したしむ振動と波 (したしむ物理工学)

●したしむ物理工学●

した しむ

振 動 と波 志村 史夫 著

朝倉書店

口 絵1  太 陽 観測 衛 星 「よ う こ う」のX線 望 遠 鏡 で撮 影 した 日食 (本文96ペ ー ジ参照)(宇 宙科学研 究所 ・小川原嘉明教授提供)

口絵2  白 色 光(太 陽 光)の 連続 スペ ク トル(本 文99ペ ー ジ参照)

口 絵3虹(本 文126ペ ー ジ参 照) (武 田康 男 写 真:空 の色 と光 の 図 鑑,草 思 社,1995よ

り転 載)

まえ かき

  私 の 一 日の 生 活 は朝 早 くか ら始 ま る.   毎 朝,大

学 の 居 室 の安 楽 椅 子 に腰 をお ろ し,濃 目 の緑 茶 を飲 み なが ら,そ

し

て ノ ク タ ー ン(夜 想 曲)を ス テ レ オ で聴 き なが ら(朝,「 夜 想 曲 」 を聴 くの も変 な 話 な の だ が,そ の 音 調 は静 か な 朝 の 一 時 に も調 和 して い る),新 聞 を読 み,そ して 瞑 想 に耽 り,お よ そ一 時 間 を過 ごす.   冬 の 日 な ど は,ま だ真 っ暗 で,満 天 の星 で あ る.幸

い,私 が暮 ら し て い る,

こ こ遠 州 ・袋 井 の 辺 りで は,天 気 の よ い 日 に は天 の 川 も見 え る(い られ な い こ とだ が,昔 た もの だ).辺

まで は考 え

は,私 が 生 まれ 育 っ た 東 京 の下 町 で も天 の川 が よ く見 え

りが 明 る くな る につ れ て,周 囲 の 景 色 が は っ き り と 目に 映 る よ う

に な る.木 々,茶 畑,花,遠

くの 山 の 稜 線， 建 物,池,な

どな ど.気 が つ け ば,

も う,茶 畑 で農 作 業 を始 め て い る人 もい る.往 来 す る車 や 人 の 数 も徐 々 に増 え て くる.太 陽 の光 が差 し込 み,朝 焼 けの 空 が 次 第 に青 み が か り,や が て 青 空 が 宙 一 面 に拡 が る.白 い 雲 は美 しい ア クセ ン トで あ る.周 囲 の 明 る さ が増 す に つ れ て,さ

ま ざ ま な音 が 耳 に入 っ て く る.鳥 の さ えず り(そ の さ えず り方 が さ ま

ざ まで あ る こ とか ら,こ の 辺 りに は さ ま ざ ま な鳥 が い る こ とが わ か る),犬 の 鳴 き声,風

に 揺 れ る木 々 の 葉 の 音,自 動 車 の エ ンジ ンの 音,人

の 声,な

どな ど.

  衛 星 放 送 の テ レ ビの ス イ ッチ を入 れ れ ば,世 界 の 出 来 事 を 目の 当 た りに す る こ とが で き る.や が て,机 の 上 の 電 話 が 鳴 り,フ ァ ッ ク ス で メ モ が 届 くよ う に な る と,そ の 日の 仕 事 が 本 格 的 に始 まる の で あ る.  周 囲 が 夕 焼 け に染 ま る頃,私 は,大 学 で の 一 日 の 仕 事 を終 え て,家 路 に つ く.

 い ま述 べ た私 の 一 日の 生 活 の一 面 は い ず れ も,こ の本 の テー マ で あ る「振 動 」 と 「波 」に深 く関 係 す る こ とば か りだ.「 深 く関係 す る」とい う よ り,む し ろ 「振 動 」 と 「波 」 そ の もの な の で あ る.い ま上 に述 べ た こ とが,ど

う して 「振 動 」

と 「波 」 そ の もの な の か は,こ の 本 を読 み 終 え る頃 に は明 らか に な る.   この よ う に,「 振 動 」 と 「波 」 はわ れ わ れ に とっ て極 め て 身 近 な 「現 象 」で あ る.ま た,「 振 動 」 と 「波 」は,現 代 に お い て ばか りで はな く,有 史 以 来,人

類

に とっ て 身 近 で あ り続 け て い る の で あ る.し か し,い まで も,人 類 が 「振 動 」 と「波 」の 本 質 を完 全 に理 解 して い る とは 限 ら な い.例 で あ る こ とや,光

え ば,人 類 が,光

が 「波 」

と電 波 が 同 じ 「 電 磁 波 」で あ る こ とを 知 った の は ほ ん の100年

ほ ど前 の こ とで あ る.つ

ま り,か つ て は 「粒 子 」 と して 扱 わ れ て い た(か

の大

天 才 ・ニ ュー トンが そ の よ う に考 え て い た)の が 「波 」 と認 知 さ れ た の で あ る が,い

ま また,先 端 の 「現 代 物 理 学 」 は,光 が 「粒 子 」 と して も振 舞 う こ とを

明 らか に し て い る.ま た,「 波 」 とは縁 遠 い と思 わ れ る 「物 質 」が 「波 」 と して 振 舞 う こ とを明 らか に して い る の も 「現 代 物 理 学 」 で あ る.有 史 以 来,人

類に

とっ て 身 近 な 「 振 動 」 と 「波 」 は依 然 と して多 くの謎 に包 まれ て い る よ うに思 わ れ る(少 な く と も私 に は謎 だ ら け で あ る).一 般 に,ニ ュ ー トン が 集 大 成 した 物 理 学 を「古 典 物 理 学 」,20世 紀 に な って 確 立 され た 量 子 論 を中 核 とす る物 理 学 を 「現 代 物 理 学 」 と よび,そ

れ らの 間 に一 線 を画 して い る が,い

ず れ 「現 代 物

理 学 」 が 「新 ・古 典 物 理 学 」 と よば れ る 日が こな い とは限 らな い.   本 質 的 な理 解 とは別 に,太

陽光 が 地 上 の生 物 に とっ て不 可 欠 で あ る こ とは い

う まで もな い し,電 磁 波 は現 代 の 情 報 ・通 信 の 重 要 な媒 体 で あ る し,電 磁 波 の 一種 の Ｘ線 が 医 療 に果 た し て い る役 割 は甚 大 で あ る.ま た,物 質 波 は電 子 顕 微 鏡 に応 用 さ れ,今

日の物 質 科 学,材

料 工 学,生 命 科 学 ・工 学 な どの 発 展 に大 き

く寄 与 して い る.   本 書 は,こ の よ う に 「古 くて新 し い」 そ して 「わ れ わ れ に とっ て 身 近 で あ り な が ら謎 に包 まれ て い る」,さ らに現 代 文 明 に大 きな 関 わ りが あ る 「振 動 と波 」 につ い て の 入 門 書 で あ る.そ れ は,本 書 の タ イ トル に もあ る よ う に,ま ず読 者 に 「振 動 と波 」に親 し み,興 味 を持 っ て も らう こ と を 目標 と して い る.そ 本 書 の 特 徴 は,何

し て,

よ りも まず 概 要 を感 覚 的 に 理 解 して も ら うた め に図 を 多 用 し

た こ とで あ る.ま た,数 式 の 導 入 は感 覚 的理 解 を助 け るの に有 効 な 範 囲 に 止 め た つ も りで あ る.私

は,数 学 あ るい は数 式 とい う もの は,「 外 国 語 」の 一 種 だ と

思 っ て い る.外 国 語 が 好 き な人 も嫌 い な人 も,得 意 な人 も不 得 意 な 人 もい る よ う に,数 学 とい う 「外 国 語 」 が 好 き な人 も嫌 い な人 も,得 意 な人 も不 得 意 な 人

もい る.し か し,外 国 へ 行 っ た 時,多 少 で も外 国 語 を話 せ た 方 が 何 か と便 利 で あ る の と同 じ よ うに,多 少 で も数 学 を使 え れ ば 自然 現 象 を理 解 す るの に大 い に 役 立 つ もの で あ る.本 書 で は,こ の よ うな観 点 か ら数 式 を導 入 して い る.し か し,そ れ はあ くま で も一 つ の 「言語 」 と して で あ る.仮 に,数 式 を飛 ば して 読 ん で も,本 書 の 内 容 の定 性 的 理 解 に は問 題 が な い と思 う.   本 書 を通 じ,読 者 に,「 振 動 と波 」に少 しで も親 近 感 を覚 え,さ プ に進 む気 に な っ て も ら えた な らば,私

は とて も嬉 しい.そ

らな る ス テ ッ

し て,長

ら く自 然

科 学 の 分 野 で 仕 事 を して きた 私 の,将 来 の世 界 を背 負 う こ と に な る で あ ろ う若 い 人 た ち へ の願 い は,「 自然 科 学 」の 学 習 を とお して,懐 疑 す る精 神 と,「 自 然 」 の 不 思 議 さに 驚 嘆 す る心 を 養 っ て欲 しい とい う こ とで あ る.大 切 な こ と は,難 解 な 数 式 や複 雑 な 事 項 を憶 え る こ とな ど で は な くて,自 然 を 見つ め,科 学 的 な 精 神,思 考 法 を 自分 の もの にす る こ とだ と思 う.   文 学 者 と して も,科 学 者 と し て も,偉 大 で あ っ た ゲ ー テが 「熟 視 は観 察 へ, 観 察 は思 考 へ,思 考 は統 合 へ と必 ず や 移 行 す る もの で あ っ て,だ か ら世 界 を注 意 深 く眺 め て い るだ け で,わ れ わ れ は す で に理 論 化 を行 っ て い る とい う こ とが で き る」 とい って い る.自 然 科 学 の基 本 は熟 視 ・観 察 で あ る.そ

して,推

理と

理 論 と と もに,自 然 科 学 の相 補 的 な両 輪 を形 成 す るの で あ る.

  最 後 に,私 の 意 図 を理 解 し,本 書 の 出 版 に御 協 力 いた だ い た 朝 倉 書 店 企 画 部, 編 集 部 の 各 位 に御 礼 申 し上 げ た い.ま

た,本 書 で 用 い た 図 の 作 成 に協 力 して く

れ た静 岡 理 工 科 大 学 大 学 院 生 の 八 木 文 孝 君 に も深 く感 謝 した い.

1998年

 盛 夏

志村史夫

目

次

１. 振

１

動 

1.1  単 振 動  

２

1.1.1 

バ ネ 振 り子  

２

1.1.2 

単 振 り子  

1.1.3 

等 速 円 運 動 と単 振 動  

1.1.4 

振 動 の エ ネ ル ギ ー 

７

1.2  減 衰 振 動 と強 制 振 動   1.2.1 

減衰振 動 

17

1.2.2 

強制振 動 

19

1.2.3 

共

1.2.4 

電気振 動

振

1.4.1 

17

  22 24

簡単 な連成振動  

1.3.2  結 晶 格 子 振 動   1.4  時

計  

12

  21

1.3  連 成 振 動   1.3.1 

24 26

28

時間の計測 

28

1.4.2  音 叉 時 計  

29

1.4.3  水 晶 時 計  

30

1.4.4 

31

原子時計 

チ ョ ッ ト休 憩 ● １ 地 震 の 話   演 習問題 

10

33

34

35

２.  波 

2.1  波 の 性 質 

36

2.1.1 

波 の 発 生 

2.1.2 

媒

2.1.3 

波 の 特 徴 

41

2.1.4 

水 面 の 波 

45

2.1.5 

地 震 の 波 

46

質

2.2  波 の 運 動  2.2.1 

36

  38

48

正 弦波 

48

2.2.2  波 の 伝 播 と波 動 方程 式  

51

52

2.2.3 

波 の 速 さ 

2.2.4 

波 のエネル ギー 

58

チ ョ ッ ト休 憩 ● ２ 倒 れ な い五 重 塔   演 習問題 

61

62

３.  音 

3.1  音

63 波 

64

3.1.1 

音 の 発 生 

3.1.2 

定 在 波 と共振  

3.1.3 

弦 の 振 動 

3.1.4 

気 柱 の 振 動 

3.1.5 

超音 波 

3.2  音 の 性 質 

64 65

67 70

72 73

3.2.1 

音 の三要素  

3.2.2 

音 の 強 さ 

3.2.3 

音

速

73 76

  78

チ ョ ッ ト休 憩 ● ３  動 物 の鳴 き声   演習 問題 

82

４. 電 磁 波 と光  4.1  電 磁 波  4.1.1 

80

83 84

電磁 場 

84

4.1.2 

電 磁 波 の発 生  

90

4.1.3  電 磁 波 の 波 動 方 程 式   4.1.4  4.2 

電 磁 波 の種 類  

94

95

97

光 

97

4.2.1 

光 の 速 さ 

4.2.2 

太 陽 光 と レー ザ ー 光  

99

4.2.3  光 の波 動 性 と粒 子性    101 4.2.4 

102

色 

チ ョッ ト休 憩 ● ４  色 に 出 に け り   105

演習問題 

105

107

５. 物質波  5.1 

電子波

  108 108

5.1.1 

物 質 波 

5.1.2 

ボ ー ア の量 子 条 件  

5.2  電 子 の 存 在 状 態  

109

112

5.2.1 

シュレーデ ィンガーの波動方程式  

5.2.2 

電 子 の 分 布 

113

チ ョ ッ ト休 憩 ● ５ 我 が 青 春 を揺 るが せ し  演 習問題 

112

114

115

117

６. 波 動 現 象  6.1  波 の 基 本 的 現 象  

118

6.1.1 

ホ イ ヘ ン ス の原 理  

6.1.2 

反

射 

119

6.1.3 

屈

折 

120

6.1.4 

回

折 

129

6.2  波 の相 互 作 用  渉 

118

129 129

6.2.1 

干

6.2.2 

結 晶格子 に よる回折 

132

6.2.3 

ド ッ プ ラ ー 効 果 

135

チ ョ ッ ト休 憩 ● ６  コ ウ モ リ の"聴"能

演習問題 

力  

139

139

演 習問題 の解 答 

141

参 考図書 

151

索

153

引 

１ 振

動

  わ れ わ れ の 身 の ま わ りに"振 動"は 少 な くな い."振 お り に"振 れ 動 く こ と"で あ る.英 丈 記 』の 中 に 「昔 斉 衡 の こ ろ とか,大

地 震 振 りて,東

い み じ き 事 ど も侍 りけ れ ど」 と書 か れ て い る が,こ 震 で"奈

良 の 大 仏"の

た,清

震 は,ま

少納 言 の 『 枕 草 子 』 第204段

し」 と書 か れ て い る笛 な どの 管 楽 器 は,空 ど の 弦 楽 器 は,弦

  この よ う に,わ 物 体 が,あ

の大 地

こ と に迷 惑 な,大 笛,い

地 の"振 動" み じ う をか

気 を振 動 させ て 音 を 出 す.ギ れ らの 音 は,空

ル ツ(Hz)あ

ター な

気 の振 動 として

れ わ れ の 日常 生 活 に 不

る い は60ヘ

ル ツ といわれ

関 係 が あ る. れ わ れ の 周 囲 に は,さ

る 動 か な い位 置(平

中 心 と して,上

大 寺 の仏 の御 頭 落 ち な ど,

こ え る"の で あ る.わ

可 欠 の 「交 流 電 気 」 も,周 波 数 が50ヘ 動"と

の文字 の と

れ は斉 衡2(855)年

に 「 笛 は,横

の 振 動 に よ っ て 音 を 出 す.こ

わ れ わ れ の 耳 に到 達 す る の で"聞

る よ う に"振

は,そ

い う.鴨 長 明 の 『方

頭 が 落 ち て し ま っ た こ と を記 し た も の で あ る.古 来,日

本 は 大 地 震 に 何 度 も襲 わ れ て い るが,地 で あ る.ま

動"と

語 で は"vibration"と

ま ざ ま な"振

動"が

あ る.振

動 とは,

衡 位 置 と い う)を

下 運 動 の よ う な運 動 を 繰 り返 す 現

象 の こ とで あ る.い ま,"物 体 が"と 書 い た の だ が, 実 は,運

動 す る もの は,"物

体"と は限 ら な い の で

あ る.上 述 の 「交 流 電 気 」 は 「電 圧 」 が 振 動 す る の で あ る し,電 場 や 磁 場 の よ う な 「場 」 も振 動 す る.   本 章 で は,さ

ま ざ ま な 振 動 に共 通 す る簡 単 な物

理 を述 べ る.振

動 は,後

述 す る波 動 の 基 盤 で も あ

る。 振 動 ・波 動 現 象 の 基 礎 とな る 最 も簡 単 な 単 振 動 か ら話 を 始 め,そ 衰 振 動,強

の"応

用"と

制 振 動 へ と話 は進 む.そ

最 後 で は,"振

も考 え ら れ る減 し て,本

章の

動"の 最 も身 近 な 応 用 の 一 つ で あ る

時 計 に つ い て述 べ る.

メ ト ロ ノー ム

1.1  単 振 動 1.1.1  バ ネ 振 り子 ■ バ ネ ばか り とフ ッ クの 法 則   もの の重 さ を はか る道 具 が は か りで あ る.は か りに は い ろい ろ な種 類 が あ る. そ れ ら は,重

さ を はか る原 理 が 異 な る の で あ る.し か し,ア ナ ロ グ 式 あ るい は

デ ジタ ル 式 の よ う に,表 示 の仕 方 が 異 な る も の で も,"重 さ を はか る原 理"は 共 通 で あ る場 合 が 多 い.最 る.(ａ),(ｂ)の

も一 般 的 な の は,図1.1に

外 形 はか な り異 な るが,重

示 す よ う なバ ネ ば か りで あ

さ とバ ネ の伸 び との 比 例 関 係 を原

理 とす る こ とで は共 通 して い る.   物 体 に,引

っ張 りな どの応 力 を加 え る と,物 体 は,そ の応 力 の 大 き さ に応 じ

て 変 形 す る.こ の よ う な応 力 と変 形,つ に,図1.2の

ま り歪 み の 大 き さ との 関 係 は,一 般 的

よ う に な る.応 力 が 小 さい 間 は,歪 み が 応 力 に比 例 し,応 力 を除

けば 歪 み は ゼ ロ,つ ま り物 体 の 形 は元 に戻 る.こ の よ う な変 形 を弾 性 変 形 と よ ぶ.し か し,弾 性 限界 を越 え る と,応 力 を取 り除 い て も歪 み が ゼ ロ に な ら な い. つ ま り,物 の形 は元 に戻 ら な い.こ

（ａ ）

の よ うな 変 形 を塑 性 変 形 とよ ぶ .さ

（ｂ）

図1.1バ

ネ ばか り

らに応

図1.2 

一 般 的 な応 カ‐歪 み 曲 線

力 が 大 き くな る と,あ る点(降 伏 点)で 歪 み が 急 に大 き くな る.こ の と きの 応 力 を降 伏 応 力 σYと よぶ.降 伏 点 を越 え て 応 力 を さ ら に大 き くす る と,物 体 は破 断 す る.こ の 点 を破 壊 点,こ   つ る ま きバ ネ の 変 形(伸

の と きの 応 力 を破 壊 応 力 σBと よぶ.

び)を 弾 性 変 形 内 で 利 用 した も のが バ ネ ば か りで あ

る.   い ま,図1.3(a)に

示 す よ う に,最 初 の 長さl0の つ る ま きバ ネ に質 量ｍ

も り を吊 る した とき,バ ネ が ⊿l伸 び た とす れ ば,応 力F(=mg)と

のお

の間 に

(1.1) と い う 関 係 が 成 り立 つ.ｋ

は バ ネ 定 数 と よ ば れ る 比 例 定 数 で あ る.式（1.1）

関 係 を フ ッ ク(Hooke)の

法 則 と よ ぶ.

の

■バ ネ の 振 動   質 量ｍ

の お も り を 吊 る し た バ ネ は,図1.3に

い る.上 述 の よ う に,こ の と き,お 下 向 き の 重 力mgで,こ ま,図1.3(b)に と す る と,お

示 す よ う に平 衡 点 で 静 止 して

も り に 作 用 し て い る 力 は,上 向 き の 力k⊿lと

れ ら は 式(1.1)で

示 さ れ る よ う に つ り合 っ て い る.い

示 す よ う に,平 衡 点 か ら さ ら に 下 向 き にｘ だ け バ ネ を 伸 ば し た も り に 作 用 す る 力 は,下

方 を正 の 方 向 とす れ ば

(1.2)

（ａ ）

図1.3 

（ｂ ）

（ｃ ）

バ ネ ばか りの原 理 （ａ）とバ ネ の振 動 （ｂ）,（ ｃ）

とな る.つ ま り,お も りは￨kx￨の 上 向 き の力 を受 け る の で,図1.3(b)に で離 した とす れ ば,お

も りは上 向 き に移 動 す る.離

した瞬 間 に は,お

も りの移

力 に よ っ て 加速 度 が 生 じる の で,お

も りは次

動 速 度 は ０で あ るが,F=-kxの 第 に速 さ を増 す.お

示 す点

も りが 平 衡 点 に達 し,バ ネ の長 さ がl0+⊿lに

な っ た とき,

合 力 は ０に な るが,お も りはす で に速 さｖ で運 動 し て い る の で,図1.3(c)に す よ うに平 衡 点 を通 りす ぎて 上 方 に移 動 す る.バ ネ の長 さがl0+⊿lよ

示

り短 か く

な る と,こ ん ど は,上 向 きの バ ネ の力 は重 力 よ り も小 さ くな る の で,お

も りの

移 動 速 度 は 次第 に減 少 し,つ い に は上 方 で 静 止 す る.そ の 時 点 で も,お

も りは

下 向 き の力 を受 けて い る の で,こ 結 局,お

ん どは 下 向 き に加 速 され て 下 方 に 移 動 す る.

も りは,図1.3(b),(ｃ)に

示 す よ う に,平 衡 点(x=0)を

中 心 とす る

上 下 の 振 動 運 動 を行 な う.   しか し,振 動 は い つ まで も続 くわ けで は な く,振 動 の 幅 は次 第 に小 さ くな り, 平 衡 点 の位 置 で お も りの 振 動 は止 ま る.そ れ は,振 動 中 に空 気 の 抵 抗 な どが 作 用 し,振 動 の エ ネル ギ ー が 次 第 に 失 な わ れ る か らで あ る.こ の よ う に振 動 の 幅 が 次 第 に小 さ くな る よ うな振 動 を減 衰 振 動 とい う.減 衰 振 動 に つ い て は,も

う

一 度 次 節 で詳 し く述 べ る こ と にす る

.

  い ま,減 衰 の こ と を考 え ず に,つ

ま り,空 気 抵 抗 な ど を無 視 し,図1.3に

示

図1.4 

お も りの 時 間 的 変 位x(t)を

示 す 余 弦 曲線

すバ ネ の 振 動 が 永 久 に続 く と仮 定 した 場 合 の お も りの動 き に着 目す る.   お も りを平 衡 点(x=0)の

位 置 か ら上 方 に Ａ だ け持 ち 上 げて(x=A)手

を離

した と きの お も りの 変 位(ｘ)の 時 間 的 変 化 を記 録 す る こ と を考 え よ う.例 えば, お も りの 中 心 に ペ ン をつ け,そ の ペ ンが 触 れ る記 録 紙 を一定 の 速 さで動 か せ ば よ い.そ の 様 子 を図1.4に

示 す.

  お も りは,一 定 の周 期 Ｔ で 振 幅 Ａ の 振 動 を繰 り返 し,時 間ｔ に お け る変 位x (t)は

(1.3) で 与 え られ,x(t)は つ の 物 理 量(こ

余 弦 曲線 で 表 わ さ れ る こ とが わ か る.こ の よ うに,あ

の場 合 は,"お

も りの 位 置")の

は正 弦)曲 線 で表 わ され る よ うな振 動(よ う.ま た,cosの

る一

変 化 が 時 間 に対 し,余 弦(ま

た

り一 般 的 に は"運 動")を 単 振 動 とい

角 度 に対 応 す る部 分 の2πt/Tを

振 動 の位 相 と よぶ.こ の位 相

は,単 振 動 の 変 位ｘ が,１ 振 動 の 中 で どの 位 置 に あ るか を示 す もの で あ る.   図1.4か

ら も明 らか で あ るが,１

回 の 振 動 に 要 す る時 間 が周 期 で あ り,こ の

振 動 運 動 が １秒 間 に何 回起 こ るか とい う回 数 の こ とを振 動 数 あ る い は周 波 数 と よ び,ｆ で表 わ す.周 期 と振 動 数 との 間 に は

(1,4) の 関 係 が あ る.   ま た,式(1.3)の2π/Tは,2πrad(=360。)の

角 度 を 移 動,つ

す る の に 要 す る時 間 Ｔ で 割 っ た も の な の で,角 ω で 表 わ さ れ る.つ

ま り １回 転

速 度 ま た は 角 振 動 数 と よ ば れ,

ま り

(1.5) で あ る.し

た が っ て,単

振 動 を 表 わ す 式(1

.3)は

(1.6) の よ うに も書 け る. ■バネ振動の等時 性   バ ネ 振 動 の周 期 Ｔ につ い て,式(1.1)と

図1.4を

参 照 しな が ら,も

う少 し

考 えて み よ う.   い ま,バ ネ に吊 る さ れ た お も りの 質 量 を ２倍 に し,前 と同様 にＡ だ け持 ち 上 げ て手 を離 す と,お

も りに作 用 す るバ ネ の 力 は変 わ らな い が,質

っ て い るの で 加 速 度 は1/2に

量 は ２倍 に な

な り,速 度 の増 し方 も1/2に な る.つ

ま り,お も

りは ゆ っ く り と振 動 し,周 期 Ｔ が 長 くな る.ま た,お も りの 質 量 は 同 じで,バ ネ定 数 を ２倍 にす る と,同 じバ ネ の 伸 び Ａ に対 す る力 は ２倍 に な り速 度 の 増 し 方 も２倍 に な る.つ

ま り振 動 が 速 くな り,周 期 が 短 か くな る.も

し,質 量 もバ

ネ 定 数 も２倍 にす れ ば,加 速 度 の変 化 は前 と変 わ らな い の で,周

期 も変 わ ら な

い.結 局,質 量ｍ

とバ ネ定 数ｋ が変 わ って も,m/k(ま

あ れ ば,周 期 が 同 じ,つ

た はk/m)が

同 じで

ま り,同 じ振 動 数 の 振 動 を す る こ とが わ か る.

 上 に 述 べ た こ と を数 式 で確 か め て み よ う.  単 振 動 す る お も りの 速 さｖ は,式(1.6)を られ る.つ

時 間ｔ で微 分 す る こ と に よ っ て 得

まり

(1.7) で あ る.ま

た,加

速 度ａ

は,式(1.7)を

さ ら に 時 間ｔ で 微 分 し て,

(1.8) で 与 え られ る.   ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式

（F=mα

） と フ ッ ク の 法 則(F=-kx)か

ら

(1.9) し た が っ て,式(1.8)と

式(1.9)か

ら

(1.10) と な り,式(1.10)を

式(1.5)に

代入 し

(1.11) が 得 ら れ る.つ

ま り,式(1.11)に

周 期 Ｔ は,振 幅 に 関 係 な く,m/kの

は,振

幅 Ａ が 含 ま れ て お ら ず,バ

ネ振動 の

値 の み で 決 ま る と い う こ と に な る.こ れ を

バ ネ振 動 の等 時 性 とい う.

1.1.2  単 振 り子   と き お りホ テ ル の ロ ビ ー な どで,図1.5(a)に

示 す よ うな 立 派 な 床 置 き 時 計

を見 か け る.こ の よ う な床 置 き時 計 や柱 時 計 な どの"振

り子 時 計"は

振 り子 の

等 時性 を利 用 した もの で あ る.規 則 正 しい振 り子 の運 動(振 動)が 図1.5(b)に 示 す よ うな 歯 車 を 介 して 規 則 正 しい 回 転 運 動 に 変 換 さ れ て 長 針 と短 針 を 動 か し,文 字 盤 上 に時 刻 を示 す し くみ に な っ て い る.   伸 び縮 み し な い,さ を 吊 る し,図1.6に

ら に重 さ を無 視 で き る細 い 丈 夫 な糸 の先 に小 さ な お も り

示 す よ う に,重 力 が 働 い て い る鉛 直 面 内 で 振 動 す る振 り子

を単 振 り子 とい う.振

り子 時 計 の基 本 は,こ の よ う な単 振 り子 で あ る.単 振 り

子 は単 振 動 す る.   単 振 り子 の運 動 力 学 を,図1.7を   お も りの質 量 をｍ,糸

参 照 し な が ら考 えて み よ う.

の長 さ をｌ,糸 と鉛 直 線 との 間 の 角度 を θと し,こ の 位

置 を Ｂ とす る.こ の と き,糸 に働 く張 力Tsと と はつ り合 っ て い る.お

重 力 の 糸 の 方 向 の成 分(mg

も りが 鉛 直 線 の位 置(Ａ)ま

は,θ が 左 回 りに増 加 す る 向 き を正 と して

cos θ)

で戻 ろ う とす る復 元 力 Ｆ

（ａ）

（ｂ ）

図1.5 

床 置 き型 振 り子 時計 （ａ）とそ の 内部 機 構 （ｂ）

図1.6 

単 振 り子

図1.7 

単 振 り子 の運 動 力 学

(1.12) で与 え られ る.こ の復 元 力 Ｆ が お も りを単 振 動 させ る力 で あ る.   弧ABの

長 さ をｘ と し,運 動 す る お も りの 加 速 度 をα とす れ ば, F=mα

式(1.12)よ

と

り

(1.13) が 成 り立 つ.振

れ の 角 θ が 小 さ い 場 合(θ〓5゜)は,sinθ〓

θ,さ

ら にx=lθ

近 似 で き る の で,式(1.13)は

(1.14) と 書 け る.式(1.8)と

式(1.14)か

ら

(1.15) が 得 られ,式(1.15)を

式(1.5)に

代 入 して

(1.16)

と

が 求 ま る.つ

ま り,単 振 り子 の場 合 も,周 期 は 糸 の 長 さｌ と重 力 の 加 速 度ｇ

に よ っ て の み決 ま り,振 幅,つ ま り θの 大 き さ に関 係 が な い等 時 性 が 示 さ れ る.   図1.5に

示 す よ う な実 際 の 振 り子 時 計 の 場 合,一

般 的 に 金 属 で で きて い る振

り子 竿 の 長 さｌ は気 温 の 変 化 に よ っ て伸 縮 し,式(1.16)か Ｔ が 変 動 し,時 計 が"狂 う"こ とに な る.し た が っ て,振 た 調 節 ネ ジ で,振

ら明 らか な よ う に, り子 の 下 に 設 け られ

り子 竿 の 長 さ を(つ ま り,周 期 Ｔ を)一 定 に保 つ操 作 が 必 要

に な る.

1.1.3  等 速 円運 動 と単 振 動   夜,車

を運 転 して い る とき,前

を行 く自転 車 の ペ ダ ル の 反 射 板 が 光 っ て見 え

る こ とが あ る.観 察 され る そ の反 射 板 の 動 き は 上 下 方 向 の 振 動 で あ る.し か し, 実 際 のペ ダ ル は 回転 運 動 して い るの で あ る.回 転 運 動 と振 動 とは 密 接 に関 係 し て い る よ う で あ る.と い う よ りも,運 動 して い るペ ダ ル 自体 は 同 一 の もの な の だ か ら,同 じ運 動 が 見 方 に よ って は,回 転 運 動 に も,振 動 に もな る,と い うの

図1.8 

等 速 円 運 動(ａ)と 単 振 動(ｂ)

が 正 確 な い い 方 で あ ろ う.   回転 運 動 と振 動 との 関 係 を詳 し く調 べ て み よ う.   い ま,図1.8(a)に

示 す よ う に,テ ー ブ ル 上 で 半 径rの

等 速 円 運 動 して い る質

点Ｐ を考 え る(回 転 す る レ コー ド盤 上 に 置 か れ た小 さ な消 し ゴム の よ う な もの を 想 像 す る と よ い).こ

の 等 速 円 運 動 す るＰ を真 横 か ら見 た とす る と,図1.

8(b)に

は １ と ７の 点 の 往 復 を繰 り返 す 振 動 を す る こ とが わ か

示 す よ う に,Ｐ

る.い ま上 で述 べ た 回転 す る 自転 車 の ペ ダ ル が上 下 に振 動 す るの と同 じ で あ る.   図1.8(a)で,回

転 の 中 心 を Ｏ,回 転 角 を θ,Ｐ の ｘ軸 上 へ の 投 影 点 を Ｒ とす

れば

(1.17) とな る.質 点 Ｐ の 角速 度 を ω とすれ ば,Ｐ が １の点 をス タ ー トし て か らｔ 時 間 後の回転角 θは

(1.18) で 与 え られ,式(1.17)は

(1.19) と な る.ま

た,式(1.5)を

式(1.19)に

代 入すれ ば

(1.20) と な る.式(1.19),(1.20)は,そ

れ ぞ れ 式(1.6),(1.3)と

点 Ｐ の ｘ軸 上 へ の 投 影 点 Ｒ は,図1.8(ｂ)に

同 じ で あ り,質

示 す よ う な単 振 動 をす る こ とが 確

図1.9  等速円運動 す る質 点 Ｐの時 間的 変位x(t)を 示す 余弦 曲線

認 で き る.   式(1.20)と 図1.9の

図1.8(ａ)に

よ う に な る.こ

示 さ れ る 円 周 上 の 各 点 と を 対 応 さ せ て 図 示 す れ ば, の 図 は,基

本 的 に は 図1.4と

同 じ で あ り,バ

ネ振動 と

等 速 円運 動 に よ っ て生 じ る単 振 動 が 同 じで あ る こ とを視 覚 的 に理 解 で き るだ ろ う.

1.1.4  振 動 の エ ネ ル ギ ー ■力学的 エネルギ ー   振 動 に 限 ら ず,す べ て の 運 動 に はエ ネル ギ ー が 必 要 で あ る.エ ネ ル ギ ー に は 熱,光,電

磁 気 な ど,さ ま ざ まな形 の もの が あ る.精 神 力,気 力 な ど もエ ネ ル

ギ ー の 一 種 で あ ろ う.運 動,活 動 の 源 に な る も のが エ ネ ル ギ ー な の で あ る.こ こ で は,振 動 の源 に な る力 学 的 エ ネ ル ギ ー に つ い て考 え る こ とに す る.   まず,重 力場 にお け る 力 学 的 エ ネ ル ギ ーＥ の 基 本 に つ い て 簡 単 に復 習 して お こ う.   い ま,図1.10に

示 す よ う に,質 量ｍ

の ボ ー ル を床 か らｈ の 高 さ に持 ち上 げ

た とす る.そ の た め に は,重 力 に 逆 ら っ た 仕 事mghが

必 要 で あ る.換 言 す れ ば,

ｈの 高 さ まで 持 ち上 げ られ た ボ ー ル は,床 に あ っ た とき と比 べ てmghの

エ ネル

ギ ー を持 っ て い る こ とに な る.こ の よ う なエ ネ ル ギ ー を位 置 エ ネ ル ギ ー とい い,

図1.10 

位 置 エ ネ ル ギ ー(Ep)と

運 動 エ ネ ル ギ ー(Ek)

（ａ）

（ ｂ）

図1.11 

Epで 表 わ す こ とに す る.Epの

（ ｃ）

経 路 に 無 関 係 な位 置 エ ネ ル ギ ー

特 徴 は,図1.11に

示 す よ う に,そ の 高 さ まで 到

達 す る経 路 に は無 関係 で あ り,高 さの み に関 係 し Ep =重

さ ×高 さ

(1.21) で与 え られ る こ とで あ る.   図1.10に

示 す ボ ー ル か ら手 を離 せ ば,ボ ー ル は重 力 の 加 速 度 に従 っ て落 下 す

る.交 通 事 故 の 結 果 な どで もわ か る よ うに,一 般 的 に,運 動 す る物 体 は エ ネ ル ギ ー を持 つ.こ の エ ネル ギ ー を運 動 エ ネル ギ ー と よ びEkで 動 す る質 量ｍ

の物 体 の 運 動 エ ネ ル ギ ー はmv2/2で

  力学 的 エ ネ ル ギ ーＥ は,EpとEkの

表 わ す.速 さｖ で 運

与 え られ る.

和 と して表 わ され る.つ

まり

(1.22) で あ る.ま た,図1.10に をE0,落

下 途 中(高

示 す よ う に,ボ ー ル が 高 さｈ で 静 止 し て い る と き の Ｅ さh1,速

さv1)の

Ｅ をE1,床

に 落 下 直 後 の Ｅ をE2と

れ ば

す

(1.23) (1.24)

(1.25) と な り,エ

ネ ル ギ ー 保 存 の法 則 よ り

(1.26) で あ る. ■弾 性 体 の 位 置 エ ネ ル ギ ー   バ ネ が 持 つ弾 性 力 に つ い て考 え る.バ ネ は圧 縮 さ れ た り,引 っ 張 られ た りす る と位 置 エ ネル ギ ー を持 ち,元 の 長 さ に戻 ろ う とす る と き に仕 事 をす る.図1. 2で も説 明 した が,力 を加 え る と変 形 し,そ の力 を取 り除 く と,ま た元 の 形 に戻 る とい う性 質 を弾 性 とい い,弾 性 を持 つ物 体 が 弾 性 体 で あ る.弾 性 に よ っ て 生 じる力 が 弾 性 力 で あ る.   い ま,図1.12(a)に

示 す よ う な長 さl0の バ ネ に,（ ｂ）の よ う に ボ ー ル を 当 て

てｘ の 長 さだ け押 しつ け た とす る.こ の と き,バ ネ は,式(1.1)で う に,F=kxの

弾性 力 を持 つ こ とに な る.図1.12(c)に

示 され た よ

示 す よ うに,手 を離 せ

ば,こ の 弾性 力 に よ っ て ボ ー ル は飛 ば さ れ る.   こ のバ ネ の 位 置 エ ネ ル ギ ーEpは,質

点 が 自然 長l0,つ

ま りx=0か

移 動 す る間 にバ ネが な す 仕 事 Ｗ に等 しい か ら

（ａ ）

（ｂ）

（ｃ ）

図1.12 

バネの弾性力

らｘ だ け

(1.27) とな る. ■単 振 動 の エ ネ ル ギ ー   質 量ｍ

の質 点 が 単 振 動 す る と きの エ ネ ル ギ ー を 考 え る.

  質 点 が 持 つ 全 力 学 的 エ ネ ル ギ ー Ｅ は,式(1.22)で Ekで 与 え られ る.こ こに,い ま求 め たEp=kx2/2を

示 した よ う に,E=Ep+ 代 入 す れ ば,単 振 動 に 関 わ

る全 エ ネ ル ギ ー Ｅ は

(1.28) と な る.運 動 エ ネ ル ギ ーEkは

重 力 場 の 場 合 と 同 じ で あ る が,位 置 エ ネ ル ギ ーEp

の 形 が 異 な っ て い る.   こ こ で,図1.13を

参 照 し な が ら,単

振 動 の エ ネ ル ギ ー を 詳 し く検 討 し よ う.

（ａ）

（ｃ）

（ｂ）

（ ｄ） 図1.13 

単振動 のエネルギー

た だ し,こ

の 場 合,質

点 と水 平 面 との 摩 擦 や空 気 抵 抗 な どい っ さ い の 抵 抗 力 を

考 え な い こ と に す る.   図1.13(a)に

示 す 平 衡 点(x=0)か

振 幅 をA(-A≦x≦A)と

す る.（ ａ ）の 平 衡 点(x=0)は,バ

所 だ か ら,こ の と き,Ep=0と る.つ

らｘ だ け 離 れ た 場 所 で の 質 点 の 速 さ をｖ, ネ が 自 然 長l0の

場

な り,す べ て の エ ネ ル ギ ー は 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ

ま り

(1.29) と な る.こ のｖ0。は,x=0の

と き の 質 点 の 速 さ で,こ

な る.こ の こ と は,質 点 の 時 間 的 変 位x(t)を

の単 振 動 に お け る最 大 値 と

示 す 図1.4あ

０近 傍 の 単 位 時 間 あ た り の 変 位 の 大 き さ を 見 れ ば,視   図1.13(b),(ｃ)に

示 さ れ るx=A,x=-Aで

り(こ の こ と も,図1.4あ

る い は 図1.9を

る い は 図1.9で,x=

覚 的 に 理 解 で き る だ ろ う.

は, v=0,つ

ま りEk=0に

な

見 れ ば 視 覚 的 に 理 解 で き る),す

べて

の エ ネ ル ギ ー は位 置 エ ネ ル ギー で

(1.30) と な る.つ

ま り,振 動 状 態 に お い て は,エ

ネ ル ギ ー Ｅ は そ の 形 態(Epあ

Ek)を 周 期 的 に 変 換 す る の で あ る.図1.13(a),(ｂ),(c)の 以 外 の と こ ろ で は,図1.13(d)に れ,そ

れ は,式(1.28)で

  以 上 は,バ 14に

示 す よ う に,Ｅ

るいは

よ う な"特 異 点" に はEpとEkの

両者 が 含 ま

与 え られ る.

ネ の 単 振 動 の 場 合 の エ ネ ル ギ ー に つ い て 見 た も の で あ る が,図1.

示 す よ う に,単

振 り子 の 場 合 で も 事 情 は ま っ た く同 じ で あ る.む

ネ 振 動 の 場 合 よ り も,単

振 り子 の 場 合 の 方 が,エ

ネル ギ ー 形 態 の 周 期 的 変 換 を

視 覚 的 に 理 解 す る の が 容 易 で あ ろ う.

図1.14 

単 振 り子 に お け る振 動 の エ ネ ル ギ ー の 周 期 的 変 換(振 り子 に つ け られ た 矢 印 は運 動 エ ネ ル ギ ーEkを

し ろ,バ

表 わ す)

1.2  減 衰 振 動 と強 制振 動 1.2.1  減 衰 振 動   い ま ま で,空 気 抵 抗 や 質 点 と水 平 面 との間 の摩 擦 な どい っ さ い の"抵 抗 力" を無 視 した 単振 動 に つ い て 考 え て きた.し

か し,現 実 に は振 動 を妨 げ る さ ま ざ

まな 力 が 作 用 す るの で,外 部 か ら振 動 を続 け させ る何 らか の力 を加 え な い 限 り, 振 幅 は次 第 に 小 さ くな り,振 動 は衰 えて 最 後 に は止 まっ て し ま う.こ の よ うな 振 動 で は,振 動 の 原 点(平 衡 点)か らの 変 位 の時 間 的 変 化x(t)は

図1.15の

よう

に な る.こ の よ う な運 動 を減 衰 振 動 と よぶ.   一 般 に,振 また,バ

り子 の 振 動 が 衰 え る の は,空 気 の抵 抗(摩 擦)力

の た め で あ る.

ネ振 動 の 場 合 は,運 動 中 にバ ネ の 内 部 摩 擦 な どの要 素 も加 わ る.い ず

れ の場 合 で も,蓄 え られ た エ ネ ル ギ ー の 一 部 が 熱 な どに な っ て 振 動 系 か ら失 な わ れ て い くた め に 振 動 が 減 衰 す るの で あ る.振 動 を減 衰 させ る摩 擦 力Ffrは,振 動 の速 さｖ が あ ま り大 き くな い範 囲 で はｖ に比 例 し,-avで 正 の 定 数 で あ る.図1.16に

与 え られ る.ａ は

示 す よ う に,摩 擦 力Ffrは 加 え られ た力 Ｆ に対 し逆

向 きに 働 くの で 負 の 符 号 が つ け られ て い る.   質 量ｍ

の 質 点 が速 さｖ,加 速 度α で 振 動 し,そ こ にFfr=-avの

い て い る場 合 の運 動 方 程 式 は,式(1.9)よ

摩擦 力が働

り (1.31)

とな る.変 位ｘ の 時 間 的 変 化 に着 目 し,式(1.31)を

時 間ｔ に対 す る微 分 の 形

で 書 き直 せ ば

図1.15 

減衰振動

図1.16 

摩 擦 力Ffr

(1.32) とな る.   この微 分 方 程 式 の 一 般 的 な 解 は (1.33) とい う形 で 与 え られ る.た だ し

(1.34)

(1.35) で あ る.β 合,つ

は 減 衰 率 と よ ば れ る.ま

ま りa=0の

式(1.6)で 33)で

場 合,式(1.33)は

た,Ａ

は 任 意 の 定 数 で あ る .摩

式(1.6)と

同 じ に な る.換

表 わ さ れ る 単 振 動 に 摩 擦 力 を加 え た 振 動(減

衰 振 動)の

擦 が な い場 言 す れ ば, 式 が 式(1

.

あ る.

  式(1.33)がcosωtと

い う 項 を 含 む こ とか ら,こ

周 期T(=2π/ω)の

の 式 で 表 わ さ れ る 運 動 が,

振 動 で あ る こ と は 理 解 で き る だ ろ う.し

表 わ さ れ る よ う な 単 振 動 の 場 合 と異 な り,振 幅 がAe-βtと もの で あ る こ と か ら,時

か し,式(1

い うe-βtの 項 を 含 む

間 の 経 過 に 従 っ て 小 さ く な る の で あ る.し

こ の よ う な 減 衰 振 動 の 周 期 Ｔ は,単 振 動 の 場 合 の 周 期,つ 図1.9で

表 わ さ れ る よ う な"元

な く,図1.15の

の 状 態 に 戻 る ま で の 時 間"を

Ｔ で 示 す よ う に,単

に"１

.6)で

た が っ て,

ま り 図1 .4あ

るい は

意 味 す る もの で は

回 の 振 動 に 要 す る 時 間"の

こ とで

あ る.   式(1.33)で

表 わ さ れ る 減 衰 振 動 の"振

く な る 変 位x(t)を  βt=1,つ

幅"つ

ま り,時

間 経 過 に従 っ て 小 さ

定 量 的 に 考 え て み よ う.

ま り,あ

る時 刻 か ら

(1.36) だ け の 時 間 が 経 過 す れ ば,振

幅 は 常 に1/e（=1/2

.718… ）に 減 少 す る.そ

の様 子

（ｂ）

（ ａ）

図1.17 

を 図1.17(a)に 短 か く,質

示 す.式(1.36)よ

り,こ

の 時 間ｔ は,摩

量 ｍ が 大 き い ほ ど長 くな る こ と が わ か る.ま

か る よ う に,減 な る.し

減 衰振 動 （ａ）と過 減 衰 （ｂ）

衰 振 動 の 角 振 動 数 ω は,摩

た が っ て,周

期T(=2π/ω)は

擦

（ａ ）が 大 き い ほ ど

た,式(1.35)か

擦 が な い と き(a=0)に

らわ

比 べ小 さ く

長 く な る.

  摩 擦 が 大 き くな り

(1.37) と な る と,式(1.33)は ば,図1.17(b)に て,し

意 味 を 失 な っ て,振

示 す よ う な,x(t)が

ま い に は 静 止 す る.こ

動 に は な ら な い.こ

の 場 合,例

え

時 間 と と もに減 少 す る非 周 期 運 動 に な っ

の よ う な 状 態 を 過 減 衰 と い う.

1.2.2  強 制 振 動   わ れ わ れ が 日常 的 に 体験 す る 一般 的 な 自 然 の 振 動 は,い

ま述 べ た よ う な 減 衰

振 動 で,外 力 を加 え ず に放 置 す れ ば,振 動 は減 衰 し,し まい に は静 止 し て し ま う.と

こ ろが,外 力 が 加 わ らな けれ ば単 振 動 あ る い は減 衰 振 動 す る物 体 に,一

定 の振 動 数 を持 つ 外 力 を作 用 さ せ る と,外 力 の 振 動 数 に依 存 した 振 動 数 の振 動 が 生 じ る場 合 が あ る.こ の よ う に,外 力 で振 動 数 が 決 め られ る振 動 を強 制 振 動 とい う.機 械 的 な 強 制 振 動 の 例 は 少 な くな い が,後 述 す る交 流 回 路 に お け る電 気 的 振 動 な ど も強 制 振 動 の例 で あ る.   式(1.9)のmα=-kxで

表 わ され る単 振 動 を す る振 動 体 にAcos ωtと

いう

外 力 が 働 い た とす れ ば,そ の運 動 方 程 式 は

(1.38) と な る.摩

擦 力 を 考 慮 し た 式(1.31)は,式(1.9)か

の で あ る が,式(1.38)は

式(1.9)に

外 力Acosωtを

ら 摩 擦 力avを

減 じた も

加 えた形 になってい る

こ と に 気 づ くで あ ろ う.式(1.38)は

(1.39) と書 き改 め られ る.   と ころ で,単 振 動 の 運 動 方程 式(1.2)は

(1.40) と書 き改 め られ る.こ れ は,式(1.39)の

右 辺 を ０と置 い た 式,つ

ま り,外 力=

0の 場 合 の 運 動 方 程 式 に ほ か な らな い.  式(1.39)の

微 分 方 程 式 を解 け ば,強 制 振 動 の 一 般 解 ｘが 求 ま るが,そ の 計

算 の 過 程 は複 雑 な の で 省 略 し,結 果 だ け を記 せ ば

(1.41) とな る.a0,θ0,Ａ

は定 数,ωoは

外 力 が 作 用 し ない と きの 角 振 動 数,ω

の 角振 動 数 で あ る.こ の 一 般 解 自体 簡 単 な もの で は な い が,要

は外 力

は,強 制 振 動 が

周期 が 異 な る ２つ の単 振 動 を合 成 した もの で あ る こ と を理 解 し て お け ば よ い. 一 方 の 周 期 は 外 力 の作 用 が な い と きのT 0=2π/ω 。で あ り,も う一 方 は外 力 の 周 期Ｔ=2π/ω

で あ る.ま た,外 力 と同 じ周 期 で 振 動 す る部 分 の振 幅 は

(1.42) で あ る こ とに注 意 し て お い て 欲 しい.  い ま

(1.43) と お け ば,A'を

強 制 振 動 の 振 幅 に 近 似 で き る.こ

ま ざ ま な 減 衰 率 β （=a/2m）,つ 図1.18で

のA'を

ω の 関 数 と し て,さ

ま り,さ ま ざ ま な 抵 抗 力 に 対 し て 表 わ し た の が

あ る.

  抵 抗 が ゼ ロ の 場 合(β=0),ω=ω0の に 無 限 大 に な る は ず で あ る.し る の で,式(1.32)で

か し,こ

と き振 幅 は,図1.18に の 場 合,振

も示 さ れ る よ う

動 の 速 さ も非 常 に大 き くな

示 し た 速 さ に 比 例 す る 抵 抗 カ-av(=-a・dx/dt)を

な け れ ば な ら な く な る.し

考慮 し

た が っ て， 式(1.39)を

(1.44) と書 き改 め る必 要 が あ る.

1.2.3  共

振

  式(1.42),(1.43)か

ら も図1.18か

ら も明 らか な よ う に,外 力 の振 幅 が 同 じ

で も,強 制 振 動 の 振 幅 は ω02−ω2に 依 存 し,ω が ω0に 近 づ け ば,強

制振 動 の

振 幅 は非 常 に大 き くな る.つ ま り,あ る物 体 に加 え られ た 強 制 振 動 の振 動 数 が, そ の 物 体 の 固有 振 動 数 に合 致 した とき,あ る い は 非 常 に近 い と き に は,驚 どの 振 幅 の増 加 が 生 じる.こ う場 合 に は共 鳴 と い う.

の よ うな 現 象 を共 振 と よぶ.一 般 的 に,音

くほ

を伴 な

図1.19 

音 叉 の共 鳴

  幼 い 日 の ブ ラ ン コ遊 び は共 振 を思 い起 こ させ る.子 供 が 乗 っ た ブ ラ ン コ の揺 れ を大 き くす る に は,ブ ラ ン コの 振 れ の周 期(振 ば な らな い.そ

うす れ ば,あ

動 数)に

合 わせて押 さなけれ

ま り大 き な力 を必 要 と しな いで ブ ラ ン コの 揺 れ を

大 き くで き る.こ れ は,共 振 の 現 象 そ の もの で あ る.し か し,ブ ラ ン コの 揺 れ に無 関 係 に,い

くら大 き な力 で押 して も,ブ ラ ン コ の揺 れ は小 さ くな っ て し ま

う.ま た,共 鳴 現 象 とい え ば,す

ぐに思 い つ くの が音 叉 の共 鳴 で あ ろ う.図1.

19に 示 す よ うに,音 叉 Ｂが 振 動 さ せ た 音 叉 Ａ の振 動 数 と合 致 す る 固有 振 動 数 を 持 っ て い た とす れ ば,空 気 振 動 を介 し,共 鳴 現 象 に よ っ て音 叉 Ｂ も振 動 す る.   共 振 現 象 が 大 惨 事 を もた ら した例 と して,1940年11月,完

成 間 もな い ア メ リ

カ ・ワ シ ン トン州 の タ コマ ・ナ ロ ウ ズ橋 の 崩 落 事 故 が 有 名 で あ る.お

りか らの

強 風 が 橋 の 固 有 振 動 数 と共 振 す る よ うな 周 期 的 な力 を生 み 出 し,橋 の 揺 れ の振 幅 を増 大 させ,つ   と こ ろで,わ

い に は破 壊 に導 い た の で あ る.

れ わ れ は,物 理 か ら離 れ た 日常 会 話 に お い て も 「Ａ さ ん の考 え

に は共 鳴 で き る」 とか 「Ｂ さん に は共 鳴 で きな い」 とい う よ うに"共 鳴"と

い

う言 葉 を使 う こ とが あ る.こ れ は,「他 人 の思 想 や 意 見 に 同 感 の気 持 を起 こす こ と」 の意 味 で あ るが,語 源 は明 らか に,い

ま こ こで 述 べ た 共 鳴 あ るい は 共 振 と

い う物 理 現 象 で あ る.一 般 的 に は,共 鳴 で きる相 手 とは ウマ が 合 うの だ が,共 振 に よ っ て 破 壊 さ れ た タ コマ ・ナ ロ ウズ 橋 の よ うな 例 もあ るの で,注 意 も必 要 か も しれ な い.

1.2.4  電 気 振 動   本 章 の 冒頭 に述 べ た よ う に,振 動 す る"も

の"は

さ ま ざ まで あ る.物 体 の位

置 が周 期 的 に変 化 す る のが 機 械 的 振 動 で あ るが,電 流 の よ うな物 理 量 が 変 化 す

る電 気 的 振 動 もあ る.  例 え ば,電 気 抵 抗 （Ｒ）,電 気 容 量 （Ｃ）,イ ン ダ クタ ン ス （ Ｌ） を直 列 に つ な い だ,図1.20に

示 す よ う な 回路 に流 れ る電 流 の 強 さ （ Ｉ） に つ い て考 え て み よ

う.   この と き,Ｃ

の コ ン デ ンサ ー の極 板 上 の 電 荷 を Ｑ とす る と

(1.45) と い う 関 係 が あ る.Ｒ,Ｃ,Ｌ

が い か な る も の か,あ

る い は 式(1 .45)に

ついて

は,「 電 気 」(特 に 「電 気 回 路 」)の 教 科 書 な ど を 参 照 し て 欲 し い .   上 式 をｔ で 微 分 す る と

(1.46) とな り

(1.47) な の で,式(1.47)を

式(1.46)に

代 入 すれ ば

(1.48) が 得 ら れ る.こ し い.形

の 式 の 形 に 見 覚 え が な い だ ろ うか .式(1.32)を

が ま っ た く同 じ で あ る こ と に 気 づ くだ ろ う.つ

位 ｘ を 電 流 の 強 さ Ｉ に,質 電 気 抵 抗 Ｒ に,そ (1.48)が

量 ｍ を イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ に,抵

し て バ ネ 定 数ｋ

得 ら れ る の で あ る.し

図1.20 

電 気 回 路(減

衰 振 動)

を 電 気 容 量 の 逆 数1/Cに

た が っ て,図1.20に

図1.21 

思 い 出 し て欲

ま り,式(1

.32)の

変

抗 の 比 例 定 数ａ を 置 き 換 え れ ば,式

示 され る よ う な回 路 を流

電 気 回 路(強

制 振 動)

れ る 電 流 は 減 衰 振 動 す る こ と が わ か る.こ Ｉの 角 振 動 数 ω,減

れ は,電

気 振 動 の 一 例 で あ る.ま

衰 率 β は,式(1.10),(1.34)か

ら,そ

た,

れ ぞれ

(1.49)

(1.50) と な る.   次 に,図1.20の 図1.21の

回 路 に,E0sinωtと

い う 大 き さ の 交 流 起 電 力 を 挿 入 し た,

よ う な 回 路 に 流 れ る 電 流 に つ い て 考 え よ う.こ れ は,減 衰 振 動 す る 振

動 体(図1.20)に,E0sinωtと 合,式(1.45)の

い う 外 力 を 作 用 さ せ た こ と を 意 味 す る.こ

右 辺 をE0sinωtと

の場

置いた

(1.51) とい う関 係 が 成 り立 つ.こ

の式 の 両 辺 をｔ で微 分 す れ ば

(1.52) と な り,式(1.47)を

式(1.52)に

代 入 して

(1.53) が 得 ら れ る.こ 形 で あ る.つ

の 式 の 形 に も 見 覚 え が あ る だ ろ う.式(1.44)と ま り,式(1.53)で

表 わ さ れ る 図1.21の

ま っ た く同 じ

回 路 の 電 流Ｉ

は強 制 振 動

に な る こ と が わ か る.

1.3  連 成 振 動 1.3.1  簡 単 な連 成 振 動   い ま まで に扱 っ た の は,い ず れ も一 つ の振 動 系,あ た.し

る い は 質 点 の振 動 で あ っ

か し,現 実 に は,多 数 の質 点 か ら成 る振 動 系 は少 な くな い.２ つ 以 上 の

振 動 系 が 互 い に影 響 を及 ぼ し合 っ て 振 動 す る とき,こ れ を連 成 振 動 とい う.例 え ば,多 数 の原 子,分

子 か ら成 る結 晶 格 子 の 振 動 な どで あ る.こ の よ うな 結 晶

格 子 の振 動 が 物 体 の 熱 の 源 で あ り,ま た 熱(エ

ネ ル ギ ー)を 物 体 に与 えれ ば結

図1.22 

２個 の質 点 の 連 成 振 動

晶 格 子 は 振 動 す る.   現 実 に は さ ま ざ ま な 連 成 振 動 が あ る が,本

節 で は 最 も 簡 単 な,そ

して基 本 的

な 連 成 振 動 に つ い て 考 え る.   図1.22に

示 す よ う に,質

量ｍ

の ２個 の 質 点P1,P2を

loの バ ネ １,２,３ で つ な い で 両 端 を 固 定 す る.平 そ れ ぞ れｌ と す る と 両 固 定 端 間 の 距 離 は3lで 向(ｘ 軸 方 向)に の み 運 動 す る と し,質 は 無 視 す る.い

ま,図

位 し た と す る と,バ の と き,質

点P1,

ネ １,２,３

然長

衡 状 態 にお け るバ ネ の 長 さ を

あ る.ま

た,バ

ネ はバ ネ の長 さ 方

点 と水 平 面 との 間 の摩 擦 や 空 気 抵 抗 な ど

の よ う に,P1,P2が

P2に

バ ネ 定 数ｋ,自

平 衡 位 置 か ら そ れ ぞ れx1,x2だ

の 伸 び は そ れ ぞ れx1,x2-x1,-x2で

作 用 し て い る 力F1,

F2は

け変

あ る.こ

それぞれ

(1.54)

(1.55) とな るか ら,そ れ ぞれ の運 動 方 程 式 は

(1.56)

(1.57) で 与 え ら れ る.   式(1.56)と

式(1.57)の

和 と差 を とっ て 整 理 す る と

(1.58)

(1.59) が 得 ら れ る.こ

こ で,あ

を 式(1.58),(1.59)に

ら た め て,x2+x1=x+,x2-x1=x-と

置 き,式(1.10)

代 入 す れ ば

(1.60)

(1.61) と な り,式(1.8),(1.6)か

ら,ａ,ｂ

を定 数 と して

(1.62) (1.63) が 得 ら れ,x+,

x_が 単 振 動 す る こ とが わ か る.ま

れ の 周 期 は,2π/ω,2π/√3ω

た,式(1.11)よ

り,そ

れ ぞ

で あ る.

1.3.2  結 晶 格 子振 動 ■ 結 晶 の構 造   すべ て の 物 質 は原 子 の ３次 元 的 集 合 体 で あ る.固 体 中 の原 子 の 集 合 の 仕 方(配 列)は

広 範 囲 に み れ ば,３ 次 元 的 に規 則 性 を持 つ か,持 た な い か,の

で あ る.固 体 中 の原 子 の ２次 元 的(平 面)集 小 さ な 四 角 は,.１ 個 の 原 子,イ

オ ン,ま た は分 子 を意 味 す る.

（ａ） 図1.23 

合 状 態 を図1.23に

（ｂ）

（ｃ）

物 質 の 構 造 分 類.（ ａ）単 結 晶 構 造,（ ｂ）多結 晶 構 造, （ｃ）非 晶 質 構 造

いずれか

模 式 的 に示 す.

図1.24 

  (ａ)単

結 晶 構 造:全

結 晶 の １次 元格 子

体 にわ た り原 子(イ

オ ン,分 子)が 規 則 正 し く格 子 状

に 並 ん で い る.   (ｂ)多

結 晶 構 造:部

分 的 に は"単 結 晶"で

あ る が,全 体 的 に は不 規 則 で,

多 くの"単 結 晶"で 形 成 され て い る.   (ｃ)非

晶 質 構 造:全

体 にわ た り原 子(イ

オ ン,分 子)が

不規則 に並ん でい

る.ア モ ル フ ァス 構 造 と も よ ばれ る.   単 結 晶(以

下,結

晶 と書 く)を 構 成 し て い る多 数 の原 子(例

導 体 結 晶 で あ る シ リコ ン結 晶 に は1cm3中,5×1022個

え ば,代 表 的 半

の原 子 が 含 まれ る)は,

互 い に力 を 及 ぼ し合 っ て,そ れ ぞ れ の平 衡 点 に位 置 し て い る.図1.24は,結

晶

の １次 元 格 子 を模 式 的 に 表 わ し た もの で あ る.平 衡 状 態 で は,各 原 子 間 の 距 離 は一 定 値ａ(格 子定 数 とよ ぶ)に 保 た れ て い る が,非 平 衡 状 態 にお い て は,原 子 間 の距 離 はａ か らず れ て,a+δ

あ るい はa― δ とな る.

■ 結 晶 格 子 の振 動   結 晶 が あ る温 度TKに

保 た れ て い る と き,格 子 点 に あ る原 子 は ほ ぼkTの

熱 エ ネ ル ギ ー を持 つ こ とに な る.ｋ は ボ ル ツ マ ン定 数 で あ る.こ の と き,多 数 の 原 子 は 互 い に 力 を及 ぼ し合 っ て 平 均 的 に そ れ ぞれ の 平 衡 点 に位 置 す る こ と にな る か ら,こ れ らの 原 子 がkTの

エ ネ ル ギ ー で 運 動 す る場 合,そ

の運 動 は平 衡 点

を 中心 とす る振 動 に な る.こ れ を,格 子 原 子 の熱 振 動 とよ ぶ.   基 本 的 に,結 晶格 子 の振 動 は,図1.25に

示 す よ うなｎ 個 の 質 点 が(n+1)個

の バ ネ で １列 に つ な が っ た連 成 振 動 系 が ３次 元 的 に拡 が っ た もの と考 え る こ と が で き る.し た が っ て,個 々 の 原 子 は ３次 元 的 な相 互 作 用 を受 け るわ け で,そ の よ うな 多 数 の 質 点 か ら成 る 結 晶 全 体 の振 動 系 の 解 析 は極 め て複 雑 に な る と思 わ れ る.し

か し,結 晶 は,原 子 が ３次 元 的 に 規 則 正 し く,周 期 的 に 並 ん だ 構 造

図1.25 

を持 っ て い るの で,例

え ば,あ

１次 元 結 晶 格 子 の振 動

る原 子 がｖ とい う振 動 成 分 を持 つ とす れ ば,す

べ て の原 子 の振 動 にｖ とい う成 分 が 含 まれ る こ とに な り,結 局,結 動 系 に もｖ とい う成 分 が 含 まれ る こ とに な るの で あ る.つ 図1.22で

晶全体 の振

ま り,基 本 的 に は,

示 した よ う な ２個 の 質 点 の連 成 振 動 の 多 体 系 と して 扱 う こ とが で き

るの で あ る.そ れ で も,結 晶 格 子 の 振 動,ひ

い て は波 動 の 問題 は,固 体 物 理 学

の 根 幹 の 問題 の 一 つ で も あ り,簡 単 に扱 え る もの で は な い の で,本 以 上 深 入 り しな い こ とに な る.た だ,物 質 は,分 子,原 子,原

書 で は これ

子 核 それ ぞ れ の

レベ ル で絶 え間 な く振 動 し て お り,物 質 波 を 形 成 し て い る,と い うの が 現 代 物 理 学 の物 質 像 で あ る こ と を記 して お きた い.物 質 波 に つ い て は,2.1.3項 単 に触 れ る.詳 1.4  時

で簡

し くは,「 量 子 論 」 「量 子 力 学 」 の 教 科 書 を 参 照 して 欲 しい.

計

1.4.1  時 間 の 計 測   時 間 を 測 定 した り,時 刻 を 指 示 す る装 置 が 時 計 で あ る.「 空 間 とは何 か 」と と もに 「時 間 とは何 か 」 と い う哲 学 的 お よび物 理 的 に非 常 に興 味 深 い 問 題 が あ る が,こ

こで は,そ の よ う な問 題 に は触 れ な い こ とにす る.

  古 代 人 は,太 陽 の位 置 の移 動 か ら 日を数 え,暦 を作 っ た.人 類 史 上 最 初 の 時 計 は,太 陽 の 運 行 が 示 す 時 間 の 流 れ を読 み 取 る太 陽 の時 計,つ

ま り日時 計 で あ

る.日 時 計 は,人 類 が手 に した 最 古 の科 学 装 置 と もい わ れ る.そ れ は,少 な く と も紀 元 前1500年

に は古 代 バ ビロ ニ ア,古 代 エ ジ プ トで 作 られ て い る.日 時 計

は太 陽 の 運 行 に伴 な う影 の長 さ,あ る い は位 置 の 変 化 に よ って"時"を で,夜 間 や 曇 天 ・雨 天 の 場 合 に は使 え な い,と い う欠 点 を持 つ.こ 服 す る た め に考 案 さ れ た のが 水 時 計,砂 物 質 の"量"の"時

間 的 変 化"を

知 るの

の 欠 点 を克

時 計,火 時 計 な どで あ る.こ れ ら は,

時 間 の計 測 に応 用 した点 で,日

は根 本 的 に 異 な る もの で あ る.人 類 最 古 の"科 学 装 置"は

時 計 の発 想 と

飛 躍 的 に"科 学"に

近 づ い た とい え よ う.し か し,こ れ らの 時 計 は,精 度 の 点 で 不 十 分 で あ っ た. 余 談 な が ら,『 日本 書 紀 』に飛 鳥 時 代 の 天 智 天 皇 が水 時 計 を使 っ た と い う記 述 が あ り,こ れ が 天 智 天 皇10(671)年 が,今

４月25日

で あ り,太 陽暦 に直 した ６月10日

日 「時 の記 念 日」 に な っ て い る の で あ る.

  時 計 の 精 度 を飛 躍 的 に高 め た のが"振 動"で あ る.イ タ リア で1300年 発 明 され た と考 え られ る機 械 時 計 に"振 動"の   機 械 時 計 の代 表 的 な もの は,図1.5で   以 下,さ

前後 に

等 時 性 が 応 用 され た の で あ る.

示 した振 り子 時 計 で あ る.

ま ざ ま な現 代 の 時 計 に応 用 され て い る"振 動"を 調 べ る.振 動 の"効

用"を 楽 しん で欲 しい.

1.4.2 

音叉時計

  図1.19で 叉"は,英

示 し た 音 叉 は,昔 か ら音 の 振 動 数 の 標 準 と し て 用 い ら れ て き た."音 語 で は"tuning  fork(調

律 フ ォ ー ク)"と

食 事 の と き に 使 う フ ォ ー ク と 同 じ"fork"で   音 叉 が"tuning(調 あ る.し

律)"に

た が っ て,時

の"フ

ォ ー ク"は

あ る.

使 わ れ る の は,そ

計 の,文

い う.こ

字 ど お り の"心

の 振 動 数 が非 常 に正 確 だ か らで 臓 部"に

使 われ るのは当然で あ

る.   図1.26に

音 叉 時 計 の 原 理 を 示 す.音

叉 に 電 気 的 な 手 段 で 振 動 を与 え,音 叉 の

１振 動 を ツ メ 歯 車 の １歯 の 回 転 に 連 動 さ せ,そ る.音

叉 時 計 を 耳 に 当 て る と,通

速 振 動 に よ る"ツ

ー ン"と

常 の"チ

れ を時 計 の 指 針 に伝 え る ので あ

ク タ ク"と

い う音 の 代 り に 音 叉 の 高

い う音 が 聞 こ え る.

図1.26 

音 叉 時 計 の原 理

1.4.3  水 晶 時 計   結 晶 に は さ ま ざ まな 電 気 的 性 質 が あ るが,あ

る種 の結 晶 は,圧 力 あ る い は ね

じ り力 の よ うな 外 力 が 作 用 す る と,そ の 外 力 に比 例 し た電 圧 が 相 対 す る二 つ の 結 晶 面 に生 じ る性 質 を持 つ.ま

た逆 に,結 晶 の相 対 す る二 つ の 面 の 間 に電 圧 を

与 え る と,そ の 電 圧 に比 例 し た歪 み が 生 じる.こ の よ うな現 象 を圧 電現 象 とい う.圧 電 性 を持 つ結 晶 を一 般 に圧 電 結 晶 と よぶ.水 晶,ロ

ツ シ ェル 塩,KDP,

チ タ ン酸 バ リウ ム な どが代 表 的 な圧 電 結 晶 で あ る.   圧 電 結 晶 を板 状 に加 工 し,そ

こに電 圧 をか け る と,結 晶 板 は厚 み の 方 向 に伸

び縮 み す る.そ の 電 圧 が 高 周 波 の 場 合,結

晶 板 は振 動 を始 め る.こ の よ う な結

晶 板 を振 動 子 と よぶ.圧 電 結 晶 は,そ の厚 み に よ っ て 決 ま る 固 有 の 振 動 数 を持 って お り,そ の 固 有 振 動 数 に 外 部 電 圧 の周 波 数 が 一 致 す る と共 振 に よ り振 動 が 大 き くな り,圧 電 効 果 に よ る 交 流 電 圧 が発 生 す る.こ の よ う に圧 電 結 晶 板 を振 動 させ て,振 動 電 圧 を取 り出 せ ば,一 定 の周 波 数 を持 っ た 電 圧 が 得 られ る こ と にな る.し か し,こ の ま まで は減 衰 振 動 で あ る た め,図1.17(a)に っ い に は振 動 が 止 まっ て しま う.そ こ で,取

示 す よ う に,

り出 し た振 動 電 圧 を 増 幅 して,振

動 子 に加 え る と,振 動 は強 制 振 動 とな っ て減 衰 す る こ とな く持 続 す る.し た が

図1.27 

水 晶(ク オ ー ツ)腕 時 計 に使 わ れ て い る 水 晶 振 動 子.長 mm,厚

さ 約3.4mm,幅0.6

さ約0.1mm(セ

ツル メ ン ツ㈱ 提 供)

イコーイ ンス

って,こ

の よ うな 振 動 子 は,時 計 の 重 要 な"心 臓 部"と

な り得 る.

  振 動 子 とな り得 る圧 電 結 晶 に は,上 述 の よ うに さ ま ざ まな もの が あ るが,物 理 的,機 械 的,そ

し て製 造 コ ス トな どす べ て の面 で 最 も優 れ て い る の が 水 晶 で

あ る.水 晶 は,無 色 透 明 の石 英(SiO2)の 結 晶 で,一 般 に は"ク オ ー ツ(quartz)" の 名 で 親 し まれ て い る.水 晶 振 動 子 の 周 波 数 範 囲 は,数 ら100メ

ガヘ ル ツ(MHz)の

キ ロ ヘ ル ツ(kHz)か

範 囲 に及 ぶ.実 際 の 水 晶 振 動 子 の 例 を 図1.27に

示

す.   この よ うな水 晶 振 動 子 を 用 い て,一 定 周 波 数 の発 振 を行 な う装 置 が 水 晶 発 振 器 で,水 晶 発 振 器 を用 い た 時 計 が 水 晶(ク オ ー ツ)時 計 で あ る.水 晶 時 計 が 最 初 に 出 現 した の は1927年

だ っ た.現 在,温 度 が1℃ 変 化 して も,振 動 数 が １億

分 の １も変 わ らな い よ うな水 晶 発 振 器 が 得 られ て い る.つ ま り,水 晶 時 計 は極 め て 正 確 で あ る.

1.4.4原

子時 計

  原 子 は,大 ざ っ ぱ に い え ば,原 子 核 と,そ の 周 囲 を取 り巻 く電 子 か らで き て い る.図1.28に

概 略 的 に示 す よ うに,電 子 に は定 め られ た電 子 軌 道 が あ り,そ

の軌 道 以 外 の 場 所 に は存 在 で き な い.現 代 の 量 子 論 に よ る理 解 に よれ ば,実 際 の電 子 軌 道 は,図1.28の

よ う に"線"で

で は な く,存 在 確 率 を示 す"雲"(電

表 わ され る よ うな は っ き り と した も の

子 雲)の

よ う な もの で あ るが,図1.28は

図1.28  原 子核 を取 り巻 く各軌道 の電子配置 図

（ ａ）

（ｂ）

図1.29 

（ｃ）

電 子 の 励 起 と脱 励 起

原 子 の概 略 的 構 造 を理 解 す る に は有 効 で あ る.   外 側 の軌 道 の電 子 ほ ど大 きな エ ネ ル ギ ー(エ ネ ル ギ ー 準 位)を

持 って い る.

また,各 軌 道 の エ ネ ル ギー は,そ れ ぞ れ 定 ま った 階 段 状 の(量 子 化 され た)値 を持 つ.い

ま,図1.29に

示 す よ うなE1,E2の

エ ネ ル ギ ー 準 位 の ２つ の 電 子 軌

道 か ら成 る原 子 を 考 え る.E1の 軌 道 上 の 電 子 に,光 な どの形 で Ｅ の エ ネ ル ギ ー が 与 え られ た とす る.こ の とき,E〓E2-E1で の エ ネル ギ ー を吸 収 し((ａ)),E2の

あ れ ば,E1軌

道 上 の 電 子 は,こ

軌 道 に励 起 す る((ｂ)).し

れ た 電 子 が 高 い エ ネ ル ギ ー 準 位 に存 在 す る の は,ほ

か し,励 起 さ

ん の一 瞬 の こ とで あ る.開

か れ た ス プ リン グ ・ドアが す ぐに 元 に戻 ろ う とす る こ と と似 て い る.つ ま り, 励 起 され た電 子 は,（ ｃ）に示 す よ う に,す ぐに元 のE1の

エ ネ ル ギ ー準 位 に戻 っ

て し ま う.こ れ を脱 励 起 と よぶ.こ の とき,電 子 は両 軌 道 の エ ネ ル ギ ー差 ⊿E= E2-E1を

(1.64) で与 え られ る振 動 数 ｆ の電 磁 波(第 ４章 参 照)と して 放 出 す る.ｈ は プ ラ ンク定 数 と よ ばれ る定 数 で あ る.   式(1.64)か

ら

(1.65) が 得 られ,こ

れ を ボ ー ア の 振 動 数 条 件 とよ ぶ.こ の ⊿Eは 原 子 固 有 の もの で あ

り,ｈ も定 数 だ か ら,あ る特 定 の 原 子 の 脱 励 起 で 得 られ るｆ は一 定 不 変 で あ る. この現 象 を利 用 した の が 原 子 時 計 で あ る.   原 子 時 計 は,究 極 の 精 密 時 計 で あ り,ア ンモ ニ ア分 子,セ

シ ウ ム原 子,水 素

原 子,ル ビ ジ ウ ム原 子 な どが 固 有 振 動 源 と して 用 い られ て い る.こ れ らの う ち, セ シ ウム 原 子 時 計 の 精 度 が 最 も高 く,現 在 で は10兆 分 の １,つ ま り30万 年 に １秒 の 誤 差 の レベ ル に達 し て い る.1967年 間"は,国

以 降,こ の セ シ ウム 原 子 時 計 の"時

際 単 位 系 の 基 本 に な っ て お り,あ る二 つ の エ ネル ギ ー 準 位 間(〓E)

の 脱 励 起 で 発 せ られ る電 磁 波 の 振 動 周 期 の91億9263万1770倍 秒"と 定 義 さ れ て い る.ま

た,数 時 間 程 度 の短 時 間 の 範 囲 で は,水 素 メ ー ザ ー

を使 った 原 子 時 計 の 方 が優 れ,そ の 誤 差 は約1000兆 の100分

の 時 間 が"1

分 の １(セ シ ウム 原 子 時 計

の １)で あ る.

チ ョ ッ ト体 憩 ● １

地震の話   日本 人 に とって,身 近な,し か し,あ りが た くな い"振 動"は 地震 で ある.  私 は,約10年 間,ア メ リカの ミ ズ リー州 セ ン トル イ スと ノー ス力 ロラ イナ 州 ロー リー で暮 した が,そ の 間,地 震 を感 じた こと は―度 もな か った.周 知の よ う に,ア メ リカで も西 海岸 地域 は しば しば大地 震 に襲わ れ るが,多 くの ア メ リ 力人 は地震 とい うもの を ま った く経 験 しな いで一生 を終 え る.  在 米 中,あ る学 会の ため に,ア メ リ力人の 同僚 と一緒 に日本 に来 て,東 京 の ホ テル に泊 まっ た ことが ある.ち ょ うどその とき,わ ず か に感 じる地震 が あ っ た,地 震 国 に育 ったわ れわ れ 日本 人 にと っては"日 常的 な"微 震 だ っ たの だが, 同僚 の アメ リ力人 は顔 を真 っ青 に して 恐が った.彼 には,大 地 が動 くこ とな ど 考 え られな か ったの で"こ の 世の 終 り"を 感 じたのか も知 れな い.も ちろ ん, 私 は平 然 と して いた の であ るが,彼 は,そ の よ うな私 を見 て過 分 に感心 し,私 の"度 胸"と"精

神 の鍛 練"を 大 い に称え て くれ た.ま った く思 いが けず,私

の株が 急上 昇 したの で ある.   日本 が"地 震 国"な の は,も ちろん,い ま に始 ま った こ とで はな く,太 古の 昔か らなの で 当然 と いえば 当然 なの だが,日 本 の神話 の 中 に地 震 に関 係す る 記 述が 少な くな い.例 え ば,『古事 記』の スサ ノオノ ミ コ トが登 場 する 箇所 に,「山 川 はす っか り鳴動 し,大 地 が震 動 した」と書かれ て いる.ま た,『 日本 書 紀』に

出 て くる 「 国 生み 」の話 に よれ ば,イ ザナ ギ ノミ コ トとイザ ナ ミノ ミコ トが海 水 が凝 り固 まっ てでき たオ ノ コロ島 に降 りて夫 婦の 行為 を行 な って最初 に生 ん だのが 淡路 島 と いう ことにな って いる.し か し,神 様 に とって,そ の 最初 の"子" は不満 足 な出 来だ った ら しく,当 初,そ の 島の名 は 「 吾 恥島 」 と名 づ け られ て いたの で ある.神 様 はな ぜ"吾 恥"と 思 ったの だろ うか.『 日本書 紀』には,そ の 説明 がな いのだが,私 は,そ の 島が変 形 した り,揺 れ 動 いた り して しま った か らではな いかと思 う.つ ま りその 島 には地 震が 多か った の ではな いか と思 う.   1995年 １月17日 未明,淡 路 島,阪 神地 方 を襲 った 大地震 は,い まだ記憶 に新 しいが,歴 史年 表 を調べ てみ ると,事 実 「 吾 恥島 」の 近隣 に は古代 か ら大地震 が 少な くな いの であ る.

■演習 問題   1.1  あ るバ ネ に,質 量0.30[kg]の 点 か ら,手 で さ ら に0.10[m]伸

お も りを吊 る した ら,バ ネが0.15[m]伸

び た.こ の平 衡

ば して か ら離 した.こ の と き,次 の 問 に答 え よ.た だ し,い っ

さ いの抵 抗 力 を無 視 す る.な お,1[kg・m/S2]=1[N]で

あ る.

  (ａ)  このバ ネの バ ネ定 数ｋ を求 め よ.   (ｂ)  このバ ネの振 動 の 最大 速 さvmaxを 求 め よ.   (ｃ)  このバ ネの振 動 の 周期 丁 お よび振 動 数ｆ を求 め よ.   1.2  質量0.5[g]の

虫 が ク モの 巣 に捕 ま った.こ の と き,こ の ク モ の 巣 が 振 動 数f=15

[Hz]で 振 動 した とす る.次 の問 に答 え よ.た だ し,い っさ い の抵 抗 力 を無 視 す る.   (ａ)  ク モの 巣 を一 種 の バ ネ とみ な し,そ のバ ネ定 数 を求 め よ.   (ｂ)  同 じクモ の巣 に,質 量0.2[g]の よ.

虫 が捕 ま った と きの,ク モの 巣 の振 動 数f'を 求 め

  1.3  バ ネ 振 動 の等 時 性 を示 すT=2π√m/kを   1.4  単 振 り子 の等 時 性 を示 す 式T=2π√l/gを

導 び け. 導 び け.

  1.5  振 り子 時計 が １日にｔ 分 ずつ 遅 れ る とす れ ば,正 しい時 刻 を得 るた め に,振 り子 の長 さに どの よ うな補 正 をす れ ば よい か.   1.6  一 般 家 庭 で 使 わ れ て い る電 源 は 交 流 電 気 で,そ の 周 波 数 は 日本 で は 地 域 に よ っ て 50[Hz]と60[Hz]の ２種類 が あ る.例 えば,関 東 地 方 で は50[Hz],関 西地 方 で は60[Hz]で あ る.交 流 モ ー ター式 の電 気時 計 を,周 波数 が 異 な る地 域 で使 う場 合,ど の よ うな 問題 が 生 じる だ ろ うか.   1.7  地 震 の揺 動 を測 定 す る装 置 が 地 震計 だ が,地 震 計 は空 中 に置 か れて い るので はな く, 地 上 に置 か れ て い る.地 震 の と きは,地 震 計 も同様 に揺 動 して し ま うので,地 震 の揺 動 を記 録 す るの は無 理 の よ うに思 え る.し か し,も ち ろ ん,地 震 計 は地 震 を測 定 で き る.考 えて みれ ば 不 思 議 な こ とで はな いか.地 震 計 は どの よ うな し くみで地 震 の 揺 動 を記 録 す る のだ ろ うか.

２ 波

  わ れ わ れ は,日

常 生 活 の 中 で"波"と

い う言 葉 に も,"波"と

ば し ば 出 合 う.調 子 や 成 績 に 波 が あ る,と た,人

い う現 象 に も し

い う.人 混 み の 中 に 出 て 行 った と き

に は,人

の 波 に の ま れ る.ま

が の ま れ る波 に は,"時

あ る.こ

れ ら は い ず れ も,自 然 界 の い た る と こ ろ で 見 ら れ る"波"と

代 の 波"と い う波 も い う 自然

現 象 か ら派 生 し た 言 葉 で あ る.   わ れ わ れ が,生

まれ て か ら最 初 に 意 識 す る 波 は,海 の 波,川 面 の さ ざ 波 な ど,

水 が 作 る波 だ ろ う.そ で,わ   朝,目

れ は,水

の 波 が,い

か に も"波"を

実 感 さ せ て くれ る形

れ わ れ の 目 に 見 え る か ら で あ る. 覚 め と同 時 に,わ

な の だ が,音

を 波 と し て 実 感 す る こ と は な い.そ

だ が,"波"と   また,わ

れ わ れ の 耳 に 飛 び 込 ん で く る音 も,空 中 を伝 わ る波

れ わ れ の 周 囲 や 上 空 を 飛 び 交 う"電 波"と

も聞 く こ と も で き な い.テ 見 え る 像,耳

が 耳 に は聞 こ え る の

レ ビ や ラ ジ オ は,そ

よ ば れ る波 は,見

の よ う な 波 を,わ

ること

れわ れ の 目に

に 聞 こ え る音 に 変 換 す る 装 置 で あ る.

  さ ら に,現 代 物 理 学 は,物

質 の 構 成 要 素 で あ る電 子,素

っ て い る こ とを 教 え て い る.こ   こ の よ う に,自 (そ して,人

れ は,音

し て は 見 え な い か らで あ る.

粒 子 が 波 の 性 質 を持

れ ら は 物 質 波 と よ ば れ る.

然界 に は

間 界 に も)さ ま

ざ ま な 波 が あ る.自

然界 の

波 の 運 動 を 波 動 と よぶ.   本 章 で は,"外

見 上"異 な

る さ ま ざ ま な波 が 持 つ 共 通 の 性 質 に つ い て 述 べ る.代 表 的 な個 々 の波 につ いて は 次 章 以 下 で 述 べ る.

北斎 「 富嶽三十六景神奈 川沖浪裏」

2.1  波 の 性 質 2.1.1  波 の 発 生   池 や プ ー ル の 中 に小 石 を 投 げ込 む と,そ の小 石 の 落 下 点 を 中 心 に して,同 心 円状 の 波 紋 が 拡 が っ て い く.そ の と きの様 子 を 図2.1に

示 す.石

が 水 面 に落 ち

た と き に弾 ね て 飛 んだ 水 滴 が それ ぞ れ新 た な 同 心 円 状 の 波 紋 を作 る様 子 が よ く わ か る.ま た,図2.2に

示 す よ う に,ロ ー プ の端 を手 で 持 っ て,手

を上 下 に 一

振 りす る と,そ の 上 下 運 動 が ロー プ に伝 わ っ て一 つ の 波 が 生 じ,前 方 に進 行 す る.手 の 上 下 運 動 を規 則 正 し く続 けれ ば,図2.3に

示 す よ う に,山

が規 則 正 し く並 ん だ 連 続 的 な 波 が 生 じ る.

と谷 の起 伏

（ａ ）

（ｂ ）

（ｃ ）

（ｄ ）

図2.1 

水 面 に 拡 が っ て い く波

図2.3 

図2.2 

ロー プ を伝 わ る一 つの 波

ロ ー プ を伝 わ る連 続 した 波

図2.4 

ウエ イ ビン グ に よ っ て 生 じ る波

図2.5 

つ る ま きバ ネ の 疎 密 波

  野 球 場 や サ ッカ ー 場 の観 客 席 に描 か れ た"人 文 字"や"人

絵"を 見 る こ とが

し ば しば あ る.こ れ は,観 客 席 の 人 が そ れ ぞ れ 文 字 や絵 の 一 部 とな る紙 片 を持 ち,リ ー ダー の号 令 と と もに,そ れ を上 に か ざ した の を遠 くか ら眺 め る と文 字 や 絵 に 見 え る,と い う もの で あ る.ま た,最 近 は,観 客 が 順 次 立 ち上 が っ て 「バ ン ザ イ 」 をす る こ とに よ っ て,競 技 場 の観 客 席 を あ た か も海 の波 の よ うな 波 が 伝 わ っ て い く よ う に見 え る"ウ エ イ ビ ン グ(waving)"と ば,図2.4に

い う もの もあ る.例 え

示 す よ うに,紙 片 を持 っ た人 が 一 列 に並 び,左 端 の人 か ら順 に,

そ の紙 片 を規 則 的 に上 げ た り下 げた りす れ ば,"ウ

エ イ ビ ング"と 同 様 に"波"

が 左 か ら右 へ 伝 わ っ て い く.   次 に,図2.5の 後(図

よ うに,横

に した つ る ま きバ ネ を手 に持 ち,手

を規 則 的 に前

で は左 右)に 動 か した場 合 の こ とを 考 え て み よ う.バ ネ が圧 縮 され て密

に な っ た と こ ろ と膨 張 して疎 に な っ た と こ ろが 規 則 的 に繰 り返 され て,左

から

右 の 方 へ 波 と して 伝 わ っ て い く.こ の よ うな 波 を疎 密 波 とよ ぶ.疎 密 波 の 疎 の 部 分 と密 の部 分 は そ れ ぞ れ,図2.3に 鼓 を た た い た とき に は,図2.6に   以 上 に示 した よ うに,波   こ こで,あ

示 す よ う に,空 気 の 疎 密 波 が生 じ る.

は さ ま ざ まな 原 因 で さ ま ざ ま な もの に 発 生 す る.

らた め て,"波"を

  波 とは,一 般 に,あ

示 す 谷 と山 の部 分 に相 当 す るだ ろ う.太

定 義 して お こ う.

る場 所 の 状 態 の変 化 が 次 々 に 隣 の 場 所 に伝 わ っ て い く現

図2.6 

太 鼓 に よ っ て生 じる 空気 の疎 密 波

象 の こ とで あ る.ま た,前 述 の よ う に,波

と振 動 とは一 体 の もの で あ り,物 質

(あ るい は空 間)を 振 動 が 伝 わ る現 象 が 波 で あ る,と もい え る.

2.1.2  媒

質

  波 は,振 動 が 伝 わ る現 象 で あ る.そ の 振 動 を伝 え る仲 介 物(一 を媒 質 とい う.図2.1に

示 す 水 面 の 波 の 媒 質 は水 で あ り,図2.6に

伝 え る媒 質 は 空 気 で あ る.ま た,ロ 性 体)そ の もの で あ り,図2.4に   こ こで,波   図2.1に

般 に は物 質) 示 す音波 を

ー プや バ ネ の 波 の 媒 質 は ロ ー プ,バ ネ(弾

示 す"ウ エ イ ビ ング"の 波 の媒 質 は人 で あ る.

の 進 行 と媒 質 の 動 き に つ い て考 え て み よ う.

示 す よ う な水 面 の 波 は,石 が 投 げ入 れ られ た 点 を中 心 に し て 同 心 円

状 に拡 が っ て い く.こ の よ うな 水 面 上 の 波 の 断面 を模 式 的 に描 い た の が 図2.7 で あ る.水 面 の 断面 形 は,図1.4で

示 した よ う な余 弦 曲線(あ る い は正 弦 曲 線)

図2.7  水面上の波の断面模式図

図2.8 

図2.9 

水 面 上 の ピ ン ポ ン玉 の 動 き

波 の進 行 と ピ ンポ ン玉 の 上 下 振 動

状 に な っ て い る.こ の よ うな形 状 の波 紋 が 中心 か ら外 側 へ 同 心 円 状 に拡 が っ て い くの で あ る.つ

ま り,波 は進 行 す る の で,媒 質 で あ る水 そ の も のが 中心 か ら

外 側 へ 移 動 して い くよ うに 見 え る.と

こ ろが,例

もの を水 面 に 置 い た とす る と,図2.8に

え ば ピ ンポ ン玉 の よ うな 軽 い

示 す よ う に,ピ

ンポ ン玉 は波 の進 行 と

と もに 移 動 す る こ とな く,同 じ場 所 を上 下 運 動 す るだ け で あ る.   水 面 上 の ピ ンポ ン玉 の動 き を,図2.9を

使 っ て,も

う少 し詳 し く調 べ て み よ

う.   図2.9は,異

な った 時 刻(t1→t2→t3→t4に

お け る波 形 と ピ ン ポ ン玉 の位 置

を示 す もの で あ る.こ の よ うな 図 に見 覚 え は な い だ ろ うか.図1.4を て欲 しい.図1.4は,つ

思 い出 し

る ま きバ ネ に 吊 る され た お も りが 上 下 振 動 す る場 合 の

時 間 的 変 位 を 示 す もの だ っ た.図2.9の

ピ ン ポ ン玉 は,図1.4の

お も りに相 当

（ａ）

（ｂ） 図2.10 

す る.ま た,図2.9の

場 合,ピ

疎 密 波 （ａ）の定 量 的表 示 （ｂ）

ン ポ ン玉(お

も り)を 上 下 振 動 させ る原 動 力 は

バ ネ で は な く進 行 す る水 の 波 で あ る.時 刻 ｔ1,の と き,ピ ン ポ ン玉 は 山,つ 図1.4のx=Aの 時 刻t4で 谷,つ

まり

位 置 に あ り,時 間 の 経 過 と と も に ピ ン ポ ン玉 の 位 置 は下 が り, ま りx=―Aの

位 置 に達 す る.こ の後,ピ

を し,結 果 的 にx=Aとx=―4の

ン ポ ン玉 は逆 の 動 き

間 を上 下 に振 動 す る.図2.9のt1,t4は

図

1.4の それ ぞ れt=0,T,…

お よ びt=T/2,3T/2,…

  図2.9に

の波 が 右 方 向 に進 行 して も,水 に 浮 か ぶ ピ ンポ ン玉

示 す よ うに,水

に相 当 す る.

が,波 の 進 行 に伴 な って 右 方 向 に 移 動 す る こ とな く,同 じ場 所 で上 下 運 動 をす る とい う こ と は,ピ

ンポ ン玉 を支 え る水 が 右 方 向 に移 動 す る こ とな く,上 下 に

運 動 して い る こ とを意 味 す る.こ の場 合,媒 質 で あ る水 は上 下 に振 動 して お り, その 振 動 の様 子 を表 わ し て い るの が ピ ン ポ ン玉 なの で あ る.つ 進 行 し て も,媒 質 自体 が 進 行 して い る わ けで は な い.2.1.1項

ま り,水 の 波 が で 定 義 した よ う

に,振 動 が 伝 わ る現 象 が 波 な の で あ る.波 が進 行 して も,そ の 媒 質 自体 が進 行 す る もの で は な い こ と は,図2.4に

示 す ウ エ イ ビ ン グ を考 え れ ば一 目瞭 然 で あ

ろ う.   図2.5,2.6で ば,図2.10(ｂ)の

示 した 疎 密 波 の 媒 質(バ ネ,空 気)の 密 度 を 定 量 的 に表 示 す れ よ う に な る.（ａ ）に は空 気 の 密 度 が 定 性 的 に示 され て い る.

つ ま り,い ま まで に示 さ れ た さ ま ざ ま な波,つ

ま り媒 質 の振 動 が 伝 わ る とい う

現 象 の本 質 が 基 本 的 に 同 じで あ る こ とが視 覚 的 に理 解 で き る で あ ろ う.

2.1.3  波 の 特 徴 ■ 波 長 ・周 期 ・振 幅   波 は媒 質 の 変 化(位 置,密 て,水

度 な ど)が 次 々 に伝 わ っ て い く現 象 で あ る.そ

し

や空 気 や バ ネ な どの 弾 性 体 を媒 質 とす る波 を弾 性 波 とよ ぶ.

  図2.7は

水 面 上 の波 の あ る瞬 間 の 断 面 を模 式 的 に表 わ した もの で あ っ た.い

ま,一 般 的 な 波 の あ る瞬 間 の 仮 想 的 な断 面 を図2.11で

表 わ す.波

は,山(密)

と谷 （ 疎 ） が 交 互 に続 い た 形 を して お り,そ れ らが,波 の 進 行 方 向 を時 間 の 軸 に とれ ば周 期 Ｔ,距 離 の軸 に とれ ば 波 長 λ ご とに規 則 的 に繰 り返 され て い る. この よ うな 波 にお い て は,山(密)か 時 間,距 離 は 同 じで あ る.ま た,媒

ら 山(密),谷

（ 疎 ） か ら谷 （ 疎 ） の間 の

質 の あ る １点 に着 目 す れ ば,そ

Ａ の 単 振 動 を す る.そ の と きの 振 動 数ｆ は,式(1.4)で

の 点 は振 幅

与 え られ た よ うに

(1.4) とな る.   図2.9の

説 明 の繰 り返 し に な る が,媒 質 の 各 点 は 同 じ場 所 で 振 動 す るが,波

は順 次(図2.11で

は左 か ら右 へ)移 動 す る の で あ る.こ の こ とが 波 の 第 一 の特

徴 で あ る.   と こ ろ で,光 そ れ で は,光

も電 磁 波 と よば れ る 波 の 一 種 で あ る,と

を含 む電 磁 波 の 媒 質 は 何 か.こ

の 疑 問 で あ る.長

れ は,極 め て興 味 深 い,ま た 当 然

ら く,電 磁 波 の媒 質 は"エ ー テ ル"と

と考 え られ て い た.し

「ま えが き」で 述 べ た.

よば れ る仮 想 的 な物 質

か し,現 在 で は,光 を 含 む 電 磁 波 は,何

図2.11  波 の性質

もな い真 空 中 を

（ａ）

（ ｂ）

（ｃ） 図2.12 

伝 播 す る こ とが わ か っ て い る.つ

ま り,電 磁 波 は,媒 質 を必 要 と しな い,極 め

て特 殊 な 波 な の で あ る.電 磁 波 に つ い て は,第 ■波

さまざまな波形の波

４章 で 再 度 述 べ る こ と にす る.

形

  実 は,い

ま まで に扱 っ て きた 波 は,媒 質 が 単 振 動 す る極 め て 単 純 な 正 弦 波 と

よ ば れ る,あ

る意 味 で は 特 殊 な波 で あ る.と

とは限 らな い.し

た が っ て,波

違 い に よ っ て,波 の 形(波

の媒 質 の振 動 は単 振 動

も正 弦 波 と は限 らな い.つ

ま り,振 動 の 仕 方 の

形)も 異 な る こ とに な る.

  さ まざ まな 波 形 の 波 を 図2.12に それ ぞ れ 三 角 波,矩

こ ろが,波

示 す.(ａ),(ｂ)は

形 波 と よ ばれ る波 で あ る.(ｃ)は

電 気 信 号 な どで 見 られ る, 音 波(第 ３章 で 詳 述 す る)

な ど に見 られ る複 雑 な波 形 で あ る.実 は,こ の よ うな 波 形 の違 い が"音 の違 い" を表 わ す の で あ る.   電 気 振 動,電 流 に つ い て,1.2.4項

で簡 単 に述 べ た.電 気 に は 直 流 と交 流 が あ

るが,一 般 家 庭,工 場 な どで 使 わ れ て い る電 気 の ほ とん ど は交 流 で あ る.図2. 13(ａ)に 示 す よ うに,直 流 電 流 は時 間 に対 し大 き さ も向 き も一 定 で あ る が,交 流 は,(ｂ)に

示 す よ う に,大

き さ と向 きが 周期 的 に変 化 す る.演 習 問 題1.6で

記 した よ うに,日 本 で は交 流 の 周 波 数(振 動 数)は50Hzあ る.図2.13(ｂ)に

え ば,室

内 の電 灯 は,１ 秒 間 に50回

が あ るわ け で あ る.幸 な い.

あ

示 され る よ う な電 流 は一 般 に正 弦 波 交 流 と よ ばれ る.(ｂ)を

見 れ ばわ か る よ う に,交 流 の場 合,方 向 の変 化 の 境 にI=0に で,例

る い は60 Hzで

あ る い は60回

な る瞬 間 が あ る の の 割 合 で 切 れ る瞬 間

い な こ とに,人 間 の 目 が そ の よ うな 点 滅 を感 じる こ とは

（ａ）

（ｂ）

図2.13 

図2.14 

  ま た,図2.14(ａ)に オ ン,オ

が0.1ピ

え ば,２ 秒 間 隔 で １秒 間 ス イ ッ チ ・

流 電 源 を 断 続 流 に す る と,（ ｂ）に 示 す よ う な パ ル ス

物 の 心 臓 の 脈 動 も 一 種 の パ ル ス 波 で あ る.現

コ 秒(１

レ ー ザ ー)も

ス イ ッチ ン グ回 路(ａ)と パ ル ス 波(ｂ)

示 す よ う な 回 路 で,例

フ を 繰 り返 し,直

波 が 生 じ る.動

直 流(ａ)と 正 弦 波 交 流(ｂ)

ピ コ 秒=10-12秒=1兆

開 発 さ れ,化

分 の １秒)程

学 反 応 の プ ロ セ ス,あ

在 で は,パ

度 の レ ー ザ ー(パ

ルス幅 ル ス.

る い は光 合成 の謎 を調 べ る よ

う な 研 究 分 野 で 利 用 さ れ て い る. ■波

面

  い ま ま で,媒

質 の １点 の 運 動 に 着 目 し て 波 を 考 え て き た.し

示 し た 水 面 の 波 や 図2.6に 的 な 波 は,媒 の,あ

示 し た 空 気 の 疎 密 波 を 見 て も明 ら か な よ う に,現

質 の 無 数 の 点 の 運 動 か ら 成 り立 っ て い る.そ

る 時 刻 に お い て 同 じ変 位 の 点(例

て い く と図2.15に

面"を"wave

  図2.6に

front(波

面"は

の 前 面)"の

示 す 空 気 の 疎 密 波 の"波

面"は

実

の よ う な現 実 的 な波

え ば 山 あ る い は 谷)を

示 す よ う な 線 が 引 け る.こ

1に 示 す よ う な 水 面 の 波 の 場 合,"波 の"波

か し,図2.1に

連 続 的 に た どっ

れ を 波 面 と よ ぶ.図2.15や

図2.

線 状 に な る の で ま ぎ ら わ し い が,こ 訳 語 と理 解 し て お い て 欲 し い. 文 字 ど お り"面"に

な る.こ

の 場 合,

波 面 は ほ ぼ 平 面 に な っ て い る と 考 え ら れ る の で,こ の よ う な 波 を 平 面 波 と よ ぶ.

図2.15 

図2.15に 図2.1の

波面

示 す 波 は,波 面 が 直 線 に な って い る の で,直 線 波 とよ ぼ れ る.ま た, よ うな 同 心 円状 の 波 は円 形 波 と よば れ る.あ

る １点 か ら ３次 元 的 に一

様 に拡 が る波 の 波 面 は球 面 に な る の で,こ の よ う な 波 は球 面 波 とよ ば れ る. ■波 の種 類.   い ま まで 述 べ た よ うに,波

に は さ まざ まな もの が あ る.ま ず,波

質 の違 い で あ る.ま た,一 般 的 に 図2.11で の よ うな パ ル ス 波 が あ る.さ ら に,さ しか し,こ れ ら は い ず れ も,主 質 の違 い,あ

を伝 え る媒

示 され る よ う な連 続 波 と図2.14(b)

ま ざ ま な波 形 や 波 面 の形 状 の 波 が あ る.

と して外 見 上 の違 い で あ っ て,波

の本 質 的 な 性

る い は,波 の物 理 的 な性 質 の 違 い を 示 す もの で は な い.

  波 を物 理 的 な 観 点 か ら分類 す る と横 波 と縦 波 に分 け られ る.   も う一 度,図2.9を

見 て み よ う.波 の 進 行 方 向 と媒 質 の振 動 方 向 が垂 直 にな

っ て い る.こ の よ う な波 を横 波 とよぶ の で あ る.図2.2∼2.4,ま

た 図2.13(ｂ)

な どに 示 す 波 はす べ て横 波 で あ る.   次 に,図2.5,2.6を

見 て み よ う.こ れ らの波 の 特 徴 は,媒 質 の振 動 方 向 が 波

の進 行 方 向 に 平 行 な こ とで あ る.つ

ま り,媒 質 は,波

の進 行 方 向 に対 し前 後 に

振 動 して い る.こ の よ う な波 を縦 波 と よぶ の で あ る.波 の名 称 の"横"と"縦" が,現 象 を考 え る と逆 の よ う に思 え な い こ と もな い の で注 意 し て欲 しい.   と こ ろで,先

に述 べ た"極

波 だ ろ うか.電

磁 波 は一 般 的 な弾 性 波 と は異 な り,媒 質 を必 要 と しな い 波 な の

で 考 え に くい が,第

め て特 殊 な 波"で

あ る電 磁 波 は横 波 だ ろ うか,縦

４章 で 詳 述 す る よ う に,電 磁 波 は電 場 や磁 場 の強 さが 振 動

す る純 粋 な横 波 で あ る.

2.1.4  水 面 の 波   い ま,横 波 と縦 波 に つ い て 述 べ た の だ が,本 章 の 冒 頭 か ら最 も身 近 な波 と し て 扱 っ て き た水 の 波 は,そ の どち ら なの だ ろ うか.図2.8や す れ ば,当 然,媒

図2.9の

説明 か ら

質 の振 動 方 向 が波 の 進 行 方 向 に対 して 垂 直 な 横 波 に 思 え る.

しか し,注 意 深 い 読 者 は 気 づ い て い る と思 わ れ るが,前 項 の説 明 の 中 で,水 面 の 波 を横 波 の 中 に含 め て い な い の で あ る.実 は,水 面 を伝 わ る波 は,横 波 と縦 波 とが 混 じっ た よ う な もの な の で あ る.水(H20)は

物 理 的 に も化 学 的 に も極

め て 特 殊 な物 質 で あ り,ま た 興 味 も尽 き な い物 質 で あ るが,水

面 の 波 も,一 般

的 な弾 性 波 と比 べ れ ば極 め て興 味 深 い.   水 面 の波 は,一 般 的 な 弾 性 波 と は異 な り,水 の 弾性 に よ る もの で は な い.例 え ば,水 面 が 図2.16の

よ うな形 に な っ て い る とす る と,重 力 の 作 用 で 高 い部 分

は押 さ れ,低 い 部 分 を持 ち 上 げ る現 象 が 生 じ る.こ の よ うな 重 力 の作 用 と慣 性 に よ っ て波 の 高 低 の振 動 が 繰 り返 され る.ま た,水 の 表 面 積 を な るべ く小 さ く し よ う とす る表 面 張 力 も水 面 の 波 の 原 因 とな る.高 低 差 が 小 さ くな れ ば表 面 積 は小 さ くな るか ら,高 い所 を低 く,低 い 所 を高 くす る よ うな 力 が 働 くの で あ る.

図2.16 

  次 に,水 面 の 波 の媒 質,つ

重 力 と表 面 張 力 に よ る水 面 の 波

ま り水 分 子 の運 動 につ い て考 え て み よ う.

  水 面 の 波 の 各 点 は,確 か に,図2.9に

示 す よ う な上 下 の 単 振 動 を し て い るの

で あ るが,水 分 子 自体 が 単 振 動 して い るわ け で は な い の で あ る.図2.17に,時 間t1と,そ

れ か ら ８分 の １周 期 後 の時 間t1+T/8に

お け る水 面 の 波 の 断 面 を そ

れ ぞ れ 実線 と破 線 で 示 す.媒 質 で あ る水 分 子 は鉛 直 面 内 で,近 似 的 に波 の振 幅 Ａに等 しい 半 径 の 円運 動 を して い る.つ ま り,純 粋 な横 波 と縦 波,そ らの 中 間 の 要 素 が含 まれ る こ と に な る.図2.17に そ れ か らT/8時

して そ れ

は,時 間t1,に お け る点 ● が,

間 後 に ○ の 位 置 に 移 動 し て い る こ とが 示 さ れ て い る.

図2.17 

水 面 の 波 と水 分 子 の運 動

図2.18  水分子 の動 きの水深依存性

  水 分 子 は,水 面 の近 くで は,図2.17に な る に従 って,図2.18に

示 す よ うな 円 運 動 を す るが 水 深 が 深 く

示 す よ う に,横 振 動 の 要 素 が 大 き くな っ て偏 平 な楕 円

運 動 に な り,純 粋 な横 振 動 を経 て,つ

い に は動 か な くな る.例 え ば,海 で,本

章 の 扉 の絵 に あ る よ う な大 き な 波 に の まれ そ う に な っ た 場 合,深

く潜 れ ば まっ

た く静 か な の は,こ の よ う な事 情 に よ る.   この 水 面 の 波 の よ う に,表 面 付 近 に 限 られ て い る波 を表 面 波 とよ ぶ.

2.1.5  地 震 の 波   日本 人 な ら誰 で も地 震 を経 験 し て い るだ ろ う.地 震 は,地 殻 の 断 層 の ず れ や 火 山 の 噴 火 な どの 自然 の力 に よ っ て発 生 す る地 面 の 振 動 で あ る.そ の地 震 の際, 震 源 か ら発 して 四 方 に伝 わ る弾 性 波 が 地 震 波 で あ る.   地 震 波 は,大

き く実 体(body)波

に は基 本 的 に Ｐ 波(縦 波)と   地 球 の 半 径 は約6400kmで,そ

と表 面(surface)波

Ｓ波(横

に分 け られ る.実 体 波

波)が 存 在 す る.

の 内部 構 造 はお よ そ 図2.19に

示す ようにな

図2.19 

地 球 の構 造 と地 震 波

っ て い る.地 球 を ゆ で卵 にた とえ れ ば,殻 が 地 殻,白

身 が マ ン トル,黄 身 が 核

で あ る.マ ン トル は 地 球 体 積 の83%,質

占 め て お り,そ の ほ と ん

量 で は68%を

どは カ ン ラ ン岩 質 の 岩 石 で あ る.核 は熔 融 状 態 の外 核 と固 体 の 内 核 に分 け られ る.い ず れ も主成 分 は金 属 鉄 で あ り,地 殻 や マ ン トル が 岩 石 質 物 質 で あ るの と 対 照 的 で あ る.外 核 で は熔 けた 鉄 が 対 流 して お り,そ の よ う な 導 電 性 流体 の 運 動 に よ って,核

が あた か も巨 大 な発 電 機 と な っ て磁 界 が 発 生 し,こ れ が地 球 の

磁 場 の も とに な っ て い る もの と考 え られ る.   以 上,「 振 動 と波 」の 教 科 書 と して は珍 ら し く,地 球 の 内 部 構 造 に触 れ た の で あ るが,実

は,こ れ らの情 報 は以 下 に述 べ る地 震 波 の 測 定 に よっ て 得 られ た も

の な の で あ る.つ ま り,図2.19に

示 す よ う に,Ｐ 波 と Ｓ波 は,地 球 内 部 で の伝

播,不 連 続 面 で の 反 射 の結 果 で あ り,ま た これ らの波 の伝 播 は物 質(媒 質 とな る弾 性 体)や

そ の 温 度 に も依 存 す る の で,地 震 波 を詳 し く調 べ る こ とに よ って

地 球 の 内部 構 造 が わ か る,と い うわ け で あ る.   縦 波 で あ る Ｐ波 は媒 質(弾 性 体)の 疎 密 の 状 態 が 伝 わ る も の で あ り,横 波 で あ る Ｓ波 はね じれ の 状 態 が 伝 わ る もの で あ る.つ ま り,地 上 で感 じ る揺 れ,す なわ ち地 震 は,図2.20に 図2.5,2.3を が,Ｐ

模 式 的 に 示 す よ う に横 揺 れ と縦 揺 れ に な る(そ れ ぞ れ

参 照 の こ と).も

ち ろ ん,震 源 で は Ｐ波 と Ｓ波 が 同 時 に発 生 す る

波 の 速 さ が Ｓ波 の速 さ よ り大 き い の で,観 測 点 に は 必 ず Ｐ波 が 先 に 到着

す る.ま た,地 球 表 面 の薄 い殻 の 曲 面 に沿 っ て伝 わ る表 面 波 の 速 さ は最 も小 さ い.し か し,地 震 に よ っ て生 じ る波 で 振 幅 が 最 も大 き い の は,た い て い の 場 合, 表 面 波 で あ る.こ れ は幾 何 学 的 に考 えれ ば,Ｐ 波 や Ｓ波 は ３次 元 的 に 拡 が る の で 震 源 か ら観 測 点 まで の 距 離 を γ とす れ ば,振 幅 が1/γ に比 例 して小 さ くな る の に対 し,２ 次 元 的 に 拡 が る表 面 波 で は1/√rに 比 例 して小 さ くな る た め で あ る.あ

る観 測 点 で の 地 震 波 の記 録 の 一 例 を 図2.21に

示 す.

（ａ ）

（ｂ ）

図2.20 

地 震 の Ｐ波 （ａ）と Ｓ波 （ｂ）

図2.21 

地震 波の記録

2.2  波 の 運 動 2.2.1  正 弦 波   前 節 で"波"と

い う現 象 を定 性 的 に扱 っ た の で,本 節 で は,そ れ を定 量 的 に

扱 う こ とに す る.波 は振 動 が 媒 質(空 そ の 基 本 は,第

間)を

１章 で述 べ た"振 動"で

  こ こ で は まず,一

次 々 に伝 わ っ て い く現 象 な の で,

あ る.

つ の 方 向 に ま っ す ぐ進 む横 波(１ 次 元 的 な横 波)を 考 え る.

第 １章 で述 べ た よ う に,振 動 の 仕 方 に は い ろ い ろ あ るが,最 よ って 生 じ る波 を考 え よ う.そ の よ うな 波 の 波 形 は 図2.11の

も簡 単 な 単 振 動 に よ う に な る.

  い ま,媒 質 中 の あ る １点 に 着 目 して,そ の 点 の 時 間 的 変 位 を表 わ せ ば,図

２.

（ａ）

（ ｂ）

図2.22 

正 弦 波 の大 き さ の 時 間 （ａ）お よび 距 離 （ｂ）依 存 性

22(ａ)の よ う に な る.式(1.4)で

記 した よ うに,振 動 は 周 期 Ｔ ご とに繰 り返

され るか ら,波 の 大 き さ(静 止 状 態 か らの ず れ の 大 き さ)をｙ

と して,そ れ を

時 間ｔ の 関 数 と して 表 わ せ ば

(2.1) と な る.ま

た,式(1.5)を

式(2.1)に

代 入 すれば

(2.2) と な る.こ

の よ う に 正 弦 関 数 で 表 わ さ れ る 波 を 正 弦 波 と よ ぶ.ま

(2.2)は

そ れ ぞ れ 式(1.3),(1.6)の

お り,そ

れ ら は 本 質 的 に 同 じ も の で あ る.つ

弦 波 は"余

弦 波"に

  ま た,図2.7の 22(ｂ)に

余 弦 関 数 をT/4だ ま り,原

た,式(2.1),

け ず らせ た 形 に な っ て 点 の と り方 に よ っ て,正

も な る.

よ う に,あ る 時 刻ｔ の 波 の 断 面 を 写 真 に 撮 っ た と す れ ば,図2.

示 さ れ る よ う な 波 形 が 得 ら れ る だ ろ う.図2.22(ｂ)と(ａ)の

形 はまっ

た く 同 じ で あ る が,そ

れ らの物 理 的 な意 味 が 異 な っ て い る こ とに 注 意 し て欲 し

い.図2.22(ｂ)は,原

点 か ら 横 方 向(ｘ

軸 方 向)に

ｘの 距 離 に あ る媒 質 の変 位

がｙ で あ る こ と を示 す も の で あ る.   正 弦 波 が ｖ の 速 さ で ｘ 軸 上 を 右 方 向 に 進 ん で い る と す る と,原

点(x=0)か

ら距 離ｘ の 場 所 に至 る まで に要 す る時 間 はx/vあ

る.こ の と き の時 刻 が ｔだ

とす れ ば,ｘ とい う場 所 の 時 刻 ｔに お け る状 態 は, x=0に

お け る時 刻t-x/vの

状 態 と同 じ に な る は ず で あ る.し た が っ て,ｘ の場 所 の 時 刻 ｔに お け る変 位ｙ は

(2.3) で 与 え られ る.   また,波

はｖ の 速 さ で １波 長(λ)だ

け進 む の に １周 期 （Ｔ）の 時 間 を要 す る

のだか ら

(2.4) の 関 係 が あ り,こ

れ を 式(2.3)に

代入 す ると

(2.5) が 得 られ る.こ れ が,正 弦 波 の運 動 を表 わ す 基 本 的 な 方程 式 で あ る.こ の 方程 式 の 中 のsinの 角度 に対 応 す る部 分

(2.6) を波 の 位 相 と よぶ.こ

の位 相 に よ っ て 波 の状 態 が 決 ま り,こ の 位 相 が 等 し い面

が 波 面 とな るの で あ る.つ

ま り,位 相 は,波 の変 位(静 止 状 態 か らの ず れ)ｙ が

１波 長 の 中 で どの位 置 に あ るか を示 す もの な の で,位 相 が 同 じ とい う こ と は変 位 も同 じ,と い う こ とを意 味 す る の で あ る.   こ こで,第

１章 で 述 べ た振 動 の変 位ｘ を表 わ す 式(1.3)を 思 い 出 して み よ う.

(1.3) で,2πt/Tが が,波

単 振 動 の位 相 だ っ た.こ の場 合,位 相 は 時 間ｔ だ け で表 わ さ れ る

の場 合,式(2.6)に

示 され る よ う に,位 相 は 時 間ｔ と場 所ｘ の両 方 で 決

め られ る こ と に留 意 して欲 し い.   と こ ろ で,波 の 基 本 で あ る振 動 が い つ も単 振 動 で あ る とは 限 らな い.し た が って,波

も正 弦 波 で あ る と は限 らな い.図2.12(c)に

一 例 を示 した よ うに,振

動 が 複 雑 に な れ ば 波 形 も複 雑 にな る.し か し,ど ん な複 雑 な形 の 波 で も,い ろ

い う な正 弦 波 を組 み 合 わ せ る こ と に よ っ て 合 成 で き るの で あ る(こ れ を重 ね 合 わ せ の 原 理 とよ ぶ).つ

2.2.2 

ま り,正 弦 波 が 波 一 般 を 考 え る上 で の 基 本 で あ る.

波 の伝 播 と波 動 方 程 式

  い ま,t=0の

と き の 正 弦 波 が 図2.23の

実 線 で 表 わ さ れ る と す る.こ の 正 弦 波

が 速 さ ｖで 左 か ら 右 の 方 向 に 進 ん で い る と す れ ば,t1時

間 後,つ

刻 の 波 は 破 線 で 表 わ さ れ る.t=0に

間 の 問 に,右

移 動 し てx1の 変 位y0に

お け る 点x0はt1時

位 置 に き て い る(x0=x1,vt1).x1に

お け る 変 位y1はx0に

時

へvt1だ

け

おけ る

等 し い.

図2.23 

 一 般 に

ま りt=t,の

,t=0の

る と す れ ば,上

波 が ψ=f(x)で 記 の 考 察 か ら,一

波の伝播

表 わ せ る とす る.こ

の 波 が 速 度ｖ で 動 い て い

般 的 な 時 刻 ｔに お い て は

(2.7) とな る.正 弦 波 を一 般 的 なｘ とｔ の 関 数

(2.8) で 表 わ せ ば(κ は波 数 と よ ばれ る定 数 とす る),こ の ψ（x,t） が満たす微分 方程式 は

(2.9)

(2.１0)

の 二 つ で あ り,式(2.9),(2.10)か

ら

(2.11) と い う方 程 式 を 満 た す こ と に な る.式(2.7)でX=x-vtと

置 い て確 か め れ ば

わ か る が,式(2.11)は

一 般 的 な 波 に お い て も成 り立 つ 方 程 式 で あ る.

  な お,波

場 合 と 反 対 方 向 に 動 く場 合 は,ｖ

が 式(2.7)の

の 代 り に,―vと

置 い

て,式(2.11)は

(2.12) と な る.式(2.11),(2.12)か

ら

(2.13)

(2.14) そ して

(2.15) が 得 られ る.さ

ら に,式(2.15)を

一 般 的 な形 に す れ ば

(2.16) とな り,こ れ は,１ 次 元 の波 動 方 程 式 と よ ばれ る もの で,波

の取 り扱 い の 基 本

に な る式 で あ る.ま た,こ の解 ψ（x,t） は波 動 を表 わ す の で 波 動 関 数 とよ ばれ る.

2.2.3  波 の 速 さ   1960年

５月,南 米 の チ リ沖 の大 地 震 に よ っ て発 生 した 津 波 は,18000km離

た 日本 に約23時

間 で 到 達 し,東 北 地 方 の 三 陸 海 岸 に死 者 ・行 方 不 明 者139人

れ を

出 す な どの大 きな 被 害 を 与 えた.こ の と きの 津 波 が 伝 わ った 速 さ は,時 速 約800 kmで,津

波 は ジ ェ ッ ト旅 客 機 な み の速 さ で太 平 洋 を横 断 した こ とに な る.こ れ

は,新 幹 線 列 車 の 約 ３倍 に も相 当 す る速 さで あ る.   波 の 伝 わ る速 さ は,波 の種 類 と媒 質 の種 類,状 性 波 に つ い て一 般 的 に い え ば,波

態,温 度 な どに依 存 す る.弾

の伝 わ る速 さ は,媒 質 の 弾性 率 の 大 き い もの

ほ ど,つ ま り,力 を加 えた と き形 や 体 積 が 変 わ りに くい も の ほ ど大 き い.ま た, 媒 質 の密 度 が 小 さ くな る ほ ど波 の伝 わ る速 さ は大 き くな る.   次 に,横 波,縦

波,水 面 の波 の 速 さ に つ い て考 えて み よ う.

■横波 の速 さ   楽 器 の 弦 の よ うな 弾 性 体 を伝 わ る一 つ の 波(パ て考 えて み よ う.図2.2の(ｃ)か の波 の 形 を図2.24の

ル ス 波)の 伝 わ る速 さ につ い

ら(ｄ)に 移 る まで の 時 間 を ⊿tと し,こ の と き

よ う に単 純 化 し て考 え る とわ か りや す い.手 を一 定 の 速 さ

ｕで 上 に動 か す とす る と,時 間 ⊿tの 間 に手 元 がu⊿tだ

け上 に動 くが,こ

き,波 は ⊿xだ け進 む.波 の 速 さ をｖ とす れ ば,⊿x=v⊿tで

あ る.波 の 形 を直

線 で 近 似 し,水 平 面 と波 が 成 す 角 度 を θ とす れ ば,sinθ=BO/ABで,θ さい とき は,AB〓AOだ

のと

が小

から

(2.17) とな る.   こ の と き,弾 性 体 の直 線 部 分 は等 速 運 動 して い る と考 え る.こ の弾 性 体 の 単 位 長 さ あ た りの 質 量(線 密 度)を σ とす る と,時 間 ⊿tの 間 に上 に持 ち 上 げ られ た 弾 性 体 の 質 量 は σ⊿x=σv⊿tと な る.そ

して この と きの運 動 量(質 量 ×速 度)

の 増 加 量 ⊿Pは

図2.24 

弾 性 体 を伝 わ る横 波

(2.18) で 与 え ら れ る.ま

た,弾

性 体 が 一 定 の 張 力 Ｆ で 引 か れ て い た と す れ ば,ロ

を 持 ち 上 げ る 力 の 成 分 はFsinθ る.運

で あ り,式(2.17)か

らFsinθ

ープ

≒F・u/vと

な

動 量 の 変 化 は 力 積 （F.⊿t）に 等 し い か ら

(2.19) で あ り,式(2.18)を

式(2.19)に

代 入 した

(2.20) から

(2.21) が 求 ま る.   つ ま り,弾 性 体 の横 波 が伝 わ る速 さ は,そ の 弾 性 体(媒

質)の

線 密 度 と張 力

の み に依 存 す る こ とが わ か る. ■縦波の速 さ   縦 波 は,図2.5や

図2.10に

示 した よ うな疎 密 波 で あ る.図2.10と

図2.25を

参 照 し て,気 体 あ る い は液 体 の よ うな 弾 性 体 の縦 波 の 伝 わ る速 さ に つ い て考 え て み よ う.   い ま,図2.25(a)に

示 す あ る状 態 に,⊿Fが

作 用 し,こ の 部 分 が 時 間ｔ の 間

（ａ ）

（ｂ ）

図2.25 

弾 性 体 を伝 わ る縦 波 .

に ｘの 距 離 だ け進 ん だ とす れ ば,こ の 縦 波 の速 さｖ はx/tで 度 を ρ,断 面 積 を Ｓ とす れ ば,こ

あ る.弾 性 体 の 密

の と き,弾 性 体 の 変 動 部 分 ｘ の 質 量 ｍ は

(2.22) で あ る.   また,弾 性 体 に加 わ る全 応 力 Ｆ は ⊿F・Sで あ り,こ の と き,図2.25(ｂ)に

示

す よ う に,⊿xだ け変 位 した とす れ ば,弾 性 体 の変 動 部 分 ｘの 重 心 の 変 位 は ⊿x/ 2と 考 え て よ い.こ の縦 波 が 加 速 度 α の 等 加 速 度 運 動 で,⊿x/2の

距 離 を時 間ｔ

で 進 ん だ とす れ ば

(2.23) と い う 式 が 成 り 立 つ.こ

れ よ り

(2.24) で あ る.ま 24)を

た,ニュ

ー

ト ン の 第 ２ 法 則F=mα

に,F=⊿F・S,式(2

.22),(2.

代 入 す る と

(2.25) と な る.v=x/tよ

り,

t2=x2/v2を

式(2.25)に

代 入 し て整 理 す る と

(2.26) が得 られ

(2.27) と 置 く と,式(2.26)か

ら

(2.28) が 求 ま る.   こ の"Ｋ"の   式(2.27)は,体

意 味 に つ い て 考 え て み よ う. 積S・xの

弾 性 体 に ⊿Fの

力(一

般 的 に"圧

力"と

考 えて も

よ い)が 作 用 し た と き,S・ ⊿xの 体 積 変 化 が 生 じ る こ と を 意 味 し て い る .つ ま り,

体 積Ｖ

の 物 質 に力 ⊿Fが 作 用 した と きの体 積 変 化 量 が ⊿Vで

あ る こ とを 意 味

し,式(2.27)は

(2.29) と書 き改 め られ る.こ の Ｋ は物 質 特 有 の 定 数 とな り,こ れ を体 積 弾 性 率 と よぶ.   以 上 は,気 体 や液 体 の よ うな 流 体 中 を伝 わ る縦 波 に つ い て の 考 察 だ った が, 固 体 の弾 性 体 を伝 わ る縦 波 に つ い て も同 様 に 考 え る こ とが で き る.つ

ま り,固

体 の場 合,体 積 弾 性 率 Ｋ の 代 りに,伸 び 弾 性 率 あ る い はヤ ン グ 率 とよ ばれ る固 体 物 質 特 有 の定 数 Ｅ を使 っ て

(2.30) で,波 の 速 さが 与 え られ る.   この 定 数"Ｅ"に

つ い て 簡 単 に説 明 して お く.

  断 面 積 Ｓ,長 さｌ の 弾 性 体 に ⊿Fの 力 が 作 用 した と き,長 さが ⊿lだ け伸 び た とす れ ば

(2.31) の 関 係 が あ り,こ の 比 例 定 数

(2.32) が 伸 び 弾性 率 とい うわ け で あ る.実 は,式(1.1)で の"Ｅ"だ

示 した"バ ネ 定 数k"は

こ

っ た の で あ る.

  また,以 上 は,波 が ｘ軸 方 向 の み に伝 わ る場 合 の 考 察 で あ るが,波 が ３次 元 的 に伝 わ る場 合 は

(2.33) とい う定 数 を使 わ な け れ ば な らな くな る.こ こで μ はず れ 弾 性 率 とよ ば れ る定 数 で あ る.し た が っ て,こ の 場 合 の縦 波 の 伝 わ る速 さｖ は

(2.34)

と な る.   式(2.28)∼

（2.34）か ら明 らか な よ う に,横 波 の 場 合 と同 じ よ う に,縦 波 の

場 合 も,波 の伝 わ る速 さ は,応 力 と物 質 の 密 度 の み に依 存 す る こ とが わ か る. ■水 面 の 波 の 速 さ   2.1.4項 で 述 べ た よ う に,水 面 の 波 は,横 波 と縦 波 とが 混 じっ た よ うな もの で あ る.ま た,水 面 の 波 は,こ れ ま で に 考 察 した よ うな 弾 性 波 と は異 な り,重 力 と表 面 張 力 の 作 用 に よ っ て生 じ る もの で あ る.こ れ らの事 情 に よ り,水 の 波 の 伝 わ る速 さ も,さ る を得 な い.そ

まざ ま な要 素 に依 存 し,そ の 取 り扱 い は極 め て複 雑 に な らざ

こで,「 振 動 と波 」に親 しむ こ と を主 目的 とす る本 書 で は,複 雑

な計 算 過 程 を省 略 し,結 果 の み を記 す こ とに す る.   水 面 の 波 の 波 長 を λ,水 の 深 さ を ｄ とす る.   λ》dの 場 合,水 の各 点 は上 下 に は ほ とん ど動 か ず に,水 平 方 向 の 単 振 動 の み と考 え る こ とが で き,速

さ ｖは

(2.35) で与 え られ,重 力 ｇ と水 の 深 さ ｄ の み に依 存 し,波 長 λ と は無 関 係 に な る. d>λ

の場 合,ｖ

は一 般 的 に

(2.36) で 与 え られ る.こ こ で,Tsは

水 の表 面 張 力 で あ る.

  例 え ば,水 面 に浮 か ぶ ミズ ス マ シが 作 る波 の よ う に,復 元 力 が ほ とん ど表 面 張 力 に依 存 し,λ が 小 さい(通 常 λ<10mm)場

合 は,ル ー ト内 の第 １項 が 無

視 で きるので

(2.37) と な り,2nTs/ρ

は定 数 に な る の で

(2.38) で あ る.   また,海

の大 き な波 の よ う に,復 元 力 が ほ とん ど重 力 に依 存 し,表 面 張 力 の

影 響 を無 視 で き る場 合 は,式(2.36)の

ル ー ト内 の 第２ 項 が 無 視 で き る の で

(2.39) と な り,g/2π

は定 数 にな る の で

(2.40) で あ る.

2.2.4

波 の エネルギー

  繰 り返 し述 べ た よ うに,波 は,一 般 的 に は(電 磁 波 の よ う な特 殊 な 波 を除 き), 媒 質 の 振 動 が 伝 わ る現 象 で あ る.こ れ を エ ネ ル ギー の 立 場 か らい え ば,波 は媒 質 の あ る部 分 に与 え られ た エ ネ ル ギ ー が 伝 わ る現 象 で あ る.つ ル ギ ー,す

ま り,波 は エ ネ

な わ ち仕 事 をす る能 力 を伝 達 す る."波 の エ ネ ル ギ ー"で す ぐに 思 い

出 す の は 波 力 発 電 で あ ろ う.こ れ は,文 字 どお り,波 の エ ネ ル ギ ー を利 用 した 発 電 で あ る.図2.26は,1976年,海

洋 科 学 技 術 セ ン ター が 山 形 県 鶴 岡 市 沖 合 に

設 置 した 波 力 発 電 装 置 「海 明 」 の 図 で あ る.こ れ は,図2.27に タ ー ビ ン方 式 の もの で,波

の上 下 運 動 を利 用 して い る.船 体 が底 の抜 け た 箱 の

よ う な 形 を して お り,そ の 中(空 気 室)で が 圧 縮,膨

示 す よ うな 空 気

水 面 が上 下 す る と,そ のた び に 空 気

張 し,空 気 の流 れ が 生 じる.こ の 気 流 を ノ ズ ル に 導 き,タ ー ビ ン を

回 転 し て 発 電 す る の で あ る.図2.26の に,出 力125kWの

「海 明 」 は長 さ80m,幅12mの

ター ビ ンを ８基 積 み,67000kWhの

図2.26 

船内

発 電 に成 功 して い る.

波 力 発 電 施 設 「海 明 」(海 洋 科 学 技 術 セ ン タ ー提 供)

図2.27 

空気 タ ー ビ ン方 式 波 力 発 電 の し くみ

  ま た,地

震 や 津 波 な ど に よ る 被 害 は,直

で あ る.デ

モ 行 進 な ど の 人 の 波 も,と

治 を 変 え る よ う な こ と も あ る.ち ネ ル ギ ー は1.3∼3.0×1017J(ジ

接 的 に は 波 の エ ネ ル ギ ー に よ る もの

き に は 大 き な エ ネ ル ギ ー を 持 ち,国

な み に,前 ユ ー ル)と

述 の チ リ地 震 で発 生 し た津 波 の エ 計 算 さ れ て い る.ま

れ る 全 エ ネ ル ギ ー に は 理 論 的 限 界 が あ り,そ の 値 は5×1017Jと そ れ で は,人

の 波 の エ ネ ル ギ ー は? 

の政

こ れ は,考

た地震 で放出 さ い わ れ て い る.

慮 す べ き要 素 が 多 す ぎ て計 算

で き な い.   こ の よ う に,波

は エ ネ ル ギ ー を 持 ち,ま

  こ こ で,式(2.8)で え て み よ う.変

た エ ネ ル ギ ー を 伝 え る.

表 わ され る よ うな弾 性 体 の 縦 波 の エ ネ ル ギ ー につ い て 考

位 ｙが y =ψ

で 表 わ さ れ る と す る.た

（x ,t）=Asin(κx-ωt) 

だ し,式(2.41)は

κv=ω

(2.41)

を 式(2.8)に

代 入 し て得 ら

れ た も の で あ る.   変 位 の 速 さ は ∂ψ/∂tだ か ら,弾 性 体 の 密 度 を ρ と す れ ば,単 位 体 積 あ た り の 運 動 エ ネ ル ギ ーEk（mv2/2）

は

(2.42) で 与 え ら れ る.ま

た,変

位 の 割 合 は ∂ψ/∂xだ か ら,単 位 体 積 に 蓄 え ら れ る 変 位

の エ ネ ル ギ ー(位

置 エ ネ ル ギ ー)Epは,式(1.27)よ

り

(2.43)

で 与 え ら れ る.式(2.30)よ

りE=ρv2を

式(2.43)に

代 入 して

(2.44) と な る.   次 に,式(2.41)を

ｔお よ び ｘ で 微 分 す る と

(2.45)

(2.46) が 得 ら れ る.こ (2.45),(2.46)を

れ ら の 式 は,そ

れ ぞ れ 式(2.10),(2.9)と

そ れ ぞ れ 式(2.42),(2.44)に

同 じ も の で あ る.式

代入 す る と

(2.47) と な り,ω=κvを

式(2.47)に

代入 すれば

(2.48) が 得 られ る.し た が っ て,単 位 体 積 が持 つ エ ネ ル ギ ー 密 度 Ｅ は

(2.49) とな り,１ 周 期 にお け る エ ネ ル ギー 密 度 の 平 均 値 をＥ とす れ ば

(2.50)

が 求 ま る.式(2.50)に, 

を代 入すれ ば (2.51)

とな る.し た が って,こ ー は

の縦 波 が 単 位 時 間,単 位 面 積 あ た りに 伝 え る エ ネ ル ギ

(2.52) と な る.   以 上 は 縦 波 の エ ネ ル ギ ー に つ い て の 考 察 で あ る が,こ

れ は,一

ネ ル ギ ー に つ い て も 適 用 で き る も の で あ る.つ

般 的 に,波

ー は

ま り,一

般 的 な波 の エ のエネルギ

〔 振 幅 〕２ ,〔 振 動 数 〕２,〔速 さ 〕 に 比 例 す る.

チ ヨッ ト休 憩● ２

倒れない五重塔   日本 の歴 史上,五 重塔 に代 表さ れる 木造の 仏塔 は 全国 に500以 上 あるが,地 震 によ って倒 壊 した例 はほ とん ど皆無(一 説 には過 去 ２例)で ある.現 存 する 最 も高 い木 造の 仏塔 は,京 都 ・教 王護国 寺(東 寺)の 五重 塔(54.8m)で

ある

が,過 去 には,そ の ２倍 近 い高 さの東 大寺 七重 塔の よ うな もの もあ った.ま た, 古 来 よ り仏 塔 が多 い近畿 地方 は,有 史以 来40回 以上 の大 地震 に襲 われ て いる ほ どの"地 震 地 帯"で あ る.こ の ような地 震帯 にあ って,木 造 の高 層 建造物 であ る 仏塔 が倒 れ な い,と いうの は不 思議 な こと である が,こ の 事実 は科 学的 な観 点 か らも裏 づ けさ れて いる.最 近 の建 築学 者を 中心 とす る調査,研 究 によ って, 構 造上,日 本 の木 造の 仏塔 が倒れ な い理由 は い くつ か確 認 され てお り,事 実そ れ らは現代 の 超高 層 ビルの 耐震,免 震構 造 に応用 され て いるの であ る.   その 理 由の 一つ は,仏 塔 が,鉛 筆の キ ャ ップあ るい は帽子 が順 に重ね られた ような 通 し柱 のな い構 造を してお り,建 物 全体 が構 造的 につ なが って いな い こ と にある.こ のた め,地 震 に よる横震 動が 上層 に伝 わ り にく いの で ある.つ ま り,地 面 の揺 れが 上層 部 で増 幅 され な いも の と考え られ る.竹 中工 務店 設 計部の グ ル ー プが,こ の事 実を模 擬 実験 で証 明 した.そ れ によ れ ば,地 震 の 際,五 重塔 は右図 のよ う に波 を うち,"ス ネー クダ ン ス"を す るので あ る.   例 え ば,弾 性体 の棒 を手 に持 って震 動 させ てみれ ば わ か るが,一 体化 した構造 の棒の よ うな ものの 場合, 振 幅 は他 端 で最大 にな り,そ の 大き さは長 さ(高 さ) に比例 す る.と ころが,ス ネー クダ ンス をす る五重 塔 の場 合,最 大 振幅 は第 １層 での最 大値 を越 え な いこと にな る. 

(資料提供,㈱ 竹中 工務 店設 計部)

スネークダ ンス

■演 習 問題   2.1

一 般 に,地

震 の 際,最

初 に 小 さ な 横 揺 れ を 感 じ た 後 に,大

き な 縦 揺 れ を感 じ る.こ

の

理 由 を 説 明 せ よ.   2.2

地 震 の Ｐ波 の 速 さ をvp,Ｓ

波 の 速 さ をvsと

した と き,地 震 を 感 じ た Ａ 点 か ら 震 源 ま で

の 距 離 ｄ を 求 め る 式 を導 け.   2.3

生 体 に見 られ る さ ま ざ ま な 機 能 や 行 動 の 周 期 性 を一 般 にバ イ オ リ ズ ム と よ ぶ が,地

球

上 の 生 体 の バ イ オ リズ ム に 影 響 を与 え る も の は 何 か.   2.4 y=Asinωtで

表 わ さ れ る 波 に お い て,位

相 を 周 期 Ｔ,時

間ｔ,波

長 λ,原 点 か ら の 距

離ｘ の 関 数 で 表 わ せ.   2.5

長 さ300[m],重

プ の 張 力 を4000[N]と   2.6

ロ ー プ に 波 長0.50[m]の の 波 の(ａ)速

横 波 が 進 行 し て い る.こ

さ,(ｂ)振

鉄 道 の レ ー ル に 耳 を つ け て い る 場 面 を 考 え る.い

し た とす る と,そ

度 ρ=7.8×103[kg/m3]と

y=ψ(x,t)=Asin(кx-ωt)で

値 Ｅ は 式(2.50)で

与 え ら れ た.同

の ロー

動 数 を 求 め よ.

ま,1.0[km]離

れ に 伴 な う振 動 が 何 秒 後 に 聞 こ え る だ ろ う か.た

E=2.0×1011[N/m2],密   2.7

さ30[kg]の した と き,こ

れ た所 を電車 が発 車 だ し,レ

ー ル の ヤ ン グ率

す る.

表 わ さ れ る 波 の ｌ周 期 に お け る エ ネ ル ギ ー 密 度 の 平 均 様 に,あ

る 時 刻 で の １波 長 に お け る 平 均 エ ネ ル ギ ー 密 度 を

求 め よ.   2.8  波 力 発 電 は,海

洋 の 波 の エ ネ ル ギ ー を利 用 した も の で あ る が,波

の 仕 方 に は どの よ う な もの が あ る か,水

のエ ネ ル ギ ー の利 用

の 波 の 特 徴 を考 慮 し て 考 え て み よ.

3  音

  わ れ わ れ の 身 の まわ り に は,さ

ま ざ ま な"音(お

と)"が

あ る.と

い う よ り,

深 海 か 宇 宙 空 間 の よ う な 特 別 の 場 所 へ行 か な い 限 り,わ れ わ れ が"音"と に な る こ と は 不 可 能 で あ ろ う(実 は,深 の"音"が

あ る).こ

海 や 宇 宙 空 間 に も,や

ん な わ け だ か ら,わ れ わ れ に と っ て"音"は,空

に 「あ っ て あ た り ま え」 の 存 在 で あ り,普 段,そ

無縁

は り,そ れ な り 気 と 同様

れ につ い て深 く考 え る よ うな

こ とは しな い もの で あ る.   私 は,寺

田 寅 彦(1878-1935)の

随 筆 が 大 好 きで あ り,物 理 学 的 に も寺 田 寅

彦 の 感 性 に 大 き な影 響 を 受 け て い る者 で あ る.そ に 「眼 は,い か し,耳

の 寺 田 寅 彦 が 書 い た もの の 中

つ で も思 っ た 時 にす ぐ閉 じ る こ とが で き る よ う に で きて い る.し

の ほ う は,自 分 で は 自分 を閉

じ る こ とが で きな い よ うに で きて い る.な

ぜ だ ろ う.」とい う,文 庫 本 で た

っ た ３行 の"随

筆"が

あ る.ヒ

トを 含

む 動 物 の 耳 が 開 き放 し に な っ て い る の は,眠

っ て い る と き,敵 に 襲 わ れ た 場

合 に備 え て の こ と だ ろ う.野 生 の 動 物 た ち は,い

ま もその ような耳 の構造 に

感 謝 して い る は ず で あ る.し

か し,こ

れ だ け"騒

多い現 代

音"や"雑

音"が

社 会 に 生 きて い る と,耳 に も"目 蓋" の よ う な 蓋 が 欲 し い と思 うの は 私 だ け で は な い だ ろ う.   話 が だ い ぶ 脱 線 した よ うで あ る.   "音"に は,音 波 と い う物 理 的 側 面 と, 音 波 が 引 き起 こす 心 理 的 側 面 の 二 つ の 面 が あ る が,本 章 で 扱 う の は前 者 で あ る.

 パ イプオルガン (アク トシテ ィ浜松 中ホール)

3.1 

音

波

3.1.1  音 の発 生   図2.6で

示 した よ う に,太 鼓 を た た く と"音"が

発 生 す る.一 般 に 音 とは 空

気 の振 動 で あ り,そ れ が 空 気 の疎 密 波 とな っ て 伝 わ っ て い く現 象 が 音 波 で あ る. この よ う な空 気 の"疎""密"を で あ った.こ

れ を,も

空 気 分 子 の 密 度 と して表 わ し た の が 図2.10(b)

う少 し厳 密 に い え ば,空 気 の 圧 力 の 平 均(大

気 圧)よ

り

高 い部 分 と低 い部 分 が 周 期 的 に生 じ,そ れ が 伝 わ っ て い く現 象 が 音 波 で あ る. 図2.6と

図2.10を

波 の様 子 を図3.1に

参 照 し,時 間t=t1と 示 す.(ａ),(ｂ)は

それ か ら⊿t後 のt=t1+⊿tに 空 気 の圧 力(空

お け る音

気 分 子 の 密 度)の

変化

を,そ れ ぞれ 定 性 的 お よ び定 量 的 に示 した も の で あ る.   い ま述 べ た よ うに,音 る た め に,上

とは,一 般 に 空 気 の 振 動 で あ り,そ の 空 気 を振 動 さ せ

の例 で は太 鼓(の 皮)を た た い た の で あ る.ま た,図1.19に

示し

た よ うに,音 叉 を た た い て も音 は生 じ る.こ の よ うな 太 鼓 や 音 叉 は,も

と もと

音 を 出 す た め の楽 器 や 道 具 で あ るが,別 に,そ の よ う な楽 器 や 道 具 で な くて も, 机 で も何 で も た た け ば 音 が す る.空 気 が振 動 す る か らで あ る.ま た,わ

れわ れ

は,プ ー ル の 中や 海 の 中 に潜 っ た とき に も,音 が 聞 こえ る こ とを経 験 的 に知 っ

（ａ ）

（ｂ ） 図3.1 

音波

て い る.つ ま り,音 を伝 え る媒 質 は空 気 に限 る もの で は な く,他 の 気 体,液 体, 固 体 も音 を伝 え る媒 質 に な る.結 局,物 密(あ

る い は圧 力 の 高 低)が

それ は,図2.5や

図2.6で

質 に,図3.1に

示 す よ う な周 期 的 な疎

で き,そ れ が 伝 わ る こ とが 音(波)な

の で あ り,

示 した 一 般 的 な 疎 密 波 と同 じ こ とに な っ て し ま う.

しか し,あ え て"音(波)"と

い う の は,そ

れ が"聞 こ え る"つ ま り人 間(動 物)

の聴 覚 を刺 激 す るか らで あ る.   と こ ろ で,昔

は,音 は空 気 の よ うな 媒 質 が な くて も伝 わ る と考 え られ て い た

よ うで あ るが,1660年

の イ ギ リス の ボ イル(1627-1691)の

有 名 な実 験 に よ っ

て,音 の伝 播 に は媒 質 が必 要 で あ る こ とが 明 らか に さ れ た.こ の 実 験 は,図3. 2に 示 す よ う に,ガ て,中

ラス 容 器 内 に時 計(一 説 に は,鈴)を

吊 る し,徐 々 に 排 気 し

を真 空 にす る とカ チ カ チ とい う時 計 の音 が 聞 こ え な くな る こ と を示 した

もの だ っ た.音 波 は,媒 質 の な い真 空 中 を進 む こ とが で きな い の で あ る.こ

こ

で,さ

らに重 要 な 知 見 は,ガ

え

た"こ

とで あ る.つ ま り,光 は,媒 質 が な い真 空 中 で も伝 わ る こ とを示 して い

ラ ス容 器 内 の 時 計 は,中 が 真 空 に な っ て も"見

る.い ま まで 何 度 か 述 べ た よ う に,光

を含 む電 磁 波 は媒 質 を必 要 と しな い極 め

て特 殊 な 波 で あ る.こ れ らに つ い て は,次 章 で 詳 し く述 べ る.

図3.2 

ボ イ ル の 実験

3.1.2  定 在 波 と共 振   振 動 は あ ら ゆ る波 の基 本 で あ る.こ

こで は,音 の基 本 特性 を考 え るた め に,

弦 の 振 動 につ い て考 え て み よ う.楽 器 の 中 に は,多 種 類 の 弦 楽 器 が あ る こ とか ら もわ か る よ う に,弦 の 振 動 は音 の 基 本 な の で あ る.本 来,弦

の振 動 は,第

１

①

②

（ａ ）

③ （ｂ ）

④

⑤

（ｃ）

図3.4  図3.3 

パ ル ス 波 の 発 生 と反 射

定 在 波.（ ａ）基 本 振 動,（ｂ ）２倍 振 動, （ｃ）３倍 振 動

章 で扱 うべ きか も知 れ な い が,あ

え て,音 の 章 まで 説 明 を延 ば して い た の は,

上 に述 べ た よ う な理 由 の た め で あ る.   まず,図2.2に   図3.3に

示 した よ う な ロ ー プ を伝 わ るパ ル ス 波 に つ い て 考 え て み よ う.

示 す よ うに,一 端 を壁 に固 定 した ロ ー プ を上 下 に 振 っ て,一

つのパ

ル ス波 を生 じ させ た とす る と,① ∼ ⑤ の よ う に,波 は壁 で 反 射 して 戻 っ て くる. そ こで,も

し,手 の上 下 運 動 を繰 り返 した とす れ ば,①

の よ う に壁 に 向 か う波

と⑤ の よ うに壁 か ら反 射 し て く る波 が衝 突 し,干 渉(6.2.1項 に な る.そ の結 果,一 般 的 に は乱 雑 な"波 形"に

な る.し か し,も

下 運 動 を あ る一 定 の 振 動 数 で 繰 り返 せ ば,図3.4(ａ)に 幅 分 布 が 定 ま っ た,つ

参 照)し 合 う こ と し,手 の上

示 す よ う に,空 間 的 な振

ま り進 行 しな い 波 が 生 じ る.こ の よ う な 波 を定 在 波 と よ

ぶ.定 在 波 の波 動 関 数 を ψ（r,t）とす れ ば,一 般 的 に

(3.1) と表 わ さ れ る.こ る.こ

こ で,R(r)は

こ で,R(r)=0に

空 間 座 標ｒ の 関 数,T（t）

な る 位 置 を 節(ふ

し), R(r)が

は 時 間ｔ の 関 数 で あ

極 大 また は極 小 とな る

位 置 を 腹 と よ ぶ.   例 え ば,図3.3の

① が 式(2.41)で

の 反 射 波 は,ψ （x,t）=Asin(κx+ωt)に

表 わ さ れ る よ う な 正 弦 波 だ と す れ ば,⑤ な る の で,こ

れ ら の 波 が 重 な れ ば(6.2.

（ｄ）

１項 参 照) (3.2) の 定 在 波 が 現 わ れ る こ とに な る.こ の よ うな 定在 波 は,閉

じた 管 内 の音 波 な ど

に 生 じや す い.   図3.4(a)に

示 す 定 在 波 は,振 動 数 が 最 小 の 定 在 波 で,こ れ を基 本 振 動 とよ

ぶ.図3.4(b),(ｃ)に

示 す よ うに,こ の よ う な基 本 振 動 の 定 在 波 の ほ か に,振

動 の 節 の間 の距 離 が1/2,1/3,…

と"整 数 分 の ｌ"の 定 在 波 も発 生 す る.こ れ

らの 振 動 数 は,基 本 振 動 の ２倍,３ 倍,… 動,…

とな り,こ れ ら を ２倍 振 動,３

倍振

とよ ぶ.基 本 振 動 が発 生 す る音 を基 本 音,２ 倍 振 動,３ 倍 振 動,…

が発

生 す る音 を ２倍 音,３

倍 音,…,一

般 に 倍 音 とよ ぶ.

  定 在 波 は,図3.3で

示 した よ うに,反 対 方 向 に進 行 す る二 つ の 波 の干 渉 の 結

果 と し て生 じる もの で あ る が,1.2.3項

3.1.3 

で 述 べ た共 振(共 鳴)の 結 果 で もあ る.

弦 の振 動

  次 に,両

端 が 固 定 さ れ た 弦 の 振 動 を 考 え て み よ う.ギ

う な 弦 楽 器 の 音 は,こ   い ま,図3.5(a)に

ター や バ イ オ リ ンの よ

の よ う な 弦 の 振 動 に よ っ て 生 じ る の で あ る. 示 す よ う に,ピ

ン と 張 ら れ た 長 さｌ の 弦 を 弾 い た と す る.

（ａ）

（ｂ）

（ｃ ）

図3.5 

弦 の 振 動 の定 在 波

この と き,弦 を伝 わ っ て さ ま ざ ま な周 波 数 を持 っ た 波 が 複 雑 に干 渉 し合 う.そ して,ほ

とん どの 波 は す ぐに 消 え て し ま うが,(b)∼

（d）に 示 す よ うな定 在 波

は存 続 す る.つ ま り,弦 を弾 いた と き に発 す る音 は,図3.5（b）

∼ （d）の よ うな

複 数 の 振 動 パ タ ー ンが 混 ざ り合 っ た もの な の で あ る.   基 本 音 の振 動 数 をf1,弦

を伝 わ る 波(横 波)の 速 さ をｖ,波 長 をλ1と す る と

(3.3) で あ る.図3.5(b)よ りv=√F/σ

り λ1=21,ま

だ か ら(σ

た,弦

の 張 力 を Ｆ と す れ ば,式(2.21)よ

は 弦 の 線 密 度),こ

れ ら を 式(3.3)に

代 入 して

(3.4) と な る.同 様 に,２

倍 音,３

倍 音 の 振 動 数 をf2,f3,そ

れ ぞ れ の 波 長 を λ2,λ3と

す れば

(3.5)

(3.6) とな り,一 般 的 にｎ 倍 音 の振 動 数fnは,そ

の 波 長 を λnと して

(3.7) で 与 え られ る.   つ ま り,両 端 を固 定 し,ピ ン と張 った 弦 を適 当 な方 法 で 振 動 させ れ ば,式(3. 7)で 与 え られ る振 動 数 の 音 が 出 る.弦 楽 器 は,こ れ を応 用 し た もの で あ る.ギ タ ー や 三 味 線 の 場 合 は,弦 ェロの 場 合 は,弦

を指 やバ チ で 弾 い て振 動 させ る し,バ イ オ リンや チ

を 弓 で こす っ て振 動 させ る.ま た3.2.1項

音 の"高 低"は 振 動 数fnで 決 ま る の で,例 よ うに,指 低"(音

で押 さ え る位 置 を変 え て,つ

階)を

に は,Ｆ

え ば ギ タ ー の 場 合 は,図3.6に

ま り,式(3.7)のｌ

変 え るの で あ る.ま た,式(3.7)か

低 は,弦 の 張 り方(Ｆ)や

弦 の材 質,つ

で 述 べ る よ う に, 示す

の長 さ を変 え て"高

ら明 らか な よ うに,音 の 高

ま り線 密 度(σ)に

も依 存 す る.現 実 的

を大 き く変 化 させ る こ とが で きな い の で,σ で 音 階 を調 整 す る こ と に

図3.6 

ギ タ ー の 音 の 調 整. （ａ）低 い 音(１ 大,ｆ 小), （ｂ）高 い 音(１ 小,ｆ

（ｂ）

（ａ ）

大)

な る.   前 述 の よ う に,音

は空 気 の 振 動 に よっ て伝 え られ る.弦 の 振 動 は空 気 の 振 動

を 導 くの で あ る が,一 般 に 弦 は細 い もの な の で,空 気 との 接 触 面 積 が 小 さ いた め に,そ れ だ け で は強 力 な音 波 を発 生 させ る こ とが で きな い.つ 動 だ けで は楽 器 と して 使 え な い.そ

ま り,弦 の 振

こで,楽 器 に は,そ れ を強 め るた め の 響 鳴

器 が つ い て い る.一 般 的 に は,共 振 に よ っ て弦 の振 動 を 面 積 の 広 い板 に伝 え, そ の面 か ら空 気 中 に音 波 を 送 り出 す し くみ に な っ て い る.ギ タ ー,バ イ オ リ ン, 琴 な どの 胴 が この 役 割 を果 た して お り,こ の よ うな板 の こ と を響 板 と よぶ(図 3.6参 照).三

味 線 の場 合 は,胴 に 張 っ た動 物 の 皮 が,こ

の響 板 に相 当 す る.

  響板 は,弦 の 振 動 に よっ て"強 制 的 に"振 動 さ せ られ る,つ れ るの で あ る が,そ れ 自身 の 振 動(結 る)は"個

ま り共 振 させ ら

果 的 に,次 節 で 述 べ る"音 色"に

つ なが

性 的"で あ り,そ の た め に"名 器"と よ ばれ る もの が あ るの で あ る.

と きお り,数 千 万 円,と

き に は 数億 円 もす る よ うな"ス

トラ デ ィ ヴ ァ リ ウ ス"

とよ ば れ るバ イ オ リ ンの話 を耳 に す る こ とが あ るが,こ れ は,そ 器"な の で あ る.ち

な み に,"ス

の よ う な"名

トラ デ ィヴ ァ リウス"は,17∼18世

紀 に,イ タ

リア ・ク レモ ナ の バ イ オ リ ン製 作 者 ス トラ デ ィヴ ァ リ(1644-1738)と

そ の一

族 が 製 作 した バ イ オ リ ンの 総 称 で あ る.残 念 な が ら,私 は一 般 的 なバ イ オ リ ン とス トラ デ ィ ヴ ァ リウ ス の 音 色 の 違 い を判 別 す るほ どの"よ な い(ス

い 耳"を

トラ デ ィ ヴ ァ リウ ス の 演 奏 は聴 いた こ とが あ る)が,"そ

話 で は,"ま

っ た く違 う音"だ

そ うで あ る.

持 ってい

の 道"の 人 の

3.1.4  気 柱 の 振 動   弦 楽 器 は弦 の振 動 に よ っ て音 を出 す もの で あ る が,笛 や トラ ンペ ッ トの よ う な管 楽 器 は管 の 中 の 空 気(気 柱)の

振 動 に よ っ て音 を出 す もの で あ る.気 柱 の

振 動 も,基 本 的 に は弦 の 振 動 と同様 に扱 え るが,気 柱 の 振 動 の場 合,空

気 自体

が 直 接 振 動 して疎 密 波(縦 波)と

な っ て伝 わ る こ と を念 頭 に置 く必 要 が あ る.

そ の 際,図2.10あ

示 し た よ う な疎 密 波 の 表 現 法 に慣 れ て お く こ

るい は図3.1に

と は大 い に 役 立つ で あ ろ う.   まず,竹

筒(例

た 管(開 管)の

え ば 尺 八)や 金 属 管(例

え ば フル ー ト)の よ うに 両端 が 開 い

中 の気 柱 の 振 動 に つ い て考 え る.こ の よ う な開 管 の一 端 に唇 を

当 て て 強 く吹 く と,そ の 管 に特 有 の音 が 出 る.そ の 音 の 高 低 や 音 色 は,管 の 長 さ(実 際 に は,指 で押 さ え る穴 の位 置)や

太 さや 材 質 に よ って 異 な る.こ れ が

管 楽 器 の 原 理 で あ る.実 際 の 管 楽 器 の 管 は 曲 が っ て い た り,太 さが 一 様 で な か っ た りす る が,以 下 の考 察 で は,一 様 な 太 さ の ま っす ぐな 管 の 場 合 を考 え る. また,材 質 は 考 慮 しな い.   開管 の 口 に唇 を当 て て強 く吹 く と,管 の 口 の と こ ろ で生 じた 空 気 の振 動 と, 管 内 の 気 柱 が 共 振 し て,図3.7(a)に

示 す よ うな 定 在 波 が で き る.開 管 の両 端 で

は,空 気 の動 きが 最 大 に な り,中 央 部 で は最 小 に な る.図3.7は

空気分子 の変

位 の大 き さ を横 波 形 式 に表 わ した もの で あ る こ とに 留 意 して欲 しい.そ 両 端 で腹,中

こで,

央 部 で 節 が 生 じ る定 在 波 と して 表 わ され て い る の で あ る.空 気 の

密 度 に つ い て い えば,空 気 分 子 の動 きや す さ と反 比 例 す るの で,図3.7(a)の 在 波 の腹 の と こ ろが"疎",節

が"密"と

い う こ と に な る.

  気 柱 の振 動 に お い て も,弦 の振 動 の 場 合 と同 様 に,図3.7(a)の 振 動)の ほ か に,(ｂ),(ｃ)に 動),…

定

示 す よ う に ２倍 音(２ 倍 振 動),３

基 本 音(基 本 倍 音(３ 倍 振

が生 じ る.図 に示 す よ う に,管 の 長 さ をｌ,音 速 をｖ とす れ ば,基 本 振

動 の 振 動 数f1,ｎ

倍 振 動 の 振 動 数fnは,そ

れぞれ

(3.8)

(3.9) で与 え られ る.つ

ま り,振 動 数 は,管 の 太 さや 材 質 に無 関係 で あ り,長 さ と音

（ａ）

（ａ）

（ｂ）

（ｂ）

（ｃ）

（ｃ）

図3.7  開管 内の気柱の定在波

速

図3.8  閉管内の気柱 の定在波

（3.2.4項 参 照 ） だ け で 一 義 的 に 決 ま る の で あ る.

  次 に,試

験 管 の よ う に,一

端 が 閉 じ られ た 管(閉

管)の

中の気柱 の振動 につ

い て 考 え よ う.   こ の 場 合 に 生 じ る 定 在 波 は,図3.8に

示 す よ う な も の に な る.閉

端 で は,空

気 が 動 き に くい の で,必

口 端 で は 必 ず 腹 に な る.こ

の 節 と腹 と

ず 節 に な り,開

の 間 の 距 離 は,い つ で も λ/4に 1で,λ1=4lと

な り,そ

な る の で,図3.8(a)の

基 本 音 の 場 合 は,λ1/4=

の 振 動 数f1は

(3.10) で与 え られ る.こ れ は,同

じ長 さの 開 管 の場 合 の 振 動 数 の1/2に

た,ｎ 倍 振 動 の 定 在 波 の 波 長 λn,振 動 数fnは,開

相 当 す る.ま

管 の 場 合 と同 様 に

(3.11) (3.12) で 与 え ら れ る が,閉 め に,図3.8(ｂ),(ｃ)に

管 の 場 合,必

ず,閉

端 で 節,開

示 さ れ る よ う に,ｎ

口端 で 腹,と

は 奇 数 と な る.つ

い う制 約 の た まり

(3.13)

とな る.   と こ ろ で,縦 笛,横

笛 に代 表 され る よ う に,管 楽 器 の管 に は 多 くの穴 が あ け

られ て い る.一 般 的 に は,そ れ らを ふ さ ぎ,特 定 の 穴 を 開 い て 特 定 の音 を 出 す (全 部 の穴 をふ さ い だ場 合 に も,特 定 の音 が 出 る).穴

を 開 くとい う こ と は,そ

こが 腹 とな る よ う な空 気 振 動 を起 こす こ とで あ る.つ

ま り,全 部 の穴 が 閉 じ ら

れ た場 合 は,定 在 波 の 腹 が 管 の 先 端(開

口端)に

あ るが,一

つ の 穴 を 開 く と,

そ の場 所 が 腹 に な るの で,管 の 長 さｌ が 短 か くな っ た こ と と同 じ にな り,式(3. 10)あ

る い は式(3.13)に

よ っ て,振 動 数 が 大 き くな る.つ

ま り,高 い 音 が 出

るわ けで あ る.

3.1.5  超 音 波   す で に述 べ た よ う に,普 通,"音"と で あ る."聞

は 「空 気 を伝 わ り,耳 に聞 こ え る もの 」

こ え る"と い う こ と は,聴 覚 を刺 激 す る こ とで あ る.一 般 的 に,人

間 の耳 に聞 こえ る周 波 数(振 動 数)の 範 囲 は,約20Hz∼20kHzで 領 域 に入 る音 を可 聴 音 とよ ん で い る."可 聴 音"と で あ るか ら,こ れ に よれ ば"聴 ま り,"音"に

は"聴 こ え る音"と い う意 味

い う もの が あ る こ とに な る.つ

も い ろ い ろあ るの で あ る.

  周 波 数 が20Hzよ よぶ.低

こ え な い 音"と

あ り,こ の

り低 い音 を低 周 波 音,そ

して20kHz以

上 の 音 を超 音 波 と

周 波 音 も,超 音 波 も人 間 の 耳 に は 聞 こ え な い"不 可 聴 音"で

あ る.こ

れ らの不 可 聴 音 の うち,超 音 波 は,波 長 が 短 か く,一 般 に強 力 で も あ る た め 指 向 性 が 強 い の で,障

害物 の 検 出 や人 体 の診 断 な ど広 い分 野 で 応 用 され て い る.

前 者 の応 用 例 と して は レー ダ ー や超 音 波 セ ンサ ー な どが あ り,後 者 の 応 用 と し て は,一 般 に"CT"な

ど とよ ば れ て い る コ ン ピ ュ ー タ ー 断 層 撮 影 法 や 超 音 波 顕

微 鏡 が あ る.   また,超 音 波 は は げ し く振 動 す るの で,そ

の とき の圧 力 変 動 を利 用 し て,物

体 の 表 面 な ど に つ い た 汚 れ を落 とす 洗 浄 に応 用 され て い る.こ れ は,超 音 波 洗 浄 法 とよ ば れ,広 範 囲 の分 野 で 実 用 され て い る.身 近 な と こ ろで は,メ

ガネ屋

に あ る メ ガ ネ の 洗 浄 器 で あ る.工 業 的 に は 最 先 端 の エ レ ク トロ ニ ク ス 分 野 で 多 用 され て い る.   超 音 波 洗 浄 器 の 一 般 的 な構 造 の概 略 は,図3.9に

示 す よ う に極 め て 簡 単 で,

図3.9  超 音波洗浄器の概要

洗 浄 槽 と振 動 子 か ら成 っ て い る.超 音 波 発 生 装 置 は,基 本 的 に は電 気 エ ネル ギ ー を音 響 エ ネ ル ギ ー に変 換 させ る もの で

,圧 電 式 と磁 歪 式 の ２種 類 が あ る.1.

4.3項 で述 べ た水 晶 振 動 子 は圧 電 式 の代 表 例 で あ る.磁 歪 式 は 磁 化 す る と き に 歪 み を生 じ る ニ ッ ケ ル な どの 金 属 を利 用 した もの で あ る.   前 述 の よ うに,音 波 は疎 密 波 で あ り,そ れ は具 体 的 に は圧 力 の変 動 を 意 味 す る.音 に よ る圧 力(物 理 的 に は一 般 に"圧 力 変 化")を 音 圧 とい うが,可 聴 音 の 場 合,通

常,そ

の 音 圧 は,か な り強 い音(音

の"強

さ"に つ い て は3.2.2項

照)の 場 合 で も,１ 気 圧 の数 万 分 の １程 度 と考 え られ るが,水

参

中 の 超 音 波 は簡

単 に １気 圧 近 い音 圧 を発 生 さ せ る こ とが で き る.水 中 の 音 圧 が １気 圧 に達 す る 瞬 間 に,水 中 に溶 け込 ん で い た気 体(主

と して 空 気)が

気 泡 を作 り,さ らに音

圧 が 高 くな る と,こ の 気 泡 が つ ぶ れ る.こ の と き,瞬 間 的 に数 百 気 圧 と もい わ れ る大 き な 力 が 発 生 す る ので あ る.汚 れ が,こ あ る.波 長 が 極 め て短 か いの で,図3.9に

の 力 に よ っ て除 去 され るわ け で

示 す よ う に,被 洗 浄 物 の形 状 が どれ

だ け複 雑 で あ っ て も,そ の 細 部 まで洗 浄 が い き届 くほ か,磨

き粉 な ど を用 い る

洗 浄 で な い た め,メ ガ ネ の レ ン ズ の よ う に傷 つ きや す い製 品 の 洗 浄 に有 効 な の で あ る. 3.2  音 の 性 質 3.2.1 

音の 三要素

  い ま ま で 述 べ て き た よ う に,"音"に

は さ ま ざ ま な も の が あ る."不

可 聴 音"

図3.10 

の よ う に,わ

れ わ れ の 耳 に 聞 こ え な い 音 も あ る が,可

え 方"は

さ ま ざ ま で あ る.そ

ま る.そ

し て,そ

る.こ

の"聞

こ え 方"は,高

低,強

弱,音

の"聞

こ

色 によって決 幅,波

形 で あ

ま ま で 述 べ た こ と と重 複 す る 部 分 も あ る が,

ま と め て お こ う.

  図3.10に

示 す 音 波 を1a,1b,…,3a,3bと

波 の 振 動 数 をf1a,flb,…,振

A2a>A2bだ

か ら,2aの

詳 述 す る).3a,3bの

音 は2bの

限 ら な い.特

に,実

音 は,1bの

音 よ り強 い("音

音 波 は,f3a=f3b,A3a=A3bだ

際 に,わ

れ ぞれの音

の 対 の 音 波 は,

音 よ り 高 い.ま

の 強 さ"に

さ"は,音

た,

つ い て は次 項 で

か ら,高 さ も 強 さ も 同 じ だ

理 的 に は 高 さ と 強 さ が 同 じ 波 で も,音

れ わ れ の 耳 に 同 じ 高 さ,同

際 に 聞 こ え る"強

た,そ

とす る.ａ,ｂ

か ら,1aの

形 が 異 な る の で 音 色 が 違 う.物

が 異 な れ ば,実

名 づ け る.ま

幅 をA1a,A1b,…

他 の 二 要 素 は 同 じ で あ る.f1a>flbだ

が,波

聴 音 の 場 合,そ

れ ぞ れ を 決 め る の は 音 波 の 振 動 数(周 波 数),振

れ ら を音 の 三 要 素 と い う.い

図3.10に

音の三要素

色

じ強 さの 音 に 聞 こ え る とは の 好 み に 依 存 す る も の と思 わ

れ る.   例 え ば,図3.11の

左 側 に 示 す 基 本 音,倍

音 が 同 時 に,同

位 相 で 発 せ られ た と

図3.11 

図3.12 

音の波形

雑 音 の波 形

す れ ば,そ れ らの音 は複 合(合 成)さ れ(波 の 複 合 に つ い て は,6.2.1項

参 照),

右 側 に示 す よ うな 波 形 の 複 合 音 に な る.複 合 音 に対 し,左 側 に示 す よ う な単 一 の 周 波 数 か ら成 る音 を純 音 と よぶ.複 合 の 逆 に,右 側 に示 す 複 合 音 を フー リエ 変 換 な どの 手 法 で分 解 す れ ば,左 側 に示 す三 つ の 純 音 が 得 られ る こ と に な る. 前 節 で述 べ た よ うに,楽 器 の 音 は す べ て周 波 数 が 整 数 比 の 関 係 に あ る複 数 の純 音 か ら成 る複 合 音 で あ る.ま た,世 の 中 の音 の ほ とん ど も複 合 音 で あ るが,そ れ を構 成 す る純 音 の 周 波 数 間 に一 定 の 規 則 性 が な い場 合 が 多 い.規 則 正 し い周 波 数 の 音 は 耳 に快 い(こ の よ うな音 を楽 音 と よぶ)が,振

動 が 不 規 則 な 音(雑

音)は 不 快 感 を与 え る"騒 音"と な る.雑 音(騒 音)の 波 形 の一 例 を図3.12に 示 す.

3.2.2  音 の 強 さ   例 え ば,太 鼓 をた た い て音 を 出 す場 合,図3.13に た け ば弱 い音 が 出 る し(ａ),大

示 す よ う に,小 さ な 力 で た

き な力 で た た け ば強 い音 が 出 る(ｂ).そ

強 くた た く と太 鼓 の 皮 の 振 動 の 幅(つ の 幅 も大 き くな り,そ の 結 果,空

れ は,

ま り,振 幅)が 大 き くな り,空 気 の 振 動

気 の疎 密 の 差 が 大 き くな る か らで あ る.弱

く

た た く場 合 は逆 で あ る.   以 上 の例 で感 覚 的 に 理 解 で きた と思 うが,音 の 強 弱 は,音 波 が 伝 わ る媒 質(太 鼓 の 例 で は,空 気)の 振 動 の エ ネ ル ギ ー,つ

ま り,波 の エ ネル ギ ー の大 小 に関

係 す る の で あ る.振 幅 の 大 き さ も,波 の エ ネ ル ギ ー の決 定 要 素 の 一 つ で あ る. 縦 波 で あ る音 波 の エ ネ ル ギ ー Ｅ は,式(2.51)に

で 与 え られ る.音

の"強

さ"をIsと

示 され た よ う に

す れ ば,Isは,音

あ た り に 伝 え る エ ネ ル ギ ー で あ る か ら,結

局,Isは,式(2.52)と

図 3.13 

波 が 単 位 時 間,単

弱 い音(ａ)と 強 い 音(ｂ)

同 じ

位 面積

Is=vE=2π2ρf2A2v 

で 与 え ら れ る こ と に な る.つ Isはf2A2(=〔   い ま,音

ま り,媒

(3.14)

質 が 同 じ(ρ が 同 じ)で あ れ ば,音

の強 さ

振 動 数 〕2×〔 振 幅 〕2)に 比 例 す る こ と に な る. の 強 さ が 〔振 幅 〕2に 比 例 す る こ と を 述 べ た の で あ る が,実

の 疎 密 波 で あ る 音 波 の 強 さ は,"振

幅"よ

の 観 点 か ら 考 え ら れ る べ き で あ る.実

り も,図3.1に

際,わ

れ わ れ の 耳 は,音

に は 空 気)の

圧 力 変 化 と し て 感 知 す る の で あ る.

  そ こ で,一

般 的 に は,音

の 強 さ は 圧 力,つ

位 は 圧 力 の 国 際 単 位 パ ス カ ル(Pa)で

は,媒

示 し た よ う な"圧 を媒 質(一

ま り音 圧 で 表 わ さ れ る.音

あ る.音

圧 の 基 準 は,人

質 力" 般的

圧 の単

間 が 聞 き取 る こ

と が で き る 最 小 の 音 の 音 圧 に 相 当 す る20μPa(μ=10-6,20μPa=2×10-5N/ m2)に

定 め ら れ て い る.音

の 強 さIsは,音

圧 を Ｐ とす れ ば

(3.15) で与 え られ,〔音 圧 〕２ に比 例 す るが,音 の 強 さ を その ま ま音 圧 で 表 わ す こ とは 少 な く,上 述 の20μPaを

基 準 音 圧P0に

した 音 圧 レベ ル β を

(3.16) で 表 わ す の が 普 通 で あ る.音 圧 レベ ル β の 単 位 は デ シベ ル(dB)で わ れ が 日常 的 に耳 に す る さ ま ざ まな 音 の音 圧 レベ ル(dB)の

表3.1 

さ ま ざ まな 音 の 音 圧 レベ ル

＊ 個 人 差 が あ る.

あ る.わ れ

例 を表3.1に

示 す.

3.2.3  音

速

  音 は,図3.1に 圧 力 変 動(媒

明 瞭 に示 され る よ うに,媒 質 の疎 密 波 で あ り,具 体 的 に は,

質 の圧 縮 と膨 張)が

伝 播 す る現 象 で あ る.こ の こ とか ら も容 易 に

想像 で き る よ う に,音 が 伝 播 す る速 さ,つ

ま り音 速 は媒 質 の種 類 に よ って 異 な

る.   まず,最

も一 般 的 な 空 気 を代 表 とす る気 体 中 の 音 速 に つ い て 考 え て み よ う.

 気 体 中 の疎 密 波 の速 さｖ は,2.2.3項

で述 べ た よ うに

(2.28) で与 え られ る.Ｋ

は体 積 弾 性 率,ρ は 気体 の 密 度 で あ る.こ

こで ま ず,気 体 中

の音 速 は,温 度 と圧 力 に 依 存 す る こ とが 理 解 で き よ う.

(2.29) で あ る が,音 が 伝 わ る際 の 気 体 の 圧 縮 ・膨 張 は極 め て 短 か い 時 間 に行 な わ れ る ので,⊿Ｖ

の 体 積 変 化 に伴 な う熱 の 出入 りは無 視 して よ い.つ

は断 熱 的 現 象 の範 囲 で 考 え て よ い.そ 比(比 熱 比)を

ま り,音 の 伝 播

うす る と,気 体 の 定 圧 比 熱 と定 積 比 熱 の

γ,圧 力 を Ｐ とす れ ば

(3.17) とな り

(3.18) で音 速 が 与 え られ る.   こ こで,ｎ モ ル の 気 体 の 圧 力 を Ｐ,体 積 をＶ,絶

対 温 度 を Ｔ,気 体 定 数 を Ｒ

と した場 合 の (3.19) と い う気 体 の 状 態 方 程 式 を 思 い 出 し て 欲 し い.式(3.18)と

式(3.19)を

用 い

て,θ ℃ の 気 体 中 の 音 速 を 求 め る の で あ る.   ま ず,式(3.19)を

用 い る.

  音 波 の 媒 質 の 気 体 の0℃(273K)の θK)の

単 位 体 積 をＶ,圧

単 位 体 積 をV0,圧

力 を Ｐ とす れ ば,式(3.19)を

力 をP0,θ

℃(273+

変 形 し て 得 ら れ る 〈PV/

T=一

定〉 よ り

(3.20) と な り,V0=1/ρ0,

V=1/ρ

だ か ら,こ

れ ら を 式(3.20)に

代 入 し

した が っ て

(3.21) と な り,こ

れ を 式(3.18)に

代 入 す る と,媒

質 が θS℃の と き の 音 速 は

(3.22) で 与 え ら れ る.式(3.22)の こ れ をv0と

中 で√γP0/ρ0は0℃

に お け る 音 速 を 意 味 す る の で,

置 けば

(3.23) と な る.媒

質 の 気 体 の 温 度 が あ ま り高 くな く,1》

θ/273の

場合 は

(3.24) で近 似 され る.   媒 質 が 空 気 の 場 合,v0=331.6m/sが

実 測 さ れ て お り,こ

れ を 式(3.24)に

代

入 すれ ば (3.25)

と な る.つ

ま り,常

温(20℃)の

空 気 中 の 音 速 は343.6m/sと

な る.例

え ば,

夏 の 日 の 夜,花 火 が 見 え て か らｔ 秒 後 に 「ドー ン 」と い う音 が 聞 こ え た とす れ ば, そ れ は343.6tm先

の 花 火 で あ る こ と が わ か る.ま

た 同 様 に,稲 妻 が 光 っ て か ら

ｔ 秒 後 に 雷 の 「ゴ ロ ゴ ロ 」 と い う音 が 聞 こ え た ら,そ い う こ と が わ か る.こ

れ は343.6tm先

の よ う な こ と を 知 っ て お く と,日

の雷 だ と

常 的 に 何 か と便 利 で あ

る.   液 体 中 の 音 速 も,基 ま た,固

本 的 に は 気 体 の 場 合 と 同 様 に,式(2.28)で

体 中 の 音 速 も2.2.3項

与 え ら れ る.

で述べ た

(2.30) で与 え られ る.表3.2に,さ

まざ まな 物 質 の 常 温(20℃)に

お け る音 速 の測 定

値 の 例 を示 す. 表3.2 

さ ま ざ まな 物 質 中 の 音 速(20℃)

チ ヨ ッ ト休 憩 ● ３

動物の鳴き声   わ れ わ れ の 身 の ま わ りに は さ ま ざ ま な 音 が あ る.音 え る か ら"音"だ

と 思 っ て い た が,"聞

は,わ

れわ れの 耳 に聞 こ

こ え な い 音"も あ る こ と を 知 っ た 読 者 は

何 と な くヘ ンな 感 じ が す る の で は な い だ ろ う か.私

も 同 じで あ る.い

ざ ま な 音 に は"三

あ り,す べ て の 音 は,こ

れ らで説 明で きる こ とを知

理 的"に

い う こ と で あ る.結

要 素"が

っ た 。 しか し,こ れ は"物

説 明 で き る,と

ま,さ

ま

局,普

通 の 音 は わ れ わ れ 自身 の 耳 に 聞 こ え て は じめ て"音"と

して認 識す るの で ある

か ら,そ の 聞 こ え 方 に は 個 人 差 が あ っ て 当然 な の で あ る.つ せ られ る 音 と,感 い え ば,同

ま り,物 理 的 に 発

覚 的 に 聞 こ え る 音 と は 必 ず し も 同 じ で は な い.も

じも の と し て 扱 う こ と が で き な い(こ

の 真 髄 と し て 極 め て 興 味 深 い の で あ る が,そ

っと正 確 に

の へ ん の 話 は,「 現 代 物 理 学 」

れ は 本 シ リー ズ 『し た し む 量 子 論 』

な ど を 参 照 し て 欲 し い).   例 え ば,動

物 の 鳴 き 声 は,ど

こ の 国 で も 同 じは ず な の だ が,各

方 は ど う も そ れ ぞ れ 違 う ら し い.も て も,個 は"ワ ー"

ち ろ ん,例

々 の 犬 の 鳴 き 声 は そ れ ぞ れ 異 な る が,一

ン ワ ン"と い う こ と に な っ て い る.同

,鶏

え ば,同

は"コ ケ コ ッ コ ー"で あ る.こ

国人 の聞 こえ

じ犬 と い う 動 物 で あ っ

般 的 に 日 本 で は,犬

様 に,猫

は"ニ

の鳴 き声

ャ ア オ",牛

は"モ

れ ら の 動 物 の 鳴 き 声 を 文 字 で 書 く と き は,

この よ う に 書 く の で あ る.   と こ ろ が,面 が 異 な る.確

白 い こ と に,外

か に,例

え ば,犬

国 語 で は 表 に 示 す よ う に,動 の 場 合(私

くわ か る の だ が),そ の と き の 状 況 に よ っ て"ワ ン ワ ン","bow oauh","wau も,そ

wau",あ

る い は"wang

の よ う に 聞 こ え る."キ

す 各 言 語 の"鳴

き 声"は,そ

る 鳴 き 声 な の に 違 い な い.他 私 は ア メ リ カ で10年

wang"な

の 国 の 人 た ち(民

こ え 方"が

族)が,最

も"一

の 耳 に は,決

に示

般 的"と

感 じ

か し,

して"cock-a-doodle-doo"と

た りま え の 話 だ が,外

異 な る の で あ る.こ

て も 興 味 深 い こ と で あ る.

本人 に

ま り,表

は り,鶏 は"コ ケ コ ッ コ ー"と 鳴 い て

別 の 鳴 き 方 をす る わ け で は な い の で あ っ て,人

的 に,と

ど と鳴 く.日

の 動 物 の鳴 き 声 の 場 合 も 同 じ で あ ろ う.し

は 聞 こ え な か っ た の で あ る.あ

に よ っ て"聞

wow","oauh

ャ ン キ ャ ン"と 鳴 く こ と も あ る.つ

余 暮 し て い た が,や

い た(よ う に 聞 こ え た).私

物の 鳴 き声 の表 記

は 長 年 犬 と 一 緒 に 暮 して い る の で よ

種,民

れ は,人

国 にいる 動物 がそ れ ぞれ 族(あ

る い は"文 化"か)

類学 ある い は文化 人類 学

■演 習問題   3.1 

ピ ア ノ の 最 も高 い 音 の 振 動 数fhは

れ ら の ピ ア ノ 線 が 同 じ 太 さ,同 を 出 す ピ ア ノ線 の 長 さ を5[cm]と た,そ

最 も低 い 音 の 振 動 数f1の150倍

じ材 質 の も の で,同 し た と き,最

Ｃ,Ｄ

が あ る.管

数fnを

径 が2[cm]と3[cm]の

Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ

求 め よ.ｎ

よ う に 作 ら れ て い る.こ 温 が0℃

い く ら に な る か.そ   3.6  表3.2に

に お け る 基 本 音 の 振 動 数f1と

部 の 穴 を ふ さ い だ と き,気

温20℃

最初 の 倍 音 の振 動

に な る と,前問

れ は,20℃

よ れ ば,20℃

の フ ル ー トの 基 本 音(20℃

の 場 合 と比 べ,高 に お い て,淡

い 音 か,そ

す れ ば,こ

る か,た

水 と海 水 の 体 積 膨 張 率 は 同 じ と仮 定 す る.

  3.7  あ る 高 級 ス ピ ー カ ー は,30[Hz]∼18000[Hz]の き る と 宣 伝 し て い る.こ

基 本 音が 出 る

で264[Hz])の

振動 数 は

れ と も低 い 音 か.

水 中 の 音 速 は1440[m/s],海

水 の 密 度 を1[g/cm3]と

だ し,淡

の 理 由 を 考 え よ.

で264[Hz]の

の フ ル ー トの お よ そ の 長 さ を求 め よ.

と な っ て い る.淡

Pmax/Pを

策 を 考 え よ.

と一端 が 閉 じた閉 管

く を走 る 列 車 の 音 が 身 近 に 聞 こ え る こ とが あ る が,そ

  3.4  あ る フ ル ー トで は,全

も し,気

うす れ ば よ い か,対

金 属 製 開 管 Ａ,Ｂ

の 値 も示 す こ と.

  3.3  夜 に なる と,遠

  3.5 

の 気 温15℃

も高 い音

も 低 い 音 を 出 す ピ ア ノ 線 の 長 さ を 求 め よ.ま

の 結 果 が 現 実 的 か ど う か 考 え よ.非 現 実 的 で あ れ ば,ど

  3.2  長 さ が25[cm]で,内

と い わ れ て い る.こ

じ強 さ で 張 ら れ て い る と す る.最

水 中 で は1560[m/s]

の海 水 の 密度 は お よそ い くら と考 え られ

音 を ±3[dB]の

の ス ピ ー カ ー の 平 均 音 圧 を Ｐ と し た と き,最

音 圧 レベ ル で再 現 で 強 の 音 圧Pmaxと

求 め よ.

  3.8  マ イ ク ロ フ ォ ン は,音

を 電 気 信 号 に 変 換 す る 装 置 で あ る.そ

の 原 理 を 考 え よ.

の比

４ 電磁 波 と光

  光 は わ れ わ れ に と っ て空 気 や 水 と同 様 に 身 近 な もの で あ る.し

か し,あ

ま っ て 「光 と は何 か 」 と考 え る と,そ の 答 え は容 易 に 得 ら れ な い.事 正 体 は長 い 間,謎

らた

実,光

の

で あ っ た し,「 光 と は何 か 」 と い う疑 問 が 現 代 の 「物 理 学 」 を

推 進 し て き た と も い え る.   わ れ わ れ は,現 活 して い る.ま

在,太

た,わ

陽 の 光,電

灯 の 光 な ど さ ま ざ ま な 光 に 取 り囲 まれ て 生

れ わ れ の 周 囲 に は,テ

レ ビや ラ ジ オ な ど,さ

まざ まな情

報 を 運 ぶ 電 波 が 飛 び 交 っ て い る.最 近 で は 「光 通 信 」 と い う言 葉 もあ る よ うに, "光"も 情 報 の 運 び 屋 と して 大 き な 役 割 を果 た し て い る .一 見 同 じ よ う に は 思 え な い 光 も電 波 も,そ し て 赤 外 線,紫 外 線,Ｘ 線 な ど も同 じ 電 磁 波 の 仲 間 な の だ. また,こ

れ らすべ ての電 磁波 の速 さは

同 じ な の で あ る.不   本 章 で は,波

思 議 な こ と だ.

としての電磁 波 につ い

て 述 べ る.電 磁 波 は どの よ う に し て発 生 す る の か,そ

の 本 質 は何 か,な

どに

答 え る の は 簡 単 な こ とで は な い.い

ま

まで に 扱 っ て きた ロ ー プ を伝 わ る波 や 水 の 波,音

波 な ど と比 べ る と,電 磁 波

は 実 に わ か りに くい 波 で あ る.そ

の理

由 の 一 つ は 電 磁 波 が 目 に見 え な い こ と で あ る.ま

た,電

磁 波 の 伝 播 に は媒 質

が 不 要 で あ る,と

い う波 と し て の 特 殊

性 も電 磁 波 が わ か りに くい 理 由 の 一 つ で あ る.ま

ず,電

磁 波 を理 解 す る た め

の 基 礎 と し て,電

場,磁

単 に 説 明 す る.そ

し て,電

場 に つ い て簡 磁波 の し く

み,本 質 に 触 れ,光 に つ い て も述 べ る.

  アン ドロメダ星雲 (東大 ・天文センター木 曽観測 所撮影)

4.1  電 磁 波 4.1.1  電 磁 場 ■"場"の

概念

  い ま まで,さ

まざ ま な波 を 扱 っ て きた.弾 性 体 を伝 わ る縦 波 や横 波 で あ る.

繰 り返 し述 べ た よ う に,波 は,媒 質 の振 動 が 伝 わ る現 象 で あ り,ま た,媒

質の

あ る部 分 に与 え られ た エ ネル ギ ー が 伝 わ る現 象 で あ る.波 とい う現 象 に 限 らず, 棒 の 一 端 を押 せ ば,他 端 に力 が伝 わ る し,ロ ー プ の 一端 を引 っ張 れ ば,他 端 も 引 か れ る.つ

ま り,物 質(媒 質)さ え あ れ ば力,エ

ネ ル ギ ー が伝 わ る の で あ る.

例 え ば,テ ー ブル の上 に 置 か れ た ビ ン を棒 で 押 せ ば,そ の ビ ン は動 くか,倒

れ

るだ ろ う.こ れ は,棒 を媒 介 と して 力 が 作 用 した か らで あ る.と

間

こ ろが,空

をい く ら押 して も ビ ン は倒 れ な い.力 が 伝 わ ら な い か らで あ る(厳 密 に は,空 気 とい う媒 質 を介 し て,微 小 な力 が 伝 わ る の で あ るが,そ 無 視 で き る ほ ど小 さ い).と が 現 わ れ るが,そ

れ は ビ ン に対 し て は

きお り,「 念 力 」 で ビ ン を倒 す とい う 「超 能 力 者 」

れ は"マ ジ ッ ク"の 類 の 「能 力 」 と い う力 に よ る もの と思 わ

れ る.い ず れ に せ よ,物 質 を 介 し て力 が伝 わ る こ と は,わ れ わ れ が 日常 的 に 経 験 す る こ とで,こ

れ に は異 論 を は さ む余 地 が な い.

  ま た,手 で 持 っ た物 体 を空 間 で 放 す と,そ の 物 体 は落 下 す る.ま た,野 球 の 打 球 は,ド ー ム 球 場 の天 井 に引 っ掛 か る よ うな こ とが な い 限 り,必 ず落 下 す る. この よ うな こ と も,わ れ わ れ が 日常 的 に経 験 す る こ とで,異 論 を は さむ 余 地 が な い の だ が,よ

く考 え て み れ ば,こ れ は不 思 議 な こ とで はな いか.物

体が落 下

す る とい う こ とは,そ の物 体 に下 向 きの 力 が加 わ っ て い る と い う こ とで あ る. 上 述 の よ うに,力 ず で あ る.と

を伝 え る(作 用 さ せ る)に は,媒 介(物 質)が

こ ろが,落 下 す る物 体 に,そ

て い るわ け で はな い.つ

の よ うな 物 質(棒

必 要 だ った は

や ロー プ)が つ い

ま り,落 下 す る物 体 は,上 か ら棒 で押 され て い るわ け

で もな けれ ば,下 か ら ロ ー プ で 引 っ張 られ て い るわ けで もな い の で あ る.   実 は,わ れ わ れ は,物 体 が落 下 す る の は"万 有 引 力"の た め で あ る こ と を知 っ て い るの で あ る.ニュ ー トン が 明 らか に した よ うに,宇 宙 の す べ て の物 体 は, 宇 宙 の 他 の す べ て の物 体 を 引 っ 張 っ て い る,つ

ま り,す べ て の物 体 は,他 の す

べ て の物 体 に引 力 を及 ぼ す の で あ る.こ れ が 万 有 引 力 の 法則 で あ り,そ の力 の

大 きさ は引 き合 う両 物 体 の 質 量 に比 例 し,両 物 体 間 の距 離 の ２乗 に反 比 例 す る. これ を 式 で 表 わ せ ば

(4.1) とな る.Ｆ

は,質 量 がm1とm2の

の 距 離 で あ る.ま た,Ｇ Nm2/kg2と

物 体 に働 く力(引 力)で あ り,ｄ は 両物 体 間

は,万 有 引 力定 数 と よば れ る定 数 で, G=6.67×10-11

い う値 を持 って い る.例 え ば,質 量1kgの

に あ る と き,そ の 物 体 に働 く引 力 は,6.67×10-11Nと

物 体 が ２個,1mの

距離

い う こ とに な る.こ の よ

う に,質 量 に よっ て 生 じる力 を重 力 とよ ぶ."重 力"は 狭 い 意 味 で は,地 球 上 の 静 止 して い る物 体 が 地 球 か ら受 け る力 の こ とで あ り,地 球 の万 有 引 力 が 主 で あ るが,地

球 の 自転 に基 づ く向 心 力 も加 わ る.向 心 力 は赤 道 上 で 最 大 に な る が,

そ の場 合 で も,引 力 の1/290に

す ぎ な い.こ

こ で は,"重

力"を 地 球 に 限 らず,

一 般 の 万 有 引 力 の 意 味 で使 う こ とに す る.   い ま述 べ た よ う に,重 力 は,宇 宙 の す べ て の物 体 間 に作 用 す る力 で あ る.つ ま り,重 力 は 直 接 的 に,あ み な らず,接 い が,そ

る い は媒 質 を通 して 間 接 的 に接 触 し て い る物 体 間 の

触 して い な い物 体 間 に も作 用 す る 力 で あ る.重 力 は 目に は見 え な

れ が,あ

る種 の"力"で

生 じ る重 力(引 力)を 図4.1に

あ る こ とは確 か で あ る.い

ま,球 形 の物 体 に

示 す よ うな 架 空 の 力線 で表 わ し て み よ う.図4.

（ａ）

（ｂ）

図4.1 

球 形 の 物 体 に 生 じ る重 力 を 表 わ す力線

図4.2 

２個 の物 体 が 作 る力 線

１は球 の 中 心 を含 む 断 面 を表 わ して い る.物 体 に生 じ る重 力 は,球 の 中 心 に 向 か う直 線(力

線)で 表 わ され,力

線 の数 は,物 体 の質 量 に比 例 す る.図4.1に

示

す 物 体 の 力 線 が 全 部 でＮ 本 あ った とす る.球 の 中 心 か ら半 径ｒ の 球 の 表 面 積 は4πr2だ か ら,そ の球 表 面 上 の 力 線 の面 密 度 はN/4πr2で (引 力)Ｆ

あ る.つ ま り,重 力

の大 き さ は距 離 の ２乗 に反 比 例 す る こ と に な り,式(4.1)と

定性 的

に一 致 す る.図 に示 さ れ る球 表 面 Ａ と Ｂに お け る力 線 の 面 密 度 を比 較 す れ ば, この こ と を視 覚 的 に理 解 で き るだ ろ う.   次 に,図4.2(ａ)に

示 す よ う な完 全 に独 立 す る質 量m1とm2(m1>m2)の

物

体 に生 じ る重 力 の 力 線 を考 え る.万 有 引 力 の 法則 に よれ ば,宇 宙 の す べ て の物 体 が 互 い に 引 力 を及 ぼ し合 っ て い るの で,"完 全 に独 立 す る"２ 物 体 を描 く図4. 2(ａ)は 架 空 の 図 で あ る.例 えば,m1:m2=3:2と 例 す るの で,図4.2で

は,m1の

す る.力 線 の 数 は 質 量 に比

物 体 の力 線 を12本,m2の

物 体 の 力 線 を ８本 に

して あ る.こ れ らの 物 体 が 互 い に作 用 した場 合 の 力 線 の様 子 は 図4 .2(ｂ)の よ うに な る.こ れ らの物 体 間 の距 離 が ｄ で あ れ ば,こ れ らの物 体 に生 じ る重 力(引 力)Ｆ

は,式(4.1)で

与 え られ る こ とに な る.

  この よ う に,重 力 が 作 用 す る の は 空 間 で あ り,物 質 的 な 媒 質 で はな い.何 か, あ る物 理 量 に よ っ て変 化 が 生 じ る よ うな 空 間 を"場"と

よぶ."場"を

物理 的 に

定 義 す れ ば 「一 つ の量 Ａ が 空 間 の あ る領 域 で 各 点 の 関数 と し て一 義 的 に決 定 さ れ る と きの Ａ」 で あ る.い

ま上 に述 べ た 重 力 が作 用 す る"場"は,質

て 引 き起 こ され る力(重 力)に よ っ て変 化 す る空 間 な の で,重

量 に よっ

力場 とよ ば れ る.

  物 理 学 の特 徴 の 一 つ は,"物 質"だ け を問 題 に す る の で はな く,こ の よ う な"場" と よ ばれ る空 間 を も問 題 に す る こ とで あ る.一 般 的 に,諸 科 学 は,"物 質"だ け を対 象 とす る の で あ るが,物 象 とす る の で あ る.そ

理 学 は"場",つ

こに,物 理 学 の,他

ま り空 間 の 性 質 や か ら く りを も対 の科 学 に な い 面 白 さ と難 しさ が あ る

よ う に思 わ れ る. ■電

場

  わ れ わ れ は,図4.3に

示 す よ う に,同 種 の 電 荷 に は互 い に反 発 す る斥 力 が 働

き,異 種 の 電 荷 に は互 い に 引 き合 う引 力 が働 く こ とを知 って い る.そ れ は,両 電 荷 間 に働 く電 気 力 とい う力 の た め で あ る.こ の 電 気 力 も,上 述 の重 力 と同様 に,何

らか の 物 質 を媒 介 とす る こ とな く,空 間,つ

ま り"場"で

作用 す るので

（ａ ） 図4.3 

（ｂ ）

電 気 力.（ ａ）斥 力,（ ｂ）引 力

図4.4 

電荷 Ｑの電気力線

あ る.   電 気 力 も重 力 と同 様 に,直 接 見 る こ とは で き な い が,図4.4に 電 気 力線 を用 い て 考 え る こ とが で き る.図4.4は,図4.1と を含 む 断 面 を表 わ して い る.正

示 す よ う に,

同様 に,球 の 中 心

に帯 電 した 架 空 の小 球(+Q)の

周 囲 に は,電 気

力 線 で表 わ され る電 気 力 が 生 じて い る.正 の 電 荷 の 電 気 力 線 は,球

の中心か ら

外 側 に放 射 状 に 向 か う直 線 とす る.電 荷 の 強 さ は電 気 力 線 の 数 に比 例 し,い ま, Ｑ 本 の電 気 力 線 が あ る とす る.中 心 か ら半 径ｒ の距 離 の 球 面 上 の電 気 力 線 の 面 密 度 は,重 力 の 場 合 の 力 線 の面 密 度 と同様 に,Q/4πr2で

あ る.こ こで

(4.2) を電 界 と定 義 す る.ε は誘 電 率 と よば れ,電 荷 が あ る 空 間("場")の 性 質 に よっ て 決 ま る定 数 で あ る.電 媒 定 数 と もい わ れ る.こ

の よ う に,電 荷 に よ っ て何 ら

か の 変 化 が与 え られ,そ の 変 化 を媒 介 と して電 気 力 が 働 く図4.4に うな"場"を

示 され る よ

電 場 と よぶ.

 電 荷 Ｑ に よ っ て 生 じ る電 場 も,基 本 的 に は,質 量 ｍ の物 体 に よ っ て 生 じ る重

（ｂ）

（ａ ）

図4.5 

正 の 電 荷 （ａ）と負 の 電 荷 （ｂ）

（ａ ） 図4.6 

（ｂ ）

２個 の 電 荷 に生 じる電 気 力 線.（ ａ）同種 電 荷,（ ｂ）異 種 電 荷

力 場 と同様 な"場"と

して扱 う こ とが で き る.し か し,電 荷 が 物 体 と決 定 的 に

異 な る の は,図4.3に

示 した よ うに,正

と負 の ２種 類 の 電 荷 が あ り,電 気 力 に

は斥 力 と引 力 の正 ・負 の力 が あ る こ とで あ る.い ず れ の 電 荷 の 基 本 単 位 もｑ で 等 しい が,符 号 が 反 対 で あ る.そ こで,図4.5(球

状 空 間 の 断 面)に 示 す よ う に,

正 の電 荷 と負 の電 荷 の 電 気 力 線 の 向 き を,そ れ ぞ れ 逆 に決 め て お く.   図4.2に

示 した ２個 の物 体 の 場 合 と同 様 に,２ 個 の電 荷Q1,Q2が

相 互 に影 響

を及 ぼ す 場 合 の 電 気 力 線 の様 子 を考 えて み よ う.話 を簡 単 に す る た め に,￨Q1￨= ￨ Q2￨=￨Q￨と す る.電 荷 が 同種 の場 合,例 え ば,+Qと 4.6(a)の

よ う に な る（-Qと-Qの

の パ タ ー ンは 同 じ に な る）.ま た,+Qと-Qの よ う に な る.図4.6(a),(ｂ)は の 様 子 を示 して い る こ とに な る.

＋Qの

場 合,電 気 力 線 は 図

場 合 も,力 線 の 向 きが 異 な る だ けで,力 線 異 種 電 荷 の場 合 は 図4.6(b)の

そ れ ぞ れ,図4.3(a),(ｂ)の

場合 の電気 力線

  一 般 的 に,Q1とQ2の

電 荷 が 距 離ｄ の 間 隔 で 存 在 す る と き,そ れ らの 電 荷 に

働 く電 気 力 Ｆ は

(4.3) で 与 え られ る.こ (+)の

れ は,ク

ー ロ ン の 法 則 と よ ば れ る.ｋ

値 の 場 合 は 斥 力(図4.3(ａ)),(-)の

で あ る.こ

こ で,式(4.1)と

う の で あ る(し

か し,前

を 比 べ て み る と,そ

ま り,電

述 の よ う に,電

Ｆ が

値 の 場 合 は 引 力(図4.3(ｂ))

式(4.3)と

な っ て い る こ と に 気 づ く だ ろ う.つ

は 定 数(後 述)で,

気 力 は,重

れ らが 同 じ形 に

力 と同 じ形 の 法 則 に従

気 力 に は 正 ・負 の 力 が あ る こ と が 重 力

と異 な る).   さ て,式(4.2)で 空 間 に,Ｑ'の

与 え ら れ る 電 界 の 空 間,つ

電 荷 を 置 い た と す る と,そ

ま り,図4.4に

の 電 荷Q'が

示 され る よ うな

受 け る力 Ｆ は

(4.4) と な る.式(4.4)で

表 わ さ れ る 力 Ｆ は,と

つ ま り,式(4.3),(4.4)よ

り も な お さ ず 式(4.3)の

Ｆ で あ る.

り

(4.5) で,定 数ｋ が与 え られ る. ■磁

場

  わ れ わ れ は,小

さい 頃 か ら,同 極(Ｓ

極 同 士 ま た は Ｎ 極 同 士)の 磁 石 は反 発

し合 い,異 極(Ｓ 極 とＮ 極)の 磁 石 は引 き合 う,と い う事 実 を知 っ て い る.こ こ に も,直 接 目 で見 る こ と は で きな い が,磁 気 あ る い は磁 力 とい う力 が働 い て い る の で あ る.磁 力 も"場",つ

ま り,磁 場 で 作 用 す る.

  最 も身 近 な 磁 石 は馬 蹄 形 磁 石 と棒 磁 石 で あ り,例 え ば棒 磁 石 の 磁 力 を,電 気 力線 と同様 の 磁 力 線 で表 わ す と図4.7の

よ うに な る.磁 力 線 は,Ｎ 極 か ら出 て

Ｓ極 に入 る,と 決 め られ て い る.磁 気 は電 気 と ま った く同様 に 考 え る こ とが で

図4.7 

棒磁石の磁力線

き る.つ ま り,磁 気 力 に は,電 気 力 と同 じ法 則 が成 り立 つ の で あ る.図4.4,4. 6で 電 荷 Ｑ を磁 荷 Ｍ に 置 き換 えて 考 えれ ば よい.   大 き さが Ｍ とM'の

磁 荷 が距 離ｄ の位 置 に あ る と き,こ れ らの 磁 荷 の間 に

働 く力 Ｆ は

(4.6) で 与 え ら れ る.μ

は 電 気 の 場 合 の 式(4.4)に

お け る誘 電 率 ε に 相 当 す る も の で

透 磁 率 と よ ば れ る 磁 場 特 有 の 定 数 で あ る.式(4.6)も

式(4.4)の

よ うに

(4.7) と置 き

(4.8) と書 け る.式(4.2)が,電

荷 Ｑ が作 る電 界 Ｅ を意 味 した の に対 し,式(4.8)

は,磁 荷 Ｍ が 作 る磁 界 Ｈ を意 味 す る.つ ま り,磁 荷 と電 荷,磁

界 と電 界,透

磁 率 と誘 電 率 が そ れ ぞ れ 対 応 し て お り,電 気 と磁 気 は ま った く対 等 な現 象 とみ な す こ とが で き る の で あ る.

4.1.2  電 磁 波 の 発 生 ■電磁相互 作用   い ま,電 気 と磁 気 が ま っ た く対 等 な現 象 と み なせ る こ とを述 べ た.ま

た,以

下 に述 べ る よ う に,電 気 と磁 気 は互 い に作 用 を及 ぼ し合 う電 磁 相 互 作 用 を持 つ.   まず,運 動 す る電 荷,つ ま り電 流 は磁 場 を作 り出 す.図4.8(a)に

示 す よ うに,

図4.8  （ａ ）

（ｂ ）

（ａ ）

図4.9 

直 線状 電 流 に よ る磁 場 の発 生.（ａ）電 流 と 磁 力線,（ ｂ）電 流 と磁 力 線 の 向 き

（ｂ ）

ル ー プ状 電 流 に よ る磁 場 の 発 生.（ ａ）電 流 と磁 力 線,（ ｂ）電 流 と磁 力 線 の 向 き

直 線 状 の 電 流 の場 合,同

心 円状 の磁 力 線 で 表 わ され る磁 場 が 生 じ る.（ ｂ）に 示

す よ う に,右 手 の親 指 の 向 き を電 流 の 向 き とす れ ば,導 線 を囲 む他 の ４本 の 指 の 向 きが 磁 力 線 の 向 き に な る.ま た,導 線 をル ー プ状 に す れ ば,図4.9（a） す よ う に,図4.8（a）

に示

で 導 線 を 取 り巻 い て いた 磁 力 線 は ル ー プ の 内 側 で 束 状 の

磁 束 とな る.こ の と き の 電 流 と磁 力 線 の 向 き も,図4.8（b）

の 場 合 と 同 様 に,

図4.9（b） に示 さ れ る.   い ま,電 荷 の 運 動 に よ る磁 場 の 発 生 に つ い て 述 べ た の だ が,次 に述 べ る の は, 逆 に,磁 荷 の運 動 に よ る電 流 の 発 生 に つ い て で あ る.   図4.10に

示 す よ う に,コ イ ル状 の 導 線 の 中 に磁 石 を 出 し入 れ す る,つ

ま り,

コ イ ル の 中 で 磁 荷 を運 動 させ る と,コ イ ル に電 気 が 流 れ る の で あ る.こ の 現 象

図4.10 

電 磁 誘 導 に よる 電 流 の 発 生

を電 磁 誘 導 とよ ぶ が,電 磁 誘 導 は,導 体 と磁 場 の相 対 運 動 だ け に よっ て 決 ま る. した が っ て,図4.10で,磁

石 を動 か す 代 りに コイ ル を 動 か し て も同 じ こ とで あ

る.電 磁 誘 導 に よ っ て生 じ る電 流 の 向 きは 図 中(ａ)の 磁 石 が 挿 入 され る場 合 と (ｂ)の 引 き出 さ れ る場 合 で は 逆 に な る.コ イ ル 内 の磁 場 の 変 化 に 逆 ら う,い い 換 えれ ば,コ

イ ル 内 の磁 場 の 変 化 を打 ち 消 す よ う な磁 場 が 発 生 す る向 きの電 流

が 生 じ るの で あ る.図4.9と

図4.10を

よ く見 比 べ て,自 分 自身 で,電 磁 誘 導 に

よ っ て生 じ る電 流 の 向 きを確 認 して 欲 しい. ■電磁波 の発生   電 場 の 変 化 は磁 場 を作 り,磁 場 の 変 化 は電 場 を作 る.も

し,は じ め に電 場 の

変 化 が 作 り出 され れ ば,そ れ は磁 場 の変 動 を作 り出 す,そ

して,そ の 磁 場 の変

動 は電 場 の 変 動 を作 り出 す,そ

して … … とい う よ うに,電 場 と磁 場 が 交 互 に相

手 を作 り出 しな が ら空 間("場")を

伝 わ って い くは ず で あ る.そ の 変 化 が周 期

的 で あ れ ば,そ れ は波 とな るだ ろ う.こ れ が 電 磁 波 で あ る.   電 磁 波 を発 生 させ る に は,上 述 の よ う に,電 場 と磁 場 を変 動 させ る必 要 が あ る.図4.11を   図4.11(a)に

参 照 しな が ら,電 場 と磁 場 の発 生 の し くみ を 考 え よ う. 示 す よ うな 構 造 の 導体 Ａ,Ｂ

（これ は"ア ン テ ナ"の 基 本 構 造

で あ る)を 考 え る.電 源 と して は,例 え ば電 池 を考 え れ ば よ い.ス じた瞬 間 に,導 体 Ａ は正 に 帯 電 し,導 体 Ｂ は負 に帯 電 す る.す

イ ッチ を閉

る と,(ｂ)の 電

気 力 線 で 示 さ れ る よ う な電 場 が 発 生 し,同 時 に,紙 面 に垂 直 な 方 向 の磁 力 線 (〓 は紙 面 に 向 か い,(〓 は紙 面 か ら出 て くる磁 力 線 を示 す)で 示 され る よ うな磁 場 が 発 生 す る(図4.8参

照).次

源 に つ な い だ とす れ ば,図4.12に

に,図4.11(a)の

よ う な"ア ン テ ナ"を 交 流 電

示 す よ う に,電 気 力 線 の 向 きが 交 互 に変 わ り

（ａ）

（ ｂ） 図4.11 

電 場 と磁 場 の 発 生

図4.12 

電 場 と磁 場 の 伝 播

図4.13 

電磁 波

(1.2.4項 参 照),し た が っ て磁 力 線 の 向 き も交 互 に変 わ り,そ れ が 周 期 的 に 押 し 出 され る こ と にな る.つ

ま り,電 気 力 線 と磁 力 線 は互 い に直 交 しつ つ 電 場 と磁

場 が 伝 播 す る.こ れ が電 磁 波 で あ る.以 上 の 考 察 か ら も明 らか な よ う に,電 磁 波 は,電 場 と磁 場 とい う"場"の

波 で あ り,波 を伝 え る媒 質 を必 要 と しな い.

つ ま り,電 磁 波 は真 空 中 で も伝 わ る の で あ る.

  そ の電 磁 波 を交 流 波 形(図2.13(b))に な る.電 界 の強 さ,磁 界 の強 さ,そ 距 離)を

合 わ せ て表 わ せ ば,図4.13の

して 電 磁 波 の 進 行(あ

ように

るい は 出発 点 か らの

示 す軸 は互 い に直 交 す る.電 界 お よ び磁 界 の 強 さ は それ ぞ れ進 行 方 向

に直 交 す るベ ク トル で表 わ され る.つ

ま り,電 磁 波 は進 行 方 向 と振 動 方 向 が 垂

直 な横 波 で あ り,音 波 の よ うな 縦 波(図2.10)と

は 異 な る.上 述 の よ うに,電

磁 波 は媒 質 を必 要 と しな い(昔

よば れ る架 空 の 媒 質 が 考 え ら

は"エ ー テ ル"と

れ て い た)真 空 中 を も伝 播 す る縦 波 で あ る.

4.1.3 

電磁波 の波動方程 式

  電 磁 波 は,図4.13に 図4.14に 磁 波(平

示 し た よ う な"場"(電

示 す よ う に,ｘ 軸 方 向 に 進 む 電 界Ezと 面 波)を

考 え る.Ez,Hyは

場 と磁 場)の

波 で あ る.い

磁 界Hyの

ま,

成分 の みを持 つ電

正 弦 波 と し て,式(2.8)か

ら

(4.9) (4.10) と表 わ さ れ る.こ れ らの 式 とマ ック ス ウェ ル の 方 程 式(本 電 磁 気 』 第 ３章,第 ５章 参 照)か

シ リー ズ 『した しむ

ら

(4.11)

(4.12) が 得 ら れ る.こ

こ で,μ0は

真 空 の 透 磁 率,ε0は

の 両 辺 を さ ら に ｘ で 微 分 し て 式(4.12)を

図4.14 

真 空 の 誘 電 率 で あ る.式(4.11)

代 入す る と

電磁波の解析概念図

(4.13) 同 様 に,式(4.12)を

ｘ で 微 分 し,式(4.11)を

代入 す る と

(4.14) が 得 ら れ る.   こ こ で,式(4.13),(4.14)は,式(2.16)と

同 形 に な っ て い る こ と に気 づ

くだ ろ う.そ

こ で,式(4.13),(4.14)を

電 磁 波 の 波 動 方 程 式 と よ ぶ の で あ る.

式(4.13)に

式(4.9)を,式(4.14)に

式(4.10)を

そ れ ぞ れ 代 入 す る と,

(4.15) が 導 か れ る.電 磁 波 の速 さ をｃ とす れ ば

(4.16) が 得 ら れ る.ε0,μ0は,そ

れ ぞ れ ε0=8.85×10-12[C2/N・m2](ま

μ0=4π ×10-7[N・S2/C2](ま 荷,Ｆ(フ

ァ ラ ド)は

た は[H/m])で

電 気 容 量(ま

タ ン ス の 単 位 で あ る.こ

あ る.た

だ し,Ｃ(ク

た は 静 電 容 量),Ｈ(ヘ

れ ら の 定 数 を 式(4.16)に

た は[F/m]), ー ロ ン)は 電

ン リー)は

イ ンダク

代入 する と

(4.17) が 求 ま る.こ の 値 に見 覚 えが あ る に違 い な い.こ れ は,実 に,よ 速 と同 じ値 な の で あ る.そ

く知 られ た 光

して,こ の 値 以 上 の速 さ を持 つ もの は存 在 し な い こ

とを相 対 性 理 論 が 教 えて い る.

4.1.4  電 磁 波 の 種 類   電 磁 波 は,電 界(電

気 力 線)と 磁 界(磁 力 線)が

伝 播 す る"場"の

波の総称

で あ る.し か し,そ の 波 長 は さ ま ざ まで あ り,波 長 が 異 な る と,波 と し て の性 質,具 体 的 に は物 理 的 性 質 が著 し く異 な る.そ こで,電 磁 波 は 従 来 よ り図4.15 に示 す よ うに,波 長 の 長 さ に従 って さ ま ざ まな名 称 で よ ば れ て お り,ま た,そ れ ら の用 途 も さ ま ざ まで あ る.一 般 に,波 の速 さｖ は,波 長 を λ,周 波 数(振 動 数)をｆ

とす れ ばv=λ

か ら,図4.15に

・fで あ り,上 述 の よ う に,電 磁 波 の速 さｃ は不 変 だ

示 す よ う に,波 長 が決 まれ ば,f=c/λ

で周 波 数 は一 義 的 に決

図4.15 

さ ま ざ まな 電 磁 波 と それ ら の用 途(波

形 は概 念 的 な もの で,実 際 の波 長 を 反 映 して い な い)

ま る の で あ る.   次 節 で述 べ る光 は電 磁 波 の 一 種 で あ る.光=電 磁 波 と考 え る こ と もあ るが, 一 般 的 な"光"は ,狭 義 に は,わ れ わ れ の 目 に 見 え る可 視 光 線 の こ とで あ る. "光"を 赤 外

,紫 外 の部 分 まで 拡 張 し,赤 外 光,紫 外 光 とい う こ と も あ る.ま た,

電 波 も電 磁 波 の 中 の一 領 域 の 名 称 で あ り,一 般 に,電 磁 波 の う ち で 波 長 が 長 く, 通 信 に用 い られ る もの を指 す.   と ころ で,日 食 は,図4.16(a)に

示 す よ うに,月 が 地 球 と太 陽 との 間 に き て

太 陽 光 線 を さ え ぎ る現 象 で あ るが,こ れ は,肉 眼 で も,例 え ば 図4.16(b)の うに 観 察 で き る.私

よ

も,ガ ラス に ス ス をつ け た よ う な もの で観 察 した こ とが 何

度 か あ る.肉 眼 で 見 る(ｂ)の よ う な像 は,当 然 の こ となが ら,可 視 光 線 に よ る 像 で あ る.と

こ ろが,わ

れ わ れ の 目 に 見 え な い"不 可 視 光"で

日食(太

陽)を

観 測 す れ ば,可 視 光 とは異 な る像 が 得 られ る は ず で あ る.口 絵 １は,部 分 日食 を 日本 の 宇 宙 科 学 研 究 所 の 太 陽 観 測 衛 星 「よ う こ う」 が Ｘ線 観 測 装 置 で撮 影 し た もの で あ る.白 い部 分 は Ｘ線 が 強 い領 域 で あ る.太 陽 で は,温 度 約6000℃ 光 球 の 上 に100万

の

℃ を越 す プ ラズ マ 状 の 高 温 コ ロ ナ が 拡 が っ て い る.Ｘ 線 は こ

（ａ ）

（ｂ ）

図4.16 

日食.（ ａ）原 理,（ ｂ）可 視 光 に よ る観 測

の プ ラ ズ マ に よっ て 放 射 さ れ て い る もの で,肉 眼(可

視 光)で

は一 様 に見 え る

太 陽 が部 分 的 に不 均 一 な活 動 を し て い る様 子 が 非 常 に よ くわ か る.こ の よ うな Ｘ線 の ほ か に,宇 宙 か らは さ ま ざ まな電 磁 波 が 飛 来 して お り,可 視 光 線 を観 測 す る光 学 望 遠 鏡 で は得 られ な い 情 報 が,電

波 望 遠 鏡 や Ｘ線 望 遠 鏡 で 得 られ て い

る の で あ る. 4.2

4.2.1

光

光 の速 さ

  人 類 史 の ほ と ん どの期 間,光 速 は無 限 大 の もの と考 え られ て い た.現 代 の わ れ わ れ の 日常 生 活 に お い て も,そ の よ う に考 え て何 ら支 障 は な い.か の デ カル トも 『屈 折 光 学 』(1637年)の い る ほ どで あ る.古 来,少

中 で,「 光 の 伝 播 に は時 間 を 要 さ な い」 と書 い て な か らず の 科 学 者 が 光 速 の測 定 を試 み た もの と思 わ

れ るが,記 録 に残 る 最 初 の 人 物 は ガ リレオ(1564-1642)か レオ は 『新 科 学 対 話 』(1638年)の

も知 れ な い.ガ

リ

中 に,十 分 離 れ た 丘 に ラ ン プ を持 った 助 手 を

立 た せ て,自 分 の ラ ン プ の光 を 見 た らす ぐに ラ ン プ の覆 い を は ず させ る こ とに よ っ て光 速 を測 定 し よ う と した こ と を書 い て い る.し か し,光 は速 す ぎ て,こ

の 方 法 で光 速 を得 る こ と はで きな か っ た .   最 初 に実 効 的 な光 速 の 値 を得 た の は デ ン マ ー ク の 天 文 学 者 レー マ ー 1710） で あ る.レ

ー マ ー は,ガ

つ ま り,約42.5時 オ は1610年

リ レ オ の 地 上 の 実 験 を 宇 宙 の ス ケ ー ル に 変 え た.

間 の 周 期 で 木 星 の ま わ り を 公 転 す る 衛 星 イ オ(実 は,こ

のイ

に ガ リ レ オ に よ っ て 発 見 さ れ た も の で あ る)を 観 測 す る こ と に よ っ

て,約2.2×108m/sの %ほ

（1644-

光 速 を 得 た.こ

ど の 誤 差 を 持 つ が,17世

れ は 現 在 知 られ て い る 光 速 と比 べ れ ば27

紀 末 に,科

学 的 な方 法 で初 めて 光 速 を得 た こ との

意 義 は 極 め て 大 き い.   地 上 の 実 験 室 で,初 ィ ゾ ー （1819-1896） の 後,幾

め て 光 速 の 測 定 に 成 功 し た の は,フ で あ る.彼

は,1849年

ラ ン ス の物 理 学 者 フ

に,c=3.12×108m/sを

多 の 科 学 ・技 術 的 発 展 に よ り,現

在 で は,真

得 た.そ

空 中 の 光 の 速 さｃ は

(4.18) と認 め られ て い る.実 は,式(4.17)で

示 した電 磁 波 の 速 さ が求 め られ た の は,

実 験 的 に光 速 を求 め て か ら数 世 紀 も後 の こ と なの で あ る が,光 の 速 さ と電 磁 波 の 速 さ が ピ ッ タ リ と一 致 した こ と は,ま

さに"驚 異"以 外 の 何 もの で もな い.

つ ま り,光 は電 磁 波 に ほ か な らな い,と

い う結 論 に達 した の で あ る.こ れ は,

1871年 の こ と だ っ た.前 述 の よ う に,電 磁 波(光)の

速 さｃ は,あ

の 速 さ の上 限 で あ る こ とが ア イ ン シ ユ タ イ ン(1879-1955)の

らゆ る もの

相 対 性理 論 に よ

って 明 らか に され て い る が,そ れ は 無 限 大 で はな か った.   と こ ろ で,本 章 の 扉 に ア ン ドロ メ ダ 星 雲 の光 学 望 遠 鏡 写 真 を示 した が,こ

の

ア ン ドロ メ ダ星 雲 は地 球 か ら200万 光 年(１ 光 年 は,光 が １年 間 に真 空 中 を進 む距 離 で 約1013km)の

か な た に あ る.つ

ま り,こ の 写 真 は,200万

ドロ メ ダ星 雲 を発 した 光 の像 で あ り,200万

年前 にア ン

年 前 の ア ン ドロ メ ダ 星 雲 の 姿 を示

す もの で あ る.そ れ か ら200万 年 後 の現 在 も,こ の ア ン ドロ メ ダ 星 雲 が 存 在 し て い る保 証 は な い の で あ る.地 上 で は,ア ン ドロ メ ダ星 雲 の 現 在 の様 子 は200万 年 後 に な っ て み な けれ ばわ か らな い の で あ る.現 在 の 天 文 学 の 理 論 と観 測 に よ っ て,180億

光 年 の 宇 宙 の 果 て の知 見 が 得 られ て い るが,そ れ は,180億

宇 宙 の 姿 な の で あ る.気 が 遠 くな る話 で はな いか.ま で は な い か.

年 前の

た,ロ マ ン テ ィ ック な 話

4.2.2  太 陽 光 と レー ザ ー 光   わ れ わ れ に とっ て 最 も身 近 な 光 は太 陽 光 で あ る し,太 陽光 が な けれ ば,地 上 の い か な る生 物 も生 存 で き な い.こ ュー トン(1643-1727)で

の太 陽 光 の"中 味"を

明 らか に した の は ニ

あ る(『 光 と色 に つ い て の新 理 論 』1672年).

  ニュ ー トン は,図4.17に

示 す よ うに,ま ず,小 さ な穴 を通 した ス ポ ッ ト状 の

太 陽光 を ガ ラ ス の プ リズ ム １に導 き入 れ た.そ

うす る と,口 絵 ２に示 す よ うな

色 の ス ペ ク トル が 現 わ れ た.振

れ角 は,赤,橙,…,紫

続 い て,そ

え ば 赤 色 の 光 だ け を ス リッ トで選 び 出 し て プ リ

の 中 の 一 つ の色,例

の順 に大 き くな った.

ズ ム ２に通 す と,プ リズ ム １の場 合 と同 じ振 れ 角 で 曲 が り,ス ク リー ン上 に は 同 じ赤 色 の み が 映 さ れ た.つ

ま り,プ

リズ ム １の 場 合 の よ う な色 の ス ペ ク トル

は 現 わ れ な か った.   この 実 験 結 果 か ら,「太 陽 光 は,屈 折 性 の 異 な る さ ま ざ まな 光 線 か ら成 り,各 光 線 は そ れ ぞ れ の色 を持 っ て い る」 とい う結 論 が 導 き出 せ る.実 は,ニュ ン 自身 は,そ れ ぞ れ の 光 線 の"源"を"小 の で あ るが,光

の"源"は

さい 粒 子"と

ート

考 え た(光 の 粒 子 説)

上 述 の よ う に電 磁 波 で あ る.し か し,太 陽 光 が 図4.

15に 示 した 可 視 光 線 の赤 か ら紫 ま で の 無 数 の 色(口 絵 ２)か ら成 る光 束 で あ る

図4.17 

ニ ュー トン に よ る 太 陽 光 の 分 解 実 験

図4.18 

レー ザ ー 光 の 単 色 性

とい う こ とは 完 全 に正 しい.口 絵 ２に示 す 無 数 の色 が 合 わ さ った 太 陽 光 は"色 を持 た な い(白 色)"と   光 の 色(波 長)に

い う こ とか ら,白 色 光 と よ ばれ る.

よ っ て,振

れ 角(屈 折 角)が 異 な る現 象 に つ い て は,6.1.

3項 で述 べ る.こ こで は,波 長 が短 か い光 ほ ど屈 折 角 が 大 き い,あ る い は散 乱 さ れ や す い,と

い う こ とだ け 頭 に入 れ て お い て欲 しい.

  太 陽 光 を 自然 の 光 とす れ ば,レ ー ザ ー 光 は人 工 の光 で あ る.本 書 で レー ザ ー に つ い て 詳 細 に述 べ る余 裕 はな い が,レ ー ザ ー 光 の特 徴 を列 挙 す れ ば,   １)単 色 性 で あ る(太 陽 光 は多 色 性),   ２)エ

ネ ル ギ ー 密度 が 高 い,

  ３)コ

ヒー レ ン トで(位 相 が そ ろ っ て い る),指 向性 が 高 い,

  ４)干

渉 性(6.2.1項

参 照)に

優 れ て い る.

な どで あ る.   太 陽 光 の 多 色 性(口 絵 ２,図4.17参 18で 説 明 され る.例

照)に 対 す る レー ザ ー光 の 単 色 性 は図4.

え ば,赤 色 の レー ザ ー 光(ル

ビー ・レ ー ザ ー,ヘ

ネオ ン ・レー ザ ー な ど)を プ リズ ム に通 した とす れ ば,図4.17の

リウ ム ・

太 陽光の赤色

光 と同 じ振 れ 角 で 屈 折 し,口 絵 ２に示 す よ うな光 の ス ペ ク トル が 現 わ れ る こ と は な い.つ ま り,い ず れ の レ ー ザ ー 光 も,図4.18の

プ リズム １で 分 光 され た 光

の よ う に単 一 の 波 長 を持 っ て い るの で あ る(太 陽光 の 波 長 は連 続 的 に変 化 す る の で,実 際 に は,図4.17の な い が,レ

よ う な 方 法 で 単 一 の波 長 の 光 を取 り出 す こ と はで き

ー ザ ー 光 の 波 長 はパ ル ス 的 な 単 一 モ ー ドで あ る).

  前 述 の １)∼4)の レ ー ザ ー 光 の特 徴 は,極 め て多 様 な 用途 に活 か され て い る.

4.2.3  光 の 波 動 性 と粒 子 性   い ま述 べ た よ うに,光 (可視)"電

は電 磁 波 の 一 種 で あ り,そ れ は狭 義 に は"目

磁 波 で あ る.つ

ま り,光 は電 磁 場 が 伝 播 す る"波 動"で

  しか し,古 来,「 光 の本 質 は何 か 」は,哲 学 者,科 あ る(実

に見 え る

あ る.

学 者 を悩 ま し続 け た 問題 で

を い う と,私 の よ うな"素 朴 な"科 学 者 は 現 在 も悩 み続 けて い るの で

あ る).あ の天 才 中 の 天 才 で あ るニュ ー トン は,前 述 の よ う に,光 の 本 質 を 非 常 に微 小 な粒 子 と考 えて い た.こ

の ニュ ー トン の光 の粒 子 説 に対 し,ニュ

と同 時 代 の ホ イ ヘ ンス(1629-1695)は,光

を 「エ ー テ ル 」 とい う媒 質 を 伝 播

す る波 と考 え た.こ れ が 光 の 波 動 説 で あ る.以 後100年 の か,波 動 な の か は決 着 が つ か ぬ ま まだ った.波 の が,ヤ

ン グ(1773-1829)や

の,波 動 で な けれ ば説 明 で きな い現 象(第

認 され た の で あ る.さ

以 上 の 間,光 が 粒 子 な

動 説 に決 定 的 な 軍 配 を あ げ た

フ レ ネ ル(1788-1827)に

さ ら に,前 述 の よ うに,19世

ー トン

よ る干 渉 や 回折 な ど

６章 参 照)を 示 す 実験 結 果 だ っ た.

紀 末 に な っ て,光 が 電磁 波 の一 種 で あ る こ とが 確

まざ まな 実 験 事 実 か ら,光 が 波 動 で あ る こ とは疑 う余 地

が な い こ とで あ る.   と こ ろが,光,つ

ま り電 磁 波 の周 波 数 が どん どん 大 き くな って い く と(波 長

が ど ん どん 短 か くな っ て い く と),光(電

磁 波)自 体 が小 さ なエ ネ ル ギ ー の塊 り,

つ ま り粒 子 の よ う に振 る舞 う こ とが,20世 らか に な っ た の で あ る.そ の 発 端 は,プ の 熱 放 射 の 理 論 を確 立 した1900年

紀 初 頭,「 量 子 論 」の 登 場 に よ っ て 明 ラ ンク(1858-1947)が

高温物体 か ら

だ っ た.さ ら に,ア イ ン シュ タ イ ン は,1905

年,周 波 数ｆ の 光(電 磁 波)は

(4.19) の エ ネ ル ギ ー を 持 つ 粒 子 で あ る こ と を 示 し た.な と 同 じ で あ り,ｈ 波 数(振

は プ ラ ン ク 定 数 で あ る.ま

動 数)をｖ(ニュ

ー)で

た,一

お,式(4.19)は 般 的 に は,光(電

式(1.64) 磁 波)の 周

表 わ し

(4.20) と書 か れ る こ とが 多 い.ア い は光 子(フ

イ ン シュ タ イ ン は,こ の よ うな粒 子 を光 量 子,あ

る

ォ トン)と 名 づ け た.

  実 は,光 が 波 動 で あ る こ とは疑 い の な い事 実 で あ っ た の だ が,同

時 に,波 動

で あ る とす る と,ど う して も説 明 で きな い 光 電 効 果 とい う現 象 が1887年

にヘル

ツ(1857-1894)に

よっ て 発 見 さ れ て いた の で あ る.光 電 効 果 とい うの は,あ

る金 属 に光 を 照射 す る と電 子 が 飛 び 出 す 現 象 で あ るが,ど うわ けで は な い.光

ん な 光 で も よ い とい

の波 長 が あ る一 定 の 値(金 属 に よ って 異 な る)以 下 の 場 合

に の み光 電 効 果 が 起 こる の で あ る.つ

ま り,波 長 の 長 い 光(電

磁 波)を

に強 く当 て て も,金 属 か ら電 子 が 飛 び 出 す こ とは な い の で あ る(第 式(4.19)で

どん な

５章 参 照).

表 わ され る光 量 子 の考 え は,こ の光 電 効 果 を見 事 に説 明 した.余

談 な が ら,ア イ ン シュ タ イ ン とい え ば,相 対 性 理 論 が有 名 だ が,ア イ ンが1921年

イ ン シュ タ

に受 賞 した ノ ー ベ ル物 理 学 賞 は,こ の光 電 効 果 の 理 論 的 研 究 に対

す る もの で あ る.   結 局,光(電

磁 波)は,波

動 性 と粒 子 性 の 二 面 性 を持 っ て い るの で あ る.つ

ま り,「 光(電 磁 波)は 波 動 で もあ り,粒 子 で もあ る」 とい え る.前 者 の確 た る 証 拠 は干 渉性 で あ り,後 者 の 確 た る証 拠 は光 電 効 果 で あ る.   しか し,こ こ で 注 意 が 必 要 な の は,"粒 子"と い っ て も,そ れ は,ニュ が 考 え た"微 小 な粒 子"の (電磁 波)の"粒 波)の"波

こ とで は な い こ とで あ る.そ れ は,あ

ー トン

くまで も,光

子 性"な の で あ り,粒 子 と して の 性 質 の こ とで あ る.光(電

動 性"と"粒

子 性"の

磁

両 者 を考 え る学 問 分 野 は,量 子 光 学 とよ ば れ

る.こ の あ た りの議 論 は,「 量 子 論 」 の 参 考 書 を参 照 して 欲 しい.

4.2.4 

色

  わ れ わ れ に と っ て,光 と色 と は 不 可 分 の 関 係 に あ る.図4.15に わ れ わ れ の 周 囲 を 飛 び 交 う 広 範 囲 の 電 磁 波 の 中 で,わ 極 め て 狭 い 領 域(λ〓0.38μm∼0.78μm)の"可

示 し た よ う に,

れ わ れ に"見

視 光"で

視 光 は,わ れ わ れ は,

え る"光

で あ る と 同 時 に,そ

れ ぞ れ の 色 で も あ る.わ

色 の 感 覚,つ

ま り,色

覚 を 持 っ て お り,口

絵 ２ に 示 す 色 を"見

は,そ

が"見

網 膜 に 達 し,そ

で あ る.可

る"あ る い は"感

とが で き る の で あ る.

  わ れ わ れ に,物 波)が

は

あ る.可

れ わ れ に"見

じ る"こ

え る"の

え る"と

い う こ と は,図4.19に

れ が 網 膜 視 神 経 を刺 激 し,そ

示 す よ う に,光(電

の刺 激 を脳 が 認 識 す るか ら

視 光 の 波 長 領 域 が お よ そ0.38μm(紫)∼0.78μm(赤)と

の 波 長 に 相 当 す る 周 波 数 の 式(4.20)で

網 膜 を 刺 激 す る と い う こ と で あ る.

磁

い うこと

求 め ら れ る エ ネ ル ギ ー だ け が,

図4.19 

"見 え る"メ

カ ニ ズ ム

  網 膜 の 感 覚 細 胞 に は棒 細 胞 と円 錐 細 胞 の ２種 類 が あ り,色 覚 と し て は,特

に

円錐 細 胞 の 役 割 が 大 きい と考 え られ て い る.そ の 円錐 細 胞 に は,赤,緑,青

の

光 に感 じ る ３種 類 が あ り,そ れ らの 刺 激 が さ ま ざ まな 強 さで 混 ざ り合 っ た 結 果 が,そ れ ぞ れ の 色 と して脳 で 認 識 され る と考 え られ て い る.こ の 赤,緑,青 相 加 的 三 原 色 と よ ばれ,そ 波長,短

れ ぞ れ 口絵 ２に 示 す 白色 光(太

長 波 長,中

波 長 の部 分 か ら成 り立 っ て い る.

  わ れ わ れ の 周 囲 に あ る もの はす べ て,そ 色 は,ど

陽光)の

は,

れ ぞ れ の 色 を持 っ て い る.そ れ らの

の よ うに して 現 わ れ るの だ ろ うか.

  図1.28,1.29で

簡 単 に説 明 し た よ う に,物 質 を構 成 す るす べ て の 原 子 は,そ

れ ぞ れ 固 有 の 原 子 構 造 を持 っ て お り,そ れ は,固 有 の エ ネ ル ギ ー の 吸 収 と放 出 とい う現 象 を もた らす.例

え ば,赤

く見 え る物 体 は,赤 い 光 を反 射 し,他 の 色

の 光 は吸 収 す る,と い う性 質 を持 つ 物 質 か らで きて い る の で あ る(図4 照).ま

た,例

え ば,図4.20に

示 す よ う に,白 色 光(太 陽 光)を

図4.20 

青いガ ラス

.19参

青 く見 せ る 青

図4.21 

い ガ ラ ス は,青

い光 の み を通 過 さ せ,他 の 色 は 吸収 す る,と い う性 質 を持 つ 物

質 か らで き て い るの で あ る.図4.21は,動 あ る が,そ ろ う.同

パ ン ダ

の人 気 の 理 由 の一 つ は,白

じ"毛"で

物 園 で も人 気 の高 い パ ン ダ の 写 真 で

と黒 の コ ン トラ ス トが 可 愛 い顔 に あ る だ

も,白 い 部 分 の毛 は,す べ て の色 の 光(白

色 光)を

反射 す

る物 質 を成 分 に持 ち,黒 い部 分 の 毛 は,す べ て の色 の 光 を 吸収 す る物 質 を成 分 に持 っ て い る の で あ る.   い ま,「 わ れ わ れ の 周 囲 に あ る もの はす べ て,そ れ ぞ れ の 色 を持 って い る」と 書 い た の だ が,実 ば,光(電

は,こ れ は 正 し くな い.色

磁 波)そ

の で あ る.例

の もの の 中 に あ る の で も な い.色

え ば,"赤

の バ ラ 自体 が"赤

は,物 質 の 中 に あ るの で もな けれ

い"わ

い バ ラ"は,わ

は,視 覚 が 感 じ る もの な

れ わ れ に"赤 く見 え る"の で あ っ て,そ

け で はな い の で あ る.

チ ヨ ッ ト休 憩 ● ４

色 に出にけり   昔,私 の家 で は正月 にな る と 「 か るた(百 人一 首)」を楽 しん だ.中 学 生の 頃 は,「 古文 」の 勉強 も兼 ね て,「 百人 一首 」を 必死 にな って暗 記 した もの で ある. その 中 に,平 安 時代 の 三十 六歌 仙の 一人,平 兼 盛 の   忍 ぶれ ど 色に出にけり   わが恋は  もの や思 ふ と 人の間ふ ま で と いう,中 学生 の私 にも誠 にわ か りやす い歌が あ った。 日本 語の 「 色 」 に はさ まざ まな意 味が ある が,こ の 場合 の 「 色」 は単 純 に 「 顔色 」 や 「様子 」の こと であろ う.平 兼 盛も 純情 だ った よう だ.   と ころ で,わ れわ れ に見え る色 は,こ の 地球 上 に降 り注 ぐ 「光」の 中で,「 可 視 光」 とよ ばれ る極一 部 の 「光」 に すぎな い.つ ま り,わ れわ れ の 目に"見 え る"世 界,自 然 は極 め て狭 い範囲 の,本 来 の 自然 の一 部 にす ぎな いの であ る. 可視 光 以外の 「光」 が形造 って いる世 界,自 然 は,わ れわ れが"見 る"も の と はま った く別 の ものか も知 れ な い.そ の 「可視光 」 は,い わ ゆる"虹 の七 色" (実際 には,虹 の色 の 数 は無限 で ある)で あ り,太 陽光(白 色光)が それ らの光 の集 ま りで ある こと は,ニュ ー トン によ って示 された とお りで あ る.そ して, それ ぞれ の色 の違 い は波長 あ る いはエ ネル ギーの 値の違 いで説 明さ れ た.し か し,文 豪 であ る と同時 に偉 大な 科 学者 でも あった ゲー テは,「 自然」を数 値 的な 把握 だ けで解 き明 かそ う とする 「 科 学」 に反 感を抱 き,独 自の 「 色彩 論 」 を展 開 した.「 色」 の解 釈 に数値 以 外の感 情 を導入 した の である.   最 近 にな って知 った こ とだが,真 言密 教の 開祖,空 海(774-835)は,あ

る

本 の 中で,「 色(し き)」つ ま り 「物質 」を顕色(け ん じき),形 色(ぎ ょ う じき), 表色(ひ ょう じき)の 三 色 に分 け て考え て いる.顕 色が 一般 的な 色 で,青 とか 赤 とか の カラー で ある.形 色 は 「形」,表 色 は 「 運 動」を 意味 する.つ ま り,物 質 に は,色 と形 と運 動の 三つ の側 面が あ る ことを指摘 し,そ れ ぞ れが 相関 し, 宇 宙の 真の 実在 と深 いつ なが りを持つ ことを示 唆す るの であ る.こ れ はま さ に, 相 対性 理論,量 子論の 考 えを 想起 させ るも のなの で ある.   い ま私 は,平 兼 盛の 歌 の中 の 「 色 に出 にけ り」の 「 色」は,ま さ に,こ の 「 三 色 」だ ったの だ,と 思 って いる.

■演 習問題   4.1 

(ａ)60[Hz]の

電 磁 波,(ｂ)1240[kHz]のAMラ

  4.2  地 球 と太 陽 と の 距 離 は 約1億5000万[km]で

ジ オ 波 の 波 長 を 求 め よ. あ る.太

陽 を発 した光 が 地 球 に 届 くまで

の 時 間 を求 め よ.  4.3  紫 外 線 は 陽焼 けや 皮膚 ガ ン を引 き起 こ しや す い と いわ れ る.ま た,紫 外線 に は殺 菌作 用 もあ る.こ れ らの理 由 を紫外 線 の エ ネル ギ ー の観 点 か ら考 察せ よ.  4.4  図4.15に

よれ ば,可 視 光 の範 囲 はお よそ0.38[μm]<λ<0.78[μm］

で あ る.な ぜ 可

視 光が こ の波 長 範 囲 なの か.  4.5  昼 間 の 太 陽 は 白 く見 え るの に,夕 方 にな る と赤 く見 え る の はな ぜ か  4.6  交 通 信 号 で,「 止 まれ 」 に赤色 が使 わ れ るの は なぜ か.な ぜ 青 色 で は い けな いの か.  4.7  一 般 的 な 波 の伝 播 には波 を伝 え る媒 質 が必 要 で あ るが,電 磁 波 は なぜ 真空 中 を伝 わ る こ とが で き るの か.

５ 物質波

  古 代 ギ リ シ ャ時 代 以 来,自 造,要

素 は 何 か,と

  原 子 論,つ

然 科 学 者 の 大 き な 課 題 の 一 つ は,物

質 の究 極 の構

い う こ と で あ っ た.

ま り,物 質 を 分 割 し て い く と究 極 の 微 粒 子 に な り,そ れ は 最 小 不

可 分 の 要 素"ア

トム"で

あ る,と

の レ ウ キ ッポ ス(前400-?)で

い う考 え を 最 初 に 提 唱 し た の は イ オ ニ ア 学 派 あ る.そ

に よ っ て 原 子 論 が 体 系 化 さ れ た.そ 考 え 方 自体,現

し て,デ

モ ク リ トス(前466-前370)

れ は,哲 学 的 な 原 子 論 で は あ っ た が,そ

の

代 の 科 学 か ら見 て も基 本 的 に は ま っ た く正 し い.

  す べ て の 物 質 を構 成 す る の は 原 子 で あ るが,現 は 電 子 と原 子 核 か ら成 っ て い る.原

在 の わ れ わ れ が 理 解 す る原 子

子 核 は 陽 子 と中 性 子 で 構 成 さ れ,そ

結 合 させ る核 力 を持 つ 仲 介 役 の 粒 子 が 中 間 子 で あ る.一

般 的 に,原

れ らを

子 核 を構 成

す る これ ら の粒 子 を素 粒 子 と よ ぶ が,現

在 の理 解 に よ れ ば,素 粒 子 を形 成 す る

の は基 本 粒 子 で あ る ク オ ー ク で あ る.さ

ら な る基 本 粒 子 の 発 見 の 努 力 は 現 在 も

続 け られ て お り,究 極 の 基 本 粒 子,つ

ま り本 当 の"ア

トム"が

何 で あ るか の 結

論 は 未 だ 得 ら れ て い な い.   物 質 を 原 子,素

粒 子 の レベ ル で 考 え

る と,「物 質 は粒 子 で もあ り波 動 で もあ る」 と い え る の で あ る.二 光(電

磁 波)と

同 じ よ う で あ る.物

を波 動 と考 え た と き,そ よぶ.こ

面 性 を持 つ 質

れ を物 質 波 と

の 物 質 波 を本 当 に 理 解 す る に

は量 子 論,量

子力 学 を学 ぶ必 要が あ る

が,本 章 で は,「振 動 と波 」の 観 点 か ら, 電 子 に関 わ る 物 質 波 に つ い て簡 単 に 述 べ る こ と に す る.い

ず れ 学 ぶ こ とに な

る と思 わ れ る 量 子 論 の"さ

わ り"と 考

え て も ら え れ ば十 分 で あ る.

シ リコン単結 晶中 のSio2析  

(透過電子顕微鏡写 真)

出物

5.1  電 子 波 5.1.1  物 質 波   原 子 構 造 究 明 の発 端 は,1895年

の レ ン トゲ ン(1845−1923)に

よ る ｘ線(図

4.15参 照)の 発 見 で あ る.原 子 構 造 の 解 明 に 決 定 的 な役 割 を果 た した 放 射 性 元 素 や 電 子 の 発 見 は Ｘ線 の 発 見 が 契 機 に な っ て い る.そ 1.29も 参 照)に 示 す ボ ー ア(1855−1962)の

して,図5.1(図1.28,

電 子 軌 道 模 型(量 子 論 的 原 子 模 型)

が 創 案 され る こ とに な る.

図5.1 

ボーアの原子模型

  電 磁 波(光)が 波 動性 と粒 子 性 を合 わ せ 持 つ こ とは,4.2.3項

で述 べ た とお り

で あ る.   電 磁 波 が 粒 子 性 を持 つ の な ら,そ れ ま で荷 電粒 子 と考 え られ て い た 電 子 も波 動 性 を持 つ の で は な い か,と 最 初 に 考 え た の が ド ・ブ ロ イ(1892−1987)で る.1924年

あ

の こ とで あ る.こ れ は,ボ ー ア の理 論 を飛 躍 的 に発 展 させ,量 子 力

学 の 成 立 を もた らす 画 期 的 な 発 想 で あ っ た.   ド ・ブ ロ イ は,ア イ ン シ ュ タ イ ンの 関 係 式(4.20)を Ｅ,質 量ｍ,速

さυ の 粒 子(電

逆 に 考 え,エ ネ ル ギ ー

子)は

(5.1)

(5.2)

で与 え られ る振 動 数ν と波 長 λ を持 つ 波 動 と み な した の で あ る.ま た,こ の よ うな 波 動 は,運 動 量P(=mv)を を一 般 に物 質 波 と名 づ けた.こ 式(5.2)に

持 つ す べ て の粒 子 に伴 な わ れ る と考 え,こ れ の物 質 波 は,現 在,ド

・ブ ロイ波 と もよ ば れ る.

よ っ て,物 質 の運 動 量 （mv） と波 長(λ)と

画期 的 な こ とで あ る.原 子,人

間(界),そ

が 結 び つ け られ た の は

して 宇 宙 まで,運 動 す るす べ て の物

体 は波 動 性 を持 つ の で あ る.わ れ わ れ 人 間 が 日常 的 に体 験 す る よ う な質 量 と通 常 の 速 さ を 持 っ た物 体(mv≫h)は,波

長 が 非 常 に短 か い の で"波 動 性"を 認

識 し な い だ けで あ る.   自由 電 子 の 場 合

(5.3) の 関 係 が あ る の で,こ

れ を 式(5.1),(5.2)に

代 入 す る と,電

子 波 の 振 動 数ν

と波 長 λ と の 関 係

(5.4) が 得 ら れ る.4.1.4項

で 記 し たν=c/λ

含 まれ て い な い の に 対 し,式(5.4)の

で 示 さ れ る 電 磁 波(光)に

は質 量 ｍ が

電 子 波 に は そ れ が 含 ま れ る.つ

ま り,電

子 波 が 物 質 波 で あ る こ と を 示 し て い る.

5.1.2ボ

ーアの量子 条件

  い ま,図5.2に

示 す よ う に,質 量ｍ,-qの

電 荷 を持 つ 電 子 が 半 径 ｒ の 軌 道 上

図5.2 

電子 の運動

を速 さυ で運 動 して い る とす る と,電 子 に働 く遠 心 力 Ｆcは

(5.5) で あ る.一

方,電

子 に 働 く ク ー ロ ン 力Fqは

(5.6) で あ る(式(4.4)参

照).こ

こ で,Fc=Fqだ

か ら

(5.7) とな る.   ボ ー ア の 量 子 論 に よれ ば,「 電 子 に 許 され る運 動 状 態 は,角 運 動 量(mvr)が h/2π （=h） の整 数 倍 の もの に限 られ る」 か ら

(5.8) で あ る.式(5.8)か

ら求 め られ る

(5.9) を 式(5.7)に

代 入 して

(5.10) が得 られ

(5.11) が 求 め られ る.こ れ を,ボ ー ア の 量 子 条 件 とよ ぶ.   こ こで,上 述 の よ う に,電 子 を原 子 内 の あ る点 に 局 在 す る粒 子 と して で は な く,原 子 核 の 周 囲 に定 常 波 と して拡 が る質 量 ｍ,電 荷-qの

物 質 波 と し て,ボ

ー ア の量 子 条 件 の物 理 的 意 味 に つ い て考 え て み よ う.   図5.3(a)に

示 す よ うに,軌 道 の １周 の長 さ(2πr)は

に一 致 しな けれ ば な らな い(ｎ は整 数).図5.3(b)は,軌

波 長 λ のｎ 倍(nλ) 道 の 長 さ がnλ

に一

致 し な い場 合 を描 い て い るが,電 子 波 は,こ の よ う な状 態 に は な り得 な い の で

（ｂ）

（ａ） 図5.3 

あ る.つ

ま り,い

原 子 内 の電 子 の 定 在 波

つ も

(5.12) で あ る.   原 子 の 最 も内側 の 軌 道(n=1)の

円 周 は,式(5.2)で

波 長(λ)に 等 し い.以 下 順 次,２ 番 目 の軌 道(n=2)の 3)は3λ,…

とな る.図5.3(a)はn=5の

表 わ され る電 子 波 の １ 円 周 は2λ,３

番 目(n=

場 合 を定 性 的 に描 い て い る.

  つ ま り,ボ ー ア の 量 子 条 件 と は,電 子 が 原 子 核 の周 囲 で 定 在 波 を作 っ て い る 状 態 で あ り,そ れ は電 子 が 安 定 に存 在 す るた め の条 件 だ った の で あ る.蛇 足 な が ら,各 電 子 軌 道 が 電 子 波 の定 在 波 で説 明 され る な ら,最

も小 さ い軌 道 の長 さ

は,１ 波 長(λ)以 下 に な る こ と は な い.電 子 の波 動 性 は,電 子 線 を金 属 薄 膜 に 照 射 した と き に得 られ る 回折 図 形(6.2.2項

参 照)あ るい は電 子 顕 微 鏡 に よ っ て

実 験 的 に検 証 され て い る.   い ま,荷 電 粒 子 で あ る電 子 の"波 動 性"に つ い て 述 べ た の で あ るが,こ 動 性"に

の"波

は,誤 解 が な い よ う に注 意 が必 要 で あ る.つ ま り,電 子 とい う粒 子 が

波 状 に移 動 す るわ け で は な い の で あ る.ま た,物

質 波 とい っ て も,波 に よ って

運 ば れ る の は,波 動 現 象 を引 き起 こす"乱 れ"で

あ っ て,物 質粒 子 そ の もの で

は な い.だ

か ら,量 子 論 で 「波 は粒 子 で もあ る」 とい うの は,"粒

意 味 す る もの で は な く,波 全 体 が"粒 す るの で あ る.

子 の 現 わ れ"で

子 の 軌 跡"を

あ る,と い う こ と を意 味

5.2  電 子 の存 在 状 態 5.2.1  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式   電 子 の 波動 性 に着 目 した 波 動 力 学 あ る い は量 子 力 学 と よば れ る 数 学 的 手 法 を 導 入 す る こ と に よ り,原 子 内 の 電 子 の 挙 動 の理 解 が 一 段 と進 む.し か し,波 動 力 学,量 子 力 学 の 詳 細 な 取 り扱 い に は,複 雑 な 数 学 を必 要 とす る.ま た,そ

れ

が 導 く数 式 は 視 覚 的 な 解 釈 を与 え る もの で は な い.こ れ らの こ と を考 慮 し,本 節 で は電 子 の挙 動 に関 わ る波 動 方 程 式 の基 礎 的概 念 を記 述 し,電 子 の 波 動 性 と 分 布 の 概 要 を 理 解 す る こ と を 目 指 す.   い ま,一 つ の 直 線(ｘ 軸)に 沿 っ て運 動 す る質 量 ｍ の 電 子 を考 え,こ の 位 置 エ ネル ギ ー がEp(x)で 1961)は,こ

の電 子

表 わ さ れ る とす る.シ ュ レー デ ィ ン ガ ー （1887−

の電 子 に 付 随 す る波,す な わ ち電 子 波 が ψ で 記 述 さ れ る とす る と,

この ψが 従 う べ き波 動 方 程 式(2.2.2項

参 照)は

(5.13) で 与 え られ る と考 えた.Ｅ れ る運 動 エ ネ ル ギ ーEkの す(2.2.4項

参 照).こ

は位 置 エ ネ ル ギ ーEpと

式(5.13)の

第 １項 で 表 わ さ

総 和,つ ま り,こ の 系 が 持 ち得 る全 エ ネ ル ギ ー を表 わ

の とき,ψ を 波 動 関 数 とよぶ こ と は2.2.2項

お りで あ る.式(5.13)は

波 動 方 程 式 の 一 つ で あ る が,特

に,シ

で述 べ た と ュレーデ ィン

ガ ー の波 動 方 程 式 と よぶ.   こ こで,１ 個 の電 子 が,長 と仮 定 す る.つ

さ ｒの"１ 次 元 の箱"の

中 に 閉 じ込 め られ て い る

ま り,こ の と き,こ の箱 の 中 に電 子 を発 見 す る確 率 は １で あ る

(確 実 に発 見 で き る).こ の 箱 の 真 中 に"し

き り"を 入 れ て箱 の 内部 を左 右 に 分

割 す る と,左 右 の 各 部 分 に電 子 が 存 在 す る確 率 は,そ れ ぞ れ1/2で よ う に考 えて い く と,微 小"体 積"dxの

あ る.こ の

中 に電 子 が 見 出 さ れ る確 率 は,｜ψ｜2に

比 例 す る こ とが 導 か れ る.し た が っ て,箱 の 中 で 電 子 が 存 在 す る確 率 を全 領 域 に つ い て積 分 す れ ば

(5.14) と な る.

（ｂ）

（ ａ）

図5.4 

水 素 原 子 の 電 子 の 存 在 分 布.（ ａ）ボ ー ア理 論,（ ｂ） 波動 関数 論

5.2.2  電 子 の 分 布   シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式 を も とに して,例

え ば,水 素 原 子 の 電 子 に

つ い て 考 えて み よ う.   ボ ー ア は,図5.2に

示 した よ う に,電 子 は 半 径ｒ の 円 軌 道 を周 回 す る と考 え

た.す な わ ち,図5.4(a)に

再 び 示 す よ う に,電 子 は半 径ｒ の 軌 道 上 を等 速 円 運

動 す る の で,電 子 は常 に,こ の軌 道 上 の ど こか に存 在 す る こ とに な る.こ れ に 対 し,波 動 関 数 を導 入 した 考 え に よ れ ば,図5.4(b)に

示 す よ う に,電 子 は"雲"

(電子 雲 と よぶ)の よ う な形 の,あ る種 の 空 間 的 な 確 率 的 分 布 をす る こ と に な る. つ ま り,式(5.13)の

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式 は,あ

る任 意 の 瞬 間 に

電 子 が存 在 す る場 所 を特 定 す るの で は な く,電 子 が 存 在 し そ うな 場 所 に お け る 存 在 確 率 を示 して い る こ とに な る.こ の よ う に,電 子 の 存 在 確 率 を導 入 す る の が 量 子 力 学 の大 きな 特 徴 の一 つ で あ る.個 々 の電 子 は,そ の瞬 間 瞬 間 に 電 子 雲 とい う確 率 の 雲 の 中 の ど こか に 存 在 す る はず で あ り,極 め て ゼ ロ に近 い 確 率 な が ら,原 子 核 の 中 に存 在 す る 可 能 性 もあ る の で あ る.   しか し,電 子 は大 部 分 の 時 間 を原 子 核 か らの 平 均 距 離 と して 求 め られ る近 傍 に存 在 し,そ の 平 均 距 離 は ボ ー ア 半 径 と一 致 す る.し た が って,図5.4(b)を り正 確 に描 くとす れ ば,図5.5の

よ

よ う に な る だ ろ う.

  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式 が 与 え て くれ る の は,本 来,純 粋 に数 学 的 な模 型 で あ り,図5.1や

図5.5の

よ うな 視 覚 に訴 え得 る模 型 で は な い.し か し,

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー の 数 学 的 な模 型 は,微 小 世 界 の 現 象 を説 明 す る上 で,あ

る

図5.5  水素原 子の電子 の量子力学 的存在分布

意 味 で は,目

に見 え る ボ ー ア の 模 型 よ り も強 力 で あ り,そ れ は量 子 力 学 とい う

形 で結 実 し,そ れ まで 解 け な か った 多 くの 問題 に,明 快 な答 を与 え る こ とに な った の で あ る.   古 典 的 な概 念 に従 え ば,粒 子 と は いか な る と き も明 確 な位 置 を持 つ もの で, その 運 動 状 態 は速 度 と運 動 エ ネ ル ギ ー で 記 述 で き る.し か し,量 子 論 で は,"確 率 の 波"の 振 幅 が 粒 子 を見 出 す確 率 を表 わ す.つ

ま り,振 幅 が 大 きい と ころ で

あ れ ば粒 子 を見 出 す 確 率 も高 く,振 幅 が 小 さ い と こ ろで は,そ の 確 率 は小 さ い の で あ る.こ の よ う な量 子 論 は,物 質 の ミク ロ な世 界(原

子 オ ー ダ ー,あ

は そ れ 以 下 の素 粒 子 の 世 界)を

扱 う場 合 に,大 き な威 力 とな る.

 物 質 は分 子,原

子 核,そ

子,電 子,原

るい

して 素 粒 子 そ れ ぞ れ の レベ ル で 絶 え間

な く振 動 して い る.こ れ が 現代 物 理 学 の物 質 像 で あ る.

チ ヨ ッ ト休 憩 ● ５

我が青春を揺るがせし   本 章の 主役 であ る ド ・ブロ イ(1892−1987)は,フ ラン ス名 門貴族 の御 曹 司 (第 ７代公 爵)で,は じめ は文学 を学 ん だそ うであ る.と ころが,1911年 の 第 １ 回 ソル ヴェ―会 議(物 理 学 分野 の国 際会議)に 出席 した 物理学 者 の兄 か ら量子 概 念 の話 を聞か され,理 論物 理 学の魅 力 にす っか り取 りつかれ て しま った らし

い.そ して,文 学 か ら物理 学 へ転 向す る こと にな る.そ の ときの事 情 を自著 の 中で 「 私 を理 論物 理 学 に引き つけ たの は,1900年

にプ ランク が黒体 放 射の 研 究

に導入 した 不思議 な 量子概 念 が 日 ごと にます ます物 理学 の全 領域 を侵 す につ れ て,物 質の構 造 及 び放 射線 の 構造 を包 ん でき た神秘 であ る」(河 野 与一 訳 『 物質 と光』)と書 いて いる.こ の ド・ブ 口イ は,電 子 波の 先駆 的な研 究 に よっ て,1929 年 に ノーベ ル物 理学 賞 を受賞 す るが,そ の記 念講 演で 「光 に対 して波 動 説及 び 粒子説 という二 つの相 矛盾す る理 論 を認 容 しな ければ な らな い必 要,電 子が 古 典思 想 に従 って原子 の 内部 で取 る ことの 出来 る無 限 に多 くの 運動 の うち でな ぜ ある 運動 だ けが可 能で ある かを 理解 す るこ との不 可能性,こ れが 丁度 私 が理 論 物理 学の研 究 を再 び始 めた 頃物 理学 者 に提 出され て いた謎 であ る」(前 掲 書)と 述べ た.こ う した謎 に包ま れた 状況 の 中か ら,1924年,物

質波(ド ・ブ口イ 波)

という画 期的 な アイデ アが 生 まれ たの であ る.   振 り返 ってみれ ば,ニュ ー トン以来,粒 と して扱わ れ ていた光 が19世 紀 末 に は波 とされ,20世 紀 にな る と今度 は,粒 と波 との 二面 性で 論 じられ た.ま た, 古代 ギ リシャ時代 以来,物 質 の根 源 は"ア トム"と よ ばれ た粒 で あ ったが,20 世 紀 にな って四 半世紀 が過 ぎ る頃 に は,波 として も扱われ る よう にな った.19 世 紀∼20世 紀 は,物 理学 上の 激 動の 時代 であ る.   と ころで,上 田良二(1911−1997)は

電 子線 回折 ，そ して 電子顕 微鏡 の 発展

に世界 的な 貢献 を した物理 学 者 であ る.こ の上 田 良二先生(私 は 上田 先生 の孫 弟子筋 に あたる 者な の で,"先 生"と 書 くこ とを許 して いた だき たい)が,1994 年,「 波」の 御題 に対 し  波 と粒  我が青春 を揺るがせし  怒涛の ご と き 量子力 学 と いう歌 を詠 まれ て いる.私 は,歌 の優 劣 を評す る素養 を持 っ て いな いが,こ れ は素晴 しい歌 だ と思 う.そ して,物 理 の学 徒の は し くれ の一 人 と して,私 は, 学問 に青 春 を揺 る がさ れた と いう上 田 先生 を羨や ま し くも 思う.   ちなみ に,本 章 の扉 に掲 げ た写真 は,多 分,１ 万枚 に近 い と思われ る 私 自身 が撮 影 した電 子顕微 鏡 写真 の中 で,私 が 最 も気 に入 って いるもの で ある.ま た, この 像の 解釈 に つい て,上 田先 生の コメ ン トを いた だ いた 思 い出の 写真 で もあ る.そ して,私 の 研 究者 と しての青 春 時代 の記 念の写 真 でもあ る.

■演 習問 題   5.1  青 色 光(λ=0.45[μm])の s]と

光 子 １個 の エ ネ ル ギ ー を 求 め よ.た

だ し,h=6.6×10-34[J・

す る.

  5.2  15[m/s]の を 求 め よ.

速 さ で 飛 ぶ0.20[kg]の

ボ ー ル の ド ・ブ ロ イ 波 長(物

質 波 と し て の 波 長)

  5.3  電 圧100[V]で 求 め よ.た

だ し,電

加 速 さ れ た 電 子 の 速 さ は5.9×106[m/s]で 子 の 質 量 は9.1×10-31[kg]で

  5.4  あ る 原 子 のn=2の E2 =13 .6[eV],E1=3.4[eV]で の 波 長 を求 め よ.ま   5.5  104[eV]の

た,こ

電 子 軌 道 お よ びn=1の あ る.電

子 がE2か

あ る.こ

の電 子 波 の波 長 を

あ る. 電 子 軌 道 の エ ネ ル ギ ー 準 位 は,そ らE1へ

れぞれ

脱 励 起 した と きに発 生 す る電磁 波

の 電 磁 波 の 種 類 は 何 か.

運 動 エ ネ ル ギ ー を 持 つ 電 子 の 波 長 を 求 め よ.

６ 波動現象

  わ れ わ れ は,い ま まで に 多 種 多 様 な 波 が あ る こ と を知 っ た.そ れ ら は,同 じ "波"と し て 一 括 す る の が 不 自 然 に 思 え る ほ ど多 様 で あ っ た .電 磁 波 の よ う に, 粒 子 性 を 示 す"波"も る.こ

の よ う に,一

る が,そ

あ る.ま 口 に"波"と

れ ら は"波 動 性"と

  本 章 で は,す

た,そ

い っ て も,そ

れ らの"現

子"も

あ

の 内 実 は ま こ とに 多 種 多 様 で あ

い う共 通 の 性 質 を持 っ て い る の で あ る.

べ て の 波 に 共 通 な 波 動 現 象 に つ い て 述 べ る.そ

に は,わ れ わ れ が 目 で,耳 い.ま

た,電 子 の よ う に,波 動 性 を 示 す"粒

で,あ

象"は

れ らの 現 象 の 中

る い は 身 体 全 体 で 実 感 で き る も の が 少 な くな

わ れ わ れ に と っ て 身 近 な も の で も あ る.普 段,

しば し ば 経 験 す る け れ ど も,あ ま り深 く考 え た こ と は な か っ た よ う な 現 象 を"物 理 的 に"考 察 す る の は 楽 しい こ と で あ る.レ 光 が 屈 折 す る こ と を知 っ て い るが,光 美 し い虹 は,ど

ンズ な ど を 通 して,わ

れ わ れ は,

は なぜ 屈 折 す る の だ ろ う か.ま

の よ う に し て形 成 され る の だ ろ うか.現

在,わ

た,あ

の

れ わ れ は,さ

ま

ざ まな 物 質 の 微 細 構 造 を知 っ て い る.単 純 な 原 子 構 造 を 持 つ食 塩 や ダ イ ヤ モ ン ドや 金 属 の 結 晶 の み な ら ず,タ ン パ ク 質 やDNAな 配 列 を知 っ て い る.ま

た,右

ど,複 雑 な 構 造 の 物 質 の 原 子

下 に示 す の は炭 素 原 子840個

か ら成 る ス ー パ ー フ

ラ ー レ ン と よ ばれ る物 質 の 原 子 構 造 の 模 式 図 で あ るが,こ

の よ う な構 造 は どの よ

う に し て 求 め られ る の だ ろ う か.そ れ は, "波"と 物 質 と の 相 互 作 用 に 関 係 し て い る.野 球 の ピ ッ チ ャー が 投 げ る ボ ー ル の 速 さや ス ピ ー ド違 反 の 車 の速 さ も,膨 張 を続 け る 宇 宙 の 姿 も,"波"と

物 体 との 相

互 作 用 か ら求 め られ る.   波 の"面

白 さ"を 知 っ て,本 書 を 閉 じ

る こ と に す る. ス ー パ ー フ ラ ー レ ン(C60@C240@C540) の模式図

6.1  波 の 基 本 的 現 象 6.1.1  ホ イ ヘ ン ス の原 理   ホ イ ヘ ン ス は,ニ ュー トン と同 時 代 の人 で,4.2.3項

で 述 べ た よ うに,ニ ュ ー

トン の"光 の 粒 子 説"に 対 し,"光 の 波 動 説"を 唱 えた.以 ス の 原 理 は,本 来,光 の 音 波,水

下 に述 べ るホ イ ヘ ン

の波 動 性 を説 明 す る もの で あ った が,光(電

磁 波)以

外

の 波 な ど さ ま ざ まな 波 動 現 象 を 説 明 す るの に有 効 で あ る.

  ホ イヘ ンス の原 理 は,「あ る瞬 間 の 波 面 上 の す べ て の 点 は,新 しい 波 の 源 とな っ て,球 面 波 を送 り出 す.短 時 間後 の 波 面 は,こ れ らの 球 面 波(２ 絡 面 と して 求 ま る」 とい う もの で あ る.図6.1で,こ

の ホ イヘ ンス の 原理 を考

え て み よ う.波 源Ｏ を速 さvで 発 した 波 の 時 刻ｔ に お け る波 面AA'を 波 面AA'上

次 波)の 包

の す べ て の 点 は振 動 し て い て,そ の 各 点O'を

考 え る.

新 しい 波 源 と して 新

しい 波 が 速 さυ で 周 囲 に 拡 が っ て い く.つ ま り,２ 次 波 は後 方 に も拡 が るが 後 方 か ら前 進 して くる波 に よっ て 打 ち消 され,結 果 的 に前 進 す る波 だ けが 残 り, 図6.1に

示 さ れ る よ う な ２次 波 の 波 面 が形 成 され る.

  波 源 に 近 い波 の 波 面 は球 面 に な って い る と考 え られ るが,遠 な す こ とが で き る.そ

方 で は平 面 とみ

こで,こ の よ うな 平 面 波 を,図 中 Ｒ で 示 した よ う な １本

の 矢 印 で表 わ す と,以 下 に述 べ る 波 の 反 射 や屈 折 な どの 波 動 現 象 を 考 え る上 で

図6.1 

ホ イ ヘ ンス の 原 理 に よ る球 面 波 と平 面 波

便 利 で あ る.

6.1.2  反  射   図3.3で

示 した よ う に,波 は 壁 や 障 害 物 に 当 た る と反 射 す る.い ま,図6.2に

示 す よ う に,入 射 角 θiの入 射 波 の反 射 につ い て考 え る.上 述 の よ うに,ホ イ ヘ ンス の 原 理 に基 づ き,平 面 波 を １本 の 矢 印 で 代 表 させ る.矢 印 で表 わ され る波 を"光 線"と

考 えれ ば わ か りや す い だ ろ う.

 入 射 角 θiは入 射 光 線 と法 線(反 射 面 に対 し垂 直 な線)と の な す 角 度 で 定 義 さ れ る.同 様 に定 義 され る 反射 角 をθrと す れ ば,常 に

(6,1) が 成 り立 つ.し

た が っ て,図6.3(a)に

図6.2 

示 す よ う に,光 線 が 粗 い 面 に 入 射 し た 場

波の反射の法則

（ａ） 図6.3 

粗 い面 で の拡 散 反 射 （ａ）と平 滑 な 面 で の"完

（ｂ） 全"反

射 （ｂ）

合,す

べ て の点 で 式(6.1)を

満 足 す る よ う に反 射 す るの で,反 射 光 は多 くの 方

向 に拡 が る.こ の よ う な反 射 を拡 散 反 射 あ る い は乱 反 射 とよ ぶ.そ れ に対 し, (ｂ)に 示 す よ う に,例 え ば鏡 面 の よ うな 平 滑 な面(表 の約 ８分 の １以 下)で

面 の凹凸が入射光 の波長

は,拡 散 反 射 は ほ とん ど起 こ らな い の で 反 射 光 線 が １方

向 に 集 中 す る.そ の 結 果,物 が 明 る く見 え,と き に は 眩 し く感 じ るの で あ る(図 4.19参 照).   例 え ば,こ の ペ ー ジ(紙)の

表 面 は,長 波 長 の 電 波 に対 して は"平 滑"で

あ

るが,可 視 光 に対 して は 凹 凸 が あ っ て 粗 い の で 拡 散 反 射 が起 こ っ て い る.そ の お か げ で,ど の 方 向 か ら見 て も(図6.3(a)の

Ａ や Ｂの 位 置),こ

のペ ー ジ を見

る こ とが で き る の で あ る.と こ ろが,も し,こ の ペ ー ジ の 表 面 が,図6.3(b)に 示 す よ う に,可 視 光 に対 し て"完 全 に"平 滑 で あ り,光 が １方 向 か ら入 射 した な らば,Ａ

の位 置 か ら は見 え る(し か し,か な り眩 しい だ ろ う)が,Ｂ

の位置

か らは 見 え な い,と い う こ とに な る.   また 逆 に,長 波 長 の 電 波 に対 して は"平 滑 な"反 射 面 とな るが,短 に対 して は,そ の よ う に な らな い とい う こ と も あ る.例

波 長 の光

え ば,金 網 で 作 られ た

皿 状 の パ ラ ボ ラ ・ア ン テ ナ は電 波 に対 して は良 好 な 反 射 面 に な っ て い るが,可 視 光 に 対 して は,そ

う は な っ て い な い.つ

定 義 で き る が,物 理 的(波 動 的)な"平

ま り,機 械 的 な"平 面"は

面"は,入

一義 的 に

射 波 の波 長 に 依 存 す る の で

あ る.

6.1.3  屈  折 ■ ス ネ ル の 法則   昔,小 学 生 の 頃,夏

に な る と学 校 の 水 泳 プ ー ル に碁 石 を投 げ 入 れ,潜

れ を取 っ て くるゲ ー ム をや った もの で あ る.そ の 場 合,図6.4に 碁 石 が あ る位 置 は,実 際 よ りず っ と上 の 方(浅

ってそ

示 す よ う に,

い と ころ)に 見 え る.こ れ は,

空 気 と水 面 との 境 界 に お け る光 の屈 折 の た め に起 こ る現 象 で あ る.こ の よ う な 光 の 屈 折 は,水 槽 の 魚 を上 か ら見 た と き な ど,日 常 的 に も経 験 す る こ とで あ る.   こ の よ うな 屈 折 が な ぜ起 こる の か を考 え て み よ う.   図6.5は,車

軸 で連 結 され た ２輪(ａ)あ るい は隊 列 行 進者(ｂ)が 滑 らか な舗

装 面 か らぬ か る み ヘ,境 界 面 の 法線 に対 し あ る 角 度 θ1を もっ て 速 さυ1で 進 む

図6.4 

プー ル の 底 の基 石 の見 え 方

（ａ）

（ｂ） 図6.5 

速 さの 変 化 に よ る"曲

が り"

の を上 か ら見 た 図 で あ る.ま ず,（ ａ）で は,最 初 に ぬ か る み に 入 っ た車 輪 Ａ は 舗 装 面 を走 る車 輪 Ｂ と比 べ速 さが 落 ち るの で(v2＜v1),２ 向(θ2＜θ1)に進 む.つ

輪 は 法 線 に近 づ く方

ま り,車 軸 で 連 結 され た ２輪 は 曲 が る の で あ る.(ｂ)に

示 す隊 列 行 進 の場 合 も同様 で あ る.舗 装 面 で の行 進 の速 さ をv1,ぬ

かるみでの

速 さ をv2と す れ ば, v2＜v1な の で,隊 列 は法 線 に近 づ く方 向 に 曲 が る.実 際, オ リ ン ピ ッ ク や全 国 高 校 野 球 大 会 な どで の選 手 の入 場 行 進 の と き,行 進 の方 向 を 曲 げ るの は,内 側 の選 手 の 速 さ を小 さ くす る の で あ る.ま た,ブ ル ドー ザ ー

図6.6 

ホ イ ヘ ン ス の 原理 に よ る屈 折 の 説 明

な ど,キ ャ タ ピラ の あ る乗 物 の 進 行 方 向 を 曲 げ る場 合 も,同 様 に,内 側 の キ ャ タ ピ ラの 速 さ を小 さ くす る.   光(一

般 的 に 波)の 屈 折 の 場 合 も ま っ た く同様 に考 え る こ とが で き る.

  図6.6に

示 す よ う に,物 質 ①(例 え ば空 気)か ら物 質 ②(例 え ば 水)に,平

が 入射 角 θiで入 射 す る場 合 を考 え る.ホ は 波 面ABの

面波

イヘ ン ス の 原 理 に よれ ば,波 面A'B'

各 部 か ら出 た 小 さ な ２次 波 の 包 絡 面 で あ る(図6.1参

が境 界 面 に達 して か らｔ時 間 に,波 面ABが

波 面A'B'に

照).波

面Ａ

達 した とす れ ば

(6.2) で あ る.た

だ し,v1, v2は

図 の よ う に,屈

そ れ ぞ れ 物 質 ①,②

の 中 の 波 の 速 さ で あ る.こ

こ で,

折 角 を θrと 置 く と

(6.3) と な る.こ 質 ①,②

こ で,図6.6に

示 す 波 を 光 と考 え,真

空 中 の 光 速 をｃ とす れ ば,物

の 屈 折 率n1,n2が

(6.4)

(6.5) で定 義 され (6.6) あるい は (6.7) が 得 られ,こ

れ をス ネ ル の 屈 折 の 法 則 と よぶ.

  い ま,図6.7に 屈 折 率n2の

示 す よ うに 屈 折 率n1の

物 質(例 え ば水)の 中 か ら発 し た光 が

物 質(例 え ば空 気)に 向 か う とす る.た だ し, n2＜n1で あ る.入 射

角 θiを（a）→ （c）へ順 に大 き く して い く と,(ｂ)の

よ うに,屈 折 光 が境 界 面 の

方 向 と一 致(θr=90°)す る場 合 が 生 じ る.こ の と きの 入 射 角 θiを特 に臨 界 角 と よ び,θcで 表 わ す.θi≧θcの場 合,つ ま り （ｂ）や （ｃ）の 場 合,光 源 を 発 し た光 は すべ て境 界 で 反 射 され,外 部 へ 出 る こ とは な い.こ

の よ う な現 象 を全 反 射 とよ

ぶ.   臨 界 角 θcは,式(6.6)よ

り

(6.8) で 得 ら れ る.式(6.8)よ

り明 ら か な よ う に,sinθ≦1な

の で,図6.7でn1＜n2

図6.8 

ガ ラ ス を通 過 す る 光

の場 合 は,全 反 射 が 起 こ らな い. ■光速 の変化   光(電 磁 波)の 速 さ は,自 然 界 の 一 つ の定 数 で あ り,第 ４章 で 述 べ た よ う に, 真 空 中 で 約3×108m/sと   しか し,図6.4,6.6,6.7で

い う一 定 値 とな る.そ して,こ の速 さ をｃ で 表 わ した. 示 した よ う に,光 が 屈 折 す る の は,光 速 が 媒 質

に よっ て 変 化 す る か らで あ る.具 体 的 に い え ば,光 の速 さ は媒 質 中 で,真

空中

の光 速ｃ よ りも小 さ くな る.ア イ ン シ ュ タ イ ンの 相 対 性 理 論 に 「光 速 度 不 変 の 原 理 」(光 速 度 は,光 源 や 観 測 者 の 運 動 状 態 に よ らず,常

に一 定 で あ る)が あ る

の で,誤 解 しな い よ う に注 意 が 必 要 で あ る.   さて,図6.8に

示 す よ う に,速

さｃ の 光 が,空 気 中 に置 か れ た ガ ラ ス を通 過

す る場 合 の こ とを考 えて み よ う.後 述 す る よ う に,空 気 中 の 光 速 は真 空 中 の 光 速 と同 じ と考 え て よい.入 射 角 θiでガ ラス に入 射 した光 は,空 気−ガ ラ ス の 境 界 Ｉで屈 折(屈 折 角 θⅠ)して ガ ラ ス 中 を速 さc'(c'＜c)で 折(屈 折 角 θⅡ)し て 空 気 中 へ 出 て い く.空 気,ガ

進 み,境 界Ⅱ で再 び 屈

ラ ス の屈 折 率 を そ れ ぞ れ1.00,

1.50と す れ ば,ス ネ ル の屈 折 の 法 則 よ り

(6.9)

(6.10) と な り,式(6.9),(6.10)か

ら θIを 消 去 す る と

つ ま り

(6.11) とな る.こ の こ と は,光 が ガ ラ ス とい う媒 質 を通 過 した 後,再

び 入射 前 の 速 さ

ｃで 進 行 す る こ とを意 味 す る.   一 般 的 な エ ネ ル ギ ー の概 念 か らす れ ば,こ の よ う な光 の挙 動 は不 思 議 で あ る. つ ま り,例 えば,ピ ス トル か らv1の 速 さで 発 射 され た 弾 丸 が 薄 い 板 を突 き抜 け て 進 む 場 合,板 を貫 通 す る際,弾 丸 は減 速 し,板 を出 る とき の速 さv2はv1よ

り

小 さ くな る.弾 丸 は貫 通 す る板 の 中 で エ ネル ギ ー を失 な うか らで あ る.   と こ ろが,伝

播 に媒 質 を 必 要 と しな い(真

空 中 で も伝 播 す る)特 殊 な 波 で あ

る電 磁 波 の光 の 場 合 は状 況 が 異 な る の で あ る.そ の状 況 は い さ さ か複 雑 で あ り, そ れ を詳 細 に 説 明 す る こ と は本 書 の 役 割 を越 え て い る.そ

こで,こ

こで は,以

下 の よ うな簡 単 な 説 明 で,定 性 的 に 理 解 す る こ と に つ とめ よ う.   も う一 度,図6.8を ど)は,入

見 て み よ う.ガ ラ ス を 形 成 す る原 子(シ

射 す る光 の エ ネル ギ ー(E=ｈν)を

数 で 強 制 振 動(1.2.2項)を 起(図1.29参

リコ ン や 酸 素 な

吸 収 して励 起 し,ν と等 しい 振 動

始 め る.そ し て,エ ネ ル ギ ー を吸収 した電 子 は脱 励

照)に よ っ て,振 動 数ν の光 を放 射 す る.こ の よ う に して,光

ガ ラ ス 内 を進 んで い くが,励 起,脱

励 起 に よ る光 の再 放 射 は 瞬 間 的 に は起 こ ら

ず,結 果 的 にガ ラ ス 内 の 平 均 的 光 速c'は の 光 速 ｃ'は式(6.4)か

らc'=c/nと

は

ｃ よ り小 さ くな る.つ ま り,ガ ラ ス 内

な っ て 減 速 す る.こ こで 注 意 が 必 要 な の

は,こ のｃ'は あ くまで も,ガ ラス(媒 質)内 の 平 均 的 な 光 速 で あ る こ とで,光 の瞬 間 的 な速 さ は依 然 とし て ｃで あ り,"不 変"な こ とで あ る.つ

ま り,図6.8

に示 す 境 界Ⅱ の外 に出 れ ば,光 は再 び ｃで 進 行 す る こ とに な る.し た が っ て, 式(6.4)で

定 義 さ れ る物 質 の 屈 折 率ｎ は,励 起 ・脱 励 起 に要 す る 時 間 の度 合 い

を表 わ し て い る,と 考 え る こ と もで き る だ ろ う.そ ｎ

=

して,そ れ は,結 果 的 に

光 の真 空中の速 さ  光 の物質 中の速 さ 

(6.12)

と い う こ と に な る.   と こ ろ で,0℃,１ と み な せ る の で,一

気 圧 の 空 気 の 屈 折 率 は,1.000292で 般 的に

あ り,ほ

と ん どn=1

図6.9  屈折率 の波長 お よび媒質依存性

ｎ

=

光 の空気 中の速 さ  光 の物質 中の速 さ 

を屈 折 率 と よん で 問題 な い.式(6.13)の

(6.13)

屈 折 率 に対 し,式(6.12)の

屈折 率

を絶 対 屈 折 率 と よ ぶ.   図4.17に

示 した よ うに,太 陽 光(白 色 光)を プ リズ ム(ガ ラ ス製)に 通 す と,

口絵 ２の よ うな 美 しい 光 の スペ ク トル が 現 わ れ る.こ の こ と は,光 の 波 長 に よ っ て 屈 折 角 が 異 な る こ と を意 味 す るの で あ る.つ ま り,物 質(媒

質)の

が光 の 波 長 に よ っ て異 な る こ と を意 味 す る.こ の こ とは さ ら に,あ 光 速c'が

屈折 率

る媒 質 中 の

波 長 に依 存 す る こ と を意 味 す る.こ れ は,光 の エ ネ ル ギ ー(E=ｈυ)

が振 動 数(波 長)に

依 存 し,そ れ が 上 述 の 励 起,脱

与 え る こ とを考 えれ ば理 解 で きる だ ろ う.い 性 を 図6.9に

励 起 に 要 す る時 間 に影 響 を

くつ か の 物 質 の 屈 折 率 の 波 長 依 存

示 す.

■虹   雨 上 が りの後 な ど,太 陽 が 空 の一 部 で輝 く と,口 絵 ３に示 す よ う な 美 しい 円 弧 状 の色 の スペ ク トル,つ

ま り虹 が 現 わ れ る こ とが あ る.こ の 虹 は,図6.10に

示 す よ う に,必 ず,太 陽 を背 に した 方 向 に見 え,そ れ は,３ 次 元 空 間 に 拡 が る 無 数 の水 滴 が そ れ ぞ れ 一 つ ず つ 図4.17に

示 す よ うな プ リズ ム の 働 き を した 結

果 の現 象 で あ る.と は い え,虹 が 口絵 ３や 図6.10の

よ うに,半 円 形 の美 しい ス

ペ ク トル とし て見 え る メ カ ニ ズ ム を説 明 す るの は,そ れ ほ ど簡 単 な こ とで は な い.

図6.10 

図6.11 １

虹 の 見 え方

個 の水 滴 に よ る太 陽 光 の 分 散

  まず,光 の スペ ク トル が 帯 状 に現 わ れ る メ カ ニ ズ ム に つ い て考 えて み よ う.   図6.11に

示 す よ うに,１ 個 の水 滴(球 状 で あ る)に 太 陽 光 が 入 射 す る場 合 を

球 の 断 面 で考 え る.一 部 の光 は屈 折,反

射,屈 折 を経 て 水 滴 の外 側 に 出 て くる

(一部 は,屈 折,屈 折 を 経 て 水 滴 を通 過 す る).光 が,屈 折−反射−屈 折 を経 て 外 側 に出 て くる と き,図6.9に

示 す よ う に,光 の波 長(色)に

な るか ら,最 も大 き く曲 が る紫(40°)か の スペ ク トル に分 散 す る(ま

よって屈折 率が異

ら最 も曲 が りの 小 さ い 赤(42°)ま で 色

っ た く曲 が らな い場 合,上

記 の 角 度 は180° に な

る).こ の よ う な スペ ク トル を観 測 す る と,観 測 者 に は １個 の水 滴 か らは 一 つ の 色(図6.11で

は赤)し か 見 え な い.し か し,空 間 に は ３次 元 的 に無 数 の 水 滴 が

浮 遊 して い るわ け で,観 測 者 に は 図6.12に

示 す よ うに,結 果 的 に赤 か ら紫 ま で

の色 の ス ペ ク トル が帯 状 に見 え る こ とに な る(口 絵 ２,３ 参 照).

図6.12 

無 数 の 水 滴 に よっ て 形成 され る色 の スペ ク トル

図6.13 

虹の立体的構造

  次 に,虹 が 半 円 形 に見 え る理 由 に つ い て 考 え よ う.   例 え ば,赤 色 の 光 が観 測 者 に見 え る メ カ ニ ズ ム は 図6.11に るが,今

度 は図6.13で

示 した とお りで あ

立 体 的 に考 え る.水 滴 Ａか ら42°の 角 度 で 反 射 した赤 色

の 光 は観 測 者 の 目 に届 くが,水 滴A'の

場 合,同

じ42°で 反 射 して も観 測 者 の 目

に は届 か な い.し か し,水 滴 Ｂや Ｃの よ うに"42° の 条 件"を 満 た す 水 滴 か らの 反 射 光 は,赤 色 の光 とし て観 測 者 の 目 に届 くの で あ る.結 局,３ 遊 す る水 滴 の うち"42° の条 件"を ABC…(太

線)の

次 元 空 間 に浮

満 た す 水 滴 は,頂 角84°(42°×2)の 円 錐 の 底

円 周 上 に あ る． ほ か の 色 の場 合 も頂 角 が 異 な る だ けで(例 え

ば,紫 色 の場 合 は80°),事 情 は同 じで あ る.し た が っ て,虹

は,空 間 的 に は 円

状 の スペ ク トル と して 見 え る こ とに な る.し か し,地 上 で観 測 す る場 合 は,地 面 よ り下 の部 分 は見 えな い の で半 円状 に見 え る こ と に な る.

（ａ）

図6.14 

6.1.4  回

（ｃ）

（ｂ）

波 の回 折

折

  い ま,光(波)が

反 射 や 屈 折 に よ っ て進 行 方 向 が 曲 げ られ る こ とを述 べ た.

この ほ か に,波 は 回 折 とい う現 象 に よ って も進 行 方 向 が 曲が る.例

えば,海 岸

に寄 せ る波 の 進 行 方 向 が海 面 か ら突 き出 た 岩 に よ って 曲 げ られ た り,防 波 堤 に よっ て 波 の 進 行 方 向 が 変 わ っ た りす る の を見 た こ とが あ る だ ろ う.こ の よ う な 現 象 が 回 折 で あ る.回 折 は 波 が 示 す基 本 的 な現 象 の 一 つ で あ り,光 の 波 も,音 波 も電 波 も回 折 現 象 を示 す.ま た,回 折 は粒 子 で は起 こ り得 な い,波 特 有 の現 象 で あ り,光 が 回 折 現 象 を示 す こ とが,光 の 波 動 説 の 根 拠 に も な っ て い る.   オ イ ヘ ン ス の 原 理 に基 づ く回 折 の様 子 を 図6.14に は,(ａ)の き間(ス

示 す.あ

らゆる種類 の波

よ うに,障 害 物 に よ っ て 回折 し,進 行 方 向 を変 え る.ま た,波 リッ ト)を 通 過 す る と き に も回折 す るが,(ｂ),(ｃ)に

す き間 の幅 が 小 さ い ほ ど,す

はす

示 す よ う に,

き間 の端 で の 波 の 曲 が りが大 き くな る.回 折 の 程

度 は,障 害物 の 大 き さ と波 長 の 相 対 的 な比 に よ っ て決 ま るの で あ る.す

き間 の

幅 が 波 長 に比 べ て 大 きい とき は 回 折 の 度 合 い が 小 さ い.こ の こ とは,光(電

磁

波)を 顕 微 鏡 に使 う場 合,波 長 が 短 か い ほ ど鮮 明 な像 が 得 られ る こ とを意 味 す る. 6.2  波 の 相 互 作 用 6.2.1  干  渉   二 つ の 波 が 重 ね 合 わ せ に よ っ て,強 の 干 渉 と い う.4.2.3項

め 合 っ た り,弱

で 述 べ た よ う に,光

め合 っ た りす る現 象 を 波

の 波 動 性 を は っ き り と 示 し た の が,

（ｂ）

（ａ）

図6.15 

（ｃ）

ヤ ング の ダブ ル ・ス リ ッ トの 実 験

この 干 渉 とい う現 象 で あ る.   図6.15は,1801年

に ヤ ング が 行 な っ た 有 名 な ダ ブ ル ・ス リ ッ トを 用 い た光 の

実 験 の 模 式 図 で あ る.ヤ S1,S2を

ン グ は,（ ａ）に示 す よ う に,近 接 し た ２個 の ス リ ッ ト

あ け た板 に単 一 波 長 の 光 を 当 て た .も し,光 が ニ ュー トンが い った よ

うな粒 子 な ら ば,後 方 に置 い た ス ク リー ン に は どの よ うな像 が 現 わ れ る だ ろ う か.（ ｂ）に示 す よ う な ２本 の線 が 現 わ れ る はず で あ る.し か し,後 方 の ス ク リ ー ン に 映 し出 され た の は,（ ｃ）に示 す よ うな 明 暗 の縞 だ っ た.こ の よ う な 明 暗 の 縞 を干 渉 縞 と よぶ.干 渉 縞 の 出 現 は,光 が 粒 子 で あ れ ば あ り得 な い こ とな の で,こ

の ヤ ン グ の 実験 結 果 か ら光 の 波 動 性 が 疑 う余 地 の な い もの にな っ た の で

あ る.   干 渉 縞 が な ぜ 生 じ るの か,以 下 に 考 え て み よ う.  話 を簡 単 に す る た め に,一 直 線 上 を進 む １次 元 的 な二 つ の 波 を考 え る.い ま ψ1（x,t）,ψ2（x,t） が それ ぞれ の波 の 波 動 方 程 式 の 解 だ とす れ ば(式(2.16)参

照)

(6.14) が 成 り立 つ の で,ψ1＋ ψ2も解 に な る.こ の こ とは,二 つ の 波 が重 な った と きに で き る 波 は,単 に二 つ の 波 を足 し合 わ せ た波 で あ る,と い う こ と を意 味 す る. これ が51ペ

ー ジで 述 べ た重 ね 合 わ せ の 原 理 で あ る .こ の こ とを,振 幅 と波 長 が

互 い に等 しい 二 つ の 波 の 干 渉 を示 す 図6.16で   位 相 差 が ０か 波 長 λ の 整 数 倍(nλ)の

視 覚 的 に考 え て み よ う.

場 合 は,（ ａ）に 示 す よ う に二 つ の 波 は

強 め合 う.し か し,位 相 差 が λ/2,あ る い は(n+1/2)λ

の場 合 は,（ ｂ）に示

（ ｂ） 打 ち消 し合 う

（ａ）強 め 合 う

図6.16 

(ａ)

(ｂ)

図6.17 

す よ う に,山

（ｃ）一  部 打 ち 消 し合 う

３種 類 の干 渉

干 渉 縞 の 形 成.(ａ)明

(ｃ)

線,(ｂ)明

と谷 が 重 な り打 ち 消 し合 う.(ｃ)は,両

線,(ｃ)暗

線

者 の 中 間 の 場 合 で,一

部

打 ち 消 し 合 う.   図6.15(c)に

示 す 干 渉 縞 の 場 合,明

る い 縞 は 図6.16(a)に,暗

い 縞 は(ｂ)の

場 合 に 相 当 す る.   さ て,こ

こ で,図6.15(c)に

示 す よ う な 干 渉 縞 が ス ク リー ン 上 に 形 成 さ れ る

メ カ ニ ズ ム に つ い て,図6.17を S2に,波

長 λ の 位 相 が そ ろ っ た 光 が 入 射 す る.ス

をｌ とす る.ま ず,(ａ)に

リ ッ ト と ス ク リー ン と の 距 離

示 す よ う に,回 折 に よ っ て 曲 が っ た 二 つ の 波 は ス ク リ

ー ンの 中 央 Ｃ に 到 達 す る が 6.16(a)の

用 い て 考 え て み よ う.間 隔 が ｄ の ス リ ッ トS1,

,同

じ距 離 を進 ん で く る の で 位 相 に ず れ が な く,図

干 渉 を 起 こ し て 明 線 と な る.

  次 に ス ク リ ー ン 上 の 中 央 の 点 Ｃ 以 外 の 点 Ｐ に お け る 干 渉 に つ い て 考 え る.例 え ば,図6.17(b)で,S1を

通 る 波 とS2を

通 る 波 の 点 Ｐ ま で の 行 路 差 ⊿dは

(6.15) で 与 え ら れ る.図6.16で

示 し た よ う に,二

つ の 波 が 強 め 合 う,つ

ま り,ス

ク リ

ー ン上 に 明線 が 現 わ れ る条 件 は

(6.16) で あ る.ま

た,二

つ の 波 が 弱 め 合 う,つ

ま り,図6.17(c)に

示 す よ うに ス ク リ

ー ン上 に暗 線 が 現 わ れ る条 件 は

(6.17) で あ る.

6.2.2  結 晶 格 子 に よ る 回 折   一 般 的 に は"胸 部 Ｘ線 写 真"な どで な じみ深 い Ｘ線 は,図4.15に

図6.18 

図6.19 

NaCIの

結 晶 格 子 に よ る Ｘ線 の 回 折

結晶構造

示 した よ う

に 電磁 波 の 一 種 で あ る.つ

ま り,Ｘ 線 も光 と同様 に,回 折,干 渉 の 現 象 を示 す

はず で あ る.し か し,Ｘ 線 の波 長 は10-3 nm∼10

nmで

非 常 に 短 か い た め に,図

6.14で 説 明 した よ う に,一 般 的 な ス リ ッ トの よ うな もの で は,そ の 幅 が 大 きす ぎて 回 折 現 象 を観 察 す る の は 困 難 で あ る.と こ ろ が,0.1nmの

オ ー ダ ー で原 子

が 規 則 正 し く並 ぶ 結 晶 格 子 にＸ 線 を照 射 す れ ば 回折 ・干 渉 現 象 が 現 わ れ る こ と が,1912年,ラ

ウ エ(1879−1960)に

  結 晶 は,例 え ば図6.18に

示 すNaC1の

よ っ て示 され た. よ う に,イ オ ン あ るい は原 子 が ３次 元

的 に規 則 正 し く配 列 す る構 造 を持 っ て い る.こ の よ うな 結 晶 構 造 を 単 純 化 して, 図6.19の

よ う に １次 元 格 子 で 表 わ し(紙 面 に垂 直 に格 子 面 が 拡 が っ て い る と考

え る),こ

こ に Ｘ線 を照 射 す る と,Ｘ 線 は格 子 面 で 回折(反 射)す る.い

ま,入

射 Ｘ線Ⅰ,Ⅱ に着 目 して,こ れ らの 回 折 Ｘ線Ⅰ',Ⅱ'の 干 渉 条 件 に つ いて 考 え る. Ｘ線Ⅰ お よびⅡ の 行 路 差 は

(6.18) で与 え られ る.6.2.1項 の と き,つ

で 述 べ た よ うに,こ の 行 路 差 が Ｘ線 の 波 長 λ の 整 数 倍

ま り

(6.19)

図6.20 

NaC1の

Ｘ線 ラ ウ ェ 写 真

の場 合 に,回 折 Ｘ線 は干 渉 現 象 に よ っ て 強 め合 う.式(6.19)を

ブ ラ ッ グ条 件

とよ ぶ.干 渉 に よ っ て 強 め合 っ た 回 折 Ｘ線 を何 らか の 方 法,例 投 影 す れ ば,結 晶 独 自の 情 報 が 得 られ る.図6.20は したNaCl結

えば写真乾板 に

その 一 例 で,図6.18に

示

晶 の Ｘ線 ラ ウ エ 写 真 で あ る.黒 点(回 折 点)の 一 つ 一 つ が そ れ ぞ れ

特 定 の結 晶 面 か らの情 報 を表 わ して い る.こ の よ う な Ｘ線 回 折 現 象 を用 い た Ｘ 線 回 折 法 と総 称 され る 方 法 は多 種 多 様 で あ るが,い ず れ も結 晶 構 造 の 解 析,観 察 に極 め て 強 力 な手 段 に な っ て い る.1953年

に 明 らか に され たDNAの

構造

も,こ の Ｘ線 回 折 法 に よ る も の で あ る.   また,前 章 で,電 子 が物 質 波 と して の 波 動 性(電

子 波)を 持 つ こ とを 述 べ た

が,電 子 もＸ線 と同 様 に結 晶 格 子 に よ る回 折 現 象 を示 す.こ 装 置 の 一 つが 透 過 型 電 子 顕 微 鏡(TEM)で   荷 電 粒 子 で あ る電 子 を電 圧Ｖ

の 現 象 を利 用 した

あ る.

で加 速 す る と き,電 子 の運 動 エ ネ ル ギ ーEkは

(6.20) で 与 え ら れ,式(6.20)か

ら

が 得 ら れ る.式(6.21)を

式(5.2)に

(6.21) 代 入す る と

(6.22) と な り,式(6.22)に

そ れ ぞ れ の数 値 を代 入 す る と

(6.23) が 得 られ る.式(6.23)で

λ お よ びＶ の 単 位 は そ れ ぞ れ[Ａ]お

よ び[Ｖ]で

あ る.つ ま り,電 子 波 の 波 長 は加 速 電 圧 に 依 存 し,例 え ば 電 子 を200kVで す れ ば,λ=0.025Aと

加速

な る.こ の よ う な電 子 の 波長 は,結 晶 格 子 の 大 き さ(原

子 間距 離)に 比 べ て 十 分 小 さ い の で 回折 す る.電 子 線 回折 の 場 合 に も,式(6. 19)の

ブ ラ ッ グ条 件 が 適 用 で き る こ とは い う まで もな い.実 際,格 子 定 数 が 非

常 に小 さい 結 晶 や,量 が 少 な い も の に対 し て は Ｘ線 回折 法 は あ ま り役 に立 た ず, 波 長 が短 か い電 子 線 を使 っ た 電 子 線 回 折 法 が 有効 で あ る.本 章 の 扉 に 示 した フ ラ ー レ ン の よ う な物 質 の構 造 も電 子 線 回 折 法 に よ っ て 明 らか に さ れ る の で あ

図6.21 

非晶 質SiO2/単 結 晶Siの 断面 の高分解 能 電 子顕微鏡像

る.電 子 線 回 折 法 や 電 子 顕 微 鏡 の 発 達 の,物

質 科 学 や 材 料 工 学 の発 展 へ の寄 与

は計 り知 れ な い.ち な み に,第 ５章 扉 の電 子 顕 微 鏡 像 は電 圧200kVで

加 速 され

た電 子 の 回 折 に よ っ て得 られ た もの で あ る.   例 え ば,図6.21は

単 結 晶 シ リ コ ン(Si)と

非 晶 質 石 英(SiO2)の

接合 断面 の

高 分 解 能 電 子 顕 微 鏡 像 で あ るが,単 結 晶 の 規 則 正 しい 原 子 配 列 と非 晶 質 物 質 の 不 規 則 な 原 子 配 列 が 観 察 で き る.こ の よ うな 像 は,電 子 波 の 波 長 が 極 め て 短 か いか ら得 られ る の で あ っ て,可 視 光 を用 い る光 学 顕 微 鏡 で得 る こ とは不 可能 で あ る.

6.2.3 

ドッ プ ラ ー 効 果

  疾 走 して くる消 防 車 や パ トカ ー の サ イ レ ン の か ん 高 い音 が,そ

れ らが 通 り過

ぎ去 る とや や 低 い音 に聞 こ え る の を経 験 し た こ とが あ るだ ろ う.こ れ は,「 そ の よ うな 気 が す る」 の で は な くて,実 際 にそ の よ うな 音 に な って い る の で あ る. 図6.22に

示 す よ う に,い ま消 防 車 が 振 動数foの

サ イ レ ン を 鳴 ら しな が ら速 さ

vで 疾 走 して くる とす れ ば,Ａ 点 で は振 動 数fA(＞fo)に 聞 こえ,A'点

で はfA'(＜

fo)に 聞 こ え る.ま た 同様 に,foの サ イ レ ン を 鳴 ら す停 止 し た消 防車 に,観 測 者 が Ａ点 か ら速 さvで

消 防 車 に 近 づ く と きfA(＞fo)に

聞 こえ,速

さvで 遠 ざ か

図6.22 

サ イ レ ン の聞 こ え方

（ｂ）

（ａ）

図6.23 

る とき にfA'(＜fo)に

ド ップ ラー 効 果 に よ る振 動 数(波

れ は,ド

変化

聞 こ え る の で あ る.こ の よ う に,音 源 と観 測 者 の相 対 的

な 運 動 に よ っ て 振 動 数(波 ぶ.こ

長)の

長)が 相 対 的 に変 化 す る現 象 を ドップ ラ ー 効 果 と よ

ッ プ ラ ー(1803−1853)に

よ っ て,1842年

に 論 じ られ た現 象 で

あ る.   い ま,音 の ドッ プ ラ ー 効 果 に つ い て述 べ た の で あ る が,こ に限 らず光(電   以 下,ド

磁 波)に

の よ う な現 象 は音

も現 わ れ る もの で あ る.

ッ プ ラ ー効 果 に つ い て定 量 的 に検 討 して み よ う.ま ず,音

の ド ップ

ラ ー効 果 につ い て考 え る.   図6.23(a)に

示 す よ う に,音 源 が 発 す る振 動 数fo,速

さvの

波 の隣 接 す る二

つ の波 面 １,２ を考 え る.こ れ らの 波 面 間 の距離 ｄ は波 長 λ に等 し い.波 面１ か ら波 面 ２に達 す る ま で の 時 間 Ｔ はT=1/foで

与 え られ る.こ こで,(ｂ)に 示

す よ う に,音 源 が 速 さvsで 右 方 向 に移 動 す る と,Ｔ ds=vsTで

時 間 で 移 動 す る距 離dsは

与 え られ る.こ の 同 じ時 間 Ｔ の 間 に,波 面 もd=vTだ

移 動 し て い る.つ

ま り,(ｂ)の

け右 方 向 に

場 合 の 波 の 波 長 は λ'に変 化 して い る こ とに な

り,λ'は

(6.24) と な り,波

長 λ'の 波 の 振 動 数f'は

(6.25)

と な る.つ

ま り,f'＞foで

  ま た,音

源 が 速 さvsで

あ る. 遠 ざ か る場 合 は,vsに-vs,を

代 入 し

(6.26)

とな り,f'＜foで

あ る.

 音 源 が 停 止 し,観 測 者 が速 さυ0で 近 づ く場 合 は,波 の観 測 者 に対 す る相 対 的 な速 さυ'はυ'=υ 十υoと な る の で

(6.27) とな る.ま た,観 測 者 が 停 止 す る音 源 か らυoで遠 ざ か る場 合 は,υoに-υoを

代

入し

(6.28) とな る.   音 源 も観 測 者 も動 く と き は,図6.24の え,そ

れ ぞ れ の 符 号(向

き)を

よ う に ｘ 軸 方 向 の 速 度 をυs,υoと

考 え れ ば,一

般 的 に

考

(6.29)

図6.24 

音 源 と観 測 者 の移 動

が 得 られ る.   光(電 磁 波)の 場 合 も,同 様 の ドップ ラー 効 果 が あ る.し か し,ア イ ン シ ュ タ イ ンの相 対 性 理 論 に よれ ば,光(電

磁 波)は 観 測 者 に対 し常 にｃ の 速 さで あ

る か ら,音 の 場 合 の 音 源 が 動 く とき の ドップ ラー 効 果 を考 えれ ば よ い.つ ま り, 式(6.25),(6.26)が

(6.30)

(6.31)

とな る.   ア メ リカ の 天 文 学 者 ・ハ ッブ ル(1889−1953)は,1929年

に 「膨 張 宇 宙 論 」

を確 立 した が,そ の き っ か け を作 っ た の が光 の ドッ プ ラ ー 効 果 だ った.1920年 代,ア

メ リカ の天 文 学 者 の何 人 か が,天 体 か ら発 せ られ る スペ ク トル 線 の 波 長

の ず れ を 発 見 して いた.波 れ た が,こ れ は,ド 体 が観 測 点(地 球)か

長 は赤 い 方(長 い 方)に

ず れ るの で赤 色 偏 移 と よ ば

ップ ラ ー 効 果 に よ る もの で,そ

の ス ペ ク トル 線 を 発 す る天

ら遠 ざか っ て い る こ とを意 味 す る.こ の よ う な 観 測 を積

み 重 ね た 結 果 に 到 達 した の が ハ ッブ ル の 「膨 張 宇 宙 論 」 で あ る.   また,こ

の ドッ プ ラ ー効 果 は,運 動 す る物 体(自

動 車 や 野 球 の ピ ッチ ャー の

ボ ー ル な ど)の 速 度 測 定 や 公 衆 便 所 の 自動 水 洗 な ど,わ れ わ れ の 身 の まわ りの さ ま ざ ま な と こ ろ で応 用 され て い る.

チ ヨ ッ ト休 憩 ● ６ コ ウ モ リ の"聴"能   コウモ リは奇妙 な動物 で ある.哺 乳類 で あ りなが ら,翼(翼

力

手 とよ ばれ る)

を持 ってお り,空 を飛 ぶ ことが でき る.洞 窟,廃 坑,樹 洞,森 林 な ど,一 般 的 に暗 く,ジ メジ メ した場 所 に生 息 し,夜 行 性で もあ るの で,そ の形 態 と相 ま っ て,気 味 が悪 い動 物 とい う印象 が強 い.し か し,こ の コ ウモ リは,最 新 鋭 ・空 中警 戒管 制機(AWACS)も

顔負 けの,生 ま れな が らの"八 イ テク機 器"を 備

え た動物 なの で ある.   コ ウモ リは,優 れ た超音 波 レー ダー を駆 使 し,障 害 物や 食物 な ど との 距 離, 方 向,大 き さな どを瞬 時 に知 る ことが でき るの であ る.ま た,ド ップ ラー効 果 を利 用 し,獲 物の 動き を も探知 す るの であ る.コ ウモ リは,５ 万 ∼10万Hzの 超音 波 を毎秒 数 回∼数 十 回断続 的 に発 し,そ れ を発達 した聴覚 で"情 報処 理" す る"聴"能

力 を持 って いる.こ れ は,コ ウモ リの脳 の 中 に,音 の 物理 現 象を

正確 に解析 する機 能,お よびそ の ため の"ハ イ テク装 置"が 満 載 され て いる, と考 える ほか はな い.こ の た め,コ ウモ リは狭 い洞 窟や茂 った森林 の 中で も, そ して暗闇 の 中でも 自由 に飛翔 でき るの であ る.ま た,目 隠 しを して,天 井か ら多数 の針 金 を吊 り下げ た室 内 に放 して も,針 金 に衝突 する こ とな く,巧 み に 針 金 をよ けて飛 び回 る ことが でき るそ う であ る.   コウモ リが持 っ ている機 能 に 匹敵す る,そ して コウモ リの脳 の大 き さ ぐ らい の 八 イテ ク機 器 を人 工的 に作 るの は不 可能 で はな いか.   私 は,い つ も,自 然の 神秘 と生 物の 驚 異 に圧 倒 されて い るの である.

■演習 問題   6.1  地 震 の Ｐ 波 が あ る 地 層 の 境 界 を 通 過 し,速 た.こ

さ が6.5[km/s]か

の Ｐ波 の 地 層 の 境 界 に 対 す る 入 射 角θiが30° の と き,屈

  6.2  空 気 の 屈 折率n=1.00,水

の 屈 折 率n'=1.33と

ら8.0[km/s]に

増大 し

折 角 θrを 求 め よ.

す る ． 光 を,(ａ)空

中 か ら水 中 へ,

(ｂ)水 中 か ら空 中 へ 向 け て 発 した と き の 臨 界 角θcを 求 め よ.   6.3  虹 が 半 円 形 の 光 の ス ペ ク トル に な っ て 現 わ れ る メ カ ニ ズ ム に つ い て 説 明 せ よ.ま 虹 が 円 形 に 見 え る場 合 が あ る か,あ   6.4  0.1[mm]離 て あ る.こ

た,

る と す れ ば ど の よ う な 場 合 か.

れ た 二 つ の ス リ ッ トを 持 つ 板 の 後 方1.2[m]の

の 二 つ の ス リ ッ トを 同 位 相 の 波 長 λ=500[nm]の

位 置 にス ク リー ンが置 い

光 が 通 過 す る と き,干

渉 によっ

て 生 じ る近 接 す る ２本 の 明 線 間 の 距 離 を 求 め よ.   6.5  100[V]で   6.6  400[Hz]の

加 速 さ れ る 電 子 に よ っ て 生 じ る電 子 波 の 波 長 λ を求 め よ. 音 源 が 静 止 し た 観 測 者 に30[m/s]の

聞 く音 の 振 動 数 を 求 め よ.た

だ し,気

温 は20℃

とす る.

速 さ で 向 か っ て い る.こ

の観 測 者 が

 6.7  あ る恒星 か らの光 の 波長 を測 定 した と こ ろ,水 素 原子 か ら出 た と思 わ れ るＨ線 の波 長 λ が4870[A]で

あ った.実 験 室 内 で得 られ る同線 の 波 長 は4862[A]で

あ る.こ れ らの測 定

値 が正 しい と して,こ の差 の 原因 を説 明せ よ.ま た,こ の恒 星 は測 定場 所(地 球)に 対 し,ど の よ うな運 動 を して い るか,そ の速 度 を求 め よ.た だ し,地 球 は静 止 して い る と考 える.  6.8 蜃 気 楼 とは何 か.ま た,そ れ が どの よ うに して生 じる の か説 明 せ よ.  6.9  太 陽 光(白 色光)を 厚 い ガ ラス板 に通過 させ る と き,厳 密 に い え ば,ど の色 が最 初 に 出 て くるか.こ れ は,人 間 の 目 で観 察 で き るだ ろ うか.  6.10  テ レ ビが見 え に くい 山間 の 地 な どで,周 波 数 が 小 さい チ ャ ンネ ル の 局 の方 が 見 や す い の は なぜ か 説 明せ よ.

演習問題の解答

■第１章  1.1 

(ａ)式(1.2)か

  (ｂ)お

ら

も りの 振 動 の 速 さ は,お

も りが 平 衡 点 を通 過 す る と き最 大 に な る.こ

き の全 エ ネ ル ギ ー は 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ り,式(1.29),(1.30)よ

(ｃ)式(1.11)よ

式(1.4)よ

  1.2

り

り

(ａ)式(1.4),(1.11)よ

  (ｂ)上

の と

り

り

式 に,m=0.5[g]の

代 りにm=0.2[g]を

代 入 す れ ばf'が

求 ま る が,上 式 よ

り振 動 数 は 質 量 の 平 方 根 に反 比 例 す る の で

1.3 

本 文 を 見 よ.

1.4  本 文 を見 よ. 1.5  1日 は,60分

×24時 間=1440分

で あ る が,問

題 の 振 り子 時 計 は(1440−t） 分

しか 進 ま な い.正

確 な 時 計 の 振 り子 の 長 さ をl0,問

れ ば,式(1.16)よ

題 の 時 計 の 振 り子 の長 さ をｌ とす

り

の 関 係 が 成 り立 つ.し

  つ ま り,l0t/720だ

た が って

け振 り子 を短 か くす れ ば よ い.

 1.6  式(1.4)に 示 さ れ る よ う にT=1/fの 関 係 が あ るの で 交 流 電 源 の周 波 数(∫) の 違 い は,モ ー タ ー の 回 転 数 に 影 響 を与 え る.時 計 の 場 合 は,50[Hz]の 場 合,60[Hz] の場 合 と比 べ,周

期 が60/50倍

長 くな る の で,そ

藤 栄 著 『黒 部 ル ー ト殺 人 事 件 』 で は,犯 人 が,こ 利 用 し,ア

の 分,時

間 が 遅 れ る こ とに な る .斉 の周 波数 の違 い に よる時間 の遅 れ を

リバ イ 工 作 す る様 子 が 書 か れ て い る.

  しか し,現 在 は,時 計 を含 み,交 や タ イ マ ー な ど)に

流 モ ー タ ー を 使 う電 気 製 品(レ

コー ドプ レー ヤ ー

は す べ て 周 波 数 を 自動 的 に 調 整 す る 装 置 が つ け られ て い る の で,

上 述 の よ う な 問 題 は生 じな い.   と こ ろ で,こ の 狭 い 日本 で ２種 類 の 周 波 数 を 使 っ て い る の は,明 治 後 期,外 国 か ら の 発 電 技 術 を 導 入 す る と き,東 日本 の 電 力 会 社 の 多 くが ドイ ツ(50[Hz])に 学 んだ の に 対 し,西

日本 の 電 力 会 社 の 多 くが ア メ リ カ(60[Hz])に

学 ん だ た め で あ る .そ の よ

うな 歴 史 が 今 日 ま で 及 ん で い る の で あ る.   1.7  図1.6に 示 す よ う な 振 り子 を手 に持 っ て 吊 り下 げ,手 を 左 右 に動 か して み る. この と き,お も りの 振 幅 は,手 の 振 幅 に 応 じて 変 化 す る.ま ず,手 を非 常 に ゆ っ く り 動 か す と,お も り も そ の ま ま つ い て くる か ら,お も りの 振 幅 は手 の 振 幅 と同 じで あ る. し か し,手

を 非 常 に速 く動 か す と,お

き とお も り の 動 き との 差 は,手 原 理 とす る もの で あ る.実

も り は空 間 の １点 に 止 ま る.こ の 場 合,手

の 動 き そ の もの に な る.地

際 に,地

の動

震 計 は,こ の よ う な 現 象 を

震 計 を ど の よ うな 構 造 に す れ ば よい か,は

自分 で

考 え て み よ.

■ 第 ２章   2.1  本 文(2.1.5項),図2.20,2.11を

見 よ.

  2.2  Ｐ波 と Ｓ波 は 震 源 を 同 時 に 出 発 す る.ｄ 間 はd/vp,Ｓ

波 が 要 す る 時 間 はd/vsで

も先 に到 着 す る が,Ｐ

の 距 離 を伝 わ る の に Ｐ 波 が 要 す る 時

あ る.図2.21に

示 す よ う に,Ｐ 波 が Ｓ 波 よ り

波 が 到 着 し て か らｔ 時 間 後 に Ｓ 波 が 到 着 し た と す れ ば

で あ る.し

た が っ てd=υsυpt/(υp-υs)が 求 ま る.

  2.3  地 球 の 自 転,公 転,月 の 公 転 の 自然 現 象 が 主 で あ る が,社 会 生 活 を 営 む 人 間 の 場 合 は,労 働 条 件 の 周 期 な ど社 会 的 要 因 の 影 響 も無 視 で き な い で あ ろ う.   2.4  本 文 の 式(2.2)∼

（2.6)を 参 照 し て,2π(t/T-x/λ).

  2.5  (ａ)式(2.21)よ

り

(ｂ)

  2.6  レー ル を伝 わ る波 は 縦 波 で あ り,式(2.30)よ

り

 この波 がｔ秒 後 に聞 こえた とすれ ば

  2.7

とな り,結 局E=ρω2A2/2が な る.こ

得 られ,１

周 期 に お け る 平 均 エ ネ ル ギ ー 密 度 と同 じ値 に

の こ と は,１ 周 期 の 間 に １波 長 分 の 波 が 含 まれ て い る こ と を考 え れ ば 当 然 の

こ とで あ る.   2.8  波 の 利 用 の 仕 方 は,次 の ３方 式 が 考 え られ る.ま ず,本 文 で も述 べ た 波 の 上 下 運 動 に よ っ て 生 じ る気 流 を 利 用 す る 空 気 タ ー ビ ン方 式 で あ る.次 に,図2.17に 水 分 子 の 回 転 運 動 で 首 振 りす る カ ム を利 用 す る カ ム 方 式(一 とよ ば れ る)で あ る.さ だ(ラ

フ ト)を つ な ぎ,各

せ る ラ フ ト方 式 が あ る.

示 した

般 に シ ョルタ ーカ ム方式

ら に,３ 番 目 の 方 式 は,海 中 に 固 定 し た や ぐ らに 多 数 の い か ラ フ ト間 に生 じ る位 相 の ず れ を利 用 して タ ー ビ ン を 回 転 さ

■ 第 ３章   3.1  高 い 音,低

い音 の ピ ア ノ線 の 長 さ を そ れ ぞ れlh,l1と

す る と,式(3.7)よ

り

  実 際 の ピ ア ノ の こ と を考 えれ ば,7.5[m]の

ピ ア ノ線 は長 す ぎ て 非 現 実 的 で あ る.コ

ン サ ー ト用 の グ ラ ン ドピ ア ノ の 場 合 で も,許

さ れ る ピア ノ 線 の 長 さ は最 大3[m]ほ

で あ る.し

対 し同 じ材 質 の ピ ア ノ線 を 使 う こ と は な

た が っ て,現

実 的 に は,fhとf1に

ど

く,線 密 度 σ が 大 き な ピ ア ノ 線 を使 っ て 長 さ を 短 くす る の で あ る.   3.2  式(3.9),(3.13)よ

り,振 動 数fn(nは

１を含 む 整 数)は,管

の 内 径 に は無

関 係 で あ る の で,開 管,閉 管 い ず れ の 場 合 も管 Ａ と Ｂ,Ｃ と Ｄ の 振 動 数 は 同 じで あ る. し た が っ て,単

純 に,長

さ ±26[cm]の

  開 管 の 場 合,式(3.9)よ

  閉 管 の 場 合 は 式(3,13)よ

だ か ら,ま

ず,気

 これ の 値,お

が 得 ら れ る.ま

温15℃

求 め れ ば よ い.

り

に お け る音 速vを

よびl=25[cm]を

た,閉

開 管 と閉 管 のfnを

り

求 め な け れ ば な ら な い.式(3.25)よ

り

上 式 に代 入 し,開 管 の 場 合

管 の場 合 は

と な る.   3.3  まず 考 え られ る 理 由 は,夜 に な っ て,昼 間 の 騒 音 が 減 っ た た め に,遠 も聞 こ え る よ う に な っ た こ とで あ る.次

くの 音 で

に考 え られ る 理 由 は,地 上 と上 空 の 温 度 差 に

起 因 す る音 速 の 違 い の効 果 で あ る.   よ く晴 れ た 日 の 夜 は,放 射 冷 却 の 現 象 で,地 る.式(3.25)に

示 さ れ る よ う に,音

上 に 近 い ほ ど気 温 が 低 くな る こ とが あ

速 は 気 温 が 高 い ほ ど大 き く な る の で,遠

くで 発

せ られ た 列 車 の 音 は,一 曲 げ られ,遠

度 上 方 に 上 が っ た後,音

速 の 差(上

  3.5 

  3.6

こ にf1=264[S-1],v=343.6[m/s]を

気 温0℃

  振 動 数(周

波 数)が

水,海

あ る.し

小 さ くな る の で,低 りv=√k/ρ

り

代入 して

の 音 速υ0は331.6[m/s]で

式(2.28)よ

し た が っ て,淡

で,こ

よって下 方 に

く ま で 届 くこ と に な る の で あ る.

  3.4  フ ル ー トの 長 さ をlと す れ ば,式(3.8)よ

で あ り,こ

空 が 大)に

たが っ て

い 音 に な る.

な の で,音 速 は,媒 質 の密 度 の 平 方 根 に反 比 例 す る.

水 の 音 速,密

度 を それ ぞ れvp,vs,ρp,ρsと

こ にvp=1440[m/s],vs=1560[m/s],ρp=1[g/cm]を

すれば

代 入 して

  3.7  平 均 音 圧 レ ベ ル をβ,最 高 音 圧 レ ベ ル をβmaxと す る と,問 題 文 の 意 味 は

と い う こ と で あ る.式(3.16)よ

り

  3.8  耳 に鼓 膜 が あ る の と同 様 に,マ

イ ク ロ フ ォ ン に も音 波 に よ っ て 振 動 す る膜 や

板 が つ け られ て い る.空 気 の 圧 力 変 動 で あ る 音 は,こ

の膜 や 板 に 圧 力 変 動 に伴 な う振

動 を起 こ さ せ る.結 局,こ

の 振 動 を い か に し て電 気 信 号 に変 換 す る か,で

変 換 方 式 に は,動 電 型(ダ

イ ナ ミ ッ ク ・マ イ ク ロ フ ォ ン)と 静 電 型(コ

マ イ ク ロ フ ォ ン)の

の

２種 が あ る.

  動 電 型 は,磁 場 中 で 導 線 を動 か す と,そ の で,振

あ る.こ

ンデ ンサ ー ・

の 導 線 に電 流 が 発 生 す る現 象 を利 用 した も

動 を導 線 の運 動 に 変 換 す る方 式 で あ る.一

方,静

電 型 は,一 定 の 電 気 量 が た

ま っ た コ ン デ ンサ ー の 両 電 極 板 間 の 距 離 の 変 化 が 両 端 子 間 の 電 圧 変 化 を も た ら す 現 象 を利 用 した もの で あ る.つ

ま り,片 方 の 電 極 板 を振 動 板 に す れ ば よ い.

■第 ４章   4.1 

（ａ)

 (ｂ)

  4.2

  4.3  陽 焼 け,皮 膚 ガ ン,殺 菌 作 用 な ど は,一 種 の 化 学 反 応 が もた ら す も の で あ る. 図4.15に

示 す よ う に,紫 外 線 は λ=0.01[μm]∼0.38[μm]の

に 対 応 す る光 子 １個 の エ ネ ル ギ ー Ｅ は,E=hν=hc/λ

電 磁 波 で あ り,こ の 波 長 よ り124[eV]∼3.26[eV]で

あ る.こ れ は,一 般 的 な化 学 結 合 エ ネ ル ギ ー(1[eV]∼10[eV])を

越 え る もの で あ り,

紫 外 線 を照 射 す る と化 学 変 化 を 引 き起 こ し や す い の で あ る.   4.4  地 球 上 の 生 命 体 は お よ そ35億

年 前 に 発 生 した とい わ れ て い る.以 来,す

の 生 物 は太 陽 光 に 依 存 し て 生 存 を続 け て い る の で あ る.こ の 太 陽 光 の 光 度(強

べて

度)は

波 長 に対 し,図 ① に示 し た よ うな 分 布 を し て い る.可 視 光 は,強 度 が 最 も大 き い波 長 領 域 に分 布 し て い る の で あ る.換 言 す れ ば,こ え た"生

の よ う な 波 長 領 域 の 光(電 磁 波)が"見

物 だ け が 生 存 競 争 に耐 え た の で あ る.

図 ①  太陽光の光度 の波長 に対 す る分布 4.5  口 絵 ２ に示 され る よ う に,太

陽 光 は 波 長 が 短 か い 紫 か ら波 長 が 長 い 赤 ま で の

図 ② 昼 間(正 午)と 夕方の太陽 の位置

図 ③ 光 の散乱 の波長依存性

可 視 光 の"束"か とす る.太

ら成 る 白 色 光 で あ る.図 ② に示 す よ う に,い

まＡ地点 に立 って い る

陽 光 は 地 球 を取 り囲 む 大 気 層 を 通 過 し て Ａ 地 点 に 届 くが,昼

夕 方 で は,通

(赤寄 りの 光)は 大 気 を 構 成 す る 分 子 に よ る 散 乱 の 度 合 い が 小 さ い が,波 (紫,青

寄 りの 光)は 散 乱 の 度 合 い が 大 き い.こ

が Ａ 地 点 に届 くの で 太 陽 が 赤 く見 え る の で あ る.そ が 短 か い 昼 間 は,失

く晴 れ た 日,昼 間 の

も同 じ理 由 に よ る.

  4.6  まず,「 止 ま れ 」 と 「進 め 」 とで は,ど

ち らが,よ

り重 要 な メ ッセ ー ジだ ろ う

う ま で もな く,「 危 険 」 を 知 ら せ る 「止 ま れ 」の 方 だ ろ う.前 問 の 解 答 に 示 した

よ う に,可 視 光 の 中 で 最 も散 乱 し に くい(ド は赤 で あ る.ま

た,赤

色 は一 般 的 に"血

ラ イ バ ー や 歩 行 者 の 目 に 届 き や す い)の

の 色"な

生 物 の 血 の 色 は 赤 で は な い),「 ハ ツ」 とす る,と う.

長 が 長 い 赤 寄 りの 光 だ け

れ に 対 し,通 過 す る 大 気 層 の 距 離

な わ れ る光 が 少 な い た め に 白色 に見 え る.よ

青 い 空 が 夕 方 に は赤 くな る(夕 焼)の

長が短 か い光

の た め に,図 ② に 示 さ れ る よ う に,夕

方 は 大 気 層 通 過 中 に,波 長 が 短 か い光 の 多 くが 失 な わ れ,波

か.い

間(正 午)と

過 す る大 気 層 の 距 離 が 大 き く異 な る.図 ③ に 示 す よ う に,波 長 が 長 い 光

の で(タ

コ な ど,赤 血 球 を 持 た な い

い う精 神 的 効 果 も皆 無 で は な い だ ろ

  4.7  電 磁 波 は 真 空 中 を も伝 わ る波 で あ る,と 答 え る ほ か な い.ま た,真 空 と は電 磁 波 を伝 え る性 質 を 持 つ も の で あ る,と

しか 答 え よ う が な い.そ

れ が,自

然 界 の性質 な

の で あ る.

■第 ５章   5.1 

式(4.19)とfc/λ

よ り

また は

 5.2 

式(5.2)よ

  2.2×10-34[m]と

り

い う値 は非 常 に 小 さ い値 で あ る.

 つ ま り,日 常 的 な 世 界 に お け る物 体,物

質 の 波 動 性 は 無 視 で き るの で あ る.

  5.3 λ=h/mv

 5.4

  図4.15

式(1.64)よ

り

よ り,こ の 電 磁 波 は紫 外 線 で あ る.

  5.5  運 動 エ ネ ル ギ ー をEkと 2)に 代 入 し

す れ ば,Ek=mv2/2だ

 とな り,そ れ ぞ れ の 値 を代 入 す れ ば

か らv=√2Ek/m,こ

れ を 式(5.

■ 第 ６章   6.1

式(6.3)よ

  6.2

(ａ)式(6.8)よ

  sinθ≦1だ

り

り

か ら,sinθc=1.33は

あ り 得 な い.し

た が っ て,全

反 射 は 起 こ ら な い.

 (b)

  6.3 

本 文 を 見 よ.

  6.4 

式(6.16)のn=1の

場 合 を 考 え る.

  求 め る距 離 をx1,と す れ ば

  6.5 

式(6.23)よ

り

  6.6 

式(6.25)よ

り

  6.7  ド ッ プ ラ ー 効 果 に よ る赤 色 偏 移 の た め にＨ 線 の 波 長 λ が 長 波 長 側 に ず れ た も の と考 え られ る.つ

ま り,こ の 恒 星 は,地

vとす れ ば,式(6.31)を

変形 し

球 か ら遠 ざ か っ て い る.こ

の恒星 の速 さを

  約494[km/s]で

遠 ざ か っ て い る.

  6.8 蜃 気 楼 は,地 表 近 くの 気 温 が 場 所 に よ っ て 異 な る と き,空 気 の 密 度 の 違 い に よ っ て 光 線 が 屈 折 す る た め に,地

上 の 物 体 が 空 中 に 浮 か ん で 見 え た り,地 面 に 反 射 す る

よ う に 見 え た りす る現 象 で あ る.夏 の 暑 い 日,舗 装 道 路 の 前 方 に 水 た ま りが あ る よ う に見 え る"逃 げ 水"(近

づ く と水 が 逃 げ て し ま う)も蜃 気 楼 の 一 種 で あ る.暑

い 日 は地

面 に 接 触 し て 高 温 の 空 気 層 が 生 じて お り,そ の 上 に低 温 の 空 気 層 が 重 な っ た 構 造 に な っ て い る.高 温 ほ ど空 気 の 密 度 が 小 さ い の で 光 は速 く進 み,光 線 は 上 側 に 湾 曲 し な が ら進 む の で蜃 気 楼 が 生 じ る の で あ る.   6.9 図6.9に

示 され る よ う に 屈 折 率(=c/v)が

初 に 出 て き て,最 後 は紫 色 光 が 出 て くる.し の で,人

小 さ い(vが

大 き い)赤

色光 が 最

か し,い ず れ の 色 の 光 速 も極 め て大 き い

間 の 目 で 差 を 見 出 す こ と は で きな い.

  6.10  周 波 数 が 小 さ い 電 波 は 波 長 が 長 い の で 回 折 効 果 が 大 き い た め で あ る.

参考図書

  本 書 は専 門 書 で は な い の で,本

文 中,直

接 引 用 し た 図 を 除 い て 個 々 の 引 用 文 献,引

用 書 を 示 さ な か っ た.し

か し,本 書 の 執 筆 に 当 た っ て は多 くの 専 門 書,教

に させ て い た だ い た.特

に 参 考 に さ せ て い た だ い た 書 籍 を以 下 に 順 不 同 で 記 す .こ の

場 を借 りて,各 書 の 著 者,発

科 書 を参 考

行 者 の 方 々 に 対 し,心 か らの 感 謝 の 気 持 を 申 し述 べ さ せ

て い た だ く. １)D.C.Gianocoli"PHYSICS,2nd 

２)富

山 小 太 郎(訳)『

Edition"(Prentice−Hall,1980)

フ ァ イ ン マ ン物 理 学Ⅱ 』(岩 波 書 店,1968)

３)戸

田 盛 和(訳)『

４)佐

藤 清雄

『 振 動 と波 動 』(培 風 館,1993)

フ ァ イ ン マ ン物 理 学Ⅳ 』(岩 波 書 店,1971)

５)好

村 滋洋

『 光 と電 波 』(培 風 館,1990)

６)藤

原  昇

『 光 と電 子 の 科 学 」(共 立 出版,1990)

７)桜

井 邦朋

『 光 と物 質 』(東 京 教 学 社,1986)

８)フ

ァ ン ・ヒー ル,フ

ェ ル ツ ェル/和 田 昭 允,計

良 辰 彦(訳)『

談 社,1972) ９)小

山慶太

『 光 で 語 る現 代 物 理 学 』(講 談 社,1989)

10)都

筑 卓司

『「 場 」 と は な にか 』(講 談 社,1978)

11)日

本 音 響 学 会 『音 の な ん で も小 事 典 』(講 談 社,1996)

12)後

藤 尚 久 『電 磁 波 と は な に か 』(講 談 社,1984)

13)福

島  肇 『電 磁 気 学 のABC』(講

談 社,1988)

光 と は な に か 』(講

100

索  引

音 圧 レベ ル  77

球面波 44,118

音 階  68

形 色   105

ア イ ン シ ュ タ イ ン   98,101

音 源   137

共 振  21,65

圧電結晶 30 圧電現象 30 圧電式 73 圧電性 30

音 叉   22

強 制 振 動   19,125

音 叉時計 29 音速 78

響板 69

音波 64

響 鳴器   69

■ あ 行

ア トム  107,115 アモ ル フ ァ ス  27 ア ン テ ナ  92

共 鳴  21

―の エ ネ ル ギ ー  76

■か  行

空海   105 ク オ ー ク   107

開 管   70

屈 折   118,120

位相 50,100,131

開 口端  71

屈 折 角  100

位 置 エ ネル ギ ー  12,59

回折 101,129,132

色   102 イ ン ダ ク タ ン ス   23,95

回 折 Ｘ線   132

屈 折率   122 ク ー ロ ンの 法 則   89

引力   85

角運動量 110

結 晶   26

拡 散 反 射   120

結 晶格 子   27,132

結晶格 子振動 26

運 動 工 ネ ル ギ ー   13

角振動数 ６ 角速度 ６ 過減衰  19

運 動 状 態   114

重 ね 合 わ せ の 原 理   51,130

弦楽器 67

運 動 方程 式   7,20,25

可視光 96 加速電圧  134 可聴音 72

原 子核   107 顕色 105

ウ エ イ ビ ン グ  37 上 田 良二   115

運 動 量   53,109

核  47

結晶構 造 132 ゲ ー テ  105

荷 電 粒 子   111 ガ ラ ス  104

原子構 造 103 原子時計 31 原子配列 135

X線 回折 法   134

ガ リレ オ  97

減 衰 振 動   4,17

X線 望遠 鏡 97

管楽器 72

減 衰 率   18,21

エ ー テ ル   41,94

干 渉   101,129

弦 の 振 動  67

エ ネ ル ギ ー 準位   32

干 渉 縞   130

エ ネ ル ギ ー保 存 の 法則   14

干渉条件  133 干渉性  ,102

Ｓ波  46 Ｘ 線  96,108,132

エ ネ ル ギ ー 密 度   60

応力 ２ 音  64 ―の 三 要 素  73,74 音 圧   73,77

格子定数 27 格 子 面   133

円 形 波  44 円 錐 細胞   103

光 子  101

機械時計  29 基準音圧  77 気体 の状 態方程式 78 気柱  70 基 本 音   67,70 基 本 振 動   66,67,70

光 束   99 光 速   97,122,124

光電効果  101,102 降伏応力 ３ 降伏点 ３ 高分解能電子 顕微 鏡  135

コ ウモ リ  139

水 晶 時 計  30

交 流   42

水 晶 発 振 器   31

交 流 電 源   92

水 素 原 子   113

交 流 波 形   94

水 面 の 波   45 ス トラ デ ィ ヴ ァ リ  69

光 量 子   101 行 路 差   131 五 重 塔   61 コ ヒー レ ン ト  100 コ ン ピ ュー タ ー断 層撮 影 法  72

ス トラ デ ィ ヴ ァ リウ ス  69 ス ネー ク ダ ン ス  61 ス ネル の 屈 折 の法 則   120, 123 ス ー パ ー フ ラー レ ン   117

■ さ 行

弾性限界  ２ 弾性変形  ２,３ 弾性率 52 弾性力  14 単振 り子 ７

ス ペ ク トル  99,126 ず れ 弾 性 率   56

雑音   75 三色   105

正 弦 曲 線   38

３倍 振 動   66

正 弦 波   49

地殻 47 中間子  107 中性子  107 超 音波 72 超 音波顕微鏡  72 超 音波洗浄法  72 直流 42 定圧 比 熱   78

正 弦 波 交 流   42

定 在 波   65,66,111

磁 荷   90

静 電 容 量   95

定 積 比 熱   78

磁 界   90,95

赤 外 光   96

デ カ ル ト  97

紫 外 光   96

赤 色 偏移   138

デ シ ベ ル  77

磁 気  89

絶 対 屈折 率   126

デ モ ク リ トス   107

仕 事   14

全 反 射   123

電 荷   23,86

磁 石  89

線密 度  53,68

電 界   87,95

地 震  33,46 地 震 波  46,48

電 気 振 動   22 騒 音  75

電 気 抵 抗   23

相 加 的三 原 色   103

電 気 容 量   23,95 電 気 力 線  87,88,92,95

質 量   85

相 対 性 理 論   95,98,124,138 塑 性 変形   ２,３

磁 場   89,90,92,94

疎 密 波  37,40,64

電 子   107

周 波 数  ５,74

素 粒 子   107 ソ ル ヴ ェ ー会 議   114

電 子 雲   31,113

存 在 確 率   113

電 子 軌 道 模 型   108

■ た 行

電 子 顕 微 鏡   134 電 子 線 回 折   134

磁 束  91 実 体 波  46

重 力   57,85 重 力 場  86 シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー   112 ―の波 動 方程 式  112, 113

耐 震   61

電 気 力   86

電 子 軌 道  31,111

純 音   75

体 積 弾 性 率   56,78

電 磁 相 互 作 用   90 電 子 波   108,110,134

磁 力   89

太 陽 光   99

電磁 波   32,65,83,84,90,92,

磁 力 線   89,92,95

平 兼 盛   105

磁 歪 式   73

多 結 晶   27

真 空   93

多 色 性   100

電 磁 場   84

―の透 磁 率   94 ―の 誘 電 率   94

98 ―の 波 動 方 程 式   95

多 体 系   28

電 磁 誘 導   92

脱 励 起   32,125

電 波   35,96

震 源   47

縦 波   44

電 場   86,87,92,94

振 動   １,５

ダ ブ ル ・ス リ ッ ト  130

電 媒 定 数   87

振 動 子   30

単 結 晶   27,135

電 波 望 遠 鏡   97

振 動 数   ５,74,136

単 色 性   100

電 流  91

振 動 電 圧   30

単 振 動   ２,５,10 ―の エ ネ ル ギ ー   15

等 時 性  6,7,9

弾 性   14

透 磁 率   90

弾 性 波  41

等 速 円運 動   11

振 幅   74

水晶振 動子 31

101

時 計  28

波 紋   36

ド ッ プ ラ ー   136

ド ップ ラ ー効 果   136,138 108,114

ド ・ブ ロ イ 

ド ・ブ ロ イ 波 

109

■な 行 波  35 ―の エ ネル ギ ー   58 ―の 伝 播  51

腹   66 パ ラ ボ ラ ・ア ンテ ナ   120

波 力発電装置 58 パ ル ス 波  43,44,66

反射  118,119

ホ イ ヘ ン ス   101 ―の 原 理   118 ボ イル   65

―の実験65

パ ン ダ  103

棒 細 胞   103

万有 引力 84

棒磁石 89 膨 張宇宙論  138

―の法 則   84

万有 引力定数  85

―の速 さ  52

包 絡 面   122 ボ ル ツマ ン定 数   27

Ｐ波  46 虹   126

―の 量 子 条 件   109,110 ボ ー ア半 径   113

光  65,83,96,98

■ ま 行

２次 波   118

―の波 動 説   101

摩擦 力 17

日食   96

―の速 さ  98

マ ック ス ウ ェ ル の 方程 式   94

２倍 振 動   66 入 射 Ｘ線   132 ニ ュー トン  99 ―の 運 動 方 程 式   7

―の粒子説 99 非 晶 質   27,135 歪 み ２

熱振動  27

比 熱比 78 表 色 105 表 面張力 57 表 面波 46

伸 び弾性率 56

フ イ ゾー   98

音 色  69

■は 行

フ ォ ト ン   101

マ ン トル   47

免震構 造 61 網膜  102 網膜視神経  102

■ や  行 ヤ ン グ  101,130 ヤ ン グ率  56

場   84,86 バ イ オ リズ ム  62

不可視光  96 不可聴音  72 複合音  75

誘 電率 87

倍 音   67

節   66

陽子 107

媒 質   38,65

フ ッ ク の 法則   ２,３,７

余 弦 曲 線   5,38

破壊応力 ３

物質波  109,134

余 弦波 49

破壊点 ３ はか り  ２

プ ラ ズ マ  97

横 波   44

白色 光   100

プ ラ ン ク   101,115

波 形   42,66,74

プ ラ ン ク定 数  32,101 フー リエ 変 換   75

波 数   51 波 長   136 ハ ッブ ル   138

ブ ラ ッ グ条 件   134

■ ら 行 ラ ウ エ   133 乱 反 射   120

振 り子時計 29 振 れ 角   100 フ レネ ル 

力 学 的 エ ネ ル ギー   12

波 動   35 波動 関 数   52,66,112

分光  100

力線 85 粒子性  101,102 量子化  32

波動 現 象   117,118

力 積   54

波動 性   101,102

閉 管   71

波動 方程 式   51,52,95,112, 130 バ ネ定 数  ３,56

平均 的光速 125 平面 波 43 ヘ ル ツ  101

量子論  101,119 量子論的原子模 型  108

バ ネ の振 動  ３

変 位 エ ネ ル ギ ー  59

臨 界 角   123

ボー ア  108

励 起   32,125

量 子 光 学   102

バ ネ ば か り  ２ バ ネ振 り子   ２ 波 面  43,118

―の振動数条件  32

レ ウ キ ッポ ス   107

レ ー ザ ー 光   99,100

連 成 振 動   24,28

レ ー マ ー  98

連続波 44

レ ン トゲ ン  108

著者略歴 志村 史夫

（しむ ら ・ふ みお）

1948年  東京 ・駒 込 に生 まれ る 1974年  名古 屋工 業大学 大学 院修士課 程修 了(無 機 材料 工学)  日本 電気株 式会 社 中央 研究所 勤務 1983年  モ ンサ ン ト・セ ン トルイ ス研 究所勤 務 1987年  ノース カロ ライナ州立 大学勤務 現

在  静 岡理工科 大学 教授,ノ ー スカ ロライナ州 立大学 併任 教授  工学博 士(名 古屋大学 ・応用物 理)

〈した しむ物理 工学 〉 した しむ振 動 と波 1998年

９ 月22日

2007年

２ 月25日

定価 は カバー に表示

  初 版 第 １刷  

第 ５刷

著 者 志

村

史

夫

発行者 朝

倉

邦

造

倉 書

店

 株式 発行所 会社  朝

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号  電

FAX 

〈検 印省 略〉

978‐4‐254‐22761‐1

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〓1998〈 無断 複写 ・転載 を禁ず 〉 ISBN

162‐8707

話  03(3260)0141

教文 堂 ・渡 辺製本 C3355

Printed in Japan

〈した しむ物 理 工 学 〉 核 とな る考 え方 に重点 を置 き,真 の理 解 をめ ざす 新 しい入 門 テキス ト 静岡理工科大  志 村 史夫  監修

静岡理工科大  小 林 久 理 眞  著

くし た し む物 理 工 学 〉

し 22762-8 

た

し

む

電

A5判 

C3355 

磁

気

160頁  本体3200円

静岡理工科大  志 村 史夫  著 〈し た し む物 理 工 学 〉

し 22763-5 

た

し

む

量

A5判 

C3355 

静岡理工科大  志 村 史 夫  監修

子

論

176頁  本体3400円

静岡理工科大  小 林 久 理 眞  著

〈し た し む物 理 工 学 〉

し

た

し

む A5判 

22764-2  C3355 

磁

性

196頁  本体3800円

静岡理工科大  志 村 史 夫  著 〈し た し む物 理 工 学 〉

し た し む 固 体 構 造 論 A5判 

22765-9  C3355 

184頁  本体3400円

電磁 気学の土台 となる骨格部分 をていねい に説明 し,数式の もつ意 味を明解 にす ることを目的。〔 内 容 〕力学 の概 念 と電磁気学 ／数式 を使わ ない電磁 気学の概要／電磁気学 を表現 す るための数学的 道 具／ 数学的表現 も用 いた電磁気 学／ 応用／ ま とめ 難解 な 学 問 とみ られ て い る量 そ の 仕 組 み を知 れ ば 身近 に感 に,真 髄 ・哲 学 を明 らか にす さ ま ざ ま な世 界 ／ 古 典 物 理 学

子力学の世界。実 は じ られ る こ と を前 提 る 書。 〔内容 〕序 論: か ら物 理 学 へ ／ 量 子

論 の核 心 ／ 量 子 論 の 思 想 ／ 量 子 力 学 と先 端 技 術

先端 的技術か ら人間生活の 身近 な環 境に まで浸透 してい る磁性につ き,本 質的 な面 白さ を堪能すべ く明解 に説 き起 こす。 〔 内容〕 序論／磁性 の世界 の 階 層性 ／電磁気学／古典論／ 量子論 ／磁性 ／磁気 異方性 ／磁壁 と磁区構造／保磁 力 と磁化 反転 原子や分 子の構 成要素が ３次 元的 に規則正 しい周 期性 を持 って配列 した物質が結 晶である。 本書 で はその美 しさを実感 しなが ら,物 質 の構 造への理 解 を平易に追求す る。 〔 内容 〕 序論／ 原子の構造 と 結合／ 結晶／表面 と超微粒子／非結 晶／格 子欠陥

静岡理工科大  志 村 史 夫  著

エ ン トロ ピー,カ

くした し む物 理 工 学 〉

168頁 本 体3000円

うに 熱 力 学 は 難 解 な学 問 と受 け 取 ら れ て い るが, 本 書 で は 基 本 的 な 数 式 をべ ー ス に 図 を 多 用 し具 体 的 な 記 述 で 明解 に 説 き起 す 〔内 容 〕序 論 ／ 気体 と熱 の 仕 事 ／ 熱 力 学 の 法 則 ／ 自由 エ ネ ル ギー と相 平 衡

子

量 子 論 的粒 子 で あ る電 子(エ レ ク トロ ン)の は た ら きの 基 本 的 な理 論 に つ き,数 式 を最 小 限 に と どめ, 視 覚 的 ・感 覚 的 理解 が 得 られ る よ う図 を 多 用 し て いね い に解 説 〔目 次〕電 子 物 性 の 基 礎 ／ 導 電 性 ／ 誘

し

た

し

む

熱

A5判 

22766-6  C3355 

力

学

静岡理工科大  志 村 史 夫  著 〈した しむ 物 理 工 学 〉

し た

し む 電 A5判 

22767-3  C3355 

物

性

200頁 本 体3800円

静岡理工科大  志 村 史 夫 ・静岡理工科大  小 林 久 理 眞  著 〈した しむ 物 理 工 学〉

し た

し む 物

英 国 ク イー ン ズ カレ ッ ジK.ギ

前上智大  笠

耐  訳

ゆ

い

か

理

A5判 

22768-0  C3355 

な 物

理

実 験

288頁 本 体4200円

東京理科 大学  サ イエ ンス夢工房  編

楽

し

13090-4  C3042 

む

物

理

B5判 

電 性 と絶 縁 性／ 半 導体 物 性 ／ 電 子 放 出 と発 光

物理現 象 を定量的に,あ るいは解析的 に説明す る 道具 としての数 学 を学ぶための書。 図を多用 した 視覚的理解 を重視 し,自 然現象 を数学 で語 った書 〔 内容〕 序 論／座 標／関数 とグラフ／微分 と積分 ／ ベ ク トル とベ ク トル解析／線形代数／確率 と統計 30人 の 生 徒 を物 理 の 授 業 に 惹 きつ け る秘 訣 は?

ッ ブ ス  著

A5判 

13084-3  C3042 

数 学

244頁 本 体3500円

ル ノー サ イ ク ル に代 表 され る よ

実

験

144頁 本 体2900円

「ゆ か い な物 理 実 験 」を使 う こ と。30年 間 の物 理 の 授 業 で 体 得 した 興 味 深 く楽 し い600の ア イ デ ア を す べ て の現 場 教 師 に贈 る。 〔内容 〕一 般 物 理 学 ／ 力 学 ／ 波 と光 ／ 熱物 理 学 ／ 電磁 気 学 ／ 現 代 物 理 学 実 験 っ て 面 白 い!身 近 な 道具 や さ ま ざ ま な工 夫 で 不 思議 な物 理 ワ ー ル ドを体 験 す る。 イ ラ ス ト多 数 〔内 容 〕力 とエ ネ ル ギ ー を実 験 で 確 か め よ う／ 熱 っ て な あ に?／ 静 電 気 で 驚 こ う／ 単 振 動 ／ 磁 界 ／ 光 の 干 渉 ・屈 折 ／ 電磁 誘 導 ／ 交 流 と電 波 ／ 電 流／ 他  上 記価 格(税 別)は2007年

１月現 在