Дифференцируемые многообразия

Ж.де Рам ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ М.: 1956, издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теория, излагаемая в книге, охватывает широкую область современной математики, в которой стираются традиционные грани между алгеброй, геометрией и анализом (в широком смысле слова). Основным во всей книге является введенное автором понятие «потока», которое включает в себя как частные случаи топологическое понятие цепи, понятие дифференциальной формы, являющееся одним из основных в современной дифференциальной геометрии, и понятие обобщенной функции, приобретающее все большее значение в функциональном анализе. Книга рассчитана на широкий круг читателей-математиков: студентов старших курсов, аспирантов и научных работников. Она написана ясно и доступно и предполагает от читателя, помимо знаний в пределах первых трех курсов университета, только знакомство с простейшими понятиями топологии и тензорного исчисления. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Введение 15 Глава первая. Многообразия 19 § 1. Понятия многообразия и дифференцируемой структуры 19 § 2. Разбиение единицы. Функции на произведении пространств 21 § 3. Отображения и вложения многообразий 28 Глава вторая. Дифференциальные формы 38 § 4. Четные дифференциальные формы 38 § 5. Нечетные дифференциальные формы. Ориентация многообразий и 44 отображений § 6. Цепи. Формула Стокса 50 § 7. Двойные формы 60 Глава третья. Потоки 64 § 8. Определение потока 64 p p 68 § 9. Векторные пространства E , D , E и D p p 73 § 10. Векторные пространства E' , D', E' и D' § 11. Граница потока. Образ потока при отображении 81 § 12. Двойные потоки 86 § 13. Преобразования двойных форм и потоков при отображениях 89 § 14. Формулы гомотопии 98 § 15. Регуляризация 105 § 16. Операторы, связанные с двойным потоком 118 § 17. Рефлексивность пространств E и D . Регулярные и 121 регуляризирующие операторы Глава четвертая. Гомологии 130 § 18. Группы гомологии 130

§ 19. Гомологии в R n § 20. Индекс Кронекера § 21. Гомологии между формами и цепями в многообразии, в котором задано полиэдральное подразделение § 22. Двойственность в многообразии с полиэдральным подразделением § 23. Двойственность в произвольном дифференцируемом многообразии Глава пятая. Гармонические формы § 24. Риманово пространство. Сопряженная форма § 25. Метрически сопряженный оператор. Операторы δ и ∆ § 26. Выражения операторов d, δ и ∆ через ковариантные производные § 27. Свойства геодезического расстояния § 28. Параметрикс § 29. Регулярность гармонических потоков § 30. Локальное исследование уравнения ∆µ=β. Элементарное ядро § 31. Уравнение ∆S=T на компактном пространстве. Операторы H и G § 32. Формула разложения в некомпактном пространстве § 33. Явное выражение индекса Кронекера § 34. Аналитичность гармонических форм Литература Предметный указатель Указатель обозначений

135 137 142 146 155 160 160 166 169 175 188 195 198 200 208 220 228 240 245 248

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Дифференциал коцепи 146 Аналитическое многообразие 21 — потока 81 — риманово пространство 228 — формы 41 Базис 164 Замкнутый поток 130 Вложение 31, 54 Индекс Кронекера 139 Внешнее произведение двух форм 39, Интеграл 47, 50, 51. 52 42 Класс гомологии 130 — — формы и потока 67 Клетка 142 Внутреннее произведение 104, 172 Ковектор, p-ковектор 38, 40, 44 Геодезическая линия 176 Кодифференциал 167 — нить 233 Кольцо гомологии 132 Геодезическое расстояние 178 Коцепь 146 Гомологичные потоки 130 Коцикл 146 Гомотопия 101 Коэффициент зацепления 225 — собственная 102 Критическая точка отображения 30 Граница потока 81 Локально ограниченное множество — цепи 54, 58 69 Группа гомологии 130 — регулярное вложение 31 — компактных гомологии 131 Локальные координаты 20 Двойная форма 61 Многообразие 19 Двойной поток 86

— аналитическое 21 — класса C r 21 — — C ∞ 20 Множество меры нуль 28, 29 Непрерывное линейное отображение 81 Непрерывность в среднем 208 — — — на бесконечности 216 — порядка p 75 Непрерывный линейный функционал 73 Нечетная форма 44 — цепь 50 Нечетный поток 64 Носитель особенностей (потока) 137 — открытый (коцепи) 150 Носитель потока 66 — формы 39, 62 — функции 22 Образ потока 84 — цепи 53 Ограниченное множество в D p и E p 69 — — в H ' 76 Однородная составляющая потока 65 — — формы 50 Оператор Λ, связанный с двойным потоком 118 — Λ' метрически сопряженный к Λ 166 — Λ* топологически сопряженный к Λ 118 — регуляризирующий 128 — регулярный 127, 128 Ориентация 45 — каноническая 47 Ортонормальная система координат 161 Параметрикс 189 Период замкнутой формы относительно цикла 207 Полиэдральное подразделение 142 Поток 64

—— гармонический 167 — гомологичный нулю 130 — двойной 86 — замкнутый 130 — когомологичный нулю 167 — козамкнутый 167 — компактно когомологичный нулю 167 — нечетный (нечетного рода) 64 — однородный 64 — сопряженный 164 — с суммируемым квадратом 209 — четный (четного рода) 64 Произведение внешнее двух форм 39, 42 — — формы и потока 67 Произведение внутреннее 104, 172 — скалярное 164 — тензорное двух потоков 89 — — — форм 63 — элемента цепи на ориентацию 53 Прообраз потока 94 — формы 43 — функции 43 Пространство дуальное 74 Разбиение единицы 23 Расстояние геодезическое 178 — в среднем 208 Регуляризатор 117 Регулярное вложение 31 Рефлексивное топологическое векторное пространство 80 Свертка 104, 172 Символы Кронекера 41 Скалярное произведение 164 Собственная гомотопия 102 Собственное вложение 31 Степень отображения 133 — потока 65 — формы 38 Структура аналитическая действительная 21 r — C 21

— C ∞ 19 Сходимость в среднем 209 — интеграла 48 — последовательности потоков 78 — — форм 70 Тензорное произведение двух потоков 89 — — — форм 63 Теорема двойственности 153 Топологическое векторное пространство 69 — — — дуальное 74 Траектория 101 — обратная 101 Трубчатая окрестность 37 Форма Грина 205 — двойная 61 — дифференциальная 38 — нечетная (нечетного рода) 44

— сопряженная 162 — четная (четного рода) 41 Формула Стокса 59 Цепь 50 — локальная 66 — нечетная 50 — подразделения 143 — четная 51 Цепь элементарная 52 Цикл 146 Четная форма 41 — цепь 51 Четный поток 64 Элемент объема 162 — цепи 50 Ядро оператора 118 — метрическое 191 — топологическое 191 — элементарное 199