発展方程式 (紀伊國屋数学叢書 6)

紀伊國屋数学叢書 6

編集委員 伊 藤

清 三   (東京大学教授)

戸 田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

増田

久弥

発 展 方程 式 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  まず,時 刻tに 依 存 して き ま る状 態 の物 理量u=u(t)の,時刻tの す る発 展 の法 則 が知 られ て い る とす る.こ

の とき,時刻tで

経 過 に対

任 意 に状 態xを

与 えれ ば,そ れ 以後 の時刻t′

に お け る状 態u(t′)が

を対 応 させ る対 応U(t′,t)を

発 展作 用 素 とい う.こ の発 展 の仕 方 を示す 変 化

率 

をG(t)xと

応G(t)を

発 展作 用 素U(t′,t)の

わ か る.xにu(t′)

書 き,xをG(t)xに

生 成 作 用 素 とい う.こ

対 応 させ る対 の とき,U(t′,t)x

は,微 分 方 程 式(発 展 方 程 式);(∂/∂t′)U(t′,t)x=G(t′)U(t′,t)xを 満 足 す る こ とが わか る.多

くの場 合,状 態 の 物理量 はBanach空間

るか ら,上 の 微 分 方程 式 はBanach空間   本 書 の主 題 は,Banach空

の元 と して表 現 され

で考 え るの が都 合が よい.

間 に お け る作 用 素 を係 数 とす る微 分 方程 式 論,す

な わ ち,発 展 方程 式論 とそ の応 用 であ る.内 容 を理 解す るに は,関 数解 析 の基 礎 的 事柄(閉

グ ラ フ定 理,共 鳴定 理,Lebesgueの

収 束 定 理,Hahn-Banachの

拡 張 定 理)を 知 って いれ ば 十 分 で あ ろ う.   1948年 頃,吉 Cauchy問

田 と ヒ レは 独立 に画 期 的 研究 を発 表 し,そ の結 果 は じ め て,

題ut=Guの

解 の 存 在定 理 が 得 られ た.発 展 方 程 式 論 は,す べ て,

こ の研 究 に基 礎 を お い て い る.そ の 後,吉 田は 拡散 方 程 式 等 へ の応 用 を 通 じて 理 論を 著 し く深 めた.1953年,加

藤 は,こ れ を生 成 作 用 素Gが

時刻tに 依 存

す る場 合 に拡 張 し,こ の 理 論は 大 きな進 歩 を な しとげ た.1960年,田 は発 展 方 程 式 の重 要 な ク ラス―

放 物型 発展 方 程 式―

辺,加 藤

を と りだ し この理 論 は

重要 な進 歩 を とげ た.そ の 後,高 村 は,こ れ まで の線 型 理 論 を非 線型 の場 合 に 拡 張 し,彼 の仕 事 は 最 近 の 非線 型 発 展 方程 式 論 の 研 究 の端 緒 に な った.以 来, 多 くの我 が 国 の研 究 者 が,こ の方 面 で 重要 な 貢献 を して い る.   本 書 をⅠ 部 とⅡ部 とに 分 け,第Ⅰ 部 で 発展 方 程 式 論 の一 般 論 を述べ,第Ⅱ で そ の 偏 微分 方 程 式 のCauchy問

部

題 へ の応 用 を述 べ た.第Ⅰ 部 第1章 で は,関

数 解 析 の基礎 的 事 柄 を ま とめ,第2章

で は 時 刻 に関 して斉 次 的 な 発展 方 程 式 論,

す なわ ち,半 群 論 を 扱 い,発 展 方程 式 論 で 最 も基 礎 的 なHille-Yosida(ヒ 吉 田)の 定 理 を述 べ る.第3章 藤 の仕 事 を 紹 介 した.第4章

では,抽 象"双

レ・

曲型"発 展 方 程 式 論 に関 す る加

で は 抽 象"放 物 型"発 展 方程 式 論 を,生 成 作 用 素

の定 義 域 が 時 刻 に よらぬ場 合 と,時刻 に よ る場 合 とに 分 け て示 した.第5章

で は,

最 近 急 速 に 発展 した 非 線型 発 展 方 程 式 論 の最 も基 礎的 な生 成 定 理 のみ 述 べ た. 第Ⅱ 部 の 初 め の章 で は 発展 方 程 式 が いか に 偏 微 分方 程 式 と結 び つ くか を示 した. 第7章 で は,第3章 対 す るCauchy問 説 した.第8章

で述 べ た 一 般 論 の応 用 と して,双 曲型1階 偏 微 分 方 程 式 に 題 を扱 った.さ

らに,そ こで擬 微 分 作 用 素 につ い て丁 寧 に解

で は第4章 で 述べ た一 般 論 の応 用 と して,2階

程 式 に対 す るCauchy問

題 を 扱 い 筆者 の仕 事 を紹 介 した.第9章

放 物 型 偏 微 分方 では,第5章

で述 べ た一 般 論 の応 用 と しての 準 線 型1階 偏 微 分 方程 式 に 関す るCrandallの 仕 事 を紹 介 した.巻 末 に付 した あ とが き で十分 注 目に 値 す る劣微 分 発 展 方程 式 論 の 最近 の結 果 を述 べ た.   本 書 の構 成 を 図 で示 す と,次 の よ うに な ってい る.

第1章―

第6章(他

第2章

第3章―

第7章

第4章―

第8章

第5章―

第9章

の章 と独 立 して い る)

  最 後 に 御 講 義,研 究 御 指導 な ど学 生時 代 以 来,今

日に 至 る まで,公 私 に わ た

りお世 話 に な った 恩 師 吉 田耕 作 先 生 に,こ の 機 会 に深 く感 謝 した い.   畏 友,山 田義 雄 氏 は,本 書 の校 正刷 を閲 読 して 多 くの助 言 を して下 さ った.   一 昨 年,伊 藤 清 三 教授 が本 書 を執 筆 す る こ とをす す め て下 さっ て以来,紀 伊 國屋 書店 出版 部 の 渦 岡謙 一 氏,水 野 寛 氏,印 刷 所 加 藤 文 明社 の方 々に終 始 お世 話 に な った.以 上 のす べ ての 方 々に厚 くお礼 申 し上 げ る.

1975年   初 夏 

増 田 久 弥

目

次

まえが き

第Ⅰ 部

 一

般

論

第1章   関数 解 析 の基 礎 知 識 §1.1  Banach空

間の定義

  3

§1.2  作用 素 の列

 6

§1.3  リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式

  11

第2章   時 間的 に斉 次 な発 展 方 程 式 §2.1 

(C0)-半

群(Hille-Yosidaの

理 論) 

15

§2.2  正 則 半 群

 33

§2.3 A-許

 40

容空間

第3章  抽 象 双 曲型 線 型 発 展 方程 式 §3.1  {A(t)}の

安定性

  45

§3.2 発 展 作 用 素 の構 成

  51

§3.3 U(t,s)の

 

微 分 可 能性

§3.4 非 斉 次 方 程 式

58

  68

第4章  抽象放物型線型発展方程式 §4.1 A(t)の

定 義 域 が 一 定 の場 合

§4.2 定 義 域 が 変 る場 合 §4.3  正 則 発 展 作 用 素

 72

  84   93

第5章  非 線 型 発展 方 程 式 §5.1  発 展 作 用 素 の 構 成 §5.2 

Cauchy問

  107

題

 119

第Ⅱ部   応

用

第6章  生 成 作 用 素 の局 所表 現 §6.1  抽 象 放 物型 発 展 作 用 素 の生 成 作 用素 の局 所表 現  §6.2 

Peetreの

定 理

127   135

§6.3 抽 象 双 曲型 発 展 作 用 素 の生 成 作 用 素 の局 所 表現

 141

第7章  双 曲型1階 偏 微分 方 程 式系 §7.1 対 称 双 曲 型1階 偏 微 分 方程 式 系

 150

§7.2  擬 微 分 作 用 素

 158

§7.3  双 曲 型1階

 177

方程 式 系

第8章  2階 線型 放 物 型 方 程 式 §8.1  2階 放 物 型 方 程 式 のCauchy問

題

 183

§8.2  定 理 の 証 明

  185

第9章   準線 型1階 方程 式 §9.1  準 線 型1階 §9.2  定 理 の 証 明

偏 微 分 方 程 式 に 対 す るCauchy問

題

 193  196

あ とが き

  213

参 考文 献

  215

索

引

  221

第Ⅰ 部  一 般 論

第1章

  関 数 解 析 の基 礎 知識

  以下 の章 で 必 要 とす る関 数解 析 に 関 す る基礎 知 識 を,こ の章 に ま とめ た.幾 つ か の定 理 は 証 明 せず に述 べ て あ る.(証 明 の詳細 は,例 え ばYosida

[85]を

参 照 してい た だ きた い.)

  §1.1 Banch空   定 義   Xが

間の定義

複 素(ま た は 実)Banach空

 ⅰ)  線型 空 間 で あ る.と α1x1+α2x2∈Xと

間 で あ る とは,

くに,任 意 の複 素 数 αj∈Cとxj∈Xに

対 し,

な る.

 ⅱ)  ノル ム空 間 で あ る.す な わ ち,Xの

任 意 の元xに

対 し,

 イ)  ロ)  ハ)

を 満 た す 実 数 へ の 対 応‖x‖

が 存 在 す る.‖・‖ をXの

 ⅲ) 

完 備 で あ る.す

な わ ち,n,m→∞

列xn∈Xに

対 し,‖xn-x‖

Xは

た すCauchy点

の と き,xnはxに(X-)強   以 下 で,Banach空

の と き,‖xn-xm‖→0を →0な

収 束 ま た はXの 間 をX,X1,X2,…

ノル ム と い う.

るx∈Xが

満

存 在 す る.こ

ノ ル ム で 収 束す る とい う.

等 で 表 わ し,そ

の ノ ル ム を,‖・‖X,

‖・‖X1,‖・‖X2,…(誤 解 の お そ れ の な い とき は 単 に‖・‖)と 書 く.   定 義   Xの

部 分 集 合Dが,αj∈C,xj∈Xな

す と き,DをXの   定 義   X1の

部 分 空 間(subspace)と 部 分 空間Dか

+α2Tx2(αj∈C,xj∈D)を

らX2へ

ら ば α1x1+x2x2∈Dを い う.

の 作 用 素Tが,T(α1x1+α2x2)=α1Tx1

満 た す と きTを

線 型 作 用 素 とい う.

満た

  DをTの

定 義 域 と い いD(T)で

域 と い い,R(T)で   定 義   X1か Tは

表 わ す.ま

値

表 わ す. らX2へ

の 作 用 素Tの

定 義 域D(T)がX1で

稠 密 の と き,

稠 密 に 定 義 され て い る と い う.

  定 義   TをX1か

らX2へ

の 作 用 素 とす る.xnか

ル ム で そ れ ぞ れ 収 束 す る 点 列xn∈D(T)に そ れ ぞ れx,yと Tを

た{Tx;x∈D}をTの

した と き,x∈D(T)で

つTxnがX1,X2の

ノ

対 し て{xn},{Txn}の あ っ て,Tx=yが

極 限値 を 成 り立 つ な らば,

閉 作 用 素 とい う.

  定 義   TをX1か

らX2へ

の 作 用 素 と す る.も

Sx=Tx  を 満 た すX1か

らX2へ

らX2へ

存 在 す る な らば,Tを

可 閉 と い う.

の 線 型 作 用 素 とす る.Tが

の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,xn→0(X1の Cauchy列

ま り,

(x∈D(T))

の 閉 作 用 素Sが

  命 題1.1 TをX1か

しT⊂S,つ

ノ ル ム で)か

と な る任 意 の 点 列xn∈D(T)に

可 閉 とな るた め

つTxnがX2に

おいて

対 し,Txn→0(X2の

ノ ル ム で)

が 成 立 す る こ と で あ る.   証 明  十 分 条 件.閉 がCauchy列 く.こ

Tx′n-Txn→0,つ

は,xn→xか

存 在 す る と き と定 め,Sx=lim

よ っ て 一 意 的 に 定 ま り,xnの

つTx′nがCauchy列

x′n-xn→0,か

と な るx′n∈D(T)を

ま りTx′nとTxnは

らX2へ

Txnと

お 際,

別 に も っ て く る と, と な る.仮

定 よ り,

同 じ極 限 値 を もつ こ と が わ か る.上

る 線 型 閉 作 用 素 で あ る こ と は 容 易 に 確 か め られ

要 条 件 は 明 らか. 

  定 義   TをX1か

つTxn

と り方 に よ ら な い.実

つTx′n-Txn=T(x′n-xn)はCauchy列

の よ うに 定 め たSがT⊂Sな る.必

定 め る.D(S)∋xと

を な すxn∈D(T)が

れ はxに

x′n→x,か

作 用 素Sを

(証 明 終) の 線 型 作 用 素 とす る.適

当 に,定

数Mを

とれ

ば,

(1) が,す

べ て のx∈D(T)に

  D(T)=X1な

対 し 成 立 す る と き,Tを

る 線 型 有 界 作 用 素 の 全 体 をB(X1,X2)で

有 界 作 用 素 と い う. 表 わ し,B(X1,X1)

をB(X1)と な お,以

書 く.特 下 でTが

B(X1,X2)に

に,B(X,C)をX*と

表 わ し,Xの

有 界 作 用 素 と い っ た ら,D(T)=X1と

双 対 空 間 とい う. 仮 定 し よ う.T∈

対 し,

(2) をTの(作

用 素)ノ

場 合 も あ る.こ

下 で‖・‖X1,X2の

代 わ りに,‖・‖ と 書 く

の ノ ル ム に よ っ てB(X1,X2)はBanach空

  T∈B(X1,X2)と →Tx(X2の

ル ム と い う.以

す る.こ ノル ム で)と

間 と な る.

の と きxn→x(X1の

ノル ム で)な

な る .実 際,(1)の

中 のxの

らば,Txn

代 わ りにxn-xと

と れ ば 明 らか で あ る.   命 題1.2 S∈B(X1,X2),T∈B(X2,X3)と

す る と,

が 成 立 す る.   (証 明 は 定 義 よ り明 らか.)   定 理1.1(閉 る.も

し,D(T)=X1な

  命 題1.3 

し,す

らX2へ

ら ば,T∈B(X1,X2)で

TをX1の

と す る.も 定 数Mが

グ ラ フ 定 理)  TをX1か

の 線 型 閉 作 用 素 で あ る とす あ る.

中 で 稠 密 に 定 義 さ れ たX1か

べ て のx∈D(T)に

らX2へ

対 し 

の 線 型 作 用素

が 成 立 す る よ うな

存 在 す れ ば,Sx=Tx(x∈D(T))な

るS∈B(X1,X2)が

存 在す

る.   証 明   各x∈Xに

対 し て,xn→xな

る 点 列xn∈D(T)が

よ りTxnはX2の をSxと

す れ ば,命

題1.1の

中 のCauchy列

証 明 と 同 様 に し てSxはxの

の と り方 に よ ら な い こ とが わ か る.こ

のSが

存 在 す る.  と な る.そ

み で 定 ま り,xn

求 め る作 用 素 で あ る こ とは 容 易

に わ か る.    定 義   TをX1か つSTx=x(x∈D(T))を 逆 作 用 素 と い いT-1と

の極 限

(証 明 終) らX2へ

の 線 型 作 用 素 とす る.TSx=x(x∈D(S))か 満 た すX2か

書 く.

らX1へ

の 線 型 作 用 素SをTの

  命 題1.4(C. ば,Tは

Neumann) 

T∈B(X)と

逆 作 用 素T-1∈B(X)を

す る.も

し ‖I-T‖<1が

も ち,T-1はNeumann級

成 立す れ

数

(作用 素 ノル ム で の収 束)  に よ っ て 与 え ら れ る.こ   証 明   S=I-Tお

こ で,IはXの

よ び α=‖S‖

と な る. 

B(X)は びTは

中 の 恒 等 作 用 素 を 表 わ す. と お く と, 

の と き,

で あ る か ら, 

は 作用 素 ノ ル ム(つ

よ り 

ま り(2))でCauchy列

(3)

と な る こ とが わ か る.そ

の 極 限 をT′

作 用 素 ノ ル ム で 完 備 で あ る か らT′ ∈B(X)

と す れ ば,

.TSk=Sk-Sk+1お

よ

有 界 作 用 素 で あ る こ とか ら,

同 様 に,T′T=Iと

な る.ゆ

え にT-1=T′

で あ る. 

(証 明 終)

  §1.2 作 用 素 の列   定 義   T,Tn∈B(X1,X2)と →Tx(X2の

ノ ル ム で)を

  定 義   T,Tn∈B(X1,X2)と TnはTに

す る.各x∈X1に

対 し,n→∞

満 た す な らば ,TnはTに す る.n→∞

の と きTnx

強 収 束 す る と い う.

の と き‖Tn-T‖

→0な

らば,

ノル ム 収 束 す る と い う.

  定 理1.2(共

鳴 定 理)  Tλ∈B(X1,X2)を

用 素 の 族 とす る.各x∈X1に

パ ラ メ ー タ ー λ∈Λ に 依 存 す る 作

対 し 

な らば, 

と な る.

  系1.1 

Tn∈B(X1,X2)と

ル ム で 収 束 す る な らば,そ

す る.も

し各x∈X1に

の 極 限 をTxで

対 し,TnxがX2の

ノ

表 わす とき,

かつ が 成 り 立 つ.   命 題1.5 

Sn,S∈B(X1,X2)と

す る.ま

たTn,T∈B(X2,X3)と

す る.

も し 各x∈X1,y∈X2に

対しSnx→Sx,Tny→Ty(強

TnSnx→TSx(強

収 束).

  証 明   系1.1よ

り 

(Mはnに

収 束)な

よ らぬ 定数)で

ら ば,

あ る.各x∈X1

に 対 し,

を 得 る.こ

こ でn→∞

 さ て,x(t)を

とす れ ば,TnSnx→TSxが

連 続 で あ る と は,任

らばx(t)→x(t0)(強 (X-)強

収 束)が

収 束)を

成 立 す る こ と を い う.x(t)がtに 対 し,h→0の

満 た す ,[a,b]上

在 す る こ と を い う.x′(t)をx(t)の

に対 しt→t0な

意 の 

連 続 的 微 分 可 能 で あ る とは,各tに

-x(t)]→x′(t)(強

(証 明 終)

に 依 存 す るX-値 関 数 とす る.x(t)

パ ラ メ ー タ ー 

が[a,b]上(X-)強

で る. 

関 して

と きh-1[x(t+h)

強 連 続 なX-値関

数x′(t)が

強 微 分 とい う.「 強 」は 「Xの

存

ノル ム で」

の 意 味 で あ る.   さ て,x(t)を[a,b]上 x(t)の

連 続 とす る.こ

積 分 

を 定 義 で き る.例

の と き 通 常 のRiemann和

に よ っ て, と お く と,

え ば, 

(強収 束) とな る.x(t)が(a,b)で

強 連 続 で‖x(t)‖

が 存 在 す るか ら,こ の値 を  して,x(t)の

連 続 性,微

分,積

が(a,b)上

と 定 め る.tが

で 積 分 可 能 の と き,

複 素 数 の と き も,同

様に

分 が 定 義 さ れ る.

  積 分 の 定 義 よ り,

が 容 易 に 示 さ れ る.ま   定 理1.3(Lebesqueの  ⅰ )

た, 収 束 定 理)  x(t),xn(t)が(a,b)でX-強

連 続 で,

こ こ でf(t)はnに  ⅱ)  各tに

よ らぬ(a,b)上

の 可 積 分 関 数 で あ る.

対 し,xn(t)→x(t)(強

収 束)

な らば,

(強収束) が 成 立 す る.   命 題1.6  (a,b)で

AをX1か

らX2へ

強 連 続,‖x(t)‖

でAx(t)も(a,b)で

の 線 型 閉 作 用 素 とす る.X1-値

が(a,b)上

で 積 分 可 能 とす る.も

連 続,‖Ax(t)‖が(a,b)上

関 数x(t)が しx(t)∈D(A)

で 積 分 可 能 と す れ ば,

か つ   証 明  任 意 のε>0に

が成 立 す る.n→∞

(4)

対 し, 

とお く と,

とす れ ば,Aが

閉作 用 素 であ るか ら,

かつ が 成 立す る.ε ↓0と す れ ば,も て,(4)を

う一 度,Aが

得 る. 

(証 明終)

  Ω を 複素 平 面 の中 の領 域 とす る.x(t)を る.Ω

閉作 用 素 で あ る こ とを 利 用 し

の任 意 の 点t0に

対 し,t0の

Ω で定 義 され たX-値

適 当 な近 傍{t;￨t-t0￨<δ0}を

関 数 とす とれ ば,

そ こで, (強 収束) と 収 束 す るベ キ 級 数 に 展 開 さ れ る と き,x(t)を れ に 対 し,通

常 の 複 素 関 数 と 同 様 にCauchyの

続 定 理 等 が 成 り立 つ.こ f(x(t))(≡(x(t),f))が Cauchyの

れ は,任

意 のf∈X*に

Ω で 正 則 で あ る と い う.こ 積 分 公 式,積 対 し,x(t)が

分 定 理,一

正則 な ら ば,

通 常 の 意 味 で 正則 とな る こ と か らわ か る.例

積 分 公 式 は 次 の よ うに 示 され る.(x(t),f)は

意接

正則 よ り

え ば,

(5) が 成 立 す る.Γ 上 で(Xの

はtを

内 部 に も つΩ

ノ ル ム で)連

の 中 に 含 ま れ る 円 で あ る.x(t′)は

続 で あ り,fは

Γ

有 界 作 用 素 で あ る か ら,命 題1.6よ

り上 式 の 右 辺 は,

と な る.fは

任 意 で あ っ た か ら,

(6) を 得 る.x(t)(t∈ 則 と な る.実

Ω)がtに

際,任

つ き1回

意 のf∈X*に

強連続 的 微 分 可 能 な らば,x(t)は

対 し,(x(t),f)はtに

微 分 可 能 と な る か ら,(x(t),f)は

正 則.ゆ

つ き1回

え に,(5)が

正 連続的

成 立 す る.x(t)は

Ω 内 で 強 連 続 で あ る か ら,(6)が

成 立 し,こ れ よ り,よ く知 られ た 複 素 関 数 論

に お け る方 法 に よ っ て,x(t)は

Γ 内 の 任 意 の 点 の ま わ りでベ キ 級 数展 開 で

き る こ とが わ か る.  さ て,作

用 素T(t)の

連 続 性 を 考 え よ う.T(t)を

に 依 存 す るB(X1,X2)の

中 の 族 とす る.任

X2の

ノ ル ム でtに

続(ま

た は 単 に 強 連続)と

意 のx∈X1に

い う.さ

 に関 して(X1,X2)-強 あ る と は,任

意 のx∈X1に

つ き(X1,X2)-強

らにT(t)が

作 用 素 ノ ル ム(2)に

ル ム 連 続(ノ

ル ム 連 続)と

ム 連 続 的 微 分 可 能(ま

対 し,T(t)xがtに関

可 能 で あ る と き で あ る.X1=X2(=X)の ル ム 連 続 と も い う.そ

T(t)の

積 分 もx(t)の

関 し

い う.T(t)が

し てX2の

ノル

関 し て(X1,X2)-ノ

ル

た は 単 に ノ ル ム 連 続 的 微 分 可 能)で

ル ム を そ な え たBanach空間B(X1,X2)に

連

連 続 的 微 分 可能(ま た は 単 に強 連続 的 微 分

ム で 連 続 的 微 分 可 能 で あ る こ と を い う.T(t)がtに

X-ノ

対 し て,T(t)xが

関 し て 連 続 で あ る と き,T(t)をtに

て 連 続 の と き,T(t)を(X1,X2)-ノ

可 能)で

パ ラ メ ー タ ー 

あ る と は,作

用素 ノ

値 を もつ 関数 と して強連 続 的 微 分 場合,(X,X)-ノ

の 他 の 場 合 も(X,X)-の

場 合 と 同 様 に 定 義 さ れ る.Ω

ル ム 連 続 を 単 に,

場 合,X-と

簡 単 に 書 く.

を 複 素 平面Cの

領域 と

す る.T(t)が

複 素 パ ラ メ ー タ ーt∈

Ωに 関 してBanaeh空

関 数 と して 正 則 の と き,T(t)を(X1,X2)-ノ

ル ム(ま

で あ る と い う.各x∈X1を

と め た と きT(t)xがX2-値

ば,強

ル ム 正 則 の と き,(6)と

正則 で あ る と い う.ノ

間B(X1,X2)値 た は 単 に ノ ル ム)正 則 関 数 と して正 則 な ら

同 様 に,

(7) が 成 立 す る.   命 題1.7 

Ω で,T(t)が

強 正 則 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,T(t)が

ル ム 正 則 で あ る こ と で あ る.(し

  証 明   十 分 条 件 は 明 らか で あ る.T(t)が し,(6)よ

ノ

た が っ て 単 に 正 則 と い っ て も よ い で あ ろ う.) 強 正 則 とす る と,各x∈Xに

対

り,

(8) が 成 立 す る.T(t)xは り,‖T(t)‖

正 則,し

た が っ て Ω で 強 連 続 で あ るか ら,系1

.1よ

は Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 上 有 界 で あ る こ とが わ か る.こ

よ り Γ 上 で 有 界.ゆ

え に,(8)を

れ

微 分 し て,

と な る か ら,

を 得 る.し

た が っ て,Kを

と な る.δ

はKと

Γ 内 の コ ンパ ク トな 凸 集 合 とす る と,

Γ と の 距 離,Rは

Γ の 半 径 で あ る.

  で あ る か ら,

ゆ え に,  ル ム 連 続 と な る.か

と な り,T(t)は く し て,(8)の

右 辺 は,T(t′)の

Γ 内で ノ

有 界 性 よ り,命

題1.6

を 適用 して

と な る.こ

れ よ り(7)が

で,T(t)が(作

成 立 す る.(7)よ

り通 常 の 複 素 関 数 論 に お け る方 法

用 素 ノ ル ム で 収 束 す る)ベ

キ 級 数 展 開 で き る こ と が わ か る. (証 明 終)

  命 題1.8 

X2)の

T(t,λ)を

パ ラ メ ー タ ーλ

に 依 存 す るB(X1,

∈Λ, 

中 の 族 とす る. 

さ らにXの

と仮 定 し よ う.

中 に 稠 密 な 部 分 集 合Dが

が λ∈Λ に つ き一 様 にX2の 任 意 のx∈X1に

存 在 し て,各x∈Dに

ノ ル ム でtに

対 し,T(t,λ)xは

対 しT(t,λ)x

関 し て 連 続 と仮 定 す る.こ

λ∈Λ に つ き一 様 にX2の

の と き,

ノ ル ム でtに

関 し て 連 続 で あ る.   証 明  任 意 の ε>0とx∈Xに y∈D)を

な るt0に

と る. 

が￨t-t0￨<δ

対 し て‖x-y‖<ε(3M)-1と 対 し,δ>0を

に 対 し成 立 す る よ うに で き る.他

な る よ うに

適 当に と れ ば,

方,

(9) yの

と り方 よ り,

 第1項+第3項   ￨t-t0￨<δ る.つ

の と き,第2項<1/3ε

ま り,T(t,λ)xはtに

と な る.これより(9)の つ きX-強

連 続 で あ る. 

左 辺<ε

とな

(証 明 終)

  §1.3  リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式   TをXの

中 で 稠 密 に 定 義 さ れ た 線 型 閉 作 用 素 とす る.

  定 義  T-ζ

が 有 界 な 逆 作 用 素 を も つ と き,複

集 合ρ(T)に

属 す る とい う.そ

して,

R(ζ)=R(ζ,T)=(T-ζ)-1∈B(X)

素 数 ζ はTの

リゾル ベ ン ト

と お き,R(ζ)をTの

リ ゾ ル ベ ン トと い う.(ζIを

 ζ,ζ′ ∈ ρ(T)に

対 し

が 成 立 す る か ら,左

つ ま り,リ

単 に ζ と 書 く.)

か ら(T-ζ)-1を

作 用 し,x=(T-ζ′)-1yと

と れ ば,

ゾ ル ベ ン ト方 程 式

を 満 足 す る.   命 題1.9 

ρ(T)は

  証 明  ζ0∈ρ(T)と

開 集 合 で あ る.R(ζ)は

ρ(T)の

す る.￨ζ-ζ0￨‖R(ζ0)‖<1な

中 で 正 則 で あ る.

る ζ を と る.

(10) と定 め れ ば,命

題1.4に

お け るNeumann級

R′(ζ)は 有 界 作 用 素 と な る.さ 立 つ.実

ら に,R′(ζ)(T-ζ)x=x(x∈D(T))が

際,R(ζ0)(T-ζ)x=x-(ζ-ζ0)R(ζ0)xと

に,(T-ζ)R′(ζ)y=y(y∈X)が ら,上

数 の 収 束 の 証 明 と 同 様 に して

な る か ら で あ る.形

成 り立 つ.し

か しTは

の 形 式 的 関 係 式 が 実 際 成 り立 つ こ とが わ か る.か

R′(ζ)=R(ζ)と

な る.R(ζ)の

  命 題1.10 S(ζ)を

正 則 性 は,(10)よ

複 素 開 領 域Ω

Ω の 部 分 開 集 合Ω0がTの

式的

閉 作 用 素 で あ るか

く し て,ζ∈ ρ(T)か

り明 らか. 

つ

(証 明 終)

で 正 則 な 有 界 作 用 素 の 族 とす る.も

し,

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 り, S(ζ)=(T-ζ)-1 

が 成 り立 つ な らば,Ω

成 り

はTの

(ζ∈Ω0) 

(11)

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 含 ま れ,(11)がΩ

全体 で

成 立 す る.   証 明   ζ0∈Ω0を と る.(11)が Ω1と す る.任 で 結 ぶ.こ

成 立 す る 最 大 の ρ(T)∩Ω

意 の ζ1∈Ω と ζ0と をΩ

の と き,C∩Ω1はCの

の開 部 分 集 合 を

内 の 連 続 曲 線 

相 対 位 相 で 開 集 合 で あ る か ら,C∩Ω1は

集 合 で あ る こ と が 示 され れ ば,C∩Ω1=Cと 集 合 で あ る こ と を 示 そ う.ζn∈C∩Ω1で

な り ζ1∈ρ(T)と

な る.よ

ζn→ ζ と す る.ζ ∈Cは

閉 って閉

明 ら か.

x∈D(T)に

対 して,ζn∈Ω1で

他 方,S(ζn)→S(ζ)(強

収 束)で

TS(ζn)x=ζnS(ζn)x+x,と Tが

あ る か ら,

あ る か ら,S(ζ)(T-ζ)x=xを

な り,こ の右 辺 は ζS(ζ)x+xに

閉 作 用 素 で あ る こ と を 考 慮 す る と,S(ζ)x∈D(T)で

=ζS(ζ)x+x 素S(ζ)を

,つ

ま り,(T-ζ)S(ζ)x=xと

も つ.S(ζ)∈B(X)で

な る.以

つ.こ

れ は ζ∈C∩ Ω1を 示 し て い る. 

強 収 束 す る か ら, あ っ てTS(ζ)x

上 よ り,T-ζ

あ る か ら,ζ ∈ ρ(T)と

あ るか ら ζ∈ ρ(T)∩ Ω.し か も(T-ζ)-1=S(ζ)で

得 る.

は逆作用

な る.ζ ∈C⊂ Ω で

あ る か ら,(11)が

成 り立

(証 明 終)

第2章

  この章 の 目的 は,発 Hille-Yosidaの

  時 間 的 に 斉 次 な発 展 方 程 式

展方 程 式 論 に とっ て最 も基 本 的 な(C0)-半

理 論 を述 べ る こ とで あ る.AをBanach空

られ た 線型 作 用 素 とす る.こ の と き,Xの

を 考 え る.こ に 対 し,上 なXの

こ で,xは

のCauchy問

題 が 一 意 的 な 解u(t)を

中 で 稠 密 な 集 合Dの

をU(t)と

あ っ て,方

中 で与 え

題

元 で あ る .「 任 意 のx∈D も ちu(t)∈D」

存 在 を 仮 定 す る.xにu(t)を

す れ ば,u(t)=U(t)xと

を 満 た し,さ

間Xの

中 でCauchy問

あ らか じ め 与 え られ たXの

群 に関 す る

とな る よ う

対 応 させ る写像

な り,

ら に,U(t)xはtに

つ い て 微 分 可 能 で あ りU(t)x∈D(A)で

程式

を 満 足 す る.微

分 方 程 式 を解 く と い う観 点 か ら い え ば,Aが

U(t)を

構 成 す る こ と,つ

1948年

頃,K.

Yosida[75]とE.

成 す る 方 法 を 与 え た.も

とす れ ば よ い.K.

ま り,xか

しAが

YosidaはAを

らu(t)を Hille[20]は

与 え られ た とき,

構 成 す る こ と が 大 切 で あ る. 独 立 に ,Aか

らU(t)を

構

有 界 作 用 素 な らば,

有 界 作 用 素Anで

近 似 し,Anに

対 し,上

 ⅰ  ⅱ

の よ うにUn(t)=Σtk(-An)k/k!に

よ っ てUn(t)を

に 対 す る極 限 と し てU(t)を

と してU(t)を

構 成 し た.一

構 成 し た.そ

の 後,K.

方,E.

数 解 析 学 の 最 も輝 し い 成 果 の1つ

  §2.1  (C0)-半 群(Hille-Yosidaの   Banach空

間Xの

 定 義  Xの

∞

Hilleは,

Yosidaは,Hille-Yosidaの

拡 散 方 程 式 や 波 動 方 程 式 へ の 応 用 を 通 じ て,理 果 は,関

定 め,Unのn→

論 を 著 し く深 め た.こ

理論の れ らの結

と い っ て も よ い で あ ろ う.

理 論)

中 の 半 群{U(t)}の

定 義 か ら始 め よ う.

が

中 の線 型 有 界 作用 素 の系{U(t)}, 

(1)

) 

)  各x∈Xと

に対 して (強 収 束) 

を 満 た す と き,{U(t)}は(C0)-半

群(semi-group),あ

作 る とい う.((C0)は(2)に U(t)の

るい は簡 単 に半 群 を

お け る 収 束 が 強 収 束 とい う こ と を 意 味 す る.)

上 の 定 義 よ り容 易 に 導 き だ せ る 性 質 を 述 べ て お こ う.

  命 題2.1  x∈Xに

(2)

{U(t)}を,(1)を

満 足 す るB(X)の

中 の 族 とす る.も

し各

対 して,

(強 収束) 

(3)

が成 立す れば, (4) が 成 り立 ち,か

つU(t)は

半 群 の 条 件ⅱ)を

満 た す.こ

こ で,M,β

はt

に よ らな い 正 定 数 で あ る. な るaが

 証 明  な け れ ば,tj↓0で‖U(tj)‖ 対 し,仮

→∞

定 に よ っ て,U(tj)xはxに

な るtjが

存 在 す る.も

存 在 す る.し

強 収 束 す るか ら,定

し存 在 し

か る に 各x∈Xに 理1.2の

 これ は ら の と り方 に 矛 盾す る.よ ってMa<∞

系 よ り

な るa>0

が 存 在 す る.‖U(a)‖=eβaな

る正 数 β を と る.任

な る 非 負 整 数nを

と る.こ

意 の 

の と き,(1)よ

に 対 し 

り

U(t)=U(t-na)U(a)n を 得 る. 

を 得 る.こ

で あ るか ら, 

れ は(4)を

と な り,

示 し て い る.x∈Xとt>0,h>0に

対 し て,

U(t-h)x-U(t)x=U(t-h)(x-U(h)x). し た が っ て,

と な る.仮 定 よ り,U(h)x→xで

あ り,上 に 示 し た よ うに 

(0
対 し て,‖U(t-h)x-U(t)x‖

あ る か ら,h↓0に

U(t-h)x→U(t)x(強 収 束)が

収 束)を

示 さ れ る.か

と き,つ

(C0)-縮 少 半 群(contraction を2つ

強 連 続 で あ る.(証

semi-group)と

明 終)

を 満 た す と き,

ま り 

い い,特

に 大 切 な(C0)-半

群の ク

程 あ げ て お こ う.

  例1 

X=C[0,∞]と

連 続,有

界 な実 数(ま た は複 素 数)値 関 数 の 全 体 に ノル ム 

す る.こ

を 入 れ たBanach空

こ でC[0,∞]は[0,∞)上

間 を 表 わ す.U(t)を

で 定 義 され 一 様

各u∈Xに

対 し

(U(t)u)(x)=u(x+t)  と定 め れ ば,u(x+t)はxの で あ るか ら,U(t)は

ま り

様 に し て,U(t+h)x→U(t)x(強

く し て,U(t)は[0,∞)で

 さ て,(4)でM=1,β=0の

ラ ス で あ る.例

得 る.同

→0つ

(5)

関 数 と し て 有 界,一 意 味 を もつ.こ

  は 明 らか.よ U(s)u(x)=u(x+s)よ

様 連 続 と な る こ と は 明 らか

のU(t)は(C0)-縮

っ て,U(t)はXの

少 半 群 で あ る .実

際,

中 の 有 界 作 用 素 で, 

り

(U(t)(U(s)u))(x)=u(x+s+t)=(U(t+s)u)(x) で あ る か らU(t)U(s)=U(t+S)が t→t0の と な る.ゆ

と きuの

成 立 す る.U(0)=Iは

一 様 連 続 性 よ り,xに

え に,‖U(t)u-U(t0)u‖

定 義 か ら明 らか .

つ き 一 様 にu(x+t)→u(x+t0)

→0(t→t0)で

あ る.か

く し て,{U(t)}

は 縮 少 半 群 で あ る.   例2 

X=C[-∞,∞]と

す る.

G(x,t)=(2πt)-1/2e-x2/2t,-∞<x<∞,t>0

とお く と,こ

の関 数 は

 (a)

 (b)  (c) 

任 意 の δ>0に

対 して

  (d)

はxに

 (e) 

つ き絶 対 積 分 可能 であ る,

な る性 質 を もつ.(a)は

明 らか.(b)は

と な る こ とか ら(c)が

で る.(d)と(e)は

て,こ

のGを

用 い て,Xの

直 接 計 算 で示 され る.変 数 変 換 に よっ て

直 接 計 算 に よ っ て 示 さ れ る.さ

中 の 作 用 素U(t)を

(6) と定 義 す れ ば,こ

のU(t)は

と な る か ら,U(t)uはxの はXの

中 の 作 用 素 で あ る.さ

縮 少 半 群 と な る.実

関 数 と し て 有 界,一 らに,上

 と な るか ら,U(t)は

際, [(b)よ

り]

[(e)よ

り]

様 連 続 とな る.ゆ

の 不 等 式 よ りxに 有 界 作 用 素 で, 

え にU(t)

つ い て上 限 を とれ ば を 満 た す.

[(d)よ

と な る.こ

れ はU(t)U(s)=U(t+s)を

の で あ る.(2)を δ>0に

示 す に は(3)を

示 し て い る.U(0)=Iは

り]

定義その も

示 せ ば 十 分 で あ る.(a)と(b)よ

り,

対 し

 と な る.ゆ

え に,

と こ ろ が(b)よ

を 得 る.uは

り,

一 様 連 続 で あ る か ら,任

意 のε>0に

<X<∞)が

成 り立 つ 位 に δ を 小 さ く と れ る.

と(c)よ

り,t↓0の

と な る.ε

は 任 意 だ か ら,こ

  次 に(C0)-半

と きυ2はxに

つ い て 一 様 に0に

れ はU(t)u→u(強

収 束)を

群 の 無 限 小 生 成 作 用 素(infinitesimal

(-

対 し 

い く.ゆ

え に,

意 味 す る.

generator)ま

た は簡 単 に

生 成 作 用 素(generator)Bを

(強収束) 

∞

(7)

に よ っ て 定 義 す る.す の 定 義 域D(B)と

な わ ち,上

し,こ

  後 の 便 宜 上,本

式 左 辺 が 存 在 す る よ う なx∈Xの

のxに

書 で はBの

対 しBxを(7)に

全 体 をB

よ っ て 定 義 す る.

代 わ りに, A=-B

と お く.こ

のAの

性 質 を 調 べ て み よ う.

  命 題2.2 U(t)を はXの

半 群 とす る.-AをU(t)の

生 成 作 用 素 とす れ ば,A

中 で 稠 密 に 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 で,Reλ>β

な る 複 素 数 λ は-Aの

リ ゾ ル ベン ト集 合 に 入 り,評 価

が 成 立 す る.た

だ し こ こ お よ び 以 下 のM,β

は,(4)で

あ ら わ れ た 定 数 で あ る.

  一 連 の 命 題 に よ っ て 示 そ う.   x∈XとReλ>β

に 対 し て,

(8) と お く と,J(λ)∈B(X)で

あ る.実

際,e-λtU(t)xは(2)よ

であ るか ら,積

連 続 で あ り, 

の元 と してJ(λ)xは

関 し強

分は 強 収 束 しX

意 味 を もつ.す な わ ち,上 の評 価 を代 入す れ ば,

で あ るか ら,J(λ)xはXの D(A)に

りtに

中 の 有 界 作 用 素 で あ る.次

に こ のJ(λ)はXを

写 す こ と を 示 そ う.

  命 題2.3 

x∈XとReλ>β

に 対 し,J(λ)x∈D(A)と AJ(λ)x=λ(1-J(λ))x 

(9)

が 成 り立 つ.   証 明   半 群 の 性 質 とU(t)の

と な る.(最

有界 性 よ り

後 の 等 式 で 変 数 変 換 を 用 い た.)し

な り,

た が っ て,

と な る.h↓0と

す れ ば,明

らか に 右 辺 第1項

は λJ(λ)xに 強 収 束 す る.第2

項 は,

 第2項

と な る.し

か る に,

で あ る.(2)よ

り‖U(t)x-x‖

I2のxの

係 数 は-λ

な る.以

上 よ り,h↓0の

束 す る.よ

→0(h↓0)で

に 収 束 す るか ら,h↓0に

あ るか ら,I1→0(強

収 束).

対 しI2→-λx(強

収 束)と

と き,h-1(U(h)-I)J(λ)xは

っ て,J(λ)x∈D(A)か

λJ(λ)x-λxに

つ-AJ(λ)x=λJ(λ)x-λxを

強 収

得 る. (証 明 終)

  任 意 のx∈Xに   命 題2.4 

対 しJ(λ)x∈D(A)で

任 意 のx∈Xに

強 収 束 す る.特

対 しJ(λ)xは

に,D(A)はXの

 証 明   (8)に

あ る が,さ

らに 次 の 命 題 が 成 立 す る.

λ→∞(λ:実

数)の

と きxに

中 で 稠 密 で あ る.

お い て 変 数 変 換t→s=λtを

し,恒

を用

等 式 

い れ ば,

を 得 る.よ

を 得 る.λ>2￨β￨位

他 方,各tに

とお く と

っ て, 

に とれ ば,(4)よ

対 し,λ

が っ て,Lebesgueの収

→∞

り

の と き(2)に

よ っ てfλ(t)→0と

束 定 理 よ り‖J(λ)x-x‖

→0(λ

→∞)が

な る.し

た

導 か れ る.

J(λ)x∈D(A)で

あ る か らD(A)はXの

  x∈D(A)に

対 し,U(t)xはt=0に

分 可 能 と な る.つ   命 題2.5  t>0に

中 で 稠 密 で あ る.  お い て だ け で な くt>0に

(証 明 終) 対 し て も微

ま り,

-Aを

半 群{U(t)}の

対 しU(t)x∈D(A)か

生 成 作 用 素 と す る.x∈D(A)な

つtに

らば,

つ き強 微 分 可 能 で,

(10) が 成 立 す る.   証 明   (1)よ

り,x∈D(A)の

と き,

(11) が 成 立 す る が,こ

の 右 辺 はh↓0の

と き-U(t)Axに

=h-1(U(h)-I)U(t)xも-U(t)Axに か つAU(t)x=U(t)Axを

強 収 束 す る.こ 示 し て い る.さ

  が 存 在 し-U(t)Axに (2)に

よ っ て-U(t)Axは[0,∞)上

補 題2.1)に

  補 題2.1 

(Diniの

数 とす る.f(t)は

く し て,命

定 理)  f(t)を

ら に,こ

って左 辺

れ は,U(t)x∈D(A)

の こ とはU(t)xの

右微分

等 し い こ と を 意 味 し て い る.と 強 連 続 で あ る か ら,Diniの

よ っ て,U(t)xは[0,∞)上 と な る.か

収 束 す る.よ

こ ろ が,

定 理(下

の

強 連 続 的 微 分 可 能 で あ り,  題 は 証 明 さ れ た.  区 間[a,b]で

強 連 続 な右 微 分 

定 義 さ れ たX-値

を もつ と仮 定 す る.つ

(証 明 終) 強連 続 関 ま り,各t

に対 し

が(強 収束 で)存 在 しか つ,そ の極 限 を  間(a,b)で

強 連 続 で あ る と仮 定 す る.こ

的 微 分 可 能 で あ っ て,

が 成 り立 つ.

とす る と,  の と き,f(t)は,(a,b)で

は,区 強連続

 証 明  cをa
と お く と, 

る任 意 の実 数 とす る.

は(a,b)で

る と同様 に して,g(t)は

強 連 続 で あ るか ら,普 通 の 微 分,積

強 連 続 的 微 分可 能 で あ り, 

こ とが 示 さ れ る.h(t)=f(t)-g(t)と   が 成 立 す る.次 を 示 そ う.も

り,f(t)=g(t)(t>c)と

に,任

強 連 続 で,

対 し, 

↓0と す る こ と に よ っ て,h(t)=0と 任 意 で あ る か ら,補

近 いt(>c)に

な

題 の 成 立 が わ か る.

が成立す

対 し, 

が 成 立 す る最 大 部 分 区 間 とす る.も しb′
る.[c,b′]を 

な らば,連

意 の ε>0に

な る.cは 分cに

とな る

お く と,h(t)は(a,b)で

し こ れ が 示 さ れ れ ば,ε

 よ り,十

分法 に お け

続 性 に よ っ て, 

と な る.t=b′

で 

が成 立す るか ら,十 分小 さ い δ>0に 対 し,

が 成 り立 つ.こ っ て[c,b)に

れ は,[c,b′]の

最 大 性 に 反 す る.か

が 成 り立 つ. 

お いて 

  U(t)と(λ+A)-1と   命 題2.6 

く し てb′=bで

はLaplace変

あ る.よ

(証 明終)

換に よ っ て 結 ば れ て い る.つ

任 意 のλ(Reλ>β)は-Aの

ま り,

リ ゾル ベ ン ト集 合 に 入 り,

(12) が 成 立 す る.   証 明   (9)よ

り,x∈Xに

対 しλ-1J(λ)x∈D(A)で (λ+A)λ-1J(λ)x=x 

が 成 立 す る.こ て い る.他

れ は λ+AがD(A)か

方,(11)の

らXの

両 辺 に λe-λtを掛 け てtに

(13) 上へ の写 像 で あ る こ とを示 し つ き(0,∞)上

h-1(U(h)-I)J(λ)x=J(λ)h-1(U(h)-I)x  を 得 る.h↓0と

す れ ば,h-1(U(h)-I)x→-Axで

用 素 で あ るか ら,右

辺 は-J(λ)Axに

強 収 束 す る.他

で 積 分 す れ ば,

(x∈D(A)) あ るがJ(λ)は 方J(λ)x∈D(A)よ

有界作 り,

左 辺 →-AJ(λ)x.よ

っ て,x∈D(A)に対

しAJ(λ)x=J(λ)Axと

な る.(13)

を 考 慮 し て, λ-1J(λ)(λ+A)x=(λ+A)λ-1J(λ)x=x  とな る.こ

れ よ り,λ+Aが1対1の

λ-1J(λ)と 一 致 す る.J(λ)の 密 に 定 義 され て,λ-1J(λ)は も有 界 作 用 素 とな る.よ

定 義(8)よ

(x∈D(A))

写 像 で あ り,逆

作 用 素(λ+A)-1は

りか く し て,(12)を

得 る.Aは

既 に 見 た 通 り有 界 作 用 素 で あ るか ら,(λ+A)-1

っ て,Reλ>β

な るλ

は-Aのリ

ゾ ル ベ ン ト集 合

に 入 る.    命 題2.7 

稠

(証 明終) Reλ>β

な る任 意 の λ に 対 し

(14) が 成 立 す る.   証明  (12)よ

り

[(1)よ

り]

[変数 変 換 に よっ て]

とな るが

で あ る か ら,

(15) を 得 る.ゆ えに,

[(4)に

よ っ て]

と な る.こ

れ は(14)の

  λ+Aは

有 界 な 逆(λ+A)-1を

Aは

成 立 を 示 し て い る. 

閉 作 用 素 と な る.こ

(証 明 終)

も つ か ら,λ+Aは

れ と,命

題2.3∼2.7を

閉 作 用 素.し ま とめ れば,命

た が っ て, 題2.2が

成

立 す る こ とが わ か る.   さ て,Aに

対 し安 定(stable)と

  定 義   Aが

次 の3条

い う概 念 を 導 入 し よ う.

件 を 満 た す と き 指 数{M,β}を

もっ て安定 で あ る と い

う:   イ)  AはXの

中 の 稠 密 に 定 義 さ れ た 線 型 閉 作 用 素 で あ る,

  ロ)  λ>β な る λ は-Aの

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 る,

  ハ)  次 の 評 価 が 成 立 す る:

(16) 指 数{M,β}を を(4)を

もつ 安 定 な 作 用 素 の 全 体 をG(X,M,β)で

満 足 す る(C0)-半

(X,M,β)と

な る.命

に 対 し(16)が

群 と し,-Aを

題2.2の

そ の 生 成 作 用 素 とす れ ば,A∈G

中 の λ を 実 数 に 限 れ ば よ い.し

成 立 す れ ば,Reλ>β

入 り,Reλ>β

表 わ そ う.{U(t)}

な るλ

な る λ に 対 し,(14)が

は,-Aの

か し,λ>β

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に

成 立 す る こ とが わ か る.(読

者 は,確

か め ら れ た い.)   例1 

X=C[0,∞]と

す る.U(t)を(5)つ

よ っ て 定 義 さ れ た 半 群 と し よ う.(半

ま りU(t)u(x)=u(x+t)に

群 と な る こ と は,前

に 示 し た.)こ

の生 成

作 用 素-Aは D(A)={u∈X;u(x)は[0,∞)上1回

連 続 的 微 分 可 能 でu′ ∈X}

(17) (-Au)(x)=u′(x)

で 与 え られ る.実

と な る か ら,

際,u,u′

∈Xな

るuに

対 し て,

を 得 る.u′

は 一 様 連 続 で あ る か ら,h↓0の

よ っ てh-1[u(h)-I]u→u′(強 -Au=u′

収 束).つ

と な る.λ>0と

と き,上

式 右 辺 は0に

ま りu,u′∈Xな

す る.任 意 のu∈D(A)に対

収 束 す る.

らばu∈D(A)か

つ

して,(λ+A)u=fと

お

(c:

く.微 分 方程 式λυ-υ′=fを 解 く.こ の解 は  定 数)で

与 え られ る が,特

な る解 はυ0,υ′0∈Xを υ0∈D(A)か

に, 

満 足 す る こ とが 直 接 計 算 よ りわ か る.し

つλυ0+Aυ0=f=(λ+A)uと

る こ と よ りu=υ0と

な る.こ

な る.ゆ

れ はu,u′

∈Xを

た が っ て,

え に λ+Aが1対1で

意味 す る.こ

あ

れ よ り(17)の

成

立 が わ か る.   例2 

X=C[-∞,∞]と

す る.こ

の と き,U(t)の

す る.U(t)を(6)に

よ っ て 与え ら れ た 半 群 と

生 成 作 用 素-Aは

D(A)={u∈X;uは2回

連 続 的 微 分 可 能 で,u,u′∈X}

(18)

で 与 え られ る.実

際,u′,u″

∈Xな

と な る こ とに 注 意 す れ ば,xを固

と な る.よ

っ て,xを

と な るか ら,

るu∈Xを

任 意 に と る.直

定 し て(U(t)u)(x)をtの

固 定 す れ ば,

接計算に より

関 数 とみ な し て,

u″∈Xで

あ りU(t)は

半 群 で あ る か ら,‖U(t)u″-u″

ゆ えに,h-1[U(h)-I]uは1/2u″

に 強 収 束 す る.よ

 と な る.逆

程 式 

にu∈D(A)と

を 解 く.こ

∈D(A)を

る.か

  さ て,い

あ る こ とか ら,u=υ0.こ

題2.2で

(Hille-Yosidaの

れ は,u′,u″∈Xを

意味す

定 理(ま

た はHille-

定 理 と も い う)を 述 べ よ う. 定 理)  A∈G(X,M,β)と

な るた め の必要 か つ

生成 作 用 素 に もち, 

を満足す る

存 在 す る こ と で あ る. 生 成 作 用 素 に もつ 半 群 をe-tAと

示 し た.必

る こ と は 明 ら か.任

書 く こ と が あ る.定

要 条 件 が 示 さ れ た と す る.A∈G(X,M,β)に

問 題du(t)/dt=-Au(t),u(0)=xの

唯 一 の 解 で あ る.実

意 の 解u(t)に

  (必 要 条 件 の証 明Ⅰ;K.

理 の十 分 条 件 は 命

対 しe-tAxがCauchy 際,命

題2.5よ

対 し,(d/ds)e-(t-s)Au(s)=0と

つ き 積 分 す れ ば,u(t)=e-tAu(0)=e-tAxを

合:A∈B(X)の

っ てυ0

た が っ て,

よ い よ 半 群 の 理 論 で 中 心 的 なHille-Yosidaの

群U(t)が

  注 意  -Aを

対 す る 解υ0は

示 され た.

十分 な条 件 は,-Aを (C0)-半

に,c1=c2=0に

よ りλυ0+Aυ0=f=λu+Au.し

Yosida-Feller-Phillips-Miyaderaの   定 理2.1 

分 方

の 解 は 

得 る. 

く し て(18)が

つ

お く.微

接 計 算 よ りυ0,υ′0,υ″0∈Xで あ る こ と が わ か る.よ

λ+A,λ>0,が1対1で

な る.

っ てu∈D(A)か

し て,(λ+A)u=fと

と な る.特

で あ る か ら,直

‖→0(t↓0)と

Yosidaに

な り,こ

り,解

であ

れ をsに

得 る か ら 一 意 的 で あ る.

よ る) 

と き,du(t)/dt=-Au(t),u(0)=xの

(第 一 段) 

Aが

有 界 作用 素 の場

解 はu(t)=e-tAx

で 与 え られ る.こ

こ でe-tAは (作 用 素 ノ ル ム の 収 束) 

に よ っ て 定 義 し た.こ

れ を 示 す に は,e-tAが-Aを

あ る こ とを み れ ば よ い.実

と な り,Un(t)は [0,∞)上 は[0,∞)上

用 素 ノ ル ム で の)極 限 で あ るe-tA

て,BC=CBな

る 有 界 作 用 素B,Cに

な る.実 際BjCk=CkBjで

/(i+k)!のtjskの

係 数 は(-1)j(-1)kBjCk/j!k!と

e-tAe-sA=e-(t+s)Aと

な る.よ

半 群 で あ る.直

ら にt=0と

接,級

っ てexp(-tB

係 数 と は 一 致 す る .こ

成 立 を 示 し て い る.特 な る.さ

対 して

あ るか ら(-1)j+k(tB+sC)j+k

係 数 とexp(-tB)exp(-sC)のtjskの

れ はe-tBe-sC=e-tB-sCの

り,e-tAは

つ き広 義 一 様 に 収束 す る こ とが わ か る.

広 義 一 様 な(作

強 連 続 と な る.さ

-sC)のtjskの

と お く と,

作 用 素 ノ ル ム でtに

e-tBe-sC=e-tB-sCと

生 成 作 用 素 に もつ 半 群 で

際, 

強 連 続 なUn(t)の

(19)

に,B=A,C=Aと

す れ ば,e-tAはIと

す れ ば, な る.以

上 よ

数 を微 分す れば

(20) と な る か ら,e-tAの   (第2段)一

生 成 作 用 素 は-Aで

般 の 場 合:一 般 のA∈G(X,M,β)に対

と と も に 小 さ く な るか ら(19)でe-tAを にYosida近

あ る.

似An=AJnを

定 義 で き な い.そ

用 い る.た

こ こ で, 

る こ とか ら,命

し,Ajの

定 義 域 がj

こ で,Aの n >β

だ し, 

(x∈D(A))な

代 わ り で あ る.

る こ と と‖Jn‖ が 有 界 で あ

題 よ り,次 式 を 得 る. limJnx=x 

(強 収 束), 

x∈X. 

  か つJn∈B(X)よ な る か らe-tAn(≡Un(t))が

定 義 で き る.定

義 よ り,

(21)

り,An∈B(X)と

で あ るか ら, 

を 得 る.(16)に

る評 価 

よ って導 か れ

を上 式 の右 辺 に 代 入す れ ば,

(22) を 得 る.次

に,T>0に

対 し てUn(t)xが[0,T]上

一様 収 束 す る列 で あ る

こ とを 示 す.

で あ る か ら,

を 得 る.よ

っ て,

(23) が 成 り立 つ.他

方,x∈D(A2)に

対 し

で あ るか ら,

を 得 る.ゆ

(22)よ

え に,AnとUmの

り,こ

はx,m,n,s,tに

可 換 性 と上 式 よ り

で お さ え られ る.こ

の 右 辺 は,  よ ら ぬ 定 数.ゆ

え に,

こ で,M′

が 成 り 立 つ.か Un(t)xは[0,T]上

一 様 に 強 収 束 す る.し

の と き λ2(λ+A)-2→I(強 (1+n-1A)-2xで も,‖Un(t)‖ [0,T]上

く し て,任

収 束)で

近 似 さ れ る.ゆえ は[0,T]上nに

か る に,(21)と

あ るか ら,任

りλ → ∞

意 のx∈Xは,D(A2)の

元

に,D(A2)はXの

中 で 稠 密 で あ る.し

か

つ いて 一様 有 界 で あ り,Un(t)x(x∈X)は,

連 続 で あ る か ら,命

題1.8を

適 用 す れ ば,任

に 強 収 束 し,そ

は 強 連 続 と な る.x∈Xに

対 しUn(t)Un(s)x=Un(t+s)xが

∞

対 し

命 題1.5よ

Un(t)xは,[0,T]上一様

ら,n→

意 のx∈D(A2)に

意 のx∈Xに

の 極 限 をU(t)xと

お く と,U(t)x 成 立 し て い るか

と す れ ば,U(t)U(s)x=U(t+s)xを

が成 立 す る.ゆ

対 し,

得 る.明

え に,U(t)は(C0)-半

ら か に, 

群 と な る.さ

らに(22)

よ り,

な る 評 価 を 得 る.最 す れ ば,A=Aで

後に,こ

の よ うに 構 成 したU(t)の

あ る こ とを 示 そ う,x∈D(A)に

生 成 作 用 素 を-Aと 対 し て,(20)のAをAn

で お き か え た 式 の 両 辺 を 積 分 す れ ば,

(24) と な る.一

方,有

に よ っ て,強 U(t)Axに

限 区 間 上Un(t)はU(t)に

収 束 す る か らUn(t)Anx=Un(t)JnAxは,有 強 収 束 す る.ゆ

と な る.‖U(t)Ax-Ax‖ −I]xは-Axに x∈D(A)か

一 様 に 強 収 束 しJnはIに(21)

え に(24)に

→0(t↓0)に

お い てn→

写 す か ら,D(A)=D(A)と

∞

ま りA=A.こ

対 しh-1[U(h)

え に,x∈D(A)な

に 対 し λ+AはD(A)をXの な る.つ

とす れ ば

注 意 す れ ば,h↓0に

強 収 束 す る こ とが わ か る,ゆ つAx=Ax.λ>β

限 区 間 上一 様 に

上 へ1対1に れ で定 理 は す べ て証 明 さ

れ た.   (必 要 条 件 の 証 明Ⅱ;E. Hilleに

よ る)  Cauchy問

らば

題du(t)/dt=-Au(t),

u(0)=xを

解 くの にAを

有 界 作 用 素 で 近 似 す る代 わ りに,差

す な わ ち,[0,t]をn等

分 で近 似す る.

分 に 分 割 し 後 退 差 分 を と る:(h=t/n)

h-1[un((j+1)h)-un(jh)]=-Aun((j+1)h) 

(j=0

こ れ を 解 く と,un((j+1)h)=(1+hA)-1un(jh)で

,1,…n).

あ るか ら,un(t)=un(nh)

=(1+hA)-nxと

な る .n→∞

な る で あ ろ う.こ

の 考 え に し た が っ て 必 要 条 件 の 証 明 を 示 そ う.A∈G(X,

M,β)よ

に 対 しun(t)が

( 

り, 

な らば 

界 作 用 素 とな る. 

収 束 す れ ば そ の極 限 が 解 と

)に 対 し  と お く とVnも

は有

有 界 作 用 素 と な り,

  1)

な る 評 価 が 成 り立 つ.((16)を  さ ら に 命 題1.9よ tに 関 し て 正 則,し

み よ.)

り, 

は,0
な る

た が っ て 強 連 続 的 微 分 可 能 か つ(d/dt)(1+n-1tA)-1=

-n-1A(1+n-1tA)-2と

な るか ら

  2)  Vn(t)は0
,

な るtに

関 して強 連続 的微 分 可能 で

が 成 立 す る.  (21)と 同 様 に,t↓0の Vn(t)→I(強  3) 

と き, 

収 束).し

Vn(t)は 

  次 にVn(t)はn→

(強 収 束)が わ か る.ゆ

え に,

た が っ て, な るtに ∞

関 し て 強 連 続.

に 対 し 収 束 す る こ と を 示 そ う.x∈D(A2)に

対 し

(25)

で あ る.被

積 分 関 数[…]は2)に

よって

し た が っ て,1)に

よ り,

を 得 る.ゆ

え に,

とな る.こ

れ よ りXの

中 の 稠 密 な 集 合D(A2)の

は 任 意 の 有 限 区 間[0,T]に さ らに,[0,T]上

をtが

一 様 有 界 で あ る .命 [0,T]上

属 す るtに

一 様 に 強 収 束 し,そ

を 得 る.U(t)が(C0)-半

るnに

適 用 し て,任

対 し,1)よ

意 のx∈Xに対

の 極 限 をU(t)xで

上 強 連 続 で あ る か ら,U(t)は[0,T]上

対 して,Vn(t)x

つ き 一 様 に 強 収 束 す る こ と が わ か る.

動 き,n>βTな

題1.8を

中 のxに

り‖Vn(t)‖

は

してVn(t)xは

表 わ す と,Vn(t)は[0,∞)

強 連 続 とな る.さ

らに,1)よ

り

群 で あ る こ と を い うに は,U(t)U(s)=U(t+s)を

示 し さ え す れ ば よ い.

(x∈D(A2))で

を 得 る.右

あ る か ら,(25)と

辺 の 被 積 分 関 数 は,1)に

同 様 に し て,こ

れ を0か

よ っ て 

らsま

に つ い て一 様 有 界 とな るか ら,右 辺 はn→∞

で 積 分 し,

とn(n>β(t+s))

に対 し0に

強 収 束 す る.他

方,左

辺 は,n→∞

に 対 し,U(t+s)x-U(t)U(s)xに

U(t+s)x=U(t)U(s)xを U(t),U(s)は x∈Xに

収 束 す る.よ

得 る.D(A2)はXの

中 で 稠 密 で あ りU(t+s),

有 界 作 用 素 で あ る か ら,U(t+s)x=U(t)U(s)xが

対 し て 成 り立 つ.最

後 にU(t)の

って

任意の

生 成 作 用 素 が-Aで

そ う. 

(x∈D(A))を  と な る.こ

あ る こ とを示 積 分 す れ ば,

こ でn→∞

とす れ ば

とな る.こ れ よ り,必 要 条 件 の(証 明Ⅰ)で 述 べ た 証 明 と全 く同 じよ うに し て, U(t)の

生 成 作 用 素は-Aで

 系2.1 

あ る こ とが わ か る. 

(表 現 定理)  -Aに

(証 明終)

よっ て生 成 され る半 群e-tAは

  a)

  b) に よ っ て 表 現 さ れ る.   注 意   上 で,A∈G(X,M,β)が 半 群 を2通 を-Aを

与 え られ た とき,-Aを

生 成 作 用 素 に も つ(C0)-

りの仕 方 で構 成 した.そ れ らが両者 共 一 致す る ことを み よ う.U1(t),U2(t) 生 成作 用 素 に もつ(C0)-半

群 と し よ う.こ の と き,命 題2.6よ

り,Reλ>β

に対 し

が 成立 す る.任 意 のf∈X*に

が 成立 す る.こ Laplace変

と な る.こ

こで 〈f,y〉 は 汎 関 数fのyに

れ よ りU1(t)x=U2(t)x,つ よ っ てAを

お け る値 を 意 味 す る も の とす る.

数)で

ま りU1(t)=U2(t)と

定 義 す る.λ>0と

しλu(x)-u′(x)=f(x)を

f(y)dy(c:定

作 用 させ れば,

換 の一 意 性 か ら,

  例   (17)に に対

対 し,両 辺 にfを

解 く.こ

あ る.第2項

∈D(A)と

す る.任

な る. 意 のf∈X=C[0,∞]

の 解 は, 

な る.し

た が っ て,u∈Xと

な る た め に はc=0と す 解 はu=0に

な らね ば な ら な い.特

限 る.よ

っ てλ+Aは1対1で

で あ る か ら,λ+AはD(A)か

らXの

ゆ え に, 

に,λu-u′=(λ+A)u=0を あ る.さ

満た

ら に,

上 へ の 写 像 で あ り,

で あ る か ら,(17)に

と な る. 

よ

って 定義 した 作用 素は 縮 少 半 群 を定 め る.

  §2.2  正 則 半 群   (6)に

よ っ て 定 義 さ れ た 半 群 は,tに

る こ と が,G(x,t)の

性 質 か らわ か る.こ

つ きRet>0ま

で 解 析 的 に延 長 され

れ に 示 唆 さ れ て,正

則 半 群 と い う半

群 の 重 要 な ク ラ ス を 導 入 し よ う.   定 義   ￨argt￨<ω

な る複 素 数tに

依 存 す る有 界 作 用 素 の 族{U(t)}が

  (ⅰ)  U(t)U(t′)=U(t+t′) (￨argt￨,￨argt′￨<ω),   (ⅱ)  任 意 の ε>0に

対 し￨argt￨<ω-ε

でt→0な

らば,U(t)はIに

強 収 束 す る,   (ⅲ)  U(t)は￨argt￨<ω と い う3条

で 正 則 で あ る,

件 を 満 足 す る{U(t)}を

  こ こ で,U(t)が

ω 型 の 正 則 半 群 と い う.

正 則 と い う こ と か らで て く る 性 質 を 一 つ の べ て お く.

  命 題2.8(後

向 き一 意 性 定 理)  あ るx∈Xと

U(t0)x=0な

ら ばx=0と

  証 明   も しU(t0)x=0な と な り,￨argt￨<ω U(t)x=0(￨argt￨<ω)と

あ るt0>0に

対 し,も

な る. らば,U(t0+ζ)x=U(ζ)U(t0)x=0(￨argζ￨<ω)

で 正 則 なU(t)xは な り,t→0の

開 集 合 で0で

あ る.一

と きU(t)x→xか

意 性 定 理 よ り, らx=0を

る.    定 義  AをXの

し,

得

(証 明 終) 中 で 稠 密 に 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 とす る.A∈H(ω)と

は,任

意 の ε>0に

対 し,実

(≡ Σ ε)が,-Aの

数aε

を 適 当 に とれ ば, 

リ ゾ ル ベ ント 集 合 に 入 り,

が 成 立 す る と き で あ る.こ

こ でMε

  定 理2.2 0<ω<π/2と

す る.A∈H(ω)と

は,-Aが

は,λ

な る ため の必 要 か つ十 分 な条 件

ω 型 の正 則 半 群 を 生 成 す る こ と で あ る.

  十 分 性 の 証 明   U(t)が 半 群 と な る.生

を 利 用 し て,‖Uθ(s)‖  ε>0を

正則 半 群 な らば,{U(t)},t>0,は

成 作 用 素 を-Aと

と き,{U(eiθs)},s>0,も

明 らか に(C0)-

し よ う.一 般 に,θ(￨θ￨<ω)を

半 群 と な る.Uθ(s)=U(eiθs)と のs>0に

が 存 在 す る.し て‖U(tj)‖

題2

.1

関 す る 増 大 度 を み て み る. な る 正 数 βε を と る. )と

とす れ ば,‖U(tj)‖

固 定 した

お こ う.命

固 定 し よ う. 

Mε=sup‖(U(eiθs)‖(0<s<1, 

Mε=∞

に よ らぬ 定 数 で あ る.

→∞

か し,x∈Xに

か つ0に

お く.Mε<∞

は 有 界 とな り,矛 盾 す る.a=1,M=Mε を 得 る.し

際,

収 束 す る列 

対 し‖x‖=lim‖U(tj)x‖

いれ ば 

で あ る.実

よ り定 理1 .2に と して,命

よっ

題2.1を

用

た が っ て,

(26) が 成 り立 つ.故

が 成 立.こ

に,命

題2.6よ

の 右 辺 をR(λ)と

りReλ>β

εは-Aの

お く とReλ>βε

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 り,

で 正 則 で あ る.こ

のR(λ)が

 (≡Λ)ま で 正 則 に延 長 され 得 るこ とを 示 そ う.そ

の た め に,

(± は 複 号 同 順)と

お く.ま

ず 

な るtと

λ∈Λ0に 対 し,

(θ=argt,j=argλ)が

成 立 す る こ とに 注 意 す る.し

た が っ て,(26)に

よっ

て,

と な る.λ

∈Λ0に 対 し こ の 右 辺 は￨t￨に

め る 積 分 路(0,∞)を(0,∞eiθ0)(θ0≡

つ き 可 積 分 で あ る か ら,R(λ)を ω-ε)に

定

変 形 す る こ とが で き る:

この右 辺 は λ∈Λ+に 対 し て も定 義 で き正則 で あ る.実 際,λ ∈Λ+に 対 し  (t>0)よ

を 得 る.し

た が っ てR(λ)はΛ0か

らΛ+ま

り,前

と 同 様 に,

で 正 則 に 延 長 さ れ,評

価

が 成 立 す る(λ ∈Λ+).   同 様 に し て,Λ0か た す.命

題1.10に

ら Λ-に

も延 長 さ れ,Λ-に

よ っ て λ∈Λ+∪Λ0∪Λ-(=Λ)な

お い て,同

様 の評 価 式 を 満

る λ は,-Aの

リゾル ベ

ン ト集 合 に 入 り,評 価

(M′εは 適 当 な定 数)が 成 り立 つ.ゆ えに,任 意 の ε>0に 対 し,正 数aε を 適 (≡ Σε)は-Aの

当に とれ ば, 

リ ゾ ル ベン ト

集 合 に含 まれ,

が 成 立 す る.こ

こ で,Mε

は λ に よ ら な い 定 数 で あ る.つ

ま りA∈H(ω)で

あ る.   必 要 性 の 証 明   任 意 の ε>0を をaε=0と

固 定 す る.A∈H(ω)の

仮 定 して も一般 性 を 失 わ な い.Aの

わ りにe-aεtU(t)を

考 え れ ば よ い か らで あ る.複

定 義 に で て く るaε

代 わ りにA+aε,U(t)の 素 平 面 内 の 曲線

代

Γ=Γ1∪Γ2 と定 め る(方

向 は 正 の 方 向).Γ

は 明 らか に-Aの

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 含 ま

れ る.U(t)を

(27) と定 め る. 

と λ∈ Γ1に 対 し,   ゆ え に,(λ+A)-1に

で あ る か ら,

対 す る仮 定 よ り,

(28) と な る.eλt(A+λ)-1は  で あ り,eλt(A+λ)-1お

と λ∈Γ1の 近 傍 で,t, よ び,こ

れ をtに

は 共 に絶 対 積 分 可 能 で あ るか ら,  な 有界 作 用 素 で あ る. 

群 の 性 質(ⅲ)を   (ⅰ)を

は￨argt￨<ω-2ε は,tのB(X)-値

く し て,U(t)は￨argt￨<ω-2ε

λ につ き正 則

つ き 微 分 し た 作 用 素 λeλt(A+λ)-1 で正 則

整 関 数 とな る.か

で 正 則 な 有 界 作 用 素 で あ る .つ

ま り正則 半

得 る.

示 そ う.(27)に

よ らぬ こ とがCauchyの

よ っ て 定 義 され たU(t)は,積 積 分 定 理 か らで る.U(t1)を

分路

Γ の と り方 に

Γ に よっ て

,U(t2)を,

Γ を 右 に 平 行 移 動 し た 曲 線 Γ′ に よ っ て 定 義 す る とす れ ば(積 分 路 に よ ら ぬ か ら,こ

の よ うに と っ て も よ い),

と な る.こ

こ で,リ

ゾ ル ベ ン ト方 程 式(A+λ1)-1(A+λ2)-1=(λ2-λ1)-1[(A+

λ1)-1-(A+λ2)-1]と

を 用 いた.正

則半 群 の定 義 のⅱ)を

満 たす こ とを示 そ う.そ のた め に,次 の

補 題 を用 意 す る.  補 題2.2 

で 正則 な 関 数 と す る.

f(t)を 

もし

(M′,α

は λ に よ ら ぬ 非 負 定 数)な

に よって定 義 され た作 用 素V(t)は

を 満 足 す る.こ

こ で,Γ

らば,

評価

は 前 頁 に 定 義 さ れ た 曲 線 で あり,M″

は,tに

よら

ぬ 定 数 で あ る.   証 明   ω-2ε=θ に 移 さ れ る が,こ

と お く.変

数変 換

れ を 変 形 し てtに

λ→ μ=￨t￨λ

とす る.Γ

は別 の積 分 路

無 関 係 な も と の 曲 線 Γ に うつ る.し

たが

っ て,

と な る.こ

こで,η=argtで

あ る.他

方,Aとfに

対 す る仮 定 よ り,

(29) と な る.こ

の積 分 を

(30) で 表 わ す.こ で あ る.μ

こ で, 

∈ Γ1(j≡argμ)に

で あ る か ら, 

対 し,  と な る.よ

っ て, 

で あ る.

よ っ てV1(t)の

被 積 分 関 数 は,(29)よ

(μ∈Γ1)と

な るか ら,こ

ら れ る.こ

こ で,

の 評 価 を 代 入 す れ ば,V1(t)は,M1￨t￨α-1で

で あ る.V2(t)は,(30)を とが わ か る.以

り,

積 分 す る こ と に よ っ て,M2￨t￨α-1で

お さえ

お さ え られ る こ

上 よ り補 題 に お け る評 価 式 を 得 る. (補 題 の 証 明 終)

上 の 補 題 で,f=1,α=1と らば‖U(z)‖

は 一 様 有 界 で あ る こ と が わ か る.

で あ る か ら,x∈D(A)に

と な る.補

対 し

題2.2をU1に

適 用 す れ ばf(λ)=λ-1,α=2と

とな るが こ の右 辺 は￨t￨→0の と きU(t)x→x(強

収 束)で

‖U(t)‖ は￨t￨→0に x∈Xに

で￨t￨→0な

と る こ とに よ っ て 

の

とき0に 収束 す る.  あ る.と

こ ろ がD(A)はXの

対 し 一 様 有 界 で あ る か ら,命

対 し て 

これ はⅱ)を

中 で 稠 密 で あ り,

題1.8に

の と きU(t)→I(強

示 して い る.よ

し て,

ってU(t)は

か った.最 後 に,生 成 作用 素 は-Aで

よ っ て,任 収 束)と

意の な る.

ω 型 の正 則 半群 で あ る こ とがわ

あ る こ とを示 そ う.(28)の

右 辺 は絶 対

積 分 可 能 で あ るか ら,(27)の

被 積 分 関数 に λ の ベ キを 掛 け た関 数 の積 分 は 絶

対 収 束 す る.よ ってU(t)は

微分 可能 で あ って,

で 表 わ さ れ る.特

に,λ(A+λ)-1=[I-A(A+λ)-1]を

用 い れ ば,

(31) と な る.Aは

閉 作 用 素 で あ るか ら命 題1.6を

用 い て,Aは

積分記号の前にで

る.

と な る.x∈D(A)で

あ れ ば,A(A+λ)-1x=(A+λ)-1Axよ

とな る.こ れ を0か

らhま

と な り‖[U(t)-I]Ax‖ に 強 収 束 す る.よ D(A)か

  系2.2 

で積 分 す れ ば

→0(t↓0)で

あ る か ら,h-1[U(h)-I]xは-Ax

っ て-Aで{U(t)}の

生 成 作 用 素 を 表 わ せ ば,D(A)⊂

つAx=Ax(x∈D(A))で

1に 写 す か ら,A=Aが

り

あ る.λ+AはD(A)をXの上

に1対

導 か れ る. 

{U(t)}は-Aを

(証 明 終)

生 成 作 用 素 に も つ ω 型 の 正 則 半 群 とす る.こ

の

と き,

が 成 立 す る.た

だ し,Mε,βε

  証 明   A∈H(ω)の

はtに

定 義 のaε をaε=0と

とな る が,f(λ)=λ,α=0と

仮 定 す る.(31)に

し て 補 題3.2を

一 様 有 界 で あ る こ と が わ か る.す 一 般 の 場 合 ,U(t)の

よ ら ぬ 定 数 で あ る.

が

適 用 す れ ば, 

な わ ち,β ε=0で

代 わ りに,e-taεU(t)を,Aの

系 が 成 立 す る.前

と同 様 に

代 わ り にA+aε

を考え

れ ば よ い.   例  (18)に

よって

(証 明 終) よ っ て 定 義 さ れ た-AはX=C[-∞,∞]の

中で

π/2型 の 正 則

半 群 を 生 成 す る.実際,C∞0(-∞,∞)⊂D(A)よ 任 意 の ε>0とf∈Xに

りAは

稠 密 に 定 義 され て い る.

対 し て, 

を 考 え る.

この一 般 解 は  も しf=0か =c2と

で 与 え られ る.

つu∈D(A)な

な りu=0が

る.次

ら ば,u(x)はx→

し た が う.こ

±∞

れ はz+Aが1対1で

に 

で 有 界 で あ るか らc1 あ る こ とを示 して い

と な る こ と は(18)でz=λ(>0)

の 場 合 に 示 した と同 様 に し て わ か る.よ ゆ え に(z+A)-1は

っ てz+AはXの

上 へ の 写 像 で あ る.

存 在 し,

で 与 え られ る.よ

って

これ よ り(z+A)-1は

有 界 作 用 素(し た が ってAは

閉 作 用 素)で 

を 満 足 す るか ら-Aは

定 理2.2よ

りπ/2

型 の正則 半 群 を 生 成す る.

  §2.3  A-許  

-Aを

容空間

生 成 作 用 素 に もつ(C0)-半

群e-tAはD(Ak)(k=1

に す る:e-tAD(Ak)⊂D(Ak)  概 念 を 導 入 し よ う.こ   以 下,YをXの Yの

位 相 がXの

  定 義   YがXに (  い う.

y∈Y)を

,2,…)を

これ を 一 般 化 し て,A-許

不変

容 空 間 とい う

の 概 念 は 次 章 で 大 切 と な る.

中 に(Xの

位 相 で)稠

密 に 入 っ て い るBanach空

位 相 よ り強 い と し よ う.A∈G(X,M,β)と 関 し てA-許 満 た し,か

容(簡

単 にA-許

つ{e-tA}がY上

容)で で(C0)-半

間 で,

す る. あ る と は,e-tAy∈Y 群 を つ くる とき を

  例   Y=D(A)と はXの

し ノ ル ム を‖y‖Y=‖(A+β+1)y‖

中 で 稠 密 なBanach空

とす る.こ

の と きY

間 で あ る こ と は 明 ら か で あ る. 

(y∈Y)よ

りXの

位 相 よ りYの

方 が 強 い.e-tAY⊂Y

は 明 ら か で あ る.  よ りA∈G(Y,M,β)と e-tAはYで(C0)-半

群 を 生 成 す る.よ

な るか ら

っ て 上 の よ うに 定 め たYはA-許

容

間 の ノル ム を 区 別 す る た め に,Xの

ノル

で あ る.   YとXと

い う2つ

ム を‖・‖X,Yの

のBanach空

ノ ル ム を‖・ ‖Yで 表 わ す.Xの

={u∈D(A)∩Y;Au∈Y}か

つAu=Au((u∈D(A))に

用 素AをAのYに

お け る 部 分 と い いA￨Yで

  さ て,YがA-許   命 題2.9 

中 の 作 用 素Aに

よっ て定 義 した 作 表 わ そ う.

容 で あ る た め の 条 件 を 与 え よ う. A∈G(X,M,β)と

必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,適

す る.こ

の と きYがA-許

当 に 実 数M,β

容 で あ るた め の

を とれ ば,十

分 大 き い λ に 対 し て,

で

 イ)   ロ)  (A+λ)-1YはYの

中 で稠 密 で あ る

が 成 立 す る こ とで あ る.こ =exp(-tA)と

の と きA=A￨Y,U(t)=exp(-tA),U(t)

す れ ば,U(t)=U(t)￨Y,(A+λ)-1=(A+λ)-1￨Yが

  証 明  YをA-許

容 と仮 定 し よ う.{e-tA}はYで

素 が 存 在 す る.そ

れ をA′

な 定 数).y∈Yと

す れ ば,e-tAy=e-tAyで

と す れ ば,A′

成 立 す る. 半 群 と な るか ら生 成 作 用

∈G(Y,M,β)で

あ る(M,β

あ る か ら,(12)に

=(A′+λ)-1y(λ>max(β,β′)).(A′+λ)-1y∈Yよ る.さ

対 し,D(A)

ら に,こ

分 条 件 を 示 そ う.A=A￨Yと は 存 在 し(A+λ)-n￨Yと

り,イ)が

あ りD(A′)はYの 中 で 稠 密 で あ る.こ

す る.こ

な

た が っ て(A′+λ)-n=(A

の こ と と,A′ ∈G(Y,M,β)よ

る.(A+λ)-1Y=(A′+λ)-1Y=D(A′)で るか ら,(A+λ)-1YはYの

よ っ て(A+λ)-1y

り(A+λ)-1Y⊂Yと

れ は(A′+λ)-1=(A+λ)-1￨Y,し

+λ)-n￨Yし を 示 し て い る.こ

は適 当

の と き,十

等 し くA∈G(Y,M,β)を

れは

ロ)を

導かれ

中 で稠 密 で あ 示 し て い る.十

分 大 き い λ に 対 し(A+λ)-n 示 す.こ

れ が 示 さ れ れ ば,

系2.1の(b)よ

束)で

(強 収

り 

あ り, 

=U(t)yを

(y∈Y)で

得 る .U(t)y∈Yよ

さ て,任 が,他

意 のy∈Yに

りU(t)Y⊂Yで

あ る.こ れ で 十 分 条 件 を 得 る.

対 し,z=(A+λ)-1yと

方,z∈D(A)か

す る.仮

つAz+λz=yが

と な る か ら,z∈D(A),Az=Azを な る か ら(A+λ)-1は

存 在 し(A+λ)-1￨Yに な る.さ

等 し い.こ

ら に,イ)よ

仮定

た が っ て,A∈G(Y,M,β)で

っ てAz=y-λ2∈Y

れ を く り返 し用 い れ ば,

り, 

中 で 稠 密 で あ る こ とが わ か る.(A+λ)-1の

で あ る.し

ロ)を

用 い れ ば,D(A)

有 界 性 よ りAは

A∈G(X,M,β)と

続 な 線 型 作 用 素 とす る.こ

=SAS-1と

の と き,YがA-許 るM1,β1が

らXの

上 へ の1対1両

AS-1x∈Y}で

存 在 す る こ と で あ る.そ

の 上,A1

意 のz∈Xに

命 題2.9よ

っ てA1+λ=S(A+λ)S-1と 対 し てS-1z∈Yと

り(λ+A)-1Y⊂}Yで

S(λ+A)-1S-1zと x∈D)(A1)か

な る.YがA-許 な る.十

あ る か ら(λ+A)-1S-1z∈Y∩D(A).x=

つ(λ+A1)x=S(A+λ)S-1x=zと

な る.こ

上 へ の 写 像 で あ る.(λ+A1)x=0な

1で あ る こ とか ら,x=0が

容 と仮

分 大 き い λ に つ い て,

お く と,AS-1x=S-1z-λ(λ+A)-1S-1z∈Yで

らXの

あ る か ら, れ よ り λ+A1は

ら ば,S,A+λ,S-1が1対

した が う.さ らに,x=(λ+A1)-1z=S(λ+A)-1S-1z

と な る か ら(λ+A1)-n=S(λ+A)-nS-1を 定 数M1,β1が

成 立.

義 に よ っ てD(A1)=D(SAS-1)={x∈X;S-1x∈D)(A),

あ る.よ

定 す る.任

連

容 とな るた め の必 要 十 分条 件 は

お く と,Se-tAS-1=e-tA1,(A1+λ)-1=S(A+λ)-1S-1が

  証 明   ま ず,定

D(A1)か

(証 明 終)

す る.SをYか

SAS-1∈G(X,M1,β1)な

閉 作 用素

あ る.

  命 題 の 後 半 は 上 の 証 明 か ら 明 らか で あ る.    命 題2.10 

あ る

え に,y=(A+λ)z=(A+λ)zと

を 満 た す.D(A)=(A+λ)-1Y=(A+λ)-1Yと はYの

定 よ りz∈Yで

成 立 す る.よ 得 る.ゆ

(A+λ)-n=(A+λ)-n￨Yと

あ る か ら,U(t)y

得 る.よ

っ て 命題2.9よ

り適 当 な

存 在 し て,  D(A1)がXの

中 で 稠 密 で あ る こ と は,S,S-1が

連 続,(A+λ)-1YがYで

稠 密 で あ る こ と か ら わ か る.よ

M1‖S‖Y,X‖S-1‖X,Y,β1)と S-1=(A1+λ)-nと

な る.Se-tAS-1=e-tA1で

系2.1の(b)を

と す る こ と に よ っ て 示 さ れ る.逆 =S(A+λ)S-1か y∈Yに

な

=S-1D(A1)で らYへ

てYはA-許   注 意  Xか Txn→Tx(Y-強 Yか

らXへ

題2.9と

に,A1∈G(X,M,β1)と

お

同 様 にn→

∞

仮 定 す る.A1+λ あ る が,任

意 の

く と,(A+λ)-1y=(A+λ)-1S-1x=S-1(A1+λ)-1 ら に,(A+λ)-1￨Y=S-(A1+λ)-1Sと

ら,(A+λ)-n￨Y=S-1(A1+λ)-nS.よ

(A+λ)-1YがYの

Xか

用 い れ ば,命

え に,(A+λ)-1Y⊂Y.さ

る か

あ る こ と は,S(A+λ)-n

ら(A+λ)-1S-1=S-1(A1+λ)-1(λ>β)で

対 しx=Syと

x∈Y.ゆ

っ てA1∈G(X,

っ て, 

中 で 稠 密 で あ る こ と は,(A+λ)-1Y=S-1(A1+λ)-1SY あ る こ と,D(A1)がXの

中 で 稠 密 で あ る こ と,お

の 連 続 作 用 素 で あ る こ と か らわ か る.か

く し て 命 題2.9に

容 で あ る.  らYへ

の作 用 素Tが

よっ

(証 明 終) 連 続 で あ る とは,xn→x(X-強

収 束)な

収 束)が 成 立す る と きを い う.さ らに,逆 作 用 素T-1が の連 続 作 用 素 の と き,Tを

よ びSが

両 連 続 とい う.特 に,線

素 で あ る こ と有 界 作 用 素 で あ る こ とは 同 じで あ る.

らば,

存在 して,

型 の場 合,連 続 作 用

第3章

 抽象双曲型線型発展方程式

  正 の 実 数TとBanach空 す るXの う.こ

中 の(一

の と き,発

間Xの

元x,お

般 に 非 有 界 な)線

よび 実 の パ ラ メ ー タ ーtに

型 作 用 素A(t)が

依存

与 え られ て い る と し よ

展方程式

(1) (2) を 満 た す,tに が,こ

依 存 す るXの

元u(t)を

の 章 と 次 章 の 主 な 目 的 で あ る.前

に こ の 問 題 を 解 い た.そ

求 め る とい うCauchy問 章 で はA(t)がtに

の 場 合 と 同 様 に,tに

題 を解 くの 依存 しな い場 合

依 存 す る 場 合 に も,各tを

固

群 の 生 成 作 用 素 と な る 場 合(双

曲

定 し た と き に,-A(t)がX上

の(C0)-半

型 と よ ぶ)と,さ

則 半 群 の 生 成 作 用 素 と な る 場 合(放

ぶ)と

ら に 強 く,正

に 分 け て,Cauchy問

題(1),(2)を

扱 う の が 都 合 が よ い.こ

双 曲 型 の 場 合 を 扱 い,次

章 で は 放 物 型 の 場 合 を 考 察 す る.抽

T. Kato,

よ っ て つ く られ た.

K.

  さ て,1次

Yosidaに

元 常 微 分 方 程 式 に 対 す る 次 のCauchy問  (0<υ
区 間[0,T]上 Cauchyの す る.そ

折 れ 線 法 が あ る.ま

題 を 考 え て み よ う:

(tj
満 た す 連 続 解un(t)を

求 め る.こ

実 数 で,a(t)は

れ を 一 般 的 に 解 く 方 法 の1つ

ず 区 間[0,T]をn等

し て 

の章 で は

象 双 曲 型 の 理 論 は,

こ で,xは

の 実 数 値 連 続 関 数 で あ る.こ

物型 と よ

分 し,そ

に

の 分 点 をtjと

よ びun(0)=xを

れ は, (3)

で 与 え られ る.n→

∞

とす れ ば,un(t)は

収 束 し,そ

の 極 限 が 求 め る解 とな

る で あ ろ う.こ (1),(2)を

れ がCauchyの

折 れ 線 法 の ア イ デ ィ ア で あ る.基

解 くの に も,こ

の 方 法 を(A(t)が

本 的 に は,

一般 に は 非 有 界 で あ る か ら,

は る か に 複 雑 と な る が)適 用 し よ う.以 下 は,T.

Kato

[29]に

よ るA(K.

Yosida

[81]も み よ.)

  §3.1  {A(t)}の   A(t)がtに

安定 性

依 存 しな い 場 合 に 導 入 し た"安

る 場 合 に も適 用 で き る よ うに,一

 定義  

定"と

い う概 念 を,tに

依存す

般 化 す る.

が 安 定 であ る とは,次

の3つ の条 件 が 満 た され る

こ と を い う.   (1°)  -A(t)は,各tを

固 定 し た と き,Xの

中 で稠 密 に 定 義 され た 線型

閉 作 用 素 で あ る.  (2°) 実 数

β を 適 当 に と れ ば,(β,∞)が

の

す べ て の 

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 る. な る 任 意 の 族{tj}に

 (3°)  任 意 の 自 然 数kと  て,評

対 し

価

(4) が成 立 す る.(一 般 に, 

と定 義

す る.)

  上 の 定 義 に あ ら わ れ た{M,β}を{A(t)}の {M,β}を

も つ 安 定 な 族{A(t)}全

  さ て,{A(t)}∈G(X,M,β)と 上 の 定 義 をtj=tと

る(1),(2)の と,そ

体 の 集 合 をG(X,M,β)と 仮 定 す る.こ

た が っ て,定

群 

理2.1に

定指数

か く. 定 したtに

対 し て,

章 の 意 味 で,A(t)は

よ っ て,tを

を 生 成 す る.後

近 似 解 を 構 成 す る の で あ る が,そ

れ に よ っ て 生 成 さ れ る半 群 

く述 べ て お こ う.

の と き,固

い う特 別 な 場 合 に 適 用 す れ ば,前

定 と な る こ とが わ か る.し に,-A(t)は(C0)-半

安 定 指 数 と い い,安

固 定す るた び

に,(3)に

の た め に,安 と の 関 係 を,も

安

対応す

定 な{A(t)} っ と くわ し

  命 題3.1  条 件 は,互

実 数M,β

が 与 え られ て い る と し よ う.こ

の と き,次

の3つ

の

い に 同 値 で あ る.

  (Ⅰ)  {A(t)}∈G(X,M,β)   (Ⅱ)  任 意 の 自 然 数kと 

に 対 し て,-A(tj)は(C0)-

半 群 

を 生 成 し,評

価

(5) が 成 立 す る.   (Ⅲ)  (β,∞)は

す べ て の-A(t) 

の リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 含 ま

に対 し,評 価

れ,任 意 の 自然kと 

(6) が 成 立 す る.   証 明   (Ⅰ)⇒(Ⅱ)の 成 す る か ら,任

に 述 べ た よ う に,A(tj)は(C0)-半

示 せ ば よい.s1=s2=…=sk(=s)な

の と き,自

然mをm>sβ

と お き,各tjがm回

群 を生

お よ びsj>0(j=1,…,k)に

意 の 自 然 数k, 

対 し て,(5)を よ う.こ

証 明:前

る特 別 な 場 合 か ら 始 め

位 に 大 き く と る.仮

あ らわ れ る と考 え れ ば,x∈Xに

定(4)の

中 で, 

対 して,

(7) を 得 る.系2.1の(b)に exp(-sA(tj))xに

よ っ て,m→ 強 収 束 す る か ら,命

は

∞ に 対 し て  題1.5に

よ っ て,

(強 収束) とな る.他 てm→

∞

と な るか ら,(7)に

方,  とす れ ば,ノ

ル ム の 連 続 性 を 用 い て,

おい

(8) を 得 る.次

に,各sjが

(pj,qjは

自 然 数)と

正 の 有 理 数 の 場 合 に(5)の す る.mjを

対 し て 成 立 す る か ら,特 kは,m1+…+mkと

成 立 を 示 そ う. 

任 意 の 自 然 数 とす る.(8)は

に 各tjがmj回

任 意 の{tj}に

あ ら わ れ て い る と 考 え て(そ

な る),(8)を

の とき

適 用 す れ ば,

(9) を 得 る.こ

こ で,半

群 の 性 質: 

てs=(q1q2…qk)-1を smj=sjと

を 用 い た.sと

と り,mjと

し てmj=q1…qj-1pjqj+1…qkを

し

と れ ば,

な る か ら,(9)は

(10) と な る.最

後 に,各sjが

非 負 の 実 数 の 場合 に(5)を

有 理 数 の 近 似 列{snj;n=1,2,…}を

と る と,(C0)-半

∞ の と き,exp(-snjA(tj))xはexp(-sjA(tj))xに

対 し て(10)が

ル ム の 連 続 性 を 用 い て,(10)が す る.よ

っ て,xは

強 収 束 す る.よ

成 立 す る か ら.そ

こ でn→

∞

非 負 の 実 数 の 系{sj;j=1,…,k}に

任 意 のXの

対 し,正

元 で あ る か ら,求

の

群 の 強 連 続 性 よ り,n→

に 強 収 束 す る.ゆ

  は  j=1,2,…,k}に

示 す.sjに

っ て,

え に{Snj; とす れ ば ノ 対 し成 立

め る 評 価 式(5)が

得 られ

る.   (Ⅱ)→(Ⅲ)の

証 明:定

理2.1に

よ っ て,仮

定(5)は(β,∞)がA(t)

の リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 含 ま れ る こ と を 意 味 す る.さ

を 得 る.こ

を 得 る.(5)よ

れ をk回

り,

掛 け 合 わ せ れ ば,

らに,命

題2.6に

よ っ て,

と な る か ら,x∈Xに

と な り,こ

対 して,

れ は(6)の

成 立 を 示 し て い る.(Ⅰ)は(Ⅲ)の

か ら,(Ⅲ)⇒(Ⅰ)は   さ て,{A(t)}が は,一

明 らか で あ る. 

(証 明 終)

安 定 か ど うか を(4)ま

般 に 難 しい の で,安

し-A(t)が

特別な場合であ る

た は上 の命 題 に よっ て確 か め る の

定 の た め の 十 分 条 件 を2つ

縮 少 半 群 の 生 成 作 用 素 な ら ば,条

述 べ て お こ う.各tに

件(4)は

対

つ ね に 満 た され る.

こ れ を 一 般 化 した の が 次 の 命 題 で あ る.   命 題3.2 

Banach空

間XにXの

ノ ル ム と 同 値 な ノ ル ム の 族 ‖ ‖t 

が 与 え られ て い る とす る.も

し

定数)  を 満 た し,さ

ら に そ の うえ,実

-A(t)はX

tで 指 数{1,β}を

仮 定 し よ う.た で あ る.こ

だ し,Xtは

の と き,任

が 成 立 す る.さ

,t0=0お

もつ(C0)-半 空 間Xに

ノ ル ム ‖ ‖tを 備 え たBanach空

意 の 

よび 

な る.

お く と,(11)に

x0

よ り 

ら に,仮 定 に よ っ て, 

と な る か ら,xj=(A(tj)+λ)-1xj-1を

間

に 対 し て,{A(t)}∈G(Xs,e2cT,β)

とす る. 

よ び‖ ‖tj=‖ ‖jと

と な る.さ

固 定 す る ご と に,

群 の 生 成 作 用 素 とな っ て い る と

ら に,{A(t)}∈G(X,m2e2cT,β)と

 証 明  x∈Xお =x

数 β を 適 当 に 選 べ ば,tを

(11)

用 い て,不

等 式

を 得 る.両

辺 の 

を とれ ば,

を 得 る.任

意 のsに

対 し て,(11)を

用 い れ ば,

と な り,こ れ は 命 題 の 前 半 を 証 明 し て い る.後 半 は,  よ り示 され る. 

(証 明 終)

  安 定 の た め の 十 分 条 件 を も う1つ 述 べ て お こ う.こ

れ は,安

定 な族 の摂 動 に

関 す る条 件 で あ る.   命 題3.3 

{A(t)}∈G(X,M,β)と

お よ び,tに

関 して 一 様 有 界 

B(t)}∈G(X,M,β+MK)で

で あ れ ば,{A(t)+

と る.{A(t)}∈G(X,M,β)で

あ る か ら,(A(t)

有 界 作 用 素 と し て 存 在 す る.R(t)=(A(t)+λ)-1と を 満 た す.そ

とな る か ら,命

題1.4に

よ っ て,1+B(t)R(t)は

も ま た 有 界 な 逆 を もつ こ と が わ か る.実

で与 え られ

る.さ

て, 

お く と,上

お く と, 

れ ゆ え に,

A(t)+B(t)+λ=[1+B(t)R(t)](A(t)+λ)を

=B(tj)と

しB(t)が,B(t)∈B(X)

あ る.

  証 明   λ を λ>β+KMと +λ)-1は

し よ う.も

式 よ り,

有 界 な 逆 を もつ.恒 利 用 す れ ば,A(t)+B(t)+λ

際,

に 対 し て,Rj=(A(tj)+λ)-1,Bj

等式

を 得 る.た

だ し,α

は 非 負 整 数 を 成 分 に も つk-ベ

￨α￨=α1+…+αkと

定 め,さ

ク トル

α=(α1,…,αk)で,

ら に,

  Sα=(Rk[-BkRk]αk)(Rk-1[-Bk-1Rk-1]αk-1)…(R1[-B1R1]α1) と お い た.さ

て,こ

のSα  

な る 形 を し て い る.た

を 評 価 し よ う.Sα Sα=(-1)￨α￨El+1FlEl…F1E1

だ し,EiはRj+pRj+p-1…Rj+1な

はBjRjBjRj…BjRjBjな

る 形 の 作 用 素 で,Fi

る 形 の 作 用 素 で あ る.も

で い れ ば,Rjを,そ Bjを

は

の 形 か ら,ni-1個

α1+α2+…+αk(=n)個

しFiがBjをni個

含 ん で い る.そ

し て,全

含 ん で い る か ら,n1+…+nl=nと

含 ん 体 でSα

は

な る.

を 用 い れ ば, 

  お よ び,  と な る か ら,

を 得 る.次

に,EiがRjな

全 体 と し てRjを Rjな

る 形 の 作 用 素 をmi個

α1+…+αk+k=n+k個

含 ん で お り,F1,…,Flの

る形 の 作 用 素 は 全 体 と し てn1+…+nl-1=n-1個

m1+m2+…+ml+1=(n+k)-(n-1)=k+lな

え に,上

を 得 る.し

た が っ て,

を 得 る.

の2つ

は

中 に,

含 ま れ て い るか ら, る 関 係 が あ る.(4)に

 が成 立 す るか ら,

と な る.ゆ

含 ん で い る とす る.Sα

の 評 価 式 を 合 わ せ れ ば,

よ っ て,

 

を 用 い れ ば,上

を 得 る.こ

式 よ り

れ は,β

を β+KMで

お きか え た(4)の

+B(t)∈G(X,M,β+KM)で

成 立 を 示 す か らA(t)

あ る. 

(証 明 終)

  §3.2  発 展 作 用 素 の 構 成   安 定 な 作 用 素 の 族{A(t)}か で,§2.3で

ら 発 展 作 用 素{U(t,s)}を

導 入 し たXの

のYはA(t)の

部 分 空間Yが

あ る い は‖‖Xと

元 の ノ ル ム,Xの

書 き,Yの

‖‖Yと

書 く.さ

さ て,こ

の 節 の 目的 は,次

  定 理3.1 YをXの

らXへ

用 い た記 号

中 の 作 用 素 の ノ ル ム を 共 に,‖

元 の ノル ム,Yの

ら に,Yか

こ

基 本 的 役割 を 演 ず る こ と に な る.こ

定 義 域 を 一 般 化 した 概 念 とみ な さ れ る.§2.3で

を こ こ で も用 い よ う.Xの

{A(t)}を

構 成 し よ う.こ

‖

中 の 作 用素 の ノ ル ム を 共 に

の 作 用素 の ノ ル ム を‖‖Y,Xと

書 こ う.

の 定 理 を 示 す こ とで あ る. 中 に 稠 密 に 埋 め 込 ま れ て い るBanach空

次 の 仮 定(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

間 と す る.

満 た す 族 とす る.

  (ⅰ)  {A(t)}∈G(X,M,β)   (ⅱ)  Yは

各tに

対 しA(t)-許

と,A(t)∈G(Y,M,β)と (ⅲ)  Yは

容 な 空 間 で あ っ て,A(t)=A(t)￨Yと

な る実 数M,β

ル ム 連 続,つ

が存 在 す る.

の 定義 域 に 含 まれ,写 像t→A(t)

す べ て のA(t) 

は,(Y,X)-ノ

お く

ま りtn→tな

らば,‖A(tn)-A(t)‖Y,X→0と

な る.   こ の と き,次

の(a)∼(d)の

に 値 を もつ 関 数U(t,s)が

性 質 を もつ  存 在 し,し

で 定 義 さ れ たB(X)

か も(a)∼(d)を

もつ そ の よ う な 関

数 は 一 意 的 で あ る.  (a)  (b) U(t,s)は, 

評価

な るsとtに

つ きX-強

連 続 で あ って

を満 た す.  (c)

 (d) た だ し,

(∂/∂t)+,∂/∂sは そ れ ぞ れX-強

 注 意  上 の 性 質(a)∼(d)を (evolution

て,適

operator)と

当 な 定 数cを

も つ 関 数U(t,s)を{A(t)}に対

よぶ.D(A(t))がtに

Yに

各tに

対 しA(t)-許

ノル ム の 族‖y‖t=‖(A(t)+β+1)y‖Xを

よ り(A(t)+β+1)(A(s)+β+1)-1は

よ り,-A(t)は

題2.8よ

と,Aに

れ は(11)の

∈G(Y,e2CT,β)を が っ て,定

=Yで

容 はe-sA(t)D(A(t))⊂D(A(t))よ

り

い うの に 命 題3.2を 導 入 す れ ば,閉

用 い よ う.

グ ラ フ 定 理(定

理1.1)

有 界 作 用 素 で あ る か ら,‖‖tは‖‖Yと

もつYで

際,

指 数{1,β}を

同値 あ る か ら,

もつ(C0)-半

群 の 生成 作用

成 立 を示 した い,恒 等 式

関 す る仮 定 を 用 いれ ば,

を 得 る.こ

Cauchy間

満 た す.実

り(A(t)+λ)-ny=(A(t)+λ)-ny(y∈Y)で

ノル ム‖‖tを

素 とな る.次 に,(11)の

あ っ

の と きY=D)(A(t)),

定 理 の 仮 定(ⅱ),(ⅲ)を

例 と 同 様 に 示 さ れ る.{A(t)}∈G(Y,M,β)を

ら に,命

る発展作用素

(y∈

と れ ば,Yは

明 ら か で あ る.Yが

と な る.さ

す

とる と 

‖y‖Y=‖(A(0)+β+1)y‖Xと (ⅲ)は

わす.

よ らず{A(t)}∈G(X,1,β)で

が 成 立 す る 場 合 を 考 え てみ よ う.こ

D(A(t)), 

§2.3の

右微分,X-強微分を表

成 立 を 示 し て い る.よ

得 る.以

上 よ り,{A(t)}は

理 の 成 立 を 仮 定 す れ ば,発 題(1),(2)の

あ り,tに

つ きX-強

解u(t)が

っ て,命

題3.2を

定 理3.1の

展 作 用 素U(t,s)が

存 在 す る.こ

存 在 す る と す る と,各tに

連 続 的 微 分 可 能 で あ る か ら,

適 用 す れ ば,{A(t)}

仮 定 を す べ て 満 た す.し の と き,も

対 しu(t)∈D(A(t))

た し

と な り,sに

つ い て 積 分 す れ ば,u(t)=U(t,0)u(0)=U(t,0)xが

発 展 作 用 素 の 存 在 か ら,Cauchy間 の た め に,つ で(c)は

ま り,Cauchy間 弱 す ぎ る.望

U(t,s)はs,tに

題(1),(2)の

関 し てY-強連

X-強 微分 

に,

解 の 存 在 が いえ な い で あ ろ う か.そ

題(1),(2)を

ま しい の は,次

成 立 す る.逆

解 く と い う立場 か らす れ ば ,上

の性質中

の 性 質 を もつ こ と で あ ろ う."U(t,s)Y⊂Y;

続;各yとsを固

定 し た と き に , 

が 存 在 し,-A(t)U(t,s)yに等

に関 す る に関 してX-

し く, 

強 連続 で あ る,"ふ つ う,発展 作 用 素 といわ れ て い る のは,(c)の

代 わ りに,こ の性 質

を もつ関 数 の こ とで あ る.こ の 性 質 を もつ た め の十 分条 件 は 次節 で述 べ るで あ ろ う.   定 理 の 証 明   3段 階 に 分 け て 証 明 す る.  (第1段) 

近 似 発 展 作 用 素 の構 成.区

目 の 分 点 をtjす

る.A(t)に

を つ く る と,仮 用 い て,近

定(ⅰ)よ

分 し,そ

対 し て,階 段 関 数An(t)=A(tj) 

り,{An(t)}∈G(X,M,β)と

な る.こ

ず,こ

の 近 似 発 展 作 用 素Unに

対 応 す る 性 質 が ど うな る か を 調 べ て み る.構

た す こ とは 明 らか で あ る.仮

定(ⅰ)と

命 題3.1よ

成 の 仕 方 か ら,(a)を

sに 関 す るX-強

連 続 性 よ り,命

に 関 す るX-強 仮 定(ⅱ)に

連 続 性 が で る.つ

適 用 す れ ば,Un(t,s)のtとs

ま り,Unに

対 し て(b)が

よ っ て,exp[-(tj+-s)A(tj)]Y⊂Yお

A(tj+1)]Y⊂Yで

成 り立 つ.次

よ びexp[-(tj+2-tj+1)

あ る か ら,exp[-(tj+2-t+1)A(tj+1)]exp[-(tj+1-s)A(tj)]

得 る.以

下 同 様 に し て,仮

が 成 り 立 つ こ と が わ か る,特

と な る.し

題1.5を

定(ⅲ)よ た が っ て

に,任

りY⊂D(A(tk))で

満

り 

群exp[-(t-tk)A(tk)]とexp[-(tj+1-s)A(tj)]のtと

あ り,仮

のAn(t)を

対 し て前 頁 の(a)∼

が 成 り 立 つ.半

Y⊂Yを

の 第j番

似 発 展 作 用 素Un(t,s)を,

に よ っ て 構 成 し よ う.ま (d)に

間[0,T]をn等

定(ⅱ)を

く り返 し 用 い れ ば,Un(t,s)Y⊂Y

意 のy∈Yに

対 し て,Un(tk,s)y∈Yで

あ る か ら,Un(tk,s)y∈D(A(tk))

に,

を 得 る.定

義 よ り,exp[-(t-tk)A(tk)]Un(tk,s)=Un(t,s)お

=An(t) 

よ び,A(tk)

で あ る こ とに注 意 すれ ば, 

(i=1,…,n)に

対

し,

(12) を 得 る.こ

れ は 性 質(c)に

と な る か ら,こ

対 応 し て い る.y∈Y(⊂D(A(tj))に

の 両 辺 にUn(t,tj+1)を

(tj+1-s)A(tj)]=Un(t,s)を

作 用 さ せ て,関

対 し て,

係Un(t,tj+1)exp[-

用 い れ ば,

(13) (tj<s
得 る.こ

れ は(d)に

上 に 構 成 し たUn(t,s)の

義 し た い.Un(t,s)が

対 応 し て い る.

極 限 と し て 発 展 作 用 素U(t,s)を

収 束 す る こ と を 示 す 前 に,次

定

の評 価

(14) を ま ず 示 し て お こ う.An(t)=A(ti) 

と お く と,仮

っ て,{An(t)}∈G(Y,M,β)と

な る.ゆえに,Un(t,s)の

定(ⅱ)に

よ

構 成 と 同 様 に,

 と お く と  お よ び 命 題3.1に し た が っ て,(14)を 分 で あ る.YはA(t)-許

よ っ て 

を 得 る.

示 す に は,Un(t,s)y=Un(t,s)y(y∈Y)を 容 で あ る か ら,定

義 と 命 題2.9を  お

exp[-s′A(t′)]yが

成 立 す る.こ

示 せ ば 十 用 い れ ば,

よ びexp[-s′A(t′)]y=

れ を も う 一度 用 い れ ば

, 

が 成 立 す る.特 と す れ ば,Un(tj+2,s)y=Un(tj+2,s)yが

に,  成

り立 つ.同

様 の 論 法 を く り返 し 用 い れ ばUn(t,s)=Un(t,s)yを

 Un(t,s)の

収 束 を 示 す 前 に さ ら に も う1つ

  補 題3.1  Xへ

{t′j}を 

準 備 し て お こ う.

な る族 とす る.{A′(t)}をYか

の 有 界 作 用 素 の 族 で,写

像t→A′(t)が 

に 関 し て(Y,X)-ノ

ル ム連 続,か

と仮 定 し よ う.さ

ら に,{U′(t,s)}を 

つ[0,T]上

(M′,β ′ はtとsに

よ らな い 定 数)が

sに 関 しX-強

一 様 有 界:

を 満 た し,

成 立 し,そ

連 続, 

の と き,評

意 のtとy∈Y (j=1,…,m)な

る

価

  が 成 立 す る.た

  証 明   {t′j}と{tj}の 対 しUn(s,r)y∈Yで

Un(s,r)yはX-強

とな る.こ れ をsに

を 得 る.た

の 上,任

微 分可 能 で,

が 成 り立 つ と仮 定 し よ う.こ

y∈Yに

るt

に 対 して定 義 され たXの

に 対 しX-強

,U′(t,s)yは 

ら

(i=1,…,m)な

中 の有 界 作用 素 の族 で,U′(t,t)=I 

に対 し

得 る.

だ し,γ=max(β,β

合 併 を 大 き さ の 順 に 並 べ 変 え た 族 を{sj}と あ る か ら, 

な るsに

し よ う.

関 し てU′(t,s)

微 分 可 能 で あ っ て,

つ い て積 分 す れ ば,恒 等 式

だ し,z(s)=U′(t,s)(A′(s)-An(s))Un(s,r)yで

(14)よ り で る 評 価 

′).

あ る.実

を用 い れば,

際,

と な り,右 辺 はAとA′

に 対 す る仮 定 よ り一 様 有 界,し

[r,t]上

か も,U′(t,s)Un(s,r)yはsに

可 積 分 と な る.し

で あ るか ら で あ る.さ

て,上

た が っ て‖z(s)‖Xは つ い てX-強

の 恒 等 式 と‖z(s)‖Xの

評 価 を用 い れ ば,

な る 評 価 を 得 る.    (第3段) 

と な る.構 がsに

(補 題 の 証 明 終)

上 の 補 題3.1でU′(t,s)=Um(t,s),A′(s)=Am(s)と

成 の 仕 方 と仮 定(ⅲ)よ

∞)と

に 対 し てUn(t,s)xはsとtに 定 義す る と, に

を 得 る.こ

関 し てX-強

示 そ う.rを

.8を

適 用 し て,各x∈X

収 束 す る.そ

連 続 なX-値

に 関 してX-強 評 価 と 系1

れ はUが(b)を

を 満 た す か ら,命 題1.5を

題1

つ い て 一 様 にX-強

に 示 し た ‖Un(t,s)‖xの

次 に(c)を

方,‖Un(t,s)‖X で あ る こ と,Y

の 極 限 で あ るか ら,U(t,s)xは  に,上

な る.一

.1を

の極 限を

関 数Un(t

,s)x

連 続 と な る.さ

ら

組 合 せ れ ば, 

満 た す こ と を 示 し て い る.Unは(a)

適 用 す れ ば,Uも(a)を 固 定 し,補

∞) つ い て 一

つ い て 一 様 に 有 界 

中 で 稠 密 で あ る こ と を 考 慮 す る と,命

U(t,s)xと

,X→0(n,m→

対 して,tとrに

様 に‖Um(t,r)y-Un(t,r)y‖x→0(n,m→

がXの

す れ ば,

り‖Am(s)-An(s)‖Y

つ い て一 様 に 成 立 す る か ら,各y∈Yに

はs,tとnに

連続

満 た す こ とが わ か る.

題3.1でA′(s)=A(r) 

お けば,U′(t,s)=exp[-(t-s)A(r)]と

な り,n→

をA,Uで

方,h>0とy∈Yに

置 き換 え た 評 価 が 成 立 す る.一

∞

と とす れ ば ,An,Un 対 して,

(15) と な る.‖A′(s)-A(s)‖Y,X=0(1)(s↓r)と

な る か ら,補

題3.1を

適 用 す れば,

‖U(t,r)y-U′(t,r)y‖X=0(t-r)(t↓r)を 辺 第1項

→0(h↓0)と

命 題2.5を

得 る.し

な る.y⊂D(A(r))で

あ るか ら,y∈Yに

適 用 す れ ば,U′(t,r)yはtに

つ きX-強

  が 成 立 す る.ゆ 0(h↓0)と

な る.よ

と な る.こ 3.1に

れ は(c)を

示 し て い る.(d)の

微 分 可能であって

え に,(15)の

右 辺 第2項

 と お け ば,(c)の

対 し 成 立 す る.s
固 定 し,補

題

証 明 と 同 様 に し て,

示 す こ とが で き る.つ

し よ う.(a)よ

→

収 束)

証 明 に 移 ろ う.tを

 (y∈Y)を

右

対 し て,

っ て,h-1[U(r+h,r)-I]y+A(r)y→0(X-強

お い てA′(s)=A(t)

s=tに

た が っ て,(15)の

り,h>0に

ま り,(d)が

対 し て,

(16) が 成 立 す る.(b)よ

り,U(t,s+h)→U(t,s)(X-強

収 束)で

りh-[I-U(s+h,s)]y→A(s)y(X-強

用 す れ ば(16)よ

収 束)で

あ り,(c)よ

あ る か ら,命

題1.5を

適

 (X-強 収 束)と な る.

り,

他 方,恒 等 式

(17)  を 用 い れば,h↓0と

お よび,

 (X-強

(17)は,

U(t,s)yはsに

関 し てX-強

 が 成 立 す る.A(s)yは に よ っ てX-強 (d)の をXの

収 束)と

よ っ てX-強

連 続 で あ り,U(t,s)は(b)

連 続 で あ る か らU(t,s)A(s)yはX-強

連 続 と な る.こ

成 立 を 示 し て い る.最

後 に,一

関 してX-強

 お よび任 意 のy∈Y 連 続 的 微 分 可 能 で あ っ て 

を 満 た す と仮 定 し よ う.こ =V(t,s),A′(s)=A(s)と

おきn→

定 に よ っ てYはXの 得 る.こ

れは

意 性 を 示 そ う.{V(t,s)}, 

中 の 有 界 作 用 素 の 族 で,V(t,t)=I

=U(t,s)x(x∈X)を

な る.ゆえに,

微 分可 能 であ って

仮 定(ⅲ)に

に 対 し,V(t,s)yはsに

な る.仮

す る こ とに よ っ て

∞

の と き,補

題3.1をU′(t,s)

とす れ ばV(t,s)y=U(t,s)yと

中 に 稠 密 に 埋 め 込 ま れ て い る か ら,V(t,s)x れ は 一 意 性 を 示 し て い る. 

(証 明 終)

 

  注意   上 に 与 え た証 明 の 方 法は,微 分 方程 式 に 対 す る差 分 近 似 に 似 て い る.後 退 差 分 を 用 いれ ば,(1)に

で 与 え ら れ る.こ

と な る.ゆ

対 す る差 分 ス キ ー ムは

れ をun(tj)に

つ い て 解 く と,

え に,

を 得 る.こ のun(tj)は,n→

∞ の と き微 分 方程 式 の解u(t)に

と も ら しい.任 意 にsとtを

固定 し 

か ら,各x∈Xに

述 のこと

対 し て,

(X-強 収 束)が 存 在 し,そ の値 をU(t,s)xと {A(t)}に

収束 す る こ とが も っ と し よ う.上

す れば,こ

の よ うに 定 め たU(t,s)が

対 す る発 展 作 用 素 とな る こ とが期 待 され る.こ れ につ い ては 第5章 で説 明 し

よ う.

  §3.3  U(t,s)の

微 分可 能 性

  前 節 で 発 展 作 用 素U(t,s)を

構 成 し た が,U(t,s)y(y∈Y)のtに

る微 分 可 能 性 を 十 分 満 足 い く よ うに は 示 し 得 な か った.し 分 可 能 性 は 大 切 で あ る か ら,そ   定 理3.2 

{A(t)}を

関す

か し,tに

関 す る微

の た め の 十 分 条 件 を 与 え て おこ う.

次 の 仮 定(ⅰ),(ⅱ′),(ⅲ)を

満 た すXの中

の作用 素

上 へ の1対1両

連 続線 型

の 族 とす る:   (ⅰ)  {A(t)}∈G(X,M,β)   (ⅱ′)  次 の 性 質(イ),(ロ)を

満 た すYか

有 界 作 用 素 の 族{S(t)},    (イ) S(t)はtに    

が 存 在 す る. 関 し て(Y,X)-強

(ロ)  S(t)A(t)S(t)-1-A(t)はX上 そ れ をB(t)で (ⅲ)  Y⊂D(A(t))お

→A(t)は,[0,T]上(Y,X)-ノ

らXの

連 続 的 微 分 可 能 で あ る, の 線 型 有 界 作 用 素 に 拡 張 さ れ,

表 わ す と,B(t)はtに

関 し てX-強

連 続 で あ る.

さ らに,写

よ び  ル ム 連 続 で あ る.

像t

 こ の と き,次 の 性 質 を もつXの

中 の 有 界 作 用 素 の 族{U(t,s)}, 

が一 意 的 に 存在 す る.  (a)

 (b) 

な るsとtに

関 し て,U(t,s)はX-強

連 続 で評 価

を 満 たす.  (c′) 

はY-強

U(t,s)Y⊂Yお

な るsとtに

よ び 

関 し てU(t,s)

連 続 で あ る.

  (c") 

各y∈Yとsを

固 定 す れ ば,U(t,s)yはtに

的 微 分 可能 であ って,そ の微 分   (d) 

各y∈Yとtを

は-A(t)U(t,s)yに

固 定 す れ ば,U(t,s)yはsに

微 分 可能 で あ って,そ の微 分    注 意   D(A(t))がtに

る"と

い う 条 件 に な る.

  注 意   上 の 性 質(a),(b),(c′),(c"),(d)を お く と,こ

な る.ゆ

等 し い. とれ

満 た す 発 展 作 用 素U(t,s)に

で あ

対 して

題 の解 と な る. あ る か ら,A1(t)=A(t)+B(t)

り,{A1(t)}∈G(X,M,β+KM)(K=sup‖B(t)‖X)と

え に,A1(t)=S(t)A(t)S(t)-1で

YはA(t)-許

連続的

連 続 的 微 分可能

のu(t)がCauchy問

{A(t)}∈G(X,M,β)で

と お く と 命 題3.3よ

関 し てX-強

よ ら な い 場 合,Y=D(A(t)),S(t)=A(t)+β+1と

の 仮 定 の(ⅱ′),(ⅲ)は,"A(t)(A(0)+β+1)-1はX-強

  証 明   (第1段) 

連続 等 し い.

はU(t,s)A(s)yに

ば,上

u(t)=U(t,0)xと

関 し てX-強

あ る か ら,命

容 で あ る.A(t)=A(t)￨Yと

お こ う.命

題2.10を 題2

.9と

適 用 す れ ば, 命 題2.10を

も

う一 度 適 用 す れ ば

(18) と な る.{A(t)}が(Yに れ が 示 さ れ れ ば,定 理3.1の U(t,s)が

お い て)安 理3.1の

定 で あ る こ とを こ の 段 で 示 そ う.も

仮 定(ⅱ)が

す べ て の 仮 定 は 満 た さ れ る.し 存 在 す る.第2段

そ うす れ ば,定

理3.2は

満 た さ れ る こ とに な る.つ た が っ て,定

理3.1よ

で こ のUが(c′),(c")を す べ て 証 明 さ れ た こ とに な る.さ

しこ

ま り,定

り発 展 作 用 素

満 た す こ と を 示 そ う. て,任

意 に 

 な る列 を 固 定 す る.こ (S(tj)-S(tj-1))S(tj-1)-1と

お こ う.こ

れ に 対 し て,Rj=(A1(tj)+λ)-1,Pj= の と き,(18)に

よ っ て,

(19) が 成 立 す る.さ

を

て,Ql,j,ql,j 

(μ:非 負 の パ ラ メ ー タ ー)に

よ っ て,つ

ま り左 辺 を パロ メ ー タ ー μ に つ い て

展 開 した と き の μjの 係 数 に よ っ て 定 義 す る.た こ の と き,次

だ し,β1=β+KMで

あ る.

の 関 係 式 が 成 立 す る:

ゆ え に,{A1(t)}∈G(X,M,β1)で

あ る こ とを 用 い れ ば,

お よび

を 得 る.し

た が っ て,jに

が で き る.ゆ

関 す る帰 納 法 に よ っ て, 

を示 す こ と

え に,

(20)

V=B

を得 る.た

だ し,最 後 の不 等 式 に お い て 

を 用 い た.し

かる

に,

他 方,s(t)-1はtに を み よ.)し

た が っ て,‖S(t)-1‖X,Yは

定(ⅱ′)-(イ)に が っ て,有

関 し て(Y,X)-強

連 続 的 微 分 可 能 で あ る.(章 区 間[0,T]上

よ っ てS(t)はB(Y,X)の

界 変 動 とな る.ゆ

末の注意

一 様 有 界 で あ る.ま

ノ ル ム でLipschitz連

た仮

続,し

た

え に,

(21) とな る.た [0,T]上 (19)よ

を 得

(Y,X)の

だ し,  で のS(t)の

全 変 動.(20)に

お い て μ=1と

ノル ムに 関す る区 間 し(22)を

用 い れ ば,

り,

る.こ

cc′MecMV,β1)で   (第2段) 

あ る こ と を 示 して い る.

間[0,T]をn等

定理3.1の

Un(t,s)S(s)-1お

分 し,そ

の 分 点 を 

証 明 中 に構 成 し た 近 似 発 展 作 用素

よ びAn(s)=A(ti) 

=S(s)-1(A(s)+B(s))な (i=0,1,…,n)な

れ は,{A(t)}∈G(Y,

前 段 で 存 在 を 示 した 発 展 作 用 素Uが(c′),(c″)を

と を 示 そ う.区 Un(t,s)を

で あ る.こ

こ で, 

る仮 定 を 用 い れ ば,  るsに

対 し て,

も満 たす こ と す る. と し,Vn(t,s)=

と お く と,A(s)S(s)-1

か つ 

(22) (y∈Y)を

得 る.た

tとrを

固 定 す れ ば,Sに関

実 際,第1項

で あ る.上 式 の右 辺 は,

だ し  し て[r,t]上

でXの

ノ ル ム で 一 様 有 界 で あ る.

は

(23) で 評 価 さ れ,Un(t,s)はX-強

連 続 で あ るか ら一 様 有 界,A(s)は(Y,X)−

ノ ル ム 連 続 で あ るか ら‖An(s)-A(s)‖Y ‖S(s)-1‖X,Yも

,Xは

一 様 有 界 と な るか ら,第1項

Un(t,s)はx-強

一 様 有 界,S(s)-1は

は 一 様 有 界 で あ る.S(s)-1,

連 続 よ り‖Un(t,s)‖xと‖Vn(t,s)‖xは

 は 仮 定 よ りX-強 あ る.よ

っ て 第2項

連 続 よ り

も一 様 有 界 で あ る.第3項

一 様 有 界 と な り,

連 続 で あ るか ら一様 有 界 で

は,

(24) で 評 価 さ れ,定

理3.1で

注 意 す れ ば,第1項

示 し た よ うにUn(s,r)yはY-強

連 続 で あ る こ とに

と 同 様 に し て 一 様 有 界 で あ る こ とが わ か る.以 上 で(22)の

右 辺 は[r,t]上sに

つ い て 一 様 有 界 で あ る こ と が わ か っ た か ら,sに

つ いて

(22)を 積 分 す れ ば,

(25) と な る.さ n,r,s,tに

て,定

理3.1の

証 明 の 中 で 見 た 通 り‖Un(t,s)‖X,‖Un(s,r)‖Yは,

つ き 一 様 に 有 界 で あ る.一

ら,‖An(s)-A(s)‖Y,Xはsに よ り(25)の

右 辺 第2項

は0にX-強

収 束 す る.他

方,A(s)は(Y,X)-強

つ き 一 様 に0に

い く.ゆ

の 被 積 分 関 数 は,0にX-強 方,n→∞

に 対 し てsに

連続 であ るか え に,(23)と(24)

収 束 す る.よ

っ て 第2項

つ い て 一 様 にUn(t,s)

→U(t,s)(x-強

収 束)で

S(s)-1にX-強

あ る か ら,Vn(t,s)もsに

収 束 す る.以

V(t,r)=U(t,r)S(r)-1と

つ い て 一 様 にU(t,s)

上 の こ と か ら,(25)に

お い てn→∞

と す れ ば,

お く と,

(26) が 成 り立 つ こ と が わ か る.さ

で 定 義 され た 作 用 素 の 族

て, 

W(t,s)を W=U-U*(CU)+U*(CU)*(CU)-…

で 定 義 す る.こ

こ で, 

U(t,s),C(s)はX-強

(27)

で あ る. 連 続 で あ る か ら命 題1.5よ

に 関 し強 連 続 な 有 界作 用 素 の族 とな る.(27)を

と な る.両

 

辺 にS(t)-1を

りW(t,s)は 

書 き直 せ ば,

作 用 さ せ てV(t,r)=S(t)-1W(t,r)と

が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

の 式 と(26)式

お く と,

より

よ っ て,

と な る.た 稠 密 よ り,命

であ る.YはXの

だ し,  題1.3に

よ っ て,

これ よ り帰 納 法 に よ っ て

中で

(k=1,2,…) が 示 せ る.こ =V(t,r)を

こ で,k→ 得 る.こ

こ れ よ り,y∈Yに

∞

と す れ ば,‖V(t,r)-V(t,r)‖x=0つ

意 味 す る.

対 し て,U(t,s)y=S(t)-1W(t,s)S(s)y∈Yで

U(t,s)Y⊂Yで

あ る.さ

に 関 し てX-強

あ る か ら,

ら に,S(s)は(Y,X)-強

連 続,W(t,s)は 

連 続 で あ り,S(t)-1は(X,Y)-強

連 続 で あ る か ら,

に 関 し てY-強

U(t,s)=S(t)-1W(t,s)S(s)は 

れ は(c′)を

ま りV(t,r)

の こ と は ,U(t,s)S(s)-1=S(t)-1W(t,s)を

示 し て い る.U(t,s)は(c)を

満 た す か ら,y∈Yに

 が 成 立 す る.と U(t,s)y∈Yで

連 続 で あ る.こ 対 し

こ ろ が,y∈Yに

対 し

あ る か ら,

が 成 立 す る.と

こ ろ が,U(t,s)yはY-強

続 で あ る か ら,上 よ っ て 補 題2.1を

連 続 で あ りA(t)は(Y,X)-強

式の右 辺-A(t)U(t,s)yはtに

関 し てX-連

用 い れ ば,U(t,s)yはtに

つ い てX-強

連 続 で あ る.

連 続 的 微 分可 能

で あ っ て,'

が 成 立 す る.こ

れ は(c″)の

成 立 を 示 し て い る.一

意 性 は,定

る 発 展 作 用 素 の 一 意 性 よ り 明 らか. 

理3.1に

おけ

(証 明 終)

  上 の 定 理 の 双 曲 型 偏 微 分 方 程 式 に 対 す るCauchy問

題 へ の 応 用 は 第Ⅱ 部 で 与

え よ う.発 展 作 用 素 が 存 在 す る た め の 条 件 を も う1つ

与 え て お こ う.

  定 理3.3 

Xの

中の 閉 作 用 素 の 族{A(t)}が

  (仮 定1) 

{S1(t)A(t)S1(t)-1}∈G(X,1,0)を

次 の 仮 定 を 満 た す と し よ う. 満 足 し,tに

微 分 可能 で有 界 な逆 を もつ 有 界作 用 素 の族{S1(t)} 

つ き強 連 続 的 が 存 在 す る.

 (仮定2)  tに つ き2回 強 連 続 的 微 分可 能 で 有 界 な逆 を もつ 有 界作 用 素 の 族 {S2(t)} 

D(A2(t))(≡D)はtに

を 適 当 に と れ ば,A2(t)=S2(t)A(t)S2(t)-1と

よ らず 一 定 で,任

意 のx∈Dに

に つ き 強 連 続 的 微 分 可 能 と な る よ うに で き る.

お

く と,

対 しA2(t)xはt

 こ の と き,定

理3.2の

次 の(C"′)で

置 き換 え,

に 対 し,U(t,s)はD(A(S))をD(A(t))に

 (c"′) 

(c"),(d)に

中 の 結 論 が(c′)を

お け るYをD(A(S))で

  証 明   定 理3.2に

置 き 換 え て 成 立 す る.

帰 着 し よ う.U(t,s)を{A(t)}に

す れ ば,e-h(t-s)S2(t)U(t,s)S2(s)-1は,簡

す る発 展 作用 素 とな る.こ

対 す る 発展 作 用 素 と 単 な 計 算

よ り,{A3(t)}に

対

こで, 

で あ る.こ れ を逆 に し て,{A3(t)}に こ とを 示 し,上

移す

の 逆 変 換 を し て,{A(t)}に

A1(t)=S1(t)A(t)S1(t)-1と

対 し発展 作 用 素 が 存在 す る

対 す る 発 展 作 用 素 を 構 成 し よ う.

お け ば,

と な る.hを 

位 に 大 き く と る.こ

き,{A1(t)+h}∈G(X,1,-h)で

あ る こ とに 注 意 し て 命 題3.3を

れ ば,{A1(t)+h-S1(t)S2(t)-1S2(t)S1(t)-1}∈G(X,1,0)と

の と

適 用 す

な る.し

たが

っ て, ‖x‖t=‖S1(t)S2(t)-1x‖ に よ っ てXの たBanach空

ノ ル ム に 同 値 な ノ ル ム の 族 を 定 義 し,Xに 間 をXtと

す れ ば,各tに

半 群 の 生 成 作 用 素 と な る.こ

で あ る か ら,

対 し-A3(t)はXtに

の ノ ル ム がXの

よ り わ か る.(‖S1(t)-1‖,‖S2(t)-1‖

この ノ ル ムを そ な え

は[0,T]上

お い て縮 少

ノ ル ムに 同 値 で あ る こ とは,

で 有 界 と な る.)さ

ら に,

と な る.こ

こ で, 

で あ る.Gronwallの

を 得 る.こ

こ で,命

は 正 の 定 数)と

補 題 を 用 い て,こ

題3.2を

な る.し

ら,D(A3(t))はtに

適 用 す れ ば,{A3(t)}∈G(X,M′,β′)(M′,β

か も,A3(t)の

定 義域 はA2(t)の

よ らず 一 定 と な る.定

Y=D(A3(t))(≡D),S(t)=β′+1+A3(t)と (=Y)に

対 しA2(t)xは

分 可 能 で あ る か ら,任

意 のx∈Yに

の 上 へ の1対1,両

定 理3.2の 理3.2が

′

定 義 域 と等 し い か

理3,2を

適 用 す る た め に,

お く.任

意 のx∈D(A3(t))

強 連 続 的 微 分 可 能 で あ り,S2(t)は2回

+(β'+h+1)x-S2(t)S2(t)-1xは Xへ

れ を 解 け ば,

強連 続 的 微

対 しS(t)x=(β'+1+A3(t))x=A2(t)x 強 連 続 的 微 分 可 能 で あ る.S(t)がYか

ら

連 続 な 線 型 有 界 作 用 素 で あ る こ とは 明 ら か で あ る.

残 りす べ て の 仮 定 が 満 た さ れ て い る こ とは 容 易 に わ か るか ら,定 適 用 で き て(a),(b),(c′),(c"),(d)を

る発 展 作 用 素V(t,s)が

存 在 す る.こ

のVに

満 た す{A3(t)}に

対す

対 し,

U(t,s)=eh(t-s)S2(t)-1V(t,s)S2(s) とお け ば,こ れ が 求 め る発 展 作 用 素 で あ る こ と は 容 易 に わ か る.も 対 し別 の 発 展 作 用 素U′(t,s)が (≡V′(t,s))は{A3(t)}に

あ っ た とす る と,e-h(t-s)S2(t)U′(t,s)S2(s)-1 対 す る 発 展 作 用 素 で あ る.定 理3.2に

作 用 素 の 一 意 性 よ り,V′=Vと   例   Schrodinger方

し{A(t)}に

な り,こ

れ か ら,U=U′

おけ る発 展

と な る.(証

明 終)

程式

お よび 境 界条 件

と初期条件

を 満 足 す る解 の 存 在 を 示 そ う.こ され た 正 か つ,x,tに

つ き2回

こ で,p(x,t)は[0,1]×[0,∞)上

連 続 的 微 分 可 能 な 関 数,q(x,t)は[0,1]×[0,∞)

で 定義

上 のx,tに ∞)上2回 お き,Xの

つ き1回

連 続 的 微 分 可 能 な 実 数 値 連 続 関 数,α(t),β(t)は[0,

連 続 的 微 分 可 能 な 実 数 値 関 数 で あ る と仮 定 し よ う.X=L2(0,1)と 中 の 作 用 素H(t)を,各tに

対 し,

  D(H(t))={u∈X;ux,uxx∈Xで

と定 め れ ば,常

あ っ て,か

微 分 方 程 式 論 に お け る よ く知 られ た 事 実 に よ っ て,H(t)はX

の 中 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.A(t)=iH(t)と リ ゾ ル ベ ソ ト集 合 に 入 る.さ

お く と,λ>0は-A(t)の

らに, 

で あ るか ら,  得 る.こ

つ

を

した が っ て5 

と な る か ら,

れ よ り 

{A(t)}∈G(X,1,0)で

あ る.こ

れ は 定 理3.3の

仮 定1がS1(t)=Iと

して

と

満 た さ れ て い る こ と を 示 し て い る.  お い て,

S2(t)u(x)=es(x,t)u(x) と定 め れ ば,S2(t)はD(A(t))を D≡{u∈X;ux,uxx∈Xで

あ っ て,か

に 移 す 有 界作 用 素 で あ る.逆 よ っ て 与 え られ る か ら,こ

つux(0)=ux(1)=0}

作 用 素S2(t)-1はS2(t)-1υ(x)=e-s(x,t)υ(x)に

れ も有 界 作 用 素 と な る.し

連 続 的 微 分 可 能 で あ るか ら,S2(t)は2回 理3.3の

仮 定2が

{A(t)}に

対 す る発 展 作 用 素U(t,s)が

強 連 続 的 微 分 可 能 で あ る.ゆ

満 た さ れ る こ と が わ か っ た.よ

u0(x), 

か も,α(t),β(t)は2回

っ て 定 理3.3を

存 在 す る.も (≡X)で

適 用 で き て,

し初 期 値u0(x)が, あ っ て, 

を満 た せば,解u(x,t)は,

u(x,t)=(U(t,0)u0)(x) に よ っ て 与 え られ る.

え に,定

  §3.4  非斉 次 方程 式   これ ま で斉 次 方程 式(1)に

対 す るCauchy問

は.非 斉 次 方 程 式 に対 す るCauchy問

題 を 考 え て きた が,こ の節 で

題

(28) (29) を 考 え よ う.た

だ し 非 斉 次 項f(t)は[0,T]上

値 関 数,{A(t)}は

定 理3.1の

仮 定(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

u(t)がu(t)∈Y,[0,T]上Y-強 っ て(28),(29)を

連 続,tに

満 た す と し,{A(t)}に

発 展 作 用 素U(t,s)が

で 定 義 さ れ たX-強

満 た す とす る.も

つ きX-強

対 し,定

連 続 なX し

連 続 的 微分 可 能 で あ

理3.1の

注 意 の意 味 で の

存 在 す る と仮 定 す れ ば,

とな る.こ れ をsつ

き積 分 す れ ば,

(30) を 得 る.逆 (29)の

に,こ

の 右 辺 に よ っ てu(t)を

解 とな る で あ ろ うか.こ

は 定 理3.2の   定 理3.4 

こで,{A(t)}に

中 の 結 論(c′),(c″)を x∈Yと

定 す れ ば,(30)に

定 義 した と き,こ

す る.も

対 す る 発 展 作 用 素U(t,s)

満 た す と仮 定 し よ う.

しf(t)が[0,T]上

でY-強

よ っ て 与 え ら れ るu(t)は,u(t)∈Y,tに

続 的 微 分 可 能 で あ っ て,(28)と(29)を   証 明   (30)の

のu(t)が(28),

右 辺 の 第1項

強 連 続 で あ るか ら,u2(t)∈Yを

をu2で

関 し てX-強

お よ びu1(0)=xを

関 し てX-強

表 わ す な らば,Uに

み る.さ

が 閉 作 用 素 で あ る こ と とu2(t)∈Yよ

対す

連 続 的 微 分 可 能 で, 

満 た す.U(t,s)f(s)はsに

で あ る か らA(t)U(t,s)f(s)はsに

連

満 た す.

をu1,第2項

る仮 定 よ り.u1はu1(t)∈Y,tに

連 続 で あ る と仮

らに,A(t)は(Y,X)-ノ

関 し てX-強 り命 題1.6を

連 続 と な る.よ 適 用 して

つ きYル ム連 続 っ て,A(t)

と な る.一

方,U(t,s)f(s)はtに

と な る.こ

の右 辺 は,し

連 続 的 微 分 可 能 で あ る か ら,

は,X-強

た が っ て 

れ は,u2(t)が(28)を ら か で あ る.以

つ きX-強

連 続 で あ る.し

満 た す こ と を 示 し て い る.u2(0)=0と

上 よ り,u(t)=u1(t)+u2(t)が

な る こ とは 明

所 要 の 性 質 を もつ こ と を 容 易

に 導 き だ せ る.    次 に,f(t)∈Yを

か も,こ

(証 明 終) 仮 定 す る 代 わ りに,f(t)のtに関

す る滑 らか さ を 仮 定

し よ う.   定 理3.5  はtに

{A(t)}は

定 理3.1の

よ らず,Y=D(A(t)),A(t)はtに

可 能 と し,さ

らに,f(t)はtに

き,x∈Yな

らば,(30)に

(29)の

仮 定(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

満 た す 外 に,D(A(t))

関 し て(Y,X)-強 関 し てX-強

連続的微分

連 続 的 微 分 可 能 と す る.こ

よ っ て 与 え ら れ たu(t)は

定 理3.4の

のと

意 味 で(28),

解 で あ る.

  証 明   R(t)=(A(t)+β+1)-1は

を 得 る.た

だ し,

で あ る.こ

れ をsに

強 微 分 可 能(章 末 の 注 意 を み よ)で あ っ て

つ い て 積 分 す れ ば,

と な る.u2は(30)の に つ い てX-強

と な る.一

右 辺 第2項

方,Uに

関 す る 仮 定(c″)とR(t)が

を 用 い れ ば,u2(t)はX-強

と な る.こ 3.4の

微 分 可 能 で あ る と い う仮 定

満 た す こ と は 簡 単 な 計 算 よ り 示 さ れ る.定

証 明 で 見 た 通 り(30)の

あ る か ら,u=u1+u2が

つ

連 続 的 微 分 可 能 で,

れ よ り,u2が(28)を

  注 意   61ペ

で あ る.A(t)U(t,s)y(y∈Y)はsとt

連 続 で あ る か ら,u2(t)∈D(A(t))か

第1項u1は,f=0と

し た(28),(29)の

所 要 の 性 質 を も つ こ と は 明 ら か で あ る. 

ー ジ でS(t)が

強 連 続 的 微 分 可 能 でS(t)-1が

理 解 で

(証 明 終)

存 在 す れ ば,S(t)-1も

強 連 続 的 微 分 可 能 で あ る こ と を 用 い た.T(t)=(t-t0)-1[S(t)-1-S(t0)-1]+S(t0)-1 S(t0)S(t0)-1,U(t)=S(t)-1S(t)S(t)-1と

よ りT(t)は0に

収束 す る こ とがわ か る.ま た は,次 の よ うに示 され る.S(t)-1は

と 表 わ さ れ,[1-S(t)S(t0)-1]kは 分 可 能 で あ る.

お い た と き恒 等 式

強 連 続 的 微 分 可 能 で あ る か ら,S(t)-1も

強 連続 的 微

第4章

  正 則半 群 は(C0)-半

 抽 象放物型線型発展方程式

群 の重 要 な ク ラス であ る.こ れに対 応 して,抽 象 双 曲 型

発 展 作 用 素 の重 要 な ク ラスに 抽 象放 物 型発 展 作 用 素 が あ る.こ の章 では,抽 象 放 物 型 線 型発 展 方 程 式 (1) に 対 す るCauchy問 き,-A(t)が

題 を扱 う.こ こで,抽 象 放 物型 とは,各tを

固定 した と

正 則半 群 の生成 作 用 素 とな る場 合 を い い,"放 物 型"と い う名 前

は,放 物 型 偏 微分 方 程 式 が重 要 な応 用 例 で あ る こ とに由 来 して い る.上 で のべ たA(t)に

関 す る仮 定 を よ り正 確 に 記 述す るた め に,第2章2節

用素 の クラ スH(ω)を

で導 入 した作

一 般 化 し よ う.

  任 意 の ε>0に 対 し,実 数aε,Mε を 適 当 に とれ ば,集 合

(2) は,す

の リ ゾ ル ベン ト集 合 に 含 ま れ,評

べ て の-A(t) 

価

(3) が 成 り立 つ よ うなXの ∈H(ω)で

中 で 稠 密 に 定 義 さ れ た 作 用 素 の 族{A(t)}を{A(t)}

表 わ す.(1)に対

す る 基 本 的 仮 定 と し て,{A(t)}∈H(ω)な

る

 が存 存す る とい う条 件 を お こ う.   も しA(t)がtに と 同 値 とな り,定

よ ら な け れ ば,{A}∈H(ω)(A=A(t))はA∈H(ω) 理2.2に

よ っ て,こ

た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 で あ る.正 に 対 しU(t)xはt>0な

るtに

の 条 件 は,-Aが 則 半 群U(t)の

正 則 半群 を生 成 す る 性 質 の 中,任

意 のx∈X

つ き強 連 続 的 微 分 可 能 で あ る とい う 性 質 を

 

一般 化 してC1-級

の(放 物型)発 展作 用 素 とい う用 語(こ れ は 本書 だ け の 名称)

を導 入 し よ う.   1°)   2°) 

U(t,s)は,

  3°) 各sを

 な るsとtに

固 定 す れば,任 意 のx∈Xに

つ き 強 連 続,

対 してU(t,s)xは

  に 関 して 強 連 続 的 微 分 的 可 能 か つU(t,s)x∈D(A(t))で

あ っ て,

を 満 たす,   4°)  各tを

固 定 す れ ば,任

意 のx∈D(A(s))に

対 しU(t,s)xは

 に 関 して強 連 続 的 微 分可 能 であ って,

を 満 た す,

とい う4つ の条 件 を満 足 す る, U(t,s)を{A(t)}に

対 す るC1-級

密 な 部 分 集 合 の 中 のxに が,任

意 のx∈Xに

徴 的 で あ る.こ

の 発 展 作 用 素 と い う.前

対 しU(t,s)xはt(>s)に

対 しU(t,s)xはt(>s)に の よ うなC1-級

い 場 合 と,A(t)がtに 場 合 の2つ

 に対 し定 義 され た有 界 作用 素 の族

つ き 微 分 可 能 で あ った

の 発 展 作 用 素 をA(t)の

定 義 域 がtに

Katoに

よ る.

  §4.1  A(t)  の 定 義 域 が 一 定 の 場 合   こ の 節 で はH.   定 理4.1 

Tanabe

[68]に

よ る 次 の 定 理 を 証 明 す る.

A(t)を

  (ⅰ)  {A(t)}∈H(ω),   (ⅱ)  D(A(t))はtに

よ らず 一 定,

(ⅲ)  実 数 λ0∈Σε を適 当 に とれ ば,

よ らな

つ き微 分 可 能 で あ る

の 場 合 に 構 成 し よ う. T.

稠

つ き微 分 可 能 で あ る点 が 特

依 存 す る が(λ+A(t))-1がtに

  以 下 の 構 成 は,H. Tanabe,

章 で は,Xの

 に 対 し

(N,θ と い う3条

件 を 満 足 す る作 用 素 とす る.こ

は 正 の 定 数) 

の と き,{A(t)}に

(4)

対 す るC1-級

の

発 展 作 用 素 が 一 意 的 に 存 在 す る.   証 明   A(t)の U(t,s)を

代 わ りにA(t)+λ0を

考 え れ ば よ い か ら,は

(こ の と きaε<0と

な る).以

考 え,U(t,s)の

じ め か ら λ0=0と

下0は-A(t)の

代 わ りにe-λ0(t-s) して も 一 般 性 を失 わ な い

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 り,

(5) が 成 立 し, 

とす る.

 (第 一 段)Yosida近 用 い,{A(t)}の

を

似   An(t)=A(t)Jn(t) 

代 わ りに,{An(t)}に

対 す るC1-級

の発 展 作 用 素 を逐 次 近 似

法に よ っ て 構 成 す る.

(6) こ こ で,

U(0)n(t,s)=I

で あ る.こ

の 級 数 の 強 収 束 を 示 す た め に,An(t)は[0,t]上

と を み よ う.(3)よ

で有界であるこ

り,

(7) と な る.こ

れ と恒 等 式An(t)=A(t)Jn(t)=n{I-Jn(t)}を

用 い れ ば,

(8) と な る.他

方,

で あ るか ら,J(t)は

作 用 素 ノ ル ム で 連 続 で あ る.ゆ

も作 用 素 ノ ル ム で 連 続 で あ る.さ U(k-1)n(t,s)が 

て,U(0)nは明

え に,An(t)=n{I-Jn(t)} らか に ノ ル ム 連 続 で あ る.

に 関 し て ノ ル ム 連 続 で あ っ て  を 満 た す と仮 定 す れ ば,U(k)n(t,s)は

ノル ム連 続 と な

る.仮

定 と(8)よ

り

を 得 るか ら,帰 納 法に よ って

を 得 る.一

方,

に

に 関 し て 一 様 収 束 す るか ら,ΣU(k)n(t,s)は 

は, 

関 し て一様 収 束 す る.よ 有 界 作 用 素 と な る.と

に 関 して ノル ム連 続 な

っ てUn(t,s)は 

を満 たす.

く に, 

さ らに,

ま た,

とな る こ とに 注 意す れば,

と な る.U(k)nの

満 た し て い る 上 の2つ

  が  Un(t,r)はtとrに

が 成 立 す る.さ

に つ き 一様に

,t)=Iで

らに,

あ る か ら,特

よ ら ず 一 定 の 作 用 素 で あ る.Un(t,t) に,s=tと

と

ノ ル ム収 束 す る こ と か ら,

つ き作用 素 ノル ムの 意 味 で連 続 的 微分 可 能 で

と な る か ら,Un(t,s)Un(s,r)はsに =U(0)n(t

の 方 程 式 よ り, 

お く と,

Un(t,s)Un(s,r)=Un(t,r) 

を 得 る.こ

れ でUn(t,s)は{An(t)}に対

(9)

す るC1-級

の 発展 作 用 素 で あ る こ

とが わ か っ た.   (第2段)    1)  任 意

こ こ で は,次 ε>0に

の こ とを 示 し た い.

対 し,Σε

は-An(t)の

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 り,

評価

(10) が 成 立 す る.こ

こ で,Mε

は λ,t,nに

よ らぬ 定 数 で あ る.

  2)  評 価

(11) が 成 立 す る.M1はs,t,nに

 3)  任 意 の

よ らぬ 定 数 で あ る.( 

と し て よ い.)

 に 対 し て,

(12) が 成 立 す る.こ   4) 

こ でM2はs,t,nに

よ らぬ 定 数 で あ る.

 に 関 して強 連 続 で あ る.

e-sAn(t)とe-sA(t)は

 に 関 し て 強

また,An(t)e-sAn(t)とA(t)e-sA(t)はs(>0),

連 続 で あ る.   5)  各x∈X,s,tを

固 定 し た と き,n→∞

に 対 し て,

An(t)An(s)-1→A(t)A(s)-1    6)  各x∈X,

(強 収 束).

 tを 固 定 し た と き,n→∞ (強収

そ の 上,x∈X,s>0,tを

固 定 し た と き,n→∞

に 対 し, 束).

に 対 し, (強 収 束).

 ま ず,1)を 写 す こ と が,簡

示 す こ と か ら始 め よ う.写 像 単 な 計 算 よ りわ か る.こ

 は Σε を Σε の 中 に

れ を み るに は,

に 注 意 し さ え す れ ば よ い.と

こ ろ で,λ ∈Σε に 対 し,

で あ っ て,

(13) が 成 立 す る か ら,Σε

この右 辺 を(3)を

は-An(t)の

リ ゾ ルベン

ト集 合 に 入 り,

用 い て評 価 す れ ば,右 辺 は

で 押 え ら れ るか ら,初

等 的 計 算 よ り1)を

得 る.2)を

示 そ う.

で あ る か ら,

(14) を 得 る.よ

っ て,

と な る が,(7)と(5)よ

り(11)を

得 る.3)を

示 す.e-sAn(t)は,

(15)

積分路Γε は  に よ っ て 表 わ さ れ る.(10)よ s,t,nに

よ らぬ 定 数)を

示 す.An(t)はtに

り補 題2.2を

得 る.(12)の

適 用 す れ ば, 

(M;

他 の 不 等 式 も 同 様 に 示 され る.4)を

つ い て 強 連 続 な 有 界 作 用 素 の 族 で あ る か ら,

よ り,e-sAn(t)のs,tに 強 連 続 性 はAn(t),e-sAn(t)の

関 す る強 連 続 性 は 明 らか で あ る.An(t)e-sAn(t)の 強 連 続 性 か ら で る.x∈D(A(0))と

す る.

よ り

と な る が,‖A(t)x‖ ε>0に

のtに

関 す る 連 続 性 と(5),(3)を

用 い れ ば,任

意 の

対 し,

(16) と な る.こ

こ で,Mε

で あ る.ゆ

はt,t′,λ

え に,(15)に

に よ ら ぬ 定 数.さ

ら に 

(λ∈ Γε,

類 似 なexp(-s(A(t)))の表

現 を用 い る と,

[(15)よ

を 得 る(Mはt,sに

よ らぬ 定 数).つ

tに 関 し て 連 続 で あ る.と

こ ろ が,tを

続 で あ るか ら,結 局x∈D(A(0))な

ま り,e-sA(t)xはsに

 に 関 し一様 有 界 で

対 し,A(t)e-sA(t)xが

る こ とを 示 せ ば 十 分 で あ る.し

示 し て い る.5)を

ら,5)は(14)よ

つ き 連 続 で あ る か ら,

に関 し て連 続 とな る.こ れ は, 示 そ う.tを

り直 ち に で る.6)を

い て 一 様 有 界 で あ るか ら,6)を あ る.

であ

連 続 

か しA(t)xはtに

A(t)e-sA(t)x=e-sA(t)A(t)xは 

4)を

関 し て 連 続 とな る.任

対 し,A(t)e-sA(t)は,

あ るか ら,x∈D(A(0))に

関 し て連

関 し て 連 続 と な る.e-sA(t)

は 有 界 作 用 素 で あ るか ら,e-sA(t)x(x∈X)は,s,tに 意 の δ>0に

つ い て 一 様 に

と め れ ば,e-sA(t)xはsに らば,s,tに

り]

と め れ ば,Jn(t)はIに 示 そ う.(12)よ

示 す に は,x∈D(A(t))に

強 収束 す るか

りe-sAn(t)はnに

つ

対 し示 せ ば 十 分 で

こ の 右 辺 の 被 積 分 関 数 は,(12)を

で お さ え られ る が,n→∞ 半 の 主 張 を 得 る.後 A(t)xと

用 い る と,

とす れ ば,こ

半 は,x∈D(A(t))に

れ は0に

収 束 す る.ゆ

え に,6)の

前

対 し示 せ ば 十 分 で あ る.An(t)x→

な るか ら,

を 得 る.  (第3段) 

Un(t,s)の

  補 題4.1 

収 束 を 示 し た い.そ

K∈Q(θ,M)

 な るsとtに

の た め に 補 題 を 用 意 す る.

 で あ る と は,K(t,s)が

関 して 強連 続 な作 用素 の族 で あ って,

が 成 立 す る と き と 定 め よ う.K′

∈Q(θ′,M′),K″

∈Q(θ″,M″) 

な ら ば,

に よ っ て 定 義 され た 作 用 素K′*K″ こ こ でB(・,・)は

はQ(θ′+θ″,M′M″B(θ′,θ″))に

入 る.

ベ ー タ ー 関 数 を 表 わ す.

 証 明

で あ るか ら,

と な る.こ tとsに

れ よ りK′*K″

は 有 界 作 用 素 でLebesgueの

つ い て 連 続 で あ る こ と が わ か る.し K′*K″

∈Q(θ′+θ″,M′M″B(θ′,θ″))

で あ る こ と も同時 に示 して い る.  さて,

収 束 定 理 を 用 い れ ば,

か も

(補 題 の証 明終)

と な る.こ

こ で, Kn(s,r)=-[An(s)-An(r)]e-(s-r)An(r) U(0)n(s,r)=e-(s-r)An(r)

で あ る.上

式 を 積 分 す れ ば, Un(t,r)=U(0)n(t,r)+Un*Kn(t,r) 

と な る.こ

の 左 辺 を 右 辺 のUnに

(17)

代 入 す れ ば,

(18) と な る.こ

こ でU(k)nは

帰 納 的 に U(k+1)n(t,r)=U(k)n*Kn(t,r)

と 定 め た.前

段 の3)よ

り U(0)n∈Q(1,M2)

と な り,さ

ら に, Kn(s,r)=-(An(s)An(r)-1-I)An(r)e-(s-r)An(r)

で あ る か ら,2)と3)に

よ っ て,M3=M1M2と

お く と,

Kn∈Q(θ,M3)

とな る.し

た が っ て,

(19) と 仮 定 す れ ば,補 が わ か る.帰

題4.1を

適 用 し て,(19)がk+1に

納 法 に よ っ て,す

で あ るか ら,(18)はnに

べ て のkに

対 し(19)は

対 し て も成 立 す る こ と 成 立 す る.

独 立 な 収 束 す る優 級 数 で お さ え ら れ る こ と が わ か る.

(20) と 定 め よ う.こ

こ で, U(0)(s,r)=e-(s-r)A(r), K(s,r)=-[A(s)-A(r)]e-(s-r)A(r)

と 定 め.さ

ら に,Ukは

帰 納 的 に

U(k+1)(s,r)=U(k)*K(s,r) と定 義 す る.前

と同 様 に し て,

と な り,(20)は

収 束 す る優 級 数 に よ っ て,s,tに

し た が っ てU(t,s)はsとtに は,UがC1-級

発 展 作 用 素 の 性 質2°)を

段 の6)よ

りr,sを

た5)と6)よ

と め れ ば,U(0)n(s,r)→U(0)(s,r)(強

対 しU(k)n(t,r)→U(k)(t,r)と

と な る.し

れ

満 た し て い る こ と を 示 し て い る.前

りKn(s,r)→K(s,r)(強

よ り,各x∈Xに

つ き一 様 に お さ え られ る.

つ き 強 連 続 な 有 界 作 用 素 の 族 で あ る.こ

収 束)と

収 束)と な る.さ

な る.ま

らに,各t,rに

仮 定 す れ ば,(19)とLebesgueの

収束 定 理

対 し

た が っ て,(18)の

各 項 は 対 応 す る(20)の

Un(t,r)→U(t,r)  を 得 る.(9)でn→∞

項 に 収 束 す るか ら,

(強 収 束)

と す れ ば, U(t,s)U(s,r)=U(t,r)

を 満 た す こ と が わ か る.こ

れ はUがC1-級

発 展 作 用 素 の 性 質1°)を

い る こ と を 示 し て い る.   (第4段) 

U(t,s)の

微 分 可 能 性 を み よ う.

とな るか ら,こ れ を 積 分す れば,

と な る.両

辺 に(t-r)2を

を 用 い れ ば,

か け,(t-r)2=(t-s)2+2(t-s)(s-r)+(s-r)2

満 た して

を 得 る.右

辺 の 第1項+第2項

は,部

と な る.両

辺 に,(t-r)-1An(t)を

分 積 分 よ り,

作 用 さ せ れ ば,

(21) こ こ で,

で あ る.

と定 め れ ば,(21)式

は

と簡単 に書 くこ とが で き る.こ れ を(17)と

同様 に逐 次 近 似 的手 法 で 解 くと,

(22) とな る.こ

こ で,Y(k)nを

に よ っ て 定 め た.ま

帰納的に

ず,

で あ る か ら,(11)と(12)に

よ っ て,

(23) と な る.一

方,(18)よ

次 に,

り  Y(k)n∈Q(kθ+1,M4,k) 

を 示 そ う.こ

こ で,M4,k=2M2M4(2M3Γ(θ))kΓ(kθ+1)-1で

(24) あ る.

[(12)に

と な る か ら,こ がkに

れ は(24)がk=0に

対 し て,成

対 して 成 立 す る こ とを 示 し て い る.(24)

立 す る と仮 定 す れ ば,

((2M3M4,kB(θ,kθ+1))=M4,k+1で k+1に

あ るか ら)が 成 立 す る.こ

対 し成 立 す る こ と を 示 し て い る.容

と な る.こ

数 に よ っ て お さ え られ る.そ

れ は(24)が

易 な計 算 よ り

の 右 辺 は 一 様 収 束 す るか ら,(22)はnに

が 成 立 す る.こ

よ っ て]

よ らぬ 一 様 収 束 す る優 級

して

こ で,Mはn,r,tに

よ ら ぬ 定 数.次

に,

(25)

と定 め れ ば,Ynの

場 合 と 同 様 に し てY(k)∈Q(kθ+1,M4,k)と

一 様 収 束 す る級 数 で あ る こ とが わ か る .Y(k)(t,r)はt,rに こ とが 容 易 に わ か る か ら.Y(t,r)もtとrに t,rを

示 し た い.そ

に,各

の た め に,前

段 で

場 合 と 同 様 の 理 由 か ら,

Y(k)n(t,r)→Y(k)(t,r)  を 示 せ ば 十 分 で あ る.前

つ き連 続 で あ る

つ き 連 続 で あ る.次

固 定 した と き,Yn(t,r)→Y(t,r)を

証 明 し たUn(t,r)→U(t,r)の

な り,Yは

段 の5),6)に

(強 収 束) 

よ っ て,Lebesgueの

(26) 収 束 定 理 を適 用 す

れ ば,各

固 定 さ れ たt,rに

対 し, Y(0)n(t,r)→Y(0)(t,r),

(27) Hn(t,r)→H(t,r)

が 成 立 す る こ とが わ か る.(26)がkに (26),(27)に

よ っ て,Lebesgueの

に 対 し て(26)がk+1に る か ら,こ

対 し 成 立 す る と仮 定 す れ ば,(23),(24), 収 束 定 理 を 適 用 す れば,各

固 定 さ れ たt,r

対 し 成 立 す る こ と が わ か る.ゆえに,Yn→Yと

な

れは (t-r)A(t)Jn(t)Un(t,r)→Y(t,r) 

と 書 か れ る.Jn(t)→Iで

(強 収 束)

あ り,Un(t,r)→U(t,r)で

あ る か ら,A(t)が に 対 し,U(t,r)x∈D(A(t))

作 用 素 で あ る こ と よ り,任 意 のx∈X,  で あ っ て, (t-r)A(t)U(t,r)x=Y(t,r) が 成 り立 つ.任

意 のx∈Xに

とな る か ら,n→∞

対 し て,

とす る こ と に よ っ て,

で強 連 続 で あ るか ら, 

を 得 る.U(s,r),Y(s,r)は 

な るtに

関 し,上 式 の右 辺 も強 連続 的 微 分 可 能 で あ っ て,

が 成 立 す る.つ

ま り,

が 成 立 す る.こ

れ はC1-級

rに

関 す る 微 分 可 能 性,つ

理3.1に

発 展 作 用 素 の 定 義 の3°)を ま り4°)も

示 し て い る.U(t,r)の

全 く同 様 に 証 明 でき る.一

お け る証 明 と全 く同 様 に 示 さ れ る.別

のU′(t,s)が

意 性 は,定

あ れ ば,

閉

と な り,U′(t,r)=U(t,r)と

な る か ら で あ る. 

(証 明 終)

 §4.2  定 義 域 が 変 わ る場 合  こ の 節 で は,T.  定 理4.2 

Kato-H.

A(t)は

Tanabe[31]に

よ る次 の 定 理 を 証 明 す る.

次 の 条 件 を 満 た す 作 用 素 で あ る.

 ⅰ )

 ⅱ)  (λ0+A(t)-1は 用 素 ノ ル ム で,Σε

は作

作 用素 ノル ムで微 分可 能 か っ, 

に 属 す る λ0を 適 当に とればHolder連

続 で あ る.

を とれ ば,評 価

 ⅲ)  適 当 に定 数M, 

(28) が成 り立 つ.(Σε は(2)で   こ の と き,C1-級

定め られ る複 素 領 域 で あ る.)

の発 展 作用 素U(t,s)が

一 意 的に 存 在す る.

  注意1  λ∈Σεとする.恒 等式

の 両 辺 をt-sで

割 り,s→tと

す る こ とに よ って,(λ+A(t))-1も

作用 素 ノル ムで 微

分 可 能 で あ り,そ れ は

(29) を 満 た す こ と が わ か る.(29)よ ム でHolder連

はtに

ら に 

つ き作 用 素 ノル

続 で あ る こ と が わ か る.

  証 明  ε>0を

とお く と,定

り,さ

固 定 す る.簡

理4.1の

単 の た め λ0=0と

証 明 の 第1段

の 場 合 に も有 効 で あ る.さ

らに,証

し よ う.

の 発 展 作 用 素Un(t,s)の構 明 を 見 れ ば わ か る通 り,定

成法 は い ま 理4.1の

証 明の

第2段

の1),3),4),6)は

い ま の 場 合 に もや は り成 り立 つ.Un(t,s)の

収束 を

示 そ う.

とす れ ば,

(30) で 表 わ さ れ る.さ

て, 

を 評 価 し よ う.λ ∈ Σε に 対 し て,

で あ る か ら,

と な る.ゆ

え に,仮

定 よ り,

(31) と な る.M0はε

と 定 め れ ば,補

に 依 存 す る がnに

題2.2よ

は よ ら な い 定 数 で あ る.よ

り評 価 (M1はn,t,sに

を 得 る.次

に(30)を

を 得 る.こ

こ で,λ(λ+An)-1=I-An(λ+An)-1とCauchyの

た.よ

って

よ らぬ 定 数) 

(32)

微 分 す れ ば,

っ て, 

を 得 る.U(0)n(t,r)=e-(t-r)An(r)と

積 分 定 理 を 用 い よ り,

お い て 上 式 をsに

つ きrか

らtま

で積

分 す れ ば,Un(t,t)=Iで

あ る か ら,

と な る.Kn(t,s)=Kn(t-s,s)と

お き,補

題4.1で

用 い た 記 号 を 用 い れ ば,

上 式 は,

と書 き表 わ せ る.こ れ を 逐次 近 似 法 で解 け ば,

(33) と な る.こ

こ で,U(k)nは,

に よ って 帰納 的 に 定 義 され た 作 用素 で あ る.定 たUnの

性 質3)に

M2はn,s,tに 方,(32)に

証 明 の第2段 に示 し とな る.

よ っ て,  独 立 な 定 数 で あ る.こ

れ よ りU(0)n∈Q(1,M2)と

な る.他

よっ て,

で あ る こ とか ら,Kn∈Q(1-ρ,M1)で ば,帰

理4.1の

あ る.補

題4.1を

逐 次 適 用 して い け

納的に

を 示 す こ と が で き る.し

と な り,(33)はnに て,(33)はn,t,sに

た が って,

独 立 な 収 束 級 数 で お さ え ら れ る こ と が わ か る.し つ き一 様 に 作 用 素 ノ ル ム で 収 束 す る.前

たが っ

と同 様 に,

U(0)(t,s)=e-(t-s)A(s),

と定 め る と,U(0)∈Q(1,M2),K∈Q(1-ρ,M1)を き る.こ

れ に対 し

全 く同様 に示 す こ とが で

(34) と 定 義 す る.こ

こ で,

U(k)(t,s)=K*U(k-1)(t,s). こ の と き,前

と 同 様 に し て,(34)はs,tに

る こ と が わ か る.し

た が っ て,級

数(34)の

で あ る か ら,U(t,r)は  各r,tを 第2段

各 項 は 強 連 続(補

な るr,tに

の6)よ

束 す る.し

収 束)と

え に,Kn(t,s)U(0)n(s,r)は,r<s
M1M2(t-s)-ρ

に強収 な るs,t

収 束 定 理 よ り,Kn(t,s)はK(t,s)に るr,s,tを

強 収 束 す る.と

強 収束 す 固 定 す れ ば,

こ ろ が,Kn∈Q(1-ρ,M1),U(0)n∈

あ る か ら,‖Kn(t,s)U(0)n(s,r)‖ に よ っ て 押 え られ る.か

に,

λ,sに 対 し て,

で あ る か ら, 

か も, 

Q(1,M2)で

な る.各

は 

に 対 し 

を 固 定 す れ ば,Lebesgueの

み よ)

強 収 束 す る こ と を 示 そ う.

りU(0)n(t,r)→U(0)(t,r)(強

K(t,s)U(0)(s,r)に

題4.1を

つ き 強 連 続 で あ る.次

固 定 し た と き,Un(t,r)はU(t,r)に

と な る か ら,n→∞

る.ゆ

つ き一 様 に作 用 素 ノル ムで収 束 す

はnに

く し て,Lebesgueの

独 立 な 可積分関数 収 束 定 理 を適 用

す れ ばKn*U(0)n(t,r)(=U(1)n(t,r))はK*U(0)(t,r)(=U(1)(t,r))に 収 束 す る.い

ま の 議 論 を も う一 度 く り返 せ ば,Kn*U(1)n(t,r)(=U(2)n(t,r))

はK*U(1)(t,r)(=U(2)(t,r))に がU(k)(t,r)に (33)の U(t,r)に

強

強 収 束 す る.こ

強 収 束 す る こ と が わ か る.nに

各 項 が(34)の

つ き一 様 に絶 対 収束 す る級 数

対 応 す る項 に 強 収 束 す る の で あ る か ら,Un(t,r)は

強 収 束 す る.Un(t,r)はC1-級

Un(t,s)Un(s,r)=Un(t,r)が

の よ うに し て,U(k)n(t,r)

成 立 す る.こ

の 発 展 作 用 素 で あ っ た か ら, こ でn→∞

とす れ ば,

U(t,s)Un(s,r)=U(t,r) を 得 る.U(t,r)の U(t,r)の

一 意 性 は 前 定 理 と 同 様 に 示 せ る.残

さ れ て い る の は,

微 分 可 能 性 で あ る.

  こ の た め に,ま

ずUが

積分方程式

(35) を 満 た す こ と を 示 そ う.{An(t)}に た よ うに,r,tを

対 す る 発 展 作 用 素{Un(t,r)}は,前

固 定 す れ ばU(t,r)に

を満 た す か ら,こ れ をsに

強 収 束 す る.さ

に見

ら に,Unは

つ き積 分 す れ ば,

(36) を 得 る.  は,n→∞

に 対 し て,0に

強 収 束 す る か ら,(36)でn→

∞

とすれば

と な る.こ

こ で,ε ↓0と

す れ ば,求

め る 式(35)を

得 る.

  さ て, H(t,s)=-K(t-s,t) と お け ば,(35)は U(t,r)=e-(t-r)A(t)+U*H(t,r) と 書 く こ と が で き る.こ

れ を 前 と 同 様 に 逐 次 近 似 的 に 解 く と,

(37) と な る.こ

こ で,V(0)(t,r)=e-(t-r)A(t),V(k+1)(t,r)=(V(k)*H)(t,r).

θ を 仮 定ⅰ)のHolder指   補 題4.2 

数 と す る.こ

k=1,2,…

に 対

の と き,

しV(k)(t,r)x∈D(A(t))(x∈X,r
あ

っ て,

(38) が 成 り立 つ.こ

  あ とで,証

こ でM3は

適 当 な 正 定 数 で あ り, 

で あ る.

明 を 与 え よ う.V(0)(t,r)x∈D(A(t))(x∈X,r
A(t)V(0)(t,r)∈Q(0,M4)(M4;正

な る 評 価 が 成 り立 つ.こ V(k)(t,r)は,t,rに

定 数)が

っ

成 り立 つ か ら

の 右 辺 は 絶 対 か つ 一 様 収 束 す る.さ 関 し て 強 連 続 で あ る で あ る.そ

r)x∈D(A(t))(x∈X,r
ら に,(t-r)A(t)

れ ゆえ に,(t-r)U(t,

あ っ て(t-r)A(t)U(t,r)は 

で 強連 続 か つ評 価 (M5;正

が 成 り立 つ.次

にU(t,r)はtに

を示 そ う.UnはC1-級

つ き 強 微 分 可 能 で 

発 展作 用 素 であ るか ら,

 が 成 り立 つ.上 Jn→Iで

定 数)

式 でn→∞

と す れ ば,Un→U,

あ るか ら,

(39)

が 成 り 立 つ.(29)よ

り,

(40) m-1‖A(s)(1+m-1A(s))-1‖=‖1-(1+m-1A(s))-1‖ り,x∈D(A(s))に

つ き有 界 で あ

対 し,

と な る か ら,任 意 のx∈Xに ら に,(1+m-1A(s))-1→I(強

対 しm-1A(s)(1+m-1A(s))x→0(強収 収 束)で

各sに 対 し  とsに

はm,sに

あ る か ら,(40)でm→∞

(強 収 束).そ

つ き 有 界 と な る.よ

束).さ とす れば,

は

の 上, 

っ て,(39)でm→∞

と す れ ばLebesgueの

収束

定 理 よ り,

が 成 り立つ こ とが わ か る.上

式 よ り,A(s)U(s,r)は 

連 続 であ る こ とを考 え 合 わせ れ ば,U(t,r)はtに

につ き強 関 して 強連 続 的 微分 可 能 で が 成 立す る.

あ っ て, 

これ ま で の 議 論 で,tとrの

役 割 を 逆 に し て 考え る と,同 様 に し て, 

に 対 し,U(t,r)A(r)x(x∈D(A(r)))はXの で き て,そ

れ を や は りU(t,r)A(r)で

中 の 有 界作 用 素 に 拡 張 表 わ せ ば,(t-r)U(t,r)A(r)は

 に 関 して強 連 続 で あ り,  数)が

(M;正

成 り立 つ こ と を 示 す こ と が で き る.さ

ら に,x∈D(A(r))な

が成 り立 つ.以 上 よ り補 題4.2を

証 明 し さえす れ ば 定 理

証 明 は 完 了 す る.

  補 題4.2 

の 証 明  k=nの

H∈Q(1-ρ,M1)で k=n+1に

ら ば,

に つ き強連 続 的 微 分 可能 で あ っ て, 

U(t,r)xは 

4.2の

定

と き成 立す る こ と を 仮 定 す れ ば,(32)に

あ るか ら,補

題4

.1を

適 用 す る こ と に よ っ て,補

対 し て も成 立 す る こ とが わ か る.し

た が っ て,k=1の

る こ とを 示せ ば 帰 納 法 に よ っ て 補 題 は 示 さ れ た こ とに な る.V(1)を

よ って 題 が

とき成 立す

と 表 わ そ う.こ

こ で,Rλ(t)=(λ+A(t))-1と

お い た と き,

で あ る.(I1(t,s,r)+I2(t,s,r)=H(s,r)-H(t,r)に =A(t)-1(1-e-(t-r)A(t))H(t,r)で ∈D(A(t))で

注 意.)V(1)1(t,r) あ る か ら,x∈Xに

し て,V(1)1(t,r)x

あ っ て,A(t)V(1)1(t,r)=(1-e-(t-r)A(t))H(t,r).前

にみ た よ

に 関 して 強連 続 か つH∈Q(1-ρ,

う に,e-sA(t)はsとt 

M1)で

対

あ った か ら,  お よ びA(t)V(1)1(t,r)はr
A(t)V(1)1(t,r)∈Q(1-ρ,M6)を

強 連 続.結

得 る. 

M6は,正

局,

で あ る か ら, 

定数.他 方, 

で

あ るか ら,積 分順 序 を交 換す る こ とに よ って,

と な る.仮

定ⅱ)よ

であ る か ら,補

り 

と同様 に変 数 変 換 λ→ λ′=σ λ を し てみ れば,

(M′;正

定 数)と

(M″;正

定 数). 

正 定 数)で

な る.よ

あ る か ら,

っ て,代

入 し て み れ ば,

に 対 し て, 

題2.2の

証明

(41) と な る.こ

れ よ り,V(1)2(t,r)x∈D(A(t)) 

と な り,

 が 成 立す る こ とがわ か る(M7=M″M″′(1 -ρ)-1).Rλ(t)の

微 分 はtに

つ き 強 連 続 で あ るか ら,Lebesgueの

よ り,I1(t,s,r)はr,s,t(r<s
関 し て 強 連 続 で あ る.同

表 示 を 考 え れ ばA(t)e-(t-s)A(t)は,s
はrとt(r
強 連 続 で あ る.よ

りわ か る

.ゆ

え に,A(t)V(1)2(t,r)はr
っ て,A(t)V(1)2(t,r)∈Q(1-ρ,M). 

あ るか ら, 

で あ る.M7は

に 移 る.(28)とA(t)Rλ(t)=I-λRλ(t)に

(M8,M9;正

様 に,積

分

っ て,

つ き 強 連 続 で あ る.ε ↓0と す れ ば 一 様 にA(t)V(1)2(t,r)

に収 束 す る こ と が(41)よ

と な る. 

つ き 強 連 続 で あ る.よ

収 束定 理

で 正 定 数.最

注 意 す れ ば,

に 対 し,

定 数)で

あ るか ら,上

つ き

式 で 作 用 素 ノ ル ム を とれ ば,

後 に,V(1)3

(42) と な る.仮

で あ る.他

定 よ り,    で あ る か ら,仮

を 得 る.こ

(M;正

れ らを(42)の

定 数)を

得 る.よ

方,

定 より

右 辺 に 代 入 す れ ば,

っ て,補

題2.2と同

様 に 変 数 変 換 λ→ λ′=(t-r)λ

に よ り計 算 し て み れ ば,

こ の不 等 式 と, 

を考え 合 わ せ れ ば,前

と同 様 に

し て,

(43) が 成 立 す る.こ

( 

れ よ り, 

,M10は

で あ り,

適 当 な 正 定 数)が

成 立 す る.V(1)3(t,r)のt,r(r
に 関 す る強 連続 性 は 前 と同様 に 示 す こ とが で き る か ら,  と な る.以

上 よ り, 

かつ,  M6+M7+M10と

とな る.M3と とれ ば,補 題 を 得 る. 

してM3=

(補題の 証 明終)

  §4.3 正 則 発 展 作用 素   方 程式(1)に

お い て,A(t)が

あ る意 味 でtに

正 則 に依 存 して い る と仮 定

し よ う.こ

の と きA(t)に

に 関 し て 正 則 と な る.逆 A(t)は

よ っ て 生 成 さ れ る 発 展 作 用 素U(t,s)はtとs に,tとsに

完 全 に 与え られ る.即

そ し て,以

下 の2つ

の で あ る.定 Masuda

[47]に

ちA(t)とU(t

の 定 理 は §2.2で

理4.3は,T.

関 して正 則 な発 展作 用 素 の生成 作 用 素

Kato-H.

,s)と

は 完 全 に 対 応 づ け ら れ る.

述 べ た 定 理2.2の Tanabe

[31]に

一 般 化 に な って い る よ り,定

理4

.4はK.

よ る.

 とす る.Δ

を[0,T]の

複 素 凸 近 傍 とす る.正

数 δ に 対 し,

Ωδ={(s,t);s,t∈Δ,￨arg(t-s)￨<δ} と お く.正

数

ε と実 数

λ0に

対 し,

と お く.   定 義   Xの

中 の 有 界 作 用 素 の 族{U(t,s)},(s,t)∈

Ω θ,が

  1) U(t,s)U(s,r)=U(t,r), U(t,t)=I ((r,s),(s,t)∈   2) 

U(t,s)は(s,t)∈

Ωθ に 関 し て 正則

  3)  任 意 の ε>0に で あ る,つ

対 し て,U(t,s)は(Ω

ま り,(sn,tm)∈

はU(t,t)(=I)に

Ω θ-εが(t,t)(t∈

が,3)と

で あ る θ-εの 中 で)s=tに Δ)に

お い て強 連 続

収 束 す れ ば,U(tn

,sn)

強 収束 す る

と い う 条 件 を 満 た す と き,正   注 意2 

Ωθ)

(s,t)が

Ωθ-εの 中 の 有 界 集 合 を 動 く と き,‖U(t,s)‖

共 鳴 定 理1.2よ

 定 理4.3  Xの

則 発 展 作 用 素 と い う. は 有 界 であ る こ と

り示 さ れ る.

中 で稠 密 に定 義 され た 閉作用 素 の族{A(t)} 

が

次 の条 件 を満 たす と仮 定 す る:   任 意 の ε>0と Δ の 中の 任 意 の コンパ ク ト集 合Kに 定 数M0が 存 在 して,  (a)

対 して,実 数 λ0と正

(44)

 (b)    (c) 

各 λ∈ Σ(λ0;θ-ε)を

固 定 す れ ば,(λ+A(t))-1はKの

近 傍 でt

に つ き正 則 で あ る を 満 た す よ うに で き る.   こ の と き,方

程式

(45) と

(46) を 満 た す 正 則 発 展 作 用 素{U(t,s)},(s,t)∈   定 理4.4 

Ωθ,が一 意 的 に 存 在 す る.

正 則 発 展 作 用 素{U(t,s)},(s,t)∈

Ωθ,が 与 え られ る とす る.こ

れ に 対 し て,A(t)を,

存在 かつ

に よ っ て 定 義 す る.(s-limは の 仮 定 を 満 た すXの は(45),(46)も   定 理4.3の

中 の 稠 密 に 定 義 さ れ た 閉 作 用 素 で あ る,そ

証 明   (第1段) 

(λ+A(t))-1はΔ0の

式 よ り,

Kを

の と き,Kを

定 理4.3 の 上,A(t)

小 さ く と る.さ

し よ う. 

Δ の 中 の[0,T]を

含 む,任

意 の コ ンパ

含 み Δ0⊂Δ な る有 界 開 集 合 Δ0が 存 在 す る.

近 傍 でtに

Δδ={t;tの

と お く.t*∈Kと

の と き,A(t)は

満 た し て い る.

ク ト集 合 とす る.こ

れ る 位 δ>0を

強 収 束 を 意 味 す る.)こ

つ き 正 則 で あ る.Kのδ-近

傍 が Δ0に 含 ま

ら に, δ-近傍 が Δ の 中 に 含 ま れ る},

な るtに

対 し て,Cauchyの

積分公

が 成 り立 つ.し

と な る.ゆ

た が っ て,

え に,(44)よ

( 

り

λ∈Σ(λ0;θ-ε))が 成 り立つ.Kの各

の 評 価 が 成 り立 ち,Kは

コ ン パ ク トで あ る か ら,評

点 の1/2δ-近傍で

こ

価

(47) が 成 り立 つ.こ

こ で,tはKの1/2δ-近

(λ1は 適 当 な 実 数).し

たが っ て,特

定 を す べ て 満 た し て い る.ゆ

傍 を 動 き,λ ∈ Σ(λ1;θ-ε)で に,{A(t)}, 

に 正 則 に 延 長 さ れ るこ と を 示 そ う.い

の 段 で,こ

ま,こ

に 対 しU(t,s)U(s,r)=U(t,r)で

対 しを

の 諸 定 理 がBanach空 ρ(-A(t))(t∈

を 満 た す.ゆ

Δδ)な

え に,両

仮

のU(t,s)が(s,t)∈

Ωθ

れが 示 さ れ た と し よ う.  あ る か ら,(r,s)∈

Ωθ に 対 し て も こ の 関 係 が 成 り立 つ こ とが,関 f∈X*,x∈Xに

は 定 理4.2の

はC1-級 の発 展 作 用 素

え に,{A(t)}, 

を 生 成 す る.次

{U{t,s)}, 

あ る

Ωθ,(s,t)∈

数 関 係 不 変 の 定 理 よ り で る;

考 え る こ とに よ っ て,普

通 の 関数 論

間 値 正 則 関 数 に 対 し て も 成 り立 つ こ とが わ か る.λ0∈ る

λ0を

と る. 

辺 に(λ0+A(t))-1を

に 対 し て,

作 用 さ せ れ ば, 

に対

し て,

(48)

が 成 立 す る.(λ0+A(t))-1はΔ

δ で 正 則,U(t,s)は

 も Ωθ で 正 則 で あ る.し (s,t)∈

た が っ て,(48)は

Ω δθ-ε に 対 し成 立 す る.(48)の

き るか ら,左 辺 第2項 (x∈X).(49)の

(45)が

作 用 で き る.つ

一意 接 続 定 理 よ り

以 外 す べ てA(t)を

作用で

ま り,U(t,s)x∈D(A(t))

作 用 さ せ れ ば わ か る 通 り,U

に 対 し,

満 た す.ε,δ

任 意 の(s,t)∈

は 十 分 小 さ い 任 意 の 正 数 で あ っ た か ら,上

Ωθに 対 し 成 立 す る こ とが わ か る.(46)も

示 され る.一

意 性 は,(45),(46)か

  (第2段) 

Uが

た め に は,Uの

左 辺 第2項

両 辺 に 左 か ら(λ0+A(t))を

は,(s,t)∈Ωδθ-ε

つ ま り(45)を

に もA(t)を

Ωθ で 正 則 よ り,

ら で る(定

理4.1で

式 よ り

同様 に して

の一 意 性 の 証 明 を み よ).

正 則 な 発 展 作 用 素 で あ る た め の 条 件2),3)を

示 そ う.そ

の

構 成 に ま で 戻 っ て 考 え な け れ ば な らな い.An(t)=A(t)Jn(t)  は,Δ

が 成 立 す る こ と と,仮

定(c)を

で 正 則 で あ る.実

際,An(t)=n(I-Jn(t))

考 え れ ば よ い.Un,kを

(49) に よ っ て 定 め る.Un,k(t,r)を

Δ× Δ で 正 則 と仮 定 す れ ば,An(s)は

有 界 作 用 素 で あ る か ら,Un,k+1(t,r)も

Δ× Δ で 正 則 と な る.Un,0は

に 正 則 で あ るか ら,結 局,Un,k(t,r)は

Δ×Δ で 正則.Δ

正則 な 明 らか

δ を 前 の よ うに 定 め,  とお く と,

(49)よ

を 満 た す.よ

り,  こ れ よ り,Un,k(t,r)は(r,t)∈Δ

る.こ

の 極 限 をUn(t,r)と

用 素 の 定 義 に お け る2),3)を

す れ ば,Δ×

×Δ

Δ でUnは

っ て, 

の 中 で広 義 一 様 収束 す

正 則 で あ る.正

次 の ス テ ッ プ で 示 そ う.こ

れ が 示 され れ ば 定 理

の 証 明 は 終 わ る. に対 しUn(t,r)はU(t,r)に

  1°) 

  2°)  Unは

方程 式

則発展作

強 収 束 す る.

(50) を 満 た す.   3°)  ‖Un(t,r)‖,n=1,2,…,は

Ωδθ-ε 上 一 様 有 界 で あ っ て,各(r,t)

∈Ωδθ-ε に 対 しUn(t,r)はn→∞

の と き 強 収 束 す る.(そ

の 極 限 をU(t

,r)

とす る.)   4°)  UはUの

Ωθへ の 正 則 な 拡 大 とな る.(U=Uと

  5°)  任 意 の ε>0に

対 し て,U(t,r)は(Ω

か く.)

θ-εの 中 で)r=tに

お い て 強

連 続 で あ る.   実 際, 

に 対 し て,Un,kは,(6)に

い て, 

と書 か れ るか ら,(6)の

る.定

理4.2の

U(t,r)に

証 明 の 中 で,(6)で

を 示 そ う.定

第2式

理 の 中 のKと

た す と し て よ い.A(t)の e-(λ0+1)(t-s)U(t,s)を (50)よ

右辺 の級 数 は上 のUnと

定 義 さ れ た 級 数 は,n→∞

強 収 束 す る こ と を 示 した.し

こ とが わ か る.(49)の

お い て 定 義 したU(k)nを

た が っ て,こ

に お い てk→∞

一 致す

に 対 し,

れ よ り1°)が

とす れ ば,(50)を

成 立す る 得 る.3°)

し て Δδ を と っ た と き の λ0が 

を満

代 わ り にA(t)+λ0+1,U(t,s)の 考 え れ ば よ い か らで あ る.(r,t)∈

用

代 わ りに Ωθ-εに δ 対 して,

り

で あ るか ら,sに

つ い て積 分 す れ ば,

(51) と な る.こ

こ で,

で あ る(Γε は 

な る 曲 線).定理4.2の証明

全 く 同 様 に し て,(44)と(47)よ

り,(い

ま の 場 合,ρ=0で

におけ

る と

あ る)

(52)

((r,t)∈Ω

δθ-ε,s∈[r,t]).ここ で,Mはn,r,s,tに

3°)の 議 論 は,定

理4.2の

よ ら ぬ 定 数 で あ る.

議 論 と 同 様 で あ るか ら,詳

細 は 読 者 に ま か せ る.方

針 だ け 述 べ れ ば 十 分 で あ ろ う. Kn(t,s)=Kn(t-s,s), U(0)n(t,r)=e-(t-r)An(r) と お く と,(51)は

と な る.こ

れ を 逐 次 近 似 的 に 解 く と,

と な る.こ

こ で,U(k)nは

帰 納的

に よ っ て 定 義 され て い る.こ

に,

の と き,前

と 同 様 に,

(53) と な る.Mはn,r,tに

よ ら ぬ 定 数.さ

ら に,n→∞

とす れ ば,Unは

に 強 収束 す る こ とが わか る.こ こで,

と お き,U(k)を

帰 納 的 に,

U(0)(t,r)=e-(t-r)A(r),

に よ っ て 定 義 し た.こ 適 用 し,そ

こ でn→∞

れ は3°)を

とす れ ば,3°)と(53)よ

分 定 理 を 満 た す こ とが わ か る.し に 関 し て 正 則 と な る.ε,δ し て 正 則 と な る.1°)よ を 示 し て い る.最 ((s,t)∈

示 し て い る.Cauchyの

積 分 定 理 をUnに

りU(t,r)もCauchyの

た が っ て,U(t,s)はsとt((s,t)∈

は 任 意 で あ っ た か ら,U(t,s)は

り,こ

後 に5°)を

Ωδθ-ε)が 成 り 立 つ.こ

積

のUはUの 示 そ う.(52)と こ で,M′

Ωδθ-ε) Ωθ でs,tに

正 則 な 拡 大 で あ る.こ

れ は4°)

同 様 に し て,  はs,tに

よ ら ぬ 定 数.さ

関

ら に,

(51)と

同 様 に し て,Uは

(54) を 満 た す.ま

ず,上

式 の 右 辺 第1項

る こ と を 示 そ う.tを ‖e-(tn-rn)A(t)x-x‖

が(Ω θ-εの 中 で)r=tに

お い て 連 続 であ

固 定 す れ ば,tn-rn→0((rn,tn)∈ →0(x∈X).次

Ωθ-ε)に 対 し て,

に,

よ り,

と な る.し

た が っ て,e-τA(r)は

連 続 で あ る.(rn,tn)∈

τ に つ き一 様 にrに

Ωθ-εが(t,t)(t∈

関 して作 用 素 ノ ル ム で

Δ)に 収 束 す る と し よ う.x∈Xに

対 し,

が 成 立 す る.こ に,(54)の

れ よ りe-(tn-rn)A(rn)xがxに

右 辺 第2項

で あ るか ら,(53)よ た す.よ

が0に

り,Uも

強 収 束 す る こ と が わ か る.次

強 収 束 す る こ と を 示 そ う.3°)よ 評 価; 

((r,t-r)∈

と な る.ゆ

δθ-ε)を 満

‖ 

え に,￨t-r￨→0の

か く し て,U(t,r)は

と き,(54)の

Ωθ-εの 中 でr=tで

右 辺 第2項

は0に

連 続 で あ る.こ

い る.    定 理4.4の

こ こ で,

Ω

っ て,

‖(54)の 右 辺 第2項

対 し て,次

りUn→U

強 収 束 す る.

れ は5°)を

示 して

(証 明 終) 証 明   任 意 にt*∈

Δ を 固 定 す る.十

の よ うな δ>0とt1,t2,t3,t4∈

分 小 さ い η(0<η<θ)に

Δ が 存 在 す る;

さ て,

(積 分 路 は 線 分[t1,t])と

定 め る と,次

の 補 題 が 成 り立 つ.

  補 題4.3  ⅰ)  各 λ を 固 定 す る と,V(t,t1;λ)はt∈D)(t*;δ)に

関 し て正 則 で あ

る.  ⅱ)  評 価;

(55) (56) が 

 に 対 し成立 す る.

と

 ⅲ )  実 数

λ が∞

に い く と,λV(t,t1;λ)はIに

 ⅳ )  任 意 のx∈Xに

強 収 束 す る.

対 し て,V(t,t1;λ)x∈D)(A(t))で

あ っ て,

(λ+A(t))V(t,t1;λ)=I-Vt(t,t1;λ) 

を 満 た す.こ

(57)

で あ る.

こ で, 

 証明 と お く と,Uの

性 質2)に

とす る とp.94の 束 す る.よ

っ て,正

で 正 則 で あ る.こ

を 得 る.こ

注 意2を

よ っ て,Jε(t)はD(t*;δ)で 考 慮 す れば,D(t*;δ)上

正 則 で あ る.ε

↓0

一 様 にV(t,t1;λ)に

則 関 数 の 一 様 収 束 極 限 で あ るV(t,t1;λ)はD(t*;δ) れ はⅰ)を

示 し て い る.注

こ で,θ′=argλ,θ″=arg(t-t1),Mは

を 示 し て い る.V(t,t1;λ)は

正 則 よ り,

意1よ

り,

適 当 な 正 定 数.こ

れ は(55)

収

と な る か ら,

と な る.よ

っ て, 

に 対 して

[(55)よ こ れ は(56)を 素 の3)よ

は,実

示 し て い る.か りU(t,s)→I(s→t)で

数 の λ が∞

に 強 収 束 す る.こ

と分 解 す る.左 とす れ ば,左

く し てⅱ)が

示 さ れ た.p.94の

正則 発 展 作 用

あ る か ら,

に い く と,

れ はⅲ)を

辺 はⅰ)に

示 し て い る.

よ っ て 正 則 で あ る か ら,両

辺 はVt(t,t1;λ))に

強 収 束 す る.明

辺 をhで

らか に,

h-1I1→I,

が 成 立 す る.と

り]

こ ろ がUの

性 質1)に

よ っ て,U(t+h,s)-U(t,s)=

わ りh→0

[U(t+h,t)-I]U(t,s)で

あ る か ら, I3=[U(t+h;t)-I]V(t,t1;λ)

と な る.ゆ

え に,以

は 存 在 し,か

上 を 合 わ せ れ ば,

つ Vt(t,t1;λ)=I-λV(t,t1;λ)-A(t)V(t,t1;λ)

を 満 た す こ と が わ か る.こ

れ はⅳ)を

示 し て い る. 

(補 題 の 証明 終)

  同 様 に,

と定 義 す れ ば,次   補 題4.4 

の 補 題 が 成 立 す る.(証

Wは

明 は補 題4.3の

証 明 と全 く同 様.)

補 題4.3のⅰ),ⅱ),ⅲ)と

 ⅳ ′) x∈D)(A(t))に

関 し て,

W(t3,t;λ)(λ+A(t))x=x+Wt(t3,t;λ)x を 満 た す.

  さ て,

が 

か つ 

に 大 き く λ0を

な るす べ て の 複素 数 λに対 し成 立す る位

と る .次

に,そ

の よ うな

λ に 対 し,

B(t,t1;λ)=V(t,t1;λ)(1-Vt(t,t1;λ))-1 と お く と,補

題4.3に

よ っ て,

  1°)  B(t,t1;λ)は 

で正 則

  2°)

が 

か つ 

  3°)  (λ+A(t))B(t,t;λ)=I.

な るλ に対 し成 立 す る.(M;正

定数)

 これ を み るには2°)の 評 価 を 示 し さえす れば よい で あ ろ う.し か し,Neu mann級

数 に 展 開 してみ れ ば わか る 通 り,  で あ る.し

で あ るか ら,2°)の   さ て,補

た が っ て,

不 等 式 は(55)よ

題4.3ⅲ),ⅳ)よ

  イ)  D(A(t))はXの 上 の3°)と

りで る.

り, 中 で 稠 密 で あ る.

補 題4.4ⅳ′)を

考 慮 す れ ば,

  ロ)  B(t,t1;λ)=(λ+A(t))-1. Bの

性 質 よ り,

 ハ) 

なる λは

ρ(-A(t))に

入 る

 ニ)

が 

な る λ に 対 し成 立 す る.(M;正

 ホ)  上 の よ うな λ を 固 定 す れば,(λ+A(t))-1はtに

定 数)

つ き 

の

補 題4.4iv′)よ

り

中 で 正 則. 実 際,イ)は

補 題4.3ⅲ),ⅳ)よ

で る.ハ)とニ)はBの

り で る.ロ)は3°)と

性 質 よ りで る.同

様に,t1,t3の

代 わ りに

,t2,t4

を 用 い れば,  ヘ) 

な る λ は ρ(-A(t))に

入 る

  ト)

が 

な る λ に 対 し て 成 り立 つ.

  4)  上 の よ う な λを 固 定 す れば,(λ+A(t))-1は 

につ い て

正 則 で あ る.

 適 当 にλ1を とれ ば,  含 ま れ る.こ

の こ と と,コ

円 板 で 覆 わ れ る こ と よ り,定

な る λは ン パ ク ト集 合K(⊂Δ)はD(t*j,δj)な 理 が 証 明 され る. 

Σ(λ1;η)に る有 限 個 の (証 明 終)

第5章

  こ の 章 で は,Y.

  非 線 型 発 展 方 程 式

Komura

[33], T.

Kato

[28], Crandall-Liggett[11]等

に よ

って研 究 され た非 線 型 発 展 方程 式

(1) の 理 論 を,Crandall-Pazy[12]に

従 っ て 述 べ よ う.こ

成 定 理 だ け を 述 べ て お い た が,そ

の 他 の 詳 細 に つ い て は.こ

定 さ れ て い る宮 寺 功 氏 の 著 書 を,参 A(t)xは,Banach空 A(t)は

間Xの

次 の 意 味 でX×Xの

  定 義   X×Xの (λω<1)と,任

こ で は,最

照 し て い た だ き た い.こ

の 叢書 で 出 版 の 予 れ ま で と違 っ て,

元 で は な くてXの

集 合 とす る.詳

中 の ω-accretive集

合 と仮 定 す る.

中 の 部 分 集 合Aが

ω-accretiveで

意 の[xj,yj]∈A(j=1,2)に

も基 本 的 な 生

あ る とは,任

し くい う と

意 の λ>0

対 し て,

(2) が 成 立 す る と き で あ る.こ

の と きA∈A(ω)と

合Aを

合 とい う.

単 にaccretive集

  特 にAが

線 型 で あ れ ば,上

と 同 値 と な り,λ ∈ρ(-A)な

と な る.先

に 進 む 前 に,使

  記 号   (A(t)=Aと

書 こ う.特

の(2)は

らば,

用 す る記 号 を 列 記 し て お こ う.

す る)

R(A)={y;[x,y]∈Aと

な るxが

存 在 す る}

D(A)={x;[x,y]∈Aと

な るyが

存 在 す る}

に,0-accretive集

  注 意  A(t)が =xが

時 刻tに

よら な い場 合(A(t)=A)を

与 え られ た とき,(1)の

例 え ば,Banach空

間X=R1(実

を 考 え る.こ こでxは

考 え てみ よ う.初 期 値u(0)

解u(t)を 

で 求 め る.

数)で,Cauchy問

題;

与え られ た 実 数 であ り,sign0rは,

1(r>0) sign0r={

0(r=0) -1(r<0)

と定 め た 関 数 で あ る.A0={[r,sign0r];r∈R1}と る.し

ま た はx=0に

を 考 え て み る.こ

お く と,A0はaccretive集

が 存在 す る よ うなxは,簡

か し, 

か ぎ ら れ る.と

こ ろ が,上

の 方 程 式 の 代 わ り にsign0rを

こ で,

1(r>0) signr={

[-1,1](r=0) -1(r<0)

合 とな

単 な 計算 に よ って,￨x￨>tn-1 多 価 に し て,

   

で あ る.A={[r,signr];r∈R1}と

き,任 意 のx∈R1に

定 め れ ば,Aはaccretive集

対 し 

で あ る. 

は,n→∞

(ⅰ)  x>0の (ⅱ)  x=0の (ⅲ)  x<0の

の と

に 対 しu(t)に

収 束 す る.こ

こで

と き, と き,u(t)=0, と き,

微 分 可 能 性 の 失わ れ るt(t=x又 u(t)はsign0と

合 と な る.こ

が存 在 す る.実 際,

はt=-x)に

対 し右微 分 を とれ ば,上 の よ うに 定 め た

した も との 方 程 式 の解 にな って い る.こ の簡 単 な 例 か ら も,Aに

多価

を と る こと も 許 す と した方 が 都 合 が よ い こ とが わ か る.逆 に考 え て,上 に定 義 したu(t) は,も し一価 の微 係 数 の み 考 え るか ぎ りは,微 分 方 程 式 で記 述 され え な い.

  §5.1  発 展 作 用 素 の 構 成  

A(t)の

仮 定 か ら始 め よ う.

 仮 定1   仮 定2 

D(A(t))=Dはtに

よ ら な いXの

集 合 で あ る.

  仮 定3 

λ0ω<1な

るλ0を

  仮 定4 

λ0ω<1な

る λ0を 固 定 す る.Jλ(t)=(I+λA(t)-1と

固 定 す れ ば,

お こ う.

(ⅰ)

 (3)

(ⅱ) 

(3′)

の い ず れ か 一 方 が,す し て 成 立 す る.こ

こ で,f1(t)は[0,T]上

関 数,f2(t)は[0,T]上 L2は[0,T]上

べ て の λ,s,t,x 

で 有 界 変 動 を も つXに

に対 で 定 義 さ れ たXに

値 を と る連 続

値 を と る 連 続 関 数 で あ り,L1,

で 定 義 さ れ た 非 負 単 調 非 減 少 関 数 で あ る.

 注 意  Jλ(t)xは,集

合 で な く.Xの

元 と し て 定 まり, 

は,∞

も許 せ ば,存 在 す る こ とが後 で 示 され る.   こ の と き発 展 作 用 素U(t,s)を [11]に

構 成 し よ う.本

質 的 に は,Crandall-Liggett

よ る.

  定 理5.1 

前 頁 の 仮 定1∼4が

対 し, 

満 た さ れ て い る とす る.こ

の と き,x∈Dに

に つ き一 様 極 限:

(強収束)  (4) は 存 在 す る.U(t,t)=Iと

お く と,U(t,s)は

 ⅰ)  ⅱ) 

な るs,tに

U(t,s)xは 

関 し て強 連続 であ る

 ⅲ)

を 満 足 す る.   定 理 の証 明 の た め に,い   補 題5.1 

くつ か の 補 題 を 用 意 す る.

A∈A(ω)と

す る. Jλ=(I+λA)-1, 

とお く.λ ω<1な

Dλ=D(Jλ)

る非 負 な λ に 対 し て

 ⅰ) Jλx(x∈Dλ)は

関 数 で あ っ て,各x,y∈Dλ

に対 し評 価

(5) が 成 立 す る.  ⅱ)  x∈Dλ ∩D(A)に

対 して

(6) が 成 立 す る.  ⅲ)  x∈D(Jnλ)な

らば,

(7) が 成 立 す る.  ⅳ )  x∈Dλ, 

で あ っ て,"リ

に対 し

ゾ ル ベ ン ト方 程 式"

(8) が成 立 す る.  補 題 の 証 明  ⅰ)の ∈Aで

あ る.仮

証 明:yj∈Jλxj(j=1,2)と

定1を

と な る.上

式 で μ=λ

と な る.特

に,x1=x2な

を 得 る.こ

対 して

とす れ ば,

らば,y1=y2と

た が つて,yj=Jλxj.さ

らに,上

れ は(5)を

z=x+λyと

用 い れ ば,μ ω<1に

す れ ば, 

な る か ら,Jλxは

式 よ り,

示 し て い る.ⅱ)の

お く とz∈Dλ

一 価 で あ る.し

証 明:y∈Axを

勝手に

と り,

で あ っ て, Jλz=Jλ(I+λA)x=x

で あ る か ら,ⅰ)でy=zと

と な る.こ

こ でyに

で あ る.ⅰ)を

おけ ば

つ き 下 限 を とれ ば,求

め る式(6)を

得 る.ⅲ)の

く り返 し適 用す れ ば

と な る か ら,

を 得 る.ⅳ)の

証 明:x∈Dλ, 

とす る.定 Jλx∈D(A)

と な る こ と が,容

易 に 確 か め られ る.(8)は

義 よ り

証 明:

よ り示 さ れ る. 

(補 題 の 証 明 終)

 補 題5.2 

A∈A(ω)と

と お こ う.こ

の と き,

し,λ

 ⅰ)  x∈Dλ ∩Dμ, 

を λω<1な

る 正 数 とす る.Aλ=λ-1[I-Jλ]

に 対 して

(9)  ⅱ )  x,y∈Dλ

な らば

(10) が 成 立 す る.  ⅲ)  Aλ∈A(ω(1-λ

ω)-1)

 ⅳ )  x∈Dλ ∩D(A)な

らば,

(11) が 成 立 す る.   補 題 の 証 明  ⅰ)の

証 明: Aλx=λ-1(x-Jμx)+λ-1(Jμx-Jλx)

で あ るか ら,

こ の 右 辺 の 第2項

を 左 辺 に 移 せ ば(9)を

[(8)よ

り]

[(5)よ

り]

得 る.

 ⅱ)  の 証 明: Aλx-Aλy=λ-1(x-y)-λ-1(Jλx-Jλy) よ り,(5)を

用 い れ ば(10)を

と な る か ら,ⅲ)を

得 る.ⅳ)の

得 る. ⅲ)の

証 明:(5)よ

証 明:ⅳ)は(6)よ

り

り 明 らか. (証 明 終)

 ⅱ  ⅰ  ⅱ

  補 題5.3 

A∈A(ω)と

と お く.λ ω<1な

し よ う.

る λ に 対 し,

) 

(12)

) 

(13)

が 成 立 す る.   補 題 の 証 明   (12)は(9)よ   補 題5.4 

り 明 らか.(13)は(6)よ

と し,α,β

を α+β=1な

り導 か れ る. る非 負 実 数 とす る.こ

の とき,

(14)

) 

(15)

) 

が 成 立 す る.   補 題 の 証 明   Schwarzの

不 等 式 に よ っ て,

 (14)の 左 辺

と な る.こ

らに,簡

こ で, 

を 

とす れ ば, 

とな る.さ

単 な 計 算 に よ っ て,

こ れ よ り(14)が で る.同

様 にjをj′=j-mと

変 換 し てSchwarzの

不等式 を

用 い れ ば,  (15)の 左 辺

(16) とな る.前

と 同 様 な 計 算 よ り, {… …}=αm(1-β)-m=1

および [……]=(n-m-mα-1β)2+β と な る か ら,(15)が

α-2m

成 り立 つ. 

  補 題5.5 

(証 明 終) な る 整 数k,lに

対 し,も

し数 列{αk,l}が,

非 負 の α,β に 対 し漸化 式

(17) を満 た せ ば,

(18) が 成 り立 つ.た {m,n}と

m∧n=min

だ し,00=1, 

規 約 す る.

 補 題 の 証 明

と お く と,(17)よ

り

(ベ ク トル の 大小 関 係 は 各成 分 の大 小 関係).Aが

ベ ク トルの 大 小 関係 を保 つ

こ と に 注 目す れ ば,  し た が っ て,

と な るが,Dj=0 

お よ び,

と な る こ と を 用 い れ ば,(18)を  定 理5.1の証

明 

得 る. 

(証明 終)

と仮 定 し て も 一般 性 を 失 わ な い. に 対 して,

  x∈D, 

と お く と,

(19) と な るが,リ

ゾ ル ベ ン ト方 程 式(8)に

よ っ て,

[(5)に

を 得 る.し

た が っ て.こ

と な る.こ

こ で, 

補 題5.5を

よ っ て]

れ を(19)に 代 入 す れ ば,

で あ る.

適 用 す れ ば,

(20) を 得 る.こ   ai,0,a0,iの

れ を さ ら に 評 価 す る た め に,ai,0,a0,i,bi,jを 評 価sj=3+jλ

とお く と

評価

し よ う.

と な る が,(5)と(12)に

よ って

を 得 るか ら, 

とお い て,上 式 を 代 入す れ ば,

(21) を 得 る.同 様 に して,

(22) を 得 る.特

に

(23) が 成 立 す る.   bk,lの 評価   仮 定4で(3)が

成 立す る場 合 は,よ り簡 単 で あ るか ら,(3′)が

成 立 す る場 合 を扱 お う.こ の と き

(24) を 得 る.a0,l-1=‖Pμ,l-1-x‖

と(23)よ

り,

(25) と な る.￨A(s+kλ)Pμ,l-1￨を

評 価 し よ う.そ

と お く.Aμ(s+jμ)Pμ,j-1∈A(s+jμ)Pμ,jで

の た め に,aj≡￨A(s+jμ)Pμ,j(s)x￨ あ る か ら,(13)と(12)よ

り

(26) と な る.他

方(3′)よ り

と な る が,こ

の 両 辺 を μ で わ っ て μ ↓0と す れ ば,

(27) x=Pμ,j-1,t=s+iμ,t′=t-μ

よ っ て,(25)よ

と な る.こ

と し て,(26)の

右 辺 に 代 入 す れ ば,

り

こで

と お い た.こ

の 漸 化 式 を 解 く と,

を 得 る.

より と な る が,f2は[0,T]上

と な る か ら, 

有 界 変 動 を もつ か ら,そ

を 考 慮 す れ ば,alは,μ,lに

さ え ら れ る こ と が わ か る.(27)のt′ と し てPμ,l-1,と

と な る が,こ

の 場 合 も,

表 わ す と,

よ らぬ 一 定 の 定 数 で お

と し てs+μ(l-1),tと

し てs+kλ,x

と れ ば,

の 右 辺 は 前 に 示 し た こ と か ら,μ,lに

て お さ え られ る こ と が わ か る.ゆ

が 成 立 す る.こ

の 全 変 動 をVで

こ でMはs,l,k,μ,λ

え に,(24),(25)よ

よ ら ぬ一定 の 定 数 に よ っ り

に よ らぬ定数 で あ る.同

様 に,(3)

が 示 さ れ る.

と お く と ρ(r)は[0,∞)か

ら[0,ρ(T)]へ

の非 減 少 の関 数 で

  (ⅰ)   (ⅱ)  ρ(r)は,劣

加 法的 であ る

  (ⅲ) を 満 た す.よ

っ て,(20),(21),(22)を

合 わ せ れ ば,

(28) を 得 る.α1=(1-μ 右 辺 第1項

と 第2項

ω)α,β1=(1-μ は,仮

ω)β と お く と α1+β1=1と

定 

な り,上 式 の

を 考 慮 す れ ば,

(29) で お さ え られ る.更

お よび 補 題5.4を

に, 

よ り,

適 用 す れ ば,(29)は

で お さえ られ る.(28)の

右 辺 の 第3項

は,

で お さえ られ るが,こ れ は,ρ の 劣加 法 性 を 用 いれ ば

で 押 え られ る.任

意 の 正 数 δ に 対 し,{…

…}の

る.I1は￨jμ-iλ￨<δ,I2は 

の 和 をI1+I2と

を 満 た すi,jの

 は 明 らか で あ る. 

と な る.ゆ

第2項

分け

和 を 表 わ す.

よ り,

え に,

 (29)の 右 辺 第3項  を 得 る.以

上 ま と め れば,

(30) を 得 る.特

に,δ=(λ-μ)1/4と

れ ば,(30)の

右 辺 は0に

と り,n,mをnμ

い く.ゆ

え にmλm→

→ τ,mλ → τ な る よ うに と τ な る任 意 の λmに 対 し て,

(31) が 存 在 す る.am,nは,sに

つ い て 一 様 に0に

い て 一 様 で あ り,λmの

と り方 に よ らな い.他

はD上 n→

でLipschitz連 ∞

続 でLipschitz定

の 極 限 は,sに

あ る か ら,す

右 辺 の 極 限 は 存 在 しU(t,s)が

あ り, べ て のx∈Dと

定 義 さ れ 得 る.

しか も

を 満 た す こ と が わ か る.   次 に, 

τ,t>0, 

k(n)t/n→

と な る.と

τ(n→

こ ろ が,

∞)な

な るr,τ,tを

る よ うに,自

つ

方, 

数 は,(1-ω(t-s)/n)-nで

に 対 し,(1-ω(t-s)/n)-n→eω(t-s)で

  に 対 し て,(31)の

い くか ら,上

勝 手 に と る. 

然 数 の 列{k(n)}を

と れ ば,

と な る.n→

∞ に 対 し 右 辺 第1項,第2項

は と もに0に

い く.第3項

は(5)

を く り返 し適 用 す れ ば,

に よ っ て お さえ られ る か ら,n→

∞

とす れ ば0に

い く.か

く し て,

U(r+t+τ,r)=U(r+t+τ,r+t)U(r+t,r) が 成 立 す る こ と が わ か る.こ のⅱ)の

れ よ り,定

み が 証 明 し 残 し て あ る.x∈D,τ>0と  とお き,n,m→

と な る.こ

理 の 主 張 のⅰ)が

∞

で る.定

し よ う.(30)に

理 の主 張 お い て,

とす れ ば,

こ で,δ ↓0と す れ ば

(32) を 得 る.こ

こで,Mはs,t,τ

に よ らぬ 定 数 で あ る.   に 対 し て,

  次 に,x∈D,s,r,τ

(33) を 示 そ う.Mはs,τ,rに

よ ら ぬ 定 数 で あ る.ak=‖Pλ

,k(s)x-Pλ,k(r)x‖

と

お く と,

(34)

 

を 得 る.こ

(j=1ま

の 右 辺 第1項

た は2)で

は(3),(3′)に

よ っ て,

お さ え ら れ る が,前

￨A(s+kλ)Pλ,k-1(s)x￨は

λ,k,sに

に 見 た 通

り,‖Pλ,k-1(s)x‖,

よ ら ぬ 定 数 で お さ え ら れ る か ら,

(35)

 (34)の 右 辺 第1項  と な る.他

方,(5)よ

り

 (34)の 右 辺 第2項  で あ る か ら.

を 得 る.a0=0で

あ る か ら,こ

の漸 化 式 よ り

とお い てn→

と な る. 

∞

  さ て,U(t,s)x((x∈D)は,xに

続 で あ る か ら,x∈D

対 しf(τ,s)=U(s+τ,s)xは(32)よ

りsに

り,τ に つ き 一 様 にsに

し た が っ て,U(t,s)xはsとtに

  §5.2  Cauchy問

得 る.

つ い て連 続 で あ る こ と を示 せ ば 十 分 で あ る.

に τ に 関 し て 連 続 で あ り,(33)よ

  A(t)を

り,(33)を

関 し て,Lipschitz連

に 対 し,U(t,s)xがsとtに と こ ろ が,x∈Dに

とす れ ば,(31)よ

つ い て一 様

関 し て 連 続 で あ る.

関 し て 連 続 と な る. 

(証 明 終)

題

前 節 の 仮 定1∼4を

満 た す 作 用 素 とす る.こ

の と きCauchy問

題

(36) の 解u(t)と

前 節 で 構 成 し たU(t,s)と

の 関 係 を み て みよ う.こ

こ で,(36)

の 解 とは, (ⅰ)  u(t)は[s,T]上 (ⅱ)  u(t)は(s,T)の (ⅲ)  uは(s,T)上

連 続 で あ っ て,u(s)=x,  コ ン パ ク ト集 合 上 絶 対 連 続 で あ る,  殆 ど 到 る 所 微 分 可 能 で,殆

ど 到 る所(36)を

満 た す,

な る3条

件 を 満 足 す るu(t)を

  定 理5.2 

x∈Dと

い う.

す る.u(t)を(36)の

解 とす る.こ

の と き,

(37) が 成 立 す る.   証 明   も し十 分 小 さ い

ε>0に

対 しu(t)=U(t,s+ε)u(s+ε)が

ば,ε ↓0と す る こ と に よ っ て(37)を 連 続 で,u(s+ε)∈Dと

な るか ら,結

得 る.[s+ε,T-ε]に

任 意 の ε>0に

お い てuは

局,uは[s,T]で

と仮 定 し て(37)を 示 せ ば 十 分 で あ る.さ   補 題5.6 

示 され れ

絶 対 連 続 でx∈D

ら に 簡 単 の た めs=0と

対 し,[0,T]上X-値

絶対

し よ う.

階 段 関 数uε

を

に よ っ て 定 義 す れ ば,uε(t)は,

の 解 で あ る.([・]はGaussの

記 号 を 表 わ す.)さ

らに,

(tに

つ き 一 様). 

(38)

とお く.nを 

 証明   と お く.こ

の と き,υn(tε)=uε(t)と

と と り

な る.よ

っ て,

(39) と な る.ε ↓0と す れ ば,n→

∞ か つtε →tと

に 関 す る 強 連 続 性 よ り,(39)の →I(ε

↓0)と,定

理5.1に

に 強 収 束 す る か ら,(31)の uε(t)はU(t)xにtに

右 辺 第1項

な る.よ

は0に

っ て,U(t,0)のt

収 束 す る.Jε(0),Jε(t)

よ っ て,υn(t)はU(t,0)xにtに 右 辺 第2項

も0に

い く.よ

つ き広 義一 様 っ て,ε

関 して 広 義 一 様 に 強 収 束 す る. 

→0の

と き,

(補 題 の 証 明 終)

t<0に

対 し,uをu(t)=xと

と お く と,uは(36)の

延長 して

解 で あ る か ら, u(t)=Jε(t)(u(t-ε)+εgε(t)) 

を 殆 ど到 る 所 のtに

対 し満 た す.ま

た,[0,T]上

(40) で 絶 対 連 続 で あ る か ら,

(41) と な る.(40)よ

を 得 る.こ

り,

れ を[0,t]上

と な る.(38)と(41)を

を 得 る.こ

[(35)よ

り]

[(5)よ

り]

で 積 分 す れ ば,

考 慮 し て ε↓0と す れ ば,

れ よ り‖U(t,0)x-u(t)‖=0,つ

ま り

U(t,0)x=u(t) が 導 か れ る. 

  上 でCauchy問

(証 明 終)

題(36)の

解 が 存 在 す れ ば,u(t)=U(t,s)xと

な る こ とをみ

た.し

か しU(t,s)xが(36)の

っ て い な い.十 お こ う.(証   定 理5.3 

解 とな ってい るた め の条 件 は十 分 に は 未 だ わか

分 条 件 を1つ(証

明 は[12]を Xを

み よ.)

反 射 的Banach空

の 中 の 閉 集 合 と仮 定 す る.そ る と仮 定 し よ う.こ

の 上, 

間 とす る.各tに

の 上,仮

の と き,任

(36)は 一 意 的 解u(t)を

で 与 え ら れ る.そ

明 は そ れ 程 面 倒 で は な い が)証 明 な しで 述 べ て

もち,そ

定1,2,3お

意 のx∈Dと 

対 しA(t)はX×X よび 仮 定4の(3′)が

に対 し,初 期 値 問題

れ は,

に 対 しu(t)∈Dと

成 立す

な る.

第 Ⅱ部  応

用

定

義

  第 Ⅰ部 で のべ た一 般 論 の応 用 を以 下 で示 そ う.そ の 前 に,後 で 用 い る主 な関 数 空間 の定 義 を のべ て お こ う.  α=(α1,α2,…,αN) 

(αj:非

負 整 数)に

対 し,

  ￨α￨=α1+α2+…+αN,

とお く.さ て,RNの  Ck(Ω);Ω

でk回

  Ck0(Ω);Ω

D 

中 の開 集合Ω

に 対 し次 の 関数 空 間 を 定 め る.

連 続 的 微 分 可能 な関 数 の全 体.

の 中 に コ ン パ ク トな 台 を も つCk(Ω)の

=D(RN);任

意 のk,α

に 対 し(1+￨x￨2)kDαφ(x)がRN上

界 と な る よ うなC∞(RN)-関 Lp(Ω);Ω

上p-乗

可 積 分 関 数 の 全 体.ノ

でBanach空 Lploc(Ω);Ω0⊂Ω

数φ(x)の

有 全 体.

ル ム 

間 と な る. とな る任 意 の 有 界 開 集 合Ω0に

る関 数φ Wkp(Ω);Ω

関 数 の 全 体.

上 のk回

対 し,φ

∈Lp(Ω0)と

の 全 体. ま で の 超 関 数 微 分 がLp(Ω)に

ル ム 

でBanach空

入 る関 数 の 全 体.ノ 間 と な る.

Hk(Ω)=Wk2(Ω). Wkp,loc(Ω);Ω0⊂Ω

と な る 任 意 の 有 界 開 集 合Ω0に

な る 関 数φ

の 全 体.

対 し,φ∈Wkp(Ω0)と

な

C(Ω);Ω

上 有 界 か つ 一 様 連 続 な 関 数 の 全 体 にsupremumノ

ル ム 

を そ な え た関 数 空 間. Cf(Ω);Ω

の 中 に 含 ま れ る あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で 定 数 と な る 連 続 関 数 の 全 体 をmaximumノ

C∞(Ω);Ω

ル ム‖u‖Cに

よ っ て 完 備 化 し た 関 数 空 間.

の 中 の あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で0と 全 体 をmaximumノ

ル ム‖u‖Cで

な る Ω で連 続 な 関 数 の

完 備 化 し た 空 間.

Ck,p(Ω);各

成 分 がCk(Ω)に

入 るp-ベ

ク トル 値 関 数 の 全 体.

Ck0,p(Ω);各

成 分 がCk0(Ω)に

入 るp-ベ

ク トル 値 関 数 の 全 体.

Ck,p×q(Ω);各 B∞=B∞(RN);す

成 分 がCk(Ω)に

入 る(p,q)行

べ て の 階 数 の 微 分 がRN上 の 全 体.

列 値 関 数 の全 体. で 有 界 と な るC∞(RN)-関

数

 

第6章

  生 成 作 用 素 の 局 所 表 現

  §6.1  抽 象 放 物 型 発 展 作 用 素 の 生 成 作 用 素 の 局 所 表 現   Ω をRNの tを

開 集 合 と し,U(t,s)をC∞(Ω)上

の 発 展 作 用 素 とす る.x,s,

固 定 す れ ば,(U(t,s)f)(x)は,C∞(Ω)上

ら に,U(t,s)は,Markovianで

の 連 続 線 型 汎 関 数 と な る.さ

あ る と仮 定 し よ う.つ

  (ⅰ)  任 意 の 非 負 関 数   f∈C0(Ω)に

ま り,

対 し,

(1) (2)

(ⅱ) 

お よび

を 満 た す 関 数 ζn(y)∈C20(Ω)が   こ の と き,よ

存 在 す る.

く知 られ た 測 度 論 に お け る定 理(Rieszの

表 現 定 理)に

よ っ て,

U(t,s)は,

(3) と 表 わ さ れ る.こ

こ で,P(s,x;t,E)は,P(s,x;t,Ω)=1な

集 合 上 の 測 度 で あ る.こ れ は,時 にEの

刻sにxに

中 に あ る 確 率 がP(s,x;t,E)で

U(t,s)の

生 成 作 用 素A(t)の

を み よ う.xを φ0(y;x)=1と

あ っ た 粒 子 が,そ

形 は 局 所 的 に(各

点xで)ど

Ω の 固 定 さ れ た 内 点 とす る.φ0(y;x)を,y=xの な り, 

Yosida[85]に

れ 以 後 の 時 刻t

あ ると 解 釈 され る.さ

を 満 た しC20(Ω)に

数 と し よ う.   以 下 は,K.

るBaire

よ っ て 示 唆 さ れ た.

て,こ

の

う表 わ さ れ る か 近傍で 属 す る(yの)関

  定 理6.1 

-A(t)をU(t,s)の

生 成 作 用 素 と す る.こ

の と き,

D(A(t))⊃C20(Ω) と 仮 定 す れ ば,

(4) と一 意 的 に 表 わ さ れ る.こ

こ で,{ajk(x,t)}は

非 負 お よ び,G(t,x;E)は,Ω-{x}の G(t,x;Ω-{x})<∞

対 称 な 非 負 行 列 で,a(x,t)は 中 のBaire集

合 体 上 で 定 義 さ れ て,

な る 測 度 で あ る.

  証 明   一 意 性 の 証 明 か ら始 め よ う.

(5) と 別 のa′jk,a′j,a′,G′ を 用 い て 表 わ さ れ て い る と 仮 定 す る.(4)は f∈C20(Ω)に と(5)よ

対 し 成 立 す る か ら特 に,supp(f)⊂

Ω-{x}な

るfに

任意 の 対 し,(4)

り,

し た が っ て,fの

任 意 性 よ り.

(6) が 成 立 す る.C20(Ω-{x})は,C0(Ω-{x})で に 対 し て Ω-{x}の fnに

対 し(6)は

f∈C0(Ω-{x})に

上 でfを

稠 密 で あ る か ら,f∈C0(Ω-{x})

一 様 近 似 す る列fn⊂C20(Ω-{x})が

成 立 す る か ら,そ

こでn→

対 し成 立 す るこ とが わ か る.こ

∞

とす れ ば,(6)が れ よ り,C0(Ω-{x})上

とれ る. 任意の の

汎 関 数 の 定 め る測 度 の 一 意 性 よ り,G′(t,x;E)=G(t,x;E)を が っ て,(4)と(5)よ

と な る が,こ

こ でf(y)=φ0(y;x)と

す れ ば,y=xの

で あ る か らa′(x,t)=a(x,t)と れ ば,aj(x,t)=aj(x,t)と

な る.ま

た

近 傍 で

φ0(y;x)=1

たf(y)=(yj-xj)φ0(y;x)と

と

な り,f(y)=(yj-xj)(yk-xk)φ0(y;x)と

れ ば,ajk(x,t)=a′jk(x,t)を

得 る.よ

  つ ぎ にA(t)が(4)で ⊂D(A(t))で

得 る.し

り

っ て,一

意 性 が 示 さ れ た.

表 現 さ れ る こ と を 示 そ う.仮

あ る か ら,f∈C20(Ω)に

対 し,極

と

定 に よ っ て,C20(Ω)

限

(7) が 存 在 す る.特

に,f∈C20(Ω)でf(y)=0(y=x)な

らば,上

式 より

存在  と な る こ と に 注 意 し よ う.(4)に

お け るGの

(8)

存 在 を 示 す た め に,次

の補 題 を

用 意 す る.   補 題6.1  をFで

Ω の 中 の,あ

表 わ し,Fを

こ の と き,Cf(Ω)上

る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で 定 数 と な る連 続 関 数 の 全 体

ノ ル ム‖g‖Cで

完 備 化 した 空 間 をCf(Ω)で

表 わ そ う.

の 任 意 の 非 負 の 連 続 線 型 汎 関 数Lは,

(9) で 表 わ さ れ る.こ

集 合 体 上 の 測 度 で あ る.ま (2)で

で あ り,μ

こ で,  たm∞

は μ(Ω)<∞

な るBorel

で あ る.(ζnは,

は, 

定 義 さ れ た 関 数 列 で あ る.)

  証 明   f1(y)≡f(y)-f(∞)∈C∞(Ω)で で あ る か らRieszの

あ り,LはC∞(Ω)上

の連 続 汎 関 数

表 現 定 理 よ り,

(10)

と な る.こ

こで,μ

は μ(Ω)<∞

とな る が,(10)とLebesgueの

な るBorel集

合 体 上 の 測 度 で あ る.よ

収 束 定 理 に よ っ て,

とな る ことを 用 いれ ば,求 め る式(9)を 得 る.   さ て,φ1(y),φ2(y)を 

(y∈

φ1(y)=1},supp(φ1)⊂{y;φ2(y)=1}な ら に ψδ を 次 の 条 件 を 満 た すC∞-関   (ⅰ) 

ψδ(y)=1 

(￨y-x￨>2δ

っ て,

(補 題 の証 明 終)

Ω,j=1,2)でsupp(φ0)⊂{y;

る 条 件 を 満 た すC∞0-関 数 とす る.さ 数 とす る. の と き);ψ

δ(y)=0 

(￨y-x￨<δ

の と き),

  (ⅱ) f∈C20(Ω)に

対 し,

と お く.こ

の と き,

(11) と 分 解 し て み よ う.そ れ ぞ れ の ε↓0,δ ↓0に 対 す る 極 限 を 計 算 す る.ま I1(ε,δ)か ら始 め よ う.g∈C2(Ω)∩Cf(Ω)に

対 し,

ず,

と お く.被 積 分 関 数 は,yの

関 数 と してC20(Ω)に

ら,(8)よ

在(≡L(1)[g]). 

りlimL(1)ε[g]=存  と な る.さ

が 成 立 す る.し

な るか で あ る か ら,

ら に,

か る に,C2(Ω)∩Cf(Ω)はCf(Ω)で

と よ りL(1)[g]をCf(Ω)上 補 題6.1よ

入 り,y=xで0と

稠 密 で あ る か ら,上

の こ

の 非 負 の 線 型 連 続 汎 関 数 に 一 意 的 に 拡 張 で き る.

り,L(1)は

(12) と 一 意 的 に 表 現 さ れ る.こ

Borel集

こ で,P1(t,x;E)は,P1(t,x;Ω)<∞

合 体 上 の 測 度 で あ り,m∞

な る

で定 義 され

は 

た定 数 で あ る.

と お い て,上

式(12)でg=hδ

と とれ ば,

(13) と な る.次

に δ↓0と

し よ う.そ

の た め に,ま

ず

φ0(y)=1な

るyに

対 し て,

(14) し た が っ て,

(15)

と な る こ と に 注 意 す る.こ (14)よ

こ でyはxとyを

結 ぶ 線 分 上 の あ る点 で あ る.

り

と な る か ら,

と な る.他

方,

で あ る か ら,Lebesgueの

(y≠xの

と き)

(y=xの

と き)

収 束 定 理 を 適 用 し て,(13)で

δ↓0と す れ ば,

(16) を 得 る.次

にI2(ε,δ)の

極 限 を 計 算 し よ う.そ

の た め に,

(17) とお く と,十

分 小 さ い δ に 対 し てsupp(1-ψ

を 得 る.I2,1(ε,δ)を   補 題6.2 

1) 

δ)⊂{y;φ0(y)=1}と

な る か ら,

考 え よ う. {ajk(x,t;ε,δ)}は

に 対 し, 

対 称 非 負 行 列 で あ っ て,各

ε と ξ∈RN

は δ に つ き単 調 増 加 と な り,

存在   2)  {ajk(x,t;δ)}は

対 称 非 負 行 列 で あ っ て,各

ξ∈RNに

対 し,

  は δ に つ き 単 調 増 加 と な り,

存在   3)  {ajk(x,t)}は

対 称 非 負 行 列 で あ る.

  証 明   {ajk(x,t;ε,δ)}の

対 称 性 は 明 らか で あ る.

(18) で あ る か ら,非

負 行 列 で あ る.1-ψ

δ(y)は

(18)の 右 辺 は 単 調 増 加 で あ る.φ2(y)2(1-ψ で0と

な るC20-関

れ は1)を

数 で あ るか ら,(8)よ

示 して い る.つ

ぎ に2)を

で Σajk(x,t;δ)ξjξkが れ る.ajj(x,t;δ)は

δ に つ き 単 調 増 加 で あ る か ら, δ(y))(yj-xj)(yk-xk)は,y=x

は存 在 す る.こ

り  示 そ う.{ajk(x,t;δ)}が

対 称 非 負行列

δに つ き単 調 増 加 で あ る こ とは,1)よ

り容 易 に 示 さ

存在

δ に つ き 単 調 増 加 で 非 負 よ り, 

(≡ajj(x,t)).ajj(x,t;δ)+2ajk(x,t;δ)+akk(x,t;δ)も 増 加 で 非 負 よ り,δ ↓0に 対 し 極 限 を もつ,こ に 対 し極 限 を も つ.3)は2)よ

δ に つ き単 調 れ か ら,ajk{x,t;δ)も

り明 らか で あ る. 

δ↓0

(補 題 の 証 明 終)

  こ の 補 題 を 用 い れ ば,

(19)

存在  と な る こ とが わ か る.さ

て 次 に,

(20) を 示 そ う.1-ψ

δ(y)=0 

で あ る か ら,

(21)

と な る.φ2(y)2(yj-xj)(yk-xk)はy=xで0と (8)よ

り

な るC20-関

数 で あ るか ら,

存在 と な る こ と と,M2(δ)→0(δ る.次

に,I3(ε)に

る か ら,(8)よ

→0)で

あ る こ と よ り,(21)に

移 る.φ0(y)2(yj-xj)もy=xで0と

よ っ て(20)を な るC20-関

得

数 であ

り,

存在 と な る.こ

れ よ り,

(22) と な る.最

後 にI4(ε)を

計 算 し よ う.g∈F∩C2(Ω)に

対 し,

と お く.gをg=g0+b(g0∈C20(Ω),  C20(Ω)で

と 分 解 す る.φ2(y)2∈

φ2(y;x)=1(y=x)で

あ る か ら,

存在 と な る.ゆえ

に 

y=xで0と

な るC20-関

他 方,(1-φ2(y)2)g0(y)は 数 で あ る か ら,(8)よ

りlimL(2)ε[g0]も

存 在 す る.よ

って

存在 と な る.と

こ ろ が,

で あ るか ら.上

を 得 る.し

式 で ε↓0と す れ ば,

か も 

な らば 

と と る こ と に よ っ て  L(2)[g]はCf(Ω)上

と な る か ら,そ

が 示 さ れ る.C2∩FはCfで

こ で ε↓0 稠 密 よ り,

の 非 負 連 続 線 型 汎 関 数 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ 得 る.さ

supp(φ1)⊂{y;φ2(y)=1}で

あ るか ら,L(2)ε[φ1g]=0と

な る.し

らに,

た が っ て,

L(2)[φ1g]=0.ゆ

え に,L(2)[g]=L(2)[1-φ1)g].こ

れ と 補 題6.1よ

り,

(23) と 表 わ す こ と が で き る.こ

こ でP2(t,x;E)は,P2(t,x;Ω)<∞

な るBorel

集 合 体 上 の 測 度 で あ り,a(x,t)は

で あ る.上

の 関 係(23)をg(y)=f(y)-f(x)に

適 用 す れ ば,

(24) と な る.さ

て,

と お い て,supp(φ0)⊂{y;φ1(y)=1}に (22),(24)に

よ っ て,求

  系   定 理6.1の

め る 式(4)を

仮 定 に 加 え て,任

注 意 す れ ば(11),(16),(19),(20), 得 る. 

(証明 終)

意 の δ>0に

対 し, (Lindebergの

を 仮 定 す れ ば,(4)に

お い てG≡0と

し て よ い.し

条 件)

た が っ て,A(t)は2階

偏

微 分 作 用 素 に よ っ て 局 所 的 に 表 現 され る.   証 明   上 の 定 理 の 証 明 で,ψ δ の 性 質 よ り

(Mは と な る.こ

こ で ε→0と

す れ ば,I1(ε,δ)→0と

し て よい こ と が わ か る;I4(ε)→0と

 §6.2  Peetreの   UをRNの

な り,こ

な る. 

ε に よ らぬ定 数) れ か ら,G≡0と (証 明 終)

定理

開 集 合 とす る.U上

ク トル 値 関 数 の 全 体 をCk,p(U)で

で 定 義 さ れ たk回 表 わ し,Uの

連 続 的 微 分 可 能 なp-ベ

中 に コ ン パ ク トな 台 を も つ

Ck,p(U)の p×q行

関 数 の 全 体 をCk,p0(U)で

表 わ す.同

列 値 関 数 の 全 体 をCk,p×q(U)で

(f1,…,fp)に

様 にk回

連 続 的 微 分 可 能 な,

表 わ す 。 さ ら に,Ck,p0(U)の

元f=

対 し,

(25) と お こ う.こ

こ で,α=(α1,…,αN)は

￨α￨=α1+…+αNで

非 負 の 整 数 を 成 分 に もつN-ベ

ク トル,

とお い た.さ

あ り, 

て,

こ の と き,   定 理6.2  す る.も

(Peetre

しLが

[57])

LをC∞,q0(U)か

局 所 作 用 素,す

らC∞,p(U)へ

の線 型 作 用 素 と

な わ ち,

supp(Lf)⊂supp(f)  が す べ て のf∈C∞,q0(U)に Ω に 対 し,自

(26)

対 し 成 り立 つ な らば,Ω

⊂Uな

然 数mと 

る任 意 の 有 界 開 集 合

を 適 当 に とれ ば,

(27) が す べ て のf∈C∞,q0(U)とx∈

Ω に 対 し 成 り立 つ よ うに で き る.し

の よ うな 表 現 は,Ω

上 で 一 意 的 で あ る.

  証 明   以 下 で,簡

単 の た め,‖f‖Ck=‖f‖kと

か らC∞,p(U)へ に対 し,xの

書 こ う.ま

ず,LはC∞,q(U)

の 作 用 素 に 拡 張 で き る こ と に 注 意 す る.実 近 傍 で 恒 等 的 に1と

任 意 のf∈C∞,q(U)に

か も,こ

な る関 数 ζ(y)∈C∞0(U)を

際,任

意 のx∈U

と る.こ

の と き,

対 し, L[f](x)=L[ζf](x)

と 定 義 す れ ば よ い.こ

の 右 辺 の 値 が ζ の と り方 に よ らな い こ と は,Lが

局所

作 用 素 で あ る と い う仮 定 か ら 容 易 に わ か る.   さ て,こ   補 題6.3 

こで,幾

つ か の 補 題 を 用 意 し よ う.

任 意 のy∈Uに

当 に とれ ば,評

対 し て,yの

近 傍U′y,自

然 数m,正

数cを

価

(28) が 成 り立 つ よ うに で き る.

適

  証 明   矛 盾 に よ っ て 証 明 す る.U0をU0⊂Uな も し,(28)が

るyの

有 界 な開 近 傍 と す る.

成 立 し な い と仮 定 す れ ば, 

開 集 合U1(U1⊂U0-{y})と U0-U1はyの

が 成 立 す る よ う な,

恒 等 的 に は0で

な いf1∈C∞,q0(U1)が

開 近 傍 で あ る か ら,U2⊂U0-U1-{y}な

f2∈C∞,q0(U2)を

と で き る.帰

存 在 す る.

る 開 集 合U2と

適 当 に とれ ば,

納 法 に よ っ て,

(29) を 満 た す 開 集 合 の 列{Uk}と{fk}が

と お く と,こ か る.こ

存 在 す る.そ

の 右 辺 は 任 意 のkに

れ よ り,f∈C∞,q(U0)と

か ら,supp(f)⊂U0よ

こで,

対 しCk,q(U0)の

位 相 で収 束 す る こ とが わ

な る.supp(fj)⊂U0(j=1,2,…)で

っ てf∈C∞,q0(U)と

な る.さ

あ る

らに,

お よび supp(L[f-gk)⊂supp(f-gk)⊂UCk で あ る か ら,

(30) と な る.し

か る に,(29)に

よ っ て,

￨L[fk](xk)￨>22k-1‖fk‖k な るxk∈Ukが

存 在 す る か ら,こ

の よ う なxkに

対 し(30)は,

(31) と な る.xkは 列{xk′}が

コ ン パ ク ト集 合U0の

点 で あ る か ら,{xk}か

と りだ せ る.xk′ →x0(k′→

続 関 数 で あ るか ら,L[f](xk′)→L[f](x0)と

∞)と

ら収 束 す る部 分

し よ う.L[f](x)は,xの な る が こ れ は(31)に

反 す る.

連

(補題 の証 明終)   さ て,任 y∈Kに

意 にK⊂

Ω

な る コ ン パ ク ト集 合Kを1つ

対 し補 題6.3よ

固 定 し よ う.任

り(28)が 成 立 す る よ う なU′y,m,cが

下,Ω′ を Ω′ ⊂U′y-{y}な

る 任 意 の 開 集 合 とす る.ま

ず,(28)に

意の

存 在 す る.以 よ っ て,

(32) が 成 立 す る,   さ て,も

う2つ

程 補 題 を 用 意 し よ う.

  補 題6.4 

f∈C∞,q0(Ω′),z∈

な らば,zの

近 傍 で 恒 等 的 に0で

Ω′ と し よ う.も あ っ て,か

‖f-fj‖m→0 を 満 足 す るC∞,q0の

関 数 列fjが

し(Dαf)(z)=0 

つ (j→

∞) 

存 在 す る.(mは,補

(33) 題6.3に

よ って与 え ら

れ た 整 数.)   証 明  z=0と

仮 定 し て も一 般 性 を 失 な わ な い.k(x)を

な る 非 負 のC∞(RN)関 く と, 

数 とす る.補

な る α に 対 し,RN上

題 を 示 す に は, 

とお

一様に

￨(Dαgδ)(x)-Dαf(x)￨→0

(δ↓0) 

(34)

を 示 せ ば よ い.

(35) が成 立 す る.仮 定(Dαf)(0)=0 

より

(36) を 得 る.他

と な る が,

方,Leibnitzの

公 式 よ り,

と お く と,

を 得 る.Dαf(0)=0 

で あ るか ら, ￨(Dμf)(x)￨=0(￨x￨m-￨μ￨) 

と な る.こ

れ を 用 い れ ば, 

(￨x￨→0)

に対 し

これ よ り

と な る.し

た が っ て,こ

れ と(35),(36)よ

  補 題6.5 φ

∈C∞,q0(Ω′)と す る.も

L[φ](z)=0で

あ る.

  証 明   補 題6.4よ

り,こ

(補 題 の 証 明 終)

し 

な らば,

の よ う な φ に 対 し,zの

を 満 た す 関 数 列fj∈C∞,q0(Ω′)が (Lfj)(z)=0と

り(33)を 得 る. 

近 傍 で0と

存 在 す る.supp(Lfj)⊂supp(fj)で

な る.(32)と(33)よ

り,LfjはLφ

な り,(33) あ るか ら,

に 一 様 に 収 束 す る.ゆ

え

に,

と な る. 

(補 題 の 証 明 終)

  さ て,z∈

Ω′,f∈C∞,q(U)に

と な る.こ

こで,g(x)は 

ζ(x)をzの

近 傍 で1と

で  な る.ゆ

対 し,Taylorの

な るC∞,q(U)-関

数 で あ る.

な るC∞0(Ω′)の 中 の 関 数 とす れ ば,ζ(x)g(x)∈C∞,q0(Ω′) で あ る か ら,補

え に,L[g](z)=L(ζg)(z)=0と

入 す れ ば,

公式 よ り

題6.5よ

な る.し

りL[ζg](z)=0と

た が っ て,gの

定 義 式 を代

と な る.さ

て,

(j行 目以外0)

と お く と,

と な る か ら,

(37) を 得 る.

で あ る か ら,

と な る.仮

定 に よ っ て,L[xβek](z)は,zの

関 数 と し てU全

体 で定 義 され

た 無 限 回 連 続 的 微 分 可 能 な 関 数 で あ る か ら,L[(x-z)αek](z)も,無

限回連続

的 微 分 可 能 な 関 数 と な る.よ

っ て,

aα(z)=(ai,jα(z)) と お く と,aα(z)∈C∞,p×q(U)と

な る.か

く し て(37)よ

り,

(38) が 成 り立 つ.Ω′

は Ω′⊂U′y-{y}な

べ て のz∈U′-{y}と,す (xn≠z)を

と れ ば,

る任 意 の 開 集 合 で あ っ た か ら,上

べ て のf∈C∞,q(U)に

式 はす

対 し て 成 り立 つ.xn→z

が 成 り立 ち,こ

こでn→

∞

とす れ ば,(38)がz=yに対

が わ か る.{U′y;y∈K}はKの

し て 成 り立 つ こ と

開 被 覆 で あ る か ら,Kのコ

有 限 部 分 被 覆{U′j}kj=1が

存 在 す る.U′jに

ンパ クト 性 よ り,

対 応 す るmをmjと

とお く.x0∈U′i∩U′jな らば,x0の

し, 

近 傍 でU′iとU′jに

対応

す る2つ の表 現

を 得 る が,特

に,fと

ま た,mi>mjな

してf(x)=(x-x0)α

を と る こ とに よ っ て,

ら ば,

とな る.よ ってLは,K上

で 高 々m階

の微 分 作 用素 で表 わ され る こ とが わ

か る.表 現 のΩ 上 で の一 意 性 は,上 に述 べ た こ と よ り明 らか で あ る. (証 明終)

  §6.3 抽 象 双 曲 型 発 展作 用 素 の 生成 作 用 素 の 局所表 現   正 定 数cを

超 え ない 有 限 な伝 播 速 度 を もつ"発

展作 用素"U(t,s),す

なわ

ち,   (ⅰ) 

U(t,t)=I, 

  (ⅱ) 

任 意 のf∈C∞,p0(RN)と に 関 し てC∞-関

  (ⅲ) 

U(t,s)U(s,r)=U(t,r), 任 意 のsに対

し て,U(t,s)f(x)は,xと 

数 で あ る,

(x1,t1),(x2,t2)を￨x1-x2￨>c￨t1-t2￨(t1
も しf∈C∞,p0(RN)がf(x)=0(￨x-x1￨>δ)を (x)=0(￨t-t2￨<δ,￨x-x2￨<δ)が

る 点 と す る. 満 た す な ら ば(U(t,t1)f)

つ ね に 成 立 す る よ う にδ>0を

と る こ と

が で き る,

と い う三 条 件 を 満 足 す るC∞,p0(RN)か

らC∞,p(RN)へ

{U(t,s)}, 

数 空 間 を 指 定 し な い た め,厳

を 考え よ う.(関

の線 型 作 用 素 の 族 密な意

味 で の 発 展 作 用 素 で な い.)   こ れ に 関 連 し て,依

存 領 域 と い う概 念 を 導 入 す る.

  定 義 p1=(x1,t1),p2=(x2,t2)と t1
あ っ て,x1の

す る.p1がp2に

影 響 を 与 え る と は,

任 意 のx-近傍V(x1)とp2の

任 意 の(x,t)-近

傍Wp2

に 対 し て 

な

るf∈C∞,p0(RN)が   定 義   p2の   さ て,こ

存 在 す る と き い う.

依 存 領 域 と は,p2に

点 の 集 合 で あ る.

の と き 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

  命 題6.1 p2=(x2,t2)の 表 わ そ う.Dを

依 存 領 域 とt=t1(t1
含 むRNの

(U(t,t1)f)(x)はp2の

  証 明  x0∈RN-D′

中 の 開 集 合D′ あ る(x,t)-近

のx-近

x0の

影 響 を 与 え るp1の

傍 でf=0な

あ る.特

あ る(x,t)-近

とす れ ば,p=(x0,t1)は

近 傍V(x0)と,p2の(x,t)-近

(x∈RN-V(x0))な

の 中 でf=0で

傍 で0で

らば,p2の

に  傍 で0で

あ る.

適 当 に と れ ば,g(x)=0

対 し,(U(t,t1)g)(x)=0((x,t)∈Wp2)

が 成 立 す る よ うに で き る. 

と な り,supp(f)

は コ ン パ ク トで あ る か ら,{V(x0)}のsupp(f)に {Vj}mj=1と(x,t)-近

あ れ ば,

依 存 領 域 の 外 点 で あ るか ら,

傍Wp2を

る任 意 のgに

の 共 通 部 分 をDで

傍{Wj}mj=1が

対 す る有 限個 の部 分 被 覆

存 在 す る.よ

っ て,

 1)

  2) supp(φj)は

あ るViに

含 ま れ る,

を満 たす 有 限個 のC∞-関 数{φj}が 存 在 す る. 

で あ るか

ら,

と な る.こ

こ でfj(x)=φj(x)f(x)で

る か ら,U(t,t1)fj(x)はp2の  の 中 でU(t,t1)f(x)は0と

あ る.fjの あ る 近 傍Wiの な る.命

よ っ て,f∈C∞,p0(RN)に

中 で0と

題 の 後 半 は,仮

り 明 らか で あ る.    仮 定(ⅱ)に

台 は あ るViの

中 に 含 まれ

な る.ゆ 定ⅱ)と

え に, 前半 よ

(証 明 終) 対 し,

(39) はU(t,s)fに をVと

よ っ て 一 意 的 に 決 ま る.supp(f)を す る.こ

f(x0)=0と

の と き,Vの2εc-近

な る.実

な るyに

傍 の 外 に あ るx0に

際,  な る.よ

近 傍 で0と

A(t0)f(x0)=0.Vは

対 し,U(t0+ε,t0)

な ら ば, 

対 しf=0と

(x0,t0+ε)の

含 む任 意 の有 界 な 開 集合

な る.ゆ

っ て,命

よ っ て, 

題6.1よ

り,U(t,t0)f(x)は

えに,U(t0+ε,t0)f(x0)=f(x0)=0よ

り

任 意 で あ っ た か ら, supp(A(t0)f)⊂supp(f)

と な る.A(t0)はC∞,p0(RN)か Peetreの

らC∞,p(RN)へ

定 理 に よ っ て,任

の 線 型 作 用 素 で あ るか ら

意 の コ ン パ ク ト集 合Kに

対 し,mが

存 在 し て,

(40) と 表 わ され る.こ

こ でaα(x,t)はxのC∞-関数

と 詳 し く求 め る た め に は,残

で あ る.A(t)の

念 な が らU(t,s)の

形 を もっ

形 を制限 し な け れ ば な ら な い.

ま ず 作 用 素 τyを (τyf)(x)=f(x+y) に よ っ て 定 め よ う.こ

の と き,次

  (ⅳ)  U(t,s)は,空

の 仮 定 をU(t,s)に

間 的 に一様 で あ る.つ

つ け る.

ま り,

(41)   (ⅴ)  U(t,s)は,時

(ⅳ)よ

り,(39)を

間 的 に 一様 で あ る.つ

思 い 出 せ ば,(41)をtで

ま り,

微 分 す る こ と に よ っ て,

(A(t)τyf)(x)=τy(A(t)f)(x). し た が っ て,(40)よ

を 得 る.こ

り,

れ か ら, aα(x,t)=aα(x+y,t) 

(≡aα(t))

と な る.つ

ま り,aα(x,t)はxに

よ ら な い.次

同 様 に し てaα(x,t)=aα(x,0)を い.し

得 る.つ

た が っ て,ⅳ),ⅴ)を

に,ⅴ)を

仮 定 す れ ば,前

ま り,aα(x,t)はtに

仮 定 す れ ば,aα(x,t)は,xに

と

よ らな もtに

も依 存 し

な い こ と に な る. aα=aα(x,t)

と お こ う.

に 対 し,

(42) と お く と,次

の 定 理 が 成 立 す る.

  定 理6.3 

U(t,s)を

  1°)  (42)に

仮 定(ⅰ)∼(ⅳ)を

満 た す 発 展 作 用 素 とす る.

よ っ て 定 義 さ れ たp×p行

列A(iζ)の

固 有 値 をiτ1(ζ),…,

iτp(ζ)と す れ ば,

(43) が成 り立 つ.こ

こでMは

正 定 数 であ る.

 2°) 特 性 多 項 式

(44) は,τ

と ζ の 多 項 式 と し てp次

  3°) 特 性 多 項 式P(ζ,τ)の

の 多 項 式 で あ る. 最 高 次 数 の 項 をP0(ζ,τ)で

代 数 方 程 式P0(ξ,τ)=0は,実 し て)実

根 の み を も つ.(こ

ベ ク トル ξ に 対 し(τ の と きP0はt方

  証 明   先 ず,U(t,s)をC∞,p(RN)の f∈C∞(RN), 

とx∈RNに

表 わ す.こ

に 関 す る 方 程 式 とみ な

向 に 関 し て 双 曲 的 で あ る と い う.) 上 へ の 作 用 素 に 拡 張 し よ う.任 意 の

対 し,

(U(t,s)f)(x)=(U(t,s)(φf))(x)  と定 め る.こ

こ で,φ

で あ る.仮 定ⅲ)に か る.こ

は  よ っ て,(45)の

の と き,

(45)

の 近 傍 で1と 右 辺 は,φ

の よ うに 定 義 し たU(t,s)がC∞,p(RN)か

な るC∞0(RN)-関

数

の と り方 に よ ら な い こ と が わ らC∞,p(RN)へ

の 作用

素 で,仮

定ⅰ)∼ⅴ)を

満 た す こ と は,容

易 に わ か る.仮

定ⅳ)に

よ っ て,

(U(t)τyf)(x)=τy(U(t)f)(x) と な る.こ

こ で,U(t)=U(t,0)と

固 定 し たp-ベ

ク トル)と

お い た.特

に,f(x)=eix・ζw(ζ(∈CN,w:

と れ ば,

eiy・ζ(U(t)f)(0)=(U(t)f)(y) と な る か ら,

と な る.こ

れ よ りy=0と

お く と,

こ れ を 解 く と, (U(t)f)(0)=e-tA(iζ)f(0)=e-tA(iζ)w. φ(x)を 

の 近 傍 で1で

あ る 

関 数 とす れ ば,仮 定ⅱ)よ

り,

(U(1)φf)(0)=(U(1)f)(0)=e-A(iζ)w と な る.   補 題6.6 

任 意 のr>0に

対 し て,

(46) が 成 立す る よ うな定 数Mと

(証 明 は 後 で 示 そ う.)ゆ

自然 数mが

え に,t=1,x=0と

と な る.iτ(ζ)をp×p行

列A(iζ)に

す る正規 化 さ れ た 固 有 ベ ク を 用 い て,

と な る.こ

存 在 す る.こ こで,

れ を 用 い れ ば,

ト ル をwと

お い て(46)を

適 用 す れ ば,

対 す る 固 有 値 と し,iτ(ζ)に とれ ば, 

対応

を 得 る.両

辺 に 対 しlogを

ク トル ξ0を1つ

とれ ば.1°)を

固 定 し,任

P(z-1ξ0,τ)=0の

根 の1つ

意 のz∈Cに

得 る.2°)を

示 そ う.さ

対 し ξ=z-1ξ0と

を τ(z-1ξ0)と

ベ

に対 す る と お く と,

を 満 足 す る.と

に 関す る次 数 を 

お く.ξ

し よ う. 

μ は,代 数 方程 式 

て,実

こ ろ が,Pの

ξ,τ

とす れ ば,

(aj(z)はzの と な る か ら,μ(z)は

代 数 関 数 と な る.し

た が っ てz=0の

多 項 式)

ま わ りで,Puiseux

展 開 さ れ る:

(￨z￨:十

分 小)

(k:  cjの

うち,は

とお く と,上

じ め て0で

を 満 た す あ る 自 然 数).

な い も の の イ ン デッ ク ス をj=Sと

し, 

の 式 は,

(47) は 条 件(43)を

と な る. 

満 た して い る か ら.し

た が っ て,

よ っ て,

(48) が 成 立 す る.z→0の

近 づ き方 と して,3通

イ)θ=0な

を 示 そ う.ま

と な る.次

ず,z=λ(λ>0)と

に,z=-λ(λ>0)と

ら ばImcs=0, 

す る.こ

と る.こ

り考 え る こ と に よ っ て, ロ)

の と き(48)式

の と き,(48)式

は.λ ↓0に 対 し,

は,

(λ:小)

と な る.こ

れ が 同 時 に 成 り立 つ た め に は,Imcs=0で

れ は,イ)を

示 して い る.つ

z=λz0(λ>0)に

ぎ に,ロ)を

対 し λ↓0と

な け れ ば な らな い.こ

示 そ う.z0と

し よ う.ま

ず,(48)式

してcsz0-10=iと よ り,

で あ る か ら,λ ↓0に 対 し こ れ が 成 立 す る た め に は  こ れ は,ロ)を

で な け れ ば な ら な い.

示 し て い る.

さ て,ロ)よ

り, (￨z￨:十

Pを

と り,

分 小). 

(49)

τ に つ い て 展 開 す る と,

(ak(ξ)は

ξ の 多 項 式)

とな る が,よ

く 知 られ た 事 実 に よ っ て,aν(z-1ξ0)はP(z-1ξ0,τ)=0の

τ(z-1ξ0)のν

個 の 積 の 和 と し て表 わ され る か ら,(49)よ (￨z￨:十

と な る が,こ

れ は,aν(z-1ξ0)がz-1の

味 す る.ξ0は,任 と な る.こ

と分 解 す る.こ

の と き,Q(μ,z)は

そ の 係 数 はzの

多 項 式 で あ る.ゆ

ぎ に,3°)を

根 と し よ う.さ

え に,Roucheの

形 に 書 か れ る.z0(ξ0)に

θ>0な

な る.こ

ま りcs=τ0(ξ0)で

実 ベ ク トル

以 下 の 多 項 式 で,

定 理 に よ って証 明 され る根

と き τ0(ξ0)に 近 づ く も の が あ る.根

に 示 した よ うに 

μ(z)→csつ

示 そ う.ξ0を

の 根,す な わ ち,P0(ξ0,μ)

の 形 の 展 開 に お い て,(上 μ(z)→0と

次 の 多項 式

μ に 関 し て,(p-1)次

根 μ(z)で,z→0の

μ(z)は す べ て(47)の

高 々ν

て,

の係 数 に 関す る連 続 性 に よっ て, 

らば

分 小)

多 項 式 と し て 高 々ν 次 で あ る こ と を 意

示 して い る.つ

と し,τ0(ξ0)をP0(ξ0,τ0)=0の

+zQ(μ,z)=0の

り

意 の 実 ベ ク トル で あ っ た か ら,aν(ξ)は

れ は,2°)を

根

近 づ く根 μ(z)に 対 す る(47) に 注 意)z→0と

れ よ り τ0(ξ0)=0と

あ る.し

か る に,い

す れ ば,

な る.θ=0な

らば

ま の 場 合 θ=0で

あ るか

ら,す

で に 示 した よ うに,Imτ0(ξ0)=0と

数 で あ る.か   補 題6.6の

く して3°)は

な る.い

示 され た.補

題6.6の

証 明   (第1段) r>0とT=1を

で 台 が 

ずれ の場 合 も

τ0(ξ0)は 実

証 明 が 残 され て い る. 固 定 し,C∞,p(RN)の

に 含 ま れ る 関 数 の 全 体 をXrと

書 き ,Xrに

関数

距離

(50) を 入 れ れ ば,Xrは

完 備 な 距 離(Frechet)空  に 関 し て,無

を 固 定 した と き,xに をYrと

限 回 連 続 的 微 分 可 能 で,各 

つ い て の 台 が 

に含 まれ る関 数 の全 体

す る.Yrに(50)の‖f-g‖Cjの

と お きか え た もの を,υ れ ば,Yrも

よ う.そ

代 わ りに,

とwのYrに

お け る距 離(そ

完 備 な 距 離 空 間 と な る.さ

よ っ て,Xrか

らYrへ

間 と な る こ と が わ か る.xと

て,U(t)は,仮

の 線 型 な 写 像 と な る.こ

の た め に,fnをf(∈Xr)にXrの

をtで

す

れが 閉 作 用 素 とな る こ とをみ

離 で,υ お い た と き,u=υ

書 く)と

定(ⅰ),(ⅱ)に

距 離 で 収 束 す るXrの

す る.un(x,t)≡(U(t)fn)(x)がYrの距 う.u(x,t)=(U(t)f)(x)と

れ をdYと

中 の列 と

に 収 束 す る と仮 定 し よ を 示 せ ば よ い.un(x,t)

微 分 す れ ば,

こ れ の,xに

を 得 る.こ

つ い て のFourier変

換 を とれ ば,

れ は, (51)

と 解 け る.同

様 に u(ξ ,t)=e-tA(iξ)f(ξ) 

と な る.tを

固 定 し た と き,unはυ

に 

(52) 上 一様

に 収 束 し ,台

は

に 含 ま れ る か ら,un(ξ,t)→υ(ξ,t)(各 に,fn(ξ)→f(ξ)を

得 る.と

e-tA(iξ)f(ξ)と な る.ゆ

ξに 対 し)と

こ ろ が(51)でn→

え に,(52)よ

∞

な る.同

様

と す れ ば,υ(ξ,t)=

り

u(ξ,t)=υ(ξ,t) を 得 る.つ

ま りu(x,t)=υ(x,t).故

に,U(t)は

閉 グ ラ フ定 理 を 用 い れ ば,U(t)はXrか   (第2段) 

存 在 す る.と

の 近 傍 で1を

の と き,r>0を

と り, 

な る か ら,Xr+2c+1で0に

U(t)(φfn)(∈Yr+2c+1)はYr+2c+1で0に (U(t)(φfn))(x)す れ はfnの

で の 値 は,仮

定

の 外 で の 値 に よ ら な い か ら,φ(x)を  で0と

な るC∞0-関

(U(t)(φfn))(x)=(U(t)fn)(x)((x,t)∈Dr)が成 ‖φfn‖Cn→0と

適当 に とれ

が0に 収 束 しな

こ ろ が,U(t)fnのDr上

よ っ て,fn(x)の 

こで

の 連 続 作 用 素 で あ る.

あ っ て, 

いfn∈C∞,p0(RN)が ⅲ)に

らYrへ

(46)が 成 立 し な い と 仮 定 し よ う.こ

ば,‖fn‖Cn→0(n→∞)で

閉 作 用 素 で あ る.こ

な わ ちU(t)fn(x)は,Dr上

と り方 に 反 す る. 

数 と す れ ば,

立 す る.他 収 束 す る.ゆ

方,φfnは

え に 第1段

収 束 す る.し で一 様 に0に

に よ っ て, た が っ て,

収 束 す る.こ (証 明 終)

第7章  双 曲型1階 偏 微分方程式系

 第3章 で述べ た抽 象 双 曲 型 発展 方 程 式 の 応用 と して,

(1) (2) な る偏 微 分 方 程 式 に 対 す るCauchy問 u=(u1,…,um)はx,tの

題 を こ の 章 で と りあ げ よ う.こ

未 知 関 数 で あ り,f,φ

関 数,aj(x,t),b(x,t)は(m×m)行

  §7.1  対 称 双 曲 型1階   非 負の 整 数kを 仮 定1. 

は 与 え られ たm-ベ

こ で, ク トル

列 関 数 で あ る.

偏 微 分 方程 式 系

固 定 す る.(1)に

対 し,次

aj(x,t)は,各x,tを

の 仮 定 を し よ う.

固 定 した と き,Hermite行

仮 定2. aj∈Ci([0,T]×RN) 

列.

(i=1,…,∞;j=1,…,N)す

な わ ちaj∈

B∞([0,T]×RN). で あ っ て,

仮 定3.  b∈C([0,T];C(RN)). 仮 定4. f∈Ci([0,T];Hk+1(RN))  仮 定5. 

φ∈Hk+1(RN).

こ こ で,Cj(E)はaお 一 様 連 続 な(m×m)行 空 間 で あ る.Hj(RN)はaお で2乗

(i=0,1,…,k).

可 積 分 なm-ベ

よび,そ

のj回

列 関 数aの

ま で の 微 分 も こ め てE上

全 体 にsupermumノ

よび そ のj回 ク トル 関 数aの

空 間 を 表 わ し,Cj([0,T];Z)は,Banach空

ま で の(超

全 体 に,通

で 有界 か つ

ル ム を 入 れ たBanach 関 数)微 分 も こめ てE上

常 の ノ ル ム を 入 れ たHilbert

間Zに

値 を も ち,Zの

ノル ム

 

で[0,T]上j回 ∈Zの

強 連 続 的 微 分 可 能 な[0,T]上

全 体 を 表 わ す とす る.さ

て,次

で 定 義 さ れ た 関 数t→u(・,t)

の 定 理 を,T.

Kato

[29]に

従 って示 そ

う.  定 理7.1 u∈Cj([0,T];Hk+1-j)(j=0,1,…,k+1)な

る(1)の

解u

が 一 意 的 に 存 在 す る.   証 明   (1)をHilbert空

間X=L2(RN)の

を 適 用 し よ う.A(t)お

よび,そ

中 の 発 展 方 程 式 と 考え て 定 理3.2

の 形 式 的 共 役 作 用 素A(t)*を

定 め る.定

義

域 と し て, D(A(t))=D(A(t)*)=H1(RN) と と り,u∈H1(RN)に

対 し て,

(3) (4) と お く.A(t),A(t)*と

もに,L2(RN)で

な 線 型 作 用 素 で あ る.そ

稠 密 な 定 義 域 を も つ 可 閉(closable)

の 閉 包 つ ま り最 小 閉 作 用 素 を そ れ ぞ れA0(t),A′0(t)

と か こ う.A(t),A(t)*の

最 大 閉 作 用 素 を そ れ ぞ れA1(t),A′1(t)と

すなわ

つA1(t)υ=gで

ち,υ ∈D(A1(t))か

あ ると は,

(υ,A(t)*φ)=(g,φ) 

(φ∈H1(RN)) 

を 満 た す と き い う.同 様 に,A′1(t)を,((A(t)*)*=A(t)に (υ,A(t)φ)=(g,φ) (φ の と き,υ ∈D(A′1(t))か A1(t)と

な る.実

ρ(x)をRN上

つA′1(t)υ=gに

∈H1(RN)) 

(6) の と き,A0(t)=

拡 大 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.

な るC∞0(RN)の

と お く.任

し て, 

(5) 注 意)

よ っ て 定 め る.こ

際,A1(t)がA0(t)の の 積 分 が1と

定 め る.

非 負 関 数 とす る.こ

意 のυ∈D(A1(t))に

の 関数 に対

対 し, 

と定 め れ ば, (ⅰ) 

υε∈H1(RN), 

(ⅱ) 

ε→0に

対 し,L2(RN)の

位 相 でυε

はυ

に,A(t)υε

はA1(t)υ

に

収 束 す る(し

た が っ てA0(t)υ=A1(t)υ),

と な る こ と が 容 易 に わ か る.こ ⊃A0は

れ はD(A0(t))⊃D(A1(t))を

明 らか だ か らA0(t)=A1(t).こ

様 に,A′0(t)=A′1(t)と =A′(t)を

な る.こ

意 味 す る.A1

の 共 通 の 作 用 素 をA(t)と の 共 通 の 作 用 素 をA′(t)と

示 そ う.υ ∈D(A′(t))と

φ∈H1(RN)に

定 め る.同

定 め る.A(t)*

対 し定 義 よ り, (7)

と な る.任 (L2の

意 のu∈D(A(t))に

位 相)な

と して,j→

対 しA0の

るuj∈H1(RN)が

∞

定 義 よ りuj→u,A(t)uj→A(t)u

存 在 す る.(7)に

が 任 意 のu∈D(A(t)),υ

∈D(A′(t))に

(u∈D(A(t)) 対 し て 成 立 す る.こ

拡 張 で あ る.D(A′(t))⊃D(A(t)*)は,(6)よ

よ っ てA(t)*=A′(t)を

得 る.u∈H1(RN)に

と な る か ら,Schwarzの

不等式 よ り

を 得 る.こ

の 代 わ りにuj

とす れ ば, (A′(t)υ,u)=(υ,A(t)u) 

はA′(t)の

お い てφ

れ よ り,A(t)* り直 ち に わ か る.

対 し,部

分 積 分 に よ っ て,

こ で,

こ れ とA(t)がA(t)の

閉 包 で あ る こ と か ら,

(8) が 従 う.同 様 に,

(9) と な る.ま

ず,こ

れ よ り(λ+A(t))-1は

を 満 た す こ とが わ か る.(λ+A(t))-1がX全 う.そ

の た めに は,Xの

存 在 し,有

界 作 用 素 で あ って,

体 で 定 義 され て い る こ と を 示 そ

中 で 稠 密 に 定 義 され て い る こ と を 示 せ ば よ い.も

し

そ うで な け れ ば, ((λ+A(t))u,h)=0  を 満 た すh(≠0)∈L2(RN)が

存 在 す る.上

あ っ て(u,(λ+A(t)*)h)=0を H1(RN)はL2の

(u∈D(A(t))) の よ うなhは,h∈D(A(t)*)で

満 た す.H1(RN)⊂(D(A(t))で

中 で 稠 密 で あ る か ら,(λ+A(t)*)h=0が

よ り,h=0を

意 味 す る.矛

義 さ れ て い る.か

盾 で あ る.か

く し て λ>β な る-λ

あ って で る.こ

れ は(9)

く し て(λ+A(t))-1はX全 はA(t)の

体 で定

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 り,

 に 対 し,

を 満 足 す る.つ 定 理3.2の

ま り{A(t)}は

中 のY,Sと

安 定 指 数{1,β}を

もつ 安 定 な 族 で あ る.次

に,

して, Y≡Yk=Hk+1(RN) S≡Λk+1

を と る.こ

こ で,

と 定 め た.定

理3.2の

仮 定ⅲ)を

確 か め る.形

式的に

(10) とな る.こ

の 右 辺 の 第2項

と第3項

が 有 界 作 用 素 とな る こ と を 確 か め よ う.こ

こ で,[・,・]を[S,T]=ST-TSに (Commutator)と 別 な 場 合)を

よ っ て 定 義 す る.交

い わ れ る.そ

の た め に,次

換 子,交

換 作 用素

節 で 示 す 次 の 不 等 式((61)式

の特

利 用 し よ う.

  交 換 子 の 評 価 式 a∈B∞(RN)な 素 と し て 拡 張 され,(Λ1=Λ

ら ば[Λ1,a(x)]はL2(RN)上

と お く)適

当 に 自 然 数lを

の有 界 作用

と る と,

(11) を 満 足 す る.こ

こ で,Mはa,uに

よ ら な い 定 数 で あ る.

  上 の 不 等 式 はl=1に対

し成 立 す る が,極

a∈B∞(RN)と

明 は,は

す れ ば,証

め て 複 雑 で あ るか ら証 明 は し な い.

る か に 簡 単 と な る.こ れ は 次 節 で 述 べ る擬

微 分 作 用 素 論か ら直 ち に で る.   さて,簡 単 な計 算 に よ り,

(12) お よ び,

(13) を 得 る.さ

て,kが

奇 数 の と きSは(k+1)階

[S,aj]も[S,b]も

の 微 分 作 用 素 で あ る か ら,

共 に 連 続 な 係 数 を も つ 高 々k次

の 微 分 作 用 素 で あ る.ゆ

え に,

(14) はtに

つ きX-強

連 続 なX=L2(RN)の

中 の 有 界 作 用 素 で あ る.次

偶 数 の と き,S≡Λk+1をΛk+1=Λ1Λkと

に,kが

分 解 す れ ば,

 (14)の 第1項

(15) と な る.kは

はk階

偶 数 よ り,Λkはk階

の 微 分 作 用 素 と な る か ら, 

のC1-級 の 係 数 を もつ 微 分作 用 素 で あ る.T′1=Λ1T′1と お く と,

T′1は

な る形 を し て い る.こ

こ でaα(x,t)はaj(x,t)をxに

で 微 分 した も の の 線 型 結 合 で あ る.こ

れ に(12)を

つ い て 高 々k階 適 用 す れ ば,

(16)

ま

ゆ え に,ajの,し

た が っ て,aα

こ と が わ か る.aj(・,t)の -T1(s)uに

の 有 界 性 と(13)に

よ っ て,T1が

代 わ りに,aj(・,t)-aj(・,s)を

考 え れ ば,T1(t)u

対 す る ノ ル ム評 価 式 を 得 る.つ ま り,こ れ は(16)の

をaα(・,t)-aα(・,s)と

置 き 換 え た 式 に よ っ て,押

に 対 す る滑 らか さ の 仮 定 よ り,T1(t)uはtに る.[Λ,aj]に(11)を

有界であ る

右 辺 で,aα(・,t)

さ え ら れ る.こ

れ よ りaj

つ き強連 続 であ る こ とが示 され

適 用 す れ ば,

[(13)よ

これ はT2(t)が

か ら,T2(t)は

有 界 作 用 素 で あ る こ と を 示 し て い る.同

作 用 素 ノ ル ム で 連 続 と な る.か

して 強 連 続 な 有 界 作 用 素 とな る.(14)の 第1項

は 前 と 同 様 にtに

[Λ1,b]Λ-11は(12)を

とな る.こ

第2項

く して,(14)の

第1項

はtに

関

も(15)に な ら っ て 分 解 し,そ

の

つ き 強 連 続 な 有 界 作 用 素 と な る.第2項,つ

ま り,

利 用 す れ ば,

れ よ り前 と 同 様 に し て,[Λ1,b]Λ-11の

続 性 が で る.か

く して,(14)に

有 界 作 用 素 と な る.次

有 界 性 お よ びtに

よ っ て 定 義 さ れ たB(t)はtに

関 す る強 連 つ き強連 続 な

に, SA(t)S-1=A(t)+B(t) 

を 示 そ う(S=Λk+1).υ (Xの

位 相)な

B(t)υ.簡

∈D(A(t))に

るun∈H1(RN)が

(17)

対 し,定 義 よ りun→υ,A(t)un→A(t)υ 存 在 す る.B(t)は

有 界 よ りB(t)un→

単 な 計 算 よ り, A(t)S-1un=S-1(A(t)+B(t))un 

が 成 立 す る が,S-1の +B(t))υ

と な る.ゆ

有 界 性 よ りS-1un→S-1υ え にA(t)の

た が っ て,A(t)S-1υ

(18) か つ(18)式

閉 性 よ りS-1∈D(A(t))で

A(t)S-1υ=S-1(A(t)+B(t))υ と な る.し

り]

様 に して,

∈D(S)か

つ

の 右 辺 →S-1(A(t) あ っ て,

(19) が 成 り立 つ.上

式 で λ=0と

と れ ば,(17)の

左 辺 の 作 用 素 は,右

辺 の作 用 素 の

拡 張 で あ る こ とが わ か る.左

辺 の 作 用 素 の 定 義 域 が 右 辺 の そ れ よ り真 に 大 き く

は な い こ と を い え ば,(17)が

成 立 す る.こ

λ+A(t)+B(t)の

値 域 はXで

れ は,(19)で

あ る こ とか ら わ か る.以

定 は す べ て 満 た さ れ る こ とが わ か っ た.定 Hk+1(RN))∩C1([0,T];L2(RN))な 発 展 作 用 素U(t,s)の

十 分 大 き く λ を とれ ば, 上 よ り定 理3.2の

理 の 結 論 よ り,u∈C0([0,T];

る(1)の

解 が 一 意 的 に 存 在 す る:定 理 よ り,

存 在 が い え るか ら こ れ を 用 い て,u=U(t,s)φ

れ る.さ て こ のuを

用 い て,(1)をtに

仮

と書か

つ き 微 分 し た 方 程 式 を 考え よ う:

(20) こ こ で,

で あ る.(f1,φ1は か さ か ら,f1と か る.ゆ

既 知 関 数 と 考 え る.)既 φ1はkをk-1に

に 示 し たuのx,tに

し た 仮 定4,5を

満 足 して い る こ とが わ

え に(20)は, u1∈C([0,T];Hk(RN))∩C1([0,T];L2(RN)) 

な る 解 を 一 意 的 に もつ.υ こ う.こ

関 す る滑 ら

の と き,uh≡Δhuな

uh(x,0)=φh を 満 た す.こ

こ でf1,h,φhは,

に 対 し Δhυ(x,t)=h-1[υ(x,t+h)-υ(x,t)]と る 関 数 は,

(21) お

φh=Δhu(x,0) で あ る.wh≡u1-uhと

お く と,whは

を 満 た す か ら,定

理3.4によ

と な る.uは(1)の

っ て,

解 で あ る か ら,‖ φh-φ1‖ →0.ま

の 仮 定 よ り‖f1(s)-f1,h(s)‖ ま りuh→u1と

な る.他

か ら, 

→0と

たuと

な る こ とが わ か る.ゆ

方,uはtに

つ き(L2の

よ っ て, 

係 数 の 滑 らか さ え にwh(t)→0つ

意 味 で)微

を 得 る.(21)よ

が成 立 す る.以 下,同 様 に して定 理 が証 明 され る. 

 次 に,(1)の

分 可能 で あ る り,

(証 明終)

方程 式 の 解 は有 限 伝 播 を もつ ことを示 そ う.そ の ため に,レ

ン

ズ状 領 域 とい う概 念 を導 入す る.   (x,t)-空 か らSjの う.さ

間 の 中 の2つ

の 超 曲 面S1,S2に

上 へ の1対1な,逆

ら に,S1とS2が同

ら な い と仮 定 す る.こ

対 し, 

も こ め てC1-級 じ境 界 を もち,境

の と き,S1とS2に

の 写 像φjが

あ っ た と仮 定 し よ

界 以 外 でS1とS2は

互に交わ

よ っ て 囲 まれ た 領 域 をS1とS2な

る 曲 面 を も つ レ ン ズ 状 領 域 と い う.   Sを

上 のS1,S2の

に 関 し てSが

がS上

ど ち らか と し よ う.作

定 値 で あ る と は,Sの

で定 値 行列 であ る と きい う.

用素

任 意 の 法 線ν=(ξ,τ)に

対 し行 列

  さ て,解

の 有 限 伝 播 性 を み る に は,次

  定 理7.2 Ω Lに

を 面S1,S2を

もつ レ ン ズ 状 領 域 とす る.S1もS2も

関 し て 定 値 で あ る と 仮 定 す る.こ

れ ば,Ω

の 中 で 恒 等 的 に0で

  証 明  ν をΩ u=eλtυ(λ:パ

の 定 理 を 示 し て お け ば 十 分 で あ ろ う.

の と き ,L[u]=0の

解 がS1で0で

あ

あ る.

に 関 す る 外 向 き 法 線 とす る.LがS2上 ラ メ ー タ ー)と

と もに

お く と,こ

のυ

で 正 定 値 と し よ う.

はL[υ]+λυ=0を

満 足 す る.

簡 単 な 計 算 よ り,

(<・,・>はCNの 上 式 をΩ

内 積,￨ ￨はCNの

上 で 積 分 し,部

ノ ル ム を 表 わ す.)

分 積 分 に よ っ,

を 得 る.λ を十 分 大 き く とれ ば,υ に つ い て一 様 に左 辺 第2項 の被 積 分 関数 を 非 負 に で き る.左 Lに

辺 の第1項 のS1上

の積 分 は仮 定 に よって0で あ り,S2は

関 して正 定 値 で あ ったか ら.第1項

よ り左 辺 の 各項,特 に,第2項

のS2上

の 積 分 は非 負 で あ る.こ

れ

の被 積 分 関 数 は常 に0と な る.λ を十 分 大 き く

とれ ば λ￨υ￨2の項 が 支 配 的 であ るか ら,υ=0つ

ま りuはΩ

得 な い. 

で0な

らざ るを

(証 明終)

  注 意  λj(ξ,x,t)を

Σξjaj(x,t)の とお く.こ

固 有 値 とす る. 

の とき,定 理7.1で

構 成 した 発 展 作用 素 は,λmax

を 超 え な い有 限 伝播 速度 を もつ こ とが,上 の 定理 よ りわ か る.

 §7.2  擬 微 分 作 用 素   P.D.

Lax,

Kohn-Nirenberg

[32]に

よ って始 め られ た擬 微 分 作 用素 の解 説

を し よ う.詳

細 は,H.

(α1,…,αN)に

Kumanogo

[39]を

参 照 し て い た だ き た い.ま

ず,α=

対 し て,

と お く.   シ ンボ ル   定 義  p∈S(m,m′)で で あ っ て,任

あ る と は, 

意 の α,α′,β,β′に 対 し,定

数Mα,α′,β,β′ が 存 在 し て,

(22) を 満 た す と き い う.こ

で あ る.こ

こで,

のpを,(x,ξ)と(x′,ξ)と

数(m,m′)の2重

い う2組

シ ン ボ ル(double

が(x′,ξ′)に

symbol)と

よ ら ぬ と き,p∈S(m,0)な

そ の よ うなpの

全 体 をS(m)で

(single symbol)ま

よ ぶ.特

る2重

で あ っ て,任

意 の

に,p(x,ξ,x′,ξ′)

シン ボ ル をp(x,ξ)と

表 わ す.p∈S(m)を

た は 単 に シ ン ボ ル(symbol)と

は, 

の 変 数 に 依 存 す るか ら,階

階 数mの

単 シ ンボ ル

よぶ.p∈S(m)な α,β

に 対 し,定

か き,

ること 数Mα,β

が

存 在 し て,

(23) を 満 た す こ と と 同 値 で あ る.こ  さ て,p∈S(m,m′)に

こ で, 

対 し"セ

と お い た.

ミ ・ ノ ル ム 系"{￨p￨(m,m')l}(l>0),

(24) を 導 入 す る.こ

に関 し

こ でsupは(x,ξ,x′,ξ′)∈R4N, 

て と ら れ て い る.   こ の セ ミ ・ノ ル ム に よ っ てS(m,m′)はFrechet空

間 と な る.し

か し,収

束 を こ の 位 相 で い う よ り次 の 意 味 で 収 束 を い っ た 方 が 便 利 で あ る.pn∈ S(m,m′)な

る シン ボ ル の 列 がS(m,m′)で(弱)収

束 す る と は,任

意 の 

に 対 し,nに

よ らぬ 定 数Mlが

任 意 の α,α′,β,β′と,任

極 限 を も ち,そ

か つ 

が 成 立 し,さ

意 の コ ン パ ク ト集 合 

はK上x,ξ,x′,ξ′ の と き,pnは

存 在 し, 

ら に,

に 対 し, 

に つ き 一 様 に 収 束 す る と き で あ る とす る.こ れ をp(x,ξ,x′,ξ′)と

す れ ば ,p∈S(m,m′)

と な る こ とは 容 易 に わ か る.特

に,pn(x,ξ,x′,ξ′)が

x′,ξ′に よ ら ぬ と き,つ

ま りpn∈S(m)の

る と い う.こ

の と き,そ

の 極 限 はS(m)に

い うの は,任

意 のlに

と き ,pnはS(m)で(弱)収

束す

入 る.pnがS(m)で

対 し 

収束 す ると

で あ っ て ,任 意 の α,

β と任 意 の コ ン パ ク ト集 合 

に 対 し 

がK上

一様に収

束 す る と い い か え て も よ い.   命 題7.1 

1°) p∈S(m,m′)な

S(m,m′)でpに(弱)収

ら ば, 

  2°)  p∈S(m)な

らば, 

す る シン ボ ル の 列pn∈S(m)が

数χ

を1つ

存 在 す る.

で あ っ て,S(m)でpに(弱)収

束

存 在 す る.

  証 明 y=(x,ξ),y′=(x′,ξ′)と

な るC∞-関

で あ っ て,

束 する シ ン ボ ル の 列pn∈S(m,m′)が

し て,

と りχn(y,y′)=χ(n-1y,n-1y′)と

お く.求

め るpn

と し て, pn(y,y′)=χn(y,y′)p(y,y′) と す れ ば よ い こ と は,

(Mα,α′,β,β′ はn,y,y′

お よ び,Leibnitzの   S(m)⊂S(m,0)で

公 式 よ りで る.  あ るが,p∈S(m,m′)か

を 対 応 させ る こ と が で き る.x,ξ p(x,η,y,ξ)に

対 し,

に よ ら ぬ 定 数)

(証 明 終) ら,次

の よ うに,ps∈S(m+m′)

を 固 定 し た と き,y,η

に つ き可 積 分 とな る

(25) あ る い は, (25′)

と 定 め る.dydη

は 最 初yに

つ い て 積 分 し,そ

の後 で ηに つ い て積 分 す る こ

と を 意 味 す る もの とす る(積 分 の 順 序 は 大 切 で あ る).一 対 しS(m,m′)でpに

般 のp∈S(m,m′)に

収 束 す る シ ン ボ ル の 列 

を と る.psを(25)で

定 義 さ れ た(pn)sを

用 い て,

(26) と 定 め る.psをpの とpnの

単 化 シ ン ボ ル(simplified

symbol)と

と り方 に よ らぬ こ とを 示 さ ね ば な ら な い.自

と 定 め る.([・]はGaussの

記 号)L*kをLkの

然 数kに

い う.極 限 の 存 在 対 しLkを,

形 式 的 共 役 作 用素 と す れ ば,

簡 単 な 計算 よ り L*ke-iy・η=e-iy・η と な る か ら,部

分 積 分 に よ っ て,任

意 のlに

対 し て,

(27) と な る.被 積 分 関 数 を 評価 す る.

と お く と,直

接 計 算 よ り,

を 得 る.こ

こ で,Lk(y,Dy)は

分 作 用 素 で あ る.ゆ

有 界 な 係 数 を もつyに

関 す る 高 々2k階

の微

え に,

(28) (Mをpnに

よ らぬ 正 定 数)を 得 る.Leibnitzの

公 式 よ り,

(Cα,α″,Cβ,β″ は 正 定 数) 

と な る. 

位l′

を 大 き く と り,pn∈S(m,m′)に

す べ き不 等 式(22)を 用 い れ ば(29)の

右辺 は ( 

(29)

よ って 満 た

よ り)

(30) に よ っ て お さ え ら れ る.と

こ ろ が,

な る初等 的 不 等 式 を用 いれ ば,(30)の 右 辺 は

で お さ え ら れ る.ゆ

え に,(M″:pnに

独 立 な 定 数)(28)に

よ っ て,

(31) な る評 価 を得 る.仮 定 に よ って  と して  nに

独 立 な 定 数)で

あ り,k

を 満 たす 最 小 の 整 数 を とれ ば,(31)の

よ らぬ(y,η

を と り,l′

(nに

に 関 す る)積

分 可 能 な 関 数 で お さ え られ る.前

と し てl′=2l+4N+￨m￨+5と

存 す る 適 当 な 定 数Mlが

と れ ば,(27)と(31)よ

右辺は

の ご と くk り,lに

依

存 在 し て,

(32) が 成 り立 つ.と

こ ろ が,pnはS(m,m′)でpに

収 束 す る か ら,(28)に

よっ

て,qk,nはx,η,y,ξ

につ

に 収 束 す る.し x,ξ

い て 広 義 一 様 に,

か も,￨pn￨(m,m′)l′はnに

つ き 有 界 で あ る か ら,(31)に

が コ ン パ ク ト集 合 を 動 く と き,qk,nはx,ξ,nに

関 す る)積 分 可 能 な 関 数 で お さ え られ る.ゆ に つ き 広 義 一 様 収 束 す る.(pn)sの

よ っ て,

よ ら ぬ 一 定 の(η,yに

え に,∂αξDβx(pn)s(x,ξ)はxと

極 限 をpsと

す る と,(27)よ

ξ

り

(33) と 表 わ さ れ,(32)よ

り

した が っ て,

(34) と な る こ と が わ か る.同

時 に,(33)はpsを

定 め る シ ン ボ ル の 列pnの

と り方

に よ ら ぬ こ とを 示 し て い る.   (27)か ら(33),(34)を導

い た 操 作 を 用 い れ ば,次

  補 題7.1 p∈S(m,m′)と

の 補 題 を 得 る.

な る パ ラ メ ー タ ー θ と 

す る. 

に 対 し,

(35) と 定 め る.各

固 定 さ れ た パ ラ メ ー タ ー θに 対 し,

 ⅰ)  pθ(x,ξ)は  ⅱ)  任 意 のlに

が 成 立 す る.こ

階 数m+mのkに 対 し,pと

よ ら な い シ ン ボ ル で あ る.

θに よ ら ぬ 定 数Mlを

適 当 に とれ ば,

こ で, l′=2l+4N+￨m￨+5

で あ る.  ⅲ)  S(m,m′)でpnがpに

収 束 す れ ば,各

θに 対 し,pn,θ

はpθ

に

S(m+m′)で

収 束 す る.

  (証 明 は 前 と 同 様 で あ る.各

自確 め られ た い.)

  注 意   p(x,ξ,x′,ξ′)がξに よ らぬ 場 合 を考 え て み る.p(x,y,ξ)=p(x,η,y,ξ)と お くと,

と な る.こ

こ で,部

分積 分に よ って

で あ るか ら,

(F: と な る.つ

Fourier変

換)

ま り, ps(x,ξ)=p(x,x,ξ). 

特 に,p(x,ξ,x′,ξ′)がx′,ξ

(36)

に よ ら な け れ ば, ps(x,ξ)=p(x,ξ)

が 成 立 す る.

 注 意   p∈S(m,m′)と

す る.  と お く と, (p(α))s(x,ξ)=(p(α))s(x,ξ) 

が 成 立す る.実 際,S(m,m′)で

(37)

収 束 す るシ ンボル 

の

列 を とる.こ の とき,

と な る.pn,(α),pn,(α)はS(m,m′)でp(α),p(α)に (pn,(α))sは =(pn

そ れ ぞ れ(p(α))s,(p(α))sに

,(α))s(x,ξ)に

  ps(x,ξ)を

お い てn→

∞

そ れ ぞ れ 収 束 す る か ら,(pn,(α)s 収 束 す る.上

よ り 具 体 的 にp(x,ξ,x′,ξ′)と

切 な 漸 近 公 式 が 成 り立 つ.

で 示 し た 関 係 式(pn,(α))s(x,ξ)

とす れ ば 求 め る 関 係 式 を 得 る. 表 わ そ う.こ

れ に 関 し次 の大

  命 題7.2 

p∈S(m,m′)と

ン ボ ルrJ(x,ξ)が

す る.任

意 のJに

対 してm+m′-J-1階

の シ

存 在 して,

(38) な る 漸 近 展 開 が 成 り立 つ.さ

ら に,rJ(x,ξ)は

任 意 のlに対

し評 価

(39) が 成 り立 つ.こ

こ で,Mlはpに

よ らぬ 正 定 数 で あ り,l′ は

l′=2l+4N+￨m￨+2J+7 で あ る.   証 明   p(x,ξ+η,x+y,ξ)を

と な る.こ

η=0の

ま わ りで ηに つ きTaylor展

開 す る.

こ で,

で あ る.2重

シ ン ボ ルpに

単 化 シ ン ボ ルpsを

対 応 させ る 対 応 をIと

す る:

I[p]=ps. こ の と き,Iは(33)に

よ っ て 与 え られ る.上

の 展 開 公 式 よ り,

(40) と な る.(36)と(37)の

証 明 と同様 に よ り

が 成 立 す る.こ

こ で,

で あ る.(40)の

右 辺 第2項

は,(35)よ

り,

と な る.kは 

な る 整 数 で あ る.p(r)(r)∈S(m-J-1,m′)に

注 意 す る.上

の 積 分 の{…}の

qr,θ∈S(m+m′-J-1)と

部 分 をqr,θ(x,ξ)と

な る.し

お く と,補

か も 補 題7.1のⅱ)の

題7.1よ

り,

評 価 式:

(41) に お け る定 数Mlは

θに よ ら な か った か ら,rJ(x,ξ)はS(m+m′-J-1)に

入 る こ とが わ か る.(41)よ

と な るが,簡

り,

単 な 計 算 よ り,

と な るか ら,(39)を   注意   {mj}をjに

得 る.  つ い て狭 義 に 単 調減 少 して-∞

が 与 え られ て い る とき,p∈S(m0)か

な る シ ンボ ルpが

(証 明 終)

対 し,

存 在 す る.

  実 際,  (j→ ∞)な

に 発 散 す る数 列 とす る.pj∈S(mj)

つ,任 意 のJに

を満 た すC∞-関 数 ψ(ξ)を とる.  る数 列 を適 当 に と り,求 め るp∈S(m0)を,

の形 で求 め る. 

に 対 し 

ま た は, 

で あ るか ら,

(Mα,M′α,は ゆ え に,簡

単 な 計 算 よ り(Mα,β,jは

定 数).

定 数),

(42) と な る.εjを,  対 し ψ(εjξ)=0で 2-j(1+￨ξ￨)mj+1-￨α￨で

が 成 立 す る よ う に と る.  あ る か ら,(42)の 押 え ら れ る.か

左 辺=0. 

に 対 し,(42)の

に 左辺は

く し て,

(43) とな る.任 意 の α,β に対 し 

か つ 

位 に 大 き く とる と,

各pj∈S(mj)で

あ る こ と と(42)とLeibnitzの

公式 より

 と な る こ と が 容 易 に わ か る.(43)よ

とな る か ら,p∈S(m0)と

と な る が,第1項 は,前

り

な る.

は 

に 対 し0で

と 同 様 に し てS(mJ+1)に

入 る.ゆ

あ る か らS(mj)(j=1,2,…)で え に, 

あ る.第2項 を 得 る.

  擬 微 分作 用 素   次 に,シ

ン ボ ルp∈S(m)に

対 して,擬

微 分 作 用 素P(Pseudo-differential

operator)を,

(44) に よ っ て 定 義 す る.擬 ル(以

微 分 作 用 素Pが

下 で み る よ うに,そ

  命 題7.3 

p∈S(m)と

  (ⅰ)  PはDか   (ⅱ)  も しm<-Nな

れ はPよ す る.こ

らDへ

与 え ら れ た と き,そ り一 意 的 に 定 ま る)を

の 不 等 式 とParsevalの

書 く.

の 有 界 作 用素 で あ る. ら ば,PはL2(RN)か

らL2(RN)へ が 成 り立 つ.こ

の 有 界作 用素 こ でMは

正 定 数.

な る 整 数 と す る.Schwarz

示 そ う.lを  等 式 よ り,

(M:正 ゆ え に,Pu(x)はRN上

σ(P)(x,ξ)と

の と き,

に拡 大 され評 価:    証 明   ま ず,(ⅰ)を

れを定めるシンボ

有 界 で あ る.部

定 数). 

分 積 分 よ り,

(45)

(46) これ よ り,(45)を

適 用 す れ ば,

(47) 同 様 に し て,

(48) と な る か ら, 

を 得 る.以

を 用 い て,

上 よ り,∂xjやxjを

と な る こ と が わ か る.ゆ

有 限 回Pu(x)に

え に,Pu(x)は

作 用 さ せ て もxに

急 減 少 関 数 で あ る.連

つ の評 価 式 を 有 限 回適 用す れば 得 られ る.(ⅱ)を

示 そ う. 

と な る が, 

つ き有 界

続 性 は 上 の2 とす る.

(Ml:x,ξ,pに

よ らぬ

定 数)を 用 いれ ば,

(M′l:正 と な る.こ

を 得 る.こ

れ とHausdorff-Youngの不等

こでM″

は 正 定 数.こ

式 よ り,( 

の 不 等 式 よ り(ⅱ)が

定 数) と と り)

直 ち に で る. (証 明 終)

  命 題7.4  Pn,Pと

pn∈S(m),p∈S(m)と

PnuはPuにDの

よ ら ぬ 定 数Mが

存 在 す る.し

収 束 す る か ら,Pnu(x)はxに

か も,仮 定 よ り,広

つ い て 広 義 一 様 にPu(x)に

が す べ て のx∈RN,n=1,2,…,に

こでMはx,nに

にPu(x)に

対 して,

あ るか ら,

(47)よ り  つ.こ

意 のu∈Dに

り,

と な る.u∈Dで

な るn,xに

対 応 す る擬 微 分作 用素 を

収 束 す れ ば,任

位相 で 収束 す る.

  証 明   (44)よ

はpに

す る.pn,pに

し よ う.pnがS(m)でpに

よ ら ぬ 定 数.こ

はRN上

一 様 にxjPuに

にRN上

一 様 に 収 束 す る こ と が 示 し得 る.こ

ばPnu(x)がDの

収 束 し,(48)を

位相 でPu(x)に

収 束 す る. 対 し成 り立

れ よ りPnu(x)はxに

収 束 す る こ と が わ か る.(46)を

義 一 様 にpn

つ い て一 様

用 い れ ば,同 様 に してxjPnu(x)

用 い れ ば,∂xjPnu(x)が

∂xjPu(x)

の よ うな 操 作 を 有 限 回 操 り返 せ

収 束 す る こ と を 示 す こ とが で き る. (証 明 終)

  命 題7.5 

擬 微 分 作 用 素 を 定 め る シ ン ボ ル は 一 意 的 で あ る.

  証 明   p∈S(m),q∈S(m′)の Pu=Qu(u∈D)な

定 め る擬 微 分 作 用 素 をP,Qと

ら ば,p=qを

な らばua∈Dで

あ る.こ

で あ る か ら,Pua=Quaに

が 成 立 す る.aは

示 せ ば よ い.任

こ でua(x)=u(x+a)で

意 のa∈RNに

対 し,u∈D

あ る.ua(ξ)=eiξ・au(ξ)

任 意 のRNの

ベ ク トル で あ っ た か ら,Fourier変 ξq(x,ξ)u(ξ),し

換の一意

た が っ て,p(x,ξ)=q(x,ξ)

を 得 る. 

た 関 数がRN上

し

よ っ て,

性 よ り,eix・ ξp(x,ξ)u(ξ)=eix・

  注 意   Pは

す る.も

(証 明 終) これ までDの

元 に対 し作用 して きた.し

有 界 とな るC∞-関 数 全 体 の 集合Bの

か し,何

回微 分 して も微 分 し

元 に対 して も作 用 で き る.こ れ

を み る の に,u∈D,p∈S(m)と

とな る.と

す る.こ

ころ が,こ れ は2重

の と き,

シ ンボ ル 

に対 す る単 化 シ ンボ ルps(x,ξ)の

ξ=0に

お け る値 であ る.任

 はS(m,0)の

意 のu∈Bに

シ ンボ ル で あ るか ら,こ のuに

対 し, 対 し,

Pu(x)=Ps(x,0) とす れ ば よい.さ て,こ の よ うにPを これ か ら,Pに   次 に,2重

よ ってp(x,ξ)が

拡 張 す れば,p(x,ξ)=e-ix・ξP(eix・ξ)と な る.

一 意 的に き まる こ とがわ か る.

シ ン ボ ルp∈S(m,m′)に

対 す る 擬 微 分 作 用 素Pを,u∈Dに

対 し,

(49) と定 め る.dξ′dx′dξ はdξ′ →dx′ しpが

単 シ ン ボ ル な らば,前

はDをDへ

写 す こ と,お

→dξ

の 順 で 積 分 す る こ と を 意 味 す る.も

の 定 義 と一 致 す る.こ

の よ うに 定 義 した 作 用 素

よ び,σ(Pn)(x,ξ,x′,ξ′)がS(m,m′)で

(x,ξ,x′,ξ′)に 収 束 す れ ばPnu(u∈D)はDの と が 前 と 同 様 に し て わ か る.こ

こで

位 相 でPuに

σ(P)(x,ξ,x′,ξ′)はPに

σ(P) 収 束す る こ 対 す る シ ンボ

ル を 表 わ す.(49)は

(50) と も書 か れ る こ と に 注 意 し て お こ う.   命 題7.6 

Pをp∈S(m,m′)に

擬 微 分 作 用 素 とす る.こ   証 明   Pは(49)に ら(44)に

の と き,P=Psと

対す る

な る.

よ っ て 定 義 さ れ て お り,Psはpsが

よ っ て 定 義 され る.さ

を も つ な らば,u∈Dに

対 す る擬 微 分 作 用 素,Psをpsに

て,pがx,ξ,x′,ξ′

対 し,積 分 順 序 を 交 換 して,

単 シ ン ボ ル で あ るか に つ い て コ ン パ ク トな 台

(51) と な る.一 pnを

般 の 場 合 は,コ

と る.(命

n→∞

題7.1を

み よ.)pnに

と す れ ば,シン

式P=Psを

ン パ ク トな 台 を も ち,S(m,m′)でpに 対 し上 の 等 式(51)が

収 束 す る列 成 立 す る.そ

ボ ル に 対 す る 擬 微 分 作 用 素 の 連 続 性 よ り,求

得 る. 

め る関係

(証 明 終)

  定 理7.3 pj∈S(mj)と P1P2は

す る.Pjをpjに

σ(P1P2)∈S(m1+m2)な

=p1(x,ξ)p2(x′,ξ′)と

対 す る 擬 微 分 作 用 素 と す れ ば,

る 擬 微 分 作 用 素 で あ る.p(x,ξ,x′,ξ′)

お い た と き, σ(P1P2)(x,ξ)=Ps(x,ξ). 

そ の 上,任

意 の 

こで

(52)

に 対 して,

(53) な る 漸 近 展 開 が 成 り立 つ.こ 任 意 のlに

こ で,rJ∈S(m1+m2-J-1)で

あ る.さ

らに,

対 し評 価:

(54) (55) が 成 り立 つ.こ

こで,Mlは

正 定 数,l′

は,l′=2l+4N+￨m1￨+2J+7で

あ

る.   証 明  u∈Sに

対 して,

[命題7.6よ と な る.直接 あ る.

計 算 よ りp∈S(m1,m2)と

な る.(34)よ

り]

りps∈S(m1+m2)で

で あ る か ら,(38)よ

り(53)が で る.ま

た(39)よ

り(54),(34)よ

り(55)が で る. (証 明 終)

  定 理7.4 p∈S(m)を

シ ン ボ ル に もつ 擬 微 分 作 用 素Pに対 (Pu,υ)=(u,P*υ) 

((・,・)はL2(RN)の は σ(P*)∈S(m)な

内 積)に

(u∈S,υ

し,

∈S)

よ っ て 形 式 的 共 役 作 用 素P*を

定 義 す れ ば,P*

る 擬 微 分 作 用 素 で あ る.p(x,ξ,x′,ξ′)=p(x′,ξ)と

お

い た と き, σ(P*)(x,ξ)=ps(x,ξ)  で あ り,そ

の 上,任

意 の 

(56)

に 対 して.

(57) な る漸 近 展 開 が 成 り立 つ.こ

こ で,rJ∈S(m-J-1)で

あ る.さ

ら に,任

意 の

lに 対 し評 価:

(58) (59) が 成 り立 つ.こ

こ で,Mlは

正 定 数 で あ りl′ は, l′=2l+4N+￨m￨+2J+7

で あ る.   証 明   Fubiniの

と な る.こ

こ で,( 

定 理 に よ っ て(u,v∈Sに

)は( 

注 意)

)の 複 素 共 役 を 意 味 す る.ゆ

え に,

よ っ て,p(x,ξ,x′,ξ′)=p(x′,ξ)と ps(x,ξ)(∈S(m))を

お く とP*は

命 題7.6よ

リ シン ボ ル

も つ 擬 微 分 作 用 素 で あ る.

で あ る か ら,(38)よ

り(57)が で る.ま

た(39)よ

り(58),(34)よ

り(59)が で る. (証 明 終)

  定 理7.5  素 をPと

(L2有

す る.こ

界 性)p∈S(0)と の と き,lが

す る.pを

シン ボ ル に も つ 擬 微 分 作 用

存 在 して評 価

(60) が 成 り立 つ.こ

こ でMはp,uに

  注意  上 の定 理 よ りPはL2(RN)の

よ ら ぬ 定 数 で あ る. 有 界作 用 素 に 拡 張 され る.

  註 明   (第 一 段)p∈S(m)(m<0)の σ(P*)∈S(m)な

る 擬 微 分 作 用 素 で あ りP*Pも

素 で σ(p*p)∈S(2m).定 ∈S(2km)な

場 合.こ

理7.3を2k回

る擬 微 分 作 用 素 で あ る.kと

命 題7.3(ⅱ)よ

り(P*P)2kはL2(RN)の

の と き 定 理7.4よ 定 理7.3よ

適 用 す れ ば,(P*P)2kは して2km<-n位

りP*も

り擬 微 分 作 用 σ((P*P)2k) 大 き く と れ ば,

有 界 作 用 素 で あ り,M′k,l1を

当 に と ればご 評価

を 得 る.(55),(59)を

操 り返 し 適 用 す る こ と に よ っ て, (M″k,l′ は 適 当 な 定 数)

と な る か ら,

(61) と な る.し

か る に,

適

で あ るか ら,

と な る.(61)よ

り

 (第2段)p∈S(0)の

場 合.こ

の と き,

p0(x,ξ)={2(￨p￨(0)0))2-￨p(x,ξ)￨2}1/2 と お く とp0∈S(0)で

あ る. 

を 用 い れ ば,簡

単 な 計 算 に よ っ て,

(Ml;正

が 成 り立 つ こ とが わ か る.p0,pに

定 数) 

(62)

対応 す る擬 微 分作 用 素 をそ れ ぞれP0,Pと

す る と,

(63) を 得 る.し

か る に,定

任 意 のlに

対 し適 当 にM′l,l′

が 成 り立 つ.定

理7.3よ

理7.4よ

適 当 にM″l,l″

l1は 適 当 な 定 数)が

l′を とれ ば,評

り σ(P*)-σ(P)(≡r″1)∈S(-1),か

つlに

が 成 り立 つ.ゆ

お く とr1∈S(-1)か 成 り立 つ.同

(Ml,l0は お く とr∈S(-1)で

対 し

え に,r1

つ 

様 に,r0=σ(P*0P0)-￨σ(P0)￨2と

つ 

ゆ え に,r=r0+r1と

っ

を と れ ば. 

を とれ ば, 

=σ(P*P)-￨σ(P)￨2と

r0∈S(-1)か

り σ(P*P)-σ(P*)σ(P)(≡r′1)∈S(-1)か

お く と,

適 当 な 定 数)が

あ っ て,任

意 のlに

成 り立 つ.

対 し適 当 にMl,

価

が 成 立 す る.(l′=max{l0,l1}と

す れ ば よ い.)(62)に

よ っ て,

(64) を 得 る.(Mlは

適 当 な 正 定 数.)rに

第 一 段 よ り(2k+1>なるkに

対 応 す る擬 微 分 作 用 素 をRと

対 し)Mk,l,l′

を 適 当 に とれ ば,評

すれば. 価

((60)よ

が 成 り立 つ.と

り.

(M;正 め る評 価 式(60)が

  系1 p∈S(m)と き,各sに

す る.pに

定 数)

導 か れ る. 

(証 明 終)

対 応 す る擬 微 分 作 用 素 をPで

対 し 適 当 な 正 数M=Ms,l=lsが

が 成 り立 つ.こ

(65)

こ ろ が,

で あ る か ら,(63)と(65)よ

これ よ り,求

り) 

表 わ す.こ

のと

存 在 し て.

こ で,

で あ る.

に 対 応 す る 擬 微 分 作用 素 と した ときに, 

 証明 Λsを 

を 示 せ ば よ い.し

か る に,

で あ るか ら,

ゆ え に,σ(ΛsPΛ-s-m)∈S(0)と

な る.こ

れ よ り,系

は 定 理7.5か

ら で る. (証 明 終)

  系2 pj∈S(mj)と し よ う.こ

の と き,交

す る.(j=1,2).pjに

対 応 す る擬 微 分 作 用 素 をPjと

換 子[P1,P2]を [P1,P2]=P1P2-P2P1

に よ っ て 定 め る と,各sに

対 し 適 当 な 正 数M=Ms,l=lsが

存 在 し て,

(66)

が 成 り立 つ,   証 明   [P1,P2]の

シ ン ボ ル σ([P1,P2])の

展 開 の 第1項

は,

σ(P1)σ(P2)-σ(P2)σ(P1)=0 で あ るか ら,定

理7.3よ

に 示 し た 系1よ

りで る. 

  定 理7.6 

りσ([P1,P2])∈S(m1+m2-1).こ

p∈S(m)と

れ よ り,系2は

前

(証 明 終) す る.も

し適 当 な 正 教c0,Rに

対 し,

が 成 り立 て ば,任 意 のc′0(0
存 在 して評 価

(67) が 成 り立 つ.   注意   実 は,c′0=c0と

とれ る の で あ るが,後 で用 い るた め に は上 の定 理 で十 分 であ る.

c′0=c0と とれ る とい うこ との 証 明は い さ さか繁 雑 であ る.   証 明  m=0と

仮 定 し よ う.こ

め と き, 

か つp1(x,ξ)=p(x,ξ)(x∈RN,￨ξ￨>R)な p1に 対 応 す る擬 微 分 作 用 素 をP1と わ か る か ら,任 をP1に

意 のnに

る シン ボ ル が 存 在 す る.

す れ ば,p1-p∈S(-n)で

対 し 

対 し示 せ ば 十 分 で あ る.さ

あ る ことが と な る.よ

っ て(67)

て,

p0(x,ξ)=(Rep1(x,ξ)-c′0)1/2 と お く と,簡 P0とす る.こ

と な る.し

単 な 計 算 か らP0∈S(0)と

対 応 す る擬 微 分 作 用 素 を

の と き,

は

か る に 

と な る.第1項 7.4よ

な る.P0に

りS(-1)で

の 実 部+第2項+第4項 あ る.よ

っ て,

は0と

な り,そ

の 他 の 項 は 定 理7.3,

ゆ え に,

を 得 る.こ こ で,c1は 正 定 数.一 般 のmの

場 合 は,pの

を 考 えれ ば,m=0の

代 わ りに 

場 合 に 帰着 され る. 

(証明 終)

  注 意   これ ま で,ス カラ ー値 の シン ボ ルを 考 え て きた が,行 列 に対 して も全 く同様 で あ る.定 理7.4のpをtpに

変 更 し さえす れ ば よい.こ こ で,tpは

行列pの

転置行

列 であ る.

  §7.3  双 曲 型1階   §7.1で,方

方程式系

程式

(68) に 対 す るCauchy問 た.こ

題 を(m×m)行

こ で は,こ

の 仮 定 の 代 わ りに,次

仮 定1′  任 意 の は,実

列ajが

りx,ξ,∈RN(ξ

対 称 と い う仮 定 の 下 で 考 え て き

の 仮 定 を お く.

≠0)と 

に 対 し,行

か つ 相 異 な る 固 有 値,τ1(ξ;x,t),…,τm(ξ;x,t)の

仮 定2′ ￨x￨が

十 分 大 き い と きaj(x,t)はtの

列 Σ ξjaj(x,t) み を もつ.

み の 関 数 と な る.

仮 定3′ aj(x,t),b(x,t),f(x,t)∈B∞(RN×[0,T]). (仮 定2′

の 代 わ りに(68)は

  定 理7.7 

規 則 的 に 双 曲 型 で あ る と仮 定 して も い い.)

上 の 仮 定1′,2′ の 下 で,も し φ∈Hk+1(RN)な

Ck+1-j(RN)(j=0,1,…,k+1)な

ら ば,u∈Cj([0,T];

る 初 期 値u(x,0)=φ(x)を

も つ(68)の

解 が 存 在 す る.   証 明   定 理7.1の き る か ら,k=0の Y=H1(RN)と

場 合 と全 く 同 様 に,一

般 の 場 合 は,k=0の

場 合 の み 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.定 理7.1と お い て,定

理3.2を

(ⅱ),ⅲ)を 満 た す た め に 定 理7.1に

同 様 にX=L2(RN),

適 用 す る の で あ る が,そ お い て は,

場合に帰着で

こ で の 仮 定ⅰ),

に よ っ て 定 義 さ れ た 作 用 素A(t)が,次

の 性 質 を もつ こ とが 基 本 的 で あ っ た.

  1°) A(t)+A(t)*(≡A′(t))は,L2(RN)で tに つ き[0,T]上

一 様 有 界,

  2°) A(t)はH2(RN)をH1(RN)に はL2で

の 有 界 作 用 素 で,‖A′(t)‖ は

写 し,交 換 子[A(t),Λ]Λ-1(≡C(t))

の 有 界 作 用 素 に 拡 張 さ れ,C(t)はtに

つ き(L2の

意 味 で)強

連

続 で あ る. 1°)に 関 連 して,(必

ず し も有 界 で な い)作 用 素Lに

用 素 に 拡 大 さ れ る と き,Lを い う仮 定 な しで は,上 も つ 擬 微 分 作 用 素Kを

殆 ど 反 対 称 で あ る とい お う.さ

の よ うに 定 め たAは1°)を

し,こ

こ で,λ

こ で,逆

を

ど反対 称 かつ

構 成 さ れ れ ば,(1)に

す る 発 展 作 用 素 と して,U(t,s)=K(t)-1V(t,s)K(s)を

と 定 め る.こ

対称 と

解 く代 わ りに

れ に 対 し発 展 作 用 素V(t,s)が

前 節 の 記 号 を 用 い よ う.各

有界 作

て,ajが

満 た さ な い.そ

適 当 に と っ て,K(t)A(t)K(t)-1を,殆

2°)を 満 た す よ うに し,(1)を

を 解 こ う.も

対 し てL+L*が

パ ラ メ ー タ ーtに

は,λ(ξ)>0(ξ

対

とれ ば よ い で あ ろ う.

依 存 す る シン ボ ルaを,

∈RN)か

つ

(69) を 満 た すC∞-関

数 で あ る.tを

依 存 す る シ ン ボ ルa(x,ξ;t)は 分 可 能 で あ る.補   補 題7.2 

パ ラ メ ー タ ー と 考 え て,こ 明 らか にS(0)と

の パ ラ メ ー タ ーtに

な る.tに

つ い て はC∞-微

題 を 用 意 し よ う.

上 の よ う なaに

対 し,次

の 性 質 を もつ シ ンボ ルk=k(x,ξ;t)

が 存 在 す る.   (イ)  逆 行 列k-1が   (ロ) k,k-1はtに

存 在 し,kもk-1もS(0)に

入 る.

シン ボ ル の 位 相 で 連 続 的 微 分 可 能 で,kt,k-1t∈S(0),

(kt=∂tk).

 (ハ)  各x,ξ,tに (ニ) kak-1は  (ホ) 

対 しkは

実 対 称 行 列 で あ る. 

実 対 称 行 列 で あ る.

任 意 のx,ξ

に 対 し,

∈RN,￨η￨=1, 

(δ:正 定 数) が 成 り立 つ.   証 明  x,ξ,tを

固 定 す れ ば,各x,ξ,tご

と に,aの

固 有値 は実 か つ 相異

な る の で あ る か ら, rar-1=d  と な る実 か つ 正 則 行 列rが か らr*,右

か らrを

rは 正 則 よ りpも

を 得 る.r-1はaの

(d:対

角 行 列) 

存 在 す る.p=r*r,d′=r*drと

掛 け れ ば,pa=d′

正 則,し

を 得 る.k=p1/2と

た が っ てkも

関 し て 局 所 的 にC∞

る 点 で ベ ク トル の 方 向 を 定 め れ ば,一 に つ きC∞

とな る.そ

左

のとき

の 上,

価 性 定 理 に よ っ てrは らば,円

固

フ ァ ク ター

単 連 結 で あ るか 大域 的 に 一

周 上 の 点 を 

指 定 し,円 周 に 沿 っ て θ を2π

θ=0

まで 連 続 的

に お い てej(0,ξ(0);0)=±ej(0,ξ(2π-0);0)と

な る.こ

の と き 十 な ら ば 一 価 とな る が,複

合ejの

代 わ りに, 

素 ベ ク トル を と り入 れ て.一

を と れ ば,θ

り,円 周 上 の 連 続 な ベ ク トル 場 が 定 義 さ れ る.か に つ きC∞

は 実 対 称 行 列 で あ る.次

±1の

規 化 され た固 有 ベ ク トルej(x,ξ:t)の

で の ベ ク トル の 値ej(0,ξ(0),0)を に 接 続 し て い く と,θ=2π

して

な らば,SN-1は

と な る.N=2な

で 表 わ そ う:ξ=ξ(θ).正

価 と な り,x,t,ξ

お こ う.こ

正 則 で あ る.そ

を 除 い て 各 固 有 ベ ク トル は 一 意 に き ま る. 

価 と な り,x,t,ξ

お こ う.(70)の

正 規 化 さ れ た 固 有 ベ ク トル を 列 ベ ク トル と して も ち,各

有 ベ ク トル はx,ξ,tに

ら,あ

(70)

→2π

く して, 

と な る こ とが わ か る.さ

て,構

の場

の と き も とに もど に 対 しrは

一

成 の 仕 方 よ りp

に,

(71) を 示 そ う(δ:正

定 数).各x,ξ,tを

固 定 す れ ば,rは

正 則 行 列 よ り(71)が 成

立 す る.(δ はx,ξ,tに

依 存 す る.)し

と し よ う)と 

か る に,十 分 大 き い￨x￨(そ

に 対 しa(x,ξ;t)はxと￨ξ￨に

とξ/￨ξ￨の み の 関 数 で あ る.と 数tとξ/￨ξ￨は

よ ら な くな る. 

こ ろ が,aはx,ξ,tの滑

し, し,aは ξ/￨ξ￨,

 の 関 数 で あ り, は

コ ンパ クト集 合 上 を 動 くか ら,こ

場 合 に も(71)の 中 の δは 一 様 に とれ る.同 δは 一 様 に とれ る こ とが 示 され 得 る.以

様 に し て,そ

上 よ り(71)の

関 し一 様 に 正 定 値 行 列 で あ る.さ 関 数 で あ る.つ

ら に,pは 

の

の 他 の 場 合 に も(71)の

δはx,ξ

 に 関 し て 一 様 な 正 数 に と れ る こ と が わ か る.つ

∈RN ,￨η￨=1,

ま り,pはx,ξ,tに

な る ξに対 し斉 次 の 同 次

ま り,

め るkと

し てk=p1/2と

の 固 有 値 はx,ξ,tに はx,ξ,tに

らか な 関 数 で 変

コ ンパ クト集 合 を 動 くか ら,結局, に対

(71)の 中 の δは 一 様 に とれ る. に対

とな る.求

れ を 

とれ ば,実

対 称 行 列 で あ っ て,(71)よ

つ き 一 様 に δ1/2で 下 か ら お さ え ら れ て い る.よ

関 し てC∞

斉 次 で あ るか ら,kも

で あ る か ら,kもC∞

斉 次 で あ る.ゆ

え に 各tに

に対 し

対 しk∈S(0)と

な る ことが 直

なx,ξ,tのC∞-関

数 よ り,k-1∈S(0)と

つ い て 斉 次 よ り,上

の 同 じ 議 論 を く り返 せ ば,kt(x,ξ,t)も 

(ニ)を 得 た が,(ホ)は

っ てp

と な る.pが 

接 計 算(斉 次 を 用 い て)に よ っ て 確 か め ら れ る.k-1も 

い て 斉 次 なx,ξ,tのC∞-関

りそ

に つ い て斉次

な る.at(x,ξ;t)は 

数 と な りkt∈S(0)を

に につ

得 る.以

上 で(イ)(ロ)(ハ)

η=P-1/4η′ と と る こ とに よ っ て(71)よ

りわ か る. (補 題 の 証 明 終)

  補 題7.3 kを

補 題7.2で

K1(t)=Tx,ξ(k(x,ξ;t)),K2(t)=Tx K1(t)A(t)K2(t)は

構 成 した シ ン ボ ル とす る. ,ξ(k(x,ξ,t)-1)と

殆 ど反 対 称 で あ る.こ

し よ う.こ

の と き,

こ 及 び 以 下 でT(p)はpに

る 擬 微 分 作 用 素 を あ らわ す.   証 明  K2は

階 数0の

シ ン ボ ル を もつ 擬 微 分 作 用 素 で あ る か ら,H1をH1に

対応 す

写 す.A(t)の

定 義 域 はH1よ

注 意 し よ う.(69)に

り,H1上

でK1AK2は

よ っ て 定 め た λは,λ ∈S(1)で

意 味 を もつ こ とに ま ず あ り,Fourier変

換 の性 質

よ り, A(t)=iT(a(t))T(λ(ξ))+b と書 け る.(a(x,ξ;t)の

を 得 る.こ

こ でbは

な る.シン

かa(t)と書こ

対 す る 系2よ

ボ ル は 階 数0と

な る か らK1bK2も

お く と,定

の 系 を2度

(≡B1)はH-1か 素 で あ る.ゆ

らL2へ

理7.5の

有

有界作用素を 有界作用素 と

有 界 で あ る.ゆ

え に,

界作 用 素 系2よ

りa′∈S(0)と

な る.a′ は 実 対

適 用 す る こ と に よ っ て,T(α′)-T(k)T(a)T(k-1) の 有 界 作 用 素 と な る.よ

っ てB1T(λ)は

有 界 作用

え に, K1AK2=iT(a′)T(λ)+有

し か る に,a′

界 作 用 素. 

は 実 対 称 行 列 で あ る か ら,定 理7.5の

(≡B2)はL2か

らH1へ

素 と な る.(72)で

共 役 を とれ ば.

の 有 界 作 用 素 で あ る.ゆ

(K1AK2)*=-iT(λ)T(a′)*+有

=-iT(λ)T(a′)-iT(λ)B2+有

 

=-iT(λ)T(a′)+有

さ ら に,λa′=a′λ と な る か ら,定 -T(a′)T(λ)はL2か

らL2へ

りT(a′)*-T(α

え に,T(λ)B2は

理7.3と

定 理7.5の

系1よ っ て,

界作 用 素 界 作用 素

′)

有 界 作用

界 作用 素

の 有 界 作 用 素 と な る .よ

=K1AK2+有 え に,

系1よ

界 作 用 素.

iT(λ)T(a′)=iT(a′)T(λ)+有  

(72)

界作 用素

 

を 得 る.ゆ

らL2への

り,T(λ)K2-K2T(λ)は

K1AK2=iK1T(a)K2T(λ)+有

称 行 列 より,上

りT(a),K1は

に 有 界 作 用 素 と い っ た ら,L2か

理7.5に

と な る.a′=kak-1と

う.)

単 な る乗 法 作 用素.k,k-1,a∈S(0)よ

界 作 用 素 で あ る.(単 意 味 す る.)定

代 わ りに,aと

りT(λ)T(a′)

(K1AK2)*=-K1AK2+有 と な る か ら,K1AK2は さ て,以

界 作用 素

殆 ど反 対 称 で あ る. 

上 の 準 備 の 下 でKA(t)K-1が

る.K1=T(k)で

あ る がkの

殆 ど反 対 称 と な る よ う にKを

性 質(ホ)よ

り定 理7.6が

大 き く とれ ば,Re((K1+μΛ-1)u,u) ‖u‖2と は 有 界 な 逆 を もつ こ とが わ か る.次 定 理7.5の る(シ

系2を

K2K=K2K1+μK2Λ-1=I+B3と ゆ え に,K2=(K)-1+B3(K)-1と

適 用 で き て,μ

と れ る.よ

選べ を 十分

ってK1+μΛ-1(≡K)

に,k-1k=I,K2=T(k-1)で

適 用 す る と,K2K1-IはL2か

ン ボ ル を 計 算 せ よ).K2は

作 用 素 で あ る.ゆ

(補 題 の 証 明 終)

らH1へ

定 理7.5系1よ

りHsをHsに

な る.B3はL2か

らH1へ

あ る か ら, の 有 界 作用 素 であ

な る.B3(K)-1は,L2か

写 す か ら, の 有 界 作 用 素. らH1へ

の有 界

え に,

(73) と な る.Aの

シ ン ボ ル はiΣaj(x,t)ξjで

Λ-1A-AΛ-1はL2か 第2項

らH1へ

あ るか ら.定

理7.5系2よ

の 有 界 作 用 素 に 拡 張 で き る.ゆ え に,(73)の

は 有 界 作 用 素 で あ る.Λ-1はL2→H1へ

り 右 辺

の 有 界 作 用 素.AはH1→L2

へ の 有 界 作 用 素 で あ る か ら,右

辺 第3項

も有 界 作 用 素 とな る.B3はL2→H1

へ の 有 界 作 用 素 で あ る か ら,右

辺 第4項

も有 界 で あ る.K1AK2は

殆 ど反 対 称

で あ るか ら, (KAK-1)*=(K1AK2+有

界 作 用 素)*

  =(K1AK2)*+有

と な っ て,KAK-1も が0で は,L2で

界 作 用素

  =-K1AK2+有

界作 用 素

  =-KAK-1+有

界 作 用素

殆 ど反 対 称 作 用 素 で あ る.シ

あ る こ と を 確 か め れ ば 定 理7.5の

系2よ

し て い る こ とが わ か る. 

の 階数

り[KA(t)K-1,Λ]Λ-1(≡C(t))

の 有 界 作 用 に 拡 張 さ れ る こ とが わ か る.シ

連 続 的 に 依 存 し て い る こ と を 考 え れ ば,C(t)がtに

ン ボ ル を 計 算 し,そ

ン ボル に擬 微 分 作 用 素 が 強 連 続 で あ る よ うに 依 存 (証 明 終)

第8章  2階 線型放物型方程式

 RNの

領 域Ω

で 放 物 型 方程 式 のCauchy問

題

を連 続 関 数 空 間C∞(Ω)と い う枠 組 の 中 で半 群 の手 法 を用 いて 解 くこ とを考 え る.ま

ず,形

とお くと,上 の方 程 式 は放 物 型 で

式 的 に 

あ る か ら,-Aは

楕 円 型 の 作 用 素 で あ る.最

N=1,Ω=(-∞,∞)の 後,K.

Masuda

場 合,-Aが [48, 49]が

Yosida

[86]がm=1,

正 則 半 群 を 生 成 す る こ と を 示 し た.そ

一般 のm,N,Ω

に 対 し-Aが

と を 示 し た.こ

の 方 法 に 基 づ い て,H.

明 を 与 え た.こ

こ で は,簡 単 の た め,Ω=RN,m=1の

ア を 説 明 し よ う.(非

初,K.

Stewartは,こ

の

正則半群であ るこ の結 果 の幾 分 簡 単 な証

場 合 に[48]の

有 界 の 係 数 な ど の 一 般 の 場 合 に つ い て はK.

ア イデ ィ

Masuda

[49]

を み よ.)

 §8.1 2階 放 物 型 方程 式 のCauchy問  2階 放 物 型 方程 式 のCauchy問

題

題

(1)

を 考 え よ う.こ

こ で,次

の 仮 定 を お く.

  仮 定1 

αjk(x),bj(x),c(x)

(j,k=1,…,N)はRN上

有 界 な実 数 値 連

続 関 数 で あ る;￨ajk(x)￨,￨bj(x)￨,￨c(x)￨ M0 (x∈RN;j,k=1,…,N).   仮 定2 

ajk(x)はRN上

一 様 連 続.す

な わ ち, 

と お く と,ρ(r)→0(r→0).   仮 定3 

ajk(x)=akj(x)で

あ っ て,

(2) を 満 た す.こ

こ で,δ

はx,ξ

に よ ら ぬ 正 定 数 で あ る.

  関 数 空 間 を 導 入 し よ う.p(1 

p<∞)とr>0に

対 し,

関数全体をLp∞(RN)と

と お く. 

書 く.こ

の 空 間 は ノ ル ム‖u‖Lp∞=‖u‖Lp∞(1)によ っ てBanach空

等 的 計 算 よ り,‖u‖Lp∞(1)<∞

と‖u‖Lp∞(r)<∞

u∈Wk,ploc(RN)で

あ っ て,￨α￨ kな

と な る関 数uの

全 体 をWk,p∞(RN)と

  さ て,u∈W2,ploc(RN)に

と お く.さ

(r>0)と

間 と な る.初 は 同 値 で あ る.

る 任 意 の α に 対 して,Dαu∈Lp∞(RN) 書 く.

対 し,

ら に,C∞(RN)の

中 の 作 用 素Ap,1
D(Ap)={u∈C∞(RN);u∈W2,p∞(RN),Au∈C∞(RN)}  

Apu=Au

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,

  定 理8.1 p>Nと

す る.Apはpに

と,-AはC∞(RN)で   注 意   こ の定 理 よ り,(1)の

よ ら ぬ 作 用 素 で あ る.Ap=Aと

π/2型 の 正 則 半 群 を 生 成 す る. 解 はu(x,t)=(e-tAu0)(x)で

与 え られ る.

お く

 §8.2  定 理 の 証 明   一 連 の 命 題 に よ っ て 示 そ う.そ

の た め に,ま

ずMarcinkiewiczの

定 理 を示

し て お こ う.   命 題8.1 

(Marcinkiewiczの

が ξ≠0に

定 理)K(ξ)を, 

対 し存 在 し,K∈CN-1(RN-{0})で

あ っ て,

(Mは正 を 満 た すRN上

の 関 数 とす る.1
と作 用 素Tを

定 め る と,TはLp(RN)か

が 成 り立 つ.こ (証 明 に はE.

こで,M′ Stein

はp,Nに

[66],

と す る.f∈Lp(RN)に

らLp(RN)へ

依 存 し,Kに

S. Mihlin

定 数) 

[50]を

(3) 対 して,

の 有界 作用 素 とな り,

は よ らぬ 定 数 で あ る.

み よ;証明

は 複 雑 で あ るか ら本

書 で は 省 略 す る.)  命 題8.2 

任 意 に 正 数 εを と る. 

と定 め る.

 と お く.こ

の と き,

(4) が す べ て のy∈RN,u∈W2,p(RN),λ で,Mは

ε,M0,p,δ,Nの

∈ Σ(π-ε;1)に み に 依 存 す る 定 数 で あ る.

  証 明   y∈RN,u∈W2,p(RN),λ と お く と,f∈Lp(RN)と

対 し 成 立 す る.こ

∈ Σ(π-ε;1)に な る.こ

の と き,Fourier変

対 し,(λ+A0(y))u=f 換 す れ ば,

(λ+a(y,ξ))u(ξ)=f(ξ) と な る.こ

こ で,a(y,ξ)=Σajk(y,ξ)ξjξkで u(ξ)=(λ+a(y,ξ))-1f(ξ), 

あ る.ゆ

え に, (5)

(6)

こ

 ⅰ  ⅱ

(7) と な る.  と お く と,い

は ε,M0,p,δ,Nの

ず れ も,λ∈

み に よ る定 数(そ

る こ と が わ か る.ゆ

Σ(π-ε,1)とy∈RNに

れ をM1と

え に,Marcinkiewiczの

す る)に

対 し,

よ っ て お さ え られ

定 理 に よ っ て,(5),(6),(7)

よ り,

を 得 る.こ

こ で,MはM1に

の み 依 存 し,λ,yに

つ の 評 価 式 を 加 え 合 せ れ ば 求 め る式(4)を   命 題8.3 

任 意 の ε>0に

よ ら ぬ 定 数 で あ る.上

得 る. 

の3

(証 明 終)

対 して評 価

) 

(8)

) 

(9)

が,u∈W2,p(RN),λ ε,M0,ρ,δ,Nの

∈ Σ(π-ε,λ0)に対

(￨x￨>2)な

るC∞0(RN)関

る 正 数 を と る.ψ(x;y,r)=ψ(￨x-y￨/r)と

簡 単 の た め ψ0(x)と W2,p(RN)で

こ で,M,λ0は

み に 依 存 す る 定 数 で あ る.

  証 明  ψ(x)=1(￨x￨<1);ψ(x)=0 と る.0
し て 成 立 す る.こ

書 こ う.こ

あ る.ψ0uに

の と き,u∈W2,p(RN)な

対 し,評 価 式(4)を

適 用 す れ ば,

数ψ

お く.こ

を

れを

ら ば,ψ0u∈

(λ∈ Σ(π-ε;1),u∈W2,p(RN))と る 定 数 で あ る.こ

こでyに

な る.M2は

ε,M0,p,δ,Nの

みに よ

つ い て の 上 限 を とれ ば,

(10) とな る.さ らに,初 等的 不 等 式

(11) (12) が 成 立 す る.Mr,sはgに

独 立 な 定 数 で あ る.(10)と(11)よ

を得 る.rを 

位 に 小 さ くと り固 定 し￨λ￨を 十 分大き くとれ

ば,上 式 の右 辺 第2項 と第3項 は,左 辺 の1/2 れ を 書 き 直 し(12)を と る と,(10)に

用 い れ ば,(8)を

得 る.次

倍 で お さ え られ る.よ に,rと

っ て,こ

し て,r=μ￨λ￨-1/2と

よ っ て,

が  って固 定 す る.そ 大 き く とれ ば, 

り.

に 対 し て 成 立 す る.特 の 後 で,正数λ0を

に μ と して,μ>4N+1M2位 λ0>μ2か

つ 

,(￨λ￨>λ0),で

に大 き くと 位 に

あ るか ら

(13)

が,λ ∈ Σ(π-ε;λ′0),u∈W2,p(RN)に 数).他

方,(11)と

が 成 立 す る.こ り,求

対 し て 成 立 す る(λ′0は 十 分 大 き い 正

同 様 に し て,

こ で,M3はr,gに

め る評 価 式(9)を

  命 題8.4 p>Nと

よ らぬ 定 数 で あ る.し

た が っ て,(13)よ

得 る.  す る.ε

(証 明 終)

を 任 意 の 正 数 とす る.こ

の と き,

(14) が,u∈D(Ap),λ M0,ρ,δ,Nの

∈Σ(π-ε;λ0)に

対 し て 成 立 す る.ここ

で,M,λ0は,ε,

み に 依 存 す る定 数 で あ る.

  証 明  Sobolevの

埋 蔵 定 理 よ り,p>Nで

あ る か ら,

(15) と な る.M4はp,Nの

み に よ る定 数.φ(x;y,r)を

定 義 した 関 数 とす る.y∈RNを φ(x;y,r)u(x)に

が 成 り立 つ,こ yにつ

命 題8.3の

固 定 す る.u(x)∈D(Ap)に

適 用 す れ ば,(φ0(x)=φ(x;y,r)と

こ で,M5はM4,‖φ‖C1,ρ,Nに

い てRN上

で 上 限 を と り, 

証 明 の中 で 対 し,(15)を

お く)

依 存 す る定 数 で あ る.こ

こ で,

と お く と,

(16)

と な る.こ

こ で. 

で あ る.他

方,u∈D(Ap)な

ら ば,Au∈C∞(RN)

で あ るか ら,

(9)の と な り,し

(17)

右 辺 

た が っ て,

(18) (19) を 得 る.(18)

と な る.同

(19)を(16)の

右 辺 に 代 入 す れ ば,

様 に して,

を 得 る.(9)と(17)よ

り,

とな る.以 上 合 わ せ れ ば,求 め る評価 式(14)を 得 る.    命題8.5 

(証明 終)

Lp∞(RN)の 中 の作 用 素Apを, D(Ap)=W2,p∞(RN), Apu=Au

に よ っ て 定 義 す る と,-ApはLp∞   証 明   (8)よ

でπ/2型

り、 λ∈Σ(π-ε;λ0)な

る こ と を 示 せ ば よ い.そ

の た め に,パ

の 正 規 半 群を生 成 す る.

るλ に 対 しA+λ

が上 へ の写 像 で あ

ラ メ ー タ ー 

を 導 入 して,

Bμu=μApu-(1-μ)Δu (u∈W2,p∞(RN)) と 定 め る と,Bμ

と な る.こ ρ(r)を

は,

の 係 数 もajk,bj,cに μρ(r)に,δ

つ い て の 仮 定1,2,3を,M0をM0+1に,

をmin{1,δ}に

か え る こ と に よ っ て 満 足 す る こ とが わ

か る.し

た が っ て,こ

れ に 対 し て も命 題8.3が

定 数λ0,Mが  と る.こ

の と き,任

意 のf∈Lp∞(RN)に

が 解 を も つ よ う な μ 全 体  実 際,μn(∈I)を

をIで

す る.こ

し て 適 用 す れ ば,

っ て,u∈W2,p∞(RN)が

か るに,unは(λ+Bμn)un=fを な る.こ

れ よ り,μ

を 満 た すυ

満 た す.こ

れ は,μ ∈Iを

示 す.す

を￨μ-μ0￨<(2M(M0+1))-1を

上 へ の 写 像 と な る.よ

∈Lp∞(RN)が

(=W2,p∞(RN))で

れ は,μ

っ て,任

強

こ で,n→∞ な わ ち,Iは

す るAをBμ0に

とす 閉 集 合.

し た(8)式

よ り,

満 た す 位 に μ0に 近 く

と な る.こ

(λ+Bμ0)-1は

式 の 右 辺 は0に

存 在 して.DαunはDαuにLp∞(RN)で

と る と, 

る.

μn→ μ で あ る か ら,上

集 合 で あ る こ とを 示 す.μ0∈Iと

と な る.こ

に対 し

お く と,

れ ば,(λ+Bμ)u=fと

と な る.こ

お き か え れ ば ,M はn=1,2,…

しか る に,‖Dαun‖Lp∞(1)は 有 界 か つ

収 束 す る.し

閉 集 合 で あ る. 任 意 に と る.μn

の と き,(8)でAをBμnで

とな る.(8)をA=Bn,u=un-umと

次 に,開

表 わ そ う.Iは

よ らず に と れ るか ら, 

有 界 と な る.Bμn=Bnと

∈

対 し て(λ+Bμ)u=f

μ に 収 束 す る点 列 とす る.f∈Lp∞(RN)を

に 対 応 す る 解 をunと

い く.よ

に そ こに で て くる

に よ ら ぬ よ うに と れ る こ とに 注 意 す る.λ

Σ(π-ε,λ0)を

が μnに

成 り立 つ.特

れ よ り,I+(Bμ-Bμ0)

意 のf∈Lp∞(RN)に

存 在 す る.u=(λ+Bμ0)-1υ

対 し て,

と お く と,u∈D(Bμ)

あ っ て,

を 十 分 μ0に 近 くに と れ ば,μ

∈Iと

な る ことを示 して い

  次 に,0∈Iを

示 す.こ

に よ っ て,λ0-Δ λ0-Δ

れ はI≠

稠 密 な 集 合C∞0(RN)の

=F-1((λ0+￨ξ￨2)f(ξ))で

λ+Apは

の た め に は,

任 意 の 元fを

と る.この

と き,(λ0-Δ)-1f

あ る か ら ,u=(λ0-Δ)-1fはRN上

く して,I≠

φ で あ る.ゆ

急 減 少 関数 で

入 る.す

な わ ち,R(λ0-Δ)

え に,I=[0,1]で

あ る.す

上 へ の 作 用 素 で あ る. 

  定 理 の 証 明  λ∈ Σ(π-ε,λ0)と そ う.f∈C∞(RN)と

(λ+A)u=f∈C∞(RN)で 像 で あ る.命

す る.λ+Apが

題8.5に

る解 を もつ.u∈Lp∞(RN)か

つ

な る.す

あ る か ら,u∈D(Ap)と

題8.4よ

り.-ApはC∞(RN)でπ/2型の正

Ap⊂Aq(p>q)は

明 らか で あ る.λ+Apが1対1か

Ap=Aqを

れ はApがpに

得 る.こ

上 へ の 写 像 で あ る こ とを 示

り,命

で あ る か らu(x)→0(￨x￨→∞)と

な わ ち,

(証 明 終)

す る.f∈Lp∞(RN)よ

=fはu∈W2,p∞(RN)な

題8.5

中 で 稠 密 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.

っ て,上 の よ うに 定 め たuはW2,p∞(RN)に

は 稠 密 で あ る.か

示 す に は,命

が 上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 した ら よ い.そ

の 値 域R(λ0-Δ)がLp∞(RN)の

Lp∞(RN)で

あ る.よ

φ を 意 味 す る.0∈Iを

よ っ て,(λ+Ap)u  

な わ ち,u∈C∞(RN)と な る.す

な る.

な わ ち,上

へ の写

則 半群を 生 成 す る. つ 上 へ の 写 像 で あ る か ら,

よ ら ぬ こ と を 示 し て い る. 

(証 明 終)

第9章   準線型1階 方程式

 非 線 型 半 群 の 理 論 の応用 と して,準 線型 方 程 式

(1) に 対 す るCauchy問

題 を考 え て み よ う.こ こで,φjは

次 の仮 定 を満 たす 与 え

られ た 関 数 で あ る.   仮 定  φj(r)は 区間(-∞,∞)で

定 義 され た 連 続 的微 分 可 能 な 関数 であ る.

(なん ら一 般 性 を 失 わ な いか ら,φj(0)=0と

仮 定 しよ う.)

  多 くの人 が この種 の 問題 を 考察 した が,な

か ん ず く,Kruzkov[38]は

次の

定 理 を示 した.   定 理  u0∈L∞(RN)な

らば,任

f(x,t)∈C∞0(RN×(0,T))に

意 の 実数k,正

数T,任

意 の 非 負の関 数

対 して,不 等 式

(2) お よ び,次

の 意 味 で 初 期 値u(x,0)=u0(x)を

満 た すu∈L∞(RN×[0,∞))

が 一 意 的 に 存 在 す る.こ

こ で,u(x,0)=u0(x)の意味

あ る測 度0のt-集

に 対 し,

合Ω

  上 の 解 の 意 味 は あ ま り直 観 的 で な い.し と と り(2)に

か し,uが

お い て 部 分 積 分 を す る こ と に よ っ て,

は.任

意 の 正 数Kと

滑 ら か な らば,k<-‖u‖

∞

(3) と な る.k>‖u‖∞

と とれば,同 左 辺=0,を

様 に して(3)の

れ,結

局,(3)の

(1)を

満 た す こ と が で る.(1)の"弱

意 のf∈C∞0(RN×[0,∞))に

を 満 たす 関数uで

う る.fは

左 辺 が非 負で あ る こ とが示 さ

任 意 で あ っ た か ら,こ い"解

の 意 味 を(2)で

れ よ り,uは

な く て 例 え ば,任

対 して,

あ る とす れ ば,解 の一 意 性 を示 す こ とが もは や で き な くな る.

  最 後 に 記 号 を 述 べ る.   φ=(φ1,φ2,…,φN))   φ′=(φ′1,φ′2,…,φ′N)

sign0r=1 

(r>0);=0(r=0);=-1 

(r<0)

signr=1 (r>0);=[-1,1](r=0);=-1 

(r<0)

h+=max(h,0) h-=-max(-h,0)

  §9.1  準 線 型1階

偏 微 分 方 程 式 に 対 す るCauchy問

題

  主 要 な 目的 は 次 の 定 理 を 証 明 す る こ と で あ る.   定 理9.1 u0∈L1(RN)∩L∞(RN)と

 を満 た す   が 一意 的に 存 在す る.

す る.こ

の と き,(2)お

よ び,

  定 理5.1の A0を

応 用 と し て 上 の 定 理 を 示 す.そ

定 義 し よ う.υ ∈D(A0),w∈A0υ

あ っ て,任

こ でX=L1(RN)と

と る.作

用素

で あ る と は,υ,w,φ(υ)∈L1(RN)で

意 の 非 負 関 数f∈C∞0(RN)と

任 意 の 実 数kに

対 して,

(4) が 成 立 す る と き と 定 め る.   こ のA0の

定 義 は 直 観 的 で な い か ら,分

か りや す くす る た め に 次 の 補 題 を 用

意 す る.   補 題9.1   イ) υ ∈D(A0)∩L∞(RN)な   ロ) υ ∈C10(RN)な

らば,A0υ

らば,υ ∈D(A0)で

  証 明   イ)を 示 そ う.w1,w2∈A0υ れ ば, 

はυ

に よ っ て 一 意 的 に 決 ま る.

あ っ てA0υ=divφ(υ(x)).

とす る.(4)に

お い てk=‖υ‖∞+1と

と

よ り,

(5) 同 様 に,k=-‖υ‖∞-1と

これ よ り,任

とれ ば,(5)の

意 の 非 負 のf∈C∞0(RN)に

した が っ て,w1=w2を に 対 し-1, 

得 る.ロ)を に 対 しns, 

左 辺 

と な る.し

た が っ て,

対 し て,

示 す.kを

固 定 す る.αn(s)を, 

に対し1,を

と る関 数 とす る.こ

と き,

と な る.さ   ζj(x)=0 

ら に,ζj(x)=(φj(υ(x))-φj(k))f(x)(∈C1)と

お く と,

(a.e.x);

(υ(x)=k); 

 (a.e.x);

の

と な る.こ

こ で,Mはx,nに

よ ら ぬ 定 数.ゆ

え に,Lebesgueの

収束定理 よ

り,

と な る.こ

れ よ り,jに

と な る.こ

れ はυ ∈D(A0)か

  さ て,AをA0の

つ い て の 和 を と れ ば,

つdivφ(υ)∈A0υ

閉 包 とす る.つ

ま り,υ ∈D(A)か

wn∈A0υn,wn→w,υn→υ(L1(RN)で {wn}C⊂L1(RN)が

を意味 す る. 

(証明 終)

つw∈Aυ

の 強 収 束)な

で あ る と は,

る列{υn}⊂D(A0),

存 在 す る こ と で あ る.

  こ の と き,   定 理9.2  h∈L1(RN)に

上 に 定 義 し た 作 用 素Aは

化 さ れ た 解 で あ る.す

な わ ち,u∈D(A)か

  こ れ よ り-AはD(A)上 補 題9.1よ

定 理5.1の

に,

りC10(RN)⊂D(A)で

つh∈u+Au.

中 で 稠 密 と な る.し

定 理5.1に

満 た す.さ

ら に そ の 上,も

しu0∈L1(RN)∩L∞(RN)な

Kruzkovの

意味 で の(1)の 解 に な る.よ u0∈L1(RN)∩L∞(RN)と

れ ば, 満 た す,

ら に,

稠 密 で あ るか

た が っ て,-Aに

定 義 され る.し

に 対 し,u(x,t)=(U(t)u0)(x)は

生 成 す る.さ

あ りC10(RN)はL1(RN)で

る 半 群U(t)はL1(RN)(=D(A))で

  1)  uは 不 等 式(2)を

一般

で 定 義 さ れ た 半 群U(t)を

ら,D(A)はL1(RN)の

  定 理9.3 

仮 定 を 満 た す.特

対 し て,u=(I+A)-1hはu(x)+divφ(u(x))=h(x)の

よ っ て 生 成 され

た が っ て,u0∈L1(RN)

お け る結 論ⅰ),ⅱ),ⅲ),を らば,こ

のu(x,t)は

り詳 し くい え ば 次 の 定 理 が 成 り立 つ. す る.u(x,t)=(U(t)u0)(x)と

定め

  2) t>0に

対 し て,u(・,t)∈L1(RN)∩L∞(RN)か

  3) υ0∈L1(RN)∩L∞(RN)に

つ

対 し,υ(x,t)=(U(t)υ0)(x)と

お く と,

が 成 り立 つ.

  §9.2  定 理 の 証 明   Aがaccretive集

合 で あ るこ と

  命 題9.1 AはL1(RN)でaccretive集   証 明 u,υ

合 で あ る.

∈D(A0),z∈A0u,w∈A0υ

と す る.(4)に

とす る.gを

お い てk=u(y),f(x)=g(x-y)と

非 負 のC∞0(RN)の お い てyに

関数

つ い て積 分

す れ ば,

と な る.同

様 に し て(xとyを

と な る.上

の2式

書 き換 え る),

を 加 え 合 わ せ る と,

(6) を 得 る.  λε(x)=ε-Nλ(ε-1x)と

を 満 た す 非 負 のC∞0(￨x￨<1)-関 お き,(6)に

お け るgと

数

λ(x)に

し てg(x)=λε(x/2)と

対 し て, と れ ば,

(7) これ を 評 価 す る の で あ るが,そ h1,h2∈L1(RN)に

対 し て,

の た め に,次

の い さ さ か 退 屈 な 等 式 を 示 そ う.

(8) が 成 立 す る.こ

で あ る.実

こ で,

際,ρ(ξ,η)=sign0[υ(ξ+η)-u(ξ-η)]と

  変 数 変換

お く と,

ξ=(x+y)/2,η=(x-y)/2に

よ っ て,

 (8)の 左辺 の積 分

(9) と な る. 

か つ 

｜(9)の 右 辺 第2項

｜

と な る.h1∈L1よ (9)の

右 辺 第2項

に,ε →0と

で あ るか ら,

り ε→0に は0に

す れ ば(8)を

対 し,こ

の 右 辺 は0に

い く.同 様 に し て,右

お け ば,(7)に

辺 第3項

も0に

な わ ち,

い く.そ

れゆえ

得 る.

  さ て,α(ξ)=υ(ξ)-u(ξ),b(ξ)=w(ξ)-z(ξ)と h2=zと

収 束 す る.す

よ っ て(8)の

お こ う.(8)でh1=w,

左 辺 は 非 負 と な る.よ

っ て.

(10) と な る.(8)でh1=υ,h2=uと

お く と,

(11)

変数変換 と   (11)の 左 辺 の 積 分

を 用 い れ ば,

と な る.υ ∈L1よ

り ε→0と

す れ ば 最 後 の 式 の 右 辺 第2項

は0に

い く.し

た

が っ て,

と な る. 

で あ る か ら,し

た が っ て,

(12) と な る.ゆ

え に, 

に対 し

[(10)と(12)よ

を 得 る.す

な わ ち,u,υ∈D(A0),z∈A0u,w∈A0υ

り]

に 対 し,

(13) を 得 る.u,υ∈D(A),w∈Aυ,z∈Au,に

対 し て,un,υn∈D(A0),wn∈A0υn

zn∈A0unでun→u,υn→υ,wn→w,zn→zな

とな る.こ

こ で,n→∞

る 列 を と る.(13)よ

と す れば,(13)がu,υ

対 して も成 り立 つ こ と が わ か る.す

り,

∈D(A),z∈Au,w∈Aυ

な わ ち,Aはaccretive集

に

合 で あ る. (証 明 終)

  次 に,R(I+λA)=L1(RN)(λ>0)を u+λ(φ(u))x=hを

示 す.h∈L1(RN)が

満 た すuの

存 在 を 示 す の で あ る が,こ

与 え られ た と き, の た め に,「 楕 円

型 」 化 した方 程 式 (14) を 考 え,こ

の 方 程 式 の 解 の ε↓0に 対 す る 極 限 と し て,も

成 す る.(14)の   補 題9.2 

左 辺 の 第2項 ψ1,ψ2を

との方 程 式 の 解 を構

を 扱 うた め に 補 題 を 用 意 し よ う.

ψ1∈C1(-∞,∞),ψ2∈C(-∞,∞)な

る 関 数 とす る.

u∈H1loc(RN)に対

し て,も

しuが

(15) を 満 た せば,

(16)  証 明  直 接 計 算 よ り,

と な る.こ

れ をRN上

でxに

つ き 積 分 す れ ば,求

め る 式(16)を

得 る. (証 明 終)

  さ て,(14)の   命 題9.2 

解 に 対 す る ア ・プ リオ リな 評 価 を 与 え よ う. φ を φ′が(-∞,∞)上

 ⅰ) h∈L1(RN)と u∈L1(RN)と

仮 定 す る.も

な り, 

 ⅱ) h∈L∞(RN)と L∞(RN)と

有 界 なC1-関

しu∈H2(RN)が(14)を

の と き, 満 た せ ば,

が 成 り立 つ. 仮 定 す る.も

な り, 

  証 明  ⅰ)の

数 とす る.こ

しu∈H2(RN)が(14)を

満 た せ ば,u∈

が 成 り立 つ.

証:αn(s)を

に よ っ て定 め る と,αn(s)は,

を満 た す.(14)の

両辺に

とu∈H2(R)よ

αn(u)を

掛 け てxに

つ き 積 分す れば, 

り積 分 で き る ことに 注 意) (17)

と な る. 

よ り,右

と し て 補 題9.2を

適 用 す れ ば, 

積 分 に よ っ て,

辺 

と な る.ψ1(s)=λ

φ(s),ψ2(s)=αn(s)

と な る.さ

らに,部

分

と な る.し

た が っ て,(17)よ

り 

(a.e.)と  れ ば,任

と な

で あ る か ら,Lebesgueの

意 の コ ソ パ ク ト集 合Ω(⊂RN)に

と な る.Ω

は 任 意 で あ っ た か ら,こ

る. 

収束 定 理 を 適 用す

対 し て,

れ よ りu∈L1(RN)か

つ 

が 得 られ る.  ⅱ ) の 証: 

(a.e.)と

u-M+λ と な る が,両

辺 に(u-m)+を

す る.こ

の と き.(14)よ

り,

φ(u)x-εΔu=h-M 掛 け る と,

(18) 左 辺 第2項

のRN上

で の 積 分 は.補

とす れ ば わ か る 通 り,0と る.実

際,関

な る.さ

題9.2で らに,第3項

ψ1(s)=φ(s),ψ2(s)=(s-M)+ のRN上

で の 積 分 は非 負 で あ

数 βn(s)を,

と 定 め る. 

で あ る か ら,

(19) と な る.他

方,部

分 積 分 よ り,

(20) と な る.(19)と(20)よ っ て,(18)の

り,第3項

両 辺 をRN上

の 積 分 

で 積 分 す れ ば,

を 得 る.よ

 ⅱ  ⅲ

と な る.(u-M)(u-M)+=￨(u-M)+￨2で し た が っ て, 

を 得 る.す  を 得 る.以

  命 題9.3 

あ る か ら,(u-M)+=0(a.e.).

上 よ り,u∈L∞

φ を φ′ が(-∞,∞)上

  ε>0と

し よ う.こ

な わ ち, 同 か つ . 

有 界 なC1-関

の と き,も

しu,υ

様 に し て, (証 明 終)

数 とす る.h,g∈L1(RN),

∈H2(RN)が,

u+λ φ(u)x-εΔu=h, υ+λ

φ(υ)x-εΔυ=g

を 満 た せ ば,  ⅰ ) 

(21)

) 

(22) (a.e.)な

) 

  証 明 ⅰ)の

ら ば, 

証 明:w=u-υ

(a.e.). 

と お く と,こ

(23)

のwは, (24)

を 満 た す.さ

ら に,βnを

と 定 め る. 

てRN上

な るf∈C∞0(RN)を

と り,(24)の

両 辺 に β′n(w)fを

掛け

で 積 分す る と,

(25) と な る.上

式 の 各 項 を 評 価 し よ う.ま

ず, 

よ り,

(25)の 右 辺  と部 分 積 分 よ り,

を 得 る.同

様 に,部

分 積 分 よ り,

を 得 る.こ

こ で,Mはn,u,υ,fに

よ ら ぬ 正 定 数 で あ る.最

後 の不 等 式 を 導

く際 に,

な る不 等 式 と 

を 用 い た.ゆ

え に,(25)よ

り,

(26) と な る.各xに

対 しn→

∞

の と き, 

で あ る か ら,Lebesgueの

収 束 定 理 よ り,(26)でn→

∞

とす れ ば,

(27) と な る.命

題9.2よ

り,u,υ

∈L1.φ′

=1(￨x￨<1);=0 (￨x￨>2)な く.f=fkと

るC∞0-関 数 を と り,fk(x)=f0(x/k)と

した(27)に

は0に 収束 し,第1項

 ⅱ)の 証 明:ⅰ)でuとυ と な る.よ

っ て, 

を 得 る.こ

れ はⅱ)を

は 有 界 よ り φ(u)-φ(υ)∈L1.f0(x)

お い て,k→

は 

∞

と す れ ば,(27)の

右 辺 の 第2,3項

に収 束 す るか ら,

の 役 割 を 入 れ か え れ ば,  と な る.ゆ

示 して い る.

え に,

お

 ⅲ)の

証 明: 

(a.e.)と

す れ ば,(h-g)-=0(a.e.).ゆ

よ っ て,(u-υ)-=0(a.e.).こ

れ は 

(a.e.)を

え に,

意 味 す る.ⅲ)が

て 示 さ れ た.    命 題9.4  ε>0と

か くし (証 明 終)

φ を φ′が(-∞,∞)上

す る.さ

有 界 なC1-関

ら に,h∈L2(RN)が

数 とす る.μ>0, 

与 え られ て い る と し よ う.こ

の と き,

u∈H2(RN)が μu+λ φ(u)x-εΔu=h 

(28)

を 満 た せ ば,

(29) が 成 り立 つ.こ

こ で,M0はu,h,μ

に よ ら ぬ 正 定 数 で あ る.

  証 明   一 般 性 を 失 な わ ず に,ε=1,λ=1と か に 成 立 す る.)(・,・)でL2(RN)の

とお く.ψ1(s)=φ(s),ψ2(s)=sと と な る.よ

っ て,(28)とuと

と な る. 

し て も よ い.(λ=0の

ときは 明 ら

内 積 を 表 わ し,

し て 補 題9.2を

適 用 す れ ば,(φ(u)x

,u)=0

の 内 積 を と れ ば,

を 用 い れ ば,

(30) を 得 る,次

に,

(31) お よ び, 

と な る.ゆ

とSchwarzの

え に,

不 等 式 よ り,

を 得 る,Schwarzの

と な る.こ

不 等 式 よ り,左

の 右 辺 を(30)を

で あ る か ら,

辺 

で あ る か ら,

用 い て評 価 す る. 

(32) 他 方,Fourier変

換 を 用 い て 示 さ れ る通 り,

(33) が 成 り立 つ.こ (33)よ

こ で,Mはuに

り求 め る 式(29)が

  さ て,(14)の   命 題9.5 

よ ら ぬ 正 定 数 で あ る.ゆ

え に,(30),(32),

得 ら れ る. 

(証 明 終)

解 の 存 在 を 示 そ う. φ を φ′が(-∞,∞)上

任 意 の ε>0,λ>0,h∈L2(RN)に

で 有 界 なC1-関 対 し て,方

数 と す る.こ

程 式(14)を

の と き,

満 た す 解u∈H2(RN)

が 存 在 す る.   証 明   (28)に お い て 一 般 性 を 失 な わ ず に ε=1,λ=1と の 代 わ りに,正

μu+φ(u)x-Δu=h  を 考 え る.任

意 のh∈L2(RN)に

の 全 体 をIと

し よ う.1∈Iな

Iが

(μ>0) 

対 しu∈H2(RN)な

(34)

る 解 を も つ よ う な μ>0

ら ば 命 題 が 示 さ れ た こ と に な る.そ

空 で な い 閉 か つ 開 集 合((0,∞)で

よ い.ま

仮 定 して も よ い.(14)

の パ ラ メ ー タ ー μ を もつ 方 程 式

の 相 対 位 相 で)で

の た め に,

あ る こ と を 示 した ら

ず 空 集 合 で な い こ と.μ>￨φ′￨2L∞ と し よ う.unを, μu0-Δu0=h;  μun-Δun=h-φ(un-1)x 

に よ っ て 定 義 す る.μ-Δ か ら,u0∈H2(RN)と

はH2(RN)か

な る.un-1ま

(35) (n=1,2,…)  らL2(RN)の でH2(RN)の

(36)

上 へ1対1写

像 である

関 数 と して定 義 され て い

る と 仮 定 す れ ば.φ′ は 有 界 よ り.

(37) と な る.よ

っ て,unもH2(RN)の

関 数 と して 定 義 で き る.さ

て,wn=un+1

-unと

お くと

, μwn-Δwn=φ(un-1)x-φ(un)x

と な る.wnと

の 内 積 を とれ ば,

とな る.(最 後 か ら2番 目の不 等 式 に お い て,平   を 用 い た.)ゆ

が で る.こ 極 限 をuと

均 値 か らで る 不 等 式

え に,

れ よ り,unはH1(RN)のCauchy列 す る.λ

で あ る こ と が わ か る.そ

と して λ=0,hと

し てh-φ(un-1)xと

の

と っ て 命 題9.4

を 適 用 す れ ば,

(38) と な る.Mはnに

よ らぬ 定 数 で あ る.un-1はH1(RN)のCauchy列

る か ら, 

はnに

つ き 有 界 で あ る.こ

(37)か ら,‖ φ(un-1)x‖L2がnに

つ き 有 界 と な る.H2(RN)はHilbert空間

{un}か

ら 弱 収 束 す る 部 分 列 が とれ る.し

に 収 束 す る か ら,u∈H2(RN)で 収 束 す る.{un}の き る.し

部 分 列{un′}を

と な る.こ

対 し て,ζ

こ で,n→

∞

を(36)の

た が っ て,(38)よ

り‖un‖H2

で あ る か ら,有 か し,unはH1(RN)の

あ っ て,un自

た が っ て,φ′(un′(x))→

∈C∞0(RN)に

れ と φ′が 有 界 で あ る こ と よ り,

つ き 有 界 と な る.し

はnに

であ

ノ ル ム でu

身,H2(RN)の

弱 位 相 でuに

と りだ せ ば,un′(x)→u(x)(a.e.)と φ′(u(x))(a.e.)と

な る.さ

両 辺 に 掛 け 積 分 す れ ば,部

とす れ ば,

界 集合

て,任

で 意の ζ

分 積 分 に よ っ て,

と な る.こ がIに

れ よ り,u∈H2(RN)は(34)を

属 す る こ と を 示 し て い る.次

か つ μn→ μ(>0)な る.命

題9.4よ

部 分 列{un′}を

でH2(RN)の

あ る 元uに

の 定 理(K.

に,Iが

Yosida

とれ ば,任

[85])よ

有 界 集 合 で あ る.よ

収 束 さ せ る こ とが で き る.よ

意 の コ ン パ ク ト集 合Ω

と な る が,前

で き る.任

と 同 様 に し て,n→

∞

に で る.こ

示 して い る.す

弱位相

れ をunと

書 こ

に 対 し 点 列unはuにH1(Ω) た が っ て,φ(un(x))x→ 対 し,

式 よ りuが(34)の

開 集 合 で あ る こ と を 示 そ う.μ0∈Iと

定 し よ う.μ

と同様

とす れ ば,

あ るか ら,上

Iが

す

く知 ら れ たRellich

ら さ ら に 部 分 列(そ

意 の ζ∈C∞0(RN)に

と な る.u∈H2(RN)で れ は μ∈Iを

っ て,前

適 当 に とれ ば,{un′}をH2(RN)の

り,{un′}か

なる μ

対 応 す る(34)の 解 をunと

の ノ ル ム で 収 束 しか つun(x)→u(x)(a.e.)(し φ(u(x))(a.e.))と

れ は,μ>￨φ′￨2L∞

閉 集 合 で あ る こ と を 示 す.μn∈I

と る.μnに

り,{un}はH2(RN)の

に し て.{un}の

う)を

る点 列μnを

満 た す.こ

な わ ち,Iは

解 であ る こ とが容 易 閉 集 合 で あ る.最

後 に,

す る.h∈L1(RN)∩L2(RN)と

仮

を, (1+μ-10)M0￨μ-μ0￨<1; 

が 成 り立 つ く ら い μ0に 近 く と る.こ

μ-10￨μ-μ0￨<1  こ で,M0は(29)に

(39)

で て く る 定 数 で あ る.

unを, u0=0; (40) に よ っ て 定 義 す る.(μ0∈Iよ

り定 義 で き る.)(29)よ

り,

な る 漸 化 式 が 成 り立 つ.μ

の と り方 よ り,上

と が わ か る.よ

っ て,{un}か

でH2(RN)の

あ る元uに

式 か ら,‖un‖H2が

ら 部 分 列{un′}を

え らん で,H2(RN)の

収 束 さ せ る こ と が で き る.し

(部 分 列 を と らず に)uに

弱 収 束 す る.実

有界であ るこ

際,μ0で

弱位 相

か し,{un}そ

れ 自身

両 辺 を わ っ て,unの

満 た

す 方 程 式(40)を,

と書 き 直 す.明 L2(RN)と

ら か に,u0∈L1(RN)∩L2(RN)で

仮 定 す れ ば,命

題9.2よ

あ る.un-1∈L1(RN)∩

り,un∈L1(RN)∩L2(RN)と

納 法 よ り,un∈L1(RN)∩L2(RN)(n=0,1,2,…)と

な る.帰

な る.命

題9.3を

適

用 す れ ば,

と な る.μ-10￨μ0-μ￨<1で Cauchy列

と な る.ゆ

あ るか ら,上 え に,H2(RN)の

部 分 列 も同 一 の 極 限uを 前 と 同 様 に し て,(40)で

も つ.し

の 不 等 式 よ り,{un}はL1(RN)で 弱 位 相 で 収 束 す る い か な る{un}の

た が っ て,{un}そ

弱 極 限 を と る こ と に よ っ て,uが(34)の

が わ か る.L1(RN)∩L2(RN)はL2(RN)の ∈L2(RN)に

対 し,L2(RN)の

を と る こ と が で き る.上 ∈H2(Rn)が

ら適 当 に 部 分 列{un′}を

弱 位 相 でH2(RN)の

あ る 元uに

  命 題9.6 ⅰ) 

λ>0に

 ⅱ) g,h∈L1(RN)∩L∞(RN)な

 ロ)

れ は(39)を

対 し て,R(I+λA0)⊇L1(RN)∩L∞(RN).((I

ら ば,

と 同 様 に し て,

満 た す μ がIに

開 集 合 で あ る. 

の 制 限 をT(λ)と

解un

をH2(RN)の

収 束 させ る こ と が で き る.前

な わ ち,Iは

意 のh

有 界 集 合 で あ る.

え らぶ と,un′

解 で あ る こ と が 容 易 に わ か る.こ

+λA0)-1のL1(RN)∩L∞(RN)へ

 イ)

対 応 し て は,(34)の

り,{un}はH2(RN)の

し た が っ て,{un}か

属 す る こ と を 示 し て い る.す

解であること

収 束 す る列hn∈L1(RN)∩L2(RN)

に 示 し た よ う に,hnに 題9.4よ

弱 収 束 す る.

中 で 稠 密 で あ るか ら,任

ノル ム でhに

存 在 す る.命

こ のuが(34)の

れ 自 身uに

書 こ う.)

(証 明 終)

 ハ)  ニ)

が 成 り立 つ.

 注意 

(a.e.)も

成

り 立 つ.

  証 明   φ に 対 し,φn(0)=0,φnは(-∞,∞)上 束 す るC1-関

数 φnを

有 界,広

と る.h∈L1(RN)∩L∞(RN)に

義 一 様に φに収

対 し,

(41) の 解un∈H2(RN)は り,命

存 在 す る.命

題9.3よ

Tn(λ)は,命

り,上

が わ か る.h∈L1(RN)∩L∞(RN)に 解 はun(x+y)と

が 成 り立 つ.命

お こ う.こ

らL1(RN)∩L∞(RN)へ

顔9.2と9.3よ

L1loc(RN)で

りun∈L1(RN)∩L∞(RN)と

り解 は 一 意 的 で あ る.Tn(λ)h=unと

Tn(λ)はL1(RN)∩L∞(RN)か

る(41)の

題9.2よ

な るか ら,(22)よ

題9.2 ⅰ)よ

り, 

で あ るか ら,{un}は あ る.ゆ

適 当 に とれ ば,L1loc(RN)の

束 しか つuに

殆 ど い た る所 収 束 す る よ うに で き る.un′

と定 め る.任

え に,{un}か

位 相 でL1(RN)の

ら部

あ る 元uに を 改 め て,unと

収 書 き

非 負 のC∞0-関 数 と す る.βj(s)を,

意 に 実 数kを

に β′(un)fを

対す

り,

プ レ ・ コ ン パ ク ト(pre-compact)で

て,fを

性 質 を もつ こ と

固 定 す れば,h(x+y)に

分 列{un′}を

直 そ う.さ

の と き,

の 作 用 素 と な る.

の イ),ロ),ハ),ニ)の 対 し,yを

な

掛 け てRN上

固 定 し,β(s)=βj(s-k)と で 積 分 す れ ば,部

お こ う.こ

の と き,(41)

分 積 分 に よ って,

(42) と な る.こ

こで,恒

等式

を部 分 積 分す る際 に 用 い た.n→

∞ と し よ う. 

で あ る か ら,

(42)の 左 辺 の 被 積 分 関 数 の う ち,n-1β″(un)￨Vun￨2f以 い 可 積 分 関 数 で お さ え ら れ る.β′(un)→ 様 に φ に 収 束 す るか ら φn(un)→ 意).他 (42)でn→

あ る.φnは

広義一

に注

な る 

で あ り,β(un)は

∞

よ らな

β′(u)(a.e.)で

φ(u)(a.e.)と

方, 

外 の 項 は,nに

有 界 で あ る か ら,結

局,

とす れ ば,

(43) と な る.β(u)=βj(u-k)で

あ る か ら,j→

∞ とす れ ば,β′(u)→sign0(u-k)

かつ

と な る か ら,(43)でj→

∞

を得 る. 

で φ は

∈L1(RN)と u+λA0uと る.ゆ

っ て,定

φ(0)=0な 義 より

な る.A0はaccretiveで

え に,L1loc(RN)の

て,Tn(λ)の T(λ)の

な る.よ

とす る と,

るC1-関

数 で あ る か ら,φ(u)

λ-1(h-u)∈A0u,す

な わ ち,h∈

あ る か ら,上 に構 成 し たuは

位相 で,Tn(λ)hはT(λ)hに

もつ 性 質 イ),ロ),ハ),ニ)は,極

収 束 す る.し

もaccretiveと h∈L1(RN)を

証 明  A0はaccretiveで

(証 明 終) あ る か ら,A0の

な る.R(I+λA)=L1(RN)(λ>0)を と る.こ

に とれば,hn→h(L1-強

のhに

たが っ

限 を と る こ と に よ っ て,

性 質 に 移 され る こ と が わ か る. 

  定 理9.2の

一意 的 で あ

閉 包 で あ る 作 用 素A 示 そ う.任

対 し て,列{hn}⊂L1(RN)∩L∞(RN)を

収 束)な ら しめ る こ と が で き る. υn=T(λ)hn, wn=λ-1(hn-υn)

意 に 適当

と お く と,定

義 よ り,υn+λA0υn∋hnと A0υn∋

を 得 る.n→

∞

と す れ ば.上

な る か ら, λ-1[hn-υn]=wn

に 示 し た 命 題9.6よ

り,υn→

υ,wn→wで

あ

る か ら, υ∈D(A)か す な わ ち,υ+λAυ

∋hと

つAυ∋w=λ-1[h-υ],

な る.こ

れ はR(I+λA)=L1(RN)を

示 し て い る. (証 明 終)

  定 理9.3の

証 明  U(t)を-Aに

∈L1(RN)を

任 意 に と る.正

よ っ て 生 成 さ れ た 半 群 と す る.u0,υ0 数

ε>0に

(≡uε(x,t)),υ

ε(t)≡(1+ε/A)-[t/ε]-1υ0(≡υ

uε(t),υε(t)は

そ れ ぞ れU(t)u0,U(t)υ0にL1-強

 イ) 

も しu0∈L1(RN)∩L∞(RN)な

対 し,uε(t)=(1+εA)-[t/ε]-1u0 ε(x,t)と

お く.補

題5.6よ

り,

収 束 す る.命

題9.6よ

り,

らばuε(t)∈L1(RN)∩L∞(RN)で

あ

っ て,  ロ) 

が 成 り立 つ.ロ)で 収 束 す る か ら,部 と で き る.こ

ε↓0と す れ ば 定 理 の3)を 分 列uε′(t)を

あ っ て, 

得 る.こ

と な る.こ

示 そ う.u0∈L1(RN)∩L∞(RN)と

き,uε(t)=(1+εA0)-[t/ε]-1u0と

で

り,  (a.e.)を

あ る か ら,ε′ ↓0と す れ ば, 

て い る.1)を

強

適 当 に と れ ば,uε′(x,t)→u(x,t)(a.e.)

こ で,u(x,t)=U(t)u0(x).イ)よ

U(t)u0∈L∞(RN)で

得 る.uε(t)はL1(RN)で

な る.A0の

す る.命

れ よ り,

れ は2)を

題9.6よ

示 し

りこ の と

定 義 か ら,

(44)

が 任 意 の 実 数kと

非 負 のC∞0(RN×(0,T))関 hε(x,t)=￨uε(x,t)-k￨

数fに

対 し て 成 立 す る.

( 

に 対 しuε(x,t)=u0)と

お く と,

とな る か ら,

と な る.し

か し,fはx,tに

な る. 

つ き 広 義 一 様 に 強 収 束 す る か ら,(必

要 な らば 部 分 列 を と

は 共 に0と

る こ と に よ っ て)uε(x,t)→u(x,t)(a.e.

x,t)と

か つhε(x,t)→￨u(x,t)-k￨(a.e. Lebesgueの

収 束 定 理 よ り,右

に 収 束 す る.ゆ

辺 第1項

な る.ゆ x,t)と

え に,  な る.よ

っ て,

は,

え に,

同 様 に し て,φ(uε(x,t))→

φ(u(x,t))(a.e.

の 収 束 定 理 よ り,

を 得 る.ゆ

分 小 さい εに対 か つuε(t)は

し 上 式 右 辺 の 第2,3項 u(≡U(t)u0)にtに

つ き 台 は 有 界 で あ る か ら,十

え に,(44)よ

り,

x,t)で

あ る か ら,Lebesgue

を 得 る.こ

れ は1)を

示 し て い る. 

  注 意   (1)に 対 す る差 分近 似 解 の 構成 につ いて はOharu-Takahashi だ きた い.

(証 明 終) [56]を み てい た

あ

と

が

き

  第Ⅰ 部 の 発展 方 程 式 の 一 般 論 では,実Hilbert空 程 式 のCauchy問

中 の 劣微 分 発 展 方

題

は 述 べ な か った.こ に つ い て,Hか

間Hの

こ で,fは[0,T]上

ら(-∞,+∞]へ

で 与 え ら れ たH-値

関 数,φtは

の 下 半 連 続 な 凸 関 数 で あ る.φtの

各t 定 義域

D(φt)を, D(φt)={u∈H; 

φt(u)<∞}

に よ っ て 定 義 し,φtの

劣 微 分(subdifferential)∂φtを

に よ っ て定 義 す る.(‖

・‖,(・,・)は そ れ ぞ れHの

  φtがtに

よ ら ぬ 場 合 をBrezis[4,5]が

研 究 し,Watanabe

に 依 存 す る場 合 にBrezisの

結 果 を 拡 張 した.さ

nabeの

近,Y.

結 果 を 拡 張 し た.最

合 にWatanabeの

Yamada

結 果 を 拡 張 した.こ

ノ ル ム,内

積 を表 わ す.) [75]はφtがt

ら に,Maruo

[46]はWata

[77]はD(φt)がtに

こ で はYamadaの

依 存 す る場

結 果 の み を記 してお

こ う.   仮 定1 

各t 

に 対 し て,φt(・)はHか

半 連 続 な 凸関 数 で あ る.た   仮 定2 rを のx0∈D(φt0)に  ⅰ)  x(t0)=x0  ⅱ )  ⅲ )

ら(-∞,+∞]へ

の下

だ し,

任 意 の 正 数 と し,t0∈[0,T]を

任 意 に と る. 

対 し 次 の 条 件 を 満 た すx(t)∈D(φt)が

存 在 す る.

な る任 意

こ こ で,hはh′ はrに

∈L2(0,T)を

満 た す[0,T]上

絶 対 連 続 な 関 数 で あ り,Mr

の み 依 存 す る 正 定 数 で あ る.

  仮 定3 

f∈L2((0,T),H).

  定 理1 

上 の 仮 定 の 他 に,a∈D(φ0)と

す る.こ

の と き,

  1)  u∈C([0,T];H),u(0)=a   2)  任 意 の ε>0に

対 し,u(t)とφt(u(t))は[ε,T]上

  3)  殆 ど 到 る所 のt∈[0,T]に

絶対強連続

対 し て,u(t)∈D(∂φt)で

  4) 

ある

(a.e.t)

を 満 た すuが   定 理2 

存 在 す る.

φtは 仮 定1を

満 た す とす る.fj∈L1((0,T),H)(i=1,2),さ

らに,

の 解 をujと

す る.こ

の と き,

が 成 立 す る.

  上 の 劣 微 分 発 展 作 用 素 の 他 に,本 数 ベ キ(T.

Kato

[25]),生

放 物 型 の 理 論(T. 84],A.

Yamada

摂 動 理 論(T.

Kato

Kato

[27])等

田 の 抽 象 ポ テ ン シ ャ ル 論(K.

役 半 群 の 理 論(R.S. が あ る.特

残 りで あ る.

Phillips

に,Trotter,加

等 に よ る 半 群 の 積 公 式([9,13,45,54,62,72])は な か っ た の は,心

用 素 の分

成 作 用 素 の 分 数 ベ キ の定 義域 が 一 定 の 場 合 の抽 象

[24]),吉

[76]),共

書 で と りあ げ な か っ た 題 材 に,作

[59]),発

藤,Marsden,

大 切 で あ る が,本

Yosida

[83,

展作用素の Chernoff 書 で述べ 得

参

[1] 

Aizawa,S.,A one

[2] 

semi-group

space

文 献

treatment

of

variable,Hiroshima

generated

power by

them,Pacific

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in

several

semi-group space

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in

general

Banach

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order

quasilinear

equa

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semi-groups

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Crandall,M.G.and

Pazy,A.,Nonlinear

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Ebin,D.and

Marsden,J.,Group

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diffeomorphisms

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motion

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an [14] 

incompressible

fluid,Ann.Math.,92(1970),102-163.,(Part Ⅱ to

Fefferman,C.and

Stein,E.M.,Hp spaces

appear)

of

several

variables,Acta

Math.,192(1972)137-193. [15] 

Feller,W.,The group of

parabolic

differential

equation

and

the

associated

semi-

transformations,Ann.Math.,55(1952),468-519.

[16] ―.On

the

generation

of

unbounded

semi-groups

of

bounded linear

operators,Ann.Math.,58(1953),166-174. [17] 

Fujita,H.and

Kato,T.,On

the

Navier-Stokes

initial

value

problem

Arch.Rat.Mech.Anal.,16(1964),269-315. [18] 

Fujiwara,D.,Concre of

some

te characterization

differential

operators

of

of

the

the

second

domains

of

fractional

order,Proc.Japan

powers Acad.,43

(1967),82-86. [19] 

Grisvard,P.,Caracterisation

de

quelques

espaces d'interpolation,Arch.Rat.

Mech.Anal.,25(1967),40-63. [20] 

Hille,E.,"Functional

Analysis

and Semi-groups",Colloq.Publ.Amer.

Math.Soc.,(1948). [21] ―,The tial [22] 

abstract

Cauchy

problem

and

Cauchy's

problem

for

differen

equations,J.d'Anal.Math.,3(1954-55),81-196.

Hille,E.and

Phillips,R.S.,"Functional

Analysis and Semi-groups",

Colloq.Publ.Amer.Math.Soc.,31(1957). [23] 

Kato,T.,Integration

of

the

equation

of

evolution

in

a

Banach

space,J.

Math.Soc.Japan,5(1953),208-234. [24] ―,Abstract

evolution

spaces,Nagoya

equations

of

parabolic

type

in

Banach

and

Math.J.,19(1961),93-125.

[25] ―,Fractional

powers

of

dissipative

operators,J.Math.Soc.Japan,13

(1961),246-284;Ⅱ,ibd.14(1962),242-248. [26] ―Lectures

CIME,Varenna,1963,Cremonese.

[27] ―,"Perturbation Theory for

Linear

Berlin-Heidelberg-New

Operators",Springer-Verlag,

York,(1966).

[28] ―,Nonlinear

semi-groups

and

evolution

equations,J.Math.Soc.Japan,

19(1967),508-520. [29] ―,Linear University

evolution of

25(1973),648-666.

Tokyo

sect.I

equations

of"hyperbolic

A,17(1970)

type"I,J.Fac.Science,

,241-258;Ⅱ,J.Math.Soc.Japan,

Hilbert

I,

[30] ―,Nonstationary

flows

of

viscous

and

ideal

fluids

in

R3,J.Funct.

Anal.,9(1972),296-305. [31] 

Kato,T.and

Tanabe,H.,On

tions,Osaka [32] 

Kohn,J.and

Nirenberg,L.,An

Comm.Pure [33] 

the

analyticity

of

solution

of evolution

equa

J.Math.,4(1967),1-4. algebra

of

pseudo-differentials operators.

Appl.Math.,18(1965),269-305.

Komura,Y.,Nonlinear

semi-groups

in Hilbert

space,J.Math.Soc.Japan,

19(1967),493-507. [34] ―,Differentiability

of

nonlinear

semi-groups,J.Math.Soc.Japan,

21(1969),375-402. [35] 

高 村 幸 男;非

[36] 

Konishi,Y.,On and

[37] 

the

学(論

nonlinear

説),25(1973),148-160.

semi-groups associated

with ut=Δ

β(u)

φ(ut)=Δu,J.Math.Soc.Japan,25(1973),622-628.

Krein,S.,「 訳)吉

[38] 

線 型 半 群 に つ い て,数

バ ナ ッ ハ 空 間

に お け る 線 型 微 分 方 程 式 」(辻

岡 邦 夫,牛島

照 夫 共

岡 書 店,1972.

Kruzkov,S.N.,First

order

quasilinear

equations

in

several

independent

variables,Mat.Sb.(USSR)10(1970),217-243. [39] 

熊 ノ 郷 準,「

[40] 

Lax,P.D.,Hyperbolic

擬 微 分 作 用 素」

岩 波 書 店,1974.

system

of

conservation

law Ⅱ,Comm,Pure

Appl.

Math..10(1957),537-566. [41] ―,Lectures

on

hyperbolic

equations,Lecture

Note,Stanford

Univ,.

1964. [42] 

Lions,J.L.and

Magenes,E.,"Problemes aux Limites Non Homogenes

et

Applications",Vol.1,2,Paris,Dunod,1968;Vol.3,ibd.,1969. [43] 

Marcienkiewicz,J.,Sur

les

multiplicateurs

des

series

de

Fourier,Stud.

Math.,8(1939),78-91. [44] 

Martin,R.Generating Banach

[45] 

an

evolution

system

in

a class

of

uniformly

convex

spaces,J.Funct.Anal.,11(1972),62-76.

Marsden,J.,On

product

formulas

for

nonlinear

semi-groups,J.Funct.Anal.,

13(1973),51-72. [46] 

Maruo,K.,On Japan

[47] 

some

evolution

equations

of

subdifferential

operators,Proc.

Acad.,51(1975),304-307.

Masuda,K.,On

the

Holomorphic

evolution

operators,J.Math.Anal.Appl.,

39(1972),706-711. [48] 

増 田 久 弥,偏

微 分 方 程 式 

[49] ―,On

the

rators [50] 

with

堅 田 シ ン ポ ジ ウ ム,1972年. of

unbounded

analytic

semi-groups

coeffcients,(to

appear).

Mihlin,S.,"Multidimensional Pergamon

[51] 

generation

Singlar

by

Integrals

elliptic

and

differential

Integral

ope

Equations",

Press,Oxford,1965.

Miyadera,I.,Generation Tohoku

of

a strongly

continuous

semi-groups

of

operators,

Math.J.,4(1952),109-121.

[52] ―,Some

remarks

on

semi-groups of

nonlinear

operators,Tohoku

Math.

J.,23(1971),245-258. [53] 

Nelson,E.,Feynmann

integrals

and

the

Schrodinger

equations,J.Math.

Phys.,5(1964),332-343, [54]―,"Topics ton [55] 

in New

dynamics,Flows

I",Princeton

University

press,Prince

Jersey,1969

Neveu,J.,Theorie

des

semi-groups

de

Markov,Univ.Calif.Publ.,in

Statis

tics,2,No.14(1958),319-394. [56] 

Oharu,S.and and

Takahashi,T.,A

its application

convergence

to first

order

theorem

quasilinear

of nonlinear

semi-groups

equations,J.Math.Soc.Japan,

26(1974),124-160. [57] 

Peetre,J.,Rectitication teurs

[58] 

a

l'article"Une

caracterisation

abstracte

des

opera

of

operators,

differentiels",Math.Scand.,8(1960),116-120.

Phillips,R.S.,Perturbation

theory

for

semi-groups

linear

Trans.Amer.Math.Soc.,74(1954),119-211. [59] ―,The

adjoint

[60] ―,On

the

semi-group,Pacific

integration

of

the

J.Math.,5(1955),269-283. diffusion

equation

with

boundary

condi

tion,Trans.Amer.Math.Soc.,98(1961),62-84. [61] 

Poulsen,E.T.,Evolution Uppsala

[62] 

Quinn,K.,Solution Comm.Pure

[63] 

Univ.,April

equations,Semigroups

72)

Product

Integrals,

with

shocks;An

example

of

an

L1-contactive

semi-group,

Appl.Math.,24(1971),125-132.

Rasmussen,S.,"Nonlinear Integral

and

1971.

Representation",Various

Semi-groups,Evolution Publ.,Series

Equations No.2,Aarhus

and

Product

Univ.,(1971/

[64] 

Sato,K.,On

dispersive

operators

in

Banach

lattices,Pacific

J.Math.,33

(1970),429-443, [65] 

Sobolovski,P.E.,Parabolic

type

equations

in

Banach

spaces,Trudy

Moscow

Math.,10(1961),297-350. [66] 

Stein,E.M.,"Singular

Integrals

tions",Princeton

and

Mathematical

Differentiability Properties

Series

30,Princeton

of

Func

Univ.Press,Princeton.

1970. [67] 

Swann,H.,The

convergence

Navier-Stokes flows

with

to ideal flow

vanishing

in

viscousity

of

nonstationary

R3,Trans.Amer.Math.Soc.,157(1971),

337-398. [68] 

Tanabe,H.,On

the

equations

of

evolution

in a

Banach

space,Osaka

Math.

J.12(1960),365-613. [69] ―,On

regularity

bolic [70] 

type

in

of

Banach

solutions

of

abstract

Taylor,M.,"Pseudo-differential

Operators",Lecture

Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New [71] 

differential

equations

of

para

space,J.Math.Soc.Japan,19(1967),521-542. Notes

in

Math.,416,

York.

Trotter,H.F.,Approximation

of

semi-groups

of

operators,Pacific

J.Math.,

8(1958),887-919. [72] ―,On

the

product

of

semi-groups

of operators,Proc.Amer.Math.Soc.

10(1959),545-551. [73] 

Ushizima,T.,On

the

generation

and

smoothness

of semi-groups

of

linear

operators,J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,Sect.IA,19(1972),65-128. [74] 

Watanabe

J.,On

Proc.Japan

some

properties

of

fractional

powers

of

linear

operators,

Acad.,37(1961),273-275.

[75] ―,On

certain

nonlinear

evolution

equations,J.Math.Soc.Japan

25

(1973),446-463. [76] 

Yamada,A.,On groups und

[77] 

with

correspondence Markov

between

process,Zeitschr.fur

potential

operators

and

semi

Wahrscheinlichkeitstheorie

verw.Geb.,15(1970),230-238.

Yamada,Y.,On (to

[78] 

the

associated

some

nonlinear

evolution

equations

in

a

Hilbert

appear).

Yosida,K.,On semi-groups

the of

linear

differentiability

and

the

representation

operators,J.Math.Soc.Japan,1(1948),15-21.

of one-parameters

space

[79] ―,An

operator-theoretical

integratio

of

the

wave

equation,J.Math.

Soc.Japan,8(1956),79-92. [80] ―,An Proc.Japan

abstract

analyticity

Acad.,35(1959)

[81] ―,Time

dependent

in

time

for

solution

of a diffusion

equation,

,109-113. evolution

equations

in

a locally

convex

space,Math.

Ann.162(1965),83-86. [82] ―,The

pre-closedness

of Hunt's

Proc.Intern.Cong.Functional

potential

Analysis

operators

and

and

it's applications,

Related.Topics,Tokyo

,(1965),

324-331. [83] ―,On

the

potential

operators

associated

with

Brownian motions,J.

d'Anal.Math.,23(1970),461-465. [84] ―,On

the

existence

Proc.Collog.Functional

and

characterization

of

Analysis,Liege,(1970)

[85] ―,"Functional Analysis",Springer-Verlag,Kinokuniya,3rd Berlin-Heidelberg-New [86] ―,On

313-317.

holomorphic

abstract

potential

operators,

.129-136. Edition,

York(1971). Markov

processes,Proc.Japan

Acad.,42(1966),

索

引 C1-級 の ―

A accretiveな 集 合   105

斉 次 な作 用 素 の ― 非 斉 次 な作 用 素 の― 安定 指 数

 

72 94

発展 作 用 素 の 生 成定 理

安 定 な族  

24  

抽象双曲型の―

 

51,58,64,68,69

抽象放物型の―

 

72,84

正則―

45

 24,45

 

94

非 線 型 の―

 

108

半群 B

定義 

Banach空

間

部分空間

 3

 3

C

15

縮 少―   16 ― の生 成 定 理  

26

―

32

の 表現 定 理  

閉 グ ラ フ定 理  

Cauchy問  

 

正則な―

題

時 間 的 に済 次 な発 展 方 程 式 に対 す る― 14   44,71

依存領域 

非斉 次な 発 展 方程 式 に対 す る―

 

非 線 型 な発 展 方 程 式 に対 す る―

  119

68

142

K 可 閉 

対 称 双 曲型1階 方程 式 に対 す る―   150

 26

I

時 間 的 に 非 斉 次 な発 展 方 程 式 に 対す る ―

5

閉 作用 素  4 Hille-Yosidaの 定 理

4

双 曲型1階 方 程 式 に 対 す る―

 

177

交換 子,交 換 作 用 素(Commutator)  Kruzkovの 定 理   192

2階 放 物型 方 程 式 に 対 す る―

 

183

許 容(A-) 

準 線 型1階 方 程 式 に 対 す る ―

 

192

共鳴定理 

値域 

4 G

Gardingの

不等式 

逆作 用 素  

5

擬 微 分作 用 素   H

強 微 分 

7

強収束 

7

強連続 

7,9

強 連 続 的 微 分可 能   局所 作 用 素 

167

収 束定 理  

レ ンズ状 領 域   52

9

136

L Lebesgueの

発 展 作用 素 定義 

176

40 6

157

7

153

正則半群 

M

積分 

無 限 小 生 成作 用 素 

18

線 型 作用 素 

3

双 曲 型1階 偏 微 分 方程 式系  

N 数 

ノル ム収 束  

6

双 曲 的 

6

単―

 

二 重― 定理 

144

シ ンボ ル

P 136

159  

159

単 化 ―   161 ― の漸 近 展 開定 理  

R リ ゾル ベ ン ト方 程 式   リ ゾル ベ ン ト集 合  

T

12 11

多価 の作用 素  

S 生 成 作用 素   8,10

105

Y 18

生 成 作用 素 の 局 所表 現 定理   正則  

177

双 曲 型1階 偏 微 分 方程 式 系(対 称) 

Neumann級

Peetreの

33

7

有 限 伝播 な解   127

有 界作 用 素  

158 4

165

150

著 増

者

田 久

弥

1937年神奈 川県藤沢市に生 まれ る.1963 年東京大学 理学部 数学科 を卒業,ク ーラ ン ト研究所 客員研究員等 を経 て,現 在, 東京大学理学 部教授.理 学博士.

発

展

方

1975年8月31日 1989年7月31日

   

程

式

第1刷 発 行 第2刷 発 行

発行所  株式 会社  紀伊國屋書店 東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話  03(354)0131(代 振 替 口 座   東 京9―125575

出版部

東 京 都 世 田谷 区 桜 丘5の38の1 電 話  03(439)0125(代

表)

表)

郵 便 番 号  156

C KYUYA

MASUDA,

PRINTED

IN

1975

JAPAN

定 価 は 外 装 に 表 示 し てあ ります

印 刷   加 藤 文 明 社 製 本   三 水 舎

紀 伊 國屋 数 学 叢 書 につ い て   数学 を学 ぶ に は い ろい ろ の段 階 が あ るが,い ず れ の 場 合 で も書 物 な ど に よっ て 自学 自習す る こ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を 聞 くとい う よ うな受 動 的 な 勉 強 だけ で は,は なは だ 不 十分 であ る.   み ず か ら学 ぶ ため に 現在 い ろ い ろな 数 学書 が 出 版 され てい る.し か し, 数 学 の進 歩 は極 めて 基 礎的 な 考 え 方 に対 して さえ 常 に影 響 を 与 え て お り, 従 って どの よ うな段 階 の 勉 強で あ って も,常 に新 しい 考え 方 を理 解 す る ことが 必 要 で あ る.こ の た め には,数 学 の過 去 と将 来 とを 結 ぶ 視 点 か ら 書 か れ た 書物 が数 多 く出版 され る ことが 望 ま しい.即 ち,新 しい視 点 と 古 典 的 な 視点 と を見 くらべ,基 本 的 な こ とを も将 来 の発 展 を 考慮 した視 点 か ら説 明す る とい う立場 で 書 かれ た書 物 が 要 望 され てい る.   本 叢 書 は こ の よ うな 要望 に 応 え て企 画 され た もので あ って,各 巻 が 大 学 理 工 学系 の専 門 課 程 の学 生 また は大 学 院 学 生 が それ ぞ れ の分 野 で の 話 題,対 象 につ い て 入 門 の段 階 か らあ る程 度 の 深 さ まで 勉 学す るた め の 伴 侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ のた め に我 々は 各 巻 の 話題 の選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代数 学 の 発展 に と って重 要 で あ り,ま た 既 刊 書 で 必ず し も重 点 が 置 かれ て い な い もの を選 び,各 分 野 の第 一 線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に執 筆 を お 願 い して い る.   学 生諸 君 お よび数 学 同好 の方 々が,こ の叢 書 に よ って数 学 の 種 々 の分 野 に おけ る基 本的 な 考 え 方 を理 解 し,ま た 基 礎 的 な知 識 を 会 得 す るこ と を期 待 す ると と もに,更 に現 代 数 学 の 最先 端 へ 向 か お うとす る場 合 の基 礎 と もな るこ とを 望 み た い.