Задачи на тему теория графов

Çàäà÷è íà òåìó «Òåîðèÿ Ãðàôîâ». 1. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò n-âåðøèííûõ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ, òî åñòü ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâ à âñåõ íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð íà ìíîæåñòâå è ç n âåðøèí? 2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ÷èñëî ð¸áåð íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ñ n âåðøèíàìè ïðè n>2, áîëüøå C n2-1 , òî îí ñâÿçåí. 3. Äîêàçàòü, ÷òî â ñâ ÿçíîì íåîðèåíòèðîâàííîì ãðà ôå ëþáûå äâå ïðîñòûå öåïè ìàêñèìàëüíîé äëèíû èìåþò îáùóþ âåðøèíó. 4. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, ñòåïåíè âñåõ âåðøèí êîòîðîãî ïîïàðíî ðàçëè÷íû. 5. Ïóñòü Gn — íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ïðîí óìåðîâàíû íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè {1, 2, … , n}, à ìíîæåñòâ î ð¸áåð îïðåäåëÿåòñ ÿ ñëåäóþùèì óñëîâèåì: íåñîâï àäàþùèå âåðøèíû vi è vj ñìåæíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëà i è j âçàèìíî ïðîñòû. (à) Çàïèñàòü ìàòðèöó ñìåæíîñòè ãðàôà G5 . Óñòàíîâè òü, ÿâëÿåòñÿ ëè ãðàô ñâÿçíûì? (á) ßâëÿåòñÿ ëè ãðà ô Gn ñâÿçíûì? (â) Äîêàçàòü, ÷òî ïðè m>n ãðàô Gm ÿâëÿåòñÿ ïîðîæä¸ííûì ïîäãðàôîì ãðàôà Gn . 6. Íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô n-ïåðåñòàíîâîê—ýòî ãðàô, èìåþùèé n! Âåðøèí, â êîòîðîì âåðøèíàì ïîñòàâëåí û â ñîîòâåòñòâèå ðàçëè÷íûå ïåðåñòàíîâêè èç ýëåìåíòîâ {1,2, …, n}, à äâå âåðøèíû ñìåæí û òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ïåðåâîäèòñÿ â äðóãóþ íåêîòîðîé òðàíñïîçèöèåé. Ãðàô íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè ñòåïåí è âñåõ åãî âåðøèí îäèíàêîâû. Íàéòè ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû äàííîãî ãðàôà è âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îí ðåãóëÿðíûì. 7. Íàéòè âñå ïîïàðíî íåèçîìîðôíûå ÷åòûð¸õâåðøèííûå íåîðèåíòèðîâàííûå ãðàôû ñ òðåìÿ ð¸áðàìè. 8. Óñòàíîâèòü, êàêèå èç èçîáðàæ¸ííûõ íà ðèñóíêå ãðàôîâ èçîìîðôíû, à êàêèå—íåò?

9. Äîêàçàòü, ÷òî èçîìîð ôèçì ãðàôîâ çàäà¸ò íà ãðàôàõ îòíîøåíèå ýêâèâàëåí òíîñòè. 10. Ïðèâåñòè ïðèìåð 4-âåðøèííîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, èçîìîðôíîãî ñâîåìó äîïîëíåíèþ (ñàìîäîïîëíèòåëüíîãî). Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî âåðøèí ëþáîãî ñàìîäîïîëíèòåëüíîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ðàâíî 4k èëè 4k+1. 11. Íàéòè ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ ãðàôîâ, èçîáðàæ¸ííûõ íà ðèñóíêå.

12. Óñòàíîâèòü, çàäà¸ò ëè ëþáîå îòîáðàæåí èå îðãðàôà íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþ ùåå (ïîëó)ñòåïåíè â ñåõ âåðøèí, àâòîìîðôèçìîì? 13. Ïóñòü ñèììåòðè÷åñ êàÿ ìàòðèöà À ðàçìåðà (nXn), â êàæäîé ñòðîêå êîòîðîé íàõîäèòñÿ îäèíàêîâîå í å÷¸òíîå ÷èñëî t íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ, ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. Ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî âåðøèí n — ÷¸òíî. (Ó÷åñòü, ÷òî (aii=0).) Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ëåì ìó «ðóêîïîæàòèÿ õ». 14. Íàéòè ÷èñëî âñåõ n-âåðøèííûõ ãðàôîâ, òî åñòü ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð íà ìíîæåñòâå èç n âåðøèí. 15. Äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå âçàèìíîé äîñòèæèìîñòè â ãðàôå åñòü ýêâèâàëåíòí îñòü. 16. Óñòàíîâèòü, ñâÿçåí ëè îðãðàô, èçîáðàæ¸íí ûé íà ðèñóíêå? Íàéòè âñå åãî êîìïîíåíòû è áèêîìïîíåíòû.

17. Äîêàçàòü, ÷òî â îðãðàôå áåç êîíòóðîâ âñåãäà íàéä¸òñÿ âåðøèíà v c dg+(v)=0 è âåðøèíà u c dg- (u)=0. 18. Íàéòè âñå äâóõâåðøèííûå ãîìîìîðôíûå îáðàçû îðãðàôà, èçîáðàæ¸ííîãî íà ðèñóíêå.

19. Óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè êîíäåíñàöèÿ îðãðàôà åãî ãîìîìîðôíûì îáðàçîì? Ïîñòðîèòü ïðèìåðû. Óêàçàíèå: Âûÿñíèòü, ìîæåò ëè êîíäåíñàö èÿ îðãðàôà ñîäåðæàòü ïåòëè? 20. Äîêàçàòü, ÷òî îðãðàô ñâÿçåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â í¸ì åñòü ïóòü, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âñå âåðøèíû. Îñòàíåòñÿ ëè ýòî óòâåðæäåíè å ñïðàâåäëèâûì, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñóùåñòâîâ àë ïðîñòîé ïóòü. 21. Íàïèñàòü àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà ïðåäøåñòâåííèêîâ à -1(v) äëÿ êàæäîé âåðøèíû ãðàôà ïî ñïèñêàì ñìåæíîñòè. Î öåíèòå ñëîæíîñòü àëãîðèòìà. 22. Äîêàçàòü, ÷òî òðåáîâàíèÿ áåñêîíòóðíîñòè è äîñòèæèìîñòè ëþáîé âåðøèíû èç êîðíÿ â îïðåäåëåíèè îðäåðåâà ýêâèâàëåíòíû. 23. Êàê ïî ìàòðèöå ñìåæíîñòè ðàñïîçíàòü, ÷òî îðãðàô ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì? 24. ×òî ÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòàìè ñâ ÿçíîñòè â îðäåðåâå? 25. Íàéòè îñòîâíîå äåðåâî íàèìåíüøåãî âåñà äëÿ íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, çàäàííîãî ñëåäóþùèì ñïèñêîì ð¸áåð ñ â åñàìè (âåð øèíà, âåðøèíà, âåñ) : (1,2,1), (2,3,5), (3,4,4), (4,5,8) , (5,6,3), (6,8,5), (8,9,11), (9,10,8), (10,1,7), (2,10,5), (2,7,8), (3,7,7), (3,5,3), (4,10,4), (6,7,6), (8,7,12), (9,7,9).

26. Íàéòè óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå äëÿ åäèíñòâ åííîñòè îñòîâíîãî äåðåâà íàèìåíüøåãî âåñà. 27. Äîêàçàòü, ÷òî ñåòü ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé, åñëè ëþáîé ïîäãðàô, ïîðîæä¸ííûé ìíîæåñòâîì âñåõ âåðøèí, äîñòèæèìûõ èç íåêîòîðîãî êîðíÿ, ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Âåðíî ëè â îáùåì ñëó÷àå îáðàòíîå? 28. Ñîñòàâüòå ïîäðîáíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ ïîðÿäêîâîé ôóíêöèè ñåòè, êîòîðûé â ñëó÷àå, åñëè âîäíîé ãðàô åñòü ñåòü, ðàáîòàåò êàê àëãîðèòì Äåìóêðîíà, èíà÷å æå—ñîîáùàåò î íàëè÷èè â ãðàôå êîíòóðîâ è îñòàíàâëèâàåòñÿ. 29. Èñïîëüçóÿ ïîèñê â ãëóáèíó â íåîðãðàôå, ðàçðàáîòàòü àëãîðèòì, âûÿñíÿþùèé, ìîæíî ëè òàê îðèåíòèðîâàòü ð¸áðà ñâÿçíîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñèëüíî ñâÿçíûé ãðàô. Óêàçàíèå: ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ìîæíî ñäåëàòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êî ãäà óäàëåíèå èç èñõîäíîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ëþáîãî ðåáðà îñòàâëÿåò ýòîò ãðàô ñâÿçíûì. 30. Äîêàçàòü, ÷òî ãðàô ÿâëÿåòñÿ áåñ êîíòóðíûì, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè ïîèñêå â ãëóáèíó èç íåêîòîðîé âåðøèíû, íåçàâèñèìî îò å¸ âûáîðà, ìíîæåñòâî îáðàòíûõ äóã ïóñòî. 31. Äëÿ çàäàííûõ ãðàôîâ ðåøèòü çàäà÷ó òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ (â ïîëóêîëüöå Â) è çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèé (â ïîëóêîëüöå R+): (à) <1,2,8>, <1,1,2><1,3,5>, <2,1,3>, <322> (á) <1,2,2>, <1,4,10>, <2,3,3>, <3,5,4>, <5,4,5>, <2,4,7>, <4,3,6> (â) <1,2,10>, <1,4,5>, <2,1,6>, <2,3,7>, <2,4,2>, <2,5,9>, <3,3,8>, <3,4,10>, <4,3,5>, <4,5,4>, <4,2,7>, <5,1,8>, <5,3,4> 32. Óñòàíîâèòü, ìîæíî ëè èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì Ôëîéäà-Óîðøåëà-Êëèíè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòîèìîñòè ïóòåé íàèáîëüøåé äëèíû âî âçâåøåííîì ãðàôå? Ñôîðìóëèðîâàòü îãðàíè÷åíèÿ íà ãðàô, ïðè êîòîðîì òàêîå èñïîëüçîâàíèå âîçìîæíî. _____________________________________________________________________________ Ñáîðíèê äàííûõ çàäà÷ ñîñòàâèë Ôèíàãèí Â.Ã. Îïóáëèêîâàë Ñïèðèäîíîâ Ä. Â.