Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет
А. В. Бо...
111 downloads
299 Views
8MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет
А. В. Бондаренко
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Учебное пособие
Санкт-Петербург 2009 1
УДК 621.3.011.7 ББК 31.211 Рецензенты: действ. член АЭН РФ, д-р техн. наук, проф. М. А. Шакиров (Санкт-Петербургский государственный технический университет); д-р техн. наук, проф. С. Ф. Свиньин (Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Академии наук РФ).
Бондаренко, А. В. Электротехника: учеб. пособие / А. В. Бондаренко; СПбГАСУ. – СПб., 2009. – 406 с. ISBN 978-5-9227-0148-8 Изучаются основы общего курса электротехники с освещением ряда тематик, отсутствующих в учебниках такого направления. Данное пособие отличается от традиционной концепции рассмотрения последовательности освещения электромагнитных процессов в цепях и системах. Изложение начинается с рассмотрения явлений в безынерционных цепях для произвольных воздействий (сигналов), что позволяет в последующем легко перейти к процессам частного вида: постоянному току, синусоидальным и импульсным режимам. В этом издании добавлена глава о сингулярных функциях, рассмотрены переходные процессы в цепях произвольного порядка, устранены замеченные неточности, представлен ряд дополнительных пояснений, иллюстраций и примеров.
Предисловие Настоящее издание «Электротехника» является исправленным и дополненным учебным пособием, вышедшим в свет в 2004 г. Автор благодарен своим коллегам по родственным кафедрам за ценные замечания и указания по устранению недочетов, вкравшихся опечаток и т. п. Автор весьма признателен рецензентам за проделанную работу. Хотя схемные элементы электроники (активные и нелинейные элементы, зависимые источники тока и напряжения, усилители и т. д.) представлены в различных главах учебного пособия с многочисленными примерами, тем не менее для углубленного изучения материала по электронным цепям автор рекомендует воспользоваться учебным пособием «Современные методы анализа и синтеза активных схем», содержащим не только интересные и полезные примеры анализа и синтеза, но и ряд основополагающих постулатов, позволяющих четко разграничить понятия «пассивная» и «активная», «линейная» и «нелинейная», а также «времянезависимая» и «параметрическая» цепи. По реальным конструкциям электронных элементов и устройств даются ссылки на необходимую литературу.
Табл. 3. Ил. 387. Библиогр.: 16 назв. Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-9227-0148-8
А. В. Бондаренко, 2009 Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2009
3
ВВЕДЕНИЕ Вся современная жизнь как общества в целом, так и отдельной личности, протекает в бесконечном мире различных электро- и радиотехнических устройств, создающих, накапливающих, обрабатывающих, передающих и использующих энергию и информацию. Это и гигантские электрические турбины, и микродвигатели, используемые, например, в медицинских целях и современной автоматике, и сложнейшие вычислительные системы, работающие со скоростью в десятки миллиардов операций в секунду, и микрокалькуляторы – повседневный рабочий инструмент студентов. Это, наконец, сложнейшие системы связи, радарные установки и простейшие любительские приемники, бытовая техника. Несмотря на колоссальное разнообразие названных устройств, у них есть одно общее – все они являются электромагнитными устройствами, в которых происходят электромагнитные процессы. По существу имеют место взаимные преобразования двух сторон единого электромагнитного поля: электрической и магнитной, а также преобразование электромагнитной формы энергии в другие виды (тепловую, механическую, химическую и т. п.). Точный анализ этих процессов на макроскопическом уровне производится с помощью системы дифференциальных уравнений К. Максвелла, решение которых определяется граничными условиями и является функцией координат и времени. Как правило, точное (аналитическое) решение затруднено из-за сложностей математического порядка, поэтому широко используются так называемые численные методы (расчет с помощью ЭВМ). Однако будущим инженерам нужно не только уметь производить анализ этих процессов, но и создавать новые системы и устройства, т. е. решать так называемые проблемы синтеза, превосходящие по сложности первые во много раз. Предметом электротехники является изучение с количественной и качественной сторон электромагнитных процессов, проходящих в названных выше устройствах. Законы общей электротехники базируются на математике и физике и являются основой всех без исключения частных электротехнических 4
дисциплин. Однако этот курс (как и курсы математики и физики) является одновременно и самостоятельной дисциплиной, имеющей свой предмет и методы исследований. Курс электротехники состоит из двух основных разделов, неразрывно связанных друг с другом и являющихся базой для описания всех электромагнитных процессов: 1. Электрические цепи (ЭЦ). 2. Электромагнитное поле (ЭМП). Второй раздел содержит полный анализ электромагнитных процессов на основе уравнений К. Максвелла, а также устанавливает границы применимости методов ЭЦ. В свою очередь, раздел ЭЦ дает методы приближенного количественного и качественного анализов этих явлений, а также, что наиболее ценно для прикладных областей, – возможность синтеза самих устройств. Эта теория вместо векторных величин ЭМП ( E -, H -, B -, D -, P -напряженностей электрического и магнитного полей, магнитной индукции, электрического смещения, поляризации) и других дифференциальных характеристик оперирует интегральными скалярными величинами токов и напряжений. Она приложима к большому числу устройств, где процессы интересны лишь в каких-либо дискретных точках, узлах, зажимах или выводах. В последнее время более интенсивное развитие получила область ЭЦ по созданию новых устройств ЭМП (решение проблемы синтеза непосредственно в ЭМП в настоящее время еще плохо разработано и, как правило, значительно сложнее). Таким образом, эти два раздела электротехники представляют собой диалектическое единство. Введение скалярных величин напряжения и тока предполагает учет следующих ограничений, имеющих не абсолютный, а относительный характер: а) две стороны единого электромагнитного поля – электрическая и магнитная – могут в известной степени рассматриваться раздельно, независимо одна от другой; б) не анализируется излучение электромагнитной энергии в устройствах; в) физические размеры исследуемых устройств намного меньше наименьшей длины волны процессов, в них происходящих; процесс считается распространяющимся «мгновенно»; при этом не учитывается запаздывание распространения энергии. Перейдем к рассмотрению раздела электрических цепей. 5
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1.1. Ток, напряжение и энергия в электрических цепях
Электрический ток представляет собой явление упорядоченного перемещения электрических зарядов. В проводниках – это ток проводимости, в газах и диэлектриках – ток смещения, конвекции и скорость изменения электрического поля во времени. Под словом ток понимают интенсивность или силу тока. Определение. Количественно ток определяется пределом отношения величины заряда 'q t , проходящего через поперечное сечение проводника S за промежуток времени ' t , к ' t , когда последний неограниченно убывает, ' t o 0 , т. е. i t
'q t Δt o0 't lim
dq t . dt
Рассмотрим понятие электрической цепи и происходящих в ней электромагнитных процессов. Ряд узловых понятий и моментов будет сформулирован в виде определений. Определение. Электрической цепью называют любую совокупность электро- и/или радиотехнических устройств, электромагнитное состояние которых допустимо и целесообразно характеризовать с помощью понятий «электрический ток» и «электрическое напряжение». Это скалярные величины, которые могут принимать лишь вещественные значения (положительные или отрицательные), являясь функциями времени и иногда координат. Примерами цепей могут послужить система освещения университета, персональный компьютер, электронные приборы автомобиля и т. п. Определение. Электрической схемой называется графическое, световое (или иного вида) изображение электрической цепи. При этом одной реальной цепи соответствует некоторое множество схем. Переходя к «определению» понятий тока и напряжения, хочется вспомнить необходимость введения ряда неопределяемых понятий (согласно Аристотелю) в любой науке, теории, логике. Попытки все «аксиоматизировать», определить зачастую приводят к курьезам. Так, крупнейший философ-диалектик Гегель считал, что электричество – это «собственный гнев, собственное бушевание тела», его «гневная самость», которая «прорывается в каждом теле, когда его раздражают»… Электрическое напряжение – «собственная самостность» тела… (Г. В. Ф. Гегель, соч., т. 11, Философия природы, § 324 Добавление). Да и в настоящее время еще делаются попытки определить понятие «заряд» через «поле» и наоборот, т. е. замыкается порочный круг. Оставляя словесные выкрутасы философам и историкам науки, ограничимся лишь «техническими» определениями и понятиями, необходимыми будущему инженеру.
Пусть t0 – начало отсчета времени, тогда, если окажется, что i t1 ! 0 , то при t1 ! t0 ток совпадает с условно выбранным положительным направлением (по стрелке), а если имеет место случай i t2 0 , то при t 2 ! t0 ток ориентирован в противоположную сторону (против стрелки). Прохождение электрического тока по цепи (перенос зарядов) связано с преобразованием и потреблением энергии. Для количественной оценки энергетических процессов, связанных с перемещением зарядов, вводят величину энергии, затраченной на перемещение единичного положительного заряда из одной точки цепи в другую. Это есть напряжение, или разность потенциалов между этими точками.
6
7
(1.1)
Это – скорость изменения величины электрического заряда в зависимости от времени. Размерности величин в формуле (1.1): [q] – Кл (кулон); [t] – с; [i] – А (ампер) SI (Международная система единиц СИ). Ток является скалярной вещественной положительной или отрицательной величиной. Однозначное определение тока предполагает предварительный выбор условно положительного направления, которое отмечается стрелкой (рис. 1.1).
Рис. 1.1
На первой стадии изучения электротехники не будем вводить различие между этими понятиями – оно будет введено при дальнейшем рассмотрении: u t
'w t Δq o0 'q t lim
dw t . dq t
(1.2)
Размерность величин в (1.2): [w] – Дж (джоуль); [q ] – кулон; [u] – вольт (SI). Для однозначного определения ориентации напряжения произвольно выбираем одну из двух полярностей за положительную (знак «плюс»), отмечают это знаками (+, –) или стрелкой (рис. 1.2).
Электрическая цепь напряжение
Рис. 1.2
Определение. Значения тока, напряжения, ЭДС, заряда и энергии в данный момент времени t называются мгновенными значениями: i t , u t , e t , q t , w t . Далее будут рассматриваться постоянные и переменные токи и напряжения, а также другие величины. Первое не требует определения. Для второго представим определение переменных величин. Определение. Переменными токами, напряжениями и т. п. будем называть такие токи и напряжения (а также e t , q t , w t ), которые изменяются в зависимости от t как по величине, так и по направлению (рис. 1.4, а), либо только по величине (рис. 1.4, б), либо только по направлению (рис. 1.4, в). На рис. 1.4 показаны три возможных варианта: а) изменения в общем случае; б) изменения только по величине (например, выход двухполупериодного выпрямителя напряжения); в) изменения только по направлению (например, триггеры, мультивибраторы). Пример 1. Переменные величины:
Пусть t0 – начало отсчета времени. Если в результате расчетов окажется, что u t1 ! 0 , то при t1 ! t0 потенциал точки 1 выше или больше, чем точки 2. Если u t 2 0 , то при t 2 ! t0 потенциал точки 1 меньше, чем у точки 2. Обычно согласовывают направление токов и полярность напряжений; в этом случае положительному току приписывают понижение или падение напряжения и при согласованном выборе отмечают лишь направление токов (рис. 1.3). Электрическая цепь
падение напряжения
Рис. 1.3
t
Еще раз обратите внимание на ориентацию стрелок рис. 1.2 и 1.3. Понятие электродвижущей силы (ЭДС) – е(t) связывают с напряжением на разомкнутых внешних зажимах определенных участков цепи. В дальнейшем оно часто будет употребляться как синоним напряжения.
Рис. 1.4
8
9
Обратимся к формуле напряжения (1.2) dw t . dq t Ясно, что dw t u t dq t или q t t w t ³ u t dq t ³ u t i t dt , u t
f
0
так как
dq t i t dt . Нижний предел (– ) при замене переменной интегрирования взят для учета всей «истории» процесса. Итак,
w t
t
t
³ u t i t dt
w t
А. Источник напряжения
w t 0 ³ u t i t dt ;
f
t0
q t
q
³ u t dq t
w q 0 ³ u t dq t ,
(1.3)
q0
0
где t0 – начало отсчета времени; q0 – начальный заряд. Скорость изменения электрической энергии во времени называется мощностью: p t
dw dt
Определение. Источником напряжения u(t) называется элемент электрической цепи, который поддерживает на своих выводах напряжение с заданным законом изменения во времени независимо от протекающего через него тока (или тока, отдаваемого во внешнюю цепь). Обозначение отвечает схеме на рис. 1.5, а.
u t i t ;
p t u t i t .
(1.4)
Размерность в системе СИ: [р] – ватт; р(t) – алгебраическая величина: при р(t) > 0 знаки u(t) и i(t) совпадают, энергия потребляется цепью. При р(t) < 0 знаки противоположные, цепь возвращает энергию в источник. 1.2. Элементы электрических цепей Для приближенного учета электромагнитных процессов в ЭЦ вводится понятие элементов с двумя выводами, зажимами или полюсами. 10
Определение. Элементами электрической цепи называются идеализированные устройства, обладающие каким-либо одним свойством: вносить энергию в электрическую цепь (источники энергии), либо только ее рассеивать (преобразовывать в другие формы) – активные сопротивления (резисторы) или только запасать энергию в электрическом поле (емкостный элемент), либо только запасать энергию в магнитном поле (индуктивный элемент). Существуют их стандартные обозначения: R, L, C. Цепь с такими элементами называется пассивной электрической цепью. Следует отметить также две разновидности источников энергии: А – источники напряжения u(t), e(t) (ЭДС) и Б – источники тока i(t) (есть еще и третий вид – источник мощности, который пока рассматриваться не будет).
Рис. 1.5
Иные обозначения, встречающиеся в литературных источниках приведены на рис. 1.5, б, в, г, д. Вольт-амперная характеристика элемента согласно определению представлена на рис. 1.6. 11
Рис. 1.8 Рис. 1.6
Свойства и требования к введенной математической модели источника напряжения: 1) внутреннее сопротивление равно нулю (сопротивление отсутствует, линия ВАХ горизонтальна); 2) способность источника отдавать неограниченную мощность; 3) не рассматривается короткое замыкание зажимов источника, так как это противоречит его определению. Источник напряжения подключается к цепи с помощью идеального ключа К, не имеющего внутреннего сопротивления (рис. 1.7).
Б. Источник тока Определение. Источником тока i(t) называется элемент электрической цепи, через зажимы которого протекает ток с заданным законом изменения во времени независимо от напряжения на его выводах. Обозначения на схеме приведены согласно рис. 1.9, а.
Рис. 1.9
Рис. 1.7
Иные обозначения, встречающиеся в книгах, представлены на рис. 1.9, б, в, г. Вольт-амперная характеристика элемента согласно определению показана на рис. 1.10.
Если функция u(t) проходит через нулевое значение при t0, то это эквивалентно короткому замыканию (КЗ) ветви, в которой находится источник (рис. 1.8). Протекание тока через источник напряжения соответствует повышению напряжения, т. е. p(t) < 0. В этом случае источник отдает энергию в цепь. Однако в ряде цепей может случиться, что p(t) > 0, т. е. источник является потребителем энергии (например, зарядка аккумуляторной батареи, если принять ее свойства близкими к свойствам источника напряжения).
Рис. 1.10
12
13
Свойства и требования к модели источника тока: 1) внутренняя проводимость равна нулю; 2) источник способен отдавать неограниченную мощность; 3) не рассматривается разрыв (холостой ход) зажимов источника как противоречащий принятому определению. Источник тока подключается к цепи с помощью идеального ключа с сопротивлением, изменяющимся мгновенно от 0 до (рис. 1.11).
Пример 2. Реальные источники напряжения и тока: источник напряжения – аккумуляторная батарея с малым внутренним сопротивлением, элемент Вольта, микросхема со специальными свойствами и др.
Рис. 1.14
На рис. 1.14 показана батарея Е c внутренним некоторым добавочным сопротивлением R0. Она подключена к сопротивлению нагрузки Rн, Рис. 1.11
Если функция i(t0) проходит через 0 в данный момент времени t0, то ветвь, где находится источник тока, разрывается (рис. 1.12).
E E не зависит | R0 Rн R0 от напряжения на Rн, что отвечает требованиям источника тока. Другими примерами источников тока являются транзисторные каскады, фотоэлементы, ламповые устройства и т. п., которые будут объектами рассмотрения в разделе «Электроника». Мощность источника тока, как правило, отрицательна.
причем R0 >> Rн. В этом случае ток в цепи I
В. Активное сопротивление, R-элемент, резистор
Рис. 1.12
Рассмотренные источники напряжения и тока могут иметь произвольные зависимости от времени (рис. 1.13).
Определение. Активным сопротивлением называется элемент электрической цепи, в которой происходит преобразование электромагнитной формы энергии в другие виды и полностью отсутствует ее запасание в магнитном и электрических полях. Близкими по свойствам R-элементу являются: проволочные реостаты, угольные сопротивления, резисторы для монтажа схем, лампы накаливания и др. Обозначение резистора на схемах дано на рис. 1.15.
Рис. 1.13
Рис. 1.15
14
15
Вольт-амперной характеристикой R-элемента является закон Ома: u R t
Ri R t ; i R t
R
1 u R t iG t GuG t ; R
где mu G
1 ; R R
1 . G
(1.5)
Размерность [R] – Ом; [G] – Ом–1, мO, сименс. R означает не только сам элемент, но и его количественную характеристику (отвечает на вопрос «сколько?»). Из (1.5) i t u R t ; G G . iR t uG t Отсюда следует вывод о подобии кривых напряжения и тока в резисторе (отличаются только масштабом – рис. 1.16). R
вольт ; mi м(мм, см)
u R t i R t
mu AB mi BO
ампер – масштабы по осям координат; т; м(мм, см)
mu – масштаб сопротивления. mi Из рис. 1.17 следует, что величина параметра R пропорциональна tg . Данное сопротивление относится к статическим сопротивлениям. Существует понятие и динамического (дифференциального) сопротивления, выраженного через малые изменения тока и напряжения. Так, для нелинейного резистора из рис. 1.18 следует, что в точке А mR
Rдин
Rст
m R tg D ,
du Δu | di Δi
DF FA
Рис. 1.16
Вольт-амперная характеристика резистора показана на рис. 1.17. (линейный элемент)
Рис. 1.18 Рис. 1.17 16
m R tg D ,
17
mR tg Dc .
Иногда для нелинейных резисторов, обозначаемых на схемах (рис. 1.19, а), с вольт-амперной характеристикой (ВАХ), показанной на рис. 1.19, б, оба сопротивления могут иметь отрицательные знаки. Если резистор зависит от времени, то он называется параметрическим элементом и обозначается, как показано на рис. 1.19, в.
Так, в точках вольт-амперных характеристик (ВАХ) А, А1, С, С1 знак параметра R – плюс, а точки В и В1 соответствуют отрицательным значениям. Характеристика 1 имеет однозначную зависимость напряжения от тока и называется N-образной характеристикой, управляемой током, чего нельзя сказать о характеристике 2 (S-образной). Она – управляемая по напряжению (только в этом случае имеется однозначная зависимость). с учетом (1.5) при R, G
0 будут следующими:
p R t u R t i R t
Ri R 2 t Gu G 2 t t 0 .
Изменение энергии за интервал t0–tt составит: w R t
t
³
t0
p R t dt
t
³ u R t i R t dt
t0
t
2 ³ Ri R t dt
t0
t
³ Gu 0 t dt t 0 , 2
t0
где t – t0 0, t0, как и ранее, начало отсчета времени. Подчеркнем, что wR(t) 0 всегда характеризует необратимые изменения энергии. Г. Индуктивный элемент электрической цепи (L-элемент) Определение. L-элементом электрической цепи называется элемент, в котором происходит запасание энергии только в магнитном поле, а ее рассеяние и запасание энергии в электрическом поле полностью отсутствуют. При прохождении тока через L-элемент (на практике он может быть реализован с помощью катушки индуктивности) возникает магнитный поток Ф(t) и создается поток сцепления < t f n, Ф , где n – число витков катушки (рис. 1.20).
в)
Рис. 1.19
Рис. 1.20
18
19
На рис. 1.20 размерности величин: [Ф] – Вебер (104 Гаусс); [В] –
Вб м2
(Тесла). Пример 3. Для пояснения понятия потока сцепления (t) рассмотрим два витка, пронизываемые единичными магнитными потоками Ф1 = Ф2 = = 1 Вб. В этом случае поток сцепления при n = 2 (рис. 1.21, а) < nФ1 nФ2 4 Вб.
при отсутствии сердечников из ферромагнитных материалов можно заменить одним коэффициентом пропорциональности L: < t
Li t .
(1.6а)
< t – инi t дуктивность (коэффициент самоиндукции). Размерность величин в (1.6а): [Y] – Вб, [L] – Гн. Обозначение на схемах L-элемента (рис. 1.22): Вебер – амперная характеристика L-элемента. Здесь L
Рис. 1.22 Рис. 1.21
Вебер-амперная характеристика показана на рис. 1.23.
Для другого случая, изображенного справа (рис. 1.21, б), Ф1 проходит через один виток, а Ф2 и Ф3 через два витка каждый. Пусть Ф1 = Ф2 = = 1 Вб, Ф3 = 2 Вб, тогда поток сцепления с учетом направления < 1 Ф1 2 Ф 2 2 Ф 3 5 Вб . В общем случае применяется алгебраическое сложение по формуле < t
n
¦ nk Ф k t ,
k 1
(1.6) Рис. 1.23
где k относится к соответствующей совокупности числа витков с магнитным потоком Ф k . Если все витки сцепляются со всеми линиями магнитного потока (это иногда приближенно можно допустить в расчетах), то Y(t) = nФ(t). Магнитный поток Ф(t) определяется через индукцию магнитного поля B (t); B (t) – через напряженность магнитного поля H (t), а H (t) – пропорциональна току. Тогда с учетом (1.6) следующую цепочку зависимостей, указанных стрелками, < t o Ф t o B t o H t o i t – 20
Легко показать по аналогии с ВАХ R-элемента, что L m L tgD ; величина L для линейного случая пропорциональна tg , mL – масштаб индуктивности. При изучении свойств L-элемента важнейшим является закон электромагнитной индукции (закон М. Фарадея) е L t
21
d < t . dt
(1.7)
При изменении во времени потокосцепления, связанного с контуром, в последнем возникает ЭДС самоиндукции цепи, равная скорости изменения (t) и направленная так, что создаваемый ею ток препятствует изменению наводящего тока. Рассмотрим еще раз картину силовых линий катушки индуктивности (рис. 1.24).
Пример 4. Для заданной зависимости iL(t) построить график uL(t) (рис. 1.25, а). Проводя графическое дифференцирование uL(t) согласно (1.8), получим зависимость, представленную на рис. 1.25, б.
Рис. 1.25 Рис. 1.24
Выразим iL(t) через uL(t):
d < t ! 0 , то ЭДС самоиндукции Если допустить, что iL(t) > 0 и dt составит di t d< t d >Li L t @ L L . eL t dt dt dt Полярность ЭДС указана на рисунке. L-элемент является пассивным и падение напряжения на нем uL(t) = –еL(t). Отсюда u L (t ) L
e(t )
u L t
L
L
di L (t ) ; dt
di L t – dt
вольт-амперная характеристика L-элемента. 22
i L t
1 t ³ u L t dt L f
1 t0 1t u t dt ³ L ³ u L t dt L f L t0
1t ³ u L t dt , L t0
где t0 – начало отсчета времени. Введем дифференциальные (операторные) сопротивления и проводимости с помощью дифференциальных операторов d p 1 1 и ³ dt . p dt При этом в дальнейшем предполагается выполнение следующих аксиом коммутативности и дистрибутивности относительно процедур сложения и умножения: p
k p m p n u t
(1.8)
i L t 0
p m p n u t
kp m u t kp n u t ;
p n p m u t
p m p n p q u t
p m n u t ;
p m n u t p m q u t ,
где k, m, n, q – постоянные величины. 23
Тогда u L t = L
di L t dt
Z L p
При рL(t) > 0 идет запасание энергии магнитного поля, при рL(t) < 0 – ее возврат в источник и другие части цепи. В силу разных знаков, которые может иметь pL(t), L-элемент называют реактивным элементом. Энергия
Lp i L t Z L p i L t ; ,
Z L(p)
1
Lp ; YL p
wL t
,
Z L p где Z L p , YL p – дифференциальные операторы сопротивления и проводимости (рис. 1.26).
³
f
На рис. 1.26 ток определяется выражением
L1 ³ u t dt i 0 Y (p)u t t
iL t iL 0
L
t0
t0
t
f
t0
Li L t
t di t diL t dt ³ LiL t L dt dt dt t0
i L t 0
i L t
0
i L t 0
0 L
L
.
Мощность
i L2 t 0 i 2 t i 2 t i 2 t L L L L 0 L L t 0. 2 2 2 2 Здесь было выполнено изменение пределов интегрирования, связанное с изменением переменной интегрирования. Итак, L
;
Энергетические характеристики L-элемента
(1.9)
Li L t
di L t ! 0. dt
iL 2 t L t 0. 2
wL t
(1.10)
Если при t = 0 имеем iL(0), то изменение энергии в интервале 0ёt с учетом (1.10) составит 'wL t
t
³ u L t iL t dt 0
24
f
iL t
Первое слагаемое учитывает «предысторию» элемента, а второе – так называемую «новую» историю после t і 0–. Иногда при различных значениях стартовых и начальных условий коммутации цепи учитывают 0–. В силу этого обстоятельства минус у нуля будет подробнее рассмотрен ниже.
p L t u L t iL t
f
Li L2 t iL t0 Li L2 t 2 2 i t 0 L 0
1 iL t iL t 0 u L t iL t0 YL p u L t . Lp В частности, при t0 = 0
t
³ pL t dt ³ pL t dt
³ LiL t diL t ³ Li t diL t
Рис. 1.26
L
t0
³ pL t dt
³ u L t iL t dt ³ u L t iL t dt
t0
iL t
t
i L t
³ Li L t diL t 2 >iL t iL 0 @ , i L 0 L
2
2
т. е. разность двух энергетических состояний при различных токах.
25
Принципы непрерывности изменения полного потокосцепления и тока (законы коммутации) Рассмотрим следующую схему (рис. 1.27). Приложим к L-элементу напряжение u(t) при t = 0, тогда u t u L t L или
u t
diL t d< t dt dt
Lpi t
Тогда получим следующий закон коммутации при t = 0:
< 0
L 0 – iL 0 – L 0 iL 0 . Если, в частности, L 0 –
L 0 , (что выполняется не всегда), тоо (1.12) i 0 i 0
L
Рис. 1.27
d < t конечна (риc. 1.28). dt
–
L
есть принцип непрерывности изменения тока в индуктивном элементе при коммутации (второй закон коммутации). Оба закона коммутации используются для определения постоянных интегрирования при решении дифференциальных уравнений, описывающих процессы в цепях. Контрпример 5 (нарушение условия L 0 – L 0 . Если при t = 0 ключ К размыкается, то по (1.11), рис. 1.29, – – – L 0 iL 0 , <0 < 0 или L 0 i L 0
t=0
L1p = ZL1(p)
Рис. 1.28
Введем следующие обозначения:
< t r 0
lim < t r Δt ,
Δt o0
в частности
ZL2(p) = L2p
< t 0
< 0 ; < t 0 t 0
< 0 . t 0
26
(1.11)
Момент подключения источника (t = 0) считается моментом коммутации. Итак, можно сформулировать следующий принцип непрерывности изменения полного потокосцепления. Принцип. Значение полного потокосцепления в первый момент времени после коммутации < 0 должно быть равно полному потокосцеплению в последний момент времени до коммутации < 0 – . Иногда этот принцип называется законом коммутации (в данном случае – первым). Но поскольку < t LiL t , то согласно (1.11)
p< t .
Если u(t) имеет конечную величину, то и
< 0 .
Рис. 1.29 27
но из рис. 1.29 видно, что
L0
–
L1 ; L 0
L1 L2 ,
следовательно,
iL 0
L1 iL 0 , L1 L2
т. е. ток изменяется скачком.
Для постоянного тока L-элемент представляет собой короткое замыкание. Пример 6. Расчет ВАХ L-элемента (рис. 1.32). Определить и построить график зависимостей uL(t), pL(t), wL(t) при заданном графике iL(t) (рис. 1.33).
– iL 0 , то при t 0 Но если при t = 0 выполняется условие iL 0 L может быть заменена на основании теоремы замещения ветвей
Рис. 1.32
(рис. 1.30) источником тока с величиной iL 0 – .
Аналитическое описание заданного на рис. 1.31 сигнала имеет вид
10t ; 0 d t d 1; ° ®5 3 t ; 1 d t d 3; °0 ; t t 3. ¯
i L t Согласно (1.8) получим uL t Рис. 1.30
20 diL t ° L ®10 . dt ° ¯ 0
Следуя (1.4), определим
–
Если при t 0 iL 0 0 , то вместо источника тока осуществляется разрыв данной ветви (рис. 1.31).
pL t u L t iL t
200t ° ® 50 3 t . ° 0 ¯
На основании (1.10) найдем
wL t
L 2 i L t 2
100t 2 °° 2 ®25 3 t . °0 °¯
Подобные же значения легко найти для wL(t) с помощью интеграла Рис. 1.31 28
w L t
t
³ p L t dt .
0
29
Рис. 1.35
Несложно показать (по аналогии с R- и L-элементами), что С mC tgE . Размерности: [C] – Фарад, 10–6 – мкФ, 10–12 – пФ (пикофарад), С означает как сам элемент, так и его количественную величину.
dq t dt
iC t
du t d >CuC t @ C С iС t dt dt
(1.13)
Рис. 1.33
Д. Емкостный элемент электрической цепи (С-элемент) Определение. С-элементом электрической цепи называется такой элемент, в котором происходит запасание энергии только электрического поля, а ее рассеивание и запасание энергии в магнитном поле полностью отсутствуют. Обозначение на схемах приведено на рис. 1.34.
есть вольт-амперная характеристика элемента; в операторном виде
CpuC t iC t YC p u C t iC t . Отсюда можно определить uC(t): u C t
1 t0 1 t iC t dt ³ iC t dt ³ C f C t0
1 t ³ iC t dt C f
u C (t 0 )
1 t ³ iC t dt ; C t0
1 1 iC t uC t 0 Z C p iC t ; Z C p Cp Cp (характеристики даны на рис.1.36). uC t uC t 0
u C t u C 0
1 t ³ iC t dt C 0
.
(1.14)
Рис. 1.34
u C t u C 0 Z C p iC t
К такой математической модели довольно близок конденсатор на низких частотах с хорошим диэлектриком. Основная характеристика элемента – кулон-вольтовая: q t CuC t (рис. 1.35).
Формула (1.14) – наиболее часто употребляемая в задачах для расчета uC(t), где «предыстория» элемента заключена в uC(0–).
30
31
iC t i t C
i t
duC t d >CuC t @ dq t ; dt dt dt Cpu C t pq t .
Рис. 1.36
Энергетические характеристики С-элемента Мощность емкостного элемента составит
pC t uC t iC t CuC t
Рис. 1.37
duC t ! 0. dt
При pC t ! 0 происходит запасание энергии электрического поля,
Если величина i(t) – конечна, то заряд должен изменяться непрерывно (кривые с одним штрихом на рис. 1.38).
при pC t 0 – ее возврат, и потому С называют реактивным элементом. Энергия определяется выражением
wC t
t0
t
³ pC t dt
³
f
CuC t
f
t duC t du t dt ³ CuC t C dt dt dt t 0
u С t
u С t
0
u С (t0 )
³ CuC t duC t
³ CuC t duC t
CuC2 t t0. 2
Рис. 1.38
(1.15) Итак,
q 0 .
q 0
Приращение энергии С-элемента с момента начала отсчета t0 составит t t t0 : 'wC t
t
³ pC t dt
t0
>
@
C 2 2 u C t u C t 0 . 2
Принцип непрерывности изменения полного заряда и напряжения во времени (законы коммутации)
(1.16)
Принцип. Значение полного заряда в С-элементе в первый момент времени после коммутации (q(0+)) должно быть равно значению полного заряда в последний момент времени до коммутации (q(0–)) – третий закон коммутации.
C 0 u 0 , то из (1.16) при выполнении равенства C 0 С 0 (что не всегда выполняется) получаем принцип Так как C 0 – u C 0 –
C
Подключим С-элемент к источнику тока i(t) при t = 0 (рис. 1.37), тогда
непрерывности изменения напряжения на емкости – четвертый закон коммутации
32
33
uC 0
uC 0 .
(1.17)
C 0 С ; С 0 С С
Контрпример 7 (нарушение C 0 – С 0 (рис. 1.39). Исходя из о третьего закона коммутации q 0 q 0 и учитывая, что –
1
1
2
Пример 8. Применение выводов из третьего и четвертого законов коммутации (рис. 1.41, а, б, где а – схема для момента времени t = 0– и б – схема для момента времени t = 0+).
;
получим
C1 uC 0 , C1 C2 т. е. напряжение на емкости изменилось скачком. uC 0
Рис. 1.41
Пример 9. Построение вольт-амперных и энергетических зависимостей в С-элементе при заданном законе изменения uC(t) (рис. 1.42, а). Определение и построение графиков зависимостей iC(t), pC(t), wC(t). Рис. 1.39
Однако если выполняется соотношение C 0 – С 0 , то при t 0 емкость можно заменить источником напряжения с величиной uC(0–) согласно риc. 1.40 (возможность такой замены следует из теоремы замещения ветви, приведенной далее).
Рис. 1.40
Для постоянного тока емкость представляет собой разрыв. 34
Рис. 1.42 35
Так как du C , dt то в начале проводим графическое дифференцирование uC(t) (рис. 1.42, б); pC t uC t iC t , поэтому перемножаем зависимости (рис. 1.42, в); iC t C
wC t
CuC2 t 2
t
³ pC t dt , 0
интегрируем pC(t) или возводим в квадрат uС(t); результаты приведены на рис. 1.42, г.
схем, его интуиции и мастерства. На первом этапе студентам предлагаются, как правило, уже готовые решения. При составлении схем замещения интересуются лишь той или иной степенью детализации описания работы устройства. Это обычно – величины на внешних зажимах без полного анализа картины внутренних процессов в устройстве. Выбор схемы замещения определяется: 1) требуемой точностью расчета; 2) режимом работы исследуемого объекта; 3) выбранным элементным базисом для построения искомой схемы, и рядом других требований. Таблица 1.1
1.3. Дуальность элементов электрических цепей Сведем в единую таблицу энергетические и вольт-амперные характеристики рассмотренных R-, L-, C-элементов цепи (табл. 1.1). Анализируя структуру формул, находим известную аналогию выражений при взаимной замене u l i, L l C , R l G. В таблице это указано стрелками. Можно сделать взаимные переходы (прямые и обратные) от одного выражения к другому при таких заменах. Два выражения, обладающие свойством взаимного перехода друг в друга, называются дуальными, взаимно заменяемые величины – дуальными величинами, а элементы с такими характеристиками – дуальными элементами. Итак, следующие величины и элементы являются дуальными: u t l i t ; wL t l wC t ;
L l C;
pL t l pC t ;
R l G ; pR t l pG t . Дуальность элементов является основой для построения дуальных цепей. 1.4. Понятие о схемах замещения цепей Составление схем замещения устройств является сложной и отдельной задачей, предполагающей значительный опыт разработчика таких 36
Наименование элемента Резистор, R-элемент (активное сопротивление) L-элемент (индуктивность) С-элемент (емкость)
Обозначение на схемах
iG t iR t u R t uG t iL t – u L t Lp Z L p iС t
Характеристики
вольт-амперные u R t Ri R t
энергетические
iG t GuG t
pR t RiR2 t
pG t GuG2 t
u L t LpiL t di t u L t L L dt
iL t
iL t
1 Lp
u L t t
1 u L t dt L ³f
p L t LiL t wL t L
diL t dt
iL2 t 2
pC t CuC t uС t Cp YC p
du t
t
C ³ iC t dt iC t C dt
uC t
1 C
uC t
1 i t Cp C
f
iC t CpuC t
37
wC t C
duC t dt
uC2 t 2
Пример 10. Активное сопротивление (рис. 1.43); Lп, Cп – паразитные элементы, связанные с геометрией, конструкцией и др. характеристиками реального резистора. Они на низких частотах, как правило, не учитываются.
Пример 12. Емкостный элемент (рис. 1.45); Gп – паразитная проводимость (потери в диэлектрике и др.), Lп – паразитная индуктивность, связанная с магнитными полями подводящих выводов и самого тока смещения.
Рис. 1.43
Пример 11. Индуктивный элемент (рис. 1.44); Cп – паразитная емкость (межвитковая, между элементами и платой, основанием и т. п.), Rп – паразитное сопротивление (потери в проводниках, диэлектрике и др).
Рис. 1.45
Пример 13. Рассмотрим реальные источники энергии. В них напряжение и ток на выводах зависят от внешней нагрузки (цепи). Падение напряжения с ростом тока учитывается путем введения дополнительных (сложных по структуре в общем случае) двухзажимных элементов А и В, зависящих от параметров R, L и C и называемых внутренним сопротивлением или проводимостью соответственно (рис. 1.46).
Рис. 1.46 Рис. 1.44
Модели реальных источников напряжения (слева) и тока (справа) на рисунке даны относительно указанных внешних зажимов.
38
39
1.5. Понятие об электрической цепи и задаче ее анализа Рассмотрим пассивную электрическую цепь, составленную из основных линейных элементов и источников питания (рис. 1.47).
При расчетах цепей всегда интересуются следующими числами: nв – число ветвей цепи; nу – число узлов цепи; nк – число контуров цепи. Для определения всех токов и напряжений ветвей необходимо составить nb уравнений цепи. Задачей анализа электрической цепи является определение выражений для узловых потенциалов и токов ветвей заданной структуры (иногда – зарядов и потокосцеплений), при этом считаются заданными: сама цепь, значения всех ее элементов, а также напряжения и токи источников, действующих в цепи; последние называются функциями возбуждения, а искомые токи и напряжения – ее реакциями. В соответствии со сформулированной задачей анализа можно рассмотреть функциональную схему, показанную на рис. 1.48.
Рис. 1.47
Основными понятиями, характеризующими геометрическую конфигурацию электрической цепи, являются: 1) ветвь электрической цепи; 2) узел электрической цепи; 3) контур цепи. Определение. Ветвью электрической цепи называется участок цепи с двумя выводами, в котором ток или напряжение имеют одно и то же значение; это может быть ряд последовательно или параллельно соединенных элементов (аb, аd, cd, bс, bkс, ...). Ветвь взаимодействует (обменивается энергией) с остальной частью цепи через эти два и только эти два вывода. Определение. Узлом электрической цепи называется точка, где сходятся две и более ветвей (а, b, с, f, ...). Узел бывает простым и сложным. Простой (устранимый узел) место встречи двух и только двух ветвей (k, f). Сложный узел – место встречи трех и более ветвей (а, b, с, ...). Узловая пара образуется любыми двумя узлами (ad, аb, ...). Определение. Контур электрической цепи – любой замкнутый путь, проходящий через ряд ветвей (abсd, bkс, ...).
Анализ цепи: даны I и II, определить III. Синтез цепи: даны I и III, найти II. Уравнения цепи составляются на основе двух законов Кирхгофа. Кроме перечисленных двух главных аспектов – анализа и синтеза цепей, для полноты рассмотрения укажем и на проблему идентификации, когда по известным данным в I и III определяют топологию II, при которой математическая модель отражает заданную точность связей воздействия и реализации, а также проблему диагностики, где по частично известным данным в I, II и III определяются недостающие (неизвестные) параметры.
40
41
Рис. 1.48
Первый закон Кирхгофа (закон токов Кирхгофа – ЗТК)
т. е. алгебраическая сумма величин зарядов для данного узла или сечения равна нулю (знаки зарядов входящих и выходящих могут быть выбраны аналогично I закону Кирхгофа).
Рассмотрим произвольный узел цепи (рис. 1.49).
Рис. 1.50 Рис. 1.49
¦ i k t k
0 .
(1.18)
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна 0. Токи, одинаково ориентированные относительно узла, берутся с одинаковыми знаками (+ или –). Если взять (+) для входящих токов, то в нашем примере получим i1 t i2 t i3 t i4 t i5 t i6 t 0 . Закон основан на принципе сохранения электрических зарядов. Первый закон применим и к любой замкнутой поверхности S, охватывающей часть электрической цепи и осуществляющей ее сечение (рис. 1.50). Вследствие этого часто закон именуют законом сечения:
i1 t i2 t i3 t i4 t 0 . Закон сохранения зарядов может быть сформулирован аналогичным образом:
¦ qk t k
0,
Второй закон Кирхгофа (закон напряжений Кирхгофа – ЗНК) Рассмотрим часть цепи (ее контур), показанную на рис. 1.51. Выберем направление обхода контура, тогда:
¦ u k t k
(1.19)
Или для нашего случая:
u1 t u 2 t u3 t u 4 t u 5 t u 6 t u 7 t 0 . Знак (+) ставится при совпадении напряжения ветви и выбранного направления обхода контура, а (–) в противном случае. Данные схемы имеют частный режим для токов и напряжений: ток – постоянный, напряжения и заряды формируются на емкостных элементах согласно закону q CU . Таким образом, закон сохранения заряда в узле (или прошедшего через замкнутую поверхность) по аналогии с I законом Кирхгофа примет вид
¦ qi i
42
0.
43
0.
q , то можно составить уравнение для любого о C выделенного контура статической цепи, аналогичное II закону Кирхгофа (Uk – падение напряжения источника напряжения): Поскольку U
qi ¦U k 0. i Ci k Ток для цепи с контуром I, представленной на рис. 1.53:
¦
2
2 qi ¦U k i 0 Ci k 0 Для II контура получим
¦
Рис. 1.51
Ua Ub
q1 q 2 Ub C1 C 2
q 2 q3 C 2 C3
0.
0.
Электростатические схемы Для фрагмента цепи с узлом 0, показанной на рис. 1.52, 5
¦ qi i 1
q1 q 2 q3 q 4 q5
0.
Знаки взяты в соответствии с направлениями протекавших токов и падениями напряжений на С-элементах.
Рис. 1.53
Рис. 1.52
Иногда ЗНК называют законом циркуляции. Для единственности определения всех токов и напряжений ветвей цепи уравнения составленной системы должны быть линейно-независимыми, т. е. ни одно из уравнений не является следствием других, а число уравнений соответствует
44
45
количеству неизвестных. Следовательно, надо в конкретной цепи выбрать те узлы и контуры, которые приведут к системе из линейно-независимых уравнений. Их выбор определяется не физической природой элементов ветвей (т. е. их конститутивными законами), а зависит от геометрических свойств всей цепи. 1.6. Граф электрической цепи Определение чисел независимых узловых пар и контуров Рассмотрим электрическую цепь, для чего выберем произвольно направления токов ветвей, как показано на рис. 1.54, и отметим сложные узлы кружками. Отвлекаясь от вида элементов цепи, заменим их линиями со стрелками согласно выбранным направлениям токов ветвей; ветви с источниками напряжений замкнем, а с источниками тока – разомкнем. Получим «скелет» схемы, ее геометрический образ, называемый графом цепи (в данном случае – ориентированным – рис. 1.55, а). В нем сохраняются числа ветвей, узлов и контуров, а геометрические формы дуг не существенны, то есть не учитываются их длина, кривизна, расположение. Важны лишь места их соединений.
Рис. 1.55
Определение. Деревом графа называется некоторое соединение разомкнутых ветвей графа, включающее все его узлы, но исключающие протекание токов. У каждого графа имеется некоторое множество деревьев (выделены жирными линиями) (см. рис. 1.55, б, в, г). Ветви связи (главные ветви, хорды) – ветви графа, не принадлежащие выбранному дереву (они показаны штриховыми линиями). Дополнение дерева – полное количество главных ветвей графа, т. е. не вошедших в выбранное дерево. Определим число ветвей дерева графа: nд nу 1 , (1.20) ãäå nу – число вершин графа (узлов).
Рис. 1.54
Данное соотношение легко объясняется следующим образом: первая ветвь по необходимости имеет два узла, а каждая последующая добавляет к общему числу узлов по единице. Для числа ветвей связи получим: n c n b n д nb n у 1
46
47
или nb n у 1 , (1.21) ãäå nb – число ребер (ветвей) графа. Несложно установить, что nд дает число независимых узловых пар напряжения. Эти напряжения можно считать независимыми переменными. Действительно, если известны напряжения ветвей дерева, то несложно определить напряжения всех узлов и узловых пар цепи. При этом отсутствие замкнутых контуров из ветвей дерева приведет к следующему: 1) взаимной независимости напряжений ветвей дерева; 2) eдинственности пути к выбранному узлу, т. е. единственности напряжений любых узловых пар. Отсюда ясно, что число независимых узловых пар (НУ) nНУ nд nb . (1.22) Если же выбрать напряжения узлов по отношению к одному общему (базовому) узлу, то они также окажутся независимыми из-за отличия друг от друга по крайней мере на величину напряжения хотя бы одной ветви дерева. Число независимых контуров может быть установлено после поочередного подключения к дереву главных ветвей графа (хорд). При этом каждая ветвь связи замыкает контур, ток в котором можно принять за независимую переменную (рис. 1.56). Ток ветви дерева idpa можно выразить через токи хорд. i dpa icd ida , nc
ibmc iab
ibc ibmc
icd ibc , ibc icd ibc
icd .
n НК
nc
nb n у 1 n k .
(1.23) Токи всех ветвей дерева однозначно определяются через контурные токи или токи хорд. Вывод. Состояние цепи в любой момент времени можно однозначно охарактеризовать либо через nHУ (1.22), либо через nHK (1.23). Иногда в топологии (разделе математики, связанном с изучением геометрических свойств структур) вводятся понятия ранга графа: U n у R0 , где R0 – число отдельных частей связного графа (точнее, мультиграфа) и цикломатического числа (число Бетти, дефицит – В, где B n b U nb n у R 0 , причем nb n у называют характеристическим числом). Линейный граф, не содержащий контуров, называется лесом. Другими словами, дерево – есть связанный лес. При этом R0 = 1, = ny –1, B = 0 – дефицит леса равен нулю. 1.7. Дифференциальные уравнения равновесия и общие свойства их решений Приступая к анализу цепи, задаемся условно положительными направлениями токов и падений напряжений, выбираем дерево, независимые контуры и узловые пары и составляем систему уравнений по законам Кирхгофа. Пример 14. Последовательный R-, L-, C-контур представлен на рис. 1.57, а, а граф контура – на рис. 1.57, б. Дерево на рис. 1.57, б вырождается в один узел.
Рис. 1.56
Таким образом, число независимых контуров (НК) составит с учетом (1.21):
Рис. 1.57
48
49
Цепь содержит один контур, и по II закону Кирхгофа получим:
u R t
uR t uL t uC t u t ;
di t 1 Ri t ³ i t dt dt C
L
Lp2i t
u t
1 Lpi t Ri t i t u t – Cp линейное интегродифференциальное уравнение с вещественными коэффициентами. Оно эквивалентно следующему дифференциальному уравнению второго порядка после дифференцирования обеих частей:
L
dt 2
di t i t R dt C
Lp 2 i t Rpi t
du t ; dt
pu t .
i t C
pu t .
Пример 15. Параллельный GLC-контур. На рис. 1.58 представлена одна узловая пара, для которой по ЗТК получим: iG t iL t iC t i t ;
Gu t
или
du t ; dt
i t C
d 2i t i t C dt 2
в операторной форме
или
d 2 i t
0 o L
1 du t u t dt C i t ³ dt L
Gu t YL p u t YC p u t i t .
(1.24)
Могут быть рассмотрены и частные случаи (1.24): цепь RL
uC t 0 o Ri t L di Lpi t Ri t
t
dt u t ;
Рис. 1.58
u t ;
После дифференцирования найдем:
цепь RC
uL t
C
1 0 o Ri t ³ i t dt u t ; C R
di t i t du t ; dt dt C
Rpi t
i t C
цепь LC
d 2u t dt
2
G
du t u t dt L
Cp 2 u t Gpu t
pu t ;
pi t .
(1.25)
Уравнения (1.24) и (1.25) – дуальные, т. е. контур дуален узловой паре.
50
u t L
di t ; dt
51
Пример 16. Сложная цепь (рис. 1.59, a). Дано: R1, R2, L, C и u(t). Определить токи ветвей данной цепи. Граф цепи показан на рис. 1.59, б; дерево – на рис. 1.59, в.
di1 t u t ; dt u t L di1 t i1 t . R1 R1 dt
R1i1 t R1i 2 t L i2 t
Отсюда найдем:
d 2i1 t R2 du t LR2 di12 t R1 dt R1 dt2 dt2 R di t u t L di1 t 1 2 1 ii t 0 dt CR1 CR1 dt C L
или
Рис. 1.59
Из графа следует: цепь содержит два независимых контура и одну узловую пару. Составим уравнения по законам Кирхгофа: 1) i1 t i2 t i t ; Ldi1 t u t ; dt Lpi1 t R1i t u t ;
2) R1i t
3) R2i2 t
di t 1 0; i2 t dt L 1 ³ C dt
1 i2 t Lpi1 t 0 . Cp Сведем полученную систему уравнений к дифференциальному уравнению старшего порядка. Продифференцируем уравнение 3). d 2 i1 t dt
2
R2
di2 t i 2 t dt C
52
2
a1
§ R · R2 1 L¨¨1 2 ¸¸ ; b0 ; b1 . R1 ¹ CR1 R1 © Данный подход можно обобщить. Для общего случая многоконтурной цепи получим следующее уравнение: a0
1 ; a1 C
R2
L ; a2 CR1
d n i t
d n1
i t ... a0 i t dt n1 d m1 bm m u t bm 1 m 1 u t b0 u t ; dt dt dt n dm
a n 1
(1.26)
a n p n i t a n1 p n1i t ... a 0 i t bm p m u t bm 1 p m 1u t ... b0 u t . В левой части уравнения (1.26) находятся члены, содержащие искомую реакцию – в данном случае i(t) и ее производные, а в правой части – возбуждение u(t) и его производные. В общем случае n t m .
0;
i2 t 0. C Подставим уравнение 1) в 2) и исключим ток i2(t): Lp2i1 t R2 pi2 t
d 2 i1 t
an
R2 i2 t
L
di1 t du t a0i1 t b2 b0u t , dt dt dt где постоянные коэффициенты i, bi определяются параметрами цепи: a2
Главнейшие свойства дифференциальных уравнений а) Пропорциональность: изменение возбуждения в K раз (K – вещественный или комплексный коэффициент пропорциональности) приведет к изменению реакции также в K раз. 53
ралом (соответствующего порядка) от первоначального значения реакции (рис. 1.61).
Пример 17. Согласно рис. 1.60,
L или
di t Ri t u t dt
Lpi t Ri t
u t .
³
Рис. 1.60
³
Пусть взято Ku t u0 t , тогда KL
di t d Ki t KRi t L R Ki t Ku t u0 t dt dt
или
KLpi t KRi t Lp^Ki t ` R^Ki t ` Ku t . Левая часть дифференциального уравнения свидетельствует о том, что реакция и ее производные изменились в K раз. Пример 18. Проверить, отвечает ли свойству линейности: а) цепь, описываемая следующим дифференциальным уравнением:
Пример 19. См. рис. 1.62, а. Реакция на sin t показана на рис. 1.62, б.
di t di t a0i 2 t u t . dt dt dt Изменим правую часть в K раз, тогда a2
Ka2
d 2i t
Рис. 1.61
2
a1
d 2i t di t di t Ka1 Ka0i 2 t 2 dt dt dt
d 2 Ki t
Ku t z Рис. 1.62
d Ki t d Ki t , z a2 a1 a0 Ki t 2 2 dt dt dt т. е. реакция изменится более сложным путем; цепь не удовлетворяет п. а); б) при воздействии производной и интеграла (любых порядков) от функции возбуждения реакция также является производной или интег-
Определить реакцию при следующих воздействиях (рис. 1.63, а, б). Решения даны на рис. 1.63, в, г. в) принцип наложения (суперпозиции). Реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности.
54
55
Пример 20. Обратимся к рис. 1.64.
Рис. 1.64
Из рисунка следует, что
u 0 t u a t ub t ;
– интеграл от u 1(t) – интеграл от i1(t)
i0 t ia t ib t . Последние соотношения следуют из суммирования двух дифференциальных уравнений: dia t ua t ; Lpia t Ria t u a t ; dt di t Rib t L b ub t ; Lpib t Rib t ub t ; dt d R ia t ib t L ia t ib t u a t ub t ; dt Ria t L
Рис. 1.63
Пусть имеется n воздействий, тогда для каждого из них можно выписать соответствующие реакции:
i0 t
Ri0 t Lpi0 t u0 t .
i0 t
u 0 t
Пример 21. Сложный сигнал на рис. 1.65 можно представить наложением более простых.
Рис. 1.65 56
57
В общем случае произвольное воздействие может быть аппроксимировано (приближено) суммой бесконечного числа бесконечных малых воздействий простейшей формы. Вычисление реакции сопряжено с операцией интегрирования. Примечание. Содержание пунктов а и в вместе отвечают определению линейности цепи (уравнений). Каждый в отдельности пункт (либо а, либо в) еще не гарантирует выполнения критерия линейности. Стационарность электрической цепи определяется условием: форма реакции цепи не зависит от момента времени приложенного возбуждения (рис. 1.66).
В результате получим diL1 t t0 . dt Введем замену переменных t t0 ε , dt dH , тогда да di H di H u L1 H и u L 2 t L L1 u L H u L1 t t0 , L L1 dH dH т. е. u L 2 t u L1 t t0 . Элемент стационарен. u L 2 t L
Пусть другой элемент имеет зависимость i t t i1 t
а для u2 t u1 t t0 получим
t
du t , тогда для u1(t) dt
du1 t , dt
du1 t t0 . dt При замене переменных ε t t0 , dε dt , t i2 t t
du1 H du H t0 1 dH dH dH du t t0 du H . i1 t t0 1 i1 t t0 t0 1 dt dH Элемент не удовлетворяет принципу стационарности i2 t
Рис. 1.66
Пример 22. Установить, является ли стационарным индуктивный элемент цепи с ВАХ вида:
di L t . dt Для некоторого тока iL1 t имеем: u L t
L
u L1 t L для другого тока
di L1 t ; dt
iL 2 t iL1 t t0 . 58
ε t0 du1 H
ε t0 получим
H
>i2 t z i1 t t0 @ . 1.8. Зависимые (управляемые) источники напряжения и тока Зависимый источник (ЗИ) – элемент электрической цепи, представляющий собой источник напряжения или тока, величина которых зависит от тока или напряжения какой-либо ветви или узловой пары (рис. 1.67, а–г). На рис. 1.67, а показан ИНУН (источник напряжения, управляемый напряжением), на рис. 1.67, б – ИТУТ (источник тока, управляемый током), на рис. 1.67, в – ИТУН (источник тока, управляемый напряжением), на рис. 1.67, г – ИНУТ (источник напряжения, управляемый током). 59
Из схемы рис. 1.68 следует, что
u1 t ua t ub t ; u0 t k1u1 t k1>ua t ub t @ . Разновидностью данной модели усилителя с конечным усилителем k1 является широко применяемое понятие операционного усилителя (ОУ), обладающего следующими параметрами: входное сопротивление – бесконечно большое, выходное сопротивление близко к нулю и усиление k o f . В этом случае в силу конечного значения величины u0 f следует считать, что u1 f o 0 и u a f | ub f . Можно заметить, что ИТУТ, в свою очередь, является усилителем тока с характеристиками, дуальными ИУН. Вопросы для самопроверки
Рис. 1.67
Электрические цепи, содержащие зависимые источники, называются (в общем случае, поскольку есть исключения) активными цепями. Сравните с определением пассивных цепей. Представленный на рис. 1.67, а ИНУН моделирует усилитель напряжения, часто изображаемый как показано на рис. 1.68.
1. Что такое падение напряжения и его связь с напряжением и ЭДС? 2. Из каких составляющих складывается напряжение на С-элементе? 3. Какие составляющие включает в себя ток в L-элементе? 4. Всегда ли выполняются законы коммутации для тока в индуктивности и напряжения на емкости? 5. Сформулируйте законы Кирхгофа. 6. Что такое граф, дерево графа, дополнение дерева? 7. Как определить числа независимых узловых пар и контуров? 8. Что такое стационарная цепь? 9. Справедлив ли принцип суперпозиции для зависимых источников? 10. Есть ли принципиальное различие между понятиями линейности элементов и линейностью электрической цепи? 11. Есть ли разница между понятиями стационарности элементов и стационарностью электрической цепи? 12. Всегда ли цепь с зависимыми источниками является активной?
Рис. 1.68 60
61
Глава 2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ 2.1. Классификация электрических цепей В данной главе на базе безынерционных цепей рассмотрены основные методы эквивалентных преобразований цепей и главнейшие формальные алгоритмы их анализа. В последующем изложении любая резистивная цепь обозначена через R (рис. 2.1).
Рис. 2.2
Для линейных R-цепей (рис. 2.2) ток будет пропорционален напряжению. Закон пропорциональности (рис. 2.2, а) выражается формулой i t H G u t , где HG – по размерности входная проводимость. Обозначим через HG = G - основной параметр двухполюсника. Для случая рис. 2.2, б u t H R i t Ri t , где HR – коэффициент пропорциональности, соответствующий входному сопротивлению, причем R 1/ G . Четырехполюсные цепи
Рис. 2.1
Это многополюсная R-цепь; u1(t), u2(t), ... , i1(t), i2(t), ... – входы цепи; uk(t), ip(t) – выходы. Входы – источники напряжений и токов, выходы – напряжения узловых пар и токи ветвей. Это mxp-полюсник. Часто рассматриваются более простые, частные, структуры. Начнем с простейших. Двухполюсные цепи
Определение. Четырехполюсником называется сколь угодно сложная электрическая цепь с двумя парами зажимов (выводов или полюсов), с помощью которых она подключается к источникам энергии и остальной части цепи. На основании принципа линейности можно рассмотреть следующие функции цепи (рис. 2.3): а) i2 t H G u1 t G21u1 t , где G21 H G
i2 t u1 t – передаточная про-
водимость (рис. 2.3, а);
Определение. Двухполюсник – сколь угодно сложная электрическая цепь с двумя выводами, зажимами или полюсами.
u 2 t зu1 t – передача по напряжению, безразмерный коэффициент (рис. 2.3, б);
62
63
б) u2 t HU u1 t , где H U
в) передаточное сопротивление (рис. 2.3, в) u2 t H R i1 t R21i1 t , R21
HR
Отметим, что u2 t . i1 t
R21 z г) i2 t
1 ; G 21 z R211 ; G 21
H I i1 t , где HI – передача по току, безразмерная величина.
i2 t показывает долю входного тока или его увеличение i1 t (уменьшение), прошедшего на выход (рис. 2.3, г). Кроме того, для четырехполюсников иногда находят дополнительно входные сопротивления и проводимости со стороны входа и выхода. Все отмеченные функции называются системными функциями цепи (в данном случае – четырехполюсной). Далее следуют шести-, восьмиполюсники и т. д. HI
2.2. Эквивалентные электрические цепи и теорема замещения ветви Подробно рассмотрим метод эквивалентных преобразований схем (МЭП), который основан на понятии эквивалентности цепей. Пусть имеются две n-полюсные цепи I и II (рис. 2.4).
Рис. 2.4 Рис. 2.3
Электрические цепи I и II содержат одно и то же число внешни зажимов (полюсов).
64
65
Определение. Две n-полюсные цепи называются эквивалентными, если токи и напряжения соответствующих выводов тождественно равны:
u1 t u1c t ; u 2 t u 2c t ;
i1 t i1c t ; i2 t i2c t ;
u n t u cn t ;
in t inc t .
Внутренние структуры цепей I и II могут быть различными, но для внешних зажимов они неразличимы. В методе эквивалентных преобразований (МЭП) часто используются процессы последовательной замены одной ветви (цепи) другой, ей эквивалентной. В этой связи полезна теорема замещения ветви. Теорема. Любая j ветвь цепи с известным током ij(t) и напряжением uj(t) может быть замещена источником тока с величиной ij(t) или источником напряжения с величиной uj(t) (рис. 2.5).
1) объединение последовательно и параллельно включенных ветвей (двухполюсников); 2) метод взаимных преобразований источников напряжения и тока; 3) преобразование «звезды» ветвей в «треугольник» и обратное. Эти три вида преобразований могут быть использованы одновременно. Рассмотрим их подробнее. Пункт 1 включает в себя несколько вариантов: а) последовательное соединение двухполюсников (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Из рис. 2.6 следует, что i t i1 t i2 t ... in t . По II закону Кирхгофа u t u1 t u 2 t ... u n t
Рис. 2.5
Доказательство теоремы основано на законах Кирхгофа. Рассмотрим лишь случай с источником тока. Мысленно подключим параллельно данной ветви два источника тока величиной i j t встречной ориентации. Правый источник и ток реальной ветви в сумме дадут 0. Оставшийся источник тока даст первое утверждение теоремы. Токи и напряжения не изменились. Ветвь может быть в общем случае и нелинейной. Отсюда следуют схемы замещения L- и C-элементов при законах коммутации (свойства L- и C-элементов). 2.3. Метод эквивалентных преобразований (МЭП) Суть МЭП состоит в последовательном преобразовании геометрии (конфигурации) отдельных участков цепи до получения простейшей структуры. МЭП включает в себя три вида преобразований: 66
n
¦ u k t .
k 1
Но так как для k-двухполюсника uk t Rk i t , k 1, 2,..., n , тоо
u t где RЭ
n
n
k 1
k 1
¦ Rk i t i t ¦ Rk
i t RЭ ,
n
¦ Rk .
k 1
Таким образом, можно сделать вывод о том, что двухполюсники могут рассматриваться как резисторы. Передача по напряжению между k-двухполюсником и входом HU
u k t u t
Rk i t RЭ i t 67
Rk . RЭ
Рассмотрим случай с нелинейными резисторами (рис. 2.7, а). Согласно II закону Кирхгофа при общем токе i i1 i2 получим u1 i1 u 2 i1 u 0 i ; i i1 i2 . Отсюда ясно, что надо просуммировать ординаты u1 и u2 для каждого значения тока i (рис. 2.7, б);
так как напряжения входов всех двухполюсников равны u(t). Отсюда n
i t u t ¦ Gk k 1
GЭ u t ; GЭ
n
¦ Gk .
k 1
Передача по току составит i k t Gk u t Gk . i t GЭ u t GЭ Примечание. При последовательном соединении резисторов обычно включается источник напряжения, а при параллельном – источник тока, иначе нет задачи анализа (решение тривиально); в) смешанное соединение двухполюсников (лестничная цепь). При параллельном включении нелинейных резисторов u1(i1) и u2(i2) (рис. 2.9, а) у них имеется общее напряжение u(i), а суммирование производится по оси токов (абсцисс), как показано на рис. 29, б. HI
Рис. 2.7
б) параллельное соединение двухполюсников (рис. 2.8).
Рис. 2.8 Рис. 2.9
По I закону Кирхгофа получим i t i1 t i2 t ... in t 68
n
n
k 1
k 1
¦ i t ¦ Gk u t ,
Рассмотрим рис. 2.10, где показано последовательно-параллельное соединение двухполюсников. 69
Для смешанного соединения нелинейных резисторов необходимо учесть, что в параллельных ветвях суммируются токи, в последовательных – напряжения. Метод взаимных преобразований источников напряжения и тока Рассмотрим сложную цепь, к которой вначале подключен источник напряжения, а затем источник тока (рис. 2.11). Рис. 2.10
Проводимость относительно сечения 56 G56 , т. е. 1
G56
.
1 R5 G6
Проводимость G0 составит величину
1
G0
R3
1
1 G4 G56
R3
.
1 G4
1 R5
1 G6
Рис. 2.11
Входное сопротивление всей цепи R
R1
Из второго закона Кирхгофа для выделенного контура следует:
1 G2
.
1 R3
1 G4
1 R5
1 G6
Получим цепную (непрерывную) дробь. Данную дробь можно составить по схеме, если перемещаться справа налево и чередовать сопротивления и проводимости ветвей. 70
u t u 0 t R0 i t ; ° u 0 t u t ® °i t R0 ¯ или после преобразования i t
u 0 t u t . R R0 71
(2.1)
вому закону Кирхгофа получим:
Далее объединяем параллельные ветви (см. рис. 2.8) преобразований (рис. 2.13).
i t i0 t G0u t ; i0 t i t i0 t i t . (2.2) G0 G0 G0 Ï ðè ñî õðàí åí èè í åèçì åí í û ì è â î áî èõ ñëó÷àÿõ i(t) и u(t) из систем управлений (2.1) и (2.2) при сравнении членов установим, что u t
i0 t
u0 t ; G0 R0
1 R0
и
R0 z 0
u 0 t
i0 t ; R0 G0
1 . G0
(2.3) Рис. 2.13
G0 z 0
Эквивалентный источник тока получается при параллельном подключении R0 от источника напряжения, а источник напряжения при последовательном соединении с G0 от источника тока – согласно (2.3). Пример 1. Получить эквивалентный источник напряжения для следующей цепи рис. 2.12. На практике это соответствует, например, двум аккумуляторным батареям, включенным параллельно.
i0 t i1 t i2 t ; G0
G1 G2 ;
i0 t G1u1 t G2u2 t . Заменим токи через напряжения и затем перейдем к эквивалентному источнику напряжения: i t G1u1 t G2u 2 t u0 t 0 ; G0 G1 G2 1 1 R0 . G0 G1 G2 Обобщим результаты данного примера на случай параллельного соединения n источников напряжения: n
u 0 t Рис. 2.12
Согласно правилам преобразований (2.3): u1 t 1 i1 t ; G1u1 t ; G1 R1 R1 u 2 t 1 i 2 t G2 u 2 t ; G2 . R2 R2 72
¦ Gi ui t
i 1
n
¦ Gi
i 1
; R0
1 n
¦ Gi
.
(2.4)
i 1
Примечание 1 Представленные взаимные преобразования источников энергии эквивалентны относительно внешних зажимов. Если есть необходимость сохранения неизменными мощностей самих источников и внутренних сопротивлений, то следует добавить ряд уравнений. 73
Для схемы, показанной на рис. 2.14, а, и ее преобразования, содержащего источник тока (рис. 2.14, б), имеем соотношения для мощностей:
§ R r0 · 1¸ ¨ ¹ © R
K1 R r0 1
2
т. е. R0
r02
2
R2
,
R2 . R0
R2 или r0 r0
Проведем обратное преобразование: из схемы 2.15, а получим параметры схемы 2.15, б. б)
Рис. 2.15
Для мощностей источников:
Рис. 2.14
Pu0 t Pi0 t При Pu0 t
K1u t
K1
u 0 t R R r0
u 0 t , R r0
1 . R Мощность в резисторе составит:
откуда K1R 1 или K1
Pr0
r0 i 2 t
PR0
§ i0 t · 1¸ ¨ © i t ¹
2
R0 i0 t i t 2 .
§ K1u0 t R r0 · ¨¨ 1¸¸ u0 t © ¹ 74
Pi0 t
i0 t u t
i0 t Ri t ,
PR0
R0 i0 t i t 2
PK 3
K 3i 2 t
или § i0 t · 1¸ ¨ © i t ¹
2
K3 . R0
После подстановки выражений для токов i0 t и i t из рис. 2.15, а получим:
Отсюда следует, что
r0 R0
K 2 i0 t i t
т. е. R K 2 . Для сопротивлений установим, что
u t i0 t K1u0 t u t .
Pi0 t получим i t
PK 2i0 t
u0 t i t ;
2
§ u t u t · ¨ ¸ R ¨ R0 1¸ ¨ u t ¸ ¨ ¸ R © ¹
2
75
§ R· ¨¨ ¸¸ © R0 ¹
2
K3 , R0
т. е. K 3
R2 . R0
Таким образом, полученные соотношения между параметрами источников энергии позволяют сохранить неизменными мощности самих источников и их внутренних сопротивлений. Примечание 2 Полученные формулы преобразования справедливы, если G0 0 или R0 0. Однако нередко встречаются случаи, когда R0, G0 = 0, т. е. нет непосредственно последовательных и параллельных ветвей к источникам энергии. Рассмотрим вначале случай с источником напряжения (рис. 2.16, a). Здесь имеется узел (а) и нет последовательно включенного с u0(t) сопротивления, т. е. R0 = 0. Расщепим узел (а) на два узла а c и аcc так, как показано на следующей схеме (рис. 2.16, б).
Рис. 2.17
Дуальный вариант с непреобразуемым источником тока представлен на рис. 2.18. Ток в добавленной перемычке а–b равен 0, и уравнения Кирхгофа не нарушаются при ее введении. Теперь получены преобразуемые источники токов с G1 и G2.
Рис. 2.16
Напряжение между узлами а c и аcc равно нулю, т. е. u a ca cc t 0 , так как потенциалы этих узлов относительно общего узла (0) не изменились. Но теперь оба источника могут быть преобразованы по общим формулам. Общий случай. Между узлами (а) и (b) есть источник напряжения без R0 (рис. 2.17). Здесь источник напряжения как бы перенесен через узел (а), узлы (а) и (b) соединены накоротко. Это – перенос источника напряжения через узел. 76
Рис. 2.18
Общий случай показан на рис. 2.19. Здесь осуществлен перенос источника тока по контуру, показанному на верхнем рисунке. 77
Пример 3. Рассмотрим примеры преобразований цепей в случае зависимых источников. Здесь имеет место перенос ИТУН по контуру (рис. 2.21, а, б).
Рис. 2.19
Пример 2. Преобразования зависимых источников очевидны (рис. 2.20).
Рис. 2.20
Рис. 2.21
78
79
Из рис. 2.21, в следует, что u t u1 t u 2 t u3 t . В итоге получим три различных ИТУН, каждый из которых управляется только одним напряжением (рис. 2.21, г). Пример 4. Рассмотрим рис. 2.22, а, где есть ИНУТ.
Преобразование «звезды» ветвей в «треугольник» Наличие внутреннего узла у «звезды» затрудняет расчеты. Его желательно исключить на основе эквивалентности преобразования. Рассмотрим схему цепи на рис. 2.23, а. Эквивалентность цепей должна соблюдаться при любых режимах, а потому режим можно выбрать таким, чтобы упростился расчет. Выберем u31 (t ) 0 u31' (t ) . Y
Ток через G31 равен нулю. При
i1 (t ) i1' (t ) G12u12' (t ) . Y
Рис. 2.22
По ЗТК: i t i1 t i2 t . Два ИНУТ с раздельными управлениями показаны на рис. 2.22, б; на рис. 2.22, в сделан перенос ИНУТ через узел. Рис. 2.23 80
81
Аналогично можно найти, полагая последовательно u12 (t) = 0 и u23 (t) = 0, Y
Y
Для «звезды» (рис. 2.23, а) получим схему рис. 2.24. Из ЗНК следует, что i1 (t ) i3 (t ) i1 (t ) . u12 G2 G1 Y
Y
Y
Y
G23
G2G3 ; G31 G1 G2 G3
G1G3 . G1 G2 G3
(2.5)
Мнемоническое правило: проводимость ветви n-угольника равна отношению произведения проводимостей двух смежных ветвей к сумме всех проводимостей. Результат можно обобщить на случай n-лучевой «звезды»:
Gn Gk
Gnk
n
.
(2.6)
¦ Gi
i 1
Рис. 2.24
Напряжения на ветвях с проводимостями G1 и G2 одинаковы: i1 (t )
i3 (t )
G1
G3
Y
Y
отсюда
,
Пример 5. Преобразование 4-лучевой «звезды». На основании формулы (2.6) и мнемонического правила из исходных четырех ветвей получим шесть (рис. 2.25). Обратное (см. рис. 2.23) преобразование в общем случае невозможно: число исходных данных превышает количество неизвестных для n > 3.
G3 i1 (t ). G1
i3 (t )
Y
Y
Вернемся к исходному соотношению: i1 (t ) Y
Y
Y
G1
G2
i1 (t ) Y
t1 (t )
G3 G1G2
i1 (t ) Y
u12 (t )
G1 G2 G3 , G1G2
откуда Y
т. е.
G1G2 u12 (t ) G12u12 ' (t ) , G1 G2 G3 Y
i1 (t )
G12
G1G2 . G1 G2 G3 82
Рис. 2.25
83
Преобразование «треугольника» ветвей в «звезду» (рис. 2.26).
Напряжение между узлами 1 и 3 равно (см. рис. 2.26) ib t R31 ia t R12 R23 ;
ib t i1' t ia t ;
i1' t ia t R31
ia t R12 R23 .
Отсюда после преобразования i1' t R31 ; R12 R23 R31
ia t
i1 ( t ) R 1
R 12
R 12 R 31 i1 ' ( t ) . R 23 R 31
Y
При i1 (t) = i1 (t) несложно установить, что Y
R12 R31 . R12 R23 R31 Аналогично можно получить, полагая последовательно i3' t 0 и i1' t 0 , R1
R2
R12 R23 ; R12 R23 R31 R3
R31 R23 . R12 R23 R31
(2.7)
Примечание. Полный n-угольник уже не является плоской фигурой, и поэтому для него нет дуальной «звезды». Пример 6. Определить Rвх следующей цепи (рис. 2.27). Все сопротивления измеряются в омах. «Звезду», отмеченную штриховыми линиями, преобразуем в «треугольник» ветвей (рис. 2.28, а). Рис. 2.26
Выберем частный режим при i2 (t) = i2 (t) = 0, Y
тогда
i1 (t)R1 = u12 (t) = R12 ia (t). Y
Y
По ЗТК
ia t ib t i1' t . 84
Рис. 2.27 85
Рис. 2.29
1
1 1 1 3 0,5 2 / 3
1
1 1 6 3 7
46 : . 25
Другой пример преобразования показан на рис. 2.26, б.
8 9 7 14 3 46 : . Rвх 8 9 7 25 7 14 Пример 7. Рассмотрим «звезды» и «треугольники» при наличии зависимых источников (рис. 2.29, а и б). На практике это отвечает, например, эквивалентным преобразованиям схем замещения транзисторов. 1 11 7
§1 1· 3 1 ¨ ¸ ©2 7¹ 7
86
i1 (t) = i1 (t) ;
u1 (t ) Y
Rвх
i1 ; G1 Y
Искомый ответ:
После переноса ИТУН по контуру (см. рис. 2.19) получим среднюю схему (см. рис. 2.29, а), второй ИТУН по теореме замещения ветви (см. рис. 2.5) заменен проводимостью; в результате найдем окончательный вариант (см. рис. 2.29, а, крайний слева). На рис. 2.29, б имеется еще один ИТУН. Для средней схемы u12 t u1 t u2 t получим два зависимых источника. Окончательно один из ИТУН заменен через q. Пример 8. Преобразовать «звезду» в «треугольник» (рис. 2.30, а). Здесь напряжение ветви звезды управляет ЗИ, причем должно быть (без учета тока зависимого источника) Y
Рис. 2.28
i1' t G12u12 t G31u31 t . 87
Здесь первый член замещен через g0 (рис. 2.30, б). Если эквивалентность учитывать относительно суммарного тока (включая источник тока), то, опуская вывод, найдем g0
gG12 ; g1 g G1
g g1 G31 ; g1 g G1
gG3 . G1 G 2 G3
Пример 9. Рассмотрим схему с ИНУН, показанную на рис. 2.31, и определим входное сопротивление при коэффициенте k, а также для частного случая k o f .
Рис. 2.31
Рис. 2.30
По ЗНК:
u1 (t )
G12 G u12 (t ) 31 u31 (t ) G1 G1
G2 G3 u12 (t ) u31 (t ) , G1 G2 G3 G1 G2 G3
Управляющее напряжение из входного контура при выбранных токах составит u(t). Очевидно также, что i2 t
Y
так что величина ЗИ равна
gu1 (t )
gG2 gG3 u12 (t ) u31 (t ) G1 G2 G3 G1 G2 G3
поэтому
g 0u12 (t ) g1u31 (t ) ,
Y
откуда величина зависимого источника равна g0
gG2 ; g1 G1 G2 G3 88
ku t , R1 R2
gG3 . G1 G2 G3
uвх t u t i2 R1
u t
kR1u t R1 R2
1 k R1 R2 u t , R1 R2
откуда u t
R1 R2 u t . 1 k R1 R2 вх 89
Входной ток из контура uвх t i1R3 uвых t определяется выражением i1 t
u вх t u вых t R3
u вх t ku t 1 k R1 R2 k R1 R2 . uвх t R3 1 k R1R3
Отсюда Rвх
u вх t i t
1 k R1 R3 kR1 R3 o kR2 1 k R1 R2 k R1 R2 k o f
R1R3 . R2
Любопытно отметить, что передача по напряжению для данного частного случая k o f сведется к формуле T0
u вых t u вх t
kuвх t R1 R2 u вх 1 k R1
k of
Рис. 2.32
По ЗНК
R o1 2 . R1
U a0
2.4. Метод пропорциональных (определяющих) величин Суть метода состоит в том, что задаются одним и несколькими токами (напряжениями) в крайних правых ветвях схемы и перемещаются справа налево, определяя токи в узлах и напряжения в ветвях цепи. Метод основан на свойстве линейности и приложим обычно к лестничным и перекрытым схемам (мостовые схемы), хотя и может быть в общем случае применен к цепям произвольной структуры. Пример 10. Для цепи постоянного тока на рис. 2.32 величины приняты в Ом, U 5 B . Определить I0. Задаемся токами I1 и I2 (определяющие величины). Поскольку здесь предполагается режим постоянного тока, то все напряжения и токи обозначены большими буквами: U b0 I1 I 2 1 I1 I 2 . 90
I1 1 I1 I 2
2 I1 I 2 ;
U a0 I1 0,5 I 2 ; 2 I1 I a 0 I 2 2 I1 1,5I 2 .
I a0
Заметим, что поскольку Rвх 0 , то схема на рис. 2.4 – так называемый конвертер отрицательного сопротивления (КОИ), а Т0 – соответствует передаче по напряжению для случая отрицательного усилителя (ОУ), формирующего усилитель напряжения с конечным
§ R2 · ¸. коэффициентом усиления ¨¨1 R1 ¸¹ ©
U ab U b0
I0
Итак, для контура, показанного на рис. 2.32, найдем
U
5
I1 I a0 2 U a 0 2 I1 1,5I 2 2 2 I1 I 2 U
3I 2 U b 0
6 I1 2 I 2 ; (2.8)
I1 4 I 2 .
(2.9)
Решая совместно уравнения (2.8) и (2.9), получаем значения токов I1 и I2. Метод пропорциональных величин удобно использовать для определения входных и передаточных функций (системных функций) цепи. 2.5. Анализ R-цепей с помощью уравнений. Метод контурных токов (МКТ) Для расчета сложных цепей МЭП утомителен, возникают ошибки. Единственный путь – составление и решение системы уравнений. Желательно иметь систематические методы описания состояния цепи, основанные на формальных алгоритмах.
91
R1 R2 ia t R2ic t u1 t u2 t ; ® ¯ R2ia t R2 R3 ic t u2 t u3 t .
Метод контурных токов Этот метод применим к сложным цепям с произвольным большим числом контуров. Рассмотрим следующую цепь (рис. 2.33).
Введем следующие обозначения: R11 R1 R2 – собственное сопротивление I контура;
R22
R2 R3 – собственное сопротивление II контура;
R12
R21
R2 – взаимное сопротивление между I и II контурами;
u1 t u 2 t u01 t – алгебраическая сумма величин источников напряжений, действующих в I контуре; u 2 t u3 t u02 t – сумма величин источников напряжений II контура; i1 t ia t – ток I контура (контурный ток);
Рис. 2.33
Составим уравнение по законам Кирхгофа
ia t ic t ib t ;
R1ia t R2ib t
R3ic t R2ib t
u1 t u2 t ;
u3 t u2 t .
На рис. 2.34 показан граф цепи; дерево – одна ветвь.
Рис. 2.34
Исключим ток ib(t), тогда
R1ia t R2ia t R2ic t u1 t u2 t ; ® ¯ R3ic t R2ia t R2ic t u2 t u3 t ; 92
i2 t ic t – ток II контура. Тогда согласно принятым обозначениям получим следующую систему уравнений: R11i1 t R12i2 t u01 t ; ® ¯ R21i1 t R22i2 t u02 t . Алгоритм Распространим данную методику на цепь, содержащую n контуров, для чего: 1) выберем произвольно направления обхода контуров и будем счиòàòü èõ ñî âï àäàþ ù èì è ñ í àï ðàâëåí èÿì è êî í òóðí û õ òî êî â i1(t), i2(t),..., in(t) (обычно по «часовой» или против «часовой стрелки»). Реальные токи ветвей в отличие от зачастую фиктивных контурных токов однозначно определяются через контурные токи методом наложения (суперпозиции); 2) обозначим через u01(t), u02(t),..., u0n(t) алгебраические суммы величин источников напряжений, действующих в контурах; 3) обозначим через R11, R22,..., Rnn полные суммы сопротивлений, входящих в соответствующие контуры – собственные сопротивления контуров; 4) обозначим через Rij, i j, i, j = 1, 2,..., n полные суммы сопротивлений, входящих в общую ветвь i и j контуров – взаимные контурные сопротивления; 93
5) Rij > 0, если направления контурных токов совпадают, и Rij < 0 – в противном случае. После выполнения п. 1–5 получим окончательную систему уравнений: R11i1 t R12 i2 t ... Rnn in t u 01 t ; ° R i t R i t ... R i t u t ; ° 21 1 22 2 2n n 02 ® °.................... ........................................ .. °¯ Rn1in t R n 2 i2 t ... Rnn in t u0 n t .
Введем следующие матрицы:
>R@
ª R11R12 ,..., R1n º « R R ,..., R » 2n » « 21 22 , «. . . . . . . . . . . . » « » ¬ Rn1Rn 2 ,..., Rnn ¼
Рис. 2.35
Путем «инспекции» цепи записываем:
– матрицу сопротивлений контурных токов, где по главной диагонали расположены собственные сопротивления контуров Rii, i 1, n ; âí åäèàãî í àëüí û å ýëåì åí òû – âçàèì í û å ñî ï ðî òèâëåí èÿ Rij, i j, i, j 1, n ;
если отсутствуют зависимые источники, то Rij = Rji, i j – матрица симметрическая; в этом случае заполняется лишь ее половина; матрицу-столбец контурных токов (t – транспозиция строки)
>i t @ >i1 t , i1 t ,..., in t @ t ;
>R@
ª 8 2 3 2º « 2 5 1 0 » « »; « 3 1 9 1» « » ¬ 2 0 1 5 ¼
>i t @
матрицу-столбец источников напряжений u0 t
>u01 t , u01 t ,...,
u0 n t @ t .
В итоге имеем матричное уравнение закона Ома
>R@>i t @ >u 0 t @
,
>i t @ (2.10)
которое содержит запись уравнений по МКТ в матричной форме. Пример 11. Анализ цепи по МКТ без ЗИ (рис. 2.35). Величины сопротивлений приняты в Ом. Граф цепи с выделенным деревом описывается четырьмя уравнениями. 94
ªi1 t º «i t » «2 »; «i3 t » « » ¬i4 t ¼
ª u1 t º « u t » 2 « ». «u 2 t u3 t » « » ¬ u3 t ¼
Если надо получить исходную систему уравнений по МКТ, то перемножаются матрицы [R] и [i(t)]:
95
8i1 t 2i2 t 3i3 t 2i4 t u1 t ; ° 2i t 5i t i t u t ; ° 1 2 3 2 ® ° 3i1 t i2 t 9i3 t i4 t u 2 t u3 t ; °¯ 2i1 t i3 t 5i4 t u3 t . Примечания. 1. В МКТ (2.8) используются, как правило, источники напряжений. Если есть источники токов, то их предварительно преобразуют в источники напряжений по известным правилам (но можно при применении специальной методики и не преобразовывать). 2. Уравнения по МКТ должны быть линейно независимыми. Это обеспечивается тем, что каждый контур содержит хотя бы одну ветвь, не вошедшую в другие контуры. Число независимых уравнений определяется через nНК : nНК nb n у 1 nb . В правой части неравенства стоит число уравнений по законам Кирхгофа. 3. Для частного случая статического режима цепи (постоянный ток, С-элементы и источники напряжения) несложно получить уравнения для контурных зарядов. Рассмотрим выделенный контур на рис. 2.36.
q10 qd q1 , где q1 – контурный заряд выделенногоо C1 C1 контура, qd – соседнего контура. Так что согласно II закону Кирхгофа после перегруппировки зарядов получим Ясно, что U1
§ 1 1 1 1 · q 2 q3 q 4 q 5 ¸¸ q1 ¨¨ Ub Ua © C1 C 2 C 3 C 4 ¹ C 2 C3 q 4 C1
0
или в общем случае q 1 q0 ¦ ¦ i ¦U k i C0i i C0i k
0.
Входные и передаточные проводимости, метод наложения Решения для неизвестных контурных токов найдем с помощью определителей по правилу Крамера из (2.10): ik t
'k , где 'R
R11R12 ,..., R1n 'R
R21R22 ,..., R2 n Rn1Rn 2 ,..., Rnn
является определителем системы уравнений по МКТ; k-столбец p R11R12 ,..., u01 t ,..., R1n 'k
R21R22 ,..., u02 t ,..., R2 n – Rn1Rn 2 ,..., u0n t ,..., Rnn
k-алгебраическое дополнение, у которого k-столбец замещен правой Ðàçëî æèì Рис. 2.36
96
k
по элементам k-столбца, тогда (k
n)
'1k ' ' ' u 01 t 2k u 02 t ,..., kk u 0 k t ,..., nk u 0 n t , (2.11) 'R 'R 'R 'R (i+j) где ij – минор, умноженный на (–1) . ik t
97
ik t
Коэффициенты имеют размерности проводимостей. ' ik Gki – являются проводимостями передачи при i 'R и входными (собственными) при i = k. Их можно определить экспериментально:
G ki
k
i k t , u 0 j t 0 ; i z j ; i z k , u 0i t
т. е. при коротком замыкании остальных ветвей с источниками напряжений. G kk
ik t , u 0 j t 0 ; j z k – входная проводимость k-контура при u 0i t
коротком замыкании других ветвей с источниками. Уравнение (2.11) есть результат наложения от каждого из источников в отдельных контурах. Примечание. Можно показать линейную связь двух различных контурных токов: ik t Ak Bk i p t , что нередко используется в задачах. Пусть нас интересует источник u0i(t), тогда по аналогии с (2.11) получим: i p t A p G pi u 0i t ,
i p t Aр G pi
.
Для тока в k-контуре из (2.11) получим: ik t Аk Gkiu0i t Аk Gki
i p t Ap Gpi
G G Ak Ap ki ki i p t , G pi Gpi Ak
Вk
что и требовалось установить. Если ik (t) умножить на сопротивление k-контура, то несложно установить связь напряжения k-контура и контурного тока в р-контуре. Аналогично можно установить линейную зависимость между тремя контурными токами, т. е. 98
где связаны токи k-, р- и q-контуров. Данная связь устанавливается на основе зависимостей:
ik t Ak Bk u0i t Ck u0 j t ; ° ®i p t Ap B pu0i t C pu0 j t ; ° ¯iq t Aq Bqu0i t Cqu0 j t . Отсюда видно, что u0i t
i p t Ap Cq iq t Aq C p ; B p Cq Bq C p
i p t Ap iq t Aq u0 j t
B p u0i t C p u0 j t ;
Bq u0i t Cqu0 j t ;
B p iq t Aq Bq i p t A p B p Cq Bq C p
.
После подстановки u0i(t) и u0j(t) в выражение для ik(t) и объединения соответствующих членов получим искомое соотношение. 2.6. Теорема (принцип) взаимности или обратимости
где Aр содержит остальные слагаемые (2.11). Отсюда u 0i t
A0 k B0 k i p (t ) C0 k iq t ,
Рассмотрим сложную цепь (рис. 2.37, а) с выделенными i- и k-контурами. Источник напряжения имеется только в i-контуре, в k-контуре есть ток ik(t). Поместим некоторый источник напряжения u0k(t) в k-контуре (рис. 2.37, б). В этом случае в i-контуре возникает ток ii(t). Для рис. 2.37, а ik t
' ik u 0i t , 'R
ii t
' ki u 0k t , 'R
остальные члены – нули. Для рис. 2.37, б
остальные члены – нули. 99
Пример 13. Пусть для схем, показанных на рис. 2.39, а и б, известны отмеченные напряжения и токи. Определить напряжения на входе и выходе цепи рис. 2.39, в.
Рис. 2.37
Определим отношение токов ik t ii t
но
' ik ' ki
' ik u 0i t , ' ki u 0 k t
1 в силу симметрии R . Если положить u 0i t u 0k t ,
то ik t ii t . Принцип. Если источник напряжения, действующий в одном контуре, создает в другом контуре некоторый ток ik(t), то будучи перенесенным во второй контур, он вызовет в первом (исходном) контуре тот же самый ток. Пример 12. На рис. 2.38, а величины в омах, U = 2 В; несложно определить, что I 2 = 0,5 A. Тогда для второй цепи, показанной на рис. 2.38, б, получим I1 = 0,5 A.
Рис. 2.39
Из сравнения видно, что I2 = I1 – выполнение принципа взаимности. Проиллюстрируем пример использования принципов суперпозиции и обратимости.
В первой цепи в силу ее линейных свойств источник тока в 5 А даст U A 15 B и U B 10 B при передаточном сопротивлении 40 Rпер 2 Ом . Для цепи на рис. 2.39, б получим при токе в 2 А U B 10 B 20 и то же передаточное сопротивление 2 Ом, т. е. U A 4 B . Откуда для цепи на рис. 2.39, в U A 15 4 19 B, U B 20 B. 60 Можно рассуждать и так: входное сопротивление в точке А 3 Ом , 20 40 т. е. U A1 3I A , передаточное сопротивление RBA 2 Ом , т. е. 20 U B1 2 I A .
100
101
Рис. 2.38
Аналогично получим U B 2 5I B и U A2 2 I B . При наложении режимов для схемы на рис. 2.39, в аналогично найдем
UA
U A1 U A2
3I A 2 I B
Решая систему, определяем ток i2(t) i2 t
19 B ;
U B U B1 U B 2 2 I A 5I B 20 B . Примечание. При наличии ЗИ напряжения (ИНУТ, ИНУН) можно придерживаться следующих правил: 1) ЗИ принимаются за независимые и составляются уравнения МКТ как с обычными источниками; 2) управляющие величины (i(t), u(t)) выражаются через контурные токи; 3) выражения для ЗИ с учетом п. 2 переносятся в левую часть и перегруппировываются; матрица [R] становится несимметрической; 4) для ЗИ токов (иные типы, кроме двух первых) можно предварительно либо применить преобразования в источники напряжений, либо не преобразовывать (подробности – на практических занятиях). Определим, например, передачу по напряжению для схемы, показанной на рис. 2.40.
u1 t k 2 R1 . R1 R2 R3 k1k 2 R1 R3
Искомая функция передачи u 2 t u1 t
R3i2 t u1
k 2 R1R3 . R1 R2 R3 k1k 2 R1R3
2.7. Метод узловых напряжений (МУН) Здесь в качестве переменных используются узловые потенциалы относительно общего, опорного, нулевого или базового узла, потенциал которого принят равным нулю. Всем узлам приписывается условно положительная полярность. Рассмотрим следующую схему (рис. 2.41): стрелками указаны условно положительные направления токов ветвей G1, G2, G3, в кружках – номера узлов цепи.
Рис. 2.40
Составим согласно примечанию следующую систему уравнений:
R1i1 t u1 t k1u 2 t ; ® ¯ R2i2 t R3i2 t k 2u0 t . Выразим u0(t) и u2(t) через i2(t): u0 t R1i1 t , u 2 t R3i2 t . Система сведется к виду
R1i1 t k1R3i2 t u1 t ; ® ¯k 2 R1i1 t R2 R3 i2 t 0 . 102
Рис. 2.41
По первому закону Кирхгофа для узлов (1) и (2) имеем G1u1 t G2 u1 t u 2 t i1 t i2 t ; ® ¯G3u 2 t G2 u1 t u 2 t i2 t i3 t . После перегруппировки членов получим 103
где
G1 G 2 u1 t G2 u 2 t i1 t i 2 t ; ® ¯ G2 u1 t G2 G3 u 2 t i2 t i3 t .
>G @
Введем следующие обозначения: G1 G2 G11 – собственная проводимость первого узла;
G2 G3 G12
G21
G22 – собственная проводимость второго узла; G2 – взаимная проводимость между 1-м и 2-м узлами;
i1 t i2 t i01 t – алгебраическая сумма величин источников токов, сходящихся в одном узле; i2 t i3 t i02 t – сумма величин источников токов сходящихся во 2-м узле, тогда получим G11u1 t G12 u 2 t i01 t ; ® ¯G21u1 t G22 u 2 t i02 t . Обобщим данные выводы на цепь, имеющую n 1 узел, причем общему узлу припишем номер n 1 , для чего составим алгоритм: 1) выберем произвольно нумерацию узлов и припишем им значения узловых потенциалов u1(t), u2(t), ... , un(t), un+1(t) = 0; напряжения и токи ветвей выразим через потенциалы узлов; 2) обозначим через G11, G22, ..., Gnn полные суммы проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу – собственные проводимости узлов; 3) обозначим через Gij, i j, i, j = 1, 2, ..., n полные суммы проводимостей, общих для i и j узлов – взаимные проводимости узлов; 4) взаимные проводимости всегда отрицательны (сравните с МКТ): Gij 0; i j; 5) обозначим через i01(t), i02(t), ..., i0n(t) алгебраические суммы величин источников токов, сходящихся в соответствующих узлах, входящий ток берется со знаком «+», а выходящий – со знаком «–». В результате получим систему МУН в матричной форме – матричный «закон Ома»
>G @ >u t @ >i0 t @ ,
(2.9а)
ªG11G12 ...G1n º «G G ...G » « 21 22 2n » ; « » « » ¬Gn1Gn 2 ....Gnn ¼
>u t @ >u1 t , u2 t ,..., un t @ t ; >i0 t @ >i01 t , i02 t ,..., i0 n t @ t. На главной диагонали [G] расположены собственные проводимости узлов, вне диагонали – взаимные проводимости. Последние равны: Gij = Gji, i j для симметричной матрицы [G]. Пример 14. Анализ цепи на рис. 2.42 по МУН, все элементы в Ом–1 (См).
Рис. 2.42
Путем наблюдений формально получаем матрицу узловых проводимостей :
>G @
ª 9 2 6 0 º « 2 8 5 1» « ». « 6 6 12 1» « » ¬ 0 1 1 4 ¼
Матрица-столбец неизвестных узловых потенциалов составляет
>u t @ >u1 t , u 2 t , u3 t , u 4 t @ t ; 104
105
матрица-столбец источников тока –
Если разложить
>i0 t @ >i1 t , i2 t , i2 t i3 t , i3 t @
t
.
Решение системы (2.9а) осуществляется любым способом, известным студентам. Примечания. 1. В МУН преимущественно используются источники тока, при наличии источников напряжения их предварительно преобразовывают в источники тока по известным правилам (можно не делать этой операции, используя специальную методику). 2. Число независимых уравнений в МУН соответствует числу независимых узловых пар nн.y nb n y 1 nb . 3. Для частного случая статической цепи (режим постоянного тока, С-элементы, источники напряжений) получим для потенциала q-узла ____
U q ¦ C qi ¦ U i C qi ¦ U qi C qi 0 , q 1, n , i i i n 1 общий узел с нулевым потенциалом, где
¦ Cqi i
– сумма емкостей, подходящих к q-узлу.. Входные и передаточные сопротивления; принцип взаимности (обратимости)
Решая (2.9а) по правилу Крамера, определяем потенциал k-узла u k t
'k , 'G
'G
k
по элементам k-столбца, то
'1k ' ' ' i01 t 2 k i02 t ... kk i0 k t ... nk i0n t . 'G 'G 'G 'G Это соотношение, как и в случае МКТ, демонстрирует принцип суперпозиции (наложения). Коэффициенты перед токами – входные и передаточные сопротивления u k t
Rki
'k 'G
u k t , i0 j t 0 ; i z j ; i z k i0i t
являются передаточными сопротивлениями; Rkk
' kk 'G
u kk t , i0 j t 0 ; i z k – i0 k t
есть входное сопротивление. Примечания. 1. В случае наличия зависимых источников ИТУТ и ИТУН, а также ИНУТ и ИНУН следует обратиться к примечанию для МКТ. 2. Подобно случаю с МКТ, несложно установить линейную зависимость узловых потенциалов между собой: u k t Ak Bk u p t – для двух узлов: k и p; u k t
Ak 0 Bk 0u p t Сk 0u q t – для трех узлов: k, p, q.
Подробности обоснования следует смотреть в МКТ. Теорема (принцип) взаимности или обратимости Рассмотрим два случая подключения источника тока к одной и той же цепи (без других источников – рис. 2.43).
ªG11G12 ...G1n º «G G ...G » 2n » « 21 22 ; 'k « » « » ¬Gn1Gn 2 ...Gnn ¼
ªG11G12 ...i01 t ...G1n º «G G ...i t ...G » 2n » « 21 22 02 . « » « » ¬Gn1Gn 2 ...i0n t ...Gnn ¼ n k -столбец
106
Рис. 2.43 107
При imi t ink t и оговорках, сделанных в МКТ, получим ukn t uim t . 2.8. Дуальность электрических цепей Определение. Две цепи называются дуальными, если уравнения по МКТ для одной из них аналогичны (подобны) уравнениям по МУН для другой при взаимной замене напряжения на ток и сопротивлений на проводимости. Каждому контуру (показано ранее) дуален узел (узловая пара), что позволяет сформулировать следующий алгоритм построения дуальных цепей. В каждом контуре (ячейке) исходной цепи или графа ставится точка и одна точка вне схемы – вершины будущего дуального графа (цепи). Эти точки соединяются линиями (ребра дуального графа), пересекающими ветви исходной цепи или графа. Правило знаков: направления дуальных ветвей определяются при поворотах по «часовой» стрелке исходных ветвей до совпадения с ветвями дуальной цепи. Распространим это правило получения дуальной цепи на общий случай схем, содержащих R-, L-, C-элементы. Выберем некоторую цепь (рис. 2.44, а). Стрелки указывают на выбранные ориентации токов в исходной цепи и дуальном графе (рис. 2.44, б и в). Дуальная цепь показана на рис. 2.44, г. Примечания. 1. Понятие дуальности является взаимным: цепь дуальная к дуальной дает исходную. 2. Дуальные цепи существуют только для плоских (планарных) цепей. 3. Дуальность подразумевает подобие лишь в математической форме уравнений электрического равновесия цепи и не содержит (в общем случае) информации о числовых коэффициентах. 4. Цепи, переходящие сами в себя, называются автодуальными.
108
Рис. 2.44
2.9. Метод эквивалентного генератора (источника) – МЭГ (МЭИ) МЭГ применяется для определения тока или напряжения какой-либо одной (произвольной) ветви сложной цепи. Суть данного метода состоит в замене действия всех источников энергии в отношении рассматриваемой ветви действием лишь одного эквивалентного источника напряжения или тока. МЭГ основывается на двух теоремах. 109
u0 t Rk ikc t u t 0 ,
Теорема Тевенина (эквивалентный источник напряжения) Рассмотрим сложную цепь (рис. 2.45) с любым числом источников энергии и выделенной ветвью Rk.
откуда u t u 0 t . Rk
i ' k t
Рис. 2.45
Добавим в выделенную ветвь с Rk два источника напряжения (рис. 2.46).
Рис. 2.47
Если выбрать величину u0(t) так, чтобы ikc t 0 , т. е. u t u0 t являлось напряжением холостого хода (разрывом ветви с Rk), то u ck t 0 ;
ik t ikc t ikcc t ikcc t .
Для второго режима (см. рис. 2.48) надо предварительно определить входное сопротивление (с учетом ЗИ), тогда по закону Ома Рис. 2.46
Данное включение источников не изменит электрический режим цепи. Применим метод суперпозиции, т. е. положим, что чik t ikc t ikcc t , где примем, что ikc t – ток, создаваемый всеми источниками и левым источником u0(t), а ikcc t – ток только от правого источника u0(t) при отсутствии остальных источников. Аналогично можно заключить, что u k t u kc t u ckc t . Рассмотрим эти режимы работы цепи в отдельности (рис. 2.47, 2.48). При обходе по выбранному контуру (на рис. 2.41 – по «часовой» стрелке) получим u0 t ukc t u t 0 ;
u kcc t
u0 t . Rk R0
u kc t Rk ikc t ;
Рис. 2.48
110
111
В итоге после наложения режимов получим: ik t ikcc t
u 0 t ; u kcc t Rk R0
Rk u 0 t u k t . Rk R0
(2.12)
Уравнения (2.12) отвечают цепи, представленной на рис. 2.49.
Рис. 2.50
Отсюда окончательный результат примет вид Рис. 2.49
Теорема. Ток в любой ветви не изменится, если всю цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить одним эквивалентным источником напряжения с величиной u0(t), равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением R0, равным сопротивлению всей цепи относительно зажимов данной ветви, при исключении независимых источников. Пример 15. Определить ток i5(t) и условия баланса моста, представленного на рис. 2.50, а. Это распространенная на практике структура в измерительных устройствах. Согласно формуле (2.12) по теореме Тевенина получим
i5 t u t
R4 R2 R3 R3 R1 R4 . R5 R1 R4 R2 R3 R1R4 R2 R3 R2 R3 R1 R4
Условия баланса моста i5 t 0 o R2 R4 R1R3 числителя данной дроби.
0 – равенство нулю
Теорема Нортона (эквивалентный источник тока) Преобразуем эквивалентный источник напряжения по правилам преобразования источников энергии (рис. 2.51 – см. МЭП).
u0 t . R5 R0
i5 t После удаления R5 видно, что u 0 t
u t u t R4 R3 . R1 R4 R2 R3
R0 определим из следующей схемы (рис. 2.50, б), причем сопротивления оказались включенными попарно параллельно вследствие короткого замыкания ветви, где ранее находился источник напряжения: R0
R1 R4 R2 R3 112
R R R1R4 2 3 . R1 R4 R2 R3
Рис. 2.51
Здесь i0 t
u0 t – ток короткого замыкания ветви с Rk; R0 Gk
1 ; G0 Rk
i0 t 1 ; u k t ; R0 G0 G k 113
ik t Gk u k t
Gk i0 t ik t . G0 Gk
(2.13)
Теорема. Ток любой ветви не изменится, если всю цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить одним эквивалентным источником тока с величиной i0(t) (ток короткого замыкания ветви) и внутренней проводимостью G0, равной проводимости всей цепи относительно зажимов данной ветви, при исключении независимых источников. Пример 16. Определить ток i4(t) по теореме Нортона согласно формуле (2.13) для цепи, показанной на рис. 2.52. Эта цепь на практике может отвечать трехфазным системам.
Напомним еще раз теорему замещения ветви (рис. 2.53).
Рис. 2.53
Ri t R1i t u t . Перенесем слагаемое с R1 в правую часть:
Ri t u t R1i t . Член R1i(t) можно рассматривать в качестве нового источника напряжения при сохранении того же направления обхода контура – рис. 2.54.
Рис. 2.52 Рис. 2.54
Ясно, что i4 t
G4i0 t . G0 G 4
После короткого замыкания ветви с G4 найдем
Аналогично для схемы, показанной на рис. 2.55, G2u t G1u t i t
i0 t G1u1 t G2u 2 t G3u3 t i5 t ; G0
G1 G2 G3 G5 .
2.10. Теорема компенсации; чувствительность электрических цепей Данная теорема позволяет определять приращения токов (напряжений) ветвей цепи без определения полных токов (напряжений) при изменении сопротивлений (проводимостей) ветвей.
Рис. 2.55
114
115
или после переноса члена с G1, в правую часть G 2 u t i t G1u t ,
т. е. получим новую схему, показанную на рис. 2.56.
Рис. 2.58 Рис. 2.56
Обратимся к теореме и рассмотрим сложную цепь с выделенной ветвью (рис. 2.57).
Рис. 2.59
Можно считать согласно принципу наложения, что изменения токов вызваны подключением дополнительного источника напряжения указанной ориентации при отсутствии независимых источников. Таким образом, режим цепи при изменении сопротивления R1 1) исходного режима – до изменения сопротивления ( R1 = 0); 2) режима от источника u1(t) при исключении независимых источников.
Рис. 2.57
При изменении сопротивления R1 на R1 (оно может быть с разными появились приращения токов i1(t) и ik(t). По теореме замещения ветви 'u1 t 'R1 i1 t 'i1 t 'R1i1 t 'R1i1 t где
'u0 t 'R1i1 t .
Рис. 2.60
'u 0 t 'R1i1 t , (2.14)
Заменим R1 источником напряжения, как показано на рис. 2.59. 116
С учетом двух слагаемых u1(t) окончательно получим i1(t). Здесь включен уже источник u0(t) (рис. 2.61). Теорема. Приращение тока i1(t) в ветви с R1 можно найти при включении последовательно с R1 + R1 в эту ветвь источника напряжения
' u0 t 'R1i1 t , 117
где i1(t) – ток до изменения режима при исключении независимых источников.
3) определить чувствительность тока I1 к внутреннему сопротивлению амперметра. Пусть R1 = 4 ; R1= 0,5 ; R0 = 5 , тогда согласно (2.14), получим 'I1
'U 0 R1 'R1 R0
I1 0,5 9,5
I1 . 19
Рис. 2.61 Рис. 2.64
Дуальный случай – изменение проводимости ветви – показан на рис. 2.62. Для расчета получаем следующую цепь (рис. 2.63).
1· § I1 ¨1 ¸ © 19 ¹
1) показания амперметра I1A
I1 'I1
2) истинное значение тока: I1
I1A 19 А ; 18
I1
18 А; 19
wb а d ln b 'b / b | – классическая, wа b d ln а 'а / а логарифмическая, или по Боде; S – начальная буква слова Sensitivity – чувствительность (англ.). Для нашего примера b = I1; a = R1, т. е. b 3) чувствительность S а
Рис. 2.62
Рис. 2.63
'i0 t u1 t 'G1 .
(2.15)
'I1 / I1 1 / 19 8 , 'R1 / R1 0,5 / 4 19 т. е. увеличение R1 на 2 % приведет к уменьшению тока S 'I1R # 1
на 1%.
Пример 17. Для указанной на рис. 2.64 цепи найти: 1) показания амперметра с внутренним сопротивлением 'R1 0,5 Ом . На практике так обычно и бывает: измерительные приборы не идеальны; 2) истинное значение тока I1 (с учетом поправки к показаниям амперметра);
значениях S аb разброс параметров от времени, радиации, питания и прочего может полностью исключить работоспособность системы. В иных случаях (например в измерительных целях) желательно иметь эту величину большой.
118
119
Функция
S аb
является важной характеристикой цепи. При больших
Иногда рассматривают абсолютную
чувствительность,
wb b определяемую через S а , полуотносительную чувствительность и т. д. wа Пример 18. Рассмотрим дуальный случай (рис. 2.65).
'i 0
'u н
'i0 R0 Rн RV 'U н Uн
1 u 0 Rн ; RV R0 Rн
1 uн RV
U0
Rн2 R0 ; R0 Rн R0 Rн RV R0 RV Rн
R0 Rн . R0 Rн RV R0 RV Rн
При заданной точности, например 5 %, получим требования к RV; так, если R0 10k: , Rн 15k: , RV t 114k: , Рис. 2.65
К нагрузочному сопротивлению R н подключен вольтметр с сопротивлением RV. Определить точность показаний этого прибора 'U н U н . Это исключительно важный момент для практики студентов и инженеров. По теореме компенсации имеем следующую схему замещения при 'G1
RV 1 (рис. 2.66).
S URнн #
'U н Rн ; 'Rн U н 'Rн U н
SR н #
Rн Rн RV
Rн2 ; Rн RV
R0 Rн RV . R0 Rн RV R0 RV Rн
2.11. Теорема Телледжена (Tellegen) Данная теорема – одна из главнейших теорем теории цепей. Расñì î òðèì öåï ü ñ n ветвями. Для ветви pm (рис. 2.67) имеем ток ipm и напряжение upm(t). Их произведение дает u pm t i pm t
u p t u m t i pm t
u p t i pm t u m t i pm t u p t i pm t u m t i pm t (изменились знак и индексы у тока).
Рис. 2.66
Из схемы рис. 2.66 следует G1
1 ; Rн 120
Рис. 2.67 121
на рис. 2.69 (левый рисунок), где дерево выделено жирными линиями, штрихами указаны хорды (правый рисунок).
Объединим все ветви, подходящие к p-узлу:
¦ u p t i pm t u р t ¦ i pm t 0 m m (закон токов Кирхгофа); аналогично для m-узла: ¦ u m t imp t u m t ¦ imp t 0 . р р Такие равенства справедливы для любой пары узлов, т. е. n
¦ uk t ik t
Рис. 2.69
0.
Гипотетическая цепь представлена на рис. 2.70. Она содержит лишь ветви с источниками напряжений и токов.
k 1
Получим закон сохранения энергии: общая мощность равна 0. Но выводы теоремы Телледжена распространяются на разные цепи. Возьмем две разные цепи с одинаковыми графами «а» и «b» (рис. 2.68). a)
b)
Рис. 2.70 Рис. 2.68
По законам Кирхгофа несложно установить, что все ветви гипотетической цепи будут иметь напряжения, как у ветвей цепи «b», а токи, как у ветвей цепи «а». Согласно первой части доказательства для этой цепи должны выполняться соотношения (2.16), т. е.
Полярности напряжений и направления токов согласованы. Теорема утверждает, что
¦ iak t ubk t
k
0
и ¦ k
u ak t ibk t 0
.
(2.16)
Для обоснования этих утверждений выберем дерево из цепи «b», хорды из цепи «a» и построим новую гипотетическую цепь (рис. 2.69), где дерево содержит источники напряжений, как у ветвей цепи «b», а дополнение дерева источники токов, как у цепи «а». Это возможно на основании теоремы замещения ветви. Общий граф этих цепей дан 122
¦ iak t ubk t
0 и ¦ u ak t ibk t 0 . k k Приведем пример цепи более общего вида (не чисто резистивной) для иллюстрации данной теоремы. Пример 19. Для цепи «а» (рис. 2.71) по методу наложения легко найти токи и напряжения ветвей. Возьмем цепь «b» из реактивных элементов (рис. 2.71, б). 123
b
Рис. 2.71
Проверим справедливость выражения 4
¦ iаk t ubк t
0;
k 1
после подстановки конкретных величин найдем
1 u t 1u L t 2 uC t 1uC t u t u L t uC t 0 . Для проверки
4
¦ iаk t ubk t
0 получим
4. Какие виды преобразований включает в себя метод эквивалентных преобразований? 5. Что такое метод пропорциональных (определяющих) величин? Когда его выгодно применить? 6. Как составить уравнения по МКТ в случае присутствия источников тока? 7. Составьте уравнения по МУН при наличии в цепи источников напряжения. 8. Сформулируйте теоремы Тевенина и Нортона для цепей с зависимыми источниками энергии. 9. Что такое теорема компенсации? 10. Как рассчитать функции чувствительности цепи? 11. Сформулируйте теорему Телледжена. Какова ее значимость? 12. Самостоятельно составьте примеры цепей для проверки выводов теоремы Телледжена. 13. Получите формулы преобразования «треугольника» в «звезду» и обратно для ветвей из чистых индуктивностей или емкостей. 14. Запишите уравнения Кирхгофа для цепи из чистых емкостных элементов.
k 1
3 i t 1i t 2 0 2 i t 0 . По теореме Телледжена можно найти функции чувствительности цепей, если воспользоваться понятием присоединенных схем, подробное освещение которых можно найти в учебниках по теоретическим основам электротехники. Оказалось, что эта теорема является базовой для построения нескольких десятков теорем теории цепей и систем, широко распространенных на практике. Вопросы для самопроверки 1. Приведите доказательство для теоремы замещения ветви в случае источника напряжения. 2. Рассмотрите взаимные преобразования зависимых источников тока и напряжения. 3. Решите вопрос о взаимных преобразованиях «звезды» ветвей в «треугольник» в общем виде, не прибегая к частным режимам. 124
125
По закону Кирхгофа получим di t 1 ³ i t dt u t . dt C Обозначим iсв t – общее решение однородного уравнения Ri t L
Глава 3. АНАЛИЗ RLC-ЦЕПЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ При коммутационных изменениях (коммутациях) возникает переходный процесс, который спустя некоторое время (теоретически – бесконечно большое) переходит в вынужденный режим или процесс. Переходным режимом (процессом) называется такое состояние электрической цепи, которое наблюдается в течение некоторого времени после коммутации. Установившимся процессом (режимом) называется такое состояние электрической цепи, когда с переходными явлениями можно не считаться. Переход от одного установившегося режима к другому происходит не мгновенно, так как для конечного изменения энергий в цепи нужно некоторое время. Изучение и расчет переходных процессов осуществляется двумя основными методами: классическим и операторным. Первый из перечисленных методов основан на интегрировании дифференциальных уравнений (систем уравнений) и состоит в следующем: а) для данной цепи, полученной после коммутации, составляется одно или система дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа, примененных для мгновенных значений e t , i t и напряжений; б) эта система интегрируется, определяются постоянные интегрирования; в) анализируются полученные решения. Второй метод базируется на операционном исчислении для интегрирования дифференциальных уравнений. Один из способов показан в гл. 9. Пример 1. Для RLC последовательного контура (рис. 3.1)
Riсв t L
diсв t 1 ³ iсв t dt dt C
iсв t
0;
n
¦ Ak eOk t ,
k 1
о где Аk – постоянные интегрирования; O k – корни характеристического уравнения. Здесь предполагается, что O k различные. Это – частоты собственных колебаний цепи. Обычно они комплексные и попарно сопряженные, причем каждая пара корней дает затухающие синусоидальные колебания. Вещественные части корней – отрицательные. Обозначим через iв t частное решение уравнения (3.1):
Riв t L
diв t 1 ³ iв t dt dt C
u t .
Тогда i t iв t iсв t – общее решение уравнения (3.1); iв t с точки зрения математики – частное решение неоднородного уравнения, а физики – вынужденный, или установившийся, ток в цепи; iсв t с точки зрения математики – общее решение однородного уравнения, а физики – составляющая тока, обеспечивающая непрерывность перехода от одного режима к другому, свободный ток (правая часть равна нулю, нет возбуждения), т. е. составляющая тока от внутренних запасов энергии; i t с точки зрения математики общее решение уравнения (3.1), а с точки зрения физики – ток с момента начала переходного процесса. Поскольку du t dq t d CuC t C C , dt dt dt то из уравнения (3.1) получим i t
RC или
duC t d 2uC t LC uC t u t dt dt 2
Рис. 3.1 126
(3.1)
127
LC и
d 2uC t dt
2
RC
(3.2)
dq t q t u t . (3.3) dt C dt Уравнения (3.2) и (3.3) являются линейными дифференциальными уравнениями. Решение (3.2) составит uС t uС , в t uС , св t ; L
решение (3.3) –
d 2 q t
duС t uС t u t dt
2
R
q t qв t qcв t .
Далее будет показано, что при t iсв t o 0 , i t o iв ,
qсв t o 0 , q t o qв t ,
uС , св t o 0 ,
uС t o uСв .
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, устанавливаемых на основе двух принципов непрерывности: полного потокосцепления и заряда на обкладках С-элемента. Для дифференциального уравнения общего вида (3.4) L^i t ` u t , где L^x` – некоторый дифференциальный оператор, поступим аналогичным образом. Пусть iв t – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3.4) L^iв t ` u t , а i t – любое другое решение того же уравнения (3.4), тогда
L^i t ` u t L^iв t ` или на основании свойства линейности уравнений
L^i t iв t ` 0 .
Назовем i t iв t iсв t частным решением однородного уравнения, при этом i t iв iсв t . 128
3.1. Короткое замыкание цепи или ее участка, содержащих RL-элементы Пусть в некоторый момент времени t0 ключ К мгновенно опускается вниз и замыкает цепь RL (рис. 3.2). До замыкания по цепи проходил ток I 0 .Установим закон изменения тока после коммутации. Для образовавшегося контура получим: Ri t L
di t dt
0,
Рис. 3.2
тогда i t iсв t iв t . Из физических условий несложно установить, что iв t 0 . Далее, разделяя переменные, из однородного уравнения найдем L
diсв t di t Riсв t 0 ; св dt iсв t
R dt ; L
R ln iсв t t ln A. L Несложно видеть, что i t i t0
Ae
R t0 Ae L
R t L .
Так что для любого t0
, A i t0
R t t 0 L
R t0 eL
;
R t t 0 L .
i t i t0 e I 0e Здесь принято, что i t 0 I 0 . В дальнейшем для определенности примем, что t 0 0, тогда 129
i t iсв t I 0
R t e L
,
R 1 O – коэффициент затухания, а W – постоянная времени. L W Диаграмма мгновенных значений i t представлена на рис. 3.3. где
указывающие на быстроту затухания i t . Таким образом, W – это промежуток времени, в течение которого величина функции изменяется в е раз. Для уменьшения W надо уменьшать L и увеличивать R . Для справки приведем значения тока в последующие моменты при t 4 4W
i t4 d 0,018 I 0 , а при t5 4,6 W i t5 d 0,01 I 0 (менее одного процентаа исходного значения). На рис. 3.5 показаны три различных процесса при W1 ! W 2 ! W3 ; установившийся режим принимается условно при t | 3W .
Рис. 3.3
Смысл постоянной времени Рис. 3.5
Обратимся к рис. 3.4.
Графическое определение W Согласно рис. 3.6, определим длину подкасательной (отрезок АВ). Для этого необходимо найти тангенс угла наклона касательной
Рис. 3.4
Из него следует, что определяемые значения i t в следующие три момента времени t1 W, t2 2W, t3 3W примут значения i t1 iсв t1 I 0e
R W1 L
i t 2 I 0e 2 # 0,135 I 0 ; i t3 I 0e 3 # 0,05 I 0 ,
Рис. 3.6
I 0e 1 # 0,368 I 0 ;
W
y y
'
i (t ) i ' (t )
AB
поскольку y (t )
130
I0
R t e L .
131
W,
Энергетический процесс iсв t
Энергия магнитного поля преобразуется в тепло: f
WR
³ Ri t
0
2
dt
RI 0
f 2 R t 2 e L dt
³
R RI 02 2 L t Le
0
2R
В результате получим
f
LI 02 ; 2
0 R
t di t RI 0 e L играет роль dt источника напряжения (знак минус – против условно положительного направления).
напряжение на индуктивности u L t L
R t Ae L .
3.2. Включение цепи RL под действие источника постоянного напряжения На схеме по рис. 3.7 определим i t после коммутации; ключ К замыкает цепь
i t Для t = 0 i 0
R
t U Ae L . R
U A , откуда А R
i 0
U , так что о R
R
U § U· t ¨ I 0 ¸e L , R © R¹
i t
где I 0 i 0 . Для построения временных диаграмм отмечаем токи начального и установившегося значений, а затем соединяем их экспонентой (рис. 3.8).
di t u t U ; dt i t iв iсв t .
Ri t L
U Поскольку iв из физических свойств цепи (производная исчеR зает), то обратимся лишь к свободной составляющей тока
Рис. 3.8
0, то i t
В частности, если I 0
R t· U §¨ 1 e L ¸ . Напряжения ¸ R¨ © ¹
на резисторе и индуктивности составят:
u R t u L t Если I 0 z 0 , тоо
Рис. 3.7
di t Riсв t L св dt 132
L
R § t· Ri t U ¨1 e L ¸ ; ¨ ¸ © ¹
di t dt
R
L
U R Lt e RL t
0;
U ·§ R · § u L t L¨ I 0 ¸¨ ¸ e W R ¹© L ¹ © 133
Ue
R t L .
RI 0 U e
t W
.
Диаграммы мгновенных значений iв , iсв t , i t , u R t , u L t представлены на рис. 3.9.
Решение данного дифференциального уравнения составляет u C t u Cв uC , св t ; u Cв 0 , тогда
u C t uC ,св t ; RC
duC ,св t dt
u C ,св t 0 ,
откуда получим
du C ,св t
u C ,св t
1 dt ; ln uC ,св t RC
t ln A . RC
Искомое напряжение на емкости: u C t uC , св t
Рис. 3.9
3.3. Замыкание накоротко цепи или ее участка с последовательным соединением R- и C-элементов На рис. 3.10 емкость заряжена до U 0 , а затем при t = 0 ключ К замыкается. Для замкнутого участка имеем уравнение: 1 Ri t ³ i t dt C
0.
u C 0
uC 0
134
U0 .
1 t RC ,
1
du t U t u C t U 0 e i t C C 0 e RC . dt R Из последнего выражения следует, что ток направлен навстречу выбранному направлению. Падение напряжения на резисторе равно
t RC .
u R t Ri t U 0 e показаны на рис. 3.11.
Диаграммы мгновенных значений uC t и i t
duC t , dt
duC t uC t 0 . dt
1 t RC
Отсюда
то RC
.
u C 0 A, u C t u C 0 e . По принципу непрерывности изменения напряжения на емкости
Но поскольку
i t C
1 t RC
Определим постоянную интегрирования при t = 0:
Рис. 3.10
Ae
Рис. 3.11 135
1 , постоянная времени W RС смотрим энергетический процесс в цепи: Коэффициент затухания O f
WR
2
1 2 f RC t U0 ³ e dt R 0
³ Ri t dt 2
0
RC . Рас-
CU 02 . 2
Полное решение u C t U Ae При t = 0
A
1 t RC
.
uC 0 u 0 U 0 u 0 ,
так что
3.4. Включение цепи RС на постоянное напряжение Обратимся к рис. 3.12, где начальное напряжение на емкости U 0 и определим законы изменения uC t и i t .
u C t U U 0 U e При U 0
1 t RC
.
0
1 · 1 § t du C t U RC t ¨ ¸ RC u C t U 1 e ; i t C e . ¸ ¨ dt R © ¹ Диаграммы мгновенных значений uC ,в , uC ,св t , uC t , i t показаны на рис. 3.13.
Рис. 3.12
Из исходного уравнения 1 ³ i t dt U C после выражения тока через емкостный потенциал найдем Ri t
RC Для
duC t uC t U . dt
Рис. 3.13
При U 0 z 0 (рис. 3.14)
uC t uC ,в uC ,св t
при u C , в U получим соотношение для свободной составляющей напряжения RC
du C ,св t dt
u C ,св t 0 ,
Рис. 3.14
откуда
u C ,св t
Ae
136
1 t RC .
iC t C
U 0 U RC
e
1 t RC
137
1
U 0 U RC t e . R
3.5. RC-контуры как дифференцирующая и интегрирующая цепи
Интегрирующая цепь представлена на рис. 3.17.
Для цепи, показанной на рис. 3.15, выходное напряжение u 2 t ; егоо значение определится из соотношения
u 2 t Ri t RC
duC t dt
RC
d u1 t u 2 t . dt
Рис. 3.17
Напряжение на емкости (выходной сигнал) равно
Рис. 3.15
Приближенное дифференцирование дает u 2 t # RC
du1 t dt
Приближенное равенство выполняется при выборе
при выполнении условия
du1 t du 2 t d u1 t . !! # RC dt dt dt 2
³ u1 (t )dt
2
Для выполнения неравенства желательно принять величину RC минимально возможной, но это приведет к уменьшению u 2 t , так что о выбирают компромиссную величину. Цепь, показанная на рис. 3.16, также обладает свойством дифференцирования сигналов: u 2 t
L
di t dt
1 u1 t u 2 t 1 dt # ³ ³ u t dt . R RC 1 C
1 ³ i t dt C
uC t u 2 t
!! ³ u 2 (t )dt #
³³ u1 (t )dt
2
.
Таким образом, при заданной форме сигнала надо выбирать величину RC максимально возможной. Дуальная цепь показана на рис. 3.18. Здесь u 2 t
Ri t
R
1 u L t dt L³
R u1 t u 2 t dt # 1 ³ u1 t dt . ³ W L
L d u1 t u 2 t L du1 t . # R R dt dt
Рис. 3.18 Рис. 3.16 138
1 RC
139
3.6. Прохождение прямоугольного импульса через дифференцирующую (ДЦ) и интегрирующую (ИЦ) цепи
При большом W спад затягивается, и цепь дифференцирует плохо о (рис. 3.22).
Входной сигнал показан на рис. 3.19, а. Он может быть представлен суммой сигналов (рис. 3.19, б).
Рис. 3.22
Интегрирование сигнала показано на рис. 3.23. Закон изменения выходного напряжения: u вых t Рис. 3.19
t § · ¨ W U 1 e ¸. ¸ ¨ © ¹
Решение для каждой ступеньки на рис. 3.19, б известно. Для первой из них t
t
U W i t e ; u вых t U 0 e W . R Для второй из них оно составит при t ! t1 (рис. 3.20)
u вых t t1
U 0 e
t t1 W
.
Рис. 3.23
Идеальный случай W o f соответствует рис. 3.24.
Рис. 3.24 Рис. 3.20
Плохое интегрирование при малых величинах W показано на рис. 3.25.
Идеальный случай соответствует рис. 3.21.
Рис. 3.21
Рис. 3.25
140
141
3.7. Включение цепи из параллельного соединения R- и C-элементов под действие источника постоянного тока Обратимся к рис. 3.26, где i t I 0 . Ключ К размыкается.
Из начальных условий: u 0 I 0 R uсв 0 ; uсв 0 u 0 iR .
Окончательно получим u t I 0 R u 0 I 0 R e t / RC . Если принять для простоты, что u 0
0 , тоо
u t I 0 R 1 e t / RC ;
i1 t Gu t I 0 1 e t / RC ;
du t I 0e t / RC . dt Графики зависимостей uв, uсв(t), u(t), i1(t) и i2(t) от времени представлены на рис. 3.27. i2 t C
Рис. 3.26
Определим напряжение u(t) и токи ветвей. По первому закону Кирхгофа i1 t t 2 t i t I 0 . Ранее для последовательного RL-контура было получено следующее уравнение: di t Ri t u t . dt Дуальное ему уравнение составит L
du t Gu t i t ; dt u t uв t uсв t ;
C
uв t i t R .
Таким образом, С
duсв t Guсв t 0 ; dt
uсв t В результате найдем
Ae t / W
Ае t / RC .
u t I 0 R uсв t . 142
Рис. 3.27
3.8. Включение цепи из параллельного соединения R- и L-элементов под действие источника постоянного тока Из рис. 3.28 следует, что i1 t i2 t i t I 0 . Введем переменную напряжения, тогда 1 ³ u t dt Gu t i t . L
143
Рис. 3.29
Рис. 3.28
Отсюда для последнего из них
Так как u L t u R t , тоо di t L 2 dt
di t R i i2 ; L 2 Ri2 Ri t ; i2 t i2,в i2,св t ; dt i2 ,в I 0 , i t I 0 .
Отсюда L
di2, св dt
Ri t uC t RI ;
Ri2, св
i2,св t
0.
L , i2 t R
При i 2 0 0
u t
i2 t
Ae t/W ,
I 0 Ae t / W , i2 0
I 0 A.
A i2 0 I 0 , I 0 i2 0 I 0 e t / W .
i2 t L
duC t u C t RI . dt Отсюда видно, что отдельное рассмотрение этих случаев может быть опущено. Так как в цепях первого порядка (имеющих один реактивный элемент) свободная составляющая реакции имеет вид AeOt , где O – вещественный отрицательный корень, то переходный процесс можно быстро построить по начальному и конечному значениям реакции. RC
где
W
di t Ri t RI . dt Так что далее получим уже известное дифференциальное уравнение. Для первого источника получим L
di2 t dt
I 0 1 e t / W ; 1 LI 0 e t / W W
i1 t
RI 0 e t / W ;
I 0 e t / W .
Графики i2,в, i2,св(t), i2(t), i1(t), u(t) приведены на рис. 3.29. Заметим, что оба источника тока на рис. 3.26 и 3.28 можно преобразовать согласно рис. 3.30.
Рис. 3.30
144
145
Пример 1. Включение последовательной RC-цепи под действие постоянного напряжения (рис. 3.31).
Рис. 3.31
Предварительно еще раз вспомним теорему замещения ветви (рис. 3.32, а, б, в), где индуктивный элемент замещается источником тока, а емкостный – источником напряжения.
Рис. 3.33
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа: i0 t R0 L
di0 t R1i1 t U ; dt
R2 i2 t
R1i1 t ½ ¾R2 i0 t R2 i1 t i1 t i2 t i0 ¿ R2 i0 t i0 t R0 L
R1 R2 i1 t ; di0 t R1 R2 i0 t
R1i1 t ;
dt
R1 R2
U;
R2 i0 t . R1 R2 В результате имеем следующее уравнение: i1 t
Рис. 3.32
Здесь U 0 , I 0 – постоянные значения.
L
di0 t § RR · i0 t ¨¨ R0 1 2 ¸¸ U ; dt R1 R2 ¹ ©
i0 t i0,в i0,св t . 3.9. Переходные процессы в разветвленных цепях первого порядка при постоянных воздействиях Пример 2. Рассмотрим рис. 3.33. Величины в Ом, Гн; U = 4 В; ключ К замыкается при t = 0. Определить токи ветвей. 146
Напомним, что за независимые начальные условия принимаются значения тока в индуктивностях и напряжения на емкостях. Характеристическое уравнение имеет вид LO R0
R1 R2 R1 R2 147
0,
Основываясь на анализе схем RC и RL, можно для цепей, содержащих один реактивный элемент, написать решение без предварительного составления дифференциальных уравнений. Для этого сформулируем следующий алгоритм решения.
его корень
O
1
2 3
5 , 3
1
то есть
Алгоритм
i0 t i0,в
5 t Ae 3
,
1. Определяют значения токов и напряжений в момент t = 0+. При этом индуктивность заменяется источником тока iL(0–), а емкость – источником напряжения uc(0–) (см. рис. 3.32, а и б). 2. Определяются установившиеся значения токов и напряжений, причем индуктивности заменяются коротким замыканием, а емкости разрывом. Оба режима дают цепи постоянного тока, легко анализируемые (см. рис. 3.32). Ток любой ветви равен
причем 4 2
i0 0
2 A.
Итак, di0 t 3 i0 t dt 5
4;
5
i t iв Ae t/W
5
5 t 5 A5 3 t Ae 3 i0,в e 3 3 3
4;
5
t 12 Ae 3 ; 5
i0 t
2
12 A; 5
12 А ; 5 А 0,4 ;
i0,в
5 t
i0 t 2,4 0,4e 3 . Далее очевидно, что из формулы делителя токов
A
iв I 0 iв e t/W ,
I 0 iв ,
а напряжение u t uв Be t/W uв U 0 uв e t/W , где I0, U0 – начальные значения; iв – вынужденный (установившийся) ток (напряжение). 3. Постоянная времени определяется при коротком замыкании ветви с источником напряжения и холостом ходе ветви с источником тока. Примечание. Поскольку сложная цепь по МЭГ относительно L или C сводится к одному источнику и одному сопротивлению, то можно начать с МЭГ (рис. 3.34) и дать алгоритм расчета лишь через iL(t) и uС(t). Однако если сразу нужно найти иные реакции, в том числе uL(t), iС(t), то L заменяется источником тока величиной iL(0–), а C – источником напряжения с величиной uс(0–), и при этом применяется принцип суперпозиции согласно алгоритму.
Для цепи после коммутации (рис. 3.34) R2 R1 i0 t o R1 R2
i1 t i2 t
148
1 i0 t 3 . R1 i0 t R2
Представим цепь после коммутации. Значения источников (при исходных постоянных возбуждениях) являются постоянными величинами. 149
4
i0 f
1
12 А; 5
2 3
1
W
0,6 с . 2 3 На основании сформулированного алгоритма и примечания определим лишь ток в индуктивном элементе 1
Рис. 3.34
Пример 3. Решаем пример, показанный на рис. 3.35, а, повторно. Начальное значение тока в индуктивности i0 0
u 1 2 2
2 А.
i0
12 § 12 · t / 0,6 ; ¨2 ¸e 5 © 5 ¹ 0, 4
u L t L
di0 t dt
2 t / 0, 6 e ; 3
i 2 0,4 t / 0,6 i1 t i0 t 2 0 0,8 e ; 3 3 3 i2 t i0 t i1 t , т. е. можно проводить решение через один ток i0(t) (см. примечание для простых случаев; рис. 3.34). Для цепи рис. 3.35, а проведем повторный анализ с одновременным определением всех токов и напряжений ветвей цепи. Ключ замыкается при t 0 . Определяем начальный ток в индуктивности (рис. 3.36, а):
4 2 А. 22 1 4 Определяем начальное значение токов в ветвях по рис. 3.36, б: i0 0
i1 0
i0 0 2 2 3
2 А; 3
Из рис. 3.35, б определим установившийся ток и эквивалентное сопротивление для постоянной времени
4 А. 3 Определение установившихся токов производится согласно схеме рис. 3.37.
150
151
Рис. 3.35
i2 0
Определение постоянной времени производится согласно рис. 3.38.
Рис. 3.38
L RЭ
τ
1 2 1 3
0,6 c .
Искомые значения токов и напряжений: 12 § 12 · t/ 0,6 ¨2 ¸e 5 © 5¹
12 0,4e t/ 0,6 ; 5
i1 t
4 § 2 4 · t/ 0,6 ¨ ¸e 5 ©3 5¹
4 2 t/ 0,6 e ; 5 15
i 2 t
8 § 4 8 · t/ 0,6 ¨ ¸e 5 © 3 5¹
8 4 t/ 0,6 e ; 5 15
i0 t Рис. 3.36
u12 t i0 t Рис. 3.37
По формуле делителя токов найдем
12 А; 2 5 1 3 12 2 1 4 i1 f А; 5 3 2 5 8 i2 f А. 5 i0 f
8 4 t/ 0,6 e ; 5 15
u1 t i0 t 1 2,4 0,4 e t/ 0,6 ;
u L t 4 u1 u12
4 2,4 0,4 e t/ 0,6 1,6
4
152
2 3
u L t
4 t/ 0,6 e ; 15
2 t/ 0,6 e . 3
С другой стороны, напряжение на индуктивности можно определить через ток и сверить результаты u L t L
di0 t dt
2 e t/ 0,6 5 0,6 153
2 t/ 0,6 e . 3
Временные диаграммы входного тока и напряжения на индуктивности показаны на рис. 3.39.
Рис. 3.39
Пример 4. Для цепи на рис. 3.40, а определить токи и напряжения ветвей после замыкания ключа К при t = 0. Величины измеряются в омах, фарадах и вольтах. Независимое начальное условие
uС 0
8 е uС 0 .
Начальные значения токов в ветвях (рис. 3.40, б, в, г) находятся методом наложения. От левого источника на рис. 3. 40, в
i1' 0
8 2
i2 ' 0 3
2 3
3 A;
2 2 A; 3 1
i3' 0 1 A . От правого источника (см. рис. 3.40, г) i1'' 0 2 А ; i2'' 0 4 A ; i3'' 0 2 A ; u1 (0) = i1(0)2 = 2 B; u2 0 2 1 2 В ;
u3 0 3 2 6 В ;
uC 0 u3 0 u2 0 6 2 8 В ;
Рис. 3.40
154
155
i1 0 3 2 1 А ; i2 0 2 4
2 А ;
i3 0 1 2 3 А . Установившиеся значения (рис. 3.40, д) u1 f u3 f 4 В , u2 f 0 , uc f 4 В .
Определение t (рис. 3.40, е)
R 1 1 2 Ом ; W
u1 t 8 u3 t 4 2e t . Как и предыдущие, оба примера в этом случае проиллюстрированы на рис. 3.42, а, б. Ясно, что для RL-цепи di t R0 i t U 0 dt Относительно емкости для цепи RC L
R0
0,5 2 1 с .
Искомые значения напряжений ветвей цепи согласно алгоритму (см. рис. 3.40, a). u1 t 4 2 4 e t
CRэ
U.
R0 R2 R1 ;
du с t u с t dt
4 2e t ;
UR2 . R0 R 2 U 0 экв
u 2 t 2e ; t
u3 t 4 2e t ; uc t 4 4e t . Кривые u1(t) и u2(t) показаны на рис. 3.41.
Рис. 3.42
Рис. 3.41
Решение согласно примечанию (рис. 3.34, 3.40, а, д)
uc 0 8 ;
3.10. Короткое замыкание цепи или ее участка, содержащих последовательное соединение R-, L- и С-элементов Обратимся к цепи, представленной на рис. 3.43.
uc f 4 ; W 1; uc t 4 4e t ; du t 2e t ; u 2 t 1 C c dt u3 t uc t u 2 t 4 2e t ;
Рис. 3.43
156
157
Задача: установить замены изменений тока и напряжений на отдельных элементах после коммутации t t 0 . Для выбранного направления обхода контура получим: di t 1 Ri t L ³ i t dt dt C
0;
с учетом того, что
d 2uC t dt
2
3) D 2 ! Z02 – корни вещественные и разные; решение – апериодическое. Рассмотрим общее решение:
uC t uC ,в uC ,св t uC ,св t
du t C C ; dt
i t LC
2) D 2 Z02 – корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью; решение – колебательное;
RC
uС , в
duC t uC t 0 dt
0;
du C t CA1O1e O1t CA2O 2e O 2t . dt На основании учета независимых начальных условий: i t C
или d 2uC t
A1e O1t A2e O 2t ;
R duC t 1 uC t 0 . L dt LC
uC 0 uC 0 U 0 A1 A2 ; ® i 0 0 CA1O1 CA2O 2 A1O1 A2O 2 ; С z 0. ¯i 0
Характеристическое уравнение цепи имеет вид
– – минус связан с выбранным направлением обхода контура.
dt
2
O2
R 1 O L L
где
R R2 1 r . 2 2L 4 L LC Введем следующие обозначения: O1,2
Откуда
0,
A1
O1,2
R2
1 ; D 2 Z02 ; O1,2 LC 4L решение – критическое; 1)
2
D r D 2 Z02
D – корни вещественные и равные;
158
U 0O 2 ; A2 O 2 O1
U 0
U 0O 2 ; A2 O 2 O1
U 0O1 . O 2 O1
D r j Z02 D 2
D r jZ D ; Z D
Z02 D 2 .
Делая подстановки в формулы в рамках, найдем x
A1
U 0 D jZD D jZD D jZD x
D r D 2 Z02 .
Из соотношения параметров цепи возможны три случая значений корней O1 и O 2 :
Обратимся к колебательному режиму. Выделим мнимую единицу, тогда
R L 1 D; Z02 ; U , LC C 2L где U – характеристическое сопротивление контура. Так что
O1,2
U 0C O 2 ; A1 CO 2 CO1
A2 x
A2
U 0 D jZD ; j 2ZD
U 0 D jZD ; j 2ZD
A1 – сопряженный комплекс. В итоге получим U 0 D – jZD D jZD t U 0 D jZD D jZD t uC t e e j 2ZD j 2Z D 159
U 0 Dt ª D – jZD jZDt D jZD jZDt º e e e « » j2 j2 ZD ¼ ¬
U 0 Dt ª D jZDt Z º e « e e jZDt D e jZDt e jZDt » 2 ZD ¬2j ¼ U 0 Dt e D sin ZDt ZD cos ZD t ; ZD U 0 Dt e D sin ZD t ZD cos ZD t . ZD Ток в цепи составит: uC t
i t C
duC t dt
>
U0 C D e Dt D sin ZD t ZD cos ZD t e Dt DZD cos ZD t ZD2 sin ZD t ZD
СU 0 Dt e D 2 sin ZD t ZD2 sin ZD t ZD
D
2
ZD2
ZD
СU 0 e Dt sin ZD t
ZD2 СU 0 e Dt sin ZD t ; ZD U 0 Dt e sin ZD t . LZ D Это – затухающая синусоида. Она показана на рис. 3.44. Частота колебаний i t
ZD
Z02 D 2
1 R2 2 LC 4 L
1 §R· 1 ¨ ¸ LC © 2U ¹
2
1 R 2C 1 4L LC
Рис. 3.44
@
При R 0 – ZD ZD
Z0 , при R
2U
0 . В общем случае
Декремент затухания Относительное затухание характеризуется декрементом затухания, представляющим собой отношение мгновенных значений тока, отстоящих через один период (рис. 3.45), причем
i t1 T i t1 T
e Dt1 sin ZD t1 e DT . D t1 T e sin ZD t1 T
§R· 1 ¨ ¸ , © 2U ¹
причем R 2U . Рис. 3.45 160
L – ZD C
2S ; Т – период колебаний. T
2
Z0
2
161
Также декремент затухания – отношение двух последовательных однополярных по знаку амплитуд. Логарифмический декремент затухания ln T DT
D
2S . ZD
CU 0 2 wL t wC t , 2 что представляет собой значение первичной энергии в емкости. Происõî äèò î áì åí ýí åðãèÿì è ì åæäó L и С (рис. 3.47).
ZD Z0 ,
Если то
ln T
D
2S Z0
R 2S LC 2L 1
RS L C
RS U
S , Q
U – добротность. R Чем больше Q, тем больше длятся колебания: при Q o f – незату-
где Q
1 , R 2
хающие; при Q
2U – исчезают.. Частный случай
Примем, что
R
0, D
0, Q o f,
тогда i t
U 0 LC sin Z0 t L
U0 Z0 cos Z0t Z0 Кривые показаны на рис. 3.46. uC t
U0 sin Z0 t ; U U 0 cos Z0t .
Энергетический процесс при R
wL t wС t
0
Li 2 t U 02 CU 0 2 L 2 sin 2 Z0t sin 2 Z0t ; 22 2 2U 2 СuC t U0 CU 0 2 С 2 cos 2 Z0t cos 2 Z0t ; 2 2 2U 162
Рис. 3.46
Рис. 3.47 163
Апериодический режим работы
Используя разложение гиперболического синуса, получим (рис. 3.48, а и б).
Исчезает мнимая единица
O1,2
D r D 2 Z0 2 E2
D r E ;
D 2 Z0 2 ;
R ! 2U . Откуда А1
O 2U 0 O 2 O1 А2
U 0 D E D ED E
O1U 0 O 2 O1
U 0 D E ; 2E
U 0 D E ; 2E
U 0 Dt ª D E Et D E Et º e « e e » 2 2 E ¬ ¼
uC t
U 0 Dt ª D E t E º e « e e Et e Et e Et » 2 2 E ¬ ¼ U 0 Dt U 0 Dt e > DshE t E chE t @ e >DshE t EchEt @ . E E Или можно применить иной подход. Так как E jZD , то о
uC t
ª º U 0 j Dt « Dsin jE t jEcos jE t » e » E « chE t ¬ jshEt ¼ U 0 e Dt >DshE t EchEt @. E
>
duC t U C 0 e Dt D DshEt E chE t DE chEt E 2shE t dt E U U C 0 e Dt D 2shE t E 2shEt C 0 Z0 2 e Dt shE t E E
i t C
C
U 0 2 Dt Z0 e shE t . E 164
@
Рис. 3.48 165
CU 0 2 Dt ª eEt e Et º Z0 e « », 2 E ¼ ¬
i t причем
D E > D E@ . D1
1 W1
D2
0; t
1 D imax
1 W2
Критический режим работы O1 O 2 D Z0 ; R 2U . u C t o
1 Dt
W – для максимального значения. U 0 Z0 W U e
1 U0 C D LC L e
Возможные расположения корней и соответствующие им временные процессы показаны на рис. 3.50, а–г.
U 0 Dt e >DE t E@ U
U 0e Dt >1 Dt @ . Cu0 2 Dt D e E t CU 0D 2te Dt E U 0Z0 Dt te . E
i t
Здесь учтено, что
Et o 0 ; shE t o E t ;
chE t o 1. Определение экстремальных значений тока (рис. 3.49)
d te Dt dt
Рис. 3.49
e Dt Dte Dt 166
0;
1 D. Le
U0
Рис. 3.50 (начало) 167
Рис. 3.50 (окончание)
Включение цепи из последовательного соединения R-, L-, C-элементов под действием постоянного напряжения (рис. 3.51)
Рис. 3.50 (продолжение)
Рис. 3.51
168
169
Установить закон изменения тока и напряжения на элементах цепи с момента коммутации при t t 0 (рис. 3.52). Для выбранного направления обхода Ri t L
di t 1 ³ i t dt U ; dt C
i t C d 2uC t
du C t ; dt
duC t uC t U . dt dt После деления на коэффициент при старшей производной получим LC
2
d 2uC t dt
2
RC
R duC t 1 uC t L dt LC
uC t uC , в uC , св t ; uC , в
uC , св t
U ; LC
U 0c Dt e sin ZD t ; LZ D Uc u C t 0 e Dt N sin ZD J U . ZD Можно выполнить некоторые преобразования: D sin ZD t ZD cos ZD t N sin ZD J ; причем N cos J D ; N sin J ZD ; откуда i t
tgJ
ZD ; D
N 2 D 2 ZD 2 .
N 2 D 2 ZD 2 D 2
U;
A1e O1t A2e O 2t ;
Z0 2 .
Диаграмма мгновенных значений uC,в(t), uC,св(t), uC(t), i(t), (U0 = 0)
uC t U A1e O1t A2e O 2 t ; i t CA1O1e O1t CA2O 2e O 2 t Начальные условия:
uC 0
uC 0
U 0 U A1 A2 ® ¯0 CA1O1 CA2O 2
iв iсв t iсв t ; iв
i 0
U 0 ; i 0
U 0 U A1 A2 ® ¯0 A1O1 A2O 2
0.
0.
uC,в
C z 0 .
Эта система совпала с той, что была для цепи при К3. Примем, что U U 0 U 0c , тогда
U 0c A1 A2 ; A1 ® ¯0 A1O1 A2O 2 ;
U 0c O 2 ; A2 O 2 O1
U 0c O1 . O 2 O1
Колебательный режим U C t
U 0c Dt e D sin ZD t ZD cos ZD t U ; ZD 170
uC,св
Рис. 3.52 171
Частные случаи (рис. 3.53) 1. R uC t
Апериодический режим работы
0 – цепь без потерь
S· Uc § 0 Z0 sin¨ Z0t ¸ U Z0 2¹ ©
U c cos Z0t U
U U 0 cos Z0t U ;
U 0c 0 U 0c U U0 i t e sin Z0t sin Z0t sin Z0t . L Z0 U U 2. В частности, при Z0t0 S uC t0 U U 0 1 U 2U U 0 и при U 0
uC t
0 (см. рис. 3.53)
U 0c Dt e >DshE t EchEt @ U ; E
i t Если U 0
U 0c Dt e shEt . LE
о 0 , то
§ e Dt u C t U ¨¨1 E © i t
uC max | 2U .
· ¸>DshE EchEt @ ; ¸ ¹
U Dt e shEt . LE
Кривые даны на рис. 3.54.
Рис. 3.54
Рис. 3.53
Существует экстремум тока Данные условия отвечают включению контура без потерь (R = 0) под действием U
uC t U cos Z0t U 172
U 1 cos Z0t .
di t dt
>
U De Dt shE t e Dt EchEt LE
DshEt E chE t 173
0;
@
0;
E ; D
thEt
2)
1 E arth . E D
t max
В частности, при U 0
di2 1 i3dt R2i3 dt C2 ³ Исключим из рассмотрения i3 t .
Z0
U 0c Dt te . L
u C t U 1 e thE t max
>1 Dt @ ; i t o E t max
E o0
t max
U Dt te . L E . D
1 . D
0.
di2 1 °°2) С ³ i1dt R1i1 L dt u t ; 1 ® di 1 1 °3) L 2 i1dt i2 dt R2 i1 R2 i2 ³ °¯ dt С 2 С2 ³
0 Dt
u t ;
3) L
Критический режим работы D u C t U 0c e Dt 1 Dt U ; i t
1 di i1dt R1i1 L 2 ³ C1 dt
Сведем систему к дифференциальному уравнению более высокого порядка путем исключения всех неизвестных, кроме одной. Введем, как это было выполнено еще ранее, дифференциальный оператор p тогда pi t
di n , p i dt
d 1 и p dt
d ni 1 i , dt n p
³ idt ,
³ dt 1 i pm
1 , p
³ idt
m
m
;
3.11. Об анализе разветвленных цепей Рассмотрим схему на рис. 3.55.
Рис. 3.55
Зададимся целью определить токи i1 t , i2 t , i3 t . Для выбранных контуров и узловой пары имеем: 1) i1 i2 i3 ; 174
0.
§ 1 · R1 ¸¸i1 Lpi 2 u t °¨¨ °© C1 p ¹ ® § · § · 1 1 °¨ R2 ¸¸i1 ¨¨ Lp R2 ¸¸i2 ¨ °¯© C 2 p C2 p ¹ © ¹ § 1 · R1 ¸¸i1 Lpi2 u t °¨¨ °© C1 p ¹ ® § · § · 1 1 °¨ R2 ¸¸i2 R2 ¸¸i1 ¨¨ Lp ¨ °¯© C 2 p C2 p © ¹ ¹ p11i1 p12 i2 u t ® ¯ p 21i1 p 22 i2 0 . ' p i1
p 22 u t ; ' p i2 175
0
0
p 21u t .
Общее решение при отсутствии кратных корней
Здесь примем следующие обозначения § 1 ·§ § 1 · 1 · ¸¸ Lp¨¨ ' p p11 p 22 p12 p21 ¨¨ R1 ¸¸¨¨ Lp R2 R2 ¸¸ C2 p ¹ © C1 p ¹© © C2 p ¹ R R L L 1 2 R1 Lp R1 R2 1 LpR2 ; C1 C1 p C1C2 p2 C2 p C2
n
i k t ikв t i kсв t i kв t ¦ Aki e Oit , i 1
Aki – находятся из начальных условий. Пример:
· § 1 ¨¨ Lp R2 ¸¸ ; C2 p ¹ ©
p22
p 21
§ 1 · ¨¨ R2 ¸¸ ; © C2 p ¹
ª §L · §R R · L 1 º 1 ' p « R1 R2 Lp3 ¨¨ R1R2 ¸¸ p 2 ¨¨ 1 2 ¸¸ p » C1C2 ¼ p 2 © C1 C2 ¹ © C2 C1 ¹ ¬ 1 a p 3 a2 p 2 a1 p a0 ; 2 3 p
p22
1 § 3 1 · ¸ ¨ Lp R2 p 2 2¨ C2 p ¸¹ p ©
1 b p3 b2 p 2 b1 p , 2 3 p
т. е.
a3
d
3
dt
i 3 1
a3
a2
d dt
2
i 2 1
a2
d3
d2
dt
dt
i a2 3 2
d i1 a0 i1 dt
i a2 2 2
b3
d
3
dt
d i2 a 0 i2 dt
3
u b2
b2
d2 dt
d
2
dt
2
176
0 .
Для цепи на рис. 3.56 R1
R2
1 Ом , C
0,25 Ф , L 1,33 Гн , U
i1 t ? , i3 ? , u C 0
u b1
u b1 2
d u . dt
d u . dt
Здесь коэффициенты ai и bi выражаются через параметры цепи. Правая часть содержит воздействие и их производные; левая часть содержит реакцию и ее производные, из которой можно найти характеристическое уравнение, получаемое из 'p при замене р на l: a3O3 a 2 O2 a1O a 0
Рис. 3.56
5 В , i3 0
10 В ,
5 A.
Опустим для простоты зависимость от времени, тогда
°i1 i2 i3 ; °° 1 ® R1i1 ³ i2 dt U ; C ° di 1 3 °L °¯ dt C ³ i2 dt 0; di3 1 ° R1i1 L dt C ³ i2 dt U ; ® di di 1 ° L 1 L 2 ³ i2 dt 0; ¯ dt dt C 177
Окончательно получим (рис. 3.57)
1 °° R1i1 Cp i2 U ; ® § · ° Lpi1 ¨¨ Lp 1 ¸¸i2 °¯ Cp ¹ ©
i1 t 10 7,5e t 2,5e 3t .
0;
§ 1 · ¨¨ ip ¸U ; Cp ¸¹ ©
' p i1
ª § 1 ·º ¸»i1 « R1 ¨¨ Lp Cp ¸¹¼ © ¬
§ 1 · ¨¨ Lp ¸U ; Cp ¸¹ ©
R1LCp 2 R1 Lp i1 LCp 2 1 U ; R1 LC O2
1 1 O R1C LC
d 2 i1 dt 2
L
di1 R1i1 dt
0 ; O2 4O 3
LC
0 ; O1, 2
d 2U dt 2
U .
2 r 1; O1
1; O 2
3 .
1 J ³ i2 dt i1 i1в A1e t A2e 3t C i1 ; ° R1 ® °i i A e t A e 3t 10 5 ¯ 3 3в 3 4 i1 0 5 a ; 1 di i di i i R1 1 2 0 ; R1 1 1 3 0 ; dt C dt C
di1 dt i1
i1,в A1e
t
di1 0 dt
A1
i1 i3 R1C
A2 e 0
t 0
3t
55 1 0,25
; i1 0
5 10 A1 R2 ;
5 A1 A2 ; A1 3 A2 ; ® ¯0 A1 3 A2 ;
15 2
1,5 ; A2 178
5 2
Рис. 3.57
0.
2,5 .
Решение для i3 t : i3 t 10 B1e t B2 e 3t ; i3c 0
° B1 B2 5; ® B 3B 15 ; 2 °¯ 1 4
В1
179
u C 0 L
45 ; В2 8
5 ; 8
15 ; 4
45 t 5 3t e e . 8 8 Примечание. Предполагается, что возбуждение и реакция дифференцируемы n раз. i3 t 10
Порядок расчета разветвленной цепи 1. Определяются независимые начальные условия. 2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. 3. Производится алгебраизация системы путем введения оператоd ров p и p 1 ³ dt . dt 4. Получается и решается характеристическое уравнение 'p 0 при замене р на O. 5. Определяются реакции в форме: ik t ikв t ikcв t ; ikв t находятся из рассмотрения при t o 0 или правой части дифференциаль-
3. Встречаются затруднения при определении вынужденной составляющей при произвольных воздействиях. Преимущество – наглядность расчетов. Определение порядка цепи Цепь рассматривается в свободном режиме (ветви с источниками напряжения короткозамкнуты, а с источниками тока – разомкнуты). Последовательные или параллельные L и С замещаются одной эквивалентí î é Lэ, Сэ. Для определения n постоянных Ak надо сделать n независимых условий. n
n L nC nk L nk C n y L n y C .
1) k L – определен при размыкании элементов С и R; 2) k C – при размыкании L и R; 3) y L – при коротком замыкании С и R; 4) y С – при коротком замыкании L и R. Пример 1 (рис. 3.58)
n
ного уравнения, ik t ikв t ¦ Aki e O i t . i 1
n i 0 ¦ Aki ikв 0 ; °k i 1 ° n ° c i 0 °k ¦ Aki O i ikв c 0 ; 6. Определяются Аk ® i 1 ° ° n °i n1 0 ¦ Aki Oni 1 ikв n1 0 . °k ¯ i 1
Рис. 3.58
n
4 1 3 (4 реактивных элемента и k C 1).
Пример 2 (рис. 3.59)
7. Производится анализ полученных решений. Недостатки классического метода: 1. Необходимо решать алгебраическое уравнение n-й степени для определения корней характеристического уравнения. 2. Надо составлять и решать алгебраическую систему для определения Aki , т. е. знать саму функцию и ее n 1 производных.
Рис. 3.59
180
181
n L 4 , nC цепи n 5 .
5 , nk L
1, n y L
1, n k C
1, n y C
1, порядок
iC t C
Пример 3 (рис. 3.60)
1 ³ iC t dt C
u C t
i L t
du C t Cpu C t YC p u C t ; dt YC p Cp ;
1 u L t dt L³
1 i t Cp
1 u L t YL p u L t ; Lp
YL p
n 10 2n C 2 y L 6 .
>Y p @
Примечание. Получение характеристического уравнения можно ускорить при использовании МУН или МКТ, но для этого надо ввести дифференциальные (операторные) проводимости или сопротивления L- и С-элементов. Рассмотрим пример на рис. 3.61.
1 ; Lp
di L Lpi L p Z L p i L t ; dt G1 YG1 p ; Gi YGi p . При выбранной нумерации узлов u L t
Рис. 3.60
Z C p iC t ;
L
º ªG1 YL p G1 YL p « » G1 G2 YC1 p G2 « G1 ». « G2 YC 2 p YL p G3 »¼ ¬ YL p ' y p 0 .
Находим корни характеристического уравнения. Это собственные корни определителя матрицы. 3.12. Разрывные функции и реакции цепей на их действие. Единичная ступенчатая функция В теории электрических цепей большое значение имеет семейство разрывных или особых функций. Из этого семейства мы рассмотрим две наиболее важные функции: единичную ступенчатую и импульсную. Единичной ступенчатой называется функция, обладающая следующими свойствами (рис. 3.62):
Рис. 3.61 182
G1 t
0 , t 0 ; ® ¯1 , t t 0 . 183
Если взять любую ограниченную функцию f t , такую, что о f t
0 , t T ; ® ¯M t , t t T ,
то ее можно представить с помощью единичной ступенчатой функции (рис. 3.65, а) f t G1 t T M t
Рис. 3.62
Физически это соответствует, скажем, включению цепи под действие источников постоянного напряжения или тока при t 0 . Эта функция отражает постоянное возбуждение, прикладываемое после момента t 0 , как показано на рис. 3.63, а и б.
0 , t T ; ® ¯M t , t t T ,
а при f t G1 t M t
0, t 0; ® ¯M t , t t 0 ,
(рис. 3.65, б).
Рис. 3.63
Если процесс включения осуществляется для времени t (рис. 3.64), то G1 t T
T
0 , t T ; ® ¯1 , t t T .
Рис. 3.64 184
Рис. 3.65 185
Если
Единичная импульсная функция
f t то
(рис. 3.66).
f t
0 , t T ; ° ®M t , T1 d t T2 ; °0 , t t T , 2 ¯
>G t T1 G t T2 @M t
Рассмотрим две функции: f1 t – линейно нарастающую от t до t
T 2
T T и равную 1 после t t и f 2 t – первую производную – им2 2
пульс длительностью Т и амплитудой
f 2 t
1 (рис. 3.68, а). T
d f1 t ; f1 t dt
³ f 2 t dt .
Рис. 3.66
С помощью ступенчатых функций можно представить любой сложный сигнал (рис. 3.67).
Рис. 3.68
При уменьшении Т величина f 2 t растет (рис. 3.68, б), и при T o 0
1 o f . В результате получим единичную импульсную фунT кцию (рис. 3.69). 0 , t 0 ; ° G 0 t lim f 2 t ®f , t 0 ; T o0 °0 , t ! 0 . ¯
амплитуда
Рис. 3.67
186
187
Площадь, ограниченная этой функцией, f
³ G0 t dt 1 .
f
Рис. 3.70 Рис. 3.69
3. Изменения временной шкалы:
1 Размерность функции , так что импульсные напряжения и токи с имеют следующие размерности:
G 0 at
>u @
В с Вб ; >i @ А с Кл . Это дельта-функция, импульс Дирака. При T o 0 f1 t обращается в единичную ступенчатую функцию
a Четность:
lim f1 t G1 t .
T o0
1. Свойства G0 t при сдвиге аргумента (рис. 3.70, а): 0 , t t0 ; ° G 0 t t 0 ®f , t t 0 ; °0, t ! t . 0 ¯
G 0 t t 0
0 , t t 0 ; ° ®f , t t 0 ; ° 0 , t ! t . 0 ¯
f
f
f
³ f t G 0 t dt f
³ f 0 G 0 t dt
³ f t G0 t t0 dt
f
f 0 1
G 0 t t 0 G 0 t 0 t . Обобщенная производная
Поскольку принято, что то
G1c t G 0 t ,
kG1c t t 0 kG 0 t t 0 , k const . Рассмотрим кусочно-непрерывную функцию (рис. 3.71). f i t ; t i 1 t d t i ;
участки fi t непрерывны и дифференцируемы. Обычная производная f 0 ;
f t0 – для любого t0 z 0 . 188
1 ; G 0 t G 0 t .
f t
Сводные данные показаны на рис. 3.70, а и б. 2. Свойство выборки (просеивающее свойство): f
1 G 0 t ; a
f c t , t i 1 t t i ; f c t ® i ¯не определена, t ti . Скачок в месте разрыва составляет 'f t i f i 1 ti f i t i o 'f t i G1 t t i . 189
Рис. 3.71
Таким образом,
'f t i G1 t t i ,
соответственно
'f t i G 0 t t i , т. е.
f c t Но при t z ti так что
f ic t , t i 1 t t i ; ® ¯'f t i G 0 t t i , t t i .
Рис. 3.72
Частный случай показан на рис. 3.73, а и б:
G 0 t t i 0 , f c t
f ic t 'f t i G 0 t t i , ti 1 t d ti .
Общая формула для всех участков f c t
¦ ^>G1 t ti 1 G1 t ti @ f c t 'f ti G0 t ti ` .
i Пример 5. Определить обобщенную производную функции f t – рис. 3.72.
Обычная производная не содержит импульсов Дирака. Обобщенная производная содержит импульсные функции. 190
Рис. 3.73 191
Вводятся также производные от G0 t и интегралы от G1 t . При действии токов и напряжений в виде этих функций нарушаются принципы непрерывности изменения заряда и потенциала (законы коммутации). Из рис. 3.74, а видно, что du t ; dt u 0 G1 t ;
i t C
u t
И опять, поменяв местами возбуждение и реакцию, получим (рис. 3.74, г):
1 1 u L t dt ³ ³ LI 0G0 t dt L L изменение скачком тока и потокосцепления. i t
I 0G1 t –
3.13. Переходная и импульсная характеристики цепи
dG1 t Cu0G0 t – dt ток содержит импульсную функцию. i t Cu0
Реакция цепи при нулевых начальных условиях на действие единичной ступенчатой функции G1 t называется переходной характеристикой цепи (системы) (рис. 3.75).
Рис. 3.74
Поменяли местами возбуждение и реакцию (рис. 3.74, б).
i t Cu 0 G 0 t ; 1 ³ i t dt u0 ³ G0 t dt C потенциал и заряд меняются скачком. Для цепи с L-элементом (рис. 3.74, в) u t
u0G1 t –
di t LI 0G 0 t – dt напряжение – импульсная величина. u L t L
192
Рис. 3.75
Переходная характеристика h1 t определяется только параметрами цепи и не зависит от воздействия. Реакция цепи при нулевых начальных условиях при воздействии единичной импульсной функции G0 t называется импульсной характеристикой (рис. 3.76). 193
Из анализа переходного процесса t · u ¨§ W i t 1 e ¸ , ¸ R¨ © ¹ следовательно t · 1 ¨§ W h1 i t 1 e ¸ ; ¸ ¨ R © ¹ u L t Рис. 3.76
Но так как G 0 t то h0 t или h1 t
dG1 t , dt dh1 t dt
³ h0 t dt .
di L dt
t
Lu W e RW
h1 uL t e
t W
ue
t W
.
Определим импульсные характеристики
h0 i t h0 uL t которые показаны на рис. 3.78.
t
1 R W e RL
t
t
1 W e ; L
1 e W G 0 t , W
С учетом обобщенной производной имеем dh1 t h1 0 G1 t . dt Примеры определения h1 t и h0 t h t
Даны значения параметров R-, L-элементов (рис. 3.77). Определить: h1 i t , h1 u L t , h0 i t , h0 u L t .
Рис. 3.77
Рис. 3.78
194
195
;
Дано: R-, C-цепь (рис. 3.79). Определить: h1 i t , h1 uC t , h0 i t , h0 uC t .
При U 0
0 i t
U Dt e sin ZD t , LZ D
h1 t
1 Dt e sin ZD t ; LZ D
так что
Рис. 3.79
Поскольку
i t
t
u W e , R
то t 1 W e ; °h1 i t ° R ® t °h t 1 G t 1 e W ; 0 °¯ 0 i R RW t W °°h1 uC t 1 e ; t ® 1 W °h °¯ 0 uC t W e . Для последовательного колебательного контура (рис. 3.80) ранее было получено:
i t
1 Dt e D sin ZD t ZD cos ZD t . LZ D Характеристики носят затухающий колебательный характер. h0 t
3.14. Схемы замещения реактивных элементов цепи при ненулевых начальных условиях Рассмотрим схемы замещения с использованием дифференциальных операторов. Для емкостного элемента имеем: uc (t )
1 C
t
1 ³ ic (t )dt uc (0 )G1 (t ) Cp ic (t ) uc (0 )G1 (t ) 0
>
@
1 ic (t ) Cuc (0 )G 0 (t ) . Cp Данное выражение соответствует схемам, показанным на рис. 3.81. Заметим, что в средней цепи содержится ступенчатый источник напряжения, а в крайне правой – импульсный источник тока.
U 0c Dt e sin ZD t . LZ D
Рис. 3.80 196
Рис. 3.81 197
Для индуктивного элемента согласно соотношению iL (t ) iL (0 )G1 (t )
1 t ³ u L (t )dt L 0
1 iL (0 )G1 (t ) u L (t ) Lp
>
1 Li L (0 )G0 (t ) u L (t ) Lp
@
получим цепь, показанную на рис. 3.82. Здесь импульсный источник напряжения имеет правая схема, а источник тока ступенчатой формы – средняя схема.
Рис. 3.83
ª u1 (t ) º «u (t )» ; « 2 » ¬«u 3 (t ) ¼»
>u (t )@ Рис. 3.82
В заключение рассмотрим пример анализа достаточно сложной цепи. Пример. Составить уравнения по методу узловых потенциалов для цепи, показанной на рис. 3.83. В данной цепи в кружках находятся номера узлов, внизу – базовый (нулевой) узел. Введены источники, учитывающие начальные условия. Согласно формулировке МУН получим:
>Y ( p )@ >u (t )@ >i0 (t )@ ;
>Y ( p)@
ªY11 ( p) Y12 ( p) Y13 ( p) º «Y ( p) Y ( p) Y ( p)» ; 22 23 « 21 » «¬Y31 ( p) Y32 ( p) Y33 ( p) »¼
>i0 (t )@
º ª i1 (t ) i L (0 )G1 (t ) i2 (t ) « » C1u C1 (0 )G 0 (t ) « », «C u (0 )G (t ) i (t ) i (0 )G (t )» 0 2 L 1 ¼ ¬ 2 C2
где Y11 ( p ) G1 YL ( p ); Y22 ( p ) G1 G2 YC1 ( p ); Y33 ( p ) G1 G3 YL ( p ) YC2 ( p) – собственные проводимости узлов. Y12 ( p ) Y21 ( p )
Y13 ( p) Y31 ( p) Y23 ( p )
Y32 ( p )
взаимные проводимости узлов. 198
199
G1;
YL ( p); G 2 –
В уравнениях принято, что 1 ; Gk Rk1 ; k 1, 2, 3. Li p Корни характеристического уравнения определяются из 'p 0 . Решая систему, найдем неизвестные узловые потенциалы в операторном виде. Подробнее об этом см. в последней главе. Следует заметить, что реакция цепи при нулевых начальных условиях на воздействие скачка постоянного напряжения называется переходной характеристикой системы, а ее первая производная – импульсной характеристикой. Обе характеристики имеют особо важные значения для описания свойств линейных цепей и достаточно просто могут быть найдены экспериментально. Подробнее они представлены в гл. 9. YCi ( p)
Ci p ; i 1,2 ; YLi ( p)
ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ СИНУСОИДАЛЬНЫХ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Периодическими токами (ЭДС, напряжениями) называются такие i e, u , которые в течение определенного времени (периода Т) претерпевают полный цикл своего изменения, а затем все изменения повторяются вновь (рис. 4.1).
Вопросы для самопроверки 1. Что такое переходный процесс в электрической цепи? 2. Объясните роль составляющих реакций во временной области и способы определения постоянных интегрирования. Что такое постоянная времени цепи; как ее можно рассчитать по временной диаграмме? 3. Какие ступени алгоритма надо выполнить для получения искомых выражений реакций без составления дифференциальных уравнений? 4. Какие условия надо выполнить для функционирования дифференцирующей цепи? 5. Какие условия необходимы для работы интегрирующей цепи? 6. Объясните возможные результаты при прохождении прямоугольного импульса через дифференцирующую и интегрирующую цепи. 7. Составьте систему уравнений по методу контурных токов для цепи, приведенной на рис. 3.83.
Рис. 4.1
Аналитическое представление периодической функции имеет вид f t f t kT , k 0 , 1, 2 ,... , где Т – период (с). Причины необходимости отдельного изучения синусоидальных (косинусоидальных) величин 1. Синусоидальная кривая соответствует наиболее распространенному в природе и технике гармоническому колебательному движению. 2. При синусоидальной форме воздействия все реакции цепи носят синусоидальный характер (для линейных цепей).
200
201
3. Сложение и вычитание, дифференцирование и интегрирование гармонических колебаний одинаковой частоты дает также гармонические колебания той же частоты. 4. Электрические колебания в цепях для большого числа практических случаев имеют синусоидальную форму. 5. Всякое колебание несинусоидальной формы может быть с помощью метода рядов Фурье представлено в виде суммы гармонических колебаний кратных частот. Гармоническую величину записывают в косинусной или синусной формах: u t U m cos Zt D u
S· § U m sin ¨ Zt D u ¸ U m sin Zt D cu , 2¹ ©
4.1. Три случая начальной фазы Обратимся к рис. 4.2 и рассмотрим следующие варианты.
1. Du = 0, начальная фаза нулевая (случай, отмеченный на рис. 4.2, а).
2. Вариант положительной начальной фазы D u ! 0 ; при t 0 u 0 U m cos D u . Отсюда следует, что максимум наступает раньше, чем начало координат.
u (t )
Um
т. е.
Zt
Zt D u D u .
0
, (4.2)
S где Dcu Du , U m – амплитуда колебания. 2 Аргумент гармонической функции J Zt D u называется фазой, измеряется в радианах и градусах. Изменение фазы от времени линейное, и потому
dJ dt
Z
рад , с –1). с Значение фазы при t 0 называется начальной фазой гармонической величины. Периоду Т (с) соответствует 2S радиан, т. е. cos Z t D u cos >Z t T D u @, следовательно, называется угловой скоростью (
ZT
2S , T
2S Z
или 2S . T Число периодов (циклов) в 1 с является циклической частотой, приZ
чем f
1 (Гц). Так что о T
Z 2Sf . 202
(4.1)
Рис. 4.2
Соотношение (4.2) определяет время наступления максимума (случай, представленный на рис. 4.2, б). 3. Начальная фаза отрицательна: D u 0 ; в этом случае u 0 U m cos D u ; 203
u max
U m наступает при Zt D u
2) D1, 2
0 (рис. 4.2, в),
Zt
Du .
(4.3)
Согласно формулам (4.2) и (4.3), при отсчете от максимума косинуса при D u ! 0 максимум смещен влево, а при D u 0 – вправо. Для синусоидальных величин отсчет D u идет от 0, после которого происходит изменение в сторону положительного возрастающего участка. При D u ! 0 – нуль слева от начала координат, а при D u 0 – справа.
D1 D 2 0 – в данном случае u1 t отстает отт u2 t
на угол D1, 2 ; 3) D1,2 4) D1, 2 5) D1,2
0 – колебания совпадают по фазе (синфазные колебания); S – и u 2 t находятся в квадратуре; 2 # S – колебания в противофазе (рис. 4.4). r
4.2. Разность фаз Рассмотрим два колебания: u1 t U m1 cos Zt D1 U m1 sin Zt D1c , где, например, D1 ! 0
и u 2 t U m 2 cos Zt D 2 U m 2 sin Zt Dc2 , где для определенности
Рис. 4.4
D 2 0 (рис. 4.3).
Рассмотрим пример. Пример 1. Сдвиг по фазе между напряжением и током
u t U m cos Zt D u ; i t
2
1
Рис. 4.3
Разность начальных фаз (угол сдвига по фазе) определяется из соотношения D1 D 2 D1c Dc2 D12 . Возможные случаи разности фаз 1) D1, 2
D1 D 2 ! 0 – здесь u1 t опережает u2 t ( u2 t отстает отт
u1 t на угол D1, 2 );
составляет D u D i ток опережает .
I m cos Zt D i
M . Так что при M ! 0 ток отстает отт u t , а при M 0 –
4.3. Среднеквадратичные и средние значения периодических величин Среднеквадратичным (эффективным, действующим) значением периодических i e, u называется такой постоянный ток, эквивалентный по действию переменному, при котором в данной цепи в течение периода Т выделяется такое же количество энергии, например, тепловой, как и при данном периодическом i e, u . Пусть ток i t протекает в сопротивлении R. За время dt в нем выделится энергия dw
204
Ri 2 dt , 205
а за период Т
t
WT
1 2 i (t )dt ³ i ; t 2 t1 t³
I ср
T
2 ³ Ri t dt .
1
0
Возьмем постоянный ток I с энергией W м определению W WT , при этом RIT 2
t
RI 2T , тогда согласно
1 2 ³ e(t )dt , t 2 t1 t
Eср
1
T
то же можно написать и для Uср.
2 ³ Ri t dt , 0
но поскольку R принято одинаковым для обоих токов, то
I
1T 2 i ( t ) dt . T ³0
(4.4)
Аналогично E (U )
1T 2 e ( t ) dt . T 0³
В частном случае при u t U m cos Zt D u получим из (4.4) U
1T U m 2 cos 2 (Zt D u )dt ³ T0
Рис. 4.5
Для синусоидальных величин среднее значение за T равно 0. Рассмотрим его за Т / 2 (рис. 4.6):
Um | 0,707U m ; 2
1 1 ; E Em . 2 2 Электроизмерительные приборы большинства систем регистрируют действующие значения. Среднее значение i t и u t определяется по теореме о среднем (рис. 4.5) I
Im
I ср
1T i (t )dt . T 0³
Средний ток равен такому постоянному току, который за период переносит столько же зарядов, сколько и периодический. Под средним значением в общем случае за промежуток времени от t1 до t2 понимают величины: 206
Рис. 4.6
I ср
2 T
2 I m cos(Zt ) T
T
2
³ I m sin(Zt Di )dt
0
T /2 0
4 Im ZS
207
2 I m ~ 0,637I m . S
4.4. Задача анализа электрических цепей при установившемся гармоническом режиме Рассмотрим простейший случай анализа. Пример 2. Дано: u t U m cos Zt (рис. 4.7), найти i t . Решаем задачу с помощью дифференциального уравнения.
M
arctg
ZL . R
Отсюда
I m R 2 ZL 2 cos Z t D i M U m cos Z t . Сравнение амплитуд и фаз дает Im
Di
Рис. 4.7
Um R 2 (ZL)2
M arctg
,
ZL . R
Ответ: По закону Кирхгофа найдем di(t ) u(t ) U m cos Zt , dt причем в общем виде для тока имеем i t I m cos Zt D i , т. е. надо найти Ri(t ) L
Im и Di. Подставим i t в дифференциальное уравнение и выполним необходимые действия:
RI m cos Zt D i LI m sin Zt D i U m cos Zt . Последующие несложные преобразования приведут к соотношениям: I m >R cos Zt D i ZL sin Zt D i @ I m N cos Zt D i M I m N >cos Zt D i cos M sin Zt D i sin M@ ,
т. е.
N cos M R ; N sin M ZL ; N2
N
2
R (ZL ) ; tg M
ZL ; R
208
Um
4.5. Представление гармонических функций через экспоненты с мнимыми степенями (аргументами)
R 2 ZL 2 ; 2
ZL · § cos ¨ Zt arctg ¸ R ¹. © R 2 (Z L ) 2 Из примера следует, что xнеобходимо определить амплитуды и начальные фазы реакций; x решение во временной области для более сложных примеров будет, несомненно, затруднительным из-за громоздких преобразований тригонометрических функций. В силу данных причин для определения амплитуд и начальных фаз применяют так называемый метод комплексных амплитуд, использующий алгебру комплексных чисел. В этом методе функции времени преобразуются в комплексные амплитуды, являющиеся функциями частоты, а анализ производится не во временной, а в частотной областях. Приступим к изложению основных положений этого метода. i (t )
Любое комплексное число можно представить в трех формах: алгебраической, тригонометрической и показательной, т. е. x
a
a
a1 ja2
A(cos J j sin J )
Ae jJ ;
a1 ja2
A(cos J j sin J )
Ae jJ ,
209
(4.5)
где a1
x
x
Im(a) – мнимая часть; А – модуль;
Rе(a ) – реальная часть; a 2 x
J – аргумент; a – определяет радиус-вектор длиной А, направленный
1. под углом J к вещественной оси; j 1 , взята буква j во избежание В отличие от математики, где i путаницы с обозначением тока через i. x
A
x A jJ (e e jJ ) Im(a ) Im( Ae jJ ) A sin J ; (4.6) 2j т. е. косинус и синус есть полусумма и полуразность двух экспонент
a2
jJ
или Re и Im части от Ae . Рассмотрим умножение двучлена: x
a
a1 2 a 2 2 ;
mod( a )
x
b
§x·
a M arg¨¨ a ¸¸ arctg 2 , a1 © ¹ a на комплексной плоскости видно (рис. 4.8), что a1 A cos J ,
xx
x
A sin J ,
a2 tgJ
Be jE имеем оператор поворота B 1 ; при E
место умножение на j. Для
J
J
Zt D u ; A Um ;
Ae jJ
a arctg 2 . a1
U m e j Zt D u U m e jD u e jZt
x
U m e jZt ,
x
где U m – комплексная амплитуда; D u – начальная фаза; U m – модуль ль или вещественная амплитуда. Пример 3. Продемонстрируем переход от временной области к частотной: S· § u t 10 cos ¨ 314t ¸ ; 6¹ © x
Рис. 4.8 x
Um
Сложим и вычтем a и a согласно (4.5), тогда да x
a a a1
2a1
2 A cos J
A jJ (e e jJ ) 2
x
Rе(a ) 210
S имеет 2
u t U m cos Zt D u ;
a2 , a1
a12 a2 2 ,
A
Be jE ; ABe j J E .
ab При b
Ae jJ ;
A e jJ e jJ ; jJ
Rе( Ae )
A cos J ;
10e
j
S 6
;
S· § i t 6 cos¨ Zt ¸ ; 3¹ © x
Im
6e 211
j
S 3
.
x
Изображение U m показано на рис. 4.9, а, второй множитель e jZ t
cos Zt j sin Zt – единичный вектор, вращающийся против
часовой стрелки с постоянной скоростью Z , e jZt – оператор вращения.
Рис. 4.10 Рис. 4.9
С учетом (4.6):
§x · u t U m cos Zt au Rе¨¨U m e jZt ¸¸ © ¹ u t U m sin Zt auc
· 1§ x ¨¨U m e jZt U m e jZt ¸¸ ; 2© ¹
§ x · Im ¨¨U c m e jZt ¸¸ © ¹
Определение. Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенная с соблюдением их взаимной ориентации по фазам, называется векторной диаграммой. На рис. 4.11 показана векторная диаграмма.
· 1§ x ¨¨U c m e jZt U c m e jZt ¸¸ , 2© ¹
где x
x
j
S
U cm U m e 2 , т. е. значения u t есть проекции на вещественную и мнимую оси отт вектора, вращающегося с частотой w (см. рис. 4.9, б), или это полусумма сопряженных комплексных функций, вращающихся в противоположные стороны (рис. 4.10, а). Заметим, что при суммировании компенсируются мнимые, а при вычитании – вещественные составляющие (рис. 4.10, б). Примечание. Вращающимися векторами изображаются синусоидальные величины независимо от того, векторы они или нет, – в этом условность. Рассмотрим два колебания (рис. 4.11) D1c ! 0 и Dc2 0 , c 1 sin Zt D1c ; u1 t U m
Рис. 4.11
4.6. Сложение и вычитание гармонических функций одинаковой частоты
c 2 sin Zt Dc2 . u 2 t U m
Сложение выполняется аналитически и графически при помощи векторных изображений величин. Возьмем два колебания (рис. 4.12): u1 t U m1 sin Zt D1 ;
212
213
u 2 t U m 2 sin Zt D 2 .
Это нарастающие колебания при V ! 0 , затухающие при V 0 (по экспоненте) и неизменные при V 0 . Так как
Ae jJ
x
U m e jZt ,
то x
Результирующее колебание следует из формулы u t u1 t u2 t U m sin Zt D , где
Um
U m12 U m 2 2 2U m1U m 2 cos (D1 D 2 ) ; tg D
x
Ae jJ e Vt U m e jZ V t U m e st , где s V jZ – комплексная частота. Мнимая часть Im{s}, т. е. w – угловая частота синусоидальных колебаний, вещественная часть Re{s} – коэффициент затухания (нарастания) огибающей, est называется обобщенной экспонентой. Таким образом из (4.7) получают следующие выражения
º
º 1ªx ªx u (t ) U m e Vt cos( Zt D u ) Rе «U m e st » «U m е st U m e st » , »¼ ¼ 2 «¬ ¬
Рис. 4.12
U m1 sin D1 U m 2 sin D 2 . U m1 cos D1 U m 2 cos D 2
Вычитание представлено на рис. 4.13, где вместо D2 используется подстановка D2 + p и далее применяются предыдущие формулы для U m и tg D , u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) U m sin (Zt D) .
где s
V jZ – комплексная (сопряженная) частота (см. выше). x
U m U m e jD u . Комплексную частоту также удобно изображать на комплексной плоскости (рис. 4.14).
Рис. 4.13
Рис. 4.14
4.7. Обобщенная экспонента и комплексная частота
1 Размерности Z и V составляют , c 1. с Значения s отмечаются крестиками или точками (рис. 4.15, а, б, в). На рис. 4.15, а представлен случай затухающих колебаний, на рис. 4.15, б – нарастающих, а на рис. 4.15, в – с неизменной амплитудой.
Введем небольшое, но важное обобщение, заключающееся в том, что вместо незатухающих гармонических колебаний с постоянной амплитудой Fm будем рассматривать функции вида
f t
Fm e Vt cos Zt D f . 214
(4.7) 215
Рис. 4.16
Рис. 4.15
Рассмотрим изменения при Z 0 (рис. 4.16, а, б, в). На рис. 4.16, а дана убывающая экспонента при |V1 | ! |V|. Здесь u t U m е Vt – вещественная функция времени. На рис. 4.16, б представлена возрастающая экспонента, а на рис. 4.16, в – постоянное напряжение u t U m . 216
Подобие кривых в t-области соответствует рис. 4.16, г. Некоторые выводы: 1) гармонические величины могут быть описаны экспонентами с мнимыми аргументами; 2) обобщенная экспонента дает возможность представить напряжения и токи в виде x ½ u t U m e Vt cos Zt D u Re®U m e st ¾ , ¯ ¿ где s V jZ ; в данную формулу гармоническое напряжение и постоянное воздействие входят как частные случаи при V 0 , т. е. 217
s jZ и Z 0 , V 0 , s V 0 ; 3) введение понятия комплексной частоты распространяет рассматриваемый метод на более широкий класс функций; 4) для гармонического режима промежуточные вычисления удобно проводить при s и затем подставить s jZ . Таким образом, введение обобщенной экспоненты и комплексной частоты охватывает все случаи рассмотренных сигналов: постоянных, экспоненциальных и гармонических (возрастающих и убывающих по амплитуде). Анализ гармонических, как отмечено (п. 4), режимов может проводиться при s jZ . 4.8. Метод комплексных амплитуд Метод основан на представлении гармонических или затухающих функций с помощью экспонент. Поскольку при дифференцировании и интегрировании экспоненты получается также экспонента, то эти операции приводят к простому умножению или делению экспоненты на jZ, s. Отсюда систему интегродифференциальных уравнений удается легко свести к алгебраической, которая содержит комплексные амплитуды переменных, т. е.
d st e dt
dn
se st ;
dt
n
e st
Рис. 4.17
По закону Кирхгофа:
di (t ) 1 ³ i(t ) dt U m cos(Zt D u ) . dt С В примере надо найти Im и M для установившегося тока. Представим напряжение и ток через экспоненты:
1ªx jZ t jZt º u t U m cos Zt D u U e U m me »; « 2¬ ¼ Ri t L
x
Um i t
I m cos Zt D u M
s n e st ;
x
Im
для e jZt
Производная дает d d n j Zt o jZ ; e dt dt n
³e
st
dt
1 st e ; s
st
dt n
n
для интеграла n кратности от e jZt o
1 n
e jZt .
1 s
n
218
I m e j (Du M) .
º 1 ªx jZ « I m e jZt I m e jZt » . 2 ¬ ¼ Интеграл приведет к соотношению
e st
( jZ) В частном случае s jZ для установившихся гармонических режимов. При воздействии экспоненты реакции будут экспонентами. Пример 4. Воздействие u t U m cos Zt D u (рис. 4.17). Реакция i t I m cos Zt D u M . Определим ее неизвестные.
º 1 ªx I m e jZ t I m e jZ t » ; « 2¬ ¼
di(t ) dt
( jZ) n e jZt ;
³³ ,..., ,³ e
U m e jD u ;
³ i(t )dt
º 1 ªx I m e jZt I m e jZt » dt ³ « 2 ¬ ¼
º 1 1 ªx I m e jZt I m e jZt » , « 2 jZ ¬ ¼
т. е.
º 1 ªx jZ ª x jZt jZt º R « I m e jZt I m e jZt » L I e I m me « » 2¬ 2 ¬ ¼ ¼
º 1 ªx I m e jZt I m e jZt » « C 2( jZ) ¬ ¼
219
º 1ªx U m e jZt U m e jZt » . « 2¬ ¼
Выделим члены с одинаковыми экспонентами: x
x
R I m e jZt Lj Z I m e jZt
1 x I m e jZ t Cj Z
При расчетах по методу комплексных величин можно учитывать в (4.8) только первое слагаемое и применять сокращенные обозначения x
U m e j Zt ;
i (t )
(4.8)
u (t )
R I m e jZt LjZ I m e jZt
1 jZt Im e U m e jZt . jZ
(4.9)
Из первого уравнения (4.8) § 1 ·x ¨¨ R jZ L ¸¸ I m e jZt jZ C ¹ © откуда при сокращении экспонент найдем § 1 ·x ¸Im ¨¨ R jZL jZC ¸¹ © x
x
Im
где Z
R j ZL
x
Um; x
Um R j ZL
x
U m e jZt ,
1 jZC
Um , Z
1 (Z – комплексное сопротивление). Поскольку у j ZС
Im
Um
Um
1 R j ZL j ZС
Z
(второе равенство (4.9) – сопряженное), то его можно не учитывать, так как оно не содержит дополнительной информации. Искомый модуль амплитуды тока: Im
Um 2
1 · . § R 2 ¨ ZL ¸ ZС ¹ © 220
Im e
jZ t
;
x x
U m e jZ t ,
как это видно из (4.8) и (4.9). Эта запись равносильна отбрасыванию знака операторов Re или Im для получения синусоидальных функций, и ее понимают как символическую запись (символический метод). Подстановка этих комплексных амплитуд вместо мгновенных значений в дифференциальное уравнение позволяет сразу дифференцирование и интегрирование заменить на умножение jZ r n или s r n , а затем сократить экспоненты и получить аллгебраическое уравнение. Комплексные амплитуды могут быть представлены в виде вращающихся векторов. Эти диаграммы дают наглядное соотношение амплитуд и фаз – векторные диаграммы. Другое достоинство метода – введение понятия Z, которое представляет собой отношение комплексных амплитуд напряжения и тока. Положим r Rе Z ; x Im Z , тогда аргумент сопротивления M есть угол сдвига между напряжением и током. x
Z
–
x x
Um x
r jx ZeM
Im
Z
U me jDu I me
jDi
Z e jM ; M Du Di ;
mod Z ; M arg Z ;
|Z |
Um Im
r 2 x2 ;
ZL
1 ZС .
x r r Для сопротивления Z примера 4 r – активная составляющая r x – реактивная составляющая: tg M
221
R;
ZL
x
1 . ZС
Комплексная проводимость Y
где y
1 Z
1 r jx
I m jM e , Um
ye j\
g jb
Im – модуль; g активная, b реактивная составляющие; Um
b . Связи между r, x, g и b легко установить из g следующих преобразований:
Рис. 4.19
y
\ – аргумент tg \
Y
1 Z
1 r jx
r jx
r
r 2 x2
r 2 x2
x
j
r 2 x2
r 2
r x
x . r x2
b
2 ;
3 ; b 25
4 , 25
т. е. 3 4 j ; 25 25 несложно выполнить и обратный переход.
4.9. Треугольники сопротивлений и проводимостей
(4.10)
2
r x
2
g jb
g jb ,
т. е. g
r 2
Изобразим Z и Y на комплексной плоскости (рис. 4.20). Аналогично 1 Y
Z
g jb
1 g jb
2
g b
r
r
g
2
2
g b
g 2
g b
2
2
; x
jb 2
g b2
b 2
g b2
.
r jx ;
(4.11) 1)
Пример 5. Рассмотрим последовательную цепочку (рис. 4.18). Здесь 3: и x 4: . Применим формулы преобразований (4.10) и (4.11).
Рис. 4.18
Определим g и b для эквивалентной (рис. 4.19) параллельной цепи. Из (4.10) получим: 222
Рис. 4.20
Имеем так называемые треугольники сопротивлений и проводимостей 'ОВС и 'ОАМ, b y sin M , g y cos M , r Z cos M , x Z sin M . Из них видна наглядная связь составляющих Z и U. Аргументы сопротивления и проводимости имеют противоположные знаки: M \ , tg M
x , Z r
r 2 x2 , Y
g 2 b 2 и т. д. 223
4.10. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме Введение комплексных сопротивлений Z и проводимостей Y ведет к установлению закона Ома в комплексной форме для экспоненциальных режимов. x
Z
Um x
Im x
Y
Im x
x
Um Z
Im
x
YUm
n x
¦ I m k e jZ t
x
x
n
¦ Imk
0;
j D ik
.
0
k 1
(сократили на не обращающийся в нуль множитель ejZt). Аналогично, сократив члены на 2 , получим
;
n x
Um
Imk e
Отсюда
¦Ik
Im Y
Um
x
Im
x
Um
x
I m k e jZ t ; I m k
k 1
x
x
x
ik t
0,
k 1
x
Z Im
т. е. сумма комплексных амплитуд токов или комплексных действующих значений в узле для установившегося режима равна 0, аналогичное утверждение относится и для замкнутой поверхности.
. x
x
Для комплексов действующих значений получим I
x
x
YU, U
ZI
после сокращения на 2 . Закон устанавливает связь также между амплитудными и действующими значениями U и I, но при учете сдвига фаз M (рис. 4.21).
Второй закон Кирхгофа На основании общей формулировки закона Кирхгофа имеем n
¦ u k t
0.
k 1
Пусть напряжения изменяются по закону uk (t ) U m k cos (Zt Du k ) . Воспользовавшись условной записью x x
Рис. 4.21
получаем x
При U m
x
1 или I m
1 найдем Z
x
Um
x
Im 1
, Y
для чего надо измерить амплитуду и начальную фазу.
n x
x
Im
x
,
Um 1
Первый закон Кирхгофа n
Ранее было установлено, что
¦ ik t
0 . Пусть токи изменяются
k 1
по закону ik t I m k cos Zt D ik . Представим их в символическом виде: 224
uk (t ) U m k e jZt ,
¦ U m k e jZ t
0;
k 1 n x
¦U m k
0
k 1
n x
¦U k ,
k 1
т. е. сумма комплексных амплитуд падений напряжений равна 0 (или комплексов действующих значений). Таким образом, расчеты при экспоненциальных или установившихся синусоидальных режимах аналогичны расчетам при постоянном токе, но с учетом фазовых соотношений. 225
Пример 6. Найти ток в узле (рис. 4.22).
x
2 1; ib t 1e t . 2 2 1 1
I
3. u1 t 2 . Здесь рассматривается постоянное воздействие
I
§ S· 5 cos ¨ t ¸ ; i2 © 4¹ x
I m1 x
I m3
x
x
I m1 I m2
5е
j
S 4
§ 3S · 5 cos ¨ t ¸ ; 4¹ ©
x
; I m2
5е
j
3S 4
;
§ 2 2· § 2 2· ¸¸ 5 ¨¨ ¸ 5 ¨¨ j j 2 ¹ © 2 2 ¸¹ © 2
2 j10 2
j5 2
2
6 , 8
2 3 где L-элемент представляет собой короткое замыкание.
Рис. 4.22
i1
2 2 2 1 0
5 2e
j
2
4. u1 (t ) 2e 2t . В данном случае частота возбуждения совпадает с собственной частотой 2 2 I of. 2 2 1 2 2 2 1
S 2.
S· § 5 2 cos ¨ t ¸ . 2¹ © Векторная диаграмма наглядно иллюстрирует проведенные расчеты (рис. 4.22, б). Пример 7. Рассмотрим схему на рис. 4.23; определим вынужденный ток в цепи при различных воздействиях.
В результате определим ток i3 ( t )
x
1. Пусть u1 (t ) 2e 3t , U m 2 , V 3 , Z 0 . В этом случае комплексная частота меньше, чем собственная частота, 3 2 . x
x
U 2 2 1 sL
Рис. 4.23
Получили неопределенное значение установившегося вынужденного тока. 4.11. Характеристики элементов цепи при гармонических и экспоненциальных режимах
x
U 2 2 1 3 1
2 o 0. 4 2 0 t 2. Теперь предположим, что u1(t) 2e . В данном случае комплексная частота больше, чем собственная частота, V 1.
Рассмотрим характеристики двухполюсных элементов при действии сигналов в виде синуса, косинуса и экспоненты. Пусть u(t ) U m cos(Zt Du ) ;
226
227
I
u (t ) U m e Vt cos( Z t D u ) ;
I m cos(Zt D i ) ;
i (t )
Те же результаты можно получить через комплексные амплитуды:
i t I m e Vt cos Zt D i . Запись в комплексной форме:
x
x
Ime
jZ t
x x
u (t ) U m e jZ t ;
x
Im
x x
u (t ) U m e st ; x
Um
U m e jD u ;
U m e jZ t ZR
YR
1 R
x
YR U m ;
x
Im x
Um
G – (вещественное число);
xx
i(t ) I m e jZt ;
x
ZR
xx
i (t ) I m e st ; x
I m I m e jD i . Одна величина известна, а другую надо найти, т. е. определить амплитуду и фазу. Рассмотрим процессы во временной области, а затем в частной с помощью метода комплексных амплитуд.
x
Y R U m e jZ t ;
R
Um x
.
Im На рис. 4.25 показана комплексная схема замещения резистора.
Активное сопротивление (резистор) На рис. 4.24 к цепи приложено напряжение u t U m cos Zt D u .
Примем D u 0 . Определить i t . Для мгновенных значений можно применить законы постоянного тока, т. е.
Рис. 4.24
Рис. 4.25
Диаграмма мгновенных значений u t , i t и векторная диаграммаа представлены на рис. 4.26, а и б, на которых D u – отрицательный угол.
u(t ) Gu (t ) ; R I m cos (Zt D i ) GU m cos Zt D u , i(t )
откуда
D i D u ; I m GU m , т. е. ток и напряжение совпадают по фазе и их отношение равно G. Рис. 4.26 228
229
Мощность в активном сопротивлении
Отсюда
di (t ) U m cos Zt D u dt S· § LI m Z sin Zt D i ZLI m cos¨ Zt D i ¸ , 2¹ ©
Найдем мгновенную мощность:
u (t )
Um Im >1 cos 2(Zt D u )@ . 2 На рис. 4.27 p t пульсирует с двойной частотой. Среднее значение p t за период называется активной мощностью. р (t )
u (t )i (t ) U m I m cos 2 (Zt D u )
т. е. U m шение
Um Im
ZLI m ; D u ZL
L
Di
xL называется индуктивным сопротивлением. Обрат-
1 bL xL плексных величин
Im – индуктивная проводимость. Для комUm
ная величина
x
pcp
RI 2 m 2
x
U m e jZt
Рис. 4.27
1T ³ p(t )dt T0
S S – напряжение опережает ток на ; отно2 2
LjZ I m e jZt ;
x
RI
2
2
GU ,
где I, U – действующие значения тока и напряжения, энергия в R нарастает в зависимости от t. Функция энергии в резисторе имеет постоянно возрастающий характер. Индуктивный элемент Рассмотрим свойства L-элемента (рис. 4.28). На основании вольтамперной характеристики элемента
Um x
Im
jZ L ,
ZLe
j
S 2
1
YL
X Le
j
S 2
x
bL e x
di(t) . dt
230
j
S 2
S 2
;
;
U m e st Ls I m e st ; Z L sL ; x L 2SfL . На рис. 4.29, а и б показаны комплексные схемы замещения L-элемента.
Рис. 4.28
u(t) L
xL e
ZL
j
Рис. 4.29 231
Диаграмма мгновенных значений u t , i t и векторная диаграммаа на рис. 4.30, а и б соответственно.
Рис. 4.31
Емкостный элемент Из вольт-амперной характеристики С-элемента (рис. 4.32)
Рис. 4.30
Энергия в L-элементе wL t
Li 2 (t ) 2
L 2 I m cos 2 Zt D i 2
L I m2 >1 cos 2 Zt Di @ 22
LI 2 >1 cos 2 Zt Di @ . 2 Мгновенная мощность может быть найдена обычным путем: p L (t )
dwL (t ) dt
Рис. 4.32
i (t ) C
2
LI 2Z sin 2(Zt D i ) 2
LZI 2 sin 2(Zt D i )
UI sin 2(Zt D i ) .
получим I mC cos (Zt D iC )
CZU m sin (Z t D uC )
Среднее значение мощности p L t за период T равно 0, а максиD iC Так как
то
D uC
S· § ZCU m cos ¨ Z t D uC ¸ ; 2¹ ©
S (ток опережает напряжение на 90q). 2 Um Im
1 ZC
ZC
xC ,
1 ; 2SfC
xC
YC 232
ZCU m ;
I mC
мальное – U m I m . Энергия дважды за период возвращается в источник PL max xL I 2 . PL max – реактивная мощность, измеряемая в ВАp. Индуктивная реактивная мощность – расчетная величина. Положительный знак мощности соответствует поступлению энергии в элемент L, а отрицательный – ее возврату. На рис. 4.31 показан график p L t и Z t .
du (t ) dt
1 ZC
bC
233
ZC.
В комплексных выражениях x
ZC
Мощность и энергия С-элемента определяются из выражений
x
jZC U mC ;
Im
1 jZC
ZC
ZC e
YC jZC Для экспоненты имеем x
ZC e
I mC e st
j
jbC
S 2
j
S 2
wC (t )
;
Cu 2 (t ) 2
C U m 2 cos2 Zt DuC 2
bC e
j
S 2
.
x
sC U mC e st ;
>
@
CU 2 1 cos 2 Zt DuC ; 2
dwC (t ) CU 2 Z sin 2 Zt D uC . dt Среднее значение pC t за T равно 0. Максимальное значение pC (t )
;
ZCU 2 bC U 2 U C I C . Эта емкостная реактивная мощность измеряется в ВАp. Графики энергетических функций показаны на рис. 4.35.
x
Y ( s)
sC
I mC x
;
U mC 1 Z (s) . sС Комплексные схемы замещения С-элемента приведены на рис. 4.33, а и б соответственно.
Рис. 4.35
Частотные характеристики R, хL, хC, bL, bC Это зависимости данных величин от частоты показаны на рис. 4.36. Рис. 4.33
Диаграмма мгновенных значений u t , i t и векторная диаграммаа показаны на рис. 4.34, а и б. Рис. 4.36
Ниже представлена сводная табл. 4.1 свойств элементов схем замещения для гармонического режима по аналогии с табл. 1.1.
Рис. 4.34 234
235
236
237
4.12. Расчет гармонических и экспоненциальных режимов в простейших цепях Заметим, что отпадает надобность в составлении дифференциальных уравнений, так как расчет ведется не во временнуй, а в частотной области, при использовании метода комплексных амплитуд. Обычно переходят от амплитуд к действующим значениям: x
U
x
x
Um ; I 2
x
Очевидно, что
ZL . R Отсюда комплекс действующего значения тока равен M arctg
x
Im . 2
I
Последовательное соединение R- и L-элементов
R 2 Z2 L2 e jM ,
R jZL
Z
x
R 2 Z2 L2 e jM R 2 Z2 L2 Амплитуда тока определяется из выражения Um
Im x x
jZt Обратимся к рис. 4.37, где u (t ) U m e в символической записи.
2
R Z2 L2
Um
i (t )
x
x
UL Рис. 4.37
u L (t )
По второму закону Кирхгофа x
x
x
.
Получаем искомый ответ
UR
x
.
· § ¸ ¨ cos ¨ Zt Du M ¸ , ¸ ¨ R 2 Z2 L2 Di ¹ © т. е. ток отстает от напряжения на M рад. Кроме того,
xx
Определить i t , где i (t ) I m e jZt .
x
Ue j (Du M)
U e jDu
U Z
x
x
U U L U R jZL I R I R jZL I Z I . Для комплексной схемы замещения цепи получим рис. 4.38.
x
j ZL I
x
RI; ZLIe j (D i S / 2) ;
Z LU m
S· § cos ¨ Z t D i ¸ . 2¹ © R 2 (Z L ) 2
Разделив на I, получим треугольник сопротивлений. Векторная диаграмма показана на рис. 4.39.
Рис. 4.38
Рис. 4.39
238
239
Некоторое обобщение: при действии экспоненты u t U m e
где
cos Zt D u ,
Z
sL R ;
m
U m e jD u ;
x
U
Vt
Последовательный и параллельный R-, L-, C-контуры Построим комплексную схему замещения, где x x
u t U m e jZt , определим ток i t (рис. 4.40).
R V jZ L ;
Z
R VL 2 ZL 2 ;
Z
ZL . R VL Искомый ток следует из закона Ома в комплексной форме: M arctg
x
x
Im
U m e jD u
Um Z
VL R 2 ZL 2
e jM ,
где
Um
Im Фаза тока равна D u M . Ответ:
i (t )
R VL 2 ZL 2
R VL
Из схемы видно, что
Z R jХL jХC R j(X L XC ) R jХ , 1 Х ZL , ZС где Х – реактивное сопротивление. Падения напряжений x
Um 2
.
Рис. 4.40
ZL
2
e Vt cos Zt D u M .
jZL I ;
x
1 x I jZC
UC
Проведем некоторый анализ полученного выражения: при V 0 частный случай – уже решенная выше задача; при Z 0 u t U m e ; Z VL R становятся вещественными числами, а искомый ток
Z
Vt
Im
Um . VL R
где c Um
240
x
Um Im Z а вещественная амплитуда равна
Im
c Um e Vt , VL R U m cos D m .
1 · j arctg § R 2 ¨ ZL ¸ e ZC ¹ © x
фаза тока D i
I m e jD i ,
Um 1 · § R 2 ¨ ZL ¸ ZC ¹ ©
Du M . 241
1 ZC R
ZL
2
Ze jM
Ответ: i (t )
½ °° – находятся в противофазе. x 1 ¾ j I ° ZC °¿
x
UL
2
,
,
Рассмотрим три случая (рис. 4.41, а, б, в). а)
U вх
б)
8,0 2 6,0 2
10,0 B.
XC > XL
XL > X C
Рис. 4.42
Частотные характеристики X, XL, XC, R, Z и M представлены на рис. 4.43. в) XC = XL
Рис. 4.41
Из фазорных (примечание к п. 4.13) диаграмм видно, что
U
U R2 U L U C 2 .
Рис. 4.43
Ответ:
1 · § ZL ¨ ¸ Um ZC ¸ . i(t ) cos ¨ Zt D u arctg 2 R ¨ ¸ 1 · 2 § ¨ ¸ R ¨ ZL ¸ © ¹ ZC ¹ © Случай, показанный на рис. 4.41, в, соответствует резонансу напряжений. Пример 8. Даны напряжения на элементах схемы, определить Uвх , В (рис. 4.42). Ясно, что по теореме Пифагора 242
Явление резонанса соответствует случаю M \
0.
Параллельный GLC-контур (рис. 4.44) Построим эквивалентную схему замещения, где источник x x
i (t ) I m e jZt ; x
Im определим u t .
I m e jD i , 243
Рис. 4.44
Суммарная проводимость трех ветвей 1 · § g j (bC bL ) G j ¨ ZC ¸ ; ZL ¹ ©
Y
G jb ,
Y где bC bL
Рис. 4.45
b.
Комплексная амплитуда напряжения определится из выражения x
x
x
I m e jD i
Im Y
Um
2
1 · jM ª G « ZC ¸ e ZL ¹ ¬ 2
Отсюда Um
.
Im 1 · § G 2 ¨ ZC ¸ ZL ¹ ©
2
;
x
IL
x
x
jb L U ; I C x
IG
x
jbC U (сдвиг на r S – токи в противофазе);
x
G U . Модуль действующего значения токаа
I
I R 2 I C I L 2 .
Пример 9. Заданы (рис. 4.46) токи элементов (А), определить входной ток I. На основании векторных диаграмм
I
82 (6) 2 10 А.
фаза составит D i M . Ответ: Im
u (t )
1 · § G ¨ ZC ¸ ZL ¹ © 2
2
cos (Zt D i M) .
Для токов определим комплексы действующих значений (рис. 4.45, а, б, в), где возможны три случая векторных диаграмм.
Рис. 4.46
Частотные характеристики G, bL, bC, b, y и M показаны на рис. 4.47. 244
245
Полезно обратить внимание на дуальность представленных формул, векторных диаграмм и частотных характеристик последовательного и параллельного контуров (дуальность контура и узловой пары).
Z1
r1 jx1 ;
Z2
r2 jx2 ;
Z n rn jxn . x
При общем токе I по закону Омаа x
Uk
Zk
x
I или x
x
U k =k I . По второму закону Кирхгофа получим: x
U
Рис. 4.47
4.13. Анализ цепей в виде последовательного, параллельного и смешанного соединений двухполюсников в комплексной области
x
x
x
U1 U 2 ... U n
x
x
x
Z1 I Z 2 I ... Z n I
т. е. x
x
x
U
I
U ; Z
n
¦ =k
Двухполюсную цепь обозначим прямоугольником с двумя выводами, относительно которых имеем Z или Y. Цепи сложной структуры получим путем различных соединений двухполюсников. а) Последовательное соединение (рис. 4.48):
k 1
Z
n
¦ Zk
k 1
n
n
k 1
k 1
¦ rk j ¦ xk
Z e jM ,
где 2
=
2
§ n · § n · ¨¨ ¦ rk ¸¸ ¨¨ ¦ xk ¸¸ , ©k 1 ¹ ©k 1 ¹
а n
Рис. 4.48 x
x
x
x
x
Дано: U , Z , Z , Z ,..., Z . Определить: I , M, U 1 , U ,..., U . 1 2 3 n 2 n Рассмотрим полные сопротивления двухполюсников: 246
tg M
¦ хk
k 1 n
¦ rk
k 1
247
.
x n
I
¦ Zk ,
k 1
Напряжения на отдельных двухполюсниках определим из соотношения x
Построение векторной диаграммы представлено на рис. 4.50.
x
x
U Zk . Uk I Zk Z Примечания к правилам построения векторных диаграмм: 1) векторную диаграмму можно поворачивать на любой угол; 2) на диаграмме вектор может переноситься параллельно самому себе; 3) сложение векторов на диаграмме можно проводить по правилу треугольника; 4) на диаграмме вектора обозначают скалярные величины – в этом условность (в отличие от истинных векторов теории электромагнитного поля). Иногда их называют фазорами, а векторные диаграммы – фазорными диаграммами; 5) если на векторной диаграмме нанести обозначения выбранных узлов и применить рекомендации пп.2) и 3), то получим так называемую топографическую диаграмму; на ней следует выбрать некоторый узел с нулевым (произвольным) потенциалом, а остальным узлам приписать комплексные потенциалы относительно выбранного; разность потенциалов между любыми узлами указывает искомый вектор падения напряжения, ориентированный от первого узла ко второму. Пример 10. Рассмотрим цепь, представляющую собой последовательное соединение двухполюсников с выбранными узлами а, b, с и общим 0 (рис. 4.49); M1 ! 0 , M 2 0 , M 3 ! 0
Рис. 4.50 x
Результирующее напряжение U Ur Ux x
U
– арифметическая сумма величин;
k 1 n
¦ U xk
k 1
– алгебраическая сумма величин;
x
n
¦U k
– геометрическая сумма.
Аналогично имеем:
Zэ tg M
Zэ
248
n
¦ U rk
k 1
rэ
Рис. 4.49
U r jU x , причем
Zэ
n
¦ rk
k 1
– эквивалентное активное сопротивление;
n
¦ xэk
k 1
– эквивалентное реактивное сопротивление;
xэ rэ ;
rэ jxэ – полное эквивалентное сопротивление;
rэ2 хэ2 . 249
По первому закону Кирхгофа
x
Разность потенциалов между узлами а и с равна U ас , узлами b и с – x
U bс и т. д. (векторы указаны на рис. 4.50). Рассматриваемая цепь может быть представлена в виде эквивалентной схемы (рис. 4.51).
n x
¦Ik
x
I
x
x
x
x n
I 1 I 2 ... I n
U
x
©k
k 1
k 1
§
n
·
k 1
¹
n
x
¦ Yk U ¨¨ ¦ g k j ¦ bk ¸¸ U ye j< , 1
где 2
y
§ n · § n · ¨¨ ¦ g k ¸¸ ¨¨ ¦ bk ¸¸ ; ©k 1 ¹ ©k 1 ¹ n
¦ bk
k 1 n
tg \
Рис. 4.51
.
¦ gk
б) Параллельное соединение (рис. 4.52)
k 1
Эквивалентная цепь показана на рис. 4.53, где Yэ
g э jbэ .
Рис. 4.52 Рис. 4.53
x
Дано: I, Y1 , Y2 , Y3 , ... , Yn . x
x
x
x
x
Определить: U , \ , I 1 , I 2 , I 3 , ... , I n . Полные проводимости двухполюсников: Y1 g1 jb1 ;
Y2
g 2 jb2 ;
Эквивалентная схема содержит два двухполюсника. Эквивалентная активная проводимость –
x
Ясно, что I k
x
Yk U или Yk
Ik x
U 250
.
k 1
Эквивалентные реактивная проводимость и угол сдвига –
Yn g n jbn . x
n
¦ gk .
gэ
bэ x
n
¦ bk ;
k 1
x
tg<э x
bэ . gэ
I Yk – выражение дуально формуле Токи в элементах I k Yk U Y для случая последовательного соединения. 251
Пример 11. Рассмотрим параллельное соединение трех двухполюсников, где tg <1 > 0; tg <2 < 0 и tg <3 > 0 (рис. 4.54).
в) Смешанное соединение (рис. 4.56)
Рис. 4.56
Из схемы следует, что x
Рис. 4.54
Векторная диаграмма показана на рис. 4.55. Из векторной диаграммы следует: 1) эквивалентная активная проводимость gэ равна арифметической сумме g э
x
¦ gk ;
I2
k 1 3
¦ bk ;
3) полная – геометрической сумме Yk, т. е. Yэ
3
x
x I 1 Z 2 Z3 1 ; I2 Z2 Z3 Z2
Z 2Z3 . Z2 Z3
x
x I 1 Z3 ; I3 Z2 Z3
x
I1 Z2 . Z2 Z3
Проводимость передачи (отношение комплексов тока любой ветви к приложенному напряжению). x
k 1
Z1
x
I1
Найдем токи:
3
2) эквивалентная реактивная проводимость bэ равна алгебраической сумме bэ
Z
U0
Y20
I2 U0
Y30
I3 U0
¦ Yk .
k 1
x
x
I 1 Z3 Z 2 Z3 x
I1 Z2 Z 2 Z3
1 x
§ Z Z · I 1¨¨ Z1 2 3 ¸¸ Z 2 Z3 ¹ © 1 x
§ Z Z · I 1¨¨ Z1 2 3 ¸¸ Z 2 Z3 ¹ ©
Z3 ; Z1 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z2 . Z1 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3
Это мера передачи сигнала из входной ветви в любую другую x
x
I k Y k0 U 0 . Аналогично вводится передаточное сопротивление x
Рис. 4.55 252
Z k1
Uk x
x
или U k
I1 253
x
Z k1 I 1 .
Лестничная схема. Рассмотрим цепь на рис. 4.57.
На рис. 4.58 принято следующее: Z1 1 j , Z 2 j , Z 3 j , Z 4 1 j , Z 5
0,5 j , Z 6
0,5 ,
S· § u1 t 8 2 cos¨ Zt ¸ . 3¹ © x
x
Определить I 5 . Задались I 5
1 , тогда да x
x
x
U Z4 Z4
I Z3
I Z 4 I Z5 1 j , U Z3
Z3 I Z 3
U Z 4 1 Z 6 Z 5 1 j , I Z 4 Рис. 4.57
x
Последовательно определяем входные проводимости согласно стрелкам 1 1 ; Y3456 Y56 . 1 1 Z3 Z5 Y6 Y4 Y56 Схема рассматривается с правой стороны: Z
Z1
1 Y2
Z3
x
x
I Z1
x
x
x
x
I Z2
U Z2 Z2
x
x
U Z3U Z4
При расчете этих схем применяют метод пропорциональных (определяющих) величин. Суть метода заключается в том, что задаются током или напряжением в правом элементе цепи и перемещаются справа налево, определяя токи в узлах и напряжения на ветвях цепи. Метод основан на свойстве линейности. Пример 12. Из рис. 4.58 определить i5 t .
1 j 1
x
2j j
x
8e
j
j 1 j 1 j ; j
2;
S 3
4j.
x
K4j ,
отсюда x
K
2e
j
S 6
,
т. е. x
j
S 6
I 5 2e . Реакцию найдем из сравнения действующих значений 8e
j
x
S 3
x
K 4 j,
K
2e
j
S 6
,
S 6
.
т. е.
254
j;
2 ;
отсюда
Рис. 4.58
2j 2
I Z 3 I Z 2 1 j 2 1 j ;
1 1 Z5 Y6
x
U 1 1 j 1 j 2 j 1 j j 1 2 j Из сравнения действующих значений
1 Y4
x
U Z2
.
1
x
1 j 1 j
x
I5
2e 255
j
Окончательно реакция выглядит так: S· § i5 (t ) 2 2 cos¨ Zt ¸ . 6¹ © x Далее остальные токи и напряжения также умножаются на K . Метод особенно удобен при вычислении сопротивления и проводимос-
Последовательный контур. Резонанс напряжений Пусть в цепи, показанной на рис. 4.59, действует напряжение u (t ) U m sin Zt , тогда i (t ) I m sin( Zt M) ;
x
ти передачи, так как не требуется даже умножения на K . Для общих методов анализа цепей приведем окончательные формулировки в комплексном виде.
ªxº МКТ – метод контурных токов, >Z @ « I » ¬ ¼
ªx º «U 0 » ; ¬ ¼ ª x º ªx º МУН – метод узловых напряжений, >Y @ «U » « I 0 » ; ¬ ¼ ¬ ¼
Рис. 4.59 x
МЭГ – метод эквивалентного генератора I k x
Uk
x
x
U0 , Z0 Zk
I0 (теоремы Тевенина и Нортона соответственно). Y0 Yk 4.14. Резонансные явления
Известно, что реактивные сопротивления и проводимости могут компенсировать друг друга, и тогда при наличии реактивностей сопротивление (проводимость) контура (цепи) будет чисто активным. Цепь находится в состоянии резонанса, если эквивалентное реактивное сопротивление (проводимость) равно нулю, а ток и напряжение совпадают по фазе. Z r Z jx Z ; Z 0 r Z , M 0 ; Y g (Z) jb (Z) ; Y0 g (Z) ; \ 0 . Откуда I m Z ( jZ) 0 ; I mY ( jZ) 0 . Данные соотношения выражают условия резонанса. 256
tgM
ZL
1 ZC ,
R 1 , тогда при ZL ZC X L X C или X X L X C 0 ; контур находится в состоянии резонанса напряжений: 1 · § Z ( jZ) R jХ R j ¨ ZL ¸ ZC ¹ © и при резонансе Z0
X 0
R ; I0
U ; M R
0,
а ток I 0 имеет наибольшее значение. 1 Z0 – резонансная частота. LC Режим резонанса достигается путем подстройки L или C или изменения частоты приложенного напряжения. Резонанс напряжений характеризуется: 1. Максимальным значением I0 при постоянном по действующему значению напряжении U и неизменном R. Активная мощность Pа
UI 0 257
U2 . R
2. Равенством действующих значений напряжений на L и C: Z0 L
1 I0 ; U L0 Z0C
1 ; Z 0 LI 0 Z0C
U C0 ;
1 L LI 0 I 0 UI 0 U L0 . C LC Реактивные мощности равны между собой: Z 0 LI 0
1 L 2 UI 0 2 – I02 I0 Z0 C C характеристическое сопротивление U в режиме резонанса равно ХL или ХС, т. е. QL0
QC 0
Z0 LI 0 2
1 . Z0 C 3. Напряжения на реактивностях UL0 и UC0 могут быть значительно больше U. Пусть U
Затухание R ; L C его можно выразить через отношение напряжений, где d
U L0 UC0 I0 I0 – отношение действующих значений; U
d
R Z0 L
RI0 U U UI 0 U L0 UC0
или отношение мощностей d
Z0 L
1 , Z0 C
R U
UI 0 U C 0I0
Pa QC 0
Pa . QL 0
Векторная диаграмма показана на рис. 4.60. Q
1 – добротность, d
Q = 30–500 для обычных контуров.
тогда
RI 0 Z0 LI 0 ; U U L 0
U C0 .
Так как L C
U
Z0 L
1 , Z0C
Рис. 4.60
Энергетический процесс при резонансе напряжений
то
UI 0
Z0 LI 0
U L0 ,
где U L0 U C 0 U – I0 I0 отношение действующих значений;
U
QL0
QC0
2
I 02
I0
258
Пусть для случая резонанса u (t ) U m sin Zt , i(t ) Тогда
I m0 sin Zt , M 0 .
S· § u C (t ) U Cm 0 sin ¨ Zt ¸ 2¹ ©
. w L (t )
Li 2 (t ) 2
LI 0 2 sin 2 Zt 259
U Cm 0 cos Zt ; LI 0 2 1 cos 2Zt . 2
При этом
LI 02
WL max
CU C2 0
; WC max
.
Для емкости: CU C 2 (t ) CU C 0 2 CU C 0 2 cos 2 Zt 1 cos 2Zt . 2 2 Покажем, что 1) максимальные значения энергии в L и C равны между собой; 2) cумма энергий магнитного и электрического полей в каждый момент времени есть постоянная величина, равная максимальной энергии магнитного или электрического полей. wC (t )
WC max
CU C 0 2 WC max
w (t )
C
1 2
Z0 C
2
1
I02
2
Z0 C
1 Z0 LI 0 2 Z0
w L (t ) wC (t )
LI 0 2
I 02 ;
1 Z0C
На рис. 4.61 отражен обмен энергией между электрическими и магнитными полями. Отсутствует колебание энергии между полями и источником. Энергия источника идет на покрытие потерь в R, и тем самым в цепи поддерживается незатухающий процесс. Параллельный контур. Резонанс токов Рассмотрим параллельный контур на рис. 4.62.
Z0 L ;
WL max ;
LI 0 2 1 cos 2Zt 2
U 2 C C 0 1 cos 2Z t LI 0 2 CU C 0 2 . 2 Диаграммы мгновенных значений величин u t , i t , uС t , wL t , wC t , w t представлены на рис. 4.61.
Рис. 4.62
Проводимость ветви с L-элементом
YL
1 ZL 2
1 RL jХ L RL
R L ( ZL )
2
j
2
RL
RL Х L ZL 2
RL (ZL)
2
2
|
260
XL
RL X L 2
RL ( ZL )
2
2
j , ZL
если ZL !! R2 – для хорошей катушки получим эквивалентную схему (рис. 4.63).
Рис. 4.63
Рис. 4.61
j
g
1 R , RC (Z0 L) 2 261
и при малых раcстройках от резонанса этот контур дуален последовательной RLC-цепи:
Векторная диаграмма представлена на рис. 4.64.
1 · § g j ¨ ZC ¸; ZL ¹ © напряжение на контуре (на всех элементах одно и то же) U, откуда Y ( jZ)
1 ; Z0 Z0 L
Z0C
P
Pa
1 ; U0 LC
I0 ; g
I 02 . g
U0I0
Рис. 4.64
Затухание
I0 IK
d
U 0 gU U0
4.15. Мощность при установившемся гармоническом режиме U Z0 L
1 Z0C
gU ;
Z0 C 1 1 1 , d gU gZ0 L g токи в реактивных элементах могут значительно превышать входной ток, если b L bC !! g ; U bL U bC !! U 0 g ; I L 0 I C 0 !! I I вх . Q
Отметим некоторые свойства: 1) полная проводимость равна активной проводимости g и имеет минимальное значение, а входное сопротивление максимальное; 2) ток входной цепи – минимальная величина при питании от источника напряжения; 3) колебания энергии с источником отсутствуют, а источник покрывает активные потери в g. Частный случай. g = 0, контур без потерь. Несложные рассуждения приведут к соотношениям
Z0 2
1 ; IL LC
U ; IС0 ZL
ZCU 0 ; I
при Y = 0 Z
1 o f. Y 262
gU 0
Ранее были рассмотрены мощности в отдельных элементах цепи R, L, C и построены их зависимости от напряжения. Рассмотрим мощм ность в двухполюсной цепи с напряжением u t U m cos Zt и током i t I m cos Zt M . По отношению к источнику энергии любая рассматриваемая цепь представляет собой некоторый двухполюсник (рис. 4.65); ЭЦ – электрическая цепь.
Рис. 4.65
Мгновенная мощность во временной области равна
p (t )
0;
u (t )i (t ) U m cos Zt I m cos( Zt M) .
Так как cosD cosE
1 >cos(D E) cos(D E)@ , 2 263
то
Разложение мощности на составляющие p (t )
U m Im >cos M cos( 2 Z t M) @ UI >cos M cos( 2Z t M) @ . (4.12) 2
Рассмотрим векторную диаграмму, показанную на рис. 4.67, где вектор напряжения ориентирован вдоль вещественной оси:
Среднее значение мощности составит:
Pср
1T р (t )dt UI cos M ; T ³0 Рис. 4.67
Pср UI cos M . Диаграммы мгновенных значений функций u t , i t и p t показаны на рис. 4.66.
x
Разложим вектор тока: I m I ma j I mr , где Ima – активная составляющая, Imr – реактивная составляющая, тогда x
i(t ) Rе{e jZt I m } Rе{(I ma jI mr )e jZt } I ma cosZt I mr sin Zt , x
Im
I ma jI mr
x
U m ( g jb) U mg jU mb ,
т. е. ток состоит из слагаемых, зависящих от активной и реактивной проводимостей комплекса Y. Таким образом, задача разложения мощности сводится к определению мощности в активном и реактивном элементах произвольного двухполюсника. Полная мгновенная мощность p t u t i t U m cos Zt I ma cos Zt I mr cos Zt Рис. 4.66
Из диаграммы следует, что 1) мгновенная мощность колеблется с двойной частотой около среднего значения UI cos M ; 2) в течение части периода, ab p t ! 0 – энергия накапливается в электрическом и магнитном полях и также тратится в тепло; в течение bc p t 0 – энергия возвращается в генератор и тратится в тепло; 3) среднее значение p t , т. е. UI cos M , равно UI при M 0 и 0 при M
S r . 2 264
U m I ma cos 2 Zt U m I mr cos Zt sin Zt
pa t pr t
и содержит две составляющие, среди которых первая U m I ma >1 cos 2Zt @ – 2 выражение для мгновенных значений активной мощности. Это выражение совпадает с мощностью в R (при D u 0 ). Активная мощность pa (t ) U m I ma cos 2 Zt
(4.13) Pa UI a UI cos M gU 2 rI 2 соответствует скорости преобразования электромагнитной энергии в тепло и другие виды. Вторая составляющая 265
U m I mr sin 2 Z t 2 есть выражение для мгновенных значений реактивной мощности, т. е. скорости изменения энергии электрического и магнитного полей, скорости колебаний между полями и источниками. Ее среднее значение за период равно 0, а максимальная величина p r (t )
U m I mr cos Z t sin Z t
Pr
U m I mr 2
ZI 2 sin M
UI mr
XI 2
UI sin M
Y U 2 sin M bU 2
(4.14)
называется реактивной мощностью. Âî çâåäåì â êâàäðàòû Рa и Рr и сложим, тогда P2
Pa2 Pr2
UI 2 .
Рис. 4.68
(4.15)
Иногда полная мощность обозначается S, а реактивная Q. Полная (кажущаяся) мощность есть произведение действующих значений U и I; она имеет чисто расчетное значение. Это максимальная мощность, создаваемая генератором: P UI ВА ; P
Z I2
Треугольники мощностей Обратимся к треугольникам мощности на рис. 4.69, а и б, которые строятся на основании треугольников сопротивлений и проводимостей.
Y U2,
p(t ) – выражение для мгновенных значений полной мощности. Таким образом, U m I ma >1 cos 2Zt @ U m I mr sin 2Zt p(t ) 2 2 UI >cos M cos M cos 2Zt sin M sin 2Zt @ UI >cos M cos (2Zt M)@ ,
что и требовалось показать. Графики всех временных функций показаны на рис. 4.68.
266
Рис. 4.69
Они характеризуют степень использования энергетических ресурсов генератора. Из треугольников видно, что Pa Pa ; cos M Pr P (коэффициент мощности). Полная мощность (мгновенная) составит p (t ) UI cos M UI cos( 2 Z t M ) Рср Р cos( 2 Z t M ) . P
Pa 2 Pr 2 ; tgM
267
Другой путь:
4.16. Определение мощности по комплексным выражениям напряжения и тока
x
x
Ue jDu Ie jDi
Р UI Из полученных выше выражений (4.13) и (4.15) следует, что Pa UI cos M ; P UI ; Pr UI sin M . Пусть известны комплексы для двухполюсника: x
U 1 jU 2
U x
I
jD u
Ue
I 1 jI 2
Ie
2
jD i
; Du
2
I12
x
U2 ; U1
P
x
x
I x x
x
UIe jM
P UI
2
x
U
Ue jDu ;
x
P
Pa
UI
Ue jDu Ie jDi
UIe j ( Du Di ) Pa jPr
x½ Rе® P ¾ ; Pr ¯ ¿ 268
x
YU2.
UIe jM
e
P ,
jarctg 3
M
UI cos M jUI sin M
x½ Im® P ¾ . ¯ ¿
10 2 (10 3) 2 I
Pа
20 3 j 20 ; Pa P
e
jarctg
UI cos M
20 B ;
2 A; 1 3
S ; cos M 6
Pr (4.16)
(4.17)
3 j;
40 BA ; cos M
20 BAp ; P
U
где
Pa
YU 2 e jM
ZI 2
10 j10 3 ; I
20 3 Bт ; Pr
j (Du Di )
Можно использовать искусственный прием. Надо взять I или U – сопряженные комплексы (см. (4.16)). В этом случае P
Z I 2 e jM
Прямой путь:
Ie jDi ;
x
P cos M ;
P sin M ;
(10 j10 3)( 3 j ) 10 3 3 j (30 10)
U I UIe UI cos(Du Di ) jUI sin(Du Di ) , т. е. получаем неверный результат.
x
P cos M jP sin M; Pa
Пример 13. Рассчитаем составляющие мощности при заданных комплексных выражениях напряжения и тока
x
Покажем, что простое перемножение U и I не дает правильного о ответа, т. е. слагаемые не будут мощностями: x
Pe jM
Pa jQr
Qr
т. е. формально нужно найти вначале U, I и M D u D I или провести расчет через Z, R, Y, а затем уже рассчитывать мощности, но можно пойти и другим путем.
U
Pa jQr .
Таким образом, в первом варианте по знаку Pr судят о характере реакции цепи, как в случае Z, а во втором, – как в случае Y.
I2 ,
x
UI cos M jUI sin M
UI cos \ jUI sin \
I arctg 2 ; I1
; Di
U1 U 2 ; I
U
arctg
UIe jM
e
§S S· j¨ ¸ ©3 6¹
3 ; sin M 2
20 2
UI sin M
e
j
S 6;
1 ; 2
3 20 3 Bт ; 2 20 BAp .
Саодная таблица мощностей представлена в табл. 4.2 269
3 . 2
270
271
4.17. Условия передачи максимальной активной мощности в приемник
Pa 100 % P
Ri jX i – внутреннее сопротивление
Рассмотрим рис. 4.70, где Z i генератора; Z пр
K
Pmax 100 % 50 % . 2Pmax
(4.18)
Частные случаи
Rпр jX пр – сопротивление приемника.
Исследуем некоторые случаи. Пусть активные составляющие отличаются на порядок. 1. X пр X i ; Rпр 10 Ri ; Pa Рис. 4.70
0,09 Активная мощность в нагрузке Pa
Rпр I
2
Rпр
U2 Z
2
Rпр
K U2
( Ri Rпр ) 2 ( Х i Х пр ) 2
;
дробь увеличивается при Х пр Х i , т. е. выражение для активной мощности можно исследовать на экстремум:
Pa dPa dRпр
U
2
Rпр U 2 ( Ri Rпр ) 2
121Ri
2
( Ri Rпр ) 2
U2 100 % Ri 10 Ri
10 Ri U 2 121Ri 2
# 0,09
U 2 Ri Pa max ; Ri
I 2 10 Ri 100 % 2
U 121Ri
2
2
I Ri I 10 Ri
( Ri Rпр ) 4
Отсюда следует способ повышения коэффициента полезного дей-
0;
2 Rпр , Рис. 4.71
откуда R пр
R i , т. е. Z пр
Zi .
Окончательно найдем максимальную мощность в приемнике и коэффициент полезного действия Pa max
U2 , 4Ri
272
10 100 % | 90 % . 11
ñòâèÿ. Çàâèñèì î ñòè Рa и K приведены на рис. 4.71.
;
( R1 Rпр ) 2 2( Ri Rпр ) R p Ri Rпр
U
2
Rпр U 2
2. Рассмотрим второй частный случай Z пр Rпр jX пр Ri jX i – генератор согласованно нагружен; x
I
x
U . 2( Rпр jX пр ) 273
Определим полную мощность приемника:
Pпр Zпр I так как Zпр
Zпр U 2
U2 U2 Pamax , 4(Rпр2 Xпр2 ) 4 Zпр 4Rпр
2
Rпр2 Х пр2 t Rпр .
Логично заключить, что активная часть Рпр еще более усилит неравенство для мощностей. Примечание. Если Z пр Rпр , X пр X i 0 , то п. 2 соответствует ет максимальной мощности потребления. Для сложной цепи (рис. 4.72) составляющие мощности суммируются и выполняется закон сохранения энергии на входе
x
x
0; P
(i )
где Pa
n
¦ Pak
k 1
1 · § R j ¨ ZL ¸ R jХ ZC ¹ © несколько преобразуем: выберем базовые величины Z0 и w0. Тогда получим Z Z Z 0 ; Z Z Z0 ; Z ( jZ)
q
¦ PrO
O 1
– суммарная мощность
в реактивных элементах цепи; Pr – реактивная мощность на входе ЭЦ.
1 § ¨R Z 0 ¨©
§ 1 ·· ¸¸ j ¨¨ Z Z0 L Z Z0C ¸¹ ¸¹ ©
ª ·º § 1 ¸» « R jZ0 L¨¨ Z 2 ¸ Z Z LC «¬ ¹»¼ ©
0 Z0
Pa jPr ,
– суммарная активная мощность в резисторах цепи; Ра –
активная мощность на входе цепи; Pr
Комплексное сопротивление контура
Z ( jZ)
Рис. 4.72
¦ Pi
Рис. 4.73
ª jZ0 L § 1 ·º ¨¨ Z ¸¸» «1 R © Z ¹¼ ¬ § jZ L § 1 · 1 · ¸¸ 1 jQ¨¨ Z ¸¸ ; 1 0 ¨¨ Z Z ¹ R © © Z
¹ R Z0
Х
4.18. Частотные характеристики колебательных контуров Важнейшим свойством колебательных контуров является их частотная избирательность – способность пропускать частоты, близкие к резонансной, и задерживать другие частоты или наоборот. C учетом свойства дуальности (см. гл. 2) цепи рассмотрим последовательный контур, показанный на рис. 4.73. 274
Z0
R; Q
tgM
U R
Z0 L ; Z0 R
§ 1 · Q¨¨ Z ¸¸ Z ¹ © 1 275
1 ; LC
§ 1 · Q¨¨ Z ¸¸ ; Z ¹ ©
1 Q 2 ( Z
Z
1 2 ) e Z
§ 1 · jarctg Q ¨¨ Z ¸¸ Z ¹ ©
UC
.
U C
Рассмотрим резонансные кривые (рис. 4.74): частотные характеристики тока I(w), UL(w), UC(w) и Y(w).
Z
Z
0
Рис. 4.74
I
x
U Z
x
x
Y U
§
1
1 ·
ª § 1 ·º jarctgQ¨¨© Z Z ¸¸¹ U «1 jQ¨¨ Z ¸¸» e ; Z ¹¼ © ¬ U
I
2§
1 · 1 Q ¨¨ Z ¸¸ Z ¹ © x
U L
2
;
I ZL
UL
IZ Z0 L
1 Q 2 (Z
IZL
276
UU Q
§ 1 · ¸ 1 Q 2 ¨¨ Z Z ¸¹ © UZ Z0 L ; Z Z 0
2
2Q 2
;
o
;
UU Q
Q2
0 , откуда
Z 2 Q 2
Z 2
Z 2
Q2 Z 2
0;
2Q 2 Z 2
0;
2Q 2 1.
Таким образом,
U L max
UZ Q 2§
1 · 1 Q ¨¨ Z ¸¸ Z ¹ © 277
UR ;
UR ;
1 2 1 ) Q 2 (Z 2 2 ) Z Z
1 2Q 2
UZ U
2
o0.
Z 2 Q 2Z
I ( j ZL ) ;
U Z Z 0 L Z Z 0
o
Zof
1 Q 2 Z 2 2Q 2
x
I ZU
0
Z o f
Определим экстремум, тогда: U Lc
модуль
U L
Z UC
x
§ 1 · ¸ 1 Q 2 ¨¨ Z Z ¸¹ ©
o 0;U L
UC
x
1 ; ZC UU
§ 1 · arctgQ¨¨ Z ¸¸ ; Z ¹ ©
M
UL
I
2
0;
0;
§ · 1 ¸ Q 2 ¨¨1 1 2Q 2 ¸¹ © 1 1 1 2Q 2
1 1 2Q 2
U UQ 1
Z L
1 2Q
2
Q2
2
4Q 4
Q 2
1 1
\
.
1 2Q
Z
0
§ ¨ 1 2¨ 1 Q ¨ 1 2Q 2 ¨ ¨ © UQ U L max ; Q 1 4Q 2
1
1 2Q 2
o
S ; \ Z o f 2
UQ . 1 1 4Q 2
1
2Q 2 1
UQ
U C max
UQ
S ; \ Z 2
· ¸ 1 ¸ 1 ¸ ¸ 1 2 Q 2 ¸¹
Z0
0.
Частотные характеристики представлены на рис. 4.75.
2
Экстремум для напряжения на емкости найдем из формулы
2
§ 1 · 1 Q2 ¨¨ Z ¸¸ Z ¹ © U C ' UU(1)
§ 1 ·§ 1 · Z 2Q 2 ¨¨ Z ¸¸¨ Z 2 ¸ Z ¹¨© Z ¸¹ © 2§
1 · 2 1 Q ¨¨ Z ¸¸ Z ¹ ©
2
2 ª § 1 · º Z 2 «1 Q2 ¨¨ Z ¸¸ » Z ¹ » «¬ © ¼
0, Рис. 4.75
Рассмотрим нормированную проводимость (рис. 4.76).
откуда 2 § 1 · 1 · 1 Q ¨¨ Z ¸¸ Q 2 ¨ Z 2 2 ¸ ¨ Z ¹ Z ¸¹ © © 2§
Z C
2Q 2 1 Q 2
0 ; 1 2Q 2 2Q 2 Z 2
1
1 2Q 2
0;
;
Рис. 4.76 278
279
2
1
y
2§
1 1 Q ¨¨ Z Z ©
· ¸¸ ¹
y
;
2
1 2§
1 · 1 Q ¨¨ Z ¸¸ Z ¹ © 1
1 · ¸ 1 Q ¨¨1 GZ 1 GZ ¸¹ ©
|
1 1 Q 2 4GZ 2
'Z Z0
GZ 1 GZ 2
1 , Q
§ 1 · ¸ | Q 2 GZ , Q ¨¨ Z Z ¸¹ © то будет всего одна кривая (рис. 4.78): [
2
1 § ª · ¨ ¸ « GZ ¸ 2¨ 1 Q ¨1 GZ « GZ ¸ «1 ¨
«¬ |GZ ¸¹ ¨ ©
'Z
т. е. она обратна добротности контура. График входной проводимости в зависимости от нормированной расстройки GZ показан на рис. 4.77. Если ввести новую переменную – обобщенную расстройку
2
2§
1 раз, а мощность в 2 раза, причем полосаа 2 пропускания контура составляет
т. е. ток уменьшается в
y max 1 при Z 1 (резонансе). Отклонение частоты от резонансной – расстройка контура GZ Z Z0 ; GZ Z 1 (нормированная расстройка); y
1 – 2
2·
y
|
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
1 1 [2
.
.
Если принять, что GZ 1, то y
1 1 4Q 2 GZ 2
,
а при расстройках, равных GZ 1
GZ 2
280
1 , 2Q
Рис. 4.77
Рис. 4.78
Рассмотрим соотношения на плоскости комплексной частоты s при jZ s для больших Q:
281
y
s Q
1
s ; § 2 1 · Q¨ s s 1¸ Q © ¹
Qs 2
§ 1· 1 Q¨¨ s ¸¸ s ¹ ©
полюсы
m1min
§ 1 j ¨¨ © 2Q y max
· j ¸¸ ¹
1 ; T1
1 ; 2Q 0
при
O
1 1 1 r 1 | r j (при больших Q). 2 2Q 2Q 4Q
Нуль проводимости составит O 0 ; при малых расстройках получим следующее выражение (рис. 4.79): s O 1
s O 2
m1e jT1 ; S j 2e 2
m2e jT2 | 2 jZ
s 0 | jZ
e
j
S 2
;
GZ
m1
2
1 2Q
r
1 T1 2Q
1 ; 2Q
r45$ y
y max 2
.
Из полученных выражений несложно установить граничные частоты для определения полосы пропускания. Расположение полюса вблизи оси jw (рис. 4.80) приводит к «выбросу» частотной характеристики.
.
Рис. 4.80 Рис. 4.79
Комплексная проводимость равна y
1 1 j | e jT1 jT1 Q m1e 2 jZ 2Qm1
при
Z
Z0 1. 282
При малых GZ* (больших Q) ширина полосы пропускания определяется диаметром окружности, проходящей через O 1 , с центром на оси j Z (рис. 4.80). Вопросы для самопроверки 1. Какие свойства R-элемента необходимо учитывать при гармоническом режиме? 2. Каковы характеристики L-элемента при гармонических режимах? 283
3. Каковы характеристики С-элемента при гармонических режимах? 4. Что такое комплексная амплитуда периодической гармонической величины? 5. Что такое обобщенная экспонента и комплексная частота? 6. Что такое фазорная диаграмма? Рассмотрите случаи построения данных диаграмм для вариантов последовательного и параллельного соединения нескольких двухполюсников. 7. Сформулируйте законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. 8. Что такое резонанс напряжений и резонанс токов? 9. Напишите матричное соотношение для комплексных величин токов и напряжений по МКТ. 10. Сделайте то же, что и в п. 9, по методу узловых напряжений (МУН). 11. Напишите формулировки теорем Тевенина и Нортона в комплексной форме. 12. Какие составляющие мощности рассматриваются при гармонических режимах? Как их найти по комплексным выражениям напряжения и тока? 13. Как определяется коэффициент мощности? 14. Какие способы повышения коэффициента мощности можно предложить? 15. Что такое треугольники сопротивлений (проводимостей) и треугольники мощности? 16. Каковы условия передачи максимальной активной мощности потребителю? 17. В чем проявляется закон сохранения энергии в цепях при гармонических режимах? 18. Что такое резонансные кривые колебательных контуров?
Глава 5. АНАЛИЗ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ Определение. Совокупность нескольких цепей, в которых действуют источники напряжений одинаковой частоты, но сдвинутые друг относительно друга по фазе, называется многофазной системой. Ограничимся рассмотрением трехфазных симметричных систем. Эти системы можно получить с помощью специальных трехфазных генераторов (рис. 5.1, а и б).
Рис. 5.1
Симметрия определяется тем, что амплитуды одинаковы, а сдвиг по фазе осуществляется на один и тот же угол. В этом случае имеем 284
285
uа (t ) U m cos Zt ;
2S · § ub (t ) U m cos ¨ Zt ¸ ; 3 ¹ © uc (t ) U m cos(Zt x
x
x
2S ) ; 3
Um . 2 Если цепи системы, где действуют источники напряжения, связаны электрически между собой, то получаем связанную систему (рис. 5.2, а, б и в). На рис. 5.2, а представлена несвязанная, а на рис. 5.2, б – связанная системы. Последняя имеет определенные технико-экономические преимущества. Есть два вида распространенных связанных трехфазных систем: соединение «звездой» и соединение «треугольником». UA
Ue j 0
$
U; UB
$
Ue j120 ; U C
$
Ue j 240 ; U
На рис. 5.2, б точка 0 – узловая точка генератора (нулевая или нейтральная); точка 01 – узловая точка приемника. Провод 0,01 – узловой, нейтральный. Остальные провода – линейные; Z A , Z B , Z C – нагрузки фаз приемника. Различают линейные и фазные токи и падения напряжений. Первые относятся к линейным проводам, а вторые – к фазам генератора и приемника. При соединении «звездой» (см. рис. 5.2, а) начала (н) или концы (к) обмоток генератора и фаз приемника объединяются в один узел 0,01. Часто «звезда» отображается согласно рис. 5.2, в. Фазные напряжения и падения напряжений Рассмотрим падения напряжений со стороны генератора во временной и частотной областях u a 0 (t ) u A (t ) ; u b 0 (t ) u B (t ) ; u c 0 (t ) u C (t ) ; x
x
x
x
x
x
U a 0 U A ; U b0 U B ; U c0 U C , т. е. минусы дают мгновенные значения и комплексы действующих значений фазных падений напряжений генератора. Из рис. 5.2, б следуют также мгновенные значения и комплексы действующих значений фазных падений напряжений приемника x
x
x
u a 01 (t ) ; ub 01 (t ) ; uc 01 (t ) ; U a 01 ; U b01 ; U c 01 . Линейные падения напряжений (рис. 5.2, в) Выражения с двойными индексами x
x
x
uab (t ) ; ubc (t ) ; uca (t ) ; U ab ; U bc ; U ca относятся к линейным мгновенным значениям и комплексам действующих значений линейных падений напряжений. Линейные падения напряжения есть разность двух фазных падений напряжений:
Рис. 5.2 286
со стороны генератора u ab (t ) u a 0 (t ) ub 0 (t ) ; ubc (t ) ub0 (t ) uc 0 (t ) ; uca (t ) uc 0 (t ) u a 0 (t ) ;
со стороны приемника u ab (t ) ua 01 (t ) ub01 (t ) ; u bc ( t )
u b 01 ( t ) u c 01 ( t ) ; (5.1)
uca (t ) uc 01 (t ) ua 01 (t ) . 287
Аналогичные соотношения имеют место и для комплексов действующих значений падений напряжений как со стороны генератора, так и со стороны приемника. Фазные токи – токи, проходящие в фазах генератора и приемника. Линейные токи – токи в линейных проводах i A (t ) , iB (t ) , iC (t ) или x
x
x
I A , I B , IC . 5.1. Векторная диаграмма симметричной трехфазной системы при соединении «звездой» Обратимся к рис. 5.3, где при симметрии имеет место соотношение x
x
x
I A I B I C 0 ; нейтральный провод может быть исключен. M A M B MC углы фаз нагрузок приемника.
Рис. 5.3
Свойства системы при соединении «звездой» 1. Сумма фазных падений напряжений генератора равна 0, т. е. x
x
x
U AU B U C
0;
в t-области получим
u A (t ) u B (t ) uC (t ) 288
0.
Очевидно, что в данном случае ª 1 3 1 3º U «1 j j » 0. 2 2 2 ¼ ¬ 2 2. Сумма линейных падений напряжений независимо от нагрузки равна 0. Обоснование следует из определения линейных падений напряжений (5.1): $
U Ue j120 Ue j120
$
x
x
x
U ab U bc U ca 0 . 3. Сумма линейных токов при отсутствии узлового провода равна 0: x
x
x
I A I B I C 0 (закон сохранения электрических зарядов). 4. Сумма фазных падений напряжений приемника при одинаковых нагрузках фаз равна 0: x
x
U a 01
IAZ ;
x
x
U b01
IB Z ;
x
x
U c 01 x
x
IC Z ;
x
U a 01 U b01 U c 01 но x
x
x
x
I A I B IC I N
x
x x · §x ¨¨ I A I B I C ¸¸Z , © ¹ x
x
x
I A I B I C , так как I N
0
0,
т. е. x
x
x
U a 01 U b01 U c 01 0 . Аналогичное доказательство представимо и для мгновенных значений. 5. Из векторной диаграммы видно, что U ab U bc U ca U л – линейные падения напряжений; U ф фазные падения напряжений. Из треугольника векторов видно, что 3 U ab U a 01 2 U a 01 3 3U a ; 2 U a 01
U b01
U c 01
289
Uл
1,73U ф ;
IA
Iл .
5.2. Соединение «треугольником» Обратимся к рис. 5.4, где начало каждой последующей обмотки генератора соединено с концом предшествующей.
Рис. 5.4
Ясно, что x
x
x
x
x
x
x
x
x
I A I ab I ca ; I B I bc I ab ; I C I ca I bc . Линейные токи выражаются через фазные токи приемника. Рис. 5.4, а наглядно дает часто используемое в книгах изображение треугольника. Иногда в учебной литературе обмотки генератора и фазы приемника геометрически располагаются параллельно, снижая наглядность схемного представления (рис. 5.4, б). Векторная диаграмма при соединении «треугольником» и одинаковых нагрузках фаз приемника показана на рис. 5.5, а, где указаны токи и напряжения со стороны генератора. На рис. 5.5, б векторы падений напряжений и токов нагрузки получены путем перенесения параллельно самим себе напряжений и токов на рис. 5.5, а и поворотом на 150$ .
Рис. 5.5
Свойства цепи при соединении «треугольником» 1. Сумма линейных падений напряжений равна 0, т. е. x
x
0. x
x
x
2. Сумма линейных токов равна 0, т. е. I A I B I C 0. 3. Сумма фазных токов при одинаковых нагрузках равна 0, т. е. Z ab
290
x
U ab U bc U ca
Z bc
Z ca 291
Z; Y
1 . Z
Отсюда x
x
x
I ab
Y U ab ; I bc
Y U bc ; I ca
x
x
x
x
x
Pa
x
x
Y U ca ;
I bc
В случае симметрии выражение для мощности упростится:
При симметричной нагрузке, соединенной «звездой», с учетом того, что 3U ф
2. Из заштрихованного треугольника видно, что 3I ф | 1,73I ф .
5.3. Мощность трехфазных систем Для цепи с несколькими источниками энергии в общем случае суммарная активная мощность составляет арифметическую сумму
¦ Pak
,
(k )
¦ Prq
P
x
¦ Pm .
Ее абсолютная величина составляет P
x
¦P
m
.
Для трехфазной системы при несимметричной нагрузке на основании (5.2) получим 292
3U л I л соs Mф .
(5.3)
3U л I л cos Mф .
(5.4)
3U л I л sin M ф .
(5.5)
Полная мощность, согласно (5.3)–(5.5), составит:
,
(m)
x
Pr
P
(q )
а полная мощность – геометрическую сумму x
Iл ;
Реактивная мощность симметричной системы определяется выражением
(5.2)
реактивная мощность – алгебраическую сумму реактивных мощностей элементов Pr
Pa'
Pa 2 Pr 2 .
3U л I л
(5.6)
Заметим, что хотя по внешнему виду формулы для активной мощности «звезды» и «треугольника» аналогичны (5.3) и (5.4), однако их отношение приведет к следующему:
Pa' Pa
Y
Pa
U л ; Iф
Для симметричной «треугольной» нагрузки получим с учетом того, что U ф U л ; I л I ф 3 ,
3U л' I л' cos M ф 3U л I л cos M ф Y
3I ab
Y
I ab
Pa
Y
IA
3 2 2
3U ф I ф cos Mф .
3Paф
Pa
Iф .
I ca
U a 01 I фA cos M A
U b01 I фB cos M B U c 01 I фC cos MC .
I ab I bc I ca Y (U ab U bc U ca ) 0 , так как выражение в круглых скобках на основании п.1 составит нулевую величину. 1. Из векторной диаграммы (см. рис. 5.5, б): U ab U bc U ca U ф ; I ab
PaA PaB PaC
I л' Iл
Y
x
U л' 3 1 Uл Zф 3Z ф
3,
Y
x
т. е. мощность системы при соединении «треугольником» втрое превышает мощность «звезды». Это несложно заметить из различия токов 293
в 3 раз и квадратичного вклада токов в мощности. Аналогичный вывод следует и для соотношения реактивных и полных мощностей. 5.4. Измерение мощности трехфазной цепи Для измерения суммарной активной мощности «звезды» Pa
PфA PфB PфC
U A01I A cos M A U B 01 I B cos M B U C 01 I C cos MC
необходимо включить три ваттметра (или один последовательно в три положения с последующим суммированием показаний приборов), как показано на рис. 5.6 (классическая схема Блонделя, четырехпроводная система). Если нагрузка симметричная, то Pa
3U ф I ф cos Mф .
Векторная диаграмма в этом случае показана на рис. 5.7, где видим линейные, фазные напряжения и токи со стороны генератора.
Рис. 5.8
Общий результат получается при утроении одного измерения, т. е. 3Prф , а схема подключения ваттметров поясняется на рис. 5.8. Здесь приборы включены по принципу «свой ток» «чужое напряжение». В случае трехпроводной системы нужно создать искусственную нейтральную точку 01 от двух сопротивлений и обмотки вольтметра
Rv
Рис. 5.6
R (рис. 5.9).
Рис. 5.7
Для измерения реактивной мощности в случае симметрии системы и ее уравновешенности (отсутствует нулевой ток) на основании векторной диаграммы можно установить, что пары векторов, указанные для соответствующих ваттметров, связаны с синусами фазных углов. Prф 1 U ф I ф sin Mф для каждого прибора ( внесено в формулу, так как ак 3 3 вместо фазного взято линейное напряжение – рис. 5.8). 294
Рис. 5.9
Так, для «звезды» получим полную мощность p (t ) u a 01 (t )i A (t ) u b01 i B (t ) u c 01 iC (t ) ,
где 01 узловая точка звезды.
295
Но из рис. 5.9:
Векторная диаграмма показана на рис. 5.11. u a 01 (t ) u A0 (t ) u010 (t ) ; ub01 (t ) u B 0 (t ) u010 (t ) ; uc 01 (t ) uC 0 (t ) u010 (t ) .
Кроме того,
i A (t ) i B (t ) iC (t )
0,
так что u A0 (t )i A (t ) u B 0 (t )i B (t ) u C 0 (t )iC (t )
p (t )
u 010 (t )[i A (t ) i B (t ) iC (t )] u a 0 (t )i A (t ) u b0 (t )i B (t ) u c 0 (t )iC (t ) ,
Рис. 5.10
т. е. потенциал точки 0 не имеет существенного значения. x
Y
Pa
x
x
x
Из векторной диаграммы следует, что x
x
D 150 $ M A ; E 150 $ M A . Отсюда получаем выражение для активной мощности:
U a 0 I A cos(U a 0 I A ) U b 0 I B cos(U b0 I B ) U c 0 I C cos(U c 0 I C ) .
В случае симметрии
'
x
x
x
x
PaY
3U ф I л cos(U ф I ф ) 3( 3) –1U л I л cos(U ф I ф ) .
Y
Pa
Вернемся к полной мгновенной мощности: p (t) = ua0 (t) iA(t) + ub0 (t) iB(t) + uc0 (t) iC(t) Y
1
1
1
и подставим
i A (t ) iC (t ) ,
i B (t )
P ' P" p (t) = [ua0 (t) – ub0 (t)]iA(t) + [uc0 (t) – ub0 (t)]iC(t) = 1
Y
Y
Pa
x
x
U ab I A cos(U ab I A ) U cb I C cos(U cb I C ) ,
где вместо вектора Ubc фигурирует Ucb. Схема включения приборов дана на рис. 5.10. 296
2U л I л cos 30$ cos M
P" P '
Активная мощность определится из выражения x
S S dMd , 2 2
3U л I л cos M ;
P" P ' U л I л sin M . Отсюда несложно получить после выполнения деления
1
= uab(t)iA(t) + ucb (t)iC(t). x
M,
но при M ! 60$ P ' 0 , а при M 60$ Р" 0 , т. е. надо учитывать знаки. Ясно, что
тогда 1
''
P P
U аb I A cos(30 $ M A ) U cb I C cos(30 $ MC ) .
При симметричной нагрузке M A MC
Метод двух ваттметров (схема Арона)
1
Рис. 5.11
"
или
P P tgM
1 tgM 3
'
3
P" P ' P" P '
297
,
т. е. определить фазу при измерении активной мощности. Значение Pr . 3 Легко показать, что аналогичные результаты несложно получить и в случае «треугольника», т. е. P" P ' U л I л sin M отвечает реактивной мощности
p (t ) uаb (t )iаb (t ) ubс (t )ibс (t ) uса (t )iса (t ) uаb (t )iаb (t ) ubс (t )ibс (t ) [uаb (t ) ubс (t )]iса (t ) uаb (t )[iаb (t ) iса (t )] ubс (t )[ibс (t ) iса (t )]
iC (t )
i А (t )
Рис. 5.13
uаb (t )i А (t ) uсb (t )iС (t ) ,
т. е.
Pa'
x
x
x
Результат измерения надо увеличить в ствуют фазные напряжения.
x
U ab I A cos(U ab I A ) U cb I C cos(U cb I C ) .
Реактивную мощность можно измерить и по схеме с искусственной нейтральной точкой (рис. 5.12).
3 раз, так как теперь уча-
Расчет трехфазных цепей В случае симметричной нагрузки расчет производится для одной фазы. Рассмотрим варианты несимметричной нагрузки. 1. «Звезда» при наличии узлового провода (слева) и векторная диаграмма (справа) для произвольной нагрузки (рис. 5.14).
Рис. 5.12
Это включение отражается векторной диаграммой, представленной на рис. 5.13. x
x
Здесь вектор U C в случае симметрии перпендикулярен U аb и x
а
x
x
x
cos(U ab I A ) sin(U C I A ) ,
Рис. 5.14 x
x
x
Дано: U A , U B , U C , Z а , Z b , Z с , Z 0 . x
x
x
x
cos(U сb I A ) sin(U A I C ) . 298
x
x
x
x
x
x
x
Определить: U а 01 , U b01 , U с 01 , I A , I B , I C , I 0 . 299
Сопротивлениями линейных проводов пренебрегаем или учитываем их в Z а , Z b , Z с . Согласно (5.1) получим выражения для фазных напряжений приемника, связанных с напряжением на нейтральном проводе x x x U U U А а 0 010 ; 1 ° °° x x x ® U В U b 01 U 010 ; ° x x x ° U С U с 01 U 010 ; °¯
U 010 x
зависимость работы фаз друг от друга. Если провод есть и Z 0 o 0, тоо x
x
x
x
x
x
согласно (5.7) U 010 o 0 и U A U a 01 ; U B U b 01 ; U C создается независимость работы фаз друг от друга. 2. Соединение «треугольником» (рис. 5.15).
Рис. 5.15 x
x
x
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Определить: I аb , I bс , I ca , I A , I B , I C .
x
IB
Сопротивление проводов не учитывается, или может быть учтено только после предварительного преобразования '– .
IC
Y
Откуда следует x
x
x
x
x
U A Ya U B Yb U C Yc . Ya Yb Yc Y0
Это же соотношение можно получить из теоремы Нортона. Если нет нулевого провода Z 0 o f , Y0 o 0 , то из (5.7) 300
x
Z bс , Z ca .
U 010 (Ya Yb Yc Y0 )
Ya U a 01 Yb U b 01 Yc U c 01 . IA
x
Дано: линейные падения напряжений U ab , U bс , U ca , Z ab ,
I0 -
U A Ya U B Yb U C Yc Y0 U 0 0
U 010
x
U c 01 , т. е.
0, тогда
x
x
x
меняется U 010 и, как следствие, напряжение самой фазы: создается
x x x Y U Y ( U U А а 0 010 ) ; a a 1 ° ° x x x °° Yb U В Yb (U b 01 U 010 ) ; ® x x x ° Y U С Y (U с 0 U 0 0 ) ; c c 1 1 ° x ° x °¯Y0 U 010 Y0 U 010 ;
x
x
В этом случае при изменении нагрузки одной из фаз приемника
x x x U U U а 0 А 010 ; 1 ° °° x x x ®U b01 U В U 010 ; °x x x °U с 0 U С U 0 0 . 1 1 °¯
Умножаем первую систему уравнений (построчно) на Yа , Yb , Yс , Y0 и добавляем строку r Y0U 010
x
U A Ya U B Yb U C Yc . Ya Yb Yc
I аb
(5.7)
x
x
U аb x , I bс Z аb
U bс x , I ca Z bс
x
U ca , Z ca
отсюда найдем линейные токи: x
IA
x
x
x
I аb I са ; I B
x
x
x
I bс I аb ; I C 301
x
x
I сb I bс .
Yаb
YаYb ; Yca Yа Yb Yс
YcYa ; Ybс Yа Yb Yc
YbYс , Yа Yb Yс
отсюда x
IA
x
x
I аb I са
x
x
Yаb U аb Yca U ca
x
откуда C
Uл – линейное напряжение сети. При соединении типа ' мощность составит
3U л2 ZC ' ,
Pr'
x
Ya (Yb U аb Yс U ca ) Yа Yb Yс
Pr ; U л2 Z
Y
Если бы нагрузка была «звездой», то вначале ее следует преобразовать в «треугольник»:
откуда
и т. д.
Pr
С'
.
Видно, что
C С'
Y
Следует заметить, что способ соединения фаз нагрузки не зависит от способа включения фаз генератора – «треугольником» или «звездой». Рассмотрим часто возникающую задачу повышения cos M в трехфазных системах. Типичный пример показан на рис. 5.16, где однолинейной схемой показаны: трансформатор (Тр), двигатель (М) и коэффициент мощности cos M , который необходимо приблизить к единице è áàòàðåÿ êî ì ï åí ñàöèè ðåàêòèâí î é ì î ù í î ñòè Pr .
3U л2 Z
3,
т. е. конденсаторы для коррекции реактивной мощности обычно включаются треугольником. Вследствие коррекции реактивной мощности полная мощность понижается на величину 'P P1 P2 , где P1 – полная мощность до коррекции, а P2 – после коррекции. При этом экономится активная мощность 'Pa Pa 2 Pa1 P1 cos M1 P2 cos M2 , точнее из треугольника мощностей следует, что Pr1 Pr2
tgM2 ,
Pa1 Pa2 где M2 – угол после коррекции. Pr , ' несложно найти из соотношения:
Рис. 5.16
Y
Y
Y
3ZC
Y
Y
Pr
302
U л2 , ( 3)2
Pr
Y
Емкости могут быть соединены по схеме «звезда» ( ) и «треугольник» ('). При соединении типа реактивная мощность конденсаторов составит
,'
Pa 2 ( tgM 2 tgM1 ) ,
где Pa2 – заданная активная мощность устройства. Заметим, что ток, потребляемый приемником без компенсации, равен
I1
Pa1 3U л cos M1K1 303
,
а после компенсации
Pa1
I2
3U л cos M 2 K 2
I1 .
Разность токов I 1 I 2 позволяет снизить сечение питающего кабеля либо передать дополнительный ток при первоначальном неизменном сечении. Несложно установить, что при других напряжениях U0 и частоте Р0 реактивная мощность составит: 2
Pr0
§ U 0 · f0 Pr . ¨ ¸ ©U ¹ f
5.5. Критические режимы Можно рассмотреть следующие критические и аварийные режимы: 1. Обрыв фазы при соединении приемника «звездой». Пусть имеет место обрыв фазы «А» при активной нагрузке фаз приемника без нулевого провода (рис. 5.17).
Рис. 5.18
4. Обрыв двух фаз с нулевым проводом – получается однофазная система. Для «треугольника» обрыв линейного провода приводит к однофазной системе. Короткое замыкание фазы (замыкание линейного напряжения) – аварийный режим. Бывают случаи короткого замыкания двух и даже трех фаз – тяжелые аварийные режимы. Можно рассмотреть также и случаи короткого замыкания линейных проводов: короткое замыкание всех трех питающих проводников одновременно при симметричной системе напряжений, двухфазное короткое замыкание (без замыкания на землю и с замыканием) и, наконец, замыкание одной фазы на землю только при наличии глухозаземленной нейтрали источника питания. Последний случай является наиболее распространенным на практике.
Вопросы для самопроверки
Если бы нулевой провод был в системе, то оставшиеся фазы работали бы в обычном режиме. 2. Короткое замыкание фазы «С» без нулевого провода (рис. 5.18). Короткое замыкание при наличии нейтрального вызвало бы тяжелый аварийный режим – замыкание фазы генератора. 3. Обрыв двух фаз без нулевого провода – нули (мертвая, обесточенная цепь).
1. Какие технико-экономические преимущества имеют связные системы по отношению к несвязным на примере трехфазных цепей? 2. Объясните векторную диаграмму цепи при соединении «звездой». 3. Каковы свойства системы при соединении «звездой»? 4. Каковы свойства системы при соединении «треугольником»? 5. Как рассчитать активную, реактивную и полную мощности трехфазной системы? 6. Как измерить активную и реактивную мощности в случае четырехпроводной системы? 7. Объясните способы измерения активной и реактивной мощностей для трехпроводной ситемы.
304
305
Рис. 5.17
8. Как определить разность фаз в цепи в случае симметрии? 9. Как провести анализ цепи, соединенной «звездой»? 10. Какова роль нулевого провода в трехфазной системе? 11. Объясните расчет цепи при соединении «треугольником». 12. Какие критические и аварийные режимы можно рассмотреть при соединении «звездой»? 13. Какие аварийные и критические режимы могут иметь место в случае соединения системы «треугольником»? 14. Постройте фазорные диаграммы для различных аварийных и критических режимов при комплексных нагрузках фаз приемников.
Глава 6. ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ Вследствие электромагнитной индукции осуществляется связь между соседними цепями – индуктивная связь. Определение. Два L-элемента называются индуктивно связанными, если магнитный поток одного из элементов пересекает витки другого. ов На рис. 6.1 показаны две индуктивности: L1 и L2 с числами витков w1 и w2 и токами i1 и i2 соответственно.
Рис. 6.1
Рассмотрим следующие случаи. 1. Пусть i2 0 , а i1 (t ) z 0 . С первой катушкой связаны магнитные потоки: Ф11 – поток самоиндукции первичной цепи (обмотки, катушки 1); Ф 21 – поток взаимной индукции, пронизывающий витки вторичной катушки (обмотки 2), Ф S1 – поток рассеяния. Полный магнитный поток первичной цепи составит Ф11 Ф 21 Ф S1 . Указанным потокам соответствуют потокосцепления: \11 w1 Ф11 L1i1 (t ) ; \ 21
w2 Ф 21
M 21i1 (t ) ,
где M 21 – коэффициент взаимной индукции;
Ф S1
Ф11 \ S1
306
· § L1 M 21 · w 1 § ¨¨ L1 1 M 21 ¸¸ i1 t ; ¨¨ ¸¸ i1 t w1 © w2 ¹ © w1 w2 ¹ § · w Ф S1 w1 ¨¨ L1 1 M 21 ¸¸ i1 t LS1i1 t . (6.1) w2 © ¹
<21 w2
307
Здесь LS1 – коэффициент самоиндукции рассеяния первичной цепи: w1 M 21 . w2 Индуктированное падение напряжения в катушке 1: LS1
L1
u1 (t )
d<11 di (t ) L1 1 (напряжение самоиндукции). dt dt Наведенное напряжение во вторичной катушке: u11 (t )
d<21 di (t ) M 21 1 . dt dt 2. В данном варианте положим i1 (t ) 0 , i2 (t ) z 0 при подключении источника ко вторичной катушке. Магнитные потоки и потоки сцепления составят: ) 22 )12 ) S 2 ; <22 w2 ) 22 L2 i2 (t ) , причем \12 w1)12 M 12i2 (t ) ; u21 (t )
)S2
) 22 )12
§ L2 M 12 · ¨¨ ¸ i2 (t ) w1 ¸¹ © w2 \S2
w2 ) S 2
· w 1 § ¨¨ L2 2 M 12 ¸¸ ; w2 © w1 ¹
L2
L1
di1 (t ) di (t ) M 2 ; u 2 (t ) dt dt
LS 2 i2 (t ) ;
L2
di (t ) di2 (t ) M 1 . dt dt
(6.3)
Магнитные потоки могут быть различно ориентированными относительно друг друга. Согласное включение – это вариант соединения индуктивных элементов, когда собственный магнитный поток и поток взаимной индукции направлены в одну сторону. Если указанные направления не совпадают, то катушки включены встречно (рис. 6.3).
(6.2)
w2 M 12 – w1 коэффициент самоиндукции рассеяния вторичной цепи. 3. Составим уравнение по МКТ для двух индуктивно связанных катушек: положим i1 (t ) z 0 ; i2 (t ) z 0 (рис. 6.2). LS 2
Если нет ферромагнитных материалов, то M12 = M 21 = M. В результате получим систему уравнений
Рис. 6.3
Численным значениям M12 и M 21 приписывают различные знаки ±. Положительный знак (+) отвечает совпадению полярности напряжения и ориентации тока. Определение полярности производится по звездочке. Если стрелки токов ориентированы одинаково относительно звездочек (входят или выходят), то полярность u t и i t положительна и беерется знак (+) (на рис. 6.3 показано согласное включение катушек). Для более чем двух связанных катушек рассмотрение производится по парам. Для гармонического режима примем, как обычно, что xx
xx
i1 I m1 e jZt ; i2 I m2 e jZt ,
Рис. 6.2
потом сократим сомножители e jZt и результат умножим на 1/ 2 для перехода к действующим значениям. Для вынужденных экспоненциальных и синусоидальных режимов система уравнений (6.3) сводится к виду (при согласном включении)
308
309
x
U1 x
U2
x
x
x
x
sL1 I 1 sM I 2
x
x
x
x
на рис. 6.4, третья пара рисунков получена после преобразований источников напряжения в источники токов согласно установленным выше правилам.
jZL1 I 1 jZM I 2 ;
sM I 1 sL2 I 2 jZM I 1 jZL2 I 2 ; s jZ ,
где jZM jX m – комплексное сопротивление взаимной индукции, которое несложно определить опытным путем:
ZM
Xm
U1 I 2 xI
1 0
U2 I1
–
x I2 0
первое соотношение получено при питании справа. Выразим токи через напряжения: x
I1
x
x
U 1 jZL2 U 2 jZM jZL1 jZL2 jZMjZM
x
Z 2 L1 L2 Z 2 M 2
x
L2
x
jZ(U 1 L2 U 2 M ) x
U1 M U2 ; L1 L2 M 2 jZ L1 L2 M 2 jZ x
I2
x
x
L1 U1 U2 ; 2 jZ 2 jZ L1 L2 M L1 L2 M M
x
1 x 1 x U 1 U2, jZL11 jZL12
I1 x
I2
(6.4)
1 x 1 x U 1 U2 , jZL21 jZL22
L11 , L12 , L 22 – некоторые индуктивности. Эти уравнения составлены по МУН, при этом для получения обратных индуктивностей надо предварительно инвертировать матрицу индуктивностей: ª L1 M º «M L » . ¬ 2¼ Системы уравнений (6.3) и (6.4) непосредственно приводят к схемам замещения с зависимыми источниками напряжения и тока, показанными 310
Рис. 6.4
Из представленных схем легко установить, что M x I2 L1
x · § x M¨U2 U1 ¸ ¸ ¨ L1 ¨ sL22 sL21 ¸ © ¹ x
I1
x
M x U1 I2 L1 sL1
M
s L1 L2 M 2 x
x
x
U 2
1 x M U1 ; sL21 L1
U 2 U1 § M 1· ¨¨ ¸¸ . sL12 s © L1L21 L1 ¹ 311
Векторная диаграмма для индуктивно связанных цепей (рис. 6.5) показана на рис. 6.6, где нагрузка содержит в общем случае все три элемента. На основании уравнений Кирхгофа x
x
x
R1 I 1 jZL1 I 1 jZM I 2 x
x
x
x
U1 ;
x
R2 I 2 jZL2 I 2 jZM I 1 I 2 Z н
0.
Рис. 6.5
Рис. 6.6
Отдельно составлены уравнения для магнитных потоков: x
)1 x
)2
x
x
x
x
)11 )12
x
x
x
x
x
x
) S1 ) 21 )12
) 22 ) 21
) S 2 )12 ) 21 x
x
x
x
x
x
) S1 ) m ;
6.1. Частные случаи включения катушек
)S2 )m ;
x
) m )12 ) 21 . Для построения векторной диаграммы выбрали угол M1 (см. рис. 6.6). Учтем также, что x
Все последующие режимы являются частными случаями общего режима, рассмотренного на рис. 6.6.
1. Короткое замыкание вторичной катушки Из системы (6.3) следует, что для второго уравнения x
x
U 2 I 2 Zн . На векторной диаграмме выделены жирными линиями векторы, относящиеся к уравнению вторичной цепи. Следует обратить внимание x
на то обстоятельство, что замыкающий вектор jZM I 1 ориентирован под д прямым углом к вектору первого тока. 312
U2 x
при U 2
x
x
jZM I 1 jZL2 I 2
0 получим x
I2
x
jZM I 1 jZL2 313
M x I1 . L2
2. Последовательное соединение катушек
Подставим выражение для второго тока в первое уравнение x
x
x
jZL1 I 1 jZM I 2 ,
U1
Из рис. 6.7 следует, что u t u1 t u 2 t , где падение напряжения на первой катушке
откуда x L L M2 x M x ) I 1 jZ 1 2 I 1 jZLэ I 1 . L2 L2 Тот же результат можно получить из системы МУН (6.4), где x
U1
x
jZL1 I 1 jZM (
L1L2 M 2 t0. L2
Lэ Согласно (6.1) и (6.2)
L1
L S1 Выразим w1 w2 аналогично получим M
w2 w1 Перемножим члены с М: M2
di (t ) di (t ) rM dt dt
u1 t ,
R2i t L2
di (t ) di (t ) rM dt dt
u 2 t .
а на второй
w1 M. w2
L1 LS1 ; LS 2
M
R1i t L1
L2
w2 M, w1
L2 L S 2 . Рис. 6.7
( L1 LS1 )( L2 LS 2 ) ,
т. е.
По второму закону Кирхгофа находим M
( L1 LS1 )( L2 LS 2 ) ;
R1 R2 i t L1 L2 r 2 M di(t ) dt
при LS1 o LS 2 o 0 M
При гармоническом режиме
L1 L2 ,
x x
но в общем случае всегда
x
Введем
M L1L2
Обозначим (6.5)
коэффициент связи, причем при k 1 имеет место совершенная связь. Разность 1 k 2
V иногда называют коэффициентом рассеяния. 314
x x
i (t ) I m e jZt ; u (t ) U m e jZt ;
тогда найдем
L1L2 t M 2 .
k
u1 (t ) u2 (t ) u (t ) .
Rэ
тогда x
I
x
( R1 R2 ) I jZ( L1 L2 r 2M ) I R1 R2 ; Lэ
x
U ; I Rэ jZLэ
L1 L2 r 2M , U
2
Rэ (ZLэ ) 315
x
U.
2
; tg Mэ
ZL . Rэ
Отметим следующее: а) согласное включение приведет к тому, что
3. Параллельное включение катушек Рассмотрим схему, представленную на рис. 6.9.
Z эс Rэ 2 (ZLэс ) 2 ; б) встречное включение – Z эb
Rэ 2 (ZLэb ) 2 ;
причем Lэс
L1 L2 2 M ;
Lэb
L1 L2 2 M .
(6.6)
Из (6.6) видно, что Z эс ! Z эb , откуда I согл I встр , т. е. вариант включения катушек легко устанавливается экспериментально. В частности, при k 1 Lэс
L1 L2 2 L1L2
( L1 L2 ) 2 ;
Lэb ( L1 L2 ) 2 . Векторные диаграммы при согласном (а) и встречном (б) включении последовательного соединения катушек представлены на рис. 6.8.
Рис. 6.9
По законам Кирхгофа получим x
x
x
x
x
x
I 1 R1 jZL1 I 1 r jZM I 2 U ; x
x
x
I 1 ( R1 jZ L1 ) r jZ M I 2 x
Примем, что
x
x
R1 jZL1 ; R2 jZL2 ;
x
x
I 1 Z1 r jX m I 2 x
x
U;
x
x
r jX m I 1 I 2 Z 2 U . Решая систему уравнений, получим x
Следует заметить, что изменение Lэс Lэb охватывает диапазон величин от L1 L2 2 M до L1 L2 2 M , т. е. 4М.
I1 где X m
316
x
U;
r I 1 jZM I 2 ( R2 jZL2 ) U .
Z1 Z2
Рис. 6.8
x
I 2 R2 jZL2 I 2 r jZM I 1 U ; (знак «+» – для согласного включения катушек). Далее после преобразований получим
x
x
U ( Z 2 # jX m ) Z1Z 2 X m 2
x
; I2
ZM . 317
x
U ( Z1 # jX m ) Z1Z 2 X m 2
,
Просуммируем токи, тогда x
I
При R1 x
I
x
x
x
I1 I 2
Пример 1. Определить токи в цепи (рис. 6.11) с индуктивными связями: M 12 0 , M 13 ! 0 , M 23 ! 0 .
U Z1Z 2 X m 2
( Z1 Z 2 # 2 jX m ) .
R2 o 0 x
U jZ( L1 L2 # 2 M ) Z2 L1L2 Z2 M 2
x
U L L M2 jZ 1 2 L1 L2 # 2 M
x
U . jZLэ
Причем
Lэ
L1L2 M 2 , L1 L2 # 2M
Lэс ! Lэb . Векторная диаграмма при согласном включении при параллельном соединении катушек приведена на рис. 6.10. Из формул следует, что Lэ меняется в диапазоне величин
L1L2 M 2 L1L2 M 2 . до от L1 L2 2M L1 L2 2M
Рис. 6.11
Составляем уравнения по законам Кирхгофа. Рассматриваем первый контур: x
x
x
1) I 1 ( Z1 jZL1 ) I 3 ( Z 3 jZL3 ) I 2 jZM 12 x
x
x
I 3 jZM13 I 1 jZM 13 jZM 23 I 2
x
U1 .
Из второго контура получим x
x
x
2) I 2 ( jZL2 Z 2 ) I 3 ( jZL3 Z 3 ) jZM 12 I 1 x
x
x
x
jZM 23 I 3 jZM 23 I 2 jZM 13 I 1
U 2 .
3) По первому закону Кирхгофа x
x
x
I 3 I 1 I 2. Тогда уравнение 1) трансформируется к виду x
1) I 1 ( Z1 jZL1 jZM 13 Z 3 jZL3 jZM 13 ) x
Рис. 6.10 318
x
I 2 ( jZM 12 jZM 23 Z 3 jZL3 jZM 13 ) U 1 . 319
Уравнение 2) примет следующий вид:
x
Рассмотрим выражение для тока I 1 :
x
2) I 1 ( jZM12 jZM13 jZL3 Z 3 jZM 23 ) x
x
I 2 ( Z 2 jZL2 Z 3 jZL3 jZM 23 jZM 23 )
x x x ° I 1 Z11 Z12 I 2 U 1 ; ® x x x °¯ Z 21 I 1 Z 22 I 22 U 2 .
где
Zэ
x
I 1 ( R1 jZL1 ) jZM I 2 U 1 ; x
x
x
x
jZM I 1 ( R2 jZL2 Z н ) I 2 x
U2
Z1вн
U 2 ;
x
0;
R20 2 X 20 2
x
Здесь R20
Решим систему относительно I 1 и I 2 :
I1
x
I2
Z2 M 2 R20 jX 20
Z2 M 2
I 2 Zн ,
где Z н – сопротивление нагрузки.
x
R20 j
2
( R1 jZL1 )( R2 jZL2 Z н ) Z M
2
;
(6.7)
jZM U 1 ( R1 jZL1 )( R2 jZL2 Z н ) Z2 M 2
Z2 M 2 ( R20 jX 20 ) R20 2 X 20 2
Z2 M 2 R20 2 X 20 2
r1вн
X 20
r1вн jх1вн .
X 2 X н , причем
Z2 M 2 R20 2 X 20 2
R20 ,
где r1вн – активное сопротивление, вносимое в контур I из контура II;
x
320
Z1 Z1вн ,
Z2 M 2 ; ( R2 Rн ) j ( X 2 X н )
R2 Rн , X 20
x
U 1 ( R2 jZL2 Z н )
Z2 M 2 R2 jZL2 Z н
Z2 M 2 R2 jZL2 Rн jX н Z1вн
x
x
R1 jZL1
где Z1вн – вносимое сопротивление в контур I (см. рис. 6.11), котороее зависит от коэффициента взаимной индукции M и нагрузки Z н . Итак,
I 1 Z11 I 2 Z12 U 1 ;
Z 21 I 1 Z 22 I 2
U1 , Zэ
I1
x
x
.
x
x
Из схемы рис. 6.5 следует, что
x
Z2 M 2 R1 jZL1 R2 jZL2 Z н
В знаменатель входит некое добавочное сопротивление, зависящее от параметров вторичной катушки.
6.2. О вносимых сопротивлениях
x
U1
I1
U 2 .
Отсюда можно сделать вывод, что фактически получены уравнения по методу контурных токов, где Z12 Z 21 , причем собственные сопротивления содержат последовательное соединение двух катушек:
x
x
x
.
(6.8)
х1вн
Z2 M 2 R20 2 X 20 2 321
X 20 ,
где х1вн – реактивное сопротивление, вносимое в контур I из контура II.
r1вн ! 0 всегда, однако х1вн ! 0 или 0 , и знак зависит отт X 20 . Таким образом, Z э R1 jX 1 r1вн jx1вн R1 r1вн j ( X 1 x1вн ) rэ jx э ;
и поскольку из (6.7) и (6.8)
ZM
I2 I1
( R2 Rн ) 2 ( х2 хн ) 2
то
x
x
U1 ; rэ R1 r1вн ; xэ rэ jxэ Действующее значение тока I1
U1
I1
2
rэ хэ
I22
I12
X 1 x1вн .
2
Z M
2
>( R
2
r1вн I12
U1 2
2
( R1 r1вн ) ( X 1 х1вн )
2
.
Эквивалентная схема замещения индуктивно связанных цепей дана на рис. 6.12.
,
@
Rн ) 2 ( х2 хн ) 2 ; I 2 2 ( R2 Rн ) ,
так что R1I12 R2 I 2 2 I 2 2 Rн .
P
Если есть сердечник, то возникают дополнительные потери на гистерезис и вихревые токи. Мгновенная мощность Обратимся к исходным уравнениям во временной области. Первое уравнение R1i1 (t ) L1
u1 (t )
умножим на i1 (t ) , а второее
Рис. 6.12
6.3. Мощность и энергия индуктивно связанной системы Активная мощность (среднее значение мощности) P
I12 rэ
I12 ( R1 r1вн )
R1I12
r1вн I12
.
В свою очередь, мощность, потребляемая вторичной цепью, составит r1вн I12
I 2 2 ( R2 Z н )
R2 I 2 2 I 2 2 Rн ,
0 uн (t ) R2i2 (t ) L2
Z2 M 2 ( R2 Rн ) I12 , ( R2 Rн ) 2 ( х2 хн ) 2 322
di2 (t ) di (t ) M 1 dt dt
умножим на i2 (t ) , тогда получим u1 (t )i1 (t )
p1 (t ) R1i12 (t ) L1i1 (t )
di1 (t ) di (t ) Mi1 (t ) 2 ; dt dt
di (t ) di2 (t ) Mi2 (t ) 1 . dt dt После сложения этих уравнений получим 0 uн (t )i2 (t ) R2i2 2 (t ) L2i2 (t )
что очевидно, так как r1вн I12
di1 (t ) di (t ) M 2 dt dt
p1 (t )
R1i12 (t ) R2 i2 2 (t ) u н (t )i2 (t )
d ¨§ L1ii dt ¨© 2
2
· d § L2 i 2 2 · d ¸ ¨ ¸ Mi1 (t )i2 (t ) , ¸ dt ¨ 2 ¸ dt © ¹ ¹ 323
Входное сопротивление трансформатора
откуда следует, что энергия индуктивно связанной системы определяется выражением L1i12 (t ) L2i2 2 (t ) Mi1 (t )i2 (t ) . 2 2
w(t )
x
Z вх
x
I1
6.4. Трансформаторы Трансформатором называется электротехническое устройство, предназначенное для изменения уровней тока и напряжения, формирования импульсов различного вида, согласования электрических цепей, либо для исключения электрической связи между отдельными участками цепи. Обычно катушки расположены на сердечнике из ферромагнитного материала с сильной связью. Если его нет, то это – воздушный трансформатор. Будем учитывать линейный режим трансформатора согласно рис. 6.5. Функция передачи по току из (6.7) и (6.8) I2 x
I1
jZM R2 jZL2 Z н
Ti ( jZ) .
(6.9)
Передача по напряжению (причем знак у U 2 считаем обратным ориентации тока) равна x
U2 x
U1
Tu ( jZ)
jZMZ н jZL1 ( Z н jZL2 ) Z2 M 2
jZMZ н . jZL1Z н Z2 L1L2 Z2 M 2
На основании выражений для коэффициента трансформации
x
I 2 Zн
x
x
Z11 I 1 Z12 I 2
L1 nM и LS 2
L2
w2 M w1
L2
M n
LS1 o 0 , LS 2 o 0 , M L1 1 L2 ; n ; . M n M n Если связь совершенная, k 1, что соответствует требованиям совершенного трансформатора, то L1
jZ M Zн R2 jZL2 Z н jZM ( jZM ) R1 jZL1 R2 jZL2 Z н
324
w1 M w2 и, если допустить, что L1
то
Ti ( jZ) Z н Z11 Z12Ti ( jZ)
jZMZ н . ( R1 jZL1 )( R2 jZL2 Z н ) Z2 M 2
w1 w2
получаем LS1
x
(6.11)
Часто желательно, чтобы Tu ( jZ) не зависела от Z. Если положить, что R1 R2 0 , то о
n
x
Tu
( R1 jZL1 )( R2 jZL2 Z н ) Z2 M 2 . R2 jZL2 Z н
U1
nM ; L2
Tu ( jZ) (6.10)
M L1
L1L2 L1
L2 L1
1 n
x
U2 x
U1
,
(а)
ãäå n – коэффициент трансформации.
Эта связь достаточно близко отражает случай ферромагнитных сердечников. Для того чтобы функция Ti ( jZ) не зависела от частоты, необ325
ходимо положить L2 o f и М o f , т. е. надо взять большое число витков и большую магнитную проницаемость P при k 1 x
I2 x
I1
j ZM jZL2
M L2
L1L2 L2
L1 L2
n .
(б)
Идеальный трансформатор отвечает условиям при L1 o f и L2 o f , k 1, т. е. при выполнении (а) и (б). Уровни токов и напряжеений меняются в n раз, а мощность при данных допущениях не изменяется x
x
U 1 I1 U 2 I 2 Если мощности равны: x
x
M , L nM , т. е. имеет место преобразование сопротивлеn 1 ний – очень полезное свойство для согласования электрических цепей. так как L2
6.5. Схемы замещения трансформаторов Обратимся к цепи на рис. 6.13.
0.
Рис. 6.13
U1 I1 U 2 I 2 , то
Введем взаимно сокращающиеся слагаемые: x
U1 x
U2 x
И при I 2
x
I2
n или
I1 x
0 следует I 1
I2 x
x x x x Z Z r Z I ( R j L ) I j M U j M I 1 2 1; 1 ° 1 1 ®x x x x ° I 1 jZM I 2 ( R jZL ) U 2 r jZM I 2 . ¯ 2 2
n .
I1
0 , но тогда L1 o f , L2 o f , M o f ,
w1 const . w2 Для входного сопротивления указанные условия приведут к фор-
причем n муле
2
Z вх
2
Z M R1 jZL1 R2 jZL2 Z н Z2 ( M 2 L1 L2 ) jZL1Z н jZL2 Z н
|
jZL1 Zн jZL2
L1 Zн L2
2
После перегруппировки членов получим: x x x x ° I1 >R1 jZ( L1 M )@ ( I 2 I 1 ) jZM U 1 ; ® x x x x °( I 1 I 2 ) jZM I 2 >R jZ( L M )@ U 2 . ¯ 2 2
По данным уравнениям несложно построить схему замещения трансформаторов (рис. 6.14)
2
Z M jZL1 jZL2 Z н jZL1Z н | jZL2 Z н
n2Zн ,
(6.12) Рис. 6.14
326
327
Здесь нет индуктивной связи, так как w L2 2 M . w1
w L1 1 M и LS 2 w2
LS1
w1 , т. е. n 1 , LS1 L1 M и LS 2 L2 M . Если L2 , тоо L2 M и L1 M ! 0 , но при L1 ! L2 может случиться,
Значит, при w2
k 1 и L1 что L1 ! M , а L2 M – так называемый «емкостный» эффектт трансформатора. Приведенная схема замещения x
x
«Приведение» заключается в том, что при n z 1 U 2 и I 2 заменяются тся величинами, приведенными к первичной обмотке трансформатора, т. е. x
x
I2
n ;
x
x
1 x ; I1 n
U2 x
x x I 2c ; U 1
I2 n
§ x · § x · § x · ¨ I2 ¸ M 2¨ I 2 ¸ 2¨ I 2 ¸ n R2 ¨ ¸ jZ L 2 n ¨ ¸ jZ n ¨ ¸ n ¨ n ¸ ¨ n¸ ¨ n ¸ ¹ © ¹ © ¹ © § x · x x ¨ I2 ¸ jZM I 1 jZMn¨ ¸ n U 2 ; ¨ n ¸ © ¹ 2
x
nU 2
x x x x M x n 2 R2 I 2c jn 2Z( L2 ) I 2c U 2c jZMn( I 1 I 2c ) ; n x x §x x · 2 n ( R2 jZLs 2 ) I 2c U 2c jZMn ¨ I 1 I 2c ¸ . © ¹
(6.14)
Уравнения (6.13) и (6.14) отвечают схеме, представленной на рис. 6.15.
x U 2c .
I1 U1 Согласно уравнению для первичной обмотки имеем: x
x
x
x
R1 I 1 jZL1 I 1 jZM I 2
U1 . x
Добавим взаимно сокращающиеся члены r jZMn I 1 , тогда получим x
или
x
x
x
x I2 R1 I 1 jZ( L1 Mn) I 1 jZMn I 1 jZM n( ) U 1 n
Рис. 6.15 x
x
x
x
x
R1 I 1 jZLs1 I 1 jZMn( I 1 I 2c ) U 1 .
(6.13)
Для вторичной обмотки, умножив обе части уравнения на n
Схемы замещения совершенного и идеального трансформаторов
x
и добавив взаимно сокращающиеся члены r jZMn x
x
x
x
I2 n
, найдем x
I2 I2 n R 2 I 2 jZL2 n I 2 jZMn I 1 jZMn jZMn n n 328
В данной схеме для большей полноты еще необходимо добавить потери в сердечнике, моделируемые проводимостью g m .
x
nU 2 ;
1. Совершенный трансформатор: R1 R2 0 ; Ls1 Ls 2 0 ; g m o 0 – в итоге получим схему на рис. 6.16. 2. Идеальный трансформатор: дополнительно к требованиям в первом пункте M o f , X m ZM o f , откуда получим вырожденный результат, представленный на рис. 6.17. 329
Иногда удобно считать, что 2 n 2 R2 R2c и n X S 2
Rk
R1 R2c ; X k
X 2c ;
X S1 X 2c
(рис. 6.18, в). 6.6. Опыты холостого хода и короткого замыкания трансформатора Рис. 6.16
Рис. 6.17
Если подключить нагрузку Z н и положить, что ZMn !! Z н , то получим упрощенную модель (пренебрегая g m ), представленную на рис. 6.18, а и б. Положим, что R1 n 2 R2 Rk ; X S1 n 2 X S 2 окончательно получим схему, показанную на рис. 6.18, б.
Опыт холостого хода (XX). Включим измерительные приборы, как показано на рис. 6.19, а.
X k , тогда да
Рис. 6.19 x
c При I 20
0 измеряют ток холостого хода, I10 , P0 – мощность
потерь при ХХ. Напряжения при этом составляют U10 и U 20 , P0
k U12 ,
где k – коэффициент пропорциональности. P0 н – номинальные потери Рис. 6.18
по паспорту; I 0 н – номинальное значение тока холостого хода (рис. 6.19, б);
330
331
n
w1 U10 | w2 U 20 – коэффициент трансформации. Векторная диаграмма строится согласно уравнению (6.13) при x
I 2c
т. е. x
0,
x
x
x
R1 I 10 jZLS1 I 10 jZMn I 10 U 10 , и уравнению (6.14) , причем x
x
c U 20 x
jZMn I 10 . x
c U 20
n U 20 x
U 20 x
U 10 x
x
jZMn I 10 ; x
jZM I 10 ; x
( R1 jZL1 ) I 10 ; R1 jZL1 L1 | jZM M
U 10 x
n.
U 20 x Для ЭДС самоиндукции первичной обмотки E 1
w< (t ) или e1 (t ) wt ЭДС равно е1 (t )
E1
ZL1w1 ) 21m 2
Мощность потерь P10
Рис. 6.20 x
jZMn I 10 , так как
w ( w1 ) 21 (t )) и действующее значение wt 2Sfw1 ) 21m # 4,44 fw1) 21m . 2 R1I10 2 Pc , где Рс – потери в сердечникее
P10 R1I10 2 | P10 , если
на гистерезис и вихревые токи. Отсюда Pc
потери в R1 малы. Векторная диаграмма представлена на рис. 6.20, а, а схема – на рис. 6.20, б. x
x
x
x
c , G – угол ак E jZw1)10 ол jZM I10 , E1 U 20 , так как потерь в сердечнике трансформатора. Опыт короткого замыкания (рис. 6.21). Так как ток при коротком замыкании возрастает в десятки раз, то берут режим при U1k , для которого I 2k I 2н . Здесь U 20
н
332
Рис. 6.21
Из приведенной схемы замещения (см. рис. 6.17, в) видно, что x
при U 2c
0 x
E1
x
I 2c k ( R2c jX Sc 2 ) .
Потери на нагревание обмоток P1k позволяют рассчитать P1k U1k R1 R2c ; Zk ; Xk Z k 2 Rk 2 ; Rk R1 R2c . 2 I1k I1k Согласно упрощенной схеме замещения (см. рис. 6.17) получим векторную диаграмму (рис. 6.22), из которой следует, что 333
U ka
U 1k cos M k ; U kr
U1k sin M k .
где Z k
jX k Rk . x
x
Тогда U1 U 2c
c (при холостом ом интересуются величиной изменения модуля U 2c , т. е. U 20 ходе) от изменения тока нагрузки – это называется потерей напряжения. Из векторной диаграммы (рис. 6.24, а) следует, что c U 2c , AO | BO и 'U BO CO U1 U 2c | U 20 таким образом, 'U Rk I 2c cos M2 X k I 2c sin M2 I 2c ( Rk cos M 2 X k sin M 2 ) . Обозначим через
Рис. 6.22
Если ввести относительную величину напряжения, то uk
U1k 100 % ; I1k U1н
I1н ; u ka
U ka 100 % ; ukr Uн
U kp Uн
x
Z k I 2c является падением напряжения. Однако часто о
100 % .
6.7. Работа трансформатора под нагрузкой Исходим из приведенной схемы замещения при Z н z 0 . Векторная диаграмма, отвечающая общему случаю индуктивно связанной системы (см. рис. 6.15), приводит к следующему варианту: в данном случае
I 2c I1cн
I1 – I1н коэффициент нагрузки трансформатора. Откуда найдем 'U E I 2c н Rk cos M2 X k sin M2 . E
x
x
задаемся углом M2 между U 2c и I 2c (рис. 6.23).
Рис. 6.24
Рис. 6.23
n 2 R2 , X 2c
Как и ранее, здесь принято, что R2c
Для относительной величины потери напряжения получим, %,
n2 X S 2 .
'u
6.8. Потери напряжения в трансформаторе Из схемы замещения трансформатора на рис. 6.18 ясно, что x
x
x
U1 U 2c Z k I 2c , 334
'U 100 % U1н
E 100 I 2c н Rk cos M 2 I 2c н X k sin M 2 % U1н
E u kа cos M2 u kr sin M2 % ,
где u kа
I 2c н Rk 100 % ; ukr U1н 335
I 2c н X k 100 % . U1н
Более детальное рассмотрение рис. 6.24, б приведет к увеличенному масштабу 'u . В увеличенном масштабе фрагмент рис. 6.24, а представлен на рис. 6.24, б. U1н U 2c Uc 1 'u 1 2 1 U12н AB 2 BC . U1н U1н U1н Пусть BC AB n; m; U1н U1н тогда
u2c 100 Eukr sin (M 2 ) 100 E ukr sin M2 ! 100 , поскольку
ukr ! 0 .
'u 1 1 n 2 m , но
1 n2 | 1 тогда 'u где
n2 , 2
n2 , m 2
m E uka cos M 2 ukr sin M 2 ;
n 2 E2 ukr cos M2 uka sin M2 2 . 2 200 Обычно n m . Для трансформаторов большой мощности выполняется неравенство ukr !! uka , при этом ' u | Eu kr sin M2 . 6.9. Внешняя характеристика трансформатора
Рис. 6.25
В общем случае u 2c 100 E(uka cos M 2 u kr sin M 2 ) зависит от коэффициента мощности нагрузки cosM2 и напряжения короткого замыкания uk . Если рассмотреть случай с RL o cos M2 0,8 , то при индуктивной нагрузке кривая падает.
Коэффициент полезного действия трансформатора Согласно определению P2 P2 , P1 P 2 Pп где Рп – мощность потерь; P2 – полезная мощность. Известно, что Рп Рп0 Рпк , причем Рп0 , т. е. потери в стали, не K
c 'U , а для отноС учетом потери напряжения получим U 2c U 20 сительных единиц u2c 100 'u 100 E ukr sin M 2 (рис. 6.25). Если выбрать, например, емкостную нагрузку при конкретном значении косинуса RC o cos M2 0,8 , то получим зависимость 3 (см. рис. 6.25), так как
2 зависят от тока в нагрузке, а Рпк Rk I 2c 2 Rk I1 – потери в проводниках с учетом потерь напряжения. Для коэффициента нагрузки
336
337
E
I 2c I 2c н
I1 E I1н ; Pпк
I1 I1н
P2 ; S н cos M2
RпE 2 I 21н
E 2 Рпкн .
Если принять, что Рпкн – потери при КЗ по паспорту, тоо
Рп
Рп0н РпкнE 2 ; Р2
E S н cos M 2 ,
тогда K
P2 P2 Pп
ESн cos M2 . ES н cos M2 Pп0н E 2 Рпкн
ния меньше, а у обмоток А и С длиннее второй путь через дальний стержень. Подобная конструкция используется для трансформаторов малой и средней мощностей. Основные достоинства такой конструкции – экономия материала, снижение стоимости.
Определим экстремум: dK 0, dE при выполнении условия Kн o
получаем Kmax
E2 Pпкн
Рп0н ,
откуда
Eopt
Рп0н | 0,5 0,7 . Рпкн
Рис. 6.27
График K представлен на рис. 6.26.
Рис. 6.26 Рис. 6.28
Из данной зависимости следует, что достаточно высокие значения для K следуют после E ! 0,2 . 6.10. Трехфазные трансформаторы Обратимся к рис. 6.27, где показан групповой трансформатор для мощных систем. Его главными достоинствами являются возможности транспортировки и резерва, так как необходима всего лишь одна фаза. На рис. 6.28 дан трехстержневой трансформатор. Ток намагничивания для фазы В меньше других токов, так как магнитные сопротивле338
Схемы и группы соединения обмоток трехфазного трансформатора Для обозначения соединения «звездой» с выводом нейтрального провода используется символ ; для двухобмоточного варианта применяется дробь, у которой числитель – первичная обмотка, знаменатель – вторичная: / ; / ; / . Для трехфазных трансформаторов условно положительным направлением фазных ЭДС принимается направление от конца к началу обмот339
ки, как показано на рис. 6.29. Рядом – условное обозначение («звезда» – «звезда»). Соединение вторичной обмотки «треугольником» и его изображение на схемах даны на рис. 6.30.
Рис. 6.32
Векторы перенесены параллельно самим себе из первичной x
у обмотки, но U ab -вектор ориентирован обратно по отношению к вектору x
Рис. 6.29
U by (рис. 6.32, б). Из рис. 6.32, в следует, что данная группа одиннадцатая. По ГОСТу есть трансформаторы:
Рис. 6.30
Сдвиг фаз между первичным линейным напряжением и вторичным определяет группу соединения обмотки. Группа зависит: 1) от схемы соединения; 2) от направления обмотки и выбора ее начала и конца. Группа соединения определяется цифрой часов, куда указывает вектор вторичной линейной ЭДС, если вектор первичной линейной ЭДС указывает на 12 ч или 0 ч (рис. 6.31).
x двухобмоточные: x трехобмоточные:
– 0, / – 11, / – 0 – 11, /
При S ! 2500 кВА используется только 11 группа. Примечания 1. Гораздо реже используется соединение вторичной обмотки типа «зигзаг», обозначенное через Z (рис. 6.33). Здесь также возможны соединения / Z и / Z.
Рис. 6.31
Соединим концы и начала вторичной обмотки по рис. 6.30, как показано на рис. 6.32, а. 340
согласно
– 11; / – 11 – 11.
Рис. 6.33 341
Так, случай / Z представлен на рис. 6.34, а, а соответствующая векторная диаграмма – на рис. 6.34, б. Заметим, что магнитные потоки от половинок вторичных катушек направлены встречно, компенсируя их расбаланс.
2. Общее число групп соединения обмоток 12, из которых две считаются основными (0 и 11), а другие легко могут быть получены из 0 и 6, а также 11 и 5 путем коммутации соответствующих зажимов. 6.11. Параллельная работа трансформаторов Иногда мощности одного трансформатора мало, да и надежность при нескольких трансформаторах повышается. На рис. 6.35, а дана двухлинейная схема, на рис. 6.35, б однолинейная.
Рис. 6.35
Условия параллельного включения Для параллельного подключения трансформаторов необходимо выполнить ряд условий. 1. Коэффициенты трансформации должны быть равными, т. е. n1 n2 ... nk , в противном случае в контуре U 21 U 22 (см. рис. 6.35) возникает уравнительный ток, который переходит в первичную обмотку. 2. Напряжения короткого замыкания должны быть одинаковыми, т. е. U к1 U к 2 ... U кn , чтобы избежать уравнительных токов, когда допускается разность 0,5 % (рис. 6.36). 3. Должна быть одна группа соединения обмоток – иначе возникает уравнительный ток, теряется мощность, могут быть опасные режимы x
Рис. 6.34 342
(см. рис. 6.35), так как 'U создает ток, который может быть больше номинального, что вызовет аварийный режим. 343
Рис. 6.38 Рис. 6.36
Рис. 6.37
6.12. Автотрансформаторы В данном устройстве часть первичной обмотки одновременно является и вторичной, что существенно снижает затраты на материал обмоток. Согласно схеме рис. 6.38, а U1 U1 , wax w AX nавт где w относится к числу витков обмотки между указанными узлами. Полная мощность P1 P2 ; U1I1 # U 2 I 2 ; U2
U ax
I2
U1 I1. U2
При nавт o 1 I ax o 0 , сечение провода можно уменьшить. Потери в стали – как у обычного трансформатора, а потери в проводах меньше, так что в итоге K выше. На рис. 6.38, а представлен понижающий, а на рис. 6.38, б – повышающий автотрансформаторы. Недостатки состоят в том, что ток короткого замыкания будет больше (так как сопротивление меньше) и возможно попадание высокого напряжения на вторичную обмотку. Следует заметить, что обычный трансформатор допускает соединение обмоток по автотрансформаторной схеме (рис. 6.39). 344
Рис. 6.39
Данные схемы по существу различаются лишь общими зажимами.
Вопросы для самопроверки 1. Какие частные случаи включения индуктивно связанных катушек можно рассмотреть? 2. Как составляются уравнения по методу контурных токов при наличии индуктивных связей? 3. Объясните построение векторной диаграммы для случая нагрузки общего вида. 4. Что такое вносимые сопротивления? 5. Каким условиям должен удовлетворять совершенный трансформатор? 6. Что такое идеальный трансформатор? 7. Как строится векторная диаграмма при режиме холостого хода трансформатора? 8. Объясните опыты короткого замыкания трансформатора и построение векторной диаграммы. 9. Постройте векторную диаграмму трансформатора при его работе под нагрузкой. 10. Постройте и объясните приведенную эквивалентную схему замещения трансформатора в линейном режиме работы. 11. Что такое группа соединения обмоток трансформатора? 12. Какие условия необходимо выполнить при параллельном подключении трансформаторов? 13. Что такое автотрансформатор, его достоинства и недостатки? 345
T
³ sin kZt cos iZtdt
0
0
для любых k и i. Умножим обе части f(t) в (7.1) сначала на cos kZt , а затем на sin kZt и проинтегрируем по периоду, тогда с учетом (7.2) получим
Глава 7. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Частотный метод анализа основан на исследовании периодических функций с помощью математического аппарата рядов и интегралов Фурье. Из математики известно, что всякая ограниченная периодическая функция f(t), имеющая в интервале периода Т конечное число точек разрыва первого ряда (удовлетворяющая условиям Дирихле), может быть разложена в ряд Фурье. Таким образом, f a0 f ¦ ak cos kZt ¦ bk sin kZt , 2 k 1 k 1
f (t )
2S T
³ f (t ) cos kZtdt
³ f (t ) sin kZtdt
T
sin kZt ½ sin iZt ½
³ ®cos kZt ¾ ®cos iZt ¾dt
0¯
¿ ¯
¿
или подробнее:
T
³ cos kZt cos iZtdt
0
346
T , bk 2 т. е.
2T ³ f (t ) sin kZtdt . T0
(7.4)
a0 , 2
(7.5)
причем остальные интегралы равны нулю согласно свойствам периодичности гармонических функций. Если учесть то обстоятельство, что ak cos kZt bk sin kZt Ak sin(kZt D k ) , где Ak
(7.2)
ak2 bk2 ; tg D k f (t )
ak bk . Тогда, согласно (7.1), найдем a0 f ¦ Ak sin( kZt D k ) , 2 k 1
(7.6)
ak Ak sin D k ; bk Ak cos D k . Несложно рассмотреть и другое тождество: ak cos kZt bk sin kZt Bk cos(kZt Ek ) ,
T
0, i z k , ° ®T °¯ 2 , i k ;
bk
1T ³ f (t )dt T0
причем
0, i z k , ° ³ sin kZt sin iZtdt ®T , i k ; 0 °¯ 2
(7.3)
Среднее значение f(t) за период Т определяется выражением
2Sf – основная угловая частота;
0, i z k , ° ®T °¯ 2 , i k ,
2T f (t ) cos kZtdt ; T 0³
T
(7.1)
амплитуды гармоник – коэффициенты ряда Фурье. Определим ak и bk с учетом свойства ортогональности тригонометрических функций, заключающегося в следующем:
T , т. е. ak 2
0
0
a0 – постоянная составля ля2 ющая, равная среднему значению функции f(t) за период Т; ak ,bk –
где Z
ak
T
(7.7)
где Bk ak
ak2 bk2
Ak ; tg E k
Bk cos E k ; bk 347
bk ; ak
Bk sin E k .
(7.8)
Отсюда следует, что (7.1) можно представить в виде f (t )
4. В случае дополнительного свойства четности f (t ) к требованиям п. 3 получим:
a0 f ¦ Bk cos(kZt Ek ) . 2 k 1
(7.9)
Таким образом, установленные связи позволяют легко переходить от формы представления f(t) в (7.1) к разновидностям (7.6) и (7.9) с учетом соотношений (7.7) и (7.8).
a2 n1
Ряд свойств f(t), о которых пойдет речь далее, позволяют упростить вычисление коэффициентов ряда Фурье по (7.3)–(7.5). Отметим некоторые из них: 1. Четность функции: f (t ) f ( t ) . В этом случае
2 T /2 f (t )dt ; ak T ³0
4 T /2 f (t ) cos kZtdt ; bk T ³0
0.
Интегралы берутся за половину периода. 2. Нечетность функции: f (t ) ak
f ( t ) . Здесь
a0 2
0;
a f t T . В данном случае 0 2 2 0 ; учитываются лишь нечетные индексы 2n + 1:
a2 n
b2n
a2 n1
b2 n1
4 T
f (t )
f § a0 e jk Z t e jk Z t e jk Z t e jk Z t ¦ ¨¨ a k bk 2 k 1© 2 2j
a0 f § ak jbk jkZt ak jbk jkZt · ¦¨ e e ¸ 2 k 1© 2 2 ¹
a0 f § x jkZt jkZt · ¸¸ , ¦¨C k e Ck e 2 k 1¨© ¹
0; где
T /2
x
³ f (t ) cos(2n 1)Ztdt ;
0
4 T /2 f (t ) sin( 2n 1)Ztdt ; T 0³ n = 0, 1, 2, … 348
8 T /4 f (t ) sin( 2n 1)Ztdt . T 0³
В дополнение к полученным выше формам рядов Фурье широкое распространение получила и четвертая форма, позволяющая получать ряды Фурье, минуя непосредственные процедуры интегрирования, на основании преобразований Лапласа, детально освещенных в учебных материалах по ТОЭ. Используя формулы Эйлера, выразим cos kZt и sin kZt через эксспоненты:
3. Два полупериода f(t) являются отражениями друг друга относительно оси абсцисс: f (t )
0 ; b2 n1
7.2. Комплексная форма ряда Фурье
4 T /2 f (t ) sin kZtdt . T 0³
0 ; bk
0;
интегрирование идет в пределах четверти периода Т/4. 5. В случае свойства нечетности f (t ) при выполнении п. 3 имеем:
7.1. Некоторые частные случаи симметрии f(t)
a0 2
8 T /4 f (t ) cos(2n 1)Ztdt ; b2n1 T 0³
a2n1
Ck
ak jbk ; Ck 2
ak jbk . 2
Таким образом, f (t )
a0 jkZt e 2
f x
k
jkZt 0 ¦C k e k 1
349
f
¦C k e jkZt
k 1
· ¸ ¸ ¹
f x
=
¦ C k e jkZt
f (t ) ,
k f
(7.10)
определим ak и bk через составляющие C k , т. е.
a0 ; Ck 2 В (7.10) с учетом формул (7.3) и (7.4)
x
C0
x
x ½ x ½ 2 Rе®C k ¾ ; bk 2 Im®C k ¾ . ¯ ¿ ¯ ¿ Представленные соотношения однозначно связали комплексную форму ряда Фурье с рассмотренными ранее тремя другими формами.
C k .
ak
1T 1T f (t )(cos kZt j sin kZt )dt f (t ) e jkZt dt ³ ³ T0 T0
x
C k . (7.11) 1)
x
Величина C k – комплексное число, зависящее от частоты, т. е. x
Ck
x
C k ( jkZ)
Ck ( kZ)e
jD Ck
с, причем Ck (kZ) – модуль данного комплекс-
ного числа, а D ck – его аргумент. Используя (7.7), получим: x
Ck
a k jbk 2
A j k e jD k 2
x
Комплексные коэффициенты ряда C k ( jkZ) называются комплексным частотным спектром; модуль данной функции Ck (kZ) – амплитудным спектром f (t ) , а аргумент D C k – фазовым спектром м f (t ) . Спектры отображаются в виде отрезков вертикальных линий в определенном масштабе для точек Zk kZ , как показано на рис. 7.1, а и б.
Ak sin D k jAk cos D k 2 S
Ak j (D k 2 ) e 2
Сk (kZ) e
jD C k
.
S D k . На основании 2
Ak и D Ck 2
Отсюда следует, что Ck (kZ) (7.8) установим, что x
Сk
1 ak jbk 2 x
где приняты следующие обозначения:
Ck
x ½ x ½ Rе ®Ck ¾ j Im®Ck ¾ ¯ ¿ ¯ ¿
Рис. 7.1
ak jbk 2 =
Bk cos Ek j sin Ek 2
Bk jEk e 2
Ck (kZ)e
jD C k
,
т. е. Bk и DCk 2 Кроме того, из соотношения Ck (kZ)
350
x
Выражение для C k ( jkZ) из (7.11) является прямым преобразованием функции времени f (t ) в комплексную спектральную функцию дискретных значений частоты Zk , а f (t )
E k ; Bk
2Ck (kZ) .
f
ся ¦ C k e jkZt – называется
k f
обратным преобразованием: бесконечная сумма гармоник кратных частот, выраженных через экспоненты с мнимыми аргументами и комплексными коэффициентами. 351
Пример 1. Разложить в ряд Фурье последовательность импульсов (меандр), показанную на рис. 7.2.
x ½ a 4 2 Im®C k ¾ ; ak 0 ; 0 0 . n S 2 1 2 ¯ ¿ Амплитудный и фазовый спектры f (t ) построены на рис. 7.3, а и б соответственно. bk
Рис. 7.2
Используем некоторые свойства симметрии f (t ) . Ясно, чтоо § T· f ¨ t ¸ – симметрия отно2¹ © сительно оси абсцисс. Отсюда, согласно п. 5 параграфа о частных случаях симметрии f (t ) , получим:
f (t )
f (t ) – функция нечетная и f (t )
a0 2
0 ; a2 n1
0 ; b2 n1
8 T /4 sin(2n 1)Ztdt T 0³
4 . S(2n 1)
В итоге искомый результат составит f (t )
f
4
¦ (2n 1)S sin (2n 1)Zt ,
n 0 x
определение С k по (7.11): x
1T f (t )e jkZt dt ³ T0
T /2 2 e jkZt jkZT 0
При k
На рис. 7.3, б видно, что все гармоники имеют одинаковую § S· фазу ¨ ¸ . © 2¹ 7.3. Анализ установившихся несинусоидальных режимов в линейных цепях
Конечно, не представляет особого труда и непосредственное
Ck
Рис. 7.3
2 T / 2 jkZt e dt T ³0
Пусть к цепи, показанной на рис. 7.4, приложено периодическое м напряжение сложной формы u (t ) . Определим ток i (t ) при выбранном его направлении.
2 (1 ( 1) k ) . jkZT
2n 1 x
C 2 n 1
4 e jS / 2 (2n 1)ZT 352
S
j 2 e 2 ; S(2n 1)
Рис. 7.4 353
Для второго закона Кирхгофа получим di (t ) 1 ³ i (t ) dt . dt C Разложим u (t ) в ряд Фурье согласно форме (7.6), тогда Ri (t ) L
u (t ) U 0
f
¦ U m k sin( kZt D u k ) ,
k 1
В данном случае kZL – индуктивное сопротивление для k1 – емкостное сопротивление; X k X Lk X Ck – модуль ль гармоники; kZC реактивного сопротивления k-гармоники; Z k R jX k – комплексноее сопротивление для k-гармоники. В итоге найдем
где U 0 – некоторая постоянная составляющая, которая равна а0 / 2 ; U m k – амплитуды гармоник кратных частот; D u k – их начальные фазы. Другими словами, в цепи действует следующий ряд источников синусоидальных напряжений: u (t ) U 0 u1 (t ) u2 (t ) ... un (t ) ... Для нахождения частного решения исходного дифференциального уравнения (установившийся или вынужденный режим) применим принцип суперпозиции – см. третье свойство дифференциальных уравнений равновесия (гл. 1), т. е. будем считать, что реакция представима в виде ряда: i (t ) I 0 i1 (t ) i2 (t ) ... in (t ) ... В данном примере I 0
i (t )
f
¦ I m k sin(kZt Du k Mk ) .
k 1
Другими словами, для сложной формы воздействий может быть использован символический метод для каждой гармоники в отдельности. Пример 2. Рассмотрим конкретный случай воздействия u (t ) в виде u (t )
f
4
¦ (2n 1)S sin(2n 1)Zt ,
n 0
т. е. последовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 7.2), на цепь, представленную на рис. 7.4. Комплексная схема замещения цепи для k-гармоники показана на рис. 7.5.
0 . Ток i1 (t ) вызван действием u1 (t ) , i2 (t ) –
от действия u 2 (t ) и т. д. Так как составляющие напряжения uk (t ) изменяются по синусоидальному закону, то и реакции для каждой из них будут также синусоидальными, т. е. для
u k (t ) U m k sin kZt D u k
получим ik (t )
I m k sin (kZt D ik ) ; k 1, 2 , ...
Согласно методу комплексных амплитуд, примененному по отношению к каждой из гармоник в отдельности, получим: U mk Umk ; Imk 2 Zk 1 § · R 2 ¨ kZL ¸ kZC ¹ © 1 kZL kZC ; D Du k Mk . tg Mk ik R 354
Рис. 7.5
В данном случае
Zk
1 · § R j ¨ kZ L ¸ kZ C ¹ ©
k 2 n 1
Z 2 n 1e jM 2 n 1 2
º ª 1 jM 2 n 1 R «( 2n 1)Z L , » e ( 2 n 1 ) C Z ¼ ¬ 2
355
Для индуктивного элемента при воздействии u (t ) установим, что о
где (2n 1)ZL M
2 n 1
arctg
1 (2n 1)ZC
R Комплексная амплитуда тока k-гармоники равна
I m1
.
I m 2 n1
U m 2n1 Z 2 n 1 1 ( 2 n 1) ZC R
( 2 n 1) ZL
4 (2n 1)S
Ответ:
1 ª º 1 R 2 «(2n 1)ZL ( 2n 1)ZC »¼ ¬
i (t )
2
e
ZL
; Imk
U mk kZL
j arctg
I m1
.
f
¦ I m 2n1 sin>(2n 1)Zt M2n 1 @ ,
ZCU m1 ; I m k
I m 2 n1
4 S 2n 1
1 ª º 1 R 2 « 2n 1 ZL 2n 1 ZC »¼ ¬
2
.
Пусть воздействием является напряжение, представленное в виде ряда Фурье: f
¦ U m k sin(kZt Du k ) .
k 1
Рассмотрим ток в резисторе для каждой из его гармоник:
I m1
U m1 R
; Imk
Umk R
;
Imk
Umk
I m1
U m1
,
откуда можно констатировать, что кривые тока и напряжения на резисторе подобны, поскольку соотношения амплитуд гармоник сохраняются неизменными. 356
1 Umk , k U m1
I m1
Imk I m1
k
Umk U m1
,
т. е. высшие гармоники тока «подчеркиваются», и кривая тока будет более искажена, чем форма кривой напряжения. Таким образом, для цепи, показанной на рис. 7.6, а получим кривые токов элементов, представленные на рис. 7.6, б, в, г и д соответственно.
7.4. Влияние цепи на форму кривых напряжения и тока в случае сложной формы воздействия
U (t )
Imk
kZCU m k ;
n 0
где
;
т. е. высшие гармоники тока «сглаживаются» (затухают) с ростом индекса k. Кривая тока по отношению к напряжению выглядит более «сглаженной». Для емкостного элемента получим:
x
x
U m1
Рис. 7.6 357
Рассмотрим дуальный случай: цепь является последовательным RLC-контуром (рис. 7.7, а), форма кривой тока источника показана на рис. 7.7, б.
7.5. Действующие значения периодических несинусоидальных токов, напряжений и электродвижущих сил в цепях Согласно определению действующих значений периодических величин U
1T 2 u (t )dt ; I T 0³
1T 2 i (t )dt ; E T ³0
1T 2 e (t )dt . T 0³
В случае одной гармоники 1 1 1 Um ; I Im ; E Em . 2 2 2 Представим произвольную периодическую функцию, например напряжения, рядом Фурье в форме (7.6), т. е. U
u (t ) U 0
f
¦ U m k sin(kZt D u k )
k 1
U0
f
¦ uk (t ) ,
k 1
где u k (t ) U m k sin( kZt D u k ) . Рассчитаем подкоренное выражение для U 1T 2 ³ u (t )dt T0
2
f º 1Tª u u k (t ) » dt ¦ 0 ³ « T 0¬ ¼ k 1
ª º f » 1T« f 2 u (t ) ¦ u q (t )u p (t )» dt = T ³ « k¦0 k q, p 0 0« » qz p ¬ ¼
1 T
f T
f
T
1 ¦ ³ u k2 (t ) dt T ¦ ³ u q (t )u p (t ) dt . k 00 q, p 0 0 qz p
Кривые напряжений на элементах R, L и C (рис. 7.7, в, г, д) являются дуальными к соответствующим кривым токов элементов рис. 7.6.
В последнем выражении операции суммирования по индексу и интегрирования по времени являются взаимно независимыми и поэтому допускают изменение последовательности их выполнения. По определению, как несложно проверить, ортогональность гармонических функций и их периодичность сводят вторую группу слагаемых к нулю. В итоге получаем
358
359
Рис. 7.7
1T ¦ T ³ u 2 k (t ) dt k 0 0 f
U
Несложно получить и выражения для коэффициентов ряда Фурье:
f
U k2 k 0
¦
,
(7.12)
ak
где U k – действующие значение k-гармоники напряжения. Другими словами, из (7.12)
U
U 02
U12
U 22
... ; I
I
2
2 2 0I 1I 2
... .
ak | (7.13)
Итак, действующее значение функции в случае сложной формы кривой есть корень квадратный из суммы квадратов действующих значений гармоники.
2
m't
m
T ; 't n
T ; n
T T 2 n 2 n ¦ U m cos k Z m ; bk | ¦ U m sin k Z m . nm 1 n nm 1 n
Примечание. Средние значения периодических величин могут иметь различные формы, например: а) среднее арифметическое значение (постоянная составляющая ряда Фурье) U ср
Пример 3. Пусть u (t ) 1 2 sin Zt 2 2 sin( 2Zt 30$ ) . Найти действующее значение напряжения U. Согласно определению, 2
2T f (t ) cos kZtdt ; t T 0³
1T f (t )dt ; T ³0
a0 2
б) среднее по модулю значение U ср.мод
2
U 1 1 2 6 В. По кривой сложной формы можно приближенно определить ее действующее значение, как это следует из рис. 7.8.
1T u (t ) dt t U ср T ³0
a0 ; 2
в) среднее максимальное значение за Т/2 (половину периода) U ср max
2 T
t1 T / 2
³ u (t )dt ,
t1
причем t1 выбирается так, чтобы получить максимальное значение результата. 7.6. Расчет полной мощности и ее составляющих в цепи в случае сложных форм кривых напряжения и тока
Рис. 7.8
Разбиваем T на n равных участков величиной 't каждый, тогда T . По определению действующих значений, заменяя интегрироn вание суммированием, найдем:
Пусть имеются периодические величины u(t) и i(t) сложных форм:
't
U
1T 2 1 n 2 u (t )dt | ¦U m , ³ T0 nm 1
u (t ) U 0
f
¦ U m k sin( kZt D u k )
k 1
f
¦ u k (t )
k 1
и i (t )
I0
f
¦ Imk
k 1
sin( k Z t D i k )
где U m – ординаты границ участков. 360
U0
361
I0
f
¦ ik ( t ) .
k 1
Среднее значение мощности (активная мощность) за период T составляет
>
1 ³ u (t )i(t )dt , T0
Pср
T 1 U m k I m k ³ sin 2 ( kZ t D u k ) cos M k dt T 0
причем мгновенная мощность p(t ) u (t )i(t ) (подынтегральное выражение) дает p(t ) U 0 I 0
f
f
k 1
q, p 0 qz p
¦ uk (t )ik (t ) ¦ uq (t )i p (t ) .
Pср
f
Pср k
T
1 1 u k (t )ik (t )dt ¦ ³ u q (t )i p (t )dt ³ q, p 0 T 0 1T 0
U0I0 ¦ k
T
f
(7.14)
k 1
где принято, что M k D u k D ik – угол сдвига (разность фаз) между напряжением и током k-гармоники, а под знаком суммы стоит ряд активных мощностей всех гармоник; вторая группа слагаемых в силу ортогональности гармонических функций дает нулевое значение. Действительно, для средней (активной) мощности k-гармоники имеем:
1 u k (t )ik (t ) dt T ³0
T 1 U m k I m k ³ sin( k Z t D u k ) sin( k Z t D i k ) dt T 0
U mk Imk T U mk Imk T
T
³ sin( kZ t D u k ) sin( kZ t D u k 0
T
³ sin( kZ t D u k ) u 0
362
M k ) dt
³ sin( kZ t D u k ) cos( kZ t D u k ) sin M k dt . 0
U mk I mk cos M k T 2
³ >1 cos 2(kZt D u k )@dt
T
U k I k cos Mk ,
0
1T ³ u (t )i (t )dt T0
Pср
f
x
¦
k f f x
¦ C u k C ik
k f
T
Pср k
T
T
что и требовалось показать (интеграл от косинуса по периоду обращается в нуль). Данный вывод можно повторить и для комплексной формы ряда Фурье.
qz p
U 0 I 0 ¦U k I k cos Mk ;
U mk Imk
Второй член дает нуль (ортогональность), а первый член приведет к выражению
Таким образом, f
@
u sin( k Z t D u k ) cos M k cos( k Z t D u k ) sin M k dt
T
f
C uk
1T f x jkZt ³ ¦ C u e i (t )dt T 0 k f k 1T i(t )e jkZt dt ³ T0
x
Um Im ¦ 2 k ( j ) 2 k ( j ) k f
1 f ¦ U k I k e jM k 2 k f
1 f x U mk I mk ¦ 4 k f
f
¦ U k I k cos Mk U 0 I 0 .
k 1
В последней сумме учтено, что косинусные функции при суммировании удваивают результат, а синусные сокращаются. Реактивная мощность цепи составляет: Pr
f
¦ Prk
k 1
f
¦ U k I k sin M k .
k 1
(7.15)
Полная мощность цепи есть произведение действующих значений I и U, т. е. P IU . 363
Можно ввести и коэффициент мощности
Pср
cos M
I 0U 0
P2
f
¦ U k I k cos M k
k 1
(7.16)
. P IU Рассмотрим связь составляющих мощности в случае сложных форм кривых u(t) и i(t). Возведем в квадрат выражения для P ср и Pr согласно (7.13) и (7.14) Pср2
Pr2
f
f
где D 2 – квадрат некоторой мощности искажения, обязанной присутствию гармоник ряда Фурье. Рассмотрим численный пример. Пример 4. Известны выражения для напряжения и тока: u (t ) 5 3 cos(Zt S / 3) и i (t ) 1 2 cos(Zt S / 6) . Определить все составляющие мощности и коэффициент мощности. Согласно сказанному выше
¦U k2 I k2 cos2 Mk ¦U p I pU q I q cosM p cosMq ;
k 0
p ,q 0 p zq
f
f
U k2 I k2 sin 2 M k k 1
¦
Pср
S 3 2 cos 6 2 2
5
¦ U p I pU q I q sin M p sin Mq .
p, q 1 pzq
f
f
k 0
p,q 0 pz q
U2
f
¦ U k2 I k2
k 0
p ,q 0 pzq
Разность между полученными квадратами дает: P
2
( Pср2
Pr2 )
f
¦
U 2p I q2 p, q 0 pzq
Pср2 Pr2
D2
(U p Iq Uq I p )2 t 0 ; U p2 I q2 Uq2I p2 2U p IqUq I p t 0 .
Отсюда U p2 I q2 U q2 I 2p t 2U p I qU q I p
для любых p и q. Наличие косинуса лишь усиливает неравенство. В результате установим, что 364
88,5 BA 2 .
(5 1,5 3 ) 2 1,52
34 15 3 .
¦ >U 2p I q2 U pU q I p I q cos(M p Mq )@ 1
p, q 0 pzq
¦U p I pU q I q cos(M p Mq ) t 0 ,
что следует из рассмотрения любого члена ряда при учете соотношения
U 2I 2
Отсюда мощность искажения (ее квадрат):
f
p, q 0 pzq
1 2 3 A2 .
Однако
f
¦ U 2p I q2 .
1 1,5 ВАр ; 2
Полная мощность (квадрат) составляет: P2
Квадрат полной мощности P с учетом (7.12) и (7.13) составит:
5 1,5 3 Bт ;
25 4,5 29,5 B2 ; I2
¦U k2 I k2 ¦U p I pU q I q cos (M p Mq ) .
P2
3
Pr
После суммирования получим: Pср2 Pr2
Pср2 Pr2 D 2 ,
54,5 15 3
ВА А2 .
В результате квадрат полной мощности окажется равным:
P2
D 2 Pср2 Pr2
34 15 3 54,5 15 3 88,5 BA 2 ,
что совпадает с полученной выше величиной. Согласно (7.16) cos M
Pср P 365
5 1,5 3 . 88,5
7.7. Понятие об эквивалентных синусоидах тока и напряжения для сложных форм кривых
а) коэффициент формы (в знаменателе – величина средняя по модулю)
Определение. Эквивалентной синусоидой тока или напряжения называется такая синусоида, действующее значение которой равно действующему значению в случае сложной формы кривой, а частота равна частоте первой гармоники. Итак,
Kф
величина
f
¦ I m k sin (kZt D ik ) ;
i (t )
k 1
I I12 I 22 ... I э . Эквивалентная синусоида тока составит iэ (t )
I э 2 sin (Zt M э ) .
Действующее значение Средняя
Uэ , нужно ввести поправку А, Z
A
Iэ Z1 Uэ
Z1
;
S
Ka
max значение Действующее значение
U max 1T 2 u (t )dt T 0³
;
в) коэффициент пульсаций Амплитуда наибольшей гармоники . Постоянная составляющая В частности, K п находит широкое применение при оценке качества работы выпрямителей, фильтров, стабилизаторов и т. п. нелинейных устройств. Kп
Uэ A , откуда Z
причем I э
1T u (t ) dt T 0³
| 1,11; 2 2 б) коэффициент амплитуды
для синусоиды K ф
В отношении эквивалентных синусоид I э и U э нельзя в общем случае применять закон Ома, т. е. I э z
1T 2 u (t )dt T 0³
I12 I 22 ... U12 U 22 ... 2
Z1
U12 U 22 Z12 Z 22 U12 U 22 ...
7.8. Проблема высших гармоник питающей сети промышленной частоты
2
§Z · §Z · U 12 U 22 ¨¨ 1 ¸¸ U 32 ¨¨ 1 ¸¸ ... Z © 2¹ © Z3 ¹ . 2 2 U 1 U 2 ...
Если Z k – активное сопротивление, т. е. Z k Z для любогоо k, тогда А = 1. Последнее обстоятельство возможно только для R-цепей или случаев резонанса. В общем случае разность фаз синусоид Mэ отличается от сдвига фаз между сложными формами кривых. Сложную форму кривых характеризуют следующие коэффициенты. Так, для кривой напряжения u (t ) получим:
Хорошо известно, что правильная и устойчивая работа всех потребителей электроэнергии рассчитана на использование синусоидального (косинусоидального) напряжения чистой (математической) формы. На практике же нелинейные свойства таких приемников энергии, как компьютеры, офисное оборудование, разрядные осветительные лампы, различного рода выпрямительные устройства, телевизионные приемники, микроволновые печи и т. п. оборудование, являются причиной появления третьей (150 Гц), пятой (250 Гц), седьмой (350 Гц) и других гармоник, накладывающихся на исходную форму первой гармоники.
366
367
Для трехфазной питающей сети, где, например, только разрядные лампы могут вносить по третьей гармонике до 30 % величины фазного тока, наблюдается неблагоприятная ситуация, когда в нейтральном проводе величина дополнительной нагрузки возрастает до 90 % только благодаря этим искажениям. Как следствие – сечение нейтрального провода должно быть равным сечениям фазных проводов. Суммирование третьей гармоники иллюстрируется на рис. 7.9, где для простоты иллюстрации приняты единичные частота и амплитуды гармоник основной частоты. На верхнем рисунке штриховой линией отмечена третья гармоника. Ее амплитуда возрастает до 0,9 от единичной, причем при действии каждого фазного напряжения в отдельности максимальное значение амплитуды составляет 0,3 (на остальных рисунках). Негативные последствия при искажениях формы кривой питающего напряжения сказываются на всей сети в виде дополнительного нагрева нейтрального провода и повышения риска порчи изоляции самого кабеля, увеличения потерь энергии, усиления вредных электромагнитных полей, усиления перекрестных влияний различных частей аппаратуры. В трансформаторах возрастают потери мощности, возникает риск резонансных явлений, снижается надежность и долговечность работы вследствие роста температуры, шумов и других факторов. Аналогичные явления наблюдаются и в реальных конденсаторах. Различные дисфункции работы имеют место у компьютеров, электронного оборудования и реле, сигнальных систем (охраны, оповещения), управляющей аппаратуры и т. д. Поскольку наиболее серьезные последствия возникают от третьей гармоники, то одним из основных приемов борьбы с этим явлением является включение фльтра, настроенного на 150 Гц, в нейтральный провод согласно рис. 7.10. Пятая, седьмая и гармоники более высоких порядков, если они вносят существенные искажения, также удаляются фильтрами, настроенными соответственно на 250, 350 Гц и т. д.
Третья гармоника
Рис. 7.9 368
369
Глава 8. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ 8.1. Общие положения
Рис. 7.10
Вопросы для самопроверки 1. Какие формы разложения в ряды Фурье необходимо рассмотреть? 2. Как они связаны между собой (п. 1)? 3. Какие возможны частные случаи симметрии исходных периодических кривых? 4. Что такое амплитудный и фазовый спектры сигналов? 5. Как влияет характер соединения элементов цепи на формы кривых напряжения и тока? 6. Как анализировать цепь при периодических сигналах произвольной формы в установившемся режиме? 7. Как определить действующие значения периодических несинусоидальных величин? 8. Как рассчитать среднюю мощность при несинусоидальных зависимостях напряжения и тока? 9. Что такое мощность искажения? Как ее оценить? 10. Как найти составляющие мощности для несинусоидальных режимов? 11. Что такое коэффициент мощности при произвольных формах кривых напряжения и тока? 12. Что такое эквивалентные синусоиды напряжения и тока? 13. Какие коэффициенты характеризуют несинусоидальную форму кривой? 14. В чем проблема третьей гармоники в сетях трехфазного напряжения? 370
Рассмотренные выше методы анализа электрических цепей и систем необходимо дополнить сравнительно новым подходом, получившим широкое распространение в последнее время. Речь идет о непосредственном исследовании системы дифференциальных уравнений первого порядка (так называемой системы Коши). Излагаемый ниже метод особенно удобен при описании как линейных, так и нелинейных, нестационарных (аналоговых и дискретных) устройств. Подход ориентирован на использование ЭВМ. Ранее уже было введено понятие передаточной функции. Представим себе цепь с пятью входами и пятью выходами. В этом случае необходимо анализировать 25 системных функций, а предлагаемый ниже метод дает единое матрично-векторное уравнение. Если ранее рассматривался довольно ограниченный класс входных воздействий (постоянные, импульсные и гармонические), то теперь будут предполагаться воздействия произвольной формы, причем легко могут быть учтены и начальные (в общем случае ненулевые) условия. Предлагаемая ниже методика дополняет и расширяет возможности известных подходов. Введем некоторые понятия и определения. Определение. Состоянием электрической цепи в момент времени t0 называется такой набор сведений о поведении системы, которого вместе с некоторыми возможными воздействиями, заданными при t 0 d t d t j , достаточно для однозначного определения выходного сигнала для t 0 d t d t j при любом t0 d t . Обычно используется каноническое представление –минимальный набор упомянутых сведений. Как правило, за переменные состояния принимаются токи в индуктивностях и напряжения на емкостях цепи, хотя в принципе могут быть использованы любые иные переменные. Рассмотрим линейную многополюсную цепь с L- и C-элементами, вынесенными наружу (рис. 8.1). Внутри имеются R-элементы и зависимые источники напряжения и тока любых типов, рассмотренных выше. Кроме независимых источников u0 (t ) и i0 (t ) примем, что о iL (t ) и uC (t ) 371
также относятся к возбуждениям, а переменные u L (t ) и iC (t ) – к реакциям цепи. Тогда согласно принципу наложения получим
iC (t ) auC (t ) biL (t ) fu0 (t ) di0 (t ) ; ® ¯u L (t ) a1uC (t ) b1iL (t ) f1u0 (t ) d1i0 (t ) , где a, b, f , d , a1 , b1, f1 и d1 – некоторые коэффициенты, определяемые параметрами элементов цепи.
матрица динамики цепи
> A@
ª a11 a12 º «a » ; ¬ 21 a22 ¼
матрица входов
ªb11 b12 º «b »; ¬ 21 b22 ¼ матрица-столбец переменных состояния
>B @
ªuC (t )º « i (t ) » ¬ L ¼
>x(t )@ ;
матрица-столбец источников
ªu0 (t )º « i (t ) » ¬0 ¼
>u (t )@ ;
тогда
d >x(t )@ dt
Рис. 8.1
> A@>x(t )@ >B@>u (t )@ .
(8.1)
Поскольку du C (t ) di (t ) ; u L (t ) L L , dt dt то, разделив первое уравнение на С, а второе на L , найдем iC (t )
C
b f d duC (t ) a uC (t ) iL (t ) u0 (t ) i0 (t ) ; °° dt C C C C ® ° diL (t ) a1 uC (t ) b1 iL (t ) f1 u0 (t ) d1 i0 (t ) . ¯° dt L L L L Введем новые обозначения коэффициентов и представим уравнения в матричной форме: a b a1 b1 ; a12 ; a21 ; a22 ; a11 C C L L f d f1 d1 ; b12 ; b21 ; b22 . b11 C C L L Обозначим и назовем согласно терминологии теории систем следующие матрицы: 372
Иногда интересующие нас реакции не являются непосредственно переменными состояния. В этом случае к матричному уравнению (8.1) добавляется вторая система уравнений алгебраического типа:
> y (t )@ >C @>x(t )@ >D @>u (t )@ ,
(8.2)
где > y (t )@ – матрица реакций цепи; >C @ – матрица выходов; >D@ – матрица прямой передачи (вход на выход); размерности: > A@ – nxn, >B @ – nxm,
>C @ – pxn, >D@ – pxm.
Уравнения (8.1) и (8.2) называются системой уравнений по методу переменных состояния. 8.2. Иллюстративные примеры Пример 1. Для цепи, показанной на рис. 8.2, составить систему уравнений по типу (8.1) и (8.2). 373
Отсюда, разделив уравнения на С1 , С2 и L соответственно и вводя одя нужные матрицы, получим:
ªu1 (t ) º d « u 2 (t )» « » dt «¬i L (t ) »¼
Рис. 8.2
Заменим на основании теоремы замещения ветви емкости источниками напряжения, а индуктивности – источниками токов. Стрелками указаны выбранные ориентации токов ветвей. Получим схему, представленную на рис. 8.3.
ª G1 « C « 1 « 0 « « 1 « ¬ L
G2 C2 1 L
1º ª G1 º C1 » ªu (t ) º « C » » 1 « 1» 1 »« » u 2 (t ) «0 » u 0 (t ) . » C2 » « « » » «¬i L (t ) »¼ «0 » 0 » «¬ »¼ ¼
0
Если считать, что, например, в данном случае реакцией является iR2 (t ) G2u 2 (t ) , тоо
ªu1 (t ) º iR2 (t ) >0...G2 ...0@ «u2 (t )» >0@u (t ) . « » ¬«iL (t ) ¼» Рис. 8.3
Пример 2. Составить уравнения состояния для цепи шестого порядка (рис. 8.4), принимая iвых (t ) за искомую реакцию цепи.
По законам Кирхгофа найдем: i1 (t ) u0 (t ) u1 (t ) G1 iL (t ) ; ° ®i2 (t ) iL (t ) G2u 2 (t ) ; ° 1 ¯u L (t ) u1 (t ) u 2 (t ) ; G1 R1 ; G2
R21.
Данную систему уравнений можно представить в виде (8.2) согласно вольт-амперным характеристикам С- и L-элементов
du1 (t ) u0 (t ) u1 (t ) G1 iL (t ) ; °C1 dt ° ° du2 (t ) iL (t ) u2 (t ) G2 ; ®C2 dt ° ° diL (t ) u1 (t ) u2 (t ) ; G1 R11 ; G2 °¯ L dt 374
Рис. 8.4
R21.
На схеме приняты следующие значения параметров элементов: акR1 R2 1 Ом , C1 C2 C3 1 Ф , L1 L2 L3 1 Гн . Заменим реактивные элементы источниками напряжений и токов выбранных полярностей и ориентаций (рис. 8.5). 375
Рис. 8.5
Из уравнений Кирхгофа для рис. 8.5 следует система i1 (t )
Рис. 8.6
i4 (t ) i5 (t ) ;
i2 (t ) i5 (t ) i6 (t ) ;
8.3. Решение уравнений состояния
i3 (t ) i6 (t ) G2u3 (t ) i6 (t ) u3 (t ) ; u 4 (t ) u (t ) u1 (t ) R1i4 (t )
Возвратимся к матричному уравнению (8.1). Перепишем его заново:
u1 (t ) i4 (t ) u (t ) ;
d >x(t )@ dt
u5 (t ) u1 (t ) u2 (t ) ; u6 (t ) u2 (t ) u3 (t ) . Составим матричную запись по формам уравнений (8.1) и (8.2)
ªu1 (t ) º «u (t )» « 2 » d «u3 (t ) » « » dt «i4 (t ) » «i5 (t ) » « » «¬i6 (t ) ¼»
0 0 1 1 0 º ªu1 (t ) º ª0º ª0 «0 0 0 0 1 1» ««u 2 (t )»» «0» « » « » «0 0 1 0 0 1 » «u3 (t ) » «0» » « » u (t ) ; « »« 0 » «i4 (t ) » «1 » « 1 0 0 1 0 « 1 1 0 0 0 0 » «i5 (t ) » «0» » « » « »« 0 ¼ ¬«i6 (t ) ¼» ¬0¼ ¬ 0 1 1 0 0
> A@>x(t )@ >B@>u (t )@.
d >x(t )@ >A@>x(t )@, то решение данного уравнеdt ния приведет к составляющей реакции при нулевом входе. Таким образом, Если >u (t )@
>0@, то
>x(t )@
t 0
>x0 @ .
Представим искомое решение в виде ряда Тэйлора около точки
t
0
:
>x(t )@ >x0 @ >x0c @ t >x0cc @ t
2
2!
>x0ccc@
t3 ... , 3!
причем
>x0c @ iвых (t ) >0 0 1 0 0 0@>x(t )@ ; >D@ >0@. Функциональная схема, согласно уравнениям (8.1) и (8.2), приведена на рис. 8.6. 376
>x0cc @
d >x(t )@ dt
t 0
>A@>x0 @ ;
d >xc(t )@ > A@>xc(t )@ >A@ 2>x0 @ ; t 0 t 0 dt >x0ccc@ d >xcc(t )@ >A@ 3 >x0 @ . t 0 dt 377
В результате подстановок производных в >x(t )@ получим:
>x(t )@
Для уравнения (8.2) получим
> y (t )@ >C @>x(t )@ >D@>u (t )@ >C @e> A@ t >x0 @
2 3 · § ¨ >1@ > A@t > A@ 2 t > A@ 3 t ...¸ >x0 @ e> A@ t >x0 @ , ¸ ¨ 2! 3! ¹ ©
где e> A@t – матричная экспонента, матричный экспоненциал. В теории систем она называется фундаментальной матрицей и обозначается следующим образом: Ф(t ) e> A@ t .
В этом случае уравнение для >x(t )@ при нулевом входе примет обобщенный вид: >x(t )@ Ф(t )>x0 @ . При нулевом начальном состоянии >x0 @ >0@ решение будем искать в виде произведения >x(t )@ e> A@ t >q(t )@ Ф(t )>q(t )@. Итак, для некоторой пока неизвестной матрицы >q(t )@ получим:
>A@e> A@ t >q(t )@ e> A@ t >qc(t )@ > A@e> A@ t >q(t )@ >B@>u (t )@.
>
³ >C @e t
> A@ t W >B @ >D@G (t W) >u (W)@ dW , 0
0
где матрица [D] внесена под знак интеграла с учетом свойства выборки сингулярной функции G 0 (t ) (о семействе сингулярных функций см. в учебниках по ТОЭ). Если начальные условия нулевые, то получим одну из возможных форм интеграла наложения: t
> y (t )@ ³ >h0 t W @>u (W)@dW , 0
откуда легко получить выражение для импульсной характеристики:
>h0 (t )@ >C @e> A@ t >B@ >D@G0 (t ) .
(8.4)
Пример 3. Для цепи, показанной на рис. 8.7, с начальным током в индуктивности при постоянном воздействии u t U определить i(t).
После сокращения одинаковых членов найдем: e> A@ t q ' (t )
@
>B @>u (t )@ ; > qc(t )@ e > A@ t >B@>u (t )@. Отсюда искомая матрица >q (t )@ определится из выражения t
>q(t )@ ³ e > A@ W>B@>u (W)@dW , 0
где введена переменная интегрирования . В результате найдем решение уравнения (8.1) при нулевом состоянии:
>x(t )@
t
e> A@ t ³ e > A@ W >B @>u (W)@ dW .
t
0
378
t
Полное решение будет иметь следующий вид:
e > A@ t >x0 @ ³ e > A@(t W) >B @>u (W)@ dW .
В главе о переходных процессах был получен следующий результат:
U § U· L iL (t ) ¨ iL 0 ¸ e W ; W . R © R¹ R После перегруппировки членов в данном уравнении найдем
0
>x(t )@
Рис. 8.7
(8.3)
e
iL (t ) iL 0
t W
379
t · U ¨§ W 1 e ¸. ¸ R¨ © ¹
Первое слагаемое соответствует реакции при нулевом входе, а второе – при нулевом состоянии согласно уравнению (8.3). Глава 9. ОПЕРАТОР О. ХЕВИСАЙДА И ВРЕМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Вопросы для самопроверки 1. Что такое метод переменных состояния? 2. В чем заключаются положительные качества данного метода? 3. Как составить систему уравнений по методу переменных состояния? 4. Как получить общее аналитическое выражение для решения составленной системы дифференциальных уравнений? 5. Что такое фундаментальная матрица системы? 6. Как выглядит интеграл наложения?
9.1. Общие положения Ранее были введены оператор дифференцирования p x и ему обратный (инверсный) – оператор интегрирования p 1 x
³ x dt ,
причем было принято, что p x p 1 x p 1 x p x – тождественный оператор. Применим эти операторы к полученной выше системе дифференциальных уравнений: d >x t @ dt тогда
>A@>x t @ >B@>u t @ ,
p >x t @ > A@>x t @
(9.1)
>B@>u t @
или
>x t @ p>1@ >A@ 1>B@>u t @ , где в правой части содержится инверсия разности матриц в круглых скобках; [1] – единичная матрица. Учет второй (алгебраической) системы по методу переменных состояния приведет к матричному соотношению
> y t @ >C @>x t @ >D @>u t @ ^>C @ p>1@ >A@ 1>B@ >D@`>u t @ .
(9.2)
Определим важнейшие временные характеристики цепи (системы). В частности, при воздействии вектора сигналов u t >G1 (t ) @ – матрицы единичных ступенчатых функций (функций О. Хевисайда) – при нулевых начальных условиях получим матрицу переходных характеристик цепи (системы):
>h1 (t )@ 380
^>C @ p>1@ >A@ 381
1
>B@ >D@`>G1 (t )@ ,
(9.3)
а при воздействии в виде u t >G0 (t )@ единичных импульсных функций (импульсы Дирака) найдем импульсные характеристики
>h0 (t )@ ^>C @ p>1@ > A@ 1>B@ >D@`>G0 (t )@ .
(9.4)
Но поскольку G1 (t ) p 1^ G 0 (t ) `, то и >h1 (t )@ p 1^ >h0 (t )@ `. Заметим также, что выражения в фигурных скобках (9.2)–(9.4) представляют собой матрицу системных функций в дифференциальной операторной форме – так называемый матричный (в данном случае) оператор О. Хевисайда.
Пример 1. Определить операторные выражения для переходной и импульсной характеристик по току i(t) и напряжению на емкостном элементе uC (t ) цепи из последовательного соединения R-, C-элементов и источника напряжения (принимаются нулевые начальные условия). Обратимся к исходному дифференциальному уравнению
u C (t )
x (t ) ; > y (t ) @
>u C (t ), i (t )@ t ; >A@
^
`
1 >B @ ; >C @ RC
u (t ) ; u C (t )
1 RC
>1, Cp @ t ; >D @ >0 @ ,
u (t ) . 1 p RC
Для тока в цепи найдем
1 p^u (t ) ` . R p 1 RC Используя в виде входных воздействий единичные ступенчатую и импульсную функции, определим искомые характеристики цепи: i (t ) Cp^ uC (t ) `
382
u (t ) ;
p D x(t )
u (t ) ; x(t )
1 u (t ) . pD
(9.5)
Прямым дифференцированием несложно установить, что
e Dt p D x(t ) Отсюда следует, что x(t )
u (t ) .
где t – значок транспозиции матриц. После учета оператора дифференцирования получим RCp u C (t ) u C (t )
Остается определить способ перехода от операторных выражений к явным функциям времени. Для этого начнем рассмотрение с дифференциального уравнения первого порядка dx(t ) Dx(t ) dt
9.2. Иллюстративные примеры
du (t ) u R (t ) u C (t ) u (t ) ; RC C u C (t ) dt В соответствии с (9.1) здесь
1 G 0 (t ) 1 G1 (t ) ; ; h0uC (t ) 1 1 RC RC p p RC RC 1 G 0 (t ) 1 pG 0 (t ) ; h0i (t ) . h1i (t ) 1 1 R R p p RC RC
h1uC (t )
e Dt u (t )
e Dt
^
`
p e Dt x(t ) .
^
`
1 Dt e u (t ) . p
(9.6)
Обобщим данный результат и распространим на выражение (9.1) c учетом (9.6): p>1@ >A@ >x(t )@ >B@>u (t )@;
e > A@ t p >1@ > A@ >x (t )@ e > A@ t >B @>u (t )@ Отсюда несложно установить, что
>x(t )@
e> A@ t p 1>1@ e > A@ t >B @>u (t )@
^
`
p >1@ e > A@ t >x(t )@ .
p>1@ >A@ 1>B@>u (t )@.
(9.7)
В предшествующем соотношении и выражении (9.7) введена так называемая матричная экспонента exp([A]t), упоминавшаяся выше и представляющая собой матрицу, членами которой являются обычные экспоненты. Если принять, что u t G0 t , >B @ >1@, тоо
p >1@ > A@ 1>G0 (t )@ 383
e> A@ t > G1 (t ) @ .
(9.8)
Формулу (9.7) можно представить и в явном виде через матрицу интегралов:
>x(t )@
t
e> A@ t ³ e > A@ W >B @>u (W)@ dW 0
t
³e
> A@ t W >B @>u W @ dW .
0
Согласно выражению (9.2) с учетом (9.4) получим
> y (t )@ ³ >C @e> A@ t W >B@ >D @G0 t W >u W @dW . t
Рис. 9.1
0
Пример 2. Определить явные выражения для переходных и импульсных характеристик реакций предыдущего примера; построить диаграммы мгновенных значений. 1
1 § 1 · ¸ G1 t ¨p RC © RC ¹
h1uC (t )
h0uC t
1
1 § 1 · ¸ G 0 t ¨p RC © RC ¹
h1i t
h0i t
1 pG1 t R p 1 RC
t t · 1 RC 1 §¨ RC e e G1 t ¸ ¸ RC p¨ © ¹ t t · 1 RC 1 §¨ RC e e G 0 t ¸ ¸ RC p¨ © ¹
§ · 1¨ 1 1 ¸ ¨1 ¸ G1 t R ¨ RC p 1 ¸ ¨ ¸ © RC ¹
t · § ¨1 e RC ¸G t ; ¸ 1 ¨ © ¹ t
1 RC e G1 t ; RC t
1 RC e G1 t ; R
Рис. 9.2
На рис. 9.2 блок «1/p» выполняет функцию интегрирования входной суммы сигналов u t Dx t . Блок «D» увеличивает сигнал x t в D раз, блок «+» производит суммирование сигналов. Формула (9.6) также представима в виде функциональной схемы (рис. 9.3), но уже для нерекурсивной формы модели, где нет влияния выходного сигнала на вход.
· § t G0 t 1¨ 1 1 ¸ 1 RC ¸ G 0 t ¨1 2 e G1 t . R ¨ RC p 1 ¸ R R C ¸ ¨ RC ¹ ©
Временные диаграммы полученных характеристик представлены на рис. 9.1. Выражение (9.6) может быть интерпретировано простой функциональной схемой, показанной на рис. 9.2, где представлена так называемая рекурсивная форма модели системы (часть выходного сигнала поступает на вход) 1 p^x t ` u t Dx t ; x t ^u t Dx t `. p 384
Рис. 9.3
Здесь имеется интегратор и два умножителя сигналов – блоки «ґ». Указанные выше структуры легко реализуются электронными компонентами с использованием зависимых источников напряжения и тока. 385
9.3. Разложения оператора О. Хевисайда В простейшем случае скалярный оператор О. Хевисайда связывает две временные функции u(t) и x(t) согласно соотношению: x(t ) H p u t . Если H(p) можно представить в виде произведения H p H1 p H 2 p ... H n p , то функциональная схема примет следующий вид (рис. 9.4).
e Dt e Dt G1 t
§ 1 1 · 2p ¨¨ ¸¸ G 0 t G 0 t , 2 p D2 © pD pD¹ при этом можно получить ряд полезных выражений для гиперболических и тригонометрических функций. Так, например, для гиперболического косинуса найдем: ch Dt G1 t положив D синуса:
p 2
p D2
jJ , установим соотношение для тригонометрического коp
cos Jt G1 t
Рис. 9.4
При другом возможном и распространенном способе разбиения на сумму слагаемых H p
m
¦ H r p
r 1
получим схему, указанную на рис. 9.5.
G 0 t ;
G 0 t . p J2 Аналогично, используя разность экспонент, несложно установить выражения для гиперболического и тригонометрического синусов: sh Dt G1 t
D
2
2
G 0 t ; sin Jt G1 t
J
G 0 t . p D p J2 С другой стороны, можно суммировать и вычитать экспоненты с комплексными аргументами: 2
2
e D jZ t r e D jZ t G1 t
§ · 1 1 ¨¨ r ¸¸ G 0 t . © p D jZ p D jZ ¹ При суммировании установим, что e Dt cos Zt G1 t
pD
p D 2 Z2
G0 t ,
а при вычитании получим e Dt sin Zt G1 t Рис. 9.5
Практикуются и иные способы разбиения H(p) на блоки: гибридный, с обратными связями и т. п. Поскольку из общего соотношения (9.8) следует взаимосвязь экспоненциальных и дробно-рациональных функций от p, то 386
Z
p D 2 Z2
G0 t .
Отсюда следует вывод о том, что несложно вывести известные таблицы преобразований Лапласа при формальной замене p на s V jZ . Рассмотрим ряд полезных примеров анализа электротехнических устройств. Пример 3. Многие реальные устройства моделируются электрической схемой, показанной на рис. 9.6. Определим переходные характеристики по току и напряжению на емкости для наиболее интересного (колебательного) режима работы. 387
по напряжению
h1uC t u C t
u t
G 0 t p
G 0 t 1 CLp p D 2 ZD2
ª1 º p 2D « » G 0 t 2 2 ¬« p p D ZD ¼» Рис. 9.6
По второму закону Кирхгофа, примененному для нулевых начальных условий, получим L
di t 1 Ri t ³ i t dt dt C
u t G1 t
или 1· § 2 ¨ p L pR ¸ i t C¹ © Отсюда следует, что
p^u t G1 t `.
p 1 1 u t G1 t ; u C t i t . R 1 L Cp 2 p p L LC Корни знаменателя при общепринятых обозначениях составляют: i t
R ; Z02 2L Так, для колебательного режима цепи O1,2
D r D 2 Z02 ; D
D ! Z0 ; R 2
L ; ZD C
Z02 D 2 ; O1,2
1 . LC D r jZD .
Переходная характеристика по току
h1i t i t u t
G1 t
G0 t 1 L p D 2 ZD2
1 1 G0 t 2 L p p 2D Z02 1 D t e sin ZDt ; LZD
ª e D t º ZD cos ZD t D sin ZD t » G1 t . «1 ZD ¬ ¼ Представим исходное дифференциальное уравнение в виде некоторых функциональных схем º 1ª 1 i t u t G1 t Lpi t i t » , « R¬ Cp ¼ что соответствует конфигурации цепи, показанной на рис. 9.7. Из рис. 9.7 оператор О. Хевисайда H(p) составляет p H p . 1 Lp 2 Rp C Пример 4. Определить матричную экспоненту этой цепи при конкретных значениях параметров элементов: R = 3 Ом, С = 0,5 Ф, L = 1 Гн. Составим систему уравнений по методу пространства состояния (см. гл. 8).
duC t °iC t iL t C dt ; ° diL t ° u t ; ® Ri L t uC t L dt ° °iL t i t . °¯ После несложных преобразований получим 1 º ª ª0 º d ªuC t º « 0 C » ªuC t º « » u t . 1 dt «¬iL t »¼ «« 1 R »» «¬iL t »¼ « » ¬L¼ ¬ L L¼ e > A@ t
388
ª0 2º » « e ¬ 1 3¼ t .
389
есть произведение корней. Переходные и импульсные характеристики позволяют определить реакции цепей и при ненулевых начальных условиях. В качестве примера рассмотрим ту же цепь (см. рис. 9.6) при следующих исходных данных: воздействие UG1 t (напоминаем, что G1 t – единичная ступенчатая функция), начальный ток в индуктивности I 0 , начальное значение напряжения на емкости U 0 . Определим ток в цепи с момента коммутации при t 0 . Примем также, что режим в цепи колебательный. Схема замещения показана на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Переходная характеристика была получена выше Рис. 9.7
Следует заметить, что поскольку корни характеристического уравнения содержатся в определителе инвертируемой матрицы, то равенство
det p>1@ > A@ 0 позволяет их рассчитать. Кроме того, можно показать, что Sp > A@
n
n
i 1
i 1
¦ Aii ¦ pi
n
pi i 1
390
1 D t e D sin ZD t ZD cos ZD t . LZD Ток, создаваемый ступенчатым напряжением в силу свойства линейности цепи при U U 0 G1 t , составляет h0i t
–
то есть след матрицы равен сумме ее собственных значений (корней характеристического уравнения), а
det > A@
1 D t e sin ZD t ; LZD импульсная характеристика – ее первая производная h1i t
i a t
U U 0 D t e sin ZD t , LZ D
а ток от импульсного напряжения LI 0G 0 t дает составляющую ib t
I 0 D t e D sin ZD t ZD cos ZDt . ZD 391
Искомый ответ 1 D t e > U U 0 DLI 0 sin ZDt LI 0ZD cos ZD t @. LZD В частности, при отсутствии затухания в цепи, a = 0, результат трансформируется в ia t ib t
U U0 sin Z0t . LZ0 Пример 5. Рассмотрим так называемую «корректирующую» цепь, часто используемую в системах автоматики и управления (рис. 9.9). i t I 0 cos Z0t
Рис. 9.10
Пример 6. Найти оператор О. Хевисайда для схемы рис. 9.11.
Рис. 9.9
По законам Кирхгофа получим: i2 t i1 t iC t ; u 2 t R2i2 t ; i1 t
u1 t u2 t . R1
Таким образом, R2 R1Cp 1 u1 t u2 t . R1 Это выражение отвечает следующей функциональной схеме (рис. 9.10). На рис. 9.10 оператор О. Хевисайда H p равен 1 p R1 R2 W1 ; W1 R1C ; W 2 C. H p 1 R1 R2 p W2 Рассмотренные примеры свидетельствуют, что быстрый переход от цепного представления к системному, использующему функциональные блоки, несомненное позитивное качество оператора О. Хевисайда. u 2 t
392
Рис. 9.11 u1
>Y @
u2
u3
G2 º ªG1 G2 C1 p C1 p x « » ; ªi º 0 C1 p C1 p « » «¬ 0 »¼ 0 G2 C2 p »¼ «¬ G2
393
ªG1u1c º « 0 ». ¼ ¬
Исключим вторую строку и второй столбец, тогда u2
G1 G2 C1 p u1 G2u3 C1 pKu3 G1u1c ; ® G2u1 G2 C2 p u3 0. ¯
Ku0 , u0
u3 .
Перегруппировав члены, найдем:
Необходимо определить системную функцию, отвечающую зависимости Z t f u g t , где Z t – угловая скорость вала, а u g t – напряжение возбуждения двигателя для линеаризованного режима. Примем, что e t aФ, (t) – ЭДС якоря двигателя, a – конструктивный параметр. Исходная система уравнений является нелинейной:
G1 G2 C1 p u1 G2 C1 pK u3 G1u1c ; ® G2u1 G2 C2 p u3 0. ¯
Lpi t Ri t aФ t Z t UG1 t ; JpZ t M c t aФ t i t ; Lg pi g t Rg i g t u g t ;
Откуда
u3
G1G2u1c G1 G2 C1 p G2 C2 p G2 G2 C1 pk G1G2u1c
C1C2 p 2 >C1G2 C2 G1 G2 G2C1K @ p G1G2 но u2
,
Здесь J – момент инерции, индекс g относится к цепи возбуждения. При малых приращениях получим: i t i0 'i t ; u g t u g 0 'u g t ; i g t ig 0 'ig t ;
Ф t Ф 0 'Ф t ; Z t Z0 'Z t .
Ku3 , и поэтому Hu
Ф t Ф ig t .
u2 KG1G2 p . 2 u1c C1C2 p >C1G2 1 K C2 G1 G2 @ p G1G2
В заключение получим выражение для оператора H(p) следующей системы (рис. 9.12). Пример 7. Включение двигателя постоянного тока под действие постоянных напряжения UG1 t и момента сопротивления M c .
Опуская малые второго порядка, найдем
Lp R 'i t a> Ф0 'Z t Z0'Ф t @ Jp'Z t a>Ф 0 'i t i0 'Ф t @ ; Lp R 'ig t 'u g t ; 'Ф t b'ig t ; b const .
0;
Решая систему, найдем искомый оператор О. Хевисайда
H p
'Z t 'u g t
k pT 1 k1
pTg 1 p 2TTm pTm 1 k
R i0b ; Rg Ф 2 a
Lg
JR . Rg Ф 02 a 2 Далее, задаваясь конкретными законами изменения 'u g t , можно определить изменение реакции 'Z t . k1
Мс
bZ0 ; Tg Ф 0 Rg
; T
Рис. 9.12 394
;
395
L ; Tm R
9.4. Переход от системной функции к уравнениям состояния Пусть корни H(p) простые, тогда y t
n
Ai u t . 1 p pi
¦
i
Если выбрать за переменную состояния xi
Подобную же процедуру можно построить и для комплексных корней, однако лучше обратиться к другой методике. Рассмотрим ее детальнее. Пусть имеется дифференциальное уравнение, которое следует непосредственно из H(p),
u t , то о p pi
ª x1 t º « » d « x2 t » » dt « « » ¬ xn t ¼
y t
0
0
p3 0
0º 0» » 0» » » pn »¼
ª x1 t º ª1º « x t » «1» « 2 » « » u t ; « » « » « » «» ¬ xn t ¼ ¬1¼
ª x1 t º « x t » >A1 , A2 ,, An @ « 2 » . « » « » ¬ xn t ¼
m
i 0
j 0
p 1 p 2
x1 t º ». ¬ x2 t ¼
> 1, 2@ª« 396
i 0
j 0
n
~
m
¦ ai p i , B ¦ b j p j ,
i 0
тогда
j 0
~ ~ A y t B u t .
Отсюда y t
~ ~ ~ A 1B u t B x t ,
где ~ ~ A 1u t x t , u t A x t . Если ввести следующие обозначения: x t x1 t ;
xc t x1c t x2 t ;
xcc t x1cc t xc2 t x3 t ; ..................................................... x n 1 t x1 n 1 t ... xn t ,
ª 1 0 º ª x1 t º ª1º « 0 2» « x t » «1» u t ; ¼¬ 2 ¼ ¬ ¼ ¬ y t
m
~ A
тогда получим следующую систему:
d ª x1 t º dt «¬ x2 t »¼
n
Введем обозначения:
1 2 , p 1 p 2
p
y t ; u 0
¦ ai p i y t ¦ b j p j u t .
Пример 8. Пусть H p
при этом y 0
С учетом оператора дифференцирования р найдем
d pxi pi xi u t xi pi xi u t ; dt тогда согласно (9.1) получим следующую систему: ª p1 0 «0 p 2 « «0 0 « « «¬ 0 0
n
¦ ai y i t ¦ b j u j t ;
то
a0 x1 t a1 x2 t a2 x3 t ... an xcn t u t .
Отсюда
xnc t
u t an 1 a a xn t ... 1 x2 t 0 x1 t . an an an an 397
u t .
Если положить m = n, то y t b0 x1 t b1 x2 t ... bn 1 xn t bn xnc t
или после приведения подобных членов в результате подстановки xcn t § · § · a a y t ¨¨ b0 0 bn ¸¸ x1 t ¨¨ b1 1 bn ¸¸ x2 t ... an ¹ an ¹ © © § · b a ¨¨ bn 1 n 1 bn ¸¸ xn t n u t . an an © ¹
Вопросы для самопроверки 1. Что такое оператор О. Хевисайда? 2. Какие способы разложения этого оператора можно рассмотреть? 3. Что такое переходная характеристика системы? 4. Что такое импульсная характеристика системы? 5. В чем различие операторов О. Хевисайда и Лапласа? Всегда ли сходятся несобственные интегралы преобразований Лапласа?
Итак, имеем следующие матрицы:
> A@
ª 0 « 0 « « 0 « « « a0 ¬« an
1 0
0 1
0 a1 an
0 a2 an
º » » 0 » ; >B @ » 1 » an1 » an ¼»
0 0
ª º «0 » « » «0 » «0 » ; >D @ bn ; « » an « » «1» « » «¬ an »¼
ª§ an 1 ·º a0 · § a1 · § bn ¸¸» . «¨¨ b0 bn ¸¸, ¨¨ b1 bn ¸¸,..., ¨¨ bn 1 an ¹ © an an ¹ © ¹¼ ¬© Пример 9. Представить дифференциальное уравнение
>C @
4 yc t 3 yc t 2 y t u t 5uc t в форме уравнения состояния по типу (9.1) и (9.2). Непосредственно из полученных выше соотношений получаем:
d ª x1 t º dt «¬ x2 t »¼ y t
1 º ª x t º ª0 º ª0 1 3 » « 1 » « 1 » u t ; « x t « » «¬ 2 4 »¼ ¬ 2 ¼ ¬ 4 ¼
>1
ª x t º 5@ « 1 » 0 u t . ¬ x2 t ¼ 398
399
Рекомендуемая литература
Материал, рассмотренный в учебном пособии, ни в коей мере не претендует на полноту изложения всех вопросов электротехники. Дисциплина «Электротехника и электроника» охватывает намного больше разделов, чем это представлено в данной работе. Так, к сожалению, остались вне рамок освещения операторный метод анализа, основанный на преобразованиях Лапласа, преобразования Фурье, нелинейные и параметрические цепи, четырехполюсники, фильтры и многополюсники, вопросы диагностики и основы синтеза цепей, а также ряд других тем (среди последних традиционно изучаются электрические машины, электроаппараты, релейные цепи, основы электропривода и пр.). И если первые темы можно считать уже в известной степени классическими, то последние еще находятся в стадии становления и развития. Пояснения и дополнения в тексте, а также глава о сингулярных функциях, примеры с управляемыми источниками и др. наряду с удалением замеченных неточностей и недочетов во втором издании в какой-то мере способствуют улучшению цельности курса, однако мало-мальски краткое изложение их потребовало бы увеличения объема материала в несколько раз. Разделы, не вошедшие в данную работу, могут быть найдены учащимися в других учебниках, пособиях и монографиях. Некоторые современные методы анализа и синтеза активных цепей можно найти в учебном пособии [16]. Общеизвестно, что изучение серьезных технических дисциплин, и в первую очередь таких как электротехника, должно сопровождаться практическими и лабораторными занятиями, семинарами, самостоятельной работой и т. п. Их выбор и методика проведения всецело определяются мастерством и опытом преподавателей. Хотелось бы пожелать им успеха в данной благородной деятельности.
1. Электротехника / под ред. В. Г. Герасимова. – М.: Высшая школа, 1985. – 480 с. 2. Касаткин, А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. – М.: Высшая школа, 2002. – 542 с. 3. Борисов, Ю. М. Общая электротехника / Ю. М. Борисов, Д. Н. Липатов. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 387 с. 4. Глушков, Г. Н. Электроснабжение строительно-монтажных работ / Г. Н. Глушков. – М.: Стройиздат, 1982. – 232 с. 5. Воробьев А. В. Электротехника и электрооборудование строительных процессов. – М.: АСВ, 1995. – 400 с. 6. Электротехнические измерения / под ред. А. Ф. Фремке и Е. М. Душина. – Л.: Энергия, 1980. – 300 с. 7. Нейман, Л. Р. Теоретические основы электротехники: в 2 т. / Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. – Л.: Энергоиздат, 1981. – Т. 1. – 536 с.; Т. 2. – 416 с. 8. Атабеков, Г. И. Теоретические основы электротехники: Линейные электрические цепи / Г. И. Атабеков. – М.: Энергия, 1978. – 592 с. 9. Матханов, П. Н. Основы анализа электрических цепей: Линейные цепи / П. Н. Матханов. – М.: Высшая школа, 1981. – 333 с. 10. Зевеке, Г. В. Основы теории цепей / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, С. В. Страхов, А. В. Нетушил. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с. 11. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи / Л. А. Бессонов. – М.: Высшая школа, 1984. – 559 с. 12. Чиликин, М. Г. Общий курс электропривода / М. Г. Чиликин, А. С. Сандлер. – М.: Энергоиздат, 1981. – 576 с. 13. Чуа, Л. О. Машинный анализ электронных схем / Л. О. Чуа, Пен-Мин Лин. – М.: Энергия, 1980. – 640 с. 14. Данилов, И. А. Общая электротехника с основами электроники / И. А. Данилов, П. М. Иванов. – М.: Высшая школа, 2000. – 752 с. 15. Бондаренко, А. В. Электротехника / А. В. Бондаренко. – СПб, 2004. – 242 с. 16. Бондаренко, А. В. Современные методы анализа и синтеза электрических цепей: учеб. пособие / А. В. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. И. Можаев, Л. И. Санчик. – СПб.: СПбГАСУ, 2008. – 216 с.
400
401
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предисловие ....................................................................................................... 3 Введение ............................................................................................................. 4 Глава 1. Основные понятия и законы электрических цепей .................. 6 1.1. Ток, напряжение и энергия в электрических цепях ....................... 6 1.2. Элементы электрических цепей .................................................... 10 1.3. Дуальность элементов электрических цепей ............................... 36 1.4. Понятие о схемах замещения цепей.............................................. 36 1.5. Понятие об электрической цепи и задаче ее анализа .................. 40 1.6. Граф электрической цепи ............................................................... 46 1.7. Дифференциальные уравнения равновесия и общие свойства их решений ............................................................................................. 49 1.8. Зависимые (управляемые) источники напряжения и тока .......... 59 Вопросы для самопроверки ............................................................................ 61 Глава 2. Анализ резистивных цепей .......................................................... 62 2.1. Классификация электрических цепей ........................................... 62 2.2. Эквивалентные электрические цепи и теорема замещения ветви .. 65 2.3. Метод эквивалентных преобразований (МЭП) ........................... 66 2.4. Метод пропорциональных (определяющих) величин................. 90 2.5. Анализ R-цепей с помощью уравнений. Метод контурных токов (МКТ)............................................................................................ 91 2.6. Теорема (принцип) взаимности или обратимости....................... 99 2.7. Метод узловых напряжений (МУН)............................................ 103 2.8. Дуальность электрических цепей ............................................... 108 2.9. Метод эквивалентного генератора (источника) – МЭГ (МЭИ) 109 2.11. Теорема Телледжена (Tellegen) .................................................. 121 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 124 Глава 3. Анализ RLC-цепей во временной области. Общие положения ........................................................................................ 126 3.1. Короткое замыкание цепи или ее участка, содержащих RL-элементы ......................................................................................... 129 3.2. Включение цепи RL под действие источника постоянного напряжения ........................................................................................... 132 3.3. Замыкание накоротко цепи или ее участка ................................ 134 с последовательным соединением R- и C-элементов ....................... 134 3.4. Включение цепи RС на постоянное напряжение ....................... 136 3.5. RC-контуры как дифференцирующая и интегрирующая цепи... 138 3.6. Прохождение прямоугольного импульса через дифференцирующую (ДЦ) и интегрирующую (ИЦ) цепи .............. 140
3.7. Включение цепи из параллельного соединения ........................ 142 R- и C-элементов под действие источника постоянного тока ......... 142 3.8. Включение цепи из параллельного соединения R- и L-элементов под действие источника постоянного тока .......... 143 3.9. Переходные процессы в разветвленных цепях первого порядка при постоянных воздействиях ............................... 146 3.10. Короткое замыкание цепи или ее участка, содержащих последовательное соединение R-, L- и С-элементов ........................ 157 3.11. Об анализе разветвленных цепей .............................................. 174 3.12. Разрывные функции и реакции цепей на их действие. Единичная ступенчатая функция ....................................................... 183 3.13. Переходная и импульсная характеристики цепи ..................... 193 3.14. Схемы замещения реактивных элементов цепи при ненулевых начальных условиях .................................................. 197 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 200 Глава 4. Анализ вынужденных синусоидальных и экспоненциальных режимов в линейных цепях ................................ 201 4.1. Три случая начальной фазы ......................................................... 203 4.2. Разность фаз ................................................................................. 204 4.3. Среднеквадратичные и средние значения периодических величин...205 4.4. Задача анализа электрических цепей при установившемся гармоническом режиме ....................................................................... 208 4.5. Представление гармонических функций через экспоненты с мнимыми степенями (аргументами) ............................................... 209 4.6. Сложение и вычитание гармонических функций одинаковой частоты ............................................................................. 213 4.7. Обобщенная экспонента и комплексная частота ....................... 214 4.8. Метод комплексных амплитуд ..................................................... 218 4.9. Треугольники сопротивлений и проводимостей ....................... 223 4.10. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме ....................... 224 4.11. Характеристики элементов цепи при гармонических и экспоненциальных режимах ............................................................ 227 4.12. Расчет гармонических и экспоненциальных режимов в простейших цепях ............................................................................. 238 4.13. Анализ цепей в виде последовательного, параллельного ....... 246 и смешанного соединений двухполюсников в комплексной области ....246 4.14. Резонансные явления .................................................................. 256 4.15. Мощность при установившемся гармоническом режиме ...... 263 4.16. Определение мощности по комплексным выражениям напряжения и тока ............................................................................... 268
402
403
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.17. Условия передачи максимальной активной мощности в приемник ............................................................................................ 272 4.18. Частотные характеристики колебательных контуров ............. 274 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 283 Глава 5. Анализ трехфазных цепей .......................................................... 285 5.1. Векторная диаграмма симметричной трехфазной системы при соединении «звездой» .................................................................. 288 5.2. Соединение «треугольником»...................................................... 290 5.3. Мощность трехфазных систем .................................................... 292 5.4. Измерение мощности трехфазной цепи ..................................... 294 5.5. Критические режимы ................................................................... 304 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 305 Глава 6. Индуктивно связанные цепи ..................................................... 307 6.1. Частные случаи включения катушек........................................... 313 6.2. О вносимых сопротивлениях....................................................... 320 6.3. Мощность и энергия индуктивно связанной системы .............. 322 6.4. Трансформаторы ........................................................................... 324 6.5. Схемы замещения трансформаторов .......................................... 327 6.6. Опыты холостого хода и короткого замыкания трансформатора.................................................................................... 334 6.7. Работа трансформатора под нагрузкой ....................................... 334 6.8. Потери напряжения в трансформаторе....................................... 334 6.9. Внешняя характеристика трансформатора................................. 336 6.10. Трехфазные трансформаторы .................................................... 338 6.11. Параллельная работа трансформаторов ................................... 343 6.12. Автотрансформаторы ................................................................. 344 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 345 Глава 7. Частотный метод анализа линейных электрических цепей 346 7.1. Некоторые частные случаи симметрии f(t) ................................ 348 7.2. Комплексная форма ряда Фурье .................................................. 349 7.3. Анализ установившихся несинусоидальных режимов в линейных цепях................................................................................. 353 7.4. Влияние цепи на форму кривых напряжения и тока в случае сложной формы воздействия .............................................................. 356 7.5. Действующие значения периодических несинусоидальных токов, напряжений и электродвижущих сил в цепях ....................... 359 7.6. Расчет полной мощности и ее составляющих в цепи в случае сложных форм кривых напряжения и тока ....................................... 361 7.7. Понятие об эквивалентных синусоидах тока и напряжения для сложных форм кривых ................................................................. 366
7.8. Проблема высших гармоник питающей сети промышленной частоты ...................................................................... 367 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 370 Глава 8. Метод переменных состояния .................................................... 371 8.1. Общие положения ......................................................................... 371 8.2. Иллюстративные примеры .......................................................... 373 8.3. Решение уравнений состояния .................................................... 377 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 380 Глава 9. Оператор О. Хевисайда и временные процессы в электрических цепях ............................................................................... 381 9.1. Общие положения ......................................................................... 381 9.2. Иллюстративные примеры .......................................................... 382 9.3. Разложения оператора О. Хевисайда .......................................... 386 9.4. Переход от системной функции к уравнениям состояния ........ 396 Вопросы для самопроверки .......................................................................... 399 Заключение ..................................................................................................... 400 Рекомендуемая литература ........................................................................... 401
404
405
Учебное издание Бондаренко Анатолий Васильевич ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Учебное пособие Редактор О. Д. Камнева Корректор К. И. Бойкова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 24.12.09. Формат 60u84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 23,7. Уч.-изд. л. 25,5. Тираж 500 экз. Заказ 158. «С» 77. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.
406
407
