Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп

Алгебра и логика, 43, N 4 (2004), 411—424

УДК 512.542

ОБ ИНДЕКСАХ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП КОНЕЧНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП∗) В. С. МОНАХОВ

В работе будут рассматриваться только конечные группы. Известно, что в каждой разрешимой группе все максимальные подгруппы имеют примарные индексы, т. е. индексами являются степени простых чисел. Это позволяет ввести следующие функции: mp (G) = max{logp |G : M | | M <max G, |G : M | = pa }, p ∈ π(G); m(G) = max mp (G). p∈π(G)

Здесь π(G) — множество всех простых делителей порядка разрешимой группы G. Запись M <max G означает, что M — максимальная подгруппа группы G. Функции mp (G) и m(G) определены на множестве всех разрешимых групп. Значения этих двух функций принадлежат множеству натуральных чисел. Естественно возникает следующая задача: исследовать строение разрешимой группы G в зависимости от значения функции m(G). В такой постановке эта задача восходит к [1]. При m(G) = 1 группа G сверхразрешима. Это классическая теорема Хупперта: группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы имеют простые индексы. Для случая m(G) 6 2 показано [1, теор. 16], что

∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского Фонда фундамен-

тальных исследований, проект N Ф99–195. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

412

В. С. Монахов

четвертый коммутант группы G нильпотентен, а если группа имеет нечетный порядок, то ее второй коммутант нильпотентен. Отметим, что при m(G) 6 2 разрешимости группы G можно заранее не требовать: группа G с примарными индексами максимальных подгрупп разрешима при m(G) 6 2. Эта теорема Холла (см. [2, теор. VI.9.4]) является положительным ответом на вопрос Хупперта [1, c. 423]. Если же среди индексов максимальных подгрупп встречаются кубы простых чисел, то группа может быть неразрешимой. Примером служит простая группа P SL(2, 7), в которой максимальные подгруппы имеют индексы 7 и 8. Результат работы [3], доказательство которого использует классификацию конечных простых групп, влечет следующее утверждение: если G — неразрешимая группа, у которой индекс каждой максимальной подгруппы примарен, то G/S(G) ≃ P SL(2, 7). Здесь S(G) — разрешимый радикал группы G. Таким образом, неразрешимые группы с примарными индексами максимальных подгрупп и с m(G) 6 3 известны. Для разрешимых групп с m(G) 6 3 показано [1, теор. 17], что шестой коммутант G(6) группы G нильпотентен, а если группа G имеет нечетный порядок, то четвертый коммутант G(4) нильпотентен. Более детальное исследование разрешимых групп с m(G) 6 3 проведено в [4, 5]. В настоящей работе исследуется строение разрешимой группы G в зависимости от значения функции m(G). Доказывается следующая ТЕОРЕМА 1. Пусть G — разрешимая группа. Тогда (1) r(G/Φ(G)) = m(G); (2) d(G/Φ(G)) 6 1 + ρ(m(G)) 6 3 + m(G); (3) lp (G) 6 1 + t, где 2t−1 < mp (G) 6 2t . Здесь Φ(G) — подгруппа Фраттини группы G, а r(G), d(G) и lp (G) — главный ранг, производная длина и p-длина группы G соответственно. Через ρ(n) обозначается максимум производных длин вполне приводимых разрешимых подгрупп полной линейной группы группы GL(n, F ) степени n, где F — поле. Согласно [6] такая функция ρ(n) : N → N существует и не зависит от поля F . Значения функции ρ(n) для каждого n известны (см., напр., [7]). В частности, ρ(n) 6 2 + n для любого n.

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп 413 Введенная функция m(G) позволяет установить существование нового класса сопряженных подгрупп в разрешимых группах. А именно, справедлива ТЕОРЕМА 2. Для любого натурального k в каждой разрешимой группе G существует подгруппа K, обладающая следующими свойствами: (1) m(K) 6 k; (2) если T и H — подгруппы группы G такие, что K ≤ T <max H ≤ ≤ G, то |H : T | = pt для некоторого простого p и t > k. Кроме того, любые две подгруппы группы G, обладающие свойствами (1) и (2), сопряжены между собой. В случае k = 1 теорема 2 получена в [8, теор. III.8], где показывается существование и сопряженность сверхразрешимых проекторов в разрешимых группах. Сверхразрешимые проекторы — это проекторы, соответствующие классу всех сверхразрешимых групп.

§ 1. Вспомогательные утверждения ЛЕММА 1. Пусть G — разрешимая группа и N — ее нормальная подгруппа. Тогда: (1) mp (G/N ) ≤ mp (G); если N — p′ -подгруппа, то mp (G/N ) = = mp (G); (2) mp (G/Φ(G)) = mp (G). Аналогичные утверждения справедливы для m(G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится непосредственно. Пусть E = G0 ≤ . . . ≤ Gs = G — главный ряд группы G. Тогда главные факторы Gi+1 /Gi являются характеристически простыми группами. В частности, разрешимые главные факторы являются элементарными абелевыми примарными группами. Если G (6= E) — разрешимая группа, и pni i = |Gi+1 /Gi |, то число r(G) = max ni называют рангом группы G (см. [2, гл. VI, опр. 5.2a]). Если G (6= E) — p-разрешимая группа, и pni —

414

В. С. Монахов

наибольшая степень простого числа p, делящая порядок главного фактора Gi+1 /Gi , то число rp (G) = max ni называют p-рангом группы G (см. [2, гл. VI, опр. 5.2b]). Для единичной группы E полагают r(E) = 0 = rp (E). В силу теоремы Жордана–Гельдера любые два главных ряда группы G изоморфны, поэтому значения ранга и p-ранга определяются однозначно. Свойства p-ранга p-разрешимой группы и ранга разрешимой группы содержатся в [2, лемма VI.5.3]. ЛЕММА 2 [9, теор. 5]. Если G — вполне приводимая разрешимая подгруппа полной линейной группы GL(n, q t ), то r(G) 6 n. Для группы G совокупность подгрупп 1 = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ . . . ≤ Hk−1 ≤ Hk = G называют максимальной цепью, если для каждого i = 0, 1, . . . , k − 1 подгруппа Hi максимальна в Hi+1 . Индексы |Hi+1 : Hi | называют индексами этой цепи. Через pjp (G) обозначается наивысшая степень p, которая встречается среди индексов максимальных цепей подгрупп разрешимой группы G, а j(G) = max jp (G) (см. [1]). Ясно, что mp (G) 6 jp (G) и m(G) 6 j(G) p∈π(G)

для любой разрешимой группы G. ЛЕММА 3 [1, теор. 1]. Если G — разрешимая группа, то jp (G) = = rp (G). В частности, j(G) = r(G). Этот результат в [10] был распространен на p-разрешимые группы с операторами. Запись G = [A]B означает полупрямое произведение с нормальной T x подгруппой A, а AG = A — ядро подгруппы A в группе G. Если в x∈G

группе G имеется максимальная подгруппа M с единичным ядром MG = 1, то G называют примитивной, а M — ее примитиватором (см. [8]). ЛЕММА 4 [8, теор. I.8; 2, теор. II.3.2]. Пусть G — примитивная разрешимая группа с примитиватором M . Тогда (1) Φ(G) = 1; (2) F (G) = CG (F (G)) = Op (G) и F (G) является элементарной абелевой p-группой порядка pn для некоторого простого p;

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп 415 (3) в группе G содержится единственная минимальная нормальная подгруппа, совпадающая с F (G); (4) G = [F (G)]M и Op (M ) = 1; (5) M изоморфна неприводимой подгруппе группы GL(n, p). ЛЕММА 5 [11, лемма 1.3; 2, теор. III.16.3]. Силовская p-подгруппа группы GL(n, pt ) имеет ступень нильпотентности (n−1) и производную длину l, где 2l−1 < n 6 2l . ЛЕММА 6 [12, теор. 12; 2, теор. VI.6.6]. p-длина разрешимой группы не превосходит производную длину и ступень нильпотентности своей силовской p-подгруппы. ЛЕММА 7. Если G — разрешимая группа и d(G/Φ(G)) = k, то (k − 1)-й коммутант группы G нильпотентен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По свойствам коммутантов (G/N )(i) = G(i) N/ N для любых натурального i и нормальной подгруппы N группы G (см. [2, лемма I.8.4]). Поэтому (G/Φ(G))(k−1) = G(k−1) Φ(G)/Φ(G) ≃ G(k−1) / G(k−1) ∩ Φ(G) абелева. В силу [2, лемма III.3.3] Φ(G(k−1) ) ≤ Φ(G), следовательно, по [2, теор. III.3.5] G(k−1) нильпотентна. Лемма доказана. Пусть F — формация, G — группа. Пересечение всех нормальных подгрупп группы G, фактор-группы по которым принадлежат F, обозначают через GF и называют F-корадикалом группы G (см. [8, 13]). Произведением формаций X и Y называется класс XY = {G | GY ∈ X}, состоящий из всех групп G, у которых Y-корадикал принадлежит X. Формация X называется насыщенной, если из G/N ∈ X и N ≤ Φ(G) всегда следует, что G ∈ X. Через A и N обозначаются формации всех абелевых и нильпотентных групп, а через Ak — произведение k копий формации A. ЛЕММА 8. Пусть F — насыщенная формация, и G — разрешимая группа. Предположим, что G не принадлежит F, но G/N ∈ F для всех неединичных нормальных подгрупп N группы G. Тогда G — примитивная группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуемое легко получается из соответствующих определений.

416

В. С. Монахов ЛЕММА 9 [8, теор. VII.4, VII.5]. Если F — насыщенная формация,

N ⊆ F, H — формация, то FH — насыщенная формация. В частности, NAk — насыщенная формация для любого натурального k.

§ 2. Доказательство теоремы 1 и ее следствий ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. (1) Так как mp (G) = mp (G/ Φ(G)) 6 jp (G/Φ(G)), а, по лемме 3, jp (G/Φ(G)) = rp (G/Φ(G)), то mp (G) 6 6 rp (G/Φ(G)) для любого простого p. Поэтому m(G) 6 r(G/Φ(G)). Проверим обратное неравенство. Пусть M — максимальная подгруппа группы G. Тогда группа G/MG примитивна с примитиватором M/MG и применима лемма 4. Поэтому G/MG = [N/MG ]M/MG и |G : M | = = |N/MG | = pk . Теперь M/MG изоморфна неприводимой подгруппе группы GL(k, p) и r(M/MG ) 6 k по лемме 2. Так как k 6 m(G), то r(G/MG ) 6 6 m(G). Подгруппа Фраттини является пересечением ядер максимальных подгрупп, значит, G/Φ(G) изоморфна подгруппе прямого произведения Q G/MG , где M пробегает все максимальные подгруппы группы G. M <max G

По [2, лемма VI.5.3] получаем, что r(G/Φ(G)) 6

max r(G/MG ) 6 m(G).

M <max G

(2) Воспользуемся индукцией по порядку группы G и покажем включение G ∈ NAρ(m(G)) . По лемме 9 формация NAρ(m(G)) насыщена, поэтому по лемме 8 группа G примитивна и к ней можно применить лемму 4. Подгруппа M изоморфна неприводимой разрешимой подгруппе группы GL(n, p) и n 6 m(G), поэтому M ∈ Aρ(n) ⊆ Aρ(m(G)) . Теперь G ∈ NAρ(m(G)) . У любой разрешимой группы G фактор-группа F (G)/Φ(G) абелева, и d(G/Φ(G)) 6 1 + ρ(m(G)). Из [7] вытекает ρ(m(G)) 6 2 + m(G), поэтому d(G/Φ(G)) 6 1 + ρ(m(G)) 6 3 + m(G). (3) Поскольку для каждого натурального t класс всех разрешимых групп p-длины не выше 1 + t является насыщенной формацией, по индукции можно доказать, что группа G примитивна и G = [F (G)]M , где M — неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(n, p), а pn = |F (G)| = = |M |. Поэтому n 6 m(G), и по лемме 5 производная длина силовской p-подгруппы группы M не превышает t, где 2t−1 < m(G) 6 2t . По лемме 6

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп 417 получаем, что lp (G) 6 1 + t. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть G — разрешимая группа. (1) Если m(G) ∈ {2, 3, 4}, то d(G/Φ(G)) 6 3 + m(G); (2) если m(G) ∈ {5, 6, 7}, то d(G/Φ(G)) 6 8; (3) если m(G) ∈ {8, 9}, то d(G/Φ(G)) 6 1 + m(G); (4) если m(G) ∈ {10, . . . , 17}, то d(G/Φ(G)) 6 11; (5) если m(G) ∈ {18, . . . , 25}, то d(G/Φ(G)) 6 12; (6) если m(G) ∈ {26, . . . , 33}, то d(G/Φ(G)) 6 13; (7) если m(G) ∈ {34, . . . , 65}, то d(G/Φ(G)) 6 14; (8) если m(G) > 66, то d(G/Φ(G)) 6 1 + 5 log(n − 2) + 53/10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Значения ρ(n) вычислены для всех n (см. [7; 14; 15, лемма 2.4]). Подставляя эти значения вместо ρ(m(G)) в теорему 1, получаем требуемое. СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть G — группа нечетного порядка. (1) Если m(G) 6 2, то d(G/Φ(G)) 6 2; (2) если m(G) ∈ {3, 4}, то d(G/Φ(G)) 6 3; (3) если 5 · 7x 6 m(G) < 15 · 7x , то d(G/Φ(G)) 6 4 + 2x; (4) если 15 · 7x 6 m(G) < 5 · 7x+1 , то d(G/Φ(G)) 6 5 + 2x. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Значения ρ(n) для нечетных n вычислены в [16, теор. 4B]. Подставляя эти значения вместо ρ(m(G)) в теорему 1, получаем требуемое. СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть G — разрешимая группа. (1) Если m(G) 6 2, то четвертый коммутант группы G нильпотентен; если группа имеет нечетный порядок, то первый коммутант группы G нильпотентен; (2) Если m(G) 6 3, то пятый коммутант группы G нильпотентен; если группа имеет нечетный порядок, то второй коммутант группы G нильпотентен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оба утверждения вытекают из следствий 1.1 и 1.2 с помощью леммы 7.

418

В. С. Монахов Таким образом, для случаев m(G) = 2 и m(G) = 3 получаем обоб-

щение теорем 16 и 17 из [1]. Теорема 1 позволяет также получить новую информацию о строении разрешимой группы G в зависимости от ее силовских подгрупп. Нормальный ранг p-группы P обозначается через s(P ) и определяется так: s(P ) = max{logp |X/Φ(X)|}, X
P

где X пробегает все нормальные подгруппы группы P , в том числе и P . Здесь Φ(X) — подгруппа Фраттини группы X. Из теоремы Бернсайда о базисе [2, теор. III.3.15] следует: нормальный ранг s(P ) — это наименьшее натуральное число такое, что любая нормальная подгруппа p-группы P порождается не более, чем s(P ) элементами. Непосредственно из определения нормального ранга вытекает ЛЕММА 10. Если N — нормальная подгруппа p-группы P , то logp |N/Φ(N )| 6 s(P ). ЛЕММА 11. Если N — нормальная подгруппа p-группы P , то s(P/N ) 6 s(P ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть s(P/N ) = m. Существует нормальная подгруппа K/N группы P/N такая, что pm = |(K/N )/Φ(K/N )|. Ясно, что K нормальна в P и Φ(K)N/N ≤ Φ(K/N ) по [2, лемма III.3.4]. Так как (K/N )/Φ(K/N ) ≃ ((K/N )/(Φ(K)N/N ))/(Φ(K/N )/(Φ(K)N/N )) и (K/N )/(Φ(K)N/N ) ≃ K/Φ(K)N , то pm = |(K/N )/Φ(K/N )| 6 |K/ Φ(K)N | 6 |K/Φ(K)| 6 ps(P ) и m 6 s(P ). Лемма доказана. Для группы G положим sp (G) = s(Gp ), где Gp — силовская pподгруппа группы G и s(G) = max sp (G). p∈π(G)

ЛЕММА 12. Если G — разрешимая группа, то mp (G) 6 sp (G) для любого простого p. В частности, m(G) 6 s(G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что mp (G) 6 jp (G) для любых простого p и разрешимой группы G. По лемме 3, jp (G) = rp (G) для любого простого p. Поэтому mp (G) = mp (G/Φ(G)) 6 jp (G/Φ(G)) = rp (G/Φ(G)) 6 rp (G).

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп 419 Пусть H/K — главный фактор разрешимой группы G. Тогда H/K является элементарной абелевой p-группой для некоторого простого p. По лемме 10, logp |H/K| 6 s(Gp K/K), а по лемме 11, s(Gp /Gp ∩ K) 6 s(Gp ). Поэтому rp (G) 6 sp (G) для каждого простого p в любой разрешимой группе G. Лемма доказана. Это утверждение позволяет расспространять полученные результаты об индексах максимальных подгрупп на разрешимые группы с ограниченными рангами силовских подгрупп. В частности, лемма 12 позволяет заменить в теореме 1 и ее следствиях 1.1—1.3 функцию m(G) на функцию s(G). Итак, справедливо СЛЕДСТВИЕ 1.4. Пусть G — разрешимая группа. (1) r(G/Φ(G)) 6 s(G); (2) lp (G) 6 1 + t, где 2t−1 < sp (G) 6 2t ; (3) d(G/Φ(G)) 6 1 + ρ(s(G)) 6 3 + s(G), а кроме того, (3.1) если s(G) ∈ {2, 3, 4}, то d(G/Φ(G)) 6 3 + s(G), (3.2) если s(G) ∈ {5, 6, 7}, то d(G/Φ(G)) 6 8, (3.3) если s(G) ∈ {8, 9}, то d(G/Φ(G)) 6 1 + s(G), (3.4) если s(G) ∈ {10, . . . , 17}, то d(G/Φ(G)) 6 11, (3.5) если s(G) ∈ {18, . . . , 25}, то d(G/Φ(G)) 6 12, (3.6) если s(G) ∈ {26, . . . , 33}, то d(G/Φ(G)) 6 13, (3.7) если s(G) ∈ {34, . . . , 65}, то d(G/Φ(G)) 6 14, (3.8) если s(G) > 66, то d(G/Φ(G)) 6 1 + 5 log(n − 2) + 53/10; (4) для случая группы G нечетного порядка (4.1) если s(G) 6 2, то d(G/Φ(G)) 6 2, (4.2) если s(G) ∈ {3, 4}, то d(G/Φ(G)) 6 3, (4.3) если 5 · 7x 6 s(G) < 15 · 7x , то d(G/Φ(G)) 6 4 + 2x, (4.4) если 15 · 7x 6 s(G) < 5 · 7x+1 , то d(G/Φ(G)) 6 5 + 2x. Отметим также следующий факт. Если порядок разрешимой группы G не делится на (n + 1)-е степени простых чисел, то m(G) 6 n. Поэтому теорема 1 и ее следствия дают новую информацию о разрешимой группе в зависимости от порядка этой группы.

420

В. С. Монахов СЛЕДСТВИЕ 1.5. Пусть порядок разрешимой группы G не де-

лится на (n + 1)-е степени простых чисел. (1) Если n ∈ {2, 3, 4}, то d(G/Φ(G)) 6 3 + n; (2) если n ∈ {5, 6, 7}, то d(G/Φ(G)) 6 8; (3) если n ∈ {8, 9}, то d(G/Φ(G)) 6 1 + n; (4) если n ∈ {10, . . . , 17}, то d(G/Φ(G)) 6 11; (5) если n ∈ {18, . . . , 25}, то d(G/Φ(G)) 6 12; (6) если n ∈ {26, . . . , 33}, то d(G/Φ(G)) 6 13; (7) если n ∈ {34, . . . , 65}, то d(G/Φ(G)) 6 14; (8) если n > 66, то d(G/Φ(G)) 6 1 + 5 log(n − 2) + 53/10. В частности, d(G/Φ(G)) 6 3 + n в любом случае. СЛЕДСТВИЕ 1.6. Пусть порядок разрешимой группы G нечетен и не делится на (n + 1)-е степени простых чисел. (1) Если n 6 2, то d(G/Φ(G)) 6 2; (2) если n ∈ {3, 4}, то d(G/Φ(G)) 6 3; (3) если 5 · 7x 6 n < 15 · 7x , то d(G/Φ(G)) 6 4 + 2x; (4) если 15 · 7x 6 n < 5 · 7x+1 , то d(G/Φ(G)) 6 5 + 2x.

§ 3. Доказательство теоремы 2 Через M(k) обозначим множество всех разрешимых групп G со значением функции m(G) 6 k. Напомним, что классом Шунка (см. [8]) называют класс групп F, замкнутый относительно факторгрупп и обладающий следующим свойством: если G/MG ∈ F для всех максимальных подгрупп M группы G, то G ∈ F. Здесь MG — ядро подгруппы M в группе G. Каждая насыщенная формация является классом Шунка (см. [8]). Класс всех разрешимых групп, у которых коммутанты имеют нечетные индексы, является классом Шунка, но не является формацией (см. [8, c. 36]). Класс, замкнутый относительно нормальных подгрупп, называют нормально наследственным.

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп 421 ЛЕММА 13 [17, лемма 3.4.8]. Класс M(k) является нормально наследственным классом Шунка. В частности, если G — разрешимая группа и N
G, то m(N ) 6 m(G). ЛЕММА 14 [8, теор. II.12]. Для любого класса Шунка X в каждой конечной разрешимой группе G существует X-проектор и любые два Xпроектора группы G сопряжены между собой. Здесь под X-проектором группы G понимается такая подгруппа H, что HN/N — X-максимальная подгруппа группы G/N для всех N
G. В разрешимых группах это определение эквивалентно следующему. Подгруппа H является X-проектором разрешимой группы G тогда и только тогда, когда H ∈ X, а из условий H ≤ U ≤ G, U0
U и U/U0 ∈ X следует, что U = HU0 . Кроме того, в разрешимой группе X-проектор всей группы является X-проектором каждой подгруппы, в которой содержится (см. [8]). ЛЕММА 15. Пусть X — класс Шунка, H — X-подгруппа разрешимой группы G и HF (G) = G. Тогда H содержится в некотором Xпроекторе группы G. В частности, если H — X-максимальная подгруппа разрешимой группы G и HF (G) = G, то H — X-проектор группы G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть A — минимальная нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в F (G). В фактор-группе G/A имеем HA/A ≃ H/H ∩ A ∈ X и (HA/A)F (G/A) = G/A, поскольку F (G)/A ≤ F (G/A). По индукции X-подгруппа HA/A содержится в некотором X-проекторе K ∗ /A группы G/A. В группе K ∗ содержится X-подгруппа H и F (G) ∩ K ∗ ≤ F (K ∗ ). Из равенства G = HF (G) по тождеству Дедекинда следует равенство K ∗ = H(K ∗ ∩ F (G)), поэтому K ∗ = HF (K ∗ ). Если K ∗ 6= G, то по индукции подгруппа H содержится в некотором X-проекторе K группы K ∗ , который по [13, лемма 15.1] будет X-проектором группы G. Поэтому будем считать, что G/A ∈ X. Пусть L — X-проектор группы G, он существует по лемме 14. Так как LA/A — X-проектор группы G/A, то LA = G. Справедливо L ∩ A
L, а

422

В. С. Монахов

поскольку подгруппа A абелева, то L∩A
G и L∩A = 1, либо A ≤ L. Если A ≤ L, то G = L и лемма справедлива. Следовательно, L ∩ A = 1, и L — максимальная подгруппа группы G. Если L ∩ F (G) 6= 1, то L ∩ F (G)
G, и в качестве подгруппы A можно выбрать подгруппу из этого пересечения. Поэтому будем считать, что L ∩ F (G) = 1. Тогда A = F (G), HA = G и HG = 1. Теперь H и K — максимальные подгруппы группы G (причем HG = KG ), поэтому и по [2, теор. II.3.2] они сопряжены. Следовательно, H — X-проектор группы G. Лемма доказана. ЛЕММА 16. Если в примитивной разрешимой группе G примитиватор имеет индекс pk , то m(G) = k. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — примитивная группа с примитиватором M , |G : M | = pk , N — минимальная нормальная подгруппа группы G. Тогда G = [N ]M,

|N | = |G : N | = pk и N = CG (N ). Теперь

подгруппа M изоморфна неприводимой подгруппе группы GL(k, p), поэтому r(M ) 6 k по лемме 2. По лемме 3, r(M ) = j(M ) > m(M ), поэтому m(M ) 6 k. Отсюда следует, что для каждой максимальной подгруппы H группы G, содержащей N , индекс |G : H| равен q t , где t 6 k. Если L — максимальная подгруппа группы G, не содержащая N , то G = [N ]L и |G : L| = |N | = pk . Поэтому m(G) 6 k. Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Из лемм 13 и 14 вытекает, что в каждой разрешимой группе существует класс сопряженных M(k)проекторов. Пусть Ω — совокупность всех подгрупп группы G, обладающих свойствами (1) и (2). Покажем, что Ω совпадает с множеством всех M(k)-проекторов группы G. Пусть K — это M(k)-проектор группы G. Тогда K ∈ M(k) и m(K) 6 6 k. Предположим, что требование (2) относительно подгруппы K нарушается. Тогда существуют подгруппы T и H такие, что K ≤ T <max H ≤ ≤ G, |H : T | = pt и t 6 k. Группа H/TH примитивна с примитиватором T /TH . По лемме 16, H/TH ∈ M(k), а из определения M(k)-проектора следует, что H = KTH ≤ T , последнее невозможно. Поэтому предположение неверно и K ∈ Ω. Обратно, пусть K ∈ Ω. Пользуясь индукцией по порядку группы

Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп 423 G, покажем, что подгруппа K будет M(k)-проектором группы G. Из (1) и (2) следует, что K является M(k)-максимальной подгруппой группы G. Если KF (G) = G, то по лемме 15 подгруппа K есть M(k)-проектор группы G. Пусть KF (G) 6= G. По индукции подгруппа K является M(k)проектором группы KF (G). Простая проверка показывает, что в факторгруппе G/F (G) подгруппа KF (G)/F (G) обладает свойствами (1) и (2). По индукции KF (G)/F (G) является M(k)-проектором, а по [13, лемма 15.1] подгруппа K будет M(k)-проектором группы G. Теорема 2 доказана. В частном случае, когда k = 1, получаем СЛЕДСТВИЕ 2.1 [8, теор. III.8]. В любой разрешимой группе G существует подгруппа H, обладающая следующими свойствами: (1) H сверхразрешима; (2) если H ≤ H1 < T ≤ G, то |T : H1 | не является простым числом. Кроме того, любые две подгруппы группы G, обладающие свойствами (1) и (2), сопряжены между собой.

ЛИТЕРАТУРА 1. B. Huppert, Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen, Math. Z., 60, N 4 (1954), 409—434. 2. B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin a.o., Springer-Verlag, 1967. 3. R. Guralnick, Subgroups of prime power index in a simple group, J. Algebra, 81, N 2 (1983), 304—311. 4. В. С. Монахов, Е. Е. Грибовская, О максимальных и силовских подгруппах конечных разрешимых групп, Матем. заметки, 70, N 4 (2001), 603—612. 5. В. С. Монахов, М. В. Селькин, Е. Е. Грибовская, О разрешимых нормальных подгруппах конечных групп, Укр. матем. ж., 54, N 7 (2002), 940—950. 6. H. Zassenhaus, Beweis eines Zatzes uber diskrete Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 12 (1938), 289—312. 7. J. D. Dixon, The solvable length of a solvable linear groups, Math. Z., 107, N 2 (1968), 151—158. 8. W. Gaschutz, Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups (Notes Pure Math., 11), Canberra, Aust. Natl. Univ., 1979.

424

В. С. Монахов 9. G. Pazderski, Uber lineare auflosbare Gruppen, Math. Nachr., 45 (1970), 1—68.

10. Л. А. Шеметков, О конечных разрешимых группах, Известия АН СССР, сер. матем., 32, N 3 (1968), 533—559. 11. J. D. Dixon, The structure of linear groups, London a.o., Van Nostrand Reinhold Co., 1971. 12. В. Д. Мазуров, О p-длине разрешимых групп, в сб.: VI Всесоюзный симпозиум по теории групп, Киев, 1980, 50—60. 13. Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, Москва, Наука, 1978. 14. M. F. Newman, The solvable length of a solvable linear groups, Math. Z., 126 (1972), 59—70. 15. Y. Berkovich, Solvable permutation groups of maximal derived length, Algebra Colloq., 4, N 2 (1997), 175—186. 16. P. P. Palfy, Bounds for linear groups of odd order, Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser, 39, N 23 (1990), 253—263. 17. М. В. Селькин, Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп, Минск, Беларуская навука, 1997.

Поступило 20 ноября 2002 г. Адрес автора: МОНАХОВ Виктор Степанович, Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины, ул. Советская, 104, г. Гомель, 246019, БЕЛАРУСЬ. e-mail: [email protected]