Методическая разработка для семинарских занятий по теме ''Механические колебания связанных маятников''

24

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 6, ¹ 2, 2000

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ïî òåìå “Ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ” È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò . Ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé â ðàçäåëå “Ìåõàíèêà” êóðñà îáùåé ôèçèêè íà òåìó “Êîëåáàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû”. Îáñóæäåíèå, ðåøåíèå è àíàëèç çàäà÷ ïîçâîëÿþò ïðîèëëþñòðèðîâàòü òàêèå âàæíûå ïîíÿòèÿ, êàê íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ, íîðìàëüíûå ÷àñòîòû, ìîäû íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé, ñ êîòîðûìè â äàëüíåéøåì ñòóäåíòû âñòðåòÿòñÿ âî âñåõ ðàçäåëàõ ôèçèêè.

Ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé â ðàçäåëå “Ìåõàíèêà” êóðñà îáùåé ôèçèêè íà òåìó “Êîëåáàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû”. Îáñóæäåíèå, ðåøåíèå è àíàëèç çàäà÷ ïîçâîëÿþò ïðîèëëþñòðèðîâàòü òàêèå âàæíûå ïîíÿòèÿ, êàê íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ, íîðìàëüíûå ÷àñòîòû, ìîäû íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé.  õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷ âûÿâëÿåòñÿ âëèÿíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé íà õàðàêòåð ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. Íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóïåðïîçèöèþ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà ñëåäóþùàÿ. Ñíà÷àëà èçó÷àþòñÿ êîëåáàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò â ýòèõ ñèñòåìàõ èñïîëüçóþòñÿ äâà ñïîñîáà. Îäèí èç íèõ ñâîäèòñÿ ê «óãàäûâàíèþ» íà÷àëüíûõ óñëîâèé âîçáóæäåíèÿ, ïðè êîòîðûõ âñå ýëåìåíòû ñèñòåìû ñîâåðøàþò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ïðè âòîðîì ñïîñîáå èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ (ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì) ïîëó÷àþò óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé è òàêèì îáðàçîì îïðåäåëÿþò íîðìàëüíûå ÷àñòîòû. Çàòåì ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè ñèñòåìû è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Àíàëèç íîðìàëüíûõ ÷àñòîò è ìîä êîëåáàíèé â òàêèõ ñèñòåìàõ ïîçâîëÿåò ïîäîéòè ê ïîíÿòèþ “ñòîÿ÷àÿ âîëíà”.  çàêëþ÷åíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà «îòêëèêà» ñèñòåìû íà âíåøíåå ãàðìîíè÷åñêîå âîçäåéñòâèå. Àíàëèç ýòîãî «îòêëèêà» ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ìåòîäîì îïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò. Ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå äàííîé òåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì, ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ êëþ÷åâûìè äëÿ ïîíèìàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè.

Ðèñóíîê 1.

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ...

25

Çàäà÷à 1. Äâà òåëà îäèíàêîâîé ìàññû m , ñêðåïë¸ííûå îäèíàêîâûìè ïðóæèíêàìè æ¸ñòêîñòè êàæäàÿ, ëåæàò íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè (Ðèñóíîê 1). Êîãäà òåëà ïîêîÿòñÿ, ïðóæèíêè íå äåôîðìèðîâàíû. Îïðåäåëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé òåë. Ðåøåíèå 1. 1. Îòêëîíèì îáà òåëà âäîëü îñè X â îäíó ñòîðîíó îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ A è îòïóñòèì èõ áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. &= − kx , Òåëà ïðèäóò â äâèæåíèå. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî èç òåë èìååò âèä: mx&

èëè

. Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âèäà

x = x0 cos( ω 1t + ϕ ) , ãäå ω 1 =

k . m

Íàéä¸ì àìïëèòóäó x 0 è íà÷àëüíóþ ôàçó ϕ , ñîîòâåòñòâóþùèå çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Ïðè

ñëåäîâàòåëüíî,

Èç ýòèõ ðàâåíñòâ âèäíî, ÷òî ϕ = 0; x 0 = A . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïðèîáðåòàåò âèä k . m

x = A cos ω1t , ãäå ω 1 =

2. Îòêëîíèì òåëà â ðàçíûå ñòîðîíû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà îäèíàêîâóþ tkA==0kx0xcos =ϕ A,; x& ; 1âåëè÷èíó 0==0ω x 0 sin ϕ. B âäîëü îñè X è îòïóñòèì. &+ x = 0 x& m Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ëåâîãî è ïðàâîãî òåë â ýòîì ñëó÷àå èìåþò âèä:

( (

) )

⎧⎪ mx& & 1 = − kx1 + k x 2 − x1 , ⎨ &2 = − kx2 − k x2 − x1 . ⎪⎩mx&  ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè x1 = − x 2 = x . Ñ ó÷¸òîì ýòîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó: & x&+ 3

k x = 0. m

Ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì: x1 = B cos ω 2 t - çàêîí äâèæåíèÿ ëåâîãî òåëà; x 2 = − B cos ω 2 t - çàêîí äâèæåíèÿ ïðàâîãî òåëà.

È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ

26

Îáà òåëà êîëåáëþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω 2 =

3k â ïðîòèâîôàçå. m

Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ íîðìàëüíûìè êîëåáàíèÿìè, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì ÷àñòîòû ( ω 1 è ω 2 ) - íîðìàëüíûìè ÷àñòîòàìè. Ñèíôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ òåë ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäíó ìîäó (ðàçíîâèäíîñòü) êîëåáàíèé ñèñòåìû, ïðîòèâîôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ - âòîðóþ ìîäó êîëåáàíèé. Ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è ìîæíî ïîäîéòè èíà÷å, íå îãðàíè÷èâàÿñü îïðåäåë¸ííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ òåë ñèñòåìû. Ðåøåíèå 2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë â îáùåì ñëó÷àå èìåþò âèä:

( (

) )

⎧⎪ mx& & 1 = − kx1 + k x 2 − x1 , ⎨ &2 = − kx2 − k x2 − x1 . ⎩⎪mx& Èç ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü:

( (

) )

( (

) )

⎧⎪ m x& & x&2 = − k x1 + x2 , 1+& ⎨ & x&2 = −3k x1 − x2 . 1−& ⎩⎪m x& Ýòî - óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x1 − x 2 è x1 + x 2 . Ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé: ⎪⎧ x1 + x2 = A cos( ω 1t + ϕ ) , ⎨ ⎪⎩ x1 − x2 = B cos( ω 2 t + ψ ) ,

îòêóäà ïîëó÷àåì À ⎧ ⎪ x1 = 2 cos( ω 1t + ϕ ) + ⎨ À ⎪ x 2 = cos( ω 1t + ϕ) − 2 ⎩

 cos( ω 2 t + ψ ) , 2  cos( ω 2 t + ψ ) , 2

âèäíî, ÷òî x1 è x 2 ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé, ãäå ω 1 =

íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðâîé ìîäå, ω 2 =

k m

3k - íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà, m

27

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ...

ñîîòâåòñòâóþùàÿ âòîðîé ìîäå. Êîãäà  = 0, x1 = x2 , - êîëåáàíèÿ òåë ïðîèñõîäÿò ñèíôàçíî ñ ÷àñòîòîé ω 1 =

A = 0, òî x1 = − x 2 , êîëåáàíèÿ òåë ïðîèñõîäÿò â ïðîòèâîôàçå ñ ÷àñòîòîé ω 2 =

k . Åñëè m 3k . m

Çàäà÷à 2. Äâà òåëà, ìàññû êîòîðûõ m1 è m2 , ñêðåïë¸ííûå îäèíàêîâûìè ïðóæèíêàìè æ¸ñòêîñòè k , ëåæàò íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè (Ðèñóíîê 1). Êîãäà òåëà ïîêîÿòñÿ, ïðóæèíêè íå äåôîðìèðîâàíû. Îïðåäåëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé òåë. Ðåøåíèå. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë: & ⎪⎧ m1 x& 1 = − kx1 + k ( x 2 − x1 ) , ⎨ & & m x ⎩⎪ 2 2 = − kx 2 − k ( x 2 − x1 ) .

Ïðåäñòàâèì èõ â âèäå: & ⎧ m1 x& 1 + 2 kx1 − kx 2 = 0, ⎨ & & ⎩m2 x 2 + 2 kx 2 − kx1 = 0.

Ïîñêîëüêó íàäî íàéòè íîðìàëüíûå ÷àñòîòû, ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äîëæíû èìåòü âèä x1 = A cos ωt , x 2 = B cos ωt . Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðåøåíèÿ â óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñèñòåìó

óðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè A è B:

(

)

⎧ − m ω 2 + 2 k A − k = 0, 1 ⎪ ⎨ 2 ⎪⎩ kA + − m2 ω + 2 k = 0.

(

)

×òîáû ýòè óðàâíåíèÿ áûëè ñîâìåñòíûìè, äåòåðìèíàíò ñèñòåìû äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ:

(− m ω 1

2

+ 2k

)

−k

−k

(− m ω 2

2

+ 2k

)

= 0.

Îòñþäà ïîëó÷àåì:

(

)(

)

− m1ω 2 − 2 k − m2 ω 2 + 2 k − k 2 = 0, èëè:

È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ

28

ω 4 − 2 kω 2

m1 + m2 3k 2 + = 0. m1m2 m1m2

Ñëåäîâàòåëüíî, 2

⎛ m + m2 ⎞ 3k 2 2 ⎛ m + m2 ⎞ ω = k⎜ 1 ⎟± k ⎜ 1 ⎟ − . m1m2 ⎝ m1m2 ⎠ ⎝ m1m2 ⎠ 2

Ïîñêîëüêó ÷àñòîòà íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé, íîðìàëüíûõ ÷àñòîò äâå, à íå ÷åòûðå è âåëè÷èíû èõ ðàâíû ⎛ m + m2 ⎞ k ω 1,2 = k ⎜ 1 ( m1 + m2 )2 − 3m1 m2 . ⎟± ⎝ m1 m2 ⎠ m1 m2

Çàäà÷à 3. Äâà îäèíàêîâûõ òåëà ìàññû m , ñêðåïëåííûå ïðóæèíêàìè, ëåæàò íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå (Ðèñóíîê 2). Ïðóæèíêè ðàñòÿíóòû ñ ñèëîé

. Êðàéíèå ïðóæèíêè

èìåþò äëèíó l , à ñðåäíÿÿ - l1 . Îïðåäåëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû.

Ðèñóíîê 2.

Ðåøåíèå. 1. Ñìåñòèì òåëà â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïðÿìîé OO′ íà îäèíàêîâûå (ìàëûå ïî ñðàâíåíèþ ñ l ) ðàññòîÿíèÿ x 0 â îäíó ñòîðîíó îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ñì. Ðèñóíîê 2). Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ òåë â ýòîì ñëó÷àå èìåþò âèä:

&= − F mx&

x x − kΔl , l l

(Δ l- àáñîëþòíîå óäëèíåíèå ïðóæèíêè äëèíû l). Åñëè âòîðûì ÷ëåíîì â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ...

29

ïðåíåáðå÷ü, êàê âåëè÷èíîé âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó:

&+ x&

F x = 0. ml

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ ó÷¸òîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ ëåâîãî è ïðàâîãî òåë çàïèñûâàåòñÿ êàê x1 = x 2 = x 0 cos ω 1t ,

ãäå ω 1 =

F . ml

Òåëà êîëåáëþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω 1 ñèíôàçíî, ω 1 =

F ml

íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà. 2. Ñìåñòèì òåëà â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïðÿìîé OO′ , íà îäèíàêîâûå, ìàëûå ïî ñðàâíåíèþ ñ l , ðàññòîÿíèÿ x 0 â ðàçíûå ñòîðîíû (Ðèñóíîê 3).

Ðèñóíîê 3.

Ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè x1 = − x 2 = x , ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, îäèíàêîâûå äëÿ îáîèõ òåë, à èìåííî:

&= − F mx&

x 2x −F ; l l1

èëè

&+ F x&

x 2x +F = 0. ml ml1

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ëåâîãî è ïðàâîãî òåë ñ ó÷¸òîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé èìåþò âèä:

È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ

30

x1 = − x 2 = x 0 cos ω 2 t ,

ãäå ω 2 =

F 2F + . ml ml1

Òåëà êîëåáëþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω 2 =

F 2F + â ïðîòèâîôàçå, ml ml1

ω 2 - âòîðàÿ íîðìàëüíàÿ ÷àñòîòà ñèñòåìû.

Çàäà÷à 4. Ïðóæèíêè è òåëà - òàêèå æå è ðàñïîëîæåíû òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îäíî èç òåë îòêëîíèëè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà ðàññòîÿíèå 2 x 0 , ìàëîå ïî ñðàâíåíèþ ñ l, â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì OO′ , à äðóãîå óäåðæàëè â

ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (Ðèñóíîê 4). Çàòåì òåëà îòïóñòèëè. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ êàæäîãî èç òåë. Ðåøåíèå. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìîæíî çàìåíèòü äðóãèìè - ýêâèâàëåíòíûìè: ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåëà îòêëîíèëè â îäíó ñòîðîíó îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà x 0 è, êðîìå òîãî, íà òàêóþ æå âåëè÷èíó â ðàçíûå ñòîðîíû, êàê ýòî ïîêàçàíî íà Ðèñóíêå 4.

Êàæäîå èç òåë áóäåò ó÷àñòâîâàòü îäíîâðåìåííî â äâóõ äâèæåíèÿõ, óðàâíåíèÿ äëÿ êîòîðûõ èìåþò âèä (ñì. çàäà÷ó 3):

x1 ⎧ & ; 1 = −F ⎪mx& l ⎨ x 2x ⎪mx& &2 = − F 2 − F 2 . l l ⎩ Äëÿ òåëà, ñìåùåííîãî ïðè t = 0 íà 2x0, ðåøåíèåì ýòèõ óðàâíåíèé áóäóò ôóíêöèè ⎧ x1 = õ 0 cos ω1t; ⎨ , ⎩ x 2 = õ 0 cos ω 2 t;

ãäå

ω1 =

F , ml

ω2 =

F 2F + . ml ml1

Ïî çàêîíó íåçàâèñèìîãî ñëîæåíèÿ äâèæåíèé ïîëíîå ñìåùåíèå ýòîãî òåëà â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíî x = x1 + x 2 = x 0 cos ω 1t + x 0 cos ω 2 t = 2 x 0 cos

ω1 − ω 2 ω + ω2 t ⋅ cos 1 t. 2 2

Äëÿ òåëà, íàõîäèâøåãîñÿ íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ áóäóò ôóíêöèè

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ...

31

⎧ x1 = õ 0 cos ω1t , ⎨ ⎩ x 2 = − õ 0 cos ω 2 t ,

x = 2 x0 sin

ω1 − ω 2 ω + ω2 t ⋅ cos 1 t. 2 2

Ðèñóíîê 4.

Äëÿ áëèçêèõ ÷àñòîò ω 1 è ω 2 çàâèñèìîñòè x( t ) äëÿ ëåâîãî è ïðàâîãî òåë ïðåäñòàâëåíû íà Ðèñóíêå 5. Òàêîå ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ àìïëèòóäîé, èçìåíÿþùåéñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, íàçûâàåòñÿ áèåíèÿìè.

Ðèñóíîê 5.

È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ

32

Çàäà÷à 5. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ëåæàò N òåë îäèíàêîâîé ìàññû m, ñêðåïë¸ííûõ ìåæäó ñîáîé îäèíàêîâûìè ïðóæèíêàìè æåñòêîñòè k (Ðèñóíîê 6). Êðàéíèå òåëà æåñòêî çàêðåïëåíû.  ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ïðóæèíêè íå äåôîðìèðîâàíû è èìåþò äëèíó a êàæäàÿ. Îïðåäåëèòü íîðìàëüíûå ÷àñòîòû ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé. Ðåøåíèå.

Ðèñóíîê 6.

Ðàññìîòðèì òåëî ñ ïðîèçâîëüíûì íîìåðîì n è åãî áëèæàéøåå îêðóæåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç xn ñìåùåíèå òåëà ñ íîìåðîì n èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî òåëà áóäåò èìåòü âèä

&n = − k ( x n − x n −1 ) + k ( k n +1 − x n ). mx& èëè &n = kxn −1 + kxn +1 − 2 kx n . mx&

Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå x n = Ae iκan cos ωt (îò ýòîãî âûðàæåíèÿ íàäî âçÿòü ìíèìóþ ÷àñòü, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ãðàíè÷íîå óñëîâèå x 0 = 0 ). Çàïèñàííîå òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî âñå òåëà êîëåáëþòñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé, íî ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè. Ïîäñòàâèâ ýòî ðåøåíèå â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ïîëó÷èì: mω 2 = 2k (1 − cos κa ),

ω2 =

2 èëè, îáîçíà÷èâ ω 0 =

4k κa ⋅ sin 2 ; m 2 k , m

ω 2 = 4ω 20 sin 2

κa . 2

Ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå x N −1 = 0, ïîëó÷èì Ae iκa ( N −1 ) cos ωt = 0, îòêóäà

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ...

33

sin κa( N − 1 ) = 0. Òàê êàê a( N − 1) = L - äëèíà âñåé öåïî÷êè, ïîëó÷àåì: sin κL = 0, à çíà÷èò, κL = nπ ,

Òàêèì îáðàçîì, κ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ

ãäå (κ =

2π - âîëíîâîå ÷èñëî). Åñëè λ = 2 L , âñå òåëà êîëåáëþòñÿ λ

ñèíôàçíî ñ ñàìîé íèçêîé èç âîçìîæíûõ ÷àñòîò ω min 2 = 4ω 20 sin 2

πa π = 4ω 20 sin 2 . 2L 2( N − 1)

×àñòîòà ω min - ñàìàÿ íèçêàÿ ÷àñòîòà íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé, íàçûâàåìàÿ îñíîâíûì òîíîì; ω min õàðàêòåðèçóåò íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ ïåðâîé ìîäû (ñèíôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå

êîëåáàíèÿ âñåõ òåë ìàññû m). Çàäà÷à 6. Äâà îäèíàêîâûõ ìàÿòíèêà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé æåñòêèé íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíû l, íà êîíöå êîòîðîãî çàêðåïëåí øàðèê ìàññû m, ñêðåïëåíû ïðóæèíêîé æåñòêîñòè k è ìîãóò êîëåáàòüñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè (Ðèñóíîê 7). Êîýôôèöèåíò ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà êàæäûé èç øàðèêîâ, ðàâåí h. Íà ïðàâûé øàðèê äåéñòâóåò ãîðèçîíòàëüíî íàïðàâëåííàÿ ñèëà F = F0 cosωt .

n = 1,π 2, 2...π N -1.( N − 1)π κ= ; .... L L L

Ðèñóíîê 7.

Òðåáóåòñÿ çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàÿòíèêîâ (â ïðèáëèæåíèè ìàëûõ êîëåáàíèé), à òàêæå íàéòè îáùèé âèä ðåøåíèé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå.

È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ

34 Ðåøåíèå. Åñëè óãëû ϕ è

ìàëû, òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ëåâîãî è ïðàâîãî ìàÿòíèêîâ ìîæíî

çàïèñàòü â âèäå

Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì: F g h ⎧& & &) + ( ϕ + ψ ) + 2 ( ϕ&+ ψ&) = 0 cos ωt ; ⎪⎪( ϕ&+ ψ l ml 2m ⎨ F g 2k ⎞ h ⎛ & &) + ⎜ + ⎟ ( ϕ − ψ ) + 2 &) = − 0 cos ωt . & &− ψ ⎪( ϕ ϕ&− ψ ( ⎝ l ml ⎠ ⎪⎩ ml 2m

Êàæäàÿ èç äâóõ ìîä ñîîòâåòñòâóåò îäíîìåðíîìó îñöèëëÿòîðó. Ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè:

h ⎧ − t ⎪ϕ + ψ = A0 e 2 m cos( ω 1t + γ 0 ) + A( ω ) cos ωt + γ ( ω ) ; ⎨ h ⎪ϕ − ψ = B e − 2 m t cos ω t + β + B ω cos ωt + β ω , ( ) ( 2 0) ( ) ⎪⎩ 0

( (

ãäå ω 1 =

g h2 − , l 4m 2

2 ⎛ g 2k ⎞ h ω2 = ⎜ + ⎟ − ⎝l m ⎠ 4m 2

) )

- ÷àñòîòû íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé,

A0 , γ 0 , B0 , β 0 - îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, A( ω ), γ ( ω ), è B( ω ), β( ω )

îïðåäåëÿþòñÿ ïî ðåçîíàíñíûì êðèâûì äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ìîä. Â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå

Ðåçîíàíñíûå

÷àñòîòû

⎧ϕ + ψ = A( ω )cos( ωt + γ ( ω )); ⎨ ⎩ ϕ − ψ = B( ω )cos( ωt + β( ω )).

äëÿ

äâóõ

ýòèõ

ìîä

ðàâíû

ω 1 ðåç =

g h2 − , l 2m 2

2 ⎛ g 2k ⎞ h ω 2 ðåç = ⎜ + ⎟ − . Åñëè h ìàëî, ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè ⎝l m ⎠ 2m 2

íîðìàëüíûì. Åñëè h ìàëî (óçêèå ðåçîíàíñíûå êðèâûå), à k äîñòàòî÷íî âåëèêî ( ω 1 è

Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà äëÿ ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé ...

35

ω 2 ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íû, è àìïëèòóäíûå ðåçîíàíñíûå êðèâûå äëÿ äâóõ ìîä íå

ïåðåêðûâàþòñÿ), òî ìîæíî ïðèéòè ê ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòàì: 1) ïðè ω = ω 1 =

g l

⎧ A(ω 1 ) sin ω 1t; ⎪⎪ ϕ = 2 ⎨ ⎪ψ = A(ω 1 ) sin ω t , 1 ⎪⎩ 2

ò.å. îáà ìàÿòíèêà êîëåáëþòñÿ ãàðìîíè÷åñêè ñèíôàçíî (âîçáóæäåíà ïåðâàÿ ìîäà êîëåáàíèé). 2) ïðè ω = ω 2 =

g 2k − l m

⎧ B( ω 2 ) sin ω 2 t ; ⎪⎪ ϕ = 2 ⎨ ⎪ψ = − B( ω 2 ) sin ω t , 2 ⎪⎩ 2

ò.å. îáà ìàÿòíèêà êîëåáëþòñÿ ãàðìîíè÷åñêè â ïðîòèâîôàçå (âîçáóæäåíà âòîðàÿ ìîäà êîëåáàíèé). Çàäà÷à 7. Ñèñòåìà èç áîëüøîãî ÷èñëà òåë îäèíàêîâîé ìàññû m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíêàìè äëèíû a è æåñòêîñòè k, ëåæèò íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Çàêîí äâèæåíèÿ äëÿ ëåâîãî òåëà çàäàí â âèäå x 0 = A cosωt . Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ÷àñòîòàõ 0 ≤ ω ≤ ω 0 ( ω0 = 2

k ) àìïëèòóäû êîëåáàíèé òåë ìåíÿþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, à ïðè ÷àñòîòàõ m

ω > ω 0 óìåíüøàþòñÿ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà òåëà.

Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ òåëà ñ ïðîèçâîëüíûì íîìåðîì n èìååò âèä: &n = kx n −1 + kx n +1 − 2 kx n . mx&

 óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå âñå òåëà äîëæíû êîëåáàòüñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå x n = Ae iκna cos ωt , ãäå κ - ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Î÷åâèäíî, ìû äîëæíû âçÿòü äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ýòîãî ðåøåíèÿ, ò.å. ïîëîæèâ

È.Ì. Ñàðàåâà, À.Ñ. Íèôàíîâ

36

, ÷òîáû ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿëîñü ãðàíè÷íîå óñëîâèå x 0 = A cosωt . Ïîäñòàâèâ x n = Ae iκna cos ωt â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ïîëó÷èì: mω 2 = − ke − iκa − ke + iκa + 2 k ,

îòêóäà ω 2 =

ê 2k (1 − cos κa ) , à ñëåäîâàòåëüíî, 0 ≤ ω 2 ≤ 4 . Ïðè òàêèõ ÷àñòîòàõ âíåøíåãî m m

âîçäåéñòâèÿ àìïëèòóäû áóäóò èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò n ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó. Îïðåäåëèì, ïðè êàêèõ ÷àñòîòàõ àìïëèòóäû áóäóò óáûâàòü ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå x n = A( − 1) e − κna cos ωt . n

Ïîäñòàâèâ ýòî ðåøåíèå â óðàâíåíèå, ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ω2 =

k κa 2k e + e −κa + , m m

(

)

2k (ch κa + 1) . Ïðè òàêèõ ÷àñòîòàõ àìïëèòóäû êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà m 4k 2 n áóäóò óìåíüøàòüñÿ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, ïðè÷åì ω min = - êâàäðàò m

èëè ω 2 =

ìèíèìàëüíîé ÷àñòîòû, ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñïîíåíöèàëüíîìó óáûâàíèþ àìïëèòóä.

Ëèòåðàòóðà 1. Ïåéí Ã. Ôèçèêà êîëåáàíèé è âîëí. Ì.: Ìèð, 1979. 2. Êðàóôîðä Ô. Âîëíû. Ì.: Íàóêà. 1984.