Свойство интеграловъ отъ алгебраических иррациональныхъ функций которые выражаются одними логарифмами

СВОЙСТВО ИНТЕГРАЛОВЪ ОТЪ АЛГЕБРЙЧЕСШЪ ИРРАЩОИАЛЬНЫХЪ ФУНКЩЙ, КОТОРЫЕ ВЫРАЖАЮТСЯ ОДНИМИ ЛОГАРИ0МАМИ. Составила по записк* Карла Марш Еьюма, пом-вщенной въ IV том* Aimalï di Matematica TortolinL H.

АДЕВСВЕВЪ.

1. Пусть въ интеграла:

Г fax gm

f и 6 суть цФлые рацшнальные многочлены, многочленъ Ô можетъ им'Ьть множителя (х—ocQ)p; гд1* р<^т, m—ц1>лое, про­ стое число. Если предгьлы интеграла величины конечным, дтъйстттельнын или мнимы я, и если комплексную перемгьнную х измтьннемь между этими предтьлами mam, что указатель ел пере­ мещается по прямой лиши, wo предыдугщш определенный интегралъ не можешь быть безконечнымь, Если на прямой, по которой интегрируемъ, и которая сое­ диняешь пределы интеграла, нФтъ ни одной точки, относи-

.

f

тельно которой выражеше -~j~ обращалось бы въ со, то ннтегралъ будетъ конечнымъ. Но положимъ, что на этой пря­ мой существуетъ точка (я?0), для которой 6(а? 0 )=0; тогда для 12

— 174 — доказательства предыдущей теоремы употребляемъ следующШ способъ Коши. Разлагаемъ определенный интегралъ на эле­ менты и изъ этихъ элементовъ разсматрива^мъ особый опре­ деленный интегралъ

J

fax ~1

гд* £ безконечно-малая величина, a jx величина конечная.

J

fdx i_

6-

р

I

fclx

— ^~

f (X) ç

-J-

j

rix

^-

9

6-( x ) J (a;~^ 0 ) M

J (pc—x^**

здесь: Ь—(х—
2

m— i

где Р 0 , Р £ , Р 2 , . . . . . целые многочлены, m какое нибудь целое число, полагая, что п р т г = а эта функщя обращается въ нуль въ двухъ случаяхъ: 1-й случай: Ô не делится на х—а; 2-й случай: 6 делится на х—а и следовательно 9(а)=0. Въ первомъ случае: последовательный производным оть X при х = а остаются конечными; послгъдователъныя произ­ водный, оть X при х=а немогуть всгь обращаться въ нули. Для доказательства последняго предложешя означимъ чрезъ а первообразный корень двучленнаго уравненш: о? т —1=0

— 175 — и еоставимъ произведете: m—1

±

(Р0+Р1е^_|_.. . +Рда_1е •К'-'Р«-^

m

т

J.

)(p 0 + K p 1 e w +

)....(P„+« m " 1 P 1 ö w +

+«Pm_,e

то

)•

Это произведете есть симметрическая функщя корней уравнешя; поэтому это произведете ращональная целая функщя х; и следовательно при х = а, составленное произведете, ко­ торое означимъ чрезъ П, находится въ конечномъ отношенш въ некоторою степенью разности х — а и притомъ показа­ тель этой степени не нуль. Напишемъ предыдущее произведете въ такомъ виде: Допустимъ, что одинъ изъ множителей и ВСЁ его производ­ ныя при х — а обращаются въ нули; п-иую производную отъ П можно написать такъ: (я)

¥1

п =2АП, л

(*')

(я")

п4

(»'")

п,

.....

где я ' + " + п"' + . . . . . = л и каждый членъ этой сум­ мы содержитъ или самый множитель, обращавшейся въ нуль при х = а, или его производную известнаго порядка; поэто­ му предыдущее допущеше требуетъ, чтобы П ^ при х = а при всякомъ /г равнялась нулю, что противоречите предыду­ щему; и такъ нельзя допустить, чтобы какой нибудь изъ множителей и все его производныя при х = а обращались бы въ нули; а отсюда следуетъ, что функщя X при х = а находится въ конечномъ отношенш съ некоторою целою стененью разности х—а и притомъ показатель этой степени ве нуль. Во второмъ случае: 6а? делится на х —- а9 m при ж = а имеемъ отдельно; 12*

— 176 — i

i

m—i

p1e^+p26^4-.....pm_le~^"=o

и р 0 =о.

Пусть 6 = ( # — a)*.6t, гд* к ц1$лое число, а 84 ц'Ьлый миогочленъ не д^лящШся на х—а, тогда: fei

2 Tî

2

Х=Р 0 +Р 1 (я-а) й *6 1 й Ч-Р 1 ( я? —«) ,îr 79r+ - (m—i)k

m—i

w

m

+Р—Л*-*)

A

\

• '

Изъ ц*лыхъ чиселъ: о, к, 2ft, (m—î)& отберемъ гЬ, которые не делятся на m и пусть числа: o,pifp2, рп суть наименьшее положительные вычеты ихъ по модулю т, ВСЕ эти вычеты между собою различные. Соединимъ rb чле­ ны функцш Х5 для которыхъ наименьшш положительный вычетъ числителя степени х—а по модулю m одинаковъ, тогда X можно написать такъ: ii

EL

X=Q0+Q{(x-a) гдф Q0 и (?j

Pn

+Q2(x-a)

+ .... + Qn(x-a)

.

суть функцш вида

Х.+Х, б4*+ . . . . Если эти функцш делятся на х—а, то делятся ц^лое число разъ, что слФдуетъ изъ предыдущаго; пусть Qr содержитъ х—а съ наименьшимъ цФлымъ показателемъ qr, тогда разr

д^ливъ предыдущее равенство на (х—а)

m

, получимъ, что

при х=а. Ä

1(х—а)

Qr ml

)

— (•= величина конечной не (а;—-а) I ®=а

равной нулю*

_

177 —

Мтакъ въ обоихъ случаяхъ фучщгя Х3 уничтожающаяся при х=^а, цаходытся при х=а въ конечномь отношенги съ некоторою степенью (х—a)q; въ первомъ случать q есть число цтлое, во второмъ случат q есть число цтлое (когда QQ содержитъ наименьшую цтлую степень х—а) или дробь, знаме­ натель которой или ms или дтлитель т. 3. Академикъ Чебышевъ въ мемуары, пом'Ёщенномъ въ Journal des Math, за 1853 годъ, показалъ, что если интегралъ

J1

fdx

(m число простое) можно выразить посредствомъ однихъ ло» гариемовъ, то сущеетвуетъ следующее тожественное урав нете:

Cfdx

я=0 (

)

г

гдВ Р 0 , Р,, Р,, P w -i> Ц*лые многочлены относительно а?, а первообразный корень уравнешя: # w — 1 = 0 . Докажемъ во 1-хъ, что если 6=(а?—й) р 0 1 a f не делится на (х—а)р~~\ то Р0 делится на х—а. Дифференцируя уравнеше (1), получаемъ: A

£ n=0

i

п

— 178 — n=zm.—4

+2

^^^f^f^£M

m .ИП11, . П

Е

TT

гтг

d

/

i?bzi\

LllTL^ïr^ré^!" )

Возьмемъ общШ членъ второй части о « F части, онъ равняется:

^

Zp m

e

(a"Û7+» Dn

._

и=0

_

n

п

ft

-

—

•

Знаменатель П есть симметрическая функция корней уравнешя у"*—0=0. Сумма числителей •ней того же тоавнет* » г. ^«.««ada Функщя корИ П ИТ0МЪ НУЛЬ ппи „ 1 Р эта сумма обращается въ 16 нуль при вс*хъ корняхъ уравнешя Ъ-г — n П Э Т У«™* ™ въ образимъ сумму числителей ч р е Г о х Г ,З н а м е°н ° М У МЫ И3~ Общи членъ поини, " Г Г Л ' * ™ ь чрезъ Y.

fei

Й#

г r+i

У

ОХ,

1_ х г

• у — i ' "y"

[^+£K*]

Означая чрезъ X X Y X r ) получимъ ' '•'"-'

^ ФУЩЦШ

^Са

п

°Д° б ныя

— 179 r—m—1 *Y r=o ИЛИ:

r=m—1

д = А2хг(р'го + -грге') Но

б' = р(х—ау-1в1-\-(х—а)РО\

в=(х—а)Рв1г

и

r=m—\

=АУХ(Р> - O ) 9 '

^ ^

+>А+^--«)в'л)

Откуда слФдуетъ, что если f не делится на (х—а)р~~~1, то Y делится на х—а; но при х=а, Y обращается въ (P 0 ) w ; следовательно Р0 делится но х—а, 4. Означимъ пределы интегрировашя чрезъ х0 и хп и положимъ во второй части равенства: п=т—1 fdx dx [ 1 Г-А/П Р о +а й Р 1 о я г +

î, 6

+a n ( m ~" , , P m _ 1 Ö

et üin1) w

ft

x—ß-}~yi9 общщ членъ произведешя приметъ видъ: x

=Хп, где RM модуль, а <рл аргументъ мниM + ß ^ = R ^ маго выражешя Хп. Пусть х± есть значеше амза, прикоторомъ Хп обращается въ нуль, содержащееся въ пределахъ интегрировашя и пусть ool=ßi-\-mfli. По предыдущему если Хп обращается въ нуль, то существуешь некоторая степень рп разности (х — xj, относительно которой. I

—

=

конечной величине, не равной нулю.

— 180 — Отношеше

(x—xt) (ß—Pt+*(Y—Ti)) P -e P гд*В p есть модуль выражешя ß—pi+t(y—у4), его,

а ср аргументъ

fi

Означимъ - — чрезъ Тж, ТЛ есть функщя х не обращающаяся .en

р

ни въ нуль, ни въ безконечность при х—хг

9.* модуль р при x=xi

К

Итакъ:

V

обращается въ нуль. Итакъ: п=т—1

— =АШ

Ти .р

= A/. J Т0 Tf Т2 ..... V - 4

.е

| + А | 2 Л + A/p2j *Х-

Чтобы интегралъ сохранялъ конечное значеше при

x=xi

п=т—1

т. е, когда р=0, необходимо положить да 1 1 р ж =0, или: я=0

Po + aPi + аР*+ + а Pm-i = ° Но первообразный корень а удовлетворяетъ уравнешю: 1_|_а + а 2 +

awi-1=0

(а)

Изъ этихъ двухъ уравнешй следовало бы, что а удовлетво­ ряетъ уравнение: P.—P»_. + *(Pi—Pm-i)+

+ « W - 2 (Pm-2—P»-i)=0-

— 181 — Но такъ какъ уравнеше (а) неприводимое, то последнее уравнеше должно быть тожествомъ, откуда: Po =pi

—р2 = • . • • *Vm—i'=::Vm—t

5. Отсюда получаемъ:

+Р от _,б PD+aPie*+aiPfö*+

+ « V +

т

А"*_ r w +a„ГО P,6 +

+а т -'Р да _ 1 в 1

2

Ро + а— *P i 6 1 *+« i,m ~' ) P.e Ä +

=(х-х,) \

т

=(ж-а?») *. М- |

+a*<w-Vt"

Умножая второе уравнеше на сГп, третье на сГт и т. д. X

получимъ складывая, коеффищентъ при Рг6да равняется

Коеффищентъ при Рда(Г равняется m; следовательно:

Po

т [ °

Полагая * = * , получимъ для второй части величину конечPo

n tm

ную; следовательно ( х - ж , ) есть Делитель F„ • 6. Разсмотримъ опять два случая: l ° S не длится на * *,. но при я » , X обращается въ нуль, тогда.

— 482 —

ФуНКЦШ Q 0 Oj

Qm-l

С

У ТЬ

Ч*ЛЫЯ фуНКЦШ

изъ которыхъ покрайней Mtpi одна не делится на fdx w=m—1 f t

J

Х-Ж,

х—xt.

Т ~ = А/П kx-xiy.Qa+a?(x-xiyQlF*+

n=m—i

I

A /TT

)

)

+ A/>.(l+a+a 2 + w=m—1 (

m—i (

-i

a

n

+ а т - 1 )/(ж —ж,) £

Продолжая эти дМств!я, мы, не изменяя формы интеграла, приводимъ его къ^тшшму виду, что коеффищенты при различныхъ етепеняхъ б т не будутъ им1>ть ни одного множите­ ля, который бы дФлилъ ихъ всЬхъ, исключая тотъ случай, когда этотъ множитель входитъ въ б. Итакъ объ общей функцш

хп=р0+л\г*+

+ г^-Чт^

ш

мы можемъ сказать, что если она обращается въ нуль яри какомъ нибудь конечномъ значенш х, то это значеше обращаетъ въ нуль 6. Пусть х—xi одинъ изъ множителей Ô, и положимъ 0=(х—•ж1)*.о1, гдф &<Ъ. Согласно съ предыдущи­ ми разсуждешями Р 0 делится на х—xt. Наибольшая степень разности х—xif на которую делятся члены P j ) m , будетъимФть показателемъ число цФлое или дробь, знаменатель которой есть т. Означимъ чрезъ А4 к2 ..... hm__i дзименышеположи­ тельные яычеты для чиселъ кА 2ft,...* (m—î)k. по модулю m,

— 183 —

чрезъ nl9 nv -ч>*пт—1 частныя, получаемыя отъ д1>лен1я kf 2&,"....(m—ï)k на т. Означимъ также чрезъ Q 0 , Q i »...Q m _ 1 цФлые многочлены, изъ которыхъ ни одинъ не д-Ьлится на х—xi7 тагЬемъ: Ро

Pi

*

Pm—i +л<*"-%X-Xi)

= (x-xi)

,

Pm-i

(m—i)k

Q^Çx-xJ

m

m—j

. 9, -

Q.+a^x-x,)Pm-i + V Qii(x-xi)*fQim+ . . . .

Такъ какъ Х^ делится на HtKof орую етененъ х—xit то означая чрезъ q показателя этой степени, и полагая q ц'Ьлымъ, докашемъ, что g=p 0 ! î Очевидно, что q ееможетъбыть ^>р0, ибо въ противномъ случае при х=хл вторая часть, деленная на (х — xL)q обратилась бы въ безконечность; сне можетъ быть мевФер0, потому *!то въ такомъ случае онъ долженъ быть равенъ наименьшему изъчиселъ p 4 + n i > - - и раздФливъ o6t части на (х—х^ получимъ, что вторая чаеть обратится въ нуль, когда первая сохраняатъ конечное значеше. Итакъ qzzpQ. Случай когда q есть число дробное можно привести къ предыдущему; стоитъ только вместо интеграла: w

A/n(P,+a^6 +

Щт

+* ~%п^

разсматр^вать слФдующШ ему равный: п*=*т—i

который можно привести къ такому виду:

m—1

m

)

_

184. —

n=ni'—1

ос

£/П |А0 + а%бЧ

|

т&ъ А0, А, . . . суть цФлые многочлены, a делитель выражешя въ скобЕахъ есть ц*лая степень разности х — xv Итакъ показатель делителя (х—xjq можно всегда предпо­ лагать ц-Ьлымъ, а потому на основанш всВхъ предыдущихъ разеужденщ №

= АШ

Q

0 +

Qi(x-xr-Oim+'

a^-^)

гдФ показатели piJrni— р 0 ... либо ц^лыя числа, либо нули и мы можемъ написать такъ: п=т—i \ J

б~

kt 4

«ни))

Ни одинъ изъ множителей подъ знакомъ Пне можетъ обра­ щаться въ нуль при х—хл, ибо Р0 не обращается въ нуль приз?—я?4. 7. Совершая подобныя приведешя относительно каждаго изъ множителей многочлена 0, получимъ следующую теорему Если: е*=\(х—ъ)н(х—хг)к

{х~хр)1[к

гдп> цтьлыя числа: h, ft, /*...« всгь ментье m, и если означамъ чрегь hv h2,. .; kl9 k2...; lt l2:*.; наименьшге положительные вычеты чиселъ h, Ш,,..; к, 2к...; I, Ш,... по модулю т, и если интегралъ можно выразить сь помощгю однихъ логаривмовъ, то существуют® щьлъи многочлены Р0> Р 1 > # . Р 1Э удо. влетворяющге тожеству:

— 185 — P 0 +a n PJ (x~Xi)

!™=А1П 6"

(x~x2)

,..{x-xp)

)- +

*=o(

такь, что ни одит изь множителей произведетя подь зна­ комь I не можешь обратиться вь нуль или еь безяонечнссть при конечномь значент х-са. 8. Изъ этой теоремы прямо следуете», что произведете" п^т—1 h г i

П Р о + а ^ К * - * , ) '. .(х-хр)Г+

-

п=0(

+а^Ч.-Л(*^.Л \...(х-*ср)ш ']* величина постоянная. Действительно: \{х—х,)

....(х—хр) Г ^ h M\{х—xj ..... (х—хр) Г

4 i hn—hn ln—U* {(эс—х,) ....(х—хр у

Но hn—hn= числу кратному съ т=Нт; Ы—кп=Кт и т. д Поэтому предыдущая дробь равна

__J[

1 Я \Х

Х^ J

L . . . . . \Х

m

Э£р)

гдф
(~д

hn

Ц ф &—хр) = —

и предыдущее произведете напишемъ такъ:

— 186 — П Р

a"P

°+ ш '

e

à

a»P»-i)p

+

+~

^

Ô

**=i) m

n=0 Это произведете симметрическая функщя корней уравнешя: а потому цФлая рацюнальная функщя коеффищентовъ сего уравненш и величинъ Р 0 , —

и т. д.. которыя всЬ рацю-

нальныя функцш о?, поэтому это произведете есть рацюналь­ ная функщя а>са; но оно не обращается ни въ нуль, ни въ безконечность ни при какомъ конечномъ значеши о>са, сле­ довательно равняется постоянной величина. И отсюда полу­ чается теорема:

J

ïdx ~j-

можно выразить одними логарие-

мами, то существуют® цтьлые многочлены Р , Р 4> ... Рш__** удовлетворяющее равенству:

П n=0

P0+a"Pt [(*-*,) .....(x-xp)

Ч - ^ ^ - Л ^ / " " ... (x-xj~fr=

Г+ «»сюянно!.