な い

あれ ば

強 双 曲 型 平 面,V1はVと

同 種 のn-2次

元 の 内 積空 間

含 ま れ て い る 特 異 元 の 数 を 計 算 し よ う. 形 式 を も つ 内 積 空 間(V,Q)の

い る 特 異 元 の 数 をsn,さ

ら にq=￨F￨と

次 元 をn,Vに

お く.nが

含 まれ て

奇 数 の場 合 は

sn=qn-1 とな る.偶

数 次 元 の 場 合n=2mと

おけば

s2m=q2m-1+εqm-1(q-1), こ こ でVが

強 双 曲 型 の 時 ε=1,そ

  証 明   ま ずn≧3と

う で な い 時 は ε=-1で

仮定 し

 

と強 双 曲 型 平 面PとV1と

に 分 解 す る.PはQ(x)=Q(y)=0,f(x,y)=1を さ れ て い る.こ

こ でfはQの

み た す2元x,yに

同 伴 形 式 で あ る.さ

υ=αx+βy+u(α,β と 書 け る.し

た が っ てQ(υ)=α

あ る.

β+Q(u)と

て 任 意 にVの

の直交和 よ って 生 成

元 υ を とれ ば

∈F,u∈V1) な る.よ

って

sn=(2q-1)sn-2+(qn-2-sn-2)(q-1) と な る(第1項

はQ(u)=0,第2項

は  

の 場 合).整

理すれ ば

sn=qn-2(q-1)+qsn-2 と な る.奇 合,強

数 次 元 の 場 合s1=1だ

双 曲 型 な ら ばs2=2q-1,そ

り(7.12)に

あ げ たs2mの

  (7.13)  空 間(V,Q)に

得 る.2次

うで な い 場 合 はs2=1で

あ る.帰

元 の場 納法 に よ

値 が 得 ら れ る.

  次 に 強 双 曲 型 の 組{a,b}の

る.す

か ら 帰 納 的 にsn=qn-1を

数 を 求 め よ う.

含 ま れ て い る強 双 曲 型 の 組 の 数hnは

次 式 で与 え られ

な わ ちhn=(sn-1)qn-2.

  証 明   0で な い 特 異 元aを

一 つ 定 め る.こ

の 時aと

直 交 し な い 任 意 の 元x

を とれ ば 平 面

〈a,x〉 は 強 双 曲 型 で あ る(定 理3.11,7.9参

中 に{a,b}が

強 双 曲 型 の 組 と な る 元bが

め た 上 で は{a,b}が

照).そ

唯 一 つ 存 在 す る.し

の 各 平面 の

た が っ てaを

定

強 双 曲 型 と な る よ うなbは (qn-qn-1)/(q2-q)=qn-2

個 存 在 す る.こ

れ か らhn=(sn-1)qn-2が

  定 理7.14  元nが

非 退 化2次

形 式Qを

奇 数 の 場 合(n=2m+1と

得 ら れ る. 不 変 に す る 有 限 体F上

で あ る.次 元 が偶 数 の場 合 にn=2mと

  証 明   ま ずn≧3と 双 曲 型 の 組{x,y}を

っ てWittの

お け ば直 交 群 の位 数 は 次 の 通 り.

仮 定 し 

と 直 交 和 に 分 解 す る.こ

基 と し て い る.い

対 応x→a,y→bはPか

こ でPは

ま 任 意 に 強 双 曲 型 の 組{a,b}を

自 己 同 形 に 拡 張 で き る.す

強

とれ ば

ら 〈a,b〉 の 上 へ の 等 長 写 像 に 延 長 さ れ る.し

定 理 に よ り これ を(V,Q)の

直 交 群O(Q)は

の直交群の位数は次

お き)

た が なわ ち

強 双 曲 型 の 組 全 体 の つ く る 集 合 に 可 移 に 作 用 し て い る.そ

で 直 交 群O(Q)の

中 で 組{x,y}の

安 定 化 群 をHと

こ

おけば

￨O(Q):H￨=hn と な る(1.10).こ

の 時Hの

元 はPの

不 変 に す る.い

ま 形 式QのV1上

式 でHはV1上

の 直 交 群O(Q1)の

意 の 元 はPの

各 元 を 不 変 に す る か らHはV1=P⊥

へ の 制 限 をQ1と

お け ばQ1は

部 分 群 と 考 え られ る.と

各 元 を 動 か さ ず にO(Q)の

を

非 退 化 な2次

こ ろ でO(Q1)の

元 に 拡 張 で き るか ら  

形 任

が成

り立 つ.し

た が っ て￨O(Q)￨=hn￨O(Q1)￨を

が 計 算 で き る.1次

元 の 場 合Q(λu)=λ2Q(u)だ u→

こ の 場 合,係

λu 

数 体 の 標 数 は2で

  強 双 曲 型 の 平 面Pに っ てP上

用 い て 帰 納 法 に よ り直 交 群 の 位 数

(λ=1ま

か ら直 交 群 の 元 は た は λ=-1).

な い か ら 位 数 は2で

の 直 交 群 の 位 数 は2(q-1)で

と な る.い

まQ(x)=λ

く.Wittの

定 理 に よ り直 交 群O(Q)がLに 定 め れ ば,元uの

ま  

を み た す 元x全

を 定 め てQ(u)=λ

と

体 の つ く る 集 合 をLと

お

て平 面 に基

安 定 化 群 は υを

を み た す 元 υ′に 動 か す.と

Q(υ ′)=Q(υ)

こ ろ で 上 式 を み た す υ′は υ 以 外 に 唯 一 つ 存 在 す

と お け ば 上 式 よ り β=-1,α 安 定 化 群 の 位 数 は2と

か ら￨L￨は

たが

可 移 に 作 用 す る.さ

f(u,υ ′)=f(u,υ), 

っ て 元uの

あ る.し

あ る.

おけば  

る.( 

って

は 上 述 の よ うに 強 双 曲 型 の 組 が2(q-1)組

  次 に 強 双 曲 型 で な い 平 面 の 場 合 を 考 え る.い

{u,υ}を

あ る.よ

λ=f(u,υ)を

得 る.)し

な り直 交 群 の 位 数 は2￨L￨で

λ に 無 関 係 に 定 ま る.よ

あ る.こ

っ て 直 交 群 の 位 数 は2(q+1)と

たが の こと

な る.帰

納法に より

が 成 り立 つ.こ

こ でs2m-1=(qm-ε)(qm-1+ε)を

用 いれ ば 定 理 に あげ た 公 式 が

証 明 さ れ る.   系   有 限 体 上 で 偶 数 次 元 の 非 退 化2次

形 式 が 同 値 で な い 時,そ

れ らが 定 義 す

る 直 交 群 は 同 形 で は な い.   証 明   位 数 が 違 っ て い る か ら 同 形 で あ り得 な い.   4. 対 称 変 換   定 義7.15 

非 退 化2次

形 式Qに

を と りH⊥ が 非 特 異 な 元zを

よ る 内 積 空 間 を(V,Q)と

含 ん で い る と仮 定 す る.こ

す る.超 の 時Hに

平 面H

関 す る対 称

変 換 とは sH:x→x-Q(z)-1f(x,z)z と定 義 す る.こ

こ でfはQの

同 伴 形 式 で あ る.

  対 称 変 換 の 定 義 式 に お い てzを

λzに お き か え て も 同 一 の 変 換 が 得 ら れ る.

し た が っ て 対 称 変 換 はHだ で あ る.明

ら か にsHは

  (7.16) 

対 称 変 換sHは

け に よ っ て 定 ま りH⊥

の 元zの

取 り方 に は 無 関 係

線 形 写 像 で あ る が 実 は 次 の 命 題 が 成 り立 つ. 直 交 群O(Q)の

元 で あ る.任

意 のu∈Hに

対 して

sH(u)=u が 成 り立 つ.係

数 体 の 標 数 が2で

なければ

sH(z)=-z  と な り特 にdet つ.対

sH=-1で

称 変 換sHの

あ る.標

位 数 は2で

〈z〉 お よ びK⊥=〈w〉 る.す

数2の

あ る.二

場 合 はsH(z)=z(z∈H⊥)が

つ の 対 称 変 換sHとsKに

と お い た 時f(z,w)=0な

な わ ちsHsK=sKsHが

  証 明   sHの

(z∈H⊥) 成 り立 つ い てH⊥=

ら ばsHとsKと

は 可 換 で あ

成 り立 つ.

定 義 式 に お け るzの

係 数 を α とお け ば

Q(sHx)=Q(x+αz)=Q(x)+α2Q(z)+αf(x,z)=Q(x) が 成 り立 つ.よ   さ てu∈Hな が2で

直 交 群O(Q)の

ら ばf(u,z)=0だ

な け れ ば(7.2)よ

追 加 し てVの =zが

っ てsHは

か らsH(u)=uが

りsH(z)=z-2z=-zを

基 が 得 られ るか らdet

成 り立 つ.し

元 で あ る. 成 り立 つ.係 得 る.こ

sH=-1と

な る.標

数体の標数

の 元zにHの 数2の

基を

場 合 はsH(z)

た が っ て いず れ の場 合 で も (sH)2(x)=sH(x+αz)=sH(x)-αz=x

が 成 り立 ち(sH)2=1を

得 る.二

つ の 対 称 変 換sHとsKに

り立 っ て い る 時sK(x)=x+βwと

つ い て上 の条 件 が 成

おけば

sHsK(x)=sH(x+βw)=x+αz+βw=sKsH(x) と な る.よ

っ てsHとsKは

  任 意 の τ∈O(Q)に

交 換 可 能 で あ る.

対 し

  (7.17)  が 成 り立 つ.こ

τsHτ-1=sτH れ はQ(z)=Q(τz)な

ど か ら 明 ら か で あ ろ う.

  こ の 節 の 目標 は 次 の 定 理 の 証 明 で あ る.   定 理7.18 

直 交 群O(Q)は

か ら 生 成 さ れ る.例

外 は2元

一 つ の例 外 を除 い て対 称 変 換 全 体 の つ くる集 合 体 上 の 強 双 曲 型4次

元 空 間 で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 に あ た り対 称 変 換 全 体 が 生 成 す るO(Q)の く.(7.17)に

よ り 

と な る.等

式G0=O(Q)が

部 分 群 をG0と 目標 で あ る.ま

お ず次

の 補 題 を 証 明 し よ う.   (7.19) 

部 分 群G0は

極 大 全 特 異 部 分 空 間 全 体 の 集 合 に 可 移 に 作 用 す る.

  証 明   極 大 全 特 異 部 分 空 間NとN′

を 任 意 に と った 時  

な らば

dim(N∩s(N′))>dim(N∩N′) を み た す 対 称 変 換sが か らN+N′

あ る こ と を 示 せ ば よ い.仮

は 全 特 異 で は な い.し

た す 非 特 異 元zが

存 在 す る.こ

定に よ り  

とな る

た が っ てz=x+x′(x∈N,x′

の時  

だか ら  

∈N)を と な る.さ

み

て

H=〈z〉 ⊥, s=sH と お け ばs(x′)∈Nが

成 り立 つ.そ

れ はQ(z)=f(x,x′)よ

り

s(x′)=x′-Q(z)-1f(x′,z)z=x′-z=-x∈N を 得 る か ら で あ る.と 変 に す る(7.16).し

⊂Hで

あ る か らsはN∩N′

た がって  

  任 意 の σ∈O(Q)に 次 元 をd(σ),さ

こ ろ でN∩N′

の 各元 を不

が 成 り立 つ.

対 し σ に よ る不 変 元 全 体 の つ く る 部 分 空 間 をL(σ),そ

ら にuσ=σ-1と

お く.こ

こ でuσ(V)が

の

全 特 異 とな る元 σ を

特 異 元 と 呼 ぶ こ と に す る.   (7.20) 

部 分 群G0の

各 剰 余 類 は 特 異 元 を 含 む.

  証 明   剰 余 類 の 代 表 σ をd(σ)が で あ る こ と を 証 明 し よ う.さ は 非 特 異 元z=σ(y)-yを お く.(7.2)を

最 大 と な る よ う に 選 ぶ.こ

の時 σが 特 異 元

て σ が 特 異 元 で は な い と仮 説 を た て れ ばuσ(V)

含 ん で い る.そ

こ で 〈z〉⊥ に 関 す る 対 称 変 換 をsと

用 いて Q(z)=2Q(y)-f(σ(y),y)=-f(z,y)

が 得 ら れ る か らs(y)=y-Q(z)-1f(y,z)z=y+z=σ(y)と

な る.一

方,

f(σ(x),σ(y))=f(x,y) が 成 り立 つ か らx∈L(σ)な

ら ばx∈

〈z〉 ⊥ を 得 る.よ

って

〈L(σ),y〉⊂L(s-1σ) とな る.と

ころで  

とに 矛 盾 す る.よ

s-1σ∈G0σ

だ か ら,上

式 はd(σ)を

最 大 に とった こ

っ て σ は 特 異 元 で あ る.

  極 大 な 全 特 異 部 分 空 間Nを 体 の つ く る 部 分 群 をHと

一 つ 定 めN⊥

お く.Nの

の 条 件 を 満 足 す る{υ1,υ2,…,υn}が

の 各 元 を 不 変 に す るO(Q)の

基{u1,u2,…,un}を 存 在 す る.そ

こで

元全

任 意 に とれ ば(7.10)

P=〈 と お け ばP∩N⊥={0}か

υ1,υ2,…,υn〉

つ(7.3)に

よ りPは

全 特 異 で あ る.ま

た

V=(N⊥)+P と 直 和 に 分 解 す る.こ   (7.21) 

こ で 次 の 補 題 が 成 り 立 つ こ と を 証 明 し よ う.

(ⅰ)  任 意 のs∈H,y∈P,z∈Pに

対 し て

gs(y,z)=f(y,s(z)) と お け ばgsはP上

で 定 義 さ れ た 交 代 形 式 で あ る.

(ⅱ)  写 像s→gsはHか あ る.特 (ⅲ) 

にHは

可 換 群 で あ る.

gsとgtの

(形 式gの

ら交 代形 式 の つ く る加 法 群 の 中 へ の 単 射 準 同 形 で

階 数 が 等 し け れ ば,Hの

階 数 と はrad(P,g)の

(ⅳ) 

O(Q)の

(ⅴ) 

O(Q)=HG0が

中 で 共 役 で あ る.

余 次 元 で あ る.)

任 意 の 特 異 元 はG0の 成

元sとtはO(Q)の

元 に よ りHの

り立 つ.商

元 と 共 役 に な る.

群O(Q)/G0は

  証 明   (ⅰ)  任 意 のs∈H,x∈N⊥,y∈Pに

可 換 群 で あ る. 対 し て

f(x,y)=f(sx,sy)=f(x,sy) が 成 り立 つ.し

た が っ てy-sy∈(N⊥)⊥=Nを

得 るか ら

0=Q(y-sy)=Q(y)+Q(sy)-f(y,sy) と な る.Q(y)=Q(sy)=0だ

か らf(y,sy)=0を

得 る.す

な わ ち 形 式gsは

交 代 形

式 で あ る.   (ⅱ)  任 意 のs∈H,t∈H,y∈P,z∈Pに

対 し てtz-z∈Nだ

か ら

s(tz-z)=tz-z を 得 る.し

た が っ てstz=sz+tz-z.さ

てf(y,z)=0だ

か ら

gst(y,z)=f(y,(st)z)=gs(y,z)+gt(y,z), す な わ ちgst=gs+gtが

成 り 立 つ.も

しgs=0な

らば

0=gs(y,z)=f(y,sz)=f(y,sz-z) が 任 意 のy∈P,z∈Pに でsz-z∈Nも あ る.よ   (ⅲ) 

つ い て成

り立 つ.よ

っ てsz-z∈P⊥

成 り 立 つ か らsz-z∈N∩P⊥={0}.す っ てs→gsは 階 数2ρ

と な る.と な わ ちsは

単 射 準 同 形 で あ る.

の 交 代 形 式gに

対 し てPの

g(y2i-1,y2i)=-g(y2i,y2i-1)=1 

基{y1,…,yr}を (i≦ ρ)

こ ろ

恒 等 写 像 で

そ の 他 のi,jに

つ い てg(yi,yj)=0と

より  

と な る か らNの

を み た す よ う に と る.さ

な る よ うに 選 ぶ こ とが で き る.形

式fに

基{x1,…,xr}を

てg=gt(t∈H)で

t(y2i-1)=y2i-1-x2i, 

あ れ ば定 義 か ら

t(y2i)=y2i+x2i-1 

(i≦

ρ)

(*) t(yj)=yj 

を 得 る.い

(j>2ρ)

まt′ ∈Hに

t′に 対 応 し てPの

対 応 す る 交 代 形 式 の 階 数 が や は り2ρ

基{y′i},Nの

 

xi→x′i, 

はN+Pの

等 長 写 像 を 与 え る か ら,そ

述 の よ うにt,t′ る.す

基{x′i}が

で あ る とす れ ば

上 の よ うに 定 ま る.対

応

yi→y′i れ をVの

等 長 写 像sに

拡 張 で き る.上

は そ れ ぞ れ の 基 の 上 で 同 一 の 作 用 を す る か らt′=sts-1と

な わ ちtとt′

はO(Q)の

  (ⅳ)  任 意 の 特 異 元 をsと

中 で 共 役 と な る. す る.定

全 特 異 部 分 空 間N′

が あ っ てus(V)⊂N′

み た すG0の

あ る.と

元tが

 

な

義 に よ りus(V)は

全 特 異 であ るか ら極 大

と な る.(7.19)に

こ ろ で 任 意 のx∈V,y∈(N′)⊥

よ りN=t(N′)を に対 し

f(sx-x,y)=f(sx,y-sy)=0

が 成 り立 つ(us(V)⊂N′).し

た が っ てy∈L(s)を

 

得 る.す

なわ ち

(N′)⊥⊂L(s)

と な る.よ

っ てN⊥=t(N′)⊥

⊂tL(s)=L(tst-1)が

成 り立 つ.こ

れ はtst-1がH

の 元 で あ る こ と を 示 し て い る.   (ⅴ)

任 意 の 剰 余 類 は 特 異 元 σ を 含 む(7.20).と

 

tσt-1∈H 

と な る か らG0σ 商 群O(Q)/G0が   定 理7.18の 任 意 の λ∈F#に λg=gtを  形式

よ り

(t∈G0)

な わ ちO(Q)=HG0を

得 る.同

形 定 理 と(ⅱ)か

ら

可 換 群 で あ る こ と が 証 明 さ れ る. 証 明   任 意 の 元s∈Hを

と り 対 応 す る 交 代 形 式 をg=gsと

対 し λgは 交 代 形 式 で そ の 階 数 はgの

み た すHの

元tが

λgに 対 しP,Nの

っ て 写 像tをP上 つ.さ

⊂HG0,す

こ ろ で(ⅳ)に

階 数 と一 致 す る.こ

こで

存 在 す る こ と を 証 明 し よ う. 基 を(7.21)(ⅲ)の

で 定 義 す る.明

ら にty-y∈Nだ

お く.

ら か にy∈Pな

か ら 任 意 のx∈N⊥

証 明 の よ う に と り,(*)に ら ばQ(ty)=Q(y)が について

よ

成 り立

f(x,ty)=f(x,y) と な る.し

た が っ て2次

に 拡 張 で き る.こ

形 式 の 場 合 の(4.5)が

の 拡 張 はN⊥

か ら 明 ら か に λg=gtが   まず￨F￨≧3と

適 用 さ れ,tはV上

の 各 元 を 不 変 にす る か らHの

の等長変換 元 で あ る.定

義

成 り立 つ.

仮 定 す る.こ

の 時 

-1に

とれ る.λg=gtな

らば

gst=gsgt=(1+λ)g と な る.よ

っ てgtとgstの

共 役 で あ る.と を 得 る.し

階 数 が 一 致 す る か ら(7.21)(ⅲ)に

こ ろ でG0に

よ る 商 群 は 可 換 だ か らG0st=G0t,す

た が っ てG0=HG0=O(Q)が

  最 後 に￨F￨=2の の 次 元 で あ る.し

場 合 を 考 え る.2次

の 階 数 が2の

形 式Qの た は1な

得 る か らG0=O(Q)と

数 は 少 な く と も2と

仮 定 す る.任

場 合 にs∈G0を

2元y1,y2,Nの

な る .(7.21)(ⅱ)

な り定 理 が 成 り立 つ.そ

意 の 交 代 形 式 は 階 数2の

中 に一 次 独 立 な2元x1,x2が sy1=y1-x2, 

け ばXは

な わ ちs∈G0

指数は極大全等方的部分空間 ら ばgs=0と

証 明 す れ ば よ い.こ

を み た し て い る((7.21)(ⅲ)の

は

成 り立 つ.

た が っ て 指 数 が0ま

に よ りH={1}を

よ りstとtと

こ でQの

指

形 式 の 和 だ か らgs

の 場 合Pの

中 に一 次 独 立 な

あって

sy2=y2+x1

証 明 参 照).部

分空間

非 等 方 的 で 例 外 の 場 合 を 除 け ば 

〈x1,x2,y1,y2〉 と な る.い

をXと

お

ま

U=〈X⊥,x1,x2〉 と お け ばsはUの

各 元 を 不 変 に し て い る.Xと

は 非 特 異 な 元zを

含 ん で い る(7.6).さ

z1=z,  とお け ばziは

こで

も 非 等 方 的 だ か らX⊥

て

z2=z+x1+x2, 

非 特 異 で あ る.そ

共 にX⊥

z3=z+x2, 

z4=z+x1

〈zi〉 ⊥ に 関 す る対 称 変 換 をsiと

おき

t=s1s2s3s4 と 定 義 す れ ばtはG0の そ う.Uの 立 つ.よ

元 で あ る.こ

元uがf(z,u)=0を っ てt(u)=uを

と な る.f(z,zi)=0だ

各 元 を 不 変 に す る こ とを 示

み た せ ばsi(u)=uが 得 る.一

方, 

si(u)=u+zi 

はUの

こ でtがUの

ついて成 り

な らば (i=1,2,3,4)

か らt(u)=u+z1+z2+z3+z4=uが

各 元 を 不 変 に す る.計

す べ て のiに

算 を実 行 す れ ば

成 り立 つ.よ

っ てt

t(y1)=y1+x2,  と な る こ と が わ か る.し   注 意  定 理7.18の

t(y2)=y2+x1

た が っ てs=t∈G0を

例 外 の場 合G0はO(Q)の

得 る. 指 数2の 部 分 群 で あ る.上 定 理 の 証 明が

難 しい のは 標 数2の 場 合 も含 め た か ら で あ る.

  §8  ク リ フ ォ ー ド環   直 交 群 の 構 造 を 調 べ る た め に2次 る.こ

の 節 で は 線 形 空 間V上

形 式 に 対 応 す る ク リ フ ォ ー ド環 を 定 義 す

の テ ン ソ ル 代 数T(V)の

性 質 は 既 知 の こ とと仮

定 す る が 一 応 定 義 と 重 要 な 性 質 を ま と め て お こ う(『代 数 』Ⅱ,p.325参   さ て 

と お い て 非 負 整 数p全

和T(V)=ΣTp(V)が はu 

テ ン ソ ル 代 数 で あ る.2元u∈Tp(V),υ

υ∈Tp+q(V)で

与 えら れ る.テ

し た も の で あ る.明

照).

体 に わ た る直 ∈Tq(V)の

積

ン ソル代 数 の 中 の 積 は これ を 自然 に 拡 張

ら か にVとT1(V)と

は 同 形 で あ る か らT1(V)を

ル 代 数 の 部 分 空 間 とみ て 写 像i:V→T(V)が

定 義 さ れ る.こ

テン ソ

の 時T(V)と

iと は 次 の 性 質 を も っ て い る.   体F上 F多

の 多 元 環Aと

線 形 写 像f:V→Aが

与 え ら れ れ ばφ°i=fを

元 環 と し て の 準 同 形φ:T(V)→Aが

  こ の 時 

(ui∈V,右

と な る か らVをT(V)の

みたす

一 意 的 に 定 ま る. 辺 は 多 元 環Aの

部 分 空 間(T1(V)=V)と

中 で の 積)

考 え れ ばφ はfを

テンソ

ル 代 数 の 上 に 拡 張 し た も の とみ る こ と が で き る.   定 義8.1  をfと

線 形 空 間V上

お く.V上

で 定 義 さ れ た2次

の テ ン ソ ル 代 数 をT(V)と

形 式 をQ,そ し,そ

と い う形 の 元 が 生 成 す る 両 側 イ デ ア ル をI(Q)と 次 形 式QのClifford環(略   以 下u,υ(∈C(Q)の 中 へ の 写 像iとT(V)か

し てC環)と 積 はuυ

れ に 同伴 す る形 式

の中で

お く.商

い い,C(Q)と

環T(V)/I(Q)を2 表 わ す.

と単 に 並 べ て 書 く こ と に す る.Vか

らC(Q)の

らT(V)の

上 へ の 自然 準 同 形 を 合 成 して

ρ=ρQ:V→C(Q) が 定 ま る.こ Vの

れ が 単 射 で あ る こ と は 後 で 証 明 す る.定

元 の ρに よ る 像 で 生 成 さ れ て い る.ま

義 か ら 明 ら か にC(Q)は

た 任 意 のx,y∈Vに

ついて

 (8.2) 

ρ(x)2=Q(x)・1, 

ρ(x)ρ(y)+ρ(y)ρ(x)=f(x,y)・1

が 成 り立 つ.   定 理8.3 

2次 形 式QのC環C(Q)と

つ.い

元 環Aと

まF多

べ て のx∈Vに

元 環Aと

写 像hが

拡 張 さ れ る.そ

らAの

中 へ のF多

得 る.ρQ(V)がC(Q)を

  系  組(C(Q),ρQ)は

含 む.準

  (8.4)  体F上

で 定 義 さ れ た2次

り, 

と お く.す

の2次

上 式 を み た す2次

形 式 をQと

と れ ば{1 

す る.い

え ら れh′(u)2=Q′(u)・1がUの x)は

拡 大 体Eを

と

の時

一 意 的 に 定 ま る.

xi}がUのE基

条 件 を み た す2次

と な る.し 照).逆

元 環A′

任 意 の 元uに

とE線

た が って

に αi∈Eか

ら

形 式 と な る.

と お い て(C′,1 

件 を 満 足 す る こ と を 示 せ ば よ い.E多

まFの

ついて

形 式Q′ は 一 意 的 に 定 ま る((7.3)参

  後 半 を 証 明 す る に は 

g:x→h′(1 

の 補 題 が 必 要 と な る.

べ て のx∈Vに

とQ′ を 定 義 す れ ばQ′ は(8.4)の

一意 的 に 定 ま る こ と は

理1).

を み た す 同 形 写 像jが

  証 明   VのF基{xi}を

っ てg° ρQ

一 意 的 に定 ま る.

形 式Q′ が 一 意 的 に 存 在 す る.こ

で 

定 め る.よ

性 質 に よ り一 意 的 に 定 ま る.

よ く知 ら れ て い る(『代 数 』 Ⅱ,p.372定   あ と で 係 数 体 の 拡 大 を す る 時,次

像

とお け ば

同 形 定 理 に よ りh′ は

元 環 準 同 形gを

生 成 す る か らgは

定 理8.3の

の 拡 張 をh′

  証 明   上 述 の 性 質 は 普 遍 写 像 性 だ か ら(C(Q),ρQ)が

を み た すU上

元環 としての

与 え ら れ 上 の 条 件 を み た す と仮 定 す る.写

っ てh′ の 核 は イ デ ア ルI(Q)を

T(V)/I(Q)=C(Q)か =hを

み た すF多

す

一 意 的 に 存 在 す る.

hは 一 意 的 に テ ン ソ ル 代 数T(V)に

が 成 り立 つ.よ

次 の性 質 を も

与 え ら れh(x)2=Q(x)・1が

つ い て 成 り立 っ て い れ ばg° ρQ=hを

準 同 形g:C(Q)→Aが   証 明   F多

写 像 ρQ:V→C(Q)は

線 形 写 像h:V→Aが

ρQ)が

定 理8.3の

形 写 像h′:U→A′

つ い て 成 り 立 つ と す る.写

条 が与 像

を み た す.し

た が っ てg′°ρQ=gを

存 在 す る(定 理8.3).そ 形hに

れ は 

拡 張 で き る.こ

と な る.よ

る.こ

の 時Vの

任 意 の 元xに

定 理8.3系

に よ り(8.4)が

恒等 的 に0の 場 合QのC環 の 外 積 代 数 の次 元 は2nで

こ とは 任 意 の2次 形 式QのC環

  (8.5) 

はV上

の外 積 代 数 に 他 な ら な い.V

あ る(『代 数 』Ⅱ,p.329定

の場 合 に も成 り立 つ.こ

一 緒 に 証 明 し よ う.証 明 の途 中 でVの

の2元u,υ

一 意 的 に定 ま

成 り立 つ.

の 次 元 がnな

とな るE(V*)の

な

性 質 を 満 足 し て い る こ と を 示 し て い る.

  注 意   2次 形 式Qが らばV上

元環準同

が 成 り立 つ.す

ら か に こ の 式 を み た す 写 像hは

ρQ)が 定 理8.3の

が

つ いて

つ い て 

を 得 る.明 れ は(C′,1 

元 環 準 同 形g′:C(Q)→A′ か らA′ の 中 へ のE多

っ て 任 意 のu∈Uに

わ ち 

み た すF多

理2).こ

の

こ では 外 積 代 数 の場 合 も含 め て

双 対 空 間 上 の 外 積 代 数E(V*)を

性 質 は(そ れ がC環 で あ るか ら)定 理8.3に

用 い るが,必

要

含 まれ てい る.な おE(V*)

の 積 はu∧ υ と表 わ す こ とに す る. Vの

線 形 写 像ifが

双 対 空 間V*の

元fに

対 し て 次 の 性 質(8.6)を

満 足 す るT(V)の

の 写 像ifは(if)2=0を

み た す.ま

一 意 的 に 定 ま る.

 (8.6)

こ こ でx∈V,u∈T(V)で f→ifはV*か Qに

対 しifは

あ る.こ らEnd(T(V))の

中 へ の 線 形 写 像 で あ る.任

両 側 イ デ ア ルI(Q)を

不 変 に しC環C(Q)の

意 の2次

た 形式

上 の 線 形 写 像 を引

き お こ す.   証 明   (8.6)の 第1式 既 にTp(V)上 (8.6)の 第2式

うに 定 義 さ れ たifが   (8.6)  の 第2式

す べ て のpに

一 意 的 に 定 義 さ れ る.そ

で 定 義 さ れ た と仮 定 す る.Tp(V)の を 用 い れ ばTp+1(V)の

一 意 的 に 定 ま る .し

を 得 る.第1式

よ りifはT0(V)に

逆 に(8.6)を

にifを

uに

とっ て

対 す るifの

値 が

上 で 一 意 的 に 定 義 さ れ る.こ

のよ

み た し て い る こ とは す ぐ検 証 さ れ る.

今 一度 適 用 す れ ば(ifが

か ら(if)2はT0(V)の つ い てTp(V)上

生 成 元 の 一 つuを

生 成 元 の 一 つx 

た が っ てifがT(V)の

こ でifが

で0と

上 で0と な る.し

線 形 写 像 だ か ら)

な る か ら 帰 納 法 に よ り(if)2は た が っ て(if)2=0が

成 り立 つ.

  任 意 にh,g∈V*とa,b∈Fを は(8.6)の

と りf=ag+bhと

両 式 を 満 足 し て い る.よ

っ てifの

お く.こ

の 時aig+bih

一意性に より

if=aig+bih.   2次 形 式Qを りIは

定 めI={u∈I(Q)￨if(u)∈I(Q)}と

左 イ デ ア ル と な る.と

こ ろ でI(Q)は

と い う形 の 元 で 生 成 さ れ て い る.そ

と な る か らI=I(Q),す

お く.(8.6)の

第2式

に よ

左 イデ アル と し て

こ でif(u)を

計 算 し てみ れ ば

な わ ちif(I(Q))⊂I(Q)と

な る.ifがC(Q)に

線形写

像 を 引 き お こ し て い る こ と は 明 ら か で あ る.   注 意   い まxi∈Vな

らばif(x1 x2 … xp)は

とな る.こ こで 和 記 号 の 中 の 項 はxkを   Vの 基{ui}を

除 い た 残 りの 元 の テ ン ソル 積 であ る.

とれ ば{ui  …  uk}がT(V)の

り,そ の1元d=djに

対 応す る写 像idが

要 とな る のは 添 数 の集 合J={i,…,k}が j∈Jな

基 とな っ てい る.V*に

双対基を と

どの よ うに 作 用 し てい るか 調 べ てみ よ う.必 同 じ文 字 を2重 に 含 まな い 場 合 であ る.こ の時

らば

(右 辺はujだ

け を 除 い た 残 りの元 の積), 

  2次 形 式QのC環 T(V)の

をC(Q)と

線 形 写 像igが 表 わ す.い

はF上

の 多 元 環 で あ る.写

数E(V*)か

まC(Q)上

さ れi(x∧y∧   線 形 空 間Vの

意 の 元g∈V*に

対 して テ ン ソル代 数

こ でigがC(Q)に

引 きお こす写像 を

の 線 形 写 像 全 体 の つ く る 集 合 をLと 像g→i(g)はV*か

等 的 に0と

らLの

す る.任

定 ま る(8.5).そ

i(g)と

る か ら 定 理8.3(恒

な ら0で あ る.

な る2次

形 式 の 場 合)に

中 へ の 多 元 環 準 同 形(同

… ∧z)=i(x)i(y)…i(z)が 基{u1,…,un}を

らLの

じ 文 字iを

お け ば,L

中への線形写像 であ

よ りiはV*上

の外 積 代

用 い て 表 わ す)に

成 り立 つ.

一 つ 定 め て お く.ま

だ ρ=ρQが

単射 である

こ と は 証 明 さ れ て い な い が 記 号 を 簡 単 に す る た め ρ(x)の 代 りに 単 にxと す る.C(Q)の

元 はuiuj…ukと

か し 添 数 をi<j<…
拡張

略記

い う形 の 元 の 一 次 結 合 と し て 表 わ さ れ る.し

整 理 し た 元 だ け 用 い れ ば よ い((8.2)参

照).以

上 の

準 備 の 下 で 次 の 定 理 が 証 明 さ れ る.   定 理8.7 

2次 形 式QのC環C(Q)の

  証 明   上 の よ うにVの

次 元 は2nで

基{u1,…,un}を

あ る(n=dim

定 め て お く.C(Q)の

V). 元

{uiuj…uk(i<j<…
Σaij…kuiuj…uk=0 

か らaij…k=0を 数 の 集 合Jが {di}を

導 こ う.0で

こで 一 次 関 係 (aij…k∈F)

な い 係 数 が あ る と仮 定 し,そ

最 大 と な る 項 を 一 つ と りJ={j,…,k}と

と りi(dj∧

… ∧dk)(添

前 に 注 意 し た よ うにi(dj∧ 以 外 の 各 項 を0に

数 の 集 合 がJ)に

±1に 写 す.よ

お く.V*に

よ る 式(*)の

… ∧dk)=i(dj)…i(dk)は

し,uj…ukを

れ ら の 項 の うち 添

像 を 考 え る.

添 数 の 集 合 がJの っ て(*)式

双 対基

か ら

元uj…uk ±aij…k=0

と な り矛 盾 が 得 ら れ る.   系1 

写 像 ρQ:V→C(Q)は

  系2 

Vの

単 射 で あ る.

基{u1,…,un}を

定 め れ ば{uj…uk(j<…
基 と な る.   証 明   定 理8.7の

証 明 か ら 系2の

成 り立 つ こ とが わ か る.系1は

系2の

特別

の 場 合 で あ る.   定 理8.8  式 をQと

偶 数 次 元n=2mの

す る.QのC環

す な わ ちC環

は2m×2m行

  証 明   仮 定 に よ りVは でNもPもm次 と お く.2次

は2m次

形 式QのN上

体 が つ く る 多 元 環 をLと   2次 形 式Qの

x∈Nとu∈Sに

非 退 化2次

形

列 全 体 の つ く る 全 行 列 環 と 同 形 で あ る. 二 つ の 全 特 異 部 分 空 間NとPと 考 え てNか

へ の 制 限 は 恒 等 的 に0だ あ る(定 理8.7).そ お きC(Q)とLと

同 伴 形 式 をfと

の 直 和 に な る.こ

ら 生 成 さ れ る 部 分 環 をS の外積代数

こ で 線 形 空 間S上

の線 形写 像 全

が 同 形 に な る こ と を 証 明 し よ う.

お く.Nに

基{x1,x2,…,xm}を

定 めPの

と な る よ う に と る.Pの 元 で あ る.補

線 形 写 像 が 定 義 さ れ る.そ ついて等式

こ

か らSはN上

 

yに 対 しx→f(x,y)はN*の 対 し てSの

定 義 さ れ た 指 数mの

元 の 線 形 空 間 の 自己 準 同 形 環 と同 形 で あ る.

元 で あ る.V⊂C(Q)と

と 同 形 で そ の 次 元 は2mで

{y1,…,ym}を

空 間Vで

題(8.5)に

れ をi(y)と

よ り こ のN*の

お く.(8.6)に

基 元 元に

よ り任 意 の

i(y)xu=f(x,y)u-x(i(y)u) が 成 り立 つ.さ

てu→xuをe(x)と

お け ばe(x)はSの

任 意 の υ∈Vはυ=x+y(x∈N,y∈P)と

線 形 写 像 で あ る.

一 意 的 に 書 け る.そ

こで

s(υ)=e(x)+i(y) と お け ばsはVか

らLの

中 へ の 線 形 写 像 で(e(x)2=i(y)2=0)

s(υ)2=e(x)i(y)+i(y)e(x)=f(x,y)=Q(υ)・1 が 成 り立 つ.(こ よ る.)定

こ でQ(x)=Q(y)=0も

理8.3に

よ りsをC(Q)か

そ の 拡 張 も 同 一 文 字sで

こ で 積 はHの

理8.7に

全 射 であ る こ と を示 せ ば  

意 のH⊂I,K⊂Iに

υH,K=xHyIxI-K  と お き{s(υH,K)}がLを

と な る.

つ い てxH=Πxiと

お く.こ

理8.7系2か

ら{xH}が

対 し

(yI=y1y2…ym)

生 成 す る こ と を 証 明 し よ う.基{yi}はNの

の 双 対 基 に あ た る か ら 前 に 注 意 し た よ うに  s(yj)xH=i(yj)xH=0,  が 成 り立 つ.Nの

L

増 加 順 に か け た も の で あ る.定

Sの 基 とな る こ とが わ か る.任

前の式に

よ り

S)2=dim

お き そ の 部 分 集 合Hに

元iを

つ 目 の 等 号 は6行

中 へ の 多 元 環 準 同 形 に 拡 張 で き る.

C(Q)=22m=(dim

た が っ て 準 同 形sが

 さ てI={1,2,…,m}と

らLの

表 わ す こ と に す る.定

dim を 得 る.し

用 い た.二

元 の 自 乗 は0だ

基{xi}

な らば

s(yj)xjxH=xH

か ら  

な ら ばxHxK=0.し

たが

って

とな る.よ

っ てs(υH,K)の

  注 意   dim C(Q)=dim Lだ

全 体 はLを

生 成 す る.

か ら上 の全 射 準 同 形sは 単射 で あ る.よ

よ うに体 上 の全 行 列 環は 単純 環 で そ の 中 心 は 係 数 体Fと でC環C(Q)は   定 理8.9 

く知 られ て い る

一 致 す る.定 理8.8の

仮定 の下

い わ ゆ る中 心 的 単純 環 で あ る. 偶 数 次 元 の 空 間 で 定 義 さ れ た 非 退 化2次

指 数 に か か わ ら ずQのC環C(Q)は   証 明   係 数 体Fの

代 数 的 閉 包 をEと

形 式 をQと

す る.Qの

中 心 的 単 純 環 で あ る. お く.Qに

対 応 し てE 

FV上

に

を み た す2次

形 式Q′ が 定 ま る(8.4).こ

形 式 をE Vに

の 時Q′ に 同 伴 す る 形 式f′ はQの

同伴

拡 張 し た も の だ か らf′ は 非 退 化 で あ る(Ⅰ §4参 照).前

に注

意 し た よ うに 代 数 的 閉 体 の 上 で は 非 退 化2次 8.8に

よ りC(Q′)は

例2).一

全 行 列 環 に 同 形 で 中 心 的 単 純 環 で あ る(『代 数 』Ⅱ,p.317

方,(8.4)に

よ り  

が 成 り立 つ.こ

も 中 心 的 単 純 環 に な る(『代 数 』 Ⅱ,p.319補  テ ン ソ ル 代 数T(V)に 奇 数 だ け の 和 をT-と 直 和 と な る.こ

お い てpを お く.明

の こ と か らC環C(Q)もT+の

題4).

の 分 離 拡 大 体 でC+は

ΣTp(V)をT+,

像C+とT-の

の

像C-の

部 分 環 だ か らC+はC(Q)の

中 心ZはF上2次 単 純 環,Zが

直和に 部分環 で

成 り 立 つ.

偶 数 次 元 の 空 間 で 定 義 さ れ た 非 退 化2次

半 単 純 で,C+の

の こ とか らC(Q)

ら か に 線 形 空 間 と し てT(V)はT+とT-と

ら にC+C-⊂C-,C-C+⊂C-,C-C-⊂C+が

  定 理8.10  時C+は

題2,p.418補

偶 数 だ け に 限 っ た和

分 解 す る こ とが わ か る.T+はT(V)の あ る.さ

形式は極大指数 を もつ か ら定理

形 式 をQと

元 で あ る.Zが

体 で な け れ ばC+は

す る.こ

の

体 な ら ばZはF

二 つ の単 純 環 の 直 和 で

あ る.   証 明   ま ずQは

極 大 指 数 の2次

形 式 で あ る と仮 定 す る.定

用 い た 記 号 を 用 いS+=S∩C+,S-=S∩C-と の 基 と な る.よ

る.し

の 直 和 に 分 解 す る.任

を 交 換 す る.こ

た が っ て 任 意 の υ∈Vに

s(C+)の

お け ば{xH￨￨H￨は

っ てSはS+とS-と

てe(x)はS+とS-と

各 元 はS+もS-も

dim

を 入 れ 替 え るか ら

こ でS+,S-上

お け ばsはC+か こ ろ でF上

C+=2n-1=2(2m-1)2=dim

の線 形 写 像 全 体

らL+とL-と

の直和

の次 元 が

L++dim

を み た し て い る か らs(C+)=L++L-す

つい

つ い て も同 様 で あ

つ い てs(υ)はS+とS-と

の つ く る 多 元 環 を そ れ ぞ れL+,L-と

証明に

偶 数}がS+

意 のx∈Nに

れ はi(y)(y∈P)に

不 変 に し て い る.そ

の 中 へ の 単 射 準 同 形 を 与 え る.と

理8.8の

L- 

な わ ちC+は

(n=2m)

二 つ の2m-1×2m-1全

行

列 環 の 直 和 で あ る.   指 数 が 任 意 の 場 合 は 前 定 理 の 証 明 の よ う にFの E上

の2次

形 式Q′ に 拡 張 す る.こ

っ てC+(Q)の ば,Rは

中 心ZはF上2次

ベ キ 零 だ か らE 

代 数 的 閉 包Eを

の 時 

が 成 り立 つ.よ

元 で あ る.さ RはC+(Q′)の

と り,Qを

てC+(Q)の

根 基 をRと

ベ キ 零 イ デ ア ル と な る.と

おけ ころ で

C+(Q′)は 単 純 環 の 直 和 だ か ら 半 単 純 で 

す なわ ちR={0}で

C+(Q′)は 半 単純 で あ る(『代 数 』 Ⅰ,第2章

心Zが

がFの

§9参 照).中

分離 拡 大 体 で あ る こ とは テ ン ソ ル 積E 

証 明 され る.(『 代 数 』 Ⅱ,p.321定 理2の

Zが

体 の場 合,Z

体 の直 和 に な る こ とか ら

前 の 注 意 参 照.)残

って い る点 は 半 単

純 環 の構 造定 理 か ら 明 ら か で あ る.  定 理8.11 

奇 数 次 元 の空 間 で 定義 さ れ た非 退 化2次 形 式 をQと

は 中心 的 単 純 環 で あ る.C(Q)の

が 成 り立 つ.ま

たZはC-の

  証 明   非 特 異 元x0を

中 心 をZと

お く.C+(Q)

お け ばZはF上2次

元で

可 逆 元 を 含 む. と りU=〈X0〉

⊥ と お く.Uの

元uに

Q1(u)=-Q(x0)Q(u) を 対 応 さ せ れ ばU上 か らC+(Q)の

に 非 退 化2次

形 式Q1が

得 ら れ る.さ

中 へ の 線 形 写 像 で(f(x0,u)=x0u+ux0=0よ

てu→x0uはU り)

(x0u)2=x0ux0u=-x02u2=-Q(x0)Q(u)=Q1(u) が 成 り立 つ.定 環 準 同 形hに

理8.3に

拡 張 で き る.定

と な る.(h(1)=1よ あ る か らhは

よ り こ の 写 像 をC環C(Q1)か

り 

理8.9に .)と

全 射 と な る.よ

らC+(Q)の

よ りC(Q1)は

単 純 で あ る か らhは

こ ろ でC(Q1)とC+(Q)と

って  

中へ の 多元 単射

はF上

同次元 で

が 成 り立 ちC+(Q)は

中心 的

単 純 環 で あ る.   次 にUの

直 交 基{x1,…,x2m}を

つ い てxixj=-xjxiが Zの

元 で あ る.ま

ら か にC-に

たz2=±Q(x0)Q(x1)…Q(x2m)だ

属 す る.よ

中 心Zと

  最 後 にC環 形 とはAの

お く.任

成 り立 つ か らxiz=(-1)2mzxi=zxiと か らzは

っ てZ0=F・1+Fzは

は 多 元 環 準 同 形 で あ る.  C(Q)の

と りz=x0x1…x2mと

意 のi,jに

な りzは

中心

中心の可逆元 で明

部分 環 で

だ か ら 

と な りZ0は

一 致 す る.

の 主 反 自 己 同 形 β に つ い て 述 べ る.任 線 形 写 像 α で あ っ て,α

意 の 多 元 環Aの

は 可 逆,α(1)=1,か

α(ab)=α(b)α(a)  が 成 り立 つ も の で あ る(右 辺 と 左 辺 でa,bの

(a,b∈A) 順 序 が 逆).

反 自己 同

つ 積 に つ いて

  定 理8.12 

空 間V上

こ の 時C(Q)の

で 定 義 さ れ た2次

形 式 をQ,そ

反 自 己 同 形 β で 各x∈Vに

のC環

をC(Q)と

つ い て β(x)=xを

す る.

み た す もの が

一 意 的 に 存 在 す る.   証 明   こ の 様 な β が 存 在 す る と 仮 定 す れ ば 任 意 のxi∈Vに β(x1x2…xr)=xr…x2x1 

ついて

(右 辺 の 積 は 逆 順)

が 成 り立 つ か ら β が 一 意 的 に 定 ま る こ と は 明 ら か で あ る.β は 次 の よ う に 証 明 さ れ る.C(Q)と 中 へ の 線 形 写 像sが ら 定 理8.3に

あ る.任

意 のx∈Vに

よ りsはC(Q)か

の 準 同 形 も 同 じ 文 字sで る.一

反 同 形 な 多 元 環 をC′

方C(Q)とC′

自己 同形 で 条件   定 義8.13 

と お け ばVか

つ い てx2=Q(x)・1が

らC′ の

成 り立 つ か

らC′ の 中 へ の 多 元 環 準 同 形 に 拡 張 で き る.こ

表 わ す.s(V)がC′

の 生 成 集 合 だ か らsは

と は 同 次 元 だ か らsは

でC′ か らC(Q)の

が存 在 す る こと

単 射 で 実 は 同 形 写 像 で あ る.そ

上 へ の 反 同 形 写 像 と の 合 成 を β と お け ば,β β(x)=x(x∈V)を

全射 で あ

はC(Q)の

こ 反

満 足 す る.

上 定 理 の β をC環C(Q)の

主 反 自 己 同 形 と い う.

 §9  直 交 群 の 交 換 子 群  こ の 節 で は 空 間Vで

定 義 さ れ た2次

形 式Qは

非 退 化 と仮 定 す る.直

交 換 子 群 を 決 定 す る の が 目 標 で あ る.そ の 基 本 と な るQに

対 応 す るC群

交群 の とい う

概 念 を 定 義 す る.   定 義9.1  る.2次

2次 形 式QのC環

をC(Q)と

形 式QのClifford群(略

条 件sVs-1=Vを   定 理9.2 

し てC群)と

部 分 空 間 と考 え

い う の はC(Q)の

可 逆 元sで

満 足 す る も の 全 体 が つ く る群 で あ る. 2次 形 式QのC群

をGと

お き,G+=G∩C+,ま

φ(s)x=sxs-1  と お く.こ

し,VをC(Q)の

の 時,次

(ⅰ) 写 像 φ はGか

た

(s∈G,x∈V)

の 命 題 が 成 り立 つ. ら 直 交 群O(Q)の

中 へ の 準 同 形 で そ の 核 はC(Q)の

中心に

含 まれ る 可 逆 元 全 体 の 集 合 と 一 致 す る. (ⅱ)  集 合V∩GはVの て-φ(x)は (ⅲ)  Vの

超平面

非 特 異 元 の 全 体 と一 致 し,任

意 のx∈V∩Gに

つい

〈z〉 ⊥ に 関 す る 対 称 変 換 で あ る.

次 元 が 偶 数 の 場 合,Gの

各 元 はC+の

元 で あ るか ま た はC-の

元で

あ る. 

な ら ばG+は

(ⅳ)  空 間Vが

偶 数 次 元 の 場 合 φ(G)=O(G)で

φ(G∩C-)∩

φ(G+)=φ

の 標 数 が2で (ⅴ)  Vの

指 数2の

部 分 群 で あ る. あ る.さ

で φ(G+)はO(G)の

指 数2の

な け れ ば φ(G+)はSO(Q)と

次 元 が 奇 数 の場 合 は

ら に 

部 分 群 と な る.係

数体

一 致 す る.

φ(G)=φ(G+)=SO(Q)と

  証 明   (ⅰ) 任 意 のs∈Gとx∈Vに

な らば

な る.

つ い てC(Q)の

中で

Q(φ(s)x)=(sxs-1)2=sx2s-1=Q(x) が 成 り立 つ.し

た が っ てs∈Gな

形 で あ る こ と,す 明 さ れ る.い

な わ ち φ(st)=φ(s)φ(t)が

まs∈Gに

対 し φ(s)=1で

元 と可 換 に な る.C(Q)はVの る.よ

ら ば φ(s)∈O(Q)が

成 り立 つ.写

像 φが準同

成 り立 つ こ と は 定 義 か ら容 易 に 証

あ る と仮 定 す れ ばsは

す べ て のVの

元 で 生 成 さ れ る か らsはC(Q)の

中心 の元 で あ

っ て(ⅰ)が 証 明 さ れ た.

  (ⅱ)  Vの

一 元 をxと

め の 条 件 は 

す れ ばx2=Q(x)が

,す

の 逆 元 はQ(x)-1xで

な わ ちxが

あ る か ら,任

成 り立 つ か らxが

可逆 元 で あ るた

非 特 異 な 元 で あ る こ と で あ る.こ 意 のy∈Vに

の 時x

つ いて

xyx-1=Q(x)-1xyx=Q(x)-1x(f(x,y)-xy) =-y+Q(x)-1f(x,y)x が 成 り立 つ((8.2)参 -φ(x)は

元xが

非 特 異 な ら ばxはC群

分 は φ(s)xtだ

中 心 的 単 純 環 で あ る(定

任 意 のx∈Vに

お け ばsxのC-成 か らtx=φ(s)xtと

の元 で

.15).

次 元 が 偶 数 な ら ばQのC環C(Q)は

義 に よ りsx=φ(s)xsが

s=t+r(t∈C+,r∈C-)と C-成

た が っ てVの

〈x〉⊥ に 関 す る 対 称 変 換 で あ る(定 義7

  (ⅲ)  空 間Vの 理8.9).定

照).し

つ い て 成 り立 つ.そ

分 はtxで な る.し

あ る.ま

こで

た φ(s)xsの

たがって

s-1tx=s-1φ(s)xt=xs-1t が す べ て のx∈Vに

つ い て 成 り立 つ.こ

る こ と を 示 し て い る.と な る.も な る.い

し  ま 

た が っ てG+はGの

な ら ばVは

れ に 反 しa=0な

非 特 異 元xを

可 逆 元 でx∈G∩C-,ま 指 数2の

中 心Zに

含 まれ

中 心 的 単 純 環 だ か らt=as(a∈F)と

な ら ばs=a-1t∈C+.こ

め に 述 べ た よ うにxは つ.し

こ ろ でC(Q)は

れ はs-1tがC(Q)の

ら ばs=r∈C-と

含 む(7.6).(ⅱ)の た(G∩C-)x⊂G+が

部 分 群 で あ る.

証 明の は じ 成 り立

  (ⅳ)  O(Q)の

任 意 の 元uを

と る.こ

像 でu(x)2=Q(u(x))=Q(x)が らC(Q)の V上

成 り立 つ.よ

らV⊂C(Q)へ

っ て 定 理8.3に

中 へ の 多 元 環 準 同 形 に 拡 張 で き る.と

で0で

な い か らuはC(Q)の

の 元 を 不 変 に す る か ら,単 C(Q)の

の 時uはVか

の線 形 写

よ りuをC(Q)か

こ ろ でC(Q)は

自 己 同 形 に 拡 張 で き る.こ

単 純 環 でuは の 拡 張 は 係 数 体F

純 環 の 一 定 理(『 代 数 』 Ⅱ,p.422系3)に

内 部 自 己 同 形 に 拡 張 さ れ る.す

な わ ちC(Q)の

可 逆 元sが

よ りuは あ って

u(x)=sxs-1 がVの

す べ て の 元xに

つ い て 成 り立 つ.こ

つ こ と を 示 し て い る.し   C(Q)の

中 心 はFだ

か らker

φ(G∩C-)∩ が 成 り立 つ.以 交 群O(Q)の uが

つu=φ(s)が

成 り立

成 り立 つ.

φ ⊂G+(ⅰ).よ

φ(G+)=φ, 

下 係 数 体Fの 元uは

れ はs∈Gか

た が っ て φ(G)=O(Q)が って

￨φ(G):φ(G+)￨=￨G:G+￨=2

標 数 は2で

な い と仮 定 す る.定

対 称 変 換 の 積 と な る.そ

理7.18に

こ で 非 特 異 元x1,…,xkが

〈xi〉 ⊥ に 関 す る 対 称 変 換 の 積 で あ る と す れ ば(ⅱ)に

よ り直 あ って

よ り

u=(-1)hφ(x1…xh) が 成 り立 つ.対

称 変 換 の 行 列 式 の 値 は-1だ

が っ てu∈SO(Q)な SO(Q)⊂

φ(G+)で

SO(Q)=φ(G+)と   (ⅴ)  Vが

ら ばhは

な る.し

成 り立 つ.す 指 数2の

φ(G+)⊂ φ(G)を

な い.し

得 る.と

た

なわ ち

部分群だか ら

た が って上 の証 明

こ ろ で こ の 場 合 φ(G)

一 致 し な い こ と が 次 の 様 に 証 明 さ れ る.SO(Q)の

て い な い.実

指 数 が2だ

から

成 り立 つ. 元 で あ る.し

際 も し こ の 写 像 がC(Q)の

す れ ば す べ て のx∈Vに

C-の

φ(G+)が

φ(G+)もO(Q)の

奇 数 次 元 の 場 合 は 係 数 体 の 標 数 は2で

写 像x→-xはO(Q)の

υ∈C-に

u=(-1)hと

な る.

SO(Q)=φ(G+)=φ(G)が   Vの

偶 数 と な りu∈

あ る がSO(Q)も

が そ の ま ま 成 り立 ちSO(Q)⊂ はO(G)と

か らdet

可 逆 元tに

つ い てtxt-1=-xが

つ い てtυt-1=-υ

か し こ の 元 は φ(G)に 含 ま れ よ り引 き お こ さ れ た と仮 定

成 り立 つ.そ

が 成 り立 つ は ず で あ る.と

可 逆 元 を 含 む か ら 矛 盾 が 得 ら れ る(定 理8.11参

うす れ ば 任意 の

こ ろ がC(Q)の

中心 は

照).

  次 に ス ピ ン ノ ル ム を 定 義 す る.  (9.3)  非 退 化2次

形 式 をQ,そ

のC環C(Q)の

主 反 自 己 同 形 を β とす る.

任 意 のs∈G+に

つ い てN(s)=β(s)sと

お け ばNはG+か

らFの

中 へ の 準 同形

で あ る.   証 明   も しs∈G+な

ら ばsVs-1=Vが

っ て β(s)-1Vβ(s)=Vを x∈Vに

得 る.ゆ

対 し てsx=φ(s)xsが

成 り立 つ.こ

え に β(s)もG+の

の式 の β に よる像 を と

元 で あ る.さ

て任意の元

成 り立 つ か ら xβ(s)=β(s)φ(s)x,

し た が っ て β(s)sx=β(s)φ(s)xs=xβ(s)sが 元 だ か ら β(s)sはC(Q)の

中 心Zの

の 構 造 定 理 に よ れ ば(定

成 り立 つ.こ

元 で あ る.と

な る.β

任意 の

こ ろ で 前 節 で 述 べ たC(Q)

理8.9,8.11)Z∩G+はFの

し た が っ て β(s)s∈F#と

こ でxはVの

可 逆 元 の 集 合 と一 致 す る.

は 反 自己 同形 だ か ら

β(st)st=β(t)β(s)st=β(s)sβ(t)t す な わ ちN(st)=N(s)N(t)が

任 意 のs,t∈G+に

  写 像 φ はG+か

中 へ の 準 同 形 を 引 き お こ し,そ

す る.そ

らO(Q)の

こ で φ(G+)の

任 意 の 元 σ に 対 し φ(u)=σ

元 を 除 い て 一 意 的 に 定 ま る.も はF#の

しa∈F#な

は φ(G+)か   定 義9.4 

らF#/(F#)2の

φ(G+)の

一致

元uはF#の あ る か らN(u)

なわ ち

(φ(u)=σ)

中 へ の 準 同 形 を 与 え る.

(9.3)で 定 義 し たN(s)をG+の

書 で はv(σ)も

の 核 はF#と

と な るG+の

ら ばN(a)=a2で

元 の 自 乗 を 除 い て 一 意 的 に 定 ま る.す v:σ →N(u) 

約C群

つ い て 成 り立 つ.

元sの

ス ピ ン ノ ル ム と い う.本

元 σ の ス ピ ン ノ ル ム と い う.Nの

核 をG0+と

お き被

と い う.

  商 群 φ(G+)/φ(G0+)の   (9.5)  一 つ の 例 外(2元 除 け ばG+の

構 造 を 調 べ る た め 次 の 補 題 を 証 明 し よ う. 体 上 の4次

元 空 間 で 定 義 さ れ た 指 数2の2次

元 は 偶 数 個 のV∩Gの

形 式)を

元 の 積 と な る.

  証 明   上 の 例 外 の 場 合 を 除 け ば 任 意 の 直 交 変 換 は 対 称 変 換 の 積 と な る(定

理

7.18).G+の

τi

元sを

は 非 特 異 元xiと

直 交 す る 超 平 面 に 関 す る 対 称 変 換 と す れ ば 定 理9.2に

φ(s)=(-1)hφ(x1…xh)と が2で

と り φ(s)=τ1… τhと 対 称 変 換 τiの 積 と し て 書 く.各

な る.こ

こ で(-1)h=1が

あ れ ば こ れ は 自 明 で あ る し,標

hが 偶 数 と な る か ら で あ る.し

数 

成 り立 つ.係

数体の標数

の 場 合 は φ(G+)=SO(Q)だ

た が っ て φ(s)=φ(x1…xh)が

より

成 り立 つ.そ

か ら こで

s=cx1…xhと

お け ばcは

φ の 核 に 含 ま れ て い る .こ

証 明 し よ う.定

理9.2(ⅰ)に

の 場 合C(Q)は

中 心 的 単 純 環 だ か らc∈Fが

場 合 は φ(G+)=SO(Q)だ

よ り φ の 核 はC(Q)の

か らhが

こ でc∈Fと

な る こ とを

中 心 に 含 ま れ る.偶

成 り立 つ(定 理8 .9).奇

偶 数 と な り(定

理8.11よ

数次元 数 次元の

り)

c∈Z∩C+=F が 成 り立 つ.よ ら(標 数2の

っ てs=(cx1)x2…xhとV∩Gの

場 合 で も)hは

 (9.6)  体Fの 群 をHと

が 成 り立 つ.2次

か

偶 数 で あ る.

乗 法 群F#の

お く.も

元 の 積 と な る.s∈G+だ

中 で 積Q(x)Q(y)(x,y∈V∩G)が

し 

な ら ばvの

形 式Qの

核 は φ(G0+)で

指 数 が 正 な ら ばH=F#で

σ が 対 称 変 換 τiの 積 で,σ=τ1…

τh,各iに

生 成 す る部 分

あ る.い

ま φ(G+)の

つ い て τiは 非 特 異 元xiと

元

直 交す る

超 平 面 に 関 す る対 称 変 換 で あ る と仮 定 す れ ば 次 式 が 成 り立 つ. v(σ)=Q(x1)…Q(xh)(F#)2.   証 明   係 数 体 が2元

体 の 場 合 はG+=G0+,F#=(F#)2だ

つ.そ

仮 定 す る.G+の

こ で￨F￨>2と

s=x1…xh  と 書 く こ と が で き る.β(s)は

か ら(9.6)が

元sは(9.5)に

(xi∈V∩G,hは 逆 順 序 の 積xh…x1と

成 り立

よ り 偶 数) な るか ら

N(s)=Q(x1)…Q(xh) が 成 り立 つ.し

た が っ てvに

よ る 像 は 部 分 群Hと

vの 核 の 元 σ を と り φ(u)=σ N(cu)=1を

み た すF#の

元cが

とす れ ばN(u)はF#の あ る.す

一 致 す る(hが

偶 数).さ

元 の 自 乗 と な る .よ

な わ ちcu∈G0+,ま

て って

た

φ(cu)=φ(u)=σ が 成 り立 つ.こ

れ はvの

核 が φ(G0+)で あ る こ と を 示 し て い る.そ

り同形 対 応   さ てQの

こ でvに

よ

値 はFの

任

が 得 ら れ る.

指数 が正 な ら ば強 双 曲型 の組 が あ る.し

意 の元 を と りH=F#が

た が ってQの

成 り立 つ.最 後 の 公 式 は い まや 明 らか で あ る.

 以上 の準 備 の下 で本 節 の主 定 理 が 証 明 され る.  定 理9.7 

2次 形 式Qの

指 数 は 正 と仮 定 し,さ らに(9.5)で あ げ た 例 外 の場

合 では な い と仮 定 す る.こ の時O(Q)の

交 換 子 群 は φ(G0+)で あ る.

  証 明   O(Q)の

交 換 子 群 を Ω,ま

た Φ=φ(G0+)と

お く.

 (a)  ま ず Ω⊂ Φ が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.Qの

定 義 さ れ て い る 空 間V

の 次 元 が 奇 数 か 偶 数 か に よ り二 つ の 場 合 に 分 け る.   dim

Vが

奇 数 の 場 合   写 像x→-x(x∈V)を

中 心 に 含 ま れ て い る がSO(Q)の 解O(Q)=Z×

φ(G+)が

元 で は な い.そ

成 り立 つ(定 理9.2(ⅴ)参

の 正 規 部 分 群 だ か ら 

と な る.さ

が 成 り立 つ か ら(9.6)に   dim

Vが

き る.こ

の 写 像 の 核 をG0と らF#の

の 正 規 部 分 群 でO(Q)/Φ

義 に よ り Φ は φ(G+)

は 可 換 群 で あ る.よ

お く.さ

像NをGの てQの

指 数 は 正 と仮 定 した か ら ス ピン ノ た が っ てG=G0G+,G0∩G+=G0+

よ り φ(G)=O(Q)と

は 可 換 群 と な る.よ

とお きVを

直交和  

っ て Ω ⊂Φ を 得 る.

強 双 曲 型 の 組{x,y}を

お く.HはO(Q)の

成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.Ω

は 部 分 群 で あ る.し

た が っ て ΩHが

っ て 商 群

な る か ら Φ はO(Q)

含 ん で い る.

に 分 解 す る.O(Q)の

の 各 元 を 不 変 に す る も の 全 体 の 集 合 をHと こ こ でO(Q)=ΩHが

っ て Ω⊂ Φ と な る.

す べ て の元 につ い て定 義 で

を 得 る.よ

理9.2に

指 数 は 正 と仮 定 し た か らVは

さ てP=〈x,y〉

ζ〉 とお け ば 直 積 分

照).定

お よ び 

可 換 群 で あ る.定

 (b)  Qの

こ でZ=〈

らに

上 へ の 全 射 と な る.し

が 成 り立 ち  G/G0+は

よ りO(Q)/Φ

偶 数 の 場 合   こ の 場 合,写

ル ム はG+か

ζ と お く.ζ はO(Q)の

元 の う ちP⊥ 部 分 群 で あ る.

は 正 規 部 分 群 だ か ら ΩH

対 称 変 換 をす べ て含 ん で い る こ とを 証 明 す

れ ば よ い(定 理7.18).   任 意 の 対 称 変 換 を σ と す る.σ す る 対 称 変 換 で あ る.い

まPの

は あ る 非 特 異 元zに

直 交 す る 超 平 面Lに

元z1をz1=x+Q(z)yと

関

定義すれば

Q(z1)=Q(z) が 成 り立 つ.よ

っ てWittの

定 理 に よ りzをz1に

うつ すO(Q)の

元 τ が あ る.

そ こ で σ1=τ στ-1と お け ば σ1は τLに 関 す る対 称 変 換 で あ る.と =z1∈Pだ

か ら τL⊃P⊥

と な り σ1∈Hを

σ=σ

が 成 り立 ち σ∈ ΩHが  (c)  記 号P=〈x,y〉

σ1-1σ1, 

σ σ1-1=σ

証 明 さ れ る.よ は(b)で

得 る.し τ σ-1τ-1∈

こ ろで

τ(z)

た が って Ω

っ てO(Q)=ΩHと

定 め た 通 り とす る.任

な る. 意 のa∈F#に

対 して

wa=x+ayと

お く.部

分 群Hも(b)の

通 り と す る.こ

-φ(wa)ま と表 わ せ る こ と を 示 そ う.Hの は 二 つ の1次

たは

元 はPを

元 部 分 空 間FxとFyの

P⊥ の 各 元 を 不 変 に し てPの

の い ず れ か に 一 致 す る.し

φ(w

こ でHの

元 は

aw1)

全 体 と し て 不 変 に す る.Pの

特異元

い ず れ か に 含 ま れ て い る か らHの

元は

上では

た が っ てHの

元 は-φ(wa)ま

た は φ(waw1)で

あ

る.  (d)  Φ⊂ Ω が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.そ (b)に

よ り σ=σ1σ2(σ1∈ Ω,σ2∈H)と

得 る か ら σ2∈Φ と な る.こ に よれ ば σ2が-φ(wa)の け れ ば-φ(wa)の φ(G+)=SO(Q)に

こ で σ2=φ(waw1)の

行 列 式 の 値 は-1だ

り Ω⊂ Φ を

形 で あ る こ と を 示 そ う.(c) 数 体 の 標 数 が2で

な

か ら σ2と は 一 致 し な い(Φ の 元 は

方,係

っ て 定 理9.2(ⅳ)に

合 も σ2は φ(waw1)の す な わ ち(9.6)に

書 く こ と が で き る.(a)よ

形 で な い こ と を い え ば よ い.係

含 ま れ て い る).一

偶 数 で あ る.よ

こ で Φ の 任 意 の 元 σ を と る.

数 体 の 標 数 が2な

よ り 

形 を し て い る.さ

ら ばVの

を 得 る.い

次元は ず れ の場

て σ2∈Φ だ か ら ス ピ ン ノ ル ム が1,

よ り Q(wa)Q(w1)=a∈(F#)2

を 得 る.そ

こ でa=b2,ρ=φ(wbw1),τ=-φ(w1)と

おけば

σ2=ρ τρ-1τ-1∈ Ω で あ る こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る.し 成 り立 つ.(a)と   定 理9.8 

併 せ て Φ=Ω,す

た が っ て σ=σ1σ2∈ Ω と な り Φ⊂ Ω が

な わ ち 定 理 が 成 り立 つ.

前 定 理 と 同 じ 条 件 を 仮 定 す る.さ

す れ ば φ(G0+)は

φ(G+)の

V>2で

あ る と仮 定

交 換 子 群 で あ る.

  証 明   (a)  対 称 変 換 σ,τ の 交 換 子[σ,τ]全 きK=Ω

が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.こ

さ てK⊂

Ω と な る こ とは 明 ら か だ か ら Ω ⊂Kを

はO(Q)の

ら にdim

正 規 部 分 群 で あ る.例

換 の 全 体 で 生 成 さ れ て い る.商

体 が 生 成 す る 部 分 群 をKと

こ で Ω はO(Q)の

交 換 子 群 で あ る.

証 明 す る.(7.17)に

外 の 場 合 は 除 い て あ る か らO(Q)は

群O(Q)/Kは

お

よ りK 対称 変

対 称 変 換 の像 で生 成 さ れ る が そ

れ ら の 像 は 互 い に 交 換 可 能 で あ る.よ 子 群 Ω を 含 む.し

た が っ てK=Ω

っ てO(Q)/Kは

交換

が 成 り立 つ.

 (b)  対 称 変 換 σ,τ の 交 換 子[σ,τ]が を 証 明 す る.そ

可 換 群 と な りKは

φ(G+)の

交 換 子 と し て書 け る こ と

こで σ=sH, 

τ=sL, 

H⊥=〈x〉, 

L⊥=〈y〉

と お く.場

合 を 分 け て ま ず 〈x,y〉⊥ が 全 特 異 で な い 場 合 を 考 え る.こ

特 異 元z∈

〈x,y〉⊥ を と り 〈z〉 ⊥ に 関 す る対 称 変 換 を ρ とお け ば ρは σ と も τ

と も 可 換 で あ る(7.16).し

の 時,非

た が って [σ,τ]=[σ ρ,τρ]

が 成 り立 つ.さ

ら に σρ=φ(xz)∈

φ(G+),同

様 に τρ∈ φ(G+)と

 (c)  残 っ て い る の は 〈x,y〉⊥ が 全 特 異 の 場 合 で あ る.こ

な る.

の時は

〈x,y〉⊥⊂ 〈x,y〉⊥⊥=〈x,y〉 が 成 り立 つ.と n-2≦2と n>2だ

こ ろ で 〈x,y〉⊥ の 次 元 は 少 な く と もn-2(n=dim

な る.元xは

非 特 異 だ か ら こ こ で 等 号 は 成 り立 た な い.仮

か ら 上 の 不 等 式 よ りn=3を

得 る.こ

の場 合 は

[σ,τ]=[-σ,-τ] で-σ,-τ

∈SO(Q)=φ(G+)と

  注 意   n=2の

な る.

場 合 φ(G+)は 可 換 群 で定 理9.8は 成 り立 た な い.

V)だ

か ら

定に より

第3章 

 §1  根   1.定

の単 純 群

間 をEと

お き,Eの2元u,υ

系

義 

(u,υ)と

有 限 次 元Euclid空

表 わ す.0以

外 の 任 意 の 元r∈Eに

 (1.1) 

の内積を単に

対 し

wr(x)=x-2(r,x)(r,r)-1r

に よ りEの

線 形 写 像wrが

つ く る 超 平 面 をHと よ りrを

Lie型

定 義 さ れ る.い

お け ばwrはHに

重 視 す る か らwrをrに

ま 原 点 を 通 りrに

直 交 す る元 全 体 の

関 す る 対 称 変 換 で あ る.こ

関 す る 対 称 変 換 と も い う.以

の 節 で はH

下の考察で重要

と な る 根 系 と い う概 念 を 定 義 し よ う.  定 義1.2 

次 の 条 件 を み た すEの

部 分 集 合 Δ を 根 系 と い う.

(ⅰ)  Δ は 有 限 集 合 で (ⅱ)  Δ の 元 が 生 成 す る 部 分 空 間 はEと (ⅲ)  r,s∈ Δ

⇒wr(s)∈

(ⅳ)  r,s∈ Δ

⇒2(r,s)/(s,s)は

Δ.

(ⅴ)  r∈ Δ,λr∈ Δ(λ ∈R)⇒   根 系 Δ の 元rを のr∈

一 致 す る.

整 数 で あ る. λ=±1.

根 と い い,Eの

次 元 がlの

時 Δ をl次

元 の 根 系 と い う.任

意

Δ,s∈ Δ に 対 し て n(r,s)=2(r,s)/(s,s)

と お く.(条

件(ⅳ)に

よ りn(r,s)は

整 数 で あ る.)さ

W(Δ)=〈wr￨r∈ と お き,W(Δ)を

根 系 Δ のWeyl群

らに

Δ〉

と い う.

 注 意   根 系 Δ の元rを とれ ばwr(r)=-rと な る.し た が っ て(ⅲ)に よ りr∈ Δ⇒ -r∈ Δ が 成 り立 つ .ま たW(Δ)の 各元 は Δを Δの 上 に うつ す.も しW(Δ)の 元wが Δの 各 元 を 不 変 に す れ ば(ⅱ)よ

りw=1を

の 置 換 群 と考 え られ,特 にW(Δ)は

得 る.よ

っ て根 系 のWeyl群

は Δ の元 の 上

有 限 群 で あ る(ⅰ).こ の こ とか らW(Δ)はCoxeter

群 とな る(『群 論 』 上p.354).  (1.3)  Δ を 根 系 と し Δ の2元r,sの

間 の 角 を θ と お く.こ

の 時 θは

0°,  30°, 

45°, 

の い ず れ か に 等 し い.そ

60°, 

90°, 

し て0≦

120°, 

135°, 

θ<90°,(r,r)≦(s,s)な

に 応 じ て(s,s)/(r,r)=3,2,1と

らば

180°

θ=30°,45°,60°

な る.

  証 明   衆 知 の よ う にcos2θ=(r,s)2/(r,r)(s,s)が

成 り 立 つ.よ

n(r,s)n(s,r)=4cos2θ と な る.と

150°, 

≦4

こ ろ で こ の 左 辺 は 根 系 の 条 件(ⅳ)に

の こ と か らcos2θ=0,1/4,1/2,3/4,ま か に 等 し い こ と が わ か る.ま

よ り 二 つ の 整 数 の 積 で あ る.こ

た は1と た0<θ<90°

n(r,s)=1, 

っ て

な りθが上 に あ げ た値 の いず れ

と制 限す れ ば n(s,r)=1,2,3

と な り 後 半 が 証 明 さ れ る.  (1.4) 

根 系 Δ の2元r,sを

平 面 をPと

し

Δ1=Δ

次 元 の 根 系 は 次 の4通

∩Pと

と り  

と 仮 定 す る.2元r,sが

お け ば Δ1はPに

含 ま れ る2次

A2

B2

G2

  証 明   Δ1が 根 系 で あ る た め の 条 件(ⅰ)-(ⅴ)を い が そ れ は 明 ら か で あ ろ う.2次

よ り θ=90°,120°,135°,150°

一 意 的 に 定 ま る.例

え ば θ=135°

の 時90° ≦ θ<180°

ら とな る

場合に Δが

の時

ws(r)=r′

と お け ばs′ もr′ も Δ の 元 と な る(条 件(ⅲ)).と 中 心 角 の8等

 ,さ

の い ず れ か で あ る.各

と し よ う.こ

wr(s)=s′, 

Δ はB2型

み た し て い る こ とを示 せ ば よ

元 の 根 系 Δ の 中 に2元r,sを

の 間 の 角 θが 最 大 に な る よ うに 選 ぶ.こ

か ら(1.3)に

元 の 根 系 で あ る.2

り に 限 る.

D2

にrとsと

生 成 す る

ころで

±r,±s,±r′,±s′

分 線 上 に の っ て い る か ら これ ら の 元 以 外 に Δ の 元 は な い.よ

が って

で あ る.

 注 意   根 系 の条 件(ⅰ)-(ⅴ)は

強 い条 件 で すべ て の次 元 で 根 系 は す っ か り分類 され て

い る.  (1.5)  根 系 Δ の2元r,sを

とり  

と 仮 定 す る.も

しn(r,s)>0な

ら

ばr-sは

根 で あ る.(n(r,s)>0⇔(r,s)>0が

  証 明   (1.4)  を 用 い 個 別 に(1.5)の

成 り立 つ.) 成 り立 つ こ と を 確 か め る こ と が で き る.

次 の 様 に 証 明 す る こ と も で き る.(1.3)の 定 の 下 でn(r,s)=1ま

た はn(s,r)=1が

証 明か らわ か る よ うに こ の補 題 の仮 成 り立 つ.n(r,s)=1な

ws(r)=r-n(r,s)s=r-s∈ を 得 る.n(s,r)=1の

場 合 はs-r=wr(s)∈

本系  

  定 義1.6 

Δ Δ とな る か ら

r-s=-(s-r)∈   2.基

ら

Δ.

根 系 の 基 本 系 と い う概 念 が 重 要 で あ る.

根 系 Δ の 部 分 集 合Π

が 次 の2条

件 を み た し て い る時 Π を 根 系 Δ

の 基 本 系 と い う. (1)  Π の 元 は 一 次 独 立 で あ る. (2)  Δ の 各 元 は Π の 元 の 整 数 係 数 の 一 次 結 合 と な りそ の 係 数 は す べ て ≧0で あ るか また は す べ て

≦0で

あ る.

 Π を Δ の 基 本 系 と す る 時 Π の 元 の 正 係 数 一 次 結 合 と な る 根 を 正 根 と い う. 正 根 全 体 の つ く る Δ の 部 分 集 合 を Π が 定 め る正 系 と い い Δ+と 表 わ す.   定 理1.7 

根 系 は 基 本 系 を も つ.

 こ の 定 理 を 証 明 す る た め にEに

全 順 序 が 与 え ら れ て い る と し よ う.Eに

ら れ た 全 順 序 とはEの

元 間 の 大 小 関 係 で あ っ て 任 意 の2元a,bが

ばa>b,a=b,b>aの

うち ど れ か 一 つ だ け が 成 り立 ち,推

⇒a>c,お

よ び 任 意 の 正 実 数 λ と任 意 のc∈Eに a>b⇒

が 成 り立 つ 関 係 で あ る.Eに

与 え

与 え られ れ

移 法 則,a>b,b>c

つ いて

λa>λb,a+c>b+c 全 順 序>が

与 え られ た 時

E+={υ￨υ>0} と お け ば(a)EはE+,-E+,お (b) 

u∈E+,υ

が 成 り立 つ.こ 分 集 合E+が

よ び{0}の ∈E+⇒u+υ

こ で λ は 正 実 数 で あ る.逆

与 え ら れ た 時,a>bと

直 和 集 合 とな り

∈E+,λu∈E+ に 上 の 条 件(a),(b)を

み た すEの

部

い う関 係 を

a>b⇔a-b∈E+ に よ り定 義 す れ ば 関 係>はEの  

Eに

基{ei}が

全 順 序 と な る.

与 え ら れ た とす る.Eの

元 υ を υ=Σ αieiと 表 わ し た 時 そ の

係 数 α1,…,αnの

うち 零 で な い 最 初 の 数 が 正 の 時 υ∈E+と

う に定 義 さ れ た 部 分 集 合E+は れ る.こ

のE+が

い う.(条

上 の 条 件(a),(b)を

の よ

み た す こ と が容 易 に証 明 さ

定 め る 全 順 序 を 基{e1,e2,…,en}に

件(a),(b)を

定 義 す る.こ

よ り定 義 さ れ た 全順 序 と

満 足 す る 部 分 集 合 は 適 当 に選 ん だ 基 か ら 上 の よ う に し

て 定 ま る こ と が 証 明 で き る.)  さ てEに

全 順 序 が 与 え ら れ て い る と仮 定 し,任 P={r∈

と お く.明

ら か に Δ はPと-Pと

Δ￨r>0}

の 和 集 合 と な る.Pの

r=s+s′, 

と書 け る時rは

意 の 根 系 Δ に対 し て

s∈P, 

分 解 可 能 と い う.Pの

元rが

s′∈P

元 で分 解 不 可 能 な元 全 体 のつ くる集 合 を

Π と お け ば 次 の 命 題 が 成 り立 つ.  (1.8)  Π は Δ の 基 本 系 で あ る.Π   証 明   (a)  ま ずPの

こ で そ の よ うに 表 わ す こ と の で き な いPの

す る.さ

で あ る.い

∈Pと

お こ る.し

まr=s+s′,s∈P,s′

も Ⅰの 元 で は な い.Ⅰ

てrは

Π の 元 で は な い か ら分 解 可 能

す れ ばr>sお

よ びr>s′

の 定 義 に よ りrも

 (b)  Π ∋r, 

ら ばr=s+tと 定 に 矛 盾 す る.ま っ て(r,s)≦0が

な ら(r,s)≦0と あ る か ら(1.5)に な りrは

分 解 可 能 で あ る.こ

た-t∈Pな

み た す.

な る こ と を 証 明 し よ う.も よ りt=r-s∈

らs=r+(-t)と

Δ を 得 る.も

れ はrが

が 成 り立 つ.

Ⅰの 元 で な く な り矛 盾 が

た が っ て Ⅰは 空 集 合 と な り Π は 基 本 系 の 条 件(2)を

な ら ばn(r,s)>0で

元の

し Ⅰが 空 集 合 で な け れ ば(Ⅰ は 有 限 集 合 だ か ら)与 え ら れ た

順 序 で 最 小 と な る Ⅰの 元 をrと

よ っ てsもs′

一 致 す る.

各 元 が 正 整 数 を 係 数 とす る Π の 元 の 一 次 結 合 と し て 表

わ さ れ る こ と を 証 明 し よ う.そ 集 合 を Ⅰと お く.も

が 定 め る 正 系 はPと

し(r,s)>0 しt∈Pな

Π の 元 で あ る と い う仮

な り同 様 に 矛 盾 が お こ る.よ

成 り立 つ.

 (c)  Π の 元 の 間 に 一次 関 係 式 が 成 り立 つ と 仮 定 す れ ば 係 数 が 同 符 号 の 項 を ま とめ て Σarr=Σbss (ar>0,bs>0) と 書 く こ と が で き る.こ

の 左 辺 に 現 わ れ る Π の 元rは

そ こ で 上 式 の 左 辺 をυ と お け ば 0≦(υ,υ)=(Σarr,Σbss)=Σarbs(r,s)

右 辺 に は 現 わ れ な い.

と な る.一

方,(b)に

っ てυ=0を bs=0と

よ り(r,s)≦0が

得 る.と

こ ろ でr>0だ

な り矛 盾 が お こ る.す

  定 理1.9 

成 り立 つ か ら 上 式 の 右 辺 は ≦0.し

たが

か ら す べ て のrに

様 に

な わ ち Π の 元 は 一 次 独 立 で あ る.

(a)  根 系 Δ の 任 意 の 元rを

(b)  r,sを

一 次 独 立 な 根 と す る.こ

が 存 在 す る.(1) 

つ い てar=0.同

r∈ Π,(2) 

と れ ばrを

の 時,次

Π の 元tが

含 む 基 本 系 が あ る.

の 性 質(1),(2)を

もつ基 本 系 Π

あ っ てsはrとtと

の 負 で な い整

数 を 係 数 と す る一 次 結 合 と な る.   証 明   Eの

基{ei}をel-1=s,el=rと

義 さ れ る 全 順 序 を>と か ら 明 ら か にrは よ りr∈

な る よ うに 選 ぶ.さ

表 わ し,こ

て{ei}に

よ り定

の 全 順 序 が 定 め る 基 本 系 を Π と お く.定

最 小 の 正 根 で あ る か らrは

分 解 不 可 能 と な る.よ

義

って 定義 に

Π を 得 る.

  上 に 定 め た 全 順 序 に よ り2番 不 可 能 で Π の 元 で あ る.と と の 一 次 結 合 と な る.そ よ っ てs=α-1(t-βr)と 表 わ し た 時,係

目 に 小 さ い 正 根 をtと

こ ろ でs≧tだ

ら か にtも

分解

か ら全 順 序 の 定 義 に よ りtはsとr

れ をt=αs+βrと な る.と

お く.明

お け ばt>0よ

り α は 正 と な る.

ころ で任 意 の根 を Π の元 の一 次 結合 とし て

数 の 符 号 は 一 定 で あ る.α>0だ

か ら α-1β≦0と

な り(b)が

証 明 さ れ る.   注 意  根 系 の条 件(ⅱ)に よ り Δ の基 本 系 Π はEの

基 とな る.そ こ で

Π={r1,…,rl}

とお い て前 の よ うにEに

全 順 序 を 定 義 す れ ば この 順序 で 正 と な る 根 の 集合 は Π が 定 め

る正 系 と一致 し て い る.   3. Weyl群

との 関 係

  ま ず 次 の 命 題 を 証 明 し よ う.

 (1.10)  Π を Δ の 基 本 系 と す る.こ

  証 明   Π={r1,r2,…,rl}と だ か らai>0, 

の 時,次

お け ばs=Σairi(ai≧0)と を み た すiが

あ る.よ

wr(s)=s-n(s,r)r∈

の 右 辺 に お け るriの

係 数 はai>0で

だ か らす べ て の係 数 が  (1.11) 

の 命 題 が 成 り立 つ.

≧0でwr(s)∈

書 く こ と が で き る. 

って Δ

あ る.す

な わ ちwr(s)の

Δ+と な る.

Π を Δ の 基 本 系 と し Π の 定 め る 正 系 を Δ+と お く.

一 つ の係 数 が 正

(a)  す べ て のr∈ (b)  Eの

元tが

Π に つ い て(t,r)>0を

す べ て のr∈

み た すEの

Π に つ い て(t,r)>0を

元tが

あ る.

み た して い れ ば

Δ+={s∈Δ￨(t,s)>0} が 成 り立 つ.Π

はtに

よ り一 意 的 に 定 ま る.

  証 明   (a)  Δ+の 元 の 和 の 半 分 をtと りwrは

Δ+-{r}を

お く.さ

てr∈

Π な ら ば(1.10)に

よ

不 変 に す るか ら 2t-r=wr(2t-r)=2wr(t)+r

す な わ ちwr(t)=t-rと

な る.ま

たwrは

内積を変えないか ら

(t,r)=(wr(t),wr(r))=(t-r,-r) を 得 る.よ

っ て2(t,r)=(r,r)>0が

 (b)  Δ+の 元sは 同 様 に-Δ+の

成 り立 つ.

Π の 元 の 正 係 数 一 次 結 合 で あ る か ら(t,s)>0が

元s′ は(t,s′)<0を

み た す.(1.8)に

可 能 な 元 の 全 体 だ か ら Π は Δ+に よ り,し よ っ て(b)が

成 り立 つ.

よ り Π は Δ+の 中 で 分 解 不

た が っ てtに

よ り,一 意 的 に 定 ま る.

成 り立 つ.

 定 理1.12 

根 系 を Δ,そ のWeyl群

をWと

し Δ の 基 本 系 一 つ を Π とす

る. (a)  Eの

任 意 の 元 を υ と す る.こ

の 時,適

当 にw∈Wを

とれ ば

(w(υ),r)≧0 が す べ て のr∈

Π に つ い て 成 り立 つ.

(b)  Δ の 基 本 系 Π′を 任 意 に と れ ばw(Π′)=Π (c)  Δ の 任 意 の 元sに

つ い てw(s)∈

(d)  Wは{wr(r∈Π)}に

Π を み た すWの

元wが

元wが

あ る.

あ る.

よ り生 成 さ れ る.

  証 明   い まW1=〈wr￨r∈ う.Π

を み た すWの

Π 〉 と お き(a),(b),(c)をW1に

つ いて証明 しよ

の 定 め る 正 系 を Δ+と お く.

 (a)  (1.11)の と な る よ うにW1の

証 明 の よ うに Δ+の 元 の 和 の 半 分 をtと 元wを

選 ぶ.そ

うす れ ば 任 意 のr∈

お き(w(υ),t)が Π について

(w(υ),t)≧(wrw(υ),t) と な る.wrは

内 積 を 変 え な い か ら((wr)2=1よ

り)

(wrw(υ),t)=(w(υ),wr(t))=(w(υ),t-r) を 得 る((1.11)の

証 明(a)参

照).し

た が っ て 任 意 のr∈

Π につ いて

最大

(w(υ),r)≧0 が 成 り立 つ.  (b)  (1.11)(a)に t′が あ る.(a)に て のr∈

よ り任 意 のr′ ∈ Π′ に つ い て(t′,r′)>0を

よ りW1の

元wが

あ っ てw(t′)=tと

Π に つ い て 成 り立 つ.さ

て(t,r)=(t′,w-1(r))と

ど の 根 と も 直 交 し な い((1.11)(b)参 な る.ま

た(1.11)(b)に

よ り Π はtに

よ り Π=w(Π′)を

得 る.

 (c)  定 理1.9に

よ りsを

る 元w∈W1が

な る.こ

元 すべ

こ でt′ は

Δ で あ る か ら(t,r)>0と

よ り一 意 的 に 定 ま る.よ

含 む 基 本 系 Π′が あ る.さ

あ る か らw(s)∈

 (d)  任 意 のs∈ 一方

照).w-1(r)∈

み た すEの

お け ば(t,r)≧0が

っ てt=w(t′)

てw(Π′)=Π

を満足す

Π を 得 る.

Δ に つ い てw(s)=r∈

,wwsw-1=ww(s)=wr∈W1と

Π を み た すW1の

な る.し

元wが

存 在 す る.

た が って

ws=w-1wrw∈W1 が 成 り立 ちW=W1が

証 明 さ れ る.

  根 系 Δ の 基 本 系 の 一 つ を Π と し Π が 定 め る 正 系 を Δ+と お く.前 り Δ のWeyl群Wは{wr}(r∈ に つ い てwをwr(r∈ お く.す

Π)に Π)の

よ り生 成 さ れ る.そ

あ る.特

こ で 任 意 のw∈W

積 と し て 表 わ し た 時 の 最 短 表 示 の 長 さ をl(w)と

な わ ちw=wr(1)…wr(m)(r(i)∈

の 値 がl(w)で

定理 に よ

にl(1)=0.ま

Π)と 表 わ す こ と の で き る 最 小 のm た

n(w)=￨w(Δ+)∩(-Δ+)￨ と お く.す

な わ ちn(w)はwに

よ り 符 号 の 変 わ る 正 根 の 数 で あ る.こ

の 時,

次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理1.13 l(w)=n(w).   証 明   い まr∈ Π な い.し

とす れ ば(1.10)に

よ りwrはr以

外の正根の符号を変え

たが って w(r)∈

Δ+⇒n(wwr)=n(w)+1

w(r)∈-Δ+⇒n(wwr)=n(w)-1 と な る.し

た が っ てwの

最 短 表 示 をw=wr(1)…wr(l)と

おけば

n(w)≦l=l(w) が 成 り立 つ.そ

こ でn(w)
仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.こ

の時 は

wr(1)…wr(j)(r(j+1))∈-Δ+ を み た すj(j
あ る.そ

こ でr=r(j+1)と

wr(i)…wr(j)(r)∈-Δ+,  を 満 足 す るiを

と る.と

こ ろ でwr(i)が

おい て

wr(i+1)…wr(j)(r)∈

Δ+

符 号 を 変え る 正 根 はr(i)に

限 るか ら

wr(i+1)…wr(j)(r)=r(i) と な る.こ

の 左 辺 をw0(r)と

wr(i)w0wr=w0と た が っ てn(w)=l(w)が  (1.14) 

書 け ばwr(i)=w0wrw0-1が

な り上 に あ げ たwの

成 り立 つ.す

なわち

表 示 が 最 短 で あ る こ と に 矛 盾 す る.し

成 り立 つ.

(a) Π,Π′

を 基 本 系 とす れ ばw(Π′)=Π

を み た すw∈Wが

一意

的 に 定 ま る. (b)  w0(Δ+)=-Δ+を 数 は2で

み た すWの

元w0が

唯 一 つ 存 在 す る.こ

の 元w0の

位

あ る.

  証 明   定 理1.12(b)に

よ りw(Π′)=Π

を み た すWの

元wが

あ る.い

ま

w(Π′)=w′(Π′)=Π と 仮 定 す れ ばx=w′w-1は n(x)=0が

成 り立 つ.定

てw(Π′)=Π

Π を 不 変 に す る.し 理1.13に

よ りl(x)=0,す

を み た すw∈Wは

と な る.よ

唯 一 つ 存 在 す る.w02は   注 意  根 系 ΔがEの

な わ ちx=1を

得 る.よ

っ

そ の順 序 に 関 す る正 根 の全 体 とな り

っ てw0(Π)=-Π

を み た すWの

Π を 不 変 に す る か らw02=1が

元w0が

成 り立 つ.

中 に与 え られ た 時Δ の 元rと 直 交 す る超 平 面 をHrと

ら これ らの 超 平 面Hr(r∈

な り

唯 一 つ し か な い.

 Π を 定 め る 全 順 序 を 逆 に す れ ば-Δ+が 対 応 す る 基 本 系 は-Π

た が っ てx(Δ+)=Δ+と

お く.Eか

Δ)を 取 り除 い た 残 りの 集 合 の連 結成 分 はWeyl領

域 とよば

れ て い る.一 つ 基 本 系 Π を定 め れ ば C={x￨(x,r)>0  は 一 つ のWeyl領

域 とな る((1.11)参 照).実

め る正 半 空 間 の共 通 部 分 で あ る.さ

∀r∈Π} 際Cは

て 定 理1.12(a)に

す べ て のs∈ Δ+に つ い てHsが よ りWeyl群

の つ くる集合 の 上 に可 移 に 作用 し て い る.と ころ でw∈WがCを はCの

境 界 を不 変 に す る.明

て い るか らw(Π)=Π Cに 移 すWeyl群

ら か にCはr∈

とな りw=1を

動 か し た 時w(υ)とtと

な る.任 意 にυ∈Eを

定

域全体

不 変 に し て いれ ばw

Π に 対 応 す る超 平 面Hrに

得 る(1.14).す

の 元 は 一 つ しか な い.(1.11)(a)の

和 の半 分 をtと おけ ばt∈Cと

はWeyl領

よ りか こ ま れ

なわ ち任 意 のWeyl領

域C′ を

証 明 で定 義 した よ うに Δ+の 元 の と り υをWeyl群

のつ くる角 が 最 小 とな る よ う にwを

の元wに

選 べ ばw(υ)はCの

より 閉包

Cに 含 ま れ て い る(定 理1.12(a)).こ

の よ うに考 えれ ば 定 理1.12(a)の

証明が直観的に

把 握 され る であ ろ う.   4. Weyl群

の基 本 関 係  

Weyl群

の 生 成 元 の 間 に 成 り立 つ 基 本 関 係 を 求

め よ う.   定 理1.15  (a)  Wの

根 系Δ の 基 本 系 を Π,Δ

生 成 集 合 と し て{wr(r∈

のWeyl群

Π)}を

をWと

お く.

とれ ば

(wrws)m(r,s)=1 が 基 本 関 係 で あ る.こ る 時m(r,s)は (b)  Wの

こ でrとsと

の 間 の 角 が0°,90°,120°,135°,150°

そ れ ぞ れ1,2,3,4,6と

な る.

生 成 集 合 と し て{ws(s∈Δ)}を ws2=1, 

であ

とれ ば

wrws(wr)-1=wt 

(t=wr(s))

が 基 本 関 係 と な る.   証 明   (a)  WがCoxeter群

に な る こ と か ら 容 易 に 証 明 さ れ る(『 群 論 』 上

p.354).  (b)  W1=〈xs￨s∈Δ,xs2=1,xrxs(xr)-1=xt(t=wr(s))〉 と が 同 形 で あ る こ と を 証 明 し よ う.Wで

と お き,W1とW

は確かに

wrwswr-1=wt 

(t=wr(s))

が 成 り立 つ か ら 生 成 元 と そ の 間 の 関 係 に よ っ て 定 義 さ れ た 群 の 定 義(『群 論 』 上 p.165)に

よ りW1か

り立 つ.(a)に

らWの

中 へ の 準 同 形fが

よ りWはwr(r∈

Π)に

あ っ てf(xr)=wr(r∈Δ)が

成

よ り生 成 さ れ そ の 間 の 関 係 は

(wrws)m(r,s)=1 で 与 え ら れ る.と

こ ろ で こ れ ら の 関 係 は す べ てwr2=1お wrwswr-1=wt 

(t=wr(s))

か ら 得 ら れ る こ と が 容 易 に わ か る.し r,s∈ Π が 成 り立 つ.よ

っ てWか

らW1の

が 成 り立 つ.し

た が っ てfgはWの

た が っ てW1に

おい て

⇒(xrxs)m(r,s)=1 中 へ の 準 同 形gが

g(wr)=xr 

あ って

(r∈ Π)

恒 等 写 像 と な る.そ

等 写 像 で あ る こ と を 示 せ ば 証 明 が 終 了 す る.そ xrがW1を

よび

生 成 す る こ と を 示 せ ば よ い.任

こ でgfがW1上

の た め に はr∈

意 のs∈Δ

の恒

Π と制 限 し て も

に つ い てs=w(r)を

み

た すr∈

Π

が あ る(定

理1.12).こ

の時

w=wr(1)…wr(k) 

(r(1),…,r(k)∈Π)

と な る か らxr(k)xrxr(k)-1=xt(t=wr(k)(r))よ

り 始 め,最

後 に

xr(1)…xr(k)xrxr(k)-1…xr(1)-1=xw(r)=xs

を 得 る.す

な わ ち 各 生 成 元 がxr(r∈

成 さ れ る.し

Π)の

た が っ てgfはW1の

恒 等 写 像 と な りgもfも

  5. 根 の 系 列

  任 意 のr∈Δ,s∈

う.(こ

整 数 値 を と る.)

こ でjは

  定 理1.16 

Π)で

と り 

Δ}は 非 負 整 数p,qに

生

同 形 で あ る.

Δ に つ い て{s+jr∈Δ}をsのr系

根 系 Δ の2元r,sを

(a)  {j￨s+jr∈

積 と な りW1は{xr}(r∈

列 とい

と仮 定 す る.

よ る 区 間[-p,q]に

含 まれ る 整 数 の 集

合 と 一 致 す る. (b) S={s+jr∈

Δ}と お け ばwr(S)=Sが

成 り立 つ.

(c)  wr(s-pr)=s+qr,p-q=n(s,r).   証 明   J={j￨s+jr∈ か にp,qは

Δ}と お きJの

非 負 整 数 で あ る.Jが

せ ず 隙 間[a+1,b-1]が

最 小 数 を-p,最

区 間[-p,q]に

お こ る.し

 い まn=n(s,r)と

成 り立 つ. よ りnは

wr(s+jr)=s-(n+j)r 

る.さ p-nか

っ てwr(S)⊂Sと

ら に 上 式 よ りjが-pか ら-q-nま

な る.Sは らqま

整数で

(j∈J) 有 限 集 合 だ か らwr(S)=Sを

で 一 つ ず つ 減 っ て 行 く.wr(S)=Sよ

列 はs-pr,…,r,…,s+qrで

あ る.そ

こで

t=s+qr と おけ ばwr(t)=s-prだ

か らn(t,r)=p+qが

成 り立 つ.特 に

p+q≦3 で あ る.定 理1.16は(1.4)を

得

で 一 つ ず つ 増 え て 行 け ば-(n+j)は

(c)が 証 明 さ れ る.  注 意  sのr系

て

か ら 上 の不 等 式 は 両立 せず 矛 盾 が

お け ば 根 系 の 条 件(ⅳ)に

が 成 り立 つ.よ

ら

(s+br,r)≦0

か しa0だ

た が っ て(a)が

お く.明

含 ま れ る 整 数 の 集 合 と一 致

あ る と仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.さ (s+ar,-r)≦0, 

が 成 り立 つ(1.5).し

大 数 をqと

用 い て 確か め る こ と もで き る.

りp-n=qを

得 て

  6. 根 の 高 さ

  根 系 Δに 基 本 系 Π を 定 め れ ば Δの 各 元 は Π の元 の整 数 係

数 一 次 結 合 と し て 表 わ す こ と が で き る.い

ま Π={r1,…,rl}と

し

r=Σairi と す れ ば{ai}は

同 符 号 の 整 数 で あ る.こ

の 時rの

高 さを

ht(r)=Σai と定 義 す る.根 れ ばrは

別 の 高 さ を も っ て い る.

(1.17)  順 序>を

の 高 さ は 基 本 系 Π を 定 め た 上 で 決 ま る の で 別 に 基 本 系 Π′を と

基 本 系 Π に 対 応 す る 高 さ をht(r)と 定 義 し て Π の 各 元 は 正,さ

表 わ す.こ

の 時Eに

適 当 な全

らに

r∈ Δ,s∈ Δ,r>s⇒ht(r)≧ht(s) が 成 り立 つ よ うに で き る.   証 明   高 さht(r)はrに き る.そ {xi}に

こ でEの

関 し て 線 形 だ か らhtをEの

線 形 写 像φ に 拡 張 で

基{xi}をφ(x1)=1,φ(xi)=0(i>1)と

よ り定 義 さ れ る 全 順 序 を>と

し て 表 わ し た 時x1の

係 数 はht(r)で

な る よ う に 選 び,基

す る.任

意 の 根rを{xi}の

あ る.し

た が っ て こ の 順 序 が(1.17)の

一次結合 と

条 件 を み た し て い る こ と は 明 ら か で あ ろ う.   根 の 高 さ に つ い て 帰 納 法 を 用 い る の が 便 利 な こ と も あ る.次

の定理の証明は

そ の 一 例 で あ る.   定 理1.18 

根 系 Δ の 基 本 系 を 一 つ 定 め そ れ を Π と お く.Π

Δ+と す れ ば Δ+の 任 意 の 元sに す べ て のi≦nに

  証 明   根rは

対 し て 基 本 系 の 元 の 列r1,r2,…,rnが

つ い て 始 め のi項

ら にr1+…+rn=sが

の 元rに

基 本 系 の 元 の 正 係 数 一 次 結 合 と な る.す

Δ の 元 で あ り,さ

つ い てar>0お

なわち

(r∈ Π,ar∈Z,ar≧0).

か ら Σar(r,s)>0を

得 る.し

よび(r,s)>0が

定 理 は 明 ら か に 成 り立 つ.い な る.こ

の 和r1+r2+…+riは

ま 

た が って 少 な く と も一 つ の Π

成 り 立 つ.も

しsが

と 仮 定 す れ ば(1.5)に

Π の元 な らば よ りs-r∈

の時 ht(s-r)=ht(s)-1

だ か らs-r∈

定 ま り,

成 り立 つ.

s=Σarr  さ て(s,s)>0だ

が 定 め る正 系 を

Δ+.ht(s)に

関 す る 帰 納 法 に よ り定 理 が 証 明 さ れ る.

Δ と

 §2  複 素 単 純Lie代

数

  後 節 でChevalley群

を 定 義 す る が,そ

応 じ て 定 め ら れ る も の で あ る.こ

こ で 複 素 数 体 上 の 単 純Lie代

分 類 に つ い て 復 習 し て お こ う.こ 書,例

代 数 をL,そ ま たLの

数 の教 科

ゆ ず る こ と に す る.

数 体 は 複 素 数 体 に 限 る か ら 特 に こ とわ ら な い.半

のCartan部

数 に

数 の理 論 とそ の

の 節 で 述 べ る 事 実 の 証 明 はLie代

え ば 松 島[3](p.67-96)に

 し ば ら く の 間,係

れ は 複 素 数 体 上 の 各 単 純Lie代

分 代 数 をHと

中 の 乗 法 を 括 弧 積[x,y]で

す る.Hの

双 対 空 間 をH*と

表 わ す こ と に す る.任

りLα={x￨[h,x]=α(h)x 

∀h∈H}と

お く.い

を み た す 時 α をLの(Hに

関 す る)根

まH*の

と い う.根

単 純Lie お く.

意 の α∈H*を

元 

が

と  

の全 体 が つ く る集 合 を Δ と

お く. Δ={α￨α こ の 時LのCartan分

はLの

解 が 成 り立 つ.す L=H+ΣLα

が 成 り立 ち,各

xと

で 定 義 さ れ る 双 線 形 形 式 で あ る.こ の 時BはH上

和分解

(α∈ Δ)

元 で あ る.さ

表 わ す.Lie代 Tr(ad

く.こ

な わ ち,直  

α に つ い てLα は1次

形 写 像 で あ る か ら こ れ をad

根}.

てy→[x,y]はLの

数LのKilling形

線 式 とは

x・ad y) のKilling形

で 非 退 化 と な る.よ

式 のH上

へ の 制 限 をBと

お

っ て 任 意 の λ∈H*は

B(bλ,h)=λ(h) を み た すHの

元bλ を 一 意 的 に 定 め る.こ

の 対 応 λ →bλ を 用 い てH*に

内積

を (λ,μ)=B(bλ,bμ)=μ(bλ) と 定 義 す る こ と が で き る.こ H*の

れ も 非 退 化 で あ る.定

義 に よ りΔ⊂H*で

元 で 根 の 実 係 数 一 次 結 合 と な る も の 全 体 の つ く る 集 合 をEと E=ΣRα

重 要 な こ とは,上 あ る.す

に 定 義 し たH*の

次 元 をlと

い る.Π={α1,…,αl}と

内 積 はEの

お け ば Δ はl個

お く.こ

お く.

  (α∈ Δ).

な わ ち こ の 内 積 に よ りEはEuclid空

根 系 と な る.Hの

あ るが

こで

上 で正 の定 符 号 とな る こ と で 間 と なり,Δ

は §1で 定 義 し た

の 元 か ら な る基 本 系 Π を含 ん で

aij=2(αi,αj}/(αj,αj)

と 定 義 す れ ば(1.8)の

証 明(b)に

ま た 根 系 の 条 件(ⅳ)が

満 足 さ れ て い る か らaijは

よ り

 

,し

か しaii=2と

整 数 で あ る.行

な る.

列

C=(aij) を Δ のCartan行 分 代 数 をH′ と す る.こ

列 と い う.い

とす る.H′ の 時C=C′

で あ れ ばLとL′

に 対 応 す る 根 系 のCartan行

 半 単純Lie代

数Lは

条 件 は そ のCartan行

数 と し そ のCartan部

か ら 出 発 し て 上 の よ うにCartan行

が 与 え ら れ た と す れ ば 行 列Cが

の よ うに 半 単 純Lie代

まL′ を 半 単 純Lie代

列C′ が 得 ら れ た

と は 同 形 に な る.逆

定 ま る.そ 列 が 丁 度Cと

し て 半 単 純Lie代

に任意の根系 Δ 数Lが

存 在 しL

一 致 す る(松 島[3]第9章

§3).こ

数 の 分 類 は 根 系 の 分 類 と い う幾 何 の 問 題 に 帰 着 さ れ る.

単 純 な も の の直 和 に 分 解 す る.Lが 列 が 既 約 で あ る こ と,す

単純 で あ るた め の

な わ ちCの

行 お よび 列 を どの

様に入れ 替えて も

と い う形 に な ら な い こ と で あ る.既 な グ ラ フ を 用 い る.基

約 なCartan行

列 を表 現 す るた め次 の よ う

本 系 Π の 各 元 に 一 つ ず つ 白 丸 を 対 応 さ せ,こ

個 の 白 丸 を 次 の 規 則 に よ り線 分 で 結 ぶ.い

れ ら のl

ま αiと αjと の 間 の 角 を θijと し (3重) (2重)

(結 ば な い) (1.3)お こ の 時,既

よ び(1.8)の 約 なCartan行

証 明(b)に

よ り θijは 上 の4通

り以 外 の 値 は と れ な い.

列 に 対 応 す る グ ラ フ(こ れ をDynkinの

図 形 とい

う)は 次 頁 の 表 の 通 りで あ る(松 島[3]第10章).   以 下Lは

単 純Lie代

数 とす る.Lの

て 整 数 と な る こ と を 解 説 し よ う.根 B(bα,h)=α(h)を

基 を 適 当 に とれ ばLの α に 対 応 し てCartan部

満 足 す る よ う に とれ る こ とは 前 に 述 べ た .こ

一 次 結 合 の 全 体 をE′ と お け ば λ∈Eにb の 上 へ の 等 長 写 像 と な っ て い る.し

乗法定数がすべ 分 代 数 の 元bα が の 時bα の 実 係 数

λ∈E′ を 対 応 さ せ る 写 像 はEか

た が っ て{bα}は

らE′

Δ と同一 視 で きる根 系 を

既 約 なDynkinの

つ く る.そ い.各

図形

こ でbα に 直 交 す る 超 平 面 に 関 す る 対 称 変 換 はwα

と同一 視 し て よ

α∈ Δ に つ い て hα=2bα/(α,α) 

(α∈Δ)

と お け ば 次 の 重 要 な 命 題 が 成 り立 つ.  (2.1)  任 意 の 根 β に 対 し て β(hα)は 整 数 で あ る.ま

た

Δ′={hα￨α ∈ Δ} と お け ば Δ′は 根 系 で{hr(r∈

Π)}が

Δ′の 基 本 系 と な る.

  証 明   実 際 β(hα)を 計 算 し て み れ ば β(hα)=2β(bα)/(α,α)=2(α,β)/(α,α) と な るか ら 根 系 の 条 件(ⅳ)に

よ り β(hα)は 整 数 で あ る.

  つ ぎ に Δ′が 根 系 の 条 件 を 満 足 し て い る こ と を 証 明 し よ う.hα 平 面 に 関 す る 対 称 変 換 はw=wα

と 一 致 す る か らw(hβ)∈

w(hβ)=hβ-2{(hβ,bα)/(α,α)}bα

に 直 交 す る超

Δ′を 示 そ う.

=2(bβ-2{(β,α)/(α,α)}bα)/(β,β) と こ ろ でbβ-2{(β,α)/(α,α)}bα=bw(β)が

成 り立 つ か ら

w(hβ)=hw(β)∈

す なわ ち Δ′は 根 系 の 条件(ⅲ)を

.

Δ ′,

満 足 し て い る.ま た定 義 か ら

2(hα,hβ)/(hβ,hβ)=2(β,α)/(α,α)

を得 る の で条 件(ⅳ)も

満 足 され て い る.他 の 条 件 が 成 り立 つ こ とは 明 らか だ

か ら Δ′は根 系 とな る.  い ま Δ の 基 本 系 Π に 対 応 す る 正 系 を Δ+と し Δ″={hα￨α ∈ Δ+}と ら か に Δ″は Δ′の 正 系 で あ る.そ

おけば明

こ で Δ″に 含 ま れ る 基 本 系 を Π ′と お け ば

Δ″-Π ′ の 元hα は

 

と 書 け る.こ

を 書 き 直 せ ばbα がbβ とbγ と の 正 係 数 一 次 結 合 で 表 わ せ る こ と に な る.こ を 示 し て い る.し も 共 にl個

たが って Π′ ⊃{hr￨r∈

の 元 を 含 む か ら Π ′={hr￨r∈

Π}が

Π}を

得 る.と

の式 れ は 

ころ で Π も Π′

成 り立 つ.

 注 意  Δ と Δ′とは 必ず し も同 形 で は な い.Δ の根 が す べ て 同 一 の長 さ を もつ 場 合 は Δ′ は Δ を 単 に比 例 拡 大(ま た は 縮 小)し

た も の だ か ら Δ′と Δは 同 形 で あ る.一

般 に

(hα,hα)(α,α)=4と な る.よ って (α,α)≧(β,β)⇔(hα,hα)≦(hβ,hβ)

が成 り立 つ.す なわ ち ΔがBl型

な ら ば Δ′はCl型

で あ る.

  任 意 の 根 は 基 本 系 に 属 す る 根 の 整 係 数 一 次 結 合 と な る か ら{hr}(r∈ Hの

基 と な る.各

う に 定 め る.ま

α∈ Δ に つ い てLα は1次

元 だ か ら そ の 生 成 元eα を 次 の よ

ず α∈ Δ+の 場 合eα を 定 め た 上 でe-α を [eα,e-α]=hα

  (α∈ Δ)

を 満 足 す る よ う に 選 ぶ こ とが で き る(松 島[3]第6章 {hα(α

はLの

 (2.2) 

∈ Π),eβ(β

Π)は

§2参 照).こ

∈ Δ)}

基 とな る.こ の基 の元 の間 の括 弧 積 は 次 の 諸 式 を 満 足 す る.

の整 係 数 一 次結 合

の時

 こ こ でn(s,r)=2(s,r)/(r,r)は

整 数 で あ る.第3式

でhrが

す る α に 関 す るhα の 整 係 数 一 次 結 合 と な る こ と は(2.1)か {er}を

適 当 に選 ん で 最 後 の 式 に お け る 係 数Nr,sも

以 下 そ れ に つ い て 解 説 し よ う.乗 つ.い

ま 根r,sと

s-prに

共 にr+sも

始 ま りs+qrで

 (2.3) 

間 に は 種 々 の 関 係 式 が 成 り立 し てsのr系

題7.13).と

こ ろ でr+sが

根 と な る場 合 は(1.4)に

りに 分 類 さ れ る か ら 各 場 合 に つ い て(s,s)(p+1)=q(r+s,r+s)が

と な る.一

列が

Nr,sN-r,-s(s,s)=-(p+1)q(r+s,r+s)

 (2.4) 

よ

成 り

た が って Nr,sN-r,-s=-(p+1)2

方,Δ

るCartan行

の 基 本 系{α1,…,αl}を{-α1,…,-αl}に

列 は 変 わ ら な い.し

己 同 形 に よ り実 現 さ れ る.す

と な る.そ

こ で θ(er)=λe-rと

を み た す 元 μ を と りerを -rと

な る.す

μerに,e-rを

 (2.5) 

(r∈ Δ)

数 は 変 わ ら な い.と

θ(μer)=μ λe-r=

(r∈ Δ) と りか

こ ろ で,[er,es]=Nr,ser+sの 得 る.よ

変 え れ ば

ま μ2λ=-1

とれ ば

の よ う にerを

[-e-r,-e-s]=-Nr,se-(r+s)を

成 り 立 つ.い

μ-1e-rに

当 にerを

θ(er)=-e-r 

り 立 つ よ う に で き る.こ

自

自 己 同 形 θが 存 在 し て

θ(er)∈L-r 

お け ば θ(e-r)=λ-1erが

な わ ち,適

変 え て も対 応 す

た が っ て 同 形 定 理 に よ り上 の 対 応 はLの

な わ ち,Lの

θ2=1, 

が成

整 数 とす る こ とが で き る.

根 で あ る と 仮 定 す る.そ

立 つ こ と が 確 か め ら れ る.し

-μ-1e

ら 証 明 さ れ る.基

終 る とす れ ばq>0で

が 成 り立 つ(松 島[3]補 り6通

法 定 数Nr,sの

基本系 Π に属

え て もNr,s以

外 の 乗 法 定

両 辺 の θに よ る 像 を と れ ば

っ て

N-r,-s=-Nr,s (r,s∈Δ)

が 成 り立 つ.こ

の 式 と(2.4)か

 (2.6) 

を 得 る.こ が で き る.条

Nr,s=±(p+1)

の よ うに{er}を 件(2.2)お

基 と い う.条 件(2.2)を ば そ の 基 はChevalleyの い て はTits

ら

[5]を

適 当に 選 べ ばす べ て の乗 法 定 数 を整 数 にす る こ と よ び(2.6)を

み た すLの

満 足 す るLの 基 が(2.5)を

標 準 基 で あ る.な

参 照 さ れ た い.

基 をChevalleyの

標準

満 足 す る よ う に とれ て い れ

お(2.6)に

おけ る 正 負 の 符号 に つ

 §3  単 純Lie代  1.  Al型 をLと

数 の例

  い ま(l+1,l+1)型

お く.こ

し てLはLie代

の 時,括

が 成 り立 つ か らLの eklを 含 む.そ

Cartan部 よ う.さ

ら にLは

イデ ア ル  

な る.す

な る もの の全体

辺 は 行 列 の 積 の 差)に

行 列 をeijと

表わせば

は 少 な く と も 一 つ の 組(k,l)に ど の 式 か らIは

な わ ちLは

関

単 純 で あ る こ と が 証 明 さ れ る.

そ の 他 の 成 分 が0の

こ で[eik,ekl]=eilな

を 含 みI=Lと  い まLに

弧 積[A,B]=AB-BA(右

数 とな る.さ

 (i,j)成 分 だ け が1で

行 列 の う ち 対 角 和 が0と

すべての

ついて

 

単 純 で あ る.

含 ま れ て い る 対 角 行 列 全 体 の つ く る 集 合 をHと 分 代 数 の 一 つ で あ る.Hの

元h=Σ

お け ばHはLの

λieiiに つ い てad

hを

計算 し

て

 (3.1) 

(ad

が 成 り立 つ.こ

h)eij=heij-eijh=(λi-λj)eij

れ はh→

λi-λjが

一つ の 根 で あ る こ と を 示 し て い る.ま

に 対 角 行 列 を 追 加 し てLの て 対 角 行 列 と な っ て い る.そ

こ でhお

基 が 得 ら れ る.ad よ びh′=Σ

hは

た 

こ の基 に つ い

μieiiに つ い て

B(h,h′)=Σ(λi-λj)(μi-μj),

こ こで和 は  

を み たす す べ て の組 の上 にわ た る.し

か しi=jの

項 を含 め

て も和 は変 わ ら な い.Σ λi=Σ μi=0だ か ら上 式 よ り B(h,h′)=2(l+1)Σ

を得 る.こ れ がKilling形

式 のH上

λiμi

へ の 制 限Bで

あ る.Hの

双 対 空 間H*を

取 扱 うに あた り次 の様 に表 わ す こ とに す る.ま ず V={x=(x0,x1,…,xl)￨xi∈C}

と お く.そ

の 双 対 空 間V*の

の 時{ei}はV*の

元eiをei(x)=xi(i=0,1,…,l)と

基 と な る.Hの

元hに,そ

(λ0,λ1,…,λl)を 対 応 さ せ れ ばHか し てHをVの の 元 をHに 全 射 で,そ

中 で 方 程 式 Σxi=0が 制 限 す る こ と に よ りH*の の 核 はe=e0+e1+…+elが

らVの

定 義 す る.こ

の対 角成 分 か ら 成 る ベ ク ト ル 中 へ の 線 形 写 像 が 得 ら れ る.こ

定 め る 超 平 面 と 同 一 視 す る.こ 元 が 得 ら れ る.こ 生 成 す る1次

の 時V*

の 写 像V*→H*は

元 空 間 で あ る.さ

て

う

U={Σaiei￨Σai=0} と お け ばU∩Ce={0}だ をUと

か ら(次 元 を 考 え れ ば) 

同 一 視 す る.H⊂Vだ

と な る.そ

こ でH*

か ら

a=Σaiei∈U⇒a(h)=Σaiλi.

§2の 一 般 論 に 従 っ てHの

元baを

定義すれ ば

ba=(1/2(l+1))Σaieii. よ っ てUの

中 の 内 積(a,a′)は(a′=Σa′ieiと

す る 時)

(a,a′)=a′(ba)=(1/2(l+1))Σaia′i

で 与 え ら れ る.前

に 注 意 し た よ うにh→

は 根 系 と な り,Δ+={ei-ej(i<j)}は

λi-λjが

(pi=ei-1-ei)

含 ま れ る 基 本 系 と な る(i-j>1な

が 成 り立 つ.し

対 応 す るHの

成 分 が-1/2{l+1)で

元brを

分 は1,j成

定 め れ ばe-r=ejiと

な る.そ

分 は-1で

こ で

図 形 はAl型

計 算 す れ ば そ のi成

そ の 他 の 成 分 は0と

定 義 す れ ばhrのi成 er=eijと

ら 分 解 可 能).こ

た が っ て Δ に 対 応 す るDynkinの

  根r=ei-ejに

こで

正 系,

Π={p1,p2,…,pl}  が Δ+に

根 で あ る.そ

で あ る.

分 が1/2(l+1),j

こ で 一 般 論 に 従 っ てhrを

そ の 他 の 成 分 は0で

あ る.さ

て

な るか ら [er,e-r]=eii-ejj=hr

が 成 り立 つ.Lの で あ る.す

任 意 の 行 列Aを-tAに

対 応 さ せ る 写 像 θはLの

な わ ち θ([A,B])=[θ(A),θ(B)]が

ら か に θ(er)=-e-rを

得 る.す

な わ ち(2.5)が {hr(r∈

Π),eij}

成 り立 つ.と

自己 同 形

ころ で定 義 か ら 明

成 り立 つ か ら

はLのChevalley標 ばr=ei-ejに

準 基 で あ る.Weyl群W(Δ)を{ei}上 対 応 す る 元wrはeiとejを

に 対 応 し て い る.よ

っ てW(Δ)は{ej}上

 注 意  Δ={ei-ej}が

の 置 換群 とみ れ

入 れ か え て い る.よ の対 称 群

Σl+1と

っ てwrは

互換

同 形 で あ る.

根 系 の 条件 を み た し て い る こ とは 容 易 に直 接 証 明 で き る.H*の

内積 は 普通 の 内積 の定 数 倍 とな っ て い る.し か し角 の計 算に は こ の定 数 は 関 係 し ない か ら{ei}が 正 規 直 交 系 を つ くる と仮 定 し て角 を 計 算 し て も よい.こ

の注 意は 他 の型 の根 系

に もあ ては ま る.   2. Bl型

 

  補 題3.2 

次 の 補 題 が 必 要 に な る. Jを 一 つ の(n,n)型

の 行 列 と す る.(n,n)型

行 列 の うち

L(J)={M￨tMJ+JM=0} と 定 義 さ れ る 集 合L(J)は   証 明   M,Nが り 立 つ.よ

括 弧 積 に よ りLie代

共 にL(J)に

数 と な る.

属 し て い れ ばtMJ=-JM,tNJ=-JNが

成

って

t[M

,N]J=(tNtM-tMtN)J =JNM-JMN=-J[M,N]

を 得 るか ら[M,N]∈L(J)が だ か らL(J)は

成 り立 つ.L(J)が

括 弧 積 に よ りLie代

  さ てn=2l+1を

線 形 空 間 で あ る こ とは 明 らか

数 と な る.

奇 数 とし

(Iは(l,l)型

に よ っ てL(J)を

定 義 す る.こ

場 合 と 同 様 に 証 明 さ れ る.以

のL(J)も

単 純Lie代

下L(J)がBl型

A∈L(J)を

適 当 に 小 行 列 に 分 けtAJ+JA=0と

を 得 る.こ

こ でa1,a2は(1,l)型,Aiは(l,l)型

  行 列 の 行 お よ び 列 を0,1,2,…,2lに 対 角 行 列eii-el+i,l+i(i=1,2,…,l)に

単 位 行 列)

数 で あ る こ と がAl型

の

で あ る こ と を 証 明 し よ う.い

ま

な る条 件 を求 め れ ば

の 行 列 で あ る. よ っ て 番 号 づ け れ ばL(J)の

基 とし て

加 え て 次 の 行 列 を と る こ と が で き る.

(tijはsijの

転 置 行 列).こ

こ でi,jは1か

らlま

も 対 角 行 列 の 全 体HがL(J)のCartan部 h=Σ に つ い てad

hを

分 代 数 とな る.そ

の場合

こで

λi(eii-el+i,l+i)

計 算 す れ ば 次 の 結 果 を 得 る.

す な わ ちh→ Killing形

で の 整 数 値 を と る.こ

± λi, 

式 をH上

±(λi+λj)(i<j)が

根 で あ る.そ

こ で

で計 算す れ ば B(h,h′)=Σr(h)r(h′),

こ こ で 和 は す べ て の 根rに

わ た る.h′=Σ

μi(eii-el+i,l+i)と

B(h,h′)=(4l-2)Σ と な る.い るHの

まH*の

おけ ば

元eiをei(h)=λiと

λiμi 定 義 す れ ばH*∋a=Σaieiに

元baは (4l-2)ba=Σai(eii-el+i,l+i)

を み た す.し

た が っ てaとa′=Σbieiと

のH*の

(a,a′)=a′(ba)=Σaibi/(4l-2)

で あ る.根

で

の 集 合 Δ はl≧2な

らば

Δ+={ei,ei-ej(i<j),ei+ej(i<j)}が

正 系,

Π={e1-e2,e2-e3,…,el-1-el,el}

が 基 本 系 と な る.対

応 す るDynkinの

図形は

中 で の 内 積 は

対 応 す

と な り,こ

の 根 系 はBl型

  各 根rに

対 応 す る 元hrを

と りhr=h(er)と

で あ る. 表 に ま と め て お く.(rの

  括 弧 積 を 計 算 し て[er,e-r]=hr(r∈ と が で き る.こ

θ(uij)=-uji, 

な わ ち(2.5)が

はL(JB)のChevalleyの

Wの

を 入 れ 替 え る.し

らか

成

θ(sij)=-tij

り立 つ か ら 基

Π),ui,υi,uij,sij,tij}

標 準 基 で あ る.

の 根 系 のWeyl群 元wrはeiとejと

な る.明

自己 同 形 で

{hr(r∈

Bl型

は 限 らな い が

か らM∈L(J)⇒-TtMT-1∈L(J)と

θ(ui)=-υi, 

 

も-tM∈L(J)と

θ:M→-TtMT-1はL(JB)の

が 成 り 立 つ.す

生 成 元erを

Δ)の 成 り立 っ て い る こ と を 確 か め る こ

の 場 合M∈L(J)で

と お け ばTJT=J-1だ に

代 りにLrの

書 い た.)

をWと

お け ば 前 と 同 様,根r=ei-ejに

を 入 れ 替 え る.ま た が っ てWの

た 根eiに

対 応 す る 元 はeiと-eiと

元wに

w(ei)=ε(i)eσ(i) 

{ε(i)=±1)

に よ っ て 定 め ら れ る 置 換 σ と 符 号 変 更 ε と が 対 応 す る.い w→(σ,ε), 

w′

と す れ ばww′(ei)=w(η(i)eτ(i))=η(i)ε(τ(i))eσ ww′

→(τ,η) τ(i)よ

→(σ τ,ετ・η)

対 応 す る

り

ま

と な る.こ

こ で ετ,ετ・η は そ れ ぞ れ 符 号 変 更 の 上 に 定 義 さ れ る τ の 作 用 と 符

号 変 更 の 積 で あ る.明

ら か にw→

σ はWか

ら対称群

で そ の 核 は 符 号 変 更 全 体 の つ く る 可 換 群Aで 群,す

な わ ち 各 元 の 位 数 が2ま

た は1で

換 群 と み て つ く っ たZ2wrΣlがWeyl群 Wの

位 数 は2l(l!)で

  3. C型

あ る.Aは

あ る.実

の 時L(J)がC型

単 位 行 列)

と な る.単

で あ る こ とだ け 示 そ う.L(J)の

純 であ る こ と の証 明 は 元Aを(l,l)型

対 角 行 列 全 体 をHと

用 い て 番 号 を つ け れ ばAの らlま

計 算 し よ う.結

基 と し て対 角 行

で の 値 を と る.)

お け ばHはL(J)のCartan部 h=Σ

分 代 数 と な る.

λi(eii-el+i ,l+i) 果 は 次 の 通 り.

[h,si]=2λisi [h,ti]=-2λiti [h,uij]=(λi-λj)uij [h,sij]=(λi+λj)sij  [h,tij]=-(λi+λj)tij 

そ こ でKilling形

の小

な る た め の条 件 を求 めれ ば

と列 と を1,2,…,nを

に つ い てadhを

字 の置

して

の 単 純Lie環

列 お よ び 次 の 各 行 列 が と れ る.(i,jは1か

L(J)の

自 然 にl文

と 同 形 に な る(『群 論 』 上p.267).

偶 数 と しJ=JCと

行 列 に 分 け てA∈L(J)と

を 得 る.行

基本可換

あ る.

  n=2lは

省 略 し てL(J)がC型

位 数2lの

際,Σlを

(Iは(l,l)型 を と る.こ

Σlの 上 へ の 準 同 形

式 をHの

(i<j) (i<j).

上 で 計 算 す れ ば(h′=Σ

μi(eii-el+i,l+i))

B(h,h′)=4(l+1)Σ

と な る.前

と 同 様H*の

応 す るHの

λiμi

元eiをei(h)=λiと

定 義 す れ ばa=Σaiei∈H*に

元baは ba=(1/4(l+1))Σai(eii-el+i

で あ る.し

対

た が っ てH*の

,l+i)

内 積 はaとa′=Σbieiに

対 して

(a,a′)=a′(ba)=(1/4(l+1))Σaibi

と な る.根

で

の 集 合 Δ はl≧2の

時

Δ+={2ei,ei-ej(i<j),ei+ej(i<j)}は

正 系

Π={e1-e2,e2-e3,…,el-1-el,2el}

が 基 本 系 とな る.対 応 す るDynkinの

で こ の 根 系 はCl型   各 根rに

で あ る.Weyl群

対 応 す るhr=h(er)は

括 弧 積[er,e-r]を

図形は

はBl型

と 同 形 で あ る.

次 の 通 り で あ る.

計 算 す れ ば そ れ がhrに

写 像 θ:M→-tMはL(J)の

のWeyl群

等 し い こ と を 確 か め る こ と が で き る.

自 己 同 形 と な る.各

根について

θ(er)=-e-r が 成 り立 つ か ら{hr(r∈   4. D型

 

n=2lを

(こ こ でIは(l,l)型 番 号 を つ け れ ばBl型 そ こ でL(J)の

Π),uij,sij,tij,si,ti}はChevalleyの

標 準 基 で あ る.

偶 数 と しJ=JDを

単 位 行 列)と お い てL(J)を

考 え る.行

と 列 を1,…,nと

の 場 合 の 最 初 の 行 と列 と を 省 い た も の と 全 く 同 様 で あ る.

基 と し て 対 角 行 列 の ほ かuij,sij,tij(Bl型

の場 合 の記 号 を そ の

ま ま 用 い る)を

と る.こ

の 場 合Killing形

式 は

B(h,h′)=4(l-1)Σ

と な る.し

た が っ てa=Σaieiに

λiμi

対 応 す るHの

元baは

ba=(1/4(l-1))Σai(eii-el+i,l+i)

でH*の

内 積 は(a,a′)=(1/4(l-1))Σaibiで

  根 の 集 合 Δ はl≧2の

で

与 え ら れ る.

時

Δ+={ej-ei(i<j),ei+ej(i<j)}が

正 系,そ

の基 本 系 は

Π={e1-e2,…,el-1-el,el-1+el} で あ る.こ l≧4な

れ はl=2の

時 はD2型,l=3の

ら ば 対 応 す るDynkinの

と な りDl型

で あ る.各

と 一 致 す る.し

か し

図形 は

根 に 対 応 す るhrはBl型 {hr(r∈

がChevalleyの

時 はA3型

の 場 合 と 一 致 す る.よ

って

Π),uij,sij,tij}

標 準 基 で あ る.

  根ei-ejに

関 す る 対 称 変 換 はeiとejを

Weyl群

の 元 はei→-ej,ej→-eiと

合,符

号 変 更 は対 にな っ てお こ り

入 れ 替 え る がei+ejに

変 換 し て い る.し

対応す る

た が っ てDl型

の場

Π ε(i)=1 が 成 り立 つ.す 本 可 換 群Aを

な わ ちDl型

はBl型

と 同様

 

とな る基

含 ん で い る が 符 号 変 更 は 上 式 を み た す も の だ け が 可 能 でAの

数 は2l-1と

な る.

  5. E8型

の 根系  

と は 省 略 し,根  い ま8次

のWeyl群

こ こ で 例 外 型 の 単 純Lie代

間 の 中 に 正 規 直 交 系{ei},i=1,…,8を Δ={±ei±ej(i<j),(1/2)Σ

こ こ で εi=±1か

数を具体的に書 き上 げ るこ

系 だ け を 具 体 的 に 与 え る こ と に す る.

元 のEuclid空

つ 和 の 中 に εi=-1と

位

と り

εiei}

な る 項 が 偶 数 個 あ る も の とす る.こ

の 集 合 Δ が 根 系 の 条 件 を み た し て い る こ と を 証 明 し よ う.  ま ず Δ の 各 元rは(r,r)=2を 条 件(ⅳ)は(r,s)が (ⅳ)を

み た し て い る こ と に 注 意 す る.よ

任 意 のr,sに

証 明 す る に 当 っ てr,sの

十 分 で あ る.さ

てrとsに

つ い て 整 数 で あ る こ と と 同 値 で あ る.条

件

係 数 が す べ て半 整 数 で あ る場 合 だ け 考 え れ ば

お け るeiの

ば(r,s)=(1/4)(8-x-x)=2-(x/2)で の 数 は 共 に 偶 数 だ か らxも

って 根 系 の

係 数 の 符 号 が 丁 度xか あ る.と

偶 数 で(r,s)は

所 異 な って い れ

こ ろ で,r,sに

整 数 と な る.よ

お け る負 係数

っ て 条 件(ⅳ)が

成

り立 つ.  Δ の 中 で 整 係 数 の 根 だ け 取 り出 せ ばD8型 係 数 で あ れ ば 対 応 す る 対 称 変 換wrは る.い

が 成 り立 つ.(r,s)=0な

ら ばwr(s)∈

っ てwr(s)∈

明 さ れ る.つ にwr(s)は

て

ら ば,同

ηkekと す る.こ

(r,s)=1⇒rとsと

こ でsの

の 時sが

様 にwr(s)∈

整 係 数 な らば 上 と同 様 とすれ ば

所 符 号 が 異 な る ⇒wr(s)∈

所 符 号 が 異 な る ⇒wr(s)=r+s∈

し た が っ て い ず れ の 場 合 に もwr(s)∈   集 合 Δ が 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅴ)を 表 わ す.E8に

Δが証

係 数 も 半 整 数 とす る. 

は 丁 度2か 丁 度6か

ら ば εi=

係 数 の符 号 を 変 えた もの と一

Δ と な る.(r,s)=-1な

Δ の 元 と な る.そ

の 根 系 をE8と

お く.さ

Δ は 明 ら か で あ る.(r,s)=1な

お け るei,ejの

ぎ にr=(1/2)Σ

(r,s)=-1⇒

整

εiei⇒(s,r)=(1/2)(εiξ+εjη)

ξ,εj=η と な る か らwr(s)はsに 致 す る.よ

こ でrが

整係数の根を整係数の 根 に うつ し て い

ま ξ,η を ±1の い ず れ か と しr=ξei+ηej(i<j)と s=(1/2)Σ

る.こ

の 根 系 が 得 られ る.そ

Δ Δ.

Δ と な り根 系 の 条 件(ⅲ)が

成 り立 つ.

み た し てい る こ とは 自明 だ か ら Δは 根 系 で あ 含 まれ てい る根 の 数 は

￨Δ￨=4(8・7)/2+27=240 で あ る.部

分集合

Δ+={±ei+ej(i<j),(1/2)Σ

εiei(ε8=1)}は

正系で

Π={e1+e2,e2-e1,e3-e2,…,e7-e6,α1}

(こ

こ で

α1=(1/2)(e1-e2-…-e7+e8))が

=e1+e2,αi+1=ei-ei

-1{i=2,…,7)と

基 本 系 お い

て

と な

る.対

応

す

る 図 形 は

α2

 注 意   7次 元Euclid空 系 はe8-e7を

間 の 中 にD7={±ei±ej}を

基 本 系 に加 え たD8か,上

与え た 時 そ れ を 含 む8次 元 の根

の α1を加 え たE8か,ま

たは α1-e1を

加えた

根 系 に 限 る こ とが 証 明 され る.こ の最 後 の根 系 はe1に 直 交 す る超 平 面 に 関 す る対 称 変 換 で2番

目 の根 系 に うつ され る.

  6. E7型 も しr∈

 E8型

の 根 系 の うちe7+e8に

Δ1な ら ばwrはe7+e8を

し た が っ て Δ1は7次 のE8図

直 交 す る も の 全 体 を Δ1と お く.

不 変 に す る か らwr(Δ1)=Δ1が

元 の 根 系 で あ る.こ

れ をE7型

形 か ら α8を 除 い た も の で あ る.根

成 り立 つ.

と い う.対 応 す る 図 形 は 上

の 数 は 次 の 通 り.

￨Δ1￨=(4・6・5)/2+2+26=126.   7. E6型 wrは

 Δ1の

中 で α8と 直 交 す る 根 の 全 体 を Δ2と お く.r∈

α8を 不 変 に す る か らwr(Δ2)=Δ2.し

こ れ をE6型

と い う.対

い た も の で あ る.こ

た が っ て Δ2は6次

応 す るDynkinの

の 時,根

図 形 はE8の

Δ2な ら ば

元 の 根 系 と な る.

図 形 か ら α8と α7を 除

の 数 は 次 式 で 与 え ら れ る.

￨Δ2￨=(4・5・4)/2+25=72.   8. F4型

  4次 元 のEuclid空

間 に 正 規 直 交 系{ei}を

Δ={±ei,±ei±ej(i<j),(1/2)Σ

とり

εiei(εi=±1)}

とお く.Δ が 根 系 の 条 件 を 満 足 して い る こ と はE8の

場 合 と同様 に(多 少 複 雑

に な るが)証 明 さ れ る.い ま Δ+={ei,ei±ej(i<j),(1/2)Σ と お け ば Δ+は

εiei(ε1=1)}

正 系 で これ に 含 まれ る基 本 系 は Π={α1,α2,α3,α4}

こ こ で

α1=e2-e3,α2=e3-e4,α3=e4,お

よび

α4=(1/2)(e1-e2-e3-e4) で あ る.対

ま た,根   9. G2型

応 す るDynkinの

図形 は

の 数 は￨Δ￨=2・4+(4・4・3)/2+24=48で  

G2型

の 根 系 は §1で 既 に 述 べ た 通 り で あ る.

 注 意  根 系 が 与え られ れ ば それ に 対 応 す るLie代 い る(松 島[3]定

理9.5ま

あ る.

た はSerre[8]Chap.Ⅵ,定

数 が 一 意 的 に 定 ま る こ とが 知 られ て 理9).

 §4  Chevalley群

の定 義

 1. 指 数 関 数  

ま ず 線 形 写 像 α の 指 数 関 数exp

を 成 分 とす る 正 方 行 列Aが

α を 定 義 し よ う.複

素数

与 えら れ れ ば そ の 指 数 関 数 が

exp A=I+A+A2/2!+…+An/n!+… に よ り 定 義 さ れ る.こ

の 右 辺 の 第1項

はAと

同 じ型 の単 位 行 列 で左 辺 の各 成

分 は 絶 対 収 束 す る 無 限 級 数 で 表 わ さ れ て い る.も

しTが

可 逆 行 列 でAと

同 じ

型 な らば  (4.1) 

exp(TAT-1)=T(exp

が 成 り立 つ.こ Vに

A)T-1

れ は(TAT-1)n=TAnT-1か

ら 明 ら か で あ る.複

線 形 写 像 α が 与え ら れ た と す る.こ

る.い

まVに

の 時,基Bを α′はVの

基Bを

定 め,α

用 い てexp 基Bの

がBを

Aに

α′=exp

用 い て 行 列Aで

よ りVの

α は 次 の 様 に 定 義 され 表 現 さ れ た と す る.こ

線 形 写 像 α′が 定 ま る.(4.1)に

より

取 り方 に は 無 関 係 に 一 意 的 に 定 ま る か ら そ れ を α の 指 数 関 数

と 定 義 し て α′=exp  (4.2) 

α と表 わ す.指

数関数は

αβ=β α ⇒exp(α+β)=(exp

を 満 足 す る こ と を 証 明 し よ う.基 表 現 さ れ た とす る.こ

を 得 る.こ

の時

素係数の空間

α)(exp β)

を 定 め て α,β が そ れ ぞ れ 行 列A,Bに

の 時AB=BAが

成 り立 つ か ら2項

こ で 右 辺 の 和 の 順 序 を 交 換 す れ ば 各rに

か ら ∞ ま で 和 を と る こ と に な る.よ

より

定 理 を用 い て

つ い て,nに

っ て 上 式 の 右 辺 が(exp

関 し てn=r A)(exp

B)と

な

り exp(A+B)=(exp を 得 る.す

な わ ち(4.2)が

  特 に α と-α

A)(exp

B)

成 り立 つ.

と は 可 換 だ か らexp

0=(exp

α)(exp(-α))と

な る.と

exp 0=1 だ か らexp

α は 常 に 可 逆 で(exp

 (4.3)  複 素Lie代

数Lの

α)-1=exp(-α)が

成 り立 つ.

線 形 写 像 δが 次 の 条 件

δ([x,y])=[δx,y]+[x,δy] を み た し て い る 時exp

δ はLie代

数Lの

自 己 同 形 で あ る.

ころ で

 証 明   まずnに

関 す る帰 納 法 に よ り

の 成 り立 つ こ と が 証 明 さ れ る.そ

こ で θ=exp

δ とお け ば

を 得 る.こ

の 右 辺 で 和 の 順 序 を 変 え れ ば 前 と 同 様 に[θx,θy]と

θはLie代

数 と し て の 準 同 形 で あ る.一

方,θ

な る.よ

は 可 逆 だ か ら θはLの

って

自己 同 形

と な る.

  さ てxをLie代 て い る.こ

数Lの

れ はLie代

任 意 の 元 と す れ ばad

数 に お け るJacobiの

ち[u,υ]=-[υ,u]を

xは(4.3)の

仮定をみたし

法 則 を 書 き 換 え れ ば よ い.す

なわ

用いれば

[x[y,z]]+[y[z,x]]+[z[x,y]]=0 よ りad

x([y,z])=[(ad

し て 複 素Lie代

数Lに

  系  x∈Lな

x)y,z]+[y,(ad

x)z]を

得 る.そ

こ で(4.3)の

系 と

つ い て 次 の 結 果 が 得 ら れ る.

ら ばexp(ad

x)はLの

自 己 同 形 で あ る.

  あ と で こ の 自 己 同 形 の 具 体 的 な 表 示 を 求 め る こ と が 重 要 に な る.   定 理4.4 

複 素 線 形 空 間Vの

の 積 は[x,y]=xy-yxで

あ る 時,任 (exp

す な わ ちLの

中

ついて

α)β(exp α)-1

α)はexp

線 形 写 像 で(ad

数 が 与 え られLの

α に よ る 内 部 自 己 同 形 で あ る.

α)β=[α,β]=α

β-β α と定 義 さ れ て い

た が っ て 帰 納 法 に よ り次 式 が 証 明 さ れ る.

前 と同 様,和

の順 序 を変 更 す る こ とに よ り

を 得 る.exp(-α)=(exp

  2.  単 純Lie代 Lに

意 の α,β∈Lに

ad α)β=(exp

自 己 同 形exp(ad

  証 明   ad α はLの る.し

線 形 写 像 か ら な るLie代

α)-1だ

数 のZ形

か ら 定 理 が 成 り 立 つ.

  §2で 述 べ た よ う に 任 意 の 複 素 単 純Lie代

対 応 し て 根 系 Δ が 定 ま る.そ

し てLはChevalleyの

標 準基

数

{hp(p∈

を も っ て い る.こ たChevalleyの (2.2)に

Π),er(r∈

Δ)}

こ で Π は Δ の基 本 系 の 一 つ で あ る.以

下 Π お よび上 に とっ

標 準 基 を 一 つ 定 め て お く こ と に す る.こ

の基 の元 の括 弧 積 は

よ り定 ま っ て い る か ら,そ

こで用 いた 記 号 を こ の節 で も用 い る こ とに

し よ う.一 番 大 切 な こ と は 係 数 に 現 わ れ るn(r,s),Nr,sな る こ と で あ る.そ

と お け ばLは

整 数 環Z上

  Chevalleyの hpと

こ でChevalleyの

か ら な っ て い る.し

り,基

標 準 基 の元 の整 係 数 一 次 結 合 の全 体 を

のLie代

標 準 基 は 根rに

対 応 す る 元erと

か しLのZ形Lは

{hr(r∈

れ をLのZ形

と い う.

基 本 系 Π の 元pに

対 応 す る元

標 準 基 の{er}の

Δ)}が 生 成 す る 加 法 群 をHと

L=H+ΣZer  と な る.す

な わ ちLは

(和 はr∈

部分だけで定 ま

よ り{hr(r∈

に つ い て{hp￨p∈

Π}が

は

Δ 全 体 に わ た る)

Δ)}は 根 系 Δ′を つ く り,Lの

Δ′の 基 本 系 と な る.し

整 数 係 数 一 次 結 合 と な る.す 含 ま れ て い る.逆

L=H+ΣZerが

お け ばLのZ形

基 本 系 Π の 選 び 方 に よ ら な い.

  証 明   (2.1)に

形Lに

数 と な っ て い る.こ

本 系 に は 無 関 係 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

 (4.5) 

{hp}の

どが す べ て 整数 とな

な わ ちhr∈

にLがH+ΣZerに

任意の基本系 Π

た が っ て 任 意 のhr(r∈ ΣZhp,よ

Δ)は

っ てHはLのZ

含 まれ る こ とは 明 らか だ か ら

成 り立 つ.

 さ てLのZ形

はLie代

数 だ か らad (exp

erはLを

不 変 に す る.実

は

ad er)L⊂L

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.   (4.6)  任 意 のr∈ い てLの

Δ に つ い てad

erは

xr(ζ)=exp(ζ と お く.こ

(*)

ベ キ 零 で あ る.任

自己 同 形xr(ζ)を

の 時,次

式(*)が

成 り立 つ.

ad er)

意 の 複 素 数 ζに つ

この 最 後 の式 では   にMr,s,iは

qはqr+s∈

Δ を 満 足 す る最 大 の 整 数 で あ る.さ

ら

整 数 で 次 式 で 与 え ら れ る. Mr,s,i=(1/i!)Nr,sNr,r+s…Nr,(i-1)r+s.

  証 明   (2.2)を

用 い てad  erを

計算すれば

(ad er)er=0 (ad er)e-r=hr (ad

er)hr=-2er 

(n(r,r)=2)

(ad er)es=Nr,ser+s を 得 る.最 sのr系

後の式では  

で, 

な ら ばNr,s=0と

列 を-pr+s,…,s,…,qr+sと (ad

と な る.q≦3だ

  定 義 に よ りxr(ζ)は

(ad

er)4=0と

er)3e-r=0, 

(ad

er)q+1es=0

な り前 半 が 証 明 さ れ る.

ζad erの 指 数 関 数 だ か ら(*)の

っ て い る 点 は 係 数Mr,s,iが

諸 式 が 成 り立 つ.残

整 数 と な る こ と の 証 明 で あ る.さ

上 の よ うに 定 め れ ば(2.6)に 上 と 同 一 で あ る が,対

こで

おけば

er)2hr=0, 

か ら(ad

お く.そ

よ りNr,s=±(p+1)と

応 す るpの

てsのr系

列を

な る.s+rのr系

列 も

値 は 一 つ 増 し てい るか ら

Nr,r+s=±(p+2), 同 様 にNr,2r+s=±(p+3),…

  3. Chevalley群 す る.単

純Lie代

と な りMr,s,iは

の 定義 数LのZ形

に 拡 大 す れ ばZ[X]上 中 で1 erな

  変 数Xを をLと

のLie代

ど を 略 式 にerと

て い る.そ

こ でZ[X]線

に 従 い,た

だ し ζはXに

お く.こ

こ で 係 数 環 をZか

数Z[X] zLが

得 ら れ る.(テ

書 く こ と に す れ ば)B={hr,es}は 基Bの

そ の 基 とな っ 式(*)

自 己 同 形 で あ る.

お き θ[u,υ]=[θu,θ υ]が 任 意 のu,υ 共 に 基Bの

に つ い て 成 り立 つ

元 で あ る 場 合 を 考 え れ ば 十 分 で あ る.そ

θ[u,υ]=ΣPw(X)w 

数Pw(X)はXの

ン ソル 積 の

各 元 に 対 し(4.6)の

u,υ を 一 組 定 め

と お く.係

らZ[X]

変 え て 定 義 す る. 数Z[X] zLの

  証 明   θ=xr(X)と こ と を 示 そ う.u,υ

と り整 数 係 数 の 多 項 式 環 をZ[X]と

形 写 像xr(X)を

  (4.7)  xr(X)はLie代

整 数 と な る.

多 項 式 で あ る.同

(w∈B)

様に

こで

[θu,θυ]=ΣQw(X)w と お け ばQw(X)もXの

多 項 式 で あ る.任

の 自 己 同 形 で あ る か ら((4.3)系)Lの

意 の 複 素 数 ζに つ い てxr(ζ)はL

中で

xr(ζ)[u,υ]=[xr(ζ)u,xr(ζ)υ]

が 成 り立 つ.定

義 に よ り θの 中 に 現 わ れ る変 数Xに

な る か ら 上 式 よ りPw(ζ)=Qw(ζ)が

す べ て の ζに つ い て 成 り立 つ.し

多 項 式 と し てPw(X)=Qw(X)と る.ま

ζ を 代 入 す れ ばxr(ζ)と

な る.す

な わ ち θはLie代

た 任 意 の 複 素 数 ζに つ い てxr(ζ)xr(-ζ)=1が

上 の 論 法 を 繰 り返 せ ばxr(X)xr(-X)=1が

数 の 準 同 形 であ

成 り立 つ.こ

証 明 さ れ る.す

たが っ て

の こ とか ら

な わ ち θは 可 逆 で

自 己 同 形 と な る.

 この証明 と同様に してZ[X,Y] Lの  (4.8)  X,Yが

自己同形 として次 の命題が成 り立つ.

可 換 な 変 数 な ら ばxr(X+Y)=xr(X)xr(Y)が

  上 の 証 明 で はPw(X),Qw(X)がXの

成 り立 つ.

多項 式 で あ る こ とだ け 用 いた が これ ら

の 多 項 式 の 係 数 は す べ て 整 数 で あ る.さ て 任 意 の 体Fを

と お く.LFは t∈Fに

係 数 体F上

対 し てLFの

のLie代

数 でBが

とり

そ の 基 と な っ て い る.任

線 形 写 像xr(t)を(4.6)の

式(*)に

意 の元

お い て ζ をtに

お

き 換 え た 式 で 定 義 す る.   (4.9)  任 意 のr∈ る.さ

Δ,t∈Fに

つ い てxr(t)はLie代

ら にxr(t+t′)=xr(t)xr(t′)が

  証 明   BはChevalleyの

自己 同形 で あ

成 り立 つ.

標 準 基 だ か らu,υ

係 数 一 次 結 合 と な っ て い る.よ

数LFの

っ てxr(t)の

∈Bの

時[u,υ]はBの

元 の整

定義か ら

xr(t)[u,υ]=ΣPw(t)w

を 得 る.こ

こ でPw(t)は(4.7)の

に お い て 変 数Xにtを

証 明 に お い て 定 義 し た 整 係 数 多 項 式Pw(X)

代 入 し た も の で あ る.前

係 数 の 多 項 式 で あ る か らPw(t)がFの

に 述 べ た よ うにPw(X)は

元 と し て 定 ま っ て い る.同

様に

[xr(t)u,xr(t)υ]=ΣQw(t)w と な る.(4.7)の LFの

証 明 に お い て 示 し た よ う にPw(X)=Qw(X)だ

自 己 準 同 形 と な る.(4.8)に

よ り

xr(t+t′)=xr(t)xr(t′)

か らxr(t)は

整数

が 成 り立 つ.よ

っ てxr(t)は

可 逆 でLFの

  定 義4.10 

複 素 数 体 上 の 単 純Lie代

意 の 体 をFと

お け ば,F上

自 己 同 形 と な る. 数 をL,対

応 す る 根 系 を Δ とす る.任

の Δ 型 のChevalley群

とは

〈xr(t)￨r∈ Δ,t∈F〉 す な わ ち{xr(t)(r∈

Δ,t∈F)}が

生 成 す るAut

  注 意  上 に述 べ た解 説 ではZ形Lを

つ くる 時Lの

れ に よ りLFを Hの

定 義 し た.も

群 が Δ とFだ

部 分 群 と 定 義 す る.

中 に 一つ の 特 別 な 基Bを

と も と根 系 Δ も基BもLの

取 り方 に 依 存 し てい る.し か しLは

に と っ て もLFはLとFだ

LFの

と り,そ

中 に定 め たCartan部

分代数

Δ に よ り一 意的 に定 ま り,標 準 基Bを

どの様

け で(同 形 とい う意 味 で)一 意 的 に 定 ま り,Δ 型 のChevalley

け で 一 意 的 に定 ま る.し か し こ こで は そ の 証 明 を 省 略 す る(§9節 末 の 注 意

参 照).

  4. 一 般Chevalley群

  前 節 で はChevalley群

同 形 群 と し て 定 義 し た.そ

Chevalley群  

数 で あ っ てad

べ て のnに

つ い て(ad

の こ と は 標 準 基 の 性 質 を 用 い て 証 明 さ れ る.そ

自己 数 のZ

erに

よ り

er)n/n!に

よ

し て この 点が

の 構 成 を 可 能 に す る 要 点 で あ る.

一 般 にLie代

定 ま る.こ

整 数 環 上 のLie代

か し そ れ だ け で は な く,す

り不 変 に な る.こ

数LFの

の も と と な る の は 複 素 数 体 上 の 単 純Lie代

形 と い う概 念 で あ る.Z形Lは 不 変 で あ る.し

をLie代

数Lが

作 用 し て い る 空 間Vが

の 時 そ の 表 現 を 用 い てGL(V)の

が 定 義 さ れ る.ま 解 説 す る.)さ

あ れ ば そ れ に よ りLの

部 分 群 と し て 一 般Chevalley群

ず こ の 方 法 の 概 略 を 述 べ よ う.(こ

て 複 素 数 体 上 の 半 単 純Lie代

て い る 表 現 加 群 をV,Vが が あ っ て す べ て のnに

定 め るLの

表現が

数 をLと

こ で 用 い る術 語 は あ と で し,Lが

表 現 を φ と お く.こ

忠実に作用 し

の 時VのZ形V

つ いて (φ(er)n/n!)V⊂V

が 成 り 立 つ こ と が 証 明 さ れ る.ま で 任 意 の 体FとFの

元tに

た φ(er)は ベ キ 零 に な る こ と も証 明 さ れ る の

つい て xr(t)=exp

が

 

tφ(er)

の 線 形 写 像 と し て 定 義 さ れ る.こ

れは可逆 元で

〈xr(t)￨r∈ Δ,t∈F〉 を 体F上  

V=Lで

の(正

確 に い え ば 表 現 φ に よ る)Δ 型 一 般Chevalley群

φ が 随 伴 表 現 の 場 合 が 前 節 で 述 べ た も と のChevalley群

と い う. で あ る.

Lが

古 典 型 の 場 合Lは

Lは

自 然 にVに

あ る 空 間V上

作 用 し,Vに

表 現 に よ るAl型

の 行 列 の つ く るLie代

よ り 自 然 にLの

のChevalley群

数 で あ る.よ

表 現 φ が 定 義 さ れ る.こ

って

はSL(l+1,F)と

の 自然

一 致 す る こ と をあ と で証

明 す る.   Δ 型 の 一 般Chevalley群

の 中 心 に よ る 商 群 は Δ 型 の も と のChevalley群

で あ る こ とが 証 明 さ れ る の で 一 般Chevalley群 心 拡 大 を 与 え て い る.だ

は も と のChevalley群

の中

か ら群 論 的 構 造 は ほ とん ど同 じ であ るが 一 般 の 群 を 考

え る こ と に よ り簡 単 に な る 問 題 が 多 い.   5. Lie代

数の表現 

と仮 定 す る.さ はLの

こ の 節 で はLie代

てLをLie代

元xにVの

数,Vを

線 形 写 像 φ(x)を φ(αx+βy)=α

数 も線形 空 間 も係 数 体 は 複 素 数 体 線 形 空 間 と す る.LのV上

の表現 と

対応 さ せ る関 数 φ で φ(x)+β φ(y)

 (4.11) φ([x,y])=φ(x)φ(y)-φ(y)φ(x)

が すべ て のx,y∈L,α,β の 表 現 空 間 また はL加   Lの 元xにL上 れ をLの

∈Cに

の 時VをL

群 とい う.

の 線 形 写 像ad

随 伴 表 現 とい う.(ad

とJacobiの

つ い て成 り立 つ もの で あ る.こ

xを 対 応 させ れ ばLの

xが

条 件(4.11)を

表 現 が得 られ る.こ

みた す こ とはad xの

定義

法 則 か ら 容 易 に 証 明 さ れ る.)

  次 にLie代

数 の 包 絡 環 とい う概 念 を 定 義 し よ う.そ れ は多 元 環 で あ るが こ

の本 では 多 元 環 とい え ば 乗 法 は 結 合 法 則 を み た し,乗 法 に 関 す る単 位 元 が含 ま れ てい る もの と規 約 す る.多 元 環Aが れ ばAは

この 括弧 積 に よ りLie代

  定 義4.12  (U,i)の

Lie代 数Lが

与 え られ た 時[a,b]=ab-baと

数 とな る.こ

与 え られ た 時Lの

のLie代

数 をALと

定義す 表 わ す.

包 絡 環 とは 次 の 条件 をみ たす 組

こ とで あ る.

(1)  Uは 多 元環 でiははLか らULの (2)  多 元 環AとLか

らALの

中 へ の 準 同 形,

中 へ の 準 同形fが

あれ ばUか

らAの

中へ の多

元 環 準 同 形 θで θ°i=fを み た す も のが 一 意 的 に 存 在 す る.   上 の 定 義 に よ りLの 包 絡環 は 普 遍 写 像 性 質 で 定 義 さ れ て い る か ら存 在 す れ ば(同 形 に な る とい う意 味 で)一 意 的 に 定 ま る(『代 数 』 Ⅱ,p.372定 理1).包 絡 環 が 存 在 す る こ とは次 の様 に証 明 され る.Lを

線形 空 間 と考 え て そ の 上 の テ

ン ソ ル 代 数 をT(L)と

す る(Ⅱ §8参 照).T(L)の

と い う形 の 元 が 生 成 す るT(L)の にiをLか

らT(L)の

両 側 イ デ ア ル をIと

Lie代

数Lの

定 めUの

包 絡 環 を(U,i)と 元i(xk)とxkと

正 整 数)はUの

く る(松 島[3]定   今 後Lの え る.そ

の 自然 写 像 の 合 成 と

成 り立 つ こ とが 重 要 で あ る. す れ ばiは

単 射 で あ る.Lの

を同 一 視 す れ ば単 項 式

xiaixjaj…xkak 

(ai,aj,…,akは

ら

包 絡 環 に な る こ とが 容 易 に 証 明 さ れ る.

  次 の 定 理(Poincare-Birkhoff-Witt)が

基{x1,…,xn}を

お きU=T(L)/I,さ

中 へ の 自然 な 埋 め 込 み と商 環Uへ

す れ ば 組(U,i)がLの

  定 理4.13 

中で

(i<j<…
元 と な る が これ ら の 単 項 式 全 体 がUの

基 をつ

理9.3).

元xとUの

中 の 像i(x)と

し て 写 像iは

を 同 一 視 し てLをUの

省 略 し て 単 に 包 絡 環Uと

部分 集 合 と考

表 わ す こ と に す る.包

絡環 の

定 義 よ り直 ち に 次 の 命 題 を 得 る.   (4.14)  V上

Lie代

数Lの

包 絡 環 をUと

の 表 現 を φ と お け ば φ はUの

  証 明   Vの らLie代 りUか

らEの

まL加

群Vが

与 え ら れLの

表 現 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.

線 形 写 像 の 全 体 をEと

数ELの

す る.い

お け ばEは

多 元 環 と な り 表 現 φ はLか

中 へ の 準 同 形 と な る(4.11).し

た が っ て包 絡 環 の 定 義 に よ

中 へ の 多 元 環 準 同 形 θが あ っ て 任 意 のx∈Lに

対 して

θ(x)=φ(x) が 成 り立 つ(xとi(x)を

同 一 視 し て い る).L⊂Uだ θ(u1u2)=θ(u1)θ(u2) 

な ど の 式 が 成 り立 つ.そ U加

群 に な り θがUのV上

か ら θは φ の 拡 張 で

(ui∈U)

こ でu・ υ=θ(u)υ(υ ∈V)と の 表 現 とな る.多

定 義 す る こ と に よ りVが

元 環 と し てUはLに

よ り生 成

さ れ るか ら θは φ の唯 一 の拡 張 で あ る.   あ とで次 の命 題 が 必要 に な る.  (4.15)  Lie代

数Lの

表 現 加 群VとWが

と定義 す る こ とに よ りV WがL加  証 明   Lの 元xに

対 応 す るV Wの

与 え られ た 時V Wに

群 とな る. 線 形 写 像 が(4.11)を

み た す こ と を確

か め れ ば よ い.た

と え ば(4.11)の

を 得 る.xとyと

を入 れ 替 え てy(x(v w))を

が 残 る.こ

第2式

れ が[x,y](v w)に

を 証 明 し て み よ う.定

計 算 し上 式 か ら引 け ば

等 し い か ら(4.11)の

第2式

 上 に 定 義 した 作 用 に よ りL加 群 とな ったV WをL加 ン ソ ル積 と い う.二 つ よ り多 くのL加

義に より

が 成 り立 つ.

群VとWと

のテ

群 の テ ン ソル 積 も 同様 に 定 義 され

な ど が 自 然 に 同 形 と な る.   6. 半 単 純Lie代 Lに

数の包絡環

  こ の 節 で はLを

対 応 す る 根 系 の 中 に 基 本 系Π={p1,…,pl}を

半 単 純Lie代 選 び,Π

数 と す る.

が 定 め る正 系 を

Δ+={r1,r2,…,rN} と 番 号 を つ け る こ とに す る.そ る 元 をhi,riに

し てChevalleyの

対 応 す る 元 をeiと

標 準 基 に お い てpiに

表 わ す こ と に す る.さ

対応す

て

A=(a1,a2,…,aN) を 整 数ai≧0の

組 と す る 時Lの

包 絡 環 の 元eAを eA=Πeiai/(ai!)

と定 義 す る.こ -riに

こ で 積 はiに

つ い て 大 き さ の 順 に と る.上 式 でeiの

対 応 す る 標 準 基 の 元 を 入 れ た 積 をe-Aと

お く.ま

たx∈Lに

代 りに 負 根 対 し

(kは 正 整 数) とお く.k=0の

場 合,上

と し て 確 定 す る.整

と お く.定

理4.13に

基 と な る.(hBの

の 左 辺 は1を

数bi≧0の

表 わ す と 定 義 す る.こ

組B=(b1,…,bl)に

よ り{e-AhBeC}と

れ も包絡 環 の元

対 し

い う形 の 元 の 全 体 がLの

包 絡 環Uの

形 が 単 に ベ キ を と る の と少 し 違 っ て い る が こ の 形 の 基 が とれ

る こ と は 明 ら か で あ る.)そ

こで u=ΣZe-AhBeC

と お け ばuは   (4.16) 

包 絡 環UのZ形

uはern/(n!)が

で あ る.こ 生 成 す るZ多

こ で 次 の 重 要 な 命 題 が 成 り立 つ. 元 環 と一 致 す る.

  証 明  ern/(n!)(r∈ 明 ら か にe-A,eCと

Δ,n=1,2,…)が

生 成 す るZ上

い う形 の 元 はu0に

  ま ずhB∈u0を

の 多 元 環 をu0と

お く.

含 ま れ て い る.

証 明 し よ う.X=er,Y=e-r,H=hrと

おけ ば

[er,e-r]=hr⇒XY=YX+H 同 様 にXH=HX-2Xお こ でm,nに

よ びHY=YH-2Yが

包 絡 環 の 中 で 成 り立 つ.そ

関 す る帰 納 法 に よ り

(こ こ で 和 はjに

つ い て0か

上 式 でm=nと

おけ ば 右 辺 の和 の最 終 項 は

と な る.一般

にHの

らmin(m,n)ま

多 項 式 が,Hに

数一 次 結 合 と な る.こ

元 は す べ てu0に   erは(ad まern/(n!)の

時,作

の こ と か らnに

し て)Lに

作 用 をXnと

のZ形Lを

の 多 項 式 は2項

っ てhB∈u0を

作 用 し て い る か らLはU加 表 わ せ ば(4.6)の

不 変 に し て い る.(4.15)に

に整数値 を

係 数 の形 の多 項 式 の整 数

関 す る 帰 納 法 に よ り,2項

含 ま れ る こ と が 証 明 さ れ る.よ

erと

成 り立 つ こ と が 証 明 さ れ る.

任 意 の 整 数 を 代 入 し た 時,常

と る と い う条 件 を み た し て い れ ば,そ 係

で)の

係 数 の形 の 得 る.

群 に な る(4.14).い

証 明 か ら わ か る よ うにXnはL

よ り 

もU加

群 に な る.こ

の

用の定義か ら

が 成 り立 つ の でXnは 

を 不 変 に し て い る.こ

れ は 任 意 の テ ン ソル 積

  に つ い て も 同 様 に 成 り立 つ.   次 にr∈

Δ+と 制 限 し た 時{ern/(n!)}(n=1,2,…)が

多 元 環 が ΣZeAと Lie代

数 をL1と

理4.13に

一 致 す る こ と を 示 そ う.い お け ば(2.2)に

よ り{eA}がL1の

す る 部 分 環 をU2と

よ り{ei}はL1の

包 絡 環U1の

お け ばU2の

る.さ

てU2の

元uを{eA}の

ま{ei}が

時,単

部 分Z

生 成 す るLの

基 と な る.し

基 と な る.そ

元 は{eA}の

す こ と が で き る.A=(a1,a2,…,aN)の

生 成 す るUの

部分

た が って 定

こ で{ein/(n!)}が

生成

複素数係数一次結合 と し て表わ 項 式eAの

一次 結 合 と し て

次 数 を Σaiと

定 義 す

(*) 

u=ceA+…, 

と表 わ し た 時,eAが

A=(a1,a2,…,aN)

最 高 次 数 の 単 項 式 の 一 つ とす る.こ

で あ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.そ こ で 因 子 の 数 はeAの き,ai個

のfiの

次数

こ でuのL … Lへ

Σaiに

整 数

つ い てe-riをfiと

お

テ ン ソル積 を 並 べ て

と る の で あ る.)fは 

述 の 様 にuは 

と な る.そ

数cが

の 作 用 を 考 える.こ

等 し く す る.各iに

とお く.(f1はa1個,…,fNはaN個 あ る.上

の 時,係

の元 で

を不 変 にす るか ら

こ でufのH … H成

分(H成

分 と 略 称)を 考 え る((4.5)参

単 項 式eBがuの

展 開 式(*)に

eBの

次 数 よ り 小 さ け れ ば(作 用 の 定 義 か ら 明 ら か な よ うに)eBfの

次 数 がeAの

現 わ れ る と 仮 定 し てeBfのH成

照).

各 成 分 をHの

元 とす る こ と は で き な い.よ

じ で も 

な ら ばH成

分 は や は り0と

な る((ad

は β=-α

の 時 に 限 る).そ

こ でufのH成

分は

こ こ で 右 辺 は 各r=riに 1.9(a)お

つ い てai個

よ び(4.5)に

よ りhr(r∈

の 右 辺 は 零 で な い.  ΣZeAが

っ てH成

のhrを

分 は0で

分 を 考 え る.

あ る.次

eα)eβがHの

数が 同

元 とな る の

と っ た テ ン ソ ル 積 で あ る.定

Δ)はHの

理

直 和 因 子 を 生 成 す る か ら上 式

よ り係 数cは

整 数 と な る.す

な わ ちU2=

成 り立 つ.

  u0=uを

証 明 す る た め に 次 の 命 題 が 必 要 と な る.任

た 時X=er,Y=esと

意 に2根r,s∈

Δを とっ

おい て

(**) と な り省 略 し た 項 は 次 数n+m以

下 の単 項 式 の整 係 数 一 次 結 合 と な る こ とを

証 明 し よ う.r+s=0の

場 合 は 証 明 の 第1段

成 り立 つ.ま

場 合 は 自 明 な こ と で あ る.そ

たr=sの

と し て よ い.こ

階 で 述べ た公 式 に よ り この命 題 が こ でrとsと

は一 次 独立

の時は eres=eser+[er,es]=eser+Nr,ser+s

か ら は じ め て 帰 納 法 に よ り(**)が

成 り立 ち,省

略 し た 項 は 次 数m+n以

下

の 単 項 式 の 有 理 数 係 数 一 次 結 合 と な る こ とが 証 明 さ れ る.係 と を 証 明 す る た め に{ir+js}と

数 が 整 数 とな る こ

い う形 の 根(i≧0,j≧0)の

全 体 を Δ1と お け

ば 上 に Δ+の 場 合 に 証 明 し た 結 果 が Δ1に つ い て が 成 り立 つ.そ 右 辺 はes,er,er+s,…

の 順 に 整 理 さ れ た 単 項 式 の 整 係 数 一 次 結 合 と な る.と

ろ で こ れ ら の 単 項 式 は 一 次 独 立 だ か ら,(**)に 項 式 の 整 数 係 数 一 次 結 合 と な る.よ  さ て,u0の っ て)整

こ で(**)の

お い て省 略 した 項 は 低 次 の単

っ て 命 題 が 成 り立 つ.

元 が 与 え ら れ た 時 そ れ を(**)を

理 す る こ と が で き る.そ

こ

用 い て(与

の 途 中 でHの

え られ た 順 序 に 従

元 が 現 わ れ るか も知 れ な い が

(ern/(n!))hs=(hs-nr(hs))(ern/(n!)) を 用 い て 各 単項 式 の 中 でhに hに 関 す る項 はHの よ うにhiに

関 す る項 を 一 ま と め に す る こ と が で き る.こ

生 成 元h1,…,hlの

多 項 式 で あ る.現

わ れ 方 か ら明 らか な

任 意 の 整 数 を 代 入 す れ ば そ の 多 項 式 は 整 数 値 を と る.し

こ れ ら の 項 はhBと

の

い う形 の 元 の 整 係 数 一 次 結 合 とな る.す

たが って

なわ ち

u0=ΣZe-AhBec と な り(4.16)が

成 り立 つ.

  7. 半 単 純Lie代  定 理4.17  わ ち,表   Lを

数の表現論 

半 単 純Lie代

次 のWeylの

基 本 定 理 が 成 り立 つ.

数 の 有 限 次 元 表 現 は す べ て 完 全 可 約 で あ る.す

現 加 群 は 既 約 加 群 の 直 和 に 分 解 す る.(松 半 単 純Lie代

数 と し そ のCartan部

定 め る 表 現 を φ と お く.Hの Vμ={υ ∈V￨す と 定 義 す る.そ

理4.8)

分 代 数 をH,L加

双 対 空 間H*の べ て のh∈Hに

し て 

島[3]定

な

群 をV,Vの

元 μ に対 し つ い てhυ=μ(h)υ}

の 時 μ を 表 現 φ の 重 み と い う.(随

伴表 現の重

み は 根 に ほ か な ら な い.)  (4.18) 

任 意 の 重 み μ と根rに

  証 明   任 意 のh∈Hに

つ い てerVμ

対 しher=erh+r(h)erが

⊂Vμ+rが

成 り立 つ.

成 り立 つ.し

た が っ て υが

Vμ の 元 な ら ば herυ=erhυ+r(h)erυ=(μ(h)+r(h))erυ を 得 る.す

な わ ちerυ ∈Vμ+rが

成 り立 つ.

 よ く知 ら れ て い る よ うに μ,v,…

が 互 い に相 異 な る重 み な ら ば

Vμ+Vv+…

は 直 和 に な る.し

た が っ て 有 限 次 の 表 現 φ の 相 異 な る 重 み は 有 限 個 し か な い.

そ こ で 根 の 集 合 に 全 順 序 を 定 め た 上 で 二 つ の 重 み μ,vが 時 μ>vと

定 義 す る.こ

 (4.19) 

Δ+を み た す

の 順 序 に よ り極 大 と な る 重 み を φ の 最 高 重 み と い う.

表 現 φ の 最 高 の 重 み を Λ と お く.

(a)  任 意 のr∈

Δ+に つ い てerVΛ={0}が

(b)  任 意 のr∈

Δ に つ い て Λ(hr)は

  証 明   (4.18)に ら Λ+rは

成 り立 つ.

整数かつ

よ りerVΛ ⊂VΛ+rと

重 み で は な い.よ

な る.仮

≧0で

あ る.

定に よ りΛは最高の重みだか

っ てVΛ+r={0}と

な り(a)が

  記 号 を 簡 単 にす る た め にx=er,y=e-r,h=hr,Λ(h)=λ り[x,y]=h,[h,y]=-2yが

成 り立 つ.VΛ υn=ynυ/(n!) 

と お く.容

μ-v∈

易 にhυn=(λ-2n)υnを

υ1,… の う ち0で

か ら 一 次 独 立 で あ る.よ に よ りxυ=0を

よ

(n=1,2,…) こ で 

と 仮 定 す れ ば υ0,

相 異 な る 固 有 値 に 対 応 す る 固 有 ベ ク トル だ

っ て 十 分 大 き いmに

得 る.よ

と お く.(2.2)に

の 元 υを と り

得 る.そ

な い 元 は φ(h)の

成 り立 つ.

つ い て υm=0と

な る.さ

て(a)

っ て帰 納 法 に よ り xυn+1=(λ-n)υn

と な る こ と が 証 明 さ れ る.い をm=nの

ま 

を み た す 最 大 の 整 数 をmと

場 合 に 用 い れ ば 左 辺 が0と

λ=mが

成 り 立 つ.す

 (4.20) 

な わ ち,Λ(hr)は

Lを 半 単 純Lie代

表 現 を φ,φ

数 と しVを

既 約L加

の 元 で0で

∈Vμ

μ=Λ-Σairi

とな る.(記

§4.6参 照.)

号e-Aは Π,mrは

整 数 ≧0)と は1次

φ の 重 み 全 体 に わ た る 直 和V=ΣVμ

  証 明   Lの

包 絡 環 をUと

す る.明

は な い.仮

定 に よ りVは

り単 項 式e-AhBeCの

全 体 がUの

ら か にUυ

式

な るか ら

み た す.

群 とす る.Vに

A=(a1,a2,…,aN), 

(c)  φ の 最 高 の 重 み は Λ だ け に 限 る.VΛ

{0}で

≧0を

よ るLの

な い と仮 定 す る.

と い う形 の 元 が 生 成 す る 線 形 空 間 で あ る.い

(b)  φ の 重 み は Λ-Σmrr(r∈

(d)  Vは

た が っ て 右 辺 も0と

整数で

の 最 高 の 重 み を Λ と し υ はVΛ

(a)  Vはe-Aυ

と お け ばe-Aυ

な る.し

お く.上

ま

書 け る.

元 で あ る. に分 解 す る. はVのL部

既 約 だ か らV=Uυ 基 と な る.(4.19)(a)に

分 空 間 であ るが

と な る.定 よ り 

理4.13に

よ

な らば

ecυ=0と

な る.ま

に 等 し い.よ

たhBの

っ てcは

定 義 か らhBυ=cυ

と な り係 数cは

整 数 で あ る(4.19)(b).そ

に よ り生 成 さ れ る 空 間 で あ る.e-Aの

こ でUυ

はe-Aυ

定 義 お よ び(4.18)か

と い う形 の 元

ら(a)の

成 り立 つ

こ と が 証 明 さ れ る.  (a)に

よ りVはVμ

の 元 か ら な る(μ

は 重 み 全 体 を 動 く)基

が 成 り立 つ.任

意 の 根rは

れ る か ら(b)も

成 り立 つ.

  最 後 に(c)を

証 明 し よ う.Λ′ が 別 の 最 高 重 み と す る.(b)に

基 本 系 に含 まれ る元 の整 係 数 一 次結 合 とし て表 わ さ

Λ′=Λ-Σmrr  とな る.一 nr≧0は のr∈

(mr≧0は

方,Λ′ に つ い て や は り(b)が

整 数 で あ る.と

を も つ か ら(d)

よ り

整 数)

成 り 立 つ か ら Λ=Λ ′-Σnrrと

こ ろ で Π の 元 は 一 次 独 立 だ か らmr+nr=0が

Π に つ い て 成 り立 つ.mr,nrは

Λ=Λ ′ を 得 る.(4.18)に

共に

≧0だ

よ りe-Aυ ∈VΛ ⇒e-A=1を

な り す べて

か らmr=nr=0.よ

って

得 る か らVΛ

は1次

元

で あ る.

 既 約表 現 は そ の最 高重 み に よ って決 定 され る.す なわ ち半 単 純Lie代

数の二

つ の既 約 表 現 が 同一 の最 高 重 み を も て ば,そ れ ら の表 現 は 同 値 であ る(松 島[3] 定 理9.4).ま

た Λ∈H*が

Λ(hr)は す べ て 非 負 整 数 で あ る とい う条 件 を み た

して い れ ば,Λ を 最 高 重 み とす る有 限 次 元 の既 約 表 現 が 存 在 す る(松 島[3]定 理9.6).  さて 目標 は 次 の 定理 を 証 明す る こ とで あ った.  定 理4.21  Z形

をuと

半 単 純Lie代

数Lを

と り,VをL加

お く((4.16)の 前 の 定 義 参 照).こ

群 とす る.Lの

の時VのZ形Vが

包絡環 の

あ って

uV⊂V が 成 り立 つ.(こ

の 条件 を み た すVのZ形

を 許 容Z形

加 群 の場 合,そ

の表 現 の最 高 重 み を Λ と し 

uυ=VはVの

許 容Z形

 証 明  定 理4.17に 因 子 の中 にu不

既 約L

をVΛ の 元 と す る.こ

の時

で あ る.

よ りVは

変 なZ形

とい う.)Vが

既 約L加

群 の 直 和 に 分 解 す る.よ

っ て 各直和

が 含 まれ て い る こ とを 証 明 す れ ば よい.そ

こでVは

既 約 と仮 定 す る.  最 高 重 み を Λ と お き υ∈VΛ-{0}と 様 にV=uυ

は{e-Aυ}の

が 生 成 す る 空 間 はVと でe-Aυ

の うち0で

す る.(4.20)の

証 明 のは じめ に述 べ た

整 数 係 数 一 次 結 合 と な る.(4.20)に 一 致 す る.ま

たVに

な い 元 は 有 限 個 し か な い.よ

っ てVは

で あ る.(4.16)に

よ りuは

多 元 環 だ か らVはu不

明 す る に は,Vの

中 でZ上

一 次 独 立 な 元 の 集 合{vi}はC上

あ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.{vi}に  ま ず 任 意 のu∈uに

き る.uυ

のVΛ

成 分 はec=e-A=1を

こ でVの

す る(VΛ はVの

み た す 項 以 外 か ら は 出 て 来 な い.前

任 意 の 元xに

対 し,そ

か つVが ,す

な わ ちuの

に よ り Σciwi=0と

元uを

  8. 一 般Chevalley群

表 現 を φ とす れ ばLの

たL0も

お け ばVは

自 明 に 作 用 し て い る.す

半 単 純 だ か ら,は

  LのChevalleyの の線 形 写 像 だ か ら

一 次 独 立 で あ る.よ

って

じ め か らLの

標 準 基{hi,er}を

定義 な り

で あ る.

半 単 純Lie代 元 

こ ろ でniの

だ か らc1も0と

数 と しL加

がVに

か しI={x∈L￨φ(x)=0}と

こ でL0=L/Iと

こで

得 る. 

っ てVはVのZ形 Lを

だ

と な る.そ

で も一 次 独 立 で あ る.と

の定義 

る こ と も あ り得 る.し

け がVに

適 当 に 選 べ ば 

な る か らc2=…=0を

よ るLの

な る.uはUのZ形

お け ば{wi}はZ上

一 次 独 立 と な る.よ

対 し

(ni=λ(uυi)∈Z)

帰 納 法 の 仮 定 に よ り{wi}はC上

は0だ

成 分 は υ の整 数 倍 で

お く.u∈uに

既 約 だ か らV=Uυ1と

wi=n1υi-niυ1(i=2,3,…)と

と な る.そ

に も

のVΛ 成 分 を λ(x)υ と 表 わ す こ とに

一 次 独 立 と 仮 定 し Σciυi=0と Σcini=0 

る.Vに

成 分 は υの整 数倍 で あ る こ とを 証 明 し

直 和 因 子 で あ る(4.20)(d)).

が 成 り立 つ. 

{υi}はC上

っ て定 理 を証

で も一 次 独 立 で

は υ の 整 数 倍 と な る か らuυ のVΛ

 さ て{υi}はZ上

か ら 

変 で あ る.よ

い う形 の 元 の 整 数 係 数 一 次 結 合 と し て 表 わ す こ とが で

注 意 し た よ うにhBυ あ る.そ

有 限 生 成 の加 法 群

含 ま れ る 元 数 に 関 す る 帰 納 法 に よ る.

つ い てuυ のVΛ

よ う.uはe-AhBecと

よ りこれ ら の元

現 わ れ る重 み は 有 限 個 しか な い の

自 然 にL0加 な わ ちL0の

群Vを

自 明 に 作用 し て い

お け ばIはLの 群 と な る.そ

イデ ア ル し てL0で

表 現 は 忠 実 で あ る.ま

表 現 φ は 忠 実 と 仮 定 す る. 定 め る.各r∈

と

Δ に つ い て φ(er)はV

xr(ζ)=exp

ζφ(er)

が 任 意 の 複 素 数 ζに つ い て 定 義 さ れ る.§4.1で な 線 形 写 像 と な る.そ

述 べ た よ うに こ れ はVの

可逆

こで 〈xr(ζ)￨r∈Δ,ζ∈C〉

がC上

の 一 般Chevalley群

 (4.22) 

各r∈

で あ る.次

の 命 題 が 成 り立 つ.

Δ に つ い てφ(er)は

  証 明   定 理4.17に い て 成 り立 つ.す

ベ キ 零 で あ る.

よ り(4.20)(d)が

な わ ちV=ΣVμ

一 般 の(既

約 と は 限 ら な い)L加

と 直 和 分 解 す る.(4.18)に

群に つ

よ り

φ(er)nVμ ⊂Vμ+nr が 成 り立 つ.と

こ ろ でVは

大 き いnに

つ い て μ+nrは

n=n(μ)が

あ る.そ

有 限 次 元 だ か ら 相 異 な る重 み の 数 は 有 限 で,十 重 み で は な い.よ

こ でm=max{nμ}と

っ て φ(er)nVμ={0}を

お け ば φ(er)m=0と

分

みたす

な り(4.22)が

証

明 さ れ る.   一 般 体 の 上 に 移 行 す る 仕 組 は §4 .3と 同 様 で あ る.Lの い まu=ΣZe-AhBecと はZ上 る.す

お け ばuはUのZ形

の 多 元 環 と な る.定 な わ ち,Vの

な っ て い る.こ

理4.21に

基{υi}を

包 絡 環 をUと

で あ る.ま よ りVはu不

と れ ば{υi}はC上

の 基 を 用 い て φ(er)n/(n!)の φ(er)n/(n!)=φ(ern/(n!)) 

た(4.16)に

変 なZ形Vを

xr(ζ)=exp

基 と

行 列 表 示 を 考 え る. (ern/(n!)∈u) 変).

表 わ す 行 列 の成 分 は

こ で 複 素 数 ζの 代 りにZ上

の 変 数Xを

定 義 す れ ばxr(X)はZ[X] ZVのZ[X]加

の 自 己 準 同 形 で あ る.と

も って い

ζφ(er)=Σ ζnφ(er)n/(n!)

よ り整 数 係 数 の ζ の 多 項 式 と な る.そ 代 入 し てxr(X)を

よ りu

で も一 次 独 立 でVの

と な る か ら そ の 行 列 表 示 の 成 分 は す べ て 整 数 と な る(Vがu不  さ ら に φ(er)は ベ キ 零 だ か らxr(ζ)を

す る.

こ ろ で(4.7)と

群 として

同様 に

xr(X)xr(-X)=1 が 成 り立 つ か らxr(X)は い てxr(X)の

可 逆 元 と な る.任

各 成 分 に お い て 変 数Xにtを

成 分 が 整 数 係 数 の 多 項 式 で あ る か ら,tを た 値 を も つ.そ

し てxr(t)は

意 の 体Fと,Fの

任 意 の 元tに

代 入 し た 行 列 をxr(t)と 代 入 し た も の はFの

つ

お く.各

元 と し て確 定 し

のF線

形 写 像 と な る.こ

こ で もxr(t)xr(-t)=1が

成 り立 つ か らxr(t)は

可 逆

な線 形 写 像 で 〈xr(t)￨r∈

がGL(VF)の

Δ,t∈F〉

部 分 群 と し て 定 義 さ れ る.Vに

別 の 基{υi′}を

とれ ば この基 と

も と の 基 と の 間 の 変 換 行 列 は 整 数 成 分 で 行 列 式 の 値 が ±1で あ る.し 線 形 写 像xr(t)は

た が って

基 の 取 り方 に か か わ ら ず 同 一 の 写 像 とな る.§4.4で

基 を と ら ず にxr(t)を

はVの

定 義 し た が そ の定 義 とこ の節 で述 べ た 定 義 とが 一 致 す る

こ と は 明 ら か で あ る.一

般 のChevalley群

 (4.23) 

でも

xr(t1+t2)=xr(t1)xr(t2)

が 成 り立 つ.証

明 は(4.9)と

同 様 で あ る か ら 省 略 す る.

  9. 重 み の 生 成 す る格 子   す る.Hの

双対 空 間H*の

半 単 純Lie代

中 でLの

数LのCartan部

根 が 生 成 す る加 法 群 をPと

分 代 数 をHと お く.Lの

根

系 Δ の中 に 基 本 系 Π を一 つ定 め Π={r1,…,rl}

と す る.任

意 の 根 はr1,r2,…,rlの

整 係 数 一 次 結 合 と な る か らPはr1,…,rl

が 生 成 す る 階 数lの

自 由 加 法 群 で あ る(§1.2).

  §2に お い てHの

元hr(r∈

群 をHと

お く.(2.1)に

… ,hl(hi=hri)の

Δ)を 定 義 し た.こ

よ り{hr}は

集 合 が 根 系{hr}の

成 す る 階 数lの

れ ら の 元hrが

根 系 を つ く り,Π 基 本 系 と な る.よ

つ い てr(hs)=n(r,s)は

H*の

つ い てx(hs)∈Zを

う ち す べ て のhsに

加 法 群 をQと  (4.24) 

生

整 数 で あ る.そ

こで

み た す も の全 体 の つ く る

お く.

Qの

元qi(i=1,2,…,l)を

と定 義 す れ ばQはq1,q2,…,qlが   証 明   {hi}は る.し

っ てHは{hr}が

自 由 加 法 群 で あ る.

  さ て 根 系 Δ の 任 意 の 元r,sに 元xの

生 成 す る加 法

の 元 に 対 応 す るh1,h2,

生 成 す る 自 由 加 法 群 で あ る.

基 本 系 だ か ら任 意 のhrはh1,…,hlの

た が っ てQの

元 はq1,…,qlの

整 数 係数 一 次結 合 とな

整 数 係 数 一 次 結 合 と な る.q1,…,qlがQ

の 自 由生 成 元 であ る こ とは 明 らか で あ る.

  定 義4.25 

L加 群Vに

よるLの

表 現 を φ とお く.Vに

お け る表 現 の重 み

全 体 が生 成 す る加 法群 を重 み の 生 成 す る格 子 と い い ΓVま た は Γφと表 わ す. 上 に 定 義 した 群Qを

重 み 加 群 とい う.

  φ が随 伴 表 現 の場 合

Γφ=Pと

な る.一 般

にφ

に よ る一 般Chevalley群

の

構 造 は Γφに よ っ て 定 ま る こ と が 後 章 で 証 明 さ れ る(定 理8.3).   (4.26) 

任 意 の 忠 実 な 表 現 φ に つ い てQ⊃

Γ φ⊃Pが

成 り立 つ.特

に φ の任

意 の 重 み μ に つ い て μ(hs)は 整 数 で あ る.   証明 

とL加

μを重 み とし  

をVμ

群 と し て 直 和 分 解 し て い る と仮 定 し よ う.い の 元 とす る.任

意 のh∈Hに

ま

対 し

hυ=μ(h)υ が 成 り立 つ.い る.明

ま υ=υ1+υ2(υi∈Vi)と

分解すれ ば  

ら か にhυi=μ(h)υi(i=1,2)が

また は  

成 り立 つ か ら μ はV1ま

とな

た はV2の

重み

と な る.   Vの

任 意 の 重 み μ に つ い て μ(hr)が

整 数 で あ る こ と を 証 明 し よ う.半

Lie代

数 の 表 現 は 完 全 可 約 だ か らVが

既 約L加

そ こ でVが

既 約 と仮 定 す れ ば(4.20)に

し て い る.こ

数 値 を と る か ら μ(hr)∈Zを   次 に Γ φ⊃Pを り立 つ.さ

よ り重 み は μ=Λ-Σmrrと

こ で Λ は 最 高 重 み でmr∈Zと

てrを

得 る.す

な る.(4.19)に

な わ ちQ⊃

証 明 し よ う.(4.22)の

(μ+r)-μ

よ りerVμ

⊂Vμ+rだ

∈ Γ φ を 得 る.す

作用は忠実だか ら  

か ら μ+rはVの

な わ ち,Γ

よ り Λ はhrで

φ⊃Pが

整

Γφ と な る.

した が って 少 な く と も一 つ の 重 み μ に つ い て   で(4.18)に

い う形 を

証 明 で 注 意 し た よ う にV=ΣVμ

任 意 の 根 と す れ ばLの

単純

群 の 場 合 に 証 明 す れ ば よ い.

が成 を 得 る.

が 成 り立 つ.と 重 み と な る.よ

ころ

っ てr=

成 り立 つ.

 注 意   (4.20)の あ とで 述 べ た 存 在 定理 に よ りQの 元qiを 最 高 の重 み とす る既 約 表 現 が存 在す る.そ

の 直 和 を つ くれ ば Γφ=Qを

満 足 す る表 現 の存 在 す る こ とが わ か る.

  §5 古 典 型Chevalley群   1. 自然 表 現 と随 伴 表 現  

§3に お い て古 典 型 複 素単 純Lie代

数について述

べ た.そ れ らは あ る種 の 行 列 の 集 合 で 括 弧 積 に 関 して 閉 じて い る体 系 と し て定 義 され てい る.こ の 節 では 類 似 の関 係 がChevalley群

に つ い て も成 り立 つ こ

と を 証 明 し よ う.古   い まLを

典 型 の 群 は 第2章

古 典 型 複 素 単 純Lie代

は 線 形 空 間Vの

で 述 べ た 古 典 群 と 同 形 に な る の で あ る.

数 と し,Lに

線 形 写 像 の つ く るLie代

対 応 す る 根 系 を Δ と お く.L

数 と 考 え ら れ る か ら,Vに

基

{y1,y2,…,yn} を 定 め こ の 基 に よ っ てLの

元 の 行 列 表 示 が 得 ら れ て い る と す る.

  さ てLのChevalleyの

標 準 基Bを

§3で 定 め た 通 り と す る.Bの

列 表 示 の 成 分 は す べ て 整 数 で あ る こ と に 注 意 し よ う.そ

各 元 の行

こで

V=Zy1+Zy2+…+Zyn と お け ばVはVのZ形 と を 示 そ う.Bの

で あ る が こ れ が 定 理4.21に 元erはVの

お け る許 容Z形

線 形 写 像 で あ る がVを

のZ線

形 写 像 と考 え る こ と が で き る.そ

こ でerは

にF線

形 写 像1 erを

よ うに1 erを

定 め る.§4.3の

である こ

不 変 に し て い る か ら,V

略 式 にerと

表わす こ

と に す る.   (5.1)  任 意 の 体Fと,Fの て(ter)2=0が (ter)2=0と

元tを

と る. 

成 り 立 つ.Δ=Blの な る.し

か しr=±eiの

Δ につい な ら ば

場合は

(ter)2=2t2e,  が 成 り 立 つ.こ

な ら ば 任 意 のr∈

場 合 で も §3の 記 号 で  

こ でeはVのZ線

{ter)3=0

形 写 像 で あ っ て 次 式 で 与 え ら れ る. r=ei⇒e=-ei

,l+i

r=-ei⇒e=-el+i

,i.

  証 明   お の お の の 場 合 に 計 算 を 実 行 し て み れ ば(5.1)の

成 り立 っ て い る こ と

が わ か る.   (5.1)に

よ りVが

許 容Z形

で あ る こ と は 明 ら か で あ る.そ

自 然 な 表 現 φ に よ るChevalley群 よ う.(ter)2=0な

を 考 え,そ

こ でLのV上

の 生 成 元xr(t)を

らば xr(t)=1+ter

と な る.こ

こ で 最 初 の1はVFの

恒 等 写 像 を 表 わ す.  xr(t)=1+ter+t2e

と な っ て い る.

の

書 き上 げ て み

な らば

  Lie代

数Lを

随 伴 表 現adに

し たChevalley群

が 得 ら れ る.こ

関 係 を 調 べ て み よ う.複 はexp(ζad

er)でLの

元xに

こ の 右 辺 に お け るexp 一 致 す る(5 .1).同

おいて定義

の 群 と 自 然 表 現 に よ るChevalley群

の生成元

次 の 様 に 作 用 し て い る(定 理4.4参 er)x=exp(ζer)x(exp

との

照).

ζer)-1.

ζerは 自 然 表 現 に よ るChevalley群

の 生 成 元xr(ζ)と

様 の 結 果 が 任 意 の 体 の 上 で 成 り立 つ.

Lを

るChevalley群

上 に 作 用 さ せ れ ば §4.3に

素 数 体 の 上 で 随 伴 表 現 に よ るChevalley群

exp(ζad

  定 理5.2 

よ りLの

古 典 型 単 純Lie代

数 とす る.任

の 生 成 元 をxr(t)と

表 わ す.こ

意 の 体F上 の 時,任

で随伴表現 に よ

意 のu∈LFに

対 し

xr(t)u=e(r,t)ue(r,t)-1 と な る.こ

こ でe(r,t)=1+ter+t2eは

と 一 致 す る.(eはBl型 合 はe=0と

自然 表 現 に よ るChevalley群

か つr=±eiの

時(5.1)で

の生成元

定 め た 通 り,そ

の他 の場

お く.)

  証 明  r∈ Δ を一 つ 定 め る.変 数Tを い まZ[T] ZVのZ[T]線

と り整 係 数 多 項 式 環 をZ[T]と

お く.

形 写 像e(T)を

e(T)=1+Ter+T2e とお く.(4.7)の 逆 で あ る.さ

証 明 と 同 様 にe(T)e(-T)=1が て 標 準 基Bの

元uを

す る.元e(T)ue(T)-1はZ[T]の

得 ら れ る.よ

一 つ 定 め し ば ら く の 間,動

か さな い こ とに

(Pij(T)∈Z[T])

とお く こ とが で き る.ま たxr(T)を(4.7)の

証 明 に お い て 定 義 し た もの とす

とな る.し た が って xr(T)uyi=ΣQij(T)yj 

を 得 る.よ

(Qij(T)∈Z[T])

っ て 任 意 の 複 素 数 ζに つ い て xr(ζ)uyi=ΣQij(ζ)yj e(ζ)ue(ζ)-1yi=ΣPij(ζ)yj

が 成 り 立 つ.と

こ ろ でe(ζ)=exp(ζer)だ

か ら 定 理4.4に

よ り

Pij(ζ)=Qij(ζ)

が す べ て の ζ∈Cに

つ い て 成 り立 つ.し

と な る.Fの

代 入 す れ ば 定 理5.2の

元tを

可

元 を 成 分 とす る行 列 だ か ら

e(T)ue(T)-1yi=ΣPij(T)yj 

れば  

っ てe(T)は

た が っ て 多 項 式 と し てPij(T)=Qij(T) 正 し い こ と が わ か る.

  随 伴 表 現 に よ るChevalley群 た(定 義4.10).古

はLFの

自己 同 形 の つ く る群 と して 定 義 され

典 型 の 場 合 こ の 群 は 自 然 表 現 に よ るChevalley群

が 引 きお

こ す 内 部 自 己 同 形 の つ く る 群 と 一 致 す る.   2. Al型 (n,n)型

のChevalley群

 

の 行 列(n=l+1)全

がChevalleyの

Al型

体 の つ く るLie代

標 準 基 と な る.よ

和 が0の(n,n)型

の 複 素 単 純Lie代

数Lは

対 角 和 が0の

数 で あ る.§3.1に

っ て 任 意 の 体Fに

つ い てLFは

よ り

や は り対 角

行 列 の 全 体 と一 致 す る.

 自然 表 現 に よ るChevalley群

は

xr(t)=1+teij 

が 生 成 す るGL(V)の

(r=ei-ej)

部 分 群 で あ る.よ

っ て 定 理 Ⅱ2.7に

よ り次 の 命 題 を 得

る.   定 理5.3 

自 然 表 現 に よ るAl型Chevalley群

はSL(l+1,F)と

同 形 であ

る.

 こ の定 理 か ら随 伴 表 現 に よ る群 も決 定 され る.   (5.4)  随 伴 表 現 に よ るAl型Chevalley群 群PSL(l+1,F)と

はSL(l+1,F)の

  証 明   SL(n,F)の

元 Σ αijeijがLFの

各 元 と可 換 な ら ば

(Σ αijeij)ekl=ekl(Σ

が す べ ての  

わ ちLFの valley群

って  

all=akk,す

引 き お こす 内 部 自 己 同 形 の 群 はPSL(n,F)で

のChevalley群

い と 仮 定 す る.Bl型 (§3.2).標

αijeij)

に つ い て成 り立 つ.よ

な わ ちSL(n,F)の   3. Bl型

中 心 に よ る商

同 形 で あ る.

 

議 論 を 簡 単 に す る た め 係 数 体 の 標 数 は2で

の 複 素 単 純Lie代

数 はL=L(JB)と

準 基 の 取 り方 か ら わ か る 様 にLFもL(JB)と 元uはtuJB+JBu=0を

あ る.

み た し て い る.さ

い う形 で あ る.す て 自 然 表 現 に よ るChe

の生 成 元 は

xr(s)=1+ser+(ser)2/2 で あ る.体Fの LFの

標 数 は2で

は な い か ら分 母 に2が

元 だ か らt(ser)JB=-JB(ser)を

あ っ て も か ま わ な い .serは

み た し て い る.よ

t(xr(s))JB=JBxr(-s)=JBxr(s)-1

な

い う形 を し て い る

って

な

が 成 り立 つ.こ

れ はxr(s)がJBに

を 示 し て い る(Ⅰ §4).そ

対 応 す る 対 称 形 式fを

こ でfを

同 伴 形 式 と す る2次

然 表 現 に よ るBl型Chevalley群 形 か らQの  §3.2の

は 直 交 群O(Q)の

指 数 は 最 大 値lと

不 変 に して い る こ と

形 式 をQと

お け ば,自

部 分 群 で あ る.ま

たfの

な っ て い る こ と が わ か る.

記号を用い Vi(t)=1+tυi-t2ei,l+i

Ui(t)=1+tui-t2el+i ,i さ ら にUij(t)=1+tuij,Sij(t)=1+tsij,Tij(t)=1+ttijと uij,sij,tijは

§3.2で

お く.こ

定 義 し た 元 で あ る.さ

こで

υi,ui,

て

[Ui(s),Vj(t)]=Uji(-2st)

[Vi(s),Vj(t)]=Sij(-2st) [Ui(s),Uj(t)]=Tij(2st) が 成 り立 つ.Vの

基 を{y0,y1,…,y2l}と

す れ ばJBの

異 元 と な る.そ

こ でy0+tyiに

S0と

列 表 示 を 計 算 す れ ば わ か る よ うに)

お け ば(行

形 か らy0+tyiが

関 す る 対 称 変 換 をSi,y0に

非特

関 す る対称 変 換 を

Vi(t)=SiS0 が 成 り立 つ.同

様 にy0-tyl+iに

関 す る対 称 変 換 をSl+iと

おけば

Ui(t)=Sl+iS0 と な る.ま

たQ(y0)=Q(y0+tyi)=Q(y0-tyl+i)=1だ

ス ピ ン ノ ル ム が1と

な りO(Q)の

っ て 自 然 表 現 に よ るBl型 れ て い る.実   4. Cl型

交 換 子 群 に 含 ま れ て い る(Ⅱ(9.6)参

のChevalley群

際 こ の 群 は Ω(Q)と

群Sp(2l,F)に

はO(Q)の

一 致 す る.節

のChevalley群(l≧3) 

交 代 形 式 で あ る.Bl型

か らVi(t)もUi(t)も

斜 交 群 と一 致 す る.

同 形 で あ る.

  証 明   自 然 表 現 に よ るCl型Chevalley群

をGと

準 基 の 元 の 形 か ら わ か る よ うに,det

満 足 す る(l,l)型

対 して

は斜交

の 定 理 が 成 り立 つ.

自 然 表 現 に よ るCl型Chevalley群(l≧3)は

対 称 行 列Bに

含 ま

対応 す る形式は非退化

の 場 合 と同 様 に 自 然 表 現 に よ るChevalley群

随 伴 表 現 に よ る 群 はPSp(2l,F)と

び(l,l)型

Ω(Q)に

末 の 注 意 を 参 照 さ れ た い.

こ の 場 合JCに

含 ま れ て い る こ と が わ か る.次

  定 理5.5 

交 換 子群

照).よ

A=1を

お く.§3.3に

おけ る標

の 行 列Aお

よ

と い う形 の 行 列 は す べ てGに

含 ま れ て い る.ま

に 作 用 し て い る こ と を 示 そ う.Vの わ し た 時 そ の 前 半,す き,後

し υ=0な

と が で き る(Ⅰ(2.11)).も さ ら にGの き る.よ

自然 な 基{yi}を

な わ ちy1,…,ylの

半 を υ とす る.も

 さ てI-λe1,l+1∈G,I-el+1

元  

と れ ばuをy1に

な らば υ をyl+1に お け るyjの

λy1+yl+1に

上に可移 を表

一 次 結 合 と な っ て い る 部 分 をuと

用 い れ ばuに

っ てGはwを

と りVFの

ら ば 適 当 にAを

し  

元I+ts1jを

ずGがVF-{0}の

お

うつ す こ

う つ す こ と が で き る.

係 数 にtを

加 え る こ とが で

移 す 元 を 含 ん で い る.

,1∈Gで

あ る.そ

こ で

(I-el+1,1)(I-λe1,l+1)(λy1+yl+1)=y1

を 得 る か らGはVF-{0}に   元y1に

関す る斜 交 移 換

I+λe1 ,l+1と な る.よ   さ て τ=τ(t,a)を あ る.よ

τ1=τ(t,y1)を

っ て τ1はGに

基{yi}を

用 い て行 列 表 現 し て みれ ば

含 まれ て い る.

任 意 の 斜 交 移 換 と す れ ば σ(a)=y1を

っ て στσ-1=τ(t,y1)はy1に

し た が っ て τ∈Gと Ⅱ5.3に

可 移 に 作 用 す る.

な る.こ

よ りG=Sp(2l,F)を

  随 伴 表 現 に よ るCl型

み た すGの

元 σが

関 す る 斜 交 移 換 と な る か ら στσ-1∈G,

の よ うにGは

す べ て の斜 交 移 換 を 含 む か ら定 理

得 る.

のChevalley群

す 共 役 写 像 のつ くる群 であ る.LFの

はSp(2l,F)の

元 がLFに

ひ きお こ

す べ て の元 と可 換 な 斜 交群 の 元 は ±Iし

か な い こ とが 定理 Ⅱ5.5と 同様 に 証 明 され る.し

た が って随 伴 表 現 に よ る群 は

Sp(2l,F)/{±I}=PSp(2l,F),

つ ま り射 影 斜 交群 と同形 で あ る.   5. Dl型 をGと

のChevalley群(l≧4) 

お く.Dl型

合 も 含 め る た め2次

の 場 合JDは

対 称 形 式 に 対 応 し て い る がFの

形 式 を 考 える.そ Q(Σ

と お け ばQは

自 然 表 現 に よ るDl型Chevalley群

指 数lの2次

標 数 が2の

場

こで

λiyi)=λ1λl+1+λ2λl+2+…+λlλ2l

形 式 で あ る.Gの I+tuij, 

の いず れ か に 等 し い(§3.4参 照).各

I+tsij, 

生 成 元xr(t)は I+ttij

生 成 元 がQを

不 変 に し て い る こ とを 容 易

に 確 か め る こ と が で き る.た λiλl+i→

と え ばI+tuijは

λi(λl+i-tλl+j), 

そ の 他 の λkλl+kは 変 わ ら な い.よ 元 に つ い て も 同 様 で あ る か らGは O(Q)の

λjλl+j→(λj+tλi)λl+j

っ てI+tuijはQを

不 変 に す る.他

直 交 群O(Q)の

部 分 群 と な る.以

の生成 下Gが

交 換 子 群 と一 致 す る こ とを 証 明 し よ う.

 Gの 元を行列で書けば  

は

と い う形 の 行 列 群 で あ る(定 理 Ⅱ2.7).こ I+teijと

な り移 換 で あ る.l≧4だ

こ でI+tuijに

か ら 定 理 Ⅱ2.5に

対 応 す る 元 で はA= よ りI+tuijはGの

中 で

交 換 子 と な っ て い る.   他 の 生 成 元 に つ い て もそ れ が 交 換 子 であ る こ とを 直 接 証 明す る こ とも で き る が 次 の 様 に 考 え て も よ い.VFの

元yi+yl+iは

変 換 σ の 行 列 をSと

よ る 共 役 写 像 でGの

る こ と を 示 そ う.さ な る.よ

の こ と か らGの

っ てGはO(Q)の

な る.同

な ら ばSはI+tuklな

よ る共 役 写 像 はGを

不 変 に す る.す

様 にS(I+tuji)S-1

ど と 可 換 で あ る.し な わ ちGの

たが

自己 同形 を 引 き お こ

生 成 元 は す べ て 交 換 子 と な る こ と が わ か る.よ

交 換 子 群 Ω(Q)に

含 ま れ て い る.

非 特 異 元yを 任 意 に とれ ばGの

元 σ が あ って

σ(y)=y1+λyl+1 

(λ=Q(y))

と で き る こ と を 証 明 し よ う.yを(y1,…,y2l}の y=Σ

と表わせば   べた様にGは

生成元 の集合が不変 にな そ の他 の基 の元 は不 変 と

はI±ttijと

な り  

し て い る.上

 次 にVの

て σ(yi)=-yl+i,σ(yl+i)=-yiで

って  

はI±tsijと っ てSに

お く.Sに

非 特 異 だ か ら それ に関 す る対 称

一 次 結 合 と し て λiyi

だから  

と い う形 の 行 列 を 全 部 含 ん で い る か ら σ1y=y1+Σ

でなければならない.前 に述

Ⅰ(2.11)に μiyl+i

よ り σ1∈Gを

適 当 に選 ん で

と す る こ と が で き る.こ 係 数 が0と

な る.よ

  さて  

の 両辺 に

って

σ=σl…

σi=I-μit1i(i>1)を σ2σ1に

な ら ばy1+λyl+1は

対 称 変 換 を σλと お く.こ

に 証 明 し た よ う にGの

っ て σρσ-1=σ λ が 成 り立 つ .す

元 σ が あ っ て σ(y)

な わ ち,任

の 場 合l≧4だ

意の対称変

か ら 定 理 Ⅱ7.18に

よ り

λ 〉 とな る.

  前 と 同 様 に σλ(y1)=-λyl+1,σ λ(yl+1)=-λ-1y1が 共 役 写 像 に よ りGの

が 成 り立 つ.そ

こ でH=〈

と な る.σ λはy1,yl+1が こ でK=〈

σλ(λ∈F#)〉

部分 群

φ(G+)を

各 元 は 偶 数 個 のVの

っ て σλに よ る

なわ ち

とお け ば

O(Q)/G=H/H∩G

生 成 す る 強 双 曲 型 平 面 の 直 交 群 に 含 まれ て い る.そ

σλ σμ 〉 と お け ばKは

は 指 数2の

成 り立 つ.よ

生 成 元 の 集 合 が 不 変 に な る.す

O(Q)=GH, 

G+の

関す る

λ(λ ∈F#)〉

換 ρ は 〈G,σλ〉 に 含 ま れ て い る.こ O(Q)=〈G,σ

こ でy1+λyl+1に

ま 任 意 の 対 称 変 換 を ρ と す る.ρ は あ る非 特

関 す る 対 称 変 換 で あ る.上 な る.よ

移 る.

の時

が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.い

=y1+λyl+1と

よ りyはy1+λyl+1に

非 特 異 元 で あ る.そ

O(Q)=〈G,σ

異 元yに

作 用 さ せ れ ばyl+iの

可 換 群 で あ る.Ⅱ

§9で 述 べ た 様 に 直 交 群O(Q)

含 ん で い る(定 理 Ⅱ9.2(ⅳ)).Ⅱ(9.5)に 非 特 異 元 の 積 で あ る か ら φ(G+)の

称 変 換 の 積 で あ る(定 理 Ⅱ9.2(ⅰ)参 照).よ

よれ ば

元は偶数個の対

って

GK=φ(G+) と な る.(￨H:K￨=2で こ の よ うにGは φ(G+)の

あ る.)よ φ(G+)の

っ て φ(G+)/G=K/K∩Gは

交 換 子 群 を 含 ん で い る.と

交 換 子 群 は Ω(Q)と

を 前 に 証 明 し た か らG=Ω(Q)が

一 致 す る.す

ρ=±Iと

な る.よ

こ ろ で 定 理 Ⅱ9.8に

な わ ち Ω(Q)⊂Gと

な る.G⊂

よ り Ω(Q)

成 り立 つ.

  随 伴 表 現 に よ る 群 を 決 め る た めGの 前 と同様

可 換 群 で あ る.

元 ρがLFの

各 元 と可 換 だ と す れ ば,

っ て 随 伴 表 現 に よ るDl型

Ω(Q)/{±I}ま

のChevalley群

は

た は Ω(Q)

とな る.す なわ ち次 の定 理 が 証 明 され た.   定 理5.6 

自然 表 現 に よ るDl型Chevalley群

は2l次

元 の空 間に おけ る指

数lの2次

形 式Qに

る群 は-I∈

関 す る直 交群 の 交 換 子群 Ω(Q)と 一 致 す る.随 伴 表 現 に よ

Ω(Q)ま た は  

に 応 じて

Ω(Q)/{±I}ま

た は Ω(Q)

と同 形 に な る.  注 意1.  Bl型(l≧2)のChevalley群GもDl型

と 同様 に 直 交 群 の交 換 子 群 Ω(Q)と

同形 で あ る こ とを 証 明す る ことが で き る.ま ず 任 意 の 非特 異 元 をy1+λyl+1に 元 が 存 在 す る こ とを 証 明 す る.適 当 にVi(t),Ui(s)を が で き るか らDlの さ れ る.こ

場 合 に 帰 著 され る.あ とはDlの

の場 含 もLFの

 

各元 と可換 なGの

Dl型

で あ る.こ

れ を 証 明 す る に 当 っ てFの

3.4に

の 場 合-I∈

よ りVは

=-υiで

直 交 基{υi}を

よ り-Iの

で2nΠQ(υi)はQの

標 数 は2で

も つ.そ

を 得 る.Fが

判 別 式 で あ る.Qの

と な る.こ

は Ω(Q)で あ る. 平 方 元 とな る こ と

な い と 仮 定 す る こ と が で き る.定

っ て-I=σ1σ2… 法 とし て

指 数 がlだ

σn(n=2l)と

ΠQ(υi)と

か らQの

理 Ⅱ σi(υi)

な る.さ

合 同 と な る.と

判 別 式 は(F#)2を

て ころ

法 とし て

強 双 曲 型).し た が っ て Ⅱ§9の 結 果 か ら -I∈ Ω(Q)⇔(-1)l∈(F#)2

有 限 体 の 場 合￨F￨=qが -I∈

証明

次元が 奇数 だ か ら

こ で υiに 関 す る 対 称 変 換 を σiと お け ば

ス ピ ン ノ ル ム は(F#)2を

合 同 と な る(Vは

のChevalley群

な る た め の 条 件 は(-1)lがFの

あ る が 他 の 元 υjは 動 か さ な い.よ

Ⅱ(9.6)に

(-1)lに

Ω(Q)と

場 合 と全 く同 様 にG=Ω(Q)が

元 は ±Iに 限 るがVの

し た が って 随 伴 表 現 の 場 合 もBl型

  注 意2. 

移 すGの

用 い れ ばy0の 係 数 を0に す る こ と

Ω(Q)⇔lが

の 条 件 はql≡1(mod

奇 数 とす れ ば 偶 数,ま 4)と

た ばlが

奇 数 でq≡1(mod

4)

ま と め る こ と も で き る.

 §6  複 素Chevalley群   1. 準 備

  こ の 節 で は 複 素 数 体 上 の 一 般Chevalley群

の 構 造 を 調 べ,生

成 元 の 間 に 成 り立 っ て い る い くつ か の 関 係 式 を 導 く.こ の 上 のChevalley群

れ らの 関 係 式 は 一 般 体

を 調 べ る に 当 っ て 基 本 と な る も の で あ る.こ

の節 で は 係

数 体 は 復 素 数 体 に 限 る か ら 特 に こ と わ ら な い.   (6.1)  線 形 空 間Vの

線形 写像

α,β に 対 し[α,β]=α

も し γが α お よ び β と 可 換 な ら ば exp(α+β)=(expα)(expβ)(exp(-γ/2))

が 成 り立 つ.   証 明   帰 納 法 に よ り β αi=αiβ-iαi-1γ  (6.2) 

(α+β)n/n!=Σ

を 得 る.さ

αiβj(-γ)k/i!j!2kk!,

て

β-β α を γ と お く.

こ こ で 右 辺 の 和 はi+j+2k=nを た る 和 で あ る こ と をnに

み た す 非 負 整 数 の 三 つ 組(i

関 す る 帰 納 法 で 証 明 し よ う.い

,j,k)全

体にわ

ま(6.2)がnに

つ い

を 用 い れ ば 右 辺 が3組

の和 に分

て 成 り立 つ と 仮 定 す れ ば

と な る.こ

の 右 辺 の 各 項 に βαi=αiβ-iαi-1γ

か れ る.そ

こ でa+b+2c=n+1を

ら αaβb(-γ)c/a!b!2cc!が

み たす 非 負整 数 の 組 を 一 つ 定 め れ ば 各 和 か 現 わ れ る.そ

の 係 数 の和 が

(a/n+1)+(b/n+1)+(2c/n+1)=1 と な り,帰 納 法 に よ り(6.2)が れ ば 右 辺 で はi,j,kに  (6.3)  Lを 表 現 をφ る.任

成 り立 つ.そ

こ で(6.2)の

両 辺 をnに

つ い て 別 々 に 加 え る こ と が で き て(6.1)が

半 単 純Lie代

と お きxr(ζ)を

意 の 元y∈Lに

数 と しVを

忠 実 なL加

ついて加 え

証 明 さ れ る.

群 と す る.Vに

表 現φ に よ る 一 般Chevalley群

よ るLの

の 生 成 元 の一 つ とす

つ いて

が 成 り立 つ.   証 明   記 号 を 簡 単 に す るた め に ζer=xと りadxお

よ びφ(x)は

お く.(4.6)お

共 に ベ キ 零 で あ る.そ

よ び(4.22)に

よ

こで

(ad x)m=0,φ(x)m=0 を み た す 自然 数mを

が 成 り立 つ.こ

一 つ 定 め て お く.任

の 右 辺 はLの

に つ い て0か

らNま

つ い て(定

理4.4参

包 絡 環 の 元 と し て 定 ま っ て い る.こ

で 加 え る.こ

こ でN≧2mと

(exp に 一 致 す る.そ

意 のnに

照)

の 両 辺 をn

すれば左辺 の和は

ad x)y

こ で 両 辺 のφ に よ る 像 を とれ ば(φ は 包 絡 環 の 表 現 に 拡 張 さ れ

るか ら(4.14))

を 得 る.こ れ ば ま ずnに 項 をn-k=0か

の 右 辺 の 和 で はk≦mの つ い てn=kか らN-kま

らNま

範 囲 で よ い.さ

て右 辺 の和 の順 序 を か え

で の 和 を と る こ と に な る.よ

で 加 え る がk≦m,N≧2mだ N-k≧N-m≧m

か ら

っ て最 後 の

と な り こ の 和 はexp(-φ(x))=xr(-ζ)に φ(exp

一 致 す る.よ

ad

って

x)y=xr(ζ)φ(y)xr(ζ)-1

が 成 り立 つ.  注 意   (6.3)に Chevalley群

お い て右 辺 は §4の 記 号 では φ(xr(ζ)y)と一 致 す る.こ

の よ うに 一般

の 生 成 元 は 随伴 表 現 の場 合 の 生成 元 と密 接 に結 び 付 い て い る.定 理5.2参

照.

  2. Chevalleyの を φ,φ

公式 

Lを

複 素 半 単 純Lie代

に 対 応 す る 表 現 加 群 をVと

お く.表

数 と し,そ

の忠 実 な 表 現

現 φ に よ る 一 般Chevalley群

を

〈xr(ζ)｜r∈Δ,ζ∈C〉 とす れ ば 次 のChevalleyの   定 理6.4 

任 意 の 根r,sを

が 成 り立 つ.右

と り 

Δ を み た す 組(i,j)に

増 加 す る 順 に と る.係

が 成 り 立 つ.こ

整 数 で ζ,ηに は 無 関 係 に

C1jrs=(-1)jMs,r,j

こ でMr,s,iは(4.6)で

 証 明   y=ηesと

定 義 さ れ た 整 数 で あ る.

お け ば(6.3)よ

理6.4の

り

公 式 の 左 辺 をCと

る.(4.6)に

よ り(xr(ζ)esの 式 か ら)

と書 け る.も

し 

さ て(1.4)に

お け ばC=exp

な ら ば 上 式 はC=exp(φ(ηes))と

よ りr,sは2次

元 の 根 系 を 生 成 す る.ま

が 成 り立 つ 場 合 を 考 え よ う.こ (4.2)が

数Cijrsは

つ い て の積 で

らに Ci1rs=Mr,s,i, 

を 得 る.定

と仮 定 す れ ば

辺 はi>0,j>0,ir+js∈

そ の 順 序 はi+jが 定 ま る.さ

公 式 が 成 り立 つ.

の 時eir+s(i=1,2,…)は

φ((exp

ad ζer)y)と な

な り定 理 が 成 り立 つ. ずir+js∈

Δ ⇒j=1

互 い に交 換 可 能 だ か ら

適 用され

と な る.よ

っ て こ の 場 合,定

  次 にr,sがB2型

理 が 成 り立 つ.

の 根 系 を 生 成 す る と し よ う.r+2sが

で[es,er+s]=Ns,r+ser+2sと

な る.よ

って

根 な ら ばsが

短 い根

の 右 辺 に(6.1)が

を 得 る.よ

適 用 さ れ る.Nr,sNs,r+s=-2Ms,r,2を

用 い て

っ て こ の 場 合 も 定 理 が 成 り立 つ.

  残 り の 場 合 に はr,sがG2型

の 根 系 を 生 成 す る.ir+2s∈

場 合 の うち 一 つ が お こ る.ま

ずr+2s∈

い 根 でer+2s,e2r+sは

もesと

共 にerと

Δ, 

Δ とす れ ば三 つ の

と す れ ばr,sは

も 交 換 可 能 で あ る.し

共に短

た が っ て(6.1)が

適 用 さ れCは

と な る.次

に 

esもe3r+2sと

,3r+2s∈

交 換 可 能 で あ る.こ

を 得 る.こ

こ でAが

整 数(±1ま

Δ と す れ ばrが の 場 合 も(6.1)が

た は

±2)で

短 い 根,sは

長 い 根 でerも

適 用 され

あ る こ と を 証 明 し よ う.(2.6)

に よ りMr,s,i=±1,Ns,3r+s=±1,Nr+s,2r+s=±3と

な る.よ

っ て(6.1)に

従 っ

て 交 換 子 を 計算 す れ ば

を 得 る.括

弧 の 中 の 第1項

  最 後 にr+2s∈Δ,r+3s∈

は ±1,第2項

は ±3だ か らAは

Δ と す れ ば(s,s)<(r,r)と

が 適 用 で き な い の で 次 の 様 に 考 え る.rとsと

整 数 と な る.

な る.こ

の 場 合 は(6.1)

を 入 れ 替 え れ ば 前 に 証 明 した 場

合 とな る か ら

が 成 り立 つ.こ

を 得 る.と

こ で ηを-η

こ ろ で2r+is∈

に変えれば

Δ はi=3の

時 に 限 る か らxr(ζ)はxr+3s項

以外

と は 可 換 で,

と な る.こ

こ でA′=-Ms,r,3Nr,r+3s-Bは

整 数 で あ る.よ

っ てす べ ての 場 合 に

定 理 の成 り立 つ こ とが 証 明 され た.   3. 単 項 型 の 元

  前 節 に 引 続 き 表 現 φ に よ る 一 般Chevalley群

を 考 え,そ

の 生 成 元 をxr(ζ)=exp  定 義6.5 

ζφ(er)と

任 意 のr∈

Δ と

表 わ す.

ζ∈C#に

つ い て

ωr(ζ)=xr(ζ)x-r(-ζ-1)xr(ζ) hr(ζ)=ωr(ζ)ωr(-1) と お く.ωr(1)を  注 意   Lと

略 し て ωrと 表 わ す こ と に す る.ωr(ζ)を

し てA1型

xr(ζ),x-r(η)は

の 単 純Lie代

単 項 型 の 元 と い う.

数 を と れ ば そ の 自然 表 現 に よ る 群 で は 生 成 元

それぞれ

と い う行 列 に 対 応 し て い る(§5.2).こ

に 対 応 す る.hr(ζ)はChevalley群

の 場 合 ωr(ζ),hr(ζ)は

の 元 で あ る.こ

れ と前 に 定 義 し た 元hrと

混 同しない

よ うに 注 意 し て お く.  (6.6)  φ が 随 伴 表 現 な ら ば ωr(ζ)はLの自己同 ωr(ζ)hs=wr(hs)=ht  が 成 り立 つ.こ

こ でwrはrに

形 であって

(t=wr(s))

関 す る対 称 変 換 で あ る.

  証 明  φ が 随 伴 表 現 な ら ばxr(ζ)は(4.6)で る.よ

っ て(4.6)の

式(*)に

6.5に

し た が っ て ωr(ζ)hsを 計 算 す れ ば

定 義 し たLの

よ り作 用 が 定 ま っ て い る.そ

自己 同 形 と一 致 す こ で 式(*)と

定 義

ωr(ζ)hs=hs-n(r,s)hr と な る.こ

の 右 辺 はwr(hs)=ht(t=wr(s))に

等 し い.

 φ が 一 般 の 場 合 上 の 結 果 に 対 応 す る の は 次 の 命 題 で あ る.  (6.7)  表 現 φ を 任 意 に と る.φ

に よ る 一 般Chevalley群

ωr(ζ)φ(hs)ωr(ζ)-1=φ(ht) 

で

(t=wr(s))

が 成 り立 つ.   証 明   前 に 注 意 し た よ うに(6.3)の

公式 を

xr(ζ)φ(y)xr(ζ)-1=φ(xr(ζ)y) と 書 く こ と が で き る.こ で あ る.こ

の 右 辺 のxr(ζ)は

の記法を用いれば

随 伴 表 現 に よ るChevalley群

の元

ωr(ζ)φ(hs)ωr(ζ)-1=φ(ωr(ζ)hs) と な る.(6.6)に

よ り こ の 右 辺 は φ(ht)に 等 し い.

 (6.8)  任 意 のL加 をV,φ

群 をVと

しVに

よ る 表 現 を φ と お く.Vの

の 重 み の 一 つ を μ とす る.任

λ は φ の 重 み と な る.Vμ

の 元 

意 の 根rに

許 容Z形

つ い てλ=wr(μ)と

おけば

に対 し ωr(ζ)υ=ζ-mυ′

を み た すVλ

の 元υ′ が 存 在 す る.こ

る 元 でm=μ(hr)で

こ でυ′は ζに 無 関 係 にrとυ

だ け で定 ま

あ る.

  証 明   (6.7)に

よ り任 意 のυ ∈Vμ

について

φ(ht)ωr(ζ)υ=ωr(ζ)φ(hs)υ=μ(hs)ωr(ζ)υ が 成 り立 つ.そ ωr(ζ)υ ∈Vλ

こ で 

な ら ば 

だ か ら λ=μ °wrは

と な る.wr(hs)=hs-n(r,s)hrだ

φの重み で

か ら

λ=μ°wr=wr(μ) が 成 り立 つ.さ

てxr(ζ)を

指 数 関 数 の 定 義 を 用 い て 展 開 す れ ば ωr(ζ)υは

± ζi-j+kφ(eri/i!)φ(e-rj/j!)φ(erk/k!)υ の 和 と な る.そ

こ で ζに つ い てn次

の 項 を ま とめ て ζnυnと 表 わ す.υnは

無 関 係 でυ ∈Vμ だ か らυn∈Vμ+nrと は 許 容Z形

だ か らυn∈Vを

な る(4.18).さ

得 る.一

るVμ

は 一 次 独 立).し

す な わ ち(6.8)が

(υn∈Vμ+nr)

な ら ばυn=0と

な る(相 異 な る 重 み に 対 す

た が っ て 上 式 よ り λ=μ+nrの ωr(ζ)υ=ζnυn 

と な る.λ=wr(μ)だ

か らn=-μ(hr).ま

の 元 でV

方,

ω(ζ)υ=Σζnυn  の 左 辺 はVλ の 元 だ か ら 

ら にυ はVμ

ζに

時

(υn∈Vλ) たυ′=υnは

ζ に 無 関 係 に 定 ま る.

成 り立 つ.

 (6.9)  随 伴 表 現 に よ るChevalley群

では

ωr(ζ)es=c(r,s)ζ-n(s,r)ew(s) が 成 り立 つ.こ w=wrはrに

こ でc(r,s)は1ま

た は-1,n(s,r)は

関 す る 対 称 変 換 で あ る.c(r,s)は

§1で 定 義 さ れ た 整 数, ζに 関 係 せ ずrとsだ

ま り次 の 関 係 が 成 り立 つ. c(r,s)c(r,-s)=1, 

c(r,s)c(r,w(s))=(-1)n(s,r)

.

け で定

  証 明  随 伴 表 現 の 場 合 §4で 定 義 し たLは み は 根 だ か らes∈Lsに(6.8)を

許 容Z形

で あ る.随

伴 表 現 の重

適用すれば ωr(ζ)es=cζ-n(s,r)eω(s)

を 得 る.こ

こ でc=c(r,s)は

cew(s)∈Lだ

か らcは

ζ に 無 関 係 でrとsと

整 数 で あ る.定

っ てes=ωr(1)ωr(-1)esよ

義 か ら

だ け で 定

ま る.さ

ωr(ζ)ωr(-ζ)=1(成

ら に

り 立 つ.よ

り

c(r,s)c(r,w(s))=(-1)n(s,r) を 得 る.と

こ ろ でcは

  ωr(ζ)はLの

整 数 だ か らc(r,s)=1ま

自 己 同 形 だ か ら[es,e-s]=hsの

,用い れ ばc(r,s)c(r,-s)=1を

 (6.10) 

た は-1で

あ る.

両 辺 に ωrを 作 用 さ せ,(6.6)を

得 る.

表 現φ に よ る

一 般Chevalley群

におい て

ωr(ζ)φ(es)ωr(ζ)-1=c(r,s)ζ-n(s,r)φ(ew(s))

が 成 り立 つ.こ

こ でc(r,s),n(s,r),w(s)は(6.9)と

  証 明   (6.3)に

同 じ で あ る.

よ り上 式 の 左 辺 はφ(ωr(ζ)es)に等 し い.こ

は 随 伴 表 現 に よ るChevalley群

の 元 で あ る.よ

こ でφ の 中 の ωr(ζ)

っ て(6.9)に

よ り上 の 等 式 が

成 り立 つ.   定 理6.11 

表 現φ に よ る 一 般Chevalley群

(記 号 は(6.9)参

照.さ

ら にt=wr(s)と

にお い て 次 の公 式 お く.)

(1) 

ωr(ζ)xs(η)ωr(ζ)-1=xt(c(r,s)ζ-n(s,r)η)

(2) 

hr(ζ)xs(η)hr(ζ)-1=xs(ζn(s,r)η).

  証 明   (6.10)を

用 い て 指 数 関 数 を 計 算 す れ ば(1)の

 (1)お よ び 定 義6.5に

を 得

る.こ

  4.  対 角 型 の 元hr(ζ)の て い る こ と を 示 そ う.ま

成 り立 つ こ と が わ か る.

よ り

こ でc=c(r,s),c′=c(r,w(s))だ

参 照).n(t,r)=-n(s,r)が

成 り立 つ.

か

らc′c=(-1)n(s,r)と

成 り 立 つ か ら(2)が

作用

な る((6.9)

証 明 さ れ る.

  元hr(ζ)はV上

に 対 角 行 列 の よ う に作 用 し

ず 次 の 補 題 を 証 明 す る.

  (6.12) 

任 意 の 重 み μ に つ い てVμ=V∩Vμ

解 す る.す

な わ ちV=ΣVμ

が 成 り立 つ.

と お け ばVはVμ

の直 和 に分

  証 明   {hr}の

基 本 系 の 一 つ をh1,…,hlと

=(μ(h1),…,μ(hl))と

お く.さ

し,任

意 の 重 み μ に つ い てPμ

らに

と 定 義 す る.hiの

所 へ 任 意 の 整 数 値 を 代 入 す れ ば 上の 右 辺 は 常 に 整 数 で あ る.

こ の こ と か らuは

§4.6の 記 号 でhBと

る こ と が 容 易 に 証 明 さ れ る.し   元uはh1,…,hlの る.し

表 わ さ れ る元 の整 数 係 数一 次 結 合 とな

た が っ てuは

包 絡 環 のZ形uの

多 項 式 で あ る が,hiに

μ(hi)を 代 入 し た 時 の 値 は1で

か し λ が μ と異 な る 重 み な ら ば でPλ

(4.26).よ

っ てkを

元 で あ る. あ

の各 成 分 は整 数 とな る

十 分 に 大 き く と っ て お け ばu(Pλ)=0が

す べ て の重 み  

に つ い て 成 り立 つ.   表 現 空 間Vは

部 分 空 間Vμ

の 直 和 に 分 解 す る(4.20).υ υ=Σ υλ  (υ

と お け ばuυ λ=u(Pλ)υλ と な る.よ uυ=Σuυ

を 得 る.u∈uか

つVはu不

な わ ちV=ΣVμ

∈Vに

対 し

λ∈Vλ)

って λ=Σu(Pλ)υ

λ=υ μ

変 だ か らuυ=υμ ∈V∩Vμ=Vμ

が 成 り立 つ.す

と直和 分 解 す る.

 (6.13)  任 意 のrに

つ い てhr(ζ)はVμ hr(ζ)υ=ζ

の上 に

μ(hr)υ

  (υ∈Vμ)

と対 角 型 に作 用 す る.   証 明   定 義 によ りhr(ζ)=ωr(ζ)ωr(-1)だ は ほ と ん ど 明 ら か で あ ろ う.い

ωr(-1)υ=(-1)-mυ

を み たす

υ′∈Vλ

が あ る(6.8).こ

か ら(6.8)よ

ま υ∈Vμ-{0}と ′ 

の2式

表 現φ

得 ら れ る.

に よ る 一 般Chevalley群 ωrhs(ζ)ωr-1=ht(ζ) 

が 成 り立 つ.

′

か ら υ′を 消 去 し てwr(-1)υ=ζmωr(-ζ)υ

両 辺 に ωr(ζ)を作 用 さ せ れ ば(6.13)が   定 理6.14 

(m=μ(hr))

こ で υ′は ζ に 関 係 し な い か ら

ωr(-ζ)υ=(-ζ)-mυ も 成 り 立 つ.上

り上 式 の 成 り立 つ こ と

すれ ば

において (t=wr(s))

を 得 る.こ

の

  証 明   (6.12)に 両 辺 がVμ

よ りV=ΣVμ

が 成 り立 つ か ら,重

み μ を 定 め た 時,上

上 で 同 じ 作 用 を し て い る こ と を 確 か め れ ば よ い.そ

を とれ ば ωr-1υ=ωr(-1)υ

はVλ

の 元 で あ る(6.8).よ

こ でVμ

っ で(6.13)に

式の の元 υ

よ り

ωrhs(ζ)ωr-1υ=ωr(ζnωr-1υ)=ζnυ

と な る.こ

こ でn=λ(hs)で

が っ て す べ て のυ

あ るが

∈Vμ

λ(hs)=wr(μ)(hs)=μ(ht)が

成 り 立 つ.し

に

に つ い て ωrhs(ζ)ωr-1υ=ht(ζ)υ

と な る.μ

は 任 意 だ か ら 定 理 が 成 り立 つ.

  §7  一 般Chevalley群

の群 造

  1. Chevalleyの

公式  

一般Chevalley群

をGと

の 忠 実 な 表 現 をφ,表   (6.12)に

現 加 群 をVと

しVに

含 ま れ る許 容Z形

数 をL,そ をVと

と 直 和 分 解 す る か ら 各 μ に つ い てVμ

あ る.以

でxr(X)をZ[X] 

こ でt∈FをXに

お く.

の 基 を と りそ

の よ うに 定 め た 基 をBと

導 入 し 多 項 式 環Z[X]上

己 同 形 と し て 定 義 す る.こ

生 成 元xr(t)で

と りそ の 上 で 定 義 さ れ た

定 義 す る 複 素 半 単 純Lie代

基 とす る こ とが で き る.こ

§5に 従 っ て 変 数Xを Z[X]自

お く.Gを

よ りV=ΣVμ

れ ら の 合 併 をVの

こ の 節 で は 任 意 の 体Fを

お く. zVの

代 入 し た も の がGの

下 Xr=〈xr(t)￨t∈F〉

と お く.(4.23)に

よ りxr(t1+t2)=xr(t1)xr(t2)が

成 り立 つ.ま

ず 定 理6.4が

任

意 の 体 に つ い て 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.   定 理7.1 Δ 6.4で

の 元r,sが

一 次 独 立 で あ る と 仮 定 す る.い

ま{Cijrs}を

定理

定 義 され た 整 数 の 組 とす れ ば xr(t)xs(u)xr(t)-1=xs(u)Πxir+js(Cijrstiuj)

が 任 意 のt,u∈Fに

つ い て 成 り立 つ.右

  証 明   Z上

数 多 項 式 環 をZ[T,U]と

の2変

辺 の 積 は 定 理6.4と

す れ ばxr(T),xs(U)が

れ,Z[T,U] Vの

自 己同 形 とな る.Vの

列 の 各 成 分 はT,Uの

整 数 係 数 多 項 式 と な る.こ

い て も 成 り立 つ.Bの1元eを

基Bに

定義 さ

よ り行 列 表 示 を つ く れ ば 行 れ はxr(T)-1=xr(-T)に

定め

xr(T)xs(U)xr(T)-1e=ΣPw(T,U)w 

同 一 で あ る.

(w∈B)

つ

と お け ばPw(T,U)∈Z[T,U]と

な る.同

様に

xs(U)Πxir+js(CijrsTiUj)e=ΣQw(T,U)w

の 係 数Qw(T,U)もZ[T,U]の りそ れ ぞ れT,Uに

元 で あ る.と

代 入 す れ ばxr(T)な

ころ で 任 意 の複 素数

ど がxr(ζ)な

ζ,ηを と

どに移 り

xr(ζ)xs(η)xr(ζ)-1e=ΣPw(ζ,η)w

が 成 り立 つ.第2の

式 に つ い て も 同 様 だ か ら定 理6.4に

よ り

Pw(ζ,η)=Qw(ζ,η)

が す べ て の ζ,ηに つ い て 成 り立 つ.よ

っ て多 項 式 として

Pw(T,U)=Qw(T,U) が 成 り立 つ.任

意 にt,u∈Fを

と り,そ

れ ぞ れT,Uに

整 数 係 数 の 多 項 式 だ か らPw(t,u)がFの

代 入 す れ ばPw

,Qwが

元 と して 定 ま り

xr(t)xs(u)xr(t)-1e=ΣPw(t,u)w xs(u)Πxir+js(Cijrstiuj)e=ΣQw(t,u)w

を 得 る.と こ ろでPw,Qwは

多 項 式 と し て一 致 す るか ら上 の両 式 は 同 じ元 を 表

わ し てい る.こ こでeはBの

任 意 の 元 で,Bは

定 理7.1が

 

の 基 とな るか ら

成 り立 つ.

 2. 部 分群Uと

そ の構 造  

Lに 対 応 す る 根 系 に基 本 系 Π を定 め,Π

によ

って 定 ま る正 系 を Δ+と お く.そ の上 で U=〈xr(t)￨r∈

と定 義 す る.こ

の節 で はUの

明す る.こ の補 題 ではGは

構 造 を 調 べ よ う.そ

のた め 必 要 と な る補 題 を証

任 意 の 群 とす る.

  (7.2)  Gの 正 規 部 分 群 をNと れX,Yに

Δ+,t∈F〉

す る.さ

らにH,KはGの

よ り生 成 され てい る と仮 定 す る.HとKと

部 分 群 で それ ぞ の 交 換 子 群[H,K]を

[H,K]=〈[h,k]￨h∈H,k∈K〉 と 定 義 す る(『群 論 』 下,第4章

§1参 照).任

意 のx∈X,y∈Yに

つ いて

[x,y]∈N な ら ば[H,K]⊂Nと

な る.

  証 明   定 義 に よ り[x,y]=xyx-1y-1だ

か ら[x,y]∈Nと

G/Nの2元xNとyNと と い う条 件 が 同 値 と な る.Hの

任 意 の 元hはXの

が交換可能 元 お よび そ の 逆元 の積 に書

け て い る か ら 仮 定 に よ りhNとyNと

は 可 換 で あ る.Kの

よ び そ の 逆 元 の 積 に 書 け る か らhNとkNと っ て 定 義 に よ り[H,K]⊂Nが

は 可 換 で[h,k]∈Nを

元 お 得 る.よ

成 り立 つ.

  基 本 系 Π を 定 め れ ば 根 の 高 さht(r)が 順 序>が

元kはYの

定 義 さ れ,Δ+の

定 義 で き る.(1.17)に

元 は す べ て>0,さ

よ り適 当 な 全

らに

r∈ Δ,s∈ Δ,r>5⇒ht(r)≧ht(s)

が 成 り立 つ.以 下 この よ うな全 順 序 が定 まっ てい る と仮 定 す る.   定理7.3 

任 意 の 正 整 数mに

ついて

Um=〈Xr￨r∈

と お く.こ

の 時U1=U⊃U2⊃

p.418.)Uの

Δ+,ht(r)≧m〉

… ⊃Uh={1}はUの

任 意 の 元 はΠxr(tr)(tr∈F)と

積 はrの

増 加 順 に と る.任

標 数pの

有 限 体 で￨F￨=qな

数￨Δ+￨で

中 心 列 で あ る.(『 群 論 』下 い う形 に 一 意 的 に 書 け る.こ

意 の 体 に つ い てUは ら ばUはp群

ベ キ 零 群 で あ る.係

で￨U￨=qN,こ

こで

数 体Fが

こ でNは

正根 の

あ る.

  証 明   r,s∈ Δ+,ht(s)≧mと

す る.i>0,j>0に

れ は 正 系 Δ+の 元 でht(ir+js)>mと

な る.し

対 しir+js∈

Δ な ら ば,そ

た が っ て 定 理7.1か

ら

xr(t)xs(u)xr(t)-1∈Um

を 得 る.す

な わ ちUmはUの

正 規 部 分 群 で あ る.ま

と な る.い

まht(s)≧m,ht(r)≧nと

た 定 理7.1か

ら

[xs(u),xr(t)]=Πxir+js(Cijrsti(-u)j)

[xs(u),xr(t)]∈Um+nと

す れ ばht(ir+js)≧m+nが

な る.よ

っ て(7.2)に

成 り立 つ か ら

より

[Um,Un]⊂Um+n が 成 り立 つ.す くhを

な わ ちU1=U⊃

と れ ばht(r)
よ っ てUは

す べ て のrに

現 わ れ て も よ い.し

考 え る.こ

中 心 列 で あ る.十

つ い て 成 り立 つ か らUh={1}と

ベ キ 零 群 で あ る(『群 論 』 下p.420定

  任 意 の 積 Πxs(ts)を

い て1項

… ⊃Uh={1}はUの

こ でs∈ Δ+,ま

こ と を 証 明 し よ う.そ

な る.

理2.5). た 積 の 中 に 同 じ根 が 重 複 し て

か し隣 り合 っ た 項 が 同 一 の 根 に 属 し て い れ ば(4.23)を

に ま と め る.こ

分 大 き

用

の 積 を 整 理 し て 根 の 増 加 順 に 書 きかえ る こ と が で き る こ で Δ+の1元rよ

り小 さ い 根 に つ い て は 既 に 整 理 が で

き て い て 対 応 す る 項 が 左 端 に 寄 せ ら れ て い る と仮 定 す る.そ

こ でs>rに

つい

て 逆 順 にxs(u)xr(t)と

並 ん で い る と す れ ば 定 理7.1よ

り

xs(u)xr(t)=xr(t)xs(u)Πxir+js(Cijrs(-t)iuj)

と な る.こ

の 右 辺 に 新 し く 現 わ れ る 項 で はht(ir+js)>ht(r)と

っ てr
な りr以

を す べ て 左 に 移 しrま は 定 理7.3に

な る.し

たが

下 の 項 は 出 て 来 な い.こ

の 手 段 を 繰 返 せ ばXrの

元

で 整 理 す る こ とが で き る.よ

っ て 帰 納 法 に よ りUの

元

述 べ た 形 に 書 け る こ と が 証 明 さ れ る.

  次 に こ の 表 現 が 一 意 的 で あ る こ と を 証 明 し よ う.そ

こで

y=xr(tr)Πxs(ts) に お い て 積 記 号 の 中 に 現 わ れ る 項 で はr<sが trがyに

成 り立 つ と 仮 定 す る.こ

よ っ て 一 意 的 に 定 ま る こ とを 示 せ ば よ い.表

か ら 

し た が っ て 重 み λ を 適 当 に とれ ばVλ

し て 

と な る.υ

の時

現 φ は 忠 実 と仮 定 し た か ら選 ん だ基 の 元 υ に対

∈Vλ だ か ら φ(er)υ∈Vλ+r(4.18).そ

こ でyの

右

辺 の指 数 関 数 を 展 開 して み れ ば yυ=υ+φ(trer)υ+… と な る.省

略 し た 項 はVμ に 属 す る 元 のF一

る 根r,s,… る.異

次 結 合 で あ る.yの

は Δ+の 元 だ か ら 省 略 し た 項 は λ,λ+r以

表示に現われ

外 の重 み に 対 応 し てい

な る 重 み に 対 応 す るVμ の 元 は 一 次 独 立 だ か らtrはVλ+rに

属 す る元

 の 係 数 と し て 一 意 的 に 定 ま る.   係 数 体Fが

標 数pの

有 限 体 で￨F￨=qと

す れ ばqはpの

ベ キ で あ る.Uの

元 は 上 述 の 形 に 一 意 的 に 書 け,trはFの

任 意 の 元 と し て よ い か らUの

qN(N=￨Δ+￨)と

で あ る.

な る.よ

  系   す べ て のr∈

っ てUはp群

Δ に つ い てt→xr(t)はFの

位数は

加 法 群 か ら 部 分 群Xrの

上

へ の 同形 写像 で あ る.   証 明   定 理1.9(a)に 7.3を

よ りrを

含 む 基 本 系Π

適 用 す れ ばxr(t)=1⇒t=0が

あ る(4.23).そ

が あ る.Π

成 り立 つ.対

が 定 め る正 系 に定 理

応t→xr(t)は

準 同形 で

れ が 単 射 だ か ら 系 が 証 明 さ れ る.

  (7.4)  部 分 群Uの の基 を とれ ばUの

各 元 はVFの

線 形 写 像 と し て ベ キ単 であ る.適

当 にVF

各 元 は ベ キ単 上3角 行 列 で表 現 され る.

  証 明  は じめ に 注 意 した よ う にVの 集 め た もの であ る.φ

基Bは

各 重 み μに 対 応 す るVμ の基 を

の 重 み の 集 合 に は §4.7で 定 義 し た順 序 が導 入 され て い

る.そ

こ でBの

基 を 並 べ る 時,そ

の2元b,b′

について

b∈Vμ,  b′∈Vλ,  μ>λ な ら ばbの

方 がb′ よ り左 に 並 ん で い る よ うに す る.こ

の 様 に基 の 元 を 並 べ た

時xr(t)の

行 列 表 示 が ど う な っ て い る か 調 べ て み よ う.指

数関数を展開すれば

xr(t)b=b+tφ(er)b+t2φ(er2/2)b+… と な る.こ

こ でb∈Vμ

な っ て い る.す てxr(t)を

と す れ ば 第2項

な わ ちbよ

以 下 はVλ(λ>μ)の

元 の一 次 結 合 と

り左 に 並 ん で い る 基 の 元 の 一 次 結 合 で 書 け る.よ

表 現 す る 行 列 は ベ キ 単 上3角

様 な形 を し てい るか らUの

行 列 と な る.Uの

っ

生成元はすべ てこの

各元 が ベ キ単 上3角 行 列 で表 現 され る.

 (7.5)

  証 明   定 理7.3系 定 理1.9(b)に

に よ り 

よ りrとsを

単 下3角

元 を(7.4)の

各 元 は ベ キ 単 上3角

行 列 で 表 現 さ れ る.し

  3. 部 分 群HとN 

が一 次 独立 な ら ば

得 る(積 表 現 の 一 意 性).よ

場 合 は 基Bの

な ら ばXrの

てrとsと

両 方 と も 含 む 正 系 Δ+が あ る.こ

を 適 用 す れ ばXr∩Xs={1}を る.s=-rの

と な る.さ

の 正 系 に 定 理7.3 っ て 

証 明 の よ うに 並 べ て お く.も

行 列 で 表 現 さ れ る.し

か しX-rの

た が っ て こ の 場 合 もXr∩X-r={1}と

任 意 のr∈

を得

Δ とt∈F#に

しr>0 元はベキ な る.

つい て

ωr(t)=xr(t)x-r(-t-1)xr(t) hr(t)=ωr(t)ωr(-1) とお く(定 義6.5参

照).さ N=〈

ら に ωr=ωr(1)と

お き 部 分 群N,Hを

ωr(t)￨r∈ Δ,t∈F#〉

H=〈hr(t)￨r∈

Δ,t∈F#〉

と定 義 す る.   (7.6)  次 の 関 係 式 が 成 り立 つ.(w=wrはrに

関 す る対 称 変 換.)

(ⅰ) 

ωrhs(t)ωr-1=hw(s)(t)

(ⅱ) 

ωrxs(t)ωr-1=xw(s)(c(r,s)t)

(ⅲ) 

hr(t)xs(u)hr(t)-1=xs(tn(s,r)u)

こ こ でc(r,s),n(s,r)は(6.9)と   証 明   変 数Tを x-r(-T-1)はZ[T,T-1] zVの

同 じ で あ る.

と り 多 項 式 環Z[T,T-1]を

考 え る.こ

自 己 同 形 と な る.さ

て

の 時xr(T)お ωr(T),hr(T)を

よ び 定

義6.5に

な ら っ て 定 義 す れ ば 定 理7.1の

(6.13)に

相 当す る定 理 が υ ∈Vμ

こ こ でm=μ(hr),υ

証 明 と 同 様 の 方 法 に よ り(6.8)お

ωr(T),hr(T)に

つ い て 証 明 さ れ る.す

⇒ ωr(T)υ=T-mυ

′は(6.8)で

の 体 の 上 で(6.8),(6.13)に

′,hr(T)υ=Tmυ

定 義 さ れ たVλ

なわち

.

の 元 で あ る.し

当 る 定 理 が 成 り立 つ.特

よび

た が って 任 意

に

hr(t)υ=tmυ と な りhr(t)は (ⅱ),(ⅲ)も

対 角 行 列 で 表 現 さ れ る.定

理6.14と

同 様 に(ⅰ)が

対 応 す る 定 理 が 複 素 体 の 上 で 成 り立 つ か ら(定

証 明 さ れ る.

理7.1の

証 明 と同

様 に)任 意 の体 に つ い て証 明 され る.   定 理7.7 

Hは

またHはNの

可 換群 で

〈U,H〉

関 し て 各hr(t)は

が っ てH=〈hr(t)〉

対 角 行 列 で 表 現 さ れ る((7.6)の

は 対 角 行 列 の つ く る群 だ か ら 可 換 で あ る.任

に つ い て(7.6)(ⅲ)か

らhr(t)Xshr(t)-1=Xsが

正 規 化 群 に 含 ま れ て い る.(7.4)に

={1}を

得 る .よ

と な り 〈U,H〉

成 り立 つ.す

証 明).し

た

意 のr,s∈

Δ

な わ ちHはUの

よ り基 の 元 を 適 当 に 並 べ れ ばUの

行 列 で 表 現 さ れ る.Hの

各元は ベ

各 元 は 対 角 行 列 で 表 現 さ れ る か らU∩H

って

はUとHと

の 半 直 積 で あ る.

  定 義 に よ り ωr(t)=hr(t)ωrが (7.6)(ⅰ)に

の 半 直 積 と な る.

正 規 部 分 群 で次 の関 係 が成 り立 つ.

  証 明   基Bに

キ 単 上3角

はUとHと

よ り ωrHωr-1=Hと

ωrXsωr-1=Xw(s)(w=wr)と

成 り 立 つ か らN=〈H,ωr(r∈ な る か ら 

な る.し

(s∈ Δ)に 作 用 し て い る.と

こ ろ でHの

る か らW=N/Hが{Xs}に

た が っ てNの

Δ)〉 と な る.

を 得 る.(7.6)(ⅱ)に

各 元 は 部 分 群 の 集 合 {Xs}

各 元 は す べ て の 部 分 群Xsを

作 用 す る.さ

より

不変にす

て

xr=Hωr と お け ばWは{xr(r∈

Δ)}で 生 成 さ れ る.(7.5)に

1に 対 応 が つ い て い る.そ 元wrと

こ でXsとsと

同 じ作 用 を 与 える.よ

っ てWか

よ り{Xs}と

を 同 一 視 す れ ばxrは らW(Δ)の

Δ と は1対 丁 度W(Δ)の

上 へ の 準 同 形fが

あ って

f(xr)=wr  と な っ て い る.こ t=wr(s),を

こ でWの

(r∈ Δ)

生 成 集 合{xr}がxr2=1,xrxsxr-1=xt,こ

こで

満 足 し て い る こ と を 証 明 し よ う.ωr-1=ωr(-1)だ

か ら

ωr-2=ωr(-1)ωr(-1)=hr(-1)∈H. し た が っ てxr2=1を

得 る.ま

た

ωs(1)=xs(1)x-s(-1)xs(1)よ

り

ωrωsωr-1=xt(c)x-t(-c′)xt(c) を 得 る((7.6)(ⅱ)).こ

こ でt=wr(s)と c=±1, 

お い た.(6.9)に

cc′=c(r,s)c(r,-s)=1

だ か ら 定 義 に よ り ωrωsωr-1=ωt(c)=ht(c)ωt,す

なわ ち

xrxsxr-1=xt  が 成 り 立 つ.し

(t∈wr(s))

た が っ て 定 理1.15(b)に

が あ っ てg(wr)=xr(r∈

Δ)と

元nに

らWの

ら か にfg,gfは

上 へ の 準 同 形g

そ れ ぞ れW(Δ),Wの

同 形 と な る.

  最 後 の 関 係 式N∩UH=Hを Nの

よ りW(Δ)か

な る.明

恒 等 写 像 で あ る か らWはW(Δ)と

  (7.8) 

よ り

証 明 す る た め に 次 の 補 題 が 必 要 で あ る. 対 応 す るW(Δ)の

元 をwと

す る.す

なわ ち 上 の 記 号 で

f(Hn)=w と す る.こ

の 時,任

意 のs∈

Δ に つ い てnXsn-1=Xw(s)が

  証 明   Nの

生 成 集 合{ωr(t)}の

はw=wrで

あ って

(7.8)が

ωr(t)Xsωr(t)-1=Xw(s)が

ωr(t)に

対 応 す るW(Δ)の

成 り 立 つ.fは

元

同 形 写 像 だ か ら

成 り 立 つ.

  定 理7.7の 元 は 上3角

証 明 に も ど る.(7.4)の 行 列 で 表 現 さ れ る.一

か し て い る((7.6)の お け ば,nを

証 明 の よ うに 基 の 元 を 並 べ れ ばUHの

方,ωrはVμ

証 明 参 照).さ

てNの

の 基 をVλ(λ=wr(μ))の

元nに

を み た す.と

な わ ち Γφ⊃Pと

対 応 す るW(Δ)の

み た す.そ 元wは

っ てwが

元 をwと こ でnがUH

す べ て の重 み μに つ い て

こ ろ で 忠 実 な 表 現 φ に つ い て(4.26)が

な る.よ

て の 根 を 不 変 に す る.し

中に動

対 応 す るW(Δ)の

表 現 す る 行 列 はF Vμ→F w(μ)を

の 元 で あ る と す れ ば,nに w(μ)=μ

各 元 に つ い て

成 り 立 つ.

成 り立 つ.す

す べ て の 重 み を 不 変 に す れ ば,wは

た が っ てw=1と

な りn∈Hを

得 る.よ

って

UH∩N⊂H が 成 り立 つ.逆

の 包 含 関 係 は 自 明 だ か らUH∩N=Hと

な る.さ

て

すべ

N∩U⊂N∩UH∩U=H∩U={1} だ か らN∩U={1}が

証 明 さ れ る.

  4. Chevalley群

のTits系 

つ く る こ とを 証 明 し よ う.一

以 下B=UHと 般 に 群Gの

お き(B,N)がBN対

部 分 群B,Nが

を

与 え られ

(T1) (T2)  W=N/Hは

位 数2の 元 か らな る集 合Sに

(T3)  任 意 のs∈S,w∈Wに

よ り生 成 され る,

対して wBs⊂BwB∪BwsB,

(T4) 

任 意 のs∈Sに

とい う4条 とNと

つ いて

件 を み た し て い る 時(G,B,N,S)はTits系

を 特 に 取 り上 げ て(B,N)対

と す れ ば 条 件(T1)に Bn,nBは

よ りwを

を つ く る とい う.B

と も い う(『群 論 』 上p.317).さ 代 表 す る 元n∈Nを

一 定 の も の に な る.そ

てw∈W

どの様 に と っ て も剰 余 類

こで

Bn=Bw,nB=wB な ど の 記 法 を 用 い る.(nH=Hnだ   以 下G=G(Δ)は

がnB=Bnと

Δ 型 の 一 般Chevalley群,Π

定 め る 正 系 を Δ+と お く.U=〈Xr￨r∈

を 一 つ の 基 本 系 と し,Π

Δ+〉,さ ら にr∈

Ur=〈Xs￨s∈

と お く.ま

は 限 ら な い.) が

Δ+に つ い て

Δ+-{r}〉

ず 補 題 を 三 つ 証 明 し よ う.

  (7.9)  (ⅰ) 

が 成 り立 つ.

(ⅱ)  さ ら にr∈Π

な ら ば ωrUrωr-1=Urと

  証 明   (ⅰ) s∈ Δ+-{r}な よ っ て 定 理7.1に

な る.

ら ばi≧0,j>0の

よ り 

を 得 る.明

時ir+js∈ ら か にU=〈Xr,Ur〉

Δ+-{r}と

な る.

だ か ら(ⅰ)が

成 り立 つ.   (ⅱ)  s∈ Δ+-{r},r∈Π

が っ て(7.6)(ⅱ)に  (7.10) 

r∈ Δ+な

  証 明   ωr(t)の

な ら ばwr(s)∈

よ り(ⅱ)が

Δ+-{r}が

ら ばX-r⊂{1}∪XrHωrXrが

定 義 か ら 

な ら ば

X-r(-t-1)=xr(-t)ωr(t)xr(-t)∈XrHωrXr

が 成 り立 つ.

成 り 立 つ(1.10).し

成 り立 つ. 成 り 立 つ.

た

 (7.11) 

r∈ Π な ら ばB∪BωrBは

部 分 群 と な る.す

なわち

ωrBωr⊂B∪BωrB.

  証 明   G0=B∪BωrBと =hr(-1)ωrか (7.11)に

お く.x∈G0な

ら 直 ち に 証 明 さ れ る.よ

ら ばx-1∈G0と っ てG0が

な る.こ

れ は ωr-1

部 分 群 とな る た め の 条件 は

あ げ た 包 含 関 係 が 成 り立 つ こ と で あ る.さ

て

ωrBωr=ωr(XrUrH)ωr-1=ωrXrωr-1(ωrUrHωr-1) と な る.し

た が っ て(7.6)お

よ び(7.9)(ⅱ)よ

り

ωrBωr=X-rUrH⊂B∪BωrB

を 得 る.最

後 の 包 含 関 係 は(7.10)に

  定 理7.12 

よ る.

G(Δ)は(B,N)対

(G,B,N,S)はTits系

を も つ.い

まS={Hωr(r∈

Π)}と

おけば

を つ く る.

  証 明   (7.10)に

よ りr∈

Δ+な

ら ばX-r⊂

〈B,N〉,し

た が って

G=〈B,N〉 と な る.定

理7.7に

Weyl群W(Δ)と

より   同 形 だ か らWはSに

な わ ち 条 件(T1),(T2)が   い まNか

と な る.ま

たN/H=Wは

根系 の

よ り生 成 さ れ て い る(定 理1.12).す

成 り立 つ.

ら 任 意 の 元nを

に よ りnXrn-1=Xw(r)が

と り,nに 成 り立 つ.さ

対 応 す るW(Δ)の てr∈

Π

元 をwと

お く.(7.8)

と仮 定 す れ ば

nBωr=nXrUrHωr=Xω(r)nωrUrH

を 得 る((7.9)(ⅱ)お

よ び(7.6)).そ

こ でw(r)∈

Δ+と 仮 定 す れ ば

nBωr⊂BnωrB

とな るか ら こ の場 合(T3)が

成 り立 つ.つ ぎ に  

wwr(r)=w(-r)=-w(r)∈

と な る.し

た が っ てnの

代 りにnωrを

とす れ ば Δ+

とれ ば

nωrBωr⊂BnωrωrB=BnB が 成 り 立 つ.よ

っ てBnωrBωrB=BnBを

得 る.さ

て

nBωr⊂BnωrBωrBωr ⊂BnωrB∪BnωrBωrB

((7.11)を (T3)が

用 い た)が 成 り立 つ.

成 り立 つ.最

後 の 項 はBnBに

等 しい か ら この 場 合 に も

  r∈ Π な ら ば ωrBωr=ωrBωr-1⊃X-rだ

か ら(T4)も

成 り 立 ち 定理 が証 明 さ

れ る.

  5. Tits系

を もつ 群

  こ の 節 で はTits系(G,B,N,S)を

て 一 般 に 成 り立 つ2,3の

定 理 を 証 明 す る.記

も つ 群Gに

号 も前 節 で 用 い た も の を 続 け て 用

い る こ と に す る.群W=N/HをGのWeyl群

と い う.一

系 に 対 応 す る と は 限 ら な い がCoxeter群

つい

般 の 場 合Wは

根

と な る こ と が 知 られ て い る(『 群 論 』

上p.334).   条 件(T3)の

両 辺 の 逆 元 を と り記 号 を 書 き替 え れ ば

(T3)′

 

sBw⊂BwB∪BswB 

の 成 り立 つ こ と が わ か る.帰   (7.13)  を 得 る.こ

(s∈S,w∈W)

納 法 に よ りsi∈Sな

(Bs1…snB)(BwB)⊂ こ で 右 辺 はi<…
て 和 集 合 を と る の で あ る.そ

∪Bsi…skwB

み た す{1,…,n}の こ でSの

WJ=〈J〉, 

部 分 集 合 す べ てに つ い

任 意 の 部 分 集 合Jを

と り

PJ=BWJB

(こ こ でBWJBはBwB(w∈WJ)の の 部 分 群 と な る.特

らば

和 集 合)と お け ば(7.13)よ

りPJはG

に

  (7.14) 

G=BWB={BwB(w∈W)}

が 成 り立 つ.こ

こ でBwB=Bw′B⇔w=w′

そ の た めw∈Wの

長 さl(w)を

が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.

l(w)=min{l￨w=s1s2…sl(si∈S)} と定 義 す る.l(w)=0な   (7.15) 

l>0と

あ る.

BwB=Bw′B⇔w=w′.

  証 明   l=l(w)≦l(w′)と B∩N=Hの

ら ばw=1で

仮 定 しlに 関 す る 帰 納 法 に よ る.l=0の

元 で 代 表 さ れ る か らw′=1と 仮 定 しw=w″s,l(w″)=l-1と

な り(7.15)が 表 わ す.こ

時 はw′

成 り 立 つ.そ

が

こで

の時

Bw=Bw″s⊂Bw′B よ りBw″ =w′

⊂Bw′Bs⊂Bw′B∪Bw′sBを

ま た はw″=w′sと

た な い.し

 (7.16) 

な る .と

た が っ てw′=w″s=wを

w∈W,s∈Sに

得 る(T3).帰 こ ろ でl(w′)≧lだ 得 る.

対 し 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

納 法 の 仮 定 に よ りw″ か ら 第1の

等 式 は 成 り立

(ⅰ)  l(sw)≧l(w)⇒sBw⊂BswB. (ⅱ)   証 明   (ⅰ) l=l(w)と

お きlに

で あ る.そ

しw=w′r,l(w′)=l-1と

l-1と

こ でl>0と

な る.よ

関 す る 帰納 法 に よ る.l=0な

ら ば(ⅰ)は

表 わ す.こ

自明

の 時l(sw′)≧

っ て帰 納法 の仮 定 を用 い て sBw=sBw′r⊂Bsw′Br⊂Bsw′B∪BswB

を 得 る.一

方,(T3)′

Bsw′BとBwBに (7.15)に

成 り 立 つ.と

共 通 元 が あ れ ばBsw′B=BwBと

よ りsw′=wを

定 に 矛 盾 す る.し sBwの

に よ りsBw⊂BwB∪BswBが

得 る.す

な わ ちw′=swと

た が っ てBsw′BとBwBに

元 は す べ てBswBの

  (ⅱ)  (T3)と(T4)に

な る.よ

ころ で

って前 補 題

な りl(sw)≧lと

い う仮

共 通 な 元 は な い.す

なわ ち

元 と な り(ⅰ)が 成 り立 つ. より  

が 成 り立 つ.w′=swに(ⅰ)が

を 得 る.し

た が って

適 用 で き る か らsBsw⊂BwBと

な る.よ

っ て 

を 得 る.

 (7.17)  Wの

元wをSの

元 の 積 とし て 表 わ し た時wの

w=s1s2…Sl 

とす れ ば,す

べ て のiに

最短 表示を

(Si∈S,l=l(w))

つ い て 次 式 が 成 り立 つ. BsiB⊂

〈B,wBw-1〉.

  証 明   lに 関 す る帰 納 法 に よ る.l(s1w)
す な わ ちs1B⊂BwBw-1B⊂

〈B,wBw-1〉

か ら(7.16)を

を 得 る.そ

用い

こで

w1=s1w

とお け ば帰 納 法 の 仮 定 に よ つ.と

こ ろ でs1B⊂

りBsiB⊂

〈B,wBw-1〉

〈B,wBw-1〉(i≧1)が

 (7.18)  Sの 真 の 部 分 集 合JでWを   証 明   〈J〉=Wと とす る.仮

成 り立

だ か ら

〈B,w1Bw1-1〉 と な りBsiB⊂

〈B,w1Bw1-1〉(i=2,3,…,l)が

⊂ 〈B,wBw-1〉 成 り 立 つ.

生 成 す る こ と は で き な い.

仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.Jに

定 に よ り(G,B,N,J)はTits系

含 ま れ て い な いSの

を つ く る.rをJの

元 をr

元 の 積 とし

て 表 わ し た 時 の 最 短 表 示 をr=s1…sn(si∈J)と Tits系(G,B,N,J)に(7.17)を

〈B,rBr〉

方Tits系(G,B,N,S)の

条 件(T3)よ 〈B,rBr〉

と な る.よ

っ てBsiB=Bま

と な り矛 盾 が 得 ら れ る.し

(ⅰ) Gの

り

⊂B∪BrB

た はBsiB=BrBを si=1ま

  定 理7.19 

生 成 集 合 とし た

適用すれば BsiB⊂

を 得 る.一

お き,Jを

よ り

た はsi=r

たが って  

(G,B,N,S)をTits系

部 分 群PがBを

得 る か ら(7.15)に

で あ る. と す る.

含 ん で い れ ばSの

部 分 集 合Jが

定 ま り

P=PJ=BWJB と な る.ま

たPJ=PK⇒J=K.

(ⅱ)  Sの 部 分 集 合J,Kに

対 し てPJ∩PK=PJ∩Kが

成 り立 つ.同

様に

WJ∩WK=WJ∩K. (ⅲ)  PJ⊃gBg-1⇒g∈PJ. (ⅳ)  NG(PJ)=PJ. (ⅴ)  PJとPKがGの (ⅵ)  Gの

中 で 共 役 な ら ばJ=Kと

中 心 をZ(G)と

  証 明   (ⅰ) P⊃Bと こ でBwB⊂Pと

お け ばZ(G)⊂Bが す れ ばPはBに

を 得 る.そ

元 の積 と して 表 わ し た 時 の最 短 表 示 の一

お く.(7.17)に BsiB⊂

成 り立 つ.

関 す る 両 側 剰 余 類 の 和 集 合 で あ る.そ

仮 定 し,wをSの

つ をw=s1…snと

な る.

より 〈B,wBw-1〉

⊂P

こで J={s￨s∈S,BsB⊂P}

とお け ばBwB⊂P⇔w∈ の 部 分 集 合 を と りP=PKと もし   BWKBだ がS-{r}で てK=Jと

な ら ばKに か ら(7.15)に

〈J〉 が 成 り立 つ.す 仮 定 す る.定

元rを

と る.こ

てS

成 り立 つ.

の 時BrB⊂PK=

元 の 積 と し て 表 わ さ れ る.こ

生 成 で き る こ と を 示 し て い るか ら(7.18)に な り(ⅰ)が 証 明 さ れ る.

な る.さ

義 か ら 明 ら か にK⊂Jが

含 ま れ て い な いJの よ りrはKの

な わ ちP=PJと

矛 盾 す る.し

れ はW たが っ

  (ⅱ)  (ⅰ)に よ りPJ∩PK=PIを

み た す 部 分 集 合Iが

あ る .と

ころで

I={s￨s∈S,BsB⊂PJ∩PK}

だ か らI=J∩Kと

な る.WJ∩WKに

つ い て も 同 様 で あ る.

 (ⅲ) G=BWBだ

か らg∈BwBを

が 成 り 立 つ.(7.17)に

よ りBwB⊂

み た すw∈Wが

あ る.こ

の時

〈B,gBg-1〉=〈B,wBw-1〉 〈B,wBw-1〉

g∈BwB⊂

〈B,gBg-1〉

を 得 る.(ⅳ),(ⅴ),(ⅵ)は(ⅲ)の

  6.  Chevalley群 Tits系

を 得 るか ら ⊂PJ

系 で あ る.

の元 の標 準 形  

定 理7.12に

を も つ か ら そ の 元 はbnb′(b,b′

よ り一 般Chevalley群

∈B,n∈N)と

は

書 く こ とが で き る.こ

の

表 わ し 方 は 一 意 的 で な い が 元b,b′ を 適 当 に 制 限 し て 一 意 的 な 表 示 が 得 ら れ る. こ れ を 元xの

標 準 形 と い う.以

  まずUと

下,元

の 標 準 形 に つ い て 述 べ よ う.

同 様 に 部 分 群Vを V=〈x-r(t)￨r∈

と定 義 す る.(7.6)(ⅲ)に た(7.4)と

Δ+,t∈F〉

よ りVHは

部 分群 とな り  

同 様 に基 の 元 を並 べ れ ばVの

が 成 り立 つ.ま

各 元 は ベ キ単 下3角 行 列 で表 現 さ れ

る.し た が って  (7.20) 

UH∩VH=H, 

UH∩V={1}

が 成 り立 つ.   一 般Chevalley群

では  

だ か らw∈Wに

対 し て(7.8)の

様 に

f(Hn)=w を み た すNの

元nを

一 つ 定 め る.こ

の 時,任

意 のr∈

Δ に ついて

nXrn-1=Xw(r) が 成 り立 つ(7.8).さ

て U+w=U∩n-1Un, 

と お く.Hの 表 元nの

U-w=U∩n-1Vn

元 に よ る 共 役 写 像 はUもVも

不 変 に す る か らwに

選 び 方 に よ ら ずU+w,U-wはwだ

と こ ろ で(7.20)に

よ りU∩V={1}だ

け に よ り定 め ら れ る 部 分 群 で あ る. か ら

U+w∩U-w={1}

と な る.(7.8)を

対 応 す る代

用 い れ ば 容 易 に わ か る よ うに

r∈ Δ+,w(r)∈

Δ+⇒Xr∈U+w

r∈ Δ+,w(r)∈-Δ+⇒Xr∈U-w

が 成 り立 つ.し

た が っ てU=〈U+w,U-w〉

こ と を 証 明 し よ う.一   (7.21) 

と な る が 実 はU=U+wU-wが

般 に 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

根 の 集 合 Δ に 任 意 の 全 順 序 を 与 え て お く.こ

れ た順 序 に従 っ て つ くる積

Πxr(tr)の

お い て 証 明 さ れ て い る.そ

x=x1x2…xhと

表 わ す.こ

関 す るxr(tr)を

順 序T0に

の 時Uの

元は与え ら

形 に 一 意 的 に 書 け る.

  証 明   Δ に 与 え た 順 序 がr<s⇒ht(r)≦ht(s)を 7.3に

成 り立 つ

み た し て い る 場 合 は定 理

こ で こ の 順 序T0を

こ で 各iに

一 つ 定 めUの

つ い てxiはht(r)=iを

従 っ て か け た 積 で あ る.定

様 な 形 に 一 意 的 に 書 く こ と が で き る.さ

み た す 根rに

理7.3に

て 部 分 群Umを

元xを

よ りxは

定 理7.3の

この

よ うに定 義

すれば U1⊃U2⊃ はUの

中 心 列 で あ る.さ

で 任 意 のmに

… ⊃Uh={1}

て(7.21)で

Δ に 与 え ら れ た 順 序 をTと

お く.こ

こ

対 し

 (7.22) 

x=Πxr(tr)ymym+1…yh

(こ こ で 最 初 の 積 はht(r)<mを

み た す 根rに

て つ く っ た 積 で,各yiはht(s)=iを

つ い てxr(tr)を

み た す 根sに

順 序Tに

つ い てxs(ts)を

従 っ

順 序T0に

従 っ て か け 合 わ せ た 積)と い う形 に 一 意 的 に 書 け る こ と を 証 明 し よ う.   m=1の

場 合 は 定 理7.3に

こ で(7.22)が に 各xs(ts)を

よ り成 り立 つ か らmに

成 り立 つ と 仮 定 し,ym=Πxs(ts)と 順 序Tに

れは適

中心 列 だ か ら 追 加 し た 交

た が っ てxは

x=Πxr(ur)zm+1…zh

初 の 積 はht(r)<m+1を

積 と な りziはh(s)=iを

み た す 根 す べ て に つ い て 順 序Tに

み た す 根 に 関 す る 積 と な る.こ

は 次 の よ うに 証 明 さ れ る.(7.23)の る 項 を 右 に 動 か し,順 れ はUm+1に

こ ろ で{Ui}が

含 ま れ て い る.し

 (7.23) 

と 書 け,最

の段 階 に 移 るた め

従 っ て 指 定 し た 場 所 に 動 か さ ね ば な ら な い.こ

当 な 交 換 子 を 加 え れ ば 可 能 で あ る.と 換 子 は す べ てUm+1に

関 す る 帰 納 法 を 用 い る.そ お く.次

序T0に

の様 な表 現 の 一意 性

は じ め の 積 に お い てht(s)が

従 っ て 並 べ れ ば(7.22)の

従 った

丁 度mと

表 示 が 得 ら れ る.こ

含 ま れ る 交 換 子 を つ け 加 え れ ば 可 能 で あ る.し

た が っ て(7.23)

な

に お い てFの 7.3か

元urは

一 意 的 に 定 ま る.残

り のzm+1,…,zhの

一 意 性 は 定 理

ら 得 ら れ る.

  m=h+1の

場 合 が(7.21)で

 (7.24) 

任 意 のw∈Wに

あ る か ら命 題 が 成 り立 つ. つ い てU=U+wU-wが

  証 明   w(r)∈-Δ+を

み た す 正 根 がw(s)∈

う に 順 序 を つ け れ ば(7.21)よ   定 理7.25 

成 り 立 つ. Δ+を み た す 正 根 よ り後 に な る よ

りU=U+wU-wと

な る.

一 般Chevalley群GのWeyl群

に 対 し てx∈BwBを

み た すwが x=unυ

と 書 け(u,n,υ)はxに

 

一 意 的 に 定 ま る.し (u∈U,n∈N,υ

お く.任

意 のx∈G

か も

∈U-w)

よ り一 意 的 に 定 ま る.

  証 明   (7.14)お

よ び(7.15)に

定 ま る.さ

対 応 す るNの

てwに

をWと

よ りx∈BwBを 元nを

み た すw∈Wが

とれ ばnU+wn-1⊂Uだ

一意的 に か ら

BwB=BnHU+wU-w=BnU-w=UHnU-w と な る.よ け る.一

っ て 適 当 にn∈Nを

選 べ ばx=unυ(u∈U,υ

∈U-w)と

い う形 に 書

意 性 を証 明 す るた め に unυ=ymz 

(y∈U,m∈N,f(Hm)=w,z∈U-m)

と お け ば,m=hn(h∈H)と

書 け る.し

た が って

n(υz-1)n-1=u-1yh∈nU-wn-1∩UH が成

り立 つ.と

こ ろ でnU-wn-1⊂Vだ

か ら(7.20)に

υz-1=1,  を 得 る.す

な わ ち

てu=y,n=m,υ=zと

  BnBに

よ びh=y-1u∈H∩U={1}が な りxの

含 ま れ て い るBの

け る(定 理7.25).し BnBは

υ=zお

丁 度￨U-w￨個

よ り

u-1yh=1 成 り 立 つ.し

た が っ

表 示 は 一 意 的 に 定 ま る.

剰 余 類 はBnυ(υ

た が っ てGが

∈U-w)と

い う形 に一 意 的 に 書

有限体 上 で 定義 さ れ て い れ ば両側剰 余類

の 左 剰 余 類 の 和 集 合 で あ る.よ

っ てBの

指数は

Σ￨U-w￨ に 等 し い.U-wの

元 は Πxr(tr)(r∈

わ す こ と が で き る(7.21).よ   (7.26) 

Gが

Δ+,w(r)∈-Δ+)と

い う形 に 一 意 的 に 表

っ て 次 の 結 果 を 得 る.

有 限 体 上 で 定 義 さ れ て い る 場 合￨F￨=qと ￨G:B￨=Σqn(w)=Σql(w)

おけば

が 成 り立 つ(定 理1.13参   7. 部 分 群Uの

照).

正規化群  

定 理7.7に

よ り 

で あ るが 次 の 定 理 が 成

り立 つ.   定 理7.27 

BはUの

正 規 化 群NG(U)と

  証 明   NG(U)はBを るSの

部 分 集 合Jが

正 根rの

一 致 す る.

含 む 部 分 群 だ か ら 定 理7.19に あ る.と

符 号 を 変 え る.し

こ ろ でJの

元sを

よ りNG(U)=PJと

とれ ばsは

た が っ てsXrs-1=Xs(r)⊂Vと

な

少 な く とも一 つ の な る.一

方,

sXrs-1⊂sUs-1=U が 成 り立 つ か らsXrs-1⊂U∩V={1}と でNG(U)=Bと

い う矛 盾 が お こ る.よ

っ てJは

空 集合

な る.

  §8  普 遍Chevalley群   1. 部 分 群Hの Chevalley群

構造 

前 節 と 同様 にGは

とす る.Gを

定 め る 複 素半 単 純Lie代

を φ とお く.こ の時 φ の 表 現 空 間Vの

の 可 逆F線

任 意 の 体F上

許 容Z形Vが

形 写 像 の つ く る 群 で あ る(§4.8).さ

で定 義 され た一般

数 をL,そ

の忠実な表現

あ っ てGは

て(6.12)に

より

V=ΣVμ

と φ の 重 み μ に 対 応 す る部 分 空 間Vμ の 直 和 に 分 解 す る.よ っ て

と な る.部

分 群Hを

  (8.1)  Hの

調 べ る に 当 っ て 基 本 と な る の は 次 の 命 題 で あ る.

元hr(t)はVFに

対 角 型 に 作 用 す る.す

なわち

υ∈(VF)μ ⇒hr(t)υ=tn(μ,r)υ が 成 り立 つ.こ

こ でn(μ,r)=μ(hr)で

  証 明   υ∈Vμ

の 時,上

式 が 成 り立 つ こ と は(7.6)の

よ っ て 上 式 が 任 意 の υ∈(VF)μ

に つ い て 成 り立 つ.tの

は(4.26)に

お い て 証 明 さ れ て い る.

  定 理8.2 

任 意 のr∈

Hは

可 換 群 で{hr(t)￨r∈

そ れ は 整 数 で あ る. 証 明 中 に お い て 述 べ た. 指 数 が 整 数 であ る こ と

Δ に つ い て,hr(t1)hr(t2)=hr(t1t2)が Π}に

  証 明   任 意 の υ∈(VF)μ

よ り生 成 さ れ る.

について

成 り立 つ.部

分群

hr(t1)hr(t2)υ=(t1t2)n(μ,r)υ

と な る.し  

Hの

た が っ てhr(t1)hr(t2)=hr(t1t2)が

各 元 は 対 角 型 に 作 用 す る か らHは

よ う.さ

て{hr}は

基 本 系 と な る.そ

をhiと

可 換 群 で あ る.そ

根 系 で あ っ て(2.1),Δ {hp(p∈

が{hr}の

成 り立 つ.

の基 本 系 Π を 定 め れ ば Π)}

こ で Π={r1,…,rl}と

書 く こ と に す れ ば{h1,…,hl}が

の生成集合を求 め

お きriに

基 本 系 と な る.よ

hr=a1h1+…+alhl 

対 応 す るHの

元

って

(ai∈Z)

と表 わ す こ とが で き る.い ま μ を重 み とす れ ば n(μ,r)=μ(hr)=Σaiμ(hi)

が 成 り立 つ.そ

こ で υ∈(VF)μ

を とれ ば hr(t)υ=(Πhi(t)ai)υ

を 得 る.よ

っ て 任 意 のr∈

す な わ ちHは{hi(t)}で   定 理8.3  る.こ

Δ に 対 す るhr(t)が{hi(t)}の

ベ キ 積 で 表 わ さ れ る.

生 成 さ れ て い る.

前 定 理 の 証 明 に お い て 定 義 さ れ たHの

の時

Πhi(ti)=1と

生 成 集 合 を{hi(t)}と

す

な るた め の 条 件 は 任 意 の 重 み μ につ い て Πtin(μ,ri)=1

が 成 り立 つ こ と で あ る.Hの   証 明   υ∈(VF)μ

構 造 は 重 み 格 子 ΓVに

と す れ ば Πhi(ti)=xの

よ っ て 定 ま る.

作用は

xυ=Πtin(μ,ri)υ

で あ る(8.1).よ

って定 理 の前 半 が 成 り立 つ.

  定 理 に お け る条 件 は μに つ い て線 形 で あ る か ら,す

べ て の重 み μに つ い て

条 件 が 成 り立 っ てい れ ば 重 み の 生 成 す る格 子 ΓVの 各 元 に つ い て条 件 が 成 り立 つ.す

な わ ちHの

は ΓVに  (8.4) 

構 造 は 生 成 元 の 間 に 成 り立 つ 関 係 に よっ て定 ま るか ら,H

よ り定 ま る. も し ΓV=Qな

ら ば(§4.9参 Πhi(ti) 

と一意 的 に 書 け る.し

た が っ てHはFの

照),Hの (ti∈F#)

乗 法 群F#のl個

る.  証 明  定 理8.2の

元は

証 明にお い て示 した よ うに

の 直 積 と 同形 で あ

hr(t)=Πhi(t)ai=Πhi(tai)

が 成 り立 つ か らHの

元 は Πhi(ti)(ti∈F#)と

書 け る.そ

の表 わ し方 が 一 意 的

で あ る こ とを証 明す る に は Πhi(ti)=1⇒t1=…=tl=1

を 示 せ ば よ い.そ

こ で Πhi(ti)=1と

仮 定 す る.定

理8.3に

よ り

Πtin(μ,ri)=1 が す べ て の

μ∈ ΓVに

つ い て 成 り 立 つ.仮

号 を 用 い てq1,q2,…,ql∈

ΓVと

な る.さ

定 に よ り ΓV=Qだ て

μ=qiな

か ら §4.9の

記

ら ば

n(μ,rj)=δij す な わ ちi=jの

時qi(rj)=1,  すべ て の

が 成 り立 つ.し

μ∈Qに

た が っ てHの

  2. 普 遍Chevalley群 る.そ

の 上 でLの

の 時qi(rj)=0と つ い て

一 意 的 に 表 わ さ れ る.

こ の 節 で は 半 単 純 複 素Lie代

忠 実 な 表 現 φ を い ろ い ろ と り,φ

の 間 の 関 係 を 調 べ よ う.φ

っ て

Πtin(μ,ri)=1⇒ti=1

元 は Πhi(ti)と

 

な る.よ

数Lを

一つ定め

に よ る一 般Chevalley群

の 重 み の 生 成 す る 格 子 を Γ φ と お く.(4

.26)に

よ り

Q⊃ Γφ⊃P が 成 り立 つ.こ (§4.9参

こ でQはHの

双 対 格 子,PはLの

根 が生 成 す る加 法群 で あ る

照).

  定 義8.5 

Γ φ=Qの

時 φ に よ る一 般Chevalley群

こ の こ と をG=Guと

表 わ す.ま

が 随 伴 的 で あ る 時G=Gaと

た Γ φ=Pの

書 き,Gを(随

を 普 遍 的 で あ る と い う.

時Gは

随 伴 的 で あ る と い う.G

伴 を 省 略 し て)単

にChevalley

群 と い う.   定 理8.6 

任 意 の 体Fの

同 じ 体 の 上 で 同 じLie代 こ の 時Guか れ る.す

らGの

上 へ の 準 同 形f=fφ

な わ ち 

  証 明   Lie代

数Lに

(A) 

とお く.関

が あ っ てker

と な りGuはGの

定 め{x′r(t)}か

す る. お く.

fはGuの

中心 に含 ま

意 の 根rとFの

任 意 の元

ら 生 成 さ れ 次 の 諸 関 係 に よ り定 義 さ れ

係は x′r(t1)x′r(t2)=x′r(t1+t2) 

をGと をGuと

中 心 拡 大 で あ る.

対 応 す る 根 系 を Δ と す る.任

tに 対 し て 記 号x′r(t)を る群 をG′

上 で 表 現 φ に よ る 一 般Chevalley群 数 か ら つ く ら れ た普 遍Chevalley群

(r∈

Δ)

x′r(t)x′s(u)x′r(t)-1=x′s(u)Πx′ir+js(Cijrstiuj)

(B)  こ こで  

積 の 順 序 お よびCijrsは

 ま た ω′r(t),h′r(t)を 定 義6.5に (C) 

定 理7.1と

な ら っ て定 義 す れ ば

h′r(t)とh′s(u)は 可 換 で(7.6)の

 さ ら に 任 意 のr∈

関 係 式 が 成 り立 つ.

Δ につ いて h′r(t)h′r(u)=h′r(tu)

(D)  が 成 り立 つ.一

般Chevalley群Gの

生 成 元 の 集 合{xr(t)}が

み た し て い る こ と は そ れ ぞ れ(4.23),定 8.2に

同 一 と す る.

お い て 示 さ れ て い る.よ

理7.1,定

これ らの 関 係 を

理7.7,(7.6)お

よび 定 理

って 生 成 元 とそ の 間 の 関 係 に よっ て定 義 され た

群 の 定 義 に よ り(『群 論 』 上p.165参

照)

x′r(t)→xr(t) はG′ か らGの

上 へ の 準 同 形 θに 拡 張 さ れ る.

  上 に 定 義 し た 群G′ う.根

が 普 遍Chevalley群Guと

系 Δ の 中 に 基 本 系 Π を 定 め,そ

同形 で あ る こ と を 証 明 し よ

れ に よ っ て 定 ま る 正 系 を Δ+と お く.

U′=〈x′r(t)￨r∈Δ+〉 と お け ば θはU′ か らGの 7.3の

証 明 の 第2段

理

の 元 は Πx′r(tr)と い う 形 に 書 け る こ

の 元 の θに よ る像 は Πxr(tr)で,Uに

的 だ か ら(定 理7.3)U′

  群G′

上 へ の 準 同 形 写 像 を 引 き お こ す.定

階 を く り 返 せ ばU′

と が 証 明 さ れ る.こ

か らUの

部 分 群Uの

おいて表現は一意

に つ い て 表 現 の 一 意 性 が 証 明 さ れ る.す

な わ ち θはU′

上 へ の 同 形 写 像 を 引 き お こ し て い る. の 中 にN′=〈

ω′r(t)￨r∈ Δ〉,H′=〈h′r(t)￨r∈

Δ 〉

お よび

V′=〈x′r(t)￨r∈-Δ+〉

を 定 義 す る.θ(V′)は

§7.6で

θ(U′ ∩V′H′)⊂

を 得 る(7.20).θ (7.5)もG′

はU′

定 義 し た 部 分 群Vと

の 上 で 同 形 写 像 だ か らU′

を も っ x=u′n′

と 表 わ す こ と が で き る.こ  さ てker  θ=Kと

理7.12の

て い る.そ υ′ 

って

θ(U′)∩ θ(V′H′)=U∩VH={1}

に つ い て 成 り立 つ.定

の でG′ はTits系

一致 す る.よ

な る.よ

って

証 明 が そ の ま まG′ に あ て は ま る

こ でG′ の 元xは

(u′ ∈U′,n′

∈N′,υ

の 時w∈Wはxに

お い てK⊂H′

∩V′={1}と

∩Z(G′)と

′∈(U′)-w)

よ り一 意 的

に定 ま る.

な る こ と を 証 明 し よ う.そ

こ

でKの

元xを

と りx=u′n′

υ′ と上 の 様 に 分 解 す る.x∈Kだ

か ら

1=θ(u′)θ(n′)θ(υ ′) と な る.こ

こ で θがN′/H′

か らN/Hの

上 へ の 同形 写 像 を 引 きお こ し て い

る こ と に 注 意 す れ ば θ(n′)に対 応 す るWの 標 準 形 の 一 意 性(定

理7.25)に

か らn′ ∈H′,u′=υ が 成 り立 つ.こ

′=1を

よ りw=1,θ(u′)=θ(υ 得 る か らx∈H′

あ る.Gの

′)=1を

中 での

得 る.こ

が 証 明 さ れ る.す

の こと

な わ ちK⊂H′

の時 [U′,K]⊂U′

と な る.(関

元 は や は りwで

係(7.6)に

∩K⊂U′

よ りH′ はU′

∩H′={1}

を 正 規 化 す る.)同

様に

[V′,K]={1} も 成 り 立 つ.よ Z(G′)に

っ てKはG′

含 ま れ る.す

の 生 成 集 合 の 各 元 と可 換 だ か らKはG′

な わ ちK⊂H′

  基 本 系 Π の 元 をr1,r2,…,rlと わ す.こ

こ でH′

∩Z(G′)が しriに

成 り立 つ.

対 応 す るH′

の 元 が Πh′i(ti)(ti∈F#)と

み た す か らH″

べ てH″

Π

が 成 り立 つ.一

とw∈Wと

の 元 で あ る.こ

と お く.H′

こ でH′

しr∈

は 可 換群 で

Π な らば 当

よ りr=w(ri)を

関 す る 帰 納 法 を 用 い る.そ

Π),a=w′(ri)と

の

の 生 成 元h′r(t)が す

と な る.も

般 の 場 合 に は 定 理1.12に

が あ る.l(w)に

wsw′(l(w′)=l(w)-1,s∈ はH″

の 部 分 群 と な る.そ

の 元 で あ る こ と を 証 明 す れ ばH′=H″

然h′r(t)∈H″ すri∈

はH′

の 生 成 元 をh′t(t)と 表

書 け る こ と を 証 明 し よ う.そ

よ う に 書 く こ と の で き る 元 全 体 の つ く る 集 合 をH″ (D)を

の中心

みた

こ でw=

お け ば 帰 納 法 の 仮 定 に よ りh′a(t)

こで h′a(t)ω ′s(u)h′a(t)-1=ωs′(tn(a,s)u)

が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る(関 係 式(7.6)と

(第3の

等 号 は(7.3)(ⅰ))と

の任 意 の元 は

Πh′i(ti)と

 こ こ でG=Guが =Πhi(ti)と

な る.よ

ω′の 定 義).さ

っ てH″=H′

て

が 成 り 立 つ.す

な わ ちH′

書 け て い る.

普 遍 的 と 仮 定 す る.さ

な る か ら(8.4)に

てx=Πh′i(ti)の

よ りt1,t2,…,tlが

θ に よ る 像 は θ(x)

一 意 的 に 定 ま る.よ

っ てx∈

ker θ⇒t1=…=tl=1⇒x=1,す   上 述 の よ うにGuとG′ ら,こ

な わ ち 準 同 形 写 像 θは 実 は 同 形 写 像 で あ る. が 同 形 で,G′

れ ら の 写 像 の 合 成 をfと

はGuの

か らGの

お け ばfはGuか

らGの

上 へ の 準 同 形 で そ の核

中 心 に 含 ま れ て い る.

 (8.7) 

Δ 型 普 遍Chevalley群

をGと

お く.任

〈xr(t),x-r(s)〉 

はSL(2,F)と

意 のr∈

Δ に つ い て

(t,s∈F)

同 形 で あ る.

  証 明   Gr=〈xr(t),x-r(s)〉 と が で き る.Grの し て い る.さ 照,自

上 へ の準 同形 写 像 が あ る か

と お く.定

理1.9(a)に

生 成 元 の 集 合 はA1型

てA1型

普 遍Chevalley群

然 表 現 の 重 み はq1と-q1で

よ りr∈

普 遍Chevalley群

と仮 定 す る こ

の生 成 関係 を み た

はSL(2,F)と

あ る).よ

Π

同 形 で あ る(§5.2参

って

SL(2,F)→Gr と い う準 同 形 が あ る(定 理8.6).も

し こ の 準 同 形 が 単 射 で な け れ ばGrの

hr(t)=1と

こ ろ がGr⊂GでGは

い う 関 係 が 成 り立 つ.と

=1⇒t=1と

中で

普 遍 的 だ か らhr(t)

な り上 の 準 同 形 が 単 射 で な い と い う仮 定 に 矛 盾 す る.す

ち 

なわ

が成り立つ.

 注 意1.  LをAl型 て い る.こ

複 素 単 純Lie代

数 とす れ ばLは

の 自 然 表 現 に よ る 一 般Chevalley群

の 中 で 対 角 行 列 の 全 体 がCartan部 h1=e00-e11,  で あ る.表

現 空 間Vに

自 然 な 基e0,e1,…,elを

元 空 間Vに

作用 し

が 普 遍 的 で あ る こ とを 証 明 し よ う.L

分 代 数 と な る.よ h2=e11-e22, 

自 然 にl+1次

っ てhr=eii-ejj,特

に基 本 系 は

…,  hl=el-1,l-1-ell とれ ば

(Σ λieii)ek=λkek

だ か ら μk:Σ

λieii→

λkは

自然 表 現 の 重 み で あ る.(4.24)で

定 義 し たQの

元{qi}を

とれ ば μ0=q1,  と な る.し 場 合  

た が っ て こ の 場 合 Γv=Qと

μ0=q1が

LがCl型

LがBl型

μ1=q2-q1, 

…,  μl-1=ql-ql-1, 

μl=-ql

な り普 遍 的 なChevalley群

が 得 ら れ る.こ

の

最 高 の 重 み で あ る. の 場 合 も 同 様 で 自 然 表 現 に よ る 一 般Chevalley群

の 場 合,自

の 集 合 は §3.4の

然 表 現 の 重 み は 根 の 一 部 で Γv=Pと

記 号 で{±ei±ej}で

あ る.自

たDl型

,l+1+el+2,l+2

かし

の 場 合,根

然 表 現 の 重 み の 集 合 は{±ei}と

この場 合 は h1=e11-e22-el+1

は 普 遍 的 で あ る.し な る.ま

な る.

hl-1=el-1 ,l-1-ell-e2l-1,2l-1+e2l,2l hl=el-1 ,l-1+ell-e2l-1,2l-1-e2l,2l だ

か

らe1=q1,e2=q2-q1,…,el-2=ql-2-ql-3だ

が

el-1=ql+ql-1-ql-2,  と な る.し

el=ql-ql-1

た が っ て

とな っ て い る. 

で も表 現 空 間V上

違 って い るわ け で は な い.第5章   注 意2.  定 理8.6の

の一 般Chevalley群

が 随伴 的 な群 と必ず し も

最 後 の 注 意 参 照.

証 明か ら次 の定 理 の成 り立 つ こ とが わ か る.

 定理8.6′  生 成 元 の 集 合{x′r(t)}(r∈ Δ,t∈F)と 関 係(A),(B),(C),(D)に 義 され る 群 は 体F上  実 際,Δ

の Δ型 普 遍Chevalley群

の 次元 が ≧2の 場 合,関 係(C)は(A),(B),(D)か

り上 げ る必 要 は な い こ とが 知 られ て い る(Steinberg[6]参   3. fφ の 核 

表 現 φ に よ る 一 般Chevalley群

定 義 さ れ た 準 同 形fφ の 核 に よ っ て 定 ま る.こ う.部

分 群Hの

よ り定

で あ る. ら導 か れ る関 係 で 特 に 取 照). の 構 造 は 定 理8.6に

おい て

の節 で は そ の核 の構 造 を 調 べ よ

元は x=Πhi(ti) 

と 表 わ す こ と が で き る(定 理8.2).任

(ti∈F#)

意 の重 み μに 対 し て Πtiμ(hi)

はF#の

元 で あ る が,こ

の 値 はxだ

け に よ っ て 定 ま る.す

なわち

Πhi(ti)=Πhi(si) とす れ ば

Πhi(ti(si)-1)=1と

な る.よ

っ て 定 理8.3に

よ り

Π(tisi-1)μ(hi)=1

が 成 り立 つ.す

なわち χx:μ

→ Πtiμ(hi)

と 定 義 さ れ る 関 数 χxが 重 み の 生 成 す る 格 子 Γvの 上 で 定 ま る.こ ら か な よ う に χxは 格 子 Γvか χx(μ+μ

が 成 り立 つ.Γvか

らF#の

らF#の

中 へ の 指 標 で あ る.す

の形 か ら 明

なわち

′)=χx(μ)χx(μ ′),  χx(0)=1

中 へ の 指 標(略

し てF指

標 と い う)の

全体 は

χχ′(μ)=χ(μ)χ ′(μ) と定 義 さ れ る 積 に よ り群 を つ く る.こ  (8.8)  表 現 φ に よ る 一 般Chevalley群

の 群 はHom(Γv,F#)と をG,φ

表 わ さ れ る.

の重 み の 生成 す る 格子 を

Γvと お く.ΓvのF指 Q(定

義4.25)のF指

ΓvのF指

標 χ が χx(x∈H)と

標 に 拡 張 で き る こ と で あ る.Qの4F指

標 の 全 体 をH′

らH′

で と る値q(hi)は

→ Πtiμ(hi)と す る.任

{qi}の

つ い て,qがhi

元 と し て 確 定 す る.明

らか に

標 で χxの 拡 張 と な っ て い る.

標 χ がQのF指

しti=χ(qi)と

意 のq∈Qに

整 数 だ か ら Πtiq(hi)がF#の

Πtiq(hi)はQのF指

  逆 にF指

χx

の 上 へ の 同 形 写 像 で あ る.

  証 明   い ま χx:μ

q→

標 に拡 張 で き る

とお け ば x→

はHか

な るた め の条 件 は χ が重 み 加 群

標 に 拡 張 で き る と 仮 定 す る.そ

お く.こ

こ で{qi}は{hi}の

の 拡 張 も χ と表 わ

双 対 基 で あ る.Qの

任 意 の元 は

整 数 係 数 一 次 結 合 と な る か ら 任 意 の μ∈ Γvは μ=Σniqi 

と 表 わ す こ と が で き る.{qi}が{hi}の

(ni∈Z) 双 対 基 だ か らni=μ(hi)と

な る.よ

って χ(μ)=Π

と な る.そ

こ でx=Πhi(ti)と

  上 に 定 義 し た 集 合H′ x,y∈Hに

χ(qi)ni=Πtiμ(hi)

お け ばx∈Hか

つ χ=χxが

は 明 ら か にHom(Γv,F#)の

部 分 群 で あ る.任

つ い て χxχy(μ)=χxy(μ)が 成 り立 つ か らx→

の 上 へ の 準 同 形 で あ る.定

理8.3に

成 り立 つ.

χxはHか

意 の元 らH′

よ り こ の 写 像 は 単 射 と な り命 題 が 証 明 さ れ

る.

  普 遍Chevalley群Guに よ る 一 般Chevalley群 定 理8.6の

お い てHに をGと

対 応 す る群 をHuと

お き 定 理8.6で

証 明 か らfφ の 核 はHu→Hの

表 わ す.表

現 φに

定 義 さ れ た 準 同 形 をfφ とす る.

核 と 一 致 す る こ と が わ か る.

 (8.9)  次 の 図 式 は 可 換 で あ る.

こ こ で 縦 矢 は(8.8)の

写 像x→

χx,下

の 横 矢 は 重 み 加 群Qか

ら Γvへ

制 限 写 像 で あ る.   証 明  (8.4)に よ りHuの

元 は Πhi(ti)と

一 意 的 に 表 わ す こ と が で き る.こ

の

の時,定 義 に よ り対 応 す る指 標 χ は qj→

と な る.よ

Πtiqj(hi)=tj

っ て χ の Γv上 へ の 制 限 は(8.8)の μ →

を み た す.こ

れ はx=Πhi(ti)∈Hに

  定 理8.6の

証 明 か らHuの

わ か る.よ

っ て 図 式(8.9)は

 定 理8.10 

Πtiμ(hi)

対 応 す る 指 標 χxで あ る.

元 Πhi(ti)のfφ

こ でHom関

一 致 す る こ とが

同 形 で あ る.

 証 明   自然 な埋 め込 み 写 像 Γv→Qか

が 得 ら れ る.そ

に よ る 像 がxと

可 換 で あ る.

fφ の 核 はHom(Q/Γv,F#)と

0→

証 明 中 で 計 算 し た よ うに

ら完 全 系 列

Γv→Q→Q/Γv→0 手 の 一 般 的 性 質 に よ り(『代 数 』 Ⅱ,p.295定

理2)

1→Hom(Q/Γv,F#)→Hom(Q,F#)→Hom(Γv,F#)

が 完 全 系 列 とな る.(8.9)の

を 得 る(『代 数 』 Ⅱ,p.337補

可 換 図 式 とあわ せ て

題2).

 注 意   忠 実 な 表 現 φ1,φ2が 与 え ら れ た 時 φiの 重 み が 生 成 す る 格 子 を Γiと お く.も Γ1⊂ Γ2な

ら ば φ2に よ るChevalley群G2か

の 準 同 形gが

あ っ てker

  4. Q/Pの

構造 

階 数lの

ら φ1に よ る 一 般Chevalley群G1の

gはHom(Γ2/Γ1,F#)と

重 み 加 群 をQ,根

自 由 加 法 群 で あ る か らQ/Pは

し

上へ

同 形 に な る.

が 生 成 す る 加 群 をPと 有 限 群 で あ っ て,そ

お く.PもQも の 構 造 はPの

基 を

Qの 基 の 一 次 結 合 で 表 わ し た 時 の 係 数 が つ く る 行 列 の 単 因 子 に よ っ て 定 ま る (『代 数 』 Ⅱ,pp.278-282).前 し て{h1,…,hl}を

の よ うにPの

と る.Hの

基 と

とれ ば 行 列 C=(aij), 

は §2で 定 義 し た 根 系 Δ のCartan行  (8.11) 

基{r1,…,rl}を

重 み 加 群Qに{hi}の

aij=ri(hj)

列 と 一 致 す る. 双 対 基{q1,…,ql}を

と り 各riを

ri=Σcijqj

と{qj}の

一 次 結 合 と し て 表 わ す.こ

の 時,行

列(cij)は

Δ のCartan行

一 致 す る.   証 明   定 義 に よ り 

qk(hk)=1と

な る.よ

って

列 と

ri(hj)=Σcikqk(hj)=cij

が 成 り立 つ.す

 定 理8.12 

な わ ち 行 列(cij)は

Δ のCartan行

Dl型 の 場 合 を 除 け ばQ/Pは

列 と一 致 す る.

巡 回 群 で そ の位 数 は次 の 表 で 与 え

られ る.

lが 奇 数 な らばDl型 型 で はQ/Pは

で もQ/Pは

位 数4の 巡 回 群 で あ るが,lが

偶数 の場 合Dl

位 数2の 巡 回 群 二 つ の直 積 で あ る.

 証 明   §3に お い て各 型 の 根 系 は す べ て 書 き上 げ られ て い る か ら そ れ を用 い れ ばCartan行

列Cは

容 易 に求 め られ る.そ の 上 でCの

単因子を計算すれ ば

よい.各 根 系 につ い て別 々に実 行 し てみ よ う.   Al型 

この 場 合Cは

対 角線 上 に2が 並 び,そ

れ に 沿 っ て上 下 に-1が

ある

だ け で そ の他 の成 分 は0で あ る.単 因 子 を求 め る に は行 列 式 の値 が1の 整 数 成 分 を もつ行 列 を 右,左 278).そ

か らか け てCを

対 角 行 列 に直 せ ば よい(『 代 数 』 Ⅱ,p.

こで (I+e21)右, 

とか け れ ば 最 初 の単 因子1が

(I-e21+e31)左, 

現わ れ,次 に一 つ 次 数 の 下 った行 列 で 第1列 が t(3

そ の他 はCと

(I+e12)右

,-2,0,…,0)

同 一 の もの が得 られ る.第2の

単 因 子 も1で,同

様 の手段を繰

り返 せ ば最 後 に

が 現 わ れ る.結 Q/Pは  

Bl型 

局,単

位 数l+1の Cartan行

因 子 は1,1,…,1,l+1で

巡 回 群 で あ る(『代 数 』 Ⅰ,p.99定 列 は 最 後 の 列 を 除 け ばAl型

最 後 の 列 はt(0,…,0,-2,2)と

な る.し

が 現 わ れ る か ら 単 因 子 は1,1,…,1,2と の 巡 回 群 で あ る.

あ る こ と が わ か る.し

たが って

理2).

のCartan行

列 と一 致 す る が

た が って単 因 子 の 計 算 の 最 後 に

な る.よ

っ て こ の 場 合Q/Pは

位 数2

 

Cl型 

Cartan行

列 はBl型

の も の の 転 置 行 列 で あ る.し

た が って 単 因 子 は

前 の 場 合 と一 致 す る.  

Dl型

  こ の 場 合 もCartan行

一 致 す る .最

後 の 行 と 列 で は-1がl-2番

て 最 後 か ら2番

を 得 る.よ

列 は 最 後 の 行 と 列 と を 除 け ばAl型 目 の 成 分 とな っ て い る.し

たが っ

目に

って 最 後 に は

の 単 因 子 を 計 算 す れ ば よ い.lが {2,2}で

の もの と

あ る.し

奇 数 な ら ば 単 因 子 は{1,4},lが

偶 数 な らば

た が っ て こ の 場 合 も定 理 が 成 り立 つ(『 代 数 』 Ⅰ,p.99定

理

2).  

G2型

  (r1,r1)<(r2,r2)と

で 行 列 式 の 値 は1と   E6型 

す れ ばCartan行

な る.し

た が っ て 単 因 子 は{1,1}で

§3.7の 記 号 を 用 い る.Cartan行

で(i,j)成

列 は

あ る.

列 は 対 角 線 上 に2が

並 ぶ対 称 行 列

分(i<j)は

(i,j)=(1,3),(2,4),(3,4),(4,5),(5,6) の 場 合-1で

そ の 他 の 場 所 は0と

な る.こ

れ か ら単 因 子 は1,1,1,1,1,3で

あ

る こ とが わ か る.

 そ の他 の例 外 型 の場 合 も §3に あ げ た 根 系 か ら 容 易 にCartan行

列が 求 ま

る.そ の単 因子 を計 算 す れ ば定 理 の成 り立 つ こ とが 確 か め られ る.  注 意   Cartan行

列 な ど根 系 の性 質 や 不 変 量 に 関 した こ と はBourbaki[1]の

巻 末に

ま とめ てあ るか ら参 照 され た い.   5. 有 限Chevalley群

の位数

  定 理8.13 

の 普 遍Chevalley群

有 限 体F上

Δ,そ の 基 本 系 の 一 つ を Π,Π

をGと

す る.対

の 定 め る 正 系 を Δ+,Weyl群

応 す る根 系 を をWと

お く.

￨F￨=q, 

とす れ ばGの

￨Π￨=l, 

￨Δ+￨=N

位 数 は 次式 で 与 え られ る. ￨G￨=qN(q-1)lΣql(w)

こ こ で 和 はw∈Wの

す べ て に わ た り,l(w)はwの

  証 明   (7.26)に

よ りBの

指数は

Σqn(w)に

よ り符 号 を 変 え る 正 根 の 数 で あ る.と 成 り立 つ.定

理7.7に

最 短 表 示 の 長 さ で あ る.

等 し い.こ

こ ろ で 定 理1.13に

よ りB=UH,U∩H={1}で

こ でn(w)はwに よ りn(w)=l(w)が

あ るか ら

￨B￨=￨U￨・￨H￨ と な る.定

理7.3に

よ り￨U￨=qN,(8.4)に

よ り￨H￨=(q-1)lを

 有 限 体 上 で随 伴 的 なChevalley群

得 る.

の位 数 を 求 め るに は次 の定 理 を 証 明す れ

ば よい.  定 理8.14 

Fは 有 限q元

体 と す る.Q/Pの

位 数 をeと

し,さ

らに

d=￨Hom(Q/P,F#)￨ と お く(§8.4参

照).Q/Pが

巡回群の場合には

d=(e,q-1)  と な る.Dl型

でlが

(eとq-1と

標 数 が2な

ら ばd=1,Fの

巡 回 群 の 場 合 に は そ の 生 成 元 をxと

お く.Q/Pか

で な け れ ばd=4と

偶 数 の 場 合 に はFの

の 最 大 公 約 数)

な る.

  証 明   Q/Pが

へ の 準 同 形fはf(x)∈F#に

よ り定 ま る.F#は

数 』 Ⅰ,p.102例4)d=(e,q-1)と

位 数q-1の

な る.Dl型

でlが

位 数2の

巡 回 群 二 つ の 直 積 で あ る(定 理8.12).し

合F#の

位 数 に 奇 数 だ か らd=1と

  定 理8.15  をGと

係 数 体Fが

標 数pの

お け ば 部 分 群U,VはGの

  証 明   仮 定 に よ りqはpの ら か にl(w)=0はwが1の

な る.そ

シ ロ ーp群

分 群Uの

たHの

指 数 がpと

位 数 だ か らVもGの

た が っ てFの

の 他 の 場 合 はd=4で

た が って

と な る.

場

あ る.

で あ る.

時 に だ け 成 り立 つ.し

シ ロ ーp群

標 数 が2の

の 一 般Chevalley群

位 数qNのp群

素 に な る か らUはGの

中

巡 回 群 だ か ら(『代

ベ キ で あ る か らUは

位 数 は(q-1)lの

らF#の

偶 数 の 場 合 に はQ/Pは

有 限 体 と す る.F上

￨G:B￨=Σql(w)≡1  が 成 り立 つ.ま

標 数 が2

(mod

で あ る.明

p)

約 数 だ か らpと シ ロ ーp群

素 で あ る.よ

って 部

で あ る.VはUと

同

 注 意1.  定 理8.13が

与 え るGの

で あ る.古 典型 のChevalley群

位 数 は 実 際 に￨G￨を

計 算 し よ うとす る と不 便 な も の

の位 数 は 第2章 で 求 め たが,そ れ と比 較 す る と全 く異 質

の もの で あ る こ とが わ か る.実 は古 典 型 の場 合 と同 様 に ￨G￨=(1/d)qN(qd(1)-1)…(qd(l)-1)

と い う 形 の 公 式 が 成 り立 つ.こ る.こ

こ でd(1),…,d(l)は

の 結 果 に つ い て はChevalleyの

が あ り,ま

たSolomonに

外 型 の 場 合 のd(1),…,d(l)を G2型

 

F4型

でCは

論 を用 い る位 相 的 な証 明 の っ てい

表 に し て お こ う.

2,6

 

2,6,8,12

E6型

 

2,5,6,8,9,12

E7型

 

2,6,8,10,12,14,18

E8型

 

2,8,12,14,18,20,24,30

証 明 か らQ/Pが

こ とが わか る.Chevalley群 る.Q/Pが

原 論 文[2*]にLie群

よ る代 数 的 な 証 明 がSteinberg[6],Carter[2]に

る か ら 参 照 さ れ た い.例

 注 意2.  定理8.14の

根 系 Δ に よ り定 め ら れ る 正 整 数 で あ

巡 回 群な ら ばHom(Q/P,F#)も

に お け る部 分 群Hの

巡回群であ る

構 造 も容 易 に 書 き上 げ る こ とが で き

巡回群の時は

位 数(q-1)/dの

巡 回群 で あ る.Dl型

は(F#)l-2×D2でDは

位 数(q-1)/2の

 §9 Chevalley群

でlが 偶 数 の場 合 に はqが

奇 数 な らばH

巡 回 群 で あ る.

の 単 純性

 この 節 で は 単純 複 素Lie代

数 に 対 応 す る随伴 的Chevalley群G(Δ)が

四つ

の 例 外 を 除 け ば 単純 群 に な る こ とを 証 明 す る.基 本 とな る の は次 のTitsの

補

題 で あ る.  (9.1)  Tits系(G,B,N,S)を ばGは

(1)  Gは

交 換 子 群G′

(2)  Bは

可 解 群 で あ る.

(3)  Gの

正 規 部 分 群 でBに

(4)  Sは

既 約,す

次 の4条

件 を み た す と仮 定 す れ

と一 致 す る.

  証 明   Gの

含 ま れ て い る も の は{1}だ

な わ ちSの

が 交 換 可 能 で あ れ ばJはSと

Bを

も つ 群Gが

単 純 群 で あ る.

部 分 集 合Jに

一 致 す る か ま た はJは

正 規 部 分 群 をG0と

含 ん で い る.よ

つ い てJの

す る.G0が

っ て 定 理7.19に

け で あ る. 各 元 とS-Jの

空 集 合 で あ る.

正 規 だ か らBG0はGの

よ りBG0=BWJBを

各元 と

み た すSの

部分群 で 部分集

合Jが

あ る.こ

の 時r∈Jとs∈S-Jと

明 ら か にl(rs)>l(s)だ G0∩BrBは

が 交 換 可 能 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

か ら(7.16)に

よ りrBs⊂BrsBを

空 集 合 で は な い. 

と な る(s=s-1).と

得 る.r∈Jだ

か ら

より

こ ろ でsBrBs⊂sBrsBだ

か ら(T3)に

よ り

sBrBs⊂BrsB∪BsrsB を 得 る.し

た が っ てG0はBrsBま

がBrsBの

た はBsrsBの

元 を 含 め ばBG0⊃BrsBよ

か らs∈WJと

な り(7.18)に

で い る.上

りrs∈WJを

矛 盾 す る.し

と 同 様 にsrs∈WJを

WJ∩WKと

な る.と

た が っ てG0はBsrsBの

得 る.こ

成 り立 つ.条

の 場 合K={r,s}と

しG0

仮 定 した 元を含ん

お け ばsrs∈

と な る(定 理7.19(ⅱ)).

件(4)に

よ りSは

既 約 だ か らJ=S

空 集 合 と な る.

  い まJ=Sな

ら ばBG0=BWB=Gと

が 成 り立 つ.こ

の 右 辺 は 条 件(2)に

ば 条 件(1)に

よ りGは

と一 致 す る.す   最 後 にJが る.よ

得 る.r∈Jと

こ ろ でWJ∩WK=WJ∩K=〈r〉

す な わ ちsrs=r,sr=rsが ま た はJは

元 を 含 ん で い る.も

てG=G/G0と

方,Gは

おけ

可 解 だ か らGは{1}

な る.

空 集 合 と仮 定 す る.こ

の 場 合 はBG0=B,す

よ りG0={1}を

に 一 致 す る か ま た は{1}と

た が って 同 形 定 理 に よ り

よ り可 解 群 で あ る.さ

交 換 子 群 と 一 致 す る.一

な わ ちG=G0と

っ て 条 件(3)に

  Chevalley群

な る.し

な る.よ

な わ ちG0⊂Bと

得 る.こ

の様にGの

っ てGは

単 純 群 で あ る.

な

正 規 部 分 群G0はG

の 単 純 性 を 証 明 す る た め に 次 の 補 題 が 入 用 と な る.

  (9.2)  部 分 群VはUと

共 役 に な る.す

な わ ちw0∈W(Δ)が

w0(Δ+)=-Δ+ を み た し て い れ ば((1.14)(b)参

照)w0Uw0-1=Vと

  証 明  r∈ Δ+な ら ばs=w0(r)∈-Δ+と n∈Nを

と れ ばnXrn-1=Xs(s=w0(r))を

nUn-1=Vが

こ でw0の

み た す(7.8).明

任 意 の 代表元 らか に こ れ か ら

得 ら れ る.

 以 上 の 準 備 の 下 でChevalley群   定 理9.3 

な る.そ

な る.

係 数 体F上

の 単 純 性 が 証 明 さ れ る.

の Δ 型(随 伴 的)Chevalley群

をGと

お く.次

にあ

げ る 四 つ の 例 外 を 除 け ばGは

単 純 群 で あ る.例

￨F￨=2,  Δ=A1,B2,G2お   証 明  定 理7.12に

よ び￨F￨=3, 

よ りGはTits系(G,B,N,S)を

(9.1)の 条 件 を み た す こ と を 証 明 し よ う.ま

でHは

外 は

可 換 群(定 理7.7),Uは

Δ=A1. も っ て い る.以

下Gが

ず

ベ キ 零 群(定 理7 .3)だ か らBは

可 解 群 で 条件

(2)が 成 り立 つ.   条 件(3)を

証 明す るた め にBに

時wUw-1=Vを

み た すNの

含 まれ て い る正 規 部 分 群 をKと

元wが

お く.こ

の

あ るか ら(9.2),

K⊂B∩wBw-1=UH∩VH=H とな る(7.20).定

理8.6の

証 明 と同 様 の 方 法 を 用 いKがGの

こ とが証 明 され る.一 方,Hの  (9.4) 

っ てy∈Kな

つ い て 成 り立 つ.と

理8.3に

元yに 対 応 す る指 標 をχ=χyと

おけば

yxs(u)y-1=xs(χ)(s)u)

を 得 る((7.6)(ⅲ)).よ 根sに

中心 に含 まれ る

よ りy=1を

得 る.す

  Δ型 のChevalley群

か ら χ(s)=1が

すべ ての

随 伴 的 だ か ら(重 み と 根 とが 一 致 し)定

な わ ちK={1}で

で はDynkinの

な わ ち 条 件(4)が

条 件(3)が

成 り立 つ.

図 形 が 連 結 だ か らSは

既 約 で あ る.す

成 り立 つ.

  最 後 に 条 件(1)が 体Fが￨F￨≧4を

こ ろ でGは

ら ばy∈Z(G)だ

例 外 の 場 合 を 除 け ば 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.ま み た す と 仮 定 す る.(7.6)(ⅲ)に

ず係数

よ り

hr(t)xr(u)hr(t)-1=xr(t2u) が 成 り立 つ.し  

た が っ て[hr(t),xr(u)]=xr((t2-1)u)を

を み た すFの

元tが

換 子 と な る.す

な わ ちGは

て こ の 場 合,条

件(1)が

  以 下￨F￨≦3と 任 意 の 元rに XrとXw(r)と

あ る.ゆ

えに 任 意 のrとuと

に つ い てx

交 換 子 で 生 成 さ れ る か らG=G′

か ら r(u)は

が 成 り立 つ.よ

交 っ

成 り立 つ.

仮 定 す る.例 対 しw(r)∈

得 る.￨F￨≧4だ

外 の 場 合 は 除 くか ら 

Π を み た すw∈W(Δ)が

と仮 定 す る.Δ

あ る(定 理1.12).こ

の

の時

は 共 役 だ か ら(7.8), r∈ Π

⇒Xr⊂G′

を 証 明 の 目標 とす る.さ て Π のDynkinの

図形 の 中にrと

丁 度1重 に 結 ば れ

て い る 根sが sのr系

あ る と 仮 定 す る.こ

列 は{s,r+s}と

の時rとsと

な る.し

はA2型

た が っ て 定 理7.1に

[xs(u),xr(t)]xr+s(εtu) 

を 得 る.す

な わ ちxr+s(t)は

の 根 系 を生 成 す る か ら

任 意 のtに

よ り

(ε=±1)

つ い て 交 換 子 と な る.と

こ ろで

ws(r+s)=r が 成 り立 つ か らxr(t)∈G′

を 得 る.§2で

Δ=Al(l≧2),Dl,El,F4の

場 合,す

根sが

述 べ たLie代

べ て のr∈

Π につ い て 上 の 条 件 を み た す

存 在 す る か ら Δ 型 の 群 に つ い て 条 件(1)が

  さ てl>2な

ら ば Δ=Blでrが

に は や は りXr⊂G′

成 り立 つ.

長 い 根 の 場 合,Δ=Clでrが

と な る.こ

2重 に 結 ば れ て い れ ばsのr系

数の分類定理に よ り

の い ず れ か の 場 合rを

短 い 根 の場 合

短 い 根 と し,rがsと

列 は{s,s+r,s+2r}と

な り

[xs(u),xr(t)]=xs+r(εut)xs+2r(ε′t2u)

が 成 り立 つ.こ

こ で ε,ε′ は1ま

長 い 根 だ か らXr+sかXs+2rの

た は-1で

  Δ=B2の

短 い 根 でs+2rは

い ず れ か はG′ に 含 ま れ て い る.よ

り両 方 と も 交 換 子 群 に 含 ま れ て い る.す ら ば 条 件(1)が

あ る.r+sは

な わ ち Δ がBlで

っ て上 式 よ

も,Clで

もl>2な

成 り立 つ.

場 合,上

の 様 にr,sを

選び交換子を計算すれば

[xs+r(u),xr(t)]=x2r+s(ctu) と な りc=±2で

あ る.よ

合 と 同 様 にXr+s⊂G′   Δ=G2の

場 合rを

っ て￨F￨=3な

ら ばX2r+s⊂G′

を 得 る か ら こ の 場 合 も 条 件(1)が 短 い 根,sを

長 い 根 と しsのr系

と な る.l>2の

場

成 り立 つ. 列を

{s,s+r,s+2r,s+3r} と お く.正

の 根 は こ の 外 にrと2s+3rが

あ る.交

[xs(u),xs+3r(t)]=x2s+3r(εtu)  を 得 る.よ

っ て 長 い 根 に 対 応 す るXはG′

換 子 の計 算 に よ り (ε=±1)

に 含 ま れ る.ま

た

[xr+s(u),xr(t)]=x2r+s(c1tu)x3r+2s(c2tu2)x3r+s(c3t2u) こ こ でc1=±2で あ る か ら,￨F￨=3な  注 意1.  定 理9.3の

あ る.2r+sは

短 い 根 で,右

辺 に 現 わ れ る他 の 根 は 長 い 根 で

ら ば 短 い 根 に 対 応 す る 群 もG′に

含 ま れ る.

証 明 の要 点 は 例外 の 場合 を 除 けば 各生 成 元xr(t)が

とな る こ と の証 明 であ る.こ れ は 一 般Chevalley群

交 換 子群 の元

の場 合 に もそ の ま ま あ て は ま る.す

なわ ち 例 外 の 場 合 を 除 け ば 一 般Chevalley群 の場 合Chevalley群Gは  述 べ た か らB2型

は(9.1)の

条 件(1)を み た し て い る.例 外

を み た す こ とを 示 そ う.A1型

とG2型

の場 合 は す で に(Ⅱ §2)

の場 合 を調 べ る.い ず れ の場 合 も係 数体 は2元 体 で,Gは

普遍

的 で あ る.   B2型   各 生 成 元xr(1)を-1に

うつ す 写 像がGか

拡 張 され る こ とを 証 明 し よ う.そ のた め に はGの xr(1)に-1を

ら 乗 法 群{±1}の

代 入 し た 式 が 成 り立 つ こ とを 確 か めれ ば よい.(A)に

の うち0で な い項 の数 は偶 数 だ か ら,こ

上への準同形に

基 本関 係(定 理8.6参

の場 合 は よ い.(B)に

xr+s(1)x2r+s(1)ま た はxr+s(2)と な る.￨F￨=2だ

照)に

おいて各

お い てt1,t2,t1+t2

お い て,積 記号 の 中 は

か ら後 者 は1と な り(B)も

成 り立 つ.

定義か ら ωr→-1, hr(t)→1 とな るか ら(C),(D)共 て そ れ はGか

に 成 り立 ちxr(1)→-1は

ら{±1}の

群 を 含 む か ら 

基 本 関 係を 保 つ 写 像 とな る.よ

上 へ の 準 同 形 に 拡 張 され る.す

で あ る.実 際2元 体 上 のB2型

な わ ちGは

っ

指 数2の 正 規 部 分

の 群 は6次 の対 称 群 Σ6と 同形 で あ

る.   G2型   この場 合rが 長 い 根 の 時xr(1)を1に,rが せ れ ばGか

ら{±1}の

ぐわ か る.(B)に

短 い 根 の時xr(1)を-1に

上へ の 準 同形 が 得 られ る.関 係(A),(C),(D)を

お け る積 記号 の 中 に 短 い 根が 現 わ れ るの は 定 理6.4の

合 の いず れ か で あ る.し か し そ の 第1の 場 合,短

対応 さ

保 つ こ とは す 最 後 の三 つ の場

い根 に 対 応 す る元 はNr,s=±2よ

り消

え て し ま う.そ の 他 の場 合,短 い 根 に 対 応 す る項 が 二 つ現 わ れ る か らや は り関 係(B)が 成 り立 つ.よ 指数2の

ってB2型

の場 合 と同 様 にGと

交 換 子 群G′ とは 一 致 し な い.こ

正 規部 分 群 は ユ ニ タ リ群SU(3,3)と

  注 意2.  例 外 の場 合 も含 め て,普

遍ChevalleyGuか

の 準 同形 の核 はGuの

一 致 す る.ま

Chevalley群

中 心Z(Gu)と

は Δ とFだ

け で 定 ま りLie代

の場 合,

同 形 であ る こ とが 知 ら れ て い る. ら随 伴Chevalley群Gaへ

た,こ

数Lの

の注 意 と 定 理8.6か

ら Δ型 の

標 準 基 の取 り方 な どに は 関 係 しな い

こ とがわ か る.

  §10  Steinberg群   1. 定 義  

前 節 に お い て 単 純 複 素Lie代

ん どす べ て の 場 合,単 大 部 分 と,例

純 群 で あ る こ と を 証 明 し た.そ

外 型Chevalley群

リ群 はChevalley群

数 に 対 応 す るChevalley群

こで 有 限 体 上 の 古 典 群 の

が 有 限 単 純 群 と な る こ と が わ か っ た.ユ

で は な い がAl型

の 群 の 自 己 同 形 を 適 当 に と る と,そ

自 己 同 形 の 不 変 元 の つ く る 部 分 群 と し て ユ ニ タ リ群 が 現 わ れ る.こ と に し て,残

りの 有 限 古 典 群 の 外 に2種

こ れ ら の 群 をSteinberg群

がほ と

と い う.

類 の 単 純 群 をSteinbergが

ニ タ の

の事実を も 構 成 し た.

  こ の 構 成 の も と と な る の は グ ラ フ型 自 己 同 形 の 概 念 で あ る.Al,Dl,E6型 根 系 に 対 応 す るDynkinの た と え ばAl型   (10.1) 

図 形 は 恒 等 写 像 で な い 自 己 同 形 σ を も っ て い る.

で は 中 央 の 点 に 関 す る 対 称 写 像 で あ る.

Δ をAl,Dlま

形 を σ と お く.複 Π と お く.Π

の

た はE6型

の 根 系 と し,恒

素 数 体 上 の Δ 型 単 純Lie代

数 をL,Δ

に 属 す る 根 が 生 成 す るEuclid空

長 写 像 τに 拡 張 さ れ る.こ

等 写 像 で な い 図 形 の 自己 同 の基本系の 一 つ を

間 をEと

お け ば,σ

の 等 長 写 像 τに よ り Δ は 不 変 で あ る.任

上 の Δ 型 普 遍Chevalley群

をGと

はEの

等

意 の 体F

お け ばGは

γ(xr(t))=xτ(r)(εrt) を み た す 自 己 同 形 γ を も つ.こ

こ で εr=ε-rで

εr=1ま

  証 明   Δ の 根 は す べ て 同 一 の 長 さ を も つ の で,そ 時 Π の2根r,sに

対 応 す るDynkinの

な い か に 応 じ て(r,s)は-1/2ま

き る.任

本 系Π

た は0と

意 のr∈

はEの

の 長 さ を1に

あ る. 定 め る.こ

の

図形 の 白丸 が線 分 で 結 ば れ て い るか い な る.し

(r,s)=(σr,σs)  が 成 り立 つ.基

た は-1で

た が って

(r,s∈ Π)

基 だ か ら σ は 一 意 的 にEの

Δ に 関 す る 対 称 変 換 をwrと

等 長 写 像 τに 拡 張 で

おけば

τwrτ-1=wτ(r)

が 成 り立 つ.い

まr∈Π

と仮 定 す れ ば τ(r)=σ(r)∈Π

像 は Δ のWeyl群Wの τWτ-1=Wが

生 成 集 合{wr}(r∈

成 り立 つ(定 理1.12参

を み た すs∈Π,w∈Wが

あ る.し

Π)を

照).任

だ か ら τに よ る共 役 写

不 変 に す る.し

意 に Δ の 元rを

た が って

とれ ばr=w(s)

たが って

τ(r)=τwτ-1(τ(s))∈ Δ を 得 る.す

な わ ち τ(Δ)=Δ が 成 り立 つ.

  さ てLの

標 準 基 を{hp,er}(p∈

を 選 べ ばhp→hσ(p),er→ よ う.単

εreτ(r)がLの

純 な 複 素Lie代

数 はCartan行

に つ い てer→eτ(r),e-r→e-τ(r)を ρ と お き ρ(es)=εseτ(s)(εs=±1)と し,sの

高 さht(s)に

Π,r∈ Δ)と お く.こ

当 に εr=±1

自己 同 形 に 拡 張 で き る こ と を証 明 し 列に よ り一 意 的 に 定 ま る か らr∈

み た すLの

自 己 同 形 が 存 在 す る.そ

な る こ と を 証 明 し よ う.ま

つ い て 帰 納 法 を 用 い る.定

r=t+s, 

の 時,適

理1.18に

t∈ Δ+, s∈ Π,  ht(t)
ずs∈

より

Π

れを

Δ+と 仮 定

を み た すt,sが

あ る.帰

[et,es]=Nt,set+sで

納 法 の 仮 定 に よ り ρ(et)=εteτ(t)が

成

り 立 つ.さ

て

あ るか ら Nt,sρ(er)=[ρ(et),ρ(es)]=[εteτ(t),eτ(s)]

と な り ρ(er)=εreτ(r)を 得 る.こ

こ で εr=εtNτ(t),τ(s)/Nt,sで あ る.と

Δの 根 は 同 一 の 長 さを もつ か ら   Nt,s=±1,  を 得 る か ら εrは1ま 成 り立 つ.よ

た は-1と

Π)の

hτ(s)が 成 り立 つ.よ  さ て 任 意 の 体F上 時 す べ て のr∈

た が っ て(2

.6)に

よ り

義 に よ りr∈ Π な ら ば εr=ε-r=1が

り ρ(hr)=hτ(r)を

得 る.と

こ ろ で任意 の

整 数 係 数 一 次 結 合 と な る か ら任 意 のsに

つ い て ρ(hs)=

っ て εs=ε-sを 得 る. で 定 義 さ れ た Δ 型 普 遍Chevalley群

をGと

Δ に つ い て γ(xr(t))=xτ(r)(εrt)が 成 り立 つGの

あ る こ と を 証 明 し よ う.{xτ(r)(εrt)}がGの み た す こ と を 示 せ ば よ い(定 理8.6の 明 ら か で あ る.関

ころ で

Nτ(t),τ(s)=±1

な る.定

っ て[er,e-r]=hrよ

hsは{hr}(r∈

,し

係(B)は(根

お く.こ

の

自己 同形 γが

生 成 元 の 間 に 成 り立 つ 基 本 関 係 を

証 明 参 照).関

係(A)の

成 り立 つ こ と は

の 長 さ が 一 定 だ か ら)r+s∈

Δ の時

[xτ(r)(εrt),xτ(s)(εsu)]=xτ(r+s)(εr+sNr,stu)

と な る.左 形 だ か ら

辺 はxτ(r)+τ(s)(Nτ(r)

,τ(s)εrεstu)に 等 し い.と

ρ([er,es])=[ρer,ρes]と εr+sNr

を 得 て(B)が

はhτ(r)(t)で

(D)の

こ ろ で ρ がLの

自己 同

っ て

,s=εrεsNτ(r),τ(s)

成 り 立 つ.

 さ て εr=ε-rだ

れ る.た

な る.よ

か ら ωr(t)→ ωτ(r)(εrt)とな る.よ

あ る.そ

とえ ば 第2の

こ で 関 係(C)の 式 は(6.9)に

っ てhr(t)に

前 半 が 成 り立 つ .後

半 も容 易 に 証 明 さ

ρを 作 用 さ せ た 式 を 用 い れ ば よ い .関

成 り立 つ こ と も す ぐわ か る の で γ は 普 遍Chevalley群

拡 張 さ れ る.明

対 応 す る元

ら か に γは 全 射 で あ る.一

方,γ

係

の 自 己準 同形 に

の 位 数 は2ま

た は3で

あ るか

ら γは 自己 同 形 と な る.   上 に 定 義 し た γ を グ ラ フ 型 自 己 同 形 と い う.次

に 体Fの

自己 同 形 を 拡 張 し

自 己 同 形 θ に 対 応 し てxr(t)→xr(θ(t))を

み た す 自己 同形

て 群 の 体 型 自 己 同 形 が 得 ら れ る こ と を 示 そ う.  (10.2) 

体Fの

φ=φ θ が 定 ま る.

 証 明

 

に  

はVFのF0線

が 定 義 さ れ る.θ の 不 変 体 をF0と

形 写 像 で あ る.さ

て θ1xr(t)θ1-1=xr(θ(t))が 成 り立 つ.し

て θ1に よ る 共 役 写 像 を φ とお け ば(10.2)が   根 系 Δ はAl,Dl,E6型 の 位 数 をnと 体Fは

位 数nの

  体F上

たが っ

成 り立 つ.

の い ず れ か と し,恒

す る.D4型

お け ば θ1

等 写 像 で な い 自 己 同 形 を σ,そ

以 外 で はn=2,D4型

の 時n=2ま

た は3で

あ る.

自己 同 形 θを も つ と仮 定 す る.

の Δ 型 普 遍Chevalley群

を τ と お く.グ

をGと

し,σ

が 引 き お こ すEの

等長写像

ラ フ 型 自 己 同 形 γ と体 型 自己 同 形 φ と は 交 換 可 能 で あ る か ら ρ(xr(t))=xτ(r)(εrθ(t))

と お け ば ρ=γφ で ρ の 位 数 はnと U=〈Xr￨r∈

な る.τ(Π)=Π,τ(Δ+)=Δ+よ

Δ+〉 お よ びV=〈X-r￨r∈

元 の 全 体 をU1,Vの

Δ+〉 を 不 変 に す る.そ

ρ不 変 元 の 全 体 をV1と

り ρは 部 分 群 こ でUの

ρ不 変

し

G1=〈U1,V1〉 を Δ型Chevalley群  あ と でG1の

こ でG1の

中 心 に 含 ま れ る 正 規 部 分 群 をKと

と よ ぶ こ と に す る.こ

が 任 意 のChevalley群

が 得 ら れ る.こ

  任 意 のChevalley群

はGu/Zと

不 変 に し て い る.こ

て ρがZを

不 変 に す れ ば ρ はGu/Zに

が 定 義 さ れ る が,そ

中心

中 心 が巡 回群 で な い 場 合 は 後 節

ρ不 変 で な い の はD4型

で ρに よ り不 変 とな るU,Vの

に定義 し

れ はGuの

の 中心 お よ び 巡 回群 の 部 分群 は す べ て 特 性

部 分 群 で あ る(『群 論 』 上p.48(6.13)).Guの

る.さ

場 合 を 除 け ばG1/K

い う形 を し て い る(定 理8.6).上

が 巡 回 群 な ら ば 明 ら か で あ る.(群

参 照 さ れ た い.Zが

でn=3の

か ら出 発 し た

の こ と を 一 応 解 説 し て お こ う.

自 己 同 形 ρは ほ と ん ど の 場 合Zを

§10.3を

す る 時G1/Kも

の 節 で は 普 遍Chevalley群

か ら 出 発 し て もD4型

の 形 のSteinberg群

たGuの

とい う.

中 心 に よ る商 群 が 一 つ の 例 外 を 除 け ばす べ て単 純 群 に な る こ と

を 証 明 す る.そ Steinberg群

か ら 導 か れ たSteinberg群

でn=3の

場合だけであ

自 己 同 形 ρ を 引 き お こ す.そ

元 か ら 生 成 さ れ る 部 分 群 と し てSteinberg群

れ はG1/Kと

表 わ さ れ る群 と 同 形 で あ る.

  2. Al型Steinberg群

 Al型

る こ とを 証 明 し よ う.Al型

のLie代

数 はn=l+1次

で 対 角 和 が0と

数 で あ る.そ

こ でn次

元 線 形 空 間 の 基 を{e0,…,el}

列 の 全 体 が つ く るLie代

こ

のChevalley群

か ら ユ ニ タ リ群 が 得 られ な る行

とお け ば

がLie代

 

がAl型

の根 系 で

数 の 標 準 基 と な る(§3.1).こ

本 系 に 対 応 し て い る.Dynkinの σ が 引 き お こ すLie代 角 行 列Aを

こ で{ei-1

,i(i=1,2,…,l)}が

Δ の基

図形 の 自己 同形 σは 中点 に よる対 称 だか ら

数 の 自己 同 形 に よ り  

と な る.さ

て逆 対

次 の よ うに 定 義 す る. A=ε

こ こ で 和 はiに

つ い て0か

らlま

奇 数 の 場 合 は 

Σ(-1)iei,l-i, で,ε

はlが

偶 数 な ら ば ε=1で

を み た す 元 ε を と る.こ

よ い がlが

の時

α:M→-A-1(tM)A はLie代

数 の 自 己 同 形 と な る.こ

  前 に 注 意 し た よ う にAl型 遍 的 で あ る(§8.2最

れ が σ の 拡 張 とな る こ と は 容 易 に 示 さ れ る.

の 場 合,自

後 の 注 意).よ

然 な 表 現 に よ る 一 般Chevalley群

っ てGをSL(V)と

に 対 応 す るxr(t)はI+teij(Iは(n,n)型

形 式 をhと そ し てMはhに

Steinberg群G1は

〈U1,V1〉,す

定 義 か ら 基 の 元e0は

式 で あ る. た が っ てAl型

中 で ベ キ 単3角

の

行列全体が生

証 明 し よ う.

等 方 的 で あ る.こ

こ で 任 意 に 等 方 的 な 元υ を

元 σ が 存 在 す る こ と を 証 明 し よ う.ま

偶 数 に な る 場 合 を 考 え る.そ

こ でm=1の

お け ばh(υ,υ)=α

θ(γ)-βθ(β)+γθ(α)とな る.よ

的 だ か ら β=0を

得 る.よ

代 り に γ-1υを 考 え,γ=1と

て θ(A)に 対 応 す る

元 と な る.し

な わ ちU(h)の

下G1=SU(h)を

と れ ば σ(υ)∈〈e0〉を み た すG1の l=2mと

こ で ρに よ る不 変

成 り立 つ か ら,hはHermite形

対 応 す る ユ ニ タ リ群U(h)の

成 す る 部 分 群 で あ る.以   形 式hの

一 致 す る.そ

み た し て い る(θ2=1).さ

お け ば,θ(A)=tAが

あ るか ら

(εr=(-1)i+j+1)

っ て ρはM→A-1θ(tM)-1Aと

元MはtMθ(A)θ(M)=θ(A)を

同 一 視 す る.r=ei-ej

単 位 行 列)で

ρ(xr(t))=I+εrθ(t)el-j,l-i 

と な る.よ

は普

時υ=αe0+βe1+γe2と っ て γ=0な

っ てυ ∈ 〈e0〉が 成 り立 つ.も 仮 定 し て よ い.こ

ず

の時

し  

ら ば,υ

が等方

な ら ばυ の

はG1の Ⅱ6.2に

元 で

σ1(e2)=υ

が 成 り 立 つ.一

よ り σ2(e2)∈ 〈e0〉を

み た すG1の

に よ り σ(υ)∈ 〈e0〉 と な る.一

と お く.こ

方,〈e0,e2〉

元 σ2が あ る.し

こ でJ′=tJは(m,m)型

よ りTは

ベ キ 単3角

たIを(m-1,m-1)型

す れ ばS∈G1と

の 逆 対 角 行 列,空

〈e0〉の 元 と な る.い 選 ん でT1∈G1を

行 列 の 積 と な る.よ

方 的 元υ=Σ

てT

元 で あ る.定

っ てT∈G1が

理

成 り立 つ.ま

た が って

Ⅰ(2.11)に

ま αi(i>m)の

行 列 の積 と な る 元 と

よ り適 当 にT∈G1を

うち0で

すれ ば

選 べ ばT(υ)が

な い も の が あ れ ば,適

当 にCを

定義すれば (u∈

元 の 場 合 を 用 い れ ばT1(υ)をu+α

よ っ て 適 当 にG1の

〈e0,…,em-2〉)

′em-1に 移 す こ と が で き る.

元 σ を と っ て σ(υ)∈〈e0〉 と す る こ と が で き る.

 lが 奇 数 の 場 合 も 同 様 で あ る.こ

に よ り2次

あ る.さ

αieiに お い て αi=0(i>m)と

T1(υ)=u+αem-1+βem+γem+1 

J′=θ(tJ)と

所 は0で

ら ばTはU(h)の

元 の ユ ニ タ リ群 の ベ キ 単3角

な る.等

得 る.し

と な る.3次

σ2σ1-1=σ

の 単 位 行 列 と し てSを

と い う形 の 行 列 でPが3次

αm=0を

た が っ て

般 の 場合 に は

に お い てA∈SL(m,F),tC-1=Jθ(A)J-1な Ⅱ2.7に

は 双 曲 型平 面 だ か ら 定 理

し た 上 で,Sに

の 場 合 θ(A),Tで

は 中 央 に2次

元 の 行 列Pを

は 中 央 の 行,列 お け ば よ い.定

を 省 き, 理 Ⅱ6.2

元 の場 合 に は 命 題 が 成 り立 つ か ら 上 と 同様 に一 般 の次 元 につ い て

σ(υ)∈〈e0〉を み た すG1の  さ てU(h)に

元 σ が 存 在 す る.

含 ま れ る ユ ニ タ リ移 換 を τ と す れ ば Ⅱ(6.3)に

よ り

τ(x)=x+γh(x,υ)υ を み た す 等 方 的 元υ が あ る.上 元 σが あ る.σ τσ-1は

に 証 明 し た よ う に σ(υ)∈〈e0〉を み た すG1の

ユ ニ タ リ移 換 で στσ-1(x)=x+γ′h(x,e0)e0

と な る.一 でG1の

方,h(ei,e0)=0(i<1)が

元 で あ る.し

成 り立 つ か ら στσ-1は ベ キ 単 上3角

た が っ て τ∈G1を

リ移 換 を 含 む か ら 定 理 Ⅱ6.4に か に 成 り立 つ.よ

な わ ちG1は

よ りG1⊃SU(h)を

っ てG1=SU(h)が

 注 意  Steinberg群

得 る.す

得 る.逆

行列

す べ ての ユニ タ の包含関係は明 ら

成 り立 つ.

とし て現 わ れ る ユ ニ タ リ群 は 極 大 指 数 の も のだ け で あ る.ま

た極

大 指 数 で 同 次元 の ユ ニ タ リ群 は 同形 で あ る.   3. Dl型 l-1の

の 古 典 型Steinberg群

のSteinberg群(σ2=1)は

指数

直 交 群 の 交 換 子 群 を 中 心 で 割 っ た 商 群 で あ る こ とを 証 明 し よ う.Dl型

の 単 純Lie代 を 用 い る.基

数 はL(J)と

表 わ され る.そ

uij=eij-el+j

の 標 準 基 と し て §3で 求 め た も の

本 系 の 元 に 対 応 す る も の はu12,u23,…,ul-1

の 自 己 同 形 で 最 初 のl-2個

は 動 か ず,最

,l+i,sl-1,l=el-1,2l-el,2l-1だ

の 座 標 と2l番 をAと

  Dl型

,l,sl-1,lで あ る.L(J)

後 の 二 つ が 交 換 さ れ る .と か ら こ のL(J)の

自 己 同 形 はl番

目 の 座 標 を 交 換 す る 写 像 に よ り得 ら れ る.そ

お け ばL(J)の

任 意 の 元Mに

こ ろ で 目

の 座 標 変換 の行 列

ついて

M→AMA-1

が σ の 引 き お こす 自己 同形 と一 致 す る.さ て Q(Σ λiyi)=λ1λl+1+…+λlλ2l

と2次

形 式Qを

定 義 す れ ば,L(J)の

の 交 換 子 群 Ω(Q,F)で Guと

お く.(Guは

ばGu=Ω(Q,F)で

あ る(§3参

照).体F上

標 数 が2で

部 分 群Zが

節 末 の 注 意 参 照).)§10.1で berg群G1=〈U1,V1〉

部 分 群 で あ る.定 Πhi(ti)∈Z⇔

が 成 り立 つ.§8.2の

な け れ ば 定 理8.10に

理8.3に

中 で 指 数2の

標 数 が2な よ りGuの

ら 中心

部 分 群 で あ る(§8.2

不 変 に す る こ と を 示 そ う.

よ り つ い て Πtiμ(hi)=1

お い て ΓVの 生 成 集 合 をQの

用 い て表 わ して あ るか らそ の 結 果 を 用 い て Πhi(ti)∈Z⇔t1=…=tl-2=1,tl-1tl=tl-1-1tl=1

然

自 己 同 形 ρ が 定 義 さ れStein

こ で ρがZを

す べ て の μ∈ ΓVに

節 末 の 注 意1に

を

と な っ て い る.(自

述 べ た よ う にGuの

が 定 ま る.こ

は直交群

普 遍Chevalley群

あ る.)Fの

あ って  

表 現 に 関 す る重 み の 生 成 す る 格 子 ΓVはQの

ZはHの

のDl型

い わ ゆ る ス ピ ン 群Spin(Q,F)で あ る がFの

に 含 ま れ る 位 数2の

自 然 表 現 に よ るChevalley群

基{qi}を

を 得 る.す

な わ ちt1=…=tl-2=1,tl-1=tl=±1と

な る.ρ はhr(t)をhτ(r)(t)

に 動 か す か ら ρはZを

不 変 に す る.

  さ て ρは Ω(Q,F)に

自 己 同 形 を 引 お こ す.こ

れ は Ω{Q,F)の

元Mに

M→Aθ(M)A-1 と 作 用 し て い る.自 キ 単3角

然 表 現 に よ るSteinberg群

行 列 か ら 生 成 さ れ る 部 分 群G2⊂

は θ(M)=A-1MAを

Ω(Q,F)で

あ る.し

みたす ベ

た が っ てG2の

生

成 元 は §5.5の 記 号 を 用 い て I+tuij, 

I+tsij 

(i<j
(I+αuil)(I+θ(α)sil)  I+suji, 

(i
I+stij 

(i<j
(I+αuli)(I+θ(α)til) 

と な る.さ

てF=F0(ζ)と

θ の 不 変 体))

(i
お き ζ の み た すF0上 X2+aX+b=0 

とす る.行

の既 約 多 項 式 を

(a,b∈F0)

列 の 作 用 し て い る 空 間Vの

座 標 を{yi}か

と変 換 す る.こ の座 標 変 換 の行 列 をSと

ら{xi}に

おけば

SG2S-1⊂SΩ(Q,F)S-1=Ω(Q′,F) と な る.2次

形 式Q′

はQ′(υ)=Q(S-1υ)に υ=Σ

な ら ば  よ っ てQ′(Σ

お よび μixi)は(ζ

よ り 定 義 さ れ る.と

λiyi=Σ

こ ろ で

μixi

λl=μl-ζ

μ2l,λ2l=μl-θ(ζ)μ2lが

の み た す 既 約 式 の 係 数a,bを

成

り 立 つ.

用 い て)

μ1μl-1+…+μl-1μ2l-1+μl2+aμlμ2l+bμ2l2

と な る.G2の

元 は θ(M)=A-1MAを

み た す か らSG2S-lの

元について

θ(SMS-1)=θ(S)A-1MAθ(S)-1

が 成 り立 つ.と

こ ろ で 行 列Sは

は θ(M′)=M′

を 満 足 す る.す

が 成 り立 つ.多

θ(S)A-1=Sを

み た す.よ

な わ ちSG2S-1はF0上

SG2S-1⊂

Ω(Q′,F)∩O(Q′,F0)

項 式X2+aX+bはF0上

既 約,そ

成 さ れ る か ら,Q′

の 形 か ら そ の 指 数 はF0上 SG2S-1=Ω(Q′,F0)

っ てM′

∈SG2S-1

の行 列 の つ くる群 で

し て そ の 零 点 に よ りFが

でl-1,F上

でlと

な る.以

生 下

を 証 明 し よ う.さ

て 行 列 の 計 算 に よ りG2の

て い る こ と が 証 明 さ れ る.し 計 算 に よ り,SG2S-1の

た が っ てSG0S-1⊂

のChevalley群 SG2S-1⊃

が 証 明 さ れ る の でSG2S-1=Ω(Q′,F0)が

て 体Fの

の 場 合 と同 様 に

Ω(Q′,F0)

成 り立 つ.

σ の 位数 が3の 場 合 に は ρは{hi(t)}に 位 数3の

置換 を 引 きお こす.よ

っ

ρ不 変 で な い.こ

ρに 相 当 す る 自己 同 形 を もた な い.

  §11  Steinberg群

の構 造

  1. 部 分 群N1,H1お

よ びWeyl群W1 

系 Δ はAl,Dl,E6型

こ の 節 で は §10.1の

の い ず れ か と し,そ

い 自 己 同 形 を σ と す る.(10.1)に   (11.1) 

の 図 形 の,恒

記 号 を襲 用 等 写 像 では な

よ り σ は Δ の 置 換 τを 引 き お こ し τ(Δ+)=Δ+

が 成 り 立 つ.す

な わ ち τ は 根 の 符 号 を 変 え な い.Δ hp→hσ(p), 

er→

型Lie代

の Δ 型 普 遍Chevalley群Gの

 (11.2) 

数LFは

εreτ(r)  (εr=±1)

を み た す 自 己 同 形 を も っ て い る.こ の 自 己 同 形 と体Fの せ てF上

た行列 の

非 特 異 元 をx1+λxl+1に

標 数 が 奇 数 の場 合,自 然 表 現 に 対 応 す る群 では 部 分 群Zは

の場 合 Ω(Q,F)は

す る.根

中で交換子 とな っ

Ω(Q′,F0)を 得 る.ま

元 に よ り線 形 空 間 ΣF0xiの

う つ せ る こ と が 示 さ れ る.Dl型

  注 意  D4で

生 成 元 はG2の

自己 同 形 θを組 み 合 わ

自 己 同 形 ρが 定 義 さ れ

ρ(xr(t))=xτ(r)(εrθ(t))

が 成 り立 つ.こ

の 節 を 通 じ て 上 の 記 号 を 用 い,さ

ら に θの 不 変 体 とF0と

お く.

まず 次 の 補 題 を 証 明 し よ う.   (11.3) 

Gの

部 分 群U,V,B,N,Hを

ら の 部 分 群 を 不 変 に す る.ま

§7で 定 義 し た 通 り とす れ ば ρは こ れ

た 元 ωr(t),hr(t)も §7.3の

定 義 通 りとす れ ば 次 の

公 式 が 成 り立 つ. ρ(ωr(t))=ω

  証 明   (11.1)お 様 で あ る.定

τ(r)(εrθ(t)), 

よ び(11.2)に

理7.27に

よ り ρ(U)=Uが

よ りB=NG(U)と

ラ フ 型 の 自 己 同 形 γがhr(t)をhτ(r)(t)に れ て い る.よ

ρ(hr(t))=hτ(r)(θ(t)).

成 り立 つ.Vに

な る か ら ρはBも 移 す こ と は(10

っ て ρに つ い て 上 の 公 式 が 成 り立 つ.ωr(t)に

つ い て も同

不 変 に す る.グ

.1)の

証 明 中 で示 さ

つ い て も同 様 で あ

る.こ れ ら の式 か ら ρが 部分 群N,Hを   自 己 同 形 ρがNもHも 形 を 引 き お こ す.こ Hωrに

不 変 にす る こ とが わ か る.

不 変 に す る か ら ρはWeyl群W=N/Hの のWの

対 応 す るWeyl群

自己 同

自 己 同 形 も ρ と 表 わ す こ と に す る.(7.8)に の 元 がwrで

  (11.4) 

ρ(wr)=wτ(r)

が 成 り立 つ.さ   定 義11.5 

て,W1,N1,H1を Wの

定 め るSteinberg群

次 の よ う に 定 義 す る.

元 で ρ不 変 な も の 全 体 の つ く る 部 分 群W1と をG1=〈U1,V1〉

と しN1,H1を

N1=G1∩N, 

  ま ずW1の

お く.ρ

が

次 式 に よ り定 め る.

H1=G1∩H.

構 造 を 調 べ よ う.

  (11.6)  σ に 関 す る Π 上 の 軌 道 の 一 つ をJと 全 体 をJ+と

表 わ す.こ

お き,Jか

ら 生成 され る正 根 の

の 時J+は

{r}(r=σ(r)),  {r,σ(r),σ2(r)}(互 の い ず れ か と 一 致 す る.(そ

{r,σ(r)}  (rと い に 直 交), 

σ(r)は 直 交 す る) {r,σ(r),r+σ(r)}(A2型)

れ ぞ れA1,A12,A13,A2型

と い う.)

  証 明   各 図 形 に 対 応 す る σ の 作 用 か ら 明 ら か で あ る.A2型 Al型

よ り

あ るか ら

はlが

偶 数 の時

と お く.前

の よ うに

の 群 に 現 わ れ る.

  さ て Π 上 の 任 意 の σ 軌 道 をJと Euclid空 τ もEの

間Eを

定 義 し て,WをEの

等 長 写 像 で あ る.こ

  (11.7) 

しW(J)=〈wr￨r∈J〉

等 長 写 像 の 群 と 考 え る.(10.1)に

より

こ で 次 の 補 題 が 成 り立 つ.

上 の 記 号 の 下 で ρ(w)=τwτ-1が

成 り立 つ.ま

た

W1(J)=W1∩W(J) と お け ばW1(J)={1,w0(J)}と る が Δ+-J+の

な る.こ

元 の 符 号 を 変 え な い 位 数2の

符 号 を 変 え る 元 を 唯 一 つ 含 ん で い る.根 の 元 をw0と

お け ばw0はW1の

  証 明   (11.4)に こ ろ でWはwr(r∈ w∈Wに

こ でw0(J)はJの

Δ)に

元 で あ る.W(J)はJの

各根 の

系 Δ の す べ て の 元 の 符 号 を 変 え るW

元 で あ る.((1.14)(b)参

よ り任 意 のr∈

各 根 の符 号 を変 え

照.)

Δ に つ い て ρ(wr)=τwrτ-1が

成 り立 つ.と

よ り 生 成 さ れ る か ら ρ(w)=τwτ-1が

すべ て の

つ い て 成 り立 つ.

  Jが 生 成 す る 根 系 に(1.14)を

適 用 す れ ばJに

含 まれ る 各 根 の 符 号 を 変 え る

元 がW(J)の 1.13に

中 に 唯 一 つ 存 在 す る こ と が わ か る.こ

よ りw1はJ+以

か らr∈J⇒

外 の 正 根 の 符 号 は 変 え な い.さ

σ(r)∈Jが

τw1τ-1∈W(J)と

成 り 立 つ.よ

  い まW1(J)の も 一 つ のJの

wはJの

得 る.特

っ て ρ(w1)=w1と

に 一意

な りw1はW1(J)の

最 後 の 主 張 も成 り 立 つ.

任 意 の 元wを

と り 

と 仮 定 す る.こ

元 の 符 号 を 変 え る(定 理1.13).そ

w(τ(r))=τ(w(r))<0が

σに よ る軌 道 だ

任 意 の 根 を 負 根 に 移 す か らw1の

成 り立 つ.よ

様 に(11.7)の

てJは

おけ ば定 理

っ て τW(J)τ-1=W(J)を

な る.τw1τ-1もJの

性 に よ り τw1τ-1=w1が 元 と な る.同

の 元 をw1と

成 り立 つ((11.1)お

各 元 の 符 号 を 変 え る.し

の 時wは

こ でw(r)<0と

仮定 す れ ば

よ びw=ρ(w)).Jは

た が っ てw=w0(J)と

少 な くと

σ軌 道 だ か ら な り,(11.7)が

証 明

さ れ る.   (11.8) 

W1はw0(J)(Jは

  証 明   wに

Π の σ 軌 道 全 体 を 動 く)に

よ り負 と な る 正 根 の 数 をn(w)と

よ りw∈W1がw0(J)の

と仮 定 す る.こ

符 号 を 変 え る.rを

にwはJの Δ+-J+に

お き,n(w)に

関す る帰 納 法 に

積 と し て 表 わ さ れ る こ と を 証 明 し よ う.w=1の

合 は 明 ら か で あ る か ら  の 元rの

よ り生 成 さ れ る.

の 時wは

含 む σ 軌 道 をJと

各 元 の 符 号 を 変 え る.さ

含 ま れ る 根 の 符 号 は 変 え な い.し

少 な くと も一 つ の Π

お け ば,(11.7)の

て,w0(J)はJの

場

証 明 と 同様

各 元 の 符 号 を 変 え る が,

た が って

n(w0(J)w)=n(w)-￨J+￨ と な る.帰 w0(Ji)と

納 法 の 仮 定 に よ りw0(J)w=w0(J1)…w0(Jk)を い う形 の 元 の 積 と な る.

  次 の 命 題 に よ りW1の   (11.9)Π

構 造 が 明 ら か と な る.

の 元 が 生 成 す るEuclid空

上 の 平 均 をa(υ)と

お く.す

a(υ)=(υ+τ(υ))/2ま

で あ る.さ 群 と な る.い

ら にE1={υ

間 をEと

な わ ち 

=1),D4(σ3=1),E6型

し,Eの

元 υに 対 し τ軌 道

な らば

た はa(υ)=(υ+τ(υ)+τ2(υ))/3

∈E￨τ(υ)=υ}と

お く.W1はE1の

ま Π 上 の σ軌 道 の 一 つ をJと

像 と し てw0(J)はa(r)に

に な る.

得 る か らwも

し,Jの1元

線 形 写 像 の つ くる をrと

関 す る 対 称 変 換 と一 致 す る.根 に 応 じ てW1はCk,Bl-1,G2,F4型

す れ ばE1の

写

系 Δ がAl,Dl(σ2 のWeyl群

と同形

  (こ こ でAl型

の 場 合k=l/2ま

た はk=(l+1)/2と

  証 明   明 らか にE1は{a(r)}(r∈ にw∈W1,υ

∈E1を

な わ ちwはE1に

<0と

Π)が 生 成 す る 部 分 空 間 で あ る.い

とれ ば τw=wτ

作 用 し て い る.と

る Π の 元rが

あ る.w∈W1だ

な る.よ

こ ろ で 

な ら ばwに

た が っ てW1はE1の

  さ て(11.9)の

よ うにJ,rを

写 像 とし て恒 等 写

線 形 写 像 の 群 と な る. と れ ばw0(J)はJの

な る.一

よ びwτ2(r))か

成 り立 つ.す

τ(r)の 符 号 も変 え る の でw(a(r))

方,E1の

各 元 の 符 号 を 変 え る.よ

元 υ がa(r)と

直交 し て い れ ば

τが 等 長 写 像 で あ る こ と か ら(υ,r)=(υ,τ(r))=(υ,a(r))=0を wr,wτ(r)(お

ま任 意

よ り符 号 の 変 わ

正 元 を 負 に 移 す か ら,E1の

像 で は な い.し

っ てw0(J)a(r)=-a(r)と

だ か ら τ(w(υ)}=w(υ)が

か らwは

っ てwはE1の

な る.)

得 る.w0(J)は

ら 生 成 さ れ る 群 の 元 だ か ら υ を 不 変 に す る.す

わ ち(υ,a(r))=0⇒w0(J)υ=υ

と な りE1上

で,w0(J)はa(r)に

な

関 す る対 称

変 換 と 一 致 す る.   対 称 変 換 が 生 成 す る 有 限 群 はCoxeter群 に よ り定 ま る(『群 論 』 上p.354).こ を 定 め れ ば{a(r)}を

で,そ

の 構 造 は{a(r)}の

の 場 合 Δ の 型 に 応 じ て §3の

求 め る こ と が で き てW1の

構 造 が わ か る.各

間 の角

よ う に根 系 場 合に実行

し て み よ う.   Al(l=2k-1は

奇 数).Π={r1,r2,…,rl}が

に 対 応 し て い れ ばa(r1)=(r1+rl)/2,…,a(rk)=rkと …,a(rk)はCk型

な る.し

の 基 本 系 と同 形 で あ る.

  lが 偶 数 の 場 合 に は(l=2k),a(rk)=(rk+rk+1)/2と 形 に な る.Bk型

で もCk型

  Dl(τ2=1).こ

  D4(τ3=1).こ

  E6の

の基 本 系 と 同

は 同 形 で あ る. な る.

の 基 本 系 と 同 形 で あ る. の 場 合 §3.4の

っ てW1はG2型

Δ の 元sを

記 号 でa(r1)=(r1+r3+r4)/3,a(r2)=r2と

な

で あ る.

場 合 も 同 様 でW1はF4型

 (11.10) 

な り,Bk型

で もWeyl群

の 場 合a(ri)=ri(i≦l-2)でa(rl-1)=(rl-1+rl)/2と

よ っ て{a(ri)}はBl-1型

る.よ

た が っ てa(r1),

に な る.

任 意 に と る.こ

の 時W1の

元wと

Π の σ 軌 道Jが

存

在 し てw(s)∈J+と

な る.

  証 明  s∈ Δ+と 仮 定 し て よ い.Δ+の (11.7)に

よ りw0はW1の

((11.8)参

照)w0=w0(J1)…w0(Jk)と

だ か ら 定 理1.13の

おけば

っ て Π の σ 軌 道J1,…,Jkが

あ って

元 で あ る.よ

表 わ す こ とが で き る.と

証 明 と同 様 にw∈W1と w(s)>0, 

と な る.w0(J)が

σ 軌 道Jが

符 号 を 変 え る 正 根 はJ+の

件 の うち(1.2)(ⅰ)-(ⅳ)を

Δ}と

よ り(ⅲ)も

あ って

元 に 限 る か らw(s)∈J+.

定 義 す れ ばa(Δ)は

み た し て い る.条

よ び(11.10)に

こ ろ でw0(s)<0

w0(J)w(s)<0

  注 意   根 系 Δ に 対 しa(Δ)={a(r)￨r∈

(11.9)お

各 元 の 符 号 を 変 え る 元 をw0と

件(ⅰ),(ⅱ)を

成 り立 つ.条

件(ⅳ)は

§1に 述 べ た 根 系 の 条

み た す こ とは 明 ら か で あ る. 各 型 に 応 じ て 計 算 に よ り確

か め る こ と が で き る.   lが 偶 数 でAl型 に はW1が

の 場 合 を 除 け ばa(Δ)は

現 わ れ る.こ

根 系a(Δ)のWeyl群 の 時A2型

=a(r+σ(r))を

条 件(ⅴ)も

と 一致 す る.A2k型

軌 道 を{r,σ(r)}と

得 る .よ

れ ら の場 合

の 場 合 は σ 軌 道 にA2型

す れ ばJ+={r,σ(r),r+σ(r)}と

っ て 条 件(ⅴ)は

ば れ る も の で 正 規 直 交 系{ei}を

み た し 根 系 と な る.こ

成 り立 た な い.a(Δ)は"BCk型

と っ た 時{ 

の も のが な り2a(r)

の 根 系"と

呼

±ei,±2ej}(i,j=1,2,…,k)

で与 え られ る.   2. Steinberg群

のTits系

  Π の σ 軌 道 の 一 つ をJと

すれ ば 自己 同形 ρは

U(J)=〈Xr￨r∈J〉 を 不 変 に す る(11.3).そ

こ で ρ 不 変 なU(J)の

と お く.そ

型 別 に わ け て 調 べ よ う.

  (11.11) 

の 構 造 をJの Jの

元rを

  そ の 上 でJがA1i型

の 場 合i=1,2,3に

応 じ て そ れ ぞ れxJ(t)をxr(t)(A1

た はxr(t)xτ(t)(t′)xτ2(t)(t″)(こ

定 数,t′=εrθ(t),t″=εrε

τ(r)θ2(t))と お く.JがA2型

u+θ(u)=-εrNr

(Nr,τ(r)は(2.2)で

定 義 さ れ るLie代

の 時U

1(J)={xJ(t)}ま

数 の 乗 法 定 数)を

た は{xJ(t,u)}と

xJ(t1,u1)xJ(t2,u2)=xJ(t1+t2,υ) 成

り 立

み た すt,uを

(s=r+τ(r))

xJ(t1)xJ(t2)=xJ(t1+t2)

(υ=u1+u2+εrNr,τ(r)θ(t1)t2)が

こ でt∈F#,εr の 場 合 は

,τ(r)tθ(t)

xJ(t,u)=xr(t)xτ(r)(t′)xs(u) 

と お く.こ

く る 集 合 をU1(J)

定 め る.

型,θ(t)=εrt),xr(t)xτ(r)(t′),ま は(11.2)の

元 全 体 の つ

つ.

な り

と り

  証 明   A1i型 ρ2=1だ

の 場 合 は い ず れ も 同 様 だ か らi=2の

か ら εrε τ(r)=1と

な る.定

理7.3に

場 合 を 証 明 し よ う.ま

よ りU(J)の

ず

元は

xr(t)xτ(r)(u) と い う形 に 一 意 的 に 書 け る.こ 別 に 交 換 可 能 で あ る.そ

の場 合  

だ か らXrとXτ(r)と

こ で ρ(xr(t)xτ(r)(u))=xr(t)xτ(r)(u)よ

は元

り

εrθ(t)=u を 得 る.し

た が っ てU1(J)={xJ(t)￨t∈F#}と

=ε rtと い う制 限 が つ く.乗

な る.A1型

法 公 式 はXrとXτ(r)と

の 場 合 に はtに

θ(t)

が 元 別 に 可 換 だ か ら明 ら

か に 成 立 す る.   A2型

の 軌 道 の 場 合 はJ+={r,τ(r),s}(s=r+τ(r))だ

U(J)の

元xはx=xr(t)xτ(r)(u)xs(υ)と

XsはU(J)の

か ら 定 理7.3に

よ り

い う形 に 一 意 的 に 書 け る.こ

中 心 に 含 ま れ て い る.さ

の場合

らに

[xr(t),xτ(r)(u)]=xs(Nr,τ(r)tu)

が 成 り立 つ.こ

の 場 合 も εrε τ(r)=1と

[er,eτ(r)]=Nr,τ(r)esの れ る.そ

両 辺 にLie代

こ で ρ(x)=xと

で あ る.乗

υ+θ(υ)=-εrNr,τ(r)tθ(t)

法 公 式 も 定 理7.1を

用 い て 証 明 さ れ る. と お け ばV(J)の

(7.8)に

ρ不 変 元 の 集 合V1(J)に

お い て 定 義 さ れ たN/Hか

しw∈W1な

ら ばf(Hn)=wを

よ りN1/H1がW1と

  証 明   N1の

らWの

任 意 の 元nは

ρ(n)=nを

らW1の

元 が 存 在 す る.よ

み た す か らHnは

って

て(11.11)をV1(J)に

適 用 す れ ば  の 標 準 形 をx=unυ ∈U-wが

た

上 へ の 写像

よ り 生 成 さ れ る((11.8)参 み た すn∈N1が

と仮 定 す る.そ

な わ ちu∈U,n∈N,f(Hn)=w,υ

ρ不 変 で あ る.し

中 へ の 同 形 写 像 と な る.fがW1の

つ い てf(Hn)=w0(J)を

とり  

上 へ の 同 形 写 像 をfと

み た すN1の

で あ る こ と を 証 明 し よ う.W1はw0(J)に

元xを

つい

同 形 に な る.

が っ てfはN1/H1か

い.さ

れ は

同 様 の 結 果 が 成 り立 つ.

  (11.12) 

任 意 のJに

成 り 立 つ.こ

数 の 自己 同 形 を適 用 す れ ば 容 易 に証 明 さ

u=εrθ(t), 

て(11.11)と

fに

εs=-1が

な るた め の 条 件 は

  さ てV(J)=〈X-r￨r∈J〉

お く.も

な るが

照)か

ら

あ る こ とを証 明す れ ば よ と な る.い

まV1(J)の

と お く(定 理7.25).す

成 り立 ち(u,n,υ)は

一意的に定 ま

る.さ

て ρ(x)=xだ

か らx∈Bρ(n)B,し

え にw=ρ(w)∈W1と

な る.一

w∈W1∩W(J)=W1(J)と る.と

た が っ てf(Hρ(n))=wを

方,x∈V1(J)だ

な る.(11.7)に

こ ろ でw=1な

か らw∈W(J)も よ りw=1ま

ら ばx∈U∩V1(J)={1}と

よ っ てw=w0(J)と

ら ば ρ はU-wを

ら 選 べ ば ρ(z)もwを

が 成 り 立 つ.§7.6参

照.)そ 理7

u∈U1,υ

成 り 立 つ.ま

∈V1が

不 変 に す る.(い

G1の

が 成 り立 つ.ま

元xの

.12)が

な る.さ

準形 の

っ てx∈V1, ら にf(Hn)=w

証 明 さ れ る.

標 準 形 をx=unυ

とす れ ば

n∈N1, 

υ∈U1∩U-w

元 で あ る.

証 明 と 同 様 にf(Hn)=w∈W1を

た が っ て(11.12)の

  定 理11.14 

な る が,標 を 得 る.よ

たn∈N∩G1=N1と

たw=f(Hn)はW1の

  証 明   (11.12)の

代 表 元zをNか

ρ(z)Vρ(z)-1=U-w

こ でx=ρ(x)=ρ(u)ρ(n)ρ(υ)と

u∈U1, 

得 るか ら ρ はU-wを

不変

証 明 と 同 様 に し て こ の 命 題 が 証 明 さ れ る.

Steinberg群G1に

つ い てB1=U1H1,S1={w0(J)}(こ

は Π の σ 軌 道 全 体 を 動 く)と

お く.こ

こ でJ

の 時(G1,B1,N1,S1)はG1のTits系

照).

  証 明   基 本 系 Π の 各 元 の 符 号 を 変 え るWの 元 で あ る か らf(Hn0)=w0を n0Un0-1=Vと

定 義 に 矛 盾 す る.

まwの

.25),ρ(u)=u,ρ(n)=n,ρ(υ)=υ

成 り立 ち,(11

で あ る(§7.4参

あ

代 表 す る元 で あ る か ら

一 意 性 に よ り(定

に す る.し

た はw=w0(J)で

な りxの

ρ(U-w)=ρ(U∩zVz-1)=U∩

 (11.13) 

成 り立 ち,

な る.

  一 般 にw∈W1な

=w0(J)も

得 る.ゆ

な る.と

み た すN1の こ ろ でn0∈N1だ

元 をw0と

元n0が

お く.w0はW1の

あ る(11.12).(9.2)に

よ り

か ら

n0U1n0-1=G1∩n0Un0-1=V1

が 成 り立 つ.す

な わ ちG1=〈U1,V1〉=〈B1,N1〉

  明 ら か にB1∩N1⊃H1,一

と な り条 件(T1)が   命 題(11.8)お   次 に 条 件(T3)′

を 得 る.

方B1∩N1⊂B∩N∩N1=H∩N1=H1だ

か ら

成 り立 つ. よ び(11.12)か

ら 条 件(T2)の

成 り立 つ こ と が 証 明 さ れ る.

が 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.そ

こ でJを

Π の σ軌 道 とす

れ ばw0(J)はwr(r∈J)の

積 と し て 表 わ さ れ る.し

り任 意 のw∈W1に

∪BzwB

こ で 上 式 の 右 辺 はz∈W(J)に

の 部 分 集 合 で あ る.さ

つ い て の 和 集 合 で あ る.左

て 両 側 剰 余 類BuB(u∈W)がG1の

仮 定 す れ ば(11.13)に てzw∈W1と

よ

対 して (B1w0(J)B1)(B1wB1)⊂

と な る.こ

た が っ て(7.13)に

よ りu∈W1を

よ っ て(11.7)か

らz=1ま

元を含んでい る と

得 る.よ

制 限 し て よ い.w∈W1だ

って上 の包 含 式 の 右 辺 に お い

か らzはW1∩W(J)の

た はz=w0(J)と

辺 はG1

な る.よ

元 を 動 く.

って

w0(J)B1w⊂B1wB1∪B1W0(J)wB1,

す な わ ち(T3)′

が 成 り立 つ.

  最 後 にw0(J)B1w0(J)は 

を 含 む か ら(T4)も

てG1はTits系(G1,B1,N1,S1)を

  3. 部 分群H1の

成 り立 つ.よ

っ

も っ て い る.

構造

 部 分 群H1の

構 造 はGが

普 遍Chevalley群

の場 合

が 一 番 簡 明 であ る.   (11.15)  す る.い

Gを

普 遍Chevalley群

まJ={r}の

と す る.Π

場 合 はt∈F0#に

の 場 合 に はr∈Jを

に お け る σ 軌 道 の 一 つ をJと

つ い てhJ(t)=hr(t)と

一 つ 定 め てhJ(α)=hr(α)hσ(r)(θ(α))(α

=hr(α)hσ(r)(θ(α))hσ2(r)(θ2(α))と

お く.ρ

不 変 なHの

お

く.￨J￨>1

∈F#)ま

た はhJ(α)

元 は

(Jは Π の σ軌 道 全 部 を動 く)

ΠhJ(tJ) 

と 一 意 的 に 表 わ さ れ る.   証 明   (8.4)に ρ(h)=hな

よ りHの

ら ば(11.3)に

変 な 元 は ΠhJ(tJ)と

元hはh=Πhi(ti)(ti∈F#)と

一意 的 に 表 わ さ れ る.

よ りrj=τ(ri)⇒tj=θ(ti)が

い う形 に 書 く こ と が で き る.こ

成 り立 つ.よ

っ て ρ不

の表 現 が 一 意 的 で あ る こ

とは 明 ら か で あ る.   定 理11.16 

G1を

こ の 時 ρ不 変 なHの な わ ち,H1の

普 遍Chevalley群

元 全 体 の つ く る 集 合 をH2と

元 は ΠhJ(tJ)と

  証 明   定 義 に よ りH1⊂H2は はH2の

生 成 元 が す べ てH1に

  さ て,任

意 のr∈

か ら 得 ら れ るSteinberg群 お け ばH1=H2と

とす る. な る.す

一 意 的 に 表 わ す こ と が で き る. 明 ら か に 成 り立 つ.よ

っ て定 理 を 証 明 す るに

含 ま れ て い る こ と を 示 せ ば よ い.

Π に つ い てGr=〈xr(t),x-r(s)〉(t,s∈F)と

お く.(8.7)

に よ り 

と な る.こ

に よ っ て 与 え ら れ る.い る.￨J￨>1の

(10.1)に

一 つ 定 め てxJ(t),hJ(t)を

仮 定 し よ う.こ

  εr=-1の

の 時 ρ はGrを

成 り立 つ.εr=1と

ベ キ 単3角

〈xJ(u),x-J(υ)〉(u,υ

の 元 と な りhJ(t)∈H1を

∈F0)と

そ れ ぞ れ(11.11),

お け ば ρ(M)=Aθ(M)A-1と

な る.よ

っ て θ(γ)=-γ

を み た すFの

元

証 明 参 照)

もhJ(t)(t∈F0)はH1に   σ 軌 道JがA12型(ま

ら か に ρ不 変 な 元 の つ く る 同 形 で あ る .こ

の場合

含 ま れ て い る. た はA13型)の

場 合GrとGσ(r)と

〈Gr,Gσ(r)〉=Gr×Gσ(r)(ま

た は3因

た が っ て 〈xJ(t),x-J(s)〉

はSL(2,F)と

て こ の 場 合 もhJ(t)∈G1が   軌 道JがA2型

な わ ち,hJ(t)は

列

部 分 群 は θ不 変 な 元 の つ く る 部 分 群SL(2,F0)と

交 換 す る.し

不 変 に し て い る.

得 る.

の 行 列 の つ く る 群 と 同 一 視 し て,行

なわ ち

ど と

行 列 に よ り生 成 さ れ る か

な る.す

に よ る共 役 写 像 を δ と お け ば ρ=δθδ-1と な る.明

る.す

型 が定 ま

場 合 は ρが 体 型 自 己 同 形 と共 役 に な る こ と を 証 明 し よ う.Grを

γ を と り(定 理 Ⅱ6.2の

Grの

よ りJの

す れ ば ρ不 変 な 元 の 全 体 は 明 ら か

同 形 で あ る.SL(2,F0)は

§2)hJ(t)∈

Steinberg群

をAと

ずJ={r}と

よ り εr=ε-rが

にSL(2,F0)と

(2,2)型

元rを

と れ ば(11.6)に

よ り定 義 し,x-J(t)をx-J(t)=x-r(t)x-τ(r)(t′)(t′=εrθ(t))な

定 義 す る.ま

ら(Ⅱ

ま Π の σ軌 道Jを

場 合 はJの

(11.15)に

の 同形 対 応 は

は元別に可換 で あ

子)と

な り ρは 直 積 因 子 を

同 形 に な る.し

たが っ

成 り立 つ.

の 場 合 に は §10.2で

証 明 し た よ うに

〈xJ(t,u),x-J(t′,u′)〉 は ユ ニ タ リ群SU(h)と

一 致 す る.よ

  す べ て の 場 合 にhJ(t)∈H1=G1∩Hが

っ て こ の 場 合 もhJ(t)∈G1を 証 明 さ れ た の でH1=H2と

得 る. な り定 理

が 成 り立 つ.   前 に(§8.3)Hの Gが

元 を 重 み の 生 成 す る 格 子 Γvの 指 標 と し て 表 わ し た.特

普 遍 的 な ら ば(8.8)に

で 定 理11.16を

重 み 加 群Qの

自 己 同 形 を 定 義 す る.重

自 己 同 形 τ が あ っ て,q∈Q,hr∈Hに

に

指 標 群 と 同 形 に な る.そ

指 標 を 用 い て 書 き 直 し て お こ う.根

hr→hτ(r)とHの Qの

よ りHは

こ

系 の 自 己 同 形 τは 自 然 に

み 加 群Qの

定 義(4.25)に

よ り

つい て

τ(q)(hτ(r))=q(hr) が 成 り立 つ.明 る.さ

ら か に,こ

て任 意 の 指標

の 自 己 同 形 τはPの

χ:Q→F♯に

上 で は も と の τ と一 致 して い

対 し て ρ(χ)を

ρ(χ)(τq)=θ(χ(q))  (q∈Q) と定 義 す る.χ=ρ(χ)を の 時,次

み た すQの

指 標 χ を 自 己 共 役 と い う こ と に し よ う.こ

の 命 題 が 成 り立 つ.

  (11.17) 

普 遍 的Chevalley群Gに

と お く(§8.3参

照).こ

Steinberg群G1に

の時

お い てHの

元yに

対 応 す る 指 標 を χy

ρ(χy)=χρ(y)が 成 り 立 つ.Gか

お い てH1はQの

ら 定 義 さ れ た

自 己共 役 指 標 全 体 のつ く る 群 と同形 で あ

る.   証 明   §8.1の 生 成 元hi(t)が

記 号 を 用 い る.基

本 系{r1,…,rl}の

定 ま る.τ(ri)=rτ(i)に

y=Πhi(ti)と

各 元riに

対 応 し てHの

よ り置 換 τを 定 義 す る.Hの

一 意 的 に 表 わ す こ と が で き る(8.4).よ

元yは

って

ρ(y)=Πhτ(i)(θ(ti))

と な る(11.3).さ す 元 で あ る.ま

て §8.3の

定 義 に よ りyに

た χρ(y)はqτ(i)→ χ ρ(y)(τ(qi))=χ

が す べ て のiに る.残

つ い て 成 り 立 つ.よ

対 応 す る 指 標 はqi→tiを

みた

θ(ti)を み た す か ら ρ(y)(qτ(i))=θ(χy(qi))

っ て ρ(χy)の 定 義 か ら χρ(y)=ρ(χy)を 得

り の 命 題 は い ま や 明 ら か で あ る.

  4. G1/Z(G1)の

単純性 

単 純 性 の 証 明 は 定 理9.3の

証 明 と 同 様 で あ る.

ま ず 次 の 補 題 を 証 明 し よ う.   (11.18)  と す る.4元

Gを

普 遍Chevalley群,G1をGか

体 上 のA2型

  証 明   前 節 の よ う にHの

の 群 を 除 け ばG1の 元 に 重 み 加 群Qの

ら構 成 さ れ たSteinberg群 交 換 子 群 はG1と

一 致 す る.

指 標 を 対 応 さ せ る.H1の

元y

に 対応 す る指 標 を χ とお け ば χ は 自己 共 役 で [y,xr(u)]=xr((χ(r)-1)u)

が 成 り立 つ.G1の

生 成 元 はΠ

し て い る(11.11).そ

の σ 軌 道Jに

どの 形 を

こ で 場 合 を 分 け て お の お の の 場 合 にxJ(t)な

群 の 元 と な る こ と を 証 明 し よ う.ま   Qの 基{qi}を

関 す るxJ(t),xJ(t,u)な

ず￨F0￨>2と

と り根rjを{qi}の

る 行 列 は 根 系 Δ のCartan行

どが 交 換 子

仮 定 す る.

一 次 結 合 と し て 表 わ す.そ

列 と 一 致 す る(8.11).自

に 対 し て θ(χ(qi))=χ(qτ(i))をみ た す 以 外

の係数がつ く

己共 役 指 標 χは 基 の元

χ(qi)の 値 は 任 意 に と る こ とが で き

る.   ま ずJ={r}と

仮 定 す る.こ

の 場 合xJ(t)=xr(t)だ

自 己 共 役 指 標 が 存 在 す れ ばxr(t)は と な る の はl=2k-1が

任 意 の α∈F♯ に つ い て αθ(α)=a2-1が 照)仮

r=ri(i
定￨F0￨>2に

な る.よ

仮 定 す れ ば ,任 成 り立 つ.よ

場 合 は §3.4の

記 号で

一 次 結 合 と し て 表 わ し た 時 ,少

￨F0￨>2の

を み た す 自 己 共 役 指 標 が あ る.Δ=D4の

χ(q1)=χ(q2)=t∈F0♯ 成 り立 つ.Δ=E6の

意 のF0♯ の 元aと 体 とな

つ い てqjの

ら ば 上 と 同 様,σ3=1の

係 数 は-1か

つj≦l-2と

な る.よ

な る.す

な る.よ

か ら￨F0￨>2な

って

な わ ち この 場 合 も命 題 が

場 合 は 前 の 記 号(§3.7)でr=r2=2q2-q4ま

=-q2-q3+2q4-q5だ

な

って

場 合 σ2=1な

時 はr=r2でr=-q1+2q2-q3-q4と と お け ば χ(r)=-tと

ます

っ てF0は2元

く と も 一 つ の 添 数jに 時  

時J={r}

場 合 で あ る .い

矛 盾 す る.Δ=Dlの

っ てrを{qi}の

をみたす

て Δ=Alの

奇 数 でr=-qk-1+2qk-qk+1の

べ て の 自 己 共 役 指 標 χ に つ い て χ(r)=1と

り(Ⅱ(3.6)参

か ら  

交 換 子 と な る.さ

た はr=r

らば  

を み た す 自 己共 役 指 標

外 の 場 合,す

な わ ち Δ=A2で￨F0￨

χ が あ る.   次に   =2の

と仮 定 す る.こ

場合を除けば  

よ う.そ

の 時,例

をみ た す 自己 共 役 指 標 χ が 存 在 す る こ とを 証 明 し

こ で 任 意 の 自 己 共 役 指 標 χ に 対 し て χ(r)=1が

ま ずr=2qi-qjと て χ(qj)は

成 り立 つ と 仮 定 す る.

書 け て い る とす れ ば χ(r)=χ(qi)2χ(qj)-1と

χ(qi)に

よ り定 ま る.よ

っ てqj=τ(qi)と

か ら Δ=A2型

で あ る こ と が わ か る.さ

が 成 り立 つ.よ

っ てFは4元

な る.し

な る .Cartan行

ら に 任 意 のa∈F♯

体 で 例 外 の 場 合 と な る.次

たが っ 列 の表

に つ い て θ(a)=a2 にr=2qi-qjと

書け

て い な い と仮 定 す る.Cartan行

列の表か ら

と 書 け て い る こ と が わ か る.し

か し これ は χ(r)=1,す

qυ,qwで

な わ ち χ(qu)は

と る 値 に よ っ て 定 め られ る と い う仮 定 に 矛 盾 す る.よ

を除けば  

χが

って 例 外 の 場 合

を み た す 自 己 共 役 指 標 が 存 在 す る.

  さ て σ軌 道JがA12型(ま の よ うにxJ(t)を

た はA13型)と

す る.r∈Jを

定 義 す る(11.11). 

χ に 対 応 す るH1の

元 をyと

お く.こ

一つ定 めた上で前

を み た す 自 己 共 役 指 標 χ を と り, の時

[y,xJ(u)]=xJ((χ(r)-1)u)

が 成 り立 つ.よ

っ て 任 意 のt∈F♯

  軌 道JがA2型

と す る.こ

に つ い てxJ(t)はG1の

の 時 も 同様 に

[y,xJ(u,υ)]=xJ((χ(r)-1)u,υ

を 得 る.そ

交 換 子 と な る.

こ で 例 外 の 場 合 を 除 け ば,任

′)

意 のt∈F♯

子 と な る 元 υ が 少 な ぐ と も 一 つ 存 在 す る.と

に 対 し てxJ(t,υ)が

こ ろ で(11.11)に

交換

よ り

[xJ(t1,u1),xJ(t2,u2)]=xJ(0,ε(θ(t1)t2-t1θ(t2)))

を 得 る.こ

こ で ε=εrNr,τ(r)=±1で

あ る.い

ま γ=-θ(γ)を

み た すFの

元

γ を 任 意 に 選 べ ば γ=ε(θ(t1)t2-t1θ(t2))を み た すt1,t2の

存 在 す る こ とが 容 易 に

証 明 さ れ る.よ

を 定 め た 時,任

っ てxJ(0,γ)は

交 換 子 で あ る.t∈F♯

に つ い てxJ(t,u)=xJ(t,υ)xJ(0,γ)を G1の

意 のu

み た す 元 γが 存 在 す る か らxJ(t,u)は

交 換 子 群 の 元 で あ る.

  以 上 で￨F0￨>2の 後 で は￨F0￨=2と

場 合 に(11.18)の 仮 定 す る.例

成 り立 つ こ と が 証 明 され た.そ

外 の 場 合 を 除 け ばJ={r}の

こで 以

時xJ(t)が

交換

子 群 に 含 ま れ て い る こ と を 証 明 す れ ば よ い.   Δ に 対 応 す るDynkinの

図 形 でrとsと

っ て い る場 合 を 考 え よ う.こ たWeyl群

の 元wr,wsはW1に

の 時rとsと

含 ま れ て い る(11.4).そ

[xr(t),xs(u)]=xr+s(Nr,stu) 

お よ びws(r+s)=rが てE6お

よ びDl(σ2=1)の

軌 道 はJ1={r1,r3,r4}お

が 結 ば れ て い て し か も τ(s)=sと が 生 成 す る 根 系 はA2型

成 り 立 つ か らG1の 場 合(11.18)が よ びJ2={r2}で

な

で あ る.ま

こで

(Nr,s=±1)

中 でxJ(υ)は 成 り 立 つ.D4で あ る.W1はG2型

交 換 子 と な る.よ σ3=1の で,J1に

っ

場 合,σ 対 応 す

る元 が 短 い 根,J2に

対 応 す る のが 長 い 根 であ る.定

理9.3の

証 明 と同 様 に 長

い 根 に 対 応 す る群 が 交 換 子 群 に 含 まれ る こ とが わ か る.   最 後 にAl型

の場 合 を考 え よ う.こ の 時J={r}と

でs′=σ(s)と

な る.{s,r,s′}はA3型

r+s′,s+r+s′

で あ る.W1に

が 入 れ 換 わ る.さ

てFの

すれ ば

の 根 系 を つ

く り,正

属 す る 元w1=wsws′

標 数 が2でNr,sな

根 はs,r,s′,s+r,

に よ りr+s+s′

ど が1だ

とrと

か ら

[xr(1),xs(u)xs′(u′)]=xr+s(u)xr+s′(u′)xr+s+s′(uu′)

が 成 り 立 つ.I={s,s′}と

お け ばxr+s(u)xr+s′(u′)はxI(u)と

子 群 に 含 ま れ て い る.し

た が っ てxr+s+s′(uu′)はG1の

xJ(1)はxr+s+s′(1)とG1の

共 役 だ か ら交換 交 換 子 群 の 元 と な る.

中 で 共 役 だ か らxJ(1)もG1の

交 換 子 群 の元 であ

る.

  G1の 生 成 元 は い ず れ の場 合 もG1の 除 く).よ

っ てG1の

  定 理11.19 

交 換 子 群 は 一 つ の 例 外 を 除 い てG1に

普 遍Chevalley群

の 中 心 をZと

お く.4元

  証 明   定 理11.14に るG1の

交 換 子 群 に 含 まれ て い る(例 外 の 場 合 は

か ら 定 義 さ れ るSteinberg群

体 上 のA2型

の 場 合 を 除 け ばG1/Zは

よ り(G1,B1,N1,S1)はTits系

正 規 部 分 群 の うち 最 大 の も の をZ1と

根 系 の す べ て の 根 の 符 号 を 変 え る 元 をw0と Z1⊂B1∩w0B1w0-1⊂B1∩V1H1=H1が Z1⊂Z(G1)と

な る.定

Z(G1)=Zを

お きZ1=Z(G1)を す れ ばw0∈G1と 理9.3の

よ りZ(G1)⊂B1が

お きB,N,Sを

しそ

含 まれ

証 明 し よ う. な る.よ

って

証 明 と同 様 に

成 り立 つ の でZ1=

そ れ ぞ れB1,N1,S1の

含 ま れ て い る か ら(G,B,N,S)もTits系

系 が(9.1)の

を つ くる.こ

像 と す れ ばZが こ で こ のTits

条 件 を み た し て い る こ と を 証 明 し よ う.

  例 外 の 場 合 を 除 け ばG1の 同 形 像 だ か らG′=Gと

交 換 子 群 はG1と

一 致 す る(11.18).GはG1の

な り条 件(1)が 成 り立 つ(『群 論 』 下p.410参

  条 件(2)が 成 り立 つ こ とは 明 ら か で あ る.ま い るGの

を つ く る.B1に

成 り 立 つ.定

理7.19(ⅵ)に

をG1と

単 純 で あ る.

得 る.

  さ てG=G1/Zと H1に

一 致 す る.

正 規 部 分 群 は{1}し

たGの

定 義 に よ りBに

か な い(同 形 対 応 定 理,『 群 論 』 上p

準 照). 含 まれ て

.38).よ

っ

て 条 件(3)が 成 り立 つ.GのWeyl群 立 つ.よ

っ て(9.1)に

と す る.こ

も の と 同 形 だ か ら 条 件(4)も

よ り例 外 の 場 合 は 除 い てGは

  5. 普 遍 型Steinberg群   (11.20) 

はG1の

単 純 で あ る.

の 中心

普 遍Chevalley群

をG,そ

の 時Z(G1)=G1∩Z(G)が

れ か ら 構 成 さ れ たSteinberg群

元yに

をG1

成 り立 つ.

  証 明   前 定 理 の 証 明 に お い てZ(G1)⊂H1の そ こ でZ(G1)の

成 り

成 り立 つ こ と が 示 さ れ て い る.

対 応 す る指 標 を χ と お け ば(§8.3参

照)(11.18)の

証

明 か ら わ か る よ うに yxJ(t)y-1=xJ(χ(r)t) yxJ(t,u)y-1=xJ(χ(r)t,υ)

(r∈J,υ

はt,u,yに

意 のrに

よ り定 ま る 元)が 成 り立 つ.さ

つ い て χ(r)=1と

含 ま れ て い る.よ

な る.す

な わ ち,yはGの

っ てZ(G1)=G1∩Z(G)が はG1/Z(G1)と

  証 明   普 遍Chevalley群

をGと

と 同 形 で あ る(定 理8.6お

よ び9.3).よ

す れ ば 随 伴 的Chevalley群 っ てG1か

普 遍Chevalley群

み た すl+1乗

合 はd=(l+1,q+1)と

根 がF-F0に

根rに

をG1と

一 致 す る.F0がq元

ら ばd=1,標

す る.

体 の場

根 がF-F0に

中 心 元yに

奇数 で

れ 以 外 の 場 合 はd=2

あ る.

含 ま れ て い る 場 合 に 限 りd=3,そ

の他

ら ばd=(3,q+1).

対 応 す る 指 標 を χ と お く.χ み た す.そ

な い 時lが

な る.

な わ ちd=1で

あ る.￨F0￨=qな

つ い て χ(r)=1を

数 が2で

含 ま れ て い れ ばd=4,そ

体 な ら ばd=(4,ql+1)と

  1の 原 始3乗

  証 明   G1の

よ りこの 式

次 の 通 り で あ る.

根 の 数 がdと

標 数 が2な

  D4型(σ3=1)Z(G1)={1},す

の 場 合 はd=1で

中 へ の 自然 準

な る.

  Dl型(σ2=1)体Fの

  E6型

らG/Z(G)の

か ら定 義 さ れ たSteinberg群

有 限 巡 回 群 で そ の 位 数dは

αθ(α)=1を

で あ る.F0がq元

はG/Z(G)

一致 す る.

中 心Z(G1)は

1の 原 始4乗

中心に

を 含 む.

で あ る.(11.20)に

の 右 辺 はG1/Z(G1)と

  Al型 

元 と し て,Gの

い う形 のSteinberg群

同形 に よ る像 は  

G1の

か ら,任

成 り立 つ.

  系   随 伴 的Chevalley群

  定 理11.21 

てy∈Z(G1)だ

は 自 己 共 役 で,任

意 の

の よ うな 指 標 は 次 の よ うに し て 求 め る こ

と が で き る.   根riを

基{qi}を

一 致 す る .指 ば な ら な い.こ る.そ

用 い て 表 わ せ ば 係 数 の つ く る 行 列 は Δ のCartan行

標 はqiに

お け る値 で 定 ま る.こ

れ ら の 値 は χ(r)=1を

れ か ら 各 型 に 応 じ て χ に 対 す る 制 限 が 得 ら れ,定

列 と み た さね

理 が証 明 され

れ を 実 行 し て み よ う.

  Al型 

r1=2q1-q2,r2=-q1+2q2-q3,…

t2,χ(q3)=t3,…,χ(q1)=tlと

だ か ら

一 意 的 に 定 ま る.最

χ(q1)=tと

お け ば χ(q2)=

後 に

rl=-ql-1+2ql⇒tl-1=t2l⇒tl+1=1

を 得 る.し

か も χ は 自 己 共 役 だ か ら χ(ql)=θ(χ(q1))す な わ ち θ(t)=tl,θ(t)=t-1

が 成 り立 た な く て は な ら な い.逆 れ ば χ(qi)=tiは Steinberg群

根 をtと

成 り 立 つ.よ

っ てAl型

す の

に つ い て 定 理 が 成 り立 つ. 場 合

χ(q1)=t,χ(ql-1)=u,χ(ql)=υ

χ(qi)=ti(i≦l-2)お

Cartan行

み た す1のl+1乗

自 己 共 役 指 標 と な り χ(r)=1が

  Dl型(σ2=1)の 同 様 に

にtθ(t)=1を

列 を 参 照)上

で あ る.Fの

と お け ばAl型

よ びuυ=tl-1,u2=υ2=tl-2を 式 よ りt2=1を

標 数 が2で

得 る.よ

な い と 仮 定 す る.lが

の 場 合 と

得 る.(Dl型

っ てFの

標 数 が2な

の

ら ばd=1

偶 数 な らば

u2=υ2=1,υ=θ(u)⇒u=υ,t=1

っ てd=2と

の 原 始4乗

根 がF-F0に

 

を 得 る.よ

D4型(σ3=1)の

E6型 

奇 数 の 場 合t=-1が

含 ま れ て い る 場 合 で,こ

場 合 は 上 の 記 号 でt,u,υ

りt=u=υ=1と  

な る.lが

な りd=1を χ(q1)=t,χ(q2)=sと χ(q3)=t2, 

さ ら にt4=stと

な る.よ

可 能 に な る の は,1

の 時 はd=4と

は 共 役 で あ る.よ

な る. っ てuυ=tよ

得 る. お け ばCartan行

列 の形 か ら

χ(q4)=s2=t3, 

χ(q5)=st, 

っ てt3=s=1を

得 る.χ

χ(q6)=t2

は 自己 共 役 だ か ら

θ(t)=t2

が 成 り立 つ.よ

っ てF-F0が

中 心 の 位 数 は3と

根 を 含 ん で い る 時 か つ そ の 時 に 限 り,

な る.

  6. 有 限 単 純Steinberg群 す る 根 系 を Δ,そ

原 始3乗

の位 数

  普 遍Chevalley群

の 正 系 を Δ+と しU=〈xr(t)￨r∈

構 成 さ れ るSteinberg群

をG1と

す る.こ

をG,Gに

Δ+,t∈F〉

の 節 で はFが

対 応

と お く.Gか

有 限 体 の 場 合 にG1の

ら

位 数 を 計 算 し よ う.そ の た め q=￨F0￨ と お く.こ

こ でF0は

 (11.22) 

上 の 記 号 の 下 で￨U1￨=qN,N=￨Δ+￨,が

  証 明   (11.1)に

成

よ り τは Δ+を 不 変 に す る.ま

い と仮 定 す る.こ w(J)が

θの 不 変 体 で あ る.

ず Π 上 の σ軌 道 にA2型

の 時 Δ+の τ軌 道 の 一 つ をJと

す れ ばW1の

Π の σ軌 道 と な る こ と を 証 明 し よ う.い

よ りW1の A2型

元wと

Π の σ 軌 道Iが

で な い か らI+はIと

まs∈Jと

あ っ てw(s)∈I+と

一 致 し,w(s)∈Iと

り立 つ.

元wが

あ って

す れ ば(11.10)に

な る.仮

な る.さ

はな

定 に よ りIは

て

w(τ(s))=τ(w(s))=σ(w(s))∈I

と な る か らw(J)⊂Iが   A2型

成 り立 つ.よ

っ てw(J)=Iと

の 軌 道 が あ る場 合 で もIがA2型

型 の 場 合 はJに

な る.

で な け れ ばw(J)=Iと

な る.IがA2

対 応 し て Δ+の τ軌 道J′ が 定 ま りw(J∪J′)=I+と

の 時J+=J∪J′

と お く.IがA2型

か ら Δ+は{J+}の

で な い 場 合 はJ+=Jと

直 和 に 分 解 す る.さ

お く.以

な る.こ 上 のこ と

て

U(J+)=〈xr(t)￨r∈J+,t∈F〉

と お け ばU(J+)はG1の

中 でU(I+)と

共 役 で,U1(J+)=G1∩U(J+)と

そ れ はU1(I+)と

同 形 で あ る.特

U1=ΠU1(J+)が

成 り立 つ か ら￨U1￨=qNと

 定 理11.23 

と な る.こ

にU1(J+)の

位 数 はqn(n=￨J+￨)と

  証 明   (11.13)に

よ りG1の

unυ  

な る.

な る.

上 命 題 と同 じ記 号 の下 でGiの

こ で{ε1,…,εl}はE上

おけば

位数は

の 作 用 τ の 固 有 値 の 集 合 で あ る. 元 は一 意 的 に

(u∈U1,n∈N1,υ

と 表 わ す こ と が で き る.各w∈W1に

∈U1∩U-w,w∈W1)

つ い てU-wはW1不

変 であるから

U1∩U-w=ΠU1(J+)

と分 解 す る.よ 数)が

っ て￨U1∩U-w￨=qn(w)(n(w)はwに

成 り立 つ.定

理1.13に

よ り符 号 を 変 える 正 根 の

よ りn(w)=l(w)と

な る か ら 次 式 を 得 る.

￨G1￨=￨U1￨￨H1￨Σql(w).

  定 理11.16に

よ りH1の

元 は ΠhJ(tJ)と

い う形 に 一 意 的 に 書 け る.こ

こで

Jは

Π の σ 軌 道 全 体 を 動 く.￨J￨=1の

値 を と る.￨J￨>1の

場 合tJはF#の

そ れ ぞ れq2-1ま

た はq3-1個

場 合 はtJ∈F0#でq-1個

の可 能 な

任 意 の 元 で よ い か ら￨J￨=2,3に 可 能 な 値 が あ る.よ

応 じて

って

￨H1￨=Πli=1(q-εi) と な る(q3-1=(q-1)(q-ω)(q-ω2),ω3=1).

 系   単 純Steinberg群

の位数は (1/d)qNΠ(q-εi)Σql(w)

で あ る.こ

こ でdはZ(G1)の

  補 足   Steinberg群    

E6型 

位 数 で 定 理11.21に

よ り与 え られ る.

の 位 数 は 次 の よ うに 書 く こ と が で き る.

q36(q2-1)(q5+1)(q6-1)(q8-1)(q9+1)(q12-1)

D4型(σ3=1) 

q12(q2-1)(q6-1)(q8+q4+1)

 注 意  定 理11.19お

よび(11.18)に

お け る例 外 の 場 合 は,真

に 例 外 でG1は

位 数72の

可 解 群 とな る.

 §12  そ の 他 のLie型

単純群

  1. 例 外 ゲ ラ フ 型 自 己 同 形  

複 素 単 純Lie代

数 に 対 応 す るDynkinの

図形

の 表 を 見 る と §10に お い て 考 察 し た 場 合 の 外 に 対 称 性 を も つ 図 形 が 三 つ あ る. す な わ ちB2,F4,G2型 が っ て 根rが

称  

が 存 在 す る.し

短 い 根 で あ れ ば σrは 長 い 根,rが

と な っ て い る.基 とrjと

の 場 合,対

本 系 Π を{r1,…,rl}と

か しAl型

な ど とち

長 い 根 で あ れ ば σrは 短 い 根

お け ば σriと

σrjの 間 の 角 はri

の 間 の 角 と 一 致 し て い る.

  §2に お い て 根 系 Δ か ら Δ′={hr}を

定 義 し た.そ

Δ の 双 対 根 系 で あ る.い

お け ば{hi}が

り,hiとhjと 根 の 時hiは Δ=B2,F4,G2の

まhi=hriと

の 間 の 角 は,riとrjと Δ′に お け る 長 い 根,rjが

に よ っ て 与 え ら れ る.そ す る こ とが で き る.任

Δ′の 基 本 系 の 一 つ と な

の 間 の 角 と 一 致 す る.そ 長 い 根 な ら ばhjは

場 合 Δ′と Δ は 同 形 で あ る.実 Σnihi→

の 時 注 意 し た よ う に Δ′は

し てriが

短 い

短 い 根 と な っ て い る.

際 そ の 同 形写 像 が

Σniσri

こ で σ を拡 張 し て Δか ら Δ の上 へ の全 単 射 σ を定 義

意 のr∈ hr=Σnihi⇒

Δ に 対 し て σ(r)は σ(r)=Σniσ(ri)

と 定 義 さ れ る.た しrが

と え ば Δ=B2型

短 い 根 と す れ ば,図

の 場 合(1.4)の

形 の対 称 は   hr=2br, 

だ か ら(こ

こ で(r,r)=1と

で 与 え られ る.さ

て

hs=bs

長 さ の 単 位 を 定 め た)br+s=br+bsよ

hr+s=2br+s=hr+2hs, 

を 得 る.し

記 号 に 従 い Π={r,s}と

り

h2r+s=b2r+s=hr+hs

た が って σ(r+s)=2r+s, 

と な る.す

なわ ちB2型

σ(2r+s)=r+s

の 根 系 に お い てrとsと

の 間 の 角 の2等 分線 に 関 す る

対 称 に よ り根tを 含 む 半 直 線 が σ(t)を 含 む 半 直線 に 移 され る.G2型 同 様 でrとsと

の場 合 も

の 間 の 角 の2等 分線 に関 す る対 称 が σを 表 現 す る こ と が わ か

る.   根 が 生 成 す るEuclid空

間 をEと

お く.上 述 の よ うに 図形 の対 称 を根 系 の 全

単 射 σに 拡 張 で き るが σは 明 らか にEの た はF4型

等 長 写 像 で は な い.し

か しB2型

ま

の場 合 (rが 短 い 根) (rが 長 い 根)

とお い て写 像 τを定 義 す れ ば,τ はEの には係数を  

また は  

と変 えれ ば よい.以 下B2,F4型

2の 有 限 体 の 上 で 普 遍Chevalley群 明 し よ う.G2型

の場 合

の場 合,標

数

が 例外 グ ラ フ型 自己 同形 を もつ こ と を証

の場 合 は 標 数3の 有 限 体 上 で 同様 の結 果 が 成 り立 つ.

  定 理12.1 

標 数2の

Chevalley群

をGと

お く.任

λ(r)=1 

(rが

と定 義 す る.こ

等 長 写 像 に拡 張 で き る.G2型

有 限 体F上

の 時,Gは

で 定 義 さ れ たB2型

意 の 根rに

短 い 根), 

任 意 のr∈

ま た はF4型

の普遍的

つ い て λ(r)を λ(r)=2 

(rが

Δ お よ びt∈Fに

長 い 根)

つ いて

γ(xr(t))=xσ(r)(tλ(σ(r)))

を み た す 自 己 同 形 γ を も っ て い る.   証 明   (10.1)の

証 明 と 同 様{xσ(r)(tλ(σ(r)))}が 定 理8.6の

本 関 係 を み た す こ とを 示 せ ば よ い.σ(r)が つ こ とは 明 ら か で あ る.σ(r)が Fの 標 数 が2だ

長 い 根 の 場 合 は λ(σ(r))=2で

か ら(t1+t2)2=t12+t22が

証 明 に 現 わ れ る基

短 い 根 の 場 合 に 関 係(A)が

成 り立 ち,こ

あ る.し

成 り立 か し体

の 場 合 も 関 係(A)が

成

り立 つ.

  関 係(B)を

証 明 す る た め,{r,s}を

一 次 独 立 な 根 と す る.ま

な い と仮 定 す る.こ

の 時Xσ(r)とXσ(s)と

くて は な ら な い.こ

れ は σ(r)+σ(s)が

σ(r)+σ(s)が 照)こ

の 根 系 を 生 成 す る 場 合 で あ る.と

こ ろ で[xσ(r)(t),xσ(s)(u)]=xσ(r)+σ(s)(Ntu)に か ら,上

根 に な る と仮 定 し よ う.こ

ま た は145°

お い てN=Nσ(r) の 交 換 子 は1と

,σ(s)は ±2に

な り,こ

の場合 も

は 元 別 に 可 換 で あ る.

  次 にr+sが

る.角

標 数 が2だ

こで

元 の 根 系 を 調 べ て み れ ば((1.4)参

れ は σ(r),σ(s)が 共 に 短 い 根 でB2型

Xσ(r)とXσ(s)と

根 で

根 で な け れ ば 明 ら か で あ る.そ

根 で あ る と 仮 定 し よ う.2次

等 し い(2.6).体Fの

ずr+sが

が 元 別 に可 換 で あ る こ とを証 明 し な

で あ る.90°

が120°

の 場 合rとsと

の 場 合 は 上 と 同 様 に 関 係(B)の

の 場 合 はrとsと

の 間 の 角 は90°,120° 成 り立 つ こ と が わ か

は 同 じ 長 さ でNr,s=±1と

な る.ま

た

λ(σ(r))=λ(σ(s))=λ(σ(r)+σ(s))

が 成 り立 つ.そ

こ で λ=λ(σ(r))と

おけば

[xσ(r)(tλ),xσ(s)(uλ)]=xσ(r)+σ(s)(tλuλ)

と な る.一

方,σ(r+s)=σ(r)+σ(s)で

成 り立 つ.rとsと

あ る こ と が 証 明 さ れ る の で 関 係(B)が

の 間 の 角 が135° の 時,短

い 根 の 方 をrと

すれば

[xσ(r)(t2),xσ(s)(u)]=xσ(r+s)((tu)2)xσ(2r+s)(t2u)

が 成 り立 つ こ とを証 明す れ ば よい.定 理7.1に

よ り上 式 の 左 辺 は

xσ(r)+σ(s)(t2u)xσ(r)+2σ(s)(u2t2)

に 等 し い.と

こ ろ で σ(r+s)=σ(r)+2σ(s),σ(2r+s)=σ(r)+σ(s)と

上 式 が 成 り立 ち,関

係(B)が

  定 義 か ら

対 応 す る元 は

ωr(t)に

で あ る.Eの

(ⅰ)に 対 応 す る 式 が 成

長 い 根 で も 同 様 で あ る.

ωσ(r)(tλ(σ(r)))と な る.hr(t)に

等 長 写 像 τ に よ り τ(r)は

か ら τwrτ-1=wτ(r)=wσ(r)お

(c(r,s)=±1=1).容

証 明 さ れ る.rが

σ(r)と

標 数 が2だ

n(s,r)λ(σ(s))=λ(σ(r))n(σ(s),σ(r))

  関 係(D)が

成 り立 つ.

成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.よ

得 る.よ

か ら(7.6)(ⅱ)も

易 に

とな る こ とが確 か め られ る の で関 係(C)が

つ い て も同 様

同 一 方 向 に む か う ベ ク トル だ

よ び σ(wr(s))=wσ(r)(σ(s))を り 立 つ.体Fの

な る か ら

って

っ て(7.6) 成 り立 つ

γ(xr(t))=xσ(r)(tλ(σ(r)))

はGか

らGの

数 体Fが

中 へ の 準 同 形 を 与 え る.明

有 限 な ら ば(Fは

γ も 全 単 射 でGの   G2型 が,符

ら か に γ2(xr(t))=xr(t2)と

完 全 体 で)写

像t→t2は

な る.係

全 単 射 と な る.よ

って

自 己 同 形 と な る.

の 群 の 例 外 グ ラ フ 型 自 己 同 形 を 構 成 す る こ と は 定 理12.1と

同様であ る

号 を 一 々 決 め な くて は な ら な い の で も っ と複 雑 に な る.Ree[2*]を

参

照 さ れ た い.   2. 鈴 木 群,Ree群,Tits群

  標 数2の

己 同 形 θ を も つ と 仮 定 す る.こ

有 限 体Fが

の 時B2型,F4型

θ2(t2)=tを

み た す 自

の 普 遍Chevalley群

は

ρ(xr(t))=xσ(r)(θ(t)λ(σ(r)))

に よ り定 義 さ れ る 自 己 同 形 ρ を も つ.定

義 か ら ρ2=1と

を 不 変 に す る か ら,ρ は 部 分 群U,Vを

不 変 に す る.そ

な る.σ

は基本系 Π

こで

U1={u￨u∈U,ρ(u)=u}

とお き,同 様 にV1をVの

ρ不 変 元 の全 体 と定 義 す る.そ し て G1=〈U1,V1〉

と お く.こ

の 時G1に

つ い て §11でSteinberg群

な 結 果 が 成 り立 つ.特

に￨F￨>2の

に つ い て述 べ た こ と と同 様

場 合 単 純 群 が 得 ら れ る.証

明 は §11と 同 様

だ か ら 変 更 し な け れ ば な ら な い点 だ け を 述 べ 細 部 は 省 略 す る.   一 般 に ρ(ωr)=ωσ(r)が 成 り立 つ.そ 形 を §11の

こ で ρ が 引 き お こ すWeyl群

よ うに 同 じ 文 字 ρで 表 わ す こ と に す る.こ ρ(w)=τwτ-1 

が 成 り立 つ.さ

て Π 上 の σ 軌 道Jを

σ(r)は 長 い 根 でJ={r,σ(r)}と J+={r,σ(r)}, 

  (12.2) 

の 時W1は F4型

(w∈W)

と りJに

な る.Jの

含 ま れ る 短 い 根 をrと

おけば

生 成 す る 正根 の 集 合 は

全 く同 様 に(11.7)お

前 半 も 同 様 に 証 明 さ れ る.ρ

お け ば,B2型

の時

J+={r,σ(r),r+σ(r),2r+σ(r)}

の い ず れ か で あ る.§11と (11.9)の

の 自己 同

位 数2の

の 場 合W1は

  証 明   F4型

の 根 系 を §3.8の

の 時p1,p2が

長 い 根 でp3,p4が

よ び(11.8)が

不 変 なWの

成 り立 つ.ま

た

元 全 体 の つ く る 群 をW1と

巡 回 群 で あ る.

位 数16の2面

体 群 で あ る.

よ うに 番 号 を つ け{p1,p2,p3,p4}と 短 い 根 で あ る.そ

こで

お く.こ

とな る.二

つ の σ 軌 道 に 対 応 す るW1の

に 関 す る 対 称 変 換 で あ る.よ

っ てW1は2面

の 角 φ に よ り定 め ら れ る.p3の さ は1,υ2の

生 成 元 は((11.9)参

体 群 で そ の 位 数 は υ1と υ2と の 間

長 さ を1に

長 さ は1/(2cos(π/8))と

さ て(p1,p2)=-1,(p3,p4)=-1/2だ

照)

とれ ばp1の

長 さ は 

υ1の 長

な る(次 図 参 照).

か ら

cosφ=2cos(π/8)(υ1,υ2)=-cos(π/8)

と な る.し

た が っ て φ=7π/8を

  σ 軌 道JがA12型 か しJがB2型

得 る か らW1の

の 場 合U(J)の

位 数 は16で

あ る.

構 造 は 簡 単 で{xr(t)xσ(r)(t2)}と

の 場 合 は 次 の 様 に な る.σ(r)=sと

な る.し

お いて

x=xr(t1)xs(t2)xr+s(t3)x2r+s(t4) が ρ不 変 とな るた め の 条件 を 求 め よ う.定 理7.3を t1=θ(t2), 

を 得 る.す

な わ ちU1(J)の

用いれば

t3=θ(t12t2+t4)

元 はt=t2,u=θ(t4)を

用いて

xr(θ(t))xs(t)xr+s(tθ(t)+u)x2r+s(θ(u2))

と 表 わ す こ とが で き る.さ 次 元 の 斜 交 群Sp(4,F)で

てB2=C2だ あ る(§8.2節

r=e1-e2, 

s=2e2, 

と 正 根 を 定 め れ ば 生 成 元xr(t)な

の 普 遍Chevalley群

末 の 注 意1).§3.3の r+s=e1+e2, 

ど を(4,4)型

xr(t)=I+tu12, 

記号を用い

行 列 で 表 わ す こ とが で き る.

x2r+s(t)=I+te13

元 をx(t,u)と

は4

2r+s=2e1

xs(t)=I+te24

xr+s(t)=I+ts12, 

で あ る か ら 上 に 与 え たU1(J)の

か らB2型

お け ばx(t,u)は

(空 い て い る場 所 は0)と

い う斜 交 群 の元 に 対 応 す る.こ れ か ら

x(t,u)x(t′,u′)=x(t+t′,u+u′+θ(t)t′)

が 成 り立 つ.す

な わ ち(11.11)の

類 似 が 成 り立 つ.(11.12)お

が そ の ま ま 成 り立 つ の で 定 理11.14が て い る.部

分 群Hに

成 り立 つ.よ

含 まれ る ρ不 変 元 は(11.15)と

表 わ す こ と が で き る.こ

こ でrをJに

よ び(11.13)

っ てG1はTits系

を もっ

同 様 に ΠhJ(tJ)と

一意的に

含 ま れ る短 い 根 と す れ ば

hJ(t)=hr(t)hσ(r)(θ(t2))

で あ る.定

理11.16も

型 の 場 合Sp(4,F)の

と な る.w0(J)に

がW1の

成 り立 つ.JがA12型

の 場 合 は 前 と 同 様 で あ る.JがB2

中 で ωr(t)お よ び ωs(u)に 対 応 す る 行 列 は

対 応 す る 元 は(ωrωs)2で

生 成 元 に 対 応 す る.こ

あ るか ら行 列

の 行 列 で 表 わ さ れ る 元 をn(y,z)と

元 υ=x-(r+s)(θ(t))x-(2r+s)(t)を

と る.明

は υ=x(x,u)n(y,z)x(x′,u′)と

な りn(y,z)∈G1が

を 行 列 の 式 に 書 き 直 し て,(2,2)型

と な る か らT=tXD-1X′

が 成 り 立 つ.し

お く.Vの

ら か に υ は ρ不 変 だ か ら そ の 標 準 形 成 り立 つ(11.13).こ

の式

の 小行 列 に分 け て 書 け ば

を 得 る.す

な わ ち,任

た が っ てt=y-1,θ(t)=y-1θ(x)=y-1θ(x′)お

意 のt∈F#に

対 し

よび

θ(x)y-1θ(x′)+z-1=0

と な る.す

な わ ち,任

意 のtに

つ い てt′=θ(t2)t-1と

お け ばn(t,t′)はG1の

元

と な る.特

にn(1,1)∈G1.よ

っ てn(t,t′)n(1,1)もG1の

元 で あ る.行

列 の計

算 に よ り(空 所 は0)

と な る.と

こ ろ でhr(t),hs(u)は

に 対 応 し て い る.し σ軌 道JがB2型

そ れ ぞ れ

た が っ てn(t,t′)n(1,1)=hr(t)hs(θ(t2))が

の 場 合 に もhJ(t)∈G1が

成 り立 つ.こ

成 り立 つ こ と,す

れは

な わ ちH1がHに

含 まれ て い る ρ不 変 元 の 全 体 と一 致 す る こ と を 示 し て い る.よ

っ て 定 理11.16

が 成 り立 つ.   係 数 体Fが￨F￨>2を 11.19の

み た す 場 合 に はG1は

証 明 と 同 様 で あ る.標

Chevalley群   B2型

の 中 心 は{1}だ

の 場 合G1はB1に

い る.こ

数2の

の 群 は,は

か らZ(G1)も{1}と

で もF4型

の 証 明 も定 理 で も普 遍 的 な

な る.

関 す る剰 余 類 の 上 の 置 換 群 と し て2重

じ め2重

可 移 群 の 研 究 中 に 鈴 木[3*]に

で 鈴 木 群 と 呼 ば れ て い る.群G1は が,そ

単 純 群 に な る.こ

体 の 上 で はB2型

斜 交 群Sp(4,F)の

可 移 とな っ て

よ り発 見 さ れ た の

部分 群 とし て定 義 され た

れ が 例 外 的 自 己 同 形 に よ る 不 変 元 の 全 体 と な る こ と は 小 野[1*],Ree

に よ り独 立 に 証 明 さ れ,そ

の 類 似 と し てRee[2*]がF4型

の た めF4型

とい わ れ て い る.B2型

位 数20の

の 群 はRee群

可 解 群 と な る.F4型

合 に はG1は

指 数2の

あ る こ と をTitsが はTits[1*]を   鈴 木 群,Ree群

の 場 合￨F￨=2な

正 規 部 分 群Tを

の 群 は 係 数 体 が2元

体 の 時,

ら ば 単 純 群 で は な い.こ

含 む こ と,そ

証 明 し た.TはTits群

の 群 を 定 義 し た.そ

し てTは

の場

非可換単純群 で

と呼 ば れ て い る.こ

の 群 につ い て

参 照 さ れ た い. の 位 数 も §11.6と

結 果 だ け 書 い て お こ う.q=￨F￨と

同 様 の 方 法 に よ り 求 め る こ とが で き る. お く.

   

B2型

 

q2(q-1)(q2+1)

F4型

 

q12(q-1)(q3+1)(q4-1)(q6+1)

Tits群

の 位 数 はq=2でF4型

  注 意   係 数 体Fは

の 式 の 半 分 と な る.

標 数2で

か ら θ(t)=tr(rは2の

θ2(t2)=tを み た す 自己 同 形 を も って い る.Fは

ベ キ)と な る.よ っ て￨F￨=2nと

お け ば2r2=2nが

有限体だ 成 り立 つ.

し たが っ てnは 奇 数 でな け れ ば な ら ない.   3. 標 数3のRee群

 

標 数3の

有 限 体Fの

上 でG2型

群 は 例 外 グ ラ フ 型 自己 同 形 γ を も っ て い る.γ

の 普 遍Chevalley

は

γ(xr(t))=xσ(r)(tλ(σ(r)))

を み た す.こ 場 合 と 同 様Fが

こ で λ(r)はrが θ2(t3)=tを

短 い 根 の 時1,長

い 根 の 時3と

す る.標

数2の

み た す 自己 同 形 を も っ てい れ ば

ρ(xr(t))=xσ(r)(θ(t)λ(σ(r)))

に よ り定 義 さ れ る 自 己 同 形 ρが あ り,ρ 義 さ れ る.￨F￨=q=3nと

お け ば,nは

不 変 元 の つ くる部 分 群 が 前 と同 様 に 定 奇 数 でG1の

位数は

q3(q-1)(q3+1) と な る.q>3な 含 ん で い る.こ

ら ばG1は の 指 数2の

単 純 群,q=3の 部 分 群 はSL(2,8)と

証 明 は 前 と 同 様 で あ る がRee[2*]を れ て い る.

時 はG1は

指 数2の

正規部分群を

同 形 で あ る.こ

れ らの 事 実 の

参 照 さ れ た い.こ

の 群 もRee群

と呼 ば

第4章

 散 在 単 純 群

  §1  散 在 単 純群 の 歴 史   単 純 群 の分 類 定 理(Ι §1)に お い て最 後 に ま とめ られ て い る散 在 単 純 群 は無 限 系 列 に属 し て い な い例 外 的 な単 純 群 で全 部 で26個 あ る.そ の うち 最 も古 く か ら知 られ て い る群 はMathieuに 重 可 移 群M12と

次数24の5重

よっ て百 年 以上 前 に 発 見 され た 次 数12の5

可 移 群M24で

あ る.Mathieuが

発 見 した あ と

し ば ら くし て これ ら の群 は 単 純 群 で あ る こ とが 証 明 され た.M24の 安 定 化 群,2点

の安 定化 群,3点

次 数22の3重

可移 群,次 数21の2重

群 と な りM23,M22と のPSL(3,4)が §2参 照).小

山[5]に

の

可 移群,

可 移 群 とな る.こ れ らの 群 もすべ て単 純

表 わ され てい る.最 後 の次 数21の2重

可 移群 は4元 体 上

射 影 平 面 の点 の上 に 作 用 し て い る 置 換群 と 同 形 と な る(Ⅱ さいMathieu群M12の

る単 純 群 で あ るが,2点 代 群A6と

の安 定 化 群 は それ ぞれ 次数23の4重

中 で1点

場 合,1点

の 安 定 化群 はM11と

表わ され

の 安定 化 群 は位 数720の 群 で指 数2の 正 規部 分 群(交

同 形)を 含 ん で い る.Mathieu群

が 単 純 であ る こ とは 永 尾[4],大

解説 され て い る.本 書 で は残 念 な が ら各 散 在 群 につ い てそ の単 純 性 を

詳 し く説 明す る こ とは で き ない が,あ

とでMathieu群

も含 め て一 応 の 証 明 を

述 べ る こ とに す る.   Mathieuの5重

可 移 群 に 関 す る論 文 が1860年

頃 発 表 され て 以 来 百 年 も の間

新 し い散 在 単 純 群 は 発 見 され ず 影 を ひ そ め て い た.1955年 文 が発 表 されChevalley群 鈴 木 群,Ree群,Tits群

にChevalleyの

論

が は っ き り定 義 され る と,相 つ い でSteinberg群, が発 見 され,い わ ゆ るLie型

の 単純 群 が 全 部 現 われ

た.こ れ よ り先,有 限 群 論 の 進 展 に よ り有 限 単純 群 を 研 究 し よ う とい う気 運 が 高 ま っ てい た.そ

の も と とな るの は 次 のBrauer-Fowlerの

  偶 数 位 数 の有 限 単 純 群 をGと て,そ の中 心 化 群CG(t)の て定 ま る或 る定 数Nが

す る.Gに

定 理 であ る.

含 まれ て い る位 数2の 元tに つ い

構 造 が 与 え られ て い る と仮定 すれ ば,CG(t)に

あ ってGの

位 数 はN以

よっ

下 とな る.す な わ ち,CG(t)の

構 造 に よ っ て 単 純 群Gは 参 照.特

にp.510お

ほ と ん ど定 ま っ て し ま う.(詳

よ びp.759.)

  こ の 定 理 に よ り単 純 群 で は 位 数2の べ た 鈴 木 群 の 発 見 もCG(t)が

で 逆 に,可

の1元tを

換 な シ ロ ー2群

元 の 中 心 化 群 が 特 に 注 目 さ れ る.前

のRee群

で は 位 数2の

元全体は一つの共役

とれ ばCG(t)=〈t〉

×PSL(2,3n)が

を も つ 単 純 群Gが

あ っ て,位

CG(t)=〈t〉

×PSL(2,q) 

成 り立 つ.そ

数2の

のRee群

が お こ る.こ

奇 数 ベ キ でGはRee群

ら ば,qは3の

群 で あ る こ とが 証 明 さ れ た.(実

際 にG2型

の 秋Jankoがq=5の

元tが

と同形 で あ る か とい う問 題

のRee群

と あ と に な っ て か ら 証 明 さ れ た(『群 論 』 下,英   1964年

こ

(q=pn)

と い う条 件 を み た し て い る 時,GはG2型 の 時q>5な

に述

ベ キ 零 と な る 単 純 群 を 決 定 し よ う と い う研 究 の

中 か ら 導 か れ た も の で あ る.G2型 類 を つ く り,そ

しい こ とは 『 群 論 』 下,

と よ く似 た

と同 形 に な る こ とは ず っ

語 版p.517参

照).)

場 合 は 真 に 例 外 で あ っ て,位

数175,560の

散

在 単 純 群 が 存 在 し 上 述 の 条 件 を み た し て い る こ と を 示 し 皆 を あ っ と驚 か せ た. こ の 群 はMathieu群

以 来 最 初 の 散 在 単 純 群 でJanko群

と呼 ば れ て い る.そ

の 後Jankoは

更 に 三 つ の 散 在 単 純 群 が 可 能 で あ る こ と を 発 表 し た の で,そ

ら もJanko群

と 呼 び 位 数 の 増 加 順 にJ1,J2,J3,J4と

  Janko[1*]はJ1をGL(7,11)の [4]は266個

て1点

表 わ し て い る.

部 分 群 と し て 書 き 上 げ た がLivingstone

の 点 か ら な る 或 る グ ラ フ な 構 成 し,J1を

と し て 表 現 し た.J1は

れ

そ の 自 己 同 形 の つ く る群

こ の グ ラ フ の 頂 点 の 集 合 に 可 移 に 作 用 し て い る.そ

の 安 定 化 群 はPSL(2,11)で

あ る.す

な わ ちJ1はPSL(2,11)の

し

原始的

可 移 拡 大 と な っ て い る.   J1の 構 成 後 間 も な くJankoは 発 表 し た.こ

の 場 合,位

わ ちextra-special群(『 あ る.こ

数2の

さ らに二 つ の散 在単 純 群 が 可 能 であ る こ とを 元tの

中 心 化 群CG(t)は

群 論 』 下p.463)を5次

の 交 代 群A5で

の 形 の 中 心 化 群 を もつ 単 純 群 は 交 代 群 やLie型

し な い.中

心 化 群 に 関 す る 仮 定 の 下 でJankoは

す な わ ち 位 数2の る か ま た は 位 数2の とな り,お

位 数25のesp群,す

な

拡 大 した 群 で

の 単 純 群 の 中 に は 存在

二 つ の 場 合 が 可 能 で あ る こ と,

元 の つ く る 共 役 類 の 数 が 二 つ で￨G￨=2733527=604,800と

な

元 は 一 つ の 共 役 類 を つ く り￨G￨=27355・17・19=50,232,960

の お の の 場 合 にGの

群 指 標 の表 が 一 意 的 に 定 ま る こ と を 示 し た

[2*].   Jankoが

こ の 単 純 群 が 存 在 す る で あ ろ う と発 表 し て 間 も な く,M.Hallが

J2を 次 数100の

可 移 群 と し て 構 成 し た.こ

群 は ユ ニ タ リ群PSU(3,3)に の 表 か ら,J2は

次 数100の

の 時J2は

原 始 的 で,1点

同 形 で あ る.Jankoに

よ って 求 め られ た 群 指 標

置 換 表 現 を も つ 可 能 性 が あ る こ と,次

換 表 現 が あ る と す れ ばPSU(3,3)が1点

の安定化

数100の

の 安 定 化 群 に な り得 る 群 で あ る こ と

が 見 出 さ れ た の が 構 成 の も と に な っ て い る.M.HallはPSU(3,3)か し て,そ

の 次 数100の

ら出発

可 換 拡 大 を 計 算 機 の 助 け を か り て 構 成 し,そ

定 義 す る 条 件 を み た す 唯 一 つ の 散 在 単 純 群 で あ る こ と を 示 し た.位 方 のJanko群J3の

場 合 に は,J3に

小 さ い の で,そ

数 の大きい く らべ て

か しG.Higman-McKay[1*]は

計

よ る 剰 余 類 数 え 上 げ 法 を 実 行 し てJ3が

に 定 ま る 散 在 単 純 群 で あ る こ と を 確 定 し た.J2,J3の 群 構 成 の 始 ま り で あ る.そ

れ がJ2を

含 ま れ る 部 分 群 の 位 数 が￨J3￨に

の 構 成 は 困 難 で あ っ た.し

算 機 を 用 い てTodd-Coxeterに

置

の 後 す ぐにJ2は100個

一意的

構 成 が 計 算 機 に よる単 純 の点 か らな る或 る グ ラ フの

自 己 同 形 の つ くる 群 と し て 計 算 機 な し で 構 成 さ れ た(鈴

木,Tits).最

近J3も

計 算 機 の 助 け を か り な い で 構 成 で き る よ う に な っ た(Mirman-Weiss).   Jankoの

群 は す べ て,位

数2の

元 の 中心 化 群 の構 造 を与 え て単 純 群 を求 め る

と い う 問 題 か ら 発 見 さ れ た も の で あ る.こ Ly,O'Nan群ONな る.ま

どが 位 数2の

ずJanko群J2,J3か

とM24に

元 の 中 心 化 群 を 与 え る こ と に よ り定 義 さ れ

ら し ば ら くた っ てHeld群

お い て シ ロ ー2群

中 心 化 群 は 同 形 で あ る.こ ー2群

Heldは

第3の

の 中 心 化 群 をHと

た はM24と

お こ う.単

元 の 中 心 化 群 がHと

で あ る.こ

元 を と れ ば,そ 純 群Gに

の

おいてシ ロ

同 形 であ る時

,単

同 形 で あ る か と い う問 題 を 調 べ て い る う ち

場 合 が 可 能 で あ る こ と を 証 明 し た[1*].こ

は ま る 群 がHeld群

が 現 わ れ た.PSL(5,2)

の 中 心 に 含 ま れ て い る 位 数2の

の 中 心 に 含 ま れ て い る 位 数2の

純 群GはPSL(5,2)ま

の 外 に もHeld群He,Lyons群

の 群Heは

の 第3の

場合 にあて

ま たG.Higman-McKayに

よ り計

算 機 を 用 い て 構 成 さ れ た.   Held群

に 先 だ っ て い くつ か の 散 在 単 純 群 が グ ラ フ の 自 己 同 形 の つ くる 群 と

し て 構 成 さ れ た.前

に 述 べ た よ うにM.HallはJanko群J2を

換 群 と し て 計 算 機 を 用 い て 構 成 し た.こ

次 数100の

の 結 果 に つ い てM.HallがOxford

置

で 講 演 し た 時,丁 る 階 数3の てM22の

度 そ の 場 に い たD.G.

HigmanとSimsと

置 換 群(『 群 論 』 下p.879)で 次 数100の

あ る こ と に 注 目 し,類

可 移 拡 大 を 構 成 し た.す

と り(次 数1,22,77)そ

が,J2が

似 の方 法 を用 い

な わ ち,M22の

れ か ら 頂 点 の 数 が100の

いわ ゆ

置 換 表 現 を三 つ

グ ラ フ を 作 り,そ

の グラ フ の 自

己 同 形 群 が 頂 点 の 集 合 の 上 に 可 移 に 作 用 す る こ と を 証 明 し た の で あ る.彼 Hallの

講 演 を 聞 い た あ とす ぐ構 成 に と り か か り,翌

朝 に は 新 単 純 群 が で き上

っ て い た と 伝え 聞 い て い る.こ の 群 がHigman-Sims群HSで,永 説 さ れ て い る.(原

論 文Higman-Sims[1*].J1の

  Higman-Sims群 [6*]は

尾[4]に

構 成 はM.

解

Hall-Wales[1*].)

の 構 成 に 関 す る 予 稿 を 入 手 し て か ら2,3週

同 様 な 方 法 を 用 い て 階 数3の

らは

間 の うち に 鈴 木

可 移拡 大 の 系 列

PSL(2,7)⊂PSU(3,3)⊂J2⊂G2(4)⊂S を 構 成 し 散 在 鈴 木 群Sを 型Chevalley群

発 見 し た.こ

で あ る.各

ラ フ を 構 成 す る の で あ る.グ

こ でG2(4)は4元

段 階 で 群 が 階 数3の

原 始 置 換 群 と し て作 用 す る グ

ラ フ の 自 己 同 形 群 はAut

  上 の 系 列 は 実 はA6⊂PSL(3,4)⊂PSU(4,3)と の 類 似 と し て 構 成 さ れ た も の で あ る.そ

体 上 で 定 義 さ れ るG2

Sな

ど と一 致 す る.

い う階 数3の

可移 拡 大 の 系 列

の 構 成 と ほ と ん ど同 時 にPSU(4,3)を

さ ら に 可 移 拡 大 し て 散 在 単 純 群 が 得 ら れ る こ と をMcLaughlin[1*]が た.こ

の 散 在 単 純 群 をMcと

表 わ す.Mcも

階 数3の

  こ の あ と し ば ら く し てRudvalis[1*]がTits群

原 始 的 置 換 群 で あ る. の 可 移 拡 大 と な る 階 数3の

原 始 的 置 換 群 の 存 在 す る 可 能 性 が あ る こ と を 発 表 し た.そ と す れ ば 位 数2の

中 心 を も つ 中 心 拡 大 が 存 在 し,そ

現 を も つ こ と が 証 明 さ れ た.こ

必 要 で あ っ た が,最   Janko群J2か

の様 な群 が 存 在 す る

の 中 心 拡 大 は28次

元 の表

の こ とか らConway-Wales[1*]は28次

間 の ベ ク トル を 用 い て 頂 点 数4060の 群 と し てRudvalis群Ruの

証明 し

グ ラ フ を 構 成 し,そ

中 心 拡 大 を 構 成 し た.こ

元空

の 自己 同 形 の つ く る

の途 中 で 計 算機 の助 け が

近 計 算 機 を 用 い ず に 構 成 で き る よ うに な っ た(Weiss).

ら 始 ま っ て 単 純 群 の 可 移 拡 大 と し て い くつ か の 散 在 単純 群 が

構 成 され て い る 間 にConwayとFischerに 発 見 さ れ た.Conway群 っ と前 か らEuclid空

はLeech格

よ っ て 別 の 方 向 か ら散 在 単 純 群 が 子 の 自 己 同 形 の 群 と し て 定 義 さ れ る.ず

間 に 同 じ 大 き さ の 球 を で き る だ け 多 くつ め 込 む に は ど う

す れ ば よ い か と い う 問 題 が あ る.Leechは24次

元 の空 間 に お い て 一 つ の 球 に

非 常 に 多 く の 球 が ふ れ 合 っ て い る 特 別 な つ め 方 を 定 義 し た.こ の 集 合 は 空 間 の 格 子 群 を つ く っ て い る.こ

れ がLeech格

の 時,球

の 中心

子 で あ る.Conway

は この格 子 の原 点 を 固 定 す る 自己 同 形 全 体 が つ く る群 が い くつ か の 散 在 単 純 群 を 含 ん で い る こ と を 証 明 し た.Conwayが か ら 出 版 さ れ たT.M.

Thompsonの

リに 述 べ ら れ て い る.Leech格 に した が っ て ・0(dot

0)と

中 心 を 生 成 し て い る.そ

こ の 結 果 を 得 た 当 時 の 状 況 がMAA 書(Carus叢

書21)の

中 に ドキ ュ メ ン タ

子 の 原 点 を 固 定 す る 自 己 同 形 全 体 をConway 呼 ぶ.ベ

ク トル υ を-υ

に 移 す 変 換-Iは

こ で ・0の 中 心 に よ る 商 群 を ・1と 表 わ す.Leech格

子 に 含 まれ る 点 の うち 原 点 と の 距 離 が 最 小 の も の は196,560個 群 は これ ら の 点 の 上 に 可 移 に 作 用 し て い る.そ 距 離 が2番

目 の 点 の 安 定 化 群 を ・3と い う.こ

在 単 純 群 で あ っ てConway群 形 群 で24次

・0の

の う ち の1点 れ ら の群

と 呼 ば れ て い る.群

元 の 直 交 群 の 部 分 群 で あ る.そ

あ る.自

己同形

の 安 定 化 群 を ・2,

・1,・2,・3は す べ て 散

・0はLeech格

の た め 各 元 が24次

子 の 自己 同 元 の行 列 と して

具 体 的 に 表 わ さ れ て い る の で,そ

れ を用 い て群 の 構 造 が 調 べ られ る利 点 を も っ

て い る.そ

よ び上 に述 べ た 鈴木 群 に到 る系 列 を 区 間 と し

の 上 ・0はHS,Mcお

て 含 ん で い る.・0の

中 で調 べ る のが こ れ ら の群 を 研 究 す るた め に 一 番 有 効 な

方 法 で あ る.   Fischerの

研 究 は 次 の 群 論 の 問 題 か ら 始 ま っ た.群Gに

の 元 か ら な る共 役 類Dが t,s∈D⇒

を み た し て い る時Dを3互

含 ま れ て い る 位 数2

次の条件 積tsの

位 数 は1,2,ま

換 の 共 役 類 と い う.た

た は3

とえ ば対 称 群 Σnの 中で 普

通 の 互 換 全体 は3互 換 の共 役 類 をつ くる.ま た2元 体 上 の直 交 群,斜 交 群,ユ ニ タ リ群 で は,そ れ に含 まれ る移 換 の全 体 が3互 換 の共 役 類 をつ く っ て い る. この 他 に も3元 体 上 の直 交 群 は3互 換 の 共 役 類 を 含 ん で い る.Fischerは3互 換 の共 役 類Dか   有 限 群Gが3互

ら生 成 され る有 限 群 を 調 べ 次 の 定 理 を 証 明 した. 換 の 共役 類Dに

は可解な正規部分群  

よ り生成 され て い る と仮 定 す る.さ

を含 まず,G′=G″(第1の

子 群 が 一 致 す る)と 仮 定す る.こ の 時Gは 形 式 を 不 変 に す る古 典 群,3元 はM(22),M(23),M(24)と

交 換 子 群 と第2の 交 換

上 に あ げ た例(対 称 群,2元

体 上 の直 交群)の

らにG

体上 の

いず れ か と一 致 す るか,ま た

表 わ され る三 つ の例 外 群 の いず れ か と同形 に な る.

  こ の 例 外 群M(22),M(23),お

よ びM(24)の

交 換 子 群M(24)′

単 純 群 に な る こ と もFischerが

証 明 し た.こ

れ ら の 群 をFischer群

例 外 群 をM(22)な

ど と 表 わ し た の は,そ

は すべ て 散 在 と い う.

れ ら がMathieu群M22な

ど と関 係

し て い る か ら で あ る.   上 に あ げ たFischerの Gが

定 理 の 基 本 と な る の は 次 の 命 題 で あ る.い

上 定 理 の 条 件 を 満 足 し て い る と 仮定 す る.こ

て 階 数3で

あ る(『群 論 』 下p.900).す

大 で 階 数3の

の 時GはD上

な わ ちGはt∈Dの

置 換 群 と な る.Fischer群

ま有 限 群

の置換群 とし 中心化群の可移拡

の 置 換 群 と し て の 次 数 お よ び1点

の安

定 化 群 の 構 造 を 表 し て お こ う. M(22) 

3510 PSU(6,2)の

中心拡大

M(23) 

31671 M(22)の

M(24) 

306,936 

Z2×M(23)

M(24)′  

306,936 

M(23)

中心 拡 大

安 定 化 群 を 中 心 拡 大 と 表 わ し た 場 合,ど 分 裂 拡 大 で あ る.(中

ち ら も 中 心 の 位 数 は2で

心拡大につ い て は

『群 論 』 上,第2章

中心 拡 大 は非

§9を 参 照 さ れ た

い.)   残 りの 散 在 単 純 群 は す べ て 位 数2の さ れ て い る.前に

元 の 中心 化 群 を 与 え る こ とに よ って定 義

述べ たMcLaughlin群Mcで

を つ くる こ と が 証 明 さ れ る.そ 大 で あ る こ とが 示 さ れ た.そ

の1元

は 位 数2の の 中 心 化 群 は8次

こ で 一 般 に 交 代 群Anの

る 単 純 群 が 存 在 す る か ど うが 問 題 と な る.ま 能 で あ る こ と を 示 し た.そ は 不 可 能 で あ る がn=11の と 仮 定 す れ ば,そ 群 は5元

  次 にO'Nan群

場合は不可 場 合 を 調 べn=10

の よ うな単 純 群 が 存 在 す る

の 位 数 は￨G￨=2837567・11・31・37・67で

ば ら くし てSimsが

中心拡

中 心 拡 大 を 中 心 化 群 とす

ずJankoがn=9の

場 合 は 可 能 で あ り,そ

あ る こ と,ま

た この

部 分 群 と し て 含 ん で い る こ とを 計 算 機 を 用 い てG2(5)の

の 条 件 を み た す 単 純 群 を 構 成 し た.こ 交 代 群Anの

の 交 代 群A8の

の あ とLyons[1*]がn=10,11の

体 上 のG2型Chevalley群G2(5)を

証 明 し た.し

元 は一 つ の 共役 類

れ がLyons群

可 移 拡 大 と し て上

で あ る.(n≧12の

場 合,

中 心 拡 大 を 中 心 化 群 と す る 単 純 群 は 存 在 し な い.) に つ い て 述べ よ う.Lyons群

似 か ら 発 見 さ れ た よ うにO'Nan群

がMcLaughlin群

はHigman-Sims群

と の 或 る類

の 或 る部 分 群 との類 似

か ら発 見 され た.Higman-Sims群

は 

Yは 位 数4の 巡 回群 三 つ の直 積)と

い う形 の部 分 群 を 含 ん で い る こ とが 証 明 さ

れ る.HSで

はY上

O'Nan群

こで

の 拡 大 が分 裂 し て い る が分 裂 し な い 拡 大 も可 能 で あ る.

は こ の分 裂 しな い 場 合 の シ ロー2群 を もつ 単 純 群 と し て一 意 的 に定

ま る.ONは

位 数2の

元 か ら な る共 役 類 を唯 一 つ もち,そ の 元 の中 心 化 群Cは

A⊂B⊂C, 

￨C:B￨=2, 

と い う正 規 列 を も ち,AはBの 条 件 か ら 単 純 群ONは

一 意 的 に 定 ま る.ま

  以 上 述 べ た こ と が1970年 に 関 連 し てJ4に

し た の は1976年

巡 回 群 で あ る.こ

たONはPSL(3,7)を

次 数122,760の

の

グラ フ型 の

部 分 群 と し て 含 ん で い る(O'Nan[1*]).あ

計 算 機 を 用 い てONをLの

Janko群

B/A=PSL(3,4),

中 心 に 含 ま れ る 位 数4の

自 己 同 形 で 拡 大 し た 群Lを Simsは

X/Y=SL(3,2)(こ

とで

可 移 拡 大 と し て 構 成 し た.

代 の 始 め ま で の 散 在 単 純 群 の 歴 史 的 解 説 で あ る.

も 触 れ た がJanko[3*]がJ4の

の こ と で1970年

可能 性 に つ い て 発 表

代 は じ め の 時 点 で は21個

見 さ れ て い た.残

っ て い る 散 在 単 純 群 はJ4お

ゆ るmonsterに

関 係 し た 群F1,F2,F3お

の散在単純群が発

よ びFischer-Griessの

よ びF4で

群,い

わ

あ る.

  これ ら の 群 に つ い て 語 る に は 当 時 の 有 限 群 論 の 様 子 に も 触 れ ね ば な る ま い. 単 純 群 分 類 問 題 に つ い て の 研 究 は1950年

代 に 始 ま っ た と い え よ う.特

にその

中 頃 に 発 表 さ れ た い くつ か の 古 典 的 論 文 に よ っ て 分 類 問 題 に 取 りか か る た め の 準 備 が で き,い

くつ か の 方 法 が 提 出 さ れ た.そ

で あ っ たBurnsideの

移 群 が す っ か り解 明 され る に お よ ん で,分 出 さ れ た と い え よ う.1960年 が,Janko群

代 の始 め に は懸 案 ら に 或 る 種 の2重

可

類 問 題 の解 決 へ 確 実 に第 一 歩 が ふ み

代 を 通 じ て解 決 へ の道 が さ らに 摸 索 され て い た

に 始 ま る 散 在 単 純 群 の 出 現 に よ り解 決 の 見 通 し が た た ず 混 迷 し て

い る か に 見 え た.単

純 群 論 に と っ て1970年

の始 め は混 沌 の 中 に秩 序 を 見 出 し

始 め た 画 期 的 な 時 期 で あ っ た よ うに 思 わ れ る.こ 現 わ れ た.前 る.3互

し て1960年

予 想 の 正 し い こ と が 証 明 さ れ た.さ

に 述 べ た3互

の 頃 す ぐれ た 論 文 が 相 つ い で

換 に 関 す るFischerの

論 文[1*]も

そ の一 つ で あ

換 と い う概 念 は 非 常 に 特 別 な 条 件 を も つ た め にFischer群M(22),

M(23),M(24)′ 直 交 群,ユ る.Fischerの

な ど の 散 在 単 純 群 を もた ら し た が,一

方 で は2元

体 上 の 斜 交 群,

ニ タ リ群 な ど を 含 む こ と か ら 見 ら れ る 様 に 或 る 一 般 性 を も っ て い 論 文 が 予 稿 の 形 で 発 表 さ れ る とAschbacher[1]は

直 ち に3互

換 の概 念 を拡 張 し て2元 体 の み な らず 標 数2の 一 般 有 限 体 上 の 斜 交 群,直 群,ユ

ニ タ リ群,鈴

木 群 も含 め た形 にFischerの

正 整 数 か ら な る或 る集 合 を σ とす る.位 数2の s,t∈D⇒

積stの

と い う条 件 を み た し て い る 時Dを 張 は3互

定 理 を 拡 張 した.2以

位 数 は1,2,ま

た は σ の数

σ互 換 の 共 役 類 と い う.Aschbacherの

お い て 移 換 の つ く る 共 役 類 は σ={3,4}に

の 共 役 類 と な っ て い る.し (*) 

拡

stの 位 数 が4な

の で あ る.分

換 で(*)を

みた

定 理 に 現 わ れ る群 お よ び2元

の 単 純 群 に 限 る こ と を 示 し た.こ

場 合 に 拡 張 さ れ,あ

つ い て σ互 換

ら ば(st)2∈D

す 共 役 類 か ら 生 成 さ れ る 有 限 群 はFischerの 上 で 定義 さ れ たLie型

た2

か も

と い う条 件 を み た し て い る.Timmesfeld[1*]は{3,4}互

4}の

上の

元 か らな る共役 類Dが

換 を σ 互 換 と変 え た も の で σ が 奇 数 だ け を 含 む 場 合 で あ る.ま

元 体 上 のGL(n,2)に

交

の 研 究 は σ={奇

体 数,

と で 単 純 群 の 分 類 定 理 の 証 明 に 重 要 な 役 目を は た す

類 問 題 に 関 し て 重 要 だ った 点 は 標 数2の

長 づ け る 性 質 が 発 見 さ れ た こ と と,散

体 上 のLie型

単 純 群 を特

在 単 純 群 が これ 以 上 現 わ れ な か った こ と

で あ る.   さ て 散 在 単 純 群F1,F2,F3お ちbaby

monsterで

よ びF5の

うち 最 初 に 現 わ れ た の はF2,す

あ る.Fischerは{3,4}互

限 群 を 調 べ て い た が 前 の 条 件(*)を

仮 定 せ ず に 進 む と一 つ の 散 在 単 純 群 が 得

ら れ る 可 能 性 の あ る こ と を 証 明 し た.{3,4}互 中 心 化 群Cは

正 規 列 

と な りEは

換 の 共 役 類 の 元tに

を も ち￨A￨=￨C:B￨=2,さ

2元 体 上 のE6型Steinberg群2E6(2)で を も つ 位 数2の

元 も 含 ん で い る.す

あ る.ま な わ ち, 

位 数223のextra-special群

で あ る.ず

  FischerとGriessは 元tの 群Gが

れ がFischer群F2で 独 立 に,F2の

中 心 化 群 が 丁 度F2の

た 中 心 化 群C′ が 次 の 構 造 C′/E=・2(Conway群) っ と後 に な って この様 な 性

ま れ て い な い.シ

ロ ー2群

よ っ て計 算 機 を用 い

あ る.(Leon-Sims[1*]) 中 心 拡 大 が 存 在 す る と す れ ば,位

中 心 拡 大(中 心 の 位 数 は2)と

可 能 で あ る こ と に 気 付 い た.こ

ついてその

ら にB/Aは

質 を も つ 散 在 単 純 群 の 存 在 す る こ と がLeonとSimsに て 証 明 さ れ た.こ

なわ

換 の 共 役 類 か ら生 成 され る有

の 元tはGの

の 中 心 に 含 ま れ る 位 数2の

数2の

な っ て い る散 在 単 純

シ ロ ー2群 元 をsと

の中 心 に は 含

すれば

(Conway群) と な り,Eは

位 数225のextra-special群

い てGriessはThompsonの

と な る と予 想 さ れ た.こ

位 数 公 式(『 群 論 』 下p.512)か

の こ とを 用 らGの

位数が

￨G￨=246320597611213317・19・23・29・31・41・47・59・71

で あ る こ と を 示 し た.FischerとGriessが た の は1973年

この群 に 関す る研 究 を独 立 に 始 め

の 終 末 で あ っ た と 伝 え ら れ て い る.そ

報 に よ りThompsonも

こ の 群 を 調 べ 次 の 結 果 を 得 た.す

在 す る と仮 定 す れ ば そ の 中 に 位 数3の CG(x)=〈x〉

CG(y)=〈y〉

含 まれ る位 数2の

こ でA9は

ば ら く し て(1974年

元yが

次 数9の

のA9に

存 在 す る こ と を 示 し た[6*].こ 元 体 上 のE8型Chevalley群)の

あって

×F5

し てThompson

位 数2の

元 の 中心 化 群 が 上 に

もつ散 在 単 純 群 が一 意 的 に

あ る.ThompsonはF3をE8(3)(3

部 分 群 と し て 構 成 し た の で,そ

算 機 の 助 け が 必 要 で あ っ た.同

じ 頃,原

の構 成 に は計

田[2*]とNortonはF5が

や は り位

元 の 中 心 化 群 の 構 造 に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る こ と を 示 し,そ

つ 単 純 群 を 構 成 し た.Fischer群 表 わ す の は,そ

れ ら がF1の

の群 が 存

交 代 群,HSはHigman-Sims群

よ る 拡 大)を

れ がF3で

ら の情

元 の 中心 化 群 の構 造 は それ ぞれ

夏)Thompsonは

与 え た 構 造(extra-specia1群

数2の

位 数5の

な わ ち,こ

それ ぞ れ 散 在 単 純 群 に な る.そ

は これ らの 単 純 群F3,F5に

で あ ろ う と 予 想 し た.こ

元xと

×F3, 

と直 積 に 分 解 し,F3とF5は

で あ る.し

の あ とFischerか

をF2,Thompson群 中 の 位 数pの

をF3,原

の性 質 を も 田 群 をF5と

元 の 中 心 化 群 に 含 まれ て い る か ら で

あ る.   F1の

研 究 が 始 ま っ て 間 も な い 頃 か ら,複

数 は 少 な く と も196,883で

あ る こ と が 知 ら れ て い た.実

既 約 表 現 を も つ と い う仮 定 の 下 でFischer, がF1の 196,883次

素 数 体 上 でF1の

Livingstone,

既 約 指 標 の 表 を 完 成 す る こ とに 成 功 し た.こ 元 の 表 現 空 間 は(非

結 合 的)可

にGriess[3]は

際 にF1が

そ の次 数 の

Thorne[2]の3人

の 群 指標 の 表 か ら 容 易 に

換 代 数 の 構 造 を も ち,F1は

の 自 己 同 形 の 群 と な っ て い る こ とが 証 明 さ れ る.こ と呼 ば れ て い る.1980年

既 約 忠実 表 現 の次

そ の代 数

の 代 数 構 造 はNorton代

数

この可 換 代 数 を計算 機 を 用 い な い で

構 成 し,そ の 自 己同 形 の 群 と し てF1の 存 在 証 明 を 与 え た.F1と 群 と し て,F2の

中心 拡 大,F3,F5そ

共にその部分

の 他 多 くの 散 在 単 純 群 が 計 算 機 な し で構

成 で き る よ うに な った.   最 後 にJanko群J4に

つ い て述 べ よ う.こ の 群 は単 純 群 分類 定理 の証 明 の一

つ の場 合 に おけ る例 外 的 な振 舞 か ら現 わ れ た もの で あ る.『 群 論 』 下,第6章 (p.932)で 述 べ た よ うに,分 類 定 理 の 証 明 の一 部 分 とし て 単 純 群Gが Q=F*(CG(z)), 

Qはextra-special

2群

を み た す 位 数2の 元zを 含 ん で い る場 合 を考 察 す る必 要 が あ る.記 は 群Xの

一 般 化 され たFitting部

分 群 で あ る(『群 論 』 下p .791).多

単 純 群 が こ の形 の中 心 化 群 を も っ て い る.し 外 が 起 らな い こ とをTimmesfeldが

証 明 し,単

近 づ い た こ とを 皆 に 確信 させ た.Janko群J4は 現 わ れ た.す

な わ ちJ4に お け る位 数2の

さ ら にD/QはMathieu群M22の   Janko群J4は1980年 な ど)に

よ っ て2元

か しQの

純群 分類 定 理 の証 明が 終 りに この 形 の 単 純 群 と して 最 後 に 次 の構 造 を もつ.

中 心 拡 大 で そ の 中 心 の 位 数 は3で

体 上 の112次

くの散 在

位 数 が 大 き くな る と例

元 の 中心 化 群Cは

に な っ てCambridgeの

号F*(X)

数 学 者 達(Norton,

あ る. Conway

の 行 列 群 と し て 計 算 機 を 用 い て 構 成 さ れ た.

  §2  散 在 単 純 群 の 位 数   散 在 単 純 群 の 位 数 を 素 因 数 分 解 し た 形 で 表 に し て お こ う.

  上 に あ げ た 散 在 単 純 群 が 交 代 群 やLie型

の単 純 群 と同 形 に な らな い こ とを 証

明 す る に は,位

数 が 一 致 し な い こ と を 示 せ ば よ い.交

も っ て い る.す

な わ ちpを

代 群 の位 数 は 次 の 性 質 を

交 代 群 の 位 数 の 素 因 子 の 一 つ と す れ ば,pよ

い 任 意 の 素 数 は そ の 交 代 群 の 位 数 を 割 り切 る.こ

の 命 題 を 用 い て,ほ

り小 さ と ん どす

べ て の 散 在 単 純 群 の 位 数 が 交 代 群 の 位 数 と 一 致 し な い こ と が わ か る.こ に よ

っ て 判 定 で き な い 場 合,た

い.￨S￨は

素 数7の2乗

明 ら か に 

と え ばSの

と な る.Lie型

の 時,素

数pは

ま うの で あ る.す

な わ ち 次 のArtinの

標 数pの

有 限 体Fの

ほ と ん ど す べ て の 場 合￨G￨か 定 理 が 成 り立 つ.ほ

割 り切 る 最 大 の 素 数ベ キ はpのベ

場 合(l=2r+1),そ

く ら べ れ ば よ い.

の 単 純 群 の 位 数 は 第2,3章

の 単 純 群Gが

て い る と す る.こ

pがMersenne素

素 数 のベ キ を 比 較 す れ ば よ

で は 割 り切 れ な い か ら 交 代 群A13と

合 に 求 め ら れ て い る.Lie型

に￨G￨を

場 合,各

の命 題

キ であ る

.例

に お い て各 場 上 で定 義 され ら定 ま っ て し

とん どす べ て の 場 合 外 はPSL(2,p)で

数 の 場 合(l=2),PSL(2,2r)で2r+1がFermat素 の 他PSL(2,8)(l=3),PSU(3,3)(l=2),PSU(4,2)(l=3)

数の

だ け で あ る.例 外 の場 合 書 きそ えたlは 最 大 の素 数ベ キ を 与 え る素 数 であ る. Artinが

こ の定 理 を 証 明 した 当時 はSteinberg群

な ど知 られ て い な か った が ,

それ ら の新 し い群 を加 え て も 同 じ結 果 の成 り立 つ こ とが 証 明 され る.こ の定 理 に よ っ てLie型 そ こでpのベ

の 単 純 群 で は 体Fの キ を見 れば￨F￨=qも

標 数pが

位 数￨G￨か

ら ほ とん ど定 ま る.

ほ と ん ど定 ま る.位 数 の公 式 を眺 めれば 位

数￨G￨がq-1で

割 り切 れ てい る こ とが わ か る.こ れ ら の事 実 か ら散 在 単 純

群 の位 数 はLie型

の 単純 群 の位 数 と一 致 し な い こ とが 証 明 され る.た

￨S￨がLie型

の単 純 群 の位 数 と一 致 した と仮 定 し よ う.￨S￨を

の素 数ベ キ は2のベ っ て い る.Lie型

キ だ か ら標 数 は2で あ る.ま

根 の正 系 は 存 在 し な い).と

ころ で213-1は￨S￨と

割 り切 る最 大

た213が￨S￨を

の 単純 群 の 位 数公 式 か らq=213と

と えば

丁 度 割 り切

な る(13個 の 元 か ら な る 互 い に素 だ か ら 矛盾 が得

られ る.

  §3  散 在群 の 単 純 性   散 在 単 純 群 は 各群 ご とに別 々 に定 義 され てい る.た とえ ばMathieu群

は与

え られ た群 の原 始 的 可 移 拡 大 とな る 群 と し て 定 義 さ れ て い る.し た が っ て Mathieu群

が 単 純 群 であ る こ とは 容 易 に 証 明 で き る こ と で あ るが 定 義 か ら 自

明 とい うわ け で は な い.Janko群J1,J2,J3な

どは 中 心 化 群CG(t)が

与 え られ

た 群 と 同形 に な る よ うな 位 数2の 元tを 含 む 単 純 群 とし て定 義 され て い る(§1 参 照).し

か し他 の 群,た

ら生 成 され た 群 でDの

とえばFischer群F2は{3,4}互

元tに つ い てCG(t)の

換 の 共 役 類Dか

構 造 が 与 え られ て い る.し

っ てF2が 単 純 群 に な る こ とは 証 明す る必 要 が あ る.Janko群

の 場 合 で も,そ

れ らの群 が単 純 群 で あ る とし て定 義 しな くて も,も っ と弱 い条 件,た tを 含 む 共役 類 か ら生 成 され る群 で あ る と定 義 し て も,そ

たが

とえ ば 元

れ ら の群 が単 純 で あ

る こ とを 証 明 す る こ とが で き る.   この節 で は散 在 単 純 群 を い くつ か の種 類 に分 け よ う.す な わ ち,第1種 在 群 は,与え

られ た群 の原 始 的 可 移 拡 大 とし て定 義 され る群 とす る.第2種

散 在 群 は,位 数2の 元tを 含 み,そ

の 中心 化 群 の構 造 が与え られ た 上,tを

む 共 役 類 に よ り生 成 され る群 で あ る.Janko群J1で

の散 の 含

は 更 に交 換 子 群 と一 致 す

る とい う条 件 お よび シ ロー2群 が 可 換 であ る とい う条 件 を つ け 加 え る.そ の他

の 散 在 群 の う ちFischerに 交 換 子 群 と な る も の,す を 第4種

よ る3互

換 の 共 役 類 に よ り生 成 さ れ る 群 ま た は そ の

な わ ちM(22),M(23),M(24)′

を 第3種,Conway群

と定 義 す る.

  ま ず 第1種

の 散 在 群 が 単 純 群 で あ る こ と を 証 明 し よ う.そ

の も と とな るの は

次 の 補 題 で あ る.   (3.1)  次 数nの

原 始 的 可 移 置 換 群Gに

で あ る と 仮 定 す る.こ 群Nを

の 時Gは

お い て1点

単 純 で あ る か,ま

の 安 定 化 群Gaが

た はGは

位数nの

含 み 次 の 条 件 が 成 り立 つ.G=GaN,Ga∩N={1},ま

正 規 部 分 群 で あ る.Gが

単純群 正規部分

たNはGの

単 純 で な け れ ば 次 数nは

極 小

或 る 単 純 群 の 位 数 のベ キ と

な る.   証 明  Gが

単 純 群 で な い と仮 定 し て 真 の 正 規 部 分 群 をNと

によ り 

を 得 る.し

た が っ てGaNはGの

定 に よ りGは

原 始 的 だ か らGaはGの

成 り立 つ.同

形 定 理 に よ りGa∩NはGaの

と 仮 定 し た か らGa∩N=Gaま がGaを

部 分 群 でGaよ

極 大 部 分 群 で あ る.よ

な る.こ

れ はNが

る と い う仮 定 に 矛 盾 す る.よ

っ てGa∩N={1}が

極 大部 分 群 だ か らNはGの

る.よ

っ てNは

たGaが

っ てGaN=Gが

成 り 立 つ.と

n=￨N￨を

得 る.ま

り大 き い.仮

正 規 部 分 群 と な る.Gaは

た はGa∩N={1}が

含 ん で い れ ばN=GaN=Gと

お く.Ⅱ(2.13)

単純群 こ ろ でN

真 の正 規 部 分 群 で あ

成 り立 つ.同

形定理 に より

極 小 正 規 部 分群 で あ

同 形 な 単 純 群 い くつ か の 直 積 と な り(『群 論 』 上p.136系3),

最 後 の 主 張 が 証 明 さ れ る.   Mathieu群M22に(3.1)を

適 用 し て み よ う.M22は3重

で あ る(Ⅱ(2.12)).1点 ら 単 純 群,し

か も次 数22は

し た が っ て(3.1)に   M23の

場 合,次

ま た は 位 数23の

数 が 素 数23で

単 純 で あ る. あ る か ら(3.1)に

正 規 部 分 群 を 含 ん で い る.位 と え ば,次

回 置 換 で 表 わ さ れ る こ と を 用 い れ ば,位

が 高 々22・23と 含 ま な い.よ

な る こ と が わ か る.し っ てM23は

同形 だ か

単 純 群 の 位 数 のベ キ で は な い(『 群 論 』 上p.299).

よ りM22は

と は 種 々 の 方 法 で 証 明 で き る.た 23巡

可 移 だ か ら原 始 的

の 安 定 化 群 は 前に 述 べ た よ うにPSL(3,4)に

単 純 で あ る.

数23の 数23の 数23の

た が っ てM23は

よ りM23は

単 純 で あ る か,

正 規部 分 群 を 含 ま な い こ 置 換 群 で は 位 数23の

元 は

部 分 群 の 正 規 化群 は位 数 位 数23の

正 規部 分 群 を

 

Mathieu群M24が

単 純 で あ る こ と はM22の

場 合 と同 様 に 証 明 さ れ る.

  小 さ いMathieu群M11の

場 合 は1点

の 安 定 化 群 が 単 純 で は な い の で(3.1)

を 用 い る こ と は で き な い.し

か し(3.1)と

同 様 に 次 の 命 題 が 証 明 さ れ る.

  (3.2)  次数nの

原 始 的 可 移 置 換 群 の 正 規 部 分 群〓{1}の

わ す こ とが で き る.こ こ でmは1点   証 明   原 始 的 置 換 群Gの お け ばGaN=Gが

位 数 はm・nと

表

の 安 定 化 群 の正 規 部 分 群 の位 数 で あ る.

正 規 部 分群〓{1}をN,1点

の安 定 化 群 をGaと

成 り立 つ((3.1)の 証 明 参 照).Ga∩NはGaの

で￨N:Ga∩N￨=￨GaN:N￨を

得 る(同 形 定 理).よ

正規部分群

って

￨N￨=￨N:Ga∩N￨￨Ga∩N￨=n￨Ga∩N￨.   Mathieu群M11に(3.2)を は 位 数360の 11か

適 用 し よ う.(1点

群 だ か ら)M11の

ま た は23325・11と

な る.M23の

し な い こ と が 証 明 さ れ る.位 Hの

シ ロ ー11群

で あ る.ま

をPと

場 合 と 同 様 に 位 数11の

数23325・11の

  M11は

正 規 部 分 群Hが

お け ばkは10の

た シ ロ ー の 定 理 に よ り￨H:NH(P)￨≡1(mod 11)と

約 数 で あ る こ とに 矛 盾 す る.し 次 数12の3重

正規部分群は存在 存 在 す る と仮 定 し,

お く.指数￨NH(P):P￨をkと

し た が っ て￨H:P￨=360≡k(mod kが10の

の 安 定 化 群 の 真 の正 規 部 分 群

真 の 正 規 部 分 群 が 存 在 す る とす れ ば そ の 位 数 は

11)が

な る か らk≡8(mod

た が っ てM11は

約数

成 り立 つ. 11).こ

単 純 で あ る.

可 移 群 と し て 表 現 さ れ る こ とが 知 ら れ て い る.こ

1点 の 安 定 化 群 はPSL(2,11)と

な る.こ

れは

の 表 現 を 用 い れ ば(3.1)よ

の時

り直 ち に

M11が 単 純 群 と な る こ と を 証 明 で き る.   Mathieu群M12も

単 純 で あ る.1点

の 安 定 化 群 はM11だ

か ら(3.1)が

使 え

る.   Janko群J2に

は じ ま る 階 数3の

原 始 的 可 移 群 は す べ て(3.1)を

れ ら の 群 が 単 純 群 で あ る こ と を 証 明 で き る.各 定 化 群 を 表 に し て お こ う. J2 

2252 PSU(3,3)

HS 

2252 M22

S 

2・3411 

Mc  Ru 

G2(4)

5211 PSU(4 225・7・29 

,3) Tits群

用 い て,そ

群 に つ い て 次 数nと1点

の安

  こ こ でn>100の 用 い て,位

場 合 に は,p=11ま

数nの

た はp=29に

(3.1)に

よ り上 の 各 群 は 単 純 で あ る.

  第2種

の 散 在 群 の う ちJanko群J1は

位 数2の

元tの

あ る.し

た が っ てCG(t)はGの

=Gか

数2の

得 る.何

一 つ 含 み,し

っ てGの

故 な ら ば￨N￨が

れ る か らN=Cと

CG(t)の

い う形 で,シ

を 含 ん で い る.こ

な る.さ お く. 

正 規 部 分 群Nの

偶 数 だ か らNは

てJanko群J1が だ か ら￨M￨は

正 規 部 分 群 で あ る.CG(t)=〈t〉

×A5だ

シ ロ ー7群

が 正 規 部 分 群 と な る.MはGの

な る.い

よ れ ばJlは

た が っ てJanko群J1は

群 はPSL(2,11)で

あ る.よ

ロー の定 理 を 用 い

っ てG/CG(M)は

よ び(6.11)).Gが 一 致 す る.し

次 数266=2・7・19の

っ て￨M￨

極 小 正 規 部 分 群 と仮 定 し た

巡 回 群 で あ る.よ

群 と な る(『群 論 』 上pp.46-47(6.9)お

矛 盾 す る.し

真 の 正 規部 分群

割 れ な い 場 合 に は 同 様 に￨M￨=11ま

ず れ の 場 合 もMは

る と 仮 定 し た の でCG(M)はGと

小正規

たM∩CG(t)は

得 る.よ

約 数 な ら ば,シ

の 場 合 は￨M￨=7.￨M￨が7で

元を少な く と も

含 む 共 役 類 で生 成 さ

か らCG(t)の

し7が￨M￨の

約 数 で あ る.も

位 数2の

奇 数 で あ る.ま

は7・11・19の

た は19と

の こ と と仮 定G′

単 純 で な い と仮 定 し,極

た が っ てM∩CG(t)={1}を

か ら,こ

は 可換 で

位 数 が 偶 数 な ら ば,

元 を す べ て 含 む .Gはtを

は す べ て 偶 数 位 数 を も つ.し

てMの

ロ ー2群

は

元 全 体 が 一 つ の 共 役 類 を つ くる こ と が 証 明 さ れ る(『群 論 』

た が っ て 位 数2の

部 分 群 をMと

×A5と

シロー2群

下p.514(1.8),p.527(2.9)).よ G=Nを

って

特 別に 扱 う必 要 が あ る.G=J1で

中 心 化 群CG(t)は〈t〉

ら,位

つ い て シ ロー の定 理 を

単 純 群 が 存 在 し な い こ と を 証 明 す る こ と が で き る.よ

可換

交 換 子 群 と一 致 す

か し こ れ はCG(t)∩M={1}に

単 純 群 で あ る.Livingstoneの 原 始 的 可 移 置 換 群 で,こ

っ て(3.1)を

用 い てJ1が

の 時,1点

表現 に の安 定 化

単 純 で あ る こ とを 証 明

す る こ と も で き る.   J1以 外 の 第2種

散 在 群 が 単 純 で あ る こ と を 証 明 す る た めに 必 要 な 補 題 を 二 つ

証 明 し よ う.   (3.3)  有 限 群Gの の 元tに

  証 明   H=CG(t)と りQはGの

正 規 部 分 群Nの

つ い て 

位 数 が 偶 数 と仮 定 す る.位

数2の

任意

が 成 り立 つ. お き,Hの

シ ロ ー2群Rに

シ ロ ー2群

含 ま れ て い る. 

をQと

す る.シ

ロー の定 理 に よ

だ か らN∩RはNの

シ ロ

ー2群

と な る(『群 論 』 上p

ら 

と な る.さ

.95,定

定 に よ りNの

て 同 形 定 理 に よ り 

本 定 理(『 群 論 』 上p.83,定 tはRの

理2.6).仮

理1.4)に

し た が っ てp群

よ り 

元 だ か ら 

位数は偶数だか

を 得 る.と と な り(3.3)が

  (3.4)  位 数 が4で

割 れ る 有 限 群 をGと

し,Gに

の基 ころで

成 り立 つ.

含 ま れ て い る 位 数2の

元t

に つ い て 次 の 条 件 が 成 り立 つ と 仮 定 す る. (1)  CG(t)の{1}以 (2)  Gはtの

外 の 正 規 部 分 群 はtを

共 役 元 全 体 の 集 合 か ら 生 成 さ れ る.

こ の 時Gは

単 純 群 で あ る.

  証 明  中 心 化 群CG(t)をHと 真 の 正 規 部 分 群 をNと

を 得 る.と

お く.さ

す る.ま

こ ろ で 

ずNの

てGが

だ か ら 条 件(1)に

一 致 す る.こ

れ はNが

単 純 で な い と仮 定 し てGの

位 数 が 偶 数 と 仮 定 す れ ば(3.3)に

よ りtの 共 役 元 は す べ てNに はGと

含 む.

よ りH∩Nはtを

含 ま れ る.し

より

含 ん で い る. 

た が っ て 条 件(2)に

よ りN

真 の 部 分 群 で あ る とい う仮 定 に 矛 盾 す る か らN

の 位 数 は 奇 数 で あ る.   H∩Nの xに

位 数 も 奇 数 だ か ら(1)に

つ い てtxt-1=x-1が

と お け ばMはGの てMの

正 規 部 分 群 で あ る がGと

得 る.よ

っ てNの

各元

まM=CG(N)

は 一 致 し な い 

した が っ

位 数 は 奇 数 で あ る.

  さ てG0=〈M,t〉 い まg∈Gと Nの

よ りH∩N={1}を

成 り立 つ(『群 論 』 下p.517(1.9)).い

と お き,G0がGの

す れ ばgMg-1=Mが

任 意 の 元xに

正 規 部 分 群 で あ る こ と を 証 明 し よ う. 成 り立 つ か らgtg-1∈G0を

つ い てg-1xg∈Nだ

示 せ ば よ い.

から

(gtg-1)x(gtg-1)-1=g(g-1x-1g)g-1=x-1 が 成 り立 つ.す

な わ ち,gtg-1t-1∈CG(N)=M,し

こ の よ う にG0はGの よ う にG0=Gと

偶 数 位 数 の 正 規 部 分 群 で あ る.し な る.と

れ な い こ と が わ か る.こ よ っ てGは   次 に 第2種

た が っ てgtg-1∈G0を

こ ろ でG0の れ はGの

た が って前 に 証 明 した

定 義 か ら 明 ら か に￨G0￨は4で

位 数 が4で

得 る.

割 り切

割 れ る と い う 仮 定 に 矛 盾 す る.

単 純 群 で あ る. 散 在 群 と そ の 群 を 定 義 す る 中 心 化 群 の 構 造 を の べ よ う.

 中 心 化 群Cを

を も ち,Eが F*(C)はCの   またYが

表わ す た め に次 の記 号 を 用 い る.ま ず 記 号22n+1Xは

位 数22n+1のextra-special群 一 般 化 さ れ たFitting部 単 純 群 の 場 合mYは

を み たす 群 を 表 わ す.ま み,Zの

外 の元 はZに

表 わ す.こ

分 群(『 群 論 』 下p.791)で

群Yの

￨Z(D)￨=m, 

と な る群Cを

中 心 拡 大Dで

[D,D]⊃Z(D), 

た任 意 の群Zに

正 規列

こで 記 号 あ る.

既約 かつ

D/Z(D)=Y

つ い てZ2は

指 数2の 部 分 群Zを

含

位 数2の 外 部 自己 同 形 を 引 きお こ す 群 を 表 わ す もの と

規 約す る.さ らにmY2=(mY)2と   この記 号 を用 い て第2種

お く.

の散 在 群 とそ の群 を定 義 す る中 心 化 群 の構 造 を表 に

し て お こ う.(以 下J1は 省 略 す る.)

  こ れ ら の 散 在 群 が 単 純 群 で あ る こ と を 証 明 す る た め に は,上 心 化 群Cが(3.4)の

条 件(1)を

  ま ずCが22n+1Yと はextra-special群

い う形 を し て い る 場 合 を 考 え よ う.こ で あ る.よ

っ てEの

〈t〉=Z(E) 

が成 り立 つ(『群論 』下p.463).さ 仮 定 す る.D∩EはEの

中 心Z(E)の

こ ろ でZ(E)=〈t〉

り立 つ.次

にD∩E={1}と

の 場 合E=F*(C)

位 数 は2で,

(C=CG(t))

てDをCの

正 規 部 分 群 とし 

正 規 部 分 群 で あ る か らp群

を 得 る.と

の表 に あ げ た 中

み た し て い る こ とを 示 せ ば よ い.

だ か らt∈D∩E,す

と

の基 本 定 理 に よ り

な わ ち こ の 場 合t∈Dか

仮 定 し よ う.[D,E]⊂D∩E={1}だ

か らDは

成

CC(E)に

含 ま れ る.と

(『群 論 』 下p.791定 す な わ ち,中

こ ろ で 一 般 にF*(C)の

理6.11).よ

っ てD⊂Eと

心 化 群 が22n+1Y型

  Cが2Xと

中 心 化 群 はF*(C)に な りD=D∩E={1}を

の 場 合 に 条 件(1)が

い う中 心 拡 大 の 場 合 に はXは

な っ て い る.す

な わ ちC=Z(C)Hを

そ こ で  た が っ てD=Cと

単 純 群 で,こ

の中心拡大は既約 と

み た す 部 分 群HはC以

外 に 存 在 し な い.

な り 

合 も 条 件(1)が

成 り立 つ.

  CがmX2と

い う形 の 場 合,X2は

あ っ て,X×Z2と

得 る.

成 り立 つ.

と 仮 定 す れ ば 

を 得 る.し

含 まれ る

だ か らDZ(C)=C

と仮 定 し た こ と に 矛 盾 す る.こ

群Xの

直 積 に 分 解 し て い な い.こ

位 数2の

の場

自己 同 形 に よ る拡 張 で

の こ とか ら 前 の 場 合 と 同 様 に(1)

の 成 り立 つ こ と が 証 明 さ れ る.   第2種

散 在 群 が 単 純 群 で あ る こ と は(3.4)か

  注 意  Fischer-Griess群F1は

位 数2の 他 の元 の中 心 化 群 に よ っ て 定 義 す る こ と もで

き る.こ の 場 合,中 心 化 群 は224+1(・1)と

表 わ され る.

  Fischer群M(22),M(23),M(24)は3互 数3の

ら直 ち に 証 明 さ れ る.

原 始 置 換 群 で あ る.各

換 全体 の 集 合 の 上 の 置 換 群 とし て 階

群 に つ い て 次 数 と1点

の安 定 化 群 の構 造 を再 度 表

に し て お こ う.

  こ れ ら の 群 は 原 始 的 可 移 拡 大 だ か ら(3.2)を で き る.M(22)の

場 合,次

明 す る 必 要 が あ る.こ

数 の2倍

の 場 合 は シ ロ ー の 定 理 をp=13とp=5に

ず け る こ とが で き る.Fischer群 一 致 す る の で,(3

で は1点

.4)を 用 い る こ と も で き る.M(22),M(23)で

直 ち にM(22),M(23)が はM(23)の

適用して片

の 安 定 化 群 は3互

群 は 既 約 な 中 心 拡 大 だ か ら 前 述 の 様 に(3.4)の

  M(24)′

用 い て単 純性 を 証 明 す る こ と も

の位 数 を もつ単 純 群 が存 在 し な い こ とを 証

条 件(1)が

換tの は1点

中心化群 と の安定化

成 り立 ち,(3.4)か

ら

単 純 で あ る こ と が 証 明 さ れ る. 原 始 的 可 移 拡 大 だ か ら(3.1)が

適 用 さ れ る.し

か しこの

場 合 は 次 数 が 大 き い の で シ ロ ー の 定 理 を 今 ま で の 様 に 用 い る だ け で はM(24)′

が 単 純 で あ る こ と を 証 明 で き な い.(群

論 の 定 理 を 自 由 に 使 え ば 位 数23337229

の 単 純 群 は 存 在 し な い こ と が 証 明 で き る.)   そ こ で(3.3)を か ら(3.1)の

用 い,M(24)の

安 定 化 群 をHと

お け ばHは3互

よ っ て(3.3)に

よ り

3互 換 を 含 む.よ 定 す れ ばHの M(24)の

正 規 部 分 群Nを

証 明 と 同 様 に し てNの

換tの

 

中 心 化 群 でH=〈t〉

も しH∩Nがtを

っ てN=M(24)と

な る.そ

構 造 か らH∩N=M(23)と

指 数2の

(『群 論 』 上p.287の

原始的だ

こ でH∩Nがtを

の な る.

すべ ての

含 ま な い と仮

っ て(3.2)に

な わ ちM(24)′

れ か らM(24)′

×M(23)と

含 め ば,Nは

な る.よ

正 規 部 分 群 で あ る.す

真 の 正 規 部 分 群 で あ る.こ

考 え る.M(24)は

位 数 は 偶 数 で あ る こ と が わ か る.1点

よ りNは

はM(24)の

唯一つ の

が 単 純 で あ る こ と が 証 明 さ れ る.

交 代 群 の 単 純 性 の 証 明 を 参 照 さ れ た い.)

  以 上 でConway群

以 外 の 散 在 群 が 単 純 群 で あ る こ と の 略 証 を 述 べ た.次

節 でConway群

を は っ き り定 義 し て,そ

の

れ らの 群 が単 純 で あ る こ とを証 明 し

よ う.

  §4  Conway群   1. Mathieu群M24 ら れ て い る.こ て,こ

Mathieu群 こ で はConway群

の 性 質 は 永 尾[4],大

由[5]に

詳 し く述 べ

を 調 べ る に 当 っ て 便 利 な 形 にM24を

定義 し

の 定 義 が 通 常 の も の と 一致 す る こ と を 解 説 し よ う(Conway[2*]に

よ

る).   ま ず23元

体F上

よ うにLはF上

の1次

次 元 線 形 空 間Vを 含 ま れ る1次

の 線 形 群L=PSL(2,23)を

元 射 影 空 間 の 点 集 合 に 作 用 し て い る.そ

と り,そ

の 点 を 縦 ベ ク トル で 表 わ す.射

元 部 分 空 間 で あ る か ら,そ

で 代 表 さ れ る 点 を ∞(無 れ ば(FとZ/23Zを

考 え る.第2章

§2で 述 べ た こ でF上

の2

影 空 間 の 点 はVに

れ を 代 表 す る ベ ク トル で 表 わ しt(1,0)

限 遠 点),t(x,1)が

代 表 す る 点 をxと

表 わ す こ とに す

同 一 視 し て) Ω={∞,0,1,…,22}

がF上

の 射 影 直 線 と な る.こ

た 時Lの Lの

元

の よ うにL=PSL(2,23)を

Ω 上 の 置 換 群 と考 え

生 成 元 が ど の よ う な 置 換 を 引 き お こ し て い る か 調 べ て お こ う.い α,β,γ を そ れ ぞ れ 次 の 行 列 に 対 応 す る 元 とす る.

ま

計 算 を 実 行 して み れ ば る.こ

こで

α(x)=x+1,β(x)=2x,γ(x)=-x-1で

あ る こ とが わ か

∞+1=∞=2∞,-0-1=∞,∞-1=0.さ

だ か ら{α,β,γ}がLを

て

生 成 し て い る(定 理 Ⅱ2.7).こ

の生成集合の間に次 の

関 係 が 成 り立 つ. α23=1, 

β11=1, 

β α β-1=α2, 

 集 合 Ω を二 つ の 部分 集 合QとNと

γβ γ-1=β-1.

に 分 け る.Qは

平 方元の集合

Q={0,1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18} でN=Ω-Qで

あ る.β

はQ,Nを

不 変 に す る.ま

Q′=Q-{0}, 

N′=N-{∞}

と お け ば 〈β〉 はQ′ 上 に 可 移 に 作 用 し て い る.N′   さ て Ω 上 の 置 換 δをx∈Qの

た

の 上 に も 可 移 で あ る.

時 δ(x)=x3/9,x∈Nの

時9x3と

定 義 す る.

δ を 巡 回 置 換 の 積 に 分 解 し て お こ う.

上 の 記 号 に お い て 上 段 の 元aの

下 は-a-1で

あ る.よ

っ て δは γ と可 換 で

δβ δ-1=β3

が 成 り立 つ.積

γδ の 位 数 は10で,γ M=〈

と お き,MがM24と   (4.1)  Mは

て

α,β,γ,δ 〉=〈 α,β,γ δ〉

同 形 で あ る こ と を 証 明 し よ う. Ω 上5重

可 移 に 作 用 す る.

  証 明   L=PSL(2,23)は てMも2重

も δ も γδの ベ キ と な る.さ

Ω 上 に2重

可 移 に 作 用 す る(定 理 Ⅱ2.8).し

たが っ

可 移 で あ る.

  さ てMは(13,73)型 化 群 は(12,112)型

の 置 換 を 含 ん で い る.た の 置 換 お よ び(13,73)型

上 に 可 移 に 作 用 す る.す

な わ ちMは3重

  3点 の 安 定 化 群 は(13,73)型

と え ば α2δ.よ っ て2点

の 置 換 を 含 む か ら,残

の安 定

り の22点

の

可 移 で あ る.

の 置 換 お よ び(14,54)型

の置換を含ん で い るか

ら残 りの21点 の 上 に 可移 に 作用 す る.す な わ ちMは4重   計 算 に よ り α2γ δ は(122)型 であ る.4点

であ る ことが わ か る.よ

が 与 え られ た 時,こ

っ て(α2γ δ)3は(46)型

の4点 を全 体 と し て不 変 に す る部 分 群Hは

(1454)型 お よび(46)型 の置 換 を含 ん で い る.よ 可 移,す な わ ち,Mは5点

可移 で あ る.

っ てHは

残 りの20点

の上 に

か らな る部 分集 合 全体 の 上 に 可 移 に 作用 す る.

  そ こで5点 が つ くる集 合 Δ を 一 つ定 め,Δ を全 体 とし て不 変 にす る部 分 群 を 考 え よ う.δ の 共役 元 を 適 当 に とれ ば そ の 元 は Δ上 に5巡 回 置 換 と し て作 用 す る.Δ 上 に互 換 とし て作 用 す る元 が あ る こ とを 示 す た め,い

ま一 度,置 換 の 積

を 計 算 す る.α δは(12223262)型 の置 換 だ か ら(αδ)3は(1828)型 で あ る.よ

っ

て そ の 共 役 元 を適 当 に とれ ば Δ 上 に互 換 とし て作 用 す る元 が 得 られ る.5巡

回

置 換 と互 換 は対 称 群 Σ5を 生成 す る.す 分 群 を含 ん で い る.Mは5点

な わ ちMは

Δ上 に Σ5を引 きお こす 部

か ら な る部 分 集 合 全 体 の上 に 可 移 だ か らMは5

重 可 移 であ る.   つ ぎにMが

交代 群A24と

p(Ω)と 表 わ す.p(Ω)の

一 致 しな い こ とを示 そ う.Ω 中 に8元

の部 分 集 合 の全 体 を

か ら な る 部 分 集合 の族 を定 義 し て そ れ が

5(24,8,1)デ ザ イ ン とな る こ とお よびMが

そ の デ ザ イン の 自己 同形 群 とな る こ

とを証 明す る.   まずp(Ω)は2元 とTと

体 上 の 線 形 空 間 と考 え られ る.す な わ ち二 つ の 部 分 集合S

の和 はSとTの

対 称 差,S+T=(S∪T)-(S∩T),と

定 義 す る.p(Ω)

の元 を次 の様 に24次 元 の ベ ク トル   (4.2) 

S=(a∞,a0,a1,…,a22)

の 形 で 表 わ す.こ を2元

こ でi∈Sの

合 をVの

体 上 の24次

の 時ai=0と

す る.こ

の表示

丁 度 ベ ク トル の 加 法 と 一 致 す る.

元 の 線 形 空 間Vと

な る.そ

こで Ω の部 分集

元 と考 え る こ と に す る.

  定 義4.3 

とお く.こ

N∞=Ω, 

こ でNは

N0=N, 

Ni={n-i￨n∈N}

前 に 定 義 し た よ う に 非 平 方 元 の 全 体 で あ る.{Ni}が

部 分 空 間 を 〓 と定 義 す る. 

に 対 し φ(S)=Σi∈sNiと   Vの

 

体 上 の ベ ク ト ル と考 え れ ばS+Tは

す な わ ちp(Ω)は2元

す るVの

時

中 で2Ni=0が

生成

任 意 の 部 分 集 合S

お く. 成 り立 つ か ら φ(S+T)=φ(S)+φ(T)を

得 る.す

なわ

ち φ はVか

ら 〓 の 中 へ の 準 同 形 で あ る.

  ま ず φ(N∞)=φ(Ni)=0が

成 り立 つ こ と を 示 そ う.φ(Ω)=ΣNiの

の 各 元 が 現 わ れ る 回 数 を 数 え る.集 方 元 は 同 一 回 数 現 わ れ る.非

合 と し て{Ω,n-i}で

右辺に Ω

あ るか らす べ て の平

平 方 元 に つ い て も 同 様 で あ る.よ

っ て上 式 の右 辺

は 各 元 の現 わ れ る 回 数 を係 数 に し て 24{∞}+12{0}+aQ′+bN′ と 表 わ す こ とが で き る.元 ちa+b=24を

得 る.明

っ て φ(N∞)=0が

成 り立 つ.φ(N0)の

非 平 方 元 で あ る.前 成 り立 つ.さ

数 を 数 え て24+12・23=24+12+(a+b)11,す ら か に1は12回

なわ

現 わ れ る か らa=b=12と 場 合 は{Ω,n-n′}こ

と 同 様 に12{∞}+12{0}+cQ′+dN′

な る.よ

こ でn,n′

は共に

と な りc+d=12が

て N0={∞,5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22}

だ か ら1は

非 平 方 元 の 差 と し て5通

に も 一 度 現 わ れ る か ら1は6回 合 も φ(N0)=0が   (4.4) 

りに 表 わ さ れ る(1=22-21な

現 わ れ る こ と に な りc=d=6.す

成 り立 つ.Ni=α-i(N0)だ

の 元N∞

お よ びNi(i∈Q′)が

  証 明   定 義 に よ り 

な わ ち こ の場 得 る.

ker

と こ ろ で 上 に 証 明 し た よ う に  な る.そ

こ で 

とお け ば

φ=24-k.

が 成 り立 つ か らk≦24-k,す

こ でN∞,Ni(i∈Q′)が

す れ ば 〓 の 次 元 は 少 な く と も12と よ び(ⅱ)が

〓 の 基 と な る.

が 成 り立 つ.そ dim

な わち

一 次 独 立 で あ る こ とが 証 明 で きた と

な る.よ

っ てk=12,さ

ら に 

お

成 り立 つ.

  さ てN∞,Ni(i∈Q′)が トル(4.2)の 示 せ ば よ い.最 空間

か ら φ(Ni)=0を

の中

(ⅰ)

(ⅱ)  12個

k≦12と

ど).Ω

一 次 独 立 で あ る こ と を 証 明 す る に は,各Niを

形 に 表 わ し た 時,そ 後 にi-1個

〈N∞,Ni(i∈Q′)〉

れ ら の つ くる 行 列 の 階 数 が12で

の0が

並 ぶ ベ ク トル がi=0か

に 含 ま れ て い る こ と を 確 か め れ ば よ い.そ

ク トル(の 一 つ)BiをB0=N∞,B1=N1,B2=N2か

ら は じ め てNの

き くな る 順 に計 算 し て 行 け ばB3=N3,B4=N4,B5=N∞+N1+N6な で 存 在 す る.よ

らi=11ま

っ て{N∞,Ni(i∈Q′)}は

一 次 独 立 で あ る.

ベ ク

あ る こ とを で部 分 の よ うな ベ 添数が大 どB11ま

 (4.5)  群Mは   証 明   Mの

部 分 空 間 〓 を 不 変 に す る.

生 成 元 と し て α,β お よ び γδ を と る こ と が で き る.さ

α(N∞)=N∞, 

α(Ni)=Ni-1, 

β(N∞)=N∞, 

が 成 り立 つ か ら α も β も 〓 を 不 変 に す る.元 γδβ(γ δ)-1=β-3=β8と i∈Q′ を とれ ば

な る.明

γδは 〈β〉 を 正 規 化 す る.実

〈β〉 がQ′ 上 可 移 だ か らNi=βk(N1)と

と な る.そ

こ で 

り(4.5)が

証 明 さ れ る.(γ δ)N1を(4.2)の

{Ni}の

な る.よ

意 に

って

が 証 明 で き れ ば γδ も 〓 を 不 変 に す る こ と が わ か

(γδ)N1=φ(S),こ

形 の ベ ク トルで 表 わ した 時 そ れ が 際

こ でS={∞,6,8,13,16,18}

証 明 に お い てBi=φ(Si)(i=0,…,11)を

つ 定 め て お け ば(4.5)の {∞,4,8,9}に

が 成 り 立 つ.任

際,

δ)N1

一 次 結 合 に 書 け る こ と を 示 せ ば よ い.実

  注 意   (4.4)の

β(Ni)=N2i

ら か に γδ(N∞)=N∞

(γδ)(Ni)=β8k(γ

て

証 明 に お け るSを

み た す 部 分 集 合Siを

容 易 に 求 め る こ と が で き る.さ

一つ ず

ら にS10=

対 し

B10={0,1,2,3,4,7,10,12} は{0,1,2,3,4}を

含 む8元

 定 義4.6 

集 合 で あ る こ と も わ か る.ま

た

で あ るか ら 〓 の部 分 集 合

が 定 義 さ れ る.特

に 

とお く.

  以 下Dが5(24,8,1)デ

ザ イ ン で あ る こ と を 証 明 し よ う.そ

のた め次 の補 題

を 証 明 す る.   (4.7)  任 意 の 

に つ い てS∩Tは

偶 数 個 の 点 を 含 む.

  証 明   〓 の 元 を(4.2)の

形 に 表 現 す る.こ

の 時S∩Tの

か 偶 数 で あ る か は,2元

体 上 の 内 積(S,T)が1か0か

内 積 は α,β に よ り不 変.し

た が って  

(Ni,Nj)=(N0,Nj-i), 

を み た す.明 のi,jに (S,T)=0と   (4.8) 

な る.す

な る.こ

な わ ち￨S∩T￨は

に 含 まれ る 点 数 は4で

に よ っ て 定 ま る.さ

て

な らば (N0,Ni)=(N0,N2i)

ら か に(N∞,Ni}=(N0,N1)=(N0,N-1)=0が

つ い て(Ni,Nj)=0と

元数が奇数であ る

成 り立 つ か ら す べ て

の こ とか ら 任 意 の  偶数 で あ る 割 り切 れ る.

について

 証明

 

とお く.Niの

〓0は 〓 の 一 つ の 基 を 含 ん で い る.い ￨S∩T￨は

偶 数.し

元 数 は12の

ま 

とす れ ば(4.7)に

た が っ て￨S+T￨≡￨S￨+￨T￨(mod

な わ ち 〓0は 〓 の 部 分 空 間 で あ る.よ

倍数だか ら

4)が

っ て 

よ り

成 り立 つ.す

と な り(4.8)が 成 り立 つ.

  (4.9) 

し た が っ て￨S￨=0,8,12,16ま

た は24.

  証明 

と 仮 定 す る.群Mは

可 移 だ か らMは

a→a,b→b,c→cだ

がdをSの

に す る か ら(4.5)  =2と

な る か ら,こ

  定 理4.10 

Ω 上5重

外 に 移 す 元 σ を 含 ん で い る.Mは

よ っ て  れ は(4

.8)に

〓 を不 変

定 義 か ら 明 ら か に￨S+σ(S)￨

矛 盾 す る.

Dは5(24,8,1)デ

ザ イ ン で あ る.MはDの

自 己 同 形 群M24と

一 致 す る.   証 明   前 に 注 意 し た よ うに5点{0,1,2,3,4}を 下Dの

元 を ブ ロ ッ ク と呼 ぶ.Mは

意 に Ω か ら5点 る.与

を と れ ば,そ

え ら れ た5点

〓 を 不 変 に す る5重

の5点

,￨S+T￨≦6と

た が っ て 与 え ら れ た5点

形 群 はM24で

理5.5に

あ る(大 山[5]p.161定

な る.と

こ ろ でM24は

つ こ とは で き な い.よ   注 意   〓 はGolay

codeの

mingの

な わ ちDは

理5.6).明

同 形 で,そ

の 自 己同

ら か にM⊂M24と

な る.

δ)2は(16,36)型 な る.よ

だ か らMに

っ てMの

おいて

指 数￨M24:M￨は 下 の真 の部 分 群 を も

得 る.

一 つ で あ る.す な わ ち 〓 の元 を(4.2)の

ベ ク トル の 形 に 書

の よ うに 〓を 符 号 系 と考 えれ ば,〓 は 次 の 性 質 を も っ てい

伝 送 した 時,伝 受 け と る.も

矛 盾 す る.し

山[5]p.121).

単 純 群 だ か ら 指 数 が23以

っ てM24=Mを

い て一 つ の暗 号 と考 え る.こ る.〓 の 元Sを

れ は(4.9)に

よ りDはWitt系W24と

5点 の 安 定 化 群 の 位 数 は 少 な く と も6と

ベ ク トルTを

な る.こ

を 含 む ブ ロ ッ ク は 唯 一 つ 存 在 す る.す

前 に 計 算 し た よ うに(α δ)3は(18,28)型,(α

高 々8と

可 移 群 で あ る か ら,任

二 つ 存 在 す る と仮 定 す れ ばS+T

ザ イ ン で あ る(永 尾[4]p.16,大

  大 山[5]p.159定

元 が 存 在 す る.以

を 含 む ブ ロ ッ クが 少 な く と も一 つ 存 在 す

を 含 む ブ ロ ッ クがS,Tと

は 〓 の元 で あ るが  

5(24,8,1)デ

含 むDの

送 中 の事 故 な どに よ り受 信 側 で は も との 元 と多 少 異 な る

と の元 とち が っ て い る座 標 の数￨S+T￨は

符 号 間 のHam

距 離 とい わ れ る も の で,長 さ のみ た す べ き性 質 を も っ て い る.(4.9)に

よ り〓の

2元 の 間 の 距 離 は 少 な くと も8だ か ら,伝 送 中に 起 る 誤 りが 高 々3個 な らば,Tか との 〓 の元Sを

一 意 的 に 定 め る こ とが で き る.す な わ ち,〓 は3個

らも

の誤 りの訂 正 で き る

符 号 系 で あ る.   2. Conway群

 ま ずLeech格

定 義4.3,4.6に

お よ びDは

それ ぞれ

お い て 定 義 さ れ た 通 り と す る.

  定 義4.11  数iは

子 を 定 義 し よ う.〓

24次

元Euclid空

間R24に

前 節 同 様 Ω={∞,0,1,…,22}に

υs=Σi∈sυiと

正 規 直 交 基{υi}を 属 す る と す る.任

お き2υD(D∈D)が

と る.こ

意 のS⊂

こで 添

Ω について

生 成 す る 格 子 群 を Δ と お く.Leech格

子

Λ は υΩ-4υ ∞ と Δ が 生 成 す る 格 子 群 で あ る.   R24に

お け る 内 積 を(x,y)と

表 わ し Λnを 次 の よ う に 定 義 す る.

Λn={x∈

Λ￨(x,x)=16n}.

  格 子 群 Λ と そ の 自 己 同 形 群 を 調 べ る た め に 必 要 と な る 〓 やDの

性 質 につ い

て 述 べ よ う.   (4.12) 

Dは

〓 を 生 成 す る.

  証 明   前 に 注 意 し た よ う にB10∈Dと … ,10)は

一 次 独 立 で す べ てDの

の 基 が 得 ら れ る((4.4)(ⅰ)参   (4.13) 

照).よ

っ てDは

4点 か ら な る 集 合 をTと

に 分 割 し てT0=T,任

意 のiと

な る.し

た が っ て αi(B10)(i=0,1,

元 で あ る(4.5).こ

 

れ にB11∈Dを

加 えて 〓

〓 を 生 成 す る.

す る.こ

の 時 Ω を 六 つ の4点

に つ い てTi∩Tjは

集 合{Ti}

空 集 合,さ

らに

Ti∪Tj∈D を み た す よ うに で き る.こ くわ し く言 え ば6×4分   証 明   Tに ま る.こ

定 め る 分 割,

割 と い う.)

含 まれ な い 元xを

の よ うにTを

=1 ,2,…,5)と

の 分 解 は 一 意 的 に 定 ま る.(こ れ をTが

定 め れ ば{T,x}を

含 む ブ ロ ッ クは 丁 度5個

お け ばT0=T,T1,…,T5は

含 む ブ ロ ッ クが一 意 的 に 定 存 在 す る.そ

れ を{T,Ti}(i

上 に あ げ た 性 質 を も つ.す

なわち

Ti∪Tj=(T∪Ti)+(T∪Tj)∈D.   (4.14) 

元 Σxiυiが

の 倍 数,さ

ら にxiが4で

Δ に 属 す る た め の 条 件 は 各 係 数xiが 割 り切 れ な い 添 数iの

偶 数,Σxiは16

つ く る集 合 は 〓 の 元 と な る こ

と で あ る.   証 明   上 の 条 件 を み た す Δ の 元 の 全 体 は 明 らか に Δ の 部 分 群 を つ く る.と こ ろ で Δ の 生 成 元2υD(D∈D)は あ げ た 条 件 を み た し て い る.逆

上 の3条

件 を み た す か ら,Δ

を 証 明 す る た め に2,3の

の各 元 は 上 に

補 題 を 証 明 す る.

 (ⅰ)  4点 集 合Tを Tが

定 め る6×4分

任 意 に とれ ば4υT∈Δ 割 を{Ti}と

す る.こ

.こ

れ は 次 の よ うに 証 明 さ れ る.

の 時 υTな ど を(T)と

4(T)=2(T∪T1)+2(T∪T2)-2(T1∪T2)∈

  (ⅱ)  任 意 の  

に つ い て4(υi-υj)∈

を とれ ば4(υi-υj)=4(T)-4(T′)と   (ⅲ)  任 意 のiに

Δ.(適

当 に4点

集 合TとT′

含 ま な い4点

集 合Tを

とれ ば

書 け る.)

つ い て16υi∈Δ.(iを

16(i)=Σj∈T4((i)-(j))+4(T)∈

 さ てx=Σxiυiが(4.14)の3条 り切 れ な い 添 数iの

数yiは4の

つ く る 集 合 をSと

倍 数,そ

  Leech格

お け ばSは

な る.そ

よ び(ⅲ)に

倍 数 と な る.と

お け ばyの

(ⅰ)  xiは

こ ろ でy=Σyi(υi-υ0)

よ りy∈ Δ,し た が っ てx∈Δ

子 Λ に 属 す る た め の 条 件 は 次 の 三 つ で あ る.

法4の

与 え ら れ た 剰 余 類 に 入 る 添 数 の 集 合 は 〓 の 元 で あ る.

(ⅲ)  xiが す べ て 偶 数 な ら ば 和 Σxiは8の 8を 法 と し て4に

倍 数,xiが

す べ て奇 数 な らば 和 は

合 同 と な る.

  証 明   Δ の 元 お よ び υΩ-4υ ∞ は 上 の 条 件 を み た す.し 条 件(ⅰ)-(ⅲ)を 仮 定 し,xiが

み た し て い る.逆 奇 数 の 時m=1,偶 y=x+l(υ

4)を

か もyiが4で

に よ りy∈Δ,す

み た すlを

上の条件をみた している と

数 の 時m=0と

お く.さ

て

Ω-4υ ∞)=Σyiυi

2)と

と れ ば Σyi≡0(mod

が 成 り立 つ.そ

16)で

各yiは

割 り切 れ な い 添 数 の 集 合 は 〓 の 元 で あ る.よ な わ ちx∈

偶 数 とな っ て(4.14)

割 り切 れ る.

Λ の 生 成 元 な ら ば(x,y)は8の

し た が っ て 任 意 のx,yに

こで

Λ を 得 る.

x∈ Λ な ら ば 内 積(x,x)は16で

  証 明   ま ずx,yが

(x,x)が16の

た が って Λ の 各 元 は

にx=Σxiυiが

Σyi=4m+8k+20lとyi≡m+l(mod

m+l=2k(mod

 (4.16) 

を 得 る.

す べ て 偶 数 か また は す べ て 奇 数 で あ る.

(ⅱ)  係 数xiが

る.し

各係

子 Λ に つ い て 同 様 の 結 果 が 成 り立 つ.

 (4.15)  元 ΣxiυiがLeech格

とお け ば

割

〓 の 元 で あ る.よ っ て(4.12)

こ でy=x-Σ2(Di)と

し て Σyiは16の

か ら(ⅱ)お

Δ.)

件 を み た し て い る と仮 定 す る.xiが4で

に よ りS=ΣDi(Di∈D)と

+(Σyi)υ0だ

表わ せ ば

Δ.

つ い て 内 積(x,y)は8の

倍 数 と な る 元xの

倍 数 で あ る((4.7)参 倍 数 と な る.こ

照).

の こ とか ら

全 体 は Λ の 部 分 群 を つ く る こ と が わ か る.と

こ ろ で 任 意 の 生 成 元zに

つ い て(z,z)=32と

な る か ら(4.16)が

 こ の 命 題 に よ り Λ は Λ1,Λ2,Λ3,… の 和 集 合 と な る.容 に Λ1は 空 集 合 で あ る.任 号 で)Λ2の

元 で あ る.ま

意の  

につ い て

は Λ2の 元 で あ る.負

易 に 証 明 され る よ う

±4υi±4υjは(任

た 任 意 に ブ ロ ッ クD∈Dを

Σi∈D±2υi 

成 り立 つ.

意 の符

とれ ば

(負 号 の 数 は 偶 数)

号 の数 に 関 す る制 限 は 係 数 和 が8の 倍 数 とな る こ とに よ

る.奇 数係 数 の 場合,任 意 のk∈ Ω に つ い て

に お い て 下 段 の 符 号 を と る 添 数 の 集 合 が 〓 の 元 で あ る 時 こ の 元 も Λ2に 含 ま れ て い る.こ

れ ら の 元 を そ れ ぞ れ(42)型,(28)型,(-3,123)型

 (4.17) 

上 に あ げ た 元 以 外 に Λ1∪Λ2の 元 は な い.

の 元 と い う.

  証 明   x=Σxiυi∈

Λ1∪Λ2と す れ ば Σxi2=16ま

奇 数 と す れ ば 各xjは

奇 整 数 だ か ら 唯 一 つ の 係 数 が ±3で 残 りは す べ て ±1と

な る.す

な わ ちxは(-3,123)型

で あ る.つ

た は32で

ぎ にxiは

あ る.い

偶 数 で あ るが そ の中 に

4で 割 り切 れ な い 係 数 が あ る と 仮 定 す る.(4.15)(ⅱ)と(4.9)に と も8個

の 添 数 に つ い て 係 数 が0で

あ る.最

後 に す べ て の 係 数xiが4の

合xは(42)型

な い.各

まxiが

よ り少 な く

係 数 は 偶 数 だ か らxは(28)型

倍 数 な ら ば Σxiは8の

で

倍 数 だか ら こ の場

で あ る.

 (4.18) 

(42)型

(-3,123)型

の 元 の 数 は22(24・23/2),(28)型

の 元 数 は24・212で

の 元 数 は27・759,そ

あ る.Λ2は196,560=24335・7・13個

して

の元を含ん

で い る.   証 明   Dの

ブ ロ ッ ク の 数 は759で

あ る(大 山[5]p.160).し

た が っ て(28)型

の 元 の 総 数 は27・759と

な る(27だ け 符 号 の つ け 方 が あ る).〓

あ る(4.4).(-3,123)型

の 元 に お い て-3は

で 符 号 の つ け 方 が212通

りあ る か ら(-3,123)型

型 の 元 数 は 容 易 に 求 め られ る.(4.17)に

任 意 の 座 標 の 係 数 とな る.そ の 元 数 は24・212で

よ り￨Λ2￨=196,560を

 同 様 に し て Λ3,Λ4に 含 ま れ る 元 の 型 と,そ  (4.19) 

の 元 数 は212で

あ る.(42) 得 る.

の 型 の 元 数 が 定 め ら れ る.

Λ3に 含 ま れ る 元 の 型 と そ の 型 の 元 数 は 次 の 通 りで あ る.

 

(4,28): 

係 数 ±2はDの

 

(212): 

係 数 ±2は

元,-2の

〓12の 元,-2の

数 は 奇 数;  数 は 偶 数; 

の上

2・16・759・27 2576・211

 (5,123): 

負 号 は 〓 の 元; 

24・212

 (-33,121): 

"負

212(24・23・22/6)

号"は

〓 の 元; 

  ￨Λ3￨=212325・7・13=16,773,120.

 こ こ で"±2はDの

元"は

係 数 が ±2の 項 の 添 数 の 集 合 がDの

と を 略 し た も の で あ る.(-33,121)型 に な る こ と で あ る.(4.9)に

の 場 合"負

号"と

元 であ る こ

は 係 数 が-1ま

よ り 

た は+3

と な る.

 (4.20)  Λ4に 含 ま れ る 元 の 型 と そ の 型 の 元 数 は 次 の 通 りで あ る.  (8) 

2・24

 (6,27) 

非 零 係 数 はDの

元,負

号 の 数 は 奇 数; 

 (44) 

759・8・27 24(24・23・22・21/4!)

 (42,28) 

±2はDの

元,-2の

数 は 偶 数; 

22(16・15/2)759・27

 (4,212) 

±2は〓12の

元,-2の

数 は 奇 数; 

2576・211・12・2

 (216) 

±2は〓16の

元,-2の

数 は 偶 数; 

759・215

 (5,-32,121) 

"負

号"は

"負

号"は〓

 (-35,119) 

〓 の 元; 

(24・23・22/2)212

の 元  

(24・23・22・21・20/5!)212

 ￨Λ4￨=2437537・13=48(8,292,375).

  Conway群

・0は原 点 を 固定 す る 回転 群 の 部 分 群 でLeech格

子 Λ を不 変 に

す る群 と して定 義 さ れ る.  次 の 定理 がConway群  定 理4.21 

Conway群

の重 要 な性 質 の一 つ で あ る. ・0の元 を 正 規 直 交 基{υi}を 用 い て行 列 表 示 す れ ば

成 分 が 有 理 数 の直 交 行 列 に よ り表 現 され る.行 列 の成 分 に現 わ れ る分 母 は8の 約 数 で あ る.  証 明  任 意 のjに つ い て8υj∈ Λ だ か ら8υjの 像 は{υi}の 整 係 数 一 次 結 合 とな る.よ

って ・0の元 は 分 母 が8の 約 数 で あ る有 理 数 を 成 分 と す る行 列 に よ

り表 現 さ れ て い る.  定 義4.22 

と定義 し, 

任 意 の部 分 集 合T⊂

Ω に対 し 符 号 変換 εTを

とお く.任 意 の π∈Mに 対 し座標 変換 υi→

υ π(i)

を対 応 させ,そ れ も 同 じ文 字π で 表 わ す.こ

の よ うにMを

直交群の部分群 と

考 え 

とお く.(Mは

 (4.23) 

次 の 関 係 が 成 り立 つ.εSεT=εS+Tお (εSπ)(εTρ)=εSε

Eお

よ びMは

,よ

っ てS→

εSは

の 半 直 積 で あ る.EはNの な る.

上 へ の 準 同 形 写 像 で,こ

正 規 化 す る.よ

っ てN

の 半 直 積 と な る.

・0の 部 分 群 で あ る こ と を 示 す に はNの

す こ と を 示 せ ば よ い.MはDの 2υπ(D)に 移 す.ま 号 変 換 εSはSの

の 写 像 に よ り 〓 はEと

〓 を 不 変 に し て い る か らMはEを

は 部 分 群 でEとMと

正

よ び πεTπ-1=ε πrが 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.よ

〓 か らEの

同 形 に な る.Mは

Nが

π(T)π ρ.

っ て￨N￨=222335・7・11・23と

 証 明   εSεT=εS+Tお

 

よび

・0の 部 分 群 で,NはEとMと

規 部 分 群 で 

§4.1で 定 義 し た 群.)

元が Λの生成元 を Λの中に移

自 己 同 形 群 だ か ら π∈Mは

生 成 元2υDを

た π が υΩ-4υ∞ を Λ の 元 に 移 す こ と も 明 ら か で あ る.符 元 に 対 応 す る 座 標 の 符 号 を 変 え る.と

意の  

に 対 し て￨S∩D￨は

る((4.18)参

照).εS(υΩ-4υ

ころで  

偶 数 で あ る(4.7).よ

だか ら任

っ て εS(2υD)∈ Λ と な

∞)∈Λ も 明 ら か で あ る.し

た が っ てNは

・0の 部

分 群 と な る.  ￨M￨=￨M24￨だ  (4.24) 

か らNの

・0の 元 λ が 或 るi,jに

位 数 が 上 に あ げ た 数 に な る.

つ い て λυi=± υjを み た し て い れ ば λ はN

の 元 で あ る.   証 明   λ を 表 現 す る 行 列Lを が ±1,残

り の 成 分 は0と

0で あ る.  列 とk番

な る.Lは

と し4υi+4υkの

目 の 列 の 和 の4倍

っ て 定 理4.10に で お こ る.よ

λ に よ る 像 を 考 え る.こ

た が っ てk番

目の 成 分 は

方,そ

得 る.す

よ り π∈Mと

な わ ち,π

を 得 る.

の像

こ でS

証 明 し よ う.

はDの

上 に の っ て い る.よ

って

自 己 同 形 を 与 え る.よ

な る.λ(υ Ω-4υ∞)に お い て"負 より  

目の

目 の 列 も た だ1か

な わ ち λ=εSπ と い う形 を し て い る.こ

す れ ば λ(2υD)の 非 零 成 分 は πDの

っ て(4.15)に

目の成 分

れ はLのi番

分 は ±4で あ る.一

は Ω の 置 換 で あ る.λ ∈Nを

λ(2υD)∈ Λ よ り πD∈Dを

目 の 列 はj番

直 交 行 列 だ か ら他 の 列 のj番

で あ る(4.17).し

所 だ け ±1で 他 の 成 分 は0,す は Ω の 部 分 集 合,π

定 に よ りi番

で あ る か ら 像 のj成

は Λ2の 元 で あ るか ら(42)型

 さ てD∈Dと

考 え る.仮

号"はSの

上

  定 理4.25 

Nは

・0の 真 の 部 分 群 で あ る.

 証 明   任 意 に4元 が 構 成 で き る.Tが

は4次

集 合T⊂Ω

を と る.こ

定 め る6×4分

の 直 交 行 列 で あ る.R24の

並 べ た 時Pが

の 時,次

割 を{Ti}と

の よ う に し て ・0の 元

お く((4.13)参

基 をT0,T1,…,T5の

対 角 線 に 沿 っ て6個

照).さ

ξT

て

分 割 に 適 合 す る よ うに

並 ぶ 行 列 に よ り表 現 さ れ る 変 換 を η と お く.

η に よ っ て Λ の 生 成 元 が ど う変 換 さ れ る か を 調 べ よ う.  い まD∈Dを 意 の  

とれ ばDの

元 はTに

に つ い てTi∪TjはDの

8個 の 元 を 含 ん で い る((4.7)お てDの

よ る6×4分 元 だ か らDと

よ び5点

割 の 各 元 に 分 配 さ れ る.任 の 共 通 部 分 は0,2,4ま

を 含 む ブ ロ ッ ク の 一 意 性).し

元 が 分 配 さ れ る 仕 方 は(42),(24),ま

た は(3,15)で

あ る.そ

たは たが っ

の各 場 合

に η(2υD)を 計 算 す れ ば η(2υD)は  (42) 

の 場 合  

(-2,-2,-2,-2)2(0,0,0,0)4

 (24) 

の場 合  

(0,0,-2,-2)4(0,0,0,0)2

 (3,15)の

と な る.同

場 合  

(-1,-1,-1,-3)(1,-1,-1,-1)5

様 に η(υΩ-4υ ∞)=(-3,1,1,1)(-1,-1,-1,-1)5と

な る.こ

最 初 の 二 つ は Λ の 元 で あ る が 最 後 の 二 つ は Λ の 元 で は な い,"負

号"の

項 が 〓 の 元 の 上 に の っ て い な い か ら で あ る.し 意 のTi上

か し,6×4分

で 符 号 を 変 え れ ば Λ の 元 が 得 ら れ る.こ

明 ら か で あ る.(3.15)の

場 合,最

の 上 で お こ り,第2項 上 で お こ る.よ る か ら,    定 理4.26 

ついた

割 に 含 まれ る任

れ は(3,15)の

場合以外は

初 の 項 の 符 号 を 変 え れ ば 負 号 はDの

の 符 号 を 変 え れ ば 負 号 はDとT0∪T1の

っ て ξT=εTη は ・0の 元 で あ る.Nの

こで

補 集合

和の補集合の

元 は 単 項 行 列 で表 現 され

と な り定 理 が 証 明 さ れ る. Conway群

移 に 作 用 し て い る.部

・0は Λ2に 可 移 に 作 用 す る.ま 分 群Nの

指 数 は 奇 数36537・13で

た Λ3,Λ4の 上 に も可 あ る.し

た が って

￨・0￨=22239547211・13・23.

 証 明  任 意 の2点 合Tを

 

が 与 え ら れ た 時i∈T, 

をみ た す4点 集

と り前 定 理 の 証 明 に お い て 構成 した 元 ξTを 考 え る.こ の時 ξTは ±4υi

±4υjを(28)型

の 元 に 移 す.

  次 に(28)型

の 元wが

添 数 はDの wの

元Dの

任 意 に 与 え ら れ た と す る.こ

の 時,係

点 と 一 致 す る.Dの3点i,j,kを

つ く り,対

応 す る ・0の 元 ξSを と る.こ

(3,15)の 形 に 分 配 さ れ る.し   さ て 群Nは る.Mの

外 の 元 を 加 え て4点

の 時DはSに

よ る6×4分

た が っ て ξS(w)は(-3,123)型

明 ら か に(-3,123)型

元 に よ り ±3は

な い項 の

と り υi,υj,υkに お け る

係 数 が 同 符 号 を も つ 様 に で き る .{i,j,k}にDの

合Sを

数 が0で

集

割 に

の 元 で あ る.

の 元 全 体 が つ くる集 合 に 可 移 に 作 用 し てい

υ∞ の 係 数 と な る よ うに 移 せ る し,符

全 部 正 に す る こ と が で き る か ら で あ る.し

号 は εTに よ り

た が っ て Λ2の 任 意 の 元 は ・0の 元 に

よ っ て υΩ-4υ ∞ に 移 せ る か ら ・0は Λ2上 に 可 移 に 作 用 し て い る .   Λ3の 場 合 も 同 様 で あ る.ま a,bが

与え ら れ た 時,適

にa,bを

含 む5点

こ ろ で(4.7)に

集 合 を とれ ば,そ よ りS∩D′

い.も

しD′ ⊂Sな

る.し

た が っ てS∩D′

そ こ でTに

は6点

さ れ る.(SはDの

配 さ れ,し る.そ

は な らな

矛 盾 す るか らで あ

集 合Tか

ら な り立 つ .

元 は(4,2,2,2,2,0)と

分配

含 むTiが

元 を

お け ば(4.13)に

の 元 で は-2の

数 は 偶 数 で あ る.そ

あ る.Sの

よ りDはDの

元 であ

た が っ て 任 意 に(212)型 集 合 を 適 当 に 選 び,対

か も4点

集 合Tの

の制 限 の 下 で各 項 の 符 号 は

の 補 題 に よ り任 意 の2元

の 符 号 を 変 え るEの

の 元 が 与 え ら れ れ ば,符 応 す る6×4分

こ で ξTに よ る 像 を と れ ば(2,2,2,-2)→(0,0,0,±4),す の 元 に 移 さ れ る.

  任 意 に(4,28)型

の 元 が 与 え ら れ れ ば,±4の

適 当 に 選 ん で,Tの

る こ と が で き る.こ

形 に分

な る よ うに で き な わ ち(212)

符 号 を 適 当 に 変 え た 上 で4点

上 で(±4,±2,±2,±2)と

の 時Pに

元

号 を 適 当 に 変 え,

割 に ±2が(4,24)の

上 で 符 号 も込 め て(2,2,2,-2)と

型 の 元 は(4,28)型

合Tを

中

が 一 意 的 に 定 ま る .と

み た し て い る.

任 意 に 変 え る こ とが で き る(上

そ の 上 で4点

か も{a,b}を

な る .Sの

か しD′ ⊂Sと

よ び4点

考え れ ば,Sの

あ る か らD=Ti∪Tjと

  さ て(212)型

元D′

集 合 と な り(4.9)に

集 合 でa,bお

元 を 含 ま な い.)し

っ てS∩D={a,b}を

が あ る).し

れ を 含 むDの

は4点

割{Ti}を

の 中 に2点

とれ ばS∩D={a,b}と

は 偶 数 個 の 点 を 含 む.し

ら ばS+D′

よ る6×4分

含 ま な いTjが

ず 次 の 補 題 を 証 明 し よ う. 

当 にD∈Dを

集

な り符 号 は 皆 同 じ に す

よ り(4,2,2,2)→(-1,-3,-3,-3)だ

か ら

(4,28)型

の 元 は(-33,121)型

の 元 に 移 る.ま

だ か ら 任 意 の(-33,121)型 か にNの

の 元 を(5,123)型

た(-3,-3,-3,1)→(1,1,1,5) の 元 に 移 す ・0の 元 が あ る.明

元 に よ り任 意 に 選 ん だ(5,123)型

ら

の 元 は υΩ+4υ ∞ に 移 す こ と が で き

る か ら ・0は Λ3の 上 に 可 移 に 作 用 す る.   Λ4の 場 合 も 同 様 で あ る.(42,28)型,(4,212)型 の 制 限 の 下 で)自

由 に 変 え られ る.(216)型

に は 行 か な い が(216)型 (42,28)型

で は 符 号 を(そ の 場 合,符

の 元 が 与 え ら れ れ ば,そ

ま た は(44)型

れ を(4,212)型,ま

の 元 に 移 す ・0の 元 が あ る.Λ3の

任 意 の 元 は ・0の 元 に よ り(5,-32,121)型 明 ら か にNは(5,-32,121)型

れぞれの場合

号 を 自由 に変 え る わ け たは

場 合 と 同 様 に,Λ4の

の 元 に 移 さ れ る こ と が 証 明 さ れ る.

の 元 の 上 に 可 移 に 作 用 す る か ら ・0は Λ4上 可 移

で あ る.   と こ ろ で8υ ∞∈ Λ4で あ っ て,8υ こ で こ の 安 定 化 群 をKと

∞ の 安 定 化 群 はNに

お け ば,・0が

含 ま れ る(4.24).そ

Λ4上 可 移 だ か ら

￨・0:K￨=￨Λ4￨

を 得 る.明

ら か に8υ

れ か らNの

∞ はNの

元 に よ り ±8υiに

移 る か ら￨N:K￨=48.こ

指 数 と ・0の 位 数 が 定 理 に あ げ た 値 と な る こ と が 証 明 さ れ る.

  注 意   Conway群

・0は Λ2上可 移 だか ら Λ2の1点

い.よ っ て上 定 理 お よび(4.18)か

の 安 定 化 群 の 指 数 は￨Λ2￨に

ら ・2の位 数 が 計 算 され る.Conway群

等し

・3の場 合 も

同様 で あ る.   3. Conway群 x+1).こ

の 単純 性

こ でA=〈

 Mの

α〉,G=・0と

  (4.27)  Conway群

元 α は 前 に 定 義 し た 通 り と す る(α(x)= お き 次 の 補 題 の 成 り立 つ こ と を 証 明 し よ う.

・0の 中 で 元 α の 中 心 化 群 は

  証 明   α の 定 義 か ら 明 ら か な よ う に,α 乗 根 で あ る.そ

の う ち1の

重 複 度 は2,そ

〈-1〉 ×Aで

あ る.

を 表 現 す る 行 列 の 固 有 値 は1の23 の 他 の 根 の 重 複 度 は1で

が っ て α に よ る不 変 ベ ク トル の 全 体 は2次

あ る.し

元 の 部 分 空 間 を つ く り,そ

た

の基 と

して

を と る こ と が で き る.い

ま σ∈CG(α)と

す れ ば σは α の 不 変 元 を α の 不 変 元

に 移 す か ら σ(υ)=aυ+bwと

な る.こ

m=8bは

の 長 さ が1だ

共 に 整 数 で あ る.υ

こ で 定 理4.21に か らa2+23b2=1を

よ りn=8aお 得 る.よ

よび って

n2+23m2=64.と

こ ろ でn,mは

±υ が 成 り立 つ.よ

整 数 だ か らm=0を

っ て(4.24)に

得 る.す

よ り σ∈Nを

な わ ち σ(υ)=

得 る.NはEとMと

の半

直積だか ら CG(α)=CN(α)=CE(α)CM(α) が 成 り立 つ.α な る.α

不 変 な 〓 の 元 は 空 集 合 と Ω だ け で あ る か らCE(α)=〈-1〉

は23巡

  定 理4.28 

回 置 換 だ か らCM(α)=A,す Conway群

・0の 中 心 は

な わ ち(4.27)が 〈-1〉

と

成 り立 つ.

と一 致 す る.

  証 明   中 心 は α の 中 心 化 群 に 含 ま れ る か ら 明 ら か に 定 理 が 成 り立 つ.   Conway群

の 位 数 か らAがGの

シ ロ ー 群 の 一 つ で あ る こ と が わ わ る.そ

こ

で A⊂CG(A)⊂NG(A)⊂G に お い て 指 数￨G:NG(A)￨は23を ま た 

法 と し て1に

でNG(A)/CG(A)はAの

の 場 合Aut

Aは

位 数22の

合 同 で あ る(シ ロ ー の 定 理).

自 己 同 形 群 の 部 分 群 で あ る.こ

巡 回 群 で あ る(『群 論 』 上p.46(6.10)).さ

て

￨G:CG(A)￨=22139547211・13

(定 理4.26お

よ び(4.27))だ

か ら￨G:CG(A)￨≡11(mod

23).こ

れ か ら次 の

補 題 が 証 明 さ れ る.   (4.29) 

￨NG(A):CG(A)￨=11,特

にNG(A)⊂

〈-1〉 ×Mが

  証 明   シ ロ ー の 定 理 に よ り￨G:NG(A)￨≡1(mod

23)だ

￨NG(A):CG(A)￨≡11(mod

一 方,こ

の 左 辺 は 高 々22だ

α,β がNG(A)を   Conway群

成 り立 つ. か ら

23).

か ら 前 半 が 成 り立 つ .位

生 成 す る こ と が わ か る.よ

数 を 考 え 合 わ せ れ ば-1,

っ て 後 半 も成 り立 つ.

の 単 純 性 を 証 明 す る た め に 次 の 定 理 が 用 い ら れ る.

  (4.30)  一 般 に 群Gの

正 規 部 分 群 をHと

しHの

シ ロ ー 群 をPと

す る.

(ⅰ)  G=HNG(P). (ⅱ)  Gの

位 数 の 素 因 数pは￨H￨ま

  証 明   任 意 の 元x∈Gに

た は￨NG(P)￨の

対 しxPx-1はHの

シ ロ ー の 定 理 に よ りxPx-1′=yPy-1を

み た すHの

約 数 で あ る.

シ ロ ー 群 で あ る.し 元yが

あ る.よ

た が って って

y-1xPx-1y=y-1xP(y-1x)-1=P, す な わ ちy-1x∈NG(P)を

得 る.こ

れ か らx∈HNG(P)と

な り(ⅰ)が 成 り立

つ.同

形 定 理 に よ り￨G:H￨=￨HNG(P):H￨=￨NG(P):NG(P)∩H￨を

る.し

た が っ て 素 因 数pは￨H￨ま

  定 理4.31 

Conway群

・0だ け で あ る.中

・0に お い て,-1を

約 数 と な る.

含 む 正 規 部 分 群 は 〈-1〉 お よ び

心 に よ る商 群 ・1は 単 純 で あ る .

  証 明   Conway群

・0の 中 心

  ま ず￨H￨が23で ん で い る.そ

た は￨NG(P)￨の

得

〈-1〉 を 含 む 正 規 部 分 群 をHと

割 れ る 場 合 を 考 え よ う.こ

れ はAと

の 時Hは

共 役 だ か らA⊂H.そ

す る.

位 数23の

こ で(4.30)に

部 分群 を 含

よ り

G=HNG(A) を 得 る.と

こ ろ でA⊂M=M24でMは

生 成 さ れ る.Aと

共 にAの

仮 定 に よ り-1∈Hだ

あ る.さ

位 元 と可 換 で は な い.し

σ はAの てPの

不 可 能 で あ る.す

あ る.と

23)と

な わ ちHの

元 と 共 役 だ か ら(4.27)に

な る.し

位 数 は2の

っ て￨H￨=2ま

か らa=12を

得 る.こ

矛 盾 す る.し H=〈-1〉

つ212≡2a(mod

れ は ρ∈CG(H)と

位 数 を み れ ば これ は の場合

あ る.位

数212の

Conway群

で

の元 ρの不 変 元 の つ くる 13)が

成 り立 つ.こ

れ

同 値 で あ るか ら既 に 証 明 した こ とに らば

形 対 応 定 理 に よ り 中 心 に よ る 商 群 ・1は

単 純 群 で あ る こ と が 証 明 さ れ る.   定 理4.32 

正 規 部 分群

一 致 し な い(α

正 規 部 分 群 は 存 在 し な い.￨H￨=2な

中 心に 一 致 す る.同

非単

23)

元 ρを 含 ん で い る.こ

た が っ て 位 数212の

でHは

よ りσの中

た が っ て 既 に 証 明 し た よ う にCG(H)は2群

す れ ばa≧1か

す 位

軌 道 の大 き さは す

で あ る がCG(H)はGと

位 数13の

部 分 群 の 位 数 を2aと

か しGの

ベ キ で あ る.こ

た は￨H￨=212で

元 で は な い).し こ ろ でGは

た が っ てNG(P)は

位 数 が 奇 数 で あ る と す れ ば σ はPの

が 存 在 し た と仮 定 し よ う.  はCG(H)の

任 意 の シ ロ ー 群 をPと

割 り切 れ る.し

￨H￨≡2(mod

が 成 り立 つ.よ

〈-1〉 ×MはH

た が っ て σ の 作 用 に よ るP-{1}の

っ て￨P￨≡1(mod

な る.

成 り立 つ.

位 数 は23で

元 σ を 含 ん で い る.元

心 化 群 の 位 数 は46で

べ て23,よ

っ てNG(A)⊂

割 れ な い 場 合 を 考 え よ う.Hの

よ りNG(P)の

共 役群全体 で

含 ま れ て い る か らM⊂Hと

な わ ちG=HNG(A)=Hが

  次 に￨H￨が23で

数23の

共 役 群 はHに

か ら 〈-1〉 ×M⊂H,よ

の 部 分群 で あ る.す

る.(4.30)に

単 純 だ か ら,MはAの

・2お よ び ・3は 共 に 単 純 群 で あ る.

  証 明   Conway群

・0は Λ2上 可 移 だ か ら ・2を 定 義 す る た め に Λ2の ど の 元

の 安 定 化 群 を 考 え て も 同 形 の 群 が 得 ら れ る.(-3,123)型 M23を

含 ん で い る こ と が わ か る.こ

お く.定

義 に よ り ・2は 元-1を

  さ てHを α∈Hを に(M24の  

こ で 〈α,β〉⊂M23で

含 ん で い な い.よ

こ ろ で α∈M23でM23は

代 りにM23を

Hの

位 数 が23で

れ る.そ

こ で 

あ る こ とを注 意 し て

っ てNG(A)⊂M23.

・2の 正 規 部 分 群 とす る.￨H￨が23で 得 る.と

の 元 を 用 い れ ば ・2が

割 れ る場 合 には 前 と同様 に

単 純 だ か ら 定 理4.31の

用 い て)H=・2が

証 明 と同様

証 明 さ れ る.

割 れ な い 場 合 に は 前 と 同 様 にHが2群 と仮 定 す れ ば￨H￨=211と

で あ る こ とが 証 明 さ

な る.ま

た 

より

CG(H)=H が 成 り立 つ.し

た が っ てHは

お け ばG/HはAut Hが

位 数211の

￨G/H￨の

Hの

位 数211の

基 本 可 換 群 で あ る.そ

・2=Gと

部 分 群 に 同 形 で あ る(『群 論 』 上p.47).と

基 本 可 換 群 で あ る か らAut

位 数 は53で

こで

割 れ る がSL(11,2)の

れ は 矛 盾 で あ る か ら 位 数211の

HはSL(11,2)に 位 数 は53で

正 規 部 分 群 は 存 在 し な い.よ

ころ で

同 形 で あ る. は 割 り切 れ な い.こ っ て ・2は 単 純 で あ

る.   Conway群

・3の 場 合 も 同 様 で あ る.・3を

い れ ば ・3はM23を

含 ん で い る こ と が わ か る.よ

割 り切 れ る 正 規 部 分 群 は ・3と 一 致 す る.位 の シ ロ ー 群Pを い).し

定 義 す る の に(5,123)型

と っ て も 

た が っ て こ の 場 合H={1}と

の元 を用

っ て 前 と 同 様 に 位 数 が23で

数 が23で

割 り切 れ な い 場 合 に は ど

と な る(・3の 位 数 は211で な り ・3も 単 純 群 と な る.

割れ な

文

献

本 書 で 必 要 とな る代 数 の諸 定 理 お よび 群 論 か ら の予 備 定 理 は 秋 月 ・鈴 木,代 数 Ⅰ,Ⅱ,岩 波 書 店 鈴 木,群 論,上 か ら引 用 した.こ   そ の外,次 [1] 

・下,岩 波 書 店

れ ら の 本は それ ぞ れ 『代 数 』 Ⅰ,『群 論 』 上,な

ど と 引用 され て い る.

の本 に関 連 した 事 項 が の っ てい る.

N.Bourbaki,Groupes

et

algebres

de

Lie

Chap.4,5

et

6,Hermann,Paris,

1968. [2] 

R.Carter,Simple

groups

of

Lie

type,Wiley-Interscience,New

York,

1972.

[3]  松 島 与 三,リ

ー 環論,共 立 出版.

[4]  永尾

汎,群

と デザ イ ン,岩 波 書 店.

[5]  大 山

豪,有

限 置 換 群,裳 華 房.

[6] 

R.Steinberg,Lectures

on

Chevalley

groups,Lecture

notes,Yale

University,1968. [7] 

R.Steinberg,Endomorphisms

of

Linear

Algebraic

Groups,Memoirs

AMS

84,1968. [8]  New

J.-P.Serre,Algebres

de

Lie

semi-simples

complexes,W.A.Benjamin,

York,1966.

  本 書 で 引 用 し た 論 文 の うち 番 号に*印 の つ い て い る も のに つ い て は 『群 論 』 上 の 巻 末 に あ る文 献 表 の対 応 す る番 号 を 参 照 の こ と.散 在 群F1に つ い て は 次 に あ げ るGriess[3] を 参 照 され た い. [1] 

M.Aschbacher,Finite

groups

Math.Z.127(1972)44−56,J.of [2] 

発 表.Atlas参

[3] 

R.L.Griess,The

[4] 

D.Livingstone,On

[5]  algebres 21−58.

by

Algebra

transposition

Ⅰ-Ⅳ,

character

table

of

the

照). friendly a

giant,Invent.Math.69(1982),1−102.

permutation

representation

of

the

Janko

group,

6(1967)43−55.

J.Tits,Sur de

odd

26(1973)451−491.

B.Fischer,D.Livingstone,M.Thorne,The

monster(未

J.of

generated

Algebra

Lie

les

constantes

de

structure

semi-simples,Publ.Math.,Inst.Hautes

et

le

theoreme

d'existence Etudes

Sci.31(1966)

des

索

引

Conway群

  210,230

A Al型(Lie代

数)  100

Al型(群) 

130

安定化群 5

D D型(Lie代

数)  106

D型(群) 

132

代 表 元   28

B

第2種

Bl型(Lie代

数)  102

Bl型(群)  BN対

130

の 散 在 群   217

同 伴(双

線 形)形

Dynkinの

式   56

図 形   96

 150

分解 可 能 な根   87 分 割(6×4) 

230

ブ ロ ッ ク  229

E E8型(根 E7,E6 

系)  107 109

分類定理 1 F

C Cartan行

F4型(根

列   96

C型(Lie代 C型(群) 

数)  105 131

系)  109

Fischer-Griess群

  212

Fischer群(baby

monster) 

Fischer群(3互

換)  210

C群  76 C環  68 Chevalley群

G

  115

G2型(根

系)  85

普遍―

  160

原 始 的(作

複素― 一般―

 135   125

グ ラ フ 型 自 己 同 形   176

随伴―

 160

Chevalleyの

行 列 表 示(形

公 式  137,143

H

置 換  4

H形

忠 実(表 現)  124

判 別 式   18

式   15

用)  29

式 の)  16

213

半 線 形 写 像  17

自己 共 役 指 標   191

半 双 線形 形 式  15 K

反 自己 同 形  75 原 田群   214

可 移  4

Held群

形 式   15

  208

Hermite形

式   15

Higman-Sims群

―

  209

の 行 列 表 示   16

Killing形 式   95

非 退 化(形 式)  16

基 6

非 退 化(2次

軌道 4

形 式)  56

非 等 方 的(部 分 空 間)  37

基 の定 め る全 順 序   87

被 約C群

基 本 系   86

  79

補 部分 空 間   9

交 換 子(群) 

包 絡 環   116

根  84,95

符 号 系   229

根 の系 列   93

普遍Chevalley群  160 ― の基 本 関係  164

根 の 高 さ  94

複 素 単 純Lie代

根 基  37

表 現(す

数  95

る行 列)  10

表 現(Lie代

数 の)  116

3

根 系   84

交 代 群  22 交 代 形 式  15

表 現 加 群  116

古 典(単 純)群

表 現 の 重み   121

ク リフ ォー ド群  76

標 準形  155

ク リフ ォー ド環  68

標 準基  99

強 双 曲型   57 許 容Z形

  19

  123

I L

移 換   23 斜交―

Leech格

  42

ユ ニ タ リ―

  47

一般Chevalley群

  115

一 般 線 形 変 換 群   10

Lie代

子  230 数   95

―

のZ形

Lie型

  112

の単 純 群  2

Lyons群

  211

J Janko群 次 元  8

  207,215

M Mathieu群

  206,224

McLaughlin群 

209

monster  212,214

指数   41,60 指 数 関 数  110 双 曲型   32

N

組 成 列(因 子)  1

内 積   18,84

双 線 形 形 式   15

内 積 空 間  18,56

双 対 基   13

2次 形式  56

双 対 空 間   13 双 対 写 像   14

O

Steinberg群 

177

重 み(表 現 の)  121

Al型 ―

重 み 加 群   127

Dl(古 典)型 ―

O'Nan群

  211

  177

ス ピン ノル ム  79 鈴 木 群(Lie型) 

R

  180

201

鈴 木群(散 在 群)  209

r系 列   93

主 反 自 己 同形  76

Ree群   201,205 例 外 グ ラ フ型 自己 同形   199

T

6×4分 割  230

多元 環   116

Rudvalis群 

対 応 す る行 列   10,16

209

対 称 変 換   62 S

対 称 形 式   15

最 高 重 み   122 散 在 群   206 ―

の 位 数  215-216

単純群 1 Lie型 の― ―

 2

分類定理 1

作用   4,29

点(射 影 空 間 の)  28

正 系  86

テ ン ソル代 数  68

正規 直交 系  33

テ ン ソル積(表 現 の)  118

積  4,9

Thompson群

線 形 変換 群  11

Tits群   201

線 形 空 間  6

Tits系  150

射 影 空 間  28

等 長 写 像   19,56

射 影 線 形 変 換 群   29

等 方的  32,37

斜 交 移 換  42

特 異 元   57,64

斜 交 群   19,41

超 平 面  23

  214

直 交 群   19,55

有 限斜 交 群 の 位 数  44

直 交 基   33

有 限Steinberg群

直 交和   19

有限 直 交 群 の 位 数  61

の 位 数   197

有 限 ユ ニ タ リ群 の 位 数   54 ユ ニ タ リ移 換  47

W Weyl群  ―

ユニ タ リ群  19,45

84,152

の 基 本 関 係  92

Weyl領 Wittの

域  91

Z

定 理  37,59

Z形   112 全 等 方 的   37

Y 有 限Chevalley群

全 特 異   57 の位 数  169

有 限 次 元線 形 空 間  6

全 順 序   86 随 伴 表 現  116

者

木

通

鈴

著

夫

1926年 千 葉 市 に生 まれ る.1948年

東京大

学 理 学 部 数 学 科 卒 業.1952年 東京教育大学 助 教 授,1958年 イ リ ノイ 大 学 教 授,1968年 同 大 学Center for Advanced Study教 授 併 任,現 在 に 至 る.理 学 博 士.1974年 度 日本 学 士 院 賞 受 賞. 著 書:Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups (Springer-Verlag),群

論 上 下(岩 波 書 店),

代 数 Ⅰ,Ⅱ(秋 月 康 夫 と共 著,岩

有

限

単

1987年10月28日

純  

波 書 店).

群

第1刷 発行

発行所 

会社  株式

紀伊 國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話 03(354)0131(代 表) 振 替 口 座  東 京9-125575 出 版 部

 

東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5の38の1 電 話  03(439)0125(代 表) 郵 便 番 号  156

C  Michio PRINTED

Suzuki IN

JAPAN

1987

印 製

株  研 究 社 印 刷 本  三 水 舎

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階 が あ る が,い ずれ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くと い うよ うな受 動 的 な勉 強 だ け では,は

なは だ不 十 分 で あ る.

  み ず か ら学 ぶ た め に 現在 い ろ い ろ な 数 学 書 が 出版 され て い る.し

か

し,数 学 の 進 歩 は極 め て基 礎 的 な考 え方 に 対 し て さ え常 に 影 響 を与 えて お り,従 って どの よ うな 段 階 の勉 強 で あ って も,常 に 新 しい 考 え方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新

しい

視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ とを も将 来 の発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 か れ た書 物 が要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな 要 望 に応 え て企 画 され た もの で あ っ て,各 巻 が大 学 理 工 学 系 の 専 門課 程 の学 生 ま た は大 学 院 学 生 が そ れ ぞれ の分 野 で の話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か らあ る程 度 の深 さ ま で勉 学 す るた め の伴 侶 とな るこ と を 目指 して い る.こ の た め に我 々 は各 巻 の話 題 の選 択 につ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の発 展 に とっ て重 要 で あ り,ま た 既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第一 線 で活 躍 し て お られ る数 学 者 に執 筆 を お願 い してい る.   学 生 諸 君 お よ び数 学 同 好 の 方 々が,こ

の叢 書 に よ っ て数 学 の 種 々の 分

野 に お け る基 本 的 な考 え方 を理 解 し,ま た基 礎 的 な 知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更

に現 代 数 学 の 最 先 端 へ 向 か お う とす る場 合 の基

礎 と も な る こ と を望 み た い.