Функции комплексного переменного. Теория и практика

А.К.Боярчук ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Справочное пособие по высшей математике. Т. 4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352 с.

«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных — таких, как интеграл Ньютона—Лейбница и производная Ферма—Лагранжа. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Предисловие Глава 1. Основные структуры математического анализа § 1. Элементы теории множеств и отображений Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) Натуральные числа. Метод математической индукции (5) Простейшие операции над множествами (6) Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфизм (10) § 2. Математические структуры Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство над полем К. Нормированное пространство (11) § 3. Метрические пространства Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества (16) § 4. Компактные множества

3 4 4

10

12

18

§ 5. Связные пространства и связные множества § 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные отображения (24) Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния (25) Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного § 1. Комплексные числа и комплексная плоскость Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры (31) § 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта K ⊂ C (47) Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте (50) § 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области Примеры (53) § 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между C-дифференцируемостью и R2 -дифференцируемостью. Аналитические функции Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий дифференцируемости функции комплексного переменного (67) Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73) Упражнения для самостоятельной работы Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости § 1. Дробно-линейные функции и их свойства Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88)

70 20

26 76

43

50 63

79 83 83

§2. Степенная функция w = z n ( n ∈ N , n ≥ 2) . Многозначная функция w = n z и ее поверхность Римана Степенная функция (91) Многозначная функция w = n z и ее поверхность Римана (92) Примеры (93) § 3. Показательная функция w = e z и многозначная функция z=Ln w Показательная функция w = e z (94) Многозначная функция z=Ln w (96) Примеры (96) § 4. Общая степенная и общая показательная функции Общая степенная функция (97) Общая показательная функция (98) § 5. Функция Жуковского Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры (100) § 6. Тригонометрические и гиперболические функции Примеры (105) Упражнения для самостоятельной работы Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши § 1. Интеграл Ньютона — Лейбница Первообразная (149) Интеграл Ньютона — Лейбница (150) Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям (757) § 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков Определение n-производной и n-интеграла (153) Формула Ньютона — Лейбница. Производные по пределам интегрирования (154) Формула Тейлора (156) § 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано Производная Ферма — Лагранжа (156) Теорема Тейлора — Пеано и ее обращение (157) § 4. Криволинейные интегралы Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759) Гомотопия двух кривых (путей) (161) § 5. Теорема и интеграл Коши Существование локальной первообразной аналитической функции (162) Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) Теорема Коши (166) Интегральная формула Коши (172) Примеры (173) § 6. Интеграл типа Коши Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера (178) Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши (179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (184) Упражнения для самостоятельной работы

41

94

97 99 101 145 149 149

153

156

159

162

175

195

Глава 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки § 1. Ряд Тейлора Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема единственности (210) Примеры (212) § 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (227) Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225) Упражнения для самостоятельной работы Глава 6. Аналитическое продолжение § 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235) § 2. Полные аналитические функции Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240) § 3. Принципы аналитического продолжения Примеры (241) Упражнения для самостоятельной работы Глава 7. Вычеты и их применения § 1. Определение вычета. Основная теорема Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры (248) § 2. Целые и мероморфные функции Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема МиттагЛеффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (259) Примеры (262) § 3. Бесконечные произведения Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся бесконечные произведения (267) Представление целой функции в виде бесконечного произведения (267) Разложение sinz в бесконечное

197 197

219

229 231 232

237

240 243 245 245

257

264

произведение (26Р) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271) § 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов Применение вычетов для вычисления определенных интегралов (274) Применение вычетов к вычислению сумм рядов (278) Примеры (279) Упражнения для самостоятельной работы Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций § 1. Принцип аргумента. Теорема Руше 1 ϕ( z ) f ' ( z ) Вычисление интеграла dz (295) Теорема о 2 πi ∂∫D f ( z ) − A логарифмическом вычете (296) Принцип аргумента (296) Теорема Руше (297) Примеры (298) § 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции Принцип сохранения области (300) Локальное обращение аналитических функций (301) Примеры (303) § 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции Принцип максимума модуля аналитической функции (304) Лемма Шварца (305) Примеры (305) § 4. Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических функций Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций (308) Принцип компактности (309) Функционалы, определенные на множествах функций (310) Теорема Гурвица (311) § 5. Существование и единственность конформного отображения Конформные изоморфизмы и автоморфизмы (312) Примеры автоморфизмов (312) Существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема существования (314) § 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (316) Примеры (317) § 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322) Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника (322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323) Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение единичного круга на многоугольник (326) Примеры (328) Упражнения для самостоятельной работы Ответы

274

291 295 295

300

304

308

312

315

318

332 334

Литература Предметный указатель

338 339 Предметный указатель

Настоящий предметный указатель призван облегчить поиск терминов по алфавитному признаку. Для поиска терминов по тематическому признаку пользуйтесь подробно составленным оглавлением. В настоящем предметном указателе, как правило, приводятся ссылки на страницу, где термин определяется. Составитель указателя не ставил своей целью отследить все упоминания приведенных терминов в книге. Исключение составляют термины, описывающие методы, приемы, практические результаты: для них в некоторых случаях указаны также задачи, в которых они используются. Номера задач указаны курсивом по схеме "число:число", где первое число — номер главы, второе — порядковый номер задачи.

А Абеля — теорема, 202 — — вторая, 207-208 — — первая, 207 — тождество, 202 абсолютное значение — в поле, 11 — в теле, 11 автоморфизм конформный, 312 аддитивность — интеграла относительно пределов интегрирования, 151 — криволинейного интеграла, 159 аксиома индукции, 5 аксиомы — абсолютного значения, 11 — векторного пространства, 11 — длины,11 — метрики, 12 — модуля, 11 — нормы, 11 Аполлония окружность, 41 аргумент комплексного числа, 28 —, главное значение, 28 Архимеда спираль, 40 Б Бернулли — лемниската, 59 — числа, 215 Бесселя функция, 226 бета-функция Эйлера, 328 Больцано—Вейерштрасса теорема, 47

Бореля—Лебега теорема, 48 2:60 В Вейерштрасса — беконечное произведение, 268 — мажорантный признак равномерной сходимости функционального ряда, 201 — теорема, 50, 204-205 — — о представлении целой функции в виде бесконечного произведения, 269 вектор-функция, 50 векторное пространство над полем, 11 векторы, 11 ветви многозначной функции однозначные, 92 ветвь многозначной функции Ln w главная, 96 Виета теорема, 2:21, 2:40, 2:41 внешность простой замкнутой кривой, 52 внутренность — множества, 15 — простой замкнутой кривой, 52 вычет — аналитической функции относительно её изолированной особой точки, 245 — функции — — логарифмический, 296 — — относительно бесконечности, 246 Г Гаусса утверждение, 37

Гейне определение — непрерывности отображения в точке, 21 — предела отображения, 21 Гельдера условие, 179 главное значение — аргумента комплексного числа, 28 — интеграла типа Коши в точке, 179 гомеоморфизм, 25 гомотопия — замкнутой кривой в замкнутую кривую, 161 — кривой в кривую, 161 — с фиксированным началом и концом, 161 граница множества, 17, 45 график отображения, 8, 9 группа,10 — абелева, 10 — автоморфизмов области, 312 — аддитивная, 10 — коммутативная, 10 — мультипликативная, 10 Гурвица теорема, 311 Д Д'Аламбера признак, 2:51 действительная часть — комплексного числа, 27 — функции, 48 деформация одной кривой в другую, 161 диаметр множества, 14 Дирихле — теорема, 155, 203 — признак, 5:8, 5:11 дифференциал функции в точке, 66 дифференцируемость вектор-функции на сегменте, 51 длина в векторном пространстве, 11 долгота, 31 дополнение одного множества в другом, 6 Ж Жордана

— лемма, 275, 7:59 — теорема, 52 Жуковского функция, 99, 318, 3:28, 3:72, 3:74, 3:87-93, 3:95, 3:97, 3:99, 3:100, 3:101 З замыкание множества, 16, 45 знаки — включения, 5 — принадлежности, 5 значение — аргумента комплексного числа главное, 28 — бесконечного произведения, 265 — интеграла типа Коши в точке — — главное, 179 — — предельное слева от кривой, 180 — — предельное справа от кривой, 180 — отображения, 9 И изоморфизм — дробно-линейный, 87 — конформный, 312 — множества на множество, 10 интеграл — Ньютона—Лейбница — — определенный, 150 — — с фиксированным нижним пределом и переменным верхним пределом интегрирования, 150 — в смысле главного значения по Коши, 179 — Коши, 173 — криволинейный функции по кривой, 159 — — второго рода, 159 — — первого рода, 159 — Кристоффеля—Шварца, 320 — — второго рода, 321 — — первого рода, 321 — типа Коши, 175 ——, значение в точке — — — главное, 179 — — — предельное

— — — — слева от кривой, 180 — — — — справа от кривой, 180 — Шварца, 181 — Эйлера—Пуассона, 191 — эллиптический первого рода, 323 — — полный, 324 1-интеграл, 153 n-интеграл, 154 К Кантора теорема, 18, 25 Каратеодори теорема, 315 Кардана формулы, 2:41 квантор — общности, 4 — существования, 4 кольцо, 10 — коммутативное, 10 — унитарное, 10 компакт, 18, 47 комплексная плоскость, 27 комплексные числа, 27 комплексный потенциал, 72, 2:83 композиция отображений, 9 компонента упорядоченной пары — вторая, 7 — первая, 7 компоненты связные, 52 континуум, 52 — линейный, 52 контур, 160 координата упорядоченной пары — вторая, 7 — первая, 7 Коши — интеграл, 173 — критерий, 46, 198, 200 — — для функционального ряда, 201 — определение — — непрерывности отображения, 22 — — предела отображения, 22 — теорема — — интегральная, 166-167 — — —, обобщение на случай функции, не являющейся

аналитической на контуре интегрирования, 168-170 — — о вычетах, 247, 7:42, 7:47 ——, обобщение на случай неодносвязной области, 171-172 — формула интегральная, 172—173 — ядро, 179 Коши—Адамара — теорема, 207 — формула, 5:10, 5:11, 8:6 Коши—Римана условия, 67, 2:72, 2:73, 2:75, 2:77-80 кривая — гладкая ——, ориентация, 51 — — ориентированная, 51 — —, параметрическое представление, 51 — — простая, 51 — жорданова, 51 — — замкнутая, 51 — замкнутая, 51 — канторова, 52 — кусочно-гладкая, 52 — непрерывная, 51 — ориентированная — — противоположно по отношению к данной, 51 —, параметрическое представление, 51 — простая, 51 — — замкнутая — — —, внешность, 52 — — —, внутренность, 52 Кристоффеля—Шварца — интеграл, 320 — — второго рода, 321 — — первого рода, 321 — формула, 320, 8:22, 8:25 критерий — дифференцируемости функции f: C > C 67, 2:79 — компактности в себе, 47—48 — Коши, 46, 198, 200 — — для функционального ряда, 201

круг сходимости аналитического элемента, 233 круговое свойство дробно-линейных отображений, 85 Л Лагранжа — ряд, 302 — теорема, 73 Ландау символы, 11 Лапласа оператор, 178 лемма — Жордана, 275, 7:59 — Шварца, 305, 8:15-17 леммы — Паскаля, 5 лемниската Бернулли, 59 Линдедёфа результат, 316 линейное пространство над полем, 11 линейность криволинейного интеграла, 159 Лиувшля теорема, 178-179, 4:25 Лопиталя правило, 7:8 Лорана теорема, 219-220 М мера жорданова множества, 79 метод — математической индукции, 5-6, 2:53 — от противного, 4 метрика, 12 — сферическая, 43 Миттаг-Леффлера теорема, 258-259, 7:25, 7:27 мнимая часть — комплексного числа, 27 — функции, 48 многочлен Тейлора, 156 множества — изоморфные, 10 — непересекающиеся, 6 — равные, 5 множество — внешних точек данного множества, 15 —, внутренность, 15

— вполне ограниченное в метрическом пространстве, 18 —, граница, 17, 45 —, диаметр, 14 — жорданово — —, мера, 79 — —, площадь, 79 — замкнутое, 16, 45 — — связное, 45 —, замыкание, 16, 45 — значений отображения, 9 — компактное, 20 — — в метрическом пространстве, 18 — — в себе, 18, 47 — — относительно метрического пространства, 18 — линейно-связное, 149 —, образ при отображении, 9 — ограниченное, 14, 44 — определения отображения, 9 — открытое, 14, 45 — — связное, 45 —, покрытие, 18 —, прообраз при отображении, 9 — пустое, 5 — связное в метрическом пространстве, 20 — точек кусочно-гладкой кривой, 52 — функций — — компактное — — — в данной области, 309 — — — в себе, 311 — — равномерно ограниченное внутри данной области, 309 — — равностепенно непрерывное, 309 — — внутри данной области, 309 модуль — в поле, 11 — в теле, 11 — комплексного числа, 26 Монтеля признак компактности, 309— 310 Морера теорема, 179 Муавра формула, 29, 2:17

Н направление обхода границы области положительное, 162 непрерывность — отображений взаимная, 25 — отображения, 21, 23 — — в точке, 23 — — — в смысле Гейне, 21 — — — в смысле Каши, 22 — — равномерная, 24 — функции в точке, 48 неравенство треугольника — для абсолютного значения, 11 — для метрики, 12 — для модуля, 11 — для нормы (длины) в векторном пространстве, 11 норма — в векторном пространстве, 11 — вектора, 11 — функции равномерная, 199 — —, свойства, 199 нуль функции, 212 — кратности n, 212 Ньютона—Лейбница формула, 150 — для n-интеграла, 154—155 О области — дробно-линейно изоморфные, 87 — конформно-изоморфные, 312 область, 20, 45 — бесконечносвязная, 53 — замкнутая, 20, 45 — значений отображения, 9 — компактная, 53 — многосвязная, 52 — неодносвязная, 53 — односвязная, 53, 162 — — относительно комплексной плоскости, 52 — — относительно расширенной комплексной плоскости, 52 — определения — — отображения, 9

— — полной аналитической функции естественная, 237 — отправления отображения, 8 — прибытия отображения, 8 — существования полной аналитической функции, 237 образ множества при отображении, 9 обращение отношения, 8 объединение множеств, 6 окрестность — множества, 15 — — открытая, 15 — точки в множестве, 53 δ-окрестность точки, 13 ε-окрестность бесконечно удаленной точки, 44 ε -окрестность точки, 44 окружность Аполлония, 41 оператор Лапласа, 178 операции над множествами, 6-7 операция — обращения отношения, 8 — сложения комплексных чисел, 26 — транспонирования отношения, 8 — умножения комплексных чисел, 27 ориентация — гладкой кривой, 51 — — противоположная, 51 n-остаток ряда, 203 отношение — бинарное — — между элементами множеств, 7 — — обратное, 8 ——, проекция — — — вторая, 8 — — — первая, 7 — — функциональное, 8 —, обращение, 8 —, транспонирование, 8 — отображение — биективное, 9 — взаимно однозначное, 9 — гиперболическое, 125

—, график, 8, 9 — дробно-линейное — —, нормальная форма, 125 — заданное параметрически, 9 —, значение, 9 — из множества в множество, 8 — конформное — — в области, 71 — — в точке, 71 — локсодромическое, 125 — множества в множество, 9 — множества на множество, 9 —, множество значений, 9 —, множество определения, 9 — непрерывное, 21, 23 — — в точке, 23 — — — в смысле Гейне, 21 — — — в смысле Каши, 22 —, область значений, 9 —, область определения, 9 —, область отправления, 8 —, область прибытия, 8 — обратимое, 9 — обратное, 9 — открытое, 301 — — внутреннее, 301 — равномерно непрерывное на множестве, 24 — разрывное в точке, 21 — эллиптическое, 125 отображения — взаимно непрерывные, 25 —, композиция, 9 отрезок — на комплексной плоскости, 45 —, параметрическое представление, 45 П пара упорядоченная, 7 —, вторая компонента (вторая координата), 7 —, первая компонента (первая координата), 7 параллель, 31 параметр, 9

Паскаля леммы, 5 первообразная функции, 149 — вдоль кривой, 165 — вдоль пути, 165 пересечение множеств, 6 петля, 160 Пикара теорема, 224 плоскость — комплексная, 27 — — расширенная, 29 — экваториальная, 30 плотность, 179 площадь жорданова множества, 79 подмножество, 5 — максимально связное, 52 подпространство метрического пространства, 17 показательная форма записи комплексного числа, 28 покрытие множества, 18 поле, 11 — нормированное, 11 полином Чебышева, 229 положительное направление обхода границы области, 162 полумеридиан, 31 полюс — северный, 31 — функции, 221 — — простой, 221 — южный, 31 порядок — полюса, 221 — связности, 53 — A -точки, 211 — целой функции, 270 последовательность — векторов — — фундаментальная, 12 — комплексных чисел — — бимонотонная, 202 — сходящаяся, 46 — точек метрического пространства — — сходящаяся, 13

— — фундаментальная, 13 — — (C, ρ), 45 — функциональная, 198 — — поточечно сходящаяся к данной функции, 198 — — равномерно сходящаяся к данной функции на данном множестве, 199 — — равномерно фундаментальная, 200 — числовая, 9 — элементов множества, 9 потенциал комплексный, 72, 2:83 правила дифференцирования интеграла — по верхнему переменному пределу интегрирования, 151 — — по нижнему переменному пределу интегрирования, 151 правило — дифференцирования произведения функций, 65 — Лопиталя, 7:8 — перестановки пределов интегрирования, 151 предел — отображения, 21 — — в смысле Гейне, 21 — — в точке в смысле Коши, 22 — — частичный, 21 — последовательности, 45 — — векторов в нормированном пространстве, 11 — — точек в метрическом пространстве, 13 — — частичный, 47 — функции в точке, 48 — — частичный, 48 — функциональной последовательности равномерный, 200 представление параметрическое — гладкой кривой, 51 — естественное, 51 — кривой,51

— натуральное, 51 — нормальное, 51 — обобщенной непрерывной кривой, 52 — отрезка, 45 представления параметрические экивалентные — гладкой кривой, 51 — непрерывной кривой, 51 признак — Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда мажорантный, 201 — Д'Аламбера, 2:51 — Дирихле, 5:8, 5:11 — компактности Монтеля, 309-310 — сходимости ряда необходимый, 198 Прингсхейма теорема, 242 принцип — аргумента, 297 — двойственности, 7 — исключенного третьего, 4 — максимума модуля, 8:8—10, 8:14 — — вторая формулировка, 305 — — первая формулировка, 304 — непрерывности, 240—241 — однолистности, 303 — симметрии, 317, 8:18, 8:19 — — Романа—Шварца, 137, 241, 3:95 — сохранения области, 300—301 продолжение функции, 9 — аналитическое, 232 проекция — бинарного отношения — — вторая, 8 — — первая, 7 — стереографическая, 30 произведение — бесконечное — — Вейерштрасса, 268 — —, значение, 265 — — сходящееся, 265 — — — абсолютно, 266

— — — равномерно в области, 267 — многочленов, 208 — множеств — — декартово, 7 — — прямое, 7 — степенных рядов, 208 1-производная, 153 n-производная Ферма—Лагранжа функции в точке, 156 n + 1-производная, 153 производная вектор-функции, 50 прообраз множества при отображении, 9 пространства метрические гомеоморфные, 25 пространство — банахово, 12 — векторное — — над полем, 11 — — нормированное, 11 — линейное над полем, 11 — метрическое, 12 — — полное, 13 — — связное, 20 — нормированное полное, 12 — топологическое, 45 ——, свойства, 45 Пуанкаре теорема, 270 Пуанкаре—Вольтерра теорема, 237 Пуассона формула, 182, 4:8 Р равенство — множеств, 5 — упорядоченных пар, 7 радиус сходимости степенного ряда, 206 p -раздутие множества, 309 разность множеств, 6 расстояние — индуцированное, 17 — между точками метрического пространства, 14 — хордальное, 44 расстояния

— топологически эквивалентные, 25 — эквивалентные, 25 расширенная комплексная плоскость, 29 результат — Линделёфа, 316 — Шварца, 316 Римана — сфера, 30, 2:43-47 — теорема, 314—315 Римана—Шварца принцип симметрии, 137, 241, 3:95, 3:97, 3:100, 3:102 род бесконечного произведения, 270 Руше теорема, 297-298, 8:1, 8:3 ряд — Тейлора, 209 — Лагранжа, 302 — Лорана функции в кольце, 220 — мероморфных функций сходящийся, 258 — — равномерно, 258 — функциональный, 197, 198 — — степенной, 206 — — сходящийся нормально, 201 — — сходящийся поточечно, 199 — — сходящийся равномерно, 200 — — удовлетворяющий равномерному условию Коши, 201 — Фурье, 7:30 — числовой, 197 — — расходящийся, 197 — — сходящийся, 197 С свойства — аналитической функции, 69—70 — векторного пространства, 11 — нормы функции равномерной, 199 — показательной функции, 28 — стереографической проекции, 30 — топологического пространства, 45 северный полюс, 31 ε-сеть множества, 18 сечение — второе, 8

— первое, 8 символ — дизъюнкции, 4 — импликации, 4 — конъюнкции, 4 — отрицания, 4 — эквивалентности, 4 символы Ландау, 11 синус эллиптический, 324 след кусочно-гладкой кривой, 52 сопряженное число, 27 Сохоцкого — теорема, 223—224 — формулы, 181 спираль Архимеда, 40 стереографическая проекция, 30 —, свойства, 30 структура математическая, 10 сужение функции, 9 — на множество, 9 сумма ряда, 197 — функционального — — поточечная на данном множестве, 199 — — равномерная, 200 — — частичная, 198 — частичная, 197 сфера, 13 — Римана, 30, 2:43-47 Т Тейлора — многочлен, 156 — теорема, 209 — формула с остаточным членом, записанным посредством nинтеграла, 156 Тейлора—Пеано формула, 157-158 тело, 10 — нормированное, 11 теорема — Абеля, 202 — — вторая, 207-208 — — первая, 207 — алгебры основная, 298

— Больцано—Вейерштрасса, 47 — Бореля—Лебега, 48, 2:60 — Вейерштрасса, 50, 204-205 — — о представлении целой функции в виде бесконечного произведения, 269 — Виета, 2:21, 2:40, 2:41 — Гурвица, 311 — Дирихле, 155, 203 — Жордана, 52 — Кантора, 18, 25 — Каратеодори, 315 — Коши — — интегральная, 166-167 — — — обобщение на случай функции, не являющейся аналитической на контуре интегрирования, 168-170 — — о вычетах, 247, 7:42, 7:47 — —, обобщение на случай неодносвязной области, 171-172 — Коши—Адамара, 207 — Лагранжа, 73 — Лиувилля, 178-179, 4:25 — Лорана, 219-220 — Миттаг-Леффлера, 258-259, 7:25, 7:27 — Морера, 179 — о биективных и непрерывных отображениях, 52 — о вычетах основная, 247, 7:42, 7:47 — о дифференцируемости произведения бесконечно малой дифференцируемой функции и непрерывной функции, 64 — о достаточных условиях — — равномерной сходимости бесконечного произведения, 267 — — существования первообразной в круге, 162—163 — о замене переменной интегрирования, 152 — о линейности — — интеграла, 151-152

— — операции дифференцирования, 64 — — равномерного предела, 200 — о логарифмическом вычете, 296 — о монодромии, 236 — о непрерывном образе компакта, 21, 50 — о непрерывности — — дифференцируемой функции, 64 — — композиции — — — отображений, 21 — — — функций, 49 — — нормы, 11 — — обратного отображения, 22 — — сужения отображения, 23 — о почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда, 204 — о пределе композиции функций, 49 — о производной — — n-интеграла по пределам интегрирования, 155 — — композиции, 63-64 — — обратной функции, 65 — — частного, 65 — о равномерной равносходимости функциональных рядов, связанных преобразованием Абеля, 202 — о равносходимости бесконечного произведения и числового ряда, 265 — о среднем, 173 — о существовании первообразной аналитической функции, заданной в односвязной области, 170—171 — об инвариантности — — интеграла при гомотопиях пути интегрирования, 166-167 — — симметричных точек при дробнолинейном отображении, 86 — об интегрировании по частям, 152 — об обращении формулы Тейлора—

Леано, 158 — об ограниченности компакта, 47 — Пикара, 224 — Прингсхейма, 242 — Пуанкаре, 270 — Пуанкаре—Вольтерра, 237 — Романа, 314-315 — Руше, 297-298, 8:1-3 — Сохоцкого, 223-224 — Тейлора, 209 — Фреше, 19 — Хаусдорфа, 19 — Штольца, 2:50 тождество Абеля, 202 топология, 44 — метрического пространства, 25 — относительная, 53 точка — бесконечно удаленная, 29 — кривой — — конечная,51 — — кратная, 51 — — начальная, 51 — множества — — внешняя, 15 — — внутренняя, 15, 45 — — граничная, 17, 45 — — изолированная,17 — предельная, 17, 45 — особая — — аналитической функции, 239 — — изолированная, 221 — — многозначного характера, 239 — — однозначного характера, 239 — — устранимая, 221 — последовательности предельная, 47 — прикосновения, 16, 45 — разветвления, 93, 239, 240 — — (n - 1)-го порядка, 93, 240 — — алгебраическая, 93 — — — (n - 1)-го порядка, 93 — — бесконечного порядка, 93, 240 — — логарифмическая, 240 — существенно особая, 221

— устранимого разрыва, 21 A-точка функции, 211 — кратная, 211 —, кратность, 211 —, порядок, 211 — простая, 211 точки — метрического пространства, 12 — симметричные — — относительно окружности, 85, 86 — — относительно прямой, 85 траектория — гладкая — — простая, 51 — непрерывная, 51 транспонирование отношения, 8 тригонометрическая форма записи комплексного числа, 28 трохоида, 60 У угол между путями в точке, 84 упорядоченная пара, 7 уравнение деления круга, 35 условие Гельдера, 179 условия Коши—Римана, 67, 2:72, 2:73, 2:75, 2:77-80 утверждение Гаусса, 37 Ф форма — Дробно-линейного отображения нормальная, 125 — записи комплексного числа — — показательная, 28 — — тригонометрическая, 28 формула — Коши интегральная, 172—173 — Коши—Адамара, S:10, 5:11, 8:6 — Кристоффеля—Шварца, 320, 8:22, 8:25 — Муавра, 29, 2:17 — Ньютона—Лейбница, 150 — — для n-интеграла, 154—155 — Пуассона, 182, 4:8 — Тейлора с остаточным членом,

записанным посредством nинтеграла, 156 — Тейлора— Пеано, 157—158 — Шварца, 181 формулы — Кардано, 2:41 — Сохоцкого, 181 — стереографической проекции основные, 30, 2:43—47 — Эйлера, 101, 7:23, 7:24 Фреше теорема, 19 функции — аналитические равные, 237 — гиперболические, 101 — тригонометрические, 101 функционал, 310 — непрерывный на данном элементе, 310 функция — авторморфная, 325 — аналитическая — — в бесконечно удаленной точке, 219 — — в замкнутой области, 69 — — в области, 68 — — в точке, 68 — — на бесконечности, 69 — — на кривой, 68 — — на открытом множестве, 68 — — на произвольном множестве, 68 — — полная, 237 — —, свойства, 69—70 — Бесселя, 226 — гармоническая в области, 177 — гармонически сопряженная с данной, 178 — голоморфная, 68 — C-дифференцируемая, 67 — R -дифференцируемая, 67 — 1-дифференцируемая, 153 — n -дифференцируемая в точке в смысле Ферма—Лагранжа, 156 — n+ 1-дифференцируемая, 153 — дифференцируемая в точке, 63

— дробно-линейная, 83 — Жуковского, 99, 3:28, 3:72, 3:74, 3:87-93, 3:95, 3:97, 3:99-101, 8:18 — 1-интегрируемая, 153 — интегрируемая в смысле Ньютона— Лейбница, 150 — кусочно-линейная, 45 — линейная, 66 — ломаная, 45 — мероморфная, 257, 271 — — в области, 259 — моногенная, 65 — непрерывная в точке, 48 — неявная, 10 — обобщенно-непрерывная, 50 — ограниченная на множестве, 50 — однолистная, 48 — показательная, 28, 94 — — общая, 98 ——, свойства, 28 —, продолжение, 9 — — аналитическое, 232 — степенная, 91 — — общая, 97-98 —, сужение — — на множество, 9 — — с множества на множество, 9 — тока, 72 — целая, 257 — — бесконечного рода, 270 — — конечного рода, 270 — — трансцендентная, 257 — эллиптическая, 325 Фурье ряд, 7:30 X Хаусдорфа теорема, 19 Ц циклоида, 60 — удлиненная, 60 — укороченная, 60 Ч часть ряда Лорана — главная, 220

— правильная, 220 Чебышева полином, 229 числа — Бернулли, 215 — комплексные, 27 число комплексное сопряженное данному, 27 член — ряда общий, 197 — функционального ряда, 198 — функциональной последовательности, 198 Ш шар — замкнутый, 13 — открытый, 13 Шварца — интеграл, 181 — лемма, 305, 8:15-17 — результат, 316 — формула, 181 широта, 31 Штольца теорема, 2:50 Э Эйлера — бета-функция, 328 — формулы, 101, 7:2?, 7:24 Эйлера—Пуассона интеграл, 191 элемент — аналитический, 232 — группы — — единичный, 10 — — нейтральный, 10 — — нулевой, 10 — — обратный данному, 10 — канонический с центром в данной точке, 233 Ю южный полюс, 31 Я ядро — Дирихле, 35 — Хеши, 179