توپولوژی جبری مقدماتی

ü—‘õÀÖõ ý±› ýó•—

üبƒ€¨‘î §¥

ù¡üÔ¹÷ ýÀúõ

1382 ö‘µÆõ¥

:™

:‚bޛ—

‚‘±þ¢ ‘ “ ø ü —‘ õÀ Ö õ ý ± › ý ó • — Å þ ¤À — ýÂ “ ‚ î ´ ¨ ü € µ õ ‚b ƒ ú —  ™ ß þ ¥ éÀ û ü€ª‘ ¥ ö ݃р— ¤¢ ø ´¨ ¤Êõ ¤‘ƒÆ“ ’‘µî .Àª‘“ ÀƒÔõ Óܵ¿õ ý‘û‚փܨ ÀŸ ‘— .´¨ ‚¨À€û ý ƒ Âû ¥ Û±ì ýó•— ‚î Â ;´¨ ùÀª ù¢‘Ôµ¨ ‚¨À€û ÀþÀ› ݃û‘Ôõ üêÂãõ ¤¢ ‘ú€— ,ñÞãõ žø ¤ ü“ ©ø ¤ ¥ ø ùÀª ý¤ø¢ Àþ ¹— ¥ ö‘Øõ f Þä ø ,Ýþ‚µêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ýµÞî ý‘û¥‘ƒ€Èƒ• ö‘Øõ ÀŸ ‘— .´¨ ùÀª ù¢‘Ôµ¨ ºƒû … ­Â ê ¤ ‘ û‚ ä Þ ¹ õ ‚b þ Â Ñ ÷ ‘ þ ø ü õ Þ ä ý ó • — « Ê ¡ ¤¢ ü Ü ± ì á… Ï ‚ ÷ ð ü¨‘€ª¤‘î ö‘þ¹È÷¢ Ýû ø ü¨‘€ª¤‘î ö‘þ¹È÷¢ ýÂ“ Ýû ’‘µî ßþ ¥ .Ýþ‚µêÂÚ÷ .¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ ö—üõ ߃Ž‘• ý‘úó‘¨ Àª¤ ø üþ‘€ª ´ú› ‚“ Óܵ¿õ ý¤ª¢ ‚b ›¤¢ ‘“ ßþ Âޗ ý¢‘þ¥ ¢À㗠’‘µî ñ…¡ ¤¢ ¢À㗠ö‘Øõ ÀŸ ‘— ´¨ ‘¹“ ‚µ±ó ‚î ;´¨ ùÀõ ùÀ€÷¡ –‘ä…ϐ ö¢Þ÷ ¤‘“ • ƒ÷ ‚î ݃€î ­Âê ´¨ ùÀª ü㨠ö‘Øõ ÀŸ ‘— ,‘õ .Àƒ€î ۟ ¤ ‘ú€þ Âޗ ßþ ¥ ýµȃ“ ¥„ ý‚ó‘b Æõ ¾¨‘• ‚î ü—¤¬ ¤¢ ø ,´¨ ù¢ÂØ÷ ۟ ¤ ‘ú÷ ¥ ×þ ºƒû ùÀ€÷¡ .´¨ ùÀª ùÀ÷‘¹€ð ’‘µî ¤¢ ö ۟ ,Àª‘“ ýó•— ‚b€ƒõ¥ ¤¢ ¢›õ öøÂê ¶Ÿ‘±õ ö‘ƒõ ¥ ’‘µî ßþ ¶Ÿ‘±õ ’‘¿µ÷ í…õ ß þ  — ‚ › — ° ó‘ › â ìø ¤¢ ;´ ¨ ù¢ “ ‘ ú ÷ ö¢ “ Å þ ¤À — Û “‘ ì ,ý ± › ý ó • — ø –¢‘ ú € È ƒ •  ¡ Û Ê ê ¤¢ .Ý þù¢ Þ ÷ â Þ ›  ™ ß þ ¤¢ ¤ ၠ® õ ø¢ ß þ ý‘ ú µ Þ Æ ì .´¨ ùÀª ù¢¤ø µȃ“ –‘ãó‘Îõ ýÂ“ ýÀƒÔõ ö ¤‘ú ‚¨ ø ´¨ üõÞä ýó• — ¢¤õ ¤¢ ’‘µî ¤‘ú ×þ ü±þ Â֗ ¤Î“ ×±¨ §‘¨ “ ’‘µî üõÞä ýó•— ´ÞÆì .Àª‘“üõ ý±› ýó•— ¢¤õ ¤¢ žÂÎõ ÍÖê ¤ À€÷¡ ýÂ“ ¥„ °ó‘Îõ ‘— ´¨ ùÀª ü㨠.´¨ ùÀÈ÷ ݃р— ¨Âõ ´ÞÆì ¤¢ .Ýþ ¤Áړ ùÀ€÷¡ §Âµ¨¢ ¤¢ ¤ ýó•— °ó‘› Ç¿“ ´ä¨ ‚“ ø ݃€î .À ª‘ “ü õ × þ ó • — ý‘ Ì ê × þ ý¢‘ ƒ € “ ùø  ð  “ ü Ü ¬ À ƒ î‘b — ,ý ± › ý ó • — Âõ ßþ ø À€µÆû âþ ¨ ø Ûõ‘î ÛØȓ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð úÔõ ýƒð¢‘þ ÀãµÆõ ö‘þ¹È÷¢ ý±› ýó•— ‚î Ǩ• ßþ ýÂ“ üê‘î ø ´ìõ ¾¨‘• ö‘Èþ ‘— ¢ªüõ ¶ä‘“ ¢¡ .À÷¤ø‘ƒ“ ´¨À“ À€îüõ ¤‘î ‚ ‘“ žÂÎõ Ûõ‘î –‘½ƒ®— ‘“ ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚b ƒÌì ø üȪ• ý‘û‘Ìê ‚b þ ÂÑ÷ ÂÚþ¢ .¢ªüõ ù¢Â“ ùÂú“ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ‚b ±¨‘½õ ¤¢ ‘ú÷ ýø¢ Âû ¥ ø À÷ªüõ žÂÎõ 2.6 Ç¿“ ö€ä ‚“ ‚î) ö¢¤ Ý¡ ‚b ƒÌì ,¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ ¥ À€—¤‘±ä ¶Ÿ‘±õ .߃ؗ ýóÞû «Ê¡ ¤¢ ü—‘õÀÖõ üÜÊê ø ‘ûùÂð ‚bþ ÂÑ÷ ,(´¨ ùÀª

‘ú¡¤‘— ø üõ‘¨ Âî£ ¥ ,ýó•—  ¤‘— ‚÷ ,´¨ ýó•— ¢¤õ ¤¢ ’‘µî ßþ ö f õ‘î .´¨ ùÀª ÂÑ÷ é¬ … žø ÂÈõ ¤¢Þ÷ .Àƒ€î ‚ãó‘Îõ ´Æû ‚î ü±ƒ—— ‚“ ¤ ’‘µî ßþ ñÊê ¢¤À÷ üõø ó f ·õ .Àû¢üõ ö‘È÷ ¤ Óܵ¿õ ñÊê ö‘ƒõ ü±þ Â֗ ý‘úƒÚµÆ“ ,Ûþ£ ¤¢ í¤¢ ø ßµÆ÷¢ ,… .´¨ 17 ƒ÷ ø 16 ‘— 12 ,9 ‘— 0 ñÊê Ýúê ‚“ ñîõ 18 ÛÊê

,üبƒ€¨‘î §¥ ,Û¨‘î ƒ÷ ,ßþ‘— ߕ .1979 ±õ‘µ³¨

–‘›¤À€õ ´¨Âúê

9 9 12 15

‘û¥‘ƒ€Èƒ• : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

21 21 28

41 52

ùøÂð 2.1

ýµõ ý‘Ìê 3.1 üÚµ¨ƒ• ø ýó•—

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

33

33

‚äÞ¹õ 1.1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ• 2.2

5

üþ‘Öó ýó•— 1.3

üµÞÆì š¤‘¡ ýó•— 2.3

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

2

ýó•— ý‘Ìê 1.2

ÀþÀ› ýó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

1

‘Ìê “ ùøÂð ÛÞä 3.3

3

57

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

ýó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷

63

63 71 81 86

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê 4.3

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

95 103

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

131

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

142

ü•—Þû : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

6

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

ö¢¤ Ý¡ ‚bƒÌì :¢Â“¤‘î 2.6

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

151 151

5

ñ‘·õ À€ ø ÓþÂ㗠1.5

121 121

À€±Þû ý‘Ìê 3.4

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“¤‘î 4.4

91 91

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

é¤øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

4

ý¢‘ƒ€“ ùøÂð : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

‘úû¤ ’® 1.7

7

159 168 171

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

ý¢‘ƒ€“ ùøÂð úÔõ ݃Þ㗠3.7

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

S1 ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùøÂð

181 181 185 191 194 198

205 210 215 220 224

4.7

üȪ• ý‘û‘Ìê : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

8

ñ‘·õ À€ ø ÓþÂ㗠1.8 ‚ƒóø «¡ 2.8

üȪ• ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 3.8 ý¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 4.8

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8

203 203

ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 2.7

߃ؗ ýóÞû : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : :

߃ؗ ùbƒ¹÷¥ 1.9

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì 5.9

‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ 6.9

9

1 ÛÊê ‘û¥‘ƒ€Èƒ•

ø ‘ ú ûø Â ð ‚ þ Â Ñ ÷ ,‘ û‚ ä Þ ¹ õ ‚ b þ Â Ñ ÷ ¤¢ ü —‘ õÀ Ö õ Ó þ ¤‘ 㠗 ø ‘ Ø Ÿ ö Û Ê ê ß þ ¤¢

 û ´ ¨  µ ú “ .Ý ƒ € îü õ žÂ Î õ ,À ª À € û ¡ ù¢‘ Ô µ ¨ ’‘ µ î ß þ ¤¢ ‚ î ¤ ý  µ õ ý‘ û‘ Ì ê .Àƒ€î Àì ÛÊê ßþ ‚ b ãó‘Îõ ‚“ Àª ¥„ ´ìø

‚äÞ¹õ

ù¢‘Ôµ¨ "´¨ ù¢‘Ôµ¨ "X ‚“ ‚î

X

Y

6=

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

Y

Y

ø ´¨

X ' ü€ãõ ‚“ X ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

X'

¥ ý ¬‘€ä ‚ b äÞ¹õ' Çþ‘Þ÷ ýÂ“

Y

ø

ü€ãõ ‚“

X

Y

Y

X

ø



¢‘Þ÷ ¥ ,Y

X

ý‘û‚äÞ¹õ ýÂ“

Y

¢‘Þ÷ ¥ ø ݃€îüõ

X

ù‘ð Âû .݃€îüõ

¢‘Þ÷ ‘“ ¤ üú— ‚ b äÞ¹õ .݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ "À÷¤À÷ ÕÜã—

X

‚ b äÞ¹õ ø¢ ֵ݃Æõ ’ÂÌܬ‘Ÿ ‘þ ü—¤‘î¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ

ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .y

X ‚“ ƒ÷ ¤ ‘û‚äÞ¹õ ¥

¢‘Þ÷ ¥

;

.݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ ý‘ú›ø ¥ ‚ b äÞ¹õ ¤

Y

1.1

2Y

ø

x

2X

‚î ݃€îüõ Óþ Â㗠ý

Y

(x; y ) °—Âõ

 Y = f(x; y) j x 2 X ; y 2 Y g:

fXi j i = 1; 2;


; ng

üû‘€µõ ý‚þ¢Âð ü—¤‘î¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ

:¢Þ÷ Óþ Â㗠¢ªüõ ‚“‘Èõ –¤ ¬

X1

 X2 


 Xn := f(x1 ;


; xn ) j xi 2 Xi ; 1  i  ng: 9

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

.1 ÛÊê

‚äÞ¹õ 1.1

,A ‚ b äÞ¹õ “ ü÷‘Þû ⓑ— ù b ¤‘Ú÷

.Àª‘“üõ

2X

x

Y

.À€îüõ ƒÑ÷

ý¥ ‚“

f (x) = y

¥

!Y

f : X

Ìä Âû ‚î ý Âґ€— ¥ ´¨ –¤‘±ä ,‚äÞ¹õ ø¢ ߃“

´ª‘Ú÷

!Y

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“

f (W

X

¥ ‚äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢

W0

[ W 0 ) = f (W ) [ f (W 0 ); X fWj j i 2 J g f ·õ , …

¤‘ƒµ¡ ¤¢ ,

ø

2X

ý x

W

[

2

Wj ) =

j J

[

2

Çþ‘Þ÷

f

ⓑ—

g

Âð ‚î ¢ª ‚›— .݃€îüõ Óþ Âã—

¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ý‚þ¢Âð Âð ,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢

f(

\

2

Wj )

j J

j J

f :X

!Y

¥ ´¨ –¤‘±ä ,A ‚“

f

‚î ¢ª ‚›— .a

Âû ý¥ ‚“

f (X )

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

ÀþÀ½—



\

2

‚î Àª‘“

f (Wj ):

j J

j

X

X

‚“

¥ ü㓑— ,f

: X

A

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

j

Âð

(f A )(a) = f (a) ‚bΓ‘® ‘“ f A : A

öø ¤ø ù b ¤‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ⓑ—

J

ý‘¹“ ,¢ø Â÷ ‘ú“ ݃“ ‚î ü—¤ ¬ ¤¢

¢‘Þ÷ ‘“ Ýû ¤ ö ‚î À€îüõ Óþ Âã—

2A

!Y

\ W 0 )  f (W ) \ f (W 0 ):

f (W

f (Wj );

Âû .f ݃Æþ÷üõ ‚¬…¡ ¤ Î“

x

×þ ý¥ ‚“

ù‘Ú÷ ,´¨ ­ø ÂÔõ ¤ÁÚÆþÀ÷ ‚ b äÞ¹õ ×þ

f(

¥

ⓑ— ¥ –¤‘±ä

f :X

–¤ ¬ ‚“

f 2 Y j y = f (x)

X

‘µØþ ý ÂÊ€ä ‚“ ¤

1A (x) = x ‚bΓ‘® ‘“ 1A : X

Image(f ) := f (X ) = y

‘þ ⓑ—

f :X

j

ø

Y

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

ⓑ—

.݃û¢üõ

!X

.f A

!Y

!Y =f

Z

ü㓑—

Æ 1A

Âð

¥ ´¨ –¤‘±ä ,f ´½—

f 2 X j f (x) 2 Z g: fZj j j 2 J g

Z

f 1 (Z ) := x Ýþ ¤¢ ,Y ¥

f 1(

[

2

Zj

Zj ) =

j J

ù‘Ú÷ ,x1 .f (X )

6= x2

‚þ¢Âð Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ‚›—

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

[

2

f 1 (Zj );

f 1(

j J

x1 ; x2

2X

2

Zj ) =

j J

f 1 (Y

‘“

\

f 1 (Zj ):

Zj ) = X

\

2

f 1 (Zj );

j J

!Y : X ! Y f (x1 ) = 6 f (x2 ) f :X!Y 1 f :X !Y

ù‘ð Âû ‚î ´¨ ׃±Øþ ü—¤ ¬ ¤¢

= Y ‚î ´¨ ø “ ‘þ ‘ª• ü—¤ ¬ ¤¢ f

x = f 1 (y )

,

ⓑ—

ⓑ— .

×þ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ‘ª• ø ׃±Øþ ‚î ´¨ üþ¨ø¢ ü—¤ ¬ ¤¢ :´ª¢ Àû¡ ¢›ø Âþ ¥ ‚ b Γ‘® ‘“

f :X

ⓑ—

öø ¤ø ⓑ—

y = f (x):

10

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚äÞ¹õ 1.1

‚“

Z

‚“

X

¥

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

f

Æg

°îÂõ ⓑ—

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ⓑ—

!Z

g : Y

ø

f : X

.1 ÛÊê

!Y

Âð

:¢¢Âðüõ Óþ Â㗠Âþ ¥ –¤ ¬

(g

Æ f Æf 1 : Y ! Y f Æg : Y ! Y

f 1 ø

Æ f )(x) := g(f (x));

ø

öø ¤ø ×þ Âû ø ù¢“ üþ¨ø¢ ø¢ Âû

f

‚î À€îüõ ’‘¹þ

f Þãõ .Àª‘“ üõ ,„



X X

¤¢ ‚î ݃Žð ý¥ ¤ Ýû

¥



2 X:

ⓐ— ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üþ¨ø¢ ü㓑—

ⓐ— Âð ,ÅØãó‘“

ø ׃±Øþ

x

g

g

.¢“ À€û¡ ü÷‘Þû ø¢ Âû

f

ø

f : X

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ü÷‘Þû ø¢ Âû

Æf : X ! X

!Y

‚»÷‘€

!X gÆf : X ! X f : X

ö¢“ ü÷‘Þû ¯Âª .¢“ Àû¡ ý ÂÚþ¢ .´¨ ‘ª•

g

ƒ÷

ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,X ‚ b äÞ¹õ “ ‚Ф ×þ ¥ ¤ Ñ€õ

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤



‚ b Ф .x

y

݃Æþ÷üõ

(x; y )

2

ý‘¹“

:À€î ëÀ¬ Âþ ¥ žÂȓ ÍþÂª ;x

x

ý

;y .x



Âð .Àª‘“üõ

[x℄ :=

f : X

X ! X

.݃û¢üõ ö‘È÷

xy

x

ù‘Ú÷ ,y

fy 2 X j x  yg

âìø ý¥ ¤Ýû ‚ b µ¨¢ ×þ ‘fÖƒì¢ ¤¢

.´¨

z X

x

2X

Âû ý¥ ‚“ :ü“‘—¥‘“ ¯Âª (1

ù‘Ú÷ ,x

z

ø

x

y y

‚ b äÞ¹õ ¥ –¤‘±ä

¥ Ìä Âû ù‘Ú÷ ,Àª‘“

Âð :ü÷¤‘Ö— ¯Âª (2

Âð :ýÀ㗠¯Âª (3

x

Ûõ‘ª ý¥ ¤Ýû ‚ b µ¨¢

X

“ ý¥ ¤Ýû ý‚Ф .´¨

Ûت ‚“ ü㓑— ¥ –¤‘±ä

–‘ìø ü¡Â“ üµŸ ‘þ

X

‚ b äÞ¹õ “ üþ‘— ø¢ ÛÞä

x + y ,xf y

–¤ ¬ ‚“ ¤

f (x; y )

¤ÀÖõ

11

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

.1 ÛÊê

ùø Âð 2.1

ùø Âð

:À€îüõ ëÀ¬ Âþ ¥ ÍþÂª ¤¢ ‚î üþ‘—ø¢ ÛÞä ×þ ùÂÞû ‚“ ´¨

‚ b Þû ý¥ ‚“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ý ¤ Ï ,G ¤¢ ü÷‘Þû Âʀä

‚î ¢¤¢ ¢›ø ý ¤ Ï ,g öø ¤ø

‘€“

g 1

2G

ý Âʀä (1

2G

= 1g = g ‘û g

2G

ý Âʀä ,g

Âû ý¥ ‚“ (2

1 g = gg 1 = 1 .g

.´¨ ¤Âì“ ý ÂþÁ³µîª ´ƒ¬‘¡ ,g1 ; g2 ; g3

g1 (g2 g3 ) = ü€ãþ

ý‚äÞ¹õ ùø Âð

2G

‘€“ ,1

.g 1

G

2.1

2G

Âû ý¥ ‚“ (3

.(g1 g2 )g3

öø ¤ø ø

0 ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ ü÷‘Þû Âʀä ,¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨ –¤À÷ ‚“ ‚î ,ùø Âð üãޛ Çþ‘Þ÷ ¤¢ g

ü€ãþ ,´¨ ü÷‘Þû Âʀä ,©ÂÊ€ä ‘ú€— ‚î üûø Âð .݃û¢üõ Çþ‘Þ÷

¢‘Þ÷ ‘“ ¤

f0g f1g

.¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ üúþÀ“ ùø Âð , ´½—

H

ù‘Ú÷ ,g

‚î ݃Žð ùø Âð Âþ ¥

2H

‚ b µ¨ÀÞû

ø

.´¨

G

G

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

¥ üûø Âð Âþ ¥

H

Âð .Àª‘“ ùø Âð ,H “

f j 2 Hg

gH := gh h

‚ b äÞ¹õ ¥ –¤‘±ä

0 ‘þ H ùø Âð Âþ ¥ ¥ g H ø gH ² ‚ b µ¨ÀÞû ø¢ G

Ûî ,G ¤¢

H

­ø ÂÔõ ùø Â𠥐

G g

H

g

‘þ

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

¥ üŽ‘Öó üþ‘—ø¢ ÛÞä

ͨ—

H

² ‚ b µ¨ÀÞû

.¢¢Âðüõ Óþ Â㗠‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“ ´¨¤

² ý‘û‚µ¨ÀÞû ,ü€ãþ .À÷“Â“ –¤ ¬ ßþ Âƒè ¤¢ ‘þ ø À€µÆû  ¹õ .À€€îüõ ¥Âê ¤

ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ü㓑— ¥ –¤‘±ä ,H ùø Â𠂓

f : G

G =

!H

ÝÆƒê¤ õÞû ‚î ü—¤ ¬ ¤¢

݃Æþ÷üõ ø ´¨ ÝÆƒê¤ õø þ

Kernelf := ¥ ´¨ –¤‘±ä f : G

f

G

ùø Â𠥐

0 .f (gg )

=

ø ,À€ê¤ õø þ

!H

!H

f :G

ÝÆƒê¤ õÞû

f (g )f (g 0 ) ‘û g; g 0

H

ø

G

.f



: G = H ‘þ H

fg 2 G j f (g) = 1H g Kernelf = f1g

f

.

‘ú€— ü€ãþ ,¢¤¢ Ìä ×þ ÍÖê ÝÆƒê¤ õø þ Âû ‚ b µÆû ,ßþÂ“‘€“ .

k

2

Âû ø

g

2G

üûø Âð Âþ ¥ ,f ý

g

2G

ü€ãþ

.G ¤¢ ü÷‘Þû Âʀä Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ñ‘õÂ÷

: G

!H

G=K

ü—¤ ¬ ¤¢

ÝÆƒê¤ õÞû Âû ‚ b µÆû

Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“

ý‘û‚µ¨ÀÞû ‚ b Þû

‚ b Þû

݃Žðüõ ,Àª‘“ üþ¨ø¢

ÝÆƒê¤ õÞû ‚ b µÆû

,Àª‘“ üúþÀ“ ©‚µÆû ‚î ´¨ ׃±Øþ üµìø ‘ú€— ø üµìø

2G

G

1 .gkg

G ¥ ñ‘õÂ÷ üûø Âð Âþ ¥ K

‚ b äÞ¹õ ø ´¨ üØþ

Kg

ùø Â𠥐

2K

K

ùø Âð Âþ ¥

݃ª‘“ ‚µª¢ ý

‚»÷‘€ .´¨

´¨¤ ‚ b µ¨ÀÞû ‘“

gK

G ¥

K

ñ‘õÂ÷

² ‚ b µ¨ÀÞû

12

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ùø Âð 2.1

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

ÛÞä ´½—

0

G

.1 ÛÊê

K

¤¢

²

0

(gK )(g K ) = (gg )K

.À€õ‘÷üõ

f :G

üþ‘ª• ÝÆƒê¤ õÞû .´¨ éÂõø þ

G=K

0

Â𐠂î ;

,üãޛ Çþ‘Þ÷ ¤¢

Âð ø

ý

g

.

g

n

G

“

üµÞÆì š¤‘¡ ùø Â𠐤

!H

¤¢

 g

g

2G

H

.Àû¢üõ ùø Âð ۃØȗ

K

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

‚ b µÆû ‘“

ù‘Ú÷ ,g

ͨ— ùÀª Àƒó— ùø Âð Âþ ¥

2

fgn j n 2 Zg G g 1 g 1


g 1 Ýþ ¤¢ ,n  0 Âð ø g n } {z

:=

= g

|

ü€ãþ

‘— n




+ g} Ýþ ¤¢ ,n  0 Â𐠂î ; {z

ng = g + g +

|

G=K

Âð ‚î ¢¤¢üõ ö‘䣐 ÝÆƒê¤ õø þ ‚ b ƒÌì ߃óø

üµÞÆì š¤‘¡ ùø Â𠑓

G

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ –¤‘±ä Ýþ ¤¢ ,n

K

‘— n

.´¨

 g

ng = ( g ) + ( g ) +

×þ ý¥ ‚“ ‚»÷‘€ .

{z

|

¤¢

:=

H

‚“

G

Âð

g)

}

= gg




g

| {z } ‘— n

Ýþ ¤¢ ,n

Ýþ ¤¢

0

‘— n ý‘ûÀóõ ‚ b äÞ¹õ ,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ .´¨ ¥ Ìä Âû ‚î ý ¤ Ï ‚“ ´¨ üû‘€µõ

S

G

¥

‚»÷‘€ .´ª÷ ö—üõ

S

S

g

Àóõ ‘“ ý ¤ ø¢ ùø Âð

g; g 0

2

G

¤¢ ¬‘€ä ý‘ú÷— ¥ ü“ ÂÌܬ‘Ÿ –¤ ¬ ‚“ ¤

‘þ üܓ

Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð ÂþÁ³Ìþã—

.´¨ üܓ üûø Âð (üãޛ Çþ‘Þ÷ ‘“)

Z ¼ƒ½¬

Z |

G

G

ùø Âð ݃Žðüõ ,Àª‘“

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

G

ùø Âð

f ·õ .gg ¢Àä ‚ b äÞ¹Þû ,…

0

0

= gg

1 ‘þ 1 Àóõ ‘“ ý ¤ ø¢ üûø Âð ,ùø…ã“

.´¨ .Àª‘“üõ



G ݃Žðüõ ,G = g

ý‚äÞ¹î Âþ ¥ ¥ –¤‘±ä ,G ­ø ÂÔõ ùø Âð ×þ

.´¨ ùÀª Àƒó— ‘fƒû‘€µõ ý

¥

ý‘ú÷— ‚ b Þû

fng j n 2 Zg




+(

G

 Z {z


 Z} ‘“ é¤ õø þ ùø Â𠥐 –¤‘±ä  n ‚b±—Âõ ¥ ¢¥ üܓ ùø Â𠑗 n

ùø Âð

G

Âð : ‚î ¢¤¢üõ ö‘䣐 ùÀª Àƒó— ‘fƒû‘€µõ üܓ ý‘úûø Âð ýÂ“ ‚þ ¹— ‚ b ƒÌì

é¤ õø þ

 


Hm i = 1;


; m

H 0 H1

ùø Â𠑓

ý ¤ ø¢ ý‘ûùø Âð , ‘µØþ –¤ ¬ ‚“ ‘û

Hi

G –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ùÀª Àƒó— ‘fƒû‘€µõ üܓ

‘“ ý‘û

Hi

¥ ×þ Âû ‚ b ±—Âõ ƒ÷ ø

ø ´¨ ¢¥ üܓ ùø Âð ×þ

H0

H0

‚î ´¨

‚ b ±—¤ .À€µÆû ñø ý¢Àä ö— ‚ b ±—Âõ ¥ .´¨ ߃ƒã— ۓ‘ì

ùø Âð Âþ ¥

1h 1 .ghg

Ûت ‚“ ´¨ ý Âʀä ,G ùø Â𠤢 Â𑹓‘›

ý‘ú“ ÂÌܬ‘Ÿ ‚ b Þû ùÂÞû ‚“

¥ ¤ Ñ€õ

G ¤¢ ý‘ûÂ𑹓‘› ‚bÞû ‚bäÞ¹õ ¥ –¤‘±ä ,G ¤¢ ý‘ûÂ𑹓‘›

ñ‘õÂ÷ Â𑹓‘› ùø Âð Âþ ¥ .(Àû¢üõ ۃØȗ ùø Âð ×þ ¢¡ ßþ) Àª‘“üõ ‘ú÷ ¥ üû‘€µõ .Àª‘“üõ üܓ

G=K

ö ý¥ ‚“ ‚î ´¨

G

¥

K

f Þä ø ´¨ üûø Âð Âþ ¥ ßþ µ؝î …

13

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

.1 ÛÊê

ùø Âð 2.1

,üփ֟ ¢Àä ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ Çþ‘Þ÷ ýÂ“ °ƒ—µ“

R

°Üè .݃÷¢üÞ÷

n

R

N

Q

ø

,R ý‘û¢‘Þ÷ ¥

Ìä ¤ ÂÔ¬ .݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ ‘þð ø üãƒ±Ï ,¼ƒ½¬ ,Íܵ¿õ

C

ø üփ֟ Í¡ ö€ä ‚“ ¤

n ü—¤‘î¢

’ÂÌܬ‘Ÿ ¥ ´¨ –¤‘±ä

R

¥ «Ê¿“ ý‘û‚ b äÞ¹õ

‚ b ½Ô¬ ö€ä ‚“ ¤ b äÞ¹õ .݃€îüõ ¤ Ê— Íܵ¿õ ‚

Âþ ¥ Çþ‘Þ÷ ýÂ“ Âþ ¥ ý‘úþ ¤ÁðÀõ‘÷ ¥ .R ¥ ü³î

:݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ (‘ûù¥‘“ ‘€“)

(a; b) :=

N ,Z ,C

fx 2 R j a < x < bg;

[a; b℄ :=

fx 2 R j a  x  bg:

14

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý µõ ý‘Ìê 3.1

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

.1 ÛÊê

ý µõ ý‘Ìê

3.1

;À÷¤¢ ùÂÞû ‚“ ¤ ü¬Ê¿“ "¤‘µ¡‘¨' ‚î ݃€îüõ ‚ãó‘Îõ ¤ üþ‘û‚äÞ¹õ ý ó•— ¤¢ "?´¨ ‚µ¨ƒ•

f : X

!Y

‘þ' Ǩ• ‚“ ¢ªüõ ‚î ´¨ ý‚÷ð ‚“ ¤‘µ¡‘¨ ßþ

Y

üþ‘û¤‘µ¡‘¨ ߃€ ùÂÞû ‚“ ‚ b äÞ¹õ ø¢

ø

X

‘¹€þ ¤¢ ‚î ,ÀƒÈ¿“ ü€ªø ¤ ü€ãõ

Óî ý µõ ø ü¨ÀƒÜì ý‘û‘Ìê ‚“ ßµÆþ ÂÚ÷ ‘“ ¤ ¤ îÁõ ¤‘µ¡‘¨ Ç¿“ ßþ ¤¢ .À€µÆû .݃€îüõ ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ ,Àª‘“ ­ø ÂÔõ ü㓑— ¥ ‚î ¢¢Âð ´ê‘þ ö‘€ ý

Æx >

f : Rn

! Rm

Â𐠂î Ýþªüõ ¤ ø¢‘þ

0 ×þ ,"x > 0 Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• x ¤¢

jf (x)

‚ b ܬ‘ê ‘“ ÕÜÎõ ¤Àì ¢‘Þ÷ Ëþã— ‘“ . .¢¢ ݃Þã—

!Y

f : X

j

f (y ) < "x

¢ª ‚¹ƒµ÷

jx

f

j

y < Æx

ⓑ— ´ó‘Ÿ ‚“ ü𢑨 ‚“ ¤ Óþ Â㗠ßþ ö—üõ ,ü¨ÀƒÜì

ù¢‘Ôµ¨ ‘“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,݃ª‘“ ‚µª¢ "‚ܬ‘ê ⓑ—' ‘“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âð ,‚Ø€þ —üÜî "‚ܬ‘ê ⓑ—' .݃€î Óþ Â㗠¤ ø¢ ö ö‘ƒõ ⓐ— üÚµ¨ƒ• ݃÷—üõ ‚ܬ‘ê ⓐ— ßþ ¥ ø ,Àª‘“ ¤¢ ¤ (üúþÀ“) «¡ ü¡Â“ üµÆþ‘“üõ - ¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ "µõ' °Üè ‚î .¢¢Âðüõ Âþ ¥ Óþ Â㗠¶ä‘“ Âõ ßþ

d : A

A ! R

ⓑ— .´¨ ­ø ÂÔõ ý‚äÞ¹õ

A

.Óþ Â㗠1.3.1

Ýþ ƒð

ÍþÂª ¤¢ 뢑¬

.a

.d(a; b)

+ d(b; )

= b Â𐠑ú€— ø Âð d(a; b) =

 d(a; )

ý µõ ý‘Ìê ¤ ö “ «Ê¿“ µõ Ùþ ùÂÞû ‚“ ¤ ø¢ üðÄþø .݃û¢üõ ö‘È÷

M

ý

A

a; b;

2A

(1

Âû ý¥ ‚“ (2

‚ b äÞ¹õ .݃Žðüõ

¢‘Þ÷ ‘“ ù¢‘¨ ¤ Î“ ‘þ

0

A

“ µõ ¤

(A; d) °—Âõ šø ¥ ‘“ ø ùÀƒõ‘÷ .݃õ‘÷üõ ü·Ü·õ ýø‘Æõ‘÷

ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

ü𢑨 ‚“ ù‘Ú÷ ,d(a; b)

A ýÂ“ ý µõ d Âð

‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.d(a; b)

= d(b; a) ø

j

ø

= b

j

a

A = R

.ßþ Âޗ 2.3.1

0  d(a; b) Ýþ ¤¢ ý a; b 2 A Âû .ñ‘·õ 3.3.1

݃€î ­Âê Âð .¢¢ ö‘È÷ ¤

A

“

d

ö¢“ µõ ¢ªüõ

15

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

.1 ÛÊê

ý µõ ý‘Ìê 3.1

d

¥ ´¨ –¤‘±ä ƒ÷

ø

A = Rn

v u n uX (yi x := t i=1

k

k

d(x; y ) = y

ý ¤ª¢ ¤‘î

‚î ¢Þ÷ ­Âê ¢ªüõ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢

d ö¢“ µõ ö¢¢ ö‘È÷ Ýû ¥‘“ .y = (y1 ; .À€õ‘÷üõ

Rn

¥ À€—¤‘±ä

d(x; y ) =

n X

=1

jyi

xi )2 ;




; yn ) ø x = (x1 ;


; xn ) ‚î

“ üóÞãõ µõ ‘þ ü¨ÀƒÜì Âµõ ¤ µõ ßþ .´Æƒ÷

Rn

.ñ‘·õ 4.3.1

“ ý‘ûµõ ¥ ÂÚþ¢ ‚÷Þ÷ ø¢

j

j

j

d(x; y ) = max yi

xi ;

1in

i

xi :

.Ýþ ¤‘³¨üõ ùÀ€÷¡ ‚“ ¤ ‘ú€þ ö¢“ µõ –‘±™

Óþ Â㗠‘“ ,Àª‘“ ù¿ó¢ ý‚äÞ¹õ

 d(x; y ) = .À€õ‘÷üõ

A

0 1

x=y x=y

6

A

.ñ‘·õ 5.3.1

‚»÷‘€

Âð Âð

“ ‚µÆÆð µõ ¤ Û¬‘Ÿ µõ .¢Þ÷ Óþ Â㗠¢ªüõ

A

“ µõ ×þ

.ßþ Âޗ 6.3.1 .´¨

Rn

“ µõ ×þ

d

,„‘“ ñ‘·õ ‚¨ ¥ ¢¤ õ Âû ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

.À€îüÞ÷ Óþ Â㗠µõ

.À€îüÞ÷ Óþ Â㗠µõ

‚ b Γ‘® ‘“

dr

Rn

‚î Àƒû¢ ö‘È÷

“

R

“

d(x; y ) = (y

x)2

j

d(x; y ) = min1in yi

xi

.´¨ ´±·õ ø üփ֟ ý¢Àä .´¨ µõ ƒ÷

d0 (x; y ) = d(x; y )=(1+d(x; y )) Óþ Â㗠‘“ d0

r

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (2

j ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ø µõ

?¢“ Àû¡

R

n

d(x; y )

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨ µõ

“ ý µõ

d

݃€î Óþ Âã—

xy

‘þ ù‘Ú÷ ,y ø

x

Ýþ ƒð (4

dr (x; y ) := r d(x; y )

0 .0  d (x; y )  1 ù¤Þû ‚î ¢ª ‚›—

¼ƒ½¬ ¢Àä ßþ µ؝î=

d

(3

2 Rn

d Ýþ ƒð

(5

.´¨ µõ ƒ÷

ý¥ ‚“

Rn

¤¢ Âð (6

߃“ ‚ b ܬ‘ê ‘“ “Â“ ‘þ µ𤠓

16

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý µõ ý‘Ìê 3.1

A

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

(B; d0 ) ´ó‘Ÿ ßþ •

B

ø ù¢“ ý µõ üþ‘Ìê

(A; d) ‚»÷‘€

.1 ÛÊê

.‚ƒÌì 7.3.1

0 .¢Þ÷ Óþ Â㗠ö—üõ B “ d ý µõ ,B  B ‚“ d ÀþÀ½— ‘“ .À€õ‘÷üõ

.Àª‘“

(A; d) ý µõ ý‘Ìê Âþ ¥ ¤

f ±ì ‚î ý ¤ Ï ö‘Þû üÚµ¨ƒ• ö—üõ üµŸ¤ ‚“ ,µõ úÔõ ßµª¢ ¤‘ƒµ¡ ¤¢ ‘“ ,݃µÔð … .¢Þ÷ Óþ Â㗠¤ Óܵ¿õ ý µõ ý‘û‘Ìê ߃“

f :A

!

ö‘€ ý

ⓑ— .À€ª‘“ ý µõ ý‘û‘Ìê

Æx >

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

f

(B; dB ) ø (A; dA ) Ýþ ƒð

.Óþ Â㗠8.3.1

0 ×þ ,"x > 0 Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð a 2 A ¤¢ ‚µ¨ƒ• ⓑ— .dB (f (x); f (y ))

< "x

¢ª ‚¹ƒµ÷

dA (x; y )Æx

ü—¤ ¬ • ¤

B

¥ ‚î ¢¢Âð ´ê‘þ

.Àª‘“ ‚µ¨ƒ• ¯‘Ö÷ ‚ b Þû ¤¢ ‚î ݃Žð ‚µ¨ƒ•

.ßþ Âޗ 9.3.1

f :

ⓑ— ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .y

©üóÞãõ µõ ùÂÞû ‚“

R

2A

Ýþ ƒð .´¨

‚î ;´¨ ‚µ¨ƒ•

d

µõ ‘“ ý µõ üþ‘Ìê

f (x) = d(x; y )

‚ b Γ‘® ‘“

A A

Ýþ ƒð (1

!R

.Àª‘“üõ

ý‘Ìê

M0

f : M0

!

Ýþ ƒð .´¨

ⓐ— ‚ b Þû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨

.¢¤À÷ ¢›ø

A

d üóÞãõ ü¨ÀƒÜì Âµõ ‘“ (R; d)

M0

‚“

M

R

“

d0

ý µõ ý‘Ìê

‚µÆÆð µõ ‘“

M

Ýþ ƒð (2

(R; d0 ) ý µõ

¥ ü؃±Øþ ‚ b µ¨ƒ• ⓑ— ºƒû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .À÷‚µ¨ƒ•

¥ ‚µ¨ƒ• ⓐ— ‚ b äÞ¹õ ,B “ µõ ‘þ ø

A

M

“ µõ Ëþã— ‘“ ‚î À¨¤üõ ÂÑ÷ ‚“ ߃€

f ·õ .À€îüõ ƒƒç— .¢ª ‚›— Âþ ¥ ¢¤õ ‚“ ,…

B

‚“

.ßþ Âޗ 10.3.1 “ µõ

B f

‚“

dAr A

Ýþ ƒð .À€ª‘“

¥ ü㓑—

f

dB

ø

dA

°ƒ—µ“ µõ ‘“ ý µõ ý‘Ìê ø¢

A

“

dA

µõ ‚“ ´±Æ÷

.Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

dAr

ø

A

Ýþ ƒð (1

Ýþ ƒð .´¨ (4)-6.3.1 ßþ Âޗ ¤¢ À€÷‘õ ùÀª ‚µ¡‘¨ ,A

‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø ‘ú€— ø üµìø

.Àƒ€î ۟

B

ý‘½“ (5)-6.3.1 ßþ Âޗ ¥

d0

A

f “

Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“

dAr

µõ ‚“ ´±Æ÷

µõ ‘“ üúµ€õ ¤ () Ý؟ ö‘Þû (2

!´Æƒ÷ ⓐ— üÚµ¨ƒ• Àä ‘þ ø üÚµ¨ƒ• ü¨¤ “ ýÂ“ ü±¨‘€õ ×½õ ‚ܬ‘ê ,ßþÂ“‘€“ .´¨ µ±¨‘€õ ¤‘î ßþ ýÂ“ "¥‘“ ‚ b äÞ¹õ' úÔõ ‚î ¢ª üõ ´“‘™

17

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

¥‘“ ø

.1 ÛÊê

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

y

2

A

ý µõ ý‘Ìê 3.1

(A; d) ý µõ ý‘Ìê ¥ U ‚bäÞ¹õ Âþ ¥

Âð ‚î ¢¢Âð ´ê‘þ ö‘€

"x >

0 ×þ ý x 2 U

ýð

Br (x) := y

"x >

.Óþ Â㗠11.3.1

0 ×þ ý x 2

U

2U B"x (x)  U

Âû ý¥ ‚“ Âð ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .y

f 2 A j d(x; y) < rg

‚î ;Àª‘“

.Àª‘“üõ

¥‘“ ©üóÞãõ µõ ‘“

R

Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð

0 1) = fx 2 R j 0

:À÷¥‘“

R2

< "x

‚î ¢¢Âð ´ê‘þ ý ¤ Ï á‘㪠ø

1g

<x <

( ;

¤¢

r

ù‘Ú÷ ,d(x; y )

x

îÂõ ‚“ ¥‘“

.ñ‘·õ 12.3.1

¤¢ Âþ ¥ ý‘û‚äÞ¹õ .´¨

f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 < 1g; f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 > 1g; f(x; y) 2 R2 j 0 < x < 1 ; 0 < y < 1g:

.ßþ Âޗ 13.3.1 ´±·õ ø üփ֟ ý¢Àä

r

ø

x

2A

,ù¢“ ý µõ üþ‘Ìê .´¨ ¥‘“

?À÷¥‘“ (R

2

A

¤¢

¤¢ üóÞãõ ý ó•— ‚“ ´±Æ÷)

(A; d) Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

Br (x)

R2

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

¥ Âþ ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Àî (2

f(x; y) j x2 + y2 < 1g [ f(1; 0)g; f(x; y) j x + y > 0g; f(x; y) j x + y < 0g; f(x; y) j jxj < 1g; f(x; y) j x2 + y2 < 1g; f(x; y) j x + y = 0g: ¥ ­ø ÂÔõ µõ ×þ ‚“ ´±Æ÷ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚ b Þû ‚ b þ¢Âð

.À÷¤¢ ¤Âì .´¨ .´¨

¤¢ üóÞãõ µõ ‚“ ´±Æ÷)

R

F

F

F

F

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (3

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ¤¢

A

F

¥ ýÌä ,

F

¥ ýÌä ,

¢¡ ø

;

A

ý µõ üþ‘Ìê

üú— ‚ b äÞ¹õ (1

¥ Ìä ø¢ Âû âÎÖõ (2

¥ Ìä ¢À㗠Âû á‘Þµ› (3

¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ üû‘€µõ‘÷ ‚ b þ¢Âð ×þ ¥ üó‘·õ (4 .´Æƒ÷ ¥‘“ ‘ú÷ ‚ b Þû âÎÖõ ‚î Àƒ“‘ƒ“ (R

.Ýþ ¤¢ ¤ Âþ ¥ °ó‘› Ý؟ ,¥‘“ ‚ b äÞ¹õ úÔõ ý ƒð¤‘Ø“ ‘“

18

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý µõ ý‘Ìê 3.1

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

üµìø ‘ú€— ø üµìø ý µõ ý‘û‘Ìê ö‘ƒõ .Àª‘“ ¥‘“

U

M1

¤¢

ø Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

ý

">

f : M1

f 1 (U ) ‚bäÞ¹õ ,M2 f

0 ,ö€î

‚î À€îüõ ’‘¹þ

݃€î ­Âê .À€µÆû

2U

M2

,ŕ .x

2

üÚµ¨ƒ• .´¨ ¥‘“

U

.f (x)

f

¤¢

U

ø

! M2

.‚ƒÌì 14.3.1

ⓑ—

¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ•

M1

°ƒ—µ“ “ µõ

f 1 (U )

d2

ø

)

BÆ

f

1 (U )

,Âþ ¥ ;B" (f (x))

x

2

U

‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€

" >

 B" (f (x))  U

M1

M1

¤¢

0 ݃€î Ý؟

,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“

¥¢ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

0 Âû ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ;x 2

ßþ ,‘õ .Àª‘“üõ ¥‘“

Æ>

f 1 (U ) ‚bÞû ý¥ ‚“ °ÜÎõ ßþ ö .Àª‘“üõ

‚ b äÞ½õ ý

Ýþ ƒð :–‘±™

d2 (f (x); f (y )) < ":

ü€ãõ ‚“ ¢¡ ßþ ‚î ,f (BÆ (x))

Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,´¨ ¼ƒ½¬ ‘û

d1

Ýþ ƒð .M2 ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

‚î ¢ªüõ ´ê‘þ ö‘€ ý

d1 (x; y ) < Æ

.1 ÛÊê

f 1 (B" (f (x)))

M1

.Àª‘“üõ

f 1 (U )

‚î

݃€î ­Âê ,ÅØãó‘“

ßþÂ“‘€“ ø ,´¨ ¥‘“

M2

¤¢

B" (f (x))

0 ù‘Ú÷ ,x 2 f 1 (B" (f (x))) ù‘ð Âû ‚î ´¨ ü€ãõ öÀ“ 1 (B (f (x))) ‚î Âð ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ý Æ > 0 ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ .BÆ (x)  f " ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ý

2

Æ >

.´¨ ‚µ¨ƒ•

f

‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø ‘ú€— ø üµìø

f

ü€ãþ .d2 (f (x); f (y ))

<"

ù‘Ú÷ ,d1 (x; y )

<Æ

.´ª¢¢‘þ 15.3.1

,Ý؟ ßþ §‘¨ “

ý‘û‚äÞ¹õ ‚ b Þû ù b äÞ¹õ Âû öø ¤ø ù b ¤‘Ú÷ ,¢ª ‚µÔð ‚Ø€þ .Àª‘“ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ ,¥‘“ ‚ b ¤‘Ú÷ .´¨ ý ÂÚþ¢ ƒ ,´¨ ¥‘“ ,¥‘“

,­ø ÂÔõ ý‚äÞ¹õ “ µõ ø¢ ‚»÷‘€ :´¨ ߃€ ‚ƒÌì ßþ ¥ ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ×þ É¿Èõ ‚ b µ¨ƒ• ⓐ— ‚ b äÞ¹õ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€€î É¿Èõ ¤ ü÷‘ÆØþ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ üõ –¤ ¬ ßþ ‚“ ¤ 10.3.1 ßþ Âޗ ,ßþÂ“‘€“ .¢“ Àû¡ üØþ ƒ÷ ø¢ ö ͨ— ùÀª ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ù b ¢÷‘¡

d0

ø

dA r ,dA

ý‘ûµõ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ :¢Þ÷ ö‘ƒ“ f¢À¹õ ¢ª .À€€îüõ É¿Èõ ¤ ü÷‘ÆØþ

׃õÀî

Rn

“

j

max yi

xi

j

ø

P

jyi

xi

j

ý‘ûµõ ö‘ƒõ

.ßþ Âޗ 16.3.1

?À€€îüõ Àƒó— üóÞãõ µõ ¥ ù¤¢‘¬ ¥‘“ ý‘û‚äÞ½õ ‘“ ü÷‘ÆØþ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ,ý µõ ý‘û‘Ìê ߃“ ⓐ— üÚµ¨ƒ• ‚ b ãó‘Îõ ¤¢ ‚î ¢ªüõ ¯‘±€µ¨ ߃€ „‘“ ¶½“ ¥ ‚÷ ,À€µÆû Ýúõ ‘ûµõ ö ͨ— ùÀª É¿Èõ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ °îÂõ ý‘ûù¢÷‘¡

19

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘û¥‘ƒ€Èƒ•

.1 ÛÊê

ý µõ ý‘Ìê 3.1

ý‚äÞ¹õ ý¥ ‚“ :‚î ၮõ ßþ ¤‘úҐ ýÂ“ ´¨ ýù ƒÚ÷ °ÜÎõ ßþ !‘ûµõ ö ¢¡ ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ' ö€ã“ ¤ ùÂÞû ‚“

f :X

X

X

¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

‚äÞ¹õ ×þ ¥ ÛØȵõ

!Y

(X;

F)

F

ýù¢÷‘¡ ,X ­ø ÂÔõ

Ǒüª ×þ ÛÞä ßþ .݃€îüõ üêÂãõ "X

Âð ,°ƒ—— ßþ ‚“ .Àû¢üõ ´¨À“

X

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

F

ýù¢÷‘¡

0 ´¨ ‚µ¨ƒ• f ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ ,À€µÆû ü€ƒ€ ßþ Ǒüª ø¢ (Y; F ) ø (X; F ) ‚î 1 (U ) 2 F ݃ª‘“ ‚µª¢ ý U 2 F 0 Âû ý¥ ‚“ ‚î Âû ’‘¿µ÷ Âð ‚î ´¨ üãƒ±Ï .f

F

ù b ¢÷‘¡' ßþÂ“‘€“ !ÀþüÞ÷ ´¨À“ ü±ó‘› –‘ƒ®‘þ ¤ ,݃÷À“ ¥‘¹õ ¤ ýù¢÷‘¡ ‚÷ð

ßþ Âޗ ¤¢ ‚î ü€ƒ÷ì ;Àª‘“ Âþ ¥ žÂª ‚“ ù b ¢‘¨ «¡ ý¤¢ üµÆþ‘“ "¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ üêÂãõ ý µõ ý‘Ìê ×þ ¥ Û¬‘Ÿ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ù b ¢÷‘¡ ¢¤ õ ¤¢ (3)-13.3.1 :¥ À€—¤‘±ä ‘ú€þ .À÷Àª

.À÷¤¢ ¤Âì

.´¨

.´¨

F

F

X

¤¢

A

F

X

¢¡ ø

F

¥ ýÌä ,

¥ ýÌä ,

‚“ ß¿¨ ö ¥ Ç¿“ ßþ ý ¤Àµ“ ¤¢ ‚î ´ƒ¬‘¡ ‚¨ ý¤¢ ‚î ´¨

F

;

üú— ‚ b äÞ¹õ (1

¥ Ìä ø¢ Âû âÎÖõ (2

¥ Ìä ¢À㗠Âû á‘Þµ› (3

‚ b äÞ¹õ ‚“ ‚µÆ“ø ¤‘µ¡‘¨ ,ßþÂ“‘€“

¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

F

ýù¢÷‘¡ ¥ –¥‘±ä ,Àõ ö‘ƒõ

.´¨ ý ó•— ýÂ“ ý¥‘è ‚ b ÎÖ÷ ßþ .´¨ „‘“ ¤¢ žø ÂÈõ

20

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

2 ÛÊê üÚµ¨ƒ• ø ýó•— ý ó•— ý‘Ìê

1.2

«Ê¿“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ùÂÞû ‚“ ‚äÞ¹õ ×þ ¥ ´¨ –¤‘±ä ‘fÖƒì¢ ýó•— ý‘Ìê .À÷¤¢ É¿Èõ ´ƒ¬‘¡ ‚¨ ‚î (¢ªüõ ‚µÔ𠥑“ ý‘û‚äÞ¹õ ‘ú÷ ‚“ ‚î) ,Àª‘“ X ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ ý ‚þ¢Âð U ø ‚äÞ¹õ X Ýþƒð

.Óþ Â㗠1.1.2

:´¨ Âþ¥ žÂª ‚“ «¡ ý¤¢ ‚î .X

2U ø;2U

(1

.´¨ U ¥ ýÌä ,U ¥ Ìä ø¢ Âû âÎÖõ (2 .´¨ U ¥ ýÌä ,U ¥ Ìä ¢À㗠Âû á‘Þµ› (3 ‚bäÞ¹õ .¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ X

“ ýý ó• —

,X ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ ý‚þ¢Âð ߃€

°Üè ‚î ,݃û¢üõ ö‘È÷ (X; U ) ¢‘Þ÷ ‘“ ø ùÀƒõ‘÷ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ

¤ U

2 U ¬‘€ä

ý ó• — ý‘Ìê

¤

U ùÂÞû ‚“ X

.݃Æþ÷üõ ‚¬…¡ X ¢¡ ‘þ T –¤¬ ‚“ ¤ ö .݃õ‘÷üõ T

¯

‘Ö÷

¢À㗠Âû âÎÖõ ‚î À€îüõ ’‘¹þ (2) ¯Âª ‚î Àƒ€î ‚›—

¤ X ý‘Ìä .݃Žðüõ T .´ª¢¢‘þ 2.1.2

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ‚bÞû ‚bäÞ¹õ ÂÚÈþ‘Þ÷ P (X ) Âð .´¨ U ¥ ýÌä ,U Ǒ‘Ìä ¥ üû‘€µõ ¤¢ ‚î U 2 P (X ) ’‘¿µ÷ ¥ ´¨ –¤‘±ä ‘fÖƒì¢ ,X ýÂ“ ýó•— ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X 21

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

ý ó•— ý‘Ìê 1.2

ý‘úþó•— ,Óܵ¿õ ý‘û‚€þ ð .À€îüõ ëÀ¬ „‘“ ¤¢ žø ÂÈõ (3) ø (2) ,(1) ÍþÂª .¢¢Âðüõ °›õ ¤ üÔܵ¿õ ¶½“ Փ‘Îõ .݃€î žÂÎõ ¤ ýó•— ý‘û‘Ìê ¥ ü䁀µõ ý‘úó‘·õ ‘— ´¨ ¥„ :´¨ ߃€ ñ‘·õ ߃óø ,Û±ì ÛÊê ¥ ü÷‘þ‘• Ç¿“ ¤¢ ùÀª ‘¹÷ .¢¢Âðüõ °›õ ýó•— ý‘Ìê ¤‘µ¡‘¨ ×þ ,ýµõ ý‘Ìê Âû

.ñ‘·õ 3.1.2

´±Æ÷ X ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚bÞû ‚bäÞ¹õ U ø Àª‘“ ýµõ üþ‘Ìê (X; d) Âð ,âìø ¤¢ ݃Žðüõ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ .´¨ X “ ýó•— ×þ

U –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ d µõ ‚“

."´¨ ý µõ ý ó• — ‘þ üóÞãõ ý ó• — ý¤¢ Û¬‘Ÿ ý‘Ìê' ý‘û‘Ìê ,ü€ãþ .´Æƒ÷ ´¨¤¢ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ „‘“ ၮõ ÅØä

.´ª¢¢‘þ 4.1.2

(3)-6.1.2 ßþÂޗ ‚“ .À÷ªüÞ÷ Û¬‘Ÿ ýµõ ºƒû ¥ ‚î À÷¤¢ ¢›ø ýýó•— ‚î Àƒ€î ‚›— .À€õ‘÷üõ

ÂþÁ•ý µõ ý‘Ìê

¤ ‚ܬ‘Ÿ ýó•— ý‘û‘Ìê .Àƒ€î ‚›—

.À€õ‘¹÷üõ ýó•— ý‘Ìê ×þ ‚“ ,–ø‘Ôµõ ýµõ ý‘Ìê ø¢ ´¨ ßØÞõ ×þ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ ßØÞõ ý‘ûù¢÷‘¡ ’‘¿µ÷ ¥ ýÀŸ ´ó‘Ÿ ø¢ ‚bƒú— ¤¢ :݃¨¤üõ À㓠ñ‘·î ‚“ ,À€€îüõ ëÀ¬ ýó•— ý‘Ìê ÍþÂª ¤¢ ‚î ,X ­ø ÂÔõ ‚bäÞ¹õ

•— ×þ X “

U

=

f;; X g ,Àª‘“ üú— ƒè ý‚äÞ¹õ X ‚»÷‘€

§ÞÜõ ý ó• —

‘þ

‚µÆÆð ‘÷ ý ó• —

.ñ‘·õ 5.1.2

¤ ýó•— ßþ .´¨ X “ ýó

.´¨ X “ ßØÞõ ýó•— ßþµ؝î ßþ .݃õ‘÷üõ ×þ ‚“ ž®ø ‚“ ,Ýþƒړ X ¤¢ ßØÞõ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥

P (X ) ‚bÞû ¤ U ‚»÷‘€

.݃õ‘÷üõ X “ ‚µÆÆð ý ó• — ¤ ýó•— ßþ .݃¨¤üõ X “ ýó•— .–‘€þ Âޗ 6.1.2

:üþ‘Þ€û¤) .´¨ ÂþÁ•ýµõ ,Àª‘“ ‚µÆÆð ýó•— ý¤¢ ,X Â𐠂î üû¢ ö‘È÷ (1 (.Àþƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ‚µÆÆð µõ šø ¥ Âû ý¥ ‚“ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ ÂþÁ•ýµõ ýó•— ý‘Ìê ×þ X Ýþƒð (2

¢›ø ý¤Ï b Ûõ‘ª ýÂÚþ¢ ø a Ûõ‘ª üØþ Ub ø Ua ¥‘“ ‚bäÞ¹õ ø¢ ,a; b 2 X

.Ua \ Ub = ; ‚î À÷¤¢

22

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘Ìê 1.2

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

ø Àª‘“ ‚µª¢ ‚ÎÖ÷ ø¢ Ûì ÀŸ X Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (’) ´ÞÆì ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (3 .¢ÂþÁ³“ µõ À÷—üÞ÷ X ù‘Ú÷ ,Àª‘“ §ÞÜõ ýó•— ý¤¢ X ƒ÷

‚bäÞ¹õ Âû “

üû‘€µõ ÝÞµõ ý ó• —

‚“ ¨õ ýýó•—

.ñ‘·õ 7.1.2

üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ö ø X ,; ¥ ´¨ –¤‘±ä U ‘¹€þ ¤¢ .´¨ ÓþÂ㗠ۓ‘ì X ù¿ó¢

ö‘Þû ýó•— ßþ ,Àª‘“ üû‘€µõ X ¢¡ Âð ,‚µ±ó .´¨ üû‘€µõ ö‘ÈÞÞµõ ‚î X ¥ ö¢“ ýó•— ¯Âª ‚¨ ý¤Âì“ ´¨ ¥„ ,‘õ .¢“ Àû¡ X “ ‚µÆÆð ýó•— Ճֽ— ýÂ“ .´¨ üúþÀ“ ñø ¯Âª .¢¢Âð Ճֽ— ´¨ üû‘€µõ‘÷ X ‚î üµó‘Ÿ ¤¢ ,U ­Âê ‚“ ‘€“ X

U2 ø X

U1 ‚î À€ª‘“ ö‘€ U1 ; U2

2 U ݃€î ­Âê ,ø¢ ¯Âª

[ (X U2 ) ,ßþÂ“‘€“ .À€µÆû üû‘€µõ ,¨ ¯Âª ´½¬ ‚bџ…õ ýÂ“ .U1 \ U2 2 U ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ´¨ X (U1 \ U2 ) T U ) = T (X U ) ‚î ¢ª ‚›— ´¨ üê‘î .X (

“Â“ ‚äÞ¹õ ߃ó üóø ,´¨ üû‘€µõ (X

2

j J

U1 )

2

i

j J

i

“ ýó•— ¤‘ú ‘ú€— ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ùÀª ۃØȗ ‚ÎÖ÷ ø¢ ¥ X Âð

.ñ‘·õ 8.1.2

:ü€ãþ .´êÂð ÂÑ÷ ¤¢ ¢ªüõ X ‚bäÞ¹õ

U1 = f;; X g; U2 = f;; fag; X g; U3 = f;; fbg; X g; U4 = f;; fag; fbg; X g: ,À÷‘õüõ U3 ø U2 ö¢“ ýó•— Ճֽ— ,ŕ .´¨ üúƒ³“ U4 ø U1 ö¢“ ýó•— (X; U3 ) ø (X; U2 ) ‚î ¢ª ‚›— .Ýþ¤‘³¨üõ ùÀ€÷¡ ‚“ ßþÂޗ ö€ä ‚“ ¤ ö ‚î .À€µÆƒ÷ ÂþÁ• ýµõ .Àƒ€îüõ ùÀû‘Èõ ¤ ýó•— ý‘û‘Ìê ¥ ÂÚþ¢ üþ‘úó‘·õ ,Âþ¥ –‘€þÂޗ ¤¢ .´¨ X “ ýó•— U ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (›) ø‘— () –‘€þÂޗ ¤¢ .U = f;; Rg [ f(

.ßþ Âޗ 9.1.2

1; x) j x 2 Rg ø X = R

(1

.On = fn; n + 1;


g ‚î ,U = f;; N g [ fOn j n  1g ø X = N (2 Âû ý¥ ‚“ ø Àª‘“ R ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ¥ U Â𐠑ú€— ø Âð U Ýþ¤¢ ‘¹€þ ¤¢ ‚î ,[s; t)



2U øX

U ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ý t > s ×þ ,s

.[s : t) = fx 2 R j s

= R (3

2

R

 x < tg

23

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

ý ó•— ý‘Ìê 1.2

.Àƒ€î É¿Èõ ¤ ýÌä ‚¨ ý‚äÞ¹õ “ ßØÞõ ý‘úþó•— ‚bƒÜî (4 ۃØȗ ,R ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ Âþ¥ ý‘ûù¢÷‘¡ ¥ ×þ ºƒû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (5 :À€û¢üÞ÷ R “ ýó•— ,U1 = f;; Rg [ f(

1; x℄ j x 2 Rg

.U2 = f;; Rg [ f(a; b) j a; b 2 R & a < bg

­ø ÂÔõ ýó•— ý‘Ìê ×þ ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ¥ Y ‚»÷‘€

.Óþ Â㗠10.1.2

‚äÞ¹õ ßþ .Ýþƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ݃÷—üõ ¤ Y ¤¢ ñÞÈõ ¥‘“ ‚bäÞ¹õ ßþµ𤠓 ,Àª‘“ X .݃Žðüõ Y

öø ¤¢

Æ

ö ‚“ ø ù¢¢ ö‘È÷ Int(Y ) ‘þ Y ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“

2 J g ‚î ,YÆ = Sj2J Ui .‚ƒÌì 11.1.2 Æ  Y ¥‘“ ‚bäÞ¹õ ý Â𐠑ú€— ø Âð x 2Y ,ž®ø ‚“ .´¨ Y ¤¢ ñÞÈõ .x 2 U ‚î ¢¢Âð ´ê‘þ

¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚bÞû ùb¢÷‘¡ fUj j j ý¤Ï U

:Àª‘“ Rn ¥ Âþ¥ žÂª ‚“ ‚bäÞ¹õ Âþ¥ I n Àƒ€î ­Âê

.ñ‘·õ 12.1.2




; xn ) 2 Rn j 0  xi  1 ; i = 1; 2;


; ng:

f

I n := x = (x1 ;

d(x; y ) = üóÞãõ µõ ‘“ ýµõ ýó•— ,ü€ãþ) Àª‘“ üóÞãõ ýó•— ý¤¢ Rn Âð

Æ

¥ ´¨ –Â±ä I öø ¤¢ ù‘Ú÷ ,((

Æn

f

I := x = (x1 ;

." = minfxi ; 1

Pn

=1 (yi

i

xi )2 )1=2




; xn ) 2 Rn j 0 < xi < 1 ; i = 1; 2;


; ng: j

xi i =

Æ

1; 2;


; ng ø x 2I

îÂõ ø " á‘㪠‚“ (B" (x) := fy 2 R

j

݃€î ­Âê Âõ ßþ ‚bџ…õ ýÂ“ g ,ü€ãþ) B" (x) ¥‘“ ýð ,ö€î

n d(x; y ) < "

Æ

×þ ý¥ ‚“ Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ ¥‘“ I ¤¢ ,ßþÂ“‘€“ ø ;¢¤¢ ¤Âì I n ¤¢ ‘fõ‘Þ— ,x ¤¢ Ûõ‘ª ,x ¤¢ îÂõ ø r > 0 ù¿ó¢ á‘㪠‚“ Br (x) ýð Âû ù‘Ú÷ ,xi .À÷¤À÷ ¤Âì

In

öø ¤¢ ¤¢ üϑÖ÷ ö‘€ ,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ

In

2 f0; 1g ý i

¤¢ ¯‘Ö÷ ¥ ƒè üϑÖ÷

.À÷¤¢ ü¬Ê¿“ ݨ ,¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ÝÞµõ 24

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘Ìê 1.2

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

´¨ ‚µÆ“ ü—¤¬ ¤¢ X ýó•— ý‘Ìê ¥ C ‚bäÞ¹õ Âþ¥

.Óþ Â㗠13.1.2

.Àª‘“ ¥‘“ X

C ‚î

á‘Þµ› ,âÎÖõ «Ê¡ ¤¢ ‘û‚äÞ¹õ ‚þÂÑ÷ «¡ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ýÀ㓠°ó‘› Ý؟ .¢¢Âð üõ ‚¹ƒµ÷ ÝÞµõ ø .À÷‚µÆ“ X ø ; (1

.‚ƒÌì 14.1.2

.´¨ ‚µÆ“ ,‚µÆ“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ üû‘€µõ ¢À㗠Âû á‘Þµ› (2 .´¨ ‚µÆ“ ,‚µÆ“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ ù¿ó¢ ¢À㗠Âû íÂµª (3 .¢Þ÷ ÓþÂ㗠¤ ýó•— ý‘Ìê ¢ªüõ ƒ÷ ‚µÆ“ ‚bäÞ¹õ úÔõ ¥ áø ª ‘“ .ßþ Âޗ 15.1.2

¤¢ ‚î Àª‘“ X ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ ýù¢÷‘¡

V

ø ‚äÞ¹õ ×þ X Ýþƒð (1 :À€îüõ ëÀ¬ Âþ¥ ÍþÂª .;; X

2 V (1

.´¨ V ¥ ýÌä ,V ¥ Ìä ø¢ Âû á‘Þµ› (2

.´¨ V ¥ ýÌä ,V ý‘Ìä ¥ ù¿ó¢ ¢À㗠Âû íÂµª (3 X “ ýó•— ×þ

U

= fX

j 2 Vg –¤¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

V V

.Àû¢üõ ۃØȗ .¥‘“ Ýû ø ´¨ ‚µÆ“ Ýû ý‚äÞ¹õ Âþ¥ Âû ,‚µÆÆð ý‘Ìê Âû ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ (2 ‚bäÞ¹õ Âþ¥ Âû ø Àª‘“ üû‘€µõ ýó•— ý‘Ìê ×þ ¯‘Ö÷ ¢À㗠Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (3 .´¨ ‚µÆÆð ‘Ìê ö ýó•— ,Àª‘“ ‚µÆ“ ö ¥ ýÌä ח -9.1.2 ßþÂޗ ¤¢ À€÷‘Þû

U ‚î ,(R; U ) ýó•— ý‘Ìê ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

(4

.‚µÆ“ Ýû ø ´¨ ¥‘“ Ýû [s; t) Ûت ‚“ ‚bäÞ¹õ Âû ,´¨ (3)

­ø ÂÔõ ýó•— ý‘Ìê ×þ ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ¥ Y ‚»÷‘€

.Óþ Â㗠16.1.2

‚äÞ¹õ ßþ .Ýþƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ݃÷—üõ ¤ Y Ûõ‘ª ‚bµÆ“ ‚bäÞ¹õ ßþµ؝î ,Àª‘“ X ƒè ø Y ¤¢ âìø ¯‘Ö÷ .݃Žðüõ Y ¤‘µÆ“ ö ‚“ ø ù¢¢ ö‘È÷ Cl(Y ) ‘þ Y ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ 25

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

ý ó•— ý‘Ìê 1.2

¤ Y ýÂ“ ÂÚþ¢ ñ¢‘ãõ Ӄ¬— ø¢ ýÀ㓠Ý؟ .À€õ‘÷üõ Y

ýÀŸ ¯‘Ö÷

¤ Y ¤¢ âìø

.¢¥‘¨üõ ÝûÂê ý‘û‚äÞ¹õ ‚bÞû ùb¢÷‘¡ fFj j j

2 J g ‚î ,Y

=

T

2

j J Fi

(1

.Ýó 17.1.2

.´¨ Y Ûõ‘ª ‚bµÆ“ .U \ Y 6= ; ݃ª‘“ ‚µª¢ ,x Ûõ‘ª U ¥‘“ ‚bäÞ¹õ Âû ý¥ ‚“ Â𐠑ú€— ø Âð x 2 Y (2 ý‚äÞ¹õ ø x

2 Y

ø ´¨ ‚µÆ“ X

݃€î ­Âê ,2 Ý؟ –‘±™ ýÂ“ .´¨ üúþÀ“ 1 Ý؟

:–‘±™

\ Y = ; ‚î Àª‘“ ¢›õ ý¤Ï x Ûõ‘ª U ¥‘“ .x 2 U ø x 2 Y ‘õ .Y  X U ,ŕ .Y  X U

U ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .U

Ë쑀— ×þ ‚“ ,ßþÂ“‘€“

.ÝþÀƒ¨¤ ø ´¨ ¥‘“ X

2

Y ‘õ .x

2

X

2 Y ݃€î ­Âê ,ÅØãó‘“ Y ) \ Y = ; ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ,(X Y ) \ Y = ;

Y ßþÂ“‘€“ ø x

.´¨ Ë쑀— ‚î (X

ý‘û‚äÞ¹õ ¤‘µÆ“ ,Ýþƒړ ÂÑ÷ ¤¢ üóÞãõ ýó•— ‘“ ¤ R ‚»÷‘€

.ñ‘·õ 18.1.2

.À€µÆû [a; b℄ “Â“ üÚÞû [a; b℄ ø (a; b℄ ,[a; b) ,(a; b) .ßþ Âޗ 19.1.2

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ ×þ Âû ¤‘µÆ“ .Àª‘“ üóÞãõ ýó•— ‘“ R “Â“ X Ýþƒð (1 :Àþ¤ø ´¨À“ ¤ X ¥ Âþ¥

.A = f1; 2; 3;


g; B = fx j ´¨ ‘þð xg; C = fx j ´¨ ݬ xg

.Àª‘“ (3)-9.1.2 ßþÂޗ ¤¢ ùÀª žÂÎõ ýó•— ‘“ R ¥ –¤‘±ä X Ýþƒð (2 .Àƒ“‘ƒ“ ¤ X ¥ [a; b℄ ø (a; b℄ ,[a; b) ,(a; b) ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¥ ×þ Âû ¤‘µÆ“ :Àƒ€î ‚ÑŸ…õ À㓠ßþÂޗ ¤¢ ¤ ‘û‚äÞ¹õ ¤‘µÆ“ «¡ Âþ‘¨ :Àƒ€î –‘±™ ¤ Âþ¥ ý‘ûù¤ 𠥐 ×þ Âû ‚µÆ“ F ø ù¢“ Y

.ßþ Âޗ 20.1.2

 F  X ‘“ X ýó•— ý‘Ìê ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ¥ Y Âð .Y  F ù‘Ú÷ ,Àª‘“

(1

.Y = Y ‚î ´¨ ‚µÆ“ üµìø ‘ú€— ø üµìø Y (2 .Y = Y (3 26

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘Ìê 1.2

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

.(A \ B ) = A [ B ø (A [ B ) = A \ B (4

.X Y := Y

Æ

Y = (X

Y ) (5

\ ¤ X ýó•— ý‘Ìê ¥ Y ­ø ÂÔõ ‚bäÞ¹õ ¥ Âõ ‚î ü—¤¬ ¤¢ .Y = Y [ Y –¤¬ ßþ ¤¢ ,݃€î ÓþÂ㗠(X Y ) .Y

Y

(6

‚î ´¨ ‚µÆ“ üµìø ‘ú€— ø üµìø Y (7

.Àª‘“ ‚µÆ“ Ýû ø ¥‘“ Ýû Y ‚î ´¨ üú— Y üµìø ‘ú€— ø üµìø (8 . (fx 2 R j a < x < bg) =  (fx 2 R j a < x < bg) = fa; bg (9 öø ¤¢ ¤‘µÆ“ Y ‚î ´¨ ‚äÞ¹õ ×þ ¤‘µÆ“ üµìø ‘ú€— ø üµìø Y ‚î Àƒ€î ´“‘™

(10

.Àª‘“ ©¢¡ ¤Âì ù¢‘Ôµ¨ ¢¤õ –‘ãê¢ ‚“ fÀ㓠‚î ´¨ üރû‘Ôõ ‚µ¨¢ ö ¥ üÚþ‘ÆÞû úÔõ .´êÂð Àû¡

 X ‚bäÞ¹õ Âþ¥ .´¨ ýó•— ý‘Ìê X Ýþƒð .Óþ Â㗠21.1.2 x 2 U  ‘“ X ¤¢ U ¥‘“ ý‚äÞ¹õ ‚î ݃Žð x üÚþ‘ÆÞû ×þ ü—¤¬ ¤¢ ¤ x 2 N ‘“ N

.¢ª ´ê‘þ N .Àª‘“üõ ÇϑÖ÷ ¥ ×þ Âû ¥ ýüÚþ‘ÆÞû ,¥‘“ ‚bäÞ¹õ Âû

.ñ‘·õ 22.1.2

Æ

.´¨ A ü÷ø ¤¢ ¯‘Ö÷ ¥ ×þ Âû ¥ ýüÚþ‘ÆÞû A= ; ‘“ A ‚bäÞ¹õ Âû ,‚Ø€þ —üÜî ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨ ýó•— ý‘Ìê X Ýþƒð

.ßþ Âޗ 23.1.2

.´¨ ¢›õ x ¥ üÚþ‘ÆÞû ×þ Û쐄 ,x 2 X ‚bÎÖ÷ Âû ý¥ ‚“ (1 .´¨ x ¥ ýüÚþ‘ÆÞû ƒ÷ M ù‘Ú÷ ,N

 M ø Àª‘“ x ¥ ýüÚþ‘ÆÞû N Âð

(2

.´¨ x ¥ ýüÚþ‘ÆÞû ƒ÷ N \ M ù‘Ú÷ ,Àª‘“ x ¥ üþ‘ûüÚþ‘ÆÞû N ø M Âð (3 ¢›ø ý¤Ï x ¥ U üÚþ‘ÆÞû ×þ ,x ¥ N üÚþ‘ÆÞû Âû ø x 2 X Âû ý¥ ‚“ (4 .Àª‘“üõ ÇϑÖ÷ ¥ ×þ Âû ¥ ýüÚþ‘ÆÞû U ø U

 N ‚î ¢¤¢

27

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ• 2.2

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ•

ü—¤¬ ¤¢ ¤ Y ø X ýó•— ý‘û‘Ìê ö‘ƒõ f : X

!Y

ⓑ—

2.2

.Óþ Â㗠1.2.2

.Àª‘“ ¥‘“ X ¤¢ f 1 (U ) öø ¤ø ùb¤‘Ú÷ ,Y ¥ U ¥‘“ ‚bäÞ¹õ Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð ‚µ¨ƒ• ý‘û‘Ìê ߃“ X

!Y

´“‘™ ⓐ— ø X : X

! X ü÷‘Þû ⓑ—

.ñ‘·õ 2.2.2

.À€µÆû ‚µ¨ƒ• ⓐ— ¥ ‘úó‘·õ ßþ— ù¢‘¨ ,ýó•— Âê ‚“ ⓑ— Âû ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆÆð ýó•— ‘“ X üþ‘Ìê Âð

.ñ‘·õ 3.2.2

߃€ °ÜÎõ ßþ ۃó¢ .´¨ ‚µ¨ƒ• Y ÂÚþ¢ ýó•— ý‘Ìê ‚“ X ¥ f : X

!Y

.´¨ ¥‘“ ßþÂ“‘€“ ø X ¤¢ ´¨ ý‚äÞ¹õ ,Y ¤¢ ¥‘“ ‚bäÞ¹õ Âþ¥ Âû öø ¤ø :´¨ ⓑ— Âû ù‘Ú÷ ,Àª‘“ §ÞÜõ ýó•— ‘“ ýó•— üþ‘Ìê Y Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ ‚µ¨ƒ• ,Y ýµ“ X ù¿ó¢ ýó•— ý‘Ìê ¥ f : X

!Y

.Àƒ€î ùÀû‘Èõ Àƒ÷—üõ À㓠ßþÂޗ ¤¢ ¤ Ý؟ ø¢ ßþ ÅØä .¢ªüõ üêÂãõ ‚µ¨ƒ•‘÷ ü㓑— ,À㓠ñ‘·õ ¤¢

f;; Rg [ f( 1; x) j x 2 Rg ‚î X = (R; U ) Ýþƒð .ñ‘·õ 4.2.2 f 1 ( 1; y 2 ) = Âþ¥ ;´Æƒ÷ ‚µ¨ƒ• f ⓑ— .´¨ f (x) = x ‚bΓ‘® ‘“ f : X ! X ö€ä ‚“ ¤ À÷‚µ¨ƒ• X ‚“ X ¥ ⓐ— Àî ‚Ø€þ –‘±™ .´Æƒ÷ ÕÜãµõ U ‚“ ‚î ( y ; y ) ø

U

=

.(¢ª ‚㛐Âõ (4)-5.2.2 ßþÂޗ ‚“) Ýþ¤‘³¨üõ ùÀ€÷¡ ‚“ ßþÂޗ .ßþ Âޗ 5.2.2

Àƒ€î ´“‘™ .À€ª‘“ X “ ýó•— ø¢ U 0 ø U ø ù¢“ ù¿ó¢ ý‚äÞ¹õ X Ýþƒð (1 .U 0

 U ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø ‘ú€— ø üµìø (X; U ) ! (X; U 0 ) ü÷‘Þû ⓑ—

ý‘Ìê Âû ý¥ ‚“' ‚î ´¨ ´ƒ¬‘¡ ßþ ‘“ ýó•— üþ‘Ìê X Àƒ€î ­Âê (2 ý¤¢ X Àƒ€î ´“‘™ ."´¨ ‚µ¨ƒ• f ,f : X

!Y

ⓑ— Âû ø Y ýó•—

‚µÆÆð ýó•— ‘“ üþ‘Ìê Y Àƒ€î ­Âê :üþ‘Þ€û¤) .´¨ ‚µÆÆð ýó•— (.´¨ ý‘Ìê Âû ý¥ ‚“' ‚î ´¨ ´ƒ¬‘¡ ßþ ‘“ ýó•— üþ‘Ìê X Àƒ€î ­Âê (3 ý¤¢ X Àƒ€î ´“‘™ ."´¨ ‚µ¨ƒ• f ,f : X

!Y

ⓑ— Âû ø X ýó•—

28

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ• 2.2

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

ýó•— ‘“ üóø Y ý‘Ìê X Àƒ€î ­Âê :üþ‘Þ€û¤) .´¨ §ÞÜõ ýó•— (.´¨ §ÞÜõ

U = f;; Rg [ f( 1; x) j x 2 ýó•—

‘“ üփ֟ ¢Àä ‚bäÞ¹õ X Ýþƒð (4

Âƒè ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø ‘ú€— ø üµìø f : X

!Y

f (x0 ) ù‘Ú÷ ,x

ⓑ— Àƒ€î ´“‘™ .´¨ Rg

Àª‘“ ´¨¤ ‚bµ¨ƒ• ø (f (x) > > x0 Âð ,ü€ãþ) ù¢“ üóø ÷ Âð ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ ý Æ > 0 ×þ ," > 0 Âû ø x 2 X Âû ý¥ ‚“ ,ü€ãþ) .(jf (x)

f (x0 ) < " ù‘Ú÷ ,x0

j

 x < x0 + Æ

.¢Þ÷ ö‘ƒ“ ¢ªüõ ƒ÷ ‚µÆ“ ý‘û‚äÞ¹õ ×Þî ‚“ ¤ ⓐ— üÚµ¨ƒ• ‘ú€— ø üµìø Y ø X ýó•— ý‘û‘Ìê ߃“ f : X

!Y

ⓑ—

.‚ƒÌì 6.2.2

X ¤¢ f 1 (C ) ‚bäÞ¹õ ,Y ¤¢ C ‚bµÆ“ ‚bäÞ¹õ Âþ¥ Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø

.Àª‘“ ‚µÆ“ ¤¢ ø ´¨ ¥‘“ Y ø f 1 (Y

C ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“ C Âð .´¨ ‚µ¨ƒ• f Àƒ€î ­Âê :–‘±™

C) = X

f 1 (C ) ‘õ .Àª‘“üõ ¥‘“ f 1 (Y

C ) ‚bäÞ¹õ ‚¹ƒµ÷

,–¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ¥‘“ Y ¤¢ U Àƒ€î ­Âê ,ÅØãó‘“ .´¨ ‚µÆ“ f 1 (C ) ßþÂ“‘€“ ,´¨ ‚µÆ“ ƒ÷ f 1 (Y

2

f 1 (U ) ‚bäÞ¹õ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ´¨ ‚µÆ“ Y

U) = X

C

.´¨F üÚµ¨ƒ• Áó ø ,f 1 (U ) ö¢“ ¥‘“ ü€ãõ ‚“ ßþ ‚î

,¢¤‘Ú÷üõ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚“ ¤ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚î ü㓑—

.Óþ Â㗠7.2.2

ý‘û‚äÞ¹õ ‚“ ¤ ‚µÆ“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚î ü㓑— ,‚“‘Èõ –¤¬ ‚“ .¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ ¥‘“ ´ª‘Ú÷ .¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ ‚µÆ“ ⓑ— ,¢¤‘Ú÷üõ ‚µÆ“ ¯‘Ö÷ ‘ú€— Ûõ‘ª Y Àƒ€î ­Âê :´Æƒ÷ ‚µ¨ƒ• ‚î ý¥‘“ ⓑ— (1

.ñ‘·õ 8.2.2

f g

X Àƒ€î ­Âê ,߃€»Þû .Àƒ€î ’‘¿µ÷ Y “ ¤ ‚µÆÆð ýó•— ƒ÷ ø Àª‘“ a; b f :X

!Y

ⓑ— .´¨ üóÞãõ ýó•— ùÂÞû ‚“ üփ֟ ¢Àä ýó•— ý‘Ìê

f (x) =



‚bΓ‘® ‘“ a b



x 0 Âð x < 0 Âð

üþ‘Ìê ¥ ⓑ— Âû .´Æƒ÷ ¥‘“ X ¤¢ f 1 (fag) ,Âþ¥ .´Æƒ÷ ‚µ¨ƒ• üóø ´¨ ¥‘“ .´¨ ¥‘“ ‘fõ ó,‚µÆÆð ýó•— ý‘Ìê ×þ ‚“ ýó•— 29

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ• 2.2

,´Æû ƒ÷ ‚µÆ“ ,„‘“ ¤¢ ùÀõ f : X

!Y

ⓑ— .´Æƒ÷ ‚µ¨ƒ• ‚î ý‚µÆ“ ⓑ— (2 .Àª‘“üÞ÷ ‚µ¨ƒ• üóø

‚“ X ,X = Y = fa; bg ݃€î ­Âê :‚µÆ“ ‚÷ ø ´¨ ¥‘“ ‚÷ ‚î ý‚µ¨ƒ• ⓑ— (3

´ª‘Ú÷ –¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ §ÞÜõ ýó•— ùÂÞû ‚“ Y ø ‚µÆÆð ýó•— ùÂÞû

f g –¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ f;; fag; Y g ýó•—

.´¨ ߃€ f : X

!Y

ü÷‘Þû

X ,X = Y = a; b ݃€î ­Âê :´Æƒ÷ ‚µÆ“ üóø ´¨ ¥‘“ ‚î ý‚µ¨ƒ• ⓑ— (4

ùÂÞû ‚“ Y ø ‚µÆÆð ýó•— ùÂÞû ‚“

.´¨ ߃€ x 7! a ‚bΓ‘® ‘“ f : X

!Y

´“‘™ ´ª‘Ú÷

ùÂÞû ‚“ X = fa; bg ݃€î ­Âê :´Æƒ÷ ¥‘“ üóø ´¨ ‚µÆ“ ‚î ý‚µ¨ƒ• ⓑ— (5

´ª‘Ú÷ –¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ üóÞãõ ýó•— ùÂÞû ‚“ Y = R ø ‚µÆÆð ýó•— .´¨ ߃€ f (b) = 1 ø f (a) = 0 ‚bΓ‘® ‘“ f : X

!Y

–„‘Ÿ ‚bÞû ´¨ ßØÞõ ,݃€î Ǒ‘Öó f “ üµþ¢øÀ½õ Â𐠂î Àû¢üõ ö‘È÷ Âþ¥ ßþÂޗ .À÷ª üÔµ€õ X ýó•— ý‘û‘Ìê ߃“ ‚µ¨ƒ• ü㓑— f : X

!Y

Ýþƒð

.ßþ Âޗ 9.2.2

‘ØŸ ßþ ¥ ×þ Àî ,Àª‘“ üþ¨ø¢ (›) ø ,‘ª• (“) ,׃±Øþ () f Âð .´¨ Y ø F (3) ,ƒ¡ ‚µÆ“ üóø ´¨ ¥‘“ F (2) ,‚µÆ“ ‚÷ ø ´¨ ¥‘“ ‚÷ F (1) :À€µÆû ´¨¤¢

?‚µÆ“ Ýû ø ´¨ ¥‘“ Ýû F (4) ,ƒ¡ ¥‘“ üóø ´¨ ‚µÆ“ ù¢‘¨ ù¢‘ãó ëê Ǘ‘±™ .´¨ ‚µ¨ƒ• ,‚µ¨³þ ⓐ— °ƒî— ,ýÀ㓠Ý؟ §‘¨ “ .´¨

! Y ø ù¢“ ýó•— ý‘û‘Ìê Z ø Y ,X Ýþƒð .‚ƒÌì 10.2.2 ƒ÷ h = g Æ f : X ! Z ‘ú÷ °ƒî— –¤¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ ‚µ¨ƒ• ü㓐— g : Y ! Z øf :X

.´¨ ‚µ¨ƒ• f 1 (g 1 (U )) Áó ø ´¨ ¥‘“ Y ¤¢ g 1 (U ) –¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ ¥‘“ Z ¤¢ U Ýþ ƒð :–‘±™

.(g Æ f ) 1 (U ) = f 1 (g 1 (U )) ‘õ .´¨ ¥‘“ X ¤¢

2

,ö‘ÆØþ) ¥ ¤‘Þû ýó•— ý‘Ìê ø¢ ü—¤¬ ‚ ¤¢ ‚î Àþðüõ ‘õ ‚“ ýÀ㓠ÓþÂ㗠.݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû Ôó ¥ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ ;À÷ªüõ ‚µêÂð (... ø “Â“ ݃Žðüõ ü—¤¬ ¤¢ .À€ª‘“ ýó•— ý‘û‘Ìê Y ø X Ýþƒð ×þ Âû ‚î À÷ª ´ê‘þ g : Y

!X øf :X!Y

.Óþ Â㗠11.2.2

‚bµ¨ƒ• ⓐ— ‚î À€ê¤ õÿÞû Y

ø

X

30

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ• 2.2

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

ßþ ¤¢ .(À÷‚µ¨ƒ• g ø f ø g Æ f = 1Y ø f .À€µÆû Y

ø

X

߃“ üþ‘úÞÆƒê¤ õÿÞû

g

ø

Æ g = 1X ,ü€ãþ) ´¨ ýÂÚþ¢ öø ¤ø  Y ݃Æþ÷üõ ´ó‘Ÿ f ݃Žðüõ ø X =

f : ü㓑— :´¨ ߃€ ,Ýƃ꤁õÿÞû ýÂ“ ñ¢‘ãõ ÓþÂã—

.´ª¢¢‘þ 12.2.2

‚Ø€þ “ ùø…ä ‘úÞƃ꤁õÿõû ,ßþÂ“‘€“ .‚µ¨ƒ• öø ¤ø ‘“ ø üþ¨ø¢ ,‚ƨƒ• X

!Y

–¤¬ ‚“ ƒ÷ ¤ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ,À€€îüõ Âґ€µõ Ýû ‚“ ׃±Øþ –¤¬ ‚“ ¤ ¯‘Ö÷ .À÷¥‘¨üõ Âґ€µõ Ýû ‘“ ׃±Øþ ,ýó•— ý‘û‘Ìê ‚bÞû ‚bþ¢Âð ߃“ ¤¢ ö¢“ ÝƃêÂõÿõû ‚bФ

.‚ƒÌì 13.2.2

ý‘û‚µ¨¢ ‚“ ýó•— ý‘û‘Ìê ‚bÞû §…î ,°ƒ—— ßþ ‚“ .´¨ ý¥ ¤ Ýû ý ‚Ф .¢¢Âðüõ ݃Æ֗ 餁õÿõû ©¢¡ ‚“ ýó•— ý‘Ìê ×þ ¥ ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ ‚î ¢ª ‚›— ´¨ üê‘î :–‘±™ ,Ýƃ꤁õÿõû ø¢ °ƒî— ø ´¨ Ýƃ꤁õÿõû ,Ýƃ꤁õÿõû Âû öø ¤ø ,´¨ Ýƃ꤁õÿõû

2

.´¨ Ýƃ꤁õÿõû Ýþ¤¢ ,ö “ ùø…ä .Ýþ¢¤ø 餁õÿõû ý‘û‘Ìê ¥ üþ‘úó‘·õ 1.1 Ç¿“ ¤¢

d µõ ‘“ M ýµõ ý‘Ìê ¥ ‚ܬ‘Ÿ ýó•— ý‘Ìê X Âð (1

.ñ‘·õ 14.2.2

d0 (x; y ) = d(x; y )=(1 + µõ ‘“ M ýµõ ý‘Ìê ¥ ‚ܬ‘Ÿ ýó•— ý‘Ìê Y ø ù¢“

.À€µÆû 餁õÿõû Y ø X ù‘Ú÷ ,Àª‘“ d(x; y )) ýó•— ý‘Ìê Y ø üóÞãõ ýµõ ýó•— ‘“ Rn ý‘Ìê X Àƒ€î ­Âê (2 餁õÿõû Y ø X ,–¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ d(x; y ) = max jyi

j

xi µõ ¥ Û¬‘Ÿ

ýó•— ‘“ Y = Rn ø üóÞãõ ýó•— ‘“ X = Rn Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .À€µÆû .À€µÆû 餁õÿõû ƒè Y ø X ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆÆð .ßþ Âޗ 15.2.2

f 1 ö ¤¢ ‚î Àþ¤ø‘ƒ“ f : X

!Y

‚µ¨ƒ• ü㓑— ø Y ø X ý‘Ìê ø¢ ¥ üó‘·õ (1 .Àª‘±÷ ‚µ¨ƒ•

‘ú€— ø üµìø Y ø X Àƒ€î ´“‘™ .À€µÆû ýó•— ý‘Ìê Y ø X Àƒ€î ­Âê (2 üþ¨ø¢ „fø ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ f : X ! Y ü㓑— ‚î À€µÆû 餁õÿÞû üµìø ¥‘“ f (U ) ‚î Àª‘“ ¥‘“ üµìø ‘ú€— ø üµìø X ¥ U ‚bäÞ¹õ Âþ¤' ü÷‘™ ¤¢ ø ù¢“ ."Àª‘“ 31

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üÚµ¨ƒ• ø ý ó•— 2 ÛÊê

‘úµª‘Ú÷ üÚµ¨ƒ• 2.2

b¥‘“ ø M ø m ´±·õ ¢Àä b¥‘“ ‚î À€µÆû ö‘€ R2 ‚bäÞ¹õ “ d0 ø d ý‘ûµõ (3 ‘þ¤¢ ‘û y; y 0 2 Y ‚bÞû m d1 (x; y )

 d2 (x; y)  M d1 (x; y)

‘ûµõ ßþ ýƒð¤‘Ø“ ¥ Û¬‘Ÿ ýó•— ý‘Ìê ø¢ –¤¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (.Àþƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ Y ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ :üþ‘Þ€û¤) .À€ê¤õÿÞû ý‘úÞƃ꤁õÿõû ‚bÞû ‚bäÞ¹õ ÂÚÈþ‘Þ÷ G(X ) ø ýó•— üþ‘Ìê X Ýþƒð (4 .´¨ ùø Âð ,ⓑ³— °ƒî— ÛÞä ‘“ ùÂÞû G(X ) Àƒ€î ´“‘™ .´¨ f : X

´“‘™ .Gx (X ) := ff

!X

2 G(X ) j f (x) = xg ý x 2 X Âû ý¥ ‚“ Àƒ€î ­Âê .´¨ G(X ) ¥ üûø Âð Âþ¥ Gx (X ) Àƒ€î

.´Æ÷¢ ýó•— ý‘û‘Ìê ‚bãó‘Îõ ÝÜä ö—üõ ¤ ýó•—

.´ª¢‘þ 16.2.2

.À÷ªüõ ‚µêÂð üØþ ,餁õÿõû ý‘û‘Ìê ,ÝÜä ßþ ¤¢ ‚Ž¤ ¢›õ ý‘û‘Ìê ýø ¤ ¥ ÀþÀ› ý‘û‘Ìê Àƒó— ýÂ“ üþ‘úªø ¤ ,À㓠ÛÊê ¤¢ .¢Þ÷ ݃û¡

32

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

3 ÛÊê ÀþÀ› ýó•— ý‘û‘Ìê Àƒó—

X

“ ¢›õ ý ó•— ¥ .Àª‘“

X

üþ‘Öó ý ó•—

1.3

S

݃€î ­Âê

ý ó•— ý‘Ìê ¥ ý‚䁹õ Âþ ¥

S “

.݃€î ‚ƒú— ݃÷— üõ

ù¢÷‘¡ ¥ –¤‘±ä

X

ý ó•— ý‘Ìê ¥

.´¨

U

:=

S

fU \

X

S “ üþ‘Öó ýó•—

¤¢ üû¿ó¢ ¥‘“ ‚äÞ¹õ

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

X

S

“ ý ó•— ×þ

U

Âð ,ù¡„‘“

S j

2

2 (U J

j

S

.´¨ ÕÜãµõ

\ S)

.À€õ‘÷üõ ƒ÷

U

= ù‘Ú÷

S

\S U

üþ‘Ìê Âþ¥ S

.Ýó 2.1.3

Âð

¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ù¢÷‘¡

S

= X \ S ø ; = ;\ S ö

U2

\S

ø

U1

j 2 Ug

S U

‚“ ,

,Àª‘“

ý ó•—

.´¨ ¥„,Àû¢üõ

݃€î ­Âê ¯Âª ߃õø¢ ýÂ“

S

ö

¬‘€ä ¥ ù¿ó¢ ýù¢÷‘¡ .´¨ ÕÜãµõ

ü±Æ÷

ÛØȓ ý‘û‚äÞ¹õ

\S (U1 \ S ) \ (U2 \ S ) = (U1 \ U2 ) \ S U fU \ S j j 2 J g S U ( 2 )\S

¥ Ìä ø¢

U

U

.Óþ Â㗠1.1.3

‚Ø€þ –‘±™ ýÂ“ ö¢“ ý ó•— ¯Âª ‚¨ Ճֽ— :–‘±™

S

.¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ Ý؟ ߃óø ‘fރֵÆõ ,S ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ ;À€ª‘“

‚î

¤¢ ¥‘“ ý‘û ‚äÞ¹õ ù¢÷‘¡ .¢“ Àû¡

‚Ž¤

U

ý ó•— ×þ

S

X

‚“ ƒ÷

j

J

.Óþ Â㗠3.1.3

¤ üþ‘Öó ý ó•— –‘ìø ü¡Â“

݃Žðüõ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üþ‘Öó ý ó•— ý¤¢

j

¥

S

ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ Âð

33

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

.´¨ ùÂÞû ‚“ (üóÞãõ ý ó•—

‘“)

R

¥

[a; b℄ ‚bäÞ¹õ

X ¥

.ñ‘·õ 4.1.3

Âþ ¥ Âð

ý‘û‚äÞ¹õ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üþ‘Öó ý ó•—

[a; ); (d; b℄; (d; );

a < < b; a < d < b; a d<

 b:



[a; b℄ ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ üÚÞû

,°ƒ—— ßþ ‚“ ‚î ¢ªüõ ‚ÑŸ…õ .¢“ À€û¡ .Àª‘“ ¥‘“

R2

R

¤¢

U

‚î ¢¤À÷ üõø ó ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ¥‘“

ý ó•— ý‘Ìê ¥ üþ‘Öó ý ó•— ‘“

R2

¤¢

S1 ÀŸø ùbÂþ¢

[a; b℄ ¤¢ U

Âð

.ñ‘·õ 5.1.3

1 üþ‘úä‘Þµ›' ¥ À€—¤‘±ä S ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ,üóÞãõ ý ó•— ‘“ 1 1 .À€ª‘“üõ (S ¤¢ üþ‘úµ÷ ¯‘Ö÷ öøÀ“ ý‘ú¨ì ,ü€ãþ) "S ¤¢ ¥‘“ ý‘ú¨ì ¥ –¤ ¬ ‚“ ¤

 Sn := x .݃€îüõ ùÂÞû

Rn+1

2R

n

x2 1

Sn ¢¤À÷‘µ¨ ùbÂî n

+


+ x2+1 = 1

,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢



n

“ üóÞãõ ý ó•— ¥ üþ‘Öó ý ó•— ‘“ ¤ ö ø ݃€îüõ Óþ Âã—

xn+1 = 0 ‚bΓ‘® ‘“ Rn+1 ¥ S ‚bäÞ¹õ Âþ ¥ .ñ‘·õ n+1 (R “ üóÞãõ ý ó•— ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“) üþ‘Öó ý ó•—

.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ,݃€î ùÂÞû

.¢“ Àû¡ é¤ õÿÞû

ùÀ€÷¡ ‚“ ßþ ޗ öä ‚“ ¤ Ý؟ ßþ –‘±™

R

n

6.1.3 ‘“ ¤ ‘“

S

S

Âð

ù‘Ú÷

.Ýþ ¤‘³¨üõ

’ÜÎõ œ ý ¤‘î ‘ú÷ ö¢“ ÝÆƒê¤ õÿÞû –‘±™ ø

Rn

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚“ ßµÆþ ÂÚ÷

f ·õ !´¨ ¤ª¢ ¤‘ƒÆ“ ¢¤õ ýù¤‘• ¤¢ ø .Àƒ€î ‚›— Âþ ¥ ¢¤õ ‚“ ,…

[ ; d℄ ø [a; b℄ ý‘ûù¥‘“

.


ø

a < b ,a; b; ; d

2R

.ñ‘·õ 7.1.3

݃€î ­Âê

¥ ´¨ –¤‘±ä ,À€îüõ –‘±™ ¤ ‘䢐 ßþ ‚î üÞƃêÂõÿÞû .À€ê¤ õÿÞû

f (x) öÀ€ ,´¨ ‚µ¨ƒ• ƒ÷

= + (d

f 1

)(x

ø ´¨ ‚µ¨ƒ•

a)=(b f

R

 R3

¤¢

a)

,´¨ ÂþÁ³¨Øãõ

f

‚Ø€þ ö¢¢ ö‘È÷

ƒ÷ (7)-17.1.3 ßþ Âޗ ‚“ .´¨ ùÀ€÷¡ ù b Àúä “ ßþ Âޗ ö€ä ‚“ ø) ´Æƒ÷ ¤ª¢ .Âƒè „ ø ,݃€î ÍƱ€õ ‘þ ø ù¢ÂÈê ¤ ý‘ûù¥‘“ ´¨ üê‘î ,ý¢úª ÂÑ÷ ¥ .(¢¢Â𠂛—

34

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

À€ê¤ õÿÞû Ûت ø¢ ßþ

.ñ‘·õ 8.1.3

‚“ ý‚ƒŸ‘÷ ¥ Âõ ,ü€ãþ) Àþ ƒړ ÂÑ÷¤¢ ¤ ­ø ÂÔõ üä±õ ø ùÂþ¢ ¤ ùÂþ¢ ¥

xi+1

‘—

xi

:1.3 Ûت

ù b ¥‘“ À÷—üõ ‚î üµª‘Ú÷ .¢ª ‚›— 1.3 Ûت ‚“ ;(ⓠÂõ Ûت

Âð .¢“ Àû¡ ⓠÂõ ‚“ ùÂþ¢ ¥ üÞÆƒê¤ õÿÞû ,¢¤‘Ú€“ ⓠÂõ ¥

yi+1

f(x; y) j "x = 1 ; 1  y  1' ‘þ " 1  x  ø ùÂþ¢ f(x; y) j

yi ¥ âÜ® ‚“ 2 x + y2 = 1

‘—

g ¥ À€—¤‘±ä ÂÑ÷ ¢¤ õ ý‘úÞƃêÂõÿÞû ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ⓠÂõ 1 ; y = 1'g

ùÂþ¢

(x; y)

! 7!

ⓠÂõ

; m x

y

ⓠÂõ




(x; y)

m

¤ Ñ€õ ßþ ýÂ“ ,ý¢úª ÂÑ÷ ¥ .r

=

p

x2

! 7!

ùÂþ¢ x

r

;

y




r

+ y2 ø m = maxfjxj; jyjg ‘ú÷ ¤¢ ‚î

.¢¢Âð ÛþÀ±— ⓠÂõ ‚“ ‘— ,݃€î Û¡ ø ¸î ¤ ùÂþ¢ ´¨ üê‘î

ø¢ ö –¤ ¬ ßþ ¤¢ .݃ª‘“ ‚µª¢ (R

2

‘þ)

R3

¥ ‘Ìê Âþ ¥ ø¢ Âð ,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢

¯‘Ö÷ öÀ÷‘±Æ öøÀ“ ø ö¢Âî ¸î ,ö¢Âî âޟ ,öÀƒÈî ‘“ öµ“ ‚î À€ê¤ õÿû üó‘Ÿ ¤¢ üóø ,´¨ ý¢úª ´ª¢Â“ ´þ ,‚µ±ó .¢Þ÷ ÛþÀ±— ý ÂÚþ¢ ‚“ ¤ üØþ ,©Â“ ¢‘¹þ ‘þ ø .¢¢ ¼ƒ®— ¢¡ Ûت ßþ Â—Õƒì¢ ‚“ ¤ –‘ƒÜÞä ‚ b Þû ¢ªüõ üê‘î ü㨠‘“

ü›¤‘¡ ¼Î¨ ‘“ (ö ¤¢  ¤ ¨ á÷) ¢‘÷ø¢ ׃î ü›¤‘¡ ¼Î¨

.ñ‘·õ 9.1.3

-3.2 ý‘úÜت ¤¢ .¢ª ‚›— 2.3 Ûت ‚“ ;´¨ é¤ õÿÞû (¤¢ ‚µ¨¢) ý‘ öƒó ¼ƒ®— ýÂ“ .´¨ ùÀª ù¢¤ ø é¤ õÿÞû ý‘û‘Ìê ¥ üþ‘û‚÷Þ÷ (¢)-3.2 ø (Óó) ¤¢ Àþ‘“ ¤ (š)-3.2 ø (’)-3.2 ý‘úÜت ¤¢ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ ü÷‘ƒõ –„‘Ÿ ‚µÔð ßþ .Àþ ƒړ ÂÑ÷

35

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

À€ê¤ õÿÞû ö‘»€ê ø ’ƒ— ¼Î¨

:2.3 Ûت

À€ê¤ õÿÞû (¢) ø (Óó) ý‘úÜت

:3.3 Ûت

‚“ ,¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ ö—üõ Ûþ‘Æõ ‚÷ð ßþ ü¨¤ “ ýÂ“ ö ¥ ‚î üõ‘ØŸ ¥ üØþ .´¨ Âþ ¥ žÂª

x

‚“

p

2

2

Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

h

.À€ê¤ õÿÞû ƒ÷

Y

X ø ´¨

fxg X

j

¥ üµª‘Ú÷ ‚î ,h

¤¢

X

fxg

X

fg =

p

x

ýµŸ ´ª‘Ú÷

I

:

= Y fh(x)g

X

ÆhÆI

Âð ø

X

.‚ƒÌì 10.1.3

fxg

ý‘û‘Ìê ý

ÀþÀ½— ¥ ´¨ üê‘î

‘¹€þ ¤¢ .¢ª ù¢‘Ôµ¨ ,´¨

.Y

fh(x)g

ýø ¤ ‚“

Y

Y

X

:–‘±™

fh(x)g

¥ ÂþÊ— ´ª‘Ú÷

36

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

.¢¢ ݃Þ㗠¢ªüõ ƒ÷ ¯‘Ö÷ ¥ üû‘€µõ ý¢À㗠´ó‘Ÿ ‚“ ¤ ‚ƒÌì ßþ

f ¬ Àþ‘ª ý‘û‘Ìê Âþ ¥ ‚÷Ú ‚î ¢Þ÷ ‚ƒ›— öµ÷ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ … ݃€î ­Âê Â𐠐Âþ ¥ .¢¤¢ ´ƒãìø ‚î üó‘Ÿ ¤¢ !À€µÆƒ÷ é¤ õÿÞû ø

(0; 1℄ = [0; 1℄

f0g

Àþ‘“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,h

‚¤‘³Øþ üóø ‚î üó‘Ÿ ¤¢ .À€ª‘“ é¤ õÿÞû

.ñ‘·õ 11.1.3

R

¥

(0; 1) ø [0; 1℄

: [0; 1℄  = (0; 1) À€ê¤ ÿÞû ø¢ ßþ

(0; 1)

h(0)

= (0; h(0)) [ (h(0); 1)

ý‘û‘Ìê ‚î ¢Þ÷ ñ±ì ö—üõ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ ž®ø ‚“ ,‘õ !‚¤‘• ø¢ üõø¢ ø ´¨ ‘ú÷ ö¢Þ÷ éÂõÿÞû ýÂ“ ‚î Â .À€ª‘“ é¤ õÿÞû À€÷—üÞ÷ ‚¤‘• ø¢ ø ‚¤‘³Øþ .¢ªüõ ö‘ƒ“ ý Â—Õƒì¢ Ûت ‚“ ùÀþ ßþ 3.3 Ç¿“ ¤¢ !´¨ öÀ÷‘±Æ ‚“ ¥‘ƒ÷

.ö¢“ éÂõÿÞû «Ê¡ ¤¢ ý¢úª –‘€þ Âޗ 12.1.3

ý‘û‘Ìê Âþ ¥

:Àƒ€î ݃Æ֗ é¤ õÿÞû ý‘û‚µ¨¢ ‚“ ¤ 4.3 Ûت ¤¢ ùÀõ (R

2

ø)

R3

4.3 Ûت

Ûت ¤¢

R3

¤¢ ù¢¤ ¡ùÂð ù b Âþ¢ ×þ ‚“ ƒ÷ ø ùÂþ¢ ×þ ‚“ Âð

.ñ‘·õ 13.1.3

.݃ûÀ“ ‚Ž¤‘Ìê Âþ ¥ ø¢ ö ö‘ƒõ ÝÆƒê¤ õƒÞû ×þ Àƒ÷— üõ üð¢‘Æ“ ,݃€î ù‘Ú÷ ,5.3 ø ݃€î üõ ݃Æ֗ ,´ÞÆì ‚÷ „‘·õ ,ü—‘ãÎì ‚“ ¤ ×þ Âû Àµ“ :´¨ ߃€ ¤‘î ù b Àþ .Ýþ ¤‘Ú÷üõ ù¢¤ ¡ ùø Âð ùÂþ¢ ¥

yi+1

‘—

yi

ù b ¥‘“ ‚“ ¤ ùÂþ¢ ¥

xi+1

‘—

xi

ù b ¥‘“ ű¨

,Àª‘“ ùÀÈ÷ ‚µ¡‘¨ í¥‘÷ ¤÷ ¥ ‚î ݃ª‘“ ‚µª¢ ù¢¤ ¡ ùÂð ù b Âþ¢ ×þ ‚î ü—¤ ¬ ¤¢ ù¢ÂÈê ø ÇÞ¡ ,ÇÈî ‘“ ´¨ ñ‘½õ ,À€î Ճֽ— À÷µƒõ ùÀ€÷¡ üð¢‘Æ“ ‚Øþ ¤ Î÷‘Þû ,üóø .Àƒ¨¤ ù¢¤ ¡ ùÂð ùÂþ¢ ýø ¤ ¥ –‘ãÎì ö¢Âî Ûʵõ ‘þ ø ö¢¢ ©Â“ öøÀ“ ø ö¢Âî ´¨¢ ø ,݃€î ¥‘“ Â÷ ùÂð ų¨ ,݃€Ø“ ¢‘¹þ ù¢¤ ¡ ùÂð ùÂþ¢ • ´ìõ ©Â“ ×þ Â𐠒‘¹õ ¤ ‘õ ¶½“ ßþ .Àƒ¨¤ ݃û¡ ùÂþ¢ ‚“ ,݃€î Ûʵõ Ýú“ ¤ ´Æ¿÷ ý¨ ø¢ ¡ ´ìõ ©Â“ ,R

3

¤¢ ý‘û‘Ìê Âþ ¥ ö¢“ é¤ õƒÞû ¥ ö‘õ ý¢úª úÔõ ¤¢ ‘— À€îüõ

37

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

,݃€î üõ ¢‘¹þ ´ìõ ©Â“ ×þ Àµ“ ‚î ´¨ ߃€ üÜî ùÀþ

.݃÷À“ þ‘› ƒ÷ ¤

‘þ ø ݃€îüõ ù¢ÂÈê ‘þ ø ݃Èîüõ ,ü€ãþ) ݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ °¨‘€õ ÝÆƒê¤ õƒÞû ų¨ ø ñø ý‘û‘Ìê ö.ßî ,݃€îüõ Ûʵõ Ýú“ ¤ ñø ©Â“ ¥ ý‘úµ÷ ø¢ ù‘Ú÷ ø ( Ç¿“ ¤¢ ‚î üµÞÆì œ ¤‘¡ ý‘Ìê úÔõ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ¤ ùÀþ ßþ

...

.À€ê¤ õƒÞ¡ ¡

‚›— 5.5 ‚ b ƒÌì ‚“ «Ê¿“ ,¢¢ ¼ƒ®— Ûت ßþ Â—Õƒì¢ ‚“ ¢ªüõ Àõ Àû¡ 2.3 .Àƒ€î

ù¢¤ ¡ ùÂð ù b Âþ¢ ø ùÂþ¢ ö¢“ é¤ õÿÞû

:5.3 Ûت

?À€ê¤ õÿÞû ¼Î¨ ø¢ ßþ ‘þ

:6.3 Ûت

Âþ ¥ ‚î 6.3 Ûت ¤¢ ùÀª ù¢¢ ý‘Ìê ø¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.ßþ Âޗ 14.1.3

’‘— ¤÷ ‚¨ ßµ¡ø¢ ‘“ ‘Ìê Âþ ¥ ߃óø .À€ª‘“üõ é¤ õƒÞû ,À€µÆû

R3

¥ üþ‘û‘Ìê

Ýú“ ¥ ‘Ìê Âþ ¥ ߃õø¢ .´¨ ùÀª Û¬‘Ÿ Áè‘î Ûت ýùÂþ¢ ‚ b ؗ ø¢ ‘“ ýÁè‘î ù b ¢¤ ¡ ‘› ø¢ ¤¢ ¤ üóø :üþ‘€Þû¤) .´¨ ùÀª Û¬‘Ÿ ÂÚþÀØþ ‚“ À€Ü“ ýÁè‘î ¤÷ ø¢ ßµ¡ø¢ ù‘Ú÷ ø ,Àƒ€î ¥‘“ ¤ ö‘È“‘— ų¨ ø ,ù¢¤ ¡ ’‘— ý‘û¤÷ ¥ ‘— ø¢ ¤¢ …·õ ,Àƒû¢ ©Â“ (.Àƒ÷‘±Æ»“ ö‘ª¢¡ ý‘›

38

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

X

üõø ó ù‘Ú÷ ,Àª‘“ Âû ,Àª‘“ ¥‘“

X

S

¤¢

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

S

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

f ±ì Â𐠂î ݃µÔð …

Âð ,‘õ .À€ª‘“ ¥‘“ ƒ÷

X

¤¢ ,S ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚î ¢¤À÷

X

.´¨ ¥‘“ ƒ÷

‚“ ´±Æ÷

S

¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ,Àª‘“ ¥‘“

X

¤¢

S

S

¤¢ ,S ¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

.Ýó 16.1.3

Âð (1

X

.´¨ ¥‘“ ƒ÷ ,S “ üþ‘Öó ý ó•— ‚“ ´±Æ÷

.´ª¢¢‘þ 15.1.3

¤¢ ,S “ üþ‘Öó ý ó•—

X

¤¢ ‚µÆ“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ,Àª‘“ ¥‘“

¤¢

S

Âð (2

.´¨ ‚µÆ“ ƒ÷

X

¤¢

(1) ‘ú€— ´¨ üê‘î ,´¨ üØþ ǃ“‘Þî ,À€µÆû ‚ƒ±ª (2) ø (1) –‘±™ ö :–‘±™ Óþ Â㗠‚“‘€“ .S ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ø ,¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ íÂµª

U

=V

2

U

\S

X

ø Àª‘“ ¥‘“

S

¤¢

‚¹ƒµ÷ ¤¢ .´¨ ¥‘“

݃€î ­Âê .݃€î –‘±™ ¤

X

¤¢

V

‚î ,U

.´¨ ¥‘“

=V X

\S

¤¢ Áó

.ßþ Âޗ 17.1.3 ßþ ¤¢ ,Àª‘“

Y

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

Z

ø ù¢“

X

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ .´¨

X

Y

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

Z

–¤ ¬

.´¨ ÂþÁ• µõ ,ý µõ ý‘Ìê ×þ ¥ ý‘Êê Âþ ¥ Âû Àƒ€î ´“‘™ (2

1 : S ! ýµŸ ´ª‘Ú÷ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.Àª‘“

S

ý¤¢ ,ü€ãþ) ý ó•—

1

.Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ• .

1 :

S

S

!

X

‚“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ý

S

ø

S

S

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

ͨ—

Àƒ€î ­Âê (3

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ,ùø…ã“ .´¨ ‚µ¨ƒ•

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,S ,ý ó•— üþ‘Ìê

X

“ ýý ó•— Àƒ€î ­Âê .Àª‘“

f :Y

S

!S

´ª‘Ú÷ Âû ø

f :Y

S

!S ,

Y

S

Àƒ€î ­Âê (4

ýµŸ ´ª‘Ú÷

­ø ÂÔõ ý ó•— ý‘Ìê Âû ý¥

´¨ ‚µ¨ƒ•

“ üþ‘Öó ý ó•—

¤¢

S

ö‘Þû

S

1

Æf :Y !X

S

“ ý ó•—

‚î Àƒ€î ´“‘™ .´¨

‘“ ¤

X

¤¢

Àƒ€î ´“‘™

A

¤‘µÆ“

.Àª‘“

.݃û¢üõ ö‘È÷

Y

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

Cl (A) Y

¢‘Þ÷ ‘“ ¤

A Y

ø

X

¤¢

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

A

Cl (A) 6= Cl (A) üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.

Y

X

ýµŸ ´ª‘Ú÷ ‚î ý ¤ Ï ‚“ ,´¨ (¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ÛìÀŸ

X

´¨ ‚µ¨ƒ• “ ý ó•—

ßþ µԃã®

X

X

Y

X

Ýþ ƒð (5

Cl (A) ¢‘Þ÷ .Cl (A)  Cl (A)

¤‘µÆ“ ø Y

X

X

39

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

´¨ é¤ õÿÞû ù¢‘Ôµ¨

R

üþ‘Öó ý ó•— 1.3

¢¡ ‘“ ,R ¥ ©üþ‘Öó ý ó•—

7! tan(( x + d))

d ø °¨‘€õ ’‘¿µ÷ ‘“ ,x

‘“

(a; b) ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

(6

ƒÑ÷ ü㓑— ¥ :üþ‘Þ€û¤) .(Àƒ€î

Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ ƒ÷

f

j

S

X

¥ üþ‘ÌêÂþ ¥

! f (S )

:S

S

ø ý ó•— ý‘Ìê ø¢

´ª‘Ú÷ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f

Y

ø

X

:X

Àƒ€î ­Âê (7

!Y

Â𐠂î

.´¨ ‚µ¨ƒ•

.À€ê¤ õÿÞû ,üóÞãõ ý ó•— ‘“

R

¥

(0; 1) ø (1; 1) ý‘û‘Ìê Âþ ¥ Àƒû¢ ö‘È÷ (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨

‚“

Rn

'

:

‘“ ,R

Sn

+1

n

¥ üþ‘Öó ý ó•— ùÂÞû ‚“

Sn

x

7! 1=x

(8

¥ :üþ‘Þ€û¤)

f(0;


; 0; 1)g

Àƒ€î ´“‘™ (9

´ª‘Ú÷ :üþ‘Þ€û¤) .´¨ é¤ õÿÞû ©üóÞãõ ý ó•—

ùÂÞû

f(0;


; 0; 1)g ! R
1 x1 ;


; x '(x1 ;


; x +1 ) = 1 x +1 : R ! S f(0;


; 0; 1)g ø ù¢Þ÷ Óþ Â㗠‚ b Γ‘® ‘“ ¤
1 2x1 ;


; 2x ; kxk2 1 (x1 ;


; x ) = 2 1 + kxk n

‚ b Γ‘® ‘“ ¤

n

n

n

n

n

n

n

(.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢

ý ó•—

f (x)

=

‘“

Rn+1

kk

x= x

¥ üþ‘Öó ý ó•—

‚ b Γ‘® ‘“

f

:

R

+1

n

ý¤¢

!

S

n

Sn

ø

Rn+1

f0g

‚î Àƒ€î ´“‘™

Àƒ€î ­Âê

(10

.À€µÆû üóÞãõ

.´¨ ‚µ¨ƒ• ü㓑—

40

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

´ª‘Ú÷ ×þ ø

S

ý ó•—

X

ý ó•—

ý‘Ìê ×þ ,S ‚äÞ¹õ ×þ áø ª ¤¢ ,Û±ì Ç¿“ ¤¢

X

“ ݃÷µ“ ‘— ¢¢ ö‘Øõ ‘Þ“ ¤‘î ßþ .݃µêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ¤

‚“

S

ù¿ó¢ ý‚äÞ¹õ ,X ý ó•— üþ‘Ìê Ç¿“ ßþ ¤¢ .üþ‘Öó ý ó•— “ ý ó•—

Óþ Â㗠ö‘Øõ Âõ ßþ .Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ .݃õ‘÷üõ

X

f

ý ó•— ý‘Ìê ¥ ‘ª• üµª‘Ú÷

¥ ´¨ –¤‘±ä

:X

üþ‘Öó

!Y

f ‚“ ´±Æ÷ Y “ üµÞÆì š¤‘¡ :

U

f

Y

Y

ý ó•—

f

Y

¤ ßþ .Àû¢üõ ¤

Y

1)

\f

g

1 (U )

‚ b äÞ¹õ ýø “

ý‘û‚äÞ¹õ ù b ¢÷‘¡

U

.Ýó 2.2.3

f

­ø ÂÔõ ´ª‘Ú÷ ,Y “ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

1 (U ); 2

f 1

[ j

2

Uj



ž®ø ‚“ :–‘±™

f

[

=

J

2

j

2

f 1 (Uj ):

J

.´¨ üúþÀ“

RP n

:= ff

 : Sn ‘“

Y

.´¨

;; Y 2 U

1 (U

:݃û¢ ¤Âì

¥ ‘ª• üµª‘Ú÷ ø

Âþ ¥ ;À÷¤Âì“ ƒ÷ ÂÚþ¢ ¯Âª ø¢ .

\ U2 ) = f



!

gjx 2

x; x

ͨ— ö—üõ ¤

RP n

üփ֟ ýÂþÊ— ý‘Ìê n

n

.üփ֟ ý ÂþÊ— ý‘Ìê

Àƒ€î ­Âê

Sn ¤¢

´ª‘Ú÷ ž®ø ‚“ .Àª‘“

¥ ׃±Øþ

.Óþ Â㗠1.2.3

Àƒ€î ­Âê

“ ý ó•— ×þ ۃØȗ

.´¨ ‚µ¨ƒ•

X

‚“

ý ó•—

:= fU j ´¨ ¥‘“ X ¤¢ f

’‘¿µ÷ ¥ ŕ ,ùø…ã“ .Àû¢üõ

f 1 (U1

2.3

‚ b äÞ¹õ

f

üÚµ¨ƒ•

:ñ‘·õ 3.2.3

g

Sn

¯‘Ö÷ ¥ °—Âõ‘÷ ý‘ú›ø ¥ ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ

.¢¤¢ ¢›ø

¤ Û¬‘Ÿ ý‘Ìê

x

7! f

g

x; x

‚ b Γ‘® ‘“

RP n

.¢Þ÷ ƒú¹— üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— .À€õ‘÷üõ

‘Ìê ¥ Âþ ¥ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

C

= f(x; y; z ) 2 R3 j x2 + y2 = 1 ; jz j  1g

.(´¨ ‘Ìê ¤¢ ÂþÀµÆõ ý‚÷µ¨

M

=

,ü€ãþ ,Àª‘“

.§ƒ“õ ¤÷ :ñ‘·õ 4.2.3

C

¥

f

C)

g

p; p

݃÷—üõ ,¢¤¢ ¢›ø üãƒ±Ï ¤ Î“

M

Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

R3

¥ üþ‘Öó ý ó•—

ÛØȓ °—Âõ‘÷ ý‘ú›ø ¥ ‚ b äÞ¹õ ‚“

C

ff

¥ üþ‘ª• ´ª‘Ú÷ ,ö .

M

‘“

Àƒ€î ­Âê

g j p 2 Cg

p; p

41

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

§ƒ“õ ¤÷

,‚¹ƒµ÷ .݃€î ùÂÞû ´ª‘Ú÷ ö ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ‘“ ¤ ‚ b Γ‘® ‘“

f .´¨ ¼®ø ‘“

M

f

âìø ¤¢

g 7!

p; p



(x2

y 2 )(2 + xz ); 2xy (2 + xz ); yz

ö¢“ ׃±Øþ Ճֽ— .p

= (x; y; z ) 2 C  R3

.´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ 7.3 Ûت ¤¢

f (M )

.ÝþùÀƒÈ¿“ üþ‘·ó ý ó•—

f

´½—



(x2

‚Ø€þ .¢Þ÷ š‘µ€µ¨ ¤

f

ⓑ— .¢¤¢ ‘÷

‚î ,Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

M

ý‘Ìê

F : R3

f (M )

ù b ¤‘Ú÷



f (M ) R3 R3 Âð ,Âþ ¥

!

y 2 )(2 + xz ); 2xy (2 + xz ); yz

š¤‘¡ ý‘úµª‘Ú÷ ‘ä ´ƒ¬‘¡ ¥ ý ƒð ùÂú“ ‘“ ø ¢“ Àû¡ ‚µ¨ƒ•

f 1

M



‚“ ‘¹€þ ¤¢ ‚î ,´¨ é¤ õÿÞû –¤ ¬ ‚“ ¤

F (x; y; z ) =

!

f :M

R3



F

,݃€î Óþ Âã—

üÚµ¨ƒ• ö—üõ (Âþ ¥ ¤¢ žø ÂÈõ 7.2.3 ‚ƒÌì) üµÞÆì

f Þä ¤ Ý؟ ßþ ;¢ªüõ ‚µªÁð ùÀ€÷¡ ùÀúä “ ßþ Âޗ ö€ä ‚“ ,´¨ ‚µ¨ƒ• ü܃¡ … b .´êÂ𠂹ƒµ÷ ö—üõ ýÀ㓠ǿ“ ¤¢ žÂÎõ ©ø ¤ ‘“ ,—ù¢‘¨

7.3 Ûت

ö ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

A

ø ý ó•—

üþ‘Ìê

X

Àƒ€î ­Âê

.Óþ Â㗠5.2.3

fx; x0 g 2 A ‘þ x = x0 Â𐠑ú€— ø Âð x  x0 ' Óþ Â㗠‘“ ý¥ ¤Ýû ‚bФ  Ýþ ƒð Àª‘“

"

íø  ‚ÎÖ÷ ×þ ‘ú€— ‚“ ¤

A

ö ¤¢ ‚î ´¨

¤¢ A ö¢Þ÷ íø  ¥ Û¬‘Ÿ ý‘Ìê ‘ª• ‚î ,

:X

R

ö‘Þû

ø ù¢¢ ö‘È÷

Y

X=A

,ý¢úª ÂÑ÷ ¥) ´¨ ¢‘Þ÷ ‘“ ¤

X=



! X=A üãƒ±Ï ÂþÊ— ´ª‘Ú÷ ͨ— ö—üõ ¼®ø ‚“ .¢¢ ¤Âì

ø ´¨

X

¥ üþ‘Öó ý ó•—

‘“

X

X=A

= [0; 1℄

— üÜî .´¨ é¤ õÿÞû

X

“

.(Ýþù¢Þ÷

.݃õ‘÷üõ

X

“ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ,´¨

Àƒ€î ­Âê (1

S1 ‘“ X=A

.ñ‘·õ 6.2.3

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .A

= f0; 1g

42

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

Ýþ ƒð

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

Rn ý‘Ìê ¤¢ ýÀ㓠n ×Æþ¢ D n Ýþ ƒð (2 D n =S n 1 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,´¨ X ×Æþ¢ ‚±ó A = Sn 1

.´¨ üþ‘Öó ý ó•—

é¤ õÿÞû

Sn

‘“

X=A

=

‘“

b

.´¨

.݃€î žÂÎõ ¤

üµÞÆì š¤‘¡ ý‘úµª‘Ú÷ ‘ä ´ƒ¬‘¡

š¤‘¡ ý ó•— ý¤¢ ý‘Ìê ‚“

Y

¥

:Y

g

Y

ø ‘ª• üµª‘Ú÷

!Z

Æf

V

°ƒî— ,Àª‘“ ‚µ¨ƒ• ƒ÷

g

g

Æf g

X

f

¥

‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì

‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø ‘ú€— ø üµìø

Æf

,ñ¢‘ãõ ö‘ƒ“ ‚“ .´¨ ¥‘“

!Y

:X

f

Z

ý ó•—

ⓑ— :–‘±™

Àƒ€î ­Âê ,ÅØãó‘“ .¢“ Àû¡ ‚µ¨ƒ• Ýû

X

¤¢

(g Æ f ) 1 (V ) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ¥‘“ Z

‚î ¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ßþ ¥ ,Y “ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

2

.‚ƒÌì 7.2.3

Ýþ ƒð

Âð ,ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ‚µ¨ƒ•

Âð ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

f 1 (g 1 (V ))

!Y

X

´ª‘Ú÷ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨

.Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

g

:

f

‚î ´¨ ö ´ìø ö€î

.Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ•

g

Óþ Â㗠‚“‘€“ .´¨ ¥‘“

ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ¥‘“

Y

¤¢

X

¤¢ ¤¢

g 1 (V )

.ßþ Âޗ 8.2.3

!

f

:

f

ö ‚ b ؐø ‚“ ‚î ¢¤¢ ¤ ü€ØÞõ ý ó•—

X

Y

ⓑ— ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

Y

‘“ ùÂÞû

ßþ —ýì

Y

Àƒ€î ­Âê (1

Àƒ€î ´“‘™

.´¨

.´¨ ‚µ¨ƒ•

f

!

:

X Y ⓑ— ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ‘“ ùÂÞû Y Àƒ€î 1 f (A) ‚î ´¨ ‚µÆ“ üµìø ‘ú€— ø üµìø Y ¥ A ‚bäÞ¹õ Âþ ¥ Àƒû¢ ö‘È÷

­Âê (2 .´¨

.Àª‘“ ‚µÆ“

f (t)

= os(2t); sin(2t)

‘fփì¢

f

S1

‚“ ´±Æ÷

“

U

f

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ,ü€ãþ) ´¨




f

‚ b Γ‘® ‘“

:

!

R

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

S1

“

R2

¥

U

S1



Àƒ€î ´“‘™

üþ‘Öó ý ó•—

(U

.(

g

‘ª• ƒ÷ ‘“

Z

Z

:

Y

“ ø

!Z f

ø

f

:

X

!Y

ø ù¢“ ý ó•—

‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

“ ý ó•—

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µª¢ ¤Âì

.´¨ üØþ

g

g

Æf : X !Z

R2

Y

ý‘Ìê

f

Àƒ€î ­Âê (3

.¢ª Óþ Âã—

ö‘Þû ¥ –¤‘±ä

; S1)

Z

ø

 = (S1; U )

Y ,X

Ýþ ƒð (4

“ Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .À€ª‘“

‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

43

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

.À€ê¤ õÿÞû :´¨ ׃±Øþ ø ‚µ¨ƒ• Âþ ¥ ‚ b Γ‘® ‘“

f

Ýþ ƒð

U

Àƒ€î ­Âê

Y)

.´¨

´¨ ‚µ¨ƒ•

f

:

!

f

X

‚“ ´±Æ÷

:X!Y

Y

Y

ø ù¢“ ý ó•—

Y

f

f

.

f

ø Àª‘“

.(¢¤¢

U

f

!Y

f

:

‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ý¤¢

Y

Ýþ ƒð .Àª‘“

X

ý ó•—

U

f

ý ó•—

(Y; U ) ø

) ´¨ ßØÞõ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘±÷

ý‘Ìê ¥ ‘ª• üµª‘Ú÷

‚ b äÞ¹õ ýø “

A

ÂÚÈþ‘Þ÷

Âð Àû¢ ö‘È÷ ‚î Àƒ€î ‚Ž¤ üó‘·õ ,ùø…ã“ .À€ê¤ õÿÞû

(Y; U ) 6 = (Y; U

Ýþ ƒð (7

“ ù¿ó¢ ý ó•— ×þ

(Y; U ) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“ ‘þ ¥‘“ f ´ª‘Ú÷ Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ ‚µÆ“ ‘þ ¥‘“

X

ý‘Ìê

“ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

‚î ý‚÷ð ‚“ ,Àª‘“

Àƒ€î ´“‘™ (5

ⓑ— ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (6


x2 2 ; x1 x2 ; x1 x3 ; x2 x3

g 7! f

! R4

x2 1

x; x

.Àª‘“ ‘ª• üµª‘Ú÷

f : RP 2

S1 ø RP 1

X

Àƒ€î ­Âê (8

Y

ù¿ó¢

= f (A)  Y “ Y ¥ üþ‘Öó ý ó•— ÂÚÈþ‘Þ÷ U1 Ýþ ƒð .X ¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ .Àª‘“ B “ f j : A ! B ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ÂÚÈþ‘Þ÷ U2 ø Àª‘“

B

A

U 1  U2 f : R ! S1

´ó‘Ÿ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ üó‘·õ Âî£ ‘“ . ¤

f (t)

ƒ÷ ø

X

= exp(2ti) ‚bΓ‘® ‘“ ¥ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

f

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ¥‘“ üµª‘Ú÷

ƒ÷ ø

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

U1 6= U2

ⓑ— :üþ‘Þ€û¤) .

A X

üÜî

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ ߃€»Þû (.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

A

‘þ ø ‚µÆ“ üµª‘Ú÷

f

U1 = U 2

.

ø ý ó•— ¢‘Þ÷ ‘“ ¤

x

üþ‘Ìê

.ý ƒðüØþ

݃€î ­Âê

2 X Ûõ‘ª ý¥ ¤Ýû ‚bµ¨¢ X=  

ø ;݃û¢ ö‘È÷ ×þ ¢ªüõ

ýó•—

X

¢‘Þ÷ ‘“ ¤



¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“

ýó•—

:ñ‘·õ 9.2.3

݃€î ­Âê .Àª‘“ ö “ ý¥ ¤Ýû ý‚Ф

ý¥ ¤Ýû ý‘û‚µ¨¢ ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ ø ù¢¢ ö‘È÷

x

.´¨

7! [x℄

¤ ý ó•— ßþ °Üè .¢Þ÷ ‚ƒú—

üãƒ±Ï ý‘ª• ⓑ—

X

¥

X= sin “



:

y

Â𐠑ú€— ø Âð

x

y

ý¥ ¤Ýû Âð ,°ƒ—— ߃Þû ‚“ .´¨ .݃¨¤üõ

' –¤ ¬ ‚“

RP

C=



n

Sn “

¤

ö‘Þû ž®ø ‚“



üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

Âð

Sn=

[x℄

! X= 

X

.À€õ‘÷üõ Óþ Â㗠"





ýƒðüØþ

.ñ‘·õ 10.2.3 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,݃€î

§ƒ“õ ¤÷ ‚“ ,Ýþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢

C

“ ¤ ¤ îÁõ

44

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

‘“

R2

¤¢

X

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

= f(x; y) j 0  x; y  1g Àƒ€î ­Âê

(x; y)  (x0 ; y0 )

,

–¤ ¬ ‚“

X

“ ¤



.‚÷µ¨ :ñ‘·õ 11.2.3

‚ b Ф ø ´¨

R3

¥ üþ‘Öó ý ó•—

0 0 0 0 " (x; y ) = (x ; y )‘þ fx; x g = f0; 1g ø y = y '

,„‘“ žÂª ‚“ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

ùÂÞû ‚“

X=



–¤ ¬ ßþ ¤¢

.݃€î Óþ Âã—

f Þä ¤¢ ö‘؃• ´õ…ä .¢ª ‚›— (Óó)-8.3 Ûت ‚“ .´¨ é¤ õÿÞû ‚÷µ¨ ‘“ … .Àû¢üõ ö‘È÷ ¤ ‘ú÷ üú÷ Ýû “ ý¢úª ©ø ¤ ,¤ îÁõ Ûت éÂÏ ø¢

8.3 Ûت

X ‚“

= Àƒ€î ­Âê ,Û±ì ñ‘·õ ‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“ X

“ ¤

.§ƒ“õ ¤÷ :ñ‘·õ 12.2.3

 ‚bФ ø ´¨ R3 ¥ üþ‘Öó ý ó•—

‘“

R2

f(x; y) j 0  x; y  1g

¤¢

–¤ ¬

(x; y)  (x0 ; y0 )

, " (x; y) = (x0 ; y0) ‘þ fx; x0 g = f0; 1g ø y = 1 y0 ' ,„‘“ žÂª ‚“ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ùÂÞû ‚“ X=  –¤ ¬ ßþ ¤¢ .݃€î Óþ Â㗠f Þä ßþ –‘±™ ‚µ±ó .¢ª ‚›— (’)-8.3 Ûت ‚“ .´¨ é¤ õÿÞû §ƒ“õ ¤÷ ‘“ … f ãê Âõ .´¨ üúþÀ“ ý¢úª –¤ ¬ ‚“ üóø ;´¨ ý ¤ª¢ ¤‘î …

X

= f(x; y) j 0  Àƒ€î ­Âê ,Û±ì ñ‘·õ ‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“

.’ƒ— :ñ‘·õ 13.2.3

 ‚bФ ø ´¨ ¥ üþ‘Öó ý ó•— 2 fx; x0 g = f0; 1g ; y = y0 0 0 4 fy; y0g = f0; 1g ; x = x0 (x; y)  (x ; y ) ,

–¤ ¬ ‚“

X

R3

“ ¤

‘“

R2

¤¢

x; y

 1g

0 < x = x0 < 1; 0 < y = y0 < 1

,„‘“ žÂª ‚“ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

ùÂÞû ‚“

X=

 –¤ ¬ ßþ ¤¢

.݃€î Óþ Âã—

f Þä -9.3 Ûت ‚“ .´¨ é¤ õÿÞû ,¤¢  ¤ ¨ ¢‘÷ø¢ ׃î ü›¤‘¡ ¼Î¨ ‘þ ’ƒ— ‘“ … ý‘Ìê Âþ ¥ ‘“ ‘Ìê ßþ ‚î ¢¢ ö‘È÷ ¢ªüõ ýÀ㓠ñÊê –‘ä…ϐ ‘“ .¢ª ‚›— (Óó) üÞÆƒê¤ õÿÞû .´¨ éÂõÿÞû

R3

¥

f(x; y; z ) 2 R3 j (

p

x2

+ y2 2)2 +z 2 = 1g

¥ ´¨ –¤‘±ä ,Àû¢üõ ‘¹÷ ¤ ¤‘î ßþ ‚î

x; y






7! (2 + os(2x)) os(2y); (2 + os(2x)) sin(2y); sin(2x)



45

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

Ûت ‚“ !¢ªüõ ‚µêÂð üØþ ¢‘÷ø¢ ü›Â¡ ¼Î¨ ‘“ ’ƒ— Â ‚î À€îüõ É¿Èõ ßþ ‘¹÷ ¢ªüõ ƒ÷ ᑹ—¤ ۓ‘ì ¼Î¨ ×þ ‘“ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ ¤ ¤‘î ßþ .¢ª ‚›— 10.3 ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ ý¢úª –¤ ¬ ‚“ ¤‘î ۟Âõ ‘¹€þ ¤¢ .¢¢Â𠂛— 11.3 Ûت ‚“ .¢¢ .´¨

9.3 Ûت

X

= Àƒ€î ­Âê ,Û±ì ñ‘·õ ‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“

‚“

X

“ ¤

.ßþ…î ý ÂΓ :ñ‘·õ 14.2.3

 ‚bФ ø ´¨ R3 ¥ üþ‘Öó ý ó•—

‘“

R2

¤¢

f(x; y) j 0  x; y  1g –¤ ¬

2

(x; y)  (x0 ; y0 )

,

4

fx; x0 g = f0; 1g ; y = y0 fy; y0g = f0; 1g ; x = 1

x0 0 0 < x = x < 1; 0 < y = y0 < 1

„‘“ žÂª ‚“ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

ùÂÞû ‚“

X=

 –¤ ¬ ßþ ¤¢

۟Âõ 12.3 Ûت ¤¢ .¢ª ‚›— (’)-9.5 Ûت ‚“ .¢ªüõ ùÀƒõ‘÷

.݃€î Óþ Âã—

ßþ…î ýÂΓ

¤¢ ý ƒðüØþ ߃óø .´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ ⓠÂõ ýø ¤ ¥ ßþ…î ý ÂΓ ´¡‘¨ ý¢úª f Þä ý ƒðüØþ ߃õø¢ ,‘õ .(¢ª ‚›— (’)-12.3 Ûت ‚“) ¢Âƒðüõ ‘¹÷ ¤¢ …

R3

R4

ý‘Ìê

,´Æƒ÷ üãìø ¤ îÁõ Ûت ¤¢ ¢¤ ¡Â“ ù b Âþ¢ ;¢ª ‚›— (¢)-12.3 Ûت ‚“

!À€Ø÷

âÎì ¤ ©¢¡ ‘ت ‘— ´¨ ¥„ µȃ“ À㓠×þ ‚“ ‚î Â ,¢ÂþÁ•üõ –¤ ¬

´þø ¤ ö‘õ¢¡ ý‘ƒ÷¢ ¤¢ ¤ ÂÑ÷ ”¤ õ Ûت ݃û¡üõ ‚î ´¨ ßþ ö ¤ úÒ ´Üä !݃€î -13.3 Ûت ‚“) âÏ‘ì ‚ b ½Ô¬ ×þ ͨ— ‚“ (¢)-12. 3Ûت ö¢¢ ©Â“ ‘“ §ƒ“õ ¤÷ ø¢ ¥ ´¨¤¢ ßþ…î ý ÂΓ ‚î ¢¢Âðüõ ùÀû‘Èõ ,(¢ª ‚›— (’) ø (Óó) –¤ ¬ ‚“ ¤ ßþ

.´¨ ùÀª ‚µ¡‘¨ À÷ùÀª ‚µ¡ø¢ Ýú“ ö‘ÈîµÈõ ¥ Âõ ¢Àµõ ¤¢ ‚î .¢Þ÷ Ýƹ— ¢ªüõ ƒ÷ (¢) ø (š)-13.3 Ûت ¤¢ ùÀõ

46

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

10.3 Ûت

11.3 Ûت

47

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

12.3 Ûت

13.3 Ûت

14.3 Ûت

48

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

݃€îüõ Àƒî‘b— ,µȃ“ ¢úª ¢‘¹þ ´ú› ‚“ ö ¤¢ ‚î ,¢Þ÷ üêÂãõ ¢ªüõ

S2=



.ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ :ñ‘·õ 15.2.3

–¤ ¬ ‚“ ¤

RP 2

üØþ ü“€› ù b ÂØރ÷ ‘“ üó‘Þª ù b ÂØރ÷ ,´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ ."x

üփ֟ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ‚î

 x0 ()

x

=

x0

'

ßþ ‚î ,݃€î éÎãõ üó‘Þª ù b Âî ݃÷ ‚“ ‘ú€— ¤ ö‘Þú›— ݃÷—üõ Áó ø ,¢ªüõ ‚µêÂð

(x; y; z ) 7! (x; y) ´ª‘Ú÷ ͨ— D 2 := f(x; y) 2 R2 j x2 + y2  1g ×Æþ¢ ‘“ ƒ÷ 2 2 –¤ ¬ ‚“ ¤ RP ,ßþÂ“‘€“ .0 < z ø (x; y; z ) 2 S ‘¹€þ ¤¢ ‚î ;´¨ é¤ õÿÞû ö ¤¢ ‚î ¢Þ÷ ö‘ƒ“ ö—üõ

x

 x0 ,

"

x

= x0

‘þ

x; x0

2 S1  D 2

ø

x=

x0

D2=



'

-14.3 Ûت ¤¢ ñ¢‘ãõ ¤ Î“ ‘þ ,(’)-14.3 Ûت ¤¢ ý Âû‘Ò –¤ ¬ ‚“ °ÜÎõ ßþ !ÀÈ÷ ‚Ž¤ üú›Âõ –‘±™ ‚î Ýþ ¤¢ ñ±ì üóø .´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ (š)

Æ2

×þ ‚“ ,݃€î éÁŸ (D

f ·õ) ¤ ‘“ é¤ õÿÞû ý‚ƒŸ‘÷ ,…

RP 2

¥ ü؝ð ‚ b ƒŸ‘÷ Âð

¤ üփ֟ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ,ßþÂ“‘€“ .¢ª ‚›— 15.3 Ûت ‚“ ;݃¨¤üõ §ƒ“õ ¤÷ ¤ Ê— ö—üõ ×Æþ¢ ×þ ƒ÷ ø §ƒ“õ ¤÷ ×þ ßµ¡ø¢ Ýú“ ¥ Û¬‘Ÿ ¼Î¨ ö€ä ‚“ .¢Þ÷

–¤ ¬ ‚“ (’) ø (Óó)-16.3 Ûت ¤¢ À€÷‘õ ¤ ùÂî

.ùÂî :ñ‘·õ 16.2.3

¯Î¡ ‚î ݃€î ­Âê ý¢úª ÂÑ÷ ¥ .¢Þ÷ ¤ Ê— ö—üõ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê ×þ Ûت ‚“ ,‘ú³þ ¥ ßþ ߵƓ ¥ ŕ ‘õ ø ,À€µÆû ²þ ¥ ý¤¢ ‘úÜت ¥ ×þ Âû ¤¢ ÛØÈÞû .݃¨¤üõ ùÂî

.´¨ ùÀª ù¢¤ ø ¢úª “ ü€µ±õ üó„Àµ¨ „‘“ ý‘úó‘·õ ¤¢

.´ª¢¢‘þ 17.2.3

ù b ¥À÷‘“ ‚þ ÂÑ÷ ‚î üõ‘Ú€û ¤ ‘ú÷ ‚î ´¨ µú“ üóø ,À€µÆû ‚Ž¤ ۓ‘ì Õƒì¢ ý‘ú—‘±™ À÷—üõ ýÀ㓠ǿ“ ‚ b ãó‘Îõ ¥ ŕ ùÀ€÷¡ .݃€Ø÷ žÂÎõ ,´¨ ‚µê‘ƒ÷ ©ÂµÆð üê‘î .À€î ö‘ƒ“ Õƒì¢ –¤ ¬ ‚“ ¤ ùÀª žÂÎõ ý¢úª ý‘ú—‘±™ ø ‚µÈð“ Ç¿“ ßþ ‚“ ¤ ÀŸø ù b ¥‘“ ý‘úµ÷ ø¢ Âð :´¨ ùÂþ¢ ø ù¥‘“ ,—߃Ž‘• À㓠¤¢ ùÂî ø ×Æþ¢ ‚“‘Èõ ‚î ´¨ ‘¹“

.´¨ üúþÀ“ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ Ý؟ ßþ ;݃¨¤üõ ùÂþ¢ ‚“ Ýþ ƒړ üØþ !À€î ‚õ‘ì ö ýÂ“ ¤ ¡ ¤¢ ü—‘±™ ùÀ€÷¡

49

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

15.3 Ûت

16.3 Ûت

.ßþ Âޗ 18.2.3

 ø I = [0; 1℄  R Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ 0 , "x = x ‘þ fx; x0 g = f0; 1g'

ý¥ ¤Ýû ‚ b Γ ¤

x  x0

.´¨ é¤ õÿÞû

ø ‚÷µ¨ ×þ ¥ üóÀõ

40 

f ·õ ¢‘㓐 ‚“ ,…

S1 ùÂþ¢

‘“

I=



(1

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

.¢¤¢ ü±ó‘› «¡ ‚÷µ¨ ‘“ ‚Æþ‘Öõ ¤¢ §ƒ“õ ¤÷ (2 .Àƒ€î ‚ƒú— Áè‘î ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ §ƒ“õ ¤÷ ¥ üóÀõ ƒ÷

‚“ ø §ƒ“õ ¤÷ ø ‚÷µ¨ ͨø ¤¢ üΡ ¢Àõ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ¤ Û¬‘Ÿ ‘Æ› ,¯Î¡ ßþ ý‘µ¨¤ ¤¢ ,ñ‘Ÿ

.µõ üµ÷‘¨

4

.Àƒ€î ¢‘¹þ ý ¨‘—¨ –¤ ¬

¥ üõÆØþ ‚ b ܬ‘ê ¤¢ ¤ Í¡ ßþ Âð ?´Æƒ ‚¹ƒµ÷ ,´ó‘Ÿ Âû ¤¢ .Àƒû¢ ©Â“ ?Àª üõ ‚ ‚¹ƒµ÷ ,ÀþÀƒÈîüõ ᅮ

š¤‘¡ ý‘û‘Ìê ö¢“ é¤ õÿÞû ¥ ö‘€ƒÞϐ ñÊŸ ýÂ“ üê‘î ÍþÂª ýÀ㓠Ý؟ .´¨ ùÀª ù¢¤ ø üµÞÆì

Y

ø

X

ý ó•— ý‘Ìê ø¢ ö‘ƒõ üµª‘Ú÷

ý‚÷ð ‚“ ,À€ª‘“



Y

ø



ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

f :X

!Y

X

°ƒ—µ“ ý¥ ¤Ýû ͓ø ¤ ý¤¢

f

Âð

."f

(x)



Y

f (x0 )

.‚ƒÌì 19.2.3

Ýþ ƒð

Y

ø

X

݃€î ­Âê .Àª‘“

Â𐠑ú€— ø Âð

.À€ê¤ õÿÞû ƒ÷

Y=

x





X

Y

ø

x0 '

X=

‚î



X

50

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— 2.3

,݃€îüõ Óþ Âã—

[x℄ = Â𐠐Âþ ¥ ßþÂ“‘€“

F [x℄

F

[x℄ = [x0 ℄ ‘þ x 

X

 ! Y= 

X=

X

[x0 ℄ F ü؃±Øþ ö¢¢ ö‘È÷ ýÂ“ .F [x℄ = F [x0 ℄ x0 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,‘õ .f (x)  f (x0 ) ü€ãþ .[f (x)℄ = [f (x0 )℄



f (x0 )

Y

üÚµ¨ƒ• –‘±™ ýÂ“ .´¨ ù¢‘¨

´¨ ¼®ø .À÷‚µ¨ƒ• ø¢ Âû ‚î ,Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷¤¢ ¤

X

ÆF

‚Ø€þ .´¨ ‚µ¨ƒ•

‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,´¨ ‚µ¨ƒ•

F

x0

X

ù‘Ú÷ ,

Y f

:Y

F

üþ‘ª• ö¢¢ ö‘È÷

! Y =  X=  F Æ =  Æf Y

ö ø

ø

X

Æ

F 1

2

‚î

Y

Y

=

Æf

X

1

‚ b Ф ¥ ´¨ ‚µ¨ƒ•

x

 x0

' ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф ‘“ ¤

,߃€»Þû .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ "x ´ê‘þ ý‚÷î ‚“ ý

f (x)

n

0=3

n



x

R+

:= (0; 1)  R

.ñ‘·õ 20.2.3

‚î ¢ª ´ê‘þ ý‚÷ð ‚“ ý

x

¼ƒ½¬ ¢Àä Â𐠑ú€— ø Âð

= log3 x ‚bΓ‘® ‘“ f : R+

R+ =

 x0

¼ƒ½¬ ¢Àä

' ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф ¤‘“ ¤

!R x  x0 , f (x)  f (x0 )

ⓑ— .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ "x

ý‘û‘Ìê ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .

n

é¤ õÿÞû ý¢úª ù b ƒÌì b Àþ 19.2.3 ‚

R

0 = x + n ‚î ¢ª

ƒ÷ ø ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû

.(?Â) À€ê¤ õÿÞû ùÂþ¢ ‘“ ø¢ Âû âìø ¤¢ ïÀ€ê¤ õÿÞû

R=



.üÜî ©ø ¤ ×þ :´ª¢¢‘þ 21.2.3

‘Ìê ×þ ‘“ :Àû¢üõ ¼ƒ®— ¤ ´ê¤ 1.3 Ç¿“ ¤¢ ö žÂª ‚î ý‚÷ð ‚“ ¤ ö¢“

ö “



X

ý¥ ¤Ýû b ‚Ф ×þ ø

X

ÝÆƒê¤ õÿÞû ×þ ñ‘Ÿ .Àþðüõ ¤ üãƒ±Ï ,ö€î .݃¨Â“ ö “ ùÀƒ÷‘±Æ

X

F 1

.Àª‘“üõ

Â𐠑ú€— ø Âð

W

X

üµÞÆì š¤‘¡ ý‘úµª‘Ú÷ ‘ä ´ƒ¬‘¡ §‘¨ “ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø Àª‘“

š‘µ€µ¨ ۓ‘ì ‚“‘Èõ üó„Àµ¨ ‘“

ø



x

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø

Y

: X ! üãƒ±Ï Âþø‘Ê— ,F

‚µ¨ƒ• Àþ‘“

üµª‘Ú÷ :–‘±™

Y

.À€µÆû ý¥ ¤Ýû ý‘û‚µ¨¢ ÂÚÈþ‘Þ÷ ‘úµîÂ“ ‚î

[f (x)℄ = [f (x0 )℄ ‘þ ,f (x) 0 ,F [x℄ = F [x ℄ ݃€î ­Âê

.

X

= [f (x)℄ ‚bΓ‘® ‘“ F :

;´¨ Óþ Â㵪¡

.

‚¹ƒµ÷ ¤¢

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê



Y

ý‘Ìê ‘“

ͨ— ¤

Z

Y



Y

ý‘Ìê ×þ ‚“ ö ö¢¢ ©Â“ ‘“

W

‚“ ñÊŸ ø

ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф ø

,ñ‘Ÿ .x



X

ý‘Ìê 5.5 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“

X

Y

.݃€îüõ áø ª

ü÷‘±Æ ¥‘“ üÚ÷Ú ‚î ݃¨¤üõ

ý‘Ìê ‚“ ‘— ݃€îüõ ÛÞä

x0 , f (x) 

X

“

f

f (x0 ) ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ ‚î ´¨ .Ýþ ¤ øüõ ´¨À“ ¤ Z = Y =  ý‘Ìê ø Y

Y

.´¨ é¤ õÿÞû

51

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä 3.3

‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä

3.3

ßþ .´¨ "‚äÞ¹õ' “ "ùø Âð' ÛÞä ,Àþüõ ¤‘Ø“ ¤‘ƒÆ“ ùÀ€þ ¤¢ ‚î ý ÂÚþ¢ úÔõ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘û‘Ìê ¥ ý — ၀µõ ý‘úó‘·õ ´¡‘¨ ‚“ ¹€õ ø ù¢“ °ó‘› ¤‘ƒÆ“ úÔõ .¢¢Âðüõ

“ G ‘“

G

݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ .´¨ ùø Âð

X ! X

üµª‘Ú÷ ‚î ,´¨

G

ø ‚äÞ¹õ

X

.Óþ Â㗠1.3.3

Ýþ ƒð

‚äÞ¹õ G ×þ X

‚Ø€þ ‘þ ø

‚î ¢¢Âð ´ê‘þ ý ¤ Ï

.´¨

G .g

ý ó•—

ùø Âð ü÷‘Þû Âʀä

x

2X

 (h  x) = (gh)  x ‘û g; h 2 G ø ‘û x 2 X

ø

g

2G

(g; x) 7! g  x ¢‘Þ÷

1 ‚î ,1  x = x ‘û x 2 X ‚bÞû ý¥ ‚“

ý‘Ìê ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ‚ b Þû ùø Âð

݃€î Óþ Âã—

À€îüõ ÛÞä X

G

Àƒ€î ­Âê (1

(1

‚ b Þû ý¥ ‚“ (2

.ñ‘·õ 2.3.3

ý¥ ‚“ ø (¢ª ‚›— (4)-15.2.2 ßþ Âޗ ‚“) Àª‘“

X

1  x = 1 (x) = ž®ø ‚“ Âþ ¥ ,À€îüõ Óþ Â㗠X “ G ¥ üÜÞä ßþ .g  x = g(x) .g  (h  x) = g  h(x) = g (h(x)) = (g Æ h)(x) = (g Æ h)  x ø x ´¨ ø¢ ‚ b ±—Âõ ý ¤ ø¢ ùø Âð ,’® ÛÞä ‘“ G = Z2 = f 1; 1g ݃€î ­Âê (2 ÛÞä Ճֽ—) ݃€îüõ Óþ Â㗠1  x = x –¤ ¬ ‚“ ¤ S “ Z2 ÛÞä .X = S ø X

X

n

n

.(ùÀ€÷¡ ù b Àúä ‚“ ö¢“ ßþ ¤¢ .X “

ø

Z ÛÞä

(n; m)

=R

ø Àª‘“ âޛ ÛÞä ‘“ ¼ƒ½¬ ¢Àä ùø Âð

×þ ßþ .n

2 Z Z

G

 x = x + n ݃€îüõ Óþ Â㗠,x 2 R

ý¥ ‚“

.݃û¢üõ ݃Þã—

Z

Z

= Z ݃€î ­Âê (3 ø

n

2Z

ý¥ ‚“ –¤ ¬ .´¨

R

´ó‘Ÿ ‚“ ¤ Û±ì ñ‘·õ (4

(n; m)  (x; y) = (x + n; y + m) ݃€îüõ Óþ Â㗠(x; y) 2 R  R

. ,Àª‘“ ø

n

R2

2Z

¤¢ ´þ‘ú€ƒ“ üÖê ¤÷

X

ø ¼ƒ½¬ ¢Àä üãޛ ùø Âð

ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .X .m

= f(x; y) 2 R2 j

 (x; y ) = (x + m; (

G'

‘þ "´¨¤ ÛÞä' úÔõ

­Âê (5

1=2  y  1=2g ü€ãþ

1) y) ݃€îüõ Óþ Â㗠(x; y) 2 R2 m

f Þä ,Àª Óþ Â㗠„‘“ ¤¢ ‚î ‚»÷ ,‚ÞÜî Õƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ ÛÞä' … "´¨¤ ‚ b äÞ¹õ

Z ݃€î

.Óþ Â㗠3.3.3

.´¨ "² ‚ b äÞ¹õ

G'

‘þ "²

52

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä 3.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

(x  h)  g = ø x  1 =

x

üµÆþ‘“ Àµó‘Ÿ ßþ ¤¢ .´¨ Óþ Â㗠ۓ‘ì ‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“ .x

G' °ƒ—µ“ ,"ÛÞä' ø "‚äÞ¹õ G' ¥ ¤ Ñ€õ ŕ ßþ ¥

‚ b äÞ¹õ

 (gh)

.¢¢¤Âì 4.3.3

.´¨ "² ÛÞä' ø "²

.ßþ Âޗ 5.3.3 Óþ Âã—

g

Óþ Â㗠¤

¤

h g

2G

ø

X

G

“

g

ÛÞä

Óþ Â㗠¤

G

G

G

ý¥ ‚“ .´¨ ´¨¤ ‚ b äÞ¹õ

¥ ² ÛÞä ×þ

2 H

“

2X

x

ø

h

2



Àƒû¢ ö‘È÷ .g

g

H

.Àª‘“

ý¥ ‚“

X

Àƒ€î ­Âê (1

 x := x  (g

 x = xg

?´Æƒ÷ ñ±ì

×þ

G

1)

݃€îüõ

Óþ Â㗠Â .À€îüõ

H

¥ üûø Âð Âþ ¥

¥ üÜÞä ßþ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .݃€îüõ Óþ Âã—

hg

Ýþ ƒð (2

–¤ ¬ ‚“ .À€îüõ

G

P (G) U 2 P (G)

ø ù¿ó¢ üûø Âð

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ ÂÚÈþ‘Þ÷

g U

Gx

Ýþ ƒð (3

G

Ýþ ƒð (4

:= gU = fgh j h 2 ݃€îüõ Óþ Â㗠ø g 2 G ý¥ ‚“ .Àª‘“ .À€îüõ Óþ Â㗠¤ P (G) “ G ¥ ÛÞä ×þ ßþ Àƒû¢ ö‘È÷ .U g

fg 2

:=

–¤ ¬ ‚“ ¤

.´¨

Óþ Âã—

G x

G

x

2 X ¤¢ ¥‘¨ ¤Àþ‘•

¥ üûø Âð Âþ ¥

Gx

ø À€î ÛÞä

Àƒ€î ´“‘™ .݃€î Óþ Âã—

:= fg  x j g 2 Gg ¤ x 2 X ¤¢ ¤Àõ

f õ‘î ‘þ ø À÷“Â“ ‘þ Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ . ¹õ …

G y

ø

ø À€î ÛÞä

X

“ üþ¨ø¢ –¤ ¬ ‚“

G

X

j

“

G g x

= xg

X

Ýþ ƒð (5

“

G

G  x ý‘û¤Àõ Àƒ€î ´“‘™

.¢ªüõ ‚þ ¹—  ¹õ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ üä‘Þµ› ‚“

ÛÞä

G

X

G

‚äÞ¹õ

f Þä ‚î ´¨ ßþ ‚äÞ¹õ …

.݃€î

G Óþ Âã—

Âû ‚î

¸þ‘µ÷ ¥ üØþ

ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .À€îüõ

´ª‘Ú÷ ý üþ¨ ø¢

g

g

2G

G ×þ X

Âû ý¥ ‚“ .Àª‘“ ‚äÞ¹õ

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .݃€îüõ Óþ Âã—

x

7! g  x

Ýþ ƒð

.‚ƒÌì 6.3.3

–¤ ¬ ‚“ ¤

g

:

X

!X .´¨

.

1=1

2

X

ø

g

Æ

h

=

gh

‚î ¢ªüõ ùÀû‘Èõ ߃€ ‚äÞ¹õ

.´¨ üþ¨¨ ø¢

g

Áó ø

g

Æ

g

1

G

Óþ Â㗠¥ :–‘±™

=1 = X

g

1

Æ

g

ßþÂ“‘€“

53

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

Âþ ¥ žÂª ‚“

X

“



‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä 3.3

ý¥ ¤ Ýû ý‚Ф ,À€î ÛÞä

X

“

G

.Óþ Â㗠7.3.3

Âð

:¢Þ÷ Óþ Â㗠ö—üõ

x

y ,

"

g x = y

‚ÑŸ…õ ¤ (5)-5.3.3 ßþ Âޗ ;y .݃û¢üõ ö‘È÷



!

:X

X=G

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ ý

2 G x

ö—üõ



2G x

‚î üµìø ‘ú€— ø üµì ø

'

y

,ÂÚþ¢ ö‘ƒó ‚“

¢‘Þ÷ ‘“ ¤ ¤ Û¬‘Ÿ ý¥ ¤Ýû ý‘ú¨…î ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ ñ‘Ÿ .Àƒ€î

üãƒ±Ï ´ª‘Ú÷ ž®ø ‚“ .݃õ‘÷üõ

ý ó•—

g

ͨ— ,Àª‘“ ý ó•—

üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê

¤

X=G ´ó‘Ÿ

G “ X üµÞÆì š¤‘¡ ‚bäÞ¹õ

üþ‘Ìê

X

Âð ,ö€î .´¨ ‘ª•

ßþ ¤¢ .¢Þ÷ ÛÖµ€õ

X=G ‚“ X

.´¨

RP

n

Sn

“

1  x

=

üփ֟ ý ÂþÊ— ý‘Ìê

x

–¤ ¬ ‚“

n ö‘Þû

ý ó•— ý‘Ìê –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€î ÛÞä

‘fփì¢

n x

Z2

X=G

¥ üµÞÆì š¤‘¡

.݃õ‘÷üõ ßþ ¤¢ ,À€î ÛÞä

¤ ßþ

G “ X

.ñ‘·õ 8.3.3

Âð (1

S =Z2 ý ó•— n

ý‘Ìê –¤ ¬

= x+n –¤ ¬ ‚“ R “ Z Âð (2 .´¨

S1

R=Z

ùÂþ¢ ö‘Þû ‘fփì¢

.ßþ Âޗ 9.3.3 ø ù¢“

R2

¤¢

Àƒû¢ ö‘È÷

f(x; y) 2 RR2 j 1=2  y  1=2g

.À€î ÛÞä

R2

“

m  (x; y )

=

x

´þ‘ú€ƒ“ ¤÷

+ m; ( 1)

.´¨ é¤ õÿÞû §ƒ“õ ¤÷ ‘“

m

y




X=Z üµÞÆì

X

Ýþ ƒð (1

–¤ ¬ ‚“

Z

š¤‘¡ ý‘Ìê

: X ! Y ´ª‘Ú÷ ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ .À€ª‘“ G ø¢ Y ø X Ýþ ƒð .f (g  x) = g  f (x) ý g 2 G Âû ø x 2 X Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ý¥ ¤Ýû G ×þ f

ý¥ ¤Ýû

G üÞÆƒê¤ õÿÞû f

,(´Æû ƒ÷ ý¥ ¤Ýû

ø À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê ø¢

ö‘õ Þû ‚î Àª‘“

Y

‚“

X

G

ø À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê ø¢

Y

ø

X

ø

X

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™

¥ ÝÆƒê¤ õÿÞû ×þ ,ü€ãþ) Àª‘“

.À€ê¤ õÿÞû

“

Y

Y =G

ø

X=G

–¤ ¬ ßþ ¤¢

Âð À€û¢ ö‘È÷ ‚î Àƒ€î ‚Ž¤ üþ‘úó‘·õ (3

‘fÞµŸ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î ¢¤À÷ üõø ó ,X=G

 = Y =G

Â𐠃÷ ø À€î ÛÞä ø¢ Âû

.À€ª‘“ é¤ õÿõ Ýû ‘“

“

Gx

¥‘¨¤Àþ‘• ý

¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™

x

2

X

Âû ý¥ ‚“

.݃û¢üõ ö‘È÷

G=Gx

(3

.´¨ ‚äÞ¹õ

G

×þ

Y

X

ø

X

Ýþ ƒð (4

‘“ ¤ ´ÞÆì š¤‘¡ ø À€îüõ ÛÞä

G

54

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä 3.3

.´¨

G

¤¢

.¢¤¢ ¢›ø

Gx

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

² ý‘û‚µ¨ÀÞû ‚ b Þû ‚ b äÞ½õ ö‘Þû ‘fփì¢

G=Gx

G x

ø

G

߃“ üþ¨ø¢ ø ý¥ ¤Ýû

‚µ¨ƒ• üþ‘úÜÞä ,Ýþ¢¤ ø ý ó•—

G=Gx

–¤ ¬ ßþ

ý Âґ€— ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

ý‘û‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä ¥ ‚î üþ‘úó‘·õ ‚ b Þû .݃¨‘€ªüõ ü¬‘¡ ‘€“ ¤ ‘ú€þ :À÷¢“

¤¢ ý

.Àª‘“ ùø Âð

g

2G

G

ø ý ó•—

üþ‘Ìê

Âû ý¥ ‚“ ø ¢Þ÷ ÛÞä

X

“

XC

G ‚î ´¨ ‘Ìê G

.Àª‘“ ‚µ¨ƒ• Âû ý¥ ‚“ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ ‘Ìê

G

ßþ ù ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ .´¨ ©¢¡ ‚“ .¢¢Âðüõ Óþ Âã—

݃Žðüõ ,´¨ ‘Ìê

X

x

7! g  x

×þ

X

X

×þ

‚ b Γ‘® ‘“

¥ üÞÆƒê¤ õÿÞû

G

X

݃Žðüõ ü—¤ ¬

g : X

!X

´ª‘Ú÷

.ßþ Âޗ 11.3.3

Àƒ€î ­Âê

ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ‚ b Þû ùø Â𠂓

G ×þ X

.Óþ Â㗠10.3.3

Àƒ€î ­Âê

g

´ª‘Ú÷ ý

g

2G

¥ üÞÆƒê¤ õÿÞû °ƒ——

‚î –‘ìø ü¡Â“ ,„‘“ ßþ Âޗ ¤¢ žÂÎõ Ý؟ Ûƒó¢ ‚“

ۓ‘ì ýÀ㓠Ý؟ ,°ÜÎõ ßþ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“

.´¨

X

ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ¥ üûø Âð

G

.´¨ š‘µ€µ¨ ÂþÊ— –¤ ¬ ßþ ¤¢

.´¨ ‘Ìê

G

X

×þ

݃€î ­Âê

.´¨ ¥‘“ üµª‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

 1 ( (U ))

= = = = =

¥‘“

2

X=G

¤¢

U

¤¢ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ

ý

[

2

! X=G

U

üヱÏ

Ýþ ƒð :–‘±™

ý¥ ‚“

ý

ø

ý

ý¥ ‚“

ý¥ ‚“

g U

G

ŕ .Àª‘“üõ ¥‘“

7!

h gh ‚bΓ‘® ‘“ G “ g ÛÞä ⓑ— ,‘õ 1  ( (U )) ßþÂ“‘€“ ø À÷¥‘“ ‘û g  U ¥ ×þ Âû

Â𐠐Áó ø ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû

 (U )

:X

fx 2 X j (x) 2 (U )g fx 2 X j G  x = G  y y 2 U g fx 2 X j x = g  y y 2 U g 2 G g fx 2 X j x 2 g  U g 2 G g g

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ¥‘“

X

.‚ƒÌì 12.3.3

.´¨

12.3.3 ‚ b ƒÌì ü³¨ ø ,üµÞÆì š¤‘¡ ý‘û‘Ìê ‘ä ´ƒ¬‘¡ Àµ“ ýÀ㓠ßþ Âޗ ¤¢ .݃û¢üõ ݃Þ㗠«Ê¿“ üµú› ¥ ¤

55

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä 3.3

.ßþ Âޗ 13.3.3

g

݃€î ­Âê .Àª‘“ üãƒ±Ï ÂþÊ—

‘ú€— ø üµìø

g



:

X

! X=G

Z

ý ó•—

´ª‘Ú÷ Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“

.Àª‘“ ¥‘“



: üãƒ±Ï ÂþÊ— Àƒ€î ´“‘™

.Àª‘“ ‘Ìê

G

g

×þ

ø ‘Ìê

Æ

X

G

ý‘Ìê ‚“

×þ

X=G

Àƒû¢ ö‘È÷ .Àª‘“

G ¥ ñ‘õÂ÷ üûø Âð Âþ ¥ H

Ýþ ƒð (1

¥ ü㓑—

´ª‘Ú÷ ‚î ´¨ ¥‘“ üµìø

ø üû‘€µõ üûø Âð

.´¨ ‚µÆ“ üµª‘Ú÷

X=H

X

ø ‘Ìê

X

G ×þ X

G

Ýþ ƒð (3

! X=G

݃€î ­Âê (3

(X=H )=(G=H )  = X=G ùø…ã“ ø ´¨ ‘Ìê (G=H ) ×þ

.

56

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê 4.3

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê

4.3

ý ó•— ý‘û‘Ìê ýø ¤ ¥ ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê ´¡‘¨ ýÂ“ ‚î üÜî ©ø ¤ ßþ ¡ ’ÂÌܬ‘Ÿ ‚î Ýþªüõ ¤ ø¢‘þ .´¨ ‘ú÷ ֵ݃Æõ ’ÂÌܬ‘Ÿ ,݃€îüõ ‚Ž¤ ¢›õ

Y

‚“ °—Âõ ý‘ú›ø ¥ ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ ¥ ´¨ –¤‘±ä

Y

¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ,À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê ߃óø .݃€î Óþ Â㗠݃÷—üõ

Y

X

ø

‚ b äÞ¹õ ø¢

2Y

Âð .y



X Y

.´¨

2X

x

ø

“ ýý ó•— ,Y ø

ý‚äÞ¹õ ¥ ý‘ú“ ÂÌܬ‘Ÿ ¥ À€—¤‘±ä ¯Âª Àî) ´Æƒ÷ üê‘î Âõ ßþ ‘õ

X

X

ø

X

Y

X

ֵ݃Æõ

(x; y) Ûت

‚î ,

“ ¢›õ ý‘úþ ó•—

¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚î ´¨ ßþ §ÀŸ

Y

X

¤¢ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ ¤¢ ’®

¤¢ ¥‘“

.(´Æƒ÷ ¤Âì“ ö¢“ ý ó•— ýÂ“

’ÂÌܬ‘Ÿ

U

X



Y

.À€ª‘“ ý ó•—

ý ó•—

‘“ ùÂÞû

X

ý‘Ìê ø¢

Y

Y

X

ø

.Óþ Â㗠1.4.3

Ýþ ƒð

Y

X

‚ b äÞ¹õ ¥ ´¨ –¤‘±ä

(×þó•—)

Ûت ‚“ ý‘ú“ ÂÌܬ‘Ÿ ¥ ù¿ó¢ ý‘úä‘Þµ› ÛØȓ ý‘û‚äÞ¹õ ù¢÷‘¡ ¥ ÛØȵõ Ûت ‚“ ý

j

U

2J

X



Y

¥ Ìä Âû ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .Àª‘“üõ ¥‘“

Y

Y

.À÷¥‘“

Y S

,´¨ ¥‘“ ø

W

=

J

Âû ý¥ ‚“ ø ´¨ üû¿ó¢ ¤ÁðÅþÀ÷ ‚ b äÞ¹õ

.Àû¢üõ

j

X

¤¢

2

J

Y

Y

Uj

W

X

V

0 À÷¥‘“ X ¤¢ U ø U j

ø

j

U

“ ý ó•— ۃØȗ „‘“ ¤¢

j

¤¢

X

;2U

ö ;

X

0 ù‘Ú÷ ,W; W 2 U  X

=

[ j

2

Uj

[

= j

2 2 J;k

K

¤¢ °ƒ—µ“

Vj

ø

‚î ´¨ ø

X

U S j



ö .À÷¥‘“

Y

 [


k

2

\ U0  k

0 ‚î W =

S

J

Uk0

K

Vj

V0

‚î ,U

2

j

Uj

.Ýó 2.4.3

‚ b äÞ¹õ

Y

ø

j

Uj

Uj

¤¢

‚»÷‘€ .

V \

J

J

V V

X

ŕ ,

Y

ø À÷¤Áð ÅþÀ÷ ý‘û‚äÞ¹õ

\ W0



ø

;; = ; X Y 2 U



Y

X

V

¤¢

ö

:–‘±™

 ßþÂ“‘€“ 0 0 2 U V 0 ¤¢ V ø V ø

X

k

Y

k

k

K

j

j



k

\V0




j

K

‚“ ƒ÷ (3) ¯Âª .´¨ ¤Âì“ ƒ÷ ö¢“ ý ó•— ýÂ“ (2) ¯Âª ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ

2

.´¨ –‘±™ ۓ‘ì ‚“‘Èõ –¤ ¬

57

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

Y

’ÂÌܬ‘Ÿ ‚“ ¤

X

ø

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê 4.3

.´ª¢¢‘þ 3.4.3

×þ ó•— ’ÂÌܬ‘Ÿ úÔõ

Ýó ‚“‘Èõ Ý؟ ø ¢¢ ݃Þ㗠ö—üõ ý ó•— ý‘û‘Ìê ¥ üû‘€µõ ý¢À㗠×þ ó•— .¢Þ÷ –‘±™ ‘ú÷ ¢¤ õ ¤¢ ¤ „‘“

.ßþ Âޗ 4.4.3 .X1

 Y1 = X2  Y2

ö‘È÷ .À€ª‘“

X



dY

“ ý µõ

ø

dX

 = Y2

ù‘Ú÷ ,Y1

X1

ø

 = X2

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

Y

°ƒ—µ“ µõ ‘“ ­ø ÂÔõ ÂþÁ•ý µõ ý‘Ìê ø¢




d (x1 ; y1 ); (x2 ; y2 )

X

ø

Ýþ ƒð (3

= maxfd (x1 ; y1 ); d (x2 ; y2 )g Àƒû¢ X

Y

ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý ó•— ‘“ Û¬‘Ÿ ý µõ ý ó•— Àƒû¢ ö‘È÷ ;À€îüõ Óþ Â㗠¤

R

n



üóÞãõ ý ó•— ö‘Þû (À€µÆû üóÞãõ ý ó•— ý¤¢ .´¨

(x; f (x)) ÛØȓ ¯‘Ö÷ ‚bÞû ö‘ƒõ ‚µ¨ƒ• ü㓑—

f

f0g

R2

.X

Â𐠂î Àƒû¢ À÷‘È÷

.´¨ é¤ õÿÞû

–¤ ¬ ‚“ ¤

‚ b äÞ¹õ ¥ ´¨ –¤‘±ä

f

X

‘“

f

¤¢Þ÷

f

Y

R

R

m

ø

R

+ =R

n

m

f :X

n

‚î)

R

n

!Y

2

‚ b äÞ¹õ ¥ ,x

:üþ‘Þ€û¤) .À€ê¤ õÿÞû

R

 S1

X

‚äÞ¹õ .Àª‘“ ý ó•— ý‘Ìê ø¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ

.w

2W V  W

ý‘û‚äÞ¹õ ý

2 U V w

w

ø

Uw

=

w

ø

f0g

R2

S

‚ b äÞ¹õ

J

‚î

W

Y

ø

X

¤¢ °ƒ—µ“

.À÷¥‘“

‚äÞ¹õ ,ÅØãó‘“

2 Y

.w

j

J

Uj

Vj

ø

2

,À÷¥‘“

V

Uj

ý

2 U V

.Àª‘“üõ

i

W

: X  ø  : X Y X

j

i

Y

¤¢

Y

X

Y

Vw

2J

!X

¤ ‘úµª‘Ú÷ ßþ .À÷ªüõ Óþ Âã—

ø

‚î

f0g

C

“ ý ó•—

X

¤¢

Uw

W

 X Y

‚î À÷ª ´ê‘þ ý ¤ Ï

W

Vw

Àƒ€î ­Âê :–‘±™

Âû ý¥ ‚“ ø ´¨ üû¿ó¢ ¤ÁðÅþÀ÷

‚î ´Æû ý

“Â“ ø ´¨ ¥‘“

X

.‚ƒÌì 5.4.3

Ýþ ƒð

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ¥‘“

j

“

Àƒ€î ´“‘™ (4

Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ¥‘“ üµìø ‘ú€— ø üµìø

w

R

m

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ý ó•— ý‘û‘Ìê

.´Æû ƒ÷ ý ÂÚþ¢ ‚ b Ê¿Èõ ý¤¢

Uw

“ m

ⓑ— ¤¢Þ÷ (3

(.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢

ø

Y

X

“ ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý ó•— ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ .´¨ é¤ õÿÞû

Y

X

i

2

Y

J

¤¢ ž®ø ‚“

üúþÀ“ ý ÂþÊ— ý‘úµª‘Ú÷

2W

w

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ,

S w

2

W

Uw

ö€î

V

w

.Óþ Â㗠6.4.3

(x; y) 7! y ø (x; y) 7! x °ƒ—µ“ ‚bΓ‘® ‘“ Y

!Y

58

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê 4.3

´¨ ¼®ø ,Y

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

1 (V ) = X

V

ø

= U Y

X1 (U )

ü“ ® Âþø‘Ê—

ö .݃õ‘÷üõ

.À÷‚µ¨ƒ•

X

‘“

X

 fyg  X  Y

2Y

y

ý‘Ìê Âþ ¥ ý

Y

X

ø

‚î

.‚ƒÌì 7.4.3

Âû ý¥ ‚“

.´¨ é¤ õÿÞû .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

(x; y)

7!

x

:

f

‚ b Γ‘® ‘“

X

 fyg !

X

´ª‘Ú÷

:–‘±™

ýµŸ ´ª‘Ú÷ °ƒî— –¤ ¬ ‚“ ¤ ö ‚î Â ,Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ• ⓑ— ßþ ‚î ´¨ ¼®ø

X

‚“ ¤ îÁõ ‚“‘— ø¢ Âû ø ,´ª÷ ö—üõ ŕ ,Àª‘“ ‚“ ¤

W

W

 fyg

.´¨ ¥‘“

üãƒ±Ï ÂþÊ— ø

W

¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

Y

¤¢

Vj

ø

X

¤¢

Uj

f (W ) = ßþÂ“‘€“ ;J 0 = fj 2 J j y 2 V f

é¤ õÿÞû ‚¹ƒµ÷ • .´Æû ƒ÷ ¥‘“

2

g

j

‚î

݃€î ­Âê ñ‘Ÿ

W

S

= ( 2 j

J

‚î ´ª÷ ¢ªüõ

Y

 V ) \ X  fyg 2 0 U fyg

Uj S j

X

.À÷‚µ¨ƒ• ž®ø j

j

J

X

‚î À€îüõ –‘±™ ßþ .´¨ ¥‘“

¤¢ ‚î

–¤ ¬

S

j

2 0U

j

J

.Àª‘“üõ

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê ö‘ƒõ üþ‘úµª‘Ú÷ .݃€î Óþ Â㗠݃÷—üõ ö‘ƒõ ‚ b Ф .Y

h(a)

g

ø

f

:

A

!Y

A

ø

.À€õ‘÷üõ

ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý‘úµª‘Ú÷ ‘ä ´ƒ¬‘¡

X

Æh = f

ø

Æh = g

: A ! XY

‚µ¨ƒ•

g

= (f (a); g(a)) ‚bΓ‘® ‘“ h :

‚“ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€µÆû ý ó•—

h

 fyg 

X

A

‚î Àª‘“üõ üµª‘Ú÷ ‘ú€—

Y

ý‘Ìê

ø

X ,A

¤

Ýþ ƒð

h

f

Âð üµª‘Ú÷

‚î ´¨ ⮐ø

ø

g ,h

üÚµ¨ƒ•

.‚ƒÌì 8.4.3

: A ! X ý‘úµª‘Ú÷ ¥ ´Ô› Âû ý¥ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• üµìø ‘ú€— ø üµìø h(a) = (f (a); g (a)) üÜî ‚ b Γ‘® ‘“ ´ª‘Ú÷ ,g

:A!Y

!X ! XY :

f

ø

f

.À€µª‘“ ,ÅØãó‘“ .À÷‚µ¨ƒ• ƒ÷

g

=

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ¥‘“

h 1 (U

Y

Æh

ø

¤¢

V

Y

2 U V  W

¤¢

U

¥‘“

h 1 (W )

2

x

ø

X

X

¤¢

Æh U

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

Ýþ ƒð .À÷‚µ¨ƒ•

 V ) = fa 2 A j f (a) 2 U ; g(a) 2 V g = f

ý‚äÞ¹õ ö€î .Àª‘“üõ ¥‘“ ƒ÷ ‚î

=

f

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø

\g



ø

Âð :–‘±™

f

݃€î ­Âê

1 (V ):

h 1 (U V ) ,À÷¥‘“ ø¢ Âû g 1 (V ) ø f 1 (U ) ö ,‘õ

ù‘Ú÷ ,w

h 1 (x)

1 (U )

g

h

2f

2W

1 (U )

Âð .Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢

\g

1 (V )

X

Y

ßþÂ“‘€“ .À÷¥‘“

Y

¤¢ ¤¢

W

V

ø

¥‘“

X

.´¨

.ßþ Âޗ 9.4.3 59

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê



X Y

“ ý ó•— ßþ µԃã®



X Y

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê 4.3

“ ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý ó•— ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

.À÷‚µ¨ƒ•



(X

ý‘Ìê Àƒ€î ´“‘™

H

.À€µÆû ‘Ìê

.´¨ é¤ õÿÞû

Y

ø

X

ö ‚ b ؐø ‚“ ‚î ´¨

G

ø ‘Ìê

°ƒ—µ“

Y

X

ø

Ýþ ƒð (3

(X=G)  (Y =H ) ‘“ Y )=(G  H )

(n; m)  (x; y) = –¤ ¬ ‚“ ¤ (x; y) 2 R2 °—Âõ šø ¥ “ (n; m) 2 ZZ Âʀä ÛÞä 2 ‘Ìê Z  Z ×þ R ¥ ßþ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .݃€îüõ Óþ Â㗠(x + n; y + m) 1 1 2 .À€ê¤ õÿÞû S  S ø R =(Z  Z) –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .¢¥‘¨üõ S1

 S1

(3

ý‘Ìê ‘“ (¢ª ‚›— 10.3 ø (Óó)-9.3 Ûت ‚“) ’ƒ— Àƒ€î ´“‘™ (4 .´¨ é¤ õÿÞû

Óþ Âã—

n z

=2

n

z

–¤ ¬ ‚“ ¤

¤¢ ‚î ´“‘™ .À€îüõ ÛþÀ±— ‘Ìê

n z

Óþ Âã—

Z= Z

 f1g

Sp;q :üþ‘Þ€û¤)

¤‘î ßþ Àƒû¢ ö‘È÷ .݃€îüõ

‘“

,–¤ ¬ ßþ

‚Ø€þ ø (2)-9.4.3 ø (4)-4.4.3

Sn 1

.À€ê¤ õÿÞû

f (x; t)

f 2

j

R

f0g

Rn

= 2 x ‚bΓ‘® ‘“ f : S

n

t




;x

n











b

p

ø ù¢“

T (x)

p;q




; y ) = (x1 z;


; x z = fy12 +


; y 2 + 1g1 2

; y1 ;

n

p

(.

G

ø

=

q

= 2x ‚bΓ‘® ‘“ T :

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.Àª‘“

p

I

n

1

R !R

Rn

f0g

n

ý‘Ìê Âþ ¥ Àƒ€î ´“‘™ (8

!

z; y1 ;

= 1g

n R




;y

n

‚î

Rn

n

q

p

¥

ⓑ—

)

ö ¤¢ ‚î Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

f0g ! R f0g fT j i 2 Zg S 1  S1 f0g)=G

Rn

n

i

Ýþ ƒð (9

ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû

.´¨ é¤ õÿÞû

:À€ê¤ õÿÞû

n

‘“

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ ý ó•— ‘“ ùÂÞû Âþ ¥ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™

= fx 2 R j0  x n

i

(6

ý‘Ìê ø¢ Àƒ€î ´“‘™ (7

x2 := x R x21 + + x2p x2p+1 p+q p 1 n q .À€ê¤ õÿÞû S R ý ó•— ý‘Ìê ø ,p + q ‚Γ‘® ‘“ f : S Sp 1

f (x1 ;

(R

ý¥ ‚“ (5

n

(.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

n

ø

= (2w) z ¤ n  z ‚î –ø‘Ô— ßþ ‘“ ,Àƒ€î ÛÞä (5) ´ÞÆì Û·õ ?´Æƒ (C f0g)=Z –¤ ¬ ßþ ¤¢ .w = exp(2i=3) ‚î Àƒ€î

n z

ⓑ— :üþ‘Þ€û¤)

ùø Âð

z

Z ×þ ‚“ ¤

–‘€þ Âޗ ¥ :üƒõ‘€û¤) .´¨ é¤ õÿÞû (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨

2 C f0g n 2 Z C f0g S1  S1 (C f0g)=Z

Ìä

 1; i = 1;


; ng; D

n

= fx 2 R

n

jkxk  1g:

(10

60

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

’ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê 4.3

'

!

:X

ÀþÀ› ý ó•— ý‘û‘Ìê Àƒó— 3 ÛÊê

ý‘úµª‘Ú÷ ų¨ ø

In

= X := [0; 1℄

n

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ :üþ‘Þ€û¤)

:D

:Àƒ€î Óþ Â㗠Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“ ¤

(

'(x)

= (

(x) = ñÎ“ üΡ ù¤‘• ‚“ ¤

X

maxfjx1 j;


; jx

kxk

0

kxk

maxfjx1 j;


; jx 0 ‘—

n

n

jg x

x

jg x

n

ø

Dn

6= 0 Âð

x

= 0 Âð

x

6= 0

x

!X

Âð

= 0 Âð

0 ¥ ´¨¤ Í¡ ù¤‘• Âû ' ´ª‘Ú÷ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ (.À€îüõ ÛþÀ±— ©¢¡ ‘“ ý¥õ ø ×þ

17.3 Ûت

Int(D )  = Int(I )  = (IntI )

(.

n

n

n

ƒè ý‚äÞ¹õ ñ‘±÷¢ :üþ‘Þ€û¤) .X ñ‘·õ ñ‘±÷¢ Àƒ€î ü㨠ö ¥ ŕ

Int(D )  =R

:üþ‘Þ€û¤) .

= X  X

n

‚î Àƒ“‘ƒ“ ¤ ý

.Àþ¢Âړ ‚µÆÆð ý ó•—

n

X

Àƒ€î ´“‘™

(11

ƒè ý‘Ìê

(12

‘“ üû‘€µõ ø üú—

(.Àª‘±÷ ‚µÆÆð ý ó•— ‘“ ‘Ìê ßþ ö ¤¢ ‚î Àþ¢Âړ ý ÂÚþ¢

61

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

4 ÛÊê ýó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ ƒ™‘b— ´½— ‚î ¢¥¢Â•üõ ý ó•—

ý‘û‘Ìê «¡ ¥ ‚µ¨¢ ö ‚ b ãó‘Îõ ‚“ ÛÊê ßþ

¥ üØþ üþ‘Ìê Âð ‚î ´¨ ö Âõ ßþ ¥ Ýúõ ý‚¹ƒµ÷ .À€€îüÞ÷ ƒƒç— ‘úÞÆƒê¤ õÿÞû –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ‚µªÀ÷ ¤ ´ƒ¬‘¡ ö ý ÂÚþ¢ ý‘Ìê ø ,Àª‘“ ‚µª¢ ¤ «¡ ßþ .À€ê¤ õÿÞû Âƒè ‘Ìê ø¢ ö

ù¢ÂÈê ý‘Ìê

¤µ¨ ´ƒãìø ßþ “ ‘f¨‘¨ úÔõ ßþ .´¨ ‚äÞ¹õ ßþ ¥ ´ƒ¬‘¡ ߃óø

[0; 1℄



‚ b Øþ ù b ¥‘“ ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ ý‚þ¢Âð

ý ó•—

ý¤¢ ƒ÷

[0; 1℄

[0; 1℄

= fUj j j

ø ´¨ ùÂÞû ©üóÞãõ ý ó•—

ý‚þ¢Âð Âþ ¥ –¤ ¬ ßþ ¤¢ , ¤

U

S

2

j J Uj

= [0; 1℄

2 Jg ‘“

R

1.4

üð¢ÂÈê

Âð ‚î ´¨

‚î) À€ª‘“

R

‚î ý‚÷ð ‚“ ,(Àª‘“üõ üþ‘Ìê Âþ ¥

ö‘€»Þû ‘ú÷ á‘Þµ› ‚î ¢ªüõ ´ê‘þ ý‚÷ð ‚“

U

ù¢÷‘¡ ßþ ¥ üû‘€µõ

.¢ª ၛ¤ 11.1.4 ‚ b ƒÌì ‚“ ;À÷‘ª•üõ

,X ­ø ÂÔõ ‚ b äÞ¹õ ¥ .S



S

S

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ýÂ“

Ǫ•

¥ ¤ Ñ€õ

2

j J Uj ‚î ý‚÷ð ‚“ ,´¨ X ¤¢ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

üû‘€µõ Ǫ• fUj j j 2 J g

݃Žðüõ ,Àª‘“ üû‘€µõ

J

.ÓþÂ㗠1.1.4

fUj j j 2 J g

ý‚þ¢Âð

¤ÁÚÆþÀ÷ ‚ b äÞ¹õ Âð ,ùø…ã“

63

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

X

ýÂ“ üȪ•

fUj j j 2 J g

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

–¤ ¬ ¤¢ ,Àª‘“ ‘Ìê Ûî

S = X Âð ,ùÄþ“ .´¨ S .X = j 2J Uj ‚î ´¨

f[1=n; 1 1=n℄ j n 2 N g Un = (n; n + 3)  R fUn j n 2 N g

.R ¢¡ ýÂ“ üȪ• ,

V ý

‚î

fVk j k 2 K g U = fUj j j 2 J g k 2K j 2J X V Ǫ• Âþ¥ U

=

ø

×þ ,

Âû ý¥ ‚“ Âð .À€ª‘“

ýÂ“ üþ‘úȪ•

ø

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .

ö ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ f ø ‚î ´¨ üȪ• „ .Àª‘“

X

S

S

ø ý ó•—

ýÂ“

ý‘Ìê ¢¡ ,ùÄþ“

X

üþ‘Ìê

X

ý ó•—

Uj

ý

.ñ‘·õ 4.1.4

ý‘Ìê ¥

S

ø

Un = (n; n + 3)

.ÓþÂ㗠5.1.4

݃€î ­Âê

2J

j

(0; 1)

ø À€µÆû ©üóÞãõ ý ó•—

¥‘“ Ǫ• fUj j j 2 J g

¤¢ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

¥ üȪ• Âþ ¥

¥

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

݃€î ­Âê

.Àª‘“üõ

ù¢ÂÈê

= Vk

V = fVr j r 2 Rg U = fUn j n 2 N g V U Vr = (r; r + 3) V U ø

R

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ýÂ“ üþ‘úȪ•

݃Žðüõ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Uj

‘ú÷ ¤¢ ‚î ,

R

S

¥

ø ´¨

.ÓþÂ㗠3.1.4

݃€î ­Âê

.´¨

‘“

.ñ‘·õ 2.1.4

‚ b þ¢Âð

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ýÂ“ üȪ•

݃•ð üõ ü—¤ ¬ ¤¢

.Àª‘“

Âû ý¥ ‚“ ü÷‘™ ¤¢ ø ù¢“ ö ýÂ“

.ÓþÂ㗠6.1.4

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

.Àª‘“ üû‘€µõ üÈȨ• Âþ ¥ ý¤¢ ö ¥‘“ Ǫ• Âû ‚î ݃•ð

Âþ ¥ ý¤¢ ,X ýÂ“ ¥‘“ Ǫ• Âû ‚î ´¨

ù¢ÂÈê

üµìø ‘ú€— ø üµìø

X

ý ó•—

.Àª‘“ üû‘€µõ üȪ•

ù¢ÂÈê ,©üóÞãõ ý ó•— Ǫ• Âþ ¥ ºƒû ‚î ´¨

R

ùÂÞû ‚“

R

ý ó•—

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

ý‘Ìê (1

f(n; n + 2) j n 2 N g

.ñ‘·õ 7.1.4 f ·õ Âþ ¥ .´Æƒ÷ ,… .¢¤À÷ üû‘€µõ

.Àª‘“ üû‘€µõ ‚î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ‘ú€— ø üµìø ‚µÆÆð ý ó•— ‘“

X

Â𐠐Áó ø Àû¢üõ

X

¤¢ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ ۃØȗ

X

X

ý‘Ìê (2

¥ ‚ÎÖ÷ Âû ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ ,Âþ ¥

Âþ ¥ ºƒû ,ýÌä ח ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚ b Þû ¥ °îÂõ ¥‘“ Ǫ• ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üû‘€µõ‘÷ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üû‘€µõ

X

Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .¢¤À÷ üû‘€µõ Ǫ•

.´¨ üû‘€µõ ‘fõ ó üȪ• Âû ßþÂ“‘€“ ø À€µÆû üû‘€µõ .(¢ª ‚›— 11.1.4 ‚“) ´¨ ù¢ÂÈê

R

¥

X

¤¢

[0; 1℄ ý‘Ìê Âþ ¥ (3

64

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

.ßþÂޗ 8.1.4 ù¢ÂÈê

X

‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.´¨ üû‘€µõ ÝÞµî ý ó•—

.´¨ ù¢ÂÈê ƒ÷

X

,

=

2

j J Cj

;

X

ý‘Ìê ×þ Àƒ€î ´“‘™ (2

fCj j j 2 J g fCk j k 2 K g

‘“ ‚ b µÆ“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

݃ª‘“ ‚µª¢ Ýû ¥‘“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

‚þ¢Âð Âû ý¥ ‚“'

üû‘€µõ ý‚þ¢Âð Âþ ¥

T

".

‚“ ‚î

U

2F

R

üµìø ‘ú€— ø üµìø :Àª‘“ Ûþ£ žÂª ‚“

[s; t)  U

Àƒ€î ´“‘™ .

‚î Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

݃€î ­Âê (1

¥ ‚äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨

‚î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ‘ú€— ø üµìø ­ø ÂÔõ ý ó•—

T

ý¤¢

2

k K Ck

“ ýý ó•—

F

=;

Ýþ ƒð (3

0 ×þ ý s 2 U Âû ý¥ .´Æƒ÷ ù¢ÂÈê (R; F ) ¥ [0; 1℄ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

‚î ¢¢Âð ´ê‘þ ö‘€ üþ

t>

X

ý‘Ìê ×þ ¥

­ø ÂÔõ ý ó•—

S

ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

:Àª‘“üõ ߃€ ´¨ žÂÎõ ‘¹€þ ¤¢ ‚î ü󐁨 .Ýþù¢¢ ¤Âì ö “ ¤ üþ‘Ìê Âþ ¥ ý ó•—

X

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ö€ä ‚“ ö üð¢ÂÈê ø ý ó•—

ý‘Ìê ö€ä ‚“

S

üð¢ÂÈê

"!À€µÆû üØþ úÔõ ø¢ Âû' ‚î ´¨ ßþ ¾¨‘• ?À÷¤¢ Ýû ‘“ üϑ±—¤ ‚

ù¢ÂÈê üµìø ‘ú€— ø üµìø

X

ý ó•— ý‘Ìê ¥

S

.‚ƒÌì 9.1.4

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

.Àª‘“ ù¢ÂÈê ©üþ‘Öó ý ó•— ‘“ ùÂÞû ý ó•— ý‘Ìê ö€ä ‚“ ‚î ´¨

‚“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ À€—¤‘±ä

S

¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ Âþ ¥ ,´¨ ¼®ø ßþ :–‘±™

.Ýþ ¤‘³¨üõ ùÀ€÷¡ ‚“ ßþ Âޗ ö€ä ‚“ ¤ ¤‘î ‚ b õ¢ .´¨ ¥‘“

S X

X

X

' ‚î ݃€î Óþ Â㗠߃€ ñø ö‘Þû ¥ ݃µÆ÷—üõ ŕ

¥ ©üþ‘Öó ý ó•—

‘“ ùÂÞû ý ó•—

¤¢

U

‚î ,U

\S

Ûت

2

.´ª¢‘þ 10.1.4

ý‘Ìê ö€ä ‚“ ‚î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ".Àª‘“ ù¢ÂÈê

.¢¥‘¨üõ ÝûÂê ¤ ù¢ÂÈê ý‘û‘Ìê ¥ üÞúõ ñ‘·õ ýÀ㓠Ý؟

.´¨ ù¢ÂÈê Ǫ• Âþ ¥ ‚÷ð Âû Àì‘ê ø

[1=2; 1℄

ø

[0; 1=2℄

[0; 1℄

[0; 1℄  R

‚µÆ“ ‚ b Øþ ù b ¥‘“

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

.‚ƒÌì 11.1.4

U = fUj j j 2 J g

Ýþ ƒð :–‘±™

ý‘ûù¥‘“ ¥ üØþ ÛìÀŸ ‚î ´¨ ü€ãõ ßþÀ“ ßþ .Àª‘“ üû‘€µõ

65

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

‘“ ‚î ýù¥‘“ ü€ãþ ,ù¥‘“ ßþ .À÷‘ª• ¤ ö ¢ªüÞ÷

U

¥ üû‘€µõ Ǫ• Âþ ¥ ºƒû ‘“ ¤

U

ßþ ‚ b õ¢ ‘“

[a1 ; b1 ℄ ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ ,À÷‘ª• ¤ ö ¢ª üÞ÷ ¥ üû‘€µõ Ǫ• Âþ ¥ ºƒû    1 1 ¤ 2 (a1 + b1 ); b1 ø a1 ; 2 (a1 + b1 ) ý‘ûù¥‘“ ¥ üØþ Û쐄 Ýû ¥‘“ .݃û¢üõ ö‘È÷ [a2 ; b2 ℄ ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ ßþ .À÷‘ª• ¢ªüÞ÷ ¥ üû‘€µõ Ǫ•

ö—üÞ÷

¥ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ‘“ ¤ ×þ ºƒû ‚î ݃¨¤üõ ‘ûù¥‘“ ¥ ý‚ó‘±÷¢ ‚“ ¤‘î

.݃û¢üõ ö‘È÷ Âþ ¥ ºƒû ‘“

‚“ ø

U

U

2

an =

bn

n ùø…ã“ . . . ,[a ; b ℄ . . . ,[a ; b ℄ ,[a ; b ℄ :À÷‘ª• n n 2 2 1 1

ý¥ ‚“ ‚î ¢ªüõ °›õ ¡ ¯Âª ýÂ“ üþ„‘“ öÂî

bn

ßþÂ“‘€“ ø

am

‚ b äÞ¹õ üþ„‘“ öÂî ßþ µ؝î ‚ b äÞ¹õ ýÂ“ ü€ƒŽ‘• öÂî ¤¢ .Àª‘“

.a

fb1 ; b2 ;


g

2 Uj

ý

."

>

j

2J

a

a

ŕ ,a

 an

.an

 bn

a

n

݃€î ­Âê ö€î

 bn

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø

×þ ý¥ ‚“ ,a

+1

݃ª‘“ ‚µª¢

ý

n

b

a

ø

m

 bn

ý

n

Âû ý¥

¼ƒ½¬ ¢Àä ´Ô› Âû

fa1 ; a2 ;


g fa1; a2 ;


g fb1 ; b2 ;


g

‚ b äÞ¹õ

.´¨

Âû ý¥ ‚“ ö .Àª‘“

ýÂ“ ü€ƒŽ‘• öÂî ßþ µ𤠓 .b

 bn

+1

b

2

݃€î ­Âê .´¨

n ý n Âû ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ

= b 2 [0; 1℄ ø À÷‘ª•üõ ¤ [0; 1℄ ùb¥‘“ U

ö

0 ‚î ,¢¤¢ ¢›ø (a "; a + ")  Uj ¥‘“ ýù¥‘“ ,´¨ ¥‘“ Uj ö aN < " ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø 2 N < " ‚î ݃€îüõ ’‘¿µ÷ ö‘€ ý N ´±·õ ¼ƒ½¬ .bN ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ;b bN < 2 N < " ø a aN < 2 N < " ø a 2 [aN ; bN ℄ ‘õ

¢Àä

Âþ ¥ ºƒû ‘“ ¤

2

[aN ; bN ℄

݃÷¢üõ Âþ ¥ ,´¨ Ë쑀— ‚î

[aN ; bN ℄

.Àƒ÷‘ª• ö—üÞ÷

–‘±™ fÀã“

 (a U

"; a + ")

¥ üû‘€µõ Ǫ•

.¢¢ ö‘È÷ ¤ Âþ ¥ Ý؟ ý ¤Âì“ ø ù¢¢ ݃Þ㗠ö—üõ ¤ „‘“ ñ„Àµ¨ .Àª Àû¡ ‚Ž¤ °ÜÎõ ßþ ¥ ý ÂÚþ¢

,I

= [0; 1℄  R

‚î ,I

n

:= I 


I

 Rn

.‚¹ƒµ÷ 12.1.4

n

ÀŸø °ãØõ

.´¨ ù¢ÂÈê

üþ‘Ìê Âþ ¥

S

X

ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f : X

!

.´¨ ù¢ÂÈê üþ‘Ìê Âþ ¥ ƒ÷

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨

f (S )

Ǫ• Âþ ¥ ,´¨ ù¢ÂÈê

f (f 1 (Uk ))

2



S

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

ö .´¨

‘õ .´¨ üû‘€µõ .Àª‘“üõ

U

K

S

Y

.‚ƒÌì 13.1.4

Ýþ ƒð

f (S )

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,´¨ ù¢ÂÈê

U = fUj j j 2 J g U 0 = ff 1(Uj ) j j 2 J g U 0 ff 1(Uk ) j k 2 K g ݃€î ­Âê :–‘±™

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

,ßþÂ“‘€“ .¢¤¢ ¢›ø

¥

¥ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ‚î ,´¨

.´¨ ù¢ÂÈê

[0; 1℄  R

‚µÆ“ ù b ¥‘“ Âû (1

f (S )

ýÂ“ üȪ•

üû‘€µõ

Uk

.‚¹ƒµ÷ 14.1.4

66

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª .À€ê¤ õÿÞû ý ó•—

ý‘Ìê ø¢

.Àª‘“ ù¢ÂÈê

f :

´ª‘Ú÷ ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•—

Y

Yø X

Àƒ€î ­Âê (2

‚î ´¨ ßþ ,Àª‘“ ù¢ÂÈê

Y

ý¤¢

.´¨ ù¢ÂÈê

Y

ø ù¢“ ù¢ÂÈê

X

X

‚Ø€þ

Âð (3

X

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

!Y

.´¨ üúþÀ“ Ý؟ ßþ –‘±™

.´ª¢¢‘þ 15.1.4

ý‘Ìê ºƒû ,„‘“ ‚ b ¹ƒµ÷ ¥ (2) Ý؟ §‘¨ “ ‚î ¢ª ‚›—

.Àª‘“ é¤ õÿÞû ù¢ÂÈê ý‘Ìê ×þ ‘“ À÷—üÞ÷ ý ù¢ÂÈê ƒè

.ñ‘·õ 16.1.4

ù¢ÂÈê ,ù¢ÂÈê ý‘Ìê ×þ ¥ ‚äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ‚î ¢¤À÷ üõø ó .´Æƒ÷ ù¢ÂÈê ‚î ´¨ .¢Þ÷ Ճֽ— ¢ªüõ

f ·õ Âþ ¥ [0; 1℄ ùb¢ÂÈê ý‘Ìê ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ (0; 1) ,…

f(1=n; 1 1=n) j n 2 Ng

Ǫ• ͨ— üµû¤ ‚“ ¤ °ÜÎõ ßþ

.‚ƒÌì 17.1.4

.´¨ ù¢ÂÈê ,ù¢ÂÈê ý‘Ìê ×þ ¥ ‚µÆ“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû

S

×þ Âû ö ¤¢ ‚î ,´¨ ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ ,S



X

S

fUk j k 2 2

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

U = fUj j j 2 J g

2

Ýþ ƒð :–‘±™

j J Uj ö .Àª‘“üõ X ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‘û Uj ¥

üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ,´¨ ù¢ÂÈê Ûت ‚“ ‘þ ø ´¨

.Àª‘“

X

fUk j k 2 K g

ö ø ´¨ Ûت ‚“ ‘þ

X

X

S

U [ fX

S

ýÂ“ üû‘€µõ Ǫ• Âþ ¥ ßþ

K

´ó‘Ÿ ø¢ Âû ¤¢ ,ßþÂ“‘€“ .´¨ üû‘€µõ .À÷‘ª•üõ ¤

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

.¢¤¢

fUk j k 2 K g [ fX U

ü¨¤ “ ¤ üð¢ÂÈê “ ý ƒð´ÞÆì š¤‘¡ ‘þ ø ý ó•—

g Kg S

‚î ,

‚î ´¨

g

¥ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥

ö¢Þ÷ Ǒ‘Öó ƒ™‘b— ‘¹€þ ‘—

.´¨ ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý ó•— ´“÷ ,ö€î .Ýþ¢Þ÷

ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª .À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê

Y fWj j j 2 J g

.Àª‘“ ù¢ÂÈê

X



X

¤¢ ‘û

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

X

S

ø

‚î ,´¨

´¨ ù¢ÂÈê

.‚ƒÌì 18.1.4

Ýþ ƒð

Y

ø

X

ý‘Ìê ø¢ Âû ‚Ø€þ

Ýþ ƒð .À€ª‘“ ù¢ÂÈê

Y

ø

X

Àƒ€î ­Âê :–‘±™

 Vj;k ) fUj;k  Vj;k j j 2 J ; k 2 K g x 2 X fxg  Y fUj;k Vj;k j j 2 J ; k 2 K g fUi (x)  Vi (x) j i = 1;


; n(x)g Uk;j

X

‚î ´¨ ßþ À€ª‘“ ù¢ÂÈê

k K (Uj;k

2

ÛØȓ

ýÂ“ ý¥‘“ Çȕ

ý‘Ìê Âþ ¥ ý

Wj

Âû Óþ Â㗠‚“‘€“

,ßþÂ“‘€“

Âû ý¥ ‚“

ýÂ“ ý¥‘“ Ǫ• ,´¨

Y

.À÷¥‘“

Y

.´¨

¤¢ ‘û

.Àû¢üõ ۃØȗ

ö ø (´¨ é¤ õÿÞû

Y

üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ý¤¢ ,´¨

Vj;k

X

Y ø

Y

‘“ ,Âþ ¥)

fxg  Y

67

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

‚ b þ¢Âð ,°ƒ—— ßþ ‚“ .U

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

0(x) := Tn(x) Ui (x) Ýþ ƒð i=1

X

üȪ• Âþ ¥ ý¤¢ ßþÂ“‘€“ ø Àû¢üõ ۃØȗ

fU 0 (xi )  Vk (xi ) j i = X Y 0 U (xi )  fWj j j 2 J g i

,‘õ .Àª‘“üõ

‚î ´¨ ߪø ¤

fxg Y fU 0(x) j x 2 X g fU 0 (xi ) j i = 1;


; mg 1;


; m ; ki = 1;


; n(xi )g j 2J ki i Vk (xi )  Uj;k  Vj;k  Wj X Y X Y .À÷‘ª³“ ¤

À÷—üõ ‚î

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

.´¨

üû‘€µõ

Ûî ýÂ“ üû‘€µõ ø ¥‘“ Ǫ•

‚î À÷¤¢ ¢›ø ö‘€ ý

¢›ø

k

2K

×þ ø

×þ ,

¥ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ .

Âû ø

Âû ý¥ ‚“

i

.À÷‘ª•üõ ¤

Y

ý‘û‘Ìê ,À€µÆû ‚µ¨ƒ•

ø

X

ö ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢ÂÈê

2

Âð ,ÅØãó‘“

.À÷‘“üõ ù¢ÂÈê ƒ÷

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ý ó•— ý

‚î ¢¤¢

i

Xn

ý‘û‘Ìê

Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ßþ

X1

ø

üð¢ÂÈê ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª .Àª‘“ ù¢ÂÈê

I n := [0; 1℄n

ÀŸø °Øõ

n

,´¨ ù¢ÂÈê

X

.‚¹ƒµ÷ 19.1.4

ø . . . ,X2 ,X1 Âð

 X2 


 X n

Y

I := [0; 1℄

ö

Xi

.ñ‘·õ 20.1.4 .´¨ ù¢ÂÈê

ý¢Àä ‚î ݃Žð Âû ø

x = (x1 ;

‚“ ü±ãØõ

ù¢ÂÈê

Rn

n

¤À÷Âî

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤




; xn ) 2 S

öø ¤¢ ¤¢

S

Rn

¥

S

.ÓþÂ㗠21.1.4

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

0 üփ֟ ݃ª‘“ ‚µª¢ ý i = 1;


; n .Àª‘“ ‚µª¢ ¤Âì 2K âÜ®

‚ b ÎÖ÷ Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“

jxi j < K

.

K >

.ñ¤“-ßþ‘û ‚bƒÌì 22.1.4

¥ ¤À÷Âî ø ‚µÆ“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû

.´¨

×þ ¤¢

S

‚î ¢¤¢ ¢›ø ý

é¤ õÿÞû ÀŸø °ãØõ

K >

0 ¢Àä ŕ

.Àª‘“ ¤À÷Âî ø ‚µÆ“

n ‘“ °ãØõ n ßþ ,‘õ

ø ´¨ ù¢ÂÈê üþ‘Ìê ¥ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

S

.¢Âƒðüõ ¤Âì

S

Ýþ ƒð :–‘±™

2K âÜ® ‚“ °ãØõ

n

,ŕ .Àª‘“üõ ù¢ÂÈê ßþÂ“‘€“ ø ´¨

2

.Àª‘“üõ ù¢ÂÈê ßþÂ“‘€“

.((14)-7.2.4 ßþ Âޗ) ´¨ ´¨¤¢ ƒ÷ ‚ƒÌì ßþ ÅØä

.´ª¢¢‘þ 23.1.4

68

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

.ñ‘·õ 24.1.4

:À÷ù¢ÂÈê Âþ ¥ ¤¢ žø ÂÈõ ý‘û‘Ìê ¥ ×þ Âû

n+1 ¥ ý ¤À÷Âî ø ‚µÆ“ ‚äÞ¹õ Âþ ¥) ;(R b




Sn

n

;S

n ý‘ª• ù¤‘Ø÷) b

;(S .(R

3

Sn (1

RP

n

(2 (3

¥ ¤À÷Âî ø ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥) §ƒ“õ ¤÷ (4

.ßþÂޗ 25.1.4 ?À÷ù¢ÂÈê Âþ ¥ ¤£ žø ÂÈõ ý‘û‘Ìê ¥ ׃õÀî (1

2) Int(D n ) = fx 2 Rn j kxk < 1g; 1) D n = fx 2 Rn j kxk  1g; 3) f(s; t) 2 R2 j 0  s  1 ; 0  t  4g; 4) f(s; t; u) 2 R3 j s2 + t2  1g \ f(s; t; u) 2 R3 j t2 + u2  1g .´¨ ¤À÷Âî ‘fõ ó

‚µ¨ƒ•

f

Rn

¥ ù¢ÂÈê ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (2

‚î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ‘ú€— ø üµìø

ƒè ø ‚µÆ“ ©¤¢Þ÷ ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“

g : I

f :I

!R

!R

ⓑ— ¤¢Þ÷ ‚î Àƒ€î ´“‘™ (3

‚µ¨ƒ•‘÷ ⓑ— ×þ ¥ üó‘·õ .Àª‘“ .Àª‘“ ù¢ÂÈê

ⓐ— ‚ b Þû ‚äÞ¹õ

F (X; Y )

Ýþ ƒð

.À€ª‘“ ý ó•—

Y

ý‘Ìê

ø

Y AX Y X B A F (X; Y ) F (A; B ) := ff 2 F (X; Y ) j f (A)  B g A  Xg L = fF (A; B ) j B  Y

ö‘È÷ ýÂ“

F (A; B )

ù¢‘Ôµ¨ ,À÷¤‘Ø÷üõ

¢‘Þ÷ ¥ ,B ¤

ø

‚î

Âð .Àª‘“

‚“

´ê‘þ ý ¤ Ï

ýÂ“ ý ó•—

×þ

¬‘€ä ù‘Ú÷ ,f

݃€î ­Âê .Àª‘“ ù¢ÂÈê ÂþÁ•ý µõ ý ó•— ݃€îüõ Óþ Âã—

ý ó•—

ø ´¨

2U

Âð

g

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™

.(À€õ‘÷üõ

Y

:݃€îüõ

:݃€îüõ Óþ Â㗠ø

‚î ¢ªüõ

ý‘Ìê

¥ ‚µ¨ƒ•

ø ù¢ÂÈê

U = fU 2 F (X; Y ) j f 2 F1 \


\ Fn  U F1 ;


; Fn 2 L F (X; Y ) U ¤ ßþ) ´¨

Ýþ ƒð (4

¥ ý ¬‘€ä ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ö¢¢

Ýþ ƒð . ¥‘“

X

F (X; Y )

¥‘“-ù¢ÂÈê ýó•—

ý‘Ìê ×þ

“ ö€î .Àª‘“


d (f; g ) := sup d f (x); g (x) : x2X F (X; Y ) ýÂ“ µõ ×þ d –¤ ¬ ßþ

.´¨ ¥‘“-ù¢ÂÈê ý ó•— ö‘Þû ‘fփì¢

d

X

Ýþ ƒð (5

µõ ‘“ ý µõ

¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

F (X; Y )

“

d

¥ Û¬‘Ÿ

69

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

üÚþ‘ÆÞû Âû ,x

2X

ù¢ÂÈê ý‘Ìê 1.4

Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨ ù¢ÂÈê ‚î Àª‘“

F (X; Y )  X ! Y

ù¢ÂÈê ‘f㮁õ x

d

X

2J

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

‚î)

x

U = fUj j j 2 J g

U Ǫ• Ù±ó ¢Àä

Uj

ý‘û‚äÞ¹õ ¥ üØþ ¤¢

X

X

ü‘Ìê

X

Ýþ ƒð (7

Âð Àƒ€î ´“‘™ .´¨ ùÀª

‘€“) ¥

¥

(f; x) 7! f (x) ‚bΓ‘® ‘“

‚î ,Àª‘“ ù¢ÂÈê ý ó•—

Âþ ¥ Âû ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ( ¤Âì (j

ý‘Ìê (6

ü“‘þ ¤ÀÖõ ´ª‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ù¢ÂÈê ‘f㮁õ

ý µõ ¥ ö ý ó•—

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

X

¥ ý µ؝î üÚþ‘ÆÞû ý¤¢

.´¨ ‚µ¨ƒ•

Û¬‘Ÿ

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

Æ

Æ >

0 üփ֟ ý¢Àä

¥ µÞî ÂÎì ‘“ ‚ b äÞ¹õ .¢Âƒðüõ

ý Âʀä

1

1 ‚“ ¤ U

‚î ,Àª‘“

X

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

‚î Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢

V

[f1g

X

ÂÚÈþ‘Þ÷

X1

ø ù¢“ ý ó•— üþ‘Ìê

“ ­ø ÂÔõ ý ó•—

[ f1g

U

Âð

.´¨

X

X

Ýþ ƒð (8

¤¢ âìø ƒè

Ûت ‚“ ý‘û‚äÞ¹õ ‚ b Þû ùÂÞû ‚“

U

–¤ ¬

1 ‚î Àƒ€î ´“‘™ .´¨ ‚µÆ“ ø ù¢ÂÈê X V ‚bäÞ¹õ ø V  X ×þ U 1 ¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ X ‚î Àƒ€î ´“‘™ ,߃€»Þû .´¨ X 1 ýÂ“ ý ó•— ´¨ X 1 1 ùø…ã“ ø .(À€õ‘÷üõ X ýÂ“ ý‚ÎÖ÷ ח ý¥‘¨ù¢ÂÈê ¤ X ) ´¨ ù¢ÂÈê X

70

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê

2.4

–‘±™ ‘— ¢“ ùÀª ‚µ¨¡ ö ¤¢ ‚î ´¨ (2)-6.1.2 ßþ Âޗ Ç¿“ ßþ áø ª ‚ b ÎÖ÷ ¯‘Ö÷ ¥ šø ¥ Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÂþÁ•ý µõ ü®ø ÂÔõ ý ó•— ý‘Ìê Âð ‚î ¢¢Âð

y

2 x 2 Ux ,

×þ ý¥ ‚“ ,x

6=

y

ö ,âìø ¤¢

.´¨ ö “ ¢›õ ý ó•—

¥ ´Ô› Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨

2 Ux

X

Uy

¤¢

X

B" (y )

é¤øÀ¨ø‘û

‚î À÷ª ´ê‘þ ö‘€

Ux

ø

¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¤¢ þ‘Þµõ

.´¨ ù¢‘¨ ö –‘±™

‘“ ¤‘𥑨 ø

.Ýþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

,x

Uy

‚î À÷ªüõ ´ê‘þ ý ¤ Ï

“ µõ ø

B" (x)

ü—¤ ¬ ¤¢

ø

Ux

d

‚î

.Ux

\ Uy

d(x; y ) =

=

;

2" ý "

y

ø

ø

Uy

>

x

0

ý‘û‚äÞ¹õ ´¨ üê‘î ö€î

X

.ÓþÂ㗠1.2.4

ý‘Ìê

¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ,x; y .Ux

2X

þ‘Þµõ ¯‘Ö÷

\ Uy = ;

ø

y

2 Uy

.ñ‘·õ 2.2.4

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ,ÂþÁ•ý µõ ý‘Ìê Âû (1

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ©üóÞãõ ý ó•— ‘“ ùÂÞû

Rn

(2

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ,‚µÆÆð ý ó•— ‘“ ý ó•— ý‘û‘Ìê Âû (3 ƒè ,§ÞÜõ ý ó•—

ý¤¢ ø ‚ÎÖ÷ ×þ ¥ ǃ“ ‘“ ý ó•—

ý‘Ìê Âû (4 .´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

.ßþÂޗ 3.2.4 ‘ú€— ø üµìø

X

Àƒ€î ´“‘™

.´¨ üû‘€µõ ÝÞµõ ý ó•— ‘“ üþ‘Ìê .Àª‘“ üû‘€µõ

×þ ,s

2U

2F [s; t)  U

Âû ý¥ ‚“ Â𐠑ú€— ø Âð

ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™

.Àª‘“

R

U

“ "

X

.Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û

Y

၀µõ ᐁ÷ ‘¹€þ ¤¢ .´¨

‚î ´¨ ßþ

X

ý¥‘¨À› ¯øª

Ýþ ƒð (1

‚î ´¨ é¤ øÀ¨ø‘û üµìø

' Óþ Â㗠‘“ ý ó•—

F

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ ý

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

ø ¥„ ¯Âª Àƒ€î ´“‘™ .À€ê¤ õÿÞû ý ó•—

X

ý‘Ìê ø¢

Y

(R; F )

ø

X

Ýþ ƒð (2

t > s –¤ ¬

Àƒ€î ­Âê (3

ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ‚Ø€þ ýÂ“ üê‘î

¥ ý‚÷Þ÷ ,ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ¯Âª

f Þä ,‘õ .݃€îüõ žÂÎõ ¤ ¯ø ª ßþ é¤ øÀ¨ø‘û ý‘û‘Ìê ‚“ ö‘Þú›— â쐁õ Â·î ¤¢ … .´¨

71

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

ý¥‘¨À› ñ¬ ᐁ÷

ü—¤ ¬ ¤¢ .´¨ 4 ‘þ ø 3 ,2 ,1 ,0 ¢Àè ¥ üØþ žø ÂÈõ

Tk

ý¥‘¨À› ¯Âª ¤¢ ‚î ,´¨ ‘Ìê

Tk

k

×þ

Ýþ ƒð

X

:1.4 Ûت

.ÓþÂ㗠4.2.4

ý ó•—

ý‘Ìê ݃Žðüõ

:À€î ëÀ¬ Âþ ¥ ¤¢ üØþ ‚î ¢ª ´ê‘þ

X

¤¢ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ ,X ¤¢ ý ¹õ ¯‘Ö÷ ¥ ´Ô› Âû ý¥ ‚“

: T0

.¢ª ‚›— (Óó)-1.4 Ûت ‚“ .ƒ¡ ¤ ý ÂÚþ¢ üóø ,¢¤¢ “ ¤¢ ¤ ‚î À÷ª ´ê‘þ

X

Ûت ‚“ .ƒ¡ ¤

¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¤¢ ý ¹õ ¯‘Ö÷ ¥ ´Ô› Âû ý¥ ‚“

x

ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

y

ý ÂÚþ¢ ø ,ƒ¡ ¤

y

ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

x

: T1

üØþ

.¢ª ‚›— (’)-1.4 À÷ª ´ê‘þ

X

¤¢  ¹õ ø ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¤¢ ý ¹õ ¯‘Ö÷ ¥ ´Ô› Âû ý¥ ‚“

Ûت ‚“ .ƒ¡ ¤

x

ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

y

ý ÂÚþ¢ ø ,ƒ¡ ¤

y

ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

x

: T2

üØþ ‚î

.¢ª ‚›— (š)-1.4

x

‚ b ÎÖ÷ Âû ø

¤

F

F

‚µÆ“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ý¥ ‚“ ø À€îüõ ëÀ¬

üØþ ‚î À÷ªüõ ´ê‘þ ö‘€

‚“ .À€îüÞ÷ âÎì ¤

F

X

T1

¯Âª ¤¢

X : T3

¤¢  ¹õ ø ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ,F ¥ š¤‘¡

ø ¢ªüõ Ûõ‘ª ¤

x

ý ÂÚþ¢ ø ,ƒ¡ ¤

x

ø ¢ªüõ Ûõ‘ª

.¢ª ‚›— (¢)-1.4 Ûت

72

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

ø ‚µÆ“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ´Ô› Âû ý¥ ‚“ ø À€îüõ ëÀ¬ ‚î À÷ªüõ ´ê‘þ ö‘€ ¢ªüõ Ûõ‘ª ¤

F2

X

¤¢  ¹õ ø ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¥

F2

ý ÂÚþ¢ ø ,À€îüÞ÷ âÎì ¤

T1

F2

¯Âª ¤¢

ø

F1

ø ¢ªüõ Ûõ‘ª ¤

ý ¹õ

F1

.¢ª ‚›— (û)-1.4 Ûت ‚“ .À€îüÞ÷ âÎì ¤

Ýрõ

.À€õ‘÷üõ

Àª‘“üõ ßþ

T4

ø

T3

¤ ‘Ìê

¯ø ª Óþ Â㗠¤¢

T3 T1

é¤øÀ¨ø‘û

ø ,

üØþ

F1

T2

¤ ý‘Ìê

X : T4

ø

f Þãõ „

.´ª¢¢‘þ 5.2.4

¯Âª ¢›ø ۃó¢

8.2.4 ‚ b ƒÌì ‚“) À÷‚µÆ“ ý‚ÎÖ÷ ח ý‘û‚äÞ¹õ ‚î ´¨ üþ‘û‘Ìê ߃€ ¤¢ ‚î .(¢ª ‚›—

ý‘û‘Ìê

Ti

Ti T0  T 1  T 2  T 3  T 4

‚ b Þû ‚ b þ¢Âð ,i

= 0; 1; 2; 3; 4

.

Âþ ¥ ͓ø ¤ ßþ ö¢“ Àƒî –‘±™ .´¨ üúþÀ“

2

.‚ƒÌì 6.2.4

݃€î ­Âê

‚î

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ ý ó•—

T i  Ti

+1 ¢¤ õ Âû ¤¢ ‚Ø€þ :–‘±™

(2)-7.2.4 ßþ Âޗ .¢¢ ‘¹÷ ö—üõ ñ‘·õ ‚ b Ž¤ ‘“ ¤ ý‚äÞ¹õ

.ßþÂޗ 7.2.4 ‘ú€—ø üµìø ‚î Àƒ€î ´“‘™ .À€ê¤ õÿÞû ý ó•— ý‘Ìê ø¢ .(k

= 0; 1; 2; 3; 4 ‚î) Àª‘“ ‘Ìê-Tk ×þ X

ý¥ ‚“ ‚î Àþ ¥‘Æ“ ý‚÷ð ‚“ ¤ .Àª‘±÷ ‘Ìê

:üþ‘Þ€û¤)

Tj

ý

j>k

.´¨ ‘Ìê

T4

X4

ø

Y

ø

X

݃€î ­Âê (1

‚î ´¨ ‘Ìê-Tk ×þ

X3 ,X2 ,X1 ,X0

Âû ý¥ ‚“ üóø ,Àª‘“ ‘Ìê

ý ó•—

Tk

×þ

Y

üµìø

ý‘û‘Ìê (2

Xk

ý

k

Âû

‘fõ ó é¤ øÀ¨ø‘û ù b ¢ÂÈê ý‘Ìê Âû ‚î Àƒ€î ´“‘™ (3

‚ b ƒÌì –‘±™ ‚“ ÀþÀª Àƒ÷ ‘÷ Âð ø ,Àþ ¥À÷‘ƒ“ üû‘Ú÷ 10.2.4 ‚ b ƒÌì –‘±™ ‚“ (.Àƒ€î ‚›— 20.2.4

ý‚ÎÖ÷ ח ‚ b äÞ¹õ Âû ‚î ´¨ ‘Êê

T1

üµìø ‘ú€— ø üµìø

X

.‚ƒÌì 8.2.4 .Àª‘“ ‚µÆ“ ö ¥

ßþ ¤¢ .y

S

2

y X

2 X fxg

ø

fxg Uy = ßþÂ“‘€“

x

2X

Ýþ ƒð .´¨ ‘Ìê

.¢¤¢ ¢›ø ¢¤À÷ “ ¤¢ ¤

T1

×þ

x ‚î y

X

Ûõ‘ª

Àƒ€î ­Âê :–‘±™

Uy

¥‘“ ý‚äÞ¹õ –¤ ¬

73

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

¤¢ ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ üä‘Þµ›

X

.´¨ ‚µÆ“

fyg

X

ø¢ Âû

ßþÂ“‘€“ .ƒ¡ ¤

x

fxg

X

ø

fxg fxg fyg fxg

X

¤¢

y

ý ÂÚþ¢ ø ,ƒ¡ ¤

y

ø

ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

2

Âð ,ÅØãó‘“

x

üØþ ‚î ,À÷¥‘“

.´¨ ‘Ìê

A

T1

ù¢ÂÈê ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû

.´¨ ‚µÆ“

A ‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ ,´¨ üúþÀ“ A = X

2A a 2 Va

,a

x

Âû ý¥ ‚“ .݃€îüõ ’‘¿µ÷

.

ø

x

2 Ua

Âþ ¥ ,Àª‘“üõ ù¢ÂÈê

U :=

A

ö ø .´¨

Va(i)

A

x

X

A

2X

ø

Ua

ý ¹õ ø ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

fVa j a 2 Ag fVa 1 ;


; Va n g x

,´¨ ¥‘“

‚ÎÖ÷ Âû ,ŕ .U

ö¢“ ¥‘“ ü€ãõ ‚“ ßþ ;Àª‘“üõ

Ua(1)

X

X

2 ‚“

‚ b äÞ¹õ ö€î

À€÷‘õ üû‘€µõ üȪ.”

( )

( )

A

A

\


\ Ua n

( )

A

‚¹ƒµ÷ ¤¢

¤¢ ñÞÈõ ‚î .Àª‘“üõ

X

ù b ¢ÂÈê ý‘Ìê ¥ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû

f

f :X

!Y

üµìø ‘ú€— ø üµìø ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“

ßþ ÅØä .´¨ üþ¨ ø¢ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .Àª‘“ üþ¨ø¢

f

Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ•

V

Âð ,‘õ .Àª‘“ ‚µÆ“

f

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

Y

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê

f

f (V )

Âð ‚î ´¨ ߪø ¤ :–‘±™

f 1

Y

¤¢

üµìø ‘ú€— ø üµìø ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ ¢›õ

(f 1 ) 1 (V ) = f (V ) ,X V

¥¢

V

f 1

‚ b µÆ“ ‚ b äÞ½õ Âþ ¥

‚ b äÞ¹õ 17.1.4 ‚“‘€“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“

,10.2.4 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“ Áó ø ´¨ ù¢ÂÈê ƒ÷

2

‚î

݃€î ­Âê ,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ ‚›— °ó‘› ‚î ´¨ Ý؟

‚ b ƒÌì Ûƒó¢ ‚“ ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ù¢ÂÈê ,´¨ ‚µÆ“

f

A

.‚ƒÌì 11.2.4

Àƒ€î ­Âê

.Àª‘“ ׃±Øþ

¤¢

‘Ìê

´ó‘Ÿ ¤¢ Ý؟ ö :–‘±™

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

‚î ¢¤¢

X

ý‚ÎÖ÷ .´Æƒ÷ ‘Ìê ¢¡ ‘þ ø üú—

¥ ×þ Âû ¥ ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

¢¤¢ ¢¡ ¢Â𠂓 ¥‘“ ý‚äÞ¹õ ö¢“ ‚µÆ“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø

A

Va

;

A=

A

‚î À÷ªüõ ´ê‘þ ý ¤ Ï

‚ b äÞ¹õ .À÷‘ª•üõ ¤

ø Àª‘“üõ  ¹õ ‘û

2X

ø

X

×þ

.‚¹ƒµ÷ 9.2.4 .‚ƒÌì 10.2.4

.´¨ ‚µÆ“ ýÌä ח ‚ b äÞ¹õ Âû ,é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê Âû ¤¢ ö ¤¢ ,X é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê ¥

X

‚¹ƒµ÷ ¤¢ .Àª‘“üõ ¥‘“

ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ‚µÆ“ ø¢ Âû

ø ¢¤¢ “ ¤¢ ¤

fxg

Àû¢üõ ö‘È÷ ‚î ,X

.Àª‘“üõ

f 1

X

f (V ) ‚bäÞ¹õ ,13.1.4

üÚµ¨ƒ• ü€ãõ ‚“ ¢¡ ßþ ‚î

74

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

.ñ‘·õ 12.2.4

š‘ƒµŸ üð¢ÂÈê ø ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ¯Âª ø¢ Âû ‚“ „‘“ Ý؟ ¤¢ ‚î) Àª‘“ ‚µÆÆð ý ó•—

‘“ üփ֟ ¢Àä ‚ b äÞ¹õ

Àª‘“ ©üóÞãõ ý ó•— ùÂÞû ‚“ ƒä ø üþ¨ø¢ ,‚µ¨ƒ•

X

!

Y

R

‚ b äÞ¹õ ƒ÷

Y

X

Âð ,Û·Þó üê Âþ ¥

.´¨

ø (´¨ é¤ øÀ¨ø‘û Âƒè ‘bõ ó

ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,(´Æƒ÷ ù¢ÂÈê ‚î) .Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õÿÞû

X

ù¢ÂÈê ý‘Ìê ¥ ׃±Øþ ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû

f :X

! f (X )

f :X

!Y

.‚¹ƒµ÷ 13.2.4

Âð

Y

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê ‚“ .f

X (X ) =

.´ª¢¢‘þ 14.2.4

¥ ý ¤‘ƒÆ“ ö¢“ ÝÆƒê¤ õÿÞû –‘±™ ,„‘“ Ý؟ ×Þî ‚“

.¢ªüõ ù¢‘¨ 2.3 Ç¿“ ¤¢ ý‘úµª‘Ú÷

,‘û‘Ìê Âþ ¥ ¤¢ ‚÷Ú ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ´ƒ¬‘¡ ‚î ݃€îüõ žÂÎõ ¤ Ǩ• ßþ ñ‘Ÿ .À€îüõ àÔ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘û‘Ìê ‘þ ø ‘ú“ ÂÌܬ‘Ÿ

.‚ƒÌì 15.2.4

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ,é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê ×þ ý‘Ìê Âþ ¥ Âû

ý‘û‚äÞ¹õ ¥ ´Ô› ×þ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ,ö€î .y

S

ßþÂ“‘€“ .y

2

2 Uy

2 Uy \ S

ø

2 Ux x 2 Ux \ S ø

x

S

‚î À÷ªüõ ´ê‘þ ý ¤ Ï

.Àª‘“ ©üóÞãõ ý ó•—

ý¤¢

Rn

¤¢

¤¢

Uy

:–‘±™

Uy

¥‘“

\S

Ux

ø

ø

Ux

\S

üê‘î ø ¥„ ¯ ª .À€ª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û

.À€µÆû ý ó•—

Y

w2 = (x2 ; y2 ) ø

U1

Y w1 2

ø

ø

X

ý‘Ìê

ø

X

Rn

¥ ‚äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ,–¤ ¬

.‚ƒÌì 17.2.4

Ýþ ƒð

ý‘û‘Ìê ‚î ´¨ ßþ Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û

w1 = (x1 ; y1 )

ø ù¢“ é¤ øÀ¨ø‘û

 ¹õ ø ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ù‘Ú÷ ,x1

U1

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .x2

ø

U1

Y

Y

.ñ‘·õ 16.2.4

݃€î ­Âê

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ,©üþ‘Ìê Âþ ¥ ý ó•— ‘“

U2

S

,À€µÆû  ¹õ ,À÷¥‘“

X

x Ýþ ƒð

ø

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

ßþ ¤¢

ø¢

y

¥ –ø‘Ôµõ ‚ b ÎÖ÷ ø¢

‚î À€µÆû

2 U2 X Y

ø

x1

6 x2 = 2 U1

Y

ø

Âð .À€ª‘“

X

X

X

Y

‚Ø€þ ýÂ“

Àƒ€î ­Âê :–‘±™

Y

¤¢ þ‘Þµõ ‚ b ÎÖ÷

‚î À÷ªüõ ´ê‘þ ý‚÷ð ‚“

¥ üþ ¹õ ø ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

U2

X

Y

¤¢ ø

75

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

ö ¤¢ ‚î ,´¨ Â› ۓ‘ì üú“‘Èõ ñ„Àµ¨ ,y1 .¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨

fxg  X 2 S1

ø

X

 fyg

6= y2

 V2

X

ø

ø

X

 V1

ý‘û‘Ìê Âþ ¥ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û

.À€µÆû é¤ øÀ¨ø‘û ,À€ê¤ õÿÞû




 S1

x1 = x2



S1

ý‘Ìê ,´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

Y

R2

ø

2 U2  Y

Âð .w2

Ûت ‚“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥

X

X

Y

Âð ,ÅØãó‘“

‘“ °ƒ—µ“ ‚î

X

Y

¥

.ñ‘·õ 18.2.4

ö

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

.ñ‘·õ 19.2.4

’ÂÌܬ‘Ÿ Âû ø ,é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê ¥ ‘Ìê Âþ ¥ Âû ‚Ø€þ ‘“

ý‘Ìê ‚î ¢Þ÷ Ý؟ ö—üÞ÷ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ ,´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ,é¤ øÀ¨ø‘û ý‘û‘Ìê

X

f ·õ Àƒ€î ­Âê ,…

.(A

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ‘fõ ó ,é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê Âû üµÞÆì š¤‘¡

= (0; 1) ø X = R

Û·õ) Àª‘“ ‚µÆ“ ƒè

A

ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‘“ é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

0 Â𐠑ú€— ø Âð x  x ' Óþ Â㗠‘“ ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф  ‚î ´¨ X=  ¥ –¤‘±ä Y Ýþ ƒð 0 0 ×þ ‚“ A ö¢Þ÷ íø  ¥ Û¬‘Ÿ ý‘Ìê ü€ãþ) ´¨ X “ "fx; x g 2 A ‘þ x = x ÂþÊ— ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ‚î

fx0 g 2

Y

ø ´Æƒ÷ ‚µÆ“

Y

‘“ ¤

‚ b ÎÖ÷ öø ¤ø ù b ¤‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,݃€î ùÂÞû

Y

¤¢

fx0 g

??

Â𐠢ª ‚›—

‚ b ÎÖ÷ ,ßþÂ“‘€“ .´Æƒ÷ ‚µÆ“

X

‚“ ;X ¤¢ ‚ÎÖ÷

 : X

¤¢ ø ´¨

A

!

Y

“Â“

.Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û À÷—üÞ÷

Y

üヱÏ

x0

2A

‚¹ƒµ÷ ¤¢

é¤ øÀ¨ø‘û ‘fÞµŸ ,é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê ´ÞÆì  ¤‘¡ ‚Ø€þ ¥ ö‘€ƒÞϐ ñÊŸ ýÂ“ ¥ ý‚÷Þ÷ Âþ ¥ Ý؟ .´¨ ¥‘ƒ÷

X

ý‘Ìê «Ê¡ ¤¢ ý µȃ“ –‘®ø ÂÔõ ‚“ ,´¨ .´¨ ö

‚î Àª‘“

X

ý ó•—

ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û

ý‘Ìê üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê

X

ö‘þ “‘€“ .À÷‚µÆ“

Y

X

¤¢ ý þ‘Þµõ ¯‘Ö÷

¤¢ üÚÞû ‚î ,f ´½—

y2

X

Ýþ ƒð

ý‘ª• ´ª‘Ú÷ ͨ—

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“

¯‘Ö÷ Âþø‘Ê— ¥ À€—¤‘±ä

.À÷‚µÆ“

Y

¤¢ ø  ¹õ

f 1 ( y2 )

 ¹õ ø ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ ´Ô› ×þ ,

,´¨ ‚µÆ“ ¢›ø

y1

Y

!Y

.‚ƒÌì 20.2.4 f

Â𐠃÷ ø Àª‘“

Y

¯‘Ö÷ :–‘±™

¤¢ ý‚ÎÖ÷ ח ý‘û‚äÞ¹õ ‚ b Þû

f g f 1 (fy1 g) a 2 f 1 (y2 ) x 2 f 1 (y1 ) f 1 (fy2 g) a 2 Vx;a x 2 Ux;a fVx;a j a 2 f 1 (fy2 g)g A fVa;x j a 2 Ag f 1 (fy2 g)

ý¥ ‚“ .À€µÆû ‚µÆ“

Ux;a

ø

X

Ýþ ƒð

f : X

Âð .´¨ ùÀª É¿Èõ

.Àª‘“üõ (ù¢ÂÈê ø) é¤ øÀ¨ø‘û

Y

üû‘€µõ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

ö .

ø

ø

ý‘û‚äÞ¹õ .À€ª‘“

ø

‚ b ÎÖ÷ Âû

‚î À÷¤¢ ¢›ø ý ¤ Ï

Vx;a

ø

¥ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ßþÂ“‘€“ ø Àª‘“üõ ƒ÷ ù¢ÂÈê f ·õ ;À÷‘ª•üõ ¤ ,…

‚î ,

‚î ¢¤¢

76

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

À÷¤¢ ¢›ø .Vx

=

S

Vx

ø

Ux

2

a A Vx;a ø Ux

B

üû‘€µõ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ø ¥‘“

V =

=

T

2

x B Vx ø U

ßþÂ“‘€“ ø À÷‚µÆ“ ø¢ Âû

f g fUx j x 2 B g

ø

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

‚î ¢¤¢

=

2

f g V

f (X

V)

ø À÷¥‘“ ø¢ Âû

.

݃€î ­Âê

ø .

ø

f (X

\ W2

.W1

ø

f g U

f 1 ( y1 )

;

G

G

ùø Âð ø ù¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê

V)

V)

X

“

2

g

,(´¨

x

‚µÆ“ ƒ÷

G

7!

–¤ ¬ ßþ ¤¢

ÛÞä ö

g x

 (C )

.Àª‘“

X

X

×þ

!

g : X

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê “

G = Z2

.´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

A

RP

ÂþÊ— ÂÚÈþ‘Þ÷ ,C

\ A 6= ;

! X=A

ø Àª‘“

Âð ,‘õ .´¨ ‚µÆ“ ƒ÷

X

A)

RP n

X=A




ßþÂ“‘€“

.‚¹ƒµ÷ 21.2.4

X=G

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

!

X=G

C

Ýþ ƒð

‚î ,

S

:–‘±™

2

g G g C

g  C = g (C )

ö

.ñ‘·õ 22.2.4

X

Âð

Sn ùb¢ÂÈê

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“

= (C

ù‘Ú÷ ,C

A)

ø

.‚¹ƒµ÷ 23.2.4 C

X

¥ ‚µÆ“

Ýþ ƒð :–‘±™

\A =; p(C ) = p(C A) [ p(C \ A)

C = p(C )

[ p(C \ A)

.

¥ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

Âþ ¥ ,Àª‘“üõ ‚µÆ“ ƒ÷ ßþ ‚î

p 1 p(C

ö‘þ “‘€“

´ª‘Ú÷ ‚î Àû¢üõ ö‘È÷ ßþ .´¨

ø ù¢“ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

p : X

26 f (X U ) 1 (fy g) \ (X V ) = ; W 1 \ W2 = ;

ßþÂ“‘€“ ,´¨ ùÀª Û¬‘Ÿ

.´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

U)

y

ßþÂ“‘€“ .´¨ ‚µÆ“

üû‘€µõ ùø Âð ÛÞä ¥

n

f (X

´ª‘Ú÷ ,¤ Ñ€õ) ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû



.´¨ ‚µÆ“

ø À€ª‘“üõ  ¹õ

W1 = Y

Âð

 : X

 1 ( (C ))

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ;´¨ ‚µÆ“

2

X

¥

­Âê ‚“‘€“ ö

¥ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

.´¨ üãƒ±Ï ÂþÊ—

‚ b Γ‘® ‘“

ø

ø

f

.´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

 1 ( (C )) =

1 (y ) 1

‚î ¢ª Ճֽ— ´¨ üê‘î ,ù¡„‘“

62 f (X

‚¹ƒµ÷ ¤¢ .y

f

,´¨ ‚µÆ“

f (X

=

‚î

üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ö‘þ “‘€“ .´¨

U)

W2 = Y

¥

ö€î

¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ‘ú€þ ¥ ¥ ‚î

üû‘€µõ

ø

x B Ux ý‘û‚äÞ¹õ ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ f

1( y ) .f 2

2 W2 y1 2 W1 y 2 W 1 \ W2 f 1 (fy g) \ (X U ) = ; f 1 fy g)  U \ V = ; 2

.y2

2

T

f 1 ( y2 )

.Àª‘“üõ

1( y ) .f 2

a A Ux;a âìø ¤¢

f 1 ( y1

ù¢ÂÈê ݃÷¢üõ ‚î ´¨

S

f g f g  Vx x 2 Ux fUxk x 2 f 1 (fy2 g)g

ý ¹õ ø ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ,«Ê¿“

Âð .Àª‘“ üãƒ±Ï ù‘Ú÷

[A =C [A

77

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

2

.´¨ ‚µÆ“

p

´ª‘Ú÷ ßþÂ“‘€“

‚ b ؐø ‚“ ‘— ¢Þ÷ ñ‘Þä é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê ×þ “ ¢ªüõ ‚î ý ÂÚþ¢ ý‘úµþ¢øÀ½õ .´¨ ùÀª ù¢¤ ø ýÀä“ ßþ Âޗ ¤¢ ,Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û Û¬‘Ÿ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê ,‘ú÷ .´¨ ùÀª žÂÎõ ƒ÷ 20.2.4 ‚ b ƒÌì öø ¤ø ߃€»Þû

.ßþÂޗ 24.2.4 é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê ýø “

X

‚µÆ“ üµìø ‘ú€— ø üµìø

Y

¥

C

üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ý¤¢

¥

U

Y

‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ (.Àª‘“ ‚µÆ“

.Àª‘“ ‚µÆ“

.´¨ ‚µÆ“

X

‘ú€— ø üµìø

Y

¤¢

Y

Y

f

X

Y

f 1 (C ) ‚î ´¨

ͨ— ùÀª É¿Èõ

ý ó•— ý‘Ìê Àƒ€î ´“‘™ (2

Y

¤¢

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .´¨ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

 Y j y 1 = y2 g

f :X

 X f(x1 ; x2 ) 2 X  X j f (x1 ) = f (x2 )g ¤¢

Àƒ€î ´“‘™ .´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ,‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f(x1 ; x2 ) 2 X  X j f (x1 ) = f (x2 )g

!Y

Y

f :X

!Y

Y

Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“üõ

‚î ´¨ é¤ øÀ¨ø‘û üµìø ‘ú€— ø üµìø .Àª‘“ ‚µÆ“

X

Y

= ys

,

(x; t)

¤¢

Óþ Â㗠‘“

y0 = 1

' Óþ Â㗠‘“

¥ üþ‘Öó ý ó•—

D2

ø

Ýþ ƒð (5

´ª‘Ú÷

f

‚î

‚ b äÞ¹õ



Ýþ ƒð (6

ÀŸø «Âì ‘“

(S1  I )= 

“ ‚Ø÷ ‚“ ¯ø ÂÈõ ,´¨ é¤ õÿÞû

f 2 R j 0  x; y  1g 0 fx; x g = f0; 1g (x; y) = (x0 ; y0) ,

X = (x; y ) y

“ ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф

X

´¨ ùÀª ­Âê ‘¹€þ ¤¢ ‚î) ´¨

ø

R2

X

!Y

 X f(x1 ; x2 ) 2 X  X j f (x1 ) = f (x2 )g

Àƒ€î ´“‘™ .(

.݃û¢ ¤Âì ¤

f :X

X

Àƒ€î ´“‘™ ,ùø…ã“ .Àª‘“ ‚µÆ“

 (y; s) S1  I I = [0; 1℄  R S1  C D 2 = fx 2 R2 j kxk  1g = fx 2 C j jxj  1g

"xt

Ýþ ƒð (4

‚ b äÞ¹õ ‚î ´¨ é¤ øÀ¨ø‘û üµìø

ø ´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

´¨ é¤ øÀ¨ø‘û üµìø ‘ú€— ø üµìø

Ýþ ƒð (3

‚ b äÞ¹õ ù‘Ú÷

.Àª‘“ ‚µÆ“

‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê

Y

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Àƒ€î ´“‘™ :üþ‘Þ€û¤) .Àª‘“ ¥‘“

ÂÎì ‚î ´¨ é¤ øÀ¨ø‘û üµìø ‘ú€— ø üµìø

,Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û

Ýþ ƒð (1

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“

.´¨

f(y1 ; y2 ) 2

!Y

f :X

ù b ¢ÂÈê ý‘Ìê ¥ ‘ª• üµª‘Ú÷

f 1 (U ) ‚î ´¨ ¥‘“ üµìø ‘ú€— ø üµìø Y

ⓠÂõ “ ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф

‘þ



Ýþ ƒð (7

(x; y )  (x0 ; y 0 )'

78

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

´“‘™ .(Àƒ€î ‚ÑŸ…õ ¤ 2.4 Ûت) ´¨ "x .´¨ é¤ õÿÞû

RP 2

‘“

0=1

X=



x

ø

fy; y0g = f0; 1g

‘þ

ù b Àª ý ƒðüØþ ý‘Ìê ‚î Àƒ€î

2.4 Ûت

 Rn+1 ¥ fx 2 Rn+1 j kxk = 1 ; xn+1  0g ‚bäÞ¹õ Âþ ¥ Sn+ Ýþ ƒð (8 f (x1 ;


; xn+1 ) = ‚bΓ‘® ‘“ f : Rn+1 ! Rn ⓑ— –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .´¨ n ‚µÆ“ «Âì n ýø “ Sn ¥ üÞÆƒê¤ õÿÞû (x ;


; x ) .À€îüõ üêÂãõ D b n 1 + Sn

, x  y' –¤ ¬ ‚“ R “ ¤  ‚bФ ùÂÞû ‚“ R=  ø ´¨ ý¥ ¤Ýû ý‚Ф  –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢

ö‘È÷ .݃€îüõ Óþ Â㗠"Àª‘“ ‘þð ý ó•—

x

y

(9

.´Æƒ÷ é¤ øÀ¨ø‘û ©üµÞÆì š¤‘¡ ‚î Àª‘“

X

´ª‘Ú÷

:üþ‘Þ€û¤)

¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

1  .U =

U

ø ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

X=(X

U)

Àƒ€î ´“‘™

.´Æƒ÷

X

X

Ýþ ƒð

(10

¢¡ “Â“

1) = ø ,u 2 U ýÂ“ h(u) = p(u) ‚bΓ‘® ‘“ h : U 1 ! X=(X U ) üãƒ±Ï ÂþÊ— p : X ! X=(X U ) ö ¤¢ ‚î ,Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ p(X U) ,(Àª‘“ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê X ø) x 2 X Â𐠂î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ (.´¨ .(X fxg)1  = X –¤ ¬ ßþ ¤¢ n .S  = (Rn )1  = D n =Sn 1  = I n =I n ‚î Àƒ€î ´“‘™ n  I n I n :üþ‘Þ€û¤) (.S f(0;


; 0; 1)g = Rn = D n Sn 1 = h(

üȪ• ´ª‘Ú÷ ‚“ ´±Æ÷ ‚“ ø ‚µÆ“ üµª‘Ú÷

Y

f

X

üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê

,é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

‚î Àƒ€î ´“‘™ –¤ ¬ ßþ ¤¢

X

Y

Ýþ ƒð (20.2.4 ‚ b ƒÌì ݃Þã—)

Àƒ€î ­Âê .Àª‘“

.Àª‘“ ù¢ÂÈê

(11

fg

f 1( y )

ý

y

f : X

2Y

!Y

(12

Âû ý¥

.´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

79

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

X

¥ ‚µÆ“ üþ‘Ìê Âþ ¥

‚ b Ф .Àª‘“üõ ‘Ìê ×þ

X

0 ý¥ ‚“ ø x; x

A

é¤ øÀ¨ø‘û ý‘Ìê 2.4

ø ´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê

X

Àƒ€î ­Âê

G ×þ A ø üû‘€µõ üûø Âð G Àƒ€î ­Âê ùø…ã“

2

“ ý¥ ¤Ýû ý‚Ф

A



‘þ

x

= x0

,

x



x0 ' –¤ ¬

Àƒ€î ´“‘™ .݃€îüõ Óþ Â㗠"x .´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ƒ÷

ø ‚µÆ“ ‚î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ‘ú€— ø üµìø

Rn

‚“

= g y X=



.Àª‘“üõ

X

“ ¤

ý

g



2G

ùø…ã“ ø ´¨

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

‚ b ƒÌì ø (2)-25.1.4 ßþ Âޗ ø 22.1.4 ‚ b ƒÌì ¥ :üþ‘Þ€û¤)

(13

:Àƒ€î ´“‘™

(14

.Àª‘“ ¤À÷Âî

(.¢ª ù¢‘Ôµ¨ 10.2.4

80

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

À€±Þû ý‘Ìê 3.4

À€±Þû ý‘Ìê

úÔõ üóø ;Àª‘“ "‚Ø— ×þ' ‚î ´¨ À€±Þû ü—¤ ¬ ¤¢ ý‚Ø—

X

A

X

3.4

ý‘Ìê ý¢úª ÂÑ÷ ¥

Âð' ݃€î ¯Âª ‚î ´¨ ßþ ñÖãõ ?´¨ ü€ãõ ‚ ‚“ ý ó•— ¤¢ "‚Ø—'

¤¢ ‚µÆ“ ‘þ ¥‘“ °ƒ—µ“ ,A ¤¢ ‚µÆ“ ‘þ ø ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,Àª‘“

X

ý‘Ìê ¤¢

Ýû ¥‘“ Ýû ,X ¤¢ ý‚Ø— Âû ‚î Ýþ ¤¢ ¤‘ѵ÷ ,16.1.3 Ýó §‘¨ “ ,ßþÂ“‘€“ ."À€ª‘“ .Àª‘“

Âþ ¥ ‘ú€— ‚î ݃Žð

X

¤

¥

A

À€±Þû

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ .À€ª‘“

X

ø

;

X

ý ó•—

ý‘Ìê

X

¤¢ ‚µÆ“

.ÓþÂ㗠1.3.4

¥ –¤‘±ä ,X ¤¢ ‚µÆ“ Ýû ø ¥‘“ Ýû ý‘û‚äÞ¹õ

üþ‘Öó ý ó•— ‘“ ùÂÞû) ý ó•— ý‘Ìê ×þ ö€ä ‚“ ‚î ݃Žð À€±Þû ü—¤ ¬ ¤¢ .Àª‘“ À€±Þû (X ¥

.À€îüõ ‚Ž¤ ýÀ€±Þû ýÂ“ ¤ üõø¢ Óþ Â㗠Âþ ¥ ‚ b ƒÌì

üä‘Þµ› –¤ ¬ ‚“ ‚î ´¨ À€±Þû üµìø ‘ú€— ø üµìø

X

ý‘Ìê

.‚ƒÌì 2.3.4

.´ª÷ öµ÷  ¹õ ø üú— ƒè ,X ¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ ¥ ¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ ‚µÆ“ ø ¥‘“

X

¤¢ ƒ÷

X2

X2

ø

X1

‚î ,X

ßþÂ“‘€“ ø

‚¹ƒµ÷ ´ó‘Ÿ ø¢ Âû ¤¢ .X2

=

;

ø

X

= X 1 [ X2 X 1 = X2

X1 = X

‘þ

ø ù¢“ À€±Þû

X

Ýþ ƒð :–‘±™

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“  ¹õ ø

X1 = X

ø

X1 =

;

‚¹ƒµ÷ ¤¢ .´¨

.´ª÷ ö—üÞ÷ üú— ƒè ø  ¹õ ,X ¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ á‘Þµ› Àª‘±÷  ¹õ ø üú— ƒè ,X ¤¢ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ á‘Þµ› ¤¢ ‚µÆ“ Ýû ø ¥‘“ Ýû ƒ÷

X

U

ø

2 Âþ ¥

U

U

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

X

=X

‘þ

Âþ ¥ ,´Æƒ÷ À€±Þû

¥  ¹õ üä‘Þµ›

S0

U =

;

R

S0 =

¥

X

X

‚î ¢ªüõ

݃€î ­Âê ,ÅØãó‘“

¤¢ ‚µÆ“ Ýû ø ¥‘“ Ýû

¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ üƒþ ¹õ á‘Þµ› .U

f1g

X

X

X

U

Âð .U

X

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ö ,‘õ .´¨

ø

X

ü€ãþ .Àª‘“ üú— ø¢ ö ¥ üØþ üµÆþ‘“ ,´¨ ùÀª

f 1; 1g

ñ¢‘ãõ ¤ Î“ ‘þ ;Àª‘“üõ

S0

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

¥ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ,üú— ƒè ý‚äÞ¹õ

.Àª‘“üõ

–‘±™ ¥ ǃ• .(¢ª ‚›— 6.3.4 ‚ b ƒÌì ‚“) ´¨

.ñ‘·õ 3.3.4

R

f1g f 1g ø

¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ

¥ À€±Þû ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

[a; b℄

.¢Þ÷ ¯‘ƒµŸ Àþ‘“ ¢úª ¥ ù¢‘Ôµ¨ ¤¢ ,À€û¢üõ ö‘È÷ ‚î ݃€îüõ žÂÎõ ñ‘·õ ø¢ ,ö

81

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

f;; Rg[f( 1; x) j x 2 ßþ –‘±™ ýÂ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

\S

U

= C

U = (

ø

ø Àª‘“

\S

X

1; b)

X

F

X

C

¤¢

[ S 6= C \ S

2

:Àª‘“

[s; t)



F

b ¥ ý x

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

S

.Àª‘“üõ

S

X

ø ´¨ ¥‘“

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ýø‘Æõ ‘þ µ𤠓

ßþÂ“‘€“ .(U

S

ßþÂ“‘€“ .´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“

¤¢

S

U

a

t > s

S

2S

X

g

R

¥ üú— ƒè

‚î ´ª÷ ö—üõ

= [A; 1)

‚î ,C

x

x

ø

x < b ù‘Ú÷

Â𐠂“‘Èõ –¤ ¬

ö¢“ À€±Þû ü€ãõ ‚“ ‚î ,F

s

×þ ý

a

¥ µÞî ý

ý ó•— ùÂÞû ‚“ üփ֟ ¢Àäb‚äÞ¹õ

‚î ¢¢Âð ´ê‘þ ö‘€ ý

Âð)

.Àª‘“

݃€î ­Âê ,Âõ

¤¢ ‚î

= U \S = C \S ö .a; b 2 R

Â𐠂î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,F

.ñ‘·õ 4.3.4

Ýþ ƒð

ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚ b ƒÜî –¤ ¬ ßþ ¤¢

f ·õ :Àª‘“üõ ‚µÆ“ …

‚“ :

X

¥ ù¿ó¢ ø üú— ƒè ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

–¤ ¬ ‚“ ¤

2S C \ S 6= U [ S S  [a; b) ,x

ý ó•— ‘“ üփ֟ ¢Àä ‚ b äÞ¹õ

.À€µÆû À€±Þû

F

À€±Þû ý‘Ìê 3.4

=S

ø

.ñ‘·õ 5.3.4

Ýþ ƒð

Âû ý¥ ‚“ Â𐠑ú€— ø Âð

F

ח ý‘û‚äÞ¹õ ,X ¤¢ üú— ƒè ø À€±Þû ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‘ú€— –¤ ¬ ßþ ¤¢ .S ƒè ø À€±Þû ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

X

¥

.T

[x; x + ")

T

݃€î ­Âê ,°ÜÎõ ßþ –‘±™ ýÂ“

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ,"

0 Âû ý¥ ‚“

>

= fxg ‚î ´¨ ßØÞõ üµìø ‘ú€— ßþ ‘õ

.T ¤¢ ý‚ÎÖ÷

x

.À€µÆû ýÌä ø Àª‘“

X

¥ üú—

.((4)-15.1.2 ßþ Âޗ) ´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø À€µÆû À€±Þû ýÌä ח ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚ b Þû ‚î ´¨ ߪø ¤

.Ýþ ¥¢Â•üõ

[a; b℄  R

.´¨ À€±Þû

,߃€»Þû .´¨ ;À÷‚µÆ“

h

[a; b℄ ¤¢ V

ø

U

‚“

a

.h

2U

öÂî

ö) ´¨

h

fu 2 U j

ø

R

ý

U = [a; b℄

¤¢

v

U

(h

–¤ ¬ ßþ Âƒè ¤¢ Âþ ¥) ,

V

üóø .h

2

V

2V

Àþ‘“ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ,´¨ ‚µÆ“

¤¢ ,´¨ ‚µÆ“ ƒ÷

ù b ¥‘“

¥‘“ ø  ¹õ ‚ b äÞ¹õ ø¢ á‘Þµ›

[a; b℄ ¤¢ V = [a; b℄ U

݃€î ­Âê .À€µÆû ‚µÆ“ ƒ÷

[a; b℄  R

ýÀ€±Þû –‘±™ ‚“ ñ‘Ÿ

2 V

ø

U

V

[a; b℄ ݃€î ­Âê

‚î Ýþ ¤¢ ‚›— .a

,´¨ ‚µÆ“

Âû ý¥ ‚“

.‚ƒÌì 6.3.4

g

R

¤¢

2U

:–‘±™

݃€î ­Âê

[a; b℄ ¢¡ ö ,ßþÂ“‘€“

‚ b äÞ¹õ üþ„‘“ öÂî ßþ µ؝î

ö .(´¨ üú— ƒè ,´¨ ÕÜãµõ ‚äÞ¹õ ßþ

"; h + ")

\ V 6= ;

ý

">0

Âû ý¥ ‚“ ,ñ‘Ÿ

Àþ‘“ 19.1.2 Ýó ‚“‘€“ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø (¢ªüÞ÷ üþ„‘“ .´¨ Ë쑀— ‚î ,h

2U \V

.´¨ ‚µ¨ƒ• ,‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ´½— À€±Þû ý‘Ìê Âû ù b ¤‘Ú÷

ø

h

2V

‚¹ƒµ÷

.‚ƒÌì 7.3.4

82

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

À€±Þû ý‘Ìê 3.4

Âð .´¨ ‚µ¨ƒ• ø ‘ª• üµª‘Ú÷

f :X

­Âê ‚“‘€“ ßþ ‚î ,´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“

U =

‘þ

2

;

f : [0; 1℄

‚¹ƒµ÷ ¤¢

! S1

.´¨

ø ´¨

.´¨ À€±Þû ƒ÷

R

X

!Y

f 1 (U )

¤¢

f 1 (U ) = X

‘þ

ø

(a; b℄ ,[a; b)

Y

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“ ø ¥‘“

;

.´¨ À€±Þû

f (X )

Y

ø

.Àª‘“ À€±Þû

Y

ßþÂ“‘€“ .U

U

=X

.ñ‘·õ 8.3.4

f (t) = exp(2t) X

¤¢

ü€ãõ ‚“ ,X ýÀ€±Þû

[0; 1℄ ö

ßþÂ“‘€“ ,´¨ ‚µ¨ƒ•

ø üµìø –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€ª‘“ é¤ õÿÞû ý‘Ìê ø¢

(a; b)

Àƒ€î ­Âê :–‘±™

f 1 (U ) =

¥ À€±Þû ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

S1 = f ([0; 1℄)

X

ø À€±Þû üþ‘Ìê

‚ b Γ‘® ‘“

.‚¹ƒµ÷ 9.3.4

Âð

‚î ´¨ À€±Þû

X

üµìø ‘ú€—

Ûت ‚“ üþ‘û‚äÞ¹õ ýÀ€±Þû –‘±™ ö‘Øõ ¢‘¹þ ´ú› ‚“ .݃€îüõ –‘±™ ¤ ýÀ㓠Ý؟ ,R ¤¢

À€±Þû ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ý‚þ¢Âð

Y =

.´¨ À€±Þû

ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“

Yi

S

Y

Yj

Âþ‘¨

¢ªüõ ‚¹ƒµ÷

Yi

U

Yi .Yi

2

j J Yj ù‘Ú÷ ,

Yi

Áó ø

.U

U

¤¢

U

[a; b) =

.´¨ ‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“

2

6= ;

Âð .Àª‘“

\ Yi

U

U

‚ b äÞ¹õ ø

=Y

ý‘Ìê ¥

݃€î ­Âê :–‘±™

\ Yi 6= ;

ý

i

2J

ßþÂ“‘€“ ,´¨ À€±Þû ­Âê Փ‘Îõ

U

ßþÂ“‘€“ .Yj

R

X

ý

¤¢ ý‘ûù¥‘“ ‚ b Þû

U j

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ,À€îüõ

2J

Âû ý¥ ‚“ ‚î

.‚¹ƒµ÷ 11.3.4

¤¢ ‚µÆ“ ý‘ûù¥‘“ ‚ b Þû 6.3.4 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“ ‚Ø€þ ‚“ ‚›— ‘“ :–‘±™

‚¹ƒµ÷ 10.3.4 ‚ b ƒÌì ¥ ,

–‘±™

2

j J Yj

\ Y i = Yi

.À€µÆû À€±Þû

R

.‚ƒÌì 10.3.4

݃€î ­Âê

¢¤ õ ¤¢ ñ„Àµ¨ ¤Âؗ ‘“ ,ñ‘Ÿ .´¨ ߃€ ƒ÷

2

,À€µÆû À€±Þû

T

¤¢ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

,‘õ .´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ,üú— ƒè

âÎì ¤ ‘û

fYj j j 2 J g

.´¨ À€±Þû ƒ÷

S

(a; b) ø (a; b℄ [a; 1)

1 [a; b

n

a)=2n ℄

(b

ýÀ€±Þû –‘±™ .´¨ À€±Þû

ßþÂ“‘€“

[a; 1) =

S

ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª .À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê

Y

ø

X

Y

ø

[a; b) ‚î Ýþ ƒðüõ

1 [a; a + n℄

n

.´¨ ‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“

.À€ª‘“ À€±Þû

‚Ø€þ ‚“ ‚›— ‘“ ƒ÷ ø

(

X

1; 1)

Ýþ ƒð

ø

ö ,߃€»Þû

(

1; b

ýÀ€±Þû

.‚ƒÌì 12.3.4

‚î ´¨ ßþ ,Àª‘“ À€±Þû

X

Y

‚Ø€þ

83

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

2Y X  fy g ý

y

x

Âû ø

2X

Âû ý¥ ‚“ ö .À€ª‘“ À€±Þû

Y

ø

X

 = fxg  Y

ý‘û‚äÞ¹õ ‚ b Þû ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ ,Y

Àƒ€î ­Âê :–‘±™ ø

  fyg fxg  Y

X = X

 fyg) \ (fxg  Y ) = f(x; y)g X Y (X  fy g) [ (fxg  Y )   S y2Y x2X (X fy g) [ (fxg Y )   T X Y 6 ; x2X (X  fy g) [ (fxg  Y ) = (X

‚“‘€“ Áó ø

‘õ

–¤ ¬ ‚“ ¤

.À€µÆû À€±Þû

.´¨ À€±Þû

´“‘™ ø ù¿ó¢ ý Âʀä À€±Þû

À€±Þû ý‘Ìê 3.4

ø

‚ b äÞ¹õ 10.3.4 ‚ b ƒÌì

‚î ,´ª÷ ö—üõ

Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,

ö .´¨

.´¨ ßþ ø 7.3.4 ‚ b ƒÌì ¥

Y

X

ø

‚¹ƒµ÷ ,À€µÆû ‘ª• ø ‚µ¨ƒ•

X

ýÀ€±Þû .Àª‘“ À€±Þû

Y : X

2

Y ! Y

ø

Y

݃€î ­Âê ,ÅØãó‘“

X : X

Y ! X

‚î ´ƒìø .¢¢Âðüõ

ßþ Âޗ ‚“ .À€µÆû À€±Þû

RP n

ø

Sn ,Rn

1

n

ý

.ñ‘·õ 13.3.4

Âû ý¥ ‚“

.¢ª ‚›— Àã“

.ßþÂޗ 14.3.4 ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

.´Æƒ÷ À€±Þû

Q



R

‘þð ¢Àä ‚ b äÞ¹õ ‚î Àƒ€î ´“‘™ (1

Q

?À€õÀî

Àª‘“ ù¥‘“ ‘þ ‚î ´¨ À€±Þû üµìø ‘ú€— ø üµìø

R

À€±Þû

¥ ý‚äÞÞ¹õ Âþ ¥ ‚î Àƒ€î ´“‘™ (2

A

ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,R ¤¢ ù¥‘“ ¥ ¤ Ñ€õ ‘¹€þ ¤¢) .ý‚ÎÖ÷ ח ý‚äÞ¹õ ‘þ ø

A

¥

a
Ìä ø¢ Âû ý¥ ‚“ Â𐠃÷ ø Àª‘“ Ìä ø¢ ý¤¢ Ûì ÀŸ ‚î ´¨ (.x

2A

݃ª‘“ ‚µª¢ ,a

<x
‚î ý

x

Âû ý¥ ‚“ ø

X

:Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ Ìä ø¢ ÛìÀŸ ‘“ ý‚äÞ¹õ ¤¢ À€±Þû ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‘ú€— ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆÆð ý ó•—

‘“

X

Ýþ ƒð (3

Âð (Óó

.À€µÆû ýÌä ח ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ À€±Þû

X

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ù‘Ú÷ ,Àª‘“ §ÞÜõ ý ó•—

‘“

X

X

Âð (’ .´¨

?À€µÆû À€±Þû

fx j kxk < 1g; fx j x21 + x22

R2

fx j kxk > 1g;

¥ Âþ ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ×þ Àî (4

R3 ¥ Âþ ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ×þ Àî 2 2 x x1 = 1 : x x2 1 + x2 x3 = 1 ;

?À€µÆû À€±Þû

g f j 6

g f j

x2 3=1 ;

fx j kxk 6= 1g:

g

84

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

À€±Þû ý‘Ìê 3.4

‚µ¨ƒ• ⓑ— Âû ‚î ´¨ À€±Þû üµìø ‘ú€— ø üµìø

X

ý ó•— ý‘Ìê Àƒ€î ´“‘™ (5

.Àª‘“ ´“‘™ üµª‘Ú÷ (Ìä ø¢ Ûì ÀŸ ‘“ ø) ‚µÆÆð üþ‘Ìê ýµ“

ƒ÷

Y

 Y  A

Àƒ€î ´“‘™ .A

X

ø ´¨

¥ À€±Þû üþ‘Ìê Âþ ¥

A

X

¥

Àƒ€î ­Âê (6

.´¨ À€±Þû

.À€ª‘“

X

Y = Y0

ý‘Ìê ¥ À€±Þû üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

[

ù‘Ú÷ ,Y0

\ Yj 6= ;

2

j

‘û

fYj j j 2 J g

J

Y0

ø

Àƒ€î ­Âê (7

‚ b Þû ý¥ ‚“ Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™

S

ý¥ ‚“ ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ .´¨ À€±Þû ‘“

f : Rn+1

! Sn

f0g

Rn+1

RP

(.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

A : x = 0; À€±Þû

B

ø

A

R2

X

¤¢

V

ø

U

A =:

R2

.´¨ À€±Þû

=U

‚î ,X

(.¢¤¢ ¤Âì

:À€µÆû

U

A

¤¢

‘“ -1 ø 1 ¬‘€ä Ûõ‘ª üþ‘Ìê) –¤ ¬ ‚“ ¤

8x2X

ÛÞä ßþ ‚“ ´±Æ÷

H (X )

f +g

[V

A

Àƒ€î ­Âê (9

[B

Àƒ€î ´“‘™

Àƒ€î ­Âê ,ų¨ .À€µÆû

¥ ý‚ÎÖ÷ ‚î Àƒ€î ­Âê ,ù¡„‘“

B

A

Àƒ€î ­Âê

[B

Àƒ€î ´“‘™

ø

X=A

Ýþ ƒð :ý ±› ý ó•— ý¨ ‚“ ‘ð ߃óø

Z2

‚“

ù‘Ú÷ ,f; g

X

2 H (X )

ø ´¨ ‚µ¨ƒ•

‚î ´¨ À€±Þû üµìø ‘ú€— ø üµìø

H (Xk ) ‚î Àþ ¥‘Æ“ ý‚÷ð ‚“ ¤ Xk

f +g

X

(10

(11

¥ ‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ‚ b ƒÜî ‚ b äÞ¹õ Âð .´¨ (‚µÆÆð ý ó•—

: (f + g )(x) := f (x) + g (x) H (X )

ø

(8

‚ b Γ‘®

0  x  1 ; y = x=n ; n 2 N;

B =:

X

B

X = A

.´¨ À€±Þû

üþ‘Ìê

kk

f (x) = x= x

¥ Âþ ¥ žÂª ‚“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

1=2  x  1 ; y = 0;

H (X ) ø Àª‘“ ý ó•—

1  n Âð Àƒ€î ´“‘™ n ø S ý n  1 Âû

0 < x  1 ; y = os(=x);

B =:

Àƒ€î ´“‘™ :üþ‘Þ€û¤)

.À€µÆû ‚µÆ“ ø ¥‘“

n

¥ Âþ ¥ žÂª ‚“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

1  y  1;




ù‘Ú÷ ,

ⓑ— :üþ‘Þ€û¤) .À€µÆû À€±Þû

:À€µÆû

2

j J Yj

.´¨ À€±Þû

(2 ‚ b ÷‘Þƒ• ‚“)

Àƒ€î ´“‘™

.݃€îüõ Óþ Âã—

Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“üõ üܓ üûø Âð

ý ó•— ý‘û‘Ìê .Àª‘“ é¤ õø þ .Àª‘“ é¤ õø þ

Z2 ‘“

(Z2)k

‘“

85

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“ ¤‘î 4.4

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“ ¤‘î

4.4

ÂÑ÷ ‘“ ¤ Û±ì ñÊê ¤¢ ùÀª žÂÎõ ‘ØŸ ¥ ‚›— °ó‘› ø ‘±þ ¥ üþ‘û¢Â“ ¤‘î ÛÊê ßþ ¤¢ :´¨ ߃€ ù¢‘¨ ö‘ƒ“ ‚“ ‚ó‘bÆõ ߃óø .݃€îüõ ‚Ž¤ "׃؀• Ûþ‘Æõ' ‘€“ üÜþ‘Æõ ‚“ ¤Âì ý ƒõ “ ù¿ó¢ Ûت Âû ‚“ (ï¤ “ ´½— ׃î ,ü€ãþ) ׃؀• ø¢ Àƒ€î ­Âê ×þ ‘ú€— ‘“ ,݃ª‘“ ‚µª¢ ¤‘ƒµ¡ ¤¢ ï¤ “ üê‘î ù b ¥À÷‘“ üþì‘ Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ .¢¤¢ ‚µ¨¡ ‚ó‘bÆõ ߃õø¢ ¤¢ .݃€î ݃÷ ø¢ ‚“ ¤ ׃؀• ø¢ Âû ݃÷—üõ ö ¥ ù¢‘Ôµ¨ ¤‘“ ݃Æ֗ ýø‘Æõ ´ÞÆì ¤‘ú ‚“ üû¿ó¢ ׃؀• ,Ýû “ ¢Þä ©Â“ ø¢ ‘“ ‚î ¢ªüõ ’‘ÆŸ ¤¢ ü÷‘ƒõ ¤ÀÖõ ‚ b ƒÌì –‘±™ ‚ƒ±ª ‚î ´¨ ý‚÷ð ‚“ ‚ó‘bÆõ ø¢ Âû ۟ .¢¢Âð .Àª‘“üõ ۃÆ÷ÂÔþ¢

‚î Àª‘“ ‚µ¨ƒ• ü㓑— ´ê‘þ ö‘€ ý

t

2I

f : I

!

R

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,´¨ ´±·õ‘÷ ø üû‘€µõ

f (0)f (1) .f

ü㓑— .f ߪø ¤

(0)f (1) <

0 ùÄþ“ ;f (t) 6= 0 ý t 2

j

´¨ À€±Þû

I

üóø .(f

2

j

g (t) = f (t)= f (t)

.݃€îüõ Óþ Âã—

(0)f (1) <

.Ýó 1.4.4

Âð (ý ¤‘±› ‚ b Èþ ¤ ‚ b ƒÌì)

I

(t) = 0 ‚î ¢ªüõ

Âû ý¥ ‚“ ݃€î ­Âê :–‘±™

‚ b Γ‘® ‘“

g : I

!

S0 :=

f :I

!I .f

Àƒ€î ­Âê (I ýÂ“ ´“‘™ ‚ÎÖ÷ ‚ b ƒÌì)

(t) = t ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ t 2 I

0 ݃€î ­Âê ßþÂ“‘€“

S0 ‚î

üó‘Ÿ ¤¢

.‚¹ƒµ÷ 2.4.4

ý‚ÎÖ÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨

1 ‘þ f (0) = 0 Âð :–‘±™ ü㓑— ßþ .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ g (t) = f (t) t ‚bΓ‘® ‘“ ¤ g : I ! I ⓑ— .f (1) < 1 ‚“ 1.4.4 Ýó §‘¨ “ ßþÂ“‘€“ .¢¤¢ ëÀ¬ g (0)g (1) < 0 ¯Âª ¤¢ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ• 2 .f (t) = t ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .g (t) = 0 Ýþ ¤¢ ý t 2 I ×þ ý¥ ø

f (0) >

f 1; 1g

0 Âþ ¥) Àª‘“üõ ‘ª• ø ‚µ¨ƒ• ⓑ— ßþ ‚î ´¨

.´¨ ¢‘Ì— ¤¢ 7.3.4 ‚ b ƒÌì ‘“ ‚î ,´Æƒ÷ ߃€

‚µ¨ƒ• ü㓑—

’ÂÌܬ‘Ÿ

.´¨ ‘Þ— ¤‘î

f (1) =

ø¢ ¤¢ Ûì ÀŸ ,üփ֟ ¢Àä ‚ b äÞ¹õ ‚“ ùÂþ¢ ¥ ‚µ¨ƒ• ⓑ— Âû

.‚¹ƒµ÷ 3.4.4

.¢Âƒðüõ ¤ÀÖõ ×þ ,ۓ‘Öµõ fÂÎì ‚ b ÎÖ÷

h : S1 ‘“

e :

!R I ! S1

݃€îüõ ­Âê ;f

(t) 6= f ( t) ý t 2 S1 Âû ý¥ ‚“ ݃€î ­Âê

݃€î ­Âê ,߃€»Þû

.´¨

h(t) = f (t)

f ( t)

:–‘±™

‚ b Γ‘® ‘“ ⓑ—

86

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“ ¤‘î 4.4

‘õ .Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ•

h

Æe

‚î ´¨ ߪø ¤ ,ö€î .´¨

(h Æ e)(0) = h(1) = f (1)

(h Æ e)(1) = h( ‚î ¢¤¢ ¢›ø ²÷‘€

f (x) =

2

2

t

I

1); f (1) =

f(

1) = f ( 1)

ý‚ÎÖ÷ 1.4.4 Ýó ‚“‘€“ ,ŕ

(x) = 0 ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ý x 2

e(t) = exp(ti)

(h Æ e)(0): (0)h(1) <

.h

S1 ‚¹ƒµ÷

ü€ãþ ;h

‚ b Γ‘®

0 ü€ãþ ¤¢ ø (h Æ e)(t) = 0 .f

( x)

.݃€îüõ ‚Ž¤ 3.4.4 ‚ b ¹ƒµ÷ ýÂ“ üØþ ƒê ý ƒ±ã— ,‘¹€þ ¤¢

.‚¹ƒµ÷ 4.4.4

‚ b ÎÖ÷ ø¢ Ûì ÀŸ ,߃õ¥ ù b Âî ¥ ‚ÞƒÌä ù b Âþ¢ Âû “ ø ‚ѽó Âû ¤¢

.À÷¤¢ ü÷‘ÆØþ ý‘õ¢ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ۓ‘Öµõ fÂÎì

n =

1

.´ª¢¢‘þ 5.4.4

´ó‘Ÿ ¤¢ Âϑֵõ ¯‘Ö÷ ö‘Þû ۓ‘Öµõ fÂÎì ¯‘Ö÷

.¢ª ၛø ¤ 20 ÛÊê ‚“ °ÜÎõ ßþ ݃Þ㗠ù b Àû‘Èõ ýÂ“ ,À€µÆû

.݃€îüõ ö‘ƒ“ –¤ ¬ ßþ — Õƒì¢ ‚“ ¤ ׃؀• ‚ b ó‘bÆõ ߃óø –¤ ¬ ,ö€î

.À€ª‘“ ü¨ÀƒÜì ‚ b ½Ô¬ ¤¢ ¤À÷Âî ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢

B

ø

A

.‚ƒÌì 6.4.4

Ýþ ƒð

´Ÿ‘Æõ Ýû ‚ b ރ÷ ø¢ ‚“ ¤ ‚ƒŸ‘÷ ø¢ Âû ‚î ¢¤¢ ¢›ø ‚½Ô¬ ¤¢ üΡ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€îüõ ݃Æ֗

‚ b ƒÌì ¤¢ ’‘Ρ ¢¤ õ ‚ b äÞ¹õ ø¢ ´¨ ßØÞõ ‚î ¢ª ‚›— .À€ª‘“ ù¢‘µê Ýû “ ׃؀• ø¢ ¥ üþ‘úµÞÆì ,ü€ãþ

.´ª¢¢‘þ 7.4.4

.À€ª‘“ ‚µª¢ íµÈõ ‚ b Ö΀õ „‘“

¥ ×þ Âû ´¨ ßØÞõ ,ü€ãþ .À€ª‘“ À€±Þû ÂÑ÷ ¢¤ õ ý‘û‚ƒŸ‘÷ ‚î ¤À÷ üõø ó ,ùø…ã“ .Àª‘“ ý‚Ø— ׀ ‘ú؃؀•

Ûõ‘ª ö‘õ Þû ¤ Îþ ¤

B

ø

A

‚î Àª‘“

(0; 0) 2 R2

îÂõ ‚“ ýùÂþ¢

ýø ¤ §‘ƒÖõ Ëþã— ‘“ .(´¨ ¢›õ ýùÂþ¢ ߃€ ,À÷¤À÷Âî ý

x

Àª‘“

2S

Dx

Âû ý¥ ‚“ ,ö€î .´¨ ÀŸø ÂÎì ‚“

“ ¢Þä Í¡

Lt

S

x

¥

t

ø

Ýþ ƒð :–‘±™

A

ö) ¢ªüõ

‚î ¢Þ÷ ­Âê ö—üõ ‘û¤ ½õ

݃€îüõ ­Âê ,‚µêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ¤

.¢ª ‚›— 3.4 Ûت ‚“ .¢¤¢ ¤Âì

B

S

S

‚ b ܬ‘ê ¤¢

¤¢

Dx

x

¥ ùÀ÷¤Áð

Dx

ÂÎì

‘“ ©¢¤ ¡Â“ Û½õ ‚î

87

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“ ¤‘î 4.4

3.4 Ûت

Lt

¥

x

‚“ µØþ¢ ÷ ´Þ¨ ¤¢ ‚î Àª‘“

A

g2 (1) =

‚î ¢ª ‚›—) Àª‘“ ÂÚþ¢ ´ÞÆì ´Ÿ‘Æõ ÂÚÈþ‘Þ÷

f :

.À€µÆû

ⓑ—

R

‚“

I

¥ ‚µ¨ƒ• ü㓐—

t

2 I ý¢Àä 1.4.4 Ýó Õ±Ï Â“ ,ö€î

ø

g1 (t)

f = g2

ö

g1

g2

ø

g1

.f

(0)f (1) .f

.Àª‘±÷ ‘µØþ À÷—üõ ‚ÎÖ÷ ßþ

g2 (t)

g1 (t)

.(g1

–¤ ¬ ‚“ ¤

 0 ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ;f (0) =

[a; b℄ ö

‚ b ܬ‘ê ‚“ ¤ ö ø ´¨

Dx

hA (x)

!R

I

f (1)

!

“ ¢Þä ‚î üΡ ,ü€ãþ

I

g2 (t)

‚µÆ“ ýù¥‘“ “ ‘þ ŕ .´¨ üóø ÷ fÀƒî ƒ÷

ù¤Þû ‚î Ýþ ¤¢ ‚›— .À€îüõ ݃Æ֗ ݃÷ ø¢ ‚“ ¤

hA : S1

0

0 ‚î ¢ªüõ ´ê‘þ ö‘€

(t) =

hA (x) = (a + b)=2 ݃€î ­Âê ñø ´ó‘Ÿ ¤¢.¢ªüõ ÂÔ¬ ‚ÎÖ÷ ×þ

‚

(0) =

ßþÂ“‘€“ ,(!´¨ ¼®ø °ÜÎõ ßþ ‚î) À€µÆû üóø ÷ fÀƒî ü㓐—

ßþ Âƒè ¤¢ ‘þ ø ,¢ªüõ ÂÔ¬

‚µ¨ƒ• ü㓑—

Ýþ ƒð

Ýþ ƒð .¢¤¢ ¤Âì

‚î ´¨ ߪø ¤

f (t) = g2 (t)

ø ´¨ ‚µ¨ƒ• ƒ÷ ßþ .݃€îüõ Óþ Âã—

g1 (t)

¥ üÈ¿“ ´Ÿ‘Æõ ÂÚÈþ‘Þ÷

A

.hA

(x) =

¤¢ ‘ú€— –¤ ¬

ø¢ ´ó‘Ÿ ¤¢ ø

´Ÿ‘Æõ ,À€îüõ âÎì .hA

‚î ݃µÆû ‚›µõ ,߃€»Þû

‚î Àƒ€î ùÀû‘Èõ ų¨ ø Àƒû¢ ö‘Ø— üõÂ÷ ‚“ ¤

x

( x) =

x

1

¥

hA (x) hA (x)

:üÚȃÞû ×Üî) ´¨ .(¢ªüõ

ö—üõ Óþ Âã—

A

ý‘¹“

B

¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“

h(x) = hA (x)

‚“ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢

hB (x)

hB : S1

–¤ ¬ ‚“ ¤

,y ¥

(y ) =

.h

hA (y )

I

ü㓑— Õþ ÂÏ ßƒÞû ‚“ ´¨¤¢

h : S1

.´¨ ‚µ¨ƒ• ƒ÷ ⓑ— ßþ ,À÷‚µ¨ƒ•

3.4.4 ‚ b ¹ƒµ÷ Փ‘Îõ ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ ü€ãþ

!

0 ßþÂ“‘€“

‚ b ܬ‘ê ‚“

Dy

(x) =

h( x)

.h

(y ) = h( y )

.h

! R ,ö€î hB

ø

hA

ö ‚î ;݃€îüõ

Ýþ ¤¢ ý

x

‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€

y

“ ý‚ÎÖ÷ ¥ ùÀ÷¤Áð

Dy

“ ¢Þä Í¡ ø

.¢Þ÷ Óþ Âã—

2 S1 Âû ý¥ 2 S1 ý‚ÎÖ÷

hA (y ) = hB (y )

88

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“ ¤‘î 4.4

2 n

B

.À€îüõ ݃Æ֗ ýø‘Æõ ‚ b ރ÷ ø¢ ‚“ ¤

n=3

´Ÿ‘Æõ

.´ª¢¢‘þ 8.4.4

Âû ,ü€ãþ .Àª‘“üõ ƒ÷ „‘“ ¢‘㓐 ‚“ ݃Þ㗠ۓ‘ì „‘“ ‚ b ƒÌì

.¢ª ‚㛐Âõ 20 ÛÊê ‚“

A

´Ÿ‘Æõ ƒ÷ ø

´ó‘Ÿ ¤¢ –‘±™ ù b Àû‘Èõ ýÂ“ ;R

n ¤¢ ¤À÷Âî ‚ƒŸ‘÷ b

.݃€îüõ ö‘ƒ“ –¤ ¬ ßþ Â—Õƒì¢ ‚“ ¤ ׃؀• ‚ b ó‘bÆõ ߃õø¢ ,ñ‘Ÿ

Í¡ ø¢ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ‚½Ô¬ ¤¢ ¤À÷Âî ý‚ƒŸ‘÷ .À€€îüõ ݃Æ֗ ´Ÿ‘Æõ Ýû ‚ b ƒŸ‘÷ ¤‘ú ‚“ ¤

ø

(0; 1)

2R

îÂõ ‚“ ýùÂþ¢ ¤¢ ¤

“ ¢Þä üΡ ‚“ ¤

A

“Â“

xOy

‚ b ƒŸ‘÷

Lx

Lx

,ù¿ó¢

2

A

Mx

S

ý¥ ‚“ ݃€î ­Âê

y

“ ý‚ÎÖ÷

݃€î ­Âê ö€î .(y

¤¢ Âð ,‘¹÷Â¨ .À€îüõ –‘ì…õ

y

¥

A

Âð

.‚ƒÌì 9.4.4

‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ Àõ‘ãµõ

‚ b äÞ¹õ 6.4.4 ‚ b ƒÌì –‘±™ À€÷‘Þû :–‘±™

,‘f¬Ê¡) Àþ‘Þ÷üõ âÎì

‚ b þø¥ ‚î Àª‘“

“ ¢Þä üΡ

x

S1

A

x

¥

hA (x)

p

.݃€îüõ ¢øÀ½õ ×þ ÂÎì

‚ b ܬ‘ê ¤¢ ¤ ö ‚î Àª‘“

Dx

Ýþ ƒð .(À€îüõ ݃Æ֗ ´Ÿ‘Æõ Ýû ‚ b ƒŸ‘÷ ø¢

= xi = x

hA (y )

1 ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“) ¢È“ =2

‚ b ܬ‘ê ‚“ ý‚ÎÖ÷ ¤¢ ¤

Dx

‚î Àª‘“

Dx

À› ‚ƒŸ‘÷ ¤‘ú ,݃€î ´îŸ (´ä‘¨ ý‘û‚“ ÂÖä ´îŸ ÅØä ,ü€ãþ) ü—‘·Ü·õ ´ú› ‚›— 4.4 Ûت ‚“ ;݃õ‘÷üõ

A4 (x)

ø

A3 (x) ,A2 (x) ,A1 (x)

°ƒ—µ“ ¤

A

¥ ùÀª .¢ª

gi (x)

ù‘Ú÷ ,݃õ‘€“

¤

Ai (x)

´Ÿ‘Æõ Â𐠂î Ýþ ¤¢ ‚›—

g1 (x) + g2 (x) = g3 (x) + g4 (x); g4 (x) + g1 (x) = g2 (x) + g3 (x); ×þ Âû ‚î ´¨ ߪø ¤ .g2

f (x = g1 (x)

(x) = g4 (x)

‚ b Γ‘® ‘“ ‚ b µ¨ƒ• ⓑ—

ø

f

g1 (x) = g3 (x) Ýþ ƒð

.À÷‚µ¨ƒ•

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨

f (ix) = g1 (ix)

g2 (ix) = g2 (x)

¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ‘ú€þ ¥ ‚î

g3 (x) = g2 (x)

gi : S1

!

R

ⓐ— ¥

g2 (x) = g3 (x) g1 (x) =

g4 (x)

f (x):

pe : T ! ö ¤¢ ‚î ,Ýþ ƒðüõ ¤‘Ø“ f Æ pe : I ! R ⓑ— ¢¤ õ ¤¢ ¤ 1.4.4 Ýó ,ñ‘Ÿ pe(t) = exp(it=2) ‚Γ‘® ‘“ R 2 .´¨ ‘Þ— ö‘û“ ,°ƒ—— ßþ ‚“ ø ;´¨ b

89

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý ó•— ý‘û‘Ìê ᐁ÷ 4 ÛÊê

׃؀• Ûþ‘Æõ :¢Â“ ¤‘î 4.4

4.4 Ûت

“ ÙµêÂ𠖤 ¬ ý¢›ø –¤ ¬ ‚“ ׃؀• Ûþ‘Æõ ۟ ö—üõ ‚÷Ú ,üóø

.´ª¢¢‘þ 10.4.4

.À÷¤¢ ¢›ø üþ‘úªÂ“ ߃€ ‚î ݃ŽÚ“ ݃÷—üõ §‘¨ ߃Þû

¤‘ƒÆ“ ‚ó‘bÆõ ßþ ýÂ“ üÜî ۟ ž¤ ‚ b Ž¤ ´¨ ßØÞõ

?¢¢ ‘¹÷ ¤ üþ‘úªÂ“ ߃€

ùÀª ‚Ž¤ ,Àª‘“üõ ý ù¢‘¨ ¤‘î ,üªÂ“ ߃€ ßµê‘þ ‚î ù¢‘¨ üµó‘Ÿ Âþ ¥ ¤¢ .Àª‘“ ¤ª¢ .´¨

.ßþÂޗ 11.4.4 üãÜ®

2n ÛØȓ ‘ú÷ ¥ üØþ Âð

.À÷¤¢ ¤Âì ý ƒõ “ ׃؀• ø¢ Àƒ€î ­Âê (1

¤¢ ù¤Þû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ,Àª‘“ Ýѵ€õ üãÜ®

2m Ûت ‚“ ý ÂÚþ¢ ø Ýѵ€õ

׃؀• ø¢ Âû ,©Â“ ×þ ‘ú€— ‘“ ‘— ¢Þ÷ Àƒ• è‘ ýÂ“ üµƒã®ø ö—üõ ÛÞä .À÷ª ݃Æ֗ ݃÷ ø¢ ‚“

ö‘È÷ 6.4.4 ¤¢ ý‘úþ ¤Áð¢‘Þ÷ ¥ ù¢‘Ôµª ‘“ Àµ“ (6.4.4 ‚ b ƒÌì ¥ ý ÂÚþ¢ –‘±™) (3 ö ‚î ´ê‘þ ¢ªüõ ý ¤ Ï

Dx

“ ¢Þä

Lx

Àƒ€î ­Âê .À€îüõ ݃Æ֗ Ç¿“ ø¢ ‚“ ¤

k2 (x)

ø µØþ¢ ÷

k1 (x)

B

üΡ ,x

2 S1 Âû ý¥ ‚“ ‚î Àƒû¢

Í¡ ßþ .À€îüõ ݃Æ֗ ݃÷ ø¢ ‚“ ¤

;Àª‘“ ‘úÈ¿“ ßþ ¥ ×þ Âû ´Ÿ‘Æõ

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ;k

(x) = k1 (x)

k2 (x)

k2 (x)

ø

k1 (x)

Àƒ€î ­Âê .x ‚“ —¤ ø¢

.Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ ¤ 6.4.4 ‚ b ƒÌì Ý؟ ø ´¨ ‚µ¨ƒ•

k : S1

!R

90

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

5 ÛÊê ¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ

‘f㮁õ ‚î üþ‘ú÷ ;݃€îüõ ‚›— ý ó•— ý‘û‘Ìê ¥ «‘¡ ý‚µ¨¢ ‚“ ÛÊê ßþ ¤¢ .À€µÆû ü¨ÀƒÜì ý‘û‘Ìê ‚“ ‚ƒ±ª

ñ‘·õ À€ ø Óþ Âã—

ÀÜԃ€õ

¥ ¤ Ñ€õ

.Àª‘“ üԀõ ‘÷ ø ¼ƒ½¬ ý¢Àä

n

Ýþ ƒð

.Óþ Â㗠1.1.5

ý¤¢ ö ¥ ‚ÎÖ÷ Âû ø Àª‘“üõ é¤ øÀ¨ø‘û ‚î ´¨ ý ó•—

Int(D n ) = fx 2 Rn j kxk < 1g

¥‘“ ýÀã“

.¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨ ¤‘ʵ¡ ‚“

f Þä ,ßþÂ“‘€“ §‘¨ “ …

Rn

Int(D n ) =

.

üþ‘Ìê ,ýÀã“

n

n «Âì ‘“ é¤ õÿÞû ýüÚþ‘ÆÞû

ÀÜԃ€õ

Rn

1.5

n

ž…ܐ ¥ ¢¤ õ ßþ ¤¢ .´¨

‚î ¢ª ‚›—

.´ª¢¢‘þ 2.1.5

¢¡ ‘“ é¤ õÿÞû ýüÚþ‘ÆÞû ý¤¢ ‚ÎÖ÷ Âû Àþ‘“ ÀÜԃ€õ ×þ ¤¢ ,„‘“ Óþ Â㗠.Àª‘“

X ý‘Ìê Âû ‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,¢¤¢ ‚ÎÖ÷ ×þ ‘ú€— R0 ,‚µÆÆð ý ó•—

‘“ ý‘Ìê Âû ,âìø ¤¢ .´¨ ÀÜԃ€õ

ö (1

.ñ‘·õ 3.1.5

0 ×þ ,‚µÆÆð ý ó•—

‘“

91

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‚î ´¨

ñ‘·õ À€ ø Óþ Â㗠1.5

x ¥ üÚþ‘ÆÞû ×þ fxg ‚bäÞ¹õ ý x 2 X

.À€µÆû ÀÜԃ€õ

n

n ¥ ‘úó‘·õ ßþ —ù¢‘¨ R ø

f ø ,Âþ ¥ .´¨ ÀÜԃ€õ é¤ øÀ¨ø‘û Ûƒó¢ ‚“ „

Rn

¥ ©üþ‘ÌêÂþ ¥ ý ó•—

‚î ¢ªüõ ´ê‘þ ö‘€

S1

‘“

U

Int( ) Dn

Âû ý¥ ‚“ ø ´¨ é¤ øÀ¨ø‘û .Àª‘“üõ éÂõÿÞû ,‘ûÀÜԃ€õ

R0

‘“

0 ¥ ý¨ (2

n ×þ ,Rn ¥ U ¥‘“ ‚bäÞ¹õ Âþ ¥ Âû (3

‚ b äÞ¹õ ,15.2.4 ‚ b ƒÌì ‚“ ‚›— ‘“ ø

Rn

ö¢“

" > 0 ý¢Àä ,x 2 U Âû ý¥ ‚“ ,ü÷‘™ ¤¢ .´¨ é¤ øÀ¨ø‘û .B" (x)  = Int(D n ) ‚µ±ó ø x 2 B" (x)  U

= fexp(2it) j t 2 1 C x = exp(2i) 2 S1 x 2 S1 f xg = S1 fexp(2i( 12 ))g = fexp(2it) j  12 < t <  + 12 g = ( 12 ;  + 12 )  = ( 1; 1) = Int(D 1 ): Int(D 1 ) S1 ݃€î ­Âê Âõ ßþ ù b Àû‘Èõ ýÂ“ .´¨ ÀÜԃ€õ Â𐠖¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“

ù‘Ú÷ ,

.Àª‘“üõ

‘“ é¤ õÿÞû ýüÚþ‘ÆÞû

×þ

S1 ùÂþ¢ (4

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

Ig

¥ ‚ÎÖ÷ Âû ,ßþÂ“‘€“

Ýþ ¤¢ ,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢

:1.5 Ûت

ø

n

=0

´ó‘Ÿ

.´¨ ÀÜԃ€õ

n ×þ

Sn

n  2 ¢Þ÷ ­Âê ö—üõ ŕ

ù b Àû‘Èõ ýÂ“ .

Sn

ý

n Âû ý¥ ‚“

.ñ‘·õ 4.1.5

f ±ì .´êÂ𠤐Âì ü¨¤ “ ¢¤ õ …

n=1

f Þä ‚î ݃€îüõ žÂÎõ ¤ ý ¤‘Ú€¹€ð ÂþÊ— ,°ÜÎõ ßþ ¥ ÝÆƒê¤ õÿÞû ×þ …

' ´ª‘Ú÷ ßþ .Àª‘“üõ Rn ýø “ f(0;


; 0; 1)g n+1 ¤¢ x ‚“ (0;


; 0; 1) ¥ ´¨¤ üΡ .x 2 Sn f(0;


; 0; 1)g ù¢Þ÷ ݃¨Â— R n = fx 2 Rn+1 j x ‚ b ÎÖ÷ .À€î âÎì ¤ R n+1 = 0g ‘— ݃û¢üõ ¢Àµõ ¤ ö ų¨ ø .¢ª ‚›— 1.5 Ûت ‚“ .¢ªüõ É¿Èõ ‘µØþ –¤ ¬ ‚“ '(x) ¢¤ ¡Â“

݃€î ­Âê :¢ªüõ üêÂãõ ߃€

92

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ñ‘·õ À€ ø Óþ Â㗠1.5

' ö¢“ ׃±Øþ ø üÚµ¨ƒ• = ' 1 ¢ªüõ ùÀþ¢ üÖƒì¢ ñõÂê .¢Âî ùÀû‘Èõ ƒ÷ ¤ ö üÚµ¨ƒ• ø ¢Þ÷ Óþ Â㗠¤ ¢¤Áðüõ x ø (0;


; 0; 1) ¥ ‚î üµ¨¤ Í¡ ‚ b ó¢‘ãõ Àµ“ :¢¤ ø ´¨À“ ¢ªüõ ' ýÂ“ ‚“ .Ýþ ¤ øüõ ´¨À“ ¤ xn+1 = 0 ö ¤¢ ‚î Í¡ ¥ ý‚ÎÖ÷ ,ų¨ .݃Æþ÷üõ ¤ üµŸ¤ ‚“ ߃€»Þû .´¨ ù¢‘¨ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ Ûì ÀŸ

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,‚î ¢Þ÷ Ճֽ— ¢ª üõ üµŸ¤

'(x1 ;


; xn+1 ) =





xn x1 : ;


; 1 xn+1 1 xn+1 :´¨ ߃€

' öø ¤ø ,ùø…ã“

!

(x1 ;


; xn ) = 1 +2xk1xk2 ;


; 1 +2xknxk2 ; k1x+k kxk12 : ' Æ ' = 1Sn f 0;


;0;1 g ' Æ = 1Rn n x 2 S f(0;


; 0; 1)g Int(D n ) (0;


; 0; 1) Sn f(0;


; 0; 1)g Rn Sn f(0;


; 0; 1)g 2

‚“

(

)

‚Ø€þ ƒ÷ ø

ø

ýüÚþ‘ÆÞû ý¤¢

ø

üÚµ¨ƒ• Ճֽ—

Âû ‚Ø€þ ‚¹ƒµ÷ .¢ªüõ ù¢Â³¨ ùÀ€÷¡

‚ b ÎÖ÷ .´¨ (

ÝÆƒê¤ õÿÞû ßþ .´¨

¢¡ ‘“ ü€ãþ)

‘“ é¤ õÿÞû

‘“ é¤ õÿÞû

üÚþ‘ÆÞû ý¤¢ ƒ÷

:Àª‘“üõ Âþ ¥ žÂª ‚“

'0 (x1 ;


; xn+1 ) =

‚“ Àµ“ ©ø ¤ ßþ ¤¢

.¢¤¢ ¢›ø

= fx 2 Sn  Rn 1 j xn 1 > U ! Int(D n )  Rn Int(D n ) x 2 Sn Ux = U

+

+





xn x1 : ;


; 1 + xn+1 1 + xn+1

Sn

n ùbÀû‘Èõ ýÂ“ ÂÚþ¢ ©ø ¤

ö¢“ ÀÜԃ€õ

¥‘“ üÚþ‘ÆÞû .݃€îüõ ‚›—

ݎ‘ì ÂþÊ— ‚ b ܃¨ø ‚“ üÚþ‘ÆÞû ßþ

ßþ ø ¢¢Âðüõ ÂþÊ—

݃€îüõ ­Âê ,

,ö€î .´¨

ýø “

X

.Àª‘“üõ ÀÜԃ€õ

.݃€îüõ ’‘¿µ÷ ¤

(x1 ;


; xn 1) 7! (x1 ;


; xn ) +

‚ b ÎÖ÷

0g

‚ b Γ‘® ‘“

ý¥ ‚“ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢.Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õÿÞû ´ª‘Ú÷

x 2 Sn ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ž®ø ‚“ ‚î ,fy

üÞÆƒê¤ õÿÞû ,

(0;


; 0; 1) 2 Sn

¤¢Â“ “ ¢Þä ø

0 2 Rn

+1

p 2 Sn j kx yk < 2g

¥ ùÀ÷¤Áð ‚ b ½Ô¬

n “ ݎ‘ì ÂþÊ—

n ×þ …fÞä Sn ‚î Àû¢üõ ö‘È÷ ø ¢¥‘¨üõ ¤Âì“ Int(D n ) ø Ux ö‘ƒõ

n Óþ Â㗠¤¢ ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ­Âê .´ª¢¢‘þ 5.1.5 ýüÚþ‘ÆÞû ý¤¢ ©‚ÎÖ÷ Âû ‚î Àª‘“ üþ‘Ìê X Â𐠑þ ‚î ´¨ žÂÎõ ñ b ¨ ßþ

.´¨

üõ ó

ÀÜԃ€õ

93

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ñ‘·õ À€ ø Óþ Â㗠1.5

Ǩ• ßþ ¾¨‘• ?´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

X ‘fõ ó ‘þ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,´¨ Rn ‘“ é¤ õÿÞû

¤ ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ­Âê Âð âìø ¤¢ .¢ª ‚›— À㓠ñ‘·õ ‚“ ´¨ üê‘î .´¨ üԀõ ,À÷ªüõ ¤ÀþÀ• 2.5 Ûت ¤¢ À€÷‘õ ü±ƒ¹ä ý‘û‘Ìê ,݃€î éÁŸ ÀÜԃ€õ

n Óþ Â㗠¥

¤¢ ü¨ÀƒÜì ý‘û‘Ìê ‘“ ‘ûÀÜԃ€õ ö¢“ é¤ õÿÞû ‘f㮁õ «Ê¡ ¤¢ ‘õ ¢úª ‘“ ‚î !´¨ ¢‘Ì— Àª‘“ ßþ ,ÀÜԃ€õ Óþ Â㗠• ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ¯Âª  ó ýÂ“ ÂÚþ¢ ۃó¢ ×þ Àþ‘ª ,¢Âƒðüõ ‘› ü±¨‘€õ ÀÜԃ€õ “

RN

׃ª ÀÜԃ€õ

N

RN

‘“

¤¢ ÀÜԃ€õ ‚Ø€þ –‘±™ ýÂ“ ù¤ ¯Âª ßþ ¢›ø ‘“ ‚î

ü÷õÂƒ• ý‘Ìê ¥ ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ¯Âª ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ .¢ªüõ ÝûÂê

n Âû ö §‘¨ “ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ý‚ƒÌì ,´ÖƒÖŸ ¤¢ N

é¤ õÿÞû ö—üõ (ï¤ “ üê‘î ù b ¥À÷‘“

‘“)

RN

.¢ªüõ ۃ޽—

f ·õ) ¥ üþ‘ÌêÂþ ¥ ‘“ ¤ (ù¢ÂÈê ,…

ø (6)-8.2.5ßþ Âޗ ‚“ ù¢ÂÈê ý‘ûÀÜԃ€õ ´ó‘Ÿ ¤¢ Ý؟ ßþ ù b Àû‘Èõ ýÂ“

.¢Þ÷

.¢ª ‚›— (7)

,Àª‘“

U

ý ó•— ‘“

X = fx 2 R j

1 < x  2g ݃€î ­Âê

Ûت ‚“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ ù¿ó¢ üä‘Þµ›

X

“

R

ͨ— ùÀª Ǒ‘Öó üþ‘Ìê Âþ ¥ ý ó•—

X

ÂÑ÷ ¥ .À€µÆƒ÷ ¥‘“

f2g

U ‘þ U

“

U

ý ó•—

¤¢

( ; 2℄

=X

ý¤¢

‘þ

X

f2g

=; , U 2U

‚î ¢ª ‚›—

X

."Àª‘“

¼ƒ½¬ Ûت ,ý¢úª

¥ ù¿ó¢ ¥‘“ üÚþ‘ÆÞû Âû ,ü€ãþ) ´¨ ×þ¢ ÷

¥ ¥‘“ üÚþ‘ÆÞû Âû Âþ ¥ ,´Æƒ÷ é¤ øÀ¨ø‘û

' ‚î

Ûت ‚“ ý‘û‚äÞ¹õ ,Âþ ¥ !´Æƒ÷

,Âþ ¥ .Àª‘“üõ 2.5 Ûت ¥ (’) ‘þ (Óó) ´ÞÆì ¤¢

ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ,

U

.ñ‘·õ 6.1.5

X ž®ø ‚“

f0g

.(¢¤¢ “ ¤¢ ¤

‚“ ù¥À÷ü“

(; 0)

Ûت ‚“

X ¤¢ ‚ÎÖ÷ Âû ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .À€îüõ âÎì ¤ f0g Ûõ‘ª ¥‘“ ý‘ûüÚþ‘ÆÞû ‘Þ— ,f2g 1 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,x 6= 2 ø x 2 X Âð .Àª‘“üõ R ‘“ é¤ õÿÞû ýüÚþ‘ÆÞû ý¤¢ N = [ 1=2; 0) [ (3=2; 2℄ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,x = 2 Âð üóø .´¨ üúþÀ“ Ý؟ ßþ ‚ b Γ‘® ‘“ f : N ! ( 1; 1) ⓑ— ͨ— ‚î ´¨ f2g ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû f (x) = üþ¨ø¢ ø ‚µ¨ƒ•

f



2y 4 2y

1=2 < y < 0 3=2 < y  2

‚î À€î Ճֽ— ùÀ€÷¡ ´¨ ¥„ .Àª‘“üõ é¤ õÿÞû

‚ b Γ‘® ‘“

g : ( 1; 1) ! N

g(x) =



x=2 2 x=2

Int(D 1 )

‘“

¥ ´¨ –¤‘±ä Ç÷ø ¤ø ߃€»Þû ø ´¨

1<x<0 0x<1 94

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

2.5 Ûت

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨

2.5

âìø ¤¢ .´¨ ÀÜԃ€õ ,ÀÜԃ€õ ø¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ

M N ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ÀÜԃ€õ n ø ÀÜԃ€õ m °ƒ—µ“ N ø M Âð

.‚ƒÌì 1.2.5

.´¨ ÀÜԃ€õ

(n + m)

×þ

! Rn ø f : U ! Rm ݃€î ­Âê .(x; y) 2 M  N ݃€î ­Âê :–‘±™ (f; g) : ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ y 2 V ø x 2 U ¥‘“ ý‘ûüÚþ‘ÆÞû ¥ üþ‘úÞƃêÂõÿÞû m  Rn  Rm+n ¥ ¥‘“ ýüÚþ‘ÆÞû U  V ø ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû ƒ÷ U  V ! R = .¢¢Âðüõ š‘µ€µ¨ 17.2.4 ‚ b ƒÌì ¥ M  N ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û .´¨ M  N ¤¢ (x; y ) 2

g:V

2 ×þ T2

‚“ ,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ .´¨ ÀÜԃ€õ .´¨ ÀÜԃ€õ

:= S1  S1

1 


 S1 ’ƒ— n ý n Âû ý¥ n ×þ Tn := S } {z | ü³î

݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ .À€î ÛÞä ý

g

2 G f1g

Âû ø

x

.ñ‘·õ 2.2.5

’ƒ—

X

2X

‚ b äÞ¹õ “

n

G ùø Âð Ýþ ƒð

Âû ý¥ ‚“ ‚î À€îüõ ÛÞä

.Óþ Â㗠3.2.5

¢¥

Ûت ‚“

X

“

G

g  x 6= x

.

X

“

G ÛÞä ø ù¢“ ‘Ìê G ×þ X ,üû‘€µõ üûø Âð G Âð .‚ƒÌì 4.2.5 .Àª‘“ X ‚î ´¨ ÀÜԃ€õ n üµìø ‘ú€— ø üµìø X=G –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ¢¥

2 “

.(4)-8.2.5 ßþ Âޗ :–‘±™

Z2

üû‘€µõ ùø Â𠑹€þ ¤¢ ,Âþ ¥

.´¨ ÀÜԃ€õ

n ×þ

RP n

.ñ‘·õ 5.2.5

.À€îüõ ÛÞä ¢¥ –¤ ¬ ‚“

Sn ÀÜԃ€õ

n

95

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‚î ,Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

: Sn ! RP n

p

´ª‘Ú÷ ,°ÜÎõ ßþ ֵ݃Æõ ù b Àû‘Èõ ýÂ“

x 2 Sn ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû Ux ݃€î ­Âê –¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“üõ µÞî

p ‚î Â

.´¨ é¤ õÿÞû

םî üê‘î ù b ¥À÷‘“

ùÀª ù¢¢ ö‘È÷

X

U

p

.¢Â“üõ

f x; xg 2 RP n

šø ¥ ‚“ ¤

x 2 Sn

2 ¥ ö ÂÎì ø ´¨ é¤ õÿÞû Int(D n ) ‘“ ‚î Àª‘“

Int(D n )

‘“ ‚î Àª‘“üõ

p(x)

¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû

p(Ux )

 Sn Âð ø ´¨ ¥‘“ ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ (12.3.3 ‚bƒÌì ‚“ ‘€“) .´¨ üþ¨ø¢ pjU : U ! p(U ) ù‘Ú÷ ,Àª‘“

‚ b ƒŸ‘÷ ᅮ ý ƒð üØþ ¥ Û¬‘Ÿ

M

ý‘Ìê

.ñ‘·õ 6.2.5

‚î Ýѵ€õ üú›ø ´Èû Ûت ‚“ ´¨ ý‚ƒŸ‘÷ ßþ .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ 3.5 Ûت ¤¢

p:X

! ݃€î ­Âê

.Ýþ‚µêÂð üØþ Ýû ‘“ Ûت ¤¢ ù¢¢ ö‘È÷ –¤ ¬ ‚“ ¤ Ç䅮 .´¨ üãƒ±Ï ÂþÊ— ´ÈÜÚ÷

M

3.5 Ûت

x

ž®ø ‚þ ù‘Ú÷ ,¢Âƒð ¤Âì

X

öø ¤¢ ¤¢

p

1

(x)

‚î Àª‘“ ý ¤ Ï

x

2M

Âð

p(Int(X )) ,âìø ¤¢ ;¢¤¢ Int( ) ‘“ é¤ õÿÞû ýüØþ‘ÆÞû 1 (x) ‚î Àª‘“ ý ¤ Ï x 2 M Â𐠧Ž¤ ¥ üØþ üóø ,¢ÂƒÚ“ ¤Âì X ᅮ ¥ üØþ “ p ýüÚþ‘ÆÞû x ‚î ¢Þ÷ ‚ÑŸ…õ ö—üõ ü㨠üÞî ‘“ Ýû ¥‘“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘±÷ ö p 1 (x) Â𐠑¹÷ ¨ .Àƒ€î ùÀû‘Èõ ¤ 4.5 Ûت ;¢Âþ£¢üõ Int(D n ) ‘“ é¤ õÿÞû 1 (N ) ´¨ é¤ õÿÞû Int(D n ) ‘“ ‚î x ¥ N üÚþ‘ÆÞ¡ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X ¤¢ §b¤ ×þ ,p x x 1 ý¢Àä " > 0 ‚µ±ó ‚î ;À÷¤¢ ¤Âì p (x) ‘— " ‚bܬ‘ê ‚“ ‚î Àª‘“üõ X ¥ üϑÖ÷ Dn

.´¨ ýüÚþ‘ÆÞû ߃€

.´¨ °¨‘€õ

96

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

4.5 Ûت

ၮõ ‚Ø€þ ýÂ“ .´Æƒ÷ ý ¤ª¢ ¤‘î ᅮ ÂÚÈþ‘Þ÷

A Ýþ ƒð

M ö¢“ é¤ øÀ¨ø‘û ùbÀû‘Èõ ,ý¢úª ÂÑ÷ ¥

.Ýþ ¤ øüõ ¤ Âþ ¥ žÂª ‚“ –‘±™ ,¢ª üãÎì ƒ÷ ü®‘þ ¤ ÂÑ÷ ¥

S

X ¥  i (‚bµÆ“) âÜ® Ai ‚î ݃Æþ÷üõ 8i=1 (Ai [ Y ) –¤ ¬ ‚“ ¤ A .Àª‘“ X ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ C Ýþ ƒð .Àª‘“üõ X §b¤ ´Èû Âû ¥ °îÂõ ý‚äÞ¹õ Y ø –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ X ¥ ´¨

5.5 Ûت

p

1

(p(C )) =

p

= (C = (C

1



p (C A) [ p

A) [ (C \ Y ) [ 1



p C\Y

A) [ "(Y ) [

8 [ i=1

p




1

8 [ i=1

[



(C \ Ai )


8 [

i=1

p

1



p C \ Ai




(C \ Ai ) [ Bi


"(Y ) = ; –¤ ¬ ßþ Âƒè ¤¢ ø "(Y ) = Y Àª‘“ üú— ƒè C \ Y Â𐠂î f Þä .Àª‘“üõ é¤ õÿÞû C \ A ‘“ ‚î ´¨ A ¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ B ‘“ Ai âÜ® Â𐠅 i i C \ Ai ‘“ ‚î ¢“ Àû¡ Ai ¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ Bi ù‘Ú÷ ,À÷ª ‚µêÂð üØþ M ¤¢ Aj âÜ® ‚ b äÞ¹õ .

97

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

p

1

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

(p((C \ Ai ) \ Aj )) = p

1

p(Bi ) = p(C \ Ai ) ø Àª‘“üõ é¤ õÿÞû ‚î ¢¢Âðüõ ‚ÑŸ…õ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ (.Bi [ ("(Y ) [ Aj )

‚î ¢ª ‚›—) .

(p(C )) = C [ "(Y ) [

8 [ i=1

Bi .¢ª ‚›— 6.5 Ûت ‚“

6.5 Ûت

i = 1;


; 8 ‚ð Bi ý‘û‘Ìê Âþ ¥ ßþÂ“‘€“ .´¨ ‚µÆ“ X ¤¢ ƒ÷ Ai ‘õ ;´¨ é¤ õÿÞû Ai ¤¢ C \ Ai ‚ b µÆ“ ‚ b äÞ¹õ ‘“ 1 (p(C )) ,üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— Óþ Â㗠‚“ ‘€“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ´¨ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ p .Àª‘“üõ ‚µÆ“ üµª‘Ú÷ p : X ! M ‚Ø€þ ‚¹ƒµ÷ .´¨ ‚µÆ±“ M ¤¢ p(C ) ‚ b äÞ¹õ Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ 20.2.4 ‚ b ƒÌì ¥ ,´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ø ù¢ÂÈê üþ‘Ìê X ž®ø ‚“ ö .Àª‘“üõ ÀÜԃ€õ 2 ×þ M Áó ø ´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê ƒ÷ M ‚î Bi Âþ ¥ ,À€µÆû X

¤¢ ‚µÆ“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,

f Þä ¤ 3.5 Ûت ¤¢ ý‘úþ ƒð üØþ .݃û¢ ‘¹÷ ݃÷—üõ ýÀ㓠‚¨ §‘ƒ÷¢ ¤¢ … .݃õ‘÷üõ

‚÷‘ðø¢ ’ƒ—

¤ ‚ܬ‘Ÿ Ǒüª .Ýþù¢¢ ö‘È÷ 7.5 Ûت ¤¢ ¤ ßþ

´¨ ßþ 3.5 Ûت ¤¢ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷

M

ÀÜԃ€õ

2 Ýƹ— ýÂ“ ý ÂÚþ¢ ‚bÖþ ÂÏ

(Óó)-8.5 Ûت ¤¢ À€÷‘õ ¤ ´¨ §b¤ ×þ ¥ ýüÚþ‘ÆÞû ‚î ¥‘“ ü¬Âì Àµ“ ‚î ø ,݃€îüõ Ûʵõ Ýú“ Ûõ‘î ¤ ø Γ ¤

a1 ‘÷ ‚“ âÜ® ø¢ ,ö€î

.݃€î éÁŸ ‚ƒŸ‘÷ ¥

‘“ ßþ .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ (¢)-8.5 Ûت ¤¢ ù‘ƒ¨ ‚ b ƒŸ‘÷ .݃¨¤üõ (š)-8.5 Ûت ‚“ ⓑ— .´¨ é¤ õÿÞû ,´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ (û)-8.5 Ûت ¤¢ ‚î

R2

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ ‚ b Γ‘® ‘“

f (x; y) =

8 > < > :

x(a+2y (b a))
b (x b)(1 a 2y (b a))
1 b xa b

;y

;y

+ a + 2y(b

a); y




f

0  x  b; y  0 b  x  1; y  0 y0

98

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

7.5 Ûت

0 < a  b < 1 ‚î)

ý‘úÜت ¤¢ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ ý‘û‘Ìê ö‘ƒõ üÞÆƒê¤ õÿÞû ( ¥ ‘— ø¢ ºƒû ‚î ý ÂÚþ¢ âÜ® ‚¨ “

f

‚î ¢ª ‚›— .Àª‘“üõ (ø)-8.5 ø (û)-8.5

¥ üÞÆƒê¤ õÿÞû ,ßþÂ“‘€“ .À€îüõ ÛÞä ü÷‘Þû –¤ ¬ ‚“ ,À÷¤À÷ ¢¤ ¡Â“ Ýû ‘“ ‘ú÷ ÝÆƒê¤ õÿÞû ßþ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ .´¨ ü÷‘Þû

a2 ¥ Âƒè ‚“ âÜ® ‚¨ “ ‚î Ýþ ¤¢ Y

߃“ üÞÆƒê¤ õÿÞû ‚“ ,(¢)-8.5 Ûت ¤¢ ù b Àª ùƒ— Âƒè ´ÞÆì “ ü÷‘Þû ø

‚“

Y

Y

“

.À€ê¤ õÿÞû (ž)-8.5 ø (š)-8.5 ý‘û‘Ìê ßþÂ“‘€“ .݃¨¤üõ (¥)-8.5 ø (¢)-8.5 ýÂ“ (ý)-8.5 ø (¯)-8.5 ¤¢ ùÀª ùƒ— ý‘úµÞÆì ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ,‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“ ý ƒð üØþ ‘“ .À€ê¤ õÿÞû ƒ÷ (ž)-8.5 ø (í)-8.5 ¤¢ ý‘û‘Ìê ,ÝÆƒê¤ õÿÞû é¤ õÿÞû ‚“ ,‚“‘Èõ –‘ƒÜÞä ‘¹÷ ‘“ .¢¢Âðüõ Û¬‘Ÿ (ñ)-8.5 ý‘Ìê

a2 ü³î ø¢

.݃¨¤üõ ()-8.5 ø (Óó)-8.5 ý‘û‘Ìê ö¢“

99

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

8.5 Ûت

100

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

Ûت ‚“ ù¢‘¨ ü®‘±Ö÷ ÝÆƒê¤ õÿÞû À€ ¥ ŕ ø ݃¨¤üõ 9.5 Ûت ‚“ ‚õ¢ ¤¢ Ýþ¢Âî éÁŸ Àµ“ ¤¢ ‚î ý¥‘“ «Âì üÚþ‘ÆÞû ,‘¹÷ ¨ .݃“‘þ üõ ´¨¢ (š)-9.5 .݃¨¤üõ (¢)-9.5 Ûت ‚“ ø ù¢Þ÷ ‚ê‘® Ûت ‚“ ¤

9.5 Ûت

ý‘Ìê –¤ ¬ ‚“ ¤ ýù¢ÂÈê ÀÜԃ€õ

2 Âû ‚î ¢ª üõ ´“‘™

.´ª¢¢‘þ 7.2.5

ßþ ‚“ ‚õ¢ ¤¢ ;¢¤ ø ´¨À“ ö—üõ ü±¨‘€õ üãÜ® À€ ‚ b ƒŸ‘÷ ý ƒð üØþ ¥ Û¬‘Ÿ .´¡¢Â• ݃û¡ ၮõ

.ßþ Âޗ 8.2.5 .´¨ ÀÜԃ€õ

n ×þ ,Rn

¥ ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

 ‚î ,C P n := Sn=  Ýþ ƒð (2 x = exp(2it)y ý t 2 I ×þ ý¥ ‚“ , x  y n 2n+1  C n+1 “ ÀÜԃ€õ 2n ×þ C P –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“üõ S 2n+1 ¤¢ ý‘ûùÂþ¢  ‚î Àƒ€î ‚›—) .´¨ .¢Âƒðüõ üØþ ý‚ÎÖ÷ ח ‘“ ¤ S n f ·õ (.Àû¢üõ ö‘È÷ ¤ C P ¤¢ ý‚ÎÖ÷ f(exp(2it); 0;


; 0) j t 2 I g ,… ý¥ ¤ Ýû ‚ b Ф

 ‚î ,Lp := S2n+1=  ø p 2 N Ýþ ƒð x = exp(2k=p)y ý k 2 f0; 1;


; p 1g ×þ ý¥ ‚“ , x  y ý¥ ¤ Ýû ‚ b Ф

(3

101

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

(2n +

×þ

Lp

ÀþÀ› ý‘ûÀÜԃ€õ ´¡‘¨ 2.5

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“üõ

¢¥ ø üãƒ±Ï Ûت ‚“

ZP

Lp

‚î ,

=

S2n+1=Zp

S2n+1

 Cn

+1

“

1)

´ÖƒÖŸ ¤¢) .´¨ ÀÜԃ€õ (.À€îüõ ÛÞä

S2n+1 “

G ‚î ,Àª‘“ ‘Ìê G ×þ X ݃€î ­Âê n ×þ X Âð Àƒ€î ´“‘™ .À€îüõ ÛÞä X “

¢¥ –¤ ¬ ‚“ ‚î ´¨ üû‘€µõ üûø Âð

X=G ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢ÂÈê ÀÜԃ€õ ƒ÷ X ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÀÜԃ€õ X=G Âð

‚î Àƒ€î ´“‘™ ,߃€»Þû

(4

.´¨ ߃€ ƒ÷ .´Æû

ýüÚþ‘ÆÞû

M ¥ ‚ÎÖ÷ Âû –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ÀÜԃ€õ n ×þ M Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ n ‚µÆ“ «Âì n ‘“ ‚î ¢¤¢ .Àª‘“üõ é¤ õÿÞû D b

×þ ¥ üþ‘Ìê Âþ ¥ ‘“

M

M

Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ ù¢ÂÈê ÀÜԃ€õ

ö :üþ‘Þ€û¤) .´¨ é¤ õÿÞû (°¨‘€õ ý

N

n ×þ M

(5

݃€î ­Âê (6

N ü¨ÀƒÜì ý‘Ìê ‘“) R

M ýÂ“ fD1 ;


; Dmg üû‘€µõ üȪ• ,´¨ ù¢ÂÈê n –‘€þ Âޗ ¥ .¢¤¢ ¢›ø hi : Di ! Int(D ) üÞÆƒê¤ õÿÞû ,i Âû ý¥ ‚“ M=(M Di )  = ‚î Àƒ€î ´“‘™ ø ù¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ (11) ø (10)-24.2.4 M ø ´¨ é¤ øÀ¨ø‘û ø ù¢ÂÈê M ö .(Di )1  = (Int(D n ))1 = Sn ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ‚µ¨ƒ• pi : M ! M=(M Di ) ÂþÊ— ,Àª‘“üõ ‚µÆ“ Di f : M ! ö€î .¢¤ ø ´¨À“ ö—üõ ¤ fi : M ! Sn ‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ n m ‚›— ‘¹÷ ¨ .Àƒ€î Óþ Â㗠f (x) = (f1 (x);


; fm (x)) –¤ ¬ ‚“ ¤ (S )

,߃€»Þû .´¨ ¢›õ

(Sn)m  (Rn 1 )m = Rm n +

(.

Int(D n )

‚î Àƒ€î

D ø ÀÜԃ€õ n ×þ M Ýþ ƒð n Ûت ‚“ üÞƃêÂõÿÞû ,Int(D )  = Rn = Sn f(0;


; 0; 1)g ö .´¨ n n ‚ f(0;


; 0; 1)g b Γ‘® ‘“ ¤ f : M ! S ⓑ— .¢¤¢ ¢›ø g : D ! S  g ( x ) x 2 D Âð f (x) = (0;


; 0; 1) x 2 M D Âð f¢À¹õ ¤ 6 ßþ Âޗ ù¤ ð Ý؟ ßþ .´¨ ‚µ¨ƒ• f Àƒ€î ´“‘™ .݃€îüõ Óþ Â㗠b é¤ õÿÞû

‘“ ‚î Àª‘“

M

( +1)

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

(7

.À€îüõ –‘±™

102

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï

À€±Þû ÀÜԃ€õ

1 ×þ S1 ùÂþ¢

.À€ê¤ õÿÞû Ýû ‘“ ù¢ÂÈê ø À€±Þû ý‘ûÀÜԃ€õ

3.5

0 ‚bÞû

,âìø ¤¢ .Àª‘“üõ ù¢ÂÈê ø

.´¨ ù¢ÂÈê ø À€±Þû ÀÜԃ€õ

1 ‘ú€— ÝÆƒê¤ õÿÞû ÀŸ ¤¢ S1

.‚ƒÌì 1.3.5

ù¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ üð¢ÂÈê ¥ ‚î ´¨ ßþ ,ö ßþ — ´¿¨ Àþ‘ª ø ‚ÜŸÂõ ߃óø :–‘±™ üÖþ ÂÏ ‚“

M

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢ÂÈê ø À€±Þû ÀÜԃ€õ

1 ×þ M

Â𐠂î ݃û¢ ö‘È÷ ø

I = [0; 1℄ ÀŸø ùb¥‘“ ‘“ ‚ãÎì Âû ‚î ¢¢Âðüõ ݃Æ֗ ‚ãÎì üû‘€µõ ý¢À㗠‚“ "׃ª' ö‘Þû ͨ— f0; 1g ù b ¤‘Ú÷ ø ݃õ‘€“ §ì ¤ I ‘“ é¤ õÿÞû ù b ¤‘Ú÷ Âð .´¨ é¤ õÿÞû ´¨ ü€ãõ ßþ ‚“ "ö¢“ ׃ª' –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,݃õ‘€“ §Ž¤ ‚ b äÞ¹õ ¤ ÝÆƒê¤ õÿÞû ö‘ª¤ ¡Â“ Û½õ ,À€€î âÎì ¤ ÂÚþÀÞû §ì ø¢ ù‘ð Âû ø À€Ø÷ âÎì ¤ ©¢¡ ü¨ì ºƒû ‚î ý‘ûüÚþ‘ÆÞû ͨ— ¤

M (1

b :´¨ ߃€ ¤‘î ù b Àþ) .Àª‘“ ö‘ÈîµÈõ §¤ ø¢ ‘þ ×þ

,üð¢ÂÈê ¯Âª ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (2 ,Àƒ÷‘ª³“

Int(D 1 ) = R (I )

‘“ é¤ õÿÞû ¯‘Ö÷ ¥

I ‘“ ‚î ý µ؝î ý‘ûüÚþ‘ÆÞû (3 ,Àƒ€î ’‘¿µ÷ ¤ ‘ú÷ ¥ üû‘€µõ ý¢À㗠ù¢‘Ôµ¨ ÀÜԃ€õ 1 Óþ Â㗠¥ (4 ,Àƒ€î ’‘¿µ÷ ,À÷‘ª•üõ ¤ M ö‘Èä‘Þµ› Ýû ¥ €û ø ߃€ ¤¢ ‚î ´¨ ߪø ¤ (.¢ÂþÁ•üõ ׃ª ýÀ€“ ݃Æ֗ ×þ M ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ø ù¢Þ÷ þ‘Þµõ §ì ø¢ ¤¢ ‘fÖƒì¢ §b¤ Âû ,‘ú¨ì ¥ üä‘Þµ› ‚“ M ¥ ü؃ª ý‘ûýÀ€“ ݃Æ֗ À€ê¤ õÿÞû

ø¢ ¥ µȃ“ ø ×þ ‘ú€— ¤¢ ü¨b¤ Âð) .¢¤¢ §b¤ ø¢ ‘fÖƒì¢ ƒ÷ §ì Âû ø ¢ªüõ Âû‘Ò (.´ª¢ Àû¿÷

Int(D 1 )

‘“ é¤ õÿÞû üÚþ‘ÆÞû ºƒû §b¤ ö ù‘Ú÷ ,¢ª Âû‘Ò §ì

A2 ø A1 Ýþ ƒð ,Àª‘“ ‚µª¢ §ì ø¢ ¥ ǃ“ M ‚î Àƒ€î ­Âê ø h1 : A1 ! I Ýþ ƒð .À÷ùÀÞ÷ âÎì a §b¤ ×þ ¤¢ ¤ ÂÚþÀØþ ‚î ,À€µÆû M ¤¢ .À€€îüõ Óþ Â㗠§ì ö€ä ‚“¤ A2 ø A1 ‚î À€ª‘“ üþ‘úÞÆƒê¤ õÿÞû h2 : A2 ! I ¤ h2 ‘þ ø h1 –¤ ¬ ßþ Âƒè ¤¢ .h2 (a) = 0 ø h1 (a) = 1 ‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ g : A1 [ A2 ! I .݃€îüõ °ƒî— f (t) = 1 t ‚bΓ‘® ‘“ f : I ! I ÝÆƒê¤ õÿÞû ‘“ ý‘ú¨ì ߃€ ¥ ‘— ø¢

–¤ ¬ ‚“ ¤

f (x) = ýÂ“ ø

 1 2 h1 1 1 2

(x) ( + h2(x))

x 2 A1 x 2 A2

Âð

Âð

.Àª‘“üõ üþ¨ø¢ ž®ø ‚“ ø ´¨ Óþ Â㗠©¡ ⓑ— ßþ

.݃€îüõ Óþ Âã—

A1 [ A2 ¤¢ ‚µÆ“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ A2 ø A1 ‚î ݃€îüõ ‚›— ,g üÚµ¨ƒ• ùbÀû‘Èõ 103

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

g

1

I

¥ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

C Ýþ ƒð

.À€µÆû

M

Áó

(C ) = h1 1([0; 1=2℄ \ C ) [ h2 1([1=2; 1℄ \ C );

g ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ ‚µÆ“ A1 [ A2 ¤¢ ž®ø ‚“ ‚î ö—üõ §ì ×þ ‘ú€— ‘“ ¤ A2 ø A1 ý‘ú¨ì ßþÂ“‘€“ .´¨ Ճֽ— ۓ‘ì üµŸ¤ ‚“ g ×þ ø §ì ×þ ‚î Ýþ ¤¢ M ýÂ“ ÀþÀ› ׃ª ýÀ€“ ݃Æ֗ ×þ ,ö€î .¢Þ÷ Ëþã— ݃¨¤üõ M ýÂ“ ׃ª ýýÀ€“ ݃Æ֗ ‚“ ,À÷ø ¤ ßþ ¤Âؗ ‘“ .¢¤¢ üÜ±ì ¥ µÞî §b¤ ø¢ ‚î I ¥ ü³î ø¢ ‘“ M ,ßþÂ“‘€“ .¢¤¢ ¢›ø §b¤ ø¢ ‘ú€— ø §ì ø¢ ‘ú€— ö ¤¢ ‚î S1 ‘“ M ‚î Àª –‘±™ °ƒ—— ßþ ‚“ .Àª‘“üõ é¤ õÿÞû ,À÷ùÀª ‚µêÂð üØþ Çþ‘úµ÷ ö¢“ ÝÆƒê¤ õÿÞû .´¨ ‚µ¨ƒ•

2

.Àª‘“üõ é¤ õÿÞû

.´¨ ‘ûÀÜԃ€õ

2 ´“÷ ñ‘Ÿ 10.5 Ûت

.¢ªüõ ‚µÔð

ø

RP 2

‚þø ¤

‘þ

¼Î¨

ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ (3 ,T

2 ‚“

¤ ù¢ÂÈê ø À€±Þû ÀÜԃ€õ

= S1  S1

2 ùÂî

’ƒ— (2 ,S

.Óþ Â㗠2.3.5

(1

.ñ‘·õ 3.3.5

.À€µÆû ¼Î¨ ¥ üþ‘û‚÷Þ÷ ,À÷ùÀª üêÂãõ ‘¹€þ ‘— üÚÞû ‚î ,üþ‘—ø¢ ’ƒ— (4

104

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

ü—‘ƒÜÞä ‘¹÷ ‘“ ¤ ý ÂÚþ¢ ¼Î¨ Âû ‚î ü€ãõ ßþ ‚“ ,À€µÆû ý‚þ‘• ñø ý‘— ‚¨ .¢¤ ø ´¨À“ ¢ªüõ ñø ý‘— ‚¨ ýø ¤ ¥ "ýÀ€±Þû âޛ' ‚“ éø Âãõ

âޛ

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ þ‘Þµõ ¼Î¨ ø¢

S 2 ø S1

Ýþ ƒð

.Óþ Â㗠4.3.5

Àµ“ :¢¢Âðüõ Û¬‘Ÿ Ûþ£ –¤ ¬ ‚“ ‚î ü½Î¨ ¥ ´¨ –¤‘±ä ‘ú÷

S1 #S2 ýÀ€±Þû

¤ ùÀª ¢‘¹þ ù b Âԟ ø¢ Âû ¥ Âõ ų¨ ø ù¢Þ÷ À› ,Àî Âû ¥ üØþ ,םî ¥‘“ §Âì ø¢ .¢¢Â𠂛— 10.5 Ûت ‚“ .݃÷‘±Æ üõ Ýú“

.Ýó 5.3.5

.´¨ ¼Î¨ ×þ ¢¡ ,¼Î¨ ø¢ ýÀ€±Þû âޛ

݃€î ­Âê .݃€î ö‘ƒ“ — Õƒì¢ ý ¤Àì ¤ ýÀ€±Þû âޛ Óþ Â㗠‘— ´¨ ¥„ Àµ“ :–‘±™ ö‘Þû .À€ê¤ õÿÞû ý‚ÎÖ÷

x Ýþ ƒð

D2

‘“

D2 ø D1

(Int(D 21=2 ))  N h 1 (D 21=2 ) ! S1 #S2 h1 : D2 S1 #S2 I h

 S2 D1  S1

D2

ø

:À÷¢›õ ýüŸ÷ ߃€ ,´¨ ùÀû‘Èõ ۓ‘ì ´óú¨ ‚“ ‚î ý ¤ Ï

h : ö üµª‘Ú÷ ͨ— ‚î ¢¤¢ N ‚î ,

‚î À÷ª ’‘¿µ÷ ö‘€

1

ýüÚþ‘ÆÞû

x –¤ ¬ ßþ ¤¢

.Àª‘“ ¼Î¨ ×þ ¥

Int(D 2 )

ý‘Ìê Âþ ¥ .´¨ é¤ õÿÞû

‘“

N

ÝƃêÂõÿÞû ͨ— ,Àª‘“üõ ‚µÆ“ ø 1/2 á‘㪠‚“ ü¨Âì

ø Ýþ¢Âðüõ ¥‘“

Óþ Â㗠‚“ .´¨ é¤ õÿÞû

‘“

y 7! 2h(y) ‚bΓ‘® ‘“ D 2

 S2 D1  S1 h2 : I ! D 2 I ! D 2  (S1 Int(D1 )) [ (S2 Int(D2 ))
=   (S1 Int(D1 )) [  (S2 Int(D2 )) = D1 [ D2 x 2 D1 x  h2 1 Æ h1 (x) ø À€ª‘“

‘“ é¤ õÿÞû üþ‘û‘Ìê Âþ ¥

‚ b þø ¤ .À€ª‘“

ý‚Ф ƒè

D2

! Int(D 2 ) 2 D2 1=2  D

D2

ø

݃€îüõ ­Âê

‚“ ÀþÀ½— Û¬‘Ÿ ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû

ø

‚î ,݃€îüõ Óþ Âã—

–¤ ¬ ‚“ ¤

“ ‘ú€— ‚î ´¨ ý¥ ¤ Ýû

.¢¢Âðüõ Óþ Â㗠"

h2 ø h1

' –¤ ¬ ‚“ ‚Ф ßþ ;´¨ üúþÀ“

‘“

ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ƒ÷ ø

D2 ø D1 ý‘ú¨Âì ’‘¿µ÷ ¥ ÛÖµÆõ ýÀ€±Þû âޛ

´¨ üê‘î ‘ú€— :´Æƒ÷ ý ¤ª¢ ¤‘î ,´¨ ¼Î¨ ¢¡ ù b Àúä “ –‘ƒŽ ›

.݃€î Ճֽ— ¤

D2

“ ‘þ

D1

S1 #S2

‚Ø€þ ‚ b џ…õ .´¨

“ ¯‘Ö÷ ý‘ûüÚþ‘ÆÞû ¢›ø ‚î

2

.ùÀ€÷¡

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ ¼Î¨ ‚¨

S3 ø S2 ,S1 Àƒ€î ­Âê

.‚ƒÌì 6.3.5

1) S1 #S2  = S2 #S1; 2) (S1 #S2 )#S3  = S1 #(S1 #S3); 105

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

3)

#S1 = S1 :

S2

2

Ûت

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

.´¨ ùÀ€÷¡ ù b Àúä ‚“ ßþ Âޗ ö€ä ‚“ :–‘±™

.´¨ Ýû ‘“ ’ƒ— ø¢ ýÀ€±Þû âޛ ,üþ‘— ø¢ ’ƒ— (1

.ñ‘·õ 7.3.5

.ÀƒŽ‘õÂԓ ‚ÑŸ…õ ¤ 10.5

11.5 Ûت

ýø ¤ ¥ âþ ¨ ü܃¡ Â€þ .´¨ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ø¢ ýÀ€±Þû âޛ ßþ…î ý ÂΓ (2 ¤¢ °ÜÎõ ßþ ü¨À€û –‘±™ ,üóø .¢¢ ö‘È÷ ö—üõ 2.3 Ç¿“ ¤¢ žÂÎõ –‘ä…ϐ (Óó)-11.5 Ûت ¤¢ À€÷‘Þû ý ÂþÊ—b‚½Ô¬ ø¢ ‘“ .´¨ ùÀª Ýƹõ 11.5 Ûت ,‚¹ƒµ÷ .݃€îüõ À› ‘ú÷ ¥ ¤ (’)-11.5 ¤¢ Û·õ ¥‘“ §Âì ø¢ ų¨ ,ù¢Þ÷ áø ª âޛ ,ü€ãþ) öÀƒ÷‘±Æ ‘“ .´¨ é¤ õÿÞû (š)-11.5 ¤¢ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ ý‘Ìê ‘“ ¤¢ À€÷‘Þû üªÂ“ ,‘¹÷ ¨ .݃¨¤üõ (¢)-11.5 ‚“ ,ùÀªÀ› ý‘ú¨ ì ‚ b ±ó (ýÀ€±Þû

106

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

¤ ‚¹ƒµ÷ .݃¨¤üõ (ø)-11.5 ù b Àª ý ƒðüØþ ý‘Ìê ‚“ ø ù¢Þ÷ ¢‘¹þ (û)-11.5 -11.5 ‚“ ø ù¢Þ÷ ý ƒðüØþ ö€î .¢Þ÷ °—Âõ ¢ªüõ (¥)-11.5 ¤¢ –¤ ¬ ’ ݃¨¤üõ (¯)-11.5 ‚“ ,°¨‘€õ üÞÆƒê¤ õÿÞû ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ,ų¨ .݃¨¤üõ (ž) .´¨ ßþ…î ý ÂΓ ö‘Þû ‚î

ö‘ƒ“ ¢ªüõ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ø ’ƒ— ,ùÂî ×Þî ‚“ ¤ ü½Î¨ Âû ‚î Ý؟ ßþ .´¨ éø Âãõ

¥ üØþ ‘ú€— ø ×þ ‘“

S

–¤ ¬ ßþ ¤¢

žÎ¨ ýÀ€“ ‚Ö±Ï ‚bƒÌì

.Àª‘“ ¼Î¨

S

Ýþ ƒð

‘€“ ,¢Þ÷

.‚ƒÌì 8.3.5

:´¨ é¤ õÿÞû Âþ ¥ žÎ¨

(m  0)

# T| #T #{z


# T}

S2

ü³î

m

2 #RP 2 #


#RP 2 # RP } {z |

S2

ü³î

(n  1)

n

üØþ Ûì ÀŸ ‘“ ¼Î¨ Âû ‚Ø€þ ,ñø :¢¢Âðüõ ݃Æ֗ Ç¿“ ø¢ ‚“ ‚ƒÌì ßþ –‘±™ ,´¨ š¤‘¡ ’‘µî ßþ ‚ b ܬŸ ¥ ö Ûõ‘î –‘±™ ‚î ,´¨ é¤ õÿÞû žÎ¨ ßþ ¥ žÂÎõ ý‘ûù¢÷‘¡ ¥ üþ‘— ø¢ ºƒû ‚Ø€þ ,ø¢ .݃€îüõ žÂÎõ ¤ ö ¥ üó‘Þ› ‘ú€— ø –‘±™ 26 ÛÊê ¤¢ Ûõ‘î Ûت ‚“ ¤ ßþ ‚î ;À€µÆƒ÷ é¤ õÿÞû 8.3.5 ‚ b ƒÌì ¤¢ ùÀª .݃€îüõ

ßµ¡ø¢

‘fŸ…¬ ¤ ’ƒ— ×þ ø ¼Î¨ ×þ ýÀ€±Þû âޛ Û¬‘Ÿ

éÁŸ ö ¥ ¥‘“ ü¬Âì ‚î ´¨ ü“ƒ—

‚µ¨¢

.Óþ Â㗠9.3.5

ž…ܐ ¤¢ ‚î ;À€õ‘÷üõ

¼Î¨ ‚“ ‚µ¨¢

.(¢ª ‚›— (ø) ø (û)-12.5 Ûت ‚“) ´¨ ߪø ¤ ý ¤ÁÚÞ¨ ßþ ۃó¢ .´¨ ùÀª

ýÂ“ .À€þðüõ ƒ÷

‚÷µ¨ ×þ ‚“ ßµ¡ø¢

¤ ¼Î¨ ‚“ ‚µ¨¢ ßµ¡ø¢ ,–‘ìø ü¡Â“

ßþ (Óó)-12.5 Ûت Փ‘Îõ ų¨ ø ùÀÞ÷ À› ¼Î¨ ¥ ¥‘“ «Âì ø¢ ,¤ Ñ€õ ßþ ¯‘ƒµŸ ‘“ ´¡ø¢ ßþ ´¨ ¥„ .Ýþ ¥ ø¢üõ ùÀª ¢‘¹þ ý‘ûùÂԟ ‚ b ±ó ø¢ ‚“ ¤ ‚÷µ¨ ÅØä ¤ ‘û‚±ó “ ßµêÂ𠤐Âì ´ú› ,ü€ãþ) Ýþ ¥ øÀ“ ¯‘ƒµŸ ü“ ¤ ‚÷µ¨ Âð ,¢¢Âð ‘¹÷ ÂÑ÷ ¢¤ õ ¼Î¨ ‘“ ßþ…î ý ÂΓ ßµ¡ø¢ ‘“ ñ¢‘ãõ ßþ .¢Þ÷ Àû¡ ƒƒç— ‚¹ƒµ÷ ,(݃€î .¢“ Àû¡

107

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

.¢ªüõ ‚µ¡ø¢ ‚µ¨¢ ×þ (’) ¤¢ ø ‚÷µ¨ ×þ (Óó) ¤¢

:12.5 Ûت

13.5 Ûت

ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ×þ ø ¼Î¨ ×þ ýÀ€±Þû âޛ Û¬‘Ÿ .(¢ª ‚›— 13.5 Ûت ‚“) À€õ‘÷üõ

.Óþ Â㗠10.3.5

¼Î¨ ‚“ §ƒ“õ ¤÷ ßµ¡ø¢

‘fŸ…¬ ¤ üփ֟

ö‘Þû ‘fÖƒì¢ ,üփ֟ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ¥ ¥‘“ «Âì ×þ éÁŸ ¥ Û¬‘Ÿ ¼Î¨ ‚î Â .(¢ª ‚›— 2.3 Ç¿“ ‚“) ´¨ §ƒ“õ ¤÷

À€îµÈõ ´ƒ¬‘¡ ßþ ¤¢ ,À÷ªüõ Û¬‘Ÿ ¤ îÁõ šÎ¨ ‚î ´¨ ö Âõ ßþ ۃó¢

RP 2

.À€µÆû

‘“ ýÀ€±Þû ‚Þ› ‘“ ‚î üŸÎ¨

ø ¤ ×þ

(ž…ܐ ‚“) üÚÞû ‚î

ý¤¢ ,ၮõ ßþ ¢¡ ‚î ,À€µÆû (Ç¿“ ×þ ö€ä ‚“) §ƒ“õ ¤÷ ý¤¢ üÚÞû

108

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

.Àª ù¢¢ ¼ƒ®— 2.3 Ç¿“ ¤¢ ‚î ,´¨ ¢¡ ‚“ «‘¡ üþ‘ûÀõ‘ƒ•

¤ §ƒ“õ ¤÷ ¢È÷ ‚î ݃Žð ‚î ݃Žð

ÂþÁ•‘€µú›

ÂþÁ³µú›

.Óþ Â㗠11.3.5

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ¼Î¨

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ¼Î¨ ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¡‘€ª ö ¥ üŽ › ö€ä ‚“ .´êÂð ÂÑ÷ ¤¢ ö ¥ üÈ¿“ ö€ä ‚“ ¤ §ƒ“õ ¤÷ ¢È“

.ñ‘·õ 12.3.5

¤¢ .À€µÆû ÂþÁ•‘€µú› žÎ¨ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ ø ßþ…î ý ÂΓ

.À€µÆû ÂþÁ³µú› žÎ¨ ¥ üþ‘û‚÷Þ÷ ,üþ‘— ø¢ ’ƒ— ø ’ƒ— ,ùÂî ‚î üó‘Ÿ

.Óþ Â㗠13.3.5

݃€î ­Âê

(m  0)

# mT := S2# T| #T #{z


# T}

S2

ü³î

m

(n  1)

2 #RP 2 #


#RP 2 # nRP 2 := S2# RP } {z |

S2

ü³î

ÂþÁ•‘€µú› ¼Î¨ ¤

# nRP 2

S2

ø

m

n

ŀ› ¥ ¢¤À÷‘µ¨ ÂþÁ³µú› ¼Î¨ ¤ .݃õ‘÷üõ

# mT

S2

n ŀ› ¥ ¢¤À÷‘µ¨

’ƒ— À€ ýÀ€±Þû âޛ Û¬‘Ÿ' ‚î ¢ªüõ žÂÎõ ñ b ¨ ßþ üãƒ±Ï ¤ Î“ ‘¹€þ ¤¢ ¼Î¨ ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ "?¢ªüõ ü½Î¨ ‚ ,üփ֟ ý ÂþÊ— ‚ b ½Ô¬ À€ ø

2 #RP 2 #


#RP 2 = T| #T #{z


# T} # RP } {z |

mT #nRP 2

ü³î

߃€ ‚î ´¨ ߪø ¤ ßþ ‚î ¢ª ´ê‘þ ý ݃ƒã—

n

=m=1

m

ü³î

n

m; n

?´¨ é¤ õÿÞû ¢¤À÷‘µ¨ ¼Î¨ ߃õÀî ‘“ ,

k Àþ‘“ 8.3.5 ‚bƒÌì ‚“‘€“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢

´ó‘Ÿ ýÂ“ ¤

k

1

‚î

.Àª‘“üõ ÂþÁ•‘€µú ü½Î¨

¤ÀÖõ Àµ“ .Àª‘“ é¤ õÿÞû

k #RP 2

‘“ ¼Î¨ .݃€îüõ

#RP2 = RP 2 #RP 2#RP 2 .Ýó RP 2 #RP 2 #RP 2 S1 T#RP 2 .T

ñø Àì .݃û¢üõ ö‘È÷ ¼Î¨ ¥ ´¨ –¤‘±ä

S2 ‘“ ¤

S1

ø

‘“ ¤

14.3.5 ¼Î¨ :–‘±™

.Àª‘“üõ ùÀª ý ƒðüØþ žÎ¨ –¤ ¬ ‚“ žÎ¨ ßþ ö‘ƒ“

.14.5 Ûت ¤¢ žø ÂÈõ

X üãÜ® ´Èû ‚bƒŸ‘÷ ¥ Û¬‘Ÿ üµÞÆì š¤‘¡ 109

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

14.5 Ûت

S1 ¤¢ ‚ÎÖ÷ ×þ ‘“ X §Ž¤ ‚bÞû ‚î ¢ª ‚›— 2 -14.5 Ûت ‚“ ;´¨ é¤ õÿÞû Int(D ) ‘“ ‚î ¢Þ÷ ´ê‘þ ¢ªüõ S1 ¤¢ ‚ÎÖ÷ ßþ ¥

ýüÚþ‘ÆÞû ø ,À÷ªüõ ‚µêÂð üØþ

¤¢ ø ¢¢Âðüõ Û¬‘Ÿ (Óó)-15.5 Ûت ,üÚþ‘ÆÞû ßþ éÁŸ ‘“

.¢ª ‚›— (û)

ý‘Ìê ‘“ ‘Ìê ßþ :݃¨¤üõ (š)-15.5 Ûت ‚“ ù¥„ ý‘úþ ƒðüØþ ‘¹÷ ‘“ ,‚õ¢ ý‚ó‘±÷¢ ‘— ´¨ ¥„ ,ö€î .´¨ é¤ õÿÞû (¢)-15.5 Ûت ¤¢ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ («) ø (¢)-15.5 ý‘úÜت Àû¢ ö‘È÷ ‚î ݃€î ‚Ž¤ ý‚÷ð ‚“ ‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ¥ .À€ª‘“üõ é¤ õÿÞû

110

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

15.5 Ûت

111

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

16.5 Ûت

112

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

.´¨ ö‘ƒ“ ۓ‘ì (š)-16.5 Ûت ¤¢ ù b Àª ý ƒð üØþ ý‘Ìê ‘“ «Âì ×þ ‘“ ‚î ((4)-16.5 Ûت ¤¢ ùÀª É¿Èõ)

S2 ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥

Int(D2 )

üÚþ‘ÆÞû éÁŸ ‘“

(7)-16.5 Ûت ¤¢ ý‘Ìê ‚“ ,¥„ ý‘úþ ƒð üØþ ‘¹÷ ų¨ ø ´¨ é¤ õƒÞû ¥‘“ ÝÆƒê¤ õƒÞû ‚î ´¨ ߪø ¤ .݃¨¤üõ

Int(D1 ) = S2 Int(D2)

h : S1

ÝÆƒê¤ õƒÞû

 (S1

h ‚î ´¨ ߪø ¤ ùø…ã“

.Ýþ ¤¢ ¤

Int(D1)) =  (S2 Int(D2 ))

D2 ýø “ ø D1 Ûî “ üÞƃêÂõÿÞû ‚“ ‘û¥ Âõ “ ÝÆƒê¤ õÿÞû ßþ .À€îüõ Ǒ‘Öó ¤ h1 : D1  = D 2 ø Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû h :  (D1) !  (D2) Âð :¢Þ÷ ⃨— ¢ªüõ x = (r; t) –¤ ¬ ‚“ ü±Îì –‘ʵ¿õ ¤¢ ¤ x 2 D 2 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,h2 : D1  = D2 ø 2 1 ‚ b Γ‘® ‘“ ¤ H : D1 ! D2 ⓑ— .t 2  (D ) = S ø 0  t  1 ‚î ÝÆþ÷üõ 2 ‚î ݃€îüõ Óþ Â㗠H (y ) = h 1 (r; h Æ h Æ h 1 (y )) ߪø ¤ .h1 (y ) = (r; t) 2 D 2 1 2 ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ ÝƃêÂõÿÞû H ƒ÷ ø H jD1 = h ‚î ´¨ S1 = (S1

Int(D1 )) [ D1 = (S2 Int(D2)) [ D2 = S2

2 S

.À€îüõ ۃÞؗ ¤ 14.3.5 Ýó –‘±™ ‚î

ø

S1

ö¢“ é¤ õÿÞû Ýƹ— ýÂ“ ý ÂÚþ¢ ©ø ¤

×þ ‘“ ’ƒ—) ‚µ¨¢ ×þ –¤ ¬ ‚“ ßþ

#

T RP 2

.´ª¢¢‘þ 15.3.5

ýÀ€±Þû âޛ Çþ‘Þ÷ ‘“

.¢¤¢ ¢›ø

2

.݃€îüõ áø ª ,´¨ ùÀª ‚µ¡ø¢ ö ‚“ ‚î §ƒ“õ ¤÷ ×þ ùÂÞû ‚“ ( ¤ ¨

‚î ¢ªüõ ‚ÑŸ…õ ‘¹÷ ¤¢ ø ´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ (Óó)-17.5 Ûت ¤¢ °ÜÎõ ù¢¢ ö‘È÷ ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ñ‘Þä ‘“ .´¨ é¤ õÿÞû (’)-17.5 Ûت ‘“ ‚÷Ú .݃¨¤üõ (¥)-17.5 Ûت ‚“ ,(ø) ‘— (š)-17.5 ý‘úÜت ¤¢ ùÀª 18.5 Ûت ‚“ :Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ´¨ ùÀª À› «Âì ×þ ö ¥ ‚î ü€þ…î ý ÂΓ

ßþ…î ý ÂΓ ÂÚÈþ‘Þ÷

K

S1

‚î ,

= K #RP 2 S1  = S2

.¢¢Â𠖑±™ ݃µ¨¡üõ ‚î :

.¢ª ‚›— ‚î ¢¢Âðüõ ‚ÑŸ…õ °ƒ—— ßþ ‚“

ßþÂ“‘€“ ø

K = RP2 #RP 2 üóø

.´¨

113

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

17.5 Ûت

.ßþ Âޗ 16.3.5 ‚“ ´±Æ÷ žÎ¨ ¥ é¤ õÿÞû ý‘ú¨…î ‚ b Þû ‘þ

.Àƒ€î –‘±™ ¤ 6.3.5 ‚ b ƒÌì (1

?‚÷ Â ø ?Â ?À€û¢üõ ۃØȗ ùø Âð ýÀ€±Þû âޛ ÛÞä

D2 ø D1 Àƒ€î ­Âê .À€ª‘“ ù¢ÂÈê À€±Þû ÀÜԃ€õ n ø¢ M2 ø M1 Àƒ€î ­Âê (2 Int( D n ) ‘“ h2 ø h1 ͨ— ‚î À€ª‘“ M2 ø M1 ¥ °ƒ—µ“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥  (M1 üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê –¤ ¬ ‚“ ¤ M2 ø M1 ýÀ€±Þû âޛ .À€ê¤ÞÿÞû x 2  ((M1 Âʀä  ‚î ,݃€îüõ Óþ Â㗠Int(D1 ))[((M2 Int(D2 )) =  1 ÀÜԃ€õ n ƒ÷ M1 #M2 Àƒ€î ´“‘™ .¢Âƒðüõ üØþ h 2 Æ h1 (x) ‘“ ¤ Int(D1 )) .´¨

¢¤À÷‘µ¨ žÎ¨ ¥ ׃õÀî ‘“

S .1  m; n ‘“ S

= nT#mRP 2

Àƒ€î ­Âê (3

?´¨ é¤ õÿÞû

S Àƒ€î ­Âê :0 < n ø Àª‘“üõ ßþ…î ý ÂΓ K ‚î ,´¨

é¤ õÿÞû Âþ ¥ žÎ¨ ¥ üØþ ‘ú€— ‘“ ´¨¤¢

S Àƒ€î ´“‘™

.´¨ ¼Î¨

(4

114

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

#nT;

RP 2

S2

¥ ø ý ¤ ø¢ üûø Âð

G

#nT;

K #nT:

= Z2n

+1 ‚î ,Àª‘“ ‘Ìê

ÛÞä ý¢¥ ¯Âª ‚î ¢ª ‚›— .´¨ ¼Î¨

G ×þ S

S=G Àƒ€î ´“‘™

¼Î¨ Àƒ€î ­Âê (5 .´¨ šø ¥ ‚ b ±—Âõ

.݃µÆ÷À÷ üõ ó ¤

S “ G 18.5 Ûت

–‘±™ ¤ 8.3.5 ýÀ€“ ‚µ¨¢ ‚ b ƒÌì ¥ ñø ´ÞÆì ‚î ´¨ ùÀƒ¨¤ Âê ö ´“÷ ö€î .Ýþ ¤¢ ¥‘ƒ÷ Âþ ¥ Óþ Â㗠‚“ ¤ Ñ€õ ßþ ýÂ“ .݃€î

݃Žð

ù¢‘¨ ‚bµÆ“ Ý¡

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ¼Î¨ ×þ ¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

.Óþ Â㗠17.3.5

.Àª‘“ é¤ õÿÞû

S1 ùÂþ¢

‘“ ‚î

S ¼Î¨ C ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ ,Àª‘“ S ¼Î¨ ¤¢ ýù¢‘¨ ‚bµÆ“ Ý¡ C ‚»÷‘€ ,C ý‘µ¨¤ ¤¢ S ©Â“ ¥ ŕ ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ .Àª‘±÷ À€±Þû S C ‚î À€îüõ ‚þ ¹—

¤

.(Àƒ€î ùÀû‘Èõ ¤ 19.5 Ûت) ¢ª ݃Æ֗ ‚Ôó b õ À€ ‘þ ø¢ ‚“ ¼Î¨

115

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

¼Î¨ C2 (’) ¤¢ üóø ,´¨ ù¢ÂØ÷ ‚þ ¹— ¤ S1 ¼Î¨ C1 (Óó) ¤¢ :19.5 Ûت .´¨ ù¢Þ÷ ‚þ ¹— ¤ T

S “ ýù¢‘¨ ‚bµÆ“ Ý¡ C ø ¼Î¨ S Ýþ ƒð :8.3.5 ‚bƒÌì –‘±™ ¤÷ ‘“ ‘þ ø ´¨ é¤ õÿÞû ‚÷µ¨ ‘“ ‘þ C ¥ üÚþ‘ÆÞû Âû –¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ ù¢ÂØ÷ ‚þ ¹— ¤ ö ‚î Àª‘“

.´¨ üúþÀ“ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ Ý؟ ßþ .(¢ª ‚›— 20.5 Ûت ‚“) §ƒ“õ

20.5 Ûت

,ñø ´ó‘Ÿ ¤¢

.݃€îüõ éÁŸ ¼Î¨ ¥ ¤ §ƒ“õ ¤÷ ‘þ ‚÷µ¨ ßþ öø ¤¢ ñ‘Ÿ

ùÀª ¢‘¹þ ù b Âԟ ‘ú€— ‚“ ,ø¢ ´ó‘Ÿ ¤¢ ø Ýþ ¥ ø¢üõ «Âì ø¢ ùÀª ¢‘¹þ ù b Âԟ ø¢ ‚“ –¤‘±ä

M

‚î ´¨ ߪø ¤ .݃¨¤üõ

M1 ÂÚþ¢ ü½Î¨ ‚“ ŕ

.Ýþ ¥ ø¢üõ «Âì ×þ

‘þ ø Ýþ‚µ¡ø¢ (üóÞãõ Âƒè ‘þ üóÞãõ ¤ Î“) ö ‚“ ¤ ý‚÷µ¨ ‚î ´¨

M

= M1#K

M

,

= M1 #

RP 2

M1 ¼Î¨ ¥

ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .Ýþ‚µ¡ø¢ ö ‚“ ¤ ü¨ƒ“õ ¤÷ ‚Ø€þ

M = M1 #T ‘þ ø –¤ ¬ ¤¢) À€îüÞ÷ ‚þ ¹— ¤ M1 ‚î ýù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡ ø ù¢Þ÷ ‚›— M1 ‚“ ö€î ´¨À“ ¤ M2 ¼Î¨ ø ù¢¢ ‘¹÷ „‘“ –‘ƒÜÞä Փ‘Îõ ų¨ ø ݃€îüõ ’‘¿µ÷ (¢›ø 2 ßþ ‚ b õ¢ ‘“ .M1 = M2 #RP ‘þ ø M1 = M2 #K ,M1 = M2 #T ‚î Ýþ ¤ øüõ 2 ‚î ݃¨¤üõ M ¼Î¨ ‚“ ‚Ü›Âõ i ¥ ŕ ,À÷ø ¤ ø M = M1 #i1 T#i2 K #i3 RP i f ·õ) ‚ÜŸÂõ üû‘€µõ ý¢À㗠¥ ŕ À÷ø ¤ ´“‘— ‚î ¢ªüõ ´“‘™ .i + i + i = i … 1 2 3 .

116

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

‚þ ¹— ¤ ö

Mk

¤¢ ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ ý‘úÞ¡ ‚ b Þû ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ ;ÀµÆþüõ (‘—

k

0

Mk ¼Î¨ Âð' ‚î Ý؟ ßþ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ‘¹÷ ¨ .À€€îüÞ÷ ,"´¨ é¤ õÿÞû ùÂî ‘“ Mk –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€îüÞ÷ ‚þ ¹— ¤ ö ,ö “ ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡ Âû ‚î Àª‘“ ý‚÷ð ‚“

.݃€îüõ ‘Þ— ¤ ¤‘î

l; m; n  ×þ ý¥ ‚“ ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ ,„‘“ ùbÀÈ÷ –‘±™ ý‘û‘䢐 ýÀ€±ãޛ ‘“ 2 2 .´¨ é¤ õÿÞû X = S #l T#mK #nRP ‘“ M ¼Î¨ (l + m + n = k ‚î) ý 0 S2#lT ‘“ X ù‘Ú÷ ,m + n = 0 Âð ‚î ¢ªüõ ùÀþ¢ üµŸÂ“ 14.3.5 Ýó ý ƒð¤‘Ø“ ‘“ 2 2 é¤ õÿÞû S #(2l + m + n)RP ‘“ X ù‘Ú÷ ,m + n > 0 Âð ø ´¨ é¤ ÞÿÞû .Àª‘“üõ üþ‘— ø¢ ºƒû ‚î ¢ª ù¢¢ ö‘È÷ ´¨ ¥„ ,ýÀ€“ ‚Ö±Ï ‚ b ƒÌì –‘±™ ۃÞؗ ýÂ“ ‘¹÷ 26 ÛÊê ¤¢ ¤ ßþ ;À€µƒÆ÷ é¤ õÿÞû 8.3.5 ‚ b ƒÌì ¤¢ ùÀª žÂÎõ žÎ¨ ¥

2

.݃û¢üõ

.ßþ Âޗ 18.3.5

À€÷‘õ ( ¹õ ‘fõø ó ‚÷ üóø) þ‘Þµõ ø ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡ ø¢ .´Æƒ÷ À€±Þû

‚î ¢¤À÷

C3 ø C2 ,C1

T

T

(C1 [ C2 )

’ƒ— ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1 ‚î ¢¤¢ ¢›ø

þ‘Þµõ ù b µÆ“ Ý¡ ‚¨ ºƒû b ¢‘¨ ‚

T

.Àª‘“ À€±Þû

T

C 2 ø C1

’ƒ— ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (2

(C1 [ C2 [ C3 )

.Àƒû¢ ݃Þ㗠ý ÂÚþ¢ ¼Î¨ Âû ýÂ“ ¤ (2) ø (1) –‘€þ Âޗ (3

f ±ì ‚î Ýþ “üõ ö‘þ‘• ‚“ °Þ؟ ‘“ ¤ ÛÊê ßþ ‚“ ¤ ü½Î¨ Âû :Ýþ¢¢ ¤ Çóì … .¢¢ Çþ‘Þ÷ ö—üõ

R2

¤¢ üãÜ® À€ ‚ b ƒŸ‘÷ ×þ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê –¤ ¬

1  m ŀ› ¥ ý ÂþÁ³µú ¼Î¨ M Âð (1 .‚ƒÌì 19.3.5 Ûت ¤¢ ‚î ý‚÷ð ‚“ ´¨ üãÜ® 4m ‚ b ƒŸ‘÷ ×þ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê M –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

.´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ (Óó)-21.5

1  n ŀ› ¥ ý ÂþÁ•‘€µú ¼Î¨ M Âð (2 ö‘È÷ (’)-21.5 Ûت ¤¢ ‚î ý‚÷ð ‚“ ´¨ üãÜ® 2n ‚ b ƒŸ‘÷ ×þ üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê

M

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

.´¨ ùÀª ù¢¢

117

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

21.5 Ûت

‚µÔð Ûت ‚“ ‚“

#

T T

nRP 2 ø mT ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ´¨ üê‘î Ý؟ ßþ –‘±™ ýÂ“

.݃€îüõ ‚ãó‘Îõ ¤

n  3 ø m  2 ´ó‘Ÿ âìø ¤¢

:–‘±™

.À€µÆû Çþ‘Þ÷ ۓ‘ì ùÀª

߃óø ö¢¤ ø ´¨À“ ø °ÜÎõ ݃Þ㗠À÷ø ¤ .´¨ ùÀª ¼þ Âȗ 23.11 Ûت ¤¢ –¤ ¬ Ûت ,ÂþÁ•‘€µú› žÎ¨ ´ó‘Ÿ ýÂ“ .´¨ ¼®ø ,ÂþÁ³µú žÎ¨ «Ê¡ ¤¢ Ý؟ ¥‘“ .Ýþ ¤¢

#

#

RP 2 RP 2 RP 2

2

ýÂ“ ¤ 24.11 Ûت ø

#

RP 2 RP 2

ýÂ“ ¤ 23.11

.´¨ ¼®ø ¤‘î ýÀ㓠۟Âõ Ýû

.ßþ Âޗ 20.3.5

M

ý‚ÎÖ÷ Âû ö ¤¢ ‚î é¤ øÀ¨ø‘û ´¨ üþ‘Ìê ,

n ¤¢ üþ„‘“ ý‘Ìê-݃÷ ‘þ ‘“ ,ü€ãþ) R ýüÚþ‘ÆÞû ‚î

Rn

M

¤¢¥ Âõ ÀÜԃ€õ

n ¥ ¤ Ñ€õ

(1

Rn ‘“ é¤ õÿÞû ýüÚþ‘ÆÞû ý¤¢

¤¢ üϑÖ÷ ‚ b äÞ¹õ .¢¤¢ (H

n

:= fx 2 Rn j xn  0g

‘“ é¤ õÿÞû üÚþ‘ÆÞû ºƒû üóø À÷¤¢ üþ„‘“ ý‘Ìê-݃÷ ‘“ é¤ õÿÞû

,¤¢¥ Âõ ÀÜԃ€õ

n Âû ¥ Âõ ‚î ݃€îüõ ´“‘™ ñ‘Ÿ

.݃õ‘÷üõ

.´¨ ÀÜԃ€õ

Âû ¥ Âõ Àƒ€î ´“‘™

.´¨ ù¢ÂÈê ø ¤¢¥ Âõ ,ýÀã“

2

M ¥ Âõ ¤ À÷¢¤À÷ (n 1) ×þ ¢¡

ýÀÜԃ€õ ,¤¢¥ Âõ ¼Î¨ (2

ý‘û‚±ó Â𐠂î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ .´¨ ùÂþ¢ üû‘€µõ ¢À㗠¥ üä‘Þµ› ,¤¢¥ Âõ ¼Î¨ ‚¹ƒµ÷ ,݃÷‘±Æ»“ «Âì (°¨‘€õ ø) üû‘€µõ ¢À㗠‚“ ¤ ¼Î¨ ×þ ¥ Âõ ¥ Û¬‘Ÿ .¢“ Àû¡ ¼Î¨

¢È÷ ö ¤¢ ü¨ƒ“õ ¤÷ ºƒû ‚î ݃Žð ÂþÁ³µú› ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ¤¢¥ Âõ ¼Î¨ (3 ‚î ´¨ ÂþÁ³µú› üµìø ‘ú€— ø üµìø ¤¢¥ Âõ ¼Î¨ ‚î Àƒ€î ´“‘™

.´êÂð åÂ¨

.Àª‘“ ÂþÁ³µú› (¢ª ‚›— „‘“ ¤¢ (2) ßþ Âޗ ‚“) ©‚µÆ“ø ¼Î¨

118

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

¼Î¨ ø ÀÜԃ€õ 5 ÛÊê

‘ûÀÜԃ€õ ýÀ€“ ‚Ö±Ï 3.5

22.5 Ûت

23.5 Ûت

24.5 Ûت

119

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

6 ÛÊê ü•—Þû üû¤ À€±Þû ý‘Ìê

1.6

ü܃¡ ݃€îüõ žÂÎõ Ç¿“ ßþ ¤¢ ‚î ü䁮õ .Àª ‚ãó‘Îõ 3.4 Ç¿“ ¤¢ ýÀ€±Þû :Àþüõ ¤‘Þª ‚“ ýÀþÀ› ýÀ€±Þû úÔõ ‘f¨‘¨ üóø ,´¨ ö ‚“ ‚ƒ±ª

.üû¤ À€±Þû

.Ýþ ¤¢ ¥‘ƒ÷ Âþ ¥ Óþ Â㗠‚“ ,úÔõ ßþ Óþ Â㗠¥ ǃ•

f

: ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷

üúµ÷ ¤

f (1)

‚“

.Àª‘“ ý ó•—

f (1)

2X

f (0)

¥ ý‘û¤

ø Àµ“ ¤

f

üþ‘Ìê

f (0)

2X

X

.Óþ Â㗠1.1.6

݃€î ­Âê

‚ b ÎÖ÷ .݃õ‘÷üõ

‚î ¢ªüõ ‚µÔ𠖤 ¬ ßþ ¤¢

ý‘¹“ ƒÆõ ž…ܐ ¥ –‘ìø ü¡Â“ .À€îüõ Ûʵõ

X

¤¢ ù¤ ¤

[0; 1℄ ! X

.݃õ‘÷üõ ÂÑ÷ ”¤ õ ù¤

f (1) ‚“ ¤ f (0) ‚bÎÖ÷ f

‘þ ,´¨

.¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨ ù¤

ùÀƒõ‘÷ ù¤ ,´¨ ⓑ— ŀ› ¥ ‚î ‘þ Ý¡

¤ ‚äÞ¹õ ßþ

f

´ª‘Ú÷ ‚î ¢ª ‚›—

.Àª‘“üõ ‚äÞ¹õ ŀ› ¥ ‚î

.´ª¢¢‘þ 2.1.6

f ([0; 1℄)



X

‚÷ ;¢ªüõ

.݃õ‘÷üõ ü€½€õ ´ƒã®ø

f (t)

,‚¹ƒµ÷ ¤¢ .¢Þ÷ ¤ Ê— ö—üõ ö‘õ¥ ö€ä ‚“ ¤

t

2 [0; 1℄

.Àû¢üõ ö‘È÷ ¤

.´¨ ù¿ó¢ ý ‚ÎÖ÷

x

2X

ø ý ó•— üþ‘Ìê

X

݃€î ­Âê

t

°Üè

‚ b Ñ½ó ¤¢ ´îŸ

.ñ‘·õ 3.1.6

121

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

‚ b Þû ,ù¤ ßþ ¤¢ .݃õ‘÷üõ

x

¤¢ ´“‘™ ù¤

¤

= x ‚bΓ‘® ‘“ "x : [0; 1℄

"x (t)

!݃€îüõ é¬

x

!X

ö‘Øõ ¤¢ ¤ ö‘Þµìø

,¢›õ ý‘úû¤ ýø ¤ ¥ ÀþÀ› ý‘úû¤ Àƒó— ýÂ“ üÜî ñ‘Ÿ ßƒä ¤¢ ø ù¢‘¨ ©ø ¤ ø¢ .݃€îüõ ¼þ Âȗ ¤ ‘ú÷ ýÀ㓠Ýó ¤¢ ‚î ¢¤¢ ¢›ø

ßþ ¤¢ .À€ª‘“

X

¤¢ ù¤ ø¢

g

ø

f

ø ,ý ó•— üþ‘Ìê

X

݃€î ­Âê

.Ýó 4.1.6 –¤ ¬

ù¤ ¤ ßþ .´¨

X

¤¢ üû¤ ƒ÷

f(t)

= f (1

t)

‚ b Γ‘® ‘“

f :

[0; 1℄ ! X (1 .݃õ‘÷üõ

X

f

¤¢ üû¤ ƒ÷ Âþ ¥ ‚ b Γ‘® ‘“

(f  g)(t) = : [0; 1℄ ƒ÷ f = f

h

! Æh



 g : [0; 1℄ ! X f (2t) g (1

ⓑ— ø ,´¨ ‚µ¨ƒ•

f

ù‘Ú÷ ,f

:݃õ‘÷üõ

g

f

öø ¤ø

(1) = g(0) Âð (2

¤¢

f

’® ¤ ßþ .´¨

0  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð

2t)

: [0; 1℄

!X

ßþÂ“‘€“ ,´¨ ‚µ¨ƒ• ž®ø ‚“ ƒ÷

ù¤ ­Âê Փ‘Îõ ö :–‘±™

h(t)

=1

t

‚ b Γ‘® ‘“

; [0; 1℄

°Æ Ýó ¥ ´¨ üê‘î ,(2) ´ÞÆì ¢¤ õ ¤¢ .Àª ´“‘™ (1) ´ÞÆì ø ´¨ ‚µ¨ƒ•

g

ø

f

,À€µÆû ‚µÆ“

[0; 1℄ ¤¢ [1=2; 1℄ ø [0; 1=2℄ ‘¹€þ ¤¢ ‚î Â

2

.f

‚ b Γ‘® ‘“ ù¤ ø¢ ¤¢ .À€µÆû

g (t)

g

ø

=

f

X


os(t); 0; sin(t)

=

ø ´¨ ÀŸø ù b Âî

ø

.݃€î ù¢‘Ôµ¨ ??

(1) = g(0) ‘¹÷ ¨ ø ,À÷‚µ¨ƒ•

S2

f (t)

݃€î ­Âê

.ñ‘·õ 5.1.6

= os(t); sin(t); 0




°ƒ—µ“

–¤ ¬ ßþ

f(t)

= f (1

t)

=

os(t); sin(t); 0




; ߃€»Þû ø

(f  g)(t) = =

 

0  t  1=2 Âð 2t) 1=2  t  1 Âð


os(2t); sin(2t); 0
0  t  1=2 Âð

os(2t); 0; sin(2t) 1=2  t  1 Âð

f (2t) g (1

122

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

ø¢ Âû ‚î ݃Žð üû¤ À€±Þû –¤ ¬ ¤¢ ¤ ,x0 ; x1

2X

X

.Óþ Â㗠6.1.6

ý ó•— ý‘Ìê

Âû ý¥ ‚“ ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .¢Þ÷ Ûʵõ Ýú“ öµ“ üû¤ ‘“ ¤ ö ¥ ‚ÎÖ÷ .f

(1) = x1 ø f (0) = x0 ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ X ¤¢ f

üê‘î ø ¥„ ¯Âª ‚î ¢Þ÷ ´“‘™ ¢ªüõ ¯‘Ö÷ Âþ‘¨ ‚î ¢ª ´ê‘þ

x0

??

üû¤

.´ª¢¢‘þ 7.1.6

Ýó §‘¨ “

ý‚ÎÖ÷ ‚î ´¨ ßþ ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû üþ‘Ìê ‚Ø€þ ýÂ“

,üû¤ À€±Þû ž…ܐ ý‘¹“ °µî ü¡Â“ ¤¢ .¢Þ÷ Ûʵõ ö ‚“ öµ“ üû¤ ‘“ ¤ ‘Ìê .¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨ ü¨ì À€±Þû ‘þ ý ƒÆõ À€±Þû

Âû ý¥ ‚“ ,Âþ ¥ üû¤

f (t)

.´¨ üû¤ À€±Þû ,üóÞãõ ý ó•—

= (1

t)a + tb

‚ b Γ‘® ‘“

f

: [0; 1℄ ! Rn

‘“

Rn

.ñ‘·õ 8.1.6

´ª‘Ú÷ ,ù¿ó¢ .´¨

b

‚“

a; b

2 Rn

a

Rn

¥

¤¢

.´¨ Âþ ¥ Óþ Â㗠‚“ ¥‘ƒ÷ ,°ÜÎõ ßþ ýÂ“ .¢¢ ݃Þ㗠ö—üõ ¤ „‘“ ñ‘·õ

ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð ’À½õ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ‚“ .Àª‘“ ‚µª¢ ¤Âì

E

¤¢ ‘fõ‘Þ—

1.6 Ûت ‚“ .Àª‘“ ‚µª¢ ¤Âì

f(1

E

E

 Rn

t)a + tb

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

j 0  t  1g

.Óþ Â㗠9.1.6 ‚ b äÞ¹õ

a; b

2E

Âû

¤¢ ,E ¥ ‚ÎÖ÷ ø¢ Âû ö‘ƒõ Û¬ø Í¡ ù¤‘• ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ .¢ª ‚›—

´¨ ’À½õ ƒè (’) ø ’À½õ (Óó) :1.6 Ûت

¤¢ Í¡ ù¤‘• .´¨ ’À½õ

Rn

¤¢

Dn

§Âì .´¨ ’À½õ

Rn

.ñ‘·õ 10.1.6 .´¨ ’À½õ

ý ó•— ‘“ ùÂÞû) ü¨ÀƒÜì üþ‘Ìê ¥ ’À½õ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû

R1

.‚ƒÌì 11.1.6

.´¨ üû¤ À€±Þû (©üþ‘Ìê Âþ ¥

.À€µÆû 12.3.4 ‘— 7.3.4 ‘ØŸ ‚ƒ±ª 17.1.6 ‘— ?? ‘ØŸ

123

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

.‚ƒÌì 12.1.6

À€±Þû ,‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ͨ— üû¤ À€±Þû ý‘Ìê Âû ù b ¤‘Ú÷

.´¨ üû¤

Âð .Àª‘“ ‘ª• ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

X

À÷ªüõ ´ê‘þ ö‘€ ¢›ø

Y

b0

‚“

a0

¥

X

¤¢

¤¢

f

b0

ø

!Y

g:X

a0

ø ù¢“ üû¤ À€±Þû

X

Y

‚ b ÎÖ÷ ø¢ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€ª‘“

üû¤ ,´¨ üû¤ À€±Þû

b

ö¢“ üû¤ À€±Þû ü€ãõ ‚“ ßþ .Àª‘“üõ

‚“

X a

ö .g

¥

Y

݃€î ­Âê :–‘±™ ¥ ‚ÎÖ÷ ø¢

b

ø

a

(b0) = b ø g(a0 ) = a ‚î

Æf

g

¤¢ üû¤

2

,ö€î .¢¤¢ .´¨

Y

¥„ ¯Âª ,À€ª‘“ é¤ õÿÞû ý‘û‘Ìê .´¨

Y

ø

X

.‚¹ƒµ÷ 13.1.6

‚î ü—¤ ¬ ¤¢

ö¢“ üû¤ À€±Þû ,X ö¢“ üû¤ À€±Þû ýÂ“ üê‘î ø

[0; 1℄ ,Âþ ¥ ;´¨ üû¤ À€±Þû S1 (1 .ñ‘·õ 14.1.6 1 ‘ª• ø ‚µ¨ƒ• e(t) = exp(2ti) ‚ b Γ‘® ‘“ e : [0; 1℄ ! S ùø…ã“ .´¨ üû¤ À€±Þû ßþÂ“‘€“ ø ,’À½õ

R1

¤¢

ù b Âþ¢ ×þ ¥ ü¨ì ‘“ ¤ ö ¥ ‚ÎÖ÷ ø¢ Âû ,Âþ ¥ .´¨ üû¤ À€±Þû

ͨ—

R

f0g

n+1

Sn

‚ b µ¨ƒ• ÂþÊ— ,Âþ ¥ ;n

1

1

‚ b µ¨ƒ• ÂþÊ— ,Âþ ¥ ;n

À€±Þû ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ý‚þ¢Âð .´¨ üû¤ À€±Þû

2

ø

a

2 Yk

ý

ø ´¨ üû¤ À€±Þû ‚“

¥

Yl

¤¢

g

k; l Yk

Y

2J

=

S

x

7! x=kxk

‚î ,´¨ üû¤ À€±Þû

fYj j j 2 J g

2

j J

Yj

ù‘Ú÷ ,

ö .´¨

2

j J

Yj

2

Yj

x

(2

‚“

a

6 ; Âð =

¥

2Y Yk

Sn –¤ ¬

Yk

ßþ ¤¢ .n

[ Yl  Y 1

(3 ´ª‘Ú÷ (4

7! f

g

x; x

.‚ƒÌì 15.1.6 .´¨

X

¤¢ üû¤

݃€î ­Âê :–‘±™

¤¢

f

Ýþ ƒð .Yl

üû¤ ,a;

:= f  g ‚bΓ‘® ‘“ b ‚“ a ¥ üû¤ ,ö€î .¢Âƒðüõ

,Âþ ¥ .´¨ üû¤ À€±Þû –¤ ¬ ßþ ¤¢ .S

h

2

j J

RP n

íÂµª ¥ ù¿ó¢ ý‚ÎÖ÷

üû¤ ,‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“ .¢¤¢ ¢›ø

‚î ´¨ ߪø ¤ .¢¤¢ ¢›ø

Àƒ€î ­Âê

T

ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .a; b

T

Sn

‚î ,´¨ üû¤ À€±Þû

.Àª‘“üõ

b

f0g

.´¨

.¢Þ÷ Ûʵõ Ýú“ ö—üõ ǑÀ±õ ¥ ùÀ÷¤Áð ƒè

.Àª‘“üõ ´ª‘Ú÷ ͨ—

R

n+1

2 Yk

.¢¤¢ ¢›ø

b

¤¢ ¤ ¢¡ ¤ÀÖõ ´ª‘Ú÷ ßþ

݃€î ­Âê

.ñ‘·õ 16.1.6

:= fx 2 Snjxn+1  0g ø S + := fx 2 Snjxn+1  0g Ýþ ƒð 124

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

¤¢ .´¨

x

ü•—Þû 6 ÛÊê

p

7! (x1 ;


; xn ; 1 kxk) ´ª‘Ú÷ ͨ— Dn  Rn ‚bµ¨ƒ• ùb¤‘Ú÷ S +

üêÂÏ ¥ .´¨ üû¤ À€±Þû ƒ÷ À€±Þû

Sn ý‘Ìê 15.1.6

S

,‚“‘Èõ –¤ ¬ ‚“ .´¨ üû¤ À€±Þû

‚ b ƒÌì ‚“‘€“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ .S

+

S+

‚¹ƒµ÷

\ S = fx 2 Sn j xn+1 = 0g .´¨ üû¤

üê‘î ø ¥„ ¯Âª .À€ª‘“ ý ó•— .À€ª‘“ üû¤ À€±Þû

Y

ø

X

ý‘û‘Ìê

Y

ø

X

Ýþ ƒð

.‚ƒÌì 17.1.6

‚î ´¨ ßþ ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû

X

Y

‚Ø€þ ýÂ“

f õ‘î :–‘±™ ,À€±Þû ý‘¹“ ‘› ‚Þû ¤¢ ´¨ üê‘î ‘ú€— ;´¨ 12.3.4 Ý؟ –‘±™ ‚ƒ±ª …

2

.¢ª ù¢‘Ôµ¨ üû¤ À€±Þû ¥

f Þä ö¢“ üû¤ À€±Þû ø ýÀ€±Þû ‚î À€î Ǒ‘Öó ߃€ „‘“ ‘ØŸ Àþ‘ª !´¨ üØþ … .´Æƒ÷ ߃€ üóø

‚÷‘ª ø ×î :2.6 Ûت

‚î ´Æƒ÷ ¤ Ï ßþ .´¨ À€±Þû ‘fõ ó ,üû¤ À€±Þû ý‘Ìê Âû

.‚ƒÌì 18.1.6

.Àª‘“ üû¤ À€±Þû ‘fõ ó ,À€±Þû ý‘Ìê Âû

ýÂ“ .´¨ À€±Þû

X

X

݃€îüõ ´“‘™ .Àª‘“ üû¤ À€±Þû üþ‘Ìê

¥ üú— ƒè ø ¥‘“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

V

ø

U

‚î ,X

=U [V

X

݃€î ­Âê :–‘±™

݃€î ­Âê ¤ Ñ€õ ßþ

: [0; 1℄ ! X üû¤ ,À€µÆû üú— ƒä V ø U ø ´¨ üû¤ À€±Þû X ö .À€µÆû À€±Þû ƒ÷ f ([0; 1℄) ,´¨ À€±Þû [0; 1℄ ö .¢¤¢ ¢›ø f (1) 2 V ø f (0) 2 U ‘“ ø U ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .À€ª‘“  ¹õ À€÷—üÞ÷ V \ f ([0; 1℄) ø U \ f ([0; 1℄) ßþÂ“‘€“ ø ´¨ f

.´¨ À€±Þû

X

ßþÂ“‘€“ ø ,À€ª‘“  ¹õ À€÷—üÞ÷

V

125

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

À€±Þû ‚î Ýþ ¤ ø‘ƒ“ À€±Þû ý‘Ìê ×þ ¥ üó‘·õ ´¨ üê‘î ,ø¢ Ý؟ ö¢¢ ö‘È÷ ýÂ“ Ûت ‚“ ;´¨ éø Âãõ ‚÷‘ª ø ×î ø

X

= A [ B ‚î Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ X  C

×î

A

= fig;

‚÷‘ª

B

= [0; 1℄ [

Àµ“ ,X ýÀ€±Þû –‘±™ ýÂ“

Bn

=

ö€ä ´½— ,݃€îüõ ‚Ž¤ ‚î üó‘·õ .Àª‘“ üû¤

‚ b Þû ø

B

S

=

n1 n



+ yi n 2 N ; 0  y  1

.´¨ üû¤ À€±Þû ƒè ø À€±Þû

2

n N Bn ‚î Â ,´¨ üû¤ À€±Þû

U

݃€î ­Âê .´¨ üû¤ À€±Þû

ßþ Âƒè ¤¢ ‚î Â ,A ´¨ ¥‘“

U

B

B

X

o

:

‚î ݃€îüõ ‘䢐

‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ

[0; 1℄ [ f1=n + yi j 0

ƒè íÂµª Ýû ‘“ ø À€µÆû üû¤ À€±Þû ‘û Âþ ¥

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ .¢ª ‚›— 2.6



 1g

y

,15.1.6 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ ;À÷¤¢ üú—

 U ‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ .Àª‘“ X ¥ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ý‚äÞ¹õ

ö .¢¤¢ “ ¤¢ ¤

A

‚î ´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

X

U

–¤ ¬

g \ X  U ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ " > 0 ý¢Àä ,i 2 U ø À€±Þû B ,‘õ .U \ B 6= ; ùÄþø ‚“ ;1=n + i 2 U ‚î ¢¤¢ ¢›ø ý n ¼ƒ½¬ ý¢Àä ü€ãþ .U \ B = B ßþÂ“‘€“ .B ¥ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ,üú— ƒè ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ U \ B ø ´¨ .Àª‘“üõ À€±Þû X ßþÂ“‘€“ ø U = X ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ;A  U ø X = A [ B üóø .B  U  ‚î ßþù¢Þ÷ –‘±™ âìø ¤¢) (6)-14.3.4 ßþ Âޗ ‚“‘€“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø B  X  B fx j ji

,ö€î .

j

x < "

(.´¨ À€±Þû ‚î

X

áø ª

¤¢ üû¤ ‘ú€— ‚î ݃û¢üõ ö‘È÷ ,´Æƒ÷ üû¤ À€±Þû

i

¥ ‚î Àª‘“

X

¤¢ üû¤

ö ùø…ã“ ø Àª‘“üõ ‚µÆ“

j

Ýþ ƒð

[0; 1℄ ¤¢ f

‚Ø€þ –‘±™ ýÂ“

.´¨ ´“‘™ ù¤ ,¢¢Âðüõ áø ª

1 (i)

,´¨ ‚µÆ“

X

ý‘Ìê

¤¢

fig ö

i

2

X

¥

.¢¢Âðüõ

6= ; Ýþ ¤¢ ,0 2 f 1 (i) 1 (i) Âð .Àª‘“ X ¥ 1=2g ý " > 0 ,´¨ ‚µ¨ƒ• f ö –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,t0 2 f ‚î ݃€îüõ ‘䢐 .f (t) 2 U ý t 2 (t0 "; t0 + ") Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ªüõ ´ê‘þ ö‘€ jt1 t0 j < " ݃€î ­Âê ,°ÜÎõ ßþ ùbÀû‘Èõ ýÂ“ .f ((t0 "; t0 +")\[0; 1℄) = fig ¤¢ f (t1 ) Ûõ‘ª ù b ¥‘“ ,´¨  ¹õ ý‘ûù¥‘“ ¥ üä‘Þµ› U \ B ö .f (t1 ) 2 B ø

X

\ fz 2 C j jz

f

X

X

i <

¥‘“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

U

Ýþ ƒð .f

Ûت ‚“ ýù¥‘“ Âþ ¥ ,´¨ ‚µÆ“ ø ,Àª‘“üõ ¥‘“

2

U

1 (i)

Âþ ¥ ,´¨ ¥‘“) ´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“

f

j   g\ \

U

N ‚î ´¨ 1=n + i 0 y 1 U 1 ,ö€î .(t0 "; t0 + ") [0; 1℄ f (i) ,ßþÂ“‘€“ .´¨ ¢‘Ì— ¤¢ "; t0 +") [0; 1℄) 1 ,f (i) (t0 "; t0 + ") [0; 1℄ ù‘Ú÷ ,t0 f 1 (i) Â𐠂î ݃û¢ ö‘È÷ ´¨ üê‘î [0; 1℄ ùø…ã“ ø ´Æû ƒ÷ ‚µÆ“ f 1 (i) ö .Àª‘“üõ f 1 (i) ö¢“ ¥‘“ ü€ãõ ‚“ ‚î f ((t0

ýÀ€±Þû ‘“ ၮõ ßþ ,‘õ (.n



.f

\

\



([0; 1℄) = fig ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ,f

2

1 (i)

= [0; 1℄ ‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,Àª‘“üõ À€±Þû

126

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

À€±Þû

2

X

ü•—Þû 6 ÛÊê

X

B

‚¹ƒµ÷ ¤¢ í¢¤À÷ ¢›ø

¥ ý‚ÎÖ÷ ø

i

2X

߃“ üû¤ ºƒû ßþÂ“‘€“ .´Æƒ÷ üû¤

ù¢¤ ø 20.1.6 ßþ Âޗ ¤¢ ,üû¤ À€±Þû ƒè ø À€±Þû ý‘û‘Ìê ¥ ý µȃ“ ý‘úó‘·õ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‘“ ¯‘±—¤ ¤¢ ,݃€îüõ ´“‘™ Ç¿“ ßþ ¤¢ ‚î ý ¡ Ý؟ .´¨ ùÀª .´¨ ü¨ÀƒÜì ý‘û‘Ìê ¤¢ À€±Þû ø ¥‘“

Rn

üû¤ À€±Þû

.‚ƒÌì 19.1.6

¤¢ À€±Þû ø ¥‘“ ,üú— Âƒè ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû

.´¨

ͨ— ‚î Àª‘“

E

¥ üϑÖ÷ ‚ b Þû ¥ ÛØȵõ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

,°ÜÎõ ßþ –‘±™ ýÂ“ .´¨ ¥‘“ îÂõ ‘“

B" (q )

é¤ õÿÞû ¤¢

R

n



E

ý¥‘“ ýð

݃€îüõ ‘䢐 .À€µÆû

n

,´¨ ¥‘“

‘“ ‚î Â) ´¨ üû¤ À€±Þû

.¢Þ÷ Ûʵõ ö—üõ

,ßþÂ“‘€“

F

q

R

‚“ üû¤ ͨ— ¤

.¢Þ÷ Ûʵõ ö—üõ

p

‚“

E

E

n

ö

F p

B" (q )

G

=E

F

2

n

E

¤¢ üû¤ ͨ— ¤

B" (q )

E

Áó ø

F

=

E

F

F

Áó ø

F

E

q

¤¢

.(Àª‘“üõ

q

2 B" (q)  F

G q

ŕ ;Ýþ ƒðüõ ‚“

E

¤¢ üû¤

‚î ¢¢ ö‘È÷ ö—üõ ,Àª ‚µÔð

F

ö ;´¨ ¥‘“ ø ‚µÆ“ ,´¨ üú— ƒè

F

ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ¥‘“

ßþÂ“‘€“ ,´¨ À€±Þû

݃€î ­Âê

‚î ݃€îüõ ‘䢐

‚“ ‚î ¢ªüõ ۃØȗ üϑÖ÷ ö ¥

2

G

¤¢ üû¤

¥ ‚ÎÖ÷ Âû ,‚¹ƒµ÷

ö¢“ ¥‘“ ¢¤ õ ¤¢ ‚î ‚»÷ ‚“ ‚ƒ±ª üó„Àµ¨ ‘“ .¢Þ÷ Ûʵõ ö—üÞ÷ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ .Àª‘“üõ ‚µÆ“

E

E

Âû ‘õ .¢¤¢ ¢›ø

,Âõ ßþ ‚ b џ…õ ýÂ“ .´Æû ƒ÷ ‚µÆ“

ºƒû ͨ— ¤ ‘ú÷ ø À€ÖÜãµõ



F

¥ ‚ÎÖ÷ Âû ,ßþÂ“‘€“

.´¨ ¥‘“ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

Ýþ ƒð :–‘±™

‚“ ñ‘Ê— ۓ‘ì

.q

¤¢ ýð

2E

p

ø

.Àª‘“üõ üû¤ À€±Þû

.ßþ Âޗ 20.1.6 ´¨ üû¤ À€±Þû ,§ÞÜõ ý ó•— ‘“ ý‘Ìê Âû ‚î Àƒ€î ´“‘™ (1

?À€µÆû üû¤ À€±Þû

fz j jz j 6= 1g; fz j jz j > 1g; fz j z 2 2 Rg ´“‘™ ,À€µÆû

W

¥ ¥‘“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

B

ø

C

A

¥ Âþ ¥ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¤Àî (2

‚Ø€þ ­Âê ‘“ ¤ ??

Ýó Ý؟ (3 .Àƒ€î

127

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

= A [ B Ýþ ƒð A = f(x; y )jx = 0; 1  y  1g; B = f(x; y )j0 < x  1; y = os( x )g: ‚î Àª‘“

R2

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

X

.´Æƒ÷ üû¤ À€±Þû üóø ,´¨ À€±Þû

X

Àƒû¢ ö‘È÷

= A [ B Ýþ ƒð A = f(x; y )jx = 0; 1  y  1g; B = f(x; y )j0 < x  1; y = sin( 1 x )g: ‚î Àª‘“

R2

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

X

.´Æƒ÷ üû¤ À€±Þû üóø ,´¨ À€±Þû

A=

f(x; y)j0  x  1; y =

fAj j j 2 J g

ø Àª‘“

.À÷¤¢ íÂµª

A

X

‚î Àª‘“

x n; n

R2

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

2 N g; B = f

j

(x; y) 12

= A [ B Ýþ ƒð  x  1; y = 0g: Àƒû¢ ö‘È÷

ý‘Ìê ¥ üû¤ À€±Þû ýáÞ¹õ Âþ ¥

A

Àƒ€î ­Âê (7

‘“ ‚î Àª‘“

X

¥ üû¤ À€±Þû ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ý‚þ¢Âð

+

S

Y

S

=A[

2

j J

n >

Aj




Àƒ€î ´“‘™

[ jk k

Sn = Sn Sn Ýþ ƒð + x Rn+1 x =

+

ý

(6

X

f 2 Rn 1 j kxk = 1; xn 1  0g; Sn = f 2

üû¤ À€±Þû

Àƒû¢ ö‘È÷

X

‚î

n

(5

.´Æƒ÷ üû¤ À€±Þû üóø ,´¨ À€±Þû

.´¨ üû¤ À€±Þû

Sn + = x

X

(4

(8

1; xn+1  0g:

0 Âû Àƒ€î ´“‘™ (8)-7.2.4 ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“

.´¨

X

¤¢ üû¤ Â𐠑ú€— ø Âð

x

y

' Óþ Â㗠‘“ ´¨

,߃€»Þû .´¨ ý¥ ¤ Ýû ý‚Ф ‚î ´¨ ßþ ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû

X



X

Àƒ€î ´“‘™ ."Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø

X

¥‘“ ý‚äÞ¹õ ,x

2X

‚“ ‚î ݃Žð üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ ‚î ¢ª ´ê‘þ ¤¢ ,Àª‘“ ¥‘“

x

U

¥

V

X

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ø

üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

X=



y

Ýþ ƒð (9

‚“

x

¥

üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê

‚ b ÎÖ÷ ýÂ“ ¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ,‚î Ýþªüõ ¤ ø ¢‘þ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

X

ý‘Ìê

üû¤ À€±Þû ø ¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ,x ¥ ø ù¢“ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

X

U

.x

2

U

‚î ´¨

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .V

‚î Àƒ€î ´“‘™ .´¨ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

X

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .À€µÆû üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

19.1.6 ‚ b ƒÌì ¥ ¢À¹õ ü—‘±™ ßþ) ´¨ üû¤ À€±Þû

(10

¥‘“ üÚþ‘ÆÞû Âû ý¥

n

R



‚Ø€þ ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª ‚î Àƒ€î ´“‘™

.Àª‘“ üû¤ À€±Þû

U

ý‘Ìê “ ý‚Ф

X

U

U

–¤ ¬ ßþ

Rn

¤¢ ¥‘“

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ À€±Þû ø .(Àª‘“üõ

128

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

Ak

ü•—Þû 6 ÛÊê

ø . . . ,A1 ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ .p; q

2 A1 Ai \Aj = ; ,p

‚î ¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ ݃ª‘“ ‚µª¢

q

ø

p

2X

ø ý ó•—

üþ‘Ìê

Ýþ ƒð

߃“ Û¬ø ù¢‘¨ ù b ƒ¹÷¥ ×þ –¤ ¬ ¤¢

ji j j > 1 i; j 2 f1;


; kg Ai \ Ai 1 6= ; i 2 f1;


; k 1g ‘“

.¢ª ‚›— 3.6 Ûت ‚“ ;

X

+

Âû ý¥ ‚“ ø

ý

q

X

(11

¥

2 Ak

Âû ý¥ ‚“ ø

3.6 Ûت

,Àª‘“

X

U = fUj j j 2 J g ø ù¢“ À€±Þû X Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

U ý‘Ìä ¥ ù¢‘¨ ýùƒ¹÷¥ ‘“ ¤ X ¤¢ ¯‘Ö÷ ¥ ´Ô› Âû –¤ ¬ ßþ ¤¢ ͨ— ‚î X ¤¢ üϑÖ÷ ‚ b äÞ¹õ ,p 2 X ý¥ ‚“ :üþ‘Þ€û¤) .¢Þ÷ Ûʵõ Ýú“ (.Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ¢Þ÷ Ûʵõ Ýú“ ö—üõ U Ǒ‘Ìä ¥ ù¢‘¨ ýùƒ¹÷¥ öµ“

.Àƒ“‘ƒ“ 19.1.6 ‚ b ƒÌì ýÂ“ ý ÂÚþ¢ –‘±™ ,11 ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ .´¨ üû¤ À€±Þû ,À€±Þû ÀÜԃ€õ

n Âû

‚î Àƒ€î ´“‘™

(13

.´¨ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ ,ÀÜԃ€õ

n Âû

‚î Àƒ€î ´“‘™

(14

= A [ B [ C Óþ Â㗠‘“ Y  R2 ý‘Ìê ‚î Àƒ€î ´“‘™ A = f(x; y )jx2 + y 2 = 1; y  0g; B = f(x; y )j 1  x  0; y = 0g;  C = f(x; y ) j 0 < x  1; y = 1 2 sin( x )g; ‚î

(12

Y

(15

.´Æƒ÷ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ üóø ,´¨ üû¤ À€±Þû

ù b Âþ¢

D

= Y [ D  R2 Ýþ ƒð .Àª‘“üõ f(x; y )j(x 1)2 + y2 = 1g

ø Àª‘“üõ 15 ßþ Âޗ ¤¢ ‚î ´¨ ö‘Þû

üóø ,´¨ üû¤ À€±Þû

Z

Àƒ€î ´“‘™

Y

‚î

Z

(16

.´Æƒ÷ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

üû¤ .´¨ °ƒ¹ä üû¤ üêÂãõ ´ÞÆì ßþ ၮõ

.ßî • ‘Ìê ù¤ 21.1.6

‘Ìê ù¤ ¤ üû¤ ߃€ !Àû¢ Ǫ• ¤ Ûõ‘î ⓠÂõ ×þ ,üÚµ¨ƒ• ßƒä ¤¢ ´¨ ¤¢‘ì ‚î ‚÷ð ßþ ‚“ ¤‘“ ñø ýÂ“ ý¢…ƒõ 1890 ñ‘¨ ¢øÀŸ ÷‘ÿ• .š ý‘ì .À€õ‘÷üõ ßî • .¢Þ÷ ¢¤ ¡Â“ ‘úÞ¡

129

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

¤¢ ñø ý‘— ‚¨

üû¤ À€±Þû ý‘Ìê 1.6

.¢¢Âðüõ Óþ Âã—

fn

¥ ŕ .¢¤À÷ üµÞŸ¥ ùÀ€÷¡ ýÂ“ 

:

I n

! I2

ý‘úû¤ ýÀŸ –¤ ¬ ‚“

f

ù¤

‚ b ܟÂõ Ýƹ— .À÷ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ 4.6 Ûت

(1=2) Â·î ÀŸ ‚bܬ‘ê ¤¢ I 2 ⓠÂõ ¥ ‚ÎÖ÷ Âû , n ‚bܟÂõ 2 ‘ª• ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ‚“ ýÀŸ ´ó‘Ÿ ¤¢ .¢¤¢ ‚î Àƒ€î ‚›— .݃¨¤üõ f : I ! I 2 .0; 1 2 I ¯‘Ö÷ ¤¢ ¹“ ,´¨ ׃±Øþ fn : I ! I ´ª‘Ú÷ (üû‘€µõ) ۟Âõ ‚ b ƒÜî ¤¢  f Þä .´Æƒ÷ ׃±Øþ ‘ú÷ ÀŸ ,‚î üó‘Ÿ ¤¢ .(0; 1) = fn (0; 1) … ¤Âì

fn (I )

¥ ý‚ÎÖ÷ ‘—

n

4.6 Ûت

130

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

ö¢¤  Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î

¤¢ ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡

.´¨ ý ó•—

ý‘Ìê

X

2.6

.Óþ Â㗠1.2.6

Àƒ€î ­Âê

C

= ö ý‚äÞ¹õ ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ ;ùÂþ¢ é¤ õÿÞû ùb¤‘Ú÷ ¥ ´¨ –¤‘±ä ,‚½Ô¬

f

‚î ¢ª ‚›—

,X

= R2

.´¨ ‚µ¨ƒ• §Øãõ ‘“ ø ׃±Øþ ,‚µ¨ƒ•

f

:

I

!

X

‚î ,f

(I )

¤¢ ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡ ž…ܐ ý‘¹“ ö—üõ ,üµŸ¤ ýÂ“ .´Æƒ÷ ¢Âԓ Âʽ€õ

ۃØȗ Í¡ ù¤‘• ý¢À㗠‘ú€— ¥ ö¢¤ Ý¡ ‚î ü—¤ ¬ ¤¢ .¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ ö¢¤ Ý¡ ¥ .݃õ‘÷üõ ö¢¤ üãÜ® À€ ¤ ö ,¢ª

¤

U

X

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ .´¨ ý ó•— üþ‘Ìê

X

Àƒ€î ­Âê

.Óþ Â㗠2.2.6

õ ü—¤ ¬ ¤¢ ‚ b Ôó b äÞ¹õ Âþ ¥ ºƒû Àƒî ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø ù¢“ À€±Þû ‚î ݃Žð ýÀ€±Þû ‚ b

V

X

Âð ,ü÷‘™ ¤¢ ø Àª‘“ À€±Þû

U

f ø ‚î ü€ãõ ßþ ‚“ ;Àª‘±÷ „ .V

üØþ ‘ú€— ,Ûþ£ ¤¢ žø ÂÈõ ùb¤ ð ø¢ ö‘ƒõ ¥

=U

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

U

X

¥ ÂÚþ¢ À€±Þû

V

ù¢“ À€±Þû

.(¢ø ý‘û‚‘þ ¤¢) Ýó 3.2.6 .Àª‘“ ´¨¤¢ ´¨ ßØÞõ

R2

C ,–¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ü¨ÀƒÜì ‚b½Ô¬ ¤¢ ýù¢‘¨ ‚bµÆ“ Ý¡ C Ýþ ƒð (1

.´¨ ‘ú÷ íµÈõ ¥ Âõ C ‚î ,¢¢Âðüõ ۃØȗ ýÀ€±Þû ‚bÔóbõ ø¢ ¥ ø ´¨ À€±Þû ƒè .´¨ ¤À÷Âî ýÀ€±Þû ‚bÔóbõ ø¢ ßþ ¥ üØþ ‘ú€— ý‘û‚Ôóbõ ¥ ×þ Âû ¥ Âõ D Âð .´¨ ü¨ÀƒÜì ‚b½Ô¬ ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ¥ C Ýþ ƒð (2 –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ¤À÷Âî ý‚Ôóbõ ý¤¢ R2 D Â𐠃÷ ø ,Àª‘“ R2 D ÇÞÞµõ .´¨ ù¢‘¨ ‚bµÆ“ Ý¡ D ö‘õ Þû ý ¤Âì“ Àû¢ ö‘È÷ ‚î Ýþ ¤ ø‘ƒ“ üó‘·õ ´¨ üê‘î ‘ä¢ ßþ –‘±™ ýÂ“ :–‘±™

K. Yoneyuma ‘õƒ÷þ .í ¤ ñ‘·õ ßþ .¢ªüõ Ë쑀— ‚“ ¹€õ ‘ú÷ ý‚ƒŸ‘÷ .¢Þ÷ žÂÎõ Lakes of Wada ¢ø ý‘û‚‘þ ¤¢ ö€ä ´½—

1917 ñ‘¨ ¤¢ ×þ Ûت ‚“

ýùÂþ › –¤ ¬ ‚“ ¤ ßþ

.Àƒ€î ‚ÑŸ…õ ¤ 5.6 Ûت ;Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ü›‘— ´Ô›

öø ¤¢ ƒ÷ ‚‘þ ¤¢ ø¢ ø ´¨ ù¢Þ÷ ‚Ï‘Ÿ üþ‘þ ¤¢ ’ ¤ ö éÂϐ ‚î ݃€îüõ ¤ Ê— ‚‘þ ¤¢ ø¢ ’ Ù÷¤ ݃€îüõ ­Âê ,¶½“ öÀª ߪø ¤ µú“ ýÂ“ .Àª‘“üõ âìø ö ‘û‚‘þ ¤¢ ¥ ×þ Âû ø ‘þ ¤¢ ¥ °¨‘€õ ý‘úó‘÷‘î ˜ÀŸ ‘“ ‚î ´¨ ßþ éÀû .´¨ –ø‘Ôµõ ¥ üó‘÷‘î ,t

= 0

‚ b Ñ½ó ¤¢

.݃€î Óþ Â㗠À€±Þû ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ‚¨ ,ùÂþ › ¼Î¨ “

131

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

À÷—üõ ùÂþ › ¯‘Ö÷ ‚ b ƒÜî ¥ ÀŸø ×þ ·îÀŸ ‚ b ܬ‘ê ‚“ ¤ Ûþ ¤¢ ’ ‚î ݃Èîüõ ‘þ ¤¢ ’ ‚î ݃€îüõ Âԟ ×þ ù¤‘Þª ‚ b ‘þ ¤¢ ¥ üó‘÷‘î ,t

= 1=2 ‚bÑ½ó ¤¢

.À€îüõ âþ ¥ —

1=2 ·îÀŸ ‚bܬ‘ê ‚“ ¤ ‚‘þ ¤¢ ·îÀŸ ‚ b ܬ‘ê ‚“ ¤ ‚‘þ ¤¢ ’ ‚î ݃€îüõ Âԟ ø¢ ù¤‘Þª ‚ b ‘þ ¤¢ ¥ üó‘÷‘î ,t = 3=4 ‚ b Ñ½ó ¤¢ ‘— ݃û¢üõ ‚õ¢ ¤ À÷ø ¤ ßþ .À€î âþ ¥ — ö—üõ ùÂþ › ‚ b ÎÖ÷ Âû ¥ 1=4 n ùÂþ › ‚ (1=2)n b ÎÖ÷ Âû ¥ ÀŸø (1=2) ·îÀŸ ‚ b ܬ‘ê ‚“ ¤ ‚ρ“ Âõ ’ ,t = 1

‚ b Ñ½ó ¤¢ .Àþ‘Þ÷ âþ ¥ — À÷—üõ ùÂþ › ¥ ‚ÎÖ÷ Âû ¥

‘þ ¤¢ ƒ÷ ø ‘ú÷ ‚“ Ûʵõ ý‘úó‘÷‘î ‚ b رª ùÂÞû ‚“ ‚‘þ ¤¢ ø¢ ,°ƒ—— ßþ ‚“ .Àþ‘Þ÷ âþ ¥ — Õϑ€õ' ‚î À€û¢üõ ۃØȗ À€±Þû ø ¥‘“ ‚ b äÞ¹õ ‚¨ ,‘ú÷ ‚“ Ûʵõ ý‘úó‘÷‘î ‚ b رª ø .À€µÆû ‘ú÷ í µÈõ ¥ Âõ "D

= ×È¡

¢ø ý‘û‚‘þ ¤¢ :5.6 Ûت

Ý¡ ×þ ¢ø ý‘û‚‘þ ¤¢ ¤¢

D

‚ b ƒŸ‘÷ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ´¨¤¢ Ýó ¥ (1) Ý؟ Âð ñ‘Ÿ

(2) Ý؟ Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ ÍÜè Ýó ¥ (2) Ý؟ ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ ‘õ ý‘䢐 °ƒ—— ßþ ‚“ ø ;´¨ ÍÜè Ýó ¥ (2) Ý؟ ‘fõø ó ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ´¨¤¢ Ýó ¥

2 ¤ (1) Ý؟

.Àª –‘±™

f Þä .´¨ ´¨¤¢ 3.2.6 Ýó ¥ (1) Ý؟ …

ùÀª ý ¤ ð ‘÷

C. Jordan ö¢¤

.´ª¢¢‘þ 4.2.6

.§ ¤‘¿µê ‚“ ݨ ßþ .À€õ‘÷üõ ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì

ý¢úª ÂÑ÷ ¥ (1) Ý؟ ‚Ø€þ ‘“ ' ¢Þ÷ ¤‘úҐ ý¢…ƒõ 1890 ñ‘¨ ¤¢ ‚î üÆî ;´¨

132

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ñ‘¨ ¤¢

O. Veblen ßܓø

ü•—Þû 6 ÛÊê

.ø fÀ㓠¤ ü—‘±™ ߃€ ."¢Þ÷ –‘±™ ¤ ö Àþ‘“ ,´¨ üúþÀ“

ÙÜû ‚î ´¨ ý —ù¢‘¨ ÀþÀ› –‘±™ ,Ýþ ¤ øüõ ‘¹€þ ¤¢ ‚î ü—‘±™ .¢Þ÷ ‚Ž¤ 1900 .݃µÆû ø öûÂõ ´“‘“ ßþ ¥ ø ´¨ ù¢Þ÷ ‚Ž¤

Helge Tverberg ï“ ¤ ø

‚î ݃€îüõ ¢¢¤Âì ,¶½“ ¤¢ üµŸ¤ ýÂ“

D2

üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ö€ä ‚“ ¤

ÀŸø «Âì ø

S1 ùÂþ¢ ‚õ¢ ¤¢ C

.Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢

‚±¨‘½õ ۓ‘ì

jx

y

j

–¤ ¬ ‚“

‚“ ¤ ‘ú÷ ‚ b ܬ‘ê ,À€ª‘“

A

= fag ‚»÷‘€

R2

S1

‘þ

R2

y

¥

ø

x

 = R2

d(A; B )

(a; B ) := inf fjb

:= inf fjb

j j 2 Bg

.d

a b

Íܵ¿õ ‚ b ½Ô¬ ¥

.Óþ Â㗠6.2.6

‚ b ܬ‘ê

B

¤¢  ¹õ ù b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ b ¢ÂÈê ‚

.݃€îüõ Óþ Âã—

.¢¢¤Âì 5.2.6

ø

A

Âð

.Àª‘“üõ

j j 2 A ; b 2 Bg

a a

–¤ ¬

݃€îüõ Óþ Â㗠,Àª‘“ ý‚ÎÖ÷ ח

ý‘ûüãÜ® À€ ¢¤ õ ¤¢ ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì Àû¢üõ ö‘È÷ ,݃€îüõ –‘±™ ‚î üÞ؟ ߃óø .´¨ ´¨¤¢ ö¢¤

ö¢¤ üãÜ® À€ ×þ íµÈõ ¥ Âõ

C

D

.‘ûüãÜ® À€ ýÂ“ ö¢¤ ‚bƒÌì 7.2.6

Âð

‚î ,¢¢Âðüõ ۃØȗ ýÀ€±Þû ‚ b Ôó b õ ø¢ ¥

R2

C

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

.Àª‘“üõ ¤À÷Âî ‘ú÷ ¥ üØþ ‘fÖƒì¢ ø ´¨ ‘ú÷ Ûì ÀŸ

R2

߃€ ;´¨ ‘“

r

¥

L

C p

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ö¢¤ üãÜ® À€

‚ b ÎÖ÷ ¥ ¥‘è ‘“

r

ù¿ó¢ üΡ ݃÷ ø

‚î Àª‘“ ü—‘ãê¢ ¢À㗠ÂÚÈþ‘Þ÷

P (r; p)

Â𐠂î ݃û¢üõ ö‘È÷ Àµ“ :–‘±™

p

2 R2

Ýþ ƒð .݃õ‘÷üõ

p

Ýþ ƒð .¢¤¢ ‚Ôó b õ ø¢

¤¢ á‘㪠¤ ý‚äÞ¹õ

C

§b¤ ø¢ Âû ‚Ø÷ ¯Âª ‚“ ;Ýþ ¤ ø‘ƒ“ ¤‘Þª ‚“ ø¢ ¤ ý¢¤ ¡Â“ ߃€ ù‘Ú÷ ,À€î âÎì ¤

C

§b¤ ×þ ¥

,–¤ ¬ ßþ Âƒè ¤¢ .À€ª‘“ ‚µª¢ ¤Âì

L

‘þ

r

C

Â𐠂؀þ ‚“ ¯ø ÂÈõ ,À€îüõ ¢¤ ¡Â“

üΡ ù¤‘• ‘Þ— ‘þ ¢¤Áړ

V

C

V

´Þ¨ ×þ ¤¢ °ƒ—— ‚“

L

‘þ

V

‘“ ¤ ø‘¹õ

f ·õ .Ýþ ¤ øüõ ¤‘Þª ‚“ ×þ ¤ ö Ýþ ¤¢ (Óó)-6.6 Ûت ¤¢ …

P (r1 ; p)

= 1;

P (r2 ; p)

= 1;

P (r3 ; p)

= 1;

P (r4 ; p)

= 5;

P (r5 ; p)

= 3;

P (r6 ; p)

= 3:

ö¢“ ¢Âê ø œ ø ¥ üóø ,¢Þ÷ Àû¡ ƒƒç— Ûî ¤¢ :¢¢Âðüõ ݃Æ֗ ¢Âê ø šø ¥ ¯‘Ö÷ ‚“ ݃û¢üõ ö‘È÷ .Xe

\ Xo = ;

ø

R2

R2

P (r; p)

C C

=

¤ÀÖõ ,p ¤¢

,ßþÂ“‘€“

Xe

f

á‘㪠ǡ ‘“

f ¬ ö .¢Þ÷ Àû¿÷ ƒƒç— …

[ Xo

‚î ´¨ ߪø ¤ .Xo ø

Xe

133

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

(p; C ) = " ø p 2 R2 C Ýþ ƒð .À÷¥‘“ R2 C ¤¢ Xo ø Xe ‚bäÞ¹õ ø¢ Âû ‚î 2 C ‚î ´¨ ü€ãõ öÀ“ ßþ ‘“ B" (p) ¤¢ ¯‘Ö÷ ‘Þ— ö¢“ ¢Âê ø šø ¥ .B" (p)  R .d

ý¥ ‚“ ´¨ üê‘î °ÜÎõ ߨ ‚ b џ…õ ýÂ“ ‚î Â ;´¨ üØþ

Xo

ø

Xe

,‚¹ƒµ÷ ¤¢ .Ýþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

p

¥ ¥‘è ‘“ ø

x

p

ö¢“ ¢Âê ø šø ¥

2 B" (p)

¥ ‚µªÁð á‘㪠,x

.¢¤¢ ‚Ôó b õ ø¢ Ûì ÀŸ ø ´¨ À€±Þû ƒè

R2

C

Áó ø À÷¥‘“

6.6 Ûت

Xo

üû¿ó¢ ´¨¤ Í¡ ù¤‘• ,°ÜÎõ ßþ ù b Àû‘Èõ ýÂ“ .À€µÆû üû¤ À€±Þû ö ý¨ ø¢ ¤¢ ø

R2

C

C

‚“ ×þ¢ ÷ ,a; b

¤¢ üû¿ó¢ ‚ b ÎÖ÷

ý‚ÎÖ÷ ‚“ ø ùÀª áø ª

R2

C

p

p

Âð ñ‘Ÿ .b

C

R2

C

2

‘þ

a

: S1 ! R2

C

¤¢

.À÷¤¢ ¤Âì

f Þä ,݃ª‘“ ‚“ …

C

C

‚“ ×þ¢ ÷

‚“ ×þ¢ ÷ ù¤Þû ø ݃÷‘Þ“

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø ,À€ª‘“üõ À€±Þû Áó ø À€µÆû üû¤ À€±Þû

f

Xe

¤¢ üû¤ ž®ø ‚“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“

¤¢ ö ‘¹÷ ߃Ÿ ¤¢ ‚î ü—¤ ¬ ‚“ ,À÷ø ¤ ßþ ‚ b õ¢ ‘“ .¢ø ¤üõ

b

ø

݃€îüõ ­Âê ø ù¢Þ÷ ’‘¿µ÷

2 Xo ø a 2 Xe °ƒ—— ßþ ‚“

¥ ‚î ¢¤¢ ¢›ø

‚î Àû¢üõ ö‘È÷ ßþ .Àƒ¨¤ ݃û¡

‚µ¨ƒ•

2

R2

Xo

ø

Xe

Âð ‚î ´ƒãìø ßþ ø ´¡€Øþ üÚµ¨ƒ• úÔõ ‚“ ‚õ¢ ¤¢ .Ýþ ¤¢ ¥‘ƒ÷ ,´Æû ƒ÷ ´¡€Øþ ‚ b µ¨ƒ• ù‘Ú÷ ,Àª‘“

´ª‘Ú÷.À€ª‘“ ×þ ,"

>

݃ª‘“ ‚µª¢

0

d2

ø

d1

°ƒ—µ“ µõ ‘“ ý µõ ý‘Ìê ø¢

M2

Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ´¡€Øþ ‚ b µ¨ƒ•

d1 (x; y ) < Æ

‘“

x; y

ø

M1

.Óþ Â㗠8.2.6

Ýþ ƒð

ü—¤ ¬ ¤¢

f

:

M1

!

M2

2 M1 Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ ý Æ > 0 .d2

(f (x); f (y)) < "

134

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ßþ ‚“

ü•—Þû 6 ÛÊê

.´ª¢¢‘þ 9.2.6

.´¨ —ýì üóÞãõ üÚµ¨ƒ• ¥  €Øþ üÚµ¨ƒ•

´ƒÜî ö ÅØä üóø ,´¨ ‚µ¨ƒ• ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ´¡€Øþ ‚ b µ¨ƒ• ü㓑— Â𐠂î ü€ãõ .¢¤À÷

.Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

: M1 ! M2 ø ý µõ ý‘Ìê M2 ø M1 Ýþ ƒð .‚ƒÌì 10.2.6

f

.´¨ ´¡€Øþ ‚ b µ¨ƒ•

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢ÂÈê

M1

Â𐠖¤ ¬ ßþ ¤¢

0 ý¢Àä ,x 2 M1 Âû ý¥ ‚“ ." > 0 Ýþ ƒð :–‘±™ .d2 (f (x); f (y )) < "=2 ù‘Ú÷ ,d1 (x; y ) < Æ (x) ø y 2 M1 Â𐠂î

¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ‚ b äÞ¹õ

f

Æ (x) >

fBÆ x (x) j x 2 M1 g Æ = minfÆ (x1 );


; Æ (xn )g ffBÆ x1 (x1 );


; fBÆ x (xn )g i 2 f1;


; ng d1 (x; y ) < Æ x; y 2 M1 Æ  Æ (xi ) d2 (f (x); f (xi )) < "=2 x 2 BÆ x (xi )

,´¨ ù¢ÂÈê

M1

M1

ö .Àû¢üõ ۃØȗ

.

Ýþ ƒð .

ý

ýÂ“ ¥‘“ üȪ•

(

)

ø

Âð ,–¤ ¬ ßþ ¤¢

Âþ ¥ ,

ßþÂ“‘€“ ø

d1 (y; xi ) < d1 (y; x) + d1 (x; x1 ) < Æ + Æ (xi ) ßþÂ“‘€“ .d2

d2 (f (x); f (y ))

:¢¤¢ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥

( n)

×þ ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,

߃€»Þû .

( )

( i)

 2Æ

(f (y); f (xi )) < " ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø

 d2 (f (x); f (xi )) + d2 (f (xi ); f (y)) < "

2

.À÷‘¨¤üõ –‘±™ ‚“ ¤ Ý؟ ‚î

‚µ¨ƒ•

f

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

:

f

S1

!

R2

Âð

.‚¹ƒµ÷ 11.2.6 .´¨ ´¡€Øþ

.À€ª‘“

f

:

d2

M1

ø

!

d1

°ƒ—µ“ µõ ‘“ ý µõ ý‘Ìê

Â𐠃÷ ø ,Àª‘“ ù¢ÂÈê

´ê‘þ ö‘€ ý .d1

Æ >

0 ×þ "

>

M1

M2

ø

M1

Ýþ ƒð

ø ù¢“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

0 Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷

.‚¹ƒµ÷ 12.2.6 f

:

M1

! M2

,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

Âð

f (M1 )

(x; y) < " ù‘Ú÷ d2 (f (x); f (y)) < Æ ø x; y 2 M1 ù‘ð Âû ‚î ¢ªüõ

ö ¤¢ ‚î ´¨ ý µõ ý‘û‘Ìê ö‘ƒõ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

2

f 1

: f (M1 )

! M1

.´¨ ù¢ÂÈê

:–‘±™

f (M1 )

: S1 ! R2 ‚bΓ‘® ‘“ ö¢¤ Ý¡ C Ýþ ƒð .‚ƒÌì 13.2.6 0 1 2 Γ‘® ‘“ C 0 ö¢¤ ý‚Üޛ À€ ×þ " > 0 ‚“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ý ¤ Ï f : S ! R ‚ b .jf (x) f 0 (x)j < " ‘û x 2 S1 ‚bÞû ý¥ Âû ý¥ ‚“ .Àª‘“

f

135

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ý

jx ö‘€ ý

A

"1 >

0 ,´¨ S1 “ ´¡€Øþ ‚bµ¨ƒ• f

"1 >

j

=)

y < "1

j 2" :

jf (x)

f (y ) <

0 ×þ ,12.2.6 ‚b¹ƒµ÷ ‚“‘€“ ,´¨ ÝÆƒê¤ ÞÿÞû f :

jf (x) p

j

f (y ) < "2

=)

jx

ö :–‘±™

j

f

y < min "1 ;

p

!C

S1

ö

‚î ¢¤¢ ¢›ø

3g;

p

3 ¥ µÞî ÂÎì ‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ A Âð ‚î ´¨ ßþ 3 ¢›ø ۃó¢)

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

.(¢“ Àû¡ âìø µ؝î ‚ b µÆ“ §ì ×þ ¤¢

Sn

ö—üõ ý ¤ Ï

Æ

ø . . . ,S1 –‘ã“ Âõ ͨ— ¤

C

.Æ

= minf"=2; "2g Ýþ ƒð

“Â“ ⓠÂõ Âû ÂÎì ߃€»Þû ø ,À÷¤À÷ (§Ž¤ ¹“) íµÈõ üŸ÷ ‘û

A1

6=

S1

µ؝î ‚ b µÆ“ §ì ×þ ¤¢

ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ ;݃¨Â“

C1

f 1 (S1 )

‚î ݃÷¢üõ ,Æ

ö¢¤ Ý¡ ‚“ ‘— ݃€îüõ ´¨¤ ¤

< "2

f (A1 )

f1 (e(t))

=

a

a



f (e(t)) +

ý

i

a

b

a

.´¨

.¢¤¢ ¤Âì

f1 : S2

! R2

62 A1 e(t) 2 A1 Âð

e(t)

f (e(b))

Âð

fe(t) j a  t  bg

ö ¤¢ ‚î ,݃€îüõ Óþ Âã—

.Àª‘“üõ ö¢¤ Ý¡ ×þ ž®ø ‚“ ‚î ,C1

݃€îüõ ­Âê

(t) = exp(2it) ø A1 =

ų¨ ;e

‚î ¢ª ‚›—

t

‚î À÷‘ª•

ö

ñ‘Ÿ

‚ b Γ‘® ‘“ ¤

8 f (e(t)) <  t : 1 b

Si

= 1;


; n Âû ý¥ ‚“ ‚î Ýþ ¤¢ ‚›— ,߃€»Þû

=

f1 (S1)

.¢¤À÷ ¤Âì

S1

¤¢ ‘fõ ó

1 .f 1 (Si )

f

f (A1 )

1 (S

i

)

f1 1 (S3 ) Ûõ‘ª ý µ؝î §ì A2 ‚î ´¨ f1 (A2 ) ö¢Þ÷ ´¨¤ ø¢ ‚bܟÂõ 1 2 R2 ‚bΓ‘® ‘“ C2 ö¢¤ üÞ¡ ßþ .´¨ ,f 1 (S2 ) = Âð) Àû¢üõ ¢‘Þ“ f2 : S

;

!

= C1 ø f2 = f1 ݃û¢üõ ¤Âì –¤ ¬ ßþ ¤¢ 1 1 üãÜ® À€ ×þ ,À÷ø ¤ ßþ ‚ b õ¢ ‘“ .f2 (Si )  f2 (S ) Ýþ ¤¢ ý i = 1;


; n Âû C ‚“ ùÀƒ±Æ " Cn ݃€îüõ Ճֽ— .݃¨¤üõ fn : S1 ! R2 ‚bΓ‘® ‘“ Cn ö¢¤ ý¥ ‚“ ‚î ݃€îüõ ‚›— Ýû ¥‘“ .(C2

ý

j

1

¯‘Ö÷ ‘“

Aj

.´¨

(x) 6= f (x) ø x 2 ݃€î ­Âê .f0 = f ‚î fn (x) = fj (x) 6= fj 1 (x) S1

×þ ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .fn §ì ×þ ‚“

Ýþ ¤¢ .fj

x

°ƒ—— ßþ ‚“

(y) = f (y) ø fj (z ) = f (z ) ߃€»Þû

jf (x)

j

fn (x)

=

jf (x)

z

.´¨ ÕÜãµõ

f (y ) + fj (y )

ø

y

f ·õ) üþ‘úµ÷ (…

j

fj (x)

136

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

jf (x)  jf (x)

j + jfj (y) fj (x)j " f (y )j + Æ  jf (x) f (y )j + : 2

=

jx

j

j ‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,jf (z ) f (y )j  Æ  "2 ö .jf (x) f (y )j < "=2 ßþÂ“‘€“ ø jx y j < "1 Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,jz y j .jf (x) fn (x)j < "=2 + "=2 = "

y <

‚¹ƒµ÷ ¤¢

2

jz

C

y < "1

üóø .

:

f

ßþ ¤¢ .´¨ ø¢ ¤¢ ¤

f (y )

S1

! R2

p 2 D

f (a); f (b)

D

‚ÎÖ÷ ø¢ ƒ÷ ø

 R2

C

jb

.‚ƒÌì 14.2.6

Ýþ ƒð

R2

©¥ Âõ ù b Âþ¢ ‚î ´¨ ý¥‘“ «Âì Ûõ‘ª .À€îüõ âÎì

‘“

C

‚ b Γ‘® ‘“ ü÷¢¤ Ý¡

j

C

a >

p¤¢ ¤À÷Âî ‚bÔóbõ –¤ ¬

3 ‘“ f (b) ø f (a) ‚bÎÖ÷

‚î Àª‘“ ý¥‘“ «Âì

D

Ýþ ƒð :–‘±™

jb aj < 3 ݃€î ­Âê .¢¤¢ ¢›ø ü¬Âì ߃€ .Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢ Â·î ÀŸ jb aj

,

ù b Âþ¢ .À€ª‘“ ý

4=3 ¥ µ𤠓 ñÎ“ A ü¨ì ý‘úµ÷ ø¢ b ø a üµÆþ‘“ –¤ ¬ ßþ ¤¢

2 A fa; bg

ff (a); f (b)g maxfj aj; j bjg > jb

f (A)

Âû ý¥ ‚“ Âþ ¥ ,À€î âÎì ¤

À÷—üÞ÷ ¥ Âõ

f (b)

‚“ ø áø ª

6= a

v1

(2 ;vn

f (a)

6= b

¥ ‚î À€ª‘“

ø

v1

6= a

f (A)

¤¢

C

§Ž¤

f (vn )

ø . . . ,f

j

a

.

(v1 ) Ýþ ƒð

(1 :Àû¢  ¤ ´¨ ßØÞõ ñ‘ÞµŸ ¤‘ú .À÷ªüõ ݵ¡

ùÂþ¢ ñø ´ó‘Ÿ ¤¢ .vn = b ø v1 = a (4 ;vn 6= b ø v1 = a (3 ;vn = b ø 0 2 C ü¬Âì .´¨ §‘Þõ f (b)f (v ) ø f (a)f (v ) ´¨¤ ý‘úΡ ùÀƒ±Æ D  R n 1 0 0 f ·õ ,f (b) ø f (a) ‚“ ùÀƒ±Æ ¯‘Ö÷ ¤¢ D ùÂþ¢ ‘“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ D ‚“ f (a ) … b 0 ø f (a)f (v1 ) ‚“ °ƒ—— ‚“ ¢¤ ¡Â“ ¯‘Ö÷ ßþ ݃÷¢üõ ‚î üó‘Ÿ ¤¢ ,¢¤¢ §‘Þ— f (b ) ø 0 a0 j > jb aj ö .Àƒ€î ùÀû‘Èõ ¤ (Óó)-7.6 Ûت ;À€ÖÜãµõ f (b)f (vn ) ‚“ jb D0  ü¬Âì ø ´¨ §‘Þõ f (a)f (v1 ) ‚“ D ùbÂþ¢ ø¢ ´ó‘Ÿ ¤¢ .ÝþùÀƒ¨¤ Ë쑀— f (a)f (v1 ) ¤¢ f (a) ‚“ ×þ¢ ÷ ý‚ÎÖ÷ ¤¢ ¤ C Ý¡ D0 ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ R2 C ù¤‘• ‚“

D

‚“ ßþ .Àƒ€î ‚ÑŸ…õ ¤ (’)-7.6 Ûت ;¢¤Áðüõ

R x

¥ ø À€îüõ §‘Þõ

‚ b ƒŸ‘÷ ,¤‘ú ´ó‘Ÿ ýÂ“ .´¨ ø¢ ´ó‘Ÿ ‚“‘Èõ ¨ ´ó‘Ÿ .Àõ‘¹÷üõ Ë쑀—

2

Âû ý¥ ‚“ .Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

.¢¤Áðüõ ý

x

f (b)

ø

f (a)

¥ ø ´¨

x

f (b)

ø

f (a)

f (a)

R2

C

¤¢ ‘fõ‘Þ—

¥ ƒè ý‚ÎÖ÷ ¤¢ ¤

f (b)f (vn 1 )

ø

f (a)f (v2 )

Dx

f (A)

‚“

D0

¥ ý‘û—• ø

f (A)

© îÂõ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ¢Âԓ Âʽ€õ

×þ ý¥ ‚“ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€î ´îŸ

.¢Âƒðüõ ¤Âì ø

f (b)f (vn 1 )

‘þ

D

Sx

Sx

ýùÂþ¢ ,R

x

݃€î ­Âê

îÂõ ¥ ‚µ¨ƒ• ¤ Î“

ö ¥ Û¬‘Ÿ «Âì ‚î

‚“ ¢øÀ½õ

Sx

݃¨¤üõ ýùÂþ¢ ‚“

x

ý¥ ‚“ ,‚÷‘µ¿±ª¡

ù b Âþ¢ ,«Ê¿“ ý

ý‘úΡ ù¤‘• ¥ üØþ ‚“ ‚Ø€þ ‘þ ø ,À€îüõ –‘ì…õ

f (b)

137

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

߃õø¢ ‚î üó‘Ÿ ¤¢ ,´¨ ßØÞõ Âƒè ´ó‘Ÿ ßƒóø ‚î Ýþ¢¢ ö‘È÷ µȃ• .´¨ §‘Þõ

p j  3 ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ ;À€€îüõ Ǒ‘Öó ¤ ၮõ ×þ

‘ú€— –‘Ì쑀— ßþ ‚ b Þû .Àõ‘¹÷üõ Ë쑀— ‚“ ø¢ ´ó‘Ÿ ¤¢ ùÀª ù¢‘Ôµ¨ ©ø ¤ ‘“ ´ó‘Ÿ

jb

2

a

.

7.6 Ûت

.݃€îüõ –‘±™ ¤ ö¢¤ ‚ b ƒÌì ¥ üµÞÆì ö€î ø¢ ÛìÀŸ

R2

C

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ö¢¤ Ý¡

C

.‚ƒÌì 15.2.6

Âð

.¢¤¢ ‚Ôó bõ ý‚Ôó b õ ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ݃û¡üõ .´¨ öÂîü“ ‚Ôó b õ ø¢ ßþ ¥ üØþ ž®ø ‚“ :–‘±™

C

‚“ ÂÚÞû ö¢¤ ý‘úƒãÜ® À€ ¥ ý‚ó‘±÷¢ . . . ø

ÂÔ¬ ‚“ ‚î . . . ø . . . ø

f2 ,f1 ,f

"2 ,"1

Ýþ ƒð .¢¤¢ ƒ÷ ¤À÷Âî

‘“ ,ùÀª É¿Èõ 13.2.6 ‚ b ƒÌì ¤¢ ‚î ‚»÷ À€÷‘Þû) Àª‘“

´ª‘Ú÷ ͨ— °ƒ—µ“ . . . ø

p

C2 ,C1

C2 ,C1 ,C

Ýþ ƒð .(À€€îüõ ۃõ

limn!1 fn = f üµìø ‚î ý‚÷ð ‚“ ,À€ª‘“ ùÀª žÂÎõ fn (bn ) ø fn (an ) ¯‘Ö÷ Ûõ‘ª Sn ýùÂþ¢ ,ý n Âû ý¥ ‚“

,14.2.6 ‚ b ƒÌì ‚“ ‘€“ ö€î .

jbn

an

j  3 ‘“

S0

ý‘úÞ¡ ‚ b Þû ‚î ¢¤¢ ¢›ø ßþ ‚“ .À€îüõ ‚Ï‘Ÿ ¤ ‘û

Sn

ýùÂþ¢ ‚ b Þû

S0

.Àª‘“

2 ¤À÷Âî R

1 .´¨ ´þ‘ú€ƒ“ ¤¢ z ÀŸ ý¤¢ fzn g

ßþ

‚ b ÎÖ÷

Sn

îÂõ Ýþ ƒð

‚¹ƒµ÷ ¤¢ .À€îüõ ‚Ï‘Ÿ ¤

.¢¤¢ ¤À÷Âî ý‚ó‘±÷¢ Âþ ¥ ßþÂ“‘€“ ø ´¨

2 .À÷¤¢ ¤Âì R

zn

C

.¢¤¢ ¢›ø

ƒ÷ ø

Cn

ö¢¤

¤¢ . . . ø ,z2 ,z1 ‚ b ó‘±÷¢ ,°ƒ——

b ó‘±÷¢ ‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ n=1 ‚

C

jy xj < jf (bn ) f (an )j  Æ

‚ b Ôó b õ ×þ ¤¢

zn

ø

z

,ï¤ “ üê‘î ù b ¥À÷ ‚“ ý‘û

Æ>0

n ý¥ ‚“

p 3 jf (y) f (x)j  Æ ï¤ “ üê‘î ù f (x)j  Æ=2 ý n  N Âû ý¥ ‚“ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø b ¥À÷‘“ N ‚î ;jf (y ) Âð ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ ý ý

n

1

:¢Þ÷ ùÀû‘Èõ ¢ªüõ Ûþ£ –¤ ¬ ‚“ ¤

Âû ý¥ ‚“ ßþÂ“‘€“ .

ù‘Ú÷ ,

138

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

n

ÂÎì ý

N

ù b ¥À÷‘“ ý‘û

2 ,R

C

n

ü•—Þû 6 ÛÊê

< Æ=2

Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ü€ãõ öÀ“ ßþ ."N

(zn ; Cn )

ý¥ ‚“ üóø .d

zn

‚ b Ôó b õ ×þ ¤¢

ý ¤À÷Âî ‚ b Ôó b õ ¤¢

zn

ø

z

> "=2

,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ

‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ´¨

jz

j

zn < Æ=2

üµÆþ‘“ ,ßþÂ“‘€“ .

Æ=2

¥ µ𤠓

Ýþ ¤¢ ï¤ “ üê‘î

Óþ Â㗠‚“ ‘€“ ,Âþ ¥ .À€ª‘“ ‚µª¢ ¤Âì ,ö ¥ ý ¤À÷Âî ‚ b Ôó b õ ü€ãþ

z

¤À÷Âî Âƒè ‚ b Ôó b õ ¤¢ À÷—üÞ÷

‚î ݃û¢ ö‘È÷ ݃û¡üõ .Àª‘“üõ âìø

R2

.Àª‘“ âìø ‚µ¨ƒ• üû¤ ,ßþÂ“‘€“

2 .Àª‘“ ‚µª¢ ¤Âì R

(g(I ); C ) = Æ Ýþ ƒð

ßþ ‚î ,d

z

C

Cn

Âþ ¥ Âû 19.1.6 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“) ¢¤¢ ¢›ø

¤À÷Âî Âƒè ‚ b Ôó b õ ¤¢

z

C

2

¥

C

z

݃€î ­Âê

¥

R2

¤À÷Âî Âƒè ‚ b Ôó b õ ¤¢

¥ š¤‘¡ ý‚ÎÖ÷ ‚“

C

R2 C

g

¤¢

2 .(´¨ üû¤ À€±Þû ‘fõ ó ,R ¤¢ ¥‘“ ø À€±Þû ‚ b äÞ¹õ

‚ b ÎÖ÷ ,ï¤ “ üê‘î ù b ¥À÷‘“ ý‘û

n

ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ü€ãõ öÀ“

f ±ì ‚î üÞ؟ ‘“ ßþ üóø .¢¤¢ ¤Âì .´¨ Ë쑀— ¤¢ ,Ýþ¢ ö‘È÷ ¤ ö üµ¨¤¢ …

R2

Sn

ßþÂ“‘€“ ø ´Æƒ÷ ÕÜãµõ

R2

C

¤À÷Âî Âƒè ‚ b Ôó b õ ‚“

z

R2

C

‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷

.¢¤¢ ‚Ôó b õ ø¢ ÛìÀŸ .Ýþ ¤¢ ¥‘ƒ÷ Âþ ¥ Ýó ø Óþ Â㗠‚“ ö¢¤ ‚ b ƒÌì ø¢ ´ÞÆì –‘±™ ´ú› ,‚õ¢ ¤¢

C

‚î ´¨ ´¨¤ üΡ ù¤‘• ¥ –¥‘±ä

ÕÜãµõ

R2

C

C

‚“ ©üþ‘úµ÷ ¯‘Ö÷ ý¨

,ŕ

.Óþ Â㗠16.2.6

—ø

ö¢¤ Ý¡

.À€îüõ âÎì ‚ÎÖ÷ ø¢ ‘ú€— ¤¢ ¤ .Àª‘“üõ

,Àª‘“

X

C

¥ ý —ø

ø ù¢“ ö¢¤ üãÜ® À€

ùø…ã“ .Àª‘“üõ

R2

C

C

.´ª¢¢‘þ 17.2.6

‚»÷‘€

ý‘û‚Ôó b õ ¥ üØþ

X

‚î ,

 X [C

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .¢¤¢ ‚Ôó b õ ø¢

b

¥ üØþ ¤¢ ‚ÎÖ÷ ø¢

f g



d( a; b ; C )

ý

Æ>

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ¢›ø

X

¤¢

g

ø

a

ø ù¢“ ö¢¤ üãÜ® À€

0 ×þ ý¥ ‚“ ‚î ý‚÷ð ‚“

C

Ýþ ƒð

2 À€ª‘“ R

2Æ ¥ µÞî ñÏ ‚“ X [ C ¤¢ C ¥ ý —ø

üû¤ ,üµƒãìõ ߃€ ¤¢ .À÷¤¢ ¤Âì

X

.Ýó 18.2.6 C

¤¢

X

ý‘û‚Ôó bõ

ù‘ð Âû ݃€î ­Âê .Æ

‚ b Ôó b õ ×þ ¤¢ ø¢ Âû

b

ø

a

(g(I ); C ) > Æ ‚î ¢¤¢

.d

a

¤¢ îÂõ ø

Æ

.݃ûÀ“ ´îŸ

á‘㪠‚“ ý¥‘“ «Âì Àµ“ ‚î ´¨ ߃€ –¢‘±™ üܬ ù b Àþ :–‘±™

b

´Þ¨ ‚“ üõ¤ ‚“ ¤ ö ,X “ © îÂõ ԟ ‘“ ų¨ ø ‚µêÂð ÂÑ÷ ¤¢

2Æ ÂÎì ‘“) «Âì ´îŸ ßþ üõ‘Ú€û ‘ú€—

µÞî ñÎ“ —ø ×þ ‚î ¢¢ ‘¹÷ ö—üõ ¤ (

139

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

üì‘Ô— ߃€ ‚î À€îüõ ’‘¹þ —ø “ –‘®ø ÂÔõ .Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø

X

2

[C

¤¢

2Æ ¥

.¢¤À÷ ö‘Øõ

ø¢ Â·î ÀŸ

R2

C

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ö¢¤ Ý¡

C

.‚ƒÌì 19.2.6

Ýþ ƒð

.¢¤¢ ‚Ôó bõ

r

‚ b Ôó b õ ‚¨ ¥ üϑÖ÷

ø

q ,p

ø ¢¤¢ ‚Ôó b õ µȃ“ ‘þ ‚¨

1 ý‘úƒãÜ® À€ ¥ ý‚ó‘±÷¢ fCi g

i=1 ø

°ƒ—µ“ ý‘úµª‘Ú÷ ͨ— . . . ø Ýþ ¤¢ ï¤ “ üê‘î á b ¥À÷‘“ ý‘û 7.2.6 ‚ b ƒÌì ¤ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ¤¢

fp; q; rg

n

f

g

d( p; q; r ; C )

C2 ,C1 ,C ý¥ ‚“

R2

=

(fp; q; rg; Cn )

.d

q

ø

p

‚“ ‘û

n

< "=2

‚ b Þû ý¥ ‚“

¯‘Ö÷ ‚î À÷‘“ ‚µª¢ ¢›ø ý ¤ Ï

‚“ ý‘û

n

n

ý¥ ‚“ .À÷ªüõ Ûʵõ Ýú“

üê‘î ù b ¥À÷ ‚“ ý‘û ¥ ‚Ôó b õ ×þ ¥£

q

n ý¥ ‚“

ø

p

Æn

ñÏ ‚“

q

´þ‘ú€ƒ“ ø

n

ø

(Cn

,‚¹ƒµ÷ ¤¢ ;d

C

.

ßþÂ“‘€“ ø

‚“ ÂÚÞû ö¢¤

.

f2 ,f1 ,f

d(Cn ; C ) < "=2

p

R2

Cn

¥

Xn

‚ b Ôó b õ ×þ

‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ ,݃€î

0 < Æ < " ‘“ ý Æ Ýƒ€î ­Âê

Æ

‘“

Xn

C ) < Æ=2 Ýþ ¤¢

¤¢

gn

üû¤ ͨ—

,ï¤ “ üê‘î ù b ¥À÷

(gn (I ); C )

ßµª¢ ¤Âì ü€ãõ ‚“ ¢¡ ßþ ‚î ,d

Æ

. ø

Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃€îüõ ‚Ñ¡…õ

d(gn (I ); Cn )

¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ .¢¤À÷ ¢Ÿø „‘“ üðÄþø ‘“ ý ¢›ø

Ýþ ƒð .À€ª‘“ ö þ‘Þµõ

.À€ª‘“ ùÀª üêÂãõ

ù¢‘Ôµ¨ ‚ó‘±÷¢ Âþ ¥ ¥ ø ó –¤ ¬ ¤¢ ‚»÷‘€ .À÷¤¢ ¤Âì

Xn

"

݃€î ­Âê :–‘±™

݃€î ­Âê .Àª‘“

‚ b ÎÖ÷ ‚¨ ¥ ‘— ø¢ ,ï¤ “ üê‘î ù b ¥À÷ ‚“

.À€ÖÜçµõ

C

ºƒû ,Ë쑀— ßþ §‘¨ “

> Æ=2

ï¤ “

2 .´¨ R

C

n ý —ø ,n ¥ ¤ÀÖõ ´þ‘ú€ƒ“ ý¥ ‚“ ‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ 18.2.6 Ýó

limn!1 Æn = 0 ø À€ª‘“üõ âìø Xn n ¥ ü—ø‘Ôµõ ý‘û‚Ôóbõ ¤¢ q ø p ‚î ¢¤¢ ,n(1) °ƒ—µ“ ø À€ª‘“ ùÀª °—Âõ ý¢ã¬ °ƒ—— ‚“ ,n ¤ÀÖõ ´þ‘ú€ƒ“ ßþ ݃€î ­Âê ø fn(i) (ai ) “Â“ n(i) üþ‘úµ÷ ¯‘Ö÷ ݃€î ­Âê ,߃€»Þû .À€ª‘“ . . . ø ,n(2) limi!1 (fn(i) (bi ) fn(i) (ai )) = Ýþ ¤¢ ,limi!1 Æn(i) = 0 ö .À€ª‘“ fn(i) (bi ) limi!1 (bi À€îüõ ’‘¹þ ßþ ‚î ,limi!1 (f (bi ) f (ai )) = 0 ßþÂ“‘€“ ø 0 ¤Âì Xn(i) b Ôó n(i) þ‘Þµõ ‚ b õ ø¢ ¤¢ q ø p ¯‘Ö÷ ý i Âû ý¥ ‚“ ö .ai ) = 0 .

f ¥ ý ¤À÷Âî ‚ b Ôó b õ ‚“ ,n ¥ ¤ÀÖõ ´þ‘ú€ƒ“ ý¥ ‚“ ,p …·õ ,‚ÎÖ÷ ø¢ ßþ ¥ üØþ ,À÷¤¢ ßþ µ؝î

Ai

limi!1 (bi

,

.´¨

2

ø Àª‘“üõ ¢øÀ½õ

ai )

= 0 ö

fn(i) (Ai )

ø

n(i) ‚“ ‚î ,´¨ ÕÜçµõ

Xn(i)

n(i)

1 .Àª‘“üõ bi ø ai ö üþ‘úµ÷ ¯‘Ö÷ ‚î ´¨ S ¤¢ ü¨ì

" ¥ µÞî ,ï¤ “ üê‘î ùb¥À÷ ‚“ ý‘û n ý¥ ‚“ ‚Ôóbõ ßþ ÂÎì ‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷

jp

.Àª –‘±™ Ý؟ ø ´¨ Ë쑀— ‚î ,

j

f (ai ) < "

«Ê¡ ‚“

.¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ 19.2.6 ø 15.2.6 ý‘þ‘Ìì ¥ ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì ö€î

140

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö¢¤ Ý¡ ‚ b ƒÌì :¢Â“ ¤‘î 2.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

.ßþ Âޗ 20.2.6 ¤¢ ,Àª‘“

f

:I

! R2

׃±Øþ ø ‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ×þ ù b ¤‘Ú÷ .´¨

A

2 À€±Þû R

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (1

C

–¤ ¬ ßþ

: S1 ! R2 ‚bΓ‘® ‘“ ü÷¢¤ Ý¡ C Àƒ€î ­Âê p Æ = minfjf (y ) f (x)j j x; y 2 S1 ; jy xj  3g

–¤ ¬ ‚“ ¤

“ ¤¢ ¤

Æ

Æ

.Àª‘“

ÂÎì ‚“ «Âì ×þ

f

R2

C

(2

¤À÷Âî ‚ b Ôó b õ Àƒ€î ´“‘™ .݃€îüõ Óþ Â㗠.¢¤¢

’‘¿µ÷ ö—üõ .Cr

R2

¤¢ Ýû ¥ À› ø¢ ‚“ ø¢ ø ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡ ¤‘Þª‘÷ ¢À㗠‚“ (3

= f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 = rg ö ¤¢ ‚î ,fCt j 0 < t 2 Rg …f·õ ;¢Þ÷ ‘“ é¤ õÿÞû ´¨ üþ‘Ìê ,´Èû Ûت Ý¡

j (x  1)2 + y2 = 1g ø¢ ‚“ ø¢ ø ´Èû Ûت ‚“ ý‘úÞ¡ ¥ ý‚þ¢Âð fEj j j 2 J g Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ f(x; y) 2

R2

.´¨ ¤‘Þª ‘fõ ó

J

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

R2

¤¢  ¹õ

141

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû

3.6

Óþ Â㗠ý ó•— ý‘û‘Ìê ߃“ ý‘úµª‘Ú÷ ‚ b äÞ¹õ “ ýý¥ ¤Ýû ‚ b Ф ÛÊê ßþ ¤¢ ‚µêÂ𠤑ؓ ‘úû¤ ¢¤ õ ¤¢ ‚î üõ‘Ú€û ‘f¬Ê¡ ,ýÀ㓠ñÊê ¤¢ ‚Ф ßþ

.݃€îüõ

.´¨ ¤¢¤ ¡Â“ ýùÄþø ´ƒÞû ¥ ,À÷ªüõ 8.6 Ûت

! Y ‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ø¢ ,ù¢‘¨ ö‘ƒ“ ‚“ ‘ú÷ ö‘ƒõ öµ“ ý ¤ Ï fft : X ! Y j 0  t  1g ‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ¥ ýù¢÷‘¡ ‚î ݃Žð ”—Þû ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

f 0 ; f1 : X

-8.6 Ûت ¤¢ .¢ª ‚›— (Óó)-8.6 Ûت ‚“ ;Àª‘“ ‚µ¨ƒ• ü›‘— ×þ

Y

ø

X

=

S1

t

‚“ ´±Æ÷ ‚î ´ê‘þ

‘¹€þ ¤¢ ;´¨ ùÀª ù¢¢ ö‘È÷ ”—Þû Âƒè ´ª‘Ú÷ ø¢ (’) ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ .Àª‘“üõ

R2

¤¢

9.6 Ûت

‚î ݃Žð ”—Þû ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

F (x; 1)

F

f 0 ; f1

!Y

´ª‘Ú÷ ø¢

= ø F (x; 0) = f0 (t) ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ F : X  Y

: f0 ' f1 ݃Æþ÷üõ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢

ö‘È÷

:X

ft (x)

‘“ ¤

F (x; t)

ö—üõ ¤ Ï ßþ .݃¨¤üõ

!Y

‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

.¢ª ‚›— 9.6 Ûت ‚“ .f1 .À€õ‘÷üõ

2 [0; 1℄ ft : X ! Y

¤ÀÖõ ý

.Óþ Â㗠1.3.6

t

f1

ø

f0

߃“ ü•—Þû ¤

Âû ý¥ ‚“ .F

F

(t)

´ª‘Ú÷

: f0 ' f1 ¤‘ʵ¡ ‚“ ‘þ

‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ‚“ ,°ƒ—— ßþ ‚“ .݃û¢üõ

142

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

.´¨

¤¢ üû¤

f1

‚“

f0

:

I

!Y

f

ü•—Þû 6 ÛÊê

ø ,ù¿ó¢ ý ó•— ý‘Ìê

= f ((1

ü±ƒî—

F (x; t)

ùø…ã“

.Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ• ,ßþÂ“‘€“ ø ´¨

F

ßþÂ“‘€“ .f1

fft j 0  t  1g

¥ ‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ¥ ýù¢÷‘¡

t)x)

‚ b Γ‘® ‘“

f

F ø

Y

R

.ñ‘·õ 2.3.6

Àƒ€î ­Âê

: I I

!Y 3 t 7! 1

‚î ¢Þ÷ ¤‘úҐ

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨

t

2

R

Y

ý‘úµª‘Ú÷ ¥

(x) = F (x; 1) = f (0) = "f (0) (x) ø f0 (x) = F (x; 0) = f (x) .F : f ' "f (0) ¤‘ʵ¡ ‚“ ‘þ ;´¨ "f (0) ø f ߃“ ü•—Þû ×þ

‘€“ ý —üÜî úÔõ ¥ (ø ó –¤ ¬ ¤¢ ,‚µ±ó) üµƒã®ø ߃€ ßþ ¥ ’‘€µ› ýÂ“ ù¢‘Ôµ¨ ƒƒç—

A

A

«Ê¿“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ‚“ ´±Æ÷ ü•—Þû ü€ãþ - ü±Æ÷ ü•—Þû

¯‘Ö÷ ¥ ×þ ºƒû ,ü•—Þû À÷ø ¤ ¤¢ ‚î ݃€îüõ ­Âê ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ .݃€îüõ .À€€îüÞ÷

!Y

:X

f0 ; f1

,À€•—Þû

X

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥

A ‚bäÞ¹õ ‚“ ´±Æ÷ f1

ø

f0

A

Àƒ€î ­Âê

.Óþ Â㗠3.3.6

݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ .À€ª‘“ ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷

: X  I ! Y ü•—Þû ×þ ‚î ´“‘™ ü€ãþ ,Àª‘“ ‚µªÀ÷ üڵƓ t ‚“ t 7! F (a; t) ‚ b Γ‘® ‘“ F (a; ) : I ! Y ´ª‘Ú÷ ,a

2A

ø ù¢“

Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

f1

ø

f0

ö‘ƒõ

F

ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .Àª‘“

8a 2 A8t 2 I ,f0

'

rel A

f1

݃Æþ÷üõ ø ´¨

A

: F (a; t) = f0 (a):

‚“ ´±Æ÷ ü±Æ÷ ü•—Þû

.F

f0 (a)

= ý a

2A

Âû ý¥ ‚“ ‘fõ ó ù‘Ú÷ ,f0

F

݃Žðüõ ,´ó‘Ÿ ßþ ¤¢

: f0 ' f1 ‘þ ø f0 ' f1 (rel A) A

'A f1 .´ª¢¢‘þ f0 jA  f1 jA Âð

¤‘ʵ¡ ‚“ ‘þ ;f1

.

ø¢ Â𐠂î ü€ãõ ßþ ‚“ ü•—Þû ,A

=

;

,Y

‚»÷‘€ ,ùø…ã“ .À€µÆû ƒ÷ ”—Þû ,À€ª‘“ ü±Æ÷ ”—Þû ´ª‘Ú÷

= f0g  ø X = I = "R2

(a)

.´¨ ü±Æ÷ ü•—Þû ¥ —üÜî ü•—Þû ,üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢

.´¨

A

4.3.6

A

‚“ ´±Æ÷ ü•—Þû ö‘Þû

‘“ ü±Æ÷ ü•—Þû ×þ 10.6 Ûت ¤¢ (1

¤¢ ü›‘— ×þ' ø .À€µÆƒ÷

A

A

= f0; 1g ,X = I

.ñ‘·õ 5.3.6 .¢ªüõ ùÀû‘Èõ

X

­Âê ‘“ 11.6 Ûت ¤¢ (2

‚“ ´±Æ÷ ü±Æ÷ ”—Þû üóø ,À€•—Þû

f1

ø

f0

ý‘úµª‘Ú÷

143

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

10.6 Ûت

11.6 Ûت

.´¨ ý¥ ¤ Ýû ,ü•—Þû ‚ b Ф ,À㓠Ý؟ §‘¨ “ ý¥ ¤ Ýû ý‚Ф ,Y ‚“

X

¥ ‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ‚ b äÞ¹õ “

'A

.Ýó 6.3.6

‚ b Ф

.´¨ ,´¨ ©¢¡ ø

f

ö‘ƒõ

A

‚“ ´±Æ÷ ü±Æ÷ ü•—Þû

F (x; t)

= f (x)

ö :–‘±™

: Â𐠐Âþ ¥ ,´Æû ƒ÷ ü÷¤‘Ö— ‚Ф ßþ .´¨ ü“‘—¥‘“ ¤ îÁõ ‚bФ ø f ' f ßþÂ“‘€“ A ‚Ф ,ù¡„‘“ .´¨ G(x; t) = F (x; 1 t) ‚bΓ‘® ‘“ G ‚î ,G : g ' f ù‘Ú÷ ,f ' g A A ö ¤¢ ‚î ,H : f ' h ù‘Ú÷ ,G : g ' h ø F : f ' g Â𐠐Âþ ¥ ,´¨ ýÀãµõ F

A

H (x; t)

=



A

F (x; 2t) F (x; 1

2

A

0  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð

2t)

.Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ• ,°Æ Ýó §‘¨ “ ø ,Àª‘“üõ

.ßþ Âޗ 7.3.6 ö‘È÷ .Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f

:

S1

!X

ø ý ó•— üþ‘Ìê

X

Àƒ€î ­Âê (1

”—Þû ´“‘™ üµª‘Ú÷ ‘“ ,ü€ãþ) ´¨ ü•—Þû œ • üµìø ‘ú€— ø üµìø

f

‚î Àƒû¢

144

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

;g

jS1 = f

´ª‘Ú÷

ü•—Þû 6 ÛÊê

g

‚î ý‚÷ð ‚“ Àȓ ‚µª¢ ¢›ø

Âð :üþ‘Þ€û¤)

Àƒ€î Óþ Âã—

t

2I

x

ø

2

.Àª‘“

S1

f

¢¡ “Â“

!

D2 X 1 S = D 2

:

:

ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,F

'f

üµª‘Ú÷ ‚î ,(´¨ ‚“ ö ÀþÀ½— ü€ãþ ø Àª‘“ ¤ îÁõ ´“‘™

g (tx)

(.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ (6)-24.2.4 ßþ Âޗ ¥ ų¨ ø ý‘û‚µ¨¢ ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ

P (x; y )

¤

'

f0;1g

y

×þ ü—¤ ¬ ¤¢

P (x; y )

6=

X

f0; 1g

‚“

X

‚“

x

¥

!X p ' q f0;1g

:I

p; q

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (.

¤¢

p(1)

X

ø ´¨ ý¥ ó•— üþ‘Ìê

ý¥ ¤Ýû ‚ b Ф ‚“ ´±Æ÷

.ÅØãó‘“ ø ;¢¤¢ ¢›ø .À€ª‘“

2

.x; y

y

x

‚“

¥

X

= F (x; t) Àƒ€î ­Âê (2

¤¢ ý‘úû¤ ¥ ý¥ ¤Ýû

ù¤ ø¢ ,ÂÚþ¢ –¤‘±ã“) .݃û¢üõ ö‘È÷ ‚î À€€îüõ É¿Èõ ¤

P (x; y ) ¥ Ìä

;

P (x; x) ø P (x; y ) Ǒ‘Ìä ö‘ƒõ ׃±Øþ ý ®‘€— ù‘Ú÷ ,

= q(0) ‘“ üþ‘úû¤ q ø p ݃€î ­Âê .0 ‚ b Γ‘® ‘“

8   s > < p t t s h(t) = > : q 1 s ´±Æ÷ p q ø h –¤ ¬ ßþ

!X

h:I

0  t  s Âð s



t1

1 Ýþ ƒð

< s <

(3

´ª‘Ú÷

Âð

¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

.݃€îüõ Óþ Â㗠¤ .À€•—Þû

.݃€îüõ Óþ Âã—

f(t)

:= f (1 t) ‚bΓ‘® ‘“ ¤ f ´ª‘Ú÷ ,f ­ø ÂÔõ ù¤ ý¥ ‚“ .f ' g  Â𐠑ú€— ø Âð f ' g Àƒ€î ´“‘™

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

g:Y

A

!Z

ø

f0

(4

A

'A f1 : X ! Y g Æ f0 ' g Æ f1 : X ! Z A

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (5

.

Æ ' Æ Æ

g0 f0 g1 A g0 ‚î Àƒû¢

Àƒ€î ´“‘™ .g0

'A g1 : Y ! Z

X

´“‘™ ¢›ø

f0

'A f1 : X ! Y

Àƒ€î ­Âê (6

!Z f 0 ' g0 Æ f1 :

ö‘È÷ ,ù¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ (5) ßþ Âޗ ¥ :üþ‘Þ€û¤) .f1 (.g0

‚“

ø

¥ ‚µ¨ƒ• ⓐ— ‚ b äÞ¹õ

F (X; Y )

Æ f1 ' g1 Æ f1

ų¨ ø

ø À€ª‘“ ý ó•— ý‘Ìê

Y

X

ø

x

Ýþ ƒð (7

.(¢ª ‚›— (4)-25.1.4 ßþ Âޗ ‚“) Àª‘“ ¥‘“-ù¢ÂÈê ý ó•— ‘“

F (X; Y )

ý‘Ìê ¤¢

g

‚“

f

¥ üû¤ ù‘Ú÷ ,f

'g : X ! Y

üê‘î ø ¥„ ¯Âª Àƒ€î ´“‘™ ;Àª‘“ é¤ øÀ¨ø‘û ø ù¢ÂÈê

X

f

f

'g :

‚î ´¨ ßþ ,Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø

é¤ øÀ¨ø‘û ø ù¢ÂÈê ‘f㮁õ

X

F (X; Y )

¤¢

g

‚“

Y

Â𐠂î Àƒ€î

Àƒ€î ­Âê

.¢¤¢

¥ üû¤ ‚Ø€þ ýÂ“

´¨ üê‘î ,¡ Ý؟ ÕÖ½— ýÂ“) .X

!Y

(.Àª‘“

145

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

´¨À“ ö—üõ ý ó•— ý‘û‘Ìê ߃“ ý¥ ¤Ýû ý‚Ф ,‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû úÔõ ¥ .¢¤ ø

‘þ ü•—Þû á÷ Ýû ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ö‘€

g

f

ø

:

g

Y

!X

ø

Y

ø

X

!Y g Æ f ' 1X : X ! X X 'Y :

f

X

.Óþ Â㗠8.3.6

ý ó•— ý‘Ìê ø¢

‚ b µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ‚î ݃Žð ”—Þû

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .

.

ø

Æ g ' 1Y

f

!Y

:Y

.ñ‘·õ 9.3.6

= ø ‚÷µ¨ C = f(x; y; z ) 2 R3 j x2 + y2 = 1 ; 1  z

‚“ ¤

i

:

!C

݃€î ­Âê

´ª‘Ú÷ .Àª‘“ ùÂþ¢

.݃€îüõ Óþ Âã—

F

 1g

f(x; y; z ) 2 R3 j x2 + y2 = 1 ; z = 0g r(x; y; z ) = (x; y; 0) r : C ! S1 : CI ! C r Æ i = 1S1 : S1 ! S1
F (x; y; z ); t = (x; y; tz ) 1C : C ! C i Æ r

S1 ,

‚ b Γ‘® ‘“

‚î À÷ª ´ê‘þ

݃Æþ÷üõ ø ݃õ‘÷üõ ü•—Þû ý¥ ¤Ýû ¤

,°ÜÎõ ßþ ù b Àû‘Èõ ýÂ“ .À€µÆû ü•—Þû á÷ Ýû ùÂþ¢ ø ‚÷µ¨

S1

¤‘ʵ¡ ‚“

–¤ ¬ ‚“ ¤

ø ýµŸ –¤ ¬

߃€»Þû ø ø

.À€îüõ ¤Âì“

‚î ´¨ ¼®ø

߃“ ü•—Þû

.‚ƒÌì 10.3.6

ø¢ ´¨ ßØÞõ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ .À€ê¤ õÿû ,”—Þû ý‘û‘Ìê

.À€ª‘“ é¤ õÿÞû ƒè ø ”—Þû ‘Ìê ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

f

:X!Y

Âð ,´¨ ”—Þû ©¢¡ ‘“ üµª‘Ú÷ Âû ö :–‘±™

–‘±™ ñø Ý؟ °ƒ—— ßþ ‚“ .f

1

Æ f = 1 X ' 1X

ø

Æf

f

1

= 1Y

' 1Y

ù‘Ú÷

.݃÷ “ ñ‘·õ ´¨ üê‘î ,ø¢ Ý؟ ý ¤Âì“ –‘±™ ýÂ“ .Àª

f

: ݃€î ­Âê

,ž®ø ‚“

F (x; t)

fyg 2

ø

ßþÂ“‘€“

t)y .F

:

2 Dn

! fyg F : Dn I ! Dn f Æ g ' 1D

.Àª‘“ ´“‘™ ´ª‘Ú÷

= tx + (1

Dn

y

.´¨ ´“‘™ ŕ ßþ ¥ ø ù¿ó¢

g

:

Dn

ø

n

1

݃€î ­Âê

fyg ,! D n g Æ f = 1fyg ' 1fyg f Æg

ø ù¢“ ýµŸ ´ª‘Ú÷

‚ b Γ‘® ‘“

n

ùø…ã“ ø

ü€ãþ ;Àª‘“üõ

1D n

ø

߃“ ü•—Þû

!À€µÆû ¢ÀãÞû Âƒè Âþ ¥ ,À€ê¤ õÿÞû Âƒè ‘Ìê ø¢ ßþ .À€•—Þû

ý‚äÞ¹õ ‘“ ‚î ݃Žð ÂþÁ• ­‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

X

ý‘Ìê

.Óþ Â㗠11.3.6

.Àª‘“ ”—Þû á÷ Ýû ý‚ÎÖ÷ ח

ö¢Âî ‚ó‘»õ ۓ‘ì ‚ÎÖ÷ ×þ ‚“ ‚î ´¨ ÂþÁ• ­‘±Ö÷ üþ‘Ìê ,ý¢úª ÂÑ÷ ‚ÎÖ÷ ¥ .À÷¤À÷ ¤ üµƒÜ“‘ì ߃€

S1 ùÂþ¢

ö üþ‘û‘Ìê .‚µÆ“ «Âì ƒÑ÷ .´¨

146

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

ü•—Þû 6 ÛÊê

.ñ‘·õ 12.3.6

f õ‘î ö ñ„Àµ¨ .´¨ ÂþÁ• ­‘±Ö÷ ’À½õ ‚ ‚ƒ±ª … b äÞ¹õ Âû ý ó•— ‘“

Rn

: ݃€î ­Âê

f

X

¥ ’À½õ üþ‘ÌêÂþ ¥

݃€î ­Âê .´¨ 10.3.6 ‚ b ƒÌì –‘±™ â“

2X ! fyg

.Àª‘“ ´“‘™ ŕ ßþ ¥ ø ù¿ó¢

–¤ ¬ ßþ ¤¢

.Àª‘“ ´“‘™ ´ª‘Ú÷

g

:

X

y

݃€î ­Âê .´¨ üóÞãõ

Æ g ' 1X

.f

­‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

r

‚î) ¤

r

X

Æ i = 1A r j A = 1A

´ª‘Ú÷ .

A

ý ó•— ý‘Ìê ¥

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

r

:

fyg ,! X g Æ f = 1fyg

ø ýµŸ ´ª‘Ú÷

.Óþ Â㗠13.3.6

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

!A

X

ø

‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ‚î ݃Žð

i

,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ;(´¨ ýµŸ ´ª‘Ú÷

!X

:

A ,

X

ýÂ“

‘¹€þ ¤¢

.݃õ‘÷üõ ­‘±Ö÷

­‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

Æ r ' 1X x2X

‚“ ;i ý

X

A

ý ó•— ý‘Ìê ¥

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

r

:X

Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

!A F

ü®‘±Ö÷ ‚î ݃Žð

X

ýÂ“ üÆþ¢Âð¢

: X  I ! X ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ .F

¤£ °ÜÎõ ßþ ÅØä

.Óþ Â㗠14.3.6

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

(x; 1) 2 A ø F (x; 0) = x .‚ƒÌì 15.3.6

.´¨ ­‘±Ö÷ ,üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ Âû

.´Æƒ÷ ´¨¤¢ üÜî ´ó‘Ÿ

.´¨

S1

 [0; 1℄

‚÷µ¨ üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷

­‘±Ö÷ ¥ µȃ“ ‚î ,´¨ ”—Þû

S1 ùÂþ¢

.ñ‘·õ 16.3.6

1X ‘“ A = S1 ‚“ ´±Æ÷ i Æ r …fÞä ,„‘“ ñ‘·õ ¤¢ !´¨ üÆþ¢Âð¢

­‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

i

Æ r 'A

X

ý ó•— ý‘Ìê ¥

A

!A F :X I !X F (x; 1) 2 A F (x; 0) = x F (a; t) = a t2I

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

r

:X

ü®‘±Ö÷ ‚î ݃Žð

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

ø

.

X

‚î ´¨

X

X

ýÂ“ ýì üÆþ¢Âð¢

1

‚ b µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ; X

ø ;

¤

.Óþ Â㗠17.3.6

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

ý

ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢

ý

Âû ø

A

2X a2A

x

Âû ý¥ ‚“ (1 Âû ý¥ ‚“ (2

,ý¢úª ÂÑ÷ ‚ÎÖ÷ ¥

.¢Þ÷ ‚ó‘»õ öµ“

A

ßµª¢ ù‘Ú÷ ´“‘™ ‘“

147

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

ÅØä .´¨ üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ,ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ Âû

.‚ƒÌì 18.3.6

.´Æƒ÷ ´¨¤¢ üÜî ´ó‘Ÿ ¤£ °ÜÎõ ßþ

.´ª¢¢‘þ 19.3.6

,"ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷' ž…¬ ý‘¹“ ⛐Âõ ü¡Â“ ¤¢

.¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨ "üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷' ž…ܐ ¥ ‚î ,Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

C1

=

C2

=

R2

¥

Y

= C1 [ C2 ‚bäÞ¹õ Âþ ¥ .ñ‘·õ 20.3.6

fx = (x1 ; x2 ) j (x1 1)2 + x22 = 1g; fx = (x1 ; x2 ) j (x1 + 1)2 + x22 = 1g: 1 X =Y f(2; 0); ( 2; 0)g

Ýû “ §‘Þõ ù b Âþ¢ ø¢ ¥ üä‘Þµ› ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“

x0 i

= (0; 0) ‚bÎÖ÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢

F (x; s)

=

ÂÔ¬ Óó‘¿õ ø

F (x; 0)

Y

,ßþÂ“‘€“

Àƒ€î ­Âê .´¨

.´¨

X

ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ×þ

: X ! fx0 g ø fx0 g ,! X : X  I ! X ü•—Þû ¥ i Æ r 'fx0 g 1X –‘±™ ýÂ“ ;r Æ i = 1fx0 g

‚î ´¨ ߪø ¤ .À€ª‘“ ´“‘™ ø ýµŸ ´ª‘Ú÷ °ƒ—µ“

F

Ûت ‚“

.

: ݃€î ­Âê ,°ÜÎõ ßþ ùbÀû‘Èõ ýÂ“ ‚ b Γ‘® ‘“

.´¨

k((1 F (x; s)

s)x1

1

s

+ ( 1)i ; (1

šÂ¿õ ý

x

k ,

s)x2 )

x

2 Ci ; i = 1; 2

2 X Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ‚›—

= x ,F (x0 ; s) = x0 ö

üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷

r

.´¨ Ճֽ— ۓ‘ì üµŸ¤ ‚“

F

.݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ üÚµ¨ƒ• .´¨

fx0 g ßþÂ“‘€“ ø i Æ r 'fx0g 1fx0 g Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,F (x; 1) = x0 .´¨ .X ýÂ“ ýì

.ßþ Âޗ 21.3.6 üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ×þ ‚î ¢¤¢ ¢›ø §ƒ“õ ¤÷ ¤¢ ýùÂþ¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1 .À€•—Þû ‚÷µ¨ ø §ƒ“õ ¤÷ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨ ¤ îÁõ ¤÷ ýÂ“ ýì ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ ‚î ´¨ ÂþÁ• ­‘±Ö÷ üµìø ‘ú€— ø üµìø

X

ý‘Ìê ‚î Àƒ€î ´“‘™ (2

.Àª‘“ ”—Þû ´“‘™ üµª‘Ú÷ ‘“

! Sn 1 Ûت ‚“ ü®‘±Ö÷ üµìø ‘ú€— ø üµìø ‚î Àƒ€î ´“‘™ 1  I ! Sn 1 Àƒ€î ­Âê :üþ‘Þ€û¤) .Àª‘“ ÂþÁ• ­‘±Ö÷ Sn 1 ‚î

¢¤¢ ¢›ø (F

:S

n

1X

r

: Dn

(3

1X ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ ø ´“‘™ üµª‘Ú÷ ߃“ ü•—Þû 1  f0g) ‚Ø€þ ƒ÷ ø ,(x; t) 7! tx ‚Γ‘® ‘“ Sn 1  I ! D n b

üãƒ±Ï ´ª‘Ú÷ ¥ ,ų¨ .Àª‘“ ‘ú€— ¥

F (Sn

(.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ ,¢¢Âðüõ ۃØȗ ‚ÎÖ÷ ×þ

148

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

ƒ÷

Y

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

Y

ü•—Þû 6 ÛÊê

‘“ ü•—Þû á÷ Ýû ø À€±Þû

X

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (4 .´¨ À€±Þû

X

üµª‘Ú÷ ‚î ݃Žð

i

: A ,! X

ýÂ“ Ӄ㮠­‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

‘¹€þ ¤¢ ‚î ;r

Æ i ' 1A

X

A

‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ (5

!A

:X

r

‚µ¨ƒ•

üó‘·õ .´¨ Ӄ㮠­‘±Ö÷ ,­‘±Ö÷ Âû ‚î ´¨ ߪø ¤ .´¨ ýµŸ ´ª‘Ú÷ .Àª‘±÷ ­‘±Ö÷ üóø ,Àª‘“ Ӄ㮠­‘±Ö÷ ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“

üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ üóø ,Àª‘“ üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“ ‚äÞ¹õ ×þ ¥ üó‘·õ (6 .Àª‘±÷ ýì

݃Žð

X

Âû ‚î ´¨ ߪø ¤ .Àª‘“ ü•—Þû ý¥ ¤ Ýû

i

:



A

ýÂ“ Ӄ㮠üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

!X

A ,

X

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ (7

ýµŸ üµª‘Ú÷ ‚î

­‘±Ö÷ ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“ üó‘·õ .´¨ Ӄ㮠üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ,üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ .Àª‘±÷ üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ üóø ,Àª‘“ Ӄ㮠üÆþ¢Âð¢

Àƒ€î ´“‘™

X

6= ;

.Y

A

ýÂ“ ü®‘±Ö÷

ø

A

X

‚î ´¨

X

,ù¢“ ý ó•— ý‘û‘Ìê

Y

Y

ø

X

Àƒ€î ­Âê (8

ýÂ“ ü®‘±Ö÷ üµìø ‘ú€— ø üµìø

A

Y

.Àª‘“

ýÂ“ ü®‘±Ö÷

A

Âð ,ü€ãþ) ´¨ ýÀãµõ "ö¢“ ­‘±Ö÷' ‚ b Ф ‚î Àƒ€î ´“‘™ (9

(.´¨

,´¨

S1

 S1

C

ýÂ“ ü®‘±Ö÷

ýÂ“ ü®‘±Ö÷

S1

A

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

 fx0 g S1  S1

C

Àƒ€î ´“‘™

?´¨ üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ‘þ .´Æƒ÷

ýÂ“ ü®‘±Ö÷

.x0

2 S1

B

ø ,B

Àƒ€î ­Âê

(10

ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ‚î ?¤ Î ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷

ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ‚î Àƒ“‘ƒ“

R2

¤¢ ýùÂþ¢ .x0

2 R2 .Àª‘“

Àƒ“‘ƒ“

X

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ .Àª‘“

.´¨

X

T

¥ ý‚ÎÖ÷ ÝÞµõ

X

ø ’ƒ—

T

ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ ø ´¨ é¤ õÿÞû

Rn+1

f0g

Àƒ€î ­Âê

R2

fx0 g

Àƒ€î ­Âê

(11

(12

8 Ûت ‘“ ‚î

Sn ‚î

Àƒ€î ´“‘™

(13

.´¨ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘Ìê ­‘±Ö÷ Âû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

(14

.´¨

ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷

149

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ü•—Þû 6 ÛÊê

‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ü•—Þû 3.6

f; g

.À€ª‘“ ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷ ֵ݃Æõ üΡ ͨ—

f (x)

ø

:

X

g (x)

!

Y

¯‘Ö÷ ý

ý‘úµª‘Ú÷ üµÆþ‘“ ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷

.f

ø Àª‘“

Rn

x

Âû ý¥ ‚“ Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™

'g

2X

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

ⓑ— :üþ‘Þ€û¤) .f

'g

ų¨ ø ‚µêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ¤ üµª‘Ú÷

f

:X

!S

n

f; g

:X

! Sn

‚î Àƒ€î ´“‘™ .f

x

7! x=kxk

Ýþ ƒð

ù‘Ú÷ ,À÷ª Ûʵõ Ýû ‚“ .Àª‘“ ”—Þû

‚î À€ª‘“ ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷

Y

ø Àª‘“

(x) 6=

Rn

g (x)

‚ b Γ‘® ‘“ (R

n

f; g : X

¥ üþ‘Ìê Âþ ¥

2X f0g ! Sn

ý

x

Y

Y

(15

¤¢

! Rn

Ýþ ƒð

(16

Âû ý¥ ‚“

1

‚ b µ¨ƒ•

Â𐠂î Àƒ€î Ճֽ— (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ ,„‘“ ¤¢ 15 ßþ Âޗ ¥

.Àª‘“üõ ”—Þû ´“‘™ üµª‘Ú÷ ‘“

f

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ‘ª• ƒè ø ‚µ¨ƒ•

150

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

7 ÛÊê ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

¤

g ¤¢ f

f (x) = g(x) ‚î À€ª‘“ X

’ÂÌܬ‘Ÿ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

¤¢ ù¤ ø¢

:¢¢Âðüõ Óþ Â㗠1.6 Ç¿“ ¤¢ À€÷‘Þû ‚î ݃÷¢üõ

(f



 g)(t) := gf((22tt) 1)

gøf

Âð

f  g ù¤ ü€ãõ ‚“

0  t  1=2 1=2  t  1

‚ b ãó‘Îõ ñ‘±÷¢ ‚“ ,´ÖƒÖŸ ¤¢ .݃€î ‚ãó‘Îõ µȃ“ ¤ ’® ßþ ‘— ݃÷Â“ Ç¿“ ßþ ¤¢ «¡ ݃û¡üõ ø ,݃µÆû

f0; 1g

‚“ ´±Æ÷ ü•—Þû ÀŸ ¤¢ ‘úû¤ ’® «¡

¤¢ .݃€îüõ žÂÎõ ¤ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð úÔõ ø ù¢¢¤Âì ü¨¤ “ ö ¢¤ õ ¤¢ ¤ ö¢“ ùø Âð .݃€îüõ ‚±¨‘½õ ¤ ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ,ý¢‘ƒ€“ ùø Â𠥐 üúþÀ“ ƒè üó‘·õ ö€ä ‚“ ,‚õ¢

‘úû¤ ’®

1.7

áø ª Óþ Â㗠×þ ‘“ .´¨ ‘úû¤ ’® üûø Â𠫐¡ ü¨¤ “ ,Ç¿“ ßþ ¥ éÀû .݃€îüõ

‚î ݃Žð ¥ ¤ Ýû

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

X

¤¢

gøf

f  g ݃Æþ÷üõ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢

.

­ø ÂÔõ ù¤ ø¢

.Óþ Â㗠1.1.7

.À€ª‘“ ü±Æ÷ ”—Þû

f0; 1g

‚“ ´±Æ÷

f0 ; f1 : I ! X Âð ,ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ .´ª¢¢‘þ 2.1.7 ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ F : X  I ! X ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ‚î À÷¥ ¤ Ýû ø¢ ö ݃Žðüõ

ü—¤ ¬ ¤¢ ,À€ª‘“ ù¤

151

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‘úû¤ ’® 1.7

f0 (1) = f1 (1) ø f0 (0) = f1 (0) (1 ø ;F (t; 1) = f1 (t) ø F (t; 0) = f0 (t) ý t 2 I Âû ý¥ ‚“ (2 .F (1; s) = f0 (1) ø F (0; s) = f0 (0) ý s 2 I Âû ý¥ ‚“ (3 .F : f0  f1 ݃Æþ÷üõ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ .¢ª ‚›— 1.7 Ûت ‚“ ;

1.7 Ûت

ý‘úû¤ ‚ b äÞ¹õ “ ý¥ ¤ Ýû ý‚Ф .݃û¢üõ ö‘È÷

ø

f0 (1)

= g0 (0)

[f ℄ ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ f

.Óþ Â㗠3.1.7

Ûõ‘ª ý¥ ¤ Ýû ‚ b µ¨¢ .´¨

X ¤¢

g1 øg0 ,f1 ,f0 Àƒ€î ­Âê .Ýó 4.1.7 .f0  g0  f1  g1 ù‘Ú÷ ,g0  g1 ø f0  f1 Âð .À€µÆû f1 (1) = g1 (0) ‘“

X

 6.3.6 Ýó §‘¨ “

¤¢ üþ‘úû¤

2.7 Ûت

‚î ,À€ª‘“

f0; 1g

G : g0  g1 ø F : f0  f1 Ýþ ƒð :–‘±™ ‚ b Γ‘® ‘“ ¤ H : I  I ! X ´ª‘Ú÷ .¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ Óþ Â㗠¥ ö‘ª¢›ø ‚“ ´±Æ÷ ý‘úƒ•—Þû

H (t; s) = H



F (2t; s) G(2t 1; s)

0  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð

F (1; s) = f0 (1) = g0 (0) = G(0; s) ö ‚î ,݃€îüõ Óþ Âã—

°Æ› Ýó ‚“‘€“ ,

H (t; 1) = ø H (t; 0) = (f0  g0 )(t) ‚î ¢ªüõ ‚ÑŸ…õ Å𢑨 ‚“

2

.´¨ ‚µ¨ƒ•

H : f0  g0 'f0;1g f1  g1 ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .(f1  g1 )(t)

.¢ª ‚›— 2.7 Ûت ‚“ .

152

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘úû¤ ’® 1.7

[f ℄

’®

,À€ª‘“

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

f (1)

= g (0)

‘“

X

¤¢ üþ‘úû¤

’® ßþ 4.1.7 Ýó §‘¨ “ .݃€îüõ Óþ Âã—

gøf

Âð

[f ℄[g ℄ := [f

.Óþ Â㗠5.1.7

 g℄

–¤ ¬ ‚“ ¤

[g ℄

¤¢

.´¨ Óþ Â㵪¡

h ø g ,f Àƒ€î ­Âê ,ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ ;´¨ ÂþÁ³µîª ‘û‚µ¨ÀÞû ’® .Ýó 6.1.7
[f ℄ [g ℄[h℄ = –¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ g (1) = h(0) ø f (1) = g (0) ‘“ X ¤¢ üþ‘úû¤
. [f ℄[g ℄ [h℄ (f

‚î ݃€îüõ ‚›— Àµ“ .




f  (g  h) (t) (f




 g)  h (t)

=

=

8 < : 8 < :

 g)  h  f  (g  h) f (4t) g(4t h(2t f (2t) g(4t h(4t

1) 1) 2) 3)

‚î ¢ª –‘±™ Àþ‘“ :–‘±™

0  t  1=4 Âð 1=4  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð 0  t  1=2 Âð 1=2  t  3=4 Âð 3=4  t  1 Âð

:¢¢ ¼ƒ®— ö—üõ Âþ ¥ ¤¢Þ÷ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ¤ ‘úû¤ ßþ üÚ÷Ú

ö—üõ ‚ãó‘Îõ ¢¤ õ ý‘úû¤ ý ±› ¼ƒ®— ýÂ“ üµŸ¤ ‚“ ‘û¤¢Þ÷ ‚÷ð ßþ ¥

1=4  t  1=2 üµìø ;Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ (f  g)  h ,…f·õ .¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ ü€ãþ) ¢¤‘Ú÷üõ [0; 1℄ ‚“ ¤ [1=4; 1=2℄ ù b ¥‘“ ‚î ,üΡ ü㓑— ‘“ Â€þ ø ݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ f Þä .݃€îüõ °ƒî— ,(t 7! 4t 1 [0; 1℄ ýø “ [1=4; 1=2℄ ¥ ý‚µ¨ƒ• ⓑ— Âû ,… .¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ ö—üõ ¤ Ñ€õ ßþ ýÂ“ ,¢¤‘Ú€“ 1 ‚“ ¤ 1=2 ø 0 ‚“ ¤ 1=4 ‚î g

¥ ,

f  (g  h) ø (f  g)  h ߃“ ýü•—Þû ‚bƒú— ýÂ“ 3.7 Ûت ¥ ù b ¥‘“ “ f ⓑ— ¥ ,ù¿ó¢ s 2 [0; 1℄ Âû ý¥ ‚“ .¢Þ÷ b ¥‘“ “ g ⓑ— ¥ ,[0; (s + 1)=4℄ ù ¤‘Ø“ ‘“ .݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ [(s + 2)=4; 1℄ ù b ¥‘“ “ h ⓑ— ¥ ø [(s + 1)=4; (s + 2)=4℄ :݃¨¤üõ Âþ ¥ Ûت ‚“ F : I  I ! X Óþ Â㗠‚“ ,„‘“ ¤¢ žø ÂÈõ ©ø ¤ ý ƒð

ù¢‘Ôµ¨ ö—üõ

F (t; s) =

8 > > > > > < > > > > > :

4t  s+1 g(4t s 1)  4t s 2  h 2 s

f



0  t  s + 1 Âð 4 s+2 s+1 Âð  t 4 4 s+2  t  1 Âð 4 153

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‘úû¤ ’® 1.7

ùø…ã“ ø ´¨ ‚µ¨ƒ•




F (t; 0) = (f  g)  h (t);
F (0; s) = f (0) = (f  g)  h (0);

2

F

ⓑ—




F (t; 1) = f  (g  h) (t);
F (1; s) = h(1) = f  (g  h) (1): .Àª‘“üõ ÂÑ÷ ¢¤ õ ü•—Þû

F

,ßþÂ“‘€“

.6.1.7 Ýó ‚“ ¯“ Âõ :3.7 Ûت

ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ .´¨ ý‘û‚µ¨ÀÞû ’® ü·€¡ ¬‘€ä ‚“ ´“÷ ׀þ ø

["x ℄[f ℄ =

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

X

¤¢

y ‚“ x ¥ üû¤ f

.Ýó 7.1.7

Àƒ€î ­Âê

[f ℄["y ℄ = [f ℄

.

"x  f  f ø f  "y  f ‚î ¢ª –‘±™ Àþ‘“ :–‘±™ ‚ b Γ‘® ‘“ ¤ F : I  I ! X ´ª‘Ú÷ .Àƒ€î ùÀû‘Èõ ¤ 4.7 Ûت .݃€îüõ –‘±™

¤ ø¢ Ý؟ ‘ú€— ,‚“‘È— Ûƒó¢ ‚“ .

F (t; s) =

ü•—Þû

2

8 > <

x

> :

f

 2t

1 + s s+1

0  t  1 s Âð 2 1 s  t  1 Âð 2

F ø F (t; 1) = f (t) ,F (t; 0) = ("x  f )(t) –¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“üõ

² ü·€¡ ý¤¢ ý Âʀä Âû ,„‘“ Ýó §‘¨ ’ ‚î ¢ª ‚›—

.݃€îüõ Óþ Âã—

f0; 1g

‚“ ´±Æ÷ ü±Æ÷

.´ª¢¢‘þ 8.1.7

‚“ ù¤ ‚î À÷“Â“ ü·€¡ ø¢ ßþ ü—¤ ¬ ¤¢ ‘ú€— .´¨ ¢¡ ‚“ «Ê¿õ ´¨¤ ü·€¡ ø .´¨ ù¢Þ÷ áø ª ö ¥ ‚î À“‘ƒ“ ö‘þ‘• ý‚ÎÖ÷

154

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘úû¤ ’® 1.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

.7.1.7 Ýó ‚“ ¯“ Âõ :4.7 Ûت

¤ ø¢‘þ .݃“‘ƒ“ ý¥ ¤ Ýû ÀŸ ¤¢ ø ¢›ø –¤ ¬ ¤¢ ¤ ‘úû¤ öø ¤ø ݃û¡üõ ö‘þ‘• ¤¢ Óþ Âã—

f(t)

:=

f (1

t)

–¤ ¬ ‚“ ¤

.(ßþ Âޗ)

[f℄[f ℄ =

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

X

f öø ¤ø ,f

­ø ÂÔõ ù¤ ýÂ“ ‚î Ýþªüõ

f  g Â𐠑ú€— ø Âð f ¤¢

y ‚“ x ¥ üû¤ f

 g ‚î ¢ª ‚›— .݃€îüõ

Àƒ€î ­Âê

.Ýó 9.1.7

.[f ℄[f℄ = ["x ℄ ø ["y ℄ ¤ ñø Ý؟ ‘ú€— ,‚“‘È— Ûƒó¢ ‚“ .

(f  f)(t) =

üÏ öø ¤ø ´ú› ‘“ ,Ýþ¢Âð“

x

8 > <

 "y ø f  f  "x ‚î ¢ª –‘±™ Àþ‘“ :–‘±™ ¥ ´¨ –¤‘±ä f  f ¤ .݃€îüõ –‘±™ 0  t  1 Âð 2 1  t  1 Âð 2

f (2t)

> : f(2t

f

f  f

1) = f (2 2t)

ù¤ Ûî ,ö ø¢ ‚ b ރ÷ ¤¢ ø

‚“ ų¨ ø ݃¨Â“

y

‚“ ,ù¢Âî áø ª

x

f

ù¤ Ûî ,ù¤ ßþ ¥ ñø ‚ b ރ÷ ¤¢

¥ ‚Ø€þ ¥ ö‘€ƒÞϐ ýÂ“

.¢ªüõ

Âû ý¥ ‚“ Âð ñ‘Ÿ .(ý¢‘ä ´ä¨ “Â“ ø¢ ,ü€ãþ) Ýþù¢Þ÷ ’‘¿µ÷ 2 ¤ ö‘Þµä¨

s ‘“ °¨‘€µõ ¤ ´ä¨ ,ù¿ó¢ s 2 [0; 1℄ ‚“ ų¨ ø ¢ø ¤üõ f (2(1 s)) ‚“ ‚î Ýþ ¤¢ x ¥ áø ª ‘“ ù¤ ×þ ý s 2 [0; 1℄ ßþÂ“‘€“ .݃¨¤üõ "x ‚“ s = 1 ý¥ ‚“ ø f  f ‚“ s = 0 ý¥ ‚“ .¢¢Âðüõ ¥‘“ x ‚ b Γ‘® ‘“ ¤ F : I  I ! X Âû ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢

F (t; s) =

.Ýþ ƒړ

1

8 > <

f 2t(1 s)

> :

f 2(1 t)(1 s)







1 0  t  Âð 2 1  t  1 Âð 2

155

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‘úû¤ ’® 1.7

ø ´¨ ‚µ¨ƒ•




F (t; 0) = f  f (t);
F (0; s) = f (0) = f  f (0);

2

F

ž®ø ‚“ .݃€îüõ Óþ Âã—

F (t; 1) = f (0) = "x (1);
F (1; s) = f (0) = f  f (1): .´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø

f  f ߃“ Âþ ¥ žÂª ‚“ G : I  I

!X

F : f  f  "x ßþÂ“‘€“

.´ª¢¢‘þ 10.1.7

ý ÂÚþ¢ ü•—Þû

:¢¤¢ ¢›ø

G(t; s) =

‘“ °¨‘€µõ ,´¨ ¥„

8 > > > > < > > > > :

f

f (2t)

f (1 s)

f (2 2t)

"x ø

0  t  1 s Âð 2 1 s  t  1 + s Âð 2 2 1 + s  t  1 Âð 2

ù¤ üÏ ýÂ“ ‚î ü÷‘õ¥

s)=2 ýÂ“ ,ŕ .Àª‘“üõ 1 s ´ÞÆì (1 + s)=2 ýÂ“ ù‘Ú÷ ø ݃€îüõ ±¬ f (1 s) ‚bÎÖ÷ ¤¢ ,ų¨ ;݃€îüõ f  f  f ´ª‘Ú÷ ,s = 0 üµìø ,ßþÂ“‘€“ .݃€îüõ f ù¤ ¥ ´È𥑓 é¬ ¤ ö‘Þµìø ,¡ .݃“‘þüõ ´¨¢ "x ‚“ ü€ãþ ;݃µÆû x ¤¢ ´ìø ‘Þ— ,s = 1 üµìø ø Ýþ ¤¢ ¤

¢Àµõ ¤¢ ´îŸ é¬ ¤ ö‘Þµìø ñø ´ÞÆì

(1

.´¨ ߃€ ´ª‘Ú÷ ßþ žÂÏ ù b Àþ

‘ú÷ ߃“ ’® ø ‘ûƒÆõ ¥ ý¥ ¤ Ýû ý‘û‚µ¨¢ ‚ b ãó‘Îõ ‚“ ÂÚþ¢ ¤‘“ ,ýÀ㓠ÛÊê ¤¢ .Ýþ ¥¢Â•üõ

.ßþ Âޗ 11.1.7

g(1) = ø f (1) = g(0) ‘“ X ý ó•— üþ‘Ìê ¤¢ h ø g ,f ù¤ ‚¨ ¥ üó‘·õ 6 f  (g  h) ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“ h(0) (f  g )  h = ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“ ƒ÷ üó‘·õ .(f  g )  h = .f  (g  h) .Àƒ€î ‚õ‘ì

"f (0)  f

 f  "f (1)

ýÂ“ ֵ݃Æõ ü—‘±™ (2

h(1) = 1 ø h(0) = 0 ‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ h : I ! I ø ù¢“ X ¤¢ üû¤ f Ýþ ƒð .f  f Æ h ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .Àª‘“ f

‚î ,Àþ ¤ ø‘ƒ“

f

 "x  f

(1

(3

ýÂ“ ֵ݃Æõ ü—‘±™ ,„‘“ ¤¢ 3 ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (4 .´¨

x ¤¢ ¥‘è ‘“ üû¤

156

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‘úû¤ ’® 1.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

.À€ª‘“ íµÈõ ö‘þ‘• ø

x ¥ íµÈõ áø ª ‘“ X ¤¢ üþ‘úû¤ f; g : I ! X Ýþ ƒð .f  g   "x ‚î f  g üµìø ‘ú€— ø üµìø Àƒ€î ´“‘™

h(1) = 0 ø h(0) = 1 ‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ h : I ! I ø ù¢“ X ¤¢ üû¤ f Ýþ ƒð .f  f Æ h ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .Àª‘“ f2 ø f1 ý‘úû¤

.Àª‘“ ù¤

f :I

! X 0 = t 0  t1  t2 = 1 ø

(5

(6

Àƒ€î ­Âê (7

:݃€îüõ Óþ Â㗠Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“ ¤







f1 (t) = f (1 t) t0 + t t1 ; f2 (t) = f (1 t) t1 + t t2 : (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ ,„‘“ ¤¢ 3 ßþ Âޗ ¥ :üþ‘Þ€û¤) .f1  f2  f Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ ù¤

f :I

! X 0 = t 0  t1  t2 


 t q ø

1 Àƒ€î ­Âê

(8

f2 ,f1 ý‘úû¤ fi (t) = f (1 t) ti 1 + t ti ; ; i = 1; 2;


; q .[f ℄ = [f1 ℄[f2 ℄


[fq ℄ Àƒ€î ´“‘™ :݃€îüõ Óþ Â㗠Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“ ¤




fq ø

=

. . . ,

V ø U ‚î ,X = U [V ø Àª‘“ ý ó•— üþ‘Ìê X Àƒ€î ­Âê –¤ ¬ ‚“ ¤ [f ℄ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ X ¤¢ üû¤ f Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ .À÷¥‘“ ‘fõ‘Þ— üû¤ ‘û fi ¥ ×þ Âû ö ¤¢ ‚î ,´ª÷ ö—üõ [f ℄ = [f1 ℄[f2 ℄


[fq ℄ 1 (U ); f 1 (V )g ¥‘“ Ǫ• :üþ‘Þ€û¤) .´¨ V ¤¢ ‘fõ‘Þ— ‘þ ø U ¤¢ ¤ I ¥ ff 1 (V ) ø f 1 (U ) ų¨ ,‚µêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ý‘ûù¥‘“ ¥  ¹õ üä‘Þµ› –¤ ¬ ‚“ ¤ f (7)-25.1.4 ßþ Âޗ ¥ ‚Ø€þ ‘þ ;Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ I üð¢ÂÈê ¥ ų¨ ø ÀƒÆþ€“ ¥‘“ üþ‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥

(9

(.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ ,„‘“ ¤¢ 8 ßþ Âޗ ¥ ¡ ¤¢ .Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨

h : (0; 1) ! (0; 1) Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (1 ߃€ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .f j(0;1) = h ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ f : [0; 1℄ ! [0; 1℄ ´¨ ‚µÆ“ (0; 1) = Int(I ) ¤¢ ‚î (0; a℄ ù b ¥‘“ ‚“ :üþ‘Þ€û¤) .´¨ ‘µØþ ý f

ø b ‚î ,´¨ [ ; 1) ‘þ (0; b℄ Ûت ‚“ h((0; a℄) ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ø ù¢Þ÷ ‚›— üÞÆƒê¤ õÿÞû ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

(.À€µÆû

h(I )

.

=

I

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

h

:

I

!I

(10

1 ø 0 ߃“ ýÀä

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (2

(.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ ýÀ€±Þû ¥ :üþ‘Þ€û¤)

g : I ! g(I ) ø f : I ! f (I ) ‚î À€ª‘“ X ¤¢ üþ‘úû¤ g ø f Àƒ€î ­Âê (3 .f  g  ‘þ f  g ù‘Ú÷ ,f (I ) = g (I ) Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .À€µÆû ÝÆƒê¤ õÿÞû (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ ßþ Âޗ ߃Þû ¥ 2 ´ÞÆì ¥ :üþ‘Þ€û¤)

157

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‘úû¤ ’® 1.7

f : Int(I ) ! f (Int(I )) ‚î À€ª‘“ X ¤¢ ‚µÆ“ üþ‘úû¤ g ø f Àƒ€î ­Âê (4 f (I ) = g(I ) Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .À€µÆû ÝÆƒê¤ õÿÞû g : Int(I ) ! g(Int(I )) .f  g  ‘þ f  g ù‘Ú÷ ,f (I ) = g (I ) ø ø

158

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

2.7

ù¤ ø¢) ‘úû¤ ¥ ý¥ ¤Ýû ý‘û‚µ¨¢ ‚ b äÞ¹õ ¤¢ ’® ÛÞä ‚î ÝþÀþ¢ Û±ì Ç¿“ ¤¢ ñ¬ ¤¢

X ö üþ‘Ìê ¤¢ (À€ª‘“ ”—Þû f0; 1g ‚“ ´±Æ÷ ‚î À÷¥ ¤Ýû ü—¤ ¬ ¤¢

­ø ÂÔõ ù¤ ø¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ ´¨ ßØÞõ ‚î ´¨ ßþ ‚ó‘bÆõ .¢¤¢ ëÀ¬ ùø Âð ‚ b 䁮õ ‘fŸ…ܐ ,À€îüõ ƒƒç— ,ÂÚþ¢ b ‚ÎÖ÷ ‚“ ý‚ÎÖ÷ ¥ ü÷‘Þû Âʀä ߃€»Þû ø ¢¢ÂÚ÷ Óþ Â㗠¤¢ üúµ÷ ø Àµ“ ‘“ ø) ‚µÆ“ ý‘úû¤ ¥ ‘ú€— ,ÛØÈõ ø¢ ßþ “ ‚±Üè ýÂ“ !´¨ ¤ ø‘€ª :݃€îüõ Óþ Â㗠§‘¨ ßþ “ .݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ (­ø ÂÔõ ‚ b ÎÖ÷ ×þ

f (0) = f (1) ‚î ݃Žð ‚µÆ“

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

ü—¤ ¬ ¤¢ .

.݃Žðüõ ƒ÷ ‚Öܟ

¤ ‚µÆ“ ù¤ .݃õ‘÷üõ

f

‚ b þ‘•

¤

f

.Óþ Â㗠1.2.7

ù¤

x ‚bÎÖ÷ ,f (0)

= f (1) =

x ‚î

(X; x) ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ x 2 X ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ ‚bµÆ“ ý‘úû¤ ¥ ý¥ ¤ Ýû ý‘û‚µ¨¢ ‚bÞû ‚bäÞ¹õ .݃û¢üõ ö‘È÷

[f ℄[g ℄ = [f

ùø Âð ,

 g℄

’® ÛÞä ‘“ ùÂÞû

(X; x) ‚bäÞ¹õ .‚ƒÌì 2.2.7 .Àû¢üõ ۃØȗ

ÂÊ€ä ‚î °ÜÎõ ßþ ƒ÷ ø Û±ì Ç¿“ ¥ 7.1.7 ø 6.1.7 ‘ØŸ ‚“ ‚›— ‘“ :–‘±™

2

.´¨ üúþÀ“ Ý؟ ,Àª‘“üõ

.݃õ‘÷üõ

["x ℄ ù¤Þû ø ´Æƒ÷ ¤ ø‘€ª ÂÚþ¢ ü·€¡

x ‚bÎÖ÷ ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ X ý¢‘ƒ€“ ùø Âð [f ℄ 1 = [f℄

ý ÂþÁ³µîª ‚“ ‚›— ‘“ ,ùø…ã“ . üó‘Ÿ ¤¢ .¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨

¤

(X; x) .Óþ Â㗠3.2.7

‚î ¢ª ‚›—

.´ª¢¢‘þ 4.2.7

[f ℄[g ℄[h℄ ¥ ö—üõ ([f ℄[g ℄)[h℄ ý‘¹“ , (X; x) ¤¢ ’® ÛÞä

.À€—ø‘Ôµõ °Üè

f  (g  h) ø (f  g)  h Âþ ¥ ,´¨ ü€ãõ ü“ f  g  h ‚î .ßþ Âޗ 5.2.7

x ‚bÎÖ÷ Âî£ (X; x) ¤¢ Â

(1

(X; x) = ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆÆð ý¥ ó•— ‘“ üû‘€µõ üþ‘Ìê X Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷

(2

?´¨ üõ ó

1

.

üþ‘Öó ý¥ ó•— ‘“ Íܵ¿õ ¢Àä ‚ b äÞ¹õ

Q

‚î ,Àþ ¤ ø ´¨À“ ¤

.(´¨ ùÀª ­Âê ¢¤À÷‘µ¨

R

(Q ; 0) ùø Âð

“ ý ó•—) Àª‘“üõ

R

(3

¥

159

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

g ø f Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ .Àª‘“ (X; x) = 1 ‘“ üþ‘Ìê X Ýþ ƒð :üþ‘Þ€û¤) .f  g ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ f (1) = g (1) ø f (0) = g (0) = x ‘“ X

¤¢ üþ‘úû¤ ¥

(4

(.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ (5)-11.1.7 ßþ Âޗ

ÂÚõ ,¢¤À÷ ¢›ø

(X; y) ø (X; x)

߃“ ¯‘±—¤ ¢›ø ýÂ“ ýüÜî Ûƒó¢ ºƒû

y ‚“ x ¥ üû¤ ‚Ø÷

.´ê‘þ öµ“ ,Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø

y ‚“ x ¥ X

x; y 2 X Ýþ ƒð .‚ƒÌì 6.2.7 .À€ê¤ õø þ  (X; y ) ø  (X; x) ý‘úûø Âð ù‘Ú÷

¤¢ üû¤ Âð .

x ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ ý‚µÆ“ ù¤ g Âð .Àª‘“ y ‚“ x ¥ üû¤ f Ýþ ƒð :–‘±™ (X; x) ! ´ª‘Ú÷ ßþÂ“‘€“ .¢“ Àû¡ y ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ ‚µÆ“ üû¤ (f  g)  f ‚ b Γ‘® ‘“  (X; y )

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

uf :


uf [g ℄ := [f ℄ 1 [g ℄[f ℄ = [(f  g )  f ℄

uf

Âþ ¥ ,´¨ ‘úûø Âð ߃“ ÝÆƒê¤ õÞû

.݃€îüõ Óþ Â㗠¤

uf ([g ℄[h℄) = uf ([g  h℄) = [f℄[g  h℄[f ℄ = [f℄[g ℄[h℄[f ℄ = [f℄[g ℄:([f ℄[f℄):[h℄[f ℄ = ([f℄[g ℄[f ℄):([f℄[h℄[f ℄) = uf ([g ℄):uf ([h℄): ‚ b Γ‘® ‘“

uf :

(X; y)

! (X; x)

x ‚“ y

´ª‘Ú÷ ‚“ ,

(uf Æ uf)([g ℄) = [g ℄ ‚î ¢¢ ö‘È÷ ¢ªüõ üµŸ¤ ‚“

.

2

ý

f ù¤ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ñ‘Ÿ

¥

.݃¨¤üõ

uf([h℄) = [(f  h)  f℄

.Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õø þ Áó ø ´¨ üþ¨ ø¢

x; y

2X

Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû .À€ê¤ õø þ

ùø Â𠥐 ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû ö ‘õ

(X )

.

X

X

Âð

uf

ßþÂ“‘€“

.‚¹ƒµ÷ 7.2.7

(X; y) ø (X; x) ý‘úûø Âð

‚î ü—¤ ¬ ¤¢ ,„‘“ Ý؟ ‚“ ÂÑ÷

.Óþ Â㗠8.2.7

:¢Þ÷ ý ¤¢¢¡ ‚þ‘• ‚ b ÎÖ÷ Âî£ ¥ ø ´Ôð ß¿¨ ö—üõ

f Þä .݃€îüõ ý ¤¢¢¡ ö éÁŸ ¥ ,¢¤À÷ ¢›ø … ùÀ€þ ¤¢ .´¨ üõ ó 6.2.7 ‚ b ƒÌì ¤¢ üû¤ À€±Þû ­Âê

X

ý¢‘ƒ€“

y ‚“ x ¥ É¿Èõ üû¤ .´ª¢¢‘þ 9.2.7

üêÂãõ ö‘Øõ ,¢¢Âðüõ üêÂãõ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ‚ b ±¨‘½õ «Ê¡ ¤¢ ý µȃ“ –‘÷‘Øõ ‚î .À€ê¤ õø þ ƒè

(X; y) ø (X; x) Óܵ¿õ ý‘û x; y 2 X ý¥ ‚“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø üó‘·õ 160

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

.ßþ Âޗ 10.2.7

y

x ¥ g ø f ý‘úû¤ Àƒ€î ´“‘™ ü€ãþ) À€€îüõ Óþ Â㗠 (X; y ) ‚“  (X; x) ,G ­ø ÂÔõ ùø Âð Z (G) îÂõ :üþ‘Þ€û¤) .Àª‘“ ÕÜãµõ  (X; x) (.¢¢Âðüõ Óþ Â㗠Z (G) := fa 2 G j 8 b 2 G : ab = bag

¥ ü÷‘ÆØþ ÝÆƒê¤ õø þ üµìø ‘ú€— ø üµìø îÂõ ‚“ [g  f℄ ÂÊ€ä ‚î ,(uf = ug –¤ ¬ ‚“

x ¥ f

ù¤ ͨ— ùÀª É¿Èõ ÝÆƒê¤ õø þ

ùø Âð ‚î ´¨

f

‚“

uf :  (X; x)

’‘¿µ÷ ¥ ÛÖµÆõ üµìø ‘ú€— ø üµìø

uf

! (X; y)

(1

Ýþ ƒð (2

y ‚“ .Àª‘“ üܓ  (X; x)

Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“

.Ýþ ¥¢Â•üõ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð “ ‚µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ ƒ™‘b— ‚ b ãó‘Îõ ‚“ ‚õ¢ ¤¢

':X!Y

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ .´¨

Y

¤¢ üû¤

'Æf

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

'Æf

.

¤¢ ‚ b þ‘• ‘“ ‚µÆ“ üû¤

'Æf

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

x

Ýþ ƒð

2X

X ¤¢ üû¤ f

'Æg

2 (X; x) ' : (X; x) ! [f ℄

f  g Âð

¤¢ ‚ b þ‘• ‘“ ‚µÆ“ üû¤

' ,À㓠Ýó ‚“ ÂÑ÷

f

(2

Âð (3

'(x) 2 Y

.Óþ Â㗠12.2.7

Âû ý¥ ‚“ ,11.2.7 Ýó ‚“ ‚›— ‘“

ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ

Âð (1

ù‘Ú÷ ,

.Àª‘“üõ

,ý

.Ýó 11.2.7

(Y; '(x)) ‚“ ÕÜãµõ ø Óþ Â㵪¡ [' Æ f ℄ Âʀä

.¢Þ÷ Óþ Â㗠ö—üõ

' ([f ℄) := [' Æ f ℄ –¤ ¬ ‚“ ¤ (Y; '(x)) .݃õ‘÷üõ

' ͨ— üþ‘Öó ´ª‘Ú÷

.´¨ ‘úûø Âð ߃“ ÝÆƒê¤ õÞû

¤

' .Ýó 13.2.7

´ÖƒÖŸ ¤¢ .´¨ ù¢‘¨ ¤‘ƒÆ“ :–‘±™

' ([f ℄:[g℄)

=

' ([f  g℄) = [' Æ (f  g)℄

= [(' Æ f )  (' Æ g )℄ = [' Æ f ℄:[' Æ g ℄ =

' ([f ℄):' ([g℄) 161

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

2

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø

.Ýþ ¤‘³¨üõ ùÀ€÷¡ ‚“ ßþ Âޗ ö€ä ‚“ ø ,À€—‘±™ ۓ‘ì üµŸ¤ ‚“ ýÀ㓠‘ØŸ

.‚ƒÌì 14.2.7 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À÷‚µ¨ƒ•

:

Y

!Z ':X!Y ø

ý‘úµª‘Ú÷ Àƒ€î ­Âê (1

(' Æ ) = ' Æ

.

“ ü÷‘Þû ÝÆƒê¤ õÞû

1

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷

1:X

!X

.´¨

‚“ .À€ê¤ õø þ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ý¤¢ ,é¤ õÿÞû ý‘û‘Ìê

' : (X; x) ! (Y; '(x)) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû ' : X

 Âð (2

'(X; x)

.‚¹ƒµ÷ 15.2.7

!Y

Âð ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“

.´¨ Ýƃꣁõø þ

ýÂ“ ýÀ÷ø ¤ ,ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚ b ±¨‘½õ ,„‘“ ‘ØŸ ‚“ ÂÑ÷

.´ª¢¢‘þ 16.2.7

üÚ÷Ú üêÂãõ ýÂ“ °¨‘€õ ý‚÷Þ÷ ßþ .Àª‘“üõ ±› ù b ¥ Ÿ ‚“ ý ó•— Ûþ‘Æõ ñ‘Öµ÷ ý ó•— ¥ ¤ Ûþ‘Æõ ý ±› ý ó•— ¤¢ ,âìø ¤¢ .Àª‘“üõ ý ±› ý ó•— ¤¢ ÛÞä Û¬‘Ÿ b ‚¹ƒµ÷ ¥ ų¨ ø ,݃û¢üõ ¤Âì ü¨¤ “ ¢¤ õ ±› ¤¢ ¤ ö ,ù¢Þ÷ ÛÖµ€õ ±› ‚“ Âþ ¥ žÂª ‚“ ü—‘ʵ¿õ ý¤¢ ,À÷ø ¤ ßþ

.Ýþ “üõ ùÂú“ ý ó•— Ûþ‘Æõ ۟ ýÂ“ :´¨

,(‚þ‘• ö€ä ‚“ ö ¥ ù¿ó¢ ‚ b ÎÖ÷ Âû ý¥ ‚“ ø) ý ó•— ý‘Ìê Âû ý¥ ‚“ (1 .Ýþ ¤¢ ¤‘ƒµ¡ ¤¢ (ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‘€“) üûø Âð

ÝÆƒê¤ õÞû ‘€“) üÞÆƒê¤ õÞû ,ý ó•— üþ‘û‘Ìê ߃“ ‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ Âû ý¥ ‚“ (2 .Ýþ ¤¢ ¤‘ƒµ¡ ¤¢ ‘ú÷‚“ ƒÑ÷ ý‘úûø Âð ߃“ (üþ‘Öó

.À€îüõ Ǒ‘Öó ¤ ‚ρ“ Âõ ý‘úÞÆƒê¤ õÞû °ƒî— ,üþ‘Öó ý‘úµª‘Ú÷ °ƒî— (3

.À€îüõ Ǒ‘Öó ¤ ü÷‘Þû ÝÆƒê¤ õÞû ,ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ (4

.À€€îüõ Ǒ‘Öó ÝÆƒê¤ õø þ ,‘úÞÆƒê¤ õÿÞû (5

162

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ,é¤ õÿÞû ý‘û‘Ìê ,15.2.7 ‚ b ¹ƒµ÷ §‘¨ “ ‚î ¢ª ‚›— ùø Âð ´¨ ßØÞõ' Àû¢üõ ö‘È÷ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ü÷øÂê ý‘úó‘·õ üóø ,À÷¤¢ é¤ õø þ Âð ,ñ‘Ÿ ßþ ‘“ ."À€ª‘±÷ é¤ õÿÞû ‘Ìê ø¢ ö ‘õ ,À€ª‘“ é¤ õø þ ‘Ìê ø¢ ý¢‘ƒ€“ ø¢ ö ‘fÞµŸ ‚î ´êÂ𠂹ƒµ÷ ö—üõ ,À€ª‘±÷ é¤ õø þ ­ø ÂÔõ ý‘Ìê ø¢ ý¢‘ƒ“ ùø Âð .À€ê¤ õÿÞû Âƒè ‘Ìê ,Àª‘“ ‚µª¢ ¤ „‘“ ¤¢ ¤ îÁõ 5 ‘— 1 «¡ ‚î ý Âґ€—

 ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚b±¨‘½õ ,ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“

ý ¤ Ú—‘î ¥ ý ¤ µØ÷‘ê ,

 : T OP ! GRO

.

.´ª¢¢‘þ 17.2.7

:Àª‘“üõ

ý µõ ý‘û‘Ìê ý ¤ Ú—‘î ¥

M

GRO

‘ûø ø Âð ý ¤ Ú—‘î ‚“

.¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ ¤ µØ÷‘ê

T OP

ý ó•— ý‘û‘Ìê

¤ µØ÷‘ê ö—üõ ,¤ µØ÷‘ê ¥ ÂÚþ¢ ý‚÷Þ÷ ö€ä ‚“

,­ø ÂÔõ ý µõ ý‘Ìê Âû ‚“ ‚î ,¢Â“ ‘÷

T OP

ý ó•— ý‘û‘Ìê ý ¤ Ú—‘î ‚“

MET

´±Æ÷ ¤ ´ª‘Ú÷ ö ¢¡ ,´ª‘Ú÷ Âû ‚“ ø ;Àû¢üõ ´±Æ÷ ¤ ö “ ý ó•— ¤‘µ¡‘¨ .Àû¢üõ

.ßþ Âޗ 18.2.7

' ´ª‘Ú÷ ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“ ' : X ! Y ׃±Øþ ø ‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ¥ üó‘·õ 2 1 (. (D ; x) = 1 ø  (S ; x) = Z Àƒ€î ­Âê :üþ‘Þ€û¤) .Àª‘±÷ ׃±Øþ ,ö

‚“ ƒÑ÷

,ö ‚“ ƒÑ÷

' ´ª‘Ú÷ ‚î Àþ ¤ ø‘ƒ“ ' : X ! Y

(1

‘ª• ø ‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ¥ üó‘·õ (2 .Àª‘±÷ ‘ª•

y ‚“ x ¥ üû¤ f ø Àª‘“ ‚µ¨ƒ• ' : X ! Y ´ª‘Ú÷ Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ u'Æf ø uf ‚î ,' Æ uf = u'Æf Æ ' :  (X; x) !  (Y; '(y )) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ý‘úûø Âð ö‘ƒõ ' Æ f ø f °ƒ—µ“ ý‘úû¤ ͨ— ùÀª É¿Èõ ý‘úÞÆƒê¤ õø þ X

¤¢

(3

.À€ª‘“üõ ý¢‘ƒ€“

x0 2 X ø À€µÆû ý ó•— ý‘û‘Ìê Y ø X Àƒ€î ­Âê (X; x0 ) ¥ ü÷‘ÆØþ ÝÆƒê¤ õÞû ü—¤ ¬ ¤¢ '(x0 ) = (x0 ) ‘“ ; ' : X ! Y .À€ª‘“ ”—Þû x0 ‚“ ´±Æ÷ ø ' ‚î À€€îüõ É¿Èõ  (Y; '(x0 )) ‚“ ý‘úµª‘Ú÷ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .

r : X ! A ­‘±Ö÷ ´ª‘Ú÷ ‘“ X ýÂ“ ü®‘±Ö÷ A Àƒ€î ­Âê ÝÆƒê¤ õ€õ i :  (A; a) !  (X; a) Àƒ€î ´“‘™ .a 2 A ø Àª‘“üõ i : A ,! X r : (X; a) ! (A; a) ´ª‘Ú÷ ø ;(Àª‘“üõ ׃±Øþ ÝÆƒê¤ õÞû ,ü€ãþ) ´¨ ýµŸ ´ª‘Ú÷ ø

(4

(5

.(Àª‘“üõ ‘ª• ÝÆƒê¤ õÞû ,ü€ãþ) ´¨ ÝÆƒê¤ Þƒ•

163

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

(X; a) ¥ ñ‘õÂ÷ üûø ÂðÂþ ¥ i ((A; a)) Àƒ€î ­Âê ,„‘“ ßþ Âޗ ¤¢ –‘®ø ÂÔõ ‘“ Image(i ) := ý‘úûø ÂðÂþ ¥ ֵ݃Æõ ’ÂÌܬ‘Ÿ  (X; a) Àƒ€î ´“‘™ .´¨ 1 .Àª‘“üõ Kernel(r ) := r (["a ℄) ø i ( (A; a)) a 2 A ø Àª‘“ X ýÂ“ ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ A Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ i : (A; a) ! ÝÆƒê¤ õø þ Ǒ‘Öó °›õ i : A ,! X ýµŸ ´ª‘Ú÷ ,–¤ ¬ .¢ªüõ  (X; a)

ßþ ¤¢ ,

2X

x0

,

' : X ! X Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨ ÝÆƒê¤ õø þ ' :  (X; x0 ) !  (X; '(x0 )) ´ª‘Ú÷ ù‘Ú÷

ø Àª‘“

:üþ‘Þ€û¤)

'

' 1X

‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

(6

(7

(8

(.Àƒ€î ‚›— 19.2.7 ‚ b ƒÌì –‘±™ ‚“ ,ÀþÀª ¤‘‘÷ Âð

.Àª‘“ üõ (4)-15.4.7 ßþ Âޗ ݃Þ㗠ýÀ㓠Ý؟

' ' ,‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷ ; ' : X ! Y Ýþ ƒð .‚ƒÌì 19.2.7 ø ,f (t) = F (x0 ; t) ‚ b Γ‘® ‘“ ù¤ f : I ! X ݃€î ­Âê .Àª‘“ x0 2 X ø ü•—Þû –¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“  (Y; (x0 )) ‚“  (X; x0 ) ¥ f ù¤ ͨ— üŽ‘Öó ÝÆƒê¤ õø þ uf  : (X; x0 ) ! ø ' : (X; x0 ) ! (X; '(x0 )) üŽ‘Öó ý‘úÞÆƒê¤ õÞû .À÷¤¢ ëÀ¬  = uf Æ ' ‚bФ ¤¢ (X; (x0 )) F

:

Æ g℄ = [(f  (' Æ [g ℄ 2  (X; x0 )  Æ g (f  (' Æ g))  f f (t) = F (x0 ; t) (' Æ g)(t) = F (g(t); 1)

[

ù‘Ú÷ ,

Ýû

ø

ø





(f  (' Æ g ))  f (t) = =

Æg ("x  ( Æ g ))"x

8 < : 8 < :

‚î ¢ª ‚›— ´¨ üê‘î ,

¤

g))  f ℄

ý‘úû¤ ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ݃û¡üõ ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .

Ýþ ¤¢ ,

‘“

Â𐠂î ݃û¢ ö‘È÷ ݃û¡üõ :–‘±™

x=

ù¤ ,‘õ .

ö ‚î ¢ªüõ ‚ÑŸ…õ .À÷¥ ¤

0  t  1=4 Âð 1=4  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð 0  t  1=4 Âð 1=4  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð

f (1 4t) (' Æ g )(4t 1) f (2t 1) F (x0 ; 1 4t) F (g(4t 1); 0) F (x0 ; 2t 1)

Æ g (f  (' Æ g) ø

(x0 )

ö¢“ ”—Þû ù b Àû‘Èõ ýÂ“

‘¹€þ ¤¢ ‚î ,´¨ ¥ ¤ Ýû

("x  (

Æ g))"x

:´ª÷ ö—üõ Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“



("x  (



8 <

F (x0 ; 1)

Æ g))"x (t) = : F (g(4t 1); 0) F (x0 ; 1)

0  t  1=4 Âð 1=4  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð

164

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‚ b Γ‘® ‘“

H (t; s) =

8 <

H :I I !Y

0  t  1=4 Âð 1=4  t  1=2 Âð 1=2  t  1 Âð

F (x0 ; 1 4t(1 s)) F (g(4t 1); s) F (x0 ; 1 + 2(t 1)(1 s))

:

´ª‘Ú÷ ,‚õ¢ ¤¢

ùø…ã“ ø ,´¨ ‚µ¨ƒ• ž®ø ‚“ ´ª‘Ú÷ ßþ .݃€îüõ Óþ Â㗠¤







H (t; 0) = (f  (' Æ g))  f (t); H (0; s) = F (x0 ; 1) = (x0 );

2

H (t; 1) = ("x  (' Æ g))  "x (t); H (1; s) = F (x0 ; 1) = (x0 ):

(f  (' Æ g ))  f

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø ,

 ("x  (' Æ g))  "x  Æ g

ÂþÁ³Ìþã— ¤¢Þ÷ §‘¨ “ „‘“ Ý؟ ö‘ƒ“ ýÂ“ ý ÂÚþ¢ ©ø ¤

(X; x0 )

x2X

ßþ ¤¢ ,

uf

:Y

uf

?

(Y; (x0 ))

!X

‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ,´¨ ü•—Þû ý¥ ¤ Ýû

Ýþ ¤¢ 19.2.7 ‚ b ƒÌì ‚“ ‘€“ .

ÝÆƒê¤ õø þ ƒ÷

.´¨

ÝÆƒê¤ õ€õ ø

2

QQ QQ s

' : X ! Y Âð .‚ƒÌì 21.2.7 .´¨ ÝÆƒê¤ õø þ ' :  (X; x) !  (Y; '(x)) ´ª‘Ú÷ –¤ ¬

Æ ( Æ ') ' 1X  ( Æ ')

–¤ ¬ ‚“

:¢¤¢ ¢›ø Âþ ¥

ø Àª‘“ ü•—Þû ý¥ ¤ Ýû

¢¤¢ ¢›ø ö‘€ .

QQ

.´ª¢¢‘þ 20.2.7

- (Y; '(x0 ))

'

,ßþÂ“‘€“

'

=

 Æ '



:–‘±™

Æ ' ' 1 X ' Æ ' 1Y ø

´ª‘Ú÷ ,À€µÆû ÝÆƒê¤ õø þ

ö¢“ ÝÆƒê¤ õ€õ ø

' ö 1X 

ø

uf

‚î

ö

ö¢“ ÝÆƒê¤ Þƒ• ü€ãõ ‚“ ‚î ;Àª‘“üõ

' ö¢“ ÝÆƒê¤ Þƒ• ü€ãõ ‚“ ‚î ;´¨ ÝÆƒê¤ õø þ ƒ÷ ' Æ  ‚“‘Èõ .´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø ,´¨

.´¨ üúþÀ“ ,ÂþÁ• ­‘±Ö÷ ý‘Ìê Âû ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

 ö¢“

.‚¹ƒµ÷ 22.2.7

,´¨ üúþÀ“ ö‘Èþ¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î üû¤ À€±Þû ý‘û‘Ìê ¢¤ õ ¤¢ ü¬Ê¿“ ž…ܐ .¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨

165

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‚î ݃Žð ù¢‘¨ À€±Þû ø)

x

2X

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

×þ ý¥ ‚“ ,ü€ãþ

X

ý ó•— ý‘Ìê

.Óþ Â㗠23.2.7

.Àª‘“ üúþÀ“ ö ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ø ù¢“ üû¤ À€±Þû

(X; x) = 1 ݃ª‘“ ‚µª¢ (ý x 2 X Âû ßþÂ“‘€“

.

Ý؟ ßþ ÅØä .À€µÆû ù¢‘¨ À€±Þû ,ÂþÁ• ­‘±Ö÷ ý‘û‘Ìê

.‚¹ƒµ÷ 24.2.7

.´Æƒ÷ ´¨¤¢ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢

.ßþ Âޗ 25.2.7

A Àƒ€î ­Âê ø r :  (X; a) !  (A; a) üŽ‘Öó ý‘úÞÆƒê¤ õÞû ¢¤ õ ¤¢ .a 2 A ø (¢ª ?´Ôð ö—üõ ýüÜî Ý؟ ‚ i :  (A; a) !  (X; a) ‚›— (5)-21.3.6 ßþ Âޗ ‚“) Àª‘“

X

ýÂ“ üԃ㮠­‘±Ö÷

X ý‘Ìê ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ý‚÷ð ‚“ F : I  I ! X ü•—Þû ×þ ,f : I ! X .F (t; 0) = f (t) ø F (t; 1) = F (0; 1) ,F (0; s) = F (1; s) ý s; t 2 I Âû Àƒû¢ ö‘È÷ .Àª‘“ f0; 1g ‚“ ´±Æ÷ ü±Æ÷ ü•—Þû F ¢¤À÷ üõø ó ‚î ¢ª ‚›— X ‚î ´¨ ö ,Àª‘“ C ´ƒ¬‘¡ ý¤¢ X ‚Ø€þ ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª ‚î

‚ b µÆ“ ù¤ Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨

C

´ƒ¬‘¡ ý¤¢

(1

(2

.Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû

üû¤ À€±Þû

U \V

V ø U ‚î X = U [V Àƒ€î ­Âê .´¨ ù¢‘¨ À€±Þû X Àƒ€î ´“‘™ .´¨

ø ,À€µÆû ù¢‘¨ À€±Þû ø ¥‘“

n  2 Â𐠂î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ ų¨

ù‘Ú÷ ,

ù¢‘Ôµ¨ (9) ø (5)-11.1.7 –‘€þ Âޗ ¥ :üþ‘Þ€û¤)

.´¨ ù¢‘¨ À€±Þû

(3

Sn

(.¢ª

ö‘È÷ ¤ ö‘È“ ÂÌܬ‘Ÿ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ø ‘û‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ߃“ ¯‘±—¤ ,ýÀ㓠Ý؟ .Àû¢üõ

ùø Âð

.À€ª‘“ üû¤ À€±Þû .´¨ é¤ õø þ

Y

Y

ø

X

ý ó•— ý‘û‘Ìê Ýþ ƒð

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ø

.‚ƒÌì 26.2.7

X ý¢‘ƒ“ ùø Âð ’ÂÌܬ‘Ÿ ‘“ X  Y

ý¢‘ƒ€“

q : X  Y ! Y ø p : X  Y ! X Ýþ ƒð :–‘±™ –¤ ¬ ‚“ ¤ ' :  (X  Y; (x0 ; y0 )) !  (X; x0 )   (Y; y0 ) ´ª‘Ú÷ ,ö€î .À€ª‘“
.݃€îüõ Óþ Â㗠'([f ℄) = p ([f ℄); q ([f ℄) = ([p Æ f ℄; [q Æ f ℄)

üãƒ±Ï Âþø‘Ê— ÂÚÈþ‘Þ÷

166

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 2.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

f  g ù‘Ú÷ ,[f ℄ = [g℄ Âð .´¨ Óþ Â㵪¡ ' ‚î ݃€îüõ Ճֽ— Àµ“ ,F (t; 0) = f (t) ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ F : I  I ! X  Y ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ßþÂ“‘€“ ‚ b µ¨ƒ• ý‘úµª‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .F (0; s) = F (1; s) = (x0 ; y0 ) ø F (t; 1) = g (t) ý‘úþ ¥ ¤ Ýû žÂÏ °›õ °ƒ—µ“ ,q Æ F : I  I ! Y ø p Æ F : I  I ! X .´¨ Óþ Â㵪¡ ' ø '([f ℄) = '([g ℄) ŕ .À÷ªüõ q Æ f  q Æ g ø p Æ f  p Æ g ´ª‘Ú÷ .([f1 ℄; [f2 ℄) 2  (X; x0 )   (Y; y0 ) ݃€î ­Âê ,' üþ‘ª• ù b Àû‘Èõ ýÂ“ ´¨ ߪø ¤ .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ f (t) = (f1 (t); f2 (t)) ‚ b Γ‘® ‘“ f : I  I ! X  Y .'([f ℄) = ([f1 ℄; [f2 ℄) –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,'([f ℄) = '([g ℄) ݃€îüõ ­Âê ,' ö¢“ ׃±Øþ ö¢¢ ö‘È÷ ýÂ“ F2 : I  I ! ø F1 : I  I ! X ‚»÷‘€ .q Æ f  q Æ g ø p Æ f  p Æ g ‚ b Γ‘® ‘“ F : I  I ! X  Y –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€€î ö‘ƒ“ ¤ ý¥ ¤ Ýû ø¢ ßþ Y
Ýû °›õ ø ;´¨ f0; 1g ‚“ ´±Æ÷ ü±Æ÷ ü•—Þû F (t; s) = F1 (t; s); F2 (t; s) .[f ℄ = [g ℄ ßþÂ“‘€“ .¢ªüõ F : f  g ý¥ ¤ ø ,

f (1) = g(0) ‘“ üþ‘úû¤ f; g : I ! X  Y

Â𐠂î üúþÀ“ Ý؟ ßþ ¥ ,‘¹÷Â¨

q Æ (f  g) = (q Æ f )  (q Æ g) ø p Æ (f  g) = (p Æ f )  (p Æ g) ù‘Ú÷ ,À€ª‘“

‚¹ƒµ÷ ,

2

.´¨ ÝÆƒê¤ õÞû

ù¢¤ ø ‚ƒÌì ßþ –‘±™ ýÂ“ ý ÂÚþ¢ ©ø ¤ ,–‘€þ Âޗ ¤¢

' ‚î Ýþ ƒðüõ

.´ª¢¢‘þ 27.2.7 .´¨ ùÀª

.ßþ Âޗ 28.2.7 .´¨ ù¢‘¨ À€±Þû ,ù¢‘¨ À€±Þû ý‘Ìê ø¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

g : I ! Y ø f : I ! X Ýþ ƒð ýµŸ ý‘úµª‘Ú÷ j : Y ,! X  Y ø i : X ,! X  Y Ýþ ƒð .À€ª‘“ y0 2 Y (i Æ f )  (j Æ g ) ý‘úû¤ Àƒû¢ ö‘È÷ .j (y ) := (x0 ; y ) ø i(x) := (x; y0 ) :À€µÆû .À÷¥ ¤ Ýû X  Y ¤¢ (j Æ g )  (i Æ f ) ø ø

x0

2X

¤¢ °ƒ—µ“ ‚ b þ‘• ‘“ ‚ b µÆ“ üúû¤

([f ℄; [g ℄) 7! [(iÆf )(j Æg )℄ ´ª‘Ú÷ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ,(2) ßþ Âޗ ¤¢ –‘®ø ÂÔõ ‘“ .´¨ ‘úûø Âð ߃“ ÝÆƒê¤ õø þ

(X  Y; (x0 ; y0 )) ‚“ (X; x0 )  (Y; y0 ) ¥

 :G

!

(3

G ý‚äÞ¹õ ¥ ´¨ –¤‘±ä G ý ó•— ùø Âð G ø  : G  G ! G ý‘úµª‘Ø÷ ‚î ý½÷ ‚“

,ý ó•— ø üûø Â𠤑µ¡‘¨ ý¤¢ °ƒ—µ“ ‚ b Γ‘® ‘“

(2

(4

167

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð úÔõ ݃Þ㗠3.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

h ø f Àƒ€î ­Âê .À÷‚µ¨ƒ•  (g) = g 1 ø (g1 ; g2 ) = g1 g2 (f:h)(t) := f (t)h(t) –¤ ¬ ‚“ ¤ f:h : I ! G ´ª‘Ú÷ .À€µÆû e ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ G ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ ø f  h  f:h  h  f Àƒ€î ´“‘™ .݃€îüõ Óþ Â㗠 : (G; e) ! ÝÆƒê¤ õÞû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ,ùø…ã“ .´¨ üܓ (G; e) 1 –¤ ¬ ‚“  (G; e) .À€îüõ ÛÞä  ([f ℄) = [f ℄ ¤¢ ‚ b µÆ“ ù¤ ø¢

(z1 ; z2 ) = z1 z2 –¤ ¬ ‚“ S1  C ­Âê ‘“ ¤  : S1  S1 ! S1 ´ª‘Ú÷ (5  (z ) = z 1 –¤ ¬ ‚“ ¤  : S1 ! S1 ´ª‘Ú÷ ,߃€»Þû .݃€îüõ Óþ Â㗠1 1 üܓ  (S ; 1) Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ .´¨ ý ó•— ùø Âð S Àƒ€î ´“‘™.݃€îüõ Óþ Â㗠.´¨

X ý‘Ìê ¥ ý‚ÎÖ÷ x0 Ýþ ƒð .´¨ (4) ´ÞÆì ݃Þ㗠ßþ Âޗ ßþ x 2 Âû ý¥ ‚“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€  : X  X ! X ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ Àƒ€î i; j : X ! X  X Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .(x0 ; x) = (x; x0 ) = x ý X ßþ ¤¢ ,À€ª‘“ j (x) = (x0 ; x) ø i(x) = (x; x0 ) ýµŸ ý‘úµª‘Ú÷ ÂÚÈþ‘Þ÷
,„‘“ ¤¢ (4) ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ,ų¨ . (i Æ f )  (j Æ g ) = f  g –¤ ¬ .´¨ üܓ  (X; x0 ) ùø Âð ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ ­Âê .Àª‘“

¤¢ ¤

X

ý‘Ìê

(6

.´¨ –‘€þ Âޗ ‚ b äÞ¹õ ߃Þû ¥ 6 ´ÞÆì ݃Þ㗠‚ó‘bÆõ ßþ (7

H ü—¤ ¬  Æ i 'fx0 g ý x0 2 X ‚bÎÖ÷ ý¥ ‚“ ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€  : X  X ! X Û±ì ßþ Âޗ ¤¢ ùÀª üêÂãõ ýµŸ ý‘úµª‘Ú÷ j ø i ‚î ; Æ j 'fx g 1X ø 1X 0 Âû (X; x0 ) ý¢‘ƒ€“ ùø Âð Àƒ€î ´“‘™ .(x0 ; x0 ) = x0 ‚î ¢ª ‚›— .À€µÆû ((i Æ f )  (j Æ g))  Àƒû¢ ö‘È÷ :üþ‘Þ€û¤) .´¨ üܓ ,­ø ÂÔõ ý‘Ìê H (.f  g Heinz Hopf ӕû €þ‘û ¤‘¿µê ‚“) ‘Ìê

‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ‚î ݃Žð (

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð úÔõ ݃Þã—

.Àª ù¢‘Ôµ¨ (ý ó•— ý‘Ìê ‚“ ‚î ,¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨

3.7

I  R ¥ ⓐ— ,ü€ãþ) ù¤ ¥ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð Óþ Â㗠¤¢

1 (X; x) ¢‘Þ÷ ¥ (X; x) ý‘¹“ °µî ü¡Â“ ¤¢ ü܃ó¢ ߃Þû ‚“

.¢¥‘¨üõ ÝûÂê ¤ ù¤ úÔõ ¥ üރÞ㗠Âþ ¥ Óþ Â㗠.´¨

R

À㓠߃±õ 1 ÅþÀ÷

168

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð úÔõ ݃Þ㗠3.7

¤¢ ¤‘“

n ¢À㗠‚“ I

.Àª‘“üõ

I n

=

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

In

ý ó•— ’ÂÌܬ‘Ÿ

f : I n ! X Ûت ‚“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ,X ¤¢ ù¤ n

f(t1 ;


; tn ) j 9 i x0 2 X

‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ,

:

ti

2

In

–¤ ¬ ‚“ ¤

¤¢ ‚ b þ‘• ‘“ ‚ b µÆ“ ù¤

n ¥ ¤ Ñ€õ

¥ Âõ

¥ ¤ Ñ€õ ,Àª‘“ ©¢¡

.Óþ Â㗠2.3.7

‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ

n (X; x0 ) Àƒ€î ­Âê .Àª‘“

‚“ ¤ ‘ú÷ ’ÂÌܬ‘Ÿ

[f ℄; [g ℄

.

.À€ª‘“ ”—Þû

f0; 1gg f : In ! X

.¢¢ ö‘È÷ ö—üõ

x0 ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ g ø f ‚bµÆ“ ù¤ n ø¢ .f (I n ) = x0 ‚î ´¨

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

fx0 g

‚“ ´±Æ÷ ‚î ݃Žð ¤ Ýû

x0 ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ ‚bµÆ“ ý‘úû¤ n ¥ ý¥ ¤ Ýû ý‘û‚µ¨¢

2 n (X; x0 )

݃€î ­Âê

ö ¤¢ ‚î ,݃€îüõ Óþ Âã—

(f

.Óþ Â㗠1.3.7

‚î ü—¤ ¬ ¤¢



 g)(t) := ff ((22tt1 ; t21;
;
t
;; t
n
)
; tn ) 1 2

.Óþ Â㗠3.3.7 [f ℄[g ℄ = [f

 g℄

–¤ ¬

0  t1  1=2 Âð 1=2  t1  1 Âð

.(ßþ Âޗ) ¢¢ ö‘È÷ ¤ ’® ßþ üÔþ Â㵪¡ ö—üõ üµŸ¤ ‚“

n (X; x0 )

,ñ‘Ÿ ßþ ‘“

n (X; x0 ) .‚ƒÌì 4.3.7 .݃õ‘÷üõ x0 ¤¢ ‚ b þ‘• ‘“ X ý¢‘ƒ€“ ùø Âð n ¤

.´¨ ùø Âð ,„‘“ ¤¢ ùÀª Óþ Â㗠’® ‘“

.Àª‘±÷ üܓ

1 (X; x0 )

=

(X; x0 )

´¨ ßØÞõ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ .Ýþ ¤¢ ¤ Âþ ¥ Ý؟

.´¨ üܓ

n (X; x0 ) ùø Âð ù‘Ú÷ ,n  2 Âð .‚ƒÌì 5.3.7 .ßþ Âޗ 6.3.7 .´¨ ùø Âð

ø

n (X; x)

ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø

y

(X; x0 ) ‚“

x

¥

X

:Àƒ€î ´“‘™ ¤ 4.3.7 ‚ b ƒÌì (1

¤¢ üû¤ Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (2 .À€ê¤ õø þ

n (X; y)

' : n (X; x) ! üŽ‘Öó ´ª‘Ú÷ .´¨ ‚bµ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ' : X ! Y Àƒ€î ­Âê (3 ߃€»Þû .´¨ ÝÆƒê¤ õÞû ' Àƒ€î ´“‘™ ?Àƒ€îüõ Óþ Â㗠¤ Î ¤ n (Y; '(x)) .Àƒ€î –‘±™ n (X; x) „‘“ ‚ b ±—Âõ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ´ó‘Ÿ ýÂ“ ¤ 14.2.7 ‚ b ƒÌì .À÷¤¢ é¤ õø þ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ,é¤ õÿû ý‘û‘Ìê ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷

169

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð úÔõ ݃Þ㗠3.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

é¤ õø þ ý„‘“ ‚ b ±—Âõ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ,ü•—Þû á÷ Ýû ý‘û‘Ìê ‚î Àƒ€î ´“‘™ (4 .À÷¤¢

n

 x0 2 X ø

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ :ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .Àƒ€î ´“‘™ ¤ 5.3.7 ‚ b ƒÌì (5

5.7 Ûت ¤¢ žø ÂÈõ ©ø ¤ ¥ :üþ‘Þ€û¤)

.´¨ üܓ

n (X; x0 ) ù‘Ú÷ ,2 (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨

(5)-6.3.7 ßþ Âޗ ‚“ ¯“ Âõ :5.7 Ûت

–‘±™ ö—üõ ý¢øÀŸ ‘— ¤ (4)-6.3.7 ßþ Âޗ Ý؟ öø ¤ø

.´ª¢¢‘þ 7.3.7

CW ø¢ Âû …f·õ ,ü€ãþ) À€ª‘“ «Ê¿“ á÷ ¥ Y ø X Â𐠂î ü€ãõ ßþ ‚“ .¢Þ÷ n  Âû ý¥ ‚“ ‚î Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ' : X ! Y Â𐠃÷ ø (À€ª‘“ üû¤ À€±Þû ßþ ¤¢ ,´¨ ÝÆƒê¤ õø þ ' : n (X; x0 ) ! n (Y; '(x0 )) üŽ‘Öó ´ª‘Ú÷ ý 1 .´¨ °Æµ€õ Àúµþø .§ .û .š ‚“ ‚ƒÌì ßþ .´¨ ü•—Þû ý¥ ¤ Ýû ' –¤ ¬ âÞµ¹õ

170

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1 ùÂþ¢

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

1

S

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

4.7

Ç¿“ ßþ ¤¢ .Ýþù¢ÂØ÷ ‚±¨‘½õ ¤ üþ‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ,üúþÀ“ ¢¤õ ¤¢ ¹“ ‘¹€þ ‘—

Z ¼ƒ½¬

¢Àä üãޛ ùø Âð ö ¾¨‘• ‚î ;݃€îüõ ‚±¨‘½õ ¤

S1

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

:¢Þ÷ ùÀû‘Èõ ö—üõ Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“ ý¢úª –¤ ¬ ‚“ ¤ Ý؟ ßþ .´¨ ùÂþ¢ ¢Â𠂓 ¤‘“ É¿Èõ ý¢Àã—

S1

f (t) ø ù¢Þ÷ áø ª f (0) = 1 ‘“)

.݃õ‘÷üõ

ùÂþ¢ ¥

f

1

2

S1

¤¢ ‚ b þ‘• ‘“

f

‚ b ›¤¢ ‘þ ǡ ¤ ¢Àä ßþ ;À¡Âüõ

,¢¢Âړ ´ä‘¨ ý‘û‚“ ÂÖä ´îŸ ´ú› ¤¢ ù‘ð Âû ;Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢ .݃û¢üõ ¥‘ƒµõ

‚ b µÆ“ ù¤ Âû

t ¢‘þ¢¥ ñ‘Ÿ ¤¢ ¤

1 ,¢¢Âړ ´ä‘¨ ý‘û‚“ ÂÖä ´îŸ 酡 ´ú› ¤¢ ù‘ð Âû ø ¥‘ƒµõ 1

¤¢ ‚ b þ‘• ‘“ ‚ b µÆ“ ù¤ Âû ý¥ ‚“ ,°ƒ—— ßþ ‚“ (.´¨ ǡ ¢Àä ö‘Þû “Â“ Ûî ¥‘ƒµõ À÷¥ ¤ Ýû üµìø ‘ú€— ø üµìø ‚µÆ“ ù¤ ø¢ ‚î ¢ªüõ ´“‘™

‚“ ‚î ¢ªüõ ´“‘™ ,‘¹÷ ¨ .À€ª‘“ ‚›¤¢ Ýû ‚î (À€•—Þû .¢¤¢ ¢›ø

1

.Àþüõ ´¨À“ ý¢Àä ,

f0; 1g

‚“ ´±Æ÷ ,ü€ãþ)

n ‚b›¤¢ ¥ üû¤ ,n ­ø ÂÔõ ¼ƒ½¬ ¢Àä Âû ý¥

.Ýþ ¤¢ ¥‘ƒ÷ Âþ ¥ Óþ Â㗠‚“ ,‚›¤¢ Óþ Â㗠¤¢ ¥„ ´ƒê‘Ôª –‘¹þ ´ú› ‚“

t

7! exp(2it)

–¤ ¬ ‚“ ¤

e

: R

!

S1

üþ‘Þ÷ ´ª‘Ú÷

.Óþ Â㗠1.4.7 .݃€îüõ Óþ Âã—

e : R ! S1 üþ‘Þ÷ ´ª‘Ú÷ .Ýó 2.4.7 ;e(t + n) = e(t) ý n 2 Z Âû ø t 2 R Âû ý¥ ‚“ (1 1 (exp(2it )) = Z + t := ft + n j n 2 Zg (2 «‘¡ ´ó‘Ÿ ¤¢ ø ;e 0 0 0 1 (1) = Z (3 .e ùø…ã“ .´¨ ‘ª• ø ‚µ¨ƒ•

¤¢ ÂþÊ—

e ,Ýþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ºƒ• ¤‘õ –¤ ¬ ‚“ ¤ üփ֟ ¤ ½õ Âð ,ý¢úª ÂÑ÷ ¥ .¢ª ‚›— 6.7 Ûت ‚“ .Àª‘“üõ ö ¤ ½õ ¢Àµõ

(S1; 1) = Z –‘±™ ùbÀþ f~(0) = 0 ‘“ f~ : I ! R ‘µØþ üµª‘Ú÷ ,f (0) = f (1) = 1 ‘“ f : I ! S1 ù¤ Âû üµÆþ‘“ ,f (1) = 1 ö .(݃õ‘÷üõ f âƒê— ¤ f~ ´ª‘Ú÷) ¢¤¢ ¢›ø e Æ f~ = f ø 1 (1) = Z ݃ª‘“ ‚µª¢ ~ ö‘È÷ ,ų¨ .݃õ‘÷üõ f ‚ b ›¤¢ ¤ ¼ƒ½¬ ¢Àä ßþ ;f (1) 2 e 1 ßþ .f~0 (1) = f~1 (1) ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ¥ ¤ Ýû S ¤¢ f1 ø f0 ý‘úû¤ Â𐠂î ݃û¢üõ 1 ݃û¢üõ ö‘È÷ ¡ Àì ¤¢ ‚î ,¢¢Âðüõ  (S ; 1) ! Z Ûت ‚“ üµª‘Ú÷ žÂÏ ¶ä‘“

ý¥ ‚“ ‚î ݃û¢üõ ö‘È÷ :´ª¢ ¤‘úҐ ö—üõ ߃€ ¤

.Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õø þ .݃û¢üõ ݃Þ㗠Óܵ¿õ ý‘û‘Ìê ‚“ À㓠ÛÊê ¤¢ ¤ ©ø ¤ ßþ

171

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

e üþ‘Þ÷ ´ª‘Ú÷ ý¢úª ƒ±ã—

:6.7 Ûت

V = I \ e 1 (U )  ø Àª‘“ S1 f1g ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ U Ýþ ƒð .Ýó 3.4.7 V + n := fv + n j v 2 ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥  ¹õ üä‘Þµ› e 1 (U ) –¤ ¬ ßþ ¤¢ .R ÂþÊ— U ýø ¤ é¤ õÿÞû –¤ ¬ ‚“ e ͨ— ‘ú÷ ¥ ×þ Âû ‚î ,´¨ n 2 Z ‘“ V g .À÷¢Âðüõ

a; b 2 [0; 1℄ ¢Àä ,ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ ,Àª‘“ S1 ¤¢ ¥‘“ ýù¥‘“ U ݃€î ­Âê :–‘±™ ,V = (a; b) –¤ ¬ ßþ ¤¢ .U = fexp(2it) j a < t < bg ‚î À÷ª ´ê‘þ ý‚÷ð ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î ´¨ ߪø ¤ .V + n = (a + n; b + n) ý n 2 Z Âû ý¥ ‚“ ø 1 (U ) .n 2 Z ‚î ,Àª‘“üõ V + n Ûت ‚“ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥  ¹õ üä‘Þµ› e ø ‚µ¨ƒ• en ž®ø ‚“ .Àª‘“ V + n = (a + n; b + n) ‚“ e ÀþÀ½— en ݃€î ­Âê 1 ‚ b µÆ“ ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø (a + n; b + n) ‚ b äÞ¹õ ,en üÚµ¨ƒ• Ճֽ— ýÂ“ .´¨ üþ¨ø¢ ö .(Àª‘“üõ ù¢ÂÈê W –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î ´¨ ¼®ø) Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ö ¥ W 1 ¥ üÞÆƒê¤ õÿÞû en ´ª‘Ú÷ 11.2.4 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“ ,´¨ é¤ øÀ¨ø‘û S ø ù¢ÂÈê W ö‘È÷ ßþ .´¨ ‚µÆ“ Áó ø ù¢ÂÈê en (W ) ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ .À€îüõ Óþ Â㗠en (W ) ýø “ W ßþÂ“‘€“ ;´¨ ‚µÆ“ ƒ÷ en (W ) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ W Â𐠂î Àû¢üõ 1 2 .Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õÿÞû en ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ´¨ ‚µ¨ƒ• en ‚“

¢¤ õ ¤¢ „‘“ Ý؟ Àƒû¢ ö‘È÷ .´¨ ù¿ó¢

x 2 S1 Àƒ€î ­Âê .ßþ Âޗ 4.4.7 .Àª‘“üõ ´¨¤¢ ƒ÷

S1

fxg

172

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1 ùÂþ¢

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

ü•—Þû œ •

f

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘±÷ ‘ª•

f :X

! S1

Âð

.‚¹ƒµ÷ 5.4.7

.´¨ ”—Þû ´“‘™ üµª‘Ú÷ ‘“ ,ü€ãþ .´¨ ‚î ,´¨ é¤ õÿÞû

f

S1 = exp(2it)

2

(0; 1)

‘“

fxg

S1

x 62 Image(f ) Âð

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

j s  x = exp(2is) ø

ý

s ý¥ ‚“)

:–‘±™

.Àª‘“üõ ÂþÁ• ­‘±Ö÷ üþ‘Ìê

t < s + 1g

(.

.´¨ ùÀƒ¨¤ ÛÊê ßþ Ýúõ Ý؟ ߃óø ‚“ ´“÷ ñ‘Ÿ

f:I

! S1

´ª‘Ú÷ Âû

.(e

:

R

!

S1 ýÂ“ ‘úû¤ âƒê— ‚bƒÌì 6.4.7

e(x0 ) = f (0) ‘“ x0 2 R Âû ý¥ ‚“ ,ùø…ã“ .´¨ f~ : I ! R âƒê— ý¤¢ .f~(0) = x0 ‚î ¢¤¢ ¢›ø üðÄþø ßþ ‘“ ‘µØþ

üãƒê— ,

e

1 (U ) x

‚î Àª‘“ ö ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû

Ux

x

݃€î ­Âê ,

2

S1

ý¥ ‚“ :–‘±™

e ͨ— ×þ Âû ‚î ý‚÷ð ‚“ ,´¨ R ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥  ¹õ üä‘Þµ› 1 (U ) j x 2 S1g ù¢÷‘¡ .¢ªüõ ‚µª‘Ú÷ U ýø “ é¤ õÿÞû –¤ ¬ ‚“ ¤ ff x x b .´¨ I ýÂ“ ¥‘“ üȪ• ‚î ,´êÂð ÂÑ÷ ¤¢ ö—üõ f(xj ; yj ) \ I j j 2 J g –¤ ¬ ƒÑ÷ ö ¥ üû‘€µõ üȪ• Âþ ¥ ,´¨ ù¢ÂÈê I ö ‚“

[0; t1 + "1 ); (t2

"2 ; t2 + "2 );




(tn "n ; 1℄

ti + "i > ti+1 "i+1 ý i = 1; 2;


; n 1 Âû ý¥ ‚“ ‚î ,¢¤¢ ¢›ø ݃€îüõ ’‘¿µ÷ ý ¤ Ï ¤ ai 2 (ti+1 "i+1 ; ti + "i ℄ Âʀä ,i = 1; 2;


; n 1 ý¥ f ([ai ; ai+1 ℄)  ‚î ´¨ ߪø ¤ .0 = a0 < a1 < a2 <


< an = 1 ‚î 1 1 ý ¤ Ï ,¢¤¢ ¤Âì S ¥ Si ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¤¢ f ([ai ; ai+1 ℄) ,µȃ“ üµŸ ø ,S 1 (S ) ‚î ‚“ e ͨ— ×þ Âû ‚î ´¨ R ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥  ¹õ üä‘Þµ› e i .¢ªüõ ÂþÊ— Si ýø “ é¤ õÿÞû –¤ ¬ ~ k = ýø ¤ ǑÂÖµ¨ –¤ ¬ ‚“ ¤ "fk (0) = x0 ‘“ ø [0; ak ℄ “ f~k ' ý‘úãƒê— ,ü€ãþ ;f~(0) = x0 :´¨ üúþÀ“ k = 0 ýÂ“ ßþ .݃€îüõ Óþ Â㗠0; 1;


; n .Àª‘“ ùÀª Óþ Â㗠‘µØþ –¤ ¬ ‚“ f~k : [0; ak ℄ ! R ݃€î ­Âê .´Æƒ÷ ¤‘î ¤¢ ü“‘¿µ÷ S fWj j j 2 ¥  ¹õ üä‘Þµ› e 1 (Sk ) ø f ([ak ; ak+1 ℄)  Sk ‚î Ýþªüõ ¤ ø¢‘þ ÝÆƒê¤ õÿÞû ejWj : Wj ! Sk ý j 2 J Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥ J g ;f~k (ak ) 2 W Ýþ ¤¢ fWj j j 2 J g ù b ¢÷‘¡ ¥ W üþ‘µØþ Ìä ý¥ ‚“ ,ö€î .´¨ ͨ— [ak ; ak+1 ℄ üµÆþ‘“ ,´¨ üû¤ À€±Þû [ak ; ak+1 ℄ ö .¢ª ‚›— 7.7 Ûت ‚“ ,´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû ejW : W ! Sk ÀþÀ½— ö .¢ª ‚µª‘Ú÷ W ýµ“ f~k+1

‚“ ,ñ‘Ÿ .

173

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

¤¢)

eÆ

f j[ak ;ak+1 ℄

=

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

 : [ak ; ak+1 ℄ ! W ‘µØþ üµª‘Ú÷ 1 Æ f âìø –¤ ¬ ‚“ ¤ f~k+1 ,ñ‘Ÿ .( = (ejW )

‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€

f~k+1 (s) =



0  s  ak Âð ak  s  ak+1 Âð

f~k (s) (s)

f~k (ak ) = (ak ) ‚Ø€þ Ûƒó¢ ‚“ ø °Æ Ýó ‚“ ‘€“ ‚î ,݃€îüõ Óþ Â㗠üþÂÖµ¨ –¤ ¬ ‚“ f~ = f~n ,°ƒ—— ßþ ‚“ .Àª‘“üõ ‘µØþ ,ǵ¡‘¨ ©ø ¤ Փ‘Îõ ø

;´¨ ‚µ¨ƒ• ,

2

.¢¢Âðüõ Û¬‘Ÿ 7.7 Ûت

.¢Þ÷ Óþ Â㗠ö—üõ ¤

f~ : I

S1 ¤¢

‚µÆ“ ù¤ Âû ‚ b ›¤¢ ,‚ƒÌì ßþ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“

! R ø Àª‘“ 1 ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ S61 ¤¢ ý‚µÆ“ ù¤ f Ýþ ƒð e

‚ÑŸ…õ ,

1 (f (1)) =

¢‘Þ÷ ‘“ ø ù¢Þ÷ Óþ Âã—

e

1 (1) = Z

f ù¤ ‚b›¤¢

ö

¤ ¢Àä ßþ

~ .0 =

.Óþ Â㗠7.4.7

0 ‚î Àª‘“ ö ¥ üþ‘µØþ âƒê— .´¨ ¼ƒ½¬ ý¢Àä f~(1) ‚î ¢¢Âðüõ .݃û¢üõ ö‘È÷

deg f

‚î ݃û¢üõ ö‘È÷ Àµ“ ,À÷“Â“ ‚ b ›¤¢ ý¤¢ ,¥ ¤ Ýû ý‘úû¤ ‚Ø€þ –‘±™ ´ú› ‚“ ¥

I

ý‘¹“ Û±ì ‚ b ƒÌì ¤¢ ,¤ Ñ€õ ßþ ýÂ“ .À÷¥ ¤ Ýû ý‘úãƒê— ý¤¢ ¥ ¤ Ýû ý‘úû¤ .݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨

,ùø…ã“ .´¨

F~ : I 2

! R âƒê— ý¤¢ F : I 2 ! S1 ´ª‘Ú÷ Âû e(x0 )

‚î ¢¤¢ ¢›ø üðÄþø ßþ ‘“ ‘µØþ üãƒê— ,

=

F (0; 0) ‘“ x0

I2

.Ýó 8.4.7

2 R Âû ý¥ ‚“ .

F~ (0; 0) = x0

174

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1 ùÂþ¢

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

¢Àä ,´¨ ù¢ÂÈê

I 2 ö

.´¨ 6.4.7 ‚ b ƒÌì ‚ƒ±ª ¤‘ƒÆ“ –‘±™ :–‘±™

0 = a0 < a1 <


< an = 1; 0 = b0 < b1 <


< bm = 1; ۃεÆõ ¤

Rij

= f(t; s) 2 I 2 j ai

Rij

Âð ‚î ´ê‘þ ö—üõ ý ¤ Ï ¤

 t  ai+1 ; bj  s  bj+1 g

F (Ri;j )  S1 ù‘Ú÷ ,݃€î Óþ Â㗠~ âƒê— ,6.4.7 ‚bƒÌì –‘±™ ¤¢ ý‘ú܃εÆõ “ üþÂÖµ¨ –¤ ¬ ‚“ ¤ F

‚µê¤ ¤‘Ø“ ©ø ¤ ‚“ ‚ƒ±ª üªø ¤ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ñ‘Ÿ .

R0;0 ; R0;1 ;

2




; R0;m ; R1;0 ; R1;1 ;


.Ýþ ¤‘³¨üõ ùÀ€÷¡ ‚“ ¤ –‘ƒŽ › .݃€îüõ Óþ Âã—

“ ‚î ,݃€îüõ –‘±™

S1

ýÂ“ ¤ ý ¤ÀÞؗ ‚ b ƒÌì ,Ý؟ ßþ ¥ ý‚¹ƒµ÷ ö€ä ‚“ .À÷“Â“ ‚ b ›¤¢ ý¤¢ ¥ ¤ Ýû ý‘úû¤ ö §‘¨

f1 ø f0 Àƒ€î ­Âê .(ý¤Àõ ח ‚bƒÌì) ‚¹ƒµ÷ 9.4.7 1 ¤¢ ,f~0 (0) = f~1 (0) Â𐠃÷ ø ,À€ª‘“ ø¢ ö âƒê— f~1 ø f~0 Âð .À€ª‘“ 1 ¤¢ ‚ b þ‘• ‘“ S .f~0 (1) = f~1 (1) –¤ ¬ ßþ

¤¢ ¥ ¤ Ýû üþ‘úû¤

üãƒê— ,´ª‘Ú÷ ßþ .Àª‘“ ö.œ

.

F~ (0; 0)

F~ (t; 1)

.

f1 ø f0 ߃“ f0; 1g ‚“ ´±Æ÷ ü•—Þû F

= f~0 (0) = f~1 (0)

= f~1 (t)

ø

F~ (t; 0)

= f~0 (t)

F~

‚î À€îüõ É¿Èõ ¤

F (t; 1)

Ýþ ¤¢ ,

= f1 (t)

ø

:

Ýþ ƒð :–‘±™

I2

!

F (t; 0)

R

‘µØþ

= f0 (t)

F (1; t) = f0 (1) = f1 (1) Âþ ¥ ,´¨ ¤¢ f~1 (1) ‚“ f~0 (1) ¥ üû¤ F~ (1; t) ,߃€»Þû

.

.´¨

F~ (1; t)

ù¤ ö¢“ ´“‘™ ü€ãõ ‚“ ßþ ‚î ,

2 ‚“ ´±Æ÷ ý•—Þû

F~ (1; t)

2 e 1 (f0 (1)) '

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø

F~

f Þä ,„‘“ ö‘û“ ¤¢ ‚î ¢ª ‚›— …

,‘õ

f~0 (1) = f~1 (1) ßþÂ“‘€“ .´ª¢¢‘þ 10.4.7

.Àª‘“üõ

ùø Âð ‚ b ±¨‘½õ ö‘Øõ ,ü€ãþ

Z

f~1 ø f~0 ߃“ f0; 1g

.Ýþ ¤¢ ¤ ÛÊê ßþ ü¨‘¨b‚ƒÌì –‘±™ ö‘Øõ ö€î .Ýþ ¤¢ ¤ ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“

(S1; 1)  = Z .‚ƒÌì 11.4.7

.

175

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

:݃€îüõ Óþ Â㗠ý‘µØþ âƒê—

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

= deg(f ) –¤ ¬ ‚“ ¤ ' :  (S1; 1) ! Z ´ª‘Ú÷ ,deg(f ) = f~(1) ü€ãþ ,´¨ f ù¤ ‚ b ›¤¢ deg(f ) ‚Ø€þ

'([f ℄)

f~ ‚î

ö‘È÷ .´¨ Óþ Â㵪¡ ⓑ— ßþ 9.4.7 ‚ b ¹ƒµ÷ ‚“‘€“ .Àª‘“üõ

f~(0)

=

.´¨ ‘úûø Âð ߃“ üÞÆƒê¤ õø þ

¼ƒ®—

0 ¯Âª ‘“ f

' ‚î ݃û¢üõ

' ‚î ݃û¢üõ ö‘È÷ ,Àµ“ 1 (f (0)) ‚ÎÖ÷ ¥ 12 ¥ ý¥‘è f ù¤ Âû ý¥ ‚“ ,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“ f ýÂ“ a 2 e b
,b = f~(1) + a Âð ,‚î ´¨ ߪø ¤ . `a (f ) (t) = f~(t) + a ø `0 (f ) = f~ Ýþ ¤¢ 1 –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,[f ℄; [g ℄ 2  (S ; 1) Âð ,ßþÂ“‘€“ .`a (f  g ) = `a (f )  `b (g ) ù‘Ú÷

ý¥‘è âƒê— ÂÚÈþ‘Þ÷

S1

' [f ℄[g℄




=

`a (f ) Ýþ ƒð

:–‘±™

' [f  g℄




.´¨ ÝÆƒê¤ õÞû

f  g)(1) = (^




=

`0 (f  g)(1) = `0 (f )  `b (g) (1)

=

`b (g)(1) = b + g~(1)

=

f~ + g~(1) = ' [f ℄




+ ' [g ℄

(b = f~(1)

)

ö ¤¢ ‚î




.´¨ ÝƃꣁõÞû

' ,ßþÂ“‘€“

n 2 Z ý¥ ‚“ .´¨ ýù¢‘¨ ¤‘î ,' üþ‘ª• ö¢¢ ö‘È÷ 1 ‘“ ø ‚µÆ“ üû¤ e Æ g : I ! S –¤ ¬ ßþ ¤¢ ;Àª‘“ g (t) = nt ‚ b Γ‘® ‘“ g : I ! R Ýþ ¤¢ ,´¨ g (0) = 0 ‘“ e Æ g âƒê— g ö .Àª‘“üõ 1 ¤¢ ‚ b þ‘• ݃€î ­Âê ,­ø ÂÔõ

' [e Æ g℄




= deg(e Æ g ) = g (1) = n .´¨




' üþ‘ª• ÂÚ÷‘ƒ“ ‚î

0 ݃€îüõ ­Âê ,' ö¢“ ׃±Øþ ö¢¢ ö‘È÷ ýÂ“ .¢¤¢ ëÀ¬ f~(0) = f~(1) = 0 ¯Âª ¤¢ f ù¤ f~ âƒê— ‚î ´¨ ü€ãõ öÀ“ ßþ .0 deg(f ) =

F

:

!

I2

' [f ℄

ü€ãþ .

R

üµª‘Ú÷ ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ;

F (t; 0)

âìø ¤¢ .

=

=

F (t; 1)

=

f~

 "0

0 ø F (1; t)

=

(e Æ F )(0; t) = f (t) ‚î ´¨ ý ¤ Ï e Æ F : I 2

,

f

ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ; ÝÆƒê¤ õø þ

'

 "1

Áó ø

,ßþÂ“‘€“

2

Ýþ ¤¢ ,´¨ ÂþÁ• ­‘±Ö÷

0 ,F (0; t)

= f~(t)

R

ö

‚î ¢¤¢ ¢›ø

! S1 F (s; t) = (1 s)f~(t) (e Æ F )(t; 0) = (e Æ F )(t; 1) = 1 (e Æ F )(1; t) = 1 ' [f ℄ = ["1 ℄ 2  (S; 1) ,‘õ .

,

.Àª‘“üõ

ö¢“ ׃±Øþ ߃±õ ‚î ,

.Àª‘“üõ ‘Þ— ö‘û“ ø ,´¨

.´¨

Z

Z

¥ –¤‘±ä ’ƒ— ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

.‚¹ƒµ÷ 12.4.7

176

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1 ùÂþ¢

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

‘€“ ‚î ´¨ üÞ؟ ,¢Â“ ¤‘î ߃óø

.Ýþ “üõ ö‘þ‘• ‚“ ¢Â“ ¤‘î ø¢ ‘“ ¤ Ç¿“ ßþ .´¨ ¤ úÈõ ±› ü¨‘¨ ‚ b ƒÌì

,´“‘™ ƒè ø Íܵ¿õ ý‚Üޛ À€ Âû

.(±› ü¨‘¨ ‚bƒÌì) ‚¹ƒµ÷ 13.4.7 .¢¤¢ ‚Èþ ¤

‚“ ¤ îÁõ ý‚Üޛ À€ ‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ ,¶½“ ´ƒÜî ¥ ßµ¨‘î öøÀ“ :–‘±™

p ݃€î ­Âê .1  k ø ´¨ p(z ) = a0 + a1 z +


+ ak 1 z k

1 + a zk k

Ûت

݃€îüõ Óþ Â㗠,ö€î .Àª‘“ ‚µªÀ÷ (ý‚Èþ ¤ ,ü€ãþ) ý ÂÔ¬ ºƒû

G : I  [0; 1) ! ´ª‘Ú÷

S1

.Àª‘“üõ ‚µ¨ƒ•




C G

G(t; r) =

‚î ´¨ ߪø ¤

0  t  1ø0  r

.

‚ b Γ‘® ‘“ ¤

(

F (t; r) =







p r exp(2it) p(r)
p r exp(2it) p(r) ‘¹€þ ¤¢ ‚î

F : I 2 ! S1

0  t  1 ; 0  s < 1 Âð 0t1; s=1 Âð

G t; 1 s s exp(2it)

‚Ø€þ ‚“ ÂÑ÷ .݃€îüõ Óþ Âã—

lim F (t; s) =

s!1



lim G

s!1

f0 (t)

ø

ßþ

2

= 1

F

,‘õ

deg(f1 ) =

.

s

1 s

exp(2it)

= ´±Æ÷ ü•—Þû

t;




k

= lim

s!1

G(t; r)

= exp(2ikt)

F ‚î ¢¢Âðüõ ‚ÑŸ…õ F (t; 0) ߃“ f0; 1g ‚“ .f1 (t) = exp(2ikt)

‚î ¢ªüõ ùÀû‘Èõ ,߃€»Þû .´¨ ‚µ¨ƒ• .Àª‘“üõ

k

F (t; 1) ø f0 (t) = ,deg(f0 ) = 0 ßþÂ“‘€“ .(k = 0 ‚Ø÷ ÂÚõ) ´¨ Ë쑀—

f1 (t)

‚î üó‘Ÿ ¤¢

=

¤ ø¢‘þ .´¨ éø Âãõ ‚½Ô¬ ¤¢ ¤ øÂ“ ´“‘™ ‚ÎÖ÷ ‚ b ƒÌì ö€ä ´½— ýÀ㓠¢Â“ ¤‘î ý¤¢ Ý؟ ßþ .ÝþÀ÷‘¨¤ –‘±™ ‚“ ¤

I ýÂ“ ‚“‘Èõ ý‚ƒÌì 4.4 Ç¿“ ¤¢ ‚î Ýþªüõ

.À€îüÞ÷ ´þ‘Ôî ö –‘±™ ýÂ“ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î ,´Æû ƒ÷ —„‘“ ¢‘㓐 ´ó‘Ÿ ‚“ ݃Þã—

‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ Âû .¢¤¢ ¢›ø

.(‚½Ô¬ ¤¢ ¤øÂ“ ´“‘™ ‚ÎÖ÷ ‚bƒÌì) ‚¹ƒµ÷ 14.4.7

f (x) = x ‘“ x 2 D 2

ý‚ÎÖ÷ ,ü€ãþ .¢¤¢ ´“‘™ ý ‚ÎÖ÷

f

: D2

! D2

8.7 Ûت

177

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

f (x) 6= x ý x 2 D 2 Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ßþ ÓÜ¡ ­Âê :–‘±™ 1 2 ! S1 üµª‘Ú÷ ¢¤ ¡Â“ ¥ ‚î ´¨ S “ ý‚ÎÖ÷ '(x) ‚î ¢Þ÷ Óþ Â㗠ö—üõ ' : D Ûت ‚“ ;¢¢Âðüõ Û¬‘Ÿ x ´Þ¨ ¥ ö øÀ— ų¨ ø x ‚“ f (x) ¥ Û¬ø Í¡ ù¤‘• 1 2 Ýþ ƒð .´¨ üúþÀ“ ,´¨ ‚µ¨ƒ• ' ‚Ø€þ .¢ª ‚›— 8.7 ÂÚÈþ‘Þ÷ i : S ,! D ÂþÁ³Ìþã— Âþ ¥ ¤¢Þ÷ ùø…ã“ ø ' Æ i = 1S1 ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ýµŸ ´ª‘Ú÷ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .

S1

S

1 1

QQ

-

:´¨

S1

QQ 6' s 2 Q

i

D

:¢¢Âðüõ Âþ ¥ ÂþÁ³Ìþã— ¤¢€— ¶ä‘“ ¢¡ ßþ

(S1; 1)

- (S1; 1) QQ 6' i Q QQs 2 S

1( 1;1)





(D ; 1)

¤¢Þ÷ ßþÂ“‘€“ ø ,´¨ ÂþÁ³®‘±Ö÷

Z

1

QQ

i

Z -Z

D2

(D 2 ; 1) = 0 ‘õ

Âþ ¥ ,

QQ 6' Qs 0



Image(1Z) = ‚î üó‘Ÿ ¤¢ Image(' Æi ) = 0 Âþ ¥ ,´¨ ñ‘½õ ßþ ;´¨ ÂþÁ³Ìþã—

2

.À€îüõ –‘±™ ¤ ÂÑ÷ ¢¤ õ Ý؟ ,¤ îÁõ Ë쑀— .Z

.ßþ Âޗ 15.4.7 ø ‚µêÂð

ff (t) j t 2 I g 

C

¤ µ÷‘î ¤

:Àƒ€î ´“‘™ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢

,­ø ÂÔõ [f ℄Z 2 (S1; 1) ý¥ ‚“ dz 1 ݃€îüõ Óþ Â㗠.w (f ) := 2i z

(1

178

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

S1 ùÂþ¢

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 4.7

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð 7 ÛÊê

w(f ) (1 ,´¨ f 2 [f ℄ ’‘¿µ÷ ¥ ÛÖµÆõ w (f ) (2 .w (f ) = deg(f ) (3 ,´¨ ¼ƒ½¬ ý¢Àä

k ‚î ,´¨ f (z ) = z k ‚bΓ‘® ‘“ üµª‘Ú÷ f : S1 ! S1 Ýþ ƒð (S1; 1) ! ´ª‘Ú÷ ,(S1; 1)  = Z ÝÆƒê¤ õø þ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ .Àª‘“üõ 1 .Àƒ€î Ӄ¬— ¤  (S ; 1)

¼ƒ½¬ ý¢Àä

f

:

¤¢ ¤

S1

 S1 (t) = (1; exp(2it)) (t) = (exp(2it); 1)    ø

¤¢

¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ¤ ¤‘î ßþ :üþ‘Þ€û¤) .

(2

ý‘úû¤ (3

Àƒû¢ ö‘È÷ .Àþ ƒړ ÂÑ÷ (.Àƒû¢ ‘¹÷ ‘û¤¢Þ÷

.Àƒ€î ‚±¨‘½õ ¤

1 


 S1; (1;


; 1)) ý¢‘ƒ€“ ùø Âð (S } {z | ‘—

é¤ õÿÞû

S3

(4

n

ùÂî ‘“ ’ƒ— ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (3)-25.2.7 ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (5 .´Æƒ÷

ù¢‘¨ À€±Þû

fz g f : D2 ! D2

D2

ÝÆƒê¤ õÿÞû

‘ú÷ ý¥ ‚“ ‚î

z

2 D2

¯‘Ö÷ ‚ b äÞ¹õ ‚î Àƒ€î ´“‘™ (6

S1 ö‘Þû ‘fÖƒì¢ ,´¨ 1 1 .f (S ) = S ù‘Ú÷ ,Àª‘“

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ ,ų¨ .´¨

:Àƒ€î ‚±¨‘½õ ¤ Âþ ¥ ý‘û‘Ìê ¥ ×þ Âû ý¢‘ƒ€“ ùø Âð (7 :C

 =C

f0g

(1

:'(z ) = 2z ø G = f j n 2 Zg ö ¤¢ ‚î ,C  =G (2 : (z ) = 2z  ø H = f n j n 2 Zg ö ¤¢ ‚î ,C  =H (3 .a(z ) = z ø ´¨ ü÷‘Þû ÝÆƒê¤ õÿÞû e ‚î ,C  =fe; ag (4

'n

179

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

8 ÛÊê üȪ• ý‘û‘Ìê ¤ ö ‚ b ±¨‘½õ ۟Âõ ø ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Â𠫁ʡ ¤¢ Û±ì ÛÊê ‘ØŸ ¥ ý ¤‘ƒÆ“ ¤¢ ,¤‘î ßþ üܬ ù b ƒÚ÷ .݃û¢üõ ‘¹÷ ƒ¡ ÛÊê ¤¢ ¤ ¤‘î ßþ .¢¢ ݃Þ㗠ö—üõ ¤

e

: R

! S1

‚“ ‚ƒ±ª ý¢ÂØÜÞä ö‘Øõ ‚î ´¨ «Ê¿“ üþ‘úµª‘Ú÷ ßµêÂð ÂÑ÷

ýÀ㓠ý‘úÈ¿“ ¤¢ ø ‚µ¡¢Â• ‘ú÷ üêÂãõ ‚“ ñø Ç¿“ ¤¢ .üȪ• ý‘úµª‘Ú÷ :À÷¤¢ .݃€îüõ ‚±¨‘½õ ¤ ‘û‘Ìê á÷ ßþ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ,‘ú÷ «¡ ö‘ƒ“ ßÞ®

ñ‘·õ À€ ø ÓþÂ㗠1.8 ýÂ“ üÔþ Â㗠ö€ä ‚“ ¤

e

: R

! S1

´ª‘Ú÷ «Ê¡ ¤¢ 3.4.7 Ýó ,áø ª ýÂ“

!Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ .Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷  ¹õ üä‘Þµ› –¤ ¬ ‚“

p

1 (U )

‚î ݃Žð

p : X~

p : X~ ! X ‘úµª‘Ú÷ ¥ ⃨ø ýù¢÷‘¡

!X

.ÓþÂ㗠1.1.8

݃€î ­Âê

p ͨ— ùÀª ùÀ÷‘ª• ‘f€ƒÖþ

p ͨ— ‘ú÷ ¥ ×þ Âû ‚î ý‚÷ð ‚“ ,Àª‘“ X~

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

X

¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥

.À÷ªüõ ÂþÊ—

üȪ•

U

U

ýø “ é¤ õÿÞû

.ÓþÂ㗠2.1.8

p : X~ ! X ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ùÀ÷‘ª• ‘f€ƒÖþ p ͨ— ‚î ¢ª ´ê‘þ x ¥ üÚþ‘ÆÞû ×þ x 2 X Âû ý¥ ‚“ ø ù¢“ ‘ª• ~ ! X ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .¢ªüõ ‚î ´¨ üȪ• ´ª‘Ú÷ ü—¤ ¬ ¤¢ p : X ‚î ݃Žð

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤

181

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ñ‘·õ À€ ø ÓþÂ㗠1.8 ø ,Àª‘“ ‘ª• ø ‚µ¨ƒ•

fUj j j 2

¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ù b ¢÷‘¡ ø

x ¥ U

x2X

¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ,

1 (U ) = S j 2J

p

Uj \ Uk = ; ݃ª‘“ ‚µª¢ ,k 6= j ‘“ k; j 2 J

ø ,

Uj

,

‚“

p

‚ b µê‘þ ÀþÀ½—

pjUj

:

Uj

!U

j

´ª‘Ú÷ ,

2J

(1

Âû ý¥ ‚“ (2

ùí ¢ª ´ê‘þ ý‚÷ð ‚“ ,

,

p

X~ ¤¢ J g Uj

(

Âû ý¥ ‚“ (’ Âû ý¥ ‚“ (š

.Àª‘“ ÝÆƒê¤ õÿÞû

¤

X ø üȪ• ý‘Ìê

¤

X~

üȪ• ´ª‘Ú÷

,

.݃õ‘÷üõ

e

:R

! S1

¤

p : X~ ! X ‘fŸ…ܐ ´ó‘Ÿ ßþ ¤¢

p : X~ ! X üȪ• ´ª‘Ú÷ ‚bþ‘• ý‘Ìê

üþ‘Þ÷ ´ª‘Ú÷ ‚î Àª ù¢¢ ö‘È÷ 3.4.7 Ýó ¤¢ (1

.ñ‘·õ 3.1.8

.´¨ üȪ•

.´¨ üȪ• üµª‘Ú÷ ,h : X ! Y ÝÆƒê¤ õÿÞû Âû (2 ~ X = ø ‚µÆÆð ý ó•— ‘“ üþ‘Ìê Y ,ù¿ó¢ ý ó•— ý‘Ìê X ݃€î ­Âê (3 ~ ! X ݃€î ­Âê .Àª‘“ ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý ó•— ¤‘µ¡‘¨ ý¤¢ X  Y “ ÂþÊ— p : X

p –¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ñø ‚bÔóbõ 1 1 ‘“ p : S ! S ´ª‘Ú÷ .Àª‘“ ÂÔ¬ Óó‘¿õ ø ¼ƒ½¬ ý¢Àä n ݃€î ­Âê (4 n b Γ‘® ‚“ ‚î ¢ª ‚›— ´¨ üê‘î ,°ÜÎõ ßþ –‘±™ ýÂ“ .´¨ üȪ• p(z ) = z ‚ 1 fxg ¥‘“ ‚äÞ¹õ ,x 2 S1 Âû ý¥ .¢ªüõ ùÀ÷‘ª• ‘f€ƒÖþ p ͨ— S b .´¨ üȪ• üµª‘Ú÷

Âþ ¥ Óþ Â㗠¤¢ ¤ ‘ú€þ

.À€õ‘¹÷üõ üȪ• ý‘û‘Ìê ‚“ ü¬Ê¿“ ý‘û‘Ìê

G

.݃€îüõ üêÂãõ

“

G ÛÞä ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢

.Àª‘“ ‘Ìê

G ×þ X

Ýþ ƒð

.ÓþÂ㗠4.1.8

x 2 X Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ …fõ‘î X 0 0 0 .(g  V ) \ (g  V ) = ; ݃ª‘“ ‚µª¢ ,g 6= g ‘“ g; g 2 G Âû ý¥ ‚“ ‚î

¢ª ´ê‘þ ö‘€

x ¥ V

ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ,

.Ýó 5.1.8

X “ G Âð .g  x 6= x ý x 2 X Âû ø g 6= 1 ‘“ g 2 G Âû

f õ‘î ¤ Ï ‚“ ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Á€î ÛÞä ‚µ¨ƒ•‘÷ …

ù‘Ú÷ ,Àª‘“

2

x

ýÂ“ „‘“ Óþ Â㗠¤¢ ¤ îÁõ ´ƒ¬‘¡ ‘“ üÚþ‘ÆÞû ×þ

V

Âð :–‘±™

(g  V ) \ V = ; ø g  x 2 g  V

.

182

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ñ‘·õ À€ ø ÓþÂ㗠1.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ۃó¢ ù b À€û¢ ö‘È÷ ‚î Ýþ ¤ øüõ ý‚ƒÌì ,úÔõ ßþ ¥ üó‘·õ ‚÷ð Âû žÂÏ ¥ ǃ• .´¨ úÔõ ßþ žÂÏ

f õ‘î ‚µ¨ƒ•‘÷ …

X

“

G ÛÞä Âð

.‚ƒÌì 6.1.8

G ×þ X Ýþ ƒð .´¨ üȪ• p : X ! X=G ´ª‘Ú÷ ù‘Ú÷ ,Àª‘“

.Àª‘“ ‘Ìê

,12.3.3 ‚ b ƒÌì ‚“‘€“ ,߃€»Þû .´¨ ‚µ¨ƒ• ø ‘ª• f õ‘î ¯Âª ¤¢ ‚î ,Àª‘“ …

G x

=

x

2X

‚ b ÎÖ÷ ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû

¥ ¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ×þ

p(U )

,´¨ ¥‘“

‚î ,(¢ª ‚›— 12.3.3 ‚ b ƒÌì –‘±™ ‚“) ,ùø…ã“

.Àª‘“üõ

X

p ‚î Ýþª üõ ¤Áµõ Àµ“

p

U

p ö

1 (p(U )) =

Ýþ ƒð

.´¨ ¥‘“

:–‘±™

p ´ª‘Ú÷

.À€îüõ ëÀ¬ üÚµ¨ƒ•‘÷

S

g2G g  U

ø ´¨

p(x)

fg  U j g 2 Gg pjg  U : g  U ! p(U ) 2

¤¢ ý ¹õ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ýù¢÷‘¡

.Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õÿÞû ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø ,´¨ üþ¨ø¢ ø ¥‘“ ,‚µ¨ƒ•

.ñ‘·õ 7.1.8

x + n –¤ ¬ ‚“ ‚î R “ Z ÛÞä (1 f õ‘î (x "; x + ") –¤ ¬ ßþ ¤¢ ," < 1=2 ø x 2 R Âð ‚î Â .´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ … f õ‘î ¯Âª ¤¢ ‚î ´¨ x ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû Z ÛÞä ßþ ö .¢¤¢ ëÀ¬ üÚµ¨ƒ•‘÷ … p : R ! R=Z ´ª‘Ú÷ ‚î ݃€îüõ ùÀû‘Èõ ,À€îüõ ÛþÀ±— ‘Ìê Z ×þ ‚“ ¤ ö ,R “

,¢ªüõ Óþ Âã—

n x

:=

f Þä ´ª‘Ú÷ ßþ ‚î Àû¢ ö‘È÷ À÷—üõ ùÀ€÷¡ .´¨ üȪ• üþ‘Þ÷ ´ª‘Ú÷ ö‘Þû … .´¨

e:R !Z

p : Sn ! RP n ø ,À€î ÛÞä 1  x = x –¤ ¬ ‚“ Sn “ Z2 ݃€î ­Âê (2 ý¥ ‚“ ,Âþ ¥ .´¨ üȪ• p ´ª‘Ú÷ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ üãƒ±Ï ÂþÊ— ´ª‘Ú÷ n xk < 1=2g ‚bäÞ¹õ ,x 2 Sn ¯Âª ¤¢ ‚î ´¨ x ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû fy 2 S j ky n é¤ øÀ¨ø‘û S ø x 6= x ö› ,‚Ø€þ ÂÚþ¢ ۃó¢ .À€îüõ ëÀ¬ üÚµ¨ƒ•‘÷ …fõ‘î x ø x ¥ °ƒ—µ“ W ø V ý ¹õ ¥‘“ ý‘ûüÚþ‘ÆÞû ,´¨ ßþ ¤¢ ;À÷ªüõ ´ê‘þ f õ‘î ¯Âª ¤¢ x ¥ V \ ( W ) üÚþ‘ÆÞû ,–¤ ¬ .À€îüõ ëÀ¬ üÚµ¨ƒ•‘÷ … ¤¢ ¤

X

“

G ÛÞä ‚î Ýþªüõ ¤ ø¢‘þ

.¢¢ ݃Þ㗠ö—üõ ¤ (2)-7.1.8 ñ‘·õ

g  x 6= x ý x 2 X Âû ø g 2 G

.

f1g

Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð ¢¥ ü—¤ ¬

.‚ƒÌì 8.1.8

X ý ó•— ý‘Ìê “ ¢¥ –¤ ¬ ‚“ ø ù¢“ üû‘€µõ G ùø Âð Âð f õ‘î X “ G ÛÞä –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€î ÛÞä .´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ … 183

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ñ‘·õ À€ ø ÓþÂ㗠1.8

G = fg0 = 1; g1;


; gn g Ýþ ƒð :–‘±™ ö—üõ ý‚÷ð ‚“ gn  x ø . . . ,g1  x ,g0  x ¥ °ƒ—µ“ Un ø . . . ,U1 ,U0 ¥‘“ Tn 1 j =0 gj  Uj âÎÖõ U Ýþ ƒð .U0 \Uj = ; ý j = 1; 2;


; n Âû ý¥ ‚“ ‚î ´ê‘þ ‚î ¢¢Âðüõ ‚ÑŸ…õ ,°ƒ—— ßþ ‚“ .Àª‘“üõ x ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ž®ø ‚“ ‚î ,Àª‘“ X

ý‘úƒÚþ‘ÆÞû ,´¨ é¤ øÀ¨ø‘û

gi  U

n \

=

j =0

ö .

gi  (gj 1  Uj )  gi  (gi 1  Uj ) = Ui gj 1 gi = gk Âð ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

(gi  U ) \ (gj  U ) =

gj




((gj 1 gi )  U ) \ U = gj  (gk  U ) \ U


 gj  Uk \ U  gj  Uk \ U0

2 Zp

f õ‘î .´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ … ø ,ñø

p ‚“ ´±Æ÷ ø üãƒ±Ï ý¢Àä q –¤ ¬ ‚“ ¤

.ñ‘·õ 9.1.8



S3

,ñø ý¢Àä



exp

.Ýþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢

C2

 2i 

 2iq 

z0 ; exp

p



¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ö€ä ‚“

p

z1



h ,–¤ ¬ ö‘þ ¤¢ .݃€îüõ Óþ Â㗠i ù‘Ú÷ ,݃€î Óþ Â㗠©¢¡ ‘“ ¤‘“ i ¢À㗠‚“ h °ƒî— ¤ h Âð 3 1g ƒ™‘b— ݃€î –¤ ¬ ‚“ ¤ (z0 ; z1 ) 2 S “ n 2 Zp = f0; 1;


; p

ùø…ã“ ø ,´¨ ©¢¡ ýø “ ­Âê ñ‘Ÿ

X “ G ÛÞä ,ßþÂ“‘€“

2 C 2 jz0 j2 + jz1 j2 = 1

h : S3 ! S3 ´ª‘Ú÷ h(z0 ; z1 ) =

=;

p Ýþ ƒð 3 Àƒ€î ­Âê ,߃€»Þû ,Àª‘“ p ‚b±—Âõ ¥ ý ¤ ø¢ ùø Âð

S3 ùbÂî

 S3 = (z0 ; z1 ) ‚ b Γ‘® ‘“ ¤






p .h = 1S3

¥ üÞƃêÂõÿÞû

n  (z0 ; z1 ) = hn (z0 ; z1 ) ´¨ ¢¥ ÛÞä ßþ .¢¢Âðüõ ÛþÀ±— ‘Ìê üȪ• ´ª‘Ú÷

S3

!

.݃û¢üõ ö‘È÷

ö—üõ üµŸ¤ ‚“

S3=Zp

Zp ×þ

‚“

S3 ,°ƒ——

üãƒ±Ï ÂþÊ— ,ßþÂ“‘€“

L(p; q) ¢‘Þ÷ ‘“ ø ùÀƒõ‘÷ €ó ý‘Ìê

.Àª‘“üõ

RP 3

.¢¢ ݃Þ㗠ö—üõ

f Þä ö‘Þû …

S2n+1

L(2; 1)

 Cn

+1

“

ßþ ‚“ .݃€î Óþ Âã—

.Àª‘“üõ é¤ øÀ¨ø‘û

S3

ø

.´¨ ¤

S3=Zp ´ÞÆì

š¤‘¡

.´ª¢¢‘þ 10.1.8

Zp ÛÞä

´ó‘Ÿ ‚“ ¤ „‘“ ñ‘·õ

184

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚ƒóø «¡ 2.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

‚ƒóø «¡ 2.8 ,À÷¢“ ‘úûø Âð ÛÞä ¥ ¶ã±€õ ‚î ,Ýþ¢¤ ø üȪ• ý‘û‘Ìê ¥ ö€î ‘— ‚î üþ‘úó‘·õ ¤¢ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ý¤¢ ý‚þ‘• ý‘û‘Ìê ø À÷¢“ ¥‘“ ,üȪ• ý‘úµª‘Ú÷ ‚ b Þû f Þä Âõ ßþ ´¨¤¢ üȪ• ý‘úµª‘Ú÷ ‚ b ƒÜî ýÂ“ …

.À÷¢“ üȪ• ´ª‘Ú÷ ‚“ ´±Æ÷ .Àª‘“üõ

–¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ üȪ• ´ª‘Ú÷

p : X~ ! X Ýþ ƒð

.‚ƒÌì 1.2.8 p ´ª‘Ú÷

(1

p ‚“ ´±Æ÷ üµÞÆì š¤‘¡ ý ó•— ý¤¢ X

(2

ø :´¨ ¥‘“

.Àª‘“üõ

p ´ª‘Ú÷ ö .x 2 p(U ) ø X ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ U Ýþ ƒð :–‘±™ :x ~2p \ U ݃€î ­Âê .¢¤¢ ¢›ø x ¥ V ýùÀª ùÀ÷‘ª• ‘f€ƒÖþ ¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ~ ¤¢ Vj ý¥‘“ ‚bäÞ¹õ ,x~ 2 p 1 (V ) = S .x ~ 2 Vj ‚î ¢¤¢ ¢›ø X j 2J Vj ö ‚ÑŸ…õ ,Àª‘“üõ V ýµ“ Vj ¥ ÝÆƒê¤ õÿÞû ×þ pjVj ø ´¨ ¥‘“ Vj ¤¢ Vj \ U ö ßþ ‚“ X ¤¢ V ö¢“ ¥‘“ ,‘õ .´¨ V ¥ ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ p(Vj \ U ) ‚î ݃€îüõ .Àª‘“üõ ¥‘“ p ´ª‘Ú÷ Áó ø ´¨ ¥‘“ p(U ) ‚î ´¨ ü€ãõ ø ´¨ ¥‘“ ø ‚µ¨ƒ• p ´ª‘Ú÷ ‚î ¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ´ƒãìø ßþ ¥ ‚ƒÌì ø¢ ´ÞÆì 1 (V )  X ~ ‚î ´¨ ¥‘“ üµìø ‘ú€— ø üµìø V  X ‚bäÞ¹õ Âþ ¥' ßþÂ“‘€“ ,"Àª‘“ ¥‘“ p ,´¨ üȪ•

1 (x)

2

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø

üµª‘Ú÷ ‚î)

e:R

! S1

üþ‘Þ÷ ´ª‘Ú÷ «Ê¡ ¤¢ Û±ì ÛÊê ‘ØŸ ¥ ý ¤‘ƒÆ“

.݃û¢üõ ݃Þ㗠ù¿ó¢ üȪ• ý‘úµª‘Ú÷ ´ó‘Ÿ ‚“ ,(´¨ üȪ•

f :Y

!X

´ª‘Ø÷ ø Àª‘“ üȪ• .p Æ f~ = f

‚î ´¨

f

p : X~

âƒê—

!X f~ : Y

´ª‘Ú÷ Âð

! X~

.ÓþÂ㗠2.2.8

݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ ,‚µ¨ƒ•

f Þä ,¢›ø –¤ ¬ ¤¢ âƒê— ,À㓠Ýó §‘¨ “ .´¨ ‘µØþ …

~ ø ù¢“ üȪ• p : X ~ ! X ~ f^ : Y ! X f; f^(y0 ) = ý y0 2 Y ×þ ý¥ ‚“ ø Àª‘“ À€±Þû Y

âƒê—

´ª‘Ú÷ Ýþ ƒð

.Ýó 3.2.8

f : Y ! X ´ª‘Ú÷ ^ ~ .f = f –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,f~(y0 )

Âð .À€ª‘“

185

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

‚ƒóø «¡ 2.8

Y 0 ŕ ,y0 2 Y 0 ö .Y 0 = fy 2 Y j f~(y) = f^(y)g ݃€î ­Âê :–‘±™ 0 ùÀª ­Âê À€±Þû Y ö ø ,´¨ ‚µÆ“ ø ¥‘“ Y  Y ‚î ݃€î ´“‘™ ݃û¡üõ .´¨ 0 ‘Þ— ö‘û“ ø f^(y ) = f~(y ) ý y 2 Y Âû ý¥ ‚“ ,ü€ãþ ;Àª‘“ Y = Y Àþ‘“ ,´¨ üú— ƒè

.¢ªüõ

y 2 Y Ýþ ƒð fVj j j 2 ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ ¥  ¹õ üä‘Þµ› p .´¨ p ͨ— ùÀª ùÀ÷‘ª• 0 ,y 2 Y Âð .´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû pjVj : Vj ! V ý j 2 J Âû ý¥ ‚“ ‚î Àª‘“üõ J g 1 (V ) \ f^ 1 (V ) ø f~(y ) = f^(y ) 2 V ý k 2 J ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ üÚþ‘ÆÞû Wk = f~ k k k 0 f ݃€î ­Âê ,°ÜÎõ ßþ ù b Àû‘Èõ ýÂ“ .¢¤¢ ¤Âì Y ¤¢ ‘õ‘Þ— ‚î Àª‘“üõ y ¥ ý¥‘“ ~ p(f (x)) = f (x) = ‚î üó‘Ÿ ¤¢ :f^(x) 2 Vk ø f~(x) 2 Vk –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,x 2 Wk 0 ¤¢ .x 2 Y Áó ø f~(x) = f^(x) ‘fõ ó ßþÂ“‘€“ ,´¨ ÝÆƒê¤ ÞÿÞû pjVk ø p(f^(x)) 0 0 ßþÂ“‘€“ ø ,¢¤¢ ¤Âì Y ¤¢ ‘fõ‘Þ— ‚î ´¨ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû ý¤¢ Y ¥ ‚ÎÖ÷ Âû ‚¹ƒµ÷ 0 0 ,k 6= l ‚î À÷¤¢ ¢›ø ý k; l 2 J ù‘Ú÷ ,y 62 Y Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .Àª‘“ üõ ¥‘“ Y ‘f€ƒÖþ ‚î ¢¤¢ ¢›ø

f (y)

¥

V

ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

1 (V ) ,ü€ãþ

f^(y) 2 Vl ø f~(y) 2 Vk ¤¢ .¢¤¢ ¤Âì Y Y 0 ¤¢ …fõ‘î ‚î Àª‘“üõ y ¥ ý¥‘“ üÚþ‘ÆÞû f~ 1 (Vk ) \ f^ 1 (Vl ) 0 2 .´¨ ‘Þ— ö‘û“ ,°ƒ—— ßþ ‚“ ø :´¨ ‚µÆ“ Y Áó ø ¥‘“ Y Y 0 ‚¹ƒµ÷ ‚î ¢¢ ö‘È÷ ö—üõ „‘“ ñ„Àµ¨ ö‘Þû ‘“ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .

.¢¤¢ ¢›ø Âþ ¥ žÂª ‚“ Ý؟ ßþ ¥ °þ Âè ý‚¹ƒµ÷

üû¤ À€±Þû

X~

ø ù¢“ üȪ• ´ª‘Ú÷

p : X~

!X

݃€î ­Âê

.‚¹ƒµ÷ 4.2.8

! ݃€î ­Âê .Àª‘“ p Æ ' = p ‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ø÷ ' ~ ' = 1X~ ,ü€ãþ) '(x) = x ý x 2 X Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,'(x1 ) = x1 ý x1 2 X~

×þ ý¥ ‚“ Âð .Àª‘“

~ :X

X~

.(´¨ ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷

x ‚“ x1 ¥ üû¤  : I ! X~ ø X~ ¥ ù¿ó¢ ý‚ÎÖ÷ x ݃€î ­Âê :–‘±™ :p Æ  = p Æ (' Æ ) ,ùø…ã“ .À÷ªüõ ¥‘è x1 ¥ ' Æ  ø  ù¤ ø¢ Âû ,'(x1 ) = x1 ,3.2.8 „‘“ Ýó ‚“‘€“ ,ñ‘Ÿ .À€µÆû p Æ  : I ! X ù¤ íµÈõ âƒê— ' Æ  ø  ,ü€ãþ '(x) = ü€ãþ .À€µÆû üØþ ' Æ  ø  üþ‘úµ÷ ¯‘Ö÷ ,ßþÂ“‘€“ .' Æ  =  üµÆþ‘“ 2 .(' Æ )(1) = '((1)) = (1) = x ö .Àª‘“

.¢¢Âðüõ –‘±™ 8.4.7 Ýó ø 6.4.7 ‚ b ƒÌì ‚ƒ±ª ýÀ㓠Ý؟

.Àª‘“ üȪ• ´ª‘Ú÷

p : X~ ! X Ýþ ƒð

.ü•—Þû ù¤ âƒê— ‚bƒÌì 5.2.8 –¤ ¬ ßþ ¤¢

186

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚ƒóø «¡ 2.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

f (0) ‘“ a 2 X~ Âû ø f : I ! X ­ø ÂÔõ ù¤ Âû ý¥ ‚“ ~ ¢Âԓ Âʽ€õ .f~(0) = a ø p Æ f~ = f ‚î ¢¤¢ ¢›ø f~ : I ! X

p(a)

=

üû¤ ,

p(a) = ‘“ a 2 X~ Âû ø F : I  I ! X ­ø ÂÔõ ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ Âû ý¥ ‚“ ~ = F ‚î ¢¤¢ ¢›ø F~ : I  I ! X ~ üþ‘µØþ ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ,F (0; 0) ø pÆF ~ (0; 0) = a .F

(1

(2

.Àª‘“üõ ‚ƒ±ª ƒ÷ ö –‘±™ ø ´¨ 9.4.7 ‚ b ¹ƒµ÷ ‚ƒ±ª ýÀ㓠‚ b ¹ƒµ÷

°ƒ—µ“

f~1 ø f~0 ø ,ù¢“ X ¤¢ ¥ ¤ Ýû ù¤ ø¢ f1 ø f0 Àƒ€î ­Âê .f~0 (1) = f~1 (1) ù‘Ú÷ ,f~0 (0) = f~1 (0) ‚»÷‘€

.‚¹ƒµ÷ 6.2.8 .À€ª‘“

f1 ø f0 âƒê—

.݃û¢üõ ݃Þ㗠¤ 11.4.7 ‚ b ƒÌì ¥ üµÞÆì ,ö€î

.‚ƒÌì 7.2.8

a 2 X~ ø ù¢‘¨ À€±Þû X~ ,üȪ• üµª‘Ú÷ p : X~ ! X Ýþ ƒð p 1 (p(a)) ø (X; p(a)) ý‘û‚äÞ¹õ ö‘ƒõ ׃±Øþ ý Âґ€— –¤ ¬

ßþ ¤¢

.Àª‘“

.¢¤¢ ¢›ø ‚ b µÆ›Â“ –‘ÚØ÷ .Àª‘“üõ 11.4.7 ‚ b ƒÌì –‘±™ ýµ½õ ö‘Þû ‘f¨‘¨ –‘±™ ßþ :–‘±™

(X; p(a)) ~ .Àª‘“üõ f (0) = a ¯Âª ‘“ f ‚ b Γ‘® ‘“ ¤

'

:

! p 1 (p(a))

âƒê—

f~ ‘¹€þ

´ª‘Ú÷ Àµ“

.Ýþªüõ ÂîÁµõ ¤ ö

¤¢ ‚î ,݃€îüõ Óþ Âã—

'([f ℄)

= f~(1)

.´¨ Óþ Â㵪¡ 6.2.8 Ýó ‚“ ‘€“ ´ª‘Ú÷ ßþ

p 1 (p(a)) ! (X; p(a)) ų¨ ~ ö .Àª‘“ x ‚“ a ¥ üû¤ f ø ,x 2 p 1 (p(a)) ݃€î ø¢ Âû ,´¨ ù¢‘¨ À€±Þû X .Àª‘“üõ  (X; p(a)) ¥ Óþ Â㵪¡ ý Âʀä [p Æ f ℄ ßþÂ“‘€“ .À÷¥ ¤ Ýû üû¤ ߃€ ' Æ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î ¢Þ÷ Ճֽ— ¢ªüõ üð¢‘Æ“ . (x) = [p Æ f ℄ ݃€îüõ Óþ Â㗠= 1p 1 (p(a)) 2 .´¨ üþ¨ø¢ ý Âґ€— ' ßþÂ“‘€“ . Æ ' = 1 (X;p(a)) ƒ÷ ø

­Âê ,¤ Ñ€õ ßþ ýÂ“ .݃€îüõ Óþ Â㗠¤

:

:´¨ š‘µ€µ¨ ۓ‘ì ‘ÈÚû¤ ‚ b µØ÷ ßþ „‘“ Ý؟ ¥

.´ª¢¢‘þ 8.2.8

p : X~ ! X üȪ• ý‘Ìê ×þ ,(X; x0 ) ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚b±¨‘½õ ýÂ“ p 1 (x0 ) “ ų¨ .Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû X~ ‚î ݃€îüõ žÂÎõ ý‚÷ð ‚“ ' : (X; x0 ) ! üþ¨ø¢ ⓑ— ‚î ݃û¢üõ ¤Âì ý‚÷ð ‚“ üûø Âð ý ¤‘µ¡‘¨ 1 (x ) .Àª‘“ ‘úûø Âð ߃“ ÝÆƒê¤ õø þ p 0 187

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê ‘¹÷

(S1; 1)

‚ƒóø «¡ 2.8

‚ b ±¨‘½õ ýÂ“ Û±ì ÛÊê ü÷‘þ‘• Ç¿“ ¤¢ ‚î ´¨ ý ¤‘î §‘¨ ßþ .´Æƒ÷ ù¢£‘¨ üÜî ´ó‘Ÿ ¤¢ ¤‘î ßþ

«‘¡ ´ó‘Ÿ À€ ,ýÀ㓠ý‘úÈ¿“ ¤¢

.Ýþ¢¢

.¢Þ÷ ݃û¡ žÂÎõ ¤ ö

.ßþÂޗ 9.2.8 X~0 = ø X ¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ X0 ,üȪ• üµª‘Ú÷ p : X~ ! X ݃€î ­Âê p0 (x) = p(x) ‚bΓ‘® ‘“ p : X~0 ! X0 ´ª‘Ú÷ Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ p 1 (X0 )

(1

.´¨ üȪ•

z1 = ,X~ = f(x; y) 2 R2 j ´¨ ¼ƒ½¬ ý¢Àä y ‘þ xg ‚î ݃€î ­Âê p(x; y) = –¤ ¬ ‚“ p : X~ ! X ø X = f(z1 ; z2 ) 2 S1  S1 j z2 = 1 ‘þ 1g
´ª‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .¢ª Óþ Â㗠exp(2ix); exp(2iy ) ~ !X .´¨ üȪ• p : X

(2

:À€µÆû üȪ• Âþ ¥ ý‘úµª‘Ú÷ Àî ‚î Àƒ€î É¿Èõ (3

;´¨ ¼ƒ½¬ ý¢Àä

! C sin : C ! C p : U ! C f1g

n ‚î ,p(z ) = z n ‚bΓ‘® ‘“ p : C  :

¼ƒ½¬ ý¢Àä

n ø m ‚î ,p(z ) = (1 z )m z n ‚bΓ‘® ‘“  .U = C .À€ª‘“ üȪ•

;´¨ üȪ•

~ W

= f(~ x; y~)

! Y p : X~ ! X ø

p  q : X~  Y~

!X Y

ø

f (~x; y~) = p(~x) ‚bΓ‘® ‘“ f

= exp(2it)

‚ b Γ‘® ‘“

e

: R

!

S1

(š

ý‘úµª‘Ú÷ Ýþ ƒð (4

Àƒ€î ´“‘™ (

= Y Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ ~ ! X ´ª‘Ú÷ ,ù‘Ú÷ :W

q ø p ‚î ü—¤ ¬ ¤¢ ~ ,À€ª‘“ .Àƒ€î É¿Èõ ¤ W “Â“

(’

ø À€µÆû

2 X~  Y~ j p(~x) = q(~y)g X

.´¨ üȪ•

e(t)

q : Y~

(

(’

(š

z + i °ƒ—µ“ ‚bΓ‘® ‘“ ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû a; b : C ! C Ýþ ƒð 1 Æ b ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .À€ª‘“ b(z ) = z + 1=2 + i ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø b Æ a = a m Æ b2n Æ b" j m; n 2 Z ; " 2 f0; 1gg ý‘úÞÆƒê¤ ÞÿÞû ¥ üûø Âð G = fa f õ‘î C “ G ÛÞä ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ,ùø…ã“ .Àû¢üõ ۃØȗ C ø ´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ … .Àª‘“üõ é¤ øÀ¨ø‘û C =G ý ¤Àõ ý‘Ìê ø

a(z )

=

(5

188

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚ƒóø «¡ 2.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

G ¤Àõ Âû ‚î Àƒ“‘ƒ“ ý‚÷ð ‚“ ¥‘“-݃÷ ۃεÆõ ×þ (5 ßþ Âޗ ‚bõ¢) f Þä C =G ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ų¨ ø Àª‘“ ‚µª¢ “ ¤¢ ¤ ö ¥ ‚ÎÖ÷ ý ÂΓ ö‘Þû … ×þ ‘ú€—

(6

.´¨ ßþ…î

':C

!

´ª‘Ú÷ Ýþ ƒð .R

'(x + iy) =



4

¤¢ ßþ…î ýÂΓ ýÂ“ ýùÀ€÷‘È÷

(6 ßþ Âޗ ‚ b õ¢) (7 ‚ b Γ‘® ‘“

os(2piy ); os(2pix); sin(4x); sin(2y ) os(2x); sin(2x) sin(2y )

R5 

G ùø Â𠖐¤Àõ ¥ ×þ Âû ' ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ .¢¢Âð Óþ Â㗠.´¨ é¤ õÿÞû ' ù b ¤‘Ú÷ ‘“ C =G ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ ų¨ ø ¢¤‘Ú÷üõ

‚ÎÖ÷ ×þ ‘ú€— ‚“ ¤

: R5

‚ b Γ‘® ‘“

! R4

´ª‘Ú÷ Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷

(p; q; r; s; t) = (p + 2)q; (p + 2)r; s; t




' ùb¤‘Ú÷ ‚“ ¤ .Àª‘“üõ é¤ õÿÞû ßþ…î ý ÂΓ ‘“ Æ'

ù b ¤‘Ú÷ ,ßþÂ“‘€“ .¢¢Âðüõ ÝÆƒê¤ õÿÞû ×þ Û¬‘Ÿ ,݃€î ÀþÀ½—

p : X~ ! X Àƒ€î ­Âê 1 (x) üܬ ¢Àä ¢Àä ßþ ‚î ü—¤ ¬ ¤¢ .Àª‘“üõ x 2 X ’‘¿µ÷ ¥ ÛÖµÆõ p ~ ! X ݃Žðüõ ,݃õ‘€“ n ¤ .´¨ ‚þ„ n üȪ• ´ª‘Ú÷ ×þ p : X Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ üû¤ À€±Þû

p

:

X

ø üȪ• üµª‘Ú÷

‚þ„-ø¢ üȪ• ´ª‘Ú÷ ×þ .Àª‘“ ßþ…î ý ÂΓ ÂÚÈþ‘Þ÷ .Àƒ€î üêÂãõ

‚î ݃Žð

ù¢‘¨ ‚bµÆ“ Ý¡

ýø “

S2

,Àª‘“

RP 2

ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ ­ø ÂÔõ ¼Î¨ ×þ ¥

ùÂî ¥ üãƒ±Ï ÂþÊ— ¤¢ ý‚µÆ“ Ý¡

C

p

: S2

¤¢ üû¤ ÂþÊ— ö€ä ‚“ ¤

C

S2

Àƒ€î ­Âê (9

S1

 S1 ! K

C

‚ b äÞ¹õ Âþ ¥

Ýþ ƒð .Àª‘“ é¤ õÿÞû

Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™

ø¢ ¥ üä‘Þµ› ‚Ø€þ ‘þ ø ¢“ Àû¡

RP 2

!

RP 2

K

(8

S1

(10

‘“

RP 2 ý ÂþÊ— ‚b½Ô¬ p 1 (C ) –¤ ¬ ßþ ¤¢

.Àª‘“

¤¢ ý‚µÆ“ Ý¡

:üþ‘Þ€û¤) .Àª‘“üõ  ¹õ ù b µÆ“ Ý¡ b ¢‘¨ ‚ (.Àƒ€î ¢ÀÞÜì

‘fރֵÆõ ,Ç¿“ ßþ ¤¢ ‘ØŸ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ¤

(S1  S1; (1; 1)) ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

(11

‚“ üȪ• üµª‘Ú÷ ,(9) ø (4) –‘€þ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ :üþ‘Þ€û¤) .Àƒ€î ‚±¨‘½õ (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ 7.2.8 ‚ b ƒÌì ¥ ų¨ ø Àþ ¥‘Æ“ -25.2.7 ßþ Âޗ) Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû

n

2 ‚ b ±—Âõ ¥ ø ý ¤ ø¢ (

2

‚î)

Sn

RP n

n

ù b Âî ,

R

2

 R ! S1  S1

Ûت

ý¥ ‚“ ‚î Àƒ€î ­Âê

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î Àƒû¢ ö‘È÷

(12

.((3)

189

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

‚ƒóø «¡ 2.8 p Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ ùø…ã“ .´¨ .´¨ p ‚ b ±—Âõ ¥ ø ý ¤ ø¢ L(p; q ) €ó

ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ñø ý¢Àä

é¤ õÿÞû

S2

‘þ

RP 2

‘“

S1

Y

‚î ¢¤¢ ¢›ø ý

Y

ý ó•— ý‘Ìê ‘þ

(13

?Â ?Àª‘“

p : X ! Y ø é¤ øÀ¨ø‘û üþ‘û‘Ìê Y ø X Àƒ€î ÂÌê ‚î ´¨ ßþ Àª‘“ ÀÜԃ€õ n ×þ X ‚Ø€þ ýÂ“ üê‘î ø ¥„ ¯Âª ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ ÀÜԃ€õ n ×þ Y

.Àª‘“ üȪ• üµª‘Ú÷

­Âê .Àª‘“ ý ó•— üþ‘Ìê

Y

ø üȪ• üµª‘Ú÷

p : X~

!X

݃€î ­Âê

f~ : Y ! X~ âƒê— ý¤¢ f : Y ! X ݃€î ×þ °›õ ,F (y; 0) = f (y ) ý y 2 Y Âû ý¥ ‚“ ‚î F : Y  I ! X ~ : Y I ! X ~ ‚µê‘þ âƒê— ü•—Þû ý y 2 Y Âû ý¥ ‚“ ‚î ,¢¢Âðüõ F ~ (y; 0) = f~(y ) .F

(14

(15

ü•—Þû Âû ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“

f; g : Y ! X~ ø ù¢“ üȪ• üµª‘Ø÷ p : X~ ! X Ýþ ƒð g ø f ‘ú÷ ý¥ ‚“ ‚î Y ¤¢ üϑÖ÷ ‚bäÞ¹õ Àƒ€î ´“‘™ .À€ª‘“ p Æ f = p Æ g .´¨ Y ¤¢ ‚µÆ“ ø ¥‘“ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ,À÷¤¢ ¤ÀÖõ ×þ

‘“ ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷

´¨ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ ƒ÷

X~

X~

‚î ,Àª‘“ üȪ• üµª‘Ø÷

p

~ : X

!X

Ýþ ƒð

(16

(17

Àƒ€î ´“‘™ .(¢ª ‚›— (10)-20.1.6 ßþ Âޗ ‚“) .´¨

p : X~ ! X ­ø ÂÔõ üÈȨ• ´ª‘Ø÷ ýÂ“ üȪ• ÛþÀ±— ¥ ¤ Ñ€õ ~ ~ ,üȪ• –…þÀ±— ‚ b Þû ‚ b äÞ¹õ Àƒ€î ´“‘™ .p Æ h = h ‚î ´¨ h : X ! X

üÞÆƒê¤ ÞÿÞû ,

(18

.Àû¢üõ ùø Âð ۃØȗ

X~ ‚î ,Àª‘“ üȪ• üµª‘Ø÷ p : X~ ! X Ýþ ƒð ~ “ p : X ~ ! X ýÂ“ üȪ• –…þÀ±— ùø Âð ÛÞä ‚î Àƒ€î f õ‘î ,X ‚µ¨ƒ•‘÷ … ´“‘™ .´¨ üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

(19

.´¨

190

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 3.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

üȪ• ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 3.8 ~ x~0 ) ùø Â𠑓 ¯‘±—¤ ¤¢ Ç¿“ ßþ p : X~ ! ‚î ,Àª‘“üõ (X; x0 ) ‘“ ö ¯‘±—¤ ø (X; žÂÎõ ßþ Âޗ –¤ ¬ ‚“ ‘ØŸ ¥ ý ¤‘ƒÆ“ .p(~ x0 ) = x0 ø ´¨ üȪ• üµª‘Ú÷ X .À÷ ùÀª .5.2.8 ‚ b ƒÌì ¥ ÛÊꅓ ´¨ ý‚¹ƒµ÷ ,Ý؟ ߃óø

x~0 2 X~ ø x0 2 X ,Àª‘“ üȪ• üµª‘Ú÷ p : X~ ! X Âð ~ x~0 ) ! üŽ‘Öó ÝƃêõÞû –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,p(~ p : (X; x0 )

.‚ƒÌì 1.3.8

,

=

x0

‚î ý‚÷ð ‚“

.´¨ ÝÆƒê¤ õ€õ

(X; x0 )

­ä ¤ ‚þ‘• Âð ‚î ´¨ ßþ ,¢¢Âðüõ žÂÎõ üãƒ±Ï ¤ Ï ‚“ ‘¹€þ ¤¢ ‚î üó b¨ .݃û¢üõ ¾¨‘• Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“ ¤ °ÜÎõ ßþ ?Àû¢üõ  ¤ ‚ ,݃€î

.‚ƒÌì 2.3.8

p : X~ ! X ø üû¤ À€±Þû üþ‘Ìê X~ Ýþ ƒð ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ p(~ x1 ) ‚“ p(~x0 ) ¥ X ¤¢ f üû¤ ù‘Ú÷ ,x~0 ; x~1 2 X~ Âð

üȪ• üµª‘Ú÷

(uf ¥

uf

ÝÆƒê¤ õø þ Óþ Â㗠°›õ

uf

,ý ƒð¤‘Ø“ ‘“ .

f

2

=




~ x~0 ) Æ p ) (X;




g ù¤

= p

.Àª‘“




~ x~1 ) : (X;

x~1 ‚“ x~0 ¥ X~ ¤¢ üû¤ g Ýþ ƒð

~ x~0 ) (X;

~ x~1 ) ßþÂ“‘€“ =  (X;

(p Æ ug )

~ x~0 ) (X;

p Æ g ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .p Æ ug

= upÆg




= p

Æ p

.Àª‘“

.¢ªüõ

:–‘±™

~ x~1 ) ‚“  (X; ~ x~0 ) (X; Ýþ ¤¢ ,p ÝÆƒê¤ õÞû




~ x~1 ) : (X;

Ýþ ¤¢ (3)-11.15 ßþ Âޗ §‘¨ “ ,‘õ .À€îüõ ëÀ¬ ùÀª ‚µ¨¡ ÍþÂª ¤¢

¥

[f ℄

ý Âʀä

f

p(~x0 )

ù¤ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

= p(~ x1 ) =

x0

„‘“ ‚ b ƒÌì ¤¢ Âð

ùø…ã“ ø ,À€îüõ É¿Èõ ¤




~ x~1 ) p (X; .À€›ø¢ õ

= [f ℄ 1



~ x~0 ) p (X;

(X; x0 )




[f ℄

~ x~1 )) ø p ( (X; ~ x~0 )) ý‘úûø Âð Âþ ¥ (X; x) ¤¢ p ((X;

,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“

f Þä :´Ôð ö—üõ ßþ ¥ ǃ“ ,…

191

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

üȪ• ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 3.8

.‚ƒÌì 3.3.8

X~ ö ¤¢ ‚î ,Àª‘“ üȪ• üµª‘Ú÷ p : X~ ! X Ýþ ƒð
~ x~0 ) j x~0 2 p 1 (x0 )g ‚bþ¢Âð ,­ø ÂÔõ x0 2 X Âû ý¥ ‚“ .´¨ üû¤ fp (X; .Àª‘“üõ  (X; x0 ) ¤¢ ý‘úûø Âð Âþ ¥ ¥ ¸þø — ‚ b µ¨¢ ×þ À€±Þû

,ùø…ã“ .À€›ø¢ õ ,¤ îÁõ ‚ b þ¢Â𠤢 ¢›õ ùø Âð Âþ ¥ ø¢ Âû ‚î ´¨ ùÀª ´“‘™ :–‘±™

(X; x0 ) ¥ üûø Âð Âþ ¥ H ݃€î ­Âê
~ x~0 ) ‘“ … f ·õ .´¨ šø¢ õ ‚þ¢Âð ý  2  (X; x0 ) ×þ ý¥ ‚“ –¤ ¬ ßþ ¤¢ .p  (X; 
 ~ x~0 )  x~0 ¥ ‚î Àª‘“ f ¥ üãƒê— f~ ø  = [f ℄ ݃€î ­Âê .H =  1 p (X;
~ f~(1)) = (uf Æ Ýþ ¤¢ 2.3.8 ‚bƒÌì ‚“‘€“ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .¢¢Âðüõ ¥‘è p (X;
~ ~0 ) = H .Àª‘“üõ ‘Þ— ö‘û“ ø ´¨ ÕÜãµõ ùÀª ù¢¢ ‚ b þ¢Â𠂓 H ßþÂ“‘€“ .p )  (X; x

¤¢ ¢›õ ý‘úûø Âð Âþ ¥ ¥ üØþ ‘“ ‚î Àª‘“

2

.݃û¢üõ ‚Ž¤ Âþ ¥ –‘€þ Âޗ ¤¢ ¤

~ x~0 ) ö‘ƒõ ͓ø ¤ Âþ‘¨ (X; x0 ) ø (X;

.ßþÂޗ 4.3.8

p : X~ ! ‚î ´¨ ö “ ­Âê ,Ûþ£ ¤¢ žø ÂÈõ –‘€þ Âޗ ‘Þ— ¤¢ ~ ø üȪ• üµª‘Ú÷ X .x0 2 X ø ´¨ üû¤ À€±Þû X f~(1) –¤ ¬ ‚“ ¤ x~  [f ℄ ,­ø ÂÔõ [f ℄ 2 (X; x0 ) ø x~ 2 p 1 (x0 ) ý¥ ‚“ .Àª‘“üõ x ~ ¥ ¥‘è ‘“ f ýÂ“ ßØÞõ âƒê— ‘ú€— f~ ‘¹€þ ¤¢ ‚î ݃€îüõ Óþ Â㗠1 (x ) ‚äÞ¹õ “  (X; x ) ùø Â𠥐 ´¨¤ üÜÞä ßþ ‚î Àƒ€î ´“‘™ Óþ Â㗠p 0 b 0 `a (f ) ¢‘Þ÷ ¥ ø Àþ ¥À÷‘ƒ“ üû‘Ú÷ 11.4.7 ‚bƒÌì –‘±™ ‚“ :üþ‘Þ€û¤) .À€îüõ (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ a ‚ b ÎÖ÷ ¥ ý¥‘è f âƒê— ýÂ“ a; b 2 Âû ý¥ ‚“ ‚î ´¨ ýÀãµõ S ‚bäÞ¹õ “ G ÛÞä ݃Žðüõ ü—¤ ¬ ¤¢ Âû ý¥ ‚“ ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‘“ :.g  a = b ‚î ¢ª ´ê‘þ ö‘€ g 2 G ý Âʀä ,S ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .(´¨ a ¤Àõ G  a ‚î) S = G  a ݃ª‘“ ‚µª¢ ý a 2 S 1 (x ) “ ýÀãµõ ¤ Î“  (X; x ) –¤ ¬ ßþ .À€îüõ ÛÞä p 0 0 p

‚ b äÞ¹õ ø

(1

(2

1 (x ) ߃“ ý¥ ¤ Ýû 0

ßþ Âޗ ¥ :üþ‘Þ€û¤)

(X; x0 ) ø üþ¨ø¢ ý‚Ф ‚î Àƒ€î ´“‘™ (3 ~ x~0 )) ´¨¤ ý‘û‚µ¨ÀÞû .¢¤¢ ¢›ø  (X; x0 ) ¤¢ p ( (X;

‚î Àƒû¢ ö‘È÷ ø ù¢Âî ù¢‘Ôµ¨ "²' ‚“ "´¨¤' ‚ b ÞÜî Ëþã— ‘“ (4)-9.3.3

~ x~0 )) ¥ ´¨ –¤‘±ä p p((X;

(.

1 (x ) 0

“

(X; x0 ) ÛÞä ¥‘¨¤Àþ‘•

X~ Â𐠂î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷ (3) ßþ Âޗ ¥ 1 (x ) ߃“ ý¥ ¤ Ýû  (X; x ) ø .¢¤¢ ¢›ø  (X; x0 ) ø p 0 0

üþ¨ø¢ ý Âґ€— ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû

(4

192

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 3.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

n üȪ• ´ª‘Ú÷ p : X~ ! X Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ ~ x~0 ) !  (X; x0 ) ù‘Ú÷ ,(¢¢Âð ۃØȗ ‚ÎÖ÷ n ¥ Âþ ¥ ýµŸ ⓑ— p :  (X; .Àª‘“üõ n É¡‘ª ‘“ üûø Âð p

1 (x ) 0

ü€ãþ) Àª‘“ ‚þ„

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð .Àª‘“ üû‘€µõ

p

1 (x ) 0

ø ù¢“

Z “Â“

X

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð Àƒ€î ­Âê (6 .Àƒ€î É¿Èõ ¤

.´¨ ÝƃꣁÞÿÞû

ÝÆƒê¤ õÿÞû

X~

p ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû X Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™

ùø Âð ‚î ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû ü—¤ ¬ ¤¢

p

Àƒ€î ´“‘™

(5

.

X~

=

p ‘fõ ó ‘þ ù‘Ú÷ ,Àª‘±÷ üû‘€µõ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð Âð

X

(7

Àƒ€î ­Âê (8

.Àª‘“ üû‘€µõ

X ý¢‘ƒ€“

?´¨

x~0 2 X~ ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð Ýрõ ü—¤ ¬ ¤¢ ¤ p : X~ ! X üȪ• ´ª‘Ú÷
~ x~0 ) ùø Âð f Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ (X; x0 ) ¥ ñ‘õÂ÷ üûø Âð Âþ ¥ p (X; ¥ ×þ ºƒû ‘þ ø ´¨ ‚µÆ“ üû¤ ƒ÷ f âƒê— Âû ‘þ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X ¤¢ ‚µÆ“ üû¤

ý

(9

.À€µÆƒ÷ ‚µÆ“ ‘ú÷

p : X~ ! X Àƒ€î ­Âê ~ ~ “ G .(X = X=G ü€ãþ) Àª‘“ X

f õ‘î ÛÞä ×þ ¥ Û¬‘Ÿ üȪ• ´ª‘Ú÷ ¥ ‚µ¨ƒ•‘÷ …

~ .´¨ Ýрõ p : X ~ x~0 ) p (X;




=

!X

Àƒ€î ´“‘™

‚î ´¨ ÝÆƒê¤ õÿÞû üµìø ‘ú€— ø üµìø

p

‚î Àƒ€î ´“‘™

(10

(11

(X; x0 )

.

193

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ý¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 4.8

ý¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 4.8 .¢¢¤Âì 1.4.8

G ,üû¤ À€±Þû üþ‘Ìê X ‚î ´¨ ßþ “ ­Âê Ç¿“ ßþ ¤¢ f õ‘î X “ G ÛÞä ø ùø Âð üȪ• üµª‘Ú÷ p : X ! X=G ,ßþÂ“‘€“ .´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ … .y0 = p(x0 ) 2 X=G ø x0 2 X ‚î ݃€îüõ ­Âê ùø…ã“ .´¨ G ­ø ÂÔõ ùø Âð ߃“ ¯‘±—¤ ¢‘¹þ ,Ç¿“ ßþ ၮõ

ý ¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ø

.´¨

ùÀª ‘¹÷ ý‘û¢¢ ¤Âì ‚“ ‚›— ‘“

p ¥‘è

x0

2X

1 (y ) = 0

¥ ‚î ¢¤¢ ¢›ø

üþ‘µØþ Âʀä ßþÂ“‘€“ ø ´¨

f

Óþ Â㗠°›õ ,

7! gf

f

p

.ÓþÂ㗠2.4.8

fg  x0 j g 2 Gg = G  y0

ýÂ“

1 (y ) 0

f~ ‘µØþ üãƒê— ù‘Ú÷ ,[f ℄ 2 (X=G; y0 ) Â𐠤Àõ ¥ ýÌä

Âґ€— ,°ƒ—— ßþ ‚“ . .¢ªüõ

.´¨ ‘úûø Âð ߃“ ÝÆƒê¤ õÞû

X=G

f~(1) –¤ ¬ ßþ ¤¢

.¢¢Âðüõ

f~(1) = gf  x0 ‚î ¢¤¢ ¢›ø gf

2G

' : (X=G; y0 ) ! G Ûت ‚“ üµª‘Ú÷

' : (X=G; y0 ) ! G ´ª‘Ú÷

.‚ƒÌì 3.4.8

f^  f 0 Âð .Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ y0 ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ ø X=G ¤¢ f 0 ø f ‚bµÆ“ ù¤ ø¢ :–‘±™ ^ ,f  f 0 = f~`a(f 0 ) –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,¢¢Âðüõ ¥‘è x0 2 X ¥ ‚î Àª‘“ f f 0 ¥ üþ‘µØþ 0 ¥ üþ‘µØþ âƒê— `a (f ) ø ¢¢Âðüõ ¥‘è x0 ¥ ‚î ´¨ f ¥ üþ‘µØþ âƒê— f~ ‘¹€þ ¤¢ ‚î 0 0 0 ¥ ‚î Àª‘“ f ýÂ“ üþ‘µØþ âƒê— f~ Ýþ ƒð .¢ªüõ ¥‘è a = f~(1) ¥ ‚î Àª‘“üõ f 0 0 ö ø ,¢¢Âðüõ ¥‘è gf  x0 ¥ ‚î ´¨ f ¥ üãƒê— gf  f~ ö› .¢¢Âðüõ ¥‘è x0 0 0 ‚ÑŸ…õ °ƒ—— ßþ ‚“ .`a (f ) = gf  f~ ‚î Ýþ ƒðüõ ‚¹ƒµ÷ a = f~(1) = gf  x0

âƒê—

‚î ¢¢Âðüõ


fg  f 0 (1) = gf  f~0 (1) = gf  gf 0  x0 = (gf :gf 0 )  x0 :

2

.Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õÞû




' Áó ø ' [f ℄[f 0℄

.݃€îüõ ‚±¨‘½õ ¤

= ' [f ℄







:' [f 0 ℄

‚¹ƒµ÷ ¤¢

' ÝÆƒê¤ õÞû ‚bµÆû ,ñ‘Ÿ

194

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 4.8 p (X; x0 )

.´¨

' [f ℄

ßþ .

f~(1)

=




= 1




‚î ´¨

[f ℄

‘ú÷ ýÂ“ ‚î

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ùø Âð Âþ ¥

2 (X=G; y0 )

[f ℄

2 (X=G; y0)

‚ b äÞ¹õ ¥ –¤‘±ä ,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ

.Ýó 4.4.8

' : (X=G; y0 ) ! G ‚bµÆû

' ‚bµÆû

ý ¬‘€ä ‚ b äÞ¹õ

:–‘±™

ý ¬‘€ä ‚ b äÞ¹õ ¥ ´¨ –¤‘±ä ´¨¤¢

x0 ¤¢ ‚bþ‘• ‘“ ‚µÆ“ üû¤ f~ ‘ú÷ ý¥ ‚“ ,ü€ãþ .x0

[f~℄ 2  (X; x0 ) ‚î ´¨ [p Æ f~℄ Ûت ‚“ [f ℄ 2  (X=G; y0 ) ý ¬‘€ä ‚bÞû

–¤‘±ä ‚“ .

2

.Àª‘“üõ

ßþÂ“‘€“ ø ,´¨

(X=G; y0 ) ¥ üó‘õÂ÷ ùø Âð Âþ ¥ p (X; x0 ) .´¨ Óþ Â㗠ۓ‘ì

.À€ê¤ õø þ

Âð

.´¨ ‘ª•

X




ý‘Ìê ¤¢

'([p Æ fg ℄)  x0 = Óþ Â㗠‚“‘€“ '

fg ‘õ

S1







ý‘úûø Âð

¥ –¤‘±ä ,ÂÚþ¢

.‚¹ƒµ÷ 5.4.8 üµÞÆì š¤‘¡ ùø Âð

.‚ƒÌì 6.4.8

´ª‘Ú÷ ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ´¨ üê‘î :–‘±™

g  x0

‚“

x0

¥ üû¤

.¢¥‘¨üõ É¿Èõ ¤

fg

g

݃€îüõ ­Âê ,

2G

[p Æ fg ℄ Ûت ‚“  (X=G; y0 )

x0 ¥ ý¥‘è p Æ fg ý‘µØþ âƒê— p^ Æ fg ‚î ,(p^ Æ fg )(1)


' [p Æ fg ℄

=

g

ßþÂ“‘€“

fg (1)

.

=

g  x0

ùø…ã“ ø ´¨ .Àª‘“üõ

..À€ê¤ õ þ

G ø (X=G; y0) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû X Âð

ùÂþ¢ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚Ø€þ “ ü€±õ Û±ì ÛÊê üܬ Ý؟ (1

ö—üõ ‘“

.Àª‘“üõ

üþ‘ª• ÂÚ÷‘È÷ ‚î ,

2

!G

' : (X=G; y0 )




(X=G; y0 )=p (X; x0 )

G ø (X=G; y0 )=p (X; x0 )

¥ ý Âʀä ßþ .Àª‘“

üãƒê— ߃€




p (X; x0 )

R=Z

.‚¹ƒµ÷ 7.4.8 .ñ‘·õ 8.4.8

G “ Z üãƒ±Ï ÛÞä ßµêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ø G = Z ,X = R ­Âê ‘“ ¤ ´¨ Z “Â“ R –¤ ¬ ßþ ¤¢ 1 . (S ; 1) =  (R=Z; 0) = Z ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ

ø (´¨ ÂþÁ• ­‘±Ö÷ ö) ´¨ ù¢‘¨ À€±Þû





Óþ Â㗠ø

.¢¤ ø ´¨À“ éÂõÿÞû

S1

X = Rn ø G = Zn ­Âê ‘“ (2

(a1 ;


; an )  (t1 ;


; tn ) = (t1 + a1 ;


tn + an ) ‘“

Rn =Zn

ý ¤Àõ ý‘Ìê ‘õ

(Rn =Zn; (0;


; 0))

.

.´¨

 =

Zn ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ 1n é¤ õÿÞû (S ) ü“ ÂÌܬ‘Ÿ ý‘Ìê

.Ýþ ¤ øüõ ßþ Âޗ Ûت ‚“ ¤ µȃ“ ý‘úó‘·õ

195

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ý¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 4.8

.ßþÂޗ 9.4.8 é¤ õø þ

Zp

üãޛ ùø Â𠑓

.(´¨ ù¢‘¨ À€±Þû

€ó ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

S3 Àƒ€î ­Âê

,(3)-25.2.7 ßþ Âޗ ‚“‘€“) .´¨

G ùÀª Àƒó— ‘fƒû‘€µõ üܓ ùø Âð Âû ý¥ ‚“ ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ G ‚î Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ Ý؟ ßþ ¥ :üþ‘Þ€û¤) .´¨ G ö ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î ¢¤¢ ¢›ø

XG

L(p; q)

üþ‘Ìê ,

(.´¨ üû‘€µõ ‚ b ±—Âõ ¥ ý ¤ ø¢ ùø Âð ý¢À㗠ø

ü³î À€ ¥ ü“ ÂÌܬ‘Ÿ

Y = C  =K Ýþ ƒð ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î Àƒ€î ´“‘™ 7.4.8 ‚ b ¹ƒµ÷ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ .´¨ '(z ) = 4z ‘“ Zg G ¥ H ñ‘õÂ÷ ùø Âð Âþ ¥ ø G ùø Âð ,X ý‘Ìê :üþ‘Þ€û¤) .´¨ Z  Z “Â“ Y ý ¤ Ï ,߃€»Þû .Àª‘“ ù¢‘¨ À€±Þû ý‘Ìê G ×þ X ‚î Àƒ“‘ƒ“ ý‚÷ð ‚“ ¤ (3)-13.3.3 ßþ Âޗ ¥ ų¨ .G=H  = K ø X=H  = C  ‚î Àƒ€î ’‘¿µ÷

f'n j n 2

ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû ùø Âð

K ø C

Z ¥

=C

(2

f0g

‚î ,

(3

(.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨

T (z ) ùø Âð

= z + 1 +

G

X T

–¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷

.Àª‘“üõ §ƒ“õ ¤÷

.´¨

 [0; 1℄  C X ! X

= R :

X=G ù‘Ú÷ ,Àª‘“ T .´¨

Z ƒ÷

𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (4

Ûت ‚“ üÞÆƒê¤ ÞÿÞû

i

ͨ— ùÀª Àƒó— ý‘úÞÆƒê¤ õÿÞû

§ƒ“õ ¤÷ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î Àþ ƒړ ‚¹ƒµ÷

¥ –¤‘±ä ßþ…î ý ÂΓ ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ‚î Àƒ€î ´“‘™ (5





G = am b2n+" m; n 2 Z ; " 2 f0; 1g ; ba = a 1 b .Àª‘“üõ



ba = a 1 b ‚bФ ×þ ‘ú€— ø b ø a Àóõ ø¢ ‘“ üûø Âð G

:´¨

G ×þ ý¤¢ X Àƒ€î ­Âê .À€îüõ ÛÞä p “ ´¨¤ ¥  (X=G; y0 ) ùø Âð ‚î Ýþªüõ ¤ ø 1 (y ) ,g 2 G Âû ý¥ ‚“ ‚î Àƒ€î ý [f ℄ 2  (X=G; y0 ) ø x 2 p 0 .(g  x)  [f ℄ = g  (x  [f ℄)

f õ‘î ÛÞä ¢‘þ 4.3.8 ßþ Âޗ ¥ .´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ … ´“‘™ Ýþ ¤¢

(6

1 (y ) 0

H ø ² ¥ G ‚î ,À€ª‘“ S ‚bäÞ¹õ “ ùÀ€€î ÛÞä ùø Âð ø¢ H ø G Àƒ€î ­Âê x 2 S ,g 2 G ‚bÞû ý¥ ‚“ ‚î Àƒ€î ­Âê ,߃€»Þû .À€îüõ ÛÞä ´¨¤ ¥ ýÀãµõ ø ¢¥ ¤ Î“ G Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .(g  x)  h = g  (x  h) ‘û h 2 H ø ,ùø…ã“ .´ª¢ Àû¡ ¢›ø ' : H ! G üÞÆƒê¤ õÞû ù‘Ú÷ ,À€î ÛÞä S “

(7

196

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¤Àõ ý‘Ìê ý¢‘ƒ€“ ùøÂð 4.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

H ÛÞä ´½— x0 2 S ‚bÎÖ÷ ¥‘¨¤Àþ‘• ¥ –¤‘±ä ' ‚bµÆû ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ '(h) ¤ÀÖõ ,h 2 H ý¥ ‚“ :üþ‘Þ€û¤) .S = fg  x0 j g 2 Gg ƒ÷ ø (.À€îüõ ëÀ¬ g  x0 = x0  h ¯Âª ¤¢ ‚î Àƒ€î Óþ Â㗠G ¥ ‘µØþ ý Âʀä

Àª‘“üõ ¤

.Àƒ€î –‘±™ f¢À¹õ ¤ 4.4.8 Ýó ø

??

‚ b ƒÌì ,(7) ø (6) –‘€þ Âޗ ý ƒð¤‘Ø“ ‘“ (8

´“‘™ f¢À¹õ ¤ 6.4.8 ‚ b ƒÌì ,(3)-4.3.8 ßþ Âޗ ƒ÷ ø (8) ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (9 .Àƒ€î

197

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8

݃Þ㗠ñ‘±÷¢ ‚“ ,âìø ¤¢

-푨¤“ ‚bƒÌì

.´¨ üÜ±ì ¶Ÿ‘±õ ¥ ¢Â“ ¤‘î À€ ‚ b Ž¤ ,Ç¿“ ßþ ¥ éÀû

‚“ ¨õ ý‚ƒÌì “ ü€µ±õ ‘ú÷ ‚ b Þû ‚î ,݃µÆû 4.4 Ç¿“ ‘ØŸ

۟ 1930 ñ‘¨ ¤¢ 푨¤ “ .í ø ¢Âî žÂÎõ „ø .§ ¤ ‚ƒÌì ßþ .À€µÆû

„ø

.¢Þ÷

¤¢ 뢑¬

.„ø-푨¤“ ‚bƒÌì 1.5.8

' : S2 ! S1 ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ºƒû

.¢¤À÷ ¢›ø

Z2 =

ùø Âð .Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø ý

–¤ ¬ ‚“ ,ü€ãþ) À€îüõ ÛÞä

S1

'

: S2

! S1

S2

“ ƒ÷ ø

'( x) 6= '(x) ¯Âª

´ª‘Ú÷ ߃€ ݃€î ­Âê :–‘±™

f 1; 1g 1  x := x p2 : S2 ! S2=Z2 : S2=Z2 ! S1=Z2 p1 Æ ' = Æ p2 (1; 0; 0) 2 S2

“ ý ÂÎì §‘Øã÷ –¤ ¬ ‚“

p1 : S1 ! S1=Z2 Âð .´¨ ‚µ¨ƒ•‘÷ …fõ‘î ÛÞä ,¢¤ õ ø¢ Âû ¤¢ ;( üµª‘Ú÷ °›õ ' –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À€ª‘“ üãƒ±Ï ÂþÊ— ý‘úµª‘Ú÷ ¯Âª ¤¢ ‚î ¢¢Âðüõ (fxg) = f'(x)g ‚bΓ‘® ‘“ a = Ýþ ƒð .(¢ª ‚›— 19.2.3 ‚bƒÌì –‘±™ ‚“) À€îüõ ëÀ¬ ø

‚µ¨ƒ•

ñÞãõ Փ‘Îõ ‚î ,

 S2 = (x; y; z )



‚ b Γ‘® ‘“ ù¤

f (t) =



2 R3 x2 + y2 + z 2 = 1 : f

b = p2 (a) 2 S2=Z2 ݃€î ­Âê ,߃€»Þû

Âð .

os(t); sin(t); 0




0t1

[p2 Æ f ℄2 = ‚bФ ¤¢ [p2 Æ f ℄ 2  (S2=Z2; b) –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ Âþ ¥




(p2 Æ f )  (p2 Æ f ) (t) =



p2 p2




os(2t); sin(2t); 0


os(2t); sin(2t); 0

= p2 os(2t); sin(2t); 0 –¤ ¬ ‚“ ¤

F (t; s)

=




a ‚“ a ¥ S2 ¤¢ .¢¤¢ ëÀ¬ ["b ℄

0t

1/2

t1 0t1

1/2

F : I  I ! S2 ´ª‘Ú÷ ,ñ‘Ÿ



s + (1 s) os(2t) ; (1 s) sin(2t) ; q

2s(1 s)(1

os(2t))



198

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8 ùø…ã“ .´¨ ‚µ¨ƒ•

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

p2 Æ F : I  I ! S2=Z2 ‚î ¢¢Âðüõ ‚ÑŸ…õ

.݃€îüõ Óþ Âã—




p2 (F (t; 0)) = (p2 Æ f )  (p2 Æ f ) (t); p2 (F (t; 1)) = p2 (1; 0; 0) = "b (t); p2 (F (0; s)) = p2 (1; 0; 0) = p2 (F (1; s)); [p2 Æ f ℄2 = ["b ℄ 2  (S1=Z2; (b)) Àû¢üõ ö‘È÷ ßþ ‚î

.

: S2=Z2 ! S1=Z2 ´ª‘Ú÷

Ûت ‚“ üÞÆƒê¤ õÞû Ǒ‘Öó °›õ

 : (S2=Z2; b) ! (S1=Z2; (b))



2 (S1=Z2; (b)) 2 (S1=Z2; (b)) g : I ! S1  = [p1 Æ g℄ [ Æ p2 Æ f ℄2 = [" b ℄ 2k = 0 [ Æ p2 Æ f ℄ = k k

Æ Æ f j 2 g 2 

S1=Z2 = S1 ,‘õ .[ p2 f ℄2 = [" (b) ℄ 1 ¤¢)  (S =Z2; (b)) = n n Z ý  Óþ Â㗠g (t) = exp(it) S1 C –¤ ¬ ‚“

‚î ,

[

( ) ,ßþÂ“‘€“ (.¢¢Âðüõ

Æ p2 Æ f ℄ = ["

k 0 .( = 

S1 ¤¢

b℄

ßþÂ“‘€“ ø ,¢ªüõ ×þ ý¥ ‚“ ø

( ) ‚î ´¨ ü€ãõ ßþ ‚“

‚î À€îüõ ’‘¹þ

ø

ý

âìø

×þ ý¥ ‚“)

'(a) ¥ áø ª ‘“ ‘µØþ üãƒê— ø ù¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ 2.8 Ç¿“ ‘ØŸ ¥ ,‚õ¢ ¤¢ " (b) ù¤ ƒ÷ ø Æ p2 Æ f ù¤ ¥ Æ p2 = p1 Æ ' ‚î ¢ª ‚›—) "'(a) ø ' Æ f

¥ À€—¤‘±ä °ƒ—µ“ ‘ú€þ .݃û¢üõ ¤Âì ‚›— ¢¤ õ ¤

'(f (1)) = '( a) = '(a) ‘õ

,

.´¨ ¢‘Ì— ¤¢

[p2 Æ f ℄ = 6

[

Æ p2 Æ f ℄

.(

= [" (a) ℄

"'(a)(1)

‘“ ßþ ‚î ,

=

'(a)

' ߃€ ,ßþÂ“‘€“

‚î ¢ª ‚›— ,߃€»Þû) Àª‘“ ‚µª¢ ¢›ø À÷—üÞ÷ ý

["b ℄ 2  (S2=Z2; b)

2

.(

´¨ ù¢‘¨ À€±Þû

S62

,(3)-25.2.7 ßþ Âޗ §‘¨ “

.´ª¢¢‘þ 2.5.8

ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ,Û±ì Ç¿“ –‘ä…ϐ §‘¨ “ ,ßþÂ“‘€“ .(¢ª ‚›— ƒ÷ ,‘õ

[

‚î üó‘Ÿ ¤¢

.´¨

Æ f℄

=

Z2

‚“

" (b)

Z2

2

¥ üÞÆƒê¤ õÞû

‚¹ƒµ÷ ¤¢



,ßþÂ“‘€“

.´¨

Z2

??

‚ b ¹ƒµ÷ ‚“)

¢¡ ´¨¤¢

S2=Z2

.´¨ ü÷‘Þû ‘fõ ó üÞÆƒê¤ õÞû ߃€ ‚î ݃÷¢üõ

ùÀª ù¢¤ ø –‘€þ Âޗ ý ƒ𠤑ؓ ¥ ’‘€µ› ´ú› ‚“ Û±ì ñ„Àµ¨

(S2=Z2; (b))

.

.´¨

.´ª¢¢‘þ 3.5.8

' : S1 ! S0 ý‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ºƒû' Ý؟ ݃Þ㗠‚ƒÌì ßþ ´¨¤¢ Ý؟ ßþ) .Àª‘“üõ "À€î ëÀ¬ '( x) = '(x) ¯Âª ¤¢ ‚î ¢¤À÷ ¢›ø 199

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê À€±Þû ƒè

S0 =

f 1; 1g

ø À€±Þû

S1

üóø ,Àª‘“ ‘ª• Àþ‘“ üµª‘Ú÷ ߃€ Âþ ¥ ,´¨

:¢¤¢ ¢›ø Âþ ¥ žÂª ‚“ ý —üÜî Ý؟ âìø ¤¢ (.´¨

¯Âª ¤¢ ‚î ¢¤À÷ ¢›ø

'

: Sn ! Sn 1 ý‚µÆþ• ´ª‘Ú÷

n  1 ý¥ ‚“ .À€î ëÀ¬ '( x) = '(x)

,ö –‘±™ ¤¢ :´¨ ÂґŸ ’‘µî ¼Î¨ ¥ š¤‘¡

ºƒû ,

n > 2 ´ó‘Ÿ ýÂ“ Ý؟ ßþ –‘±™

f ·õ .¢ªüõ ù¢‘Ôµ¨ „‘“ ‚ b ±—Âõ ü•—Þû ý‘úûø Â𠥐 … ‘û

S2 ‚bÞû ý¥ ‚“

‚î Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f (x) = 0 ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ x 2

.

‘“

g

: S2

! S1

´ª‘Ú÷ ø

f (x)

g( x) = ø ´¨ ‚µ¨ƒ• g ´ª‘Ú÷

f

: S2 ! R2

Ýþ ƒð

S2 ý‚ÎÖ÷ ,–¤ ¬

6= 0

ý

x

2 S2

f ( 1) = f (x)

ßþ ¤¢ .

Âû ý¥ ‚“ ݃€î ­Âê :–‘±™

.Ýþ ƒðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

2

.‚¹ƒµ÷ 4.5.8

g(x) = f (x)=kf (x)k ‚bΓ‘®

.´¨ 1.5.8 ‚ b ƒÌì Ý؟ 酡 ‚î ,

,–¤ ¬ ßþ ¤¢

.Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f

: S2

!

R2

g(x)

.‚¹ƒµ÷ 5.5.8

Ýþ ƒð

f (x) = f ( x) ‚î ¢¤¢ ¢›ø ö‘€ x 2 S2 ý‚ÎÖ÷

.

x 2 S2 Âû ý¥ ‚“ Âð :–‘±™ ëÀ¬ g ( x) = g(x) ¯Âª ¤¢ ø ´¨ ‚µ¨ƒ• g(x) = f (x) f ( x) ‚bΓ‘® ‘“ 2 1.5.8 ‚ b ƒÌì Ý؟ 酡 ßþ .g (x) 6= 0 ý x 2 S Âû ý¥ ‚“ ùø…ã“ ø ,À€îüõ g

: S2

! R2

f (x)

´ª‘Ú÷ ù‘Ú÷ ,

6= f ( x)

ý

2

S6n ø Rn

.´¨

??

´ó‘Ÿ ‚“ ö—üõ ¤ Ý؟ ø¢ ßþ .´¨ 3.4.4 ‚ b ¹ƒµ÷ ݃Þ㗠,

‚ b ¹ƒµ÷ .¢¢ ݃Þã—

¥ ü؃±Øþ ‚ b µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ºƒû ‚î ´¨ ßþ 5.5.8 ‚ b ¹ƒµ÷ ÛÊÔó‘“ ¸þ‘µ÷ ¥ üØþ .´¨ °ÜÎõ ßþ ¥ ÛÊꅓ ý‚¹ƒµ÷ , ƒ÷ Âþ ¥ Ý؟ .¢¤À÷ ¢›ø .´Æƒ÷ é¤ õÿÞû

S2 ‘“ R2

¥ ý‚äÞ¹õ Âþ ¥ ºƒû

R2

‚“

S2

.‚¹ƒµ÷ 6.5.8

.Ýþ ¤ øüõ 5.5.8 ‚ b ¹ƒµ÷ ýÂ“ ý ƒ±ã— ,4.4 Ç¿“ ¤¢ À€÷‘Þû ¢›ø ߃õ¥ ¼Î¨ “ ۓ‘Öµõ fÂÎì ‚ b ÎÖ÷ ´Ô› ×þ ‚ѽó Âû ¤¢

.‚¹ƒµ÷ 7.5.8

.´¨ üØþ Û½õ ø¢ ö ¤¢ û ¤‘Èê ø ̓½õ ý‘õ¢ ‚î ¢¤¢

߃óø ‚“ ‚ƒ±ª ö Ý؟ ‚î ¢¤¢ ¢›ø

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ‚bƒÌì

‚“ ¨õ ý‚ƒÌì

ùÂî ,ö‘÷ ‚ b þ„ ‚¨ ¥ ‚î ö±õ ¸þÀ÷‘¨ Âû ,‚ƒÌì ßþ §‘¨ “ .Àª‘“üõ ü؃؀• ‚ b ó‘bÆõ

200

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê

¢Þ÷ ݃Æ֗ ö—üõ ýø‘Æõ ´ÞÆì ø¢ ‚“ ©Â“ ×þ ‘ú€— ‘“ ,¤ ¢ªüõ ۃØȗ ö±õ ø ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ .(À÷ùÀÈ÷ ‚µ¿ƒõ Ýû ¤¢ ¸þøÀ÷‘¨ ý › ‚î ´¨ ßþ “ ­Âê)

¤¢ ¤À÷Âî ‚ b äÞ¹õ Âþ ¥ ‚¨

.ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ‚bƒÌì 8.5.8

C ø B ,A Ýþ ƒð

‚äÞ¹õ ‚¨ ßþ ¥ ×þ Âû ‚î ¢¤¢ ¢›ø

R3

¤¢ ý‚½Ô¬ ,–¤ ¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“

R3

.À€îüõ ݃Æ֗ ݃÷ ø¢ ‚“ ‘fÖƒì¢ ¤

B ,A ‚î ݃€î ­Âê ݃÷—üõ .´¨ 6.4.4 ‚bƒÌì –‘±™ ‚ƒ±ª ‚ƒÌì ßþ –‘±™ :–‘±™ 3 ,x 2 S ý¥ ‚“ .À€µÆû âìø 0 2 R ǑÀ±õ ¤¢ îÂõ ‘“ ø 1=2 á‘㪠‚“ S ù b Âî ¤¢ C ø ,t 2 I = [0; 1℄ ý¥ ‚“ .Àª‘“ S ¤¢ x ¥ ùÀ÷¤Áð ý ÂÎì Í¡ ÂÚÈþ‘Þ÷ Dx ݃€î ­Âê x ‘— t ‚bܬ‘ê ‚“ ý‚ÎÖ÷ ¥ ‚î Àª‘“ Dx “ ¢Þä ý‚½Ô¬ ÂÚÈþ‘Þ÷ Pt ݃€î ­Âê ‚î ,À€î üõ ݃Æ֗ A2 ø A1 Ç¿“ ø¢ ‚“ ¤ A ‚ b äÞ¹õ Pt ,°ƒ—— ßþ ‚“ .¢¤Áðüõ f1 (t) = Vol(A1 ) –¤ ¬ ‚“ °ƒ—µ“ ¤ f2 ø f1 ⓐ— .x ‚“ ‘— ´¨ µØþ¢ ÷ x ‚“ A1 ‚“ I ¥ ‚µ¨ƒ• ü㓐— f2 ø f1 ‚î ´¨ ߪø ¤ .݃€îüõ Óþ Â㗠f2 (t) = Vol(A2 ) ø ‘“ f : I ! R ⓑ— ,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ üóø ÷ fÀƒî f2 ø ý¢ã¬ fÀƒî f1 ,À€µÆû R Áó ø f (0) = f (1) ,ùø…ã“.´¨ ý¢ã¬ ø ‚µ¨ƒ• f (t) = f1 (t) f2 (t) ‚bΓ‘® ,´¨ ý¢ã¬ f ö .f (t) = 0 ‚î ¢¤¢ ¢›ø ý t 2 I ,ü÷‘ƒõ ¤ÀÖõ ‚ b ƒÌì ‚“‘€“ .¢¢Âðüõ ÂÔ¬ [a; b℄ ý‚µÆ“ ù b ¥‘“ “ ‚Ø€þ ‘þ ø ,¢ªüõ ÂÔ¬ ‚ÎÖ÷ ×þ ¤¢ ‘ú€— f ‘þ ŕ (a + n)=2 ¢Àä ,¡ ´ó‘Ÿ ¤¢ ø ,(x) ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ a ¤ ‚ÎÖ÷ ‘ú€— ,´Æ¿÷ ´ó‘Ÿ ¤¢ .À€îüõ ݃Æ֗ ݹŸ Ýû ‚ b ރ÷ ø¢ ‚“ ¤ A ‚ b äÞ¹õ P(x) ,ßþÂ“‘€“ .݃õ‘÷üõ (x) ¤ (x) = 1 ( x) ¯Âª ¤¢ 뢑¬ ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷  : S ! R ‚î ¢ª ‚›— .Àª‘“üõ

(x) = ͓ø ¤ ¤¢ ‚î ,´¡‘¨ ¤ ; : S ! R ý‘úµª‘Ú÷ ö—üõ ‚“‘Èõ üÖþ ÂÏ ‚“ B ‚bäÞ¹õ P (x) ,–¤ ¬ ßþ ¤¢

.À€€îüõ ëÀ¬

(x) = 1 ( x) ø 1 ( x)

ⓐ— ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ñ‘Ÿ .À€€îüõ ݃Æ֗ ݹŸ Ýû ‚ b ރ÷ ø¢ ‚“ ¤

'(x)

= ((x)

(x); (x)

(x)) ‚bΓ‘® ‘“ ' : S

Âû ý¥ ‚“ ,ùø…ã“.´¨ ‚µ¨ƒ• ƒ÷ ö‘€

y

2S

,À÷‚µ¨ƒ•

ø ,

ö

'(x)

(y)

= (y ) = (y )

´ª‘Ú÷

P (x) ø ¤

ø ,

.݃€îüõ Óþ Â㗠¤

=

'( x) ý x

'(y)

=0

ü€ãõ ‚“ ßþ ,‘õ .

.À€îüõ ݃Æ֗ ‚Þƒ÷ ø¢ ‚“ ¤

‚ b äÞ¹õ

! R2

ý‚ÎÖ÷ ,5.5.8 ‚ b ¹ƒµ÷ ‚“‘€“ ,‚¹ƒµ÷ ¤¢ .

,ßþÂ“‘€“ ø ,´¨

2

'

C

2S

‚î ¢¤¢ ¢›ø

C ø B ,A ‚bäÞ¹õ ‚¨ Âû P(y) ‚b½Ô¬

.ßþÂޗ 9.5.8

201

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ ø „ø-푨¤“ ý‘þ‘Ìì 5.8

üȪ• ý‘û‘Ìê 8 ÛÊê '

:

n  2 Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ 2 1 .¢¤À÷ ¢›ø À€î ëÀ¬ '( x) = '(x) ¯Âª ¤¢ ‚î S ! S

Ûت ‚“ ý‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ºƒû –¤ ¬ ßþ ¤¢ ,

S1  2ik 

:À€î ÛÞä

k z

= exp

.Àª‘“üõ ñø

C

z;



S3 C 2 “ Âþ ¥ –¤ ¬ ‚“ Zp Ýþ ƒð  2ikq     2ik  z2 z1 ; exp k  (z1 ; z2 ) = exp “ ߃€»Þû ø

(1

(2

p p p ‚“ ´±Æ÷ ‚î ´¨ ý¢Àä q ø k 2 Zp = f0; 1;


; p 1g ‚î p

.¢¤À÷ ¢›ø

S1 ‚“ S3 ¥

Zp ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷

ý¥ ¤ Ýû

?Â ?¢¤¢ ¢›ø

R3

ºƒû Àƒ€î ´“‘™

¤¢ ׃؀• ø¢ ‚ b ó‘bÆõ ‚ƒ±ª ‘þ (3

G ÛÞä ‚î ý‚÷ð ‚“ ,À€ª‘“ ‘Ìê G ø¢ Y ø X Àƒ€î ­Âê ‚µ¨ƒ• ø ý¥ ¤ Ýû G üµª‘Ú÷ ' : X ! Y ‚î Àƒ€î ­Âê ,߃€»Þû .´¨ ' ͨ— üþ‘Öó ´ª‘Ú÷ ÂÚÈþ‘Þ÷ : X=G ! Y=G Ýþ ƒð .Àª‘“ ‘ú÷ ߃“  : (x0 ) ! (Y=G; q('(x0 ))) ´ª‘Ú÷ –¤ ¬ ßþ ¤¢ ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ f õ‘î ‘ú÷ “ ‚µ¨ƒ•‘÷ …

Æ




(4

Ûت ‚“ üÞÆƒê¤ õÞû Ǒ‘Öó °›õ

Æ




(X=G; p(x0 )) p (X; x0 ) ! (X=G; q('(x0 ))) q (Y; '(x0 )) q : Y ! ø p : X ! X=G ‘¹€þ ¤¢ .Àª‘“üõ ÝÆƒê¤ õø þ …fÞä ‚î ,¢¢Âðüõ .x0 2 X ø À€µÆû üãƒ±Ï Âþø‘Ê— Y=G

f¢À¹õ ¤ (2) ßþ Âޗ Ý؟ ƒ÷ ø „ø-푨¤ “ ‚ b ƒÌì ,(4) ßþ Âޗ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (5 .(¢Âƒðüõ ‘› Í¡ ×þ ¤¢ ‘úó„Àµ¨ ßþ ¥ ×þ Âû) Àƒ€î –‘±™

202

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

9 ÛÊê ߃ؗ ýóÞû ‚“ ÛÊê ßþ .´¨ ýó•— ¥ Ýúõ ¤‘ƒÆ“ ý‘úÈ¿“ ¥ üØþ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ ת ü“ ƒ𤢠ý‚þ‘• ø üܬ ý‘ûùÀþ ‘ú€— :À€î ¢ ¤ °ÜÎõ ՟ À÷—üÞ÷ ,©¤‘ʵ¡ Ûƒó¢ ¢¤õ ¤ ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Â𠑓 ö ¯‘±—¤ ,«‘¡ ´ó‘Ÿ ¤¢ ø :À€îüõ üêÂãõ ¤ ö ¤¢ .݃€îüõ ¥‘è ÓþÂ㗠À€ ‘“ .Àû¢üõ ¤Âì ü¨¤ “

߃ؗ ùbƒ¹÷¥ 1.9 ý‘Ìê Âþ¥ ,
n ¢¤À÷‘µ¨ í¢‘¨


n :=

n X

n

x = (x0 ; x1 ;


; xn ) 2 Rn+1

ø . . . ,v1

i=1

n ¥ ¤Ñ€õ

xi = 1 ; xi  0 ; i = 0; 1;


; n


1

o

:= (0; 1;


; 0) ,v0 := (1; 0;


; 0) ¯‘Ö÷ .´¨ Rn+1 ¥ .݃õ‘÷üõ
n ¢¤À÷‘µ¨ í¢‘¨ n §Ž¤ ¤ vn := (0;


; 0; 1)


0 ‚“ • — üÞƛ
3 .´¨ R3 ¤¢ ¶Ü·õ Ûت ‚“ ý‚ƒŸ‘÷
2

üΡ ù¤‘•

.Óþ Â㗠1.1.9

.´¨ R ¤¢ ‚ÎÖ÷ ×þ ‘ú€— ‘“ ý‚äÞ¹õ

.ñ‘·õ 2.1.9

.´¨ R2 ¤¢ ´¨¤

.¢ª ‚›— 1.29 Ûت ‚“ .´¨ R4 ¤¢ Âû Ûت 203

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê ¤¢ ߃ؗ í¢‘¨

߃ؗ ùbƒ¹÷¥ 1.9

n ¥ ¤Ñ€õ .Àª‘“ ýó•— üþ‘Ìê X Ýþƒð .Óþ Â㗠3.1.9 .´¨ ' :
n ! X Ûت ‚“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ,X .¢¤À÷‘µ¨ ý‘ú¨

n ¥ üþ‘û‚÷Þ÷

.´Æƒ÷ X ¤¢ ‚ÎÖ÷ ×þ › ý ƒ ,߃ؗ í¢‘¨ ×þ

f (t)

0 (1

:1.29 Ûت

.ñ‘·õ 4.1.9

' Âð ,Âþ¥ .´¨ X ¤¢ ù¤ úÔõ ö‘Þû …fÞä ,X ¤¢ ߃ؗ í¢‘¨ 1 (2

:= ‚bΓ‘® ‘“ ¤ f : I ! X ‚“‘— ݃÷—üõ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X ¤¢ ߃ؗ í¢‘¨ 1 .Àª‘“üõ '(v1 ) ‚“ '(v0 ) ¥ X ¤¢ ù¤ ×þ Û¬‘Ÿ ´ª‘Ú÷ ‚î ,݃€î ÓþÂ㗠'(1 t; t) ' :
1 ! X ߃ؗ í¢‘¨ 1 ݃÷—üõ ,Àª‘“ X ¤¢ üû¤ f : I ! X Âð ,ÅØãó‘“ .݃€î ÓþÂ㗠'(x0 ; x1 ) := f (x1 ) –¤¬ ‚“ ¤ X

,

j 2J

nj 'j Ûت ‚“ ´¨ ü—¤‘±ä ,X ¤¢

߃ؗ ùbƒ¹÷¥

n

.Óþ Â㗠5.1.9

J ͨ— ‚î) ´¨ X ¤¢ ߃ؗ ý‘ú¨ n ‚bÞû ‚bþ¢Âð f'j j j 2 J g ö ¤¢ ‚î fnj j j 2 J g ¢Àä ¥ üû‘€µõ ý¢À㗠‘ú€— ø nj 2 Z ø (´¨ ùÀª ý¤ÁÚÆþÀ÷ .Àª‘“üõ ÂÔ¬ Óó‘¿õ

204

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9 .‚ƒÌì 1.2.9 ö‘È÷ Sn (X ) ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ X ¤¢ ߃ؗ ý‘ûùƒ¹÷¥ n ‚bäÞ¹õ X X ݃€îüõ ÓþÂ㗠nj 'j ; mj 'j 2 Sn (X ) ý¥ ‚“ ø ,ù¢¢

j 2J

X j 2J

0=

X j 2J

nj 'j



+

X j 2J

0'j ÛÞä ßþ ü·€¡ Âʀä .

X j 2J

mj 'j

j 2J



:=

X j 2J

(nj + mj )'j

.Àû¢üõ ۃØȗ üܓùø Âð Sn (X ) ,–¤¬ ßþ ¤¢

nj 'j ¥ ´¨ –¤‘±ä

X j 2J

nj 'j öø ¤ø Âʀä ø

.ý¥ Âõ ÂÚÜÞä :2.29 Ûت

i

= ­ø ÂÔõ ÅþÀ÷ ø ' ­ø ÂÔõ ߃ؗ í¢‘¨

n ý¥ ‚“

–¤¬ ‚“ ¤ i ' ߃ؗ í¢‘¨

i '(x0 ; x1 ;


; xn

1

.Óþ Â㗠2.2.9

(n 1) ,0; 1;


; n

) = '(x0 ; x1 ;


; xi 1 ; 0; xi ;


; xn 1 )

Âþ¥ žÂª ‚“ üÞƃ꤁õÞû i ,ž®ø ‚“ .¢ª ‚›— 2.29 Ûت ‚“ .݃€îüõ ÓþÂ㗠:À€îüõ ÓþÂã—

i : Sn (X ) ! Sn

1

X

(X )

j 2J

nj 'j

7!

X j 2J

nj i 'j :

205

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9

:݃€îüõ ÓþÂ㗠Âþ¥ ´ª‘Ú÷ –¤¬ ‚“ ¤ ý¥ Âõ ÂÚÜÞä

 : Sn (X ) ! Sn

1

(X )

 := 0 1 + 2

.Óþ Â㗠3.2.9




+ ( 1)n n

.¢¢Âðüõ Sn (X ) ¥ ùÄþø ùø Âð Âþ¥ ø¢ ÓþÂ㗠°›õ ý¥ Âõ ÂÚÜÞä

n ü—¤¬ ¤¢ ¤ 2 Sn (X ) ߃ؗ ùbƒ¹÷¥ n (1 .Óþ Â㗠4.2.9 .݃û¢üõ ö‘È÷ Zn (X ) ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ X ¤¢ ý‘û¤ø¢ n ‚bäÞ¹õ . = 0 ‚î ×þ ý¥ ‚“ ‚î ݃Žð ¥ Âõ n ü—¤¬ ¤¢ ¤ d 2 Sn (X ) ߃ؗ ùbƒ¹÷¥ n (2 ö‘È÷ Bn (X ) ¢‘Þ÷ ‘“ ¤ X ¤¢ ý‘û¥ Âõ n ‚bäÞ¹õ .d = e ý e 2 Sn 1 (X ) ݃Žð ¤ø¢

.݃û¢üõ ùb¤‘Ú÷

Bn (X ) ø  : Sn (X )

! Sn 1 (X ) ´ª‘Ú÷ ‚bµÆû Zn (X ) ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ,ßþÂ“‘€“ .´¨  : Sn+1 (X ) ! Sn (X ) ´ª‘Ú÷

.À€µÆû Sn (X ) ¤¢ ñ‘õÂ÷ ùø Âð Âþ¥ Bn (X ) ø Zn (X ) (1 .Z0 (X ) = S0 (X ) ü€ãþ ,´¨ ¤ø¢

. Æ 

= 0 ÂµÖƒì¢ ö‘ƒ“ ‚“ .´¨ ¤ø¢ n X



i=1



( 1)i i ' =

j Æ i ' (x0 ; x1 ;


; xn

n ,¥ Âõ n Âû

.‚ƒÌì 6.2.9

nX1 X n j =1 i=1

Âþ¥ ;j




0 ‘fõ ó ߃ؗ ùbƒ¹÷¥ 0 Âû (2

n “ ¤  Æ  ¤ÀÖõ ´¨ üõ‘î :–‘±™

:݃€î ‚±¨‘½õ ' ù¿ó¢ ߃ؗ í¢‘¨

( Æ  )' = 

.‚¹ƒµ÷ 5.2.9

( 1)j+i (j Æ i )':

Æ i = i Æ j+1 ù‘Ú÷ ,i  j Âð ,‘õ

2 ) = j






i ' (x0 ; x1 ;


; xn

2)



= i'
(x0 ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn 2 ) = '(x0 ;


; xi 1 ; 0; xi ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn 2 )  = 'j+1
(x0 ;


; xi 1 ; 0; xi ;


; xn 2)   = i Æ j+1
' (x0 ; x1 ;


; xn 2 ): ßþÂ“‘€“

( Æ  )' =

j nX1X

nX1 X n

j =0 i=0

j =0 i=j +1

( 1)i+j (j Æ i )' +

( 1)i+j (j Æ i )'

206

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9 = = = =

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

j nX1X

nX1 X n

j =0 i=0 nX1nX1

j =0 i=j +1 nX1 X n

( 1)i+j (i Æ j+1 )' +

i=0 j =i nX1nX1

( 1)i+j (j Æ i+1 )' + ( 1)i+j (j Æ i+1 )' +

j =0 i=j nX1 X n

j =0 i=j +1

( 1)i+j (j Æ i )'

j =0 i=j +1 nX1 X n

( 1)i+j (i Æ j+1 )' ( 1)i+j (j Æ i )'

j =0 i=j +1 nX1 X n

( 1)i+j 1 (j Æ i+1 )' +

=0 2

j =0 i=j +1

( 1)i+j (j Æ i )'

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ,°ƒ—— ßþ ‚“ ø .´¨ Zn (X ) ¥ ñ‘õÂ÷ üûø Âð Âþ¥ Bn (X )

.‚¹ƒµ÷ 7.2.9

X ýóÞû ùø Âð ߃õ n ‘þ X ý¥ Âõ ùø Âð ߃õ n .Óþ Â㗠8.2.9 ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .݃û¢üõ ö‘È÷ Hn (X ) ¢‘Þ÷ ‘“ ø ù¢Þ÷ ÓþÂ㗠Zn (X )=Bn (X ) –¤¬

0 2 ‚î À€µÆû ïóÞû ü—¤¬ ¤¢ ; 0 2 Zn(X ) ý‘û¤ø¢' ݃€î ÓþÂ㗠Âð Hn (X ) ùø…ã“ ø ´¨ Zn (X ) “ ý¥ ¤ Ýû ý‚Ф "ö¢“ ïóÞû' ù‘Ú÷ ,"Bn (X ) ‚“ ¤

.Àª‘“üõ ïóÞû ý‘û‚µ¨¢ ‚bÞû ‚bäÞ¹õ .݃€îüõ ߃ƒã— ¤ ý‚ÎÖ÷ ח üþ‘Ìê ýóÞû ý‘úûø Âð ,ñ‘·õ ö€ä ‚“

H0 (X )  = Z –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ‚ÎÖ÷ ×þ ‘ú€— ‘“ üþ‘Ìê X Âð .Ýó 9.2.9 .Hn (X ) = 0 ý n > 0 Âû ý¥ ‚“ ø

:
n ! X ߃ؗ í¢‘¨ n ×þ ‘ú€— ý n  0 Âû ý¥ ‚“ :–‘±™ Ýþ¤¢ n > 0 ý¥ ‚“ ,üêÂÏ ¥ .Sn (X ) = fk '(n) j k 2 Zg  = Z ßþÂ“‘€“ .¢¤¢ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø i '(n) = '(n 1)

¢›ø ,'(n)

'(n)

= =

n X

n X

i=0 

i=0

( 1)i i '(n) =

0 '(n 1)

( 1)i '(n

1)

¢Âê n Âð n > 0 ø šø ¥ n Âð .'(0)

= 0 ƒ÷ n = 0 ýÂ“

207

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9

‚î Ýþƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,„‘“ ¤¢ žø ÂÈõ –‘±¨‘½õ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ,ö€î

Zn (X )

=

Bn (X )

=



Sn (X )

n = 0 ‘þ ,¢Âê n Âð n > 0 ø šø ¥ n Â𐠢Âê n Â𐠚ø ¥ n Âð

0



Sn (X )

0

,‚¹ƒµ÷ ¤¢

Zn (X ) Bn (X )

Hn (X ) =



n = 0 Âð n > 0 Âð

= 0Z

2

.´¨ ‘Þ— ö‘û “ ø

H0 (X )  = ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû ø üú— ƒè üþ‘Ìê X ‚î ü—¤¬ ¤¢

.Ýó 10.2.9

.Z ø nx

2 Z ‚î ,´¨

:

–¤¬ ‚“ ¤

X

x2X H0 X

nx x Ûت ‚“ (߃ؗ ùbƒ¹÷¥ 0 ü€ãþ) ¤ø¢ 0 Âû :–‘±™

( ) ! Z ´ª‘Ú÷

.À÷ÂÔ¬ ‘ú÷ ¥ üû‘€µõ ý¢À㗠¹“ ‚Þû X

.݃€îüõ ÓþÂ㗠ÂÚþ¢ ¤ø¢

0 ×þ

P x2X mx x ݃€î ­Âê .݃û¢üõ ö‘È÷ ¤

ý ߃ؗ ùbƒ¹÷¥

1 ý¥ ‚“ ,ü€ãþ

X x2X

‘û 'j ø kj

2

Z ‚î ,´¨

mx x =

=

P

.´¨ ïóÞû

X x2X

x2X



nx x

:=

X

x2X

üÔþÂ㵪¡ ,Àµ“

P

x2X nx x ‘“ ‚î ,Àª‘“

nx x +  :

j 2J kj 'j Ûت ‚“ ߃ؗ ùbƒ¹÷¥

1 Âû

,üóø

ö€î .À€µÆû ߃ؗ í¢‘¨

 =

X j 2J

kj 'j =

X j 2J

nx

1




kj 'j (v1 ) 'j (v0 ) : ,ßþÂ“‘€“

X



nx x

= = =

X X X

mx x + 

x2X

mx x +

mx +

X



X

kj

kj 'j (v1 )

X

kj

=

.Àª‘“üõ

X

X

kj 'j (v0 )

mx =



X



mx x

üÔþÂ㵪¡ ü€ãõ ‚“ ßþ ‚î

208

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ýóÞû ý‘úûøÂð 2.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

À€÷‘õ ‚ÎÖ÷ Âû ý¥ ‚“ Âþ¥ .´¨ ‘ª• Ýþƒð .´¨ ׃±Øþ

,ùø…ã“ .´¨ Ýƃ꤁õÞû

(n x) = n Ýþ¤¢ , x 2 X

‚î ݃û¢üõ ö‘È÷ ,‘¹÷ ¨ .

–¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ù¿ó¢ ¤ø¢ X x2X

ø

P

nx x

= =

X x2X X x2X



X



x2X X

nx x0 +

nx x0 + 

,ž®ø ‚“

nx x nx x0

x2X

nx'x

0 ×þ

P

nx x






nx x ,ßþÂ“‘€“ .Àª‘“üõ x0 ‚“ x ¥ (߃ؗ í¢‘¨ 1 ×þ ,ü€ãþ) ù¤ 'x ‚î

‚¹ƒµ÷ ¤¢ .

P

2

nx = 0 ù‘Ú÷ , .Àª‘“üõ

P




nx x

= 0 Âð ,ßþÂ“‘€“

ïóÞû

(

P

ö¢“ ׃±Øþ ü€ãõ ‚“ ‚î ,´¨ ïóÞû 0 ‘“

ۃØȗ ¤ ö‘û“ ö §‘¨ 10.2.9 Ýó –‘±™ ¤¢ ¡ ‚bܟÂõ P

.À€ðóÞû

nx )x0 ¤ø¢ 0 ‘“

=

P




nx x0

P

nx x

.´ª¢¢‘þ 11.2.9

nx x ¤ø¢ 0 Âû ,ö §‘¨ “ Âþ¥ .Àû¢üõ P .¢¢Âðüõ É¿Èõ …fõ‘î . nx ¢Àä ͨ— ¤ø¢ 0 ßþ ‚î ,´¨

209

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9 ,–¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ f

:X!Y

݃€î ­Âê

.Óþ Â㗠1.3.9

:݃€î ÓþÂ㗠݃÷—üõ Âþ¥ ‚bΓ‘® ‘“ ¤ f# : Sn (X ) ! Sn (Y ) ´ª‘Ú÷

f#

X j 2J

nj 'j



=

X j 2J

nj (f Æ ')

‘õ .Ýþ¢Âîüõ ù¢‘Ôµ¨ f#;n ¢‘Þ÷ ¥ f# ý‘¹“ ¢“ µú“ Àþ‘ª

.´ª¢¢‘þ 2.3.9

.¢¤À÷ ýÂÚþ¢ ‚b¹ƒµ÷ ,¶½“ ö¢Âî —ùÀƒ»ƒ• › …fÞä ¤‘î ßþ . Æ f# = f# Æ  ùø…ã“ ø ,´¨ ‘úûø Âð ߃“ Ýƃ꤁õÞû f#

.Ýó 3.3.9

×þ ' ݃€î ­Âê ,ø¢ Ý؟ –‘±™ ýÂ“ .´¨ üúþÀ“ f# ö¢“ Ýƃ꤁õÞû :–‘±™ –¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ߃ؗ í¢‘¨

(n 1)

(i Æ f#)(')
(x0 ; x1 ;


; xn 1) = i (f Æ ')(x0 ; x1 ;


; xn 1) = (f Æ ')(x0 ; x1 ;


; xi 1 ; 0; xi ;


; xn 1) = f '(x0 ; x1 ;


; xi 1 ; 0; xi ;


; xn 1)
= f (i ')(x0 ; x1;


; xn 1 )
= (f Æ i Æ ')(x0 ; x1 ;


; xn 1 ) = (f# Æ i )(')
(x0 ; x1 ;


; xn 1 ) 2

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ,°ƒ—— ßþ ‚“ ø

f#(Bn (X ))  ø f# (Zn (X ))  Zn (Y ) Ýþ¤¢ ,Û±ì Ýó –‘®ø ÂÔõ ‘“ .‚¹ƒµ÷ 4.3.9 ×þ ‚“ ¤ ¤ø¢ n Âû ø ,¥ Âõ n ×þ ‚“ ¤ ý¥ Âõ n Âû f# ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ .Bn (Y ) .À€îüõ ÂþÊ— ¤ø¢ n ü€ãþ ßþ ‚î ,

f#(d)

2




Æ f#( ) = ( Æ f#)( ) = 0 ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X ¤¢ ý¤ø¢ Âð :–‘±™

= ø d =  (e) ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X ¤¢ ý¥ Âõ d Âð

.´¨

Y ¤¢ ý¤ø¢ ƒ÷ f#( )

.´¨ ‘Þ— ö‘û“ ø ´¨ Y ¤¢ ý¥ Âõ ƒ÷ f# ( (e)) =  (f# (e)) 210

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9 ,Àª‘“ ‚µ¨ƒ•

f

:X!Y

´ª‘Ú÷ Âð ,„‘“ ‚b¹ƒµ÷ §‘¨ “ .Óþ Â㗠5.3.9 ‚bΓ‘® ‘“ ¤ f : Hn (X ) ! Hn (Y ) üûø Âð Ýƃ꤁õÞû ù‘Ú÷

f ´ª‘Ú÷ .´¨

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

X j 2J

nj 'j



:=

X ¤¢ ù¿ó¢ ¤ø¢ n ×þ

X j 2J X j 2J

nj (f Æ 'j ) nj 'j ‘¹€þ ¤¢ ‚î ,¢Þ÷ ÓþÂ㗠ö—üõ

.݃õ‘÷üõ f ͨ— üþ‘Öó Ýƃ꤁õÞû ¤ f .f ([ ℄) := [f# ( )℄ ù‘Ú÷ , =

X j 2J

nj 'j Âð ,´ÖƒÖŸ ¤¢

.´ª¢¢‘þ 6.3.9

ùÀ€÷¡ ‚“ ßþÂޗ ö€ä ‚“ ¤ ‘ú÷ –‘±™ ø ,À€—‘±™ ۓ‘ì üµŸ¤ ‚“ ýÀ㓠‘ØŸ .Àƒ€î ‚Æþ‘Öõ 15.2.7 ‚b¹ƒµ÷ ø 14.2.7 ‚bƒÌì ‘“ ¤ ‘ú€þ .Ýþ¤‘³¨üõ .‚ƒÌì 7.3.9

ù‘Ú÷ ,n  0 ø À€ª‘“ ‚µ¨ƒ• g : Y

! Z ø f : X ! Y ý‘úµª‘Ú÷ ݃€î ­Âê .(f Æ g ) = g Æ f : Hn (X ) ! Hn (Z )

ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ 1X  –¤¬ ßþ ¤¢ ,n

–¤¬ ßþ ¤¢ ,n

 0 ø Àª‘“ X ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ 1X Âð

.´¨ Hn (X )

 0 ø Àª‘“ Ýƃ꤁õÿÞû f : X ! Y

Âð

.´¨ Ýƃ꤁õø þ f

(1

(2

.‚¹ƒµ÷ 8.3.9

: Hn (X ) ! Hn(Y )

g ø f Âð .À€ª‘“ ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷ f; g : X ! Y Ýþƒð .‚ƒÌì 9.3.9 .f = g : Hn (X ) ! Hn (Y ) ý n  0 Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ”—Þû t (x) = (x; t) –¤¬ ‚“ t : X ! X I ´ª‘Ú÷ ,t 2 I ý¥ ‚“ ݃€î ­Âê :–‘±™ F (x; 0) = f (x) ü€ãþ .Àª‘“ g ‚“ f ¥ ü•—Þû F : X  I ! Y Ýþƒð .¢¢Âð ÓþÂ㗠ø F Æ 0 = f :݃ª‘“ ‚µª¢  °ÆÂ“ §‘¨ “ ÂÚþ¢ ,ö‘ƒ“ ‚“ .F (x; 1) = g (x) ø –¤¬ ßþ ¤¢ .F Æ 1 = g f = (F Æ 0 ) = F Æ 0 = F Æ 1 = (F Æ 1 ) = g: ‚»÷ .0 = 1 : Hn (X ) ! Hn (X  I ) ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ´¨ üê‘î ,ßþÂ“‘€“ ‘€“) P : Sn (X ) ! Sn+1 (X  I ) üÞƃ꤁õÞû ‚î ´¨ ßþ ,݃û¢üõ ö‘È÷ ‚î 211

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê ,0# ; 1#

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9

: Sn(X ) ! Sn(X I ) ­ø ÂÔõ ý‘úÞƃ꤁õÞû ‚“ ƒÑ÷ (¤È€õ ÂÚÜÞä :À€îüõ ëÀ¬ Âþ¥ ‚bФ ¤¢ ‚î ¢¤¢ ¢›ø

 Æ P + P Æ  = 1# 0# 1# ø 0# ݃Žðüõ ‘fŸ…ܐ ,´ó‘Ÿ ßþ ¤¢ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ X ¤¢ ¤ø¢ n ×þ ø ,À€ª‘“ ýùƒ¹÷¥ ”—Þû 1# ø 0# Âð .À€µÆû ýùƒ¹÷¥ ”—Þû

(1# ¤¢ .1#

0# )( ) = ( Æ P + P Æ  )( ) =  (P Æ )

= 0# ßþÂ“‘€“ ø Àª‘“üõ 1# ( ) ø0#( ) ö¢“ ïóÞû ü€ãõ ‚“ ßþ ‚î

ýùƒ¹÷¥ ”—Þû 1# ø 0# ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ´¨ üê‘î ,‚ƒÌì –‘±™ ýÂ“ ,‚¹ƒµ÷ .Ýþ¤¢ ¥‘ƒ÷ P ÓþÂ㗠‚“ ,ßþ ‘¹÷ ýÂ“ .À€µÆû

Sn (X ) ¥ ýÌä ,ü€ãþ ;Àª‘“ X ¤¢ ߃ؗ í¢‘¨ n ×þ ' :
n ! X Ýþƒð ÓþÂ㗠‘“ Ìä Pi (') ݃€î ­Âê i = 0; 1;


; n ý¥ ‚“ .Àª‘“


Pi (') (x0 ; x1 ;


; xn+1 )



:=

'(x0 ; x1 ;


; xi 1 ; xi + xi+1 ; xi+2 ;


; xn+1 ) ; 1

i X k=0

xk



ÓþÂ㗠‘“ Ìä P (') 2 Sn+1 (X  I ) ø Àª‘“ Sn+1 (X  I ) ¥

P (') :=

i=0

( 1)i Pi (')

: Sn(X ) ! Sn+1 (X  I ) ö¢“ Ýƃ꤁õÞû ùb¢Áû‘Èõ .Àª‘“ :݃Æþ÷üõ Âþ¥ –¤¬ ‚“ ¤ P (')

,ö€î .´¨ üúþÀ“ P

P (') =

n X

nX +1 j =0

( 1)j j P (') =

nX +1 X n j =0 i=0

( 1)i+j j Pj (')


:´ª÷ ö—üõ Âþ¥ –¤¬ ‚“ ¤ Pj

{i (')

ù‘Ú÷ ,i < j

(j Æ Pi )(')(x0 ;


; xn ) = 

= '(x0 ;


; xi




,üêÂÏ ¥

1 Âð




Pi (') (x0 ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn )

1 ; xi + xi+1 ; xi+2 ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn ) ; 1

i X k=0

xk



212

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê



i X

= (j 1 Æ ') '(x0 ;


; xj

1 ; xi + xi+1 ; xj +2 ;


; xn ) ; 1

k=0

= Pi (j 1 Æ ')(x0 ;


; xn ) = (Pi Æ j 1 Æ ')(x0 ;


; xn)

xk



–¤¬ ßþ ¤¢ ,i > j Âð

(j Æ Pi )(')(x0 ;


; xn ) = 




Pi (') (x0 ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn )

= '(x0 ;


; xi 1 ; 0; xj ;


; +xi 

= (j Æ ')(x0 ;


; xi

2 ; xi 1

1 + xi ; xi+1 ;


; xn ) ; 1

2 ; xi

+ xi ; xi+1 ;


; xn) ; 1

= Pi 1 (j ')(x0 ;


; xn) = (Pi 1 Æ j Æ ')(x0 ;


; xn )

i X k=0

xk



i X k=0

xk



ù‘Ú÷ ,i = j Âð ,ù¡„‘“

(j Æ Pj )(')(x0 ;


; xn) = 

= '(x0 ;


; xn) ; 1




Pi (') (x0 ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn )

i X

k=0

xk



=(j 1 Æ ')(x0 ;


; xj 1 ; 0; xj ;


; xn ) = (j Æ Pj 1 Æ ')(x0 ;


; xn) Ýþ¤¢ ,¤‘ʵ¡ ‚“ ,ßþÂ“‘€“

j Æ Pi =

8 < :

Pi 1 Æ j Pj Æ j 1 Pi Æ j 1

i < j Âð i = j Âð i > j Â𐠖¤¬ ‚“ ¤ P ñ‘Ÿ

P

= =

nX +1 X n j =0 i=0

( 1)i+j j Pi

0 Æ P0 + n+1 Æ

n X

j i=j =1 X Pn i>j

+

Æ Pj +

( 1)

n X

i=j 1=1 i+j  P j i

( 1)j Æ Pj

Æ +

X i<j 1

1

( 1)i+j j Æ Pi

213

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ýóÞû ý‘úûøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 3.9

‚î ´êÂ𠂹ƒµ÷ ö—üõ üµŸ¤ ‚“ „‘“ ͓ø ¤ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ø ‚µª÷

ÆP

=  0 Æ P0

n+1 Æ Pn P Æ  ‚î ݃÷¢üõ üêÂÏ ¥ ,‘õ




0 Æ P0 (')(x0 ;


; xn )




n+1 Æ Pn (')(x0 ;


; xn )

= = = =

P0 (')(x0 ;


; xn )

= = = =

Pn (')(x0 ;


; xn )

'(x0 ;


; xn ); 1


1 Æ ' (x0 ;


; xn )


1# Æ ' (x0 ;


; xn )

0# ø 1# ýùƒ¹÷¥ ü•—Þû ÂÚ÷‘È÷ ‚î ; Æ P

2




'(x0 ;


; xn ); 0







0 Æ ' (x0 ;


; xn )


0# Æ ' (x0 ;


; xn )

+ P Æ  = 1#

0# ßþÂ“‘€“

.À€îüõ ۃÞؗ ¤ ‚ƒÌì –‘±™ ßþ .Àª‘“üõ .ßþ Âޗ 10.3.9

f : X ! Y Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (1 .´¨ Ýƃ꤁õø þ f : Hn (X ) ! Hn (Y ) ý n  0

Âû ý¥ ‚“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ü•—Þû ý¥ ¤ Ýû

X ýÂ“ A à‘±Ö÷ ×þ ýµŸ ´ª‘Ú÷ i : A ,! X Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ (2 g : X ! A Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .´¨ Ýƃ꤁õ€õ i : Hn (A) ! Hn (X ) ù‘Ú÷ ö‘È÷ ,ùø…ã“ .Hn (X ) = Image(i )Kernel(g ) –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ à‘±Ö÷ Ýƃ꤁õø þ i –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ X ýÂ“ üÆþ¢Âð¢ üґ±Ö÷ A Â𐠂î Àƒú¢

,Àª‘“

.´¨

p : X ! fx0 g Ýþƒð .x0 2 X ø Àª‘“ üû¤ À€±û üþ‘Ìê X Ýþƒð (3 p : Hn (X ) ! Hn (fx0 g) ‚bµÆû –¤¬ ‚“ ¤ H~ n (X ) ø Àª‘“ üúþÀ“ ´ª‘Ú÷ .Hn (X )  = H~ n (X )  Hn(fx0 g) Àƒ€î ´“‘™ .݃€î ÓþÂã—

ÂÚÈþ‘Þ÷

214

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

: X ! Y ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ Ýþƒð (4 ~ n(X ) ! H~ n (Y ) üþ‘Öó Ýƃ꤁õÞû –¤¬ ­Âê ,ùø…ã“ .¢¤¢ ¢›ø f : H ‚“ ´±Æ÷ f ‘“ ‚î ,Àª‘“ ‚þ‘• ‚bÎÖ÷ ꑟ ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ƒ÷ g : X ! Y Àƒ€î ~ n(X ) ! H~ n(Y ) Àƒ€î ´“‘™ .´¨ ”—Þû X ¤¢ ‚þ‘• ‚bÎÖ÷ .f = g : H ßþ ¤¢ ‚î Àƒû¢ À÷‘È÷ .´¨ ‚þ‘• ‚bÎÖ÷ ꑟ f

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9 ý‘Ìê ×þ ýóÞû ùø Âð ßþø ø ý¢‘ƒ€“ ùø Âð ߃“ ¯‘±—¤ ߃ƒã— Ç¿“ ßþ ¥ éÀû .´¨ ýó•— .¢¤¢ ¢›ø

: (Y; y0 ) ! H1(Y ) –¤¬ ‚“ üÞƃ꤁õÞû

.‚ƒÌì 1.4.9

‚bµÆû ø ´¨ ‘ª• ù‘Ú÷ ,Àª‘“ üû¤ À€±Þû Y Âð .´¨  (Y; y0 ) ùø Âð ùbÀª üܓ H1 (Y ) ,ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ ;´¨  (Y; y0 )

Â𑹓‘› ùø Âð Âþ¥ ¥ –¤‘±ä

(f ) :
1 ! ´ª‘Ú÷ .Àª‘“ Y

¤¢ y0 áø ª ‘“ üû¤ f

:I!Y

݃€î ­Âê :–‘±™

:݃€îüõ ÓþÂ㗠Âþ¥ –¤¬ ‚“ ¤ Y

(f )(x0 ; y0) = f (x1 ) = f (1

x0 )

(x0 ; x1 ) 2
1

 ( (f )) = ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚µÆ“ üû¤ f Âð .´¨ ߃ؗ í¢‘¨ 1 ×þ (f ) –¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“üõ Y ¤¢ ¤ø¢ 1 ×þ (f ) ßþÂ“‘€“ ø y0 y0 = 0 (f ) ý‘û¤ø¢ ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ¥ ¤ Ýû ‚bµÆ“ ù¤ ø¢ f 0 ø f Â𐠂î ݃€îüõ Ճֽ— ö€î f0; 1g ‚“ ´±Æ÷ ü•—Þû F : I  I ! Y ø f  f 0 ݃€î ­Âê .À€ðóÞû (f 0 ) ø .Àª‘“ f 0 ø f ö‘ƒõ :݃€îüõ ù¢‘Ôµ¨ Âþ¥ žÂª ‚“ ߃ؗ í¢‘¨ 2 ×þ ßµ¡‘¨ ýÂ“ F ¥ ,݃Æþ€“ ߃÷—üõ (1 s; s(1 t); st) –¤¬ ‚“ ¤ Q 2
2 ‚ÎÖ÷ Âû –‘ʵ¿õ .݃€îüõ ÓþÂ㗠F (s; t) ¤ '(Q) ö€î .(¢ª ‚›— 3.29 Ûت ‚“) 0  t; s  1 ‚î Ýþ¤¢ Q 2
2 ‚bÎÖ÷ (x0 ; x1 ; x2 ) –‘ʵ¿õ §‘¨ “ (

 x  F 1 x0 ; 2 1 x0 F (0; 0)

x0 = 6 1 Âð x0 = 1 Âð x2 x ‚î Àƒ€î ‚›— 0  x2  ßþÂ“‘€“ .0  x0 ; x1 ; x2 ‚µ±ó ø 2 = 1 x0 x1 + x2 1 x0 .´¨ ‚µ¨ƒ• ' ‚î Ýþƒðüõ ‚»ƒµ÷ ,F (0; t) = F (0; 0) ý t 2 I Âû ý¥ ‚“ ö .1 '(x0 ; x1 ; x2 ) =

215

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9 :¢¤ø ´¨À“ ö—üõ üµŸ¤ ‚“ ¤ ' ¥ Âõ

(0 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(0; x0 ; x1) = F (1; x1 ) = y0 = ( ("))(x0 ; x1 ) ߃€»Þû ;´¨ "(t) := y0 ´“‘™ ù¤ " : I

!Y

‚î

(1 Æ ')(x0 ; x1 ) = '((x0; 0; x1 ) =

x  x0 6= 1 Âð F 1 x0 ; 2 1 x0 F (0; 0) x0 = 1 Âð  F (1 x0 ; 1) x0 6= 1 Âð F (0; 0) x0 = 1 Âð ( (f 0))(x0 ; x1 )

= = (2 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(x0 ; x1 ; 0) = F (1 x0; 0) = ( (f ))(x0 ; x1) . Æ ' =

(f ) + (f 0) = (") ÂÚþ¢ ö‘ƒ“ ‚“ 3.29 Ûت

¤¢ ,݃€î ÓþÂ㗠2 (x0 ; x1 ; x2 ) = y0 –¤¬ ‚“ ¤ 2

:
2 ! Y

´ª‘Ú÷ Â𐠑õ

1 :
1 ! Y ‚î , Æ 2 = 1 Æ 2 = 2 Æ 2 = 1 ‚î ¢ªüõ ‚ÑŸ…õ –¤¬ ßþ (f 0) = (f ) ý‘û¤ø¢ ø (") =  Æ 2 ßþÂ“‘€“ .´¨ 1(x0 ; x1 ) = y0b‚Γ‘® ‘“ .´¨ ÓþÂ㵪¡ H1 (Y ) ‚“  (Y; y0 ) ¥ ⓑ— ‚î À÷ íüõ –‘±™ ßþ .À€ðóÞû ‘“ Y ¤¢ ý‚µÆ“ ý‘úû¤ f 0 ø f ݃€îüõ ­Âê ö¢“ Ýƃ꤁õÞû Ճֽ— ýÂ“ .´¨ ïóÞû (f ) + (f 0 ) ‘“ (f  f 0 ) ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ´¨ ¥‘ƒ÷ .À€ª‘“ y0 ¤¢ ‚bþ‘• ߃ؗ í¢‘¨ 2 ×þ ý¥ ‚“ ,ü€ãþ ;´¨ ý¥ Âõ (f ) + (f 0 ) (f  f 0) ü€ãþ Ûت ¤¢ ' ÓþÂ㗠. (f ) + (f 0 ) (f  f 0) = ' ݃ª‘“ ‚µª¢ ý ' :
! Y 216

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê –¤¬ ‚“ ø ´¨ ùÀª Ӄ¬— 4.29

'(x0 ; x1 ; x2 ) =



f (1 + x2 x0 ) f 0 (x2 x0 )

x0  x2 Âð x0  x2 Âð

¤ ' ¥ Âõ .´¨ ‚µ¨ƒ• ø ÓþÂ㵪¡ ' ,°Æ Ýó ‚“‘€“ ‚î Àƒ€î ‚›— .¢ÂþÁ•üõ ‘¹÷ :¢Þ÷ ‚±¨‘½õ ö—üõ üð¢‘Æ“

(0 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(0; x0 ; x1 ) = f 0(x1 ) = ( (f 0))(x0 ; x1 ) (1 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(x0 ; 0; x1 ) Âð = ff (0(1x1+ x1x0 ) x0 ) xx00  xx11 Âð  = ff (0(22xx11) 1) xx11  11==22 Âð (x0 + x1 = 1) Âð = (f  f 0)(x0 ; x1 ) (2 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(x0 ; x1 ; 0) = f (1 x0 ) = ( (f ))(x0 ; x1 ) (f )+ (f 0) ‘“ (f f 0) Àû¢üõ ö‘È÷ ‚î , Æ' = (f 0) (f f 0)+ (f ) ßþÂ“‘€“ .´¨ Ýƃ꤁õÞû

ßþÂ“‘€“ ø ´¨ ïóÞû 4.29 Ûت

217

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9

Y ݃€î ­Âê ñ‘Ÿ P nj ('j (v0 ) ü€ãþ , Æ = 0 ßþÂ“‘€“ ;Àª‘“ Y ¤¢ ¤ø¢ 1 ×þ = nj 'j Ýþƒð P ‚“ üµÆþ‘“ ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ my y –¤¬ ‚“  üÆþ÷¥‘“ ‘“ .'j (v1 )) = 0 ‚“ y0 ¥ gj 0 üû¤ ,­ø ÂÔõ j 2 J Âû ý¥ ‚“ .my = 0 ‘û y 2 Y b‚Þû ý¥ ݃€îüõ ’‘¿µ÷ ö‘€ 'j (v0 ) = 'k (v0 ) ‚“ y0 ¥ gji üû¤ ø *'j (v0 ) = 0 'j (0) P y0 ¥ üû¤ gy Ýþƒð) y2Y my (gy ) = 0 üµÆþ‘“ ‚î ´¨ ¼®ø .gj0 = gk0 ‚î P P nj ( j (gj0 ) j (gj0 )) –¤¬ ßþ ¤¢ ;Àª‘“ (y ‚“ y2Y my (gy ) –¤¬ ‚“ ¤ .´¨ ‘ª•

P

‚î ݃û¢ ö‘È÷ ݃û¡üõ .Àª‘“ üû¤ À€±Þû

(.´ª÷ ö—üõ

:= (gj0 ) + 'j (gj1 ) –¤¬ ‚“ j ߃ؗ ùbƒ¹÷¥ 1 ÓþÂ㗠‘“ P –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ fj (t) = '(1 t; t) ‚bΓ‘® ‘“ ù¤ fj : I ! Y Âð . = nj j ((gj0  fj )  gj1) = j ùø…ä“ ø ,´¨ Y0 ¤¢ ‚þ‘• ‘“ Y ¤¢ ý‚µÆ“ ù¤ (gj0  fj )  gj1 Q n
= ‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø .Àª‘“üõ üþ‘ª• ü€ãõ ‚“ ßþ ‚î ; j f(gj 0  fj )  gj 1 g ïóÞû 0 ‘“ (f ) ݃€îüõ ­Âê ,´¨ Â𑹓‘› ùø Âð Âþ¥ ‚bµÆû ‚Ø€þ –‘±™ ýÂ“

Ýþ¤¢ ,j

j

–¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“

(f ) = 

X j 2J

nj 'j



=

X j 2J

('j0

'j 1 + 'j 2 )

'ji = Ýþ¤¢ (i = 0; 2; 2 ý¥ ‚“) ø ´¨ ߃ؗ í¢‘¨ 2 ×þ (j 2 J ‘“) 'j ‚î ø k ý¥ ‚“ ‚î ݃ª‘“ ‚µª¢ üµÆþ‘“ ,´¨ ߃ؗ í¢‘¨ 1 ×þ (f ) ö . Æ 'j ‘“ (f ) = 'k` ,„‘“ ´¨¤ ´Þ¨ –¤‘±ä ýÀ€“ ‚µ¨¢ ¥ ŕ ø (f ) = 'k` ý ` .À÷ªüõ ÂÔ¬ ÂÚþ¢ °þÂ® ‚bÞû ø ¢ªüõ Âû‘Ò 1 °þ®

Û·õ .Àª‘“ 'j (vi ) ‚“ y0 ¥ Y ¤¢ üû¤ (j 2 J ø i = 0; 1; 2 ‚î) gji Ýþƒð üڵƓ ý¤Áð ÅþÀ÷ üÚ÷Ú ‚“ ø ¢¤¢ üڵƓ 'j (vi ) üþ‘úµ÷ ‚bÎÖ÷ ‚“ ‘ú€— gji ,Û±ì .¢ª ‚›— 5.29 Ûت ‚“ .݃€îüõ ’‘¿µ÷ ¤ ´“‘™ ù¤ ,'j (vi ) = y0 Âð .¢¤À÷ ‚bΓ‘® ‘“ ù¤ (j

2 J ø i = 0; 1; 2 ‚î) fij Ýþƒð

fji (t) = 'ji (1 t; t) = i Æ 'i (1 t; 1) –¤¬ ‚“ ¤ (j

hj0 hj1 hj2

2 J ø i = 0; 1; 2 ‚î) hji ý‘úû¤ ø Àª‘“ Y

¤¢

= (gj1  fj0 )  gj2 ; = (gj0  fj1 )  gj2 ; = (gj0  fj2 )  gj1 ; 218

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢‘ƒ€“ ùøÂð ߃“ ¯‘±—¤ 4.9 hj

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

= (hj0  h j1 )  hj2 –¤¬ ‚“ ¤ (j 2 J ) hj ý‘úû¤ ,ù¡„‘“ .݃€îüõ ÓþÂã—

‘“ hj ‚Ø€þ ùbÀû‘Èõ .݃€îüõ ÓþÂã—

(gj1  ((fj0  fj1)  fj2 ))  gj1 .Àª‘“üõ ¥ ¤ Ýû

" ´“‘™ ù¤ ‘“ ƒ÷ ßþ ‚µ±ó ‚î ,´Æƒ÷ ý¤ª¢ ¤‘î ,´¨ ¥ ¤ Ýû Q . j [hj ℄nj = 1 ßþÂ“‘€“ 5.29 Ûت

Àª‘“ ©Â𑹓‘› ùø Âð Âþ¥ “ ,Àª‘“ Q

(Y; y0 ) ´ÞÆì š¤‘¡ ÂÚÈþ‘Þ÷ A(Y; y0 ) Ýþƒð

(Y; y0 ) ¥ ýÂʀä [℄ Âð .(´¨ (Y; y0 ) ùbÀª üܓ A(Y; y0 ) ü€ãþ)

, j [hj ℄nj

= 1 ö .݃û¢üõ ö‘È÷ [[℄℄ –¤¬ ‚“ ¤ A(Y; y0 ) ¤¢ ö ƒÑ÷ Âʀä Q ‚Ø€þ ‚¹ƒµ÷ . (f ) = 'k` ý k; ` ×þ ý¥ ‚“ ‚î ݃÷¢ üõ . j [[hj ℄℄n = 1 Ýþ¤¢ ¤¢ –…Þ› ,´¨ üܓ A (Y; y0 ) ö .f = hk` ƒ÷ ø (gij ’‘¿µ÷ ‚“‘€“) f = fk` Q Q ßþÂ“‘€“ . j [[hj ℄℄n = [[f ℄℄ Ýþ¤ø‘ƒ“ ´¨À“ ø ݃€î ýÀ€“ âޛ ¤ j [[hj ℄℄n –¤‘±ä ¤¢ ‚bµÆû ‚î ÝþÀþ¢ ,ŕ .´¨ ÕÜãµõ Â𑹓‘› ùø Âð Âþ¥ ‚“ [f ℄ ü€ãþ .[[f ℄℄ = 1 ‚“ ´¨ üܓ H1 (Y ) ‚î ´ƒãìø ßþ ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .Àª‘“üõ âìø Â𑹓‘› ùø Âð Âþ¥ j

j

j

¤ ‚ƒÌì –‘±™ ,°ÜÎõ ßþ .¢¤¢ “ ¤¢ ¤ Â𑹓‘› ùø Âð Âþ¥

‚bµÆû ‚î ´¨ ü€ãõ ßþ

2

.À€îüõ ۃÞؗ .ßþ Âޗ 2.4.9

.H1 ((S1)n )  = Zn ø H1 (S1) = Z ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (1

H1 (Y ) ‘“ A(Y; y0 ) ù‘Ú÷ ,Àª‘±÷ üû¤ À€±Þû Y Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ ,ñ‘·õ Âî£ ‘“ (2 .´ƒÆ÷ 餁õø þ ÂþÁ³µú›‘÷ ¼Î¨ ×þ (’ ,g á÷ ¥ ÂþÁ³µú› ¼Î¨ ×þ (Óó ýóÞû ùø Âð ߃óø (3 ‘ú€— ø üµìø S2 ø S1 žÎ¨ ‚î Àþƒړ ‚¹ƒµ÷ ų¨ ø Àƒ€î ‚±¨‘½õ ¤

g á÷ ¥

219

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì 5.9 .H1 (S2 )  = H1(S1 ) ‚î À€ê¤õÿÞû üƵìø

H1 (Y ) ø (Y; y0 ) üµìø ‘ú€— ø üµìø Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“ üû¤ À€±Þû Y Àƒ€î ­Âê (4 .Àª‘“ üܓ  (Y; y0 ) ‚î À€ê¤õø þ Ýû ‘“ .´¨ 餁õø þ Z  Z ‘“ 8 Ûت ýóÞû ùø Âð ߃óø ‚î Àƒû¢ ö‘È÷ (5 ö “ ¥‘“ ×Æþ¢ ×þ üú€õ

S ¢¡ ¥ –¤‘±ä S 0 ø Àª‘“ ¼Î¨ ×þ S Ýþƒð (6 .H1 (S )  = H1(S 0 ) ‚î Àƒ€î ´“‘™ .Àª‘“

ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì 5.9 ý‚܃¨ø ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì ‚î Ýþ¢Âî ‚ÑŸ…õ ,ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Âð ‚b±¨‘½õ ¶½“ ¤¢ ‚“ …fþ£ ‚î Ýþ¤¢ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ «Ê¡ ¤¢ ‚“‘Èõ ý‚ƒÌì .´¨ À€õø ƒ÷ ¤‘ƒÆ“ .Ýþ¥¢Â•üõ ö Ӄ¬— ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ U2 ø U1 ‚î ,X = U1 [ U2 Ýþƒð .Óþ Â㗠1.5.9 ü³µŸ ý‘úµª‘Ú÷ ÂÚÈþ‘Þ÷ i = 1; 2 ‚î i : Ui ! X ø 'i : U1  U2 ! Ui ø À÷ X ý‘úÞƃ꤁õÞû –¤¬ ßþ ¤¢ .À€ª‘“ üóÞãõ

i : Hk (U1 \ U2 ) ! Hk (U1 )  Hk (U2 ) ; j : Hk (U1 )  Hk (U2 ) ! Hk (X ) :݃€îüõ ÓþÂ㗠Âþ¥ –¤¬ ‚“ ¤


i( ) := '1 ( ); '2 ( ) ; j ( 1 ; 2 ) := ¤¢ ¥‘“ ý‘û‚äÞ¹õ Âþ¥ ¢›ø


: Hk (X ) !

( )

1 1

( )

2 2

U2 ø U1 ‚î ,X = U1 [ U2 Ýþƒð .‚ƒÌì 2.5.9 Hk 1 (U1 \ U2 ) üþ‘úÞƃ꤁õÞû –¤¬ ßþ ¤¢ .À÷ X

:À€€îüõ ëÀ¬ Âþ¥ À€÷‘õ ,‘úÞƃ꤁õÞû ø ‘úûø Â𠥐 ý‚ó‘±÷¢ ¤¢ ‚î À÷¤¢ i Hk (U1 )  Hk (U2 )


Hk+1 (X )
! Hk (U1 \ U2 ) ! j ! Hk (X )
! Hk 1 (U1 \ U2 ) !




.Àª‘“üõ ö üܱì Ýƃ꤁õÞû ùb¤‘Ú÷ “Â“ Ýƃ꤁õÞû Âû ‚bµÆû ,‚ó‘±÷¢ ßþ ¤¢ 220

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì 5.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

= V1 [ V2 ‘“ ÂÚþ¢ üþ‘Ìê Y Âð ùø…ã“ (f jU1\U1 ) Æ
= –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ f (Ui)  Vi ‘“ ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ f : X ! Y .¢¢Âðüõ Ëþã— üþ‘Öó ý‘úÞƃ꤁õÞû ‘“
Ýƃ꤁õÞû ÂÚþ¢ –¤‘±ä ‚“ .
Æ f Âð ø ,Àª‘“ (À÷¥‘“ Y ¤¢ V2 ø V1 ‚î) Y

Ýƃ꤁õÞû Âû ‚bµÆû ö ¤¢ ‚î ‘úÞƃ꤁õÞû ø ‘úûø Â𠥐 ý‚ó‘±÷¢

.Óþ Â㗠3.5.9

žÂÎõ ‚bó‘±÷¢ ,ßþÂ“‘€“ .¢ªüõ ùÀƒõ‘÷ Õƒì¢ ‚bó‘±÷¢ ,´¨ üܱì Ýƃ꤁õÞû ùb¤‘Ú÷ “Â“ ý‘úÞƃ꤁õÞû ¤


ý‘úµª‘Ú÷ .´¨ Õƒì¢ ‚bó‘±÷¢ ×þ ¥ ý‚÷Þ÷ ,2.5.9 ‚bƒÌì ¤¢ ùÀª

.À€õ‘÷üõ Åþ ¤µþø-ƒõ ‚bó‘±÷¢ ¤ 2.5.9 ‚bƒÌì ¤¢ ùÀª žÂÎõ ‚bó‘±÷¢ ø ͓¤ (ýóÞû ‚bþÂÑ÷ ö¢“ ÀƒÔõ ,ßþÂ“‘€“) ö ö¢“ ÀƒÔõ ‘õ ,݃€îüÞ÷ –‘±™ ¤ 2.5.9 ‚bƒÌì .݃û¢üõ ö‘È÷ ,ö ¥ ¤‘î ‚b¹ƒµ÷ À€ ų¨ ø Ý؟ ×þ –‘±™ ‘“ ¤ –¤¬ ßþ ¤¢ .Àª‘“ ´±·õ ø ¼ƒ½¬ ý¢Àä n Ýþƒð

Hk (



) = 0Z

Sn

.‚ƒÌì 4.5.9

k = n ‘þ ø k = 0 Âð

–¤¬ ßþ Âƒè ¤¢

Tn (x0 ; x1 ;


; xn ) = ‚bΓ‘® ‘“ ´ª‘Ú÷ ,ü€ãþ) Àª‘“ §‘Øã÷ ´ª‘Ú÷ Tn : Sn ! Sn Âð ,ùø…ã“ .´¨ 1 ¤¢ ’® Tn : Hn (Sn) ! Hn (Sn) ù‘Ú÷ ,(( x0 ; x1 ;


; xn ) Ýþƒð .݃€îüõ –‘±™ Åþ¤µþø-ƒõ ‚bó‘±÷¢ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ø ǑÂÖµ¨ ‚“ ¤ Ý؟ :–‘±™ ø U1 Àƒ€î ‚›— . U2 = fx 2 Sn j xn < 1=2g ø U1 = fx 2 Sn j xn > 1=2g ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .´¨ ”—Þû Sn 1 ‘“ U1 [ U2 ø À÷ÂþÁ³®‘±Ö÷ U2

Hk (Ui ) =



Z

0

k = 0 Â𐠖¤¬ ßþ Âƒè ¤¢

–¤¬ ßþ ¤¢ ,݃€î ¤Ê— fx 2 Sn j xm

;

Hk (U1 \ U2 ) = Hk (Sn

= 0g –¤¬ ‚“ ¤ Sn

):

1

1 Â𐠂î Àƒ€î ‚›—

.Tn jSn

1

= Tn

‚bó‘±÷¢ k = 1 ýÂ“ Åþ¤µþø-ƒõ ‚bƒÌì –¤¬ ßþ ¤¢ ;n = 1 Ýþƒð

1

j j i


! 0 ! H1 (S1)
! H0 (S0) ! Z Z !




‚ó‘±÷¢ ,¢¡ ´“÷ ‚“ ƒ÷ ßþ ‚î ,Àû¢üõ ´¨À“ ¤ j j i


! 0 ! H1 (S1)
! Z  Z ! Z Z !




.i(x; y ) = (x + y; x + y ) ö ¤¢ ‚î ,Àû¢üõ ¤ 221

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì 5.9

Image(
) = ùø…ã“ ;´¨ ׃±Øþ
ŕ ,Kernel(
) = Image(j ) = 0 ö ,ö€î .H1 (S1)  = Z ßþÂ“‘€“ .´¨ 餁õø þ Z ‘“ ‚î ,Kernel(i) = f(x; x) 2 Z  Zg ‚î ݃€îüõ ‚ÑŸ…õ ,T0 Æ
=
Æ T1 ö ø T0 (x; y ) = (y; x) ‚î ´¨ ߪø ¤ ¤îÁõ ‚bó‘±÷¢ ,1 < k ý¥ ‚“ .´¨

1 ¤¢ ’® T1

j i


! 0 ! Hk (S1)
! Hk 1 (S0) ! 0 !





‚¹ƒµ÷ ¤¢ ø Kernel(
) = Image(i) ö) ´¨ Ýƃ꤁õ þ
,߃€»Þû ;´¨ ‚ƒÌì ßþÂ“‘€“ .(´¨ ‘ª•
ßþÂ“‘€“ ,Image(
) = Kernel(j ) ö ø ´¨ ׃±Øþ .Àª ´“‘™ n = 1 ý¥ ‚“ –¤¬ ßþ ¤¢ ;Àª‘“ ¤Âì“ n = m 1 ýÂ“ ÂÑ÷ ¢¤õ Ý؟ ø m > 1 ݃€î ­Âê .´¨ ¼ƒ½¬ ƒ÷ n = m ýÂ“ Ý؟ ‚î ݃û¢ ö‘È÷ ݃û¡üõ Ûت ‚“ ý‚ó‘±÷¢ ù‘Ú÷ ,k = 1 Âð j i


! 0 ! H1 (Sm)
! Hk 1 (Sn 1) ! 0

‚bó‘±÷¢ °›õ ¢¡ ßþ ‚î ,Ýþ¤¢ j i


! 0 ! H1 (Sm)
! Z ! Z Z !




H1 (Sm) = ø Image(
) = 0 Áó ø Kernel(i) = 0 ßþÂ“‘€“ .i(a) = (a; a) ‚î ,¢¢Âðüõ Ûت ‚“ ý‚ó‘±÷¢ –¤¬ ßþ ¤¢ ,1 < k Âð

.0

j i


! 0 ! Hk (Sm)
! Hk 1 (Sm 1) ! 0

ù‘Ú÷ ,k = m Âð ,ùø…ã“ .Hk (Sm)  = Hk 1 (Sm 1) ¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ö ¥ ‚ð ,Ýþ¤¢ .´¨

2

1 ¤¢ ’® Tm Ýþƒðüõ ‚¹ƒµ÷ ,Tm 1 Æ
=
Æ Tm ‚Ø€þ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ .¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ǑÂÖµ¨ Û¬ ‚“‘€“ Ý؟ ö€î .‚¹ƒµ÷ 5.5.9

.À€µÆƒ÷ ”—Þû á÷ Ýû Sm ø Sn ù‘Ú÷ ,n 6= m Âð (1 .´¨ ´“‘™ ý‚ÎÖ÷ ý¤¢ f : D n

! D n Ûت ‚“ ‚µ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ Âû

(2

.À€µÆƒ÷ ”—Þû 1Sn ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ ø Tn : Sn ! Sn §‘Øã÷ ´ª‘Ú÷ (3 222

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

ß³õ‘î öø-–Âԃª ‚bƒÌì 5.9 1S2

n

ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ ø ,A(x)

=

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê x ‚bΓ‘® ‘“ A : S2n ! S2n Âϑ֗ ´ª‘Ú÷ (4 .´¨ ”—Þû

´“‘™ ý‚ÎÖ÷ f ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ ”—Þû 1Sn ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ ø f

: Sn ! Sn Âð

(5

.¢¤¢

f (x) ý x 2 S2n Âû ý¥ ‚“ ‚î f

: S2n ! S2n Ûت ‚“ ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ ºƒû (6 .¢¤À÷ ¢›ø ,À€ª‘“ Àõ‘ãµõ R2n+1 ¤¢ x ø

ßþÂޗ ;¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ (9.3.9 ‚bƒÌì) ü•—Þû üþ¢¤ø‘÷ ‚bƒÌì ¥ ñø ´ÞÆì :–‘±™ À€÷‘Þû ø ´¨ ¤øÂ“ ´“‘™ ‚ÎÖ÷ ‚bƒÌì ,ø¢ ´ÞÆì .Àƒ€î ‚ÑŸ…õ ¤ (1)-10.3.9 ‚¹ƒµ÷ ü•—Þû üþ¢¤ø‘÷ ‚bƒÌì ¥ ¨ ´ÞÆì .´¨ –‘±™ ۓ‘ì 14.4.7 ‚b¹ƒµ÷ ö‘û“

= R0 Æ R1 Æ


Æ R2n ‚î ¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ´ƒìø ßþ ¥ ¤‘ú ´ÞÆì .¢¢Âðüõ A : H2n (S2n) ! H2n (S2n) ßþÂ“‘€“ ø ´¨  i ɵ¿õ ‚“ ´±Æ÷ §‘Øã÷ Ri ‚î ºƒû f ‚î ݃€îüõ ­Âê ,ݹ€ ´ÞÆì ýÂ“ .´¨ ( 1)2n+1 = 1 ¤¢ ’® ×þ Áó ø (1 t)f (x) tx 6= 0 ý x Âû ý¥ ‚“ ‚¹ƒµ÷ ¤¢ .Àª‘“ ‚µªÀ÷ üµ“‘™ ‚bÎÖ÷ –¤¬ ‚“ A ø f ö‘ƒõ F : S2n  I ! S2n ü•—Þû (1 t)f (x) tx F (x; t) = k(1 t)f (x) txk

,A

x Â𐠐Âþ¥ ,¢¢Âðüõ ‚¹ƒµ÷ ݹ€• ´ÞÆì ¥ ÝȪ ´ÞÆì ,‘¹÷Â¨ .¢Þ÷ ÓþÂ㗠ö—üõ 2 .f (x) 6= x üµÆþ‘“ ù‘Ú÷ ,À€ª‘“ Àõ‘ãµõ f (x) ø ü¨À€û ƒ±ã— ‚î ¢¤¢ ¢›ø ߃Þȕ ýð ‚bƒÌì ‘€“ ý‚ƒÌì

.´ª¢¢‘þ 6.5.9

‚ƒÌì ßþ §‘¨ “ .¢¥‘¨üõ ÝûÂê ¤ „‘“ ‚bƒÌì ¥ 6 ø 5 ý‘úµÞÆì S2 ö ¼Î¨ ¥ ‚bÎÖ÷ Âû ¥ ‚î D 3 ü€ãþ) ߃Þȕ ýð ×þ ‘Þª ‚»÷‘€

Ûت ‚“ ö ýÀ÷¥ ‚÷‘ª ‚“ ¤¢‘ì ,Àƒª‘“ ‚µª¢ ¤‘ƒµ¡ ¤¢ (Àª‘“ ùÀƒŽø ¤ üþõ .¢“ Àƒû¿÷ ¤Þû Àƒª‘“ ‚µª¢ ߃Þȕ ýð ×þ “ ¤Þû ö¢¥ ‚÷‘ª ×þ ‘Þª Âð ‚î ´¨ ߃€ ö –‘±™ ¢Þä

x “ f (x) üµÆþ‘“ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ x ‚bÎÖ÷ ¤¢ ù¢Âî Àª¤ ýõ ý‘µ¨¤ f (x) ¤¢Â“ ø

‘ûõ ‚Ø€þ ‘þ ø ,¢¤¢ ¢›ø õ ü“ üŸ÷ ‘fÞµŸ ‘þ ü—„Ê½õ ߃€ ¤¢ ü€ãþ .Àª‘“ ‚Ø€þ °ó‘› .´ª¢ À€û¡ üÚµÆت 223

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ 6.9 .¢¥ ‚÷‘ª ö—üõ ¤Þû Ûت ‚“ ¤ ߃Þȕ ’ƒ— .¢¤¢ ¢Â“¤‘î ©¹Þû üޗ ý‘úû‘ðø ƒ÷ ¤¢ ¤‘î ßþ .ßþ Âޗ 7.5.9

.Àƒ€î ‚±¨‘½õ ¤ RP 2 ýóÞû ý‘úûø Âð ,Åþ¤µþø-ƒõ ‚bƒÌì ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (1 ‚±¨‘½õ ¤ ùÂð ×þ ݵµõ ýóÞû ý‘úûø Âð Åþ¤µþø-ƒõ ‚bó‘±÷¢ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ (2 .Àþƒړ ‚¹ƒµ÷ ¤ ?? ‚b¹ƒµ÷ ,ų¨ .Àƒ€î .´ê‘þ ¢ªüÞ÷ Sn 1 “ D n ¥ ü®‘±Ö÷ ºƒû ‚î Àƒ€î ´“‘™ (3

m 6= Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .À€ª‘“ n ø m °ƒ—µ“ À㓠‘“ üþ‘ûÀÜԃ€õ N ø M Ýþƒð (4 ýó•— À㓠üþ¢¤ø‘÷ ‚bƒÌì Â€þ .À€êÂõÿÞû Âƒè ‘fÞµŸ N ø M ù‘Ú÷ ,n ßþÂޗ ¤¢ M=(M D)  = Sm üԃ¬— Ýƃ꤁õÿÞû ¥ :üþ‘Þ€û¤) .À€õ‘÷üõ (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ (6)-??

‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ 6.9 ‘û‚þ ÂÑ÷ ßþ ‚bÞû .¢¤¢ ¢›ø ýóÞû ý‘úûø Âð ÓþÂ㗠ýÂ“ ýÂÚþ¢ ¢Àãµõ ý‘úªø ¤

ßþ .À€µÆû üØþ …fÞä (‘úãÞµ¹õ

CW

‚Üޛ ¥) ‘û‘Ìê ¥ ü𤠓 ¤‘ƒÆ“ ‚µ¨¢ ýÂ“

Ûþø ¤¢ ‚î Àõ‘¹÷üõ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ ýÂ“ ü䁮õ Û¬ üªø ¤ žÂÏ ‚“ °ÜÎõ ý‚䁮õ ñ¬ .´¨ ùÀª áø ª ¢Â€ƒµ¨ .ö ø ﱀÜþ .§ ͨ— ý¢…ƒõ 1950 ‚bû¢ .À÷ªüõ ùÀƒõ‘÷ ‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ý‘û‚þ ÂÑ÷ ñ¬ ‚î ,݃€îüõ žÂÎõ ‘¹€þ ¤¢ ¤ (ý¢‘ƒ€“ ý‘úûø Â𠢤õ ¤¢ …f·õ) ´“‘™ ‚bÎÖ÷ ‘“ ýó•— ý‘û‘Ìê “ ñ¬ ßþ ¥ .¢Þ÷ ù¢‘Ôµ¨ ö—üõ Âʵ¿õ ŸÂª ‚“ ,‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ ‚b䁮õ ñ¬ ‚“ ßµ¡¢Â• ¥ ǃ• .Ýþ¤¢ ¥‘ƒ÷ úÔõ À€

X

.Àª‘“ x0 ´“‘™ ‚bÎÖ÷ ‘“ ýó•— üþ‘Ìê X Ýþƒð .Óþ Â㗠1.6.9
.݃€îüõ ÓþÂ㗠(X  I )= (X  I ) [ (fx0 g  I ) üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê –¤¬

‚“ ¤

ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ‚þ‘• ‚bÎÖ÷ ꑟ ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷

f : X ! Y

f

:X!Y

Âð ‚î ¢ª ‚›—

Ûت ‚“ ‚þ‘• ‚bÎÖ÷ ꑟ ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ ÓþÂ㗠°›õ f –¤¬ .¢¢Âðüõ 224

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ 6.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

X ýó•— ý‘Ìê ‚“ ƒÑ÷ CX ‚µê‘þ ۃÜ֗ ¯ø ¿õ .Óþ Â㗠2.6.9
.¢¢Âðüõ ÓþÂ㗠(X  I )= (X  f1g) [ (fx0 g  I ) üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê –¤¬ ƒÑ÷ Cf üµª‘Ú÷ üÏø ¿õ ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ‚þ‘• ꑟ ø ‚µ¨ƒ• üµª‘Ú÷ f : X ! Y Âð Ýû ‚bФ  ‚î ,¢¢Âðüõ ÓþÂ㗠(CX [ Y )=  üµÞÆì š¤‘¡ ý‘Ìê –¤¬ ‚“ f ‚“ ‚“

:´¨ Âþ¥ žÂª ‚“ ý¥ ¤

(x; 0)  f (x) () f (x) 2 Y ; (x; 0) 2 CX ´ª‘Ú÷ ‚î ¢ª ‚›— .Àª‘“üõ Cf ¤¢

Y ‚“ y0 ƒÑ÷ ‚bÎÖ÷ ¥ –¤‘±ä Cf ý‚þ‘• ‚bÎÖ÷

ýµŸ ´ª‘Ú÷ ö€ä ‚“ ¤ ö ;¢Þ÷ ÓþÂ㗠ö—üõ üãƒ±Ï –¤¬ ‚“ ¤ i : Y

! Cf

.¢Þ÷ ¢ÀÞÜì ö—üõ .ßþ Âޗ 3.6.9

ö‘Þû ´¨¤¢

Cp ù‘Ú÷ ,Àª‘“ ´“‘™ ´ª‘Ú÷ p : X

! fx0 g Â𐠂î Àƒ€î ´“‘™ .´¨ X

(1

.´¨ é¤øÀ¨ø‘û ƒ÷ X ù‘Ú÷ ,Àª‘“ é¤øÀ¨ø‘û X Â𐠂î Àƒû¢ ö‘È÷ (2 .S1  = S2 ‚î Àƒ€î ´“‘™ (3 ߃ؗ ý¥óÞû ‚bþÂÑ÷ ýÂ“ ¢Â€ƒµ¨-ﱀÜþ ñ¬ žÂÏ ýÂ“ ü±¨‘€õ ´ƒãìõ ö€î .´¨ ‚µê‘þ ۃÜ֗ ùÂÞû ‚þ‘• ˜‚ÎÖ÷ öä ‚“ ý‚ÎÖ÷ ‘“ ‘û‘Ìê ‚bÞû ´ÞÆì ßþ ¤¢

.Óþ Â㗠4.6.9

‚þ‘• ¯‘Ö÷ ø À÷‚µ¨ƒ• ,À÷ªüõ ÓþÂ㗠üþ‘û‘Ìê ߃€ ߃“ ƒ÷ ‘úµª‘Ú÷ ‚bÞû ø ,À€µÆû .À€€îüõ ԟ ¤ f ý‘û‘Ìê (‚bÞû „‘ÞµŸ ‘þ) ¥ ý‚þ¢ ð “ ‚µê‘þ ۃÜ֗ ߃ؗ ý¥óÞû ‚bþ ÂÑ÷ Âû :¢¢Âðüõ ۃØȗ Âþ¥ ¢¤õ ¥ ø ¢¢Âðüõ ÓþÂ㗠‚þ‘• ¯‘Ö÷ ‘“ ýó•— ¢¤õ ý‘Ìê Âû ‚“

H~ n ‚î ý‚÷ð ‚“ ,‘úµª‘Ú÷ ¥ fH~ n j n 2 Zg ýù¢÷‘¡ ( ~ n(X ) üܓ üûø Âð ,X ‚ãó‘Îõ ø ;Àû¢üõ ´±Æ÷ H

ù¿ó¢ ¼ƒ½¬ ¢Àä ø f

:X!Y

‚þ‘• ‚bÎÖ÷ ꑟ ‚bµ¨ƒ• ´ª‘Ú÷ Âû ý¥ ‚“ (’ ~ n(X ) ! H~ n (Y ) üÞƃ꤁õÞû ,n ø ;üþ‘Öó Ýƃ꤁õÞû ‘€“ f : H 225

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê

‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ 6.9

n (X ) : H~ n (X ) ! üÞƃ꤁õÞû ,n ¼ƒ½¬ ¢Àä Âû ø X ý‘Ìê Âû ý¥ ‚“ (š ~ n+1 (X ) .X ‚“ ƒÑ÷ ՃÜ㗠Ýƃ꤁õÞû ‘€“ H :À€ª‘“ ‚µª¢ ëÀ¬ Âþ¥ Û¬ ´Ôû ¤¢ Àþ‘“ ,„‘“ ¤¢ žø ÂÈõ Ǒ‘ƒª ù‘Ú÷ ,n

2

1 : X ! X Âð (ü÷‘Þû Û¬ ) (1 ~ ~ n(X ) üþ‘Öó Ýƃ꤁õÞû .´¨ Ýƃ꤁õø þ 1 : Hn (X ) ! H

Z ø Àª‘“ ü÷‘Þû ´ª‘Ú÷ X

‚bÎÖ÷ ꑟ ø ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷ g : Y ! Z ø f : X ! Y Âð (°ƒî— Û¬ ) (2 .(g Æ f ) = g Æ f –¤¬ ßþ ¤¢ ,À€ª‘“ ‚þ‘• ø ‚µ¨ƒ• üþ‘úµª‘Ú÷ g : Y

!Zøf :X!Y

Âð (ՃÜ㗠ö¢“ üãƒ±Ï Û¬ ) (3

:´¨ ÂþÁ³Ìþã— Âþ¥ ¤¢Þ÷ –¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª‘“ ‚þ‘• ‚bÎÖ÷ ꑟ

H~ n (X ) f

?

H~ n (Y )

n (X )

- H~ n(X )

(f )

n (Y )

- H~ n(?Y )

X ¤¢ ‚bþ‘• ‚bÎÖ÷ ‚“ ´±Æ÷ f; g : X ! Y ý‘úµª‘Ú÷ Âð (ü•—Þû Û¬ ) (4 .À÷“Â“ g ø f üþ‘Öó ý‘úÞƃ꤁õÞû –¤¬ ßþ ¤¢ ,À€ª‘“ ”—Þû

n (X ) : H~ n (X ) ! üփÜ㗠Ýƃ꤁õÞû ,ý n 2 Z Âû ý¥ ‚“ (ՃÜ㗠۬ ) (5 ~ n+1 (X ) .´¨ Ýƃ꤁õø þ H ‚bó‘±÷¢ ,n ¼ƒ½¬ ¢Àä Âû ø f

:X!Y

´ª‘Ú÷ Âû ý¥ ‚“ (´ì¢ Û¬ ) (6

 H  H ~ n(Y ) i! ~ n(Cf ) H~ n (X ) f!

i:Y

! Cf ‘¹€þ ¤¢ ;Image(f ) = Kernel(i ) ‚î ´¨ ´ƒ¬‘¡ ßþ ý¤¢ H~ n (S0) =



.´¨ üãƒ±Ï ýµŸ Z

0

n = 0 Â𐠖¤¬ ßþ Âƒè ¤¢

(À㓠۬ ) (7

,n 2 Z ø Àª‘“ x0 ‚bþ‘•b‚ÎÖ÷ ‘“ ý¥ó•— üþ‘Ìê X ‚î ü—¤¬ ¤¢ .ñ‘·õ 5.6.9 ~ n (X ) ùø Â𠖤¬ ‚“ ¤ H

H~ n (X ) := Kernel(p );

p : Hn (X ) ! Hn (fx0 g): 226

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚µê‘þ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ 6.9

߃ؗ ýóÞû 9 ÛÊê p:X

! fx0 g ‚î ,݃€îüõ ÓþÂ㗠~ n (X ) ! H~ n(Y ) üŽ‘Öó üÞƃ꤁õÞû ,f : X ! Y ‚þ‘• ‚“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø f : H ꑟ ´ª‘Ú÷ Âû ý¥ ‚“ .´¨ üúþÀ“ ´ª‘Ø÷

ۃÜ֗ ߃ؗ ýóÞûb‚þÂÑ÷ ×þ ‚“ –¤¬ ßþ ‚“ .´¨ ÓþÂ㗠ۓ‘ì üúþÀ“ –¤¬ -ƒõ ‚bó‘±÷¢ ¥ 6 ø 5 ñ¬ Ճֽ— ýÂ“ :üþ‘Þ€û¤) .Àƒ€î ´“‘™ ¤ ßþ ´¨ ‚µê‘þ (.Àƒ€î ù¢‘Ôµ¨ Åþ¤µþø

G := fGn j n 2 Zg Àƒ€î ­Âê .ñ‘·õ 6.6.9 0  ~ .Hn (S ) = Gn ý n Âû ý¥ ‚“ ‚î ݃€î ¯Âª 4.6.9 ¤¢ (7) Û¬ ý‘¹“ ø Àª‘“ üܓ ý‘úûø Â𠥐 ý‚þ¢Âð

߃€ .݃¨¤üõ

G ¤¢ °þÂ® ‘“ ‚bµÔÜþ ۃÜ֗ ýóÞû ‚bþÂÑ÷ ×þ ‚“ –¤¬ ßþ ¤¢

´“‘™ ¤ ßþ .À€ª‘“ üõ ý‚µÆ›Â“ ´ƒìõ ý¤¢ ßþ÷ ý±› ýó•— ¤¢ üþ‘û‚þÂÑ÷ .Àƒ€î

227

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚õ‘÷’‘µî

[1℄

Bredon, G. E.

Introdu tion to ompa t transformation

,

groups, A ademi Press, New York - London, 1972.

[2℄

Conner. P. E.

Dierentiable periodi maps,

,

se ond edition,

Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1979.

[3℄

Conner, P. E. & Floyd, E.E.

,

Dlerentiable periodi maps,

Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1964.

[4℄

Dold, A.

,

Le tures on algebrai topology,

Springer, Berlin -

Heidelberg - New York, 1972.

[5℄

Eilenberg, S. & Steenrou, N.

,

Foundations of algebrai

topology, Prin etor University Press, Prin eton. N.J., 1952.

[6℄

Gray. B.

,

Homotopy theory, A ademi Press, New York - San

Fran is o - London. 1975.

[7℄

Greenberg, M. J.

,

Le tures on algebrai topology, Benjamin,

New York, 1967.

[8℄

Hirs h, M. W., Dierential topology, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1976.

[9℄

Husemoller, D.

,

Fibre bundles, se ond edition, Springer, New

York - Heidelberg - Berlin. 1975.

229

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚õ‘÷’‘µî [10℄

‚õ‘÷’‘µî

Massey, W. S.

,

Homology and ohomology theory,

Mar el

Dekker, New York - Basel. 1978.

[11℄

Maunder, C. R. F.

,

Introdu tion to algebrai topology, Cam-

bridge UniversityPress. 1980.

[12℄

Moise, E. E.

Geometri topology in dimensions 2 and 3,

Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1977.

[13℄

Rolfsen, D.

,

Knots and links, Publish or perish, Berkeley, Ca.,

1976.

[14℄

Spanier, E. H.

Algebrai topology,

,

M Graw Hill, New York,

1966.

[15℄

Switzer, R. M.

.

Algebrai topology - homotopy and homology,

Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1975.

[16℄

Vi k, J. W.

,

Homology theory,

A ademi Press, New York -

London, 1973.

[17℄

Whitehead, G. W.

,

Homotopy theory,

M.I.T. Press, Cam-

bridge, Mass., 1966.

µȃ“ –‘ãó‘Îõ ýÂ“ °¨‘€õ ⛐Âõ ø °µî ¥ ýùÀþ ð üêÂãõ ,´ª¢¢‘þ ßþ ¥ éÀû ´±Æ÷ ý µȃ“ ý ó•— –‘ä…ϐ ¥ ,ⓑ€õ ßþ °Üè ¤¢

.´¨ ’‘µî ßþ ‚ b €ƒõ¥ ¤¢

ÂÑ÷ ¤¢ ‘fÌ㓠ø üÊ¿ª –‘ƒ“ ¹— ‘ú÷ ’‘¿µ÷ í…õ .¢¢Âðüõ ù¢‘Ôµ¨ ,’‘µî ßþ ‚“ ‚ƒ¬— üÜî ¤ Ï ‚“ ¤ ℄14[ Â÷‘³¨ ’‘µî üÜþ„¢ ‚“‘€“ .´¨ «Ê¿“ –‘ÑŸ…õ ßµêÂ𠂓 ‘õ ,´¨ üê‘î ø °¨‘€õ ¤‘ƒÆ“ ý ±› ý ó•— ‚“ ¢ø ¤ ø ýÂ“ ™ ßþ

.݃€îüõ

.Àª‘“üõ ¤ª¢ ‚ãó‘Îõ ´ú› ¢¤ õ ¤¢

.Àƒ€î ‚㛐Âõ ℄4[ Àó¢ ‚“ ,‘ûÀÜԃ€õ üõÞä ‚ b þ ÂÑ÷ ù b Àû‘Èõ ýÂ“ :ÀÜԃ€õ

¥ üÞúõ ‚ b µ¨¢

.¢ª ‚㛐Âõ ℄12[ Åþõ ‚“ ,‘ûÀÜԃ€õ

ü±¨‘€õ â›Âõ ℄8[ ©Âû

3 ƒ÷ ø ‘ûÀÜԃ€õ 2

.¢¤¢ ¢›ø ÂþÁ³ÜƒÆ÷ÂÔþ¢ ý‘ûÀÜԃ€õ

‘€“ ,‘ûÀÜԃ€õ

.´¨ ‘ûÀÜԃ€õ ßþ ‚“ ßµ¡¢Â• ýÂ“ Àúµþø ø ℄14[ €þ‘³¨ ,℄6[ ý Â𠥐 À€—¤‘±ä ‚€ƒõ¥ ßþ ¤¢ ‚›— ۓ‘ì ’‘µî ‚¨ :ü•—Þû .℄17[

230

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

‚õ‘÷’‘µî

‚õ‘÷’‘µî

¤¢ ‚î ,Àõ‘¹÷üõ ý ¤‘— ý‘úê…î ‚ b þ ÂÑ÷ ‚“ üȪ• ý‘û‘Ìê ‚ b ãó‘Îõ :üȪ• ý‘Ìê .´¨ ùÀª ‚µ¡¢Â• ¶½“ ßþ ‚“ ℄14[ €þ‘³¨ ø ℄9[ ÂóÞ¨ø‘û °µî

.¢¢Âðüõ ‚ƒ¬— ℄1[ öø¢Â“ ’‘µî :ý ó•— ý‘Ìê “ ùø Âð ÛÞä

.¢¢Âðüõ ‚ƒ¬— ℄13[ ßÆÔó¤ ’‘µî :ùÂð

Àó¢ °µî ,߃ؗ ý óÞû ‚ b þ ÂÑ÷ «Ê¡ ¤¢ µȃ“ –‘ä…ϐ °Æî ýÂ“ :ý óÞû ÂÚþ¢ á÷ ø¢

.Àƒ€î ‚ãó‘Îõ ¤ ℄16[ ×þø ø ℄14[ €þ‘³¨ ,℄7[ ﱀþ Âð ,℄4[

€þ‘³¨ ’‘µî ‚î ,ם ý óÞû ø ü¨ ý óÞû ¥ À€—¤‘±ä ý óÞû ‚ b þ ÂÑ÷ ,´¨ °¨‘€õ ü¨ ý óÞû ýÂ“ ℄11[ ¥ ¤À÷‘õ .´¨ ‚µ¡¢Â• ‘ú÷ ‚“ ℄14[ ℄6[ ý Âð °µî .À÷µ±¨‘€õ ם ý óÞû ¢¤ õ ¤¢ ℄10[ üÆõ ø ℄4[ Àó¢ üóø ‚µê‘þ ݃Þ㗠ý óÞû ‚ b þ ÂÑ÷ ‚ b €ƒõ¥ ¤¢ µȃ“ –‘ä…ϐ °Æî ýÂ“ ℄15[ ¤ µƒŽ¨ ø ¢Â€ƒµ¨ ø ﱀÜþ ’‘µî ,‘¹÷ ¨ .À÷ªüõ ‚ƒ¬— ˽õ ü•—Þû ‚ b þ ÂÑ÷ Àþ¢ ¥ .¢¢Âðüõ ¢‘ú€Èƒ• ü䁮õ Û¬ ý óÞû ‚ b þ ÂÑ÷ ýÂ“ ℄5[

231

Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST

18/9/05

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

55 ,‘Ìê

33 ,üþ‘Öó 57 ,ü“ ÂÌܬ‘Ÿ

52 ,‚äÞ¹õ

n 41 ,RP

41 ,üµÞÆì š¤‘¡ 69 ,¥‘“-ù¢ÂÈê

üփ֟ ý ÂþÊ— ý‘Ìê

Sn ùÂî

34 ,

34 ,ü±Æ÷

91 ,ÀÜԃ€õ

G G n n n

44 ,ý ƒðüØþ 45 ,‚÷µ¨

162 ,ý ±› ý ó•—

,‚µê‘þ ۃÜ֗ ý óÞû ý‘û‚þ ÂÑ÷ ñ¬

98 ,‚÷‘ðø¢ ’ƒ—

224 105 ,ýÀ€±Þû âޛ

147 ,ýÂ“ ­‘±Ö÷ 147 ,üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷

131 ,ö¢¤ üãÜ® À€

147 ,ýì üÆþ¢Â𢠭‘±Ö÷ 9 ,‘û‚äÞ¹õ ü—¤‘î¢ ’ÂÌܬ‘Ÿ

13 ,ÝÆƒê¤ õø þ

159 ,‚Öܟ 189 ,46 ,ßþ…î ý ÂΓ 121 ,Ý¡ 189 ,131 ,115 ,ù¢‘¨ ‚ b µÆ“ Ý¡

159 ,ù¤ ×þ ‚ b þ‘•

131 ,ö¢¤ Ý¡

144 ,ü•—Þû œ • 64 ,Ǫ•

174 ,ù¤ ‚ b ›¤¢

64 ,¥‘“

107 ,‚µ¨¢

64 ,üû‘€µõ

11 ,ý¥ ¤Ýû ‚ b µ¨¢ 221 ,Õƒì¢ ‚ b ó‘±÷¢

10 ,ⓑ—

221 ,Åþ ¤ µþø-ƒõ ‚ b ó‘±÷¢

190 ,üȪ• ÛþÀ±—

107 ,¼Î¨ ‚“ ‚µ¨¢ ßµ¡ø¢

185 ,âƒê—

108 ,¼Î¨ ‚“ §ƒ“õ ¤÷ ßµ¡ø¢

ý ó•—

232

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

RP 2 ý ÂþÊ— ‚½Ô¬

206 ,¤ ø¢

153 ,‘úû¤ ’®

11 ,‚Ф

49 ,

11 ,ü“‘—¥‘“ 70 ,Ǫ• Ù±ó ¢Àä

11 ,ýÀã—

231 ,52 ,ÛÞä

11 ,ü÷¤‘Ö—

95 ,¢¥

11 ,ý¥ ¤ Ýû

52 ,ý ó•— ý‘Ìê “ ùø Âð

121 ,ù¤

52 ,‚äÞ¹õ “ ùø Âð

121 ,Àµ“

192 ,ýÀãµõ

121 ,üûµ÷

182 ,‚µ¨ƒ•‘÷

159 ,‚µÆ“

206 ,ý¥ Âõ ÂÚÜÞä

159 ,‚þ‘•

212 ,¤ È€õ ÂÚÜÞä

122 ,´“‘™

Âʀä

153 ,’®

12 ,öø ¤ø

129 ,ßî • ‘Ìê

12 ,ü÷‘Þû

122 ,öø ¤ø 151 ,ý¥ ¤ Ýû

163 ,¤ µØ÷‘ê

104 ,‚þø ¤

70 ,ý‚ÎÖ÷ ח ý¥‘¨ù¢ÂÈê ý‘Ìê

204 ,߃ؗ ù b ƒ¹÷¥

146 ,ÂþÁ• ­‘±Ö÷

129 ,ù¢‘¨ ù b ƒ¹÷¥

231 ,üȪ•

64 ,Ǫ• Âþ ¥

63 ,ù¢ÂÈê

13 ,ùø Âð Âþ ¥

15 ,ý µõ 73 ,Ýрõ

203 ,¢¤À÷‘µ¨ í¢‘¨

70 ,ù¢ÂÈê ‘f㮁õ

204 ,߃ؗ í¢‘¨

128 ,üû¤ À€±Þû ‘f㮁õ

104 ,¼Î¨

71 ,é¤ øÀ¨ø‘û

109 ,ÂþÁ³µú›

81 ,À€±Þû

109 ,ÂþÁ•‘€µú› 108 ,ø ¤ ×þ

182 ,üȪ• ý‘Ìê 184 , €ó ý‘Ìê

71 ,ý¥‘¨À› ¯ø ª 133 ,á‘ãª

‚ƒÌì

233

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

118 ,ÀÜԃ€õ ¥ Âõ

177 ,±› ü¨‘¨

86 ,׃؀• Ûþ‘Æõ

198 ,„ø-푨¤ “

121 ,ù¤ = ƒÆõ

,üµÞÆì š¤‘¡ ý‘úµª‘Ú÷ ‘ä ´ƒ¬‘¡

121 ,ü€½€õ

43

230 ,ÀÜԃ€õ 91 ,ýÀã“

n

132 ,ö¢¤ Ý¡

ÀÜԃ€õ

86 ,ý ¤‘±› ‚ b Èþ ¤

131 ,ýÀ€±Þû ‚ b Ôó bõ

201 ,ö±õ ¸þøÀ÷‘¨ 107 ,žÎ¨ ýÀ€“ ‚Ö±Ï

225 ,‚µê‘þ ۃÜ֗ ߃ؗ ý¥ óÞû ‚ b þ ÂÑ÷ 231 ,ü䁮õ Û¬ ý óÞû ‚ b þ ÂÑ÷

223 ,߃Þȕ ýð 224 ,ý ó•— À㓠üþ¢¤ ø‘÷

142 ,”—Þû ý‘úµª‘Ú÷

177 ,‚½Ô¬ ¤¢ ¤ øÂ“ ´“‘™ ‚ÎÖ÷

10 ,´ª‘Ú÷

68 ,ñ ¤ “-ßþ‘û

147 ,­‘±Ö÷ 29 ,¥‘“

126 ,‚÷‘ª ø ×î

29 ,‚µÆ“ 12 ,ùø Âð

10 ,‘ª•

13 ,üܓ

28 ,ý ó•— ý‘Ìê ¤¢ ‚µ¨ƒ• 15 ,ý µõ ý‘Ìê ¤¢ ‚µ¨ƒ•

167 ,ý ó•—

134 ,´¡€Øþ ‚ b µ¨ƒ•

13 ,ý ¤ ø¢ 13 ,ùÀª Àƒó— ‘fƒû‘€µõ

185 ,âƒê— 10 ,üþ¨ ø¢

159 ,ý¢‘ƒ€“ ùø Âð

10 ,׃±Øþ

207 ,ý¥ Âõ ùø Âð 231 ,ùÂð

181 ,üȪ• ´ª‘Ú÷ 189 ,‚þ„

n

15 ,嵛

193 ,Ýрõ

9 ,‚äÞ¹õ

45 ,41 ,§ƒ“õ ¤÷

18 ,ý µõ ý‘Ìê ¤¢ ¥‘“

146 ,ü•—Þû á÷ Ýû

10 ,¤ÁÚÆþÀ÷

146 ,ü•—Þû ý¥ ¤Ýû

68 ,¤À÷Âî

123 ,üû¤ À€±Þû

181 ,ùÀª ùÀ÷‘ª• ‘f€ƒÖþ

166 ,ù¢‘¨ À€±Þû

225 ,‚µê‘þ ۃÜ֗ ¯ø ¿õ

123 ,ü¨ì À€±Þû

225 ,üµª‘Ú÷ üÏø ¿õ

123 ,ý ƒÆõ À€±Þû

206 ,¥ Âõ

234

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

üþ‘±Ôó ´¨Âúê

12 ,‚µ¨ÀÞû 212 ,ýùƒ¹÷¥ ”—Þû 142 ,ü•—Þû 144 ,œ • 143 ,ü±Æ÷ 231 ,߃ؗ ý óÞû 231 ,ם ý óÞû 231 ,ü¨ ý óÞû 207 ,ïóÞû 12 ,ÝÆƒê¤ õÞû 225 ,üþ‘Öó ÝÆƒê¤ õÞû 221 ,͓¤ ý‘úÞÆƒê¤ õÞû 30 ,ÝÆƒê¤ õÿÞû

235