Универсальная алгебра

П.Кон УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1968

Книга известного английского математика профессора Лондонского университета П. Кона — первая в мировой литературе монография, специально посвященная теории универсальных алгебр. Это новое направление общей алгебры развивается сейчас очень бурно и оказывает существенное влияние на другие ее разделы. Блестяще написанная книга, несомненно, заинтересует не только всех алгебраистов, но и представителей других областей математики. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам университетов и педвузов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 9 Замечания 12 Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 13 1. Аксиомы теории множеств 13 2, Соответствия 22 3. Отображения и фактормножества 24 4. Упорядоченные множества 31 5. Кардинальные и порядковые числа 41 6. Категории и функторы 49 Глава II. АЛГЕБРЫ 55 1. Системы замыканий 55 61 2. Ω-алгебры 3. Теоремы об изоморфизмах 71 4. Структуры 77 5. Структура подалгебр 93 6. Структура конгруэнции 101 7. Локальные и резидуальные свойства 113 119 8. Структура категорий Ω -алгебр Глава III. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ 123 1. Универсальные функторы 123 131 2. Алгебры Ω -слов 3. Клоны операций 141 148 4. Представления категорий Ω -алгебр 152 5. Свободные алгебры в категориях Ω -алгебр 157 6. Свободные и прямые объединения Ω -алгебр 7. Производные операторы 160 165 8. Представления Ω -алгебр 9. Проблема тождества 169 Глава IV. МНОГООБРАЗИЯ 176 1. Определение и основные свойства 176

2. Свободные группы и свободные кольца 3. Порождение многообразий 4. Представления в многообразиях алгебр Глава V. СТРУКТУРЫ С ОТНОШЕНИЯМИ И МОДЕЛИ 1. Структуры с отношениями над областью предикатов 2. Булевы алгебры 3. Производные предикаты 4. Замкнутые классы предложений и аксиоматизируемые классы моделей 5. Ультрапроизведения и теорема компактности 6. Пространство моделей Глава VI. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ МОДЕЛЕЙ 1. Ограничения и расширения . 2. Локальная определимость классов 3. Элементарные расширения 4. P-замкнутые классы и квазимногообразия 5. Классы, замкнутые относительно гомоморфных образов 6. Характеризация аксиоматизируемых классов моделей Глава VII. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Натуральные числа 2. Абстрактные отношения зависимости 3. Проблема деления для полугрупп и колец 4. Проблема деления для группоидов 5. Линейные алгебры 6. Лиевы алгебры 7. Йордановы алгебры Библиография Указатель обозначений Предметный указатель ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аксиоматический ранг 188 Абелева группа 66 Аксиомы Пеано 264 Абстрактная категория 119 Активная часть 284 Абстрактное отношение зависимости Алгебра 55 269 — антикоммутативная 305 — свойство 116 — булева 208 Абстрактный клон 147 — вполне сжимаемая 146 Автоморфизм 63 — группоида 183 Аксиома 221 — идемпотентная 304 — базисная 237 — индуктивная 265 — бесконечности 18 — йорданова 317 — выбора 33 — коммутативная 306 — основания 20 — лиева 308 Аксиоматизируемый класс — Линденбаума 224 моделей221 — линейная 67 — тип 225

180 184 195 204 204 207 215 221 226 230 237 237 239 245 250 253 255 264 264 269 280 297 301 308 316 329 339 341

— относительно свободная 191 — полиадическая 224 — полугрупповая 183 — n-примальная 195 — K-проективная 156 — простая 75 — Fn-простая 193 — сжимаемая 146 — K-свободная 158 — с конечным числом образующих 94 — Ω-слов 131, 132 — Ω -строк 131 — универсальная 152 — цилиндрическая 225 Алгебра частичная 68 — числовая 265 — элементарная 193 Алгебраическая система замыканий 53 Алгебраически замкнутое расширение 275 Алгебраический оператор замыкания 59 Алгебраическое замыкание алгебры 278 — отношение зависимости 271 — расширение 275 Алфавит 132 Антиизоморфизм категорий 52 Антикоммутативная алгебра 305 Антисимметричное соответствие 22 Арность 62, 204 Атом 92, 211 Атомная формула 216 База фильтра 213 Базис 270 Базисная аксиома 237 Базисное произведение 309 Базисный ранг 188 Безу кольцо 93 Бесконечноместная операция 26 Бесконечный класс 19

Биективное отображение 25 Биекция 23 Биркгофа— Витта теорема 308 Биркгофа теорема 115 Бииентрализатор 144 Булеан 16 Булева алгебра 208 Булево кольцо 209 — пространство 231 Валентность 133 Взаимно однозначное отображение 2К соответствие 23 Витта формула 315 Вложение 25, 63, 206 Внутреннее прямое произведение 70 Возрастающий одночлен 184 Вота критерий 249 Вполне дистрибутивная булева алгебра 210 — инвариантная конгруэнция 177 — неупорядоченное множество 31 — приводимый модуль 148 — регулярное пространство 152 — сжимаемая алгебра 146 — упорядоченное множество 33 Выполнение тождества, отношения 176, 205 Высказывание 14 — коллективизируемое 15 Галуа соответствие 58 Гёделя теорема о полноте 222 Главный ряд 108 — фильтр 214 Гомоморфизм 63, 205 — клонов 141 Гомоморфное отображение 63 Гомоморфный образ 63 Граф 38, 139 — ориентированный 38 — связный 38 Группа 65 — абелева 66 — без кручения 117

— делимая 194 — дробей 281 — с мультиоператорами 66 — операторами 66 — симметрическая 69 Группоид 64 Двойственная категория 52 Двойственность 79 Дедекиндова структура 79 Дедекиндово сечение 61 Декартова степень 18 Декартово произведение 16, 21 Де Моргана тождества 210 Диагональ 22 Диагональный процесс Кантора 37 Диаграмма модели 240 Дизъюнкция 216 Дистрибутивная структура 81 Длина строки 133 — структуры 85 — элемента 85, 136, 302 Дополнение 16, 80 Допустимый морфизм 124 Дуальный идеал 212 Единица 65 Единичный оператор 141 Естественная эквивалентность функторов 53 Естественное отображение 27 — представление 148 — преобразование функтора 53 Естественный гомоморфизм 72 Жордана — Гельдера теорема 85, 108 Зависимое подмножество 269 Зависимость стандартная 272 Задание алгебры 166 — конечное 168 Закон 176 — альтернативности 303, 307 — антикоммутативности 305 — ассоциативности 78, 307 — дистрибутивности 66, 81 — идемпотентности 303 — коммутативности 78, 303

— модулярности 80 — поглощения 78 эластичности 307 Замкнутое подмножество 270 Замкнутость относительно отображений 26 — подалгебр 120 — прямых произведений 120 — факторалгебр 120 Замыкание 57 — алгебраическое 278 — универсальное 220 Значение функции 16 Идеал 72, 212 Идемпотент 112 Идемпотентная алгебра 304 Изоморфизм алгебр 63 — категорий 51 — рядов 107 — структур 35 — Ω-структур 206 — цепей 84 Импликация 216 Инвариантный ряд 108 Индекс 16 Индуктивная алгебра 265 — система 59 Индуктивный класс 239 Индукция 264 — нётерова 33 — трансфинитная 33 Интервал 79 Инъективная алгебра 278 — оболочка 279 Инъективное отображение 25 Инъективный функтор 151 Инъекция 25 Исключительная йорданова алгебра 317 Истинность 205 Источник 24 Йорданово представление 318 — тождество 317 Йорданов элемент 324

Канонический морфизм 128 Кантора диагональный процесс 37 Кардинальное число 41 Категоричная теория 249 Категория 50 — абстрактная 119 — двойственная 52 — двойственная себе 54 — локальная 121 — наследственная 120 — полученная ограничением области операторов 163 — регулярная 119 — резидуальная 121 Квазигруппа 66, 297 Квазнмногообразие 252 Квантор общности 217 — существования 217 Кейслера теорема 258 Класс 13, 27 — аксиоматизируемый 221 — бесконечный 19 — конечный 19 — локально определимый 238 — моделей 238 — ограниченный 239 — открытых предложений 244 — относительно аксиоматизируемый 233 — полный 15 — пустой 15 — сублокально определимый 238 — типовой 230 — универсальный 15, 243 — хорновский 252 — эквационально полный 192 Класс элементарный 221, 233 Клон 141 — абстрактный 147 — действия Ω 142 Ковариантный функтор 52 Коллективизируемое высказывание 15 Кольцо 66

Безу 93 Коммутативная алгебра 306 — диаграмма 24 Компактное замыкание Стоуна— Чеха 152 Композиционный ряд 108 Композиция 141 — морфизмов 50 Конечное задание алгебры 168 Конечноместная операция 26 Конечный класс 19 — характер 61 Конгруэнтность формул 224 Конгруэнция 71 — вполне инвариантная 177 — неразложимая в пересечение 115' — нетривиальная 73 — разделяющая 73 — собственная 73 — совершенная 113 Контравариантный функтор 52 Конфигурация Паппа 70 Конъюнктивная нормальная форма 210 Конъюнкция 216 Координата 16 Коуниверсальный функтор 127 Критерий Бота 249 Крулля— Шмидта теорема 86, 88, 111 Куроша— Оре теорема 91 Лёвенгейма— Сколема теорема 248 Левый отрезок 35 Лексикографическое произведение 49 Лемма о замещении 273 — Цассенхауза 106 — Цорна 32 Лиева алгебра 308 Линденбаума алгебра 224 Линеаризация 316 Линейная алгебра 67 Линейно упорядоченное множество 23, 31

Логика высказываний 209 Локальная категория 121 — система подалгебр 1L5 Локальное свойство 116 Локально определимый класс 238 Лупа 66 Максимальный идеал 212 — элемент 32 Мальцева условия 286, 287 Мёбиуса функция 315 Минимальное многообразие 192 Минимальный фильтр Фреше 213 — элемент 32 Многообразие 123, 177 Множество 13, 67 — вполне неупорядоченное 31 — упорядоченное 33 — замкнутое 57 — линейно упорядоченное 23, 31 — направленное 32 — ограниченное сверху 32 — определяющих соотношений 165 — плотно упорядоченное 49 — счетное 44 — универсальное 18 — упорядоченное 23 — частично вполне упорядоченное 137 — — упорядоченное 23 Модель 221, 236 — стандартная 223 Модельно-замкнутое множество формул 221 Модуль 66, 307 — вполне приводимый 148 — унитарный 67 Модулярная структура 79 Модулярный интервал 79 Мономорфизм 54, 63 Монотонный гомоморфизм 35 — изоморфизм 35 Морфизм 50 — допустимый 124 — обратимый 53

— обратный 53 — регулярный слева 203 — справа 203 — тождественный 50 Мощность 41 Мультиоператор 66 Наибольший элемент 32 Наименьший элемент 32 Направленная категория 276 — полугруппа 288 — система 129 Направленное множество 32 Наследственное свойство 117 Наследственность 120, 238 Натуральное число 19, 67 Невозрастающая последовательность 138 Недостижимый элемент 100 Независимое подмножество 86, 269 Нейтральный элемент 64 Непересекающаяся сумма 128 Неподвижный элемент 324 Непрерывная сверху структура 100 Неприводимый элемент 90 Непротиворечивое множество формул 229 Неразличимые Ω-структуры 224 Неразложимая в пересечение конгруэнция 115 Неразложимый элемент 88 Несжимаемое расширение 275 Несократимая формула 250 Несократимое прямое произведение 118 — разложение 90 Нестандартная модель натуральных чисел 267 Нётерова индукция 33 Нетривиальная конгруэнция 73 — подкатегория 119 Нетривиальное многообразие 186 Нить 129 Нормализаторное условие 245 Нормальная форма 210

Нормальное распределение скобок 286 Нормальный ряд 107 Носитель 62, 125 Ω-структуры 205 Нулевая алгебра 304 Нулевой морфизм 51 — объект 50 Нульарная операция 26 Область значений 16 — операторов 62 — определения 16 — Оре 293 — предикатов 204 Обобщенная гипотеза континуума 256 Обобщенный принцип индукции 33 Оболочка 269 Образ 25 Обратимая трансляция 113 Обратное соответствие 22 Обратный морфизм 53 — переход 174 — предел 129 Обращающий оператор 324 Общее представление 318 Объединение 15, 94 — прямое 86, 128 — свободное 128 Объект 50 Ограничение модели 237 — области операторов 161 — операции 26 — отображения 26 Ограниченный класс 239 Одиночка 15 Одночлен 181 Оператор 62 — единичный 141 — замыкания 56 — обращающий 324 — постоянный 62 — проектирования 79 — производный 160

Операция 69 — n-арная 26 — конечноместная 26 Определяющее соотношение 165 Ориентированный граф 38 Оре область 293 Открытая формула 217 Относительно аксиоматизируемый класс 233 — свободная алгебра 191 Отношение 23 — зависимости 269 Отображение 24 Отождествление 27 Отрезок 34 Отрицание 216 Отрицательная составляющая 250 Отрицательное предложение 254 Пара 15 Пассивная часть 284 Пеано аксиомы 264 Пересечение 15 Переход к полным прообразам 27 Перспективность интервалов 84 Плотное действие Ω 144 Плотно упорядоченное множество 49 Подалгебра 62, 94 — Фраттини 99 Подкатегория 52 — полная 52 Подкласс 16 Подклон 141 Подмножество 16 Подобъект 54 Подпрямо неразложимая алгебра 115 Подпрямо разложимая алгебра 114 Подпрямое произведение 114 Подстановка 25 Подструктура 34 — Ω-структуры 205 Подчиненность категорий 125 Покрытие 38 Поле 68, 234 — множеств 208

Полиадическая алгебра 224 Полная булева алгебра 210 — диаграмма модели 240 — подкатегория 52 — структура 34 — Ω-структура 205 — теория 229 Полное разложение 88 — действие Ω 144 Полнота Ω-структуры 205 Полный класс 15 — прообраз 27 Положительная составляющая 250 — формула 216 Положительное предложение 254 — число 19 Полугруппа 64 Полугрупповая алгебра 183 Полуспециальное представление 319 Порождающая алгебра 188 Порождающее множество 94, 270 Порядковое число 41 Порядковый тип 41 Постоянный оператор 62 Потенциально обратимое подмножество 282 Правильное слово 309 Правый отрезок 35 Предельное порядковое число 49 Предикат 204 Предложение 218 — в пренексной нормальной форме 220 Представление алгебры йорданово 318 — — общее 318 — — полуспециальное 319 — — регулярное 318 — — специальное 317 — — — унитальное 323 — — универсальное 320 — — унитальное 232 — категорий 124, 148

— — естественное 148 — — резидуальное 149 Предупорядоченность 23 — по делимости 138, 140 Пренебрегающий функтор 125 Пренексное предложение 220 Приведенное произведение 227 Приведенный элемент 174 Примальность 195 Примитивный класс 177 Принцип двойственности 79 — индукции 264 — обобщенный 33 — локализации 240 — трансфинитной индукции 33 Проблема тождества 170 Проективная алгебра 156 — плоскость 68 Проективный интервал 83 Проекция 25, 106 Произведение базисное 309 — декартово 16, 21 — кардинальных чисел 45 — лексикографическое 49 — морфизмов 50 — подпрямое 114 — приведенное 227 — прямое 63 — — внутреннее 70 — — несократимое 118 — свободное 157 — — с объединенной подгруппой 203 — соответствий 22 — тривиальное 227 Производная трансляция 161 Производный оператор 160 — предикат 207 Простая алгебра 75 Простой идеал 85 — интервал 85 Пространство моделей 225 Противоположная предупорядоченность 23

Прямая степень 63 Прямое объединение 86, 128 — произведение 63 Прямой переход 174 — предел 128, . Пустой класс 15 Равномощные множества 23 Разбиение 27 Разделяющая конгруэнция 73 Разделяющее семейство конгруэнции 114 Ранг многообразия аксиоматический 188 — базисный 188 — свободной алгебры 155 Расширение 68 Расширение алгебраически замкнутое 275 — алгебраическое 275 — несжимаемое 275 — отображения 26 — расщепляемое нулевое 307, 322 — сжимаемое 275 — структуры Ω-алгебры 99 — Ω-структуры 237 — элементарное 245 Расщепляемое нулевое расширение 307, 322 Регулярная категория 119 Регулярное представление 318 — действие полугруппы 292 Регулярный морфизм 203 Резидуальная категория 121 Резидуальное представление 149 — свойство 116 Рекурсивно разрешимая проблема тождества 170 Рефлексивное соответствие 22 Ряд главный 108 — инвариантный 108 — композиционный 108 — нормальный 107 Свободное объединение 128 — переменное 216

— произведение 157, 203 Свойство абстрактное 116 — замещения 92, 270 — конечных пересечений 213 — локальное 116 — наследственное 117 — резидуальное 116' — стойкое 243 — универсальное 123 Связанное переменное 217 Связанные элементы в структуре 80 Связная компонента графа 38 Семейство 16 Сжатие 171 — расширения 275 Сжимаемая алгебра 158 Сжимаемое расширение 275 Симметрическая группа 69 Симметричное соответствие 22 Система замыканий 55 — — алгебраическая 59 — — топологическая 56 — конечного характера 61 — направленная 129 — подмножеств 55 — — индуктивная 59 Система характера n 61 Слово 308 Собственная конгруэнция 73 — подалгебра 63, 96 Собственный идеал 212 — подкласс 16 Совершенная конгруэнция 113 Согласованность отображения 63 Сократимая формула 250 Соответствие 22 — Галуа 58 Специализация 101 Специальная йорданова алгебра 317 — лиевая алгебра 308 Специальное представление йордановой алгебры 317 — унитальное представление 323 Сравнимые элементы 31

Срезанное отображение 26 Стабилизатор 69 Стандартная зависимость 272 — модель 223 Стандартный алфавит 177 Степень декартова 18 — прямая 63 — элемента группоида 302 Стойкое свойство 243 Стоуна— Чеха компактное замыкание 152 Строго минимальный элемент 137 Строка 131 Структура 33, 67, 77 — дедекиндова 79 — дистрибутивная 8! — модулярная 79 — непрерывная сверху 100 — полная 34 — с дополнениями 92, 207 — с отношениями (Ω-структура) 204 — Ω-алгебры 62 Структурный гомоморфизм 35 — изоморфизм 35 Сублокально определимый класс 238 Сумма кардинальных чисел 45 — непересекающаяся 128 — упорядоченная 49 Счетное множество 44 Сюръективное отображение 25 Сюръекция 25 Тавтология 219 Тарского цилиндрическая алгебра 225 Тело дробей 292 Теорема 221 — Биркгофа— Витта 308 Теорема Биркгофа о представлении 115 — Гёделя о полноте 222 — Жордана— Гёльдера 85, 108 — Кейслера 258 — компактности 229 — Крулля— Шмидта 86, 88, 111

— Куроша— Оре 91 — Лёвенгейма— Сколема 248 — о замещении 110 — — разложении отображений 27 — — факторах 29, 75 — об изоморфизме 74, 75 — — ультрапроизведениях 227 — — уплотнениях 84, 107, — плотности Шевалле— Джекобсонэ 147 — Тице 168 — Шрейера 107 — Шредера— Бернштейна 37 Теория 221 — категоричная 249 Типовой класс 230 Тице теорема 168 Тождества де Моргана 210 Тождественное отображение 25 Тождественный морфизм 50 Тождество 176 — йорданово 317 — Якоби 307, 308 Топологическая система 56 Топологическое пространство 69 Топология произведения 144 Точка 292 Точная верхняя грань 32 — нижняя грань 32 Траектория элемента 77 Транзитивное отношение зависимости 270 — соответствие 23 Трансверсал 74 Трансляция 101, 161 — обратимая 113 — производная 161 — элементарная 101 Тривиальная алгебра 64 — подкатегория 119 — Ω-структура 205 Тривиальное произведение 227 Тривиальный фактор 107 Ультрапроизведение 227

Ультрастепень 227 Ультрафильтр 212 Универсальная алгебра 152 — ассоциативная оболочка 308 Универсальная группа полугруппы 281 — линейная оболочка 305 — K-алгебра 152 Универсальное замыкание 220 — множество 18 — предложение 220 — представление 320 — свойство 123 Универсальный класс 15, 243 — морфизм 123 — объект 123 — функтор 126 Унитальное представление 323 Унитарный модуль 67 Уплотнение ряда 107 — цепи 84 Упорядоченная группа 118, 234 — пара 15 — полугруппа 112 — сумма 49 Упорядоченное множество 23, 31, 67, 234 Упорядоченность 23 — линейная 23, 31 — частичная 23 Условие единственности 233 — минимальности 33 — определенности 233 Условия Мальцева 286, 287 Фактор 72 Факторалгебра 72 Фактормножество 27 Факторобъект 54 Факторструктура Ω-структуры 206 Фильтр 212 — главный 214 Фреше 213 — минимальный 213 Формула 216

— атомная 216 — Витта 315 — несократимая 250 — открытая 217 — положительная 216 — хорновская 252 Фраттини подалгебра 99 Фреше фильтр 213 Функтор 52 — инъективный 151 — ковариантный 52 — контравариантный 52 — коуниверсальный 127 — пренебрегающий 125 — универсальный 127 Функция 16 — Мёбиуса 315 Характеристическая функция 27 Хорновская формула 252 Хорновский класс 252 Хорновское предложение 252 Цассенхауза лемма 106 Цель 24 Центр группы 111 — клона 143 — кольца 70 Централизатор 93, 143 Центральный изоморфизм 112 Цепь 32, 84 Цилиндрическая алгебра Тарского 225 Цорна лемма 32 Частично вполне упорядоченное множество 137 — упорядоченное множество 23 Числовая алгебра 265 Числовое подмножество 19 Число кардинальное 41 — натуральное 19, 67 — порядковое 41 — предельное 49 Шрейера теорема 107 Шредера— Бернштейна теорема 37 Эквационально определимый класс

177 Эквивалентность 27, 53, 216 — особая 70 Эквивалентные объекты 53 — тождества 177 Экзистенциональное предложение 220 Элементарная алгебра 193 — трансляция 101 Элементарное отображение 245 — предложение 2]8 — расширение 245 Элементарно эквивалентные структуры 224 Элементарный класс 221, 233 Элемент максимальный 32 — минимальный 32 — наибольший 32 — наименьший 32 Элемент недостижимый 64 — нейтральный 64 — неподвижный 324 — неприводимый 90 — неразложимый 88 — приведенный 174

— строго минимальный 137 Эквазигруппа 179 Элупа 179 Эндоморфизм 63 Эпиморфизм 63 Ядро отображения 28 Якоба тождество 307, 308 K-алгебра 119 Ω-алгебра 62 Ω-алгебра частичная 68 р-грутта 117 A-замкнутость 120 α-категоричная теория 249 NA-кольцо 301 C-множество 57 R-модуль 66 n-примальная алгебра 195 Fn-простая алгебра 193 K -свободная алгебра 152 Λ-система 127 Ω -слово 132 Ω -строка 131 NA-тело 301